el rol de algunas categorías del conocimiento matemático en

Revista Latinoamericana de Investigación en

Matemática Educativa

ISSN: 1665-2436

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Comité Latinoamericano de Matemática

Educativa

Organismo Internacional

Cordero Osorio, Francisco

El rol de algunas categorías del conocimiento matemático en educación superior. Una

socioepistemología de la integral

Revista Latinoamericana de Investigación en Matemática Educativa, vol. 8, núm. 3, noviembre, 2005,

pp. 265-286

Comité Latinoamericano de Matemática Educativa

Distrito Federal, Organismo Internacional

Disponible en: http://www.redalyc.org/articulo.oa?id=33508303

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El rol de algunas categorías del conocimiento

matemático en educación superior.

Una socioepistemología de la integral

Francisco Cordero Osorio1

RESUMEN

Los estudios socioepistemológicos han creado categorías del conocimiento matemáticoen educación superior. Discutimos en este artículo cómo tales categorías son evidenciasde las producciones del conocimiento institucional, situación que ofrece marcos dereferencias para hacer de la matemática un conocimiento funcional como finalidaddidáctica. Tomamos como ejemplo al Cálculo Integral (CI), del cual estudiamos sus usosen el discurso matemático escolar, donde se resignifica al debatir entre susfuncionamientos y formas al paso de la vivencia escolar. En ese sentido, lo institucional,en esta investigación, será aquello que hace que el CI se desarrolle y se acepte comoproducto material social que tenemos que enseñar y aprender.

PALABRAS CLAVE: Socioepistemología, categorías del conocimiento,producción del conocimiento institucional, conocimiento funcional, acumulación,predicción, resignificación, argumentación y uso del conocimiento.

ABSTRACT

The socioepistemological studies have created categories of mathematical knowledgein higher level education. In this article we discuss how these categories are evidence ofthe production of institutional knowledge, situation which offers frames of reference tomake of mathematics a functional knowledge as a didactic result. We take as an exampleIntegral Calculus (IC) from which we study its purpose in the school mathematicaldiscourse where it acquires a redefinition as it debates between its functions and formsas it goes through the school experience. In this sense, that which is institutional, in thisinvestigation, will be what makes IC develop and be accepted as a social material productwhich we have to teach and learn.

KEY WORDS: Socioepistemology, categories of mathematical, production ofinstitutional knowledge, functional knowledge, accumulation, prediction,redefinition, arguments and utility of the knowledge.

265Relime Vol. 8, Núm. 3, noviembre, 2005, pp. 265-286.

1

Fecha de recepción: Mayo de 2005 /Fecha de aceptación: Octubre de 2005

Departamento de Matemática Educativa. Centro de Investigación y de Estudios Avanzados del IPN. México.

Relime

RESUMO

Os estudos socioepistemológicos têm criado categorías de conhecimento matemáticoem educação superior. Discutimos neste artigo como tais categorias são evidências dasproduções do conhecimento institucional, situação que oferece marcos de referênciaspara fazer da matemática um conhecimento funcional como finalidade didática. Tomamoscomo exemplo o Cálculo Integral (CI) e estudamos suas utilizações no discursomatemático escolar onde se resignifica ao debater entre seus funcionamentos e formasna vivência escolar. Nesse sentido, o institucional, nesta investigação, será aquilo quefaz que o CI se desenvolva e se aceite como produto material social que temos queensinar e aprender.

PALAVRAS CHAVES: Socioepistemologia, categorias do conhecimento,produção do conhecimento institucional, conhecimento funcional, acumulação,predição, resignificação, argumentação e uso do conhecimento.

RÉSUMÉ

Les études socioépistémologiques ont crée des catégories de la connaissancemathématique dans l’éducation supérieure. Dans cet article nous présentons commentde telles catégories sont l’évidence des productions de la connaissance institutionnelle,situation qui nous offre un cadre de références pour notre objectif didactique, c’est-à-dire faire de la mathématique une connaissance fonctionnelle. Nous prenons commeexemple le Calcul Intégral (C.I.) duquel nous étudions ses usages dans le discoursmathématique scolaire où il change de signification lorsqu’il débat entre sesfonctionnements et ses formes au cours des années scolaires. Dans ce sens,l’institutionnel dans cette recherche sera ce qui a fait que le C.I. se développe, s’acceptecomme un produit matériel social que nous devons enseigner et apprendre.

MOTS CLÉS: Socioépistémologie, catégories de la connaissance, production dela connaissance institutionnelle, connaissance fonctionnelle, accumulation,prédiction, resignification, argumentation et usage de la connaissance.

266

INTRODUCCIÓN

En este artículo discutimos la articulaciónde algunos elementos conceptuales quela socioepistemología ha producido paraatender la problemática en educaciónsuperior, aplicándolos al calculus,particularmente al desarrollo conceptual dela integral.

Antes de seguir adelante, convieneestablecer algunos preliminares.

El uso de la concepción matemáticaavanzada escolar, para nuestra discusión,tiene el propósito de distinguir entre“aquella matemática” que se discute en las

267

escuelas y “aquella” que se discute en laciencia. Ahora bien, el adjetivo avanzadomatiza la noción, prevaleciente en losprofesores, de la matemática que seenseña en los niveles superiores delsistema educativo. Desde tal óptica, elestatus del Calculus representa elcontenido nuclear del currículo escolar, esdecir, la matemática que se enseña previaal Calculus es el conocimiento necesario–y, por ende, básico– para acceder al deíndole superior.

Esto conlleva a precisar, en los niveles delas acciones didácticas, que la matemáticaprevia al Calculus se basa en un “modelodidáctico” –no definido claramente–,mientras que la superior en uno decarácter axiomático, a pesar de losesfuerzos por formular un “modelodidáctico”. El sentido que le damos a“modelo didáctico” consiste en reconocerlas afectaciones que las investigacionesde la matemática educativa han hecho enlos programas curriculares. Por ejemplo,los niveles básicos han logradodesprenderse en parte del modeloaxiomático, el desarrollo de las accionesdidácticas va encaminado a atender alaspecto psicogenético y, en otros casos,también al epistemológico, lo cual sepuede apreciar en los programas delcurrículo escolar y en los libros de texto,como muestran los trabajos de Poirier yBednarz (1991), Bednarz y Dufour-Janvier(1991), Nemirovsky (1990), Nemirovsky yTierney (1991), Flores, et al. (1992), yFlores y Cordero (2005). Sin embargo, noocurre lo mismo en el nivel superior.

Si bien es cierto que aún no se ha logradoel “modelo didáctico” en el nivel superior,hay avances significativos al respecto.Actualmente se ha logrado identificar uneje que caracteriza a dicho nivel, el cualtendrá que confrontarse con el “modelodidáctico”.

A continuación, describiremos tresaspectos principales del eje mencionado:

a)El primero es enfocado hacia lacomunicación (difusión), cuyapeculiaridad radica en que el modeloaxiomático normó la construcción de unparadigma de la enseñanza de lamatemática a través de sucomunicación, principalmente laescrita. Aquí, el libro de texto juega unpapel importante dentro del paradigma.Los conceptos matemáticos sonconsiderados como conocimiento yahecho; además, la didáctica se basaen la idea de que el conocimiento esacumulativo y con cierto carácterutilitario. Tal vez por ello resulta comúnencontrar en la matemática escolar, alfinal de un tema, una sección llamada“aplicaciones”, con el propósito dejustificar su “utilidad”: al exhibir laaplicación del tema, se reflejaría lanecesidad de aprenderlo. Esta clase decomunicación ha cautivado un discursomatemático en la enseñanza, al quenos referiremos en adelante comodiscurso matemático escolar (dme), encongruencia con los trabajos de Imaz(1987) y Cantoral, et al. (1990a). Unfenómeno que ha provocado el dme esque no considera al estudiante, de ahíque sea un paradigma vertical. Lacaracterística principal del dme es suinvariancia ante cualquier discusióndidáctica.

b)Un segundo aspecto es que en lamatemática escolar no hayconsideraciones sobre los significadosde los objetos matemáticos, ni sobrelas situaciones y actividades quepudieran favorecerlos. Se plantea,entonces, instaurar formas paraconsolidar los estudios sobre laidentificación de patrones deconstrucción del conocimiento

El rol de algunas categorías del conocimiento matemático en educación superior. Una socioepistemología de la integral

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matemático y de las causas que losnorman [Cantoral (2001), Cordero(2003) y Farfán (1997)].

c)El tercer aspecto consiste en lanecesidad de lograr que el estudio dela enseñanza de la matemática impacteen la enseñanza, es decir, querealmente se vea un rediseño del dme.Desarrollar, tal vez, una especie demarco metodológico que relacione“tangiblemente” el estudio de laenseñanza y la enseñanza.

Ahora bien, la práctica docente, el estudioepistemológico y el quehacer científicocarecen de una articulación real. Es comúndetectar en las nociones y las creenciasde algunos profesores de matemáticas unaespecie de fenómeno, que convenimos enllamar “aplastamiento epistemológico”, yconsiste en reparar que lo que les hapermitido tener éxito en su conocimientoes haberse encontrado con un profesorparticular que supo conducirlosexitosamente a ese saber.

La estructura de este trabajo se apoya enuna pregunta principal: ¿Cómo enlazar lospatrones de construcción identificados enla organización de los grupos humanoscon los procesos enseñanza-aprendizajeen el salón de clases? Tomamos como ejeorganizador el empleo de elementosepistemológicos del conocimiento en lasproducciones y difusiones institucionales,que explicaremos en las seccionessubsiguientes.

ASPECTOS DE LASOCIOEPISTEMOLOGÍA

La socioepistemología es unaaproximación teórica que incorpora demanera sistémica cuatro componentes conla intención de desarrollar el pensamiento

matemático de los estudiantes. Se basaen un marco teórico que permite tratar conlos fenómenos de producción y de difusióndel conocimiento matemático desde unaperspectiva múltiple, al incorporar elestudio de las interacciones entre laepistemología del conocimiento, ladimensión sociocultural del saber, losprocesos cognitivos que le son asociadosy los mecanismos de institucionalizaciónvía la enseñanza (Cantoral y Farfán, 2004).

Su formulación abre un panorama distintoy amplio con respecto a las perspectivasepistemológicas del conocimientotradicional. No basta con entender que elconocimiento es un sistema complejo deconceptos, sino más bien –de aquí laampliación– habrá que entender porqué seconstituyen socialmente tales sistemas. Enotras palabras, ¿por qué los gruposhumanos tuvieron o tienen que hacer“ciertas cosas” para haber construido oconstruir cierto sistema complejo deconceptos?

La socioepistemología, comoaproximación teórica, considera a lasprácticas sociales como “ciertas cosas”que hacen los grupos humanos paraconstruir conocimiento. En ese sentido, lapráctica social norma la construcción delconocimiento, es decir, manifiesta suconstitución social (para una discusiónamplia sobre el papel normativo de lapráctica social ver Covián, 2005).

Bajo tal visión se ha podido entender quelos conceptos matemáticos no sólo se danen el dominio matemático, sino tambiénocurren en otras prácticas de referencia;este hecho es propio de la problemáticaen educación superior, como ya hanprecisado Cantoral y Farfán (2003). Es asícomo las investigacionessocioepistemológicas han ayudado aprecisar que dicha problemática se trata

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de la ausencia, en matemática escolar, demarcos de referencia que permitanresignificar el conocimiento matemático(Buendía y Cordero, 2005).

Con esta problemática, nuestrainvestigación propone precisar otro marcode referencia enfocado a lo que pudieraser el conocimiento institucional, el cualexplique al Cálculo Integral (CI) como unamanifestación de sus usos en el discursomatemático escolar, donde se resignificaal debatir entre sus funcionamientos yformas al paso de la vivencia escolar. Enese sentido, lo institucional será aquelloque hace que el CI se desarrolle y seacepte como producto material social quedebemos enseñar y aprender.

La hipótesis anterior implicó conocer cómovive el CI en el discurso matemáticoescolar. Para ello, marcamos dosdirecciones: una, evidenciar dichahipótesis en los libros de texto escolar,tanto antiguos como aquellos de usocomún en las prácticas de los docentes,al igual que en las obras originales de laTeoría de la Integral (Cauchy, Riemann,Lebesgue y Denjoy); otra, analizar lasresignificaciones a partir de dos categoríasde elementos: a) contextos yprocedimientos y b) desarrollo de usos.

LOS CONCEPTOS MATEMÁTICOS ENLA ENSEÑANZA DEL NIVEL

SUPERIOR

Como preámbulo a este apartado,queremos señalar el estatus de losconceptos del Calculus en la enseñanza,con relación a las investigaciones de lamatemática educativa en el mundo.

A pesar de la existencia de resultados enla investigación de la matemática

educativa, todavía hallamos un énfasissignificativo en los aspectos formales de losconceptos del Calculus en los programascurriculares, que dejan de lado lasdimensiones epistemológicas y cognitivas.La derivación y la integración, conceptosfundamentales, son explicados a través delas concepciones de límite y función,acompañados de sus representacionesgeométricas: la recta tangente a una curvaen un punto considerado y el área bajo lacurva de una función positiva en unintervalo considerado.

Tal estatus genera una “cultura” en elprofesor y el estudiante, donde “aprendena decir” lo que es la derivada y la integral ya representarlas geométricamente, sintener una comprensión que les permitaestudiar fenómenos de variación continua.Por lo general, conciben al Calculus comouna herramienta que los provee dealgoritmos eficientes, a los cuales, aposteriori, se les busca alguna aplicación.Esa concepción, en el mejor de los casos,provoca de un buen desarrollo de losprocedimientos analíticos de los conceptosy logra matizarlos en los dominios de lasfunciones; sin embargo, muchas veces secree que aquellos procedimientossustituyen cualquier otro tipo deprocedimientos, como los intuitivos y losvisuales, debido a que el estatus favorecela consideración de los conceptosmatemáticos como objetos ya hechos, sinreparar en que pueden ser construidos porlos estudiantes de manera funcional paraque traten con distintas clases desituaciones.

En adelante, vamos a referirnos al estudiosobre la construcción de la noción deintegración que aparece en Cordero(1991a, 1991b y 2003), la cual juega unpapel importante en el desarrolloconceptual del Calculus. Dicho trabajo nosólo sería un ejemplo particular, sino


Relime

que se favorece la identificación ofabricación de un patrón, el cual se puedetrazar de la siguiente manera: Dada lafunción f = F´, reproducir la función de lacual se derivó f.

La afirmación anterior es un patrón queresulta ser el “molde” de las aplicacionestípicas de la integración (Cordero, 1991ay 1991b). Sin embargo, las concepcionesde los profesores y estudiantes creen enla importancia del “molde”, lo reconocencomo un instrumento eficiente para“resolver” las aplicaciones y “calcular” lasintegrales definidas, aunque no es del todoclara la relación entre el patrón y el“molde”.

Para ahondar en las concepciones de estepatrón en los profesores y estudiantes,aplicamos una encuesta cuyas preguntasmás significativas trataron sobre:

a) La definición de la integralb) El área bajo una curvac) El cálculo de primitivas

Acerca de la primera pregunta, hallamosque tanto el profesor como el estudiantese inclinan más por describir la definiciónde la integral por medio de la “resta”

,en lugar de considerarla

como “el límite de una suma”,

. Dependiendo

de la experiencia sobre este límite,algunos lo refieren sólo a , sinhacer m ención acerca de la partición delintervalo ,mientras que otros elaboranuna explicación que considera tal aspectoy la relaciona con y .Escasamente se llega a mencionar lanorma de la partición .

No obstante, los que describen ladefinición por la “resta” no alcanzan areconocer la relación que guardan las

fdx F b F aa

b= −∫ ( ) ( )

tal que en

270

también estableció las consideracionesgenerales que estamos exponiendo, unavez que se miró al concepto de integralcomo objeto de conocimiento.

Por otra parte, la investigación en lamatemática educativa formula preguntassobre qué y cómo enseñar los conceptosmatemáticos, cuáles son las concepcionesde los estudiantes y los profesores antesy después de una experiencia escolar, aligual que las prácticas de los gruposhumanos ante el conocimiento, susrepresentaciones espontáneas –perotambién institucionales– clasificadas enverbales, simbólicas y figurales, así comolas situaciones que las favorecen.

El estatus del Calculus y susinvestigaciones en el seno de lamatemática educativa tienen en comúnque los conceptos matemáticos sontratados de acuerdo con el dme. Comoejemplo, mostramos a continuación unestado sobre la concepción de la integralen profesores y estudiantes después deuna experiencia escolar normada por eldme.

Partimos de una expresión matemáticabien conocida, que aparece en los textosde Cálculo, cuyos símbolos usuales son:

f x dx F b F aa

b( ) ( ) ( ),= −∫ F f'= a b,[ ]

y su modelo geométrico cuando f ≤ 0

el área bajo lacurva

En general, tanto en la expresión simbólicacomo en la geométrica, la función f esconsiderada continua. Una consecuenciade esta visión en la integral consiste en

f x dx lím f xna

b

ii

n

( ) ( )=→∞

=∫ ∑ ε ∆

1

n→∞

a b,[ ]

n→∞ ∆x→ 0

P → 0

funciones f y F: f = F´, en el sentido delTeorema Fundamental del Cálculo;quienes la reconocen, la aceptan comocomprobación del cálculo de la integral.

Con respecto al área bajo una curva,identificamos que los profesores yestudiantes aprenden a “decir” que la“resta” calcula el área bajo la curva, perono pueden explicar porqué. Cuandoconsideran rectángulos de tal suerte quealcancen la región, se trata de unargumento visual que ambos puedenreproducir acertadamente; la dificultad sepresenta con la igualdad de la “resta”

¿ ?

Y en el tercer aspecto, el cálculo deprimitivas, lo entienden como unprocedimiento algebraico, dondeconsideran que el cálculo de primitivasconlleva a dificultades algebraicas en laenseñanza y el aprendizaje (Artigue,1998).

Un hecho relevante en las investigacionesde la matemática educativa es que ha

habido una centración en el

cuando se aborda el concepto de laintegral (véase por ejemplo, el trabajo deOrton (1983).

Otro enfoque a estos estudios puedeformularse si consideramos a losconceptos en el plano de losresignificados, donde entendemos comoresignificado al uso del conocimiento delos grupos humanos en una situaciónespecífica. Sin embargo, la matemáticaescolar en el nivel superior margina dichoplano, lo cual conlleva a realizarinvestigaciones que rindan cuentas sobreel modelo que explique la adquisición deresignificados efectuada por los gruposhumanos en sus prácticas institucionales

(Arrieta, 2003; Buendía, 2004; Cantoral,2001; Cordero, 2003; Farfán, 1997;Castañeda, 2004; Martínez, 2003).

Con tal propósito, las resignificaciones sonestudiadas a través de los patrones deconstrucción de los grupos humanos y delas situaciones que los favorecen, vistocomo un sistema. La manera comodecidimos concebir a los patrones deconstrucción en este trabajo es que elpatrón, de algún modo, representa una ideaque prevalece independientemente delcontexto de la situación y será consideradoen la construcción, cuando el grupohumano logra desarrollar el uso de suconocimiento. Para el análisis de lasresignificaciones, establecimos doscategorías de elementos: a) contextos yprocedimientos y b) desarrollo de usos.

Las dos formas anteriores requieren deexplicación, y las ubicaremos con base enel estudio de la integral con el propósito dehacer ver el alcance que brinda estaperspectiva. Además, por necesidad dedescribirlas las hemos separado, pero parasus explicaciones es necesarioconsiderarlas enlazadas.

CONTEXTOS Y PROCEDIMIENTOS

En este punto, importa comprender lainteracción entre los procedimientosusados y las características particulares delos objetos con que se trabajan. Loscontextos van a ser los entornos desituación donde se considera un hecho,mientras que los procedimientos serán lasformas de organización. Susidentificaciones pueden brindar nuevasperspectivas para las acciones didácticasy la cobertura de ciertos contenidosmatemáticos.

Por ello, al considerar el estudio del

" ( ) " ( ) ( )lím f x f b F an

ii

n

→∞=

= −∑ ε ∆1

" ( ) "lím f xn

i

n

→∞=∑ ε ∆ 11

271El rol de algunas categorías del conocimiento matemático en educación superior. Una socioepistemología de la integral

Relime272

desarrollo de la teoría de la integración nose preguntó sobre la evolución de suestructura, sino sobre sus procedimientosde evolución. Esto es, ¿cómo se constituyóel desarrolló la teoría de integración? Elenfoque se aproxima, en definitiva, a unestudio de corte socioepistemológico.

Entonces, ¿qué habría que mirar? ¿A laresignificación del límite de la suma

o a la de la resta F(b) - F (a)?

Además, ¿cuál es el patrón deconstrucción de la teoría de integración?

Al analizar al discurso matemático escolary a la producción científica se identifica a

la resta

como el patrón

" ( ) "lím f xn

i

n

→∞=∑ ε ∆ 11

fdx F b F aa

b= −∫ ( ) ( )

de construcción de la teoría de integración(Cordero, 2003; Muñoz, 2000). Seestudiaron los libros de textos antiguos,pero también al producto científico (en estecaso, la física). El patrón aparece másexplícito en este último, asociado a unanoción de acumulación de lo que fluye enuna región (Green, 1828; Maxwell, 1873,entre otros); además, se logró undesarrollo del uso del patrón. Siendo así,parece conveniente mantenerlo en elproceso de construcción de la teoría deintegración.

Como el patrón es una idea básicafundamental para la construcción de lateoría de integración, en su desarrolloaparecen nuevos contextos –y, por lotanto, nuevos procedimientos paraconservar al patrón–; todo en su conjuntoes una resignificación del conocimiento dela integral. Es por ello que encontramosen los textos, antes del de Cauchy (véasepor ejemplo Lacroix (1837)), que la integralaparece como un concepto relativo a undiferencial dado: “la cantidad (que cambiacontinuamente), que por su diferenciación(variación) produce un diferencialpropuesto, se llama integral de ese

diferencial”. El contexto viene siendo lanoción de variación continua y la manerade organizar su reconstrucción se da através de una estructura preconcebida,cuya norma tradicionalmente generadiscusión en el Cálculo Integral (Cordero,1989 y 2003):

cantidad variable variación cantidad variable

En la integral en Cauchy (1882) hallamosun contexto nuevo, función y continuidad,donde el procedimiento que se derivaconsiste en mirar el dominio de la función.Un aspecto importante es la construcciónde argumentos analíticos: la definición de

límite de la suma

→ →

lím f xn

i

n

→∞=∑ ( )ε ∆ 11

y la existencia de la función primitiva (unadiscusión más detallada puede verse enCordero 1989; 1991a; 1991b y 2003).

En la integral de Riemann (1898), elcontexto viene a ser una nueva clase defunciones discontinuas que provee unprocedimiento para resignificar ladistribución de puntos en el intervalo deintegración donde es discontinua lafunción. Por el contexto y el procedimientose da una ruptura en la estructura de laintegral, un aspecto importante para eldesarrollo de la teoría de integración(Cordero, 1989; 1991a; 1991b y 2003).

Con Lebesgue (1926) se subsana en partela ruptura, el concepto de medida cero(nuevo contexto) cambia la manera demirar los puntos de discontinuidad. Elprocedimiento determina un nuevo rumbode la integración y del análisis matemático(Cordero, 1989; 1991a; 1991b y 2003).

Y, por último, con las propiedades demedida y continuidad de Luzin y con lateoría de las totalizaciones de Denjoy sellega a subsanar totalmente la estructura

273

inicial de la integral (para una discusióncon detalle consultar Cordero, 1988 y2003).

En resumen, se desarrolla una teoría deintegración para conservar el patrón.Al ser resignificado, adquiere nuevas

definiciones yconceptos, siendo los más significativoslas cantidades variables y las funciones ysus formas de organización, en laestructura de variación y dominio defunción:

Cantidades variables:Funciones: dominio {densidad ymedida cero

DESARROLLO DE USOS

En forma sucinta, exhibimos el desarrollode los usos de la integral en su tradicióndidáctica, agrupándolos en dos clases(una discusión amplia al respecto se puedeconsultar en Cordero, 2003):

Cantidades que cambian continuamentecon respecto a uno o varios parámetros.Funciones de variable real, compleja yclase de funciones.

Cada una de ellas define su propiodiscurso sui generis de su uso.

La primera descansa en el estudio delmovimiento asociado al interés porcomprender el estado natural de unfenómeno. Entonces, hallamos en lostextos antiguos de Cálculo que la base desu discurso está representada porcantidades que varían continuamenterespecto a uno o varios parámetros, siendoéstos los que coordinan el movimiento. Laforma del movimiento o variación esexpresada por la relación lineal que

f x dx F b F aa

b( ) ( ) ( )= −∫

x dx x→ →

guardan la cantidad y su parámetro: si,entonces , donde el

último diagrama representa la forma deevolucionar la cantidad p una vez que varióel parámetro x.

Entonces, si se concebía una cantidad porla forma anteriormente expuesta, habríaque dirigir la atención a las posicionesoriginales y actuales del estado delmovimiento, considerado como un sistemaen dos fases que recogen el estudiocompleto del movimiento: la estática y ladinámica. Encontramos en la primera faseel estudio comparativo de un estado inicialcon sus estados vecinales, que conlleva auna clasificación importante delmovimiento: los estados estacionarios.Mientras que en la segunda hallamos unestudio del cambio acompañado de unanoción de acumulación respecto a dosestados para conocer su distribución totaltemporal. Una configuración de estosestudios está dada por el elemento

diferencial, cuya integración, , hapasado por diferentes paradigmas:

a.En la concepción newtoniana se hallala cantidad fluente de una fluxión dada

b.En la concepción leibniziana seconsidera a la integral como una suma;

la es , donde dp es la

diferencia entre dos estados de p

c. En la concepción de los Bernoulli seinterpreta a la integral de Leibniz comola inversa de la diferenciación, es decir,

dada dp la integral , donde

x p→ x dx p dp+ → +

dp p=∫

dp∫ p dp p=∑

dp Q∫ =

dQ dp=

Sin embargo, estos paradigmas hanconvergido en un mismo objetivo:reconocer el estado local del proceso paraconocer su estado total y algunas veces


Relime274

temporal. Tal objetivo ha sido aplicado asituaciones tanto geométricas comomecánicas, indicadas en—la toma delelemento diferencial.

Sobre la segunda clase de usos, hallamosque el objeto de estudio no está dirigido alas cantidades que varían continuamente,sino a las funciones arbitrarias comorelaciones numéricas especiales. Suspropiedades se basan en el estudio localen su dominio, es decir, en el entorno deun punto en el dominio de la función. Conello aconteciendo una investigaciónimportante de las formas topológicas delos dominios, que también lo es en elestudio de su medida. Lo anterior lleva aestablecer una base de funcionescontinuas y discontinuas sobre las que sedefine la derivación e integración con elconcepto de límite.

Entonces, en los textos de Cálculocontemporáneos hallamos a la integral deRiemann como la base y, por ende, elantecedente para el desarrollo de la teoríade integración generalizada. Comoconsecuencia, se da la imposibilidad desostener el “hallar una primitiva de unafunción dada” como la definición deintegral, dado que no toda derivada de unafunción es Riemann integrable. Sinembargo, se restringe esta discusión conel teorema fundamental del Cálculo,considerando sólo las funciones continuas.Los patrones sobre los cuales se sigue elteorema fundamental, en el discursomatemático escolar, los presentamos dela siguiente manera:

a.Dada una función f, asignarle unanueva función f ’ que se obtiene a partirde f

b.Dada una función , reproducirla función de la cual se derivó F

c.Dada una función , regresara la función f

F f= '

F f= ∫

El contraste entre estas dos clases de usosradica fundamentalmente en dos aspectos.Por un lado, el estudio se basa en lasvariables, pero vistas con “movimiento”, nocomo números, atendiendosignificativamente una relación dedependencia e independencia; por otro, suestudio se basa en las funciones, en larelación numérica “arbitraria”. Finalmente,se derivan dos discursos: al integrando de

la integración siempre se le considera

el diferencial de cierta cantidadpreconcebida Q; entonces, p=dQ, mientrasque en el segundo, lo que se integra, , preserva una relación funcional, quea priori no necesariamente es la derivadade alguna otra función y no siempre se lepuede aplicar el proceso de integración.Además, en el plano de lasresignificaciones se observa que en la

expresión

, el diferencial dp tienela misma naturaleza que la cantidad p, porlo cual representa el papel de elementoconstitutivo; entre tanto, en la integración

,la función f ’ tiene una dimensiónmenor que f , por lo cual es un elementocomponente de f. Claramente se puedever en el cálculo de un área, dondedA = f (x)dx es un elemento de área

A(x) y es la altura del área A(x).

p∫

f∫

dp p=∫

f f'=∫

dA

dxf x dx( )

LA IDEA DE VARIACIÓN Y EL USO DELA INTEGRAL EN LOS PROFESORES

Y ESTUDIANTES

Realizamos un estudio de casos conprofesores y estudiantes en unaexperiencia de enseñanza controlada. Sehizo un análisis epistemológico sobre laconstrucción de la noción de integración,identificándose diferentes resignificacionesde la integración en una perspectiva devariación continua, que fue analizada en

275

dos experiencias escolares: una conprofesores de matemáticas, y otra conestudiantes de ingeniería. Por experienciasescolares debe entenderse a laexperiencia que tiene el participante anteel conocimiento matemático, reflejada através de sus concepciones, creencias yprácticas cotidianas escolares.

El estudio consistió en incorporar una seriede resignificaciones a temastradicionalmente discutidos en Cálculo –en una y varias variables, variablecompleja, ecuaciones diferencialesordinarias y parciales–, con lo que sedefinieron las actividades escolarescorrespondientes para los profesores y losestudiantes. Se observó, en la primeraetapa de la experiencia, el impacto de esteacercamiento en el discurso generado porlos participantes, tanto en susargumentaciones ante situaciones devariación continua como en las formas deprocesar la información numérica,paramétrica y gráfica ante dichassituaciones.

Las actividades escolares se ubicaron endos sitios: el primero en la especialidad enenseñanza de las matemáticas paradocentes de las Escuelas de Ingeniería dela Universidad Autónoma del Estado deHidalgo (UAEH); el segundo en algunoscursos de las licenciaturas en ingenieríadel Instituto Tecnológico Autónomo deMéxico (ITAM). El primer estudio consistióen haber diseñado un programa deespecialidad en enseñanza de lasmatemáticas para docentes de ingeniería(Cantoral, et al. 1990b). La discusión delos temas de Cálculo estuvieron basadosen la idea de variación continua, cuyocontenido matemático parte delreconocimiento de que el estudio delmovimiento de un fluido es el núcleo dondese aloja el entorno del análisis matemáticonecesario para un docente de matemáticas

en ingeniería. El segundo estudio consistióen haber diseñado situaciones deenseñanza en los cursos de cálculo sobrealgunos fenómenos de variación continuaen la economía y en la física,respectivamente.

Las puestas en escena de las experienciasdescribieron un discurso matemáticoescolar inusual en la tradición de laenseñanza, por lo cual conviene señalaralgunos puntos que pudieran explicar losaspectos centrales de las puestas enescena.

Las situaciones de enseñanza no tuvieroncomo propósito tratar un cálculo con“aplicaciones” a la física o economía, sinomás bien comprender y conocer lamatemática en el fenómeno. Es decir, setrató un contenido matemático basado enun sistema de movimiento de un fluido, encontraparte de un sistema estructuralmatemático; en este sentido, resultaronrelevantes las nociones y percepciones delos participantes sobre la predicción, laacumulación y la distribución del fluidofísico.

El contenido temático del Calculus, con elmarco anterior, resultó de la siguientemanera:

Relación de variables dependientes eindependientes

Variable y su variación

Predicción y serie de Taylor

Acumulación y distribución

Sistema de movimiento en su estadoestático

Sistema de movimiento en su estadodinámico


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Este contenido fue distribuido en dossituaciones genéricas, l lamadasfenómenos de comparación(diferenciación) y fenómenos de cambio(suma acumulada), coordinados por lanoción de variación continua. Se trató almovimiento en sus formas máselementales según las acciones de losparticipantes, la posición y el movimiento,donde se articularon sus prácticas deadelantamiento, desplazamiento,duración, así como los cambios deposición, de acuerdo con las trayectoriasen cuestión.

Esta forma de mirar el movimientoconfiguró una estructura matemáticavinculada con la noción de predicción yprolongada al prediciere en la analiticidadmatemática: la serie de Taylor para unafunción de la forma u= F(x,y) [la discusiónamplia al respecto aparece en Cantoral,2001; además, se pueden consular losartículos de Cantoral, 1990 y 2001]:

Tal configuración traza una metodologíaque permite comprender al fenómeno encuestión, a partir de la diferencia

Con ello, se reconoce la situación local deu= F(x,y):

Y para conocer la situación global deu= F(x,y) , basta con considerar la siguienteintegral:

Para ser más explícitos, apoyándonos enla metodología descrita, a la que alude laresta , diremosque el Calculus, en tanto objeto deconocimiento, identifica aspectosrelevantes para la comprensión delmovimiento, caracterizados por los

F x dx y dy F F dx F dy a oX y( , ) " lg "+ + ≈ + + +

F x dx y dy F x y( , ) ( , )+ + −

F x dx y dy F x y dF( , ) ( , )+ + − ≈

dF F=∫

F x dx y dy F x y( , ) ( , )+ + −

procedimientos generados por lasresignificaciones de la variación: loinvariante, lo continuo y lo que se conserva.

En ese sentido, el rol fundamental delCalculus ante las cantidades que varíancontinuamente consiste en resignificar laforma y función que interrelaciona “todas”las variables que intervienen en un sistemade movimiento , pero apartir del reconocimiento de la interrelaciónde sus variaciones locales que dependende la situación específica del sistema,expresada por .Una vez establecida la interrelación de lasvariaciones locales, se pueden reconstruiralgunos aspectos de la relacióny, en el mejor de los casos, reconstruir suforma explícita.

La reconstrucción de la forma F(x,y,z,...)=U

y su función conlleva a la metodologíaanteriormente mencionada, donde la seriede Taylor, bajo una perspectiva deinstrumento predictorio, juega el papel de unbuen reconstructor de cantidades (Cantoral,2001); además, de acuerdo con la naturalezadel movimiento, importa hallar un estadopermanente o bien una posición primitivarepresentados por F(x,y,...)=U . El estadopermanente es explicado por la serie deFourier, instrumento que enlaza la noción deestado permanente con la noción deconvergencia (para una explicación ampliavéase Farfán, 1997), mientras que la posiciónprimitiva es reconstruida a través de la tomadel elemento diferencial. Esta “toma” enlazala noción de acumulación y distribución deun fluido en cierta región o superficie con lanoción de integral (para una explicaciónamplia véase Cordero, 2003).

En este marco, la noción de variación esfavorecida. Por ejemplo, la expresión linealde la serie de Taylor:

F x y z U( , , ,...) =

F x y z F df d F'( , , ,..., , , ,...)2 0=

F x y z U( , , ,...) =

f x dx f x f x dx( ) ( ) '( )+ ≈ +

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no sólo representa una aproximación lineala la función original o reconoce ladefinición de derivada de una funcióncomo el coeficiente de dx, sino más bienrepresenta una configuración más cercanaa la intuición de aventajar (delante ydetrás) que a la de duración (espaciorecorrido a través del tiempo). Este“aventajamiento” se articula con eldesplazamiento: f ’ (x)dx es una porción def (x) que hereda las mismas propiedadestanto físicas como geométricas de f (x) ;la suma f (x) + f’(x)dx determina un nuevoestado de la cantidad f(x).

Entonces, la expresión lineal en el marcode una situación física (digamos, decinemática) da cuenta sobre la posición yno sobre la velocidad, así como en elmovimiento de un fluido da cuenta de laacumulación, no del flujo. De la mismamanera, en una situación geométrica laexpresión refiere la variación geométrica(porciones de área, volumen, superficie olongitud), no la derivada de estascantidades.

Regresemos a la experiencia llevada acabo con los profesores. Los participantesfueron 13 y el periodo de la experienciatuvo una duración aproximada de año ymedio (para una información másdetallada véase Cantoral et al, 1990b).Con respecto a la otra experiencia escolar,l levada a cabo con estudiantes deingeniería y economía, básicamenteconsistió en extrapolar la experiencia dela fase propedéutica a los cursos decálculo en una y varias variables, así comoa un primer curso de ecuacionesdiferenciales ordinarias. El periodo de laexperiencia abarcó tambiénaproximadamente un año y medio.

La aproximación a la comprensión de laintegral básicamente consistió en hallarsus resignificaciones que, en el a priori del

discurso matemático escolar, es imposiblehallar. Por tal motivo, fue notable estudiarsituaciones locales en textos antiguos deCalculus para mirar la difusión delconocimiento matemático, conjuntamentecon el análisis de los tratados científicosoriginales, para mirar las resignificacionesen otros marcos de referencia. Estabúsqueda llevó a reconocer patrones deconstrucción de la integración en sendasproducciones.

Construido el referente, estudiamos lasresignificaciones de los patrones de losparticipantes en tres diferentes situaciones:

Área de una superficie

Posición a partir de una variación

Movimiento de un fluido: cantidad defluido y flujo

ARGUMENTACIONES

Hemos denominado argumentaciones a lasresignificaciones de los participantes en lassituaciones específicas que ocurren en unsistema local, cuyas formas de produccióny difusión no corresponden a una estructuraaxiomática, sino al frecuente uso deargumentos intuitivos y espontáneos,envueltos en la resignificación delconocimiento que manifiestan losparticipantes.

Para explicitar lo anterior, consideramosdos ejemplos que han resultado sersignificativos en este estudio:

a) El participante reconoce el patrón a travésde actividades funcionales, esto es, que elpatrón le permite comprender situacionesespecíficas; después reflexiona sobre él,recogiendo explicaciones peculiares:


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“la idea básica del patrón consiste enobservar, o bien reconocer la diferenciaentre un estado invariante y sus estadosvecinales en el sistema de movimiento deuna partícula o de un fluido continuo

, donde representael estado invariante y susestados vecinales. En este sentido, ladiferencia expresa la posición última de lapartícula, o bien la acumulación del fluidolocalmente (el participante realiza un dibujocomo el de la Figura 1):

Figura 1. Acumulación del fluido localmente

La posición última y la acumulación localesse obtienen por medio de la variación de en todo el proceso del sistema que sereconoce por la diferencia ;esta diferencia representa, por un lado, laporción de desplazamiento para alcanzarsu posición última, por otro, representa laporción acumulada del fluido. Ahora bien,si juntamos o integramos estas porcioneshallaremos la posición final de la partículay análogamente la acumulación total delfluido al término del proceso. Entonces, alreconocer , se

conoce , y al

reconocer se

conoce …”

ϕ ϕ( ) ( )X dX X+ − ϕ( )Xϕ( )X dX+

ϕ(x) ϕ(x+dx)

ϕ´(x)dx

x x+dx

ϕ(x+dx) - ϕ(x) = ϕ (́x)dx

acumulación

entra sale

ϕϕ ϕ( ) ( )x dx x+ −

ϕ ϕ ϕ( ) ( ) '( )x dx x x dx+ = +

ϕ ϕ ϕ( ) ( ) ( )x a x dxa

x= + ∫

ϕ ϕ ϕ( ) ( ) '( )x dx x x dx+ − =

ϕ ϕ ϕ( ) ( ) ( )b a x dxa

b− = ∫

b)Otros participantes realizan unaexplicación del teorema fundamental delCálculo sui generis de la situaciónespecífica:

Se le pregunta, ¿por qué una función se

le puede escribir en la forma de la seriede Taylor? Él responde que la función tieneque ser continua, y enseguida explica loque quiere decir con la condición:

“…tiene que ser continua porque si algúnpunto no tiene vecinos, entonces no podríamedir el movimiento o comparar elmovimiento respecto a sus estadosvecinales. Es decir, no podría hacer ladiferencia entre el estado vecinal y elestado original… Y como hemos visto queen realidad la función es la velocidad delmovimiento que estamos analizando,f(t)=I´(t), entonces el requisito de la funcióncontinua es en realidad el requisito de unmovimiento continuo para poder describirese movimiento.

También se llega a la conclusión de quedebe ser un movimiento continuo porquecuando ya se quiere encontrar la funciónque describe el movimiento (I(t)=?,) esdecir, cuando se van a sumar todas lasacumulaciones que pueden serdel tamaño que uno quiera.

I t dt'( )∑( )

a b

I´(t)

t t+h a b

a b a b

1 2

2.a) Acumulación = I´(t)h 2.b) “todas” las acumulaciones

Figura 2. El estado vecino de las acumulaciones

Entonces, como se dice que “todas” quieredecir que hasta las acumulaciones máspequeñas, por ejemplo, entre lasacumulaciones 1 y 2, existe otraacumulación más pequeña que 1 y 2 , dela palabra “todas las acumulaciones” seconcluye que el movimiento debe de sercontinuo, porque si faltaran algunas o unaacumulación, ya no se estaría cumpliendocon lo que habíamos dicho al principio (la

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la comparación se hace entre la posicióninicial y sus estados vecinales paracualquier posición inicial que yo quieraescoger).

a b

1 2

Figura 3. El continuo de las acumulaciones

3.a) “todas” las acumulaciones

3.b) movimiento continuo

a b

1 2

I´(t) æ

I(t) æß ∫ I´(t) = I(t)

relación con la curva y el área

fig. α

Figura 4. La acumulación con relación a lacurva y el área

Si puedo comparar posición inicial yestados vecinales (I(t+h)=I(t)+I´(t)h)

entiendo que los estados vecinales estánmuy juntos con la posición inicial.Entonces, ¿cómo le hago para compararo describir el movimiento desde t = a hastat = b, si t = a y t = b ya no son estadosvecinales? Pues muy fácil, sumando esascomparaciones, y me queda:

I b I a I to h I to

I b I a I to h I to

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

= + + +[ ]= + + +[ ]

∑∑

Además, yo pienso que la palabra“movimiento continuo” es la que me dala clave, ya que “movimiento” me indicaque hay un desplazamiento de un puntoinicial a un punto final con una ciertavelocidad en cada instante que esla derivada, v = ds/dt. Por lo tanto, como

estoy analizando movimientos (si nofuera así no estaría yo en un problemade cálculo) y la ser ie me permiteanalizarlos, entonces necesito que lafunción sea derivable (más simple, “queexista movimiento y ya”), y la palabracontinuo, pues que el movimiento seacont inuo, como ya lo anal izamosanteriormente…

Lo anterior le provoca una reflexiónsobre el Teorema Fundamental delCá lcu lo , exp l i cando lo s igu ien te(Figura 4 ):

“…ahora me estoy dando cuenta que,de la región formada por elmovimiento continuo, cada rectánguloque la compone tiene una altura I´(t),donde cada altura coincide con lacurva que dibujé, entonces la curvaes la función I´(t), pero ésta es laderivada de I(t). Creo ya entender porqué la integral de I´(t) es igual a I(t) yla relación con la curva y el área…”(una discusión detallada aparece enCordero, 2003).

Un aspecto a señalar sobre la forma deusar la integración en los profesores, yel impacto de este patrón en lasactividades de los estudiantes para suresignificación, es que la discusión deintegración inicia precisamente con lacant idad “desconocida” ( funciónprimitiva) que se quiere hallar, al exigirde el reconocimiento de su variación(función derivada) en un contexto osituación específica para finalmenteconocer su integral (cantidad conocida).Este hecho es distinto en el discursoescolar tradicional del Cálculo Integral,donde por lo general se pregunta sobrela integración de una función arbitrariaa partir de que se tiene una definiciónde integral. Tal hecho desemboca en undiscurso matemático escolar distinto.


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A MANERA DE CONCLUSIÓN

Hemos presentado el rol de la acumulacióncomo una categoría del conocimiento dela integral en su producción (y difusión)institucional. Tal categoría, en su situaciónespecífica, ofrece un marco de referenciapara hacer de esa matemática unconocimiento funcional como finalidaddidáctica. Los aspectos más relevantes dela investigación fueron los siguientes:

Pudimos hallar, en el análisisepistemológico, un patrón deconstrucción de la teoría de integraciónc o n f i g u r a d o p o r l a expres ión

,donde la diferencia

F(x +dx) - F(x) y las condiciones de unafunción derivada F’ juegan un papeldefinitivo en la constitución del patrón.

Se resignificó a la integral por medio dela noción de acumulación. Estaresignificación adquirió relevanciacuando se logró matizar dos aspectosde los fenómenos de variación continua,a través de la suma y de la resta,denominados valor acumulado yacumulación, respectivamente:

Se lograron capturar argumentacionesde los part ic ipantes, cuyacaracterística esencial consistió enrelacionar las resignificaciones de laintegral dentro de un sistema local,contrastándola con una estructuraaxiomática.

Los resultados de la investigaciónplantean, entonces, que el asirse deestas resignif icaciones ayudará a

f x dx F b F aa

b( ) ( ) ( )= −∫

ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

x a x dx

b a x dx

a

x

a

b

= +

= +

∫

∫

apropiarse de un discurso matemáticoescolar que facil i te la difusión delconocimiento del Calculus, basada enun s is tema de res ign i f i cac ionesproduc ido por los p ro fesores yestudiantes.

Todo e l lo sug iere s i tuac iones deenseñanza que enfoquen más laatención en situaciones específicas devariación continua y cambio, como enla noc ión de acumulac ión , y nodirectamente en los conceptos defunc ión der ivada o “suma deRiemann”, lo cual resulta ser un puntomuy importante, ya que brinda nuevasperspectivas orientadas a la didáctica.Enfocar la atención hacia la situaciónde cambio permi t ió mi ra r dosoperaciones elementales, la suma y laresta , reconociendo, además, queconstruyen en cierto sentido las ideasfundamentales del Calculus.

Denominamos situación de cambio(SC) a aquel fenómeno de variaciónque incluye un cambio de una cantidadin ic ia l , que ba jo un proceso estransformada en otra, siendo ésta elvalor últ imo en el proceso. La SCpuede ser o rgan izada por dosaspectos distintos, como ya habíamosmencionado anteriormente:acumulación y valor acumulado (parauna lectura con más detalle véaseCordero, 2003).

El diagrama de categorías (operacioneselementales: suma y resta; variacióndiscreta: suma y resta; y variacióncontinua: diferenciación e integración)de las resignificaciones de la integral,

de los participantes es el siguiente:

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operaciones elementales:

suma y resta

a+ b = c valor acumulado

c – a = b acumulación

variación discreta:

suma y resta

, donde

valor acumulado

acumulación

variación continua:

integración y diferenciación:

P(x)=U

P(x+dx)-P(x)=dP

valor acumulado

acumulación

a a a an0 1 2, , ,...,

d d d dn0 1 2 1, , ,..., − d a ai i i= − −1

a a d d a an o i i i= + = −∑ −1 1,

a a d d a an o i i i− = = −∑ −1 1,

P a P bdP( ) ( )+ =∫P b P a dP( ) ( )− = ∫

↓

↓

Figura 5. Diagrama de categorías

Dichas categorías aparecieroninterconectadas en los usos de losparticipantes. Por ejemplo, muchas vecespara instalarse en la última categoríaacudían al modelo de la primera en una

percepción de estado: la comparación dedos cantidades “sin proceso”. Otroprocedimiento que se identificó fue larepetición reiterada de la primeracategoría para organizar la variacióndiscreta. La actividad propiciada por el usode dichas categorías refleja lo que vienea ser el método del Calculus: reconocerla situación local para conocer la situaciónglobal del fenómeno.

Por último, nos gustaría comentar larelevancia de tres aspectos que ayudarona coordinar las categorías anteriores enlas experiencias de los participantes: área,medida y movimiento.

Se realizó una misma pregunta,presentada en tres contextos diferentes(ver Figura 6):

Figura 6. Región irregular en tres situacionesdistintas

Se pidió a los participantes que calcularanel área de una región “rara” como en laFigura 6, en tres situaciones distintas: sinejes de referencia, el segmento AB comoeje de referencia y las coordenadascartesianas x e y como referencia. Lasituación planteada en la entrevistaconsideró una región geométrica estáticaque, a priori, no aludía al movimiento y,por tanto, no tiene por que aludir alCalculus. Sin embargo, losprocedimientos de los participantesarrojaron datos importantes para laresignificación de la integral:

El área (largo por ancho o base poraltura) es considerado como un patrónde medida adaptado a las tressituaciones, a pesar que ninguno de losparticipantes logra dar una explicación


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porqué este patrón es expresado comoel producto base por altura.

La estrategia para calcular el área sinejes de referencia determina unasituación de estado y no de proceso; esdecir, el patrón de medida guarda unasimilitud con la región completa, encontraparte de describir unaaproximación que alcance a la región.

La estrategia para calcular área con uneje de referencia reconoce la relaciónfuncional del patrón de medida, es decir,la relación de base y altura comovariables. La situación de estado seconserva.

La estrategia para calcular el área conlos dos ejes de referencia hace que larelación funcional del patrón de medidasea susceptible de variar; sin embargo,la situación de estado se sigueconservando.

Los datos anteriores indican que la integral,ante la situación geométrica señalada,contiene una resignificación de estadorelativa. Por una parte, admite unprocedimiento sin reconocer movimiento,como el caso de sumar los patrones demedida que reconocen a la región; por otra,

admite una representación con movimientoque, como fue el caso de un estudiante,tuvo que imaginarse el área como un fluido(un río corriendo bajo la curva) y calcularsu acumulación. Esto pudiera significarque el área bajo de una curva comomodelo geométrico de la integral, en ununa ambientación de variación continua,exige mover lo estático. Tal categoríapudiera explicar porqué algunosestudiantes al usar la integral

en sus actividades

escolares no pueden explicar porqué laexpresión calcula el área bajo la curva y=f.

Es así como a la integral se le halló unmarco de referencia para resignificarla,destacando la situación fenoménica(Freudenthal, 1977), que favorece suconstitución. Todo ello en conjunto trazasu producción y difusión institucional conla finalidad de organizar situaciones decambio, que resignifican dos operacioneselementales: la suma y la resta. Hayinvestigaciones al respecto, donde sesostiene la existencia de la relación entrelo conceptual y lo algorítmico, sunaturaleza dialéctica y su carácter relativorespecto a prácticas sociales asociadas alCálculo Integral en un contextosociocultural específico (Muñoz, 2003).

f x dx F b F aa

b( ) ( ) ( )= −∫

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Francisco Cordero OsorioDepartamento de Matemática EducativaÁrea Educación SuperiorCinvestav-IPNMéxico, DF.

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el rol de algunas categorías del conocimiento matemático en

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