1

Pendiente- Viernes 31/10/2014

Resolver la siguiente integral:

(3) + ||| 2|

|| + 1

2

2

Solucin:

Separamos las integrales:

(3) + ||| 2|

|| + 1

2

2

= (3)

|| + 1

2

2 1

+||| 2|

|| + 1

2

2 2

La parte que puse en ROJO, sabemos que vale cero, ya que la funcin es impar

y esta en un intervalo simtrico. A consecuencia de eso:

(3) + ||| 2|

|| + 1

2

2

= 0 +||| 2|

|| + 1

2

2 2

ERROR MIO: No me haba fijado que la funcin del integrando era par, por lo

que podamos hacer lo siguiente.

||| 2|

|| + 1

2

2

= 2||| 2|

|| + 1

2

0

Utilizando la definicin de valor absoluto:

|| = { 0 < 0

2

||| 2|

|| + 1

2

2

= 2| 2|

+ 1

2

0

Y por definicin de otro valor absoluto:

| 2| = { 2 22 < 2

Por ende, nos queda:

||| 2|

|| + 1

2

2

= 22

+ 1

2

0

Resolviendo:

2 = 4

+ 1

2

0

2( + 1) 1

+ 1

2

0

2 = 4

+ 1

2

0

2 2

0

+2

+ 1

2

0

2 = 6

+ 1

2

0

2 2

0

2 = [6| + 1| 2]02

Utilizando la Regla de Barrow:

(3) + ||| 2|

|| + 1

2

2

= 0 + 6 |3| 4

Ese era el resultado.

3

Dudas resueltas en los pasillos Martes 04/11/2014

Resolver la siguiente integral:

(1 + ())

Solucin:

Se realiza un cambio de variable:

= () =

= =

Sustituyendo en la integral nos queda:

(1 + ())

=

(1 + )

Fjense que la distributiva seria:

(1 + ) =

+

Realizando un segundo cambio de variable:

= =

+

Entonces la integral queda como:

(1 + ) = = +

Devolviendo los cambios de variable:

4

(1 + ())

=

+

(1 + ())

= () +

Para corroborar si est bien, deriven la respuesta y vera que les dar como

resultado el integrando

Usando los criterios de acotacin, probar que:

2 1 + 32

1

3

Solucin:

Sabiendo que la integral mide el rea bajo la curva, y que la integral est

acotada entre una suma superior y una suma inferior, nos queda lo siguiente:

[1; 2]

2 1 + 3 9

Esa desigualdad se cumple para todos los en el intervalo de integracin.

Calculando races cuadradas en ambos lados:

2 1 + 3 9 2 1 + 3 3

Integrando en todas las partes de la desigualdad:

5

2 2

1

1 + 3 2

1

3 2

1

Resolviendo las integrales de los extremos, se concluye fcilmente que:

2 1 + 32

1

3

Hallar el valor para:

()

= 1 + 2()

Solucin:

No pierdan tiempo aplican el Primer Teorema Fundamental del Clculo.

Supongan el caso en que = , para anular la integral y que nos quede:

1 + 2() = 0

Despejando :

= (1

2)

A efectos de que la solucin no es nica y es variada por las oscilaciones que

realiza la funcin coseno, tenemos que:

=

3+ .

Donde y es el periodo de la funcin coseno, de donde obtenemos:

6

=

3+ 2

Observacin del Primer Parcial Domingo 09/11/2014

El error fue que la integral tena que ser de la forma

2+3.

Como falto ese trmino, fjense como hubiera sido la solucin:

2 + 3

De la misma forma que en el caso anterior, hubiramos operado el

denominador y completado cuadrados:

4 ( + 1)2

Nos quedara:

4 ( + 1)2

Se realizaba el cambio de variable trigonomtrico:

+ 1 = 2()

= 2()

2 ()

2 () =

Nos quedara lo siguiente:

7

= +

Devolviendo el cambio de variable:

= ( + 1

2) +

Duda resuelta en el pasillo Viernes 05/12/2014

Dada la regin limitada por las curvas = ( 2)2, = 4 2, hallar:

a) El rea de .

b) El volumen generado al rotar alrededor de la recta = 4.

Solucin:

Antes de proceder a resolver el ejercicio, graficamos la situacin con sus

respectivas caractersticas:

8

Solido de revolucin en 3D:

Calculamos las intersecciones:

2 4 + 4 = 4 2 2 4 + 2 = 0

Resolvemos esa ecuacin de segundo grado:

= 2 2

= 2 + 2

Intervalo de Integracin: [2 2; 2 + 2]

Para calcular el rea de la regin:

= [4 2 ( 2)2]2+2

22

9

Para calcular esa integral rpidamente, sumamos y restamos 4 en el

integrando para completar cuadrados y agrupar:

= [4 4 + 4 2 ( 2)2]2+2

22

= [4 2( 2)2]2+2

22

Haremos un cambio de variable:

2 = =

= 2

= 2

= [4 4 + 4 2 ( 2)2]2+2

22

= [4 22] 2

2

La ltima integral es ms sencilla:

=162

3

Para calcular el volumen hay dos formas de hacerlo, ya que el parcial no

especfica que METODO debemos utilizar

Por el mtodo de arandelas:

: () = 4 ( 2)2

: () = 4 4 + 2 = ( 2)2

= [(4 ( 2)2)2 ( 2)4]2+2

22

10

Utilizamos el mismo cambio de variable anterior:

= [(4 2)2 4]2

2

Aplicando diferencia de cuadrados:

= 4(4 22)2

2

=642

3

PERO: Ya que el ejercicio no deca mtodo, podemos notar visiblemente en el

dibujo de la regin, que tiene las coordenadas de centroide (2; 2)

Por el Teorema de Pappus-Guldin:

= 2

Donde es la distancia del centroide a la recta de giro:

= 2 2 162

3

Podemos notar fcilmente que:

=642

3

Ejercicio hecho en preparadura Viernes 05/12/2014

Se realiz el tercer ejercicio del segundo parcial de recuperacin, que se

encuentra resuelto en el archivo Solucin al Segundo Parcial de Recuperacin

Clculo II el cual se encuentra disponible en la seccin de archivos del grupo.

11

Ejercicio hecho en preparadura Lunes 08/12/2014

Sea la Integral de Gauss 2

+

=

. Calcule por medio de ella el

centroide de una lmina homognea infinita delimitada por la curva () =

1

21

2[

]2

y el eje de las abscisas. (**)

Solucin:

Por medio de la Integral de Gauss podemos concluir que el diferencial de

masa de la lmina est dado por:

=

= [() 0]

Integrando:

= 1

212[]2

+

Realizando el cambio de variable:

=

=

=

2

122

+

Utilizando la Integral de Gauss, tenemos que:

=

2

(12)

=

12

Calculando el primer momento de la masa con respecto al eje de las

ordenadas:

=

= [() 0]

Integrando:

=

212[]2

+

Realizando el mismo cambio de variable anterior:

=

2( + )

122

+

Realizando algunas operaciones:

=

2

122

+

+

2

122

+

Es muy evidente que:

=

Calcularemos ahora el primer momento de la masa con respecto al eje

de las abscisas:

=

Pero como el brazo est dado por la ubicacin de la ordenada del

centroide de un rectngulo diferencial, sucede que:

= [()]2

2

Integrando:

13

= [()]2

2

+

Sustituyendo:

=

[1

212[]2

]2

2

+

=

24

[]2

+

Realizando el mismo cambio de variable:

=

4

2

+

Utilizando la Integral de Gauss:

=

4

Calculando las coordenadas del centroide:

=

=1

4

Hallar el rea de la superficie de rotacin generada por la cicloide alrededor

de la recta = 2

Solucin:

Tomando en consideracin que es la cicloide generada por una sola

rodadura, tenemos que el intervalo de integracin ser:

14

0 2

La ecuacin paramtrica es:

{() = ( ())

() = (1 ())

Bajo esas condiciones, una vista del problema en dos dimensiones, es la

siguiente:

Si giramos alrededor del eje que establece el problema, tendramos una

visin del problema en tres dimensiones:

15

El diferencial de rea de la superficie de revolucin ser:

= 2 ()

Medimos el radio () = 2 (), lo cual implica:

() = 2 (1 ())

() = (1 + ())

El diferencial de longitud es:

= 21 ()

El diferencial de superficie ser:

= 2(1 + ())21 ()

Integrando y simplificando:

= 222 (1 + ())1 ()2

0

Y el valor de esa integral es:

=322

3

Nota: Tome en consideracin que el integrando se convierte en

1 () |()|. Hecho esto, tome en consideracin una integral de [0; ]

y la otra de [; 2].

16

Los ejercicios propuestos no se agregaron ya que son muy fciles y es muy

evidente que no saldran en un parcial

Pendiente Lunes 06/12/2014

Halle el valor positivo de para que el rea de la regin limitada por las

curvas = 2 + 3, = + 2 1 sea 36.

Solucin:

El problema es difcil de ver grficamente. Sin embargo al rotar los ejes de

coordenadas 90 es visible que la parbola esta sobre la recta. En caso

contrario es muy evidente que la interseccin entre ambas curvas seria:

1 2 =

Entonces, intersecando ambas curvas:

= 2 + 3 + 2 1

Nos queda:

= 1

Como > 0, entonces:

1 < 1 +

De aqu nos queda:

= [(2 + 3) ( + 1 2)]1+

1

17

= [2 2 + 2 1]1+

1

= [2 ( 1)2]1+

1

Cambio de variable:

= ( 1) =

= [2 2]

Integrando nos queda:

=4

33

36 =4

33 = 27

3= 3

Otra forma de ver que grafica est arriba de la otra, es evaluando un punto no

extremo perteneciente al intervalo de integracin.

Mi error en prepa fue no darme cuenta de que grafica iba arriba de la otra y no

intentar acomodar un poco ms el integrando

18

Duda resuelta en el pasillo Martes 09/12/2014

Use el Teorema de Pappus para hallar el centroide de la regin:

Para hallar el centroide, construiremos una ecuacin que dependa de las

incgnitas e . Antes de comenzar calcularemos el volumen del solido de

revolucin alrededor del eje :

= 22

= 2

Calcularemos tambin el rea de la regin:

=

Utilizando el Teorema de Pappus-Guldin para calcular el volumen del solido de

revolucin generado por la rotacin de la regin alrededor del eje :

2 = 2( )

Nos queda:

19

=

2

Para calcular la coordenada , necesitamos el volumen del solido de

revolucin generado por la rotacin alrededor del eje

= (42 2)

0

= 32

Por el Teorema de Pappus-Guldin, tenemos que:

32 = 2( )

=3

2

Por lo tanto el punto se ubica en (3

2,

2)

Ejercicio hecho en preparadura Lunes 15/12/2014

Calcular el volumen del solido del solido cuya base est delimitada por las

curvas = |||| e = |1 ()| en el intervalo

2

3

2. Se sabe

que las secciones transversales son semicircunferencias que son

perpendiculares al .

Solucin:

Aqu en el documento es fcil porque ya tengo la grfica. A efectos de que

graficar esa regin es difcil, las grficas fueron realizadas mediante la

definicin de valor absoluto:

20

|| = { 0 < 0

Al ver esto se concluye fcilmente que:

|||| = |()|

Y por la grfica de la funcin = () se concluye que:

|||| =

{

()

2 0

() 0

() 3

2

Todas las grficas son fciles de realizar ya que fuimos eliminando barras de

valor absoluto. Ahora:

21

Aplicando definiciones de simetra podemos calcular solo dos integrales para

reducir clculos. La funcin dimetro para cada caso sern las siguientes:

1() = () (1 ()) [0;

2]

1() =

8[() + () 1]2 [0;

2]

Para el otro caso:

2() = 1 () () [

2; ]

2() =

8[1 () ()]2 [

2; ]

Como ya tengo las dos funciones de rea, solo queda integrar:

= 2 [

8[() + () 1]2

2

0

+

8[1 () ()]2

2

]

Y esas integrales quedan de tarea para usted. Es el siguiente:

=

4(2 4) =

2 2

2

22

Ejercicio hecho en preparadura Viernes 16/01/2015

Calcule la suma de

(1 +

1) + () ( + 1)

() ( + 1)

=2

Solucin:

Acomodamos un poco el argumento de la serie:

( + 1) () + () ( + 1)

() ( + 1)

=2

Simplificando:

[1

()

1

( + 1)]

=2

+ 1

=2

El resultado de la telescpica es fcil de deducir.

[1

()

1

( + 1)]

=2

=1

(2) lim

1

( + 1)

[1

()

1

( + 1)]

=2

=1

(2)

El resultado de la serie geomtrica sale mediante un cambio de variable:

2 =

23

1

=2

=1

2(

1

)

=0

Puesto que:

=0

=

1 , || < 1

Nos queda:

1

=2

=1

2(

1

1 1

)

1

=2

=1

2(

1)

1

=2

=1

2

El resultado de la suma ser:

=1

(2)+

1

2

Nota: Se realizaron varios ejercicios exclusivamente de clculo del valor de la

suma de una serie. Los dems ejercicios hechos no se colocaron debido a que

su nivel de dificultad requera de cosas tontas como Mtodo de Fracciones

Parciales