ejercicios ing. agricola 2011-2

PRIMERA ENTREGA DE EJERCICIOS

EJERCICIOS DE APLICACIN DE LA ASIGNATURA

MATEMTICAS BSICAS (cdigo de la asignatura) PARA EL PROGRAMA DE INGENIERA AGRCOLA

Realizados por:

Cristhian Camilo Cardenas Delgado 273290 Jos Jorge Sierra Molina 153305

Revisados por: Nombre profesor o estudiante

Universidad Nacional de Colombia Sede Bogot

Segundo semestre de 2011

1. TEMA: Algebra- Elementos de Mquinas

Objetivos:

Aplicar los conceptos bsicos del algebra para conocer valores de variables desconocidas

Conocer la aplicacin de las matemticas bsicas en algunos temas del anlisis de Elementos de mquinas, tales como: uniones

(soldadura), potencia y torque en una turbina y ejes de transmisin

Aplicacin o contextualizacin para el programa curricular:

Las mquinas agrcolas se disean teniendo en cuenta muchos factores tales como la resistencia de los materiales, la durabilidad, y la funcionalidad

entre otras. Es por esto que antes de estudiar las mquinas agrcolas es necesario conocer los elementos principales que las componen y su comportamiento con base en anlisis matemticos.

Por ejemplo, un tema tratado en la asignatura Elementos de Mquinas es el de Uniones. Las uniones que se hacen entre diferentes elementos de

mquinas pueden ser de diferente tipo, como uniones soldadas y uniones con pernos o tornillos. Para el diseo de las uniones existen ecuaciones que

permiten calcular los tamaos y los materiales de las uniones con base en los esfuerzos a los cuales estarn sometidos.

Otros temas relacionados con Elementos de Maquinas son el diseo y anlisis de ejes, rodamientos, tornillos y transmisiones de potencia. El conocimiento de estos temas es la base para entrar a estudiar las mquinas

agrcolas.

a. Fuerza que soporta una unin soldada

Determinar cul es la fuerza por pulgada de soldadura en torsin que soporta una soldadura si se conocen los siguientes datos:

Explicacin del problema Las uniones soldadas estn sometidas a diferentes tipos de cargas

como fuerzas por torsin, fuerzas por flexin y fuerzas por cortante. Para determinar el ancho del cordn de la soldadura es necesario conocer dichas fuerzas.

Una ecuacin que permite conocer la fuerza resultante a la que est sometida una soldadura es la siguiente:

Donde:

es la fuerza resultante que soporta la soldadura

es la fuerza por torsin que soporta la soldadura

es la fuerza por flexin que soporta la soldadura

es la fuerza por cortante que soporta la soldadura

Solucin

Para conocer la fuerza por torsin por pulgada de soldadura simplemente se despeja esta variable de la ecuacin anterior:

Finalmente se reemplazan valores

b. Torque en una turbina

Una turbina hidrulica tiene una potencia de 1200 hp y gira a una velocidad de 60 revoluciones por minuto (rpm). Determinar el torque

(T) que desarrolla dicha turbina Explicacin del problema

La relacin entre la potencia y el torque en una turbina hidrulica est dada por:

La ecuacin anterior se aplica para unidades inglesas

T: torque en lb.pie N: velocidad en revoluciones por minuto (rpm)

Solucin Se despeja el torque de la ecuacin anterior y se reemplazan valores:

c. Diseo de ejes

Determinar cul es el torque que soporta un eje que tiene las

siguientes caractersticas: d= 1.237pulg

n= 1.6 Sy= 84000 psi M=1000 lb*in

Se=16000 psi

Explicacin del problema Existen varias ecuaciones que se utilizan para disear ejes. Estas

ecuaciones involucran varias variables que el ingeniero tiene que determinar. La siguiente ecuacin se aplica en ejes que estn

sometidos a torque constante:

{

[(

)

(

)

]

}

Donde: d= Dimetro del eje (pulg)

n= Factor de diseo (adimensional) Sy=limite elstico de fluencia superior para acero (psi) T= Torque que soporta el eje (lb*in)

M=Momento torsor sobre el eje (lb*in) Se=Lmite de fatiga de la pieza (psi)

Solucin Primero se despeja algebraicamente el torque T que es la variable

que se quiere encontrar:

{

[(

)

(

)

]

}

[(

)

(

)

]

(

)

[(

)

(

)

]

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

[

(

)

(

)

] (

)

[

(

)

(

)

]

[

(

)

(

)

]

Finalmente se reemplazan los trminos para determinar el torque que soporta el eje:

[

(

)

(

)

]

2. TEMA: Relaciones y Funciones

Objetivos:

Entender el concepto de relacin y funcin. Resolver problemas que impliquen modelacin en trminos de

funciones de ciertos parmetros en problemas aplicados a la ingeniera agrcola.

Determinar el dominio y el rango de funciones.

Aplicacin o contextualizacin para el programa curricular: Las relaciones y funciones son un tema fundamental y bsico para toda la

carrera de Ingeniera Agrcola. Las relaciones y funciones establecen correspondencias entre diversos tipos de fenmenos. Un Ingeniero Agrcola puede emplear una frmula (o correspondencia) para pronosticar cunta

agua puede bombear una bomba con base en la presin que en esta se genere.

a. Relacin especificada por medio de una tabla y una grfica

Mediante un experimento se encontraron los valores de caudal aportados por un gotero en funcin de la presin en el mismo. La siguiente tabla muestra los resultados:

Presin (psi) Caudal

(L/hr)

8 3.57

13 4.45

20 5.49

25 5.89

32 6.6

1. Realice el grafico de dicha tabla y establezca si se trata de una funcin o de una relacin.

2. Calcule nuevamente los valores de caudal con base en la ecuacin

del gotero:

Donde

Q= caudal (L/hr) Kd,x son constantes que dependen de cada gotero. Asuma: Kd=1.427

X=0.4433 h= presin del gotero (psis)

Explicacin del problema

Relacin es la correspondencia de un primer conjunto, llamado dominio, con un segundo conjunto, llamado rango, de manera que a

cada elemento del dominio le corresponden uno o ms elementos del recorrido. Una funcin es una relacin a la que se aade la restriccin de que a

cada valor del dominio le corresponde uno y solo un valor del recorrido.

Todas las funciones son relaciones, pero no todas las relaciones son funciones.

Solucin 1. Grfico:

Se trata de una funcin ya que a cada elemento del dominio le

corresponde solo un elemento del rango.

2. Recalcular los caudales con base en la funcin:

Los valores obtenidos con la funcin se muestran en la siguiente

tabla:

Presin (psi) Caudal (L/hr)

8 3.58

13 4.45

20 5.38

25 5.94

32 6.63

b. Dominio y rango de la funcin de infiltracin

La siguiente funcin:

( )

Se conoce como la funcin de infiltracin de Kostiakov, esta determina la cantidad de agua que se infiltra en el suelo en funcin del tiempo.

c y son parmetros positivos i es la infiltracin y se mide en cm

1. Determinar el dominio y rango de la funcin de infiltracin 2. Si se mide la infiltracin durante 4 horas y los valores de los

parmetros son: c=0.0587 y =0.7119, grafique la funcin y determine el dominio y rango de esta.

Solucin 1.

Puesto que el tiempo es siempre positivo, no se est fijando lmite

para este y el exponente de t es siempre positivo (los cual permite incluir al cero en el dominio).

[ )

A medida que el tiempo crece, crece puesto que >0 y como c>0 entonces i(t) siempre est aumentando.

[ ) 2.

Dom i= [0,240] porque se considera t=0 el momento en el que se

empieza a medir la infiltracin y el periodo de medicin es de 240 minutos (4 horas).

Observando la grafica notamos que a medida que t aumenta i(t) tambin aumenta, entonces el rango viene dado por el intervalo determinado entre i(0) e i(240).

( )

( )

Por lo tanto el rango de la funcin es:

[

Bibliografa

[1] FORERO S.J.A. Parmetros Hidrodinmicos para riego. Facultad de Ingeniera. Universidad Nacional de Colombia. Bogot. 2000.

[2]MOTT, ROBERT L. Diseo de Elementos de Mquinas. Editorial

Prentice Hall Hispanoamrica. Mxico. 1995.


CALCULO DIFERENCIAL (cdigo de la asignatura) PARA EL PROGRAMA DE INGENIERA AGRCOLA

Realizados por:





3. TEMA: Gradiente de Temperatura

Objetivos:

Aplicar el concepto de derivada para conocer la variacin de la

temperatura en un cuerpo. A partir de la determinacin del gradiente hidrulico determinar la ley

de Fourier para la conduccin de calor en cuerpos.


El concepto de gradiente hidrulico se aplica para determinar la conduccin

de calor en diferentes cuerpos, tales como placas planas, cilindros, y otras formas geomtricas. Al relacionar estas formas geomtricas con algunos productos agrcolas (frutas, granos y hortalizas), se puede determinar la

transferencia de calor que ocurre en estos productos. La transferencia de calor es la base fundamental para entender el

comportamiento de los productos agrcolas luego de la cosecha, es decir, es fundamental para el campo de la poscosecha de granos, frutas y hortalizas.

a. Encontrar el gradiente de temperatura para la funcin dada:

Determine el valor del gradiente (o cambio) de temperatura en una placa rectangular para la posicin x=5 cm

La funcin de temperatura es:

La temperatura es mxima en el centro de la seccin transversal de la placa

La placa rectangular es de la siguiente forma:


Lo que nos pide el problema es determinar el valor del cambio de la temperatura para la posicin x=5 cm de la placa. El cambio de

temperatura se considera que solo ocurre a travs de la seccin transversal de la placa (es decir a lo largo de los 10 cm).

Solucin Primero que todo se considera que la temperatura es mxima en el

centro de la seccin transversal de la placa, por lo tanto, un diagrama de la funcin de temperatura a travs de la seccin transversal de la placa es el siguiente:

Para determinar el gradiente primero que todo es necesario derivar la funcin de temperatura respecto a x:

Finalmente se evalua la derivada para el valor de 5 cm:

( ) ( )

El valor negativo significa que la pendiente en ese punto es negativa, lo que quiere decir que la temperatura disminuye en ese punto.

b. Gradiente de temperatura- Ley de Fourier

Encontrar la transferencia de calor por conduccin en una placa rectangular si se conoce lo siguiente:

i. rea de la seccin transversal (A): 5 m2

ii. Conductividad trmica (k): 0.8

iii. Funcin de temperatura:

Determinarla para el punto x=3 m

Explicacin del problema La ley de Fourier para la transferencia de calor por conduccin

establece lo siguiente:

Donde:

qk= Transferencia de calor por conduccin (W)

k= Conductividad trmica -depende del material (

)

A=rea de la seccin transversal (m2)

= Gradiente de temperatura

Solucin

Primero se procede a determinar el gradiente de temperatura con base en la funcin y el punto en consideracin:

( )

( )

Ahora se aplica la ley de Fourier para determinar la transferencia de calor por conduccin a travs de la placa:

(

)

El valor positivo significa que la transferencia de calor ocurre desde el centro del cuerpo hacia afuera, es decir, la parte central es ms

caliente que los extremos.

4. TEMA: Infiltracin de agua en el suelo

Objetivos:

Determinar la velocidad de infiltracin mediante la derivacin de la funcin acumulada de infiltracin.

Aplicar algunos conceptos del clculo diferencial para resolver problemas relacionados con el contenido de agua en el suelo.


Especifique aqu el campo de aplicacin del tema tratado dentro del campo profesional correspondiente, puede citar ejemplos. En qu otras asignaturas utilizar este contenido

La infiltracin de agua en el suelo es uno de los parmetros hidrodinmicos de gran importancia para lograr un manejo adecuado del agua. Al conocer

la tasa de entrada de agua en un suelo, se puede definir el tiempo de aplicacin del agua para permitir que una cantidad determinada de agua sea almacenada en la zona de races de un cultivo.

Para el Ingeniero Agrcola es de gran importancia, ya que con base en el

comportamiento de la infiltracin en un suelo determinado, se realizan los diseos de sistemas de riego.

Cuando se aplica agua en un suelo relativamente seco, se registran potenciales matriciales prximos a cero en la superficie por el contacto con el agua y negativos decrecientes con la profundidad. La velocidad de

entrada de agua al suelo es elevada en un principio debido al estrs de humedad, expresado este en trminos de potencial matricial. Entre menor sea el potencial matricial, mayor es la velocidad de infiltracin de agua en el

suelo; a medida que el suelo se va humedeciendo va aumentando el potencial matricial y a disminuyendo tambin la velocidad de entrada de agua al suelo.

Existen muchos modelos matemticos de infiltracin que intentan simular de manera muy aproximada el comportamiento de la infiltracin en los suelos.

Un modelo muy utilizado por su sencillez y efectividad es el de Kostiakiov.

El modelo de Kostiakiov es un modelo emprico y establece lo siguiente:

Donde i es la infiltracin de agua acumulada en el suelo (cm)

c y son parmetros adimensionales t es el tiempo (minutos)

a. Velocidad de infiltracin de agua en el suelo

Se realiz un experimento para determinar la funcin de velocidad de infiltracin de Kostiakiov. En campo se tomaron dos mediciones de

infiltracin; los datos son los siguientes:

Ensayo Tiempo (min) Lamina infiltrada i (cm)

1 45 1.55

2 200 2.98

Determinar la funcin de velocidad de infiltracin (I) de Kostiakiov Explicacin del problema

La funcin velocidad de infiltracin I de Kostiakiov se determina derivando la funcin de infiltracin acumulada con respecto al

tiempo.

La velocidad de infiltracin se expresa en cm/hr. La ecuacin anterior est en cm/min, por lo que toca multiplicarla por 60.

Si

La funcin de velocidad de infiltracin es finalmente:

Solucin

Para determinar los parmetros c y primero se linealiza la ecuacin aplicando logaritmo:

( ) ( ) ( )

Tomando la pendiente de la recta se puede determinar el parmetro :

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

Ahora se determina el parmetro c:

La funcin infiltracin acumulada de agua es:

Ahora se procede a derivar:

Donde I es la velocidad de infiltracin en cm/hr y t es el tiempo en

minutos.

b. Velocidad bsica de infiltracin

Determine la velocidad bsica de infiltracin con base en la funcin obtenida en el ejercicio (a)


La velocidad bsica de infiltracin es aquella velocidad que se alcanza cuando el suelo est saturado y la velocidad comienza a permanecer

casi constante. Segn el servicio de conservacin de suelos de los Estados Unidos, la

velocidad bsica se puede encontrar con base en la siguiente ecuacin:

El signo negativo obedece al sentido descendente de la pendiente de la velocidad de infiltracin.

Solucin

Se tiene que encontrar la funcin para hallar el tiempo bsico en el cual ocurre la velocidad bsica de infiltracin. Se parte de la ecuacin:

( )

[

Entonces ( )

( )

Finalmente

( ) Al reemplazar los trminos se obtiene:

( )

c. Lmite de la velocidad de infiltracin

Que pasa con la velocidad de infiltracin cuando el tiempo tiende a infinito?

Solucin

Esto significa que cuando el tiempo de infiltracin de agua en el suelo es muy prolongado la velocidad de infiltracin se acerca a cero.

A medida que un suelo posee ms cantidad de agua la velocidad de infiltracin disminuye.

Bibliografa

[1] FORERO S.J.A. Parmetros Hidrodinmicos para riego. Facultad de

Ingeniera. Universidad Nacional de Colombia. Bogot. 2000. [2]HOLMAN, J.P. Transferencia de Calor. Compaa Editorial

Continental S.A. Mxico.

[3]PARRA, A. y HERNANDEZ, J.E. (1992). Fisiologa Poscosecha de Frutas y Hortalizas. Publicacin Universidad Nacional de Colombia.

Facultad de Ingeniera. Bogot D.C.

EJERCICIOS DE APLICACIN DE LA ASIGNATURA ALGEBRA LINEAL (cdigo de la asignatura) PARA EL

PROGRAMA DE INGENIERA AGRCOLA

Realizados por:

Cristhian Cardenas Delgado 273290 Jos Jorge Sierra Molina 153305




1. TEMA: Algebra Lineal Objetivos:

La Programacin Lineal es un procedimiento o algoritmo matemtico

mediante el cual se resuelve un problema indeterminado, formulado a travs de ecuaciones lineales, optimizando la funcin objetivo, tambin lineal.


Cualquier ciencia oingeniera necesita en algn punto optimizar ganancias, recursos, etc. y este es el caso de la ingeniera Agrcola.

Ejercicio 1

Unos grandes almacenes encargan a un fabricante pantalones y chaquetas deportivas. El fabricante dispone para la confeccin de 750 m de tejido de

algodn y 1000 m de tejido de polister. Cada pantaln precisa 1 m de algodn y 2 m de polister. Para cada chaqueta se necesitan 1.5 m de algodn y 1 m de polister.

El precio del pantaln se fija en 50 y el de la chaqueta en 40 .

a. Optimizar ganancias

Qu nmero de pantalones y chaquetas debe suministrar el fabricante a los almacenes para que stos consigan una venta

mxima?

Solucin Eleccin de las incgnitas.

x = nmero de pantalones y = n. problemas algebra lineal aplicaciones nmero de chaquetas

2. Funcin objetivo f(x,y)= 50x + 40y Restricciones

Para escribir las restricciones vamos a ayudarnos de una tabla:

pantalones chaquetas disponible

algodn 1 1,5 750

polister 2 1 1000

x + 1.5y 750 2x+3y1500 2x + y 1000 Como el nmero de pantalones y chaquetas son nmeros naturales,

tendremos dos restricciones ms: x 0 y 0

b. Hallar el conjunto de soluciones factibles Solucin

Tenemos que representar grficamente las restricciones. Al ser x 0 e y 0, trabajaremos en el primer cuadrante. Representamos las rectas, a partir de sus puntos de corte con los ejes.

Resolvemos grficamente la inecuacin: 2x +3y 1500, para ello tomamos un punto del plano, por ejemplo el (0,0).

20 + 30 1 500 Como 0 1 500 entonces el punto (0,0) se encuentra en el semiplano donde se cumple la desigualdad. De modo anlogo resolvemos 2x + y 1000. 20 + 0 1 00 La zona de interseccin de las soluciones de las inecuaciones sera la

solucin al sistema de inecuaciones, que constituye el conjunto de las soluciones factibles.

c. Calcular las coordenadas de los vrtices del recinto de las

soluciones factibles Solucin

La solucin ptima, si es nica, se encuentra en un vrtice del recinto. stos son las soluciones a los sistemas:

2x + 3y = 1500; x = 0 (0, 500) 2x + y = 1000; y = 0 (500, 0)

2x + 3y =1500; 2x + y = 1000 (375, 250)

d. Calcular el valor de la funcin objetivo Solucin

En la funcin objetivo sustituimos cada uno de los vrtices.

f(x, y) = 50x + 40y f(0, 500) = 500 + 40500 = 20000 f(500, 0) = 50500 + 400 = 25000 f(375, 250) = 50375 + 40250 = 28750 Mximo La solucin ptima es fabricar 375 pantalones y 250 chaquetas para obtener un beneficio de 28750 . La solucin no siempre es nica, tambin podemos encontrarnos con una solucin mltiple.

.

SEGUNDA ENTREGA DE EJERCICIOS



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b. TEMA: Ingeniera de Riegos y Drenajes de tierras y cultivos

En esta rama se disean y construyen sistemas de riego, drenaje, acueducto y alcantarillado para cultivos y zonas rurales, as como tambin seleccin de materiales (tuberas, aditivos, bombas, mangueras, materiales de construccin, etc), y el diseo e implementacin de modelos matemticos para la evaluacin de diversos casos que suelen presentarse en cuencas, ros, canales, reservorios y dems fuentes hdricas, basados a los principios de Hidrulica, Hidrologa, Meteorologa, Estadstica y dems ciencias bsicas. Problema:

Se pretende instalar una tubera de fibrocemento de 2.800 m de longitud para alimentar desde un grupo de bombeo a un depsito de regulacin de una poblacin. El caudal a suministrar es 28,80 m

3/h(metros cbicos por hora), y la diferencia de cotas entre el depsito y el grupo de bombeo es de 70 m. El perfil de la tubera

esquematizado es el siguiente:

a. Determinar el dimetro de la tubera y las prdidas de carga

(Despreciar las prdidas de carga en puntos singulares. Solucin:

b. Calcular la sobrepresin producida por el golpe de ariete.

Representarla grficamente en el mismo perfil.

Solucin:

c. Disponer las vlvulas de retencin necesarias para proteger la

tubera frente al golpe de ariete. Solucin: Vemos grficamente la solucin.

d. Timbrar la tubera, una vez dispuestas las correspondientes vlvulas

de retencin. Solucin: Al igual que el anterior inciso obtenemos:

Bibliografa [1] Clculo diferencial con aplicaciones Francisco meja [2] CLCULO DIFERENCIAL, Manuel Pizano



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c. TEMA: Relacin entre Carga, Esfuerzo Cortante y

Momento en una Viga. Objetivos:

Conocer la relacin entre carga, esfuerzo cortante y momento en una

viga sometida a flexin. Aplicar el concepto de derivada para determinar el esfuerzo cortante

a partir del momento flector aplicado. Realizar los diagramas de cortante y momento en una viga sometida

a diferentes tipos de cargas.


Las construcciones rurales es uno de los campos principales de la Ingeniera Agrcola. Su estudio requiere de amplios conocimientos fsicos y

matemticos. Las vigas son elementos que estn presentes en casi todas las construcciones, y su estudio es de vital importancia para disear diferentes

estructuras, tales como cerchas, muros de contencin y bodegas de almacenamiento de productos agrcolas entre otros.

Una viga es un elemento estructural que est diseado para soportar cargas que estn aplicadas en uno o varios puntos a lo largo del mismo.

Las vigas son barras prismticas rectas y largas. El diseo de una viga para soportar de manera ms efectiva las cargas aplicadas es un procedimiento

que involucra dos partes: 1. Determinar las fuerzas cortantes y los momentos flectores producidos

por las cargas. (esttica) 2. Seleccionar la seccin transversal que resista de la mejor forma posible a

las fuerzas cortantes y a los momentos flectores. (Mecnica de slidos).

a. Ecuaciones y diagramas de momento, cortante y carga de

una viga. Considere una viga apoyada AB que tiene una longitud L y que

soporta una carga distribuida de manera uniforma q.

Si se sabe que la ecuacin del momento flector (M) para esta viga

es:

( )

( )

Donde

L es la longitud e la viga (constante). q es la carga uniforma (constante). x es la distancia medida desde uno de los extremos de la viga hasta cualquier otro punto de la misma. - Determinar la ecuacin del esfuerzo cortante (V) y de la carga (q).

- Realizar los diagramas de q, V y M. Explicacin del problema

La relacin existente entre momento flector, esfuerzo cortante y carga de una viga sometida a cualquier tipo de carga est dada por:

Los diagramas se pueden realizar en un plano asumiendo el eje longitudinal de la viga como el eje x. El momento (M), cortante (V) y carga (q) se dibujan en el eje y.

Solucin

- Determinar la ecuacin del esfuerzo cortante (V) y de la carga (q).

Lo primero que se hace es determinar la ecuacin del esfuerzo cortante derivando la ecuacin del momento flector.

( )

( )

( )

Ahora se deriva la ecuacin del esfuerzo cortante para conocer la carga:

De la ecuacin original se tiene:

Al derivar V se obtiene:

( )

(Se considera positiva una carga aplicada haca abajo)

- Realizar los diagramas de q, V y M. Diagrama de carga q:

La magnitud de la carga para este caso siempre es constante, por lo que se trata de una carga uniforme:

Diagrama de esfuerzo cortante V:

Observando la ecuacin anterior se puede decir que se trata de una ecuacin de una recta. Para graficarla se puede evaluar el valor del

cortante para x=0 y x=L.

( )

( )

Para x=L/2 se tiene:

(

)

Por lo tanto el diagrama de esfuerzo cortante es:

Diagrama de Momento

( )

La ecuacin indica que se trata de una parbola. Al igual que con el cortante se evaua para x=0, x=L y x=L/2

( )

( )

( )

( )

(

)

(

(

)

)

b. Magnitud y posicin de Momento mximo en la viga

Si la ecuacin del momento flector en una viga es:

(

)

Determine cul es la magnitud de momento flector mximo y en qu punto de la viga ocurre.


Para determinar el valor del momento flector mximo se puede derivar la ecuacin de momento e igualarla a 0. Luego se despeja el

valor de x y ese valor de x se evala en la funcin original de M.

Solucin Primero se deriva M y luego se iguala a 0:

(

)

Ahora se despeja el valor de x

Significa que en

la funcin M tiene un valor mximo.

Ahora se evala x en la funcin M:

( )

(

)

(

)

(

)

(

)

Este es el valor mximo que toma el Momento

d. TEMA: Variacin de la cantidad de agua almacenada en el suelo

Objetivos:

Determinar la tasa de perdida de agua en un suelo Aplicar el concepto de derivadas para encontrar razones de cambio


El almacenamiento de agua en el suelo es un tema muy importante para el ingeniero agrcola ya que con base a este parmetro el ingeniero puede llevar a cabo muchas operaciones, como por ejemplo disear el sistema de

riego y drenaje en un suelo. Es por esto que la velocidad a la cual el suelo pierde agua es un parmetro muy importante en muchos estudios.

La hidrologa, el drenaje y el riego entre otras, son materias en las que se aplica ampliamente el almacenamiento de agua en el suelo

a. Disminucin en la cantidad de agua almacenada en un suelo

Qu tan rpido disminuye la cantidad de agua almacenada en un suelo, si este est perdiendo agua a travs de los canales de drenaje

a una rezn de 300 L/min? Considere la forma del suelo como un prisma de base rectangular.


Las consideraciones a tener en cuenta son: - El suelo se considera como un prisma de base rectangular, por lo

tanto el volumen de agua que est almacenado en el suelo es (ver

figura):

- Ya que el agua almacenada en el suelo esta saliendo por medio

de los drenajes, el valor del cambio del volumen respecto al

tiempo se considera negativo.

Lo que se quiere encontrar es la velocidad a la cual se pierde la lmina de agua a travs del suelo, es decir:

Solucin

Ya que a y b se consideran constantes y h es la lmina que vara con

el tiempo, entonces la derivada de la ecuacin anterior es:

ya que

entonces

Se est drenando agua en el suelo a una razn de

b. Qu tan rpido se pierde agua en el suelo si el rea del

terreno es grande o si el rea del terreno es pequea?

Determine la rapidez a la que se pierde el agua en el suelo si el rea es de 100 m2 y de 10000 m2.

Solucin

1. Si A=100 m2

2. Si A=10000 m2

Con base en los anteriores resultados se puede observar que entre mayor sea el rea del suelo la velocidad a la cual se pierde el agua es

menor, y viceversa, si el rea del suelo es pequea la velocidad de perdida de agua es mayor.

e. TEMA: Optimizacin de costos para tubera de riego

Objetivos:

Determinar los costos ms bajos de una tubera para riego.

Aplicar derivadas para conocer el valor optimo (ms bajo) de costos

de tuberas.


La optimizacin se aplica en muchos problemas de ingeniera. En el siguiente ejercicio se desea determinar el costo ms bajo de una serie de

tuberas para riego. Este ejercicio se aplica en riegos, drenajes, y otras asignaturas en las que se necesite encontrar el valor ptimo de una variable

a. El costo ms bajo de tuberas

Se desea suministrar agua a dos predios desde un reservorio de agua que

se encuentra a 120 m de distancia horizontal a uno de los predios. La conduccin del agua desde el reservorio hasta los predios se va a hacer por medio de tuberas de 2 pulg. Y 1 pulg. con las siguientes condiciones:

i. Eltramo 1 que comprende desde el reservorio al predio I (ver

figura) debe hacerse con tubera de 2 pulg. ya que en este trayecto se transporta el total de agua para los predios.

ii. En el segundo tramo desde el predio I hasta el predio II se utilizar

tubera de 1 pulg. ya que en el predio I se gasta una parte del agua total, por lo que en el tramo 2 se transporta una cantidad de agua menor.

iii. Precios por metro de tubera:

Tubera Precio por metro de tubera

1 pulg. 3000

2 pulg. 5000

Determinar la combinacin de tubera de 1 pulg. y 2 pulg. ms econmica, si la entrega del agua al predio 1 se puede hacer en cualquier punto a lo

largo de su longitud (100 m).


Para analizar el problema adoptamos las siguientes variables:

x= longitud de la tubera de 2 pulg. y= longitud de la tubera de 1 pulg.

Se debe encontrar una ecuacin del costo que involucre la longitud de las tuberas de 1 pulg. y la longitud de las tuberas de 2 pulg. Luego se debe derivar esta ecuacin para encontrar el costo ms bajo.

Solucin

Por Pitgoras se tiene la siguiente relacin de las longitudes (ver figura anterior)

( )

( ) ( )

El costo total (c) de la tubera es:

( )

Al sustituir (1) en (2) se obtiene:

( )

Ahora se desea encontrar el valor minimo de y en el intervalo . Por lo tanto se procede a deriar con respecto a y.

(

)

( )

( )

Ahora se iguala

y se despeja y:

( )

( )

[ ( ) ( )

[ ( ) ( )

[ ( ) ( )

( ) ( )

( ) (

)

( )

( )

Y2 es el valor que se encuentra en el intervalo deseado. Ahora se evala el costo para el valor de y2 y para los casos extremos: y=0,

y=100.

( )

( )

( ) Como se observa el costo ms econmico de tubera se da cuando la tubera

de 1 pulg tiene una longitud de 17.68 m. Finalmente la configuracin ms econmica para transportar el agua es:

Bibliografa [1] BEER P. FERDINAND, JOHNSTON RUSSELL, EINSBERG ELLIOT.

Mecnica Vectorial para Ingenieros- Esttica. McGraw Hill. Sptima edicin. Mxico.



Realizados por:

CristhianCardenas Delgado 273290 Jos Jorge Sierra Molina 153305




f. TEMA: Vectores de velocidades absoluta y relativa en bombas

Objetivos:

Realizar el anlisis vectorial de impulsores en bombas

Determinar los vectores de velocidades absoluta y relativa en bombas

Dar solucin a problemas mediante la aplicacin del algebra vectorial


En gran parte de los sistemas de riego, en especial los sistemas de riego a presin

(aspersin y goteo), es necesaria la utilizacin de bombas hidrulicas

(generalmente bombas centrifugas) que garanticen el transporte del agua a todas

las plantas del cultivo.

La correcta seleccin de una bomba hidrulica con finalidades de riego es

fundamental para garantizar el correcto funcionamiento del sistema. La bomba

debe suplir las necesidades de caudal y presin requeridos por el sistema de riego

especfico.

Una bomba hidrulica es una mquina que transforma la energa con la que es

accionada (generalmente energa mecnica), en energa hidrulica del fluido

incompresible que mueve (para riegos es agua). Al incrementar la energa del

fluido se aumenta su presin, su velocidad o su altura. En general, una bomba se

utiliza para incrementar la presin de un lquido aadiendo energa al sistema

hidrulico, para mover el fluido de una zona de menor presin o altitud a otra de

mayor presin o altitud.

El anlisis vectorial de maquinas hidrulicas (bombas o turbinas) es importante

para determinar las velocidades absolutas y relativas que se generan en estas. Con

estas velocidades se pueden conocer los momentos de torsin y los

requerimientos de potencia de las bombas.

a. Magnitud y direccin de la velocidad absoluta del impulsor de una bomba

Una bomba gira con una velocidad angular w=10 rad/seg, el radio exterior del

impulsor es de r=1.22m. El alabe tiene un ngulo =140. Si el flujo del fluido

relativo al alabe es determinar la magnitud y direccin de la

velocidad absoluta.


Para el anlisis vectorial de la velocidad en bombas se asumen dos velocidades

diferentes en el eje de la bomba dependiendo de la posicin del observador. Un

observador que se encuentre sobre un alabe ver una velocidad que no cambia

con el tiempo (u=velocidad del alabe), mientras que un observador que se

encuentre en frente de la bomba observara que la velocidad presenta cambios en

el tiempo (v=velocidad relativa).

El vector de velocidad absoluta se puede determinar cmo:

Donde

= velocidad absoluta

= velocidad del alabe (perpendicular al radio del impulsor)

= velocidad relativa (perpendicular al alabe)

Al descomponer la velocidad absoluta se obtiene:

(

)

Solucin

La velocidad del alabe se puede determinar de la siguiente manera:

Primero se determina el nmero de revoluciones por segundo (N):

Donde S= 10 rad/seg

Entonces

( ) ( )

( ) ( )

El ngulo entre el vector de velocidad del alabe y el vector de velocidad absoluta

es:

(

)

(

)

g. TEMA: Mtodo matricial para el anlisis de estructuras Objetivos:

Conocer el mtodo matricial para analizar diferentes estructuras. Resolver algunos ejercicios mediante la aplicacin del algebra lineal

Aplicacin o contextualizacin para el programa curricular: Las estructuras agrcolas son diseadas para soportar diferentes tipos de cargas, como

cargas por animales (pecuarias) y cargas en el almacenamiento de productos agrcolas

como granos.

Por ejemplo, un silo debe ser diseado teniendo en cuenta la carga que va a generar el

grano que va a ser almacenado, por lo tanto, la estructura debe ser capaz de soportar

dicha carga.

Existen diferentes mtodos para el anlisis de estructuras, uno de ellos es el mtodo

matricial.

GOLSARIO

- Cercha: Estructura cuyos elementos funcionan solo a tensin o compresin. Los

nudos son articulados.

- Elemento: Porcin de estructura entre nudos

- Nudo: Punto donde hay apoyo, hay cambio en la direccin de los elementos o es

un punto de inters.

a. Matriz de rigidez de un resorte elstico

Con base en la siguiente figura determinar la matriz de rigidez de un resorte elstico.

y representan los desplazamientos de los nudos en la direccin de dichas fuerzas

y la kes la constante del resorte.


Bsicamente los mtodos matriciales consisten en remplazar la estructura

continua real por un modelo matemtico de elementos estructurales finitos, cuyas

propiedades pueden expresarse en forma matricial.

Al igual que en los mtodos tradicionales, el modelo idealizado se configura de

manera un poco arbitraria por el analista. A continuacin se calculan las

propiedades elsticas de cada elemento mediante la teora de un medio elstico

continuo, se efecta el ensamblaje de las propiedades estructurales del conjunto y

se procede entonces a resolver la estructura. Naturalmente, al disminuir el tamao

de los elementos se incrementa la convergencia entre el comportamiento del

modelo y el de la estructura continua original.

El proceso de anlisis se puede considerar como el estudio de cuatro etapas

principales:

1. Accin sobre la estructura

2. Accin sobre los elementos

3. Respuesta de los elementos

4. Respuesta de la estructura

Por accin se puede entender una fuerza o un desplazamiento impuestos sobre la

estructura. A su vez, sta responde con desplazamientos o fuerzas

respectivamente.

El primes caso se puede entender con el anlisis de la cercha de la figura 1

sometida a las cargas P1 y P2, que constituyen la accin sobre ella (figura a).

Como resultado de dicha accin sobre la estructura los elementos se ven

sometidos a fuerzas axiales (Sij) de tensin o compresin (figura b).

La respuesta de cada uno de los elementos a las fuerzas axiales anteriores es un

alargamiento o acortamiento como los S1-4 y S2-4 mostrados en la figura c.

Como todos los elementos estn conectados e integran un conjunto, el resultado

final ser un desplazamiento de los nudos libres de la estructura, 1x , 1y y 2 , que

constituye su respuesta (figura d).

Figura 1

La relacin existente entre accin y respuesta se puede representar

matricialmente en la forma

[ [ [ ( )

o

[ [ [ ( )

Donde [ recibe el nombre de matriz de flexibilidadde la estructura y [ el de

matriz de rigidez de la misma. La ecuacin (1) corresponde al mtodo de las

fuerzas, mientras que la (2) al mtodo de los desplazamientos.

Al escribir todas las ecuaciones de deflexin de los nudos de la estructura y

agruparlas en forma matricial, se obtiene la matriz de flexibilidad [ o sea:

[

] [

] [

]

Donde representa la deflexin en el nudo i, en la direccin de la carga aplicada

en i, producida por una carga aplicada en el nudo j.

La matriz de flexibilidad es muy til en el estudio de la respuesta dinmica de la

estructura; de ah su importancia. Despejando el vector de fuerzas [ en la

ecuacin (1) se obtiene:

[ [ [

Si se compara esta ecuacin con la ecuacin (2) se obtiene:

[ [

Y por consiguiente:

[ [

O sea que la matriz de rigidez es el inverso de la matriz de flexibilidad y viceversa.

Al expandir la ecuacin (2) se obtiene:

[

] [

] [

]

Suponiendo que se obliga a la estructura a adquirir un posicin deformada tal que

mientras que , resulta:

O sea que la primera columna representa las fuerzas necesarias para producir una

deflexin unitaria en el nudo 1, sin que se muevan los otros nudos.

Simultneamente la columna 2 representa las fuerzas necesarias para que el nudo

2 tenga una deflexin unitaria y todos los dems permanezcan en su sitio y as

sucesivamente.

Como en cada caso la estructura debe permanecer en equilibrio, es de esperar que

la suma de los trminos de cada columna sea igual a cero, condicin til para

verificar la formulacin de la matriz de rigidez.

Un propiedad importante surge al considerar el Teorema del reciproco, ya que al

igualar el trabajo producido en una estructura elstica lineal por una fuerza Fi al

recorrer el desplazamiento producido por otra fuerza Fj con el producido por esta

ultima al recorrer el desplazamiento causado por la primera, se obtiene:

( ) ( )

Y al simplificar queda:

De donde se concluye que la matriz de flexibilidad [ es simtrica, y como la

matriz de rigidez [ es igual a su inverso, se deduce que sta tambin es

simtrica.

Solucin

Como se mencion anteriormente la matriz de rigidez cumple la siguiente

expresin.

[ [ [

[

] [

] [

]

Para encontrar los valores de los diferentes trminos de la matriz de rigidez [ se

procede de la siguiente forma:

Caso a:

Para y se obtiene:

Por fsica se sabe que:

Ya que en la matriz de rigidez la sumatoria de cada columna debe ser igual a cero

entonces:

Entonces

Caso b:

Para obtener la segunda columna de [ se hace y . Entonces se

obtiene:

Por fsica se sabe que:

Ya que en la matriz de rigidez la sumatoria de cada columna debe ser igual a cero

entonces:

Entonces

Por lo tanto la matriz de rigidez es finalmente:

[ [

] [

] [

]

b. Desplazamiento en nudos

Teniendo en cuenta la figura determine los desplazamientos en los nudos 1 y 2

sabiendo que la matriz de flexibilidad [ es:

[ [

]

Explicacin del problema (la misma que en el literal a) Solucin

[ [ [

[

] [

] [

]

[

] [

]

Lo que significa que cada nudo se desplaza media unidad hacia la derecha.

h. TEMA: Producto cruz y producto punto

Objetivos:

Aplicar el producto cruz y el producto punto en la solucin de algunos problemas de esttica.

Aplicacin o contextualizacin para el programa curricular: El Ingeniero Agrcola utiliza la esttica para la solucin de muchos

problemas de la ingeniera, como por ejemplo conocer las fuerzas a las que estn sometidos algunos elementos de mquinas agrcolas.

El anlisis vectorial es una herramienta muy til para entender y dar solucin a muchos problemas de esttica.

Por su parte, la esttica se aplica en el anlisis de mquinas agrcolas y elementos de mquinas, entre otros.

a. Momento de una fuerza con respecto a un punto

Un tractor est arrastrando una rastra a travs del suelo. Con base en el dibujo determine el momento que genera la fuerza aplicada en el punto R de la rastra, en la barra de tiro del tractor

(punto T).

Las componentes del vector y el vector son las siguientes:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )


Por fsica se sabe que el momento de una fuerza se halla como la multiplicacin de la fuerza por el brazo de palanca.

Cuando una fuerza esta aplicada en el espacio (3 dimensiones), el momento que genera esta fuerza con respecto a un punto se halla como:

Es decir, el momento es el producto cruz entre el vector fuerza ( ) y el vector que va desde el punto donde se genera el momento hasta el punto de aplicacin de la fuerza ( ).

Si las componentes de y son:

Entonces el producto cruz de estos dos vectores es:

|

|

Solucin

Los vectores de fuerza y de posicin son: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

El producto cruz de ambos es:

|

|

( ( )) ( ( )) ( )

( )

El resultado anterior es el momento que genera la fuerza sobre el punto T.

b. Proyeccin de una fuerza sobre un eje

Un tractor agrcola est arrastrando un arado de cincel con una fuerza de tiro T.

Con base en la figura determine cul es la proyeccin de la fuerza de tiro T sobre el eje x.

El vector y son:

En coordenadas cartesianas son: T(3,2)

x(5,0)


La proyeccin de un vector C sobre un vector D (

) se

determina de la siguiente manera:

|| ||

Solucin La proyeccin de la fuerza de tiro T sobre el vector x es:

|| ||

( ) ( )

( )

( )

( )

Por lo que el vector proyeccin de T sobre x es:

Bibliografa

[1] Mataix Plana Claudio. Mecnica de fluidos y Mquinas Hidrulicas. Editorial CIE Dossat. Mxico. 660 p. 2000.

[2] Uribe, Jairo. Anlisis de estructuras. Segunda edicin. Escuela Colombiana de Ingeniera Bogot. 2000

TERCERA ENTREGA DE EJERCICIOS



Realizados por:

Cristian Camilo Cardenas Delgado 273290 Jos Jorge Sierra Molina 153305




i. Funciones y ecuaciones

Objetivos:

Resolver problemas que impliquen modelacin en trminos de funciones de ciertos parmetros

Aplicar ejercicios de matemticas bsicas a la Ingeniera Agrcola

Aplicacin o contextualizacin para el programa curricular: Las funciones y su entendimiento son fundamentales para cualquier rea o

materia de la ingeniera agrcola, ya que con ellas se realizan anlisis, se modelan ciertas situaciones y se toman decisiones de diferente ndole.

a. Seccin de un canal La siguiente figura representa un canal de seccin transversal circular.

Donde y= Profundidad hidrulica d0= Dimetro de la seccin circular.

T= Ancho superficial Si d0 y y son constantes, determine el ancho superficial en funcin de Explicacin del problema

El tringulo determinado en la figura es issceles, puesto que dos de sus lados miden d0/2 (radio de la circunferencia), y el ngulo determinado por esos dos lados mide 2- .

Solucin

Usando el teorema del coseno se tiene que:

(

) (

) (

)(

) ( )

(

) (

) ( )

(

( )

)

( ( )

)

( ( )

)

(

)

(

)

b. Profundidad Hidrulica

Con base en el ejercicio anterior, determine la profundidad hidrulica en

funcin de .

Solucin

A partir del teorema de Pitgoras se puede deducir que:

(

) (

) (

)

(

)

(

)

( (

))

(

)

( (

) )

c. Abrevadero

Un abrevadero que est lleno de agua tiene 2m de largo y sus extremos tienen forma de tringulos equilteros invertidos de 60 cm (como se muestra en la figura).

Si al abrevadero se le abre un orificio en el fondo y el agua se escapa a una razn dada, exprese el volumen en un instante posterior dado en funcin de la

base del tringulo.

Explicacin del problema La configuracin del abrevadero es la siguiente:

Solucin Con base en la figura anterior los siguientes tringulos son semejantes:

Entonces:

Por otro lado, sea:

V= Volumen del abrevadero, entonces: V=(rea del tringulo)(longitud del abrevadero)

Finalmente:

d. Volumen como una funcin de la altura del tringulo

Con base en el ejercicio anterior, determine el volumen como una funcin de la altura del tringulo.

Solucin

Ya que

Entonces

De donde se concluye que:

( )

Bibliografa [1] THOMAS, GEORGE. CLCULO una variable. Undcima edicin.

Mxico: Pearson Education, 2005.



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1. Optimizacin en ingeniera de riegos y drenaje

Objetivos:

Ingeniera de Riegos y Drenajes de tierras y cultivos: Se disean y construyen

sistemas de riego, drenaje, acueducto y alcantarillado para cultivos y zonas rurales,

as como tambin maximizar un terreno , y el diseo e implementacin de modelos

matemticos para la evaluacin de diversos casos que suelen presentarse en

cuencas, ros, canales, reservorios y dems fuentes hdricas, basados a los

principios de Hidrulica, Hidrologa, Meteorologa, Estadstica y dems ciencias

bsicas. Con el siguiente problema vamos ver como plantear un problema de

optimizacin(primero vemos los pasos para plantear, y por ltimo aplicaciones a la

ecoma) de tierra frecuente en ingeniera agrcola visto de una manera un poco

ms divertida con figuras geomtricas conocidas.


Hidrulica, Hidrologa, Meteorologa, Estadstica y dems ciencias bsicas.

1. Pasos para la solucin de problemas de optimizacin

1. COMPRENDA EL PROBLEMA: El primer paso, es leer el problema con

cuidado hasta que se entienda con claridad. Hgase preguntas como: Cual

es la incgnita?, Cules son las cantidades dadas?, Cules son las

condiciones dadas?.

2. DIBUJE UN DIAGRAMA DEL PROBLEMA: En la mayor parte de los

problemas, resulta til dibujar un diagrama e identificar en el las cantidades

dadas requeridas.

3. INTRODUZCA NOTACION: Asigne un smbolo a la cantidad que se va a

maximizar o minimizar. Por ejemplo V = volumen, h = altura, b = base etc.

4. Escriba una frmula para la funcin objetivo Q que se maximizar o

minimizar, en trminos de las variables.

5. Utilice las condiciones del problema para eliminar todas, excepto una de

estas variables, y por consiguiente expresar Q como una funcin de una sola

variable.

6. DERIVAR

7. IGUALAR LA DERIVADA: A cero para encontrar los puntos criticos.

8. SEGUNDA DERIVADA: Deducir con la prueba de la segunda derivada si

los puntos crticos son mximos mnimos.

9. DAR LA SOLUCION: Recuerda dar una solucin clara de su problema en

notacin Ingenieril.

Otra Forma de verlo

1. . Se plantea la funcin que hay que maximizar o minimizar.

2. . Se plantea una ecuacin que relacione las distintas variables del problema,

en el caso de que haya ms de una variable.

3. .Se despeja una variable de la ecuacin y se sustituye en la funcin de

modo que nos quede una sola variable.

4. . Se deriva la funcin y se iguala a cero, para hallar los extremos locales.

5. . Se realiza la 2 derivada para comprobar el resultado obtenido.

2. Optimizacin de terreno en base a figuras geomtricas conocidas.

Calcule el rea del rectngulo ms grande que se puede inscribir en un

tringulo rectngulo cuyos catetos miden 5 y 7cm, si dos lados del

rectngulo coinciden con los catetos.

Sabemos que si introducimos un rectngulo adentro del tringulo rectngulo, una

de las esquinas del rectngulo (superior derecha) se topa con un punto de la

hipotenusa del tringulo. Si llevamos nuestro triangulo a un plano cartesiano,

nuestro eje en "Y" la coordenada (0,5) corresponde a la parte superior del

tringulo y en el eje "X" la coordenada (7,0) corresponde a la parte inferior del

tringulo; Al trazar una recta entre estos dos puntos se formara la hipotenusa del

Tringulo. Dejaremos indicado el rectngulo como altura "y" y base "b", un punto

del rectngulo (esquina superior derecha) toca un punto en la hipotenusa que

denominaremos (x,y).

Realizacin del problema.

La funcin objetiva del problema sera el rea de un rectngulo que est dada de

la siguiente forma:

Nuestra restriccin seria la ecuacin de pendiente interseccin, ya que la

hipotenusa del tringulo en el plano cartesiano la podemos ver como una recta con

una pendiente, y esa recta tiene un inicio o punto interseccin en 5.

Por lo tanto nuestra restriccin seria

Para poder lograr dejar nuestra funcin objetiva en funcin de una sola variable

cambiamos la y de la restriccin para la de la funcin objetiva, quedara de la

siguiente manera:

Ahora derivamos la funcin

Igualamos a 0, y despejamos x

Ahora sustituimos x en nuestra restriccin para poder encontrar el valor de y.

El valor de y es:

Para averiguar si es un mximo o un mnimo realizamos el criterio de la segunda

derivada.

Ya que la segunda derivada quedo menor a 0 es un mximo relativo Por lo tanto

las dimensiones del rectngulo ms grande que cabe dentro de este tringulo son

x=3.5 y=2.5 y el rea total seria

3. Aplicaciones en la economa

Si es la funcin del costo, es lo mismo a decir que es el costo de

producir unidades de cierto producto, por lo tanto el costo marginal es la

relacin que existe entre el cambio de C respecto de la variable . Para que se

entienda de una manera mejor podemos decir que la funcin del costo marginales

la derivada de la funcin del costo.

Vindolo desde el punto de vista del mercadeo, digamos que es le precio por

unidad que la empresa o compaa carga si se venden unidades. En este caso p

se llama funcin de demanda o funcin precio y cabe esperar que sea una

funcin decreciente con respecto a . Si se venden x unidades y el precio por

unidad es .

El ingreso total es: .

Si llamamos a funcin de ingreso o funcin de ventas. La derivada de

la funcin de ingreso se denomina funcin de ingreso marginal, y esta se

conoce como la relacin de cambio del ingreso con respecto al nmero de

unidades vendidas.

Si se venden unidades, despus la utilidad total es: .

Si llamamos a la funcin utilidad. La funcin de utilidad marginal es ,

la derivada de la funcin utilidad.

Para poder realizar los ejercicios donde se le pide que aplique dicha teora descrita

con anterioridad, debe de aplicar las funciones del costo marginal, el ingreso, y la

de utilidad para minimizar costos o bien para maximizar los ingresos y la utilidad.

Bibliografa

[1] Organizacin de la produccin, Martnez Torres

[2] Sistemas de planificacin y control de la fabricacin, Whybark

[3] Administracin de la produccin y las operaciones, Adam-Ebert



Realizados por:





1. TEMA: Sistemas de ecuaciones lineales Objetivos:

Aplicar soluciones matriciales a problemas de redes

Dar solucin a sistemas de ecuaciones lineales. Determinar los flujos de agua que se presentan en cada tubo en un

sistema de riego.

Aplicacin o contextualizacin para el programa curricular: Los sistemas de ecuaciones lineales son de gran utilidad en muchos campos

de la ingeniera y determinar la solucin de estos sistemas es de gran importancia.

Los sistemas de riego conducen el agua a diferentes lugares en un predio. Para conocer las condiciones de operacin de dichos sistemas es necesario que el Ingeniero Agrcola conozca los flujos de agua que se presentan en

cada tubo de la red de riego. El diseo y operacin de los sistemas de riego requiere que se conozcan,

entre otros parmetros, los flujos de agua que ocurren en cada tubo del sistema.

En la administracin de maquinaria agrcola muchas veces se involucran gran cantidad de factores que el ingeniero debe conocer para dar soluciones

ptimas y eficientes.

a. Flujo de agua a travs de una red de tuberas

En el diagrama adjunto se muestra una red de tubos por los que fluye agua. El flujo de agua en el punto A es de 500 L/s. De los puntos B y C salen 400

L/s y 100 L/s respectivamente. Encontrar los caudales que fluyen por cada tubo.


El fluido total que entra en cada uno de los nodos debe ser igual al fluido que sale.

Se supone que el caudal de agua a travs de los tubos es f1, f2, f3, f4, f5 y f6 L/s en las direcciones mostradas.

Solucin

Igualando el flujo que entra con el flujo que sale en cada interseccin o nodo se obtiene:

Nodo A 500=f1+f2+f3 Nodo B f1+f4+f6=400

Nodo C f3+f5=f6+100 Nodo D f2=f4+f5

Se tienen as cuatro ecuaciones con seis incgnitas f1, f2, f3, f4, f5 y f6. F1+f2+f3 =500

F1 +f4 +f6=400 f3 +f5 -f6=100 f2 - f4- f5 =0

La representacin del sistema anterior en una matriz ampliada es:

(

)

Al resolver el sistema anterior se obtiene la siguiente matriz solucin:

(

)

De aqu se deduce que, cuando se utilizan f4, f5 y f6 como parmetros, la

solucin general es:

F1=400-f4-f6

F2=f4+f5 F3=100-f5+f6

Esto conduce a todas las posibles soluciones del sistema y por lo tanto a todos los posibles flujos.

b. Red de canales de riego

En el siguiente diagrama se describe una red de canales de riego. Cuando la

demanda es mxima, los flujos en las intersecciones A, B, C y D (en L/s) son como los mostrados.

Encuentre los posibles caudales en cada canal de riego.


El fluido total que entra en cada uno de los nodos debe ser igual al fluido que sale.

Se supone que el caudal de agua a travs de los canales es f1, f2, f3, f4 y f5 L/s en las direcciones mostradas.

Solucin

Realizando el balance de masas en cada nodo se obtienen las siguientes ecuaciones:

Nodo A 550=f1+f4 Nodo B 200=f1-f3-f2

Nodo C 150=f3+f5 Nodo D 200=f2+f4-f5 Se tienen as cuatro ecuaciones con cinco incgnitas f1, f2, f3, f4 y f5. F1 +f4 =550 F1- f2- f3 =200

f3 +f5=150 f2 +f4- f5 =200

La representacin del sistema anterior en una matriz ampliada es:

(

)

Al resolver el sistema anterior se obtiene la siguiente matriz solucin:

(

)

De aqu se deduce que, cuando se utilizan f4 y f5 como parmetros, la

solucin general es:

F1=550-f4

F2=200-f4+f5 F3=150-f5

Esto conduce a todas las posibles soluciones del sistema y por lo tanto a todos los posibles flujos.

c. Flota de tractores

Un Ingeniero Agrcola tiene a su cargo una flota de 20 tractores de diferente tipo: x, y, z. El ingeniero planea utilizar el tractor x para que are 4 ha/da, el tractor y para 6 ha/da y el tractor z para 8 ha/da. Cuando trabajan los 20 tractores al tiempo se aran 108 ha en un da. Si solo se utilizan la mitad de los tractores x, la mitad de los tractores y, y un cuarto de los tractores z, entonces solo se aran 46 ha. Determinar el nmero de tractores de cada tipo: x, y, z


Se trata de un ejercicio que involucra 3 variables y hay que encontrar las relaciones existentes entre ellas para formar un conjunto de ecuaciones lineales.

Solucin

Se tienen los siguientes tipos de tractores: x: 4 ha/da

y: 6 ha/da z: 8 ha/da

Las ecuaciones que se deducen del enunciado del problema son:

(

) (

) (

)

El sistema anterior representado matricialmente es:

(

)

La solucin del sistema anterior hasta su reduccin final es:

(

)

Entonces:

x=10 y=6

z=4 Por lo que se tienen 10 tractores de 4 ha/da, 6 tractores de 6 ha/da y 4

tractores de 8 ha/da

2. Regresin por mnimos cuadrados Objetivos:

Aplicar conceptos de algebra lineal para determinar los parmetros

de una regresin mediante mnimos cuadrados Predecir el comportamiento de ciertas variables climatolgicas

mediante la regresin por mnimos cuadrados.


Las regresiones son muy importantes en muchos estudios en ingeniera, por ejemplo, para predecir los caudales que se pueden presentar en un rio con

base en mediciones de caudal realizadas previamente. En hidrologa las regresiones son de gran importancia ya que sirven para

relacionar y predecir variables. Por ejemplo, se puede predecir el caudal de un rio con base en las caractersticas fisiogrficas de la cuenca mediante una regresin lineal mltiple.

Un mtodo para determinar los parmetros de las regresiones es el de

mnimos cuadrados.

a. Serie de caudales anuales mximos

Los siguientes datos de caudales anuales mximos fueron tomados en una seccin del rio Mira. Se asume que la profundidad del rio es funcin del caudal.

Profundidad del ro (m)

Caudal (m3/s)

11 2

12 3

14 5

15 7

16 8

18 11

Realice una regresin por mnimos cuadrados y determine los parmetros del modelo.

Explicacin del problema Lo que se pretende determinar es un modelo que prediga las profundidades

que se podran presentar con base en el caudal del rio. Para esto se puede utilizar el mtodo de mnimos cuadrados, el cual arroja los parmetros del modelo. El mtodo de mnimos cuadrados es el siguiente:

Supngase que se dan n pares de datos (x1,y1) , (x1,y2), .(xn,yn), donde al menos dos de los x1, x2, ..xn son distintos.

Sean las matrices:

[

] [

]

Entonces la recta de aproximacin por mnimos cuadrados (regresin) para

estos puntos tiene como ecuacin:

a0 y a1 son los parmetros del modelo.

Donde [

] se halla por eliminacin de Gauss en las siguientes ecuaciones

normales:

( ) La condicin de que al menos dos de los x1, x2, ..xn sean distintos aseguran que MTM sea una matriz invertible, y por lo tanto A es nica.

Solucin

En este caso se tiene:

[

] [

]

[

] [

]

Ahora:

[

] [

]

[

] [

]

Por lo que la ecuacin

( )

Queda:

[

] [

] [

]

Al resolver por Gauss se obtiene:

Finalmente el modelo de regresin lineal es:

b. Regresin cuadrtica por mnimos cuadrados

Con base en el ejercicio (a) y con los mismos datos de la tabla, realice una regresin cuadrtica por mnimos cuadrados.

Profundidad del ro (m)

Caudal (m3/s)

11 2

12 3

14 5

15 7

16 8

18 11

Explicacin del problema Para realizar la regresin y determinar los parmetros de una funcin de grado

dos, se procede de igual forma que una funcin lineal. La ecuacin resultante es del tipo:

Sean las matrices:

[

]

[

]

Donde [

] se determina por eliminacin de Gauss en las ecuaciones:

( )

Solucin

En este caso se tiene:

[

]

[

]

[

] [

]

Ahora:

[

] [

]

[

] [

]

Por lo que la ecuacin

( ) Queda:

[

] [

] [

]

Al resolver por Gauss se obtiene:

Finalmente el modelo de regresin cuadrtico es:

Bibliografa

[1] NICHOLSON, Keith. ALGEBRA LINEAL CON APLICACIONES. Cuarta Edicin. Espaa: McGraw- Hill. 2003.

CUARTA ENTREGA DE EJERCICIOS

EJERCICIOS DE APLICACIN DE LA ASIGNATURA MATEMTICAS BSICAS PARA EL PROGRAMA DE

INGENIERA AGRCOLA

Realizados por:





j. TEMA Objetivos:

Aplicar algunos conceptos bsicos de algebra y la solucin de

sistemas de ecuaciones mltiples a problemas de hidrulica Determinar la potencia que debe tener una bomba para aportar los

caudales requeridos en un proyecto. Determinar la ecuacin de la curva de operacin de una bomba


La hidrulica es una rama de la ciencia fsica que se ocupa del estudio de las propiedades mecnicas de los fluidos. Sus aplicaciones se orientan al diseo

de obras y estructuras hidrulicas. Para el Ingeniero Agrcola es fundamental su estudio, ya que con ella puede disear y operar adecuadamente sistemas de riego, canales, tuberas y otras obras

hidrulicas.

a. Clculo de la potencia de una bomba

En un sistema de riego por goteo para un cultivo de ctricos se requiere mover un caudal de agua de 42 L/s desde el sitio de toma a

la planta de fertirrigacin. Estos dos puntos se encuentran separados por una distancia de 970 metros, estando la planta 16 m por encima de la toma. Si existe una tubera de PVC de 150 mm de dimetro, y

las prdidas menores y por friccin son 2.7 m y 26.9 m respectivamente, Cul es la altura y la potencia que debe ser suministrada por la bomba en el sitio de toma?

Solucin El rea transversal de la tubera de PVC es:

Ya que Q=VA

La altura total que debe suministrar la bomba para transportar dicho

caudal debe superar la diferencia de nivel entre la toma y la estacin de fertirrigacin (z), las perdidas menores (hm) y las perdidas por friccin (hf), es decir:

Para calcular la potencia que debe tener la bomba se utiliza la siguiente ecuacin:

Donde

es la densidad del agua=999.1 kg/m3 Q es el caudal

G es la gravedad H es la altura que debe suministrar la bomba

Por lo tanto:

b. Determinacin de la curva de una bomba

Los datos suministrados por el fabricante de una bomba son los siguientes:

Caudal (l/s) Altura (m)

40 83.26

100 63.58

180 11.07


La curva que describe la operacin de una bomba es del tipo:

donde los coeficientes A,B,C pueden ser calculados al tomar tres puntos (Hm,Q) de la curva del fabricante.

Solucin

Con los puntos dados se plantean las 3 ecuaciones siguientes: (con unidades congruentes)

( )

( )

( )

Restando (b) de (a) se obtiene:

( ) ( )

( )

Restando (c) de (b) se obtiene:

( ) ( )

( )

Multiplicando (e) por -075 se obtiene:

( ) Finalmente, sumando (d) ms (f):

Entonces:

A=-2345 B=0.375

C=87 La ecuacin de la bomba es:

Esta ltima es la ecuacin para la boma que debe ser suministrada por el fabricante, aclarando que el caudal debe estar en m3/s y la altura piezomtria en m.

EJERCICIOS DE APLICACIN DE LA ASIGNATURA CLCULO DIFERENCIAL PARA EL PROGRAMA DE

INGENIERA AGRCOLA

Realizados por:

Jos Jorge Sierra Molina 153305 Cristhian Camilo Cardenas Delgado 273290




1. TEMA Objetivos:

El objetivo de los siguientes ejercicios de mximos y mnimos

bsicamente es ver cmo estos conceptos son utilizados dentro de la ingeniera agrcola.

Aplicacin o contextualizacin para el programa curricular: Ingeniera de Postcosecha de productos agrcolas en la cual se estudian,

disean, construyen, optimizan mecanismos y sistemas para el tratamiento posterior a la cosecha de frutas, hortalizas, granos, semillas y flores, etc. Ingeniera de Riegos y Drenajes de tierras y cultivos, etc.

a)

b)

c)

e)

Seccin transversal ptima de un canal

Para un canal de seccin transversal trapezoidal determine cul es la altura

(y) que hace mximo el caudal que pasa por dicho canal.

Solucin

Para un canal se sabe que el caudal es directamente proporcional al cubo del

rea (A) e inversamente proporcional al permetro mojado (P), es decir:

Donde k es una constante que involucra otras caractersticas del canal.

Se sabe que el rea y el permetro mojado son funciones de (y), es decir:

A=f(y), P=f(y)

Para un canal de seccin transversal trapezoidal se tiene:

( )

Para encontrar el caudal mximo de dicha seccin se deriva la ecuacin de

caudal con respecto a (y) y se iguala a cero:

Al reemplazar en la derivada del caudal se obtiene:

( ) ( ) ( ( )) ( )

Realizando operaciones de algebra con el fin de despejar (y) se llega a la

siguiente expresin:

( ) ( )

Se obtienen dos soluciones:

La altura mayor de estas dos es la solucin.

Bibliografa

[1] SALDARRIAGA, Juan. HIDRULICA DE TUBERAS. Primera Edicin. Colombia. Edicin Alfaomea. 2009

ejercicios ing. agricola 2011-2

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