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El núcleo y sus radiacionesClase 17

Curso 2009Página 1

Departamento de Física

Fac. Ciencias Exactas - UNLP

Paridad

Esta propiedad nuclear está asociada a la paridad de la función de onda nuclear. La paridad de un sistema aislado es una constante de movimiento y no puede cambiarse por un proceso interno. Solo si radiación o una partícula entra o deja el sistema, y entonces no está más aislado, la paridad puede cambiarse.

Si la función de onda, que describe la probabilidad de hallar una partícula en una determinada posición (x,y,z) y con un determinado spin s, es

),,,( szyxLa probabilidad es

*2


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Paridad

La probabilidad de encontrar la partícula en un punto no puede depender de la orientación de los ejes coordenados. Entonces

La parte espacial de ψ, con la inversión de coordenadas, no cambia de signo si l es par, y lo hace si l es impar.

),,,(),,,( szyxszyx


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Paridad

Para un sistema de partículas

La paridad del sistema depende de la paridad del movimiento de las partículas individuales.

Entonces: ∑li par paridad +∑li impar paridad -

..... 321

Así I = 3+ indica paridad par de nivel nuclear.


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Paridad

Paridad intrínseca

La paridad intrínseca de electrón se define arbitrariamente como “par”.

Experimentalmente se establece que la paridad del protón, neutrón y neutrino es “par”.


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Paridad

Cambio de paridad

La paridad se conserva en interacciones entre nucleones. La paridad del sistema solo puede cambiarse por la captura o emisión de fotones o partículas que tienen paridad total impar.

Paridad Total = paridad intrínseca más paridad de movimiento.

Las reglas de selección para todas las transiciones nucleares involucran el enunciado de si la paridad cambia o no.Una partícula α con l =1 tendrá paridad impar y puede ser emitida solo si la paridad del estado nuclear cambia.


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Paridad

Problema:

¿Cuál es el estado nuclear fundamental del ? Sabiendo que se ha medido I =3/2 y μ = +0,93μN.

Ba12756

Solución:

El núcleo tiene 81 neutrones (uno menos que el necesario para cerrar la capa).

En el caso Z par, N impar, suponiendo que el último neutrón le da las propiedades observadas según Schmidt I = l - s

2 paridad? 2 23

illI

2

3d


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La estadística de las partículas nucleares

La paridad aparece de consideraciones sobre las propiedades de la parte espacial de la función onda ante inversión.

Otra propiedad nuclear importante, la “estadística”, aparece al considerar las propiedades de simetría de las funciones de onda, ante el intercambio de partículas.

Las soluciones de la ecuación de Schrödinger para un sistema de partículas idénticas son “simétricas” o “antisimétricas”.

La clase de simetría no cambia con el tiempo. Es una constante de movimiento. La clase de simetría es sinónimo de “estadística”.


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La estadística de las partículas nucleares

La estadística tiene un profundo efecto sobre el comportamiento físico de sistemas de partículas idénticas.

Toda partícula en la naturaleza obedece uno de los dos tipos de estadística.Fermi-Dirac (antisimétrica) fermiones I =1/2, 3/2, 5/2

Núcleos con A impar I =1/2, 3/2,… F.D. A par I =0, 1,… B.E

Bose-Einstein (simétrica) bosones I =0, 1, 2


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Función de onda de dos partículas idénticas sin spin

Supongamos que las partículas están sometidas a una fuerza exterior, derivable de un potencial y por otra parte a una fuerza de interacción que depende de un potencial

El hamiltoniano será

)(rV),( 2112 rrV

),()()()(2 211221

22

21

2

rrVrVrVm

H


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La ecuación de Schrödinger del sistema es:

: densidad de probabilidad de hallar la partícula 1 en y a la partícula 2 en .

tiH

, aquí ),,( 21 trr

1r

2r

2

Como los potenciales no dependen explícitamente del tiempo, se puede escribir:

iEt

eu )2,1(






significa y es la solución a la ecuación

)2,1()2,1( EuHu E : energía del sistema

a) Caso de partículas sin interacción

Entonces, la partícula i (i= 1,2) satisface la ecuación

),( 21 rru)2,1(u

0),( 2112 rrV

)()()()(2

22

iuEiuiVum iii






Supongamos que la partícula 1 está en el estado j caracterizada por Ej y uj(1) y la partícula 2 esta en el estado k (Ek, uk(2))

Entonces, el sistema de partículas admite como solución

)2()1( kjjk uuv

Siendo Ejk = Ej+ Ek la energía del sistema. Otra solución, correspondiente a la misma energía es

)1()2()2,1( kjjk uuv

En general, toda combinación lineal de las dos soluciones vjk será solución y corresponderá al mismo nivel de energía que es “degenerado” (degeneración de intercambio)






Solo deben retenerse las soluciones tales que

o, lo que es lo mismo,

)1,2()2,1()2,1( jkjk bvavu

22)1,2()2,1(

Así, entre todas las soluciones

)1,2()2,1( uu

22)1,2()2,1( uu

debemos quedarnos con aquellas tales que:






Lo que da:

En donde

)1,2()2,1()1,2()2,1( jkjkjkjk bvavbvav

Esto es, hay dos soluciones correspondientes a Elk

Simétrica

ba

)1()2()2()1()2,1( kjkja uuuuau Antisimétrica

)1()2()2()1()2,1( kjkjs uuuuau





Función de onda de dos partículas idénticas con spin

Observaciones: “a” puede determinarse por “normalización” de la función de onda.

kjadVdV si 2

11)2,1( 21

2

Si j = k , ua = 0 Si la función de onda es antisimétrica, las dos partículas no pueden estar en el mismo estado (principio de exclusión).






b) Caso en que exista interacción

Se puede resolver por el “método de las perturbaciones” o en forma “autoconsistente”.

Aun así, se encontrará una solución simétrica y una antisimétrica.






a) Función de spin

De la misma forma que la parte orbital del sistema se escribe como una combinación de funciones para una partícula:

)2()1()2()1(2

1)2,1( jkkj uuuuu






)1()2()2()1( '' ssss mmmma

Aquí ± destaca las soluciones simétricas (+) y las antisimétricas (-). “a” vale si ms≠ms’.Para cada caso de spin S = ½ hay cuatro configuraciones posibles:

21

21' ss mm )2()1( s

)1()2()2()1(2

1 s

)2()1( s

)1()2()2()1(2

1 a

21' ss mm

21' ss mm

21' ss mm






c) Función de onda completa

La función de onda completa se escribiría

iEt

eu

)2,1(

Como hay dos tipos de función u y cuatro de Φ se pueden obtener 8 tipos de funciones de onda completa, 4 simétricas y 4 antisimétricas.






Principio de exclusión de Pauli

La representación de los distintos estados de dos partículas idénticas de spin 1/2 , sin interacción mutua, por funciones simétricas y antisimétricas sigue siendo válida si las partículas son más que dos y si interactúan entre ellas.

El carácter de simetría es una constante de movimiento. Una transición en un sistema no puede llevar a un cambio de simetría.

Los estados simétricos por un lado y los antisimétricos por el otro lado, forman conjuntos cerrados y no pueden transformarse más que entre si.






La experiencia muestra que para cada género de partículas existen exclusivamente estados simétricos o estados antisimétricos.

Supongamos que para un conjunto de partículas sean posibles únicamente los estados antisimétricos, entonces no puede haber dos partículas en el mismo estado cuántico.

Escribamos las funciones de onda antisimétricas, para el caso de dos partículas.

Función orbital u(1,2) Función de spin Φ(1,2) Número cuántico de spin total

)1()2()2()1(2

1kjkjs uuuuu

)1()2()2()1(2

1kjkja uuuuu

)1()2()2()1(2

1

)2()1(

)1()2()2()1(2

1

)2()1(

0,0 smS

1

0

1

1

s

s

s

m

m

m

S






Si las funciones orbitales son las mismas (j = k), solo queda una función de onda completa posible:

)1()2()2()1(2

1 su

Que es la que corresponde a spin antiparalelo (S = 0).Así que si las partículas están en el mismo estado orbital, sus orientaciones de spin deben ser diferentes.Recíprocamente, si los espines son paralelos (S = 1), los estados cuánticos orbitales deben ser distintos.

La experiencia muestra que los nucleones (n y p), los electrones (+ y -), los neutrinos μ son descriptos solo por funciones de onda antisimétricas.






Esperamos que todos los núcleos de número másico impar sean fermiones.

Los fotones, el deuterón y partículas α son bosones.También los nucleidos con A par.

Consideremos dos núcleos iguales con A nucleones. La función de onda del sistema incluirá las coordenadas de cada una de estás 2(Z + N) partículas.Podemos, conceptualmente, intercambiar la posición de los dos núcleos, intercambiando la posición de los constituyentes idénticos, hasta que todos hayan sido intercambiados.

Cada intercambio de los nucleones, cambiará el signo de la función de onda. Después de Z+N cambios, los núcleos habrán sido intercambiados y el sigo de la función de onda habrá cambiado Z+N veces.

Así que núcleos con A impar satisface la estadística de Fermi-Dirac y las que tienen A par de la Einstein-Bose.Que el neutrón obedece la estadística de FD se sigue del hecho experimental de que el neutrón es un boson y consiste solamente de un protón y un neutrón.

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