ejercicios estadística

7/21/2019 Ejercicios Estadística

http://slidepdf.com/reader/full/ejercicios-estadistica-56d972c9421b1 1/127

ALBERTO RODRÍGUEZ RUIZ [email protected]

ESTADÍSTICA Y OPTIMIZACIÓN. PROBLEMAS DE CURSO. GRADO EN INGENIERÍA CIVIL Y TERRITORIAL

1

01. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA

Ejercicio 2:

La clasificación de 100 familias por el número de hijos es:

N de hijos: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 N de familias: 11 13 20 25 14 10 4 2 1

1. Determine la variable o característica que queremos estudiar en la población. ¿Es discretao continua?

La variable es discreta

2. Obtenga el diagrama de barras de frecuencias absolutas, frecuencias relativas yporcentajes.

3.

Medidas de centralización y dispersión.

Las medidas de centralización tienen como objetivo dar una idea del valor central

alrededor del cual se distribuyen las observaciones o valores de la muestra.

∑ =

Media = 8 Mediana = 3 Moda = 3

0 1 2 3 4 5 6 7 8

0

5

10

15

20

25

30

Nº DE HIJOS

N º D E F A M I L I A S

Histograma de frecuencias

absolutas

1 2 3 4 5 6 7 8 9

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

Nº DE HIJOS

% M U E S T R A

Histograma de frecuencias

relativas





2

La desviación media se usa poco porque el valor absoluto tiene algunas propiedades

indeseables, y en su lugar se utiliza preferentemente la desviación típica. Su

cuadrado es la varianza.

∑ =

Una fórmula alternativa que permite calcular la varianza (a menudo con ventaja) es:

∑ =

V[X] = 3,14 S = 1,77





3

Ejercicio 3:

Se tienen los siguientes porcentajes de las tallas de los estudiantes matriculados en laUniversidad Nacional Autónoma De México en el curso 2009-10:

Menos de 150 cm 0,3 Más que 150 y menos o igual que 155 1,6 Más que 155 y menos o igual que 160 7,4 Más que 160 y menos o igual que 165 21,5 Más que 165 y menos o igual que 170 30,5 Más que 170 y menos o igual que 175 24,5 Más que 175 y menos o igual que 180 10,7 Más que 180 3,5

1. Determine la variable o característica que queremos estudiar en la población. ¿Es discretao continua?

La variable es discreta

2.

Obtenga un histograma.

3. Medidas de centralización y dispersión.

Media: 8 Mediana: 3 Moda: 3

Varianza: V[X] = 39,197

Desviación típica: s = 6,26

0

5

10

15

20

25

30

35

Histograma frecuencias

relativas





4

Ejercicio 4:

Ejercicio 4 En una gasolinera se ha obtenido la siguiente muestra del tiempo en segundos derepostaje de gasolina:

52.9 53.2 53.3 53.4 56.3 56.4 58.3 58.4 58.8 59.0 59.2 59.2 59.3 59.5 59.7 59.8 59.8 60.3 60.3 60.5 60.5 60.9 60.9 61.0 61.1 61.1 61.2 61.2 61.8 61.9 62.4 62.5 62.6 62.7 62.7 62.8 62.8 62.9 62.9 63.1 63.2 63.3 63.8 64.0 64.3 64.4 64.6 64.8 64.9 65.4 65.5 65.6 65.7 65.7 65.8 65.9 66.1 66.2 66.3 66.4 66.4 66.5 66.8 67.4 67.6 67.7 68.0 68.1 68.2 68.3 68.5 68.6 68.7 68.8 68.8 69.0 69.1 69.3 69.8 70.1 70.8 70.9 71.7 72.2 72.2 72.7 72.7 73.4 73.4 73.5 73.8 74.0 74.6 74.9 75.5 75.8 76.2 76.4 78.9 81.0

1.

Determínese la población y variable o característica que queremos estudiar.2. Dibujar el histograma de frecuencias absolutas.

a)

Determinar el rango de los datos. Rango

es igual al dato mayor menos el dato

menor.

r = 81,0 – 52,9 r = 28,1

b)

Determinar el número de clases. La regla

de Sturges, propuesta por Herbert

Sturges en 1926, es una regla práctica

acerca del número de clases que deben

considerar al elaborarse un histograma.

Este número viene dado por la siguiente

expresión:

C = 1 + 1,443·ln(N), donde N es el tamaño de

la muestra.

C = 7,64 ~ 8

c)

Establecer la longitud de clase: es igual al rango dividido por el número de

clases.

l = 28,1 / 8 l = 3,5125

d) Construir los intervalos de clases: Los intervalos resultan de dividir el rango

de los datos en relación al resultado del paso b en intervalos iguales.

0.00

5.00

10.00

15.00

20.00

25.00

30.00

RANGO

F R E Q U E N C I A

Histograma





5

3. Utilizando sólo la información que da el histograma, calcúlese la media, mediana,varianza y desviación típica.

Media: 65,30 Mediana: 65,19 Moda: 61,68

Varianza: V[X] = 34,41 Desviación típica: s = 5,87





6

Ejercicio 5:

La concentración X e Y, de dos sustancias en la sangre parecen estar relacionadas. Paraestudiar esta posible relación, se miden estas cantidades en 30 personas.

M = {(xi, yi), i = 1, 2, ···, 30},

con los siguientes resultados:

= 41,2

= 63,8

= 118,7

= 188,2

= 296,4

Hallar la recta de regresión y coeficiente de correlación lineal de la variable Y sobre la Xasociada a la muestra M. ¿Representa bien la recta de regresión a la muestra M?

∗

·

,

,

, 1 ·

= ·

∑ =

= 41,2 / 30 = 1,373 = 63.8 / 30 = 2,127 · = 1,373 · 2,127 = 2,921

Cov[X,Y] = 118.7 / 30 – 2,921 = 1,036

SX2 = (188,2 / 30) – 1,373^2 = 4,387

Cov[X,Y] / SX2 = 3,957 / 4,387 = 0,236

a = 0,236

b = 2,127 – 0,236·1,373 = 1,802

Y* = 0,236·X + 1,802

Coeficiente de correlación = 0,214





7

Ejercicio 6:

El número medio de hijos por mujer en la Comunidad Europea ha evolucionado según indicala tabla siguiente:

Año 1976 1981 1986 1991 1995 1996 Número de hijos 1.92 1.77 1.59 1.53 1.43

Utilizar una recta de regresión para estimar el dato que se omite en la tabla.¿Es fiable la estimación del dato con la muestra que nos dan?

El coeficiente de correlación de Pearson es una medida de la relación lineal entre

dos variables aleatorias cuantitativas. A diferencia de la covarianza, la correlación

de Pearson es independiente de la escala de medida de las variables.

· , ·

, 1 · · =

X = Año Y = Número de hijos

La recta obtenida es:

Cov[X,Y] = -1,176

SX2 = 46,16

SY2 = 0,031

SX = 6,794

SY = 0,175

Cov[X,Y] / SX2 = -1,176 / 46,16 = -0,025

= 1985,8; = 1,648

a = -0,025

b = 1,648 + 0,025·1985,8 = 52,257

Y* = -0,025·X + 52,257 ; Y*(1996) = 1,39






8

Ejercicio 7:

Se quiere estudiar la relación entre la cantidad de combustible en galones del tanque de unavión Cessna 182T Skylane y la autonomía en vuelo en minutos.

Consideramos las variables características:

X ="Cantidad de combustible en galones del tanque", Y ="Autonomía de vuelo en minutos”.

Se ha obtenido la siguiente muestra del último año:

Xk yk xk yk xk yk

75.0 274.3 85.7 290.5 93.0 292.5 79.0 276.8 85.9 290.5 95.0 289.4 79.2 281.4 86.4 287.5 96.0 294.3 80.0 279.8 88.0 285.5 98.2 300.0 80.5 282.0 88.3 285.5 98.7 296.3 80.8 284.3 88.6 288.4 100.2 296.3 81.0 281.5 88.7 290.2 102.0 298.0 82.0 283.8 90.0 291.0 105.2 304.5 82.3 285.0 90.1 288.5 105.6 296.5 83.0 288.2 90.4 289.6 108.0 300.5 85.2 282.3 91.0 285.5 110.0 301.8

85.3 289.0 92.0 289.8

1. Determínese la población.

Vuelos efectuados por el avión Cessna 182T Skylane durante el último año.

2. Calcúlese la recta de regresión de Y sobre X asociada a la muestra.

= 90,00857

= 289,17143

SX2 = 78,83678

SY2 = 48,983755

SX = 8,879008

SY = 6,9988396

Cov[X,Y] = 57,58624

Cov[X,Y] / SX2 = 57,58624 / 78,83678 = 0,730449

a = 0,730449

b = 289,17143 - 0,730449·90,00857 = 223,4247632

Y* = 0,730449·X + 223,4247632





9

3.

Calcúlese el error y coeficiente de correlación lineal. ¿Es una buena representación la rectade regresión de la muestra?


El coeficiente de correlación de Pearson mide la dependencia de una variable con

respecto a otra, siendo correlación positiva perfecta cuando dicho coeficiente es

igual a 1. Cuanto mayor es la proximidad del coeficiente a 1, mayor es la dependencia

entre las variables.

4.

Dibújese la recta de regresión y 10 puntos de la muestra.

0.00 20.00 40.00 60.00 80.00 100.00 120.00

270.00

275.00

280.00

285.00

290.00

295.00

300.00

305.00

310.00

Cantidad de combustible en galones del tanque

A

u t o n o m í a d e v u e l o e n m i n u t o s

Diagrama de correlación





10

Ejercicio 8:

La siguiente tabla presenta tres muestras preparadas por el estadístico Frank Ancombe parailustrar los peligros de hacer cálculos sin antes representar los datos de la muestra.

Supongamos dos variables X e Y, y las tres siguientes muestras:

Muestra M1: Xi 10 8 13 9 11 14 6 4 12 7 5 Yi 8.04 6.95 7.58 8.81 8.33 9.96 7.24 4.26 10.84 4.82 5.68

Muestra M2: Xi 10 8 13 9 11 14 6 4 12 7 5 Yi 9.14 8.14 8.74 8.77 9.26 8.10 6.13 3.10 9.13 7.26 4.74

Muestra M3: Xi 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 19 Yi 6.58 5.76 7.71 8.84 8.47 7.04 7.25 5.56 7.91 6.89 12.50

1.

Calcular la recta de regresión y el coeficiente de correlación lineal de la variable Y sobrela X asociada a cada muestra.

Muestra M1 Muestra M2 Muestra M3

X Y X Y X Y

Media 9,000 7,501 9,000 7,501 9,000 7,683Desviación

típica3,162 1,937 3,162 1,937 3,162 1,806

Varianza 10,000 3,752 10,000 3,752 10,000 3,260

Covarianza 5,001 5,000 4,817

Coef.Corr. (r) 0,816 0,816 0,844

a 0,500 0,500 0,482

b 3,000 3,001 3,347

2. Dibujar en R2 cada muestra con su resta de regresión asociada.

0.00 2.00 4.00 6.00 8.00 10.00 12.00 14.00 16.00

0.00

2.00

4.00

6.00

8.00

10.00

12.00

Muestra M1





11

3.

¿En cuál de los tres casos utilizaría la recta de regresión para predecir la variable Y cuandoX = 14?

En el primero (M1), ya que es en la muestra que mejor se adapta el modelo de regresión

lineal.

0.00 2.00 4.00 6.00 8.00 10.00 12.00 14.00 16.00

0.00

2.00

4.00

6.00

8.00

10.00

12.00

Muestra M2

0.00 2.00 4.00 6.00 8.00 10.00 12.00 14.00 16.00 18.00 20.00

0.00

2.00

4.00

6.00

8.00

10.00

12.00

14.00

Muestra M3





12

Ejercicio 9:

En un estudio para relacionar las variables:

X = número de semanas de gestación,Y = peso en gramos del niño al nacer,

Se obtuvo una muestra de tamaño 5, M = {(xi, yi), i = 1, 2, 3, 4, 5}, de la que sabemos:

= 197

= 15.555

= 617.055

= 7.785 = 49.193.521

Utilizar la recta de regresión de Y sobre X asociada a la muestra dada para predecir el peso deun niño con 40 semanas de gestación. ¿Es bueno el ajuste realizado con esta recta deregresión?

= 197 / 5 = 39,4 = 15.555 / 30 = 3.111

· = 1,373 · 2,127 = 122.573,4 Cov[X,Y] = 617.055 / 5 – 122.573,4 = 837,6

SX2 = (7.785 / 5) – 39,4^2 = 4,64

Cov[X,Y] / SX2 = 837,6 / 4,64 = 180,5172

a = 180,52

b = 3.111 – 180,5172·39,4 = -4001,38

Y* = 180,52·X - 4001,38


Cuanto mayor es la proximidad del coeficiente a 1, mayor es la dependencia entre las

variables, por lo que en este caso, el ajuste realizado con esta recta de regresión

es bastante bueno.





13

Ejercicio 10:

En un estudio sobre la resistencia a bajas temperaturas del bacilo de la fiebre tifoidea, seexpusieron cultivos del bacilo durante diferentes periodos de tiempo a -5ºC.

Consideramos las variables o características:

X = "Tiempo de exposición en semanas", Y = "Porcentaje de bacilos supervivientes"

Del estudio, se tomó la siguiente muestra de tamaño 8:

X Y 0 100

0.5 42 1 14 2 7.5 3 0.4 5 0.11 9 0.05 15 0.002

1. Calcular la recta de regresión de Y sobre X y el coeficiente de correlación.

X Y

36,483 3,6 · Media 4,438 20,508

Desviación típica 4,844 32,886

Varianza 23,465 1081,485

Covarianza -84,474

Coef. Correlación -0,530

a -3,600

b 36,483

0.000 2.000 4.000 6.000 8.000 10.000 12.000 14.000 16.000

-40.000

-20.000

0.000

20.000

40.000

60.000

80.000

100.000

120.000





14

2.

Calcular la curva exponencial de regresión de Y sobre X y el coeficiente de correlación.

· ⇔ · ⇔

·

X LNY

22,588 · −,·

Media 4,438 0,083


Varianza 23,465 12,432

Covarianza -16,046

Coef. Correlación -0,939

a -0,684

b 3,117c 22,588

3.

Interpretar los resultados.

Mediante el modelo exponencial se obtiene un coeficiente de correlación de Pearson

más próximo a 1, por lo tanto el modelo es mejor.

0.000 2.000 4.000 6.000 8.000 10.000 12.000 14.000 16.000

-8.000

-6.000

-4.000

-2.000

0.000

2.000

4.000

6.000





15

Ejercicio 11:

Queremos estudiar el crecimiento de la población europea en los últimos 300 años.Consideramos las variables o características:

X ="Año", Y ="Población en millones de habitantes".

Tomamos la siguiente muestra de tamaño 5:

X Y 1750 125 1800 187 1850 247 1900 423 1950 594

1. Hallar la recta de regresión de Y sobre X.2. Calcular el coeficiente de correlación muestral entre X e Y. ¿Representa bien la recta de

regresión a la muestra?

X Y

2,348 4.028,6·

Media 1850,000 315,200

Desv. típica 70,711 171,238

Varianza 5000,000 29322,560

Covarianza 11740,0000

Coef. Corr. 0,9696

a 2,3480

b -4.028,6000

3. Dibújese la recta de regresión de Y sobre X y la nube de puntos.

1700 1750 1800 1850 1900 1950 2000

0

100

200

300

400

500

600

700





16

4.

Parece ser que una "curva tipo exponencial":

·

representaría mejor a la muestra. Observamos que:

· ⇔ · ⇔

·

y esto nos sugiere definir la variable o característica:

Calcúlese la recta de regresión de la variable U sobre la X.

5. Calcule el coeficiente de correlación muestral entre U y X. Obtenga la correspondientecurva exponencial de regresión de Y sobre X. ¿Es una buena representación esta curvaexponencial de la muestra dada?

X U

−, · ,·

Media 1850,000 5,601


Varianza 5000,000 0,312

Covarianza 39,3339

Coef. Correlación 0,9962

b 0,0079

a -8,9529

c e^-8,9529

1700 1750 1800 1850 1900 1950 2000

0.000

1.000

2.000

3.000

4.000

5.000

6.000

7.000





17

02. COMBINATORIA

Ejercicio 1:

Con las cifras 1, 2 y 3, ¿cuántos números de 5 cifras pueden formarse?, ¿cuántos son pares?

-

Importa el orden

-

Se repiten los elementos

Variaciones con repetición: Variación de m elementos tomados de n en n

,

,

3

243

Son pares los que acaban en 2

, 3 81

Ejercicio 2:

¿Cuántos números de cinco cifras distintas se pueden formar con las cifras impares? ¿Cuántosde ellos son mayores de 70.000?

-

Importa el orden-

No se repiten los elementos

Variaciones ordinarias: Variación de m elementos tomados de n en n

m = 1, 2, 3, 4, 5 = 5 n = 5 m = n

, !

! ⇒ ⇒ , !

5! 125

>70000

2 · 4! 48





18

Ejercicio 3:

A una reunión asisten 10 personas y se intercambian saludos entre sí. ¿Cuántos saludos se hanintercambiado?

- No importa el orden

-


Combinaciones: Combinaciones de m elementos tomados de n en n

, !! !

, 10!2! 1 0 2! 102 10 · 9 · 8!2 ! · 8 ! 45

Ejercicio 4:

Una mesa presidencial está formada por ocho personas, ¿de cuántas formas distintas sepueden sentar, si el presidente y el secretario siempre van juntos?

1.

Si la mesa es redonda.

- Importa el orden

-


-

m = n = 7 (Considerando presidente y secretario como una persona)

Permutaciones:

! 7! · 2∗ 10.080

2.

Si la mesa no es redonda.

- Importa el orden

-

No se repiten los elementos- m = n = 6 (presidente y secretario se sientan en uno de los lados de la mesa)

Permutaciones:

! 6! · 2∗ 1.440

(*)Multiplicamos por 2 ya que importa el orden en que se sientan presidente y

secretario.





19

Ejercicio 5:

¿Cuantas diagonales tiene un pentágono y cuantos triángulos se pueden formar con susvértices?

Diagonales:

5 Vértices

2·½ diagonal por vértice

Combinaciones:

- No importa el orden.

-

No se repiten los elementos.

Combinaciones de m elementos tomados de n en n:

, !! !

, 5!2! 5 2! 5 · 4 · 3!2 ! · 3 ! 10 · 1 2 · 5

Triángulos:

Combinaciones:

-

No importa el orden.-


Combinaciones de m elementos tomados de n en n:

, !! !

,

5!

3! 5 3! 5 · 4 · 3!

3 ! · 2 ! 10





20

Ejercicio 6:

Un grupo, compuesto por cinco hombres y siete mujeres, forma un comité de dos hombres ytres mujeres. De cuantas formas puede formarse, si:

1. Puede pertenecer a él cualquier hombre y mujer.

m = 5H + 7M

n = 2H + 3M

Combinaciones:

- No importa el orden.

- No se repiten los elementos.

Combinaciones de m elementos tomados de n en n

, 5!2! 5 2! 52 5 · 4 · 3!2! ·3! 10, 7!3! 7 3! 73 7 · 6 · 5 · 4!3 ! · 4 ! 35} ⇒ 10 · 35 350

2. Una mujer determinada debe pertenecer al comité.

m = 5H + 6M

n = 2H + 2M

, 5!2! 5 2! 52 5 · 4 · 3!2 ! · 3 ! 10, 6!2! 6 2! 62 6 · 5 · 4!2 ! · 4 ! 15} ⇒ 10 · 15 150

3. Dos hombres determinados no pueden estar en el comité.

m = 3H + 7M

n = 2H + 2M

, 3!2! 3 2! 52 3 · 2!2 ! · 1 ! 3, 7!3! 7 3! 73 7 · 6 · 5 · 4!3 ! · 4 ! 35 ⇒ 3 · 35 105





21

Ejercicio 7:

Una familia formada por los padres y tres hijos va al cine. Se sientan en cinco butacasconsecutivas:

1. ¿De cuántas maneras distintas pueden sentarse?

1. Permutaciones:

- Importa el orden

- No se repiten los elementos

-

Similar a una variación ordinaria de m = n

¿Cuántas permutaciones diferentes se pueden formar con m elementos?

! 5! 120

2. ¿Y si los padres se sientan en los extremos?

⇒ 3! 6

⇒ 2! 2 6 · 2 12

3. ¿Y si los padres deciden no sentarse en los extremos?

⇒ 3! 6⇒ 3! 6 6 · 6 36





22

Ejercicio 8:

Tres personas suben en la planta baja al ascensor de un edificio que tiene cinco pisos. ¿Decuántas maneras diferentes pueden ir saliendo del ascensor si en ningún piso baja más de unapersona?

Combinaciones:- No importa el orden.- No se repiten los elementos.


, !

! !

, 5!3! 5 3! 5 · 4 · 3!3 ! · 2 ! 10

Ejercicio 9:

¿De cuantas maneras se pueden colocar diez libros en un estante, si cuatro deben ocupar losmismos lugares, aun cuando estos cuatro puedan intercambiarse entre sí?

Permutaciones:

-

Importa el orden

- No se repiten los elementos

- Similar a una variación ordinaria de m = n

! 4! 24 6! 720 17.280





23

Ejercicio 10:

1. Con los dígitos pares, ¿cuántos números inferiores a 1000 se pueden escribir?

Variaciones con repetición:

- Importa el orden

- Se repiten los elementos

Variación de m elementos tomados de n en n

,

m = (0, 2, 4, 6, 8) = 5

n = 3

, 5 125

2. ¿Y con los impares?

m = (1, 3, 5, 7, 9) = 5

n1 = 3; n2 = 2; n3= 1

, 5 125, 5

25, 5 5 125 25 5 155





24

Ejercicio 11:

¿Cuántos números se pueden escribir de 4 cifras, utilizando solo los números {1, 2, 3, 4, 5} y demodo que la cifra tres figure solo en las centenas?

Variaciones con repetición:

-

Importa el orden

-

Se repiten los elementos


,

, 4

4, 4 16 4 · 16 64

Variaciones ordinarias:

-

Importa el orden

-



,

!

!

, 4!4 3! 4!1! 24





25

Ejercicio 12:

Entre el 1 y el 1000, ¿cuántos números enteros hay que no tengan ninguna cifra repetida?

Variaciones ordinarias:

- Importa el orden

-



, ! ! m = (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0) = 10

n1 = 2; n2 = 1;

3 cifras: [BAA]

, 9!9 2! 9 · 8 · 7!7! 72 , 9!9 1! 9 · 8!8! 9 9 · 72 648 2 cifras: [BA]

, 9!9 1! 9 · 8!8! 9 , 9!9 1! 9 · 8!8! 9} 9 · 9 81 1 cifra:

, 9!

9 1! 9 · 8!

8! 9

648 81 9 738





26

Resumen:

1. Permutaciones:-

Importa el orden- No se repiten los elementos- Similar a una variación ordinaria de m = n

¿Cuántas permutaciones diferentes se pueden formar con m elementos?

! 2. Variaciones ordinarias:

- Importa el orden- No se repiten los elementos


, ! ! 3. Variaciones con repetición:

-

Importa el orden- Se repiten los elementos

Variación de m elementos tomados de n en n,

4. Combinaciones:-

No importa el orden.-



, !! !





27

03. PROBABILIDAD

Ejercicio 1:

Consideramos el experimento aleatorio: sacar una carta de la baraja española.¿Cuál es el espacio muestral asociado a este experimento aleatorio?

El espacio muestral es el conjunto de las 40 cartas que hay en la baraja española.

Consideramos los sucesos:

S1 = {que la carta sea una copa},

S2 = {que la carta sea una jota, caballo o rey},

S3 = {que la carta sea un as},

S4 = {que la carta sea un rey}.

Determínense los sucesos:

1. S1 ∩ S4, S3 ∩ S4, S1 ∩ S2 ∩ S4,

Rey de copas; Ø; Rey de copas.

2. S1 U S3, S2 U S3 U S4,

Todas las copas y todos los ases; As, jota, caballo y rey de los 4 palos; Todos losases y reyes.

3. S1 - S4, S4 - S3, S2 - (S1 ∩ S4), S3 - (S1 U S2),

As, 2, 3, 4, 5, 6 y 7 de copas; Todos los reyes; jota, caballo y rey de todos los

palos menos el rey de copas; todos los ases menos el as de copas.

4. S1c, (S2 ∩ S3)c, (S2 U S3)c.

Bastos, espadas y oros; Toda la baraja; 2, 3, 4, 5, 6, 7 de todos los palos.





28

Ejercicio 2:

Consideremos un experimento aleatorio con espacio muestral asociado Ω. Sean S1, S2 y S3 tres

sucesos tales que:

Ω = S1 U S2 U S3,

S1 ∩ S2 = S1 ∩ S3 = S2 ∩ S3 y

P(S1) = ¼, P(S2) = ½, P(S1 ∩ S2) = 1/8.

Calcule P(S3):

P(

Ω) = 1,

P(Ω) = P(S1) – P(S1 ∩ S2) + P(S2) - P(S2 ∩ S1) + P(S3)

P(Ω) = P(S1) – 2·P(S1 ∩ S2) + P(S2) + P(S3)

1 = ¼ – ¼ + ½ + P(S3)

P(S3) = ½





29

Ejercicio 3:

Justifíquese si las siguientes afirmaciones son ciertas:1. Dados dos sucesos A y B, la probabilidad de que solo uno de ellos ocurra es:

P(A) + P(B) - P(A ∩ B):

Por el principio de inclusión-exclusión:

∩

Por lo que la probabilidad dada, es la correspondiente a:

O lo que es lo mismo, la probabilidad de que suceda al menos uno de los dos sucesos.

La probabilidad de que solo uno de los dos sucesos ocurra vendría dada por la

diferencia simétrica.

La diferencia simétrica de dos conjuntos es una operación que resulta en otro conjunto

cuyos elementos son aquellos que pertenecen a alguno de los conjuntos iniciales, sin

pertenecer a ambos a la vez

∆ \ ∩

\ ∩ ∩ ∩ \ ∩ ∩ ∆ ∩ ∆ 2 · ∩





30

2. Dados dos sucesos A y B, se verifica:

P(Ac

∩ Bc) = 1 - P(A) -

PB PA ∩ B:

- Por el principio de inclusión-exclusión:

∩ ∩

- Por las leyes de Morgan:

1. El complementario de la unión de dos conjuntos es la intersección de los

complementarios:

∪ ∩ 2. El complementario de la intersección de dos conjuntos es la unión de los

complementarios:

∩ ∪ ∩

∩ ∩

∩ 1 1 1 ∩ ∩ 1 ∩

Se verifica.





31

Ejercicio 4:

Se extrae una carta de una baraja española y se consideran los sucesos siguientes:

A = "La carta extraída sea el rey de oros",

B = "la carta extraída es un oro",

C = "la carta extraída es el as de espadas o un oro".

Calcular:

1. P(A); P(B) y P(C).

140 0,025

1040 0,25

1 1040 0,275

2. P(A ∩ B) y P(A ∩ C).

∩ 140

0,025

∩ 140 0,025

3. P(A U B) y P(A U C).

1040 0,25

11

40 0,275





32

Ejercicio 5:

Calcular P(A ∩ Bc) sabiendo que P(A) = a, P(B) = b, y P(AUB) = c.

Por el principio de inclusión-exclusión:

∩

∩

Por la noción de complementariedad:

\ ∩

La diferencia entre dos conjuntos es la intersección del primero con el complementodel segundo:

\ ∩

Por tanto:

∩

∩

∩





33

Ejercicio 6:

Un examen consta de 14 temas. Se eligen 2 al azar y el alumno debería escoger uno paracontestarlo. Calcular la probabilidad de que a un alumno que ha preparado 5 temas le toqueal menos uno que sabe.

- Primer camino:

1ú

1 1 4 514 · 1 3 51 4 1 1 9 · 81 4 · 1 3 1 3691

- Segundo camino:

{

514 413 → 514 · 413 913 → 514 · 913 ,

914 { 513 →

914 ·

513

, 813 → 914 · 813 3691

1091 22,591 22,591

5

9





34

Ejercicio 7:

Una aseguradora tiene clientes de riesgo alto, medio y bajo. Estos clientes tienen probabilidades0.02, 0.01 y 0.0025 de rellenar un impreso de reclamación. Si la proporción de clientes de altoriesgo es 0.1, de riesgo medio 0.2 y de bajo riesgo es 0.7. ¿Cuál es la probabilidad de que unimpreso rellenado sea de un cliente de alto riesgo?

| 0,02 | 0,01 | 0,0025

0,1 0,2 0,7

Por el teorema de Bayes:

Sea {A1, A2,..., Ai,..., An} un conjunto de sucesos mutuamente excluyentes y

exhaustivos, y tales que la probabilidad de cada uno de ellos es distinta

de cero (0). Sea B un suceso cualquiera del que se conocen las probabilidades

condicionales P(B|Ai). Entonces, la probabilidad P(Ai|B) viene dada por la

expresión:

| | · | ·∑ | ·=

| | ·

| | · | · | · | ·

| 0,02·0,10,02·0,10,01·0,20,0025·0,7 0,0020,00575 .





35

Ejercicio 8:

En un restaurante, en el 60% de las mesas se ha pedido vino, en el 30% cerveza y en el 20%ambas bebidas. Elegimos una mesa al azar:

1. Si han pedido vino, ¿cuál es la probabilidad de que hayan pedido también cerveza?

Consideramos los sucesos: V = “vino”; C = “cerveza”

| ∩ 0,20,6 2. Si han pedido cerveza, ¿cuál es la probabilidad de que no hayan pedido vino?

| ∩ 0,3 0,20,3

3.

¿Cuál es la probabilidad de que no hayan pedido ni vino ni cerveza?

| ∩ ⋯

Por las leyes de Morgan:

∩

∪

··· ∩ ∪ 1 ∪ 1 ∩

| ∩ 1 0,60,30,2 ,





36

Ejercicio 9:

Un detector de mentiras se administra con regularidad a los miembros del servicio secreto. Sesabe que la probabilidad de que el detector de positivo si el sujeto está mintiendo es 0.88 y laprobabilidad de que de negativo si está diciendo la verdad es 0.86. Se sabe que el 99% de lasveces los miembros del servicio secreto dicen la verdad. Un individuo da positivo en el test,¿cuál es la probabilidad de que esa persona haya dicho la verdad?

| 0,88 | 0,86 0,99 Del enunciado deducimos:

1 1 0,99 0,01 | | 1 0,86 0,14 Por el teorema de Bayes:

| | · | ·∑ | ·=

| |·| · |· | 0,14·0,990,14·0,990,88·0,01 0,13860,1474 ,





37

Ejercicio 10:

Supongamos que tenemos tres tarjetas, de las cuales una tiene ambas caras rojas, otra ambascaras blancas y la tercera una cara blanca y otra roja. Se extrae una, al azar, y se coloca sobrela mesa.

| 12

| 12

13 ·

12

13 · 0

13 · 1

12

13 · 12 13 · 0 13 · 1 12

1. ¿Cuál es la probabilidad de que la cara de arriba sea roja?

36 12 2. Si la cara de arriba es roja, ¿cuál es la probabilidad de que la cara de abajo tambien lo sea?

| | · | ·∑ | ·=

| | · | · | · | 12 · 121

2· 1

2 1

2· 1

2





38

Ejercicio 11:

En un sistema de alarma, la probabilidad de que se produzca un peligro es 0.1. Si éste seproduce, la probabilidad de que la alarma funcione es 0.95. La probabilidad de que la alarmafuncione sin haber existido peligro es 0.03. Calcule la probabilidad de que habiendofuncionado la alarma no haya existido peligro.

0,1

0,9

| 0,95

| 0,03

| | · | · | · | 0,03·0,90,03·0,90,95·0,1 0.0270.122 .





39

Ejercicio 12:

Una empresa dedicada al transporte público explota tres líneas de una gran ciudad, demanera que el 60% de los autobuses cubren el servicio de la línea 1, el 30% cubren el serviciode la línea 2 y el 10% cubren el servicio de la línea 3. Se sabe que la probabilidad de que,diariamente, un autobús se averíe es:

- 2% en la línea 1,- 4% en la línea 2,- 1% en la línea 3.

1 0,6

2 0,3

3 0,1

|1 0,02

|2 0,04

|3 0,01

Calcule:

1. La probabilidad de que un autobús sufra un día una avería.

1 · |1 2 · |2 3 · |3

0,6 · 0,02 0,3 · 0,04 0,1 · 0,01 ,

2. Sabiendo que el autobús ha sufrido una avería, ¿cuál es la probabilidad de que presteservicio en la línea 1?

1| |1 ·1 |1 · 1 |2 · 2 |3 ·3

| 0,02 · 0,60,025 .





40

Ejercicio 13:

El dado A tiene cuatro caras rojas y dos blancas. El dado B tiene dos caras rojas y cuatroblancas. Se lanza una moneda: si sale cara se juega con el dado A y si sale cruz, con el dadoB.

1. Calcular la probabilidad de que salga rojo en un lanzamiento del dado.

{

12

{

⇒ · 2

6⇒ 1

2· 2

6 1

6 92 { ⇒ ·

46 ⇒ 12 · 46 26

26 16 2. Calcular la probabilidad de que en los tres primeros lanzamientos del dado salgan tres carasrojas.

Por el teorema de la probabilidad total:

T = Rojo 3 veces consecutivas

P(A) = Probabilidad de que salga el dado A

P(B) = Probabilidad de que salga el dado B

P(T|A) = Probabilidad de que habiendo salido el dado A, suceda T

P(T|B) = Probabilidad de que habiendo salido el dado B, suceda T

12 ; 12 ; | 46 ; | 26 | · | · 46 · 12 26 · 12





41

3. Sabiendo solo que en los tres primeros lanzamientos del dado han salido tres caras rojas ¿cuáles la probabilidad de que se esté utilizando el dado A?

Por el teorema de Bayes:

| | · | ·∑ | ·=

| | ·| · | · | ·

| 4

6

·1216

4. Si en los dos primeros lanzamientos del dado ha salido rojo, ¿cuál es la probabilidad de queen el tercer lanzamiento también salga rojo?

Por la definición de probabilidad condicionada:

| ∩ ∈

Por el teorema de la probabilidad total: | · | ·

46 · 12 26 · 12 518

46 · 12 26 · 12 16 318

| 318518 ,





42

5. Sabiendo solo que en los tres primeros lanzamientos del dado han salido tres caras rojas ¿cuáles la probabilidad de que en el cuarto tambien salga una cara roja?

Por la definición de probabilidad condicionada:

| ∩ ∈

Por el teorema de la probabilidad total:

| · | ·

4

6 ·12

2

6 ·12

46 · 12 26 · 12 | 17162318 17 · 183 · 1 6 2 1727 .





43

Ejercicio 8 (I):

En una ciudad se publican tres periódicos A, B y C. El 30% de la población lee el A, el 20% lee elB y el 15% el C; el 12% lee A y B, el 9% lee A y C, el 6% lee B y C, y el 3% lee los tres diarios. Calcular:

1. La probabilidad de que una persona lea al menos uno de los tres periódicos.

1 ∪ ∪ ∪

1 ∩ ∩ ∩ ∩ ∩ 30100 20100 15100 12100 6100 9100 3100 2. La probabilidad de que una persona lea solo el diario A.2 ∩ ∩ ∩ ∩ 30100 12100 9100 3100 3. La probabilidad de que una persona lea los diarios B y C, pero no A.

3 ∩ ∩ ∩ 6100 3100





44

Ejercicio 9 (I): (TUTORÍA: ¿Qué es simultaneidad?)

Una caja contiene cuatro bolas blancas, cinco azules y seis negras. Si se sacan tres bolas al azar(y simultáneamente), determine la probabilidad de que:

1. Las tres sean negras.

615 · 514 · 413

2. Las tres sean azules.

515 ·

414 ·

313

3. Dos sean negras y la otra blanca.

615 · 514 · 413 615 · 414 · 513 415 · 614 · 513 3 615 · 514 · 413

4. Al menos una sea azul.

515

· 1014

· 913

1015

· 514

· 913

1015

· 914

· 513

3 515

· 1014

· 913

5. Al menos una sea azul y otra negra.6 , , 3 , , 3 , , 6 515 · 614 · 413 3 515 · 614 · 513 3 515 · 414 · 613

6. Cada una sea de un color.

6 515 · 614 · 413

7. Si la extracción no es simultánea, que la primera sea azul, la segunda blanca y la terceranegra.

515 · 415 · 615





45

Ejercicio 10 (I):

Una urna contiene diez bolas, de las que tres son rojas. Se sacan dos bolas al azarconsecutivamente. Consideramos los sucesos

A = {La primera bola extraída no es roja}

B = {La segunda bola extraída no es roja}

C = {Ninguna de las dos bolas es roja}

Estudie si los sucesos A y B son independientes y calcule P(C) en el caso en que la primera bolase devuelve a la urna una vez vista, y en el caso en que no se devuelve.

Caso en que la primera bola se devuelve a la urna una vez vista:

710 · 710

Caso en que la primera bola no se devuelve a la urna una vez vista:

710 · 69 310 · 79 42 2190 6390 2130

710 · 69





46

Ejercicio 13 (I):

Supongamos que tenemos una moneda cargada, de modo que

23 Calcule la probabilidad de obtener exactamente cuatro caras si lanzamos la moneda cincoveces.

Variación ordinaria:

- Importa el orden

-



, ! ! 55 1!

5 · 23 · 13 ,





47

Ejercicio 14 (I):

De las piezas que se producen en una fábrica, el 80% son producidas por una máquina A y elresto por una máquina B. Suponiendo que el 10% de las piezas producidas por A sondefectuosas, y el 6% de las producidas por B son defectuosas,

1. Elegida una pieza producida en esa fábrica al azar, ¿cuál es la probabilidad de que seadefectuosa?

P(D) = Probabilidad de escoger al azar una pieza defectuosa

80100 · 10100 20100 · 6100 23250 ,%

2. Si se elige al azar una pieza y resulta ser defectuosa, ¿cuál es la probabilidad de que hayasido producida por la máquina A?

| | ·| · | · | 10100 · 8010010100 · 80100 6100 · 20100 2023 .





48

Ejercicio 15 (I):

En una caja hay seis bolas blancas y doce bolas rojas. Se lanza un dado y se retiran tantas bolasrojas como indique el resultado de la tirada. A continuación se extrae al azar una de las bolasrestantes.

1. ¿Cuál es la probabilidad de que la bola sea blanca?

Dado P(B|i)

1 1/6 · 6/17 = 1/17

2 1/6 · 6/16 = 1/16

3 1/6 · 6/15 = 1/15

4 1/6 · 6/14 = 1/14

5 1/6 · 6/13 = 1/13

6 1/6 · 6/12 = 1/12

117 116 115 114 113 112 .

2. Si la bola es blanca, ¿cuál es la probabilidad de que al tirar el dado hubiera salido un seis?

6| |6 ·6∑ | · = 16, ∀ ∈ 1,6 |6∑ |=

| 112112 113 114 115 116 117 .





49

Ejercicio 16 (I):

Una caja contiene dos piezas buenas y dos defectuosas. Otra caja contiene tres buenas y dosdefectuosas. Se traslada una pieza de la primera caja a la segunda y a continuación se extraeuna pieza de esta segunda caja. Si la pieza extraída es buena, ¿cuál es la probabilidad de quefuese buena la pieza trasladada?

| | · | ·∑ | ·=

P(1B) = Probabilidad de que la pieza extraída de la primera caja sea buena.

P(1M) = Probabilidad de que la pieza extraída de la primera caja sea defectuosa.

P(2B|1B) = P. de que la pieza extraída de la segunda caja sea buena, sabiendo que la

extraída de la primera caja ha sido buena.

P(2B|1M) = P. de que la pieza extraída de la segunda caja sea buena, sabiendo que laextraída de la primera caja ha sido defectuosa.

1|2 2|1 ·12|1 · 1 2|1 ·1 3 15 1 · 123 15 1 · 12 35 1 · 12

| 46 · 1246 · 12 36 · 12





50

Ejercicio 17 (I):

En un puesto de feria se ofrece la posibilidad de lanzar a ciegas un dardo a unos globos. Si seconsigue reventar un globo, se recibe un premio igual a una cantidad oculta tras el globo.Supongamos que la probabilidad de acertar con algún globo es 1/3.

Los premios se distribuyen de la siguiente manera:

40% de premios de 0,50 euros30% de premios de 1 euros20% de premios de 2 euros10% de premios de 6 euros

Si cada lanzamiento cuesta 1 euro, ¿cuál es la ganancia esperada del dueño del puesto en

cada lanzamiento?

· ∀

xi (Ganancia) f(xi) xi· f(xi)

1€ - 0,50€ = 0,50€ 1/3 · 4/10 2/30 1€ - 1€ = 0€ 1/3 · 3/10 0 1€ - 2€ = -1€ 1/3 · 2/10 -2/30 1€ - 6€ = -5€ 1/3 · 1/10 -5/30 1€ – 0€ = 1€ 2/3 20/30

230 230 530 2030 1530 , €





51

04. VARIABLES ALEATORIAS

Ejercicio 1:

Se lanza un dado 2 veces. Consideramos el espacio muestral asociado al experimento aleatorio

Ω = {ω = (ω1, ω2): ω i ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6}, i = 1, 2}

Sea X la variable aleatoria que da la suma de los puntos obtenidos por los 2 dados.

1. ¿Es X una variable aleatoria discreta o continua?

Es una variable discreta.

2. Determine los conjuntos:

a) {ω ∈ Ω: X(ω) = 4};

ω = {1,3}, {3,1}, {2,2}.

b) {ω ∈ Ω: X(ω) = 6};

ω = {1;5}, {5;1}, {2;4}, {4;2}, {3;3}.

c)

{ω ∈ Ω: X(ω) = −1};

ω = Ø.

d) {ω ∈ Ω: X(ω) = 17};

ω = Ø.

e) {ω ∈ Ω: X(ω) ≤ 9};

ω = [{4;6}, {5;5}, {5;6}, {6;4}, {6;5}, {6;6}]C

f) {ω ∈ Ω: X(ω) ≥ 3};

ω = [{1;1}]C

g) {ω ∈ Ω: 8 ≤ X(ω) ≤ 14};

ω = {2;6}, {3;5}, {3;6}, {4;4}, {4;5}, {4;6}, {5;3}, {5;4}, {5;5}, {5;6}, {6;2},

{6;3}, {6;4}, {6;5}, {6;6}.





52

h) {ω ∈ Ω: |X(ω) − 7| ≤ 3}.

| 7| ≤ 3 → 7 ≤ 3 → ≤

| 7| ≤ 3 → 7 ≤ 3 → ≥

| 7| ≤ 3 → ≤ ≤

ω = [{1;1}, {1;2}, {2;1}, {5;6}, {6;5}, {6;6}]C

3. Determine la función de distribución de la variable aleatoria X.

X(ω) P[X(ω)] P acum.

2 1/36 1/36

3 2/36 3/36

4 3/36 6/36

5 4/36 10/36

6 5/36 15/36

7 6/36 21/36

8 5/36 26/36

9 4/36 30/3610 3/36 33/36

11 2/36 35/36

12 1/36 36/36

4. Calcule E[X], E[X2] y E[2X − 3X2].

2 · 136

3 · 236

4 · 336

5 · 436

6 · 536

7 · 636

8 · 536

9 · 436

1 0 · 336

1 1 · 236

1 2 · 136

2 · 136 3 · 236 4 · 336 5 · 436 6 · 536 7 · 636 8 · 536 9 · 436 10 · 336 11 · 236 12 · 136 ,

2 3 2 3 2 · 3 · 2 · 7 3 · 54,806 ,





53

5. Calcule V(2X − 3).

Por las propiedades de la varianza:

·

2 3 2 · 4 ·

Calculando la varianza:

∑ =

···

136 · 2 7 236 · 3 7 336 · 4 7 436 · 5 7 536 · 6 7 11 ··· ··· 636 · 7 7 536 · 8 7 436 · 9 7 336 · 1 0 7 236 · 1 1 7 11 ···

··· 1

36· 12 7

11

136 · 5 236 · 4 336 · 3 436 · 2 536 · 1 536 · 1 11 ··· ··· 436 ·2 336 ·3 236 ·4 136 ·511

2 · 25 2 · 2 · 16 2 · 3 · 9 2 · 4 · 4 2 · 5 · 11 1 · 3 6 21011·36 0,53

2 · 4 · 0,53 ,





54

Ejercicio 2:

Se considera la duración de las bombillas fabricadas por una cierta empresa como una variablealeatoria X, cuya función de densidad es:

0 < 1 > 1

1. Determine la constante k

La superficie bajo la curva de densidad debe ser igual a 1:

0 · − · · 2 ∞1 2∞ 2 · 1 2 1

2. Calcule la función de distribución.

0 · 0 < 1

2 · 1 > 1

3. Calcule la duración media de las bombillas.

Esperanza de una variable aleatoria continua:

µ · · +−

µ · 2 · 2 · 2 ∞1 2∞ 21 2 4. Calcule la probabilidad de que una bombilla dure más de 50 horas.

> 2 · 1 ∞

50 1∞ 150 .





55

Ejercicio 3:

En una empresa dedicada a la fabricación de tornillos se considera la dimensión de un tornillocomo variable aleatoria, cuya función de densidad es:

{

0 < 1 1 ≤ ≤ 80 > 8

Determine:1. El valor de k.

La superficie bajo la curva de densidad debe ser igual a 1:

· 1 8

1 18 1 1

2. La función de distribución.

{

0 < 1 87 · · 87 · 1 ≤ ≤ 80 > 8

3. La probabilidad de que la dimensión de un tornillo esté entre 3 y 5 cm.

< < 87 · ·

87 ·

53

87 · 5

87 · 3 ,





56

4. La dimensión media de los tornillos y la desviación con respecto a esta.

µ · 87 · ·

87 · 1 ·

87 ·ln81 87 · ln8

,

5. El valor de a, tal que el 90% de los tornillos tenga su dimensión menor o igual que a.

≤ 8

7 · ·

8

7 ·

1 8

7 · 8

7 · 1 0,90

.





57

Ejercicio 4:

El tiempo de vida (en años) de cierta especie es una variable aleatoria T con función dedensidad:

· 1 · ∈ 0,10

1. Halle el valor de k.

· 1 · ·

· 2 ·

1

· 5 3 2 10 · 130 1

2. Halle la esperanza de vida.

· 30 · 1

·

·

30 ·

2

·

30 · 6 4 25 10 30 · 160 0,5

3. Calcule la probabilidad de que un ejemplar de esta especie viva menos de 9 meses.

< 912 30 · 2 · ,

30 ·

5

3

2 0,75

0 ···

< .





58

Ejercicio 5:

Una junta de estudiantes está formada por 10 alumnos: tres de quinto, tres de cuarto, dos detercero, uno de segundo y uno de primero. De los 10 alumnos se seleccionan 3 al azar paraformar una comisión. Sea X la variable aleatoria que representa el número de alumnos decuarto en la comisión e Y la variable aleatoria que representa el número de alumnos de quintoen la comisión.

1. Obtenga la función de probabilidad conjunta del vector aleatorio (X,Y) y las marginales.

Y

X

0 1 2 3

0 4/120 18/120 12/120 1/120

1 18/120 36/120 9/120 0

2 12/120 9/120 0 03 1/120 0 0 0

Xi P(Xi) Yi P(Xi,Yi)

0 35/120 0 35/120

1 63/120 1 63/120

2 21/120 2 21/120

3 1/120 3 1/120

2. Calcule cov(X, Y).

, · · · · =

= ·

= · · =

, 1 · 1 · 36120 1 · 2 · 9120 2 · 1 · 9120 1 · 63120 2 · 21120 3 · 1120

, 35

910

21100

3. Calcule E[X|Y = 2].

Y

X

0 1 2 3

0 4/120 18/120 12/120 1/120

1 18/120 36/120 9/120 0

2 12/120 9/120 0 0

3 1/120 0 0 0

| 0 · 12120 1 · 9120 2 · 0 3 · 0





59

4. Interprete los resultados de los dos apartados anteriores.

, 35 910

21100

La covarianza es negativa cuando a los mayores valores de una variable suelen

corresponder en general los menores de la otra.

| 2 340





60

Ejercicio 6:

Consideremos el vector aleatorio (X, Y) con función de densidad conjunta:

, 34 ≤ ≤ 10

1. Calcule las funciones de densidad marginales.

Comprobamos que la integral de la función de densidad es igual a 1:

34 ·

− · 34 · 1

− · 34 ·

3 11 34 · 23 23 1

Calculamos la función de distribución:

34 ·

− · 34 · − · 34 · 3

1 ··· ···,

·

Calculamos la función de distribución marginal con respecto a X:

34 ·

− · 34 · 1 − · 34 · 3

1 ··· ···

·

Calculamos la función de densidad marginal con respecto a X:

·





61


34 · √

−√

· 34 · (2 )

· 34 · 43 · 0 ··· ···

Calculamos la función de densidad marginal con respecto a Y:

· ( ) 2. ¿Son independientes las variables aleatorias X e Y?

No son independientes:

, ≠ ·

, ≠ ·

3. Calcule P(X ≥ Y).

≥ 34

··· ··· 34

− ···

≥ 34 ·

2

3 10





62

Ejercicio 7:

La proporción en sangre de dos compuestos, X e Y, en una especie común de ratones esvariable. Su distribución conjunta en toda la población se caracteriza por la función dedensidad:

, 1 0 < < 1, 0 < < 10

Un ratón se considera sano si ambas concentraciones son inferiores a 3/4.

1. Halle el valor de k.

La integral de la función de densidad en el dominio debe ser igual a 1:

1

1 3 1

0

3 1

3 2 10 3 1 12 6 ;

2. Decida si X e Y son independientes.


61 61 3 1

0 61 13 Calculamos la función de densidad marginal con respecto a Y:

61

6 2 10 6 12 , · 61 21 · 3

Son independientes, ya que el producto de las funciones de densidad marginales es

igual a la función de densidad. Además, el dominio es rectangular con los lados

paralelos a los ejes coordenados, lo cual es condición necesaria, pero no suficiente.





63

3. Halle la concentración media del compuesto Y en la especie.

µ · · +

− 3

34 10 4. Halle la probabilidad de que un ratón elegido al azar esté sano.

< 34 , < 34 61

6 1

3 340 ···

6 33 · 4 1 6 33 · 4 2 340 6 33 · 4 34 32 · 4 ··· < , < .





64

Ejercicio 8:

Consideremos el vector aleatorio (X, Y) con función de densidad:

, 0 < < 1, 0 < < 10

Encuentre las distribuciones marginales, E[X], V(X), la función de densidad de la variablealeatoria Y |(X = 1/2) y su esperanza E[Y |(X = 1/2)].

Comprobamos que la integral de la función de densidad es igual a 1:

2 10

12

2 210 1


2 10

12 2 2 0

Calculamos la función de distribución marginal con respecto a Y:

2 0

2 2 2 1

0


2 1

0





65

Calculamos la esperanza de X:

µ · · +

− 2

3

4 10

Calculamos la función de densidad de la variable aleatoria Y |(X = 1/2):

| , 12

|

,

Calculamos la esperanza E[Y |(X = 1/2)].

| µ · | 12 · +− 2 ·

3 4 10





66

Ejercicio 9:

Justifique si las siguientes funciones pueden ser funciones de distribución de alguna variablealeatoria:

12 < 10 ≥ 1

No puede serlo, ya que la función F3(x) no es estrictamente creciente en todo su

dominio.

{ 0 < 01 0 ≤ < 22 ≥ 2

No puede serlo, ya que la función F2(x) toma valores mayores que 1.

{

0 < 1 12 1 ≤ < 0 0 ≤ < 11 ≥ 1

No puede serlo, ya que la función F3(x) no es estrictamente creciente en todo su

dominio.





67

Ejercicio 10:

Sea X una variable aleatoria discreta que toma los valores {−1; 0; 1} y con función deprobabilidad:

1 0 1 13

Sea Y la variable aleatoria definida por:

0 01 ≠ 0

Pruebe que X e Y no son independientes y que E[XY] = E[X]E[Y].

Y

X

0 1

-1 0 1/3

0 1/3 0

1 0 1/3

Las variables aleatorias X e Y (definidas sobre el mismo espacio muestral, M) sonindependientes cuando:

( , ) · ( ), ∀ ∀

1, 0 ≠ · 1 · 0 1, 1 ≠ · 1 · 1 0, 0 ≠ · 0 · 0

0, 1 ≠ ·

0 · 1

1, 0 ≠ · 1 · 0 1, 1 ≠ · 1 · 1 Queda demostrado que las variables aleatorias X e Y no son independientes.





68

· ·

· ·

=

= ·

= · ·

=

1 · 1 · 13 1 · 1 · 13 1 · 13 0 · 13 1 · 13 · 1 · 23 0 · 13 0 0 · 23 Queda demostrado que:

· ·





69

Ejercicio 11:

Sea (X, Y) un vector aleatorio bidimensional con función de densidad conjunta:

, 1 0 ≤ ≤ 10

Decida si X e Y son independientes o no.

Son dependientes, ya el dominio no es rectangular con lados paralelos a los ejes

coordenados, lo cual es condición necesaria para la independencia.





70

Ejercicio 18 (I):

Sea X una variable aleatoria que tiene como función de densidad:

{

0 ≤ 0 1 0 < < 30 ≥ 3

1. Halle a y la función de distribución de X.

1

1

→

3 30 3

3

3 1 →

112 1 112 3 0 112 3 →

2. Calcule la probabilidad de que X esté comprendida entre 1 y 2.

< < 112 1

112

3 21

112 2

2

3 1 1

3

3. Halle P(X < 1).

< 112 1 112 3 1

0 112 1 13

4. Calcule P(X < 2|X > 1).

< | > < 2 ∩ > 1 > 1 1 < < 2 > 1 ∫ 112 1

1 ∫ 112 1

112 3 2

11 112 3 10

112 2 23 1 13 1 112 1 13 5181 19 51889





71

5. Encuentre la media µ y la varianza σ2 de X.

· 112 1

112 2 4 30 112 32 34 ,

∝ · 112 1

3316 112 3 5 30 112 33 35 ,

6. Calcule P(|X - µ|≥ 2σ).

|µ|≥ ≥ 2 → ≥ 2 → ≥ 3,155 0 ≥ 2 → ≤ 2 → ≤ 0,97 ⋯ ≤ µ 2 ··· ··· ≤ 0,97 0,97 0 0,9712 0,9736 ,





72

Ejercicio 19 (I):

Un fabricante debe elegir entre dos procesos de producción que dan lugar a que las longitudes(en cm) de los elementos producidos se distribuyan según.

1: 3 ≥ 10 < 1

2: 4 ≥ 10 < 1

1. Si los elementos aceptables deben de tener longitud entre 1 y 2 cm, ¿qué proceso produceun porcentaje mayor de elementos aceptables?

≤ ≤ 3

1 21 12 11

≤ ≤ 4

1 21 12 11

El segundo proceso produce un porcentaje mayor de elementos aceptables.

2. Si se elige al azar uno de los procesos, ¿cuál es la probabilidad de obtener una piezaaceptable?

12 · 78 12 · 1516

3. ¿Cuál es la longitud media en cada proceso?

·

3

32 21 32 · 2 32 · 1

· 4

43 21 43 · 2 43 · 1





73

Ejercicio 20 (I):

Los tiempos de vida (en días), X e Y, de una bacteria en dos medios distintos e independientes,A y B, tienen las funciones de densidad:

1 0 50 0 < < 100

1 − 0 < 0

Donde k es una constante positiva. La duración media de las bacterias en el medio B es de 5

días.

1. Calcular el valor de k y la esperanza de vida en el medio A.

1 − · 1 → −∞

0 − − 0 1 1 → ?

· 1

−

·

5 → −

· 1 ·

−

∞

0

5 − ∞ · 1 · − − 0 · 1 · − 5 0 0 1 0 → · ·

−

· 1 0 50 ·

10 15010

0

2. Una bacteria tiene la misma probabilidad a priori de estar en el medio A que en el B. Sabiendoque vivió más de 5 días, ¿cuál es la probabilidad de que se encontrara en el medio A?

| 5 5| · 5| · 5| · | 5 ∫ · · 12∫ · · 1

2 ∫ · · 1

2





74

| 5 ∫ 1 0 50 ·

∫ 1 0 50 ·

∫ −

·

| 3434 1 1 , 3. Hallar la función de densidad conjunta de X e Y y P(X > 5; Y > 5).ℎ, ·

, · −

< < , <

> 5; > 5 ℎ, · ·

> 5; > 5 10 50

· 15

− ·

·

→ . →

> 5; > 5 10 50 · · · 15 − ·

5 100105 ·−∞5

> 5; > 5 105 10100 55 5100·− −

> ; > 14 ·

1





75

Ejercicio 21 (I):

El vector aleatorio (X, Y) tiene la distribución de probabilidad conjunta dada por:

, 1 1; , ∈ 0,1,2

1. Calcule el valor de k.

YX

0 1 2 ∑

0 k 2k 3k 6k1 2k 4k 6k 12k2 3k 6k 9k 18k

∑ 6k 12k 18k 36k

36 1 →

2. Calcule las distribuciones marginales.

( , ) 136 1( 1)= 136 10 1 1 1 2 1

( ,

) 11 2 3

, 136 1 1= 136 0 1 1 1 2 1 1

, 1 2 3 1

3. Encuentre la distribución de X condicionada a Y = y, y ∈ {0, 1, 2}

| ( , )

4. ¿Son independientes X e Y?

, ? ·

· Además, se cumple el requisito necesario de que el dominio de la función conjunta searectangular de lados paralelos a los ejes coordenados, por lo que las variables son

independientes.





76

5. Calcule P(X + Y > 2) y P(X2 + Y2 ≤ 1).

X Y X+Y X2+Y2 P(Xi, Y j)0 0 0 0 P(X=0, Y=0)=1/36

0 1 1 1 P(X=0, Y=1)=2/361 0 1 1 P(X=1, Y=0)=2/360 2 2 4 P(X=0, Y=2)=3/361 1 2 2 P(X=1, Y=1)=4/362 0 2 4 P(X=2, Y=0)=3/361 2 3 5 P(X=1, Y=2)=6/362 1 3 5 P(X=2, Y=1)=6/362 2 4 8 P(X=2, Y=2)=9/36

> 636

636

936

≤ 136 236 236

6. Halle las distribuciones de Z = X + Y y W = X2 + Y2.

X Y Z=X+Y W=X2+Y2 P(Xi, Y j)0 0 0 0 P(X=0, Y=0)=1/360 1 1 1 P(X=0, Y=1)=2/361 0 1 1 P(X=1, Y=0)=2/360 2 2 4 P(X=0, Y=2)=3/361 1 2 2 P(X=1, Y=1)=4/36

2 0 2 4 P(X=2, Y=0)=3/361 2 3 5 P(X=1, Y=2)=6/362 1 3 5 P(X=2, Y=1)=6/362 2 4 8 P(X=2, Y=2)=9/36

Z P(Zk )0 1/361 4/362 10/363 12/364 9/36

W P(Wk )0 1/361 4/362 4/364 6/365 12/368 9/36





77

Ejercicio 23 (I):

Si X e Y son variables aleatorias independientes tales que E[X] = E[Y ],

1. Demuestre que E[(X - Y)2] = V (X) + V (Y)

2 2 ··· ··· · · 2 · · ···

··· · · 2 · · 0 0 2 · · 2 · · 0

2. Obtenga los valores de V (X - Y) y V(2X - 2Y + 1) sabiendo que V (X) = V (Y) = 3.

, → , 0 . 3 3

2 2 1 2

· 2

· 2,2 → 2,2 0 .

4 4 12 12





78

05. MODELOS DE PROBABILIDAD MÁS COMUNES

Ejercicio 1:

Por un canal de comunicación se transmiten mensajes compuestos por dos signos: cero y uno.Debido a las perturbaciones en la transmisión, cada signo se recibe correctamente conprobabilidad 0.7 Para aumentar la probabilidad de una recepción correcta, cada signo setransmite cinco veces, interpretándose, por parte del receptor, que el signo transmitido es elmás frecuente entre los cinco signos recibidos.

1. Hallar la probabilidad de que un signo transmitido por este método sea interpretadocorrectamente por el receptor.

Variable aleatoria binomial:

, · · − · · · V = Signo transmitido correctamente.

≥ 3 5 4 3 3 53 · 0 , 7 · 0,3 0.3087

4 54 · 0 , 7 ·0,3 0.36015

5 55 · 0 , 7 0.16807

≥ . 2. Supongamos que se transmiten 10 signos por este método. Hallar la probabilidad de que almenos 8 de ellos sean interpretados correctamente.

≥ 8 10 9 8 8 108 ·0.83692 · 1 0.83692 0.28806

9 109 ·0.83692 · 1 0.83692 0.32852





79

10 1010·0.83692 0.16859

≥ .





80

Ejercicio 2:

Una máquina automática, dedicada a la fabricación de un tipo especial de tornillo, producedefectuosos a razón de 1%.

1. Si cada 25 tornillos se colocan en un tubo, ¿cuál es la probabilidad de que un tubo no tenganingún tornillo defectuoso?


· · −

T = Variable aleatoria “Tornillos defectuosos en un tubo con 25 de capacidad”.

0 250 · · 1

0,99 .

2. Si cada 10 tubos se colocan en una caja, ¿cuál es la probabilidad de que una caja contengalos 10 tubos con ningún tornillo defectuoso?

Tb = Variable aleatoria “Tubos sin tornillos defectuosos”.

10 1010 · · 1

0.77782 .





81

Ejercicio 3:

Una empresa electrónica observa que el número de componentes que fallan antes de cumplir100 horas de funcionamiento es una variable aleatoria de Poisson. Si el número promedio deestos fallos es ocho:

1. ¿cuál es la probabilidad de que falle una componente en 25 horas?

Variable aleatoria de Poisson:

− · !

Número promedio de fallos para 25 horas:

100 ℎ → 825 ℎ → 2

La media de una variable aleatoria de Poisson es igual a λ

− · 21! 2 .

2. ¿y de que fallen no más de dos componentes en 50 horas?

Número promedio de fallos para 50 horas:

100 ℎ → 850 ℎ → 4

≤ 2 0 1 2

≤ − · 40! 41! 42! .

3. ¿cuál es la probabilidad de que fallen por lo menos 10 en 125 horas?

100 ℎ → 8125 ℎ → 10

≥ 10 1 < 0 = − · 10!

=

< 10 1 − · 100! 101! 102! 103! 104! 105! 106! 107! 108! 109!

≤ .





82

Ejercicio 4:

El número de automóviles que pasa por un determinado cruce de una carretera sigue unmodelo de Poisson con parámetro λ = 4. Calcular:

1. Esperanza y desviación típica.

En una variable de Poisson, la esperanza es igual al parámetro λ:

En una variable de Poisson, la desviación típica es igual a:

√

2. Probabilidad de que no pase ningún automóvil.

− · 40! 1 .

3. Probabilidad de que pasen más de dos automóviles.

≥ 2 1 < 2 1 0 1

≥ 1 − · 40! 41! .

4. Probabilidad de que pasen entre 3 y 5 automóviles.

3 ≤ ≤ 5 3 4 5

≤ ≤ −

· 4

3! 4

4! 4

5! .





83

XXEjercicio 5:

Sea X una variable aleatoria que sigue una distribución de Poisson de parámetroλ = 2, es decir:

2 2! −, 0,1,2,…

Calcule la esperanza de la variable aleatoria Y = e -X





84

Ejercicio 6:

1. Sea X una variable aleatoria que se distribuye según una N(0; 1), calcule P(X ≤ 1,85).

≤ 1,85 1 ≥ 1,85 1 0,0322 , 2. Sea X una variable aleatoria que se distribuye según una N(5; 3), calcule P(X ≤ 8).

≤ 8 ≤ 8 53 ≤ 1 1 ≥ 1 1 0,1587 , 3. Sea X una variable aleatoria que se distribuye según una N(0; 1), calcule P(X ≤ -1,85).

≤ 1,85 ≥ 1,85 ,

4. Sea X una variable aleatoria que se distribuye según una N(5; 3), calcule P(X ≤ -8).

≤ 8 ≥ 8 ≥ 8 53 ≥ 1 0, 5. Sea X una variable aleatoria que se distribuye según una N(5; 3), calcule P(X > 1,85).

> 1,85 > 1,85 53 > 1,05 < 1,05 1 > 1,05 , 6. Sea X una variable aleatoria que se distribuye según una N(0; 1), calcule P(1 ≤ X ≤ 1,85).1 ≤ ≤ 1,85 ≥ 1 ≥ 1,85 0,1587 0,0322 , 7. Sea X una variable aleatoria que se distribuye según una N(0; 1), calcule P(-1 ≤ X ≤ 1,85).

1 ≤ ≤ 1,85 ≥ 1 ≥ 1,85 1 ≥ 1 ≥ 1,85 ··· ··· 1 0,1587 0,0322 , 8. Sea X una variable aleatoria que se distribuye según una N(5; 3), calcule P(8 ≤ X ≤ 11).

8 ≤ ≤ 11 8 53 ≤ ≤ 11 53 1 ≤ ≤ 2 ≥ 1 ≥ 2 ······ 0,1587 0,0228 , 9. Sea X una variable aleatoria que se distribuye según una N(5; 3), calcule P(-2 ≤ X ≤ -1).

2 ≤ ≤ 1 2 53 ≤ ≤ 1 53 2,33 ≤ ≤ 2 ···

··· ≥ 2,33 ≥ 2 1 ≥ 2,33 1 ≥ 2 ···

··· ≥ 2 ≥ 2,33 0,0228 0,0099 ,





85

Ejercicio 7:

El gerente de personal de una gran compañía requiere que los solicitantes a un puesto efectúencierta prueba y alcancen una calificación de 500. Si las calificaciones de la prueba sedistribuyen normalmente con media 485 y desviación 30, ¿qué porcentaje de los solicitantespasaría la prueba?

∈ 485, 30 ≥ ≥ 500 48530 ≥ 0,5 ,Ejercicio 8:

La dureza de Rockwell, (método para determinar la resistencia de un material a ser penetrado),de una aleación particular se distribuye normalmente con media de 70 y desviación de 4.

1. Si un material se acepta solo si su dureza está entre 62 y 72, ¿cuál es la probabilidad de queun material elegido al azar tenga una dureza aceptable?

∈ 70, 4

≤ ≤ 6 2 7 0

4 ≤ ≤ 72 70

4 2 ≤ ≤ 0,5 ≥ 2 ≥ 0,5

1 ≥ 2 ≥ 0,5 10,0228 0,3085 , 2. Si el intervalo aceptable de dureza es (70 - c; 70 + c), ¿para qué valores de c el 95% de losmateriales tendrían una dureza aceptable?

70 ≤ ≤ 70 70 704 ≤ ≤ 70 704 4 ≤ ≤ 4 0,95 ≥

4 ≥

4 1 ≥

4 ≥

4 0,95

0,05 2 · ≥ 4 0,025 ≥ 1,96 1,96 4 , 3. En el caso de que el intervalo de dureza aceptable es el dado en el apartado 1, y la durezade cada uno de 9 materiales seleccionados al azar se determina en forma independiente,¿cuál es el número esperado de materiales aceptables entre los 9 elegidos al azar?

62 ≤ ≤ 72 0,6687 9 · 0,6687 6,0183 ≈





86

Ejercicio 9:

El contenido de una lata de refresco se distribuye normalmente con media µ = 33cl y desviacióntípica σ = 2cl.

1. ¿Cuál es la probabilidad de que el contenido de una lata sea superior a 35 cl?

∈ 33, 2 > > 35 332 > 1 , 2. Si un paquete consta de seis latas, ¿cuál es la probabilidad de que el contenido total seainferior a 192 cl?

La suma de normales independientes es normal:

6· 33, 6 · 2 198, 2√ 6 < < 192 1982√ 6 < 1,225 > 1,225 ,





87

Ejercicio 10:

El porcentaje de materia activa en tambores de 200 litros de cierto compuesto orgánico es unavariable aleatoria con distribución normal, N(µ, σ). Existen dos plantas de fabricación: la plantaA que fabrica con µA = 80% y σA = 12:04% y la planta B que fabrica con µB = 79% y σB = 8:72%.

Una industria almacena tambores en un porcentaje de 70% de la planta A y 30% de la plantaB. Calcular la probabilidad de que en una muestra de 20 tambores, ninguno contenga unacantidad de materia activa inferior al 75%.

Tambores A:

≥ 75

≥ 150

≥ 75 80

12,04

≥ 0,41528 ···

1 ≥ 0,41528 1 0,33897 , Tambores B:

≥ 75 ≥ 150 ≥ 75 798,72 ≥ 0,45872 ··· 1 ≥ 0,45872 1 0,32322 ,

20 70% → 0,66103 0.0030430% → 0,67678 0.09609 Probabilidad de que ninguno contenga una cantidad de materia activa inferior al75%:

0,00304 · 0.09609 .





88

Ejercicio 11:

Calcule las probabilidades de las siguientes distribuciones binomiales mediante aproximacióna la normal correspondiente. (No olvide el ajuste de media unidad que hay que hacer al pasarde una variable discreta a una continua).

1. X sigue una B(100; 0,1). Calcule P(X = 10), P(X < 2) y P(5 < X < 15).2. X sigue una B(50; 0,9). Calcule P(X > 45) y P(X ≤ 30).

Cuando en una distribución binomial B(n, p) el parámetro n es grande, se

puede aproximar ventajosamente por una normal con la misma media (µ = np)

y la misma varianza (σ 2 = np(1 − p)).

∈ 100;0,1~100·0,1; 100·0,1· 1 0 , 1 , 10 103 0,5 < < 0,5 1 2 · > 0,5 , < < 2 103 < 83 < 83 12 < 3,167 , < < 5 1 0

3 < < 15 10

3 5

3 < < 5

3 5

3 1

2 < < 5

3 1

2

53 12 < < 53 12 76 < < 76 ∈ 50;0,9~50·0,9; 5 0 · 0 , 9 · 1 0 , 9 , √ > 45 453/√ 2 > 0 > 0 0,5 ,

≤ ≤ 30 453/√ 2 ( ≤ 5√ 2) ( ≤ 5√ 2 0 , 5) ≈





89

Ejercicio 12:

Se lanza una moneda 200 veces:

1. calcule la probabilidad de que salgan 120 caras.


, · · − · · ·

C = Número de caras.

120 200120 · 12 · 12−

.

2. calcule la probabilidad de que salgan al menos 120 caras.

, ~ , ~ , → 200 · 12

→ √ 50 √

> 120 > 120 1005√2 > 2√ 2

( > √ ) , 3. calcule la probabilidad de que salgan más de 100 caras y menos de 120.

100 < < 120 100 1005√ 2 < < 120 1005√2 0 < < 2√ 2

(0 < < 2√ 2) > 0 ( > 2√ 2) 0,5 0,0023 0.4977





90

XXEjercicio 24 (I):

Un cierto artesano fabrica un piano cada mes. La probabilidad de que no funcione es 0.02.Consideramos la variable aleatoria X= “número de pianos defectuosos en 5 años”.

1. Determine la distribución de probabilidad de la variable aleatoria X.

2. Calcule el número esperado de pianos defectuosos.

3. Calcule la probabilidad de que no haya ninguno defectuoso.

4. Calcule la probabilidad de que haya mas de uno defectuoso.





91

Ejercicio 25 (I):

El gerente de un restaurante que solo da servicio mediante reservas sabe, por experiencia, queel 20% de las personas que reservan una mesa no asistirán. Si el restaurante acepta 25 reservas,pero no dispone más que de 20 mesas, ¿cuál es la probabilidad de que a todas las personasque asisten al restaurante se les asigne una mesa?

X = Número de personas que no acuden a la reserva.

∈ 25; 0,20 ≥ 5 1 < 5 1

=

1 254 0,20,8 253 0,20,8 252 0,20,8 251 0,20,8 250 0,20,8

≥ 1 < 5 1 0,42067 ,

, ~ , · 25 · 0,20

· · 25 · 0,20 · 0,80 ∈ 25; 0,20~5,2 ≥ ≥ 5 52 > 0 ,





92

XXEjercicio 26 (I):

Al peaje de una autopista llega un promedio de un vehículo por segundo.

1. ¿Cuál es la esperanza del número de vehículos en una hora?

∈

1

X = Número de vehículos en un segundo

∈ 1

X3600 = Número de vehículos en 3600 segundos ∈ 3600·1

2. ¿Con que probabilidad se produce ese valor?

− · !

3. Si el peaje está preparado para atender un máximo de 70 vehículos/minuto, ¿cuál es laprobabilidad de que el peaje se sature?





93

Ejercicio 30 (I):

A una hora punta, consideramos las variables aleatorias:

X3= “número de viajeros que llegan a una parada de autobús", X1= “número de viajeros que suben al autobús", X2= “número de viajeros que bajan del autobús", Y = “número de viajeros que lleva el autobús cuando sale de la parada".

La variable aleatoria X1 se distribuye según una N(12, 2), la X 2 según una N(13, 3) y la X3 segúnuna N(20, 6). (Las variables aleatorias X1, X2 y X3 son independientes). Se pide:

1. Distribución de probabilidad de la variable aleatoria Y

∈ ,

20 13 12

6 3 2

∈ , 2. Probabilidad de que el autobús parta con menos de 10 viajeros

< < 10 197 < 1.286 > 1.286 ,

3. Probabilidad de que el autobús parta con más de 31 viajeros

> > 31 197 > 1.714 ,

4. ¿Cuantos viajeros son necesarios, para que la probabilidad de que el autobús parta con

menos de esta cantidad de viajeros sea 0.9?

< < 197 0,90 → > 197 0,10

1,281,29 . 0,10030,09850,01 0,0003 → 0,00167 → 1,28 0,00167 1,2817

< 1.2817 0,90

197 1.2817 → 27.97 ≈





94

Ejercicio 31 (I):

La anchura en mm de una población de coleópteros sigue una distribución N(µ, σ). Se estima

que el 77% de la población mide menos de 12 mm y el 84% mide más de 7 mm. ¿Cuál es laanchura media de la población?

A = Anchura

< 12 0,77

> 7 0,84

< 12 < 12

0,77 → > 12

0,23

> 7 > 7 0,84 → > 7 > 7 0,16

> 12 0,23

0,730,74 . 0,23270,22960,01 0,0027 → 0,00871 → 0,73 0,00871 0,73871

1 2 0,73871 → ,· > 7 0,16

0,991,00 . 0,16110,15870,01 0,0011 → 0,00458 → 0,99 0,00458 0.99458

7 0,99458 → ,· ,

,





95

Ejercicio 32 (I):

Las ventas diarias de una empresa siguen una distribución uniforme entre 300 y 600 euros.Suponiendo independientes las ventas de los distintos días del año, calcular la probabilidad deque el volumen de ventas anual supere los 138.000 euros, si la empresa trabaja 300 días al año.

Variable aleatoria uniforme:

, · · −

2

12

V = Número de ventas.

∈ 300,600

> 138.000

2 300 6002

12 60030012

En 300 días y aplicando el Teorema del Límite Central:

, ~· , √ ·

~, → · → 300 · 450 .

→ · → √ 300 · 7.500 .

> 138.000 > 138.000135.0001500 > 2 > ,





96

Ejercicio 33 (I):

Se supone que la probabilidad de que un pasajero opte por la compañía aérea C para hacerun viaje es de 1/2. Tomando un grupo de 400 viajeros potenciales, esta compañía vende billetesa cualquiera que se lo solicita.

1. Si la capacidad de su avión es de 230 pasajeros, se pide la probabilidad de que la compañíaC tenga un overbooking, es decir, que un pasajero se quede sin asiento.

X = Número de pasajeros que eligen C.

∈ , · 400 · 12

· · 400 · 12 · 12

, ~ , ∈ 400, 1

2~200 ,10

> > 230 20010 > 3 , Si existen 10 compañías aéreas C i, i = 1, 2, ···, 10, que realizan el mismo viaje y cuyas condicionesson similares a la compañía C, ¿cuál es la probabilidad de que al menos dos de ellas tenganoverbooking?

∈ ; ,

· · −

≥ 2 1 < 2 1 1 0 ≥ 2 1 101 · 0,0013 · 0,9987− 100 · 0,0013 · 0,9987 ≥ 1 10·0,0013·0,98841·1·0.9871 ,





97

06. MUESTREO ALEATORIO

Ejercicio 1 (II):

Calcule:

1. ≤ 3,25( ≤ , ) 1 ≥ 3,25 1 0,975 ,

2. ≥ 8,67( ≥ ,) ,

3.16,92 ≤ ≤ 23,6(, ≤ ≤ ,) ≥ 16,92 ≥ 23,6 0,05 0,005 , 4. ≤ 72( ≤ ) 1 ≥ 72

Interpolando:

≥ 67 0,25

≥ 74,4 0,1

0,250,174,467

72 67 → 0,1014

≥ 72 0,25 0,1014 0,1486

( ≤ ) 1 0,1486 ,





98

Ejercicio 2 (II):

Si

~ , obtenga un intervalo [a, b] que contenga un 95% de probabilidad y que deje la

probabilidad restante igualmente repartida a derecha e izquierda. ≥ 0,025 → ,

≤ 0,025 → 1 ≥ 0,025 → ≥ 0,975 → ,

Ejercicio 3 (II):

Calcule:

. < , < 0,889 > 0,889 ,

. , < < , 2,093 < < 2,861 > 2,093 > 2,861 0,025 0,005 ,

Ejercicio 4 (II):

Calcule:

. < , < 0,99 → > 0,01 → ,

. || > , || > 0,05 → > > → < > < → ,





99

XXEjercicio 5 (II):

En una población normal N(2; 0,6) se toma una muestra aleatoria de tamaño 9. Determine laprobabilidad de que la media muestral sea inferior a 2′08 y la probabilidad de que la varianza

muestral sea inferior a 0,2.





100

Ejercicio 12 (II):

El número de coches que llegan por minuto a la ventanilla de una hamburguesería durante lastardes de los sábados sigue una distribución de Poisson de media desconocida. Para estimarla,se hacen veinte observaciones de un minuto cada una (repartidas al azar y de formaindependiente). El número de coches que llegan en cada uno de esos minutos es el siguiente:

0, 1, 4, 4, 2, 5, 3, 1, 0, 4, 2, 2, 3, 0, 1, 5, 4, 2, 3, 2

Estime la media de la distribución por el método de máxima verosimilitud.

Nº de vehículos que llegan: x ∈ P(λ)Nº de observaciones realizadas: n = 20

∑xi = 48

− λ! λ λ , − λ∑ ∏ ! (, ) λ · λ ! [(, )]λ ∑ λ

∑ λ 0 ∑ λ → ∑ ,





101

Ejercicio 13 (II):

El tiempo de permanencia (medido en minutos) de 10 coches escogidos al azar en unaparcamiento es el siguiente:

10, 20, 30, 45, 50, 50, 50, 60, 80, 90

Si sabemos que la duración de la estancia sigue una distribución exponencial con función dedensidad:

· −

≤ >

Estime por el método de máxima verosimilitud el par ámetro λ:

Tiempo de permanencia: t ∈ P(λ)Nº de observaciones realizadas: n = 10

∑xi = 485

λ · −t , λ · −·∑

(, ) · lnλ ∑ · λ

[(, )]λ λ ∑ λ ∑ 0 λ · ∑ → ∑ ,





102

Ejercicio 14 (II):

Los gastos diarios de una empresa constituyen una variable aleatoria con la siguiente funciónde densidad:

· − ≤ > >

Se toma una muestra aleatoria simple de 10 días en los que el gasto medio fue:

12′47 15′53 12′80 11′01 13′05 12′63 13′05 12′63 14′85 14′45

Obtenga una estimación de máxima verosimilitud del parámetro a y establezca si el estimador

es centrado.

Gasto diario: x ∈ fa(x)Nº de observaciones realizadas: n = 10

∑xi = 132,47

· −

, ∏ · −∑

(, ) ln ∏ ∑ ln 2 · ln ∑

[(, )]λ 0 2 ∑ 2 ∑ 0 → 2 ∑ 0

2 ∑ → ∑ ,





103

Un estimador T cuya esperanza coincide con el valor a estimar se llama insesgado o

centrado.

2 → 2 12 · ? · ·

· · − · →

→ · · − ·

→

→ .





104

Ejercicio 15 (II):

La duración en minutos de un determinado viaje es una variable aleatoria con distribuciónnormal de media desconocida y desviación típica igual a 3. En una muestra aleatoria de diezrealizaciones del viaje en cuestión, se obtuvieron los siguientes tiempos:

x 1 = 10.1 x 2 = 6.5 x 3 = 5.5 x 4 = 7.9 x 5 = 8.2

x 6 = 6.5 x 7 = 7.0 x 8 = 8.1 x 9 = 6.9 x 10 = 7.7

Se pide:

1a. Estimar por máxima verosimilitud la duración media del viaje.

, , 1√ 2 · · −−

→ , 13√ 2 · −−

· , 13√ 2 · −∑+−∑ ·

(, ) · ln 13√ 2 ∑ 2∑ 2 · 3

(, ) · ln 13√ 2 ∑ 2 · 3 2 · 3 2∑2 · 3

[(, )] 0 0 2 · 2 · 3 2 · ∑ 2 · 3

0 2 · 2 · 3 2 · ∑ 2 · 3 → · ∑ → ∑ → .

1b. Estimar por método de los momentos la duración media del viaje.

∑

· ·

→ ∑

· ·

→

∑ · · → ∑ · · →





105

2. Calcular la probabilidad de que la diferencia, en valor absoluto, entre la duración mediaestimada y la real sea menor que un minuto.

| | ≥ 1 → 1 ≤ ≤ 1

∈ , √ → √ ⁄ 0,1

1 √ ⁄ ≤ ≤ 1 √ ⁄ → 13 √ 10⁄ ≤ ≤ 13 √ 10⁄ → , ≤ ≤ ,





106

Ejercicio 16 (II):

Dada una muestra aleatoria de tamaño n de una población, calcule el estimador de máximaverosimilitud para los parámetros indicados en los casos siguientes:

1. p, en una distribución de Bernoulli.

1 − , ∑1 −∑ ln(, ) ∑ · ln ∑ · 1

[ln(, )] ∑

∑

1 0 ∑ ∑1 → ∑ ∑1 → ∑ ∑ ∑ → ∑ → ∑

2. λ, en una de Poisson

− ·

!

, − · ∑Πxi! ln(, ) ∑ · ln ln! [(, )]λ ∑ 0

0 ∑ → ∑ → ∑ →

3. λ, en una exponencial

· − , · −∑ ln(, ) · ∑ [(, )]λ ∑

0 ∑ → ∑ → ∑ →





107

4. la media µ en una normal N(µ, 2)

, 2 1√ 2 −−

· 1√ 2 −+−

·

, 1√ 2 −∑+·−∑·

ln(, ) · ln 1√ 2 ∑ · 2∑2 ·

[ln(, )] 2 2∑2 ·

0 2 2∑2 · → ∑ → ∑ →

5. la desviación típica σ en una normal N(2,σ)

2, 1√ 2 −−· 1√ 2 −∑−·

, 1√ 2 −∑−·

ln(, ) · ln 1√ 2 ∑ 2 · ·ln(√ 2) ∑ 2 · [ln(, )] · 1 ∑

0 · 1 ∑ → ∑ → ∑ →





108

Ejercicio 17 (II):

El tiempo que dedican las familias para realizar la compra semanal es una variable aleatoriaque sigue una distribución normal. Se escogen de manera aleatoria 61 familias, y los tiemposempleados, xk arrojan estos resultados (en horas):

213,5 808

Obtenga el intervalo de confianza para la media de la población, con un nivel de confianzadel 90%.

→ ∈ , √

∑ 213,561 ,

1 1 = → 1 1 2 ·

=

1 1

∑ · 2∑ → 16 1 1

808 61 · 3,5 2 · 3,5 · 213,5 , √ 1,006√ 61 ,

∈ 3.5; 0.1288 √ ⁄ ∈ 0; 1

1,645 ≤ √ ⁄ ≤ 1,645 0,90 → . ≤ ≤ . ,





109

Ejercicio 18 (II):

El número de vehículos que vende un concesionario sigue una distribución normal. A lo largode 26 meses se ha observado que la media era de 10 coches vendidos, con una varianza de 9coches2. Obtenga un intervalo de confianza al 99% para la media de la población.

: :

→ ∈ , √

√ ⁄ ∈ 0,1

2,575 ≤ √ ⁄ ≤ 2,575 0,99

2,575· √ ≤ ≤ 2,575 · √ 0,99

2,575· 3√ 26 10 ≤ ≤ 2,575 · 3√ 26 10 0,99

, ≤ ≤ . ,





110

Ejercicio 19 (II):

Deseamos conocer el porcentaje de personas que toman sus vacaciones en agosto, con unintervalo de confianza del 99%. Para ello, encuestamos a 1500 personas, de las que 900 afirmanque elegirán ese mes para sus vacaciones. Suponiendo que las respuestas son veraces, ¿cuálserá el intervalo de confianza deseado?

1500

9001500 35 %

% ó

± 2 1 1

1 1

35 ±2,575 35

1 35

1500 → 0,6 ± 0,0326 → , ; ,





111

Ejercicio 20 (II):

¿Qué tamaño mínimo ha de tener una muestra para estimar la producción media por frutalcon un intervalo al 90% de confianza y un error de estimación de ±0,2 kg, si la varianzapoblacional es de 3kg2?

→ ∈ , √

| µ| ≤ 0,2 0,90

0,2 ≤ µ ≤ 0,2 0,90

0,2 √ ⁄ ≤ µ √ ⁄ ≤ 0,2 √ ⁄ 0,901,645 ≤ ∈ 0,1 ≤ 1,645 0,90} 0,2 √ ⁄ 1,645 → 1,645 · √ 30,2 → ≈





112

Ejercicio 21 (II):

Calcule un intervalo de confianza al nivel 1- α = 1 -0,001 = 0,999 para el peso exacto mediantelos resultados obtenidos con 10 básculas:

7,2 7,01 7,36 6,91 7,22

7,03 7,11 7,12 7,03 7,05

Indicación.- Se supone que la población es normal.

∑ 71,04 ∑ 504,817

∑ ,

∑ ∑ ∑ 0,015 → ,

→ ∈ , √ → √ ⁄ ∈ 0,1

0,0005

µ √ ⁄ ∈ − → 7,1040,122 √ 10⁄ ∈

4,781 ≤ 7,1040,122 √ 10⁄ ≤ 4,781 0,999

4,781· 0,122√ 10 7,104 ≤ ≤ 4,781 · 0,122√ 10 7,104 0,999

, ≤ ≤ , ,





113

Ejercicio 22 (II):

Un estudio sobre la proporción de enfermos de cáncer de pulmón que fuman ha revelado quede 123 enfermos 41 eran fumadores. Obtenga un intervalo de confianza para dicha proporciónal 95%. Estudiar si dicha proporción puede considerarse igual a la proporción de fumadores enla población si esta es de un 29%.

123

41123 13 %

% ó

± 2 1 1

1 1

13 ±1,96 13

1 13

123 → 0,3333±0,0833 → , ; ,





114

Ejercicio 23(II):

En el departamento de control de calidad de una empresa, se quiere determinar si ha habidoun descenso significativo de la calidad de su producto entre las producciones de dos semanasconsecutivas a consecuencia de un incidente ocurrido durante el fin de semana. Decidentomar una muestra de la producción de cada semana. Si la calidad de cada artículo se mideen una escala de 100, obtienen los siguientes resultados:

Semana 1 93 86 90 90 94 91 92 94

Semana 2 93 87 97 90 88 87 84 93

Suponiendo que las varianzas en las dos producciones son iguales, construya un intervalo deconfianza para la diferencia de las medias al nivel de 95%. Interprete los resultados.

∑ 91,25; ∑ 89,875

∑ ∑ 8332,75 91,25 6,1875

∑ ∑ 8093,12589,875 15,609375 ; 8

( ) 1 1 2

∈ +−

91,2589,875 ( )

18 18 8·6,18758·15,6093758 8 2 ∈ → 1,375 ( )1,76461 ∈

2,145 ≤ 1,375 ( )1,76461 ≤ 2,145 0,95

(2,145 · 1,76461 1,375 ≤ ( ) ≤ 2,145 · 1,76461 1,375) 0,95

(5,16 ≤ ( ) ≤ 2.41) 0,95 → − ,;,





115

Ejercicio 24 (II):

Con el fin de comparar el promedio de faltas de ortografía cometidas en una composición pordos clases similares de alumnos, se tomaron dos muestras de 7 y 8 alumnos respectivamente, yse observaron los siguientes errores:

Clase 1: 10 10 12 12 13 13 14

Clase 2: 8 9 10 10 10 10 12 12

Suponiendo que el número de errores en ambas clases son normales, calcular el intervalo deconfianza del 95% para la diferencia de las medias:

1. suponiendo que las varianza poblacionales son iguales y valen σ2 = 1,44

∑ 12

∑ ∑ 2

∑ 10,125

∑ ∑ 1,609375

∈ , → ( ) ∈ 0,1

1210,125 ( ) 1,447 1,448 ∈ 0,1 → 1,875 ( )0,621059 ∈ 0,1

1,96 ≤ 1,875 ( )0,621059 ≤ 1,96 0,95

(, ≤ ( ) ≤ ,) ,





116

2. suponiendo que las varianzas poblacionales son iguales pero desconocidas

( ) 1 1 2

∈ +−

1210,125 ( ) 17

18 7·2 8·1 , 6093757 8 2 ∈ +− → 1,875 (

)0.744139 ∈

2,16 ≤ 1,875 ( )0.744139 ≤ 2,16 0,95

(, ≤ ( ) ≤ ,) ,





117

Ejercicio 25 (II):

Para conocer la duración (en meses) de unos dispositivos electrónicos, se examinan dosmuestras de tamaños 21 y 16 y se obtienen estos resultados:

20; 3,5; 16; 2,5. Se desea:

1. Conocer un intervalo de confianza para el cociente de varianzas al nivel 0,90 (tambien a losniveles 0,80 y 0,98)

1 1 · · 1

1· ·

∈ −,−

12 1 1 · 21·3,511 6 1 · 16·2,5 ∈ −,− → 12,86256,6667

∈ , → 1,929375 · ∈ ,

11 6 1 · 16·2,5

12 1 1 · 21·3,5 ∈ −,− →

6,6667

12,8625 ∈ , → 0.5183 ·

∈ ,

12,20 ≤ 0,5183· ≤ 2,33 0,90

, ≤ ≤ , ,

13,09 ≤ 1,929375 ·

≤ 2,37 0,98

, ≤ ≤ , ,





118

2. Hallar un intervalo de confianza para la diferencia de medias poblacionales al nivel 0,90 y al0,95 (suponiendo que las varianzas son iguales)

( ) 1 1 2

∈ +− → 20 16 ( ) 121 116 21·3,5 16 · 2,52 1 1 6 2 ∈ +−

4 ( )1,060189 ∈

1,6905 ≤ 4 ( )1,060189 ≤ 1,6905 0,90

(, ≤ ≤ , ) ,

2.0315 ≤ 4 ( )

1,060189 ≤ 2.0315 0,95

(, ≤ ≤ , ) ,





119

Ejercicio 26 (II):

La tensión que soportan los cables de cierto tipo que fabrica una empresa es una variablealeatoria normal de parámetros desconocidos.

Para conocerlos, se tomó una muestra aleatoria formada por cuatro cables a los que se sometióa tensión hasta que se rompieron. Las tensiones de rotura (en las unidades adecuadas) fueron:610; 540; 560 y 580. Se pide:

Un intervalo de confianza a los niveles 0,90 y 0,95 para la tensión media de rotura:

∑ 572,5

∑ ∑ 668,75 → 25,8602

µ √ 1⁄ ∈ − → 572,5µ 668,75 √ 4 1⁄ ∈ − → 572,5 µ14,93039 ∈

2,353 ≤ 572,5 µ14,93039 ≤ 2,353 0,90

, ≤ µ ≤ , ,

3,182 ≤ 572,5 µ14,93039 ≤ 3,182 0,95

, ≤ µ ≤ , ,

Un intervalo de confianza al nivel 0,90 para la varianza:

· ∈ − → 4 · 668,75 ∈ − → 2675 ∈

0,352 ≤ 2675 ≤ 2,37 0,90

, ≤ ≤ , ,





120

XXEjercicio 27 (II):

La vida media de los ordenadores de cierta clase, a tenor de los resultados obtenidos alobservar una muestra de 10 máquinas, es de 25 meses, con una desviación típica muestral de2,3. Al examinar 12 ordenadores de otra clase, se observa una vida media de 28 meses, conuna desviación de 2,1. Nos preguntamos:

¿Podemos aceptar que las desviaciones típicas son iguales al nivel 0′90? ¿Y a los niveles 0,80 y 0,98?

Admitiendo que las varianzas son iguales, ¿podemos concluir que la duración media de losordenadores del segundo tipo es mayor que la de los del primer tipo? (con niveles designificación 0,05 y 0,01)





121


Se toma una muestra de tamaño 17 de una población normal, y la varianza muestral resulta ser9. ¿Puede aceptarse al 5% de significación que la varianza poblacional es 16? ¿Y si la muestrafuera de tamaño 314?





122

Ejercicio 29 (II):

El número de espectadores de cierto programa semanal de televisión se aproxima por unanormal. En una muestra aleatoria de 10 semanas se obtuvieron estos resultados (en millones deespectadores):

7,25 6,75 6,25 7,84 7,32 6,54 6,36 7,05 6,85 6,62

La dirección del programa asegura que la desviación típica es de un millón. Contraste esaafirmación con un nivel de significación del 1%.

ℎ → 1

ℎ → ≠ 1

∑ 6,883

∑ ∑ 0,214921 → 0,463595729

· ∈ − → 10·0,214921 ∈ − → 2,14921 ∈

1,735 ≤ 2,14921 ≤ 23,6 0,99 → 0,0911 ≤ ≤ 1,2387 0,99

, ∈

Con el mismo nivel, contraste la hipótesis de que la audiencia media es de al menos 7 millones(tenga en cuenta el resultado del apartado anterior)

ℎ → ≥ 7 ℎ → < 7

∑ 6,883 1 √ ⁄ ∈ 0,1 → 6,883 1 √ 10⁄ ∈ 0,1

2,3267 ≤ 6,883 1 √ 10⁄ 0,99 → 7,6188 ≤ 0,99 → 7,6188 ≥ 0,99

, ≥ ,





123

Ejercicio 30 (II):

Una muestra de 150 frutales arroja una producción media de 48kg por árbol, con unadesviación típica de 6. Una segunda muestra de 200 árboles, independiente de la primera,produce una media de 53kg por frutal, con una desviación típica de 8. Suponiendo que lasproducciones siguen distribuciones normales y que las varianzas muestrales coinciden con laspoblacionales, contraste la hipótesis de que la segunda variedad supera al menos en 6kg porárbol el rendimiento medio de la primera variedad (al 5% de significación).

∈ ,

150

∑ 48 6

∈ ,

200

∑

53

8

ℎ → ≥ 6 ℎ → < 6

∈ ,

→

∈ 0,1

53 48 8200 6150 ∈ 0,1 → 5 0,74833 ∈ 0,1

1,645 ≤ 5 0,74833 0,95 → (6,231 ≥ ) 0,95

(, ≥ [ ≥ ]) ,





124

Ejercicio 31 (II):

El coste por avería de ciertas reparaciones se distribuye según una normal. Nos dicen que ladesviación típica es menor o igual a 22 euros.Una muestra aleatoria de tamaño 16 arroja una varianza muestral de 500.¿Es consistente con la afirmación anterior al 5% de significación?

∈ , √

16

∑ 48

500

→ ≤ 22 → > 22

· ∈ − → 16 · 500 ∈ − → 8000 ∈

8000 ≤ 25 0,95 → 320 ≤ 0,95 → ≤ ≤ ,

¿Cuál sería la varianza muestral para descartarlo?

1 6 · 484 25 →





125


La longitud en milímetros de unos tornillos sigue una ley normal.Una muestra aleatoria de 10 tornillos da estas medidas

10 9 9 10 10 11 11 12 10 8

Contraste con un nivel de significación del 1% la hipótesis de que la longitud media es de 11mm.Contraste la hipótesis de que la varianza poblacional es menor o igual que 1, al 5% designificación.





126

Ejercicio 33 (II):

Una granja de pollos afirma que el peso de sus animales tiene una desviación típica que nosupera los 200g. Una muestra de 91 aves da un resultado de S = 220. ¿Es aceptable la afirmaciónde la granja al 5% de significación? ¿Y al 1%? ¿Y al 10%?

91 220

→ ≤ 200 → ≤ 40.000 → > 200 → > 40.000

· ∈ − → 91 · 220 ∈ − → 4.404.400 ∈

4.404.400 ≤ 113,1 0,95

. , ≤ ≤ . , →

4.404.400

≤ 107,6 0,95

., ≤ ≤ . , →

4.404.400 ≤ 124,1 0,99

. , ≤ ≤ . , →




127

Ejercicio 34 (II):

Se desea contrastar al 5% de significación la hipótesis de que la media de trabajadores porexplotación pecuaria de dos regiones es la misma.Para ello, se toman muestras de tamaños 14 y 18 respectivamente, que nos proporcionan estosdatos:

= 140, = 490

= 198, ( )= 489

Suponiendo que ambas distribuciones son normales y tienen iguales varianzas, decida si lahipótesis se acepta o se rechaza.

∈ ,

14

∑

10

∑ 35

∈ ,

18

∑

11

∑ 27,167

ℎ → 0 ℎ ≠ 0

ejercicios estadística

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