VIGA CON CARGA UNIFORME CONCENTRADA EN UNA ZONA CENTRAL

1. Introducción

Analizando el grado de indeterminación de la estructura se puede observar que la estructura tiene 6 incógnitas de reacción, lo cual significa que no puede

resolverse aplicando únicamente las ecuaciones del equilibrio estático: ∑ F X=0, ∑ FY=0 y ∑MO=0.

La ecuación ∑ F X=0 se satisface directamente dado que no existen componentes horizontales en las fuerzas externas, por lo cual quedan 4 reacciones

incógnitas con 2 ecuaciones por utilizar. Esto nos lleva a la conclusión de que se trata de una estructura indeterminada de grado 2, porque se requieren 2 ecuaciones adicionales para poder calcular el valor de las reacciones incógnitas.

Estas ecuaciones adicionales se obtienen a partir de un análisis de compatibilidad de deformaciones, utilizando además de los principios de equilibrio del cuerpo rígido, la propiedad de deformabilidad de las estructuras.

2. Principio de superposición

La estructura indeterminada anterior puede presentarse como la suma o superposición lineal de varias estructuras estáticamente determindas que en conjunto representen a la estructura indeterminada.

¿

+RD∗¿ +M D∗¿

El principio de superposición indica que la respuesta estructural total de una estructura frente a un sistema de cargas exteriores es igual a la suma de las respuestas particulares del mismo sistema ante cada una de las cargas aplicadas simultáneamente o una a una. Esto solo es aplicable a un sistema estructural que responde en su rango elástico lineal.

Con la ayuda del principio de superposición y de considerar la deformabilidad de las estructuras es posible obtenerlas 2 ecuaciones adicionales que requerimos para el cálculo de las 4 reacciones incógnitas.

3. Compatibilidad de deformaciones

La estructura determinada, llamada también estructura primaria de la figura 1.1 está sometida a las cargas reales exteriores y las reacciones redundantes RD y

MD . Debido a que estas reacciones se desconocen, se utilizarán fuerzas unitarias en la misma dirección de las reacciones para efectos de cálculo, y la respuesta total será igual a la respuesta ante las cargas unitarias multiplicadas por las reacciones correspondientes.

La compatibilidad de deformaciones nos indica que las deformaciones de la estructura indeterminada debe ser igual a las deformaciones del sistema determinado equivalente. Analicemos las deformaciones en el nudo D de la estructura determinada, las cargas reales producirán en el nudo D un

desplazamiento D1 hacia abajo y una rotaciónD2 en sentido horario, por otro lado, la carga unitaria en D producirá en el nudo D un desplazamiento f 11 hacia arriba y una rotaciónf 21 en sentido anti horario y finalmente el momento unitario en D producirá en el nudo D un desplazamiento f 12 hacia arriba y una

rotaciónf 22 en sentido anti horario. Analizando los desplazamiento permitidos por la estructura indeterminada, podemos ver que el nudo D está totalmente

restringido al desplazamiento vertical y a la rotación, por lo que las ecuaciones de compatibilidad pueden escribirse de la siguiente manera:

D1+RD f 11+M D f 12=0

D2+RD f 21+MD f 22=0

Esas son las 2 ecuaciones adicionales que se requieren para obtener las reacciones de la estructura indeterminada.

4. Cálculo de desplazamientos

Ahora lo que resta es calcular los desplazamientos desconocidos D1, D2, f 11, f 12, f 21 y f 22. Para esto, utilizaremos el método de flexibilidades, se

tomarán en cuenta únicamente las deformaciones por flexión y se despreciaran las deformaciones por cortante.

Cálculo de leyes de momentos, cargas reales:

M AB+q ∙2c ∙ ( x+c )=0

M AB=−2q c2−2qcx

MBC+q ∙ x ∙x2=0

MBC=−q2x2

MCD=0

Cálculo de leyes de momentos, carga unitaria:

mAB' −1 ∙(x+2c+ L2−c )=0

mAB' =c+ L

2+x

mBC' −1 ∙(x+ L2−c)=0mBC' =−c+ L

2+ x

mCD' −1 ∙ x=0

mCD' =x

Cálculo de leyes de momentos, momento unitario:

mAB' ' =1

mBC' ' =1

mCD' ' =1

Cálculo del desplazamiento D1 :

D1=∫x1

x2 M AB ∙mAB'

EIdx+∫

x1

x2 MBC ∙mBC'

EIdx+∫

x1

x2 MCD ∙mCD'

EIdx

D1=1EI

∫0

L2−c

(−2qc2−2qcx )∙(c+ L2 +x)dx+ 1EI∫02c

(−q2 x2)∙(−c+ L2 + x)dx+ 1EI ∫0

L2−c

0 ∙ xdx

Simplificando:

(−2q c2−2qcx ) ∙(c+ L2 +x )=−2q c3−qc2L−2qc2 x−2q c2 x−qcLx−2qc x2

(−2q c2−2qcx ) ∙(c+ L2 +x )=−2q c3−qc2L−(4 qc2+qcL ) x−2qc x2

(−q2 x2) ∙(−c+ L2 +x)=( qc2 −qL4 ) x2−q2 x3

Reemplazando en la integral:

D1=1EI

∫0

L2−c

[−2qc3−q c2 L−(4qc2+qcL ) x−2qc x2 ]dx+ 1EI

∫0

2c

[( qc2 −qL4 )x2−q2 x3]dx

D1=1EI [−(2qc3+q c2 L )x−( 4 qc2+qcL2 ) x2−2qc3 x3]

0

L2−c

+ 1EI [( qc6 −qL

12 )x3−q8 x4]02c

D1=1EI [−(2qc3+q c2 L )( L2−c)−( 4 qc2+qcL2 )( L2−c )

2

−2qc3 (L2−c)

3]+ 1EI [( qc6 −qL12 ) (2c )3−q

8(2c )4]

D1=1EI [−q c3 L+2qc4−q c2 L22

+q c3L−( 4q c2+qcL2 )( L24 −cL+c2)−2qc3 (L38 −3c L2

4+ 3c

2L2

−c3)]+ 1EI [ 4qc43 −2qc3 L3

−2q c4]D1=

1EI [2qc4−q c

2L2

2−qc

2L2

2+2q c3 L−2qc4−qcL

3

8+ qc

2L2

2−qc

3L2

−qc L3

12+ qc

2L2

2−qc3 L+ 2qc

4

3+ 4 qc

4

3−2qc

3L3

−2qc4 ]D1=

1EI [−qc

3L6

−5qc L3

24 ]

Cálculo del desplazamiento D2 :

D2=∫x1

x2 M AB ∙mAB' '

EIdx+∫

x1

x2 MBC ∙mBC' '

EIdx+∫

x1

x2 MCD ∙mCD' '

EIdx

D2=1EI

∫0

L2−c

(−2qc2−2qcx ) ∙1dx+ 1EI

∫0

2c

(−q2 x2)∙1dx+ 1EI

∫0

L2−c

0 ∙1dx

D2=1EI

[−2qc2 x−qc x2 ]0L2−c

+ 1EI [−q6 x3]0

2c

D2=1EI [−2qc2( L2−c)−qc (L2−c)

2]+ 1EI [−q6 (2c )3]D2=

1EI [−2qc2( L2−c)−qc (L24 −cL+c2)]+ 1EI [−4q c33 ]

D2=1EI [−q c2 L+2qc3−qcL

2

4+qc2L−qc3−4qc

3

3 ]D2=

1EI [−qc

3

3−qcL

2

4 ]Cálculo del desplazamiento f 11 :

f 11=∫x1

x2 m1∙m1EI

dx

f 11=1EI∫0

L

x ∙ x dx=1EI [ x

3

3 ]0

L

f 11=L3

3 EI

Cálculo del desplazamiento f 12 y f 21 :

f 12=f 21=∫x1

x2 m1 ∙m2EI

dx

f 12=f 21=1EI∫x1

x2

x ∙1dx=1EI [ x

2

2 ]0

L

f 12=f 21=L2

2 EI

Cálculo del desplazamiento f 22 :

f 22=∫x1

x2 m2 ∙m2EI

dx

f 22=1EI

∫0

L

1∙1dx= 1EI

[x ]0L

f 22=LEI

5. Cálculo reacciones redundantes

Las reacciones redundantes RD y MD se calculan a partir de las ecuaciones de compatibilidad:

D1+RD f 11+M D f 12=0

D2+RD f 21+MD f 22=0

Reemplazando los valores de D1, D2, f 11, f 12, f 21 y f 22:

1EI [−q c

3L6

−5qc L3

24 ]+RD ( L33 EI )+MD ( L22EI )=01EI [−q c

3

3−qcL

2

4 ]+RD( L22EI )+M D( LEI )=0Despejando MD de la ecuación II:

MD=qc3

3 L+ qcL4

−( L2 )RDReemplazando III en I:

(−q c3 L6−5qc L

3

24 )+( L33 )RD+( L22 )[ q c33 L + qcL4

−( L2 )RD]=0

−qc3 L6

−5qc L3

24+( L33 )RD+ qc3L6 + qc L

3

8−( L34 )RD=0

( L312 )RD=qc L3

12

RD=qc

Reemplazando RD en III

MD=qc3

3 L+ qcL4

−( L2 )qc

MD=qc3

3 L−qcL2

6. Cálculo de reacciones faltantes

Las demás reacciones se calcularán con las ecuaciones de equilibrio estático:

∑ FY=0

RA+RD−q2c=0

RA=2qc−qc

RA=qc

∑M A=0

−M A+q2c( L2 )−RD L+M D=0

−M A+qcL−qcL+qc3

3L−qcL2

=0

M A=q c3

3 L−qcL2