electromagnetismo - compendio de teoria

Guía para la resolución de problemas de

ELECTROMAGNETISMO

Barcelona · Bogotá · Buenos Aires · Caracas · México

José Luis Fernández Fernández Universidad de Vigo, España

Mariano Jesús Pérez-Amor Universidad de Vigo, España

Compendio de teoría

© José Luis Fernández Fernández, Mariano Jesús Pérez-Amor

Esta edición: © Editorial Reverté, S. A., 2012

ISBN: 978-84-291-3061-4

Propiedad de: EDITORIAL REVERTÉ, S. A. Loreto, 13-15, Local B 08029 Barcelona Tel: (34) 93 419 33 36 Fax: (34) 93 419 51 89 [email protected] www.reverte.com

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Impreso en España - Printed in Spain ISBN: 978-84-291-3061-4

Impresión y encuadernación: Liberdúplex, S.L.U. # 1374

Registro bibliográfico (ISBD)

José Luis Fernández Fernández. Guía para la resolución de problemas de electromagnetismo : compendio de teoría / José Luis Fernán-dez Fernández, Mariano Jesús Pérez-Amor. – Barcelona : Reverté, 2012. XIII, 214 p. : il. ; 24 cm. Índice.

1. Electromagnetismo. I. Pérez-Amor, Mariano Jesús, coaut. II. Título. 537

DL B-6556-2012. – ISBN 978-84-291-3061-4

Depósito legal: B-6556-2012

Índice de contenidos

Prólogo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IX

Capítulo 1. Ecuaciones generales del electromagnetismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

11.1. Definición de los campos eléctrico y magnético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

11.2. Fuentes del campo: cargas y corrientes eléctricas macroscópicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

11.3. Relaciones entre los campos E y B y sus fuentes: ecuaciones de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . 3

11.4. Carga libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

11.4. 1.4.1. Distribuciones de carga libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

11.4. 1.4.2. Relaciones entre la carga libre y otras magnitudes del sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

11.5. Carga de polarización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

11.4. 1.5.1. Distribuciones de carga de polarización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

11.4. 1.5.2. Relaciones entre el vector polarización y el campo eléctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

11.6. Corriente libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 811.4. 1.6.1. Tipos de corriente libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

11.4. 1.6.2. Distribuciones de corriente libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 911.4. 1.6.3. Relaciones entre la carga libre, la corriente libre y los campos de fuerza . . . . . . . . 11

11.7. Corriente de polarización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

11.8. Corriente de magnetización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

11.4. 1.8.1. Distribuciones de corriente de magnetización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

11.4. 1.8.2. Relaciones entre la magnetización y el campo magnético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

11.9. Ecuaciones de Maxwell para los campos E, D, B y H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.10. Condiciones de frontera del campo electromagnético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.11. Potenciales electrodinámicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1811.4. 1.11.1. Potenciales retardados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.12. Energía del campo electromagnético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

Capítulo 2. Electrostática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

12.1. Ecuaciones generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

11.4. 2.1.1. Condiciones de frontera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2611.4. 2.1.2. Densidades de carga de polarización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

11.4. 2.1.3. Ecuación de Poisson del potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

11.4. 2.1.4. Expresiones explícitas del campo y del potencial. Ley de Coulomb . . . . . . . . . . . . . 27

12.2. Ecuaciones que incluyen las características del medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

12.3. Conductores en equilibrio y condensadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

12.4. Energía electrostática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

11.4. 2.4.1. Energía electrostática en función de las cargas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

11.4. 2.4.2. Densidad de energía electrostática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

11.4. 2.4.3. Energía de distribuciones que contienen cargas puntuales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

11.4. 2.4.4. Fuerzas electrostáticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3412.5. Dipolo eléctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

11.4. 2.5.1. Dipolo situado en un campo electrostático externo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

vi ÍNDICE DE CONTENIDOS

Capítulo 3. Corrientes eléctricas estacionarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.1. Ecuaciones generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.1. 3.1.1. Condiciones de frontera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.2. Ecuaciones que incluyen las características del medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.3. Resistencia eléctrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.4. Ley de Joule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.1. 3.4.1. Ley de Joule en función de la resistencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.1. 3.4.2. Ley de Joule en función de la densidad de potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.5. Fuerzas electromotrices y generadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.6. Distribución del potencial en un resistor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.1. 3.6.1. Dentro del resistor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.1. 3.6.2. Fuera del resistor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

Capítulo 4. Magnetostática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4.1. Ecuaciones generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.1. 4.1.1. Condiciones de frontera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523.1. 4.1.2. Corrientes de magnetización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.1. 4.1.3. Potencial magnético vector y ecuación de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.1. 4.1.4. Expresiones explícitas del potencial vector y del campo magnético . . . . . . . . . . . . . . 53

3.1. 4.1.5. Potencial escalar magnético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.2. Ecuaciones que incluyen las características del medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.3. Fuerzas magnéticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.1. 4.3.1. Fuerza magnética sobre un elemento de corriente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.1. 4.3.2. Fuerza magnética sobre un circuito filiforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.1. 4.3.3. Par magnético sobre un circuito filiforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.1. 4.3.4. Fuerza magnética entre dos circuitos filiformes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.4. Circuito magnético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.5. Dipolo magnético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

Capítulo 5. Inducción electromagnética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

5.1. Electromagnetismo en medios móviles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3.1. 5.1.1. Sistema de ecuaciones en el referencial medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653.1. 5.1.2. Sistema mixto de ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 665.2. Transformación galileana de los campos eléctrico y magnético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

5.3. Fuerza electromotriz sobre un circuito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 693.1. 5.3.1. Expresión de la fuerza electromotriz en función de los campos medidos en un

3.1. 5.3.1. referencial dado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 695.4. Ley de inducción de Faraday . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

3.1. 5.4.1. Ley de inducción de Faraday para un circuito estacionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

3.1. 5.4.2. Ley de inducción de Faraday para un circuito en movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

3.1. 5.4.3. Expresión diferencial de la ley de inducción de Faraday . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

Capítulo 6. Ondas electromagnéticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

6.1. Ecuaciones de onda para los campos E y H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3.1. 6.1.1. Dependencia temporal arbitraria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3.1. 6.1.2. Ondas monocromáticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 756.2. Ondas E.M. monocromáticas planas en medios sin pérdidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

3.1. 6.2.1. Onda plana homogénea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

ÍNDICE DE CONTENIDOS vii

6.3. Ondas E.M. monocromáticas planas en medios con pérdidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

3.1. 6.3.1. Ecuaciones generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

3.1. 6.3.2. Onda homogénea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

6.4. Incidencia de una onda plana sobre una frontera entre dos medios dieléctricos

6.4. perfectos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

3.1. 6.4.1. Onda incidente polarizada con su vector eléctrico normal al plano de incidencia 973.1. 6.4.2. Onda incidente polarizada con su vector eléctrico paralelo al plano de incidencia 993.1. 6.4.3. Coeficientes de reflexión y transmisión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

3.1. 6.4.4. Reflexión interna total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1046.5. Incidencia de una onda plana sobre una frontera entre un dieléctrico perfecto

6.4. y un conductor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

3.1. 6.5.1. Incidencia normal sobre un conductor genérico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

3.1. 6.5.2. Incidencia oblicua sobre un buen conductor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

Capítulo 7. Campos cuasiestacionarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1157.1. Definición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1153.1. 7.1.1. Campos cuasielectrostáticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1183.1. 7.1.2. Campos cuasimagnetostáticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

7.2. Coeficientes de inducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1233.1. 7.2.1. Coeficiente de autoinducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1233.1. 7.2.2. Coeficientes de inducción mutua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1247.3. Energía magnética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

3.1. 7.3.1. Energía magnética de un circuito filiforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

3.1. 7.3.2. Energía magnética de un conjunto de circuitos filiformes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

3.1. 7.3.3. Densidad de energía magnética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

3.1. 7.3.4. Pérdidas por histéresis magnética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1293.1. 7.3.5. Fuerzas magnéticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

7.4. Modelos teóricos de propagación para conductores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

3.1. 7.4.1. Conductor que ocupa un semiespacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

3.1. 7.4.2. Conductor prismático de dimensiones finitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

3.1. 7.4.3. Potencia disipada por efecto Joule en un conductor que ocupa un semiespacio o

3.1. 7.4.3. en un conductor prismático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

3.1. 7.4.4. Distribución del campo magnético variable con el tiempo en un núcleo laminado 1383.1. 7.4.5. Conductor cilíndrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1427.5. Obtención de las leyes de Kirchhoff a partir de los campos electromagnéticos . . . . . . . . . . 146

3.1. 7.5.1. Primera ley . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

3.1. 7.5.2. Segunda ley . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

3.1. 7.5.3. Consideraciones energéticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

7.6. Validez de las leyes de Kirchhoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

3.1. 7.6.1. Validez de la hipótesis H7.5−15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

3.1. 7.6.2. Validez de la hipótesis H7.5−16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

3.1. 7.6.3. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

Apéndice 1. Cómo abordar la resolución de un problema de electromagnetismo . . . . . . . . . . . . . 189Apéndice 2. Notación y símbolos matemáticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191Apéndice 3. Símbolos, unidades y dimensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193Apéndice 4. Operadores diferenciales en diferentes sistemas de coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . 199Apéndice 5. Hipótesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203Bibliografía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

Índice alfabético de materias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

Prólogo

La presente obra es fruto de una experiencia de más de 30 años en la docencia delelectromagnetismo en diversas titulaciones de ciencias e ingeniería.

Teniendo en cuenta la gran cantidad de libros de electromagnetismo dispo-nibles, cabe preguntarse si es todavía posible aportar algo a la literatura en estecampo. Por este motivo, en lo que sigue argumentaremos las razones que nos mo-vieron a escribirla.

Un análisis somero de la bibliografía en el área nos ha conducido a clasificarlos libros existentes, atendiendo a su nivel de exposición y contenidos, en cuatrocategorías:

a ) los que, sin abordar propiamente los fundamentos del electromagnetismo,tratan leyes eléctricas y magnéticas limitadas a modelos de circuitos, lo quelos hace adecuados a un curso introductorio de física en grados en cienciase ingeniería,

b ) los que tratan los campos electromagnéticos y sus leyes fundamentales (lasecuaciones de Maxwell) con el formalismo del análisis vectorial, pero conun alcance limitado a los casos más básicos en cuanto a regímenes tempo-rales (estático y estacionario sinusoidal) y medios materiales (lineales e isó-tropos), resultando apropiados para cursos intermedios de las mencionadastitulaciones,

c ) los que utilizan modelos de campos electromagnéticos a nivel de posgra-duado (típicamente dan soporte a estudios de master y doctorado) profun-dizando en las relaciones de los campos con las cargas y corrientes, en laradiación y otros aspectos, utilizando herramientas matemáticas a un nivelsuperior (cuadrivectores, variable compleja, transformadas integrales, etc.)y, finalmente,

d ) libros especializados que tratan campos específicos (v.g. radar, antenas, fi-bras ópticas, etc.) y que asumen que el lector dispone ya de una base en lateoría del electromagnetismo.

Especialmente en los pertenecientes a las categorías a ) y b ) es usual encontrarnumerosos ejemplos y problemas propuestos, siendo la tónica dominante que deun pequeño porcentaje de los mismos se incluya una resolución más o menos ex-tensa, mientras que de una considerable fracción solo se incluya la solución final.

x PRÓLOGO

En estas categorías de libros encontramos también textos específicos de proble-mas resueltos en los que la parte teórica se reduce al mínimo necesario para esta-blecer la notación e incluir las leyes más importantes; siendo de empleo habitualpara el trabajo autónomo de los estudiantes como complemento a los libros detexto, es indudable su capacidad formativa ya que no se conoce bien una teoríamientras no se aplica a la resolución de problemas concretos.

La presente obra tiene ese carácter de “libro de problemas” y está dirigida aquienes han de trabajar el electromagnetismo al nivel b ) mencionado.

A pesar de su vocación marcadamente formativa, es muy habitual que en loslibros de problemas no se dé la debida importancia ni se expliquen con suficientedetalle los primeros pasos del proceso de resolución, es decir, lo que podríamosdenominar el planteamiento y que incluye la elección del modelo y la propuestade hipótesis simplificadoras. Así, frecuentemente se adoptan, sin mayores expli-caciones, proposiciones esenciales para la resolución y que no son evidentes. Estetipo de planteamientos suele ser fuente de frustración para los estudiantes puestoque les transmite la sensación de que se está resolviendo el problema medianteuna idea feliz o apartada de una lógica de procedimiento. También pueden indu-cir a la creencia errónea de que el esfuerzo debe concentrarse principalmente enlas destrezas matemáticas y en la obtención de la solución de ecuaciones y no fo-menta la práctica de detenerse a pensar críticamente en los aspectos físicos de losproblemas.

En la fase de planteamiento se pasa de una situación más o menos real a unmodelo físico-matemático. Esta es, en nuestra opinión, una de las etapas más de-licadas de la resolución, que no es fácilmente reducible a una mera sucesión depasos programables debido, entre otras cosas, a la diversidad de situaciones conque nos podemos encontrar y a la complejidad de los problemas reales. Ello ha-ce que esta fase sea resuelta de una manera artesanal en la que la intervenciónhumana es imprescindible.

Entendemos que es posible desarrollar aptitudes para el planteamiento de pro-blemas mediante ejemplos seleccionados que aporten al lector unos caminos derazonamiento sistemático y que salven la brecha entre los fundamentos teóricosy la aplicación concreta ya que, como no podría ser de otra manera, es en el en-tendimiento de la teoría en lo que se basa el desarrollo de capacidades para suaplicación. Ésta ha sido la motivación fundamental que nos ha animado a escribirla presente obra. En lo que sigue se explican su estructura y aspectos más destaca-bles.

La obra se ha estructurado en dos partes. La primera parte incluye un compen-dio de la teoría electromagnética en el que se catalogan los diferentes conceptosy proposiciones dentro de alguna de las siguientes clases:

PRÓLOGO xi

i ) definiciones,ii ) leyes físicas o matemáticas que relacionan entre sí los conceptos definidos

en i ) y, finalmente,iii ) hipótesis, tanto en la forma de condiciones previas como de proposiciones

cuyo cumplimiento no está demostrado, que delimitan las condiciones devalidez de las definiciones y leyes referidas en i ) y en ii ).

En nuestro campo de aplicación del conocimiento formal consideramos que,a la hora de postular un modelo, es de suma importancia hacer explícitas todas lashipótesis adoptadas con objeto de, por una parte, verificar la adecuación del mo-delo a la situación real y, por otra, tener constancia de sus límites de aplicabilidad.Por ello, hemos puesto un gran cuidado en acompañar las definiciones y leyes delas correspondientes hipótesis bajo las cuales son válidas. Cabe objetar que, en lamayoría de las ocasiones, este trabajo es poco ventajoso, bien porque las condicio-nes de validez son obvias o bien porque ello hace más farragosas las exposiciones,pero nuestra experiencia nos ha animado a hacerlo de esta manera en la creenciade que el sistematismo seguido en la parte teórica dará pautas al lector a la horade enfrentarse a la resolución de los problemas.

Aunque el carácter de esta parte teórica es el propio de un manual, con pocosejemplos ilustrativos y dando prioridad al sistematismo y a la concisión, hemosdado al tema 7 un tratamiento más extenso, incluyendo la descripción de algunoscasos teóricos de interés (v.g., la definición y tipos de campos cuasiestacionarioso el establecimiento, a partir de las leyes de Maxwell bajo la aproximación cua-siestacionaria, de los modelos de circuitos), pues hemos detectado que son temasraramente detallados en la literatura existente y no es fácil encontrar explicitadaslas hipótesis de validez de los mismos.

Hemos puesto también un gran cuidado en que la notación fuese sistemáticae inequívoca. Por ejemplo, las fuentes de los campos electromagnéticos (cargas ycorrientes) se designan genéricamente con una misma letra (ρ para las cargas y Jpara las corrientes) y es en los subíndices en donde se matiza su grado de concen-tración espacial (volumétrica, superficial, lineal) y su naturaleza (libre, de polari-zación, de magnetización, etc.). Por otra parte, siempre indicamos con el símbolodel acento circunflejo las magnitudes complejas empleadas, tanto vectoriales co-mo escalares.

La segunda parte de esta obra es una colección de problemas resueltos. Enella se focaliza la atención del lector en dos aspectos esenciales del proceso deresolución de problemas de electromagnetismo: la utilización de una metodolo-gía de resolución sistemática y el establecimiento de una clara conexión con losfundamentos teóricos. Incluye 73 problemas clasificados en cinco grupos según

xii PRÓLOGO

su modelo electromagnético, recorriendo los tipos más representativos de los pro-blemas clásicos de la disciplina. En cada problema se explica con sumo detalle lospasos importantes del planteamiento, qué hipótesis relevantes son de aplicacióny se justifica el modelo electromagnético escogido. También en cada problema seidentifican claramente las expresiones teóricas a aplicar utilizando la misma nu-meración que tienen en el compendio de teoría.

La estructura de cada problema es como sigue:

El tratamiento de cada problema comienza con la fase de planteamiento, quehemos desglosado en dos apartados.

En el primer apartado, “Elección del modelo”, dedicamos un espacio a hacerinventario de las posibles fuentes de los campos y, en función de su dependenciatemporal, establecer a qué modelo electromagnético se ajusta el problema con-creto. Hacemos un análisis teniendo en cuenta qué datos se dan en el enunciadoy cuáles son las magnitudes incógnita y qué ley o conjunto de leyes (que, lógica-mente, pertenecerán al antedicho modelo electromagnético) permiten la resolu-ción del problema.

El segundo apartado, “Búsqueda de posibles simplificaciones”, incluye la re-ducción del número de variables espaciales aplicando razonamientos basados enlas simetrías y en los tamaños relativos (órdenes de magnitud) de las magnitudesque intervienen. También se incluyen en este apartado otros razonamientos quepuedan permitir una simplificación del problema o facilitar su resolución, talescomo la aplicación del principio de superposición.

A continuación de la fase de planteamiento viene la que denominamos “Reso-lución”. Se incluye aquí la escritura de las ecuaciones de los campos, eventualmen-te la de sus proyecciones sobre los ejes coordenados y la reducción y obtención dela solución del sistema de ecuaciones resultantes. En esta etapa intentamos es-tablecer claramente cuáles son las ecuaciones de partida, pero no insistimos de-masiado en el detalle de los desarrollos matemáticos, dando algunos resultadosintermedios donde pensamos que ello puede facilitar al lector el seguimiento delos cálculos. Además, el empleo exhaustivo de numeración de las expresiones y dela indicación de cuáles se están utilizando en cada paso hace diáfano el proceso.Cuando existen varios caminos posibles de resolución de un problema los indi-camos e, incluso, resolvemos detalladamente algunos problemas por cada uno deesos caminos, lo cual creemos enriquecedor ya que permite al lector su compara-ción.

En una última fase se incluye una “Discusión del resultado” cuando estimamosque aporta ideas o contribuye a desarrollar en el lector herramientas de análisis yhábitos de crítica. Por ejemplo, ocasionalmente se analiza la coherencia dimensio-

PRÓLOGO xiii

nal y se verifica si la solución obtenida converge, dando valores extremos a algunosde los parámetros de la solución, a la de casos más simples conocidos.

Como requisitos previos para abordar esta obra con pleno aprovechamiento,es aconsejable que el lector disponga ya de los conocimientos de física del nivela ) mencionado, así como de las herramientas matemáticas propias de un cursobásico de análisis vectorial y de ecuaciones diferenciales.

Quedan fuera del alcance de esta obra los temas que habitualmente se inclu-yen tras el estudio de las ondas en medios semiinfinitos: líneas de transmisión,guías de onda y antenas, así como temas más propios de cursos de física teóricacomo la teoría de la relatividad, el estado sólido, radiación, etc.

En los apéndices se han incluido tablas sobre notaciones, unidades y operado-res matemáticos de uso frecuente. También se incluye una recopilación de todaslas hipótesis empleadas a lo largo de la obra, cada una identificada con una nu-meración que indica la sección de la parte teórica en que fue utilizada por primeravez, seguida del número de orden de aparición dentro de la sección.

Los autores expresan su agradecimiento a los compañeros del Departamentode Física Aplicada de la Universidad de Vigo con los que compartieron la docen-cia del electromagnetismo por sus contribuciones y apoyo para la consecución dela presente obra, especialmente a los profesores José Carlos López Vázquez y Án-gel Manuel Fernández Doval. También agradecen al profesor Virgilio Rodríguez deMiguel sus útiles comentarios sobre la convergencia de las series del Problema 2.8,a D. Jesús del Val García la ejecución de las figuras del Apéndice 4 y a Dña. María J.Villar Alonso la asistencia técnica en la edición del texto. Hacen constar igualmen-te su gratitud al equipo de producción de la Editorial Reverté, S.A. y en particular aD. Julio Bueno y a Mercè Aicart por su exquisito y minucioso trabajo de revisión ymaquetación. Finalmente y de forma especial, agradecen a todos los que han sidosus alumnos a lo largo de estas tres décadas el proporcionarles la razón de ser desu actividad docente así como la oportunidad de realimentarla y el estímulo paramejorarla.

Capítulo 1Ecuaciones generales del electromagnetismo

1.1. Definición de los campos eléctrico y magnético

La existencia de cargas eléctricas en movimiento relativo con respecto a un obser-vador que mide los efectos por ellas producidos altera todo el espacio de maneraque, en ese espacio, aparece un campo de fuerzas que viene dado por la ley expe-rimental, denominada fuerza de Lorentz:

F (r, t ) =q [E (r, t )+v (r, t )∧B (r, t )] [1-1]

donde:

q es una carga de prueba de valor suficientemente pequeño como para noalterar la distribución del sistema de cargas.

r es el vector de posición de la carga q .

t es el tiempo en el cual el observador realiza la medición.

v (r, t ) es la velocidad con respecto al observador de la carga de prueba q enel punto r y en el instante t .

E (r, t ) es un campo vectorial denominado campo eléctrico, cuya fuerza aso-ciada se denomina fuerza eléctrica, y

B (r, t ) es un campo vectorial denominado campo magnético o campo deinducción magnética, cuya fuerza asociada se denomina fuerza magnética.

1.2. Fuentes del campo: cargas y corrientes eléctricasmacroscópicas

Los campos E (r, t ) y B (r, t ) son originados, en general, por las cargas y corrienteseléctricas totales existentes en todo el espacio. A lo largo de toda la presente obra sesobreentenderá, salvo indicación expresa, que se verifican las hipótesis siguientes:

H1.2−1: punto de vista macroscópico,

H1.2−2: medio en reposo con respecto al observador,

2 1.2. FUENTES DEL CAMPO: CARGAS Y CORRIENTES ELÉCTRICAS

en cuyo caso las cargas y corrientes totales vienen dadas por:

ρt v (r, t ) =ρ f v (r, t )+ρp v (r, t ) [1-2]

Jt v (r, t ) = J f v (r, t )+ Jp v (r, t )+ Jm v (r, t ) [1-3]

donde:

ρt v (r, t ) representa la densidad volumétrica de carga total existente en elinstante t en el punto r, independientemente de que las cargas estén inte-gradas en alguna estructura (atómica, molecular, cristalina, etc.) o estén enforma de partículas aisladas. Cuando la materia está estructurada en molé-culas, es conveniente desglosar la carga total en carga libre y ligada.

ρ f v (r, t ) representa la densidad volumétrica de carga libre y tiene su origenen las acumulaciones macroscópicas de las cargas libres, entendiéndose porcarga libre toda aquella que no es ligada.

ρp v (r, t ) representa la densidad volumétrica de carga ligada o de polariza-ción. Consiste en acumulaciones macroscópicas de cargas que están presen-tes, a partes iguales, tanto en los núcleos como en las cortezas electrónicascircundantes de modo que se mantienen agrupadas (aunque puede cambiarsu posición relativa) cuando están sometidas a acciones externas.

Jt v (r, t ) representa la densidad volumétrica de corriente total en la materia.

J f v (r, t ) representa la densidad volumétrica de corriente libre, corriente quees debida al cambio en la posición absoluta de los baricentros de los porta-dores de carga libre que puedan existir tanto en el espacio vacío como en elseno de la materia. Esta corriente se denomina:corriente de conducción cuando es debida al movimiento de portadores decarga libre (electrones, iones, huecos, etc.) respecto al medio en el que estáninmersos, medio que, habitualmente, se mantiene eléctricamente neutro, ycorriente de convección cuando se trata del movimiento de un medio ma-terial que tiene una densidad de carga libre.

Jp v (r, t ) representa la densidad volumétrica de corriente de polarización,corriente que es debida al cambio de posición relativa (macroscópica) entrelos portadores de carga ligada existentes en el seno de la materia.

Jm v (r, t ) representa la densidad volumétrica de corriente de magnetización(conocida también como corriente equivalente o corriente de Ampère). Es-ta corriente está asociada al movimiento orbital de los electrones y al spin delas partículas constituyentes de los átomos, tanto libres como ligadas.

CAPÍTULO 1. ECUACIONES GENERALES DEL ELECTROMAGNETISMO 3

1.3. Relaciones entre los campos E y B y sus fuentes:ecuaciones de Maxwell

La dependencia de los campos E (r, t ) y B (r, t ) con las densidades de carga y de co-rriente está establecida mediante el sistema de ecuaciones diferenciales parciales,denominadas ecuaciones de Maxwell:

εo∇E (r, t ) =ρt v (r, t ) [1-4]

∇B (r, t ) = 0 [1-5]

∇∧E (r, t )+∂ B (r, t )∂ t

= 0 [1-6]

1

μo∇∧B (r, t )−εo

∂ E (r, t )∂ t

= Jt v (r, t ) [1-7]

donde:

εo es la constante denominada permitividad eléctrica del vacío cuyo valores:

εo =1

c 2μo≈ 8, 8542×10−12 C2

N ·m2[1-8]

siendo c la velocidad de la luz en el vacío y

μo es la constante denominada permeabilidad magnética del vacío cuyo va-lor es:

μo = 4π×10−7 N

A2 [1-9]

Estas ecuaciones diferenciales lineales nos indican, por una parte, que las den-sidades de carga y de corriente juegan el papel de fuentes de los campos E y B yaque contribuyen a la divergencia (fuentes de flujo) de E y al rotacional (fuentes devórtice) de B y, por otra, que es aplicable el principio de superposición a cada unode esos campos, es decir, el campo producido por una cierta distribución de cargasy corrientes es la suma de los que produciría cada carga y corriente por separado.

No obstante, las densidades de carga y de corriente dependen, a su vez, de lospropios campos, por lo que no son habitualmente conocidas. Para deshacer la in-determinación, es necesario establecer ciertas relaciones, denominadas constitu-tivas, entre la excitación electromagnética y la respuesta de los medios materialesa ella (que se reduce, en último término, a densidades de carga y de corriente).

4 1.4. CARGA LIBRE

Ello conducirá a la definición de cuatro vectores de campo, P (r, t ), D (r, t ), M (r, t )y H (r, t ), así como de tres magnitudes características del medio, ε, μ yσ, según sedetalla en las próximas secciones.

1.4. Carga libre

1.4.1. Distribuciones de carga libre

La densidad volumétrica de carga libre se define como:

ρ f v = lımΔv→0

ΔQ f

Δv=

dQ f

d v(límite macroscópico) [1-10]

donde ΔQ f es la cantidad de carga libre existente en Δv . La carga libre Q f en undominio V se podrá calcular, entonces, como:

Q f =

∫V

ρ f v d v [1-11]

Cuando:

H1.4−1: el espesor del volumen cargado es despreciable frente al resto de lasdistancias de interés,

la distribución de carga libre puede describirse mediante una densidad superficialde carga libre:

ρ f s = lımΔs→0

ΔQ f

Δs=

dQ f

d s(límite macroscópico) [1-12]

dondeΔs es el área de una porción de la superficie S sobre la que está concentradala carga. En este caso, la carga total sobre S será:

Q f =

∫S

ρ f s d s [1-13]

Si:

H1.4−2: el volumen es filiforme,

puede aplicarse una descripción en términos de una densidad lineal de carga li-bre:


ρ f l = lımΔl→0

ΔQ f

Δl=

dQ f

d l(límite macroscópico) [1-14]

siendo Δl la longitud de una porción de la línea L sobre la que está concentradala carga. En este caso, la carga total sobre L vendrá dada por:

Q f =

∫L

ρ f l d l [1-15]

Si:

H1.4−3: cualquier dimensión del volumen cargado es despreciable,

es aplicable el concepto de carga puntual qf , que puede describirse como unadensidad volumétrica, utilizando la distribución delta de Dirac tridimensionalδ (r),como

ρ f v =qf δ�

r− rq

�[1-16]

siendo rq la posición de la carga puntual.

1.4.2. Relaciones entre la carga libre y otras magnitudes del sistema

El valor de ρ f (r, t ) en un punto y un instante dados depende, en principio, de lasfuentes de carga, de las características del medio y de los valores de los camposeléctrico y magnético en todo el espacio y en todos los instantes anteriores.

En los materiales conductores, la carga libre puede desplazarse y ocupar cual-quier posición a lo largo del medio mientras que en los no conductores permanecefija. Puede recurrirse a [1-4] para obtener el valor local (en un punto) de ρ f (r, t ) apartir de las derivadas espaciales de E(r, t ) en ese punto, pero esa ley no es habi-tualmente aplicable directamente en la práctica puesto que E(r, t ) suele ser des-conocido. Además, las relaciones [1-4]- [1-7] nada dicen acerca del medio al quepertenece el punto r puesto que son válidas para todos los medios. Por eso, pa-ra obtener ρ f (r, t ) es necesario, en general, plantear la relación entre J f v (r, t ) yρ f v (r, t ) (ecuación de continuidad [1-35]) y la relación entre J f v (r, t ) y los cam-pos de fuerza existentes (eléctrico, magnético y otros), como se verá en el Cap. 1,Subsección 1.6.3.

Para establecer las relaciones entre las densidades superficiales de carga,ρ f s (r, t ), y los campos se utilizan las condiciones de frontera (condiciones que severán en el Cap. 1, Sección 1.10).

16 1.9. ECUACIONES DE MAXWELL PARA LOS CAMPOS E, D, B Y H

la magnetización del material depende de sus estados previos de magnetización.En estos materiales, en general, además de no haber linealidad ni de ser parale-los entre sí los campos M, H y B, no existe una relación unívoca entre éstos. Sudescripción se puede encontrar en la mayoría de los libros de texto de electromag-netismo (véase, por ejemplo, J. R. Reitz, F. J. Milford, R. W. Christy, Fundamentosde la Teoría Electromagnética, Addison-Wesley Iberoamericana). Nos referiremosa esta situación mediante la hipótesis:

H1.8−4: medio magnéticamente no lineal y con histéresis.

1.9. Ecuaciones de Maxwell para los campos E, D, B y H

El sistema de ecuaciones diferenciales [1-4], [1-5], [1-6], [1-7], teniendo en cuentalas expresiones [1-2], [1-3] [1-18], [1-22], [1-39], [1-41] y [1-43], se puede escribir enla forma:

ley de Gauss:

∇D (r, t ) =ρ f v (r, t ) [1-49]

ley de conservación del flujo magnético:

∇B (r, t ) = 0 [1-50]

ley de Faraday:

∇∧E (r, t ) =−∂ B (r, t )∂ t

[1-51]

ley de Ampère generalizada:

∇∧H (r, t ) = J f v (r, t )+∂D (r, t )∂ t

[1-52]

ecuaciones que en forma integral se escriben:∮Σ

D (r, t ) ·d s=

∫V

ρ f v (r, t )d v =Q f (t ) [1-53]

∮Σ

B (r, t ) ·d s= 0 [1-54]


∮C

E (r, t ) ·d r=

∫S

�−∂ B (r, t )

∂ t

�·d s [1-55]

∮C

H (r, t ) ·d r=

∫S

J f v (r, t ) ·d s+

∫S

∂D (r, t )∂ t

·d s [1-56]

donde Σ es una superficie cerrada cualquiera que encierra una carga libre Q f , Ves el volumen limitado por Σ, C es una curva cerrada cualquiera y S es cualquiersuperficie que tiene como bastidor C .

Este sistema de ecuaciones corresponde a las ecuaciones de Maxwell en fun-ción de los campos E, D, B y H y es, de la misma manera que las ecuaciones deMaxwell [1-4]- [1-7] expresadas en función de los campos E y B, válido bajo las hi-pótesis H1.2−1 (punto de vista macroscópico) y H1.2−2 (medio en reposo con respectoal observador).

1.10. Condiciones de frontera del campo electromagnético

El conocimiento del comportamiento de los campos en cualquier superficie dediscontinuidad (una carga o corriente superficiales, una frontera entre dos mate-riales de distintas características electromagnéticas, etc.) es fundamental a la horade resolver los problemas. Ese comportamiento se deduce fácilmente de las pro-pias ecuaciones de Maxwell y resulta ser, Figura 1.2:

Figura 1.2

18 1.11. POTENCIALES ELECTRODINÁMICOS

an1 · [D2 (r, t )−D1 (r, t )] =ρ f s (r, t ) o bien: [1-57.a ]

D2n (r, t )−D1n (r, t ) =ρ f s (r, t ) [1-57.b ]

an1 ∧ [E2 (r, t )−E1 (r, t )] = 0 o bien: [1-58.a ]

E2t (r, t ) = E1t (r, t ) [1-58.b ]

an1 · [B2 (r, t )−B1 (r, t )] = 0 o bien: [1-59.a ]

B2n (r, t ) = B1n (r, t ) [1-59.b ]

an1 ∧ [H2 (r, t )−H1 (r, t )] = J f s (r, t ) o bien: [1-60.a ]

H2t (r, t )−H1t (r, t ) = J f sb (r, t ) [1-60.b ]

donde:

ρ f s (r, t ) es la densidad superficial de carga libre existente en el punto r de lafrontera entre los dos medios en el instante t .

J f s (r, t ) es la densidad superficial de corriente libre existente en el punto rde la frontera entre los dos medios en el instante t , densidad que solamenteexistirá en el caso de que alguno de los medios sea conductor perfecto.

J f sb (r, t ) es la componente de J f s (r, t ) perpendicular a la dirección de H1t ,H2t .

an1 es el versor normal a la frontera en el sentido hacia fuera del medio 1.

E1t (r, t ), E2t (r, t ), H1t (r, t ) y H2t (r, t ) son las proyecciones de E1 (r, t ), E2 (r, t ),H1 (r, t ) y H2 (r, t ) sobre una dirección cualquiera tangente a la frontera en elpunto r.

1.11. Potenciales electrodinámicos

La ecuación [1-50] indica que el campo de inducción magnética B (r, t ) es solenoi-dal, es decir, no tiene fuentes ni sumideros; las líneas del campo B (r, t ), por tanto,son cerradas y su flujo a través de cualquier superficie cerrada es nulo, ecuación[1-54], por lo que se puede escribir:

B (r, t ) =∇∧A (r, t ) [1-61]

donde A (r, t ) recibe el nombre de potencial vector.Teniendo en cuenta [1-61], la ecuación [1-51] se puede escribir:

∇∧�

E (r, t )+∂ A (r, t )∂ t

= 0 [1-62]

30 2.2. ECUACIONES QUE INCLUYEN LAS CARACTERÍSTICAS DEL MEDIO

chas cargas. Esto se consigue fácilmente aplicando [2-23] a [2-14], que es válidasiempre:

V (r) =1

4πε

∫V ′

ρ f v (r′)|r− r′| d v ′+ 1

4πεo

∫S′

ρ f s (r′)+ρp s (r′)|r− r′| d s ′ [2-26]

E (r) =1

4πε

∫V ′

r− r′|r− r′|3ρ f v

r′�d v ′+

+1

4πεo

∫S′

r− r′|r− r′|3

�ρ f s

r′�+ρp s

r′� d s ′ [2-27]

Si en ese medio existen cargas libres puntuales qf i , su contribución a las inte-grales de volumen de [2-26] y [2-27] puede calcularse aplicando [1-16], resultando:

V (r) =1

4πε

∑i

qf i

�r′i�

��r− r′i�� [2-28]

E (r) =1

4πε

∑i

r− r′i��r− r′i��3 qf i

�r′i�

[2-29]

y si en dicho medio existen distribuciones lineales de carga ρ f l , puede hacerse lasustitución:

ρ f v d v ′ ←→ ρ f l d l ′ [2-16]

de modo que su contribución será:

V (r) =1

4πε

∫L′

ρ f l (r′)|r− r′| d l ′ [2-30]

E (r) =1

4πε

∫L′

r− r′|r− r′|3ρ f l

r′�d l ′ [2-31]

Si se cumple la hipótesis:

H2.2−1: no existe densidad de carga libre en el interior del dominio,

entonces la ecuación [2-24] se convierte en la ecuación de Laplace:

∇2V (r) = 0 [2-32]

CAPÍTULO 2. ELECTROSTÁTICA 31

2.3. Conductores en equilibrio y condensadores

Cuando, en un cierto medio dieléctrico, se tiene un sistema de N conductores quecumple las hipótesis:

H2.1−3: problema electrostático,H2.2−1: no existe densidad de carga libre en el interior del dominio,H2.3−1: todos los conductores son rígidos y estacionarios en el medio,H1.5−1: medio isótropo y lineal,

se puede asegurar que existe proporcionalidad entre el potencial del conductori -ésimo y la carga del j -ésimo, es decir:

V ji =αi jQ f j [2-33]

siendo V ji el potencial del conductor i -ésimo cuando todos los conductores están

descargados excepto el j -ésimo que tiene una carga libre Q f j . Los coeficientes αi j

se denominan coeficientes de potencial.Teniendo en cuenta que es válido el principio de superposición, el potencial

en el conductor i -ésimo vendrá dado por:

Vi =N∑

j=1

αi jQ f j [2-34]

relación que se puede expresar en forma matricial:

[V ] = [α]�Q f

[2-35]

expresión que, teniendo en cuenta las propiedades de las matrices, se puede escri-bir en la forma:

�Q f

= [c ] [V ] [2-36]

en donde a los elementos c i j

i �= j�

se les denomina coeficientes de inducción oinfluencia y a los c i i coeficientes de capacidad.

La identidad de Gauss, o teorema de reciprocidad, permite relacionar estadosde equilibrio electrostático de un mismo sistema de conductores:

N∑i=1

ViQ′f i =

N∑i=1

V ′i Q f i [2-37]


El principio de conservación de la energía conduce a:

d Wg = d We+d Wmec [2-54]

donde d Wg es el trabajo elemental aportado por las baterías conectadas a los con-ductores del sistema, trabajo que vale:

d Wg =∑

i

Vi dQ f i [2-55]

donde Vi es el potencial del conductor i -ésimo, fijado por su correspondiente ba-tería, y el sumatorio se extiende a todos los conductores del sistema.

Supongamos que el desplazamiento virtual d r se realiza manteniendo los con-ductores aislados de modo que su carga se mantiene constante:

H2.4−4: las cargas de todos los conductores se mantienen constantes.

Entonces, d Wg = 0 y de [2-54] resulta:

d Wmec =−d We [2-56]

por lo que:

F =− (∇We)Q f i=C t e [2-57]

En coordenadas cartesianas, por ejemplo, las componentes de esa fuerza se-rán:

Fx =−�∂We

∂ x

�Q f i=C t e

; Fy =−�∂We

∂ y

�Q f i=C t e

; Fz =−�∂We

∂ z

�Q f i=C t e

[2-58]

Si el movimiento virtual es, en lugar de una traslación d r, un giro dθ , puedeemplearse la expresión:

d Wmec = T ·dθ = Tx dθx +Ty dθy +Tz dθz [2-59]

donde T es el momento (mecánico) respecto al eje de giro definido por dθ . Enton-ces:

Tx =−�∂We

∂ θx

�Q f i=C t e

; Ty =−�∂We

∂ θy

�Q f i=C t e

; Tz =−�∂We

∂ θz

�Q f i=C t e

[2-60]

36 2.4. ENERGÍA ELECTROSTÁTICA

Por otra parte, existen sistemas en los que la variación de energía electrostáticaen un desplazamiento virtual es más fácil de analizar si se supone:

H2.4−5: los potenciales de todos los conductores se mantienen constantes.

Si, además, suponemos:

H1.5−1: medio isótropo y lineal,

H2.4−1: sistema acotado de cargas, y

H2.4−3: en todo el espacio no existen otras cargas libres que las ubicadas en lasuperficie de los conductores,

se podrá utilizar [2-49], por lo que:

d We =1

2

∑i

Vi dQ f i [2-61]

Combinando [2-54], [2-55] y [2-61] resulta:

d Wmec = d We [2-62]

de donde:

F= (∇We)Vi=C t e [2-63]

y procediendo como en el caso anterior se llega a:

Fx =�∂We

∂ x

�Vi=C t e

; Fy =�∂We

∂ y

�Vi=C t e

; Fz =�∂We

∂ z

�Vi=C t e

[2-64]

Tx =�∂We

∂ θx

�Vi=C t e

; Ty =

�∂We

∂ θy

�Vi=C t e

; Tz =�∂We

∂ θz

�Vi=C t e

[2-65]

Aunque en rigor los conceptos planteados solo son aplicables a campos elec-trostáticos, este método de los desplazamientos virtuales puede extenderse a pro-cesos suficientemente lentos, del tipo de los que se describen en la Subsección 7.1.1,pudiendo aplicarse bajo cualquiera de las condiciones Q f i = C t e o Vi = C t e , conindependencia de la evolución real del sistema ya que, de hecho, la fuerza en ca-da instante sólo depende de los campos y cargas que existen en ese instante. Los

38 2.5. DIPOLO ELÉCTRICO

Figura 2.1

2.5. Dipolo eléctrico

Dos cargas puntuales del mismo valor absoluto y de signo contrario separadas unadistancia |l|, Figura 2.1, constituyen lo que se denomina un dipolo eléctrico.

Si el medio que rodea a ese dipolo es el vacío, el potencial creado por él enpuntos que cumplan la hipótesis:

H2.5−1: |r− r′| |l|viene dado en el límite por la expresión:

V (r) =1

4πεo

p · (r− r′)|r− r′|3 [2-66]

Si, además, se toma el origen O cercano al dipolo de modo que se cumple:

H2.5−2: |r| |r′|entonces:

V (r) =1

4πεo

p ·ar

r 2[2-67]

donde:

p=q l [2-68]

es el denominado momento dipolar del dipolo. La expresión del campo eléctricocreado por el dipolo viene dada por:

E (r) =−∇V (r) =1

4πεo

�3 (r− r′) ·p|r− r′|5

r− r′�− p

|r− r′|3

[2-69]


2.5.1. Dipolo situado en un campo electrostático externo

2.5.1.1. Energía del dipolo en un campo electrostático externo

Si el dipolo está ubicado en un punto r de un espacio en el que existe un campoeléctrico externo Eext (r), el dipolo tiene una energía potencial que viene dada por:

We =−p ·Eext (r) [2-70]

2.5.1.2. Acciones del campo eléctrico externo sobre el dipolo

2.5.1.2.1. MOMENTO SOBRE EL DIPOLO

Bajo las mismas hipótesis admitidas en el Apartado 2.5.1.1, el dipolo inmerso enun campo eléctrico externo sufre un momento que viene dado por:

T (r) = p∧Eext (r) [2-71]

momento que tiende a alinear los vectores p y Eext

2.5.1.2.2. FUERZA SOBRE EL DIPOLO

Bajo las hipótesis admitidas en el Apartado 2.5.1.1, el dipolo inmerso en un campoeléctrico externo sufre una fuerza que viene dada por:

F (r) =

p·∇�Eext (r) [2-72]

expresión en la que el operador ∇ opera sobre las coordenadas r que son las deldipolo, es decir, del punto campo. La expresión [2-72], teniendo en cuenta la [2-70],se puede escribir también como:

F (r) =−∇We [2-73]

Por tanto, si el campo Eext (r) no varía espacialmente, el dipolo tiende a orien-tarse paralelamente a dicho campo pero no está sometido a fuerza eléctrica. Si,por el contrario, no es constante en el espacio el campo Eext (r), el dipolo, ademásde tender a orientarse con el campo, es arrastrado por él con una fuerza dada por[2-72], [2-73].

Capítulo 3Corrientes eléctricas estacionarias

3.1. Ecuaciones generales

Supongamos que en un determinado dominio se verifica la hipótesis:

H3.1−1: los portadores de carga libre están en movimiento estacionario,

es decir, la densidad de corriente libre es independiente del tiempo, verificándose,además, la hipótesis

H2.1−2: ninguno de los campos E, B, D y H es función del tiempo,

hipótesis esta última que implica que tanto la densidad de carga libre, ρ f , como lade carga ligada, ρp , son independientes del tiempo.

Bajo las dos hipótesis anteriores se verifica, además, que el campo eléctricodepende exclusivamente de la distribución de carga total, ρt , y tiene la misma ex-presión que el campo electrostático [2-15].

También se verifica que Jm es independiente del tiempo y Jp = 0. Existe uncampo magnético que depende exclusivamente de la distribución de corriente to-tal, Jt = J f + Jm , aunque previsiblemente J f dependerá del campo eléctrico, E, o,incluso, también del campo magnético B si el movimiento de los portadores decarga es suficientemente rápido.

Las hipótesis H3.1−1 y H2.1−2 definen una situación de corriente estacionaria y,por comodidad en su utilización posterior, las agruparemos en una sola:

H3.1−2: problema de corriente estacionaria.

Bajo esta hipótesis, las ecuaciones de los campos E y D son las mismas queen el caso estático, [2-1]- [2-6], solo que ahora E ya no es nulo en los conductores.Además, se debe añadir la ecuación de continuidad [1-34] o [1-35], particularizadapara el caso estacionario:

∮Σ

J f v (r) ·d s= 0 [3-1]

∇J f v (r) = 0 [3-2]

CAPÍTULO 3. CORRIENTES ELÉCTRICAS ESTACIONARIAS 45

Figura 3.2

campo que solamente existe dentro del generador. Por tanto:

Ftotal (r) =q�

E (r)+Eg (r)

[3-16]

Si el medio conductor del generador satisface la hipótesis H1.6−5 (medio óhmi-co), la ley de Ohm [3-6] se deberá escribir:

J f v (r) =σg (r)�

E (r)+Eg (r)

[3-17]

Todos los generadores tienen dos características comunes:

tienen dos terminales (electrodos)la densidad de corriente en su interior, J f v (r), es nula si la corriente que cir-cula por los terminales es nula.

Se define la fuerza electromotriz del generador (fem) como:

εg =

∫N -Generador-P

Eg (r) ·d r [3-18]

Teniendo en cuenta la ecuación [3-17], ambos campos se cancelarán, es decir,E (r) =−Eg (r), en dos situaciones:

cuando J f v (r) = 0, es decir, cuando el generador está en circuito abierto

cuando el generador es ideal, es decir, cuandoσg =∞. En este caso, aunquecircule corriente por él seguirá siendo E (r) =−Eg (r).

En ambos casos se verifica:

−εg =

∫N -Generador-P

E (r) ·d r


Figura 3.3

Si se admite que se cumple la hipótesis:

H3.1−2: problema de corriente estacionaria

y el medio 1 cumple, además, las hipótesis:

H1.6−5: medio óhmico y

H1.5−3: medio homogéneo,

de las ecuaciones [3-2], [3-7.b ] y [2-5] se deduce fácilmente que:

σ1∇E1 (r) = 0 ⇒ ∇2V1 (r) = 0 [3-8]

de donde se infiere que en el interior del conductor no existen cargas aunque sípueden existir en su superficie. Por otra parte, las condiciones de contorno aplica-bles en este caso son las ecuaciones [3-3]- [3-5], es decir:

D2n (r)−D1n (r) =ρ f s (r) [3-3]

E1t (r) = E2t (r) [3-4.a ]

V1 (r) =V2 (r) [3-4.b ]

J f v 1n (r) = J f v 2n (r) [3-5]

En los electrodos se tendrá:

V1 (r) =VA , electrodo A

V1 (r) =VB , electrodo B [3-21]

En el resto de la superficie del conductor, de [3-5] y de suponerσ2 = 0, se tiene:

J f v 1n (r) = 0 ⇒ σ1E1n (r) = 0 ⇒ E1n (r) = 0 [3-22.a ]

48 3.6. DISTRIBUCIÓN DEL POTENCIAL EN UN RESISTOR

o bien:d V1 (r)

d l n= 0 [3-22.b ]

Si están fijados los potenciales VA y VB de los electrodos, V1 (r) queda unívo-camente determinado, tanto en la piel del conductor como en su interior, y nodepende de las cargas situadas en el exterior del conductor.

3.6.2. Fuera del resistor

El potencial V fuera del conductor, es decir, en el interior del dieléctrico 2, dependede la distribución de las cargas interiores a dicho dieléctrico y de la distribuciónde potencial en sus fronteras. En general, aparece una distribución de carga libresuperficial, ρ f s , Figura 3.4, y una carga de polarización, ρp s ,

Figura 3.4

teniendo que verificarse las condiciones de frontera [3-3]-[3-5]. Utilizando la ecua-ción [3-22] se deduce que debe ser:

D1n = 0

por lo que la ecuación [3-3] toma la forma:

D2n (r) =ρ f s (r) [3-23]

EJEMPLO

Supongamos el caso en el que concurren las siguientes características indicadasen la Figura 3.5:

* Geometría:

• H3.6−1: conductor cilíndrico de sección S y longitud l .


Figura 3.5

* Material:

a ) Del conductor:

• H1.5−3: medio homogéneo

• H1.6−5: medio óhmico de conductividadσ.

b ) Del medio exterior:

b .1) Superficie lateral del cilindro:

• H1.11−1: medio dieléctrico perfecto.

b .2) Tapas del cilindro:

• H3.2−2: medio conductor perfecto: dos electrodos de σe =∞ encontacto con las secciones extremas del cilindro.

* Modelo electromagnético:

• H3.1−2: problema de corriente estacionaria.

* Tipo de excitación que se aplica:Se aplica, mediante una fuente de tensión continua, una diferencia de po-tencialΔV entre los electrodos.

De todas las condiciones anteriores, es evidente que un campo E uniforme entodo el volumen daría lugar a un potencial que cumple la ecuación de Laplace [3-8]y todas las condiciones de contorno descritas en la Subsección 3.6.1 El campo J f v ,por tanto, es uniforme por lo que:

I f = J f S =σES =σΔV

lS =ΔV

R[3-24]

siendo la resistencia del conductor:

R =l

σS[3-25]

Capítulo 4Magnetostática

4.1. Ecuaciones generales

Desde el punto de vista macroscópico, los campos magnéticos B y H dependen,en general, de las densidades de carga y corriente y de los campos eléctricos E y D(ver Capítulo 1, Sección 3).

En el caso de que se verifique la hipótesis H3.1−2 (problema de corriente estacio-naria), se cumple que, según se vio en el Capítulo 3, Sección 1:

a ) En cada punto r, el campo eléctrico E (r) depende únicamente de la distribu-ción de carga total ρt (r′) y tiene la misma expresión que el campo electros-tático [2-15].

b ) En cada punto r, el campo magnético B (r) depende únicamente de la distri-bución de corriente total Jt (r′). Como en este caso B no depende del tiempo,se le suele llamar más específicamente campo magnetostático para diferen-ciarlo del campo magnético general.

Si se conoce solo ρt (r′), se puede obtener E (r) independientemente de B (r) ysi se conoce solo Jt (r′) se puede obtener B (r) independientemente de E (r).

Para evitar indeterminaciones en los valores de Jt (r′), se debe especificar elreferencial en el cual se mide. Atendiendo a lo dicho en la Subsección 1.6.1 delCapítulo 1, consideraremos por defecto que el medio está en reposo. En ese caso,las ecuaciones de Maxwell toman la forma [1-4]- [1-7] o [1-49]- [1-52] debiendomedirse ρt v , ρ f v , Jt v y J f v en el mismo referencial en que se miden los campos Ey B, que es también el que se utiliza para medir la velocidad de la carga de pruebaen la expresión [1-1].

Para deducir las leyes que cumplen los campos magnetostáticos, basta tomarlas versiones estacionarias de las ecuaciones [1-50], [1-52], [1-54] y [1-56]:

∇B (r) = 0 [4-1]

∇∧H (r) = J f v (r) [4-2]∮Σ

B (r) ·d s= 0 [4-3]

CAPÍTULO 4. MAGNETOSTÁTICA 53

1

μo∇∧B (r) = Jt v (r) [4-11]

Jt v (r) = J f v (r)+ Jm v (r) [4-12]

4.1.3. Potencial magnético vector y ecuación de Poisson

De [4-1] se deduce que B (r) puede derivar de un potencial vector A (r), pero tam-bién llegamos a esa conclusión particularizando [1-61] al caso estacionario:

B (r) =∇∧A (r) [4-13]

donde se toma, por convenio, en lugar de [1-64]:

∇A (r) = 0 [4-14]

De [4-11], [4-13] y [4-14] resulta que en cualquier medio se verifica:

∇2A (r) =−μo Jt v (r) [4-15]

Cada componente cartesiana de [4-15] es una ecuación de Poisson.

4.1.4. Expresiones explícitas del potencial vector y del campomagnético

Integrando [4-15] sobre las fuentes (corrientes volumétricas y superficiales) exis-tentes en todo el espacio, resulta:

A (r) =μo

4π

∫V ′

J f v (r′)+ Jm v (r′)|r− r′| d v ′+ μo

4π

∫S′

J f s (r′)+ Jm s (r′)|r− r′| d s ′ [4-16]

y, aplicando [4-13] a [4-16], el campo magnético B (r) viene dado por:

B (r) =μo

4π

∫V ′

�J f v (r′)+ Jm v (r′)

∧ (r− r′)|r− r′|3 d v ′+

μo

4π

∫S′

�J f s (r′)+ Jm s (r′)

∧ (r− r′)|r− r′|3 d s ′ [4-17]

56 4.2. ECUACIONES QUE INCLUYEN LAS CARACTERÍSTICAS DEL MEDIO

A (r) =μ

4π

∫V ′

J f v (r′)|r− r′| d v ′ [4-34]

En muchos medios la magnetización es despreciable y puede tomarse μ= μo .Nos referiremos a esta situación mediante la hipótesis:

H4.2−1: medio no magnético.

Si en el interior del medio existen distribuciones superficiales de corriente, de-be completarse [4-34] con un término que recoja la contribución al potencial dedichas corrientes. Esto se consigue fácilmente aplicando [4-32] a [4-16], que es vá-lida siempre:

A (r) =μ

4π

∫V ′

J f v (r′)|r− r′| d v ′+ μo

4π

∫S′

J f s (r′)+ Jm s (r′)|r− r′| d s ′ [4-35]

B (r) =μ

4π

∫V ′

J f v (r′)∧ (r− r′)|r− r′|3 d v ′+

μo

4π

∫S′

�J f s (r′)+ Jm s (r′)

∧ (r− r′)|r− r′|3 d s ′ [4-36]

En el caso de tener circuitos filiformes en ese medio, su contribución a las inte-grales de volumen de [4-35] y [4-36] puede calcularse aplicando [4-18], resultando:

A (r) =μ

4πI f

∫C ′

d r′|r− r′| [4-37]

B (r) =μ

4πI f

∫C ′

d r′ ∧ (r− r′)|r− r′|3 [4-38]

Las ecuaciones [4-36] y [4-38] son expresiones de la ley de Biot - Savart en lasque se utiliza la permeabilidad μ del medio.

En cualquier medio que verifique las hipótesis H1.5−1 y H1.5−3 se tiene:

∇M (r) =C t e∇B (r) = 0 [4-39]

58 4.3. FUERZAS MAGNÉTICAS

ΔS es el área de la sección transversal del volumen conductor

Δl es la longitud del volumen conductor en la dirección paralela al vectordensidad de corriente libre J f v (r).

La ecuación [4-42.b ] se escribe, en este caso:

ΔFm (r) =Δv J f v (r)∧B (r) [4-42.c ]

expresión que, en el límite, cuandoΔv → 0, queda:

d Fm (r) = d v J f v (r)∧B (r) [4-44]

Para conductores filiformes, empleando [4-18] en [4-44]:

d Fm (r) = I f d r∧B (r) [4-45]

4.3.2. Fuerza magnética sobre un circuito filiforme

Si el circuito C filiforme es cerrado, la fuerza sobre él se obtiene de [4-45] por inte-gración:

Fm = I f

∮C

d r∧B (r) [4-46]

fuerza que es nula en el caso en el que el campo B (r) sea uniforme en todos lospuntos del circuito C .

4.3.3. Par magnético sobre un circuito filiforme

El momento de la fuerza [4-45] con respecto a un determinado punto O del espacioes:

d To (r) = r∧d Fm (r) = r∧ �I f d r∧B (r)

[4-47]

y el momento sobre todo el circuito C :

To =

∮C

d To (r) = I f

∮C

r∧ [d r∧B (r)] [4-48]


d .2) El flujo en la sección S (l ) puede aproximarse por:

Φ= BC (l )S (l ) [4-55]

e ) La circulación de HC (l ) es:

∮C

HC (r) ·d r=I f [4-56]

De [4-56] y según d .1) resulta:

∮C

HC (l )d l = I f [4-57]

Si el circuito está constituido por materiales que cumplen las hipótesis H4.4−1,H4.4−2 y H4.4−3, de [4-52], [4-55] y [4-57] se obtiene:

∮C

BC (l )μ (l )

d l =

∮C

BC (l )S (l )μ (l )S (l )

d l = Φ

∮C

d l

μ (l )S (l )= I f [4-58]

expresión a partir de la que, por su semejanza con el caso de los circuitos eléctri-cos, se hacen las siguientes definiciones:

Fuerza magnetomotriz (fmm) εm = I f , es decir, es la corriente libre totalabrazada por C . Se le asigna un sentido de circulación sobre C que siguela regla del tornillo con respecto al sentido de I f . En el caso de que existanvarias contribuciones a I f , se suman teniendo en cuenta sus sentidos.

Reluctancia magnética (Ri ) del i -ésimo tramo de un circuito de extremos Ay B :

Ri =RA B =

B∫A

d l

μS=

1

Φ

B∫A

HC (l )d l [4-59]

Reluctancia magnética (RC ) del circuito C :

RC =

∮C

d l

μS=∑

i

Ri [4-60]

donde el sumatorio se extiende a todos los tramos del circuito.

62 4.5. DIPOLO MAGNÉTICO

Con estas definiciones, la expresión [4-58] se escribe:

ΦRC = εm [4-61]

que es la ecuación fundamental del circuito magnético.Teniendo en cuenta la analogía entre esta ecuación y la que rige los circui-

tos eléctricos, en los circuitos magnéticos constituidos por materiales linealesse cumplen las leyes de Kirchhoff:

Ecuación de nudo :∑

j

Φj = 0 [4-62]

Ecuación de lazo :∑

i

εm i −∑

i

ΦiRi = 0 [4-63]

En la práctica no es fácil conocer con precisión la geometría del tubo de campoque constituye el circuito magnético. En las aplicaciones habituales, los circuitosmagnéticos están constituidos por núcleos ferromagnéticos y entrehierros de aireangostos, es decir, de poco espesor. Se denominan polos a las secciones extremasde los elementos ferromagnéticos que delimitan un entrehierro. Si los entrehierrosexistentes son angostos y si la permeabilidad μ del material del núcleo es grande,puede asumirse la hipótesis:

H4.4−4: el material magnético canaliza el campo B,

de modo que la sección S (l ) del tubo de campo puede aproximarse por la del pro-pio material magnético y, en el caso de los entrehierros, por las secciones extremasdel material (es decir, las secciones de los polos). Para describir esta condición decanalización se dice habitualmente que no existe dispersión de flujo.

4.5. Dipolo magnético

El concepto de dipolo magnético es el de un circuito de dimensiones finitas cuyocampo se mide en puntos muy lejanos al circuito en comparación con el tama-ño del mismo. Se puede demostrar que todos los circuitos de corriente continuafinitos producen en puntos lejanos un campo de la misma forma, que es el de-nominado campo dipolar magnético y que, además, tiene la misma forma que elcampo de un dipolo eléctrico. Las expresiones del campo dipolar magnético y desu potencial vector asociado son las siguientes:

B (r) =μo

4π

�3r (m · r)

r 5−m

r 3

[4-64]


A (r) =μo

4π

m∧ r

r 3[4-65]

donde:

m=I f

2

∮C

r∧d r [4-50], [4-66]

es el momento dipolar magnético del circuito C filiforme, que no depende delorigen considerado para el vector de posición r. Sin embargo, para que [4-64] y[4-65] describan correctamente el campo del circuito en puntos lejanos, el origende r debe estar en la vecindad del circuito.

En el caso de que el circuito esté contenido en un plano se verifica:

m=I f S [4-67]

donde S es el vector superficie, que tiene por módulo el área de la superficie planalimitada por C , dirección la normal a dicha superficie y sentido el dado por la regladel tornillo para el sentido de circulación marcado por I f .

68 5.2. TRANSFORMACIÓN GALILEANA DE LOS CAMPOS ELÉCTRICO Y MAGNÉTICO

5.2. Transformación galileana de los campos eléctricoy magnético

Supóngase que en un referencial inercialΣ se mueve una carga qo con una veloci-dad v (ro , t ) y otro referencial inercialΣ ′ con una velocidad u, Figura 5.1.

Figura 5.1

Como hemos asumido la hipótesisH5.1−1 (todas las velocidades que intervienenson mucho menores que la velocidad de la luz en el vacío), se pueden despreciarlos efectos relativistas y se puede aplicar la transformación galileana a todas lasmagnitudes mecánicas (longitudes, masas, tiempos, fuerzas, etc.). Las fuerzas deLorentz medidas por dos observadores en reposo en sus respectivos referencialesdeberán, por lo tanto, ser iguales, es decir:

F (ro , t ) =qo [E (ro , t )+v (ro , t )∧B (ro , t )] [5-14]

F′�

r′o , t�=qo

�E′�

r′o , t�+v′

�r′o , t

�∧B′�

r′o , t�

[5-15]

siendo E (ro , t ) y B (ro , t ) los campos medidos en el referencialΣ y E′�

r′o , t�

y B′�

r′o , t�

los medidos en el Σ ′.Como los vectores de posición ro y r′o definen un mismo punto del espacio,

independientemente de qué referencial se emplee, en lo que sigue utilizaremos P ,o bien r, para referirnos a ese punto.

Al ser u � c , la relación entre las velocidades será:

v (P, t ) = v′ (P, t )+u [5-16]

Sustituyendo [5-16] en [5-14] y como F= F′ se tiene:

E (P, t )+�

v′ (P, t )+u�∧B (P, t ) = E′ (P, t )+v′ (P, t )∧B′ (P, t ) [5-17]

CAPÍTULO 5. INDUCCIÓN ELECTROMAGNÉTICA 69

relación de la que, particularizando al valor v′ (P, t ) = 0, se deduce que:

E (P, t )+u∧B (P, t ) = E′ (P, t ) [5-13], [5-18]

B (P, t ) =B′ (P, t ) [5-19]

expresiones que describen la transformación galileana de los campos eléctrico ymagnético y de las que se deduce que el valor medido del campo eléctrico depen-de del observador que lo mide mientras que el valor del campo magnético es inde-pendiente de dicho observador (aunque la derivada temporal de ambos camposdependerá, en general, del observador).

5.3. Fuerza electromotriz sobre un circuito

Se define la fuerza electromotriz (fem) ε a lo largo de un circuito o curva cerradaC como:

ε (t ) =

∮C

E′ (r, t ) ·d r [5-20]

siendo E′ (r, t ) el campo eléctrico en la posición r que mediría un observador quese mueve con la misma velocidad que el punto del circuito ubicado en esa mismaposición r (ese observador estaría en el referencial Σ ′ en el que v′ (r, t ) = 0).

La expresión [5-20] indica que la fem en cada instante es el trabajo que el cam-po eléctrico existente en ese mismo instante en los puntos del circuito invertiríaen hacer recorrer el circuito a una carga unidad; esta expresión es válida inclusoaunque todo el circuito C , o parte de él, esté moviéndose. Tampoco es necesarioque el circuito C esté contenido en un volumen material, conductor o no.

5.3.1. Expresión de la fuerza electromotriz en función de los camposmedidos en un referencial dado

En ocasiones no se conoce directamente el campo E′ (r, t ), pero sí los camposE (r, t ) y B (r, t )medidos en un referencial Σ. En ese caso es posible calcular la femaplicando a la ecuación [5-20] la transformación galileana [5-18] en cada punto delcircuito C :

ε (t ) =

∮C

[E (r, t )+u (r, t )∧B (r, t )] ·d r [5-21]

CAPÍTULO 6. ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS 75

ecuación válida también en cualquier otro caso en el que no exista densidad decarga libre en el dominio

�ρ f v = 0

�.

A partir de las ecuaciones de Maxwell y suponiendo que, además de cumplirselas hipótesis H6.1−1, H6.1−2 , H3.2−1, se cumple también:

H2.2−1: no existe densidad de carga libre en el interior del dominio,

se deducen fácilmente las ecuaciones de onda para E y H:

∇2E (r, t )−εμ∂ 2E (r, t )∂ t 2

−σμ∂ E (r, t )∂ t

= 0 [6-6]

∇2H (r, t )−εμ∂ 2H (r, t )∂ t 2

−σμ∂H (r, t )∂ t

= 0 [6-7]

ecuaciones que indican que los campos E y H, en medios que verifican H6.1−1 yH6.1−2 y en los que no existan ni cargas ni campos electromotores, obedecen laecuación general de ondas con amortiguamiento (el amortiguamiento es debidoa que la conductividadσ no es nula).

6.1.2. Ondas monocromáticas

Como en medios lineales cualquier perturbación de interés práctico se puede des-componer en funciones armónicas mediante el análisis de Fourier, es de gran in-terés analizar las perturbaciones que cumplen la hipótesis:

H1.5−2: el régimen temporal es sinusoidal de frecuencia angular ω.

Las ondas de este tipo se denominan ondas armónicas o monocromáticas.Los campos, por tanto, podrán expresarse como la parte real de los campos

complejos:

∧E (r, t ) =

∧E (r)e−jωt [6-8]

∧H (r, t ) =

∧H (r)e−jωt [6-9]

representando∧E(r) y

∧H(r) las amplitudes complejas de la onda. En este caso ya no

es relevante la dependencia de los parámetros del material con el tiempo, sino solocon la frecuencia. Si se cumplenH1.5−1 (medio isótropo y lineal) yH1.5−3 (medio ho-mogéneo), el material puede caracterizarse por tres parámetros, en principio com-

plejos, constantes a cada frecuencia:∧εp (ω),

∧μ (ω) y

∧σ (ω), donde a la permitividad


donde:

∧E (r) y

∧H (r) son las amplitudes complejas de la onda:

∧E (r) =

∧Eo e± j k·r [6-18]

∧H (r) =

∧Ho e± j k·r [6-19]

∧Eo y

∧Ho son vectores constantes (en general, complejos) que denominaremos

amplitudes complejas constantes.

k es el vector de propagación de la onda o vector de onda que escribiremoscomo:

k=k ak [6-20]

El módulo de k es el número de onda k , que está relacionado con la longitudde onda λ:

k =2π

λ[6-21.a ]

y con la frecuencia angular y las características del medio a través de la de-nominada relación de dispersión:

k =ω�εμ [6-21.b ]

ak es el vector unitario según la dirección de propagación de la onda.

Además de las anteriores, se adoptan las siguientes definiciones:

Velocidad de fase de la onda:

v =ω

k=ω

2πλ [6-22]

y de [6-21] y [6-22] resulta:

v =1 εμ

[6-23]

Índice de refracción del medio:

n =c

v=�εrμr [6-24]


La relación entre los módulos instantáneos de E y H es constante:

|E (r, t )||H (r, t )| =

�μ

ε=η [6-33]

6.2.1.2. Propagación según uno de los ejes cartesianos

La onda dada por la ecuación [6-16] correspondiente al campo eléctrico se repre-senta en la Figura 6.1 en el caso en que la dirección de propagación (vector ak )coincida con el eje z de un sistema de representación cartesiano y su sentido seael de las z crecientes.

Las expresiones real y compleja de dicho campo serán:

E (z , t ) =Re�∧

E (z , t )�=

= Eox cos

k z −ωt +ϕox�

ax+Eoy cos�

k z −ωt +ϕoy

�ay [6-34]

siendo:

∧E (z , t ) = Eox e j (k z−ωt+ϕox )ax +Eoy e j (k z−ωt+ϕoy )ay [6-35]

campo que se puede escribir en la forma:

∧E (z , t ) =

⎡⎢⎢⎢⎢⎣Eox e jϕox︸︷︷︸

∧E ox

e j k z ax+Eoy e jϕoy︸︷︷︸∧E oy

e j k z ay

⎤⎥⎥⎥⎥⎦e−jωt [6-36]

representando la expresión entre corchetes su amplitud compleja∧E (z ).

Figura 6.1

86 6.3. ONDAS E.M. MONOCROMÁTICAS PLANAS EN MEDIOS CON PÉRDIDAS

Se define:

Permitividad compleja del medio,∧ε, como:

∧ε = εR+ j εI =

��∧ε��e jδc = εR+ j"εp I+

σ

ω

#=

= εR+ jσe

ω= ε

"1+ j

σe

ωε

#= ε

1+ j tanδc

�[6-52.a ]

donde hemos introducido la conductividad equivalenteσe:

σe =σ+ωεp I =ωεI [6-52.b ]

Permitividad relativa compleja o constante dieléctrica compleja,∧εr , como:

∧εr =

∧ε

εo= εr R+ j εr I = εr + j

σe

ωεo[6-53]

Tangente de pérdidas, tanδc, como:

tanδc =εI

εR=εr I

εr R=σe

ωε[6-54]

Índice de refracción complejo,∧n , como:

∧n = n R+ j n I =

$μr∧εr =

�μrεr R

�1+ j

εr I

εr R=

=�μrεr

�1+ j

σe

ωε=�μrεr

�1+ j tanδc [6-55.a ]

Constantes ópticas n R, n I, como:

n R =�μrεr

�1

2

%1+

�1+ tan2δc

&[6-55.b ]

n I =�μrεr

�1

2

%−1+�

1+ tan2δc

&[6-55.c ]

En algunos textos se define∧n = n R− j n I y

∧ε = εR− j εI. Eso es lo correcto si se

ha escogido la dependencia temporal +jωt en lugar de la dependencia −jωt de[6-8] y [6-9]. En cualquier caso, n R y n I se toman positivos por convenio y [6-55.b ] y


[6-55.c ] son válidos para ambos signos del término temporal. Cabe matizar que elconvenio de tomar n R positivo es siempre apropiado para los materiales no mag-néticos, en los que εR puede ser positiva o negativa dependiendo de la frecuenciapero la permeabilidad magnética es aproximadamente igual a la del vacío y nojuega un papel relevante. También es un convenio que podría utilizarse para ma-teriales magnéticos convencionales, en los que tanto εR como la parte real de lapermeabilidad, μR, pueden ser positivas o negativas dependiendo de la frecuenciapero no se da el caso de que sean ambas negativas para una misma frecuencia,aunque estos materiales no suelen describirse mediante un índice de refracciónsino mediante su permitividad, permeabilidad y/o conductividad complejas. Sinembargo, en la década de los 2000 se comenzaron a fabricar materiales en los cua-les εR y μR son ambos negativos en una misma banda de frecuencias (los denomi-nados metamateriales), lo cual conduce a valores de n R negativos. Queda fuera delalcance de esta obra el tratamiento de este caso.

Es de destacar que se ha escogido una doble notación para las magnitudes ε ≡εR y εr ≡ εr R con el fin de mantener la continuidad con la Sección 6.2 y con el restode capítulos en los que no es necesario suponer que la permitividad es compleja.

Según [6-52.a ], hemos definido la permitividad compleja∧ε como la suma de

dos componentes: una parte real que coincide con la parte real de la permitividad∧εp (que origina corrientes de polarización [1-39] en cuadratura de fase respecto alcampo eléctrico E), y una parte imaginaria suma de dos términos: la parte ima-

ginaria de∧εp (que da lugar a corrientes de polarización en fase con E y que son

causa de las denominadas pérdidas dieléctricas), y un término proporcional a laconductividad (que da lugar a corrientes libres [1-37] en fase con E y que son cau-sa de las pérdidas óhmicas). En los materiales reales, el comportamiento es máscomplejo, sucediendo que ambos tipos de corrientes (polarización y conducción)pueden tener componentes tanto en fase como en cuadratura con E, resultandomuy difícil separar los efectos de cada tipo de corriente. En cualquier caso, todoslos efectos antedichos pueden describirse macroscópicamente mediante la per-mitividad compleja definida en [6-52.a ].

A frecuencias ópticas, μ=μo en la mayoría de los casos y, para caracterizar losmateriales, se suelen utilizar las constantes ópticas n R y n I en vez de la permitivi-dad compleja, la permeabilidad y la conductividad.

Velocidad de fase compleja como:

∧v =

1$μ∧ε

=c∧n

[6-56]

92 6.3. ONDAS E.M. MONOCROMÁTICAS PLANAS EN MEDIOS CON PÉRDIDAS

La densidad de energía instantánea se calcula mediante [1-75] y [1-76], no veri-ficándose, en general, que we (r, t ) y wm (r, t ) sean iguales, como sucedía en mediossin pérdidas.

Para campos monocromáticos (H1.5−2) admitiremos que se cumplen, en lugarde las hipótesis anteriores, lasH1.5−1 (medio isótropo y lineal),H1.5−3 (medio homo-géneo) yH3.2−1 (medio pasivo). Entonces puede formularse una ecuación complejade la energía:

∫V

1

2

∧E · ∧J∗f v d v +2jω

⎡⎢⎢⎣∫V

1

4

∧E · ∧D∗d v −

∫V

1

4

∧B · ∧H∗d v

⎤⎥⎥⎦+

+

∮Σ

1

2

∧E∧ ∧H∗ ·d s= 0 [6-82.b ]

cuya parte real es:

1

2

∫V

⎛⎜⎜⎝ωεp I+σ︸︷︷︸

ωεI

⎞⎟⎟⎠ ∧E · ∧E∗d v +

∮Σ

⟨S⟩ ·d s= 0 [6-82.c ]

y las densidades medias de energía (que entenderemos siempre, salvo indicaciónen contra, que son medias temporales) pueden calcularse como:

⟨we⟩ (r) = 1

4εR

∧E (r) · ∧E∗ (r) [6-83]

⟨wm⟩ (r) = 1

4μ (r)

∧H (r) · ∧H∗ (r) [6-84]

donde, utilizando [6-72] y [6-73],

⟨we⟩ (ξ) = 1

4εR

∧Eo · ∧E

∗o e−2kIξ [6-85]

⟨wm⟩ (ξ) = 1

4μ (r)

∧Ho · ∧H

∗o e−2kIξ [6-86]

siendo ξ=±ak · r la distancia recorrida por la onda desde el plano origen hasta elpunto r, positiva en el sentido de avance de la onda.

El vector de Poynting instantáneo obedece a la expresión [1-80]. Su valor mediotemporal, para cualquier campo de la forma [6-8] y [6-9] es:


⟨S⟩ (r) = 1

2Re

�∧E (r)∧ ∧H∗ (r)

[6-48]

Sustituyendo [6-72] y [6-73] en [6-48] se tiene:

⟨S⟩ (ξ) = 1

2Re

�∧Eo ∧ ∧H

∗o

e−2kIξ [6-87]

donde nuevamente tomamos ξ=±ak ·r. Teniendo en cuenta [6-66], [6-71] y [6-78]:

⟨S⟩ (ξ) = 1

2e−2kIξRe

⎡⎢⎣∧Eo ∧

⎛⎜⎝± 1

∧η∗ ak ∧ ∧E

∗o

⎞⎟⎠⎤⎥⎦=

=1

2e−2kIξRe

⎧⎨⎩± 1

∧η∗��∧

Eo · ∧E∗o

�ak −

"∧Eo ·ak

#· ∧E∗o

⎫⎬⎭=

=1

2e−2kIξRe

⎛⎜⎝± 1

∧η∗

⎞⎟⎠�∧

Eo · ∧E∗o

�ak =

=±1

2e−2kIξ

Re%∧η&

��∧η��2�∧

Eo · ∧E∗o

�ak =±I (ξ)ak [6-88]

siendo I (ξ)la intensidad de la onda.La expresión [6-88] indica que la energía se propaga en dirección ±ak con un

factor de atenuación e−2kIξ.Por otra parte, la intensidad I de la onda verifica:

d I

dξ=−2k II ⇒ d I

I=−2k Idξ [6-89]

es decir, 2k I representa la potencia relativa disipada por unidad de longitud y se ledenomina coeficiente de atenuación de potencia.

6.3.2.4. Medio dieléctrico imperfecto

Si el medio es tal que verifica:

σe

εω� 1 [6-12], [6-90]

96 6.4. INCIDENCIA SOBRE FRONTERA ENTRE DOS DIELÉCTRICOS PERFECTOS

Figura 6.2

normal an a la interfase por dicho punto, normal con la que se ha hecho coincidirel eje z del sistema cartesiano de coordenadas con origen en P . Al plano definidopor esta normal y el vector de ondas incidente se le denomina plano de incidencia.

Los campos, en todos y cada uno de los puntos de la interfase y en cada ins-tante, deben cumplir las condiciones de frontera dadas en la Sección 1.10:

D2n (r, t )−D1n (r, t ) = 0 [1-57.b ], [6-100]

E2t (r, t ) = E1t (r, t ) [1-58.b ], [6-101]

B2n (r, t ) = B1n (r, t ) [1-59.b ], [6-102]

H2t (r, t ) =H1t (r, t ) [6-103]

Suponiendo que las ondas reflejada y transmitida son también planas, los cam-pos eléctricos de las tres ondas obedecerán la ecuación [6-16], es decir, tendrán porexpresiones:

∧Ei (r, t ) =

∧Eio e±j (ki·r−ωit ) [6-104]

∧Er (r, t ) =

∧Ero e±j (kr·r−ωrt ) [6-105]

∧Et (r, t ) =

∧Eto e±j (kt·r−ωtt ) [6-106]

en donde∧Eio ,

∧Ero y

∧Eto son las amplitudes complejas de cada onda.

Las condiciones de frontera se verifican si:

a ) los tres vectores∧Ei (r, t ),

∧Er (r, t ) y

∧Et (r, t ) son funciones idénticas del tiempo,

condición que se cumple cuando se verifica:

ωi =ωr =ωt [6-107]

98 6.4. INCIDENCIA SOBRE FRONTERA ENTRE DOS DIELÉCTRICOS PERFECTOS

∧E roN

∧E ioN

= rN =η2 cosθi−η1 cosθt

η2 cosθi+η1 cosθt[6-110]

∧E toN

∧E ioN

= tN =2η2 cosθi

η2 cosθi+η1 cosθt[6-111]

Si suponemos que los materiales de ambos medios cumplen la hipótesis:

H4.2−1: medio no magnético,

en ese caso podemos tomar μr 1 ≈ μr 2 ≈ 1 y las relaciones anteriores quedan sim-plificadas en la forma:

rN =n 1 cosθi−n 2 cosθt

n 1 cosθi+n 2 cosθt[6-112]

tN =2 n 1 cosθi

n 1 cosθi+n 2 cosθt[6-113]

con n 1 y n 2 reales y mayores que la unidad por ser ambos medios dieléctricos per-fectos.

De las expresiones [6-112] y [6-113] se deduce:

Figura 6.4


tN es siempre real y positivo, lo que indica que las ondas incidente y trans-mitida siempre están en fase.rN puede ser positiva o negativa, dependiendo del valor de n 2/n 1:

a ) Reflexión externa: n 1 < n 2. De la ley de Snell se deduce fácilmente que,en este caso, ambas ondas están desfasadas π radianes, Figura 6.4.a ) yc ).

b ) Reflexión interna: n 1 > n 2. En este caso, ambas ondas están en fase,Figura 6.4.b ) y d ).

6.4.2. Onda incidente polarizada con su vector eléctrico paralelo alplano de incidencia

Si la onda incidente verifica:

H6.2−5: polarización lineal

y tiene su vector Ei paralelo al plano de incidencia, Figura 6.5, el forzar a que secumplan las condiciones de contorno [6-101] y [6-103] conduce a:

Figura 6.5

∧E roP

∧E ioP

= rP =η2 cosθt−η1 cosθi

η2 cosθt+η1 cosθi[6-114]

∧E toP

∧E ioP

= tP =2η2 cosθi

η2 cosθt+η1 cosθi[6-115]


denominándose al ángulo θB ángulo de Brewster. En ese caso, la onda inci-dente se refleja y transmite como se indica en la Figura 6.6.

El conjunto de ecuaciones [6-110]- [6-117] se conocen como ecuaciones deFresnel y los cocientes r y t como coeficientes de reflexión de amplitud y detransmisión de amplitud (o coeficientes de Fresnel) respectivamente. En la Fi-gura 6.7 se representan dichos coeficientes para medios no magnéticos, para loscasos n 2/n 1 = 1, 5 y n 1/n 2 = 1, 5.

Figura 6.7

116 7.1. DEFINICIÓN

en donde |r− r′|/v representa el retardo, es decir, el tiempo que tarda en propa-garse una perturbación producida en un punto r′ de la fuente desde ese punto alobservador en r. Esto implica que los campos eléctrico y magnético no estacio-narios tienen, en general, carácter ondulatorio con una velocidad de propagaciónfinita y coincidente con v .

En muchos casos prácticos, bajo condiciones que se irán exponiendo en cadacaso concreto, se pueden despreciar los retardos. En esos casos la propagación delos campos se considera instantánea, llamándose aproximación cuasiestaciona-ria a esa simplificación.

Si se verifica:

H7.1−1: aproximación cuasiestacionaria,

entonces las expresiones [1-67] y [1-68] de los potenciales toman la forma:

V (r, t ) =1

4πε

∫V ′

ρ f v (r′, t )|r− r′| d v ′ [7-1]

A (r, t ) =μ

4π

∫V ′

J f v (r′, t )|r− r′| d v ′ [7-2]

expresiones que, aunque ahora los potenciales tienen dependencia espacio-tem-poral, son análogas a las de los casos estáticos, [2-25] y [4-34].

Por tanto, en cada instante, la solución para los potenciales en todo el espacioes la misma que se tendría bajo las leyes estáticas si se “congelase” la configuraciónde fuentes existente en ese instante.

Al igual que en el caso general de los potenciales electrodinámicos bajo el con-traste de Lorentz, expresiones [1-67] y [1-68], el potencial escalar V depende so-lamente de las distribuciones de carga (libre y ligada) y suele denominarse po-tencial eléctrico, aunque algunos autores lo denominan tensión, mientras que elpotencial vector A depende solamente de las distribuciones de corriente (libre yde magnetización). Cabe hacer a este respecto la mismas observaciones que en elcaso general, expuestas en la Subsección 1.11.1: como las cargas y corrientes noson independientes entre sí, es posible encontrar A (r, t ) y V (r, t ) partiendo única-mente de la distribución de corriente libre J f v (r′, t ), empleando [7-2] y una rela-ción de contraste (veremos a continuación que se deberá utilizar el contraste deLorentz [1-64] en ciertos casos y el de Coulomb [7-18] en otros). Además, puedecalcularse B (r, t ) partiendo de [7-2] y [1-61], obteniéndose la misma ley de Biot-Savart encontrada en magnetostática, con la salvedad de que ahora las corrientesy el campo dependen también del tiempo.

CAPÍTULO 7. CAMPOS CUASIESTACIONARIOS 131

entonces, aplicando el método de los desplazamientos virtuales, puesto que eldesplazamiento del elemento altera la energía magnética del sistema, la conserva-ción de la energía total del sistema obliga a que se cumpla:

d Wd+d Wm+d Wmec = d Wg [7-45]

siendo d Wd la energía disipada por efecto Joule, d Wm el incremento de energíamagnética y d Wg el trabajo suministrado por las baterías presentes en el sistema,es decir, conectadas a alguno de los circuitos, trabajo que, para el circuito i , vienedado por:

d Wg i = εg i I f i d t [7-46]

siendo εg i la fem de la batería i .De [7-29] y [7-33] se deduce:

εg i =−εi + I f i Ri =dΦi

d t+ I f i Ri [7-47]

siendo Ri la resistencia total del circuito i . De esta expresión y teniendo en cuenta[7-46] se deduce:

d Wg i = I f i dΦi + I 2f i Ri d t [7-48]

Sumando para todos los circuitos:

d Wg =N∑

i=1

d Wg i =N∑

i=1

I f i dΦi +d Wd [7-49]

Si se supone la hipótesis:

H7.3−2: las corrientes de los circuitos se mantienen constantes,

entonces, diferenciando [7-38] , resulta:

d Wm =1

2

N∑i=1

I f i dΦi [7-50]

y de [7-45] , [7-49] y [7-50] se llega a:

d Wmec = d Wm [7-51]


Debe ser resaltado que este método de los desplazamientos virtuales puedeaplicarse bajo cualquiera de las condiciones I f i =C t e ó Φi =C t e con independen-cia de la evolución real del sistema: es posible que ni I f i ni Φi sean constantes a lolargo del proceso finito que sigue el sistema, pero eso no tiene nada que ver con elmétodo de cálculo de la fuerza en cada estado del sistema, que está basado en unproceso elemental (infinitesimal) ficticio.

De hecho, en condiciones cuasiestacionarias, la fuerza magnética sigue las mis-mas leyes que en magnetostática y, en cada instante, sólo depende de los camposy corrientes que existen en ese momento. Los estados anteriores y posteriores delsistema no afectan al valor de dicha fuerza.

7.4. Modelos teóricos de propagación para conductores

7.4.1. Conductor que ocupa un semiespacio

Supongamos el caso en el que concurren las siguientes características ideales:

* Geometría:

• H7.4−1: conductor plano sólido que ocupa un semiespacio (también de-nominado conductor plano semiinfinito),

tal como se muestra en la Figura 7.1.

* Material del conductor:

• H3.2−1: medio pasivo,

• H6.1−1: la conductividad σ no depende de las coordenadas espaciales nidel tiempo y

• H6.1−2: las características del medio ε y μ no son funciones ni de las coor-denadas espaciales ni del tiempo.

Figura 7.1

134 7.4. MODELOS TEÓRICOS DE PROPAGACIÓN PARA CONDUCTORES

* Modelo electromagnético:

• H7.1−6: aproximación cuasimagnetostática.

* Tipo de excitación que se le aplica:

la corriente que circula por el conductor verifica:

• H1.5−2: el régimen temporal es sinusoidal de frecuencia angular ω y

• H7.4−2: la amplitud compleja∧J f v (r) en la superficie del conductor es

un vector constante∧Jo =

∧J oao , contenido en dicha superficie.

Bajo estas hipótesis, por tanto, el vector densidad de corriente J f v (r, t ) estaráregido por la ecuación [7-21] siendo evidente que se cumple:

∂

∂ y=∂

∂ z= 0 [7-60]

por lo que la ecuación [7-21.b ] toma la forma:

∂ 2∧J f v x (x )∂ x 2

= jωμσ∧J f v x (x ) [7-61.a ]

∂ 2∧J f v y (x )∂ x 2

= jωμσ∧J f v y (x ) [7-61.b ]

∂ 2∧J f v z (x )∂ x 2

= jωμσ∧J f v z (x ) [7-61.c ]

Tomando, como se muestra en la Figura 7.1,∧Jo en dirección z , las soluciones

de estas ecuaciones son:

∧J f v x =

∧J f v y = 0 [7-62.a ]

∧J f v z (x ) =

∧Jo e−

1+ jδ

x = Jo e−xδ e j

%− xδ+ϕo

&[7-62.b ]

J f v z (x , t ) =Re

�∧J f v z (x )e jωt

= Jo e−

xδ cos

"ωt − x

δ+ϕo

#[7-62.c ]


en donde:∧Jo = Jo e jϕo es la amplitud compleja de la densidad de corriente en la super-ficie (x = 0),

Jo y ϕo son el módulo y el argumento de∧Jo , respectivamente, y

la constante:

δ=1�π f μσ

[7-63]

mide el decrecimiento de la corriente a medida que crece x , y, por tanto,representa físicamente el valor del espesor en que están concentradas lascorrientes más significativas. Por esta razón se le denomina profundidad depenetración, y al efecto producido, efecto pelicular. (Nota: para el cobre yuna frecuencia f = 50 Hz⇒ δ≈ 9, 3 mm; para f = 10 kHz⇒ δ≈ 0, 66 mm ; ypara f = 1 MHz⇒ δ≈ 0, 066 mm.)

Obsérvese que 1/δ es justamente el valor de kR y k I en ondas en buenos con-ductores, Apartado 6.3.2.5. Esto no es casualidad ya que en ambos casos lasecuaciones diferenciales de los campos, [6-15] y [7-19], son la misma ecua-ción.

la densidad de corriente en el interior, debido al término e−jxδ , no está en

fase con su valor en la superficie, desfase que, teniendo en cuenta [7-63],varía con el material y, para el mismo material, varía con la frecuencia.

De la ley de Ohm [1-37] y de [7-62], se tiene:

∧Ex =

∧Ey = 0 [7-64.a ]

Ez (x , t ) =Re

� ∧Ez (x )e jωt

=Re

� ∧Eo e−

1+ jδ

x e jωt

=

= Eo e−xδ cos

"ωt − x

δ+ϕo

#[7-64.b ]

siendo:

∧Eo =

∧Jo

σ= Eo e jϕo [7-65.a ]

Eo =Jo

σ[7-65.b ]


De la ley de Faraday [7-14] y de [7-64] resulta:

∧H x =

∧H z = 0 [7-66.a ]

Hy (x , t ) =Re

� ∧Hy (x )e jωt

=Re

� ∧Ho e−

1+ jδ

x e jωt

=

=Ho e−xδ cos

"ωt − x

δ+ϕo − π

4

#[7-66.b ]

siendo:

∧Ho =−

∧Joδ

1+ j=− Joδ

2e j%ϕo−π4

&[7-67.a ]

Ho =− Joδ 2

[7-67.b ]

En este modelo no tiene sentido hablar de corriente total, por lo que se defineuna corriente por unidad de anchura I ′f (Figura 7.1) de forma que:

I ′f =Re

� ∧I ′ f�=Re

� ∧I ′ f o e jωt

�[7-68]

donde:

∧I ′ f o =

x=∞∫x=0

∧J f v z (x )d x =

∧J oδ

1+ j=− ∧Ho [7-69]

Con este valor de∧I ′ f o se define una impedancia por unidad de longitud y an-

chura, denominada impedancia por cuadro, como:

∧Z s =

∧E o

∧I ′ f o

=1

σδ

1+ j

�= Rs + j Xs [7-70]

a cuya parte real se le denomina resistencia por unidad de longitud y anchura,también denominada resistencia por cuadro:

Rs =1

σδ=

�π f μ

σ[7-71]


se tiene, teniendo en cuenta [7-70] y [7-72]:

∧Zi =

∧Eob∧I ′ f oa

=∧

Zsb

a=Rs

1+ j

� b

a[7-75]

7.4.3. Potencia disipada por efecto Joule en un conductor que ocupaun semiespacio o en un conductor prismático

La potencia instantánea disipada por efecto Joule en un volumen elemental deanchura a , longitud b y profundidad d x de un conductor plano semiinfinito es,según [1-78] y [7-62.c ]:

d Pd =J 2

f v (x , t )

σd v =

J 2f v (x , t )

σab d x =

=1

σ

"Jo e−

xδ

#2

cos2"ωt − x

δ+ϕo

#ab d x [7-76]

e, integrando en toda la profundidad y calculando su valor medio en un periodo,resulta:

⟨Pd⟩= 1

2J 2

o

δ

2σab =

1

2Rs I ′2f oab [7-77.a ]

siendo I ′f o el módulo de∧I ′ f o . Esta expresión es también aplicable a un conductor

prismático como el tratado en la Subsección 7.4.2.La potencia disipada por unidad de longitud y anchura o potencia por cua-

dro, ⟨Pds ⟩, será:

⟨Pds ⟩= 1

2Rs I ′2f o [7-77.b ]

7.4.4. Distribución del campo magnético variable con el tiempo enun núcleo laminado

Supongamos el caso en el que concurren las siguientes características ideales:

* Geometría:

• H7.4−4: núcleo magnético formando un circuito constituido por lámi-nas de espesor d


a)b)y

x

z

d

B

B

Bo

1

0,9

0,8

0,7

0,6

0,5

0,4

0,3

0,2

0,1

0,1 0,2 0,3 0,4 0,50

0

12

3

5

10

x/d

c)

parámetro d /δ

By (x )/Bo

Figura 7.2

tal como se muestra en la Figura 7.2,

• H7.4−5: el espesor de las láminas es pequeño frente a su anchura (to-mada en dirección z en la figura) y

• H7.4−6: las variaciones longitudinales (en dirección y ) de la secciónson despreciables.

* Material de las láminas:

• H3.2−1: medio pasivo,

• H6.1−1: la conductividad σ no depende de las coordenadas espaciales nidel tiempo y

• H6.1−2: las características del medio ε y μ no son funciones ni de las coor-denadas espaciales ni del tiempo.

Supondremos, también, que la permeabilidad del núcleo es suficientementeelevada y los entrehierros, de existir, suficientemente delgados como paraque se cumpla:

• H4.4−4: el material magnético canaliza el campo B.


∫M−piel−N

∂∧A

∂ t·d r= L M N

d∧I f

d t= jωL M N

∧I f [7-234]

con lo que:

∧V M N =

∧Z iM N

∧I f + jωL M N

∧I f =

�RM N + jω (L iM N + L M N )

� ∧I f =

=∧Z M N

∧I f [7-235]

En los cables que unen los distintos elementos de un lazo, no suele ser admi-sible la condición [7-229] porque, si son de elevada conductividad, las caídas devoltaje debidas a−∇V y a ∂ A/∂ t son comparables. En la Figura 7.16, por ejemplo,se tiene:

Figura 7.16

UA−piel−B =

∫A−piel−B

E ·d r= VA B −∫

A−piel−B

∂ A

∂ t·d r [7-236]

Si suponemos que el cable es ideal, es decir,σ=∞, entonces:

E=J

σ= 0 ⇒ UA−piel−B = 0 ⇒

⇒ VA B =

∫A−piel−B

∂ A

∂ t·d r [7-237]

En realidad, lo que interesa es ver el efecto de:∮∂ A

∂ t·d r

sobre un lazo completo ya que la segunda ley de Kirchhoff se aplica siempre sobretrayectorias cerradas.

Apéndice2Notación y símbolos matemáticos

NOTACIÓN Y SÍMBOLOS MATEMÁTICOS

CONCEPTO NOTACIÓN

Punto M , M 1, P , Q

cartesianas x , y , z

Coordenadas cilíndricas radio r , azimutφ, altura z

esféricas radio r , colatitud o ángulo polar θ , azimutφ

Dirección (m ), (t1), (t2)

línea L, C , Γ

Dominios superficie abierta S

superficie cerrada Σ

volumen V , τ

Referenciales Σ, Σ ′

Escalar k , U , ρ

Vector k, E, Eg, Eg1

según la dirección (u ) au

normal n, an , an1

Versores cartesianas ax , ay , az

cilíndricas ar , aφ , az

esféricas ar , aθ , aφ

Proyección de un

vector según los

ejes de coordenadas

cartesianas Ex , Ey , Ez ; E1x , E1y , E1z ; Eg1x , Eg1y , Eg1z

cilíndricas Er , Eφ , Ez

esféricas Er , Eθ , Eφ

Magnitud compleja∧k ,∧

U ,∧

U 1 ;∧k ,∧E ,∧Eg

Complejo conjugado de∧k

∧k∗

Porción, segmento, zona elemental

de un dominiovolumenΔv , superficieΔs , líneaΔl

genérico d l

Diferencial de longitud según la dirección (m ) d l m

según la curva L d l L

Diferencial de superficie d s

Apéndice3Símbolos, unidades y dimensiones

SÍMBOLOS, UNIDADES Y DIMENSIONES

MAGNITUD SÍMBOLO UNIDAD SI ECUACIÓN

DIMENSIONAL

Ejemplo de notación: [ f ] =Hz = s−1 dim f = T−1

Frecuencia f La unidad de Las dimensiones

frecuencia es de la frecuencia

el hercio son T−1

Potencial magnético vector, potencial vector A N/A =Wb/m L M T−2 I−1

Campo magnético B, inducción

magnética, densidad de flujo B T=N/(A·m) = M T−2 I−1

magnético V·s/m2 =Wb/m2

Capacitancia C F= C/V L−2 M−1 T4 I2

Velocidad de la luz en el vacío c m/s L T−1

Coeficiente de inducción o influencia c i i F L−2 M−1 T4 I2

Coeficiente de capacidad c i j F L−2 M−1 T4 I2

Desplazamiento eléctrico D C/m2 L−2 T I

Campo eléctrico E V/m L M T−3 I−1

Campo electromotor Eg V/m L M T−3 I−1

Campo total en un generador ET V/m L M T−3 I−1

Fuerza F N L M T−2

Frecuencia f Hz = s−1 T−1

Campo magnético H, intensidad

del campo magnético H A/m L−1 I

genérica I

Corriente

eléctrica

libre I f

equivalente, de A I

magnetización, Im

de Ampère

Corriente por unidad de anchura I ′f A/m L−1 I

Intensidad de una onda, irradiancia I W/m2 M T−3

Apéndice4Operadores diferenciales en diferentes sistemasde coordenadas

Coordenadas cartesianas

r= x ax + y ay + z az [A4-1]

PP ′ =Δr= d r [A4-2]

d r= d x ax +d y ay +d z az [A4-3]

∇U =∂U

∂ xax +

∂U

∂ yay +

∂U

∂ zaz [A4-4]

∇A=∂ Ax

∂ x+∂ Ay

∂ y+∂ Az

∂ z[A4-5]

∇∧A=�∂ Az

∂ y− ∂ Ay

∂ z

�ax +

�∂ Ax

∂ z− ∂ Az

∂ x

�ay+

+�∂ Ay

∂ x− ∂ Ax

∂ y

�az [A4-6]

∇2U =∂ 2U

∂ x 2+∂ 2U

∂ y 2+∂ 2U

∂ z 2[A4-7]

∇2A=∇2Ax ax +∇2Ay ay +∇2Az az [A4-8]

APÉNDICE 4. OPERADORES DIFERENCIALES EN DIFERENTES SISTEMAS DE COORDENADAS 201

Coordenadas esféricas

r= r ar [A4-17]

PP ′ =Δr≈ d r [A4-18]

d r= d r ar + r dθaθ + r senθdφaφ [A4-19]

∇U =∂U

∂ rar +

1

r

∂U

∂ θaθ +

1

r senθ

∂U

∂ φaφ [A4-20]

∇A=1

r 2

∂

∂ r

�r 2Ar

�+

1

r senθ

∂

∂ θ(Aθ senθ )+

1

r senθ

∂ Aφ∂ φ

[A4-21]

∇∧A=1

r senθ

�∂

∂ θ

�Aφ senθ

�− ∂ Aθ∂ φ

ar +

1

r senθ

�∂ Ar

∂ φ− senθ

∂

∂ r

�r Aφ

�aθ+

+1

r

�∂

∂ r(r Aθ )− ∂ Ar

∂ θ

aφ [A4-22]

∇2U =1

r 2

∂

∂ r

�r 2 ∂U

∂ r

�+

1

r 2 senθ

∂

∂ θ

�senθ

∂U

∂ θ

�+

1

r 2 sen2θ

∂ 2U

∂ φ2[A4-23]

∇2A=∇ (∇A)−∇∧∇∧A [A4-24]

Índice alfabético de materias

Ampèrecorriente de, 2densidad superficial de corriente de,

14densidad volumétrica de corriente

de, 14ley de circuitos de, 52ley generalizada de, 16

amplitudes complejas, 75constantes, 79

ángulo crítico, 104ángulo de

Brewster, 101incidencia, 95reflexión, 95refracción, 95transmisión, 95

aproximacióncuasielectrostática, 119cuasiestacionaria, 116cuasimagnetostática, 121

atenuación, constante de, 90atenuación de potencia, coeficiente de,

94autoinducción, coeficiente de, 123autoinductancia, 123

interna por cuadro, 137interna por unidad de longitud, 144

y anchura, 137

Biot-Savart, ley de, 54Brewster, ángulo de, 101buen conductor, medio, 94

caída de potencial, 162caja negra, 184

campo(s)asociados a las acumulaciones de

carga, 122complejos, 75de inducción, 122de inducción magnética, 1eléctrico, 1electromotor, 12, 44externo, 12magnético, 1, 14

intensidad de, 14magnetostático, 51tangencial total en la trayectoria Γpor la superficie del conductor, 153total dentro del generador, 149

capacidad, 32coeficientes de, 31

capacitancia, 32distribuida, 180

capacitor, 32carga, campos asociados a las acumula-

ciones de, 122carga de polarización

densidad superficial de, 6densidad volumétrica de, 2, 6

carga libredensidad lineal de, 4densidad superficial de, 4densidad volumétrica de, 2, 4

carga ligada, densidad volumétrica de,2

carga puntual, 5carga total, densidad volumétrica de, 2circuito, momento dipolar magnético

del, 59circuito filiforme, 11

210 ÍNDICE ALFABÉTICO DE MATERIAS

circuito magnético, 59circuitos magnéticos constituidos por

materiales lineales, 62coeficiente(s) de

atenuación de potencia, 93autoinducción, 123autoinducción externa, 155

del arrollamiento, 160autoinducción interna, 137capacidad, 31Fresnel, 101inducción, 31inducción mutua, 125influencia, 31potencial, 31reflexión, 102

de amplitud, 101transmisión, 102

de amplitud, 101condensador, 32conducción del calor, ecuación de, 77conductividad eléctrica, 12conductividad equivalente, 86conductor perfecto, medio, 43constante de

atenuación, 90fase, 90

constante dieléctrica, 7compleja, 86

constantes ópticas, 86, 87contraste de

Coulomb, 122Lorentz, 19

corriente de Ampère, 2densidad superficial de, 14densidad volumétrica de, 14

corriente de conducción, 2densidad de, 9

corriente de convección, 2densidad de, 8

corriente de magnetizacióndensidad superficial de, 14densidad volumétrica de, 2, 14

corriente de polarización, 13densidad volumétrica de, 2

corriente equivalente, 2densidad superficial de, 14densidad volumétrica de, 14

corriente libre, 8densidad de, 8, 120densidad superficial de, 9densidad volumétrica de, 2, 8

corriente por unidad de anchura, 136corriente total en la materia, densidad

volumétrica de, 2Coulomb

contraste de, 122ley de, 28

cuasielectrostática, aproximación, 119cuasiestacionaria, aproximación, 116cuasimagnetostática, aproximación,

121

ddp (diferencia de potencial), 162densidad de corriente de

conducción, 9convección, 8desplazamiento, 120, 173, 174

densidad de corriente libre, 8, 120densidad lineal de carga libre, 4densidad superficial de

corriente de Ampère, 14carga de polarización, 6carga libre, 4corriente equivalente, 14corriente libre, 9corriente de magnetización, 14polo magnético, 54

densidad volumétrica decarga de polarización, 2, 6

ÍNDICE ALFABÉTICO DE MATERIAS 211

carga libre, 2, 4carga ligada, 2carga total, 2corriente de Ampère, 14corriente de magnetización, 2, 14corriente de polarización, 2corriente equivalente, 14corriente libre, 2, 8corriente total en la materia, 2polo magnético, 54

desplazamiento, densidad de corrientede, 120, 173, 174

desplazamiento eléctrico, 7desplazamientos virtuales, método de

los, 34, 131dieléctrico imperfecto, medio, 93dieléctrico perfecto, medio, 19diferencia de potencial, 162difusión, ecuación de, 77dipolo eléctrico, 38dipolo magnético, 62dispersión, relación de, 79dispersivas, ondas, 90distorsión de la señal, 90

ecuación decontinuidad, 11Laplace, 30, 47, 57ondas, 19, 75, 77Poisson, 27, 29, 53, 55difusión, 77conducción del calor, 77

ecuaciones deFresnel, 101Maxwell, 3, 16

efecto Joule, potencia instantánea disi-pada por, 22

efecto pelicular, 135elementos capacitivos, 162elementos de circuito, 162

elementos inductivos, 163energía eléctrica, 21energía electromagnética, 21energía electrostática, 33energía magnética, 21, 128

fase, constante de, 90Faraday

ley de, 16, 70inducción de, 70

fem (fuerza electromotriz), 69de movimiento, 71de transformador, 71del generador, 45

flujo externo, 155flujo magnético, ley de conservación

del, 16fmm (fuerza magnetomotriz), 61Fresnel

coeficientes de, 101ecuaciones de, 101

fuerza de Lorentz, 1fuerza eléctrica, 1fuerza electromotriz (fem), 69

del generador (fem), 45fuerza electrostática, 34fuerza magnética, 1, 57, 130fuerza magnetomotriz (fmm), 61

galileana, transformación, 68Gauss, ley de, 16generador, fuerza electromotriz (fem)

del, 45

imanación, 13impedancia de elemento de circuito,

167impedancia interna, 137, 153

por unidad de longitud, 144impedancia intrínseca, 80

214 ÍNDICE ALFABÉTICO DE MATERIAS

Snell, ley de, 97susceptibilidad eléctrica, 7susceptibilidad magnética, 15

tangente de pérdidas, 86tensión, 116tiempo de relajación del medio, 74transformación galileana, 68transmisión

ángulo de, 95coeficiente de, 102de amplitud, coeficiente de, 101

transmitancia, 102trayectoria exterior al elemento, 183

vacíopermeabilidad magnética del, 3permitividad eléctrica del, 3velocidad de la luz en el, 3

vector de onda, 79complejo, 88

vector de Poynting, 23vector de propagación de una onda,

79velocidad de fase, 79, 90

compleja, 87velocidad de la luz en el vacío, 3voltaje entre A y B medido a través del

camino Γ , 158

electromagnetismo - compendio de teoria

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