EJERCICIOS RESUELTOS

1. Dos partículas alfa, que consideraremos cargas puntuales fijas, están

separadas 10-11 m. Calcula la fuerza electrostática con que se repelen y la

gravitatoria con la que se atraen, y compáralas.

Datos: G = 6.67·10-11 SI; K = 9·109 SI; e = 1.60·10-19 C; mα = 6.68·10-27 kg.

Respuesta

Aplicando las leyes de Coulomb y de la gravitación universal, y teniendo en

cuenta que la carga de una partícula α es dos veces la carga elemental:

Por tanto, la fuerza electrostática de repulsión es mucho más intensa que la

gravitatoria de atracción:

2. Dos cargas A y B, separadas 3 cm, se atraen con una fuerza de 40 μN.

¿Cuál es la fuerza entre A y B si se separan 9 cm?

Respuesta

Aplicando la ley de Coulomb, la fuerza pedida es:

La fuerza que nos indican es:

De esta expresión se tiene que el producto

Sustituyendo en la primera ecuación se tiene:

3. Determinar el valor del potencial eléctrico creado por una carga puntual

q1=12 x 10-9 C en un punto ubicado a 10 cm. del mismo como indica la

figura.

Respuesta

Para dar respuesta a lo solicitado debemos aplicar el cálculo del potencial

en un punto debido a una carga puntual cuya expresión es

y por lo tanto el valor sería

el potencial es una magnitud escalar, por lo tanto tan sólo debe ser indicado su

signo y su valor numérico.

Respuesta: El potencial en A vale + 1.080 V

4. Dos cargas puntuales q1=12 x 10-9 C y q2=-12 x 10 -9 C están separadas

10 cm. como muestra la figura. Calcular la diferencia de potencial entre

los puntos ab, bc y ac.

Respuesta

Para poder hallar la diferencia de potencial entre puntos, debemos primero hallar

el potencial en cada punto debido al sistema de cargas planteado

Potencial en punto a: El potencial en a es debido a la acción de dos

cargas puntuales q1 y q2 por lo tanto deberemos calcular cada uno de

dichos potenciales y establecer la diferencia. como el potencial en un punto

debido a una carga puntual se calcula como ya vimos en el ejercicio

anterior como entonces deberemos repetir este cálculo para

cada una de las cargas.

En consecuencia

por lo que

como se observa el

resultado corresponde a la diferencia entre el potencial positivo creado por

la carga q1 y el potencial negativo creado por la carga q2. (potencial de q1=

+ 1.800 V y potencial de q2 = - 2.700 V de allí surgen la diferencia que es a

favor del potencial positivo en -900 V).

Potencial en punto b: Repetimos lo establecido para el punto a

simplemente que ahora debemos calcular las distancias para el punto b por

lo que la expresión nos queda

como se observa el

resultado corresponde a la diferencia entre el potencial positivo creado por

la carga q1 y el potencial negativo creado por la carga q2. (potencial de q1=

+ 2.700 V y potencial de q2 = - 771 V de allí surgen la diferencia que es a

favor del potencial positivo en 1.929 V).

Potencial en punto c: En el punto c no es necesario realizar el cálculo

numérico dado que como las distancias entre c y las cargas son iguales y

las cargas son iguales y de signos contrarios, los potenciales que provocan

son de igual valor y signo opuesto, por lo que el potencial en c vale 0

(Vc=0).

Cálculo de los potenciales solicitados

Vab= Vb-Va= 1.929 V - (-900 V) = + 2.829 V

Vbc= Vc-Vb= 0 V - 1.929 V = - 1.929 V

Vac=Vc-Va= 0 V - (-900 V) = + 900 V

Respuesta:

Vab =+ 2.829 V Vbc=- 1.929 V Vac=+ 900 V

5. Sobre una circunferencia tenemos un arco de 90º situado en el primer

cuadrante en el que hay una distribución lineal de carga λ, ¿qué campo

creará en el centro de la circunferencia de radio a?.

6. Calcular la diferencia de potencial entre O y P de una distribución de

cargas formada por q en (1,0) y -q en (0,1). Explicar el resultado obtenido.

Respuesta

el resultado obtenido indica que los dos puntos

O y P están sobre la línea equipotencial V=0.

Esto no implica que el campo en O y en P sea nulo - que no lo es-. La situación se

refleja en la siguiente figura, en la que se debe observar que las líneas

equipotenciales siempre son perpendiculares a las líneas de campo eléctrico.

En casos de distribución continua de carga el potencial eléctrico se calcula

mediante la expresión:

7. Cuatro cargas puntuales están enla esquina de un cuadrado de lado a,

como en la figura.

a) Determine la magnitud y dirección del campo eléctrico en la posición de la

carga 2q.

b) Calcule el potencial eléctrico en el centro del cuadrado.

Respuesta

a) En la figura se ilustra la dirección de los campos debido a las cargas q, 3q y

4q, es decir, Eq, E3q y E4q, con

8. De nuevo el campo debido a un disco (lamina infinita).

Calculemos el campo eléctrico en un punto P que se encuentra a lo largo

del eje de un disco circular de radio R a una distancia z de su centro y que tiene

una carga uniforme por unidad de área (fig).

Respuesta

De la simetría de la figura y,

Podemos hallar integrando sobre la superficie, entre los límites, esto es ,

Haciendo

Resulta,

El resultado anterior es válido para todos los valores de z, a medida que el

radio R crece sin límite es decir, R>>Z, el segundo término dentro del paréntesis

de la ecuación tiende a cero, y queda

Se puede observar que se obtiene el mismo resultado si hacemos .

Es decir que para puntos cercanos el disco se comporta como si fuera de

extensión infinita.

9. Dos cargas puntuales -2Q y Q se hallan sobre el eje x.

a) Calcule el campo eléctrico en el punto P.

b) Encuentre la distancia de separación entre las cargas para la cual la

componente Y del campo vale cero.

Respuesta

El campo total en el punto P es:

Donde hemos escrito el campo , en términos sus componentes

rectangulares

Reescribiendo:

Ahora si existe algún r, para el cual la componente del campo se anula:

Por lo tanto pero

O sea: y entonces

10. Calcule el potencial eléctrico debido a la distribución de cargas mostrada

en la figura. Evalúe el potencial en el punto (0, 2a).

Respuesta

Con:

Hemos tomado en cuenta que el potencial eléctrico es aditivo.

En particular en el punto (0, 2a):

11. Una varilla de longitud L tiene una carga positiva por unidad de longitud y

una carga total Q. determine el campo eléctrico y el potencial en el punto

P a lo largo del eje de la varilla, a una distancia b de un extremo.

Respuesta

El cálculo del campo se obtiene de:

Tenemos que,

12. Alambre infinito .En la figura se muestra una sección de un alambre de

carga infinita. Deseamos hallar el campo eléctrico a una distancia R del

alambre.

Respuesta

Como se trata de una distribución lineal de carga utilizaremos la expresión

, con

De acuerdo con la figura, la Magnitud del

campo eléctrico está dada por

Con componentes:

y,

Pero por simetría, para un elemento de carga como el indicado, existe un

elemento opuesto de modo que las componentes del campo e n la dirección x se

cancelan.

Hagamos ahora el cálculo de :

Debido a que las contribuciones al campo debido a cada mitad de la barra son

iguales. pero ,

, que al sustituir nos queda

13. Determinar el campo eléctrico generado por un dipolo, en un punto lo

suficientemente alejado del mismo.

Respuesta

Un dipolo eléctrico está constituido por dos cargas eléctricas de igual

magnitud y signo contrario, situadas a pequeña distancia.

Sabiendo que en cualquier punto del campo, la componente del campo en cierta

dirección es igual al gradiente, cambiado de signo, del potencial en dicho punto,

vamos a calcular primero el potencial en un punto P, para determinar después el

campo.

Sea r la distancia del punto P al centro del eje del dipolo y el ángulo que forma r

con dicho eje.

Si el punto P está lo suficientemente alejado, podemos considerar que r es

paralelo a r1 y r2 y, por lo tanto, dichas distancias de P a cada una de las cargas

valen:

Sabiendo que el potencial, como

función de una distribución de cargas

puntuales, viene dado por la

expresión :

Si r es muy grande frente a la separación de las cargas, puede despreciarse

el sustraendo del denominador. Por otro lado, el producto q.l se denomina

momento dipolar y se representa por p. Según eso, podemos poner :

Vemos entonces que el potencial del punto P depende de las coordenadas polares

r y .

Vamos a calcular ahora las componentes de E en las direcciones de los vectores

unitarios intrínsecos asociados a r y respectivamente.

Derivando respecto a cada una de las variables, tenemos :

La longitud de los elementos diferenciales en la dirección en que r y crecen son,

respectivamente dr y r. d ; por lo tanto, sabiendo que E es el gradiente, cambiado

de signo, del potencial, podemos poner :

En un punto cualquiera, la intensidad resultante E, será :

Podemos determinar también el ángulo que E forma con la

dirección radial.

Con la ayuda de figura adjunta, podemos ver que se tiene:

14. Una corteza esférica delgada de radio R tiene una carga total Q

distribuida

Uniformemente sobre su superficie. Determine el campo eléctrico para

puntos

a) r ≥ R, es decir, fuera del cascarón

b) r < R, es decir, dentro del cascarón

Respuesta

En la figura se muestran las líneas de campo y los elementos de superficie

supuesta la corteza cargada positivamente. Si construimos una superficie

gaussiana esférica de radio r ≥ R , como se muestra en la figura, la ley de Gauss

Y despejamos E. tenemos R

Que es igual al campo debido a una carga puntual Q colocada en el centro de la

corteza.

R , en este caso la carga encerrada por la superficie gaussiana es cero, y

la ley de gauss dice que.

, de donde E=0 es decir,el campo E es cero en todos los puntos

interiores.

15. Dada la superficie del elipsoide:

a) Calcular el vector unitario normal en cada punto de la superficie del

elipsoide.

b) Calcular la integral :

sobre el elipsoide, siendo :

Respuesta

Dada una superficie cualquiera, sabemos que el gradiente en un punto de la

función que representa a dicha superficie nos determina un vector normal a ella en

el punto considerado.

Para que el vector sea unitario, lo multiplicamos por el inverso de su

módulo:

La segunda parte del problema consiste en calcular el flujo del vector r a

través de S. Para resolver esta parte del problema

aplicamos la fórmula de Gauss – Ostrogradsky:

En nuestro caso tenemos

Con lo que nos quedará:

Siendo V el volumen encerrado en la superficie (*) del elipsoide. Si

realizamos un cambio de variable en la forma:

El jacobiano y los límites de integración quedarán:

con lo que la integral resultará:

16. Sobre una capa semiesférica de radio R, tenemos una

distribución de carga uniforme = 1 C/m2. Calcular el campo

en el centro de la esfera coincidente con la carga.

Respuesta

Vamos a considerar que

dividimos la semiesfera en meridianos

y paralelos, de tal modo que se forme

una red constituida por elementos

como el representado en la figura

adjunta.

Por la simetría del problema, las

componentes perpendiculares al eje

OA se anulan dos a dos y sólo

tendrán efecto las

componentes tangenciales a dicho

eje. Podemos suponer entonces que

el valor del campo eléctrico en el

punto O será :

1.

Siendo R el radio de la esfera coincidente con el hemisferio y

dq la carga contenida en el elemento diferencial dS, que vale:

donde y son, respectivamente, el ángulo polar y la colatitud de la

esfera. En esas condiciones, sustituyendo en la

anterior expresión, tendremos:

y considerando que los límites de integración para las variables que

estamos considerando son:

nos queda:

que es el valor del campo eléctrico en el punto O. Sustituyendo los

valores de la densidad de carga y de la constante dieléctrica se

obtiene el resultado numérico buscado.

17. Dada la siguiente distribución de carga:

a) Calcular las distribuciones de potencial y campo en

función de r (A = 10 C/m, R0 = 3 cm ;

b) Suponiendo la carga existente a partir de una distancia r =

R, calcular el valor de R para que la relación entre el campo

calculado en a) y b) sea Eb = 0,9.Ea a una distancia r = 10 cm

del centro de la distribución.

Respuesta

Para resolver este problema vamos a obtener primero el

campo eléctrico y para ello consideraremos independientemente las

dos densidades de carga, es decir, que desglosaremos el problema

en dos.

1º) Calcularemos el campo eléctrico para una distribución de carga

dada por:

2º) Calcularemos el campo eléctrico para una distribución de carga

dada por:

Para el primer caso, tomando una esfera de radio r y

aplicando el teorema de Gauss, tenemos:

de donde se deduce con facilidad que el campo eléctrico viene dado

por :

y la expresión se cumple para puntos en los que r es estrictamente

menor que R0. Análogamente, para puntos en los que r es

mayor o igual que R0 obtenemos:

y en este caso el campo eléctrico valdrá:

Si consideramos la segunda distribución, para los puntos en

que r es estrictamente menor que R0 obtenemos que el campo es

nulo por serlo la densidad de carga en esa región. Para los puntos

en los que r es mayor o igual que R0 tenemos:

y a partir de ahí resulta:

Considerando que el problema tiene simetría radial podemos

sumar las soluciones obtenidas con cada distribución para llegar a :

Para calcular el potencial hacemos de igual modo (desglosar

en dos el problema inicial) y aplicamos la ecuación de Poisson

en coordenadas esféricas, teniendo en cuenta que la distribución de

carga solo depende de r.

Para la primera distribución, en r menor que R0:

Para la segunda distribución de carga, en r mayor o igual que R0:

La solución al problema para el caso del potencial vendrá

dada por la suma de las dos soluciones parciales. Para obtener el

valor de las constantes tenemos en cuenta que el gradiente

cambiado de signo del potencial es igual al campo eléctrico y, por

tanto en r menor que R0:

Y, análogamente, en r mayor o igual que R0:

Según eso:

Para determinar las constantes C3 y C4 necesitamos dos

condiciones pero no podemos hacer uso del hecho de que el

potencial tiende a cero cuando r tienda a infinito puesto que tenemos

un término de la forma Ln r. Solo podemos considerar, entonces, que

el potencial ha de ser continuo en r = R0 y obtener una de las

constantes a partir de la otra.

Dándole a C2 el valor 0 resulta para C4:

y, finalmente:

Para calcular el campo Eb aplicamos el teorema de Gauss:

y puesto que se ha de cumplir que Eb = 0,9.Ea tendremos:

y haciendo operaciones resulta R = 189,3 cm.

18. Tenemos un sistema de cargas constituido por una distribución uniforme

de una carga Q sobre una esfera de radio R0 y otra carga –Q distribuida

uniformemente sobre una capa esférica concéntrica con la esfera, de

radio interior R = (R0/3).106 y de espesor .

a) Calcular la distribución de campo en función de la distancia r al centro.

b) Calcular la energía electrostática del sistema

c) Si por algún procedimiento quitamos la mitad de la carga –Q de la capa

esférica, ¿cuál es la variación de energía electrostática del sistema?

Respuesta

Para calcular la distribución del campo eléctrico tenemos varias regiones.

Para r < R0, por el teorema de Gauss podemos colocar:

pero el valor de q puede obtenerse a partir de

y, finalmente:

Para los puntos en los que r está comprendido entre R0 y R tenemos :

Para los puntos situados dentro o exteriormente a la capa esférica,

podemos suponer que dicha capa es superficial puesto que tenemos:

y, por lo tanto, solo hemos de considerar

el campo eléctrico para puntos fuera de la capa esférica en los que se tendrá E =

0,

ya que la carga de la capa se anula con la de la superficie de la esfera interior.

Para obtener la energía electrostática del sistema tenemos en cuenta que a partir

de r mayor o igual que R el campo eléctrico se hace nulo por no existir carga

efectiva. Por todo ello, la energía del sistema la obtendremos a partir de la

expresión:

y la calculamos como sigue:

y simplificando y teniendo en cuenta el valor de R:

Si quitamos la mitad de la carga –Q de la capa esférica es como si sobre

los puntos situados a una distancia r > R actuara una carga de valor Q/2 situada

en el centro de una esfera de radio . En estas condiciones, el campo

para puntos situados a una distancia r > R será:

y al valor de la energía eléctrica anteriormente determinado habrá que sumarle el

término:

19. Calcúlese el potencial y el campo eléctrico en la región del espacio

comprendido entre dos láminas planoparalelas cargadas a potenciales V1

y V2. Supóngase que hay una distribución de carga uniforme entre las dos

placas.

Respuesta

Para resolver el problema aplicamos la ecuación de Poisson en

coordenadas cartesianas:

Por la naturaleza del problema podemos considerar que el potencial sólo

dependerá de la coordenada x y tendremos:

Las constantes C1 y C2 las obtenemos a partir de las condiciones de

contorno:

con lo que tenemos:

y de ahí

Por otra parte, el campo eléctrico viene dado por el gradiente cambiado de

signo del potencial con lo que en nuestro caso tendremos:

20. Por Integración de la ecuación de Poisson, encontrar el potencial y el

campo en todo el espacio por efecto de una carga q uniformemente

distribuida en el interior de una esfera de radio R.

Respuesta

Si consideramos que la permitividad de la esfera es , la ecuación de

Poisson en coordenadas esféricas se expresa:

Si la carga está distribuida uniformemente en el interior de la esfera,

tendremos:

y a partir de ahí :

Por otro lado, en los puntos fuera de la esfera se cumple que la carga es

nula y, por lo tanto, también es nula la densidad de carga. Así pues, tendremos:

Sabemos que el campo eléctrico es igual al gradiente cambiado de signo

del potencial, por lo que en cada caso tendremos:

Para determinar las cuatro constantes arbitrarias tenemos las siguientes

condiciones:

De la primera y la última obtenemos C4 = 0 y C1 = 0 ; para las otras dos

resulta :

con lo cual :

Por todo ello tenemos, siendo:

21. Encontrar las soluciones con variables separadas de la ecuación de

Laplace en coordenadas cartesianas rectangulares en un espacio

bidimensional. Aplicar el resultado al cálculo del potencial en el interior

de un rectángulo de 3 x 2 cm en el cual tres lados están a potencial nulo y

el cuarto a cuatro voltios.

Respuesta

Para resolver el problema ensayamos soluciones de la forma

por lo cual:

El primer miembro de la ecuación final depende de x. El segundo es

independiente de x. En esas condiciones podemos igualar ambas expresiones a

una constante y escribir lo puesto. Dependiendo del parámetro obtenemos

distintas soluciones para la ecuación del enunciado. La forma de dichas

soluciones depende del dominio sobre el que está definida la ecuación. En el caso

que nos ocupa tenemos el contorno 0 < x < 2 ; 0 < y < 3 con las siguientes

condiciones

(x,0) = 4 ; (2, y) = 0 ; (x, 3) = 0 ; (0, y) = 0.

Consideramos entonces soluciones para la ecuación en X que satisfagan

las condiciones:

Dadas las condiciones que tenemos, sólo nos interesa estudiar valores >

0, con lo que podemos poner:

X(0) = 0 nos da B = 0. De la segunda obtenemos y para que X(x) no

sea idénticamente nula podemos tomar:

Con ese valor de , encontramos para la ecuación en Y :

En esas condiciones tenemos para las soluciones particulares

por lo que podemos intentar representar la solución general mediante la serie de

funciones:

y hemos de obtener el desarrollo en serie de senos de la función f(x) = 4. Para ello

tenemos:

y, finalmente:

22. Calcular la densidad

superficial de carga inducida

sobre un plano a potencial

cero sobre el que se encuentra

una carga lineal indefinida con

una densidad de carga .

Respuesta

El desplazamiento eléctrico

en un punto cualquiera, P,

debido a la carga lineal dada, lo

podemos obtener por el teorema

de Gauss:

Análogamente, el desplazamiento eléctrico en el mismo punto P, a causa

de la carga imagen de la línea, vale:

Pero, según la figura, tenemos:

Por otro lado, las componentes normales del campo de desplazamiento,

viene dadas por:

En el plano (sobre el que únicamente hemos de considerar la componente

normal) tendremos:

y recordando que la densidad superficial de carga inducida vale ,

tendremos :

puesto que D1n = 0 por tratarse de un conductor.

23. Sean dos cilindros de radio a

separados una distancia d >> a.

Calcular la capacidad del sistema

y la fuerza entre ambos

conductores. Los cilindros están

cargados con carga y - ,

respectivamente.

Respuesta

Sabemos que la superficie de

un conductor es equipotencial; por lo

tanto, podemos hacer el sistema

equivalente a uno

cuyas superficies equipotenciales

sean cilindros circulares de ejes

paralelos. Este es el caso de dos

rectas paralelas

separadas por una distancia 2s y

cargadas con cargas iguales y

contrarias. Para obtener el potencial

debido a cada uno de

los hilos, calculamos antes el campo

aplicando el teorema de Gauss a un

cilindro de longitud L cuyo eje

coincida con el del

cilindro positivo y negativo,

respectivamente.

A partir de estos valores, las intensidades del campo y los potenciales,

valdrán:

El potencial total será la suma de ambos y, además, por la simetría del

problema, será nulo cuando r1 = r2. De ese modo C11 + C2 = K = 0 y nos quedará:

Para conocer la distancia 2s, tomamos uno de los conductores.

Considerando el esquema adjunto y teniendo en cuenta que los puntos P y Q del

cilindro han de ser equipotenciales:

Por lo demás, el potencial debido a cada uno de los cilindros, valdrá:

y de ahí, sustituyendo s por su valor:

La expresión del logaritmo puede simplificarse haciendo lo siguiente:

y despreciando 4.a2 frente a d2, resulta finalmente:

Para obtener la fuerza sabemos que viene dada por F = dW/dx, siendo W la

energía del sistema que vale . En el caso que estamos considerando

tenemos q = = cte y, por lo tanto:

24. Calcula el campo eléctrico creado por una carga Q = +2 μC en un punto P

situado a 30 cm de distancia en el vacìo. Calcula también la fuerza que

actúa sobre una carga q = -4 μC situada en el punto P.

- Calculamos el campo eléctrico en el punto P:

- Calculamos la fuerza eléctrica que actúa sobre q:

F = q.E = 4.10-6 C.2.105.u N/C = -0,8.u N

La fuerza es atractiva, como corresponde a dos cargas de signo contrario. Su

módulo es:

F = 0,8 N

25. Dos cargas puntuales, Q1 = +1 μC y Q2 = +3 μC, están situadas en el vacìo

a 50 cm una de la otra. Calcula el campo eléctrico en un punto P situado

sobre el segmento que une las dos cargas y a 10 cm de Q1.

- Calculamos el campo eléctrico creado por Q1 en P:

E1 = 9.105.u1 N/C

- Calculamos el campo eléctrico creado por Q2 en P:

E2 = 1,7.105.u2 N/C

El campo eléctrico resultante en el punto Pes la suma vectorial de E1 y E2. Para

hallarlo tendremos en cuenta que u2 = -u1.

E = E1 + E2 = 9.105.u1 N/C + 1,7.105.u2 N/C

E = 9.105.u1 N/C - 1,7.105.u1 N/C

E = 7,3.105.u1 N/C

Su módulo es E = 7,3.105 N/C

26. Las tres cargas eléctricas de la figura están en el aire. Calcula:

a) El potencial eléctrico en el punto P.

b) La energía potencial que adquiere una carga q = +2,5 μC al situarse en el

punto P.

a) Calculamos el potencial eléctrico creado por cada una de las cargas en el punto

P:

El potencial eléctrico en el punto P es la suma algebraica de los potenciales

eléctricos creados por cada una de las tres cargas:

V = V1 + V2 + V3

V = (9 - 2,25 + 9)·105 V

V = 15,75·105 V

b) Calculamos la energía potencial eléctrica que adquiere una carga q = +2,5 μC al

situarse en el punto P:

Ep = q.V

Ep = 2,5·10-6 C·15,75·105

Ep = 3,9 J

27. Una carga eléctrica puntual Q = +2 μC se encuentra en el agua (ε r = 80).

Calcula:

a) El potencial eléctrico a una distancia de 30 cm y a una distancia de 150 cm de

la carga.

b) La energía potencial eléctrica que tendría una carga puntual q = -3 μC situada

en esos puntos.

c) El trabajo que deberíamos realizar para trasladar la carga q desde el primer

punto hasta el segundo.

- Datos:

a) Calculamos el potencial eléctrico en los puntos A y B. Tendremos en cuenta

que en el agua el valor de K es:

b) Calculamos la energía potencial eléctrica de la carga q en ambos puntos:

EpA = q.VA = -3·10-6 C·750 V = -2,25·10-3 J

EpB = q.VA = -3·10-6 C·150 V = -0,45·10-3 J

c) El trabajo que realiza el campo eléctrico para trasladar la carga q desde A hasta

B es igual a la diferencia de energía potencial eléctrica entre estos puntos:

W = q.(VA - VB)

W = EpA - EpB

W = -2,25·10-3 J - (-0,45·10-3 J)

W = -1,8·10-3 J

El trabajo que realiza el campo eléctrico es negativo. Esto significa que debemos

efectuar un trabajo de 1,8·10-3 J en contra del campo para trasladar la carga q.

28. Dos cargas puntuales de 2.10-6 y -10-6 C están situadas, respectivamente,

en el punto (1,0) y en el punto (0,2) de un sistema de ejes cartesianos

cuya escala está establecida en centímetros. Calcula:

a) El campo eléctrico en el punto (2,1).

b) El potencial eléctrico en el mismo punto.

a) El campo eléctrico en un punto debido a una distribución de cargas es la suma

de los campos que crearían cada una de las cargas en el punto se estivieran

solas.

El módulo del campo creado por una carga eléctrica puntual viene establecido por:

E = K.Q/r²

b) El potencial eléctrico en el punto es la suma de los potenciales debidos a cada

una de las cargas eléctricas. El potencial debido a una carga puntual viene

expresado por:

V = K.Q/r

V = V1 + V2

V = 8,64.105 V

EJERCICIOS PROPUESTOS:

1) Tres cargas puntuales están sobre el eje X; q1 = -6.0 mC está en x = -3.0 m, q2

= 4.0 mC está en el origen y q3 = -6.0 mC está en x = 3.0 m. Halla la fuerza

eléctrica sobre q1.

Resp . (1.50 ´ 10-2 N)i.

2) Tres cargas, cada una de 3.0 nC están en los vértices de un cuadrado de lado

5.0 cm. Las dos cargas en los vértices opuestos son positivas y la otra es

negativa. Determina la fuerza ejercida por estas cargas sobre una cuarta carga

de 3.0 nC situada en el vértice restante.

Resp. 2.96 ´ 10-5 N, a lo largo de la diagonal, dirigida desde la carga de –3.0 nC.

3) Una carga puntual de 5.0 mC está localizada en x = 1.0 m, y = 3.0 m y otra de

–4.0 mC está en x = 2.0 m, y = -2.0 m. Determina la magnitud y dirección de la

fuerza sobre un protón en x = -3.0 m, y = 1.0 m.

Resp . 3.04 ´ 10-16 N, q = 234.50.

4) Una carga puntual de -2.5 mC está localizada en el origen. Una segunda carga

puntual de 6.0 mC se encuentra en x = 1.0 m, y = 0.5 m. Determina la posición

(x, y) en la cual un electrón estaría en equilibrio.

Resp. x = -1.82 m, y = -0.910 m.

5) Dos cargas positivas iguales q están en el eje Y; una está en y = a y la otra en

y = -a. Una carga de prueba q0 situada en el origen estará en equilibrio. (a)

Estudia la estabilidad del equilibrio para una carga de prueba positiva

considerando desplazamientos pequeños del equilibrio a lo largo del eje X y

desplazamientos pequeños a lo largo del eje Y. (b) Repite la parte (a) para una

carga de prueba negativa. (c) Halla el valor de la carga prueba que puede

situarse en el origen de modo que la fuerza neta sobre cada una de las tres

cargas sea cero. (d) Considera qué ocurre si cualquiera de las tres cargas se

desplaza ligeramente del equilibrio.

Resp. (c) q0 = -q/4.

6) Dos cargas positivas iguales q están en el eje Y; una está en y = a y la otraen y

= -a. Una cuenta de collar de masa m con carga negativa –q se desliza a lo

largo de una cuerda situada sobre el eje X. (a) Muestra que para pequeños

desplazamientos de x<<a, la cuenta experimenta una fuerza de restitución

proporcional a x, y por lo tanto, experimenta un movimiento armónico simple.

(b) Determina el periodo del movimiento.

Resp. (a) [2q2/4pe0a2]x; (b) 2p [2pe0a2/q2]1/2.

7) Un electrón se mueve en una órbita circular alrededor de un protón

estacionario. La fuerza centrípeta surge de la fuerza electrostática de atracción

entre el protón y el electrón. El electrón posee una energía cinética de 2.18 ´

10-18 J. (a) ¿Cuál es la rapidez del electrón? (b) ¿Cuál es el radio de la órbita

del electrón?

Resp. (a) 2.16 ´ 106 m/s; (b) 5.28 ´ 10-11 m.

8) Considere un anillo de radio R con carga total Q distribuida uniformemente

sobre su perímetro. ¿Cuál es la diferencia de potencial entre el punto en el

centro del anillo y un punto sobre su eje a una distancia 2R del centro?

Resp.

9) Un conductor esférico tiene un radio de 14 cm y una carga de 26 . Calcule el

campo eléctrico y el potencial eléctrico a 20 cm del centro.

Resp. E = 5.844.673,05 N/C ; V = 1.168.934,61 V

10) La intensidad del campo eléctrico terrestre cerca de su superficie es 130 N/C y

apunta hacia abajo. ¿Cuál es la carga de la Tierra, suponiendo que este campo

sea causado por tal carga?.

Resp. – 6 x105 C

11) Una esfera metálica hueca de paredes delgadas y de radio a tiene una carga

qa. Concéntrica a ella hay otra esfera metálica hueca de paredes delgadas de

radio b (b>a), con una carga qb. Utilizar la Ley de Gauss para encontrar el

campo eléctrico en puntos que se encuentran a una distancia r del centro de

las esferas cuando: r<a; a<r<b; r>b.

12) Dos cargas eléctricas de q1 = 150 ues(q) y q2 = 200 ues(q) están a una

distancia r = 10 cm. Expresar en N, dyn y gf la fuerza F con que se repelen.

Respuesta: 300 dyn, 3.10-³ N y 0,306 gf.

13) Calcular la distancia r a que debe colocarse una carga q1 = 500 ucgs(q) de

otra carga q2 = 3000 ucgs(q), para que la fuerza de repulsión sea F = 3 gf.

Respuesta: 22,58 cm.

14) La intensidad en un punto de un campo eléctrico es E = 10000 dyn/C. Si la

fuerza en el mismo punto es F = 1000 gf, ¿cuál es el valor de la carga Q que

origina el campo eléctrico?

Respuesta: 294.108ues(q)

15) ¿Cuál es el potencial V en un punto de un campo eléctrico que está a 30 cm

de una carga puntual q = 2500 ucgs, y en otro colocado a 20 cm?

Respuesta: 83,3 ucgs(V) y 125 ucgs(V)

16) Calcular la carga de un conductor, si provoca un campo de 500 Oe en un

punto ubicado a 5 mm.

Respuesta: 125 ucgs

17) ¿Cuál es la fuerza F que aparece sobre una carga q = 3.10-8 C, colocada en

un punto de un campo eléctrico en el cual la intensidad es E = 5 N/C?

Respuesta: 15.10-8 N.

18) Un conductor cargado está suspendido y aislado del techo. Calcular la carga

que deberá tener para que mantenga sobre la vertical que pasa por su centro,

y a 1 cm de él, otro conductor metálico cuya caga es de 6 ucgs y su masa de

0,4 kg.

Respuesta: 65333,33 ucgs

19) Se carga un conductor esférico de 15 cm de radio con una carga de 0,04 C.

¿Cuál es la densidad eléctrica en un punto de la misma?

Respuesta: 42462,8 ucgs/cm ²