ejercicios de cálculo diferencial
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Ejercicios resueltos de Cálculo DiferencialTRANSCRIPT
-
Ejercicios Resueltos de Calculo Diferencial
Primer Parcial
Jorge Elas Chamba Briones
Ayudante Academico
FCNM - ESPOL
2015
1
-
Contents
1 Coordenadas Polares 3
2 Espacios metricos 7
3 Topologa de la recta 8
4 Lmites 11
4.1 Demostracion formal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
4.2 Calculo de lmites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
5 Continuidad de funciones 23
6 Teorema de Bolzano 27
2
-
1 Coordenadas Polares
1) Graficar y calcular los puntos de interseccion de las siguientes curvas polares:
r1() = cos()
r2() = sen(2)
Solucion:
Puntos de interseccion:
cos() = sen(2)
cos() = 2sen()cos()
cos()(1 2sen()) = 0cos() = 0 1 2sen() = 0 = pi2 sen() = 12 = pi6 , 5pi61 =
pi2 r1 = 0
2 =pi6 r1 =
32
3 =5pi6 r1 =
32
P1(pi2 , 0), P2
(pi6 ,32
), P3
(5pi6 ,
32
)
2) Graficar la curva dada en coordenadas polares:
r =32
3 + 5sen()
3
-
Solucion:
r =32
3(1 + 53sen())=
32
3(1 + 53sen())=
32553
1 + 53cos( pi2 )
e =5
3(Hiperbola)
d =32
5 =
pi
2
3) Bosquejar las curvas r = 6sen(), r = 61+2sen() y determinar sus puntos de interseccion.
Solucion:
r =6
1 + 2sen()=
6
1 + 2cos( pi2 )
Excentricidad e = 2 Hiperbolaed = 6 d = 3
4
-
Puntos de interseccion:
61+2sen() = 6sen()
1 = sen()(1 + 2sen())
2sen2() + sen() 1 = 0(sen() + 1)(2sen() 1) = 0sen() = 1 2sen() = 1 = 3pi2 sen() = 12 = 3pi2 = pi6 , 5pi6 = 3pi2 r = 6 = pi6 ,
5pi6 r = 3
P1(6, 3pi2 ), P2(3, pi6 ), P2(3, 5pi6 )
4) Considere las ecuaciones polares r =
2 y r2 = 4cos(2)
a) Grafique las ecuaciones dadas
Solucion:
5
-
b) Sean P y Q los puntos de interseccion de las ecuaciones polares dadas considerando (0, pi).Determine las coordenadas en polares de P y Q.
Solucion:
2 = 4cos(2)cos(2) = 122 = 2pi3 ,
4pi3
= pi3 ,2pi3
P = (
2, pi3 )
Q = (
2, 2pi3 )
c) Determine la ecuacion polar de la recta l tal que P l y Q l.Solucion:
P (
2, pi3 ) x =
2cos(pi3 ) =
22
y =
2sen(pi3 ) =62
Q(
2, 2pi3 ) x =
2cos( 2pi3 ) =
22
y =
2sen( 2pi3 ) =62
La recta que pasa por ambos puntos es horizontal ya que la ordenada es igual en los dos puntos.
Ecuacion de la recta en coord. rectangulares y =62
rsen() =62
Ecuacion de la recta en coord. polares r =6
2sen()
6
-
2 Espacios metricos
1) Califique cada una de las siguientes proposiciones como VERDADERA o FALSA. Justifique
su respuesta.
a) Sea X = R. Si d : R R R es una funcion definida tal que
x, y R, d(x, y) = (x2 y2)2
entonces d es una metrica definida en X
Solucion:
Se puede observar que no se cumple el primer axioma de espacios metricos, ya que si tenemos:
x = a y = a, a Rd(x, y) = (a2 (a)2)2 = 0Pero x 6= yLa proposicion es FALSA.
b) Sea X = R un conjunto sobre el cual se dene una funcion d : X X R, tal que d(x, y) = x2 y2 ;x, y X. Entonces la funcion d cumple que:i)x, y X : d(x, y) = 0 x = y, yii)x, y X : d(x, y) = d(y, x)
Solucion:
Se puede observar que no se cumple el primer axioma, ya que si tomamos:
x = a y y = a, a Rd(x, y) = 0
pero x 6= yLa proposicion es FALSA
7
-
3 Topologa de la recta
1) Califique cada una de las siguientes proposiciones como VERDADERA o FALSA. Justifique
su respuesta.
a) Si S ={
2n5n+1 , n N
}, entonces x = 25 es un punto de acumulacion de S
Solucion:
Tomando limn
2n5n+1 =
25
Por lo tanto, en la vecindad del punto x = 25 existen elementos que son parte del conjunto S, entonces dicho
punto es de acumulacion.
La proposicion es VERDADERA.
b) Si A ={
(1)n + 1n ; n N}
entonces el conjunto derivado A = {1, 1}
Solucion:
Observamos que si n es par la sucesion sera de la forma: A ={
1 + 1n}
n impar: A ={1 + 1n}
Para valores de n muy grandes:
limn1 +
1n = 1
limn 1 +
1n = 1
Entonces en la vecindad de los puntos -1 y 1 existen elementos que forman parte del conjunto A, por lo tanto
son puntos de acumulacion y forman parte del conjunto derivado.
La proposicion es VERDADERA
2) Dado el conjunto A ={x R/ x+1x24 < 0
} {6} . Determine A, int(A) y A.Solucion:
Obtenemos los puntos crticos de x+1x24
x+ 1 = 0 x = 1x2 4 = 0 x = 2Evaluamos y obtenemos el signo de cada intervalo:
(-,2) (-2,-1] [-1,2) (2,+)- + - +
int(A) = (,2)[1, 2) A = (,2][1, 2]
8
-
A = A A = (,2][1, 2]{6} 3) Sea A =
{2+nn /n N
}y f : A R
f(x) = 2x+ 1
a) Determine el int(A), A, A
Solucion:
A =
{3, 2,
5
3,
6
4,
7
5, ....
}
limn
2 + n
n= 1
int(A) =
A = {1}
A = A A ={
3, 2,5
3,
6
4,
7
5, ....
} {1}
b) Califique como verdadero o falso las siguientes proposiciones y justifique formalmente su
respuesta
b1) limx2
f(x) = 5
Solucion:
(Ver continuidad)
limx2
f(x) = f(2)
x = 2 es un punto aislado, y toda funcion es continua en un punto aislado (postulado).
La proposicion es VERDADERA
b2) f es continua en x = 3
Solucion:
(Ver continuidad)
9
-
x = 3 es un punto aislado, y toda funcion es continua en un punto aislado (postulado).
La proposicion es VERDADERA
b3) limx1
f(x) = 3
Solucion:
x = 1 es un punto de acumulacion
limx1
2x+ 1 = 2 + 1 = 3
La proposicion es VERDADERA
b4) Rgf (3, 7]
Solucion:
Domf [3, 1)f(3) = 2(3) + 1 = 7
f(1) = 2 + 1 = 3
Rgf (3, 7]La proposicion es VERDADERA
10
-
4 Lmites
4.1 Demostracion formal
1) Demostrar formalmente que:
limx
2x+ 1
x+ 1= 2
Analisis preliminar:
> 0,N > 0,x R : x > N 2x+1x+1 2 < 1x+1 <
|x+ 1| > 11 < x+ 1 < 11 1 < x < 1 1Tomamos N = 1 1Demostracion formal:
> 0,N > 0,x R : x > 1 1 2x+1x+1 2 <
x > 1 1 1 1 > x > 1 1 1 > x+ 1 > 1|x+ 1| > 1 1x+1 < 2x+12x2x+1 < 2x+1x+1 2 < 2) Demostrar que:
limx2
(2x2 + x 4) = 6
Analisis preliminar:
> 0, > 0,x R : 0 < |x 2| < 2x2 + x 4 6 < 2x2 + x 10 < |(x 2)(2x+ 5)| < |x 2| < 2x+5Acotando con < 1
1 < x < 3
Tomamos la cota superior de x
11
-
= 11
Demostracion formal:
> 0, > 0,x R : 0 < |x 2| < 11 2x2 + x 4 6 <
|x 2| < 11|x 2| |2x+ 5| < 11 |2x+ 5|x=32x2 + x 10 < 2x2 + x 4 6 < 3) Demostrar utilizando la definicion que:
limx3
(x2 + 3x 1) = 1
Analisis preliminar:
> 0, > 0,x R : 0 < |x+ 3| < x2 + 3x 1 + 1 < x2 + 3x < |x(x+ 3)| < |x+ 3| < |x|Acotando con < 1
4 < x < 2Tomamos la cota inferior de x (en valor absoluto es mayor que la cota superior)
= 4
Demostracion formal:
> 0, > 0,x R : 0 < |x+ 3| < 4 x2 + 3x 1 + 1 <
|x+ 3| < 4|x+ 3| |x| < 4 |x|x=4x2 + 3x < x2 + 3x 1 + 1 < 4) Demuestre formalmente que:
limx2
2x+ 1
x+ 3= 1
Analisis preliminar:
> 0, > 0,x R : 0 < |x 2| < 2x+1x+3 1 < 2x+1x3x+3 < x2x+3 <
12
-
|x 2| < |x 3|Acotando con < 1
1 < x < 3
Tomamos la cota inferior de x
= 2
Demostracion formal:
> 0, > 0,x R : 0 < |x 2| < 2 2x+1x+3 1 <
|x 2| < 2x2x+3 < 2|x3|x=1 2xx+13x+3 < 22 2x+1x+3 1 < 5) En el diagrama mostrado a continuacion, grafique una funcion de variable real f, que satisfaga
cada una de las siguientes condiciones:
> 0, > 0,x R : 0 < 2 x < |f(x) 1| < > 0, > 0,x R : 0 < x+ 2 < |f(x) + 1| < M > 0,N > 0,x R : x < N f(x) > M > 0, > 0,x R : 0 < |x| < |f(x) 1| < M > 0, > 0,x R : 0 < 2 x < f(x) < MM > 0, > 0,x R : 0 < x 2 < f(x) > M > 0,N > 0,x R : x > N |f(x) + 1| < f es decreciente en (,2); (0, 2); (2,)f es creciente en (2, 0)f( 34 ) = f( 74 ) = f(0) = f(2) = 0; f(2) = -1
Solucion:
Se debe transformar cada una de las condiciones de definicion formal a lmite:
limx2
f(x) = 1
limx2+
f(x) = 1
limxf(x) = +
limx0
f(x) = 1
limx2
f(x) =
limx2+
f(x) = +
limx+f(x) = 1
13
-
6) Bosquejar el grafico de una funcion f que cumpla con las siguientes condiciones:
f(0) = 0
f(x) < 0, x (, 0)f(x) > 0, x (0,)M > 0, > 0,x R : < x < 0 f(x) < M > 0,N > 0,x R : x > N |f(x) 1| < > 0,N > 0,x R : x < N |f(x) + 1| < > 0, > 0,x R : 0 < x < |f(x)| <
Solucion:
Se debe transformar cada una de las condiciones de definicion formal a lmite:
limx0
f(x) =
limx+f(x) = 1
limxf(x) = 1
limx0+
f(x) = 0
14
-
7) Califique la siguiente proposicion como VERDADERA o FALSA. Justifique su respuesta.
a) Sean f y g funciones tales que g(x) f(x) para toda x cercana a c, excepto probablemente enx = c, si lim
xcg(x) = +, entonces limxcf(x) = +
Solucion:
limxcg(x) = + M > 0, > 0,x R : 0 < |x c| < g(x) > Mg(x) f(x)M < g(x) f(x) M < f(x)Dado un entorno alrededor del punto c se puede concluir que M < f(x), o lo que es lo mismo:
M > 0, > 0,x R : 0 < |x c| < f(x) > M limxcf(x) = +
La proposicion es VERDADERA
4.2 Calculo de lmites
1) Calcule, sin aplicar la Regla de Lhopital, cada uno de los siguientes lmites:
a) limx
(x+ax1
)x
limx
(x+ a
x 1)x
= limx
(x 1 + 1 + a
x 1)x
= limx
(1 +
1 + a
x 1) x1
1+a1+ax1x
=
(limx
(1 +
1 + a
x 1) x1
1+a
) limx
x(1+a)x1
=
15
-
elimx
x(1+a)
x(11x ) = e1+a
b) limx0
e4xexx
limx0
e4x exx
= limx0
e4x 1 (ex 1)x
= limx0
e4x 1x
limx0
ex 1x
= 4 + 1 = 5
c) limx3
(x2+9)x2+2x3
limx3
(x2 + 9)x2 + 2x 3 =
(0)0+
= 0
d) limxx
(x2 + 1 x)
limxx
(x2 + 1 x
)= limxx
(x2 + 1 x
) x2 + 1 + xx2 + 1 + x
= limx
xx2 + 1 + x
1x1x
= limx
11 + 1x2 + 1
=1
2
e) limxpi
1sen( x2 )(pix)2
Sea u = pi x x pi u 0
limu0
1 cos(u2 )u2
= limu0
1 cos(u2 )u2
1 + cos(u2 )
1 + cos(u2 )= limu0
sen2(u2 )
u2(1 + cos(u2 ))= limu0
1
4
(sen(u2 )
u2
)2 limu0
1
1 + cos(u2 )=
1
8
f) limx2
x32x24x+8x48x2+16
limx2
x3 2x2 4x+ 8x4 8x2 + 16 = limx2
(x+ 2)(x 2)2
(x+ 2)2(x 2)2
= limx2
1
x+ 2=
1
4
g) limx+
cos(3x2)x2
1 cos(3x2) 1
1x2 cos(3x
2)
x2 1x2
limx+
1
x2= 0
16
-
limx+
1
x2= 0
Por Teorema del Emparedado se puede concluir que:
limx+
cos(3x2)
x2= 0
h) limh0
f(x+h)f(x)h
, si f(x) = ln(2x 1)
limh0
ln(2(x+ h) 1) ln(2x 1)h
= limh0
ln(2x+2h12x1
)h
= limh0
1
hln
(1 +
2h
2x 1)
= limh0
ln
(1 +
2h
2x 1) 1h
= ln
(limh0
(1 +
2h
2x 1) 1h
)= ln
limh0
(1 +
2h
2x 1) 2x1
2h2h2x1 1
h = ln(e 22x1) = 2
2x 1
i) limx0
3xarcsen(x)3x+arctan(x)
limx0
3x arcsen(x)3x+ arctan(x)
= limx0
x(3 arcsen(x)x )x(3 +
arctan(x)x )
=3 lim
x0arcsen(x)
x
3 + limx0
arctan(x)x
limx0
arcsen(x)
xSea : u = arcsen(x) sen(u) = x x 0 u 0
limu0
u/u
sen(u)/u=
1
limu0
sen(u)u
= 1
limx0
arctan(x)
xSea : v = arctan(x) tan(v) = x x 0 v 0
limv0
v/v
tan(v)/v=
1
limv0
sen(v)v
1cos(v)
=1
limv0
sen(v)v
= 1
limx0
3x arcsen(x)3x+ arctan(x)
=3 13 + 1
=2
4=
1
2
j) limx2+
sgn(
1ln(x2)
)
limx2+
sgn
(1
ln(x 2))
= sgn
(1
ln(2+ 2))
= sgn
(1
ln(0+)
)= sgn
(0)
= 1
k) limx
(x2+1x21
) 2x3+3x2
17
-
limx
(x2 + 1
x2 1
) 2x3+3x2
= limx
(x2 + 1
x2 1) 2x3+3
2(x2)= limx
(x2 1 + 1 + 1
x2 1) 2x3+3
2(x2)= limx
(1 +
2
x2 1) x21
22
x212x3+32(x2)
=
limx
(1 + 2x2 1
) x212
2
x212x3+3
2(x2)= e
limx
2x3+3
(x21)(x2) = elimx
2x3+3/x3
x3x2x2+2/x3 = elimx
2+ 3x3
1 1x2 2x+ 2x3 = e2
l) limx2+
x2+x2
x24
Primer metodo:
limx2+
x2 +x 2
x2 4 = limx2+x2x2 4 +
x 2x2 4 = limx2+
x2x2 4
x+
2x+
2+
x 2
(x+ 2)(x 2)
limx2+
x 2(x+
2)x+ 2
x 2 +
1
x+ 2= limx2+
x 2
(x+
2)x+ 2
+
1
x+ 2= 0 +
1
2=
1
2
Segundo metodo:
limx2+
x2 +x 2
x2 4 = limx2+x2 +x 2
x2 4
x+
2 +x 2
x+
2 +x 2 = limx2+
2x+ 2xx 2 4
x2 4(x+2 +x 2)
limx2+
2(x 2) + 2xx 2x2 4(x+2 +x 2) = limx2+
x 2(2x 2 + 2x)
x+ 2x 2(x+2 +x 2) =
2
2
2(2
2)=
1
2
m) limx0
x4sen(1x
)1 sen
(1
x
) 1
x4 x4sen(
1
x
) x4
limx0 x4 = 0
limx0
x4 = 0
Por teorema del emparedado se concluye:
limx0
x4sen
(1
x
)= 0
18
-
n) limx0
1+xsen(x)1
x2
limx0
1 + xsen(x) 1
x2= limx0
1 + xsen(x) 1
x2
1 + xsen(x) + 11 + xsen(x) + 1
= limx0
1 + xsen(x) 1x2(
1 + xsen(x) + 1)=
limx0
sen(x)
x limx0
11 + xsen(x) + 1
=1
2
o) limx0
ln(x+2)ln(2)x
limx0
ln(x+ 2) ln(2)x
= limx0
ln(x+22
)x
= limx0
1
xln(
1 +x
2
)= limx0
ln(
1 +x
2
) 1x
ln
(limx0
(1 +
x
2
) 1x
)= ln
( limx0
(1 +
x
2
) 2x
) x2 1x = ln(e 12) = 1
2
p) limxpi2
cos(x)xpi2
limxpi2
cos(x)
x pi2Sea u = x pi
2x pi
2u 0
limu0
cos(u+ pi2
)u
= limu0sen (u)
u= 1
q) limx
(3x+43x2
)x
limx
(3x+ 4
3x 2)x
= limx
(3x 2 + 2 + 4
3x 2)x
= limx
(1 +
6
3x 2)x
= limx
((1 +
6
3x 2) 3x2
6
) 63x2x
= elimx
6x3x2 = e
limx
6
3 2x = e2
r) limx1
(3x1
x2+x2)x
Sea u = 3x x = u3 x 1 u 1
limu1
(u 1
u6 + u3 2)u3
= limu1
(u 1
(u 1)(u5 + u4 + u3 + 2u2 + 2u+ 2))u3
= limu1
(1
u5 + u4 + u3 + 2u2 + 2u+ 2
)u3=
1
9
19
-
s) limx0
arcsen(10x)5x
Sea u = arcsen(10x) x =sen(u)
10x 0 u 0
limu0
u
5(sen(u)10
) = limu0
2sen(u)u
=2
limu0
sen(u)u
= 2
t) El valor de k , si limx
(k2+9)x35x8kx34x = 6
limx
(k2 + 9)x3 5x 8/x3kx3 4x/x3 = limx
(k2 + 9) 5x2 8x3k 4x2
=k2 + 9
k= 6
k2 + 9 = 6k k2 6k + 9 = 0
(k 3)2 = 0 k = 3
2) Califique cada una de las siguientes proposiciones como VERDADERA o FALSA. Justifique
su respuesta.
a) Si limxc(f + g)(x) existe, entonces limxcf(x) y limxcg(x) existen
Solucion:
Sea f(x) = (x) y g(x) = (x)(f + g)(x) = 1 lim
x0(f + g)(x) = 1
Pero limx0
f(x) y limx0
g(x) no existen.
La proposicion es FALSA.
b) La ecuacion de la asntota oblicua de f(x) = 4x2+2x23x1 ; x R
{13
}es y = 4
3x + 1
Solucion:
La ecuacion de la asntota es de la forma y = mx+ b
Donde:
m = limx
f(x)
x= limx
4x2 + 2x 23x2 x = limx
4 + 2x 2x23 1x
=4
3
20
-
b = limx(f(x)mx) = limx
4x2 + 2x 23x 1
4x
3= limx
10x 69x 3 = limx
10 6x9 3x
=10
9
y =4x
3+
10
9
4x
3+
10
96= 4x
3+ 1
La proposicion es FALSA
c) Sea f una funcion de variable real tal que limxaf(x) no existe, entonces lim[xa
f(x)]2 no existe
Solucion:
Sea f(x) = sgn(x)
limx0
sgn(x) 6= limx0+
sgn(x)
limxaf(x) no existe, pero:
f2(x) = sgn2(x) =
1 x 6= 00 x = 0El lim
x0sgn2(x) existe y es igual a 1.
La proposicion es FALSA
d) La ecuacion de asntota oblicua de f con regla de correspondencia f(x) = x31x21 ; x R es y = x+ 1
Solucion:
La ecuacion de la asntota es de la forma y = mx+ b
Donde:
m = limx
f(x)
x= limx
x3 1/x3x3 x/x3 = limx
1 1x31 1x2
= 1
b = limx(f(x)mx) = limx
(x3 1x2 1 x
)= limx
1
x+ 1= 0
La ecuacion de la asntota oblicua de f es la recta y = x
La proposicion es FALSA
e) Sean f y g dos funciones definidas en I R tal que a I y x I {a}, f(x) > g(x). Si limxaf(x) = L y
limxag(x) = M , entonces L > M
21
-
Solucion:
Sea f(x) = x2 y g(x) = x2 , donde f(x) > g(x) x I {0}limx0
f(x) = limx0
x2 = 0 = L
limx0
g(x) = limx0 x2 = 0 = M
No se cumple que L > M ya que L = M
La proposicion es FALSA
22
-
5 Continuidad de funciones
1) Califique cada una de las siguientes proposiciones como VERDADERA o FALSA. Justifique
su respuesta.
a) Sea f una funcion denida x R. Si g es continua y f(x) = |g(x)|, x R; entonces f(x) tambien escontinua x R.
Solucion:
Primer metodo:
Se utilizaran las propiedades de lmites:
Ya que g es continua en x = a, a R: limxag(x) = g(a)
limxaf(x) = limxa |g(x)| =
limxag(x)
= |g(a)|f(a) = |g(a)|limxaf(x) = f(a)
Por lo tanto, la funcion f(x) tambien es continua en x = a, a R.Segundo metodo:
Utilizaremos la definicion formal:
Si g es continua en x = a, a R: > 0, > 0,x R : |x a| < |g(x) g(a)| < Utilizando la desigualdad triangular:
|g(x) g(a) + g(a)| |g(x) g(a)|+ |g(a)||g(x)| |g(x) g(a)|+ |g(a)||g(x)| |g(a)| |g(x) g(a)| |g(x) g(a)| |g(x)| |g(a)| |g(x) g(a)|||g(x)| |g(a)|| |g(x) g(a)| < ||g(x)| |g(a)|| < f(x) = |g(x)||f(x) f(a)| < > 0, > 0,x R : |x a| < |f(x) f(a)| < Por lo tanto, f(x) tambien es continua en x = a, a R.La proposicion es VERDADERA
b) Si f es una funcion de una variable real tal que toma todos los valores comprendidos entre f(a) y f(b),
entonces la funcion f es continua en el intervalo [a, b]
23
-
Solucion:
Sea f(x) = tan(x) en el intervalo [0, 2pi3 ]
La funcion toma todos los valores comprendidos entre f(0) = 0 y f( 2pi3 ) =
3 pero tiene una asntota vertical
en x = pi2 , es decir, no es continua en dicho intervalo.
La proposicion es FALSA
c) f(x) =
3x+|x|7x5|x| x 6= 00 x = 0
es continua en x = 0
Solucion:
Para que f sea continua en x = 0 se debe cumplir que:
limx0
f(x) = limx0+
f(x) = f(0)
limx0
3x+ |x|7x 5 |x| = limx0
3x x7x+ 5x
= limx0
2x12x
=1
6
limx0+
3x+ |x|7x 5 |x| = limx0+
3x+ x
7x 5x = limx0+4x2x
= 2
1
66= 2 6= 0
f no es continua en x = 0
La proposicion es FALSA
d) Sea f(x) =
1cos(2x)
x 0 < x 1A x = 0
, si A = 1 entonces f es continua en [0,1]
Solucion:
Para que f sea continua en [0,1], la funcion debe ser continua en x = 0 (por la derecha)
limx0+
f(x) = f(0)
limx0+
1 cos(2x)x
= A
limx0+
1 cos(2x)x
1 + cos(2x)
1 + cos(2x)= limx0+
1 cos2(2x)x(1 + cos(2x))
= limx0+
4xsen2(2x)
4x2(1 + cos(2x))
limx0+
(sen(2x)
2x
)2(4x
1 + cos(2x)
)=
(limx0+
sen(2x)
2x
)2(limx0+
4x
1 + cos(2x)
)= 0
24
-
A = 0
La proposicion es FALSA
2) Determine los valores de las constantes a y b, de ser posible, de modo que la funcion de variable
real
f(x) =
ax+ b ; x > 2
9 ; x = 2
b ax2 ; x < 2, sea continua en R.
Solucion:
La funcion debe ser continua en x = 2 para que sea continua en R:
limx2+
f(x) = limx2
f(x) = f(2)
limx2+
ax+ b = limx2
b ax2 = 92a+ b = b 4a = 92a = 4a a = 0, b = 9
3) f(x) =
3a3+xa
x x 6= 0112 x = 0
Determine a tal que f(x) sea continua en el punto x = 0.
Solucion:
Para que f sea continua en x = 0, se debe cumplir que:
limx0
f(x) = f(0)
limx0
3a3 + x a
xu =
3a3 + x x = u3 a3 x 0 u a
limua
u au3 a3 = limua
u a(u a)(u2 + ax+ a2) =
1
3a2
1
3a2=
1
12 a = 2
4) Encuentre los valores de a y b para que la funcion sea continua en todo reales.
f(x) =
2x 1 x < 1ax b 1x < 23 2x x2
25
-
Solucion:
Para que f sea continua en R se debe cumplir que:
limx1
f(x) = limx1+
f(x) = f(1) (1)
limx1
2x 1 = limx1+
ax b = a b
3 = a b
limx2
f(x) = limx2+
f(x) = f(2) (2)
limx2
ax b = limx2+
3 2x = f(2)
2a b = 1
De (1) y (2):
3a = 2 a = 23
b = 3 a b = 73
26
-
6 Teorema de Bolzano
1) Califique cada una de las siguientes proposiciones como VERDADERA o FALSA. Justifique
su respuesta.
a) La ecuacion: 3x2 + ln(x) 2 = 0 tiene al menos una solucion en [ 12 , 32]
Solucion:
Sea f(x) = 3x2 + ln(x) 2f(x) es una funcion continua ya que es la suma de tres funciones continuas, por lo tanto podemos utilizar el
Teorema de Bolzano (valor intermedio) para lo cual se debe cumplir que f(12
)sea de signo opuesto a f
(32
).
f(12
)= 34 + ln
(12
) 2 = 54 + ln ( 12)f(32
)= 274 + ln
(32
) 2 = 194 + ln ( 32)ln(12
)< 0
54 + ln(12
)< 54
ln(32
)> 0
ln(32
)+ 194 >
194
f(12
)es negativo, mientras que f
(32
)es positivo, por lo tanto f tiene al menos una solucion en el intervalo[
12 ,
32
]La proposicion es VERDADERA
2) Sea P (x) = x2 ( 1)x, donde < 1. Demostrar que P (x) tiene una raz en el intervalo [1,2]
Solucion:
Ya que P (x) es un polinomio, es una funcion continua, por lo tanto podemos utilizar el Teorema de Bolzano
(valor intermedio) para lo cual se debe cumplir que P (1)P (2) < 0, es decir, P (1) debe de ser de signo opuesto
a P (2) para que P (x) tenga al menos una cero en dicho intervalo.
P (1) = ( 1) = 1P (2) = 4 2+ 2 = 2+ 2 < 12 < 22+ 2 < 0
P (1)P (2) = (1)(2+ 2) < 0
Por lo tanto P (x) tiene al menos una raz en el intervalo [1,2]
27