Ejemplo 3. Viga en voladizo con carga distribuida.

1. OBJETIVO: Representar en un modelo numérico

una estructura isostática de hormigón y comparar los resultados obtenidos con la solución analítica.

Variar algunos parámetros del modelo numérico y estudiar la influencia de esta variación en los resultados.

2. GEOMETRÍA:

La estructura es una viga en voladizo que tiene aplicada una carga distribuida en toda su longitud (ver figura 1). Se desprecia el efecto del peso propio. En la siguiente figura se muestran los esquemas para el cálculo por teoría de vigas y por el método de los elementos finitos.

Figura 1. Definición del problema y geometría para el modelo numérico.

Datos:q = 10 N/mL = 10 mh = 0.60 mb = 0.30 mE = 3 x 10 7 kN/m2 (hormigón)I = 0.0054 m4

3. SOLUCIÓN ANALÍTICA: De la teoría de vigas tenemos que los diagramas de esfuerzos tienen las siguientes ecuaciones:

cortante:

momento:

Los esfuerzos axiles son nulos. La distribución de tensiones normales sobre las secciones es lineal. La tensión horizontal máxima se expresa:

De compresión (–) en la fibra superior y de tracción (+) en la fibra inferior.La distribución de tensiones tangen-ciales a las secciones es parabólica, nula

en las fibras extremas de la sección y con su valor máximo en el eje neutro, de magnitud:

Bajo las hipótesis de pequeñas deforma-ciones la elástica tiene la siguiente expresión:

La flecha máxima (ubicada en el extremo libre de la viga) viene dada por:

La ecuación del giro es la siguiente:

1

q

L

yx

L b

h

q

En el final de la viga el giro se obtiene mediante:

Y para hallar los desplazamientos horizontales en cualquier punto de esa sección basta con multiplicar por su coordenada vertical z, respecto al eje medio de la viga.

Como valores de referencia se muestran la flecha máxima (f), el giro () en la sección del extremo libre de la viga y el desplazamiento horizontal (dh) de la fibra más comprimida. Asimismo se calcula la tensión tangencial máxima en la sección media de la luz de la viga (L/2):

f = 7.72 10 –5 m = 1.029 10-5 raddh = 3.086 10-6 m

xy(L/2) = - 0.417 kN/m2

4. MODELO NUMÉRICO: Bajo las hipótesis de tensión plana (plane stress) se plantea un modelo donde se utilizan dos tipos de elemento: triangulares y cuadriláteros, ambos de grado lineal y cuadrático, con el fin de comparar su comportamiento. En todos los casos la malla es estructurada.El material representado en el modelo es el hormigón, con un módulo de Young E = 3x1010 Pa. Se utilizará un coeficiente de Poisson = 0.

También se desea observar la influencia del tamaño de los elementos en los resultados, usando los parámetros “número de elementos en la horizontal” (NEH) y “número de elementos en la vertical” (NEV) que representan la cantidad de elementos en que están divididas la luz y el canto de la sección, respectivamente.Las siguientes figuras muestran mallas de elementos finitos para elementos triangulares y para elementos cuadrilá-teros con NEH = 67 y NEV = 4.

Figura 2. Malla de elementos finitos triangulares de grado lineal con 67 elementos en la horizontal y 4 en la vertical (536 elementos y 340 nodos)

Figura 3. Malla de elementos finitos cuadriláteros de grado lineal con 67 elementos en la horizontal y 4 en la vertical (268 elementos y 340 nodos)

El estudio de este modelo se divide en tres partes. Primero se observa el comportamiento de la variable flecha máxima (o desplazamiento vertical máximo) en función de las variaciones

del tipo, tamaño y grado del elemento; y posteriormente se hace el mismo estudio con las variables tensión tangencial máxima y desplazamiento horizontal; esta última directamente

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relacionada con el giro. Además, dentro del apartado referente a la flecha máxima, se considera la relación canto-longitud, de especial importancia en este modelo.La tensión horizontal o normal (x) no se incluye en este estudio, pero se recomienda que observe algunos resultados y los compare con el de la teoría de vigas, cuya expresión se muestra en la sección 3. Solución Analítica.Para conocer la exactitud de los valores obtenidos se emplea la relación V/Vr, que se calcula dividiendo el resultado que se consigue a través del modelo numérico por el valor obtenido analíti-camente. Por tanto, el resultado será mejor cuanto V/Vr sea más cercano a la unidad.Más abajo se describe una serie de pasos a seguir para que usted realice el estudio del comportamiento de los resultados en función de la variación de los parámetros comentados arriba. Además, se intercalan algunos resulta-dos para que le sirvan como valores de referencia, así como también breves análisis y explicaciones sobre los mismos.Por último, hay también propuestas para que usted observe la influencia de otros parámetros, como pueden ser: el uso de las hipótesis de deformación plana, variar el coeficiente de Poisson, etc.

a) Flecha Máxima:

Elementos triangulares lineales (3 nodos)1. Construy

a un modelo en GiD para calcular con

CALSEF bajo las hipótesis de Tensión Plana, utilizando una malla estructurada de elementos triangulares lineales con un NEV = 4 y un NEH = 67. La malla debe tener el mismo aspecto que la mostrada en la figura 2.

Nota: Para alcanzar esta configuración, las normales de las cuatro líneas de contorno deben estar orientadas hacia fuera al momento de crear la superficie en el GiD. Si usted ya ha realizado los ejemplos 1 y 2 puede utilizar los ficheros GiD creados en esa ocasión, sólo hace falta cambiar la condición de contorno de carga.

2. Efectúe el cálculo, observe el valor de flecha máxima obtenido y calcule V/Vr, donde Vr = f (ver apartado 3. Solución Analítica)

3. Cambie el modelo y recalcule varias veces aumentando el NEV dejando fijo NEH = 67. Observe lo que ocurre con las magnitudes de flecha máxima obtenidos y, por consiguiente, con V/Vr.

4. Luego haga lo mismo refinando la malla en dirección horizontal para una mismo número de elementos en la vertical (16, por ejemplo). Observe lo que ocurre con las magnitudes de flecha máxima obtenidos y, por consiguiente, con V/Vr.

Como referencia para su trabajo, aquí se indican algunos resultados:

Nombre NEH NEV Flecha Máxima (x10-5 m) Relación V/Vrmod tp etl 01 67 4 6.3563 0.8237765mod tp etl 02 67 8 6.8856 0.8923738mod tp etl 03 67 16 7.0321 0.9113602mod tp etl 04 67 32 7.0696 0.9162202

3

mod tp etl 13 134 16 7.5058 0.9727517mod tp etl 23 268 16 7.6345 0.9894312mod tp etl 33 536 16 7.6673 0.9936821

Tabla / Gráfica 1. Variación de la flecha máxima en función del NEH y del NEV. Elementos triangulares lineales.

Puede usted observar en la gráfica que con pocos elementos en la vertical el valor de flecha máxima está lejos del verdadero, pero se acerca si se aumenta el NEV. Sin embargo, muestra una tendencia a estancarse cuando la rela-ción V/Vr está sobre un 0.91. Esto ocurre porque los elementos lineales no pueden representar bien una solución de alto grado (cuarto en este caso, ver la ecuación de la elástica en la sección 3), y aunque al dividir la malla en elemen-tos más pequeños la aproximación es mejor, nunca es lo suficientemente buena. Por otro lado, el tamaño en la dirección horizontal influye en mayor medida en los resultados de desplaza-mientos, alcanzando valores muy buenos para un NEH alto, aunque nunca exactos. Aquí se observa cómo en este caso es mucho más importante el tamaño horizontal de los elementos que el vertical para obtener el resultado real, ya que en la ecuación de la teoría de vigas la flecha es función de la longitud elevada a la cuarta potencia.Extrapolando los valores anteriores se puede pensar que la solución exacta se obtiene cuando el NEH y el NEV

tienden a infinito, ajustándose de esta forma hipotética a la curva real. Estudiemos ahora el uso de elementos cuadráticos para observar si nos acercamos más a la solución real.

Elementos triangulares cuadráticos (6 nodos)5. Modifiqu

e los modelos anteriores aumentando el grado de los elementos a cuadrático y recalcule.

Note que con una malla gruesa (NEH = 67 y NEV = 4) se obtienen resultados que están por encima del valor de referencia (V/Vr por el orden de 1.002) y que éstos no varían al disminuir el tamaño de los elementos en ambas direcciones. Esto ocurre porque existe una deformación causada por efecto del esfuerzo cortante que, por ser muy pequeña, es despreciada en la teoría de vigas, pero en el modelo numérico se pone de manifiesto, alterando levemente los resultados. Este fenómeno nos indica que los elementos cuadráticos representan muy bien la solución, y el error que pueda existir (pues de haber errores en este caso, los resultados

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deberían estar por debajo de la referen-cia, y no por encima) es contrarrestado por la pequeña deformación por cortante, además de mostrar este excedente. Si comparamos este caso con el ejemplo 1 de esta serie debemos recordar que en aquella oportunidad no existía esfuerzo cortante, ni su ulterior deformación, y por tanto la solución coincidía de forma exacta con la teoría de vigas. Más adelante se comentará con detalle este fenómeno, que depende de la relación canto-longitud (h/L.)

Orientación de los elementos.

6. Para estudiar la influencia de la orientación de los elementos trian-gulares, cambie su distribución en el modelo inicial, tal como se indica en la figura 4, y repita los cálculos anteriores.

Nota: En el GiD esto se obtiene de la siguiente forma: borre la superficie, cambie hacia adentro el sentido de las normales de las líneas y vuelva a crear la superficie. Al generar la nueva malla la distribución queda como se muestra en la figura 4. No olvide definir nueva-mente el material sobre la superficie antes de realizar el cálculo.

Figura 4. Cambio de la orientación de los elementos triangulares.

Los resultados no dependen de la orientación de los elementos. Todos los valores obtenidos coinciden exactamen-te con la tabla 1, utilizando elementos de seis nodos.

Elementos cuadriláteros lineales (4 nodos)7. Para

estudiar la influencia del tipo de elemento, altere el modelo inicial colocando elementos cuadriláteros lineales.

Observe que la cantidad de nodos es la misma que en el modelo de elementos triangulares lineales.

8. Efectúe el cálculo, observe el valor de flecha

máxima obtenido y calcule V/Vr, donde Vr = f (ver apartado 3. Solución Analítica)

9. Cambie el modelo y recalcule varias veces aumentando el NEV (dejando fijo NEH = 67) y observe lo que ocurre con las magnitudes de flecha máxima obtenidos y, por consiguien-te, con V/Vr.

10. Luego haga lo mismo refinando la malla en dirección horizontal para un mismo número de elementos en la vertical (16, por ejemplo). Observe lo que ocurre con las magnitudes de flecha máxima obtenidos y, por consiguiente, con V/Vr

La siguiente tabla se muestra para que usted verifique sus resultados:

Nombre NEH NEV Flecha Máxima (x10-5 m) Relación V/Vr

5

mod tp ecl 01 67 4 7.5054 0.9726998mod tp ecl 02 67 8 7.5062 0.9728035mod tp ecl 03 67 16 7.5064 0.9728294mod tp ecl 04 67 32 7.5064 0.9728294mod tp ecl 11 134 16 7.6789 0.9951854mod tp ecl 12 268 16 7.7233 1.0009397mod tp ecl 13 536 16 7.7345 1.0023912

Tabla / Gráfica 2. Variación de la flecha máxima en función del NEH y del NEV. Elementos cuadriláteros lineales.

Observe que no hay variación cuando se aumenta el número de elementos en la vertical, mostrando casi total indepen-dencia de este parámetro. En cambio, el tamaño horizontal de los elementos es muy importante, ya que al refinar la malla suficientemente en esa dirección nos acercamos al valor obtenido con elementos triangulares parabólicos (V/Vr por el orden de 1.002), que, tomando en cuenta la deformación por cortante comentada anteriormente, es una solución bastante buena. Además, comparando con los elementos triangulares los resultados mejoran considerablemente para los mismos valores de NEH y NEV.El hecho de que el NEH influya mucho más en los resultados que el NEV, tal como se comentaba en apartados anteriores, se debe a que en este modelo tiene mayor peso la dimensión horizon-tal que la vertical. Si observamos la ecuación de la elástica (Sección 3), notamos que su valor depende directa-mente de la longitud horizontal, y por esto el NEH influye en el resultado. La inercia de la sección, que es donde se reflejaría la dimensión vertical de los

elementos, permanece constante, y por tanto su valor no afecta significativa-mente la flecha máxima obtenida. ¿Qué sucede si el dominio se divide en muchos elementos en la horizontal (268, por ejemplo) y sólo uno en la vertical? Verifíquelo y obtenga sus propias conclusiones.Por otro lado, los elementos triangulares tal y como los hemos planteado hasta el momento presentan una conexión diagonal entre sus nodos, que hace depender entonces las dimensiones horizontal y vertical entre sí, y por tanto variar el NEV o el NEH altera el resultado. Veamos qué ocurre al aumentar el grado de los elementos.

Elementos cuadriláteros cuadráticos (8 nodos)11. Modifique los modelos anteriores

aumentando el grado de los elementos a cuadrático y recalcule.

Nuevamente se obtienen valores de V/Vr un poco por encima de la unidad y prácticamente iguales a los conseguidos mediante elementos triangulares cuadrá-

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ticos. Se sigue observando el “exceso” de flecha causado por la deformación por cortante, que se estudiará en el siguiente apartado.

Relación canto-longitud:El esfuerzo cortante existente en este modelo crea unas deformaciones que no son tomadas en cuenta en la teoría de vigas, y por tanto los resultados obtenidos a través del MEF difieren un poco respecto a los analíticos, además del error cometido por la discretización del problema. Ahora bien, este efecto se ve reducido si se disminuye la relación h/L, y nos alejamos del comportamiento de vigas moderadamente gruesas (1/10 < h/L < 1/30), en el que se encuentra el modelo actual. Asimismo, si la relación canto-longitud aumenta, la deformación por cortante es mayor aún. Observemos este comportamiento.

12. Cree varios modelos iguales al último (de elementos cuadriláteros de segundo orden) pero variando la longitud.

13. Observe los resultados máximos en desplazamientos verticales y horizon-tales.

Es importante conservar el tamaño de los elementos en horizontal, para evitar que este parámetro influya en este estudio. Por tanto, deberá cambiar el NEH de forma proporcional a la longitud de cada uno de los modelos.Más abajo se muestra un resumen de resultados de flecha máxima y desplaza-miento horizontal máximo en función de la longitud. En el apartado c) Desplazamiento Horizontal se comentan los detalles respecto a la obtención de estos valores. Recuerde que hay que recalcular el valor analítico de referencia (Vr) para cada caso.

Nombre Long (m)

NEH NEV Flecha máx (N/m2)

Relación V/Vr

Despl. hor. máx (N/m2)

Relación V/Vr

long tp ecl 01 1 8 4 1.01E-08 1.31531040 3.11E-09 1.0088388long tp ecl 05 5 34 4 4.88E-06 1.01152282 3.86E-07 1.0000714long tp ecl 10 10 67 4 7.74E-05 1.00288368 3.09E-06 0.9999936long tp ecl 20 20 134 4 1.24E-03 1.00075500 2.47E-05 0.9999855long tp ecl 50 50 335 4 0.048231 1.00011802 3.86E-04 0.9999936

Tabla 3. Variación de la flecha máxima en función del NEH y del NEV. Elementos cuadriláteros lineales.

Se observa claramente cómo el efecto de la deformación por cortante se redu-ce cuando se aumenta la longitud (es decir, cuando la relación h/L disminu-ye.) El error remanente es el debido a que la discretización no es exacta. En estos modelos existen otros errores, como es el debido a que la carga no está aplicada en el eje neutro de la viga (esto causa ligeras asimetrías en los resultados) y a las perturbaciones por la condición de contorno de apoyo, que, tal como se comentó en el ejemplo anterior de esta serie, se manifiestan de forma importante hasta una longitud

igual al canto de la viga (principio de Saint Venant.)

b) Tensión Tangencial Máxima:

En este problema las tensiones tangen-ciales tienen una distribución parabólica a lo largo de la sección, con valores nulos en las fibras extremas y el valor máximo en el eje neutro. Para verificar esto en el modelo de elementos finitos basta con observar los resultados en cualquier sección, y al graficarlos se observará la parábola. Sin

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embargo, hay que tener en cuenta el problema del “alisado” de tensiones en el CALSEF, que, como se explicó en el ejemplo 1, ocurre en los nodos de los contornos superior e inferior. Por tanto, habrá que desechar los resultados en dichos nodos y sustituirlos por cero para observar la gráfica real.Recuerde que cerca de la sección de apoyo los resultados están alterados por la condición de contorno, así que no haga esta observación por esa zona. De igual forma, estudiaremos estas pertur-

baciones en el próximo ejemplo de esta serie.Hecha esta aclaración puede usted observar los resultados de tensiones tangenciales en la sección central de la viga de los cálculos realizados mientras estudió la flecha máxima. Para el caso de NEH = 67 se tomó el valor promedio de los dos nodos del elemento central. Abajo se muestran las tablas y gráficas con los valores de tensión tangencial máxima. En la sección 3 se encuentra el cálculo del valor de referencia Vr para esta variable en L/2.

Elementos triangulares lineales (3 nodos)

Nombre NEH NEV Ten. Hor. Máxima (N/m2) Relación V/Vrmod tp etl 01 67 4 -356.255 0.8550052mod tp etl 02 67 8 -385.97 0.9263206mod tp etl 03 67 16 -394.19 0.9460484mod tp etl 04 67 32 -396.295 0.9511004mod tp etl 11 134 16 -408.3 0.9799122mod tp etl 12 268 16 -412.13 0.9891041mod tp etl 13 536 16 -413.11 0.9914561

Tabla / Gráfica 4. Variación de la tensión tangencial máxima en función del NEH y del NEV. Elementos triangulares lineales.

El comportamiento que se observa es similar al de la flecha máxima, ya que bajo elasticidad lineal las tensiones actúan aproximadamente de forma proporcional a los desplazamientos, si bien existen diferencias en la relación V/Vr. Recordando lo estudiado en el ejemplo 1 de esta serie, donde los desplazamientos y tensiones daban en la misma proporción respecto a los valores

de referencia (es decir, las mismas relaciones V/Vr para los mismos NEV y NEH), podemos afirmar que no ocurre lo mismo cuando los elementos son de orden menor que la solución real, como es el caso actual. Además, se debe tomar en cuenta que en aquel momento se estudiaban las tensiones normales, que tenían distribución lineal en la sección, y ahora estamos observando

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tensiones tangenciales, de comporta-miento parabólico, y no se debe olvidar tampoco que existen pequeñas deforma-

ciones por cortante que no se consideran en la teoría de vigas.

Elementos triangulares cuadráticos (6 nodos)

Nombre NEH NEV Ten. Hor. Máxima (kN/m2) Relación V/Vrmod tp etc 01 67 4 -381.93 0.9166247mod tp etc 02 67 8 -407.98 0.9791442mod tp etc 03 67 16 -414.495 0.99478mod tp etc 04 67 32 -416.115 0.998668mod tp etc 11 134 16 -414.5 0.994792mod tp etc 12 268 16 -414.5 0.994792mod tp etc 13 536 16 -414.5 0.994792

Tabla / Gráfica 5. Variación de la tensión tangencial máxima en función del NEH y del NEV. Elementos triangulares cuadráticos.

Observe que los valores de tensión horizontal máxima en este caso presentan un comportamiento plano en función del NEV, muy cercano al valor analítico, y que mejora aún más si se refina la malla verticalmente. Esto ocurre porque los desplazamientos son iguales a lo largo de cada sección (se mantiene la sección plana después de la deformación) y, según ya se comprobó, la flecha está bastante bien aproximada en su longitud. Por otro lado, las tensiones calculadas a partir de estos desplazamientos tienen un comporta-miento lineal a lo largo de la viga

(proporcional al esfuerzo cortante) y por ende los resultados no dependen del tamaño en horizontal de los elementos. En cambio, refinar la malla vertical-mente mejora en mucho los resultados.Si lo desea, puede verificar en los modelos donde se cambia la orientación de los elementos que los valores coinciden exactamente con las tablas 3 y 4 y con el resultado de los elementos de seis nodos.

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Elementos cuadriláteros lineales (4 nodos)

Nombre NEH NEV Ten. Hor. Máxima (kN/m2) Relación V/Vrmod tp ecl 01 67 4 -370.48 0.8891449mod tp ecl 02 67 8 -395.745 0.9497804mod tp ecl 03 67 16 -402.06 0.9649363mod tp ecl 04 67 32 -403.635 0.9687163mod tp ecl 11 134 16 -411.31 0.9871361mod tp ecl 12 268 16 -413.7 0.9928721mod tp ecl 13 536 16 -414.3 0.994312

Tabla / Gráfica 6. Variación de la tensión tangencial máxima en función del NEH y del NEV. Elementos cuadriláteros lineales.

Aunque los desplazamientos presenta-ban independencia del NEV, no pasa lo mismo con las tensiones, mejorando los resultados al refinar en ambas direcciones. Esta dependencia del tamaño vertical de los elementos ocurre porque la distribución de tensiones vertical es parabólica, y los elementos lineales se ajustan mejor a la solución mientras menor es su dimensión. Esto no se observaba en los desplazamientos porque la sección se mantiene plana después de la deformación, y por tanto su variación en el canto de la viga es lineal.

Elementos cuadriláteros cuadráticos (8 nodos)Para este caso en especial no presenta-remos resultados, y no recomendamos utilizar el CALSEF para hacer un estudio de las tensiones tangenciales con este tipo de elemento, ya que la extrapolación de resultados de los puntos de Gauss a los nodos que realiza

el programa se basa en una fórmula que no arroja resultados exactos. Si bien los valores son coherentes y bastante aproximados (que a efectos prácticos se pueden dar por buenos), no sirven para un estudio comparativo del tipo de elemento, y su tamaño. Las magnitudes de tensión tangencial que cabe esperar de un modelo como este son exacta-mente iguales a las obtenidas emplean-do elementos triangulares cuadráticos, para los mismos NEH y NEV. Pero si usted efectúa los cálculos se dará cuenta de ciertas diferencias con el menciona-do modelo. Para obtener los valores exactos, necesarios para este estudio, se deben observar los valores en los puntos de Gauss de los elementos que rodean al nodo en cuestión, y realizar la extrapolación “a mano”. Un estudio sobre el smoothing o alisado de tensiones se hará más adelante en esta serie de ejemplos, donde comentaremos lo relacionado a este modelo.

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c) Desplazamiento horizontal:

Tal como se comentó al principio, se hará un estudio del desplazamiento horizontal de la fibra más comprimida de la sección extrema de la viga. Observe estos valores en los modelos hechos hasta ahora y note que son simétricos respecto al eje neutro de la viga, lo que prueba que la sección

deformada sigue siendo plana, satisfa-ciendo de esta forma la hipótesis de Navier.¿Qué sucede si el coeficiente de Poisson es diferente de cero?Recuerde que los valores tabulados más abajo se obtienen a partir del valor del giro (ver sección 3. Solución Analítica) en el extremo de la viga, multiplicado por la mitad del canto.

Elementos triangulares lineales (3 nodos)

Nombre NEH NEV Desplaz. Hor. (x10-6 m) Relación V/Vrmod tp etl 01 67 4 2.5347 0.8212428mod tp etl 02 67 8 2.7461 0.8897364mod tp etl 03 67 16 2.8046 0.9086904mod tp etl 04 67 32 2.8196 0.9135504mod tp etl 11 134 16 2.9937 0.9699588mod tp etl 12 268 16 3.0450 0.98658mod tp etl 13 536 16 3.0581 0.9908244

Tabla / Gráfica 7. Variación del desplazamiento horizontal en función del NEH y del NEV. Elementos triangulares lineales.

Se observa un comportamiento muy parecido al de la flecha máxima, solo un poco menor, lo que evidencia que la deformación por cortante afecta en menor medida los desplazamientos horizontales que a los verticales. En cualquier caso, se observa también que el refinar la malla en ambas direcciones mejora los resultados.

Elementos triangulares cuadráticos (6 nodos)En este caso, se obtiene la solución exacta para cualquier tamaño de ele-mento en vertical y en horizontal, lo que indica que los elementos parabólicos se ajustan mejor a una solución de tercer grado (giro) que a una de orden mayor, como es la elástica.

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Elementos cuadriláteros lineales (4 nodos)

Nombre NEH NEV Desplaz. Hor. (x10-6 m) Relación V/Vrmod tp ecl 01 67 4 2.9941 0.9700884mod tp ecl 02 67 8 2.9941 0.9700884mod tp ecl 03 67 16 2.9941 0.9700884mod tp ecl 04 67 32 2.9941 0.9700884mod tp ecl 11 134 16 3.0628 0.9923472mod tp ecl 12 268 16 3.0805 0.998082mod tp ecl 13 536 16 3.0850 0.99954

Tabla / Gráfica 8. Variación del desplazamiento horizontal en función del NEH y del NEV. Elementos cuadriláteros lineales.

Aquí se observa, al igual que en el estudio de la flecha máxima, que los desplazamientos son independientes del NEV. En general, la relación V/Vr disminuye un poco respecto a la flecha máxima, observando el mismo fenóme-no que en los elementos triangulares, que la deformación por cortante afecta menos a los desplazamientos horizonta-les que a los verticales.

Elementos cuadriláteros cuadráticos (8 nodos).Tal y como sucedía con los elementos triangulares, utilizar elementos de

segundo grado arroja una solución exactamente igual a la obtenida analíticamente. Recordemos que con los desplazamientos no existen problemas de “alisado”, ya que al resolver el sistema se obtienen valores de desplazamientos nodales, y que es en el momento de calcular las tensiones que los valores que se consiguen están ubicados en los puntos de Gauss, y por tanto necesitan ser extrapolados a los nodos para su posterior visualización en el post proceso.

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5. CONCLUSIONES:Haciendo un análisis comparativo de los distintos casos se llega a las siguientes conclusiones: Si se utilizan elementos de grado

lineal el refinar la malla mejora los resultados, tanto de tensiones como de desplazamientos.

El uso de elementos cuadráticos arroja resultados de desplazamientos vertica-les muy cercanos a los valores obteni-dos analíticamente con cualquier ta-maño de elemento. En este caso se observa el efecto de la deformación por cortante, que es despreciada en la teoría de vigas.

Los resultados obtenidos en este estudio ponen de manifiesto la dife-rencia entre las vigas esbeltas y gruesas.

Se observa cómo la relación canto-longitud (h/L) influye en la diferencia observada entre los valores obtenidos mediante el MEF y los que se consiguen a través de la teoría de vigas; diferencia causada por la deformación por el esfuerzo cortante.

El uso de elementos cuadráticos arroja resultados de desplazamientos hori-zontales bastante aproximados a los

valores obtenidos analíticamente con cualquier tamaño de elemento.

Los elementos cuadriláteros lineales tienden a dar resultados más exactos que los triangulares lineales para igual número de divisiones. Esta diferencia es muy importante porque ambos tienen la misma cantidad de grados de libertad, es decir, que con práctica-mente el mismo costo computacional es posible obtener resultados mejores que otros sólo cambiando el tipo de elemento. Esto demuestra que su elección puede influir en gran medida en la optimización del modelo.

Las diferentes distribuciones de resultados, tanto a lo largo de la longitud de la viga como en su sección, hace que en algunos casos el tamaño en una dirección de los elementos no afecte los valores obtenidos en el modelo mientras que en la otra sí.

El tipo de extrapolación empleada puede variar los resultados nodales a ser observados en el post proceso, por lo que es un parámetro a tomar en cuenta.

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