ejemplos de deflexion de vigas

7/18/2019 Ejemplos de Deflexion de Vigas

http://slidepdf.com/reader/full/ejemplos-de-deflexion-de-vigas 1/21

ESTUDIO DE VIGAS

1.1 DEFLEXIÓN DE UNA VIGA1.1.1. VIGA.- En ingeniería y arquitectura se denoina !iga a un e"eento constructi!o

"inea" que tra#a$a %rinci%a"ente a &"e'i(n. En "as !igas "a "ongitud %redoinaso#re "as otras dos diensiones y sue"e ser )ori*onta".En "as !igas "a "ongitud %redoina so#re "as otras dos diensiones y sue"e ser

)ori*onta".E" es&uer*o de &"e'i(n %ro!oca tensiones de tracci(n y co%resi(n+%roduci,ndose "as 'ias en e" cord(n in&erior y en e" cord(n su%erior res%ecti!aente+ "as cua"es se ca"cu"an re"acionando e" oento &"ector y e"segundo oento de inercia. En "as *onas cercanas a "os a%oyos se %roducenes&uer*os cortantes. a#i,n %ueden %roducirse tensiones %or torsi(n+ so#retodo en "as !igas que &oran e" %eríetro e'terior de un &or$ado.Estructura"ente e" co%ortaiento de una !iga se estudia ediante un ode"ode %risa ecnico.

Figura /1.

1.0 EE DE 2I3E45A

Un e$e de sietría es una "ínea iaginaria que a" di!idir una &ora cua"quiera+ "o)ace en dos %artes cuyos %untos o%uestos son equidistantes entre sí+ es decir+quedan si,tricos

1

http://es.wikipedia.org/wiki/Ingenier%C3%ADa

http://es.wikipedia.org/wiki/Arquitectura

http://es.wikipedia.org/wiki/Flexi%C3%B3n_(ingenier%C3%ADa)

http://es.wikipedia.org/wiki/Tensi%C3%B3n_mec%C3%A1nica

http://es.wikipedia.org/wiki/Tracci%C3%B3n

http://es.wikipedia.org/wiki/Compresi%C3%B3n

http://es.wikipedia.org/wiki/Momento_flector

http://es.wikipedia.org/wiki/Segundo_momento_de_inercia

http://es.wikipedia.org/wiki/Esfuerzo_cortante

http://es.wikipedia.org/wiki/Torsi%C3%B3n_(ingenier%C3%ADa)

http://es.wikipedia.org/wiki/Forjado

http://es.wikipedia.org/wiki/Prisma_mec%C3%A1nico

http://es.wikipedia.org/wiki/Forma

http://es.wikipedia.org/wiki/Puntos

http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Sim%C3%A9tricos&action=edit

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Viga deformada por flexiónFigura /0.

6ara una !iga e"stica en "a que se a%"ican s("o oentos M 1 y M 0+ "a &ora de "acur!a e"stica de%ende s("o de dos %aretros inde%endientes+ "a &oraa%ro'iada de "a de&orada de%ender de" !a"or y signo re"ati!o de estosoentos+ siendo un caso tí%ico e" ostrado en "a &igura adyacente. Escri#iendo "a"ey de oentos &"ectores %ara "os %untos interedios de "a !iga y escogiendo "as

condiciones de contornos ""egaos a "a ecuaci(n di&erencia" siguiente7

2

2 112

( ) 1

z

M M d v x M x

dx EI L

− = + ÷

2 1

2 1

( ) (0)

( ) (0)

v L v

v L v L

δ δ δ

δ θ θ

− = − = ′ ′− = − =

La so"uci(n ana"ítica de ecuaci(n anterior con cua"quiera de "os dos %osi#"ese"ecciones de contorno+ se o#tiene coo7

3 2 3 2

2 1 23 2 3 2

3 5 2 3( ) ( )

x x x x x xv x L L

L L L L L Lθ θ θ

= − − + − + − + ÷ ÷

CAPÍTULO II: ECUACIONES DIE!ENCIALES LINEALES

0.1 E8UA8I9NE2 DIFE4EN8IALE2 LINEALE2De "a ecuaci(n Di&erencia" Linea" de orden n7

( ) ( 1)

1 1 0( ) ( ) ... ' ( )n n

n na x y a x y a y a y f x−−+ + + + = : 1( )α

Donde( ) 0na x ≠

8uando n;1+ se o#tiene7

1 0( ) ( ) ( )dy

a x a x y f xdx

+ = + 1( ) 0a x ≠ :. 2( )α

L"aada E8UA8IÓN DIFE4EN8IAL LINEAL DE 64I3E4 94DEN+

Donde 1 0, ,a a f son &unciones so"aente de ' o constantes.

2



Di!idiendo a "a ecuaci(n 2( )α %or 1( ) 0a x ≠ 7

2

1 1

( ) ( )

( ) ( )

a xdy f x y

dx a x a x+ =

( ) ( )dy

p x y q xdx

+ = : 3( )α

( ), ( ) p x q x 2on &unciones de ' o constantes

La ecuaci(n 3( )α se ""aa ecuaci(n di&erencia" "inea" de %rier orden en y.

2i ( ) 0q x = + "a ecuaci(n 3( )α se ""aa ecuaci(n di&erencia" "inea" )oog,nea+ caso

contrario es no )oog,neo+ y es una ecuaci(n de !aria#"e se%ara#"e+ cuya so"uci(nes7

( ) ( ) ( )dy

p x dx Ln y p x dx y

= − → = −∫

( ) p x dx y ke −∫ =

2i ( ) 0q x ≠ + "a ecuaci(n 3( )α

( ) ( )dy

p x y q xdx

+ = + se ""aa ecuaci(n di&erencia" "inea" no )oog,nea+ no es

E'acta+ %or tanto se #usca un &actor integrante %ara su so"uci(n.

2i ( ) I x es un &actor integrante so"o de ' a "a ecuaci(n 3( )α "o e'%resaos %or7

[ ]( ) ( ) 0 p x y q x dx dy− + = : 4( )α

A)ora u"ti%"icado %or ( ) I x

[ ]( ) ( ) ( ) ( ) 0 I x p x y q x dx I x dy− + = Es una ecuaci(n di&erencia" e'acta+ %or tanto

[ ]

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

( )( ) ( ( )) ( )

p x dx

I x p x q x I x

y x

dI x I x e p x

dx

dI x p x dx Ln I x p x dx

dx

∂ − ∂=

∂ ∂

∫ = =

= = → =∫ ∫ ∫

E&ectuando

3



( )( ) ( )

dI x I x p x

dx= + de donde agru%ando se tiene7

( )( )

dI x p x dx

dx=

Integrando res%ecto a '

( )( ) ( ( )) ( )

dI x p x dx Ln I x p x dx

dx= → =∫ ∫ ∫

De donde

( )( )

p x dx I x e∫ = + I<X=7 es e" &actor de integraci(n.

3u"ti%"icando a "a ecuaci(n 4( )α %or I<X=7

[ ]( ) ( )

( ) ( ) 0 p x dx p x dx

e p x y q x dx e dy∫ ∫ − + =

Agru%ando+ teneos7

( ) ( ) ( )( ) ( )

p x dx p x dx p x dxe p x ydx e dy e q x dx∫ ∫ ∫ + =

( ) ( )( )

p x dx p x dxd e y e q x dx

∫ ∫ = ÷

Integrando

( )( )( )

p x dx p x dxe y e q x dx c

∫ ∫ = +∫ De donde

( )( )( )

p x dx p x dx

y e e q x dx c− ∫ ∫ = + ∫

Es "a so"uci(n genera" de "a ecuaci(n 3( )α

E"emplo#4eso"!er7

2 2 2(1 ) (1 ) 2 (1 ) 2 tandy

x Ln x xy Ln x xArc xdx

+ + − = + −

donde / 2 y π → − + cuando x → ∞

4



Sol$%iónDndo"e "a &ora de ecuaci(n di&erencia" "inea"+ se o#tiene7

2 2 2 2 2

2 1 2 tan

(1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 )

dy x xArc x y

dx x Ln x x x Ln x− = −

+ + + + +

Donde

2 2

2( )

(1 ) (1 )

x p x

x Ln x= −

+ ++ 2 2 2

1 2 tan( )

(1 ) (1 ) (1 )

xArc xq x

x x Ln x= −

+ + +

Luego su so"uci(n es.

( )( )( )

p x dx p x dx y e e q x dx c

− ∫ ∫ = + ∫

2 2 2 2

2 2

(1 ) (1 ) (1 ) (1 )2 2 2

1 2 tan

(1 ) (1 ) (1 )

x xdx dx

x Ln x x Ln x xArc x

y e e dx c x x Ln x

− −−

+ + + +

∫ ∫ = − + ÷+ + + ∫

( )( ) ( )( )22 ln 1ln 1

2 2 2

1 2 tan

(1 ) (1 ) (1 )

Ln x Ln x xArc x y e e dx c

x x Ln x

− ++ = − + ÷+ + +

∫

2

2 2 2 2 2

1 2 tan(1 )

(1 ) (1 ) (1 ) (1 )

xArc x y Ln x dx c

x Ln x x Ln x

= + − + ÷+ + + +

∫

2

2

rctan(1 )

(1 )

A x y Ln x d dx c

Ln x

= + + ÷+

∫

2

2

rctan(1 )

(1 )

A x y Ln x c

Ln x

= + + +

8oo / 2 y π → − + cuando x → ∞ + entonces 0c =

rctan y A x=

&#& !EDUCCI'N DE O!DEN5



&#&#( ECUACI'N DIE!ENCIAL DE )E!NOULLI 2i "a ecuaci(n di&erencia" no es "inea"+ se de#e )acer "a trans&oraci(n a "inea"+ uno de"os ,todos es reso"!er una ECUACI'N DIE!ENCIAL DE )E!NOULLI# >ue es de "a&ora siguiente7

( ) ( ) ndy

p x y q x ydx

+ = + 1n ≠ :.. 5( )α

( ) ( )

dy

p x y q xdx + = : 3( )α

8oo se o#ser!a dic)a ecuaci(n no es "inea" + %riero de#e trans&orarse en unaecuaci(n di&erencia" "inea".

2E8UEN8IA A 2EGUI47

1?.- A "a ecuaci(n 5( )α u"ti%"icar"o %or n y−

1( ) ( )n ndy y p x y q x

dx

− −+ = ::.. 6( )α

0?.- 3u"ti%"icando a 6( )α

%or(1 )n

−1(1 ) (1 ) ( ) (1 ) ( )n ndy

n y n p x y n q xdx

− −− + − = − ... 7( )α

@?.- 2i 1 n z y −= +entonces (1 ) ndz dyn y

dx dx

−= − : 8( )α

?.- 4ee%"a*ar 8( )α en 7

( )α 7

(1 ) ( ) (1 ) ( )dz

n p x z n q xdx

+ − = − : 9( )α

Donde 9( )α ya es una ecuaci(n di&erencia" "inea" en * de %rier orden.

E"emplo4eso"!er 33 (1 3 )tdq q tSent q sent dt = + − :< β =

2o"uci(n. A dic)a ecuaci(n se "e trans&ora a ecuaci(n di&erencia" de Bernou""i+ %ara "uego

trans&orar"o a una Ecuaci(n Di&erencia" Linea". ( ) ( ) ndq p t q r t q

dt + = + 1n ≠ +

Esto es7

413

dq tSent Sent q qdt t t +− = − : 10( )α

Donde

10( )α es una ecuaci(n di&erencia" de Bernou""i+

1( )

3

tSent p t

t

+= − C ( )

Sent r t

t = −

4 4nq q n= → =

3u"ti%"icando ecuaci(n 10( )α %or 4q−

6



4 4 4 41

3

dq tSent Sent q q q q q

dt t t

− − −+− = −

4 31

3

dq tSent Sent q q

dt t t

− −+− = − :. 11( )α

3u"ti%"icando %or 1-n;1-; -@ a "a ecuaci(n 11( )α

4 313 3

dq tSent Sent q q

dt t t

− −+− + = :. 12

( )α

2ea 3 43dz dq

z q qdt dt

− −= → = − : 13( )α

A)ora ree%"a*ando 13( )α en 12

( )α 7

13

3

dz tSent Sent z

dt t t

++ = : 14

( )α

14α es una ecuaci(n di&erencia" "inea" en * de %rier orden.

Donde a" reso"!iendo en &ora ana"ítica se tiene que7

1 3( ) ; ( )

tSent Sent p t q t

t t

+= =

cuya so"uci(n es7

( )( )( )

p t dt p t dt z e q t e dt c

− ∫ ∫ = + ∫ 1

13

tSent dt tSent

dt t

t

Sent

z e e dt ct

++

− ∫ ∫ = + ∫

( )

( ) 3 Lnt Cost

Lnt Cost Sent z e e dt c

t

−− −

= + ∫

3Cost

Cost e z e c

t

− = + e" iso que coincide con e" o#tenido con 3at)eatica.

A)ora sustituios 3 z q−= 7

3 3Cost

Cost eq e c

t

− − = + es "a so"uci(n de "a ecuaci(n di&erencia" < β =

7



&#&#&# ECUACI'N DIE!ENCIAL DE !ICCATI

La ecuaci(n di&erencia" de 4iccati es de "a &ora7

2( ) ( ) ( )dy

p x y q x y r xdx

= + + : 1( ) ρ

a" que ( ), ( ), ( ) p x q x r x son &unciones so"o de '.La idea a seguir+ es de tras&orar"o a "a &ora de una ecuaci(n de Bernou""i+ %ara"uego trans&orar"o a una ecuaci(n di&erencia" "inea".En e&ecto "a ecuaci(n 1( ) ρ no se %uede reso"!er %or e" ,todo de Bernou""i+ ni es

ecuaci(n di&erencia" "inea"+ sin e#argo si se conoce una so"uci(n %articu"ar+entonces se %uede encontrar "a so"uci(n de "a ecuaci(n di&erencia".2u%oniendo que ( ) y xψ = es una so"uci(n %articu"ar+ entonces se %uede )a""ar "aso"uci(n de "a ecuaci(n di&erencia" )aciendo

( ) y x z ψ = +

Donde z es una &unci(n inc(gnita que se !a deterinar con "a ayuda de "a ecuaci(ndi&erencia".

Es decir

'( ) ( )dz dz

y x z xdx dx

ψ ψ = + → = + :. 2( ) ρ

4ee%"a*ando 2( ) ρ en 1( ) ρ 7

[ ] [ ] 2' ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

dz x p x x z y q x x z r x

dxψ ψ ψ + = + + + + :. 3( ) ρ

4eordenando t,rinos se o#tiene7

[ ] 2 ' 2( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0dz

p x x q x z q x z x p x x q x x r xdx

ψ ψ ψ ψ − + − + − − − =

Luego' 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 x p x x q x x r xψ ψ ψ − − − = :. 3( ) ρ

dado que ( ) y xψ = es una so"uci(n de "a ecuaci(n di&erencia" de 4iccati.

En consecuencia

[ ] 2( ) 2 ( ) ( ) ( ) 0dz

p x x q x z q x z dx

ψ − + − =

[ ] 2( ) 2 ( ) ( ) ( )dz

p x x q x z q x z dx

ψ − + = : 4( ) ρ

8



De donde se o#ser!a que 4( ) ρ ya es una ecuaci(n di&erencia" de Bernou""i. 6or tanto

se %uede trans&orar a una ecuaci(n di&erencia" "inea".

E"emplo4eso"!er "a ecuaci(n di&erencia"7

2

2

1 11

dy y y

dx x x= + − : 5( ) ρ

donde una de "as so"uciones es y x=

Sol$%ión

La ecuaci(n di&erencia" 5( ) ρ es de 4iccati+ es decir es de "a &ora 1( ) ρ +

Donde

1( ) p x

x= +

2

1( )q x

x= + ( ) 1r x = + son &unciones que de%enden so"o de ' . Asiiso

( ) y x xψ = = es una so"uci(n %articu"ar.

2ea

( ) y x x z ψ = = +

La so"uci(n de "a ecuaci(n di&erencia" dada+ donde z es una &unci(n %or deterinar.

1dy dz

y x z dx dx

= + → = + : 6( ) ρ

4ee%"a*ando 6( ) ρ en 5

( ) ρ 7

[ ] [ ] 2

2

1 11 1

dz x z x z

dx x x+ = + + + −

2i%"i&icando se o#tiene7

2

2

3 1dz z z

dx x x− = : 7( ) ρ

Donde o#ser!aos c"araente que es una ecuaci(n di&erencia" de Bernou""i+ %orquetiene "a &ora de7

( ) ( ) ndz a x z b x z

dx+ = + 1n ≠

Donde

9



3( )a x

x= − C

2

3( )b x

x= + 2n =

3u"ti%"icando %or 2 z − 2 z −

2 1

2

3 1dz z z

dx x x

− −− = : 8( ) ρ

3u"ti%"icando %or 1-n;1-0; -1 a "a ecuaci(n 8( ) ρ

2 1

2

3 1dz z z

dx x x

− −− + = −

2ea 1 2dw dz w z z

dx dx

− −= → = − : 9( ) ρ

A)ora ree%"a*ando 9( ) ρ en 8( ) ρ 7

2

3 1dww

dx x x− = − : 10( ) ρ es una ecuaci(n di&erencia" "inea" en de %rier orden+

10( ) ρ es una ecuaci(n di&erencia" "inea" en * de %rier orden

A)ora reso"!iendo en &ora ana"ítica se tiene7

2

3 1( ) ; ( ) p x q x

x x= − = −

cuya so"uci(n es7

( )( )( )

p x dx p x dxw e q x e dx c

− ∫ ∫ = + ∫ 3

3

2

1 dx

dx x xw e e dx c

x

−− − ∫ ∫ = − +

∫

( 3 )

3

2

1 Lnx

Lnx

w e e dx c x

−

= − + ∫ 3

4

1

4w x c

x

= + : 11( ) ρ

10



4ee%"a*ando 1w z −= se tiene7

1 3

4

1

4 z x c

x

− = + : 12

( ) ρ

6ero1 y x z w z −= + → = : 13( ) ρ

13( ) ρ en 12

( ) ρ 7

1 3

4

1( )

4 y x x c

x

− − = +

Es "a so"uci(n de "a ecuaci(n di&erencia" 5( ) ρ .

CAPÍTULO III: *ODELACI'N CON ECUACIONES DIE!ENCIALES DE O!DEN SUPE!IO!

3.1 ECUACIONES DIE!ENCIALES LINEALES: P!O)LE*AS DE VALO!ES ENLA !ONTE!A + DELE,I'N DE UNA VIGA + VIGA E*POT!ADA#

8on &recuencia+ "a descri%ci(n atetica de un sistea &ísico requiere "aso"uci(n de una ecuaci(n di&erencia" su$eta a condiciones en "a &ronteraC es decir condiciones es%eci&icadas %ara "a &unci(n desconocida o una de sus deri!adas+ einc"uso %ara una co#inaci(n de "a &unci(n desconocida y una de sus deri!adas+en dos o s %untos distintos.

De-.ia%ión de $na .iga#/ 3uc)as estructuras se construyen a #ase de !igasque se des!ían o distorsionan %or su %ro%io %eso o %or "a in&"uencia de a"guna&uer*a e'terna. 6ues a)ora estudiareos esta des!iaci(n78onsidereos dic)a des!iaci(n %or ( ) y x "a isa que esta deterinada %or unaecuaci(n di&erencia" "inea" de cuarto orden.

Asuiendo que una !iga de "ongitud L es )oog,nea y tiene secci(ntrans!ersa" uni&ore en toda su "ongitud. 8uando no reci#e carga a"guna+inc"uyendo su %ro%io %eso+ "a cur!a que une "os centroides de sus seccionestrans!ersa"es es una recta que se ""aa e"e de -ime0r1a <Fig. /1=.

11



Figura 1@

2i a "a !iga se "e a%"ica una carga en un %"ano !ertica" que contenga quecontenga a" e$e de sietría+ su&re una distorsi(n y "a cur!a que une "os centroidesde "as secciones trans!ersa"es se ""aa %$r.a de de-.ia%ión2 %$r.a el3-0i%a2 osi%"eente el3-0i%a# La e"stica a%ro'ia "a &ora de "a !iga. 2u%ongaos quee" e$e x coincide con e" e$e de sietría y que la de-.ia%ión <o fle%4a= ( ) y x +

edida desde e" e$e+ es %ositi!a si es )acia a#a$o. En teoría de "a e"asticidad sedeuestra que e" oento &"e'ionante ( ) M x en un %unto x a "o "argo de "a

!iga+ se re"aciona con "a carga %or unidad de "ongitud ( )w x ediante "a siguienteecuaci(n7

2

2 ( )

d M w x

dx= 1

( )γ

Ades e" oento &"e'ionante ( ) M x es %ro%orciona" a "a cur!a+ κ + de "ae"stica7

( ) M x EI κ =

Donde E e I son constantes+ E es e" (du"o de oung de e"asticidad de"ateria" de "a !iga e I es e" oento de inercia de "a secci(n trans!ersa" de ,sta<res%ecto de un e$e ""aado e$e neutro=. E" %roducto EZ se denoina rigide5 ala flexión de "a !iga.De acuerdo a" c"cu"o di&erencia"+ "a cur!atura es7

32 2

''

1 ( ')

y

y

κ = +

2( )γ

8uando "a des!iaci(n ( ) y x es %equea es %equea+ "a %endiente ' 0 y ≈ + deodo que7

32 21 ( ') 1 y + ≈

2i '' yκ = + entonces e" oento &"e'ionante se trans&ora en '' M EIy= .La segunda deri!ada de esta ecuaci(n es7

2 2 4

2 2 4''

d M d d y EI y EI

dx dx dx

= = 3( )γ

4e%"a*ando resu"tado de 1( )γ en 3( )γ y !eos que "a des!iaci(n ( ) y x satis&ace

"a siguiente ecuaci(n di&erencia"7

4

4 ( )

d y EI w x

dx= 4( )γ

12



Las condiciones en "a &rontera asociados a esta ecuaci(n de%enden de "a &oraen que estn sostenidos "os e'treos de "a !iga. Una !iga en !o"adi*o <encanti"i!er= est empo0rada en un e'treo y "i#re en e" otro. E" a"a de un a!i(n+un #ra*o e'tendido+ "as astas de #anderas+ "os rascacie"os son e$e%"oscounes de !igas en !o"adi*o y "os oentos %ueden tra#a$ar coo !igas en!o"adi*o+ ya que estn e%otrados en su #ase y su&ren "a &uer*a de" !iento+ que"os tiende a &"e'ionar. 6ara una !iga en !o"adi*o+ "a des!iaci(n ( ) y x de#esatis&acer "as dos condiciones siguientes en e" e'treo e%otrado en 0 x = 7

a= (0) 0 y = + %orque no )ay des!iaci(n en ese "ugar+ y#= '(0) 0 y = + %orque "a cur!a de des!iaci(n es tangente a" e$e x <es decir+ "a%endiente de "a cur!a de des!iaci(n es cero en ese %unto=.

8uando x L= "as condiciones de" e'treo "i#re son7a= ''( ) 0 y L = + %orque e" oento &"e'ionante es cero

#= '''( ) 0 y L = + %orque "a &uer*a cortante es cero.

La &unci(n73

3( )

dM d y F x EI

dx dx

= = 5( )γ

2e ""aa &uer*a cortante. 2i un e'treo de una !iga est -implemen0e apo6ado<a esto ta#i,n se "e ""aa e#isagrado+ articu"ado o e%ernado=+ se de#ecu%"ir que (0) 0 y = y ''(0) 0 y = en ese e'treo.

A continuaci(n se uestra una ta#"a de "as condiciones en "a &rontera asociadas

con "a ecuaci(n 4( )γ 7

Ex0remo- deLa .iga

Condi%ione- enLa fron0era

E%otrado (0) 0 y = + '(0) 0 y =

Li#re ''(0) 0 y = + '''(0) 0 y =

2i%"eentea%oyado

(0) 0 y = + ''(0) 0 y =

E7E*PLO/ VIGA E*POT!ADA#

Una !iga de "ongitud L est e%otrada en a#os e'treos. Deterine "a

des!iaci(n de esa !iga si sostiene una carga constante+ 0w + uni&oreente

distri#uida en su "ongitudC esto es 0( )w x w= + 0 x L< < .

Sol$%ión2egn "o que aca#aos de %"antearC "a des!iaci(n ( ) y x satis&ace a

13



4

04

d y EI w

dx= 6( )γ

Dado que "a !iga est e%otrada en su e'treo i*quierdo < 0 x = = y en sue'treo derec)o ( ) x L= + no )ay des!iaci(n !ertica" y "a e"stica es )ori*onta" eesos %untos. De esta anera "as condiciones en "a &rontera son7

(0) 0, '(0) 0, ( ) 0, '( ) 0 y y y L y L= = = =

6odeos reso"!er deterinando c y teniendo en cuenta que 0m = es una raí* de

u"ti%"icidad cuatro de "a ecuaci(n au'i"iar 4 0m = + "uego deterinaos una

so"uci(n %articu"ar p y %or e" ,todo de coe&icientes indeterinados. a#i,n

%odeos reso"!er integrando cuatro "a ecuaci(n74

0

4

wd y

dx EI = 7( )γ

2e o#tiene coo so"uci(n genera"7

2 3 401 2 3 4( )

24

w y x c c x c x c x x

EI = + + + + 8( )γ

8on "as condiciones (0) 0, '(0) 0 y y= = se o#tiene 1 20 0c y c= = +

2in e#argo "as otras condiciones restantes ( ) 0, '( ) 0 y L y L= = a%"icados a "aecuaci(n7

2 3 403 4( )

24

w y x c x c x x

EI = + + 9( )γ

Dan origen a7

2 3 403 4

2 303 4

024

2 3 0

6

wc L c L L

EI

wc L c L L

EI

+ + =

+ + = 10( )γ

4eso"!iendo e" sistea 10( )γ se o#tiene7

2

0 03 4

24 12

w L w Lc y c

EI EI

−= = 11( )γ

H En consecuencia "a des!iaci(n es714



( )2

22 3 4 20 0 0 0( )24 12 24 24

w L w L w w y x x x x x x L

EI EI EI EI = − + = − 12( )γ

2i 0 24 1w EI L= ∧ = + se o#tiene "a gr&ica de "a cur!a e"stica de "a &igura 1

Figura 1

8#& VALO!ES P!OPIOS 9 UNCIONES P!OPIAS EIGENVALO!ES 9EIGENUNCIONES;En "as a%"icaciones e'isten uc)os %ro#"eas+ que son %ro#"eas de !a"or en "a&rontera en dos %untos+ donde inter!iene una ecuaci(n di&erencia" que contieneun %aretro λ . 2e trata de )a""ar "os !a"ores de λ %ara "os cua"es e" %ro#"eade !a"or en "a &rontera tenga so"uciones no tri!ia"es.

E"emplo: De Sol$%ione- No Tri.iale- De Un Pro<lema De Valor En Laron0era#

4eso"!er e" %ro#"ea de !a"or en "a &rontera

'' 0, (0) 0, ( ) y y y y L cl λ + = = =

Sol$%ión#8onsidereos tres casos7 0, 0 0 yλ λ λ = < >

CASO I# 2i 0λ = + "a so"uci(n de '' 0 y = es7

1 2 y c x c= +

Las condiciones (0) 0, ( ) 0 y y L= = i%"ican 2 10 0c y c= = + %or tantocuando 0λ = + "a nica so"uci(n a" %ro#"ea de !a"or en "a &rontera es "a tri!ia"

0 y = .

CASO II# 2i 0λ < +1 2 y c Cosh x c Senh xλ λ = − + − +

De (0) 0 y = se o#tiene 1 0c = y así2 y c Senh xλ = − .

15



La segunda condici(n+ ( ) 0 y L = o#"iga a que2 0c Senh xλ − = . Dado que +

se de#e cu%"ir 2 0c = C %or consiguiente+ 0 y = .

CASO III# 8uando 0λ > + so"uci(n genera" de '' 0 y yλ + = es7

1 2 y c Cos x c Sen xλ λ = + .

coo (0) 0, y = se o#tiene 1 0c = + %ero ( ) 0, y L = i%"ica que7

2 0c Senh xλ = .2i 2 0c = + se o#tiene 0 y = C e%ero si 2 0c ≠ + entonces 0Sen xλ = . 2in

e#argo "a "tia condici(n indica que e" arguento de "a &unci(n seno )a de ser un "ti%"o entero de π 7

L nλ π = es decir2 2

2 , 1, 2, 3,...

nn

L

π λ = =

6or "o tanto+ %ara todo rea" 2c di&erente de cero+ 2

n x y c Sen

L

π = ÷

es una

so"uci(n de" %ro#"ea %ara cada n . Dado que "a ecuaci(n di&erencia"+ es)oog,nea+ no necesitaos escri#ir 2c si así "o deseaosC es decir+ %ara un

nero dado de "a sucesi(n

2 2 2

2 2 2

4 9, , ,...

L L L

π π π

La &unci(n corres%ondiente en "a sucesi(n

2 3, , ,...Sen x Sen x Sen x

L L L

π π π

Es una so"uci(n no tri!ia" de" %ro#"ea origina".

Los neros2 2

2 , 1, 2, 3,...n

nn

L

π λ = = %ara "os que e" %ro#"ea de !a"or en

"a &rontera de" e"emplo an0erior tiene so"uciones no tri!ia"es se ""aan .alore-%ara%0er1-0i%o- o .alore- propio-#

Las so"uciones con res%ecto a esos !a"ores den

λ coo2n

n x y c Sen

L

π = ÷

o

si%"eente n

n x y Sen

L

π = ÷

se ""aan &unciones características+ &unciones

%ro%ias.

16



8#8 CU!VATU!A DE UNA COLU*NA VE!TICAL ES)ELTA#

En e" sig"o !III Leon)ard Eu"er &ue uno de "os %rieros ateticos enestudiar un %ro#"ea de !a"ores %ro%ios a" ana"i*ar c(o se cur!a una co"unae"stica es#e"ta soetida a una &uer*a a'ia" de co%resi(n.E'ainando una co"una !ertica" "arga y es#e"ta de secci(n trans!ersa" uni&orey "ongitud L . 2ea ( ) y x "a cur!atura de "a co"una a" a%"icar"e una &uer*a !ertica"de co%resi(n+ o carga+ " + en su e'treo su%erior !er Figura 1. A" co%arar "os oentos &"e'ionantes en cua"quier %unto de "a co"una se o#tiene7

2

2

d y EI "y

dx= − es decir

2

2 0

d y EI "y

dx+ =

Donde E es e" (du"o de e"asticidad de oung e I es e" oento de inercia deuna secci(n trans!ersa" con res%ecto a una recta !ertica" %or e" centroide.

Figura 1

E"emplo: De Pro<lema !ela%ionado Con Valore- Propio-#

Deterinar "a des!iaci(n de una co"una )oog,nea+ de"gada y !ertica" dea"tura L + soetida a una carga a'ia" " constante. La co"una se encuentraarticu"ada en sus dos e'treos.

Sol$%ión#E" %ro#"ea de !a"or en "a &rontera que se de#e reso"!er es7

2

2 0, (0) 0, ( ) 0

d y EI "y y y L

dx+ = = =

0 y = es una so"uci(n !a"ida %ara este %ro#"ea+ "o que indica que si "a carga "

no es su&icienteente grande+ entonces no )ay de&"e'i(n. Luego J%ara qu,

17



!a"ores de " se cur!a "a co"unaK. En t,rino ateticos7 J%ara qu, !a"oresde " e" %ro#"ea de !a"or en "a &rontera tiene so"uciones no tri!ia"esK

aciendo "a sustituci(n "

EI λ = se o#tiene7

'' 0, (0) 0, ( ) 0 y y y y Lλ + = = =

Es id,ntica a" %ro#"ea de so"uciones no tri!ia"es de un %ro#"ea de !a"or en "a

&rontera+ en e" caso III de este %ro#"ea se o#ser!a que "as cur!as de des!iaci(nson7

2( )n

n x y x c Sen

L

π = ÷

+ que corres%onden a "os !a"ores %ro%ios

2 2

2 , 1, 2, 3,...n

n

" nn

EI L

π λ = = =

Esto quiere decir &ísicaente+ que "a co"una se des!ía s("o cuando "a &uer*a de

co%resi(n tiene uno de "os !a"ores

2 2

2 , 1, 2, 3,...n

n EI " n

L

π = =

Estas &uer*as se ""aan %arga- %r10i%a-. La cur!a de de&"e'i(n que corres%onde

a "a ínia carga crítica+2

1 2

EI "

L

π = se denoina %arga de E$ler y es

1 2( ) x

y x c Sen L

π = ÷

C esta &unci(n se conoce coo primer modo de

de-.ia%ión.

En "a siguiente &igura !eos "as cur!as de des!iaci(n de" %resente e$e%"o+ que

corres%onden %ara 1, 2 3n n y n= = = . 2i "a co"una origina" tiene a"gn ti%o de

restricci(n &ísica o guía en2

L x = + "a carga crítica ínia ser

2

2 2

4 EI "

L

π = + y

"a cur!a de de&"e'i(n ser "a de "a &igura<=. 2i %onen guías a "as co"unas en

3

L x = y en

2

3

L x = + "a co"una no se des!iar sino )asta a%"icar"e "a carga

crítica2

3 2

9 EI "

L

π = y "a cur!a de des!iaci(n ser "a que se i"ustra en "a &igura

%; . JD(nde se de#erían %oner guías en "a co"una %ara que "a carga de Eu"er

sea 4 " K

18



Figura 1M

19



)I)LIOG!AÍA

1. 8our#(n+ $ 4esistencia de 3ateria"esEd. Agui"ar 2.A 3adrid Es%aa. 1OMP.

0. 8.. Edards+ r. Ecuaciones Di&erencia"es E"eenta"es Da!id E. 6enney 6ro#"eas con condiciones en "a &rontera.

20



6rentice-i"". is%anoaericana 2.A3e'ico 1OO@.

@. Dennis G. Qi"" Ecuaciones Di&erencia"es con A%"icacionesde ode"ado 3ode"aci(n.Internatriona" )oson Editores. 2.A.Bogot 0///.

. Erin Rreys*ig 3ateticas A!an*adas %ara Ingeniería.Editoria" Liusa+ 2.A. de 8.V.3e'ico.0//0.

. Fit*gera"ds+ 4o#ert S. 3ecnica de 3ateria"es Gru%o editor A"&a y9ega+ 2.A. de 8.V. 3e'ico.1OOM.

M. an . ua 6). D. eoría y %ro#"eas de An"isisEstructructura"Ed. 3c. Gra-i"". Inc-U2A.1OT/.

T. e&&ery 6.Lai#"e An"isis Estructura"

Ed. 3c. Gra-i"". Interaericana3e'ico 1OO0.

P. 4o#ert L. Borre""i Ecuaciones Di&erencia"es una 6ers%ecti!a 8ourtney 2. 8o"ean de 3ode"aci(n.

Uni!ersity 6ress3e'ico 2.A de 8.V.

O. 4ousse" 8. i##e"er An"isis Estructura"Ed. 6rentice-i"". is%anoaericana 2.A3e'ico 1OOM.

1/. 4ousse" 8. i##e"er Ingeniería 3ecnica - EstticaEd. 6rentice-i"". is%anoaericana 2.A3e'ico 1OOM.

ejemplos de deflexion de vigas

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