ejemplos de valor anual, futuro

Ejercicios de aplicación exponencial y logarítmica (35 a39)

INSTITUTO TECNOLOGICO DE PUEBLA

MATERIA:Matemáticas V 9-11am

CATEDRATICO:Mario Alberto Lezama Rojas

ALUMNOS:Rivera Sánchez Jesús AntonioZacarías Zepeda RaúlAmado Torres Juan Ulises

Interés Compuesto

“El interés compuestointerés compuesto es la operación financiera en la cual el capital aumenta al final de cada período por adición de los intereses vencidos.” [Vidaurri,1997].

En otras palabras, si a un capital le agregamos los intereses que ha obtenido en un determinado período, y a este nuevo capital e intereses le pagamos un nuevo interés en un período siguiente, entonces, el interés pagado ha sido compuesto.

El interés compuesto se usa principalmente para operar los depósitos en los bancos y en las asociaciones de préstamos y ahorros.

Cuando se deposita el dinero en un banco, el depositante está prestando su dinero al banco por un tiempo definido con el fin de ganar intereses, es decir, está invirtiendo su dinero.

4

El período convenido para convertir el interés en capital se llama período de capitalización o período de conversiónperíodo de capitalización o período de conversión.

La expresión: “período de capitalización semestral”, significa que el interés generado se capitaliza; es decir, se suma al capital, al término de cada 6 meses.

Al igual que en el interés simple, la tasa de interés dada en un problema de interés compuesto será una tasa anual, exceptoque se diga lo contrario.

Tasa de interés nominal y efectiva

La tasa de interés anual aplicable a una inversión o a un préstamo a interés compuesto se llama tasa de interés tasa de interés nominalnominal o simplemente tasa nominal. La tasa nominal es la tasa de interés convenida en la operación financiera.

La tasa efectiva por períodotasa efectiva por período es la tasa de interés que efectivamente se aplica en cada período de capitalización. Esta tasa se obtiene al dividir la tasa nominal anual entre el número de períodos de capitalización que hay en un año.

Formula del interés compuesto:

Formula (1)

Donde:

P=Valor Presente

1=Constante

r=Interés anual (expresado en decimal)

n=Periodo de capitalización, unidad de tiempo, años, meses, diario,…

t= Años..

1n t

rA P

n

× = + ÷

Ejercicio No.35

Si $ 1,000 se invierten el 6% anual y el interés se capitaliza trimestralmente, encuentre el capital al final de:

a) 1 año

b) 2 años

c) 5 años

d) 10 año

primeramente transformamos el interés anual (6%) a decimales:

Entonces nuestro interés anual será: 0.06%.Y como se capitaliza trimestralmente, cada año tiene 4 trimestres así que n=4.

6 0.06100 =

a) 1 año

Usando la formula (1)

Sustituimos valores

Resolvemos la división e inmediatamente realizamos la suma

Finalmente realizamos la exponencial y resolvemos

RESPUESTA

4 10.06

1000 14

A×

= + ÷

( ) 41000 1.015A =

( )1000 1.06136 $1061.36A = =

1n t

rA P

n

× = + ÷

Valores:P= $1000r= 0.06%n= 4t= 1

b) 2 años


Sustituimos valores



RESPUESTA

4 20.06

1000 14

A×

= + ÷

( ) 81000 1.015A =

( )1000 1.12649 $1126.49A = =

1n t

rA P

n

× = + ÷

Valores:P= $1000r= 0.06%n= 4t= 2

c) 5 años


Sustituimos valores



RESPUESTA

4 50.06

1000 14

A×

= + ÷

( ) 201000 1.015A =

( )1000 1.34685 $1346.86A = =

1n t

rA P

n

× = + ÷

Valores:P= $1000r= 0.06%n= 4t= 5

d) 10 años


Sustituimos valores



RESPUESTA

4 100.06

1000 14

A×

= + ÷

( ) 401000 1.015A =

( )1000 1.181401 $1814.01A = =

1n t

rA P

n

× = + ÷

Valores:P= $1000r= 0.06%n= 4t= 10

Grafica

interés compuesto años

1061.36 1

1126.49 2

1346.86 5

1418.02 10

Podemos observar queel interés se comporta de manera crecientecon forme pasan los años el interés va aumentado

Ejercicio No.36

Si $ 1,000 se invierten el 6% anual y el interés se capitaliza mensualmente, encuentre el capital al final de:

a) 1 año

b) 2 años

c) 5 años

d) 10 año


Entonces nuestro interés anual será: 0.06%.Y como se capitaliza mensualmente, cada año tiene 12 meses así que n=12.

6 0.06100 =

a) 1 año (t=1)


Sustituimos valores



RESPUESTA

12 10.06

1000 112

A×

= + ÷

( ) 121000 1.005A =

( )1000 1.06167 $1061.67A = =

1n t

rA P

n

× = + ÷

Valores:P= $1000r= 0.06%n= 12t= 1

b) 2 años


Sustituimos valores



RESPUESTA

12 20.06

1000 112

A×

= + ÷

( ) 241000 1.005A =

( )1000 1.12715 $1127.15A = =

1n t

rA P

n

× = + ÷

Valores:P= $1000r= 0.06%n= 12t= 2

c) 5 años


Sustituimos valores



RESPUESTA

12 50.06

1000 112

A×

= + ÷

( ) 601000 1.005A =

( )1000 1.34885 $1348.85A = =

1n t

rA P

n

× = + ÷

Valores:P= $1000r= 0.06%n= 12t= 5

d) 10 años


Sustituimos valores



RESPUESTA

12 100.06

1000 112

A×

= + ÷

( ) 1201000 1.005A =

( )1000 1.81939 $1819.39A = =

1n t

rA P

n

× = + ÷

Valores:P= $1000r= 0.06%n= 12t= 10

Grafica

interes compuesto años

1061.68 1

1127.16 2

1348.85 5

1819.4 10


Ejercicio No.37

Si $ 1,000 se invierten al 9% anual capitalizado semestralmente, encuentre el tiempo requerido para que el capital exceda a:

a) $ 15000

b) $ 20000

c) $ 30000

t=? Buscaremos el No. Correcto para que nos de la cantidad de los incisos


Entonces nuestro interés anual será: 0.09%.Y como se capitaliza semestralmente, cada año tiene 2 semestres así que n=2.

9 0.09100 =

a) 1 año (t=1)


Sustituimos valores



2 4.610.09

1000 12

A×

= + ÷

( )1000 1.5005 $15,005A = =

?

1n

rA P

n

× = + ÷

Valores:P= $1000r= 0.06%n= 2t= ? R=4.61 5 ≃

añosR=$15000

a) 1 año (t=1)


Sustituimos valores



2 (7.88)0.09

1000 12

A×

= + ÷

( ) 15.761000 1.045A =

( )1000 2.0011 $20,011A = =

?

1n

rA P

n

× = + ÷

Valores:P= $1000r= 0.06%n= 2t= ? R=7.88 8 ≃

añosR=$20,000

a) 1 año (t=1)


Sustituimos valores



2 (12.48)0.09

1000 12

A×

= + ÷

( ) 24.961000 1.045A =

( )1000 3.0001 $30,001A = =

?

1n

rA P

n

× = + ÷

Valores:P= $1000r= 0.06%n= 2t= ?

R=12.48 12.≃5 años

R=$15000

interes compuesto años

15000 5

20000 8

30000 12.5


Ejercicio 38

Un niño deposita $500 en una cuenta de ahorros que paga el interés a una tasa de 6% compuesto anual capitalizado semanalmente. ¿Cuánto tiene en la cuenta después de un año?

Primeramente transformamos el interés anual (6%) a decimales:

Entonces nuestro interés anual será: 0.06%.Y como se capitaliza semanalmente, cada año tiene 52 semestres así que n=52.

6 0.06100 =


Sustituimos valores



RESPUESTA

Valores:P= 500r= 0.06%n= 52t= 1

1n t

rA P

n

× = + ÷

52 10.06

500 152

A×

= + ÷

( ) 52500 1.00115A =

( )500 1.06158 $530.80A = =

años interes compuesto1 530.8

años interes compuesto

1 530.8

Podemos observar que la cantidad aumento de acuerdo a su interés

Conclusión

Como podemos observar, el uso de una formula nos ayuda a poder realizar más rápido un problema, sin embargo cuando al problema le hace falta una variable como en este caso el TIEMPO, es difícil saber cuál sería el numero indicado para poder dar con la solución, y hay que estar jugando con los numero hasta poder llegar al correcto ya sea entero o decimal como en los ejemplos.

Valor Futuro

El valor futuro de la serie uniforme ordinaria es un pago único futuro, el cual está ubicado al final del plazo o término de la serie, exactamente donde ocurre el último pago.

La fórmula para calcular el valor futuro es la siguiente:

Donde:

VF = Valor futuro

P = Cantidad presente

i = Tasa de interés anual (expresado en forma decimal)

n = Periodo de capitalización, unidad de tiempo, años, meses, diario,…

( )1n

VF P i= +

Comentario

El valor futuro, es aquel valor que por lo contrario del valor presente, se realiza con anticipación, pero generalmente se aplica en una serie de pagos, tomando como valor futuro el último pago a realizar.

Ejercicio 39

Calcular el valor futuro de $100,000a un año; al 32% anual

Usando la formula

Sustituimos valores

Resolvemos la exponencial y la suma

Resolvemos la multiplicación

( )1n

VF P i= +

( ) 1100000 1 0.32VF = +

( )100000 1.32VF =

( )100000 1.32 $132,000VF = =

Conclusión

El valor futuro solo es el incremento de una cantidad de acuerdo al interés que se desee elevar e igual que el interés capitalizado este se pude capitalizar

ejemplos de valor anual, futuro

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