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e
Algebra II, licenciatura. Tarea 5. Variante α.
Transformaciones lineales.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 1%.Demuestre que la funcion f : R2 → R2 definida mediante la siguiente formula no es transforma-cion lineal. Indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.
f(x) =
[−3x1 + 4x2
−x22
].
Ejercicio 2. 2%.Demuestre que la funcion T : P2(R) → P2(R) definida mediante la siguiente regla es una trans-formacion lineal.
(Tf)(x) = (−3x2 + 2x− 2)f ′′(x) + (−x+ 1)f ′(x) + 3f(x).
Calcule la matriz TE asociada a T respecto a la base canonica E = (e0, e1, e2). Para comprobacioncalcule Tg aplicando la regla de correspondencia de T , escriba el vector (Tg)E y calcule elproducto TEgE .
e0(x) = 1, e1(x) = x, e2(x) = x2.
g(x) = x2 − x+ 5.
Ejercicio 3. 2%.Demuestre que la funcion T : M2(R) → M2(R) definida mediante la siguiente regla es unatransformacion lineal.
T(X) = AX− XA, donde A =
[−9 6
−3 7
].
Calcule la matriz asociada a T respecto a la base E = (E1, E2, E3, E4). Para comprobar larespuesta calcule T(Y) de dos maneras diferentes:
1) usando la matriz asociada;
2) aplicando la regla de correspondencia de T .
E1 =
[1 0
0 0
], E2 =
[0 1
0 0
], E3 =
[0 0
1 0
], E4 =
[0 0
0 1
], Y =
[−3 1
−1 1
].
Tarea 5, variante α, pagina 1 de 3
Ejercicio 4. 2%.Sean A y B algunas bases de un espacio vectorial V y sea T : V → V una transformacion lineal.Dadas la matriz TA asociada a T respecto a la base A y la matriz de cambio de base PA,B,calcule la matriz PB,A, compruebe la igualdad PA,BPB,A = I y calcule la matriz TB asociada a Trespecto a la base B.
TA =
−2 4 2
4 −5 5
4 3 4
, PA,B =
2 −1 1
2 0 1
3 1 2
.Ejercicio 5. 2%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Calcule las matrices T(F1), T(F2), T(F3), T(F4) yescriba la matriz TF asociada a la transformacion lineal T respecto a la base F = (F1, F2, F3, F4),donde
F1 =
[1 0
0 0
], F2 =
[0 0
1 0
], F3 =
[0 1
0 0
], F4 =
[0 0
0 1
].
Escriba las matrices de cambio PE ,F y PF ,E , compruebe que PE ,FPF ,E = I y PF ,ETEPE ,F = TF .
Ejercicio 6. 1%.Sean V y W espacios vectoriales reales, sea A = (a1, a2, a3, a4) una base de V y sea B =(b1, b2, b3, b4) una base de W. Se considera una transformacion lineal T : V →W dada por sumatriz asociada TB,A. Construya una base de ker(T) y una base de im(T). Calcule el rango y lanulidad de T . Haga las comprobaciones.
TB,A =
2 −2 2 3
3 −3 0 −11 −4 −1 −22 1 1 1
.Ejercicio 7. 1%; se baja 0.25% por cada error en la tabla.Se consideran tres transformaciones lineales S, T,U dadas por sus matrices asociadas respectoa ciertas bases:
SB,A =
[2 1
5 4
], TD,C =
−1 −21 2
1 2
, UF ,E =
0 0 0
0 2 −53 −4 0
0 5 0
.Llene la siguiente tabla:
S T U
dim(dominio)dim(contradominio)rango := dim(imagen)nulidad := dim(nucleo)¿es inyectiva?¿es suprayectiva?¿es invertible?
Tarea 5, variante α, pagina 2 de 3
Ejercicio 8. 1%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Construya una base de ker(T) y una base deim(T). Halle el rango y la nulidad de T . Haga las comprobaciones.
Ejercicio 9. 2%.Sea P : R3 → R3 la transformacion lineal dada por su matriz asociada con respecto a la basecanonica E . Verifique que P2 = P. Construya una base A de im(P) y una base B de ker(P).Haga las comprobaciones.
PE =
−1 −4 2
−1 −1 1
−3 −6 4
.Ejercicio 10. 1%.Seguimos trabajando con la transformacion lineal P del ejercicio anterior. SeaQ = I−P. Calculela matriz QE . Calcule Q2, PQ y QP multiplicando las matrices asociadas correspondientes.
Ejercicio 11. 2%.Construya una base C de im(Q) y una base D de ker(Q). Muestre que los vectores de C soncombinaciones lineales de los vectores de B y vice versa. Muestre que los vectores de D soncombinaciones lineales de los vectores de A y vice versa. ¿Que significa esto en terminos de lossubespacios im(P), ker(P), im(Q), ker(Q)?.
Ejercicio 12. 1%.
Sea v =[4, −1, 3
]>. Calcule los vectores u = P(v) y w = Q(v). Con comprobaciones
directas muestre que u+w = v, u ∈ ker(Q), w ∈ ker(P).
Ejercicio 13. 1%.Denotemos por F al sistema de vectores que se obtiene al juntar las bases A y B de im(P) y deker(P). Escriba la matriz de transicion de E a F (puede denotarla por UE ,F), calcule su inversay haga la comprobacion.
Ejercicio 14. 1%.Calcule las matrices PF y QF asociadas a las transformaciones lineales P y Q con respecto a labase F del ejercicio anterior. Verifique que
PF +QF = I, P2F = PF , Q2F = QF , PFQF = 0, QFPF = 0.
Tarea 5, variante α, pagina 3 de 3
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Algebra II, licenciatura. Tarea 5. Variante β.
Transformaciones lineales.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 1%.Demuestre que la funcion f : R2 → R2 definida mediante la siguiente formula no es transforma-cion lineal. Indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.
f(x) =
[2x21 + x2
x1 + 3x2
].
Ejercicio 2. 2%.Demuestre que la funcion T : P2(R) → P2(R) definida mediante la siguiente regla es una trans-formacion lineal.
(Tf)(x) = (3x2 − 2x− 1)f ′′(x) + (2x− 3)f ′(x) + 1f(x).
Calcule la matriz TE asociada a T respecto a la base canonica E = (e0, e1, e2). Para comprobacioncalcule Tg aplicando la regla de correspondencia de T , escriba el vector (Tg)E y calcule elproducto TEgE .
e0(x) = 1, e1(x) = x, e2(x) = x2.
g(x) = x2 + 2x− 3.
Ejercicio 3. 2%.Demuestre que la funcion T : M2(R) → M2(R) definida mediante la siguiente regla es unatransformacion lineal.
T(X) = AX− XA, donde A =
[5 8
4 −4
].
Calcule la matriz asociada a T respecto a la base E = (E1, E2, E3, E4). Para comprobar larespuesta calcule T(Y) de dos maneras diferentes:
1) usando la matriz asociada;
2) aplicando la regla de correspondencia de T .
E1 =
[1 0
0 0
], E2 =
[0 1
0 0
], E3 =
[0 0
1 0
], E4 =
[0 0
0 1
], Y =
[3 3
2 −1
].
Tarea 5, variante β, pagina 1 de 3
Ejercicio 4. 2%.Sean A y B algunas bases de un espacio vectorial V y sea T : V → V una transformacion lineal.Dadas la matriz TA asociada a T respecto a la base A y la matriz de cambio de base PA,B,calcule la matriz PB,A, compruebe la igualdad PA,BPB,A = I y calcule la matriz TB asociada a Trespecto a la base B.
TA =
−4 3 2
3 −2 −14 −5 2
, PA,B =
2 0 3
3 1 2
2 1 1
.Ejercicio 5. 2%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Calcule las matrices T(F1), T(F2), T(F3), T(F4) yescriba la matriz TF asociada a la transformacion lineal T respecto a la base F = (F1, F2, F3, F4),donde
F1 =
[1 0
0 0
], F2 =
[0 0
1 0
], F3 =
[0 1
0 0
], F4 =
[0 0
0 1
].
Escriba las matrices de cambio PE ,F y PF ,E , compruebe que PE ,FPF ,E = I y PF ,ETEPE ,F = TF .
Ejercicio 6. 1%.Sean V y W espacios vectoriales reales, sea A = (a1, a2, a3, a4) una base de V y sea B =(b1, b2, b3, b4) una base de W. Se considera una transformacion lineal T : V →W dada por sumatriz asociada TB,A. Construya una base de ker(T) y una base de im(T). Calcule el rango y lanulidad de T . Haga las comprobaciones.
TB,A =
3 −3 0 2
−1 1 3 3
−1 −3 2 2
1 −3 1 2
.Ejercicio 7. 1%; se baja 0.25% por cada error en la tabla.Se consideran tres transformaciones lineales S, T,U dadas por sus matrices asociadas respectoa ciertas bases:
SB,A =
[1 −13 4
], TD,C =
−3 −61 2
−1 −2
, UF ,E =
[−3 2 0 1
3 1 −1 1
].
Llene la siguiente tabla:
S T U
dim(dominio)dim(contradominio)rango := dim(imagen)nulidad := dim(nucleo)¿es inyectiva?¿es suprayectiva?¿es invertible?
Tarea 5, variante β, pagina 2 de 3
Ejercicio 8. 1%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Construya una base de ker(T) y una base deim(T). Halle el rango y la nulidad de T . Haga las comprobaciones.
Ejercicio 9. 2%.Sea P : R3 → R3 la transformacion lineal dada por su matriz asociada con respecto a la basecanonica E . Verifique que P2 = P. Construya una base A de im(P) y una base B de ker(P).Haga las comprobaciones.
PE =
−1 −4 2
−1 −1 1
−3 −6 4
.Ejercicio 10. 1%.Seguimos trabajando con la transformacion lineal P del ejercicio anterior. SeaQ = I−P. Calculela matriz QE . Calcule Q2, PQ y QP multiplicando las matrices asociadas correspondientes.
Ejercicio 11. 2%.Construya una base C de im(Q) y una base D de ker(Q). Muestre que los vectores de C soncombinaciones lineales de los vectores de B y vice versa. Muestre que los vectores de D soncombinaciones lineales de los vectores de A y vice versa. ¿Que significa esto en terminos de lossubespacios im(P), ker(P), im(Q), ker(Q)?.
Ejercicio 12. 1%.
Sea v =[−2, −5, 3
]>. Calcule los vectores u = P(v) y w = Q(v). Con comprobaciones
directas muestre que u+w = v, u ∈ ker(Q), w ∈ ker(P).
Ejercicio 13. 1%.Denotemos por F al sistema de vectores que se obtiene al juntar las bases A y B de im(P) y deker(P). Escriba la matriz de transicion de E a F (puede denotarla por UE ,F), calcule su inversay haga la comprobacion.
Ejercicio 14. 1%.Calcule las matrices PF y QF asociadas a las transformaciones lineales P y Q con respecto a labase F del ejercicio anterior. Verifique que
PF +QF = I, P2F = PF , Q2F = QF , PFQF = 0, QFPF = 0.
Tarea 5, variante β, pagina 3 de 3
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Algebra II, licenciatura. Tarea 5. Variante 1 AJAS.
Transformaciones lineales.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 1%.Demuestre que la funcion f : R2 → R2 definida mediante la siguiente formula no es transforma-cion lineal. Indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.
f(x) =
[−3x1 + x2
x1 + 4x22
].
Ejercicio 2. 2%.Demuestre que la funcion T : P2(R) → P2(R) definida mediante la siguiente regla es una trans-formacion lineal.
(Tf)(x) = (2x2 − 2x− 1)f ′′(x) + (−3x+ 1)f ′(x) + 3f(x).
Calcule la matriz TE asociada a T respecto a la base canonica E = (e0, e1, e2). Para comprobacioncalcule Tg aplicando la regla de correspondencia de T , escriba el vector (Tg)E y calcule elproducto TEgE .
e0(x) = 1, e1(x) = x, e2(x) = x2.
g(x) = −5x2 + x+ 3.
Ejercicio 3. 2%.Demuestre que la funcion T : M2(R) → M2(R) definida mediante la siguiente regla es unatransformacion lineal.
T(X) = AX− XA, donde A =
[1 −12 5
].
Calcule la matriz asociada a T respecto a la base E = (E1, E2, E3, E4). Para comprobar larespuesta calcule T(Y) de dos maneras diferentes:
1) usando la matriz asociada;
2) aplicando la regla de correspondencia de T .
E1 =
[1 0
0 0
], E2 =
[0 1
0 0
], E3 =
[0 0
1 0
], E4 =
[0 0
0 1
], Y =
[1 1
1 1
].
Tarea 5, variante 1 AJAS, pagina 1 de 3
Ejercicio 4. 2%.Sean A y B algunas bases de un espacio vectorial V y sea T : V → V una transformacion lineal.Dadas la matriz TA asociada a T respecto a la base A y la matriz de cambio de base PA,B,calcule la matriz PB,A, compruebe la igualdad PA,BPB,A = I y calcule la matriz TB asociada a Trespecto a la base B.
TA =
−5 5 −53 −1 1
5 3 −2
, PA,B =
−1 1 1
1 0 1
2 1 3
.Ejercicio 5. 2%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Calcule las matrices T(F1), T(F2), T(F3), T(F4) yescriba la matriz TF asociada a la transformacion lineal T respecto a la base F = (F1, F2, F3, F4),donde
F1 =
[1 0
0 0
], F2 =
[0 0
1 0
], F3 =
[0 1
0 0
], F4 =
[0 0
0 1
].
Escriba las matrices de cambio PE ,F y PF ,E , compruebe que PE ,FPF ,E = I y PF ,ETEPE ,F = TF .
Ejercicio 6. 1%.Sean V y W espacios vectoriales reales, sea A = (a1, a2, a3, a4) una base de V y sea B =(b1, b2, b3, b4) una base de W. Se considera una transformacion lineal T : V →W dada por sumatriz asociada TB,A. Construya una base de ker(T) y una base de im(T). Calcule el rango y lanulidad de T . Haga las comprobaciones.
TB,A =
1 −2 1 1
1 −1 2 1
2 2 3 1
−1 3 0 −1
.Ejercicio 7. 1%; se baja 0.25% por cada error en la tabla.Se consideran tres transformaciones lineales S, T,U dadas por sus matrices asociadas respectoa ciertas bases:
SB,A =
1 2
−2 −42 4
, TD,C =
−3 3 −20 2 0
−2 0 0
, UF ,E =
[1 4 −4 1
2 −1 2 1
].
Llene la siguiente tabla:
S T U
dim(dominio)dim(contradominio)rango := dim(imagen)nulidad := dim(nucleo)¿es inyectiva?¿es suprayectiva?¿es invertible?
Tarea 5, variante 1 AJAS, pagina 2 de 3
Ejercicio 8. 1%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Construya una base de ker(T) y una base deim(T). Halle el rango y la nulidad de T . Haga las comprobaciones.
Ejercicio 9. 2%.Sea P : R3 → R3 la transformacion lineal dada por su matriz asociada con respecto a la basecanonica E . Verifique que P2 = P. Construya una base A de im(P) y una base B de ker(P).Haga las comprobaciones.
PE =
5 −2 −46 −2 −62 −1 −1
.Ejercicio 10. 1%.Seguimos trabajando con la transformacion lineal P del ejercicio anterior. SeaQ = I−P. Calculela matriz QE . Calcule Q2, PQ y QP multiplicando las matrices asociadas correspondientes.
Ejercicio 11. 2%.Construya una base C de im(Q) y una base D de ker(Q). Muestre que los vectores de C soncombinaciones lineales de los vectores de B y vice versa. Muestre que los vectores de D soncombinaciones lineales de los vectores de A y vice versa. ¿Que significa esto en terminos de lossubespacios im(P), ker(P), im(Q), ker(Q)?.
Ejercicio 12. 1%.
Sea v =[1, −5, −1
]>. Calcule los vectores u = P(v) y w = Q(v). Con comprobaciones
directas muestre que u+w = v, u ∈ ker(Q), w ∈ ker(P).
Ejercicio 13. 1%.Denotemos por F al sistema de vectores que se obtiene al juntar las bases A y B de im(P) y deker(P). Escriba la matriz de transicion de E a F (puede denotarla por UE ,F), calcule su inversay haga la comprobacion.
Ejercicio 14. 1%.Calcule las matrices PF y QF asociadas a las transformaciones lineales P y Q con respecto a labase F del ejercicio anterior. Verifique que
PF +QF = I, P2F = PF , Q2F = QF , PFQF = 0, QFPF = 0.
Tarea 5, variante 1 AJAS, pagina 3 de 3
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peaq
uı
No
dobl
e
Algebra II, licenciatura. Tarea 5. Variante 2 BTCF.
Transformaciones lineales.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 1%.Demuestre que la funcion f : R2 → R2 definida mediante la siguiente formula no es transforma-cion lineal. Indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.
f(x) =
[−x2
4
].
Ejercicio 2. 2%.Demuestre que la funcion T : P2(R) → P2(R) definida mediante la siguiente regla es una trans-formacion lineal.
(Tf)(x) = (x2 − x− 3)f ′′(x) + (−2x+ 2)f ′(x) + 3f(x).
Calcule la matriz TE asociada a T respecto a la base canonica E = (e0, e1, e2). Para comprobacioncalcule Tg aplicando la regla de correspondencia de T , escriba el vector (Tg)E y calcule elproducto TEgE .
e0(x) = 1, e1(x) = x, e2(x) = x2.
g(x) = x2 − x+ 3.
Ejercicio 3. 2%.Demuestre que la funcion T : M2(R) → M2(R) definida mediante la siguiente regla es unatransformacion lineal.
T(X) = AX− XA, donde A =
[−3 −9−5 1
].
Calcule la matriz asociada a T respecto a la base E = (E1, E2, E3, E4). Para comprobar larespuesta calcule T(Y) de dos maneras diferentes:
1) usando la matriz asociada;
2) aplicando la regla de correspondencia de T .
E1 =
[1 0
0 0
], E2 =
[0 1
0 0
], E3 =
[0 0
1 0
], E4 =
[0 0
0 1
], Y =
[−3 5
3 −5
].
Tarea 5, variante 2 BTCF, pagina 1 de 3
Ejercicio 4. 2%.Sean A y B algunas bases de un espacio vectorial V y sea T : V → V una transformacion lineal.Dadas la matriz TA asociada a T respecto a la base A y la matriz de cambio de base PA,B,calcule la matriz PB,A, compruebe la igualdad PA,BPB,A = I y calcule la matriz TB asociada a Trespecto a la base B.
TA =
1 2 −12 2 −21 −1 1
, PA,B =
3 1 2
2 1 0
4 2 1
.Ejercicio 5. 2%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Calcule las matrices T(F1), T(F2), T(F3), T(F4) yescriba la matriz TF asociada a la transformacion lineal T respecto a la base F = (F1, F2, F3, F4),donde
F1 =
[1 0
0 0
], F2 =
[0 0
1 0
], F3 =
[0 1
0 0
], F4 =
[0 0
0 1
].
Escriba las matrices de cambio PE ,F y PF ,E , compruebe que PE ,FPF ,E = I y PF ,ETEPE ,F = TF .
Ejercicio 6. 1%.Sean V y W espacios vectoriales reales, sea A = (a1, a2, a3, a4) una base de V y sea B =(b1, b2, b3, b4) una base de W. Se considera una transformacion lineal T : V →W dada por sumatriz asociada TB,A. Construya una base de ker(T) y una base de im(T). Calcule el rango y lanulidad de T . Haga las comprobaciones.
TB,A =
−1 −1 −1 1
1 3 4 2
1 2 3 0
1 3 3 3
.Ejercicio 7. 1%; se baja 0.25% por cada error en la tabla.Se consideran tres transformaciones lineales S, T,U dadas por sus matrices asociadas respectoa ciertas bases:
SB,A =
−1 0
3 2
1 1
, TD,C =
[2 −43 4
], UF ,E =
2 −4 1 −35 2 0 4
−4 0 0 −1
.Llene la siguiente tabla:
S T U
dim(dominio)dim(contradominio)rango := dim(imagen)nulidad := dim(nucleo)¿es inyectiva?¿es suprayectiva?¿es invertible?
Tarea 5, variante 2 BTCF, pagina 2 de 3
Ejercicio 8. 1%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Construya una base de ker(T) y una base deim(T). Halle el rango y la nulidad de T . Haga las comprobaciones.
Ejercicio 9. 2%.Sea P : R3 → R3 la transformacion lineal dada por su matriz asociada con respecto a la basecanonica E . Verifique que P2 = P. Construya una base A de im(P) y una base B de ker(P).Haga las comprobaciones.
PE =
−1 −4 2
−1 −1 1
−3 −6 4
.Ejercicio 10. 1%.Seguimos trabajando con la transformacion lineal P del ejercicio anterior. SeaQ = I−P. Calculela matriz QE . Calcule Q2, PQ y QP multiplicando las matrices asociadas correspondientes.
Ejercicio 11. 2%.Construya una base C de im(Q) y una base D de ker(Q). Muestre que los vectores de C soncombinaciones lineales de los vectores de B y vice versa. Muestre que los vectores de D soncombinaciones lineales de los vectores de A y vice versa. ¿Que significa esto en terminos de lossubespacios im(P), ker(P), im(Q), ker(Q)?.
Ejercicio 12. 1%.
Sea v =[−1, 1, −3
]>. Calcule los vectores u = P(v) y w = Q(v). Con comprobaciones
directas muestre que u+w = v, u ∈ ker(Q), w ∈ ker(P).
Ejercicio 13. 1%.Denotemos por F al sistema de vectores que se obtiene al juntar las bases A y B de im(P) y deker(P). Escriba la matriz de transicion de E a F (puede denotarla por UE ,F), calcule su inversay haga la comprobacion.
Ejercicio 14. 1%.Calcule las matrices PF y QF asociadas a las transformaciones lineales P y Q con respecto a labase F del ejercicio anterior. Verifique que
PF +QF = I, P2F = PF , Q2F = QF , PFQF = 0, QFPF = 0.
Tarea 5, variante 2 BTCF, pagina 3 de 3
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Algebra II, licenciatura. Tarea 5. Variante 3 CSA.
Transformaciones lineales.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 1%.Demuestre que la funcion f : R2 → R2 definida mediante la siguiente formula no es transforma-cion lineal. Indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.
f(x) =
[x1 − 4x2
3x2 − 2
].
Ejercicio 2. 2%.Demuestre que la funcion T : P2(R) → P2(R) definida mediante la siguiente regla es una trans-formacion lineal.
(Tf)(x) = (x2 − x− 3)f ′′(x) + (3x+ 2)f ′(x) − 2f(x).
Calcule la matriz TE asociada a T respecto a la base canonica E = (e0, e1, e2). Para comprobacioncalcule Tg aplicando la regla de correspondencia de T , escriba el vector (Tg)E y calcule elproducto TEgE .
e0(x) = 1, e1(x) = x, e2(x) = x2.
g(x) = x2 + 3x− 5.
Ejercicio 3. 2%.Demuestre que la funcion T : M2(R) → M2(R) definida mediante la siguiente regla es unatransformacion lineal.
T(X) = AX− XA, donde A =
[9 −9
−3 −4
].
Calcule la matriz asociada a T respecto a la base E = (E1, E2, E3, E4). Para comprobar larespuesta calcule T(Y) de dos maneras diferentes:
1) usando la matriz asociada;
2) aplicando la regla de correspondencia de T .
E1 =
[1 0
0 0
], E2 =
[0 1
0 0
], E3 =
[0 0
1 0
], E4 =
[0 0
0 1
], Y =
[5 −2
−1 2
].
Tarea 5, variante 3 CSA, pagina 1 de 3
Ejercicio 4. 2%.Sean A y B algunas bases de un espacio vectorial V y sea T : V → V una transformacion lineal.Dadas la matriz TA asociada a T respecto a la base A y la matriz de cambio de base PA,B,calcule la matriz PB,A, compruebe la igualdad PA,BPB,A = I y calcule la matriz TB asociada a Trespecto a la base B.
TA =
3 −2 −13 2 −41 4 −5
, PA,B =
1 2 2
1 3 2
1 3 3
.Ejercicio 5. 2%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Calcule las matrices T(F1), T(F2), T(F3), T(F4) yescriba la matriz TF asociada a la transformacion lineal T respecto a la base F = (F1, F2, F3, F4),donde
F1 =
[1 0
0 0
], F2 =
[0 0
1 0
], F3 =
[0 1
0 0
], F4 =
[0 0
0 1
].
Escriba las matrices de cambio PE ,F y PF ,E , compruebe que PE ,FPF ,E = I y PF ,ETEPE ,F = TF .
Ejercicio 6. 1%.Sean V y W espacios vectoriales reales, sea A = (a1, a2, a3, a4) una base de V y sea B =(b1, b2, b3, b4) una base de W. Se considera una transformacion lineal T : V →W dada por sumatriz asociada TB,A. Construya una base de ker(T) y una base de im(T). Calcule el rango y lanulidad de T . Haga las comprobaciones.
TB,A =
1 1 −3 1
0 1 −3 1
−3 2 −3 1
1 −1 3 −1
.Ejercicio 7. 1%; se baja 0.25% por cada error en la tabla.Se consideran tres transformaciones lineales S, T,U dadas por sus matrices asociadas respectoa ciertas bases:
SB,A =
[2 1 1 −43 1 2 −4
], TD,C =
[2 −21 −3
], UF ,E =
2 −4 3
−2 0 5
0 0 −40 0 0
.Llene la siguiente tabla:
S T U
dim(dominio)dim(contradominio)rango := dim(imagen)nulidad := dim(nucleo)¿es inyectiva?¿es suprayectiva?¿es invertible?
Tarea 5, variante 3 CSA, pagina 2 de 3
Ejercicio 8. 1%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Construya una base de ker(T) y una base deim(T). Halle el rango y la nulidad de T . Haga las comprobaciones.
Ejercicio 9. 2%.Sea P : R3 → R3 la transformacion lineal dada por su matriz asociada con respecto a la basecanonica E . Verifique que P2 = P. Construya una base A de im(P) y una base B de ker(P).Haga las comprobaciones.
PE =
−1 2 −1−4 5 −2−6 6 −2
.Ejercicio 10. 1%.Seguimos trabajando con la transformacion lineal P del ejercicio anterior. SeaQ = I−P. Calculela matriz QE . Calcule Q2, PQ y QP multiplicando las matrices asociadas correspondientes.
Ejercicio 11. 2%.Construya una base C de im(Q) y una base D de ker(Q). Muestre que los vectores de C soncombinaciones lineales de los vectores de B y vice versa. Muestre que los vectores de D soncombinaciones lineales de los vectores de A y vice versa. ¿Que significa esto en terminos de lossubespacios im(P), ker(P), im(Q), ker(Q)?.
Ejercicio 12. 1%.
Sea v =[−4, −1, 1
]>. Calcule los vectores u = P(v) y w = Q(v). Con comprobaciones
directas muestre que u+w = v, u ∈ ker(Q), w ∈ ker(P).
Ejercicio 13. 1%.Denotemos por F al sistema de vectores que se obtiene al juntar las bases A y B de im(P) y deker(P). Escriba la matriz de transicion de E a F (puede denotarla por UE ,F), calcule su inversay haga la comprobacion.
Ejercicio 14. 1%.Calcule las matrices PF y QF asociadas a las transformaciones lineales P y Q con respecto a labase F del ejercicio anterior. Verifique que
PF +QF = I, P2F = PF , Q2F = QF , PFQF = 0, QFPF = 0.
Tarea 5, variante 3 CSA, pagina 3 de 3
Engra
peaq
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No
dobl
e
Algebra II, licenciatura. Tarea 5. Variante 4 CNKM.
Transformaciones lineales.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 1%.Demuestre que la funcion f : R2 → R2 definida mediante la siguiente formula no es transforma-cion lineal. Indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.
f(x) =
[−x21 − x2
−3x1 − 3x2
].
Ejercicio 2. 2%.Demuestre que la funcion T : P2(R) → P2(R) definida mediante la siguiente regla es una trans-formacion lineal.
(Tf)(x) = (−2x2 − 3x− 1)f ′′(x) + (2x+ 3)f ′(x) + 1f(x).
Calcule la matriz TE asociada a T respecto a la base canonica E = (e0, e1, e2). Para comprobacioncalcule Tg aplicando la regla de correspondencia de T , escriba el vector (Tg)E y calcule elproducto TEgE .
e0(x) = 1, e1(x) = x, e2(x) = x2.
g(x) = 4x2 − 3x+ 5.
Ejercicio 3. 2%.Demuestre que la funcion T : M2(R) → M2(R) definida mediante la siguiente regla es unatransformacion lineal.
T(X) = AX− XA, donde A =
[2 −1
−8 −4
].
Calcule la matriz asociada a T respecto a la base E = (E1, E2, E3, E4). Para comprobar larespuesta calcule T(Y) de dos maneras diferentes:
1) usando la matriz asociada;
2) aplicando la regla de correspondencia de T .
E1 =
[1 0
0 0
], E2 =
[0 1
0 0
], E3 =
[0 0
1 0
], E4 =
[0 0
0 1
], Y =
[1 1
3 4
].
Tarea 5, variante 4 CNKM, pagina 1 de 3
Ejercicio 4. 2%.Sean A y B algunas bases de un espacio vectorial V y sea T : V → V una transformacion lineal.Dadas la matriz TA asociada a T respecto a la base A y la matriz de cambio de base PA,B,calcule la matriz PB,A, compruebe la igualdad PA,BPB,A = I y calcule la matriz TB asociada a Trespecto a la base B.
TA =
−4 4 1
−2 0 3
−1 1 3
, PA,B =
2 −1 1
2 0 1
3 1 2
.Ejercicio 5. 2%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Calcule las matrices T(F1), T(F2), T(F3), T(F4) yescriba la matriz TF asociada a la transformacion lineal T respecto a la base F = (F1, F2, F3, F4),donde
F1 =
[1 0
0 0
], F2 =
[0 0
1 0
], F3 =
[0 1
0 0
], F4 =
[0 0
0 1
].
Escriba las matrices de cambio PE ,F y PF ,E , compruebe que PE ,FPF ,E = I y PF ,ETEPE ,F = TF .
Ejercicio 6. 1%.Sean V y W espacios vectoriales reales, sea A = (a1, a2, a3, a4) una base de V y sea B =(b1, b2, b3, b4) una base de W. Se considera una transformacion lineal T : V →W dada por sumatriz asociada TB,A. Construya una base de ker(T) y una base de im(T). Calcule el rango y lanulidad de T . Haga las comprobaciones.
TB,A =
2 1 4 2
1 1 3 1
−1 0 −1 −13 3 −4 4
.Ejercicio 7. 1%; se baja 0.25% por cada error en la tabla.Se consideran tres transformaciones lineales S, T,U dadas por sus matrices asociadas respectoa ciertas bases:
SB,A =
[−6 −2 −6 6
3 1 3 −3
], TD,C =
2 5 3 1
4 0 0 −10 0 5 −4
, UF ,E =
−2 −21 1
4 3
.Llene la siguiente tabla:
S T U
dim(dominio)dim(contradominio)rango := dim(imagen)nulidad := dim(nucleo)¿es inyectiva?¿es suprayectiva?¿es invertible?
Tarea 5, variante 4 CNKM, pagina 2 de 3
Ejercicio 8. 1%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Construya una base de ker(T) y una base deim(T). Halle el rango y la nulidad de T . Haga las comprobaciones.
Ejercicio 9. 2%.Sea P : R3 → R3 la transformacion lineal dada por su matriz asociada con respecto a la basecanonica E . Verifique que P2 = P. Construya una base A de im(P) y una base B de ker(P).Haga las comprobaciones.
PE =
−2 6 −6−2 5 −4−1 2 −1
.Ejercicio 10. 1%.Seguimos trabajando con la transformacion lineal P del ejercicio anterior. SeaQ = I−P. Calculela matriz QE . Calcule Q2, PQ y QP multiplicando las matrices asociadas correspondientes.
Ejercicio 11. 2%.Construya una base C de im(Q) y una base D de ker(Q). Muestre que los vectores de C soncombinaciones lineales de los vectores de B y vice versa. Muestre que los vectores de D soncombinaciones lineales de los vectores de A y vice versa. ¿Que significa esto en terminos de lossubespacios im(P), ker(P), im(Q), ker(Q)?.
Ejercicio 12. 1%.
Sea v =[−4, −4, 3
]>. Calcule los vectores u = P(v) y w = Q(v). Con comprobaciones
directas muestre que u+w = v, u ∈ ker(Q), w ∈ ker(P).
Ejercicio 13. 1%.Denotemos por F al sistema de vectores que se obtiene al juntar las bases A y B de im(P) y deker(P). Escriba la matriz de transicion de E a F (puede denotarla por UE ,F), calcule su inversay haga la comprobacion.
Ejercicio 14. 1%.Calcule las matrices PF y QF asociadas a las transformaciones lineales P y Q con respecto a labase F del ejercicio anterior. Verifique que
PF +QF = I, P2F = PF , Q2F = QF , PFQF = 0, QFPF = 0.
Tarea 5, variante 4 CNKM, pagina 3 de 3
Engra
peaq
uı
No
dobl
e
Algebra II, licenciatura. Tarea 5. Variante 5 CNLE.
Transformaciones lineales.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 1%.Demuestre que la funcion f : R2 → R2 definida mediante la siguiente formula no es transforma-cion lineal. Indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.
f(x) =
[3x2 + 3
5x1 + 5x2
].
Ejercicio 2. 2%.Demuestre que la funcion T : P2(R) → P2(R) definida mediante la siguiente regla es una trans-formacion lineal.
(Tf)(x) = (3x2 − 3x− 1)f ′′(x) + (−2x+ 2)f ′(x) + 1f(x).
Calcule la matriz TE asociada a T respecto a la base canonica E = (e0, e1, e2). Para comprobacioncalcule Tg aplicando la regla de correspondencia de T , escriba el vector (Tg)E y calcule elproducto TEgE .
e0(x) = 1, e1(x) = x, e2(x) = x2.
g(x) = −3x2 + 3x+ 2.
Ejercicio 3. 2%.Demuestre que la funcion T : M2(R) → M2(R) definida mediante la siguiente regla es unatransformacion lineal.
T(X) = AX− XA, donde A =
[−7 −35 8
].
Calcule la matriz asociada a T respecto a la base E = (E1, E2, E3, E4). Para comprobar larespuesta calcule T(Y) de dos maneras diferentes:
1) usando la matriz asociada;
2) aplicando la regla de correspondencia de T .
E1 =
[1 0
0 0
], E2 =
[0 1
0 0
], E3 =
[0 0
1 0
], E4 =
[0 0
0 1
], Y =
[−4 −12 2
].
Tarea 5, variante 5 CNLE, pagina 1 de 3
Ejercicio 4. 2%.Sean A y B algunas bases de un espacio vectorial V y sea T : V → V una transformacion lineal.Dadas la matriz TA asociada a T respecto a la base A y la matriz de cambio de base PA,B,calcule la matriz PB,A, compruebe la igualdad PA,BPB,A = I y calcule la matriz TB asociada a Trespecto a la base B.
TA =
−3 2 −45 3 −3
−5 1 2
, PA,B =
−2 1 1
2 1 2
−1 1 1
.Ejercicio 5. 2%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Calcule las matrices T(F1), T(F2), T(F3), T(F4) yescriba la matriz TF asociada a la transformacion lineal T respecto a la base F = (F1, F2, F3, F4),donde
F1 =
[1 0
0 0
], F2 =
[0 0
1 0
], F3 =
[0 1
0 0
], F4 =
[0 0
0 1
].
Escriba las matrices de cambio PE ,F y PF ,E , compruebe que PE ,FPF ,E = I y PF ,ETEPE ,F = TF .
Ejercicio 6. 1%.Sean V y W espacios vectoriales reales, sea A = (a1, a2, a3, a4) una base de V y sea B =(b1, b2, b3, b4) una base de W. Se considera una transformacion lineal T : V →W dada por sumatriz asociada TB,A. Construya una base de ker(T) y una base de im(T). Calcule el rango y lanulidad de T . Haga las comprobaciones.
TB,A =
−3 −1 −1 −2−3 2 1 2
4 4 2 3
1 3 1 1
.Ejercicio 7. 1%; se baja 0.25% por cada error en la tabla.Se consideran tres transformaciones lineales S, T,U dadas por sus matrices asociadas respectoa ciertas bases:
SB,A =
2 5
2 4
1 2
, TD,C =
[5 1
−5 −3
], UF ,E =
[2 2 2 −61 1 1 −3
].
Llene la siguiente tabla:
S T U
dim(dominio)dim(contradominio)rango := dim(imagen)nulidad := dim(nucleo)¿es inyectiva?¿es suprayectiva?¿es invertible?
Tarea 5, variante 5 CNLE, pagina 2 de 3
Ejercicio 8. 1%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Construya una base de ker(T) y una base deim(T). Halle el rango y la nulidad de T . Haga las comprobaciones.
Ejercicio 9. 2%.Sea P : R3 → R3 la transformacion lineal dada por su matriz asociada con respecto a la basecanonica E . Verifique que P2 = P. Construya una base A de im(P) y una base B de ker(P).Haga las comprobaciones.
PE =
5 −2 −46 −2 −62 −1 −1
.Ejercicio 10. 1%.Seguimos trabajando con la transformacion lineal P del ejercicio anterior. SeaQ = I−P. Calculela matriz QE . Calcule Q2, PQ y QP multiplicando las matrices asociadas correspondientes.
Ejercicio 11. 2%.Construya una base C de im(Q) y una base D de ker(Q). Muestre que los vectores de C soncombinaciones lineales de los vectores de B y vice versa. Muestre que los vectores de D soncombinaciones lineales de los vectores de A y vice versa. ¿Que significa esto en terminos de lossubespacios im(P), ker(P), im(Q), ker(Q)?.
Ejercicio 12. 1%.
Sea v =[3, −1, −2
]>. Calcule los vectores u = P(v) y w = Q(v). Con comprobaciones
directas muestre que u+w = v, u ∈ ker(Q), w ∈ ker(P).
Ejercicio 13. 1%.Denotemos por F al sistema de vectores que se obtiene al juntar las bases A y B de im(P) y deker(P). Escriba la matriz de transicion de E a F (puede denotarla por UE ,F), calcule su inversay haga la comprobacion.
Ejercicio 14. 1%.Calcule las matrices PF y QF asociadas a las transformaciones lineales P y Q con respecto a labase F del ejercicio anterior. Verifique que
PF +QF = I, P2F = PF , Q2F = QF , PFQF = 0, QFPF = 0.
Tarea 5, variante 5 CNLE, pagina 3 de 3
Engra
peaq
uı
No
dobl
e
Algebra II, licenciatura. Tarea 5. Variante 6 DPE.
Transformaciones lineales.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 1%.Demuestre que la funcion f : R2 → R2 definida mediante la siguiente formula no es transforma-cion lineal. Indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.
f(x) =
[2x1x2
x1 + 4x2
].
Ejercicio 2. 2%.Demuestre que la funcion T : P2(R) → P2(R) definida mediante la siguiente regla es una trans-formacion lineal.
(Tf)(x) = (3x2 − 2x+ 1)f ′′(x) + (−3x+ 2)f ′(x) − 1f(x).
Calcule la matriz TE asociada a T respecto a la base canonica E = (e0, e1, e2). Para comprobacioncalcule Tg aplicando la regla de correspondencia de T , escriba el vector (Tg)E y calcule elproducto TEgE .
e0(x) = 1, e1(x) = x, e2(x) = x2.
g(x) = −2x2 + 2x+ 5.
Ejercicio 3. 2%.Demuestre que la funcion T : M2(R) → M2(R) definida mediante la siguiente regla es unatransformacion lineal.
T(X) = AX− XA, donde A =
[3 7
5 −9
].
Calcule la matriz asociada a T respecto a la base E = (E1, E2, E3, E4). Para comprobar larespuesta calcule T(Y) de dos maneras diferentes:
1) usando la matriz asociada;
2) aplicando la regla de correspondencia de T .
E1 =
[1 0
0 0
], E2 =
[0 1
0 0
], E3 =
[0 0
1 0
], E4 =
[0 0
0 1
], Y =
[1 −2
−1 5
].
Tarea 5, variante 6 DPE, pagina 1 de 3
Ejercicio 4. 2%.Sean A y B algunas bases de un espacio vectorial V y sea T : V → V una transformacion lineal.Dadas la matriz TA asociada a T respecto a la base A y la matriz de cambio de base PA,B,calcule la matriz PB,A, compruebe la igualdad PA,BPB,A = I y calcule la matriz TB asociada a Trespecto a la base B.
TA =
3 0 −41 −1 2
4 −3 5
, PA,B =
1 1 1
1 1 2
1 0 1
.Ejercicio 5. 2%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Calcule las matrices T(F1), T(F2), T(F3), T(F4) yescriba la matriz TF asociada a la transformacion lineal T respecto a la base F = (F1, F2, F3, F4),donde
F1 =
[1 0
0 0
], F2 =
[0 0
1 0
], F3 =
[0 1
0 0
], F4 =
[0 0
0 1
].
Escriba las matrices de cambio PE ,F y PF ,E , compruebe que PE ,FPF ,E = I y PF ,ETEPE ,F = TF .
Ejercicio 6. 1%.Sean V y W espacios vectoriales reales, sea A = (a1, a2, a3, a4) una base de V y sea B =(b1, b2, b3, b4) una base de W. Se considera una transformacion lineal T : V →W dada por sumatriz asociada TB,A. Construya una base de ker(T) y una base de im(T). Calcule el rango y lanulidad de T . Haga las comprobaciones.
TB,A =
1 −1 1 2
3 4 2 3
3 3 2 2
1 0 1 3
.Ejercicio 7. 1%; se baja 0.25% por cada error en la tabla.Se consideran tres transformaciones lineales S, T,U dadas por sus matrices asociadas respectoa ciertas bases:
SB,A =
[3 3 1 2
−6 −6 −2 −4
], TD,C =
3 1
2 1
−2 0
, UF ,E =
4 −2 −4 1
5 0 2 −10 0 1 5
.Llene la siguiente tabla:
S T U
dim(dominio)dim(contradominio)rango := dim(imagen)nulidad := dim(nucleo)¿es inyectiva?¿es suprayectiva?¿es invertible?
Tarea 5, variante 6 DPE, pagina 2 de 3
Ejercicio 8. 1%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Construya una base de ker(T) y una base deim(T). Halle el rango y la nulidad de T . Haga las comprobaciones.
Ejercicio 9. 2%.Sea P : R3 → R3 la transformacion lineal dada por su matriz asociada con respecto a la basecanonica E . Verifique que P2 = P. Construya una base A de im(P) y una base B de ker(P).Haga las comprobaciones.
PE =
−1 −4 2
−1 −1 1
−3 −6 4
.Ejercicio 10. 1%.Seguimos trabajando con la transformacion lineal P del ejercicio anterior. SeaQ = I−P. Calculela matriz QE . Calcule Q2, PQ y QP multiplicando las matrices asociadas correspondientes.
Ejercicio 11. 2%.Construya una base C de im(Q) y una base D de ker(Q). Muestre que los vectores de C soncombinaciones lineales de los vectores de B y vice versa. Muestre que los vectores de D soncombinaciones lineales de los vectores de A y vice versa. ¿Que significa esto en terminos de lossubespacios im(P), ker(P), im(Q), ker(Q)?.
Ejercicio 12. 1%.
Sea v =[−2, −6, 3
]>. Calcule los vectores u = P(v) y w = Q(v). Con comprobaciones
directas muestre que u+w = v, u ∈ ker(Q), w ∈ ker(P).
Ejercicio 13. 1%.Denotemos por F al sistema de vectores que se obtiene al juntar las bases A y B de im(P) y deker(P). Escriba la matriz de transicion de E a F (puede denotarla por UE ,F), calcule su inversay haga la comprobacion.
Ejercicio 14. 1%.Calcule las matrices PF y QF asociadas a las transformaciones lineales P y Q con respecto a labase F del ejercicio anterior. Verifique que
PF +QF = I, P2F = PF , Q2F = QF , PFQF = 0, QFPF = 0.
Tarea 5, variante 6 DPE, pagina 3 de 3
Engra
peaq
uı
No
dobl
e
Algebra II, licenciatura. Tarea 5. Variante 7 DEER.
Transformaciones lineales.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 1%.Demuestre que la funcion f : R2 → R2 definida mediante la siguiente formula no es transforma-cion lineal. Indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.
f(x) =
[x1 + 4x2
−3x1 + x2 + 3
].
Ejercicio 2. 2%.Demuestre que la funcion T : P2(R) → P2(R) definida mediante la siguiente regla es una trans-formacion lineal.
(Tf)(x) = (−3x2 + 2x+ 1)f ′′(x) + (3x− 1)f ′(x) − 2f(x).
Calcule la matriz TE asociada a T respecto a la base canonica E = (e0, e1, e2). Para comprobacioncalcule Tg aplicando la regla de correspondencia de T , escriba el vector (Tg)E y calcule elproducto TEgE .
e0(x) = 1, e1(x) = x, e2(x) = x2.
g(x) = 3x2 − 4x+ 1.
Ejercicio 3. 2%.Demuestre que la funcion T : M2(R) → M2(R) definida mediante la siguiente regla es unatransformacion lineal.
T(X) = AX− XA, donde A =
[7 −59 −1
].
Calcule la matriz asociada a T respecto a la base E = (E1, E2, E3, E4). Para comprobar larespuesta calcule T(Y) de dos maneras diferentes:
1) usando la matriz asociada;
2) aplicando la regla de correspondencia de T .
E1 =
[1 0
0 0
], E2 =
[0 1
0 0
], E3 =
[0 0
1 0
], E4 =
[0 0
0 1
], Y =
[−2 2
−5 3
].
Tarea 5, variante 7 DEER, pagina 1 de 3
Ejercicio 4. 2%.Sean A y B algunas bases de un espacio vectorial V y sea T : V → V una transformacion lineal.Dadas la matriz TA asociada a T respecto a la base A y la matriz de cambio de base PA,B,calcule la matriz PB,A, compruebe la igualdad PA,BPB,A = I y calcule la matriz TB asociada a Trespecto a la base B.
TA =
−3 1 1
−3 2 2
3 2 −2
, PA,B =
2 1 1
1 1 0
2 2 1
.Ejercicio 5. 2%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Calcule las matrices T(F1), T(F2), T(F3), T(F4) yescriba la matriz TF asociada a la transformacion lineal T respecto a la base F = (F1, F2, F3, F4),donde
F1 =
[1 0
0 0
], F2 =
[0 0
1 0
], F3 =
[0 1
0 0
], F4 =
[0 0
0 1
].
Escriba las matrices de cambio PE ,F y PF ,E , compruebe que PE ,FPF ,E = I y PF ,ETEPE ,F = TF .
Ejercicio 6. 1%.Sean V y W espacios vectoriales reales, sea A = (a1, a2, a3, a4) una base de V y sea B =(b1, b2, b3, b4) una base de W. Se considera una transformacion lineal T : V →W dada por sumatriz asociada TB,A. Construya una base de ker(T) y una base de im(T). Calcule el rango y lanulidad de T . Haga las comprobaciones.
TB,A =
1 2 0 4
3 1 2 1
1 −1 1 −34 2 2 2
.Ejercicio 7. 1%; se baja 0.25% por cada error en la tabla.Se consideran tres transformaciones lineales S, T,U dadas por sus matrices asociadas respectoa ciertas bases:
SB,A =
−4 0 1
0 0 0
3 1 0
0 5 0
, TD,C =
−4 −22 1
2 1
, UF ,E =
3 0 −10 2 1
0 0 −1
.Llene la siguiente tabla:
S T U
dim(dominio)dim(contradominio)rango := dim(imagen)nulidad := dim(nucleo)¿es inyectiva?¿es suprayectiva?¿es invertible?
Tarea 5, variante 7 DEER, pagina 2 de 3
Ejercicio 8. 1%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Construya una base de ker(T) y una base deim(T). Halle el rango y la nulidad de T . Haga las comprobaciones.
Ejercicio 9. 2%.Sea P : R3 → R3 la transformacion lineal dada por su matriz asociada con respecto a la basecanonica E . Verifique que P2 = P. Construya una base A de im(P) y una base B de ker(P).Haga las comprobaciones.
PE =
−1 2 −1−4 5 −2−6 6 −2
.Ejercicio 10. 1%.Seguimos trabajando con la transformacion lineal P del ejercicio anterior. SeaQ = I−P. Calculela matriz QE . Calcule Q2, PQ y QP multiplicando las matrices asociadas correspondientes.
Ejercicio 11. 2%.Construya una base C de im(Q) y una base D de ker(Q). Muestre que los vectores de C soncombinaciones lineales de los vectores de B y vice versa. Muestre que los vectores de D soncombinaciones lineales de los vectores de A y vice versa. ¿Que significa esto en terminos de lossubespacios im(P), ker(P), im(Q), ker(Q)?.
Ejercicio 12. 1%.
Sea v =[2, 1, −6
]>. Calcule los vectores u = P(v) y w = Q(v). Con comprobaciones
directas muestre que u+w = v, u ∈ ker(Q), w ∈ ker(P).
Ejercicio 13. 1%.Denotemos por F al sistema de vectores que se obtiene al juntar las bases A y B de im(P) y deker(P). Escriba la matriz de transicion de E a F (puede denotarla por UE ,F), calcule su inversay haga la comprobacion.
Ejercicio 14. 1%.Calcule las matrices PF y QF asociadas a las transformaciones lineales P y Q con respecto a labase F del ejercicio anterior. Verifique que
PF +QF = I, P2F = PF , Q2F = QF , PFQF = 0, QFPF = 0.
Tarea 5, variante 7 DEER, pagina 3 de 3
Engra
peaq
uı
No
dobl
e
Algebra II, licenciatura. Tarea 5. Variante 8 DLRTH.
Transformaciones lineales.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 1%.Demuestre que la funcion f : R2 → R2 definida mediante la siguiente formula no es transforma-cion lineal. Indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.
f(x) =
[−3x1 + x2 + 3
−x2
].
Ejercicio 2. 2%.Demuestre que la funcion T : P2(R) → P2(R) definida mediante la siguiente regla es una trans-formacion lineal.
(Tf)(x) = (x2 + 3x− 3)f ′′(x) + (2x− 2)f ′(x) − 1f(x).
Calcule la matriz TE asociada a T respecto a la base canonica E = (e0, e1, e2). Para comprobacioncalcule Tg aplicando la regla de correspondencia de T , escriba el vector (Tg)E y calcule elproducto TEgE .
e0(x) = 1, e1(x) = x, e2(x) = x2.
g(x) = −2x2 + 2x+ 5.
Ejercicio 3. 2%.Demuestre que la funcion T : M2(R) → M2(R) definida mediante la siguiente regla es unatransformacion lineal.
T(X) = AX− XA, donde A =
[8 −39 6
].
Calcule la matriz asociada a T respecto a la base E = (E1, E2, E3, E4). Para comprobar larespuesta calcule T(Y) de dos maneras diferentes:
1) usando la matriz asociada;
2) aplicando la regla de correspondencia de T .
E1 =
[1 0
0 0
], E2 =
[0 1
0 0
], E3 =
[0 0
1 0
], E4 =
[0 0
0 1
], Y =
[3 −12 3
].
Tarea 5, variante 8 DLRTH, pagina 1 de 3
Ejercicio 4. 2%.Sean A y B algunas bases de un espacio vectorial V y sea T : V → V una transformacion lineal.Dadas la matriz TA asociada a T respecto a la base A y la matriz de cambio de base PA,B,calcule la matriz PB,A, compruebe la igualdad PA,BPB,A = I y calcule la matriz TB asociada a Trespecto a la base B.
TA =
2 5 −42 3 −41 2 −4
, PA,B =
1 0 −12 2 3
1 1 2
.Ejercicio 5. 2%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Calcule las matrices T(F1), T(F2), T(F3), T(F4) yescriba la matriz TF asociada a la transformacion lineal T respecto a la base F = (F1, F2, F3, F4),donde
F1 =
[1 0
0 0
], F2 =
[0 0
1 0
], F3 =
[0 1
0 0
], F4 =
[0 0
0 1
].
Escriba las matrices de cambio PE ,F y PF ,E , compruebe que PE ,FPF ,E = I y PF ,ETEPE ,F = TF .
Ejercicio 6. 1%.Sean V y W espacios vectoriales reales, sea A = (a1, a2, a3, a4) una base de V y sea B =(b1, b2, b3, b4) una base de W. Se considera una transformacion lineal T : V →W dada por sumatriz asociada TB,A. Construya una base de ker(T) y una base de im(T). Calcule el rango y lanulidad de T . Haga las comprobaciones.
TB,A =
4 −3 3 3
−1 −3 −1 1
3 −2 2 2
1 1 1 0
.Ejercicio 7. 1%; se baja 0.25% por cada error en la tabla.Se consideran tres transformaciones lineales S, T,U dadas por sus matrices asociadas respectoa ciertas bases:
SB,A =
[−5 4
−5 3
], TD,C =
[1 −1 2 4
1 4 3 −2
], UF ,E =
0 4 −3
−2 1 0
0 1 0
0 0 0
.Llene la siguiente tabla:
S T U
dim(dominio)dim(contradominio)rango := dim(imagen)nulidad := dim(nucleo)¿es inyectiva?¿es suprayectiva?¿es invertible?
Tarea 5, variante 8 DLRTH, pagina 2 de 3
Ejercicio 8. 1%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Construya una base de ker(T) y una base deim(T). Halle el rango y la nulidad de T . Haga las comprobaciones.
Ejercicio 9. 2%.Sea P : R3 → R3 la transformacion lineal dada por su matriz asociada con respecto a la basecanonica E . Verifique que P2 = P. Construya una base A de im(P) y una base B de ker(P).Haga las comprobaciones.
PE =
5 −2 −46 −2 −62 −1 −1
.Ejercicio 10. 1%.Seguimos trabajando con la transformacion lineal P del ejercicio anterior. SeaQ = I−P. Calculela matriz QE . Calcule Q2, PQ y QP multiplicando las matrices asociadas correspondientes.
Ejercicio 11. 2%.Construya una base C de im(Q) y una base D de ker(Q). Muestre que los vectores de C soncombinaciones lineales de los vectores de B y vice versa. Muestre que los vectores de D soncombinaciones lineales de los vectores de A y vice versa. ¿Que significa esto en terminos de lossubespacios im(P), ker(P), im(Q), ker(Q)?.
Ejercicio 12. 1%.
Sea v =[−5, −3, 1
]>. Calcule los vectores u = P(v) y w = Q(v). Con comprobaciones
directas muestre que u+w = v, u ∈ ker(Q), w ∈ ker(P).
Ejercicio 13. 1%.Denotemos por F al sistema de vectores que se obtiene al juntar las bases A y B de im(P) y deker(P). Escriba la matriz de transicion de E a F (puede denotarla por UE ,F), calcule su inversay haga la comprobacion.
Ejercicio 14. 1%.Calcule las matrices PF y QF asociadas a las transformaciones lineales P y Q con respecto a labase F del ejercicio anterior. Verifique que
PF +QF = I, P2F = PF , Q2F = QF , PFQF = 0, QFPF = 0.
Tarea 5, variante 8 DLRTH, pagina 3 de 3
Engra
peaq
uı
No
dobl
e
Algebra II, licenciatura. Tarea 5. Variante 9 DGGI.
Transformaciones lineales.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 1%.Demuestre que la funcion f : R2 → R2 definida mediante la siguiente formula no es transforma-cion lineal. Indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.
f(x) =
[−2x1 + 3x2
−2
].
Ejercicio 2. 2%.Demuestre que la funcion T : P2(R) → P2(R) definida mediante la siguiente regla es una trans-formacion lineal.
(Tf)(x) = (−x2 − 2x+ 1)f ′′(x) + (3x+ 2)f ′(x) − 3f(x).
Calcule la matriz TE asociada a T respecto a la base canonica E = (e0, e1, e2). Para comprobacioncalcule Tg aplicando la regla de correspondencia de T , escriba el vector (Tg)E y calcule elproducto TEgE .
e0(x) = 1, e1(x) = x, e2(x) = x2.
g(x) = −4x2 + 2x+ 1.
Ejercicio 3. 2%.Demuestre que la funcion T : M2(R) → M2(R) definida mediante la siguiente regla es unatransformacion lineal.
T(X) = AX− XA, donde A =
[8 −3
−8 1
].
Calcule la matriz asociada a T respecto a la base E = (E1, E2, E3, E4). Para comprobar larespuesta calcule T(Y) de dos maneras diferentes:
1) usando la matriz asociada;
2) aplicando la regla de correspondencia de T .
E1 =
[1 0
0 0
], E2 =
[0 1
0 0
], E3 =
[0 0
1 0
], E4 =
[0 0
0 1
], Y =
[−5 1
1 −4
].
Tarea 5, variante 9 DGGI, pagina 1 de 3
Ejercicio 4. 2%.Sean A y B algunas bases de un espacio vectorial V y sea T : V → V una transformacion lineal.Dadas la matriz TA asociada a T respecto a la base A y la matriz de cambio de base PA,B,calcule la matriz PB,A, compruebe la igualdad PA,BPB,A = I y calcule la matriz TB asociada a Trespecto a la base B.
TA =
4 5 −43 4 −33 1 −4
, PA,B =
3 −1 3
2 −1 2
3 1 2
.Ejercicio 5. 2%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Calcule las matrices T(F1), T(F2), T(F3), T(F4) yescriba la matriz TF asociada a la transformacion lineal T respecto a la base F = (F1, F2, F3, F4),donde
F1 =
[1 0
0 0
], F2 =
[0 0
1 0
], F3 =
[0 1
0 0
], F4 =
[0 0
0 1
].
Escriba las matrices de cambio PE ,F y PF ,E , compruebe que PE ,FPF ,E = I y PF ,ETEPE ,F = TF .
Ejercicio 6. 1%.Sean V y W espacios vectoriales reales, sea A = (a1, a2, a3, a4) una base de V y sea B =(b1, b2, b3, b4) una base de W. Se considera una transformacion lineal T : V →W dada por sumatriz asociada TB,A. Construya una base de ker(T) y una base de im(T). Calcule el rango y lanulidad de T . Haga las comprobaciones.
TB,A =
1 1 2 −44 2 3 3
−3 −2 −4 3
2 1 1 2
.Ejercicio 7. 1%; se baja 0.25% por cada error en la tabla.Se consideran tres transformaciones lineales S, T,U dadas por sus matrices asociadas respectoa ciertas bases:
SB,A =
−5 −4 −1 5
−3 −4 1 0
3 0 4 0
, TD,C =
1 3
1 2
0 −1
, UF ,E =
[2 −1 3 1
−4 2 −6 −2
].
Llene la siguiente tabla:
S T U
dim(dominio)dim(contradominio)rango := dim(imagen)nulidad := dim(nucleo)¿es inyectiva?¿es suprayectiva?¿es invertible?
Tarea 5, variante 9 DGGI, pagina 2 de 3
Ejercicio 8. 1%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Construya una base de ker(T) y una base deim(T). Halle el rango y la nulidad de T . Haga las comprobaciones.
Ejercicio 9. 2%.Sea P : R3 → R3 la transformacion lineal dada por su matriz asociada con respecto a la basecanonica E . Verifique que P2 = P. Construya una base A de im(P) y una base B de ker(P).Haga las comprobaciones.
PE =
−2 −6 6
−1 −1 2
−2 −4 5
.Ejercicio 10. 1%.Seguimos trabajando con la transformacion lineal P del ejercicio anterior. SeaQ = I−P. Calculela matriz QE . Calcule Q2, PQ y QP multiplicando las matrices asociadas correspondientes.
Ejercicio 11. 2%.Construya una base C de im(Q) y una base D de ker(Q). Muestre que los vectores de C soncombinaciones lineales de los vectores de B y vice versa. Muestre que los vectores de D soncombinaciones lineales de los vectores de A y vice versa. ¿Que significa esto en terminos de lossubespacios im(P), ker(P), im(Q), ker(Q)?.
Ejercicio 12. 1%.
Sea v =[−4, −3, 2
]>. Calcule los vectores u = P(v) y w = Q(v). Con comprobaciones
directas muestre que u+w = v, u ∈ ker(Q), w ∈ ker(P).
Ejercicio 13. 1%.Denotemos por F al sistema de vectores que se obtiene al juntar las bases A y B de im(P) y deker(P). Escriba la matriz de transicion de E a F (puede denotarla por UE ,F), calcule su inversay haga la comprobacion.
Ejercicio 14. 1%.Calcule las matrices PF y QF asociadas a las transformaciones lineales P y Q con respecto a labase F del ejercicio anterior. Verifique que
PF +QF = I, P2F = PF , Q2F = QF , PFQF = 0, QFPF = 0.
Tarea 5, variante 9 DGGI, pagina 3 de 3
Engra
peaq
uı
No
dobl
e
Algebra II, licenciatura. Tarea 5. Variante 10 DJRA.
Transformaciones lineales.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 1%.Demuestre que la funcion f : R2 → R2 definida mediante la siguiente formula no es transforma-cion lineal. Indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.
f(x) =
[x21 + 2x2
−2x1 + 5x2
].
Ejercicio 2. 2%.Demuestre que la funcion T : P2(R) → P2(R) definida mediante la siguiente regla es una trans-formacion lineal.
(Tf)(x) = (3x2 + 2x− 3)f ′′(x) + (−x− 2)f ′(x) + 1f(x).
Calcule la matriz TE asociada a T respecto a la base canonica E = (e0, e1, e2). Para comprobacioncalcule Tg aplicando la regla de correspondencia de T , escriba el vector (Tg)E y calcule elproducto TEgE .
e0(x) = 1, e1(x) = x, e2(x) = x2.
g(x) = −4x2 + 5x+ 3.
Ejercicio 3. 2%.Demuestre que la funcion T : M2(R) → M2(R) definida mediante la siguiente regla es unatransformacion lineal.
T(X) = AX− XA, donde A =
[2 6
4 −9
].
Calcule la matriz asociada a T respecto a la base E = (E1, E2, E3, E4). Para comprobar larespuesta calcule T(Y) de dos maneras diferentes:
1) usando la matriz asociada;
2) aplicando la regla de correspondencia de T .
E1 =
[1 0
0 0
], E2 =
[0 1
0 0
], E3 =
[0 0
1 0
], E4 =
[0 0
0 1
], Y =
[2 3
1 −3
].
Tarea 5, variante 10 DJRA, pagina 1 de 3
Ejercicio 4. 2%.Sean A y B algunas bases de un espacio vectorial V y sea T : V → V una transformacion lineal.Dadas la matriz TA asociada a T respecto a la base A y la matriz de cambio de base PA,B,calcule la matriz PB,A, compruebe la igualdad PA,BPB,A = I y calcule la matriz TB asociada a Trespecto a la base B.
TA =
0 −1 1
1 −3 2
5 5 −4
, PA,B =
1 2 1
0 1 1
1 2 2
.Ejercicio 5. 2%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Calcule las matrices T(F1), T(F2), T(F3), T(F4) yescriba la matriz TF asociada a la transformacion lineal T respecto a la base F = (F1, F2, F3, F4),donde
F1 =
[1 0
0 0
], F2 =
[0 0
1 0
], F3 =
[0 1
0 0
], F4 =
[0 0
0 1
].
Escriba las matrices de cambio PE ,F y PF ,E , compruebe que PE ,FPF ,E = I y PF ,ETEPE ,F = TF .
Ejercicio 6. 1%.Sean V y W espacios vectoriales reales, sea A = (a1, a2, a3, a4) una base de V y sea B =(b1, b2, b3, b4) una base de W. Se considera una transformacion lineal T : V →W dada por sumatriz asociada TB,A. Construya una base de ker(T) y una base de im(T). Calcule el rango y lanulidad de T . Haga las comprobaciones.
TB,A =
1 2 1 2
−1 −2 −1 −1−1 1 1 2
−3 0 1 3
.Ejercicio 7. 1%; se baja 0.25% por cada error en la tabla.Se consideran tres transformaciones lineales S, T,U dadas por sus matrices asociadas respectoa ciertas bases:
SB,A =
4 −1 2 5
−5 1 0 3
0 2 0 −2
, TD,C =
[5 −4
−1 4
], UF ,E =
0 1
1 1
1 2
.Llene la siguiente tabla:
S T U
dim(dominio)dim(contradominio)rango := dim(imagen)nulidad := dim(nucleo)¿es inyectiva?¿es suprayectiva?¿es invertible?
Tarea 5, variante 10 DJRA, pagina 2 de 3
Ejercicio 8. 1%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Construya una base de ker(T) y una base deim(T). Halle el rango y la nulidad de T . Haga las comprobaciones.
Ejercicio 9. 2%.Sea P : R3 → R3 la transformacion lineal dada por su matriz asociada con respecto a la basecanonica E . Verifique que P2 = P. Construya una base A de im(P) y una base B de ker(P).Haga las comprobaciones.
PE =
−1 −4 2
−1 −1 1
−3 −6 4
.Ejercicio 10. 1%.Seguimos trabajando con la transformacion lineal P del ejercicio anterior. SeaQ = I−P. Calculela matriz QE . Calcule Q2, PQ y QP multiplicando las matrices asociadas correspondientes.
Ejercicio 11. 2%.Construya una base C de im(Q) y una base D de ker(Q). Muestre que los vectores de C soncombinaciones lineales de los vectores de B y vice versa. Muestre que los vectores de D soncombinaciones lineales de los vectores de A y vice versa. ¿Que significa esto en terminos de lossubespacios im(P), ker(P), im(Q), ker(Q)?.
Ejercicio 12. 1%.
Sea v =[4, −3, −3
]>. Calcule los vectores u = P(v) y w = Q(v). Con comprobaciones
directas muestre que u+w = v, u ∈ ker(Q), w ∈ ker(P).
Ejercicio 13. 1%.Denotemos por F al sistema de vectores que se obtiene al juntar las bases A y B de im(P) y deker(P). Escriba la matriz de transicion de E a F (puede denotarla por UE ,F), calcule su inversay haga la comprobacion.
Ejercicio 14. 1%.Calcule las matrices PF y QF asociadas a las transformaciones lineales P y Q con respecto a labase F del ejercicio anterior. Verifique que
PF +QF = I, P2F = PF , Q2F = QF , PFQF = 0, QFPF = 0.
Tarea 5, variante 10 DJRA, pagina 3 de 3
Engra
peaq
uı
No
dobl
e
Algebra II, licenciatura. Tarea 5. Variante 11 FMFD.
Transformaciones lineales.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 1%.Demuestre que la funcion f : R2 → R2 definida mediante la siguiente formula no es transforma-cion lineal. Indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.
f(x) =
[5x2
5x1x2
].
Ejercicio 2. 2%.Demuestre que la funcion T : P2(R) → P2(R) definida mediante la siguiente regla es una trans-formacion lineal.
(Tf)(x) = (−x2 − 3x− 2)f ′′(x) + (2x+ 3)f ′(x) + 1f(x).
Calcule la matriz TE asociada a T respecto a la base canonica E = (e0, e1, e2). Para comprobacioncalcule Tg aplicando la regla de correspondencia de T , escriba el vector (Tg)E y calcule elproducto TEgE .
e0(x) = 1, e1(x) = x, e2(x) = x2.
g(x) = 2x2 + 3x− 5.
Ejercicio 3. 2%.Demuestre que la funcion T : M2(R) → M2(R) definida mediante la siguiente regla es unatransformacion lineal.
T(X) = AX− XA, donde A =
[−5 −9−4 −6
].
Calcule la matriz asociada a T respecto a la base E = (E1, E2, E3, E4). Para comprobar larespuesta calcule T(Y) de dos maneras diferentes:
1) usando la matriz asociada;
2) aplicando la regla de correspondencia de T .
E1 =
[1 0
0 0
], E2 =
[0 1
0 0
], E3 =
[0 0
1 0
], E4 =
[0 0
0 1
], Y =
[−5 3
1 −4
].
Tarea 5, variante 11 FMFD, pagina 1 de 3
Ejercicio 4. 2%.Sean A y B algunas bases de un espacio vectorial V y sea T : V → V una transformacion lineal.Dadas la matriz TA asociada a T respecto a la base A y la matriz de cambio de base PA,B,calcule la matriz PB,A, compruebe la igualdad PA,BPB,A = I y calcule la matriz TB asociada a Trespecto a la base B.
TA =
4 3 −40 4 4
−3 4 1
, PA,B =
3 2 4
3 1 4
1 0 1
.Ejercicio 5. 2%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Calcule las matrices T(F1), T(F2), T(F3), T(F4) yescriba la matriz TF asociada a la transformacion lineal T respecto a la base F = (F1, F2, F3, F4),donde
F1 =
[1 0
0 0
], F2 =
[0 0
1 0
], F3 =
[0 1
0 0
], F4 =
[0 0
0 1
].
Escriba las matrices de cambio PE ,F y PF ,E , compruebe que PE ,FPF ,E = I y PF ,ETEPE ,F = TF .
Ejercicio 6. 1%.Sean V y W espacios vectoriales reales, sea A = (a1, a2, a3, a4) una base de V y sea B =(b1, b2, b3, b4) una base de W. Se considera una transformacion lineal T : V →W dada por sumatriz asociada TB,A. Construya una base de ker(T) y una base de im(T). Calcule el rango y lanulidad de T . Haga las comprobaciones.
TB,A =
−4 1 2 1
−2 1 2 2
−1 0 1 1
−4 2 4 4
.Ejercicio 7. 1%; se baja 0.25% por cada error en la tabla.Se consideran tres transformaciones lineales S, T,U dadas por sus matrices asociadas respectoa ciertas bases:
SB,A =
[−3 2
−5 4
], TD,C =
−5 4 1 1
1 0 4 −30 0 2 1
, UF ,E =
3 1
2 1
1 0
.Llene la siguiente tabla:
S T U
dim(dominio)dim(contradominio)rango := dim(imagen)nulidad := dim(nucleo)¿es inyectiva?¿es suprayectiva?¿es invertible?
Tarea 5, variante 11 FMFD, pagina 2 de 3
Ejercicio 8. 1%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Construya una base de ker(T) y una base deim(T). Halle el rango y la nulidad de T . Haga las comprobaciones.
Ejercicio 9. 2%.Sea P : R3 → R3 la transformacion lineal dada por su matriz asociada con respecto a la basecanonica E . Verifique que P2 = P. Construya una base A de im(P) y una base B de ker(P).Haga las comprobaciones.
PE =
−2 −6 6
−1 −1 2
−2 −4 5
.Ejercicio 10. 1%.Seguimos trabajando con la transformacion lineal P del ejercicio anterior. SeaQ = I−P. Calculela matriz QE . Calcule Q2, PQ y QP multiplicando las matrices asociadas correspondientes.
Ejercicio 11. 2%.Construya una base C de im(Q) y una base D de ker(Q). Muestre que los vectores de C soncombinaciones lineales de los vectores de B y vice versa. Muestre que los vectores de D soncombinaciones lineales de los vectores de A y vice versa. ¿Que significa esto en terminos de lossubespacios im(P), ker(P), im(Q), ker(Q)?.
Ejercicio 12. 1%.
Sea v =[4, 1, −5
]>. Calcule los vectores u = P(v) y w = Q(v). Con comprobaciones
directas muestre que u+w = v, u ∈ ker(Q), w ∈ ker(P).
Ejercicio 13. 1%.Denotemos por F al sistema de vectores que se obtiene al juntar las bases A y B de im(P) y deker(P). Escriba la matriz de transicion de E a F (puede denotarla por UE ,F), calcule su inversay haga la comprobacion.
Ejercicio 14. 1%.Calcule las matrices PF y QF asociadas a las transformaciones lineales P y Q con respecto a labase F del ejercicio anterior. Verifique que
PF +QF = I, P2F = PF , Q2F = QF , PFQF = 0, QFPF = 0.
Tarea 5, variante 11 FMFD, pagina 3 de 3
Engra
peaq
uı
No
dobl
e
Algebra II, licenciatura. Tarea 5. Variante 12 GDLD.
Transformaciones lineales.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 1%.Demuestre que la funcion f : R2 → R2 definida mediante la siguiente formula no es transforma-cion lineal. Indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.
f(x) =
[4x1 + 3x
22
x1 − 3x2
].
Ejercicio 2. 2%.Demuestre que la funcion T : P2(R) → P2(R) definida mediante la siguiente regla es una trans-formacion lineal.
(Tf)(x) = (−2x2 + x+ 2)f ′′(x) + (3x− 1)f ′(x) − 3f(x).
Calcule la matriz TE asociada a T respecto a la base canonica E = (e0, e1, e2). Para comprobacioncalcule Tg aplicando la regla de correspondencia de T , escriba el vector (Tg)E y calcule elproducto TEgE .
e0(x) = 1, e1(x) = x, e2(x) = x2.
g(x) = 3x2 − x+ 5.
Ejercicio 3. 2%.Demuestre que la funcion T : M2(R) → M2(R) definida mediante la siguiente regla es unatransformacion lineal.
T(X) = AX− XA, donde A =
[6 9
−1 8
].
Calcule la matriz asociada a T respecto a la base E = (E1, E2, E3, E4). Para comprobar larespuesta calcule T(Y) de dos maneras diferentes:
1) usando la matriz asociada;
2) aplicando la regla de correspondencia de T .
E1 =
[1 0
0 0
], E2 =
[0 1
0 0
], E3 =
[0 0
1 0
], E4 =
[0 0
0 1
], Y =
[1 −11 1
].
Tarea 5, variante 12 GDLD, pagina 1 de 3
Ejercicio 4. 2%.Sean A y B algunas bases de un espacio vectorial V y sea T : V → V una transformacion lineal.Dadas la matriz TA asociada a T respecto a la base A y la matriz de cambio de base PA,B,calcule la matriz PB,A, compruebe la igualdad PA,BPB,A = I y calcule la matriz TB asociada a Trespecto a la base B.
TA =
3 −2 5
2 −1 5
1 −1 1
, PA,B =
1 1 1
2 2 1
0 1 −1
.Ejercicio 5. 2%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Calcule las matrices T(F1), T(F2), T(F3), T(F4) yescriba la matriz TF asociada a la transformacion lineal T respecto a la base F = (F1, F2, F3, F4),donde
F1 =
[1 0
0 0
], F2 =
[0 0
1 0
], F3 =
[0 1
0 0
], F4 =
[0 0
0 1
].
Escriba las matrices de cambio PE ,F y PF ,E , compruebe que PE ,FPF ,E = I y PF ,ETEPE ,F = TF .
Ejercicio 6. 1%.Sean V y W espacios vectoriales reales, sea A = (a1, a2, a3, a4) una base de V y sea B =(b1, b2, b3, b4) una base de W. Se considera una transformacion lineal T : V →W dada por sumatriz asociada TB,A. Construya una base de ker(T) y una base de im(T). Calcule el rango y lanulidad de T . Haga las comprobaciones.
TB,A =
3 −1 0 −12 2 −3 1
−2 1 4 1
3 2 1 1
.Ejercicio 7. 1%; se baja 0.25% por cada error en la tabla.Se consideran tres transformaciones lineales S, T,U dadas por sus matrices asociadas respectoa ciertas bases:
SB,A =
−3 −4 −20 2 2
0 0 5
0 0 0
, TD,C =
2 1
−4 −2−4 −2
, UF ,E =
[1 −4 4 1
2 2 −1 3
].
Llene la siguiente tabla:
S T U
dim(dominio)dim(contradominio)rango := dim(imagen)nulidad := dim(nucleo)¿es inyectiva?¿es suprayectiva?¿es invertible?
Tarea 5, variante 12 GDLD, pagina 2 de 3
Ejercicio 8. 1%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Construya una base de ker(T) y una base deim(T). Halle el rango y la nulidad de T . Haga las comprobaciones.
Ejercicio 9. 2%.Sea P : R3 → R3 la transformacion lineal dada por su matriz asociada con respecto a la basecanonica E . Verifique que P2 = P. Construya una base A de im(P) y una base B de ker(P).Haga las comprobaciones.
PE =
4 −6 −31 −1 −12 −4 −1
.Ejercicio 10. 1%.Seguimos trabajando con la transformacion lineal P del ejercicio anterior. SeaQ = I−P. Calculela matriz QE . Calcule Q2, PQ y QP multiplicando las matrices asociadas correspondientes.
Ejercicio 11. 2%.Construya una base C de im(Q) y una base D de ker(Q). Muestre que los vectores de C soncombinaciones lineales de los vectores de B y vice versa. Muestre que los vectores de D soncombinaciones lineales de los vectores de A y vice versa. ¿Que significa esto en terminos de lossubespacios im(P), ker(P), im(Q), ker(Q)?.
Ejercicio 12. 1%.
Sea v =[3, −3, −1
]>. Calcule los vectores u = P(v) y w = Q(v). Con comprobaciones
directas muestre que u+w = v, u ∈ ker(Q), w ∈ ker(P).
Ejercicio 13. 1%.Denotemos por F al sistema de vectores que se obtiene al juntar las bases A y B de im(P) y deker(P). Escriba la matriz de transicion de E a F (puede denotarla por UE ,F), calcule su inversay haga la comprobacion.
Ejercicio 14. 1%.Calcule las matrices PF y QF asociadas a las transformaciones lineales P y Q con respecto a labase F del ejercicio anterior. Verifique que
PF +QF = I, P2F = PF , Q2F = QF , PFQF = 0, QFPF = 0.
Tarea 5, variante 12 GDLD, pagina 3 de 3
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Algebra II, licenciatura. Tarea 5. Variante 13 GLMA.
Transformaciones lineales.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 1%.Demuestre que la funcion f : R2 → R2 definida mediante la siguiente formula no es transforma-cion lineal. Indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.
f(x) =
[−x1
−2x1 − 2
].
Ejercicio 2. 2%.Demuestre que la funcion T : P2(R) → P2(R) definida mediante la siguiente regla es una trans-formacion lineal.
(Tf)(x) = (x2 − 3x− 1)f ′′(x) + (−2x+ 2)f ′(x) + 3f(x).
Calcule la matriz TE asociada a T respecto a la base canonica E = (e0, e1, e2). Para comprobacioncalcule Tg aplicando la regla de correspondencia de T , escriba el vector (Tg)E y calcule elproducto TEgE .
e0(x) = 1, e1(x) = x, e2(x) = x2.
g(x) = 3x2 − x+ 1.
Ejercicio 3. 2%.Demuestre que la funcion T : M2(R) → M2(R) definida mediante la siguiente regla es unatransformacion lineal.
T(X) = AX− XA, donde A =
[4 2
−8 8
].
Calcule la matriz asociada a T respecto a la base E = (E1, E2, E3, E4). Para comprobar larespuesta calcule T(Y) de dos maneras diferentes:
1) usando la matriz asociada;
2) aplicando la regla de correspondencia de T .
E1 =
[1 0
0 0
], E2 =
[0 1
0 0
], E3 =
[0 0
1 0
], E4 =
[0 0
0 1
], Y =
[5 −12 3
].
Tarea 5, variante 13 GLMA, pagina 1 de 3
Ejercicio 4. 2%.Sean A y B algunas bases de un espacio vectorial V y sea T : V → V una transformacion lineal.Dadas la matriz TA asociada a T respecto a la base A y la matriz de cambio de base PA,B,calcule la matriz PB,A, compruebe la igualdad PA,BPB,A = I y calcule la matriz TB asociada a Trespecto a la base B.
TA =
3 −5 0
4 −4 3
−1 5 4
, PA,B =
2 0 1
1 1 1
−1 2 1
.Ejercicio 5. 2%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Calcule las matrices T(F1), T(F2), T(F3), T(F4) yescriba la matriz TF asociada a la transformacion lineal T respecto a la base F = (F1, F2, F3, F4),donde
F1 =
[1 0
0 0
], F2 =
[0 0
1 0
], F3 =
[0 1
0 0
], F4 =
[0 0
0 1
].
Escriba las matrices de cambio PE ,F y PF ,E , compruebe que PE ,FPF ,E = I y PF ,ETEPE ,F = TF .
Ejercicio 6. 1%.Sean V y W espacios vectoriales reales, sea A = (a1, a2, a3, a4) una base de V y sea B =(b1, b2, b3, b4) una base de W. Se considera una transformacion lineal T : V →W dada por sumatriz asociada TB,A. Construya una base de ker(T) y una base de im(T). Calcule el rango y lanulidad de T . Haga las comprobaciones.
TB,A =
1 3 3 3
2 4 3 3
0 1 2 −21 3 4 −4
.Ejercicio 7. 1%; se baja 0.25% por cada error en la tabla.Se consideran tres transformaciones lineales S, T,U dadas por sus matrices asociadas respectoa ciertas bases:
SB,A =
[−3 1 1 −36 −2 −2 6
], TD,C =
−4 1 −3 4
0 0 4 1
−1 0 −3 0
, UF ,E =
3 2
2 1
1 1
.Llene la siguiente tabla:
S T U
dim(dominio)dim(contradominio)rango := dim(imagen)nulidad := dim(nucleo)¿es inyectiva?¿es suprayectiva?¿es invertible?
Tarea 5, variante 13 GLMA, pagina 2 de 3
Ejercicio 8. 1%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Construya una base de ker(T) y una base deim(T). Halle el rango y la nulidad de T . Haga las comprobaciones.
Ejercicio 9. 2%.Sea P : R3 → R3 la transformacion lineal dada por su matriz asociada con respecto a la basecanonica E . Verifique que P2 = P. Construya una base A de im(P) y una base B de ker(P).Haga las comprobaciones.
PE =
−1 −1 1
−4 −1 2
−6 −3 4
.Ejercicio 10. 1%.Seguimos trabajando con la transformacion lineal P del ejercicio anterior. SeaQ = I−P. Calculela matriz QE . Calcule Q2, PQ y QP multiplicando las matrices asociadas correspondientes.
Ejercicio 11. 2%.Construya una base C de im(Q) y una base D de ker(Q). Muestre que los vectores de C soncombinaciones lineales de los vectores de B y vice versa. Muestre que los vectores de D soncombinaciones lineales de los vectores de A y vice versa. ¿Que significa esto en terminos de lossubespacios im(P), ker(P), im(Q), ker(Q)?.
Ejercicio 12. 1%.
Sea v =[1, 3, −3
]>. Calcule los vectores u = P(v) y w = Q(v). Con comprobaciones
directas muestre que u+w = v, u ∈ ker(Q), w ∈ ker(P).
Ejercicio 13. 1%.Denotemos por F al sistema de vectores que se obtiene al juntar las bases A y B de im(P) y deker(P). Escriba la matriz de transicion de E a F (puede denotarla por UE ,F), calcule su inversay haga la comprobacion.
Ejercicio 14. 1%.Calcule las matrices PF y QF asociadas a las transformaciones lineales P y Q con respecto a labase F del ejercicio anterior. Verifique que
PF +QF = I, P2F = PF , Q2F = QF , PFQF = 0, QFPF = 0.
Tarea 5, variante 13 GLMA, pagina 3 de 3
Engra
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e
Algebra II, licenciatura. Tarea 5. Variante 14 GSLE.
Transformaciones lineales.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 1%.Demuestre que la funcion f : R2 → R2 definida mediante la siguiente formula no es transforma-cion lineal. Indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.
f(x) =
[−x2
3x1 − x2 + 4
].
Ejercicio 2. 2%.Demuestre que la funcion T : P2(R) → P2(R) definida mediante la siguiente regla es una trans-formacion lineal.
(Tf)(x) = (−2x2 − 3x+ 1)f ′′(x) + (3x− 1)f ′(x) + 2f(x).
Calcule la matriz TE asociada a T respecto a la base canonica E = (e0, e1, e2). Para comprobacioncalcule Tg aplicando la regla de correspondencia de T , escriba el vector (Tg)E y calcule elproducto TEgE .
e0(x) = 1, e1(x) = x, e2(x) = x2.
g(x) = x2 + 4x− 4.
Ejercicio 3. 2%.Demuestre que la funcion T : M2(R) → M2(R) definida mediante la siguiente regla es unatransformacion lineal.
T(X) = AX− XA, donde A =
[−6 −8−2 3
].
Calcule la matriz asociada a T respecto a la base E = (E1, E2, E3, E4). Para comprobar larespuesta calcule T(Y) de dos maneras diferentes:
1) usando la matriz asociada;
2) aplicando la regla de correspondencia de T .
E1 =
[1 0
0 0
], E2 =
[0 1
0 0
], E3 =
[0 0
1 0
], E4 =
[0 0
0 1
], Y =
[2 3
1 −2
].
Tarea 5, variante 14 GSLE, pagina 1 de 3
Ejercicio 4. 2%.Sean A y B algunas bases de un espacio vectorial V y sea T : V → V una transformacion lineal.Dadas la matriz TA asociada a T respecto a la base A y la matriz de cambio de base PA,B,calcule la matriz PB,A, compruebe la igualdad PA,BPB,A = I y calcule la matriz TB asociada a Trespecto a la base B.
TA =
2 −1 −41 −2 2
−5 2 3
, PA,B =
3 1 −12 3 1
−2 1 2
.Ejercicio 5. 2%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Calcule las matrices T(F1), T(F2), T(F3), T(F4) yescriba la matriz TF asociada a la transformacion lineal T respecto a la base F = (F1, F2, F3, F4),donde
F1 =
[1 0
0 0
], F2 =
[0 0
1 0
], F3 =
[0 1
0 0
], F4 =
[0 0
0 1
].
Escriba las matrices de cambio PE ,F y PF ,E , compruebe que PE ,FPF ,E = I y PF ,ETEPE ,F = TF .
Ejercicio 6. 1%.Sean V y W espacios vectoriales reales, sea A = (a1, a2, a3, a4) una base de V y sea B =(b1, b2, b3, b4) una base de W. Se considera una transformacion lineal T : V →W dada por sumatriz asociada TB,A. Construya una base de ker(T) y una base de im(T). Calcule el rango y lanulidad de T . Haga las comprobaciones.
TB,A =
1 −3 1 2
2 −1 3 3
−1 1 3 2
0 −1 2 2
.Ejercicio 7. 1%; se baja 0.25% por cada error en la tabla.Se consideran tres transformaciones lineales S, T,U dadas por sus matrices asociadas respectoa ciertas bases:
SB,A =
[3 −2 1 −42 1 1 1
], TD,C =
5 −5 −50 0 0
3 4 0
0 3 0
, UF ,E =
−1 −2 4
2 0 3
0 0 4
.Llene la siguiente tabla:
S T U
dim(dominio)dim(contradominio)rango := dim(imagen)nulidad := dim(nucleo)¿es inyectiva?¿es suprayectiva?¿es invertible?
Tarea 5, variante 14 GSLE, pagina 2 de 3
Ejercicio 8. 1%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Construya una base de ker(T) y una base deim(T). Halle el rango y la nulidad de T . Haga las comprobaciones.
Ejercicio 9. 2%.Sea P : R3 → R3 la transformacion lineal dada por su matriz asociada con respecto a la basecanonica E . Verifique que P2 = P. Construya una base A de im(P) y una base B de ker(P).Haga las comprobaciones.
PE =
−1 −4 2
−1 −1 1
−3 −6 4
.Ejercicio 10. 1%.Seguimos trabajando con la transformacion lineal P del ejercicio anterior. SeaQ = I−P. Calculela matriz QE . Calcule Q2, PQ y QP multiplicando las matrices asociadas correspondientes.
Ejercicio 11. 2%.Construya una base C de im(Q) y una base D de ker(Q). Muestre que los vectores de C soncombinaciones lineales de los vectores de B y vice versa. Muestre que los vectores de D soncombinaciones lineales de los vectores de A y vice versa. ¿Que significa esto en terminos de lossubespacios im(P), ker(P), im(Q), ker(Q)?.
Ejercicio 12. 1%.
Sea v =[5, 4, 1
]>. Calcule los vectores u = P(v) y w = Q(v). Con comprobaciones directas
muestre que u+w = v, u ∈ ker(Q), w ∈ ker(P).
Ejercicio 13. 1%.Denotemos por F al sistema de vectores que se obtiene al juntar las bases A y B de im(P) y deker(P). Escriba la matriz de transicion de E a F (puede denotarla por UE ,F), calcule su inversay haga la comprobacion.
Ejercicio 14. 1%.Calcule las matrices PF y QF asociadas a las transformaciones lineales P y Q con respecto a labase F del ejercicio anterior. Verifique que
PF +QF = I, P2F = PF , Q2F = QF , PFQF = 0, QFPF = 0.
Tarea 5, variante 14 GSLE, pagina 3 de 3
Engra
peaq
uı
No
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e
Algebra II, licenciatura. Tarea 5. Variante 15 KSJG.
Transformaciones lineales.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 1%.Demuestre que la funcion f : R2 → R2 definida mediante la siguiente formula no es transforma-cion lineal. Indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.
f(x) =
[2x1 − 3x2
2x1 − 3x2 + 4
].
Ejercicio 2. 2%.Demuestre que la funcion T : P2(R) → P2(R) definida mediante la siguiente regla es una trans-formacion lineal.
(Tf)(x) = (2x2 − 3x− 2)f ′′(x) + (−x+ 1)f ′(x) + 3f(x).
Calcule la matriz TE asociada a T respecto a la base canonica E = (e0, e1, e2). Para comprobacioncalcule Tg aplicando la regla de correspondencia de T , escriba el vector (Tg)E y calcule elproducto TEgE .
e0(x) = 1, e1(x) = x, e2(x) = x2.
g(x) = 2x2 − 5x+ 4.
Ejercicio 3. 2%.Demuestre que la funcion T : M2(R) → M2(R) definida mediante la siguiente regla es unatransformacion lineal.
T(X) = AX− XA, donde A =
[−6 9
5 −9
].
Calcule la matriz asociada a T respecto a la base E = (E1, E2, E3, E4). Para comprobar larespuesta calcule T(Y) de dos maneras diferentes:
1) usando la matriz asociada;
2) aplicando la regla de correspondencia de T .
E1 =
[1 0
0 0
], E2 =
[0 1
0 0
], E3 =
[0 0
1 0
], E4 =
[0 0
0 1
], Y =
[2 1
1 1
].
Tarea 5, variante 15 KSJG, pagina 1 de 3
Ejercicio 4. 2%.Sean A y B algunas bases de un espacio vectorial V y sea T : V → V una transformacion lineal.Dadas la matriz TA asociada a T respecto a la base A y la matriz de cambio de base PA,B,calcule la matriz PB,A, compruebe la igualdad PA,BPB,A = I y calcule la matriz TB asociada a Trespecto a la base B.
TA =
−5 5 5
−4 2 4
−2 5 5
, PA,B =
1 2 2
0 2 1
1 3 3
.Ejercicio 5. 2%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Calcule las matrices T(F1), T(F2), T(F3), T(F4) yescriba la matriz TF asociada a la transformacion lineal T respecto a la base F = (F1, F2, F3, F4),donde
F1 =
[1 0
0 0
], F2 =
[0 0
1 0
], F3 =
[0 1
0 0
], F4 =
[0 0
0 1
].
Escriba las matrices de cambio PE ,F y PF ,E , compruebe que PE ,FPF ,E = I y PF ,ETEPE ,F = TF .
Ejercicio 6. 1%.Sean V y W espacios vectoriales reales, sea A = (a1, a2, a3, a4) una base de V y sea B =(b1, b2, b3, b4) una base de W. Se considera una transformacion lineal T : V →W dada por sumatriz asociada TB,A. Construya una base de ker(T) y una base de im(T). Calcule el rango y lanulidad de T . Haga las comprobaciones.
TB,A =
0 1 1 1
1 3 1 2
3 −2 −3 −2−3 1 2 1
.Ejercicio 7. 1%; se baja 0.25% por cada error en la tabla.Se consideran tres transformaciones lineales S, T,U dadas por sus matrices asociadas respectoa ciertas bases:
SB,A =
−1 −12 3
1 2
, TD,C =
2 1 3 −54 −3 0 −50 −2 0 −3
, UF ,E =
[−6 −2 2 −6−3 −1 1 −3
].
Llene la siguiente tabla:
S T U
dim(dominio)dim(contradominio)rango := dim(imagen)nulidad := dim(nucleo)¿es inyectiva?¿es suprayectiva?¿es invertible?
Tarea 5, variante 15 KSJG, pagina 2 de 3
Ejercicio 8. 1%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Construya una base de ker(T) y una base deim(T). Halle el rango y la nulidad de T . Haga las comprobaciones.
Ejercicio 9. 2%.Sea P : R3 → R3 la transformacion lineal dada por su matriz asociada con respecto a la basecanonica E . Verifique que P2 = P. Construya una base A de im(P) y una base B de ker(P).Haga las comprobaciones.
PE =
−2 6 −6−2 5 −4−1 2 −1
.Ejercicio 10. 1%.Seguimos trabajando con la transformacion lineal P del ejercicio anterior. SeaQ = I−P. Calculela matriz QE . Calcule Q2, PQ y QP multiplicando las matrices asociadas correspondientes.
Ejercicio 11. 2%.Construya una base C de im(Q) y una base D de ker(Q). Muestre que los vectores de C soncombinaciones lineales de los vectores de B y vice versa. Muestre que los vectores de D soncombinaciones lineales de los vectores de A y vice versa. ¿Que significa esto en terminos de lossubespacios im(P), ker(P), im(Q), ker(Q)?.
Ejercicio 12. 1%.
Sea v =[4, −5, 3
]>. Calcule los vectores u = P(v) y w = Q(v). Con comprobaciones
directas muestre que u+w = v, u ∈ ker(Q), w ∈ ker(P).
Ejercicio 13. 1%.Denotemos por F al sistema de vectores que se obtiene al juntar las bases A y B de im(P) y deker(P). Escriba la matriz de transicion de E a F (puede denotarla por UE ,F), calcule su inversay haga la comprobacion.
Ejercicio 14. 1%.Calcule las matrices PF y QF asociadas a las transformaciones lineales P y Q con respecto a labase F del ejercicio anterior. Verifique que
PF +QF = I, P2F = PF , Q2F = QF , PFQF = 0, QFPF = 0.
Tarea 5, variante 15 KSJG, pagina 3 de 3
Engra
peaq
uı
No
dobl
e
Algebra II, licenciatura. Tarea 5. Variante 16 LSS.
Transformaciones lineales.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 1%.Demuestre que la funcion f : R2 → R2 definida mediante la siguiente formula no es transforma-cion lineal. Indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.
f(x) =
[−3x1 − 3x
22
2x1 − 5x2
].
Ejercicio 2. 2%.Demuestre que la funcion T : P2(R) → P2(R) definida mediante la siguiente regla es una trans-formacion lineal.
(Tf)(x) = (3x2 − 2x− 1)f ′′(x) + (−3x+ 1)f ′(x) + 2f(x).
Calcule la matriz TE asociada a T respecto a la base canonica E = (e0, e1, e2). Para comprobacioncalcule Tg aplicando la regla de correspondencia de T , escriba el vector (Tg)E y calcule elproducto TEgE .
e0(x) = 1, e1(x) = x, e2(x) = x2.
g(x) = x2 + 5x− 1.
Ejercicio 3. 2%.Demuestre que la funcion T : M2(R) → M2(R) definida mediante la siguiente regla es unatransformacion lineal.
T(X) = AX− XA, donde A =
[−4 −5−7 −8
].
Calcule la matriz asociada a T respecto a la base E = (E1, E2, E3, E4). Para comprobar larespuesta calcule T(Y) de dos maneras diferentes:
1) usando la matriz asociada;
2) aplicando la regla de correspondencia de T .
E1 =
[1 0
0 0
], E2 =
[0 1
0 0
], E3 =
[0 0
1 0
], E4 =
[0 0
0 1
], Y =
[1 −2
−1 1
].
Tarea 5, variante 16 LSS, pagina 1 de 3
Ejercicio 4. 2%.Sean A y B algunas bases de un espacio vectorial V y sea T : V → V una transformacion lineal.Dadas la matriz TA asociada a T respecto a la base A y la matriz de cambio de base PA,B,calcule la matriz PB,A, compruebe la igualdad PA,BPB,A = I y calcule la matriz TB asociada a Trespecto a la base B.
TA =
1 2 1
−2 4 0
−5 −2 4
, PA,B =
1 1 1
2 1 1
4 2 1
.Ejercicio 5. 2%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Calcule las matrices T(F1), T(F2), T(F3), T(F4) yescriba la matriz TF asociada a la transformacion lineal T respecto a la base F = (F1, F2, F3, F4),donde
F1 =
[1 0
0 0
], F2 =
[0 0
1 0
], F3 =
[0 1
0 0
], F4 =
[0 0
0 1
].
Escriba las matrices de cambio PE ,F y PF ,E , compruebe que PE ,FPF ,E = I y PF ,ETEPE ,F = TF .
Ejercicio 6. 1%.Sean V y W espacios vectoriales reales, sea A = (a1, a2, a3, a4) una base de V y sea B =(b1, b2, b3, b4) una base de W. Se considera una transformacion lineal T : V →W dada por sumatriz asociada TB,A. Construya una base de ker(T) y una base de im(T). Calcule el rango y lanulidad de T . Haga las comprobaciones.
TB,A =
−3 4 −1 −24 4 1 2
2 −1 0 1
1 −3 1 1
.Ejercicio 7. 1%; se baja 0.25% por cada error en la tabla.Se consideran tres transformaciones lineales S, T,U dadas por sus matrices asociadas respectoa ciertas bases:
SB,A =
[−2 6 −4 2
−1 3 −2 1
], TD,C =
[5 5
2 −3
], UF ,E =
4 1
3 1
−1 0
.Llene la siguiente tabla:
S T U
dim(dominio)dim(contradominio)rango := dim(imagen)nulidad := dim(nucleo)¿es inyectiva?¿es suprayectiva?¿es invertible?
Tarea 5, variante 16 LSS, pagina 2 de 3
Ejercicio 8. 1%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Construya una base de ker(T) y una base deim(T). Halle el rango y la nulidad de T . Haga las comprobaciones.
Ejercicio 9. 2%.Sea P : R3 → R3 la transformacion lineal dada por su matriz asociada con respecto a la basecanonica E . Verifique que P2 = P. Construya una base A de im(P) y una base B de ker(P).Haga las comprobaciones.
PE =
5 −2 −46 −2 −62 −1 −1
.Ejercicio 10. 1%.Seguimos trabajando con la transformacion lineal P del ejercicio anterior. SeaQ = I−P. Calculela matriz QE . Calcule Q2, PQ y QP multiplicando las matrices asociadas correspondientes.
Ejercicio 11. 2%.Construya una base C de im(Q) y una base D de ker(Q). Muestre que los vectores de C soncombinaciones lineales de los vectores de B y vice versa. Muestre que los vectores de D soncombinaciones lineales de los vectores de A y vice versa. ¿Que significa esto en terminos de lossubespacios im(P), ker(P), im(Q), ker(Q)?.
Ejercicio 12. 1%.
Sea v =[−3, 1, −2
]>. Calcule los vectores u = P(v) y w = Q(v). Con comprobaciones
directas muestre que u+w = v, u ∈ ker(Q), w ∈ ker(P).
Ejercicio 13. 1%.Denotemos por F al sistema de vectores que se obtiene al juntar las bases A y B de im(P) y deker(P). Escriba la matriz de transicion de E a F (puede denotarla por UE ,F), calcule su inversay haga la comprobacion.
Ejercicio 14. 1%.Calcule las matrices PF y QF asociadas a las transformaciones lineales P y Q con respecto a labase F del ejercicio anterior. Verifique que
PF +QF = I, P2F = PF , Q2F = QF , PFQF = 0, QFPF = 0.
Tarea 5, variante 16 LSS, pagina 3 de 3
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Algebra II, licenciatura. Tarea 5. Variante 17 LPS.
Transformaciones lineales.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 1%.Demuestre que la funcion f : R2 → R2 definida mediante la siguiente formula no es transforma-cion lineal. Indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.
f(x) =
[3x1 + 5x2
−5x1 − 5x22
].
Ejercicio 2. 2%.Demuestre que la funcion T : P2(R) → P2(R) definida mediante la siguiente regla es una trans-formacion lineal.
(Tf)(x) = (−2x2 − 3x+ 3)f ′′(x) + (−x+ 1)f ′(x) + 2f(x).
Calcule la matriz TE asociada a T respecto a la base canonica E = (e0, e1, e2). Para comprobacioncalcule Tg aplicando la regla de correspondencia de T , escriba el vector (Tg)E y calcule elproducto TEgE .
e0(x) = 1, e1(x) = x, e2(x) = x2.
g(x) = 2x2 + x− 2.
Ejercicio 3. 2%.Demuestre que la funcion T : M2(R) → M2(R) definida mediante la siguiente regla es unatransformacion lineal.
T(X) = AX− XA, donde A =
[8 −76 −1
].
Calcule la matriz asociada a T respecto a la base E = (E1, E2, E3, E4). Para comprobar larespuesta calcule T(Y) de dos maneras diferentes:
1) usando la matriz asociada;
2) aplicando la regla de correspondencia de T .
E1 =
[1 0
0 0
], E2 =
[0 1
0 0
], E3 =
[0 0
1 0
], E4 =
[0 0
0 1
], Y =
[−1 2
−1 2
].
Tarea 5, variante 17 LPS, pagina 1 de 3
Ejercicio 4. 2%.Sean A y B algunas bases de un espacio vectorial V y sea T : V → V una transformacion lineal.Dadas la matriz TA asociada a T respecto a la base A y la matriz de cambio de base PA,B,calcule la matriz PB,A, compruebe la igualdad PA,BPB,A = I y calcule la matriz TB asociada a Trespecto a la base B.
TA =
5 2 −43 5 −50 3 −1
, PA,B =
2 1 1
1 1 0
2 2 1
.Ejercicio 5. 2%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Calcule las matrices T(F1), T(F2), T(F3), T(F4) yescriba la matriz TF asociada a la transformacion lineal T respecto a la base F = (F1, F2, F3, F4),donde
F1 =
[1 0
0 0
], F2 =
[0 0
1 0
], F3 =
[0 1
0 0
], F4 =
[0 0
0 1
].
Escriba las matrices de cambio PE ,F y PF ,E , compruebe que PE ,FPF ,E = I y PF ,ETEPE ,F = TF .
Ejercicio 6. 1%.Sean V y W espacios vectoriales reales, sea A = (a1, a2, a3, a4) una base de V y sea B =(b1, b2, b3, b4) una base de W. Se considera una transformacion lineal T : V →W dada por sumatriz asociada TB,A. Construya una base de ker(T) y una base de im(T). Calcule el rango y lanulidad de T . Haga las comprobaciones.
TB,A =
−3 3 1 1
−2 3 1 2
−4 3 1 0
4 4 1 −1
.Ejercicio 7. 1%; se baja 0.25% por cada error en la tabla.Se consideran tres transformaciones lineales S, T,U dadas por sus matrices asociadas respectoa ciertas bases:
SB,A =
−5 −2 −52 −5 0
4 0 0
0 0 0
, TD,C =
4 −2−2 1
−4 2
, UF ,E =
[1 5
2 −5
].
Llene la siguiente tabla:
S T U
dim(dominio)dim(contradominio)rango := dim(imagen)nulidad := dim(nucleo)¿es inyectiva?¿es suprayectiva?¿es invertible?
Tarea 5, variante 17 LPS, pagina 2 de 3
Ejercicio 8. 1%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Construya una base de ker(T) y una base deim(T). Halle el rango y la nulidad de T . Haga las comprobaciones.
Ejercicio 9. 2%.Sea P : R3 → R3 la transformacion lineal dada por su matriz asociada con respecto a la basecanonica E . Verifique que P2 = P. Construya una base A de im(P) y una base B de ker(P).Haga las comprobaciones.
PE =
−1 −4 2
−1 −1 1
−3 −6 4
.Ejercicio 10. 1%.Seguimos trabajando con la transformacion lineal P del ejercicio anterior. SeaQ = I−P. Calculela matriz QE . Calcule Q2, PQ y QP multiplicando las matrices asociadas correspondientes.
Ejercicio 11. 2%.Construya una base C de im(Q) y una base D de ker(Q). Muestre que los vectores de C soncombinaciones lineales de los vectores de B y vice versa. Muestre que los vectores de D soncombinaciones lineales de los vectores de A y vice versa. ¿Que significa esto en terminos de lossubespacios im(P), ker(P), im(Q), ker(Q)?.
Ejercicio 12. 1%.
Sea v =[1, −4, 5
]>. Calcule los vectores u = P(v) y w = Q(v). Con comprobaciones
directas muestre que u+w = v, u ∈ ker(Q), w ∈ ker(P).
Ejercicio 13. 1%.Denotemos por F al sistema de vectores que se obtiene al juntar las bases A y B de im(P) y deker(P). Escriba la matriz de transicion de E a F (puede denotarla por UE ,F), calcule su inversay haga la comprobacion.
Ejercicio 14. 1%.Calcule las matrices PF y QF asociadas a las transformaciones lineales P y Q con respecto a labase F del ejercicio anterior. Verifique que
PF +QF = I, P2F = PF , Q2F = QF , PFQF = 0, QFPF = 0.
Tarea 5, variante 17 LPS, pagina 3 de 3
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Algebra II, licenciatura. Tarea 5. Variante 18 MPDD.
Transformaciones lineales.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 1%.Demuestre que la funcion f : R2 → R2 definida mediante la siguiente formula no es transforma-cion lineal. Indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.
f(x) =
[5x1 + 5x2
3x1 − 4x22
].
Ejercicio 2. 2%.Demuestre que la funcion T : P2(R) → P2(R) definida mediante la siguiente regla es una trans-formacion lineal.
(Tf)(x) = (−x2 + 3x+ 2)f ′′(x) + (x− 3)f ′(x) − 2f(x).
Calcule la matriz TE asociada a T respecto a la base canonica E = (e0, e1, e2). Para comprobacioncalcule Tg aplicando la regla de correspondencia de T , escriba el vector (Tg)E y calcule elproducto TEgE .
e0(x) = 1, e1(x) = x, e2(x) = x2.
g(x) = x2 + 4x− 3.
Ejercicio 3. 2%.Demuestre que la funcion T : M2(R) → M2(R) definida mediante la siguiente regla es unatransformacion lineal.
T(X) = AX− XA, donde A =
[7 −18 2
].
Calcule la matriz asociada a T respecto a la base E = (E1, E2, E3, E4). Para comprobar larespuesta calcule T(Y) de dos maneras diferentes:
1) usando la matriz asociada;
2) aplicando la regla de correspondencia de T .
E1 =
[1 0
0 0
], E2 =
[0 1
0 0
], E3 =
[0 0
1 0
], E4 =
[0 0
0 1
], Y =
[3 1
−4 5
].
Tarea 5, variante 18 MPDD, pagina 1 de 3
Ejercicio 4. 2%.Sean A y B algunas bases de un espacio vectorial V y sea T : V → V una transformacion lineal.Dadas la matriz TA asociada a T respecto a la base A y la matriz de cambio de base PA,B,calcule la matriz PB,A, compruebe la igualdad PA,BPB,A = I y calcule la matriz TB asociada a Trespecto a la base B.
TA =
1 −1 4
−4 2 3
−5 4 5
, PA,B =
2 1 1
1 1 0
2 2 1
.Ejercicio 5. 2%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Calcule las matrices T(F1), T(F2), T(F3), T(F4) yescriba la matriz TF asociada a la transformacion lineal T respecto a la base F = (F1, F2, F3, F4),donde
F1 =
[1 0
0 0
], F2 =
[0 0
1 0
], F3 =
[0 1
0 0
], F4 =
[0 0
0 1
].
Escriba las matrices de cambio PE ,F y PF ,E , compruebe que PE ,FPF ,E = I y PF ,ETEPE ,F = TF .
Ejercicio 6. 1%.Sean V y W espacios vectoriales reales, sea A = (a1, a2, a3, a4) una base de V y sea B =(b1, b2, b3, b4) una base de W. Se considera una transformacion lineal T : V →W dada por sumatriz asociada TB,A. Construya una base de ker(T) y una base de im(T). Calcule el rango y lanulidad de T . Haga las comprobaciones.
TB,A =
1 1 1 −32 1 −2 4
2 2 1 −11 1 0 2
.Ejercicio 7. 1%; se baja 0.25% por cada error en la tabla.Se consideran tres transformaciones lineales S, T,U dadas por sus matrices asociadas respectoa ciertas bases:
SB,A =
[−2 6 6 −41 −3 −3 2
], TD,C =
4 3
3 2
−1 −1
, UF ,E =
[1 4
−4 −1
].
Llene la siguiente tabla:
S T U
dim(dominio)dim(contradominio)rango := dim(imagen)nulidad := dim(nucleo)¿es inyectiva?¿es suprayectiva?¿es invertible?
Tarea 5, variante 18 MPDD, pagina 2 de 3
Ejercicio 8. 1%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Construya una base de ker(T) y una base deim(T). Halle el rango y la nulidad de T . Haga las comprobaciones.
Ejercicio 9. 2%.Sea P : R3 → R3 la transformacion lineal dada por su matriz asociada con respecto a la basecanonica E . Verifique que P2 = P. Construya una base A de im(P) y una base B de ker(P).Haga las comprobaciones.
PE =
−1 −4 2
−1 −1 1
−3 −6 4
.Ejercicio 10. 1%.Seguimos trabajando con la transformacion lineal P del ejercicio anterior. SeaQ = I−P. Calculela matriz QE . Calcule Q2, PQ y QP multiplicando las matrices asociadas correspondientes.
Ejercicio 11. 2%.Construya una base C de im(Q) y una base D de ker(Q). Muestre que los vectores de C soncombinaciones lineales de los vectores de B y vice versa. Muestre que los vectores de D soncombinaciones lineales de los vectores de A y vice versa. ¿Que significa esto en terminos de lossubespacios im(P), ker(P), im(Q), ker(Q)?.
Ejercicio 12. 1%.
Sea v =[1, 2, 2
]>. Calcule los vectores u = P(v) y w = Q(v). Con comprobaciones directas
muestre que u+w = v, u ∈ ker(Q), w ∈ ker(P).
Ejercicio 13. 1%.Denotemos por F al sistema de vectores que se obtiene al juntar las bases A y B de im(P) y deker(P). Escriba la matriz de transicion de E a F (puede denotarla por UE ,F), calcule su inversay haga la comprobacion.
Ejercicio 14. 1%.Calcule las matrices PF y QF asociadas a las transformaciones lineales P y Q con respecto a labase F del ejercicio anterior. Verifique que
PF +QF = I, P2F = PF , Q2F = QF , PFQF = 0, QFPF = 0.
Tarea 5, variante 18 MPDD, pagina 3 de 3
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Algebra II, licenciatura. Tarea 5. Variante 19 MHF.
Transformaciones lineales.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 1%.Demuestre que la funcion f : R2 → R2 definida mediante la siguiente formula no es transforma-cion lineal. Indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.
f(x) =
[−x1 + 3x2
−x21
].
Ejercicio 2. 2%.Demuestre que la funcion T : P2(R) → P2(R) definida mediante la siguiente regla es una trans-formacion lineal.
(Tf)(x) = (3x2 − 3x− 2)f ′′(x) + (x+ 2)f ′(x) − 1f(x).
Calcule la matriz TE asociada a T respecto a la base canonica E = (e0, e1, e2). Para comprobacioncalcule Tg aplicando la regla de correspondencia de T , escriba el vector (Tg)E y calcule elproducto TEgE .
e0(x) = 1, e1(x) = x, e2(x) = x2.
g(x) = −2x2 + x+ 2.
Ejercicio 3. 2%.Demuestre que la funcion T : M2(R) → M2(R) definida mediante la siguiente regla es unatransformacion lineal.
T(X) = AX− XA, donde A =
[−9 −58 3
].
Calcule la matriz asociada a T respecto a la base E = (E1, E2, E3, E4). Para comprobar larespuesta calcule T(Y) de dos maneras diferentes:
1) usando la matriz asociada;
2) aplicando la regla de correspondencia de T .
E1 =
[1 0
0 0
], E2 =
[0 1
0 0
], E3 =
[0 0
1 0
], E4 =
[0 0
0 1
], Y =
[−1 −12 1
].
Tarea 5, variante 19 MHF, pagina 1 de 3
Ejercicio 4. 2%.Sean A y B algunas bases de un espacio vectorial V y sea T : V → V una transformacion lineal.Dadas la matriz TA asociada a T respecto a la base A y la matriz de cambio de base PA,B,calcule la matriz PB,A, compruebe la igualdad PA,BPB,A = I y calcule la matriz TB asociada a Trespecto a la base B.
TA =
−2 4 1
2 5 −51 5 −3
, PA,B =
1 2 2
2 1 0
2 2 1
.Ejercicio 5. 2%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Calcule las matrices T(F1), T(F2), T(F3), T(F4) yescriba la matriz TF asociada a la transformacion lineal T respecto a la base F = (F1, F2, F3, F4),donde
F1 =
[1 0
0 0
], F2 =
[0 0
1 0
], F3 =
[0 1
0 0
], F4 =
[0 0
0 1
].
Escriba las matrices de cambio PE ,F y PF ,E , compruebe que PE ,FPF ,E = I y PF ,ETEPE ,F = TF .
Ejercicio 6. 1%.Sean V y W espacios vectoriales reales, sea A = (a1, a2, a3, a4) una base de V y sea B =(b1, b2, b3, b4) una base de W. Se considera una transformacion lineal T : V →W dada por sumatriz asociada TB,A. Construya una base de ker(T) y una base de im(T). Calcule el rango y lanulidad de T . Haga las comprobaciones.
TB,A =
3 2 3 −10 −1 1 2
1 1 1 3
−1 −3 1 1
.Ejercicio 7. 1%; se baja 0.25% por cada error en la tabla.Se consideran tres transformaciones lineales S, T,U dadas por sus matrices asociadas respectoa ciertas bases:
SB,A =
−4 −5 4 −3−5 1 0 −5−5 2 0 0
, TD,C =
[1 −5
−2 2
], UF ,E =
−3 −12 1
5 2
.Llene la siguiente tabla:
S T U
dim(dominio)dim(contradominio)rango := dim(imagen)nulidad := dim(nucleo)¿es inyectiva?¿es suprayectiva?¿es invertible?
Tarea 5, variante 19 MHF, pagina 2 de 3
Ejercicio 8. 1%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Construya una base de ker(T) y una base deim(T). Halle el rango y la nulidad de T . Haga las comprobaciones.
Ejercicio 9. 2%.Sea P : R3 → R3 la transformacion lineal dada por su matriz asociada con respecto a la basecanonica E . Verifique que P2 = P. Construya una base A de im(P) y una base B de ker(P).Haga las comprobaciones.
PE =
−1 −4 2
−1 −1 1
−3 −6 4
.Ejercicio 10. 1%.Seguimos trabajando con la transformacion lineal P del ejercicio anterior. SeaQ = I−P. Calculela matriz QE . Calcule Q2, PQ y QP multiplicando las matrices asociadas correspondientes.
Ejercicio 11. 2%.Construya una base C de im(Q) y una base D de ker(Q). Muestre que los vectores de C soncombinaciones lineales de los vectores de B y vice versa. Muestre que los vectores de D soncombinaciones lineales de los vectores de A y vice versa. ¿Que significa esto en terminos de lossubespacios im(P), ker(P), im(Q), ker(Q)?.
Ejercicio 12. 1%.
Sea v =[−3, 1, −4
]>. Calcule los vectores u = P(v) y w = Q(v). Con comprobaciones
directas muestre que u+w = v, u ∈ ker(Q), w ∈ ker(P).
Ejercicio 13. 1%.Denotemos por F al sistema de vectores que se obtiene al juntar las bases A y B de im(P) y deker(P). Escriba la matriz de transicion de E a F (puede denotarla por UE ,F), calcule su inversay haga la comprobacion.
Ejercicio 14. 1%.Calcule las matrices PF y QF asociadas a las transformaciones lineales P y Q con respecto a labase F del ejercicio anterior. Verifique que
PF +QF = I, P2F = PF , Q2F = QF , PFQF = 0, QFPF = 0.
Tarea 5, variante 19 MHF, pagina 3 de 3
Engra
peaq
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No
dobl
e
Algebra II, licenciatura. Tarea 5. Variante 20 MME.
Transformaciones lineales.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 1%.Demuestre que la funcion f : R2 → R2 definida mediante la siguiente formula no es transforma-cion lineal. Indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.
f(x) =
[−4x1 − 5x
22
−5x1 − 3x2
].
Ejercicio 2. 2%.Demuestre que la funcion T : P2(R) → P2(R) definida mediante la siguiente regla es una trans-formacion lineal.
(Tf)(x) = (−3x2 − x+ 2)f ′′(x) + (3x+ 1)f ′(x) − 2f(x).
Calcule la matriz TE asociada a T respecto a la base canonica E = (e0, e1, e2). Para comprobacioncalcule Tg aplicando la regla de correspondencia de T , escriba el vector (Tg)E y calcule elproducto TEgE .
e0(x) = 1, e1(x) = x, e2(x) = x2.
g(x) = 3x2 + x− 1.
Ejercicio 3. 2%.Demuestre que la funcion T : M2(R) → M2(R) definida mediante la siguiente regla es unatransformacion lineal.
T(X) = AX− XA, donde A =
[−6 2
−8 6
].
Calcule la matriz asociada a T respecto a la base E = (E1, E2, E3, E4). Para comprobar larespuesta calcule T(Y) de dos maneras diferentes:
1) usando la matriz asociada;
2) aplicando la regla de correspondencia de T .
E1 =
[1 0
0 0
], E2 =
[0 1
0 0
], E3 =
[0 0
1 0
], E4 =
[0 0
0 1
], Y =
[−4 1
−5 3
].
Tarea 5, variante 20 MME, pagina 1 de 3
Ejercicio 4. 2%.Sean A y B algunas bases de un espacio vectorial V y sea T : V → V una transformacion lineal.Dadas la matriz TA asociada a T respecto a la base A y la matriz de cambio de base PA,B,calcule la matriz PB,A, compruebe la igualdad PA,BPB,A = I y calcule la matriz TB asociada a Trespecto a la base B.
TA =
1 5 −20 4 −3
−2 2 3
, PA,B =
1 4 −11 3 1
1 3 0
.Ejercicio 5. 2%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Calcule las matrices T(F1), T(F2), T(F3), T(F4) yescriba la matriz TF asociada a la transformacion lineal T respecto a la base F = (F1, F2, F3, F4),donde
F1 =
[1 0
0 0
], F2 =
[0 0
1 0
], F3 =
[0 1
0 0
], F4 =
[0 0
0 1
].
Escriba las matrices de cambio PE ,F y PF ,E , compruebe que PE ,FPF ,E = I y PF ,ETEPE ,F = TF .
Ejercicio 6. 1%.Sean V y W espacios vectoriales reales, sea A = (a1, a2, a3, a4) una base de V y sea B =(b1, b2, b3, b4) una base de W. Se considera una transformacion lineal T : V →W dada por sumatriz asociada TB,A. Construya una base de ker(T) y una base de im(T). Calcule el rango y lanulidad de T . Haga las comprobaciones.
TB,A =
3 3 −3 2
1 3 0 3
1 2 4 2
1 4 −4 4
.Ejercicio 7. 1%; se baja 0.25% por cada error en la tabla.Se consideran tres transformaciones lineales S, T,U dadas por sus matrices asociadas respectoa ciertas bases:
SB,A =
1 2
1 3
2 5
, TD,C =
4 2 3 5
−2 −3 0 −2−5 0 0 3
, UF ,E =
−4 −5 −12 4 0
0 −2 0
.Llene la siguiente tabla:
S T U
dim(dominio)dim(contradominio)rango := dim(imagen)nulidad := dim(nucleo)¿es inyectiva?¿es suprayectiva?¿es invertible?
Tarea 5, variante 20 MME, pagina 2 de 3
Ejercicio 8. 1%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Construya una base de ker(T) y una base deim(T). Halle el rango y la nulidad de T . Haga las comprobaciones.
Ejercicio 9. 2%.Sea P : R3 → R3 la transformacion lineal dada por su matriz asociada con respecto a la basecanonica E . Verifique que P2 = P. Construya una base A de im(P) y una base B de ker(P).Haga las comprobaciones.
PE =
−1 −1 1
−4 −1 2
−6 −3 4
.Ejercicio 10. 1%.Seguimos trabajando con la transformacion lineal P del ejercicio anterior. SeaQ = I−P. Calculela matriz QE . Calcule Q2, PQ y QP multiplicando las matrices asociadas correspondientes.
Ejercicio 11. 2%.Construya una base C de im(Q) y una base D de ker(Q). Muestre que los vectores de C soncombinaciones lineales de los vectores de B y vice versa. Muestre que los vectores de D soncombinaciones lineales de los vectores de A y vice versa. ¿Que significa esto en terminos de lossubespacios im(P), ker(P), im(Q), ker(Q)?.
Ejercicio 12. 1%.
Sea v =[3, −6, 2
]>. Calcule los vectores u = P(v) y w = Q(v). Con comprobaciones
directas muestre que u+w = v, u ∈ ker(Q), w ∈ ker(P).
Ejercicio 13. 1%.Denotemos por F al sistema de vectores que se obtiene al juntar las bases A y B de im(P) y deker(P). Escriba la matriz de transicion de E a F (puede denotarla por UE ,F), calcule su inversay haga la comprobacion.
Ejercicio 14. 1%.Calcule las matrices PF y QF asociadas a las transformaciones lineales P y Q con respecto a labase F del ejercicio anterior. Verifique que
PF +QF = I, P2F = PF , Q2F = QF , PFQF = 0, QFPF = 0.
Tarea 5, variante 20 MME, pagina 3 de 3
Engra
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No
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Algebra II, licenciatura. Tarea 5. Variante 21 MRCK.
Transformaciones lineales.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 1%.Demuestre que la funcion f : R2 → R2 definida mediante la siguiente formula no es transforma-cion lineal. Indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.
f(x) =
[5x1 − 3x2
−3x1 − 3x22
].
Ejercicio 2. 2%.Demuestre que la funcion T : P2(R) → P2(R) definida mediante la siguiente regla es una trans-formacion lineal.
(Tf)(x) = (3x2 + 2x− 2)f ′′(x) + (−x− 3)f ′(x) + 1f(x).
Calcule la matriz TE asociada a T respecto a la base canonica E = (e0, e1, e2). Para comprobacioncalcule Tg aplicando la regla de correspondencia de T , escriba el vector (Tg)E y calcule elproducto TEgE .
e0(x) = 1, e1(x) = x, e2(x) = x2.
g(x) = x2 + 3x+ 2.
Ejercicio 3. 2%.Demuestre que la funcion T : M2(R) → M2(R) definida mediante la siguiente regla es unatransformacion lineal.
T(X) = AX− XA, donde A =
[1 −8
−2 −3
].
Calcule la matriz asociada a T respecto a la base E = (E1, E2, E3, E4). Para comprobar larespuesta calcule T(Y) de dos maneras diferentes:
1) usando la matriz asociada;
2) aplicando la regla de correspondencia de T .
E1 =
[1 0
0 0
], E2 =
[0 1
0 0
], E3 =
[0 0
1 0
], E4 =
[0 0
0 1
], Y =
[3 −3
−1 2
].
Tarea 5, variante 21 MRCK, pagina 1 de 3
Ejercicio 4. 2%.Sean A y B algunas bases de un espacio vectorial V y sea T : V → V una transformacion lineal.Dadas la matriz TA asociada a T respecto a la base A y la matriz de cambio de base PA,B,calcule la matriz PB,A, compruebe la igualdad PA,BPB,A = I y calcule la matriz TB asociada a Trespecto a la base B.
TA =
−1 2 1
3 3 −35 −3 3
, PA,B =
1 2 0
1 2 1
1 1 1
.Ejercicio 5. 2%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Calcule las matrices T(F1), T(F2), T(F3), T(F4) yescriba la matriz TF asociada a la transformacion lineal T respecto a la base F = (F1, F2, F3, F4),donde
F1 =
[1 0
0 0
], F2 =
[0 0
1 0
], F3 =
[0 1
0 0
], F4 =
[0 0
0 1
].
Escriba las matrices de cambio PE ,F y PF ,E , compruebe que PE ,FPF ,E = I y PF ,ETEPE ,F = TF .
Ejercicio 6. 1%.Sean V y W espacios vectoriales reales, sea A = (a1, a2, a3, a4) una base de V y sea B =(b1, b2, b3, b4) una base de W. Se considera una transformacion lineal T : V →W dada por sumatriz asociada TB,A. Construya una base de ker(T) y una base de im(T). Calcule el rango y lanulidad de T . Haga las comprobaciones.
TB,A =
2 1 1 3
3 1 0 3
−1 1 −2 4
−2 1 −1 4
.Ejercicio 7. 1%; se baja 0.25% por cada error en la tabla.Se consideran tres transformaciones lineales S, T,U dadas por sus matrices asociadas respectoa ciertas bases:
SB,A =
5 4 3
−3 0 1
0 0 −40 0 0
, TD,C =
1 2
3 6
−2 −4
, UF ,E =
−4 −3 3
−2 −1 0
0 4 0
.Llene la siguiente tabla:
S T U
dim(dominio)dim(contradominio)rango := dim(imagen)nulidad := dim(nucleo)¿es inyectiva?¿es suprayectiva?¿es invertible?
Tarea 5, variante 21 MRCK, pagina 2 de 3
Ejercicio 8. 1%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Construya una base de ker(T) y una base deim(T). Halle el rango y la nulidad de T . Haga las comprobaciones.
Ejercicio 9. 2%.Sea P : R3 → R3 la transformacion lineal dada por su matriz asociada con respecto a la basecanonica E . Verifique que P2 = P. Construya una base A de im(P) y una base B de ker(P).Haga las comprobaciones.
PE =
4 −6 −31 −1 −12 −4 −1
.Ejercicio 10. 1%.Seguimos trabajando con la transformacion lineal P del ejercicio anterior. SeaQ = I−P. Calculela matriz QE . Calcule Q2, PQ y QP multiplicando las matrices asociadas correspondientes.
Ejercicio 11. 2%.Construya una base C de im(Q) y una base D de ker(Q). Muestre que los vectores de C soncombinaciones lineales de los vectores de B y vice versa. Muestre que los vectores de D soncombinaciones lineales de los vectores de A y vice versa. ¿Que significa esto en terminos de lossubespacios im(P), ker(P), im(Q), ker(Q)?.
Ejercicio 12. 1%.
Sea v =[3, −3, −4
]>. Calcule los vectores u = P(v) y w = Q(v). Con comprobaciones
directas muestre que u+w = v, u ∈ ker(Q), w ∈ ker(P).
Ejercicio 13. 1%.Denotemos por F al sistema de vectores que se obtiene al juntar las bases A y B de im(P) y deker(P). Escriba la matriz de transicion de E a F (puede denotarla por UE ,F), calcule su inversay haga la comprobacion.
Ejercicio 14. 1%.Calcule las matrices PF y QF asociadas a las transformaciones lineales P y Q con respecto a labase F del ejercicio anterior. Verifique que
PF +QF = I, P2F = PF , Q2F = QF , PFQF = 0, QFPF = 0.
Tarea 5, variante 21 MRCK, pagina 3 de 3
Engra
peaq
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No
dobl
e
Algebra II, licenciatura. Tarea 5. Variante 22 PHJL.
Transformaciones lineales.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 1%.Demuestre que la funcion f : R2 → R2 definida mediante la siguiente formula no es transforma-cion lineal. Indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.
f(x) =
[−x1 − 3x2
−3x2 − 2
].
Ejercicio 2. 2%.Demuestre que la funcion T : P2(R) → P2(R) definida mediante la siguiente regla es una trans-formacion lineal.
(Tf)(x) = (3x2 + x− 2)f ′′(x) + (2x− 3)f ′(x) − 1f(x).
Calcule la matriz TE asociada a T respecto a la base canonica E = (e0, e1, e2). Para comprobacioncalcule Tg aplicando la regla de correspondencia de T , escriba el vector (Tg)E y calcule elproducto TEgE .
e0(x) = 1, e1(x) = x, e2(x) = x2.
g(x) = x2 + 3x+ 2.
Ejercicio 3. 2%.Demuestre que la funcion T : M2(R) → M2(R) definida mediante la siguiente regla es unatransformacion lineal.
T(X) = AX− XA, donde A =
[−5 7
−3 −9
].
Calcule la matriz asociada a T respecto a la base E = (E1, E2, E3, E4). Para comprobar larespuesta calcule T(Y) de dos maneras diferentes:
1) usando la matriz asociada;
2) aplicando la regla de correspondencia de T .
E1 =
[1 0
0 0
], E2 =
[0 1
0 0
], E3 =
[0 0
1 0
], E4 =
[0 0
0 1
], Y =
[−1 −51 1
].
Tarea 5, variante 22 PHJL, pagina 1 de 3
Ejercicio 4. 2%.Sean A y B algunas bases de un espacio vectorial V y sea T : V → V una transformacion lineal.Dadas la matriz TA asociada a T respecto a la base A y la matriz de cambio de base PA,B,calcule la matriz PB,A, compruebe la igualdad PA,BPB,A = I y calcule la matriz TB asociada a Trespecto a la base B.
TA =
−3 5 −31 −2 2
3 −4 5
, PA,B =
1 0 −12 2 3
1 1 2
.Ejercicio 5. 2%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Calcule las matrices T(F1), T(F2), T(F3), T(F4) yescriba la matriz TF asociada a la transformacion lineal T respecto a la base F = (F1, F2, F3, F4),donde
F1 =
[1 0
0 0
], F2 =
[0 0
1 0
], F3 =
[0 1
0 0
], F4 =
[0 0
0 1
].
Escriba las matrices de cambio PE ,F y PF ,E , compruebe que PE ,FPF ,E = I y PF ,ETEPE ,F = TF .
Ejercicio 6. 1%.Sean V y W espacios vectoriales reales, sea A = (a1, a2, a3, a4) una base de V y sea B =(b1, b2, b3, b4) una base de W. Se considera una transformacion lineal T : V →W dada por sumatriz asociada TB,A. Construya una base de ker(T) y una base de im(T). Calcule el rango y lanulidad de T . Haga las comprobaciones.
TB,A =
2 1 1 2
4 4 4 3
1 1 1 1
3 2 2 3
.Ejercicio 7. 1%; se baja 0.25% por cada error en la tabla.Se consideran tres transformaciones lineales S, T,U dadas por sus matrices asociadas respectoa ciertas bases:
SB,A =
[2 −3
−5 4
], TD,C =
[−4 3 2 4
4 5 3 0
], UF ,E =
−2 −16 3
2 1
.Llene la siguiente tabla:
S T U
dim(dominio)dim(contradominio)rango := dim(imagen)nulidad := dim(nucleo)¿es inyectiva?¿es suprayectiva?¿es invertible?
Tarea 5, variante 22 PHJL, pagina 2 de 3
Ejercicio 8. 1%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Construya una base de ker(T) y una base deim(T). Halle el rango y la nulidad de T . Haga las comprobaciones.
Ejercicio 9. 2%.Sea P : R3 → R3 la transformacion lineal dada por su matriz asociada con respecto a la basecanonica E . Verifique que P2 = P. Construya una base A de im(P) y una base B de ker(P).Haga las comprobaciones.
PE =
−2 −6 6
−1 −1 2
−2 −4 5
.Ejercicio 10. 1%.Seguimos trabajando con la transformacion lineal P del ejercicio anterior. SeaQ = I−P. Calculela matriz QE . Calcule Q2, PQ y QP multiplicando las matrices asociadas correspondientes.
Ejercicio 11. 2%.Construya una base C de im(Q) y una base D de ker(Q). Muestre que los vectores de C soncombinaciones lineales de los vectores de B y vice versa. Muestre que los vectores de D soncombinaciones lineales de los vectores de A y vice versa. ¿Que significa esto en terminos de lossubespacios im(P), ker(P), im(Q), ker(Q)?.
Ejercicio 12. 1%.
Sea v =[3, −6, −2
]>. Calcule los vectores u = P(v) y w = Q(v). Con comprobaciones
directas muestre que u+w = v, u ∈ ker(Q), w ∈ ker(P).
Ejercicio 13. 1%.Denotemos por F al sistema de vectores que se obtiene al juntar las bases A y B de im(P) y deker(P). Escriba la matriz de transicion de E a F (puede denotarla por UE ,F), calcule su inversay haga la comprobacion.
Ejercicio 14. 1%.Calcule las matrices PF y QF asociadas a las transformaciones lineales P y Q con respecto a labase F del ejercicio anterior. Verifique que
PF +QF = I, P2F = PF , Q2F = QF , PFQF = 0, QFPF = 0.
Tarea 5, variante 22 PHJL, pagina 3 de 3
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No
dobl
e
Algebra II, licenciatura. Tarea 5. Variante 23 RAJA.
Transformaciones lineales.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 1%.Demuestre que la funcion f : R2 → R2 definida mediante la siguiente formula no es transforma-cion lineal. Indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.
f(x) =
[x1 − 4x2
−2x1x2
].
Ejercicio 2. 2%.Demuestre que la funcion T : P2(R) → P2(R) definida mediante la siguiente regla es una trans-formacion lineal.
(Tf)(x) = (2x2 − 3x− 1)f ′′(x) + (−2x+ 3)f ′(x) + 1f(x).
Calcule la matriz TE asociada a T respecto a la base canonica E = (e0, e1, e2). Para comprobacioncalcule Tg aplicando la regla de correspondencia de T , escriba el vector (Tg)E y calcule elproducto TEgE .
e0(x) = 1, e1(x) = x, e2(x) = x2.
g(x) = −3x2 + 3x+ 1.
Ejercicio 3. 2%.Demuestre que la funcion T : M2(R) → M2(R) definida mediante la siguiente regla es unatransformacion lineal.
T(X) = AX− XA, donde A =
[−4 −2−8 −5
].
Calcule la matriz asociada a T respecto a la base E = (E1, E2, E3, E4). Para comprobar larespuesta calcule T(Y) de dos maneras diferentes:
1) usando la matriz asociada;
2) aplicando la regla de correspondencia de T .
E1 =
[1 0
0 0
], E2 =
[0 1
0 0
], E3 =
[0 0
1 0
], E4 =
[0 0
0 1
], Y =
[5 1
1 4
].
Tarea 5, variante 23 RAJA, pagina 1 de 3
Ejercicio 4. 2%.Sean A y B algunas bases de un espacio vectorial V y sea T : V → V una transformacion lineal.Dadas la matriz TA asociada a T respecto a la base A y la matriz de cambio de base PA,B,calcule la matriz PB,A, compruebe la igualdad PA,BPB,A = I y calcule la matriz TB asociada a Trespecto a la base B.
TA =
5 −2 4
1 4 −33 −1 2
, PA,B =
2 1 1
4 3 2
1 1 1
.Ejercicio 5. 2%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Calcule las matrices T(F1), T(F2), T(F3), T(F4) yescriba la matriz TF asociada a la transformacion lineal T respecto a la base F = (F1, F2, F3, F4),donde
F1 =
[1 0
0 0
], F2 =
[0 0
1 0
], F3 =
[0 1
0 0
], F4 =
[0 0
0 1
].
Escriba las matrices de cambio PE ,F y PF ,E , compruebe que PE ,FPF ,E = I y PF ,ETEPE ,F = TF .
Ejercicio 6. 1%.Sean V y W espacios vectoriales reales, sea A = (a1, a2, a3, a4) una base de V y sea B =(b1, b2, b3, b4) una base de W. Se considera una transformacion lineal T : V →W dada por sumatriz asociada TB,A. Construya una base de ker(T) y una base de im(T). Calcule el rango y lanulidad de T . Haga las comprobaciones.
TB,A =
4 2 1 4
−4 −3 −2 −21 1 1 3
2 1 0 −4
.Ejercicio 7. 1%; se baja 0.25% por cada error en la tabla.Se consideran tres transformaciones lineales S, T,U dadas por sus matrices asociadas respectoa ciertas bases:
SB,A =
[2 1 2 −23 1 0 −2
], TD,C =
2 1
−2 −1−2 −1
, UF ,E =
[2 3
3 1
].
Llene la siguiente tabla:
S T U
dim(dominio)dim(contradominio)rango := dim(imagen)nulidad := dim(nucleo)¿es inyectiva?¿es suprayectiva?¿es invertible?
Tarea 5, variante 23 RAJA, pagina 2 de 3
Ejercicio 8. 1%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Construya una base de ker(T) y una base deim(T). Halle el rango y la nulidad de T . Haga las comprobaciones.
Ejercicio 9. 2%.Sea P : R3 → R3 la transformacion lineal dada por su matriz asociada con respecto a la basecanonica E . Verifique que P2 = P. Construya una base A de im(P) y una base B de ker(P).Haga las comprobaciones.
PE =
−1 −4 2
−1 −1 1
−3 −6 4
.Ejercicio 10. 1%.Seguimos trabajando con la transformacion lineal P del ejercicio anterior. SeaQ = I−P. Calculela matriz QE . Calcule Q2, PQ y QP multiplicando las matrices asociadas correspondientes.
Ejercicio 11. 2%.Construya una base C de im(Q) y una base D de ker(Q). Muestre que los vectores de C soncombinaciones lineales de los vectores de B y vice versa. Muestre que los vectores de D soncombinaciones lineales de los vectores de A y vice versa. ¿Que significa esto en terminos de lossubespacios im(P), ker(P), im(Q), ker(Q)?.
Ejercicio 12. 1%.
Sea v =[1, 1, 4
]>. Calcule los vectores u = P(v) y w = Q(v). Con comprobaciones directas
muestre que u+w = v, u ∈ ker(Q), w ∈ ker(P).
Ejercicio 13. 1%.Denotemos por F al sistema de vectores que se obtiene al juntar las bases A y B de im(P) y deker(P). Escriba la matriz de transicion de E a F (puede denotarla por UE ,F), calcule su inversay haga la comprobacion.
Ejercicio 14. 1%.Calcule las matrices PF y QF asociadas a las transformaciones lineales P y Q con respecto a labase F del ejercicio anterior. Verifique que
PF +QF = I, P2F = PF , Q2F = QF , PFQF = 0, QFPF = 0.
Tarea 5, variante 23 RAJA, pagina 3 de 3
Engra
peaq
uı
No
dobl
e
Algebra II, licenciatura. Tarea 5. Variante 24 RCE.
Transformaciones lineales.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 1%.Demuestre que la funcion f : R2 → R2 definida mediante la siguiente formula no es transforma-cion lineal. Indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.
f(x) =
[3x1 − x2 − 5
−4x1 + 2x2
].
Ejercicio 2. 2%.Demuestre que la funcion T : P2(R) → P2(R) definida mediante la siguiente regla es una trans-formacion lineal.
(Tf)(x) = (−2x2 + x+ 3)f ′′(x) + (−x− 3)f ′(x) + 2f(x).
Calcule la matriz TE asociada a T respecto a la base canonica E = (e0, e1, e2). Para comprobacioncalcule Tg aplicando la regla de correspondencia de T , escriba el vector (Tg)E y calcule elproducto TEgE .
e0(x) = 1, e1(x) = x, e2(x) = x2.
g(x) = 2x2 + 5x− 3.
Ejercicio 3. 2%.Demuestre que la funcion T : M2(R) → M2(R) definida mediante la siguiente regla es unatransformacion lineal.
T(X) = AX− XA, donde A =
[7 −25 −9
].
Calcule la matriz asociada a T respecto a la base E = (E1, E2, E3, E4). Para comprobar larespuesta calcule T(Y) de dos maneras diferentes:
1) usando la matriz asociada;
2) aplicando la regla de correspondencia de T .
E1 =
[1 0
0 0
], E2 =
[0 1
0 0
], E3 =
[0 0
1 0
], E4 =
[0 0
0 1
], Y =
[4 −12 −4
].
Tarea 5, variante 24 RCE, pagina 1 de 3
Ejercicio 4. 2%.Sean A y B algunas bases de un espacio vectorial V y sea T : V → V una transformacion lineal.Dadas la matriz TA asociada a T respecto a la base A y la matriz de cambio de base PA,B,calcule la matriz PB,A, compruebe la igualdad PA,BPB,A = I y calcule la matriz TB asociada a Trespecto a la base B.
TA =
5 1 −2−3 2 1
−3 1 2
, PA,B =
2 1 0
1 1 1
4 2 1
.Ejercicio 5. 2%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Calcule las matrices T(F1), T(F2), T(F3), T(F4) yescriba la matriz TF asociada a la transformacion lineal T respecto a la base F = (F1, F2, F3, F4),donde
F1 =
[1 0
0 0
], F2 =
[0 0
1 0
], F3 =
[0 1
0 0
], F4 =
[0 0
0 1
].
Escriba las matrices de cambio PE ,F y PF ,E , compruebe que PE ,FPF ,E = I y PF ,ETEPE ,F = TF .
Ejercicio 6. 1%.Sean V y W espacios vectoriales reales, sea A = (a1, a2, a3, a4) una base de V y sea B =(b1, b2, b3, b4) una base de W. Se considera una transformacion lineal T : V →W dada por sumatriz asociada TB,A. Construya una base de ker(T) y una base de im(T). Calcule el rango y lanulidad de T . Haga las comprobaciones.
TB,A =
−3 −2 3 −11 4 3 1
2 3 1 1
2 3 0 1
.Ejercicio 7. 1%; se baja 0.25% por cada error en la tabla.Se consideran tres transformaciones lineales S, T,U dadas por sus matrices asociadas respectoa ciertas bases:
SB,A =
[4 −51 −1
], TD,C =
[−2 1 −3 3
4 −2 6 −6
], UF ,E =
2 −5 1 −21 −2 0 −20 2 0 −2
.Llene la siguiente tabla:
S T U
dim(dominio)dim(contradominio)rango := dim(imagen)nulidad := dim(nucleo)¿es inyectiva?¿es suprayectiva?¿es invertible?
Tarea 5, variante 24 RCE, pagina 2 de 3
Ejercicio 8. 1%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Construya una base de ker(T) y una base deim(T). Halle el rango y la nulidad de T . Haga las comprobaciones.
Ejercicio 9. 2%.Sea P : R3 → R3 la transformacion lineal dada por su matriz asociada con respecto a la basecanonica E . Verifique que P2 = P. Construya una base A de im(P) y una base B de ker(P).Haga las comprobaciones.
PE =
4 −6 −31 −1 −12 −4 −1
.Ejercicio 10. 1%.Seguimos trabajando con la transformacion lineal P del ejercicio anterior. SeaQ = I−P. Calculela matriz QE . Calcule Q2, PQ y QP multiplicando las matrices asociadas correspondientes.
Ejercicio 11. 2%.Construya una base C de im(Q) y una base D de ker(Q). Muestre que los vectores de C soncombinaciones lineales de los vectores de B y vice versa. Muestre que los vectores de D soncombinaciones lineales de los vectores de A y vice versa. ¿Que significa esto en terminos de lossubespacios im(P), ker(P), im(Q), ker(Q)?.
Ejercicio 12. 1%.
Sea v =[2, −2, −1
]>. Calcule los vectores u = P(v) y w = Q(v). Con comprobaciones
directas muestre que u+w = v, u ∈ ker(Q), w ∈ ker(P).
Ejercicio 13. 1%.Denotemos por F al sistema de vectores que se obtiene al juntar las bases A y B de im(P) y deker(P). Escriba la matriz de transicion de E a F (puede denotarla por UE ,F), calcule su inversay haga la comprobacion.
Ejercicio 14. 1%.Calcule las matrices PF y QF asociadas a las transformaciones lineales P y Q con respecto a labase F del ejercicio anterior. Verifique que
PF +QF = I, P2F = PF , Q2F = QF , PFQF = 0, QFPF = 0.
Tarea 5, variante 24 RCE, pagina 3 de 3
Engra
peaq
uı
No
dobl
e
Algebra II, licenciatura. Tarea 5. Variante 25 RDIDJ.
Transformaciones lineales.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 1%.Demuestre que la funcion f : R2 → R2 definida mediante la siguiente formula no es transforma-cion lineal. Indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.
f(x) =
[−2x1 + 3x2
1x1x2
].
Ejercicio 2. 2%.Demuestre que la funcion T : P2(R) → P2(R) definida mediante la siguiente regla es una trans-formacion lineal.
(Tf)(x) = (2x2 + 3x+ 1)f ′′(x) + (−2x− 1)f ′(x) − 3f(x).
Calcule la matriz TE asociada a T respecto a la base canonica E = (e0, e1, e2). Para comprobacioncalcule Tg aplicando la regla de correspondencia de T , escriba el vector (Tg)E y calcule elproducto TEgE .
e0(x) = 1, e1(x) = x, e2(x) = x2.
g(x) = 3x2 + 5x+ 1.
Ejercicio 3. 2%.Demuestre que la funcion T : M2(R) → M2(R) definida mediante la siguiente regla es unatransformacion lineal.
T(X) = AX− XA, donde A =
[−7 9
−3 3
].
Calcule la matriz asociada a T respecto a la base E = (E1, E2, E3, E4). Para comprobar larespuesta calcule T(Y) de dos maneras diferentes:
1) usando la matriz asociada;
2) aplicando la regla de correspondencia de T .
E1 =
[1 0
0 0
], E2 =
[0 1
0 0
], E3 =
[0 0
1 0
], E4 =
[0 0
0 1
], Y =
[−1 5
−2 4
].
Tarea 5, variante 25 RDIDJ, pagina 1 de 3
Ejercicio 4. 2%.Sean A y B algunas bases de un espacio vectorial V y sea T : V → V una transformacion lineal.Dadas la matriz TA asociada a T respecto a la base A y la matriz de cambio de base PA,B,calcule la matriz PB,A, compruebe la igualdad PA,BPB,A = I y calcule la matriz TB asociada a Trespecto a la base B.
TA =
1 3 −35 −2 2
3 −2 3
, PA,B =
−1 2 2
2 1 3
1 1 2
.Ejercicio 5. 2%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Calcule las matrices T(F1), T(F2), T(F3), T(F4) yescriba la matriz TF asociada a la transformacion lineal T respecto a la base F = (F1, F2, F3, F4),donde
F1 =
[1 0
0 0
], F2 =
[0 0
1 0
], F3 =
[0 1
0 0
], F4 =
[0 0
0 1
].
Escriba las matrices de cambio PE ,F y PF ,E , compruebe que PE ,FPF ,E = I y PF ,ETEPE ,F = TF .
Ejercicio 6. 1%.Sean V y W espacios vectoriales reales, sea A = (a1, a2, a3, a4) una base de V y sea B =(b1, b2, b3, b4) una base de W. Se considera una transformacion lineal T : V →W dada por sumatriz asociada TB,A. Construya una base de ker(T) y una base de im(T). Calcule el rango y lanulidad de T . Haga las comprobaciones.
TB,A =
1 4 2 3
−3 4 3 4
3 3 2 3
−4 0 1 1
.Ejercicio 7. 1%; se baja 0.25% por cada error en la tabla.Se consideran tres transformaciones lineales S, T,U dadas por sus matrices asociadas respectoa ciertas bases:
SB,A =
[4 4 −4 −2
−2 −2 2 1
], TD,C =
4 3 −20 −4 −40 −1 0
, UF ,E =
2 1 −3 2
0 −5 0 −10 0 0 −3
.Llene la siguiente tabla:
S T U
dim(dominio)dim(contradominio)rango := dim(imagen)nulidad := dim(nucleo)¿es inyectiva?¿es suprayectiva?¿es invertible?
Tarea 5, variante 25 RDIDJ, pagina 2 de 3
Ejercicio 8. 1%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Construya una base de ker(T) y una base deim(T). Halle el rango y la nulidad de T . Haga las comprobaciones.
Ejercicio 9. 2%.Sea P : R3 → R3 la transformacion lineal dada por su matriz asociada con respecto a la basecanonica E . Verifique que P2 = P. Construya una base A de im(P) y una base B de ker(P).Haga las comprobaciones.
PE =
−2 −6 6
−1 −1 2
−2 −4 5
.Ejercicio 10. 1%.Seguimos trabajando con la transformacion lineal P del ejercicio anterior. SeaQ = I−P. Calculela matriz QE . Calcule Q2, PQ y QP multiplicando las matrices asociadas correspondientes.
Ejercicio 11. 2%.Construya una base C de im(Q) y una base D de ker(Q). Muestre que los vectores de C soncombinaciones lineales de los vectores de B y vice versa. Muestre que los vectores de D soncombinaciones lineales de los vectores de A y vice versa. ¿Que significa esto en terminos de lossubespacios im(P), ker(P), im(Q), ker(Q)?.
Ejercicio 12. 1%.
Sea v =[3, −2, −4
]>. Calcule los vectores u = P(v) y w = Q(v). Con comprobaciones
directas muestre que u+w = v, u ∈ ker(Q), w ∈ ker(P).
Ejercicio 13. 1%.Denotemos por F al sistema de vectores que se obtiene al juntar las bases A y B de im(P) y deker(P). Escriba la matriz de transicion de E a F (puede denotarla por UE ,F), calcule su inversay haga la comprobacion.
Ejercicio 14. 1%.Calcule las matrices PF y QF asociadas a las transformaciones lineales P y Q con respecto a labase F del ejercicio anterior. Verifique que
PF +QF = I, P2F = PF , Q2F = QF , PFQF = 0, QFPF = 0.
Tarea 5, variante 25 RDIDJ, pagina 3 de 3
Engra
peaq
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No
dobl
e
Algebra II, licenciatura. Tarea 5. Variante 26 SRGA.
Transformaciones lineales.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 1%.Demuestre que la funcion f : R2 → R2 definida mediante la siguiente formula no es transforma-cion lineal. Indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.
f(x) =
[−5
−3x1
].
Ejercicio 2. 2%.Demuestre que la funcion T : P2(R) → P2(R) definida mediante la siguiente regla es una trans-formacion lineal.
(Tf)(x) = (−3x2 + 2x− 1)f ′′(x) + (x− 2)f ′(x) + 3f(x).
Calcule la matriz TE asociada a T respecto a la base canonica E = (e0, e1, e2). Para comprobacioncalcule Tg aplicando la regla de correspondencia de T , escriba el vector (Tg)E y calcule elproducto TEgE .
e0(x) = 1, e1(x) = x, e2(x) = x2.
g(x) = 2x2 + 4x− 2.
Ejercicio 3. 2%.Demuestre que la funcion T : M2(R) → M2(R) definida mediante la siguiente regla es unatransformacion lineal.
T(X) = AX− XA, donde A =
[−7 −6−2 6
].
Calcule la matriz asociada a T respecto a la base E = (E1, E2, E3, E4). Para comprobar larespuesta calcule T(Y) de dos maneras diferentes:
1) usando la matriz asociada;
2) aplicando la regla de correspondencia de T .
E1 =
[1 0
0 0
], E2 =
[0 1
0 0
], E3 =
[0 0
1 0
], E4 =
[0 0
0 1
], Y =
[5 5
1 −5
].
Tarea 5, variante 26 SRGA, pagina 1 de 3
Ejercicio 4. 2%.Sean A y B algunas bases de un espacio vectorial V y sea T : V → V una transformacion lineal.Dadas la matriz TA asociada a T respecto a la base A y la matriz de cambio de base PA,B,calcule la matriz PB,A, compruebe la igualdad PA,BPB,A = I y calcule la matriz TB asociada a Trespecto a la base B.
TA =
3 3 −15 −1 −22 5 −1
, PA,B =
1 2 2
0 1 1
1 2 3
.Ejercicio 5. 2%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Calcule las matrices T(F1), T(F2), T(F3), T(F4) yescriba la matriz TF asociada a la transformacion lineal T respecto a la base F = (F1, F2, F3, F4),donde
F1 =
[1 0
0 0
], F2 =
[0 0
1 0
], F3 =
[0 1
0 0
], F4 =
[0 0
0 1
].
Escriba las matrices de cambio PE ,F y PF ,E , compruebe que PE ,FPF ,E = I y PF ,ETEPE ,F = TF .
Ejercicio 6. 1%.Sean V y W espacios vectoriales reales, sea A = (a1, a2, a3, a4) una base de V y sea B =(b1, b2, b3, b4) una base de W. Se considera una transformacion lineal T : V →W dada por sumatriz asociada TB,A. Construya una base de ker(T) y una base de im(T). Calcule el rango y lanulidad de T . Haga las comprobaciones.
TB,A =
−1 1 2 2
3 0 1 1
−2 1 3 2
−2 −1 −3 −3
.Ejercicio 7. 1%; se baja 0.25% por cada error en la tabla.Se consideran tres transformaciones lineales S, T,U dadas por sus matrices asociadas respectoa ciertas bases:
SB,A =
−2 −2 2
1 0 −10 0 0
−3 0 0
, TD,C =
5 −3 −30 −3 −30 −1 0
, UF ,E =
[−3 1 1 1
−1 2 5 6
].
Llene la siguiente tabla:
S T U
dim(dominio)dim(contradominio)rango := dim(imagen)nulidad := dim(nucleo)¿es inyectiva?¿es suprayectiva?¿es invertible?
Tarea 5, variante 26 SRGA, pagina 2 de 3
Ejercicio 8. 1%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Construya una base de ker(T) y una base deim(T). Halle el rango y la nulidad de T . Haga las comprobaciones.
Ejercicio 9. 2%.Sea P : R3 → R3 la transformacion lineal dada por su matriz asociada con respecto a la basecanonica E . Verifique que P2 = P. Construya una base A de im(P) y una base B de ker(P).Haga las comprobaciones.
PE =
−1 −1 1
−4 −1 2
−6 −3 4
.Ejercicio 10. 1%.Seguimos trabajando con la transformacion lineal P del ejercicio anterior. SeaQ = I−P. Calculela matriz QE . Calcule Q2, PQ y QP multiplicando las matrices asociadas correspondientes.
Ejercicio 11. 2%.Construya una base C de im(Q) y una base D de ker(Q). Muestre que los vectores de C soncombinaciones lineales de los vectores de B y vice versa. Muestre que los vectores de D soncombinaciones lineales de los vectores de A y vice versa. ¿Que significa esto en terminos de lossubespacios im(P), ker(P), im(Q), ker(Q)?.
Ejercicio 12. 1%.
Sea v =[1, 1, −5
]>. Calcule los vectores u = P(v) y w = Q(v). Con comprobaciones
directas muestre que u+w = v, u ∈ ker(Q), w ∈ ker(P).
Ejercicio 13. 1%.Denotemos por F al sistema de vectores que se obtiene al juntar las bases A y B de im(P) y deker(P). Escriba la matriz de transicion de E a F (puede denotarla por UE ,F), calcule su inversay haga la comprobacion.
Ejercicio 14. 1%.Calcule las matrices PF y QF asociadas a las transformaciones lineales P y Q con respecto a labase F del ejercicio anterior. Verifique que
PF +QF = I, P2F = PF , Q2F = QF , PFQF = 0, QFPF = 0.
Tarea 5, variante 26 SRGA, pagina 3 de 3
Engra
peaq
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No
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e
Algebra II, licenciatura. Tarea 5. Variante 27 TMMA.
Transformaciones lineales.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 1%.Demuestre que la funcion f : R2 → R2 definida mediante la siguiente formula no es transforma-cion lineal. Indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.
f(x) =
[2x1 − 5
2x1 + 4x2
].
Ejercicio 2. 2%.Demuestre que la funcion T : P2(R) → P2(R) definida mediante la siguiente regla es una trans-formacion lineal.
(Tf)(x) = (−2x2 + 3x+ 1)f ′′(x) + (2x− 3)f ′(x) − 1f(x).
Calcule la matriz TE asociada a T respecto a la base canonica E = (e0, e1, e2). Para comprobacioncalcule Tg aplicando la regla de correspondencia de T , escriba el vector (Tg)E y calcule elproducto TEgE .
e0(x) = 1, e1(x) = x, e2(x) = x2.
g(x) = 4x2 + 2x+ 3.
Ejercicio 3. 2%.Demuestre que la funcion T : M2(R) → M2(R) definida mediante la siguiente regla es unatransformacion lineal.
T(X) = AX− XA, donde A =
[−8 5
8 −7
].
Calcule la matriz asociada a T respecto a la base E = (E1, E2, E3, E4). Para comprobar larespuesta calcule T(Y) de dos maneras diferentes:
1) usando la matriz asociada;
2) aplicando la regla de correspondencia de T .
E1 =
[1 0
0 0
], E2 =
[0 1
0 0
], E3 =
[0 0
1 0
], E4 =
[0 0
0 1
], Y =
[2 −2
−3 1
].
Tarea 5, variante 27 TMMA, pagina 1 de 3
Ejercicio 4. 2%.Sean A y B algunas bases de un espacio vectorial V y sea T : V → V una transformacion lineal.Dadas la matriz TA asociada a T respecto a la base A y la matriz de cambio de base PA,B,calcule la matriz PB,A, compruebe la igualdad PA,BPB,A = I y calcule la matriz TB asociada a Trespecto a la base B.
TA =
1 0 1
2 2 −24 2 −3
, PA,B =
1 1 0
1 4 1
1 3 1
.Ejercicio 5. 2%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Calcule las matrices T(F1), T(F2), T(F3), T(F4) yescriba la matriz TF asociada a la transformacion lineal T respecto a la base F = (F1, F2, F3, F4),donde
F1 =
[1 0
0 0
], F2 =
[0 0
1 0
], F3 =
[0 1
0 0
], F4 =
[0 0
0 1
].
Escriba las matrices de cambio PE ,F y PF ,E , compruebe que PE ,FPF ,E = I y PF ,ETEPE ,F = TF .
Ejercicio 6. 1%.Sean V y W espacios vectoriales reales, sea A = (a1, a2, a3, a4) una base de V y sea B =(b1, b2, b3, b4) una base de W. Se considera una transformacion lineal T : V →W dada por sumatriz asociada TB,A. Construya una base de ker(T) y una base de im(T). Calcule el rango y lanulidad de T . Haga las comprobaciones.
TB,A =
1 3 3 1
−1 1 −2 1
1 1 4 1
0 1 1 1
.Ejercicio 7. 1%; se baja 0.25% por cada error en la tabla.Se consideran tres transformaciones lineales S, T,U dadas por sus matrices asociadas respectoa ciertas bases:
SB,A =
[5 3
2 −3
], TD,C =
2 5
2 4
1 2
, UF ,E =
−1 −1 −3 1
0 1 −3 −10 4 −3 0
.Llene la siguiente tabla:
S T U
dim(dominio)dim(contradominio)rango := dim(imagen)nulidad := dim(nucleo)¿es inyectiva?¿es suprayectiva?¿es invertible?
Tarea 5, variante 27 TMMA, pagina 2 de 3
Ejercicio 8. 1%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Construya una base de ker(T) y una base deim(T). Halle el rango y la nulidad de T . Haga las comprobaciones.
Ejercicio 9. 2%.Sea P : R3 → R3 la transformacion lineal dada por su matriz asociada con respecto a la basecanonica E . Verifique que P2 = P. Construya una base A de im(P) y una base B de ker(P).Haga las comprobaciones.
PE =
−2 −6 6
−1 −1 2
−2 −4 5
.Ejercicio 10. 1%.Seguimos trabajando con la transformacion lineal P del ejercicio anterior. SeaQ = I−P. Calculela matriz QE . Calcule Q2, PQ y QP multiplicando las matrices asociadas correspondientes.
Ejercicio 11. 2%.Construya una base C de im(Q) y una base D de ker(Q). Muestre que los vectores de C soncombinaciones lineales de los vectores de B y vice versa. Muestre que los vectores de D soncombinaciones lineales de los vectores de A y vice versa. ¿Que significa esto en terminos de lossubespacios im(P), ker(P), im(Q), ker(Q)?.
Ejercicio 12. 1%.
Sea v =[5, −3, −1
]>. Calcule los vectores u = P(v) y w = Q(v). Con comprobaciones
directas muestre que u+w = v, u ∈ ker(Q), w ∈ ker(P).
Ejercicio 13. 1%.Denotemos por F al sistema de vectores que se obtiene al juntar las bases A y B de im(P) y deker(P). Escriba la matriz de transicion de E a F (puede denotarla por UE ,F), calcule su inversay haga la comprobacion.
Ejercicio 14. 1%.Calcule las matrices PF y QF asociadas a las transformaciones lineales P y Q con respecto a labase F del ejercicio anterior. Verifique que
PF +QF = I, P2F = PF , Q2F = QF , PFQF = 0, QFPF = 0.
Tarea 5, variante 27 TMMA, pagina 3 de 3
Engra
peaq
uı
No
dobl
e
Algebra II, licenciatura. Tarea 5. Variante 28 TELD.
Transformaciones lineales.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 1%.Demuestre que la funcion f : R2 → R2 definida mediante la siguiente formula no es transforma-cion lineal. Indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.
f(x) =
[4x1 + 4x
22
2x1 − 4x2
].
Ejercicio 2. 2%.Demuestre que la funcion T : P2(R) → P2(R) definida mediante la siguiente regla es una trans-formacion lineal.
(Tf)(x) = (−x2 − 3x+ 1)f ′′(x) + (−2x+ 3)f ′(x) + 2f(x).
Calcule la matriz TE asociada a T respecto a la base canonica E = (e0, e1, e2). Para comprobacioncalcule Tg aplicando la regla de correspondencia de T , escriba el vector (Tg)E y calcule elproducto TEgE .
e0(x) = 1, e1(x) = x, e2(x) = x2.
g(x) = 2x2 + 3x+ 1.
Ejercicio 3. 2%.Demuestre que la funcion T : M2(R) → M2(R) definida mediante la siguiente regla es unatransformacion lineal.
T(X) = AX− XA, donde A =
[2 −46 7
].
Calcule la matriz asociada a T respecto a la base E = (E1, E2, E3, E4). Para comprobar larespuesta calcule T(Y) de dos maneras diferentes:
1) usando la matriz asociada;
2) aplicando la regla de correspondencia de T .
E1 =
[1 0
0 0
], E2 =
[0 1
0 0
], E3 =
[0 0
1 0
], E4 =
[0 0
0 1
], Y =
[2 −34 4
].
Tarea 5, variante 28 TELD, pagina 1 de 3
Ejercicio 4. 2%.Sean A y B algunas bases de un espacio vectorial V y sea T : V → V una transformacion lineal.Dadas la matriz TA asociada a T respecto a la base A y la matriz de cambio de base PA,B,calcule la matriz PB,A, compruebe la igualdad PA,BPB,A = I y calcule la matriz TB asociada a Trespecto a la base B.
TA =
3 1 0
3 4 −24 5 1
, PA,B =
1 2 2
0 1 1
2 3 4
.Ejercicio 5. 2%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Calcule las matrices T(F1), T(F2), T(F3), T(F4) yescriba la matriz TF asociada a la transformacion lineal T respecto a la base F = (F1, F2, F3, F4),donde
F1 =
[1 0
0 0
], F2 =
[0 0
1 0
], F3 =
[0 1
0 0
], F4 =
[0 0
0 1
].
Escriba las matrices de cambio PE ,F y PF ,E , compruebe que PE ,FPF ,E = I y PF ,ETEPE ,F = TF .
Ejercicio 6. 1%.Sean V y W espacios vectoriales reales, sea A = (a1, a2, a3, a4) una base de V y sea B =(b1, b2, b3, b4) una base de W. Se considera una transformacion lineal T : V →W dada por sumatriz asociada TB,A. Construya una base de ker(T) y una base de im(T). Calcule el rango y lanulidad de T . Haga las comprobaciones.
TB,A =
1 2 3 −4
−3 0 −4 4
1 1 2 −32 −1 2 −1
.Ejercicio 7. 1%; se baja 0.25% por cada error en la tabla.Se consideran tres transformaciones lineales S, T,U dadas por sus matrices asociadas respectoa ciertas bases:
SB,A =
−1 −5 −3−1 4 0
0 0 0
0 −3 0
, TD,C =
[1 4 1 4
3 0 4 −4
], UF ,E =
3 6
2 4
1 2
.Llene la siguiente tabla:
S T U
dim(dominio)dim(contradominio)rango := dim(imagen)nulidad := dim(nucleo)¿es inyectiva?¿es suprayectiva?¿es invertible?
Tarea 5, variante 28 TELD, pagina 2 de 3
Ejercicio 8. 1%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Construya una base de ker(T) y una base deim(T). Halle el rango y la nulidad de T . Haga las comprobaciones.
Ejercicio 9. 2%.Sea P : R3 → R3 la transformacion lineal dada por su matriz asociada con respecto a la basecanonica E . Verifique que P2 = P. Construya una base A de im(P) y una base B de ker(P).Haga las comprobaciones.
PE =
5 −4 2
6 −5 3
2 −2 2
.Ejercicio 10. 1%.Seguimos trabajando con la transformacion lineal P del ejercicio anterior. SeaQ = I−P. Calculela matriz QE . Calcule Q2, PQ y QP multiplicando las matrices asociadas correspondientes.
Ejercicio 11. 2%.Construya una base C de im(Q) y una base D de ker(Q). Muestre que los vectores de C soncombinaciones lineales de los vectores de B y vice versa. Muestre que los vectores de D soncombinaciones lineales de los vectores de A y vice versa. ¿Que significa esto en terminos de lossubespacios im(P), ker(P), im(Q), ker(Q)?.
Ejercicio 12. 1%.
Sea v =[1, 6, −1
]>. Calcule los vectores u = P(v) y w = Q(v). Con comprobaciones
directas muestre que u+w = v, u ∈ ker(Q), w ∈ ker(P).
Ejercicio 13. 1%.Denotemos por F al sistema de vectores que se obtiene al juntar las bases A y B de im(P) y deker(P). Escriba la matriz de transicion de E a F (puede denotarla por UE ,F), calcule su inversay haga la comprobacion.
Ejercicio 14. 1%.Calcule las matrices PF y QF asociadas a las transformaciones lineales P y Q con respecto a labase F del ejercicio anterior. Verifique que
PF +QF = I, P2F = PF , Q2F = QF , PFQF = 0, QFPF = 0.
Tarea 5, variante 28 TELD, pagina 3 de 3
Engra
peaq
uı
No
dobl
e
Algebra II, licenciatura. Tarea 5. Variante 29 UTAV.
Transformaciones lineales.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 1%.Demuestre que la funcion f : R2 → R2 definida mediante la siguiente formula no es transforma-cion lineal. Indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.
f(x) =
[−5x1 − 4x2
−3x1x2
].
Ejercicio 2. 2%.Demuestre que la funcion T : P2(R) → P2(R) definida mediante la siguiente regla es una trans-formacion lineal.
(Tf)(x) = (−2x2 − 3x− 1)f ′′(x) + (x+ 2)f ′(x) + 3f(x).
Calcule la matriz TE asociada a T respecto a la base canonica E = (e0, e1, e2). Para comprobacioncalcule Tg aplicando la regla de correspondencia de T , escriba el vector (Tg)E y calcule elproducto TEgE .
e0(x) = 1, e1(x) = x, e2(x) = x2.
g(x) = 3x2 − 2x+ 5.
Ejercicio 3. 2%.Demuestre que la funcion T : M2(R) → M2(R) definida mediante la siguiente regla es unatransformacion lineal.
T(X) = AX− XA, donde A =
[−1 −4−2 2
].
Calcule la matriz asociada a T respecto a la base E = (E1, E2, E3, E4). Para comprobar larespuesta calcule T(Y) de dos maneras diferentes:
1) usando la matriz asociada;
2) aplicando la regla de correspondencia de T .
E1 =
[1 0
0 0
], E2 =
[0 1
0 0
], E3 =
[0 0
1 0
], E4 =
[0 0
0 1
], Y =
[1 5
2 −1
].
Tarea 5, variante 29 UTAV, pagina 1 de 3
Ejercicio 4. 2%.Sean A y B algunas bases de un espacio vectorial V y sea T : V → V una transformacion lineal.Dadas la matriz TA asociada a T respecto a la base A y la matriz de cambio de base PA,B,calcule la matriz PB,A, compruebe la igualdad PA,BPB,A = I y calcule la matriz TB asociada a Trespecto a la base B.
TA =
−5 5 3
−3 1 3
−4 1 −1
, PA,B =
2 0 1
1 1 1
−1 2 1
.Ejercicio 5. 2%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Calcule las matrices T(F1), T(F2), T(F3), T(F4) yescriba la matriz TF asociada a la transformacion lineal T respecto a la base F = (F1, F2, F3, F4),donde
F1 =
[1 0
0 0
], F2 =
[0 0
1 0
], F3 =
[0 1
0 0
], F4 =
[0 0
0 1
].
Escriba las matrices de cambio PE ,F y PF ,E , compruebe que PE ,FPF ,E = I y PF ,ETEPE ,F = TF .
Ejercicio 6. 1%.Sean V y W espacios vectoriales reales, sea A = (a1, a2, a3, a4) una base de V y sea B =(b1, b2, b3, b4) una base de W. Se considera una transformacion lineal T : V →W dada por sumatriz asociada TB,A. Construya una base de ker(T) y una base de im(T). Calcule el rango y lanulidad de T . Haga las comprobaciones.
TB,A =
2 3 2 1
1 −2 −1 2
1 3 2 2
0 2 1 −3
.Ejercicio 7. 1%; se baja 0.25% por cada error en la tabla.Se consideran tres transformaciones lineales S, T,U dadas por sus matrices asociadas respectoa ciertas bases:
SB,A =
5 2
2 1
4 2
, TD,C =
[4 −3
−4 2
], UF ,E =
[6 2 2 −23 1 1 −1
].
Llene la siguiente tabla:
S T U
dim(dominio)dim(contradominio)rango := dim(imagen)nulidad := dim(nucleo)¿es inyectiva?¿es suprayectiva?¿es invertible?
Tarea 5, variante 29 UTAV, pagina 2 de 3
Ejercicio 8. 1%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Construya una base de ker(T) y una base deim(T). Halle el rango y la nulidad de T . Haga las comprobaciones.
Ejercicio 9. 2%.Sea P : R3 → R3 la transformacion lineal dada por su matriz asociada con respecto a la basecanonica E . Verifique que P2 = P. Construya una base A de im(P) y una base B de ker(P).Haga las comprobaciones.
PE =
4 −6 −31 −1 −12 −4 −1
.Ejercicio 10. 1%.Seguimos trabajando con la transformacion lineal P del ejercicio anterior. SeaQ = I−P. Calculela matriz QE . Calcule Q2, PQ y QP multiplicando las matrices asociadas correspondientes.
Ejercicio 11. 2%.Construya una base C de im(Q) y una base D de ker(Q). Muestre que los vectores de C soncombinaciones lineales de los vectores de B y vice versa. Muestre que los vectores de D soncombinaciones lineales de los vectores de A y vice versa. ¿Que significa esto en terminos de lossubespacios im(P), ker(P), im(Q), ker(Q)?.
Ejercicio 12. 1%.
Sea v =[−1, 3, 6
]>. Calcule los vectores u = P(v) y w = Q(v). Con comprobaciones
directas muestre que u+w = v, u ∈ ker(Q), w ∈ ker(P).
Ejercicio 13. 1%.Denotemos por F al sistema de vectores que se obtiene al juntar las bases A y B de im(P) y deker(P). Escriba la matriz de transicion de E a F (puede denotarla por UE ,F), calcule su inversay haga la comprobacion.
Ejercicio 14. 1%.Calcule las matrices PF y QF asociadas a las transformaciones lineales P y Q con respecto a labase F del ejercicio anterior. Verifique que
PF +QF = I, P2F = PF , Q2F = QF , PFQF = 0, QFPF = 0.
Tarea 5, variante 29 UTAV, pagina 3 de 3
Engra
peaq
uı
No
dobl
e
Algebra II, licenciatura. Tarea 5. Variante 30 VNDI.
Transformaciones lineales.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 1%.Demuestre que la funcion f : R2 → R2 definida mediante la siguiente formula no es transforma-cion lineal. Indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.
f(x) =
[−4x1 + 3x2
4x1 + 4x22
].
Ejercicio 2. 2%.Demuestre que la funcion T : P2(R) → P2(R) definida mediante la siguiente regla es una trans-formacion lineal.
(Tf)(x) = (x2 − x− 2)f ′′(x) + (3x+ 2)f ′(x) − 3f(x).
Calcule la matriz TE asociada a T respecto a la base canonica E = (e0, e1, e2). Para comprobacioncalcule Tg aplicando la regla de correspondencia de T , escriba el vector (Tg)E y calcule elproducto TEgE .
e0(x) = 1, e1(x) = x, e2(x) = x2.
g(x) = −4x2 + 3x+ 1.
Ejercicio 3. 2%.Demuestre que la funcion T : M2(R) → M2(R) definida mediante la siguiente regla es unatransformacion lineal.
T(X) = AX− XA, donde A =
[5 6
8 −8
].
Calcule la matriz asociada a T respecto a la base E = (E1, E2, E3, E4). Para comprobar larespuesta calcule T(Y) de dos maneras diferentes:
1) usando la matriz asociada;
2) aplicando la regla de correspondencia de T .
E1 =
[1 0
0 0
], E2 =
[0 1
0 0
], E3 =
[0 0
1 0
], E4 =
[0 0
0 1
], Y =
[4 4
5 −4
].
Tarea 5, variante 30 VNDI, pagina 1 de 3
Ejercicio 4. 2%.Sean A y B algunas bases de un espacio vectorial V y sea T : V → V una transformacion lineal.Dadas la matriz TA asociada a T respecto a la base A y la matriz de cambio de base PA,B,calcule la matriz PB,A, compruebe la igualdad PA,BPB,A = I y calcule la matriz TB asociada a Trespecto a la base B.
TA =
−3 5 1
−3 3 2
−4 −5 4
, PA,B =
1 2 2
0 1 1
2 3 4
.Ejercicio 5. 2%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Calcule las matrices T(F1), T(F2), T(F3), T(F4) yescriba la matriz TF asociada a la transformacion lineal T respecto a la base F = (F1, F2, F3, F4),donde
F1 =
[1 0
0 0
], F2 =
[0 0
1 0
], F3 =
[0 1
0 0
], F4 =
[0 0
0 1
].
Escriba las matrices de cambio PE ,F y PF ,E , compruebe que PE ,FPF ,E = I y PF ,ETEPE ,F = TF .
Ejercicio 6. 1%.Sean V y W espacios vectoriales reales, sea A = (a1, a2, a3, a4) una base de V y sea B =(b1, b2, b3, b4) una base de W. Se considera una transformacion lineal T : V →W dada por sumatriz asociada TB,A. Construya una base de ker(T) y una base de im(T). Calcule el rango y lanulidad de T . Haga las comprobaciones.
TB,A =
2 1 1 −31 1 0 −42 3 1 3
1 1 1 4
.Ejercicio 7. 1%; se baja 0.25% por cada error en la tabla.Se consideran tres transformaciones lineales S, T,U dadas por sus matrices asociadas respectoa ciertas bases:
SB,A =
3 −3 4 −4−3 0 −2 2
−1 0 −3 0
, TD,C =
4 2 4
1 −5 0
−3 0 0
, UF ,E =
1 2
1 3
2 5
.Llene la siguiente tabla:
S T U
dim(dominio)dim(contradominio)rango := dim(imagen)nulidad := dim(nucleo)¿es inyectiva?¿es suprayectiva?¿es invertible?
Tarea 5, variante 30 VNDI, pagina 2 de 3
Ejercicio 8. 1%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Construya una base de ker(T) y una base deim(T). Halle el rango y la nulidad de T . Haga las comprobaciones.
Ejercicio 9. 2%.Sea P : R3 → R3 la transformacion lineal dada por su matriz asociada con respecto a la basecanonica E . Verifique que P2 = P. Construya una base A de im(P) y una base B de ker(P).Haga las comprobaciones.
PE =
−2 −6 6
−1 −1 2
−2 −4 5
.Ejercicio 10. 1%.Seguimos trabajando con la transformacion lineal P del ejercicio anterior. SeaQ = I−P. Calculela matriz QE . Calcule Q2, PQ y QP multiplicando las matrices asociadas correspondientes.
Ejercicio 11. 2%.Construya una base C de im(Q) y una base D de ker(Q). Muestre que los vectores de C soncombinaciones lineales de los vectores de B y vice versa. Muestre que los vectores de D soncombinaciones lineales de los vectores de A y vice versa. ¿Que significa esto en terminos de lossubespacios im(P), ker(P), im(Q), ker(Q)?.
Ejercicio 12. 1%.
Sea v =[−1, 6, −2
]>. Calcule los vectores u = P(v) y w = Q(v). Con comprobaciones
directas muestre que u+w = v, u ∈ ker(Q), w ∈ ker(P).
Ejercicio 13. 1%.Denotemos por F al sistema de vectores que se obtiene al juntar las bases A y B de im(P) y deker(P). Escriba la matriz de transicion de E a F (puede denotarla por UE ,F), calcule su inversay haga la comprobacion.
Ejercicio 14. 1%.Calcule las matrices PF y QF asociadas a las transformaciones lineales P y Q con respecto a labase F del ejercicio anterior. Verifique que
PF +QF = I, P2F = PF , Q2F = QF , PFQF = 0, QFPF = 0.
Tarea 5, variante 30 VNDI, pagina 3 de 3
Engra
peaq
uı
No
dobl
e
Algebra II, licenciatura. Tarea 5. Variante 31 VHA.
Transformaciones lineales.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 1%.Demuestre que la funcion f : R2 → R2 definida mediante la siguiente formula no es transforma-cion lineal. Indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.
f(x) =
[3x21 − 5x2
−4x1 − 5x2
].
Ejercicio 2. 2%.Demuestre que la funcion T : P2(R) → P2(R) definida mediante la siguiente regla es una trans-formacion lineal.
(Tf)(x) = (−3x2 + x− 2)f ′′(x) + (3x+ 2)f ′(x) − 1f(x).
Calcule la matriz TE asociada a T respecto a la base canonica E = (e0, e1, e2). Para comprobacioncalcule Tg aplicando la regla de correspondencia de T , escriba el vector (Tg)E y calcule elproducto TEgE .
e0(x) = 1, e1(x) = x, e2(x) = x2.
g(x) = x2 − 4x+ 5.
Ejercicio 3. 2%.Demuestre que la funcion T : M2(R) → M2(R) definida mediante la siguiente regla es unatransformacion lineal.
T(X) = AX− XA, donde A =
[2 −39 −6
].
Calcule la matriz asociada a T respecto a la base E = (E1, E2, E3, E4). Para comprobar larespuesta calcule T(Y) de dos maneras diferentes:
1) usando la matriz asociada;
2) aplicando la regla de correspondencia de T .
E1 =
[1 0
0 0
], E2 =
[0 1
0 0
], E3 =
[0 0
1 0
], E4 =
[0 0
0 1
], Y =
[2 1
−1 2
].
Tarea 5, variante 31 VHA, pagina 1 de 3
Ejercicio 4. 2%.Sean A y B algunas bases de un espacio vectorial V y sea T : V → V una transformacion lineal.Dadas la matriz TA asociada a T respecto a la base A y la matriz de cambio de base PA,B,calcule la matriz PB,A, compruebe la igualdad PA,BPB,A = I y calcule la matriz TB asociada a Trespecto a la base B.
TA =
5 5 −2−1 −1 2
−5 2 3
, PA,B =
1 0 −21 1 1
2 2 3
.Ejercicio 5. 2%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Calcule las matrices T(F1), T(F2), T(F3), T(F4) yescriba la matriz TF asociada a la transformacion lineal T respecto a la base F = (F1, F2, F3, F4),donde
F1 =
[1 0
0 0
], F2 =
[0 0
1 0
], F3 =
[0 1
0 0
], F4 =
[0 0
0 1
].
Escriba las matrices de cambio PE ,F y PF ,E , compruebe que PE ,FPF ,E = I y PF ,ETEPE ,F = TF .
Ejercicio 6. 1%.Sean V y W espacios vectoriales reales, sea A = (a1, a2, a3, a4) una base de V y sea B =(b1, b2, b3, b4) una base de W. Se considera una transformacion lineal T : V →W dada por sumatriz asociada TB,A. Construya una base de ker(T) y una base de im(T). Calcule el rango y lanulidad de T . Haga las comprobaciones.
TB,A =
−1 1 2 −42 1 0 4
3 2 1 −34 4 3 −3
.Ejercicio 7. 1%; se baja 0.25% por cada error en la tabla.Se consideran tres transformaciones lineales S, T,U dadas por sus matrices asociadas respectoa ciertas bases:
SB,A =
1 −4 2
0 0 0
0 5 −40 −3 0
, TD,C =
1 −21 −2
−2 4
, UF ,E =
−3 −5 −53 −5 0
0 −1 0
.Llene la siguiente tabla:
S T U
dim(dominio)dim(contradominio)rango := dim(imagen)nulidad := dim(nucleo)¿es inyectiva?¿es suprayectiva?¿es invertible?
Tarea 5, variante 31 VHA, pagina 2 de 3
Ejercicio 8. 1%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Construya una base de ker(T) y una base deim(T). Halle el rango y la nulidad de T . Haga las comprobaciones.
Ejercicio 9. 2%.Sea P : R3 → R3 la transformacion lineal dada por su matriz asociada con respecto a la basecanonica E . Verifique que P2 = P. Construya una base A de im(P) y una base B de ker(P).Haga las comprobaciones.
PE =
5 −4 2
6 −5 3
2 −2 2
.Ejercicio 10. 1%.Seguimos trabajando con la transformacion lineal P del ejercicio anterior. SeaQ = I−P. Calculela matriz QE . Calcule Q2, PQ y QP multiplicando las matrices asociadas correspondientes.
Ejercicio 11. 2%.Construya una base C de im(Q) y una base D de ker(Q). Muestre que los vectores de C soncombinaciones lineales de los vectores de B y vice versa. Muestre que los vectores de D soncombinaciones lineales de los vectores de A y vice versa. ¿Que significa esto en terminos de lossubespacios im(P), ker(P), im(Q), ker(Q)?.
Ejercicio 12. 1%.
Sea v =[2, 3, −2
]>. Calcule los vectores u = P(v) y w = Q(v). Con comprobaciones
directas muestre que u+w = v, u ∈ ker(Q), w ∈ ker(P).
Ejercicio 13. 1%.Denotemos por F al sistema de vectores que se obtiene al juntar las bases A y B de im(P) y deker(P). Escriba la matriz de transicion de E a F (puede denotarla por UE ,F), calcule su inversay haga la comprobacion.
Ejercicio 14. 1%.Calcule las matrices PF y QF asociadas a las transformaciones lineales P y Q con respecto a labase F del ejercicio anterior. Verifique que
PF +QF = I, P2F = PF , Q2F = QF , PFQF = 0, QFPF = 0.
Tarea 5, variante 31 VHA, pagina 3 de 3
Engra
peaq
uı
No
dobl
e
Algebra II, licenciatura. Tarea 5. Variante 32 VMJJ.
Transformaciones lineales.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 1%.Demuestre que la funcion f : R2 → R2 definida mediante la siguiente formula no es transforma-cion lineal. Indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.
f(x) =
[2x1 − 3x2 − 5
x1 + 5x2
].
Ejercicio 2. 2%.Demuestre que la funcion T : P2(R) → P2(R) definida mediante la siguiente regla es una trans-formacion lineal.
(Tf)(x) = (−2x2 + 2x− 3)f ′′(x) + (3x+ 1)f ′(x) − 1f(x).
Calcule la matriz TE asociada a T respecto a la base canonica E = (e0, e1, e2). Para comprobacioncalcule Tg aplicando la regla de correspondencia de T , escriba el vector (Tg)E y calcule elproducto TEgE .
e0(x) = 1, e1(x) = x, e2(x) = x2.
g(x) = x2 + 2x− 1.
Ejercicio 3. 2%.Demuestre que la funcion T : M2(R) → M2(R) definida mediante la siguiente regla es unatransformacion lineal.
T(X) = AX− XA, donde A =
[3 −58 −7
].
Calcule la matriz asociada a T respecto a la base E = (E1, E2, E3, E4). Para comprobar larespuesta calcule T(Y) de dos maneras diferentes:
1) usando la matriz asociada;
2) aplicando la regla de correspondencia de T .
E1 =
[1 0
0 0
], E2 =
[0 1
0 0
], E3 =
[0 0
1 0
], E4 =
[0 0
0 1
], Y =
[−2 3
−4 4
].
Tarea 5, variante 32 VMJJ, pagina 1 de 3
Ejercicio 4. 2%.Sean A y B algunas bases de un espacio vectorial V y sea T : V → V una transformacion lineal.Dadas la matriz TA asociada a T respecto a la base A y la matriz de cambio de base PA,B,calcule la matriz PB,A, compruebe la igualdad PA,BPB,A = I y calcule la matriz TB asociada a Trespecto a la base B.
TA =
2 −3 5
4 5 −13 2 3
, PA,B =
1 2 2
2 1 0
2 2 1
.Ejercicio 5. 2%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Calcule las matrices T(F1), T(F2), T(F3), T(F4) yescriba la matriz TF asociada a la transformacion lineal T respecto a la base F = (F1, F2, F3, F4),donde
F1 =
[1 0
0 0
], F2 =
[0 0
1 0
], F3 =
[0 1
0 0
], F4 =
[0 0
0 1
].
Escriba las matrices de cambio PE ,F y PF ,E , compruebe que PE ,FPF ,E = I y PF ,ETEPE ,F = TF .
Ejercicio 6. 1%.Sean V y W espacios vectoriales reales, sea A = (a1, a2, a3, a4) una base de V y sea B =(b1, b2, b3, b4) una base de W. Se considera una transformacion lineal T : V →W dada por sumatriz asociada TB,A. Construya una base de ker(T) y una base de im(T). Calcule el rango y lanulidad de T . Haga las comprobaciones.
TB,A =
1 1 2 −13 2 3 −13 2 1 3
2 1 0 2
.Ejercicio 7. 1%; se baja 0.25% por cada error en la tabla.Se consideran tres transformaciones lineales S, T,U dadas por sus matrices asociadas respectoa ciertas bases:
SB,A =
[−2 −15 2
], TD,C =
[−6 2 −6 −4−3 1 −3 −2
], UF ,E =
4 −5 −2 3
0 −1 −3 2
0 0 5 5
.Llene la siguiente tabla:
S T U
dim(dominio)dim(contradominio)rango := dim(imagen)nulidad := dim(nucleo)¿es inyectiva?¿es suprayectiva?¿es invertible?
Tarea 5, variante 32 VMJJ, pagina 2 de 3
Ejercicio 8. 1%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Construya una base de ker(T) y una base deim(T). Halle el rango y la nulidad de T . Haga las comprobaciones.
Ejercicio 9. 2%.Sea P : R3 → R3 la transformacion lineal dada por su matriz asociada con respecto a la basecanonica E . Verifique que P2 = P. Construya una base A de im(P) y una base B de ker(P).Haga las comprobaciones.
PE =
−1 −1 1
−4 −1 2
−6 −3 4
.Ejercicio 10. 1%.Seguimos trabajando con la transformacion lineal P del ejercicio anterior. SeaQ = I−P. Calculela matriz QE . Calcule Q2, PQ y QP multiplicando las matrices asociadas correspondientes.
Ejercicio 11. 2%.Construya una base C de im(Q) y una base D de ker(Q). Muestre que los vectores de C soncombinaciones lineales de los vectores de B y vice versa. Muestre que los vectores de D soncombinaciones lineales de los vectores de A y vice versa. ¿Que significa esto en terminos de lossubespacios im(P), ker(P), im(Q), ker(Q)?.
Ejercicio 12. 1%.
Sea v =[−4, 4, 3
]>. Calcule los vectores u = P(v) y w = Q(v). Con comprobaciones
directas muestre que u+w = v, u ∈ ker(Q), w ∈ ker(P).
Ejercicio 13. 1%.Denotemos por F al sistema de vectores que se obtiene al juntar las bases A y B de im(P) y deker(P). Escriba la matriz de transicion de E a F (puede denotarla por UE ,F), calcule su inversay haga la comprobacion.
Ejercicio 14. 1%.Calcule las matrices PF y QF asociadas a las transformaciones lineales P y Q con respecto a labase F del ejercicio anterior. Verifique que
PF +QF = I, P2F = PF , Q2F = QF , PFQF = 0, QFPF = 0.
Tarea 5, variante 32 VMJJ, pagina 3 de 3
Engra
peaq
uı
No
dobl
e
Algebra II, licenciatura. Tarea 5. Variante 33 GMOA.
Transformaciones lineales.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 1%.Demuestre que la funcion f : R2 → R2 definida mediante la siguiente formula no es transforma-cion lineal. Indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.
f(x) =
[3x21 − 3x2
−2x1 + 5x2
].
Ejercicio 2. 2%.Demuestre que la funcion T : P2(R) → P2(R) definida mediante la siguiente regla es una trans-formacion lineal.
(Tf)(x) = (−3x2 − 2x− 1)f ′′(x) + (x+ 3)f ′(x) + 2f(x).
Calcule la matriz TE asociada a T respecto a la base canonica E = (e0, e1, e2). Para comprobacioncalcule Tg aplicando la regla de correspondencia de T , escriba el vector (Tg)E y calcule elproducto TEgE .
e0(x) = 1, e1(x) = x, e2(x) = x2.
g(x) = 2x2 + 4x+ 3.
Ejercicio 3. 2%.Demuestre que la funcion T : M2(R) → M2(R) definida mediante la siguiente regla es unatransformacion lineal.
T(X) = AX− XA, donde A =
[7 −6
−8 9
].
Calcule la matriz asociada a T respecto a la base E = (E1, E2, E3, E4). Para comprobar larespuesta calcule T(Y) de dos maneras diferentes:
1) usando la matriz asociada;
2) aplicando la regla de correspondencia de T .
E1 =
[1 0
0 0
], E2 =
[0 1
0 0
], E3 =
[0 0
1 0
], E4 =
[0 0
0 1
], Y =
[2 −2
−4 2
].
Tarea 5, variante 33 GMOA, pagina 1 de 3
Ejercicio 4. 2%.Sean A y B algunas bases de un espacio vectorial V y sea T : V → V una transformacion lineal.Dadas la matriz TA asociada a T respecto a la base A y la matriz de cambio de base PA,B,calcule la matriz PB,A, compruebe la igualdad PA,BPB,A = I y calcule la matriz TB asociada a Trespecto a la base B.
TA =
1 3 1
3 2 −12 1 2
, PA,B =
3 1 0
4 1 −11 1 1
.Ejercicio 5. 2%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Calcule las matrices T(F1), T(F2), T(F3), T(F4) yescriba la matriz TF asociada a la transformacion lineal T respecto a la base F = (F1, F2, F3, F4),donde
F1 =
[1 0
0 0
], F2 =
[0 0
1 0
], F3 =
[0 1
0 0
], F4 =
[0 0
0 1
].
Escriba las matrices de cambio PE ,F y PF ,E , compruebe que PE ,FPF ,E = I y PF ,ETEPE ,F = TF .
Ejercicio 6. 1%.Sean V y W espacios vectoriales reales, sea A = (a1, a2, a3, a4) una base de V y sea B =(b1, b2, b3, b4) una base de W. Se considera una transformacion lineal T : V →W dada por sumatriz asociada TB,A. Construya una base de ker(T) y una base de im(T). Calcule el rango y lanulidad de T . Haga las comprobaciones.
TB,A =
−2 −2 4 −22 4 −3 3
3 2 −2 2
1 1 −2 1
.Ejercicio 7. 1%; se baja 0.25% por cada error en la tabla.Se consideran tres transformaciones lineales S, T,U dadas por sus matrices asociadas respectoa ciertas bases:
SB,A =
−1 2
1 −2−3 6
, TD,C =
2 3 4
−5 0 −13 0 0
, UF ,E =
[3 1 4 −22 1 −1 −3
].
Llene la siguiente tabla:
S T U
dim(dominio)dim(contradominio)rango := dim(imagen)nulidad := dim(nucleo)¿es inyectiva?¿es suprayectiva?¿es invertible?
Tarea 5, variante 33 GMOA, pagina 2 de 3
Ejercicio 8. 1%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Construya una base de ker(T) y una base deim(T). Halle el rango y la nulidad de T . Haga las comprobaciones.
Ejercicio 9. 2%.Sea P : R3 → R3 la transformacion lineal dada por su matriz asociada con respecto a la basecanonica E . Verifique que P2 = P. Construya una base A de im(P) y una base B de ker(P).Haga las comprobaciones.
PE =
−1 −1 1
−4 −1 2
−6 −3 4
.Ejercicio 10. 1%.Seguimos trabajando con la transformacion lineal P del ejercicio anterior. SeaQ = I−P. Calculela matriz QE . Calcule Q2, PQ y QP multiplicando las matrices asociadas correspondientes.
Ejercicio 11. 2%.Construya una base C de im(Q) y una base D de ker(Q). Muestre que los vectores de C soncombinaciones lineales de los vectores de B y vice versa. Muestre que los vectores de D soncombinaciones lineales de los vectores de A y vice versa. ¿Que significa esto en terminos de lossubespacios im(P), ker(P), im(Q), ker(Q)?.
Ejercicio 12. 1%.
Sea v =[1, −3, −4
]>. Calcule los vectores u = P(v) y w = Q(v). Con comprobaciones
directas muestre que u+w = v, u ∈ ker(Q), w ∈ ker(P).
Ejercicio 13. 1%.Denotemos por F al sistema de vectores que se obtiene al juntar las bases A y B de im(P) y deker(P). Escriba la matriz de transicion de E a F (puede denotarla por UE ,F), calcule su inversay haga la comprobacion.
Ejercicio 14. 1%.Calcule las matrices PF y QF asociadas a las transformaciones lineales P y Q con respecto a labase F del ejercicio anterior. Verifique que
PF +QF = I, P2F = PF , Q2F = QF , PFQF = 0, QFPF = 0.
Tarea 5, variante 33 GMOA, pagina 3 de 3
Engra
peaq
uı
No
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e
Algebra II, licenciatura. Tarea 5. Variante 34 VALA.
Transformaciones lineales.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 1%.Demuestre que la funcion f : R2 → R2 definida mediante la siguiente formula no es transforma-cion lineal. Indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.
f(x) =
[−3x1 + x2 − 2
−5x1 − 2x2
].
Ejercicio 2. 2%.Demuestre que la funcion T : P2(R) → P2(R) definida mediante la siguiente regla es una trans-formacion lineal.
(Tf)(x) = (3x2 + x− 2)f ′′(x) + (−3x+ 2)f ′(x) − 1f(x).
Calcule la matriz TE asociada a T respecto a la base canonica E = (e0, e1, e2). Para comprobacioncalcule Tg aplicando la regla de correspondencia de T , escriba el vector (Tg)E y calcule elproducto TEgE .
e0(x) = 1, e1(x) = x, e2(x) = x2.
g(x) = 3x2 + 4x− 1.
Ejercicio 3. 2%.Demuestre que la funcion T : M2(R) → M2(R) definida mediante la siguiente regla es unatransformacion lineal.
T(X) = AX− XA, donde A =
[−4 6
2 1
].
Calcule la matriz asociada a T respecto a la base E = (E1, E2, E3, E4). Para comprobar larespuesta calcule T(Y) de dos maneras diferentes:
1) usando la matriz asociada;
2) aplicando la regla de correspondencia de T .
E1 =
[1 0
0 0
], E2 =
[0 1
0 0
], E3 =
[0 0
1 0
], E4 =
[0 0
0 1
], Y =
[−3 3
2 −1
].
Tarea 5, variante 34 VALA, pagina 1 de 3
Ejercicio 4. 2%.Sean A y B algunas bases de un espacio vectorial V y sea T : V → V una transformacion lineal.Dadas la matriz TA asociada a T respecto a la base A y la matriz de cambio de base PA,B,calcule la matriz PB,A, compruebe la igualdad PA,BPB,A = I y calcule la matriz TB asociada a Trespecto a la base B.
TA =
1 −2 1
−4 −5 3
4 −1 3
, PA,B =
1 0 1
1 −1 2
4 1 2
.Ejercicio 5. 2%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Calcule las matrices T(F1), T(F2), T(F3), T(F4) yescriba la matriz TF asociada a la transformacion lineal T respecto a la base F = (F1, F2, F3, F4),donde
F1 =
[1 0
0 0
], F2 =
[0 0
1 0
], F3 =
[0 1
0 0
], F4 =
[0 0
0 1
].
Escriba las matrices de cambio PE ,F y PF ,E , compruebe que PE ,FPF ,E = I y PF ,ETEPE ,F = TF .
Ejercicio 6. 1%.Sean V y W espacios vectoriales reales, sea A = (a1, a2, a3, a4) una base de V y sea B =(b1, b2, b3, b4) una base de W. Se considera una transformacion lineal T : V →W dada por sumatriz asociada TB,A. Construya una base de ker(T) y una base de im(T). Calcule el rango y lanulidad de T . Haga las comprobaciones.
TB,A =
1 1 0 2
3 −1 3 −41 2 −1 4
4 2 1 2
.Ejercicio 7. 1%; se baja 0.25% por cada error en la tabla.Se consideran tres transformaciones lineales S, T,U dadas por sus matrices asociadas respectoa ciertas bases:
SB,A =
[3 1
−5 −4
], TD,C =
1 2
1 2
1 2
, UF ,E =
0 0 0
4 4 5
−2 −2 0
0 −2 0
.Llene la siguiente tabla:
S T U
dim(dominio)dim(contradominio)rango := dim(imagen)nulidad := dim(nucleo)¿es inyectiva?¿es suprayectiva?¿es invertible?
Tarea 5, variante 34 VALA, pagina 2 de 3
Ejercicio 8. 1%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Construya una base de ker(T) y una base deim(T). Halle el rango y la nulidad de T . Haga las comprobaciones.
Ejercicio 9. 2%.Sea P : R3 → R3 la transformacion lineal dada por su matriz asociada con respecto a la basecanonica E . Verifique que P2 = P. Construya una base A de im(P) y una base B de ker(P).Haga las comprobaciones.
PE =
−2 6 −6−2 5 −4−1 2 −1
.Ejercicio 10. 1%.Seguimos trabajando con la transformacion lineal P del ejercicio anterior. SeaQ = I−P. Calculela matriz QE . Calcule Q2, PQ y QP multiplicando las matrices asociadas correspondientes.
Ejercicio 11. 2%.Construya una base C de im(Q) y una base D de ker(Q). Muestre que los vectores de C soncombinaciones lineales de los vectores de B y vice versa. Muestre que los vectores de D soncombinaciones lineales de los vectores de A y vice versa. ¿Que significa esto en terminos de lossubespacios im(P), ker(P), im(Q), ker(Q)?.
Ejercicio 12. 1%.
Sea v =[4, 3, −4
]>. Calcule los vectores u = P(v) y w = Q(v). Con comprobaciones
directas muestre que u+w = v, u ∈ ker(Q), w ∈ ker(P).
Ejercicio 13. 1%.Denotemos por F al sistema de vectores que se obtiene al juntar las bases A y B de im(P) y deker(P). Escriba la matriz de transicion de E a F (puede denotarla por UE ,F), calcule su inversay haga la comprobacion.
Ejercicio 14. 1%.Calcule las matrices PF y QF asociadas a las transformaciones lineales P y Q con respecto a labase F del ejercicio anterior. Verifique que
PF +QF = I, P2F = PF , Q2F = QF , PFQF = 0, QFPF = 0.
Tarea 5, variante 34 VALA, pagina 3 de 3
Engra
peaq
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No
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Algebra II, licenciatura. Tarea 5. Variante 35 ZPJ.
Transformaciones lineales.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 1%.Demuestre que la funcion f : R2 → R2 definida mediante la siguiente formula no es transforma-cion lineal. Indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.
f(x) =
[5x1
−3x21 + 2x2
].
Ejercicio 2. 2%.Demuestre que la funcion T : P2(R) → P2(R) definida mediante la siguiente regla es una trans-formacion lineal.
(Tf)(x) = (−x2 + 2x+ 1)f ′′(x) + (−2x− 3)f ′(x) + 3f(x).
Calcule la matriz TE asociada a T respecto a la base canonica E = (e0, e1, e2). Para comprobacioncalcule Tg aplicando la regla de correspondencia de T , escriba el vector (Tg)E y calcule elproducto TEgE .
e0(x) = 1, e1(x) = x, e2(x) = x2.
g(x) = −5x2 + 4x+ 5.
Ejercicio 3. 2%.Demuestre que la funcion T : M2(R) → M2(R) definida mediante la siguiente regla es unatransformacion lineal.
T(X) = AX− XA, donde A =
[−8 6
−7 5
].
Calcule la matriz asociada a T respecto a la base E = (E1, E2, E3, E4). Para comprobar larespuesta calcule T(Y) de dos maneras diferentes:
1) usando la matriz asociada;
2) aplicando la regla de correspondencia de T .
E1 =
[1 0
0 0
], E2 =
[0 1
0 0
], E3 =
[0 0
1 0
], E4 =
[0 0
0 1
], Y =
[2 −21 −1
].
Tarea 5, variante 35 ZPJ, pagina 1 de 3
Ejercicio 4. 2%.Sean A y B algunas bases de un espacio vectorial V y sea T : V → V una transformacion lineal.Dadas la matriz TA asociada a T respecto a la base A y la matriz de cambio de base PA,B,calcule la matriz PB,A, compruebe la igualdad PA,BPB,A = I y calcule la matriz TB asociada a Trespecto a la base B.
TA =
−5 3 3
0 −4 2
−2 3 4
, PA,B =
1 1 1
1 0 1
4 1 3
.Ejercicio 5. 2%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Calcule las matrices T(F1), T(F2), T(F3), T(F4) yescriba la matriz TF asociada a la transformacion lineal T respecto a la base F = (F1, F2, F3, F4),donde
F1 =
[1 0
0 0
], F2 =
[0 0
1 0
], F3 =
[0 1
0 0
], F4 =
[0 0
0 1
].
Escriba las matrices de cambio PE ,F y PF ,E , compruebe que PE ,FPF ,E = I y PF ,ETEPE ,F = TF .
Ejercicio 6. 1%.Sean V y W espacios vectoriales reales, sea A = (a1, a2, a3, a4) una base de V y sea B =(b1, b2, b3, b4) una base de W. Se considera una transformacion lineal T : V →W dada por sumatriz asociada TB,A. Construya una base de ker(T) y una base de im(T). Calcule el rango y lanulidad de T . Haga las comprobaciones.
TB,A =
−2 −2 −4 −20 3 4 1
1 1 2 1
2 4 −1 1
.Ejercicio 7. 1%; se baja 0.25% por cada error en la tabla.Se consideran tres transformaciones lineales S, T,U dadas por sus matrices asociadas respectoa ciertas bases:
SB,A =
−3 5 −33 −5 0
0 0 0
−1 0 0
, TD,C =
1 2
2 4
−1 −2
, UF ,E =
[2 1 2 5
−2 1 1 2
].
Llene la siguiente tabla:
S T U
dim(dominio)dim(contradominio)rango := dim(imagen)nulidad := dim(nucleo)¿es inyectiva?¿es suprayectiva?¿es invertible?
Tarea 5, variante 35 ZPJ, pagina 2 de 3
Ejercicio 8. 1%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Construya una base de ker(T) y una base deim(T). Halle el rango y la nulidad de T . Haga las comprobaciones.
Ejercicio 9. 2%.Sea P : R3 → R3 la transformacion lineal dada por su matriz asociada con respecto a la basecanonica E . Verifique que P2 = P. Construya una base A de im(P) y una base B de ker(P).Haga las comprobaciones.
PE =
−1 2 −1−4 5 −2−6 6 −2
.Ejercicio 10. 1%.Seguimos trabajando con la transformacion lineal P del ejercicio anterior. SeaQ = I−P. Calculela matriz QE . Calcule Q2, PQ y QP multiplicando las matrices asociadas correspondientes.
Ejercicio 11. 2%.Construya una base C de im(Q) y una base D de ker(Q). Muestre que los vectores de C soncombinaciones lineales de los vectores de B y vice versa. Muestre que los vectores de D soncombinaciones lineales de los vectores de A y vice versa. ¿Que significa esto en terminos de lossubespacios im(P), ker(P), im(Q), ker(Q)?.
Ejercicio 12. 1%.
Sea v =[6, −1, 3
]>. Calcule los vectores u = P(v) y w = Q(v). Con comprobaciones
directas muestre que u+w = v, u ∈ ker(Q), w ∈ ker(P).
Ejercicio 13. 1%.Denotemos por F al sistema de vectores que se obtiene al juntar las bases A y B de im(P) y deker(P). Escriba la matriz de transicion de E a F (puede denotarla por UE ,F), calcule su inversay haga la comprobacion.
Ejercicio 14. 1%.Calcule las matrices PF y QF asociadas a las transformaciones lineales P y Q con respecto a labase F del ejercicio anterior. Verifique que
PF +QF = I, P2F = PF , Q2F = QF , PFQF = 0, QFPF = 0.
Tarea 5, variante 35 ZPJ, pagina 3 de 3
Engra
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e
Algebra II, licenciatura. Tarea 5. Variante 36 BRMF.
Transformaciones lineales.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 1%.Demuestre que la funcion f : R2 → R2 definida mediante la siguiente formula no es transforma-cion lineal. Indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.
f(x) =
[−3x21
5x1 + 3x2
].
Ejercicio 2. 2%.Demuestre que la funcion T : P2(R) → P2(R) definida mediante la siguiente regla es una trans-formacion lineal.
(Tf)(x) = (2x2 + x+ 3)f ′′(x) + (−x− 3)f ′(x) − 2f(x).
Calcule la matriz TE asociada a T respecto a la base canonica E = (e0, e1, e2). Para comprobacioncalcule Tg aplicando la regla de correspondencia de T , escriba el vector (Tg)E y calcule elproducto TEgE .
e0(x) = 1, e1(x) = x, e2(x) = x2.
g(x) = 2x2 + 3x− 5.
Ejercicio 3. 2%.Demuestre que la funcion T : M2(R) → M2(R) definida mediante la siguiente regla es unatransformacion lineal.
T(X) = AX− XA, donde A =
[3 −54 −3
].
Calcule la matriz asociada a T respecto a la base E = (E1, E2, E3, E4). Para comprobar larespuesta calcule T(Y) de dos maneras diferentes:
1) usando la matriz asociada;
2) aplicando la regla de correspondencia de T .
E1 =
[1 0
0 0
], E2 =
[0 1
0 0
], E3 =
[0 0
1 0
], E4 =
[0 0
0 1
], Y =
[2 2
−2 5
].
Tarea 5, variante 36 BRMF, pagina 1 de 3
Ejercicio 4. 2%.Sean A y B algunas bases de un espacio vectorial V y sea T : V → V una transformacion lineal.Dadas la matriz TA asociada a T respecto a la base A y la matriz de cambio de base PA,B,calcule la matriz PB,A, compruebe la igualdad PA,BPB,A = I y calcule la matriz TB asociada a Trespecto a la base B.
TA =
−1 5 −2−5 5 1
1 1 −4
, PA,B =
1 2 2
0 1 1
2 3 4
.Ejercicio 5. 2%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Calcule las matrices T(F1), T(F2), T(F3), T(F4) yescriba la matriz TF asociada a la transformacion lineal T respecto a la base F = (F1, F2, F3, F4),donde
F1 =
[1 0
0 0
], F2 =
[0 0
1 0
], F3 =
[0 1
0 0
], F4 =
[0 0
0 1
].
Escriba las matrices de cambio PE ,F y PF ,E , compruebe que PE ,FPF ,E = I y PF ,ETEPE ,F = TF .
Ejercicio 6. 1%.Sean V y W espacios vectoriales reales, sea A = (a1, a2, a3, a4) una base de V y sea B =(b1, b2, b3, b4) una base de W. Se considera una transformacion lineal T : V →W dada por sumatriz asociada TB,A. Construya una base de ker(T) y una base de im(T). Calcule el rango y lanulidad de T . Haga las comprobaciones.
TB,A =
1 3 −1 2
1 2 4 0
1 4 2 2
1 4 −2 3
.Ejercicio 7. 1%; se baja 0.25% por cada error en la tabla.Se consideran tres transformaciones lineales S, T,U dadas por sus matrices asociadas respectoa ciertas bases:
SB,A =
−4 −5 5
0 5 −40 0 2
0 0 0
, TD,C =
[−3 3
−4 3
], UF ,E =
[4 3 2 0
2 2 1 4
].
Llene la siguiente tabla:
S T U
dim(dominio)dim(contradominio)rango := dim(imagen)nulidad := dim(nucleo)¿es inyectiva?¿es suprayectiva?¿es invertible?
Tarea 5, variante 36 BRMF, pagina 2 de 3
Ejercicio 8. 1%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Construya una base de ker(T) y una base deim(T). Halle el rango y la nulidad de T . Haga las comprobaciones.
Ejercicio 9. 2%.Sea P : R3 → R3 la transformacion lineal dada por su matriz asociada con respecto a la basecanonica E . Verifique que P2 = P. Construya una base A de im(P) y una base B de ker(P).Haga las comprobaciones.
PE =
4 −6 −31 −1 −12 −4 −1
.Ejercicio 10. 1%.Seguimos trabajando con la transformacion lineal P del ejercicio anterior. SeaQ = I−P. Calculela matriz QE . Calcule Q2, PQ y QP multiplicando las matrices asociadas correspondientes.
Ejercicio 11. 2%.Construya una base C de im(Q) y una base D de ker(Q). Muestre que los vectores de C soncombinaciones lineales de los vectores de B y vice versa. Muestre que los vectores de D soncombinaciones lineales de los vectores de A y vice versa. ¿Que significa esto en terminos de lossubespacios im(P), ker(P), im(Q), ker(Q)?.
Ejercicio 12. 1%.
Sea v =[−1, −1, 6
]>. Calcule los vectores u = P(v) y w = Q(v). Con comprobaciones
directas muestre que u+w = v, u ∈ ker(Q), w ∈ ker(P).
Ejercicio 13. 1%.Denotemos por F al sistema de vectores que se obtiene al juntar las bases A y B de im(P) y deker(P). Escriba la matriz de transicion de E a F (puede denotarla por UE ,F), calcule su inversay haga la comprobacion.
Ejercicio 14. 1%.Calcule las matrices PF y QF asociadas a las transformaciones lineales P y Q con respecto a labase F del ejercicio anterior. Verifique que
PF +QF = I, P2F = PF , Q2F = QF , PFQF = 0, QFPF = 0.
Tarea 5, variante 36 BRMF, pagina 3 de 3
Engra
peaq
uı
No
dobl
e
Algebra II, licenciatura. Tarea 5. Variante 37 RMIA.
Transformaciones lineales.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 1%.Demuestre que la funcion f : R2 → R2 definida mediante la siguiente formula no es transforma-cion lineal. Indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.
f(x) =
[3x1 − 5x2
3x2 − 2
].
Ejercicio 2. 2%.Demuestre que la funcion T : P2(R) → P2(R) definida mediante la siguiente regla es una trans-formacion lineal.
(Tf)(x) = (3x2 + x− 1)f ′′(x) + (2x− 2)f ′(x) − 3f(x).
Calcule la matriz TE asociada a T respecto a la base canonica E = (e0, e1, e2). Para comprobacioncalcule Tg aplicando la regla de correspondencia de T , escriba el vector (Tg)E y calcule elproducto TEgE .
e0(x) = 1, e1(x) = x, e2(x) = x2.
g(x) = −2x2 + 2x+ 4.
Ejercicio 3. 2%.Demuestre que la funcion T : M2(R) → M2(R) definida mediante la siguiente regla es unatransformacion lineal.
T(X) = AX− XA, donde A =
[−3 3
7 2
].
Calcule la matriz asociada a T respecto a la base E = (E1, E2, E3, E4). Para comprobar larespuesta calcule T(Y) de dos maneras diferentes:
1) usando la matriz asociada;
2) aplicando la regla de correspondencia de T .
E1 =
[1 0
0 0
], E2 =
[0 1
0 0
], E3 =
[0 0
1 0
], E4 =
[0 0
0 1
], Y =
[2 1
3 5
].
Tarea 5, variante 37 RMIA, pagina 1 de 3
Ejercicio 4. 2%.Sean A y B algunas bases de un espacio vectorial V y sea T : V → V una transformacion lineal.Dadas la matriz TA asociada a T respecto a la base A y la matriz de cambio de base PA,B,calcule la matriz PB,A, compruebe la igualdad PA,BPB,A = I y calcule la matriz TB asociada a Trespecto a la base B.
TA =
0 4 −45 5 −25 1 −3
, PA,B =
2 1 1
4 3 2
1 1 1
.Ejercicio 5. 2%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Calcule las matrices T(F1), T(F2), T(F3), T(F4) yescriba la matriz TF asociada a la transformacion lineal T respecto a la base F = (F1, F2, F3, F4),donde
F1 =
[1 0
0 0
], F2 =
[0 0
1 0
], F3 =
[0 1
0 0
], F4 =
[0 0
0 1
].
Escriba las matrices de cambio PE ,F y PF ,E , compruebe que PE ,FPF ,E = I y PF ,ETEPE ,F = TF .
Ejercicio 6. 1%.Sean V y W espacios vectoriales reales, sea A = (a1, a2, a3, a4) una base de V y sea B =(b1, b2, b3, b4) una base de W. Se considera una transformacion lineal T : V →W dada por sumatriz asociada TB,A. Construya una base de ker(T) y una base de im(T). Calcule el rango y lanulidad de T . Haga las comprobaciones.
TB,A =
4 2 4 3
3 1 3 2
2 4 1 2
4 4 3 3
.Ejercicio 7. 1%; se baja 0.25% por cada error en la tabla.Se consideran tres transformaciones lineales S, T,U dadas por sus matrices asociadas respectoa ciertas bases:
SB,A =
−1 −21 2
2 4
, TD,C =
[−2 3 2 −3−4 1 1 1
], UF ,E =
[4 −25 −5
].
Llene la siguiente tabla:
S T U
dim(dominio)dim(contradominio)rango := dim(imagen)nulidad := dim(nucleo)¿es inyectiva?¿es suprayectiva?¿es invertible?
Tarea 5, variante 37 RMIA, pagina 2 de 3
Ejercicio 8. 1%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Construya una base de ker(T) y una base deim(T). Halle el rango y la nulidad de T . Haga las comprobaciones.
Ejercicio 9. 2%.Sea P : R3 → R3 la transformacion lineal dada por su matriz asociada con respecto a la basecanonica E . Verifique que P2 = P. Construya una base A de im(P) y una base B de ker(P).Haga las comprobaciones.
PE =
−2 6 −6−2 5 −4−1 2 −1
.Ejercicio 10. 1%.Seguimos trabajando con la transformacion lineal P del ejercicio anterior. SeaQ = I−P. Calculela matriz QE . Calcule Q2, PQ y QP multiplicando las matrices asociadas correspondientes.
Ejercicio 11. 2%.Construya una base C de im(Q) y una base D de ker(Q). Muestre que los vectores de C soncombinaciones lineales de los vectores de B y vice versa. Muestre que los vectores de D soncombinaciones lineales de los vectores de A y vice versa. ¿Que significa esto en terminos de lossubespacios im(P), ker(P), im(Q), ker(Q)?.
Ejercicio 12. 1%.
Sea v =[2, 2, 5
]>. Calcule los vectores u = P(v) y w = Q(v). Con comprobaciones directas
muestre que u+w = v, u ∈ ker(Q), w ∈ ker(P).
Ejercicio 13. 1%.Denotemos por F al sistema de vectores que se obtiene al juntar las bases A y B de im(P) y deker(P). Escriba la matriz de transicion de E a F (puede denotarla por UE ,F), calcule su inversay haga la comprobacion.
Ejercicio 14. 1%.Calcule las matrices PF y QF asociadas a las transformaciones lineales P y Q con respecto a labase F del ejercicio anterior. Verifique que
PF +QF = I, P2F = PF , Q2F = QF , PFQF = 0, QFPF = 0.
Tarea 5, variante 37 RMIA, pagina 3 de 3
Engra
peaq
uı
No
dobl
e
Algebra II, licenciatura. Tarea 5. Variante 38 MRHA.
Transformaciones lineales.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 1%.Demuestre que la funcion f : R2 → R2 definida mediante la siguiente formula no es transforma-cion lineal. Indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.
f(x) =
[5x21 − 4x2
x1 + 3x2
].
Ejercicio 2. 2%.Demuestre que la funcion T : P2(R) → P2(R) definida mediante la siguiente regla es una trans-formacion lineal.
(Tf)(x) = (−2x2 − 3x+ 2)f ′′(x) + (x− 1)f ′(x) + 3f(x).
Calcule la matriz TE asociada a T respecto a la base canonica E = (e0, e1, e2). Para comprobacioncalcule Tg aplicando la regla de correspondencia de T , escriba el vector (Tg)E y calcule elproducto TEgE .
e0(x) = 1, e1(x) = x, e2(x) = x2.
g(x) = 2x2 + 5x− 2.
Ejercicio 3. 2%.Demuestre que la funcion T : M2(R) → M2(R) definida mediante la siguiente regla es unatransformacion lineal.
T(X) = AX− XA, donde A =
[7 3
5 −5
].
Calcule la matriz asociada a T respecto a la base E = (E1, E2, E3, E4). Para comprobar larespuesta calcule T(Y) de dos maneras diferentes:
1) usando la matriz asociada;
2) aplicando la regla de correspondencia de T .
E1 =
[1 0
0 0
], E2 =
[0 1
0 0
], E3 =
[0 0
1 0
], E4 =
[0 0
0 1
], Y =
[1 1
2 −4
].
Tarea 5, variante 38 MRHA, pagina 1 de 3
Ejercicio 4. 2%.Sean A y B algunas bases de un espacio vectorial V y sea T : V → V una transformacion lineal.Dadas la matriz TA asociada a T respecto a la base A y la matriz de cambio de base PA,B,calcule la matriz PB,A, compruebe la igualdad PA,BPB,A = I y calcule la matriz TB asociada a Trespecto a la base B.
TA =
1 −2 3
−2 5 −50 1 1
, PA,B =
1 0 −12 2 3
1 1 2
.Ejercicio 5. 2%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Calcule las matrices T(F1), T(F2), T(F3), T(F4) yescriba la matriz TF asociada a la transformacion lineal T respecto a la base F = (F1, F2, F3, F4),donde
F1 =
[1 0
0 0
], F2 =
[0 0
1 0
], F3 =
[0 1
0 0
], F4 =
[0 0
0 1
].
Escriba las matrices de cambio PE ,F y PF ,E , compruebe que PE ,FPF ,E = I y PF ,ETEPE ,F = TF .
Ejercicio 6. 1%.Sean V y W espacios vectoriales reales, sea A = (a1, a2, a3, a4) una base de V y sea B =(b1, b2, b3, b4) una base de W. Se considera una transformacion lineal T : V →W dada por sumatriz asociada TB,A. Construya una base de ker(T) y una base de im(T). Calcule el rango y lanulidad de T . Haga las comprobaciones.
TB,A =
1 1 −2 1
2 −1 3 −31 2 −2 3
2 1 3 1
.Ejercicio 7. 1%; se baja 0.25% por cada error en la tabla.Se consideran tres transformaciones lineales S, T,U dadas por sus matrices asociadas respectoa ciertas bases:
SB,A =
0 0 0
1 −5 3
0 −2 3
0 0 3
, TD,C =
[0 2 3 1
−3 −2 2 1
], UF ,E =
1 2 −40 4 0
0 0 1
.Llene la siguiente tabla:
S T U
dim(dominio)dim(contradominio)rango := dim(imagen)nulidad := dim(nucleo)¿es inyectiva?¿es suprayectiva?¿es invertible?
Tarea 5, variante 38 MRHA, pagina 2 de 3
Ejercicio 8. 1%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Construya una base de ker(T) y una base deim(T). Halle el rango y la nulidad de T . Haga las comprobaciones.
Ejercicio 9. 2%.Sea P : R3 → R3 la transformacion lineal dada por su matriz asociada con respecto a la basecanonica E . Verifique que P2 = P. Construya una base A de im(P) y una base B de ker(P).Haga las comprobaciones.
PE =
−1 −1 1
−4 −1 2
−6 −3 4
.Ejercicio 10. 1%.Seguimos trabajando con la transformacion lineal P del ejercicio anterior. SeaQ = I−P. Calculela matriz QE . Calcule Q2, PQ y QP multiplicando las matrices asociadas correspondientes.
Ejercicio 11. 2%.Construya una base C de im(Q) y una base D de ker(Q). Muestre que los vectores de C soncombinaciones lineales de los vectores de B y vice versa. Muestre que los vectores de D soncombinaciones lineales de los vectores de A y vice versa. ¿Que significa esto en terminos de lossubespacios im(P), ker(P), im(Q), ker(Q)?.
Ejercicio 12. 1%.
Sea v =[2, −1, −6
]>. Calcule los vectores u = P(v) y w = Q(v). Con comprobaciones
directas muestre que u+w = v, u ∈ ker(Q), w ∈ ker(P).
Ejercicio 13. 1%.Denotemos por F al sistema de vectores que se obtiene al juntar las bases A y B de im(P) y deker(P). Escriba la matriz de transicion de E a F (puede denotarla por UE ,F), calcule su inversay haga la comprobacion.
Ejercicio 14. 1%.Calcule las matrices PF y QF asociadas a las transformaciones lineales P y Q con respecto a labase F del ejercicio anterior. Verifique que
PF +QF = I, P2F = PF , Q2F = QF , PFQF = 0, QFPF = 0.
Tarea 5, variante 38 MRHA, pagina 3 de 3
Engra
peaq
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No
dobl
e
Algebra II, licenciatura. Tarea 5. Variante 39 AVMA.
Transformaciones lineales.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 1%.Demuestre que la funcion f : R2 → R2 definida mediante la siguiente formula no es transforma-cion lineal. Indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.
f(x) =
[x1 − 3x2
x1 + 3x22
].
Ejercicio 2. 2%.Demuestre que la funcion T : P2(R) → P2(R) definida mediante la siguiente regla es una trans-formacion lineal.
(Tf)(x) = (−3x2 − 2x− 1)f ′′(x) + (3x+ 1)f ′(x) + 2f(x).
Calcule la matriz TE asociada a T respecto a la base canonica E = (e0, e1, e2). Para comprobacioncalcule Tg aplicando la regla de correspondencia de T , escriba el vector (Tg)E y calcule elproducto TEgE .
e0(x) = 1, e1(x) = x, e2(x) = x2.
g(x) = −5x2 + 2x+ 3.
Ejercicio 3. 2%.Demuestre que la funcion T : M2(R) → M2(R) definida mediante la siguiente regla es unatransformacion lineal.
T(X) = AX− XA, donde A =
[7 −49 5
].
Calcule la matriz asociada a T respecto a la base E = (E1, E2, E3, E4). Para comprobar larespuesta calcule T(Y) de dos maneras diferentes:
1) usando la matriz asociada;
2) aplicando la regla de correspondencia de T .
E1 =
[1 0
0 0
], E2 =
[0 1
0 0
], E3 =
[0 0
1 0
], E4 =
[0 0
0 1
], Y =
[3 1
−2 4
].
Tarea 5, variante 39 AVMA, pagina 1 de 3
Ejercicio 4. 2%.Sean A y B algunas bases de un espacio vectorial V y sea T : V → V una transformacion lineal.Dadas la matriz TA asociada a T respecto a la base A y la matriz de cambio de base PA,B,calcule la matriz PB,A, compruebe la igualdad PA,BPB,A = I y calcule la matriz TB asociada a Trespecto a la base B.
TA =
5 −4 4
2 −1 3
−1 4 −5
, PA,B =
2 2 −13 3 −12 1 1
.Ejercicio 5. 2%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Calcule las matrices T(F1), T(F2), T(F3), T(F4) yescriba la matriz TF asociada a la transformacion lineal T respecto a la base F = (F1, F2, F3, F4),donde
F1 =
[1 0
0 0
], F2 =
[0 0
1 0
], F3 =
[0 1
0 0
], F4 =
[0 0
0 1
].
Escriba las matrices de cambio PE ,F y PF ,E , compruebe que PE ,FPF ,E = I y PF ,ETEPE ,F = TF .
Ejercicio 6. 1%.Sean V y W espacios vectoriales reales, sea A = (a1, a2, a3, a4) una base de V y sea B =(b1, b2, b3, b4) una base de W. Se considera una transformacion lineal T : V →W dada por sumatriz asociada TB,A. Construya una base de ker(T) y una base de im(T). Calcule el rango y lanulidad de T . Haga las comprobaciones.
TB,A =
3 −1 −3 4
−3 3 3 −41 0 2 1
1 1 2 1
.Ejercicio 7. 1%; se baja 0.25% por cada error en la tabla.Se consideran tres transformaciones lineales S, T,U dadas por sus matrices asociadas respectoa ciertas bases:
SB,A =
2 1
−2 −12 1
, TD,C =
−2 −5 2
2 0 5
2 0 0
0 0 0
, UF ,E =
3 −5 −50 5 −10 3 0
.Llene la siguiente tabla:
S T U
dim(dominio)dim(contradominio)rango := dim(imagen)nulidad := dim(nucleo)¿es inyectiva?¿es suprayectiva?¿es invertible?
Tarea 5, variante 39 AVMA, pagina 2 de 3
Ejercicio 8. 1%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Construya una base de ker(T) y una base deim(T). Halle el rango y la nulidad de T . Haga las comprobaciones.
Ejercicio 9. 2%.Sea P : R3 → R3 la transformacion lineal dada por su matriz asociada con respecto a la basecanonica E . Verifique que P2 = P. Construya una base A de im(P) y una base B de ker(P).Haga las comprobaciones.
PE =
5 2 −42 2 −26 3 −5
.Ejercicio 10. 1%.Seguimos trabajando con la transformacion lineal P del ejercicio anterior. SeaQ = I−P. Calculela matriz QE . Calcule Q2, PQ y QP multiplicando las matrices asociadas correspondientes.
Ejercicio 11. 2%.Construya una base C de im(Q) y una base D de ker(Q). Muestre que los vectores de C soncombinaciones lineales de los vectores de B y vice versa. Muestre que los vectores de D soncombinaciones lineales de los vectores de A y vice versa. ¿Que significa esto en terminos de lossubespacios im(P), ker(P), im(Q), ker(Q)?.
Ejercicio 12. 1%.
Sea v =[1, −5, −3
]>. Calcule los vectores u = P(v) y w = Q(v). Con comprobaciones
directas muestre que u+w = v, u ∈ ker(Q), w ∈ ker(P).
Ejercicio 13. 1%.Denotemos por F al sistema de vectores que se obtiene al juntar las bases A y B de im(P) y deker(P). Escriba la matriz de transicion de E a F (puede denotarla por UE ,F), calcule su inversay haga la comprobacion.
Ejercicio 14. 1%.Calcule las matrices PF y QF asociadas a las transformaciones lineales P y Q con respecto a labase F del ejercicio anterior. Verifique que
PF +QF = I, P2F = PF , Q2F = QF , PFQF = 0, QFPF = 0.
Tarea 5, variante 39 AVMA, pagina 3 de 3
Engra
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No
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e
Algebra II, licenciatura. Tarea 5. Variante 40 MCCO.
Transformaciones lineales.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 1%.Demuestre que la funcion f : R2 → R2 definida mediante la siguiente formula no es transforma-cion lineal. Indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.
f(x) =
[x1 − x2
4x21 − 3x2
].
Ejercicio 2. 2%.Demuestre que la funcion T : P2(R) → P2(R) definida mediante la siguiente regla es una trans-formacion lineal.
(Tf)(x) = (−3x2 + 3x− 1)f ′′(x) + (−2x+ 1)f ′(x) + 2f(x).
Calcule la matriz TE asociada a T respecto a la base canonica E = (e0, e1, e2). Para comprobacioncalcule Tg aplicando la regla de correspondencia de T , escriba el vector (Tg)E y calcule elproducto TEgE .
e0(x) = 1, e1(x) = x, e2(x) = x2.
g(x) = −x2 + 4x+ 2.
Ejercicio 3. 2%.Demuestre que la funcion T : M2(R) → M2(R) definida mediante la siguiente regla es unatransformacion lineal.
T(X) = AX− XA, donde A =
[8 6
−9 7
].
Calcule la matriz asociada a T respecto a la base E = (E1, E2, E3, E4). Para comprobar larespuesta calcule T(Y) de dos maneras diferentes:
1) usando la matriz asociada;
2) aplicando la regla de correspondencia de T .
E1 =
[1 0
0 0
], E2 =
[0 1
0 0
], E3 =
[0 0
1 0
], E4 =
[0 0
0 1
], Y =
[2 2
−2 2
].
Tarea 5, variante 40 MCCO, pagina 1 de 3
Ejercicio 4. 2%.Sean A y B algunas bases de un espacio vectorial V y sea T : V → V una transformacion lineal.Dadas la matriz TA asociada a T respecto a la base A y la matriz de cambio de base PA,B,calcule la matriz PB,A, compruebe la igualdad PA,BPB,A = I y calcule la matriz TB asociada a Trespecto a la base B.
TA =
−4 5 2
3 1 −3−3 3 4
, PA,B =
3 3 2
0 1 −11 1 1
.Ejercicio 5. 2%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Calcule las matrices T(F1), T(F2), T(F3), T(F4) yescriba la matriz TF asociada a la transformacion lineal T respecto a la base F = (F1, F2, F3, F4),donde
F1 =
[1 0
0 0
], F2 =
[0 0
1 0
], F3 =
[0 1
0 0
], F4 =
[0 0
0 1
].
Escriba las matrices de cambio PE ,F y PF ,E , compruebe que PE ,FPF ,E = I y PF ,ETEPE ,F = TF .
Ejercicio 6. 1%.Sean V y W espacios vectoriales reales, sea A = (a1, a2, a3, a4) una base de V y sea B =(b1, b2, b3, b4) una base de W. Se considera una transformacion lineal T : V →W dada por sumatriz asociada TB,A. Construya una base de ker(T) y una base de im(T). Calcule el rango y lanulidad de T . Haga las comprobaciones.
TB,A =
4 2 3 4
1 4 1 1
3 −2 2 3
4 −4 3 3
.Ejercicio 7. 1%; se baja 0.25% por cada error en la tabla.Se consideran tres transformaciones lineales S, T,U dadas por sus matrices asociadas respectoa ciertas bases:
SB,A =
[−3 4 2 1
2 1 1 1
], TD,C =
4 −5 −35 0 −4
−2 0 0
0 0 0
, UF ,E =
−5 1 4
3 0 2
5 0 0
.Llene la siguiente tabla:
S T U
dim(dominio)dim(contradominio)rango := dim(imagen)nulidad := dim(nucleo)¿es inyectiva?¿es suprayectiva?¿es invertible?
Tarea 5, variante 40 MCCO, pagina 2 de 3
Ejercicio 8. 1%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Construya una base de ker(T) y una base deim(T). Halle el rango y la nulidad de T . Haga las comprobaciones.
Ejercicio 9. 2%.Sea P : R3 → R3 la transformacion lineal dada por su matriz asociada con respecto a la basecanonica E . Verifique que P2 = P. Construya una base A de im(P) y una base B de ker(P).Haga las comprobaciones.
PE =
−2 −6 6
−1 −1 2
−2 −4 5
.Ejercicio 10. 1%.Seguimos trabajando con la transformacion lineal P del ejercicio anterior. SeaQ = I−P. Calculela matriz QE . Calcule Q2, PQ y QP multiplicando las matrices asociadas correspondientes.
Ejercicio 11. 2%.Construya una base C de im(Q) y una base D de ker(Q). Muestre que los vectores de C soncombinaciones lineales de los vectores de B y vice versa. Muestre que los vectores de D soncombinaciones lineales de los vectores de A y vice versa. ¿Que significa esto en terminos de lossubespacios im(P), ker(P), im(Q), ker(Q)?.
Ejercicio 12. 1%.
Sea v =[−3, −1, 5
]>. Calcule los vectores u = P(v) y w = Q(v). Con comprobaciones
directas muestre que u+w = v, u ∈ ker(Q), w ∈ ker(P).
Ejercicio 13. 1%.Denotemos por F al sistema de vectores que se obtiene al juntar las bases A y B de im(P) y deker(P). Escriba la matriz de transicion de E a F (puede denotarla por UE ,F), calcule su inversay haga la comprobacion.
Ejercicio 14. 1%.Calcule las matrices PF y QF asociadas a las transformaciones lineales P y Q con respecto a labase F del ejercicio anterior. Verifique que
PF +QF = I, P2F = PF , Q2F = QF , PFQF = 0, QFPF = 0.
Tarea 5, variante 40 MCCO, pagina 3 de 3
Engra
peaq
uı
No
dobl
e
Algebra II, licenciatura. Tarea 5. Variante 41.
Transformaciones lineales.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 1%.Demuestre que la funcion f : R2 → R2 definida mediante la siguiente formula no es transforma-cion lineal. Indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.
f(x) =
[3x1 − x2 + 4
4x1 − 2x2
].
Ejercicio 2. 2%.Demuestre que la funcion T : P2(R) → P2(R) definida mediante la siguiente regla es una trans-formacion lineal.
(Tf)(x) = (−2x2 − 3x+ 1)f ′′(x) + (2x+ 3)f ′(x) − 1f(x).
Calcule la matriz TE asociada a T respecto a la base canonica E = (e0, e1, e2). Para comprobacioncalcule Tg aplicando la regla de correspondencia de T , escriba el vector (Tg)E y calcule elproducto TEgE .
e0(x) = 1, e1(x) = x, e2(x) = x2.
g(x) = 2x2 + 4x− 4.
Ejercicio 3. 2%.Demuestre que la funcion T : M2(R) → M2(R) definida mediante la siguiente regla es unatransformacion lineal.
T(X) = AX− XA, donde A =
[−8 −4−3 4
].
Calcule la matriz asociada a T respecto a la base E = (E1, E2, E3, E4). Para comprobar larespuesta calcule T(Y) de dos maneras diferentes:
1) usando la matriz asociada;
2) aplicando la regla de correspondencia de T .
E1 =
[1 0
0 0
], E2 =
[0 1
0 0
], E3 =
[0 0
1 0
], E4 =
[0 0
0 1
], Y =
[1 2
1 −4
].
Tarea 5, variante 41, pagina 1 de 3
Ejercicio 4. 2%.Sean A y B algunas bases de un espacio vectorial V y sea T : V → V una transformacion lineal.Dadas la matriz TA asociada a T respecto a la base A y la matriz de cambio de base PA,B,calcule la matriz PB,A, compruebe la igualdad PA,BPB,A = I y calcule la matriz TB asociada a Trespecto a la base B.
TA =
5 −2 2
−2 4 1
4 1 −1
, PA,B =
1 1 1
1 1 2
1 0 1
.Ejercicio 5. 2%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Calcule las matrices T(F1), T(F2), T(F3), T(F4) yescriba la matriz TF asociada a la transformacion lineal T respecto a la base F = (F1, F2, F3, F4),donde
F1 =
[1 0
0 0
], F2 =
[0 0
1 0
], F3 =
[0 1
0 0
], F4 =
[0 0
0 1
].
Escriba las matrices de cambio PE ,F y PF ,E , compruebe que PE ,FPF ,E = I y PF ,ETEPE ,F = TF .
Ejercicio 6. 1%.Sean V y W espacios vectoriales reales, sea A = (a1, a2, a3, a4) una base de V y sea B =(b1, b2, b3, b4) una base de W. Se considera una transformacion lineal T : V →W dada por sumatriz asociada TB,A. Construya una base de ker(T) y una base de im(T). Calcule el rango y lanulidad de T . Haga las comprobaciones.
TB,A =
2 4 2 1
2 −2 1 1
−4 −2 −3 −11 2 1 0
.Ejercicio 7. 1%; se baja 0.25% por cada error en la tabla.Se consideran tres transformaciones lineales S, T,U dadas por sus matrices asociadas respectoa ciertas bases:
SB,A =
[−6 −6 −2 −23 3 1 1
], TD,C =
−4 −1 −40 −1 4
0 −1 0
, UF ,E =
3 −5 4 2
1 −5 0 5
0 4 0 5
.Llene la siguiente tabla:
S T U
dim(dominio)dim(contradominio)rango := dim(imagen)nulidad := dim(nucleo)¿es inyectiva?¿es suprayectiva?¿es invertible?
Tarea 5, variante 41, pagina 2 de 3
Ejercicio 8. 1%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Construya una base de ker(T) y una base deim(T). Halle el rango y la nulidad de T . Haga las comprobaciones.
Ejercicio 9. 2%.Sea P : R3 → R3 la transformacion lineal dada por su matriz asociada con respecto a la basecanonica E . Verifique que P2 = P. Construya una base A de im(P) y una base B de ker(P).Haga las comprobaciones.
PE =
−1 −4 2
−1 −1 1
−3 −6 4
.Ejercicio 10. 1%.Seguimos trabajando con la transformacion lineal P del ejercicio anterior. SeaQ = I−P. Calculela matriz QE . Calcule Q2, PQ y QP multiplicando las matrices asociadas correspondientes.
Ejercicio 11. 2%.Construya una base C de im(Q) y una base D de ker(Q). Muestre que los vectores de C soncombinaciones lineales de los vectores de B y vice versa. Muestre que los vectores de D soncombinaciones lineales de los vectores de A y vice versa. ¿Que significa esto en terminos de lossubespacios im(P), ker(P), im(Q), ker(Q)?.
Ejercicio 12. 1%.
Sea v =[−3, 5, −2
]>. Calcule los vectores u = P(v) y w = Q(v). Con comprobaciones
directas muestre que u+w = v, u ∈ ker(Q), w ∈ ker(P).
Ejercicio 13. 1%.Denotemos por F al sistema de vectores que se obtiene al juntar las bases A y B de im(P) y deker(P). Escriba la matriz de transicion de E a F (puede denotarla por UE ,F), calcule su inversay haga la comprobacion.
Ejercicio 14. 1%.Calcule las matrices PF y QF asociadas a las transformaciones lineales P y Q con respecto a labase F del ejercicio anterior. Verifique que
PF +QF = I, P2F = PF , Q2F = QF , PFQF = 0, QFPF = 0.
Tarea 5, variante 41, pagina 3 de 3
Engra
peaq
uı
No
dobl
e
Algebra II, licenciatura. Tarea 5. Variante 42.
Transformaciones lineales.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 1%.Demuestre que la funcion f : R2 → R2 definida mediante la siguiente formula no es transforma-cion lineal. Indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.
f(x) =
[3x1 + 5x
22
2x1 + x2
].
Ejercicio 2. 2%.Demuestre que la funcion T : P2(R) → P2(R) definida mediante la siguiente regla es una trans-formacion lineal.
(Tf)(x) = (2x2 − x+ 3)f ′′(x) + (−3x− 2)f ′(x) + 1f(x).
Calcule la matriz TE asociada a T respecto a la base canonica E = (e0, e1, e2). Para comprobacioncalcule Tg aplicando la regla de correspondencia de T , escriba el vector (Tg)E y calcule elproducto TEgE .
e0(x) = 1, e1(x) = x, e2(x) = x2.
g(x) = −x2 + 5x+ 1.
Ejercicio 3. 2%.Demuestre que la funcion T : M2(R) → M2(R) definida mediante la siguiente regla es unatransformacion lineal.
T(X) = AX− XA, donde A =
[−7 1
2 5
].
Calcule la matriz asociada a T respecto a la base E = (E1, E2, E3, E4). Para comprobar larespuesta calcule T(Y) de dos maneras diferentes:
1) usando la matriz asociada;
2) aplicando la regla de correspondencia de T .
E1 =
[1 0
0 0
], E2 =
[0 1
0 0
], E3 =
[0 0
1 0
], E4 =
[0 0
0 1
], Y =
[1 1
1 5
].
Tarea 5, variante 42, pagina 1 de 3
Ejercicio 4. 2%.Sean A y B algunas bases de un espacio vectorial V y sea T : V → V una transformacion lineal.Dadas la matriz TA asociada a T respecto a la base A y la matriz de cambio de base PA,B,calcule la matriz PB,A, compruebe la igualdad PA,BPB,A = I y calcule la matriz TB asociada a Trespecto a la base B.
TA =
−5 1 4
1 2 −34 3 −3
, PA,B =
1 2 2
0 2 1
1 3 3
.Ejercicio 5. 2%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Calcule las matrices T(F1), T(F2), T(F3), T(F4) yescriba la matriz TF asociada a la transformacion lineal T respecto a la base F = (F1, F2, F3, F4),donde
F1 =
[1 0
0 0
], F2 =
[0 0
1 0
], F3 =
[0 1
0 0
], F4 =
[0 0
0 1
].
Escriba las matrices de cambio PE ,F y PF ,E , compruebe que PE ,FPF ,E = I y PF ,ETEPE ,F = TF .
Ejercicio 6. 1%.Sean V y W espacios vectoriales reales, sea A = (a1, a2, a3, a4) una base de V y sea B =(b1, b2, b3, b4) una base de W. Se considera una transformacion lineal T : V →W dada por sumatriz asociada TB,A. Construya una base de ker(T) y una base de im(T). Calcule el rango y lanulidad de T . Haga las comprobaciones.
TB,A =
2 1 −3 1
−3 −1 2 1
3 2 1 2
−1 0 3 1
.Ejercicio 7. 1%; se baja 0.25% por cada error en la tabla.Se consideran tres transformaciones lineales S, T,U dadas por sus matrices asociadas respectoa ciertas bases:
SB,A =
[4 3 −3 −41 1 0 −4
], TD,C =
0 0 0
5 −3 5
0 −2 4
0 0 −1
, UF ,E =
2 1
−6 −32 1
.Llene la siguiente tabla:
S T U
dim(dominio)dim(contradominio)rango := dim(imagen)nulidad := dim(nucleo)¿es inyectiva?¿es suprayectiva?¿es invertible?
Tarea 5, variante 42, pagina 2 de 3
Ejercicio 8. 1%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Construya una base de ker(T) y una base deim(T). Halle el rango y la nulidad de T . Haga las comprobaciones.
Ejercicio 9. 2%.Sea P : R3 → R3 la transformacion lineal dada por su matriz asociada con respecto a la basecanonica E . Verifique que P2 = P. Construya una base A de im(P) y una base B de ker(P).Haga las comprobaciones.
PE =
−2 −6 6
−1 −1 2
−2 −4 5
.Ejercicio 10. 1%.Seguimos trabajando con la transformacion lineal P del ejercicio anterior. SeaQ = I−P. Calculela matriz QE . Calcule Q2, PQ y QP multiplicando las matrices asociadas correspondientes.
Ejercicio 11. 2%.Construya una base C de im(Q) y una base D de ker(Q). Muestre que los vectores de C soncombinaciones lineales de los vectores de B y vice versa. Muestre que los vectores de D soncombinaciones lineales de los vectores de A y vice versa. ¿Que significa esto en terminos de lossubespacios im(P), ker(P), im(Q), ker(Q)?.
Ejercicio 12. 1%.
Sea v =[6, −1, 1
]>. Calcule los vectores u = P(v) y w = Q(v). Con comprobaciones
directas muestre que u+w = v, u ∈ ker(Q), w ∈ ker(P).
Ejercicio 13. 1%.Denotemos por F al sistema de vectores que se obtiene al juntar las bases A y B de im(P) y deker(P). Escriba la matriz de transicion de E a F (puede denotarla por UE ,F), calcule su inversay haga la comprobacion.
Ejercicio 14. 1%.Calcule las matrices PF y QF asociadas a las transformaciones lineales P y Q con respecto a labase F del ejercicio anterior. Verifique que
PF +QF = I, P2F = PF , Q2F = QF , PFQF = 0, QFPF = 0.
Tarea 5, variante 42, pagina 3 de 3
Engra
peaq
uı
No
dobl
e
Algebra II, licenciatura. Tarea 5. Variante 43.
Transformaciones lineales.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 1%.Demuestre que la funcion f : R2 → R2 definida mediante la siguiente formula no es transforma-cion lineal. Indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.
f(x) =
[3x1 − 5x2
2x1 − 3x2 − 5
].
Ejercicio 2. 2%.Demuestre que la funcion T : P2(R) → P2(R) definida mediante la siguiente regla es una trans-formacion lineal.
(Tf)(x) = (−x2 − 3x+ 2)f ′′(x) + (3x+ 1)f ′(x) − 2f(x).
Calcule la matriz TE asociada a T respecto a la base canonica E = (e0, e1, e2). Para comprobacioncalcule Tg aplicando la regla de correspondencia de T , escriba el vector (Tg)E y calcule elproducto TEgE .
e0(x) = 1, e1(x) = x, e2(x) = x2.
g(x) = −2x2 + 5x+ 2.
Ejercicio 3. 2%.Demuestre que la funcion T : M2(R) → M2(R) definida mediante la siguiente regla es unatransformacion lineal.
T(X) = AX− XA, donde A =
[6 −9
−8 5
].
Calcule la matriz asociada a T respecto a la base E = (E1, E2, E3, E4). Para comprobar larespuesta calcule T(Y) de dos maneras diferentes:
1) usando la matriz asociada;
2) aplicando la regla de correspondencia de T .
E1 =
[1 0
0 0
], E2 =
[0 1
0 0
], E3 =
[0 0
1 0
], E4 =
[0 0
0 1
], Y =
[3 −4
−3 3
].
Tarea 5, variante 43, pagina 1 de 3
Ejercicio 4. 2%.Sean A y B algunas bases de un espacio vectorial V y sea T : V → V una transformacion lineal.Dadas la matriz TA asociada a T respecto a la base A y la matriz de cambio de base PA,B,calcule la matriz PB,A, compruebe la igualdad PA,BPB,A = I y calcule la matriz TB asociada a Trespecto a la base B.
TA =
−1 4 3
1 1 3
0 1 2
, PA,B =
3 1 1
2 1 1
−1 1 2
.Ejercicio 5. 2%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Calcule las matrices T(F1), T(F2), T(F3), T(F4) yescriba la matriz TF asociada a la transformacion lineal T respecto a la base F = (F1, F2, F3, F4),donde
F1 =
[1 0
0 0
], F2 =
[0 0
1 0
], F3 =
[0 1
0 0
], F4 =
[0 0
0 1
].
Escriba las matrices de cambio PE ,F y PF ,E , compruebe que PE ,FPF ,E = I y PF ,ETEPE ,F = TF .
Ejercicio 6. 1%.Sean V y W espacios vectoriales reales, sea A = (a1, a2, a3, a4) una base de V y sea B =(b1, b2, b3, b4) una base de W. Se considera una transformacion lineal T : V →W dada por sumatriz asociada TB,A. Construya una base de ker(T) y una base de im(T). Calcule el rango y lanulidad de T . Haga las comprobaciones.
TB,A =
−1 2 −1 2
1 3 2 1
2 1 3 −1−3 2 1 1
.Ejercicio 7. 1%; se baja 0.25% por cada error en la tabla.Se consideran tres transformaciones lineales S, T,U dadas por sus matrices asociadas respectoa ciertas bases:
SB,A =
3 2
−2 −22 1
, TD,C =
[3 −32 −1
], UF ,E =
[2 −2 −4 2
1 −1 −2 1
].
Llene la siguiente tabla:
S T U
dim(dominio)dim(contradominio)rango := dim(imagen)nulidad := dim(nucleo)¿es inyectiva?¿es suprayectiva?¿es invertible?
Tarea 5, variante 43, pagina 2 de 3
Ejercicio 8. 1%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Construya una base de ker(T) y una base deim(T). Halle el rango y la nulidad de T . Haga las comprobaciones.
Ejercicio 9. 2%.Sea P : R3 → R3 la transformacion lineal dada por su matriz asociada con respecto a la basecanonica E . Verifique que P2 = P. Construya una base A de im(P) y una base B de ker(P).Haga las comprobaciones.
PE =
−2 −6 6
−1 −1 2
−2 −4 5
.Ejercicio 10. 1%.Seguimos trabajando con la transformacion lineal P del ejercicio anterior. SeaQ = I−P. Calculela matriz QE . Calcule Q2, PQ y QP multiplicando las matrices asociadas correspondientes.
Ejercicio 11. 2%.Construya una base C de im(Q) y una base D de ker(Q). Muestre que los vectores de C soncombinaciones lineales de los vectores de B y vice versa. Muestre que los vectores de D soncombinaciones lineales de los vectores de A y vice versa. ¿Que significa esto en terminos de lossubespacios im(P), ker(P), im(Q), ker(Q)?.
Ejercicio 12. 1%.
Sea v =[1, −4, −4
]>. Calcule los vectores u = P(v) y w = Q(v). Con comprobaciones
directas muestre que u+w = v, u ∈ ker(Q), w ∈ ker(P).
Ejercicio 13. 1%.Denotemos por F al sistema de vectores que se obtiene al juntar las bases A y B de im(P) y deker(P). Escriba la matriz de transicion de E a F (puede denotarla por UE ,F), calcule su inversay haga la comprobacion.
Ejercicio 14. 1%.Calcule las matrices PF y QF asociadas a las transformaciones lineales P y Q con respecto a labase F del ejercicio anterior. Verifique que
PF +QF = I, P2F = PF , Q2F = QF , PFQF = 0, QFPF = 0.
Tarea 5, variante 43, pagina 3 de 3
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Algebra II, licenciatura. Tarea 5. Variante 44.
Transformaciones lineales.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 1%.Demuestre que la funcion f : R2 → R2 definida mediante la siguiente formula no es transforma-cion lineal. Indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.
f(x) =
[−5x21 + 3x2
x1 + 2x2
].
Ejercicio 2. 2%.Demuestre que la funcion T : P2(R) → P2(R) definida mediante la siguiente regla es una trans-formacion lineal.
(Tf)(x) = (x2 + 3x− 1)f ′′(x) + (2x− 3)f ′(x) − 2f(x).
Calcule la matriz TE asociada a T respecto a la base canonica E = (e0, e1, e2). Para comprobacioncalcule Tg aplicando la regla de correspondencia de T , escriba el vector (Tg)E y calcule elproducto TEgE .
e0(x) = 1, e1(x) = x, e2(x) = x2.
g(x) = −3x2 + 2x+ 5.
Ejercicio 3. 2%.Demuestre que la funcion T : M2(R) → M2(R) definida mediante la siguiente regla es unatransformacion lineal.
T(X) = AX− XA, donde A =
[8 1
−9 −7
].
Calcule la matriz asociada a T respecto a la base E = (E1, E2, E3, E4). Para comprobar larespuesta calcule T(Y) de dos maneras diferentes:
1) usando la matriz asociada;
2) aplicando la regla de correspondencia de T .
E1 =
[1 0
0 0
], E2 =
[0 1
0 0
], E3 =
[0 0
1 0
], E4 =
[0 0
0 1
], Y =
[3 1
−4 −4
].
Tarea 5, variante 44, pagina 1 de 3
Ejercicio 4. 2%.Sean A y B algunas bases de un espacio vectorial V y sea T : V → V una transformacion lineal.Dadas la matriz TA asociada a T respecto a la base A y la matriz de cambio de base PA,B,calcule la matriz PB,A, compruebe la igualdad PA,BPB,A = I y calcule la matriz TB asociada a Trespecto a la base B.
TA =
4 −4 2
−1 1 −32 2 −5
, PA,B =
−1 2 0
1 1 2
1 3 3
.Ejercicio 5. 2%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Calcule las matrices T(F1), T(F2), T(F3), T(F4) yescriba la matriz TF asociada a la transformacion lineal T respecto a la base F = (F1, F2, F3, F4),donde
F1 =
[1 0
0 0
], F2 =
[0 0
1 0
], F3 =
[0 1
0 0
], F4 =
[0 0
0 1
].
Escriba las matrices de cambio PE ,F y PF ,E , compruebe que PE ,FPF ,E = I y PF ,ETEPE ,F = TF .
Ejercicio 6. 1%.Sean V y W espacios vectoriales reales, sea A = (a1, a2, a3, a4) una base de V y sea B =(b1, b2, b3, b4) una base de W. Se considera una transformacion lineal T : V →W dada por sumatriz asociada TB,A. Construya una base de ker(T) y una base de im(T). Calcule el rango y lanulidad de T . Haga las comprobaciones.
TB,A =
2 −3 3 2
1 −1 1 1
1 −2 2 1
3 −4 4 2
.Ejercicio 7. 1%; se baja 0.25% por cada error en la tabla.Se consideran tres transformaciones lineales S, T,U dadas por sus matrices asociadas respectoa ciertas bases:
SB,A =
5 2
3 1
2 1
, TD,C =
[4 5
−4 4
], UF ,E =
[−6 2 4 −4−3 1 2 −2
].
Llene la siguiente tabla:
S T U
dim(dominio)dim(contradominio)rango := dim(imagen)nulidad := dim(nucleo)¿es inyectiva?¿es suprayectiva?¿es invertible?
Tarea 5, variante 44, pagina 2 de 3
Ejercicio 8. 1%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Construya una base de ker(T) y una base deim(T). Halle el rango y la nulidad de T . Haga las comprobaciones.
Ejercicio 9. 2%.Sea P : R3 → R3 la transformacion lineal dada por su matriz asociada con respecto a la basecanonica E . Verifique que P2 = P. Construya una base A de im(P) y una base B de ker(P).Haga las comprobaciones.
PE =
−2 6 −6−2 5 −4−1 2 −1
.Ejercicio 10. 1%.Seguimos trabajando con la transformacion lineal P del ejercicio anterior. SeaQ = I−P. Calculela matriz QE . Calcule Q2, PQ y QP multiplicando las matrices asociadas correspondientes.
Ejercicio 11. 2%.Construya una base C de im(Q) y una base D de ker(Q). Muestre que los vectores de C soncombinaciones lineales de los vectores de B y vice versa. Muestre que los vectores de D soncombinaciones lineales de los vectores de A y vice versa. ¿Que significa esto en terminos de lossubespacios im(P), ker(P), im(Q), ker(Q)?.
Ejercicio 12. 1%.
Sea v =[−5, −4, 3
]>. Calcule los vectores u = P(v) y w = Q(v). Con comprobaciones
directas muestre que u+w = v, u ∈ ker(Q), w ∈ ker(P).
Ejercicio 13. 1%.Denotemos por F al sistema de vectores que se obtiene al juntar las bases A y B de im(P) y deker(P). Escriba la matriz de transicion de E a F (puede denotarla por UE ,F), calcule su inversay haga la comprobacion.
Ejercicio 14. 1%.Calcule las matrices PF y QF asociadas a las transformaciones lineales P y Q con respecto a labase F del ejercicio anterior. Verifique que
PF +QF = I, P2F = PF , Q2F = QF , PFQF = 0, QFPF = 0.
Tarea 5, variante 44, pagina 3 de 3
Engra
peaq
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No
dobl
e
Algebra II, licenciatura. Tarea 5. Variante 45.
Transformaciones lineales.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 1%.Demuestre que la funcion f : R2 → R2 definida mediante la siguiente formula no es transforma-cion lineal. Indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.
f(x) =
[−x1 + 4x2
−2x1 − 3x2 + 4
].
Ejercicio 2. 2%.Demuestre que la funcion T : P2(R) → P2(R) definida mediante la siguiente regla es una trans-formacion lineal.
(Tf)(x) = (2x2 − x− 2)f ′′(x) + (−3x+ 3)f ′(x) + 1f(x).
Calcule la matriz TE asociada a T respecto a la base canonica E = (e0, e1, e2). Para comprobacioncalcule Tg aplicando la regla de correspondencia de T , escriba el vector (Tg)E y calcule elproducto TEgE .
e0(x) = 1, e1(x) = x, e2(x) = x2.
g(x) = 3x2 − x+ 1.
Ejercicio 3. 2%.Demuestre que la funcion T : M2(R) → M2(R) definida mediante la siguiente regla es unatransformacion lineal.
T(X) = AX− XA, donde A =
[7 9
−8 8
].
Calcule la matriz asociada a T respecto a la base E = (E1, E2, E3, E4). Para comprobar larespuesta calcule T(Y) de dos maneras diferentes:
1) usando la matriz asociada;
2) aplicando la regla de correspondencia de T .
E1 =
[1 0
0 0
], E2 =
[0 1
0 0
], E3 =
[0 0
1 0
], E4 =
[0 0
0 1
], Y =
[4 −32 4
].
Tarea 5, variante 45, pagina 1 de 3
Ejercicio 4. 2%.Sean A y B algunas bases de un espacio vectorial V y sea T : V → V una transformacion lineal.Dadas la matriz TA asociada a T respecto a la base A y la matriz de cambio de base PA,B,calcule la matriz PB,A, compruebe la igualdad PA,BPB,A = I y calcule la matriz TB asociada a Trespecto a la base B.
TA =
5 −1 −4−1 2 1
1 4 −5
, PA,B =
3 2 1
−1 1 1
0 1 1
.Ejercicio 5. 2%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Calcule las matrices T(F1), T(F2), T(F3), T(F4) yescriba la matriz TF asociada a la transformacion lineal T respecto a la base F = (F1, F2, F3, F4),donde
F1 =
[1 0
0 0
], F2 =
[0 0
1 0
], F3 =
[0 1
0 0
], F4 =
[0 0
0 1
].
Escriba las matrices de cambio PE ,F y PF ,E , compruebe que PE ,FPF ,E = I y PF ,ETEPE ,F = TF .
Ejercicio 6. 1%.Sean V y W espacios vectoriales reales, sea A = (a1, a2, a3, a4) una base de V y sea B =(b1, b2, b3, b4) una base de W. Se considera una transformacion lineal T : V →W dada por sumatriz asociada TB,A. Construya una base de ker(T) y una base de im(T). Calcule el rango y lanulidad de T . Haga las comprobaciones.
TB,A =
4 −3 4 1
2 3 2 1
3 −4 2 3
3 0 3 1
.Ejercicio 7. 1%; se baja 0.25% por cada error en la tabla.Se consideran tres transformaciones lineales S, T,U dadas por sus matrices asociadas respectoa ciertas bases:
SB,A =
3 −2 −2 −40 0 4 5
3 0 0 −5
, TD,C =
1 1
−1 0
1 2
, UF ,E =
0 −3 −3−5 1 0
0 5 0
.Llene la siguiente tabla:
S T U
dim(dominio)dim(contradominio)rango := dim(imagen)nulidad := dim(nucleo)¿es inyectiva?¿es suprayectiva?¿es invertible?
Tarea 5, variante 45, pagina 2 de 3
Ejercicio 8. 1%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Construya una base de ker(T) y una base deim(T). Halle el rango y la nulidad de T . Haga las comprobaciones.
Ejercicio 9. 2%.Sea P : R3 → R3 la transformacion lineal dada por su matriz asociada con respecto a la basecanonica E . Verifique que P2 = P. Construya una base A de im(P) y una base B de ker(P).Haga las comprobaciones.
PE =
−1 −4 2
−1 −1 1
−3 −6 4
.Ejercicio 10. 1%.Seguimos trabajando con la transformacion lineal P del ejercicio anterior. SeaQ = I−P. Calculela matriz QE . Calcule Q2, PQ y QP multiplicando las matrices asociadas correspondientes.
Ejercicio 11. 2%.Construya una base C de im(Q) y una base D de ker(Q). Muestre que los vectores de C soncombinaciones lineales de los vectores de B y vice versa. Muestre que los vectores de D soncombinaciones lineales de los vectores de A y vice versa. ¿Que significa esto en terminos de lossubespacios im(P), ker(P), im(Q), ker(Q)?.
Ejercicio 12. 1%.
Sea v =[5, −2, 3
]>. Calcule los vectores u = P(v) y w = Q(v). Con comprobaciones
directas muestre que u+w = v, u ∈ ker(Q), w ∈ ker(P).
Ejercicio 13. 1%.Denotemos por F al sistema de vectores que se obtiene al juntar las bases A y B de im(P) y deker(P). Escriba la matriz de transicion de E a F (puede denotarla por UE ,F), calcule su inversay haga la comprobacion.
Ejercicio 14. 1%.Calcule las matrices PF y QF asociadas a las transformaciones lineales P y Q con respecto a labase F del ejercicio anterior. Verifique que
PF +QF = I, P2F = PF , Q2F = QF , PFQF = 0, QFPF = 0.
Tarea 5, variante 45, pagina 3 de 3
Engra
peaq
uı
No
dobl
e
Algebra II, licenciatura. Tarea 5. Variante 46.
Transformaciones lineales.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 1%.Demuestre que la funcion f : R2 → R2 definida mediante la siguiente formula no es transforma-cion lineal. Indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.
f(x) =
[−4x21 + 4x2
0
].
Ejercicio 2. 2%.Demuestre que la funcion T : P2(R) → P2(R) definida mediante la siguiente regla es una trans-formacion lineal.
(Tf)(x) = (3x2 + 2x− 1)f ′′(x) + (−3x− 2)f ′(x) + 1f(x).
Calcule la matriz TE asociada a T respecto a la base canonica E = (e0, e1, e2). Para comprobacioncalcule Tg aplicando la regla de correspondencia de T , escriba el vector (Tg)E y calcule elproducto TEgE .
e0(x) = 1, e1(x) = x, e2(x) = x2.
g(x) = 4x2 + x+ 3.
Ejercicio 3. 2%.Demuestre que la funcion T : M2(R) → M2(R) definida mediante la siguiente regla es unatransformacion lineal.
T(X) = AX− XA, donde A =
[9 1
−8 −2
].
Calcule la matriz asociada a T respecto a la base E = (E1, E2, E3, E4). Para comprobar larespuesta calcule T(Y) de dos maneras diferentes:
1) usando la matriz asociada;
2) aplicando la regla de correspondencia de T .
E1 =
[1 0
0 0
], E2 =
[0 1
0 0
], E3 =
[0 0
1 0
], E4 =
[0 0
0 1
], Y =
[3 1
−2 1
].
Tarea 5, variante 46, pagina 1 de 3
Ejercicio 4. 2%.Sean A y B algunas bases de un espacio vectorial V y sea T : V → V una transformacion lineal.Dadas la matriz TA asociada a T respecto a la base A y la matriz de cambio de base PA,B,calcule la matriz PB,A, compruebe la igualdad PA,BPB,A = I y calcule la matriz TB asociada a Trespecto a la base B.
TA =
0 2 1
2 1 1
1 1 −1
, PA,B =
1 1 1
−2 2 1
3 0 1
.Ejercicio 5. 2%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Calcule las matrices T(F1), T(F2), T(F3), T(F4) yescriba la matriz TF asociada a la transformacion lineal T respecto a la base F = (F1, F2, F3, F4),donde
F1 =
[1 0
0 0
], F2 =
[0 0
1 0
], F3 =
[0 1
0 0
], F4 =
[0 0
0 1
].
Escriba las matrices de cambio PE ,F y PF ,E , compruebe que PE ,FPF ,E = I y PF ,ETEPE ,F = TF .
Ejercicio 6. 1%.Sean V y W espacios vectoriales reales, sea A = (a1, a2, a3, a4) una base de V y sea B =(b1, b2, b3, b4) una base de W. Se considera una transformacion lineal T : V →W dada por sumatriz asociada TB,A. Construya una base de ker(T) y una base de im(T). Calcule el rango y lanulidad de T . Haga las comprobaciones.
TB,A =
2 4 1 1
3 2 1 2
−2 −1 1 3
4 0 1 3
.Ejercicio 7. 1%; se baja 0.25% por cada error en la tabla.Se consideran tres transformaciones lineales S, T,U dadas por sus matrices asociadas respectoa ciertas bases:
SB,A =
1 −1 −1 4
4 4 0 5
−2 0 0 −2
, TD,C =
−1 −22 3
3 4
, UF ,E =
[−1 −3 −1 1
−2 −6 −2 2
].
Llene la siguiente tabla:
S T U
dim(dominio)dim(contradominio)rango := dim(imagen)nulidad := dim(nucleo)¿es inyectiva?¿es suprayectiva?¿es invertible?
Tarea 5, variante 46, pagina 2 de 3
Ejercicio 8. 1%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Construya una base de ker(T) y una base deim(T). Halle el rango y la nulidad de T . Haga las comprobaciones.
Ejercicio 9. 2%.Sea P : R3 → R3 la transformacion lineal dada por su matriz asociada con respecto a la basecanonica E . Verifique que P2 = P. Construya una base A de im(P) y una base B de ker(P).Haga las comprobaciones.
PE =
−1 −4 2
−1 −1 1
−3 −6 4
.Ejercicio 10. 1%.Seguimos trabajando con la transformacion lineal P del ejercicio anterior. SeaQ = I−P. Calculela matriz QE . Calcule Q2, PQ y QP multiplicando las matrices asociadas correspondientes.
Ejercicio 11. 2%.Construya una base C de im(Q) y una base D de ker(Q). Muestre que los vectores de C soncombinaciones lineales de los vectores de B y vice versa. Muestre que los vectores de D soncombinaciones lineales de los vectores de A y vice versa. ¿Que significa esto en terminos de lossubespacios im(P), ker(P), im(Q), ker(Q)?.
Ejercicio 12. 1%.
Sea v =[−1, 3, −4
]>. Calcule los vectores u = P(v) y w = Q(v). Con comprobaciones
directas muestre que u+w = v, u ∈ ker(Q), w ∈ ker(P).
Ejercicio 13. 1%.Denotemos por F al sistema de vectores que se obtiene al juntar las bases A y B de im(P) y deker(P). Escriba la matriz de transicion de E a F (puede denotarla por UE ,F), calcule su inversay haga la comprobacion.
Ejercicio 14. 1%.Calcule las matrices PF y QF asociadas a las transformaciones lineales P y Q con respecto a labase F del ejercicio anterior. Verifique que
PF +QF = I, P2F = PF , Q2F = QF , PFQF = 0, QFPF = 0.
Tarea 5, variante 46, pagina 3 de 3
Engra
peaq
uı
No
dobl
e
Algebra II, licenciatura. Tarea 5. Variante 47.
Transformaciones lineales.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 1%.Demuestre que la funcion f : R2 → R2 definida mediante la siguiente formula no es transforma-cion lineal. Indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.
f(x) =
[−2x1 + x
22
x1 + 3x2
].
Ejercicio 2. 2%.Demuestre que la funcion T : P2(R) → P2(R) definida mediante la siguiente regla es una trans-formacion lineal.
(Tf)(x) = (3x2 + 2x− 2)f ′′(x) + (−3x+ 1)f ′(x) − 1f(x).
Calcule la matriz TE asociada a T respecto a la base canonica E = (e0, e1, e2). Para comprobacioncalcule Tg aplicando la regla de correspondencia de T , escriba el vector (Tg)E y calcule elproducto TEgE .
e0(x) = 1, e1(x) = x, e2(x) = x2.
g(x) = 3x2 + 5x− 2.
Ejercicio 3. 2%.Demuestre que la funcion T : M2(R) → M2(R) definida mediante la siguiente regla es unatransformacion lineal.
T(X) = AX− XA, donde A =
[−7 7
2 1
].
Calcule la matriz asociada a T respecto a la base E = (E1, E2, E3, E4). Para comprobar larespuesta calcule T(Y) de dos maneras diferentes:
1) usando la matriz asociada;
2) aplicando la regla de correspondencia de T .
E1 =
[1 0
0 0
], E2 =
[0 1
0 0
], E3 =
[0 0
1 0
], E4 =
[0 0
0 1
], Y =
[−1 4
2 4
].
Tarea 5, variante 47, pagina 1 de 3
Ejercicio 4. 2%.Sean A y B algunas bases de un espacio vectorial V y sea T : V → V una transformacion lineal.Dadas la matriz TA asociada a T respecto a la base A y la matriz de cambio de base PA,B,calcule la matriz PB,A, compruebe la igualdad PA,BPB,A = I y calcule la matriz TB asociada a Trespecto a la base B.
TA =
3 −3 −13 −3 5
4 −3 5
, PA,B =
1 1 1
1 1 2
1 0 1
.Ejercicio 5. 2%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Calcule las matrices T(F1), T(F2), T(F3), T(F4) yescriba la matriz TF asociada a la transformacion lineal T respecto a la base F = (F1, F2, F3, F4),donde
F1 =
[1 0
0 0
], F2 =
[0 0
1 0
], F3 =
[0 1
0 0
], F4 =
[0 0
0 1
].
Escriba las matrices de cambio PE ,F y PF ,E , compruebe que PE ,FPF ,E = I y PF ,ETEPE ,F = TF .
Ejercicio 6. 1%.Sean V y W espacios vectoriales reales, sea A = (a1, a2, a3, a4) una base de V y sea B =(b1, b2, b3, b4) una base de W. Se considera una transformacion lineal T : V →W dada por sumatriz asociada TB,A. Construya una base de ker(T) y una base de im(T). Calcule el rango y lanulidad de T . Haga las comprobaciones.
TB,A =
−3 1 −1 4
3 0 2 −22 1 3 4
1 1 2 3
.Ejercicio 7. 1%; se baja 0.25% por cada error en la tabla.Se consideran tres transformaciones lineales S, T,U dadas por sus matrices asociadas respectoa ciertas bases:
SB,A =
4 5 3 −1−5 1 5 0
4 0 −3 0
, TD,C =
[−2 1 1 1
4 −2 −2 −2
], UF ,E =
[2 −53 5
].
Llene la siguiente tabla:
S T U
dim(dominio)dim(contradominio)rango := dim(imagen)nulidad := dim(nucleo)¿es inyectiva?¿es suprayectiva?¿es invertible?
Tarea 5, variante 47, pagina 2 de 3
Ejercicio 8. 1%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Construya una base de ker(T) y una base deim(T). Halle el rango y la nulidad de T . Haga las comprobaciones.
Ejercicio 9. 2%.Sea P : R3 → R3 la transformacion lineal dada por su matriz asociada con respecto a la basecanonica E . Verifique que P2 = P. Construya una base A de im(P) y una base B de ker(P).Haga las comprobaciones.
PE =
−2 6 −6−2 5 −4−1 2 −1
.Ejercicio 10. 1%.Seguimos trabajando con la transformacion lineal P del ejercicio anterior. SeaQ = I−P. Calculela matriz QE . Calcule Q2, PQ y QP multiplicando las matrices asociadas correspondientes.
Ejercicio 11. 2%.Construya una base C de im(Q) y una base D de ker(Q). Muestre que los vectores de C soncombinaciones lineales de los vectores de B y vice versa. Muestre que los vectores de D soncombinaciones lineales de los vectores de A y vice versa. ¿Que significa esto en terminos de lossubespacios im(P), ker(P), im(Q), ker(Q)?.
Ejercicio 12. 1%.
Sea v =[−5, −3, 2
]>. Calcule los vectores u = P(v) y w = Q(v). Con comprobaciones
directas muestre que u+w = v, u ∈ ker(Q), w ∈ ker(P).
Ejercicio 13. 1%.Denotemos por F al sistema de vectores que se obtiene al juntar las bases A y B de im(P) y deker(P). Escriba la matriz de transicion de E a F (puede denotarla por UE ,F), calcule su inversay haga la comprobacion.
Ejercicio 14. 1%.Calcule las matrices PF y QF asociadas a las transformaciones lineales P y Q con respecto a labase F del ejercicio anterior. Verifique que
PF +QF = I, P2F = PF , Q2F = QF , PFQF = 0, QFPF = 0.
Tarea 5, variante 47, pagina 3 de 3
Engra
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No
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Algebra II, licenciatura. Tarea 5. Variante 48.
Transformaciones lineales.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 1%.Demuestre que la funcion f : R2 → R2 definida mediante la siguiente formula no es transforma-cion lineal. Indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.
f(x) =
[4x1 − 4x
22
x1 + 4x2
].
Ejercicio 2. 2%.Demuestre que la funcion T : P2(R) → P2(R) definida mediante la siguiente regla es una trans-formacion lineal.
(Tf)(x) = (−x2 − 3x+ 1)f ′′(x) + (−2x+ 2)f ′(x) + 3f(x).
Calcule la matriz TE asociada a T respecto a la base canonica E = (e0, e1, e2). Para comprobacioncalcule Tg aplicando la regla de correspondencia de T , escriba el vector (Tg)E y calcule elproducto TEgE .
e0(x) = 1, e1(x) = x, e2(x) = x2.
g(x) = 4x2 − 4x+ 2.
Ejercicio 3. 2%.Demuestre que la funcion T : M2(R) → M2(R) definida mediante la siguiente regla es unatransformacion lineal.
T(X) = AX− XA, donde A =
[4 5
2 8
].
Calcule la matriz asociada a T respecto a la base E = (E1, E2, E3, E4). Para comprobar larespuesta calcule T(Y) de dos maneras diferentes:
1) usando la matriz asociada;
2) aplicando la regla de correspondencia de T .
E1 =
[1 0
0 0
], E2 =
[0 1
0 0
], E3 =
[0 0
1 0
], E4 =
[0 0
0 1
], Y =
[−5 5
1 −1
].
Tarea 5, variante 48, pagina 1 de 3
Ejercicio 4. 2%.Sean A y B algunas bases de un espacio vectorial V y sea T : V → V una transformacion lineal.Dadas la matriz TA asociada a T respecto a la base A y la matriz de cambio de base PA,B,calcule la matriz PB,A, compruebe la igualdad PA,BPB,A = I y calcule la matriz TB asociada a Trespecto a la base B.
TA =
1 3 3
−2 5 3
5 −1 −4
, PA,B =
4 3 3
1 1 1
2 1 2
.Ejercicio 5. 2%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Calcule las matrices T(F1), T(F2), T(F3), T(F4) yescriba la matriz TF asociada a la transformacion lineal T respecto a la base F = (F1, F2, F3, F4),donde
F1 =
[1 0
0 0
], F2 =
[0 0
1 0
], F3 =
[0 1
0 0
], F4 =
[0 0
0 1
].
Escriba las matrices de cambio PE ,F y PF ,E , compruebe que PE ,FPF ,E = I y PF ,ETEPE ,F = TF .
Ejercicio 6. 1%.Sean V y W espacios vectoriales reales, sea A = (a1, a2, a3, a4) una base de V y sea B =(b1, b2, b3, b4) una base de W. Se considera una transformacion lineal T : V →W dada por sumatriz asociada TB,A. Construya una base de ker(T) y una base de im(T). Calcule el rango y lanulidad de T . Haga las comprobaciones.
TB,A =
3 2 3 4
1 1 1 1
−3 1 1 0
−4 3 4 3
.Ejercicio 7. 1%; se baja 0.25% por cada error en la tabla.Se consideran tres transformaciones lineales S, T,U dadas por sus matrices asociadas respectoa ciertas bases:
SB,A =
1 5 1
0 0 0
−2 2 0
2 0 0
, TD,C =
−6 3
6 −3−2 1
, UF ,E =
[3 −1 2 1
4 −1 3 −2
].
Llene la siguiente tabla:
S T U
dim(dominio)dim(contradominio)rango := dim(imagen)nulidad := dim(nucleo)¿es inyectiva?¿es suprayectiva?¿es invertible?
Tarea 5, variante 48, pagina 2 de 3
Ejercicio 8. 1%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Construya una base de ker(T) y una base deim(T). Halle el rango y la nulidad de T . Haga las comprobaciones.
Ejercicio 9. 2%.Sea P : R3 → R3 la transformacion lineal dada por su matriz asociada con respecto a la basecanonica E . Verifique que P2 = P. Construya una base A de im(P) y una base B de ker(P).Haga las comprobaciones.
PE =
−1 −1 1
−4 −1 2
−6 −3 4
.Ejercicio 10. 1%.Seguimos trabajando con la transformacion lineal P del ejercicio anterior. SeaQ = I−P. Calculela matriz QE . Calcule Q2, PQ y QP multiplicando las matrices asociadas correspondientes.
Ejercicio 11. 2%.Construya una base C de im(Q) y una base D de ker(Q). Muestre que los vectores de C soncombinaciones lineales de los vectores de B y vice versa. Muestre que los vectores de D soncombinaciones lineales de los vectores de A y vice versa. ¿Que significa esto en terminos de lossubespacios im(P), ker(P), im(Q), ker(Q)?.
Ejercicio 12. 1%.
Sea v =[1, 1, 5
]>. Calcule los vectores u = P(v) y w = Q(v). Con comprobaciones directas
muestre que u+w = v, u ∈ ker(Q), w ∈ ker(P).
Ejercicio 13. 1%.Denotemos por F al sistema de vectores que se obtiene al juntar las bases A y B de im(P) y deker(P). Escriba la matriz de transicion de E a F (puede denotarla por UE ,F), calcule su inversay haga la comprobacion.
Ejercicio 14. 1%.Calcule las matrices PF y QF asociadas a las transformaciones lineales P y Q con respecto a labase F del ejercicio anterior. Verifique que
PF +QF = I, P2F = PF , Q2F = QF , PFQF = 0, QFPF = 0.
Tarea 5, variante 48, pagina 3 de 3
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e
Algebra II, licenciatura. Tarea 5. Variante 49.
Transformaciones lineales.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 1%.Demuestre que la funcion f : R2 → R2 definida mediante la siguiente formula no es transforma-cion lineal. Indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.
f(x) =
[−5x1 + x2
−3x21
].
Ejercicio 2. 2%.Demuestre que la funcion T : P2(R) → P2(R) definida mediante la siguiente regla es una trans-formacion lineal.
(Tf)(x) = (−2x2 − x+ 2)f ′′(x) + (x+ 3)f ′(x) − 3f(x).
Calcule la matriz TE asociada a T respecto a la base canonica E = (e0, e1, e2). Para comprobacioncalcule Tg aplicando la regla de correspondencia de T , escriba el vector (Tg)E y calcule elproducto TEgE .
e0(x) = 1, e1(x) = x, e2(x) = x2.
g(x) = 2x2 + 4x+ 5.
Ejercicio 3. 2%.Demuestre que la funcion T : M2(R) → M2(R) definida mediante la siguiente regla es unatransformacion lineal.
T(X) = AX− XA, donde A =
[8 9
−8 5
].
Calcule la matriz asociada a T respecto a la base E = (E1, E2, E3, E4). Para comprobar larespuesta calcule T(Y) de dos maneras diferentes:
1) usando la matriz asociada;
2) aplicando la regla de correspondencia de T .
E1 =
[1 0
0 0
], E2 =
[0 1
0 0
], E3 =
[0 0
1 0
], E4 =
[0 0
0 1
], Y =
[3 −33 3
].
Tarea 5, variante 49, pagina 1 de 3
Ejercicio 4. 2%.Sean A y B algunas bases de un espacio vectorial V y sea T : V → V una transformacion lineal.Dadas la matriz TA asociada a T respecto a la base A y la matriz de cambio de base PA,B,calcule la matriz PB,A, compruebe la igualdad PA,BPB,A = I y calcule la matriz TB asociada a Trespecto a la base B.
TA =
3 0 4
−4 2 2
4 3 −1
, PA,B =
2 1 0
−1 1 2
1 1 1
.Ejercicio 5. 2%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Calcule las matrices T(F1), T(F2), T(F3), T(F4) yescriba la matriz TF asociada a la transformacion lineal T respecto a la base F = (F1, F2, F3, F4),donde
F1 =
[1 0
0 0
], F2 =
[0 0
1 0
], F3 =
[0 1
0 0
], F4 =
[0 0
0 1
].
Escriba las matrices de cambio PE ,F y PF ,E , compruebe que PE ,FPF ,E = I y PF ,ETEPE ,F = TF .
Ejercicio 6. 1%.Sean V y W espacios vectoriales reales, sea A = (a1, a2, a3, a4) una base de V y sea B =(b1, b2, b3, b4) una base de W. Se considera una transformacion lineal T : V →W dada por sumatriz asociada TB,A. Construya una base de ker(T) y una base de im(T). Calcule el rango y lanulidad de T . Haga las comprobaciones.
TB,A =
4 1 1 0
−1 1 1 1
−4 3 4 1
−2 2 2 2
.Ejercicio 7. 1%; se baja 0.25% por cada error en la tabla.Se consideran tres transformaciones lineales S, T,U dadas por sus matrices asociadas respectoa ciertas bases:
SB,A =
[3 −1
−3 3
], TD,C =
[6 4 −2 6
−3 −2 1 −3
], UF ,E =
3 4
1 1
2 3
.Llene la siguiente tabla:
S T U
dim(dominio)dim(contradominio)rango := dim(imagen)nulidad := dim(nucleo)¿es inyectiva?¿es suprayectiva?¿es invertible?
Tarea 5, variante 49, pagina 2 de 3
Ejercicio 8. 1%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Construya una base de ker(T) y una base deim(T). Halle el rango y la nulidad de T . Haga las comprobaciones.
Ejercicio 9. 2%.Sea P : R3 → R3 la transformacion lineal dada por su matriz asociada con respecto a la basecanonica E . Verifique que P2 = P. Construya una base A de im(P) y una base B de ker(P).Haga las comprobaciones.
PE =
−1 −4 2
−1 −1 1
−3 −6 4
.Ejercicio 10. 1%.Seguimos trabajando con la transformacion lineal P del ejercicio anterior. SeaQ = I−P. Calculela matriz QE . Calcule Q2, PQ y QP multiplicando las matrices asociadas correspondientes.
Ejercicio 11. 2%.Construya una base C de im(Q) y una base D de ker(Q). Muestre que los vectores de C soncombinaciones lineales de los vectores de B y vice versa. Muestre que los vectores de D soncombinaciones lineales de los vectores de A y vice versa. ¿Que significa esto en terminos de lossubespacios im(P), ker(P), im(Q), ker(Q)?.
Ejercicio 12. 1%.
Sea v =[3, 3, 4
]>. Calcule los vectores u = P(v) y w = Q(v). Con comprobaciones directas
muestre que u+w = v, u ∈ ker(Q), w ∈ ker(P).
Ejercicio 13. 1%.Denotemos por F al sistema de vectores que se obtiene al juntar las bases A y B de im(P) y deker(P). Escriba la matriz de transicion de E a F (puede denotarla por UE ,F), calcule su inversay haga la comprobacion.
Ejercicio 14. 1%.Calcule las matrices PF y QF asociadas a las transformaciones lineales P y Q con respecto a labase F del ejercicio anterior. Verifique que
PF +QF = I, P2F = PF , Q2F = QF , PFQF = 0, QFPF = 0.
Tarea 5, variante 49, pagina 3 de 3
Engra
peaq
uı
No
dobl
e
Algebra II, licenciatura. Tarea 5. Variante 50.
Transformaciones lineales.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 1%.Demuestre que la funcion f : R2 → R2 definida mediante la siguiente formula no es transforma-cion lineal. Indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.
f(x) =
[5x1 − 5x2
−3x21 + 3x2
].
Ejercicio 2. 2%.Demuestre que la funcion T : P2(R) → P2(R) definida mediante la siguiente regla es una trans-formacion lineal.
(Tf)(x) = (3x2 + 2x− 2)f ′′(x) + (x− 1)f ′(x) − 3f(x).
Calcule la matriz TE asociada a T respecto a la base canonica E = (e0, e1, e2). Para comprobacioncalcule Tg aplicando la regla de correspondencia de T , escriba el vector (Tg)E y calcule elproducto TEgE .
e0(x) = 1, e1(x) = x, e2(x) = x2.
g(x) = −3x2 + 2x+ 4.
Ejercicio 3. 2%.Demuestre que la funcion T : M2(R) → M2(R) definida mediante la siguiente regla es unatransformacion lineal.
T(X) = AX− XA, donde A =
[−8 5
−1 4
].
Calcule la matriz asociada a T respecto a la base E = (E1, E2, E3, E4). Para comprobar larespuesta calcule T(Y) de dos maneras diferentes:
1) usando la matriz asociada;
2) aplicando la regla de correspondencia de T .
E1 =
[1 0
0 0
], E2 =
[0 1
0 0
], E3 =
[0 0
1 0
], E4 =
[0 0
0 1
], Y =
[2 −31 −5
].
Tarea 5, variante 50, pagina 1 de 3
Ejercicio 4. 2%.Sean A y B algunas bases de un espacio vectorial V y sea T : V → V una transformacion lineal.Dadas la matriz TA asociada a T respecto a la base A y la matriz de cambio de base PA,B,calcule la matriz PB,A, compruebe la igualdad PA,BPB,A = I y calcule la matriz TB asociada a Trespecto a la base B.
TA =
4 −3 2
4 −3 1
1 1 −1
, PA,B =
1 1 1
2 1 1
4 2 1
.Ejercicio 5. 2%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Calcule las matrices T(F1), T(F2), T(F3), T(F4) yescriba la matriz TF asociada a la transformacion lineal T respecto a la base F = (F1, F2, F3, F4),donde
F1 =
[1 0
0 0
], F2 =
[0 0
1 0
], F3 =
[0 1
0 0
], F4 =
[0 0
0 1
].
Escriba las matrices de cambio PE ,F y PF ,E , compruebe que PE ,FPF ,E = I y PF ,ETEPE ,F = TF .
Ejercicio 6. 1%.Sean V y W espacios vectoriales reales, sea A = (a1, a2, a3, a4) una base de V y sea B =(b1, b2, b3, b4) una base de W. Se considera una transformacion lineal T : V →W dada por sumatriz asociada TB,A. Construya una base de ker(T) y una base de im(T). Calcule el rango y lanulidad de T . Haga las comprobaciones.
TB,A =
0 −2 1 1
1 2 1 1
2 2 3 3
−3 3 2 1
.Ejercicio 7. 1%; se baja 0.25% por cada error en la tabla.Se consideran tres transformaciones lineales S, T,U dadas por sus matrices asociadas respectoa ciertas bases:
SB,A =
−3 4 −2−3 0 −20 0 −3
, TD,C =
[−3 1 −2 −16 −2 4 2
], UF ,E =
2 −1 −5 −10 −4 0 4
0 1 4 0
.Llene la siguiente tabla:
S T U
dim(dominio)dim(contradominio)rango := dim(imagen)nulidad := dim(nucleo)¿es inyectiva?¿es suprayectiva?¿es invertible?
Tarea 5, variante 50, pagina 2 de 3
Ejercicio 8. 1%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Construya una base de ker(T) y una base deim(T). Halle el rango y la nulidad de T . Haga las comprobaciones.
Ejercicio 9. 2%.Sea P : R3 → R3 la transformacion lineal dada por su matriz asociada con respecto a la basecanonica E . Verifique que P2 = P. Construya una base A de im(P) y una base B de ker(P).Haga las comprobaciones.
PE =
−2 6 −6−2 5 −4−1 2 −1
.Ejercicio 10. 1%.Seguimos trabajando con la transformacion lineal P del ejercicio anterior. SeaQ = I−P. Calculela matriz QE . Calcule Q2, PQ y QP multiplicando las matrices asociadas correspondientes.
Ejercicio 11. 2%.Construya una base C de im(Q) y una base D de ker(Q). Muestre que los vectores de C soncombinaciones lineales de los vectores de B y vice versa. Muestre que los vectores de D soncombinaciones lineales de los vectores de A y vice versa. ¿Que significa esto en terminos de lossubespacios im(P), ker(P), im(Q), ker(Q)?.
Ejercicio 12. 1%.
Sea v =[1, −5, 2
]>. Calcule los vectores u = P(v) y w = Q(v). Con comprobaciones
directas muestre que u+w = v, u ∈ ker(Q), w ∈ ker(P).
Ejercicio 13. 1%.Denotemos por F al sistema de vectores que se obtiene al juntar las bases A y B de im(P) y deker(P). Escriba la matriz de transicion de E a F (puede denotarla por UE ,F), calcule su inversay haga la comprobacion.
Ejercicio 14. 1%.Calcule las matrices PF y QF asociadas a las transformaciones lineales P y Q con respecto a labase F del ejercicio anterior. Verifique que
PF +QF = I, P2F = PF , Q2F = QF , PFQF = 0, QFPF = 0.
Tarea 5, variante 50, pagina 3 de 3
Engra
peaq
uı
No
dobl
e
Algebra II, licenciatura. Tarea 5. Variante 51.
Transformaciones lineales.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 1%.Demuestre que la funcion f : R2 → R2 definida mediante la siguiente formula no es transforma-cion lineal. Indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.
f(x) =
[3x1 − x2
3x21 − 2x2
].
Ejercicio 2. 2%.Demuestre que la funcion T : P2(R) → P2(R) definida mediante la siguiente regla es una trans-formacion lineal.
(Tf)(x) = (−2x2 + 2x− 3)f ′′(x) + (x− 1)f ′(x) + 3f(x).
Calcule la matriz TE asociada a T respecto a la base canonica E = (e0, e1, e2). Para comprobacioncalcule Tg aplicando la regla de correspondencia de T , escriba el vector (Tg)E y calcule elproducto TEgE .
e0(x) = 1, e1(x) = x, e2(x) = x2.
g(x) = 4x2 − 4x+ 3.
Ejercicio 3. 2%.Demuestre que la funcion T : M2(R) → M2(R) definida mediante la siguiente regla es unatransformacion lineal.
T(X) = AX− XA, donde A =
[−2 −1−8 −4
].
Calcule la matriz asociada a T respecto a la base E = (E1, E2, E3, E4). Para comprobar larespuesta calcule T(Y) de dos maneras diferentes:
1) usando la matriz asociada;
2) aplicando la regla de correspondencia de T .
E1 =
[1 0
0 0
], E2 =
[0 1
0 0
], E3 =
[0 0
1 0
], E4 =
[0 0
0 1
], Y =
[−5 1
4 −5
].
Tarea 5, variante 51, pagina 1 de 3
Ejercicio 4. 2%.Sean A y B algunas bases de un espacio vectorial V y sea T : V → V una transformacion lineal.Dadas la matriz TA asociada a T respecto a la base A y la matriz de cambio de base PA,B,calcule la matriz PB,A, compruebe la igualdad PA,BPB,A = I y calcule la matriz TB asociada a Trespecto a la base B.
TA =
1 3 −41 −4 1
1 −5 1
, PA,B =
3 1 0
2 1 1
2 1 2
.Ejercicio 5. 2%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Calcule las matrices T(F1), T(F2), T(F3), T(F4) yescriba la matriz TF asociada a la transformacion lineal T respecto a la base F = (F1, F2, F3, F4),donde
F1 =
[1 0
0 0
], F2 =
[0 0
1 0
], F3 =
[0 1
0 0
], F4 =
[0 0
0 1
].
Escriba las matrices de cambio PE ,F y PF ,E , compruebe que PE ,FPF ,E = I y PF ,ETEPE ,F = TF .
Ejercicio 6. 1%.Sean V y W espacios vectoriales reales, sea A = (a1, a2, a3, a4) una base de V y sea B =(b1, b2, b3, b4) una base de W. Se considera una transformacion lineal T : V →W dada por sumatriz asociada TB,A. Construya una base de ker(T) y una base de im(T). Calcule el rango y lanulidad de T . Haga las comprobaciones.
TB,A =
3 2 2 3
−2 −1 1 −11 1 3 2
1 1 0 1
.Ejercicio 7. 1%; se baja 0.25% por cada error en la tabla.Se consideran tres transformaciones lineales S, T,U dadas por sus matrices asociadas respectoa ciertas bases:
SB,A =
2 4
2 4
1 2
, TD,C =
−2 −2 1
0 0 0
0 4 −10 0 −4
, UF ,E =
[−1 −52 5
].
Llene la siguiente tabla:
S T U
dim(dominio)dim(contradominio)rango := dim(imagen)nulidad := dim(nucleo)¿es inyectiva?¿es suprayectiva?¿es invertible?
Tarea 5, variante 51, pagina 2 de 3
Ejercicio 8. 1%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Construya una base de ker(T) y una base deim(T). Halle el rango y la nulidad de T . Haga las comprobaciones.
Ejercicio 9. 2%.Sea P : R3 → R3 la transformacion lineal dada por su matriz asociada con respecto a la basecanonica E . Verifique que P2 = P. Construya una base A de im(P) y una base B de ker(P).Haga las comprobaciones.
PE =
−1 −4 2
−1 −1 1
−3 −6 4
.Ejercicio 10. 1%.Seguimos trabajando con la transformacion lineal P del ejercicio anterior. SeaQ = I−P. Calculela matriz QE . Calcule Q2, PQ y QP multiplicando las matrices asociadas correspondientes.
Ejercicio 11. 2%.Construya una base C de im(Q) y una base D de ker(Q). Muestre que los vectores de C soncombinaciones lineales de los vectores de B y vice versa. Muestre que los vectores de D soncombinaciones lineales de los vectores de A y vice versa. ¿Que significa esto en terminos de lossubespacios im(P), ker(P), im(Q), ker(Q)?.
Ejercicio 12. 1%.
Sea v =[−3, 1, 3
]>. Calcule los vectores u = P(v) y w = Q(v). Con comprobaciones
directas muestre que u+w = v, u ∈ ker(Q), w ∈ ker(P).
Ejercicio 13. 1%.Denotemos por F al sistema de vectores que se obtiene al juntar las bases A y B de im(P) y deker(P). Escriba la matriz de transicion de E a F (puede denotarla por UE ,F), calcule su inversay haga la comprobacion.
Ejercicio 14. 1%.Calcule las matrices PF y QF asociadas a las transformaciones lineales P y Q con respecto a labase F del ejercicio anterior. Verifique que
PF +QF = I, P2F = PF , Q2F = QF , PFQF = 0, QFPF = 0.
Tarea 5, variante 51, pagina 3 de 3
Engra
peaq
uı
No
dobl
e
Algebra II, licenciatura. Tarea 5. Variante 52.
Transformaciones lineales.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 1%.Demuestre que la funcion f : R2 → R2 definida mediante la siguiente formula no es transforma-cion lineal. Indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.
f(x) =
[x1 + 2x2
−3x1x2
].
Ejercicio 2. 2%.Demuestre que la funcion T : P2(R) → P2(R) definida mediante la siguiente regla es una trans-formacion lineal.
(Tf)(x) = (x2 − x− 2)f ′′(x) + (3x+ 2)f ′(x) − 3f(x).
Calcule la matriz TE asociada a T respecto a la base canonica E = (e0, e1, e2). Para comprobacioncalcule Tg aplicando la regla de correspondencia de T , escriba el vector (Tg)E y calcule elproducto TEgE .
e0(x) = 1, e1(x) = x, e2(x) = x2.
g(x) = −3x2 + 4x+ 2.
Ejercicio 3. 2%.Demuestre que la funcion T : M2(R) → M2(R) definida mediante la siguiente regla es unatransformacion lineal.
T(X) = AX− XA, donde A =
[−9 6
7 −1
].
Calcule la matriz asociada a T respecto a la base E = (E1, E2, E3, E4). Para comprobar larespuesta calcule T(Y) de dos maneras diferentes:
1) usando la matriz asociada;
2) aplicando la regla de correspondencia de T .
E1 =
[1 0
0 0
], E2 =
[0 1
0 0
], E3 =
[0 0
1 0
], E4 =
[0 0
0 1
], Y =
[−5 2
2 −3
].
Tarea 5, variante 52, pagina 1 de 3
Ejercicio 4. 2%.Sean A y B algunas bases de un espacio vectorial V y sea T : V → V una transformacion lineal.Dadas la matriz TA asociada a T respecto a la base A y la matriz de cambio de base PA,B,calcule la matriz PB,A, compruebe la igualdad PA,BPB,A = I y calcule la matriz TB asociada a Trespecto a la base B.
TA =
3 −3 2
0 3 1
4 5 1
, PA,B =
1 1 1
0 1 1
−3 1 2
.Ejercicio 5. 2%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Calcule las matrices T(F1), T(F2), T(F3), T(F4) yescriba la matriz TF asociada a la transformacion lineal T respecto a la base F = (F1, F2, F3, F4),donde
F1 =
[1 0
0 0
], F2 =
[0 0
1 0
], F3 =
[0 1
0 0
], F4 =
[0 0
0 1
].
Escriba las matrices de cambio PE ,F y PF ,E , compruebe que PE ,FPF ,E = I y PF ,ETEPE ,F = TF .
Ejercicio 6. 1%.Sean V y W espacios vectoriales reales, sea A = (a1, a2, a3, a4) una base de V y sea B =(b1, b2, b3, b4) una base de W. Se considera una transformacion lineal T : V →W dada por sumatriz asociada TB,A. Construya una base de ker(T) y una base de im(T). Calcule el rango y lanulidad de T . Haga las comprobaciones.
TB,A =
0 1 1 −11 3 3 4
1 3 4 −1−1 −4 −4 −3
.Ejercicio 7. 1%; se baja 0.25% por cada error en la tabla.Se consideran tres transformaciones lineales S, T,U dadas por sus matrices asociadas respectoa ciertas bases:
SB,A =
[4 −2
−4 1
], TD,C =
−1 −21 2
2 4
, UF ,E =
0 0 0
1 5 5
0 1 −30 0 −3
.Llene la siguiente tabla:
S T U
dim(dominio)dim(contradominio)rango := dim(imagen)nulidad := dim(nucleo)¿es inyectiva?¿es suprayectiva?¿es invertible?
Tarea 5, variante 52, pagina 2 de 3
Ejercicio 8. 1%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Construya una base de ker(T) y una base deim(T). Halle el rango y la nulidad de T . Haga las comprobaciones.
Ejercicio 9. 2%.Sea P : R3 → R3 la transformacion lineal dada por su matriz asociada con respecto a la basecanonica E . Verifique que P2 = P. Construya una base A de im(P) y una base B de ker(P).Haga las comprobaciones.
PE =
−1 −4 2
−1 −1 1
−3 −6 4
.Ejercicio 10. 1%.Seguimos trabajando con la transformacion lineal P del ejercicio anterior. SeaQ = I−P. Calculela matriz QE . Calcule Q2, PQ y QP multiplicando las matrices asociadas correspondientes.
Ejercicio 11. 2%.Construya una base C de im(Q) y una base D de ker(Q). Muestre que los vectores de C soncombinaciones lineales de los vectores de B y vice versa. Muestre que los vectores de D soncombinaciones lineales de los vectores de A y vice versa. ¿Que significa esto en terminos de lossubespacios im(P), ker(P), im(Q), ker(Q)?.
Ejercicio 12. 1%.
Sea v =[−4, 5, −2
]>. Calcule los vectores u = P(v) y w = Q(v). Con comprobaciones
directas muestre que u+w = v, u ∈ ker(Q), w ∈ ker(P).
Ejercicio 13. 1%.Denotemos por F al sistema de vectores que se obtiene al juntar las bases A y B de im(P) y deker(P). Escriba la matriz de transicion de E a F (puede denotarla por UE ,F), calcule su inversay haga la comprobacion.
Ejercicio 14. 1%.Calcule las matrices PF y QF asociadas a las transformaciones lineales P y Q con respecto a labase F del ejercicio anterior. Verifique que
PF +QF = I, P2F = PF , Q2F = QF , PFQF = 0, QFPF = 0.
Tarea 5, variante 52, pagina 3 de 3
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Algebra II, licenciatura. Tarea 5. Variante 53.
Transformaciones lineales.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 1%.Demuestre que la funcion f : R2 → R2 definida mediante la siguiente formula no es transforma-cion lineal. Indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.
f(x) =
[−x1 + 5x2
−x21
].
Ejercicio 2. 2%.Demuestre que la funcion T : P2(R) → P2(R) definida mediante la siguiente regla es una trans-formacion lineal.
(Tf)(x) = (−x2 − 2x+ 2)f ′′(x) + (3x+ 1)f ′(x) − 3f(x).
Calcule la matriz TE asociada a T respecto a la base canonica E = (e0, e1, e2). Para comprobacioncalcule Tg aplicando la regla de correspondencia de T , escriba el vector (Tg)E y calcule elproducto TEgE .
e0(x) = 1, e1(x) = x, e2(x) = x2.
g(x) = 2x2 + 5x+ 4.
Ejercicio 3. 2%.Demuestre que la funcion T : M2(R) → M2(R) definida mediante la siguiente regla es unatransformacion lineal.
T(X) = AX− XA, donde A =
[3 −3
−6 2
].
Calcule la matriz asociada a T respecto a la base E = (E1, E2, E3, E4). Para comprobar larespuesta calcule T(Y) de dos maneras diferentes:
1) usando la matriz asociada;
2) aplicando la regla de correspondencia de T .
E1 =
[1 0
0 0
], E2 =
[0 1
0 0
], E3 =
[0 0
1 0
], E4 =
[0 0
0 1
], Y =
[−1 3
4 −1
].
Tarea 5, variante 53, pagina 1 de 3
Ejercicio 4. 2%.Sean A y B algunas bases de un espacio vectorial V y sea T : V → V una transformacion lineal.Dadas la matriz TA asociada a T respecto a la base A y la matriz de cambio de base PA,B,calcule la matriz PB,A, compruebe la igualdad PA,BPB,A = I y calcule la matriz TB asociada a Trespecto a la base B.
TA =
5 0 −25 1 −2
−5 3 1
, PA,B =
1 1 1
2 4 3
1 0 1
.Ejercicio 5. 2%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Calcule las matrices T(F1), T(F2), T(F3), T(F4) yescriba la matriz TF asociada a la transformacion lineal T respecto a la base F = (F1, F2, F3, F4),donde
F1 =
[1 0
0 0
], F2 =
[0 0
1 0
], F3 =
[0 1
0 0
], F4 =
[0 0
0 1
].
Escriba las matrices de cambio PE ,F y PF ,E , compruebe que PE ,FPF ,E = I y PF ,ETEPE ,F = TF .
Ejercicio 6. 1%.Sean V y W espacios vectoriales reales, sea A = (a1, a2, a3, a4) una base de V y sea B =(b1, b2, b3, b4) una base de W. Se considera una transformacion lineal T : V →W dada por sumatriz asociada TB,A. Construya una base de ker(T) y una base de im(T). Calcule el rango y lanulidad de T . Haga las comprobaciones.
TB,A =
−3 −3 3 2
1 −2 2 3
1 1 1 2
2 −1 0 1
.Ejercicio 7. 1%; se baja 0.25% por cada error en la tabla.Se consideran tres transformaciones lineales S, T,U dadas por sus matrices asociadas respectoa ciertas bases:
SB,A =
[2 3 0 1
1 2 −3 1
], TD,C =
[−5 1
−5 2
], UF ,E =
−2 −41 2
−2 −4
.Llene la siguiente tabla:
S T U
dim(dominio)dim(contradominio)rango := dim(imagen)nulidad := dim(nucleo)¿es inyectiva?¿es suprayectiva?¿es invertible?
Tarea 5, variante 53, pagina 2 de 3
Ejercicio 8. 1%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Construya una base de ker(T) y una base deim(T). Halle el rango y la nulidad de T . Haga las comprobaciones.
Ejercicio 9. 2%.Sea P : R3 → R3 la transformacion lineal dada por su matriz asociada con respecto a la basecanonica E . Verifique que P2 = P. Construya una base A de im(P) y una base B de ker(P).Haga las comprobaciones.
PE =
−2 6 −6−2 5 −4−1 2 −1
.Ejercicio 10. 1%.Seguimos trabajando con la transformacion lineal P del ejercicio anterior. SeaQ = I−P. Calculela matriz QE . Calcule Q2, PQ y QP multiplicando las matrices asociadas correspondientes.
Ejercicio 11. 2%.Construya una base C de im(Q) y una base D de ker(Q). Muestre que los vectores de C soncombinaciones lineales de los vectores de B y vice versa. Muestre que los vectores de D soncombinaciones lineales de los vectores de A y vice versa. ¿Que significa esto en terminos de lossubespacios im(P), ker(P), im(Q), ker(Q)?.
Ejercicio 12. 1%.
Sea v =[2, 1, −2
]>. Calcule los vectores u = P(v) y w = Q(v). Con comprobaciones
directas muestre que u+w = v, u ∈ ker(Q), w ∈ ker(P).
Ejercicio 13. 1%.Denotemos por F al sistema de vectores que se obtiene al juntar las bases A y B de im(P) y deker(P). Escriba la matriz de transicion de E a F (puede denotarla por UE ,F), calcule su inversay haga la comprobacion.
Ejercicio 14. 1%.Calcule las matrices PF y QF asociadas a las transformaciones lineales P y Q con respecto a labase F del ejercicio anterior. Verifique que
PF +QF = I, P2F = PF , Q2F = QF , PFQF = 0, QFPF = 0.
Tarea 5, variante 53, pagina 3 de 3
Engra
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e
Algebra II, licenciatura. Tarea 5. Variante 54.
Transformaciones lineales.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 1%.Demuestre que la funcion f : R2 → R2 definida mediante la siguiente formula no es transforma-cion lineal. Indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.
f(x) =
[3x1 − 5x2
4x21
].
Ejercicio 2. 2%.Demuestre que la funcion T : P2(R) → P2(R) definida mediante la siguiente regla es una trans-formacion lineal.
(Tf)(x) = (−3x2 + 2x− 2)f ′′(x) + (3x+ 1)f ′(x) − 1f(x).
Calcule la matriz TE asociada a T respecto a la base canonica E = (e0, e1, e2). Para comprobacioncalcule Tg aplicando la regla de correspondencia de T , escriba el vector (Tg)E y calcule elproducto TEgE .
e0(x) = 1, e1(x) = x, e2(x) = x2.
g(x) = −4x2 + 4x+ 1.
Ejercicio 3. 2%.Demuestre que la funcion T : M2(R) → M2(R) definida mediante la siguiente regla es unatransformacion lineal.
T(X) = AX− XA, donde A =
[7 8
6 −2
].
Calcule la matriz asociada a T respecto a la base E = (E1, E2, E3, E4). Para comprobar larespuesta calcule T(Y) de dos maneras diferentes:
1) usando la matriz asociada;
2) aplicando la regla de correspondencia de T .
E1 =
[1 0
0 0
], E2 =
[0 1
0 0
], E3 =
[0 0
1 0
], E4 =
[0 0
0 1
], Y =
[−1 1
1 −3
].
Tarea 5, variante 54, pagina 1 de 3
Ejercicio 4. 2%.Sean A y B algunas bases de un espacio vectorial V y sea T : V → V una transformacion lineal.Dadas la matriz TA asociada a T respecto a la base A y la matriz de cambio de base PA,B,calcule la matriz PB,A, compruebe la igualdad PA,BPB,A = I y calcule la matriz TB asociada a Trespecto a la base B.
TA =
−2 3 −15 3 −34 3 −3
, PA,B =
1 1 1
2 2 1
0 1 −1
.Ejercicio 5. 2%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Calcule las matrices T(F1), T(F2), T(F3), T(F4) yescriba la matriz TF asociada a la transformacion lineal T respecto a la base F = (F1, F2, F3, F4),donde
F1 =
[1 0
0 0
], F2 =
[0 0
1 0
], F3 =
[0 1
0 0
], F4 =
[0 0
0 1
].
Escriba las matrices de cambio PE ,F y PF ,E , compruebe que PE ,FPF ,E = I y PF ,ETEPE ,F = TF .
Ejercicio 6. 1%.Sean V y W espacios vectoriales reales, sea A = (a1, a2, a3, a4) una base de V y sea B =(b1, b2, b3, b4) una base de W. Se considera una transformacion lineal T : V →W dada por sumatriz asociada TB,A. Construya una base de ker(T) y una base de im(T). Calcule el rango y lanulidad de T . Haga las comprobaciones.
TB,A =
−2 −3 −4 3
1 −1 1 2
2 1 3 1
0 2 1 −4
.Ejercicio 7. 1%; se baja 0.25% por cada error en la tabla.Se consideran tres transformaciones lineales S, T,U dadas por sus matrices asociadas respectoa ciertas bases:
SB,A =
[3 −23 −1
], TD,C =
[2 −2 −2 6
1 −1 −1 3
], UF ,E =
4 0 2 −5−4 −4 2 0
−1 0 5 0
.Llene la siguiente tabla:
S T U
dim(dominio)dim(contradominio)rango := dim(imagen)nulidad := dim(nucleo)¿es inyectiva?¿es suprayectiva?¿es invertible?
Tarea 5, variante 54, pagina 2 de 3
Ejercicio 8. 1%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Construya una base de ker(T) y una base deim(T). Halle el rango y la nulidad de T . Haga las comprobaciones.
Ejercicio 9. 2%.Sea P : R3 → R3 la transformacion lineal dada por su matriz asociada con respecto a la basecanonica E . Verifique que P2 = P. Construya una base A de im(P) y una base B de ker(P).Haga las comprobaciones.
PE =
−1 2 −1−4 5 −2−6 6 −2
.Ejercicio 10. 1%.Seguimos trabajando con la transformacion lineal P del ejercicio anterior. SeaQ = I−P. Calculela matriz QE . Calcule Q2, PQ y QP multiplicando las matrices asociadas correspondientes.
Ejercicio 11. 2%.Construya una base C de im(Q) y una base D de ker(Q). Muestre que los vectores de C soncombinaciones lineales de los vectores de B y vice versa. Muestre que los vectores de D soncombinaciones lineales de los vectores de A y vice versa. ¿Que significa esto en terminos de lossubespacios im(P), ker(P), im(Q), ker(Q)?.
Ejercicio 12. 1%.
Sea v =[2, 1, −3
]>. Calcule los vectores u = P(v) y w = Q(v). Con comprobaciones
directas muestre que u+w = v, u ∈ ker(Q), w ∈ ker(P).
Ejercicio 13. 1%.Denotemos por F al sistema de vectores que se obtiene al juntar las bases A y B de im(P) y deker(P). Escriba la matriz de transicion de E a F (puede denotarla por UE ,F), calcule su inversay haga la comprobacion.
Ejercicio 14. 1%.Calcule las matrices PF y QF asociadas a las transformaciones lineales P y Q con respecto a labase F del ejercicio anterior. Verifique que
PF +QF = I, P2F = PF , Q2F = QF , PFQF = 0, QFPF = 0.
Tarea 5, variante 54, pagina 3 de 3
Engra
peaq
uı
No
dobl
e
Algebra II, licenciatura. Tarea 5. Variante 55.
Transformaciones lineales.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 1%.Demuestre que la funcion f : R2 → R2 definida mediante la siguiente formula no es transforma-cion lineal. Indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.
f(x) =
[−2x1 − 5x2
5x1x2
].
Ejercicio 2. 2%.Demuestre que la funcion T : P2(R) → P2(R) definida mediante la siguiente regla es una trans-formacion lineal.
(Tf)(x) = (−3x2 + 3x− 1)f ′′(x) + (x+ 2)f ′(x) − 2f(x).
Calcule la matriz TE asociada a T respecto a la base canonica E = (e0, e1, e2). Para comprobacioncalcule Tg aplicando la regla de correspondencia de T , escriba el vector (Tg)E y calcule elproducto TEgE .
e0(x) = 1, e1(x) = x, e2(x) = x2.
g(x) = 2x2 + 3x+ 1.
Ejercicio 3. 2%.Demuestre que la funcion T : M2(R) → M2(R) definida mediante la siguiente regla es unatransformacion lineal.
T(X) = AX− XA, donde A =
[−5 −84 7
].
Calcule la matriz asociada a T respecto a la base E = (E1, E2, E3, E4). Para comprobar larespuesta calcule T(Y) de dos maneras diferentes:
1) usando la matriz asociada;
2) aplicando la regla de correspondencia de T .
E1 =
[1 0
0 0
], E2 =
[0 1
0 0
], E3 =
[0 0
1 0
], E4 =
[0 0
0 1
], Y =
[−1 −41 4
].
Tarea 5, variante 55, pagina 1 de 3
Ejercicio 4. 2%.Sean A y B algunas bases de un espacio vectorial V y sea T : V → V una transformacion lineal.Dadas la matriz TA asociada a T respecto a la base A y la matriz de cambio de base PA,B,calcule la matriz PB,A, compruebe la igualdad PA,BPB,A = I y calcule la matriz TB asociada a Trespecto a la base B.
TA =
4 −1 1
1 3 −23 −1 −3
, PA,B =
3 3 4
2 2 3
1 0 1
.Ejercicio 5. 2%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Calcule las matrices T(F1), T(F2), T(F3), T(F4) yescriba la matriz TF asociada a la transformacion lineal T respecto a la base F = (F1, F2, F3, F4),donde
F1 =
[1 0
0 0
], F2 =
[0 0
1 0
], F3 =
[0 1
0 0
], F4 =
[0 0
0 1
].
Escriba las matrices de cambio PE ,F y PF ,E , compruebe que PE ,FPF ,E = I y PF ,ETEPE ,F = TF .
Ejercicio 6. 1%.Sean V y W espacios vectoriales reales, sea A = (a1, a2, a3, a4) una base de V y sea B =(b1, b2, b3, b4) una base de W. Se considera una transformacion lineal T : V →W dada por sumatriz asociada TB,A. Construya una base de ker(T) y una base de im(T). Calcule el rango y lanulidad de T . Haga las comprobaciones.
TB,A =
1 3 −4 0
−2 1 −1 −31 −2 −3 2
1 1 4 1
.Ejercicio 7. 1%; se baja 0.25% por cada error en la tabla.Se consideran tres transformaciones lineales S, T,U dadas por sus matrices asociadas respectoa ciertas bases:
SB,A =
−2 1
−4 2
−4 2
, TD,C =
−2 −1 −10 −4 −10 −1 0
, UF ,E =
−3 −2 −50 4 −40 −3 0
0 0 0
.Llene la siguiente tabla:
S T U
dim(dominio)dim(contradominio)rango := dim(imagen)nulidad := dim(nucleo)¿es inyectiva?¿es suprayectiva?¿es invertible?
Tarea 5, variante 55, pagina 2 de 3
Ejercicio 8. 1%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Construya una base de ker(T) y una base deim(T). Halle el rango y la nulidad de T . Haga las comprobaciones.
Ejercicio 9. 2%.Sea P : R3 → R3 la transformacion lineal dada por su matriz asociada con respecto a la basecanonica E . Verifique que P2 = P. Construya una base A de im(P) y una base B de ker(P).Haga las comprobaciones.
PE =
−2 6 −6−2 5 −4−1 2 −1
.Ejercicio 10. 1%.Seguimos trabajando con la transformacion lineal P del ejercicio anterior. SeaQ = I−P. Calculela matriz QE . Calcule Q2, PQ y QP multiplicando las matrices asociadas correspondientes.
Ejercicio 11. 2%.Construya una base C de im(Q) y una base D de ker(Q). Muestre que los vectores de C soncombinaciones lineales de los vectores de B y vice versa. Muestre que los vectores de D soncombinaciones lineales de los vectores de A y vice versa. ¿Que significa esto en terminos de lossubespacios im(P), ker(P), im(Q), ker(Q)?.
Ejercicio 12. 1%.
Sea v =[2, 3, 3
]>. Calcule los vectores u = P(v) y w = Q(v). Con comprobaciones directas
muestre que u+w = v, u ∈ ker(Q), w ∈ ker(P).
Ejercicio 13. 1%.Denotemos por F al sistema de vectores que se obtiene al juntar las bases A y B de im(P) y deker(P). Escriba la matriz de transicion de E a F (puede denotarla por UE ,F), calcule su inversay haga la comprobacion.
Ejercicio 14. 1%.Calcule las matrices PF y QF asociadas a las transformaciones lineales P y Q con respecto a labase F del ejercicio anterior. Verifique que
PF +QF = I, P2F = PF , Q2F = QF , PFQF = 0, QFPF = 0.
Tarea 5, variante 55, pagina 3 de 3
Engra
peaq
uı
No
dobl
e
Algebra II, licenciatura. Tarea 5. Variante 56.
Transformaciones lineales.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 1%.Demuestre que la funcion f : R2 → R2 definida mediante la siguiente formula no es transforma-cion lineal. Indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.
f(x) =
[−4x2
−5x21 − 2x2
].
Ejercicio 2. 2%.Demuestre que la funcion T : P2(R) → P2(R) definida mediante la siguiente regla es una trans-formacion lineal.
(Tf)(x) = (3x2 + 2x− 1)f ′′(x) + (−3x− 2)f ′(x) + 1f(x).
Calcule la matriz TE asociada a T respecto a la base canonica E = (e0, e1, e2). Para comprobacioncalcule Tg aplicando la regla de correspondencia de T , escriba el vector (Tg)E y calcule elproducto TEgE .
e0(x) = 1, e1(x) = x, e2(x) = x2.
g(x) = x2 + 4x− 2.
Ejercicio 3. 2%.Demuestre que la funcion T : M2(R) → M2(R) definida mediante la siguiente regla es unatransformacion lineal.
T(X) = AX− XA, donde A =
[−6 −87 4
].
Calcule la matriz asociada a T respecto a la base E = (E1, E2, E3, E4). Para comprobar larespuesta calcule T(Y) de dos maneras diferentes:
1) usando la matriz asociada;
2) aplicando la regla de correspondencia de T .
E1 =
[1 0
0 0
], E2 =
[0 1
0 0
], E3 =
[0 0
1 0
], E4 =
[0 0
0 1
], Y =
[2 3
−2 −1
].
Tarea 5, variante 56, pagina 1 de 3
Ejercicio 4. 2%.Sean A y B algunas bases de un espacio vectorial V y sea T : V → V una transformacion lineal.Dadas la matriz TA asociada a T respecto a la base A y la matriz de cambio de base PA,B,calcule la matriz PB,A, compruebe la igualdad PA,BPB,A = I y calcule la matriz TB asociada a Trespecto a la base B.
TA =
−2 0 4
−2 2 2
−3 1 3
, PA,B =
1 3 2
1 4 2
0 2 1
.Ejercicio 5. 2%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Calcule las matrices T(F1), T(F2), T(F3), T(F4) yescriba la matriz TF asociada a la transformacion lineal T respecto a la base F = (F1, F2, F3, F4),donde
F1 =
[1 0
0 0
], F2 =
[0 0
1 0
], F3 =
[0 1
0 0
], F4 =
[0 0
0 1
].
Escriba las matrices de cambio PE ,F y PF ,E , compruebe que PE ,FPF ,E = I y PF ,ETEPE ,F = TF .
Ejercicio 6. 1%.Sean V y W espacios vectoriales reales, sea A = (a1, a2, a3, a4) una base de V y sea B =(b1, b2, b3, b4) una base de W. Se considera una transformacion lineal T : V →W dada por sumatriz asociada TB,A. Construya una base de ker(T) y una base de im(T). Calcule el rango y lanulidad de T . Haga las comprobaciones.
TB,A =
2 3 3 −41 3 2 −22 1 2 −11 0 1 −2
.Ejercicio 7. 1%; se baja 0.25% por cada error en la tabla.Se consideran tres transformaciones lineales S, T,U dadas por sus matrices asociadas respectoa ciertas bases:
SB,A =
3 −3 −5 3
−5 3 1 0
0 3 −4 0
, TD,C =
[4 −4 −2 2
2 −2 −1 1
], UF ,E =
2 3
3 4
2 2
.Llene la siguiente tabla:
S T U
dim(dominio)dim(contradominio)rango := dim(imagen)nulidad := dim(nucleo)¿es inyectiva?¿es suprayectiva?¿es invertible?
Tarea 5, variante 56, pagina 2 de 3
Ejercicio 8. 1%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Construya una base de ker(T) y una base deim(T). Halle el rango y la nulidad de T . Haga las comprobaciones.
Ejercicio 9. 2%.Sea P : R3 → R3 la transformacion lineal dada por su matriz asociada con respecto a la basecanonica E . Verifique que P2 = P. Construya una base A de im(P) y una base B de ker(P).Haga las comprobaciones.
PE =
5 2 −42 2 −26 3 −5
.Ejercicio 10. 1%.Seguimos trabajando con la transformacion lineal P del ejercicio anterior. SeaQ = I−P. Calculela matriz QE . Calcule Q2, PQ y QP multiplicando las matrices asociadas correspondientes.
Ejercicio 11. 2%.Construya una base C de im(Q) y una base D de ker(Q). Muestre que los vectores de C soncombinaciones lineales de los vectores de B y vice versa. Muestre que los vectores de D soncombinaciones lineales de los vectores de A y vice versa. ¿Que significa esto en terminos de lossubespacios im(P), ker(P), im(Q), ker(Q)?.
Ejercicio 12. 1%.
Sea v =[2, −1, −6
]>. Calcule los vectores u = P(v) y w = Q(v). Con comprobaciones
directas muestre que u+w = v, u ∈ ker(Q), w ∈ ker(P).
Ejercicio 13. 1%.Denotemos por F al sistema de vectores que se obtiene al juntar las bases A y B de im(P) y deker(P). Escriba la matriz de transicion de E a F (puede denotarla por UE ,F), calcule su inversay haga la comprobacion.
Ejercicio 14. 1%.Calcule las matrices PF y QF asociadas a las transformaciones lineales P y Q con respecto a labase F del ejercicio anterior. Verifique que
PF +QF = I, P2F = PF , Q2F = QF , PFQF = 0, QFPF = 0.
Tarea 5, variante 56, pagina 3 de 3
Engra
peaq
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No
dobl
e
Algebra II, licenciatura. Tarea 5. Variante 57.
Transformaciones lineales.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 1%.Demuestre que la funcion f : R2 → R2 definida mediante la siguiente formula no es transforma-cion lineal. Indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.
f(x) =
[−2x1 − 2
−x1 − x2
].
Ejercicio 2. 2%.Demuestre que la funcion T : P2(R) → P2(R) definida mediante la siguiente regla es una trans-formacion lineal.
(Tf)(x) = (3x2 − 2x+ 2)f ′′(x) + (x− 3)f ′(x) − 1f(x).
Calcule la matriz TE asociada a T respecto a la base canonica E = (e0, e1, e2). Para comprobacioncalcule Tg aplicando la regla de correspondencia de T , escriba el vector (Tg)E y calcule elproducto TEgE .
e0(x) = 1, e1(x) = x, e2(x) = x2.
g(x) = 2x2 − 4x+ 3.
Ejercicio 3. 2%.Demuestre que la funcion T : M2(R) → M2(R) definida mediante la siguiente regla es unatransformacion lineal.
T(X) = AX− XA, donde A =
[9 6
3 −7
].
Calcule la matriz asociada a T respecto a la base E = (E1, E2, E3, E4). Para comprobar larespuesta calcule T(Y) de dos maneras diferentes:
1) usando la matriz asociada;
2) aplicando la regla de correspondencia de T .
E1 =
[1 0
0 0
], E2 =
[0 1
0 0
], E3 =
[0 0
1 0
], E4 =
[0 0
0 1
], Y =
[−2 1
1 −5
].
Tarea 5, variante 57, pagina 1 de 3
Ejercicio 4. 2%.Sean A y B algunas bases de un espacio vectorial V y sea T : V → V una transformacion lineal.Dadas la matriz TA asociada a T respecto a la base A y la matriz de cambio de base PA,B,calcule la matriz PB,A, compruebe la igualdad PA,BPB,A = I y calcule la matriz TB asociada a Trespecto a la base B.
TA =
0 2 4
2 −2 1
1 4 1
, PA,B =
1 2 1
0 1 1
1 2 2
.Ejercicio 5. 2%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Calcule las matrices T(F1), T(F2), T(F3), T(F4) yescriba la matriz TF asociada a la transformacion lineal T respecto a la base F = (F1, F2, F3, F4),donde
F1 =
[1 0
0 0
], F2 =
[0 0
1 0
], F3 =
[0 1
0 0
], F4 =
[0 0
0 1
].
Escriba las matrices de cambio PE ,F y PF ,E , compruebe que PE ,FPF ,E = I y PF ,ETEPE ,F = TF .
Ejercicio 6. 1%.Sean V y W espacios vectoriales reales, sea A = (a1, a2, a3, a4) una base de V y sea B =(b1, b2, b3, b4) una base de W. Se considera una transformacion lineal T : V →W dada por sumatriz asociada TB,A. Construya una base de ker(T) y una base de im(T). Calcule el rango y lanulidad de T . Haga las comprobaciones.
TB,A =
−3 3 2 2
−1 2 2 1
−3 2 3 1
2 1 −2 1
.Ejercicio 7. 1%; se baja 0.25% por cada error en la tabla.Se consideran tres transformaciones lineales S, T,U dadas por sus matrices asociadas respectoa ciertas bases:
SB,A =
[4 −34 −5
], TD,C =
1 −22 −4
−2 4
, UF ,E =
[2 4 2 1
3 3 −4 1
].
Llene la siguiente tabla:
S T U
dim(dominio)dim(contradominio)rango := dim(imagen)nulidad := dim(nucleo)¿es inyectiva?¿es suprayectiva?¿es invertible?
Tarea 5, variante 57, pagina 2 de 3
Ejercicio 8. 1%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Construya una base de ker(T) y una base deim(T). Halle el rango y la nulidad de T . Haga las comprobaciones.
Ejercicio 9. 2%.Sea P : R3 → R3 la transformacion lineal dada por su matriz asociada con respecto a la basecanonica E . Verifique que P2 = P. Construya una base A de im(P) y una base B de ker(P).Haga las comprobaciones.
PE =
4 −6 −31 −1 −12 −4 −1
.Ejercicio 10. 1%.Seguimos trabajando con la transformacion lineal P del ejercicio anterior. SeaQ = I−P. Calculela matriz QE . Calcule Q2, PQ y QP multiplicando las matrices asociadas correspondientes.
Ejercicio 11. 2%.Construya una base C de im(Q) y una base D de ker(Q). Muestre que los vectores de C soncombinaciones lineales de los vectores de B y vice versa. Muestre que los vectores de D soncombinaciones lineales de los vectores de A y vice versa. ¿Que significa esto en terminos de lossubespacios im(P), ker(P), im(Q), ker(Q)?.
Ejercicio 12. 1%.
Sea v =[−1, 4, 5
]>. Calcule los vectores u = P(v) y w = Q(v). Con comprobaciones
directas muestre que u+w = v, u ∈ ker(Q), w ∈ ker(P).
Ejercicio 13. 1%.Denotemos por F al sistema de vectores que se obtiene al juntar las bases A y B de im(P) y deker(P). Escriba la matriz de transicion de E a F (puede denotarla por UE ,F), calcule su inversay haga la comprobacion.
Ejercicio 14. 1%.Calcule las matrices PF y QF asociadas a las transformaciones lineales P y Q con respecto a labase F del ejercicio anterior. Verifique que
PF +QF = I, P2F = PF , Q2F = QF , PFQF = 0, QFPF = 0.
Tarea 5, variante 57, pagina 3 de 3
Engra
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e
Algebra II, licenciatura. Tarea 5. Variante 58.
Transformaciones lineales.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 1%.Demuestre que la funcion f : R2 → R2 definida mediante la siguiente formula no es transforma-cion lineal. Indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.
f(x) =
[−4x1 − 2x2
3x1 − 4x22
].
Ejercicio 2. 2%.Demuestre que la funcion T : P2(R) → P2(R) definida mediante la siguiente regla es una trans-formacion lineal.
(Tf)(x) = (−x2 − 3x+ 1)f ′′(x) + (2x− 2)f ′(x) + 3f(x).
Calcule la matriz TE asociada a T respecto a la base canonica E = (e0, e1, e2). Para comprobacioncalcule Tg aplicando la regla de correspondencia de T , escriba el vector (Tg)E y calcule elproducto TEgE .
e0(x) = 1, e1(x) = x, e2(x) = x2.
g(x) = x2 + 2x− 2.
Ejercicio 3. 2%.Demuestre que la funcion T : M2(R) → M2(R) definida mediante la siguiente regla es unatransformacion lineal.
T(X) = AX− XA, donde A =
[−8 −42 −9
].
Calcule la matriz asociada a T respecto a la base E = (E1, E2, E3, E4). Para comprobar larespuesta calcule T(Y) de dos maneras diferentes:
1) usando la matriz asociada;
2) aplicando la regla de correspondencia de T .
E1 =
[1 0
0 0
], E2 =
[0 1
0 0
], E3 =
[0 0
1 0
], E4 =
[0 0
0 1
], Y =
[1 −11 −1
].
Tarea 5, variante 58, pagina 1 de 3
Ejercicio 4. 2%.Sean A y B algunas bases de un espacio vectorial V y sea T : V → V una transformacion lineal.Dadas la matriz TA asociada a T respecto a la base A y la matriz de cambio de base PA,B,calcule la matriz PB,A, compruebe la igualdad PA,BPB,A = I y calcule la matriz TB asociada a Trespecto a la base B.
TA =
−4 5 1
−5 5 −2−5 1 1
, PA,B =
1 2 0
1 2 1
1 1 1
.Ejercicio 5. 2%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Calcule las matrices T(F1), T(F2), T(F3), T(F4) yescriba la matriz TF asociada a la transformacion lineal T respecto a la base F = (F1, F2, F3, F4),donde
F1 =
[1 0
0 0
], F2 =
[0 0
1 0
], F3 =
[0 1
0 0
], F4 =
[0 0
0 1
].
Escriba las matrices de cambio PE ,F y PF ,E , compruebe que PE ,FPF ,E = I y PF ,ETEPE ,F = TF .
Ejercicio 6. 1%.Sean V y W espacios vectoriales reales, sea A = (a1, a2, a3, a4) una base de V y sea B =(b1, b2, b3, b4) una base de W. Se considera una transformacion lineal T : V →W dada por sumatriz asociada TB,A. Construya una base de ker(T) y una base de im(T). Calcule el rango y lanulidad de T . Haga las comprobaciones.
TB,A =
3 −2 −1 −1
−2 3 2 2
−2 1 0 1
3 2 3 1
.Ejercicio 7. 1%; se baja 0.25% por cada error en la tabla.Se consideran tres transformaciones lineales S, T,U dadas por sus matrices asociadas respectoa ciertas bases:
SB,A =
[2 −3
−4 5
], TD,C =
[6 2 6 6
3 1 3 3
], UF ,E =
2 3
−2 −23 4
.Llene la siguiente tabla:
S T U
dim(dominio)dim(contradominio)rango := dim(imagen)nulidad := dim(nucleo)¿es inyectiva?¿es suprayectiva?¿es invertible?
Tarea 5, variante 58, pagina 2 de 3
Ejercicio 8. 1%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Construya una base de ker(T) y una base deim(T). Halle el rango y la nulidad de T . Haga las comprobaciones.
Ejercicio 9. 2%.Sea P : R3 → R3 la transformacion lineal dada por su matriz asociada con respecto a la basecanonica E . Verifique que P2 = P. Construya una base A de im(P) y una base B de ker(P).Haga las comprobaciones.
PE =
5 −4 2
6 −5 3
2 −2 2
.Ejercicio 10. 1%.Seguimos trabajando con la transformacion lineal P del ejercicio anterior. SeaQ = I−P. Calculela matriz QE . Calcule Q2, PQ y QP multiplicando las matrices asociadas correspondientes.
Ejercicio 11. 2%.Construya una base C de im(Q) y una base D de ker(Q). Muestre que los vectores de C soncombinaciones lineales de los vectores de B y vice versa. Muestre que los vectores de D soncombinaciones lineales de los vectores de A y vice versa. ¿Que significa esto en terminos de lossubespacios im(P), ker(P), im(Q), ker(Q)?.
Ejercicio 12. 1%.
Sea v =[−6, 2, 1
]>. Calcule los vectores u = P(v) y w = Q(v). Con comprobaciones
directas muestre que u+w = v, u ∈ ker(Q), w ∈ ker(P).
Ejercicio 13. 1%.Denotemos por F al sistema de vectores que se obtiene al juntar las bases A y B de im(P) y deker(P). Escriba la matriz de transicion de E a F (puede denotarla por UE ,F), calcule su inversay haga la comprobacion.
Ejercicio 14. 1%.Calcule las matrices PF y QF asociadas a las transformaciones lineales P y Q con respecto a labase F del ejercicio anterior. Verifique que
PF +QF = I, P2F = PF , Q2F = QF , PFQF = 0, QFPF = 0.
Tarea 5, variante 58, pagina 3 de 3
Engra
peaq
uı
No
dobl
e
Algebra II, licenciatura. Tarea 5. Variante 59.
Transformaciones lineales.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 1%.Demuestre que la funcion f : R2 → R2 definida mediante la siguiente formula no es transforma-cion lineal. Indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.
f(x) =
[x1
3x1 + 5x22
].
Ejercicio 2. 2%.Demuestre que la funcion T : P2(R) → P2(R) definida mediante la siguiente regla es una trans-formacion lineal.
(Tf)(x) = (−x2 + 2x+ 1)f ′′(x) + (3x− 2)f ′(x) − 3f(x).
Calcule la matriz TE asociada a T respecto a la base canonica E = (e0, e1, e2). Para comprobacioncalcule Tg aplicando la regla de correspondencia de T , escriba el vector (Tg)E y calcule elproducto TEgE .
e0(x) = 1, e1(x) = x, e2(x) = x2.
g(x) = 3x2 + x− 2.
Ejercicio 3. 2%.Demuestre que la funcion T : M2(R) → M2(R) definida mediante la siguiente regla es unatransformacion lineal.
T(X) = AX− XA, donde A =
[−4 7
4 5
].
Calcule la matriz asociada a T respecto a la base E = (E1, E2, E3, E4). Para comprobar larespuesta calcule T(Y) de dos maneras diferentes:
1) usando la matriz asociada;
2) aplicando la regla de correspondencia de T .
E1 =
[1 0
0 0
], E2 =
[0 1
0 0
], E3 =
[0 0
1 0
], E4 =
[0 0
0 1
], Y =
[−4 5
2 2
].
Tarea 5, variante 59, pagina 1 de 3
Ejercicio 4. 2%.Sean A y B algunas bases de un espacio vectorial V y sea T : V → V una transformacion lineal.Dadas la matriz TA asociada a T respecto a la base A y la matriz de cambio de base PA,B,calcule la matriz PB,A, compruebe la igualdad PA,BPB,A = I y calcule la matriz TB asociada a Trespecto a la base B.
TA =
2 4 −21 2 −12 −2 2
, PA,B =
1 2 1
0 1 1
1 2 2
.Ejercicio 5. 2%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Calcule las matrices T(F1), T(F2), T(F3), T(F4) yescriba la matriz TF asociada a la transformacion lineal T respecto a la base F = (F1, F2, F3, F4),donde
F1 =
[1 0
0 0
], F2 =
[0 0
1 0
], F3 =
[0 1
0 0
], F4 =
[0 0
0 1
].
Escriba las matrices de cambio PE ,F y PF ,E , compruebe que PE ,FPF ,E = I y PF ,ETEPE ,F = TF .
Ejercicio 6. 1%.Sean V y W espacios vectoriales reales, sea A = (a1, a2, a3, a4) una base de V y sea B =(b1, b2, b3, b4) una base de W. Se considera una transformacion lineal T : V →W dada por sumatriz asociada TB,A. Construya una base de ker(T) y una base de im(T). Calcule el rango y lanulidad de T . Haga las comprobaciones.
TB,A =
0 2 2 −13 3 −2 1
1 4 4 −12 1 −4 1
.Ejercicio 7. 1%; se baja 0.25% por cada error en la tabla.Se consideran tres transformaciones lineales S, T,U dadas por sus matrices asociadas respectoa ciertas bases:
SB,A =
[4 6 −2 2
2 3 −1 1
], TD,C =
[5 −2
−4 1
], UF ,E =
5 2 −1 5
−3 −1 −1 0
5 0 −1 0
.Llene la siguiente tabla:
S T U
dim(dominio)dim(contradominio)rango := dim(imagen)nulidad := dim(nucleo)¿es inyectiva?¿es suprayectiva?¿es invertible?
Tarea 5, variante 59, pagina 2 de 3
Ejercicio 8. 1%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Construya una base de ker(T) y una base deim(T). Halle el rango y la nulidad de T . Haga las comprobaciones.
Ejercicio 9. 2%.Sea P : R3 → R3 la transformacion lineal dada por su matriz asociada con respecto a la basecanonica E . Verifique que P2 = P. Construya una base A de im(P) y una base B de ker(P).Haga las comprobaciones.
PE =
−2 −6 6
−1 −1 2
−2 −4 5
.Ejercicio 10. 1%.Seguimos trabajando con la transformacion lineal P del ejercicio anterior. SeaQ = I−P. Calculela matriz QE . Calcule Q2, PQ y QP multiplicando las matrices asociadas correspondientes.
Ejercicio 11. 2%.Construya una base C de im(Q) y una base D de ker(Q). Muestre que los vectores de C soncombinaciones lineales de los vectores de B y vice versa. Muestre que los vectores de D soncombinaciones lineales de los vectores de A y vice versa. ¿Que significa esto en terminos de lossubespacios im(P), ker(P), im(Q), ker(Q)?.
Ejercicio 12. 1%.
Sea v =[5, −3, −3
]>. Calcule los vectores u = P(v) y w = Q(v). Con comprobaciones
directas muestre que u+w = v, u ∈ ker(Q), w ∈ ker(P).
Ejercicio 13. 1%.Denotemos por F al sistema de vectores que se obtiene al juntar las bases A y B de im(P) y deker(P). Escriba la matriz de transicion de E a F (puede denotarla por UE ,F), calcule su inversay haga la comprobacion.
Ejercicio 14. 1%.Calcule las matrices PF y QF asociadas a las transformaciones lineales P y Q con respecto a labase F del ejercicio anterior. Verifique que
PF +QF = I, P2F = PF , Q2F = QF , PFQF = 0, QFPF = 0.
Tarea 5, variante 59, pagina 3 de 3
Engra
peaq
uı
No
dobl
e
Algebra II, licenciatura. Tarea 5. Variante 60.
Transformaciones lineales.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 1%.Demuestre que la funcion f : R2 → R2 definida mediante la siguiente formula no es transforma-cion lineal. Indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.
f(x) =
[−x1 − 3x2
3x1 + 3x2 − 2
].
Ejercicio 2. 2%.Demuestre que la funcion T : P2(R) → P2(R) definida mediante la siguiente regla es una trans-formacion lineal.
(Tf)(x) = (−2x2 + 3x+ 2)f ′′(x) + (x− 1)f ′(x) − 3f(x).
Calcule la matriz TE asociada a T respecto a la base canonica E = (e0, e1, e2). Para comprobacioncalcule Tg aplicando la regla de correspondencia de T , escriba el vector (Tg)E y calcule elproducto TEgE .
e0(x) = 1, e1(x) = x, e2(x) = x2.
g(x) = 3x2 + 2x− 1.
Ejercicio 3. 2%.Demuestre que la funcion T : M2(R) → M2(R) definida mediante la siguiente regla es unatransformacion lineal.
T(X) = AX− XA, donde A =
[2 9
8 −1
].
Calcule la matriz asociada a T respecto a la base E = (E1, E2, E3, E4). Para comprobar larespuesta calcule T(Y) de dos maneras diferentes:
1) usando la matriz asociada;
2) aplicando la regla de correspondencia de T .
E1 =
[1 0
0 0
], E2 =
[0 1
0 0
], E3 =
[0 0
1 0
], E4 =
[0 0
0 1
], Y =
[−4 3
2 −4
].
Tarea 5, variante 60, pagina 1 de 3
Ejercicio 4. 2%.Sean A y B algunas bases de un espacio vectorial V y sea T : V → V una transformacion lineal.Dadas la matriz TA asociada a T respecto a la base A y la matriz de cambio de base PA,B,calcule la matriz PB,A, compruebe la igualdad PA,BPB,A = I y calcule la matriz TB asociada a Trespecto a la base B.
TA =
−2 −4 2
3 5 −45 1 −4
, PA,B =
2 1 0
1 1 1
4 2 1
.Ejercicio 5. 2%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Calcule las matrices T(F1), T(F2), T(F3), T(F4) yescriba la matriz TF asociada a la transformacion lineal T respecto a la base F = (F1, F2, F3, F4),donde
F1 =
[1 0
0 0
], F2 =
[0 0
1 0
], F3 =
[0 1
0 0
], F4 =
[0 0
0 1
].
Escriba las matrices de cambio PE ,F y PF ,E , compruebe que PE ,FPF ,E = I y PF ,ETEPE ,F = TF .
Ejercicio 6. 1%.Sean V y W espacios vectoriales reales, sea A = (a1, a2, a3, a4) una base de V y sea B =(b1, b2, b3, b4) una base de W. Se considera una transformacion lineal T : V →W dada por sumatriz asociada TB,A. Construya una base de ker(T) y una base de im(T). Calcule el rango y lanulidad de T . Haga las comprobaciones.
TB,A =
1 −1 2 2
1 0 −1 1
1 1 −2 1
1 −2 3 2
.Ejercicio 7. 1%; se baja 0.25% por cada error en la tabla.Se consideran tres transformaciones lineales S, T,U dadas por sus matrices asociadas respectoa ciertas bases:
SB,A =
−2 −5 0
0 −2 −10 4 0
, TD,C =
−3 0 3
5 −4 0
0 0 0
0 −1 0
, UF ,E =
[−1 1 −4 2
4 3 −2 5
].
Llene la siguiente tabla:
S T U
dim(dominio)dim(contradominio)rango := dim(imagen)nulidad := dim(nucleo)¿es inyectiva?¿es suprayectiva?¿es invertible?
Tarea 5, variante 60, pagina 2 de 3
Ejercicio 8. 1%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Construya una base de ker(T) y una base deim(T). Halle el rango y la nulidad de T . Haga las comprobaciones.
Ejercicio 9. 2%.Sea P : R3 → R3 la transformacion lineal dada por su matriz asociada con respecto a la basecanonica E . Verifique que P2 = P. Construya una base A de im(P) y una base B de ker(P).Haga las comprobaciones.
PE =
−2 6 −6−2 5 −4−1 2 −1
.Ejercicio 10. 1%.Seguimos trabajando con la transformacion lineal P del ejercicio anterior. SeaQ = I−P. Calculela matriz QE . Calcule Q2, PQ y QP multiplicando las matrices asociadas correspondientes.
Ejercicio 11. 2%.Construya una base C de im(Q) y una base D de ker(Q). Muestre que los vectores de C soncombinaciones lineales de los vectores de B y vice versa. Muestre que los vectores de D soncombinaciones lineales de los vectores de A y vice versa. ¿Que significa esto en terminos de lossubespacios im(P), ker(P), im(Q), ker(Q)?.
Ejercicio 12. 1%.
Sea v =[5, −4, 2
]>. Calcule los vectores u = P(v) y w = Q(v). Con comprobaciones
directas muestre que u+w = v, u ∈ ker(Q), w ∈ ker(P).
Ejercicio 13. 1%.Denotemos por F al sistema de vectores que se obtiene al juntar las bases A y B de im(P) y deker(P). Escriba la matriz de transicion de E a F (puede denotarla por UE ,F), calcule su inversay haga la comprobacion.
Ejercicio 14. 1%.Calcule las matrices PF y QF asociadas a las transformaciones lineales P y Q con respecto a labase F del ejercicio anterior. Verifique que
PF +QF = I, P2F = PF , Q2F = QF , PFQF = 0, QFPF = 0.
Tarea 5, variante 60, pagina 3 de 3
Engra
peaq
uı
No
dobl
e
Algebra II, licenciatura. Tarea 5. Variante 61.
Transformaciones lineales.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 1%.Demuestre que la funcion f : R2 → R2 definida mediante la siguiente formula no es transforma-cion lineal. Indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.
f(x) =
[2x1 − 3x2 + 4
3x1 + 2x2
].
Ejercicio 2. 2%.Demuestre que la funcion T : P2(R) → P2(R) definida mediante la siguiente regla es una trans-formacion lineal.
(Tf)(x) = (2x2 − 3x+ 1)f ′′(x) + (−2x+ 3)f ′(x) − 1f(x).
Calcule la matriz TE asociada a T respecto a la base canonica E = (e0, e1, e2). Para comprobacioncalcule Tg aplicando la regla de correspondencia de T , escriba el vector (Tg)E y calcule elproducto TEgE .
e0(x) = 1, e1(x) = x, e2(x) = x2.
g(x) = −2x2 + x+ 3.
Ejercicio 3. 2%.Demuestre que la funcion T : M2(R) → M2(R) definida mediante la siguiente regla es unatransformacion lineal.
T(X) = AX− XA, donde A =
[−8 −61 5
].
Calcule la matriz asociada a T respecto a la base E = (E1, E2, E3, E4). Para comprobar larespuesta calcule T(Y) de dos maneras diferentes:
1) usando la matriz asociada;
2) aplicando la regla de correspondencia de T .
E1 =
[1 0
0 0
], E2 =
[0 1
0 0
], E3 =
[0 0
1 0
], E4 =
[0 0
0 1
], Y =
[1 3
−1 −5
].
Tarea 5, variante 61, pagina 1 de 3
Ejercicio 4. 2%.Sean A y B algunas bases de un espacio vectorial V y sea T : V → V una transformacion lineal.Dadas la matriz TA asociada a T respecto a la base A y la matriz de cambio de base PA,B,calcule la matriz PB,A, compruebe la igualdad PA,BPB,A = I y calcule la matriz TB asociada a Trespecto a la base B.
TA =
3 −3 3
4 −3 5
0 1 3
, PA,B =
1 2 0
1 2 1
1 1 1
.Ejercicio 5. 2%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Calcule las matrices T(F1), T(F2), T(F3), T(F4) yescriba la matriz TF asociada a la transformacion lineal T respecto a la base F = (F1, F2, F3, F4),donde
F1 =
[1 0
0 0
], F2 =
[0 0
1 0
], F3 =
[0 1
0 0
], F4 =
[0 0
0 1
].
Escriba las matrices de cambio PE ,F y PF ,E , compruebe que PE ,FPF ,E = I y PF ,ETEPE ,F = TF .
Ejercicio 6. 1%.Sean V y W espacios vectoriales reales, sea A = (a1, a2, a3, a4) una base de V y sea B =(b1, b2, b3, b4) una base de W. Se considera una transformacion lineal T : V →W dada por sumatriz asociada TB,A. Construya una base de ker(T) y una base de im(T). Calcule el rango y lanulidad de T . Haga las comprobaciones.
TB,A =
3 0 1 3
4 −1 1 2
3 1 1 1
−3 −2 −1 1
.Ejercicio 7. 1%; se baja 0.25% por cada error en la tabla.Se consideran tres transformaciones lineales S, T,U dadas por sus matrices asociadas respectoa ciertas bases:
SB,A =
[1 −4 −3 3
1 1 1 4
], TD,C =
2 1
−2 −1−2 −1
, UF ,E =
−1 5 1
0 0 0
−4 −2 0
4 0 0
.Llene la siguiente tabla:
S T U
dim(dominio)dim(contradominio)rango := dim(imagen)nulidad := dim(nucleo)¿es inyectiva?¿es suprayectiva?¿es invertible?
Tarea 5, variante 61, pagina 2 de 3
Ejercicio 8. 1%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Construya una base de ker(T) y una base deim(T). Halle el rango y la nulidad de T . Haga las comprobaciones.
Ejercicio 9. 2%.Sea P : R3 → R3 la transformacion lineal dada por su matriz asociada con respecto a la basecanonica E . Verifique que P2 = P. Construya una base A de im(P) y una base B de ker(P).Haga las comprobaciones.
PE =
5 −2 −46 −2 −62 −1 −1
.Ejercicio 10. 1%.Seguimos trabajando con la transformacion lineal P del ejercicio anterior. SeaQ = I−P. Calculela matriz QE . Calcule Q2, PQ y QP multiplicando las matrices asociadas correspondientes.
Ejercicio 11. 2%.Construya una base C de im(Q) y una base D de ker(Q). Muestre que los vectores de C soncombinaciones lineales de los vectores de B y vice versa. Muestre que los vectores de D soncombinaciones lineales de los vectores de A y vice versa. ¿Que significa esto en terminos de lossubespacios im(P), ker(P), im(Q), ker(Q)?.
Ejercicio 12. 1%.
Sea v =[5, −4, 2
]>. Calcule los vectores u = P(v) y w = Q(v). Con comprobaciones
directas muestre que u+w = v, u ∈ ker(Q), w ∈ ker(P).
Ejercicio 13. 1%.Denotemos por F al sistema de vectores que se obtiene al juntar las bases A y B de im(P) y deker(P). Escriba la matriz de transicion de E a F (puede denotarla por UE ,F), calcule su inversay haga la comprobacion.
Ejercicio 14. 1%.Calcule las matrices PF y QF asociadas a las transformaciones lineales P y Q con respecto a labase F del ejercicio anterior. Verifique que
PF +QF = I, P2F = PF , Q2F = QF , PFQF = 0, QFPF = 0.
Tarea 5, variante 61, pagina 3 de 3
Engra
peaq
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No
dobl
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Algebra II, licenciatura. Tarea 5. Variante 62.
Transformaciones lineales.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 1%.Demuestre que la funcion f : R2 → R2 definida mediante la siguiente formula no es transforma-cion lineal. Indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.
f(x) =
[−x21 − x2
x1 + 3x2
].
Ejercicio 2. 2%.Demuestre que la funcion T : P2(R) → P2(R) definida mediante la siguiente regla es una trans-formacion lineal.
(Tf)(x) = (−x2 − 3x+ 2)f ′′(x) + (−2x+ 1)f ′(x) + 3f(x).
Calcule la matriz TE asociada a T respecto a la base canonica E = (e0, e1, e2). Para comprobacioncalcule Tg aplicando la regla de correspondencia de T , escriba el vector (Tg)E y calcule elproducto TEgE .
e0(x) = 1, e1(x) = x, e2(x) = x2.
g(x) = 2x2 + 5x− 1.
Ejercicio 3. 2%.Demuestre que la funcion T : M2(R) → M2(R) definida mediante la siguiente regla es unatransformacion lineal.
T(X) = AX− XA, donde A =
[7 −91 −1
].
Calcule la matriz asociada a T respecto a la base E = (E1, E2, E3, E4). Para comprobar larespuesta calcule T(Y) de dos maneras diferentes:
1) usando la matriz asociada;
2) aplicando la regla de correspondencia de T .
E1 =
[1 0
0 0
], E2 =
[0 1
0 0
], E3 =
[0 0
1 0
], E4 =
[0 0
0 1
], Y =
[−2 5
−1 2
].
Tarea 5, variante 62, pagina 1 de 3
Ejercicio 4. 2%.Sean A y B algunas bases de un espacio vectorial V y sea T : V → V una transformacion lineal.Dadas la matriz TA asociada a T respecto a la base A y la matriz de cambio de base PA,B,calcule la matriz PB,A, compruebe la igualdad PA,BPB,A = I y calcule la matriz TB asociada a Trespecto a la base B.
TA =
4 −2 4
−1 3 0
1 −2 2
, PA,B =
1 2 0
1 2 1
1 1 1
.Ejercicio 5. 2%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Calcule las matrices T(F1), T(F2), T(F3), T(F4) yescriba la matriz TF asociada a la transformacion lineal T respecto a la base F = (F1, F2, F3, F4),donde
F1 =
[1 0
0 0
], F2 =
[0 0
1 0
], F3 =
[0 1
0 0
], F4 =
[0 0
0 1
].
Escriba las matrices de cambio PE ,F y PF ,E , compruebe que PE ,FPF ,E = I y PF ,ETEPE ,F = TF .
Ejercicio 6. 1%.Sean V y W espacios vectoriales reales, sea A = (a1, a2, a3, a4) una base de V y sea B =(b1, b2, b3, b4) una base de W. Se considera una transformacion lineal T : V →W dada por sumatriz asociada TB,A. Construya una base de ker(T) y una base de im(T). Calcule el rango y lanulidad de T . Haga las comprobaciones.
TB,A =
1 −2 −1 3
1 3 2 −23 2 1 2
−1 −1 0 −1
.Ejercicio 7. 1%; se baja 0.25% por cada error en la tabla.Se consideran tres transformaciones lineales S, T,U dadas por sus matrices asociadas respectoa ciertas bases:
SB,A =
2 5 −5 −4−5 1 0 −10 −5 0 −3
, TD,C =
3 2 −30 −5 5
0 3 0
, UF ,E =
1 2
1 3
0 2
.Llene la siguiente tabla:
S T U
dim(dominio)dim(contradominio)rango := dim(imagen)nulidad := dim(nucleo)¿es inyectiva?¿es suprayectiva?¿es invertible?
Tarea 5, variante 62, pagina 2 de 3
Ejercicio 8. 1%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Construya una base de ker(T) y una base deim(T). Halle el rango y la nulidad de T . Haga las comprobaciones.
Ejercicio 9. 2%.Sea P : R3 → R3 la transformacion lineal dada por su matriz asociada con respecto a la basecanonica E . Verifique que P2 = P. Construya una base A de im(P) y una base B de ker(P).Haga las comprobaciones.
PE =
5 −2 −46 −2 −62 −1 −1
.Ejercicio 10. 1%.Seguimos trabajando con la transformacion lineal P del ejercicio anterior. SeaQ = I−P. Calculela matriz QE . Calcule Q2, PQ y QP multiplicando las matrices asociadas correspondientes.
Ejercicio 11. 2%.Construya una base C de im(Q) y una base D de ker(Q). Muestre que los vectores de C soncombinaciones lineales de los vectores de B y vice versa. Muestre que los vectores de D soncombinaciones lineales de los vectores de A y vice versa. ¿Que significa esto en terminos de lossubespacios im(P), ker(P), im(Q), ker(Q)?.
Ejercicio 12. 1%.
Sea v =[2, 2, 5
]>. Calcule los vectores u = P(v) y w = Q(v). Con comprobaciones directas
muestre que u+w = v, u ∈ ker(Q), w ∈ ker(P).
Ejercicio 13. 1%.Denotemos por F al sistema de vectores que se obtiene al juntar las bases A y B de im(P) y deker(P). Escriba la matriz de transicion de E a F (puede denotarla por UE ,F), calcule su inversay haga la comprobacion.
Ejercicio 14. 1%.Calcule las matrices PF y QF asociadas a las transformaciones lineales P y Q con respecto a labase F del ejercicio anterior. Verifique que
PF +QF = I, P2F = PF , Q2F = QF , PFQF = 0, QFPF = 0.
Tarea 5, variante 62, pagina 3 de 3
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peaq
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No
dobl
e
Algebra II, licenciatura. Tarea 5. Variante 63.
Transformaciones lineales.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 1%.Demuestre que la funcion f : R2 → R2 definida mediante la siguiente formula no es transforma-cion lineal. Indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.
f(x) =
[−3x1 − x
22
4x1 − 2x2
].
Ejercicio 2. 2%.Demuestre que la funcion T : P2(R) → P2(R) definida mediante la siguiente regla es una trans-formacion lineal.
(Tf)(x) = (−x2 + 3x− 2)f ′′(x) + (x− 3)f ′(x) + 2f(x).
Calcule la matriz TE asociada a T respecto a la base canonica E = (e0, e1, e2). Para comprobacioncalcule Tg aplicando la regla de correspondencia de T , escriba el vector (Tg)E y calcule elproducto TEgE .
e0(x) = 1, e1(x) = x, e2(x) = x2.
g(x) = −x2 + 5x+ 1.
Ejercicio 3. 2%.Demuestre que la funcion T : M2(R) → M2(R) definida mediante la siguiente regla es unatransformacion lineal.
T(X) = AX− XA, donde A =
[8 −4
−2 2
].
Calcule la matriz asociada a T respecto a la base E = (E1, E2, E3, E4). Para comprobar larespuesta calcule T(Y) de dos maneras diferentes:
1) usando la matriz asociada;
2) aplicando la regla de correspondencia de T .
E1 =
[1 0
0 0
], E2 =
[0 1
0 0
], E3 =
[0 0
1 0
], E4 =
[0 0
0 1
], Y =
[4 −21 3
].
Tarea 5, variante 63, pagina 1 de 3
Ejercicio 4. 2%.Sean A y B algunas bases de un espacio vectorial V y sea T : V → V una transformacion lineal.Dadas la matriz TA asociada a T respecto a la base A y la matriz de cambio de base PA,B,calcule la matriz PB,A, compruebe la igualdad PA,BPB,A = I y calcule la matriz TB asociada a Trespecto a la base B.
TA =
−4 5 2
4 1 −21 4 −1
, PA,B =
1 2 2
2 1 0
2 2 1
.Ejercicio 5. 2%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Calcule las matrices T(F1), T(F2), T(F3), T(F4) yescriba la matriz TF asociada a la transformacion lineal T respecto a la base F = (F1, F2, F3, F4),donde
F1 =
[1 0
0 0
], F2 =
[0 0
1 0
], F3 =
[0 1
0 0
], F4 =
[0 0
0 1
].
Escriba las matrices de cambio PE ,F y PF ,E , compruebe que PE ,FPF ,E = I y PF ,ETEPE ,F = TF .
Ejercicio 6. 1%.Sean V y W espacios vectoriales reales, sea A = (a1, a2, a3, a4) una base de V y sea B =(b1, b2, b3, b4) una base de W. Se considera una transformacion lineal T : V →W dada por sumatriz asociada TB,A. Construya una base de ker(T) y una base de im(T). Calcule el rango y lanulidad de T . Haga las comprobaciones.
TB,A =
−2 2 2 1
1 0 −1 −22 3 3 1
−3 2 3 3
.Ejercicio 7. 1%; se baja 0.25% por cada error en la tabla.Se consideran tres transformaciones lineales S, T,U dadas por sus matrices asociadas respectoa ciertas bases:
SB,A =
0 0 0
3 −5 0
−4 0 2
−2 0 0
, TD,C =
−1 −2−1 −21 2
, UF ,E =
1 4 2
3 4 0
0 2 0
.Llene la siguiente tabla:
S T U
dim(dominio)dim(contradominio)rango := dim(imagen)nulidad := dim(nucleo)¿es inyectiva?¿es suprayectiva?¿es invertible?
Tarea 5, variante 63, pagina 2 de 3
Ejercicio 8. 1%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Construya una base de ker(T) y una base deim(T). Halle el rango y la nulidad de T . Haga las comprobaciones.
Ejercicio 9. 2%.Sea P : R3 → R3 la transformacion lineal dada por su matriz asociada con respecto a la basecanonica E . Verifique que P2 = P. Construya una base A de im(P) y una base B de ker(P).Haga las comprobaciones.
PE =
4 −6 −31 −1 −12 −4 −1
.Ejercicio 10. 1%.Seguimos trabajando con la transformacion lineal P del ejercicio anterior. SeaQ = I−P. Calculela matriz QE . Calcule Q2, PQ y QP multiplicando las matrices asociadas correspondientes.
Ejercicio 11. 2%.Construya una base C de im(Q) y una base D de ker(Q). Muestre que los vectores de C soncombinaciones lineales de los vectores de B y vice versa. Muestre que los vectores de D soncombinaciones lineales de los vectores de A y vice versa. ¿Que significa esto en terminos de lossubespacios im(P), ker(P), im(Q), ker(Q)?.
Ejercicio 12. 1%.
Sea v =[−1, 1, −5
]>. Calcule los vectores u = P(v) y w = Q(v). Con comprobaciones
directas muestre que u+w = v, u ∈ ker(Q), w ∈ ker(P).
Ejercicio 13. 1%.Denotemos por F al sistema de vectores que se obtiene al juntar las bases A y B de im(P) y deker(P). Escriba la matriz de transicion de E a F (puede denotarla por UE ,F), calcule su inversay haga la comprobacion.
Ejercicio 14. 1%.Calcule las matrices PF y QF asociadas a las transformaciones lineales P y Q con respecto a labase F del ejercicio anterior. Verifique que
PF +QF = I, P2F = PF , Q2F = QF , PFQF = 0, QFPF = 0.
Tarea 5, variante 63, pagina 3 de 3
Engra
peaq
uı
No
dobl
e
Algebra II, licenciatura. Tarea 5. Variante 64.
Transformaciones lineales.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 1%.Demuestre que la funcion f : R2 → R2 definida mediante la siguiente formula no es transforma-cion lineal. Indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.
f(x) =
[−5x1 + 3x2
−3x1 + x2 − 5
].
Ejercicio 2. 2%.Demuestre que la funcion T : P2(R) → P2(R) definida mediante la siguiente regla es una trans-formacion lineal.
(Tf)(x) = (−2x2 − x+ 3)f ′′(x) + (−3x+ 1)f ′(x) + 2f(x).
Calcule la matriz TE asociada a T respecto a la base canonica E = (e0, e1, e2). Para comprobacioncalcule Tg aplicando la regla de correspondencia de T , escriba el vector (Tg)E y calcule elproducto TEgE .
e0(x) = 1, e1(x) = x, e2(x) = x2.
g(x) = −x2 + 2x+ 5.
Ejercicio 3. 2%.Demuestre que la funcion T : M2(R) → M2(R) definida mediante la siguiente regla es unatransformacion lineal.
T(X) = AX− XA, donde A =
[−5 7
2 −1
].
Calcule la matriz asociada a T respecto a la base E = (E1, E2, E3, E4). Para comprobar larespuesta calcule T(Y) de dos maneras diferentes:
1) usando la matriz asociada;
2) aplicando la regla de correspondencia de T .
E1 =
[1 0
0 0
], E2 =
[0 1
0 0
], E3 =
[0 0
1 0
], E4 =
[0 0
0 1
], Y =
[−3 1
1 −2
].
Tarea 5, variante 64, pagina 1 de 3
Ejercicio 4. 2%.Sean A y B algunas bases de un espacio vectorial V y sea T : V → V una transformacion lineal.Dadas la matriz TA asociada a T respecto a la base A y la matriz de cambio de base PA,B,calcule la matriz PB,A, compruebe la igualdad PA,BPB,A = I y calcule la matriz TB asociada a Trespecto a la base B.
TA =
1 4 −31 0 5
1 1 3
, PA,B =
1 2 2
2 1 0
2 2 1
.Ejercicio 5. 2%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Calcule las matrices T(F1), T(F2), T(F3), T(F4) yescriba la matriz TF asociada a la transformacion lineal T respecto a la base F = (F1, F2, F3, F4),donde
F1 =
[1 0
0 0
], F2 =
[0 0
1 0
], F3 =
[0 1
0 0
], F4 =
[0 0
0 1
].
Escriba las matrices de cambio PE ,F y PF ,E , compruebe que PE ,FPF ,E = I y PF ,ETEPE ,F = TF .
Ejercicio 6. 1%.Sean V y W espacios vectoriales reales, sea A = (a1, a2, a3, a4) una base de V y sea B =(b1, b2, b3, b4) una base de W. Se considera una transformacion lineal T : V →W dada por sumatriz asociada TB,A. Construya una base de ker(T) y una base de im(T). Calcule el rango y lanulidad de T . Haga las comprobaciones.
TB,A =
2 3 4 3
−4 3 4 4
−4 1 2 2
−4 2 3 3
.Ejercicio 7. 1%; se baja 0.25% por cada error en la tabla.Se consideran tres transformaciones lineales S, T,U dadas por sus matrices asociadas respectoa ciertas bases:
SB,A =
1 1
−1 0
3 2
, TD,C =
4 −2 5
1 5 0
0 5 0
, UF ,E =
[2 4 6 −21 2 3 −1
].
Llene la siguiente tabla:
S T U
dim(dominio)dim(contradominio)rango := dim(imagen)nulidad := dim(nucleo)¿es inyectiva?¿es suprayectiva?¿es invertible?
Tarea 5, variante 64, pagina 2 de 3
Ejercicio 8. 1%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Construya una base de ker(T) y una base deim(T). Halle el rango y la nulidad de T . Haga las comprobaciones.
Ejercicio 9. 2%.Sea P : R3 → R3 la transformacion lineal dada por su matriz asociada con respecto a la basecanonica E . Verifique que P2 = P. Construya una base A de im(P) y una base B de ker(P).Haga las comprobaciones.
PE =
−1 −4 2
−1 −1 1
−3 −6 4
.Ejercicio 10. 1%.Seguimos trabajando con la transformacion lineal P del ejercicio anterior. SeaQ = I−P. Calculela matriz QE . Calcule Q2, PQ y QP multiplicando las matrices asociadas correspondientes.
Ejercicio 11. 2%.Construya una base C de im(Q) y una base D de ker(Q). Muestre que los vectores de C soncombinaciones lineales de los vectores de B y vice versa. Muestre que los vectores de D soncombinaciones lineales de los vectores de A y vice versa. ¿Que significa esto en terminos de lossubespacios im(P), ker(P), im(Q), ker(Q)?.
Ejercicio 12. 1%.
Sea v =[1, 2, −4
]>. Calcule los vectores u = P(v) y w = Q(v). Con comprobaciones
directas muestre que u+w = v, u ∈ ker(Q), w ∈ ker(P).
Ejercicio 13. 1%.Denotemos por F al sistema de vectores que se obtiene al juntar las bases A y B de im(P) y deker(P). Escriba la matriz de transicion de E a F (puede denotarla por UE ,F), calcule su inversay haga la comprobacion.
Ejercicio 14. 1%.Calcule las matrices PF y QF asociadas a las transformaciones lineales P y Q con respecto a labase F del ejercicio anterior. Verifique que
PF +QF = I, P2F = PF , Q2F = QF , PFQF = 0, QFPF = 0.
Tarea 5, variante 64, pagina 3 de 3
Engra
peaq
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No
dobl
e
Algebra II, licenciatura. Tarea 5. Variante 65.
Transformaciones lineales.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 1%.Demuestre que la funcion f : R2 → R2 definida mediante la siguiente formula no es transforma-cion lineal. Indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.
f(x) =
[x1 + x2
5x21 + 4x2
].
Ejercicio 2. 2%.Demuestre que la funcion T : P2(R) → P2(R) definida mediante la siguiente regla es una trans-formacion lineal.
(Tf)(x) = (−x2 − 2x− 3)f ′′(x) + (x+ 2)f ′(x) + 3f(x).
Calcule la matriz TE asociada a T respecto a la base canonica E = (e0, e1, e2). Para comprobacioncalcule Tg aplicando la regla de correspondencia de T , escriba el vector (Tg)E y calcule elproducto TEgE .
e0(x) = 1, e1(x) = x, e2(x) = x2.
g(x) = 5x2 + 3x+ 4.
Ejercicio 3. 2%.Demuestre que la funcion T : M2(R) → M2(R) definida mediante la siguiente regla es unatransformacion lineal.
T(X) = AX− XA, donde A =
[2 −4
−8 7
].
Calcule la matriz asociada a T respecto a la base E = (E1, E2, E3, E4). Para comprobar larespuesta calcule T(Y) de dos maneras diferentes:
1) usando la matriz asociada;
2) aplicando la regla de correspondencia de T .
E1 =
[1 0
0 0
], E2 =
[0 1
0 0
], E3 =
[0 0
1 0
], E4 =
[0 0
0 1
], Y =
[1 1
1 1
].
Tarea 5, variante 65, pagina 1 de 3
Ejercicio 4. 2%.Sean A y B algunas bases de un espacio vectorial V y sea T : V → V una transformacion lineal.Dadas la matriz TA asociada a T respecto a la base A y la matriz de cambio de base PA,B,calcule la matriz PB,A, compruebe la igualdad PA,BPB,A = I y calcule la matriz TB asociada a Trespecto a la base B.
TA =
−1 5 −14 −1 3
5 −4 3
, PA,B =
2 1 3
3 2 3
2 2 1
.Ejercicio 5. 2%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Calcule las matrices T(F1), T(F2), T(F3), T(F4) yescriba la matriz TF asociada a la transformacion lineal T respecto a la base F = (F1, F2, F3, F4),donde
F1 =
[1 0
0 0
], F2 =
[0 0
1 0
], F3 =
[0 1
0 0
], F4 =
[0 0
0 1
].
Escriba las matrices de cambio PE ,F y PF ,E , compruebe que PE ,FPF ,E = I y PF ,ETEPE ,F = TF .
Ejercicio 6. 1%.Sean V y W espacios vectoriales reales, sea A = (a1, a2, a3, a4) una base de V y sea B =(b1, b2, b3, b4) una base de W. Se considera una transformacion lineal T : V →W dada por sumatriz asociada TB,A. Construya una base de ker(T) y una base de im(T). Calcule el rango y lanulidad de T . Haga las comprobaciones.
TB,A =
3 4 1 4
1 4 0 3
−1 4 −1 2
3 −3 1 3
.Ejercicio 7. 1%; se baja 0.25% por cada error en la tabla.Se consideran tres transformaciones lineales S, T,U dadas por sus matrices asociadas respectoa ciertas bases:
SB,A =
−2 1 1
−2 0 3
2 0 0
, TD,C =
4 3
3 2
−1 −1
, UF ,E =
[−6 −2 −4 −43 1 2 2
].
Llene la siguiente tabla:
S T U
dim(dominio)dim(contradominio)rango := dim(imagen)nulidad := dim(nucleo)¿es inyectiva?¿es suprayectiva?¿es invertible?
Tarea 5, variante 65, pagina 2 de 3
Ejercicio 8. 1%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Construya una base de ker(T) y una base deim(T). Halle el rango y la nulidad de T . Haga las comprobaciones.
Ejercicio 9. 2%.Sea P : R3 → R3 la transformacion lineal dada por su matriz asociada con respecto a la basecanonica E . Verifique que P2 = P. Construya una base A de im(P) y una base B de ker(P).Haga las comprobaciones.
PE =
4 −6 −31 −1 −12 −4 −1
.Ejercicio 10. 1%.Seguimos trabajando con la transformacion lineal P del ejercicio anterior. SeaQ = I−P. Calculela matriz QE . Calcule Q2, PQ y QP multiplicando las matrices asociadas correspondientes.
Ejercicio 11. 2%.Construya una base C de im(Q) y una base D de ker(Q). Muestre que los vectores de C soncombinaciones lineales de los vectores de B y vice versa. Muestre que los vectores de D soncombinaciones lineales de los vectores de A y vice versa. ¿Que significa esto en terminos de lossubespacios im(P), ker(P), im(Q), ker(Q)?.
Ejercicio 12. 1%.
Sea v =[1, −5, 1
]>. Calcule los vectores u = P(v) y w = Q(v). Con comprobaciones
directas muestre que u+w = v, u ∈ ker(Q), w ∈ ker(P).
Ejercicio 13. 1%.Denotemos por F al sistema de vectores que se obtiene al juntar las bases A y B de im(P) y deker(P). Escriba la matriz de transicion de E a F (puede denotarla por UE ,F), calcule su inversay haga la comprobacion.
Ejercicio 14. 1%.Calcule las matrices PF y QF asociadas a las transformaciones lineales P y Q con respecto a labase F del ejercicio anterior. Verifique que
PF +QF = I, P2F = PF , Q2F = QF , PFQF = 0, QFPF = 0.
Tarea 5, variante 65, pagina 3 de 3
Engra
peaq
uı
No
dobl
e
Algebra II, licenciatura. Tarea 5. Variante 66.
Transformaciones lineales.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 1%.Demuestre que la funcion f : R2 → R2 definida mediante la siguiente formula no es transforma-cion lineal. Indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.
f(x) =
[−3x1 − 5
−2x1 + 5x2
].
Ejercicio 2. 2%.Demuestre que la funcion T : P2(R) → P2(R) definida mediante la siguiente regla es una trans-formacion lineal.
(Tf)(x) = (3x2 − 3x+ 1)f ′′(x) + (−x− 2)f ′(x) + 2f(x).
Calcule la matriz TE asociada a T respecto a la base canonica E = (e0, e1, e2). Para comprobacioncalcule Tg aplicando la regla de correspondencia de T , escriba el vector (Tg)E y calcule elproducto TEgE .
e0(x) = 1, e1(x) = x, e2(x) = x2.
g(x) = x2 − 5x+ 2.
Ejercicio 3. 2%.Demuestre que la funcion T : M2(R) → M2(R) definida mediante la siguiente regla es unatransformacion lineal.
T(X) = AX− XA, donde A =
[9 5
−2 8
].
Calcule la matriz asociada a T respecto a la base E = (E1, E2, E3, E4). Para comprobar larespuesta calcule T(Y) de dos maneras diferentes:
1) usando la matriz asociada;
2) aplicando la regla de correspondencia de T .
E1 =
[1 0
0 0
], E2 =
[0 1
0 0
], E3 =
[0 0
1 0
], E4 =
[0 0
0 1
], Y =
[4 −43 4
].
Tarea 5, variante 66, pagina 1 de 3
Ejercicio 4. 2%.Sean A y B algunas bases de un espacio vectorial V y sea T : V → V una transformacion lineal.Dadas la matriz TA asociada a T respecto a la base A y la matriz de cambio de base PA,B,calcule la matriz PB,A, compruebe la igualdad PA,BPB,A = I y calcule la matriz TB asociada a Trespecto a la base B.
TA =
2 −2 0
5 −2 1
2 5 1
, PA,B =
1 1 1
2 2 1
0 1 −1
.Ejercicio 5. 2%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Calcule las matrices T(F1), T(F2), T(F3), T(F4) yescriba la matriz TF asociada a la transformacion lineal T respecto a la base F = (F1, F2, F3, F4),donde
F1 =
[1 0
0 0
], F2 =
[0 0
1 0
], F3 =
[0 1
0 0
], F4 =
[0 0
0 1
].
Escriba las matrices de cambio PE ,F y PF ,E , compruebe que PE ,FPF ,E = I y PF ,ETEPE ,F = TF .
Ejercicio 6. 1%.Sean V y W espacios vectoriales reales, sea A = (a1, a2, a3, a4) una base de V y sea B =(b1, b2, b3, b4) una base de W. Se considera una transformacion lineal T : V →W dada por sumatriz asociada TB,A. Construya una base de ker(T) y una base de im(T). Calcule el rango y lanulidad de T . Haga las comprobaciones.
TB,A =
−2 3 −3 −21 −1 2 3
1 −3 1 −21 −2 2 2
.Ejercicio 7. 1%; se baja 0.25% por cada error en la tabla.Se consideran tres transformaciones lineales S, T,U dadas por sus matrices asociadas respectoa ciertas bases:
SB,A =
−4 0 −1−3 −1 0
0 4 0
0 0 0
, TD,C =
[1 3 2 1
−1 −2 5 3
], UF ,E =
−2 −2 4
−3 0 −50 0 −1
.Llene la siguiente tabla:
S T U
dim(dominio)dim(contradominio)rango := dim(imagen)nulidad := dim(nucleo)¿es inyectiva?¿es suprayectiva?¿es invertible?
Tarea 5, variante 66, pagina 2 de 3
Ejercicio 8. 1%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Construya una base de ker(T) y una base deim(T). Halle el rango y la nulidad de T . Haga las comprobaciones.
Ejercicio 9. 2%.Sea P : R3 → R3 la transformacion lineal dada por su matriz asociada con respecto a la basecanonica E . Verifique que P2 = P. Construya una base A de im(P) y una base B de ker(P).Haga las comprobaciones.
PE =
−2 6 −6−2 5 −4−1 2 −1
.Ejercicio 10. 1%.Seguimos trabajando con la transformacion lineal P del ejercicio anterior. SeaQ = I−P. Calculela matriz QE . Calcule Q2, PQ y QP multiplicando las matrices asociadas correspondientes.
Ejercicio 11. 2%.Construya una base C de im(Q) y una base D de ker(Q). Muestre que los vectores de C soncombinaciones lineales de los vectores de B y vice versa. Muestre que los vectores de D soncombinaciones lineales de los vectores de A y vice versa. ¿Que significa esto en terminos de lossubespacios im(P), ker(P), im(Q), ker(Q)?.
Ejercicio 12. 1%.
Sea v =[2, 1, −6
]>. Calcule los vectores u = P(v) y w = Q(v). Con comprobaciones
directas muestre que u+w = v, u ∈ ker(Q), w ∈ ker(P).
Ejercicio 13. 1%.Denotemos por F al sistema de vectores que se obtiene al juntar las bases A y B de im(P) y deker(P). Escriba la matriz de transicion de E a F (puede denotarla por UE ,F), calcule su inversay haga la comprobacion.
Ejercicio 14. 1%.Calcule las matrices PF y QF asociadas a las transformaciones lineales P y Q con respecto a labase F del ejercicio anterior. Verifique que
PF +QF = I, P2F = PF , Q2F = QF , PFQF = 0, QFPF = 0.
Tarea 5, variante 66, pagina 3 de 3
Engra
peaq
uı
No
dobl
e
Algebra II, licenciatura. Tarea 5. Variante 67.
Transformaciones lineales.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 1%.Demuestre que la funcion f : R2 → R2 definida mediante la siguiente formula no es transforma-cion lineal. Indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.
f(x) =
[4x21
4x1 + 5x2
].
Ejercicio 2. 2%.Demuestre que la funcion T : P2(R) → P2(R) definida mediante la siguiente regla es una trans-formacion lineal.
(Tf)(x) = (−x2 − 2x+ 3)f ′′(x) + (−3x+ 1)f ′(x) + 2f(x).
Calcule la matriz TE asociada a T respecto a la base canonica E = (e0, e1, e2). Para comprobacioncalcule Tg aplicando la regla de correspondencia de T , escriba el vector (Tg)E y calcule elproducto TEgE .
e0(x) = 1, e1(x) = x, e2(x) = x2.
g(x) = −x2 + 3x+ 4.
Ejercicio 3. 2%.Demuestre que la funcion T : M2(R) → M2(R) definida mediante la siguiente regla es unatransformacion lineal.
T(X) = AX− XA, donde A =
[8 7
−9 −7
].
Calcule la matriz asociada a T respecto a la base E = (E1, E2, E3, E4). Para comprobar larespuesta calcule T(Y) de dos maneras diferentes:
1) usando la matriz asociada;
2) aplicando la regla de correspondencia de T .
E1 =
[1 0
0 0
], E2 =
[0 1
0 0
], E3 =
[0 0
1 0
], E4 =
[0 0
0 1
], Y =
[3 2
−2 −1
].
Tarea 5, variante 67, pagina 1 de 3
Ejercicio 4. 2%.Sean A y B algunas bases de un espacio vectorial V y sea T : V → V una transformacion lineal.Dadas la matriz TA asociada a T respecto a la base A y la matriz de cambio de base PA,B,calcule la matriz PB,A, compruebe la igualdad PA,BPB,A = I y calcule la matriz TB asociada a Trespecto a la base B.
TA =
5 −3 4
0 3 3
1 −3 5
, PA,B =
3 3 4
2 2 3
1 0 1
.Ejercicio 5. 2%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Calcule las matrices T(F1), T(F2), T(F3), T(F4) yescriba la matriz TF asociada a la transformacion lineal T respecto a la base F = (F1, F2, F3, F4),donde
F1 =
[1 0
0 0
], F2 =
[0 0
1 0
], F3 =
[0 1
0 0
], F4 =
[0 0
0 1
].
Escriba las matrices de cambio PE ,F y PF ,E , compruebe que PE ,FPF ,E = I y PF ,ETEPE ,F = TF .
Ejercicio 6. 1%.Sean V y W espacios vectoriales reales, sea A = (a1, a2, a3, a4) una base de V y sea B =(b1, b2, b3, b4) una base de W. Se considera una transformacion lineal T : V →W dada por sumatriz asociada TB,A. Construya una base de ker(T) y una base de im(T). Calcule el rango y lanulidad de T . Haga las comprobaciones.
TB,A =
3 2 0 1
2 −1 −2 2
1 3 2 −11 −2 −2 2
.Ejercicio 7. 1%; se baja 0.25% por cada error en la tabla.Se consideran tres transformaciones lineales S, T,U dadas por sus matrices asociadas respectoa ciertas bases:
SB,A =
−4 −3 −4−3 0 2
5 0 0
0 0 0
, TD,C =
[2 −54 −4
], UF ,E =
[3 2 1 −33 1 1 −1
].
Llene la siguiente tabla:
S T U
dim(dominio)dim(contradominio)rango := dim(imagen)nulidad := dim(nucleo)¿es inyectiva?¿es suprayectiva?¿es invertible?
Tarea 5, variante 67, pagina 2 de 3
Ejercicio 8. 1%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Construya una base de ker(T) y una base deim(T). Halle el rango y la nulidad de T . Haga las comprobaciones.
Ejercicio 9. 2%.Sea P : R3 → R3 la transformacion lineal dada por su matriz asociada con respecto a la basecanonica E . Verifique que P2 = P. Construya una base A de im(P) y una base B de ker(P).Haga las comprobaciones.
PE =
−1 −1 1
−4 −1 2
−6 −3 4
.Ejercicio 10. 1%.Seguimos trabajando con la transformacion lineal P del ejercicio anterior. SeaQ = I−P. Calculela matriz QE . Calcule Q2, PQ y QP multiplicando las matrices asociadas correspondientes.
Ejercicio 11. 2%.Construya una base C de im(Q) y una base D de ker(Q). Muestre que los vectores de C soncombinaciones lineales de los vectores de B y vice versa. Muestre que los vectores de D soncombinaciones lineales de los vectores de A y vice versa. ¿Que significa esto en terminos de lossubespacios im(P), ker(P), im(Q), ker(Q)?.
Ejercicio 12. 1%.
Sea v =[1, −2, 3
]>. Calcule los vectores u = P(v) y w = Q(v). Con comprobaciones
directas muestre que u+w = v, u ∈ ker(Q), w ∈ ker(P).
Ejercicio 13. 1%.Denotemos por F al sistema de vectores que se obtiene al juntar las bases A y B de im(P) y deker(P). Escriba la matriz de transicion de E a F (puede denotarla por UE ,F), calcule su inversay haga la comprobacion.
Ejercicio 14. 1%.Calcule las matrices PF y QF asociadas a las transformaciones lineales P y Q con respecto a labase F del ejercicio anterior. Verifique que
PF +QF = I, P2F = PF , Q2F = QF , PFQF = 0, QFPF = 0.
Tarea 5, variante 67, pagina 3 de 3
Engra
peaq
uı
No
dobl
e
Algebra II, licenciatura. Tarea 5. Variante 68.
Transformaciones lineales.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 1%.Demuestre que la funcion f : R2 → R2 definida mediante la siguiente formula no es transforma-cion lineal. Indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.
f(x) =
[x1 + 4x
22
5x1 − x2
].
Ejercicio 2. 2%.Demuestre que la funcion T : P2(R) → P2(R) definida mediante la siguiente regla es una trans-formacion lineal.
(Tf)(x) = (−3x2 − 2x− 1)f ′′(x) + (x+ 3)f ′(x) + 2f(x).
Calcule la matriz TE asociada a T respecto a la base canonica E = (e0, e1, e2). Para comprobacioncalcule Tg aplicando la regla de correspondencia de T , escriba el vector (Tg)E y calcule elproducto TEgE .
e0(x) = 1, e1(x) = x, e2(x) = x2.
g(x) = −5x2 + x+ 2.
Ejercicio 3. 2%.Demuestre que la funcion T : M2(R) → M2(R) definida mediante la siguiente regla es unatransformacion lineal.
T(X) = AX− XA, donde A =
[3 2
−7 −1
].
Calcule la matriz asociada a T respecto a la base E = (E1, E2, E3, E4). Para comprobar larespuesta calcule T(Y) de dos maneras diferentes:
1) usando la matriz asociada;
2) aplicando la regla de correspondencia de T .
E1 =
[1 0
0 0
], E2 =
[0 1
0 0
], E3 =
[0 0
1 0
], E4 =
[0 0
0 1
], Y =
[3 1
1 3
].
Tarea 5, variante 68, pagina 1 de 3
Ejercicio 4. 2%.Sean A y B algunas bases de un espacio vectorial V y sea T : V → V una transformacion lineal.Dadas la matriz TA asociada a T respecto a la base A y la matriz de cambio de base PA,B,calcule la matriz PB,A, compruebe la igualdad PA,BPB,A = I y calcule la matriz TB asociada a Trespecto a la base B.
TA =
0 4 −15 3 −35 1 −1
, PA,B =
3 3 2
4 4 3
4 3 3
.Ejercicio 5. 2%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Calcule las matrices T(F1), T(F2), T(F3), T(F4) yescriba la matriz TF asociada a la transformacion lineal T respecto a la base F = (F1, F2, F3, F4),donde
F1 =
[1 0
0 0
], F2 =
[0 0
1 0
], F3 =
[0 1
0 0
], F4 =
[0 0
0 1
].
Escriba las matrices de cambio PE ,F y PF ,E , compruebe que PE ,FPF ,E = I y PF ,ETEPE ,F = TF .
Ejercicio 6. 1%.Sean V y W espacios vectoriales reales, sea A = (a1, a2, a3, a4) una base de V y sea B =(b1, b2, b3, b4) una base de W. Se considera una transformacion lineal T : V →W dada por sumatriz asociada TB,A. Construya una base de ker(T) y una base de im(T). Calcule el rango y lanulidad de T . Haga las comprobaciones.
TB,A =
1 2 2 3
1 −2 1 2
2 0 −2 −1−3 2 1 −1
.Ejercicio 7. 1%; se baja 0.25% por cada error en la tabla.Se consideran tres transformaciones lineales S, T,U dadas por sus matrices asociadas respectoa ciertas bases:
SB,A =
5 1 −2 −32 0 −1 3
3 0 −3 0
, TD,C =
[3 4
−5 −3
], UF ,E =
5 4
4 3
−3 −2
.Llene la siguiente tabla:
S T U
dim(dominio)dim(contradominio)rango := dim(imagen)nulidad := dim(nucleo)¿es inyectiva?¿es suprayectiva?¿es invertible?
Tarea 5, variante 68, pagina 2 de 3
Ejercicio 8. 1%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Construya una base de ker(T) y una base deim(T). Halle el rango y la nulidad de T . Haga las comprobaciones.
Ejercicio 9. 2%.Sea P : R3 → R3 la transformacion lineal dada por su matriz asociada con respecto a la basecanonica E . Verifique que P2 = P. Construya una base A de im(P) y una base B de ker(P).Haga las comprobaciones.
PE =
5 −2 −46 −2 −62 −1 −1
.Ejercicio 10. 1%.Seguimos trabajando con la transformacion lineal P del ejercicio anterior. SeaQ = I−P. Calculela matriz QE . Calcule Q2, PQ y QP multiplicando las matrices asociadas correspondientes.
Ejercicio 11. 2%.Construya una base C de im(Q) y una base D de ker(Q). Muestre que los vectores de C soncombinaciones lineales de los vectores de B y vice versa. Muestre que los vectores de D soncombinaciones lineales de los vectores de A y vice versa. ¿Que significa esto en terminos de lossubespacios im(P), ker(P), im(Q), ker(Q)?.
Ejercicio 12. 1%.
Sea v =[2, 3, 5
]>. Calcule los vectores u = P(v) y w = Q(v). Con comprobaciones directas
muestre que u+w = v, u ∈ ker(Q), w ∈ ker(P).
Ejercicio 13. 1%.Denotemos por F al sistema de vectores que se obtiene al juntar las bases A y B de im(P) y deker(P). Escriba la matriz de transicion de E a F (puede denotarla por UE ,F), calcule su inversay haga la comprobacion.
Ejercicio 14. 1%.Calcule las matrices PF y QF asociadas a las transformaciones lineales P y Q con respecto a labase F del ejercicio anterior. Verifique que
PF +QF = I, P2F = PF , Q2F = QF , PFQF = 0, QFPF = 0.
Tarea 5, variante 68, pagina 3 de 3