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ABREVIATURAS DE USO FRECUENTE e : Base de logaritmos neperianos. A : Logaritmo natural o neperiano. ogA : Logaritmo vulgar o de briggs.

s ne : Seno. arcs ne : Arco seno. cos : Coseno. arccos : Arco coseno. arc sco : Arco coseno. g : Tangente.

arc tg : Arco tangente. co g Cotangente. arcco tg Arco cotangente. sec : Secante. arcsec : Arco secante. cos ec : Cosecante. arcsec : Arco cosecante. exp : Exponencial. dx : Diferencial de x. x : Valor absoluto de x.

m.c.m: Mnimo comn mltiplo.

IDENTIFICACIONES USUALES s n (s n )n ne x e x= 1s n arcs ne x e x =

( )n nx x =A A ( )n nog x ogx=A A ogx og x=A A

IDENTIDADES ALGEBRAICAS

1. Sean a, b: bases; m, n nmeros naturales. m n m na a a += ( )m n mna a=

, 0m

m nn

a a aa

= ( )n n nab a b=

, 0n n

n

a a bb b

= ( )mm n m nna a a= =

1nna a

= 0 1, 0a a=

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2. Sean a, b ,c: bases; m, n nmeros naturales

( )2 2 22a b a ab b = + + ( )3 3 2 2 33 3a b a a b ab b = + + ( )4 4 3 2 2 3 44 6 4a b a a b a b ab b = + + 2 2 ( )( )a b a b a b = +

2 2 ( )( )n n n n n na b a b a b = + 3 3 2 2( )( )a b a b a ab b = 2 2 2 2( ) 2( )a b c a b c ab ac bc+ + = + + + + +

3. Sean b, n, x, y, z: nmeros naturales

( ) b b bog xyz og x og y og z= + +A A A A b b bxog og x og yy

= A A A n

b bog x n og x=A A 1nb bog x og xn

=A A 1 0bog =A 1bog b =A

1e =A exp x x =A = x

xe x =A xe x =A exp( )x x =A

IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS 1.

1s ncos

eec=

1cossec

=

s ncoseg =

1co

gg

= 2 2s n cos 1e + =

2 21 g sec + =

2 21+ co g cosec = cos cos coec g =

cos s ng e = 2. (a) s n( ) s n cos cos s ne e e + = + s n 2 2s n cose e = 1 coss n

2 2e = 2 1 cos 2s n 2e

= s n( ) s n cos cos s ne e e =

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(b) cos( ) cos cos s n s ne e + = 1 coscos 2 2

+= 2 1 cos 2cos

2 += cos( ) cos cos s n s ne e = +

2 2 2 2cos 2 cos s n 1 2s n 2cos 1e e = = = (c)

( )1g gg

g g

++ = 222

1ggg

= 2 1 cos 2

1 cos 2g

= + ( ) 1g gg

g g

= +

1 cos s n 1 cos2 1 cos 1 cos s n

ege

= = =+ +

(d)

[ ]1s n cos s n( ) s n( )2

e e e = + + [ ]1cos s n s n( ) s n( )2

e e e = +

[ ]1cos cos cos( ) cos( )2

= + + [ ]1s n s n cos( ) cos( )2

e e = + s n s n 2s n cos

2 2e e e + + = s n s n 2cos s n

2 2e e e + =

cos cos 2cos cos2 2

+ + = cos cos 2s n s n2 2

e e + = (e) arcs n(s n )e e x x= arccos(cos )x x= arc ( )g gx x = arcco (co )g gx x = arcsec(sec )x x= arccosec(cosec )x x=

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FORMULAS FUNDAMENTALES

Diferenciales Integrales

1.- dudu dxu

= 1.- du u c= + 2.- ( )d au adu= 2.- adu a du= 3.- ( )d u v du dv+ = + 3.- ( )du dv du dv+ = + 4.- 1( )n nd u nu du= 4.-

1

( 1)1

nn uu du c n

n

+= + +

5.- ( ) dud uu

=A 5.- du u cu

= + A 6.- ( )u ud e e du= 6.- u ue du e c= + 7.- ( )u ud a a adu= A 7.-

uu aa du c

a= + A 8.- (s n ) cosd e u udu= 8.- cos s nudu e u c= + 9.- (cos ) s nd u e udu= 9.- s n cose udu u c= + 10.- 2( ) secd gu udu = 10.- 2sec udu gu c= + 11.- 2(co ) cosecd gu udu = 11.- 2cosec coudu gu c= + 12.- (sec ) secd u u gudu= 12.- sec secu gudu u c = + 13.- (cosec ) cosec cod u u gudu= 13.- cosec co cosecu gudu u c = + 14.-

2(arcs n )

1dud e uu

= 14.- 2 arcs n1du e u cu

= + 15.-

2(arccos )

1dud uu

= 15.- 2 arccos1du u cu

= + 16.- 2(arc ) 1

dud guu

= + 16.- 2 arc1du gu cu

= ++ 17.- 2(arcco ) 1

dud guu

= + 17.- 2 arcco1du gu cu

= ++ 18.-

2(arcsec )

1dud u

u u= 18.- 2

arcsec ; 0arcsec ; 01

u c uduu c uu u

+ >= + = +

11

OTRAS INTEGRALES INMEDIATAS 1.-

seccos

u cgudu

u c

+= +AA

2.- co s ngudu e u c = + A

3.-sec

sec2 4

u gu cudu ugu c

+ += + +

A

A 4.- cosec cosec coudu u gu c = + A

5.- s n cose hudu u c= + = 6.- cos s nudu e hu c= + = 7.- cosghudu u c = + A = 8.- co s nghudu e u c = + A = 9.- sec arc (s n )hudu gh e hu c= + 10.- cosec arcco (cos )hudu gh hu c= + 11.-

2 2

arcs n

arcs n

ue cdu a

ua u e ca

+= +

12.- 2 22 2

du u u a cu a

= + + A

13.- 2 2

1 arc

1 arcco

ug cdu a a

uu a g ca a

+= + +

14.- 2 21

2du u a c

u a a u a = + + A

15.-2 2 2 2

1du u cau a u a a u

= + + A 16.- 2 21 arccos

1 arcsec

u cdu a a

uu u a ca a

+= +

17.-2

2 2 2 2 2 2

2 2u au a du u a u u a c = + +A

18.-2

2 2 2 2 arcs n2 2u a ua u du a u e c

a = + +

19.- 2 2( s n cos )s n

auau e a e bu b bue e budu c

a b= ++

20.- 2 2( cos s n )cos

auau e a bu b e bue budu c

a b+= ++

Realmente, algunas de estas integrales no son estrictamente inmediatas; tal como se ver mas adelante y donde se desarrollan varias de ellas.

39

EJERCICIOS PROPUESTOS Usando Esencialmente la tcnica de integracin por sustitucin, encontrar las siguientes integrales: 2.39.- 3x xe dx 2.40.- adx

a x 2.41.- 4 62 1t dtt++ 2.42.- 1 3

3 2x dxx

+ 2.43.- xdxa bx+ 2.44.- ax b dxx +

2.45.-23 3

1t dtt+ 2.46.-

2 5 73

x x dxx+ ++ 2.47.-

4 2 11

x x dxx+ +

2.48.-2ba dx

x a + 2.49.- 2( 1)

x dxx + 2.50.- 1bdyy

2.51.- a bxdx 2.52.-2 1xdxx + 2.53.- x xdxx + A

2.54.- 23 5dxx + 2.55.-

3

2 2

x dxa x 2.56.-

2

2

5 64

y y dyy ++

2.57.- 26 153 2t dtt 2.58.- 23 25 7x dxx + 2.59.- 23 15 1

x dxx++

2.60.- 2 5xdxx 2.61.- 22 3xdxx + 2.62.- 2 2 2ax b dxa x b++

2.63.-4 4

xdxa x 2.64.-

2

61x dx

x+ 2.65.-2

6 1x dxx

2.66.- 2arc 3

1 9x g x

dxx

+ 2.67.- 2arcs n4 4e t dtt 2.68.- 32arc ( )

9

xg dxx

+

2.69.-2 2(9 9 ) 1

dt

t t t+ + + A 2.70.- mxae dx 2.71.- 2 34 x dx

2.72.- ( )t te e dt 2.73.- 2( 1)xe xdx + 2.74.- 2( )x xa ae e dx 2.75.-

2 1xx

a dxa 2.76.-

1

2

xe dxx 2.77.- 5 x

dxx

2.78.-2

7xx dx 2.79.-1

t

te dte 2.80.-

x xe a be dx 2.81.- 13( 1)x xa ae e dx+ 2.82.-

2 3xdx+ 2.83.- 2 ; 01

x

xa dx aa

>+ 2.84.- 21

bx

bxe dxe

2.85.- 21

t

t

e dte 2.86.- cos 2

x dx 2.87.- s n( )e a bx dx+ 2.88.- cos dxx

x 2.89.- s n( ) dxe x x A 2.90.- 2(cos s n )ax e ax dx+ 2.91.- 2s ne xdx 2.92.- 2cos xdx

40

2.93.- 2sec ( )ax b dx+ 2.94.- 2cos g axdx 2.95.-s n xa

dxe

2.96.-43cos(5 )

dxx 2.97.- s n( )dxe ax b+ 2.98.- 2 2cosxdxx

2.99.- co xg dxa b

2.100.- dxg x x 2.101.- 5xdxg

2.102.-21 1

s n 2dx

e x 2.103.- s n cos

dxe x x 2.104.- 5coss n ax dxe ax

2.105.- 2s n(1 2 )t e t dt 2.106.- s n 33 cos3

e x dxx+ 2.107.-

3 23 3secx xg dx

2.108.-2 2

s n coscos s ne x x dxx e x 2.109.- 2cosgx dxx

2.110.- cos s nx xa ae dx

2.111.- 2co (2 3)t g t dt 2.112.- 38 5x dxx + 2.113.-3s n 6 cos 6e x xdx

2.114.- 21 3cos s n 2x e xdx+ 2.115.- 5 25x x dx 2.116.- 21 s n 3cos 3e xdxx+ 2.117.-

2(cos s n )s nax e ax dxe ax+ 2.118.- 3 11x dxx + 2.119.-

2cos 3co 3ec xdx

b a g x 2.120.-

3

4

14 1

x dxx x

+ 2.121.-

2xxe dx 2.122.- 223 2 32 3 x dxx ++ 2.123.- 3 co 3

s n 3g x g xdx

e x 2.124.- xdxe 2.125.-

1 s ncose xdx

x x++

2.126.-2

2

sec2

xdxg x 2.127.- 2

dxx x A 2.128.-

s n cose xa xdx

2.129.-2

3 1x dxx + 2.130.- 41

xdxx 2.131.-

2g axdx 2.132.-

2

2

sec4

xdxg x 2.133.- cos x a

dx 2.134.- 3 1 xdxx+ A

2.135.- 11

dxg xx

2.136.- 2s nxdxe x 2.137.- s n coss n cose x xdxe x x+ 2.138.-

arc 2

2

(1 ) 11

gxe x xx

+ + ++ A 2.139.-

2

2 2x dxx 2.140.-

2s n s n 2e xe e xdx 2.141.-

22

2

(1 s n )s n

x

x

edx

e 2.142.- 25 34 3

x dxx

2.143.- 1s

dse +

2.144.-s n cos

de a a

2.145.- 2 2

s

s

e dse

2.146.- 2 0s n( )tTe dt +