3 ELEKTROMAGNETIZAM

3.1 STALNO MAGNETNO POLJE U VAKUMU 3.1.1 NAELEKTRISANJE U POKRETU

Električno polje E deluje električnom silom eF na svako

naelektrisanje Q , bez obzira da li se ono kreće ili miruje u

tom polju.

Izvor magnetnog polja. U okolini svakog naelektrisanja Q

koje se kreće brzinom v nastaje posebno fizičko stanje koje se naziva magnetno polje.

Magnetno polje se opisuje vektorom magnetne indukcije B .

Dejstvo magnetnog polja na naelektrisanje u pokretu.

Magnetno polje indukcije B deluje magnetnom silom mF

jedino na pokretno naelektrisanje Q u tom polju.

MAGNETNA INDUKCIJA POKRETNOG TAČKASTOG NAELEKTRISANJA U VAKUMU

Pretpostavka: Tačkasto naelektrisanje Q kreće se brzinom v u vakumu.

Posledica: Oko naelektrisanja Q stvara se magnetno polje.

Magnetno polje u tački M opisuje se

vektorom magnetne indukcije B :

0 0

24

v r

r

QB

(Bio-Savarov zakon)

Jedinica: tesla (T)

Magnetna permeabilnost vakuma: 2 7

0 0 01/ 4 10 /c H m

Vektor B je normalan na vektor brzine v i na poteg r .

Izvor magnetnog polja je proizvod Qv .

UTICAJ MAGNETNOG POLJA NA POKRETNO TAČKASTO NAELEKTRISANJE U VAKUMU (Lorencova sila)

Pretpostavka: Tačkasto naelektrisanje Q kreće u spoljašnjem magnetnom polju B .

Posledica: Na Q deluje magnetna sila:

mF Qv B

,m mF v F B

LORENCOVA SILA

Pretpostavka: Tačkasto naelektrisanje Q kreće u

spoljašnjem električnom E i magnetnom polju indukcije B .

Posledica: Na Q deluje elektromagnetna sila (Lorencova sila):

e mF F F QE Qv B ( )F Q E v B

UZAJAMNO DEJSTVO DVA TAČKASTA NAELEKTRISANJA U POKRETU

Pretpostavka: Dva tačkasta naelektrisanja 1Q i 2Q kreću se konstantnim brzinama 1v i 2v

Posledica: Naelektrisanja međusobno deluju magnetnim silama.

UTICAJ NAELEKTRISANJA 1Q NA NAELEKTRISANJE 2Q

Lorencova sila na naelektrisanje 2Q

2 2 2e mF F F

Električna sila koja deluje na naelektrisanje 2Q

2 2 1eF Q E

Jačina elektrostatičkog polja naelektrisanja 1Q

na mestu naelektrisanja 2Q .

11 0122

0

1

4

QE r

r

Magnetna sila kojom pokretno naelektrisanje 1Q deluje na pokretno naelektrisanje 2Q

2 2 2 1mF Q v B

1B - Vektor magnetne indukcije pokretnog tačkastog naelektrisanja 1Q na mestu

naelektrisanja 2Q

0 1 1 0121 24

Q v rB

r

Slični izrazi se mogu izvesti i za Lorencovu silu na naelektrisanje 1Q .

Za magnetnu silu ne važi zakon akcije i reakcije:

1 2m mF F

LINIJE MAGNETNOG POLJA NAELEKTRISANJA U POKRETU

0 00 0 02

, ; i 4

Qv rB B v B r B r E r B E

r

, ,B v B E E v

Linije polja vektora B su kružnice čiji je centar na pravoj koju definiše vektor brzine v .

Magnetno polje je vrtložno jer su linije sila polja zatvorene linije.

PRINCIP SUPERPOZICIJE

Pretpostavka: Posmatrajmo sistem od N tačkastih naelektrisanja u vakumu,

1, , NQ Q , koji se kreću brzinama 1, , Nv v .

Rezultujuća magnetna indukcija u proizvoljnoj tački M iznosi:

0 0

214

Ni i i

i i

Q v rB

r

(princip superpozicije)

ir , 1, ,i N - odstojanje tačke M od tačkastog naelektrisanja iQ ,

0ir - jedinični vektor usmeren od tačkastog naelektrisanje iQ ka tački M .

3.1.2 STRUJNI ELEMENT - IZVOR MAGNETNOG POLJA

Izvori magnetnog polja:

1. Pojedinačna naelektrisanja Q koja se kreću brzinom v

Bio-Savarov zakon: 0 0

24

Qv rB

r

Qv

2. Strujni element

Predstavlja skup svih pokretnih naelektrisanja brzine v u fizički malom geometrijskom elementu strujnih polja.

0 0

214

Ni i i

i i

Q v rB

r

Qv

U zavisnosti od geometrije strujnog elementa, razlikujemo tri vrste strujnih elemenata.

izvor magnetnog polja koje potiče od pokretnog strujnog elementa

izvor magnetnog polja koje potiče od pokretnog Q

Strujni element zapreminskih struja

Čine ga sva pokretna naelektrisanja u maloj zapremini dV

VQv J dV , VJ - vektor zapreminske gustine struje

Strujni element površinskih struja

Čine ga sva pokretna naelektrisanja na maloj površini dS

SQv J dS , SJ - vektor površinske gustine struje

Strujni element linijskih struja

Čine ga sva pokretna naelektrisanja na maloj dužini dl

Qv Idl , I - jačina linijske struje,

dl - ima istu orjentaciju kao i referentni smer struje I

Strujna kontura je drugačiji naziv za strujni element linijskih struja. U praksi, to je tanki žičani provodnik sa strujom.

Zatvorena strujna kontura je strujna kontura sa spojenim krajevima.

3.1.3 BIO-SAVAROV ZAKON ZA LINIJSKE STRUJE

MAGNETNA INDUKCIJA U OKOLINI STRUJE KONTURE

Pretpostavka: Posmatramo strujnu konturu proizvoljnog oblika sa strujom I u vakumu.

Cilj: Treba odrediti B u proizvoljnoj tački M, koja potiče od ove konture.

Rešenje: Magnetna indukcija strujnog elementa Idl u tački M iznosi:

Qv Idl 00

24

Qv rdB

r

0 0

24

Idl rdB

r

Ukupna magnetna indukcija strujne konture

na dužini L u vakumu:

0 0

24L

Idl rB

r

(Bio-Savarov zakon za linijske struje)

00

24

Qv rB

r

MAGNETNA INDUKCIJA KRUŽNE STRUJNE KONTURE

Cilj: Odrediti vektor zB u tački M duž z-ose strujne konture.

Posmatramo dva simetrična strujna elementa 1Idl i 2Idl .

Iz razloga simetrije: 1 z z zdB dB dB dB i :

coszdB dB , cosa

r , 2 2r a z

Ukupna magnetna indukcija u tački M iznosi:

2

0 0 0 0 0

2 3 3 32 22

24 4 4 2

I dl

z z

L L L L a

Idl r Ia a Ia Ia aB dB dB dl a

r r r r ra z

2

0

3/22 22

z

I aB

a z

Referentni smer struje I i referentni smer magnetske

indukcije zB vezani su pravilom desne zavojnice (šake).

Slučaj n N . Magnetna indukcija kalema sačinjenog od N gusto motanih kružnih zavojaka.

2

0

3/22 22

zN z

I aB N B N

a z

Slučaj 0z . Magnetna indukcija strujne konture u centru kruga

2

0 00 3/2

22 2z

I IaB

aa

00

2z

IB

a

Slučaj z a - magnetna indukcija strujne konture u veoma udaljenoj tački

2 22

0 0 0 0 0

3/2 3 3 3 32 22 2 2 2 2

m

z

I Ia Ia IS maB

z z z za z

0

32

z

mB

z

2m Ia IS - magnetni moment strujne konture S - površina kruga koji je oslonjen na strujnu konturu

MAGNETNI MOMENT ZATVORENE STRUJNE KONTURE

Magnetski moment kružne konture sa strujom I

m IS

I - jačina struje u konturi

S - vektor površine koja je oslonjena na konturu, - orjentisan je po pravilu desne zavojnice u odnosu na referentni smer struje konture.

MAGNETNA INDUKCIJA PLANARNE STRUJNE KONTURE

Pretpostavka. Strujna kontura leži u jednoj ravni (planarna).

Cilj: Odrediti magnetsko polje u proizvoljnoj tački M te ravni.

Rešenje: Usvojimo polarni koordinatni sistem sa centrom u tački M i polupravom p .

Pozitivni smer ugla u ovom koordinatnom sistemu biramo u smeru struje.

Bio-Savarov zakon za strujni element Idl : dB u tački M.

0 0 0 002 24 4 4

z z z

Idl r Ird IddB dBi Idl r Idl i Ird i dB

r r r

Ukupna magnetska indukcija u tački M:

0

4L

I dB

r

0 u smeru struje 0 suprotno smeru struje

poluprava

Slučaj 1. Kružna strujna kontura koja leži u ravni crteža

0 0 0

22

4 4 4L L

I I IdB d

a a a

, 0

2

IB

a

Slučaj 2. Pravolinijski provodnik sa strujom konačne dužine

2

1

0 0

0 02

cos

1

/

4 4 / cos

cos sin sin4 4

b

L

I Id dB

r b

I Id

b b

02 1sin sin

4

IB

b

Slučaj 3. Veoma dug pravolinijski provodnik sa strujom

12

, 2

2

0 02 1sin sin 1 ( 1)

4 4

I IB

b b

, 0

2

IB

b

MAGNETNA INDUKCIJA SOLENOIDA

Posmatramo solenoid poluprečnika a i sa strujom I .

On je sačinjen od N kružnih strujnih kontura.

Ukupna magnetna indukcija u tački M na z -osi

01 2cos cos

2

N IB

/N N b - podužna gustina zavojaka

Referentni smer vektora B i referentni smer

struje I vezani su pravilom desne šake.

Slučaj. Veoma dug solenoid, 1 0 , 2

0 01 2cos cos 1 ( 1)

2 2

N I N IB

0B N I (polje na osi solenoida je konstantno)

U slučaju veoma tankih solenoida, smatra se da je polje unutar solenoida konstantno.

3.1.4 DEJSTVO MAGNETNOG POLJA NA STRUJNI ELEMENT

Pretpostavka: Strujni element Qv se nalazi u magnetnom polju indukcije B .

Cilj: Odrediti magnetnu silu koja deluje na ovaj strujni element.

Rešenje: Na strujni element deluje magnetna sila

mdF Qv B

Za strujni element zapreminskih struja

Qv JdV mdF JdV B

Za strujni element površinskih struja

Qv JdS mdF JdS B

Za strujni element linijskih struja

Qv Idl mdF Idl B

DEJSTVO MAGNETNOG POLJA NA PRAVOLINIJSKI PROVODNIK SA STRUJOM (AMPEROVA SILA)

Pretpostavka: Posmatramo dug pravolinijski provodnik sa strujom I u spoljašnjem

homogenom magnetnom polju B normalnom na provodnik.

Cilj: Odrediti magnetnu silu kojom spoljašnje polje deluje na provodnik sa strujom.

Rešenje:

Magnetna sila koja deluje na linijski strujni element Idl

m mdF Idl B dF Idl B

Ukupna magnetna sila koja deluje na provodnik dužine l :

0 0

l L

mF IdlB BI dl BIl , mF BIl (AMPEROVA SILA)

Podužna magnetna sila

/m mF F l BI / mN

UZAJAMNO DEJSTVO DVA PROVODNIKA SA STRUJAMA

Pretpostavka: Posmatramo dva dugačka paralelna pravolinijska provodnika sa strujama

I1 i I2 suprotnih smerova.

Cilj: Odrediti magnetne sile kojim provodnici uzajamno deluju.

Rešenje: Magnetna indukcija prvog provodnika na mestu drugog je konstantna i iznosi:

0 11

2

IB

d

(prema usvojenim referentnim smerovima za I1 i B1 )

Magnetna sila koja deluje na strujni element Idl drugog provodnika:

2 1mdF I dl B , 0 1 22 1

2m

I I dldF I B dl

d

(odbojna sila)

Podužna magnetna sila kojom prvi provodnik sa strujom deluje na drugi provodnik je:

0 1 2

2

mm

dF I IF

dl d

N

m

Ista formula važi i za dejstvo drugog provodnika na prvi.

Ako su struje provodnika istih smerova , onda je sila privlačna.

DEJSTVO MAGNETNOG POLJA NA ZATVORENU STRUJNU KONTURU

Pretpostavka: Posmatramo zatvorenu strujnu konturu proizvoljnog oblika sa

strujom I koja se nalazi u polju B .

Cilj: Odrediti ukupnu magnetnu silu kojom spoljašnje polje deluje na ovu konturu.

Rešenje:

Magnetna sila koja deluje na strujni element Idl konture iznosi:

mdF Idl B

Ukupna magnetna sila koja deluje na celu zatvorenu konturu sa strujom I :

m

C

F Idl B

DEJSTVO HOMOGENOG MAGNETNOG POLJA NA ZATVORENU STRUJNU KONTURU

Magnetna sila koja deluje na proizvoljnu zatvorenu strujnu konturu

Pretpostavka: Posmatramo krutu kružnu strujnu konturu proizvoljnog oblika sa

strujom I u homogenom magnetnom polju indukcije B Const .

Cilj: Odrediti ukupnu magnetnu silu koja deluje na konturu.

Rešenje:

0

0m

C C

F Idl B I dl B

0mF

U homogenom magnetnom polju, rezultantna magnetna sila na zatvorenu strujnu konturu jednaka je nuli.

Moment magnetnih sila koji deluje na planarnu zatvorenu strujnu konturu

Pretpostavka: Posmatramo krutu, kružnu, planarnu strujnu konturu proizvoljnog oblika

sa strujom I u homogenom magnetnom polju indukcije B Const .

Cilj: Odrediti ukupan magnetski moment koji deluje na konturu.

Rešenje: 0mM m B Am T Nm 2

m IS - magnetski moment strujne konture

S - vektor površine oslonjen na strujnu konturu orjentisan prema pravilu desne šake u odnosu na smer struje u konturi.

mM m B teži da zaokrene zatvorenu strujnu konturu

tako da m B

Tada važi:

m B sin 0 0mM m B mB

3.1.5 MAGNETNI FLUKS

Fluks vektora magnetne indukcije B kroz površ S iznosi:

S

BdS 2Wb Tm

Površ dS orjentisana je u smeru normale n .

ZAKON O KONZERVACIJI MAGNETNOG FLUKSA

Fluks vektora magnetne indukcije B kroz proizvoljnu zatvorenu površ S jednak je nuli.

0S

BdS

Posledice:

- Linije vektora magnetne indukcije su zatvorene (nemaju početak i kraj).

MAGNETNI FLUKS „KROZ ZATVORENU KONTURU C“

Posmatrajmo jednu proizvoljnu zatvorenu konturu C u magnetnom polju B .

Magnetski fluks kroz bilo koju površ S oslonjenu na konturu C je isti, pri čemu su orjentacije površi i konture vezane pravilom desne zavojnice (šake).

1 2S S

BdS BdS

1 2

C - orjentisana zatvorena kontura

1S , 2S - dve proizvoljne površi čiji se

rubovi oslanjaju na konturu C .

1n , 1n - normale na površi 1S i 1S koje su

orjentisane pravilom desne šake prema smeru konture C .

Primer. Odredimo fluks kroz pravougaonu konturu koja se nalazi u magnetnom polju dugačkog pravolinijskog provodnika sa strujom I , koja je prikazana na slici.

Rešenje. Usvojimo smer konture C kao na slici. Smer normale određujemo pravilom desne šake

u odnosu na smer konture. Vektor površine dS poklapa se sa vektorom normale n .

Magnetna indukcija na rastojanju x od dugog pravolinijskog provodnika sa strujom:

0

2

IB

x

Magnetski fluks kroz površ dS bdx iznosi:

0 0

2 2

I bId BdS BdS dS dx

x x

Ukupni fluks kroz konturu C iznosi:

0 0 0 0ln2 2 2 2

x a cx a c x a c

x cx c x c

bI bI bI bIdx a cdx x

x x c

3.1.6 AMPEROV ZAKON

Za magnetno polje električnih struja važi Amperov zakon o cirkulaciji vektora magnetnog polja:

Linijski integral vektora B po nekoj zatvorenoj konturi C (cirkulacija vektora B ) srazmeran je algebarskom zbiru struja koje prolaze kroz površinu koja se oslanja na tu konturu:

0 kroz C

C

Bdl I

kroz CI - algebarska suma struja koje protiču kroz zatvorenu konturu C , odnosno kroz

proizvoljnu površ S koja se oslanja na konturu C .

- Pozitivan smer proticanja struje određuje se po pravilu desne šake u odnosu na proizvoljno izabrani smer obilaženja po konturi C.

Primer. Određivanje algebaske sume struja koje protiču kroz zatvorenu konturu C

1. Za linijske struje u tankom provodnicima:

kroz CI I

kroz 1 2 4CI I I I

2. Za solenoid sa N zavojaka:

kroz CI NI

C

PRIMENA AMPEROVOG ZAKONA

Slučaj 1. Magnetna indukcija dugačkog pravolinijskog provodnika sa strujom

Posmatramo veoma dugačak pravolinijski provodnik sa strujom I .

Simetrija linije vektora magnetne indukcije B provodnika sa strujom su kružnice koje leže i ravnima koje su normalne na provodnik,

intenzitet B zavisi samo od rastojanja r od provodnika.

Smer vektora B je određen pravilom desnog zavrtnja (šake) u odnosu na smer struje I .

Primenom Amperovog zakona dobija se:

0

C

Bdl I

02C C C

Bdl Bdl B dl B r I

0

2

IB

r

Isti rezultat je dobijen i primenom Bio-Savarovog zakona.

Slučaj 2. Magnetna indukcija torusa sa N namotaja

Simetrija linije vektora B su kružnice poluprečnika r unutar torusa.

Primenom Amperovog zakona dobija se:

Za a r b :

0 kroz 02 C

C

Bdl B r I NI , 0

2

NIB

r

Za r b ili r a :

0 kroz 02 0 0C

C

Bdl B r I 0B

Tanki torus ( b a a )

00 0

2

NI NB I IN

r l

- magnetna indukcija

je približno konstantna

l - srednji obim torusa (dužina srednje linije torusa)

3.1 MAGNETNO POLJE U MATERIJALNIM SREDINAMA

3.1.1 MAGNETNI MOMENT ATOMA (MOLEKULA)

Magneti moment elektrona:

0e e esm m m

0em - magnetni moment

kružnog kretanja elektrona

esm - magnetni moment spina elektrona

Ukupni magnetni moment jednog atoma ili molekula

em m

Atom (molekul) se ponaša kao mala strujna kontura u vakumu sa magnetnim momentom m .

3.1.2 VEKTOR MAGNETIZACIJE

Vektor magnetizacije predstavlja odnos ukupnog magnetnog momenta svih atoma u

maloj zapremini dV materijala i zapremine dV :

dV

m

MdV

Specijalni slučaj: .m Const u dV

dV

m nm NdV m dV

mmNdV

M mNdV dV

,

N - koncentracija atoma

M mN Vektor magnetizacije je kolinearan sa

magnetnim momentima atoma u zapremini dV .

3.1.3 PODELA MATERIJALA PREMA MAGNETNIM OSOBINAMA

DIJAMAGNETICI – materijali koji neznatno smanjuju magnetno polje.

U atomu dijamagnetika svaki elektron je uparen sa odgovarajućim elektronom

NEDIJAMAGNETICI – materijali koji pojačavaju magnetno polje.

U atomu nedijamagnetika postoje elektroni koji nisu upareni sa ostalim elektronima.

VRSTE NEDIJAMAGNETIKA:

paramagnetici (neznatno povećavaju magnetno polje)

antifero-magnetici (neznatno povećavaju magnetno polje)

feromagnetici (znatno povećavaju magnetno polje)

ferimagnetici (znatno povećavaju magnetno polje)

Raspored magnetnih momenata atoma nedijamagnetika:

paramagnetici antiferomagnetici feromagnetici ferimagnetici

FERO-MAGNETICI

m susednih atoma su paralelni i u istom su smeru.

m atoma lako se orijentišu (preusmeravaju) u stranom polju B .

U prisustvu fero-magnetika značajno se uvećava magnetna indukcija.

Od velikog su značaja za praktičnu primenu.

U fero-magnetne materijale spadaju: - gvožđe, kobalt, nikal

FERI-MAGNETICI (FERITI)

Sastavljeni su od više raznorodnih atoma:

mešavina oksida Fe i nekog drugog metala

Magnetni momenti susednih atoma su: - antiparalelni, - različitog intenziteta

Imaju veliku specifičnu otpornost (manje Džulove gubitke) na višim učestanostima.

UREĐENOST MAGNETNIH MOMENATA FERO-MAGNETNIKA U ODSUSTVU SPOLJAŠNJEG MAGNETNOG POLJA

U malom domenu (zapremini dV ) fero-magnetika, magnetni momenati su uređeni.

Vektor magnetizacije u domenu dV je različit od nule.

Kažemo da fero-magnetici imaju zrnastu strukturu.

Magnetni momenti domena dV su haotično raspoređeni.

Na nivou celog feromagnetnog materijala, rezultujući vektor magnetizacije je nula:

0M

Telo od feromagnetnog materijala ne stvara sopstveno magnetno polje:

0SB

UREĐENOST MAGNETNIH MOMENATA FERO-MAGNETNIKA U PRISUSTVU SPOLJAŠNJEG MAGNETNOG POLJA

Usled dejstva spoljašnjeg magnetnog polja B dolazi do:

- promene veličine domena (veličine zrna), - promene orjentacije magnetnih momenata domena u smeru

spoljašnjeg polja.

delimično uređenje magnetnih momenata domena

vektor magnetizacije u materijalu je različit od nule:

0M

Fero-magnetni materijal stvara sopstveno magnetno polje:

0SB

Za materijal se kaže da je namagnetisan.

Rezultujuća magnetna indukcija u materijalu iznosi

,R S RB B B B B

Prisustvo jakog spoljašnjeg magnetnog polja

Dolazi do potpune magnetizacije materijala.

Magnetni momenti svih domena se postave paralelno

vektoru B .

M B SB B ,R S RB B B B B

Magnetno zasićenje. Dalje povećanje indukcije spoljašnjeg

polja ne dovodi do povećanja vektora magnetizacije M .

Feromagnetni materijali su nelinearni.

Vektor magnetizacije M nije linearno srazmeran

vektoru magnetne indukcije B

(B)M M

Histerezis. Pri povećanju magnetne indukcije spoljašnjeg polja B , vektor magnetizacije se ne menja na isti način kao i pri smanjivanju indukcije B .

Ukidanje spoljašnjeg magnetnog polja

Zaostala magnetizacija

Feromagnetni materijal se ne razmagnetiše u potpunosti ukidanjem spoljašnjeg polja B , tako da magnetna

indukcija iznosi u materijalu iznosi rB (remanentna

indukcija).

Potpuno razmagnetisanje

Postiže se zagrevanjem materijala na temperaturi iznad Kirijeve temperature.

Tada termička kretanja postanu toliko jaka da počinje da se razbija uređenost magnetnih momenata u okviru domena.

Kirijeva temperatura gvožđa iznosi 770 0C.

3.1.4 AMPEROVE STRUJE

Namagnetisani feromagnetni matrijal se može zameniti sistemom strujnih kontura.

Svaka takva strujna kontura naziva se mikroskopska Amperova struja.

Kontura je opisana magnetnim momentom m (mikroskopska veličina)

Vektor magnetizacije M - (makroskopska veličina)

Unutrašnjost feromagnetika

Ako je M const Amperove struje se poništavaju u unutrašnjosti feromagnetika.

Ako je M const Amperove struje se delimično poništavaju

postoje zapreminske Amperove struje AJ unutar

feromagnetika.

Površina feromagnetika

Na površini feromagnetika:

- ne dolazi do poništavanja mikroskopskih Amperovih struja.

- postoje površinske Amperove struje AsJ

Amperove struje treba razlikovati od struja usled kretanja slobodnih naelektrisanja (kondukcione struje).

Amperove struje postoje u namagnetisanom fero-magnetiku koji je loš provodnik.

U gvozdenoj žici, koja je dobar provodnik, mogu postojati i kondukcione i Amperove struje.

VEZA IZMEĐU AMPEROVIH STRUJA I VEKTORA MAGNETIZACIJE

Može se izvesti sledeća veza između vektora

magnetizacije M i Amperovih struja AI :

kroz CA

C

I Mdl

C - proizvoljna kontura u feromagnetiku.

Ako je M const a kontura C pripada unutrašnjosti feromagnetika, važi:

kroz C 0 0A

C C

I Mdl M dl M

Kod homogeno namagnetisanog feromagnetnog materijala nema zapreminskih Amperovih struja.

3.1.5 UOPŠTENI AMPEROV ZAKON (JAČINA MAGNETNOG POLJA)

Amperov zakon (odnosi se na struju slobodnih nosioca naelektrisanja kroz konturu C)

0 kroz C

C

Bdl I , kroz CI - struja slobodnih nosilaca naelektrisanja kroz C

Modifikovani Amperov zakon (odnosi se na ukupnu struju kroz konturu C)

- Neka C obuhvata feromagnetni materijal.

- Ukupna struja kroz zatvorenu konturu C jednaka je zbiru struje slobodnih nosioca i Amperove struje:

kroz kroz kroz C A C C

C

I I I Mdl

- Modifikovani Amperov zakon:

0 kroz ( )C

C C

Bdl I Mdl 0 0 kroz C

C C

Bdl Mdl I

kroz

0

( ) C

C

BM dl I

javlja se samo struja slobodnih nosioca naelektrisanja

Definicija vektora jačine magnetnog polja:

0

BH M

/A m

Uopšteni Amperov zakon

kroz C

C

Hdl I

Razlika između Amperovog i uopštenog Amperovog zakona:

- Amperov zakon važi za vakum. - Uopšten Amperov zakon važi za proizvoljni materijal.

VEZA IZMEĐU VEKTORA , ,B H M

Za nelinearne fromagnetne sredine važi:

( )B B H (nelinearna veza)

Za vakum (približno vazduh):

0M , 0B H (linearna veza)

Za linearne fromagnetne sredine važi:

0 rB H H (linearna veza)

permaeabilnost materijala ( 0 r )

r relativna permeabilnost (od 210 do 510 )

U linearnom feromagnetnom materijalu magnetna indukcija je

r puta veća nego u vakumu:

0rB B

3.1.6 KARAKTERISTIKE MAGNETISANJA FEROMAGNETNIH MATERIJALA

Karakteristika magnetisanja opisuje se pomoću zavisnosti ( )B B H .

To je nelinearna funkcija sa histerezisom.

Postupak magnetisanja i razmagnetisanja 1: kriva prvobitnog magnetisanja 2: zasićenje 3-4-5: razmagnetisavanje materijala 6: zasićenje 7-8-9: magnećenje materijala

Za 0H rB - remanentna (zaostala) indukcija

Za 0B cH - koercitivno magnetno polje - B menja znak

Magnetno meki materijali imaju uzani histerezis (malo CH ).

Magnetno tvrdi materijali imaju široki histerezis (veliko CH )

MAGNETNA KOLA

Magnetno kolo se sastoji od magnetnog jezgra duž koga se prostire magnetni fluks i jednog ili više namotaja kroz koji(e) protiče stalna struja(e).

Pretpostavke vezane za analizu magnetnih kola

1. Zanemaruje se rasipanje magnetnih flukseva u magnetnom kolu.

2. H i B su homogeni po poprečnom preseku S .

3. H i B su normalni na S

SBdS BS

Dva problema vezana za rešavanje magnetnih kola

Direktni problem NI poznato odrediti

Inverzni problem ili B poznato odrediti NI

Primer. Posmatramo magnetno kolo sa slike, čije je jezgro načinjeno od nelinearnog feromagnetnog materijala konstantnog poporečnog preseka S čija je kriva magnetisanja data na drugoj slici.

Direktni problem:

Amperov zakon: /Hl NI H NI l

kriva magnetisanja pročita se B BS

Inverzni problem:

/B S kriva magnetisanja pročita se H

Amperov zakon:

/Hl NI NI H l /I H Nl

Primer. Posmatramo magnetno kolo sa slike, čije je jezgro načinjeno od nelinearnog feromagnetnog materijala čija je kriva magnetisanja data na slici. Poprečni presek se menja

sa 1S na 2S .

Inverzni problem: NI

1 1/B S , 2 2/B S

kriva magnetisanja 1H i 2H

Amperov zakon:

1 1 2 2NI H l H l .

Direktni problem: NI (iterativno rešavanje – ne radimo)

Primer. Na slici je prikazano jedno prosto magnetno kolo sa jednim vazdušnim procepom (zazorom). Srednji obim feromagnetnog materijala je l , a dužina

procepa je 0l . Površina poprečnog preseka materijala

i procepa su jednake i iznose 0S S .

Direktni problem: poznato NI 0B

Rasipanje fluksa zanemarljivo

0 0 0 0 0BS B S B B H ,

Uopšteni Amperov zakon

0 0Hl H l NI

0 0/Hl l B NI

0 0 0

0 0 0

( )l NI

B NI Hl H kH nl l l

(radna prava, k i n poznato )

Rešenje ( , )H B se dobija u preseku krive magnećenja i radne prave 0B B

3.1 PROMENLJIVO ELEKTRIČNO I MAGNETNO POLJE

3.1.1 ELEKTROMAGNETNA INDUKCIJA

Posmatramo provodnu (žičanu) konturu C u magnetnom polju indukcije B .

Smer konture C je izabran tako da je sa poljem B povezan pravilom desne šake.

Faradejev zakon elektromagnetne indukcije Promena magnetnog fluksa kroz provodnu (žičanu) konturu dovodi do pojave indukovane elektromotorne sile (ems) u konturi:

ind

de

dt

SBdS magnetski fluks kroz konturu C.

S je površina koja se oslanja na konturu C .

Orjentacije površi i konture C povezane su pravilom desne šake.

Za referentni smer indukovane ems inde uzima se referentni smer konture C.

Znak indukovane ems /inde d dt

0d - stvarni smer inde je suprotan smeru konture C.

0d - stvarni smer inde se poklapa sa smerom konture C.

Indukovana struja u zatvorenoj provodnoj konturi

- U zatvorenoj provodnoj konturi C javlja se indukovana struja

i usled indukovane ems inde .

- Smer indukovane struje i poklapa se sa referentnim

smerom inde (smerom konture C).

- Struja i formira sopstveno magnetno polje konture SB .

- sopst. mag. polje SB formira sopstveni fluks konture S .

Lencovo pravilo

Indukovana ems inde teži da pomoću sopstvenog fluksa S poništi promene

magnetnog fluksa d koje su izazvale elektromagnetnu indukciju (suprotstavlja se promenama koje su je zazvale).

Specijalni slučajevi provodne konture C:

Kontura C je superprovodna 0S Sd d

Kontura C nije superprovodna 0S Sd d , ali nije 0.

Vrste elektromagnetne indukcije

statička indukcija

kontura miruje u odnosu na posmatrača u magnetnom polju, a magnetno polje se menja:

C miruje ( 0v ), ( )B B t

dinamička indukcija

kontura se kreće ili deformiše u odnosu na posmatrača u stalnom magnetnom polju:

C se kreće brzinom 0v , .B Const

mešovita ili složena indukcija

kontura se kreće ili deformiše u odnosu na posmatrača u promenljivom magnetnom polju:

C se kreće brzinom ( )v v t , ( )B B t

STATIČKA INDUKCIJA

Kontura C miruje, 0v

Magnetno polje se menja, ( )B B t

Tada važi:

ind st

ne zavisi od vremena

S S

d d dBe B dS dS

dt dt dt

ind st

S

dBe dS

dt

Indukovana ems se može meriti voltmetrom.

12 ind stVU V e

Postojanje napona je posledica kretanja i nagomilavanja naelektrisanja na krajevima 1 i 2.

Indukovana ems nije skoncentrisana, već je raspodeljena duž cele konture.

V

Indukovano električno polje pri statičkoj indukciji

- Na početku: 0v pojedinačna naelektrisanja Q na konturi su nepokretna.

- Naelektrisanja u stanju mirovanja se jedino mogu pokrenuti pod dejstvom električne

sile ind stF .

- Sila ind stF mora poticati od indukovanog električnog polja stričke indukcije ind stE koje

nastaje usled promene spoljašnjeg magnetnog polja ( )B t .

ind st ind stF QE

- Indukovana ems statičke indukcije jednaka je naponu praznog hoda konture:

ind st ind st

C

e E dl

- Veza između ind stE i B :

ind st

S

dBe dS

dt ind st

C S

dBE dl dS

dt (veza je integralnog tipa)

(kao kod generatora jednosmerne struje)

DINAMIČKA INDUKCIJA

Kontura se kreće brzinom ( )v v t .

Magnetno polje je konstantno u vremenu.

Indukovano električno polje pri dinamičkoj indukciji

Posmatramo naelek. Q na početku elektromagnetne indukcije iz dva referentna sistema:

1. Nepokretni referentni sistem (sa posmatračem 1P )

Q se kreće brzinom v u magnetnom polju indukcije B

na Q deluje magnetna sila mF Qv B

2. Pokretni referentni sistem (sa posmatračem 2P )

Q se ne kreće pre početka elektromagnetne indukcije

na Q deluje električna sila e ind dinF QE

Uslov: Sile mF i eF su jednake

e ind dinmF Qv B F QE

Električno polje dinamičke indukcije:

ind dinE v B (veza između ind dinE i B je direktna)

Indukovana elektromotorna sila dinamičke indukcije

ind din ind din ( )C C

e E dl v B dl , ind din ( )C

e v B dl

MEŠOVITA ILI SLOŽENA INDUKCIJA

Ukupna vrednost indukovanog električnog polja:

ind ind st ind dinE E E

Ukupna indukovana elektromotorna sila:

ind ind ind st ind din

ind st ind din

( )C C

e E dl E E dl

e e

ind ( )C

S

dBe dS v B dl

dt

LINEARNI GENERATOR

Posmatramo linearni električni generator sastavljen od dve dugačke paralelne šine i pokretnom provodno šipkom.

Sistem se nalazi u homogenom stalnom

magnetno polje indukcije B kao na slici.

Zatvorena kontura se sastoji od otpornika R , šina i šipke.

Slučaj 1. Mehanička sila ne deluje na šipku ( meh 0F )

0v (nema kretnja šipke)

/ 0d dt

0inde , 0indE

0i , m 0F

Električna šema

Slučaj 2. Mehanička sila 0mehF deluje na šipku u smeru x -ose

šipka se kreće u smeru x -ose brzinom v

ind ind dinE E v B

2 2

ind

1 1

( )C

e v B dl vBdl vB dl

inde vBl

inde vBli

R R

Ako je .v const onda je

ind .e vBl const

.vBl

I constR

Električna šema

Magnetna sila

( )mdF Idl B Idl - linijski strujni element

Ukupna magnetna sila koja delije na šipku iznosi

2 2 2

1 1 1

m mF dF IBdl IB dl IBl , mF IBl

Specijalni slučaj .v const m mehF F

mehanička snaga:

2 2( )

( ) ( )ind

ind indm meh m ind ind

e

e e vBlP F v F v IBl v vBl I e I e

R R R

2 2( )ind

m

e vBlP

R R

Mehanička snaga je jednaka snazi Džulovih gubitaka u otporniku R .

Ovakav tip generatora je težak za realizaciju.

OBRTNI GENERATOR

Pravougaonu provodna konturu rotira oko ose ugaonom brzinom .Const

Kontura se nalazi u magnetnom polju B const koje je normalno na osu rotacije.

Pri rotaciji konture, ugao ( , )n B linearno se menja sa

vremenom: 0( )t t .

Magnetski fluks kroz površinu konture iznosi

0( ) cos cos( )t BS Bab t

0( ) cos( )t Bab t

Indukovana ems u konturi iznosi:

ind 0( ) sin( )mE

de t Bab t

dt

ind 0( ) sin( )me t E t

ind ( )e t je prostoperiodična funkcija vremena.

3.1.2 VIHORNE STRUJE

Posmatramo provodni feromagnetni materijal u spoljašnjem prostoperiodičnom polju indukcije

cosmB B t .

Označimo sa iC konture u ovom materijalu tako da

je vektor B normalan na njihove površi.

Na osnovu Faradejevog zakona, u svakoj konturi iC

indukovaće se po jedna ems.

Konture iC su zatvorene pa se u njima javljaju

indukovane struje (vihorne ili vrtložne struje).

Vihorne struje u materijalu dovode do Džulovih gubitaka.

pogled odozgo

Srednja snaga gubitaka JvP usled vrtložnih struja:

2 2 21

24Jv mP VB

V - zapremina feromagnetnog materijala, - specifična električna provodnost materijala i - debljina materijala koja normalna u odnosu na

magnetsku indukciju B .

Smanjenje gubitaka usled vrtložnih struja

Jezgro se izrađuje od tankih limova koji su među sobom izolovani.

Srednja snaga gubitaka JvNP jezgra sačinjenog od N

limova debljine / N

2

2 2

2

1 1

24JvN m Jv

VP N B P

N N N

Srednja snaga gubitaka u jezgru je smanjena 2N puta.

3.1.3 INDUKTIVNOSTI

Posmatraju se dve konture: kontura 1C sa strujom 1i i kontura 2C u okolini 1C .

Struja 1i konture 1C stvara magnetno polje indukcije 1B .

Polje 1B stvara sopstveni fluks 1 kroz konturu 1C i fluks 21 kroz konturu 2C .

Ako je okolina linearna sredina onda važi:

1 1B i

1 1i

21 1i

Induktivnost Faktor srazmernosti između struje i fluksa.

1. Samoinduktivnost konture 1C

Faktor srazmernosti 1 1i

2. Međusobna induktivnost kontura 1C i 2C

Faktor srazmernosti 21 1i

MEĐUSOBNE INDUKTIVNOSTI

Posmatramo dve konture 1C i 2C u linearnoj sredini ( 1 1B i , 1 1i , 21 1i ).

Slučaj 1. U okolini konture 1C sa strujom 1i nalazi se kontura 2C .

1B - magnetna indukcija konture 1C

Fluks vektora 1B kroz površinu 2S oslonjenu na

konturu 2C iznosi:

2

21 1

S

B dS

Za linearnu sredinu važi:

21 1i , tj. 21 21 1L i

Međusobna induktivnost kontura 1C i 2C :

21

21

1

Li

,

WbH

A

Međusobna induktivnost 21L dve konture zavisi od:

njihovog oblika,

veličine,

međusobnog položaja i

premeabilnosti okoline

Znak međusobne induktivnosti:

21 0L , 21 0L , 21 0L

21 0L , ako su:

smerovi 1B i 2C usaglašeni

(povezani su pravilom desne šake).

21 0L

Smerovi 1B i 2C nisu usaglašeni.

Za 21 0L konture su induktivno spregnute

Za 21 0L konture nisu međusobno spregnute:

konture su daleko jedna od druge

konture su međusobno normalne

Indukovana ems u konturi 2C

Ako je 1 1( )i i t 1 1( )B B t

21 21( )t

21 121 1ind 21 21

d L id die L

dt dt dt

jer je 21 .L const

1ind 21 21

die L

dt

Referentni smer indukovane ems ind 21e poklapa se sa

referentnim smerom konture 2C .

Slučaj 2. U okolini konture konture 2C sa strujom 2i nalazi se kontura

1C .

Međusobna induktivnost kontura 2C i 1C .

12

12

2

Li

,

WbH

A

Indukovana ems u konturi 1C

2ind 12 12

die L

dt

Referentni smer indukovane ems ind 12e poklapa se

sa referentnim smerom konture 1C .

Veza izmeću 12L i 21L

Sredina je neferomagnetna:

12 21L L

Sredina je linearni feromagnetik

12 21L L

Sredina je nelinearni feromagnetik

12L i 21L se ne mogu definisati

Napon na krajevima induktivno spregnutih kalemova

1

ind 21 21

die L

dt

1 122 ind 21 21 21( )

di diu e L L

dt dt

122 21

diu L

dt

električni model spregnutih kalemova

SOPSTVENA INDUKTIVNOST

Posmatramo usamljenu, krutu i nepokretnu provodnu konturu

sa strujom i u linearnoj sredini ( B i )

Sopstveni fluks konture - fluks vektora B kroz površ S oslonjenu na konturu C :

Li

Sopstvena induktivnost konture (induktivnost, samoinduktivnost)

0L Hi

Sopstvena induktivnost zavisi od: oblika konture, veličine konture, premeabilnosti okoline.

Ako je ( )i i t ( )B B t ( )t ind

d dLi die L

dt dt dt

ind

die L

dt

IDEALNI KALEM

Idealni kalem - u konturi nema Džulovih gubitaka.

Ako je ( )i i t , u konturi se javlja ems samoindukcije

ind

die L

dt

Električnim šemama idealnog kalema

Napon na krajevima idealnog kalema:

ind /u e Ldi dt

diu L

dt

REALNI KALEM

Postoje Džulovi gubici.

Oni se modeluju otpornikom otpornosti R.

Električna šema realnog kalema

Napon na krajevima realnog kalema

L R

diu u u L Ri

dt

TRANSFORMATOR

Sastoji se od feromagnetnog jezgra u obliku isečenog kvadra na koji su namotana dva

kalema: primar sa 1N zavojaka ( 1i , 1u ) i sekundar sa 2N zavojaka ( 2i , 2u ).

Primar se priključuje na napon 1u , a sekundar se

opterećuje nekim prijemnikom.

Kroz poprečni presek jezgra transformatora teče jedinstveni magnetski fluks .

Savršeni transformator ima sledeće karakteristike:

nema rasipanja fluksa van jezgra,

gubici se zanemaruju (Džulovi, usled vihornih struja i histerezisa),

feromagnetski materijal je linearan.

Prazan hod savršenog transformatora (sekundarni namotaj je otvoren)

Primar je priključen na generator napona 1u , a sekundar je otvoren.

Jednačine savršenog transformatora u praznom hodu

1 1

1 ind1 1

2 2

2 ind2 2

d dN du e N

dt dt dt

d dN du e N

dt dt dt

1 1

2 2

u N

u N

Količnik napona primara i sekundara savršenog transformatora u praznom hodu jednak je količniku njihovih zavojaka.

Nominalni rad savršenog transformatora (na krajeve sekundara vezan je prijemnik)

Na sekundar transformatora je priključen potrošač (npr. otpornost R ).

Jednačine savršenog transformatora u nominalnom režimu

1 1

2 2

u N

u N , 1 2

2 1

i N

i N

3.1.4 ENERGIJA MAGNETNOG POLJA

KALEM BEZ JEZGRA

Neka je dat idealni kalem bez jezgra priključen na napon kao na slici.

Može se pokazati da ukupna magnetna energija kalema iznosi:

2

2

1

2

1

2

1

2

m

m

m

W LI

W I

WL

Dakle, pri uspostavljanju struje I kalema, celokupan rad generatora se troši na povećanje magnetske energije sadržane u magnetnom polju kalema.

Zapreminska gustina magnetne energije:

2

0

2

0

3

1

2

1

2

1

2

1

2

mm

Ww H

V

B

BH

JBH

m

1

2mw BH

Ukupna magnetna energija u zapremini V iznosi:

m mV

W w dV

Magnetna energija kalema bez jezgra lokalizovana je u magnetnom polju kalema.

KALEM SA JEZGROM OD NELINEARNOG FEROMAGNETIKA SA HISTEREZISOM

Pri naizmeničnom magnetisanju ( ( ) cosmH t H t ) feromagnetika magnetizacija i

demagnetizacija su opisane histerezisnom krivom.

Usled magnetisanja i demagnetisanja jezgra dolazi do pojave gubitaka energije.

Zapreminska gustina gubitaka energije pri magnetizaciji kalema sa jezgrom od nelinearnog feromagnetika tokom jednog ciklusa histerezisa iznosi

0

h

mh

C

w H dB , hC - kontura histerezisa

Ukupna gustina gubitaka energije pri magnetizaciji kalema sa jezgrom od nelinearnog feromagnetika tokom jednog ciklusa histerezisa iznosi

h mh

V

W w dV

Snaga gubitaka magnetizacije jezgra kalema srazmerna je frekvenciji magnetnog polja

1

h mh mh

V V

P w dV f w dV fT

, 2 / 1 /T f