el romántico nórdico: abel
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El romaacutentico noacuterdico Abel wwwlibrosmaravillososcom Carlos Saacutenchez y Teresita Noriega
1 Preparado por Patricio Barros
El romaacutentico noacuterdico Abel wwwlibrosmaravillososcom Carlos Saacutenchez y Teresita Noriega
2 Preparado por Patricio Barros
Resentildea
Este libro pretende mostrar coacutemo se forjoacute el genio de Abel Coacutemo
influyoacute su circunstancia en la formacioacuten de un caraacutecter firme y
tenaz Coacutemo fue creciendo su pasioacuten desmedida maacutes que por la
matemaacutetica pura por la pureza de la matemaacutetica Primero
presentamos su medio familiar sobre todo al padre exigente
mientras que en Noruega creciacutea el sentimiento de independencia
Despueacutes desvelamos algo de su legado cientiacutefico y mostramos por
queacute puede ser reconocido como uno de los grandes matemaacuteticos del
periodo romaacutentico
Carlos Saacutenchez Fernaacutendez es doctor en matemaacuteticas por la
Universidad Lomonoacutesov de Moscuacute y catedraacutetico de historia de la
matemaacutetica de la Universidad de La Habana Es autor de
numerosos artiacuteculos y libros entre ellos De los Bernoulli a los
Bourbaki
Teresita de Jesuacutes Noriega Saacutenchez es catedraacutetica de aacutelgebra en la
Universidad de La Habana Ha publicado artiacuteculos cientiacuteficos sobre
teoriacutea de grupos y sobre educacioacuten matemaacutetica
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3 Preparado por Patricio Barros
Iacutendice
Agradecimientos
Introduccioacuten
1 Asiacute se forjoacute un genio
2 Viaje a traveacutes del reino de Gauss y Cauchy
3 El misterio de la quiacutentica
4 Duelo de titanes Abel Jacobi y las funciones eliacutepticas
5 A manera de epilogo La herencia abeliana
Cronologiacutea
Los premios Abel y los premios Ramanujan
Bibliografiacutea comentada
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A tiacute que en cualquier rincoacuten oscuro
de la Tierra con firmeza y tesoacuten
haces tu luz propia
Agradecimientos
Son muchos los maestros a quienes deberiacuteamos agradecer Pero nos
decidimos por citar aquiacute solo a los que con sus amables diligencias
nos han permitido consultar la literatura necesaria para
documentar esta niacutevola matemaacutetiacuteca sobre Niels Abel Nos queremos
referir a los profesores Fernando Bombal Luis del Pozo y Mariano
Martiacutenez de la Universidad Complutense Luis Espantildeol de la
Universidad de La Rioja y Josep Llombart de la Universidad del Paiacutes
Vasco Todos ellos nos facilitaron el acceso a diferentes bibliotecas y
nos permitieron confrontar muchas de las ideas que exponemos en
el libro con colegas de Madrid Logrontildeo y Bilbao
Nuestra gratitud para el Dr Didier Dacunha-Castell cuya gestioacuten de
buena voluntad nos permitioacute utilizar los ricos fondos bibliograacuteficos
de las universidades Paris Sud y Jussieu en maacutes de una ocasioacuten
Agradecemos tambieacuten la amable y raacutepida respuesta del Dr Gert
Schubring del Institut fuumlr Didaktik der Mathematik de la
Universidad de Bielefeld con la valiosa relacioacuten de todas las obras
de Carl Jacobi
Los participantes del seminario de Cultura Matemaacutetica en la
Universidad de La Habana tanto profesores como estudiantes con
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su paciente atencioacuten sus consejos y su estiacutemulo han colaborado a
que esta obra pueda presentarse a sus lectores
Un reconocimiento muy especial a nuestra iacutentima amiga y fiel
compantildeera Concepcioacuten Valdeacutes Castro que con esmero ha leiacutedo
cada liacutenea de este libro y con sus criacuteticas atinadas nos ha ayudado
ostensiblemente a mejorar su calidad
Ambos autores se sienten obligados a expresar su sincera gratitud a
la Editorial NIVOLA y particularmente al director de esta coleccioacuten
Antonio Peacuterez Sanz quieacuten confioacute en nuestra habilidad para nivolar
la vida y la obra de este paradigma de puro matemaacutetico del periodo
romaacutentico
Todos los mencionados deben considerarse partiacutecipes de los
posibles meacuteritos de esta obra Los uacutenicos culpables de cualquier
imprecisioacuten deficiencia o error somos nosotros los autores
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Introduccioacuten
ldquoMe parece que si alguien quiere
avanzar en matemaacuteticas debe
estudiar a los maestros y no a los
disciacutepulos
Niels Henrik Abel
Conociacute al maestro Abel cuando auacuten no me habiacutea decidido por las
mates Muchas caracteriacutesticas de la vida y de la obra del joven me
inspiraron simpatiacutea y me estimularon a sumergirme en su mundo
de ecuaciones y funciones Lo que leiacute entonces me hizo pensar que
ser como Abel era cosa de elegidos por los dioses de gente de otros
mundos Despueacutes he tenido oportunidad de conocer a joacutevenes con
condiciones y caracteriacutesticas de vida muy similares a las de Abel y
con un talento para las matemaacuteticas extraordinario Muchos de los
que he conocido realmente han sido de otros mundos Nacidos en
rincones apartados del planeta han tenido que batallar mucho para
encontrar su camino Algunos ya tienen su lugar en la historia al
menos en la de sus pequentildeos paiacuteses Otros auacuten lo estaacuten buscando
aquiacute o allaacute Todos los que he conocido tienen algo comuacuten ninguno
ha tenido un espiacuteritu liliputiense Aunque a veces la falta de luz a
su alrededor los haya hecho caer se han levantado y no han dejado
de hacerlo
La Noruega de Abel no tiene mucho que ver con la Noruega actual
Desde hace varias deacutecadas los paiacuteses noacuterdicos presentan un nivel
econoacutemico y social muy avanzado Particularmente Noruega en los
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uacuteltimos informes del Programa de Desarrollo de las Naciones Unidas
se mantiene en el primer lugar como el paiacutes que posee el mayor
iacutendice de desarrollo humano No obstante Noruega comenzoacute el siglo
XIX unida al Reino de Dinamarca pasoacute por un despiadado bloqueo
britaacutenico de casi 10 antildeos y quedoacute anexada al Reino de Suecia
hasta que a principios del siglo XX alcanzoacute su plena independencia
Durante todo el siglo XIX fue un territorio en viacuteas de desarrollo de
clima muy hostil con una densidad de poblacioacuten muy baja y un
pobre nivel cultural En tales condiciones precarias crecioacute y creoacute
Niels Abel
Escribir sobre Abel era un viejo anhelo Deseaba comunicar a otros
los mismos sentimientos que experimenteacute al saber sobre su vida
Niels Abel vivioacute solo 26 antildeos y 8 meses pero su imagen evoca
mucho de los espiacuteritus romaacutenticos Abel es una especie rara de
heraldos de la ciencia Junto a Galois que tambieacuten vivioacute poco pero
con la pupila insomne nos comunicoacute que lo maacutes importante para
trascender no es gozar del reconocimiento oficial sino tener pasioacuten
por la ciencia claridad en los objetivos y firmeza en la accioacuten
Laacutestima que yo no sea como aquellos escaldos noacuterdicos que
cantaban las hazantildeas de sus heacuteroes y estimulaban a sus pueblos a
seguir sus ejemplos Esta vez he acudido a mi amiga Teresita de
Jesuacutes Noriega para que me ayudara a hacer un relato de la vida y
la obra de este joven puramente cristiano sin caer en la tentacioacuten de
la tragedia o el melodrama Para presentar a Niels Henrik Abel
pasando por las principales vicisitudes pero no como un viacutea crucis
para mostrarlo tal como fue con su ropaje humilde pero sin corona
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de espinas Queriacuteamos exponerlo a los lectores temerario como
Aquel que anduvo en la mar y no con la resignacioacuten de Aquel que
murioacute en la cruz iquestLo habremos logrado
El periodo romaacutentico no tiene fronteras fijas Para nosotros es el
periodo de las revoluciones Del liberalismo econoacutemico y el
radicalismo filosoacutefico De un caraacutecter congenial con la tradicioacuten y la
iacutendole nacionalista Se enmarca entre la Revolucioacuten social en la
Francia monaacuterquica de 1789 y las revoluciones populares de 1848
que estremecieron Europa Todo esto matizado por la otra
Revolucioacuten la industrial que comenzoacute con visos britaacutenicos en el
siglo XVIII y se fue lentamente propagando por el continente Es el
ascenso vertiginoso del capitalismo y la formacioacuten de una capa
intermedia en la sociedad con muchos anhelos y maacutes desilusiones
Quizaacute sea un iacutendice aproximado el grado de opresioacuten en que el
pueblo se encuentre para que el romanticismo se exprese en el
fervor patrioacutetico seguacuten acontecioacute en Hungriacutea Polonia o Rusia O un
largo periacuteodo previo de agitacioacuten o prosperidad para que predomine
la evocacioacuten y la fantasiacutea como en Francia Prusia e Inglaterra El
romanticismo noacuterdico que le tocoacute sentir a Abel es una conciliacioacuten
de ambos
Y en matemaacuteticas es el periodo de la algebrizacioacuten del anaacutelisis que
se abre con la Teoriacutea analiacutetica de las funciones de Lagrange y
continuacutea con el Anaacutelisis algebraico de Cauchy Es la eacutepoca de las
Disquisitiones arithmeticae de Gauss y la teoriacutea de Galois
resucitada por Liouville Es cuando los herejes fundan las
geometriacuteas no euclidianas y los sistemas hipercomplejos no
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conmutativos y no asociativos Es el momento en que se toma
conciencia de la necesidad de fundamentar para despueacutes construir
en terreno soacutelido En probar que los entes existen antes de usarlos
indiscriminadamente Es la eacutepoca de exaltacioacuten de la matemaacutetica
pura la que Abel en su mandato efiacutemero pero de ejercicio firme y
persistente representa como el elegido en los paiacuteses noacuterdicos
La obra se divide en cinco capiacutetulos Los dos primeros pretenden
mostrar coacutemo se forjoacute el genio de Abel Coacutemo influyoacute su
circunstancia en la formacioacuten de un caraacutecter firme y tenaz Coacutemo
fue creciendo su pasioacuten desmedida maacutes que por la matemaacutetica
pura por la pureza de la matemaacutetica Primero presentamos su
medio familiar sobre todo al padre exigente durante los antildeos duros
del bloqueo britaacutenico mientras que en Noruega crece el sentimiento
de independencia Despueacutes lo veremos en la vida acadeacutemica en sus
lecturas de los maestros que pronto aprenderaacute a apreciar maacutes que
si son disciacutepulos Pero quizaacutes su mejor escuela la encontraraacute en los
reinos de Gauss y Cauchy a traveacutes de un viaje de casi 2 antildeos El
mismo Abel dice despueacutes de este viaje estoy trabajando con mucho
maacutes vigor que antes Es en este viaje donde comprende lo difiacutecil que
es vivir entre los vivos y decide cuaacutel debe ser su liacutenea de accioacuten
matemaacutetica iexclLaacutestima que solo le quedaran escasamente dos antildeos
de vida
Los siguientes dos capiacutetulos versan sobre la principal obra de Abel
la teoriacutea de las ecuaciones algebraicas de grado mayor o igual a
cinco y la fundacioacuten de una nueva ciencia acerca de las funciones
inversas de las integrales de fracciones con irracionalidades Nos
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hemos esforzado en presentar estos temas de nivel matemaacutetico
universitario de la forma maacutes elemental posible pero sin vulgarizar
Porque no merecen conocerse de tal forma Hemos procurado un
estilo accesible a un lector que amante del desafiacuteo intelectual de la
matemaacutetica moderna auacuten desconozca el aacutelgebra abstracta y el
anaacutelisis complejo
Por uacuteltimo a manera de epiacutelogo desvelamos algo del legado de Abel
A traveacutes de otro de sus temas preferidos la sumacioacuten de series
infinitas nos propusimos acentuar su estilo riguroso en la
buacutesqueda de la pureza de la matemaacutetica Asiacute como hace el poeta al
concebir su obra procurando que sus metaacuteforas digan con poco
mucho asiacute mismo Abel clarifica el lenguaje de la matemaacutetica
Un cientiacutefico debe ser juzgado ademaacutes de por el valor intriacutenseco de
su obra por la influencia que ejerce sobre otros cientiacuteficos que lo
perpetuacutean Liouville y Hermite en Francia Riemann y Weierstrass
en Alemania Sylow y Lie en la misma Noruega nos bastan para
afirmar que indiscutiblemente Niels Henrik Abel puede ser
reconocido como uno de los grandes matemaacuteticos del periacuteodo
romaacutentico no solo en los paiacuteses noacuterdicos Con mayor precisioacuten
Abel es El romaacutentico noacuterdico
Carlos Saacutenchez Fernaacutendez
Ciudad de La Habana 6 de abril
de 2005 En el diacutea del 176
aniversario del fallecimiento de
Niels Henrik Abel
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Capiacutetulo 1
Asiacute se forjoacute un genio
La matemaacutetica es una empresa
espiritual el desarrollo metoacutedico
del genio
Novalis (1772-1801)
sect En familia
Niels Henrik Abel fue el segundo hijo de la unioacuten de las familias
Abel y Simonsen Ambas teniacutean raiacuteces en Dinamarca y viajaron a la
tierra de oportunidades al norte en Noruega Mathias y Jacob
llegaron de Abild regioacuten fronteriza en disputa entre Alemania y
Dinamarca en el siglo XVII y fundaron una familia que pronto se
labroacute una reputacioacuten de honestos funcionarios puacuteblicos los Abel
Simoacuten Nielsen que llegoacute a principios del XVIII de Saxild en la
Dinamarca central y cuyos negocios madereros pronto le dieron
prestigio y poder fundoacute la familia Simonsen en Riser una proacutespera
ciudad al sureste de Noruega Los Abel ganaron renombre como
magistrados y pastores luteranos brindando sus servicios a los
necesitados su dignidad era su fortuna los Simonsen eran haacutebiles
exportadores de maderas se dedicaron a la construccioacuten de barcos
y pronto formaron parte de la nueva aristocracia dominante
sect El padre de Niels
Soslashren Georg Abel ganoacute prestigio desde joven como cristiano
ilustrado y bondadoso Lo habiacutean enviado a estudiar a la Escuela
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Latina de Elsinor porque el rector Niels Treschow teniacutea prestigio
como pedagogo interesado en brindar una formacioacuten integral y
moderadamente liberal
Escenarios de la vida de Niels Abel en Noruega Nedstrand donde
nacioacute Froland donde murioacute Risdr donde nacioacute su madre Gjerstad
donde pasoacute su infancia Cristianiacutea actual Oslo la capital de Noruega
donde estudioacute Son donde trabajoacute su novia Crelly
Alliacute encontroacute Soslashren Georg las ideas humanistas del iluminismo
Elsinor es un puerto mariacutetimo en una isla cercana a Copenhague y
se considera una de las maacutes bellas ciudades de Dinamarca popular
porque su famoso castillo de Kronborg sirvioacute de escenario al Hamlet
de Shakespeare No habiacutea nada maacutes placentero para el joven que
sentarse al amanecer en una de las colinas y contemplar el sol
naciente sobre la costa alta de Suecia mientras las campanas de la
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mantildeana tantildeiacutean y los guardacostas daneses saludaban el nuevo diacutea
con salvas de cantildeones La Escuela de Elsinor significoacute tambieacuten el
alba para sus proyectos vitales De ahiacute pasoacute a la Universidad de
Copenhague donde se comenzaban a introducir en cierto grado las
ideas de la cultura del intelecto Por esos antildeos se habiacutean establecido
asignaturas extraordinarias de esteacutetica historia de la literatura
historia natural y sin coste adicional alguno se podiacutean seguir
cursos de lenguas modernas Por supuesto que todaviacutea el meacutetodo
cientiacutefico se veiacutea con desconfianza y el latiacuten seguiacutea siendo la lengua
de las ceremonias acadeacutemicas y de los exaacutemenes Lo que se
pretendiacutea era simplemente reconciliar el viejo humanismo cristiano
con el nuevo realismo romaacutentico El radicalismo proveniacutea de las
noticias sobre las revueltas por la emancipacioacuten de las colonias en
Ameacuterica y de las ideas de libertad igualdad y fraternidad en la
cercana Francia Soslashren Georg retornoacute a Gjerstad con 20 antildeos
cumplidos imbuido de las ideas de tributo a la utilidad y a la
inteligencia y en consecuencia de fe en la facultad humana de
resolver los misterios de la vida Llegaba a trabajar como capellaacuten
junto a su padre el diligente Hans Mathias Abel pastor de la
humilde parroquia de Gjerstad
Gjerstad era una comunidad algo aislada con difiacutecil acceso a la
orilla de un pequentildeo lago en un distrito montantildeoso en el sureste
aunque no en la parte maacutes salvaje de Noruega sino a una docena
de millas de la costa oeste del fiordo de Cristianiacutea La parroquia
estaba conformada por unas 56 familias de granjeros locales la
mayoriacutea sin preparacioacuten acadeacutemica Entusiasmado con las ideas de
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su padre de elevar el nivel cultural de la feligresiacutea Soslashren Georg creoacute
una sociedad de Lectores uniendo sus propios libros conseguidos en
Dinamarca a otros que se compraron con la ayuda de algunos de los
granjeros La mayoriacutea de los libros estaban orientados a dar
consejos praacutecticos para la vida rural y al proselitismo cristiano pero
entre los autores de los tiacutetulos donados por el joven habiacutea varios de
los poleacutemicos enciclopedistas franceses Por supuesto algunos
feligreses consideraban a la biblioteca como hereacutetica Hasta el
mismo pastor Hans Mathias vio con recelo poner a disposicioacuten de
sus parroquianos las obras del librepensador Voltaire que su hijo
habiacutea adquirido en Copenhague Pero sin duda este fue el origen
de una de las primeras bibliotecas populares del paiacutes que por
cierto auacuten existe en la actualidad De esta biblioteca elegiraacute maacutes
adelante Niels Abel sus primeras lecturas
Matrimonio e instalacioacuten en las islas Finnoy
En algunos fines de semana Soslashren Georg visitaba la costera y
proacutespera ciudad de Risor Alliacute conocioacute y simpatizoacute con Anne Marie
la mayor la maacutes bella y atractiva de las hijas de los ricos Simonsen
de Risar Extrantildeamente el patriarca de los Simonsen el magnate de
la navegacioacuten Niels Henrik Saxild Simonsen no puso objeciones al
compromiso Es posible que pensara que la acogida de un pastor
ilustrado en el seno de la familia podriacutea traer la bendicioacuten a sus
negocios y tornarlos maacutes distinguidos La cuestioacuten es que en mayo
de 1799 se casaron y aquellas dos familias tan diferentes
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mezclariacutean sus sangres en sus hijos que fueron tantos como seis
cinco varones y una dama
Poco maacutes tarde en el verano de ese mismo antildeo Soslashren Georg fue
nombrado vicario de la parroquia de las islas suroccidentales de
Finnoy A las islas se podiacutea llegar solo en bote tras una calamitosa
travesiacutea sobre todo para Anne Marie tan poco acostumbrada a los
aprietos Se establecieron en Finnoy en enero de 1800 la finca del
vicariato estaba bien abastecida con reses caballos y ovejas y seis
sirvientes tres hombres joacutevenes y tres damas que no dejaban
mucho que hacer a Anne Marie No se retrasoacute la ampliacioacuten de la
familia y poco despueacutes tuvieron su primer hijo que se llamoacute como
su abuelo paterno Hans Mathias Soslashren Abel pronto se consagroacute a
la elevacioacuten del nivel cultural de sus parroquianos y organizoacute una
sociedad de Lectores similar a la creada en Gjerstad que en un antildeo
llegoacute a tener 60 asociados Para eacutel esta actividad rendiacutea maacutes frutos
que cualquiera de los dogmaacuteticos sermones que en los uacuteltimos 10
antildeos habiacutean escuchado sus feligreses
El 5 de agosto de 1802 nacioacute nuestro biografiado en la parroquia de
Nedstrand en la regioacuten de Finnoy Le pondraacuten el nombre de su
abuelo materno Niels Henrik El pequentildeo Abel era de salud
delicada y durante sus primeros antildeos su madre tuvo que prestarle
mucha atencioacuten
sect De nuevo en Gjerstad
Un antildeo despueacutes del nacimiento de Abel llegoacute la noticia de que el
pastor Hans Mathias habiacutea muerto a los 65 antildeos Fue cremado
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seguacuten la tradicioacuten vikinga en las cercaniacuteas del lago de Gjerstad en
lo alto de una colina que dominaba todo el valle que tanto amoacute Este
suceso tan triste para la familia Abel abrioacute la oportunidad de volver
a Gjerstad mucho mejor situada y maacutes proacutespera que las islas de
Finnoy
Uno de los numerosos sellos que Noruega ha emitiacute do en homenaje a
Abel
En el verano despueacutes de 4 antildeos de ausencia Soslashren Georg Abel
sucedioacute a su padre como vicario de la parroquia de Gjerstad que lo
recibioacute con profunda satisfaccioacuten por ser el hijo de alguien tan
querido en la regioacuten y a quien ademaacutes ya conociacutean muy bien
Desarrolloacute una intensa actividad social en la biblioteca en las
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escuelas procurando empleo para los pobres vacunando a los
nintildeos del distrito y escribiendo un nuevo catecismo luterano
Desafortunadamente este catecismo fue atacado por ser demasiado
racionalista pero tambieacuten fue defendido por prominentes cleacuterigos
progresistas Su prestigio crecioacute raacutepidamente Soslashren Abel mejoroacute los
meacutetodos del cultivo de la patata tomoacute medidas para incrementar la
produccioacuten de alimentos y jugoacute un papel decisivo en propagar las
ideas de la independencia econoacutemica de Noruega y la lucha por la
explotacioacuten propia de los recursos naturales pronto se convirtioacute en
un verdadero liacuteder en la comunidad
sect Trafalgar y el bloqueo comercial
Mientras la monarquiacutea danesa-noruega se pudo mantener alejada
del epicentro de las guerras napoleoacutenicas el bienestar de la
poblacioacuten se hizo notorio En los primeros antildeos de la infancia de
Abel todaviacutea se hablaba de la eacutepoca dorada de la economiacutea noruega
Se exportaba madera hierro y pescado y se construiacutean
embarcaciones seguras Risor donde teniacutean su negocio los
Simonsen fue particularmente una de las ciudades maacutes
favorecidas por la bonanza econoacutemica en la encrucijada de los siglos
XVIII y XIX Sin embargo a partir de la batalla de Trafalgar de
1805 cuando el almirante Nelson destruyoacute la flota hispano-
francesa en la que tambieacuten estuvieron involucrados algunos
marinos daneses y noruegos los ingleses se envalentonaron y
comenzaron a hostigar a la corona danesa para que se coaligara
contra Napoleoacuten El 2 de septiembre de 1807 los ingleses sin
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declaracioacuten de guerra atacaron a la flota danesa-noruega en el
puerto de Copenhague y comenzaron un bloqueo naval para impedir
el comercio y con ello obligar a la capitulacioacuten de Dinamarca
Debido a la incomunicacioacuten entre Noruega y Dinamarca fue
creciendo el sistema poliacutetico independiente de Noruega y una parte
significativa de los noruegos comenzoacute a pensar que la poliacutetica de
Dinamarca estaba arruinando al comercio y a los negocios y que los
llevariacutea a la inanicioacuten En 1809 cuando Niels Henrik Abel teniacutea 7
antildeos hubo una hambruna generalizada en toda Noruega
sect Se consolida el liderazgo del pastor Abel
En Gjerstad bajo la diligente organizacioacuten del pastor Abel se
construyoacute un granero se racionaron los cereales se sembraron
patatas en el soacutetano del granero y el pastor conocedor de las
tradiciones vikingas recomendoacute la ingestioacuten moderada de carne de
caballo Para los vikingos la sangre de los caballos era la mejor
ofrenda a los dioses y en las fiestas de sacrificio uno de los
manjares siempre era la carne de los caballos ofrendados Con la
imposicioacuten de las normas cristianas se prohibieron los sacrificios y
con ellos la ingestioacuten de carne de caballo y enseguida la ley
comenzoacute a castigar con severidad a los incumplidores Pero ahora
con la hambruna Soslashren Georg pensoacute que esa era la solucioacuten
recobrar la tradicioacuten vikinga y que eacutel como guiacutea espiritual debiacutea
dar el ejemplo Asiacute que invitoacute a todos sus feligreses a una comida
donde el plato principal era la carne de caballo Con las penurias
que pasaban los convidados se olvidaron de las leyes y comieron
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con placer hasta sentirse satisfechos Desde ese diacutea dejoacute de ser un
tabuacute incluir en las comidas dicha carne
Desde 1807 la tiacutea Elisabeth se habiacutea mudado a Gjerstad con el
pretexto de ayudar a su hermana pero su objetivo principal era
otro Lo que pasaba era que el oficial daneacutes Peder Mandrup Tuxen
uno de los primeros y maacutes asiduos hueacutespedes de los Abel tras
trasladarse eacutestos a Gjerstad se habiacutea enamorado de la hermana de
la sentildeora Abel la dieciochoantildeera Elisabeth Marie Simonsen A pesar
de que el viejo Simonsen no consideraba digno de su hija al oficial
la relacioacuten se mantuvo gracias a que el vicariato de Gjerstad les
sirvioacute de centro para su romance
sect Los primeros maestros y ensentildeanzas
Desde su llegada a Gjerstad la tiacutea materna se habiacutea hecho cargo de
la educacioacuten primaria de los dos Abel mayores Hans Mathias de 7
antildeos y Niels Henrik de 5 Presumiblemente fue la tiacutea Elisabeth
quieacuten ensentildeoacute a leer y escribir a Abel y le hizo inteligible el catecismo
de su padre Como era costumbre en estos manuales el catecismo
de Soslashren Georg Abel estaba redactado en forma de preguntas y
respuestas con estilo retoacuterico y sin posibles variantes
interpretativas Seguro que el pequentildeo Abel aprendioacute de memoria
todas las respuestas a aquellas 300 y tantas preguntas donde se
trataba de explicar el verdadero significado de las cosas y las
acciones humanas seguacuten la doctrina cristiana
Ademaacutes de su catecismo Soslashren Georg confeccionoacute unos
cuadernillos para educar a sus hijos ldquoSobre puntuacioacuten y sus usosrdquo
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ldquoSobre monedas pesos y medidasrdquo ldquoSobre el arte de calcular con
las 4 operaciones aritmeacuteticas y sus reglas baacutesicas ldquoSobre el
aprendizaje de la lengua danesardquo ldquoSobre la historia de Dinamarca y
Noruega desde el nacimiento de Cristo hasta las guerras
napoleoacutenicas y ldquoSobre la descripcioacuten del mundo con una detallada
descripcioacuten de los paiacuteses noacuterdicos y un resumen de cada paiacutes
europeo y algunas particularidades de los demaacutes continentes
sect La madre de Niels Henrik
Y mientras Niels Henrik Abel recibiacutea la educacioacuten primaria de su
padre y de su tiacutea iquestdoacutende estaba su madre Anne Marie Abel
realmente no dedicoacute mucho tiempo a sus hijos solo el
imprescindible Al menos eso pensoacute siempre Niels Henrik
Recordemos que Anne Marie debiacutea atender a 5 nintildeos ademaacutes de
Niels Hans Mathias dos antildeos mayor que Niels Thomas Hammond
un antildeo menor Peder Mandrup nacido en 1807 Elisabeth en 1810
y el benjamiacuten Thor Henrik en 1814 Pero ademaacutes iquestpodiacutea esperarse
otra cosa de aquella joven madre que habiacutea pasado gran parte de su
infancia y su juventud sin sentir el apego hacia ella de sus padres
Hans Mathias Simonsen estaba demasiado ocupado en ampliar su
capital para asiacute poder comprar todo lo que supuestamente
necesitaba su familia para ser feliz La madre Magdalena Andrea
murioacute con solo 35 antildeos cuando Anne Marie teniacutea 6 antildeos Despueacutes
cuidariacutean de ella varias gobernantas institutrices y dos madrastras
ninguna muy generosa en afectos Niels recordaba a su madre
ocupada en organizar bailes y reuniones sociales procurando una
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diversioacuten que en los agrestes paacuteramos de Gjerstad no era faacutecil
conseguir En las reuniones dominicales cuando tocaba el piano
cantaba y conversaba con los feligreses pareciacutea una reina la bella
esposa del pastor pero cuando no habiacutea jolgorio se aburriacutea
terriblemente en la monotoniacutea del quehacer domeacutestico para el que
no teniacutea la menor inclinacioacuten Poco a poco las jaquecas se hicieron
frecuentes Anne Marie se distancioacute de su papel de madre y de
esposa del pastor La bebida fue su uacutenico refugio Abel se le
acercaba para recibir afecto y solo recibiacutea reprimendas Seguacuten dicen
algunos de los bioacutegrafos de Abel parece ser que el uacutenico que recibiacutea
alguacuten afecto proveniente de Anne Marie era uno de sus joacutevenes
sirvientes encargado de los caballos iquestCuaacutento habraacute afectado al
nintildeo esa conducta materna No sabemos Pero sin duda que la
extrantildea relacioacuten de su madre con Niels Henrik marcoacute algunos
rasgos de su caraacutecter Tal vez esa angustia que maacutes adelante le
agobiaraacute al estar solo y esa melancoliacutea que sin avisar
frecuentemente lo invadiraacute seraacuten consecuencia del comportamiento
materno durante su infancia
sect Las circunstancias cambian y el pastor Abel va al nuevo
parlamento
Gran Bretantildea la mayor potencia naval y comercial de la eacutepoca
intensificoacute las medidas de bloqueo comercial y la situacioacuten en
Noruega se volvioacute bastante escabrosa y repleta de penurias La
pirateriacutea al estilo vikingo en los mares adyacentes se convirtioacute para
muchos en la uacutenica solucioacuten para la supervivencia Algunos no se
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22 Preparado por Patricio Barros
adhirieron a tales andanzas como los Simonsen que poco a poco
vieron mermar su economiacutea hasta caer casi en la ruina Otros se
hariacutean famosos en todo el reino por su ingenio y picardiacutea para
burlar los diferentes controles mariacutetimos seriacutean los nuevos ricos y
los heacuteroes del momento
El oficial de la marina danesa Peder Mandrup Tuxen realizoacute la
heroica misioacuten de trasladar en un pesquero sueco sano y salvo a
traveacutes del cerco ingleacutes al nuevo comandante en jefe de todo el sur y
el sureste de Noruega el priacutencipe Frederick de Hessen-Kassel Este
hecho bastoacute para que el veterano Simonsen accediera a la boda de
su hija Elisabeth con el nuevo heacuteroe que se efectuoacute con mucha
pompa como si los Simonsen fueran de la anacroacutenica aristocracia
noruega
La guerra de 1807-1814 con su bloqueo y vacas flacas dejoacute su
impronta en la regioacuten de Gjerstad Las opiniones habiacutean estado
divididas los que queriacutean una Noruega independiente bajo la
proteccioacuten de Inglaterra que se habiacutea aduentildeado de los mares y los
que preferiacutean la unioacuten con Suecia sobre todo la alta burguesiacutea
dominante Pero la suerte estaba ya echada Dinamarca hubo de
ceder Noruega a su rival Suecia El pastor observoacute las huellas de la
guerra en su congregacioacuten y notoacute que los tiempos difiacuteciles le habiacutean
abierto los ojos al pueblo sobre la necesidad de cambiar y
perfeccionar su sistema de vida Las circunstancias habiacutean
fortalecido el espiacuteritu de independencia y habiacutean mostrado el
liderazgo del pastor Abel que con el apoyo de su comunidad fue
elegido representante local (senador) en el primer parlamento
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23 Preparado por Patricio Barros
noruego (storting) que durante el otontildeo de 1814 celebroacute sus
sesiones en Cristianiacutea la ciudad maacutes importante y que maacutes tarde
recuperariacutea su nombre histoacuterico de Oslo como capital del Reino de
Noruega
Peder Mandrup Tuxen y su esposa Elisabeth Marie hermana de la
madre de Abel
Alliacute el pastor Abel mostrando su capacidad de orador defendioacute la
idea de que los noruegos eran quienes debiacutean decidir los teacuterminos
bajo los cuales llamar a los suecos hermanos Formuloacute sus ideas
con tacto poliacutetico y concisioacuten matemaacutetica ldquoseamos nosotros como
una nacioacuten libre los que tendamos primero nuestra mano fraterna y
sincera a los suecos
sect Frescos aires de autonomiacutea
El romaacutentico noacuterdico Abel wwwlibrosmaravillososcom Carlos Saacutenchez y Teresita Noriega
24 Preparado por Patricio Barros
Se abriacutea una nueva eacutepoca para Noruega y para el joven Abel Era el
momento de empezar a labrarse un futuro independiente Niels
Henrik Abel contaba 13 antildeos de edad cuando el 31 de octubre de
1815 se embarcoacute en Risor hacia Cristianiacutea para comenzar sus
estudios en la acreditada Escuela Catedral (Oslo katedrals- kole) Su
padre con sus influencias en el Storting habiacutea obtenido una beca
de estudios porque sus fondos no alcanzaban para pagarlos Aquel
diacutea de la partida de su hijo y disciacutepulo hacia la capital el pastor
escribe en su diario ldquoiexclQuiera Dios protegerle Pero es con angustia
que yo le enviacuteo afuera a ese mundo despiadado
En esta primera etapa de su vida junto a su familia y amigos Abel
habiacutea tenido muchos momentos felices jugando libremente en los
bosques nadando en los lagos y vagando por las colinas alrededor
de la parroquia Pero tambieacuten habiacutea conocido las desdichas y las
carencias materiales y sentimentales Porque experimentoacute como
todos los noruegos las consecuencias del bloqueo comercial de los
poderosos britaacutenicos porque sintioacute entrantildeablemente el friacuteo de la
relacioacuten maternal porque aprecioacute coacutemo el flagelo del alcoholismo
azotaba a sus seres queridos porque auacuten tan joven era capaz de
comprender lo irracional y agresivo del mundo donde pasoacute su
infancia
Ahora Niels Henrik Abel teniacutea que dejar atraacutes los juegos y las
penurias de la infancia y sumergirse en los estudios Precisaba
realizarse como un hombre culto uacutetil y bueno para construir el
mundo nuevo que su padre le habiacutea ensentildeado a sontildear
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25 Preparado por Patricio Barros
sect Mi alumno mi amigo
Conociacute a Abel en 1818 Teniacutea casi cumplidos los 16 antildeos Su
aspecto no teniacutea nada especialmente destacable Era de estatura
mediana descuidada vestimenta rostro paacutelido callado con cierta
cortedad o timidez en sus modales Yo era solo 7 antildeos mayor que eacutel
pero vi en sus ojos brillantes y profundos en su sentido de la
responsabilidad la voluntad y la capacidad para hacer lo que mi
talento no consiguioacute Me di cuenta enseguida de que mi papel era
empujarlo un poco para que por siacute mismo encontrara su camino
Debiacutea ensentildearle a aprender Con los verdaderos maestros y no con
los que como yo eacuteramos solo simples comunicadores de la grandeza
de los claacutesicos
Algo importante que teniacutea que trasmitirle era la inspiracioacuten que yo
habiacutea encontrado en Lagrange Al igual que su eacutemulo Laplace
Lagrange deciacutea que se debiacutea estudiar al maestro de todos los
geoacutemetras ilustrados al gran Euler y detenerse a resolver todos los
problemas que desbordaban de sus obras pues con la lectura de las
soluciones encontradas por otra persona no se comprendiacutea la
esencia del quehacer cientiacutefico Era necesario dedicarse a aprender
a razonar a disciplinar el sentido comuacuten Aprender a hacer
preguntas maacutes que a conocer las respuestas de los otros Mi misioacuten
era comunicarle a Niels todo lo que deciacutean estos grandes maestros
presentarle a Euler a Lagrange y a Laplace en todas sus
dimensiones Creo que hice todo lo posible para lograrlo Por
supuesto que tuve aliados como mis maestros Hansteen y
Rasmussen a quienes acudiacute pidieacutendoles cooperacioacuten No me la
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26 Preparado por Patricio Barros
negaron pues ellos enseguida comprendieron que yo teniacutea razoacuten
Abel era uno de los elegidos y no se le podiacutea dejar abandonado a su
suerte
Pero disculpen no me he presentado Yo soy Bernt Holmboeuml y fui
maestro y amigo de Niels Abel Tuve mejor suerte que Niels y la
muerte no me cogioacute por sorpresa Por tanto tuve tiempo de editar
sus Obras completas y hasta de escribir una biografiacutea que antildeadiacute
como preaacutembulo a sus trabajos Luego he comprendido que no fui lo
suficientemente claro y preciso al exponer los meacuteritos de mi amigo
Ahora me han dado una nueva oportunidad al menos para destacar
sus antildeos de estudio y no pienso desaprovecharla
Holmboeuml
Bernt Michael Holmboeuml (1795-
1850) era tambieacuten hijo de un
pastor luterano Se graduoacute en
la Escuela Catedral de
Cristianiacutea y sirvioacute por un corto
tiempo como soldado en la
campana contra Suecia de
1814 Fue aceptado como
asistente del astroacutenomo Cli
Hansteen en 1815 y en 1818
fue nombrado profesor de
matemaacuteticas en la Escuela
Catedral
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27 Preparado por Patricio Barros
Alliacute conocioacute a Abel y fue el primero en considerarlo un genio
matemaacutetico por lo que ayudoacute junto a Hansteen y otros
profesores a pagarle los estudios universitarios En 1826
aceptoacute una plaza de profesor de matemaacuteticas en la
Universidad de Cristianiacutea por lo que recibioacute algunas criacuteticas
porque se pensaba que esa plaza debiacutea ser para Niels Abel
No obstante Abel nunca mostroacute sentirse ofendido y siguioacute
siendo su amigo maacutes iacutentimo De 1826 a 1850 dio clases en la
academia militar de Cristianiacutea En 1834 fue nombrado
catedraacutetico de matemaacuteticas puras en la universidad de la
capital noruega Despueacutes de la muerte de Abel recopiloacute y
publicoacute en 1839 las Obras completas del desaparecido Ha
pasado a la historia como el maestro y mejor amigo de Niels
Abel
sect Su rendimiento acadeacutemico
En septiembre de 1818 en la primera evaluacioacuten integral que hice
de mi alumno Niels Abel ya lo distinguiacute como un ldquogenio matemaacutetico
extraordinariordquo Tengo que decir que los demaacutes maestros no
pensaban lo mismo de la aptitud de Abel en sus respectivas
materias Al parecer Niels se concentraba tanto en los problemas de
matemaacuteticas que se olvidaba de su preparacioacuten global y la
necesidad de aprobar todas las asignaturas Por supuesto desde
que me convertiacute en su tutor y amigo lo aconsejaba y eacutel me prometiacutea
cumplir con sus deberes pero la atraccioacuten hacia las matemaacuteticas
era muy absorbente
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28 Preparado por Patricio Barros
Sus notas fueron en general muy variables excepto en geometriacutea y
aritmeacutetica donde todas en los seis cursos que pasoacute en la Escuela
Catedral de 1816 a 1821 fueron de sobresaliente en las demaacutes
asignaturas sus notas oscilaban entre el aprobado y el notable La
peor era la caligrafiacutea iexclEra indescifrable la letra de Niels Paseacute las de
Caiacuten tratando de entender sus manuscritos ineacuteditos Cualquiera
diriacutea que su padre era meacutedico y no pastor
sect El espectro paterno
Niels hablaba mucho de su padre No hay duda de que la persona
que maacutes influyoacute en su formacioacuten primaria fue eacutel El parlamentario
Soslashren Georg era conocido como una persona honesta obstinada
ambiciosa y obsesionada con la idea de que solo la educacioacuten y la
cultura nos hacen mejores Pronto su ambicioacuten y su ingenuidad
poliacutetica lo enemistaron con los maacutes poderosos Perdioacute su escantildeo en
el parlamento y aquel fracaso unido a una situacioacuten familiar que
se le habiacutea ido de entre las manos representoacute su desgracia la caiacuteda
en el alcoholismo y finalmente su fallecimiento en mayo de 1820
En Niels aquella muerte dejoacute una impresioacuten duradera en su
subconsciente sus recuerdos convirtieron al padre en un espectro
severo y omnipresente como aquel que hostigoacute al joven priacutencipe
Hamlet Era el primero y maacutes iacutentimo de sus muertos aquel que le
orientariacutea siempre a tomar el camino correcto y le dariacutea briacuteos a su
pasioacuten por encontrar la verdad Quieacuten creoacute en eacutel su sentido de la
responsabilidad y quieacuten tambieacuten le infundioacute el temor reverencial y la
humildad que se debe tener ante dios
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Niels se esforzaba en respetar el legado espiritual de su padre pero
para un joven de 18 antildeos no era faacutecil cumplir con la doctrina
luterana del sacerdocio de todos los creyentes Yo que lo vi sufrir
pienso que esa obsesioacuten con el recuerdo del padre lastroacute su
caraacutecter Se tornoacute muy ensimismado y taciturno Se esforzaba por
aparentar alegriacutea y liviandad pero aquel comportamiento se sentiacutea
como una farsa montada para alejar la compasioacuten de sus allegados
Ademaacutes el espectro opresor e intolerante del padre provocoacute que su
timidez se hiciera maacutes marcada Por eso yo le recomendaba que se
concentrara en los estudios y que ampliara tambieacuten el grupo de sus
compantildeeros y amigos Trateacute de entretenerle con los problemas
matemaacuteticos maacutes accesibles a su inexperiencia pero que
representaran un desafiacuteo intelectual que lo obligara a meditar y a
olvidar sus penas Afortunadamente se entusiasmoacute con las
ecuaciones algebraicas
sect Su primer logro su primer error su primera conclusioacuten
matemaacutetica
Recuerdo muy bien aquel diacutea en que llegoacute eufoacuterico ante miacute diciendo
que creiacutea haber resuelto en radicales la ecuacioacuten de quinto grado
No me pareciacutea posible que aquel mozalbete de solo 19 antildeos hubiese
encontrado tan raacutepido algo que muchos otros de la estatura de
Fermat Euler o Lagrange no habiacutean descubierto Leiacute repetidamente
su manuscrito y no veiacutea donde estaba el fallo Acudiacute a mis
maestros Soslashren Rasmussen y Christopher Hansteen que entonces
eran profesores respectivamente de matemaacuteticas y astronomiacutea en
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30 Preparado por Patricio Barros
la Universidad de Cristianiacutea pero ellos tampoco consiguieron
entender los caacutelculos Decidimos enviar el manuscrito al
matemaacutetico maacutes prestigioso de Escandinavia Ferdinand Degen en
Copenhague Este no nos dio una respuesta categoacuterica pero
recomendoacute con cautela que el joven se dedicara mejor a las
integrales eliacutepticas que teniacutean mayores perspectivas en la fiacutesica y
otros campos de aplicacioacuten
Christopher Hansteen
Abel se sintioacute desanimado con la respuesta pero tratamos de que
no perdiera el entusiasmo explicaacutendole cuaacutentos obstaacuteculos e
incomprensiones habiacutean tenido que enfrentar los grandes
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matemaacuteticos de la historia antes de que fueran reconocidos sus
meacuteritos Afortunadamente aquel primer choque no lo alejoacute de sus
intereses matemaacuteticos
Al contrario pronto eacutel mismo encontroacute un error en sus
razonamientos y se dedicoacute a probar que aquella foacutermula universal
que creiacutea haber encontrado no solo era erroacutenea sino que no existiacutea
ninguna otra foacutermula semejante para la quiacutentica la ecuacioacuten de
quinto grado
Por mi parte hice lo uacutenico que podiacutea hacer Teniacutea que ayudarlo a
que se familiarizara con las obras claacutesicas que podriacutean abrirle el
entendimiento y darle la suficiente cultura matemaacutetica como para
reconocer los caminos hacia la verdad Leimos juntos el recieacuten
editado Tratado de caacutelculo diferencial e integral en tres gruesos
voluacutemenes del profesor de lrsquoEacutecole Polytechnique Sylvestre Lacroix y
muchos otros manuales contemporaacuteneos junto con obras de Euler
y de Lagrange Pronto llegoacute a la conclusioacuten de que era mejor
aprender de los maestros que de los disciacutepulos
Euler y Lagrange1
Leonhard Euler (1707-1783) y Joseph-Louis Lagrange (1736-
1813) son los dos maacutes grandes matemaacuteticos del Siglo de las
Luces y los maestros maacutes estudiados por Abel Polifaceacuteticos y
muy productivos praacutecticamente obtuvieron resultados
notables en todas las ramas de las matemaacuteticas puras y
1 Maacutes informacioacuten en los libros Euler El maestro de todos los matemaacuteticos de William Dunham
y Lagrange la elegancia matemaacutetica de Venancio Pardo ambos de esta misma coleccioacuten de la
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mixtas Ambos nacieron en la periferia de la Europa cientiacutefica
Euler en Basilea y Lagrange en Turiacuten Precozmente mostraron
su aptitud cientiacutefica y fueron contratados por las Academias
de Ciencias Euler en San Petersburgo y Berliacuten y Lagrange en
Berliacuten y Pariacutes donde su talento encontroacute respaldo y no se
perdioacute inuacutetilmente Lagrange consideraba a Euler como su
maestro y Euler admiraba la sagacidad de Lagrange que era
casi 30 antildeos maacutes joven Con solo 19 antildeos Lagrange le
comunicoacute a Euler sus ideas originales para resolver problemas
de maacuteximos y miacutenimos que llamoacute meacutetodos de caacutelculo de
variaciones Euler asumioacute esta denominacioacuten desde entonces
Federico el grande que no sentiacutea simpatiacutea por Euler quiso
llevar a la Academia de Berliacuten como presidente a Lagrange
mientras Euler permaneciacutea como director de la seccioacuten de
matemaacuteticas Con exquisita cortesiacutea y dando muestra de
admiracioacuten y agradecimiento por quien supo apreciar
puacuteblicamente sus meacuteritos cuando era un desconocido
Lagrange declinoacute el ofrecimiento mientras Euler estuviera alliacute
Ni Abel ni muchos otros matemaacuteticos ceacutelebres podriacutean
alcanzar su gloria si no hubieran asimilado la obra de estos
dos gigantes
sect Sobre sus profesores en la universidad
En aquellos tiempos habiacutea una opinioacuten generalizada entre los
estudiantes de que los profesores impartiacutean clases de lo que les
interesaba y no de lo que ellos necesitaban para su vida profesional
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33 Preparado por Patricio Barros
Sin embargo Abel no era de los que se quejaba En particular
sentiacutea gran estima por los profesores Soslashren Rasmussen de
matemaacuteticas Christopher Hansteen de astronomiacutea y Georg
Sverdrup de filosofiacutea
El profesor que maacutes clases dio a Abel fue Sverdrup filosofiacutea teoacuterica
y praacutectica griego y ademaacutes el seminario de filologiacutea todas ellas
materias importantes para la preparacioacuten del andeneksamen o
examen philosophicum requisito obligatorio para los que aspiraban
al servicio puacuteblico Ademaacutes Sverdrup era el bibliotecario de la
universidad y poseiacutea una erudicioacuten con la que cargaba su lengua
mordaz
Georg Sverdrup
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34 Preparado por Patricio Barros
Se deciacutea que Sverdrup asombraba a sus nuevos alumnos con sus
clases ocurrentes y chispeantes Teniacutea una voz potente y habiacutea
participado en las luchas poliacuteticas de Noruega
Abel asociaba a Sverdrup con las amargas batallas libradas por su
padre en el parlamento Se comentaba que Sverdrup criticaba
cualquier cosa que otro escribiera porque eacutel no teniacutea tiempo de
escribir nada
Abel sacoacute un notable en filosofiacutea tanto teoacuterica como praacutectica pero
en griego no obtuvo buena nota Se dice que se dedicaba a pensar
en sus problemas de matemaacuteticas durante las clases de griego que
no le gustaban
Existe una leyenda que con el tiempo muchos creen verdadera de
que en una ocasioacuten estando en clase de griego Abel se levantoacute
como un poseso y que al preguntarle Sverdrup queacute le ocurriacutea le
gritoacute iexclLo tengo iexclLo tengo Sinceramente nunca ni Abel ni Sverdrup
me relataron esta aneacutecdota pero iquestpara queacute desmentirla son
muchos los que en Noruega la cuentan y bien pudiera ser cierta
Creo que si una aneacutecdota refleja un rasgo marcado de la
personalidad del biografiado no hay razoacuten para no incluirla en su
biografiacutea
De entre sus profesores quieacuten maacutes se preocupoacute por Niels fue
Christopher Hansteen que impartiacutea astronomiacutea y cuatro clases a la
semana de trigonometriacutea esfeacuterica y mecaacutenica celeste muy ligada a
la geodesia Ensentildeaba el uso del sextante y el cronoacutemetro para
determinar posiciones y tambieacuten topografiacutea y meteorologiacutea Por
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35 Preparado por Patricio Barros
supuesto Hansteen hablaba tambieacuten de sus experimentos sobre
geomagnetismo cuyos resultados le dieron cierta fama hasta maacutes
allaacute de las fronteras de Noruega Los aspectos relacionados con la
navegacioacuten eran muy significativos para las naciones noacuterdicas cuya
economiacutea y subsistencia dependiacutea del mar A Hansteen se le habiacutean
dado tareas importantes en la confeccioacuten de mapas precisos de
Noruega y tambieacuten como consejero en asuntos de pesos y medidas
Todos teniacuteamos a Hansteen en alta estima era una persona muy
noble y honesta para miacute fue casi como un padre y tambieacuten lo fue
para Abel Lo que me ensentildeoacute sobre el trabajo cientiacutefico lo transmitiacute
totalmente a Niels Aunque debo decir que para Abel lo preferido
eran las matemaacuteticas puras los razonamientos teoacutericos y no el
trabajo experimental de laboratorio como le gustaba a Hansteen
Recuerdo que eacuteste se sintioacute molesto porque Abel no sacoacute la nota
maacutes alta en astronomiacutea De todas formas siempre se mantuvo
atento a sus progresos y nunca dejoacute de ayudarle en sus necesidades
econoacutemicas
Me falta hablarles del viejo Soslashren Rasmussen Lo de viejo era un
mote que le pusimos porque con sus treinta y tantos antildeos era el
mayor de todos nuestros profesores de entonces muy respetado y
querido a pesar de ser muy exigente Las clases de Rasmussen eran
sobre trigonometriacutea y aacutelgebra pero se interesaba por las series
numeacutericas asiacute como por el uso del caacutelculo diferencial en el estudio
de las curvas Poco a poco el caacutelculo integral fue entrando en los
cursos de Rasmussen Aunque siendo sincero cuando se lo explicoacute
a Niels ya lo habiacuteamos estudiado juntos en las obras originales de
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36 Preparado por Patricio Barros
Euler y Lagrange y en el Tratado de Lacroix Rasmussen dedicaba
mucho tiempo a asesorar al gobierno en temas financieros y sus
trabajos en el Banco de Noruega no le serviacutean para profundizar en
las matemaacuteticas por lo que su saber se iba volviendo obsoleto
Pronto Abel acumuloacute muchos maacutes conocimientos de aacutelgebra y
anaacutelisis que los de su profesor universitario Pero no hacia
ostentacioacuten de ello no era pedante ni arrogante sino todo lo
contrario bastante retraiacutedo y muy modesto Ademaacutes Rasmussen
comprendiacutea el talento matemaacutetico de Abel y lo estimulaba a que
continuara sus estudios autodidactas Era tal el afecto que
Rasmussen sentiacutea hacia su aventajado alumno que le pagoacute un viaje
a Copenhague en las vacaciones de verano de 1823 para que
contactara con matemaacuteticos daneses y pasara un par de meses en
mejores condiciones de descanso junto a su tiacutea materna y su
marido
sect Primer viaje fuera de Noruega
Este viaje a Copenhague fue todo un acontecimiento en la vida de
Abel y tambieacuten para nosotros sus amigos La cuestioacuten es que
Rasmussen le dio un estipendio suficiente para pagar el viaje y
pasar los dos meses sin penurias econoacutemicas en casa de sus tiacuteos
pero el joven no teniacutea ropa adecuada Sus ropas raiacutedas deslucidas y
fuera de moda le habiacutean servido para los tres antildeos que llevaba en la
universidad y era hora de cambiarlas para dar una buena impresioacuten
en Copenhague cuyos joacutevenes eran tildados de petimetres
Recuerdo que Hansteen intentoacute ayudar a traveacutes de su primo Niels
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37 Preparado por Patricio Barros
Treschow ministro del gobierno a conseguirle una beca de viaje
Hizo una carta llena de elogios a la capacidad matemaacutetica de Abel a
lo que representaba para el joven poder intercambiar experiencias
con cientiacuteficos mejor preparados que le orientaran y a lo que
significariacutea para Noruega en un futuro Tanto bombo y platillo
fueron en vano pues el ministro Treschow no entendiacutea de
matemaacuteticas era de los que anteponiacutean las humanidades a la
ciencia y conociacutea perfectamente las dificultades financieras del
gobierno por tanto no intercedioacute Entonces Hansteen seguro que
tambieacuten empujado por su esposa Catherine Borch que se habiacutea
convertido en una segunda y verdadera madre para Niels le comproacute
un par de trajes y algunas otras cosas imprescindibles para el viaje
Asiacute que Niels pudo hacer sus maletas y emprender su primer viaje
fuera de Noruega
Degen
Carl Ferdinand Degen (1755-1825) estudioacute leyes teologiacutea y
filosofiacutea pero ademaacutes estaba muy informado de la historia de
las matemaacuteticas y dominaba varias lenguas Siendo
estudiante habiacutea ganado premios en teologiacutea y matemaacuteticas
Defendioacute su tesis sobre la filosofiacutea de Kant y fue profesor
particular del priacutencipe Christian Frederick Antes de ser
nombrado catedraacutetico en la Universidad de Copenhague en
1814 fue profesor de fiacutesica y matemaacuteticas en la Escuela
Catedral de Odense y rector en el Instituto de Viborg Sus
investigaciones principales fueron sobre aacutelgebra teoriacutea de
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38 Preparado por Patricio Barros
nuacutemeros y aplicaciones del anaacutelisis a la geometriacutea Desarrolloacute
la teoriacutea de la interpolacioacuten y se interesoacute tambieacuten por las
integrales eliacutepticas Fue miembro de la Academia Real Danesa
y de la Academia de San Petersburgo
Para Abel el viaje fue un estiacutemulo y una diversioacuten Fue bien tratado
en todas partes particularmente por sus tiacuteos Tuxen y sus ocho
primos que lo recibieron alegremente en su elegante mansioacuten de
Christianshavn Su tiacuteo teniacutea entonces toda la responsabilidad sobre
la docencia en mecaacutenica e hidraacuteulica en la Academia Naval y gozaba
de una alta reputacioacuten
Abel se encontroacute con todos los matemaacuteticos daneses en particular
con Ferdinand Degen en la primera semana Recuerdo
perfectamente lo que Abel me contoacute en su primera carta esta misiva
inicioacute una costumbre de informarme de todos sus pasos a
dondequiera que iba fuera de Cristianiacutea Me deciacutea ldquoLos hombres de
ciencia de aquiacute piensan que Noruega es pura barbarie y yo hago todo
lo que puedo para convencerles de lo contrariacuteordquo
Se sentiacutea mejor preparado en matemaacuteticas que la mayoriacutea en
Copenhague Solo Degen lo sobrepasaba sobre todo por su cultura
general Hablaba con mucho fervor de la sustanciosa biblioteca de
matemaacuteticas de Degen y de coacutemo el ya anciano profesor le dio todas
las facilidades para que pudiera extraer de ella todo lo que
necesitara
sect Sus primeros enamoramientos
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39 Preparado por Patricio Barros
Al parecer Niels que estaba por cumplir los 21 antildeos de edad ya
estaba pensando en casarse La primera dama hermosa que conocioacute
fue al visitar a la familia de la sentildeora Hansteen en Sora en el
interior al oeste de Copenhague Alliacute conocioacute a la menor de la
hermanas de Catherine Hansteen Chariteacute Borch Esta joven casi
de su misma edad teniacutea una refinada educacioacuten que aunque
contrastaba con los ademanes bruscos y la timidez de Niels causoacute
una impresioacuten tan grata en Abel que hasta sus uacuteltimos diacuteas habloacute
de ella como modelo de mujer Pero aparentemente Niels
comprendioacute que Chariteacute era de otra clase social y aunque es posible
que se mostrara muy amable no se conoce que hubiera intentado
establecer un noviazgo con ella
Despueacutes de pasar unos pocos diacuteas en Sora regresoacute a Copenhague y
aprovechoacute para saciar su gusto por el teatro El escape de Niels su
mayor entretenimiento ademaacutes de las matemaacuteticas siempre fue el
teatro Iba tanto como podiacutea Alliacute observaba la vida desde fuera sin
necesidad de tomar parte en las decisiones Quizaacutes contemplando
las acciones teatrales olvidaba por un momento la falta de loacutegica de
las reglas de la vida Otros encontraban refugio en la muacutesica o en la
pintura pero Niels preferiacutea el cristal claro de las actividades del ser
humano como se representaba en el teatro
Niels no era proclive a las fiestas y reuniones con mucho alboroto
pero sus tiacuteos necesitaban hacer vida social y no solo organizaban
tertulias y veladas en su mansioacuten sino que acostumbraban a
participar en fiestas maacutes populares
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40 Preparado por Patricio Barros
A Niels no le quedaba otra opcioacuten que acompantildearles y en una fiesta
organizada por la Academia Naval se encontroacute con una joven que
enseguida lo atrajo Christine Kemp
Christine Kemp Crelly la prometida de Niels Abel El retrato fue
realizado por Johan Goslashrbitz en 1835 cuando ella estaba casada con
Keilhau
Le preguntoacute a su tiacutea sobre la joven El padre de Christine muy
relacionado con la vida militar habiacutea tenido hasta su muerte el
tiacutetulo honorario de Comisionado de Guerra La madre Catherine
Koch quedoacute sola al morir su esposo con nueve hijos el mayor
teniacutea 17 antildeos y el menor solo un antildeo Christine teniacutea entonces 12
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41 Preparado por Patricio Barros
antildeos de edad Los Tuxen habiacutean ayudado a la familia en tal
situacioacuten Crelly como le deciacutean a la joven Christine teniacutea ademaacutes
conocimientos de alemaacuten franceacutes y artes manuales No seriacutea un
dechado de perfecciones pero para Niels tan falto de ternura
femenina era un aacutengel como soliacutea decir
Niels me contoacute a su regreso coacutemo se hicieron amigos No habiacutea sido
faacutecil decidirse a hablarle Despueacutes de vencer su timidez
aproximarse a ella y pedirle bailar la proacutexima pieza lo que pasoacute es
que la orquesta tocoacute una muacutesica que ninguno de los dos conociacutea
un vals vieneacutes recieacuten traiacutedo a los salones de Copenhague y
permanecieron parados uno frente al otro sin saber queacute hacer
miraacutendose como tontos hasta que echaron a reiacuter y dejaron el saloacuten
sin haber bailado iquestQueacute ocurrioacute despueacutes de esta escena no puedo
decirles porque Abel no me contoacute maacutes La cuestioacuten es que cuando
regresoacute y relatoacute su enamoramiento ninguno de sus amigos
creiacuteamos posible que Niels tan tiacutemido y poco dado a fiestas hubiera
tenido tales experiencias Pronto Crelly se convirtioacute en su primera y
uacutenica novia la que lo acompantildeariacutea hasta su lecho de muerte
sect Nuevos hallazgos matemaacuteticos
En la biblioteca de Degen Niels encontroacute un libro que le abrioacute el
apetito por los problemas con los nuacutemeros enteros El Ensayo sobre
la teoriacutea de nuacutemeros de Legendre con su prefacio donde describe la
evolucioacuten de la teoriacutea desde la Antiguumledad claacutesica hasta el uacuteltimo
cuarto del siglo XVIII Este libro lo fascinoacute Niels se entusiasmoacute
tanto con el gran teorema de Fermat como con los otros problemas
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abiertos que no obstante su formulacioacuten tan simple se resistiacutean a
ser solucionados
Alliacute encontroacute la conjetura de Golbach
Si n gt 4 es par entonces n es la suma de dos nuacutemeros primos
impares
Si n gt 7 es impar entonces n es la suma de tres nuacutemeros
primos impares
Se intrigoacute tambieacuten con las proposiciones de Legendre sobre la
distribucioacuten de los nuacutemeros primos Legendre conjeturoacute que para
todo nuacutemero entero mayor que 1 existe siempre un nuacutemero primo
entre n2 y (n + 1)2 tambieacuten que si k y 1 son enteros sin divisores
comunes entonces la sucesioacuten (kn + 1) contiene una infinidad de
nuacutemeros primos
A Niels todaviacutea le llamoacute maacutes la atencioacuten la parte analiacutetica el
establecimiento de una foacutermula que representara aproximadamente
la cantidad de nuacutemeros primos inferiores a un nuacutemero entero dado
x
No puedo decirles cuaacutento tiempo dedicoacute Abel a estos problemas
pero lo cierto es que quedoacute seducido por aquel libro y procuroacute
despueacutes leer otros libros de su autor
A su regreso buscamos otros textos de Legendre en la biblioteca de
la Universidad de Cristianiacutea y encontramos los Ejercicios de caacutelculo
integral sobre diversos oacuterdenes de transcendentes en tres
voluacutemenes que juntos estudiamos con avidez Ahiacute se desarrollaba
con profusioacuten el tema de las integrales eliacutepticas que era desde que
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Degen se lo recomendoacute uno de sus preferidos Aquella feliz
coincidencia motivoacute que se dedicase maacutes a este tema sobre el que
no paroacute hasta que se convirtioacute en merecedor del gran premio de la
Academia de Pariacutes Pero desafortunadamente los premios le
llegariacutean a tiacutetulo poacutestumo
Legendre2
Adrieu-Marie Legendre (1752-1833) fue uno de los maacutes
famosos geoacutemetras del periodo revolucionario en Francia
aunque no llegoacute al virtuosismo y la profundidad de Lagrange y
Laplace ni se comprometioacute con los cambios sociales como
Condorcet o Monge
De 1775 a 1780 fue profesor en la escuela militar de Pariacutes y
desde 1783 su actividad estuvo vinculada a la Academia de
Ciencias En su Memoria sobre la forma de la Tierra introdujo
los famosos polinomios de Legendre Publicoacute varios trabajos
sobre mecaacutenica celeste geometriacutea y teoriacutea de nuacutemeros antes
de dedicarse durante casi 40 antildeos a la teoriacutea de las integrales
eliacutepticas En 1794 publicoacute sus Elementos de geometriacutea que fue
libro de texto baacutesico alrededor de 100 antildeos no solo en
Francia sino en toda Europa y en EEUU En los Elementos
dio una prueba simple de que ny tiacute son irracionales y conjeturo
su trascendencia
En 1798 escribioacute su Teoriacutea de nuacutemeros en la que en una
2 Maacutes informacioacuten sobre el maestro en el libro Legendre La honestidad de un cientiacutefico de Ana
Garciacutea Azcaacuterate Editorial NIVOLA
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segunda edicioacuten corregida y aumentada de 1808 aparece
entre otros importantes resultados la estimacioacuten asintoacutetica de
la distribucioacuten de los nuacutemeros primos de la que Gauss le
reclamoacute la prioridad Se destacoacute por la honestidad en la
aceptacioacuten de los meacuteritos de sus antecesores pero con Gauss
no hubo arreglo Reconocioacute los meacuteritos de Abel y Jacobi que
desarrollaron la teoriacutea de las funciones eliacutepticas e incluyoacute
parte de estos resultados en las uacuteltimas ediciones de su
Tratado sobre las funciones eliacutepticas Sobre esto se habla en el
capitulo iexclV de este libro
Amistades y entretenimientos
Abel frecuentaba la sociedad noruega de estudiantes creada
inmediatamente despueacutes de haberse fundado la universidad Alliacute
conocioacute a sus mejores amigos Mathias Keilhau y Christian Peter
Boeck que se distinguieron en varios debates y discusiones de la
eacutepoca Al parecer los demaacutes estudiantes no involucraban a Abel en
sus poleacutemicas y otras actividades sociales a las que Abel asistiacutea
como simple espectador La uacutenica vez que Niels tomoacute parte en una
protesta que recuerde fue contra el despido injustificado de
Henrik uno de mis hermanos que era asistente en el laboratorio de
quiacutemica Niels estaba indignado por la injusticia y no soportaba su
impotencia ante las medidas irracionales de la administracioacuten
universitaria
Aunque parezca extrantildeo despueacutes de que les he hablado tanto de la
timidez y el ensimismamiento frecuente de Niels su presencia era
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apreciada en las reuniones estudiantiles porque cuando cogiacutea
confianza lo mismo podiacutea cantar una balada como jugar a las
cartas con mucha mantildea o fumarse una pipa de tabaco aunque
siempre fue muy cuidadoso con el alcohol Frecuentemente
despueacutes de una partida de cartas Abel y sus amigos iban al local de
madame Michelsen el Arca de Noeacute o el Pultosteu como se le llamaba
al ultrajado lupanar
Sus principales amigos eran de familia acomodada con casa de
descanso en las afueras lo que era una moda de la clase media A
Abel le costaba trabajo en el verano rechazar las invitaciones de los
fines de semana pero preferiacutea quedarse a resolver sus problemas
matemaacuteticos Ademaacutes le molestaba no poder corresponder Cuando
se reuniacutea con su familia en Gjerstad no era como descanso sino
por preocupacioacuten Sobre todo le perturbaba la situacioacuten en que se
encontraba su hermana menor Elisabeth y pensaba en la forma de
llevarla a la ciudad como habiacutea hecho con su hermano Peder que
viviacutea cerca de eacutel en Cristianiacutea Su madre seguiacutea como siempre tan
voluble e intoxicada con el alcohol mientras su amigo Juumlrgen se
dedicaba al cuidado de la finca Recordaba lo que su padre le deciacutea
sobre ayudar al proacutejimo y procurar siempre mejorar la vida de todos
lo que le rodeaban y se deprimiacutea comprobando que no teniacutea forma
de cambiar aquellas miserables condiciones en que estaba sumida
su familia en Gjerstad
sect Primeras publicaciones
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46 Preparado por Patricio Barros
En febrero de 1823 ocurrioacute un acontecimiento que cambioacute la vida
cientiacutefica de Noruega y en particular impulsoacute la notoriedad de Niels
En Cristianiacutea aparecioacute el Magazin for naturvidenskaberne (Revista
sobre ciencias naturales) la primera revista cientiacutefica noruega que
estaba dedicada principalmente a las ciencias naturales Teniacutea tres
editores Gregers Lundh meacutedico multifaceacutetico que ejerciacutea como
director del colegio mayor Regentsen el profesor Hansteen y el
farmaceacuteutico Hans Henrik Maschmann padre de uno de los
mejores amigos de Abel Cari Gustav Maschmann Todos estaban
preocupados por conseguir prestigio y apoyo para las ciencias En el
segundo nuacutemero de esta nueva publicacioacuten cientiacutefica aparecioacute el
primer artiacuteculo de Abel Es un trabajo sobre la posibilidad de
despejar una variable en funcioacuten de otra cuando se conoce una
relacioacuten entre las dos variables lo que teacutecnicamente se conoce como
un resultado sobre funciones impliacutecitas En el siguiente volumen
dividido en dos nuacutemeros apareceraacute ldquoLa solucioacuten de un par de
proposiciones con la ayuda de la integral definida un trabajo de 25
paacuteginas en total En este segundo artiacuteculo aparece por primera vez
en la historia una ecuacioacuten integral y su solucioacuten Esta ecuacioacuten
integral se conoce hoy como ecuacioacuten de Abel Sus amigos Keilhau y
Boeck tambieacuten publicaron en la revista y consiguieron prestigio
convirtieacutendose los tres en la esperanza cientiacutefica de Noruega
No todos los editores de la revista estaban de acuerdo en publicar
los resultados matemaacuteticos de Abel Pero Hansteen defendioacute
vigorosamente el meacuterito de los artiacuteculos de Abel incluso para
lectores de ciencias naturales Pero hubo otro trabajo de Abel que
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no logroacute la atencioacuten de la revista y tampoco fue publicado como
monografiacutea Abel lo escribioacute en franceacutes en el verano de 1823 y
versaba sobre la integracioacuten de ecuaciones diferenciales Fue
presentado a la universidad y se encargoacute a Rasmussen y a Hansteen
que emitieran un informe sobre eacutel pero las dificultades econoacutemicas
de entonces no permitieron su publicacioacuten y yo no pude encontrarlo
cuando editeacute las obras completas de Niels estaacute por tanto
decididamente perdido Recuerdo como los compantildeeros de Abel se
asombraron cuando este les mostroacute su trabajo escrito en franceacutes
Niels les dijo que no teniacutea ninguacuten meacuterito especial porque estaba
repleto de foacutermulas y escrito maacutes del 90 en el lenguaje universal
de las matemaacuteticas
sect El teorema de Abel sobre la quintica
En alguacuten momento antes de las navidades de aquel fructiacutefero antildeo de
1823 Abel termina la demostracioacuten del teorema que explicaraacute el
misterio de la quintica La redacta como monografiacutea tambieacuten en
franceacutes porque sabe que atraeraacute la atencioacuten en el continente Niels
queriacutea imprimirla si era posible en la misma Francia
Recibe como otras veces el apoyo de los profesores de la
universidad que dirigen una carta en diciembre al gobierno
solicitando una beca de viaje Pero el gobierno considera que debe
pasar otro par de antildeos en la universidad perfeccionando su
conocimiento de los idiomas europeos y de otras disciplinas
necesarias para enfrentar con eacutexito el viaje En abril recibe la
comunicacioacuten de que se le asigna un estipendio por un periodo de
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dos antildeos y la promesa de darle una beca de viaje en cuanto culmine
su preparacioacuten Decide entonces publicar con sus propios recursos
la monografiacutea sobre la imposibilidad de resolver con radicales la
quiacutentica pensando que este trabajo le abriraacute las puertas de la
Europa cientiacutefica
ldquoMemoria sobre las ecuaciones algebraicas donde se demuestra la
imposibilidad de la resolucioacuten de la ecuacioacuten general de quinto grado
publicada en franceacutes en forma de folleto por el propio Abel en 1824
Como el estipendio que ha recibido es poco para que la publicacioacuten
sea maacutes econoacutemica la reduce a solo 6 paacuteginas Ademaacutes con las
prisas no la revisa y se escapan varias erratas incluso en el tiacutetulo
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restaacutendole atractivo y claridad al asunto En fin pierde su dinero en
una publicacioacuten que no encontroacute lectores
sect Abel se prepara para ganar reputacioacuten en Europa
Seguacuten su hermano Peder en este tiempo era comuacuten que por las
noches Niels se despertara agitado encendiera una vela y se
sentara varias horas a hacer caacutelculos Tambieacuten habiacutea noches que
no se acostaba hasta bien avanzada la madrugada ensimismado en
sus problemas Deciacutea Peder que acostumbraba a llevar un pedazo
de tiza en el bolsillo y en sus paseos por la ciudad a veces se paraba
en un sitio y se poniacutea a garabatear en los muros con sus siacutembolos
matemaacuteticos iquestSeraacute cierto o iquestseraacuten fantasiacuteas de su hermano maacutes
cercano Realmente en esos diacuteas yo lo veiacutea absorto y ojeroso con el
desalintildeo del que se desvela por conseguir algo lejano y difiacutecil
Niels estaba ansioso por salir de Noruega Ademaacutes un grupo de
amigos nuestros ya teniacutea asegurado su futuro como postgraduados
Boeck y otros dos recieacuten graduados iban a reunirse con Maschmann
y Keilhau que ya estaban en Berliacuten con el fin de obtener una
formacioacuten cientiacutefica soacutelida Niels con cartas de recomendacioacuten
firmadas por los profesores Rasmussen y Hansteen le escribioacute al
rey solicitaacutendole una bolsa de viaje Planteoacute como objetivos
principales ir a Pariacutes la metroacutepoli de la matemaacutetica y visitar en
Gotinga a Gauss el liacuteder de los matemaacuteticos Despueacutes de algunas
dilaciones recibioacute por fin la ansiada beca de viaje por dos antildeos
Antes de partir hizo los arreglos familiares que estaban dentro de
sus posibilidades Su hermana Elisabeth ya habiacutea recibido la
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50 Preparado por Patricio Barros
confirmacioacuten y teniacutea buenas referencias del vicario de Gjerstad Abel
consiguioacute que la sentildeora Hansteen la acogiera hasta que encontrara
un trabajo fijo lo que ocurririacutea seis meses maacutes tarde cuando el
consejero Niels Treschow la empleoacute y la mantuvo en su mansioacuten
durante casi seis antildeos Tambieacuten se preocupoacute de su joven hermano
Peder que habiacutea pasado el examen artium de entrada a la
universidad y pensaba estudiar teologiacutea para quien consiguioacute un
albergue econoacutemico y sano relativamente cerca de la universidad
Abel dejoacute parte de su estipendio a la sentildeora Hansteen para pagar
las necesidades de Peder y le suplicoacute encarecidamente que lo
mantuviera al tanto de la situacioacuten de su familia
A miacute tambieacuten me pidioacute que le informara de todo lo que aconteciera
con sus hermanos Aquel uacuteltimo diacutea antes del ansiado viaje nos
abrazamos muy fuerte y en sus ojos siempre brillantes vi asomar
una laacutegrima silenciosa iquestSeriacutea por los hermanos que dejaba en
Cristianiacutea iquestpor la familia que le quedaba en Gjerstad sumida en la
miseria iquesto por la tierra donde yaciacutea su padre Me dio la espalda y
no se volvioacute o quizaacutes fui yo quien giroacute el rostro para no verle partir
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51 Preparado por Patricio Barros
Capiacutetulo 2
Viaje a traveacutes del reino de Gauss y Cauchy
iquestY puede alguien viajar con la
misioacuten de solo estudiar lo
estrictamente cientiacutefico Despueacutes
de este viaje estoy trabajando con
mucho maacutes vigor que antes
Abel en carta al decano Hansteen
12 de agosto de 1826
Abel no dejoacute ninguacuten diario que haya sido encontrado Por medio de
sus cartas y otros documentos hemos logrado construir fragmentos
del diario que Abel podriacutea haber escrito mientras realizaba su viaje
de estudios por Europa A veces nuestro conocimiento de los
hechos se complementa con nuestra imaginacioacuten asiacute hemos
conseguido llenar algunas lagunas y dar coherencia al relato No
obstante siempre hemos pretendido respetar la verdad histoacuterica
Gauss y Cauchy
Carl Friedrich Gauss (1777-1855) y Augustin-Louis Cauchy
(1789-1857) fueron dos matemaacuteticos con caracteriacutesticas
bastante diferentes sin duda ambos son considerados los
matemaacuteticos maacutes prominentes de su eacutepoca Gauss manifestoacute
sus dotes matemaacuteticas a una edad maacutes temprana que la de
Cauchy aunque Lagrange y Laplace que eran amigos de la
familia de Cauchy detectaron sus cualidades extraordinarias
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y ayudaron a su formacioacuten
Gauss se hizo famoso con solo 19 antildeos al resolver el problema
claacutesico de los poliacutegonos regulares que pueden construirse con
regla y compaacutes decidieacutendose asiacute definitivamente por las
matemaacuteticas Entre los 19 y 21 antildeos escribioacute su primer libro
Disquisitiones arithmeticae que convirtioacute a la teoriacutea de
nuacutemeros en una ciencia unificada y sistemaacutetica Estudioacute en la
Universidad de Gotinga filosofiacutea y filologiacutea En 1807 obtuvo la
caacutetedra de astronomiacutea de la Universidad de Gotinga y la
direccioacuten de su observatorio astronoacutemico permaneciendo en
esos puestos hasta el final de su vida
Cauchy se graduoacute en l‟Eacutecole Polytechnique y entroacute en la
exigente Escuela de Ingenieros de Caminos donde fue un
alumno destacado Trabajoacute como ingeniero en Cherbourg
durante varios antildeos y realizoacute simultaacuteneamente varios trabajos
matemaacuteticos importantes que fueron publicados y apreciados
por sus colegas No obstante fracasoacute en su intento de obtener
varios puestos acadeacutemicos durante el periacuteodo napoleoacutenico
probablemente por su marcado clericalismo catoacutelico En 1815
desterrado Napoleoacuten Cauchy fue designado como profesor
asistente de anaacutelisis en l‟Eacutecole Polytechnique y al antildeo
siguiente ganoacute el gran premio de la Academia Francesa por un
trabajo sobre ondas En seguida fue elegido miembro de la
academia para sustituiraacute los acadeacutemicos napoleoacutenicos
expulsados
Los intereses de Gauss y Cauchy fueron extraordinariamente
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amplios y en todas las ramas en las que trabajaron dejaron
una huella indeleble Realizaron investigaciones sobre aacutelgebra
teoriacutea de nuacutemeros geometriacutea diferencial anaacutelisis matemaacutetico
mecaacutenica y en diferentes aacutereas de la fiacutesica matemaacutetica Sin
embargo la influencia de ambos en sus contemporaacuteneos se vio
limitada ya que no mantuvieron buenas relaciones con otros
cientiacuteficos y no tuvieron disciacutepulos directos Gauss publicoacute
poco y tardiacuteamente y no le gustaba dar clases en cambio
Cauchy se preocupaba mucho por el rigor de sus clases y
redactaba sus trabajos con esmero Hay constancia de 789
trabajos cientiacuteficos de su autoriacutea Sus obras completas fueron
publicadas en 27 voluacutemenes Despueacutes de Euler debe ser el
geoacutemetra maacutes productivo de todos los tiempos
El viaje comienza el 7 de septiembre de 1825 y se extiende hasta el
20 de mayo de 1827 en un momento en el que las ciencias
matemaacuteticas pareciacutean girar alrededor de las influyentes figuras de
Gauss en Gotinga y de Cauchy en Pariacutes Hemos dividido el relato en
tres grandes etapas la primera trata fundamentalmente las razones
que lo llevaron a decidirse por viajar primero a Berliacuten y lo
significativo de su estancia alliacute la segunda narra las peripecias con
un aparente sentido turiacutestico-cultural de Abel y de un grupo de
amigos por Europa central y la uacuteltima presenta su estancia en
Pariacutes y el regreso a Noruega
Noche del 7 de septiembre He decidido comenzar este diario para
recoger las incidencias maacutes significativas de mi viaje de estudios a
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54 Preparado por Patricio Barros
Gotinga y Pariacutes Presiento que esta oportunidad no se repetiraacute en mi
vida No tengo pretensiones de escritor por tanto no pretendo hacer
con eacutel despueacutes una novela sino solo conservar lo imprescindible
que refresque mi memoria Ahora acabo de embarcarme Boeck y
Moller que tomaron el barco en Cristianiacutea por la mantildeana me han
recogido en el muelle de Son donde me despediacute de Crelly
Los compantildeeros de Abel
Baltazar Mathias Keilhau (1797-1858) habiacutea conocido a
Abel durante las actividades de la asociacioacuten de estudiantes
Ahora seguiacutea con entusiasmo sus estudios de geologiacutea en
Alemania y habla preparado un viaje por los Alpes con sus
amigos
Christian Peter Boeck (1798-1877) quizaacutes el maacutes cercano a
Abel desde sus diacuteas de estudiante en la Escuela Catedral
Despueacutes de pasar un antildeo como meacutedico militar ha recibido una
beca para estudiar medicina veterinaria en Alemania y
Francia
Nils Otto Tank (1800-1864) hijo de un rico comerciante y
ministro del gabinete ha pasado un tiempo en Inglaterra con
el fin de obtener preparacioacuten comercial pero al final se ha
interesado especialmente por la mineralogiacutea sobre la que
piensa profundizar en el viaje junto a Keilhau
Nicolai Benjamiacuten Moslashller (1802-1860) estudioacute mineralogiacutea se
graduoacute en 1824 y realizoacute praacutecticas en las minas de plata de
Kongsberg Ha sido muy precoz y ya tiene publicaciones
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55 Preparado por Patricio Barros
originales en la Revista sobre ciencias naturales
Carl Gustav Maschmann (1802-1848) ya estaacute instalado en
Berliacuten y seraacute quieacuten los ayude alliacute Ha estudiado farmacologiacutea
en Cristianiacutea para seguir la carrera de su padre muy
interesado en el desarrollo de la ciencia en Noruega y uno de
los que ayudaron econoacutemicamente a Abel
Niels Abel y estos cinco joacutevenes eran considerados como las
promesas cientiacuteficas que construiriacutean el futuro de Noruega
No me gustan las despedidas he tenido que controlarme para que
una laacutegrima no me traicionara delante de mis amigos Crelly no lo
ha conseguido Mis argumentos para el viaje en lugar de darle
confianza y seguridad la volvieron maacutes sensible Lamento que este
largo viaje no sea bueno para nuestra relacioacuten Pero necesito
encontrarme con matemaacuteticos extranjeros sobre todo con los
franceses que seguro que apreciaran mejor mis trabajos Con una
buena recomendacioacuten podreacute conseguir su publicacioacuten y ganar
prestigio como matemaacutetico Asiacute se lo he dicho y no ha resultado faacutecil
que lo comprendiera El mejor argumento ha sido que al regreso se
me abriraacuten las puertas de la universidad y podreacute tener un trabajo
estable que nos saque de la pobreza en que nuestras familias han
vivido Es tarde y ha sido un diacutea tenso y abrumador
8 de septiembre Una brisa fresca empuja al barco por el fiordo
hasta su salida al mar Aunque no es la primera vez que recorro el
fiordo de Cristianiacutea he sentido una emocioacuten especial ahora que es
seguro que pasaraacuten casi dos antildeos antes de volver a verlo Boeck y
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Moslashller me han dicho lo mismo Debe ser que para los noruegos el
fiordo representa mucho maacutes que una viacutea de comunicacioacuten con el
mundo exterior En cuanto hemos llegado a mar abierta
comenzamos a sentir la fuerza del oleaje y a sufrir mareos Boeck es
el uacutenico que se mantiene firme y hasta con deseos de ayudar a los
maacutes afectados Es increiacuteble como consigue mantener el estado de
aacutenimo y soportar los exabruptos de los enfermos no puedo seguir
escribiendo voy a tratar de dormir hasta que todo pase
9 de septiembre Al fin el tiempo mejora Han sido casi dos diacuteas
infernales Ayer por la noche uno de los pasajeros un sentildeor muy
refinado ha hecho testamento pensando que no conseguiriacutea
sobrevivir a la tormenta Boeck ha sido atento con todos sin
distincioacuten y ha mostrado sus dotes como meacutedico aunque su
formacioacuten sea de veterinario En la proacutexima madrugada pasaremos
por el estrecho de Elsinor y ya he me he puesto de acuerdo con
Boeck para estar bien despiertos y poder admirar el castillo de
Kronborg que sirvioacute de escenario a uno de nuestros dramas
preferidos el Hamlet de Shakespeare Asiacute que me acostareacute
temprano
10 de septiembre Boeck me ha despertado a tiempo para admirar
la belleza del paso cerca de Elsinor Muchas pequentildeas
embarcaciones surcaban el estrecho Le conteacute a Boeck que mi padre
habiacutea pasado su juventud en esos extraordinarios parajes y que me
hablaba con fervor de sus tardes absorto en meditaciones mientras
el sol se escondiacutea por el horizonte Boeck me recordoacute su aprecio por
mi padre quieacuten como senador con su energiacutea y perseverancia
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habiacutea promovido la idea de abrir estudios de veterinaria en
Cristianiacutea Laacutestima que mi padre no pueda ver como sus suentildeos
comienzan a tornarse realidad He recordado que poco antes de
morir me dijo que yo debiacutea continuar mis estudios y luchar por ser
un hombre culto porque la independencia de la Noruega del futuro
se ganariacutea en una batalla que tendriacutea como protagonistas
principales a hombres ilustrados bien preparados iexclDios quiera que
la ocasioacuten sea propicia para esto
11 de septiembre Tank que ha viajado por tierra a traveacutes de
Suecia nos ha esperado en el muelle He decidido quedarme unos
diacuteas en casa de mis tiacuteos Tuxen en Christianshavn mientras que
Boeck Moslashller y Tank continuacutean viaje a Hamburgo donde Keilhau
les ha reservado habitaciones
Oersted3
Hans Christian Oersted (1777-1851) fue un fiacutesico y quiacutemico
daneacutes que estudio en la Universidad de Copenhague y
demostroacute la existencia de un campo magneacutetico en torno a una
corriente eleacutectrica Fue profesor de fiacutesica desde 1806 En 1815
fue nombrado secretario de la Real Academia Danesa de
Ciencias y hasta su muerte luacutee un verdadero liacuteder en las
actividades de esta sociedad cientiacutefica En 1820 descubrioacute que
una aguja imantada se desviacutea colocaacutendose en direccioacuten
perpendicular a un conductor por el que circula una corriente
3 Maacutes detalles en Oriacutegenes del electromagnetismo Oersted y Ampegravere de Mldquo Carmen Peacuterez de
Landazaacutebal y Paloma Varela Editorial NIVOLA
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eleacutectrica iniciando asiacute el estudio del electromagnetismo
Me gustariacutea seguirles pero tengo que poner mis ideas en orden
despedirme de mis familiares aquiacute y ademaacutes tengo el encargo de
recoger un aparato para medir la intensidad magneacutetica que
Hansteen famoso por sus aparatos de medida ha prestado al
profesor Oersted de la Universidad de Copenhague Con este
aparato debemos hacer mediciones en el curso de nuestro viaje que
luego el profesor Hansteen analizaraacute El profesor Oersted ya sabiacutea
de mi existencia En una carta que le envioacute Hansteen me ha
presentado como Sentildeor estudioso N H Abel nuestro emergente Sol
matemaacuteticordquo Hansteen me la leyoacute pensando que eso me hariacutea sentir
halagado y lo que he sentido son deseos de decirle que la rompiera y
escribiera otra maacutes sencilla pero me ha dado pena ofenderle A
veces me abruma el profesor Hansteen con sus agasajos pero desde
la muerte de mi padre a nadie he agradecido maacutes las atenciones
Mis tiacuteos me han recibido espleacutendidamente con algunos de mis
platos preferidos Hemos charlado un buen rato despueacutes de la cena
y ahora debo descansar
12 de septiembre Visito al profesor Henrik von Schmidten quien
me entrega una carta de recomendacioacuten para el consejero Crelle en
Berliacuten una persona excelente en todos los sentidos que puede
ayudarme mucho me ha dicho
13 de septiembre Pasareacute estos dos uacuteltimos diacuteas en Copenhague
con la familia de la sentildeora Hansteen en Soroslash lugar apacible de la
campintildea danesa donde puedo meditar con tranquilidad y ver si he
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actuado correctamente y he tomado una buena decisioacuten en relacioacuten
con este viaje Aunque no podreacute ver a la atractiva Chanteacute que estaacute
precisamente en Noruega visitando a su tiacutea la sentildeora Hansteen
iexclCuaacutento me atrae Chanteacute A veces he llegado a pensar que la quiero
maacutes que a mi Crelly Pero tal vez sea solo un deseo pasajero Crelly
me necesita es maacutes tierna y complaciente Mientras Chanteacute es todo
lo contrariacuteo impetuosa y autosuficiente Una vida coacutemoda le ha
permitido adquirir una cultura que mi Crelly no ha podido alcanzar
es ingeniosa y muy simpaacutetica Pero Crelly y yo hemos pasado por
las mismas carencias y dificultades nos comprendemos mejor y
estamos comprometidos En fin auacuten es temprano para preocuparse
por el matrimonio antes debo conseguir un trabajo estable Espero
lograrlo al regreso de este viaje
14 de septiembre En estos diacuteas he meditado y llegado a la
conclusioacuten de que seguireacute viaje con mis amigos hasta Berliacuten donde
pasaremos el invierno Cuando estoy solo me pongo melancoacutelico y
me cuesta trabajo concentrarme Cuando estoy con amigos me
siento animado y despueacutes cuando investigo soy maacutes creativo las
ideas fluyen maacutes vivamente Ademaacutes ahora me siento seguro y
esperanzado con la carta de presentacioacuten para el consejero Crelle
que dicen que es muy amable y que tiene contactos importantes en
el gobierno prusiano
Esta decisioacuten de Abel de no viajar directamente a Gotinga o a Pariacutes
como estaba propuesto en el plan aprobado por el consejo
universitario ha sido muy controvertida Algunos historiadores
opinan que es una muestra de su madurez y de su independencia
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60 Preparado por Patricio Barros
de criterio otros por el contrario dicen que demuestra su
irresponsabilidad al incumplir el plan trazado En todo caso la
decisioacuten le va a abrir posibilidades insospechadas como veremos
enseguida
Abel aborda un buque de vapor moderno y llega raacutepidamente a la
ciudad portuaria alemana de Luumlbeck desde donde se desplaza en
coche a Hamburgo para encontrarse alliacute con sus amigos Hamburgo
ha sufrido bastante durante las guerras napoleoacutenicas pero en el
momento en que Abel y sus amigos llegan esta renaciendo
nuevamente como miembro de la Confederacioacuten Germaacutenica
18 de septiembre Aquiacute en Hamburgo solo se habla del talento
genial de un joven judiacuteo un tal Mendelssohn quieacuten con solo 9 antildeos
debutoacute como pianista y poco despueacutes ya interpretaba sus propias
composiciones Acaba de terminar una obertura muy popular sobre
la obra de Shakespeare El suentildeo de una noche de verano y iexclno pasa
de 17 antildeos Siento no tener una cultura musical para apreciar
justamente a este genio Con tantas lecturas de claacutesicos de las
ciencias matemaacuteticas no he tenido ni tiempo ni posibilidades para
otra cosa que no sean algunas salidas al teatro Realmente el teatro
me apasiona y no pienso perder la oportunidad de admirar las
representaciones teatrales en las ciudades que visite Aunque el
tema de esta obertura me ha abierto el apetito por escucharla
21 de septiembre Todos juntos vamos a cumplir el encargo de
Hansteen de visitar en la ciudad de Altona [hoy un barrio de
Hamburgo] al conocido astroacutenomo Heinrich Christian Schumacher
por cierto uno de los pocos amigos de Gauss Aunque estaba
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61 Preparado por Patricio Barros
resfriado nos recibioacute con amabilidad Schumacher conoce mis
trabajos por medio de Hansteen Afortunadamente no hace
referencia a mi fallido intento de escribir algo sobre astronomiacutea y
satisfacer asiacute los deseos de Hansteen Pero siacute habla de mi trabajo
sobre la quiacutentica que pudo mostrar a Gauss Me disgustoacute saber que
a Gauss no le satisfizo y que su respuesta fue que eacutel mismo
encontrariacutea una solucioacuten maacutes adelante Tratoacute de apaciguar mi
disgusto dicieacutendome que Gauss era siempre muy esceacuteptico con los
trabajos de otros y que desconfiaba de los extranjeros En lugar de
aliviar mi pena desalentoacute mi intereacutes por conocer a Gauss y pedir su
consejo Lo uacutenico positivo que saqueacute de este encuentro fue que
Schumacher me ofrecioacute el boletiacuten Noticias de astronomiacutea que eacutel
mismo edita para la publicacioacuten de mis trabajos futuros
Schumacher mediante sus relaciones con Gauss podiacutea haber
abierto las puertas de Gotinga a Abel sin embargo sus palabras
fueron maacutes bien de desaacutenimo No obstante cumplioacute con su promesa
de publicar en su revista los trabajos de Abel A fin de cuentas
Schumacher parece haber recibido una grata impresioacuten de Abel Asiacute
lo expresaraacute a Gauss varios antildeos maacutes tarde en la carta donde le
comunica la muerte prematura del joven ldquofue tan admirable como
ser humano como notable matemaacuteticordquo
Despueacutes de unos pocos diacuteas en Hamburgo el grupo de joacutevenes se
dirige a la primera escala importante del viaje Berliacuten Alliacute Abel
pasaraacute algo maacutes de 4 meses Reflejamos solo los momentos maacutes
significativos
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62 Preparado por Patricio Barros
11 de octubre Estamos al fin instalados en Berliacuten No me
imaginaba una ciudad tan bulliciosa Nos hemos topado con varios
desfiles militares y con las calles repletas de gente Se observan
muchos edificios lujosos palacios e iglesias Maschmann nos ha
reservado unas habitaciones sencillas pero coacutemodas en un
pequentildeo edificio de tres plantas frente al rio Spree Es una zona
agradable y muy respetable El alquiler es maacutes barato porque en los
bajos tenemos una taberna Pero es un sitio relativamente
tranquilo ademaacutes la taberna seguro que nos seraacute uacutetil en invierno
En el piso alto vive la familia de un profesor universitario muy
reservada seguacuten dice el casero
13 de octubre He conocido al consejero Crelle Fui al Instituto de
Industria llameacute a la puerta de su oficina y una voz fuerte me indicoacute
que entrara No sabiacutea coacutemo articular las palabras que me habiacutea
aprendido para la presentacioacuten Le entregueacute una copia de algunos
de mis trabajos y la carta que me habiacutea dado el profesor Von
Schmidten Crelle creyoacute que yo era un estudiante que queriacutea hacer
el examen de ingreso al centro Con mucha dificultad logreacute decir
Nada de examen solo matemaacuteticardquo Entonces miroacute los papeles que
le llevaba y comprendioacute mis intereses
De mutuo acuerdo decidimos entendernos en franceacutes Me preguntoacute
queacute libros de matemaacuteticas habiacutea leiacutedo y se mostroacute sorprendido de
que en Noruega hubiera tenido conocimiento de tales obras Se
interesoacute sobre todo por mis investigaciones sobre las ecuaciones
algebraicas Le dejeacute una copia de mi memoria publicada en
Cristianiacutea De momento no entendioacute mi meacutetodo y me ha pedido que
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63 Preparado por Patricio Barros
le lleve una demostracioacuten maacutes detallada Tambieacuten me dijo que el
nivel matemaacutetico de Alemania es muy bajo comparado con el de
Francia pero que estaacute seguro que con las nuevas ideas del gobierno
una nueva era se abriraacute para las ciencias matemaacuteticas en Prusia
Crelle
August Leopold Adam Crelle (1780-1855) fue un ingeniero
alemaacuten que de forma autodidacta se interesoacute por las ciencias
matemaacuteticas Trabajoacute para el gobierno prusiano y proyectoacute
muacuteltiples obras puacuteblicas entre ellas la viacutea feacuterrea Berliacuten-
Potsdam en 1838
Placa conmemorativa en la casa de Berliacuten (en la actualidad el
172 de Potsdamer Strasse) donde vivioacute Crelle los uacuteltimos 15
antildeos de su vida
Desde 1828 fue asesor del Ministerio de Educacioacuten de Prusia
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64 Preparado por Patricio Barros
en lo relativo a ternas matemaacuteticos Sus principales trabajos
fueron en geodesia y geometriacutea plana Fue un excelente
organizador y se preocupoacute de ayudar a joacutevenes talentos como
Abel En 1826 fundoacute la Revista de matemaacuteticas puras y
aplicadas donde se publicaron obras de Abel Steiner
Dirichlet Jacobi Lobachevski y Weierstrass entre otros que
pronto se convertiriacutea en el prestigioso Journal de Crelle y auacuten
hoy aparece perioacutedicamente Fue miembro desde 1827 de la
Academia de Ciencias de Berliacuten
Cuando expreseacute mi asombro de que no existiera una revista
matemaacutetica del estilo del Boletiacuten de Ferrusac (Boletiacuten universal de
las ciencias y de la industria) franceacutes me ha respondido que desde
haciacutea tiempo teniacutea en mente editar una revista que diera a conocer
los avances matemaacuteticos y que espera hacerla realidad lo antes
posible He salido muy entusiasmado de este encuentro y me he
llevado la impresioacuten de que es una persona diligente bien
preparada interesada en las matemaacuteticas y de que mis trabajos le
han parecido importantes Tengo que aprovechar esta magniacutefica
oportunidad
Los vecinos del piso de arriba han golpeado el techo en sentildeal de
protesta Realmente solo estaacutebamos hablando sobre las incidencias
del diacutea pero quizaacutes me he exaltado demasiado contando a mis
amigos mi encuentro con Crelle
15 de octubre Nuestro vecino de arriba ha vuelto a molestarse con
nuestras discusiones y ha protestado eneacutergicamente con sus golpes
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65 Preparado por Patricio Barros
Hegel
Georg Wilhelm Friedrich Hegel (1770-1831) ha sido uno de los
teoacutericos maacutes influyentes en el pensamiento universal Despueacutes
de estudiar un curso de Filosofiacutea
y teologiacutea en el seminario de la
Universidad de Tubinga y
decidir que no queriacutea ser cleacuterigo
trabajoacute como preceptor en Berna
(Suiza) en 1793 En 1799 murioacute
su padre dejaacutendole un legado
cuya cuantiacutea econoacutemica le
permitioacute abandonar su trabajo
como tutor En 1801 ingresoacute en
la Universidad de Jena donde
maacutes tarde llegariacutea a ser profesor Alliacute concluyoacute La
fenomenologiacutea del espiacuteritu (1807) una de sus obras maacutes
importantes Fue director de un instituto de ensentildeanza
secundaria en Nuacuteremberg durante ocho antildeos En los antildeos que
paso en esta ciudad contrajo matrimonio con Marie von
Tucher de quien tuvo tres hijos una nintildea que murioacute al poco
de nacer y dos varones En Nuacuteremberg publicoacute despueacutes de
siete antildeos de trabajo Ciencia de la loacutegica (1816) En 1818 se
trasladoacute a la Universidad de Berliacuten donde permanecioacute hasta
su muerte Algunas notas de sus clases fueron publicadas a
titulo poacutestumo Entre las obras asiacute editadas estaacuten Lecciones
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66 Preparado por Patricio Barros
sobre la historia de la filosofiacutea (1836) y Lecciones sobre la
filosofiacutea de la historia (1837) Cuando murioacute era el filoacutesofo maacutes
importante de Alemania
He averiguado que es un profesor de filosofiacutea en la universidad y
que los estudiantes lo respetan Su nombre es Georg Hegel Seguacuten
dicen ha publicado varios libros y desde hace pocos antildeos imparte
clases en Berliacuten Me han recomendado su Ciencia de la loacutegica pero
no tengo tiempo para ese tipo de lecturas De todas formas hemos
acordado respetar la tranquilidad de la familia Hegel y nuestras
conversaciones seraacuten en la taberna de los bajos
20 de octubre Le he llevado a Crelle una prueba detallada de la
imposibilidad de resolucioacuten algebraica de la quiacutentica Me ha ofrecido
que consulte su biblioteca particular Ademaacutes de varios claacutesicos
tiene la coleccioacuten completa del Boletiacuten de Ferrusac donde he
encontrado valiosa informacioacuten sobre nuevos libros y resultados
matemaacuteticos Tambieacuten me ha invitado a las tertulias semanales de
los lunes en su residencia a las que asiste la intelectualidad
berlinesa No perdereacute esta oportunidad de conocer a la comunidad
cientiacutefica de Berliacuten
25 de octubre He asistido por primera vez a la tertulia en la
residencia de Crelle Me ha impresionado provechosamente Se
habla sobre todo del desarrollo de actividades culturales y se
escucha mucha muacutesica Mi oiacutedo no estaacute familiarizado con la muacutesica
moderna con este instrumento que ha sustituido al clavicordio Por
cierto que he escuchado con agrado una pieza del joven compositor
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67 Preparado por Patricio Barros
hamburgueacutes Mendelssohn Pero lo que maacutes ha llamado mi atencioacuten
es la participacioacuten tambieacuten de damas algunas con muy afinada
voz han cantado varios lieder de un compositor austriacuteaco dicen
que tambieacuten muy joven un tal Schubert Estas canciones siacute que
han sido de mi agrado He conocido a un par de joacutevenes interesados
en las matemaacuteticas Ambos adoran a Gauss a quien consideran la
quintaesencia de toda la excelencia matemaacuteticardquo En cambio Crelle
dice que todo lo que Gauss escribe es absolutamente oscuro y difiacutecil
de comprender y que sus conferencias son de mala muerte
Steiner
Jakob Steiner (1796-1863) estudioacute en Suiza con el famoso
pedagogo Johann Pestalozzi y en
Alemania en la Universidad de
Heidelberg De 1821 a 1835
trabajoacute corno profesor de
secundaria de matemaacuteticas y
luego se incorporoacute a la
Universidad de Berliacuten Es
considerado por algunos
historiadores como el primer
especialista verdadero en
geometriacutea Se interesoacute sobre todo
por la construccioacuten puramente
sinteacutetica de la geometriacutea Utilizoacute el principio de dualidad en
geometriacutea proyectiva pero no consiguioacute liberar completamente
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68 Preparado por Patricio Barros
la geometriacutea de los meacutetodos meacutetricos Se interesoacute tambieacuten por
los problemas isoperimeacutetricos y por las construcciones con solo
regla y un ciacuterculo fijo
Para Crelle un buen trabajo cientiacutefico debe estar escrito con claridad
y elegancia ser accesible y resultar motivador para todos los
interesados
20 de noviembre Los paseos vespertinos de los viernes con Crelle y
con un joven suizo amante de la geometriacutea llamado Jacob Steiner
se han hecho tan populares que seguacuten nos ha contado un amigo los
llaman el paseo de los viernes de Adaacuten (en alusioacuten al segundo
nombre de Crelle) con Caiacuten y Abel En estas caminatas me he
enterado de los traacutemites que realiza Crelle para que su revista sea
editada a maacutes tardar el proacuteximo antildeo Nos ha solicitado a Steiner y a
miacute que preparemos sendos trabajos para el primer nuacutemero Yo
pienso redactar dos uno sobre funciones simeacutetricas y otro sobre la
quiacutentica
10 de diciembre De nuevo me ha sorprendido durante el suentildeo
una idea clave para mis investigaciones No puedo contenerme y
tengo que levantarme prender el candil y copiarla raacutepidamente Ya
se hace una costumbre que a mis amigos molesta un poco pero no
puedo hacer nada es algo completamente involuntario y sorpresivo
Tengo terminados dos artiacuteculos para el primer nuacutemero del Journal
de Crelle y otros dos casi terminados para el siguiente nuacutemero No
puedo perder esta oportunidad de darme a conocer aquiacute
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69 Preparado por Patricio Barros
25 de diciembre Nos hemos reunidos todos para celebrar la
navidad al viejo estilo noruego Nosotros cinco y un amigo daneacutes
Rudolph Rothe que tiene una pequentildea beca para estudiar
jardineriacutea Rudolph trabaja en los jardines de Sans Souci el bello
palacio que fuera residencia de verano de Federico II el grande de
Prusia en Potsdam a pocos kiloacutemetros de Berliacuten Esta fiesta ha sido
el colmo para el profesor Hegel que nos ha enviado a su sirvienta
con las quejas Boeck que ha hecho migas con ella nos ha contado
que la sirvienta le dijo al profesor que eacuteramos unos estudiantes
daneses que estaban celebrando una fiesta navidentildea y que Hegel le
gritoacute descompuesto Nada de daneses son osos rusos Es cierto
que entre los noruegos la navidad se festeja con mucha bebida y
gran jolgorio como tienen fama de hacerlo tambieacuten los rusos pero
desconozco como lo haraacuten los osos
Saacutebado 14 de enero Esta es mi segunda visita a las famosas
tertulias de Madame Levy Aunque no soy amante de reuniones
sociales muy concurridas he aceptado la invitacioacuten porque asiacute cada
saacutebado tengo la oportunidad de perfeccionar mis conocimientos de
la lengua y la cultura alemana Ademaacutes me ha servido para
comprender que las damas tambieacuten se interesan por las
matemaacuteticas y por la fiacutesica Se discute de todo religioacuten arte
literatura medicina ciencia en fin de lo humano y lo divino Yo
no suelo intervenir salvo que alguien lo solicite expresamente Pero
he conseguido establecer relaciones Aquiacute tambieacuten me he tropezado
con un poeta tan joven como yo Heinrich Heine -no olvidareacute su
nombre- que ha leiacutedo con mucha delicadeza sus poemas y aunque
El romaacutentico noacuterdico Abel wwwlibrosmaravillososcom Carlos Saacutenchez y Teresita Noriega
70 Preparado por Patricio Barros
no he entendido todo he sentido reflejada en ellos una nostalgia y
una romaacutentica ironiacutea Cuando me siento triste tan lejos de todos
mis familiares y amigos de la infancia me gustariacutea poder expresar
mi melancoliacutea con tanta belleza
20 de enero De nuevo he paseado con Crelle y Steiner Crelle se ha
ofrecido para acompantildearme a Gotinga y servirme de intermediario
ante Gauss Sin embargo no existe otro lugar en Alemania que
resulte mejor para mi formacioacuten que Berliacuten De Gotinga se habla de
su magniacutefica biblioteca y de Gauss pero aquiacute he tenido acceso a
todos los libros que he necesitado mientras que Gauss es alguien
completamente inaccesible Si realmente Crelle puede acompantildearme
ireacute con gusto pero si no fuera posible no me preocupa Mi
horizonte cultural se ha ampliado enormemente en Berliacuten ademaacutes
de encontrar el vehiacuteculo idoacuteneo para publicar y darme a conocer Ya
he conseguido entregar cuatro artiacuteculos a Crelle y tengo otros dos
en el tintero Muchos de mis suentildeos se han hecho realidad aquiacute sin
necesidad de Gotinga y las excelencias del sentildeor Gauss
30 de enero Despueacutes de consultar con mis amigos y meditar sobre
ello al fin he decidido como continuar este viaje Mi plan consiste
ahora en viajar con Keilhau al centro minero de Freiberg en
Sajonia donde seguacuten mi amigo tendreacute albergue sosiego y las
mejores condiciones para culminar los artiacuteculos que deseo dejar a
Crelle antes del viaje a Gotinga y a la regioacuten del Rin Mi idea es
pasar un mes en Freiberg y unos pocos diacuteas en Gotinga solo los
necesarios para revisar la biblioteca ya que de Gauss seguramente
no podreacute obtener nada aun cuando Crelle me ayude a comunicarme
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71 Preparado por Patricio Barros
con eacutel De ahiacute me dirigireacute enseguida a Pariacutes donde dispondreacute de
mejores condiciones Alliacute continuareacute mis estudios sobre las
integrales eliacutepticas y sus funciones inversas que aunque sea un
tema difiacutecil y ya bastante elaborado por el ceacutelebre Legendre estoy
convencido de que auacuten tiene nuevas vetas que explotar
A mediados de febrero Abel y Keilhau parten de Berliacuten Luego pasan
unas 36 horas en Leipzig donde Keilhau debe controlar la edicioacuten
de su libro sobre la formacioacuten geoloacutegica de Noruega Los ingresos
por esta publicacioacuten le permitiraacuten financiar su viaje De aquiacute van a
Freiberg donde Abel estaraacute un mes tratando de poner orden en sus
ideas Es probable que aquiacute en Freiberg ademaacutes de culminar los 6
artiacuteculos que apareceraacuten en los tres primeros nuacutemeros del Journal
de Crelle concluya su memoria sobre el teorema del binomio (ver
Cap 5) y que comience su Memoria de Pariacutes sobre las integrales
hipereliacutepticas (ver Cap 4)
El plan de viajar a Gotinga con Crelle se vino abajo Crelle le envioacute
una nota explicaacutendole que no podriacutea ir a causa de obligaciones
gubernamentales en Prusia Abel se ve colocado en la disyuntiva de
viajar solo a Gotinga y Pariacutes o viajar junto a sus amigos por el sur
de Europa y despueacutes ir a Pariacutes Keilhau trata de convencerlo para
que lo acompantildee junto a Boeck y Moslashller en un recorrido geoloacutegico
por las bellas montantildeas de Bohemia del Tirol y de los Alpes
dolomiacuteticos Este viaje tiene un gran valor para Keilhau y sus
amigos mineralogistas ya que estudiariacutean formaciones geoloacutegicas
que corroborariacutean una tesis de Keilhau sobre los oriacutegenes del
granito El itinerario incluiriacutea bellas ciudades como Praga Viena
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72 Preparado por Patricio Barros
Trieste Venecia y Basilea antes de llegar a Pariacutes Abel podriacutea
continuar con sus trabajos mientras los mineralogistas hacen
incursiones en las montantildeas Aparentemente Abel no es seducido
por este proyecto inmediatamente La primera noticia de que Abel se
ha incorporado al viaje la encontramos en una carta de Keilhau a
Boeck del 17 de marzo de 1826 En ella plantea que los tres
(Keilhau Abel y Moslashller que se les ha unido en Freiberg) iraacuten al
encuentro de los otros dos (Boeck y Tank) que estaacuten en Dresde (el
otro miembro del grupo el farmaceacuteutico Maschmann permanece en
Berliacuten culminando sus estudios) para desde alliacute todos juntos
comenzar el recorrido geoloacutegico
Segunda etapa viaje turiacutestico-cultural
La palabra turismo derivada de la francesa tour gira empleada
primero en ingleacutes como tourism aficioacuten a viajar por placer todaviacutea
no se usaba habitualmente en el siglo XIX
El objetivo del viaje de Abel era ante todo los estudios siguiendo las
tradiciones vigentes hasta comienzos del siglo XIX
Pero sin duda que su paso por las regiones del norte de Italia y de
Suiza en especial su estancia en los Alpes se puede considerar
como turismo romaacutentico por ese fervor apasionado y casi miacutestico con
que describe en sus cartas la naturaleza salvaje y los lugares
intrincados
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73 Preparado por Patricio Barros
Vamos a acompantildear a Abel y a sus amigos sobre todo por las
ciudades maacutes importantes y trataremos de reflejar las peripecias
con la suficiente claridad y fidelidad como para que el lector consiga
sacar justas conclusiones sobre el provecho o la ineficacia del viaje
22 de marzo Boeck y Tank nos estaban esperando en Dresde
como habiacuteamos planeado Boeck nos muestra la primera carta de
Hansteen quien agradece las mediciones con el instrumento de
oscilaciones magneacuteticasrdquo y nos dice que mantiene informados a los
lectores de la Revista sobre ciencias naturales sobre nuestro
itinerario que le parece excelente para continuar los estudios
geoloacutegicos y las mediciones magneacuteticas No ha podido escribir antes
pues ha sido nombrado decano de la Facultad de Filosofiacutea Deja
entrever que no aprueba mi abandono del plan inicial de ir a
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74 Preparado por Patricio Barros
Gotinga y encontrarme con Gauss Aparentemente Hansteen no ha
comprendido mis cartas donde le explico lo que Schumacher me ha
dicho sobre Gauss Yo solo no me atrevo a presentarme ante un
hombre tan especial Espero que el decano Hansteen no me retire
su confianza
La casa de Caspar David Friedrich a orillas del rio Elba en Dresde
26 de marzo Dresde es una ciudad cultural Existe un ambiente
que inspira arte por todas partes Ayer fuimos juntos al teatro a ver
un drama alemaacuten Hoy hemos ido a apreciar una oacutepera italiana Nos
hemos encontrado con el encargado de negocios de Dinamarca el
noruego Irgens-Bergh quien nos ha dicho que hemos tenido una
maravillosa oportunidad de apreciar la oacutepera de Dresde bajo la
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75 Preparado por Patricio Barros
direccioacuten de Carl Mariacutea von Weber quieacuten le ha proporcionado una
vitalidad romaacutentica germaacutenica insoacutelita en el mundo actual a todo
el repertorio italiano Tambieacuten nos ha dado algunas
recomendaciones nos ha dado invitaciones para un aristocraacutetico
casino en Dresde y nos ha invitado a una comida en su residencia
28 de marzo Hemos comido a mediodiacutea con Bergh y alliacute hemos
conocido a nuestro compatriota el pintor Johann Christian Dahl
que estaacute en Dresde desde 1818 formando parte del movimiento
romaacutentico liderado por su maestro Caspar David Friedrich Ahora
vive en casa de eacutel pero en unos diacuteas partiraacute para Noruega por un
antildeo Nos ha invitado a conocer la obra de Friedrich
Hoy he escrito una larga carta al decano Hansteen He tratado de
explicarle mis decisiones y que continuacuteo investigando siempre que
puedo sobre todo por las noches Le he hablado sobre mi propoacutesito
de utilizar todas mis fuerzas para eliminar la enorme tiniebla que
recubre todo el anaacutelisis superior de investigar los fundamentos de
los fenoacutemenos ligados a la representacioacuten de funciones por series
infinitas Y ademaacutes he decidido comunicarle que Crelle desea que
me establezca permanentemente en Berliacuten Con cierta delicadeza le
he contado los argumentos de Crelle y su propuesta para que
trabaje como editor de la revista mientras no consiga una plaza
como profesor Le he comunicado que por supuesto he rechazado
esta propuesta pero que ante su insistencia le he prometido darle
una respuesta definitiva al finalizar mi viaje A mi regreso hacia
Noruega pasareacute por Berliacuten y hablareacute con eacutel
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76 Preparado por Patricio Barros
29 de marzo Con Dahl hemos visitado las galeriacuteas del palacio
Zwinger recieacuten restaurado Realmente las pinturas del maestro
Friedrich son impresionantes llenas de misterio y con simbologiacuteas
fascinantes que gracias a Dahl hemos comprendido
El pintor Caspar David Friedrich retratado probablemente por J C
Finelius entre 1810 y 1820
Mientras Dahl nos explicaba veiacutea su inmensa analogiacutea con las
matemaacuteticas que para muchos estaacuten llenas de un misterio
inexpugnable pero que cuando se aprenden sus coacutedigos alcanzan
una belleza incomparable En las galeriacuteas del palacio hemos
admirado la Madonna Sixtina de Rafael y una rica coleccioacuten de
esculturas de la Antiguumledad Dahl nos ha demostrado en unos
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77 Preparado por Patricio Barros
maravillosos momentos el porqueacute a Dresde se le llama la Florencia
del Elba
31 de marzo Ayer ha habido una gran discusioacuten entre mis amigos
Yo me he mantenido al margen Discordias por asumir posiciones
intransigentes No han conseguido conciliar sus puntos de vista y
nos hemos dividido Tank y Moslashller permaneceraacuten aquiacute en Dresde
mientras Keilhau Boeck y yo continuamos con el recorrido
geoloacutegico Realmente eran Tank y Moslashller mineralogistas los que
deberiacutean acompantildear a Keilhau pero la terquedad de Tank y el mal
genio de Keilhau han provocado esta disensioacuten absurda en el grupo
Para miacute no ha sido difiacutecil decidir con quieacutenes continuar ya que
Boeck y Keilhau son mis maacutes antiguos amigos y ademaacutes no puedo
quedarme en Dresde
La Oacutepera Semper de Dresde
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78 Preparado por Patricio Barros
3 de abril Estamos en la hermosa ciudad de Praga Nada maacutes
cruzar la frontera con la regioacuten de Bohemia nos ha sorprendido la
fertilidad de los campos no conocemos nada parecido en nuestra
Noruega Realmente esta zona tambieacuten es muy diferente a la
Alemania que dejamos atraacutes Muchas iglesias catoacutelicas muchos
mendigos mutilados y sobre todo ciegos Por todas partes se
expende cerveza y lo que maacutes nos ha asombrado es ver a las
mujeres bebiendo a la par que los hombres Ayer domingo
estuvimos en la representacioacuten del Guillermo Tell de Schiller por
Ferdinand Esslair de Muacutenich considerado el mejor actor alemaacuten
Me habiacutea gustado mucho el drama Don Carlos pero esta puesta en
escena ha sido insuperable sobre todo por la actuacioacuten de Esslair
Boeck nos ha convencido de que pasemos unos diacuteas aquiacute porque ha
encontrado muchos elementos de historia natural en la zona que le
interesan para sus estudios
5 de abril Hemos subido a una torre en una parte elevada de la
ciudad desde donde hemos podido apreciar una vista estupenda de
toda Praga y sus alrededores Por recomendacioacuten de Hansteen
hemos visitado la tumba de Tycho Brahe el astroacutenomo daneacutes que
acumuloacute maacutes datos en sus mediciones astronoacutemicas que todos los
obtenidos hasta la invencioacuten del telescopio La tumba se conserva
en una de las innumerables iglesias de Praga Tambieacuten visitamos su
ex-observatorio que han convertido en un instituto militar Por las
noches he conseguido organizar mis nuevas ideas sobre las
integrales trascendentes Espero poder redactarlas como una
memoria al llegar a Pariacutes
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79 Preparado por Patricio Barros
Saacutebado 15 de abril Despueacutes de 4 diacuteas de viaje por Bohemia la
regioacuten maacutes feacutertil que hemos admirado hasta ahora ayer tarde
llegamos a Viena Nos hemos tenido que hospedar en un hotel muy
caro hasta que consigamos algo maacutes econoacutemico Hoy asistimos a
uno de los teatros que es el orgullo de los vieneses el Teatro
Imperial Tienen toda la razoacuten para sentir esa satisfaccioacuten hay un
ambiente distinguido y unos actores estupendos No me ireacute de Viena
hasta haber visitado todos sus teatros He comprobado que donde
maacutes aprendo la esencia de la lengua y la cultura germana es en los
teatros Ademaacutes en Noruega no hay nada igual ni creo que lo habraacute
nunca
17 de abril Hoy visiteacute a Joseph von Littrow director del
observatorio Como llevaba la carta de presentacioacuten de Crelle y
ahora mi alemaacuten es maacutes fluido e inteligible me ha recibido con
mucha amabilidad
Von Littrow
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80 Preparado por Patricio Barros
Joseph von Littrow (1781-1840) astroacutenomo austriacuteaco
comenzoacute a estudiar en la
Universidad de Viena pero
terminoacute en la de Praga (1803)
Fue profesor y director del
observatorio de Cracovia (1807-
09) profesor en Kazaacuten (1810-16)
y director del observatorio de
Budapest (1816-19) antes de
llegar a Viena en 1819 En todas
las ciudades que visitoacute se
distinguioacute como un activo popularizador de las bondades de la
astronomiacutea Sus investigaciones matemaacuteticas versaron sobre
geometriacutea en particular el estudio de las epicicloides Utilizoacute la
teoriacutea de las fracciones continuas para dar una teoriacutea
aritmeacutetica de los distintos sistemas de calendarios solares y
lunares Durante su estancia en Kazaacuten conocioacute al joven
Lobachevski y fue de los primeros en reconocer la importancia
de su geometriacutea no euclidiana Fue miembro de sociedades
cientiacuteficas de San Petersburgo Praga Cracovia y Londres
19 de abril Al fin hemos conseguido dos cuartos econoacutemicos en un
edificio donde deben vivir maacutes de quinientas personas La familia
del encargado del edificio ha sido atenta con nosotros y nos ayudaraacute
en nuestras necesidades domeacutesticas Estaacute muy cerca de la catedral
de san Esteban que seguacuten dicen y contando su prominente aguja
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81 Preparado por Patricio Barros
goacutetica es la catedral maacutes alta del mundo No puede creerse todo lo
que los habitantes dicen de su ciudad pero realmente es
impresionante aunque yo encuentro su interior auacuten maacutes
magnificente
10 de mayo He encontrado en Von Littrow un compantildeero de ideas
Tiene un don especial para explicar las cosas maacutes sofisticadas como
si fueran cuentos de hadas He comprendido por queacute Crelle
simpatiza con eacutel Nos reunimos para charlar varias veces por
semana casi siempre temprano en el observatorio donde pasa la
mayor parte del diacutea Otras veces me ha invitado a cenar en su casa
Su esposa una polaca de solo 34 antildeos es muy simpaacutetica su uacutenico
defecto es que gusta de aspirar tabaco rapeacute Seguacuten Von Littrow
cuando la conocioacute en Cracovia era peor pues fumaba como los
turcos y pareciacutea una chimenea Lo uacutenico que no me gusta de las
cenas en su casa es que siempre hay algunos de sus 12 hijos que
auacuten no han ido a dormir y gritan y brincan por toda la casa y no
nos permiten concentrarnos en nuestros temas cientiacuteficos
Domingo 14 de mayo iexclCuaacutento siento no tener una cultura
musical Keilhau y Boeck si que han conseguido disfrutar y apreciar
la famosa muacutesica vienesa Despueacutes de mucho insistir ayer me han
convencido de que les acompantildee a escuchar un concierto de muacutesica
sinfoacutenica Me convencieron cuando les dije que no tengo oiacutedo para
tal muacutesica y me respondieron que eso no es un pretexto pues una
de las piezas que escuchariacuteamos pertenece a un compositor que es
completamente sordo y se considera entre los mejores exponentes
de la actual escuela vienesa iexclMe parece increiacuteble que un sordo
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82 Preparado por Patricio Barros
pudiese componer una muacutesica tan llena de armonia Pero confieso
que salvo el momento en que la muacutesica del sordo me estremecioacute
casi todo el tiempo he estado pensando en mis problemas con las
integrales hipereliacutepticas Quizaacutes ese sea el fin de esta muacutesica
sinfoacutenica estimularnos a pensar sobre lo que nos agrada
20 de mayo Von Littrow me ha mostrado una nueva revista de la
Universidad de Viena donde aparece un artiacuteculo anoacutenimo que cita a
uno de mis trabajos aparecidos en el primer nuacutemero del Journal de
Crelle Este autor anoacutenimo afirma que la imposibilidad de resolucioacuten
algebraica de la quiacutentica fue demostrada antes por un tal Paolo
Ruffini matemaacutetico italiano No seacute si tiene razoacuten pero con
seguridad que ambos hemos trabajado independientemente No
considero necesario empezar una poleacutemica esteacuteril sobre la prioridad
y menos con un autor que no da su cara a conocer De todas formas
cuando me instale en Pariacutes pienso leer los trabajos de Ruffini y si
fuera necesario les hareacute justicia en alguacuten artiacuteculo (ver Cap 3)
25 de mayo Dejo Viena en una noche hermosa como lo han sido
las seis semanas que hemos pasado en esta ciudad fascinante Se
siente una rara sensacioacuten al dejar atraacutes una ciudad tan grandiosa y
disiacutemil sabiendo que no volveraacutes a verla especialmente si ha sido
un lugar donde uno se ha divertido y aprendido tanto Me
acompantildean en el expreso postal Moslashller y Tank quienes felizmente
se nos han unido hace una semana Boeck y Keilhau partieron
antes el diacutea 18 pero marchan a pie a traveacutes de los Alpes orientales
para ampliar sus conocimientos geoloacutegicos de la zona y hacer otras
mediciones magneacuteticas para Hansteen
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83 Preparado por Patricio Barros
27 de mayo Estamos en Graz singular villa rodeada por los Alpes
Para llegar aquiacute hemos utilizado un paso entre montantildeas de una
enorme belleza que nos ha hecho sentir la nostalgia por los bellos
paisajes noruegos Al llegar a la regioacuten de Steinmark he sentido que
volviacutea a mi tierra de la que me separan tantos kiloacutemetros y tantos
diacuteas
28 de mayo Hemos dado un paseo por la villa de Graz que posee
una rica historia medieval pues llegoacute a ser residencia de los
emperadores del Sacro Imperio Romano Germaacutenico Por
recomendacioacuten de Hansteen hemos visitado su universidad donde
ensentildeoacute el astroacutenomo Johannes Kepler antes de ser contratado como
ayudante por Tycho Brahe Al regresar a la posada nos hemos
encontrado con Keilhau y Boeck que estaban ansiosos por
contarnos sus aventuras alpinas Mantildeana por la noche partiremos
todos juntos hacia Trieste iexcldonde veremos por fin el mar
2 de junio Acabamos de llegar a Trieste Aunque estoy
extremadamente cansado despueacutes de un viaje de 4 diacuteas y medio a
traveacutes de las montantildeas quiero dejar constancia de mis agradables
impresiones iexclQueacute maravillosa vista Justo antes de llegar cansados
de pasar por intrincados parajes por sinuosos senderos entre altos
picos de pronto se abrioacute el paisaje y ante nosotros en el horizonte
aparecioacute el mar Adriaacutetico Nos bajamos del carruaje y admiramos
parte del golfo de Trieste la peniacutensula de Istria y la costa de
Venecia Enseguida nos vino a la mente (iexcly al corazoacuten) la
maravillosa vista del fiordo de Cristianiacutea desde Ekeberg Y no seacute por
queacute instantaacuteneamente recordeacute a mis hermanos especialmente a
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84 Preparado por Patricio Barros
Peder y a mi tierna Elisabeth iexclFue demasiada emocioacuten para un
solo diacutea
Domingo 4 de junio Estamos maravillados de la belleza de esta
ciudad y de la vivacidad de la vida comercial Por supuesto que el
mar es su principal atractivo Nada maacutes nos hemos instalado
hemos corrido a bantildearnos en la playa Aquiacute hay gente de todas las
nacionalidades europeas ademaacutes de turcos aacuterabes y negros
africanos Sobre todo se ve y escucha a muchos serbios y croatas
siempre peleando entre siacute En el puerto hemos contado cuatro
embarcaciones noruegas descargando pescado Subimos a tres de
ellas y en una hasta nos invitaron a comer de nuestro sabroso
bacalao y nos dieron un vino claacutesico No podiacuteamos dejar la ciudad
sin asistir al teatro y hoy los cinco hemos visto nuestra primera
comedia italiana El doctor y la muerte Lo que maacutes nos ha llamado la
atencioacuten ha sido la sorprendente escenografiacutea y aunque no hemos
entendido mucho nos hemos divertido sobre todo viendo a los
asistentes reiacuter escandalosamente
8 de junio Ayer a las 12 de la noche partimos de Trieste en barco y
a las ocho de la mantildeana avistamos las torres de la excepcional
Venecia Mis lecturas de las recieacuten publicadas aventuras de
Giovanni Casanova me habiacutean familiarizado con algunos lugares
pero solo visitando Venecia se aprecia lo insoacutelito de esta ciudad
Paramos en el Hotel Europa no lejos de la famosa plaza de San
Marcos Salimos de paseo en goacutendola despueacutes de pasar largo rato
negociando un precio econoacutemico Seguimos a pie por las estrechas y
tortuosas calles donde hemos visto muchos mendigos y picaros
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85 Preparado por Patricio Barros
que nos han mantenido en guardia todo el tiempo Existe una
melancoacutelica atmoacutesfera en la antigua y ruinosa Venecia Por todas
partes se observan tantos signos de la gloria pasada como de la
miseria presente Magniacuteficos palacios casi destruidos grandes
edificios derrumbados mostrando rasgos de la belleza de antantildeo
Por todas partes el testimonio de la decadencia Pero el leoacuten alado
de Venecia auacuten puede rugir orgulloso por la extraordinaria belleza
de la plaza san Marcos Rodeada por bellos edificios de diferentes
estilos y con enormes columnatas es tan radiante de diacutea como
animada es su vida nocturna En uno de los lados de la plaza he
contado 25 cafeacutes algunos ampliacutesimos aunque prohibidos para los
bolsillos de joacutevenes estudiantes Mantildeana conoceremos mejor esta
ciudad
9 de junio Hoy subimos al Campanile de san Marcos y hemos
admirado una monumental vista de toda la ciudad Canales calles y
callejones compitiendo a ser maacutes estrechos y sinuosos
contorneando maacutes de 100 islotes confluyendo todos en el mar que
parece engullirlos con avidez No menos impresionante es el interior
de la catedral lleno de maacutermoles y mosaicos de colores Pudimos
visitar la prisioacuten del palacio del Dogo de donde se escapoacute Casanova
descrita en uno de los episodios maacutes emocionantes de sus
memorias Cuando leiacute las aventuras de Casanova caballero de
Seingalt que maacutes me llamoacute la atencioacuten es que no obstante el
tiempo dedicado a sus encuentros galantes y a otras atrevidas
empresas tuvo oportunidad de resolver algunos problemas
matemaacuteticos de forma original Yo no lo comprendiacutea pero ahora siacute
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86 Preparado por Patricio Barros
Cuando se tiene la preocupacioacuten y el deseo de resolver un problema
se piensa en eacutel en cualquier momento libre y a veces tambieacuten en
los ocupados
Domingo 11 de junio Despueacutes de pasar raacutepidamente por Padua
hemos llegado a esta bella ciudad de Verona Nos han impresionado
los monumentos romanos bien conservados sobre todo un puente
construido por Vitrubio sobre el Adigio y un inmenso anfiteatro para
maacutes de 2000 personas Esta es la ciudad de Romeo y Julieta y da
gran placer recorrer los palacios y plazas que fueron escenario de
una de nuestras tragedias preferidas
14 de junio iexclQueacute maravilloso paisaje salvaje El paso de las
montantildeas por despentildeaderos que se abriacutean a ambos lados como
abismales fauces dispuestas a devorarnos fue inolvidable El
sendero pareciacutea una infinita culebra angosta deslizaacutendose entre las
montantildeas Aquiacute Keilhau y los mineralogistas pretenden comprobar
sus tesis geoloacutegicas Seguacuten ellos el inusual colorido que tan bello
encontramos no es otra cosa que diferentes combinaciones de
carbonatos de magnesio y de calcio que forman las rocas llamadas
calizas dolomiacuteticas Por eso a esta parte del Tirol meridional se le
conoce por Alpes dolomiacuteticos Decidimos hospedarnos en una
hosteriacutea relativamente cerca de Bolzano Estamos tan eufoacutericos
embriagados con el ambiente y satisfechos por el hecho de que
hemos llegado al punto culminante de nuestro itinerario geoloacutegico
que nos hemos presentado como profesores Keilhau profesor de
mineralogiacutea Boeck profesor de veterinaria Abel profesor de
geometriacutea
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87 Preparado por Patricio Barros
Pero se les conoceraacute como los estudiantes de Noruega Maravillados
con el salvaje escenario y el ambiente han escrito en el libro de
hueacutespedes que abrigan la esperanza de volver Pero el destino no lo
permitiraacute De todas formas pasan unos diacuteas inolvidables y su
espiacuteritu romaacutentico se ha encumbrado vagando por los Alpes
Por esos parajes permaneceraacuten casi dos semanas El 27 de junio el
grupo se divide Boeck Keilhau y Moslashller deciden pasar alguacuten tiempo
maacutes en los Alpes italianos recogiendo materiales geoloacutegicos Tank y
Abel antes de llegar a Pariacutes quieren conocer algo de Suiza y por
supuesto la villa de Basilea ciudad del Rin donde en el siglo XVIII
se consolidoacute una increiacuteble escuela matemaacutetica Basilea es la ciudad
de los Bernoulli geoacutemetras y viajeros donde nacioacute y se formoacute el
coloso Euler el maestro de todos los matemaacuteticos
Y es en Basilea donde Abel se queda solo Tank recibe la noticia de
que una cataacutestrofe ha ocurrido en su pueblo Frednkshald Las
llamas han dejado sin hogar a muchos de sus vecinos aunque el
negocio de la familia milagrosamente se ha salvado Tank decide
regresar a su tierra a brindar su solidaridad Abel continuacutea viaje a
Pariacutes solo pero seguacuten eacutel con mayores briacuteos para realizar sus
investigaciones iquestSeraacute cierto que esta variante turiacutestica de los planes
iniciales ha sido beneficiosa para su carrera cientiacutefica
Abel sabe que Hansteen le reprocha haberse desviado de los
objetivos de su viaje En su primera carta desde Pariacutes el 12 de
agosto le dice asiacute
Me hace sentir extremadamente infame hacer algo que no reciba
vuestra aprobacioacuten y ahora que estaacute hecho tengo que buscar
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88 Preparado por Patricio Barros
refugio en vuestra bondad [] iquestY puede alguien viajar con la
misioacuten de estudiar uacutenicamente lo estrictamente cientiacutefico
Despueacutes de este viaje estoy trabajando con mayor vigor que
antes
Tercera etapa Pariacutes y el regreso
11 de julio Ayer despueacutes de 3 diacuteas y 3 noches de viaje he llegado
finalmente a Pariacutes el foco de todos mis deseos matemaacuteticos
Afortunadamente encontreacute relativamente raacutepido a Goslashrbitz que me
ha ayudado a buscar un alojamiento econoacutemico Despueacutes de
algunas vueltas me he establecido en casa de la familia Cotte en el
barrio de St Germain por 120 francos mensuales con 2 comidas al
diacutea y lavado de ropa inclusive El cuarto es amplio es econoacutemico y
ademaacutes estar entre franceses me serviraacute para practicar el idioma El
sentildeor Cotte parece saber algo de matemaacuteticas y su sentildeora ha sido
muy amable
20 de julio Me he decidido a visitar a Alexis Bouvard (1767-1843)
en el observatorio Le entregueacute la carta de presentacioacuten que me
facilitoacute Von Littrow en Viena Me ha recibido amablemente y me ha
prometido que en cuanto acaben las vacaciones de verano me lle
vara al Instituiacute de France para que conozca a los maacutes famosos
matemaacuteticos de la ciudad
27 de julio He pasado por la libreriacutea del baroacuten de Ferrusac director
del famoso Boletiacuten Eacutel no estaba pero he conocido al joven Jacques
Saigey editor de la parte de fiacutesica y matemaacuteticas Me he presentado
como futuro editor del Journal de Crelle y me ha mostrado la
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extensa biblioteca que ha brindado para mis consultas Tiene
nuevos e interesantes libros y revistas que consultareacute con gusto
Goslashrbitz
Johann Goslashrbitz (1782-1853) pintor noruego se muda a Pariacutes
en 1809 y encuentra trabajo en el taller de Jeau-Autoiue Gros
famoso por sus cuadros de Napoleoacuten Goslashrbitz pinta tanto
interiores como paisajes romaacutenticos y retratos al oacuteleo y pastel
Pero destaca por sus miniaturas que fueron exhibidas en el
Saloacuten de Pariacutes Seraacute un cicerone para Abel que lo conoce a
traveacutes de Hansteen
El uacutenico retrato de Abel que se conoce fue realizado por
Johann Goslashrbitz en el otontildeo de 1826
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90 Preparado por Patricio Barros
1 de agosto El calor ha sacado a los parisinos de la ciudad y los ha
empujado hacia la campintildea o hacia las playas Las bibliotecas estaacuten
cerradas Deambulo por la ciudad o paso el tiempo en el
apartamento de Goslashrbitz cerca de la universidad En casa de los
Cotte siempre estoy encerrado en mi cuarto pues el tonto del sentildeor
Cotte quiere mostrarme su cultura matemaacutetica bastante pobre y
me atormenta Lo uacutenico interesante es que conoce a Legendre y dice
que me podraacute presentar a eacutel
3 de agosto El sentildeor Cotte me ha llevado a conocer a Legendre
Desafortunadamente hemos llegado en el preciso momento en que
Legendre se aprestaba a tomar un carruaje ante la puerta de su
domicilio A pesar de sus maacutes de 70 antildeos lo he visto muy vivaz
Aunque solo intercambiamos unas pocas palabras de presentacioacuten
quizaacutes tenga una proacutexima ocasioacuten de conseguir su apoyo para la
publicacioacuten de la memoria que preparo sobre las trascendentes
eliacutepticas
Saacutebado 12 de agosto Llevo un mes aquiacute y todaviacutea no he podido
hacer buenas relaciones Salvo Bouvard ninguacuten otro de mis
contactos me sirve de mucho Hoy le he escrito a Hansteen que ya
estoy antildeorando regresar a casa Es muy difiacutecil establecer una
conversacioacuten y hacer amistades Si no pronuncias claramente las
palabras no te entienden Me ha defraudado Pariacutes prefiero
cualquiera de las ciudades que he conocido en Alemania Aunque en
lo que respecta al trabajo matemaacutetico es ahora cuando he tenido las
mayores oportunidades Desde muy temprano despueacutes de un
suculento desayuno me siento a trabajar a mediodiacutea descanso y
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91 Preparado por Patricio Barros
doy un pequentildeo paseo por el Jardiacuten du Luxembourg o por los
alrededores del Palais Royal De regreso continuacuteo hasta las cinco o
cinco y media en que hago una comida abundante A veces llega la
medianoche y sigo sentado garabateando en mis papeles Ha sido
productivo todo este tiempo tengo terminados varios artiacuteculos que
enviareacute a Crelle y uno de ellos sobre ecuaciones algebraicas lo
enviareacute a los Anales de Gergonne en Montpellier Mi carta de triunfo
la reservo para el Instituiacute de France
Seguro que Hansteen que bien conoce mi pasioacuten por el teatro no
creeraacute que auacuten no he ido a la Comeacutedie franccedilaise Por supuesto que
ireacute pero espero aguzar mejor el oiacutedo
Domingo 20 de agosto Llega Keilhau que estaraacute unas semanas
hasta octubre aquiacute conmigo en casa de los Cotte Seguacuten Keilhau el
sentildeor Cotte trata de mostrarme su cultura matemaacutetica pero la
gentil sentildeora Cotte pretende mostrarme otras cosas Keilhau ha
recibido carta de Hansteen donde le comunica que su contrato en la
Universidad de Cristianiacutea sigue el proceso normal Ha sido el
primero de nosotros en conseguir una plaza permanente Para miacute
no hay tales noticias Mi futuro en Noruega sigue tan incierto como
antes del viaje
13 de septiembre Al fin me he tropezado con el gran Cauchy en
lrsquoEacutecole Polytechnique Seguacuten lo que sus alumnos dicen su cabeza
no debe funcionar bien salvo para investigar en matemaacuteticas Se
mantiene altanero distante de todos Al parecer no le interesa si
entienden o no lo que explica y son pocos los que consiguen seguir
sus oscuras explicaciones de anaacutelisis algebraico Pero sin duda es
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92 Preparado por Patricio Barros
actualmente el matemaacutetico que mejor sabe coacutemo debe hacerse la
matemaacutetica pura He comprado una serie de fasciacuteculos suyos
publicados todos bajo el tiacutetulo de Ejercicios de matemaacuteticas desde
principios de este antildeo han aparecido 9 nuacutemeros Los he leiacutedo todos
raacutepidamente y los he encontrado magniacuteficos Es una pena que
Cauchy sea tan arrogante y con su fanatismo intolerante se
mantenga tan aislado Aunque muchos como yo admiramos su
abundante obra no sentimos deseo de acercarnos a pedirle ayuda
Hasta ahora es el uacutenico que he conocido que trabaje efectivamente
en matemaacuteticas puras y no me quedaraacute otro remedio que acudir a eacutel
para que valore mi monografiacutea sobre las trascendentes eliacutepticas
Domingo 24 de septiembre Esta es la tercera vez que frecuento
con Keilhau la Comedie franccedilaise Seguacuten Keilhau la sentildeora Mars es
maacutes que humana un ser divino Esta actriz que fuera una de las
preferidas de Napoleoacuten tiene un encanto picante magniacutefico sobre
todo para las comedias No he sentido mayor placer que cuando la
vi interpretar Las preciosas ridiacuteculas de Moliegravere Tiene 40 antildeos de
edad pero siempre interpreta papeles maacutes joacutevenes con mucha
picardiacutea Es muy guapa y avispada Tanto para Keilhau como para
miacute es un dechado de belleza femenina
Saacutebado 14 de octubre Keilhau y yo fuimos invitados a cenar por el
conde Gustav Lowenhielm embajador sueco-noruego en Pariacutes El
conde estaacute casado con una sentildeora francesa y ambos son muy
amables Nos dijo que todos los 24 de diciembre invita a cenar a
todos sus compatriotas que se encuentran en Pariacutes Se nos fue un
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93 Preparado por Patricio Barros
poco el control con la bebida pero no creo hayamos dejado mala
impresioacuten a los Lowenhielm
16 de octubre He tenido que sufragar los gastos del viaje de
regreso de Keilhau puesto que el adelanto de su salario que le
prometieron que le enviariacutean a Pariacutes no ha llegado Lo uacutenico bueno
de la marcha de Keilhau es que lleva una maleta con la mayoriacutea de
los libros y artiacuteculos que he conseguido hasta ahora Entre los
libros va el quinto y uacuteltimo volumen de la Mecaacutenica celeste de
Laplace como regalo para Hansteen quien tiene ya los cuatro
anteriores
Paacutegina del cuaderno de notas de Abel escrita durante su estancia en
Pariacutes en 1826 El dibujo de arriba es una gran lemniscata
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94 Preparado por Patricio Barros
Esta monumental obra es un compendio de toda la teoriacutea
matemaacutetica sobre la gravitacioacuten Tambieacuten he enviado regalos y una
carta para Elisabeth que sigue trabajando en casa del ministro
Treschow en Cristianiacutea
30 de octubre Hoy ha sido la presentacioacuten de mi memoria sobre
las trascendentes eliacutepticas en el Institut de France El secretario
Fourier leyoacute la introduccioacuten y se ha procedido a elegir a la comisioacuten
encargada de redactar un dictamen sobre su idoneidad para ser
publicada Han sido designados Cauchy y Legendre No dudo de que
sean los maacutes capacitados pero tambieacuten estaacuten muy ocupados en
otros proyectos y me temo que no puedan hacer su informe en dos
semanas como necesito
30 de noviembre No me siento satisfecho con las relaciones que he
logrado hacer en estos cuatro meses Seguro que en Alemania en el
mismo tiempo habriacutea hecho maacutes amistades Los franceses son
extremadamente reservados con los extranjeros
La historia de la memoria perdida de Pariacutes
Memoria sobre una propiedad general de una clase muy
amplia de funciones trascendentes
24 de octubre de 1826 Abel escribe a Holmboeuml que la ha
terminado y la ha entregado a Cauchy pero que este solo le
ha dado una ojeada desdentildeosa sin decir palabra
30 de octubre de 1826 Fourier presenta la memoria en la
reunioacuten del institut de France La memoria queda olvidada
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95 Preparado por Patricio Barros
entre otros proyectos y papeles de Cauchy
Verano de 1829 despueacutes de la muerte de Abel es hallada la
memoria y la Academia de Pariacutes decide publicarla
1841 es publicada dentro de las Memorias presentadas por
diversos sabios extranjeros pero se pierde el manuscrito
sustraiacutedo aparentemente por el profesor Guglielmo Libri (1803-
1869) coleccionista de libros (sobre todo perdidos)
1952 el manuscrito es encontrado en Florencia por el profesor
Viggo Brun Despueacutes de un cuidadoso estudio por un
especialista noruego se concluye que el manuscrito es
auteacutentico pero se detecta que faltan 8 paacuteginas
2000 Andrea del Centina profesor de la Universidad de
Ferrara encuentra el manuscrito completo en el Nuovo Fondo
Libri de la Biblioteca Moreniana de Florencia [Ver Andrea Del
Centina (2002) The Manuscript of Abel‟s Parisian Memoir
Found in its Entirety Hist Math 29 pp 65-69]
Es muy difiacutecil intimar con ellos Cada cual trabaja en lo suyo el
maacutes absoluto egoiacutesmo reina por todas partes Todo el mundo quiere
ensentildear y nadie desea aprender El franceacutes con quien mejores
relaciones he tenido es Jacques Saigey A peticioacuten suya he
redactado varias referencias y resuacutemenes de artiacuteculos de otras
revistas para el Boletiacuten en particular he dado a conocer el Journal
de Crelle en Pariacutes Bajo el auspicio de Saigey se han organizado
unos encuentros informales en la libreriacutea de Ferrusac a los que
hemos llamado el ciacuterculo de Saigey En uno de los encuentros se me
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96 Preparado por Patricio Barros
ha acercado un joven prusiano pensando que yo era su compatriota
Se llama Peter Gustav Lejeune-Dirichlet y he averiguado que tiene
mucho talento Es maacutes joven que yo y con la colaboracioacuten de
Legendre ha mostrado la imposibilidad de resolver en nuacutemeros
enteros la ecuacioacuten x5 + y5 = z5 y otros problemas de manera
impecable Este problema planteado por Fermat me ocupoacute no
pocas horas durante el verano de 1823 cuando estuve en
Copenhague pero lo dejeacute a un lado para tratarlo maacutes adelante
cuando tuviera maacutes claras las razones por las que unas ecuaciones
tienen solucioacuten y otras no
Dirichlet me ha hablado de su mentor el naturalista Alexander von
Humboldt que reside en Pariacutes y de su hermano Wilhelm von
Humboldt quienes le han prometido su ayuda para obtener una
plaza de profesor en Berliacuten Le he hablado a Crelle de Von Humboldt
y hace unos diacuteas me ha respondido que no debo perder la
oportunidad de conocerle que si necesito una carta de presentacioacuten
me la enviaraacute
7 de diciembre Sigo frecuentando el ciacuterculo de Saigey He
mantenido conversaciones muy agradables con Franccedilois Raspail
joven que tiene una amplia cultura y experiencia y que es auacuten maacutes
criacutetico que yo respecto al egoiacutesmo de los franceses Una de las cosas
que admiro de eacutel es su pasioacuten en la defensa de sus ideas contra
todo tipo de injusticia En particular le ha molestado mucho que
Cauchy y los demaacutes carcamales del Institut de France me hayan
tratado con tanta rigidez y en lugar de estimular mi trabajo como
hizo Crelle me pongan en fila a esperar su celestial beneplaacutecito
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97 Preparado por Patricio Barros
Realmente ha pasado maacutes de un mes desde la presentacioacuten de mi
memoria y todaviacutea nadie me ha llamado para pedirme aclaraciones
o para darme su opinioacuten
15 de diciembre El friacuteo y la falta de buena alimentacioacuten me han
debilitado y permitido que coja la gripe He tenido que dejar mis
acostumbrados paseos por el Jardiacuten du Luxembourg y el Palais
Royal Los dolores en el pecho que son acompantildeados por una tos
incesante terminan por provocarme tanta fatiga que debo
acostarme hasta que logre recuperarme
Raspail
Franccedilois Vincent Raspail (1794-1878) fue profesor de filosofiacutea
y teologiacutea en Avignon pero por sus ideas hereacuteticas se vio
forzado a cambiar su residencia a Pariacutes Aquiacute despueacutes de la
caiacuteda de Napoleoacuten defiende con
audacia y gran elocuencia las
ideas republicanas Toma parte
en organizaciones secretas y de
manera autodidacta estudia
botaacutenica biologiacutea y medicina
Ademaacutes impartiendo clases
particulares se gana el sustento
de su joven esposa y de sus
hijos En 1824 atrajo la atencioacuten
por un artiacuteculo sobre diferentes
tipos de pastos y despueacutes de 1830 realizoacute una serie de
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98 Preparado por Patricio Barros
investigaciones en quiacutemica orgaacutenica que sirvieron para
fundamentar la teoriacutea de que tanto las plantas como los
humanos estamos compuestos por ceacutelulas Se interesoacute por los
paraacutesitos tanto en el cuerpo humano como en la sociedad Sus
anuarios sobre salud se hicieron muy populares Fue un
poliacutetico radical socialista que durante toda su vida se
pronuncioacute y luchoacute contra todo tipo de injusticia exponiendo la
corrupcioacuten y la incompetencia de los funcionarios de los
niveles superiores Por esto estuvo en prisioacuten y fue enviado al
exilio en varias ocasiones pero siempre regresoacute a Francia
Llegoacute a convertirse en una especie de heacuteroe nacional popular
en el mundo entero por la combinacioacuten de cientiacutefico y poliacutetico
Fue miembro de la Caacutemara de Diputados y puso el caso de
Abel el amigo de su juventud como ejemplo del favoritismo de
la Academia hacia los viejos cientiacuteficos con abundante capital
en detrimento de la carrera de los joacutevenes
No tengo apetito pero de todas formas no me queda dinero
suficiente para pagar el pasaje de regreso y ademaacutes hacer alguna
comida como suplemento a las dos que la sentildeora Cotte me prepara
Me siento desgraciado melancoacutelico y con un deseo irresistible de
estar de nuevo en mi tierra
El bienestar de Abel durante su uacuteltimo mes en Pariacutes se vio
deteriorado bruscamente pero no parece que sospechase que
estaba tuberculoso No se acerca a ninguno de sus amigos en busca
de ayuda meacutedica Seguro que Franccedilois Raspail hubiera podido y
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99 Preparado por Patricio Barros
gustoso hubiera querido ayudarle con sus contactos La melancoliacutea
lo llevoacute a la depresioacuten y esta lo fue alejando cada vez maacutes de la
racionalidad necesaria para encauzar su vida en Pariacutes Por otra
parte del Institut de France no le llaman ni para darle buenas
noticias sobre su memoria ni para nada Ademaacutes recibe una carta
de Keilhau donde le dice que las cosas no marchan bien tampoco en
la universidad No hay una plaza libre para Abel Es el golpe de
gracia Solitario con la salud quebrantada y el aacutenimo por los suelos
el 29 de diciembre de 1826 marcha de Pariacutes y se dirige a Berliacuten
donde espera encontrar calor humano y alivio para sus penas
De Pariacutes viaja a Bruselas ciudad que le place y en la que
permanece una noche y todo un diacutea Pasa por Lieja y por Aquisgraacuten
ciudad esta en donde comienza a sentirse maacutes a gusto entre
germano-parlantes En Colonia Kassel y Magdeburgo pasaraacute varios
diacuteas buscando entretenimiento Va a dos funciones de teatro a
obras coacutemicas y callejea maacutes animado Despueacutes de varios
inconvenientes y tras una ruta bastante accidentada llega a su
ansiada Berliacuten y seguacuten cuenta a Boeck en una carta del 15 de
enero de 1827 encontroacute la felicidad al ver rostros y escuchar voces
familiares Alliacute pudo encontrar de nuevo a su amigo Maschmann
quieacuten le sirvioacute de cicerone y le presentoacute a los nuevos escandinavos
llegados a la capital prusiana Con sus viejos y nuevos amigos Abel
pasaraacute al menos dos noches a la semana charlando riendo y
jugando a las cartas Poco a poco recupera su estado de aacutenimo y
tambieacuten mejora algo su situacioacuten econoacutemica ya que habitualmente
gana en el juego Como antes cada lunes visita a Crelle quien
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continuacutea interesado en que establezca su residencia permanente en
Berliacuten Crelle lo apremia con su proposicioacuten de trabajo como editor
del Journal
Fragmentos de cartas de Abel
Lunes 15 de enero [carta a Boeck]
Me preocupa terriblemente el futuro A veces tengo el deseo de
permanecer aquiacute en Alemania para siempre lo que puedo hacer sin
dificultad Crelle me bombardea sin misericordia para lograr que me
quede aquiacute Eacutel se exaspera conmigo porque le digo que no Crelle piensa
que Noruega es otra Siberia y no entiende queacute matemaacutetica podreacute hacer si
regreso
Abel concluye esta carta a Boeck con la esperanza de una
raacutepida respuesta con el enviacuteo de todo el dinero posible En
estas primeras semanas en Berliacuten recurre a sus viejos amigos
y les cuenta a todos sus dificultades econoacutemicas Escribe a
Keilhau a Moslashller a Holmboeuml y a todos les dice lo mismo
Saacutebado 20 de enero [a Holmboeuml]
Como estoy en un aprieto infernal naturalmente necesito tanto cuanto me
puedas enviar y lo maacutes raacutepido posible
La primera remesa de Holmboeuml llega el 25 de febrero pero es
insuficiente dadas la deudas contraiacutedas para la supervivencia
en esas semanas Al siguiente diacutea le vuelve a escribir a su
amigo Boeck que estaacute maacutes cercano en Muumlnich
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Por favor enviacutee el poco de dinero que puedas [y agrega maacutes adelante las
uacuteltimas noticias recibidas sobre su posible futuro en Cristianiacutea] Hansteen
planea una expedicioacuten a Siberia y espera que el Gabinete le asigne
raacutepidamente el dinero para el viaje [] Hansteen piensa que al menos
como sustitucioacuten temporal podreacute ser contratado por la universidad Pero
tambieacuten me ha dicho que en el primer antildeo despueacutes de mi regreso tendreacute
que trabajar en una escuela Esto podriacutea ponerme ya sobre mis propias
piernas
Efectivamente Abel pasaraacute un antildeo dando clases pero no en
una escuela sino a alumnos particulares hasta que se le
presenta la oportunidad de sustituir a Hansteen cuando este
al fin parta en marzo de 1828 para su expedicioacuten de antildeo y
medio a Siberia Mientras en Berliacuten el friacuteo arrecia la salud de
Abel con el friacuteo las tensiones y la poca alimentacioacuten vuelve a
deteriorarse Sobre esto no escribe a sus amigos iquestpor no darle
importancia o para no preocuparles En marzo vuelve a
escribirle a Holmboeuml agradecieacutendole su eficaz ayuda
econoacutemica
Domingo 4 de marzo [a Holmboeuml]
Muchas muchiacutesimas gracias por tu benevolencia
Extraereacute de ella una asombrosa cantidad de bienestar ya que soy maacutes
pobre que una rata de iglesia Vivireacute con esto todo lo mejor que pueda
antes de tomar mi camino hacia el norte Permanecereacute un tiempo en
Copenhague donde me encontrareacute con mi novia y despueacutes ireacute a casa
donde llegareacute tan vaciacuteo que tendreacute que vender la vajilla frente a la puerta
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de la iglesia No estoy perturbado es que he sido maltratado por la
miseria y la desdicha Tendreacute que darle un vuelco a las cosas
En esta carta Abel tambieacuten comunica a Holmboeuml que no
obstante todas sus desgracias mantiene en pie su deseo de
investigar le habla de su estudio de la lemniscata y de su
propoacutesito de encontrar una caracterizacioacuten de todas las
ecuaciones que pueden ser resueltas algebraicamente y dice
que ha encontrado muchas Proposiciones en esa direccioacuten
Agrega que ha completado una parte de su mayor obra sobre
las trascendentes eliacutepticas de maacutes de 120 paacuteginas
Efectivamente esta significativa memoria se publicaraacute en el
Journal de Crelle en dos partes una en septiembre de 1827 y
la segunda en mayo de 1828 Termina su carta comunicando
al amigo toda su amargura acumulada en estos dos uacuteltimos
meses y le dice
Vivo una vida terriblemente aburrida no hay variaciones Estudio comida
y suentildeo nada mas [] Quiero regresar a casa ahora que no existe
ninguna necesidad particular de continuar aquiacute Cuando uno estaacute en casa
se martiriza a si mismo pensando en el extranjero con concepciones
equivocadas Ninguacuten paiacutes extranjero es mucho mejor En general el
Mundo es fastidioso aunque tambieacuten es terriblemente franco y honesto
[porque te lo hace percibir enseguida] No existen lugares fuera en el
Mundo donde esto sea maacutes faacutecil de comprender que en Alemania o
Francia con confianza te digo que estos son diez veces peores
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Abel guardoacute sus uacuteltimos centavos para el regreso Dejoacute Berliacuten
a finales de abril y viajoacute lo maacutes raacutepido posible hacia
Copenhague Seguacuten la familia Hansteen estaba maacutes ansioso
por ver a Chanteacute que a su prometida Crelly y esta evidente
predileccioacuten casi provoca que se rompan las relaciones Lo
cierto es que Abel dejoacute el retrato que le hizo Goslashrbitz con la
familia de la sentildeora Hansteen Esto era lo uacutenico que Abel
podiacutea regalar como muestra de gratitud por la entusiasta
hospitalidad recibida en Soroslash Por otra parte el compromiso
entre Abel y Crelly no se rompioacute porque ambos continuaron
pensando en casarse Abel pasoacute 2 o 3 semanas en casa de
sus tiacuteos Tuxeu en Christianshavn mientras Crelly viviacutea en
casa de su madre muy cerca lo que les permitioacute revitalizar
sus relaciones A traveacutes de los tiacuteos encontroacute un trabajo de
gobernanta para Crelly en la zona minera de Froland
relativamente cerca de Cristianiacutea El 18 de mayo Abel dejoacute
Copenhague en direccioacuten a Noruega con la esperanza de
conseguir una posicioacuten estable en su tierra junto a los suyos y
asiacute poder casarse con Crelly Lejos estaba de saber que no era
la falta de trabajo el obstaacuteculo mayor para su boda sino su
salud maltratada y destrozada por el bacilo de la tuberculosis
Le dice que en Noruega no tendraacute el futuro asegurado y que las
carencias econoacutemicas no le propiciaraacuten el sosiego necesario para su
trabajo La situacioacuten econoacutemica y el dilema de regresar o
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permanecer en Berliacuten seraacuten los mayores problemas que tendraacute que
resolver
Casas tiacutepicas en la costa de Noruega (cortesiacutea Eva Jimeacutenez)
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Capiacutetulo 3
El misterio de la quiacutentica
iexclOh siempre llegaras a alguna
parte aseguroacute el Gato si caminas
lo suficiente
Alicia en el paiacutes de las maravillas
(1865) Lewis Carroll
Quizaacutes lo que maacutes ha contribuido a la fama de Abel es el hecho de
haber esclarecido un enigma que ocupoacute las investigaciones de los
matemaacuteticos durante varios siglos y que llamaremos el misterio de
la quiacutentica
Durante mucho tiempo se habiacutea tratado de encontrar foacutermulas que
dieran la solucioacuten general para todas las ecuaciones algebraicas de
un grado determinado Hasta el grado cuarto n lt 5 se habiacutean
hallado tales foacutermulas ya en la eacutepoca del Renacimiento italiano
Pero auacuten al comienzo del siglo XIX se desconociacutea si existiacutean
expresiones generales para n mayor o igual a 5 Y tampoco se sabiacutea
caracterizar queacute tipos de ecuaciones particulares se podiacutean resolver
de tal manera
El problema concreto era el siguiente dada la ecuacioacuten p(x) = 0
donde
p(x) = anxn + an-1xn-1 +hellip+ a1x + a0
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es un polinomio de cierto grado mayor o igual a cinco obtener una
expresioacuten de las soluciones en teacuterminos de los coeficientes ak de la
ecuacioacuten dada y de las operaciones algebraicas elementales como
sumar restar multiplicar dividir y extraer raiacuteces
Pero iquestqueacute se sabiacutea del tema exactamente en la eacutepoca romaacutentica del
joven Abel iquestquieacutenes le habiacutean desbrozado el camino hacia la
explicacioacuten del misterio iquestqueacute meacutetodos teniacutea a su disposicioacuten
iquestcuaacutel fue precisamente el papel de Abel y iquestqueacute significoacute su
aportacioacuten para la constitucioacuten de una teoriacutea general de las
ecuaciones algebraicas De eso trata en siacutentesis y de la forma maacutes
simple posible el presente capiacutetulo
sect Historia abreviada de un antildeejo problema
La ecuacioacuten de segundo grado ax2 + bx + c = 0 no reviste desde hace
mucho tiempo ninguacuten misterio
Es conocido que la foacutermula algebraica de solucioacuten en simbologiacutea
moderna es
que expresa la solucioacuten en funcioacuten de los coeficientes de la ecuacioacuten
dada empleando uacutenicamente expresiones racionales (suma
producto y cocientes) entre estos coeficientes y raiacuteces cuadradas de
dichas expresiones
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Los babilonios hace maacutes de cuatro mil antildeos resolviacutean a su modo
las ecuaciones cuadraacuteticas pero no teniacutean la simbologiacutea adecuada
ni se preocuparon por comunicar una metodologiacutea general para
estos problemas Posteriormente otras civilizaciones se preocuparon
por el asunto que presentaba dificultades sobre todo por falta de
notaciones y la no aceptacioacuten de los nuacutemeros negativos Por
ejemplo en el siglo IX Mohammed ibn-Musa al-Jwarizmi propuso
un meacutetodo de solucioacuten para 6 ecuaciones canoacutenicas de grado menor
o igual que 2 y explicoacute coacutemo convertir un problema dado en una de
esas ecuaciones
Casi doscientos antildeos maacutes tarde el ceacutelebre poeta y algebrista Ornar
Jayyam reconoce en su Aacutelgebra (1074) veinticinco formas distintas
de ecuaciones algebraicas de grado menor o igual a 3 y muestra
como se resuelven geomeacutetricamente pero sin plantear una foacutermula
universal ni para las de segundo ni para las de tercer grado4
Hay que esperar hasta el Renacimiento italiano para que aparezcan
las foacutermulas algebraicas para las ecuaciones de grados 3 (cuacutebica) y
4 (cuaacutertica) similares a la de la ecuacioacuten de segundo grado pero un
poco maacutes complicadas Girolamo Cardano (1501- 1576) las publicoacute
en su obra Ars magna y desatoacute una poleacutemica sobre la paternidad de
dichas foacutermulas
Mediaron siglos entre el poder resolver las ecuaciones de primer y
segundo grado y el establecimiento de foacutermulas de solucioacuten para las
de grado 3 y 4 proceso que no estuvo exento de disputas y
poleacutemicas pero que condujo a la idea de que tambieacuten era posible
4 Ver el libro Omar Jayyam Poeta y matemaacutetico de Ricardo Moreno Castillo Editorial N1VOLA
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encontrar foacutermulas de solucioacuten para ecuaciones de grado igual o
mayor que 5
Para precisar un poco las ideas digamos que las foacutermulas
algebraicas de solucioacuten para ecuaciones de grado 1 2 y 3 se
hallaban a partir de la solucioacuten de ecuaciones de grado menor o
igual que el grado de la ecuacioacuten dada
En el caso de la ecuacioacuten cuadraacutetica ax2 + bx + c = 0 se trata de
resolver la ecuacioacuten
es decir para hallar x hay que hallar una raiacutez cuadrada y resolver
una ecuacioacuten de primer grado
En el caso de la ecuacioacuten cuacutebica x3 - bx2 + cx - d = 0 y siguiendo el
procedimiento desarrollado durante el Renacimiento esta se puede
convertir mediante sustituciones racionales en
La solucioacuten de la cuacutebica iquestTartaglia o Cardano5
La primera persona que es reconocida por haber resuelto
ecuaciones de tercer grado por meacutetodos algebraicos es el
5 Para maacutes informacioacuten veacutease el libro de Francisco M Casalderrey ldquoCardano y Tartaglia Las matemaacuteticas en el Renacimiento italianordquo Editorial NIVOLA
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italiano Scipione del Ferro Eacutel no publica sus resultados pero
eacutestos llegan a oiacutedos de Antonio Mariacutea Fiore el cual lanza un
reto a los matemaacuteticos de la regioacuten para competir resolviendo
treinta problemas en los que aparecen ecuaciones de tercer
grado En 1535 Niccolograve Fontana nacido en Brescia y maacutes
conocido como Tartaglia (tartamudo) acepta el reto Tartaglia
logra encontrar un meacutetodo para resolver ecuaciones de tercer
grado no contempladas por el meacutetodo de Del Ferro y asiacute gana
en el duelo a Fiore Pero Tartaglia no comunica a nadie su
meacutetodo
El matemaacutetico italiano Girolamo Cardano se interesa por el
problema y logra convenceraacute Tartaglia para que le comunique
su foacutermula cosa que Tartaglia hace en forma de epigrama y
despueacutes de que Cardano le jure que no lo comunicaraacute a nadie
Pero Cardano publica en su libro Ars magna una solucioacuten
general de la ecuacioacuten de tercer grado y tambieacuten de la de
cuarto grado esta uacuteltima resuelta por su alumno Luigi Ferrari
Cardano reconoce en su libro los trabajos de Del Ferro y
Tartaglia pero las foacutermulas son conocidas hoy en diacutea
mayormente como las foacutermulas de Cardano
En este caso la solucioacuten de la cuacutebica se reduce a la solucioacuten de la
ecuacioacuten
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es decir una ecuacioacuten cuadraacutetica cuyas raiacuteces son
y a la de las ecuaciones cuacutebicas binoacutemicas
De nuevo en este caso las soluciones vienen expresadas como
funciones de los coeficientes de la ecuacioacuten original en las que
aparecen solo operaciones racionales y caacutelculo de raiacuteces en este
caso cuadradas y cuacutebicas
Para el caso de la ecuacioacuten cuaacutertica la situacioacuten es similar
reducieacutendose la buacutesqueda de la solucioacuten en este caso a la de una
ecuacioacuten cuacutebica cuyas formulas de solucioacuten ya eran conocidas
Es decir en cada caso la solucioacuten de la ecuacioacuten se reduce a la
resolucioacuten de ecuaciones de menor grado o a ecuaciones binoacute-
micas del mismo grado es decir de la forma x - a = 0 Esto explica
el que durante un largo periodo de tiempo las investigaciones sobre
la ecuacioacuten de grado cinco se orientaran a hallar procedimientos de
solucioacuten similares
sectiquestEn queacute consiste pues el problema
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Pues en que durante mucho tiempo los matemaacuteticos dieron por
sentado que existiacutean foacutermulas que expresaban la solucioacuten para
ecuaciones de grado cinco pero no lograban encontrarlas
Se basaban en lo que conociacutean para ecuaciones de grado uno al
cuatro y en esa eacutepoca no pensaban ni por asomo que quizaacutes
dichas foacutermulas no existieran Por eso siguieron buscando las
foacutermulas para ecuaciones de grado cinco esperando que alguien
con un golpe de suerte o de ingenio resolviera el misterio
Estas investigaciones resultaron infructuosas ya que la respuesta
al problema para ecuaciones de grado superior a cuatro es negativa
Queremos sentildealar que nos referimos a la buacutesqueda de foacutermulas
generales de solucioacuten es decir partiendo de que los coeficientes de
las ecuaciones consideradas pueden ser cualesquiera y que lo que
se pretende es una expresioacuten en la que esteacuten solamente estos
coeficientes y que por tanto sirva para cualquier ecuacioacuten del mismo
tipo
Muchos matemaacuteticos notables se ocuparon de este problema que se
conoce como el problema de la solubilidad de las ecuaciones
algebraicas problema que impulsoacute la transformacioacuten y evolucioacuten
futura del aacutelgebra
Despueacutes del Renacimiento no hubo avances significativos Tenemos
que esperar a los antildeos finales del siglo XVIII para ver como el
misterio comienza a entrar en el camino final de su comprensioacuten
En este periodo varios matemaacuteticos atacaron independientemente el
problema entre ellos los maacutes notables fueron los franceses Joseph-
Louis Lagrange y Alexandre Vandermonde El trabajo de estos dos
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geoacutemetras refleja que se daban cuenta de una u otra forma de que
si el enfoque anterior para resolver el problema de la quiacutentica no
habiacutea tenido eacutexito era porque los meacutetodos empleados no eran
aplicables al caso de las ecuaciones de grado mayor o igual que
cinco
Aunque las ideas de los dos estaacuten relacionadas el trabajo de
Lagrange es el maacutes extenso y el que maacutes influencioacute a sus sucesores
sect El punto de ruptura Lagrange
Joseph-Louis Lagrange publicoacute en 1770-1771 en la revista de la
Academia de Berliacuten el artiacuteculo ldquoReflexiones sobre la teoriacutea algebraica
de las ecuacionesrdquo que marcoacute el comienzo de un verdadero nuevo
periodo en el estudio de las ecuaciones algebraicas
A diferencia del enfoque de sus predecesores Lagrange basoacute su
investigacioacuten en un anaacutelisis detallado de los algoritmos existentes
para la solucioacuten de las ecuaciones de grados 2 3 y 4 El objetivo de
este anaacutelisis era determinar en que estaban basados estos
algoritmos y por queacute fallaban para ecuaciones de grado mayor o
igual a cinco Esta aproximacioacuten es conocida como el enfoque a
priori de Lagrange
Introdujo la idea novedosa de considerar funciones de las raiacuteces y
examinar los valores que estas asumen cuando se intercambian las
raiacuteces entre siacute Asiacute proboacute que la solubilidad de una ecuacioacuten
depende de la construccioacuten de otra ecuacioacuten que llamoacute
primeramente reducida y que maacutes tarde eacutel mismo denominoacute
resolvente
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Lagrange demostroacute que es necesario que exista una ecuacioacuten
auxiliar que es una ecuacioacuten de grado menor o igual al de la
ecuacioacuten inicial cuyas raiacuteces sean expresiones racionales de las
raiacuteces de la ecuacioacuten original y de sus coeficientes Si esto es asiacute las
raiacuteces de la ecuacioacuten original son expresiones racionales de los
coeficientes de la ecuacioacuten original y de las raiacuteces de la ecuacioacuten
auxiliar Si la ecuacioacuten auxiliar existe y sus raiacuteces pueden ser
determinadas algebraicamente entonces tambieacuten podraacute hacerse lo
mismo con las raiacuteces de la ecuacioacuten original
Lagrange no demostroacute la existencia de tal ecuacioacuten en el caso de la
ecuacioacuten general de grado n Mostroacute que si una ecuacioacuten algebraica
podiacutea ser resuelta algebraicamente esa solucioacuten pasaba por el
subterfugio de la ecuacioacuten resolvente
A partir del anaacutelisis de las foacutermulas conocidas para la solucioacuten de
las ecuaciones de grado menor que cinco Lagrange observoacute que en
cada caso la determinacioacuten de la ecuacioacuten resolvente implicaba la
construccioacuten de una expresioacuten racional de las raiacuteces y que los
diferentes valores que esta expresioacuten racional tomaba al
intercambiar las raiacuteces entre siacute eran ellos mismos las raiacuteces de otra
ecuacioacuten cuya solucioacuten era posible calcular
Ejemplifiquemos lo anterior en el caso de las ecuaciones de grado 3
Como es conocido la ecuacioacuten cuacutebica general x3 ndash bx2 + cx - d = 0
puede ser transformada en la ecuacioacuten y3 + py - q = 0 Esta es la
que vamos a utilizar
Sean y1 y2 y3 las raiacuteces de esta ecuacioacuten y sea
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donde a3 = 1 es decir a es una raiacutez cuacutebica de la unidad distinta de
la unidad t tomaraacute 6 valores diferentes al intercambiar entre siacute y1
y2 y3 de todas las formas posibles es decir bajo la accioacuten de lo que
se conoce como todas las permutaciones de orden 3
Sin embargo si en lugar de t tomamos θ = t3 θ toma solo 2 valores
diferentes bajo la accioacuten de las permutaciones estos son
Calculando con un poco de paciencia y haciendo uso de las
relaciones de Viegravete y las propiedades de las raiacuteces cuacutebicas de la
unidad se obtiene
Entonces θ1 y θ2 y pueden ser determinados como las raiacuteces de la
ecuacioacuten cuadraacutetica con coeficientes racionales
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que no es maacutes que la ecuacioacuten
(u ndash θ1) (u ndash θ2) = 0
iexclEsta es la resolvente de Lagrange
Es decir Lagrange escoge una funcioacuten racional de las raiacuteces de la
ecuacioacuten en este caso es
que toma dos valores diferentes y a partir de estos valores llega a
una ecuacioacuten en este caso de grado 2 cuyas raiacuteces son los valores
diferentes que toma 6 y cuyos coeficientes dependen racionalmente
de los de la ecuacioacuten inicial
Ahora se puede resolver la ecuacioacuten cuadraacutetica obtenida y asiacute llegar
a las expresiones para θ1 y θ2
En nuestro caso usando
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y que por la foacutermula de Viegravete y1 + y2 + y3 = 0 tenemos que
es decir por ejemplo
De forma anaacuteloga podemos obtener y2 e y3
Estas son las foacutermulas de Cardano para la ecuacioacuten cuacutebica
Las raiacuteces de la ecuacioacuten original son pues expresiones algebraicas
de sus coeficientes por tanto la ecuacioacuten cuacutebica es soluble
Pero a su vez y es un hecho importante sentildealado por Lagrange los
radicales involucrados no solo son algebraicos en los coeficientes
sino que son racionales en las raiacuteces y en las raiacuteces de la unidad
como se observa a partir de la expresioacuten de foacutermulas θ1 y θ1
El problema de la solucioacuten de la cuacutebica queda pues reducido a la
solucioacuten de la ecuacioacuten
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117 Preparado por Patricio Barros
y de las cuacutebicas binoacutemicas v3 ndash u1 = 0 y v3 - u2 = 0 donde u1 y u2 son
las soluciones de la primera ecuacioacuten
Las funciones simeacutetricas y las foacutermulas de Viegravete
Las foacutermulas de Viegravete relacionan los coeficientes de una
ecuacioacuten algebraica con funciones simeacutetricas de las raiacuteces de
las mismas Esto permite que partiendo de n valores conocidos
se pueda mediante estas funciones simeacutetricas escribir una
ecuacioacuten de orden n que tiene esos valores como raiacuteces
Estas relaciones fueron advertidas desde el siglo XVII por
algunos matemaacuteticos entre ellos Newton y fueron usadas por
Logrange y Vandermonde en sus trabajos sobre solubilidad de
ecuaciones pero es el nombre del matemaacutetico franceacutes Franccedilois
Viegravete (1540- 1603) el que se asocia maacutes con estas fundones
Viegravete introduce la notacioacuten y la simbologiacutea que usamos hoy en
diacutea por ejemplo x corno la incoacutegnita De hecho es a Viegravete a
quien se debe el uso de la palabra coeficiente Sin embargo su
nombre es quizaacutes maacutes conocido por las foacutermulas de Viegravete
Por ejemplo si se tiene la ecuacioacuten cuacutebica x3 - bx2 + cx - d = 0 y
se supone que sus tres raiacuteces son x1 x2 x3 entonces se puede
escribir
x3 ndash bx2 + cx ndash d= (x ndash x1) (x ndash x2) (x ndash x3)
Desarrollando e igualando coeficientes se obtienen las
igualdades
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118 Preparado por Patricio Barros
b = x1 + x2+ x3
c = x1x2 + x1x3 + x2x3
d = x1 x2 x3
que son las foacutermulas de Viegravete para la ecuacioacuten de tercer
grado
Los polinomios
S1 = x1 + x2+ x3
S2 = x1x2 + x1x3 + x2x3
S3 = x1 x2 x3
son polinomios simeacutetricos en las variables x1 x2 x3 es decir
que si intercambiamos las variables entre siacute las expresiones
que obtenemos son siempre las mismas Decimos que estos
polinomios son invariantes bajo las permutaciones de las
raiacuteces es decir son simeacutetricos
Veamos ahora como era el razonamiento general de Lagrange A
cada ecuacioacuten algebraica de grado n
xn + a1xn-1 + + an (1)
Cuyas raiacuteces son x1 x2 es posible atribuir una funcioacuten racional
de las raiacuteces
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119 Preparado por Patricio Barros
f(x1 x2 x3hellip xn)
Considerando las permutaciones de x1 x2 xn que son n esta
funcioacuten puede alcanzar un maacuteximo de n valores diferentes
Denotemos dichos valores por f1 f2 f3hellip fn
Estos valores son las raiacuteces de la resolvente de Lagrange
(t ndash f1) (t ndash f2)hellip(t ndash fn) (2)
Claramente las raiacuteces de la ecuacioacuten original son funciones
racionales de las raiacuteces de la resolvente El grado de la resolvente
podraacute ser reducido si se puede encontrar una funcioacuten f que tome un
nuacutemero menor de valores diferentes al permutar las raiacuteces
Lagrange establece el importante teorema que dice que el nuacutemero de
valores debe ser siempre un divisor de n que en el lenguaje
contemporaacuteneo de la teoriacutea de grupos es el ceacutelebre teorema de
Lagrange que dice que el orden de un subgrupo de un grupo finito
es siempre divisor del orden del grupo
En los casos de ecuaciones cuacutebicas o cuaacuterticas el grado de la
resolvente seriacutea 6 y 24 respectivamente Lagrange proboacute que f
puede ser seleccionada de modo que la resolvente sea de grado
menor que la ecuacioacuten original
Cuando Lagrange analizoacute el caso de la ecuacioacuten de quinto grado es
decir de coacutemo buscar una funcioacuten racional de las raiacuteces que
permitiera reducir el grado de la resolvente iexclque seriacutea en general de
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120 Preparado por Patricio Barros
120 solo pudo llegar a la conclusioacuten de que podiacutea ser reducido a 6
Eacutel no concluyoacute si seriacutea posible encontrar una resolvente de grado
menor que 5 pero sembroacute la duda de que esto fuera posible y por
tanto abrioacute la posibilidad de considerar que la ecuacioacuten general de
grado mayor o igual a 5 no fuera resoluble algebraicamente
Grupos de permutaciones grupos y grupos ciacuteclicos
Consideremos coacutemo podemos escribir tres letras en todos los
oacuterdenes posibles
abc bca cab acb cba bac
Este es el conjunto de todas las permutaciones posibles de 3
elementos que llamamos S3
Posiblemente seriacutea mejor verlo en teacuterminos del orden de las
letras y asiacute escribimos
123 231 312 132 321 213
La manera de interpretar esto es la siguiente 312 quiere decir
que la letra o el siacutembolo que estaacute en la tercera posicioacuten pasa a
la primera la que estaacute en la primera pasa a la segunda y la
que estaacute en la segunda posicioacuten pasa a la tercera Con esta
interpretacioacuten podemos hacer permutaciones sucesivas
Llamemos
Id = 123 s1= 231 s2 = 312 t1 = 132 t2 = 321 t3 = 213
Si escribimos t2 t1 quiere decir que primero realizamos la
permutacioacuten t2 y a continuacioacuten la t1
La permutacioacuten t1 transforma 123 en 132 o si se prefiere abc
en acb al aplicar a continuacioacuten t2 el que estaacute en la primera
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121 Preparado por Patricio Barros
posicioacuten va a la tercera el que estaacute en la segunda no se
mueve y el que estaacute en la tercera posicioacuten va a la primera asiacute
obtenemos 231 o bca Observemos que esta es la permutacioacuten
s1 De esta manera podemos construir la tabla de
multiplicacioacuten de las permutaciones de 3 elementos
La forma de leer la tabla es la siguiente para hacer t2 t1 en la
fila donde aparece en primer lugar t buscamos la columna en
la que arriba aparece t1 En la interseccioacuten de la fila y la
columna aparece la solucioacuten s1
Este conjunto S3 es un grupo De
manera similar se puede hacer lo
mismo para Sn el conjunto de las
permutaciones de n elementos
Eu general un grupo es un
conjunto G con una operacioacuten
interna es decir una forma de
operar entre los elementos del conjunto (como con las
permutaciones) de manera que el resultado de la operacioacuten es
otro elemento del conjunto
Ademaacutes hay un elemento neutro al que llamamos e (en las
permutaciones Id) que hace que el resultado de realizar las
operaciones ae y ea tiene como resultado a
Tambieacuten todo elemento tiene un inverso u opuesto es decir
que para todo elemento a de G existe un elemento a‟ tal que
las operaciones a a‟y a‟ a siempre dan el elemento neutro e (en
el caso de S3 por ejemplo el opuesto de s1 es s2
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122 Preparado por Patricio Barros
Ademaacutes hay una propiedad de asociatividad de la operacioacuten
interna lo cual hace posible definir un producto de muacuteltiples
elementos
Si observamos la tabla de s3 podemos observar que el sub-
conjunto formado por id s1 y s2 forma a su vez un grupo es
decir es un subgrupo de S3
En general si tenemos un subconjunto H de un grupo G que a
su vez es un grupo con la misma ley decimos que H es un
subgrupo de G
Eu el subgrupo de s3 que vimos si se toma al elemento s1
podemos ver que los otros elementos del subgrupo son
potencias de eacutel es decir s2 = (s1)2 = s1s1 y Id = (s1)3
Cuando en un grupo todos los elementos se pueden expresar
como potencias de un elemento fijo decimos que el grupo es
ciacuteclico
El meacutetodo a priori utilizado por Lagrange para el estudio de la
solubilidad de ecuaciones es importante no solo por siacute mismo sino
porque implica de hecho el requerimiento de una prueba de
existencia pues supone que existe una solucioacuten y analiza las
condiciones para dicha existencia en lugar de dar por sentado que
existe una solucioacuten y tratar de calcularla que era lo que se habiacutea
hecho hasta el momento
sect Otros enfoques paralelos Vandermonde
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123 Preparado por Patricio Barros
Alexandre Vandermonde sin haber utilizado un enfoque a priori
como Lagrange tambieacuten enfrentoacute el problema de la solubilidad de
forma distinta a como se habiacutea venido haciendo
En su ldquoMemoria sobre la resolucioacuten de las ecuacionesrdquo que fue
presentada a la Academia de Ciencias de Pariacutes en 1770 y escrita
antes que las ldquoReflexionesrdquo de Lagrange Vandermonde empleoacute un
enfoque directo Su idea de coacutemo atacar el problema la expresa de la
siguiente manera
ldquoLo que interesa es buscar los valores generales maacutes simples
que puedan satisfacer efectivamente a una ecuacioacuten de un
grado determinado
De hecho este es el enfoque que emplearaacute Abel posteriormente para
comprender el misterio de la quiacutentica
Vandermonde
Alexandre-Theacuteophile Vandermonde (1735-1796) era hijo de un
medico estudioacute muacutesica y solo comenzoacute a trabajar en temas
matemaacuteticos a los 35 antildeos Tuvo muchos otros intereses como
la quiacutemica y los temas sideruacutergicos Fue elegido miembro de la
Academia de Ciencias en 1771 y se relacionoacute con otros
cientiacuteficos de la eacutepoca y en especial con Monge Desde 1782
fue director del Conservatorio de Artes y Oficios Partidario de
la Revolucioacuten Francesa fue miembro activo del Club de los
Jacobinos y participoacute en la fundacioacuten de la Escuela Normal
superior
Publicoacute cuatro trabajos matemaacuteticos En el primero sobre la
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124 Preparado por Patricio Barros
resolucioacuten de ecuaciones abordoacute toacutepicos que habiacutean sido ya
estudiados antes pero desde otro punto de vista Demostroacute
que la ecuacioacuten xn - 1 = 0 es soluble por radicales para n lt 10
Kronecker afirma que el estudio del aacutelgebra moderna
comienza con este artiacuteculo de Vandermonde Su segundo
artiacuteculo fue un estudio sobre los movimientos del caballo en el
ajedrez un tema relacionado con la topologiacutea El tercero trata
problemas de combinatoria El uacuteltimo artiacuteculo trata sobre los
determinantes demostrando algunas propiedades de los
mismos
Para dar una idea del trabajo de Vandermonde veamos como
ejemplo el caso de la ecuacioacuten cuadraacutetica Vandermonde considera
una ecuacioacuten cuadraacutetica con raiacuteces a y b y trata de escribir a y b
como funciones algebraicas (valores generales dice eacutel) de la suma
de a y b y de su producto (funciones algebraicas de las funciones
simeacutetricas elementales de las raiacuteces) y que tomen como valores
cada una de las raiacuteces
Para la cuadraacutetica con raiacuteces a y b se tiene
x2 ndash (a + b)x + ab = (x ndash a)(x ndash b) = 0
Debemos buscar una funcioacuten que satisfaga simultaacuteneamente las
condiciones de que a sea funcioacuten de a + b y de ab y que b sea
tambieacuten funcioacuten de a + b y de ab
En este caso la funcioacuten dada por Vandermonde fue
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125 Preparado por Patricio Barros
Tales funciones no deben cambiar ante permutaciones de las raiacuteces
Vandermonde logroacute aplicar su meacutetodo con eacutexito para ecuaciones de
grado 2 3 y 4 pero para grados mayores encontroacute enormes
problemas de caacutelculo
El meacutetodo directo de Vandermonde le llevoacute tambieacuten a la conexioacuten
entre el grado de la resolvente y el nuacutemero de valores que toma una
funcioacuten de las raiacuteces de la ecuacioacuten original cuando estas raiacuteces son
permutadas de todas las formas posibles
Tambieacuten transformoacute y redujo el problema de la solubilidad de la
ecuacioacuten de grado n al de la buacutesqueda de una funcioacuten que tiene
ciertas propiedades cuando sus elementos son permutados
Vandermonde llega a ecuaciones auxiliares que tambieacuten llama
resolventes Para la ecuacioacuten quiacutentica obtiene una resolvente de
grado 24 (4) con la posibilidad de reducir el grado a 6 Obseacutervese
que ese es el menor grado encontrado tambieacuten por Lagrange
Para ecuaciones de grado superior Vandermonde determina los
grados de la resolvente para algunos casos Un anaacutelisis de los
mismos le permite llegar a la conclusioacuten de que es incapaz de
encontrar una funcioacuten de las raiacuteces de una ecuacioacuten de grado 5 que
pudiera conducirlo a una ecuacioacuten de grado 3 o 4 Ademaacutes afirma
estar convencido de que tal funcioacuten no existe
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126 Preparado por Patricio Barros
sect El teorema fundamental y la ecuacioacuten ciclotoacutemica Gauss
La teoriacutea de Lagrange hace uso de ecuaciones del tipo xn - A = 0
Una de sus raiacuteces que llamaremos nradicA es algebraica en los
coeficientes las otras son racionales en esta raiacutez y en las raiacuteces n-
eacutesimas de la unidad por tanto en realidad hasta que alguien no
probara la solubilidad algebraica de estas ecuaciones la teoriacutea de
Lagrange estaba incompleta Ese alguien seraacute Gauss
El trabajo de Carl Friedrich Gauss sobre solubilidad algebraica
aparece 25 antildeos despueacutes de los de Lagrange Gauss se dedicoacute al
anaacutelisis exhaustivo de uno de los casos de ecuaciones solubles las
llamadas binomiales es decir de la forma xn - A = 0 que son
esenciales para el estudio de la solubilidad ya que dichas
ecuaciones aparecen como ecuaciones auxiliares en la solucioacuten de
las ecuaciones algebraicas
En su tesis de 1799 Gauss demostroacute el llamado teorema
fundamental del aacutelgebra que dice que ldquoTodo polinomio no constante
con coeficientes complejos de grado n tiene n raiacutecesrdquo Varios grandes
matemaacuteticos habiacutean trabajado antes en este teorema o en versiones
del mismo entre ellos estaacuten Descartes DrsquoAlembert y Euler
Gauss expresoacute sus dudas sobre la solubilidad general de las
ecuaciones algebraicas en la primera de las varias demostraciones
que dio del teorema fundamental En sus Disquisitioues arithmeticae
(1801 seacuteptima parte) Gauss incluyoacute de todas formas algunos
resultados sobre solubilidad y volvioacute a expresar sus dudas sobre la
imposibilidad de hallar una solucioacuten general para ecuaciones de
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127 Preparado por Patricio Barros
grado superior aunque sentildealoacute que debiacutean existir infinitas clases de
ecuaciones solubles
Gauss proboacute la solubilidad de la ecuacioacuten xn - 1 = 0 para un n
natural arbitrario tambieacuten dio el meacutetodo de solucioacuten de la misma y
numerosos ejemplos en especial para n igual a 17 y 19 La
solubilidad de esta ecuacioacuten estaacute relacionada con la posibilidad de
construir poliacutegonos regulares de n lados empleando regla y compaacutes
De hecho la primera anotacioacuten en el famoso diario matemaacutetico de
Gauss versa sobre la posibilidad de construir un poliacutegono regular de
17 lados
Gauss hace primero algunas anotaciones sobre las conexiones
matemaacuteticas de la ecuacioacuten xn - 1 = 0 y luego prueba que es
suficiente considerar la solucioacuten de la ecuacioacuten xn - 1 = 0 para n
primo y que es posible reducir el resto de los casos a este
Ya era conocido que todas las raiacuteces de la ecuacioacuten en cuestioacuten eran
potencias de una de ellas (lo que puede encontrase ya en los
estudios de Lagrange) Esta vinculacioacuten proviene de las relaciones
de Vandermonde entre las raiacuteces de la ecuacioacuten estudiada que
entre otros ya era conocida por Euler
Un caacutelculo algebraico nos muestra la relacioacuten
xn - 1 = (x- 1) (xn-1 + xn--2 + + x +1)
Las ecuaciones ciclotoacutemicas
Las ecuaciones ciclotoacutemicas xn-1 + xn-2 + + x +1 = 0 son
llamadas asiacute porque tienen que ver con la divisioacuten de la
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128 Preparado por Patricio Barros
circunferencia en partes iguales Esto a su vez tiene que ver
con la posibilidad de construir poliacutegonos regulares mediante
regla y compaacutes uno de los problemas claacutesicos de la
Antiguumledad
En la seccioacuten seacuteptima de sus Disquisitiones arithmeticae
Gauss estudia en detalle cuaacutendo es posible que la ecuacioacuten xn
- 1 = 0 pueda ser resuelta algebraicamente Resolverla
algebraicamente es en cierto modo equivalente a poder
construir las raiacuteces usando solo regla y compaacutes Estas raiacuteces
coinciden geomeacutetricamente con los puntos de divisioacuten de una
circunferencia de radio 1 en n partes iguales luego construir
las raiacuteces es equivalente a construir un poliacutegono regular de n
lados Es sabido que no todo poliacutegono regular se puede
construir Gauss proboacute que era posible para n = 17257 y
despueacutes en general para los nuacutemeros n de la forma 2(2)n +1
que sean primos
Por tanto las raiacuteces de la ecuacioacuten xn - 1 = 0 son 1 y las raiacuteces de la
llamada ecuacioacuten ciclotoacutemica
xn-1 + xn-2 + + x +1 = 0
Estas raiacuteces forman un grupo ciacuteclico Gauss no da una
demostracioacuten detallada de la solubilidad general de la ecuacioacuten
ciclotoacutemica al igual que Vandermonde solamente hace un bosquejo
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129 Preparado por Patricio Barros
de la prueba y se limita a dar ejemplos del procedimiento para
algunos casos particulares
Ruffiacuteni el olvidado
Paolo Ruffiacuteni (1765-1822) nacioacute en Valentano Italia y era hijo
de un meacutedico Estudioacute matemaacuteticas medicina filosofiacutea y
literatura en la Universidad de Moacutedena Casi recieacuten graduado
en 1788 fue nombrado profesor de fundamentos de anaacutelisis y
en 1791 profesor de elementos de matemaacuteticas Como tambieacuten
habiacutea estudiado medicina en 1791 le fue concedida una
licencia para practicarla En 1798 Ruffini al haberse negado a
prestar juramento de adhesioacuten a la Repuacuteblica Cisalpina
creada por Napoleoacuten Bonaparte perdioacute su puesto de profesor
y se le prohibioacute ensentildear Ante esta prohibicioacuten se dedicoacute a
practicar la medicina y a trabajar en su proyecto de probar
que la quiacutentica no era soluble por radicales
Ruffini fue el primero en introducir lo que en terminologiacutea
moderna se conoce corno orden de un elemento conjugacioacuten y
descomposicioacuten en ciclos de los elementos de un grupo de
permutaciones Su trabajo con permutaciones le permite
demostrar con lagunas la insolubilidad de la quiacutentica
resultado notable pero no aceptado sin embargo por la
comunidad matemaacutetica El uacutenico matemaacutetico que reconocioacute la
importancia de su demostracioacuten fue Cauchy lo que resulta
sorprendente dada la personalidad de este uacuteltimo Sin duda
que el trabajo de Cauchy en permutaciones fue influenciado
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130 Preparado por Patricio Barros
por las ideas de Ruffini
Eu 1814 despueacutes de la caiacuteda de Napoleoacuten fue nombrado
rector de la Universidad de Moacutedena Ocupaba al mismo tiempo
las caacutetedras de matemaacuteticas aplicadas y de medicina cliacutenica
Enfermoacute durante una epidemia de tifus en 1817 y aunque
sobrevivioacute su salud se vio afectada Publicoacute en 1820 un
artiacuteculo cientiacutefico sobre el tifus basado en su propia
experiencia Escribioacute tambieacuten trabajos de filosofiacutea y sobre
caacutelculo de probabilidades y sus aplicaciones
En la parte VII de las Disquisitiones Gauss sentildeala que su teoriacutea es
aplicable no solo a funciones ciclotoacutemicas sino tambieacuten a otras
funciones trascendentes como por ejemplo a una funcioacuten que
dependa de la integral int(dxradic(1-x2)) aquiacute Gauss teniacutea en mente la
divisioacuten de una lemniscata en n partes iguales problema que se
reduce a una ecuacioacuten de grado n2 pero de esto solo se conservan
borradores ya que no fue publicado (sobre este tema de las
integrales lemniscaacuteticas trataremos en el proacuteximo capiacutetulo)
Realmente Gauss solo publicoacute su estudio de las ciclotoacutemicas para n
primo El caso de n no primo puede verse tratado en notas de su
diario pero nunca publicoacute los resultados algo parecido pasoacute con
muchos otros problemas en los que trabajoacute
sect El gran olvidado Ruffini
Tambieacuten en Italia siguiendo la tradicioacuten matemaacutetica del
Renacimiento se ocuparon del problema de la resolucioacuten algebraica
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131 Preparado por Patricio Barros
de la quiacutentica Paolo Ruffini fue el primero en ensayar una prueba
de la insolubilidad por radicales de ecuaciones algebraicas de grado
mayor que 4 afirmacioacuten que incluyoacute en el subtiacutetulo de su libro
Teoriacutea general de las ecuaciones publicado en 1799
En antildeos posteriores aparecieron 6 versiones de la demostracioacuten de
Ruffini que fueron en parte una reaccioacuten a las objeciones que en
1804 habiacutea planteado Gianfrancesco Malfati (1731-1807) profesor
de la Universidad de Ferrara quien habiacutea resuelto algunos tipos
particulares de ecuaciones quiacutenticas y que como representante de
una generacioacuten anterior no podiacutea concebir la idea de la no
existencia de una solucioacuten general
Ruffini fue maacutes allaacute de la pura conviccioacuten de la existencia de una
conexioacuten entre la solubilidad de las ecuaciones algebraicas y las
permutaciones En su trabajo la teoriacutea de permutaciones no solo
fue un instrumento de caacutelculo sino una componente estructural de
la teoriacutea de solubilidad
El objetivo principal del trabajo de Ruffini era la demostracioacuten de la
insolubilidad algebraica de la ecuacioacuten general de grado 5 La
existencia de lagunas en sus razonamientos y el hecho que su
exposicioacuten de los resultados no fuera completamente clara motivoacute
que sus conclusiones y teacutecnicas fueran casi universalmente
rechazadas por sus contemporaacuteneos lo que justifica la afirmacioacuten
de que es uno de los grandes olvidados de la historia de las
matemaacuteticas
Ruffini pertenece tambieacuten junto a Lagrange y Abel al grupo de los
matemaacuteticos que consideraron que el problema no era calcular las
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132 Preparado por Patricio Barros
soluciones sino demostrar la existencia o no de las mismas En eso
es tambieacuten uno de los matemaacuteticos que se situacutean en la avanzada de
su eacutepoca
Ruffini aclaroacute las dudas sobre la insolubilidad de las ecuaciones de
grado superior presentando una prueba de su insolubilidad A pesar
de ciertas deficiencias esta demostracioacuten es aceptable La prueba
fue hecha usando medios e ideas publicadas por Lagrange casi 30
antildeos antes pero tambieacuten introduciendo elementos de la teoriacutea de
permutaciones que no habiacutean sido considerados por otros
anteriormente La persona que consiguioacute maacutes creacutedito con sus
estudios sobre las permutaciones fue nuestro ya conocido Augustin-
Louis Cauchy
sect La teoriacutea de las permutaciones seguacuten Cauchy
Aunque Cauchy no tuvo que ver directamente con el problema de la
ecuacioacuten general su trabajo en permutaciones fue muy valioso para
los que despueacutes trabajaron en este tema en especial para Abel y
Galois
Sus primeros resultados se publicaron en la ldquoMemoria sobre el
nuacutemero de valores que una funcioacuten puede alcanzar cuando se
permutan de todas las formas posibles las cantidades que ella
envuelverdquo aparecida en 1815
Esta obra estaacute dedicada a la demostracioacuten de un teorema sobre el
nuacutemero de valores diferentes que una expresioacuten no simeacutetrica de n
cantidades alcanza y concluye que no puede ser menor que el
mayor nuacutemero primo p que no supera a n a menos que este sea 2
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133 Preparado por Patricio Barros
Este es un resultado que utilizaraacute Abel Cauchy sentildeala que esta es
una generalizacioacuten de un resultado de Ruffini que afirma la
imposibilidad de tener una expresioacuten en 5 o maacutes variables que
asuma exactamente 3 o 4 valores diferentes
En este trabajo Cauchy introduce la notacioacuten por filas para una
permutacioacuten que se utiliza actualmente Dicha notacioacuten no apareciacutea
en los trabajos de Lagrange o Ruffini lo que de hecho les dificultaba
el trabajar con permutaciones
Cauchy menciona en su trabajo de 1815 a Ruffini Lagrange y
Vandermonde Seguacuten Cauchy los dos uacuteltimos fueron los primeros
en discutir el problema de cuaacutentos valores diferentes puede tomar
una funcioacuten de u variables cuando estas variables son permutadas
Cauchy sentildeala que su intereacutes por el estudio de las permutaciones
surge con el estudio de la teoriacutea de nuacutemeros lo que le puso en
contacto con el trabajo de Ruffini Su mencioacuten de los trabajos de
Ruffini hace suponer que conociacutea el problema de la solubilidad de
las ecuaciones seguacuten era enfocado por eacuteste pero no hizo referencia
alguna de coacutemo sus resultados podriacutean influir en la solucioacuten de
dicho problema
La utilidad de los trabajos de Cauchy en este campo se puso en
evidencia solo cuando Abel y Galois los utilizaron para sus
demostraciones El famoso trabajo de Cauchy de 1815 permite una
construccioacuten sistemaacutetica del grupo de permutaciones siendo eacutesta la
primera vez que los grupos fueron un objeto de estudio
independiente
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134 Preparado por Patricio Barros
En 1815 Cauchy hace una vaga mencioacuten de Ruffini como su
predecesor en el trabajo con permutaciones pero en un trabajo
posterior de 1844 Cauchy ya no menciona ni a Ruffini ni a ninguacuten
otro autor Sin duda Cauchy jugoacute un papel central en el desarrollo
de la teoriacutea de permutaciones y aunque es cierto que Ruffini
anticipoacute muchos de los resultados de los artiacuteculos pioneros de
Cauchy fue la actividad de este uacuteltimo la que consolidoacute la teoriacutea de
permutaciones como disciplina matemaacutetica independiente La
influencia de Cauchy fue mucho mayor que la de Ruffini y en
concreto Abel desconociacutea los resultados de Ruffini cuando
desentrantildeoacute el misterio de la quiacutentica
sect Abel se enfrenta al misterio
iquestEn queacute situacioacuten se encuentra el misterio de la quiacutentica cuando
hace su aparicioacuten Abel
Si bien Lagrange se mostraba esceacuteptico con respecto a la posibilidad
de probar la solubilidad de la ecuacioacuten general de grado mayor o
igual a 5 al menos con las herramientas con que se contaba en ese
momento Gauss estaba convencido de la insolubilidad pero nunca
la demostroacute Otro matemaacutetico Ruffini habiacutea hallado y publicado
una demostracioacuten incompleta de la insolubilidad de la quiacutentica
pero sus trabajos eran praacutecticamente desconocidos o no aceptados
por los que los conociacutean
Es decir para Abel como tambieacuten para su contemporaacuteneo Galois el
problema estaba a la espera de una solucioacuten
iquestCuaacuteles son los trabajos de Abel sobre las ecuaciones algebraicas
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135 Preparado por Patricio Barros
En 1824 antes de iniciar su viaje de estudios por Europa Abel
habiacutea publicado una primera demostracioacuten de la insolubilidad bajo
el titulo ldquoMemoria sobre las ecuaciones algebraicas donde se
demuestra la imposibilidad de la resolucioacuten de la ecuacioacuten general
del quinto gradordquo Este trabajo fue publicado en franceacutes en
Cristianiacutea en forma de folleto y a expensas del propio Abel de ahiacute
que contara con pocas paacuteginas y pocos ejemplares y que fuera poco
difundido
En 1826 Abel publica en el primer nuacutemero del Journal de Crelle un
artiacuteculo titulado ldquoDemostracioacuten de la imposibilidad de la resolucioacuten
algeacutebrica de las ecuaciones que superan el cuarto gradordquo en el que
da una demostracioacuten maacutes detallada de la insolubilidad de la
quiacutentica que la aparecida en el folleto publicado en Cristianiacutea
Durante su estancia en Pariacutes Abel publicoacute en el volumen 6 (1826)
del Boletiacuten de Ferrusac una nota anoacutenima en la que presentaba un
anaacutelisis detallado del artiacuteculo que habiacutea aparecido en el Journal de
Crelle en ese mismo antildeo Este artiacuteculo aparece en la recopilacioacuten de
las obras completas de Abel editadas en 1881 por Sophus Lie y
Ludwig Sylow como un apeacutendice del artiacuteculo del Journal de Crelle
Abel publicoacute dos trabajos maacutes relativos a la solubilidad de
ecuaciones pero con respecto al misterio de la quiacutentica los
esenciales son el de 1824 y los dos de 1826 mencionados
anteriormente que en esencia exponen los mismos resultados con
distintos grados de detalle
Expondremos siguiendo fundamentalmente la nota de Abel en el
Boletiacuten de Ferrusac estos resultados para asiacute tener una idea de
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136 Preparado por Patricio Barros
coacutemo Abel llegoacute a esclarecer lo referente a la quiacutentica y coacutemo estos
resultados estaacuten relacionados con los de otros autores En lo posible
seguiremos el lenguaje y notacioacuten usados por Abel en sus artiacuteculos
Abel establece que es imposible resolver algebraicamente la
ecuacioacuten general de quinto grado
ldquopuesto que toda funcioacuten algebraica de los coeficientes de la
ecuacioacuten dada al ser sustituida en lugar de la incoacutegnita
conduce a un absurdo
Para Abel resolver algebraicamente una ecuacioacuten significa expresar
sus raiacuteces mediante funciones algebraicas de sus coeficientes Una
funcioacuten v es para eacutel algebraica en las cantidades x1 x2 si es
posible expresar v en teacuterminos de x1 x2 empleando la adicioacuten
la multiplicacioacuten la divisioacuten y la extraccioacuten de raiacuteces de iacutendice
primo
Abel establece la distincioacuten entre funciones enteras si solo se
emplean las dos primeras operaciones racionales cuando ademaacutes
se usa la divisioacuten y algebraicas si entran todas las operaciones
El meacutetodo escogido por Abel para atacar el problema como ya
sentildealamos al referirnos al trabajo de Vandermonde consistiacutea en
determinar la forma maacutes general de una expresioacuten algebraica que
satisficiese a la ecuacioacuten general y luego determinar si esta
expresioacuten podiacutea satisfacer o no a la ecuacioacuten general de ahiacute que su
primer objetivo fuera la buacutesqueda de la expresioacuten general de las
funciones algebraicas
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137 Preparado por Patricio Barros
Abel muestra que las funciones algebraicas maacutes simples que pueden
escribirse son las combinaciones de funciones racionales
combinadas con radicales de iacutendice primo de funciones a su vez
racionales esto es lo que eacutel llama una funcioacuten algebraica de primer
orden
Por ejemplo
es una funcioacuten de primer orden
Las funciones algebraicas de segundo orden son aquellas en las que
entran radicales de funciones de primer orden Por ejemplo
Y asiacute se pueden ir construyendo funciones algebraicas de orden
cualquiera Una funcioacuten algebraica de orden n podriacutea estar formada
a partir de funciones de todos los oacuterdenes hasta el orden n -1
combinadas entre ellas algebraicamente Si esta funcioacuten de orden n
tiene m cantidades de dicho orden se diraacute que es de grado m
Encontramos entonces el primer resultado de Abel en el que da la
expresioacuten general de una funcioacuten algebraica de orden p y grado m
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138 Preparado por Patricio Barros
Una funcioacuten algebraica v de orden u y grado m puede escribirse
corno
donde n es un nuacutemero primo q0 q2 qn-1 son funciones
algebraicas de orden u y grado m-1 a lo sumo y p una funcioacuten
algebraica de orden n-1 y tal que es imposible expresar p1n
mediante una funcioacuten racional de p q0 q2 qn-1
Abel relacionaraacute este resultado con la solubilidad de las ecuaciones
demostrando que la forma maacutes general de la uacuteltima resolvente la
que da una raiacutez de la ecuacioacuten original debe ser de la forma
x = q0+ p1n + q2p2n + + qn-1pn-1n
Donde n es primo p q0 q2 qn-1 son expresiones algebraicas de los
coeficientes de la ecuacioacuten inicial y p1n no puede ser expresado
racionalmente en funcioacuten de q0 q2 qn-1
Es en este punto donde el trabajo de Abel se cruza con los trabajos
de Leonhard Euler en relacioacuten con la insolubilidad de la quiacutentica Si
miramos el resultado de Abel sobre la forma de la resolvente vemos
que es la forma que habiacutea propuesto Euler en su segundo trabajo
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139 Preparado por Patricio Barros
Volvamos ahora al camino trazado por Abel La expresioacuten general
que halla para las funciones algebraicas le permite demostrar para
la ecuacioacuten general algebraica de grado n lo siguiente
Si una ecuacioacuten algebraica es resoluble algebraicamente se
puede siempre dar a la raiacutez una forma tal que todas las
expresiones algebraicas de que ella estaacute compuesta pueden ser
expresadas mediante funciones racionales de las raiacuteces de la
ecuacioacuten dada
Para demostrarlo Abel supone una ecuacioacuten general algebraica
resoluble algebraicamente Sea
la expresioacuten de una raiacutez cualquiera de la ecuacioacuten
Entonces v1n s0 s2hellip sn-1 se pueden expresar racionalmente en
funcioacuten de las raiacuteces x1 x2 xn de la ecuacioacuten
lo que obtiene razonando a partir de que se ha supuesto que v1n no
puede ser expresado como funcioacuten racional de y v s0 s2hellip sn-1
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140 Preparado por Patricio Barros
Euler y las soluciones de ecuaciones de grado arbitrario
Euler mencionoacute el problema de la insolubilidad en dos
ocasiones En 1732-1733 en su artiacuteculo ldquoConjetura sobre la
forma de las raiacuteces de las ecuaciones de grado arbitrariordquo y en
1762-1763 en su memoria ldquoSobre la solucioacuten de ecuaciones de
grado arbitrario En la primera Euler sentildeala que la resolucioacuten
de las ecuaciones de grados 2 3 y 4 se reduce a la resolucioacuten
de ecuaciones de grado 1 2 y 3 respectivamente y se refiere a
estas uacuteltimas como ecuaciones resolventes
Para una ecuacioacuten de grado n xn = axn-2 + bxn-3 + + q asume
una resolvente de grado n - 1 zn-1 = 120572zn-2 + 120573zn-3+ y una
expresioacuten para las raiacuteces de la ecuacioacuten original en funcioacuten de
raiacuteces n-eacutesimas de las raiacuteces de la resolvente
Si z1 z2 zn son las raiacuteces de la resolvente entonces Euler
dice que las raiacuteces de la ecuacioacuten original son de la forma
x = nradicz1 + nradicz1 + hellip+ nradiczn-1
En el segundo trabajo Euler reemplaza la expresioacuten para las
raiacuteces por una nueva
x = 120596 + A1 nradicz1 + A2
nradicz2 + hellip+ An-1 nradiczn-1
con 120596 real y z raiacutez de una ecuacioacuten de grado le n - 1
Lo que hace su segundo trabajo especialmente importante es
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141 Preparado por Patricio Barros
la generalidad de la foacutermula que propone para las raiacuteces ya
que si la ecuacioacuten original es soluble por radicales Abel
demostraraacute posteriormente que entonces las raiacuteces se
expresan por la foacutermula dada por Euler en este segundo
trabajo
Si consideramos una cualquiera de las cantidades v s0 s2 por
ejemplo v y designemos por v1 v2 vn los valores diferentes de v que
se obtienen al intercambiar entre ellas las raiacuteces x1 x2 xn de
todas las formas posibles se podraacute formar entonces una ecuacioacuten
de grado n en la cual los coeficientes sean funciones racionales de
a1 a2 an-l y donde las raiacuteces sean v1 v2 vn que son funciones
racionales de x1 x2 xn Haciendo pues
Todas las cantidades u1v t0 t2 tv-1 seraacuten funciones racionales de
u1 v2 vn que son funciones racionales de x1 x2 xn Repitiendo
este razonamiento se obtiene el resultado
Abel concluye pues que si la ecuacioacuten general es soluble
algebraicamente entonces cada una de las raiacuteces de la ecuacioacuten
general puede ser expresada de forma tal que cada expresioacuten
algebraica involucrada sea racional en esas raiacuteces Realmente Abel
debioacute haber dicho racional en dichas raiacuteces y en las raiacuteces de la
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142 Preparado por Patricio Barros
unidad ya que estas raiacuteces necesariamente aparecen en esas
expresiones
Algunos de los predecesores de Abel lo ayudan directamente a
demostrar la insolubilidad de la quiacutentica Eacutel utiliza una serie de
resultados previos que enumeraremos a continuacioacuten
El numero de valores diferentes que una funcioacuten de n
cantidades puede tomar por todas las sustituciones posibles
entre esas cantidades es necesariamente un divisor del
producto 1times2times3timeshelliptimesn
De este resultado Abel dice ldquoesto es conocido rdquo ya que realmente es
uno de los resultados de Lagrange antes mencionados
El siguiente resultado cuya demostracioacuten Abel confiesa haber
tomado de una memoria de Cauchy y que es una generalizacioacuten a
su vez de uno de Ruffini es el siguiente
El nuacutemero de valores que toma una funcioacuten racional de n
cantidades no puede ser menor que el mayor nuacutemero primo
menor o igual que n a menos que sea 1 oacute 2
Por uacuteltimo
Cuando una funcioacuten de varias variables toma m valores
diferentes siempre se puede encontrar una ecuacioacuten de grado m
cuyos coeficientes son funciones simeacutetricas de esos valores y
que tiene a dichos valores por raiacuteces pero es imposible
encontrar una ecuacioacuten de la misma forma pero de grado menor
que m que tenga a uno o varios de esos valores por raiacuteces
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143 Preparado por Patricio Barros
Esto es expresado en otra forma el resultado dado por Viegravete
Con estos resultados Abel puede probar la insolubilidad de la
quiacutentica que enuncia asiacute
Es imposible resolver algebraicamente la ecuacioacuten de quinto
grado
Demostracioacuten
Suponiendo que la ecuacioacuten de quinto grado sea soluble
algebraicamente se podraacute seguacuten el resultado del propio Abel
visto anteriormente expresar todas las funciones algebraicas de
las cuales una raiacutez estaacute compuesta mediante funciones
racionales de las raiacuteces
Como es imposible expresar una raiacutez de una ecuacioacuten general
por una funcioacuten racional de los coeficientes es necesario que se
tenga
R1m = v
Donde R1m es una de las funciones de primer orden que se
encuentran en la expresioacuten de la raiacutez y R es una funcioacuten
racional de los coeficientes de la ecuacioacuten dada es decir R es
una funcioacuten simeacutetrica de las raiacuteces y v una funcioacuten racional de
las raiacuteces
R1m = v da lugar a vm - R = 0
Donde v debe tomar m valores diferentes al intercambiar las
raiacuteces entre ellas ya que R es una funcioacuten simeacutetrica de las
raiacuteces (Viegravete)
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144 Preparado por Patricio Barros
El nuacutemero de valores de una funcioacuten racional de cinco variables
debe ser un divisor de 5 (Lagrange)
Es necesario pues que m que es un nuacutemero primo sea 2 3 o 5
Usando el resultado de Cauchy m no puede ser 3 luego queda
por analizar los valores 2 y 5 los cuales Abel demuestra que
llevan a contradicciones
Estas contradicciones completan la prueba de Abel de la
insolubilidad de la ecuacioacuten general de grado 5
Abel observa pero sin dar la demostracioacuten que es tambieacuten
imposible resolver la ecuacioacuten general de grado mayor que 5
Algunos pudieran considerar que la demostracioacuten de Abel no es
completa ya que usa en sus caacutelculos sin ninguna aclaracioacuten las
raiacuteces k-eacutesimas de la unidad para k menor que el grado de la
ecuacioacuten dada Estas son las raiacuteces de la ecuacioacuten ciclotoacutemica
xk-1 + xk-2 + + x + 1 = 0
que Gauss ya habiacutea probado era algebraicamente soluble
La demostracioacuten por Abel de la insolubilidad de la ecuacioacuten general
de grado cinco atrajo la atencioacuten del propio Abel y de sus
contemporaacuteneos hacia el problema de determinar clases de
ecuaciones particulares que fuesen solubles por radicales
sectiquestY bajo queacute condiciones es soluble por radicales una
ecuacioacuten
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145 Preparado por Patricio Barros
Lo que demuestra Abel para ecuaciones de grado cinco y que
despueacutes con los resultados de Galois puede extenderse a grados
superiores es que la ecuacioacuten general no es resoluble por radicales
Esto significa como ya hemos sentildealado anteriormente que si se
consideran ecuaciones con coeficientes arbitrarios (en realidad
algebraicamente independientes en el sentido moderno) es imposible
expresar la solucioacuten de dicha ecuacioacuten mediante una funcioacuten
algebraica de dichos coeficientes
Ahora bien eso no significa que no haya ecuaciones y auacuten clases
enteras de ecuaciones de grados superiores al quinto cuya
solucioacuten se expresa mediante funciones algebraicas de los
coeficientes como por ejemplo las ecuaciones del tipo xn - A = 0 que
son solubles para todo n y cuya solucioacuten estaacute dada por x = nradicA
considerando por supuesto las raiacuteces complejas si queremos
obtener las n raiacuteces
El hecho de considerar clases de funciones y buscar su solucioacuten ya
habiacutea sido analizado por varios matemaacuteticos como ya hemos visto
Pero una vez demostrada la insolubilidad de la ecuacioacuten de grado
cinco y maacutes o menos aceptada la generalizacioacuten de este resultado a
grados superiores el problema del estudio de la posible solubilidad
de ciertos tipos de ecuaciones comienza a investigarse es decir
comienza la buacutesqueda de las condiciones generales para que una
ecuacioacuten dada sea resoluble o no por radicales
Abel le escribe a Holmboeuml en 1826
En estos momentos estoy trabajando en la teoriacutea de ecuaciones
mi tema favorito y me parece que al fin he encontrado los
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146 Preparado por Patricio Barros
medios para resolver el problema general es decir el determinar
la forma de las ecuaciones algebraicas que pueden ser resueltas
algebraicamente
Dos meses antes de su muerte en 1829 Abel publicoacute en el Journal
de Crelle su ldquoMemoria sobre una clase particular de ecuaciones
algebraicamente solublesrdquo Comenzaba esta memoria diciendo
Aunque la resolucioacuten algebraica de ecuaciones no sea posible en
general hay sin embargo ecuaciones particulares de todos los
grados que admiten una tal resolucioacuten Tales son por ejemplo las
ecuaciones de la forma xn - 1 = 0 La resolucioacuten de estas
ecuaciones estaacute fundada sobre ciertas relaciones que existen
entre las raiacuteces Yo he tratado de generalizar este meacutetodo
Abel sentildeala distintos casos particulares donde se cumplen sus
suposiciones siendo uno de ellos el caso en que todas las raiacuteces de
una ecuacioacuten pueden ser expresadas de la forma x 120579x 120579n-1 x con
120579n x = x y 120579x una funcioacuten racional de x y sentildeala que la ecuacioacuten
con n primo es una de estas En terminologiacutea moderna significa
que el grupo de Galois de la ecuacioacuten es ciacuteclico
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147 Preparado por Patricio Barros
Abel dice aquiacute que esta propiedad la poseen cierta clase de
ecuaciones a las que llegoacute a traveacutes de la teoriacutea de las funciones
eliacutepticas
En este artiacuteculo Abel establecioacute el siguiente resultado
Si las raiacuteces de una ecuacioacuten de un cierto grado estaacuten
relacionadas de tal manera que todas son expresares
racionalmente mediante una de ellas que designaremos como x
y si maacutes auacuten para cualquier par de raiacuteces que designaremos
por θx y θ1x se tiene que
θ θ1x = θ1 θx
Entonces la ecuacioacuten es algebraicamente soluble
Anaacutelogamente si la ecuacioacuten se supone irreducible y su grado
es donde 1205721 1205722 y 120572120603 son primos diferentes
entonces se puede reducir la resolucioacuten de esta ecuacioacuten a la de
μ1 ecuaciones de grado α1 ecuaciones de grado α2 etc
Usando terminologiacutea moderna este artiacuteculo establece la solubilidad
algebraica de aquellas ecuaciones cuyo grupo de Galois es abeliano
Es por este artiacuteculo por el nombre de Abel resulta asociado con la
conmutatividad Ya en 1853 el alemaacuten Leopold Kronecker (1823-
1891) aplicaba el apelativo de abelianas a aquellas ecuaciones cuya
solubilidad habiacutea sido demostrada por Abel
Entre los papeles poacutestumos de Abel habiacutea un manuscrito
incompleto titulado ldquoSobre la resolucioacuten algebraica de funcionesrdquo
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148 Preparado por Patricio Barros
cuya publicacioacuten en la primera recopilacioacuten de sus Obras completas
(1839) hecha por su maestro y amigo Holmboeuml ayudoacute a reabrir la
pregunta de la solucioacuten de ecuaciones especiales y facilitoacute el camino
para la publicacioacuten de los artiacuteculos de Galois En este trabajo Abel
precisa en queacute consiste el problema de la solubilidad de ecuaciones
y presenta un programa sobre coacutemo enfocar y resolver
completamente el problema
De este trabajo por su intereacutes reproducimos completamente el
pasaje siguiente
En esta memoria tratoacute el problema de la solucioacuten algebraica de
ecuaciones en toda su generalidad El primero y si no me
equiacutevoco el uacutenico que tratoacute antes de miacute de probar la
imposibilidad de la solucioacuten algebraica de ecuaciones generales
es el ldquogeoacutemetrardquo Ruffiacuteni Pero su memoria es tan complicada que
es muy difiacutecil discernir si su razonamiento es vaacutelido A miacute me
parece que su razonamiento no siempre es satisfactorio
Yo creo que la prueba que yo di en el primer volumen de esta
revista [Journal de Crelle] no deja nada que desear con respecto
al rigor pero no es tan simple como podriacutea ser
He hallado tratando de resolver un problema maacutes general otra
demostracioacuten basada en los mismos principios pero maacutes
simple
Es conocido que toda expresioacuten algebraica puede satisfacer una
ecuacioacuten de mayor o menor grado de acuerdo a la naturaleza
particular de dicha expresioacuten Luego hay de esta manera una
infinidad de ecuaciones particulares que son algebraicamente
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149 Preparado por Patricio Barros
solubles De esto se derivan de manera natural dos problemas
cuya solucioacuten comprende toda la teoriacutea de la solubilidad
algebraica de ecuaciones
Encontrar todas las ecuaciones de un grado dado que sean
algebraicamente solubles
Decidir si una ecuacioacuten dada es algebraicamente soluble o no
El objetivo de este trabajo es la consideracioacuten de estos dos
problemas
Aunque no daremos a estos problemas una solucioacuten completa
indicaremos sin embargo meacutetodos confiables para alcanzar la
solucioacuten Se ve que estos dos problemas estaacuten iacutentimamente
ligados de forma que la solucioacuten del primero debe conducir al
segundo En el fondo estos dos problemas son el mismo
Abel trabajoacute solamente en el primero de los dos problemas Quizaacutes
su muerte prematura impidioacute que avanzara maacutes y es Eacutevariste Galois
quieacuten daraacute respuesta al segundo problema enunciando un criterio
general para que una ecuacioacuten algebraica sea soluble por radicales
En el pasaje citado estaacute expresada la posicioacuten de Abel con respecto
a Ruffini Abel conocioacute las ideas de Ruffini sobre una demostracioacuten
de insolubilidad no antes del inicio del verano de 1826 durante su
estancia en Viena es decir despueacutes de la publicacioacuten de su primer
trabajo sobre la insolubilidad de la ecuacioacuten de quinto grado Abel
no podiacutea haber conocido antes los trabajos de Ruffini debido al poco
reconocimiento y divulgacioacuten que teniacutean De hecho eacutel no tuvo
conocimiento de los mismos directamente pues su fuente de
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150 Preparado por Patricio Barros
informacioacuten fue un resumen preparado por autores anoacutenimos sobre
las principales ideas de Ruffini En el segundo artiacuteculo sobre teoriacutea
de ecuaciones publicado en 1826 en el primer nuacutemero del Journal
de Crelle Abel llenoacute la laguna que habiacutea en los trabajos de Ruffini
relativa a que eacuteste nunca demostroacute que los radicales que aparecen
en las expresiones de las raiacuteces de una ecuacioacuten sean expresiones
racionales de las raiacuteces Es por esto por lo que Abel llamoacute la
atencioacuten sobre este punto en su trabajo publicado en el Boletiacuten de
Ferrusac en el que resumioacute y puntualizoacute los resultados de su
artiacuteculo 1826 en el Journal de Crelle
Siacute una ecuacioacuten algebraica es soluble entonces uno puede
siempre escribir cada raid de tal manera que las expresiones
algebraicas componentes se expresen como funciones racionales
de la raiacutez de la ecuacioacuten dada
En este otro pasaje del artiacuteculo de 1839 Abel expresa la necesidad
de demostrar teoremas de existencia necesidad que Cauchy puso
de moda casi al mismo tiempo en anaacutelisis y en particular en la
teoriacutea de ecuaciones diferenciales y que aparece en aacutelgebra por
primera vez con la demostracioacuten que hizo Gauss del teorema
fundamental del aacutelgebra
Abel dice
En efecto se trataba de resolver las ecuaciones sin saber si
esto era posible En ese caso se podiacutea bien llegar a la solucioacuten
cuando esto fuera posible pero si desafortunadamente la
solucioacuten era imposible habriacutea habido que buscarla eternamente
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151 Preparado por Patricio Barros
sin encontrarla Es necesario pues tomar otro camino En lugar
de buscar una relacioacuten que no se sabe si existe o no es
necesario preguntarse si tal relacioacuten es en efecto posible
En este artiacuteculo de 1839 Abel no usa directamente las
permutaciones pues trata auacuten de calcular la solucioacuten
expliacutecitamente pero reorienta su forma de proceder investigando
queacute ecuaciones pueden satisfacer una expresioacuten algebraica en lugar
de queacute expresiones algebraicas pueden satisfacer una ecuacioacuten
como habiacutea hecho anteriormente lo que contribuyoacute a hacer maacutes
claro el problema de la buacutesqueda de condiciones para que una
ecuacioacuten sea soluble problema que seraacute resuelto definitivamente
por Eacutevariste Galois casi contemporaacuteneo de Abel y con una vida tan
corta como la suya Galois sufrioacute casi tanto o maacutes que Abel la
incomprensioacuten de los matemaacuteticos de su eacutepoca y la desidia de
algunos de ellos
En mayo de 1829 un mes despueacutes de la muerte de Abel Galois
dirigioacute a la Academia de Ciencias de Pariacutes una memoria en que
proponiacutea un criterio necesario y suficiente para la solubilidad de
ecuaciones que era lo que planteaba Abel como segundo problema
a resolver en su programa para el estudio de la solubilidad de
ecuaciones Dicho criterio permitiacutea saber cuando la resolucioacuten
algebraica de una ecuacioacuten era posible En el documento que Galois
envioacute a la Academia deciacutea lo siguiente ldquoEacutel [Abel] no dejoacute nada sobre
el tratamiento general del problema que nos ocupa Puesto que de
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152 Preparado por Patricio Barros
una vez y para siempre y esto es lo extraordinario de nuestra teoriacutea
en todos los casos se tiene una respuesta de si o no
En 1830 un antildeo despueacutes de la muerte de Abel Galois logroacute
publicar en el Boletiacuten de Ferrusac tres artiacuteculos
Galois un matemaacutetico desafortunado6
Eacutevariste Galois (1811-1832) nacioacute en Bourg-La Reine un
suburbio actual de Pariacutes y estudioacute a partir de los doce antildeos
en el colegio Louis Le Grand uno de los maacutes prestigiosos de
Pariacutes Es alliacute donde comienza su intereacutes por las matemaacuteticas
leyendo las obras de Legendre Euler Gauss Jacobi y en
particular las de Lagrange sobre resolucioacuten de ecuaciones
Eu 1829 publicoacute su primer trabajo matemaacutetico en el que
estudia las fracciones continuas Realizoacute los exaacutemenes para
ingresar en la Escuela Politeacutecnica en 1828 y en 1829 pero en
ambas oportunidades fracasoacute Se conformoacute con ingresar en la
Escuela Normal que teniacutea en ese momento menos nivel que la
Politeacutecnica
Su trabajo sobre la solubilidad de las ecuaciones fue
presentado por primera vez a la Academia en 1829 y Cauchy
fue encargado de su revisioacuten Pero al darse a conocer el
artiacuteculo poacutestumo de Abel sobre este tema Cauchy sugiere a
Galois rehacerlo Galois lo vuelve a presentar y el artiacuteculo es
entregado a Fourier para su revisioacuten pero muere poco
6 Maacutes informacioacuten en el libro Galois Revolucioacuten y matemaacuteticas de Fernando Corbalaacuten Editorial NIVOLA
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153 Preparado por Patricio Barros
despueacutes y el documento se pierde
En enero de 1831 Galois vuelve a presentar por tercera vez su
trabajo sobre la resolucioacuten de ecuaciones a la Academia y
esta vez se le entrega el trabajo a Poisson que da una opinioacuten
desfavorable Poisson afirma que las demostraciones de
Galois no estaacuten ni claras ni lo suficientemente desarrolladas
como para poder emitir un juicio positivo
Galois participoacute del ambiente poliacutetico de su eacutepoca fue miembro
de la sociedad de Amigos del Pueblo y estuvo en prisioacuten por
sus actividades poliacuteticas Fallecioacute en mayo de 1832 a
consecuencia de las heridas recibidas en un duelo realizado
por un asunto de honor La noche antes de su muerte redacto
una carta a su amigo Chevalier en la que expuso sus
resultados matemaacuteticos en particular los referentes a la
resolucioacuten de ecuaciones A su amigo le pidioacute que enviase sus
trabajos a otros matemaacuteticos como Gauss y Jacobi para que
diesen su opinioacuten sobre la importancia de los mismos y no
sobre su veracidad pues eacutel estaba convencido de que eran
ciertos Once antildeos maacutes tarde en 1843 Liouville anunciaraacute a
la Academia de Ciencias que en los escritos de Galois hay una
demostracioacuten general del problema de la condicioacuten necesaria y
suficiente para que una ecuacioacuten sea soluble por radicales en
1846 Liouville publica poacutestumamente los trabajos de Galois lo
que hoy conocemos como teoriacutea de Galois
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154 Preparado por Patricio Barros
En uno de ellos titulado ldquoAnaacutelisis de una Memoria sobre la
resolucioacuten algebraica de las ecuaciones aparecen ya algunos
resultados que seraacuten luego generalizados en lo que hoy conocemos
como teoriacutea de Galois El artiacuteculo presenta resultados que se
refieren a ecuaciones primitivas y da condiciones necesarias o
necesarias y suficientes bajo las cuales ciertos tipos de ecuaciones
primitivas son solubles por radicales Este artiacuteculo es el uacutenico que
aparecioacute publicado en vida de Galois sobre la solubilidad de
ecuaciones
En 1831 despueacutes de rechazada su memoria por la Academia y
estando en prisioacuten por sus actividades poliacuteticas Galois se defiende
de la manera siguiente
ldquoAbel parece ser el autor que maacutes se ha ocupado de esta teoriacutea
[la teoriacutea de la solubilidad de las ecuaciones algebraicas] Se
sabe que despueacutes de haber creiacutedo encontrar la solucioacuten de la
ecuacioacuten general de quinto grado este geoacutemetra demostroacute la
imposibilidad de esta solucioacuten Pero en la memoria alemana
publicada con este fin la imposibilidad del problema se
demuestra empleando argumentos relacionados con el grado de
las ecuaciones auxiliares y en el momento en que fue publicada
es seguro que Abel ignoraba las circunstancias particulares
para la resolucioacuten por radicales Es por esto por lo que si he
mencionado este trabajo en mi memoria ha sido con el uacutenico fin
de declarar que no tiene ninguna relacioacuten con mi teoriacutea []En
todo caso me seriacutea faacutecil demostrar que yo ignoraba hasta el
nombre de Abel cuando presenteacute a la consideracioacuten del Instituto
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155 Preparado por Patricio Barros
mis primeras investigaciones sobre la teoriacutea de las ecuaciones y
que la solucioacuten de Abel no pudo haber aparecido antes que la
miacutea
En otro momento antildeade
ldquoPero como la muerte anticipada de este geoacutemetra [Abel] privoacute a
la ciencia de las investigaciones prometidas por eacutel [] no era
menos necesario el dar solucioacuten a un problema aunque me sea
doloroso poseerla porque debo el tenerla a una de las maacutes
grandes peacuterdidas que haya tenido la ciencia
Queda claro que Galois reconoce la importancia de Abel pero deja
sentado que sus resultados fueron encontrados de forma
independiente
Pero iquestcuaacutel es el teorema baacutesico de la teoriacutea de Galois El
teorema de Galois sobre la solubilidad de las ecuaciones
algebraicas dice ldquoLa condicioacuten necesaria y suficiente para que
una ecuacioacuten algebraica sea resoluble por medio de radicales es
que el grupo de Galois asociado a la misma sea solublerdquo
Grupos de Galois y resolucioacuten de ecuaciones
Consideremos una ecuacioacuten algebraica cualquiera
xn + an-1x n-1 + hellip + a2x2 + a1x + a0= 0
El grupo de Galois de esta ecuacioacuten es el conjunto de las
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156 Preparado por Patricio Barros
permutaciones de las raiacuteces de la ecuacioacuten que dejan
invariante ldquotodas las relaciones entre las raiacuteces Pero iquestqueacute
queriacutea decir Galois con esta expresioacuten
Tomemos la ecuacioacuten de cuarto grado x4 - 7x3 + 10 = 0 esta
ecuacioacuten tiene cuatro raiacuteces que es posible calcular faacutecilmente
son x1 = radic2 x2 = -radic2 x3 = radic5 y x4 = -radic5 Estas raiacuteces cumplen
relaciones entre ellas tales como que la suma de x1 y x2 es 0 y
que su producto es -2 es decir un nuacutemero racional
Observemos que esto uacuteltimo sucede con x3 y x4 En este caso
permutaciones vaacutelidas seraacuten aquellas que intercambien a x1
con x2 y a x3 con x4 pero no una que intercambie a x4 con x1
Es decir en nuestro caso el grupo de Galois estaraacute formado por
4 permutaciones la que transforma a cada raiacutez en si misma
(la identidad I) la que intercambia a x1 y x2 y no cambia las
otras (t1) la que intercambia a x3 y x4 y no cambia las otras (t2)
y finalmente la combinacioacuten de estas dos uacuteltimas es decir
aquella intercambia a x1 y x2 y a x3 con x4 (σ)
En este caso el grupo de Galois tiene 4 elementos La tabla de
multiplicacioacuten del grupo se construye observando el resultado
de aplicar en forma consecutiva las permutaciones asiacute el
producto t2 t1 es aplicar primero t1 es decir intercambiar x1 y
x2 y despueacutes aplicar t2 es decir intercambiar x3 y x4 notemos
que el resultado final es 0 Esto se escribe en forma de tabla
Si observamos la tabla de multiplicacioacuten podemos ver que hay
subconjuntos del grupo que se conservan por el producto Asiacute
si tomamos solamente las dos permutaciones I y t1 las
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157 Preparado por Patricio Barros
combinaciones entre ellas por producto siempre van a dar I o t1
lo mismo sucede si consideramos I con t2 y si consideramos I
con 120590 En el lenguaje de grupos
esto equivale a decir que tiene 3
subgrupos de orden 2 El grupo
de Galois es de orden 4 y tiene 3
subgrupos de orden 2 Estos
subgrupos tienen la propiedad
de ser invariantes La existencia
de un subgrupo invariante de
orden 2 del grupo de Galois de la
ecuacioacuten implica seguacuten la teoriacutea de Galois que la ecuacioacuten
puede ser resuelta por medio de radicales
iquestY queacute sucede con la ecuacioacuten general de quinto grado En este
caso el grupo de Galois es todo el grupo de las permutaciones de
orden 5 es decir S5 Este grupo tiene 120 elementos y no es soluble
en el sentido de Galois por tanto iexclla ecuacioacuten general de quinto
grado no puede ser resuelta algebraicamente
Es de esta forma como un caso particular de su teoriacutea como Galois
explica en queacute consiste el misterio de la quiacutentica Con ello confirmoacute
la teoriacutea de Abel y entroacute en la historia de las matemaacuteticas como la
persona que proporcionoacute la respuesta maacutes completa a la pregunta
iquestbajo queacute condiciones es soluble en radicales la quiacutentica
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158 Preparado por Patricio Barros
Capiacutetulo 4
Duelo de titanes Abel Jacobi y las funciones eliacutepticas
ldquoLas comparaciones son
instructivas la mirada que lo
abarca todo que se dirige hacia
las alturas hacia lo ideal destaca
a Abel como superior a Jacobide
una forma sobresaliente
Karl Weierstrass en carta a Sofiacutea
Kowalevsky
15 de abril de 1873
El gran premio de ciencias matemaacuteticas de la Academia de Pariacutes fue
otorgado en 1830 ex-aequo a Niels Abel (post mortem) y a Carl
Jacobi por sus contribuciones a la formacioacuten de la teoriacutea de las
funciones eliacutepticas Estos dos matemaacuteticos eran muy diferentes
entre siacute Como ya sabemos Niels Abel hijo de un pastor
protestante nacioacute en una isla perdida en el archipieacutelago noacuterdico en
un momento que su paiacutes era bloqueado y asediado por la mayor
potencia militar y econoacutemica estudioacute gracias a la solidaridad de sus
amigos y profesores nunca tuvo un trabajo permanente era tiacutemido
y con cierta inclinacioacuten a la melancoliacutea todo el que lo conocioacute
admiroacute su tenacidad y quiso ayudarle Cari Jacobi hijo de
banquero nacioacute en la Prusia que comenzaba a imponerse en la
Confederacioacuten Germana como el estado maacutes potente y agresivo
estudioacute donde quiso y en cuanto se graduoacute consiguioacute un puesto de
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159 Preparado por Patricio Barros
profesor en una de las mejores universidades de Europa poseiacutea una
sutil capacidad para ofender con sus sarcasmos y aunque muchos
lo respetaban por su notable inteligencia no supo ganar el afecto de
nadie Pero tanto Abel como Jacobi son reconocidos hoy como
titanes que pretendieron asaltar el cielo de las matemaacuteticas
Jacobi
Carl Gustav Jacob Jacobi (1804-1851) era hijo de un banquero
de Potsdam Se graduoacute en la Universidad de Berliacuten en 1825 y
desde entonces impartioacute clases alliacute hasta que se trasladoacute a
Koumlnigsberg para ejercer tambieacuten como profesor
En 1834 creoacute el seminario de
matemaacutetica y fiacutesica teoacuterica en el
departamento de matemaacuteticas
que dirigiacutea en Koumlnigsberg Este
seminario se convirtioacute en
prototipo en toda Alemania En
1839 por agotamiento nervioso
se alejoacute de la docencia y realizoacute
viajes de reposo por distintas
ciudades europeas En 1844 fijoacute
su residencia en Berliacuten sin
obligacioacuten de impartir clases hasta el restablecimiento de su
salud Junto con Dirichlet se preocupoacute de que la Universidad
de Berliacuten asumiese un papel dirigente Pero su diabetes no le
dejoacute fuerzas para crear un seminario en Berliacuten En 1846 ya
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160 Preparado por Patricio Barros
muy enfermo se dedicoacute muy intensamente a la historia de las
matemaacuteticas helenas
Teniacutea una cultura matemaacutetica muy vasta y publicoacute trabajos en
teoriacutea de nuacutemeros aacutelgebra geometriacutea diferencial teoriacutea de
ecuaciones diferenciales caacutelculo de variaciones mecaacutenica
analiacutetica y mecaacutenica celeste Su personalidad excepcional
exudaba un entusiasmo contagioso tanto para las
investigaciones como para la docencia Se dice que fue
considerado demasiado arrogante por sus contemporaacuteneos
Tuvo el respeto de todos pero pocos lo admiraban Era de una
conducta social y poliacutetica bastante inconsecuente Lo mismo
era considerado reaccionario y conservador como liberal de
izquierdas Ganoacute numerosos premios y fue miembro de todas
las academias de ciencia importantes
A decir verdad cuando en septiembre de 1827 ambos publicaron
sus primeros trabajos sobre las nuevas funciones trascendentes
eran unos joacutevenes de 23 y 25 antildeos de edad que teniacutean varios
intereses comunes Ambos se apasionaron desde la escuela por las
matemaacuteticas y comenzaron por el estudio de los grandes maestros
las obras de Euler y Lagrange Los dos se ocuparon del problema de
la quiacutentica aunque Abel se aficionoacute maacutes por el tema y nunca lo
abandonoacute completamente Y en su lucha fabulosa por establecer
una teoriacutea de las funciones eliacutepticas forjaron una rivalidad y a la
vez una complicidad que la muerte no consiguioacute destruir
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161 Preparado por Patricio Barros
Hoy no quedan dudas de que los dos independientemente llegaron
a formular las principales propiedades de las funciones eliacutepticas
Pero todaviacutea muchos piensan que lograron simultaacuteneamente sus
resultados Quizaacutes esta idea fue expandida por descuido de los
mismos admiradores del joven Abel en primer lugar el editor de
casi todas sus obras Crelle en la necroloacutegica publicada en su
Journal (1829) y despueacutes su maestro Holmboeuml en el prefacio de las
Obras completas (1839) Crelle dice
ldquoAbel y Jacobi han siempre marchado igualmente y muy cerca
en sus investigaciones sobre las funciones eliacutepticas no obstante
no conocerse entre siacute solo a traveacutes de sus trabajos sin
encontrarse ni cruzarse sus caminosrdquo
Por su parte Holmboeuml apunta
ldquoAl mismo tiempo que nuestro Abel y sin conocer las obras de
este uacuteltimo el Sr Jacobi de Koumlnigsberg comenzoacute a tratar la
teoriacutea de las funciones eliacutepticas se establecioacute asiacute una rivalidad
entre estos dos genios superiores en sus tratados sobre dichas
funcionesrdquo
De esto se infiere que ambos independiente y simultaacuteneamente
comenzaron a interesarse por las funciones eliacutepticas Si dos
admiradores confesos de Abel como Crelle y Holmboeuml dicen esto no
queda sospecha que fue asiacute o quizaacutes
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162 Preparado por Patricio Barros
Para subrayar la complejidad del asunto de la prioridad en la
formulacioacuten de la teoriacutea de las funciones eliacutepticas leamos lo que el
mismo Holmboeuml en dicho prefacio sentildeala maacutes adelante
ldquoAbel ya me habiacutea dicho que antes de su estancia en Pariacutes en
1826 ya habiacutea acabado la parte esencial de los principios que
precisaba en el estudio de estas funciones y que hubiera
preferido esperar para publicar sus descubrimientos hasta que
se pudiera componer una teoriacutea completa pero mientras tanto
el sr Jacobi se habiacutea entrometido caminando sobre sus
huellas
Pero la opinioacuten dominante en Alemania promovida no por Jacobi
sino por sus alumnos era otra Cuando se cumplioacute el 45 aniversario
de la publicacioacuten del trabajo principal de Jacobi Nuevos
fundamentos de las funciones eliacutepticas (1829) se realizoacute en Berliacuten
un acto de conmemoracioacuten El discurso de homenaje se le asignoacute al
profesor Karl Borchardt uno de los principales alumnos de Jacobi
Borchardt era ademaacutes desde 1855 el sucesor de Crelle como editor
de la Revista de matemaacuteticas puras y aplicadas donde se habiacutean
publicado los principales artiacuteculos de ambos contendientes Entre
otras cosas Borchardt dice que
ldquoNinguacuten geoacutemetra que compare las publicaciones de Abel y
Jacobi puede dudar de que los dos al mismo tiempo e
independientemente estaban en posesioacuten de la teoriacutea de
funciones eliacutepticas en su totalidad
El romaacutentico noacuterdico Abel wwwlibrosmaravillososcom Carlos Saacutenchez y Teresita Noriega
163 Preparado por Patricio Barros
Estaba presente en el acto un joven sueco que realizaba estudios de
postgrado con Karl Weierstrass y a este joven le parecioacute que se le
otorgaba poca importancia a los trabajos de Abel que era su
coterraacuteneo si se tiene en cuenta que desde 1814 Noruega dependiacutea
de la corona sueca Aquel joven quedoacute molesto con aquellas
palabras irreverentes hacia Abel y cuando en el invierno del
siguiente antildeo (1875-76) se encontraba en Gotinga que teniacutea una de
las mejores bibliotecas de obras matemaacuteticas se decidioacute a hacer
una investigacioacuten para poner en orden sus ideas sobre el tema de
las funciones eliacutepticas No fue ninguna sorpresa para Goumlsta Mittag-
Lefiacuteler que asiacute se llamaba verificar que seguacuten los documentos
consultados era injusto el criterio tan categoacutericamente difundido en
Alemania de ldquoque los dos al mismo tiempo [] estaban en posesioacuten de
la teoriacutea de funciones eliacutepticas en realidad Abel se habiacutea
adelantado en varios antildeos a Jacobi
Mittag-Leffler se acordoacute de un profesor noruego de Cristianiacutea que
podiacutea dejar aclarado el asunto Inmediatamente escribioacute al profesor
Cari Bjerknes (1825-1903) para pedirle que revisara los
manuscritos y otros documentos de Abel accesibles solo en
Cristianiacutea y tratara de rectificar la injusticia Bjerknes realizoacute un
estudio profundo de la documentacioacuten conservada en la universidad
sobre los trabajos de Abel y alguacuten tiempo despueacutes le contestoacute a
Mittag-Leffler
ldquoAl principio estaba un poco contrariado con su carta pues me
pareciacutea que Lid era injusto con Jacobi Poco a poco mis
El romaacutentico noacuterdico Abel wwwlibrosmaravillososcom Carlos Saacutenchez y Teresita Noriega
164 Preparado por Patricio Barros
investigaciones me han conducido al resultado para mi
inesperado que Ud veraacute en mi exposicioacutenrdquo
Mittag-Leffler
Goumlsta Mittag-Leffler (1846-1927) nacioacute en Estocolmo y estudioacute
en la Universidad de Uppsala la maacutes antigua de Suecia
Perfeccionoacute sus conocimientos en Pariacutes y Berliacuten y fue profesor
en Estocolmo Sus trabajos fueron principalmente sobre teoriacutea
de funciones complejas Complemento la obra de sus maestros
Weierstrass y Hermite y logro que Sofiacutea Kowalevsky ocupase
una plaza de profesora en la Universidad de Estocolmo En
1882 creoacute la revista Acta mathematica que pronto ganoacute
prestigio internacional sobre todo por su gestioacuten como
divulgadora de la matemaacutetica
contemporaacutenea
Fue presidente de honor de la
Unioacuten Internacional de
Matemaacuteticos desde 1924 En el
centenario del nacimiento de
Abel Mittag-Leffler dedico un
nuacutemero de su revista a la
conmemoracioacuten y redactoacute una
breve biografiacutea que se publicoacute en
sueco (1903) y en franceacutes (1907)
Existe un instituto de
investigacioacuten cerca de Estocolmo que lleva su nombre
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165 Preparado por Patricio Barros
Cuatro antildeos maacutes tarde Bjerknes envioacute a Mittag-Leffler un
manuscrito con los resultados de sus investigaciones en forma de
una biografiacutea cientiacutefica de Abel Para Mittag-Leffler no fue muy
difiacutecil conseguir la edicioacuten y publicacioacuten en Estocolmo de aquella
obra que aparecioacute con el tiacutetulo de Niels Henrik Abel Panorama de
su vida y su accioacuten cientiacutefica (1880) No pasariacutea mucho tiempo para
que se tradujera al franceacutes (1885) y se divulgara en la comunidad
matemaacutetica occidental
Carl Bjerknes
Esta biografiacutea de Bjerknes fue durante mucho tiempo la obra maacutes
completa sobre la vida y la obra de Abel
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166 Preparado por Patricio Barros
Por el contrario el matemaacutetico alemaacuten Leo Koumlnigsberger (1837-
1921) admirador de la obra de Jacobi y que habiacutea trabajado en el
tema publicoacute en 1879 sobre la historia de la teoriacutea de las
trascendentes eliacutepticas en los antildeos 1826-1829 donde pretendiacutea
probar que ambos contendientes tuvieron iguales objetivos y
grandes logros cada uno desde su punto de vista y metodologiacutea
En este capiacutetulo recogemos con la mayor objetividad posible los
hechos reflejados en diferentes documentos sobre todo cartas que
involucran no solo a Abel y a Jacobi sino a todos los que como
Gauss Legendre y maacutes tarde Weierstrass tambieacuten colaboraron en
la construccioacuten de la soacutelida teoriacutea de las trascendentes eliacutepticas
Nuestro intereacutes principal no es demostrar la prioridad de Abel sino
sobre todo presentar de la forma maacutes comprensible y escueta
posible cuaacuteles fueron las aportaciones de cada uno y su significado
desde el punto de vista contemporaacuteneo
Pero antes trataremos de exponer sucintamente los aspectos
matemaacuteticos imprescindibles para valorar con justicia la obra de
ambos
sect Un difiacutecil problema en apariencia sencillo
Desde los trabajos de Euler se ha considerado que el anaacutelisis
matemaacutetico trata el estudio de las funciones Pero iquestcuaacuteles son las
funciones maacutes simples que estudia el anaacutelisis Sin duda las
algebraicas
Una funcioacuten algebraica es una funcioacuten y = f(x) que satisface la
ecuacioacuten polinoacutemica en las dos variables (x y) siguiente
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167 Preparado por Patricio Barros
Pn(xy) = p0(x)yn + p1(x)yn-1 +hellip+ pn-1(x)y + pn(x) = 0 ()
donde los pk(x) k = 0 1 2laquo son polinomios de la variable x Por
ejemplo las funciones
estaacuten asociadas respectivamente a los polinomios siguientes
A las funciones que no son algebraicas se les llama comuacutenmente
funciones trascendentes No es faacutecil probar que una funcioacuten dada es
trascendente Para ello debe probarse que no existe ninguacuten
polinomio en dos variables del tipo () que la define Se sabe que las
funciones trigonomeacutetricas y sus inversas son trascendentes asiacute
como las exponenciales y sus inversas las logariacutetmicas Estas son
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168 Preparado por Patricio Barros
las funciones que se estudian en el bachillerato ademaacutes de las
algebraicas a todas ellas las llamamos funciones elementales
Pero en anaacutelisis matemaacutetico nos hace falta manipular esas
funciones elementales Por manipular entendemos operar con ellas
iquestCon queacute operaciones Pues las operaciones que se admiten en los
caacutelculos analiacuteticos como son las operaciones algebraicas la suma
el producto el cociente (siempre que sea posible) la composicioacuten y
la inversioacuten (siempre que sea vaacutelida) Y por supuesto tambieacuten la
derivacioacuten y la integracioacuten
Como se puede comprobar directamente de la definicioacuten () las
operaciones algebraicas y la composicioacuten y la inversioacuten con
funciones algebraicas producen funciones algebraicas inclusive la
funcioacuten derivada de toda funcioacuten algebraica es tambieacuten una funcioacuten
algebraica Pero existen funciones trascendentes cuyas derivadas
son funciones algebraicas Esto uacuteltimo es equivalente a decir que
las integrales de las funciones algebraicas no siempre son funciones
algebraicas
Por ejemplo
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169 Preparado por Patricio Barros
Pero tambieacuten aparecen otras funciones como por ejemplo
Ni F(t) ni G(t) para k diferente de 0 y 1 son funciones elementales
no obstante ser las dos funciones subintegrales algebraicas y
bastante sencillas
Diferentes matemaacuteticos sobre todo a partir de la obra de Euler
buscaron demostrar queacute integrales de funciones algebraicas son
funciones elementales Uno de los primeros resultados hallados fue
que toda funcioacuten racional R(x) = P(x)Q(x) donde P(x) y Q(x) son
polinomios es integrable en funciones elementales Concretamente
ya en el siglo XVIII antes de Euler se sabiacutea que la integral de la
funcioacuten R(x) en todo intervalo que no contiene ceros del
denominador Q(x) o es otra funcioacuten racional o un logaritmo o la
funcioacuten inversa de la tangente aplicada a una cierta expresioacuten
racional
Euler demostroacute que la integral de toda expresioacuten del tipo
donde como antes R denota una funcioacuten racional pero ahora de
dos variables (x y) ligadas por la relacioacuten algebraica
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170 Preparado por Patricio Barros
y2 = a0x2 + a1x + a2
es reducible con transformaciones algebraicas a la integral de una
expresioacuten racional P(x)Q(x)
Por tanto tales expresiones son integrables en funciones
elementales Por ejemplo
resultado que el lector puede comprobar derivando las funciones del
segundo teacutermino
Enseguida Euler y otros matemaacuteticos trataron de encontrar
resultados semejantes para integrandos del tipo
cuando n es mayor o igual que 3
Pero este tema resultoacute muy rebelde y no se dejoacute someter con las
mismas mantildeas Asiacute que fue necesario precisar conceptos e
introducir otras herramientas maacutes efectivas
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171 Preparado por Patricio Barros
sect La clasificacioacuten de los bichos admisibles
Si llamamos funciones admisibles a todas aquellas que se obtienen
de las algebraicas usando solo las operaciones algebraicas la
composicioacuten la inversioacuten y ademaacutes las operaciones de derivacioacuten
e integracioacuten aplicadas solo a funciones algebraicas obtenemos
todas las funciones conocidas en la ensentildeanza secundaria las
elementales y muchas otras desconocidas
Por ejemplo
es admisible aunque no es algebraica ni es elemental mientras
que
no es admisible porque la funcioacuten subintegral no es algebraica
La cuestioacuten es iquestcuaacuteles son estas otras funciones admisibles que no
son elementales iquestQueacute propiedades las caracterizan No hay que
ser muy sagaz para darse cuenta que la clase de las funciones
elementales es una clase muy restringida dentro de las funciones
que hemos llamado admisibles Y que una funcioacuten admisible no
elemental puede ser un bicho muy extravagante y grotesco Por eso
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172 Preparado por Patricio Barros
tenemos que clasificar estos bichos y estudiar primero aquellos
cuyas propiedades sean semejantes a los que ordinariamente ya
conocemos como los bichos circulares (las funciones trigonomeacutetricas
y sus inversas relacionadas con el ciacuterculo unidad) o los bichos
hiperboacutelicos (las funciones relacionadas con hipeacuterbolas como las
logariacutetmicas y sus inversas las exponenciales)
Ejemplos elementales de bicho circular asociado a la circunferencia
x2 + y2 = 1 y de bicho hiperboacutelico asociado a la hipeacuterbola zy = 1 son
sect Otros bichos hiperboacutelicos
Sea
Se comprueba por derivacioacuten que
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173 Preparado por Patricio Barros
Por tanto
Si restamos teacutermino a teacutermino la segunda igualdad de la primera
obtenemos
A esta nueva funcioacuten admisible se le llama seno hiperboacutelico De
forma similar se define el coseno hiperboacutelico
Se comprueba faacutecilmente que cosh2(x) - senh2(x) = 1
A fin de cuentas hemos definido el seno hiperboacutelico como la funcioacuten
inversa de la funcioacuten integral
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174 Preparado por Patricio Barros
Aquiacute el integrando es una funcioacuten racional simple
donde las dos variables estaacuten ligadas algebraicamente por la
relacioacuten hiperboacutelica z2 - y2 = 1
Obseacutervese la analogiacutea con los bichos circulares asociados a la
relacioacuten circular z2 + y2 = 1
Entre los bichos admisibles maacutes sencillos estaacuten las funciones
eliacutepticas que se obtienen por la inversioacuten de las integrales eliacutepticas
Una integral eliacuteptica es una integral de la forma intR(xy)dx donde R
es una funcioacuten racional de las variables x y ligadas
algebraicamente por y = radicP(x) donde P(x) es un polinomio de grado 4
(oacute 3) sin ceros muacuteltiples Es claro que R(xy) es una funcioacuten
algebraica
La longitud de un arco de elipse
El nombre de integr al eliacuteptica se relaciona con el problema de
la rectificacioacuten de un arco de elipse en eacutel aparece un caso
simple de este tipo de integral
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175 Preparado por Patricio Barros
donde a y b son los semiejes de la elipse
El caacutelculo de la longitud de un arco de elipse fue intentado por
Wallis en 1655 Al resistirse la integral al caacutelculo en funciones
elementales Newton (1669) Euler (1733) y Maclaurin (1742)
entre otros usaron desarrollos en series de potencias de la
funcioacuten algebraica para hallar valores numeacutericos aproximados
de la funcioacuten integral
sect Las funciones lemniscaacuteticas
Las integrales eliacutepticas son las integrales de funciones algebraicas
maacutes simples que no son expresables en teacuterminos de funciones
elementales son las funciones admisibles maacutes cercanas a las
circulares e hiperboacutelicas y tienen muchas propiedades semejantes a
eacutestas Ademaacutes de encontrarse en problemas que se reducen a la
rectificacioacuten de arcos de elipses e hipeacuterbolas tales integrales se
encontraron en diferentes problemas tratados en los inicios del
caacutelculo como en el problema de la determinacioacuten del periodo de un
peacutendulo simple en la determinacioacuten de la llamada curva elaacutestica y
en algunos de los famosos desafiacuteos lanzados por geoacutemetras de la
eacutepoca Jacob Bernoulli por ejemplo atendiendo un desafiacuteo de
Leibniz de 1689 encontroacute que la longitud de un arco de lemniscata
puede expresarse por la llamada integral lemniscaacutetica
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176 Preparado por Patricio Barros
λ(x) es una integral trascendente eliacuteptica manipulable mucho mejor
que la obtenida en la rectificacioacuten de la elipse A la funcioacuten inversa
sl (y) de esta integral lemniscaacutetica se le llama seno lemniscaacutetico por
analogiacutea con el seno circular
Numerosas propiedades de las integrales eliacutepticas fueron
encontradas en primer lugar para la integral lemniscaacutetica y
despueacutes extendidas a integrales eliacutepticas maacutes generales
Consideremos la lemniscata canoacutenica que en coordenadas polares
se expresa por
r2 = sen 2θ 0 lt θ lt 2π
Si la longitud de la lemniscata es 2w entonces el nuacutemero
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177 Preparado por Patricio Barros
mide un cuarto de la longitud de la lemniscata canoacutenica y
sl(ω2) = 1
Euler encontroacute 6 cifras decimales de este nuacutemero Gauss encontroacute
24 pero que este nuacutemero es trascendente como
solo se pudo demostrar en 1930
Dada la definicioacuten de ω y la caracteriacutestica de la lemniscata canoacutenica
el seno lemniscaacutetico tiene periodo 2ω En el intervalo 0 lt y lt 2ω la
funcioacuten asume todos los valores del intervalo [-11] y ademaacutes sl(y)
es impar
Tambieacuten por analogiacutea con las circulares se define el coseno
lemuiscaacutetico
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178 Preparado por Patricio Barros
Por tanto
El coseno lemniscaacutetico es de periodo 2ω pero a diferencia del seno
lemniscaacutetico es par
Aunque varios sabios del siglo XVIII se interesaron por las integrales
eliacutepticas las obras que influyeron decisivamente en Abel y Jacobi
son las de Euler y Legendre Los resultados maacutes importantes que
halloacute Euler son conocidos como foacutermulas de adicioacuten para las
integrales eliacutepticas
Leonhard Euler ademaacutes generalizoacute para las integrales eliacutepticas
muchos de los resultados hallados anteriormente para el caso de la
integral lemniscaacutetica y tratoacute de extender sus resultados a casos en
que bajo el radical se tienen polinomios de grado superior a cuatro
pero sus meacutetodos no eran generalizables Euler llamoacute la atencioacuten
sobre la analogiacutea entre las integrales eliacutepticas y las integrales para
las funciones trigonomeacutetricas inversas Sin embargo Euler en
ninguacuten momento tratoacute con las inversas de aquellas funciones
definidas por integrales eliacutepticas
El siguiente paso hacia la sistematizacioacuten de una teoriacutea seraacute dado
por Legendre quieacuten motivado por los trabajos de Euler se dedicaraacute
a forjar la obra definitiva sobre integrales eliacutepticas
Foacutermulas de adicioacuten para funciones circulares
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179 Preparado por Patricio Barros
hiperboacutelicas y lemniscaacuteticas
Las foacutermulas de adicioacuten expresan algebraicamente el valor de
la funcioacuten de la suma de dos argumentos a traveacutes de los
valores de esta misma funcioacuten para cada uno de los
sumandos por ejemplo
Para el seno circular
Para la funcioacuten exponencial
exp(120572 + 120573) = exp(120572) times exp(120573)
Para el seno hiperboacutelico
Para el seno lemniscaacutetico
Obseacutervese que a diferencia de las formulas de adicioacuten para el
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180 Preparado por Patricio Barros
seno circular y el seno hiperboacutelico en el caso del seno
lemniscaacutetico aparece un denominador que se anula para
ciertos valores de α y β que por tanto deja de definir en tales
puntos a la funcioacuten sl(α) Esta es una caracteriacutestica general de
las funciones eliacutepticas que seraacute explorada por Abel y por
Jacobi
En 1793 se publica en Pariacutes la ldquoMemoria sobre las trascendentes
eliacutepticas de Legendre donde se clasifican las integrales eliacutepticas en
tres tipos canoacutenicos
Donde los paraacutemetros cumplen 0 lt φ lt π2 0 lt k lt 1
Se le llama a φ amplitud de la integral y a k su moacutedulo
Legendre demostroacute que toda otra integral eliacuteptica puede reducirse a
traveacutes de operaciones algebraicas o por composicioacuten de cambios de
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181 Preparado por Patricio Barros
variables a una combinacioacuten algebraica de los tres tipos canoacutenicos
Es decir que el estudio general de las integrales eliacutepticas se puede
restringir a investigar las propiedades de estos tres tipos canoacutenicos
Los resultados de Legendre se expusieron de forma extensa y
sistemaacutetica en sus Ejercicios de caacutelculo integral en tres voluacutemenes
(1811 1817 y 1826) y en su obra principal el Tratado de las
funciones eliacutepticas en 2 gruesos voluacutemenes aparecidos en 1825 y
1826 respectivamente Este tratado resume la obra de todos sus
predecesores enuncia una cantidad increiacuteble de resultados
originales y se presenta con un orden riguroso y didaacutectico
Resultados de Gauss sobre funciones lemniscaacuteticas en el
plano complejo
El lector debe aceptar que tambieacuten es aplicable a integrales
de funciones algebraicas la conocida regla de sustitucioacuten de la
variable bajo el signo integral lo cual no es cierto para
cualquier tipo de sustitucioacuten pero es vaacutelido en los casos
simples que veremos a continuacioacuten sea
si hacemos la sustitucioacuten t = - iw es decir w = it obtenernos dt
= - idw
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182 Preparado por Patricio Barros
Si pasamos a las funciones inversas deducimos
[z = sl(y) iz = sl(iy)] rarr [sl(iy) = isl(y)]
Utilizando la foacutermula de adicioacuten para el seno lemniscaacutetico
obtenemos
donde u = sl(x) y v = sl(y)
La foacutermula similar del seno circularse deduce faacutecilmente si
recordamos las propiedades de las funciones hiperboacutelicas
si comparamos ambas foacutermulas enseguida encontrarnos dos
diferencias fundamentales
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183 Preparado por Patricio Barros
1 El sen(x + iy) es una funcioacuten entera es decir no tiene
singularidades en ninguacuten punto del plano complejo mientras
que sl(x + iy) se define por un cociente cuyo denominador se
anula en infinitos puntos donde u = plusmn 1 y v = plusmn 1 Estos
puntos se llaman polos y a la funcioacuten seno lemniscaacutetico por
tener solo tales singularidades en el plano complejo se le dice
meromorfa del griego mero (fraccioacuten) y morfa (forma) es decir
con forma de fraccioacuten
2 La funcioacuten seno circular tiene solamente un periodo
primitivo 2π En cambio la funcioacuten seno lemniscaacutetico tiene
tanto el periodo real 2ω como el periodo imaginario 2iω como
primitivos independientes y se demuestra que cualquier
combinacioacuten del tipo 2mω + n(w + iω) para m y n nuacutemeros
enteros es un periodo (ademaacutes que estos son los uacutenicos
periodos del seno lemniscaacutetico)
Sin embargo Legendre no consiguioacute comprender lo necesario para
dar el salto cualitativo correspondiente la consideracioacuten de las
funciones inversas de las funciones integrales
Algunos historiadores dicen que Euler ya se percatoacute de la mayor
importancia de las inversas de las integrales eliacutepticas pero hasta
ahora parece ser Gauss el primero en darse cuenta de considerar
estas funciones inversas Sin embargo como era su costumbre
Gauss no se preocupoacute de difundir sus resultados
Como aparece en su Diario en 1797 con solo 19 antildeos Gauss
definioacute el seno y coseno lemniscaacuteticos no solo para valores reales
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184 Preparado por Patricio Barros
sino tambieacuten para valores complejos Pero estos resultados y otros
similares se publicaron solo despueacutes de su muerte en 1855 y no
tuvieron al menos al principio ninguna influencia en la
constitucioacuten de la teoriacutea de funciones eliacutepticas
Los que ganaraacuten el meacuterito de abrir una nueva liacutenea de investigacioacuten
con funciones admisibles especiales las funciones inversas de las
integrales eliacutepticas seraacuten Niels Abel y Carl Jacobi Como meacuterito de
Legendre debemos anotar que cuando supo de los trabajos de
ambos los elogioacute con mucha humildad y escribioacute tres suplementos
a su Tratado de las trascendentes eliacutepticas en los que describioacute con
admiracioacuten las nuevas Ideas
En resumen
Las funciones eliacutepticas son las inversas de las trascendentes
integrales definidas por donde R(x y) es una funcioacuten racional de las
dos variables y los coeficientes a1 son tales que a0 o a1 son
diferentes de cero y el polinomio subradical no tiene raiacuteces dobles
Seguacuten los documentos conservados y conocidos hasta el momento
antes que Abel y Jacobi solo Gauss tratoacute las funciones eliacutepticas
sobre todo en un caso particular el seno y el coseno lemniscaacuteticos
funciones inversas de las integrales lemniscaacuteticas del tipo
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185 Preparado por Patricio Barros
Estos trabajos de Gauss eran desconocidos tanto por Abel como por
Jacobi que se basaron fundamentalmente en los trabajos de Euler
y Legendre
Ademaacutes tanto Abel como Jacobi se interesaron no solo por
establecer una teoriacutea general de las funciones eliacutepticas sino
tambieacuten por extender esta teoriacutea a integrales hiperelipticas es decir
aquellas donde el polinomio subradical es de grado mayor que 4 A
estas integrales hipereliacutepticas y a sus funciones inversas suele
llamaacuterseles hoy integrales abelianas y funciones abelianas a
propuesta del propio Jacobi como justo homenaje a quien primero
las estudioacute en profundidad
iquestPero coacutemo se construyoacute esta teoriacutea iquestCuaacuteles fueron las
aportaciones principales de Abel y Jacobi iquestEn queacute momento lo
hicieron iquestQueacute significado tienen hoy sus logros A responder a
estas preguntas nos dedicaremos a continuacioacuten
sect Abel versus Jacobi
Recordemos que en 1821 Abel creiacutea haber encontrado la foacutermula de
solucioacuten de la quiacutentica y que los profesores de matemaacuteticas de
Cristianiacutea no consiguieron detectar el error y decidieron enviar el
trabajo a Copenhague donde residiacutea el matemaacutetico maacutes prestigioso
de Escandinavia Ferdinand Degen Fue eacuteste quien primero le
recomendoacute a Abel estudiar las trascendentes eliacutepticas en lugar de
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186 Preparado por Patricio Barros
continuar con la quiacutentica asunto que Degen consideraba muy aacuterido
y poco estimulante El mismo Degen le entregoacute un manuscrito con
un teorema que habiacutea encontrado sobre la trasformacioacuten de las
integrales eliacutepticas
La primera referencia a resultados propios de Abel la tenemos dos
antildeos despueacutes en una carta a Holmboeuml de agosto de 1823 En ella
dice que con la ayuda de Degen ha encontrado un error en una
pequentildea memoria que trata sobre las funciones inversas a las
trascendentes eliacutepticas (memoria que no es publicada mientras vive
Abel pero que se ha incluido en la segunda edicioacuten de sus Obras
completas)
Pasados otros dos antildeos precisamente en agosto de 1825 poco
antes de partir de viaje a Alemania y Francia Abel comunica a
Hansteen que la parte principal de la teoriacutea de las trascendentes
eliacutepticas estaacute preparada para su publicacioacuten
Durante el viaje en abril de 1826 Abel le dice a Holmboeuml que en su
estancia de un mes en la tranquila Freiberg en Sajonia ha
redactado una memoria con sus ideas sobre las funciones eliacutepticas
y que la espera publicar en Pariacutes
De nuevo volvemos a oiacuter hablar de la ldquoMemoriardquo en una carta a
Holmboeuml del 24 de octubre de 1826 Aquiacute dice que la ha entregado a
Cauchy y que eacuteste la ha mirado desdentildeosamente sin decir palabra
El 30 de octubre es presentada en Pariacutes por Fourier la monografiacutea
de Abel ldquoMemoria sobre una propiedad general de una clase muy
amplia de funciones trascendentesrdquo Son casi 70 paacuteginas de
resultados con sus respectivas demostraciones que como hemos
El romaacutentico noacuterdico Abel wwwlibrosmaravillososcom Carlos Saacutenchez y Teresita Noriega
187 Preparado por Patricio Barros
dicho anteriormente tuvieron un destino muy errante y no se
publicariacutean hasta 1841
Como parece ser su punto de vista desde el comienzo de sus
investigaciones originales Abel pone eacutenfasis en el caso maacutes general
de integrales que hoy se llaman integrales abelianas Eacutestas son las
integrales de la forma intR(xy)dx donde R es una funcioacuten racional de
dos variables (xy) ligadas por una ecuacioacuten algebraica general
a(xy) = yn + p1(x)yn-1 ++ pn-1(x)y + pn(x) = 0
Abel logroacute establecer un teorema de adicioacuten que generaliza de
manera natural el enunciado que habiacutea dado Euler para las
integrales eliacutepticas Despueacutes de exponer los principios generales de
la teoriacutea estudia el caso particular de las integrales hipereliacutepticas
a(xy) = y2 ndash P(x)
donde P(x) es un polinomio de grado arbitrario siempre mayor que 4
(tomo 1 de las Obras completas pp 444-456)
La primera publicacioacuten de los logros de Abel redactada despueacutes de
la ldquoMemoriardquo antes mencionada y su obra maacutes importante sobre las
funciones eliacutepticas es ldquoInvestigaciones sobre las funciones eliacutepticasrdquo
publicada en dos partes En una carta a Holmboeuml de marzo de
1827 estando en Berliacuten le dice que tiene terminada la primera
parte de maacutes de 120 paacuteginas y que la entregaraacute a Crelle para su
revista Al fin se la entrega en mayo y apareceraacute publicada en
El romaacutentico noacuterdico Abel wwwlibrosmaravillososcom Carlos Saacutenchez y Teresita Noriega
188 Preparado por Patricio Barros
septiembre Esta es la primera vez que encontramos publicado el
principio de inversioacuten que aparentemente y seguacuten nos dice
Bjerknes dominaba al menos desde 1823
Jacobi por su parte ha dado sus primeros pasos en la teoriacutea de las
trascendentes eliacutepticas bastante maacutes tarde en marzo de 1827
seguacuten se deduce de una carta enviada a Legendre el 9 de septiembre
de 1828 donde le dice ldquoEstoy un poco causado de este tema que me
ha ocupado durante 18 meses casi todo el diacutea y la nocherdquo
Afortunadamente se repuso raacutepidamente del cansancio pues este
tema seraacute muy frecuentado por Jacobi durante casi 20 antildeos hasta
poco antes de su muerte en 1851
Fue tambieacuten en septiembre de 1827 el mismo mes en que aparecioacute
la primera publicacioacuten de Abel cuando en unas ldquoNotas sobre las
trascendentes eliacutepticasrdquo publicadas en el Journal de Schumacher
Jacobi anuncioacute puacuteblicamente sus logros Es solo una paacutegina y no
tiene demostraciones Seguacuten aparece sentildealado Jacobi lo envioacute el 13
de junio y prometioacute enviar las demostraciones en otro artiacuteculo
posterior Lo cumple dos meses despueacutes en agosto pero no aparece
publicado hasta diciembre con el tiacutetulo ldquoSobre las transformaciones
racionales de las trascendentes eliacutepticasrdquo Son 8 paacuteginas contando a
las demostraciones La idea de la inversioacuten estaacute impliacutecita pero no
expuesta con la merecida importancia
El primer trabajo de Jacobi debe haber llegado a Cristianiacutea no antes
de octubre o noviembre y el segundo por las condiciones climaacuteticas
del invierno noacuterdico no antes de abril de 1828 Abel no sospechaba
del duelo de ideas que se habiacutea iniciado entre eacutel y Jacobi Por
El romaacutentico noacuterdico Abel wwwlibrosmaravillososcom Carlos Saacutenchez y Teresita Noriega
189 Preparado por Patricio Barros
consiguiente no se sintioacute apremiado en la publicacioacuten de la
segunda parte de sus ldquoInvestigacionesrdquo y no la envioacute a Crelle hasta
el 12 de febrero de 1828 En el tiempo transcurrido entre la primera
y la segunda parte Jacobi ademaacutes de su memoria de diciembre
escribioacute una cortiacutesima nota de una paacutegina con fecha 25 de enero
1828 ldquoSuplemento a la memoria de Abelrdquo cuyo objetivo es hacer
una simplificacioacuten en la transformacioacuten usada por Abel
En abril de 1828 Abel es ya consciente de la competencia con Jacobi
sobre el tema de las funciones eliacutepticas y por eso decide enviar
raacutepidamente a Crelle todos sus resultados Lo primero que hace el
20 de abril es enviar a Schumacher un artiacuteculo que considera
mortificaraacute a Jacobi porque expone en forma maacutes clara y exhaustiva
los resultados sobre las transformaciones que este habiacutea anunciado
en el Journal de Schumacher Este importante trabajo se titula
ldquoSolucioacuten de un problema general concerniente a la transformacioacuten
de las funciones eliacutepticasrdquo Maacutes adelante enviacutea un suplemento de 12
paacuteginas ldquoSuplemento a la memoria anteriorrdquo En total 37 paacuteginas
donde expone detalladamente sus meacutetodos de transformacioacuten de
funciones integrales y de sus inversas
Por su parte Jacobi aunque ya en el artiacuteculo de diciembre 1827
habiacutea publicado sus ideas sobre la consideracioacuten de las funciones
eliacutepticas como inversas de las integrales no es hasta 1829 cuando
publica su obra clave Nuevos fundamentos de las funciones elipticas
que se convertiraacute raacutepidamente en una referencia claacutesica sobre este
tipo de funciones
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190 Preparado por Patricio Barros
Las funciones eliacutepticas sn cn y dn de Jacobi
Jacobi en sus Nuevos fundamentos de las funciones eliacutepticas
introdujo para la amplitud la notacioacuten φ = am u y definioacute
y
Estas notaciones serian abreviadas y usadas hasta hoy corno
siacutembolos de las funciones eliacutepticas a veces con el apellido de
Jacobi
sn u = sen φ cn u = cos φ dn u = Δ(φk)
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191 Preparado por Patricio Barros
Para ellas se cumplen las relaciones fundamentales
sn2 u + cn2 u = 1
dn2 u + k2sn2 u = 1
De esta manera se definen para valores reales las funciones
eliacutepticas sn cn y dn
Abel no la pudo leer porque aparecioacute cinco meses despueacutes de que
entrara en la fase criacutetica de su tuberculosis y seis semanas despueacutes
de su muerte Pero si hubiera podido leerla seguro que la hubiera
valorado justamente pues teniacutea en alta estima la obra de Jacobi el
uacutenico que ha sabido comprenderme Ademaacutes los Nuevos
fundamentos de las funciones eliacutepticas comienzan con un elogio a
Abel atribuyeacutendole con honestidad las foacutermulas de adicioacuten y de
multiplicacioacuten y remitiendo al lector a ldquoInvestigaciones sobre las
funciones eliacutepticasrdquo publicada en el Journal de Crelle Como un eco
de las palabras pronunciadas por Legendre con relacioacuten a Abel lo
califica como ldquonostra laude majorerdquo
La siguiente idea desarrollada en primer lugar por Abel fue definir
las funciones eliacutepticas para valores complejos Para ello faltaba
tener foacutermulas de adicioacuten similares a las encontradas por Euler
para las integrales eliacutepticas Seguacuten Bjerknes Abel estaba en
posesioacuten de estas foacutermulas a finales de 1824 o como maacuteximo en
1825 antes de su viaje por Europa y lo demuestra en su memoria
de Pariacutes pero al no haber sido publicada no teniacutea valor en su duelo
El romaacutentico noacuterdico Abel wwwlibrosmaravillososcom Carlos Saacutenchez y Teresita Noriega
192 Preparado por Patricio Barros
con Jacobi Asiacute que Abel necesitaba publicar las foacutermulas de adicioacuten
para las funciones inversas de las trascendentes eliacutepticas
Como sentildealamos arriba Abel estaacute gravemente enfermo Guarda
reposo y en periodos intermitentes de mejoriacutea trabaja
obsesivamente como si supiera que no le queda mucho de vida En
tales condiciones enviacutea a Crelle cuatro artiacuteculos maacutes que se
publican entre septiembre y diciembre de 1828 y otros tres entre
febrero y abril de 1829 El uacuteltimo de ellos es la ampliacioacuten de una
parte de la memoria perdida en Pariacutes
En la que seriacutea su uacuteltima morada en Froland ya bastante debilitado
por su mortal enfermedad logra hacer la redaccioacuten final y enviar a
Crelle exactamente el 6 de enero de 1829 la foacutermula de adicioacuten
debidamente demostrada y le dice
Me propongo desarrollar en otra ocasioacuten las numerosas
aplicaciones de este teorema que mostraraacuten la naturaleza de
estas junciones trascendentes
Este artiacuteculo se conoce como el testamento cientiacutefico de Abel y se
titula ldquoDemostracioacuten de una propiedad general de una cierta clase
de funciones trascendentesrdquo
Pero Abel no ceja de batallar y continuacutea con un compendio de la
teoriacutea general de las funciones eliacutepticas e hipereliacutepticas No sabemos
cuando lo culminoacute o si realmente fue su amigo Holmboeuml quieacuten
reunioacute sus notas daacutendoles la redaccioacuten final para que saliera
publicado en los nuacutemeros 3 y 4 del Journal de Crelle es decir entre
septiembre y diciembre de 1829 varios meses despueacutes de la muerte
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193 Preparado por Patricio Barros
de Abel Son maacutes de 100 paacuteginas de resultados bajo el tiacutetulo de
ldquoResumen de una teoriacutea de las funciones eliacutepticas que seguacuten el
matemaacutetico franceacutes Charles Hermite representariacutea para sus
seguidores trabajo para un siglo
La doble periodicidad de las funciones
Desarrollamos con la notacioacuten actual que no es de Abel ni
tampoco de Jacobi algunas de las ideas principales de Abel
en el caso del seno eliacuteptico definido como la funcioacuten inversa de
Primero Abel halloacute la foacutermula de adicioacuten del seno eliacuteptico para
u y v reales
Despueacutes encontroacute la foacutermula para valores imaginarios
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194 Preparado por Patricio Barros
A partir de estas foacutermulas encuentra sn(u + iv)
Con mucha habilidad de caacutelculo Abel encuentra uno de los
resultados principales de la teoriacutea de las funciones eliacutepticas A
semejanza de las funciones circulares las funciones eliacutepticas
son perioacutedicas pero a diferencia de aquellas sus periodos son
dos uno en la direccioacuten del eje real y otro en la direccioacuten del
eje imaginario (como ocurre en particular con las funciones
lemniscaacuteticas) Abel halla las relaciones de periodicidad
siguientes
El romaacutentico noacuterdico Abel wwwlibrosmaravillososcom Carlos Saacutenchez y Teresita Noriega
195 Preparado por Patricio Barros
k‟ es un nuacutemero tal que k‟2 + k2= 1 0 lt k‟lt 1 Los nuacutemeros
reales K y K‟ expresan la periodicidad de estas funciones
cuando la variable toma valores reales o imaginarios puros
respectivamente Realmente cualquier nuacutemero complejo de la
forma 4Km + 2iK‟n donde m y n son enteros cualesquiera es
un periodo del seno eliacuteptico y se demuestra que tales nuacutemeros
abarcan todos los periodos posibles de sn(u) Los periacuteodos 4K
y 2iK se denominan periodos primitivos ya que cualquier otro
periodo se expresa como combinacioacuten en enteros de ellos
Anaacutelogamente se puede demostrar que cn(u) es una funcioacuten
con los periodos primitivos 4K y 2K + 2iK‟ mientras que dn(u)
tiene los periodos primitivos 2K y 4iK‟
El resultado fundamental de Abel se enuncia diciendo que
todas las funciones eliacutepticas son doblemente perioacutedicas en el
campo complejo Luego es suficiente estudiarlas en un
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196 Preparado por Patricio Barros
paralelo- gramo del plano Pero Abel no se detuvo aquiacute en sus
estudios de las propiedades de las funciones elipticas
tambieacuten encontroacute todos los ceros y las singularidades de las
mismas Es decir halloacute los puntos del plano complejo donde
estas funciones se anulan y donde dejan de ser continuas y
demostroacute que las uacutenicas singularidades son de tipo polar es
decir que las singularidades son puntos en cuya vecindad la
funcioacuten tiende a oo tales puntos se llaman polos A las
funciones de variable compleja que solo tienen singularidades
de tipo polar en el plano complejo se les llama meromorfas Asiacute
que si usamos la terminologiacutea actual del anaacutelisis complejo
Abel proboacute que las funciones eliacutepticas son funciones
meromorfas doblemente perioacutedicas
Posteriormente el matemaacutetico franceacutes Joseph Liouville
redondearaacute estos resultados de Abel junto a otros de Jacobi
en una elegante teoriacutea de funciones complejas especiales
Es cierto que muchos de los resultados de Abel fueron encontrados
por Jacobi de manera independiente aunque no simultaacutenea y que
ambos mantuvieron una amistosa competencia en la obtencioacuten de
otras relaciones anaacutelogas a las conocidas para las funciones
circulares Pero la prematura muerte de Abel en 1829 cedioacute el paso
a Jacobi quieacuten pronto se hizo famoso por la maestriacutea que mostraba
en sus conferencias sobre funciones eliacutepticas En su favor hemos de
decir que siempre se preocupoacute de que a Abel le otorgaran el meacuterito
correspondiente y que abrigoacute la esperanza de que la Universidad de
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197 Preparado por Patricio Barros
Berliacuten le concediera a Abel una plaza de profesor pero cuando lo
logroacute fue demasiado tarde
En una carta a Legendre del 14 de junio de 1829 Jacobi se refiere a
Abel
Pocos diacuteas despueacutes del enviacuteo de mi uacuteltima carta he conocido la
triste noticia de la muerte de Abel Nuestro gobierno le habiacutea
llamado a Berliacuten pero la llamada no lo ha encontrado entre los
vivos iexclHa sido cruelmente frustrada la esperanza que yo habiacutea
concebido de encontrarle en Berliacuten Los vastos problemas que eacutel
se habiacutea propuesto de establecer criterios necesarios y
suficientes para que una ecuacioacuten algebraica cualquiera sea
resoluble de que una integral cualquiera pudiese ser expresada
en cantidades finitas su invencioacuten admirable de la propiedad
general que engloba a todas las funciones que son integrales de
funciones algebraicas etc etc marcan un geacutenero de cuestiones
muy originales que nadie antes de eacutel habiacutea osado imaginar Eacutel
se ha ido iexclpero nos ha dejado un gran ejemplordquo
Por su parte despueacutes de los Nuevos fundamentos Jacobi decide
emprender un viaje parecido al de Abel primero a Pariacutes donde
conoce personalmente a Legendre y despueacutes a Gotinga donde se
encuentra con Gauss Eacuteste a traveacutes de los artiacuteculos que le enviaba
su amigo Schumacher conociacutea la obra de Jacobi pero se expresa
siempre con reservas hacia ella daacutendole mayor meacuterito a los trabajos
de Abel
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198 Preparado por Patricio Barros
Trabajos post-mortem de Abel
Despueacutes de su muerte los trabajos de Abel sobre las
trascendentes abelianas continuaron publicaacutendose con la
colaboracioacuten de Holmboeuml y Crelle Fueron publicados los
siguientes
1832 ldquoConsideraciones generales sobre las transcendentes
abelianasrdquo Journal de Crelle 3
Proviene de un manuscrito ineacutedito donde Abel en sus pocos
uacuteltimos momentos de sosiego recoge algunos de los
resultados de la Memoria de Pariacutes para que no se pierdan con
su muerte
1835 ldquoSobre las funciones tetraperioacutedicas de dos variables a
las cuales conlleva la teoriacutea de las funciones trascendentes
abelianasrdquo Journal de Crelle 2
Aquiacute demuestra que una funcioacuten eliacuteptica no puede tener maacutes
de dos periodos independientes y que su cociente es un
nuacutemero imaginario puro Ademaacutes trata la generalizacioacuten del
teorema de adicioacuten para funciones hipereliacutepticas
1839 Teoriacutea de las trascendentes eliacutepticas
Recopilacioacuten de manuscritos ineacuteditos de 1823-1825 bajo la
redaccioacuten de Holmboeuml para las Obras completas En ella se
desarrolla sobre todo la teoriacutea de las transformaciones y se
estudian exhaustivamente las reducciones de integrales
eliacutepticas En particular se demuestra que los tres tipos de
integrales canoacutenicas de Legendre no se reducen una a la otra
y que las integrales eliacutepticas no se pueden calcular por medio
El romaacutentico noacuterdico Abel wwwlibrosmaravillososcom Carlos Saacutenchez y Teresita Noriega
199 Preparado por Patricio Barros
de funciones algebraicas o por logaritmos de tales funciones
Valga notar que unos antildeos antes en 1833 Liouville habiacutea
conseguido demostrar que las integrales eliacutepticas no se
pueden calcular por funciones elementales algo de lo que
todos los matemaacuteticos estaban convencidos pero que ninguno
habiacutea publicado Abel y Jacobi tampoco
1841 ldquoMemoria sobre una propiedad general de una clase
muy amplia de las funciones trascendentesrdquo
Por fin se publica la que podiacutea haber sido la consagracioacuten de
Abel como fundador indiscutible de la teoriacutea de funciones
eliacutepticas e hipereliacutepticas en 1826
Jacobi regresaraacute a Koumlnigsberg en la primavera de 1830 y continuaraacute
sus investigaciones Asiacute se publican 3 artiacuteculos en 1831 sobre la
multiplicacioacuten y la divisioacuten de funciones eliacutepticas A partir de 1832
Jacobi trabaja con las integrales hipereliacutepticas llamaacutendolas
integrales abelianas y al teorema de adicioacuten correspondiente
teorema de Abel en memoria de su rival desaparecido
La aportacioacuten principal de Jacobi seraacuten las llamadas funciones theta
que introduce al menos desde 1835 como medio auxiliar para
representar todas las funciones eliacutepticas Ya hemos apuntado antes
que la representacioacuten para las funciones eliacutepticas es como una
fraccioacuten racional una funcioacuten meromorfa es decir como un
cociente de dos polinomios de grado infinito Pues a ciertos
polinomios particulares que conforman el numerador y el
denominador de las funciones eliacutepticas son los que Jacobi llamoacute
El romaacutentico noacuterdico Abel wwwlibrosmaravillososcom Carlos Saacutenchez y Teresita Noriega
200 Preparado por Patricio Barros
funciones dieta Jacobi hedioacute las representaciones en serie de
potencias de estas funciones theta y con solo cuatro de ellas logroacute
construir las representaciones analiacuteticas de todas las funciones
eliacutepticas Su trabajo basado en ideas desarrolladas en teoriacutea de
nuacutemeros por Euler alcanzoacute gran notoriedad y fue continuado
posteriormente por otros profesores alemanes Esta forma de
trabajo analiacutetico muy apegada a resultados de teoriacutea de nuacutemeros
es algo caracteriacutestico de las investigaciones dentro del contexto
universitario neohumanista alemaacuten
No nos detendremos aquiacute en el estudio de tales relaciones con la
teoriacutea de los nuacutemeros que aunque muy importantes para
comprender el desarrollo ulterior de la teoriacutea de funciones abelianas
y sus aplicaciones nos alejariacutean de nuestros objetivos Digamos
solamente que el estudio de las muy diversas formas de funciones
theta para las diferentes funciones abelianas constituyoacute una de las
principales actividades de los matemaacuteticos del siglo XIX
En un importante artiacuteculo publicado en la revista de la Academia de
Pariacutes basado en las brillantes clases sobre funciones eliacutepticas
impartidas en Berliacuten desde 1836 Jacobi demostroacute que toda funcioacuten
de una variable compleja (no solo las eliacutepticas) que para cualquier
valor del argumento tiene el comportamiento de una funcioacuten
racional no puede tener maacutes de dos periodos primitivos
independientes y el cociente de los dos periodos primitivos es
necesariamente un nuacutemero imaginario puro Este descubrimiento
abrioacute una nueva direccioacuten de trabajo sobre el estudio general de las
El romaacutentico noacuterdico Abel wwwlibrosmaravillososcom Carlos Saacutenchez y Teresita Noriega
201 Preparado por Patricio Barros
funciones de una variable compleja doblemente perioacutedicas clase a
la que en particular pertenecen las funciones eliacutepticas
Basaacutendose en las ideas de Abel y Jacobi Liouville desarrolloacute una
teoriacutea muy general de las funciones eliacutepticas Liouville prueba que
toda funcioacuten eliacuteptica no constante debe tener al menos dos polos y
que una funcioacuten entera (sin polos como un polinomio) doblemente
perioacutedica era necesariamente una constante Concluye de ahiacute que
una funcioacuten meromorfa doblemente perioacutedica tiene al menos dos
polos o un polo doble en el paralelogramo de los periodos Aunque
estos logros de Liouville no seriacutean publicados hasta 1879 ejercieron
una fuerte influencia principalmente en Charles Hermite (1822-
1901) que hizo notables aportes tanto a la teoriacutea general como a sus
aplicaciones Con estos resultados la teoriacutea de las funciones
eliacutepticas seraacute considerada como parte de la teoriacutea general de las
funciones meromorfas doblemente perioacutedicas en el plano complejo
Valga aclarar que ni Abel ni Jacobi ni tampoco Liouville utilizaron
en sus razonamientos la teoriacutea ya elaborada por Cauchy sobre las
funciones de variable compleja Cauchy sentencioacute al conocer de los
trabajos de Liouville que con el uso de su teoriacutea todos estos
resultados se hubieran obtenido de forma inmediata
pero esto no era completamente vaacutelido Los intentos de sistematizar
y generalizar la teoriacutea de funciones eliacutepticas estimularon la
introduccioacuten de nuevos enfoques muy diferentes a los de Cauchy
Liouville
Joseph Liouville (1809-1882) culminoacute sus estudios acadeacutemicos
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202 Preparado por Patricio Barros
en lEacutecole Polytechnique (1827) y en la Escuela de Puentes y
Caminos (1830) de Pariacutes Trabajo varios antildeos como ingeniero y
en 1833 comenzoacute a trabajar como profesor en l‟Eacutecole
Polytechnique
Sus intereses matemaacuteticos fueron vastiacutesimos teoriacutea de
nuacutemeros formas cuadraacuteticas geometriacutea diferencial funciones
eliacutepticas teoriacutea de funciones complejas ecuaciones
diferenciales problemas de contorno y mecaacutenica analiacutetica
entre otros temas Publicoacute cerca de 400 trabajos
Es famoso por su demostracioacuten de la existencia de nuacutemeros
trascendentes y por los estudios
sobre problemas de valores
propios En 1836 fundoacute y edito
durante muchos antildeos una de las
primeras revistas
especializadas la Revista de
matemaacuteticas puras y aplicadas
conocida como el Journal de
Liouville Fue el primero en
reconocer la obra de Galois y
publicarla en su Journal
Tales fueron las ideas aritmeacuteticas de Weierstrass para el
tratamiento de las funciones abelianas y las originales ideas
geomeacutetricas de Riemann que abrieron nuevas direcciones en la
importante teoriacutea de las variedades abelianas
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203 Preparado por Patricio Barros
sect Las cartas tienen la palabra
Cuando Crelle recibe los primeros artiacuteculos de Abel y Jacobi sobre
las funciones eliacutepticas recuerda comentarios sobre los trabajos de
juventud de Gauss sobre el tema y se dirige a este alertaacutendole y a la
vez brindando su Journal para la publicacioacuten Gauss le contesta con
relativa rapidez y sin referirse a los trabajos de Jacobi destaca su
reconocimiento de los trabajos de Abel
Carta de Gauss a Crelle 12 de marzo de 1828
ldquoOtros asuntos me impiden por el momento redactar mis
investigaciones Abel ha tomado la delantera sobre miacute al menos
por un buen trecho Eacutel ha seguido exactamente la misma viacutea por
la cual yo habiacutea entrado en 1798 Tampoco es asombroso para
mi que haya llegado en la mayor parte a los mismos resultados
Como eacutel ha demostrado sobradamente en sus deducciones tanta
destreza profundidad y elegancia yo me considero desde
entonces liberado de la obligacioacuten de redactar mis propias
investigacionesrdquo
Abel siente por Legendre una enorme admiracioacuten Es a eacutel junto con
Cauchy a quieacuten se designa para valorar la famosa Memoria de
Pariacutes Abel que precisa del dictamen sobre su Memoria piensa en
varias ocasiones en escribir a Legendre pero su timidez y el gran
respeto que le profesa al ilustre sabio lo refrenan Quieacuten atrae la
atencioacuten de Legendre sobre la obra de Abel es precisamente Jacobi
En cuanto Legendre conoce los primeros trabajos publicados por
Abel escribe a Crelle elogiando su originalidad Crelle se lo
El romaacutentico noacuterdico Abel wwwlibrosmaravillososcom Carlos Saacutenchez y Teresita Noriega
204 Preparado por Patricio Barros
comunica a Abel quien al fin se decide a escribirle exponiendo sus
logros auacuten no publicados que aparecen en la Memoria La
respuesta tarda pero llega
Carta de Legendre a Abel 25 de octubre de 1828
ldquoEl final de vuestra carta me sorprende por la generalidad que
Ud ha sabido dar a sus investigaciones sobre las funciones
eliacutepticas y asiacute mismo sobre unas funciones auacuten maacutes
complicadas He tardado mucho tratando de ver los meacutetodos
que lo han conducido a tan bellos resultados yo no seacute si podreacute
comprenderos pero lo que es seguro es que todaviacutea no tengo ni
idea de los medios que Ud ha podido emplear para vencer
tamantildeas dificultades iexclQueacute cabeza eacutesta la de tan joven
noruegordquo
Abel apreciaba la obra de Jacobi y deciacutea que su rival era el uacutenico
que realmente lo habiacutea comprendido Jacobi no obstante su
caraacutecter arrogante tambieacuten admiroacute y valoroacute con justicia a Abel
Carta de Jacobi a Legendre 15 de septiembre de 1828
ldquoSeguramente habraacute recibido Ud dos memorias del sentildeor Abel
la primera en el Journal de Crelle y la otra en las Noticias
astronoacutemicas de Schumacher [] La segunda memoria
publicada en la revista del sentildeor Schumacher ndeg 138 contiene
una deduccioacuten rigurosa de los teoremas de transformacioacuten cuya
falta se hace sentir en mis anuncios sobre el mismo tema Ella
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205 Preparado por Patricio Barros
estaacute por encima de mis elogios tanto como estaacute por encima de
mis propios trabajos
Es tanto el impacto que le causa esta memoria que se refiere a ella
de nuevo un mes despueacutes en carta ahora a Crelle
Carta de Jacobi a Crelle 7 de octubre de 1828
ldquoConsidero la memoria de Abel incluida en las Noticias
astronoacutemicas [Journal de Schumacher] bajo el tiacutetulo de
ldquosolucioacuten etcrdquo como una de las maacutes bellas obras maestras de
las matemaacuteticasrdquo
Y cuaacutendo conoce los resultados de Abel sobre integrales
hipereliacutepticas que estaban desarrollados completamente en la
Memoria de Pariacutes no publicada enseguida se dirige a Legendre
reprochaacutendole
Carta de Jacobi a Legendre 14 de marzo de 1829
ldquoiexclQue descubrimiento del sentildeor Abel esta generalizacioacuten de la
integral de Euler[] Pero iquestcoacutemo es posible que este
descubrimiento que puede ser el maacutes importante que se haya
hecho en las matemaacuteticas en este siglo que vivimos habiendo
sido comunicado a vuestra Academia hace maacutes de dos antildeos
haya podido escapar a la atencioacuten de Ud y de sus colegas
A la muerte de Abel muchos de los que le conocieron mostraron su
consternacioacuten al enterarse a traveacutes de los medios de comunicacioacuten
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206 Preparado por Patricio Barros
que por cierto entonces no eran muy expeditos En particular
Gauss el priacutencipe de los matemaacuteticos fue informado tardiacuteamente
Carta de Schumacher a Gauss 12 de mayo de 1829
ldquoUd ha visto sin duda en los perioacutedicos que Abel ha muerto
Legendre ha publicado un segundo suplemento y en el prefacio
se refiere a Abel de manera que se puede interpretar que estaacute
por debajo de Jacobi Yo seacute de Ud que se debe considerar
precisamente lo contrario
Y la reaccioacuten no se demora
Carta de Gauss a Schumacher 19 de mayo de 1829
ldquoLa muerte de Abel que yo no he visto anunciada en ninguacuten
perioacutedico es una tremenda peacuterdida para la ciencia si por azar
se imprime o pudiera imprimirse alguna cosa sobre las
circunstancias de la vida de esta cabeza eminentemente
distinguida y cayera entre sus manos le ruego que me lo
comunique inmediatamente Yo deseariacutea tambieacuten tener su
retrato si fuera posible encontrarlo [Wilhelm von] Humboldt con
quien he hablado de eacutel teniacutea el profundo deseo de hacer de todo
con tal de traerlo a Berliacuten
Pasan algunos antildeos y Crelle le pide a Jacobi que haga un artiacuteculo
sobre la obra de Legendre para el Journal donde se refleje
objetivamente lo que se debiacutea a Abel Jacobi que valoraba muy alto
el significado de la obra de Abel sobre las integrales hipereliacutepticas le
contesta
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207 Preparado por Patricio Barros
Carta de Jacobi a Crelle 22 de abril de 1832
bdquoLegendre da a la trascendente cuando P pasa el
cuarto grado el nombre de hipereliacuteptica Nos gustariacutea mejor
llamarla
trascendente abeliana puesto que Abel fue el primero en
introducirla
en el anaacutelisis y ademaacutes muestra su gran importancia en un
amplio teorema A este mismo teorema como el maacutes bello
monumento a este
espiacuteritu extraordinario bien se le debiacutea atribuir el nombre de
teorema
de Abel [] Ya que este teorema enuncia en una forma simple
sin
ninguacuten aparato de caacutelculo el maacutes profundo y el maacutes amplio
pensamiento matemaacutetico lo consideramos el mayor
descubrimiento de nuestro tiempo aunque solo un trabajo
futuro en un porvenir que puede ser lejano lograraacute
esclarecemos toda su importanciardquo
No tuvo que pasar mucho tiempo para que la magnificencia de
la herencia matemaacutetica de Abel y Jacobi fuera no solo elogiada sino
tambieacuten depurada por muchos ilustres matemaacuteticos Hemos
mencionado antes a Liouville y Hermite en Francia y en Alemania a
Riemann y Weierstrass Precisamente de quien se considera uno de
los mejores inteacuterpretes de las bondades de la teoriacutea de funciones
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208 Preparado por Patricio Barros
eliacutepticas nos gustariacutea exponer una valoracioacuten de ambos 40 antildeos
despueacutes que sus principales trabajos fueran difundidos Se trata de
un fragmento de una carta que Weierstrass escribioacute a su alumna
rusa Sofiacutea Kowalevsky a propoacutesito de una rencilla con otro profesor
Carta de Weierstrass a Sofiacutea Kowalevsky 15 de abril de
1873
Hay en eacutel un defecto que encontramos en muchos hombres
muy inteligentes [] y es que no poseen suficiente imaginacioacuten
(quizaacutes deberiacutea decir mejor fantasiacutea) y es cierto que un
matemaacutetico que no es un poco poeta no seraacute jamaacutes un
matemaacutetico completo Las comparaciones son instructivas la
mirada que lo abarca todo que se dirige hacia las alturas hacia
lo ideal destaca a Abel como superior a Jacobi de una forma
sobresaliente
No cabe duda de que Abel mostroacute con creces su capacidad para
encontrar la esencia de las cuestiones y abstrayeacutendose de todo lo
superfluo generalizar y forjar algo nuevo maacutes potente y esto supo
expresarlo de la manera maacutes precisa y concisa iexclcomo hacen los
poetas
Esto tambieacuten fue sentildealado por Mittag-Leffler en el centenario del
nacimiento de Abel (1902)
ldquoLos mejores trabajos de Abel son verdaderos poemas liacutericos de
una belleza sublime donde la perfeccioacuten de la forma deja
transparentar la profundidad del pensamiento al mismo tiempo
que rebosan de imaginacioacuten
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209 Preparado por Patricio Barros
Abel mostroacute su talento poeacutetico sobre todo al concebir la teoriacutea de las
trascendentes hipereliacutepticas hoy todaviacutea llamadas abelianas Jacobi
supo encontrar la mejor manera de representar estas funciones
introduciendo las funciones theta y hallando nuevas propiedades y
aplicaciones Abel fue el arquitecto y Jacobi el constructor ambos
fueron necesarios para que la nueva obra fuera soacutelida bella e
imperecedera
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210 Preparado por Patricio Barros
Capiacutetulo 5
A manera de epiacutelogo La herencia abeliana
ldquoEl modelo de las matemaacuteticas del
siglo XIX fue trazado por cuatro
hombres Gauss Cauchy Abel y
Galoisrdquo
Sophus Lie (1842-1899)
Niels Abel contaba solo 26 antildeos y 8 meses de edad cuando murioacute el
6 de abril de 1829 No habiacutea tenido tiempo de hacer testamento
legal nombrando herederos iquestPero queacute podiacutea dejar aquel pobre
joven No poseiacutea bienes ni dinero No teniacutea hijos ni sucesores
A su lado hasta el uacuteltimo minuto Niels tuvo a su novia Crelly Su
situacioacuten econoacutemica inestable no le habiacutea permitido hacerla su
esposa Cuando tuvo conocimiento de su proacuteximo final Abel la
confioacute al cuidado de su amigo mejor acomodado el profesor de
geologiacutea Mathias Keilhau En el otontildeo del siguiente antildeo Christine
Kemp y Keilhau se casaron Vivieron juntos por el resto de sus diacuteas
Keilhau en su autobiografiacutea escribioacute que Christine le habiacutea dado la
madurez y la prudencia que le faltoacute a su vida Tal vez era
precisamente eso lo que Niels apreciaba en ella y dejoacute de herencia a
su gran amigo
Como sabemos un antildeo despueacutes de la muerte de Abel se le otorgoacute el
gran premio de ciencias matemaacuteticas de la Academia de Ciencias de
Pariacutes Le correspondiacutean 1500 francos que seguacuten la determinacioacuten
del jurado debiacutean traspasarse a sus herederos Despueacutes de
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211 Preparado por Patricio Barros
prolongadas investigaciones juriacutedicas la Academia decidioacute entregar
el importe del premio a su marchita madre Anne Marie Esta
herencia no pudo sacarla de su miseria ni consiguioacute aliviar sus
penurias quizaacutes hasta contribuyoacute a empeorar su alcoholismo
Por supuesto que ninguno de estos dos legados de Abel uno
sentimental y otro material representan su verdadera herencia a la
humanidad En este uacuteltimo capiacutetulo a manera de epiacutelogo solo
pretendemos sugerir posibles respuestas a preguntas como iquestcuaacutel es
la efectiva herencia matemaacutetica de Abel y auacuten mejor iquestcuaacutel es el
espiacuteritu de su obra que hemos capitalizado en beneficio del
desarrollo de las ciencias matemaacuteticas iquestquieacutenes representan mejor
a los indiscutibles herederos del patrimonio de Abel
sect La huella matemaacutetica de Abel
Bernt Holmboeuml maestro y amigo de Abel recibioacute el encargo de
poner en orden y publicar toda la obra matemaacutetica de Abel Diez
antildeos despueacutes en 1839 aparecieron editadas las Obras completas
en dos voluacutemenes En la introduccioacuten Holmboeuml rinde tributo a la
memoria de quieacuten fuera su iacutentimo amigo con las palabras
siguientes
El tiempo y el cuidado que yo he dedicado a la edicioacuten de esta
obra siempre los considerareacute lo maacutes uacutetil en mi vida si en alguna
forma contribuye a la divulgacioacuten de su trabajo el maacutes
importante de su geacutenero en nuestros diacuteas
A traveacutes de la inmensa amplitud de sus problemas y el severo
rigor que usaba en sus meacutetodos siguiendo el ejemplo del
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212 Preparado por Patricio Barros
famoso Monsieur Cauchy el autor dio a la matemaacutetica uu
impulso que permaneceraacute abierto para todo uu siglo Planeoacute
caminos desconocidos antes de eacutel y creoacute una nueva visioacuten sobre
el caacutelculo y el anaacutelisis en general Por estas razones los
trabajos de nuestro autor descansan en tan alta clase que
aquellos matemaacuteticos que deseen conocer su ciencia no deben
desdentildear leerlosrdquo
A un lector de formacioacuten matemaacutetica contemporaacutenea que lea las
Obras completas de Niels Abel podraacute parecerle que hizo sus
hallazgos en los campos del aacutelgebra y el anaacutelisis Especiacuteficamente
en tres temas desvinculados entre siacute la resolucioacuten por radicales de
las ecuaciones algebraicas la teoriacutea de las funciones eliacutepticas y la
sumacioacuten de series infinitas Realmente estos tres temas estaacuten
iacutentimamente ligados Tanto que algunos antildeos despueacutes de la muerte
de Abel en 1858 el matemaacutetico franceacutes Charles Hermite publicoacute
una solucioacuten de la quiacutentica a traveacutes de las funciones eliacutepticas
abelianas enlazando magistralmente estos dos campos
Paralelamente Weierstrass desarrollariacutea toda una teoriacutea de
representacioacuten en series infinitas para presentar armoacutenicamente
una teoriacutea general con los resultados de Abel Jacobi y otros sobre
las integrales hipereliacutepticas y sus inversas las funciones abelianas
sect Hermite y Weierstrass como herederos de Abel
Fue Liouville quieacuten le presentoacute a Hermite la teoriacutea de Abel y Galois
tanto sobre funciones eliacutepticas como de resolucioacuten en radicales de
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213 Preparado por Patricio Barros
las ecuaciones algebraicas Al parecer Hermite fue uno de los
primeros en penetrar en los razonamientos tan abstrusos de Galois
Tan temprano como en 1843 informoacute a Jacobi en una de las
muacuteltiples cartas que se intercambiaron entonces de su deseo de
enfrentar el problema de la quiacutentica utilizando las funciones
modulares herramienta que introdujo Hermite en sus trabajos
sobre la ampliacioacuten de la obra de Abel y Galois y que al criterio de
otros grandes matemaacuteticos fue de las maacutes bellas creaciones de
Hermite y de las matemaacuteticas del siglo XIX
Hermite llegoacute a su descubrimiento por su profundo conocimiento
tanto de la teoriacutea de las ecuaciones algebraicas como de la teoriacutea de
las funciones eliacutepticas
Hermite
Charles Hermite (1822-1901) estudioacute entre 1840 y 1842 en el
exclusivo Colegio Louis le Granoacute en Pariacutes Terminoacute sus
estudios en l‟Ecole Polytechnique en 1845 Fue disciacutepulo de
Liouville quieacuten lo dirigioacute a la investigacioacuten matemaacutetica Desde
1848 trabajoacute en la misma Eacutecole Polytechnique y desde el 69
hasta el 97 tambieacuten fue profesor en la Sorbona
Sus principales trabajos fueron sobre teoriacutea de fundones
eliacutepticas y sus aplicaciones
Pero son de importancia sus resultados en aacutelgebra y teoriacutea de
nuacutemeros Desarrolloacute la teoriacutea de las formas algebraicas y sus
invariantes y la aplicoacute a la teoriacutea de nuacutemeros Introdujo una
clase especial de formas bilineales que hoy se conocen como
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214 Preparado por Patricio Barros
formas hermiticas
Demostroacute en 1873 la trascendencia del nuacutemero e Tambieacuten
estudioacute una clase de polinomios ortogonales que llevan su
nombre El artiacuteculo sobre la resolucioacuten de la quiacutentica mediante
funciones eliacutepticas aparecioacute en 1858 en la revista de la
Academia de Ciencias de Pariacutes Al siguiente antildeo fue aceptado
como miembro correspondiente
de la Academia de Ciencias de
Berliacuten En 1890 fue elegido
presidente de la Academia de
Ciencias de Pariacutes y en 1895
miembro honorario de la
Academia de Ciencias de San
Petersburgo En el Congreso
Internacional de Matemaacuteticos
que en el verano de 1900 se
celebroacute en Pariacutes fue nombrado
por aclamacioacuten presidente de honor Murioacute pocos meses
despueacutes el 14 de enero de 1901
Observoacute incidentalmente que una ecuacioacuten que se presentaba en el
problema de la divisioacuten en cinco partes de las funciones eliacutepticas se
podiacutea trasformar en la forma trinoacutemica x5 + ax-+ b = 0 de la
ecuacioacuten general de quinto grado De esta manera obtuvo las
funciones de los coeficientes a y b que reducen la forma trinoacutemica a
una identidad Las funciones trascendentes necesarias para resolver
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215 Preparado por Patricio Barros
la ecuacioacuten general de quinto grado habiacutean sido por tanto
construidas Era el mejor monumento a la memoria de Abel erigido
con la materia de sus suentildeos la quiacutentica se resolviacutea por las
funciones eliacutepticas
Por su parte Weierstrass consagroacute sus trabajos (desde la deacutecada de
1840) a establecer y a estudiar los desarrollos en series infinitas y
una nueva teoriacutea de productos infinitos con el fin de aplicarlos a
una teoriacutea general que incluyera tanto las funciones eliacutepticas como
las hipereliacutepticas
En sus cursos de la Universidad de Berliacuten Weierstrass ensentildea su
teoriacutea de las funciones en un ciclo generalmente de cuatro
semestres a lo largo de 30 antildeos desde el semestre de verano 1857
hasta el semestre de invierno 1887 salvo en periodos de descanso
por el deterioro de su salud
El esquema es el siguiente
1 La teoriacutea general de las funciones analiacuteticas
2 La teoriacutea de las funciones eliacutepticas
3 Aplicacioacuten de las funciones eliacutepticas a la geometriacutea y a la
mecaacutenica
4 La teoriacutea de las funciones abelianas
Weierstrass habiacutea conocido desde joven la obra de Abel y Jacobi
sobre funciones eliacutepticas El profesor Gudermann siendo
Weierstrass un joven estudiante le planteoacute como problema la
representacioacuten en series de potencias de las funciones theta de
Jacobi y de ahiacute la expresioacuten de toda funcioacuten eliacuteptica como cociente
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216 Preparado por Patricio Barros
de dos polinomios infinitos Weierstrass logroacute resolver este problema
pero quedoacute interesado en generalizarlo
Se conoce por una carta que le envioacute a su alumna Sofiacutea Kowalevsky
que ya en 1874 teniacutea establecido un sistema de principios riguroso
para el estudio de las funciones analiacuteticas que permitiacutean presentar
armoniosamente la teoriacutea de las integrales abelianas Estas ideas
que habiacutea expuesto tambieacuten en sus clases de Berliacuten fueron
publicadas en un artiacuteculo muy importante de 1876 donde muestra
su intencioacuten de construir la teoriacutea paso a paso a partir del concepto
de funcioacuten analiacutetica como anaacutelogo del caso maacutes simple de funcioacuten
polinomial
Weierstrass
Karl Theodor Wilhelm Weierstrass (1815-1897) el gran
legislador de la matemaacutetica nacioacute en Ostenfelde en el seno de
una familia humilde catoacutelica de un padre tesorero puacuteblico
muy riguroso y dominante No concluyoacute sus estudios de
derecho en la Universidad de Bonn y con la lectura de la
monografiacutea de Jacobi se interesoacute por las funciones eliacutepticas
Tuvo conocimiento de los trabajos de Gudermann en Muumlnster y
estudioacute con eacutel de 1839 a 1841
Ejercioacute como profesor de instituto durante 15 antildeos Sus antildeos
maacutes fructiacuteferos cuando contaba entre 25 y 40 antildeos los pasoacute
praacutecticamente aislado de centros universitarios
No obstante se sabe que entre 1841 y 1855 desarrolloacute sus
ideas sobre teoriacutea de funciones y en 1854 se publicoacute en el
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217 Preparado por Patricio Barros
Journal de Crelle su primer artiacuteculo importante
Ese mismo ano la Universidad de Koumlnigsberg lo nombroacute doctor
honoriacutefico y obtuvo una beca para organizar sus resultados
En 1856 la Universidad de Berliacuten le contratoacute como profesor
para impartir 12 horas de clase semanales ademaacutes de otras
tareas a las que no estaba acostumbrado Por ello en el
invierno de 1859-60 comenzoacute a padecer los primeros signos de
agotamiento nervioso En 1864
con 49 antildeos fue nombrado
profesor titular Durante maacutes de
30 antildeos ante un auditorio cada
vez mayor y maacutes internacional
impartioacute sus clases sobre teoriacutea
de funciones Las notas de sus
clases son muy importantes
porque Weierstrass siempre
sintioacute pavor por publicar Se dice
que en sus clases construiacutea
meticulosa y metoacutedicamente toda una teoriacutea sin citar a ninguacuten
autor y con una coherencia como si estuviera copiando un
texto Se mantuvo en su puesto de profesor hasta su muerte a
los 82 antildeos aunque a partir de los 60 antildeos tuvo que
suspender varias veces sus clases por su debilitada salud
Sus investigaciones estuvieron centradas en la teoriacutea de
funciones analiacuteticas pero realizoacute incursiones en otros campos
como el caacutelculo de variaciones la geometriacutea diferencial y el
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218 Preparado por Patricio Barros
aacutelgebra lineal Junto con Kummer creoacute el seminario de
matemaacuteticas puras que dio prestigio a la Universidad de
Berliacuten Fue miembro de las Academias de Ciencias de Berliacuten
(1856) San Petersburgo (1864) y Pariacutes (1868)
Pero no pretendemos detenernos en la explicacioacuten de los logros de
Hermite Weierstrass y otros que como ellos heredaron la obra de
Abel y la unieron a la de Galois y Jacobi para constituir una teoriacutea
amplia y efectiva de las funciones abelianas Nuestro objetivo
principal en este epiacutegrafe es sentildealar queacute aspectos caracterizan el
espiacuteritu matemaacutetico legado por Abel
sect El programa de Abel
Si se analiza detenidamente toda la produccioacuten matemaacutetica de Abel
se observa una coherencia que reside maacutes en el estilo que en los
temas El programa de Abel se puede comprender como la
buacutesqueda del rigor en las matemaacuteticas a traveacutes del lenguaje claro y
preciso del aacutelgebra iquestPero podemos decir que este proyecto es
original del genio de Abel Hagamos un poco de historia
Si algo caracteriza a la Revolucioacuten Intelectual de los siglos XVII y
XVIII es la voluntad de claridad y unidad en el saber Ya el
programa cartesiano planteaba ldquointelectualizardquo la ciencia de
Euclides de forma tal que se redujera al aacutelgebra
ldquoLos elementos del aacutelgebra son propiamente la ciencia general o
el fundamento y el principio de toda la matemaacutetica y no la
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219 Preparado por Patricio Barros
geometriacutea la cual depende en varios puntos de un conocimiento
de estos elementos
Para los ilustrados la imaginacioacuten estaacute ligada a la geometriacutea y el
intelecto la razoacuten o l‟esprit como diriacutean los franceses estaacute ligada al
aacutelgebra Ars magna desde el Renacimiento
A partir del siglo XVIII el anaacutelisis matemaacutetico no es maacutes que el
estudio de las funciones que no son otra cosa que la expresioacuten
analiacutetica abstracta de las curvas y superficies de la geometriacutea
Todos los caacutelculos con estas funciones se pretenden reducir a la
manipulacioacuten de los polinomios algebraicos o en su defecto a los
polinomios infinitos las series de potencias El mejor representante
de esta voluntad de reducir el caacutelculo al aacutelgebra a traveacutes de las
series de potencias seriacutea Euler que fue el primero que postuloacute en
su obra cumbre de 1748 Introduccioacuten al anaacutelisis de los infinitos que
el anaacutelisis no era otra cosa que el estudio de las funciones La
dificultad estriba en que este estudio por medio de las series exige el
concepto del infinito matemaacutetico y una definicioacuten rigurosa de suma
de una serie infinita
Una de las primeras tentativas de darle al anaacutelisis matemaacutetico los
fundamentos rigurosos para el caacutelculo con las series infinitas se
debe a Lagrange
El proyecto de Lagrange queda expliacutecito en 1797 cuando se publica
su Teoriacutea de las funciones analiacuteticas Uno de los objetivos de este
texto que Abel va a encontrar en la bien dotada biblioteca de la
Universidad de Cristianiacutea era relacionar el caacutelculo con el resto del
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220 Preparado por Patricio Barros
aacutelgebra de manera que se comprenda todo como un solo meacutetodo
Dicho sinteacuteticamente el objetivo de Lagrange es algebrizar el
anaacutelisis
Estatua de Abel realizada por el escultor Gustav Vigeland en el
parque del palacio real de Oslo Fue inaugurada en 1908
Para algebrizar Lagrange asume expliacutecitamente lo que muchos
antes de eacutel realizaban sin expresarlo claramente las funciones que
intervienen en el anaacutelisis las funciones analiacuteticas son en general
localmente desarrollables en series de potencias
La voluntad lagrangiana de dar una teoriacutea general basada en un
principio simple no hace maacutes que poner en evidencia teoacuterica las
doctrinas de Euler quien con mayor audacia e imaginacioacuten utilizoacute
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221 Preparado por Patricio Barros
las expresiones analiacuteticas de las funciones La influencia de la obra
de Lagrange fue tal que en adelante muchos de los textos de
caacutelculo hasta bien adentrado el siglo XX aparecieron con el tiacutetulo
de Anaacutelisis algebraico
sect La convergencia de las series de potencias
Ya sabemos que las principales fuentes de saber matemaacutetico para
Abel fueron las obras de Euler y Lagrange Es decir conociacutea el
proyecto de unidad matemaacutetica a traveacutes de la algebrizacioacuten y del
uso de las series de potencias para algebrizar el caacutelculo
iquestPero estaba terminado este proyecto iquestTeniacutea la teoriacutea de series el
fundamento riguroso que con ellas se pretendiacutea conseguir en todo el
anaacutelisis El trabajo de Lagrange coronoacute toda una eacutepoca dorada para
la sumacioacuten Lagrange se preocupoacute por desterrar del anaacutelisis el uso
de infinitesimales incrementos evanescentes o fluxiones pero con
sus manejos algebraicos no aclarariacutea el concepto convergencia en
las representaciones analiacuteticas
En una carta del 29 de marzo de 1826 desde Dresde a su maestro
y protector Christopher Hansteen que por su importancia
reproducimos casi totalmente Abel se expresa de la forma siguiente
La matemaacutetica pura en su sentido maacutes estricto debe ser en el
futuro el objeto exclusivo de mis estudios Quiero consagrarme
con todas mis fuerzas a aportar un poco maacutes de claridad a la
prodigiosa oscuridad que se encuentra hoy incontestablemente
en el anaacutelisis Carece hasta tal punto de plan y de sistema que
es verdaderamente maravilloso que pueda ser estudiado por
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222 Preparado por Patricio Barros
tanta gente y lo peor del caso es que nunca ha sido tratado
rigurosamente Solo hay unas pocas proposiciones en el anaacutelisis
superior que se hayan demostrado de una manera loacutegicamente
sostenible En todas partes encuentra uno esta manera
desafortunada de concluir lo general partiendo de lo particular y
es extremadamente peculiar que tal procedimiento a pesar de
todo haya llevado a tan pocas de las asiacute llamadas paradojas
Seriacutea sumamente interesante ocuparse en investigar la razoacuten
A miacute criterio esto se debe a que las funciones de las que hasta
ahora se ha ocupado el anaacutelisis pueden en su mayor parte ser
expresadas por medio de series de potencias [subrayado de los
autores] Pero si intervienen otras funciones lo que a decir
verdad no ocurre muy frecuentemente entonces la cosa no
marcha bien y de las conclusiones falsas se injieren un montoacuten
de proposiciones incorrectas que se encadenan Yo he
examinado variacuteas y estoy bastante contento por haberles
proporcionado claridad (ala mayor parte) Mientras uno emplea
un meacutetodo general todo marcha bien pero y o debo ser
extremadamente prudente ya que las proposiciones una vez
admitidas sin demostracioacuten rigurosa (es decir sin demostracioacuten)
estaacuten tan fuertemente enraizadas en miacute que me siento expuesto
a cada momento a servirme de ellas sin revisarlas Estos
trabajos se publicaraacuten en el Journal publicado por Crelle rdquo
Observen como se expresa madura y criacuteticamente sobre el anaacutelisis
iexclY Abel auacuten no habiacutea cumplido los 24 antildeos de edad cuando escribe
esta carta
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223 Preparado por Patricio Barros
Exactamente son dos los trabajos de Abel que aparecieron en el
Journal de Crelle Tratan sobre el tema de la convergencia y la
sumacioacuten de series infinitas ldquoInvestigacioacuten sobre la serie
en el nuacutemero 4 del primer volumen en 1826 y ldquoNota sobre la
memoria del Sr L Olivier que lleva por tiacutetulo Observaciones sobre
las series infinitas y su convergenciardquo que aparecioacute en el nuacutemero 1
del tercer volumen en 1828
sect La serie del binomio
La serie del binomio
para m no entero aparece en el margen de un ejemplar de la
Arithmetica infinitorum de Wallis escrita por el joven Newton en
1665 Antildeos maacutes tarde en una carta que Leibniz dirige al secretario
de la Royal Society de Londres se interesa sobre lo que saben los
matemaacuteticos ingleses sobre las series infinitas Esta carta es
respondida por Newton el 13 de junio de 1676 enunciando el
teorema del binomio para exponente racional pero sin explicar los
oriacutegenes de dicha foacutermula Sea cual sea su origen y quien fue el
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224 Preparado por Patricio Barros
primero que la publicoacute lo cierto es que para la escuela britaacutenica
esta seraacute un arma potente para algebrizar las funciones mecaacutenicas
inexplicables o trascendentes como indistintamente se les llamaba
a las no algebraicas En la casi totalidad de los textos de caacutelculo del
siglo XVIII seraacute la herramienta principal para obtener los desarrollos
en series de potencias necesarios Hasta entonces no se presta
atencioacuten a determinar para queacute valores converge la susodicha serie
A comienzos del siglo XIX van a aparecer dos demostraciones de los
valores de m para los cuales hay convergencia una de Augustin
Cauchy en su Anaacutelisis algebraico (1821) y otra de Niels Abel en el
Journal de Crelle (1826)
En el libro de Cauchy se llama la atencioacuten sobre la importancia de
la serie del binomio La organizacioacuten de los seis primeros capiacutetulos
estaacute concebida con el objetivo principal de obtener el desarrollo de
(1 + x)m para x y m reales En el capiacutetulo 6 de su Anaacutelisis algebraico
Cauchy define los criterios de convergencia de las series infinitas
entre los que aparece el hoy llamado criterio de Cauchy sin una
demostracioacuten rigurosa a causa de una presentacioacuten todaviacutea confusa
de los nuacutemeros reales Tambieacuten encontramos el resultado falso de
que la suma de una serie de funciones continuas es continua Se
explica en parte este error porque la definicioacuten de continuidad
asumida por Cauchy no es una definicioacuten puntual sino global en
todo un intervalo real Cauchy aplica la totalidad de los resultados
precedentes al estudio de la serie del binomio
Considera la funcioacuten
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225 Preparado por Patricio Barros
y muestra que
g(m) estaacute definida para todo x isin (-1 1)
g es continua (utilizando el resultado falso del capiacutetulo 6)
g verifica la ecuacioacuten funcional ) = g(m) g(m‟) = g(m + m‟)
Por tanto
g es una funcioacuten exponencial g(λ) = Aλ y enseguida que
g(m) = Am = [g(l)]m = (1 + x)m
Queda asiacute probado que la serie del binomio es vaacutelida para todo x isin (-
1 1)
Es Abel quieacuten primero se atreve a sentildealar el error de Cauchy sobre
la suma de una serie de funciones continuas En una carta dirigida
a su amigo Holmboeuml en enero de 1826 Abel da como contraejemplo
la serie convergente de funciones continuas
que tiene como suma la funcioacuten discontinua
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226 Preparado por Patricio Barros
En la memoria sobre la serie del binomio aparecida en el Journal de
Crelle en 1826 Abel indica
ldquono se han examinado todos los casos donde esta serie es
conver gente ya que el objetivo de esta memoria es tratar de
llenar una laguna en iexcla solucioacuten del Problema siacutemente
encontrar la suma de la serie
para todos los valores reales o imaginarios de x y de m para los
cuales la serie es convergente
El camino que toma Abel es similar al de Cauchy pero utiliza
teoremas maacutes precisos sobre las series trabaja en el campo
complejo y sobre todo da una definicioacuten de continuidad maacutes
adaptable al asunto
ldquouna funcioacuten f(x) seraacute llamada continua en x entre las cotas x =
α y x = β para un valor cualquiera de x comprendido entre esas
dos cotas la cantidad f(x - β) para los valores siempre
decrecientes de β se aproxima indefinidamente al limite fx)
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227 Preparado por Patricio Barros
Se trata aquiacute de la definicioacuten de continuidad de en un punto x lo
que no era el caso en la definicioacuten de Cauchy que trataba la
continuidad en un intervalo (iexclsin asomo por supuesto de la
definicioacuten de continuidad uniforme)
Abel comienza por estudiar en detalle todos los casos para x y m
nuacutemeros complejos donde la serie del binomio converge
para todo x tal que |x| lt 1 y cualquiera sea m
para |x| = 1 Re(x) ne -1 Re(m) gt -1 y para |x| = 1 Re(x) = -1 Re(m)
gt 0 y prueba que en todos los otros casos la serie del binomio
diverge
Despueacutes llama φ(m) a la suma de la serie verifica la relacioacuten φ(m +
mrsquo) = φ(m)φ(mrsquo) y haciendo x = a + ib y m = k + ik‟ φ(m) = p + iq
demuestra continuidad de las funciones p y q y despueacutes de caacutelculos
muy detallados encuentra una expresioacuten general de la serie del
binomio en el caso complejo
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228 Preparado por Patricio Barros
para todo x tal que |-rj lt 1 y cualquiera sea m
La foacutermula del binomio para m y x reales Abel la obtiene
inmediatamente para los valores particulares b = 0 y k‟ = 0
φ(m) = (1 + a)m = (1 + x)m
En otra carta a Holmboeuml de diciembre 1826 escribiraacute
Me atrevo a decir que esta es la primera demostracioacuten rigurosa
de la foacutermula del binomio en todos los casos posiblesrdquo
sect Gauss Cauchy Abel y Galois
Piense el lector en las diferentes personalidades que con su obra
impregnaron a las matemaacuteticas del siglo XIX de su estilo
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229 Preparado por Patricio Barros
caracteriacutestico El matemaacutetico noruego Sophus Lie nos ayuda y nos
dice que el modelo de las matemaacuteticas del siglo XIX fue disentildeado
por cuatro hombres Gauss Cauchy Abel y Galois Despueacutes de leer
lo que antecede en este libro iquestqueacute cree el lector
El paso de la sumacioacuten de las series infinitas a la investigacioacuten de la
convergencia y la representacioacuten analiacutetica de las funciones es el
cambio de estilo de pensamiento entre la eacutepoca de Euler y la eacutepoca
de Abel y Cauchy La transicioacuten de los teoremas especiales a las
teoriacuteas abstractas y generales queda plenamente evidente al
comparar el aacutelgebra de Lagrange con la de Abel y Galois Lo mismo
se percibe en otros campos Era el advenimiento de la radicalizacioacuten
del pensamiento matemaacutetico En una eacutepoca de revoluciones socia
les y econoacutemicas las matemaacuteticas asumiacutean un papel revolucionario
Entonces se produjo la transicioacuten de las matemaacuteticas utilitarias y
mecanicistas del siglo XVIII que daban prioridad a la resolucioacuten de
problemas particulares a las matemaacuteticas abstractas y universales
preocupadas en fundamentar sus actos con teoremas de existencia
y construccioacuten de teoriacuteas amplias y meacutetodos efectivos que al menos
teoacutericamente llevaban en siacute las soluciones detalladas de una
infinidad de problemas especiales
Abel seriacutea como la estrella de la madrugada anunciadora del alba
Si alguna herencia nos legoacute esa fue su radicalismo su buacutesqueda de
teoremas de existencia su intereacutes por construir teoriacuteas amplias su
programa de algebrizacioacuten Con el fin de apreciar mejor las
caracteriacutesticas de la huella matemaacutetica de Abel compareacutemosla
brevemente con la de los otros ilustres destacados por Sophus Lie
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230 Preparado por Patricio Barros
En este sentido nos parece que Gauss era menos moderno que Abel
un cuarto de siglo maacutes viejo que eacutel pero al que sobrevivioacute por 36
antildeos Las ecuaciones abelianas eran una generalizacioacuten de las
ecuaciones que discutioacute Gauss en su problema de los poliacutegonos
regulares Un contraste anaacutelogo existe entre la manera que tuvieron
los dos hombres de abordar las funciones eliacutepticas las abelianas
conllevan como casos particulares las funciones lemniscaacuteticas de
Gauss Cierto es que tan temprano como en 1812 Gauss hizo un
estudio minucioso de la convergencia de las series hipergeomeacutetricas
pero como en otros casos no desarrolloacute sus ideas de forma extensa
Gauss realizoacute un estudio riguroso de las ecuaciones ciclotoacutemicas
mas no consideroacute el problema de la insolubilidad en su generalidad
Sin duda que las obras maestras de Gauss tienen la perfeccioacuten
claacutesica pero esa misma perfeccioacuten que recuerda al estilo maacutes riacutegido
de los griegos repeliacutea a los menos pacientes joacutevenes que buscaron
caminos maacutes llanos para rodear los obstaacuteculos que se presentaban
en su camino La matemaacutetica de Gauss era genial pero menos
osada menos revolucionaria
iquestY Cauchy Si le preguntaacuteramos a eacutel con certeza nos diriacutea mucho
sobre sus aportes decisivos tanto al anaacutelisis como al aacutelgebra pero
seguramente no se calificariacutea como revolucionario y menos como
romaacutentico No obstante en Cauchy encontramos ideas
fundamentales sobre los grupos de permutaciones que luego
utilizaraacuten Abel y sobre todo Galois La obra de Cauchy junto a la
de Abel abrioacute las puertas a los fundamentos modernos del anaacutelisis
El romaacutentico noacuterdico Abel wwwlibrosmaravillososcom Carlos Saacutenchez y Teresita Noriega
231 Preparado por Patricio Barros
algebraico Pero los errores que cometioacute Cauchy fueron encontrados
y rectificados por el mismo Abel cuya obra desprecioacute
Sin dudas Abel y Galois sentildealaron el comienzo de la manera
abstracta de abordar el aacutelgebra Tambieacuten es cierto que Galois llegoacute
maacutes lejos con su teoriacutea general de las ecuaciones algebraicas pero
en su enfoque analiacutetico de las funciones su aportacioacuten fue
insignificante La vida como a Abel tampoco le alcanzoacute
En conclusioacuten Gauss y Cauchy aunque visionarios estaban maacutes
cerca del siglo XVIII que del XX Abel y Galois estaban maacutes cerca del
siglo XX que del XVIII
Aunque Abel y Galois hablaban de los maestros con respeto y
buscaron sin eacutexito su aprobacioacuten pocas veces siguieron sus
huellas Eran romaacutenticos y revolucionarios Y en el caso de Galois
esta concepcioacuten fue auacuten maacutes coherente con su propia vida
No se puede ni suponer lo que Abel y Galois podriacutean haber realizado
con una existencia normal aunque parece muy probable que
hubiera sido mucho y de la mejor calidad Para los grandes
matemaacuteticos la madurez temprana y una productividad sostenida
no son la excepcioacuten sino la regla Puede que sea cierto que las ideas
maacutes originales se tienen en la juventud pero cuesta tiempo
elaborarlas Gauss en particular empleoacute unos cincuenta antildeos en
desarrollar las inspiraciones que tuvo (esta es substancialmente su
propia descripcioacuten) antes de cumplir 21 antildeos e incluso con medio
siglo de continuo laborar solo consiguioacute madurar y publicar una
pequentildea parte de sus ideas
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232 Preparado por Patricio Barros
Cabe conjeturar que si las condiciones econoacutemicas poliacuteticas y
sociales de Noruega hubieran sido otras y Abel hubiera logrado
tener una vida maacutes larga como fue el caso de otros matemaacuteticos
habriacutea podido ver no solo el reconocimiento hacia su obra sino lo
que seguro para eacutel hubiera sido maacutes importante coacutemo esta obra
trascendioacute a las matemaacuteticas noruegas
Pero iquestqueacute huella dejoacute en Noruega el ejemplo de Abel iquestquieacutenes se
pueden considerar los herederos legiacutetimos en Noruega de la
matemaacutetica de Abel
sect La herencia en Noruega Silow y Lie
Sin duda la aparicioacuten en Noruega de un matemaacutetico de la talla de
Abel tuvo una influencia fundamental en el futuro de las
matemaacuteticas en ese relativamente poco poblado paiacutes Siguiendo las
huellas de Abel en los siglos XIX y XX han aparecido matemaacuteticos
noruegos de primer orden en diferentes ramas de las matemaacuteticas y
sus aplicaciones
En los capiacutetulos anteriores nos hemos referido a Bernt Holmboeuml
que fue el descubridor del talento matemaacutetico de Abel y que en
cierta forma se puede considerar su heredero Pero Holmboeuml no tuvo
logros importantes en la investigacioacuten matemaacutetica y ha pasado a la
historia como maestro y primer editor de las Obras completas de
Abel Tambieacuten antes hemos mencionado a Cari Bjerknes quieacuten
hiciera la primera biografiacutea completa de Niels Abel a instancias del
sueco Mittag-Leffler Carl Bjerknes no trabajoacute realmente en los
temas que Abel impulsoacute aunque su vida fue similar a la de Abel por
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233 Preparado por Patricio Barros
las sucesivas penurias que sufrioacute Fue en un viaje a Gotinga con
maacutes de 30 antildeos de edad cuando Bjerknes conocioacute a Dirichlet quien
le mostroacute que en la hidrodinaacutemica habiacutea un campo feacutertil de trabajo
investigador si se usaban las ideas de la teoriacutea del potencial y el
electromagnetismo Su hijo Vilhelm Bjerknes (1862-1951) fue su
asistente y continuoacute sus investigaciones ganando prestigio
internacional como especialista en mecaacutenica aplicada y fiacutesica
matemaacutetica
Pero si queremos referirnos a algunos matemaacuteticos noruegos que en
particular tuvieran que ver de cerca con la obra de Abel y de una
manera u otra haber sido influenciados por eacutesta tenemos que
mencionar a Peter Ludwig Sylow y a Sophus Lie
Sylow
Peter Ludwig Mejdell Sylow (1832-1918) nacioacute 3 antildeos despueacutes
de la muerte de Abel en Cristianiacutea Era hijo de un funcionario
que despueacutes se convertiriacutea en miembro del gobierno se graduoacute
con excelentes calificaciones en la Universidad de Cristianiacutea
en 1855 pero como no habiacutea un puesto disponible en la
universidad comenzoacute a trabajar como profesor de ensentildeanza
secundaria en un instituto tarea que desarrollariacutea hasta
1898
En el curso 1861-1862 obtuvo una beca para estudiar en Pariacutes
y en Berliacuten siguiendo las huellas de su admirado Niels Abel
En el informe de su viaje informa haber estudiado geometriacutea
con Chasles mecaacutenica racional con Liouville y meacutetodos de
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234 Preparado por Patricio Barros
liacutemites y su historia con Duhamel
Ademaacutes sentildeala haberse familiarizado con nuevos trabajos en
teoriacutea de ecuaciones En Berliacuten siendo su intencioacuten asistir a
las clases de Weierstrass y hallaacutendose este enfermo se
dedicoacute a trabajar en la biblioteca estudiando teoriacutea de
nuacutemeros y teoriacutea de ecuaciones Alliacute conocioacute a Carl Borchardt
(1817-1880) editor en ese momento del Journal de Crelle con
el que establecioacute un intercambio de ideas sobre la obra de
Abel y Jacobi que fue muy
fructiacutefero para ambos
Los teoremas de Sylow sobre
teoriacutea de grupos no aparecen
publicados hasta 1872 En 1894
le fue otorgado un doctorado
honoriacutefico en la Universidad de
Copenhague Sylow se mantuvo
trabajando como profesor y
director de instituto hasta que en
1898 a instancias de Lie fue creada para eacutel una caacutetedra
especial en la Universidad de Cristianiacutea en la que trabajariacutea
con entusiasmo hasta su muerte
Estos matemaacuteticos noruegos fueron los editores de la segunda
edicioacuten de las Obras completas de Abel obra en dos tomos
publicada en Cristianiacutea en 1881 referencia obligada de cualquiera
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235 Preparado por Patricio Barros
que quiera conocer sobre la obra y por queacute no sobre la
personalidad de Niels Abel
sect Ludwig Sylow
Sylow se interesoacute por las matemaacuteticas desde muy temprana edad y
comenzoacute a trabajar en funciones eliacutepticas siguiendo la tradicioacuten de
Abel y Jacobi alentado por el profesor de matemaacuteticas Ole Jacob
Broch (1808-1889) de la Universidad de Cristianiacutea Broch siempre
fue un admirador de la obra de Abel y maacutes tarde con su influencia
como miembro del parlamento noruego seriacutea uno de los que junto
a Cari Bjerknes Sylow y Sophus Lie consiguieron financiacioacuten para
hacer una segunda edicioacuten corregida y aumentada de las Obras
completas de Abel
Los trabajos de Abel en solubilidad de ecuaciones algebraicas
mediante radicales y las orientaciones de Cari Bjerknes motivaron el
cambio de los intereses de Sylow hacia el tema de las ecuaciones
algebraicas
Los teoremas de Sylow
Fueron publicados en un artiacuteculo de 10 paacuteginas que aparecioacute
en Mathematische Annalen Vol 5 en 1872 bajo el titulo
Teoremas sobre los grupos de sustitucionesrdquo Los resultados
contenidos en este artiacuteculo bastaron para que Sylow pasara a
formar parte de los matemaacuteticos conocidos mundialmente
Recordemos que Lagrange habiacutea demostrado y Abel lo utiliza
en su demostracioacuten de la imposibilidad de resolver la quiacutentica
El romaacutentico noacuterdico Abel wwwlibrosmaravillososcom Carlos Saacutenchez y Teresita Noriega
236 Preparado por Patricio Barros
mediante radicales lo que se conoce en teacuterminos modernos
como teorema de Lagrange que dice que el orden (cantidad de
elementos) de un subgrupo de un grupo finito es un divisor del
orden del grupo El reciproco de este teorema es decir la
cuestioacuten de que si un nuacutemero divide al orden del grupo existe
un subgrupo de ese orden no se cumple en general pero sin
embargo existen reciacuteprocos parciales del teorema es decir
teoremas que dan condiciones bajo las cuales un grupo finito
posee subgrupos de un orden (divisor del orden del grupo)
dado
Uno de estos reciacuteprocos parciales es el teorema de Cauchy
Sylow encuentra reciacuteprocos parciales del teorema de Lagrange
que son resultados maacutes fuertes que el de Cauchy Veamos en
lenguaje moderno cuales son
Supongamos que tenemos un grupo G de orden m y que m se
puede escribir de la forma m = pn q donde p es un nuacutemero
primo y n es la mayor potencia para la cual esto se puede
hacer (por ejemplo 12 = 22times3) entonces
G posee subgrupos de orden pn que son llamados los p-
subgrupos de Sylow de G
El nuacutemero de p-subgrupos de Sylow de G es k + 1 donde k es
un entero (es decir es congruente con 1 moacutedulo p) Y el nuacutemero
de los p-subgrupos de Sylow divide a q En el ejemplo de 12
el nuacutemero de 2-subgrupos de Sylow es 1 o 3
Si H1 y H2 son dos de p-subgrupos de Sylow entonces H2 =
gH1g‟ para alguacuten elemento g de G
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237 Preparado por Patricio Barros
Aparte de dar un reciproco del teorema de Lagrange los
teoremas de Sylow son muy uacutetiles para enfrentar muchas
cuestiones algebraicas Por ejemplo se puede demostrar
mediante ellos que hay un uacutenico grupo de orden 15
En 1860 durante la octava reunioacuten de cientiacuteficos de Escandinavia
en Copenhague Sylow presentoacute su reconstruccioacuten del uacuteltimo
trabajo de Abel sobre solubilidad algebraica de ecuaciones que
como hemos mencionado en el capiacutetulo III este uacuteltimo habiacutea dejado
inconcluso Este trabajo de Sylow permitiacutea deducir que Abel ya en
1828 sabiacutea maacutes sobre las posibles formas de solucioacuten de dichas
ecuaciones que lo comuacutenmente aceptado Este estudio del uacuteltimo
artiacuteculo de Abel dio comienzo al exhaustivo trabajo de Sylow sobre
la obra de Abel que culminariacutea con la edicioacuten de las obras de este
tarea que llevoacute a cabo junto a Sophus Lie
En el curso 1862-63 el profesor de matemaacuteticas de la Universidad
de Cristianiacutea Ole Broch fue elegido miembro del parlamento noruego
y Sylow fue llamado para impartir un ciclo de conferencias
Sophus Lie
Marius Sophus Lie (1842-1899) nacioacute 13 antildeos despueacutes de la
muerte de Niels Abel en Nordfjordeide Noruega Al igual que
Abel era hijo de un pastor luterano Sophus queriacutea seguir una
carrera militar pero teniacutea problemas de visioacuten por lo que
ingresoacute en la Universidad de Cristianiacutea Es entonces en 1862
cuando asiste a las conferencias que imparte Sylow Tambieacuten
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238 Preparado por Patricio Barros
asistioacute a clases de matemaacuteticas impartidas por Cari Bjerknes
pero hasta el momento de su graduacioacuten en 1865 no habiacutea
mostrado habilidad o intereacutes especial por las mismas
Es alrededor de 1866 cuando su
intereacutes cambia En 1867
despueacutes de tener seguacuten eacutel
mismo lo cuenta ldquouna brillante
idea matemaacutetica nueva decidioacute
que su camino eran las
matemaacuteticas
Alrededor de 1868 su intereacutes se
reafirma al comenzar a leer los
trabajos de Pluumlckery Poncelet
sobre geometriacutea Obtuvo el
doctorada en 1872 e inmediatamente la Universidad de
Cristianiacutea creoacute una plaza de profesor para eacutel que ocupariacutea
desde el otontildeo de 1872 hasta el verano de 1886 Con una
plaza fija y un prestigio profesional en ascenso Lie se casoacute en
1874 con Anna Birch y tuvo 3 hijos
En 1886 Lie a instancias de su amigo Feacutelix Klein pasoacute a
ocupar la plaza que el mismo Klein dejara vacante en Leipzig
para trabajar en Gotinga No obstante tener mejores
condiciones de vida y trabajo y estar menos aislado que en
Cristianiacutea ya que su fama era notable y muchos estudiantes
veniacutean a estudiar con eacutel sentiacutea antildeoranza por su Noruega
natal La Academia de Ciencias de San Petersburgo lo nombroacute
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239 Preparado por Patricio Barros
miembro correspondiente en 1896 y en 1897 la Sociedad
Fiacutesico-matemaacutetica de Kazaacuten le otorgoacute el premio Lobachevski
por sus trabajos de aplicacioacuten de la teoriacutea de grupos a la
fundamentacioacuten de la geometriacutea no euclidiana En 1898
regresoacute a Cristianiacutea para ocupar una plaza especialmente
creada para eacutel Ya estaba muy enfermo y fallecioacute de anemia
perniciosa en febrero del siguiente antildeo
El tema era ldquoEcuaciones algebraicas y sustitucionesrdquo y se proponiacutea
como objetivo explicar lo fundamental de los enfoques de Abel y
Galois para la teoriacutea de ecuaciones Sophus Lie el otro heacuteroe de
esta parte de la historia entonces un estudiante de 20 antildeos asistioacute
a dichas conferencias y este fue su primer encuentro con la teoriacutea
de grupos
Las investigaciones posteriores de Sylow lo llevariacutean a los teoremas
que hoy se conocen con su nombre Los teoremas de Sylow son una
herramienta fundamental en el trabajo con grupos finitos y de ahiacute
para la solubilidad de ecuaciones Aunque el intereacutes principal de
Sylow era la teoriacutea de grupos tambieacuten escribioacute sobre funciones
eliacutepticas Realmente son pocos los matemaacuteticos del siglo XIX que no
hicieron alguna incursioacuten en la teoriacutea de las funciones abelianas
sect Sophus Lie
Lie publica a sus expensas en 1869 un breve trabajo matemaacutetico
sobre la idea de considerar geometriacuteas tomando liacuteneas en lugar de
puntos Al igual que hizo Abel con su trabajo inicial sobre la
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240 Preparado por Patricio Barros
insolubilidad de la quiacutentica Lie preparoacute una versioacuten maacutes detallada
pero no logroacute que la Academia de Ciencias de Cristianiacutea aceptara
publicar su trabajo Tambieacuten como Abel fue en el Journal de Crelle
donde consiguioacute la divulgacioacuten de su obra El impacto de este
artiacuteculo hace que obtenga una beca para viajar y conocer a los
principales matemaacuteticos de la eacutepoca
Klein
Feacutelix Chriacutestian Klein (1849-1925) nacioacute en Dusseldorf
(Alemania) donde estudioacute la ensentildeanza secundaria Luego
pasariacutea a la Universidad de Bonn para estudiar matemaacuteticas
y fiacutesica durante los antildeos 1865-1866 Pluumlcker dirigioacute su tesis
de doctorado sobre geometriacutea de liacuteneas (en su geometriacutea sus
objetos eran liacuteneas y no puntos como habiacutea hecho Lie) y sus
aplicaciones a la mecaacutenica Obtuvo su tiacutetulo de doctor en
1868 antildeo en el que fallece Pluumlcker dejando la mayoriacutea de su
trabajo en geometriacutea de rectas incompleto A Klein le fue
asignada la tarea de hacer las adiciones necesarias al
segundo volumen aun no publicado del trabajo de Pluumlcker
En 1869 visita Berliacuten Pariacutes y Gotinga En 1872 es nombrado
profesor en Erlangen (Baviera) con soacutelo 23 anos
Posteriormente lo seraacute en el Instituto superior Teacutecnico de
Muumlnich desde 1875 En este antildeo se casa con Anneacute Hegel
nieta del conocido filoacutesofo En 1880 es nombrado catedraacutetico
de geometriacutea en Leipzig donde permaneceraacute hasta 1886 antildeo
en que acepta un puesto en la Universidad de Gotinga en la
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241 Preparado por Patricio Barros
cual continuaraacute hasta su retiro en 1913
En Gotinga Klein establecioacute un centro de investigacioacuten que
sirvioacute de modelo a los mejores centros de investigacioacuten
matemaacutetica en el mundo Tambieacuten contribuyoacute a la fama de la
revista Mathematische Annalen siendo su editor principal
desde 1876 Los primeros descubrimientos importantes de
Klein fueron hechos en 1870 en colaboracioacuten con
Sophus Lie que jugoacute un importante papel en el desarrollo de
Klein al introducirle en las investigaciones sobre teoriacutea de
grupos El trabajo en el cual Klein da su concepcioacuten de la
geometriacutea como el estudio de las propiedades de un espacio
que son invariantes bajo un grupo de transformaciones dado
conocido como Programa de Erlangen (1872) tuvo profundas
consecuencias en el desarrollo futuro de las matemaacuteticas
Klein estuvo interesado en el problema de resolver la quiacutentica
mediante meacutetodos trascendentes lo que le llevoacute a considerar
funciones eliacutepticas modulares Tambieacuten desarrolloacute una teoriacutea
de funciones automorfas Dedicoacute muchos esfuerzos por
perfeccionar la ensentildeanza de las matemaacuteticas y fue elegido en
el Congreso de Matemaacuteticos celebrado en Roma en 1908 como
primer presidente de la Comisioacuten Internacional de Instruccioacuten
Matemaacutetica
A finales de 1869 visita Gotinga y Berliacuten en esta uacuteltima ciudad
conoce a Kummer y a Weierstrass Se interesa maacutes por los trabajos
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242 Preparado por Patricio Barros
de Kummer sobre aacutelgebra que por los analiacuteticos de Weierstrass
pero sin desdentildearlos
Sylow y Lie revisaron los manuscritos originales traduciendo al
franceacutes aquellos trabajos que fueron publicados en noruego y
corrigiendo algunos de los que fueron publicados en alemaacuten por
Crelle ya que seguacuten ellos algunas correcciones de estilo de la
versioacuten en alemaacuten de Crelle modificaban el sentido de lo que Abel
habiacutea querido expresar Escogieron el franceacutes para su edicioacuten de las
obras completas para dar una unidad linguumliacutestica a la edicioacuten en
correspondencia ademaacutes con que muchos trabajos fueron
redactados en franceacutes por el propio Abel
En el tomo II donde Sylow y Lie incluyen las obras poacutestumas de
Abel los extractos de cartas y las notas de los editores se incluye
tambieacuten un compendio de todos los manuscritos de Abel auacuten
existentes destacando que en un protocolo completado por Abel
despueacutes de agosto de 1826 habiacutean encontrado pruebas de que Abel
trabajoacute sobre la teoriacutea de las funciones eliacutepticas en Pariacutes a fines de
1826 lo cual concuerda con lo que Abel le dice a Holmboeuml en una
carta incluida en dicho tomo II Comentarios similares hacen los
editores en el prefacio con respecto a que en las cartas a Holmboeuml
aparece que en 1823 ya Abel habiacutea considerado la funcioacuten inversa
de la integral eliacuteptica de primera especie pero sentildealan que tambieacuten
en aquel momento Abel auacuten no dominaba las contradicciones que
habiacutea encontrado en sus investigaciones al respecto Ellos
reconocen a Abel como el primero en descubrir las funciones
eliacutepticas propiamente dichas
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243 Preparado por Patricio Barros
Ambos matemaacuteticos Sophus Lie y Ludwig Sylow aunque no
podamos decir que fueron disciacutepulos directos de Abel son herederos
legiacutetimos de su espiacuteritu matemaacutetico por su profundo trabajo en la
edicioacuten de sus obras completas por la importancia de sus hallazgos
y por continuar desarrollando la investigacioacuten matemaacutetica en su
paiacutes
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244 Preparado por Patricio Barros
Cronologiacutea
1789 Toma de la Bastilla
Nace Cauchy (1789-1857)
1797 Lagrange (1736-1813) publica su Teoriacutea de las funciones
analiacuteticas
1799 Paolo Ruffini (1795-1822) afirma haber probado la
insolubilidad de la quiacutentica mediante radicales
Coya (1746-1828) termina El suentildeo de la razoacuten produce
monstruos Schiller (1759-1805) termina la trilogiacutea histoacuterica
Wallenstein
1800 Soslashren Georg Abel se casa con Anne Marie Simonsen (1781-
1846) Es nombrado vicario de las pequentildeas islas de Finnoy
tiene su primer hijo Hans Mathias (1800-42)
1801 Aparecen las Disquisitiones arithmeticae de Gauss (1777-1855)
1802 El 5 de agosto nace Niels Henrik Abel en Nedstrand en la
parroquia de Finnoy
Nace Alejandro Dumas (1802-1870)
Nace Viacutector Hugo (1802-1885)
1803 Beethoven (1770-1827) termina su Sinfoniacutea ndeg 3 Heroica
1804-15 Soslashren Georg Abel sucede a su padre como vicario de la
parroquia de Gjerstad Destaca por su trabajo social y deviene
representante local (senador) en el primer parlamento noruego
durante el otontildeo de 1814
1809 Goethe (1749-1832) publica Las afinidades electivas
1810 Gergonne (1771-1855) publica su primer volumen de los
Anuales de math pureacutes et appliqueacutees
1811 Nace en Bourg-La Reine Eacutevariste Galois (1811-1832)
1815 Niels Henrik es un alumno de la Escuela Catedral de
Cristianiacutea Cauchy publica su memoria ldquoSobre el nuacutemero de
valores que una funcioacuten puede alcanzar cuando se permutan
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245 Preparado por Patricio Barros
de todas las formas posibles las cantidades que ella envuelverdquo
Los Cien Diacuteas de Napoleoacuten Bonaparte (1769-1821) y su exilio
definitivo en la isla de Santa Elena
1816 Se estrena El barbero de Sevilla de Rossini (1792-1868)
1818 Bernt M Holmboeuml (1795-1850) es nombrado profesor de la
Escuela Catedral
Caspar David Friedrich (1774-1840) pinta Viajero junto al mar
de niebla y Mujer frente al sol poniente
1820 Soslashren Georg Abel es castigado como teoacutelogo y es declarado
inepto como poliacutetico Muere en mayo
Alexandr Pushkin (1799-1837) escribe su Oda a la libertad
1821 Niels Abel cree haber resuelto algebraicamente la ecuacioacuten de
quinto grado Aprueba el examen de ingreso a la Universidad
de Cristianiacutea
Se publica el Anaacutelisis algebraico de Cauchy
1823 El primer artiacuteculo de Abel es publicado en Cristianiacutea El
profesor de matemaacuteticas Soslashren Rasmussen (1768-1850) le paga
un viaje a Copenhague se encuentra con la joven que seraacute su
novia Christine Kemp (1804-1862)
1824 Decide publicar con sus propios recursos el artiacuteculo sobre la
imposibilidad de resolver algebraicamente la quiacutentica
En las navidades formaliza el noviazgo con Christine Kemp
Beethoven termina su Novena Sinfoniacutea
1825 Abel escribe al rey con la peticioacuten de recibir una bolsa de viaje
En septiembre inicia el viaje por Alemania y Francia En Berliacuten
encuentra a August L Crelle (1780-1855)
1826 Aparece el primer nuacutemero de la Revista de matemaacuteticas puras y
aplicadas que posteriormente seraacute conocida como el Journal
de Crelle En el primer nuacutemero aparece un artiacuteculo de Abel
titulado ldquoDemostracioacuten de la imposibilidad de la resolucioacuten
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246 Preparado por Patricio Barros
algeacutebrica de las ecuaciones que superan el cuarto gradordquo
En Pariacutes Abel termina una larga memoria sobre integrales
hipereliacutepticas y la entrega al Instituto de Francia donde
languidece entre los papeles de Cauchy sin ser leiacuteda
1827 Durante los primeros diacuteas de enero retorna cansado y
empobrecido a Berliacuten Encuentra un trabajo de gobernanta
para su novia en Froland poblado minero en la costa sureste
del fiordo de Cristianiacutea
Se publican los primeros artiacuteculos sobre funciones eliacutepticas de
Abel y Jacobi
1828 Su situacioacuten econoacutemica mejora algo al ser aceptado como
profesor asociado en la universidad como sustituto temporal
del profesor Hansteen que parte en una expedicioacuten a Siberia
Crelle trata persistentemente de conseguir un puesto para Abel
en Berliacuten
1829 Durante 12 semanas permanece enfermo en cama en Froland
Tiene tuberculosis En febrero aparece en el Journal de Crelle
un trabajo titulado ldquoMemoria sobre una ciase particular de
ecuaciones algebraicamente solublesrdquo en el que estudia la
solubilidad de clases particulares de ecuaciones
Se publica ldquoDemostracioacuten de una propiedad general de una
cierta clase de funciones trascendentesrdquo
Muere el 6 de abril Dos diacuteas despueacutes llega la noticia de Crelle
de que estaacute aprobada la plaza de profesor en Berliacuten para Abel
En Pariacutes su memoria perdida y olvidada sobre integrales
hipereliacutepticas es encontrada y leiacuteda con gran admiracioacuten
Aparecen los Nuevos fundamentos de las funciones eliacutepticas
obra cumbre de Jacobi
Galois somete a la Academia de Pariacutes el primer trabajo sobre
una teoriacutea general de las ecuaciones algebraicas