ejercicios resueltos de análisis complejo

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTONOMADE HONDURAS EN EL VALLE DE SULA

GUIA DE VARIABLE COMPLEJADEPARTAMENTO DE MATEMATICAS

Profesor: M.J. Suazo

EJERCICIOS RESUELTOS.

Siguiendo con los ejercicios de Integrales de lnea de variable real, se anaden dos ejemplos mas queles servira de guia, despues ejercicios resueltos de integrales de contorno(estudiar el concepto).

1) Evalue la integral

C

y dx x dy, donde C viene dado por la parametrizacion x = 2 cos t,y = 3 sen t, 0 t pi.Solucion:

Sabemos que

C

y dx x dy = C

y dx x dy, entoncesC

y dx+ x dy.En este y en todos los casos la idea es dejar la integral de lnea como una integral simple, entoncesderivemos y sustituyamos; dejaremos la integral solo en terminos de t.Sabemos que x = 2 cos t, dx = 2 sen t, y = 3 sen t entonces dy = 3 cos t, al sustituirlo en laintegral de lnea tenemos,

C

y dx+ x dy = pi0

3 sen t(2 sen t) dt+ 2 cos t(3 cos t) dt = 6 pi0

(sen2 t + cos2 t) dt = 6pi.


C

x2y3 dx xy2 dy, donde C es la curva de la figura siguiente:

Solucion:

En este caso vemos 4 curvas distintas, por lo que el integral

C

=

C1

+

C2

+

C3

+

C4

. Comen-

zamos con la curva 1, tomemos la curva donde x = 1 constante, mientras que 1 y 1, laintegral nos queda

C

x2y3 dx xy2 dy =C1

x2y3 dx xy2 dy = 11

12y3>0

dx 1y2 dy = 23

.

1

En la curva 2, tenemos que el valor de y = 1 es constante mientras 1 x 1 pero debemos detener en cuenta que hay que seguir la lnea.C

x2y3 dx xy2 dy =C2

x2y3 dx xy20

dy =

11

x213 dx = 11x2 dx = 2

3

Para C3 vemos claramente que x = 1, 1 y 1 (recuerde que hay que seguir el camino),entonces:

C

x2y3 dx xy2 dy =C3

x2y3>0

dx xy2 dy = 11

(1)y2 dy = 11y2 dy = 2

3

Para C4 claramente y = 1, 1 x 1, entonces:C

x2y3 dx xy2 dy =C4

x2y3 dx xy20

dy =

11x2(1)3 dy =

11x2 dx = 2

3

Por lo tanto,

C

=

C1

+

C2

+

C3

+

C4

= 2/3 + (2/3) + (2/3) + (2/3) = 8/3

2

INTEGRALES COMPLEJAS.

Practicamente el caso de las integrales complejas es similar al de las integrales simples y de lneade variable real, de hecho cumple con todas las propiedades de variable real incluyendo el Teoremafundamental del Calculo(ver el libro de texto). Las integrales de lnea nos sirven como herramientaspara evaluar integrales de contorno(estudiar el concepto) de variable compleja.

Teorema: Evaluacion de integrales de contorno.Si f es contnua en una curva suave C dada la parametrizacion z(t) = x(t) + iy(t), t [a, b],entonces

C

f(z) dz =

ba

f(z(t))z(t) dt

1) Evalue

C

z2 dz, donde C es z(t) = 3t+ 2it, 2 t 2.El problema es una aplicacion directa del teorema anterior.C

z2 dz =

22

(3t+ 2it)2(3 + 2i) dt = (3 + 2i)

22

(3t+ 2it)2 dt = 48 + 7363i

2) Evalue

C

x2 + iy3 dz, donde C es la lnea que va desde z = 1 hasta z = i.

En este caso, no haremos una sustitucion en terminos de t: z(x) = x+ i(1x), sabemos que tantox como y son variables, la idea siempre es simplificar la integral, ademas recuerde que a y b sonnumeros reales. Observe que, cuando x = 0 tenemos que z = i y cuando x = 1 entonces z = 1. Sihacemos x = y para f(z) = x2 + iy3 = x2 + ix3, z(x) = (1 i)dx ademas seguiremos la lnea queva desde x = 1 hasta x = 0. De modo que la integral nos quedara as:C

x2+ iy3 dz =

C

(x2+x3) dz =

01

(x2+ ix3)(1 i) dx = (1 i) 01

(x2+ ix3) dx = 7/12+1/12i.

3


C

z2 dz donde C es la curva siguiente:

Como en el caso de variable real, en este problema empezaremos desde el origen y siguiendolas manecillas en contra del reloj. Para el caso, es similar al problema 2 de la pagina 2 de este

documento:

C

=

C1

+

C2

+

C3

.

Para C1: y = 0 mientras que 0 x 1, por lo que z = x, dz = dx y el integral nos queda asiC1

z2 dz =

10

x2 dx =1

3.

En la curva 2 tenemos la integral

C2

z2 dz, donde x = 1 es constante mientras que y es variable

entre 0 y 1.

Hagamos entonces z = 1 + iy, dz = idy, entonces

10

(1 + iy)2i dy = 1 + 23i

En la curva 3, el valor de x es el mismo que el de y en cualquier punto de modo que z = x+ iy =x+ ix, dz = (1 + i)dx si seguimos el camino que iniciamos en x = 1 y lo terminamos en x = 0 porlo que el integral nos queda as: 01

(x+ ix)2(1 + i) dx = (1 + i) 10

2ix2 dx =2

3 2

3i.

Por lo tanto,

C

z2 dz = 0

4

EJERCICIOS PROPUESTOS

Muestre los pasos y caminos a seguir para llegar al resultado en el problema propuesto, respuestassin procedimientos pierden validez.


C

Re(z) dz, donde C es el crculo |z| = 1


C

(3z2 2z) dz, donde C es z(t) = t 2it3, 1 t 1


C

1

zdz a lo largo de |z| = 1, en el semiplano inferior.


C

ez dz donde C es la poligonal que consiste en los segmentos de lnea que

va desde z = 0 a z = 2 y de z = 2 hasta z = 1 + pii .


C

1

z2 2i dz donde C es el crculo |z| = 6 desde z = 6i hasta z = 6i .


C

z2 z + 2 dz desde i a 1 a los largo de C que es la figura siguiente:


C

|z|2 dz, donde C es x(t) = t2, y(t) = 1t, 1 t 2

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