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TEMA 5 (cap. 11)CONTRASTES PARAMÉTRICOS

Test F de Snedecor

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para la comparación de dos varianzas en poblaciones normales

CONTRASTES PARAMÉTRICOS

• Población: ξ : f(x ;θ) ; suponemos un sólo á t d í h b áparámetro, pero podría haber más.

• Hipótesis: H0 : θ є Ω0

H1 : θ є Ω1

de tal forma que Ω0 ∩ Ω1= 

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• Muestra: X: (x1, x2, …,xn), m.a.s.

• Región crítica:  si X є R, rechazamos H0

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CONTRASTES de SIGNIFICACIÓN

Parten de la elaboración o búsqueda de un estadístico que compare la información muestral con el enunciado de las hipótesis, lo que se denominará estadístico de contraste o estadístico indicador de discrepancia.estadístico indicador de discrepancia. 

Basándose en la distribución de probabilidad de este estadístico se concluye:‐ que los datos observados aportan evidencia empírica favorable a la hipótesis nula, y que las diferencias que aparecen son lo “suficientemente pequeñas” como para poder aceptar que se deben solo al azaro bien que aparecen diferencias significativas entre el

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‐ o bien que aparecen diferencias significativas entre el enunciado de la hipótesis nula y la muestra y, a diferencia del caso anterior, la muestra aporta evidencia favorable a la hipótesis alternativa en contra de la hipótesis nula.

Contrastes de significación paramétricos

• En los contrastes paramétricos las condiciones• En los contrastes paramétricos, las condiciones que deben seguirse para la elección de un estadístico de contraste son 

• ‐ que recoja la información que tiene la muestra acerca del parámetro poblacional desconocido,‐ que dependa de la hipótesis nula,

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‐ y que bajo Ho, tenga una distribución de probabilidad conocida (similitud con el estadístico pivote para la construcción de intervalos de confianza)

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EJEMPLOEjercicio nº 5Los gobernantes de un pequeño país están preocupados por lasdesigualdades sociales y han tomado una muestra de la renta de loshabitantes del mismo. Se ha observado, por un procedimiento al azar, larenta de 121 individuos y se ha obtenido que la suma de todos los valores observados es de 387 unidades monetarias y la suma de sus cuadrados es 5.986.524.Los gobernantes deciden llevar a cabo una reforma fiscal y tras ésta se ha tomado una nueva muestra de 61 habitantes, en la que los resultados obtenidos fueron: suma de los valores observados 197 y la suma de sus cuadrados 1.543.765.¿Puede afirmarse a un nivel de significación del 5% que la reforma fiscal ha

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¿Puede afirmarse a un nivel de significación del 5% que la reforma fiscal ha reducido la dispersión de la distribución de la renta, si se supone un comportamiento normal de la distribución de probabilidad de la misma?.

EJEMPLOEjercicio nº 5

ξ1: renta aleatoria antes de la reforma fiscal

ξ1:N( μ1;σ1)  X=(x1,x2,…,x121)ξ2: renta aleatoria después de la reforma fiscal

ξ2:N( μ2;σ2)  Y=(y1,y2,…,y61)• Hipótesis  nula : 

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σ12 = σ2

2 σ12 / σ2

2 = 1• Hipótesis  alternativa

σ12 > σ2

2 σ12 / σ2

2 > 1

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• Elección del estadístico de contraste:( ) 2 ( ) 2( )

12

1

−= nχσ 2

21.S1-n ( )

12

2

−= mχσ 2

22.S1-m

( )

( ))1(),1(2

22

12

12

2

22

2

21

2

21

1

2

1).1(−−

−=

=−==−

−

∑

∑

mnm

n

m

n

ixi

FnSSn

ax

σσ

χ

χ

σσσ

7

( ) 1112

22

1

2

1).1(

−

= −−

−∑ m

jyj m

S

m

ay σχσ

σ

Caso 2º: HIPÓTESIS COMPUESTASContrastes de significación

Forma de la Región crítica: La muestra estará en contra de la hipótesis nula y a favor de laLa muestra estará en contra de la hipótesis nula y a favor de la 

alternativa cuando el cociente de cuasivarianzas muestrales tome un valor superior a  1. De esta forma determinamos la forma de la región crítica: rechazaremos la hipótesis cuando el cociente de cuasivarianzas  supere una constante determinada dα.

D t i ió d l ió íti

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Determinación de la región crítica:Una vez fijado el nivel de significación, determinaremos la RC,esto es el valor dα

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• α = 0,05 = P[ X ∈ R / H0] =  )/( 021

22

22

21 Hd

SSP ασ

σ≥

Sabemos que bajo Ho, el estadístico tiene una distribución Fn‐1;m‐1 por lo que la regla de decisión será:

X ∈ R   si     F120;60 ≥ 1,47  y en consecuencia, 

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rechazaremos Ho si, en la información muestral obtenida el valor del estadístico es

47,122

21 ≥

SS

De acuerdo con los datos facilitados, podemos obtener elvalor del estadístico de contraste , 

resultando que  dicho valor está dentro de la región de rechazo de H0, y enconsecuencia podemos afirmar al nivel de significación del 5% que se ha

94,122

21 =

SS

consecuencia, podemos afirmar al nivel de significación del 5% que se hareducido la dispersión de la distribución de la renta. 

Tamaño muestra

Total muestral

Σxi

Media muestral

ax

Total cuadrados Σxi2

Cuasivarianza muestral

X n=121 387 3.2 5.986.524 S12 = 49.877.37

Y m=61 197 3.23 1.543.765 S22 = 25.718,79

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Discusión del p‐valor en el ejemplo resuelto

• Concepto: El p‐valor o probabilidad asociada al valor de un estadístico de contraste es la probabilidad dede un estadístico de contraste es la probabilidad de que, siendo realmente cierta Ho, el estadístico de contraste tome el valor que ha tomado o incluso otro más desfavorable respecto de dicha hipótesis nula, entendiendo como “más desfavorable”, según los casos, “mayor que”, “menor que” o “más lejos de un , y q , q jdeterminado centro en cualquier dirección”, es decir, consistente con la forma de la región crítica elegida en cada caso.

Discusión del p‐valor en el ejemplo resuelto

• Así, en nuestro ejemplo, al ser la RC de la forma:

S 2

el p‐valor es la probabilidad de que , supuesto H0 cierta, el valor del estadístico sea 1,94 o cualquier valor superior, es decir

dSS

≥22

21

)/94,1( 02

21 H

SSP ≥

que es la P(F120, 60>1,94) = 0,0025. Al ser menor que 5%, éste valor permite rechazar H0.

)( 022S

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Otros casos posibles:2) Hipótesis nula :

σ12 = σ2

2 σ12 / σ2

2 = 1

Hipótesis alternativaσ1

2 < σ22 σ1

2 / σ22 < 1

3) Hipótesis nula : σ1

2 = σ22 σ1

2 / σ22 = 1

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σ1 = σ2 σ1 / σ2 = 1

Hipótesis alternativaσ1

2 ≠ σ22 σ1

2 / σ22 ≠ 1