ejercicios resueltos de proporcionalidad-y-porcentajes

EJERCICIOS PROPORCIONALIDAD Y PORCENTAJES 4º opción A

PROPORCIONALIDAD- Proporcionalidad directa

1. ¿Son proporcionales los lados de un triángulo que miden 14 cm, 16 cm y 20 cm con otro triángulo cuyos lados miden 21 cm, 24 cm y 30 cm respectivamente? En caso afirmativo, indica en qué proporción es más grande el segundo triángulo.

Solución: 20 cm 24 cm 24 cm 30 cm 14 cm 21 cm

Si son proporcionales, ya que:

5,120

30

16

24

14

21 ===

Por tanto el segundo triángulo es un 50% más grande que el primero.

2. Una fuente arroja 250 litros de agua cada minuto y medio. ¿Cuántos litros arrojará en una hora?

Solución:Relación de proporcionalidad:

litros 100005,1

60250x

60

x

5,1

250 =⋅=⇒=

3. Se sabe que la altura y la sombra de un edificio son proporcionales. Si la sombra de un edificio de 30 m es 8 m, ¿qué altura tendrá otro edificio cuya sombra en el mismo momento mide 12 m?

Solución:

Sea x la altura del edificio: m458

12·30x

12

x

8

30 ==⇒=

El edificio mide 45 m

4. En un bizcocho para 10 personas se tenían que emplear 5 huevos, 2 vasos y medio de leche, 75 gramos de mantequilla y 8 cucharadas de azúcar. ¿Qué cantidad de cada ingrediente habrá que emplear para 8 personas?

Solución:

- Huevos: 4x8

x

10

5 =⇒= huevos

- Leche: 2x8

x

10

5,2 =⇒= vasos

- Mantequilla: 60x8

x

10

75 =⇒= gramos

- Azúcar: 4,6x8

x

10

8 =⇒= cucharadas

5. La constante de proporcionalidad directa entre dos números es 6/5 y el mayor es 12. ¿Cuál es el menor?

Solución:

menor el es106

512x

5

6

x

12 =⋅=⇒=

6. Una excursión tiene una relación chicos-chicas de 5 a 3. Se añaden 3 chicos más y la relación pasa a ser 2 a 1. ¿Cuántas personas hay en la excursión?

Solución:El número de chicos antes de añadir 3 más es 5x y después, 5x + 3.El número de chicas en los dos casos es 3x

3xx63x51

2

x3

3x5

3

5

x3

x5 =⇒=+⇒=+⇒=

El número de chicos que va a la excursión es: 5 · 3 + 3 = 18Y el número de chicas: 3 · 3 = 9En total van: 18 + 9 = 27 personas

- Repartos directamente proporcionales

1. Reparte 600 en partes directamente proporcionales a 1, 2 y 3.

Solución:Sea k la constante de proporcionalidad directa:A 1 le corresponde: kA 2 le corresponde: 2 kA 3 le corresponde: 3 kPor tanto:

100k

600k 6

600 k 3k 2k

=

=

=++

Luego a 1 le corresponde 1001001 =⋅a 2 le corresponde 2001002 =⋅a 3 le corresponde 3001003 =⋅

_____ 600

2. En una biblioteca se colocan 2610 libros en dos muebles de 40 y 50 estanterías cada uno. ¿Cuántos libros se colocarán en cada mueble si se reparten proporcionalmente al número de estantes de cada uno?

Solución:Sea k la constante de proporcionalidad directa:En el primer mueble se colocarán: 40 kEn el segundo mueble se colocarán: 50 kPor tanto:

29k

2610k 90

2610 k 50k 40

=

=

=+

Luego en el primer mueble se colocarán 11602940 =⋅ librosen el segundo mueble se colocarán 14502950 =⋅ libros

_____ 2610

3. El monitor de senderismo de los cursos A, B y C de 3º de Secundaria les ha dado a los alumnos una bolsa de etiquetas para identificar las plantas. Si la bolsa tiene 624 etiquetas y los cursos tienen 11, 13 y 15 alumnos, respectivamente, ¿cuántas le tocan a cada uno si cada alumno debe recibir la misma cantidad? ¿Y a cada grupo?

Solución:Cantidad de reparto: 11 + 13 + 15 = 39.

Número de repartos iguales: 1639

624 =

A cada uno le tocan 16 etiquetas.A 3º A le corresponden: 16 · 11 = 176A 3º B le corresponden: 16 · 13 = 208A 3º C le corresponden: 16 · 15 = 240

4 Tres jugadores de fútbol se reparten 36 000 euros en proporción directa al número de partidos que ha jugado cada uno. Si jugaron 12, 15 y 18 respectivamente, ¿cómo se repartirán el dinero?

Solución:Sea k la constante de proporcionalidad directa:Al primer jugador le corresponde: 12 kAl segundo jugador le corresponde: 15 kAl tercer jugador le corresponde: 18 kPor tanto:

800k

36000k45

36000k18k15k12

=

=

=++

Luego al primer jugador le corresponde 9600800·12 = eurosal segundo jugador le corresponde 1200800·15 = eurosal tercer jugador le corresponde 14400800·18 = euros

________ 2 475 000

5. Reparte 246000 en partes directamente proporcionales a 1500, 2000 y 2500.

Solución:Sea k la constante de proporcionalidad directa:

A 1500 le corresponde: 1500 kA 2000 le corresponde: 2000 kA 2500 le corresponde: 2500 kPor tanto:

41k

246000k 6000

246000 k 2500k 2000k 1500

=

=

=++

Luego a 1500 le corresponde 61500411500 =⋅a 2000 le corresponde 82000412000 =⋅a 2500 le corresponde 102500412500 =⋅

_______ 246000

6. Se quieren repartir 396 m2 de un terreno entre tres familias, de forma directamente proporcional al número de hijos de cada una. Si cada familia tiene 2, 4 y 5 hijos respectivamente, ¿qué parte del terreno recibirá cada una?

Solución:Sea k la constante de proporcionalidad directa:A la primera familia le corresponde: 2 kA la segunda familia le corresponde: 4 kA la tercera familia le corresponde: 5 k Por tanto:

36k

396k 11

396 k 5k 4k 2

=

=

=++

Luego a la primera familia le corresponde 2m72362 =⋅a la segunda familia le corresponde 2m144364 =⋅a la tercera familia le corresponde 2m180365 =⋅

_____ 396

7. El número de alumnos de un colegio que están en 1º, 2º, 3º y 4º de la ESO es proporcional a 2, 2´5, 3 y 3´5 respectivamente. Si en total hay 484 alumnos, ¿cuántos hay en cada curso?

Solución:Sea k la constante de proporcionalidad directa:El número de alumnos en 1º ESO es: 2 kEl número de alumnos en 2º ESO es: 2,5 kEl número de alumnos en 3º ESO es: 3 kEl número de alumnos en 4º ESO es: 3,5 kPor tanto:

44k

484k 11

484 k 5,3k 3 k 2,5 k 2

=

=

=+++

Luego en 1º ESO hay 88442 =⋅ alumnosen 2º ESO hay 110445,2 =⋅ alumnosen 3º ESO hay 132443 =⋅ alumnosen 4º ESO hay 154445,3 =⋅ alumnos

_____ 484

- Proporcionalidad inversa

1. Comprueba si las siguientes magnitudes son inversamente proporcionales y en caso afirmativo señala cuál es la constante de proporcionalidad inversa:

a)

Mag. A 2 4

Mag. B 8 4

b)

Mag. A 10 20

Mag. B 3 6

c)

Mag. A 6 10

Mag. B 2,5 1,5

Solución:a) Sí son inversamente proporcionales, ya que, 164482 =⋅=⋅ , que es la constante de

proporcionalidad inversab) No son inversamente proporcionales, ya que, 620310 ⋅≠⋅ c) Sí son inversamente proporcionales, ya que, 155,1105,26 =⋅=⋅ , que es la constante de

proporcionalidad inversa.

2. Si al repartir cierta cantidad de dinero entre 6 personas cada uno recibe 20 euros. ¿cuánto recibirán si se repartiese entre 15 personas? ¿Cuál es la constante de proporcionalidad inversa?

Solución:Buscamos la constante de proporcionalidad inversa:

euros815

120xx·1512020·6

12020·6

==⇒==

=

3. Con el agua de un depósito se llenan 630 botellas de 3/4 de litro, ¿cuántas botellas de 3/2 se necesitarán para almacenar la misma cantidad de agua?

Solución:La constante de proporcionalidad inversa es

medio y litro de botellas 3155,1

5,472x5,1x5,47275,0630

5,47275,0630

==⇒⋅==⋅

=⋅

El tiempo que tarda un vehículo en recorrer una distancia depende de la velocidad empleada. Completa la siguiente tabla. ¿Qué tipo de relación hay entre ambas magnitudes? ¿Cuántos kilómetros tiene el recorrido?

Velocidad (km/h)

90 120

Tiempo (horas)

5 3 2,5

Solución:Las magnitudes son inversamente proporcionales, puesto que, a mayor velocidad menos tiempo tardará el vehículo en recorrer la distancia.

Velocidad (km/h) 54 90 108 120

Tiempo (horas) 5 3 2,5 2,25

Si tarda 5 horas la velocidad empleada es: 545

270x5x270390 ==⇒⋅==⋅ km/h

Si tarda 2 horas y media la velocidad es: 1085,2

270x5,2x270390 ==⇒⋅==⋅ km/h

Si la velocidad es 120 km/h tardará: 25,2120

270xx120270390 ==⇒⋅==⋅ h.⇒ 2 horas y cuarto

El recorrido tiene 270 kilómetros, que es la constante de proporcionalidad inversa.

4. Un campamento de 45 alumnos tiene provisiones para 16 días, ¿cuántos días podrá durar el campamento si fuesen 15 alumnos más?

Solución:Si fueran 60 alumnos el campamento podría durar:

buscamos la constante de proporcionalidad inversa:

días 12xx607201645

7201645

=⇒⋅==⋅

=⋅

5. María tarda 42 días en preparar un examen estudiando 4 temas y medio diarios, ¿cuántos temas debería estudiar cada día si solamente dispone de 35 días para preparar el examen?

Solución:La constante de proporcionalidad inversa es:

diarios temas 4,535

189xx351895,442

1895,442

==⇒⋅==⋅

=⋅

- Repartos inversamente proporcionales

1. Reparte 78 en partes inversamente proporcionales a 2, 3 y 4.

Solución:Sea k la constante de proporcionalidad inversa:

A 2 le corresponde: 2

k

A 3 le corresponde:3

k


k

Por tanto:

72k

7812

k 13

784

k

3

k

2

k

=

=

=++

Luego a 2 le corresponde 362

72 =

a 3 le corresponde 243

72 =


72 =

_____ 78

2. Reparte 518 en partes inversamente proporcionales a 8, 10 y 12.



k


k


k

Por tanto:

1680k

518120

k 37

51812

k

10

k

8

k

=

=

=++


1680 =


1680 =


1680 =

_____ 518

3. Reparte 330 en partes inversamente proporcionales a 5 y 10.



k


k

Por tanto:

1100k

33010

k 3

330 10

k

5

k

=

=

=+


1100 =


1100 =

_____ 330

PORCENTAJES- Aumentos y disminuciones porcentuales1. El precio de la habitación de un hotel es 55 euros por día, si sube los fines de semana un 30%, ¿cuál es el valor de la subida?

Solución:El 30 % de 55 es:

50,16100

30·55x

55

x

100

30 ==⇒=

El hotel sube 16,50 euros los fines de semana.

2. Un apartamento está valorado en 80 000 euros. Está previsto que se revalorice su precio un 5% por año. ¿Cuánto valdrá dentro de 3 años?

Solución:

Año Valor inicial Valor final

1 80 000 80 000 · 1,05 = 84 000

2 84 000 84 000 · 1,05 = 88 200

3 88 200 88 200 · 1,05 = 92 610

- Porcentaje que representa una cantidad1. Luis hace una limonada con 12 litros de agua y 8 litros de zumo de limón. ¿Cuál es el porcentaje de zumo de limón que hay en la limonada?

Solución:Líquido total: 12 + 8 = 20

Proporción de zumo de limón: 40,020

8 =

El tanto por uno es de 0,40.El porcentaje es: 0,40 · 100 = 40%

2. Unas zapatillas deportivas están etiquetadas con 50 euros y tienen un descuento del 30%.

a) ¿Cuántos euros se descuentan?b) ¿Cuánto hay que pagar?

Solución:a) Descuento: 50 · 0,3 = 15 eurosb) Tiene que pagar: 50 − 15 = 35 euros

3. Un cultivo de bacterias de un laboratorio tiene 120 000 bacterias y adquiere una enfermedad que produce la muerte del 16% de la población. Tratadas las bacterias supervivientes con un producto muy eficaz se consigue aumentar la población en un 14%. ¿Cuántas bacterias forman la población finalmente?

Solución:120 000 · 0,16 = 19 200 bacterias mueren. Quedan: 120 000 − 19 200 = 100 800100 800 · 0,14 = 14 112 nacen.Luego forman la población: 100 800 + 14 112 = 114 912 bacterias

4. En la clase de 3º A, 15 de los 20 alumnos estudian francés como segunda lengua, y en la clase de 3º B 18 de los 25 alumnos. proporcionalmente, ¿dónde estudian francés más alumnos?

Solución:

Clase de 3º A: %7520

100·15x

100

x

20

15 ==⇒=

Clase de 3º B: %7225

100·18y

100

y

25

18 ==⇒=

El porcentaje es mayor en 3º A.En un anuncio de rebajas dice: Pijamas: Antes 15,75, ahora, 11,95. Zapatos: Antes 39,90, ahora 29,95. Se quiere saber:

a) ¿Están rebajados estos artículos proporcionalmente?b) Si no es así, ¿cuál lo está más?

Solución:Rebaja pijamas: 15,75 − 11,95 = 3,80 ⇒ Tanto por ciento de la rebaja:

%126,24100·75,15

80,3 =

Rebaja zapatos: 39,90 − 29,95 = 9,95 ⇒ Tanto por ciento de la rebaja:

%937,24100·90,39

95,9 =

Las rebajas son prácticamente las mismas, pero no están rebajados proporcionalmente pues:

90,39

95,9

75,15

80,3 =

5. Durante la primera cuarta parte de la liga, un equipo de fútbol ha ganado el 40% de los puntos posibles. ¿Qué porcentaje de puntos debe ganar en las tres cuartas partes restantes para que al finalizar la liga tenga el 70% de los puntos posibles?

Solución:Total de puntos: T

1ª cuarta parte: 4

T. En las otras

4

3 partes:

4

T3

803

240x

280x340

100

70

400

x340

100

70·T

400

x3

400

40·T

100

T70

400

Tx3

400

T40

100

T70T·

100

70)deT%70

400

Tx3

4

T3·

100

x

4

T3de%x

400

T40T·

100

40

4

Tde%40

==

=+

=+

=

+

=+⇒

=

==

==

Luego debe hacer el 80% de los puntos

¿Qué porcentaje de rectángulo ocupa cada una de las partes indicadas?

Solución:Si B es la base del rectángulo y H, la altura, su área es: B · H

Parte 1 = Parte 4 =

6

H·B

2

H·3

B

= ⇒ El porcentaje de cada parte es: %67,16100·6

H·B =

Parte 2 = Parte 3 =3

H·BH·

3

B = ⇒ El porcentaje de cada parte es: %33,33100·3

H·B =

-Porcentajes encadenados1. Un artículo que vale 120 euros, ante la excesiva demanda, sube un 20%. Luego, cuando se reduce la demanda, se rebaja un 20%. ¿Sigue valiendo lo mismo que antes?

Solución:Subida: 120 · 1,20 = 144 eurosRebaja: 144 · 0,8 = 115,20 eurosVale menos que antes de la subida.

2. ¿Quién es mayor, el 20% del 50% de 80 o el 250% del 5% de 50?

Solución:

840·100

2080·

100

50·

100

20 ==

25,65,2·100

25050·

100

5·

100

250 ==

3. Una moto está etiquetada, sin IVA (16%),en 800 euros. El vendedor le dice que puede hacerle una rebaja del 20%. Calcula su coste final con porcentajes encadenados.

Solución:Coste: 800 · 0,8 · 1,16 = 742,40 euros

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