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1

ELEMENTI TRIANGOLARI E TETRAEDRICI A LATI DIRITTI Nella ricerca di unificazione delle problematiche in vista di una generalizzazione delle procedure di sviluppo di elementi finiti, gioca un ruolo importante l'individuazione di opportuni sistemi di riferimento. Estendendo il concetto di trasformazione possibile anche individuare opportune coordinate che definendo una mappatura del dominio fisico in un dominio equivalente permettono di semplificare la formulazione: questo il caso delle coordinate naturali o adimensionali. Esse costituiscono un primo passo di quella generalizzazione completa che invece rappresentata dalla formulazione parametrica, di cui si discuter successivamente. La definizione di coordinate naturali assume significato solo in relazione all'elemento che si sta trattando. In generale, un sistema di riferimento di dimensione n tale se una n-pla di valori delle coordinate consente di identificare in maniera univoca un punto del dominio. La relazione di trasformazione tra il sistema di riferimento dellelemento e quello delle coordinate del modello globale, nelle quali l'elemento viene definito, deve mantenere questa capacit e quindi deve essere tale da individuare una corrispondenza biunivoca dei due domini. I passaggi necessari per la formulazione dell'elemento in queste coordinate risulter essere notevolmente lo semplificata. Ci limitiamo, per ora, all'esame di elementi con i lati diritti introducendo questo tipo di metodologia; successivamente provvederemo a rimuovere questa limitazione con una formulazione completamente generale. Coordinate naturali nel caso mono-dimensionale: COORDINATE DI LINEA Il caso pi semplice che possiamo analizzare quello delle coordinate naturali di un segmento.

1 2u2

x

L

x1 L2 L1

x

x2

Consideriamo su detto segmento, i cui estremi hanno coordinate x1 ed x2, un punto generico di coordinata x: questi divide il segmento in due parti di lunghezza rispettivamente L1 ed L2 ; definiamo queste lunghezze come differenza tra la dimensione del campo e la distanza dall'estremo cui sono riferite e il punto x:

1 1 2 1 1 2

2 2 2 1 2 1

L L (x x ) (x x ) (x x ) x xL L (x x) (x x ) (x x) x x

= = = = = =

si ottiene quindi: 1 2

2 1

L x xL x x

= =

rapportando alla lunghezza L dell'elemento questi due termini otteniamo due parametri adimensionali 1

1

22

LLLL

=

=

tra i quali vale evidentemente la relazione 1 2 1 + =

che deriva dal fatto che la somma di L1 ed L2 pari ad L. I parametri i prendono il nome di Coordinate di linea, in quanto una coppia di loro valori consente lindividuazione univoca di un punto nel dominio monifimensionale. Inoltre immediato osservare che le due funzioni che le rappresentano mostrano le seguenti caratteristiche: hanno valore unitario in corrispondenza dellestremo di pertinenza

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2

hanno valore nullo in corrispondenza dell'altro estremo esibiscono un andamento lineare nel tratto intermedio.

1

1

2

1

Poich, nota la dimensione del campo, una delle due coordinate ridondante, dovendo sussistere la relazione di normalizzazione, consideriamo solo la coordinata i . Se sua espressione si mette in evidenza la coordinata x si ottiene dapprima

1 21

L x xL L

= = e quindi con semplici passaggi

2 1 2 2 1 1 1 1 2 1 1 1 2 2x x L x (x x ) x x (1 ) x x= = = + = + e riconoscendo nel termine (1-1) la seconda coordinata naturale, grazie alla relazione di normalizzazione, otteniamo:

2 1 2 2 1 1 1 1 2 1 1 1 2 2x x L x (x x ) x x (1 ) x x= = = + = + Questa espressione rappresenta la trasformazione tra le coordinate naturali i e la coordinata cartesiana x. Essa mette in corrispondenza, mediante una operazione di mappatura, il dominio cartesiano, descritto dalla variabile x, con quello naturale. Introducendo la coordinata omogenea 1, i legami diretto ed inverso sono esprimibili in forma matriciale come:

1

1 2 2

1 11x xx

=

1 2

2 1

x 1 11x 1 xL

=

avendo utilizzato, oltre alle relazioni di mappatura, anche il legame di normalizzazione tra le due coordinate naturali. Possiamo notare altres le coordinate darea pesano le coordinate fisiche dei due estremi del dominio. Appare allora evidente in questa relazione la struttura di una forma di interpolazione: le coordinate naturali possono qindi essere utilizzate per definire una forma interpolatoria:

1 2u [N(x)]{d} [ (x) (x)]{d}= = Infatti elaborando questa espressione otteniamo, con semplici passaggi, le note formule dell'interpolazione lineare dei parametri nodali:

12 1 2 11 2 1 1

2

ux x x x u uu [ ]{d} (x x ) uuL L L

= = = +

Le espressioni delle derivate delle funzioni di forma possono essere determinate ricorrendo alla concatenazione delle derivate. Infatti poich la coordinata x diventa funzione delle coordinate naturali avremo che

1 1 2 21

1 1

u ( u u ) u + = = e

22

u u =

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3

mentre differenziando le espressione di definizione delle coordinate di linea si ricavano le seguenti relazioni:

1 2(x x) / L 1x x L

= = 2 1(x x ) / L 1

x x L = = Sostituendo le relazioni appena ricavate si ottiene la seguente espressione del legame deformazione spostamento:

1 11 2 1 2 1 21 2

2 21 2

u uu u u 1 1u uu ux x x x x x x L L

= + = + = =

Si pu notare come pur non avendo utilizzato un sistema di riferimento locale dellelemento la determinazione dellespressione delle funzioni di interpolazione sia risultata particolarmente semplice. L'impiego delle coordinate naturali consente di semplificare anche l'integrazione sul dominio corrispondente; nel caso mono-dimensionale vale la seguente formula:

k j1 2

L

k! j!dL L(1 k j)!

= + + Lapplicazione di questa formula particolarmente semplice: si sostituisce alla variabile x la sua espressione in funzione delle coordinate naturali, dopodich si applica la formula di integrazione ai singoli termini cos determinati. Come esempio proviamo ad integrare due polinomi, lineare e quadratico.

+=+=+=LLLLLL

dLxdLxdLxdLxdLxxxdL 120

1202

111

122

111

122

111

2)!011(!0!1 1

102

111

xLLxdLxL

=++= 2)!101(

!1!0 22

12

012

xLLxdLxL

=++= 222

121221 xxxxxxLxdLL

+=+= che ovviamente coincide con l'integrale esatto della funzione x nel dominio x1,x2.

++=++=LLLLL

dLxxdLxdLxdLxxxxdLx 121121

22

01

22

02

21

21

12

1121

22

22

21

21

2 22

3)!021(!0!2 212

102

21

21

xLLxdLxL

=++=

3)!201(!2!0 222

222

01

22

xLLxdLxL

=++= 2121

12

1121 3

1)!111(

!1!122 xxLxxLdLxxL

=++= ))((

31)(

31

2122

21

31

3221

22

21

2 xxxxxxxxxxLdLxL

++=++= che anche in questo caso coincide con l'integrale esatto:

( ) ( ) )(31

31

3 2122

2112

31

32

32

2

1

xxxxxxxxxdLxx

xL

++===

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4

Coordinate naturali in dominio bidimensionale: COORDINATE D'AREA In maniera del tutto analoga a quanto visto per il segmento, colleghiamo un punto P, arbitrariamente posizionato all'interno di un triangolo con i tre vertici.

x

y

1

2

3

P A1

A3

A2

Lato 2

Lato 1

Lato 3

1

2

3

In questo modo vengono individuate tre sotto-aree triangolari, A1,A2,A3 che, una volta normalizzate con l'area del triangolo originale A, costituiscono le Coordinate d'area del triangolo .

1 2 31 2 3

A A AA A A

= = = Come nel caso mono-dimensionale esse permettono di individuare con univocit un punto qualsiasi del triangolo. Anche in questo caso esiste una equazione di vincolo che permette di determinare la terza coordinata note le altre due:

1 2 3 1 + + = che, come estensione del caso monodimensionale, deriva dal fatto che l'area totale del triangolo data dalla somma di quelle dei tre sotto-triangoli individuati dal punto P. Anche in questo caso definiamo le relazioni diretta ed inversa che legano i due riferimenti:

1

1 2 3 2

1 2 3 3

1 1 1 1x x x xy y y y

=

1 2 3 3 2 2 3 3 2

2 3 1 1 3 3 1 1 3

3 1 2 2 1 1 2 2 1

x y x y y y x x 11 x y x y y y x x x

2Ax y x y y y x x y

=

e dove il determinante della matrice di trasformazione [X] ha valore pari al doppio dell'area del triangolo ed dato da [ ] AyyxxyyxxA 2))(())((det 12311312 == La matrice appena definita coincide con quella utilizzata per la costruzione dellelemento di triangolo a deformazione/sforzo costante con il metodo in Base a. Anche in questo caso, possiamo dire che due qualsiasi delle coordinate d'area, cos come una coppia di coordinate cartesiane x,y, permettono di individuare univocamente un punto all'interno del triangolo. Le formule di interpolazione sul dominio sono ottenute generalizzando quelle del caso monodimensionale:

1 2 3s [N]{d} [ ]{d}= = Dovendo integrare dei termini derivativi ([B]) e trattandosi di un dominio bidimensionale occorrer tenere conto della variazione di metrica tra i due riferimenti con la nota regola di differenziazione:

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5

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

s s s sx x x xs s s sy y y y

= + + = + +

i termini rappresentanti la variazione delle coordinate d'area rispetto a quelle fisiche possono essere calcolati derivando la relazione inversa ( ) che permette di determinare le seguenti due matrici riga:

1 3 2 2 3 1 3 1 2

1 2 3 2 1 3 3 2 1

y y y y y yx 2A x 2A x 2A

x x x x x xy 2A y 2A y 2A

= = = = = =

infatti { } [ ] { }

[ ] { } [ ] { }

=

=

=

xxA

xxA

x

xA

1

1

1

)(

Quindi le derivate delle coordinate darea rispetto alle coordinate fisiche x,y sono date dalle ultime due colonne dellinversa di [A]. Gli sviluppi pi frequentemente utilizzati per la formulazione di elementi finiti sono quello lineare e quello parabolico. Sviluppo lineare:

1 1 2 2 3 3s a a a= + + Sviluppo quadratico:

2 2 21 1 2 2 3 3 4 1 2 5 2 3 6 1 3s a a a a a a= + + + + +

Si pu notare che, a differenza di quanto avviene per le funzioni di forma polinomiali, in questo caso gli sviluppi di ordine superiore non sono delle espansioni di quello di ordine inferiore ma sono caratterizzati da espressioni completamente differenti. Anche per il dominio triangolare disponiamo di una formula di integrazione specifica:

k j m1 32

L

k! j!m!dL 2A(2 k j m)!

= + + + Coordinate naturali in dominio tridimensionale: COORDINATE DI VOLUME Assegnato un tetraedro definito da vertivci, il generico punto P, arbitrariamente posizionato al suo interno, diivide il volume in quattro tetraedri aventi come base una delle facce del tetraedro stesso e come vertice il punto rimanente.

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6

x

y

1

2

3P Lato 3

4

V1

In questo modo vengono individuate quattro sotto-volumi tetraedrici, V1,V2,V3 e V4 che, una volta normalizzati con il volume del tetraedro orginale V, costituiscono le Coordinate di volume del tetraedro :

1 2 3 41 2 3 4

V V V VV V V V

= = = = che permettono di individuare con univocit un punto qualsiasi del tetraedro. Anche in questo caso esiste una equazione di vincolo che permette di determinare una coordinata note le altre tre:

1 2 3 4 1 + + + = che ovviamente deriva dal fatto che il volume del tetraedro dato dalla somma di quelli dei quattro sotto-tetraedri individuati dal punto P. Anche in questo caso definiamo le relazioni diretta ed inversa che legano i due riferimenti:

1

1 2 3 4 2

1 2 3 4 3

1 2 3 4 4

1 1 1 11x x x xxy y y yyz z z zz

=

Le formule di interpolazione sul dominio sono ottenute generalizzando quelle del caso monodimensionale:

1 2 3 4s [N]{d} [ ]{d}= = Dovendo integrare dei termini derivativi ([B]) e trattandosi di un dominio tridimensionale occorrer tenere conto della variazione di metrica tra i due riferimenti con la nota regola di differenziazione:

/ x / x / x / x

/ y / y

11 2 3 4

1 2 3 4/ x21 2 3 4

/ y 1 2

/ z31 2 3 4

4

s

ssx x x x x s

s ssy y y y y

ssz z z z z s

= =

1

2

/ y / y3

/ z / z / z / z4

/

/3 4

/1 2 3 4

/

s

s

s

s

i termini rappresentanti la variazione delle coordinate d'area rispetto a quelle fisiche possono essere calcolati derivando la relazione inversa ( ) . Gli sviluppi pi frequentemente utilizzati per la formulazione di elementi finiti sono quello lineare e quello parabolico. Sviluppo lineare:

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1 1 2 2 3 3 4 4s a a a a= + + + Sviluppo quadratico:

2 2 2 21 1 2 2 3 3 4 4 5 1 2 6 1 3 7 1 4 8 2 3 9 2 4 10 3 4s a a a a a a a a a a= + + + + + + + + +

Anche per il dominio tetraedrico disponiamo di una formula di integrazione specifica:

k j m n1 3 42

L

k! j!m!n!dL 6V(3 k j m n)!

= + + + + ELEMENTI DI TRIANGOLO E' abbastanza evidente che in termini di generalizzazione delle possibilit operative, un elemento triangolare superiore ad un elemento rettangolare: non avendo a disposizione, per ora, una tecnica per la realizzazione di elementi quadrangolari di forma generica e possibilmente anche curva (nel senso di elementi rettangolari curvati), risulta pi pratico avere a disposizione elementi triangolari. Con questi elementi la corretta approssimazione di una forma qualsiasi normalmente ottenibile con elementi di dimensioni pi grandi e senza tutti i problemi legati alla necessita' di realizzare forme il pi possibile rettangolari e piani. Esaminiamo la procedura, basata sulle coordinate d'area, per la generazione di elementi triangolari a lati diritti. Consideriamo la famiglia di elementi triangolari a lati diritti di ordine crescente di cui sono rappresentati in figura i primi tre esponenti (si noti che estremamente difficile reperire in letteratura elementi di ordine superiore al cubico). Fig. 7.15 Zien Triangolo a deformazione costante in coordinate d'area Svilupiamo la formulazione dell'elemento triangolare a deformazione costante. Si tratta della riformulazione dello stesso elemento precedentemente sviluppato con altra tecnica. Lelemento rappresentato nella figura seguente, dove sono stati individuati anche gli elementi per la definizione delle coordinate darea.

x

y

1

2

3

A1

A3

A2

Lato 2

Lato 1

Lato 3

Assumiamo le sei componenti di spostamento dei tre nodi come incognite dell'elemento e organizziamole nel vettore di incognite nodali:

T1 1 2 2 3 3{d} [u v u v u v ]=

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8

In base a questa scelta possibile ipotizzare una variabilit lineare delle componenti di spostamento u,v nel volume dell'elemento:

1 1 2 2 3 3s a a a= + + La definizione dei coefficienti della forma di interpolazione avviene utilizzando l'interpolazione dei valori nodali:

1 2 3

1 2 3

0 0 0u{s} [N]{d} {d}

0 0 0v = = =

La funzione di forma cos ricavata relativa al generico nodo caratterizzata dall'andamento riportato in figura.

Funzione interpolante in coordinate d'area

1

2

3

Linee a costante 3

1

e ricordando la definizione dell'operatore differenziale [D]:

/x 00 / y

/ y / x[D] =

di pervenire all'espressione della matrice [B]

1/ x 2 / x 3 / x

1/ y 2 / y 3 / y

1/ y 1/ x 2 / y 2 / x 3 / y 3 / x

0 0 0[B] [D][N] 0 0 0

= =

e ricordando le espressioni ricavate per questi termini:

1 3 2 2 3 1 3 1 2

1 2 3 2 1 3 3 2 1

y y y y y yx 2A x 2A x 2A

x x x x x xy 2A y 2A y 2A

= = = = = =

abbiamo infine

2 3 3 1 1 2

3 2 1 3 2 1

3 2 2 3 1 3 3 1 2 1 1 2

y y 0 y y 0 y y 01[B] 0 x x 0 x x 0 x x

2Ax x y y x x y y x x y y

= diviso 2A

Questi termini possono essere determinati anche utilizzando la regola di derivazione; consideriamo, a titolo desempio, le derivate della funzione N1:

xN

xN

xN

xN

3

3

12

2

11

1

11 ++=

yN

yN

yN

yN

3

3

12

2

11

1

11 ++= Le derivate delle funzioni di interpolazione rispetto alle coordinate d'area sono banali: essendo N1 1=

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9

abbiamo

0;0;13

1

2

1

1

1 ===

NNN

per cui otteniamo:

xxxxxN

13211 001 =++=

yyyyyN

13211 001 =++= Si pu quindi ottenere lo stesso risultato partendo direttamente dalla definizione tradizionale della matrice [B]. Dall'esame della matrice, contenente solo termini costanti, risulta evidente che l'elemento in grado di descrivere uno stato di deformazione/sforzo costante. Infine, poich l'elemento a spessore t costante, considerando il materiale uniforme nel volume e tenendo conto dell'invarianza della matrice [B] rispetto alla posizione, per la matrice di rigidezza avremo:

T T

6x6 6x3 3x3 3x6[ k ] t [ B ] [ E ][ B ] dx dy At[B] [E][B]= = dove stata indicata A l'area dell'elemento. Essa pu venire calcolata come mediante il determinante della matrice di definizione della mappatura. Questo risultato non per indifferente alla sequenza di numerazione dei nodi del triangolo, in particolare una sequenza oraria determina un valore negativo dell'area. La modalit di lavoro dell'elemento, se in stato piano di sforzo o di deformazione, viene definita mediante la struttura dei coefficienti della matrice elastica del materiale [E]. Si pu verificare che la matrice cos ottenuta coincide con quella precedentemente determinate con il metodo di Ritz (o in Base a). Triangolo a deformazione lineare in coordinate d'area L'elemento triangolare a deformazione lineare descritto in figura dove, in particolare appare la sequenza di numerazione dei nodi..

x

y

1

2

3

A1

A3

A2

6

4

Lato 3Lato 2

Lato 1

5

Assumiamo le nove componenti di spostamento dei sei nodi come incognite dell'elemento e organizziamole nel vettore di incognite nodali:

T1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6{d} [u u u u u u v v v v v v ]=

In base a questa scelta possibile ipotizzare una variabilit quadratica delle componenti di spostamento u,v nel volume dell'elemento:

2 2 21 1 2 2 3 3 4 1 2 5 2 3 6 1 3s a a a a a a= + + + + +

La definizione dei coefficienti della forma di interpolazione avviene al solito imponendo i valori nodali dello spostamento con lo schema operativo precedentemente esaminato del metodo in base ; ci permette di arrivare alla seguente espressione:

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i

i

N 0u{s} [N]{d} {d}

0 Nv = = =

cio una matrice di dimensioni 2x12 nella quale ogni sottomatrice i[N ] una matrice riga contenente le 6 funzioni di forma, da valutare nel generico punto, aventi le seguenti espressioni:

1 1 1 4 1 2

2 2 2 5 2 3

3 3 3 6 3 1

N (2 1) N 4N (2 1) N 4N (2 1) N 4

= = = = = =

Tenendo conto che le derivate di queste funzioni nel riferimento locale sono:

1

1

1

1

1

1

1/ 1

2 /

3 /

4 / 2

5 /

6 / 3

N 4 1

N 0

N 0

N 4

N 0

N 4

= === ==

2

2

2

2

2

2

1/

2 / 2

3/

4 / 1

5 / 3

6 /

N 0

N 4 1

N 0

N 4

N 4

N 0

== == = =

3

3

3

3

3

3

1/

2 /

3 / 3

4 /

5 / 3

6 / 1

N 0

N 0

N 4 1

N 0

N 4

N 4

=== == =

e ricordando infine la definizione il legame tra le due metriche e dell'operatore differenziale [D] nel caso piano:

/x 00 / y

/ y / x[D] =

si perviene all'espressione della matrice [B]; in particolare i termini non nulli della prima riga sono dati da:

31 1

1/ x 1 2 3ii 1

N 1N (4 1)(y y ) 0 0x 2A=

= = + + 3

2 12 / x 2 3 1

ii 1

N 1N 0 (4 1)(y y ) 0x 2A=

= = + + 3

3 13 / x 3 1 2

ii 1

N 1N 0 0 (4 1)(y y )x 2A=

= = + + 3

4 14 / x 2 2 3 1 3 1

ii 1

N 1 1N 4 (y y ) 4 (y y ) 0x 2A 2A=

= = + + 3

5 15 / x 3 3 1 2 1 2

ii 1

N 1 1N 0 4 (y y ) 4 (y y )x 2A 2A=

= = + + 3

6 16 / x 3 2 3 1 1 2

ii 1

N 1 1N 4 (y y ) 0 4 (y y )x 2A 2A=

= = + + L'organizzazione della matrice [B] sar:

i / x

i / y

i / y i / x

N 0[B] 0 N

N N

=

cio una matrice di dimensioni 3x12 nella quale ogni sotto-matrice i / ...[N ] una matrice riga contenente le 6 funzioni di forma derivate rispetto alla direzione specificata.

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11

Infine assumendo, come tipicamente succede, che l'elemento sia a spessore t costante, per la matrice di rigidezza avremo:

T

6x6 6x3 3x3 3x6[ k ] t [ B ] [ E ][ B ] dx dy= Anche in questo caso la modalit di lavoro dell'elemento, se in stato piano di sforzo o di deformazione, viene definita mediante la struttura dei coefficienti della matrice elastica. Esempio COOK

4h

hA

B

h P=.25

Tipo Elemento N. Elementi N. G.d.L. Freccia /FV Sforzo/SV CST 128 160 0.859 0.854 CST 512 576 0.961 0.956 LST 32 160 0.998 0.986