Journal of Geometry. Vol. 9. 1/2 1977. Birkh~user Verlag Basel

EINIGE AUBGLEICHSPROBLE~E UND IHR ZUS~NHANG

MIT SOGENANNTEN ~BERTRAGUNGSPRINZIPIEN

Herrn Werner BURAU zum 70. Geburtstag gewidmet

Gerhard Geise

It is to calculate a plane, a sphere, and a quadric each of it

best fits the points of a finite set given in euclidean 3-space.

The purpose of this note is to show that carrying o~t these tasks

of adjustment by the method of least squares there are geometric

aspects usually out of consideration related to ttbertragungs -

prinzipien (corresponding to immersions in ~ifferential geometry)

and pseudonorms due to orthogonal invariants of the surfaces

searched, for instance. However, practic-numerical computation is

not of interest here.

1__. Punktwolke. Ist ~ = {Xil,Xi2,xi3)Tli = 1,...,k; k r N'} die

bez~glich eines kartesischen Koordinatensystems des Ra~mes

E 3 ~ ~3 gegebene Pumktwolke, damn werden f~r sp~tere Zwecke fol-

gende Elemente des ~k eingef~hrt:

~0 = ( 1 I ... 1 )T (k Einsen),

~1 = (Xll x21 "'" Xkl)T'

~2 = (x12 x22 "- Xk2) ~,

~3 = (x~3 x23 "'" xk3)~'

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2 GEISE

= (x 2 x 2 "'" k2 ~ '

~6 = (x ~ x ~ ... Xk~) ,

~7 = (x~ x2ax2~ ... Xk2Xk~) ~, )~

~8 = (x13x11 x23x21 "'" Xk3Xkl '

~ = (x~x~2 ~2~x~2 ... ~k~2) ~,

In dem geordneten Tripel (~1' ~2' ~3 ) aus Punkten des ~ k ist eine

Darstellung der ~ngeordneten Punktmenge ~ zu sehen, die sp~ter

d~rch Hinzunahme einiger der ~0' ~' "'" zu weiteren Darstellungen

von ~ als geordnete Punktmengen a~s ~k erg~uzt wird.

2. Aasglei0hsebene. Jedem Punkt x = (x I x 2 x3)T r E 3 ~ R 3 wird

der Punkt ~ = (I x I x 2 x3)T E E ~ ~ zugeordnet. Der "0rigi-

nal"-Raum, in dem gemessen wurde, wird so in bekannter Weise als

Hyperebene x 0 = I in einen E ~ elngebettet, was man sich (E 3 z~-

n~chst als Hyperebene x 0 = 0 gedacht) durch eine Parallelverschie-

bung oder eine Zentralprojektion ausgef~hrt denken kann. Unter

allen Ebenen des E 3

a = (a 0 a I a 2 a3) ~ E3 ~ ~

interessieren als Elemente des ~4 nat jene, f~r die

( I ) 11~tl 2 ~ = ~ P ~ : 1 z i t P : [o 1 I 1] ( ~

g i z t . t t . t i is t eine Pse~donorm a~f R4. Es ist dann

(17 p ist eine Diagonalmatrix, die d~rch Angabe ihrer Hauptdiago-

nalelemente schon gekennzeichnet ist; so auch im folgenden.

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GEISE

der (vorzeichenbehaftete) Abstand des Punktes x r E 3 vonder

Ebene a. Die Ausgleichsaufgabe lautet : k

k 2 aT( ~ ~i~iT)a - Min. bei aTPa = 1 R := Z ~i = i=1 i=I

Wit setzen X := [~0 ~1 ~2 ~3 ] (d.i. eine k.~-Matrix)

und Y := xTx and haben zun~chst im R 4

(1') R = aTYa ~ Min. bei a Tpa = 1.

3

3. Ausgleichsk~,gel. Jedem Punkt x = (x I x 2 x3)T ~ E 3 ~- R 3

wird der Punkt ~ = (1 x I x 2 x 3 x4) T r E 5 ~- R 5 mit

x 4 := xTx = x2 + x2 + x~ zugeordnet. Dies kann man so aaffassen:

Der Raum E 3 wird zun~chst eineindeutig auf die Punkte des Rota-

t ions-Hyp erp arab ol oids

Fp 0 x + x + x - x 4 eines E 4 ~4 (in dem E 3 die Hyper-

ebene x 4 = 0 ist) dutch stereographische Projektion a~s dem Punkt

Z u = (0 0 0 0 fl) T (uneigentlicher Punkt der x4-Achse ) auf F P

abgebildet; dies entspricht der Einf~hrung inhomogener pentasph~-

rischer Koordinaten (elementare Kugelgeometrie). Alsdann wird der

Raum E 4 ale Hyperebene x 0 = fl einem E 5 ~- R 5 eingebettet. (Vergl.

etwa KLEIN [3], S. 49 ff., oder PEDOE [4], S. 138 ff.) In E 4 sind

jetzt alle jene Hyperebenen

a = (a 0 a fl a 2 a3 a4)T ~ ~4 ~_ R5

ale Elemente von R 5 interessant, f~r die

(2) Ilall 2 := aTPa = 1 mit P = ~0 0 0 0 I]

gilt. Dann gibt bekanntlich

Q := aT2 die Potenz des Punktes x r E 3 bezUglich der ale Kugel

des E 3 zu interpretierenden Hyperebene a aus E 4 an, welche ale

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(vorzeichenbehafteter) Abstand des Punktes vonder Kugel branch-

bar ist. (In s h = - 2ml,_ a 2 = - 2m2, a 3 = - 2m~ und a 0 = m 2 + m 2

2 2 + m 3 - r stecken die Bestimmungsst~cke Mittelpunkt M(~,m2,m3)

und Radius r tier Kugel.) Die Ausgleichsaufgabe wird mit

X := [~0 ~I ~2 ~3 ~] (: k.5-Matrix) und Y := xTx

zun~chst zu

(2') R = aTya " Min. bei aTpa = I.

4_~. Ausgleichsq~adrik. Es wird jedem Punkt x = (x I x 2 x3)T

r E 3 ~- R 3 in Modifizierung der eineindeutigen Zuordnungen

x <--* ~ := (I x I x 2 x3)T < > ~ .= ~T der Punkt

G E I0 ~ R I0 umkehrbareindeutig zugeordnet. Dies ist im wesent-

lichen die Abbildung des E 3 auf eine VERONF~Esche Mannigfaltig-

keit, die in den projektiv-abgeschlossenen Raum eines E 9 einge- N ~T

bettet ist, wie man der Abbildung x < > X = xx (Abbildung auf

Mannigfaltigkeit der symmetrischen rg-1-Matrizen des Raumes der

4.#-Matrizen) direkt ansehen kann (vgl. etwa BURAU [2], S. 182 ~.).

Der merkw~rdige Sch~nheitsfaktor ~ hat die Aufgabe, sp~ter die

Theorie der simultanen Hauptachsentransformation zweier quadra-

tischer Formen nicht bem~hen zu m~ssen. In diesem Raum E 9 werden

nun jene Hyperebenen

a = (a 0 a I ... a9)T r ~9 ~-~I0, zu interpretieren als Q,~adrik-

Koordinatenvekt oren

a = (ao0 2a01 2a02 2a03 ali a22 a33 ~a23 ~a31 ~a12 )T,

betrachtet (als Elemente von R I0), die die Bedingung

(3) flail 2 := aTpa = 1 mit

P = . [ o o o o I I I I 1 1]

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GEISE 5

erf~llen. Damn liefert

Q := aTE sin (mit der Potenz vergleichbares, vorzeichenbehaf-

tetes) Ma~ f~r den Abstand des Punktes x E E 3 vonder als Q~adrik

des E 3 aufzufassenden Hyperebene a des E 9, ~nd es stellt sich die

Ausgleichsaufgabe

(3 ~) R = ~y~ _I Min. bei ~P~ = I,

wobei Y := xTx mit

X = [~0 ~I ~2 ~3 ~4 ~5 ~6 ~7 ~8 ~9 ]

(: k.10-Matrix) gesetzt wurde.

5. Ausgleichsaufgabe. Die unter (I), (2), (3) notierten Pseudo- (2)

normen f~r den R 4, R 5 bzw. R I0 sind orthogonale Invarianten

der Ebenen, Kugeln bzw. Quadriken des E 3. Dutch llall ~ 0 wird das

Vorliegsn siner Ebene (im Falls (I)), einsr Kugsl (im Falls (2))

bzw. einer Quadrik (im Falls (3)) slgnalisiert. Dagegen bedeutet

llall = 0, dab (projektiv gedacht) bei (I) entweder die uneigent-

liche Ebsns oder (nach BURAU [2], S. 38) die "Unsbene u, bsi (2)

entweder eine in eine eigentliche Ebene und die uneigentliche Ebe-

ne zerfallene Kugel oder die doppelt z,J z~lende u_ueigentliche

Ebene als Kugel oder die "Unk~gel" bzw. bei (3) entweder sine in

sine eigentliche Ebene und die umeigentliche Ebene zerfallene

Quadrik oder die doppelt zu z~hlende uneigentliche Ebene als Qua-

drik oder die "Unquadrik II vorliegt.

Dis im ~m (m = 4, 5 bzw. 10) gestslltsn Minimisrungsaafgaben (1 '),

(2') bzw. (3 l) werden naheliegenderweise nach der Methode der

(2) Vgl. etwa AUMANN [I]! aus dieser Arbeit wurde die Terminologie ~bernommen.

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6 GEISE

LAGRANGEschen Multiplikatoren gel~st. Dadurch entsteht jeweils

erst einmal eine entsprechende Aufgabe im Endlichkeitsraum

{a r Am: IIall # o} der betreffenden Norm (also in einem R 3, ~1

bzw. ~6).

Bei dem Problem Ausgleichsebene (I') wird die Matrix Y a~fgrund

tier Zerlegung von X in Teilmatrizen gem~ X = [~oIXfl] mit

X1 = C~I ~2 ~3 ] in der folgenden Weise dargestellt:

cd' und man wird darauf gef~hrt, zum kleinsten Eigenwert tier positiv-

semidefiniten 3" 3-Matrix

z 1 : - ~O~0)X 1 (E k : k.k-Einheitsmatrix)

einen (normierten) Eigenwektor a I = (~ a 2 a3)T aufz~s~chen;

damn ist a 0 = - flk-~lal �9 Nun sind abet

q T F k :- ~0~0 und E k - F k Projektionsmatrizen, und zwar bildet

F k den ~k auf den yon ~0 erze~gten Unterraum U 0 yon ~k und E k-F k

auf den dazu normalen Unterraum U~ ab (ira Sinne des gewShnlichen

inneren Produkts (~,~) = ~T~ des Rk). KSnnte darer gesorgt werden,

da~ der von den Spalten ~1' ~2' ~3 von X 1 erzeugte Unterraum U 1

von ~k schon in U 0 liegt, dann w~re ~1 = 0 und Z w~rde sich ver-

einfachen zu Z = Xq~ 1. Es ist bekannt, da~ dies in der Tat mSglich

ist, da ~T~ 1 = ~T~ 2 = ~T~ 3 = 0 f~r den geometrisehen Sohwerpunkt

der Punktwolke ~ als Koordinatenursprung kennzeichnend ist.

Ganz entsprechend geht es bei den Problemen (2 i) Ausgleichskugel

und (3') Ausgleichsquadrik zu. Die Zerlegung von X gem~

X = [~0 ~1 ~2 ~31 "'" ] = [XolXfl] liefert die Matrix Y in der

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GEISE 7

Gestalt

YO0 = X~ou die ~.#-Matrix Y der wobei Aufgabe (1 ~ ) und

Y01 = X~I' Yll = X~X1 ist. Gilt det Y00 ~ O, dann liegt die

Punktwolke sicher nicht in einer Ebene, und dies sei der allge-

meine Fall. (Eine passende Koordinatentransformation mit orthogo-

naler Matrix im E 3 diagonalisiert YO0" Es ist sinnvoll, dies mit

hoher Gena~igkeit d~rchzuf~hren, wenn man solche Aufgaben auf

diesem Wege n~merisch l~sen will.) Jedes der Minimierungsprobleme

(2') und (3') liefert so die Eigenwertaufgabe, z~m kleinsten

(sicher nicht negativen) Eigenwert der Matrix

Z = Y11 - YoIYooY01

einen (normierten) Eigenvektor a I ~ R I bei (2') bzw. a I E ~6 bei

(3') zu ermitteln; dann ist a = (--a T -- I- aT _)T mit

a 0 = - YoIYolal ein Koordinatenvektor des gesuchten Ausgleichm-

gebildes. (Liegen die gegebenen Punkte sehr g,~t auf einer Fl~che

der gesuchten Art, dann ist Z von sehr schlechter Kondition.)

Wieder mind F k := Xo(X~0)-IX T und E k - F k Projektionsmat~izen.

Sie bilden den von den Spalten von X 1 erzeugten Unterraum U 1 des

~k auf den von den Spalten von X 0 aufgespannten Unterraum U 0 bzw.

den dazu normalen Unterraum U~ ab. Es ist leicht einz~sehen, da~

U 1 nicht in U~ liegen kann.

Bei allen drei Aufgaben liegt in det Z = 0 ein genaues Kri-

terium daf~r vor, dab die gegebene Punktwolke auf einer Fl~che

der verlangten Art liegt. Dies erscheint besonders handlich, wenn

die Fl~che eine Kugel ist.

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8 GEISE

6. B emerkung. Die hier verwendete Methode der kleinsten Fehler-

quadratsumme scheint der geometrischen Seite derProbleme am

besten angepa~t zu sein: Liegt die Punktwolke in einer Ebene, je-

doch nicht auf einer Geraden, so ergibt sich ein B~schel von Aus-

gleichskugeln, deren Tr~gerkreis sich als Ausgleichskreis dieser

ebenen Punktwolke nach dem gleichen Verfahren herausstellt, oder:

Liegen die Pum_kte yon ~ auf einer Kurve ~. 0rdnung I. Art, dann

erh~lt man ein B~schel von Ausgleichsquadriken. Ferner ist bemer-

kenswert, dab der geometrische Schwerpunkt und die (im allgemeinen

eindeutig bestimmte) Ausgleichsgerade und Ausgleichsebene das f~r

das schrittweise (wie angedeutet) durchzuf~hrende Minimieren

numerisch beste Koordinatensystem definiere~.

Literatur:

[I] Aumann, G.: O~oer den Vergleichsfaktor bei linearen

Approximationsproblemen. Numerische Mathematik 5 (1963),

68-72.

[2] Burau, W.: Mehrdimensionale und h~here Geometrie. Berlin,

VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften q961.

[3] Klein, F.: Vorlesungen ~er h~here Geometrie. Berlin,

Julius Springer 1926 3, Nachdruck 1968.

[~] Pedoe, D.: A Course of Geometry. Cambridge, University Press

1970.

Gerhard Geise

DDR - 8027 Dresden Mommsenstra~e 13 Techn. Universit~t Sektion Mathematik

(Eingegangen am 6.5.1976)

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