equilibrio estático y elasticidad. introducciónjjgarcia/material_fisicai/7_equilibrio... · 2020....

210/12/2020

Equilibrio estático y elasticidad. Introducción

Una viga uniforme y horizontal, cuya longitud es de 8 m y que pesa 200 N, tiene un pivote en la pared yel extremo alejado de ésta está soportado por un cable que forma un ángulo de 53º con la horizontal. Siuna persona que pesa 600 N y camina sobre la viga se detiene a 2 m de la pared, calcule la tensión delcable y la fuerza de reacción del pivote.

310/12/2020



α=53º

x=2 mL=8 m

410/12/2020



α=53º

x=2 mL=8 m

1. Identificamos las fuerzas que actúan sobre el sistema.

R

T

TP

HP

510/12/2020



α=53º

x=2 mL=8 m


R

T

TP

HP

2. Escribimos ecuaciones que aseguran el equilibrio traslacionaly rotacional.

0

0H T

H T

P P R T

P P R T

M M M M

+ + + =

+ + + =

610/12/2020



α=53º

x=2 mL=8 m


R

T

TP

HP


0

0H T

H T

P P R T

P P R T

M M M M

+ + + =

+ + + =

3. Elegimos nuestro sistema de referencia y escribimos lasecuaciones en función de sus componentes.

Y

ˆxuˆyu+

Eje X: 0Eje Y: 0 0

H T

x x

T H y y

P P T

R TP P R TM M M

− =+ − − =

+ − =

X

710/12/2020



α=53º

x=2 mL=8 m


R

T

TP

HP


0

0H T

H T

P P R T

P P R T

M M M M

+ + + =

+ + + =


Y

ˆxuˆyu+

Eje X: 0Eje Y: 0 0

H T

x x

T H y y

P P T

R TP P R TM M M

− =+ − − =

+ − =

X

sin( ) 02 sin( ) 2sin( )

H TH T

xP PLxP P LT TL

+ − α = ⇒ = +α α

810/12/2020



α=53º

x=2 mL=8 m


R

T

TP

HP


0

0H T

H T

P P R T

P P R T

M M M M

+ + + =

+ + + =


Y

ˆxuˆyu+

Eje X: 0Eje Y: 0 0

H T

x x

T H y y

P P T

R TP P R TM M M

− =+ − − =

+ − =

X

sin( ) 02 sin( ) 2sin( )

H TH T

xP PLxP P LT TL

+ − α = ⇒ = +α α

cos( ) cos( )cos( )sin( ) 2sin( )

( )sin( )2

H Tx x

H Ty T H

xP PR T TL

L x P PR P P TL

α α= = α = +

α α−

= + − α = +

910/12/2020


En la superficie del océano la fuerza normal por unidad de superficie sobre un cuerpo es de 105 N/m2. Auna profundidad de 3000 m dicha fuerza es de 31·106 N/m2. ¿Cuál será la disminución relativa devolumen de una esfera de aluminio al llevarla a dicha profundidad? El módulo de compresibilidad delaluminio es 7.7·1010 Pa.

1010/12/2020



Como vimos en el desarrollo del tema

V PV B∆

= −

1110/12/2020




V PV B∆

= −

Por otro lado, la variación de presión entre la superficie y un punto situado a 3000 m de profundidad es:

6 5 2 6 2(31 10 10 ) N/m 30 10 N/mP = ⋅ − = ⋅

1210/12/2020




V PV B∆

= −

6 5 2 6 2(31 10 10 ) N/m 30 10 N/mP = ⋅ − = ⋅

Por lo tanto, la disminución relativa de volumen será igual a:

6 24

10 2

30 10 N/m 3.896·107.7·10 N/m

VV

−∆ ⋅= − = −

Por otro lado, la variación de presión entre la superficie y un punto situado a 3000 m de profundidad es:

6 22

10 2

30 10 N/mTanto %=100 100 3.896·107.7·10 N/m

VV

−∆ ⋅= − = −

1310/12/2020


Una masa de 16 kg sujeta al extremo de un alambre de acero (E=2·1011 N/m2), cuya longitud normal esde 60 cm, da vueltas describiendo una circunferencia vertical con una velocidad angular de 2 r.p.s. Lasección recta del alambre es de 6.25 mm2. Calcúlese el alargamiento del alambre cuando la masa seencuentra en el punto más bajo de la trayectoria.

1410/12/2020



P

T

1. Identificamos la fuerzas que actúan sobre la bola.

1510/12/2020



P

T


2. Aplicamos la segunda ley de Newton.2

2 2 2( )vT P m mR T P mR m g RR

− = = ω ⇒ = + ω = + ω

1610/12/2020



P

T


3. Por otro lado, tenemos:

2 2( ) ( )i i

i i

R R R Rm g R m g RR E AE R AE− −σ + ω + ω

ε = = = ⇒ =



− = = ω ⇒ = + ω = + ω

1710/12/2020



P

T



2 2( ) ( )i i

i i


ε = = = ⇒ =

4. Operando llegamos a:

2 2 2( ) ( )i i i

i

m g R R R m g RR m RR AE AE AE

+ − + ω + ω∆ ∆ ω = = +



− = = ω ⇒ = + ω = + ω

1810/12/2020



P

T



2 2( ) ( )i i

i i


ε = = = ⇒ =

4. Operando llegamos a:

2 2 2( ) ( )i i i

i

m g R R R m g RR m RR AE AE AE

+ − + ω + ω∆ ∆ ω = = +

2 2 22

2

( ) ( )1 i i i i

i i i

AE R m m g R mR g RmR R RR AE AER AE AE R m

− ω + ω + ωω∆ − = ∆ = ⇒ ∆ = − ω



− = = ω ⇒ = + ω = + ω

1910/12/2020


Una pequeña anilla está colgada del techo mediante dos alambres, uno de cobre de 3 m de longitud y 5mm2 de sección y otro de hierro de 2 m de longitud y 2 mm2 de sección que forman ángulos de 33 y 57grados, respectivamente, con la horizontal. ¿Cuánto se alargarán cada uno de los alambres al colgar dela anilla una pesa de 30 kg?

2010/12/2020



α=33º β=57ºl1=3 m

l2=2 m

A1=5 mm2A2=2 mm2

Cobre: E1=12·1010 N/m2

Hierro: E2=15·1010 N/m2

m=30 kg

2110/12/2020



α=33º β=57ºl1=3 m

l2=2 m

A1=5 mm2A2=2 mm2

Cobre: E1=12·1010 N/m2

Hierro: E2=15·1010 N/m2

m=30 kg

P

1T

2T


2210/12/2020



α=33º β=57ºl1=3 m

l2=2 m

A1=5 mm2A2=2 mm2

Cobre: E1=12·1010 N/m2

Hierro: E2=15·1010 N/m2

m=30 kg

P

1T

2T


2. Escribimos ecuaciones que aseguran el equilibriotraslacional y rotacional.

1 2

1 2 0

0P T T

P T T

M M M

+ + =

+ + =

2310/12/2020



α=33º β=57ºl1=3 m

l2=2 m

A1=5 mm2A2=2 mm2

Cobre: E1=12·1010 N/m2

Hierro: E2=15·1010 N/m2

m=30 kg

P

1T

2T

XY

ˆxuˆyu

+



1 2

1 2 0

0P T T

P T T

M M M

+ + =

+ + =


1 2

2 1

1 2

Eje X: 0Eje Y: 0 0

x x

y y

P T T

T TP T TM M M

− =− − =

= = =

2410/12/2020



α=33º β=57ºl1=3 m

l2=2 m

A1=5 mm2A2=2 mm2

Cobre: E1=12·1010 N/m2

Hierro: E2=15·1010 N/m2

m=30 kg

P

1T

2T

XY

ˆxuˆyu

+



1 2

1 2 0

0P T T

P T T

M M M

+ + =

+ + =


1 2

2 1

1 2

Eje X: 0Eje Y: 0 0

x x

y y

P T T

T TP T TM M M

− =− − =

= = =

2 1

1 2

cos( ) cos( )sin( ) sin( )

T TT P T

α = βα = − β

2510/12/2020



α=33º β=57ºl1=3 m

l2=2 m

A1=5 mm2A2=2 mm2

Cobre: E1=12·1010 N/m2

Hierro: E2=15·1010 N/m2

m=30 kg

P

1T

2T

XY

ˆxuˆyu

+



1 2

1 2 0

0P T T

P T T

M M M

+ + =

+ + =


1 2

2 1

1 2

Eje X: 0Eje Y: 0 0

x x

y y

P T T

T TP T TM M M

− =− − =

= = =

2 1

1 2


T TT P T

α = βα = − β

2 1cos( )cos( )

T Tβ=

α

2610/12/2020



α=33º β=57ºl1=3 m

l2=2 m

A1=5 mm2A2=2 mm2

Cobre: E1=12·1010 N/m2

Hierro: E2=15·1010 N/m2

m=30 kg

P

1T

2T

XY

ˆxuˆyu

+



1 2

1 2 0

0P T T

P T T

M M M

+ + =

+ + =


1 2

2 1

1 2

Eje X: 0Eje Y: 0 0

x x

y y

P T T

T TP T TM M M

− =− − =

= = =

2 1

1 2


T TT P T

α = βα = − β

2 1cos( )cos( )

T Tβ=

α 1 2

1

sin( )sin( ) sin( )

sin( ) cos( )sin( ) sin( ) cos( )

PT T

P T

β= − =

α αβ β

= −α α α

2710/12/2020



α=33º β=57ºl1=3 m

l2=2 m

A1=5 mm2A2=2 mm2

Cobre: E1=12·1010 N/m2

Hierro: E2=15·1010 N/m2

m=30 kg

P

1T

2T

XY

ˆxuˆyu

+



1 2

1 2 0

0P T T

P T T

M M M

+ + =

+ + =


1 2

2 1

1 2

Eje X: 0Eje Y: 0 0

x x

y y

P T T

T TP T TM M M

− =− − =

= = =

2 1

1 2


T TT P T

α = βα = − β

2 1cos( )cos( )

T Tβ=

α 1 2

1

sin( )sin( ) sin( )

sin( ) cos( )sin( ) sin( ) cos( )

PT T

P T

β= − =

α αβ β

= −α α α

12cos( )

sin(2 ) sin(2 )PT α

=α + β

22cos( )

sin(2 ) sin(2 )PT β

=α + β

2810/12/2020



α=33º β=57ºl1=3 m

l2=2 m

A1=5 mm2A2=2 mm2

Cobre: E1=12·1010 N/m2

Hierro: E2=15·1010 N/m2

m=30 kg

P

1T

2T

XY

ˆxuˆyu

+



1 2

1 2 0

0P T T

P T T

M M M

+ + =

+ + =

3. Elegimos nuestro sistema dereferencia y escribimos las ecuacionesen función de sus componentes.

1

2

2cos( )sin(2 ) sin(2 )


PT

PT

α=

α + ββ

=α + β

1 1

1 1 1

2 2

2 2 2

l Tl A El Fl Tl E AE

l A E

∆=

∆ σε = = = ⇒

∆=

4. Calculamos el esfuerzo sobre cada uno de los cables y calculamos su deformación utilizando su módulode Young.

2910/12/2020



α=33º β=57ºl1=3 m

l2=2 m

A1=5 mm2A2=2 mm2

Cobre: E1=12·1010 N/m2

Hierro: E2=15·1010 N/m2

m=30 kg

P

1T

2T

XY

ˆxuˆyu

+



1 2

1 2 0

0P T T

P T T

M M M

+ + =

+ + =

3. Elegimos nuestro sistema dereferencia y escribimos las ecuacionesen función de sus componentes.

1

2



PT

PT

α=

α + ββ

=α + β

1 1

1 1 1

2 2

2 2 2

l Tl A El Fl Tl E AE

l A E

∆=

∆ σε = = = ⇒

∆=

4. Calculamos el esfuerzo sobre cada uno de los cables y calculamos su deformación utilizando su módulode Young.

1

1 1 1

2

2 2 2

2cos( )(sin(2 ) sin(2 ))

2cos( )(sin(2 ) sin(2 ))

l Pl A El P

l A E

∆ α=

α + β∆ β

=α + β

3010/12/2020



α βα’ β’

1 2 1 1 2 2

1 1 2 2

cos( ) cos( ) ( ) cos( ') ( ) cos( ')(sin( ) sin( ')) sin( ') (sin( ) sin( ')) sin( ')

l l l l l ll l l l

α + β = + ∆ α + + ∆ βα − α + ∆ α = β − β + ∆ β

sin( ') sin( ) cos( )( ' ) ...sin( ') sin( ) cos( )( ' ) ...cos( ') cos( ) sin( )( ' ) ...cos( ') cos( ) sin( )( ' ) ...

α = α + α α −α +β = β + β β −β +α = α − α α −α +β = β − β β −β +

1 2 1 2

1 1 2 2

sin( )( ' ) sin( )( ' ) cos( ) cos( )cos( )( ' ) sin( ) cos( )( ' ) sin( )

l l l ll l l l

α α −α + β β −β = ∆ α + ∆ βα α −α + ∆ α = β β −β + ∆ β

1 2 2

1 1 1

2 2 1

1 1 1

sin( )cos( ) cos( )' ( ' )sin( ) sin( ) sin( )

cos( ) sin( ) sin( )' ( ' )cos( ) cos( ) cos( )

l l ll l l

l l ll l l

∆ ∆ βα βα −α = + − β −β

α α αβ ∆ ∆β α

α −α = β −β + −α α α

1 2

2 2

cos( ) sin( ) cos( ) sin( ) cos( ) sin( )( ' )cos( ) sin( ) sin( ) cos( ) sin( ) cos( )

l ll l

∆ ∆β β α α β β+ β −β = + + − α α α α α α

1 2

2 2

cos( )'sin( ) sin( )

l ll l

∆ ∆ α +ββ −β = +

α +β α +β

1 2

1 1

cos( )sin( ) sin( ) 1'sin( ) sin( ) sin( )

l ll l

∆ ∆α α +β − βα −α = + α α +β α +β

1 2

1 1

1 2

2 2

1 2

1 1

cos( ) cos( )sin( ) sin( )sin( ') sin( )sin( ) sin( )

cos( )sin( ') sin( ) cos( )sin( )

sin( ) cos( )sin( ) sin( )cos( ') cos( )sin( ) sin( )

l ll l

l ll l

l ll l

∆ ∆α α α +β − βα = α + + α +β α

∆ ∆ββ = β + + α +β α +β

∆ ∆α α α +β − βα = α − + α +β α

1 2

2 2

sin( )cos( ') cos( ) cos( )sin( )

l ll l

∆ ∆ββ = β − + α +β α +β

equilibrio estático y elasticidad. introducciónjjgarcia/material_fisicai/7_equilibrio... · 2020....

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