elasticidad y fluidos1

Elasticidad y fluidos

Elasticidad Tensión y deformación

2Profesor Daniel Fernández Palma

F

Esfuerzo normal Deformación longitudinal

Elasticidad

Tensión y deformación

3Profesor Daniel Fernández Palma

Posición de la marca con F

F

Posición de la marca sin F

S

n = FS

n =

Ley de Hooke: n = En

n

E = Módulo de Young

Esfuerzo normal Deformación longitudinal

Profesor Daniel Fernández Palma 4

Sustancia

Módulo de Young (GPa)

Resistencia a la tracción (MPa)

Resistencia a compresión. (MPa)

Acero 200 520 520Cabello 196 Hueso compacto

16 tracción9.4 compr. 121 167

Huesoesponjoso

0.17 tracción0.088 compr. 1,2 1,9

Tendón 0.02 Vaso sanguíneo 0.0002

Colágeno 1.00 50-100 Goma 0.0010 Lino 15 200 Elastina 0.0006


En algunos materiales, la tensión no solo depende de la deformación sino de la velocidad a la que se produce la deformación. Puede necesitar mas tensión para estirarla mas rápidamente que para estirar lentamente y mas tensión para estirarla que para mantener una tensión fija. Estos materiales se denominan viscoelasticosAun otros materiales presentan histéresis, la relación tensión deformación es diferente cuando el material esta siendo estirada que cuando se le permite que regrese a su estado sin estirar


0 10 20 30

100 -

80 -

60 -

40 -

20 -

0

VO

LU

ME

N P

UL

MO

NA

R %

TL

C

PRESION DE RETRACCION ELASTICA cm H2O

Curva de histéresis presión-volumen del pulmón normal


El esfuerzo cortante

S

(a)

F

h

(b)

s =FSS

s =h

s = Gs

Módulo de corte: G

dy

dx

s =dxdy


Presión Hidrostática Deformación Volumétrica

σ = p = (Pa)F

S

B = Módulo de compresibilidad

Compresibilidad K =

𝐊=−𝟏𝐕

∆𝐕∆𝐩

V V

V =

Ley de Hooke p = B V

1

B


Ejemplo: Comparando compresibilidades

agua: 4.7610 – 10 Pa –1

aire: 9.8710 – 6 Pa – 1Razón = 4.8210 – 5

El agua es prácticamente incompresible respecto al aire

En buceo profundo: - La presión del agua reduce la expansión normal de los pulmones - La presión del aire que se respira aumenta al doble o el triple de su valor normalEl esfuerzo muscular se eleva muy por encima de sus valores normales


F3 F4

F5

F6

F2

F1

dz

dm g

Volumen liquido en equilibrio, cubo de agua en agua

xy

z

pequeñas cantidades diferencialesEjemplo: dm = diferencial de masa

Suma de fuerzas = 0

dp = – f gdz

p = po – f g z

HIDROSTATICA

p = F / S dF = dp S

densidad () = masa/volumen

= m / V dm = dV

S

dV = S dz


Presión manométrica: presión solo debido al liquido

p = po – f g z pman = fgh

En tal caso: po = 0; profundidad z = - h

Presión atmosférica (po): presión debida al peso del aire atmosférico. Es equivalente a la presión manométrica de una columna de mercurio de 760 mm de altura po = 760 mmHgpo = H2Ogh = 136009.80.760 = 1.013105 Pa

Presión atmosférica po = 101 kPa

Presión absoluta: p = po + pman


F3 F4

F5

F6

F2

F1

F3 = F4 = F5 = F6

dz

dm g

Volumen liquido en equilibrio, cubo de agua en agua

F1 – F2 – dm g = 0

xy

z

– (F2 – F1 ) – dm g = 0

– dp S – dm g = 0

– dp S – f Sdz g = 0

dp = – f gdz

p = po – f g z


La flotabilidad

E = gV

W = dm g

x

z

De dp = – f gdz se tiene:

Gradiente de presión: fuerza/volumen

– = f g

dpdz

Nm3

fuerzavolumen

Fuerza neta o peso efectivo:

F = – ( – f)gVF = E – W = – (W – E)

y


Animales marinos: f F 0 Animales terrestres: >> f F W


La centrifugadora

Sp Sp'

rdr

OFc

z Equilibrio: Sp – Sp' + Fc = 0 – S(p' – p) + (dm)ac = 0

p' – p = dp , dm = Sdr , ac = 2r dp = 2r dr

Si p = po en r = 0 p = ½ 2r2 + po

dm


Separación de solutos mediante la centrifugadora

Sp Sp'

r rO

Fc

z

Fuerza neta sobre el soluto de densidad dentro de un fluido de densidad f

F = (m)ac– S(p' – p)

m m = V = Srp' – p = f 2rr

F = ( - f) V 2r

F = Fc + Sp – Sp' (fuerza neta)


Fluidos en movimiento

Flujo laminarVelocidad en cada punto de la línea de flujo no depende del tiempo.

Flujo turbulentoLa velocidad en cada punto de la línea de flujo varia con el tiempo


Intensidad de corriente o volumen corriente Q

Q = , [Q] = m3/s o Lit/min Vt

Q = Av

Densidad de corriente j

j = = v [ j ] = m/s

QA

A1 A2v1 v2

A1v1 = A2v2


Fluidos ideales y Fluidos reales

Perfil parabólicoFluido real

Fluidos ideales: Son incompresibles y no viscosos

Fluidos reales: Son compresibles y de viscosidad muy variada

Perfil planoFluido ideal


x

yvx = v

F

vx = 0

F

Viscosidad

Perfil parabólicodel flujo laminar

S

dvx dy


La tensión cortante sobre un fluido genera una deformación continua

La tensión de corte es proporcional al gradiente de velocidad

F dvx S dy

=

= coeficiente de viscosidad

F/S dvx/dy

=

[] = Pa.s [] = Poise

1 Pa.s = 10 poise


Flujo viscoso en un tubo. Ley de Poiseuille

– p r2

x

r

dr

2rx(dv/dr) fuerza viscosa

v

v = f (r) v = (R2 – r2) 1 p4 x


Flujo viscoso en un tubo. Ley de Poiseuille

v

v = (R2 – r2) 1 p4 x

Q = v dS , dS = 2r dr

R

0

Q = R4 p 8 x


Ejemplo: conducción a través de un poro en la membrana de un glomérulo del riñón

R = 5 nmp = 15.4 mmHg = 132.815.4 = 2045.12 Pah = 1.410 – 3 Pa.sx = 50 nm

Q = (510 – 9)4 2045.12 8(1.410 – 3) (5010 – 9)

Q = 7.1710 – 21 m3/s


R(x)

x

z(x)

x2

x1

Caso generalAdemás de su naturaleza viscosa el fluido puede acelerar y su peso es importante

p = pvisc (viscosidad)

+ pgrav (peso)

+ pace1(posición)

+ pace2(tiempo)


pvisc =

pvisc: Presión a superar debido a una fricción

viscosa

𝒗=𝑸

𝝅 𝑹𝟐(𝒙), v = 2 , 𝒅𝑭

𝒅𝑨=𝜼

𝒅𝒗𝒅𝒓

dF = (dp)r2 , dA = 2r dx

8Q

x2

x1

𝒅𝒙𝑹𝟒(𝒙)

𝚫𝒑=𝟖𝜼𝑸𝝅 𝑹𝟒 𝑳


pgrav: Presión debido al efecto gravitatorio

pgrav = g(z2 – z1)


pace1: la velocidad en cada punto fijo no cambia

(flujo estacionario) pero la velocidad cambia de un punto a otro

pace1 =

ds

A

Masa del elemento de fluido dm = Ads

dF = (Ads) = A v dv dp = v dv dvdt


pace2: aceleracion por cambio de velocidad en el

tiempo en cada punto fijo (flujo turbulento)

𝒅𝑭=−𝑨𝒅𝒑=𝒅𝒎(𝝏𝒗𝝏 𝒕 )=𝝆 𝑨(𝝏𝒗𝝏 𝒕 )𝒅𝒔

∆𝒑𝒂𝒄𝒆𝟐=𝝆∫𝒔𝟏

𝒔𝟐

(𝝏𝒗𝝏 𝒕 )𝒅𝒔


Ecuación de Bernoulli para el flujo no viscoso en régimen estacionario (v/t = 0)

𝒑𝟏−𝒑𝟐=𝝆𝒈 (𝒛𝟐− 𝒛𝟏 )+𝟏𝟐 𝝆 𝒗𝟐𝟐−

𝟏𝟐𝝆𝒗𝟏

𝟐

𝒑𝟏+𝝆 𝒈𝒛𝟏+𝟏𝟐𝝆 𝒗𝟏

𝟐=𝒑𝟐+𝝆 𝒈𝒛𝟐+𝟏𝟐𝝆 𝒗𝟐

𝟐

𝒑+𝝆 𝒈𝒛+𝟏𝟐𝝆𝒗𝟐=𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆


Trabajo Presión-volumen

Fg Fe

SFg

Fg = fuerza expansiva del gasFe = fuerza externa equilibrante


p

V

Trabajo realizado por un gas cuando se expande

dWg = Fg dx

Fg = p S

dWg = p Sdx = p dV

Trabajo realizado por la fuerza exterior: Fe = - Fg

dWe = - p Sdx = - p dV


Trabajo necesario para respirar

p

pa

pt

p = presión en la narizpa = presión en los alveolos

Trabajo realizado por los alveolos sobre el aire

𝑾 𝒈=−∫𝒑𝒂𝒅𝑽

pt = presión en el tóraxpa > pt pa - pt = presión de retracción elástica


-(p-p)V = trabajo sobre el gas en la INSPIRACION

-(p+p)V = trabajo sobre el gas en la ESPIRACION

(p+p)V = trabajo neto sobre el gas en el CICLO


A

B

C V

p

AB = trabajo durante la inhalación BC = trabajo durante la exhalación

p = presion de retracción elástica

Área ABC = trabajo neto representa el calentamiento por fricción del tejido pulmonar


El sistema circulatorioCirculación pulmonar – 9%

Corazón – 7%

Aorta

Vena cavaSuperior

Vena cavaInferior Arterias 13%

Arteriolas yCapilares - 7%

Venas, vénulas, senos venosos- 64%

Sistema de vasos

Resistencia vascular

𝑹𝒗=∆𝒑𝑸

[Rv]=Pa.sm3

torr.minml

URP =

𝑹𝒗=𝟖∆ 𝒙

𝑹𝟒


Resistencias en serie y en paralelo

R = R1 + R2 + R3 + ………

𝟏𝑹

=𝟏𝑹𝟏

+𝟏𝑹𝟐

+𝟏𝑹𝟑

…… . .

En capilares

Caudal típico del corazónQ = volumen sistólico frecuencia de pulsos

= 60 ml.beat-1 80 beat.min-1

= 4800 ml. min-1 = 0.08 l/s = 288 l/h = 6912 l/dia = 8.010-5 m3 /s


Resistencia vascular total

𝑹=∆𝒑𝑸

=𝟏𝟎𝟎 𝒕𝒐𝒓𝒓×𝟏𝟑𝟑 𝑷𝒂 .𝒕𝒐𝒓𝒓 −𝟏

𝟖𝟎×𝟏𝟎−𝟔𝒎𝟑𝒔−𝟏

𝑹=𝟏 .𝟔𝟔×𝟏𝟎𝟖𝑷𝒂 . 𝒔 .𝒎−𝟑

𝑹=𝟐𝟎 .𝟖𝑼𝑹𝑷


Válvulas aorticas abiertas

Volumen ventricular, ml

llenado

contracción

Pre

sión

, tor

r

120 –

100 –

80 –

60 –

40 –

20 –

0 –

0 20 40 60 80 100

Trabajo Presión-volumen del ciclo cardiaco

I. Llenado ventricular

II. Contracción isovolumetrica

III. Impulsión de la sangre hacia la aorta

IV. Recuperación de la energía

Trabajo = Área


Trabajo realizadoen un ciclo

W = 6600 mltorr = 0.88 J

A 80 latidos por minuto la potencia esP = 0.88 J 80 beat / 60 s = 1.2 W

Volumen sistólico V = 100 -35 = 65 ml

Gasto cardiaco Q = 65 ml.beat-1)(80 beat/60 s)

Q = 8710-6 m3s-1

área limitadapor la curva


Flujo Turbulento y Numero de Reynolds

Además de la viscosidad, el peso del fluido y las aceleraciones, cuatro efectos mas se apartan del flujo de Poiseuille

1. Las turbulencias2. Desviaciones del perfil parabólico3. Elasticidad de las paredes del recipiente4. Viscosidad aparente dependiente de la fracción de

volumen de la sangre ocupada por los eritrocitos y del tamaño del vaso

La importancia de la turbulencia queda determinada por un numero adimensional NR


denominado el numero de Reynolds 𝑵 𝑹=𝝆 𝒗𝑳𝜼

Donde: = densidad del fluido, v y L , la velocidad y longitud característicos y la viscosidad

Cuando NR es mayor que algunos millares el flujo es turbulento

Los flujos con el mismo NR son idénticos

Si NR es alto predominan los efectos inercialesSi NR es bajo predominan los efectos viscosos, no hay aceleraciones por que las fuerzas externas se compensan con las fuerzas viscosas


EjemploPorción de fluido de longitud x, bajo una diferencia de presión p

Fuerza neta = R2p

p

x

𝒗

Trabajo neto: Wvisc = R2p.

Energía cinética: Ek = R2


𝑪𝒐𝒏𝑸=𝝅 𝑹𝟐𝒗=𝝅 𝑹𝟒∆𝒑

𝜼∆ 𝒙𝒚 𝑵 𝑹=

𝝆 𝒗𝑹𝜼

𝒓𝒆𝒔𝒖𝒍𝒕𝒂 :𝑬𝒌

𝑾 𝒗𝒊𝒔𝒄=𝑵 𝑹

𝟏𝟔𝝃;𝚫 𝒙=𝝃 𝑹

Para NR alta predominan los efectos inerciales y para NR baja predominan los efectos viscososEn la naturaleza los movimientos se dan con un números de Reynolds que difieren en 16 órdenes de magnitud: Ejemplo el movimiento de una ballena (NR = 200 000 000) y el movimiento de una bacteria (NR = 0.000001)


Esto indica que el movimiento de los animales en la naturaleza responden a dinámicas muy distintas

elasticidad y fluidos1

Documents