3.

l)3 x3−27 x2+93 x−27=0

Solución:

Expresamos la ecuación de la forma: x3−9 x2+31x−9=0

Por el método de Cardano tenemos: b=−9c=31d=−9

Tomamos x= y−b3

la ecuación quedará y3+ p y+q=0

Dónde:

p=3c−b2

3=3 (31 )−¿¿

q=2b3−9bc+27d27

=2 (−9 )−9 (−9 ) (31 )+27(−9)

27=225027

=2503

Ahora tomamos:

A=3√−q2

+√D B= 3√−q2

−√D

Dónde:

D=( p3 )3

+( q2 )2

=(583 )3

+( 2509 )2

=64783681

Entonces:

A=3√−1253

+√ 64753681=3√√64736−375

9

B= 3√−1253

−√ 64753681=−3√√64736+375

9

Las raíces del polinomio serán:

x1=A+B−b3

x2=−12

( A+B )+i √32

( A−B )−b3

x3=−12

( A+B )−i √32

(A−B )−b3

Así, las raíces del polinomio son:

x1=3√ √64736−375

9−3√ √64736+375

9+6

x2=−12 ( 3√√64736−375

9−3√√64736+375

9 )+ i √32 ( 3√√64736−3759

+ 3√ √64736+3759 )+6

x3=−12 ( 3√√64736−375

9−3√√64736+375

9 )−i √32 ( 3√√64736−3759

+ 3√√64736+3759 )+6

ll)3 x3−2 x2+3 x−2=0

Solución:

Factorizando la ecuación

3 x (x2+1 )−2 (x2+1 )=0

(x2+1 ) (3x−2 )=0

x2+1=0ó3 x−2=0

Las raíces del polinomio son:

x1=i x2=−i x3=23

4.

a) Hallar el valor de “k” para el cual 3 x3−2 x2+kx−8=0 sea divisible por x−2

Solución:

Mediante el Teorema del resto:

Sea P ( x )=3 x3−2x2+kx−8=0 ; como nos dicen que es divisible por x−2 hacemos x−2=0→ x=2 y evaluamos el polinomio en 2

P (2 )=RESTO=0→P (2 )=3 (2 )3−2 (2 )2+k (2 )−8=0→K=−4

RPTA: K=−4

b) Hallar el valor de “k” en la ecuación x3+kx+16=0 sabiendo que tiene dos raíces

iguales.

Solución:

Consideramos las raíces r1 , r2 , r3 con r1=r2=r

r1+r2+r3=0 ¿>¿ 2 r+r3=0 ¿>¿ r3=−2r

r1 r2r 3=−16 ¿>¿ r2 r3=−16 ¿>¿ r2(−2 r )=−16 ¿>¿ −r3=−16 → r=2

r1 r2+r2 r3+r3r 1=k −¿ r2+2 r r3=k ¿>¿ 22+2 (2 ) (−4 )=k=¿ k=-12

RPTA: k=-12

C) Resolver la ecuación x4+4 x3−2 x2−12x+9=0 que tiene dos pares de raíces iguales.

Solución:

Desarrollaremos este problema por el Método de Aspa doble especial

x4+4 x3−2 x2−12x+9=0

x26 x 9

x2−2 x1

Tendremos la ecuación: (x¿¿2−6 x+9)(x¿¿2−2 x+1)=0¿¿

(x+3)2(x−1)2=0

Así: x1=x2=−3 y x3=x4=1

D) Hallar las dos raíces del polinomio x4−10x3+53 x2−140 x+196=0

Solución:

Desarrollaremos este problema por el Método de Aspa doble especial

x4−10x3+53 x2−140 x+196=0

x2−5 x14

x2−5 x14

Tendremos la ecuación: (x¿¿2−5 x+14)(x¿¿2−5 x+14)=0¿¿

(x¿¿2−5 x+14)2=0¿

Así: x1=x2=52+ √312i y x3=x4=

52−√312i

F) Resolver la ecuación x3−12 x2+39 x−28=0 cuyas raíces están e progresión

aritmética.

Solución:

Sean las raíces del polinomio:

r1=r−a r1+r2+r3=12

r2=r Además r1 r2r 3=39

r3=r+a r1 r2+r2 r3+r3r 1=28

Entonces:

r−a+r+r+a=12 ¿>¿ 3 r=12 ¿>¿ r=4

(r−a ) r+r (r+a)+(r+a)(r−a)=39 ¿>¿ 3 r2−a2=39 ¿>¿ a2=3(4)2−39

¿>¿ a2=9 ¿>¿ a=±3

Así: las raíces del polinomio son:

r1=4−3=1

r2=4

r3=4+3=7

RPTA: r1=1 r2=4 r3=7

5.

a) x3+6 x2−24 x+16=0

Solución:

Como los coeficientes del polinomio son números reales, por teorema sean las raíces r1 , r2 , r3

r1=2−2√3 i Sabemos que dos raíces serán imaginarias y una real.

r2=2+2√3 i

r1+r2+r3=−6

2−2√3 i+2+2√3 i+r3=−6

r3=−10

Las raíces del polinomio son:

r1=2−2√3 i

r2=2+2√3 i

r3=−10

b) x3−3 x2−6 x−20=0

Solución:

Como los coeficientes del polinomio son números reales, por teorema sean las raíces r1 , r2 , r3

r1=−1+√3 i Sabemos que dos raíces serán imaginarias y una real.

r2=−1−√3i

r1+r2+r3=3

−1+√3 i−1−√3 i+r3=3

r3=5

Las raíces del polinomio son:

r1=−1+√3 i

r2=−1−√3i

r3=5

C) x4+2 x3−4 x2−14 x−21=0

Solución:

Como los coeficientes del polinomio son números reales, por teorema sean las raíces r1 , r2 , r3

r1=−1+√2 Sabemos que dos raíces serán imaginarias y una real.

r2=−1−√3i

x4+2 x3−4 x2−14 x−21=0

x20 x−7

x22 x3

Tendremos la ecuación: (x¿¿2−7)(x¿¿2+2 x+3)=0¿¿

x2=7ó x=−2±2√2 i2

Así: x1=−7 x2=7 y x3=−1−√2 i x4=−1+√2 i