A. A. Abrikossow

Einfuhrung in die Theorie normaler Metalle

A. A. Abrikossow

Einfiihrung in die Theorie normaler Metalle

Autorisierte tJhersetzung

In deutscher Sprache herausgegehen von Dr. J. Mertsching

Mit 85 Ahhildungen

» Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH

A. A. A6pHHOCOB

BBe)l;eHHe B TeOpHIO HOpMaJIbHLIX MeTaJIJIOB

Erschienen im Verlag Nauka

Moskau 1972

Ubersetzung aus dem Russischen von

Dr. rer. nat. H. Dittmann, Berlin

Dipl.-Phys. P. Eisenberg, Berlin

Dr. rer. nat. H. Kruger, Berlin

1976 ® Springer Fachmedien Wiesbaden 1976 Urspriinglich erschienen bei der deutschen Ausgabe by Akademie-Verlag, Berlin 1976 Softcover reprint althe hardcover 1st edition 1976

Gesamtherstellung: VEB Druckerei "Thomas Miintzer", 582 Bad Langensalza AIle Rechte vorbehalten. Auch die fotomechanische VervieIfiiltigung des Werkes (Fotokopie, Mikroskopie) oder von Teilen bedarf der vorherigen Zustimmung des Verlages.

ISBN 978-3-528-08382-3 ISBN 978-3-322-83893-3 (eBook)DOI 10.1007/978-3-322-83893-3

Vorwort zur deutschen Ausgabe

Das Buch "Einftihrung in die Theorie normaler Metalle" wurde im Jahre 1972 gleichzeitig in russischer Sprache in der Sowjetunion und in englischer Sprache in den USA herausgegeben. Obwohl seitdem nur relativ wenig Zeit vergangen ist, stand dennoch die Physik der Metalle inzwischen nicht still, und es erschienen einige sehr wesentliche neue Arbeiten. Zu deren Gegenstanden gehoren insbe­sondere die ktirzlich entdeckte Zyklotronresonanz an nichtextremalen Bahnen, die Theorie der galvanomagnetischen Eigenschaften von Polykristallen und andere. Deshalb wurden in das Buch entsprechende Erganzungen eingefiigt.

Das Buch fand insgesamt eine positive Resonanz, doch wurde in einigen Re­zensionen dem Autor vorgeworfen, daB die Darstellung der modernen Methodeil zur Berechnung von Elektronenspektren zu unvollstandig ist. Dieser Vorwurf ist teilweise berechtigt, und deshalb wurde der Abschnitt 14.2. tiber die Theorie des Pseudopotentials erweitert. Andererseits gibt das Bestreben, den Schwierig­keitsgrad des Materials in Grenzen zu halten, nicht die Moglichkeit, tiber eine kurze Darlegung der physikalisch durchsichtigen Ideen hinauszugehen. AuBer­dem sind aIle Methoden zur Berechnung der Bandstruktur numerisch, und ihre Eignung ist in erster I,inie durch die Konvergenz von sukzessiven Approxima­tionen bestimmt, die a priori nicht vollig klar ist. Gerade deshalb bilden diese Berechnungen ein besonderes Gebiet der Physik, dem gegenwartig spezielle Bticher gewidmet werden.

AbschlieBend mochte ich meiner Freude tiber die Herausgabe meines Buches in deutscher Sprache Ausdruck geben und den trbersetzern H. DITTMANN, P. EISENBERG und H. KRUGER sowie dem Herausgeber J. MERTSCHING meinen Dank bekunden.

A. A. ABRIKOSSOW

Vorwort

Dieses Buch ist aus Vorlesungen entstanden, die der Autor im Januar und Februar 1966 im Forschungszentrum fiir Physik und Astrophysik an der Uni­versitat Delhi (lndien) als Sachverstandiger der UNESCO gehalten hat. Wie aus seinem Titel hervorgeht, befaJ3t sich das Buch mit normalen Metallen, das heiJ3t, es werden keine ferro- und antiferromagnetischen Metalle sowie keine Supraleiter behandelt. Der Autor hat sich auch nicht zum Ziel gesetzt, die gesamte vorliegende Theorie der normalen Metalle im Detail darzulegen.

Das Buch umfaJ3t folgende Themen: Elektronenspektren der Metalle, elek­trische und Warmeleitung, galvanomagnetische und thermoelektrische Er­scheinungen, das Verhalten von Metallen in hochfrequenten Feldern und Schall­absorption. Diese Gebiete sind hauptsachlich deshalb ausgewahlt worden, weil sie in jiingster Zeit die starkste Weiterentwicklung erfahren. Es war das Ziel des Autors, die gegenwartige Konzeption der Energiespektren der Elektronen in Metallen sowie neue Methoden darzulegen, die fiir die Untersuchung des Ver­haltens von Metallen in statischen und veranderlichen Feldern entwickelt wor­den sind. Es wird eine Reihe unlangst entdeckter physikalischer Erscheinungen beschrieben und gezeigt, wie diese zum Auffinden der Elektronenspektren ver­wendet werden konnen.

Zur Vereinfachung der Darstellung sind komplizierte Begriindungen stets durch einfache physikalische Argumentationen ersetzt worden. AuJ3erdem hat sich der Autor in den Fallen, in denen eine gesuchte GroJ3e nur fiir ein verein­fachtes, unrealistisches Modell berechnet werden kann, auf eine Abschatzung dieser GroJ3e beschrankt. Das schlieJ3t nicht die Verwendung von Modellen (des isotropen Metalls, der kinetischen Gleichung mit Relaxationszeit) in den Fallen aus, in denen mit ihrer Hilfe die Anwendung einer neuen Berechnungsmethode erlautert oder die Abschatzung von gesuchten GroJ3en vereinfacht werden kann.

Das Buch setzt Kenntnisse der Quantenmechanik und Statistik voraus. Spe­zialkenntnisse iiber Metalleigenschaften, die iiber den Rahmen einer allgemeinen Physikausbildung hinausgehen, sind nicht erforderlich.

lch mochte den Professoren D. S. KOTARI, P. K. MADSHUMDAR und F. K. AULUK fiir Gastfreundschaft und Unterstiitzung wahrend meiner Arbeit in lndien meinen Dank aussprechen.

AuJ3erdem bin ich den Herren J. W. SCHARWIN, E. A. KANER, W. F. GANT­MACHER und M. 1. KAGANOW fiir das Durchlesen des Manuskripts und zahlreiche wertvolle Hinweise sehr dankbar.

Inbaltsverzeicbnis

1. Das Elektron im periodischen Kristallgltter . . . . . . . .

1.1. Allgemeine Eigenschaften. . . . . . . 1.2. Naherung fiir starke Bindung . . . . . 1.3. Modell schwach gebundener Elektronen .

2. Elektronische FERMI-Fliissigkeit. . . . . . . • . . .

2.1. Konzeption der Quasiteilchen . . . . . . . . . 2.2. Quasiteilchen in einer isotropen FERMI-Fliissigkeit 2.3. Anisotrope FERMI-Fliissigkeit . . 2.4. Spezifische Warme der Elektronen . . . .

3. Elektrische Leitfiihigkeit und Wiirmeleitfiihigkeit

11

11 17 20

25

25 27 32 36

41

3.1. Elektron als Wellenpaket 41 3.2. Kinetische Gleichung. . 43 3.3. Elektrische Leitfahigkeit 47 3.4. Warmeleitfahigkeit. . . 48 3.5. Konzeption der freien WegJange 51 3.6. Elektrische Leitfahigkeit und Warmeleitfahigkeit in einem Gas freier Elek-

tronen

4. Streuprozesse

4.1. Streuung an Storstellen. . . . . . . . 4.2. Streuung von Elektronen an Elektronen 4.3. Streuung an Gitterschwingungen . 4.4. Umklapp-Prozesse . 4.5. "Jsotopen"-Streuung 4.6. KONDo-Effekt . . .

o. Galvanomagnetische Eigenschaften der Metalle

52

54

54 56 57 63 68 71

78

5.1. Kinetische Gleichung mit Magnetfeld. . . . . . . . 78 5.2. Galvanomagnetische Erscheinungen im schwachen Magnetfeld . 83 5.3. Galvanomagnetische Erscheinungen im hohen Magnetfeld; geschlossene

Bahnen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 5.4. Galvanomagnetische Erscheinungen im hohen Feld und Topologie offener

FERMI-Flachen. . . . . . . . . . . 90 5.5. Magnetowiderstand eines Polykristalls . . . . . . . . . . . . . . . . 96

8 I nhaltsverzeichnis

6. Thermoelektrische und thermomagnetische Erscheinungen 101

6.l. Thermoelektrische Erscheinungen . . . . . . . . . . 101 6.2. Thermomagnetische Erscheinungen im schwachen Magnetfeld 107 6.3. Warmeleitfahigkeit und thermoelektrische Effekte im hohen Magnetfeld 108

7. Das Metall im hochfrequenten elektromagnetischen Feld. Zyklotronresonanz 114

7.l. Normaler Skineffekt . . . . . . . . . . . . . . . . 114 7.2. Anomaler Skineffekt. Ineffektivitats-Konzept . . . . . 7.3. Anomaler Skineffekt. Liisung der kinetischen Gleichung . 7 A. Zyklotronresonanz . . . . . . . . . . . . . . . . .

8. GroBeneffekte

8.1. Abbruch der Zyklotronresonanzbahnen ....... . 8.2. Innere Hochfrequenzfeldschichten bei Zyklotronresonanz 8.3. Nichtresonanter GriiBeneffekt . . . . . . . . 804. Nichtresonanter GriiBeneffekt im geneigten Feld 8.5. SONDHEIMER-Effekt . . . . . . . . . 8.6. Driftfokussierung des Hochfrequenzfeldes 8.7. GriiBeneffekt bei offenen Trajektorien

9. Ausbreitung elektromagnetischer Wellen im Magnetfeld ..

9.1. Helikonen in Metallen mit unterschiedlicher Anzahl von Elektronen und Liichern

9.2. Magnetoplasmawellen in Metallen mit gleicher Anzahl von Elektronen und

116 118 128

139

139 142 145 147 148 151 154

156

156

Liichern . . . . . . . . . . 159 9.3. Experimentelle Untersuchungen . . . . . . . . . . . . 162

10. Magnetische Suszeptibilitiit und DE-HAAS-VAN-ALPHEN-Effekt. 166

10.1. Spinparamagnetismus . . . . . . . . . . . . . . . . 166 10.2. Quantisierung der Niveaus freier Elektronen im Magnetfeld 167 10.3. LANDAuscher Diamagnetismus ............ 169 lOA. Quasiklassische Quantisierung der Energieniveaus fiir ein beliebiges Spek-

trum . . . . . . . . . . . 171 10.5. DE-HAAS-VAN-ALPHEN-Effekt 174 10.6. Diamagnetische Domanen . 182 10.7. Magnetischer Durchbruch. . 188

11. Quantenerscheinungen in der Hochfrequenz-Oberfliichenimpedanz 193

11.1. "Gewiihnliche" Quantenoszillationen . . . 11.2. Zyklotronresonanz bei "Girlanden"-Bahnen

12. Schallabsorption in Metallen

193 .·198

203

12.1. Absorptionskoeffizient bei fehlendem Magnetfeld; tiefe Frequenzen . 203 12.2. Absorptionskoeffizient bei fehlendem Magnetfeld; hohe Frequenzen 208 12.3. Geometrische Resonanz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

I nhaltsverzeichnis 9

12.4. Magnetoakustische Resonanzerscheinungen . . . . . . . 211 12.5. Quantitative Theorie der geometrischen Resonanz . . . . 214 12.6. Quantitative Theorie der magnetoakustischen Resonanzen . 218 12.7. Riesenoszillationen des Absorptionskoeffizienten infolge Quantisierung der

Niveaus im Magnetfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

13. FERMI-Fliissigkeits-Effekte . . . . . . . . . .

13.1. Wechselwirkung der Quasiteilchen . . . . . 13.2. LANDAusche Funktion f . . . . . 13.3. EinfluB der Wechselwirkung der Quasiteilchen auf die

Suszeptibilitiit. . . . . . . . . . . . . . . . 13.4. LANDAu-Quantisierung und Quantenoszillationen . 13.5. Nullter Schall 13.6. Spinwellen

14. Methoden zur Berechnung der Elektronenspektren von Metallen

14.1. Methode der orthogonalisierten ebenen Wellen. 14.2. Pseudopotentialmethode . . . . . . . . . . 14.3. Modell freier Elektronen . . . . . . . . . . 14.4. Approximation eines stark komprimierten Stoffs

Anhang. Modell eines ferromagnetischen Metalls

Literaturverzeichnis

Sachverzeichnis

228

228 230

paramagnetische 233 236 238 241

249

249 251 257 260

265

269

273

Abweichend von der in 'unseren Biichern iiblichen Verwendung der Zeichen bede'utet in diesem Buch entsprechend dem r'ussischen Original

(Xl proportional,

rv gleiche GroBenordn'ung .

Fiir ,,'ullgef3:hr gleich" ist das a'uch bei uns dafiir iibliche Zeichen ~ verwendet worden.

1. Das Elektron im periodischen KristaUgitter 1)

1.1. Allgemeine Eigenschafien

Metalle sind bekanntlich gute Leiter fiir den elektrischen Strom. Der Grund dafiir ist die Tatsache, daB sich die auJ3eren Elektronenhiillen der Atome, aus denen das Metall besteht, in erheblichem MaBe iiberlappen. Daher konnen die Elektronen dieser Hiillen (der sogenannten Valenzhiillen) leicht von einem Atom zum anderen iiberwechseln, so daB man nicht sagen kann, welchem Atom sie tatsachlich angehoren. Ein derartiges kollektives Verhalten der auBeren Elektronen fiihrt zur Entstehung einer groBen Bindungsenergie der Metalle und erklart ihre spezifisch mechanischen Eigenschaften.

Was die inneren Elektronenhiillen anbelangt, so kann man sie auf Grund ihrer geringen "Oberlappung annahernd wie die eines isolierten Atoms betrachten.

Ein Metall stellt so mit ein Kristallgitter aus positiven Ionen dar, in das die kollektiven Elektronen der Valenzhiillen "hineingegossen" sind. Man nennt sie daher auch Leitfahigkeitselektronen oder "freie" Elektronen. In Wirklichkeit wechselwirken diese Elektronen stark untereinander und mit dem Ionengitter, wobei die potentielle Energie dieser Wechselwirkung von der GroBenordnung der kinetischen Energie der Elektronen ist.

Eine theoretische Beschreibung eines derartigen Systems scheint auf den ersten Blick vollig unmoglich zu sein. Tatsachlich existiert jedoch gegenwartig eine vollkommen strenge Beschreibung der meisten interessanten Erscheinungen in Metallen. Das hangt mit zwei Umstanden zusammen. Zum ersten ist das Ver­halten eines Systems von untereinander stark wechselwirkenden Elektronen (oder einer Elektronenfliissigkeit) in vieler Hinsicht analog dem Verhalten eines Systems von nicht wechselwirkenden Teilchen (d. h. eines Gases) in einem gewis­sen auBeren Feld, das ein gemitteltes Feld der Gitterionen und der iibrigen Elek­tronen darstellt. Zum zweiten folgt schon sehr viel aus der Tatsache, daB das gemittelte Feld die Symmetrieeigenschaften des Kristallgitters, speziell seine Periodizitat, besitzt, obwohl dieses Feld nur schwer genau zu berechnen ist. Daher wird zu Beginn das Hilfspro blem des Verhaltens eines Elektrons im peri­odischen Feld untersucht.

1) Der Stoff dieses Kapitels ist praktisch in allen Biichern iiber Metalltheorie enthalten, so daB man lediglich auf sie zu verweisen brauchte (s. z. B. [1]). Da diese Begriffe jedoch fiir die weiteren Abschnitte von grundlegender Bedeutung sind, werden sie hier nochmals dargelegt.

12 1. Das Elektron l~m periodischen Kristallgitter

Das Elektron bewege sieh in einem auBeren Feld mit der potentiellen Energie U(r). Die Funktion U(r) ist periodiseh, das heiBt

U(r + an) = U(r) , (1.1)

wobei an eine beliebige Gitterperiode ist. Bekanntlieh kann der Vektor an immer als Linearkombination von Basisvektoren ai dargestellt werden:

(1.2)

wobei die ni positive oder negative ganze Zahlen oder Null bedeuten. Die SCHRO­DINGER-Gleiehung fi.ir das Elektron ist

'Ii} - 2m '\J2"P(r) + U(r) "P(r) = 8'1J1(r) . (1.3)

Es ist leieht zu sehen, daB "P(r + an) ebenfalls eine Lasung dieser Gleiehung mit dem gleiehen Eigenwert 8 ist. Wenn daher das Energieniveau 8 nieht entartet ist, muB

(1.4)

gelten, wobei 0 eine Konstante ist. Wenn jedoeh das Niveau 8 entartet ist, das heiBt, wenn zu ihm mehrere Eigen­

funktionen 'IJ1v geharen, gilt

"P",(r + an) = 2; O",v"Pv(r) . (1.5) v

Da die Funktionen "P", ein orthogonales und normiertes System bilden, das heiBt

f "P! ('I') "Pv(r) d V = (j",v , (1.6)

erhalt man dureh Versehiebung der Integrationsvariablen 'I' urn an und Anwen­dung von Formel (1.5)

2; O!,Pvt) = (j",v • (1.7) t)

Folglieh ist O",v eine unitare Matrix, das heiBt

0+ = 0- 1 • (1.8)

Eine sole he Matrix kann man diagonalisieren. Mit anderen Worten, bestimmte Linearkombinationen der Funktion "Pv haben die Eigensehaft (1.4). Die Nor­mierungsbedingung liefert dabei

(1.9) Somit gilt

(1.10)

wobei rp eine reelle Funktion der Versehiebung an ist. Betraehtet man jetzt zwei aufeinanderfolgende Versehiebungen a und a', so

multipliziert sieh bei der ersten Versehiebung die Funktion 'IJ1 mit O(a), bei der zweiten mit O(a'). Die beiden aufeinanderfolgenden Versehiebungen sind einer

1.1. Allgemeine Eigenschaften 13

Verschiebung um a + a' aquivalent. Dabei mull sich die Funktion "p mit O(a + a') multiplizieren. Somit ist

O(a + a') = O(a) O(a') • (1.11)

Hieraus folgt, dall die Funktion q; in der Formel (1.10) eine lineare Funktion der an sein mull,

(1.12)

wobei p ein Vektorkoeffizient ist. Man erkennt leicht, dall dieser Vektor nicht eindeutig bestimmt ist. Wenn

namlich zu p ein Vektor liK addiert wird, der fiir eine beliebige Gitterperiode an die Bedingung Kan = 2:nm (m ganze Zahl) erfiillt, so erhalt man die gleichen Koeffizienten O(an). Der Bedingung Kan = 2:nm geniigt ein unendliches System von Vektoren, das in folgender Form geschrieben werden kann:

(1.13)

Hierbei sind qi ganze Zahlen und Ki die kiirzesten linear unabhangigen Vektoren mit der Eigenschaft Kan = 2:nm. Aus Formel (1.2) folgt, dall diese Bedingung fiir die Basisvektoren ai erfiillt sein mua. Damit ist sie auch fUr beliebige Peri­oden an erfiillt. Hieraus kann man leicht die Vektoren Ki bestimmen:

K __ 2_:n[::-a_2t1:!-,,-] 1 - (~[~tI:!]) ,

2:n[~~] Ka = (~[a2t1:!]) • (1.14)

Man sieht, dall sich die Vektoren Ki aus den reziproken Hohen der Elementar­zelle, multipliziert mit 2:n, ergeben. Kv K2 und Ka sind die Basisvektoren des sogenannten reziproken Gitters. Somit ist das reziproke Gitter vollstandig durch die Translationseigenschaften des betreffenden Kristalls (die Vektoren ad, das heillt durch sein BRAVAIs-Gitter bestimmt und besitzt die gleichen Symmetrie­eigenschaften. Bekanntlich gibt es jedoch verschiedene .BRAVAIS-Gitter mit ein und derselben Symmetrie. Der Zusammenhang zwischen dem BRAvAIs-Gitter und dem reziproken Gitter ist folgender: wenn das BRAVAIS-Gitter raumzen­triert ist, dann ist das reziproke Gitter flachenzentriert und umgekehrt; zu einem BRAvAIs-Gitter mit zentrierter Basis gehort auch ein reziprokes Gitter mit zentrierter Basis.

Die Energie e des Elektrons hangt vom Vektor p abo Da p und p + liK physi­kalisch gleichwertig sind, mull offensichtlich die Energie e(p) eine periodische Funktion mit den Perioden liKi sein. 1m allgemeinen konnen zu jedem Wert p mehrere Energieniveaus el(p) gehoren, wobei jede dieser Funktionen im rezi­proken Gitter periodisch ist.

Die Wellenfunktion, die die Bewegung .des Elektrons im periodischen Feld beschreibt und die Eigenschaft ,.

14 1. Das Elektrcm im periodiaehen KriBtallgitter

hat, kann in der Form

1p(t'} = eiJW/lIu(t') (1.15)

dargestellt werden, wobei u(t') eine periodische Funktion ist:

u(t' + fin} = u(t'} •

Die Formel (1.15) nennt man BLocHsches Theorem. Die Wellenfunktion "I' in (1.15) ahnelt einer ebenen Welle, die die Bewegung eines freien Teilchens be­schreibt, jedoch ist hier die Welle mit einer periodischen Funktion moduliert. Daher ist der dem Impuls analoge Vektor p in Wirklichkeit nicht der Impuls des Teilchens im iiblichen Sinn, sondern der sogenannte Quasiimpuls des Elektrons.

Da die Vektoren p und p + IiK physikalisch aquivalent sind, braucht man zum Zwecke der Eindeutigkeit nur eine Elementarzelle im reziproken Gitter­raum zu betrachten. Das Volumen dieses Bereiches, in dem p eindeutig definiert ist, ist gleich

( 2nli)S (2nli)a -v- (["AI] [[tJA] [fltflsl]) = -v-'

wobei v = (fIt[flsfla]) das Volumen der Elementarzelle des direkten Gitters ist. Zur L08ung der SCHRODINGER-Gleichung miissen die Randbedingungen ange­

geben werden. 1m unendlich ausgedehnten Volumen liegen die aufeinanderfol­genden Zustande beliebig dicht. Die Zustandsdichte, das heiBt die Zahl der Zu­stande, die auf ein Energieintervall oder auf ein gegebenes Volumenelement im Quasiimpulsraum entfallen, hangt nicht von der konketen Form der Rand­bedingungen ab und kann daher am leichtesten aus den einfachsten Rand­bedingungen bestimmt werden.

Unter der Voraussetzung, daB die betrachtete Metallprobe die Form eines rechtwinkligen Quaders hat, lauten die periodischen Randbedingungen:

1p(x + L1, Y, z) = 1p(x, Y + L,., z) = 1p(x, Y, z + La)

= 1p(x, Y, z} • (1.16)

Wenn jede der Abmessungen L1, L,. und Ls eine ganze Anzahl Perioden in ihrer betreffenden Richtung enthalt, gilt

Hieraus folgt

2nliny P,I=--' L,.

wobei nz, n,l , n, ganze Zahlen sind.

2nlin, p,=--,

La (1.17)

Somit erweist sich der Vektor pals diskrete Variable. Wenn jedoch die Langen LlJ La, La sehr groB sind, kann eine Summation iiber die Zustande durch eine

1.1. Allgemeine Eigen8chaften 15

Integration ersetzt werden. Dazu muB die Zahl der Zustande im gegebenen Volumen des p-Raumes bekannt sein. Aus (1.17) findet man

LIL,.L3 Llnz Llnv LIn, = (2nli)3 Llpz Llpv LIp, ,

so daB die Zahl der Zustande im Intervall d3p = dpz dpv dp, gleich

V --d3p (2nli)3

ist, wobei V = LIL2La das Probenvolumen ist. Die Zustandsdichte im p-Raum ist also

V (2nli)3·

(1.18)

Wie bereits erwahnt, ist der eindeutige Definitionsbereich von peine Elemen­tarzelle des reziproken Gitters mit dem Volumen (2nli)3/v. Daher ist die Gesamt­zahl verschiedener p-Werte gleich

(2nli)3 V -v- (2nli)3 = N ,

wobei N die Zahl der Elementarzellen im betrachteten Volumen ist. AuBerdem muB beachtet werden, daB das Elektron den Spin 8 = 1/2 hat, dessen Projektion auf eine bestimmte Achse zwei Werte 8, = ± 1/2 haben kann. Das verdoppelt die Zahl der Zustande. Jeder Funktion e/(p) entsprechen also 2N verschiedene Zu­stande.

Die Funktionen e/(p) sind periodisch im reziproken Gitter und schwanken selbstverstandlich zwischen gewissen Maximal- und Minimalwerten. Foiglich erhalt man fUr jeden Index l ein "Band" erlaubter Energiewerte. Diese Bander konnen durch "Energielucken" getrennt sein (d. h. Energiewerte, die die Elek­tronen nicht annehmen) oder sich uberlappen.

Die Funktionen e/(p) haben einige allgemeine Eigenschaften. Zuerst sei be­merkt, daB die vollstandige SCHRODINGER-Gleichung

o1p i-= H1p ot

gegen die Transformation t -+ - t und 1p -+ 1p* invariant ist. Die stationaren Losungen der SCHRODINGER-Gleichung haben die Form e-i8'(P)t/1I1plP(r), woraus folgt, daB 1plp(r) und 1p/!,(r) zum gleichen Eigenwert e,(p) gehoren mussen. Da sich jedoch bei Translationen 1plp mit eipa/Ii und 1p/!, mit e -ipa/lI multipliziert, ist e,(p) = e,(- p).

Bisher wurde als Bereich, in dem der Quasiimpuls p eindeutig definiert ist, eine Elementarzelle des reziproken Gitters genommen. Es ist jedoch bequemer, dieses Gebiet auf andere Weise zu bestimmen. Selbstverstandlich muB es ein Volumen haben, das gleich dem Volumen der Elementarzelle des reziproken Gitters ist und darf auBerdem keine Punkte enthalten, die sich urn eine reziproke

16 1. Das Elektron im periodischen K ristallgitter

Gitterperiode unterscheiden. Zur Konstruktion dieses Bereichs werden von einem beliebigen Punkt des reziproken Gitters aIle K-Vektoren gezogen, die ihn mit den anderen reziproken Gitterpunkten verbinden. Die senkrecht zu jedem dieser Vektoren stehenden und sie halbierenden Ebenen begrenzen dann ein bestimmtes Volumen im reziproken Gitterraum, das die Gestalt eines gewissen Polyeders hat. Man sieht leicht, daB dieses Polyeder aIle geforderten Eigen­schaften besitzt und daher als Grundgebiet ftir den Quasiimpuls p verwendet werden kann. Man nennt es die BRILLOUIN-Zone. Offensichtlich wird die BRIL­LOUIN-Zone mathematisch durch die Bedingung

(l.19)

fUr aIle Basisvektoren at definiert. In Abb. 1 sind Beispiele fUr BRILLOUIN-

Abb.l

Abb.2

Abb.3

a) b)

BRILLOUIN-Zonen fiir

(a) flachenzentrierte und (b) raumzentrierte kubische Gitter

Aquivalente, spiegelsymmetrisch zueinander gelegene Punkte Pl und P2 auf den Grenzen der BRILLOUIN -Zone

Energiebander fiir eine lineare Kette mit der Periode a

1.2. Naherung fur starke Bindung 17

Zonen fUr (a) flachenzentrierte und (b) raumzentrierte kubische Gitter dar­gestellt.

Die Kristallgitter von Metallen haben in der Regel eine hohe Symmetrie. Das fUhrt zu bestimmten Eigenschaften der Funktion Sl(P). Es laufe zum Beispiel durch den Punkt P = 0 eine Symmetrieebene senkrecht zur px-Achse. Wenn Grenzen der BRILLOuIN-Zone senkrecht zur px-Achse existieren, muB auf ihnen Sl(P) beztiglich Px ein Extremum haben. Zum Beweis seien auf diesen Grenz­flachen zwei beztiglich der Symmetrieebene symmetrische Punkte PI und P2 ausgewahlt (Abb.2). Sie unterscheiden sich um eine Periode des reziproken Gitters (multipliziert mit Ii). Daher ist an diesen Punkten

OSl(PI) OSl(P2) Cl(Pl) == ez(P2) , --- - ---

opx opx Infolge der Symmetrie beztiglich der Ebene Px = 0 gilt

OSl(PI) OSl(P2)

und folglich OSl(PI) --=0.

OPal Analog erhalten wir in diesem Fall

~I -0 opx Px~O - •

Somit kommt man zu dem SchluB, daB fUr symmetrische Gitter die Funktion Sl(P) in der Regel im Zentrum der BRILLoUIN-Zone oder an deren Grenzen Ex­trema besitzt.

Die gewonnenen Aussagen beztiglich der Elektronenenergie als Funktion des Quasiimpulses sind in Abbildung 3 fUr den eindimensionalen Fall dargestellt. Die BRILLoUIN-Zone ist hier offenbar das Intervall - nlija < p < nlija, wobei a die Periode der linearen Kette bedeutet.

1.2. Naherung fUr starke Bindung

Zur genauen Berechnung der Funktion Sl(P) verwendet man recht komplizierte Verfahren (s. Kap. 14). 1m folgenden werden zur Erlauterung allgemeiner Eigen­schaften der Funktion Sl(P) lediglich zwei auBerst einfache Methoden betrachtet, obgleich sie fUr die genaue Bestimmung von Sl(P) in realen Metallen nicht sehr gut geeignet sind.

Die erste Methode ist die sogenannte Methode der starken Bindung, die der Einfachheit halber zu Anfang fUr ein eindimensionales Metall, das heiBt eine lineare Atomkette betrachtet wird. Unter der Annahme, daB sich die Elek­tronenhtillen wenig tiberlappen und in nullter Naherung jedes Elektron seinem entsprechenden Atom angehart, kann die Uberlappung der Htillen als Starung angesehen werden.

2 Abrikossow

18 1. Da8 Elektroo im periodi8cken KriBtallgitter

Die potentielle Energie des Elektrons im Feld aller lonen ist

V(x) = ~ U(x - na) ,

und die SCHRODINGER-Gleichung lautet

liz d21p - 2m dx2 + ~ U(x - na) 1p(x) = e1p(x) •

n

Die exakten Losungen der Gleichung (1.20) sind die BLocH-Funktionen

V'p(x) = eipflJlli up(x) ,

(1.20)

und die entsprechenden Eigenwerte sind e(p). Aus den Funktionen 1pp werden nun die sogenannten WANNIER-Funktionen

1 . 1 wn(x) = ,1- ~ e-·pna lI1pp(X)

rN p (1.21)

gebildet, wobei N die Zahl der Atome in der Kette ist undp durch die eindimen­sionale BRILLOUIN-ZOne - nli/a < p < nli/a begrenzt ist. Die umgekehrte Transformation hat die Form

1pp(X) = ~ ~ eipnalll wn(x) ,

denn Einsetzen der Formel (1.21) ergibt

1pp(x) =.!. ~ ei(P-p')nalll1pp'(x) = 1pp(x) N .. ,p'

(1.22)

(weilsich p und p' in der BRILLOUIN-ZOne befinden). Die Funktionen wn(x) mit verschiedenem n sind orthogonal, denn

j w!(X) wm(x) dx =.!. ~ ei(pn-p'm) alII N p,p'

xj1p;(X) 1pp.(x) dx =.!. ~ eip(n-m)alll = IJmn Np

(1.23)

(es sei daran erinnert, daB die Anzahl verschiedener p-Werte innerhalb der BRILLouIN-Zonengrenzen gleich N ist).

Aus der Definition (1.21) erkennt man, daB die Funktion wn(x) nur in der Nahe des n-ten Ions von Null verschieden ist. Wenn namlich die BLOcH-Funk­tion einfach eine ebene Welle ware, also ohne Modulation durch die Funktion up(x), so ware Wn gleich lJ(x - na). Diese Eigenschaft erlaubt es, die Kleinheit der tJberlappung der Elektronenhiillen auszunutzen. Aus der Definition (1.21) folgt auJlerdem, daB infolge der Periodizitat von up(x) alle Funktionen Wn im Grunde genommen ein und dieselbe Funktion wo(x) = w(x) mit verschobenem Argument sind: wn(x) = w(x - na).

1.2. Niiherung fur starke Bindung 19

Da 1jJp der SCHRODINGER-Gleichung geniigt, erhiilt man durch Einsetzen des Ausdrucks (1.22) in (1.20)

X (- !!!..-~ + U(x - na)) eipna/Ti wn(x) n 2m dx2

+ X hex) eipna/Ti Wn(x) = e(p) L.; eipan/Ti Wn(X) , (1.24) n n

wobei hex) = Vex) - U(x - na). Das Glied mit hex), das nur die Produkte U(x - ma) wn(x) mit n =F m enthalt, ist klein, da die Funktion wn(x) nur in der Niihe von x = na von Null verschieden ist.

Wenn in nullter Naherung dieses Glied vernachlassigt wird, sieht man, daB die Gleichung (1.24) durch die Funktion w(x) befriedigt wird, die gleich der Wellenfunktion des Elektrons im isolierten Atom ist, das heiBt

w(O) = cp(x) • (1.25)

Dabei ist offenbar

e(O)(p) = eo,

wobei eo das entsprechende Niveau des isolierten Atoms ist. Die nachste Naherung lautet mit W = w(O) + W(l):

Das ist eine beziiglich W(l) lineare inhomogene Gleichung. N ach einer allgemeinen Regel hat solch eine Gleichung nur dann eine Losung, wenn die rechte Seite orthogonal zur Losung der entsprechenden homogenen Gleichung mit den glei­chen Randbedingungen ist. Diese Bedingungen besagen, daB W fUr + 00 gegen Null strebt. Hieraus folgt, daB die entsprechende Losung der homogenen Glei­chung gerade w(x) in der nullten Naherung, das heiBt cp(x) ist. Aus der Ortho­gonalitatsbedingung folgt

wobei

L.; hen) eipna/Ti

e(p) - eo = ..i len) eipna/Ti '

hen) = f cp*(x) hex) cp(x - na) dx ,

len) = f cp*(x) cp(x - na) dx .

(1.26)

(1.27)

(1.28)

Die Atomfunktion cp kann reell gewahlt werden. Dabei ist offensichtlich hen) = h( -n) und len) = l( -n).

Beide Funktionen hen) und len) nehmen mit wachsendem n sehr schnell ab, weil die "Oberlappung der Elektronenhiillen als gering vorausgesetzt wurde. Daher werden nur die ersten Glieder beriicksichtigt. Die GroBe h(O) hat die

20 1. Da8 Elektron im periodischen K ristallgitter

GroBenordnung U(a), h(I) hat die GroBenordnung U(a) cp(a)jcp(O), 1(0) = 1, und 1(1) ist von del' GroBenordnung cp(a)jcp(O). Somit erhalt man

pa 10 - eo = h(O) + 2(h(I) - h(O) 1(1») cos Ii: ' (1.29)

woraus folgt, daB 10 eine periodische Funktion von p mit del' Periode 2nlija, das heiBt mit del' Periode del' reziproken Kette ist.

1m Dreidimensionalen sind die Rechnungen komplizierter. ZusatzlicheSchwie­rigkeiten entstehen, wenn die Elementarzelle mehr als ein Atom enthalt, so daB diese Atome symmetl'isch bezuglich gewisser Symmetrietransformationen sind, die sich von del' Translationsperiode unterscheiden. AuBerdem kann del' Atomzustand ein von Null verschiedenes Moment haben und das entsprechende Niveau eo entartet sein. 1m einfachsten Fall, wenn die Elementarzelle ein Atom enthalt, das nul' ein 8-Elektron besitzt, findet man

2: h(n) eipon/1I

n (1.30) 10 - eo = 2: 1(n) eipon/I!'

n

Fur ein kubisch raumzentriertes Gitter mit del' Wurfelkante a ist

wenn nQ.r die nachsten N achbal'll berucksichtigt werden. Daraus ergibt sich

Pxa pya p.a 10 - eo = h(O) + 8(h(I) - h(O) 1(1») cos 2ii: cos 2ft cos 21i . (1.31)

Del' Koeffizient 8[h(I) - h(O) 1(1)] bestimmt die Bandbreite. Die physikalische Bedeutung del' erhaltenen Resultate besteht darin, daB die

diskreten Niveaus del' isolierten Atome sich zu schmalen Bandel'll verbreitel'll, deren Breite yom Grad del' tJberlappung odeI' genauer yom Matrixelement ab­hangt, das dem tJbergang eines Elektrons zum Nachbaratom entspricht. Die auf diese Weise erhaltenen Formeln sind anwendbar, wenn die tJberlappung del' Atomhullen gering ist, das heiBt fUr die inneren Rullen. Daher konnen einige Bander del' Ubergangsmetalle mit diesel' Methode ermittelt werden.

Eine andere Anwendung diesel' Formeln besteht darin, daB die entsprechen­den Funktionen e/(p) die korrekten Symmetrieeigenschaften besitzen und als Grundlage fur empirische Formeln dienen konnen, die die experimentellen Daten zu den Elektronenspektren sogar im allgemeinen Fall erfassen.

1.3. Modell schwach gebundener Elektronen

1m entgegengesetzten Fall, wenn die Elektronen im Metall fast frei sind und nul' wenig mit dem Kristall wechselwirken, ist ebenfalls die Storungstheorie

1.3. Modell schwach gebundener Elektronen 21

anwendbar. Wie auch zuvor wird zunachst das eindimensionale Modell be­trachtet.

Die normierte Wellenfunktion des freien Elektrons hat die Form

(1.32)

wobei L die Lange der Kette ist (man nimmt zweckma13igerweise eine endliche Kette und stellt periodische Randbedingungen). Die Energie ist

(1.33)

Auf das Elektron wirkt das Potential U(x). Da es periodisch ist, kann es in eine FOURIER-Reihe entwickelt werden:

U(x) = 2; Un ei (2nnla)z. (1.34) n

Hierbei ist 2nn/a die Periode des reziproken Gitters im eindimensionalen Fall. Die Matrixelemente von U(x) beziiglich der Funktionen (1.32) sind

U(p, p') = .~ J U(x) e- i (p-P')Z/II dx .

Sie sind offenbar von Null verschieden, wenn

p - p' = 2nnli/a , (1.35) wobei

U(p, p') = Un. (1.36)

Das Korrekturglied erster Ordnung zur Energie e(O)(p) ist e(l)(p) = U(p, p)

= Uo' Dies ist eine Konstante, die lediglich den Nullpunkt der Energieskala verschiebt. Daher wird das nachste Korrekturglied betrachtet:

(2) _ IUn l2 e (p) - nfo e(O)(p) - e(O)(p - 2nnli/a) . (1.37)

Die Storungstheorie kann nur angewendet werden, wenn diese Korrektur klein gegeniiber Uo ist. Diese Bedingung ist offensichtlich nicht erfiillt, wenn der Nenner klein wird, was tatsachlich eintreffen kann. Wenn p gegen nnli/a mit irgendeinem n strebt, dann strebt in dem entsprechenden Glied der Summe (1.37) p' = P - 2nnli/a gegen -nnli/a und folglich e(O)(p) -+ e(O)(p'). Daher kann fUr derartige p-Werte die Storungstheorie nicht angewendet werden. Das erklart sich daraus, dall die zwei Zustande p und p' ein und dieselbe Energie besitzen. Somit ist dieses Niveau entartet, und man mull die Storungstheorie fUr ent­artete Zustande anwenden.

Die gesuchte Wellenfunktion wird in der Form

"P = A1"P1 + 4 2"P2

22 1. Das Elektron im periodisehen Kristallgitter

angenommen, wo bei "PI dem ersten und "PI dem zweiten Zustand entspricht. Durch Einsetzen dieses Ausdrucks in die SCHRODINGER-Gleichung H"P = 8"P ergibt sich

A1(81 - 8) "PI + U(Al"Pl + A2"P2) + A2(82 - 8) "P2 = 0 ,

wobei 9. = p2/2m und 82 = p'2/2m. Durch Multiplikation mit "Pt bzw. "P: und Integration erhalt man unter Verwendung der Orthogonalitat von "PI und "P2

A1(81 - 8) + U .. A2 = 0, U!A1 + (82 - 8) A2 = 0 .

Die Eigenwerte ergeben sich aus der Bedingung, daB die Determinante dieses homogenen linearen Gleichungssystems verschwindet, das heiBt

82 - (81 + 8s) 8 + 8182 - I U .. IS = o. Man erhalt zwei Losungen:

8 = ~ ~ 82 ± 1/(81 ~ 8s)2 + 1U .. 12 • (1.38)

Die Auswahl der geeigneten Losung ergibt sich aus der Bedingung, daB weit ent­fernt vom "gefahrlichen" Impulswert 8 gleich 8(0) sein muB. Man sieht leicht, daB in der Umgebung von p = n'lin/a das Minuszeichen fUr Ipl < In'lin/al und das Pluszeichen fUr Ipl > In'lin/al gelten muB. Das bedeutet, daB bei p = n'lin/a die Funktion 8(p) einen Sprung erfahrt, der gleich 2IU .. 1 ist (Abb. 4).

Ahh.4

N~ I / I / /

I I ~ I \ / I

I 1/

i!1 VI l : I I

Energieliicken im eindimensionalen Modell schwach gehundener Elektronen

Die bisher verwendete GroBe p ist der Teilchenimpuls. In Wirklichkeit wird aber das sich im Gitter bewegende Elektron durch den Quasiimpuls charakteri­siert. Man kann zum Quasiimpuls iibergehen, indem man von p jeweils eine ge­eignete reziproke Gitterperiode (multipliziert mit 'Ii) subtrahiert, so daB die Dif­ferenz in die BRILLoUIN-Zone fallt. Das entspricht dem V"bergang von Abbil­dung 4 zur Abbildung 3, die bereits die Abhiingigkeit der Energie vom Quasi­impuls, und nicht vom Impuls, darstellt. Somit entsteht wiederum ein Bild von Energiebandern, die durch verbotene Zonen getrennt sind.

1.3. Modell8chwach gebundener Elektronen 23

1m dreidimensionalen Fall kann das Potential U(r) in eine dreidimensionale FOURIER-Reihe entwickelt werden:

U(r) = 2: UK eiKp , K

(1.39)

wobei K die Perioden des reziproken Gitters sind. Die Storungstheorie kann wiederum fUr diejenigen Werte von p nicht angewendet werden, fiir die

e(O)(p) = e(O)(p - liK)

gilt. Durch Einsetzen von e(O) = p2/2m ergibt sich

liKp 1m = li2 K2 12m oder

p cos e = liK 12 ,

(1.40)

(1.41)

wobei e der Winkel zwischen p und Kist. Dies ist die Gleichung einer Ebene im Impulsraum, die senkrecht zum Vektor K steht und ihn im Abstand liKI2 vom Koordinatenursprung schneidet. Wie schon im eindimensionalen Fall, erfahrt die Energie an dieser Ebene einen Sprung. Wenn K die kleinste Periode in der entsprechenden Richtung ist, ist diese Ebene einfach die Grenze der BRILLoUIN-Zone. Dieser Energiesprung ist einer der Griinde, weshalb die BRILLOUIN-ZOne der giinstigste Bereich zur Definition des Quasiimpulses ist.

Wenn die Gleichung (1.40) nur fiir eine Periode K und nicht fiir zwei oder drei Perioden gleichzeitig erfiillt ist, das heiJ3t, wenn man nicht die tiberschneidung von zwei oder drei Ebenen (1.41) zu betrachten braucht, dann ergibt sich die Energie analog zum eindimensionalen Fall (1.38):

e(O)(p) + e(O)(p - liK) e(p) = 2

(1.42)

Die pz-Achse wird in Richtung von liK gewahlt und eine neue Variable Pzl = p. - liKI2 eingefUhrt. Setzt man e(O) = p2/2m in (1.42) ein, so findet man unter Verwendung der neuen Variablen

2 + 2 + (IiKI2)2 1 I( IiK)2 e(p) = P..L PZl2m ± V P~m + IUK I2 •

Ferner werden die Flachen konstanter Energie im p-Raum betrachtet und ihr Schnitt mit der Ebene pz! = 0 untersucht. Am Punkt pz! = 0, P..L = 0 ist die Energie

(liKI2)2 e(O) = 2m ± IUKI·

24 1. DaB Elektron im periodischen K ristallgitter

Das sind die Energiewerte, bei denen die Flache e(p) = const durch den Punkt Pzl = 0, P 1. = 0 geht. Hieraus kann man schlieJ3en, daB bei

1 ('liK)2 B <2m 2 - IUxl

die Flache B = const die Grenze nicht schneidet und so verliiuft, wie es Abbil­dung 5 a darstellt. Wenn jedoch die Energie im Intervall

1 ('liK)2 1 ('liK)2 2m 2 - IUxl <B <2m 2 + IUxl

liegt, hat die Flache B = const in der Nahe der Ebene Pd = 0 den in Abbil­dung 5 b gezeigten Verlauf. SchlieBlich liegt fiir

B> 2~('Ii:r + IUxl

die in Abbildung 5c dargestellte Situation vor.

Pz ! Pz! Pz!

o h

a) b) c)

Abb.5 Flachen konstanter Energie in der Nahe einer Grenzflache der BRILLOffiN-ZOne im Modell schwach gebundener Elektronen

Das Auftreten von Energiebandern im Fall schwacher Bindung hat folgende physikalische Bedeutung. Die Bedingung (1.41) ist die BRAGGsche Reflexions­bedingung an den Gitterebenen fiir eine die Elektronenbewegung beschreibende ebene Welle. Wenn die Bedingung erfiillt ist, wird das sich im Gitter bewegende "freie" Elektron an den Gitterebenen intensiv reflektiert, wobei sich seine Wel­lenfunktion wesentlich andert. Das Energiespektrum geniigt in diesem Fall der Bedingung, daB die Geschwindigkeitskomponente des Elektrons v = OB/Op (s. Abschn. 3.1.) senkrecht zur Kristallebene gleich Null wird.

2. Elektronische Fermi-Fliissigkeit

2.1. Konzeption der Quasiteilchen

Wahrend bisher das Verhalten eines Elektrons im mittleren Feld des Gitters und der anderen Elektronen untersucht worden ist, soll jetzt ein reales System von wechselwirkenden Elektronen, das heillt eine Elektronenfliissigkeit betrach­tet werden. Das Verhalten eines derartigen Systems kann auf der Grundlage einer allgemeinen Konzeption von LANDAU (1941) [2] iiber die Energiespektren kondensierter Quantensysteme und seiner Theorie der FERMI-Fliissigkeiten verstanden werden.

Die allgemeine Konzeption von LANDAU lallt sich am leichtesten am Beispiel des schwingenden Kristallgitters erlautern. Wenn die Schwingungen klein sind, kann die potentielle Energie der wechselwirkenden Gitteratome nach Potenzen der Atomverschiebungen u entwickelt werden. Das Glied erster Ordnung ver­schwindet, weil die Gleichgewichtslage einer minimalen potentiellen Energie entspricht.

Bei Beschrankung auf die Glieder zweiter Ordnung ergibt sich

U U + 1 '" AIX,IX' IX IX' = 0 -.£..J nj, n'j'unjUn'i' • 2 n,n'

(2.1)

j,1', IX,IX

Die Gitterperioden sind an. Der Index j bezeichnet die Atomnummer in der Ele­mentarzelle n. Dem Index (X entsprechen die Koordinaten des Verschiebungs­vektors u und A:i~:'i' sind Entwicklungskoeffizienten.

Der Ausdruck (2.1) stellt nichts anderes dar als die Energie eines Systems ge­koppelter Oszillatoren. Bekanntlich kann die quadratische Form (2.1) mit Hilfe einer linearen Transformation der Oszillatorkoordinaten, in diesem Fall der Vektoren Unj, diagonalisiert werden, wobei man ein System nichtwechsel­wirkender Oszillatoren erhalt. Die Energie ist in diesem Fall die Summe der Energien der einzelnen Oszillatoren.

Da die Untersuchung der Gitterschwingungen nicht zum Programm dieses Buches gehortl), werden lediglich die Ergebnisse dieser tJberlegungen zitiert.

1) Eine ausfiihrlichere Darstellung der Gitterschwingungen findet man in dem Buch von PEIERLS (1].

26 2. Elektroni8che FERlIfi-FlU88igkeit

Die Losung der Bewegungsgleichung ergibt folgenden Ausdruck fUr die Ver­schiebungen:

uRi = 1: c(k, 8) eile"n-iw (Ie, 8) t el(k, 8) • (2.2) Ie,8

Jeder Satz k, 8 entspricht einem unabhiingigen Oszillator. Gleichzeitig stellt die Formel (2.2) eine Superposition ebener Wellen dar, die

sich durch den Kristall ausbreiten. Der Wellenvektor k hat die gleichen Eigen­schaften wie pin (wobei p der Quasiimpuls ist). Der Index 8 bezeichnet den Wel­lentyp, und der Einheitsvektor der Polarisation el bestimmt die Schwingungs­richtung der einzelnen Atome in einer Elementarzelle. Wenn die Elementarzelle z Atome enthiilt, nimmt der Index 8 3z verschiedene Werte an. Die Schwingungs­frequenz co hiingt von k und 8 abo

Die Formel (2.2) erinnert an die Wellenfunktion freier Teilchen

eipf'/II-iet/II •

Die Rolle des Impulses p spielt nk und die Rolle der Energie nco. Wenn man dies beriicksichtigt, kann man ein neues physikalisches Bild einfiihren. Normaler­weise liegen reale Teilchen vor, deren freie Bewegung durch ebene Wellen be­schrieben wird. In diesem Fall jedoch faBt man den Ausdruck (2.2) als Wellen­funktion irgendwelcher fiktiver Teilchen auf, die man "Quasiteilchen" nennt. Da dieser Begriff hochst universell ist, tragen die Quasiteilchen, die den Gitter­schwingungen entsprechen, die spezielle Bezeichnung "Phononen". Diese Be­zeichnung hiingt damit zusammen, daB die betrachteten Quasiteilchen in dem gleichen Zusammenhang mit den sich im Gitter ausbreitenden elastischen Wellen (d. h. mit dem Schall) stehen, wie die Lichtquanten, die Photonen, mit den elek­tromagnetischen Wellen. Kurz gesagt, in der Quantenmechanik beschreiben gewohnlich Wellen die Bewegung von Teilchen, wahrend hier Teilchen zur Beschreibung von Wellen eingefiihrt werden.

Der Zweck der Beschreibung durch Quasiteilchen wird klarer, wenn man die Energie des schwingenden Kristalls betrachtet. Die Energieniveaus ergeben sich aus der Formel fiir ein System nichtwechselwirkender Oszillatoren

E - Uo = 1: nco(k, 8) (n(k, 8) + 1/2) . (2.3) Ie,8

Die Zahlen n sind Null oder positiv und ganz. Der Ausdruck (2.3) wird als Summe zweier Glieder geschrieben:

1 E - Uo = 2" 1: nco(k, 8) + 1: nco(k, 8) n(k, 8) • (2.4)

1e,8 Ie"

Der erste Summand entspricht dem kleinsten Energiewert und beschreibt den Grundzustand des Systems. Dies ist die Energie der sogenannten Nullpunkts­schwingungen. Die Tatsache, daB die Atome des Kristallgitters sogar im Grund­zustand schwingen, hiingt mit dem Quantenprinzip der Unbestimmtheit zu­sammen. Danach kann ein Teilchen nicht in der Gleichgewichtslage ruhen, da es dann gleichzeitig eine bestimmte Koordinate und einen bestimmten Impuls haben wiirde.

2.2. Quasiteilchen in einer isotropen FERMI.FlUssigkeit 27

1m angeregten Zustand ist die Zahl n(k, 8) von Null verschieden. Die Formel (2.4) entspricht in diesem Fall einem System unabhiingiger Teilchen mit den Energien liw(k, 8). Da die Zahl n(k, 8) beliebige ganze positive Werte annehmen kann, kann sich in ein und demselbenZustand eine belie bige Anzahl von Phononen befinden. Das heiBt, sie gehorchen der BOSE-Statistik.

Das Phononenkonzept ist so lange geeignet, wie die Schwingungsamplituden klein im Vergleich zur Gitterperiode sind. Anderenfalls muB man die h6heren Glieder der Reihenentwicklung der potentiellen Energie nach den Verschiebun­gen berucksichtigen, wobei die Gesamtenergie nicht durch die Formel (2.3) wiedergegeben wird. Dieser Fall tritt jedoch nur in der Niihe des Schmelzpunktes mn.

Nach der Idee von LANDAU hat ein beliebiges homogenes System, das aus einer groBen Zahl von Teilchen besteht, niedrige angeregte Zustiinde vom glei­chen Typ, wie sie das schwingende Gitter besitzt. Das Quasiteilchenmodell kann niimlich die Eigenschaften eines beliebigen Systems beschreiben. Quasi-

teilchen k6nnen ganz- (nh) oder halbzahligen [( n + ~) h] Spin besitzen, das

heiBt entweder BOSE- oder FERMI-Teilchen sein. Die Statistik der Quasiteilchen hiingt nicht eindeutig mit der Statistik der Teilchen zusammen, aus denen das System besteht. So gehorchen z. B. die Phononen, wie wir gesehen haben, immer der BOSE-Statistik, unabhiingig vom Spin der Atome, aus denen das Gitter besteht. Offenbar gilt nur dies: einem System von BosE-Teilchen k6nnen nicht Quasiteilchen mit halbzahligem Spin entsprechen. Die Energie der Quasiteilchen ist eine Funktion ihrer Impulse. Diese Abhiingigkeit s(p) ist das Hauptcharak­teristikum fUr Zustiinde niedriger Anregung.

2.2. Quasiteilchen in einer isotropen Fermi.Fliissigkeit

Die Elektronen haben den Spin h/2. Infolgedessen ist die Elektronenflussigkeit eine sogenannte FERMI-Flussigkeit. Welche Eigenschaften haben nun die Quasi­teilchen dieser Flussigkeit 1 Nach der Hypothese von LANDAU (1956) [3] ist das Energiespektrum einer solchen Fltissigkeit dem eines idealen FERMI-Gases sehr iihnlich. Die Richtigkeit dieser Hypothese wurde spiiterhin streng be­wiesen. Hier wird jedoch der Beweis nicht erbracht, zumal er durch seine Kom­pliziertheit den Rahmen dieses Buches bei weitem sprengen wurde.1)

Daher wird zuniichst ein ideales Gas betrachtet. Die Gleichgewichtsvertei­lungsfunktion ist die bekannte FERMI -Funktion :2)

1 f = e(e-I')/T + 1 .

1) Der Beweis wird irn Buch [4] durchgefUhrt. 2) Hier und irn folgenden wird die Ternperatur in Energieeinheiten angegeben. Urn zu Grad­

einheiten iiberzugehen, rnuB dieser Wert durch die BOLTZMANN-Konstante dividiert werden.

28 2. Elektronisehe FERMI-Flussigkeit

Hierbei ist e = p2j2m und p, das chemische Potential. Bei T = 0 ist f = 1, wenn e < p,(0), und j,= 0, wenn e> p,(0) (s. Abb. 6, die ausgezogene Linie). Die Gro13e p,(0) ist das sogenannte FERMI-Niveau. Wenn man den> FERMI­Impuls Po entsprechend der Beziehung p,(0) = p~j2m einfUhrt, sieht man, da13 bei T = 0 alle Zustiinde, denen im Impulsraum das Innere einer Kugel mit dem Radius p = Po entspricht (FERMI-Kugel), besetzt sind, wiihrend alle au13erhalb liegenden Zustiinde unbesetzt sind. Das ist eine Folge des PAULI-Prinzips: in jedem Zustand kann sich nur ein Teilchen befinden, so da13 im vorliegenden Fall bei T = 0 alle unteren Zustiinde besetzt sind. Das besetzte Volumen im Phasen-

Abb.6

f' 11------........ ,..--,

"'\ \

\ \

0'--------'-,--'>0.-prO) £;

FERMI-Verteilungsfunktion fiir die Temperaturen T = 0 (--) und T > 0(- - -)

raum der Impulse, Koordinaten und Spins, dividiert durch (2nli)3, mu13 gleich der Teilchenzahl sein. Das Volumen im Impulsraum ist das Volumen der FERMI­Kugel. Die Moglichkeit zweier Werte ftir die Projektion des Spins liefert den Faktor 2 hinzu. Damit ergibt sich fUr die Teilchenzahl

2(4nj3) p~V ( N)1/3 N = (2nli)3 oder Po = Ii 3n2 V • (2.5)

Ftir den Fall T =l= 0 ist die Verteilungsfunktion durch die gestrichelte Linie in Abbildung 6 gegeben. Die Breite der "Verschmierung" liegt in der GroBen­ordnung von T. Das hiingt damit zusammen, da13 einige Teilchen, die eine zusiitzliche Energie der Gro13e T erhalten, die Grenze der FERMI-Kugel tiber­schreiten. Der Gleichgewichtszustand bei T =l= 0 und jeder andere beliebige angeregte Zustand kann aus dem Zustand bei T = 0 durch tJbergang von Teil­chen aus dem Innern der FERMI-Kugel in den Au13enraum erhalten werden. Bei jedem derartigen tJbergang entstehen ein Teilchen au13erhalb der FERMI-Kugel und ein freier Platz oder "Antiteilchen" im Innern. Diese Teilchen und Anti­teilchen sind dabei die Quasiteilchen des angeregten Zustandes.1 ) Ihre Energie mu13 vom FERMI-Niveau p,(0) aus geziihlt werden. Die Impulse von Quasiteil-

1) Die "Antiteilchen" stellen ein vollstandiges Analogon zu den Antiteilchen in der Theorie der Elementarteilchen (z. B. dem Positron) dar. Der haufig verwendete Begriff "Locher" ist ungeeignet, da er gewohnlich ganzlich andere Objekte bezeichnet, namlich freie Platze im nicht aufgefiilIten Band (s. Abschn. 2.3.).

2.2. Quasiteilchen in einer isotropen FERMI-Flussigkeit

chen- mit Teilchencharakter sind groBer als Po, und ihre Energie ist p2 p~

~t(p) = 2m - 2m'

Wenn P - Po ~ Po, dann ist

~t(p) ~ v(p - Po) ,

29

wobei v = Po die Geschwindigkeit auf der FERMI-Kugel ist. Andererseits sind m

die Impulse der Antiteilchen kleiner als Po' und ihre Energie muB in umgekehrter Richtung gezahlt werden:

p~ p2 -~a(P) = 2m - 2m

oder ~a(P) ~ v(po - p) ,

wenn Po - P ~ Po' Diese Energiezahlung erklart sich daher, daB die Entstehung von Antiteilchen in der Tiefe der FERMI-Verteilung einen groBeren Energie­aufwand als an der FERMI-Flache erfordert.

Nach der Hypothese von LANDAU ist das Spektrum von Quasiteilchen in einer isotropen FERMI-Fltissigkeit mit starker gegenseitiger Wechselwirkung von gleichem Typ wie in einem idealen Gas. Das bedeutet, daB es einen gewissen Wert Po gibt, der nach der Theorie von LANDAU mit der Teilchendichte in glei­chern Zusammenhang steht wie beim idealen Gas (Formel (2.5)). Es gibt zwei Arlen von Quasiteilchen: "Teilchen" mit P > Po und , .. Antiteilchen" mit P < Po' Ihre Energien sind fUr den Fall Ip - Pol ~ Po gleich

~t ~ v(p - Po) , ~a ~ v(p 0- p) • (2.6)

Hierbei ist v jedoch einfach irgendein unbekannter Koeffizient, der die Dimen­sion einer Geschwindigkeit besitzt. Statt v kann ein anderer Koeffizient mit Hilfe der Beziehung

v = po/m* (2.7)

eingefUhrt werden. Die Konstante m * mit der Dimension einer Masse nennt man "effektive Masse"'!)

Diese Annahmen tiber das Spektrum sind, wie bereits gesagt, gegenwartig streng bewiesen, allerdings auf recht komplizierte Weise. Man kann jedoch eine einfachere Begrtindung heranziehen. Wenn ein Zustand mit einem Quasiteilchen nicht ein wirklich stationarer Zustand der FERMI-Fltissigkeit. ist, muB er infolge von ttbergangen zu anderen Zustanden mit der Zeit abklingen. Die entspre­chende Wellenfunktion hat demnach folgendes Aussehen:

e -i«p) tin -y(p) tin. (2.8)

1) Der Begriff "effektive Masse" bezeichnet in verschiedenen Biichern und Artikeln recht unterschiedliche GroBen mit der Dimension einer Masse. Hier wird dieser Terminus nur fiir ein isotropes Spektrum verwendet.

30 2. Elektronische FERMI-FlUssigkeit

Von Quasiteilchen kann man nur dann reden, wenn y ~ ~ ist. Daher muB yabge­schatzt werden. y ist offenbar proportional zur "Obergangswahrscheinlichkeit des betreffenden Zustandes in andere Zustande.

Abb.7

2'

Streuung eines Teilchens 1 auBerhalb der FERMI-Kugel an einem Teilchen 2 innerhalb derselben. Die Endzustande l' und 2' liegen notwendig auBerhalb der FERMI-Kugel

Diese Wahrscheinlichkeit solI zunachst fUr ein schwach wechselwirkendes Gas bestimmt werden. Wenn sich ein Teilchen 1 au13erhalb der FERMI-Verteilung befindet, wird sich in erster Ordnung in der Wechselwirkung folgender Vorgang abspielen (Abb. 7). Das Teilchen 1 wechselwirkt mit einem Teilchen 2 innerhalb der FERMI-Kugel, so da13 beide in die Zustande l' und 2' au13erhalb der FERMI­Kugel tibergehen. Nach dem PAuLI-Prinzip ist dies die einzigeMoglichkeit. Der Impulserhaltungssatz fordert

PI + P2 = p~ + P; ,

wo bei nach dem 0 ben Gesagten

PI > Po , P2 < Po , P~ > Po , P; > Po

ist. Die Erhaltung des Impulses ist in Abbildung 8 graphisch dargestellt. Die Ebenen (PI> P2) und (p~, p;) fallen im allgemeinen nicht zusammen, wurden jedoch in Abbildung 8 durch eine Drehung zur Deckung gebracht.

p!

Abb.8 Quasiimpulserhaltung beim StreuprozeB der Abb. 7

Die Streuwahrscheinlichkeit ist bis auf Konstanten

W '" J t5(e1 + e2 - e~ - e;) d3p2 d3p~ •

Die Integration erstreckt sich nur tiber P2 und pi, weil P; bereits durch den

2.2. Quasiteilchen in einer isotropen FERMI.FlUssigkeit 31

Impulserhaltungssatz bestimmt ist. Der Winkel zwischen den Vektoren P~ und P; ist praktisch durch den Energieerhaltungssatz gegeben. Die <'>-Funktion ver­schwindet durch Integration tiber diesen Winkel, so daB lediglich die Integration tiber die absoluten Betrage der Vektoren verbleibt.

Wenn PI in der Nahe von Po liegt, so befinden sich aIle tibrigen Impulse ihrem Betrag nach ebenfaIls in der Umgebung von Po und schlieBen folglich in Ab­bildung 8 fast gleiche Winkel mit der Horizontalen (der Summe PI + P2) ein. Man findet daher aus den Projektionen auf diese Achse folgende Relationen zwischen den Absolutwerten: p~ ~ PI + P2 - p;. Da P; > Po, gilt p~ < PI + P2 - Po' Gleichzeitig aber ist p~ > Po' Hieraus folgt PI + P2 - Po > Po oder P2> 2po - PI" Da Po die obere Grenze fUr P2 ist, gilt

o > P2 - Po > Po - PI , 0 < p~ - Po < (PI - Po) + (P2 - Po) •

Die Integration ergibt

J d d' - (PI - PO)2 P2 PI - 2

Foiglich ist

(2.9)

Die voIlstandige Formel fUr y kann aus Dimensionsbetrachtungen gewonnen werden. y muB proportional zum Quadrat der Wechselwirkungskonstanten und auf Grund obiger Rechnung zur GroBe (p - PO)2 sein. Man muB daher noch einen Faktor einfUgen, der sich aus Po, m und Ii derart zusammensetzt, daB das Resultat die Dimension einer Energie hat.

Es soIl jetzt ein stark wechselwirkendes System betrachtet werden. Mit zu­nehmender Wechselwirkungskonstanten konnen im Prinzip auch andere Pro­zesse mit einer groBen Anzahl von Teilchen wesentlich werden, jedoch kann man zeigen, daB die Wahrscheinlichkeiten dieser Prozesse hohere Potenzen von (p - Po) enthalten. Daher wird fUr Ip - Pol < Po trotzdem der betrachtete Pro­zeB dominieren, das heiBt, es gilt nach wie vor y ('0 (p - PO)2. Was die anderen Faktoren anbelangt, so muB man berticksichtigen, daB in einem stark wechsel­wirkenden System die Dichte stets so ist, daB die mittlere kinetische Energie der Teilchen und die potentielle Energie ihrer Wechselwirkung ungefahr gleich sind. Das bedeutet, daB es nur eine Bezugsenergie gibt: die FERMI-Energie p(O). Hieraus folgt, daB die GroBe mit der Dimension einer Energie, die propor­tional (p - PO)2 ist, gleich

(2.lO)

sein muB, wobei ex '" 1. Wie bereits gesagt, ist das Quasiteilchenkonzept fUr y < ~ gerechtfertigt.

Diese Voraussetzung ist tatsachlich in der Nahe des FERMI-Niveaus erftillt, das heiBt fUr ~ < p. Das rechtfertigt die gemachte Voraussetzung beztiglich des Spektrums in der Umgebung des FERMI-Niveaus, das heiBt fUr Quasiteilchen mit kleinen Energien~.

32 2. Elektroni8che FERMI-PlU88igkeit

Wenn man eine FERMI-Fllissigkeit im Gleichgewicht bei T =l= 0 betrachtet, dann haben die vorliegenden Quasiteilchen stets eine Energie ~ I'V T. Die Damp­fung y ist von del' Gro13enordnung T2/f-l. Hieraus folgt, da13 eine Beschreibung del' Fllissigkeit durch Quasiteilchen nul' flir den Fall T ~ f-l gerechtfertigt ist.

Die Gro13e f-l kann mit Hilfe des Gasmodells abgeschiitzt werden. Flir Elek­tronen im Metallliegt die DE-BRoGLIE-Wellenlange n/po in del' Gro13enordnung del' interatomaren Abstande, das hei13t lO-8 cm, so da13 Po I'V lO-19 g . cm/s. Daraus ergibt sich p~/2m I'V 1 -7- lO e V odeI' nach Division durch die BOLTZ­MANN-Konstante:

(2.11)

Diese Bedingung zeigt, da13 das Quasiteilchenbild tatsachlich auf feste Metalle bei allen Temperaturen anwendbar ist, da To in jedem Fall erheblich libel' dem Schmelzpunkt liegt.

Normalerweise wird statt del' Begriffe "Teilchen" und "Antiteilchen" ein anderes gewohnteres Bild eingeflihrt. Man stellt sich ein ideales FERMI-Gas mit del' Dichte N/V VOl', das aus Teilchen mit del' Masse m* besteht. Das Spektrum del' Quasiteilchen eines solchen Gases ist genau das gleiche wie nas einer FERMI­Flussigkeit. Daher kann ein solches ideales Gas die Eigenschaften eines realen wechselwirkenden Systems beschreiben. Man mu13 sich jedoch VOl' Augen halten, da13 diejenigen Eigenschaften des Gasmodells, die von solchen Teilchen abhan­gen, welche weit yom FERMI-Niveau entfernt sind, nicht denen einer realen FERMI-Fllissigkeit entsprechen.

2.3. Anisotrope Fermi-Fliissigkeit

AIle oben angeflihrten Ergebnisse beziehen sich auf eine isotrope FERMI-Fllissig­keit. Um die Elektronenspektren in Metallen zu verstehen, sollen zunachst die Wechselwirkungen del' Elektronen untereinander unberucksichtigt bleiben oder, genauer gesagt, soIl ein Gas nichtwechselwirkender Elektronen betrachtet wer­den, die sich in einem mittleren periodischen Feld befinden. Die Zustande eines Teilchens in einem solchen Feld wurden im vorhergehenden Kapitel unter­sucht. Dort wurde gezeigt, da13 die Energieniveaus Bander bilden, zwischen denen verbotene Zonen liegen. Jedes Band hat 2N Zustande, wobei N die Zahl der Elementarzellen in der Probe ist.

Sind eine gro13e Anzahl nicht untereinander wechselwirkender Teilchen vor­handen, so verteilen sich diese irgendwie auf die erlaubten Zustande. Bei T = 0 (bzw. bei Metallen bei praktisch jeder Temperatur unterhalb des Schmelz­punktes) sind aIle unteren Zustande bis zu einem gewissen Maximalniveau (der FERMI-Energie) besetzt und aIle darliber liegenden Zustande unbesetzt. Dabei gibt es zwei Moglichkeiten.

1. Das FERMI-Niveau fallt mit dem oberen Rand eines Bandes zusammen (oder liegt zwischen zwei Bandern, Anm. d. Hrsg.), so da13 einige Bander voll

2.3. Anisotrope FERMI-Flitssigkeit 33

besetzt und die anderen vollstandig leer sind. In diesem Fall kann ein nicht iibermaBig starkes elektrisches Feld keinen elektrischen Strom hervorrufen. Dies folgt aus der Tatsache, daB im Gleichgewichtszustand jedem Elektron mit dem Impuls p ein anderes mit dem Impuls - p entspricht, also s(p) eine gerade Funktion des Impulses ist. Daher flieBt im Gleichgewichtszustand kein Strom. Um einen Strom hervorzurufen, miissen sich die Elektronen zwischen den Zu­standen umverteilen. Das Vorhandensein eines Bereichs verbotener Energie zwischen besetzten und unbesetzten Zustanden erfordert jedoch eine endliche Energieanderung. Ein schwaches elektrisches Feld kann diesen Energiezuwachs nicht liefem. Ein Material mit diesen Eigenschaften ist daher kein Metall, son­dem ein Isolator.

2. Das FERMI-Niveau liegt in der Bandmitte. Dieses Band heiBt "Leitungs­band" (es konnen auch mehrere Leitungsbander vorliegen). Es ist nur teilweise gefiillt. Ohne elektrisches Feld kann natiirlich kein Strom flieBen. Jedoch kann die zum StromfluB erforderliche Umverteilung der Elektronen zwischen den Zustanden durch unendlich kleine Energiezufuhr erreicht werden: ein belie big kleines elektrisches Feld kann einen elektrischen Strom erzeugen. Diese Situation liegt bei einem Metall vor. Halbleiter gehOren zum Fall 1, jedoch ist bei ihnen die Energieliicke zwischen besetzten und unbesetzten Zustanden klein (das kann mit dem Auftreten zusatzlicher Elektronenniveaus durch Fremdatome zusam­menhangen). Daher ahneln ihre Eigenschaften bei nicht allzu niedrigen Tem­peraturen denen von Metallen. Die vorliegenden Ausfiihrungen beschranken sich nur auf echte Metalle.

Man sieht leicht ein, daB, wenn die Zahl der Elektronen pro Elementarzelle ungerade ist, wenigstens ein Band teilweise gefiillt sein muB (es sei daran er­innert, daB jedes Band 2N Zustande enthalt). Jedoch kann auch fiir den Fall, daB die Elektronenzahl pro Elementarzelle gerade ist, die Substanz metallisch sein, weil sich im realen dreidimensionalen Fall die Bander iiberlappen konnen. Dabei treten einige teilweise gefiillte Bander auf.

Das FERMI-Niveau fiir ein "Gas im Gitter" geniigt der Bedingung s(p) = {to

1m Impulsraum beschreibt diese Gleichung eine Flache, die sogenannte FERMI­Flache. Die Symmetrie dieser Flache ist durch die Kristallsymmetrie gegeben. Hier konnen ebenfalls Quasiteilchen des Typs "Teilchen" mit Impulsen auBer­halb der FERMI-Flache und solche des Typs "Antiteilchen" mit Impulsen inner­halb dieser Flache definiert werden.

Die FERMI-Flache kann im allgemeinen Fall sehr kompliziert sein. Zwei Bei­spiele zeigen die Abbildungen 9 und 10.

In Abbildung 9 ist die FERMI-Flache von Gold dargestellt, das nur ein Lei­tungsband hat (der BRILLOUIN-Zone entspricht nur eine "Kugel"). Abbildung 10 zeigt die FERMI-Flache von Blei, bei dem zwei Leitungsbander vorliegen. Die Flache in Abbildung lOa umschlieBt ein Gebiet mit der Energie s > {t, in Ab­bildung 10 b entspricht das Innere der Rohren den Energien s < {to Beide Fla­chen wurden aus Experimenten erhalten.

3 Abrikossow

34 2. Elekt1"onische FERMI-FlUssigkeit

Abb. !) FERMI-Flache von Gold

Es gibt allerdings zwei FaIle sehr einfacher FERMI-Flachen. Das trifft einmal zu bei Vorhandensein eines fast leeren Bandes. Die sehr wenigen Elektronen besetzen bei T = 0 die niedrigsten Zustande, das heiBt, sie befinden sich in der Nahe des Minimums der Funktion c(p). Wenn diesem Minimum der Punkt pm entspricht, kann die Energie nach Pot en zen von P - Pm entwickelt werden. Hierbei fehlen selbstverstandlich die linearen Glieder. Fur einen kubischen Kri­stall und Pm = 0 erhalt man

p2 c(p) = Co + "*' (2.12) .... m

wo m * die sogenannt.e effektive Masse ist.. 1m allgemeinen Fall, also bei belie­biger Symmetrie, jedoch weiterhin Pm = 0, erhalt man statt p2 eine positiv

Abb.l0

b)

FERMI·Flache von BIei, die aus (a) einer Lochflache und (b) einer Elektronenflache besteht

2.3. Anisotrope FFJJ.MI.Flussigkeit 35

definite quadratische Form, die sich nach Hauptachsentransformation folgen­dermaBen darstelIt:

1 (p! P: p;) e(p)=e +- -+-+- . o 21nt m2 ma (2.13)

Fur pm =F 0 mussen in dieser Formel aIle Pi durch Pi - Pm! ersetzt werden. In diesem Fall gibt es jedoch einige aquivalente Energieminima, und die entspre­chenden Vektoren Pm bilden einen "Stern", der die Kristallsymmetrie besitzt.

Eine sehr ahnliche Situation liegt bei einem fast gefiillten Band vor. In diesem Fall betrachtet man nicht die Elektronen, sondern die "Locher", das heiBt die im Band verbleibenden freien Platze. Diese konzentrieren sich offensichtlich urn die Energiemaxima. Foiglich gilt fiir kubische Symmetrie und Pm = 0

p2 e(p) = eo - 2m* . (2.14)

Das bedeutet, daB sich die Elektronen in diesem Fall wie Teilchen mit negativer Masse verhalten.1 ) Die Verallgemeinerung auf nichtkubisches Gitter oder Pm =F 0 ist trivial. In allen betrachteten Fallen ist die FERMI-Flache ein Ellipsoid bzw. besteht aus mehreren Ellipsoiden (wenn pm =F 0).

Metalle mit geringen Elektronen- oder Locherkonzentrationen im Leitungs­band kommen tatsachlich selten vor. Wenn die Elektronenzahl pro Elementar­zelle ungerade ist, dann konnen einige Bander gefiillt sein; jedoch ist, wie bereits erwahnt, mindestens ein Band teilweise gefiillt. Wenn genau ein Band teilweise gefiillt ist, muB es N Elektronen enthalten. Da die ganze BRILLoUIN-Zone 2N Zustande enthalt, muB folglich das von der FERMI-Flache eingeschlossene Vo­lumen2) gleich der Halite des V olumens der BRILLOUIN -Zone sein. Damit eine kleine Anzahl von Elektronen und Lochern vorliegt, ist erforderlich, daB eine Elementarzelle eine gerade Anzahl von Elektronen enthalt und sich die beiden oberen Bander etwas iiberlappen. In diesem Fall gehilD einige Elektronen aus dem oberen gefiillten Band (dem sogenannten Valenzband) in das untere nicht gefiillte Band (das Leitungsband) uber, so daB eine geringe Zahl von Elektronen in dem einen Band und die gleiche Anzahl Locher im anderen Band vorliegt. Diese Situation trifft auf die "Halbmetalle" Bi, Sb, As und Graphit·zu.

AuBerdem kann ein Metall einige teilweise gefiillte Bander haben, wobei in einem Band die Elektronenzahl oder die Locherzahl gering ist.

Bisher ist das Modell eines Gases nichtwechselwirkender Teilchen im peri­odischen Feld betrachtet worden. Dieses Modell beschreibt tatsachlich die Eigen­schaften von Quasiteilchen im realen Metall in der gleichen Weise, wie das Modell des isotropen idealen Gases die Eigenschaften von Quasiteilchen in einer iso-

1) Ein Loch entspricht dem Fehlen eines Elektrons. Deswegen hat ein Loch die Ladung -e und eine Energie -s(p) = -eo + p2j2m*, also eine positive Masse.

2) Erreicht die FFJJ.MI·Flache die Grenzen der BRILLOUIN-Zone, so wird das aufgefiiIlte Volumen durch die FERMI·Flache und die BRfLLoUIN.Zonengrenzen eingeschlossen.

3·

36 2. Elektronische FERMI.Plussigkeit

tropen FERMI-Fltissigkeit beschreibt. Man muB sich jedoch vor Augen halten, daB nur diejenigen Eigenschaften des Gasmodells den Tatsachen entsprechen, die lediglich von Teilchen in der Umgebung der FERMI-Flache abhangen.

In diesem Zusammenhang konnten Zweifel tiber die Richtigkeit der Betrach­tungen tiber die Aufftillung der Bander entstehen (da diese ja auch mit "tief liegenden" Teilchen zusammenhangen). Tatsachlich gibt es aber ein Theorem von LUTTINGER [5], das eine Verallgemeinerung der von LANDAU aufgestellten Formel (2.5) ftir den FERMI-Grenzimpuls Po darstellt. Nach diesem Theorem ist die Elektronendichte

Ne 2nN 2VF

V = --V + (2nli)3 ' (2.15)

wobei n eine ganze Zahl und V F das von der FERMI-Flache eingeschlossene Volumen ist. Diese Formel entspricht vollkommen den tiber die Bandaufftillung gemachten Bemerkungen. Der erste Summand erfaBt die gefUllten Bander und der zweite das Leitungsband.

2.4. Spezifische Warme der Elektronen

1m folgenden wird ein Ausdruck fUr die elektronische spezifische Warme von Metallen hergeleitet. Die Elektronenfltissigkeit wird durch das Modell eines Gases von Quasiteilchen beschrieben, die die Eigenschaften einzelner Elektronen im periodischen Feld besitzen. Zur Vereinfachung sollen diese Quasiteilchen "Elektronen" genannt werden, wobei an den Unterschied dieser "Elektronen" zu den wahren, eine FERMI-Fltissigkeit bildenden Elektronen erinnert sei. Die Energie dieses FERMI-Gases ist durch den Ausdruck

E = 2 J s(p) f d3p (2:)3 (2.16)

gegeben, wobei 2V j(2nli)3 die Zustandsdichte im Quasiimpulsraum (Faktor 2 bedingt durch die beiden Spinorientierungen) und f die FERMI-Verteilungsfunk­tion ist:

1 f = e(e-I-')/T + 1 . (2.17)

Die Integration tiber den Quasiimpuls ist durch die BRILLoUIN-Zone begrenzt. Wenn es mehrere teilweise gefUllte Bander gibt, muB man tiber sie aIle sum­mwren.

Die Differentiation von (2.16) nach T ergibt die spezifische Warme pro Vo­lumeneinheit:

(2.18)

2.4. SpeziJiBche Wiirme der Elektronen

Die Ableitung of/o T ist

01 1 e(e-p)/T (e - I-" dl-") oT = T (e(e-p)/T + 1)2 --p + dT .

Die Ableitung of/oe hat die Form

01 1 e(e-p)/T

oe = - T (e(e-p)fT + 1)2 •

Folglich gilt

~ __ of(e -I-" dl-") oT- oe T + dT •

37

(2.19)

(2.20)

Das chemische Potential I-" ergibt sich aus der Erhaltungsbedingung fUr die Zahl der Quasiteilchen (die Zahl der Quasiteilchen des Gasmodells ist gleich der Zahl der Fltissigkeitsteilchen). Hieraus folgt

Einsetzen von (2.20) in (2.18) und in die letztgenannte Bedingung liefert

(2.21)

(2.22)

Beide Formeln enthalten ol/oe. Wenn jedoch T ~ 1-"(0), was, wie bereits gezeigt, fUr Metalle stets erfiillt ist, dann ist nur in einem kleinen Energiebereich von der Gro13enordnung T in der Niihe des FERMI-Niveaus 1-"(0) (s. Abb. 6) ol/oe von Null verschieden. Damit ist die Gtiltigkeit des Modells eines Quasiteilchen­gases ftir die Elektronen bei der Berechnung der spezifischen" Wiirme tatsiich­lich bewiesen.

Die Integrale tiber den Impulsraum konnen folgenderma13en umgeformt wer­den. Man betrachtet eine Fliiche konstanter Energie im Impulsraum e(p) = const. Dann kann die Integration tiber d3p in eine Integration tiber diese Flache und tiber de zerlegt werden. Wenn dB das Flachenelement der Iso­energieflache ist, dann ist d3p = dB dpn, wobei dpn Integration tiber die Nor­male zum FHichenelement dB bedeutet. Nun ist aber dPn = de/loe/opl, wobei oe/op der Gradient von e(p) im Impulsraum ist. Mit der Bezeichnung v = loe/opl erhiilt man

(2.23)

38 2. Elektronische FERMI.Fliissigkeit

Da die Verteilungsfunktion nur von der Energie abhangt, kann tiber dE unab­hangig integriert werden. Es sei

2 JdS (2nn)3 --;;;- = v(e) • (2.24)

Urn (2.21) und (2.22) zu berechnen, wird folgende Integrationsmethode ver­wendet. Da ol/oe nur in der Umgebung e = [1 von Null verschieden ist, konnen aIle tibrigen GroBen unter dem Integral nach Potenzen von (e - [1) entwickelt werden. Das bedeutet, daB in dem Integral f F(e) (of/oe) de die Funktion F durch die Reihe

(e - [1)2 F(e) = F([1) + (e - [1) F'([1) + 2 F"([1) + ...

ersetzt wird. Diese Entwicklung ist nur moglich, wenn sich die Funktion F in der Umgebung e = [1 nicht zu schnell andert.

Die Formel (2.19) kann in der ::Form

oj 1 oe 4T ch2 [(e - [1)/2T]

geschrieben werden, und die Integration tiber z = e - [1 kann wegen der schnellen Abnahme dieser Funktion mit e - [1 von - 00 bis + 00 ausgefiihrt werden. Da die Funktion gerade ist, verschwinden bei der Integration die unge­raden Terme der Entwicklung von F(e). Die verbleibenden Integrale sind

Somit folgt

Jo/ de = - 1, oe

00 r oj 1 J Z2 dz ~ (e - [1)2 oe de = - 4T ch2 (zj2T) = - -3-'

-00

r oj n2 T2 ~ F(e) oe de ~ - F([1) - -6-F" ([1) .

Aus (2.21) und (2.22) erhalt man damit

d[1 n2T d C = [1 dT v([1) + 3 d[1 ([1v([1») ,

d N d[1 n2T dV([1) dT V = dT V([1) + 3 d[1 = O.

Mit der letzten Gleichung findet man

d[1 n 2T v' ([1) dT= - 3 V([1) ,

(2.25)

(2.26)

2.4. Spezifisehe Warme der Elektronen

so daB die spezifische Warme

n2 T C = TV(.u)

39

(2.27)

ist. Die physikalische Bedeutung dieser Formel ist einfach. Nur die Elektronen in der Nahe des FERMI-Niveaus tragen zur thermischen Anregung des Systems bei. Die Zahl dieser Elektronen ist groBenordnungsmaBig durch das Produkt von T mit der Zustandsdichte v(.u) gegeben. Jedes Elektron liefert zur spezi­fischen Warme einen Beitrag der GroBenordnung Eins (oder der BOLTZMANN­Konstanten k in gewohnlichen Einheiten). Hiermit erhalt man einen Ausdruck, der groBenordnungsmaBig mit (2.27) iibereinstimmt. Bei der Herleitung von (2.27) brauchten wir keine konkreten Angaben iiber die FERMI-Flache zu machen. Foiglich ist fiir aIle Metalle die elektronische spezifische Warme pro­portional zur absoluten Temperatur.

A

o

Ahh.ll Trennung des Elektronenanteils AT und des Gitteranteils BTs der spezifischen Warme e durch eine Darstellung von elT als Funktion des Quadrats der Temperatur T

Eine quantitative Abschatzung der GroBe c kann am Beispiel des isotropen Metallmodells durchgefiihrt werden. In diesem Fall ist

2 fdS 2 4np~ pom* v(.u) = (2nli)3 --:v- = (2nli)3 polm* = n 21i3 '

wobei m* die effektive Masse ist. Somit ist

pom* c = -31i3 T.

(2.28)

(2.29)

Die effektive Masse m* kann sich stark von Metall zu Metall andern, wogegen Po fUr aIle Metalle (mit Ausnahme der Halbmetalle) die gleiche GroBenordnung hat, namlich linla (wobei a die Gitterperiode ist, die sich bekanntlich fiir die verschiedenen Substanzen wenig unterscheidet). Bei den iiblichen Metallen ist m * von der GroBenordnung der freien Elektronenmasse, bei den V'bergangs­metallen jedoch, wo die inneren Hiillen nicht vollstandig besetzt sind, weicht m* davon ab. Ihr Wert kann aus der Beziehung polm* = aelap rv LlelLlp er­mittelt werden, wobei Lle die Bandbreite und Llp groBenordnungsmaBig eine

40 2. Elektronische FERMI-Flussigkeit

Periode des reziproken Gitters 'linla ist. Die inneren Hiillen iiberlappen sich schwach, so daB Lie klein (s. G1. (1.28)) und m* groB ist. Diese Tatsache ist der Grund dafiir, daB die spezifische Warme der "Obergangsmetalle erheblich gr6Ber (manchmal mehr als das Zwanzigfache) als die der Nichtiibergangsmetalle ist.

Experimentell wird nicht die elektronische, sondern die gesamte spezifische Warme gemessen. Bekanntlich hangt jedoch bei niedrigen Temperaturen der von den Gitterschwingungen abhangige Anteil der spezifischen Warme von der Temperatur nach einem kubischen Gesetz ab (s. z. B. [1]). Daher kann die gesamte spezifische Warme in der Form

c = AT + BT3

dargestellt werden. Wenn man cIT = f(T2) auftragt (s. Abb. 11), ergibt sich bei niedrigen Temperaturen die ausgezogene Gerade, aus der beide Koeffi­zienten A und B ermittelt werden k6nnen.

3. Elektrische Leitfahigkeit und Warmeleitfahigkeit

3.1. Elektron als WeUenpaket

Bisher wurden die Elektronen durch die stationaren BLOCH-Losungen der SCHRODINGER-Gleichung 1jJ = eip1'jn u(r) beschrieben.

Diese Funktionen sind jedoch ungeeignet zur Untersuchung der Transport­eigenschaften, weil sie einem bestimmten Wert des Quasiimpulses p entsprechen, wahrend die Koordinate vollstandig unbestimmt bleibt. Dieser Mangel kann ab­gestellt werden, wenn aus den BLOCH-Zustanden ein Wellenpaket gebildet wird. Dabei solI der Quasiimpuls p dennoch moglichst genau bestimmt sein. Deshalb bildet man die Summe der BLocH-Wellen tiber ein kleines Intervall L1p (des sen Ausdehnung durch die Genauigkeit der Bestimmtheit der Koordinaten begrenzt ist). Die Unbestimmtheitsrelation besagt

L1p L1r rov h •

Da die Elektronen gestreut werden und folglich eine endliche freie Weglange 1 haben, muB die Unbestimmtheit der Koordinaten kleiner als 1 sein. Die obere zulassige Grenze von L1p ist offenbar der Teilchenimpuls selbst. Somit muB folgende Bedingung erfiillt sein:

P ~ L1p rov hlL1r ~ hll . (3.1)

Nur unter dieser Bedingung ist die Darstellung mit Hilfe eines Wellenpaketes sinnvoll. 1m vorliegenden Fall ist p rov Po' und Po hat die GroBenordnung hla, wobei a ein interatomarer Abstand ist. Die Bedingung (3.1) ist demnach erftillt, wenn 1 ~ a. Schwierigkeiten entstehen lediglich, wenn 1 in der GroBenordnung von a liegt.

Eine weitere bereits erwahnte Bedingung hangt mit der Dampfung der Quasiteilchen zusammen. Sie hat die Form

~~y,

wobei y der Dampfungskoeffizientl) ist, der in die Wellenfunktion des Quasiteil­chens eingeht:

ei~tjn-ytjli •

1) Der Ausdruck (2.10) beschreibt nur die Wechselwirkung der QuasiteUchen untereinander, wahrend jedoch noch weitere Prozesse existieren, die die Lebensdauer der QuasiteiIchen begrenzen. Die hier auftretende GroBe y ist dann die Gesamtdampfung, die infolge aller im folgenden Kapitel untersuchten Mechanismen zustandekommt.

42 3. Elektri8che Leitfiihigkeit und W iirmeleitfiihigkeit

Der Koeffizient y hangt mit der mittleren Flugzeit zusammen: y '" li,f-t:. Daher lautet die zweite Bedingung

~ ';?> li,f-t: •

Gewohnlich ist ~ immer von der GroBenordnung der Temperatur T. Daher muB

(3.2) gelten.

Um die Geschwindigkeit des durch das Wellenpaket beschriebenen Elektrons zu finden, wird folgendes Integral betrachtet:

1= f eipT/Ii-i«p)t/1i up(r) d3p , p(O)+Llp

das sich uber die Umgebung eines bestimmten Quasiimpulses p(O) mit dem Radius LIp erstreckt. Fur LIp ~ p(O) ist dieses Integral angenahert

I = up(O)(r) eip(O)T/Ii-i«p(O» t/Ii f ei~p(T-(ae/ap) t)/Ii d3p Llp

(o~jop = 08jOP, weil ~ = 8 - {.1). 1m letztgenannten Ausdruck hat das Integral die GroBenordnung

(Llp)3 fUr Ir - 08 tl ~~; op LIp

Ir - (08jop)tl fUr Ir - ~; tl ';?> :p' Fur genugend kleine LIp ist daher

08 r ~ op t.

Folglich bewegt sich das Wellenpaket mit einer Geschwindigkeit

08 v=-.

op

Das ist die sogenannte Gruppengeschwindigkeit des Wellenpaketes.

(3.3)

Das Elektron bewege sich unter der Wirkung eines auBeren elektrischen Fel­des E. Die pro Zeiteinheit vom auBeren Feld geleistete Arbeit ist veE. Diese muB gleich der Energieanderung des Elektrons sein:

08 08 dp dp -=--=v-. at op dt dt

Hieraus folgt

dp ~=eE. dt

(3.4)

Auf den ersten Blick erinnert diese Beziehung an die NEWToNsche Bewegungs­gleichung eines freien Teilchens. p ist jedoch nicht der Impuls, sondern ein

3.2. Kinetische Gleichung 43

Quasiimpuls. Eine Zunahme von p bedeutet nicht unbedingt eine Beschleuni­gung des Elektrons. In Abbildung 12 erkennt man, daB die Geschwindigkeit OE/Op nur im Gebiet A zunimmt, so daB nur in diesem Gebiet das Elektron be­schleunigt wird, wahrend im Bereich B das Elektron verzogert wird und seine Geschwindigkeit an den Grenzen der BRILLOUIN-Zone IiK/2 verschwindet. Das entspricht der Reflexion des Elektrons beim Erreichen der maximal moglichen Energie.

Abb.12 Ein elektrisches Feld beschleunigt die Elektronen im Gebiet A und verzogert die Elektronen im Gebiet B des. Energiebandes

Praktisch tritt jedoch diese Situation niemals ein. Infolge der Streuung kann sich unter der Einwirkung des Feldes der Elektronenimpuls nicht um einen groBen Betrag andern. Die Elektronen werden nur auf der mittleren freien Weg­lange beschleunigt. Das in Metallen mogliche elektrische Feld ist jedoch niemals so stark, daB es den Quasiimpuls des Elektrons wahrend des freien Fluges wesentlich andern kann. Daher verbleiben die Elektronen tatsachlich im Bereich der FERMI-Flache.

3.2. Kinetische Gleichung

Die Beschreibung mit Hilfe eines Wellenpaketes unter den Bedingungen (3.1) und (3.2) gestattet die Behandlung der Elektronen als klassische Teilchen, die gleichzeitig Koordinate und Quasiimpuls besitzen. Es wird die Nichtgleich­gewichtsverteilungsfunktion I im Phasenraum p, r eingefiihrt. Die gesamte zeit­Hche Anderung von I wird durch die Ableitung dfldt ausgedriickt. Diese Ande­rung wird infolge von ZusammenstoBen des Elektrons mit anderen Elektronen und Phononen, aber auch durch Streuung an Kristalldefekten (Storstellenatome, Strukturdefekte) verursacht. Daher kann man

d/ - = I(f) dt

schreiben, wobei 1(/) das sogenannte StoBintegral ist.

(3.5)

44 3. Elektrische Leitfiihigkeit und Wiirmeleitfiihigkeit

Die Beziehung (3.5) heiBt kinetische Gleichung1). Sie wird im folgenden fiir die Untersuchung der Transporteigenschaften von Metallen verwendet. Die linke Seite von (3.5) kann in folgender Form geschrieben werden:

df of of dr of dp dt = at + or dt + op de'

Wenn dr/dt durch v und dp/dt durch (3.4) ersetzt wird, ist

df of of of -=-+v-+eE-. dt ot or op

(3.6)

Das StoJ3integral hiingt von den konkreten Streuprozessen abo Zuniichst soil die Streuung an Storstellen (bzw. anderen Defekten) untersucht werden. Unter der unrealistischen Annahme, daB die Wechselwirkung mit den Storstellen schwach ist, wird die BORNsche Niiherung verwendet. Jedoch liiBt sich zeigen, daB im FaIle starker Wechselwirkung der einzige Unterschied darin besteht, daB die BORNsche Streuamplitude durch die Gesamtamplitude ersetzt werden muB, die e benfalls eine Konstante ist.2)

Die Streuwahrscheinlichkeit eines Elektrons an den Storzentren ist in der BORNschen Niiherung gleich

2nI d3p Ii: I Vpp,1 2 (}(e(p) - e(p')) (2nli)3 V , (3.7)

wobei Vpp' das Matrixelement der Wechselwirkungsenergie des Elektrons mit allen Storatomen ist, die sich an den Stellen ~,H2"" befinden; V(r) = 2: v(r - Hi).

i Das Matrixelement in den BLocH-Funktionen

1 . / yv e'P'J' II up(r)

(der Faktor IJYV dient zur Normierung, die Funktionen up(r) sind auf 1 nor­miert) sieht folgendermaBen aus:

Vpp' = ~ f f v(r - Hi) e-ip'J'/1i eip''J'/Tt u:(r) up,(r) dV

= ~ 2: e-i (p-p')Ri/1iIv(r) u;(r) up,(r) e-i(p-p')'J'/1i dV V i

- ~ 2: e-i(p-p')RI/1i v , -Vi pp'

1) Anmerkung des Herausgebers: Die kinetische Gleichung wird auch als BOLTZMANN­Gleichung bezeichnet.

2) Diese Bemerkung trifft nicht ganz ZU, wenn die Verunreinigung ein tibergangsmetall ist und die Storatome im Metall einen Spin haben (s. Abschn. 4.6.).

3.2. Kinetische Gleichung 45

Zur Vereinfachung setzen wir voraus, daB alle Storstellenatome gleich sind und aquivalente Platze in den Gitterzellen des Kristalls einnehmen, die Auswahl dieser Zellen selbst jedoch zufallig ist. Die Streuwahrscheinlichkeit ist gleich

~If ° ~ --,; V2 IVpp' 12 oL: e-t(p-p') (Ri-Rk)/n b(e(p) - s(p')) (2nh)3 V • f: ~,k

Wenn die Konzentration der Storatome gering ist, sind sie zufallig verteilt, und der mittlere Abstand zwischen ihnen ist wesentlich groBer als die Ab­stande zwischen den Atomen. In diesem Fall kann man die Streuwahrschein­lichkeit tiber die Lage der Storatome mitteln. Dabei gehen aIle Glieder in L: e-i(p-p') (Ri-Rk)/n, die schnell oszillierende Funktionen sind, auBer den Glie­i, k

dern mit i = k, gegen Null. Folglich ergibt sich

L: e-i(p-P')(Ri-Rk)/fl = N i ,

i,k

wobei Ni die Zahl der Storatome ist. Die Streuwahrscheinlichkeit wird daher

2n Nij d3p --,; V Ivpp,1 2 b(e(p) - s(p')) (2nh)3' (3.8)

Alle obigen Aussagen beziehen sich auf ein einzelnesElektron. Es soll jetzt ein System von Elektronen betrachtet werden, die durch eine Verteilungsfunk­tion beschrieben werden. Infolge der Streuprozesse kann die Zahl der Elek­tronen, deren Impulse in einem gegebenen Volumenelement des Impulsraumes in der Umgebung eines Wertes p liegen, zunehmen (p' -- p) oder abnehmen (p -- p'). Jeder ProzeB kann nur dann stattfinden, wenn sich im Anfangs­zustand ein Elektron befindet und der Endzustand nicht besetzt ist (da das PAUJ"I-Prinzip nicht zulaBt, daB sich zwei Elektronen im gleichen Zustand be­finden). Wenn daher von einem System von Elektronen die Rede ist, muB jede individuelle Streuwahrscheinlichkeit mit der Verteilungsfunktion t fUr den An­fangszustand und 1 - t fUr den Endzustand multipliziert werden. Daher ergibt sich schlieBlich

2nNoj 1(1) = T V· IVpp'1 2 [t(p') (I - t(p)) - t(p) (I - t(p'))]

, d3p' X b(s(p) - s(p )) (2nh)3

2nNlj d3p' = Ii: V Ivpp,1 2 [f(p') - t(p)] o(s(p) - s(p')) (2nh)3 •

Die Integration tiber die Energie ergibt wie im Abschnitt 2.4.

2n NiJ~ dS' 1(1) = -if: V IVpp'1 2 [f(p') - t(p)] (2nn)3v(p') ,

wobei sich das Integral tiber die Isoenergieflache s(p') = s(p) erstreckt.

(3.9)

(3.10)

46 3. Elektrische Leitfiihigkeit und Wiirmeleitfiihigkeit

Wenn man in 1(/) die nur von der Energie abhangige Gleichgewichtsvertei~ lungsfunktion 10 einsetzt, verschwindet 1(fo). Wenn das auBere elektrische Feld und der Temperaturgradient hinreichend klein sind, ist die Abweichung vom Gleichgewicht gering, so daB man

1= 10 + 11 schreiben kann, wobei 11 eine kleine Korrektur mit 1/11 ~ 10 ist. In 1(f) geht dann nur 11 ein.

Eine weitere Vereinfachung des Ausdrucks 1(f) kann im isotropen Modell erreicht werden. In diesem Fall sind die Betrage der Impulse p und p' gleich, die Isoenergieflache ist eine Kugel, die Integration tiber dS' geht in eine Integration tiber den Raumwinkel tiber, und vpp' hangt schlieBlich nur vom Winkel zwischen p und p' ab, der mit e bezeichnet wird. Ftihrt man die GroBe

n Ni W(e) = Ii: V Iv(e)1 2 v(s)

ein, so schreibt sich das StoBintegral in der Form

J dQ 1(f) = W(e) [A(p') -/1(p)] 4n •

Die Storung des Gleichgewichts sei durch ein schwaches elektrisches Feld hervorgerufen (analog liegt der Fall bei Vorhandensein eines kleinen Tempera~ turgradienten).I) Der Zusatzterm zur Verteilungsfunktion muB skalar sein und in erster Naherung linear von E abhangen. Die einzig mogliche Form ist

A(p) = pE1](s) .

Durch Einsetzen in das StoBintegral folgt

J ----- ----- dQ 1(f) = pE1](s) W(e) (cos (p', E) - cos (p, E)) 4n .

-----Die GroBe cos (p', E) kann folgendermaBen umgeformt werden:

----- ----- -----cos (p', E) = cos (p, E) cos (p, p')

----- ------ sin (p,E) sin (p,p') cos (CPE - CPp').

----­Bei Integration tiber dcpp' verschwindet das zweite Glied. Da der Winkel (p, p')

----­bereits mit e bezeichnet wurde, erhalt man durch Einsetzen von cos (p', E) in 1(/) J dQ

1(f) = (pE) 1](s) W(e) (cos e - 1) 4n .

Der Vergleich mit der vorausgesetzten Form von 11 ergibt

1(/) = - Mr:,

1) Die im folgenden gemachte Vereinfachung gilt nur fiir lineare Probleme.

3.3. Elektri8che Leitfahigkeit 47

wobei

1 J dD - = W(8) (1 - cos 8) -. 7: 4:n;

(3.11)

Die Grolle 7: spielt die Rolle einer mittleren Zeit zwischen den Stollen. 1m vorliegenden FaIle erhiilt somit die kinetische Gleichung folgendes Aus­

sehen: 01 01 01 1-/0 -+v-+eE-= ---. at or op 7:

(3.12)

Diese Form der kinetischen Gleichung wird hiiufig fur die Untersuchung der verschiedenartigsten Prozesse verwendet. Man mull jedoch die V oraussetzungen beachten, die bei ihrer Herleitung gemacht wurden: a) isotropes Modell und b) elastische Streuung der Elektronen (d. h., die Energie iindert sich bei der Streuung nicht). Die erste Voraussetzung trifft im allgemeinen fur ein reales Metall nicht zu, auch die zweite gilt nicht fur aIle Streuprozesse. Dennoch wird im folgenden die Gleichung (3.12) bisweilen zu einfachen Abschiitzungen oder zur Erliiuterung von Berechnungsmethoden benutzt. Zu Beginn werden zwei einfache Beispiele fUr die Anwendung der Gleichung (3.12) gebracht.

3.3. Elektrische Leitfii.higkeit

1m Metall liege ein homogenes und konstantes elektrisches Feld E vor, und es soIl der dabei entstehende Strom ermittelt werden. In der kinetischen Gleichung (3.12) verschwinden die ersten beiden Glieder, und man erhiilt

01 1-/0 eE-=---. op 7:

(3.13)

Fur ein schwaches Feld kann I = 10 + 11 gesetzt werden, wobei 11 ~ 10. Damit erhalt (3.13) die Form

eE 010 = _ 11 . (3.14) op 7:

Da 10 nur von der Energie abhiingt, gilt

010 010 08 010 -=--=V-. ap ae op oe

Aus (3.14) folgt

010 11 = - eEv7:a;' (3.15)

Der elektrische Strom wird folgendermallen durch die Verteilungsfunktion dargestellt : . J d3p

J = 2e vi (2:n;1i)3 • (3.16)

48 3. Elektri8che Leitjahigkeit und Warmeleitjahigkeit

Setzt man die Funktion /o(e) ein, so verschwindet das Integral (das hiingt damit zusammen, daB e eine gerade, v dagegen eine ungerade Funktion von p ist). Daher muB / durch /1 ersetzt werden. Dabei ergibt sich

f % dD j = - e2 v(vE) 't~'JI(e) de 4n'

wobei 'JI(e) die bereits eingefiihrte Zustandsdichte ist. Dieses Integral enthiilt die Ableitung %/oe, die nur in einer Umgebung von e = I' ungleich Null ist. Die Berechnung von Integralen, die %/oe enthalten, wurde im Abschnitt 2.4. (Formel (2.25)) angegeben. In erster Naherung kann %/oe als a-Funktion auf­gefaBt werden: %/oe ~ - a(e - 1'), und die Integration tiber die Winkel ergibt

Die Leitfahigkeit a bestimmt sich als Proportionalitatsfaktor zwischen i und E: i = aE. Damit folgt:

1 a = "3e2[v2't'JI(e)]I" (3.17)

3.4. Wirmeleitfahigkeit

1m Gegensatz zum elektrischen Strom, der einen Transport elektrischer Ladung darstellt, nehmen am Transport von Energie nicht nur Elektronen, sondern auch Phononen teil, so daB sich die Warmeleitfahigkeit aus zwei Teilen zu­sammensetzt: dem Elektronen- und dem Phononenanteil. In der vorliegenden Darstellung wird nur der elektronische Anteil der Warmeleitfahigkeit behandelt, der normalerweise den Phononenanteil erheblich tiberwiegt. Eine Ausnahme stellt der Fall sehr niedriger Temperaturen dar, wenn das Metall eine groBe An­zahl Storatome enthalt. Auch in diesem Fall kann man die elektronische Warme­leitung separieren, wenn man ihr Verhalten im magnetischen Feld benutzt (s. Kap. 6).

Das Vorliegen eines Temperaturgradienten bedeutet das Auftreten einer raumlichen Inhomogenitat. Dabei andert sich auch das chemische Potential langs der Probe. Diese Anderung kann aus der Bedingung der Konstanz der Elektronendichte ermittelt werden. Eine Anderung der Elektronendichte be­deutet namlich eine Storung der elektrischen Neutralitat des Metalls, das heiBt das Auftreten einer nichtkompensierten elektrischen Ladung. 1m Abschnitt 4.1. wird gezeigt, daB das Auftreten einer solchen Ladung zu einer Umverteilung der Elektronen ftihrt, durch die das elektrische Feld der Ladung in einer Ent­fernung, die in der GroBenordnung der Abstande zwischen den Atomen liegt, vollstandig abgeschirmt wird. Daher hat man es im folgenden stets mit einer

3.4. W iirmeleitfiihigkeit 49

schwachen Inhomogenitat zu tun, bei der sich die physikalischen Bedingungen nur in Abstanden wesentlich andern, die groB gegen die Atomabstande sind. Es wird deshalb immer von physikalischen GroBen die Rede sein, die tiber Gebiete gemittelt werden, die wesentlich groBer als die Atomabstande sind. Unter diesen Bedingungen muB die Elektronendichte als unveranderlich angesehen werden.

Die relative Anderung des chemischen Potentials ist jedoch, wie bereits bei der Berechnung der elektronischen spezifischen Warme (Abschn. 2.4.) geklart wurde, sehr gering ('" (T/ft)2). Wenn man sich daher in diesem FaIle auf die erste nichtverschwindende Naherung in T / ft beschrankt, kann man fUr aIle physikalischen Effekte die Berechnung unter der Bedingung ft = const, anstelle von N = const, durchfUhren. Bei Vorliegen eines elektrischen Feldes ist ft das gesamte chemische Potential, das heiBt fto + erp (rp ist das Potential des elek­trischen Feldes). Die Bedingung ft = const ist besonders gtinstig fUr die Be­rechnung der thermoelektrischen Effekte (s. Kap. 6).

Die gewohnliche Energie ist eine Funktion der Elektronenzahl N. Beim 1tber­gang zu der neuen Variablen ft muB statt der Energie die von ft abhangige GroBe E' = E - ftN verwendet werden. Ihre Anderung bei kleiner Veranderung von ft ist - N dft·

Der 1tbergang zur Bedingung ft = const fUhrt zu einer wesentlichen Ver­einfachung aller Rechnungen. Es ergibt sich z. B. (auf die Volumeneinheit be­zogen): , f d3p r d3p J d3p

E = E - ftN = 2 BI (2nli)3 - 2ft. I (2nli)3 = 2 ~I (2nli)3'

wobei ~ = B(p) - ft. Die spezifische Warme ist

das heiBt, man erhiilt Gleichung (2.27). Dabei ist der Zusammenhang zwischen ol/oT und ol/o~ benutzt worden, der (wegen I = (em + 1)-1) im vorliegenden Fall die Form

01 oT (3.18)

hat, sowie die Regel (2.25) zur Berechnung von Integralen, die die FERMI­Funktion enthalten.

Es folgt die Berechnung der Warmeleitfahigkeit. Wenn ein Temperatur­gradient existiert, verschwindet in der Gleichung (3.12) nur der erste Term. Unter der Annahme, daB der Temperaturgradient klein ist, wird wiederum 1=10 + 11 gesetzt. Da die Temperatur von den Koordinaten abhangt, ist

01 010 ~ 010 v- ~-v'VT = - ~ -(v'VT) or oT T o~ .

4 Abrikossow

50 3. Elektrische Leitfiihigkeit und Wiirmeleitfiihigkeit

Die kinetische Gleichung wird damit

_ 0/0 {v't7T= _ 11 o~ T v 't .

Der Energiestrom E' ist

f d3p q = 2 ~vll (2nh)3 .

Durch Einsetzen der Formel (3.19) fUr 11 folgt

f ~2 0/0 d.Q q = v(vVT)'tv(s) T a[d~ 4n'

(3.19)

(3.20)

(3.21)

Die Integration iiber den Winkel und Verwendung der Regel (2.25) fiir Integrale mit der FERMI-Funktion ergibt

(3.22)

Hier muB eine Einschrankung gemacht werden. Ein Temperaturgradient ruft im allgemeinen gleichzeitig ein gewisses elektrisches Feld im Metall hervor. Dieses Feld ergibt sich aus der Bedingung, daB kein elektrischer Strom flieBt. Man kann leicht zeigen (s. Abschn. 6.1.), daB die Beriicksichtigung dieses Um­stands nur kleine Korrekturen ('" (T/f-t)2) fiir q ergibt, die im Rahmen der Ge­nauigkeit der durchgefUhrten Berechnung unwesentlich sind.

Die Warmeleitfahigkeit ist der Proportionalitatsfaktor zwischen Warmestrom und Temperaturgradient:

q = - uVT . (3.23)

Aus dem Ausdruck (3.22) fUr q folgt

n 2

u = 9 T(vv2't).u· (3.24)

Der Vergleich dieser Formel mit dem Ausdruck (3.17) fiir (f liefert

(3.25)

Die Konstante auf der rechten Seite hangt nur von der Ladung des Elektrons ab und enthalt keine charakteristischen MetallgroBen. Sie wird LORENTz­Konstante genannt. Die Formel (3.25) ist das WIEDEMANN-FRANzsche Gesetz. Es muB hier wiederum betont werden, daB diese Beziehung aus der kinetischen Gleichung fUr ein isotropes Modell unter der Voraussetzung elastischer StoBe abgeleitet wurde.

Es erhebt sich die Frage, ob dieses Gesetz nicht allgemeiner als die kinetische Gleichung (3.12) giiltig ist. Dazu solI der Fall eines anisotropen Metalls unter der Voraussetzung elastischer StoBe diskutiert werden. Da im Ausdruck (3.10) 1(/0) verschwindet, verbleibt, wie bereits erwahnt, nur 1(/1)' das heiBt ein ge-

3.5. Konzeption der jreien Wegliinge 51

wisser auf /1 wirkender Integraloperator. Beim Einsetzen von /0 in die linke Seite der kinetischen Gleichung ergeben sich Ausdriicke, die proportional zu %/os sind. Deshalb kann vermutet werden, daB /1 proportional zu %/os ist. Dies bestatigt sich, und da sich das Integral in (3.10) iiber eine Isoenergieflache er­streckt, kann %/os (und andere von der Energie abhangige Faktoren) aus dem Integral herausgezogen werden. Hieraus und aus Paritatsbetrachtungen beziig­Hch p folgt, daB /1 folgende Gestalt haben muB:

wobei 1; eine gerade Funktion des Quasiimpulses ist, die in der Umgebung von s = p langsam veranderlich ist.

1m anisotropen Metalllautet der Zusammenhang zwischen Strom und elek­trischem Feld ji = 2; (1ikEk, das heiBt, statt einer einzigen GroBe (1 tritt der

k

Tensor (1ik auf. Das entsprechende gilt fiir die Warmeleitfahigkeit. Auf Grund der Aussagen iiber die Funktion /1 kann man folgern, daB das WIEDEMANN­FRANzsche Gesetz fiir die entsprechenden Komponenten von (1ik und ?{,ik erfiillt ist.

Fiir nichtelastische StoBe gilt das WIEDEMANN-FRANzsche Gesetz nicht.

3.5. Konzeption der freien WegHinge

Die Ausdriicke fiir die elektrische und Warmeleitfahigkeit, die aus der kinetischen Gleichung (3.12) abgeleitet wurden, konnen sehr viel einfacher iiber die Kon­zeption der freien Weglange gefunden werden.

Die freie Weglange wird als der mittlere Abstand definiert, den das Elektron zwischen den StoBen zuriicklegt. Wenn -r: die Zeit zwischen den StoBen ist, so ist die freie Weglange l = v-r: (v mittlere Geschwindigkeit).

Es liege im Meta-ll ein elektrisches Feld in Richtung der x-Achse vor. Dann hangt die Verteilungsfunktion der Elektronen von der Kombination s - erp ab, wobei rp das Potential des elektrischen Feldes ist (E = - orp/ox). Das elektrische Feld ruft einen Strom in x-Richtung hervor. J edes Elektron tragt zu dies em Strom einen Anteil ev cos e bei, wobei e del' Winkel zwischen seiner Geschwin­digkeit und del' x-Achse ist. Del' Gesamtstrom durch eine beliebige Flache senk­recht zur x-Achse ist

J dcose j= fevcosev(s}ds 2 .

Da die Verteilungsfunktion jetzt von den Koordinaten abhangt, muB beriick­sichtigt werden, daB die Elektronen eine Entfernung, die gleich del' freien Weg­lange ist, ohne StoBe durchfliegen, so daB das Argument von / nicht x, sondern x - 1 cos e ist. Wenn sich die Verteilungsfunktion in Abstanden del' GroBen-

4'

52 3. Elektrische Leitfiihigkeit und Wiirmeleitfiihigkeit

ordnung 1 wenig andert, kann sie nach 1 cos e entwickelt werden. Damit ergibt sich

J d cose j = lo(s - erp (x -1 cos e)) evcosev(s) ds 2

( 010 r d cos e 1 ~ - e2v1E TV(s) ds cos2 e = - e2v1v (ft) E .

01 s. 2 3

Mit 1 = VT folgt hieraus

1 a = 3 e2v2Tv(ft) ,

das heiBt der Ausdruck (3.17). Auf analoge Weise kann die Formel fiir den Koeffizienten der Warmeleit­

fahigkeit gefunden werden. Der Warmestrom hangt mit der Energiedichte ($ / V folgendermaBen zusammen:

J d cose q = (0/ V) v cos e 2 .

Die Energiedichte hangt aber infolge des Temperaturgradienten von den Koordinaten abo Es muB daher, wie schon zuvor,

00 aT o (T(x - 1 cos e)) ~ 0(T) - - -1 cos e aT ox

gesetzt werden. Die GroBe c = (l/V) 00/oT ist die spezifische Warme pro Volumeneinheit. Damit erhalt man

Durch Einsetzen von 1 = VT und der Formel (2.27) fiir die spezifische Warme folgt

was mit Gleichung (3.24) iibereinstimmt.

3.6. Elektrische LeiWlhigkeit und Warmeleitflihigkeit in einem Gas freier Elektronen

Fiir ein Gas freier Elektronen wird Gleichung (3.17) sehr einfach. In diesem Modell ist

(3.26)

3.6. Leitjahigkeit in einem Gas jreier Elektronen 53

wobei V F das Volumen der FERMI-Kugel ist. Da fl, = p~/2m und V F proportional zu p~ ist, so ist V F demnach proportional zu fl,3/2. Damit folgt

oVF 3 VF

ofl, =2P: und

3 2 V F

v(fl,) = 2 (2nli)3 p:' Die Zahl der Elektronen pro Volumeneinheit ist

2

so daB

n---VF - (2nli)3 '

3 n v(fl,) = --.

2 fl,

Die elektrische Leitfiihigkeit ist

1 2 e2

(1 = 3 e2v27:v(fl,) = 3 m fl,7:V(fl,)

(da fl, = mv2/2). Durch Einsetzen von v(fl,) folgt

ne27: (1=--.

m

Aus der WIEDEMANN-FRANzschen Formel (3.25) ergibt sich

n 2 n7: ,,=--T.

3 m

(3.27)

(3.28)

Obgleich diese Ausdriicke fiir (1 und " nicht auf reale Metalle zutreffen, sind sie dennoch fUr Abschiitzungen sehr niitzlich.

4. Streuprozesse

4.1. streuung an StOrstellen

Ftir reale Metalle sind die Funktionen e(p) und insbesondere die Streuampli­tuden sehr kompliziert. Daher ist es sehr schwierig, genaue Zahlenwerte der elektrischen und Warmeleitfahigkeit zu erhalten. Es ist wesentlich einfacher, Aussagen tiber die Temperaturabhangigkeit und die GroBenordnung dieser Koeffizienten zu machen. Dazu ist in den meisten Fallen sogar nicht einmal die kinetische Gleichung erforderlich, sondern es gentigt hierzu vollkommen die Konzeption der freien Weglange. Zunachst soll die Starstellenstreuung unter­sucht werden. 1m Abschnitt 3.2. wurde dieser Streumechanismus bereits zur Herleitung der kinetischen Gleichung in der Form (3.12) betrachtet, und es mtiBte moglich sein, entsprechende Abschatzungen auch fUr a und " aus den dort gefundenen Gleichungen zu erhalten. Dieser Weg soll hier jedoch nicht be­schritten, sondern die GraBen a und " aus qualitativen und anschaulichen Uber­legungen abgeleitet werden, die auch auf andere Streumechanismen anwendbar sind.

Urn den effektiven Streuquerschnitt der Elektronen beztiglich der Starstellen zu ermitteln, konnen im Hinblick auf das Potential des auf das Elektron wir­kenden StOratoms verschiedene Annahmen gemacht werden. Entweder kann man annehmen, daB das Atom neutral ist und sich wie eine harte Kugel mit atomaren Abmessungen verhalt, oder (und das ist wahrheitsgemaBer) das Stor­stellenatom ist ionisiert. Jedoch ist sogar in diesem Fall das Modell der harten Kugeln anwendbar. Urn das zu erkennen, wird die Abschirmung des Potentials des Starstellenions durch die Elektronen untersucht.

Wenn n' die bei Einbau eines Ions in das Gitter hervorgerufene Anderung der Elektronendichte ist, dann lautet die MAxwELL-Gleichung, die die Anderung des elektrischen Potentials bestimmt,1)

L/cp = 4nen' (4.1)

(wenn sich das Ion am Punkt r = 0 befindet, muB die Lasung - Zejr fUr r -> 0 gewahlt werden). In Anwesenheit des Potentials ist die Energie 8 des Elektrons durch 8 - ecp zu ersetzen. In die FERMI-Verteilung geht 8 in der Kombination

1) Anmerkung des Herausgebers: Diese Gleichung wird auch als PorssoNsche Gleichung bezeichnet.

4.1. Streuung an StOrstellen 55

e - p, ein, wobei p, das ehemisehe Potential ist. Man kann also sagen, daB p, dureh p, + ecp zu ersetzen ist, so daB

on n' = n(p, + ecp) - n(p,) ~ ecp op, .

Damit wird die MAXwELL-Gleiehung

on L/cp - 4%e2cp op, = O.

Die Losung dieser Gleiehung ist

e-"Dr cp = - Ze--,

T

(4.2)

(4.3)

wobei Ze die Ionenladung und UD = I/TD der reziproke DEBYE-Radius ist:

(4.4)

Das COULOMB-Potential des Storstellenions wird also dureh die Elektronen in Entfernungen abgesehirmt, die groBer als der DEBYE-Radius Tn = I/uD sind. GroBenordnungsma.Big gilt die Absehatzung

1 / p3 m p 1 / e2m p 1 /iJ UD '" V e2 n: p~ '" nO V pon '" nO V nv . (4.5)

Die GroBe e2/nv ist dimensionslos. Um sie abzusehatzen, muB man beaehten, daB die Metallatome in der Hauptsaehe dureh die Leitfahigkeitselektronen gebunden sind. Das bedeutet, daB die potentielle und kinetisehe Energie der Elektronen die gleiehe GroBenordnung haben mussen. Das Verhaltnis der mitt­leren potentiellen Energie des Elektrons e2(i zu seiner kinetisehen Energie p~/2m ist

(4.6)

Hierbei wurde benutzt, daB der mittlere Abstand r der Elektronen groBen­ordnungsmaBig gleieh n/po ist. Aus der Beziehung (4.6) folgt, daB die GroBe e2/nv in (4.5) von der GroBenordnung 1 ist und daB

TD '" n/po '" a '" 10-8 em .

Demnaeh wird das Potential des Storions in atomaren Abstanden abgesehirmt. Folglieh ist sogar in diesem Fall das Modell harter Kugeln mit atomaren Ab-messungen brauehbar. .

1m folgenden wird die Streuung von Elektronen an derartigen Kugeln be­traehtet. Wenn Qeff der effektive Streuquersehnitt ('" 10-16 em2 ) ist und sieh das Elektron um 1 em versehiebt, so stoBt es auf diesem Wege auf die Storatome im Volumen 1 em· Qeff' Wenn nl = Nt/V die Diehte der Storatome ist, dann ist die Gesamtzahl der Sto13e

ni' 1· Qeff •

56 4. Streuprozesse

Dann ist der mittlere vom Elektron ohne ZusammenstoB zuriiekgelegte Ab­stand, das heiBt die freie Wegliinge

l,...., l/niQeff. (4.7)

Zur Absehatzung der GroBenordnung der Leitfiihigkeit ergibt sieh mit Formel (3.27) fiir ein freies Elektronengas

(J ,...., -- ,...., -- ,...., -- ,...., ---::---

m mv Po pontQeff

Da die Zahl der Leitungselektronen in normalen Metallen von der gleiehen GroBenordnung wie die Zahl der Atome ist, ist ndn ,...., Ci die Storstellenkonzen­tration. Unter Verwendung von 'e2 ,...., liv ergibt sieh

vii Ii 10-27 g em2 S-1 1016 (J,...., ---- ,...., --- ,...., ,...., -- S-1 (4.8)

PoCiQeff mc/Qeff 10-27 g CiQeff Ci .

Die Leitfahigkeit hiingt also nieht von der Temperatur abo Aus dem WIEDEMANN-FRANzsehen Gesetz (3.25) und aus (4.8) folgt

104 erg ",...., ~ T (K) em s K· (4.9)

4.2. Streuung von Elektronen an Elektronen

Ein weiterer Streumeehanismus ist die Elektronenstreuung an Elektronen. Die Streuung von FERMI-Teilehen untereinanderwurde bereits imAbsehnitt 2.2. behandelt. Dabei erwies sieh die Streuwahrscheinlichkeit als proportional zu T2, so daB die StoBzeit 7: porportional zu 1/T2 ist. Es muB nur noeh ein Koeffi­zient eingefiihrt werden, damit 7: die D.imension einer Zeit erhiilt. Da die poten­tielle Weehselwirkungsenergie der Elektronen von der GroBenordnung ihrer kinetisehen Energie ist, ist die einzig mogliehe Form fiir 7::

7: ,...., lif.k/T2 •

Daher ist (e2 ,...., liv)

(J,...., ne2lif.k ,...., nli2pof.k ,...., (£)2 nli2po mT2 m2T2 T f.km2

,...., (£)2 nli2 ,...., (£)2 (po)3 ~ ,...., (f.k )2 ~ (po)2. T pom T Ii pom T m Ii

Mit Ii/po 'j::::; 10-8 em folgt

(J ,...., 1016 (; r S-1 (4.10)

(hierbei wird T in Energieeinheiten gemessen). Die Leitfiihigkeit variiert also wie 1/T2.

4.3. Streuung an Gitterschwingungen 57

Es muB jetzt jedoch eine Bemerkung zur Natur der StoBe gemacht werden. Die StoBe der Elektronen untereinander konnen nicht als elastisch aufgefaBt werden, da die Energieanderung dabei von der GroBenordnung T sein kann. Die 1mpulsanderungen sind ebenfalls nicht klein, sondern von der GroBen­ordnung Po (das hangt damit zusammen, daB die COULoMB-Wechselwirkung der Elektronen ebenso wie ein Storstellenpotential abgeschirmt wird und daher der Wechselwirkungsradius der Elektronen untereinander etwa gleich dem Atom­abstand ist). Dennoch kann die Konzeption der freien Weglange angewendet werden, da jeder StoB sowohl im Hinblick auf die 1mpuls-, als auch auf die Ener­gieanderung effektiv ist (daher ist das in den verschiedenen Formeln verwendete 7: groBenordnungsmaBig dasselbe).

Daher gilt auchgroBenordnungsmaBig die WIEDEMANN-FRANzsche Formel (3.25). Die Warmeleitfahigkeit ergibt sich damit zu

1012 erg ~ '" ------ .

T (K)cmsK (4.11)

4.3. streuung an Gitterschwingungen

1m Abschnitt 3.1. wurde bereits festgestellt, daB sich das Elektron in einem idealen periodischen Gitter wie ein freies Teilchen bewegt. Das Gitter ist jedoch selbst fiir T = 0 nicht ideal, weil die Atome sogenannte Nullpunktsschwin­gungen ausfiihren (Formel (2.4)). Dennoch verschwindet der elektrische Wider­stand bei T = o. Tatsachlich werden bei einem StreuprozeB 1mpuls und Energie vom Elektron auf die Gitterschwingungen und umgekehrt iibertragen. Ein ange­regter Zustand des Gitters kann mit dem Bild eines Gases von Schwingungs­quanten, das heiBt Phononen beschrieben werden. Dann fiihrt der StreuprozeB dazu, daB das Elektron Phononen emittiert oder absorbiert.

Bei T = 0 existieren keine Phononen, so daB keine Absorption auftritt. Dann befindet sich die Elektronenfliissigkeit im Grundzustand und kann keine Pho­nonen erzeugen, da sie dafiir keine Energie besitzt.1) Bei T =F 0 konnen alle genannten Prozesse stattfinden. Da wie bisher auch hier nur die Temperatur­abhangigkeiten und GroBenordnungen von (J und 'X ermittelt werden sollen, kann man sich stets auf einfache und abschatzende Ableitungen beschranken.

Zunachst wird die Quantisierung del' Gitterschwingungen betrachtet. Die kinetische Energie des Gitters ist

M · 2 Ui

E kin = }; -2-' •

1) In Wirklichkeit erhalten die Elektronen Energie aus dem elektrischen Feld, deren Be­riicksichtigung jedoch nur eine geringe, im Feld nichtlineare Korrektur zum Strom ergibt.

58 4. Streuprozesse

wobei Ui die Verschiebung des i-ten Atoms und M seine Masse ist. Bei lang­welligen Schwingungen kann statt der diskreten Ui die stetige Funktion u(r) verwendet und die kinetische Energie in der Form

NMJ' Ekiu = 2V u 2(r) d V

geschrieben werden, wobei N/V die Zahl der Ionen im Einheitsvolumen ist. Der Ubergang Ui -> u(r) ist strenggenommen nur fUr lange Wellen gtiltig, fUr Abschatzungen jedoch immer geeignet und solI daher hier verwendet werden. Die Vertauschungsrelationen zwischen den Impulsen und Koordinaten der Ionen lauten:

M[ itt, un = - iMii'{)IXIX'

(ex bezeichnet die Komponenten des Verschiebungsvektors). Beim Ubergang von Ui zu u(r) erhalt man hieraus

~ M[ulX(r, t), ulX'(r', t)] = - iMIXIX,{)(r - '1") •

1m folgenden wird n'ur ein Typ von Gitterschwingungen betrachtet und dazu der Operator u(r) in ein FOURIER-Integral zerlegt. Da u(r) ein reeller Operator ist, gilt

u(r) =,/ 2: (Uk eik .. -iro(k)t + ut e-ik"+iro(k)t) •

r V k

Hiermit ergibt sich fUr die kinetische Energie bei Mittelung tiber die Zeit:

- NM + + 2 E kiu = 2V f (UkUk + Uk Uk) w (k) .

Aus der allgemeinen Vertauschungsrelation folgt

+ _ VMkk,

[Uk' Uk'] - 2MNw

Diese Vertauschungsrelationen sind erfiillt, wenn man annimmt, daB der Ope­rator Uk folgende Matrixelemente hat:

(4.12)

wobei nk ganze Zahlen sind. Es ist namlich

+]nk ( nk (+)nk+l (+)nk ( )nk-l [Uk' Uk nk = Uk)nk+1 Uk nk - Uk nk-1 Uk nk

Vh Vh = 2MNw(k) (nk + 1 - nk) = 2MNw(k) •

Bei harmonischen Schwingungen sind die mittlere kinetische und die mittlere potentielle Energie einander gleich. Daher kann die Gesamtenergie als die dop-

4.3. Streuung an Gitterschwingungen 59

pelte mittlere kinetisehe Energie ausgedruekt werden: E = 2Ekin• Wenn man

(4.12) in E kin einsetzt, findet man

E = 2: 1iw(k) (nk + +) . k

Also ist nk nichts anderes als die Zahl der Phononen. GemaB (4.12) hat der Operator ui; Matrixelemente, die einer Erhohung der Phononenzahl um Eins (d. h. einer Phononenemission), und Uk solehe, die einer Verringerung der Pho­nonenzahl um Eins (einer Absorption) entspreehen.

1m folgenden wird die Weehselwirkung des Elektrons mit den Gittersehwin­gungen betraehtet. Wenn das Gitter in irgendeiner Weise deformiert wird, tritt eine Polarisation auf. Die Polarisationsladung pro Volumeneinheit ist div P, wobei P der Polarisationsvektor ist, das heiBt das Dipolmoment der Volumen­einheit. Die Weehselwirkungsenergie der Elektronen mit der Polarisations­ladung ist

efQ(r - r') div P(r') dV' .

Ohne Absehirmung ware der Kern Q gleieh 1//r - r'/. Die Absehirmung maeht jedoeh die Weehselwirkung kurzreiehweitig. Wenn man die Atom­abstande als klein annimmt, kann man Q als b-Funktion darstellen: Q(r - r') ~ a2b(r - r'), wobei a die GroBenordnung der Atomabstande hat (d. h. a""' 10-8 em ""' 1i/po)' Der Polarisationsvektor P(r) ist groBenordnungsmaBig gleieh neu, wobei u den Versehiebungsvektor und n = N/V die Atomdiehte be­zeiehnet, die von der gleiehen GroBenordnung wie die Elektronendiehte ist. Da in die Weehselwirkung div P eingeht, geht in die FOURIER-Komponente der Weehselwirkung kUk (oder kui;) ein. Fur groBe Wellenlangen ist w = sk, wobei s die Sehallgesehwindigkeit ist. Somit ist die FOURIER-Komponente der Weehsel­wirkung groBenordnungsmaBig

Da die Weehselwirkung proportional zu u ist, konnen in erster Naherung der Storungstheorie sole he Prozesse stattfinden, die den Matrixelementen von Uk und ui; (4.12), das heiBt einer Erzeugung oder Verniehtung eines Phonons ent­spreehen. Fur die Erzeugung folgt zum Beispiel

V k ""' e2a2n 1 /1i(nk -t~_ w p -Tt , p Y V V nMw s

= na2e2 1 /1iw(nk + 1) ""' 1 na3 e2 1 /1iw(nk + 1)

s Y V V nM y V a V n

1

sYM

Nun gilt aber na3 ""' 1, e2/a ""' p~/m, und die Sehallgesehwindigkeit genugt der

Beziehung s Y M "-, v ym (wobei M die lonenmasse, m die Elektronenmasse

60 4. Streuproze88e

und v die Elektronengeschwindigkeit ist)1). Mit diesen Ausdriicken kann das Matrixelement der Wechselwirkung umgeformt werden:

1 P~ l/liw(n1c + 1) Vp - 1i1c,p rv YV mv V:;;;, V n

1 v'liW(n1c + 1) rv yv Po nm . (4.13)

Dabei ist festzustellen, dall die Funktion u(r) einen physikalischen Sinn tat­sachlich nur an den Punkten r = a .. hat, an denen sich die Atome befinden. In die FOURIER-Entwickiung von u(r) an diesen Punkten gehen die Faktoren ei1can ein. Diese andern sich nicht bei Anderung von k um eine Periode des rezi­proken Gitters. Folglich sind beliebige k und k + K physikalisch aquivalent, und die Funktion w(k) mull, so wie auch e(p), periodisch im reziproken Gitter sein und daher innerhalb endlicher Grenzen variiert.

Fiir kleine k (lange Wellen) liegt Schall vor, und es ist w = sk. Diese Beziehung gibt auch fiir grolle k die richtige Grollenordnung wieder. Der Maximalwert von k entspricht den Zonengrenzen der BRILLoUIN-Zone, ist also grollenord­nungsmal3ig gleich K min '" n/a. Daher hat die Grenzfrequenz der Phononen die Grollenordnung

m WD '" sKmin ,...., -.

a

Diese Grenze heillt DEBYE-Frequenz. Fiir Metalle entspricht sie gewohnlich einer Temperatur von einigen hundert Grad. Da der FERMI-Impuls der Elek­tronen Ii/a", Po ist, kann man auch

(4.14)

schreiben. Mit Ausnahme von Spezialfallen, die in Abschnitt 4.4. behandelt werden, kann fiir die Phononenzahl n1c die BOSE-Verteilung

n1c = 1/[el!w/T - 1] (4.15)

verwendet werden. 1m folgenden werden ZWCl Grenzfalle diskutiert: hohe und niedrige Tem­

peraturen.

1) Diese Beziehung ist z. B. aus dem Ausdruck fiir die Oszillatorfrequenz w = yrx/M ersicht­lich, wobei rx der Elastizitiitskoeffizient ist. Da die CouLOJIIB-Energie im Metall graBen­ordnungsmiiBig gleich der kinetischen Energie der Elektronen ist, unterscheidet sich liw

von den Elektronenenergien fiir Impulse der GraBenordnung Po durch einen Faktor IJY M. Da v = oe/op und 8 = ow/ok ist, iibertriigt sich dieser Unterschied auf die Geschwindig­keiten.

4.3. Streuung an Gitterschwingungen 61

1. T ~ li,w D' Bei hohen Temperaturen ist die Emission und Absorption von Phononen mit hohen Energien der GroBenordnung li,w D am wahrscheinlichsten. Wegen li,WD ~ T folgt aus der BosE-Verteilung

nk ~ TjIi,WD'

Da nk ~ 1, ist nk + 1 ~ nk' Die Gesamtstreuwahrscheinlichkeit fUr die Emission eines Phonons ist

(4.16)

Fur die Phononenabsorption laBt sich eine analoge Formel finden. Die Inte­gration der b-Funktion uber d3k ergibt einen Faktor von der GroBenordnung

K~in p~J1i,3 -----;- rv p~Jm .

Durch Einsetzen der Ausdrucke fUr Vp-lik,P und nk folgt

1 li,WD T p~ m T W rv hP~ m; li,WD li,3 p~rvh

(dabei ist n durch p~J1i,3 ersetzt worden). Damit gilt

(4.17)

Durch Einsetzen in Formel (3.27) fUr die Leitfahigkeit folgt

ne2,; ne21i, nli,2po f1, nli,2 f1, p;1i,2 (1rv--rv-- rv-- rv---rv---

m mT m2 T T pom T li,3pom

rv ~ (pO)2 ~ rv 1016 (~) S-1 . T Ii, m T

(4.18)

Bei hohen Temperaturen andert sich also die Leitfahigkeit wie 1JT. Da li,WD ~ T, andert sich die Elektronenenergie bei StOBen nur geringfUgig,

so daB die StOBe als elastisch angesehen werden konnen. Daher gilt das WIEDE­MANN-FRANzsche Gesetz, also

erg ~ = const rv 108 --- •

cmsK (4.19)

2. T ~ li,WD' Hierbei spielen Phononen mit der Energie li,w,....." T die wesent­lichste Rolle. Daher andert sich die Energie der Elektronen bei jedem Zusam­menstoB merklich. Da der Phononenimpuls im Mittel gleich li,wJs,....." TJs und der Elektronenimpuls von der GroBenordnung Po ist, andert sich der Elektronen­impuls bei jedem StoB um die relative GroBe T Jspo ,....." T Jli,w D ~ 1. Daher ist dieser Fall entgegengesetzt zu den vorher betrachteten elastischen StoBen, bei

62 4. Streuprozesse

denen sich die Energie wenig andert, der Impuls sich jedoch stark andern kann. Deshalb diirfen die bisher benutzten Regeln nicht mehr mechanisch angewendet werden.

Die Konzeption der freien Weglange ist anwendbar, wenn fUr die elektrische und die Warmeleitfahigkeit unterschiedliche Werte 't eingeftihrt werden. Da sich bei jedem ZusammenstoJ3 die Energie gr6J3enordnungsmaJ3ig um T andert, ist ftir die Warmeleitung jeder ZusammenstoJ3 effektiv. Der entsprechende Wert fUr't verhalt sich wie I/W, wobei sich W aus Formel (4.16) bestimmt. Die darin auftretende (}-Funktion kann in der Form

(p2 (p _ nk)2 ) (nPk n2k2 )

() 2m - 2m - nw(k) = () ----;;; - 2m - nw(k)

= () (cos 8 _ 'lik _ mw) ~ 2p pk npk

geschrieben werden, wobei 8 der Winkel zwischen p und kist. Infolge der oben gemachten Aussagen tiber den Phononenimpuls ist 'lik/po ~ 1. AuJ3erdem gilt mw/pk rv ms/po rv s/v ~ 1.

Das Integral in (4.16) erstreckt sich tiber den absoluten Betrag und tiber die Winkel. Wichtig ist, daJ3 der Wert cos 8, bei dem das Argument der (}-Funktion gegen Null geht, sehr klein ist, das hei.Bt mit Sicherheit im Wertebereich von cos 8 liegt. Daher ergibt die Integration der (}-Funktion tiber den Winkel den Wert 1. Dann ist

W rv ~ p~nw ~ k3 rv ~ p~nw ms (W)3 n mn IiPok Ii mn ponw s

1 p~T ms T3 T ( T )2 rv- -----rv- --

n m(po/n)3 PoT n3s3 'Ii IiwD . (4.20)

Hierbei wurden die Beziehungen 'liw rv T, w '" sk und spo rv nWD verwendet. Die Zeit 'tt rv l/W kann im Ausdruck ftir die Warmeleitfahigkeit verwendet werden.

Als nachstes wird die elektrische Leitfahigkeit diskutiert. Bei der Herleitung des StoJ3integrals in der Form (3.12) wurde praktischnur die Tatsache verwendet, daJ3 sich der Elektronenimpuls bei St6.Ben seinem Betrag nach nur wenig andert. Das gilt auch im vorliegenden Fall, desgleichen auch die Gleichung (3.11). Der Streuwinkel8 ist im Mittel etwa gleich dem Verhaltnis des Phononen­impulses zum Elektronenimpuls:

8 rv 'lik/po rv snk/spo rv T/'liw]) ~ 1.

Wenn man in (3.11) 1 - cos 8 nach 8 entwickelt, erhalt man ftir den in die elektrische Leitfahigkeit eingehenden Wert 'te:

1 T(T)4 -rv W(8) 8 2 rv- -'te n nWD

4.4. Umklapp.Prozesse 63

Daher ist die elektrisehe LeiWi,higkeit

11 '" ne27:e '" ne21i (IiWD)4 '" p~ ~ p~ (IiWD)4", 1016 (!!:..) (IiWD)4 S-1 •

m mT T 1i2 m mT T T T (4.21)

Die Leitfahigkeit andert sieh also bei niedrigen Temperaturen naeh dem Gesetz lITo (BLocHsehes Gesetz).

Fiir die Warmeleitfahigkeit wird die Zeit 7: t = 11W verwendet. Dabei ergibt sieh

" '" clt' '" Ct'27: '" -- - - -- '" 108 - --- • pomT (pO)2 Ii (IiW D)2 (T D)2 erg

t 1i3 m T T T em s K (4.22)

Hierin wird T D = liw D in den gleiehen Einheiten wie T gemessen. Dureh Vergleieh der Ausdriieke fiir die elektrische und die Warmeleitfahigkeit

folgt

" T(T)2 a'" e2 IiWD . (4.23)

Das WIEDEMANN-FRANzsehe Gesetz ist also nieht erfiillt.

4.4. Umklapp-Prozesse

Bisher sind die hauptsaehliehsten Streuprozesse untersueht und daraus die elek­trisehe und Warmeleitfahigkeit bestimmt worden. Insbesondere ist der dureh die Elektron-Elektron-Streuung verursaehte Widerstand betraehtet worden. In Wirkliehkeit ist jedoeh nieht vollkommenoffensiehtlieh, wie Elektron-Elektron­StoJ3e zum Auftreten eines Widerstandes fiihren konnen. Wenn ein Strom von Elektronen gebremst wird, so bedeutet das eine Anderung des Gesamtimpulses der Elektronen. Wenn jedoch bei Streuprozessen der Gesamtimpuls erhalten bleibt, dann konnen diese StoJ3e keine Stromdissipation bewirken. Es muJ3 aber daran erinnert werden, daJ3 der hier betraehtete Quasiimpuls nieht der wahre Impuls ist. Insbesondere ist der Quasiimpuls nur bis auf IiK bestimmt, wobei K eine beliebige Periode des reziproken Gitters ist. Infolgedessen sind Elektron­Elektronen-StoJ3e moglieh, bei denen der Gesamtimpuls nieht erhalten bleibt.

1m folgenden solI das StoJ3integral fiir Elektron-Elektron-Streuung genauer untersueht werden. Die Streuwahrscheinliehkeit zweier Elektronen sei W(PIP2' p~p~). Das StoJ3integral enthiilt dann zwei Terme, von denen der eine den Austritt eines Elektrons aus dem betraehteten Volumenelement des Impuls­raumes und der andere dessen Eintritt besehreibt. In jedem Term miissen Faktoren enthalten sein, die das Vorhandensein von Elektronen in den Ausgangszustanden und das Fehlen von Elektronen in den Endzustanden beriieksiehtigen.

64 4. Streuproze88e

Damit folgt

1(/) = - I W(PIP2' p;p~) {/(Pl) I(P2) [1 - I(p~)] [1 - I(p~)] - I(p~) I(p~) [1 - I(PI)] [1 - I(P2)]}

, ,d3p2 d3p~ X b(Cl + C2 - Cl - C2) (2n1i)3 (2n1i)3·

Hierbei wird tiber den Impuls des zweiten Elektrons P2 und tiber den Impuls eines der Elektronen nach dem StreuprozeB p~ integriert. Der Impuls p~ dagegen bestimmt sich bis auf 1iK aus dem Erhaltungssatz

PI + P2 = p~ + p~ + 1iK .

Der Vektor 1iK ist beliebig, und das StoBintegral umfaBt eine Summation tiber 1iK unter der Bedingung, daB aIle Vektoren PI> P2' p~, p~ nicht tiber die BRIL­LOUIN-Zonengrenze hinausreichen. Die Verteilungsfunktion wird in der Form

010 1=/o-a;1p

dargestellt. Dabei kann die Ableitung ol%c als

010 1 e(e-p)/T 1 as = - T (e(e-p)/T + 1)2 = - T 10(1- 10)

geschrieben werden. 1m Gleichgewicht andert sich I nicht. Daher ist d/o/dt = 1(/0) = O. Das bedeutet, daB die Kombination von Verteilungsfunktionen, die in den geschweiften Klammern im StoBintegral steht, verschwindet, wenn statt I die Funktion 10 eingesetzt wird. 1m folgenden wird der Term erster Ord­nung in 1p in 1(/) bestimmt. Es gibt vier derartige Glieder: eines mit 1p(Pl)' ein weiteres mit 1p(P2) usw. Das Glied mit 1p(Pl) hat die Form

wobei die Funktionen I in den Klammern Gleichgewichtsfunktionen sind. Da die Kombination im ursprtinglichen StoBintegral ftir I = 10 verschwindet, kann man den letzteren Ausdruck in folgender Form schreiben:

1 " - T 1plM2 (1 - 11) (1 - 12) .

In ahnlicher Weise konnen die Glieder mit 1p(P2)' 1p(p~) und 1p(p~) umgeformt werden. Dabei zeigt sich, daB in allen diesen Gliedern ein einheitlicher Koeffi­zient aus Funktionen 10 auf tritt, so daB die Kombination in geschweiften Klam­tnern im StoBintegral

4.4. Umklapp-Prozesse 65

wird. Nimmt man an, daB "p die Form

"p = Cpz , C = const ,

hat, so verschwindet das StoJ3integral fUr Prozesse mit Impulserhaltung, weil dabei

pz! + Pz2 - P~l - P~2 = 0 .

Wenn kein elektrisches Feld anliegt, hat die Funktion / = /0 - (%loe) "p die Eigenschaft dfldt = O. Wenn man daher nur Prozesse mit Impulserhaltung beriicksichtigt, ist diese Funktion die Losung der kinetischen Gleichung ohne elektrisches Feld. Gleichzeitig ergibt diese Funktion einen endlichen elektrischen Strom . f d3p

J = 2e v/ (2nh)3 .

Das bedeutet die Existenz eines Stromes bei Fehlen eines elektrischen Feldes oder, anders ausgedriickt, unendliche Leitfahigkeit.

Tatsachlich miissen auch die Prozesse beriicksichtigt werden, bei denen

PI + P2 - p~ - p~ = hK =1= 0 .

Diese Prozesse heiBen PEIERLSSche Umklapp-Prozesse. Gerade diese Prozesse fUhren zu einem endlichen Widerstand. Wie bereits gesagt, miissen aIle Vektoren Pi innerhalb der BRILLOUIN-ZOne liegen. Wenn sich der Impuls PI in der Nahe der FERMI-Flache befindet, dann liegen nach Abschnitt 2.2. auch aIle iibrigen Impulse in der Nahe der FERMI-Flache. Urn daher einen endlichen Widerstand zu erhaIten, muB

max (PI + P2 - p~ - p~) = 4 max Ipi > h IKminl (4.24)

geIten. Offensichtlich ist diese Bedingung fUr den Fall erfUIlt, daB die FERMI­Flache bis zu den Grenzen der BRIT..LOUIN-ZOnen reicht (Abb. 5b und c). Bei den Alkalimetallen erreicht jedoch die FERMI-Flache nirgends die BRILLoUIN-Zonen­grenzen. Dennoch ist sogar in diesen Fallen die Bedingung (4.24) erfUlIt. In der Tat ist die FERMI-Flache eines beliebigen Alkalimetalls einer Kugel sehr ahnlich. Da diese MetalIe ein Valenzelektron pro Atom haben, ist das Volumen der FERMI-Kugelgleichder Halfte des Volumens der BRILLoUIN-Zone (s. Abb. 13a). Daher ist der Radius der FERMI-Kugel sicher groBer als 1/4 der kleinsten Periode des reziproken Gitters, was zur ErfiilIung der Bedingung (4.24) hinreichend ist.

In Halbmetallen, wie z. B. Wismut, besteht die FERMI-Flache aus mehreren kleinen geschlossenen Gebieten (Talern), deren Mittelpunkte einen Abstand hKI2 haben (Abb. 13b), was zur ErfUlIung der Bedingung (4.24) (fUr Zwischen­taliibergange) hinreichend ist. Daraus folgt, daB fUr die Elektron-Elektron­StoBe alIes giinstig aussieht.

Anders jedoch stelIt sich die Situation fUr Elektron-Phonon-StoBe dar. 1m Abschnitt 4.3. wurde die Gleichgewichtsverteilungsfunktion fUr Phononen ver­wendet. Das ist zulassig, wenn ein unabhangiger Mechanismus existiert, der ein

5 Abrikossow

66 4. Streuprozesse

Gleichgewicht im Phononengas herstellt, z. B. StoBe von Phononen an Stor­atomen oder Phonon-Phonon-Streuung. 1st jedoch die StorstelIenkonzentra­tion klein, ist der erstgenannte ProzeB uneffektiv. Der andere ProzeB kann, wie bei der gegenseitigen Streuung von Elektronen, nur tiber Umklapp-Prozesse ein Gleichgewicht herstelIen. Bei niedrigen Temperaturen sind die Impulse der Phononen klein, so daB die Bedingung (4.24) ftirPhonon-Phonon-StoBe sicher nicht erfUllt ist. Daher sind in einem reinen Metall die StoBe mit Elektronen der einzige wesentliche Relaxationsmechanismus ftir Phononen bei tiefen Tempera­turen. Dabei weicht die Verteilungsfunktion der Phononen vom Gleichgewicht ab und muB aus der kinetischen Gleichung gefunden werden.

Abb.13

(- ~

a) '---____ -----' b)

Schematische FERMI-Flache von (a) Alkalimetallen und (b) Halbmetallen

Bei Elektron-Phonon-Wechselwirkung ist das StoBintegral fUr Phononen

J d3p 1= W[/l(I - 12) (1 + nk) - (1 - 11) 12nk] t5(el - e2 - tiro) (2nti)3'

Das erste Glied beschreibt die Emission, das zweite die Absorption eines Phonons. Die Integration erfolgt tiber aIle Elektronenimpulse. Gesucht wird eine Verteilungsfunktion fUr Phononen in der Form

1 nk = nkO + T nko(I + nkO) rp •

Ftir Elektronen jedoch sei die bisherige Form vorausgesetzt:

1 / = 10 + T 10(1 - 10) "P'

In erster Naherung in "P und rp ist das StoBintegral

J d3p I f"::j W/10 (1- 120) (nkO + 1) ["PI - "P2 - rp]-(2nll)3'

Wenn hier "P = cpx, rp = cllk" eingesetzt wird, ergeben die Prozesse mit Impuls­erhaltung Null. Das gleiche bezieht sich, nebenbei bemerkt, auch auf das in die kinetische Gleichung fUr die Elektronen eingehende StoBintegral sowie auch auf das Phonon-Phonon-StoBintegral. Daher befriedigt diese Losung aIle kinetischen Gleichungen (ohne Urnklapp-Prozesse) und ergibt einen ungedampften elek-

4.4. U mklapp- Prozes8e 67

trischen Strom bei Vorliegen eines elektrischen Feldes, das heiBt eine unendliche Leitfiihigkeit_

Aus diesem Grunde miissen die Umklapp-Prozesse nochmals in Betracht ge­zogen werden. Diese sind jedoch, wie bereits bemerkt, fiir Phonon-Phonon­Wechselwirkung bei niedrigen Temperaturen nicht moglich. Fiir Elektron­Phonon-Prozesse gilt der Erhaltungssatz

PI - P2 - lik = liK.

Bei hohen Temperaturen ist der Phononenimpuls von der GroBenordnung Po, und es sind sogar flir Alkalimetalle Umklapp-Prozesse moglich. Bei niedrigen Temperaturen jedoch ist der Impuls lik sehr klein und kann vernachHissigt werden. Dabei ergibt sich anstelle von (4.24) die Bedingung

2 max Ipi > lilKminl , (4.25)

die in Alkalimetallen (s. Abb. 13a) nicht erfiillt ist. Infolgedessen andert die Emission und Absorption von Phononen mit

liw,....., T den Gesamtimpuls der Elektronen nicht. Ein effektiver ProzeB ist die Wechselwirkung mit Phononen, deren Impulse von der GroBenordnung liKmin

sind, das heiBt deren Energie von der GroBenordnung liwn ist. Die Zahl dieser Phononen ist groBenordnungsmaBig e-tr.liWDIT, wobei (X,....., 1. Man konnte meinen, daB dieser Exponentialfaktor direkt in den Ausdruck fiir den Widerstand ein­gehen muB. Tatsachlich ist der Sachverhalt jedoch komplizierter. Obwohl die Wechselwirkungsprozesse von Elektronen mit Phononen ohne Umklapp-Pro­zesse an und fiir sich nicht zum Auftreten eines Widerstandes flihren, andern sie doch die Bewegung der Elektronen. Man kann sich das als hydrodynamisches Stromen einer zahen Fliissigkeit [6] vorstellen. Die charakteristische Weglange hat die GroBenordnung der Elektron-Phonon-Weglange ohne Umklapp-Prozesse:

v (liwn)5 lo"""'- -T . Wn

Die Beriicksichtigung dieses Umstands fiihrt, wie in [6] gezeigt wird, zu einer auBerordentlich komplizierten Temperaturabhangigkeit des Widerstandes in­folge gegenseitiger Beeinflussung der verschiedenen Streumechanismen. Dieses Problem soll hier nicht im einzelnen untersucht werden. Es sei lediglich folgendes festgestellt: wenn das Metall hinreichend rein ist und die Weglange flir Stor­stellenstreuung die Weglange flir Phonon-Streuung bei T,....., !iwn iibertrifft, das heiBt, wenn lStorst. ~ vjwn ist, so hangt der Phononen-Anteil des Widerstandes bei Temperaturen, die gegeniiber der DEBYE-Temperatur nicht allzu niedrig sind, exponentiell von der TemperatuT abo

Bei den friiher abgeleiteten Ausdriicken fUr die elektrische und die Warmelei­tung wurde in jedem Fall nur ein einziger ProzeB untersucht. Es existieren aber tatsachlich alle Prozesse, und die entsprechenden Streuwahrscheinlichkeiten addieren sich. Das bedeutet, daB nicht die Leitfahigkeit (elektrische und ther­mische), sondern die reziproken GroBen, das heiBt die Widerstande, additiv sind.

68 4. Streuprozesse

Man erhalt daher fUr den gesamten elektrischen Widerstand bei niedrigen Tem­peraturen (mit Ausnahme der Alkalimetalle) das Gesetz

e = c + aT2 + bT5 , (4.26)

worin a, b, c Konstanten sind. Der Ausdruck (4.26) wurde fUr alle Metalle bei niedrigen Temperaturen experimentell bestatigt, auBer fUr Alkalimetalle, bei denen es Hinweise auf eine starkere Temperaturabhangigkeit als T5 gibt.

Bei hohen Temperaturen dominiert die Elektron-Phonon-Streuung, so daB

(! = AT. (4.27)

Ftir die elektronische Warmeleitfahigkeit bei niedrigen Temperaturen ergibt. sich in analoger Weise

1 d -; = T + IT + gT2 . (4.28)

Bei hohen Temperaturen ist " = const.

4.5. "Isotopen"-streuung

Wenn man ein Metall von Verunreinigungen befreit und die Temperatur er­niedrigt, erhalt man eine immer hohere Leitfahigkeit. Experimente am Zinn zeigen jedoch, daB eine Grenze existiert, unter die der Widerstand nicht herunter­geht. AuBerdem wurde festgestellt, daB der Restwiderstand nicht von der Pro­bengeometrie abhangt. Es ist klar, daB die Elektronen im idealen Kristall bei T = 0 noch an den Grenzflachen gestreut werden konnen; jedoch muB dieser Effekt von den Probenabmessungen abhangen. Deswegen wurde die Vermutung geauBert, daB in diesem Falle die Ursache des Widerstands die Zusammensetzung aus verschiedenen Isotopen ist (POMERANTSCHUK 1958 [7]).

Welche Anderungen treten in einem Kristall auf, an dessen Gitterpunkten sich Atome mit gleicher elektronischer Struktur, jedoch verschiedener Masse befinden? Die potentielle Energie andert sich nicht, da sie nur von der elektro­nischen Struktur abhangt. Die kinetische Energie der Ionen ist jedoch unter­schiedlich. Die gesamte kinetische Energie des Ionensystems kann in die mittlere kinetische Energie und ein von der Massendifferenz abhangiges Zusatzglied zerlegt werden. Dieses Zusatzglied kann als Summe tiber alle Atome geschrieben,

Mi - M"2 ~ 2 Ui, •

(4.29)

und als Storglied behandelt werden, da der Massenunterschied gering ist. Wah­rend tiblicherweise in der Storungstheorie ein Teil der potentiellen Energie als Storglied auf tritt, tibernimmt diese Rolle hier ein Teil der kinetischen Energie.

Die Verschiebung U hat Matrixelemente bei Andel'ung del' Phononenzahl urn Eins: nk -> nk ± 1. Da in (4.29) u~ eingeht, andert sich bei diesem Ubergang die

4.5. "Isotopen".Streuung 69

Phononenzahl um 2 oder bleibt vollig unverandert. Die Elektronenstreuung kann zum Beispiel nach dem in Abbildung 14 dargestellten ProzeB ablaufen. In dieser Abbildung stellen die Punkte VI eine Elektron-Phon-Wechsel­wirkung und der Punkt VII eine Phonon-Phonon-Wechselwirkung dar. In dem hier skizzierten ProzeB andert sich im Punkt VII die Phononenzahl nicht. Es sind an diesem Punkt auch andere Prozesse mit Erzeugung oder Vernichtung zweier Phononen moglich. Sie unterscheiden sich von Abbildung 14 durch Anderung der Reihenfolge der Prozesse und der Richtung der Phononenlinien und haben dieselbe GroBenordnung. Daher wird nur der in Abbildung 14 dargestellte ProzeB diskutiert.

Ahh.14

v/' 12

Elektron ~

Phonon

p-Izk

Isotopenstreuung eines Elektrons durch zwei Elektron-Phonon­Wechselwirkungen (VI) und eine Phonon-Phonon-Wechselwirkung (VII)

Das neue Storglied hat die folgende Form:

1. -V ~ ~ Uh,W (~) e'h,Bi ~ ut, -hW (~ - k) ei(h-h,) Bi(Mi - M) (4.30)

i h, h

(bzw. mit ut --+ u~). Die Streuwahrscheinlichkeit hat die tibliche Form

2nj d3k T I ViII 2 (j(ct - c,) (2n)3' (4.31)

Der vorliegende ProzeB enthalt drei elementare Wechselwirkungen, weshalb die dritte Naherung der Storungstheorie benutzt werden muB:

VI VII VI i1 12 21 ViJ = ~ ....,-----....,----'---1,2 (c; - c1) (ci - C2)

(4.32)

Zuerst wird der in I Vif l2 auftretende Faktor untersucht, in dem tiber Bi summiert wird:

~ eih(Bi -Bk)(M; - M) (Mit - M) . (4.33) i,k

Da die Verteilung der Isotope willktirlich ist, kann (4.33) tiber ihre Lagen ge­mittelt werden. Da die wesentlichen k-Werte von der GroBenordnung l/a (a inter­atomarer Abstand) sind, oszillieren die Glieder mit Bi =1= Bit schnell und ver­schwinden bei der Mittelung. Es verbleiben daher nur die Glieder mit Bi = Bit,

70 4. Streuprozesse

die nach Mittelung tiber die Lagen der Isotope und Summation tiber die Gitter­punkte

N(M - M)2 (4.34)

ergeben, wobei N die Zahl der Atome ist. Der Ausdruck (4.30) enthiilt auBer­dem den Faktor

uk,w(k1) ut,_kw(kl - k) .

1m betrachteten ProzeB haben die Phononenimpulse die GroBenordnung Po. Setzt man die bereits frtiher gefundenen Matrixelemente ein und berticksichtigt, daB bei T = 0 keine Phonon en existieren, nk = 0, nk + 1 = 1, so ergibt sich

1lk,W(k1) Ut,-kW (k1 - k) '" liwD/Mn. (4.35)

Das Kristallvolumen V, des sen Potenz nun bestimmt werden solI, geht in die Matrixelemente und die Summe tiber die Zustiinde (f --+ V f d3k/(2n:)3) ein.

Da die Matrixelemente VI zweimal vorkommen und auBerdem noch Vi! im Quadrat eingeht, ergibt sich in der Streuwahrscheinlichkeit folgender Faktor:

1 1 V d3k 1 V d 3k 2 V d 3k d3k 1 d3k 2 d 3k N V2 V2 (2n:)3 (2n:)3 (2n:)3 = n (2n:)9

Die Integration in der Streuwahrscheinlichkeit erstreckt sich tiber drei Impulse. Das hiingt damit zusammen, daB das Phonon kl virtuell ist. Die Summation tiber ~ erfolgt in der Amplitude, die quadratisch eingeht. Danach treten zwei Summationen auf. AuBerdem muB noch tiber aIle moglichen Endimpulse der Elektronen summiert werden.

Mit (4.32), (4.34) und (4.35) ergibt sich dann die Streuwahrscheinlichkeit in der Form:

1 J - (liW D)2 (liW D)2 W '" - n(M - M)2 _ p4_ li Mn 0 mn

X [e(p) - e(p - tikI) - liw(k1)]-1

X [e(p) - e(p - lik1) - liw(kl - k)]-l

X [e(p) - e(p - lik2 ) - liw(k2)]-1

X [e(p) - e(p - lik2) - liw(k2 - k)]-l

d3k d 3k d3k X b(e(p) - e(p - lik)) (2n:)~ (2n:~ (2n:)3·

Einer der im Nenner auftretenden Faktoren ist zum Beispiel

lipk li2k2

e(p) - e(p - lik1) -liw (k1 ) = __ 1 - -2 1 -liw (k1). m m

Die wesentlichen Werte von lik sind von der GroBenordnung Po. Daher variiert dieser Nenner in den Grenzen vonliwD bis p '" p~/m. Kleine Werte des Nenners

4.6. KONDo-Effekt 71

treten nur in einem kleinen Bereich von Winkeln zwischen p und kl auf, wodurch das Integrationsgebiet tiber den Winkel eingeschrankt wird und einen Faktor der GrOBenordnung liwn/fL ergibt. Jede Differenz e(p) - e(p - lik1 ) tritt im Nenner zweimal auf, so daB der erwahnt~ kleine Winkelbereich dennoch den Hauptbeitrag zum Integralliefert. Mit dieser Bemerkung folgt

1 (liW n)2 4 (liW n)2 p: 1 (nw n)2 1 W rv -n(M M)2 -- P -- -- -- ---a - Mn 0 mn liB fL fL (nwn)4

(der Faktor p:/li9 entsteht durch drei d3k/(2na)3, l/fL aus der Energie-a-Funktion und (aWn/fL)2 aus den Winkelintegrationen). Der erhaltene Ausdruck kann wie folgt umgeformt werden:

rv (M - M)2(awn)2 p~ W M2 fL ma·

Da aWn rv sPo und fL rv 'Vpo ,ist liwn/fL rv s/v rv Ym/M. Daraus folgt

(4.36)

Die mittlere freie WegHinge ergibt sich damit zu

vn M2 M M2 M 1 rv v.,; rv - -===:=:===- rv 10-8 -===:=:===- em .

fL (M _ M)2 m (M _ M)2 m (4.37)

Ftir Zinn ist 1 rv 10-8 • 103 • 105 ~ 1 em .

Die Leitfahigkeit hat die GroBenordnung

ne2.,; M q rv -- rv 1016 - -====:==- S-1 •

m m (4.38)

(M - M)2

Dieser Wert der freien Weglange wurde fUr Zinn experimentell bestatigt [8]. Das Ergebnis zeigt also, daB man in einem Metall nicht einen endlichen Rest­widerstand vermeiden kann, sofern es kein reines Isotop ist.

4.6. Kondo-Effett

Die bisher untersuchten Streumechanismen fUhren zu dem Ergebnis, daB der Widerstand bei Erniedrigung der Temperatur falIt bzw. (bei niedrigen Tempera­turen) konstant bleibt. 1m Experiment wurde jedoch wiederholt gefunden, daB der Widerstand von sehr reinem Gold, Silber und Kupfer mit abnehmender Tempe­ratur manchmal durch ein Minimum geht und anschlieBend wieder zunimmt. Diese Erscheinung war sehr lange ungeklart und wurde unlangst durch KONDO (1964) [9] interpretiert und nach ihm benannt. Die Ursache dieser Erscheinung

72 4. Streuprozesse

ist das Vorhandensein von Storstellenatomen im Metall mit nicht aufgefiillten inneren Hiillen, die einen von Null verschiedenen Spin besitzen. Derartige magnetische Storatome konnen Mn, Fe, Cr, Co und andere "Obergangsmetalle sein. Die Wechselwirkungsenergie des Elektrons mit diesen Atomen enthalt auBer dem iiblichen Glied L; v(r - R i ) auch einen vom Elektronenspin 0 und dem

i

Spin 8 der Verunreinigung abhangigen Term, den man folgendermaBen schreiben kann:

(4.39)

Hierbei ist 08 = a"Srt + a"sY + aZSz, und ak sind die PAULI-Matrizen. Da der Spin 8 durch die inneren Atomhiillen hervorgerufen wird, kann man die Wechselwirkung als punktformig ansehen.1 )

Der Ausdruck (4.39) beschreibt physikalisch Streuprozesse, bei denen der Elektronenspin bei gleichzeitiger Orientierungsanderung des Spins des Stor­atoms umklappt. Bei Streuung eines Elektrons an gewohnlichen Atomen bleibt seine Spinorientierung erhalten. Der Koeffizient J hat die Dimension einer Energie (n = NjV wurde zur Normierung eingefUhrt). Jist in der Regel um einige Male kleiner als die Elektronenenergien (d. h. /1-), wahrend die iibliche, nicht vom Spin abhangige Wechselwirkung des Elektrons mit dem Storatom die GroBenordnung /1- hat. Weil jedoch beide Wechselwirkungen nicht in der Streu­wahrscheinlichkeit interferieren, kann man sie einzeln untersuchen.

Die Streuamplitude bei der Wechselwirkung (4.39) ist proportional zu

-J(08)0<'0< ,

wobeiex' die End- undex die Anfangsorientierung des Elektronenspins bezeichnet. Da fUr die Leitfahigkeit nur der Elektronenimpuls und nicht sein Spin maB­geblich ist, muB die Streuwahrscheinlichkeit iiber aIle Endorientierungen des Spins summiert und iiber die Anfangsorientierungen gemittelt werden. Das ergibt

J2 f L; (08)0<"" (08)0<'0< = J2 f L; (08 • (8)0<0< = J2S(S + 1) . ",'eX tX

Der Spinanteil der Wechselwirkung liefert daher in erster Naherung zum Widerstand einen Beitrag von der GroBenordnung J2S2j/1-2 relativ zur normalen Wechselwirkung mit den gleichen StOratomen. Es scheint so, als sei dies ein kleiner Effekt, den man nicht zu beriicksichtigen braucht. 1m Abschnitt 3.2. ist bereits gezeigt worden, daB die iibliche Wechselwirkung nicht gering ist und streng genommen die BORNsche Naherung fUr sie nicht zutrifft. Die genaue Rechnung zeigt jedoch, daB es geniigt, die BORNsche Streuamplitude durch die exakte Amplitude zu ersetzen. Da beide nicht von der Elektronenenergie ab­hangen, die gleiche GroBenordnung haben und im realen Metall nicht genau be-

1) Dies trifft offensichtlich fiir reale tJbergangsmetalle mit entarteten d· oder f-Niveaus nicht zu. Die Beriicksichtigung der Winkelabhiingigkeit der Streuung hat jedoch keinen wesentlichen Einflull auf das Ergebnis.

4.6. KONDo-Effekt 73

rechnet werden konnen, ist es klar, daB eine Verbesserung der BORNschen Naherung flir die normale Wechselwirkung ohne Bedeutung ist.

Anders ist die Situation ftir den Spinanteil der Wechselwirkung. Obgleich er kleiner als der spinfreie Anteil ist und daher die Verwendung der BORNschen Naherung in diesem Fall anscheinend gerechtfertigt ist, besteht dennoch ein wesentlicher Unterschied. Dieser liegt darin, daB sich die Korrektur zur BORN­schen Naherung als von der El~ktronenenergie (genauer von ~ = e - f-l) abhan­gig erweist, was schlieBlich zu einer Temperaturabhangigkeit des Storatom­anteils des Widerstands ftihrt.

Bei der Betrachtung der Streuung eines Elektrons an einem bestimmten Atom im Metall in der zweiten BORNschen Naherung ist die Berticksichtigung der anderen, durch die FERMI-Verteilungsfunktion beschriebenen Elektronen sehr wesentlich. Es sind zwei Prozesse moglich:

1. Ein sich im Anfangszustand piX befindliches Elektron geht zunachst in den Zustand PliXl und schlieBlich in den Endzustand p'ix' tiber. Die Summierung erfolgt tiber die Zwischenzustande, wobei gewahrleistet sein muB, daB diese Zustande nicht besetzt sind. Daher wird in die Summe der Faktor 1 - !(PI) ein­geftigt. Damit ergibt sich ftir diese Variante

(4.40)

2. Ein Elektron aus einem besetzten Zustand, z. B. PliXv geht in den Zustand p'ix' tiber, und dann geht ein im Zustand piX vorhandenes Elektron in den frei gewordenen Zustand PliXl tiber. In diesem Fall muB umgekehrt der Zustand PliXl besetzt sein, weshalb der Faktor !(PI) eingeftihrt wird, so daB sich

_ (~)2 2;J (as)(X1(X (as)"""'l !(PI) d3PI n "'1 e(PI) - e(p') (2nn)3

(4.41)

ergibt. Das Minuszeichen hangt mit der Antisymmetrie der Wellenfunktionen der Elektronen beztiglich der Teilchenpermutation zusammen (s. § 3 in [4]).

Da die Prozesse elastisch sind, ist e(p') = e(p). Daher unterscheiden sich die Nenner in den Formeln (4.40) und (4.41) nur durch das Vorzeichen. In den Zahlern beider Ausdrticke stehen Spinfaktoren, die man als

(as) (as) ,

2; aiakSkSi

i, k

schreiben kann. Eine Vertauschung von Sk und Si ist nicht moglich, da es sich um Operatoren handelt. Deswegen sind die Spinfaktoren flir die beiden Varianten unterschiedlich. Mit den Eigenschaften der PAULI-Matrizen folgt

(as) (as) = S(S + 1) - as, }

2; (iakSkSi = S(S + 1) + as • i,k

(4.42)

74 4. Streuprozesse

Wenn man diese Ausdrticke in (4.40) und (4.41) einsetzt, ergibt sich die Summe

(J)2J{S(S + 1) l)",,, 2/(Pl) - 1 } d3pl

-;;: s(p) - S(Pl) + s(p) - S(Pl) (oS)"',, (2nh)3·

Da I(Pl) von ;(Pl) = S(Pl) - P abhangt, werden statt s(p) und S(Pl) die Ver­anderlichen; und ;1 eingefUhrt. Beim ttbergang zum Energieintegral erhalt man

(4.43)

Die Zustandsdichte v(s) hangt in der Umgebung von s = p schwach von s ab und kann daher durch v(p) ersetzt werden. Das erste Glied im Integral ergibt bei Integration tiber;1 gro13enordnungsma13ig ;/p und kann, da nur Elektronen in der Nahe der FERMI-Grenze interessieren, vernachlassigt werden.

1m zweiten Glied tritt der Faktor

auf, der beztiglich ;1 antisymmetrisch ist. Daher kann das Integral tiber ;1 folgenderma13en umgeformt werden:

(die Integrationsgrenzen haben die Gro13enordnung ±p, jedoch ist ihr genauer Wert unwesentlich, wie man sogleich erkennen wird). Wenn ;1 ~ 1;1, kann ;2 im Nenner des Ausdrucks unter dem Integral vernachlassigt werden. Wenn ;1 ~ T, dann ist 2/(;1) - 1 ~ -1. Damit wird das Integrallogarithmisch. 1m logarithmischen Integral jedoch gentigt es, die Grenzen nur gro13enordnungs­mal3ig zu kennen. Die Prazisierung der Grenzen ergibt zu dem gro13en Wert des Logarithmus eine Korrektur der Gro13enordnung 1. Unter Vernachlassigung dieser Korrekturen kann man fUr das letzte Integral

P 2 In ---:--c----:=_ max {I;I, T}

schreiben. Somit ist die zweite BORNsche Naherung der Streuamplitude infolge Spinwechselwirkung gleich

4.6. KONDo.Effekt

Die erste Naherung ist

J - - (as)":,,, •

n

Folglich kann man insgesamt fUr diese Amplitude

- ~ (as)""", [1 - ~ v(,u) In max ;~I, T} ]

schreiben. Da groBenordnungsmaBig

v(,u) pomn3 1 ----:;;: = n3p~ =-;;

ist, hat die Korrektur die relative GroBenordnung

J ,u -In----=-----,u max {I~I, T}

75

(4.44)

Es wird jetzt der Widerstand betrachtet. Da die Elektronen mit I~I '" T die wesentlichste Rolle spielen, kann im Rahmen der beriicksichtigten Genauigkeit In (,uIT) geschrieben werden. Da jedoch in den Widerstand das Quadrat der Streuamplitude eingeht, kann man

e = ev + e~O) (1 - 2: v(,u) In ;) (4.45)

schreiben. Das erste Glied ist durch die gewohnliche Wechselwirkung und das zweite durch die Spinwechselwirkung bedingt, wobei e~O) das Ergebnis der erst en BORNschen Naherung ist. Aus dieser Formel ist ersichtlich, daB bei J < 0 der Widerstand mit abnehmender Temperatur logarithmisch zunimmt. Das wurde im Experiment gefunden (ALEXEJEWSKI, GAIDUKOW 1956 [10]). Das Verhaltnis des temperaturabhangigen Anteils zum Hauptanteil des Restwiderstandes hat die GroI3enordnung

(J/,u)31n {,uIT} •

AuI3er diesem (bei J < 0) mit abnehmender Temperatur wachsendem Anteil existiert der friiher betrachtete Anteil, der mit abnehmender Temperatur ab­falIt. Das fUhrt zum Auftreten eines Minimums im Gesamtwiderstand. Der wesentlichste abnehmende Teil des Widerstandes ist gewohnlich durch Phono­nen bedingt, so daB man insgesamt

(4.46)

schreiben kann, wobei die Abhangigkeit von der Konzentration der magnetischen Storungen beriicksichtigt worden ist. Durch Differentiation findet man die Lage des Minimums:

(4.47)

das heiBt, die Minimumtemperatur ist proportional zu c}/5. In Richtung zu niedri-

76 4. Streuprozesse

gen Temperaturen bricht die Zunahme des Widerstandes normalerweise dort ab, wo infolge der Wechselwirkung der Spins der Storatome das sogenannte Spinglas entsteht. Dabei wird die Spinorientierung fixiert, so daB keine Streuung mit Spindrehung mehr stattfinden kann. Der Logarithmus in (4.45) wiichst nicht mehr weiter an, nachdem er den Wert In (p,/8) erreicht hat, wobei 8 die Temperatur ist, bei der sich das Spinglas bildet (CURIE-Temperatur). Der Abbruch der Streuprozesse mit Spindrehung fiihrt zur Verkleinerung des Koeffizienten e~O) in Formel (4.45), so daB bei T ~ 8 die Kurve e(T) nicht ein­fach in ein Plateau iibergeht, sondern ein schwaches Maximum aufweist.

Die Temperatur des Einfrierens der Spins ist gemaB experimenteller Daten und theoretischer V orstellungen proportional zur Storstellenkonzentration. Wenn daher die Konzentration ven-ingert wird, kann 8 beliebig klein gemacht werden, sogar kleiner als die Temperatur, bei der das logarithmische Glied in Formel (4.45) groB wird. I.-etzteres trifft bei der Temperatur

TK rv p, exp ( - IJI :(p,») (4.48)

(der KONDo-Temperatur) zu. Fiir den Fall T ~ TK ist die bei der Herleitung der Formel (4.45) gemachte Naherung schon nicht mehr hinreichend, so daB ein genauerer Ausdruck gefunden werden muB. Es sollen hier lediglich einige Resul­tate angefiihrt werden. Die Summation der hauptsiichlichsten Kon-ekturterme, die In (p,/T) und J in gleicher Potenz enthalten, fiihrt zu dem Ergebnis

0(0) _ + ",J

e - ev (1 + (J/n) v(p,) In (p,/T»)2 (4.49)

(ABRIKOSSOW 1965; SURL 1965 [11, 12]). Diese Formel ist vollig hinreichend, wenn J > 0 ist. Wenn jedoch J < 0 ist,

geht e bei einer bestimmten Temperatur gegen unendlich. Eine genauere Analyse zeigt, daB der durch den Spin bedingte Anteil des Widerstandes bei Erreichen eines Wertes von der GroBenordnung ev nicht mehr weiter zunimmt und gegen einen konstanten Wert bei T --+ 0 strebt. Obgleich dieses Ergebnis durch das Experiment bestatigt wird, kann die Theorie, die dieses Ergebnis liefert, noch nicht als endgiiltig angesehen werdenl ).

1) Kurzlich hat WILSON [83] streng gezeigt, daB fur T -> 0 der Spin eines Storatoms voll­standig durch die Elektronen abgeschirmt wird. Er berechnete die Beitrage zu den thermodynamischen Koeffizienten fur T ~ T K, namlich zut spezifischen Warme 150 = ni(nTj3T Ko) und die zur paramagnetischen Suszeptibilitat (jX = 2ni({32jnT Ko)' wo ni die Storatomdichte und (J das BOHRsche Magneton sind und ein isotropes Modell benutzt

war. TKo = ap, Vv(p,) /J/ exp [- (v(p,) /J/}-l] ist die echte KONDo-Temperatur, und a-I. Auf Grund dieser Ideen berechnete NOZIERES [89] den durch Spinwechselwirkung beding­ten elektrischen Widerstand fur T ~ TKo

p(T) = p(O) [1 - (nTjTKo)2] ,

wobei p(O) = (nijne) (nli2jpoe2) gilt.

4.6. KONDo-Effekt 77

Eine weitere Besonderheit des Widerstandes, die mit den magnetischen StOr­stellen in Zusammenhang steht, ist die Moglichkeit der Widerstandsabnahme bei Einschalten eines Magnetfeldes.

In Abwesenheit magnetischer StOrstellen beeinfluBt ein magnetisches Feld den Widerstand durch Drehung der Elektronenbahnen. Dieser Effekt wird im einzelnen in Kapitel 6 untersucht. Er fiihrt stets zu einer Erh6hung des Wider­standes, wobei in schwachen Feldern

Li~h '" e(D-c)2

gilt. Hierin ist D", eHJmc die LARMoR-Frequenz und -c die StoBzeit. Bei Vor­handensein magnetischer Storstellen bewirkt das Magnetfeld auBer der Drehung der Elektronen eine Spin-Polarisation der magnetischen StOrstellen. Dabei wird die Richtung dieser Spins festgelegt, so daB, wie auch beim Einfrieren der Spins, die Moglichkeit der Elektronenstreuung mit Spindrehung verschwindet. Die Gesamtstreuwahrscheinlichkeit verringert sich dabei und somit auch der Wider­stand. Fur SPH ~ T (P BOHRsches Magneton, gSp magnetisches Moment des Storatoms; g I":::J 2) ist

Lie2'" -eAgSPH/T)2 .

Falls SPH ~ T, so ist

Lie2 '" -eJ •

(4.50)

Die Abschatzung von Liel und Lie2 zeigt, daB die gesamte Widerstandsanderung sowohl positiv, als auch negativ sein kann, je nach den konkreten Werten der Probe. Insbesondere kann sich Liel verkleinern, wenn nichtmagnetische StOr­stellen zusatzlich eingefiihrt werden. Dabei verringert sich -c und damit auch Liev wahrend gewohnliche StOrstellen auf Lie2 keinen EinfluB haben.

5. Galvanomagnetische Eigenschafien der Metalle

5.1. Kinetische Gleichung mit Magnetfeld

Die Dynamik der Elektronen hangt bei Anwesenheit elektrischer und magneti­scher Felder in erheblichem MaBe von der Topologie der FERMI-Flache abo Bis­her wurde stets nur die BRll..LoUIN-Zone allein untersucht. Jetzt ist es dagegen giinstiger, das gesamte reziproke Gitter zu betrachten. Die Energie der Elek­tronen ist in diesem Fall eine periodische Funktion des Quasiimpulses. Das gleiche trifft auch fUr eine beliebige Flache e(p) = const und insbesondere fUr die FERMI-Flache selbst zu. AIle FERMI-Flachen konnen in zwei Gruppen eingeteilt werden.

1. Geschlossene Flachen. 1m reziproken Gitterraum existiert eine sich peri­odisch wiederholende geschlossene Fljiche. Innerhalb einer BRll..LouIN-Zone heiBt das, daB die FERMI-Flache nirgends die Zonengrenzen beriihrt.

Abb.15

Abb.16

0 0 0 0 0 0

a) 0 0 0 b) -*=~====I==~

Zweidimensionale (a) gesehlossene und (b) offene FERMI-Flaehe

a) b) e)

Dreidimensionale offene FERMI-Flaehen: (a) gewellter Zylinder, (b) dureh Rahren verbundene Ebenen, (e) Rahrengitter

6.1. Kinetische Gleichung mit Magnetfeld 79

2. Offene Fliichen. Dies sind Flachen, die sich ununterbrochen im gesamten reziproken Gitter fortsetzen. Bezuglich einer BRILLOuIN-Zone heiBt das, daB die Flache offensichtlich die Zonengrenzen schneidet. Beispiele fur den zwei­dimensionalen Fall zeigt Abbildung 15a und b. Einige Typen offener Flachen im Dreidimensionalen zeigt Abbildung 16 a, b und c (vergleiche experimentelle Daten fUr Au (Abb. 9) und Pb (Abb. 10»).

1m folgenden wird ein Elektron behandelt, das sich in einem Magnetfeld be­wegt. Unter Vernachlassigung von Quanteneffekten1) lautet seine Bewegungs­gleichung

dp e -=-[vH] = P. dt c

Die Anderung seiner Energie pro Zeiteinheit ist

os os op - = - - = vP = 0 . ot op ot

Folglich ist

10 = const .

Aus (5.1) folgt ebenfalls, daB

pz = const,

(5.1)

(5.2)

(5.3)

wenn das Magnetfeld in Richtung der z-Achse liegt. Demnach bewegt sich das Elektron so, daB 10 und pz ErhaltungsgroBen sind. 1m Impulsraum ist das eine Bahn, die sich durch Schneiden der Flache s(p) = const mit der Ebene pz = const ergibt. Bekanntlich spielen nur die Elektronen in der Umgebung der FERMI-Flache, das heiBt mit 10 ~ tt eine entscheidende Rolle. Daher sind im Impulsraum die Schnitte der FERMI-Flache mit den Ebenen pz = const mogliche Elektroneneahnen. 1st die FERMI-Flache geschlossen, so sind aHe diese Schnitte geschlossene Konturen, ist sie offen, dann konnen die Schnitte geschlossen oder auch offen sein, das heiBt sich im gesamten reziproken Gitter fortsetzen.

Formel (5.1) lautet in Komponenten

dpx e -=-vH dt c v

dpv

dt

e - -vxH.

c (5.4)

1) In Kapitell0 wird gezeigt, daB das Magnetfeld eine Quantisierung der Elektronenenergie. niveaus hervorruft (LANDAu.Quantisierung). Daher ist die Gleichung (5.1) im Gegensatz zu dem Ausdruck p = eE im elektrischen Feld nicht korrekt. Da jedoch fiir die iiblichen Metalle in den experimentell erreichbaren Magnetfeldern {3H ~!1- ({3 BOHRsches Magneton) ist, fiihrt die Quantisierung der Niveaus auBer in Sonderfiillen, die in den Kapiteln 10 bis 12 untersucht werden, nur zu kleinen Korrekturen, die in erster Niiherung vernach­Iassigt werden kiinnen.

80 5. Galvanomagnetische Eigenschaften der Metalle

Quadrieren und Addition beider Gleichungen ergibt

d 2 +d 2 e2 p", Py __ H2( 2 + 2) dt2 - c2 V'" Vy •

ydp; + dp; = dl ist aber das Langenelement der Elektronenbahn im Impuls­raum. Somit ist

bzw. auch

dl e -=-Hv..L dt c '

dl c dt=--, v..L eH t=~J~.

eH v..L (5.5)

1st die Elektronenbahn geschlossen, erstreckt sich das Integral tiber die gesamte Umrandung, und es folgt fUr die Bewegungsperiode langs der Umrandung

c ~ dl T= eH~v..L'

In der Ebene pz = const wird die Flache durch das Integral

8 = fdpx dpy

(5.6)

dargestellt. Anstatt dieses Integral zu nehmen, kann man in der Ebene pz = const die Kurven e = const eintragen und langs dieser Konturen und senkrecht zu ihnen integrieren. Der aus den zwei Umrandungen mit e und ds gebildete Ring hat im vorliegenden Fall die Breite

ds/los/oP..L1 = ds/v..L .

Die Ringflache ist gleich ds f dl/v..L (das Integral erstreckt sich tiber die Umran­dung), und die ganze Flache in der Ebene pz = const ist durch das Integral

8= JdS¢v~ gegeben. Durch Vergleich mit (5.6) findet man

c 08 T=--.

eH as Unter EinfUhrung der sogenannten "Zyklotronmasse"1)

m* = (1/2n) 08/os

ergibt sich ftir die Periode

T = 2ncm*/eH .

(5.7)

(5.8)

(5.9)

1) Die Zyklotronmasse falIt auf der FERMI-Flache im isotropen Modell mit der "effektiven Masse" zusammen (s. Gl. (2.7)). Urn MiBverstandnisse zu vermeiden, sei daran erinnert, daB der Begriff "effektive Masse".hier nur fiir das isotrope Modell angewendet wird. 1m anisotropen Fall bezeichnet m * stets die Zyklotronmasse.

5.1. Kinetische Gleichung mit Magnetfeld 81

Die Zy klotronmasse kann nur fUr geschlossene Bahnen definiert werden. Wenn die Bahn s = const ein Gebiet geringerer Energie umschlieBt, ist m* positiv. Das ist der Fall, wenn die Ladungstrager "Elektronen" sind. Das trifft insbeson­dere fiir den Fall einer kleinen Anzahl von Elektronen im Band zu, die in der Nahe der Bandkante konzentriert sind. Wenn im Gegensatz dazu die Bahn ein Gebiet h6herer Energie umschlieBt, ist m* negativ. Das ist der Fall, wenn die Ladungstrager "Locher" sind. Ein Spezialfallliegt bei einem fast gefUllten Band vor.

Fur freie Elektronen gilt

8 = npl = n(p2 - p;) = n(2ms - p;) ,

und folglich ist

(1/2n) 08/os = m

die Masse des freien Elektrons. Von der Bewegung der Elektronen im Impulsraum kann man leicht zu der im

Ortsraum ubergehen. Die Gleichung (5.1) kann in der Form

e dp = -[drH]

e (5.10)

geschrieben werden. Hieraus folgt, daB die Projekti.on der Elektronenbahn auf die Ebene senkrecht zu Him wesentlichen die Bahn im Impulsraum mit geander­ten Koordinaten x -+ - (e/eH) PlI' y -+ (e/eH) P'JJ wiederholt. AuBerdem bleibt die Bewegung in z-Richtung mit der Geschwindigkeit v. = os/op. erhalten. Wenn der erwahnte Schnitt der FERMI-Flache mit der Ebene P. = const ge­schlossen ist, dann ist die Trajektorie im Ortsraum eine Spirale mit der Achse in Richtung von H. Falls jedoch die Bahn im Impulsraum offen ist, so ist die Trajektorie in der (x, y)-Ebene ebenfalls offen.

Bei Anliegen eines Magnetfeldes fiihrt man zweckmaBigerweise statt P'JJ und PlI zwei neue Veranderliche ein: die Energie s und die "Bewegungszeit entlang der Trajektorie"

t - -~f~ l-eH v.i'

Man muB sich vor Augen halten, daB dies im vorliegenden Fall nicht die wahre Zeit, sondern eine Funktion von P'JJ und PlI ist, mit denen sie uber die Gleichung (5.4) zusammenhangt. Entsprechend den obigen Aussagen ist

J dp'JJ dplI = f ds dl/v 1 .

Da (e/eH) (dl/v 1) = dtl , stellen sich die Integrale uber den Impulsraum folgen­der~aBen dar:

2 J 2 eHJ (2nli)3 dp'JJ dpli dp. = (2:n:li)3 ~ dp. dtl ds . (5.11)

6 Abrikossow

82 5. Galvanomagneti8che Eigen8chaften der Metalle

Die kinetische Gleichung kann bei vorliegendem konstanten elektrischen und magnetischen Feld in der Form

0/. 0/. 0/ . ~tI + ~P. + ~8 = I(f) utI up. u8

geschrieben werden. Fur 8 erhalt man

. 08 08 dp dp 8=~=--=v-.

ot op dt dt

Bei vorliegendem elektrischen und magnetischen Feld ist

und daher

dp e -= ~[vH] + eE dt c

e = evE,

p. = eE •.

(5.12)

(5.13)

(5.14)

(5.15)

Die Variable tl ergibt sich aus der Gleichung (5.4), die sich von (5.13) durch das Fehlen eines elektrischen Feldes unterscheidet. In Metallen ist bei nicht zu kleinen Magnetfeldem stets (v/c) H groBer als E. Daher ist der Unterschied zwi­schen tl und t gering und dtI/dt ~ 1. Damit folgt

0/ 0/ 0/ ~ + ~eE. + ~evE = I(f). utI up. u8

(5.16)

/ wird in der Form

(5.17)

angesetzt. Da e, pz und t1 unabhangige Variable sind, muB man /0 als unabhangig von p. annehmen. Damit ergibt sich beim Einsetzen von (5.17) in (5.16) in niedrig­ster Ordnung in 1jJ

(5.18)

Diese allgemeine Gleichung ist fUr die verschiedenen konkreten Falle zu losen. Die Randbedingungen bezuglich tl sind folgende: Wenn die Elektronenbahn

geschlossen ist, muB die Funktion 1jJ offensichtlich periodisch von tl abhangen. 1st die Bahn offen, dann ist 1jJ nicht unbedingt periodisch, muB jedoch uberall endlich sein. Diese Bedingungen liefem eine eindeutige Losung der Gleichung (5.18).

5.2. Galvanomagnetische Erscheinungen im schwachen Magnetfeld 83

5.2. Galvanomagnetische Erscheinungen im schwachen Magnetfeld

Zunachst wird ein schwaches Magnetfeld betrachtet. In diesem Fall sind die Streuprozesse wesentlich, und es wird nur die GroBenordnung der Effekte abge­leitet. Um die Losung der kinetischen Gleichung (5.18) an einem einfachen Bei­spiel zu erlautern, wird das isotrope Modell mit I(1p) = -1p/7: betrachtet. Die kinetische Gleichung erhalt die Form

o1p 1p ;- + - = ev (tI) E . utI 7:

(5.19)

Die Losung dieser Gleichung ist

(5.20)

Die Konstante c muE aus den Randbedingungen bestimmt werden. Die Funk­tion 1p ist periodisch, da im isotropen Fall aIle Bahnen geschlossen sind (die Flachen konstanter Energie sind Kugeln). Dabei muB in (5.20) c = - 00 gesetzt werden, denn

t,+T 1p(tl + T) = f ev(t2) E e-(t,+T-t,)/r dt2

-00

t, = f ev(t2 + T) E e-(t,-t,)/r dt2 = 1p(tI) ,

-00

da V(t2 + T) = v(t2) eine periodische Funktion ist. GemaE (5.11), (5.17) und (5.20) ist der elektrische Strom

j~ = (2!~)3 f Iv~d3p = - (::n~: cf de 01; f dpz dt1 v~1p

~ (:::';:, j'dP' fdt,,,.(t,1 / ",(~I ,-(', 'J<' E, dt,. (5.21)

-Po 0 -00

1m letzten In'tegralliegen aIle Impulse auf der FERMI-Flache. Es sei E -.l H. Die Indizes lX, fJ nehmen die Werte x, y an. Die Gleichungen

(5.4) fUr tl haben die Losung

Vx = v ~ cos [JtI , v~ = - v ~ sin [JtI ,

wobeipx,y = m*v""y, [J = eH/m*c. Hieraus findet man

{;:} ~ (::~;:" ]'.1 dp, fdt, { - :~: ~~ I -Po 0

t,

X J (Ex cos [Jt2 - Ey sin [Jt2) e-(t,-t,)/r dt2 ·

-00

6*

84 5. Galvanomagnetische Eigenschaften der Metalle

Weiterhin ist

-00

= (1/l:~:': Q2 [( ~ cos Qtl + Q sin Qlt)

+ i (~ sin Qtl - Q cos Qtl) ] .

Real- und Imaginarteil dieser Formel bestimmen die Integrale tiber dt2 mit cos Qt2 und sin Qt2. Damit erhalt man

Po T

fix} 2H e3 J dp.vl J { cos Qlt} i'll = (2nn)3 c Q2 + (1/l:)2 dtl - sin Qlt

-Po o

x [Ex(~ COSQtl + QSinQtl) - E'II( ~ sinQlt - QcosQlt)l

Integration tiber die volle Periode ergibt

Daher ist

T T J cos2 Qtl dlt = J sin2 Qtl dtl = ~ , o 0

T J cos Qtl sin Qtl dtl = 0 . o

-Po

Das letzte Integral ist leicht zu berechnen. Da v.!.. = P .l/m*, ist

~ ~ ~

f 2 d 1 f 2 d 1 f 2 2 d 4 p~ v.!.. p. = m*2 P.l p. = m*2 (Po - P.) pz ="3 m*2· -Po -Po -Po

Somit folgt

{ ix} 2He3 4 p~ 2ncm* 1 {E.Jl: + E'IIQ} i'll = (2nn)3 c "3 m*2 2He Q2 + (1M2 - QEx. + E'II/l:

oder

fix} ne2 1 {E"Jl: + EyQ} iv = m* Q2 + (1M2 - ExQ + E'II/l: '

(5.22)

wobei n = p~/3n2n3 die Elektronendichte im isotropen Modell ist.

5.2. Galvanomagnetische Erscheinungen im schwachen Magnetfeld 85

Wenn im Experiment der Strom nur in x-Richtung flieBt, dann ist i11 = O. Aus (5.22) erhalt man dann

ne2-r: i",= -*-E",.

m (5.23)

In diesem Modell hat also das Magnetfeld keinen EinfluB auf die Leitfahigkeit, fiihrt aber zum Auftreten eines elektrischen Feldes in y-Richtung senkrecht zum Strom und zum magnetischen Feld. Das ist der sogenannte HALL-Effekt. Die HALL-Konstante ist durch das Verhaltnis

Ey eH -r:E",m * 1 R=-=----

Hi", m*e ne2-r:HE", nee (5.24)

definiert. Fiir das isotrope Modell hangt demnach der HALL-Koeffizient nur von der Zahl der Elektronen im Metall abo

Fiir reale Metalle ist diese Aussage, Bowie die Tatsache der Unabhangigkeit der Leitfahigkeit vom Magnetfeld nicht mehr zutreffend. 1m schwachen Feld hangt die HALL-Konstante von der Streuwahrscheinlichkeit in komplizierter Weise ab, und der Widerstand andert sich mit dem Magnetfeld. Da H ein Vektor ist, hangt offensichtlich die Widerstandsanderung in kleinen Feldern quadratisch von Hab.

Die physikalische Ursache dieser Abhangigkeit liegt in der Kriimmung der Elektronenbahnen im Magnetfeld (dariiber wurde bereits im Abschnitt 4.6. gesprochen). Infolgedessen hat die Korrektur zum Widerstand die GroBen­ordnung

LIe '" e(l/rd ,

wobei 1 die Weglange und rL '" ep/eH der LARMoR-Radius der Prazession des Elektrons im Magnetfeld ist. Da rL '" v/Q (Q = eH/m*e = 2n/T Prazessions­frequenz) und 1 '" v-r:, findet man auch

(5.25)

Die Formel (5.25) beschreibt die quadratische Abhangigkeit LIe von H und gibt die GroBenordnung des Effektes fiir schwache Felder an. 1m folgenden Ab­schnitt wird gezeigt, daB im umgekehrten Grenzfall groBer Felder (Q-r: ~ 1) ebenfalls ein Gesetz fiir die Abhangigkeit e von H und die GroBenordnung von e gefunden werden kann. Wesentlich ungiinstiger liegt der Fall bei mittleren Feldern (Q-r: '" 1). Fiir ein anisotropes Metall ist in diesem Bereich das Auffinden der Abhangigkeit e von H auBerordentlich schwierig. Daher wird manchmal die sogenannte KOHLERsche Regel verwendet, die ein Ahnlichkeitsgesetz fiir Lle(H) darstellt. Obwohl diese Regel genau genommen nur fiir das isotrope Modell be­griindet werden kann, beschreibt sie jedoch, wie jedes Ahnlichkeitsgesetz, die experimentellen Werte besser als detaillierte Formeln fiir das Ausgangsmodell. Ein Beispiel fiir eine analoge Situation ist das Gesetz der korrespondierenden

86 5. Galvanomagnetische Eigenschaften der l~etalle

Zustande und die VAN DER WAALssehe Gleiehung beim Phaseniibergang Gas­Fliissigkeit.

Die KOHLERsehe Regel geht von dem Gedanken einer universellen Weglange aus, die vom Elektronenimpuls unabhangig ist. Der Widerstand ist zu dieser Lange umgekehrt proportional. Bei VergroBerung des Magnetfeldes iibernimmt der LARMoR-Radius zunehmend die Rolle der Weglange. Man kann daher an­nehmen, daB e(H, T)/e(O, T) nur vom Verhaltnis l/rL abhangt. Da aber rL ('-J I/H und l ('-J I/e(O, T), kann man e(H, T)/e(O, T) als nur von dem Verhaltnis H/e(O, T) abhangig betraehten. Zur Normierung wird diese Variable gewohnlieh mit e (0,300 K) multipliziert. Wenn das Metall hinreiehend rein ist, ist e (0,300 K) nur dureh die Phononenstreuung gegeben und hangt nieht von den Storstellen ab, das heiBt man kann e (0,300 K) als eharakteristisehe GroBe des vorliegenden Metalls ansehen. Subtrahiert man Eins von e(H, T)/e(O, T), erhalt man

LIe (e (0,300 K) H) e(O, T) = I e(O, T) •

Das ist die KOHLERsehe Regel. Es soIl noehmals betont werden, daB diese Regel nieht streng fiir ein aniso­

tropes Metall gilt. Wenn die Anisotropie eine wesentliehe Rolle spielt, z. B. bei Vorliegen offener Bahnen oder im Fall des magnetisehen Durehbruehs (s. Ab­sehnitt 10.7.), entstehen erhebliehe Abweiehungen von der KOHLERsehen Regel. AuBerdem wird sie offenbar sieher verletzt, wenn die Abhangigkeit des Wider­standes vom Feld nieht nur dureh die Kriimmung der Elektronenbahnen, son­dern aueh dureh andere Vrsaehen bedingt ist, wie sie bei magnetise hen StDr­atomen auftreten konnen (s. Absehn. 4.6.).

5.3. Galvanomagnetische Erscheinungen im hohen Magnedeld; geschlossene Bahnen

1m folgenden wird der Grenzfall [J-r: ~ 1, das heiBt ein hohes Magnetfeld behan­delt (LIFSCHIZ, ASBEL, KAGANOW 1956 [13]) und ein beliebiges Energiespektrum angenommen. Vnter Einfiihrung des kleinen Parameters y = 1/ [J-r: wird die Gleiehung (5.18) mit der Methode der sukzessiven Approximationen gelost. Wesentlieh dafiir ist die Tatsaehe, daB das Stomntegral I(rp) beziiglieh'IjJ linear ist. Es sei

(5.26)

wobei 'ljJk r'V yk ist. In nullter Naherung erhalt man

(5.27)

in erster Naherung

(5.28)

5.3. Galvanomagnetische ETscheinungen im hohen Magnetfeld 87

und in zweiter Naherung

(5.29)

Die folgenden Naherungen sind analog der letzten Gleichung. Aus (5.27) erhalt man 1po = 00, wobei 00 eine Konstante ist. Somit hangt 1po

nicht von t1 abo Aus (5.28) findet man

AIle iibrigen Gleichungen liefem

t,

1pk = J 1(1pk-1) dt2 + Ok o

(5.30)

(k = 2,3, ... ). (5.31)

Das erste Glied in (5.30) und (5.31) wird mit 1Pk bezeichnet. Die Konstanten Ok konnen durch Mittelung der Gleichungen (5.28), (5.29), ... bestimmt werden. Die Endlichkeit von 1p in allen Fallen ergibt

Daher folgt

-1(1po) = eEv, (k = 1,2, ... ).

Mit den Bezeichnungen 1pk = 1pk + Ok und I (const) = 10 ist

-10(00) = eEv,

-lo(Ok) = 1(1pk) (k = 1,2, ... ) .

Die letzteren Gleichungen bestimmen die Konstanten Ok.

(5.32)

(5.33)

Fiir den Fall geschlossener Bahnen sind V:/l und Vy periodisch und V:/l = Vy = O. Aus (5.32) kann man schlieBen, daB 00 nur von v.E. abhangt. Daher konnen Glieder, die zu Ex und Ey proportional sind, nur in 1pl vorkommen. Wenn man V:/l und Vy aus den Gleichungen (5.4) bestimmt, erhalt man

(5.34)

wobei t, t,

P(t1) E. = J 1(00 ) dt2 + e J v.(t2) dt2 E •. o 0

88 5. Galvanomagnetische Eigenschaften der Metalle

Ftir die Stromkomponente jx zum Beispiel erhalt man in erster Naherung T T

jx = (2:~: c J dpz J dt1 VX (t1) 7jJ1 = - (2:~)3 J dpz J ~: 7jJ(t1) dt1 o 0

JT dpv C JT dpv JT dpv ] - dt1 Pv dt1 Ex H + dt1 dt1 0 1 + ep(t1) dt1 dt1 Ez

o 0 0

(dabei wurden die Gleichung v'" = - (c/eH) (dpv/dt1) und die Formel (5.34) verwendet). Das zweite und dritte Integral verschwinden wegen der Periodizitat von Pv: Pv(T) = py(O). Daher ist die xy-Komponente des Leitfiihigkeitstensors

T

axy = - (2n~~~ H J dpz J PX ~: dt1 o

= - (2::~3 H J dpz ¢ Px dpv

= (2n~~~ H J dpz [81(pz, p) - 8 2(pz, p)] . (5.35)

Dabei sind 81 und 8 2 die entsprechenden Schnittflachen der FERMI-Flache mit der Ebene pz = const ftir die Falle, daB sich innerhalb der Umrandung ein Gebiet kleinerer (81) oder groBerer (82) Energie befindet. Die Vorzeichenande­rung bei den Lochern (82) kommt daher, daB ihre Bahnbewegung in entgegen­gesetzter Richtung zu der der Elektronen verlauft. Allgemein kann das Vor­zeichen leicht durch Vergleich mit dem isotropen Fall (Px = P.l cos Qt, Pv = - P.l sin Qt) gefunden werden. Integration tiber dpz liefert

(5.36)

wobei n1 die Elektronendichte (n = 2V F/(2nh)3, V Fist das von der FERMI­Flache eingeschlossene Volumen im Impulsraum) und n2 die Locherdichte be­zeichnet. Es wird hierbei vorausgesetzt, daB beide Zahlen nicht gleich sind. Die Gleichung (5.36) hat auch in dem Fall einen Sinn, wenn die FERMI-Flache offen ist und bei gegebener Feldrichtung alle ihre Schnitte mit den Ebenen pz = const geschlossen sind. Dabei ist unter V F das durch die FERMI-Flache und die Grenzen der BRILLOuIN-Zone eingeschlossene Volumen zu verstehen.

Eine weitere aus dem Ausdruck flir jx zu ziehende SchluBfolgerung ist das Fehlen von in y linearen Gliedern in der Komponente axx des Leitfiihigkeits­tensors. Daher ist axx hochstens quadratisch von y abhangig. Das Auftreten

5.3. Galvanomagnetische Erscheinungen im hohen Magnetjeld 89

derartiger Glieder kann mit Hilfe der nachsten Naherung gezeigt werden. Das gleiche gilt auch fUr (11/1/' Aus dem Ausdruck fUr j., folgt, daB (1.,. linear in y ist. Ferner kann man zeigen, daB (11/' von erster Ordnung und (1 •• von nuIlter Ord­nung in y ist. AIle in y linearen Koeffizienten haben die Eigenschaft (1ik = - (1ki.

Dies ist eine Folge des aIlgemeinen ONSAGERSchen Symmetrieprinzips fUr die kinetischen Koeffizienten: (1ik(H) = (1ki( - H).

Somit kann der gesamte Leitfahigkeitstensor in folgender Form geschrieben werden:

(5.37)

Hieraus ergibt sich der Widerstandstensor eik = dik\ Behalt man die Glieder kleinster Ordnung von y bei, so erhalt man

wobei

eik = 1 -bl/" Y

1 b •• =-,

a ••

Mit der iiblichen Definition der HALL-Konstanten

ergibt sich

(5.38)

(5.39)

(5.40)

Die HALL-Konstante wird also in hohen Magnetfeldern durch die Zahl der Elektronen und Locher festgelegt. Die Komponenten e.,., und el/I/ hangen nicht von H abo Das bedeutet, daB die transversale Leitfahigkeit in starken Feldern eine Tendenz zur Sattigung hat.!)

1) Die lineare Zunahme des Magnetowiderstandes, die fUr [J-r; > 1 in den Alkalimetallen beobachtet war, ist jetzt hinreichend gut erklart als Folge der Kriimmung der Strom­linien in realen inhomogenen Metallproben [82].

90 5. Galvanomagnetische Eigenschaften der Metalle

Bis jetzt wurde der Fall ~ =l= n2 betrachtet. Wie bereits erwahnt, muB jedoch jedes Metall, das eine gerade Elektronenzahl in einer Zelle enthalt, die gleiche Zahl Elektronen und Locher besitzen. In dem Fall verschwindet das lineare Glied in der Komponente (J.,y, so daB diese quadratisch von y abhangt. Wenn man das in (5.37) berucksichtigt, folgt fUr die Komponenten des reziproken Tensors

1 1 e fJ <Xl - <Xl H2 , e • <Xl - <Xl H, e •• = const, 1X, fJ = x, y. (5.41)

C< y2 C< Y

Das bedeutet, daB in diesem Fall der transversale Widerstand quadratisch mit H wachst.

In den Experimenten zum HALL-Effekt erhalt man gewohnlich die Differenz der HALL-Felder fur unterschiedliches Vorzeichen von H

1 1 R = 2Hj., [Ey(H) - Ey(- H)] = 2H[ey.,(H) - ey.,(- H)]. (5.42)

Offensichtlich verschwindet diese Differenz fUr den Fall ~ = ns, wo ey., <Xl H2 ist. E" selbst ist jedoch nicht konstant, sondern wachst mit dem Feld wie H2.

0.4. Galvanomagnetische Erscheinungen im hohen Feld und Topologie oftener Fermi-Flachen

In diesem Abschnitt werden offene FERMI-Flachen betrachtet (LIFSCHIZ, PESTSCHANSKI 1958 [14]). Die durch die Gleichungen e = const und P. = const bestimmten Elektronenbahnen konnen in diesem Fall offen oder auch geschlos­sen seine 1m folgenden werden einige Beispiele untersucht, die am haufigsten in Metallen realisiert sind.

1. Die Flache konstanter Energie sei topologisch einem Zylinder aquivalent (s. Abb. 16a). Wenn dann das Magnetfeld senkrecht zur Zylinderachse liegt,

Abb.17

a)DJJ --lUL

JOe b). n r e)

Impulsbahnen von Elektronen im Magnetfeld auf (a) einem gewellten Zylinder (Abb. 16a) und (b) bis (d) einem Rohrengitter (Abb. 16e). Das Magnetfeld liegt bei (a) senkreeht zur Zylinderaehse, bei (b) in Richtung der Normalen zu einer Gitterebene und ist bei (e) sehwaeh bzw. bei (d) starker aus der Normalenriehtung gedreht (kleiner bzw. groBer Winkel e in Abb. 18)

5.4. Galvanomagnetische Erscheinungen und Topologie 91

ist die Bahn im Impulsraum offen. Diesen Fall zeigt Abbildung 17a. 1st jedoch das Magnetfeld nicht senkrecht zur Zylinderachse, dann sind die Bahnen ge­schlossen. Daher liegt bei einer zylindrischen Fliiche der Fall vor, da13 offene Bahnen nur dann auftreten, wenn die Richtung des Magnetfeldes in einer Ebene senkrecht zur Zylinderachse liegt.

Abb.18

Abb.19

Drehung des Magnetfeldes H aus einer Normalrichtung n zu einer Rohren­ebene, die zu einem stetigen tl"bergang von offenen Bahnen (Abb. 17 c) zu geschlossenen Bahnen (Abb. 17 d) fiihrt

Stereografische Projektion von Magnetfeldrichtungen im R6hrengitter (Abb. 16c). In der Umgebung von Symmetrieachsen (/ / / / /) mit Ausnahme der Symmetrieachsen selbst (.) sowie auf Symmetrieebenen (---) treten offene Bahnen und in der Umgebung dieser Gebiete (- - -) ausgedehnte geschlossene Bahnen auf

2. In diesem Fall soIl die FERMI-Fliiche anniihernd einem Gitter iihneln, das aus R6hren besteht (s. Abb. 16c 1)). Wenn das Magnetfeld in Richtung der Nor­malen zu einer dieser Ebenen liegt, treten nur geschlossene Bahnen auf (Abb. 17b). Wenn jetzt das Magnetfeld gedreht wird, ergeben sich innerhalb eines bestimmten Winkelintervalls urn diese N ormale Bahnen, die in einer Richtung offen sind. Eine Vergr613erung des Winkels e in Abbildung 18 fiihrt zum Bei­spiel zu einer stetigen .Anderung der Bahnen vom Typ der Abbildung 17 c zum Typ der Abbildung 17 d. Wenn jedoch das Magnetfeld innerhalb einer der Basis-

1) Der Fall16b tritt wesentlich seltener auf.

92 5. Galvanomagnetische Eigenschaften der Metalle

ebenen gedreht wird, dann ist ee stets senkrecht zur Achse einer R6hre, was das Auftreten offener Bahnen bedeutet.

Die angegebenen topologischen Besonderheiten k6nnen mit Hilfe der stereo­grafischen Projektion dargestellt werden (Abb. 19). Der Kreismittelpunkt ent­spricht der Normalen in Abbildung 18 und die Kreislinie dem Winkel e = 90°. Innerhalb der schraffierten Fliichen treten offene Bahnen auf. Die ausgezogenen Linien vom Mittelpunkt zum Rand und der Kreis e = 900 selbst entsprechen offenen Bahnen, die bei Drehung des Feldes in einer Hauptebene entstehen. Die Punkte im Mittelpunkt und auf dem Kreis entsprechen Richtungen, in denen wiederum nur geschlossene Bahnen auftreten. Die gestrichelten Linien schlieBen Bereiche ein, in denen die Bahnen zwar geschlossen sind, sich jedoch tiber mehrere Perioden des reziproken Gitters erstrecken.

Die einfachste Variante ist der gewellte Zylinder fUr den Fall, daB das Magnetfeld senkrecht zur Zylinderachse liegt (Abb. 20). Die Lage der Achsen ist in der Abbildung angegeben (Zylinderachse in Richtung p",). Aus Abbildung 20 ist ersichtlich, daB sich das Elektron in Richtung Px bis ins Unendliche bewegen kann, jedoch ist die Bewegung in Richtung py begrenzt. Durch Mittelung der Gleichung (5.4) findet man Vx = 0 und VII =1= O. Letzteres folgt aus

Vy = ~ lim Px(TI ) - Px(O) eH T , -'>oo TI

und der Tatsache, daB sich das Elektron in Richtung Px bis ins Unendliche be­wegen kann. 1m Gegensatz zu dem Fall geschlossener Bahnen, wo Vx = Vy = 0 gilt, ist hier nur V", = O. Man kann daher aus (5.32) folgern, daB "Po = Co nicht nur von E z, sondern auch von E'II abhiingt. Deshalb enthiilt die Komponente (J'IIY ebenso wie die (Jzz-Komponente keinen kleinen Faktor mehr. SchlieBlich sind auch die Nichtdiagonalelemente (Jyz = (Jzy in diesem Fall nicht klein. Die restlichen Komponenten (Jik haben die gleiche Gr6Benordnung wie auch im Fall geschlossener Bahnen.

Der Leitfiihigkeitstensor hat dann die Form

(5.43)

Daraus folgt der Widerstandstensor

f 12 bxx 1 ~bxz 1 -bxy

y y y 1

(!iI< = -byx byy byz Y

(5.44)

1 l ybzx bzy bzz

Abb.20

5.4. Galvanomagnetische Erscheinungen und Topologie 93

/ I}

Offene Bahnen (--) und ausgedehnte geschlossene Bahnen (- - -) auf einem gewellten Zylinder

Bemerkenswert ist, daB exx (Xl H2 ist. Ein Vergleich von exy in (5.44) mit (5.38) fUr den Fall geschlossener Bahnen zeigt, daB in beiden Fallen diese Kompo­nente linear von H abhangt; jedoch kann man zeigen, daB die entsprechenden Konstanten bxy nicht identisch sind.

Von Interesse ist jetzt die Frage nach der Anderung der Abhangigkeit der galvanomagnetischen Koeffizienten vom Magnetfeld beim Ubergang von ge­schlossenen zu offenen Bahnen, wobei das Magnetfeld allmahlich seine Rich­tung andert. Das Magnetfeld sei urn einen kleinen Winkel gegen die Senkrechte zur Zylinderachse geneigt (Abb.20, gestrichelte Achsen). Die Bahnlange des Elektrons wachst offensichtlich bei Verkleinerung des Winkels 8 proportional zu 1j8. Folglich wachst die Umlaufperiode auf dieser Bahn gemaB Formel (5.6) proportional zu 1j8 (v ~ ist stets von der GroBenordnung v), und die Umlaufs­frequenz ist

Q rv Q 08,

wobei Q o rv eHjmc die gewohnliche Zyklotronfrequenz ist. Bei hinreichend kleinem Winkel e ist die Frequenz Q so klein, daB die Bedingung QT> 1 ver­letzt wird. Offensichtlich findet dabei gerade der Dbergang von (}ik des Typs (5.37) zum Typ (5.43) statt. Der entsprechende Winkelbereich ist 8 rv IjQoT rvy~l.

Abb.21

Qxx R

it) __ -=--L......:::"""" __

o B b)

o (}

(a) Transversaler Magnetowiderstand Ilxx und (b) HALL-Koeffizient R fiir einen gewellten Zylinder in Abhangigkeit vom Neigungswinkel e des Magnet­feldes zur Normalebene des Zylinders (Abb. 20). Die Strukturen bei e = 0 entstehen durch offene Bahnen

94 5. GaZvanomagneti8che Eigen8chaften der MetaZZe

Bei diesen Winkeln verandert sich der Tensor (Jik = di;.l kontinuierlich von der Form (5.38) zur Form (5.44). Insbesondere ist die Komponente (J",,,, in einem kleinen Winkelbereich e '" y '" 1jDo"t proportional zu H2, bei allen iibrigen Winkeln jedoch eine Konstante. Demnach mull die Abhangigkeit des Wider­standes vom Winkel so verlaufen, wie es Abbildung 21a darstellt. Das bisher Gesagte trifft selbstverstandlich nur fUr einen Metalleinkristall zu.

Aus dem Ausdruck (5.44) kann man aullerdem noch Schlullfolgerungen beziig­lich des HALL-Koeffizienten ziehen. Die Komponente (J",y ist sowohl fiir grolle als auch fiir kleine Winkel linear in H, aber die Proportionalitatsfaktoren sind in beiden Fallen unterschiedlich. Der ttbergang vom einen zum anderen Fall erfolgt in einem schmalen Winkelbereich e '" y. Eine eingehende Analyse zeigt, dall der HALL-Koeffizient im Gebiet kleiner Winkel kleiner sein mull (Abb. 21 b). Bei Vergrollerung des Feldes verringert sich die Breite des Mini­mums, seine Tiefe bleibt jedoch ebenso wie der Wert fiir grollere Winkel unver­andert. Fiir FERMI-Flachen des in Abbildung 16a dargestellten Typs hangt ferner der HALL-Koeffizient in starken Feldern nicht von den Winkeln ab (mit Ausnahme sehr kleiner Winkel e) und ist gleich 1j(nl - n2 ) ec, wobei ~ und ~ durch die Volumina im Impulsraum bestimmt sind, die von der FERMI-Flache und den BRILLOUIN-ZOnengrenzen eingeschlossen werden (Abb. 22). Davon war bereits im Abschnitt 5.3. die Rede.

Abb.22 Winkelabhangigkeit des HALL-Koeffizienten R fiir einen gewellten Zylinder wie in Abb. 21 b, jedoch bei vollstandiger Drehung des Magnetfeldes in einer Ebene, die die Zylinderachse enthiUt

Wenn die Topologl.e der FERMI-Flache der Abbildung 16c entspricht, dann kann die Winkelabhangigkeit von (J",,,, in starkenFeldern verschiedene Besonder­heiten aufweisen. Wenn man in der stereografischen Projektion in Abbildung 19 von einem der vier Sektoren zu einem anderen iibergeht und dabei den Durch­messer schneidet, so liegt eine Singularitat von der in Abbildung 21a gezeigten Art vor, weil die durch gestrichelte Linien umrandeten Durchmesser diejenigen Richtungen sind, die senkrecht zu zylindrischen Teilen der FERMI-Flache liegen.

Eine weitere Singularitat kann beim Grenziibergang zwischen dem schraf­fierten und dem unschraffierten Gebiet auftreten. Die schraffierten Bereiche

5.4. Galvanomagnetische Erscheinungen und Topologie 95

entsprechen Feldrichtungen, bei denen die Bahne? in einer Richtung offen sind. Der Widerstand muB daher in diesem Gebiet mit H2 wachsen, wahrend er im unschraffierten Bereich konstant bleibt. Diese Art von Singularitat ist in Ab­bildung 23 a dargestellt.

Abb.23

~xx ~xx

a) f}

b) !J

Winkelabhangigkeit des Magnetowiderstands ezz fur ein R6hrengitter (Abb. 16c) (a) bei tJbergang von geschlossenen zu offenen Bahnen (Eintritt der Magnetfeldrichtung in einen schraffierten Bereich in Abb. 19), (b) beim Passieren einer isolierten Symmetrierichtung (Punkte in Abb. 19) mit ge­schlossenen Bahnen. In den schraffierten Bereichen treten of£ene Bahnen in einer Richtung auf

Ferner giht es ausgezeichnete Feldrichtungen, die durch Punkte in der stereo­grafischen Projektion der Abbildung 19 bezeichnet sind. Fur diese Richtungen gibt es nur geschlossene Bahnen, so daB ezz konstant bleibt. Diese Punkte sind jedoch von schraffierten Bereichen umgeben, wo ezz <Xl H2, das heiBt groB ist. Dieser Typ von Singularitat,.ist in Abbildung 23b dargestellt.

Auf diese Weise ist also zu erkennen, daB die Untersuchung des Widerstandes einkristalliner Metallproben in starken Magnetfeldern in Abhangigkeit von der Richtung und GroBe des Feldes eine Moglichkeit zur Bestimmung der Topologie

Abb.24

o

180

Experimentelles Polardiagramm des transversalen Magnetowiderstands von Gold (nach [17])

96 5. Galvanomagnetische Eigenschaften der Metalle

der FERMI-Flache darstellt. Diese Methode liefert jedoch keine Aussagen iiber die geschlossenen Teile der FERMI-Flache. Sie ist in der Praxis verhaltnismaI3ig einfach anwendbar und wurde zur Untersuchung der FERMI-Flache vieler Me­talle benutzt. Bemerkenswert ist, daB in den meisten Fallen die FERMI-Flachen offene Teile haben.

In Abbildung 24 ist als Beispiel fUr ein Polardiagramm von (2(1;(1; das Ergebnis fiir Gold dargestellt [17].

Eine Einschrankung dieser Methode ist die Bedingung D-c ~ 1. Diese Be­dingung kann in die folgende Form umgeschrieben werden: vT ~ Vl' oder rL ~ l, wobei rL der LARMoR-Radius und l die mittlere freie Weglange ist. Eine Moglichkeit zur Erfiillung dieser Bedingung ist die VergroBerung des Feldes (dabei verringert sich rL), eine andere die Reinigung des Metalls und die Er­niedrigung der Temperatur (dabei wachst l). Der LARMoR-Radius fiir Felder der GroBenordnung 104 0e ist etwa rL"'" cpo/eH ,..., 10-3 cm. 1m Gebiet des Rest­widerstandes ist

1 1 10-6 l,...,--,..., ,...,--.

Ni(J 1022 C, 10-16 Ci

Demnach kann die Bedingung r L ~ l nur erfiillt werden, wenn die atomare Storstellenkonzentration kleiner als 10-3 ist, was sehr gut realisierbar ist.

0.0. Magnetowiderstand eines PolykristaUs

Bisher ist nur der Fall des Monokristalls betrachtet worden. Wenn die Pro be ein Polykristall ist, so ist eine Mittelung iiber die Orientierungen der Kristallite erforderlich. Eine groBe Anisotropie des Leitfahigkeitstensors fiihrt in diesem Fall zu einer hochst ungewohnlichen Abhangigkeit (2(H) (DREISIN, DYCHNE 1972 [81]). 1m folgenden wird die Theorie nur fUr den Fall des schwach gewellten Zylinders dargelegt. Der Leser, der sich fUr andere mogliche Falle (stark gewell­ter Zylinder, raumliches Gitter) interessiert, sei auf die Originalarbeit [81] ver­wiesen.

Den Ausgangspunkt bildet die Bemerkung, daB die Leitfahigkeit nichts anderes als die Diffusion der Elektronen im Metall unter Einwirkung der auBeren Kraft F = eE ist. Schreibt man den elektrischen Strom als Diff~sionsstrom

j = - eDVn

und setzt fUr die Teilchendichte den Ausdruck n = 2 J f(e - erp) (:;~)3 ein,

wobei rp das Potential des elektrischen Feldes (E = - Vrp) ist, so erhalt man eine Beziehung zwischen der Leitfahigkeit und dem Diffusionskoeffizienten

(5.45)

5.5. Magnetowiderstand eines Polykristalls 97

Diese Formel ist das Analogon zur bekannten EINSTEINschen Beziehung fUr ein entartetes FERMI-System. Somit kann man anstelle von (J den Diffusionskoeffi­zienten D bestimmen.

Der Erhaltungssatz der elektrischen Ladung (oder der Teilchenzahl) wird durch die Kontinuitiitsgleichung beschrieben:

a(en) -at + divj = O.

Setzt man den Ausdruck fUr den Diffusionsstrom ein, erhiiIt man die bekannte Diffusionsgieichung

an -= DLln. at

Foiglich ist der mittiere Abstand, den das Teilchen in der Zeit t durchfliegt, durch die Formel

(5.46)

gegeben. Naturlich gilt sie nur fUr t ~ 't, wobei't die Sto13zeit ist. Daraus wird nun die Gro13e D bestimmt.

Ein Elektron bewege sich im Verlaufe einer bestimmten Zeit t. Das Quadrat seiner Verschiebung senkrecht zur Richtung des Magnetfeldes ist in jedem Kristallit D(e) dt, wobei e die Orientierung des Kristallits relativ zum Magnet­feid charakterisiert und dt die Zeit ist, in der sich das Elektron im betreffenden Kristallit befindet. Diese Zeit ist das Produkt von t und der Wahrscheinlich­keit, da13 die Orientierung des Kristallits im Intervall zwischen e und e + de liegt. Wiihlt man die Polarachse parallel zu p" (Abb. 20) und berucksichtigt, da13 es sich um kleine e handelt, so erhiilt man im FaIle einer genugend homogenen

Verteilung fur die Wahrscheinlichkeit wee) '" sin (; - e) de '" de. Somit

ist dt", t de. Fur die transversale Leitfahigkeit in "normalen" Kristalliten e ~ y erhalt man die Formel (J '" (Jo/(D7:)2 (s. Abschn. 5.4.) oder, unter Beruck­sichtigung von D = Doe, (J '" (Joy2/e2• Entsprechend ergibt sich fUr D(e)

Dy2 D(e) = ~2 • (5.47)

Nach Abschnitt 5.4. gilt das fUr e ~ y. Folglich ist die totale Verschiebung gleich

(5.48)

y

Jedoch ist diese Ableitung nicht korrekt. Sie berucksichtigt nicht die Tatsache, da13 in Kristalliten mit sehr kleinen e der Diffusionskoeffizient gro13 ist, das hei13t die Diffusion in transversaler Richtung schnell erfolgt. Dabei kann sich

7 Abrikossow

98 5. Galvanomagnetische Eigenschaften der Metalle

zeigen, daB die Verschiebung des Elektrons in einem solchen Kristallit nicht durch die Aufenthaltszeit in demselben, sondern durch die Grenzen des Kristal­lits begrenzt wird. Bezeichnet man den entsprechenden kritischen Winkel mit

8 0 und nimmt an, daB 8 0 ~ y ist (was unten bewiesen wird), so gilt r2(t) = (r2)1

+ (r2)2' wobei (r2h von den Kristalliten mit 8 > 8 0 und (r2)s von den Kristal. liten mit 8 < 8 0 herriihrt. Fiir den ersten Beitrag kann man das Integral in (5.48) mit der unteren Grenze 8 0 statt y nehmen und erhiilt

(rllh DoYs Dl '" -- '" -a-- . t 00

Der Beitrag der Kristallite mit 8 < 8 0 muB anders betrachtet werden. Die Bewegung des Elektrons wird folgendermaBen modelliert: Zuerst durchfliegt das Elektron schnell einen besonderen Kristallit in einer Richtung senkrecht zum Magnetfeld. Dann diffundiert das Elektron im "Medium" in Feldrichtung (denn die transversale Diffusion in den gewohnlichen Kristalliten ist klein), bis es den niichsten besonderen Kristalliten trifft usw. Bezeichnet man die Dimen­sion des Kristallits mit a, so ist die entsprechende "Wegliinge"

L '" 1/(naS ) ,

wo bei n die Anzahl der besonderen Kristallite in der Volumeneinheit ist und as die Rolle eines "effektiven Querschnitts" spielt. Da jedoch na3 nichts anderes als die Konzentration der besonderen Kristallite, das heiBt na3 '" 8 0 ist, gilt folglich

a L"'8·

o

Doch der Diffusionskoeffizient parallel zum Magnetfeld ist Do, so daB die Flug­zeit fiir die Distanz L

L2 a2

-r: '" -"'--Do 8~0

wird. Wiihrend dieser Zeit entspricht die Verschiebung in transversaler Rich­tung der Dimension des Kristallits, das heiBt a. Foiglich erhiilt man fiir die be­sonderen Kristallite

a2

Ds '" -:r '" 8~Do • Schlie.Blich ist der totale Diffusionskoeffizient gleich

( 2 yS)

D = Dl + Ds = Do 8 0 + 80

• (5.49)

Nun mu.B noch 8 0 bestimmt werden. Da dies der Winkel ist, bei dem die Ver­schiebung in einem Kristalliten wahrend der Aufenthaltszeit von der GroBen­ordnung a wiid, mu.B der tJbergang vom Bereich mit 8 > 8 0 zum Bereich mit

5.5. Magnetowiderstand eines Polykristalls 99

e < eo stetig erfolgen. Mit anderen Worten bestimmt sich eo aus der Bedin­gung, daB beide Glieder in (5.49) von der gleichen GroBenordnung sind, das heiBt

(5.50)

Diese Abschatzung kann man auch anders erhalten. Wahrend der Zeit -c wandert das Elektron entlang der gesamten Weglange Lund verbringt im Mittel die gleiche Zeit auf einem beliebigen Abschnitt. Folglich befindet es sich wahrend einer Zeit der GroBenordnung -c(ajL) im ersten besonderen Kristalliten und wird groBenordnungsmaBig um

V D1(e) -c ~ '" ~~2 verschoben (hier sind die Werte von -c, L sowie ein D1(e) eingesetzt, das dem nichtintegrierten Wert (5.47) fiir den betreffenden Winkel entspricht). Der Winkel eo bestimmt sich aus der Bedingung, daB die Verschiebung von der GroBenordnung a wird, woraus sich die Formel (5.50) ergibt. Setzt man diesen Wert in (5.49) ein, erhalt man D '" Doy4/3 oder

(5.51)

Jedoch muB wie friiher beriicksichtigt werden, daB im Experiment nicht (/..1.'

sondern e..1. bestimmt wird. Fiir die Komponente des inversen Tensors erhalt man

Falls ~ =1= n 2, so ist (/xy = - (/yx = (~ - n 2 ) ecjH '" (/oY. Folglich gilt (/xy}> (/..1.' und man erhalt aus der obigen Formel

(/ ..1. -2/3 e..1. '" -2- '" eoy ,

(/xy (5.52)

wobei eo = (/;-1. Falls ~ = n 2, so ist (/xy = (/yx '" (/oy2 ~ (/..1. und daher

1 e..1. '" (/..1. '" eoy-4/3 (5.53)

Folglich sollte der Widerstand polykristalliner Metallproben mit einer FERMI­Flache vom Typ des gewellten Zylinders in hohen Feldern proportional zu H2/3

fiir n 1 =1= n 2 und proportional zu H 4/3 fUr n1 = n2 anwachsen. Es ist interessant zu bemerken, daB die Vernachlassigung der Anderung des Diffusionsmechanis­mus fiir e < eo zur Formel (5.48) fiihren wiirde, das heiBt zum Endergebnis e..1. N H (sowohl im Fall ~ = n2 als auch fiir ~ =1= n2). Dieses Gesetz laBt sich nur bei sehr hohen Feldern mit Q-c}> 1 vom korrekten unterscheiden. Experi­mentell beobachtet man in schwacheren Feldern ein lineares oder annahernd lineares Anwachsen des Widerstandes mit dem Feld. Dieses Resultat wurde

7"

100 5. Galvanomagnetische Eigenschaften der Metalle

zuerst an einer polykristallinen Probe erhalten (KAPIZA 1929 [15]) und danach durch Mittelung des Winkeldiagramms des Widerstands eines Monokristalls [16]. Das letzte Verfahren entspricht nicht dem, was im Polykristall passiert, denn es beriicksichtigt nicht die oben beschriebene Besonderheit der Elektronen­bewegung im Fall starker Anisotropie des Diffusionskoeffizienten. Fiir den be­trachteten Fall des gewellten Zylinders ergibt dieses Verfahren eine lineare Ab­hangigkeit e(H):

J .a .a eo eo exx(o) do rv 2 y rv -. y y

6. Thermoelektrische und thermomagnetische Erscheinungen

6.1. Thermoelektrische Erscheinungen

1m Kapitel 3 wurde die Leitfiihigkeit untersucht, das heiBt der im Metall unter der Wirkung eines elektrischen Feldes entstehende elektrische Strom, desglei­chen auch die WarmeleiWihigkeit, das heiBt der Energiestrom unter der Wir­kung eines Temperaturgradienten.

1m folgenden sollen die Erscheinungen betrachtet werden, die bei gleich­zeitigem Vorhandensein eines elektrischen Feldes und eines Temperaturgra­dienten auftreten. Der Einfachheit halber wird zunachst der isotrope Fall behandelt. Wenn im Metall ein kleiner Temperaturgradient erzeugt und gleich­zeitig ein elektrisches Feld angelegt wird, entstehen ein elektrischer Strom und ein Warmestrom:

j = aE + {JV T ,

q = yE +CVT.

(6.1)

(6.2)

Zwischen den Koeffizienten {J und y existiert ein Zusammenhang, der aus dem sogenannten ONSAGERSchen Symmetrieprinzip der kinetischen Koeffizienten folgt. Dieses Prinzip (Herleitung desselben s. z. B. [2]) besteht in folgendem. An einem System mogen bestimmte verallgemeinerte Krafte Xv ... ,Xn an­greifen. Unter der Wirkung dieser Krafte entstehen in dem System verall­gemeinerte Strome J v ... ,In, die mit den Kraften durch die Beziehungen

J i = - 2: YikXk k

(6.3)

verkniipft sind. Weiterhin seien Krafte und Strome dadurch definiert, daB die zeitliche Anderung der Entropie des Systems in der Form

(6.4)

geschrieben werden kann. In diesem Fall miissen nach dem ONSAGERSchen Prin­zip die Koeffizienten Yik symmetrisch sein, das heiBt

fu=~· ~

1m betrachteten Fall hat die zeitliche Anderung der Entropie zwei Ursachen. Erstens flieBt infolge des Warmestroms pro Volumeneinheit und pro Zeiteinheit eine Warmemenge ab, die gleich div q ist. Zweitens dissipiert infolge der vom

102 6. Thermoelektrische und thermomagnetische Erscheinungen

elektrischen Feld verrichteten Arbeit pro Volumen- und Zeiteinheit die Energie jE. Hieraus folgt . f 1 fjE S = - T div q d V + T d V •

Eine partielle Integration des ersten Integrals ergibt

. f 1 fjE S = qV T d V + T d V . (6.6)

Wenn man als verallgemeinerte Strome j und q nimmt, dann spielen nach (6.4) die GroBen - E/T und - V(l/T) = T-2VT die Rolle der verallgemeiner­ten Krafte. Durch Umformen der Gleichungen (6.1) und (6.2) in

i = - aT( - ;) + PT2(~~), q = - YT( - ;) + CT2(:)

erhalt man aus (6.5)

Y = - PT . (6.7)

Experimentell ist der elektrische Strom stets einfacher zuganglich als das elek­trische Feld im Metallinnern. Daher wird das System (6.1) und (6.2) nach E aufgelost, und man erhalt

E = ej + QVT,

q =IIj - "VT,

(6.8)

(6.9)

wobei e = l/a, Q = - p/a,II = y/a, " = yp/a - C. Infolge der Beziehung (6.7) ergibt sich

( TP2 ) II = QT , " = - G + C • (6.10)

Fur Metalle ist das erste Glied in der Klammer stets wesentlich kleiner als das zweite (s. weiter unten Formel (6.19)), weshalb auch im Abschnitt 3.4. statt " der Koeffizient - C berechnet worden ist.

Aus Gleichung (6.8) folgt, daB bei ungleichmaBiger Erwarmung eines Leiters bei fehlendem Strom ein elektrisches Feld

E=QVT

entsteht. Wenn E = - Vep, dann folgt hieraus

dep - dT=Q· (6.11)

Dies ist die auf die Einheit der Temperaturanderung bezogene Thermokraft, die auch differentielle Thermo-EMK genannt wird.

1m folgenden wird das Thermoelement untersucht. Schematisch stellt es einen aus zwei verschiedenen Metallen verloteten Ring dar. Hier erhebt sich naturlich die Frage nach den Randbedingungen an der Lotstelle der beiden Metalle. Da die FERMI-Grenzen beider Metalle unterschiedlich sind, beginnen bei Herstellung

6.1. Thermoelektrische Erscheinungen 103

eines elektrischen Kontaktes die Elektronen aus einem Metall in das andere zu wandern. Daher entsteht im Grenzgebiet eine elektrische Doppelschicht. Die Dicke dieser Schicht liegt in der Gr6Benordnung der interatomaren Abstande, das heiBt, sie ist praktisch verschwindend klein. An dieser Schicht erleidet das elektrische Potential einen Sprung, der die totalen chemischen Potentiale (d. h. tto + ecp) beider Metalle an der Kontaktstelle ausgleicht. Dieser Sprung heiSt Kontaktpotentialdifferenz.

Die Randbedingung ist daher die Gleichheit der chemischen Potentiale an der Grenzschicht. 1m Innern eines jeden Metalls muB die Bedingung der elek­trischen N eutralitat erfiillt sein. Wie bereits im Abschnitt 3.4. festgestellt wurde, kann statt dessen mit hinreichender Genauigkeit die Bedingung tt = const ver­wendet werden. Da an der Kontaktstelle zweier Metalle das chemische Potential stetig ist, kann diese Bedingung auch fiir eine Kette aus verschiedenen zusam­menge16teten Metallen angewendet werden, so daB sie sich als besonders zweck­maBig erweist.

Abb.25

'2

a

TO ~herm

'0 a

'i SEEBEcK-Effekt: In einem Thermoelement entsteht eine elektromotorische Kraft Vthernb wenn die beiden Lotstellen zwischen den Metallen a und b verschiedene Temperaturen TI und T2 haben

Um die elektromotorische Kraft eines aus den Metallen a und b aufgebauten Thermoelements ohne Strom£luB zu berechnen, sei der Ring an einer Stelle, z. B. im Metall a, unterbrochen (Abb. 25). Die Temperatur an den beiden dabei entstehenden Endstellen wird als gleich (To) vorausgesetzt. Die Temperatur der L6tstellen sei Tl und T 2• Aus Gleichung (6.8) folgt beij = 0:

rf. dT Vtherm = 'j.J Q ill dl

Die Thermo-EMK entsteht also durch die Differenz der differentiellen Thermo­EMK der beiden Metalle.

104 6. Thermoelektrische und thermomagneti8che Er8cheinungen

Weiterhin wird der sogenannte PELTIER-Effekt betrachtet. Ein elektrischer Strom flieJ3e tiber die L6tstelle zweier Metalle (Abb.26). Die Temperatur sei langs des ganzen zusammengesetzten Leiters konstant. Nach (6.9) verursacht der elektrische Strom einen Warmestrom. Da jedoch in beiden Metallen die Kon-

Abb.26

a b

j

PELTIER-Effekt: Beiderseits einer stromdurchflossenen Lotstelle zwischen den Metallen a und b sind die Wiirmestrome qa und q" verschieden

stanten II verschieden sind, sind die Warmestr6me in beiden Metallen unter­schiedlich. Der Wert der an der L6tstelle abgegebenen oder aufgenommenen VberschuJ3warme ist

(6.13)

Die Gr6J3eIlheiJ3t PELTIER-Koeffizient. Das Vorzeichen des Effektes, das heiJ3t, ob an der L6tstelle Warme aufgenommen oder angegeben wird, hangt von der Stromrichtung abo GemaJ3 (6.10) ist die Kenntnis der differentiellen Thermo­EMK hinreichend zur Berechnung dieses Effektes.

Schlie13lich ist noch der THOMSoN-Effekt zu untersuchen, der darin besteht, daJ3 bei ungleichma13iger Erwarmung des Leiters eine andere Warmemenge ent­steht als bei konstanter Temperatur. Wie bereits gesagt wurde, ist die pro Vo­lumeneinheit des Leiters in der Zeiteinheit entstehende Warmemenge gleich

W=jE - divq.

Wenn man die Formeln (6.8) und (6.9) hierin einsetzt und beriicksichtigt, daJ3 die gesamte Inhomogenitat nur durch den Temperaturgradienten entsteht, erhalt man

dIl W = ej2 + jQVT - j dT VT • (6.14)

Das erste Glied in dieser Formel ist die gew6hnliche JOULEsche Warme, wahrend die weiteren Glieder eine infolge des Temperaturgradienten auftretende zusatz­liche Warmemenge darstellen. Diese Glieder k6nnen als

W= -pdVT (6.15)

geschrieben werden, wobei /-tT als THOMsoN-Koeffizient bezeichnet wird. Aus (6.14) und (6.10) folgt

dIl dQ /-tT = - Q + dT = T dT. (6.16)

6.1. Thermoilektrische Erscheinungen 105

Die THOMsoN-Warme ist im Unterschied zur JOuLEschen Warme proportional zuj, das heiBt, sie andert ihr Vorzeichen bei Anderung der Stromrichtung. Man kann sie daher leicht von der JOULEschen Warme unterscheiden, wenn man zwei Versuche mit entgegengesetzter Stromrichtung durchfiihrt.

Somit hat sich gezeigt, daB aIle thermoelektrischen Erscheinungen im iso­tropen Fall durch einen Koeffizienten, namlich die differentielle Thermo-EMK Q, beschrieben werden k6nnen.

1m folgenden solI dieser Koeffizient fUr ein isotropes Metall unter der An­nahme elastischer St6Be gefunden werden. Die kinetische Gleichung lautet beim Vorliegen eines Temperaturgradienten und eines elektrischen Feldes (vgl. Abschn. 3.3. und 3.4.):

O/O(eEV _ IVVT) = _ /1 . (6.17) og T -,:

Hieraus folgt fUr den elektrischen Strom

. J d3p J % dD J = 2e v/ (2n1;;)3 = - e2 v(vE) -,:v(e) og dg 4n

J g % dD + e v(vVT) T -,:v(e) og dg 4:rr • (6.18)

Der Vergleich mit (6.1) ergibt

n 2 d {J = - - eT - (V2-,:V)

9 dl-' I' (6.19)

und den bekannten Ausdruck (3.17) fUr G. Mit der Beziehung Q = - {J/G folgt

n 2T d Q = -- - [In (v2-,:v) ] • (6.20)

3e dl-' I'

Wenn es sich um freie, an Storstellen gestreute Elektronen handelt, ist

-,: = l/v, wobei l nicht von I-' abhiingt (s. Abschn. 4.1.) und v'" V;' Die Zustands­dichte v = pom/n21;;3 ist ebenfalls proportional zu V;' Hieraus folgt

d 1 - [In (V2-,:V) ] = -. dl-' I' I-'

Somit ist fiir freie Elektronen

n 2 T V Q = - - rv 1O-8T-

3e I-' K (6.21)

(dabei wird T in Grad gemessen). Diese Abschiitzung gilt praktisch fur aIle FaIle. Experimentell wurde sie fiir reine nichtmagnetische Metalle gut bestatigt. Aus den FormeIn (6.10), (6.12) und (6.16) folgt

II '" T2 , Vtherm '" T~ - T~, I-'T '" T • (6.22)

106 6. Thermoelektrische und thermomagnetische Erscheinungen

Das Problem ist wesentlich anders bei magnetischen Storstellen (s. Abschn. 4.6.) (KONDO 1965 [8]). Die au Berst komplizierte Untersuchung dieses Problems solI hier nicht durchgefUhrt werden. Es solllediglich bemerkt werden, daB in der Streuwahrscheinlichkeit infolge 1nterferenz der Amplituden der gewohnlichen Streuung und der Spin-Wechselwirkung des Elektrons mit den Storstellen (Jjn) oS Glieder auftreten, die sich in der Umgebung der FERMI-Flache schnell andern. Diese Glieder sind auBerdem beziiglich ~ ungerade. Unter diesen Bedin­gungen sind die iiblichen 1ntegrationsmethoden der FERMI-Funktion (2.25) ungeeignet. Praktisch lauft das darauf hinaus, daB im zweiten Term von (6.18) ein kleiner Faktor T j f1 verschwindet.

Das vollstandige Ergebnis ist unter der Annahme isotroper Streuamplituden fUr diesen Fall

'" ~[V(f1) J]2 JVS (S+ 1) Q e n V2 + J2S (S + 1)'

(6.23)

wobei V die Amplitude ist, die dem gewohnlichen Streumechanismus fiir das Elektron entspricht, das heiBt der spinunabhangigen Wechselwirkung mit Stor­stellen, der Wechselwirkung der Elektronen untereinander und der mit Pho­nonen. In allen Fallen ist IJI ~ V, so daB Q '" v2J3jen2V. Bei sinkender Tem­peratur verringert sich V bis zu einem Grenzwert, der der Storstellenstreuung der Elektronen entspricht. Das fiihrt zu einer Zunahme des Absolutwertes von Q bei abnehmender Temperatur. Liegen im Metall nur magnetische Storstellen vor, dann ist im Grenzfall die GroBe JjV nur durch das Verhaltnis der Spin­wechselwirkungsamplitude zu der Amplitude der nicht vom Spin bestimmten Wechselwirkung gegeben, das gewohnlich etwa 0,2 betragt. Da vVjn '" 1, ist der Grenzwert von Q von der GroBenordnung 10-6 V jK. Das Vorzeichen von Q ist nach (6.23) durch das Vorzeichen des Produkts V J bestimmt. Bei hinreichend niedrigen Temperaturen hangt daher Q nicht mehr von der Temperatur abo Dabei ist zu beachten, daB die GroBe Q selbst nicht von der Storstellenkonzen­tration abhangt, sondern lediglich die Temperatur, bei der Q zu wachsen beginnt.

Die Unveranderlichkeit von Q bleibt so lange erhalten, wie die Temperatur nicht bis zur KONDo-Temperatur (4.48) absinkt, bei der der Betrag der Thermo­EMK schnell abnimmt und offensichtlich fUr T = 0 Null wird.

Bisher ist das isotrope Metallmodell betrachtet worden. 1m allgemeinen Fall eines beliebigen Kristalls ergibt sich anstatt (6.8) ein Ausdruck mit tensoriellen Koeffizienten

(6.24)

Aus dem Symmetrieprinzip der kinetischen Koeffizienten folgt fiir diesen Fall

(6.25)

so daB im allgemeinen die Koeffizientenmatrizen IIik und Qik nicht symmetrisch sind.

6.2. Thermomagnetisehe Erscheinungen i1n schwaehen Magnetfeld 107

6.2. Thermomagnetische Erscheinungen im schwachen Magnetfeld

Befindet sich das Metall in einem Magnetfeld, so behalt die Gleichung (6.24) ihre Form, jedoch hangen die Koeffizienten vom Magnetfeld abo Da bei der Her­leitung des Symmetrieprinzips der kinetischen Koeffizienten [2] die Symmetrie der Gleichungen der Mechanik beziiglich Zeitumkehr benutzt wird, muB be­achtet werden, daB dabei das Magnetfeld sein Vorzeichen andert. Folglich ergibt sich anstatt der Beziehung (6.25)

(!ik(H) = (!ki( - H), "'ik(H) = "'ki( - H), llik(H) = TQki (- H) • (6.26)

Diese Eigenschaft der Matrizen (!ik (bzw. (1ik = (!il) ist bereits im Abschnitt 5.3. erwahnt worden.

GemaB (6.24) werden demnach die Eigenschaften eines Metalls bei Vorliegen eines Temperaturgradienten und eines elektrischen Feldes durch 36 GroBen be­schrieben, die durch 15 verschiedene Beziehungen (6.26) verkniipft sind. Die verbleibenden 21 unabhangigen GroBen hangen in komplizierter Weise von GroBe und Richtung des Magnetfeldes abo Offensichtlich entstehen hier sehr viele verschiedene Erscheinungen, in denen man sich schwer zurechtfindet. Deswegen werden normalerweise nur die Vorgange im schwa chen Magnetfeld (.QT: <{ 1) im isotropen Metall betrachtet. Praktisch sind die Ergebnisse dieser Untersuchungen entweder auf polykristalline Proben oder auf Alkalimetalle anwendbar, in denen das Energiespektrum annahernd isotrop ist.

Das Magnetfeld fUhrt sogar im Fall eines isotropen Metalls zu einer Aniso­tropie, so daB die Beziehungen (6.24) tensoriell bleiben. Beschrankt man sich jedoch auf lineare Glieder in H, so kann man davon Gebrauch machen, daB H ein axialer Vektor ist, wahrend E, VT, q und j polare Vektoren sind. Daraus folgt, daB auf den rechten Seiten der Gleichungen (6.8) und (6.9) lediglich Terme hinzukommen, die proportional zu [Hj] und [HV T] sind. Damit folgt

E = (!j + R[Hj] + QVT + N[HVT] , (6.27)

q =llj + B[Hj] - ",VT + L[HVT]. (6.28)

Aus dem Symmetrieprinzip fUr die kinetischen Koeffizienten folgt B = NT. Die relative GroBenordnung der Zusatzterme in diesen Gleichungen ist .QT:, z. B. NH /Q rv .QT:.

Die Gleichungen (6.27) und (6.28) beschreiben eine ganze Reihe unterschied­licher Effekte. In einem konkreten Fall liege H in z-Richtung, und die Haupt­richtung des Stromflusses sei X.

Das zweite Glied in (6.27) entspricht offensichtlich dem lIALL-Effekt. AuBer dem normalen HALL-Effekt, der unter der Bedingung (JT/(Jy = 0 beobachtet wird, gibt es den sogenannten adiabatischen HALL-Effekt unter der Bedingung qll = O. DafUr erhalt man aus (6.27) und (6.28)

Ey = (R + Q:)Hiz • (6.29)

108 6. Thermoelektrische und thermomagnetische Erscheinungen

Weiterhin liege ein Strom iz vor, wobei oT/ox = 0 ist. In diesem Fall foIgt aus der y-Komponente der Gleichung (6.28) bei q,l = 0, i,l = 0 ein Temperatur­gradient in y-Richtung:

oT B - = - Hiz . (6.30) oy "

Diese Erscheinung heillt ETTINGHAUSEN-Effekt, und die Grolle B/" ist die ent­sprechende Konstante.

1st jedoch der. Strom i", = 0, wahrend ein Temperaturgradient oT/ox exi­stiert, so tritt ebenfalls ein Temperaturgradient in y-Richtung auf. Aus (6.28) folgt fiir i", = i,l = qu = 0:

oT L oT -=-H-. (6.31) oy " ox

Diese Erscheinung wird LEDUC-RIGHI-Effekt genannt. Der entsprechende Koef­fizient ist LI".

Ein Temperaturgradient entlang der x-Achse kann, ebenso wie auch ein Strom iz, eine Thermo-EMK in y-Richtung hervorrufen. Aus Gleichung (6.27) folgt fiir iz = ill = oTloy = 0:

oT Ell = NH ox . (6.32)

Dies ist der sogenannte NERNsT-Effekt. Wenn die Bedingung q,l = 0 statt o T loy = 0 gefordert wird, so handelt es sich urn den adiabatischen NERNST­Effekt. Aus (6.27) und (6.28) folgt, dall dieser Effekt durch die Beziehung

E = N+-H-( QL) oT II "OX

(6.33)

ausgedriickt wird. Weiterhin gibt es noch zahlreiche Effekte von der Grollen­ordnung (.00')2. Jedoch stellen sie aIle Korrekturen zu Koeffizienten dar, die auch bei fehlendem Magnetfeld existieren, und sollen daher nicht weiter be­trachtet werden.

6.3. Wiirmeleitfiihigkeit und thermoelektrische Effekte im hohen Magnetfeld

In den Abschnitten 5.3. und 5.4. wurden die Tensoren (fik und 'lik = (iii fiir den Fall .00' ~ 1 bestimmt. Es sollen im folgenden andere Tensorkoeffizienten der Gleichungen (6.24) in starken Magnetfeldern ermittelt werden (ASBEL, KAGANOW, LIFscmz 1957; BYTSCHKOW, GUREWITSCH, NEDLIN 1959 [19, 20]). Da zur Realisierung der Bedingung .00' ~ 1 eine grolle freie Weglange erforderlich ist, mull natiirlich bei sehr niedrigen Temperaturen gearbeitet werden, bei denen die Elektronenstreuung durch die Storstellen bestimmt ist. Dabei sind die Stolle

6.3. Thermoelektrische Effekte im hohen Magnetfeld 109

elastisch, das heiBt, die Energie des Elektrons bleibt erhalten. Die kinetische Gleichung lautet

~ (E)~ - - 1(/) = - evE - - v'VT -. a4 T aE

(6.34)

Es muB eine Losung dieser Gleichung in der Form

alo aT E alo I = 10 - f eEi"Pi aE + faXi rpi T aE (6.35)

gefunden werden. Da die Energie bei den SWBen erhalten bleibt, konnen beim Einsetzen des Ausdrucks (6.35) in das StoBintegral die nur von der Energie abhangigen Faktoren aus dem Integral herausgezogen werden. Man kann dann zeigen, daB "Pi und 12; identischen Gleichungen der Form

(6.36)

geniigen. Da die Randbedingungen fUr beide Funktionen ebenfalls identisch sind, folgt:

rpi = "Pi. (6.37)

Die Ausdriicke fUr den Strom und den Energiestrom sind dann

2e2H J ii = c(2nh)3 v;f dE dtl dpz

(6.38)

(6.39)

Das sind die tensoriell verallgemeinerten Ausdriicke (6.1) und (6.2), die in der. Form

aT qi = ~ 'YikEk + ~ 'ilC;:'-

k k uX"

geschrieben werden.

(6.40)

(6.41)

110 6. Thermoelektrische und thermomagnetische Erscheinungen'

Beziiglich der Koeffizienten in diesen Gleichungen sind zwei Bemerkungen zu machen. Erstens erfordert das Symmetrieprinzip fiir kinetische Koeffizienten, daB

(6.42)

gilt. Dies ist die Verallgemeinerung der Beziehung (6.7). Aus den Gleichungen (6.38) und (6.39) folgt mit Beriicksichtigung von (6.37) auBerdem noch

Yik(H) = - Tf3ik(H) •

Danach geniigen beide Koeffizienten den Bedingungen

(6.43)

das heiBt den gleichen Bedingungen wie auch (Jik und Cik, was eine Folge der Voraussetzung elastischer StoBe ist.

Zur Berechnung des Integrals iiber ~ im zweiten Summanden der Gleichung (6.39) wird die Regel (2.25) verwendet, wobei man

Cik = - C(~:!)3 n~T [f WPk d~ dPzl

erhalt. Andererseits folgt aus (6.28)

(Jik = C~;:~)3 [f Vt1pk dtl dPl·

Mit Beriicksichtigung von (6.37) ergibt sich

n2T Cik = - 3e2 (Jile • (6.44)

Driickt man mit Hilfe von (6.40) und (6.41) E und q durchj und VT aus, so folgen die Gleichungen (6.24), wobei

eik = ail , Qik = - 1: eilf3lk , 1

IIik = 1: Yilelk , "ik = 1: Yilelmf3mk - Cik • 1 I, m

(6.45)

Aus der Form des Integrals tiber ~ in den Koeffizienten f3ik (6.40) und (6.38) folgt, daB sie proportional zu T sind, so daB wegen (6.42) Yik ~ T2 gilt. Infolge­dessen ist das erste Glied des Warmeleitungskoeffizienten in (6.45) klein im Vergleich zum zweiten (das ist bereits im Abschnitt 6.1. erwahnt). Damit folgt "ik = - Cik, und aus (6.44) erhalt man

n2T "ik = 3e2 (Jik • (6.46)

Es zeigt sich also die Giiltigkeit des WIEDEMANN-FRANzschen Gesetzes bei ela­stischen StoBen auch fUr den Fall eines starken Magnetfeldes.

6.3. Thermoelektrische Effekte im hohen Magnetfeld III

Der Warmeleitungskoeffizient zeigt demnach die gleichen Besonderheiten wie Gik, die im Abschnitt 5.3. beschrieben wurden. Insbesondere ist festzustellen, daB die Komponenten "'xx und "'yy (die z-Achse liege in Richtung des Magnet­feldes) ftir alle Richtungen des Magnetfeldes, bei denen geschlossene Bahnen auftreten, mit dem Feld wie 11Hz abnehmen. Damit ergibt sich die Moglichkeit, den nicht magnetfeldabhangigen Phononenanteil der Warmeleitung zu ermit­teln, so daB man damit beide Anteile der gesamten Warmeleitfahigkeit des Metalls trennen kann.

Weiterhin hat die Komponente "'xy fUr ein Metall mit unterschiedlichen Elektronen- und Locherzahlen nach (5.36) und (6.46) die Form

nZTc "'xy = 3eH (n:t - nz) . (6.47)

Das bedeutet, daB die Differenz zwischen Elektronen- und L6cherzahl nicht nur aus dem HALL-Effekt, sondern auch aus dem LEDUC-RIGHI-Effekt bestimmt werden kann ("'Xy entspricht - LHin (6.31)).

Zur Bestimmung des Tensors der Thermo-EMK Qik wird mit Hilfe von (2.25) das Integral tiber; ermittelt, so daB man

Pik = - ~:~:;~ 0: [J ViPk dtl dPl

erhalt (s. (6.40) und (6.38)). Der Vergleich mit dem Ausdruck fUr,.Gik ergibt bei Berticksichtigung von 1jJk = Pk

nZT 0 Pik = - 3e op, Gik(P,) • (6.48)

Man erkennt hieraus, daB die Magnetfeldabhangigkeit der Koeffizienten Pik

im allgemeinen die gleiche ist wie die der Koeffizienten Gik. Eine Ausnahme stellt der Fall geschlossener FERMI-Flachen bei n:t = n2 dar, da hierbei im all-

o gemeinen op, [nl(p,) - n2(p,)] =1= 0 ist.

Es solI nun der Tensor Qik fUr einige grundlegende Falle bestimmt werden.

1. Geschlossene FERMI-Fliichen mit n:t =1= n2• Der Tensor Pik sieht wegen (6.48) und (5.37) folgendermaBen aus:

(6.49)

Multiplikation von vorn mit - eik (5.38) ergibt

(

I Vxx YVxy vxz)

Qik = yVyx Vyy Vyz •

YVzz YVzy Vzz

(6.50)

112 6. Thermoelektrische und thermomagnetische Erscheinungen

Dabei ist vxx = Vyy = bxycxy• Bei Beriicksichtigung von bxy = l/ayx = - l/axy (s. (5.37)) und Verwendung von (6.48) und (6.36) erhalt man

'Jt2T 0 Qxx = Qyy = 3e of1 {In [~(f1) - n2(f1)]} • (6.51)

Die transversale Thermo-EMK ist also isotrop, unabhangig von den StoB­prozessen und bestimmt sich lediglich aus dem Energiespektrum. Man kann hieraus eine weitere charakteristische GroBe des Spektrums ermitteln, die auf

o keine andere Weise gefunden werden kann, namlich of1 {In [~(f1) - n2(f1)]}.

2. Geschlossene FERMI-Fliichen mit n1 = n2• Der Tensor fJik behalt die Form (6.49), wahrend der Tensor (}ik

r 1 1 ~bJ "2bxx 2bxy y y y 1 1 1

(}i/c = 2bxy Y

2byy Y

-byz Y

1 1 -ybxz -ybyz bzz

ist. Nach (6.45) folgt

1 1 1 -Vxx -vxy -Vxz y y y

Qik = 1 1 1 (6.52) -vyx y

-Vyy y

-vyz y

Vzx vzy Vzz

In diesem Fall ist Qxx = - Qyy, jedoch hangt die konkrete Gestalt dieser Kom­poIienten vom StoBintegral abo Die beiden oberen Zeilen des Tensors Qi" wachsen proportional zu Han, das heiBt, die Thermo-EMK kann in solchen Metallen in hohen Magnetfeldern sehr groB werden.

3. FERMI-Fliiche, die in Richtung Px often ist. Nach (6.48) und (5.43) folgt hierfiir

(6.53)

Der Tensor (}ik ist durch die Formel (5.44) gegeben. Aus (6.45) erhalt man

1 -vxy y

(6.54)

6.3. Thermoelektri8che Effekte im hohen Magnetfeld 113

In diesem Fall wachsen also die Komponenten QZy und Qzz schnell, wahrend im Gegensatz dazu die Komponenten QyZ und Qzz mit dem Feld abnehmen. Ahn­lich wie beim Tensor elk erfolgt der "Obergang von der Form (6.50) zu (6.54) in einem schmalen Bereich von Magnetfeldrichtungen der GroBenordnung e rv 1/ Q-,;

urn die "kritische" Richtung, in der offene Bahnen vorliegen. Es solI nochmals hervorgehoben werden, daB viele Herleitungen in diesem

Abschnitt ungiiltig werden, wenn die StoJ3e nicht rein elastisch sind, das heiJ3t die Elektronenstreuung nicht nur an Storstellen, sondern auch an Phononen erfolgt.

8 Abrikossow

7. Das Metall im hochfrequenten elektromagnetischen Feld. Zyklotronresonanz

7.1. Normaler Skineffekt

1m folgenden wird ein Metall untersucht, das sich in einem hochfrequenten elektromagnetischen Feld befindet. Zuniichst wird der Fall betrachtet, daB der iibliche Ausdruck fUr den Strom j = aE anwendbar ist, und der Einfachheit halber das Metall als isotrop vorausgesetzt. Die MAxwELL-Gleichungen haben die Form

loH rotE -- - cat' (7.1)

4n 4n rot H = - j = - aE .

c c (7.2)

Das Metall befinde sich im Halbraum x> 0, und die Welle falle senkrecht zu seiner Oberfliiche ein, wobei der Vektor E in y-Richtung und der Vektor H in z-Richtung liegt (Abb. 27).

Es wird eine Lasung gesucht, die proportional zu eikx-iwl ist. Durch Einsetzen in (7.1) und (7.2) erhiilt man

iw ikEy =-Hz ,

c

4n - ikHz = -aElI •

c

Durch Kombination dieser Gleichungen erhiilt man den Wert des Wellenvektors

4niw

Folglich ist

k2 =--(J. c2

4niw 2nwa 11- V-k = ~ a = ~ (1 + i) = kl + ik2 . (7.3)

Setzt man eikx-iwl in (7.3) ein, so erkennt man, daB das elektromagnetische Feld im Metallinnern nach dem Gesetz e-k,x abnimmt, das heiBt, das Feld dringt nur in eine Oberfliichenschicht des Metalls ein. Diese Erscheinung heiBt Skin­effekt. Die Skintiefe berechnet sich zu

(7.4)

7.1. Normaler Skineffekt 115

Die Eigenschaften eines Metalls im hochfrequenten Feld werden durch die sogenannte Impedanz oder den OherWichenwiderstand Z charakterisiert. Dieser ergiht sich aus dem Verhiiltnis des elektrischen Feldes an der Metallober­fliiche zur Stromdichte, die tiber die Metalldicke integriert wird:

00

Z = Ey(O)j f jy(x) dx . (7.5) o

Die Impedanz Z ist komplex und wird in der Form R - iX geschrieben, wobei R der sogenannte aktive und X der reaktive Anteil ist. Die Gr6Ben R und X k6nnen durch Amplituden- und Phaseniinderung der Welle bestimmt werden, die an der Metalloberfliiche reflektiert wird. Der Realteil R bestimmt den Ener­gieverlust der elektromagnetischen Welle bei der Reflexion und kann durch die Wiirmeentwicklung im Metall, das sich im Hochfrequenzfeld befindet, ermittelt werden.

Abb.27

x.

H

z

!/

Wahl des Koordinatensystems fiir eine elektromagnetische Welle, die senkrecht auf eine Metallober£lache fallt

Die Beziehung (7.5) kann in eine andere Form gebracht werden. Aus Glei­chung (7.2) findet man

. Ey(O) Z = R - iX = _ (c/4n) Hzl:.'"

Aus Gleichung (7.1) folgt damit

4n Ey(O) 4n w Z=---=--.

c Hz(O) c2 k

4n Ey(O) = ~ Hz(O) • (7.6)

(7.7)

Die Formeln (7.6) und (7.7) gelten fUr einen beliebigen Zusammenhang zwischen j und E. Ftir den Fall j = aE folgt, indem man (7.3) in (7.7) einsetzt,

Z = Y4nw/iac2 = Y2nwjac2 (1 - i) .

Somit ist in diesem Falle

R = X = Y2nw/c2q • (7.8) Diese Formel beschreibt den sogenannten "normalen" Skineffekt.

s·

116 7. Das Metall im hochfrequenten elektromagnetischen Feld

7.2. Anomaler Skineffekt. Ineffektivitats-Konzept

GemaB Gleichung (7.4) flir die Eindringtiefe verringert sich fJ, wenn die Leit­fahigkeit' a flir reine Metalle bei niedrigen Temperaturen groB wird. fJ kann noch mehr abnehmen, wenn die Frequenz w erh6ht wird. Gleichzeitig wachst bei sinkender Temperatur die mittlere freie Weglange 1. Bei hinreichend nied­rigen Temperaturen und hohen Frequenzen kann die Situation eintreten, daB fJ kleiner wird als 1. In diesem :Fall gilt der Zusammenhang von Strom und Feld j = aE nicht mehr, da dieser Ausdruck aus der kinetischen Gleichung unter der Voraussetzung eines homogenen Feldes erhalten wurde. Wenn jedoch da!l Feld wesentlich innerhalb von Abstanden variiert, die kleiner oder vergleichbar mit der freien Weglange sind, kann das Feld nicht mehr als homogen angesehen werden.

Dieser nun zu untersuchende Fall heiJ3t anomaler Skineffekt (LONDON 1940 [21)). Das physikalische Bild im Grenzfall1 ~ fJ ist das folgende: Die Elektronen k6nnen sich parallel zur Metalloberflache oder unter einem groBen Winkel zu ihr bewegen. Die unter einem groBen Winkellaufenden Elektronen verbringen eine kleine Zeit im elektrischen Feld und wechselwirken daher praktisch nicht mit ihm. Diejenigen Elektronen, die sich parallel zur Metalloberflache oder unter einem kleinen Winkel zu ihr bewegen, werden im elektrischen Feld beschleunigt und entziehen daher der Welle einen Teil ihrer Energie.

Abb.28

fl

Anomaler Skineffekt: Nur die unter kleinen Winkeln ~ de zur Oberflache sich bewegenden Elektronen legen eine freie Weglange 1 innerhalb der Skin­schicht der Dicke ,j zuriick

1m isotropen Fall ist die Zahl der Elektronen, deren Impulse innerhalb eines gewissen Raumwinkels liegen, proportional zu diesem Winkel. Wesentlich sind diejenigen Elektronen, die sich beim Durchlaufen ihrer gesamten freien Weg­lange innerhalb der Skinschicht bewegen. Flir diese Elektronen (Abb. 28) gilt de rv fJj1, folglich:

d.Q rv sin e de rv de rv fJj1 (e = nj2) .

Somit ist die Dichte der effektiven Elektronen

neff rv no d.Qj4n rv nofJj1 •

7.2. Anomaler Skineffekt. Ineffektivitats-Konzept 117

Die LeiWihigkeit ist proportional zu der Elektronenzahl. Daher enthalt die effektive Leitfahigkeit im Vergleich zur gewohnlichen Leitfahigkeit einen Faktor der GroBenordnung b/l. Die effektive Leitfahigkeit wird in der Form

0' eff = iaO'o/ kl (7.9)

angesetzt, ·wobei k der Wellenvektor und a ein reeller Koeffizient der GroBen­ordnung 1 ist. Diese Schreibweise ist moglich, da b = 1/k2 und kl rv k2. Tat­sachlich ist in der Formel (7.9) die Aussage enthalten, daB in der strengen Theorie bei Ikll ~ 1 die GroBe i/k die Rolle von lzu ubernehmen beginnt (s. Herleitung der Gleichung (7.23)). 1m Zusammenhang damit gibt die Formel (7.9) die Mog­lichkeit, die richtige Beziehung zwischen Real- und Imaginarteil der Impedanz zu ermitteln. Die Formel (7.9) ist die Grundlage des sogenannten "Ineffektivi­tatskonzeptes" .

W enn man den Ausdruck

V4niWO' k= -­

c2

verwendet und darin (7.9) fUr 0' einsetzt, erhalt man eine Gleichung fur k, deren Losung

3 / 'V 4nwaO'o . /3 k = ~~- e'" c2l

(7.10)

ergibt. Die Eindringtiefe des Feldes ist das Reziproke des Imaginarteils von k, also

V c2l 1 b - -- -:--:-c-::--

- 4nwaO'o sin (n/3) . (7.11)

Die Oberflachenimpedanz kann aus Gleichung (7.7) errechnet werden:

Z = ~nw = (~W)2/3 (_l_)1/3 e -i,,/3

c2k c2 aO'o

( 2 )1/3 (nw)2/3 ( l )1/3 . _ = - - - (1 - '/, V3) .

a c2 0'0 (7.12)

Somit hat man folgende Ergebnisse erhalten: a) Z ist proportional zu W 2/ 3 ,

b) X = V3 R, c) die Leitfahigkeit geht in (7.11) und (7.12) nur in der Form O'o/l ein; da aber 0'0 rv ne2-r:/m rv ne2l/po, ist O'o/l rv ne2/po (diese Beziehung hangt nicht von der Temperatur ab und ist nur durch das Elektronenspektrum be­stimmt).

Wenn man die erhaltenen Ergebnisse graphisch in der Form l/R als Funktion

von Va auftragt, erhalt man Abbildung 29, wobei das Gebiet Adem normalen und B dem anomalen Skineffekt entspricht. Der normale Skineffekt tritt im

Gebiet niedriger Leitfahigkeit (hoher Temperaturen) auf; dort ist R rv l/Va.

118 7. Das Metall im hochfrequenten elektromagnetischen Feld

1m Gebiet hoher Leitfiihigkeit liegt der anomale Skineffekt vor, und R hiingt nicht von a abo Diese Kurve wird durch das Experiment bestiitigt.

Abb.29

B

o Reziproker Realteil R der Oberflachenimpedanz als Funktion der Quadrat­wurzel der GIeichstromleitfahigkeit G. Der Skineffekt ist im Gebiet A normal und im Gebiet B anomal

Der anomale Skineffekt kann nur oberhalb einer Grenzfrequenz beobachtet werden. Aus der Bedingung fJ ~ l, der Gleichung (7.1) und dem Ausdruck fUr die Leitfiihigkeit ao = ne2l/po folgt

c2po w>-2 2l3· nne

Mit n,....., 1022 cm-3 , Po = 1i(3n2n)1/3 ,....., 10-19 (das gilt fUr ein gutes Metall) folgt

w> 1O-2 l-3 •

Wenn l,....., 10-3 em (das ist schon das Gebiet des Restwiderstandes), dann ist w> 107 S-I.

7.3. Anomaler Skineffekt. Losung der kinetischen Gleichung

1m vorhergehenden Abschnitt wurde bemerkt, daB die Oberfliichenimpedanz im Gebiet des anomalen Skineffektes die GroBe a/l enthiilt, die nur von den Para­metern des Elektronenspektrums und nicht von den Streuprozessen abhiingt. Daher ist zu erwarten, daB die Untersuchung des anomalen Skineffektes Kennt­nisse tiber das Elektronenspektrum vermitteln kann. Zu diesem Zweck wird eine strenge Ableitung der Oberfliichenimpedanz auf der Grundlage der kinetischen Gleichung durchgefiihrt (REUTER, SONDHEIMER 1948 [22]).

Aus den Gleichungen (7.1) und (7.2) ergibt sich 4n

- rot rotE = grad div E + \j2E = - 2iwj. c

Jedoch ist div E = 0, weil vorausgesetzt wurde, daB der Vektor E nur y- und z-Komponenten hat, die nur von x abhiingen. Daher kann man

d2E", 4niw. dx2 = - ~JI1o (7.13)

7.3. Anomaler SkineJJekt. Losung der kinetischen Gleichung 119

schreiben (da aIle GroBen proportional zu e-iwt sind). Zur Bestimmung des Stromes j" muB man die Verteilungsfunktion kennen, die in der Form

gesucht wird. Damit ergibt sich

. J d3p 2e J dB 1" = 2e vJ (2nli)3 = (2nli)3 V,,1jJ ---:;-. (7.14)

Dabei wurde die Umformung des Impulsintegrals nach (2.23) und die Naherung ol%e R::: -(j(e - (.-t) verwendet. Die Integration in (7.14) erstreckt sich iiber die FERMI-Flache.

Die kinetische Gleichung wird in der Form (3.12) geschrieben. Die Darstel­lung des StoBintegrals

1(/) = - (f - lo)/r:

ist fiir anisotrope Metalle im allgemeinen nicht giiltig. Dennoch kann man sie verwenden. Das hangt in erster Linie damit zusammen, daB im extrem anomalen Fall das Ergebnis iiberhaupt nicht von r: abhangt. AuBerdem ist es eine inter­essante Besonderheit dieses Falles, daB das StoBintegral tatsachlich diese Form hat, und zwar mit einem r:, das von p abhangt (s. SchluB dieses Abschnitts). Wenn man den angegebenen Ausdruck fiir die Verteilungsfunktion in Gleichung (3.12) einsetzt, erhalt man

(7.15)

Hierbei ist beriicksichtigt, daB E nur y- und z-Komponenten hat und daher die IndizesIX nur diese Werte annehmen. "Ober gleiche Indizes soIl summiert werden (d. h. E"v" = Eyvy + E.v.). Die Gleichung (7.15) driickt 1jJ durch E(x) aus, und ihre Losung erlaubt die Berechnung von j(E). Der Strom wird dann in die MAxwELL-Gleichung (7.13) eingesetzt und daraus E und schlieBlich die Impe­danz bestimmt.

Wenn man Gleichung (7.15) durch v., dividiert und (1/r: - iw)/v., mit L bezeich­net, erhalt man

Die Losung dieser Gleichung ist

(7.16)

120 7. Das Metall im hochfrequenten elektromagnetischen Feld

wobei c eine Konstante ist, die durch die Randbedingungen bestimmt werden muB. Zunachst ist klar, daB bei x -+ 00

1p-+O

gelten muB. Die andere Randbedingung hangt von der Art der Metalloberflache abo Bekanntlich erleidet das Potential an der Oberflache einen Sprung, der den Austritt der Elektronen aus dem Metall verhindert. Dieser Potentialsprung reflektiert die Elektronen in das Metallinnere.

Bei idealer Oberflache werden die Elektronen spiegelnd reflektiert. 1m iso­tropen Metall bedeutet das, daB sich py und pz nicht andern, jedoch Px sein Vor­zeichen andert.

1m hier betrachteten anisotropen Fall ist der V organg komplizierter. Infolge der Homogenitat des Problems in y- und z-Richtung bleiben nach wie vor Pll und pz erhalten, jedoch muB nun statt der Anderung des Vorzeichens von pz die Energieerhaltung gefordert werden.

1m isotropen Metall addieren sich die Wellen mit Pcc und - Pz, die die gleiche Energie haben, derart, daB die Wellenfunktion bei x = 0 gegen Null geht (Potentialwall).

1m vorliegenden Fall findet ebenfalls eine Superposition der Wellen statt, wobei die eine Welle eine Geschwindigkeit Vx = Oe/Opcc > 0 und die andere Vx < 0 hat. Jedoch ist flir e(px, Py, pz) = e(p~, Py, pz) im allgemeinen p~ =l= -Px, was zuerheblichen Komplikationen flihrt.

In dem betrachteten extrem anomalen Skineffekt sind jedoch nur die Elek­tronen von Bedeutung, die sich fast parallel zur Ober£lache bewegen, das heiBt, flir die Vx ~ 0 ist (s. den vorhergehenden Abschnitt und auch die folgende Ableitung).

In einer kleinen Umgebung dieser Impulse hat die Energie der Elektronen die Form

e = a (Pv, pz) (Px - b(pll' pz))2 + d(pll' pz)

(fiir Px = b(py, pz) ist Oe/OPx = 0). Bei spiegelnder Re£lexion bedeutet die Erhaltungsbedingung flir py und Pz, daB sich Vy ~ od/opy und Vz ~ od/opz nicht andern. Die Energieerhaltung beim "Obergang von Vz > 0 zu Vx < 0 bedeutet, daB po; - b(py, pz) in - Pcc + b(py, pz) und folglich Vx = 2a(py, pz) (Po; - b(py, pz)) in -Vo; iibergeht. Somit kann man unter den Bedingungen des extrem anomalen Skineffektes flir die spiegelnde Reflexion die Randbedingung bei x = 0 in folgender Form schreiben:

(Fall 1)

Normalerweise liegen sogar bei einer sehr guten Metalloberflache Inhomo­genitaten in der GroBenordnung der Atomabstande vor. Da die freie Weglange der Elektronen von der gleichen GroBenordnung ist, werden sie an der Ober­£lache diffus reflektiert, mit anderen Worten, sie verlieren das Gedachtnis an ihre urspriingliche Bewegungsrichtung. In diesem Fall kann man flir x = 0

7.3. Anomaler Skineffekt. Losung der kinetischen Gleichung

und v'" > 01) setzen:

1p = O.

121

(Fall 2)

Die Randbedingung 1p --. 0 fiir x --. 00 bestimmt die Konstante c in (7.16) fiir v'" < O. Da hierbei im Exponent der Realteil von Lnegativist, muB man c = 00

wahlen. Damit ergibt sich

(7.17)

00

Dies gilt fiir beide FaIle. Wenn jedoch vx > 0, dann geht e-Lx fiir x --. 00 gegen Null. Daher muB die Konstante c aus der Bedingung fiir x = 0 bestimmt werden, wobei das Ergebnis natiirlich in beiden Fallen unterschiedlich ist.

Falll. Fiir vx > 0 erhalt man im Fall spiegelnder Reflexion bei x = 0 o 0

f eE ,,(Xl) v'" L feE ",(Xl) v'" L ~----e x'dx = - e- "" dx ,

~ 1 ~ 1

c 00

weil -vx < 0 fiir v'" > 0 wird (man muB beachten, daB L proportional zu l/v", ist). Foiglich erhalt man aus (7.16)

'" 00

= _ '" 1 "'eL(X,-x)dxl+ '" 1 "'e-L(x'+"')dxl .(7.18) f eE (x ) v f eE (x ) v Vx Vx

o 0

Wenn man (7.17) und (7.18) in den Ausdruck fiir den Strom (7.14) einsetzt und v",/v mit n", bezeichnet, ergibt sich

J. = ~ I J dS n",nfJ [J'" EfJ(x ) e -L(x-x,) dx '" (2n/i)3 nx 1 1

nx>O 0

+ JOOEfJ(Xl) e-L(x+x,) dXl] - J dS n~~fJ J~fJ(Xl) e-L(X-X')dXlj.

o nx<O '"

1) Diese fiir die vorliegende Geometrie zutreffende Bedingung gilt nicht allgemein fiir be­liebige Formen von diffus reflektierenden Grenzflachen. Allgemeiner lautet die Grenz­bedingung fiir diffuse Reflexion bei beliebiger Form der Grenzflache: lfJ(x = 0, Vx > 0) = const, das heiBt Unabhangigkeit der Streufunktion reflektierter Elektronen von der Reflexionsrichtung. Der Wert dieser Konstanten ist durch das Verschwinden des Stromes senkrecht zur Grenzflache, das heiBt jx = 0 bei x = 0 bestimmt. Diese Bedingung muB fiir beliebige Grenzflachen erfiillt sein. 1m vorliegenden Fall ebener Grenzflachen bei extrem anomalem Skineffekt <5 ~ 1 folgt hieraus lfJ(x = 0, v'" > 0) = O.

122 7. Da8 Metall im hochfrequenten elektromagneti8chen Feld

Die beiden letzten Integrale konnen zusammengefaBt werden, wenn das letzte Integral auf das Gebiet nil: > 0 transformiert wird. Dazu verii.ndert man im Inte­gral die Vorzeichen aller Impulse, wobei aIle Geschwindigkeiten ebenfalls ihr Vorzeichen ii.ndem. Somit ergibt sich

[

II:

2e2 n np • _ __ _"'_ -L(II:-.,.> 1", - (2nli)3 J dE nil: J E p(xl ) e dXl

"z>O 0

+ JooEp(Xl ) e-L(H.,.> d~ + JooEp(~) eL(II:-II:,> dxl ]'

o II:

Die ~-Integration erstreckt sich tiber das Metallinnere. Wenn man jedoch formal annimmt, daB sich auBerhalb des Metans das elektrische Feld symmetrisch fort­setzt, kann im zweiten Integral Xl durch -Xl ersetzt werden, wobei man

o J Ep(xl ) e-L(II:-.,.> d~

-00

erhii.lt. Dann ergibt die Summe der ersten beiden Integrale im Ausdruck fiir j II:

J Ep(xl ) e-L(II:-.,.> dxl • -00

Wird dieses Integral mit dem letzten Term in der Gleichung ftir j zusammenge­faBt, so ergibt sich

(7.19)

"z>O -00

Fall 2. In diesem Fall wird die diffuse Streuung der Elektronen an der Grenz­fliiche betrachtet. Wird die entsprechende Randbedingung fiir VII: > 0 auf (7.16) angewendet, so erhalt man c = O. Dies und (7.17) wird in (7.14) eingesetzt und ergibt

Geht man jetzt im zweiten Integral von der Integration tiber n;l; < 0 zur Inte­gration tiber nil: > 0 tiber, so folgt

i", = (~~)3 J dE n::p [jE,(x,)e-L('-~) ax,. + J E,(x,) e"('-~) ax,.]. "z>O 0 II:

7.3. Anomale,. Skineffekt. Losung de,. kinetischen Gleichung 123

Diese beiden Summanden konnen wiederum zusammengefaBt werden, wo bei sich

(7.20)

ergibt. Der Unterschied zwischen dieser Formel fUr iIX und der Formel (7.19) fiir

spiegelnde Reflexion besteht darin, daB die Integration iiber ~ sich dort von - 00 bis 00, hier aber von 0 bis 00 erstreckt. Damit erhalt man

spiegelnde Reflexion ,

diffuse Streuung ,

wobei der Kern K IXP gleich

2e2 f n np K p(x) =-- dS_IX_e-lz/iZonz .. (2nli)3 n;z

n.,>O

ist (dabei wurde I/l* = (1/7: - iw)lv gesetzt). Die FOURIER-Transformierte des Kerns K .. p(x) ist

Da

00

K .. p(k) = J K .. p(x) e- ikz dx. -00

00 00

f e-ikZ-"IZI dx = 2fe-.. z cos kx dx = 2tX tX2 + k2

-00 0

fUr Re IX > 0, ergibt sich

(7.21)

(7.22)

(7.23)

Dieser Ausdruck vereinfacht sich wesentlich fiir den Fall des extrem anomalen Skineffekts, das hei13t fiir k rv I/~ ~ l.

Zuvor solI bemerkt werden, da13 man von der Integration tiber die FERMI­Flache erheblich einfacher zum Integral iiber die Winkel iibergehen kann, die die Richtung der Normalen zu dieser Flache (d. h. der Geschwindigkeit v = aelap) charakterisieren.1n Abbildung 30 sei ein Oberflachenelement dS dargestellt. Die Hauptkriimmungsradien seien R1 und R2• Das Flachenelement der Oberflache ist offenbar R1Ra dB1 dBa. Nun wird ein Polarkoordinatensystem B, ffJ fUr die Normalenrichtung derart gewahlt, da13 die Ebene des Winkels B1 mit der

124 7. Das Metall im hochfrequenten elektromagnetischen Feld

Ebene ep = const zusammenfallt, das heiBt del = de. Dann ist offenbar de2 = sin e dep. Hieraus folgt

dS = RIR2 dQ = dQ/K(e, ep) , (7.24)

wobei K die sogenannte GAusssche Krtimmung der Oberflache ist. Sie ist gleich

Abb.30 Oberflachenelement dS der FERMI-FIache mit der Normalen n und den Hauptkriimmungsradien Rl und R2

dem Produkt der reziproken Hauptkrtimmungsradien K = 1/RIR2 an dem Punkt der Oberflache, wo die Normalenrichtung e, ep ist.

Somit ergibt sich 2n n/2

4e2 J~ f l* n n KIX{J = (2n1i)3 dep 1 + (Z*k cos e)2 K(e, ~) sin e de. (7.25)

o 0

Die obere Grenze des Integrals tiber e ist n/2 (das folgt aqs der Bedingung nJ) > 0). Wenn kZ* ~ 1, dann sind nur kleine Werte cos e wesentlich, so daB man

K(e, ep) - K(ep) = K(n/2, ep)

setzen darf. Das verbleibende Integral tiber cos e wird gleich

1 10 k (X)

J l* dx 1 J dy 1 J dy n 1 + (l*kx)2 =Tk[ 1 + y2 R>Tk[ 1 + y2 = 2\k\' 000

Somit folgt ftir den Falll*\k\ ~ 1 2"

4e2 J nn n KIX(J(k) = (2n1i)3 dep ;(;) 2\k\ = (7.26)

o

wobei

7.3. Anomaler Skineffekt. L08Ung der kinetischen Gleichung

2", f n",np B",p = K(rp) drp

o

125

(7.27)

ein Tensor in der (y, z)-Ebene ist. Es sei darauf hingewiesen, daJ3 im Integral die Werte cos e ~ 1, das heiJ3t

v'" ~ 0 wesentlich sind. Das entspricht dem "lneffektivitats-Konzept", das zur Ableitung der Randbedingung bei spiegelnder Reflexion verwendet wurde.

Die weiteren Rechnungen sind in den beiden Fallen unterschiedlich. 1m Fall spiegelnder Reflexion ist die Berechnung erheblich einfacher als bei diffuser Reflexion. Die Resultate unterscheiden sich in beiden Fallen jedoch nur wenig voneinander. Daher solI die Rechnung nur fUr den Fall der Spiegelung durch­gefuhrt werden, wahrend fur diffuse Reflexion lediglich das Endergebnis ange­geben wird.

Abb.31

Vakuum Meta!!

o

Spiegelsymmetrische Fortsetzung des elektrischen Feldes E yom Metall in das AuBengebiet im FaIle spiegelnder Reflexion der Elektronen an der Metall­oberflache

Zur Ableitung der Formel (7.19) ist angenommen worden, daJ3 sich das elek­trische Feld symmetrisch in das Gebiet x < 0 fortsetzt. Das bedeutet, daJ3 die Ableitung dEJdx bei x = 0 einen Sprung von -E'(O) nach E'(O) haben muJ3 (Abb. 31), so daJ3 sich die zweite Ableitung d2EJdx2 an der Grenze x = 0 wie eine ~-Funktion verhalt. Um diesen Umstand zu berucksichtigen, wird Glei­chung (7.13) in der Form

(7.28)

-00

geschrieben. Die FOURIER-Transformation ergibt

I iwe2 1 -k2EklX - 2E",(O) = - c2;or/i3B"'PIkfEkP. (7.29)

Das ist ein System zweier Gleichungen (lX, f3 = y, z). Die Achsen in der (y, z)­Ebene kann man belie big wahlen, z. B. in Richtung der Hauptachsen des Ten­sors B",p. Hierbei erhalt man zwei unabhangige Gleichungen fUr Ey mit Bl und

126 7. Das Metall im hochfrequenten elektromagnetischen Feld

fiir E. mit B 2• Da diese Gleichungen die gleiche Form haben, geniigt es, eine von beiden zu betrachten:

iwe2 1 - k2Ek - 2E'(0) = - c2'ltli3 BfkTEk • (7.30)

Die Losung beziiglich Ek liefert

2E'(0) Ek = - k2 _ ib/lkl ' (7.31)

wobei

(7.32)

Da Ek beziiglich k symmetrisch ist, ergibt sich beim "Obergang zu E(x)

00 00

00 00

__ 2E'(0) J cos kx __ 2E'(0) J k cos kx dk - 'It k2 - ib/k dk - 'It k3 - ib .

o 0 (7.33)

Das Feld an der Metalloberflache ist

00

2E'(0) J E(O) = ---'It

o Das Integral ergibt

00 J ---::-::-k_d_k-::::- _ _ 2'lt _ _ e'_'''/_6 k3 - ib - b1/ 3 3 y'3 .

o

Damit folgt

E(O) 4 ei ,,/6

E'(O) = - b1/ 3 3y'3 .

Nach (7.6) ist die Oberflachenimpedanz

4'lt Ey(O) Z = ~ H.(O).

Da andererseits

dEy iw --=-H •. dx c

7.3. Anomaler Skineffekt. Losung der kinetischen Gleichung 127

ist Hz(O) = cE;(O)/iw, so daB

4niw Ey(O) Z = ~ E;(O) . (7.34)

Durch Einsetzen von E(O)/E' (0) folgt

8nw (1 - iYS) Z= .

c2b1/33 y3

Setzt man hier schlieBlich noch den Wert fiir b (7.32) ein, so ergibt sich 8n4/3 _

Z = ,/_ w2/3e-2/3c-4/3;;,B-l/3 (1 - i Y3) • (7.35) 3r3

Z ist ein Tensor in der (y, z)-Ebene, dessen Hauptwerte durch die Hauptwerte des Tensors B"fi bestimmt sind. Dies ist das Ergebnis fiir den Fall spiegelnder Reflexion.

Fiir den Fall diffuser Reflexion ergibt sich fiir Zein Ausdruck mit dem Faktor

ys anstatt des Faktors 8/3 ys in (7.35), das heiBt, das Verhaltnis der Z-Wertein beiden Fallen ist 9/8. Dieser geringe Unterschied spielt beim Vergleich zwischen Experiment und Theorie keine groBe Rolle, zumal sich unabhangige Messungen des Absolutwertes von Z um mindestens 10% unterscheiden.1) Man kann daher aus der Hochfrequenzimpedanz nicht auf den Charakter der Reflexion schlieBen.

Die StoBzeit ist in (7.35) nicht enthalten. Der Tensor B"fi hangt nur von den Charakteristika der FERMI-Flache abo Daher kann die Anderung der Impedanz fiir die Untersuchung der FERMI-Flache realer Metalle verwendet werden. Diese Methode war tatsachlich eine der ersten, die zu diesem Zweck angewendet wurden.

Das Ergebnis (7.35) stimmt mit dem im vorhergehenden Abschnitt mit Hilfe des "Ineffektivitatskonzepts" gefundenen Resultat iiberein. Die mikroskopische Ableitung mit Hilfe der kinetischen Gleichung erlaubt jedoch die Bestimmung der unbekannten Konstanten und des Phasenfaktors.

Da die StoBzeit in das Ergebnis nicht eingeht, ist es unwesentlich, welcher Ausdruck fiir das StoBintegral verwendet wird. Es kann jedoch gezeigt werden [19], daB die hier verwendete Form des StoBintegrals im extrem anomalen Fall korrekt ist. Man erhalt namlich fiir StOrstellenstreuung

J dB J(f) = W(p, p') [f(p') - I(p)] --;-'

1) FALKOWSKI [23] hat unlangst gezeigt, daB die Reflexion von Elektronen an der Ober­flache im Fall des extrem anomalen Skineffekts spiegelnd erfolgt. Wenn die charakteri­stischen Abmessungen der Oberfliichenrauhigkeit in atomarer GroBenordnung liegen, ergibt die Berechnung lediglich eine Korrektur zur Impedanz von der GroBenordnung 13/l. Dieses Ergebnis laBt eine einfache physikalische Deutung zu. Trifft das Elektron unter einem Winkel e - 13/l auf die Grenzflache und betragt die charakteristische GroBe der Rauhigkeit a - Ii/po, so legt das Elektron in der "Rauhigkeitsschicht" eine Entfer­nung ale zuriick, wodurch eine Unbestimmtheit des Impulses von der GroBenordnung L1p/po - e - 13/1 entsteht.

128 7. Das M etall im hochfrequenten elektromagnetischen F eld

wobei tiber die Flache s(p') = s(p) = const integriert wird. Wird 1= 10 (ol%s) 1jJ eingesetzt, folgt

oloJ dS 1(1) = os W(p, p') [1jJ(p) - 1jJ(p')] --;'

wobei p und p' auf der FERMI-Flache liegen. Die GroBe 1jJ als Funktion von p ist etwa b(nx). Das ist dem Ausdruck (7.23)

fUr den Kern Kcx{J zu entnehmen, der den Strom bestimmt. Wenn im StoBinte­gral1jJ '" b(nx) gesetzt wird, behalt das Glied mit 1jJ(p) den Charakter einer b-Funk­tion, wahrend im Glied mit 1jJ(p') die b-Funktion bei der Integration verschwin­det. Daher wird dieses Glied glatt und ftir die Bestimmung der b-artigen Funk­tion 1jJ unwesentlich. Wirdf W(p, p') dS/v mit l/r(p), bezeichnet, erhalt man das StoBintegral mit der StoBzeit r(p). Da r(p) bei l1x = ° keine Singularitaten be­sitzt, kann im Integral (7.25) l* als eine von e unabhangige GroBe angesehen werden, die bei der Integration tiber e herausfallt. Analog kann man zeigen, daB die angegebene Form des StoBintegrals fUr einen beliebigen Streumechanis­mus anwendbar ist.

7.4. Zyklotronresonanz

Bei den bisherigen Betrachtungen befand sich das Metall entweder in einem Hochfrequenzfeld oder in einem starken Magnetfeld. 1m folgenden wird der Fall betrachtet, daB beide Felder gleichzeitig vorliegen. Von besonderem Interesse ist dabei die sogenannte Zyklotronresonanz.

Abb.32 ASBEL-KANER-Zyklotronresonanz. Das Elektron wird wahrend eines ge­scWossenen Umlaufs mit dem LARMoR-Radius rL nur kurzzeitig innerhalb der Skintiefe (j vom elektrischen Feld der Welle beschleunigt

Das Metall befinde sich im Halbraum x > 0, und das Magnetfeld liege parallel zur Metalloberflache in Richtung der x-Achse und senkrecht zur Zeichenebene in Abbildung 32. Die FERMI-Flache sei geschlossen. AuBerdem sei das Feld hin­reichend stark, so daB der LARMOR-Radius viel kleiner als die freie Weglange list. In diesem Fall bewegen sich die Elektronen auf Spiralbahnen in Richtung der

7.4. Zyklotronresonanz 129

z-Achse (die Darstellung als Kreisprojektion auf die (x, y)-Ebene dient zur Vereinfachung; es wird aber tatsachlich der allgemeinere Fall untersucht). 1st die Temperatur hinreichend niedrig und die Frequenz des Wechselfeldes hoch, so ist die Skintiefe sehr klein gegen rL. In diesem Fall ki:innen gewisse Elektronen mehrmals in die Skinschicht zurtickkehren, obgleich sie sich den gr6Bten Teil der Umlaufzeit auBerhalb dieser Schicht befinden.

Das elektrische Feld in der Skinschicht andert sich zeitlich. 1st die Umlauf­frequenz des Elektrons gleich der Frequenz des aufgepragten Feldes, so wird das Elektron bei jedem Durchlauf durch die Skinschicht infolge des elektrischen Feldes in einer Richtung beschleunigt. Dasselbe tritt nattirlich fUr den Fall ein, daB die Frequenz des elektromagnetischen Feldes ein ganzes Vielf3iches der LARMoR-Frequenz ist: w = nil, da die .Anderung des Feldes wahrend des Aufenthalts des Elektrons in der Skinschicht unwesentlich ist.

Wenn daher die Resonanzbedingungen erfUllt sind, absorbieren die Elektronen am effektivsten die Energie des elektromagnetischen Feldes. Diese Erscheinung ist den Vorgangen in einem Zyklotron bei Beschleunigung von Elementar­teilchen sehr ahnlich und wird daher Zyklotronresonanz genannt (ASBEL, KANER 1956 [24]). Da dieser Effekt von den Elektronenbahnen abhangig ist, kann man erwarten, daB die entsprechenden Experimente gewisse Informatio­nen tiber das Elektronenspektrum ergeben.

Es solI hier nicht die exakte Theorie dieser Erscheinung dargestellt, sondern einfach das Ineffektivitatskonzept [25] (s. Abschn. 7.2.) benutzt und die unbe­kannten Koeffizienten durch Vergleich mit dem genauen Ausdruck fUr die Impedanz in der Grenze H ~ 0 bestimmt werden, der im Abschnitt 7.3. abge­leitet worden ist.

Zunachst wird die zeitabhangige kinetische Gleichung aufgeschrieben:

0/ 0/ 0/ 0/ 0/ / - /0 ;-+~+~v + ~eEz +~evE = ---. ut utI ur upz uS -r:

(7.36)

Die Benutzung von -r: ist hier in dem gleichen Sinn wie bei fehlendem Magnet­feld (Abschn. 7.3.) gerechtfertigt. Ftir die Verteilungsfunktion wird wie immer der Ansatz

0/0 / = /0 - os 'IjJ

gemacht. Wenn'IjJ von der Zeit wie e-irot <1bhangt, ist

( 1) 0'IjJ 0'IjJ - iw + - 'IjJ + - + - v = evE.

-r: otl or (7.37)

Diese Gleichung kann mit Hilfe der Charakteristiken ge16st werden. Schreibt man

dx dy dz d'IjJ dtl = - = - = - = ---:::-c-----'-:-----c-:--

Vx V lI Vz eE(r) v - (-iw + 1/-r:) 'IjJ , (7.38)

9 Abrikossow

130 7. Das Metall im hochfrequenten elektromagnetischen Feld

so ergeben die ersten Gleichungen

t,

r(t2) - r(tI ) = J V (ta) dta • (7.39) t,

Das entspricht der Bewegung eines Elektrons auf seiner Bahn. Durch Ein­setzen der Koordinate r(tI ) in die Funktion E(r) wird E eine Funktion von t}> und die Gleichung

~~ + (- iw + ~)11' = ev(tI)E(r(tI»)

hat die Losung

(7.40)

Beriihrt die Bahn die Oberflache nicht, muI3 fUr die untere Grenze des Integrals - 00 genommen werden. In diesem Fall ist 11' periodisch, wie im Abschnitt 5.2. gezeigt wurde. Kommt die Bahn mit der Oberflache in Beriihrung, so miissen die Randbedingungen an der Oberflache benutzt werden. Es soIl hierbei diffuse Reflexion vorausgesetzt sein, da sie fiir dieses Problem einfacher zu behandeln ist als spiegelnde ReflexionI ). Dabei erinnert sich das Elektron nach der Streuung an der Oberflache nicht mehr an seinen Zustand vor der Streuung. Als untere Grenze in (7.40) muI3 daher die Zeit des letzten ZusammenstoI3es mit der Ober­flache vor dem Zeitpunkt tl gesetzt werden.

AuI3erdem ist zu beriicksichtigen, daI3 die Funktion 11' in einem vorgegepenen Punktr betrachtet wird. Da sich jedoch das Elektron nach Gleichung (7.39) langs der Bahn r(tI) bewegt, muI3 diejenige Bahn ausgewahlt werden, auf der sich das Elektron zum Zeitpunkt tl im Punkte 'I' befindet. Aus (7.39) folgt damit

t,

r(t2) = 'I' + J v(ta) dta . (7.41) t,

Das ist auch derjenige Punkt r(t2), von dem die Funktion E(r(t2») in (7.40) abhangt.

Setzt man (7.40) in den Ausdruck fUr den Strom ein, so erhalt man

X exp [(t2 - tI ) C -iw ) J dt2 (7.42)

(wobei IX, f3 = Z, y). Anstatt der genauen Berechnung des Integrals in (7.42) kann man durch einfache physikalische Dberlegungen zum Ergebnis kommen.

1) Der Charakter der Reflexion kann sich betrachtlich auf die absolute GroBe des Effektes auswirken; die vollstandige Untersuchung dieser Frage steht jedoch noch aus.

7.4. Zyklotronre8onanz 131

In Abb. 32 ist eine Elektronenbahn fiir den Fall lJ ~ rL skizziert; dabei ist f{Jm der Maximalwinkel, der einem die Oberflache streifenden Elektron ent­spricht. Aus der Abbildung folgt, daB

oder

Folglich ist

f{Jm rv YlJ/rL • (7.43)

Der innerhalb der Skinschicht befindliche Teil der Elektronenbahn hat die Lange PQ ~ 2rLf{Jm, so da13 die Aufenthaltsdauer des Elektrons in der Skin­schicht 2rLf{Jm/V" ist.

Trifft das Elektron nicht auf die Oberflache, mu13 in (7.42) von - 00 bis ~ integriert werden. Bis zum Zeitpunkt ~ gibt es zahlreiche kurze Zeitintervalle, innerhalb derer sich das Elektron in der Skinschicht befindet. Jedes dieser Intervalle ist so kurz, daB wahrend dieser Zeit aIle Gro13en unter dem Integral als konstant angesehen werden konnen. Nur diese Intervalle liefem einen Bei­trag zum Integral tiber ts, da das Feld E in der Zeit, in der das Elektron sich au13erhalb der Skinschicht bewegt, gleich Null ist. Da jedoch das Elektron bis zum Eintritt in die Skinschicht jeweils eine ganze Periode T durchlauft, liefert jeder derartige Zeitabschnitt im Vergleich zum vorhergehenden einen zusatz­lichen Phasenfaktor exp [- T(I/'t' - iw)] im Integral (7.42). Setzt man w = T(I/'t' - iw), ergibt sich nach Integration tiber dts die Summe

2rLf{Jm (1 + e-w + e-2w + ... ) = 2rLf{Jm_ w Vy vy(1 - e )

(7.44)

Spaterhin wird gezeigt, da13 der Faktor (1 - e-W)-l zur Resonanz fiihrt. Elektronen, die auf die Oberflache treffen, ergeben statt (7.44) eine endliche Summe und fiihren folglich nicht zu einem Resonanzfaktor. Das Integral tiber dB kann auf die Form

gebracht werden, wobei K die GAusssche Krtimmung der FHi.che an dem Punkt ist, wo die Richtung der Flachennormale durch die Winkel e, f{J gegeben ist (s. Abschn. 7.3.).

Da nach dem Ineffektivitatskonzept nur diejenigen Elektronen wirksam sind, die sich in der Skinschicht parallel zur Oberflache bewegen, ergibt die Integration tiber de groBenordnungsmaBig vxmax/v. Aus Abbildung 32 folgt aber V:rmax = vyf{Jm. Damit ergibt die Integration tiber de Vyf{Jm/vK(f{J), wobei K(f{J) -- K{3t/2, f{J). Werden diese Werte in das Integral (7.42) eingesetzt, so ergibt sich

. 2es f 1 2rLf{Jm vlIf{Jm df{J J" rv (23th)3 1 _ e-W ---;;;- vK(f{J) v"v{JE{J --;;;- •

132 7. Das Metal! im hochfrequenten elektromagnetischen Feld

Setzt man hier epm '" flJlrL aus (7.43) ein, so folgt

2"

2e2 J 1 n",np j", '" (2nJi)3 1 _ e-W K(ep) dep. lJ· Ep. (7.45)

o

Hierbei ist ein konstanter Faktor der GroBenordnung 1 unbekannt. Man kann ihn ermitteln, wenn man (7.45) mit dem exakten Ausdruck fUr H = 0 vergleicht. Die Formel (7.45) ist yom gleichen Typ wie der in Abschnitt 7.2. benutzte Zusammenhang j'" (allk) E '" (alJll) E , so daB der Faktor vor lJ· E als das Verhaltnis all aufgefaBt werden kann. Nach Formel (7.12) geht dieser Faktor in die Impedanz mit der Potenz -1/3 ein. 1m exakten Ausdruck steht jedoch B-l/3,

wobei B",p = f (n",n{JIK(ep)) dep. Der einzige Unterschied zum Fall H = 0 besteht im Tensor B",p' Unter dem Integral tritt jetzt der neue Faktor (1 - e-W (rp»)-1 auf. Ftir diffuse Streuung ergeben sich die Hauptwerte des Impedanztensors aus (7.35) durch Multiplikation mit dem Faktor 9/81 ):

Zi = (1 - i f3) f3 n4/3OJ2/3c-4/3Jie-2/3 Bi l/3 ,

wobei jetzt

1m N enner des Integranden steht

1 - e-W = 1 _ e(2"iw/!J)-(2,,/DT) •

(7.46)

(7.47)

W enn Q-r ~ 1, ist der Faktor exp (-2nl Q-r) unwesentlich, und fUr OJ = nQ ergibt sich Resortanz. Man muB jedoch beachten, daB Q von ep abhangt, so daB bei Integration tiber ep die Singularitat des Integrals verschwinden kann. Daher muB dieses Integral naher untersucht werden.

1m Abschnitt 5.1. wurde gezeigt, daB Q = eHlm*c, wobei

m* = ~ oS(pz, 8)\ . 2n 08 .~p

die Zyklotronmasse ist. AuBerdem sind nur die Punkte auf der FERMI-Flache effektiv, bei denen die Geschwindigkeit in der Metalloberflache liegt, das heiBt V.,; = O. Dieser Sachverhalt ist in Abbildung 33 fUr den Fall einer geschlossenen FERMI-Flache dargestellt. Die gestrichelte Linie verbindet die Punkte, andenen V.,; = 0 ist. Die eingezeichneten vertikalen ebenen Kurven sind Schnitte der FERMI-Flache mit den Ebenen pz = const.

1) Die Formel (7.46) ist nicht streng giiltig. Das exakte Ergebnis unterscheidet sich jedoch nur wenig davon. Die genaue Rechnung fiir das Modell freier Elektronen [26] ergibt in diesem Ausdruck einen gering veranderlichen Faktor, der an der Resonanz 1.3 und zwischeu den Resonanzstellen 1 ist.

7.4. Zyklotronresonanz 133

Fur den Fall quadratischer Abhangigkeit der Energie vom Impuls, das heiBt cik = lXikPiP/c, ist die GroBe m * offenbar fUr aIle pz gleich. 1m allgemeinen Fall trifft das naturlich nicht zu, und m * variiert als Funktion von pz in gewissen Grenzen. Die Frequenz und das Magnetfeld seien etwa derart, daB sich die Elek­tronen auf einem bestimmten Querschnitt in Resonanz befinden. Werden jetzt das Feld oder die Frequenz ein wenig geandert, so geraten die Elektronen benach­barter Querschnitte in Resonanz. Befinden sich also Elektronen in Resonanz, deren Zyklotronmasse innerhalb ihres Wertebereichs liegt, so kann dies nicht zu einer Singularitat der Impedanz fuhren.

Abb.33 Zyklotronbahnen A, B, C (---) auf einer geschlossenen FERMI-Flache. Das Wellenfeld beschleunigt die Elektronen auf der effektiven Zone (- - -), wo die Elektronengeschwindigkeit (~) parallel zur Metalloberflache gerichtet ist

Die Situation ist jedoch anders, wenn sich Elektronen mit extremaler (maxi­maIer oder minimaler) Zyklotronmasse in Resonanz befinden. Wird in diesem Fall das Feld in einer Richtung geandert, gelangen andere Elektronen zur Reso­nanz, wahrend bei umgekehrter Anderung des Feldes die Resonanz vollstandig verschwindet. An dieser Stelle ist eine Singularitat der Impedanz zu erwarten. Die Resonanzbedingung lautet daher

w = nQextr ' (7.48)

Dieses Problem solI im folgenden ausfuhrlicher behandelt werden. Normaler­weise ist im Experiment die Frequenz w konstant, wahrend das Magnetfeld ge­andert wird. Befindet man sich in der Nahe einer Resonanzstelle H = H n,

so sind fUr das Integral (7.47) offenbar Werte fur rp in der Nahe von rpo maBgeb­lich, die m:xtr entsprechen. Daher laBt sich Q durch den Ausdruck

Q = (wjn) [1 + L1 + a(rp - rpo)2]

annahern, wobei L1 = (H - Hn)jHn, a rv 1. 1st die Masse bei rpo minimal, so ist a < 0; ist sie maximal, so ist a > O. Die in (7.47) eingehende GroBe w = 2njQ-r: - 2niwjQ ist annahernd -2nin. Entwickelt man fur den Fall Q-r: ~ 1 die GroBe 1 - e- W nach L1, (rp - rpO)2 und IjQ-r:, so findet man

1 - e-W ~ w + 2nin ~ 2nnjw-r: + 2ninL1 + 2nina (rp - rpO)2 •

134 7. Das Metall im hochfrequenten elektromagnetischen Feld

Da das Integral (7.47) in der Umgebung von ffJ = ffJo schnell konvergiert, kon­nen aIle dort langsam veriinderlichen GroBen durch ihre Werte fiir ffJ = ffJo ersetzt und die Integrationsgrenzen iiber ffJ - ffJo unendlich gesetzt werden. Somit erhiilt man

(7.49)

Die Extremalmasse bezieht sich dabei auf einen bestimmten Querschnitt pz = const, der die Kurve Vz = 0 an zwei Punkten schneidet (auBer an Grenz­punkten, s. weiter unten), denen zwei Winkel ffJm und ffJ02 entsprechen. Man muB daher das Gebiet urn diese beiden Winkel untersuchen. Die Integrale sind dabei identisch. Die einzige erforderliche Anderung betrifft den Faktor vor dem Inte­gral in (7.49): es muB die Summe von ffJOl und ffJ02 genommen werden:

B(W = n",(ffJol) nfJ(ffJol) + n",(ffJ02) nfJ(ffJ02) (7.50) '" K(ffJm) K(ffJ02)

Fiir den FalllLJI ~ 1/0)"(, a > 0 ist

-i

2n fLJa ' B B (O)

",fJ= "'fJ 1 (7.51)

2n flLJI a '

und fiir a < 0 1

LJ > 0;

(7.52)

2n flLJI lal ' LJ < O.

Das Vorzeichen von a bestimmt also wesentlich das Ergebnis, das heiBt, maxi­male und minimale Zyklotronmassen fiihren zu erheblich unterschiedlichen Aus­wirkungen auf die Impedanz.

Es soIl hier nicht der konkrete Verlauf der Impedanzkurven analysiert, son­dern lediglich die GroBenordnung der Effekte ermittelt werden. Nach (7.49) konnen die Formeln (7.51) und (7.52) bei ILJI ~ 1/0)"( angewendet werden. Nach (7.46) geht in die Impedanz B-1/3 ein, das heiBt eine GroBe der Ordnung n1/ 3 ILJI 1/6 • In den genauesten Experimenten wird nicht die Impedanz gemessen, sondern ihre Ableitung nachdem Magnetfeld, z. B. dX/dE. Diese ist proportio­nal zu nl/3ILJI-5/6/Hn, das heiBt hat einen Pik bei LJ -.0, dessen Hohe propor­tional zu n1/3(0),,()5/6/Hn ist. Andererseits gilt zwischen den Maxima LJ ~ (Hn - Hn+1)/Hn rv l/n. Foiglich ist in diesen Bereichen dX/dE proportional zu n1/3n5/6/Hn. Daraus folgt, daB die relative Hohe der Resonanzpiks in dZ/dE von

7.4. Zyklotronresonanz 135

der GroBenordnung (wT/n)5/6 ist. l ) Die genaue Form der Resonanzlinien in Z oder dZ/dH kann mit Hilfe der Formeln (7.51), (7.52) und (7.46) gefunden wer­den.

Desweiteren ist die Lage der Querschnitte mit Extremalmassen von Interesse. Besitzt die FERMI-Flache ein Symmetriezentrum, so hat der Zentralschnitt unbedingt eine extremale Masse (in Abb. 33 der Querschnitt G). Ferner konnen auch gewisse zufallige Querschnitte diese Eigenschaft besitzen. Schlie13lich trifft diese Eigenschaft auch auf die Punkte P und Q in Abbildung 33 zu, die man ellip­tische Grenzpunkte nennt (an diesen Punkten tangiert eine Ebene pz = const die FERMI-Flache). Zum Beweis sei ein Querschnitt ganz in der Nahe von P, z. B. A, herausgegriffen, der die Linie v'" = 0 in den Punkten 1 und 2 schneidet. Diese Punkte entsprechen verschiedenen cp-Werten, gehoren jedoch zu einem Querschnitt und haben folglich den gleichen Wert m* = (1/2n) oS/oe. Folglich entspricht ein bestimmter cp-Wert zwischen diesen Punkten einem Extremum von oS/oe, namlich offenbar der Punkt P.

Abb.34

~------~~----~A

Schnitt der FERMI-Flache in Abb. 33 am elliptischen Grenzpunkt Pin einer Hauptkriimmungsrichtung mit dem Kriimmungsradius R1• a ist die ent­sprechende Halbachse der Ellipsenbahn A im Abstand i5pz vom Grenzpunkt

Zur Berechnung von oS/oe am Punkt P wird wiederum ein in der Nahe von P liegender Querschnitt betrachtet, der eine Ellipse (Abb. 34) mit den Halbachsen

a = f Hi - (RI - (Jpz)2 R> 1/2R(Jpz , b R> f2R2(Jpz

ist, wobei RI und R2 die beiden Hauptkriimmungsradien der FERMI-Flache sind. Die Querschnittsflache ist

(JS = nab = 2n fRI R2 (Jpz = 2n((Jpz/fK) . (7.53)

1m Punkte P hat die Geschwindigkeit die Richtung von H, G..1S heiJ3t, es ist Vz = v = oe/opz, also

(Je 2n (j{; (Jpz = -; und (JS = fK -V- •

1) Dies gilt, solange wT/n > I ist. 1m entgegengesetzten Grenzfall, z. B. fur groLle n, nimmt die Amplitude der Piks nach dem Gesetz exp (- 2nn/wT) abo

136 7. Das Metall im hochfrequenten elektromagnetischen Feld

Da m*= (1/2n) as/of:, ist fUr die elliptischen Grenzpunkte

1 m*= vVK. (7.54)

Dabei tritt folgende Unklarheit auf. Wie groll ist der LARMoR-Radius, wenn die Geschwindigkeit im Punkt P parallel zum Magnetfeld liegt ~ Offenbar ist er in diesem Fall gleich Null, wahrend aIle Erscheinungen aber auf der Voraus­setzung TL ~ (j beruhen. Tatsachlich ist dies jedoch kein Widerspruch. In der Nahe des Grenzpunkts ist

Q = Qo[1 + a(cp - CPO)2] ,

wobei a", 1. In w tritt aber auller demRealteil noch einImaginarteiI2n/Q7: auf. Dieser bewirkt eine Verschmierung der Resonanz, ebenso wie die Beteiligung der zu P benachbarten Punkte an der Resonanz. Die Ausdehnung dieses Ge':' bietes ist durch die Bedingung (w/Q) (cp - CPO)2 r-..J I/Q7: bzw.

Icp - CPol '" I/Vw7: (7.55)

bestimmt. Andererseits ist der LARMoR-Radius offenbar TL rv TLO(CP - CPo) (wobei TLO ein gewisser Mittelwert fur eine gegebene Flache ist). Daher haben die an der Resonanz beteiligten LARMoR-Radien in der Nahe der Grenzpunkte die

Grollenordnung TL rv TLo(I/rw:t). Die Bedingung TL ~ (j bedeutet

VW7:4t,..rLO/(j. (7.56)

Fur die Zyklotronresonanz mull zwar W7: ~ 1 gelten, jedoch darf dieser Wert nicht zu groB sein. Andernfalls ist es unmoglich, eine Grenzpunktresonanz zu beobachten.

Abb.35

dX/dH

10 1/11

Experimentelle Zyklotronresonanzkurve fur Zinno Der Imaginarteil der differentiellen Oberflachenimpedanz dX/dH zeigt als Funktion der rezi­proken Magnetfeldstarke I/H zwei verschiedene Oszillationsperioden (nach [28])

Experimentell konnen bei der Zyklotronresonanz die verschiedenen Typen von Extremalmassen gut unterschieden werden. An den Grenzpunkten P und Q in Abbildung 33 hat die Elektronengeschwindigkeit die Richtung des Magnet­feldes H. Da die Wechselwirkung mit dem elektrischen Feld durch evE ausge-

7.4. Zyklotronresonanz 137

driickt wird, mu.13 die Grenzpunktresonanz verschwinden, 'wenn E senkrecht zum konstanten Magnetfeld ist (die Welle fallt senkrecht auf die Metallober­flache, so da.13 E in der Oberflachenebene liegt).

Sind die Extremalmassen mit dem Zentralschnitt 0 in Abbildung 33 ver­kniipft, so sind die hier wesentlichen Geschwindigkeiten an den Punkten 3 und 4 genau entgegengesetzt. Man kann daher eine Richtung des elektrischen Feldes finden, die senkrecht zu beiden Geschwindigkeiten liegt. In diesem Fall ver­schwindet die Resonanz, wobei die Geschwindigkeiten aber nicht die Richtung des konstanten Magnetfeldes haben.

1st schlie.l3lich der fUr die Extremalmassen ma.l3gebliche Querschnitt beliebig, dann liegen die Geschwindigkeiten an den beiden Schnittpunkten von Vz = 0 und pz = const nicht in der gleichen Richtung. Die Resonanz kann dann nicht verschwinden.

Abb.36

a) b)

Elektronenbahnen im Magnetfeld, das um den Winkel 'If' zur Metalloberflache geneigt ist. Die Spiralbahn (a) entspricht einem beIiebigen Schnitt und die ge­schlossene Bahn (b) dem Zentralschnitt einer geschlossenen FERMI-Flache

Wie bereits gesagt, ist es experimentellieichter, das Magnetfeld anstatt die Frequenz zu variieren. Schreibt man die Resonanzbedingung als

lIB = nelm*cw ,

so sieht man, da.13 die Oberflachenimpedanz als Funktion von lIB periodisch sein mu.13 (in Abbildung 35 sind zwei Perioden zu erkennen) [28]. Aus der Oszil­lationsperiode la.l3t sich m* ermitteln.

Als nachstes werden einige fiir das Auftreten der Zyklotronresonanz not­wendige Bedingungen betrachtet. Zunachst solI die Grenze der moglichen Nei­gung des au.l3eren Magnetfeldes zur Metalloberflache bestimmt werden. Damit nach Abbildung 36a Resonanz auf tritt, mu.13 das Elektron mindestens zweimal in die Skinschicht eintauchen. Die Periode ist 21't:rL/v. 1st die mittlere Geschwin­digkeit in Feldrichtung ebenfalls von der Gro.l3enordnung v, so bewegt sich das Elektron in x-Richtung mit einer Geschwindigkeit V1p. 1m Verlauf einer Periode ist seine Verschiebung in x-Richtung (21't:rL/v) vtp. Diese mu.13 kleiner als ~ sein, also

(7.57)

138 7. Das Metall im hochfrequenten elektromagnetischen Feld

Diese Bedingung ist fUr iibliche Metalle bei Feldern um 104 Oe fUr tp < Ie erfUllt.

Da an den Grenzpunkten rL/v 1.. rv rLO/v, ist die Bedingung (7.57) auch fUr diese erfiillt.

Ein Spezialfallliegt bei Zentralschnitten vor. Hier ist die mittlere Elektronen­geschwindigkeit in Magnetfeldrichtung Null. Daher ist die Elektronenbahn nicht spiralformig, sondern geschlossen (Abb. 36b). Die Bedingung fUr das Auf­.treten der Resonanz ist hierbei nicht so streng wie im allgemeinen Fall. Man kann sie auf folgende Weise finden. Obwohl auf dem Zentralschnitt selbst V z = 0 ist, beteiligt sich an der Resonanz, wie vorher gezeigt, eine gewisse Umgebung des Zentralquerschnittes. Diese Umgebung ermittelt sich aus den gleichen Uber­legungen wie bei den Grenzpunkten, das heiBt, sie geniigt der Beziehung (7.55). Es ist leicht einzusehen, daB die mittlere Geschwindigkeit V z bei einem bestimm-

ten cP - CPo von der GroBenordnung v(cp - CPo), das heiBt v/Yw-c ist. SchlieBt man analog zur Herleitung von Formel (7.57) weiter, so findet man

tp ~ fJ yw-c/2nrL • (7.58)

Eine weitere unbedingt einzuhaltende Bedingung besteht darin, daB im Ver­lauf der Bewegung des Elektrons in der Skinschicht das elektrische Feld kon-

stant bleiben muB. Die Lange dieses Bahnabschnittes ist 2 Y2rLfJ/cos tp. Die

entsprechende Laufzeit 2 Y2rLfJ/cos tpjv muB kleiner als T = l/v = 2n/w sein. Da rL rv v/Q rv vn/w, folgt

(7.59)

Grundsatzlich muB noch eine weitere Bedingung erfiillt sein: der Bahnbogen in der Skinschicht muB sehr viel kleiner als die gesamte Bahnlange sein. Diese Bedingung ist cos tp '}> fJjrL rv fJvjvn, das heiBt schwacher als (7.59).

Beziiglich des Exponentialfaktors e-2n/ DT ist folgendes zu bemerken. An der Resonanzstelle ist Q = win, so daB dieser Faktor gleich e-2nn/wy = e-n/vy ist. Bleibt w konstant, so verkleinert er sich mit zunehmendem n, das heiBt, bei gegebenem v-c kann man Resonanzen mit Werten fiir n beobachten, die kleiner als v-c sind. Das bedeutet, daB zur Beobachtung einer groBen Anzahl von Reso­nanzen groBe -c erforderlich sind. Fiir eine Frequenz von v = 1010 Hz gibt diese Bedingung 101O-c rv 1010l/v rv 102l '}> 1 (da v bei den meisten Metallen von der GroBenordnung lOs em S-l ist). Es muB also 1 '}> 10-2 em bzw. die StOrstellen­konzentration Ci ~ 10-4 sein. Die Forderung nach Konstanz des elektrischen Feldes wahrend des Aufenthalts des Elektrons in der Skinschicht beinhaltet eine absolute Begrenzung der Zahl der Resonanzen. Nimmt man in (7.59) cos tp rv 1 an, so folgt

n < v/fJv.

Fiir v rv 1010 Hz und fJ rv 10-4 em ist demnach n < 102•

8. GroBeneffekte 1 )

8.1. Abbruch der Zyklotronresonanzbahnen

1m weiteren werden einige Erscheinungen betrachtet, die an diinnen MetaIl­sehiehten in variablen und konstanten Feldern auftreten. Es gibt eine Vielzahl sole her Erscheinungen unterschiedlicher N atur; sie aIle aber bilden die besondere Gruppe der sogenannten Gr6Beneffekte.

Abb.37

1- 7 .<

"" i A

CD I \ / \ dn _, \ drz I .ll

i \ /

t 8 \ I

" / '" >

Abbruch einer Zyklotronresonanzbahn in einem Metallplattchen der Dicke D. 1m Gegensatz zur Bahn (--) mit dem Durchmesser dn < D ergibt die Bahn (- - -) mit dem Durchmesser dn +l > D keine Zyklotronresonanz bei diffuser Streuung der Elektronen an der Oberflache

Einer dieser Effekte hangt eng mit der Zyklotronresonanz zusammen (KANER

1958 [27]); zur Illustration dient Abbildung 37. Integriert man die eine der Gleichungen (5.4)

dplI e -= -v -H dt x c

iiber t in den Grenzen von t = 0, wenn sich das Elektron in minimalem Abstand von der Oberflache A (in dies em Punkt ist natiirlich v", = 0) befindet, bis t = t', wenn das Elektron der Grenzflache B am nachsten ist (wieder gilt v", = 0), so erhalt man

t'

py(t') - PlI(O) = - : H J Vz dt .

o

1) Anmerkung des Herausgebers: Diese Effekte werden auch wie in der englischen Literatur als Size-Effekte bezeichnet.

140 8. Groj3eneffekte

Das Integral auf der rechten Seite ist aber einfach die Verschiebung des Elek­trons in der x-Richtung, das heiBt der Durchmesser der Bahn d. Folglich gilt

eH py(t') - py(O) = - -d.

c (8.1)

Unter der Annahme, daB es sich um eine Zyklotronresonanzbahn handelt, ergibt sich wegen der Beziehung (7.48) fUr beliebiges n

py(t') - py(O) = - (m*w/n) dn • (8.2)

1m vorigen Kapitel wurde gezeigt, daB jedes n einer Resonanz entspricht. Nach (8.3) muB der Bahndurchmesser mit wachsendem n zunehmen. Folglich existiert ein gewisses groBtes n, fUr das der Durchmesser dn kleiner als die Plattchendicke D und der Durchmesser der nachsten Ordnung dn +! bereits groBer als D ist. Daher erreichen Elektronen mit Bahndurchmessern dn+m mit m > 1 bereits die Probengrenzen und tragen nicht zur Resonanz bei.

Abb.38

!/H

Experimentelle Zyklotronresonanzkurve fiir ein Zinnplattchen. 1m Imaginar­teil der differentiellen Oberflachenimpedanz dX/dH als Funktion der rezi­proken Magnetfeldstarke IIH fehlen die Zyklotronresonanzen der Ordnung n > 26 (nach [28])

AnsteIle der in Abbildung 35 dargestellten Kurve erhalt man in diesem FaIle die in Abbildung 38 gezeigte Abhangigkeit [28].1) SteUt man die Nummer des letzten beobachtbaren Piks fest und setzt in (8.2) dn = D, findet man den Wert

1) Das pl6tzliche Verschwinden der einen Harmonischen in Abbildung 38 zeugt von der diffusen Reflexion der Elektronen an der Oberflache. Das ist vom Standpunkt der Uber­legungen, die in der FuBnote auf Seite 127 angefiihrt wurden, vollkommen verstandlich. Wenn die note Bahn die letzte ist, die in der Probe noch Platz hat, so fiihrt die n + I-te

unter einem Winkel q; ~ lit:;;: zur Ob~flache. Das fiihrt zu einer Unbestimmtheit des

Impulses von der Gr6Benordnung llyn und folglich zu derselben Unbestimmtheit des LARMoR-Radius. Zur Beobachtbarkeit der Resonanz ist es aber n6tig, daB sich die Har­monischen nicht iiberlappen, das heiBt L1rLlrL < lin. Folglich kann die n + I-te Bahn keine Resonanzbahn sein.

8.1. Abbruch der Zyklotronresonanzbahnen 141

der GroBe py(t') - py(O). Wenn die Resonanz durch einen Zentralquerschnitt der FERMI-Fliiche hervorgerufen wird, so ist offenbar t' = T/2, wobei T die Periode bedeutet und py( T /2) = - py(O) gilt. In diesem FaIle ergibt sich aus (8.2)

py(O) = (m*w/2n) dn • (8.3)

Mit Hilfe dieser Methode kann man daher den FERMI-Impuls messen. Das ist die py-Koordinate desjenigen Punktes der FERMI-Fliiche, wo der Zentralschnitt pz = 0 die Linie v'" = 0 schneidet. Die Genauigkeit dieser Messung hiingt von der Zahl nab, bei der die Resonanzen verschwinden. Wegen dn < D < dn +! ist der maximale Fehler gleich I/n, und man muB daher solche Bedingungen reali­sieren, die ein moglichst groBes ngarantieren. Nach (8.3) ist das fUr hinreichend hohe Frequenzen der Fall. In reinen Zinnkristallen gelang es, Werte von n = 25-30 zu erreichen.

Kiirzlich wurde festgestellt, daB in diinnen Schichten ein besonderer Typ von Zyklotronresonanz beobachtet werden kann, der auch vom Standpunkt der Untersuchung des Elektronenspektrums von Intcresse ist. Dabei handelt es sich urn Zyklotronresonanz an nichtextremalen Bahnen (WOLODIN, CHAIKIN, EDELMAN 1973 [84]). Man stelle sich vor, daB das Abschneiden der (n + I)-ten Bahn beobachtet wird, die mit einem Zentralquerschnitt der FERMI-Fliiche mit maximalem py verkniipft ist. Die anderen Querschnitte haben kleinere py und folglich auch kleinere Bahndurchmesser. Durch Anderung von pz gelangt man, ausgehend vom Zentralquerschnitt, zu einem beliebigen anderen Querschnitt, fiir den die Beziehung

py(t') - py(O) = - [m*w/(n + 1)] D

gilt. Bei vorgegebener Frequenz ist das ein vollstiindig bestimmter Querschnitt. Er hat die besondere Eigenschaft, daB aIle dem Zentralquerschnitt niiher gele­genen Querschnitte nicht an der (n + I)-ten Resonanz teilnehmen konnen, wiihrend aIle weiter entfernten bereits daran teilnehmen konnen. Deshalb muB in der Impedanz fiir

m*cw B=---­

(n + 1) e

eine Besonderheit erscheinen. Dem niichsten derartigen Querschnitt entspricht eine ana loge Formel mit n + 2 und so weiter.

Diese Erscheinung ist experiment ell beobachtet worden [84], wobei die Ampli­tude der entsprechenden Maxima der Kurve dR/dB eine GroBenordnung kleiner als bei Resonanz am Zentralquerschnitt war. Dennoch ist der Effekt beobachtbar und stellt bisher den einzigen Effekt dar, mit dessen Hilfe die Abhiingigkeit der Masse m * von pz unmittelbar gemessen werden kann. Es sei darauf hingewiesen, daB auBer im Fall konstanter Masse (d. h. eines quadratischen Spektrums vom Typ e = IXikPiPk) jeder derartigen Resonanz ein eigener Wert m* entspricht, so daB es keinerlei Periodizitiit der Maxima in l/B wie bei Resonanz an Extremal­querschnitten gibt.

142 8. Grofteneffekte

8.2. Innere Hochfrequenzfeldschichten bei Zyklotronresonanz

Wie schon erwahnt, dringt ein hochfrequentes Feld bis zu einer bestimmten Tiefe lJ in das Metall ein. Bei Anwesenheit eines Magnetfeldes jedoch existieren im Innern eines Metalles Schichten, in denen das hochfrequente Feld ebenfalls von Null verschieden ist (ASBEL 1960 [29]).

Abb.39

D

Bahn eines Elektrons, das innerhalb der Skintiefe ~ auf dem Bogen AB be­schleunigt wird, auf dem gleichlangen Bogen A' B' auBerhalb der Skinschicht wenig zur Stromdichte beitriigt und in der Umgebung des Punktes D erneut eine groBe Stromdichte ergibt

In Abbildung 39 ist eine Elektronenbahn dargestellt, die in die Skinschicht des Metalles fiihrt. Die Bogenlange AB ist von der GroJ3enordnung "LCfJ oder

"VrJ. Mit J als Gesamtstrom durch die Skinschicht wird die Stromdichte gleich i = JIlJ. Die Geschwindigkeitskomponente des Elektrons in Richtung der Oberflache VII ist in einem beliebigen Punkt 0 gleich V cos e, und die y-Kompo­nente des Gesamtstromes ist proportional zu J cos e. Dieser Strom verteilt sich langs des Bogens A' B' derselben Lange wie friiher, nur betragt dessen

Projektion auf die x-Achse jetzt ¥"LlJ sin e. Daher ist die Stromdichte jetzt

J cos e/yrLlJ sin e, das heiJ3t bei mittleren Winkeln e urn ¥lJlrL mal kleiner als in der Skinschicht. 1m Punkte D der Bahn ergibt sich dann erneut eine groJ3e Stromdichte.

Bisher bezogen sich aIle Oberlegungen auf eine einzige Elektronenbahn; tat­sachlich aber existieren verschiedene Bahnen mit verschiedenen Durchmessern.

Fiir den Fall freier Elektronen ergeben sie sich zu cp .lleH = (cleH) ¥2me - P:' Die Abbildung 40 zeigt daher die tatsachlichen Verhaltnisse. In beliebiger Ent­fernung von der Oberflache betragt die Dichte der "zum Strom beitragenden" Elektronen zumindest den lJlrL-ten Teil des Wertes in der Skinschicht.

Dieser MangellaJ3t sich im FaIle der Zyklotronresonanz beheben. Bekannt­lich nehmen an der Zyklotronresonanz Elektronen mit Frequenzen teil, die den Extremalwerten nahe sind. Es gilt folgende Bedingung:

Iw - nill rv l/,e.

8.2. Innere Hochfrequenzfeldschichten bei Zyklotronresonanz

Da Q nahe dem Extremalwert ist, ergibt sich

1 02Q Q R::; Qo + 2 op; (Llpz)2

143

(Grenzpunkte, fUr die bQ rv bpz gilt, werden hier nicht betrachtet). Da groBen­ordnungsmaBig 02Q/Op; rv Q/P5 (Po mittlerer FERMI-Impuls) ist, erhalt man

w 1 -2 (Llpz)2 rv - oder Llpz rv PolVw.,; • Po .,;

1m weiteren werden zwei verschiedene Falle untersucht.

1. Zentralschnitte. Hierbei wird nicht nur OS/08 extremal, sondern auch der Bahndurchmesser. Folglich wird

1 02d d = do + 2 (Llpz)2 op~'

Da 02d/op; rv do/P5, erhalt man

do p3 do do LId rv (LlPz)2 - rv - - rv -.

P5 w.,; p3 w.,;

Da bekanntlich do rv rL rv v/Q rv nv/w ist, wird der Variationsbereich des Bahn­durchmessers LId rv nv/w2.,;. Damit das elektrische Feld aus dem Gebiet AB zu

Abb.40 Verschiedene Elektronenbahnen, die zum Strom in der Skinschicht beitragen

dem tiefer liegenden Punkt D in Abbildung 39 tibertragen werden kann, muB die Bedingung LId < b erfUllt sein, das heiBt, es muB

w.,; > do/b rv rL/b (S.4)

gelten. Oben wurde gezeigt, daB fUr das Auftreten der Resonanz w.,;?> 1 not­wendig ist. Die Bedingung (S.4) ist eine weitaus scharfere Forderung, die aber trotzdem praktisch noch realisiert werden kann.

2. Nichtzentrale Schnitte mit extremalem OS/08. Hierbei gilt

LId rv LlPzdo/Po rv do/fw,,; •

144 8. GrofJeneffekte

Die Bedingung LId < ~ liefert in diesem F.alle (dcr'" rL)

ro't ~ (rL/lJ)2 • (8.5)

Diese Forderung UiBt sich experimentell nur sehr schwer realisieren. Folglich konnen nur Resonanzen der Zentralschnitte zur nbertragung des

hochfrequenten Feldes ins Metallinnere fiihren. Dabei entsteht in einer Entfer­nung dextr von der Oberfliiche eine Schicht der Dicke ~, in der sich das Hochfre­quenzfeld ausbildet, das amplitudenmiiBig mit dem Feld in dar Skinschicht ver­gleichbar ist. Dieses Feld wiederum fiihrt seinerseits zur Entstehung eines wei­teren Feldes in einem Abstand 2dextr usw. Die exakte Berechnung ergibt den in Abbildung 41 dargestellten Verlauf der Amplituden von E und j im Innern des Metalles.

Abb.41

E,j

x

Amplituden des elektrischen Feldes E und der Stromdichte j als Funktion des Abstandes x von der Metalloberflache bei Zyklotronresonanz an einem Zentralschnitt der FERMI-Flache. dextr ist der entsprechende Bahndurcn­messer und b die Skintiefe (nach [29])

Die Ausbildung solcher Feldschichten kann an dunnen Pliittchen experimen­tell beobachtet werden. Man hat Besonderheiten im Verlauf der Oberfliichen­impedanz zu erwarten, wenn eine der zusiitzlichen "Skinschichten" die gegen­uberliegende Oberfliiche des Pliittchens erreicht. Bei gegebener Frequenz tritt die Resonanz bei bestimmten Magnetfeldwerten auf, das heiBt bei bestimmten Abmessungen der Resonanzbahnen. Die Durchmesser dieser Bahnen unterschei­den sich allgemein von der Dicke des Pliittchens. Zur Beobachtung sekundiirer Skinschichten hat man entweder bei Anderung der Frequenz des Wechselfeldes die Durchmesser der Resonanzbahnen zu variieren und sie der Schichtdicke an­zugleichen oder die Schichtdicke zu veriindern. Beide Moglichkeiten sind experi­mentell schwer zu verwirklichen.

Dieselben Parameter des elektronischen Spektrums kann man jedoch mit Hilfe nichtresonanter GroBeneffekte bei alleiniger Anderung des Magnetfeldes erhalten. Diese Effekte werden in den niichsten Abschnitten behandelt.

8.3. Nichtresonanter Grofleneffekt 145

8.3. Nichtresonanter GroBeneffekt

Gleichung (8.1) laBt sich auch auf nichtresonante Bahnen anwenden. Wenn der Bahndurchmesser groBer als die Schichtdicke ist, so wird das Elektron diffus an der Oberflache gestreut und "weiB" nichts mehr tiber seine vorhergehende Bewegung. VergroBert man jedoch das auBere Feld, so verkleinert sich der Bahn­durchmesser und wird schlieBlich kleiner als die Dicke des Plattchens. Wenn es sich dabei um einen extremal en Durchmesser handelt, so muB bei einem ent­sprechenden Feldwert eine Besonderheit in der Oberflachenimpedanz auftreten. (GANTMACHER 1962 [30]). Ausfiihrliche Berechnungen ergeben, daB die Ablei­tung dZ/dH bei diesem Feldwert ein Extremum besitzt. Man beachte, daB dieser Effekt kein Resonanzphanomen ist und daher die Lage der Besonderheit nicht von der Frequenz des Wechselfeldes (im Radiofrequenzbereich, Anm. d. Hrsg.) abhangt.

Die Natur dieser Erscheinung wird klar, wenn man analoge -oberlegungen wie im vorigen Abschnitt anstellt. Ftir eine extremale Bahn gilt

I (J2d do LJd '" - (LJp )2 - '" (LJp )2 -

2 Z (Jp; Z P5' Falls LJd ;:;; b, so gelangt das hochfrequente Feld ins Metallinnere, und es bildet sich eine zusiitzliche "Skinschicht" im Abstand dextr aus. Hier ergibt sich jedoch

LJpz < Po Yb/rL .

Folglich ist nur ein kleiner Teil der Elektronen (mit Bahnen nahe der extremalen) an diesem Effekt beteiligt. Daher betragt die Stromdichte im Abstand dextr im

Metallinneren den y b/rL-ten Teil der Stromdichte in der Skinschicht. Trotzdem ist sie groBer als die Stromdichte in anderen Abstanden von der Skinschicht, da sie dort mindestens urn b/rL-mal kleiner ist als in der Skinschicht.

Abb.42

10 Abrikossow

Feldschichten durch Bahnen mit verschiedenen Extremaldurchmessern, die zu einem nichtresonanten GroBeneffekt fiihren

146 8. GroJ3eneffekte

Wenn die Probendicke hinreichend gro13 ist, fiihrt die Existenz einer Schicht mit einem hochfrequenten Feld im Metall zur Ausbildung einer weiteren Schicht im Abstand 2dextr und so weiter. Falls es mehrere Extremaldurchmesser gibt, fiihrt die sekundare Skinschicht des Feldes, die durch einen dieser Durchmesser bedingt wird, zur Entstehung einer zweiten, die durch ein anderes dextr verursacht wird. Folglich befindet sich die zweite induzierte Feldschicht in einem Abstand d~}2tr + d~i\r' Allgemein konnen beliebige Kombinationen verschiedener dextr vor­kommen, und die induzierten Feldschichten entstehen in allen Abstanden L; nid~~\r (Abb. 42). Da jedoch die Stromdichte in jeder induzierten Schicht um

den Faktor Vb/rL kleiner ist als in der vorhergehenden Schicht, so ist die Strom­amplitude von der GroBenordnung

(8.6)

Wenn eine von diesen induzierten Schichten die gegeniiberliegende Oberflache des Plattchens erreicht, fuhrt die Existenz des Hochfrequenzstromes zur Aus­strahlung eines elektromagnetischen Feldes. Mit anderen Worten, das Platt­chen besitzt dann eine hohere Durchlassigkeit fur die einfallende elektromagne­tische Welle. Diese Erhohung der Transmission zeigt sich als Besonderheit der

Abb.43

dX dH

J/H

Experimentelle Radiofrequenz-GriiBeneffektkurve fiir ein Zinnplattchen im zur Oberflache parallelen Magnetfeld. Der Imaginarteil der differentiellen Oberflachenimpedanz dXjdH zeigt als Funktion der Magnetfeldstarke H den nichtresonanten GriiBeneffekt (nach [30])

Oberflachenimpedanz (Extremum von dZ/dH, Abb. 43) bei entsprechenden Wer­ten des konstanten Magnetfeldes. Nach (8.1) gilt fiir das Auftreten einer Beson­derheit der Oberflachenimpedanz

, (i) _ eH L; ni[PII(t ) - PII(O)]extr - - -D. (8.7) i C

Die Starke der Besonderheit hangt von ihrer Ordnung gema13 der Relation (8.6) abo

Die beschriebene Methode erwies sich als au13erordentlich effektiv fur eine direkte Bestimmung des FERMI-Impulses; sie ist naturlich nur dann anwendbar, wenn die mittlere freie Weglange gro13er als die Probendicke oder zumindest von derselben Gro13enordnung ist.

8.4. Nichtresonanter Groj3eneffekt im geneigten Feld 147

8.4. Nichtresonanter GroBeneffekt im geneigten Feld

Es gibt einen weiteren Gr613eneffekt desselben Typs wie den in Abschnitt 8.3. betrachteten; nur nimmt die Amplitude nicht so stark mit der Ordnung der Besonderheit abo Dieser Effekt tritt im geneigten Feld auf und hangt mit den Zentralschnitten der FERMI-Flache zusammen (KANER 1963 [31]).

Abb.44

---77---v-----n---v-----=-77---v--Feldschichten durch Elektronenbahnen, die dem Zentralschnitt einer ge­schlossenen FERMI-Flache entsprechen (Abb. 36b) und zum nichtresonanten GriiBeneffekt in einem zur Metalloberflache geneigten Magnetfeld fiihren

Aus Abbildung 36 ist ersichtlich, da13 ftir einen Zentralschnitt die mittlere Ge­schwindigkeit in Richtung des Magnetfeldes Vz = 0 ist. Alle tibrigen Elektronen bewegen sich auf Spiralbahnen und bleiben nicht in der Skinschicht. In der Nahe eines Zentralschnittes gibt es eine Gruppe von Elektronen, die wahrend ihrer gesamten freien Flugzeit innerhalb der Skinschicht sind und flir die offen­bar Vir: sin tp < lJ bzw. Vz < lJj(-r: sin tp) gilt. Die relative Anzahl solcher Elektronen betragt njno '" vzjv '" lJj(TV sin tp). Ihr Beitrag zur Leitfahigkeit jedoch erweist sich wegen des mehrfachen Umlaufes in der Skinschicht urn Q-r: mal gro13er als der Beitrag der entsprechenden Anzahl von Elektronen, die nicht mehrmals in die Skinschicht gelangen. Daher ist die effektive Leitfahigkeit dieser Elektronen von der Gr613enordnung

n lJQ lJ a- Q-r: '" a -.-- '" a .

no V sm tp rL sm tp

Wenn sin tp < lJjrL gilt, wird die Leitfahigkeit im wesentlichen durch diese Elektronen bestimmt.

Andererseits ist die Verschmierung der Bahndurchmesser flir Elektronen in der Nahe eines Zentralschnittes von der GroBenordnung

(pZ)2 (vz)2 (lJ)2 L1d ~ do Po ~ do -; ~ do l sin tp •

10'

148 8. Grofleneffekte

Wenn diese GroBe kleiner als b wird, so reproduziert sich die Skinschicht iIll Metallinneren, das heiBt, es treten induzierte Feld- und Stromschichten auf (Abb. 44). Folglich ergibt sich als notwendige Bedingung

rdb/l sin 1p)2 < b

oder zusammen mit der yorigen Ungleichung

VrLb/l < sin 1p < b/rL . (8.8)

Wenn die Probe die Form eines Plattchens hat, so kann man, wie auch im Yor­hergehenden Fall, durch Anderung des Magnetfeldes erreichen, daB eine der induzierten Feldschichten die gegeniiberliegende Seite des Plattchens trifft. Das fiihrt zu einer Besonderheit der Oberflachenimpedanz (Extremum yon dZ/dH). Die Stelle der Besonderheit bestimmt sich aus der Bedingung

npy(O) = (eH/2c) (D/cos 1p) . (8.9)

1m Gegensatz zum GroBeneffekt im parallelen Feld nimmt der Strom in den zu­satzlichen Skinschichten im Vergleich zum Strom in der primaren Schicht nicht merkbar abo Daher andert sich die Starke der Besonderheit auch nur wenig mit der Ordnung.

8.5. Sondheimer-Effekt

Dieser Effekt auBert sich im Verlauf sowohl der statischen Leitfahigkeit als auch der Hochfrequenzimpedanz. Zur Untersuchung der statischen Leitfahigkeit (SONDHEIMER 1950 [32]) betrachtet man wieder ein Platt chen in einem Magnet­feld, das unter einem Winkel1p zur Oberflache gerichtet ist. Das Elektron bewegt

Abb.45

-----.~--7r------A

------~------~--~B

z,H

Spiralforrnige Elektronenbahn in einern Metallplattchen, die zurn SOND­HEIMER-Effekt fiihrt. Das Magnetfeld H ist urn den Winkel1Jl zu den Ober­flachen A und B geneigt

sich auf einer spiralformigen Trajektorie (Abb. 45). Mit Vz als mittlerer Geschwin­digkeit des Elektrons in z-Richtung ergibt sich fiir die mittlere Geschwindigkeit senkrecht zur Oberflache

v~ = Vz sin 1p •

8.5. SONDHEDIER-EJJekt 149

Abb.46 Querschnitt a-b einer FERMI-Flache, fiir den die Anderung der Quer­schnittsflache iJS/iJp. extremal ist und der die Periode der SONDHEDIER­Oszillationen bestimmt

Man nimmt nun an, daB sich das Elektron in einem Zeitintervall bewegt, das gleich einem ganzzahligen Vielfachen der Periode ist:

t = nT = (2'ltm*cjeH) n.

Es kann der Fall eintreten, daB im Verlaufe dieser Zeit das Elektron gerade den Abstand zwischen den Oberflachen des Plattchens durchlauft. Die ent­sprechende Bedingung nimmt die Form

vet = (2'ltm*cjeH) nVr; = D

an. Hieraus folgt

2'ltncm*vr; H =---::::---'-

eD 2'ltncm *v. sin "p

eD

Daher kann man eine periodische Abhangigkeit verschiedener Eigenschaften eines Metalles vom Magnetfeld erwarten. Die GroBe m*v. hangt von P. ab, und die Extremalwerte erweisen sich wiederum als die wesentlichen. Die Periode ist gleich

2'ltc sin "p L1H = eD (m*v.}extr· (8.1O)

Betrachtet man nun die GroBe m *v., so handelt es sich wegen m * = (1/2'lt) oS foe und v. = oejop. sowie m*v. = (1/2 'It) oS/op. offenbar um das Extremum von oSjop. auf der FERMI-Flache. Ein solches Extremum kann bei einem gewissen zufalligen Querschnitt entstehen, fur den

02Sjop; = 0

gilt (Abb. 46, Linie ab). In diesem Fall ergibt sich

L1H _ c sin"P (OS) - eD op. extr·

(8.11)

150 8. GrojJeneffekte

AuBerdem entsprechen Extremalwerte von oS/op. elliptischen Grenzpunkten. Das sind einfach Randwerte, und im allgemeinen Falle gilt fiir Grenzpunkte

02S/0p~ =F O. Entsprechend (7.53) hat man in diesen Punkten os/op. = 2n/(K, wobei K die GAusssche Kriimmung bedeutet. Folglich ergibt sich fiir die Oszilla­tionsperiode

2nc 1 L1H = eD YK sin1p. (8.12)

Es ist also moglich, experimentell die GAusssche Kriimmung in den Grenz­punkten zu bestimmen. Vergleicht man die abgeleiteten Relationen mit Formel (7.54) fiir die Zyklotronmasse, so ist ersichtlich, daB man durch SONDHEIMER­Effekt und Zyklotronresonanz die FERMI-Geschwindigkeit in den Grenzpunkten bestimmen kann. Andert man die Magnetfeldorientierung, kann man diese Geschwindigkeit fast fiir die gesamte FERMI-Fliiche angeben.

Um die GroBenordnung des oszillierenden Teils der Leitfiihigkeit abzuschiit­zen, wird zur Vereinfachung angenommen, daB das Feld senkrecht zur Ober­fliiche gerichtet ist.

Fiir einen Querschnitt mit 02S/0p~ = 0 sind solche Elektronen effektiv, die sich in einer gewissen kleinen U mge bung dieses Querschnittes befinden; diese Umgebung bestimmt sich aus der Bedingung, daB zwei benachbarte Oszilla­tionsperioden nicht zusammenlaufen, das heiBt L1n < 1. Dazu ist nach den vorhergehenden "Oberlegungen die Erfiillung der Ungleichung

(8.13)

notwendig. Die GroBe (v.Tt l jedoch, die (oS/Op.)-1 proportional ist, besitzt im betrachteten Fall ein Extremum, und folglich ergibt sich

_ 1 02 _ (L1P.)2 1 (L1P.)2 1 L1 (V.T)-l = - -2 (V.T)-l (L1p.)2 rv - :=-- rv - -, 2 oP. Po v.T Po TL

wobei TL der LARMoR-Radius ist. Daher bestimmt sich die Umgebung L1P. aus der Bedingung

L1p. rv po(rL/D)1/2 .

Hieraus folgt, daB die effektive Anzahl der Elektronen, die Beitriige zum oszil­lierenden Teil des Stromes liefern, von der GroBenordnung

L1p. (TL)1/2 neff rv no Po rv no D

ist. Die Rolle der Zeit 7: in der Leitfiihigkeit spielt im vorliegenden FaIle offenbar die Rotationsperiode, das heiBt T. AuBerdem muB man beriicksichtigen, daB die Elektronen in der Pliittchenebene eine endliche Bewegung vollfiihren; daher entsteht ein Strom auch nur deshalb, weil die Spiralwindungen am Ende offen bleiben. Das fiihrt zum Auftreten eines weiteren Faktors lin rv TL/D im oszillie-

8.6. Driftfokussierung des Hochfrequenzfeldes 151

renden Teil der LeiWihigkeitl). Daher erhiilt man schlieBlich

(8.14)

wobei Q = 2nlT (GUREWITSCH, 1958) [33]. Die Oszillationsamplitude hiingt demnach von H wie H-5/2 abo

Fiihrt man eine analoge Abschatzung fUr Grenzpunkte durch, so ergibt sich, da (vzT)-l ein Randextremum besitzt,

_ 0 _ ,dpz 1 LI (vzT)-l = - (vzT)-l Llpz r'V - -.

opz Po rL

Mit der Bedingung (8.13) folgt2)

LlPzlpo r'V rLID •

Die effektive Anzahl der Elektronen hangt anders von Llpz ab als im vorigen Fall. Die Querschnittsflache ist proportional dem Abstand Llpz yom Grenzpunkt (s. (7.53)), und das entsprechende Volumen innerhalb der FERMI-Flache ist proportional zu (,dpz)2, das heiBt

neff r'V no(Llpzlpo)2 .

Die effektive StoBzeit ist von der GroBenordnung T. Der Faktor lin r'V rdD tritt wiederum auf, da der Beitrag zum Strom lediglich infolge der unvollstan­digen Randwindungen entsteht. Damit ergibt sich [33]:

(8.15)

1m vorliegenden Fall gilt also aoBzlao r'V H-4.

8.6. Driftfokussierung des Hochfrequenzfeldes

Aus den Formeln (8.14) und (8.15) folgt, daB der SONDHEIMER-Effekt nur eine kleine Korrektur der statischen Leitfahigkeit bewirkt. Analog verhalt es sich mit der Oberflachenimpedanz. 1m FaIle eines hochfrequenten Feldes jedoch ruft die Drift der Elektronen liings des Magnetfeldes einen weiteren, wesentlich ausgepragteren Effekt hervor, der mit der Bildung von induzierten, sekundiiren Skinschichten im lnneren des Metalles verbunden ist (GANTMACHER, KANER 1963 [34]).

1) Es handelt sich urn die mittlere Leitfiihigkeit, die gleich J IDE ist, wobei J der Gesamt­strom durch die Platte ist.

2) Hierbei bezeichnet rL - vzT eine GroBe von der Ordnung des gewohnlichen LARMOR­Radius cPoleH. Dieser Umstand wird hier ausdriicklich unterstrichen, da der wahre LARMoR·Radius fUr Elektronen in der Niihe eines Grenzpunktes von der GroBenordnung

cp J..leH ist, wobei P 1. - YPo ,1pz bedeutet (s. Herleitung von Formel (7.53)).

152 8. Grofieneffekte

Ein "effektives" Elektron muB sich in der Skinschicht parallel zum elek­trischen Feld bewegen. Wenn es eine zusatzliche Skinschicht bildet, so muB es sich auch dort in derselben Richtung bewegen. Folglich muB der Abstand, in dem sich eine solche Skinschicht ausbildet, der Elektronendrift langs des Ma­gnetfeldes im Verlaufe einer ganzen Zahl von Perioden entsprechen. Da weiter­hin flir verschiedene Elektronen die Verschiebung in Feldrichtung pro Periode verschieden ist, spielen die extremalen Verschiebungen die entscheidende Rolle. Folglich entstehen induzierte Skinschichten des hochfrequenten Feldes in Ab­standen nUextr von der Oberflache, wobei Uextr die extremale Verschiebung pro Periode in Richtung der Normalen zur Platte bedeutet. Die groBte Anderung in der Impedanz tritt dann auf, wenn eine dieser Skinschichten die gegeniiber­liegende Oberflache der Platte erreicht, das heiBt, wenn

nUextr = n(vzT)extr sin 1p = n(2ncleH) (m*vz)extr sin 1p = D.

Obwohl dieser Ausdruck mit der Bedingung flir das Auftreten von SOND­HEIMER-Oszillationen identisch ist, flihrt dieser Effekt nicht nur zu kleinen Kor­rekturen, sondern zu deutlichen Impedanzanderungen. Gerade dieser Umstand ermoglicht es, ihn zu Untersuchungen von elektronischen Charakteristiken heranzuziehen. Interessanterweise kann dieser Effekt der Driftfokussierung auch an Grenzpunkten entstehen. Daher ermoglichen die entsprechenden Er­gebnisse Riickschliisse auf die Eigenschaften von Elektronen mit einem vor­gegebenen Impuls.

Um die Bedingungen zu finden, unter denen dieser Effekt beobachtet werden kann, beschreibt man das hochfrequente Feld an der Oberflache durch eine Superposition ebener Wellen mit Wellenvektoren k, die im Intervall Llk rv I/lJ variieren. Die Elektronen wechselwirken bei ihrer spiralformigen Bewegung offenbar mit solchen Harmonischen dieser Wellen am starksten, flir die nA = Uextr

gilt, wobei U die Verschiebung des Elektrons pro Periode in Richtung der Welle ist, das heiBt in Richtung der Normalen C zur Platte. Infolgedessen dringen solche Wellen tief ins Innere des Metalles ein, und ihre Interferenzen induzieren Skinschichten bei C = nUextr im Metallinneren. Das trifft natiirlich nur flir lJ ~ Uextr zu. Die Breite solcher Skinschichten ist von der GroBenordnung lJ, wahrend die Amplitude nach der Beziehung exp (- Cll sin 1p) abnimmt.

Eine moglichst starke Wechselwirkung des Elektrons mit der Welle erfolgt dann, wenn es sich bei der Bewegung in der Skinschicht und im Abstand C = nUextr von der Oberflache langs der Wellenfront bewegt, das heiBt, wenn dabei Vc = 0 ist. Folglich miissen unter den Elektronen mit u(pz) = Uextr solche existieren, flir die Vc = 0 gilt. Am Grenzpunkt selbst gilt flir beliebigen endHchen Winkel1p Vc = v sin 1p =f= O. Falls jedoch der Winkel 1p hinreichend klein ist, kon­nen schon in einer geringen Umgebung dieses Punktes Elektronen mit Vc = 0 existieren. Das effektive Gebiet in der Nahe eines Grenzpunktes ergibt sich aus folgender "Oberlegung. 1m Verlaufe der Flugzeit 'r divergieren Elektronen mit un,terschiedlichen Geschwindigkeiten beziiglich der Entfernung C groBenord­nungsmaBig um [v,(1p) - v,(O)] 'r = [vz(1p) - vz(O)] sin 1p'r. Der Effekt ist nur

Abb.47

8.6. Driftfokussierung des Hochfrequenzfeldes 153

H

Experimentelle Abhangigkeit des Imaginarteils der differentiellen Ober­£lachenimpedanz dXjdH von der Magnetfeldstarke H fiir ein Zinnplattchen im zur Metallober£lache geneigten Magnetfeld. Die periodischen Oszillationen entstehen durch Feldschichten infolge einer Driftfokussierung von Elektronen (nach [34])

dann beobachtbar, wenn dieser Abstand kleiner als die Skintiefe ('j ist. Da jedoch in der Umgebung eines Grenzpunktes vz(ljJ) = v cos 1jJ R; v(l - 1jJ2/2) ist, folgt daraus V1jJ3-r; ~ ('j oder 1jJ3 ~ ('j/l. Andererseits ist, wie schon erwahnt, zur Beobachtbarkeit des Effektes ('j ~ Uextr notwendig. Wegen Uextr '" ljJrL erhalt man 1jJ ~ ('j/rL' Beide Bedingungen ergeben zusammen

(('j/rd ~ 1jJ3 ~ ('j/l • (8.16)

Experimentelle Ergebnisse an Zinn [34] sind in Abbildung 47 dargestellt. Mit Hilfe der Driftfokussierung eines Hochfrequenzfeldes konnen die freie

Weglange eines Elektrons mit vorgegebenem Impuls [34] und ihre Temperatur­abhangigkeit (GANTMACHER, SCHARWIN 1965 [35]) gemessen werden. Das kann

Abb.48

LI1A

JJ/sLn)t'

Logarithmus der Oszillationsamplitude In A der Oberflachenimpedanz als Funktion von Djsin 1p fiir ein Zinnplattchen der Dicke D im Magnetfeld, das um den Winkel1p zu den Oberflachen geneigt ist. Die experimentellen Punkte liegen etwa auf einer Geraden, deren negativer Anstieg die reziproke freie Weglange der Grenzpunktelektronen ist (nach [34])

154 8. GrojJeneffekte

man leicht einsehen, wenn man berticksichtigt, dall sich ein Elektron in der Umgebung eines Grenzpunktes praktisch genau in z-Richtung bewegt. Mit lo als mittlerer Weglange ist die Anzahl der Elektronen mit einer Weglange groller l proportional exp (- ljlo)' Foiglich ist die Anzahl der Elektronen, die bis zur anderen Plattchenoberflache gelangen, proportional zu exp (- Djlo sin 1j!).

Daher mtissen auch die Amplituden der aquidistanten Signale proportional zu dieser Grolle sein, und die Darstellung von In A (mit A als Amplitude) tiber Djsin 1j! mull eine Gerade ergeben (Abb. 48), deren Anstieg die freie Weglange bestimmt. 1m Experiment ergibt sich tatsachlich eine gerade Linie, was die dargestellten tTherlegungen bestatigt.

Nach diesem Verfahren kann man die Weglange in Abhangigkeit vom Impuls des Elektrons und der Temperatur bestimmen. Man mull jedoch beachten, dall Streullng sogar um kleine Winkel die Bedingung fUr die Elektronenfokussierung aufhebt. Daher bedeutet lo die freie Weglange beztiglich eines einzigen Stolles (sogar mit Phononen), das heillt, es handelt sich um diejenige Weglange, die in den Warmeleitungskoeffizienten eingeht und nicht um die Weglange, die die elektrische Leitfahigkeit bestimmt und relativ unempfindlich gegen Streuungen um kleine Winkel ist. Experimentell erhalt man dementspre­chend Ijlo = a + bT3.

8.7. Gro.BeneHekt bei oHenen Trajektorien

Zur Betrachtung des Grolleneffektes, der bei offenen Trajektorien auftritt (GANTMACHER, KANER 1963 [34]), moge das Magnetfeld in z-Richtung orientiert sein und in p.,-Richtung eine offene Trajektorie vorliegen.

Die Gleichung fUr p., besitzt die Form

dp., eH ---v dt - C 'II.

Durch Integration tiber t ergibt sich t

pz(t} - p.,(O} = e: J VIJ dt •

o

Ftir die in Abbildung 49 gezeigte Geometrie erhalt man

v, = VIJ sine,

t J v, dt = e~ [p.,(t} - p.,(O}] sin e . o

Auf der linken Seite dieser Gleichung steht die Verschiebung des Elektrons in C-Richtung, die im folgenden gleich der Plattchendicke sein solI. Weiterhin

8.7. Grofleneffekt bei offenen Trajektorien 155

moge das Magnetfeld derart sein, daB die Impulsanderung gleich einer Periode des reziproken Gitters in p..:-Richtung sei. Dann ergibt sich

sine H=--n'liKc,

eD (8.17)

wobei K die minimale Periode des reziproken Gitters ist. Offenbar oszilliert die effektive Leitfahigkeit im vorliegenden FaIle mit einer Periode, die (8.17) ent­spricht, das heiBt durch eine Periode des Gitters bestimmt ist. Diese Methode kann daher zur Messung von Gitterperioden oder zur Feststellung offener FERMI-Flachen dienen.

H

Abb.49 Geometrie fiir den GroBeneffekt an offenen Bahnen in po:-Richtung

Der GroBeneffekt bei offenen Trajektorien zeigt sich sowohl in der statischen LeiWihigkeit als auch in der Hochfrequenzoberflachenimpedanz. 1m letzten FaIle hangt er mit der Bildung von induzierten Feldschichten im Metallinnern zusammen und erweist sich als wesentlich ausgepragter als im statischen Fall.,

9. Ausbreitung elektromagnetischer Wellen im Magnetfeld

9.1. Helikonen in Metallen mit unterschiedlicher Anzahl von Elektronen und Lochern

Bekanntlieh kann ein hoehfrequentes Feld nur bis zur Skinsehieht in ein Metall eindringen. 1m vorigen Kapitel wurde jedoeh gezeigt, daB in einem Magnetfeld unter bestimmten Bedingungen das hoehfrequente Feld im lnnern des Metalles existieren kann, indem es zusatzliehe "Skinsehiehten" in bestimmten Abstanden von der Oberflaehe bildet. 1m folgenden wird gezeigt, daB in starken Magnet­feldern Wellen auftreten, die sieh ohne wesentliehe Dampfung im Metall aus­breiten konnen (KONSTANTINOW, PEREL 1960 [36]). In den letzten Jahren sind zahlreiehe Arbeiten dieser Problematik gewidmet worden. Es zeigte sieh, daB die Typen sole her Wellen und die Bedingungen, unter denen ihre Ausbreitung moglieh ist, auBerordentlieh versehiedenartig sind. Die Betraehtung samtlieher Wellen geht tiber den Rahmen dieses Buehes hinaus, daher wird lediglieh die Theorie zweier Arten von langwelligen, am einfaehsten zu beobaehtenden Wellentypen dargelegt. Eingehend und umfangreieh ist diese Problematik in einem ausgezeiehneten Ubersiehtsartikel von KANER und SKOBOW [37] be­handelt.

Bei der Untersuehung sole her Wellenerseheinungen geht man von den MAX­wELL-Gleiehungen aus:

4% rotH= ~j,

c

1 oH rotE = ---.

C ot (9.1)

Bildet man die Rotation der letzten Gleiehung und geht damit in die erste ein, erhalt man

4% oj rot rot E = grad div E - '\j2E = - ~ ot . (9.2)

Setzt man hinreiehend groBe Wellenlangen voraus (ein exaktes Kriterium wird unten abgeleitet), kann man annehmen, daB sieh das elektrisehe Feld raumlieh nur sehwaeh andert. In diesem Falle kann man den Leitfahigkeitstensor fUr ein homogenes elektrisehes Feld benutzen, und folglieh gilt

9.1. Helikonen mit unter8chiedlicher Anzahl von Elektronen und LiJchern 157

Sucht man eine Losung von (9.2), die proportional e-iwt+ik,. ist, findet man

4niw (k2aik - kikk) Ek = -2-aikEk' (9.3)

c

Dieses homogene Gleichungssystem besitzt eine nichttriviale Losung, wenn die Determinante verschwindet. Diese Bedingung

[ 4:rz:iw ] Det k2aik - kikk - ~ atk = 0 (9.4)

liefert das Dispersionsgesetz w(k). Die Losung von Gleichung (9.4) setzt jedoch die Kenntnis des LeiWihigkeits­

tensors voraus, den man mit Hilfe der kinetischen Gleichung

01p o1p o1p 1p -+-+v-+-=evE ot Otl or 7:

ableiten kann. Setzt man 1p '" e-iw!+ik,., erhalt man

( - iw + ~ ) 1p + ikv1p + ~~ = evE.

Die Ableitung o1pjotl ist von der Gro13enordnung D1p, wobei D = eHjm*c die Zyklotronfrequenz bedeutet. Die Gro13e vkjD ist gro13enordnungsma13ig krL' da vjD '" rL' Nimmt man

krL ~ 1 (9.5)

an, kann man den Term mit kv, das hei13t die raumliche Anderung von 1p, ver­nachlassigen. Falls au13erdem

l-iW+ ~I~D (9.6)

gilt, so kommt man zur kinetischen Gleichung, die den Tensor der statischen Leitfahigkeit in starken Magnetfeldern liefert. Setzt man also die Bedingungen (9.5) und (9.6) als erfullt voraus, kann man den Leitfahigkeitstensor anwenden, der in Abschnitt 5.3. abgeleitet wurde.

Abb.50

H,z k

II

Geometrie fiir die Ausbreitung von Helikonen, deren Wellenvektor k einen Winkel emit dem Magnetfeld H bildet

158 9. AU8breitung elektromagneti8eher Wellen im Magnetfeld

1m FaIle einer geschlossenen FERMI-Flache und ungleicher Ladungstrager­konzentrationen von Elektronen und Lochem ist Formel (5.37) anwendbar mit

und Gwy = yawy = ec (11.:1 - n,.)jH • (9.7)

Die Formel (5.37) galt fUr ein Feld in z-Richtung. Legt man die ubrigen Achsen derart, daB der Vektor k in der (y, z)-Ebene liegt und mit der z-Achse den Win­kel e bildet (Abb. 50), so erhiilt man, wenn man in der Determinante (9.4) nur Terme nullter und erster Ordnung in y berucksichtigt,

4niw 4niw kZ ---G - -z-GII:Z CZ wy c

4niw k 2

4niw -z-Gwy Z - kllkz - -z-GIIZ =0. (9.8)

c c

4niw 4niw 2 4niw --GII:Z - kllkz + -z-GIIZ kll - -z-Gzz

C C C

Entsprechend (5.37) ist Gzz die groBte Komponente. Unter der Voraussetzung

4niw 4niw 4niw kZ ~ -2- G:1I1J ~ -2- Gyz ~ -2-Gzz

C C C

folgt aus (9.8)

z2 n'tw 2 (4 . )2 k k z + ---;;a- Gwy = 0 ,

was die Richtigkeit der V oraussetzung zeigt. Mit (9.7) und kz = k cos e ergibt sich

ck2H cos e 4ne 111.:1 - n,.1

(9.9)

Man sieht, daB w proportional zu H und k2 ist und die Welle sich in beliebigem Winkel zu H, auBer e = nj2, ausbreiten kann. Wellen solchen Typs heiBen Helikonen.

Um die Anderung des elektrischen Feldes in einer solchen Welle zu unter­suchen, betrachtet man die letzte Gleichung von (9.3), die der letzteil Zeile der Matrix (9.8) entspricht. Offenbar ist wegen des groBen Wertes von Gzz im Ver­gleich zu den anderen Komponenten von Gi" Ez~ Ell:, Ell'

Aus der ersten Gleichung von (9.3) folgt

4niw kZEII: - -z-GII:IIEII = O.

c

9.2. Magnetoplasmawellen in Metallen

Mit den Ausdriicken (9.7) fiir (Ire" und (9.9) fiir w erhalt man

Ere = i cos 8E" •

159

(9.10)

Das ist eine elliptisch polarisierte Welle. Fiir 8 = 0 folgt Ere = iE", was eine zirkular polarisierte Welle bedeutet.

9.2. Magnetoplasmawellen in Metallen mit gleicher Anzahl von Elektronen und Lochern

1m FaIle eines Metalles mit gerader Ordnungszahl, also gleicher Ladungstrager­konzentration von Elektronen und Lochern sowie geschlossener FERMI-Flache (CHAlKIN, FALKOWSKI, EDELMAN, MINA 1963 [90], KANER, SKOBOW 1963 [37]) besitzt der Tensor der statischen Leitfahigkeit folgende Form:

(y2arere y2are" ya",.)

(lile = y2a"", y2a"" ya". . ya.", ya." a ••

Falls nun die Frequenz so hoch ist, daB

1/7: -<.. w ,

(9.11)

(9.12)

aber die Bedingungen (9.6) und (9.5) noch erfiillt sind, kann man den Leitfahig­keitstensor benutzen. Man muB jedoch in Formel (9.11) 1/7: durch - iwersetzen, da in die kinetische Gleichung die Kombination 1/7: - iw eingeht. Zum Beispiel ist im statischen Fall mit ~ = n:a

een 1 (1"'11 ~ II [J7:.

Folglich gilt im vorliegenden Fall

een ( iW) (lre1/ = II - [J ~ll

mit a12 rv 1. Auf diese Weise kann man auch aUe iibrigen Komponenten des Leitfahigkeitstensors bestimmen. Man erhalt schlieBlich

iw ~w

- [J al - [J all! ~

een iw iw (lu,=-

H - [J a12 - [J all - a32 , (9.13)

i[J l-~3 a 311 -a w 3

wobei aIle at und aile rv 1.

160 9. A usbreitung elektromagnetischer Wellen im M agnetfeld

Man fUhrt nun zwei Koordinatensysteme ein (s. Abb. 51), wobei 1; in Richtung von k orientiert ist, die 1]-Achse in der (H, k)-Ebene liegt und die x-Achse fUr

Abb.51

H,z k,;

/

/I

Geometrie fur die Ausbreitung von Magnetoplasmawellen, deren Wellen­vektor k einen Winkel emit dem Magnetfeld H bildet

beide Koordinatensysteme zusammenfallt. Aus der dritten Gleichung (9.4) erhiilt man im Koordinatensystem x, 'lj, 1;

Ee = - (GCxEx + Ge1]E,)/Gcc •

Setzt man diese Beziehung in die anderen Gleichungen (9.4) ein, so erhiilt man zwei homogene Gleichungen in Ex und E1]. Durch Nullsetzen der Determinante des Systems ergibt sich

Die Indices IX und fJ konnen die Werte x und 'lj annehmen, und

_ GIJ<CGCfJ GlJ<fJ=GlJ<fJ---·

Gee

(9.14)

(9.15)

Die Transformation des Leitfiihigkeitstensors (9.13) aus dem x,y,z- ins x,'lj,1;­System 5tellt eine zwar einfache, aber miihevolle Umrechnung dar. Beschriinkt man sich auf die hauptsiichlichen Terme in wiD, erhiilt man

(9.16)

mit

(9.17)

9.2. Magnetoplasmawellen in Metallen 161

Setzt man (9.16) in (9.14) ein, kann man die letzte Gleichung in der Form

(9.18)

schreiben, wobei v; = cDH/4nne. Fur freie Elektronen ist D = eH/me, so daB

Va = H/Y4nnm. Allgemein ist Va proportional zu H, und der Wert fUr freie Elek­tronen liefert die Gr611enordnung von Va. Aus (9.18) folgt

(V k)4 (V k)2 ~ - ~ SpA",p+DetA",p=O,

woraus

oder

(9.19)

folgen. Es existieren also zwei Wellentypen mit einem linearen Dispersionsgesetz

w (Xl k. Diese Wellen heil3en Magnetoplasmawellen. Die Geschwindigkeiten beider Wellen sind zu H proportional. Wenn das Magnetfeld in Richtung einer Symmetrieachse des Kristalls orientiert ist, so vereinfacht sich der Tensor A",p (aIle aik = 0, wenn i =l= k und a l = a 2):

A",p = Ax", (~ sec~ e) . (9.20)

Damit nimmt (9.19) die Form

: = y:a",,,, cos e [~ (1 + cos~ e ) 4= ~ (1 - cos~ e ) T'2 an. Folglich erhiiJt man fUr den einen Wellentyp

wl/k = va/YA",,,, (9.21)

und fUr den anderen

w 2/k = (va/yA",,,,) cos e , (9.22) was

(9.23) liefert.

Aus (9.22) folgt, dall fUr cos e = 0 nur noch ein Wellentyp existiert. Dieser SchluB ist jedoch nicht vollig korrekt, da bei der Ableitung des Tensors A",p (9.17) cos e :;yw/D angenommen wurde. Falls die entgegengesetzte Ungleichung gilt, das heiBt e sehr nahe bei n/2 ist, so mull die Rechnung neu durchgefUhrt werden. Trotzdem existiert auch dann, wie aus den Rechnungen folgt, nur ein Wellentyp mit linearem Dispersionsgesetz.

11 A brikossow

162 9. A'U8breitung elektromagnetischer Wellen im Magnet/eli/,

9.3. Experimentelle Untersuchungen

Es gibt eine Reihe von experimentellen Methoden zur Untersuchung von Wellen. Eine dieser Methoden (Technik stehender Wellen) besteht in der Messung der Hochfrequenzoberflachenimpedanz metallischer Proben in Abhangigkeit vom Magnetfeld. Durch Anderung des Magnetfeldes bei fester Frequenz variiert man die Wellenlange der sich im Metall ausbreitenden Wellen. Bei gewissen Werten von H ist die Probendicke gleich einem ganzzahligen Vielfachen der halben Wellenlange (D = qAf2, q - ganze Zahl). Das ist die Bedingung fUr das Auftre­ten stehender Wellen. Man kann also eine periodische Abhangigkeit der Ober­flachenimpedanz von DI). oder Dk erwarten. 1m ersten betrachteten Fall ist 00 rv Hk2. Folglich wird die Oberflachenimpedanz eine periodische Funktion

von l/YH. Wenn H rv 104 Oe und D rv 1 mm, so wird in normalen Metallen der Effekt bei Frequenzen der Gr6.Benordnung 00/21'& = 11 rv cHID2en rv 1()4 Hz auf­treten, das hei.Bt bei relativ niedrigen Frequenzen. Experimentell wurden Wellen dieses Typs an Na, Cu, Ag, Au, AI und vielen anderen Metallen untersucht.

Wellen des zweiten Typs sind an Wismut beobachtet worden, das gleiche Ladungstragerkonzentrationen von Elektronen und L6chern besitzt. In diesem Falle sind die Werte von n und m* sehr klein (n rv 1017 cm-a, m* rv 10-2 m). Deshalb mu.B 11 rv HID(nm*)1/2 rv 1010 Hz bei Feldern von rv 1()3 Oe sein (D rv 1 mm). Wiederum traten stehende Wellen auf, jedoch hing die Ober­flachenimpedanz periodisch von I/H abo Auf diese Weise wurden beide Typen von Magnetoplasmawellen beobachtet. Wenn dabei das Magnetfeld in Richtung einer Hauptachse des Kristalls orientiert ist, geniigen die Frequenzen der Rela­tion (9.23).

Eine andere Methode der Untersuchung von Wellen ist die sogenannte Inter­ferenztechnik, die sich mit den Interferenzerscheinungen auffallender und durchgehender Wellen befa.Bt.

Au.Ber dem Dispersionsgesetz, das hei.Bt der Funktion oo(k), ist die Dampfung elektromagnetischer Wellen im Metall von besonderem Interesse. Das trifft speziell fUr solche Frequenzen und Magnetfelder zu, bei denen Resonanzmecha­nismen der Dampfung wesentlich werden, die nicht mit St6.Ben der Elektronen zusammenhangen (d. h., die auch fUr.,; -- 00 existieren).

Einer dieser Mechanismen, der erstmalig bei der Untersuchung von Schwin­gungen im Gasplasma beobachtet wurde, ist die LANDAu-Dampfung, die in folgendem besteht. 1m Magnetfeld fiihrt ein Elektron eine spiralf6rmige Bewe­gung aus, wobei seine mittlere Geschwindigkeit in Richtung des Magnetfeldes gleich Vz sein m6ge. Geht man zu einem neuen Koordinatensystem iiber, das sich mit dieser Geschwindigkeit bewegt, so wird das Feld der elektromagnetischen Welle, das im Ausgangssystem proportional zu eikr-iwt war, im neuen Koordi­natensystem zu e-i(w-k.v.)!+ikr proportional sein. Wenn

(9.24)

ist, so wird das Elektron dieses Feld als statisch "empfinden". Dabei ergeben

9.3. Experimentelle Untersuchungen 163

sieh Mogliehkeiten eines spiirbaren tjbergangs der Energie von der Welle auf die Elektronen.

Diese Erseheinung kann man aueh in anderer Weise beschreiben. In Abbil­dung 52 sind die Bewegung eines Elektrons und die Ausbreitung einer Welle dargestellt. Die gestriehelten Linien entspreehen Ebenen gleieher Phase. Dann bedeutet die Bedingung (9.24), daB sieh das Elektron stets in Phase mit der Welle befindet.

Abb.52 Spiralbahn eines Elektrons im Magnetfeld H und in einem Wellenfeld mit dem Wellenvektor k. LANDAu-Dampfung der Welle tritt ein, wenn sich das Elektron in k-Richtung im Mittel genau so schnell wie die Welle bewegt

Beriieksiehtigt man, daB die Geschwindigkeiten der Elektronen in den Gren­zen von - v bis v variieren konnen, wobei v der maximale Wert von Vz ist, der in der Regel einem Grenzpunkt entspricht, so sieht man, daB die Bedingung (9.24) von einer bestimmten Gruppe von Elektronen erfiillt werden kann, wenn nur

w < kv eos e. (9.25)

Wenn die Frequenz fest ist und das Feld geandert wird, so liefert diese Bedin­gung die untere Grenze des Magnetfeldes. MiBt man dieses Feld, kann man v finden, das heiBt die FERMI-Gesehwindigkeit im Grenzpunkt. 1m Experiment stellt die LANDAu-Dampfung einen auBerordentlich effektiven Absorptions­meehanismus dar, der zum Beispiel bei einer Impedanzmessung zu einem in Abbildung 53 [38] dargestellten Verhalten fUhrt (diese Abbildung bezieht sich auf ein gerades Metall, namlich Wi smut ; liegt ein ungerades Metall vor, so erhalt

man eine ahnliehe Abhangigkeit in den Koordinaten Z (litH)). Die Formel (9.25) mit w(k) in der Form (9.9) oder (9.19) kann nur dann ange­

wendet werden, wenn die Bedingung (9.5) erfUllt ist, das heiBt mit anderen Worten, wenn w ~ Q. Das ist gewohnlich bei'ungeraden Metallen der Fall. Tatsaehlich gilt fUr H '"'"' 104 Oe A = 2nlk,",", 0,1 em, w '"'"' 105 s-1 und Q '"'"' 1011 S-l.

Bei geraden Metallen kann jedoeh die Bedingung (9.5) aueh verletzt werden, und das Kriterium (9.25) erweist sich aueh fUr krL ;:: I als riehtig, obwohl in

11*

164 9. AU8breitung elektromagneti8cher Wellen im Magnetfeld

diesem Fall nicht mehr das Dispersionsgesetz w(k) in der Form (9.9) und (9.19) angewendet werden kann.

Fiir krL rv 1 tritt noch ein interessanter Diimpfungsmechanismus in Kraft, die sogenannte DOPpLER-verschobene Zyklotronresonanz. Dieser Mechanismus hiingt damit zusammen, daB das Elektron in einem mit der Geschwindigkeit Vz

sich bewegenden Koordinatensystem eine geschlossene Bahn mit der Zyklotron­frequenz D = eH 1m *c beschreibt. Wenn die Frequenz des elektromagnetischen Feldes im neuen Koordinatensystem mit D zusammenfiillt, so wird die Bedin­gung ffir das Auftreten der Zyklotronresonanz erfiillt. Damit lautet die ent­sprechende Bedingung

(9.26)

Fiir ein ungerades Metall ist gewohnlich, wie schon erwiihnt, w rv D. Folglich tritt dieser Mechanismus in Kraft, wenn

Abb.53

kvcosB>D.

dR dN

(9.27)

!/H

Experimentelle Abhiingigkeit des Realteils der differentiellen Oberfliichen­impedanz dR/dB von der reziproken Magnetfeldstiirke l/B fiir ein Wismut­pliittchen. Die periodischen Oszillationen beruhen auf stehenden Magneto­plasmawellen und verschwinden unterhalb einer kritischen Magnetfeldstiirke infolge von LANDAu.Diimpfung (nach [38])

Bei geraden Metallen ist unter normalen Bedingungen im Experiment w ~ D, und daher folgt aus (9.26), daB das Diimpfungsgebiet zweiseitig begrenzt ist:

w - kv cosB < Q < w + kv cosB. (9.28)

1m erst en FaIle sieht das experimentelle Bild etwa wie in Abbildung 53 aus

(allerdings in den Koordinaten Z (lIYH») und im zweiten wie in Abbildung 54 [38].

9.3. Experimentelle Untersuchungen 165

Die Formeln (9.27) und (9.28) beziehen sich auf ein Gebiet, wo die Bedingung (9.5) verletzt ist, und daher sind die Formeln (9.9) und (9.19) nicht anwendbar. Da jedoch das tatsachliche Dispersionsgesetz im selben Versuch festgestellt wird, kann es statt einer theoretischen Formel benutzt werden. Daher kann

Abb.54

d/i' dll

1/11

Experimentelle Abhangigkeit des Realteils der differentiellen Oberflachen­impedanz dR/dH von der reziproken Magnetfeldstarke l/H fiir ein Wismut­plattchen bei hoherer Wellenfrequenz als in Abb.53. Die Magnetoplasma­wellen verschwinden innerhalb eines durch Pfeile markierten Intervalls von Magnetfeldstarken infolge Dampfung durch DOPPLER-verschobene Zyklotron­resonanz (nach [38])

man aus der Dampfungsgrenze im FaIle eines ungeraden Metalls die GroBe

m*v = I;YK bestimmen, wobei K die G.Ausssche Kriimmung im Grenzpunkt

ist, und im Falle eines geraden Metalls sowohl m * als auch v = 1/ (m * Y K). Mit Hilfe derartiger Messungen ist es gelungen, bei einer Reihe von Metallen die Parameter der Spektren zu prazisieren.

10. Magnetiscbe Suszeptibilitiit und de-Haas-van-Alpben-Effekt

10.1. Spinparamagnetismus

Bisher wurde ein Elektron als ein klassisehes Teilehen betraehtet, das sieh auf einer bestimmten Trajektorie bewegt. Im weiteren werden Erseheinungen be­handelt, bei denen die Quantennatur des Elektrons wesentlieh wird. Zunaehst erfolgt die Untersuehung von Elektronen in sehwaehen Magnetfeldern.

Jedes Elektron hat den Spin lis und das magnetise he Moment 2(Js, wobei die Projektion von s auf eine bestimmte Riehtung gleieh i oder - i sein kann und (J = elij2mc das BOHRsehe Magneton ist. Offensiehtlieh werden die magnetisehen Momente der Elektronen in einem auBeren Magnetfeld polarisiert, und es ent­steht ein makroskopisehes magnetisehes Moment. Diese Erseheinung heiBt Spin­oder PAuLIseher Paramagnetismus.

Die entspreehende magnetisehe Suszeptibilitat ist leieht zu finden. Die Weehselwirkungsenergie des magnetise hen Moments eines Elektrons mit dem auBeren Feld ist gleieh - 2(JsH. Wenn daher der Spin des Elektrons in Rieh­tung des Magnetfeldes orientiert ist, so wird die Energie des Elektrons 8 - (JH, bei entgegengesetztem Spin 8 + (JH. In die FERMI-Verteilung geht die Energie jedoeh in Verbindung mit dem ehemisehen Potential 8 - f-l ein. Daher kann man, anstatt die Anderung der Energie unter dem EinfluB des Feldes zu be­traehten, annehmen, daB das ehemisehe Potential fUr Elektronen mit einem Spin parallel zum Feld den Wert f-l + (JH annimmt und mit einem antiparallelen Spin den Wert f-l - (JH.

Fur T = 0 und H = 0 ist die Ladungstragerkonzentration gleieh f.'

n = f 11(8) d8 • o

Im vorliegenden Fall wird die Anzahl von Elektronen mit versehiedener Spin­orientierung untersehiedlieh. Fur die entspreehenden Ladungstragerkonzen­trationen erhalt man leieht

f.'+fJH f.'-fJH

n+ = i f 11(8) d8 , n_ F i f 11(8) d8 • o 0

Das gesamte magnetisehe Moment pro Volumeneinheit wird (J(n+ - n_). Daher gilt

f.'+fJH

M = (J(n+ - n_) = i f 11(8) d8 ~ (J2H1I(f-l) , f.'-fJH

(10.1)

10.2. Quantisierung der Niveaus freier Elektronen im Magnetfeld

falls flH ~ {to Folglich ergibt sich die magnetische Suszeptibilitat

X = fl 2v({t) •

167

(10.2)

Auf den erst en Blick scheint diese Formel auch fiir eine FERMI-Fltissigkeit richtig zu sein (s. Abschn. 2.2.), da die Integration in (10.1) nur tiber eine Um­gebung der FERMI-Flache erfolgt. In der Theorie der FERMI-Fltissigkeit nach LANDAU wird jedoch gezeigt, daB sich das Energiespektrum selbst bei Variation der Verteilungsfunktion andert, was in einer Reihe von Fallen zu anderen Er­gebnissen fiihrt. Insbesondere gilt das auch fiir die Formel (10.2), die in Wirk­lichkeit nur die GroBenordnung des Effektes bestimmt. In Kapitel 12 werden diese Fragen detaillierter behandelt.

Da die Temperaturkorrekturen, die fiir Elektronen von der GroBenordnung (T/{t)2 sind, vernachlassigt werden konnen, bleibt die Voraussetzung T = 0 ohne Beschrankung der Allgemeinheit richtig.

10.2. Quantisierung der Niveaus freier Elektronen im Magnetfeld

Bei der Betrachtung eines freien Elektrons im konstanten Magnetfeld ersetzt e

man die Impulsoperatoren durchp - -A, wo A das Vektorpotential und c

p = - iii'\' der verallgemeinerte Impuls ist, und schreibt den HAMILToN-Ope­rator in der Form

de = - - iii'\' - - A 1 ( e)2 2m c

(10.3)

Der Spinterm (- 2flsH) wurde nicht berticksichtigt, da er lediglich eine Ver­schiebung der Niveaus um ± flH liefert. Wenn das Feld H in z-Richtung ist und das Vektorpotential in der Form Ay = Hx, Ax = Az = 0 gewahlt wird, nimmt die SCHRODINGER-Gleichung de'IjJ = s'IjJ die Form

_ !!!.. 02'IjJ + -.!... (_ ili.i. _ ~ Hx)2 'IjJ _ !!!.. 02'IjJ = s'IjJ 2m ox2 2m oy C 2m OZ2

(10.4)

an. Da in diese Gleichung offenbar nur die Koordinate x eingeht, kann man eine Losung in der Form

'IjJ(x, y, z) = eip,;y/Ti eipzz/Ti 'IjJ(x)

suchen. Mit (10.4) erhiilt man

li2 d2'IjJ(x) 1 ( e)2 P; - 2m dx2 + 2m Pli - --;Hx 'IjJ(x) + 2m 'IjJ(x) = B'IjJ(X)

oder

(10.5)

(10.6)

168 10. Magneti8che SU8zeptibilitat und DE.HAAS.VAN-ALPHEN-Ejjekt

(10.6) ist der Gleichung fUr den eindimensionalen Quantenoszillator

li2 d2tp kx2 - 2m dx2 + "2 tp = Etp (10.7)

sehr ahnlich. Die Eigenwerte der letzten Gleichung sind

E = liw (n + i) (10.8)

mit w = Ykjm. Vergleicht man (10.7) mit (10.6), so sieht man, daB sie identisch sind, wenn man nur die Ruhelage um den Abstand cPlIjeH yom Koordinaten­ursprung verschiebt. Die GroBe eH jmc entspricht w und e - p;j2m der Oszilla­torenergie. Folglich ergibt sich

e = p;j2m + fJH (2n + 1) (10.9)

mit fJ = elij2mc. Diese Formel beschreibt die sogenannten LANDAu-Niveaus (1930) [39]. An Stelle stetiger Abhangigkeiten der Energie e von PlI und p", erhalt man diskrete Niveaus, was in Abbildung 55 illustriert ist. Da der Abstand zwischen den LANDAu-Niveaus proportional H ist, vereinigt jedes Niveau ein Intervall des kontinuierlichen Spektrums auf sich, das proportional zu H ist. Folglich miissen die LANDAu-Niveaus entartet sein mit einem Entartungsgrad proportional zu H.

Abb.55

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Bildung diskreter LANDAu-Niveaus (--) von freien Elektronen im Magnetfeld aus dem Kontinuum von Zustanden (--) ohne Magnetfeld. Die LANDAu-Niveaus haben einen energetischen Abstand {JH ({J BOllRsches Magneton, H Magnetfeldstarke) und sind entsprechend der Anzahl der Konti­nuumszustande in diesem Intervall entartet

Um einen exakten Ausdruck fUr den Entartungsgrad jedes Niveaus zu finden, betrachtet man - wie schon gehandhabt - einen rechteckigen Kasten mit den Kantenlangen Lv L2 und L3• Das Oszillatorzentrum, das von PlI abhangt, muB im Intervall von 0 bis Ll liegen, so daB

o < cpyjeH < Ll oder 0 < PlI < eHL1jc .

Die Zahl der Zustande in den Intervallen dpz und dpll ist dieselbe wie auch fUr ein freies Elektron, das heiBt

10.3. LANDAuseker Diamagnetism'US 169

Foiglich ist die Zahl der Zustande fiir das ganze PII-Intervall L I L2eH j211:cli. Durch Multiplikation mit dn. erhalt man fUr die Zahl der Zustande, die einem bestimmten Intervall dp. und n entspricht,

eH V ~ (211:1i)2 dp •.

Schreibt man dp. in der Form dp. = (dp.jde) de und beachtet die zweifache Spinentartung, erhalt man fiir die Zustandsdichte

2V eH dp. 1I(e) = (211:1i)2 ~ de .

10.3. Landauscher Diamagnetismus

(10.10)

Bringt man ein MetalI in ein Magnetfeld, andert sich die Bewegung der Elek­tronen: sie beginnen, auf Spiralbahnen umzulaufen. Dabei induzieren die Elek­tronen ein zusatzliches Magnetfeld, das dem auJ3eren entgegengerichtet ist. Mit anderen Worten, die Anderung der Bahnbewegung der Elektronen unter dem EinfluB eines auJ3eren Feldes fiihrt zum diamagnetischen Effekt.

Man kann leicht zeigen, daJ3 dieser Effekt Quantennatur besitzt und in klassi­scher Naherung nicht auftritt. In der klassischen Mechanik wird der Impuls des Elektrons im Magnetfeld durch die Differenz p - (ejc) A ersetzt, wobei A das Vektorpotential ist. Die Energie des Elektrons hangt von dieser Kombina­tion abo Da jedoch die thermodynamischen GroBen nur von der Energie des Elektrons abhangen und Integrale iiber aIle Impulse darstellen, so kann man in ihnen zur Integration iiber p - (ejc) A iibergehen. Es zeigt sich, daB die Integrale dabei magnetfeldunabhangig bleiben.

Der tatsachlich existierende Diamagnetismus entsteht durch die Quantisie­rung der Energieniveaus des Elektrons im Magnetfeld.

Zur Untersuchung der magnetischen Eigenschaften berechnet man das thermo­dynamische Potential

Q = - T 2: In (1 + e(p-sil/T) , i

(10.11)

wobei iiber aIle Zustande summiert wird. Dieser bekannte Ausdruck la13t sich aus der Beziehung

- (oQjop,h = N = 2: n(et) i

herleiten, wobei n(et) die FERMI-Verteilung bedeutet. Fiihrt man die Zustands­dichte 1I(e) gemaB (10.10) ein, erhalt man

2VT eH! dp. Q = - -- - de 2: -In (1 + e(p-sl/T). (211:1i)2 C n de

170 10. Magneti8che 8'U8zeptibilitiit urul DE-HAAS.VAN-ALpB:EN-Effekt

Integriert man partiell und setzt aus (10.9)

Pz(E, n) = ± Y2m [E - fJH(2n + 1)] ein, findet man

Q __ 2· 2V eH J e '{2m [e - fJH(2n + 1)] - (2,.,;/i)2 c d ~ e(s ",)/T + 1

(10.12)

(10.13)

Die Summation iiber n wird hierbei durch die Bedingung e > fJH (2n + 1) eingeschriinkt, und der Faktor 2 beriicksichtigt die moglichen zwei Vorzeichen der Wurzel in (10.12).

Der Ausdruck (10.13) gilt fiir beliebige Temperaturen. Falls T ~ p" kann man T = 0 setzen, da die Korrektur im FaIle schwacher Magnetfelder von der GroBenordnung (T/p,)2 ist. Daher ersetzt man die FERMI-Verteilung durch eine Stufenfunktion und erhiilt nach Vertauschung von Summation iiber n und Integration iiber e

'" 4VeH J Q = - C(2,.,;/i)2 ~ de Y2m (e - fJH(2n + 1»)

IlH(2n+l)

= - : C(::::)2 ~ ~ [p, - fJH(2n + 1)]3/2 (n <2%H- ~). Fiir kleine H kann man von der Summation mit Hilfe der Formel

",,+1/2

n#/(n) = J !(n) dn - :4 [r( no + ~) - 1'(- ~)] -1/2

zur Integration iibergehen und erhiilt

8 Ve Y2m p,5/2 VefJH2 ~ p,1/2

Q = - 15 fJc (2,.,;/i)2 + 3c(2,.,;/i)2

Setzt man fJ = e/i/2mc und p, = p~/2m ein, findet man

p&V VfJ2H2 pom Q = - 15m:rz;2/i3 + --6- ,.,;2/i3 •

Das magnetische Moment pro Volumeneinheit wird dann gleich

1 oQ H pom M = - V oH = - fJ2"3 ,.,;2/i3 •

(10.14)

Die magnetische Suszeptibilitiit ergibt sich folglich zu (LANDAU 1930 [39])

fJ2 pom X = - 3" ,.,;2/i3· (10.15)

Aus der Relation (2.28) folgt, daB pom/,.,;2/i3 gerade die Zustandsdichte fiir freie Elektronen ist. Aus dem Vergleich von (10.15) und (10.2) findet man, daB

10.4. Quasiklassische Quantisierung der Energieniveaus 171

die Quantisierung der Energieniveaus zu einer diamagnetischen Suszeptibilitat fiihrt, die nur ein Drittel des Wertes der paramagnetischen Spinsuszeptibilitat fiir ein freies Elektronengas betragt. Daher wird ein Gas freier Elektronen para­magnetisch sein.

In Wirklichkeit kommen in der Natur viele diamagnetische Metalle vor. Quali­tativ kann man das durch die Verschiedenheit des elektronischen Energiespek­trums der Metalle yom Spektrum eines idealen Gases erklaren. Nimmt man zum Beispiel den einfachsten Fall an - ein isotropes Spektrum e = p2 12m * mit einer effektiven :Masse m*, so unterscheiden sich die Gro.Ben fJ, die in die For­meln (10.2) und (10.15) eingehen. In (10.2) geht das BOHRsche Magneton ein und enthalt die Masse eines freien Elektrons. Die Formel (10.15) hingegen ent­halt ein fJ,das mit der Bahnbewegung des Elektrons verbunden ist, das heiBt eliI2m*c. Die Zustandsdichte enthalt ebenfalls m*. Hieraus folgt

Xdia 1 (m)2 Xpara =:3 m* .

Diese GroBe kann aber gro.Ber als Eins sein. Diese Darstellung ist natiirlich nur ein einfachstes Modell. Es ist auBer­

ordentlich schwierig, in realen Fallen den Diamagnetismus zu berechnen, da auch virtuelle Dbergange aus tiefer gelegenen elektronischen Zustanden in das Leitfahigkeitsband einen Beitrag liefern (Polarisationseffekte).

10.4. Quasiklassische Quantisierung der Energieniveaus fUr ein beliebiges Spektrum

Auf eine Untersuchung der Formel (10.13) fiir groBe Felder und endliche Tem­peraturen wird im weiteren verzichtet, da die interessantesten SchluBfolgerungen nicht nur fiir das Modell freier Elektronen, sondern auch fiir den Fall eines be­liebigen energetischen Spektrums hergeleitet werden konnen. Nattirlich ist es im allgemeinen nicht moglich, die Energieniveaus genau zu bestimmen. Wenn man jedoch den Abstand zwischen den Niveaus fJH mit dem chemischen Po­tential fJ, vergleicht, sieht man, da.B fiir Feldstarken der Gro.Benordnung '" 104 Oe die Relation

fJH I fJ, '" 10-4

gilt. Da aIle Quanteneffekte mit diskreten Energieniveaus verbunden sind, zeigt diese Abschatzung, da.B sie zu Korrekturen der GroBenordnung (fJH/fJ,)m fiihren, die nur sehr gering sind; mist fiir verschiedene konkrete Effekte unterschied­lich. Da fJ, > fJH ist, sind nur hohe Niveaus mit gro.Ben Werten n wesentlich, und man kann die quasiklassischen BOHRschen Quantisierungsregeln anwenden.

Die Impulse werden

e P=p--A.

c

172 10. Magneti8che SU8zeptibilitiit una DE-HAAS-VAN-ALPHEN-Effekt

Nimmt man Ay = Hx, A" = A. = 0 an, findet man

o P" = - iii ox '

o e P = - iii - - - Hx , y oy e

wobei die verallgemeinerten Impulse der Vertauschungsregel

PyP" - PxPy = - ilieH/e (10.16)

genugen. Fuhrt man die Bezeichnung Y = (e/eH) P z ein, so spielt Y die Rolle der zum Impuls P y kanonisch konjugierten Koordinate:

PyY - YPy = - iii .

1m FaIle einer geschlossenen Bahn kann man die BOHRsche Quantisierungs­regel

¢ PydY = 2nli (n + y(n))

anwenden, wobei y(n) (0 < y < 1) eine sich langsam verandernde Funktion bedeutet. Druckt man Y durch P" aus, erhalt man

¢ P y dP" = (2neliH/e) (n + y(n)) .

Das Integral auf der linken Seite ist aber die Flache, die von der Elektronen­trajektorie umschlossen wird. Bekanntlich wird eine solche Trajektorie durch die Bedingungen P. = const und c = const bestimmt, das heiBt, sie stellt den Schnitt der FERMI-Flache mit der Ebene p. = const dar. Man erhalt also (ON SAGER 1952 [40])

2neliH S(c, P.) = -- (n + y(n)) . (10.17)

e

Fur freie Elektronen ist

S = npi = n(p2 - p;) = n(2mc - p;) ,

und folglich erhalt man

p; eliH c = -2 + -2 (2n + 2y) , m me

was fur groBe n mit (10.9) zusammenfallt. Die Formel (10.17) laBt sich auch leicht aus dem Korrespondenzprinzip her­

leiten. Fur geschlossene Bahnen ist die Zyklotronfrequenz gleich !! = eH /m *e, wobei m* = (1/2n) oS/oc ist. 1m quasiklassischen Fall muB man ein aqui­distantes System von Niveaus mit Abstanden Ii!! erhalten. Folglich wird

eHlt Ltc = Ii!! = e(1/2n) oS/oc '

was in der Form

oS 2neHIi -Ltc = LtS =--08 C

geschrieben werden kann, woraus man die Formel (10.17) erhalt.

(10.18)

10.4. Qua8ikla88i8che Quanti8ierung der Energieniveau8 173

Nach Formel (5.10) ist die Projektion der Trajektorie auf die (x, y)-Ebene des Ortsraumes der Trajektorie im Impulsraum iihnlich. Die entsprechende Fliiche ist (c/eH)2 S. Nach Formel (10.18) iindert sich diese Fliiche beim "Ober­gang vom Niveau n zu n + 1 urn 2ncli/eH. Durch Multiplikation mit H erhiilt man die Anderung des Induktionsflusses, der diese Kontur durchsetzt, zu

LlcP = 2ncli/e = cPo. (10.19)

Die GroBe cPo enthiilt nur Elementarkonstanten und heiBt Quant des Induk­tionsflusses (F. LONDON 1950 [41]); ihr Wert betriigt 4,1· 10-7 Oe cm2• Damit iindert sich eine Elektronentrajektorie derart, daB der sie durchsetzende Induk­tionsfluB sich urn ein ganzzahliges Vielfaches des InduktionsfluBquantes iindert (Abb. 56). Diese Regel erweist sich als universal (s. z. B. Abschn. 13.4.).

Abb.56 Magnetischer FluB rp durch eine EIektronenbahn im MagnetfeId

Urn die Zahl der Zustiinde zu finden, die im quasiklassischen Fall (n ~ 1) auf ein Niveau n und das Intervall dpz entfallen, berechnet man den Ausdruck

(2:li)3 dpz f f dPy dP",.

Das Integral ff dPy dP", stellt die Fliiche in der Ebene pz = const dar, die im vorliegenden Fall dem Intervall von n bis n + 1 entspricht. Das ist aber gerade LIS, bestimmt durch die Formel (10.18). Damit wird die gesuchte Zahl von Zustiinden gleich

V dpz eH

(2nli)2 ~'

was dem Ausdruck fUr den Fall freier Elektronen entspricht. Die durchgefUhrten Untersuchungen beziehen sich nur auf geschlossene Tra­

jektorien. Existieren fur eine bestimmte Richtung auch offene Bahnen, so iindert sich das Spektrum wesentlich und besteht aus kontinuierlichen Biindern endlicher Breite, was hier nicht weiter betrachtet werden solI.

174 10. Magnetiaeke S'U8zeptibilitiit 'Und DE-HAAS-VAN-ALPHEN-Effekt

10.5. De-Haas-van-Alphen-EHekt

In den Abscbnitten 10.1 und 10.3 wurde die magnetische Suszeptibilitat eines Gases freier Elektronen hergeleitet. Die dort verwendete Naherung war eine erste Korrektur des thermodynamischen Potentials beziiglich des Magnetfeldes von der Gr6.f3enordnung (/JH/p,)'I.. Die nachste Korrektur liefert einen mit dem Magnetfeld schnell oszillierenden Beitrag, und ihre Ableitung nach H kann bei hinreichend tiefen Temperaturen den monotonen Teil des magnetischen Mo­mentes iibertreffen. Dieser Effekt wurde von LANDAU (1930) [42] theoretisch vorausgesagt und experimentell von DE HAAS und VAN ALPHEN gefunden (1930) [43].

1m folgenden werden die Berechnungen fiir ein beliebiges Energiespektrum durchgefiihrt (LIFSCHIZ, KOSEWITSCH 1955 [44]). Die Ausdriicke fiir die Energie­niveaus und die Zustandsdichte sind im vorigen Abschnitt bereits abgeleitet worden.

Das thermodynamische Potential schreibt sich in der Form (10.11), das hei.f3t im gegebenen Fall

VTeH J ( "-8a~n,p.») Q = - (2nli)2 c f ~ In 1 + e dpz. (10.20)

Der Index q bezeichnet die Projektionen des Spins und sa = s(n, Pz) ± (JHI). 1m weiteren braucht man die POISsoNsche Formel

00 00 00 00

~ rp(n) = J rp(n) dn + 2 Re ~ J rp(n) e2,.ikn dn , (10.21) ~ a 10=1 a

wobei a zwischen no - 1 und no liegt. Zum Beweis dieser Formel iiberzeugt man sich leicht, daB

00 00

~ (}(x - n) = ~ e2nikz • (10.22) n=-oo 10=-00

Tatsachlich mu.f3 die rechte Seite iiberall verschwinden, mit Ausnahme von x = n. Wenn x =1= n ist, erhalt man, von k zu k + ~ (k und ~ sind ganze Zahlen) iibergehend,

00 00

~ e2,.ik", = e 2nik,,,, ~ e2,.ik",.

10=-00 10=-00

00

Da e2,.ik,,,, =1= 1, so wird ~ e2nik'" = 0 fiir x =1= n. Andererseits ist der rechte Teil von 10=-00

(10.22) eine periodische Funktion von x mit der Periode 1. Durch Integration

1) In schwachen Feldern addieren sich die Effekte der Spinpolarisation und der Bahn­quantisierung einfach, was ihre unabhiingige Berechnung wie in den Abschnitten 10.l. und 10.3. zuliiBt. Bei der Berechnung der oszillierenden Zusatzterme jedoch ist eine solche Trennung nicht mehr moglich.

10.5. DE-HAAS-VAN.ALPHEN-E!!ekt 175

der rechten Seite von (10.22) von -{} bis +{} und anschlieBenden Grenztibergang {} --+ 0 erhalt man

00

00

L; k=-oo

sin 2nM

nk J sin2nM

nk dk = 1. -00

Der tJbergang von der Summe zum Integral ist hier gerechtfertigt, wenn {} --+ 0, weil dabei nur Summenterme mit groBem k wesentlich sind.

In der Nahe des Punktes x = 0 verhalt sich also dIe rechte Seite von (10.22) wie die (}-Funktion. Infolge der Periodizitat und des Verschwindens dieser Summe bei nicht ganzzahligen Werten von x erhalt man Formel (10.22). Multipliziert man diese Formel mit tp(x) und integriert von a bis 00, wobei no - 1 < a < no, ergibt sich die PorssoNsche Formel (10.21). Der erste Term entspricht k = 0, wahrend im zweiten Term die Summanden mit k und -k kombiniert sind.

Wendet man die PorssoNsche Formel (10.21) auf die Summe (10.20) an, so zerfallt diese dabei in zwei Integrale, und nur das zweite Integral liefert einen oszillierenden Anteil. Damit ergibt sich

D = - 2 Re L; I ka , (10.23) a,k

wobei Q den oszillierenden Teil von Q bezeichnet und

VeHT Joo Joo [ pa-.(n,pz)]. I ka = (2nn)2 c dn dp.ln 1 + e T e2"'tkn.

a -00

Hier ist JL - ea(n, P.) durch JLa - e(n, P.) ersetzt worden, wobei JLa = JL + pHa,o Geht man zur Integration tiber die Energie tiber, erhalt man

VTeH Pa-· 00 ( )

I ka = (2nn)2 c J de In 1 + e T

o

Pzmax

X J~ ~: (p., e) e2",ikn(p.,.) dp. 0 (10.24)

Pzmin

Ais untere Grenze des Integrals wurde Null angenommen. Tatsachlich ist jedoch nur die Umgebung der FERMI-Flache wesentlich und damit die Wahl der unteren Grenze belanglos. Die Grenzen Pzmin und Pzmax beziehen sich auf einen gege­benen Wert e.

176 10. Magnetische SU8zeptibilitiit und DE-HAAS-VAN-ALPHEN-Effekt

Der Faktor e 2"ikn im Integral liber pz stellt eine schnell oszillierende Funktion dar. Nimmt man an, dall n bei irgendeinem Wert pr;' einen Extremwert nm erreicht, folgt

1 (eJ2n) n(pz, e) = nm + 2" 22 m (pz - pr;')2 • \ pz Pz

Dabei hangt nm natlirlich von e abo Bei der Integration liber pz sind lediglich diese Extrema wesentlich. In der Nahe jedes beliebigen dieser Extrema wird das Integral liber pz gleich

(10.25)

-00

wobei z = pz - pr;'. Falls (02n/oP;)m positiv ist, gilt

00

f exp [ink (~:~t Z2] dz = ei"j4 f exp [ - nk (~:~t y2] dy -00

mit z = ei"j4 y. 1m Falle (02n/oP;)m < 0 ist z = e- i"/4 y zu setzen. Die Integra­tion ergibt

f exp [ink (~:~t Z2] dz = e±i"/4 (k \~~\J-1j2 (10.26)

Setzt man (10.25) und (10.26) in (10.24) ein, findet man

00

VTeH J [ (P-a - e)] I ka = (2nlt)2 c ~ de 1n 1 + exp -T--o

(on) ( \02n I )-1/2 X e±i"/4 - e 2"iknm k -2 , oe m opz m

(10.27)

wobei liber alle Extrema von n(pz, e) summiert wird. Bei der Integration dieses Ausdruckes liber e mull man berlicksichtigen, dall

nur der Logarithmus und der Faktor e 2"iknm sich schnell andernde Funktionen sind und daher die librigen Faktoren als konstant angenommen werden konnen. Nach partieller Integration hat man

(10.28)

wobei lediglich der oszillierende Term belassen wurde. Den wesentlichsten Beitrag zum Integral liefert die Umgebung von e = P-a.

Man mull beachten, dall e2"iknm eine schnell oszillierende Funktion ist. Jedoch

10.5. DE.HAAS·VAN-ALPHEN-Ejjekt 177

nm selbst andert sich gleichmaBig und kann nach Potenzen von B - Pa ent­wickelt werden:

(onm) nm(B) = nm(fha) + as I'a (B - fha) •

1m Ergebnis erhalt man

wobei x = B - t-ta ist (die untere Grenze kann gleich - 00 gesetzt werden). Be-nutzt man die Beziehung .

-00

erhalt man

(10.29)

Setzt man diesen Ausdruck in (10.23) ein, muB man tiber die Projektionen des Spins summieren. Da nur der Faktor e2niknm (I'a) schnell oszillierenden Charakter hat, kann man in allen tibrigen Termen fha ~ fh setzen. Beachtet man noch f3H <{ t-t, kann man schreiben

L; e2niknm (I'a) = e2niknm(l') L; exp [2-n;ik (onm) f3Haz] a a & I'

= 2e2niknm(.u) cos (2-n;k (o~m) f3H ) . (10.30)

GemaB (10.17) ist

(10.31)

Setzt man nun (10.29), (10.30) und (10.31) in (10.23) ein, erhalt man endgtiltig ftir den oszillierenden Teil des thermodynamischen Potentials

wobei

12 Abrikossow

_ V (enH)5/2 10281-1/2 Q = 23/2-n;7/2n3 -c- ~ op;i [m*(p:', B)]-1

1p(kA) (C8m -n;) ( m*) X f k5/2 cos k enH ± 4 cos -n;k -;;;;; ,

z 1p(z) =-,

sh z 2-n;2Tcm*

A. = enH 1 08

m*=--. 2-n; OB

(10.32)

178 10. Mag'll6ti8cM SU8Z6ptibilitiit und DE-HAAs-vAN-ALPHEN-EfJe'kt

Die Summe tiber m bezeichnet die Summation tiber die extremalen Querschnitte der FERMI-Fliiche.

Welche Rolle spielt nun der oszillierende Korrekturterm in den thermo­dynamischen GroBen 1 Zur Beantwortung dieser Frage ist es zweckmiiBig, das

Verhiiltnis ii/Do, dem Potential bei H = 0 zu finden. Die GroBenordnung von Do ist

pgP5 V85/2 Do '" V np, '" V 1i3 m '" mli3 •

Aus (10.32) erhalt man bei tp '" 1 und m* '" m _ V(eIiH/c)5/2

D '" mli3 •

Folglich ergibt sich

ii/Do'" (eIiH/c8)5/2 '" (jJH/p,)5/2 •

Das ist eine sehr kleine GroBe. Der nichtoszillierende Korrekturterm zu Do besitzt die GroBenordnung (jJH/p,)2, so daB der oszillierende Tell sogar im Ver­gleich zu dieser Korrektur noch klein ist.

Der oszillierende Teil der Magnetisierung ist gleich

- 1 oii M= - V oH'

Aus (10.32) findet man

_ 1 (eli)3/2 '028 ,-1/2 8 M = - 23/2'Jt7/21i3 ~ H1/2 ~ op: m:

m tp(kA) . [C8m 'Jt] ( m*) X kLl1 k3/2 sm k eliH ±"4 cos 'Jtk -;; . (10.33)

Bei hinreichend tiefen Temperaturen ist tp '" 1, und dann wird

M", - - H1/2_. _ 1 (eli)3/2 8 1i3 C m

Da der nichtoszillierende Teil des magnetischen Moments von der GroBen­ordnung

1 Mo '" f32 1i3 PomH

ist, findet man ftir das Verhiiltnis

ii/Mo'" (p,/f3H)1/2 • (10.34)

Folglich liefert bei tiefen Temperaturen der oszillierende Teil einen groBeren Beitrag zum magnetischen Moment als der monotone. Das hangt mit der hohen Oszillationsfrequenz zusammen, die den Effekt bei Differentiation stark hervor­hebt.

Bei nicht zu tiefen Temperaturen kann man die Summation tiber k in (10.33) durch einen einzigen Term ersetzen, und man erhiilt

10.5. DE.HAAS-VAN-ALPHEN-Effekt 179

- 21/2T (eli)1/2 -1 2 \02S m 1-1/2 M ~ - 3/2"3 - H 1 1: Sm ~

n n C m Up.

- 2,,:~~m • . (CSm n) (nm*) X e SIll eliH +"4 COS ~ • (10.35)

Damit erweist sich das magnetische Moment als eine periodische Funktion von I/H (Abbildung 57 zeigt eine Darstellung von MIH fUr Wismut) [45]. Die Periode betragt

iJ(I/H) = 2nelilcSm • (10.36)

Bei tiefen Temperaturen darf man sich nicht auf einen Term in der Summe iiber k beschranken. Die Periodizitat des Moments als Funktion von I/H mit der Periode (10.36) bleibt allerdings auch in diesem FaIle erhalten.

Abb.57

N II

//11

Experimentelle DE-HAAs-vAN-ALPHEN-OszilIationen von MIH (M Magneti­sierung, H Magnetfeldstarke) als Funktion von I/H fiir Wismut (nach [45])

Bei der Herleitung wurde die Streuung der Elektronen nicht beriicksichtigt. Qualitativ laBt sibh die Rolle von SWBen leicht abschatzen. Die StoBe bewirken im vorliegenden Fall dasselbe wie die Temperatur - sie verwaschen die scharfe Kante der FERMI-Verteilung.1) Bei einer mittleren StoBzeit -r: liegt die Unbe­stimmtheit in der Energie der Elektronen in der GroBenordnung lil-r:. Da diese GroBe dieselbe Rolle wie die Temperatur spielt, kann man erwarten, daB die Beriicksichtigung von SWBen in (10.35) zu einem weiteren Exponentialfaktor fUhren wird. Tatsachlich ergibt sich in der Formel (10.35) ein Faktor (DINGLE 1952 [46])

exp (- 2ncm*le-r:H). (10.37)

1) Tatsachlich spielen Temperatur und StoBe eine unterschiedliche Rolle. Wahrend eine endliche Temperatur zu einer Umverteilung der Elektronen beziiglich der Energie­niveaus fiihrt, bewirken die StoBe eine Anderung dieser Niveaus selbst (infolge der Nicht­erhaltung der Zahlen n und pz bei StoBen andert sich die Klassifizierung der Niveaus). Falls die StoBzeit nicht zu klein ist, kann man annehmen, daB die Niveaus e(n, pz) eine endliche Breite von der GroBenordnung 'hIT besitzen. 1m betrachteten Fall fiihrt das zu denselben Effekten, die auch eine endliche Temperatur bewirkt.

12·

180 10. Magnetische Suszeptibilitiit und DE-HAAS-VAN-ALPHEN-Effekt

Obwohl die DE-HAAS-VAN-ALPHEN-Oszillationen durch sehr langwierige Be­rechnungen hergeleitet wurden, kann man physikalisch ihre Herkunft relativ einfach erklaren, wenn man die Aufftillung der Elektronenzustande betrachtet. In Abbildung 58 a sind die Niveaus dargestellt, die den verschiedenen Wert en n entsprechen (genauer bedeutet jede horizontale Linie den Beginn von Niveaus mit gegebenem n und verschiedenen Pz). Die gestrichelte Linie entspricht dem chemischen Potential p. Die niederen Niveaus sind besetzt, die oberen leer. Da p ~ {JH, so ist die Anzahl von Niveaus unterhalb p sehr grol3. Nimmt nun das

a)

Abb.58

--------- f'

n /Z-t

b)

tJbergang eines Zustandes mit (a) n (?> 1) besetzten LANDAu-Niveaus in einen nahezu aquivalenten Zustand mit (b) n - 1 besetzten LANDAu-Niveaus unterhalb der FERMI-Energie f..l bei Erhohung der Magnetfeldstarke um eine DE·HAAS-VAN-ALPHEN-Periode

Magnetfeld zu, dann wachst der Abstand zwischen den Niveaus an, und eines der niederen Niveaus schneidet schliel3lich die FERMI-Grenze e = p (Abb. 58b). Die Verteilung der Energieniveaus hat sich dabei kaum geandert, allerdings existieren jetzt nur noch n - I Niveaus unterhalb p statt n. Da nun n sehr grol3e Werte annimmt, ist dieser Unterschied unbedeutend, und man kann erwarten, dal3 der neue Zustand dem alten aquivalent ist. Das bedeutet aber gerade eine periodische Abhangigkeit yom Magnetfeld.

Aul3erordentlich einfach kann man die Oszillationen des magnetischen Mo­ments mit Hilfe eines zweidimensionalen Modells (ohne Pz) bei T = 0 herleiten [47]. In diesem Modell besitzen die Niveaus das Aussehen e = {JH (2n + 1). Jedes Niveau ist entartet, und die entsprechende Anzahl von Zustanden betragt pH (p = eV/2nlic = const).

Wenn die Gesamtzahl der Elektronen kleiner als pH ist, befinden sich aIle auf dem untersten Niveau mit der Energie (JH. Folglich wird in diesem Fall die Gesamtenergie

E = N(JH

und das magnetische Moment

MV = - (oE/oH) = - N(J.

10.5. DE-H.\As-VAN-.A!.PHEN-Ejjekt 181

Wenn sich nun das Magnetfeld verringert derart, daB 2pH > N > pH odeI' N /2p < H < N /p, dann miissen die Elektronen auBer dem ersten Niveau in diesem FaIle auch noch das zweite mit n = 1 besetzen. Daher hat man

E = (JHpH + 3{JH(N - pH) = 3{JNH - 2{JpH2,

MV = - 3{JN + 4{JpH .

Folglich andert sich das magnetische Moment bei H = N /p sprunghaft yom Wert - N{J auf den Wert N{J und bei kleineren Feldern linear bis zum Wert - N{J bei H = N/2p.

Betrachtet man nun den Fall 3pH > N > 2pH odeI' N/3p < H < N/2p, dann spielt auch das Niveau mit n = 2 eine Rolle, und man erhalt

E = {JHpH + 3{JHpH + (N - 2pH) 5{JH = 5{JHN - 6{JpH2,

MV = - 5{JN + l2{JpH .

Stellt man die Kurve M(H) graphisch dar, dann erhiilt man den in Abbil­dung 59 gezeigten Verlauf. Die Spriinge treten bei H = N/qp odeI' l/H = qp/N auf, wobei q eine ganze Zahl bedeutet. Natiirlich gibt dieses zweidimensionale Modell nicht aIle Einzelheiten des tatsachlichen dreidimensionalen Falles wieder. abel' es erklart den Effekt qualitativ.

Abb.59

11

DE-HAAS-VAN-ALPHEN-Oszillationen der Magnetisierung M als Funktion der Magnetfeldstarke H in einem zweidimensionalen Modell fiir die Tempe­ratur T = O. N ist die Anzahl der Elektronen und pH der Entartungsgrad der LANDAu-Niveaus

Urn die Bedingungen fUr die Beobachtbarkeit des Effektes zu finden, geht man von del' Formel (10.35) aus. Nimmt man an, daB das Metall hinreichend rein ist, so wird del' Faktor (10.37), del' von -r: herriihrt, gleich Eins. (Del' Aus­druck im Exponenten ist von del' GroBenordnung 2n/D-r:, wobei D die Zyklotron­frequenz ist, so daB D-r: > 2n sein mull.)

1m Exponenten des Temperaturfaktors steht 2n2T/{J*H ~ 20T/{J*H. Wenn m * '" m, so daB {J* '" {J und T '" 1 K, so wird del' Exponent naherungsweise Eins bei FeldernH '" 5· 105 0e. Solche Felder kann man im Prinzip erzeugen, wenn auch nicht einfach. Weiterhin hat fUr {JH '" 20 K das Argument im Sinus von (10.35) die GroBenordnung It/{JH '" 103, da It '" (2 - 3) . 104 K, wah­rend die Oszillationsperiode gleich 2n ist. Folglich muB man das Feld mit einer

182 10. Magneti8che S'U8zeptibilitat 'Und DE·HAAS-VAN • .ALPHEN-Ejjekt

Genauigkeit bis zu 1-0,1% homogen und konstant halten, was die experimen­telle Beobachtung des Effektes relativ schwierig macht.1)

In Halbmetallen jedoch reichen wegen m * rv 0,01 m und P* rv 100 P schon Felder von der Grollenordnung 104 Oe bei T rv 1 K. Da die Ladungstragerkon­zentration in Halbmetallen ebenfalls gering ist, betragt auch die FERMI-Energie nur einige Hundertstel ihres Werles in normalen Metallen. Infolgedessen wird das Argument im Sinus von der Grollenordnung Eins, und die Anforderungen an die Feldhomogenitat sind nicht mehr so streng.

In "guten" Metallen existieren ebenfalls Teile der FERMI-Flache mit kleinen Querschnitten und geringen effektiven Massen. Diese Teile sind daher mit Hilfe der Methoden, die in den vorigen Kapiteln beschrieben wurden, schwer zu untersuchen, da ihr Einflull auf die Leitfahigkeit verschwindend gering ist. Die DE-HAAs-vAN-ALPHEN-Oszillationen dieser Teile jedoch besitzen eine grolle Amplitude und eine grolle Periode. Natiirlich ist die Flache eines Extremalquer­schnitts nicht in dem Malle eine direkte Charakteristik des Spektrums wie zum Beispiel der unmittelbare Wert des FERMI-Impulses. Trotzdem kann man durch Messung dieser Grolle bei verschiedenen Richtungen des Magnetfeldes praktisch die gesamte FERMI-Flache mit guter Genauigkeit konstruieren.

Da, historisch gesehen, der DE-HAAs-vAN-ALPHEN-Effekt zum ersten Male die Moglichkeit bot, Energiespektren zu untersuchen, ist das Energiespektrum des Halbmetalls Wismut zuerst bestimmt worden (SHOENBERG 1939 [42]).

10.6. Diamagnetische Domiinen

In den Formeln des vorhergehenden Abschnittes fungierte das auJ3ere Feld H als wirksames Feld. Tatsii.chlich unterscheiden sich natiirlich die Felder im Innern und Aullern eines Metalls. Solange jedoch die magnetische Suszeptibilitii.t gering ist, kann man diesen Unterschied vernachlii.ssigen. Der DE-HAAS-VAN­ALPHEN-Effekt kann jedoch offenbar zu groBen magnetischen Suszeptibilitaten fiihren. Tatsii.chlich erhii.lt man aus (10.33) bei T ~ PH

X = oM/oH rv (p,/PH)3/2 ~ 1 .

Infolgedessen mull man klaren, welches Feld in die Formeln (10.33) und (10.35) fiir M einzusetzen ist.

Bekanntlich bewegen sich die Elektronen in Metallen auf LARMoR-Bahnen. Deshalb ist das von ihnen erzeugte Magnetfeld iiber Gebiete mit Abmessungen der Grollenordnung TL rv cpo/eH rv 10-3 em (bei Feldern von rv 104 Oe) gemit­telt. Da der mittlere Abstand zwischen den Elektronen 10-8 cm betragt, wirkt auf die Elektronen im Metall ein gemitteltes Feld. Bekanntlich ist aber der

1) Die Forderung nach Homogenitat des Feldes ist keine uniiberwindliche Schwierigkeit, da es mit Hllfe moderner Anlagen bereits gelungen ist, Homogenitaten mit einer Genauig­keit bis zu 10-3 -10-4 % zu erreichen.

Abb.60

10.6. Diamagnetische Domanen 183

II /I

a) /

b) 8 8

Magnetfeldstarke H als Funktion der magnetischen Induktion B beim DE· HAAS-VAN-ALPHEN-Effekt fiir (a) tiefe und (b) sehr tiefe Temperaturen. Der Bereich a-b ist thermodynamisch instabil

Mittelwert des mikroskopischen Feldes nichts anderes als die Induktion B, und folglich hat man in der Formel fiir das Moment H durch B zu ersetzen, wenn die Suszeptibilitat groB wird. Dabei ergibt sich die Abhangigkeit B(H) oder M(H) schon nicht mehr aus der Formel (10.33), sondern muE aus der Gleichung

H = B - 4nM(B)

bestimmt werden.

(10.38)

Dieser Umstand fiihrt zu unerwarteten Folgerungen. Fiir nicht zu tiefe Tem­peraturen ist M(B) ~ B, und die Abhangigkeit H(B) hat die in Abbildung 60a dargestellte Form. Bei Erniedrigung der Temperatur jedoch wachst die Am-

Abb.61

p

Druck pals Funktion des Volumens V bei konstanter Temperatur (Isotherme) fur ein VAN-DER-WAALSsches Gas. Der Bereich a-b ist thermodynamisch instabil

plitude der Oszillationen, und man kommt zu dem in Abbildung 60b gezeigten VerIauf. Dabei entstehen Gebiete, in denen einem Wert des Magnetfeldes H drei verschiedene Werte B entsprechen. Eine solche Mehrdeutigkeit zeugt von einer Instabilitat des Zustandes, wie sie zum Beispiel auch fiir die Zustandsglei­chung eines VAN-DER-WAALSschen Gases existiert (Abb. 61). Diese Analogie ist nicht zufiillig. So wie im FaIle der VAN -DER-W AALsschen Gleichung infolge der thermodynamischen Ungleichung (op/oV)P < 0 der Kurventeil zwischen den Punkten a und b nicht realisiert werden kann, existiert auch im betrachteten Fall eine thermodynamische Ungleichung oH/oB > 0, die den Teil ab in Ab-

184 10. Magnetische Suszeptibilitiit und DE-HAAs-vAN-.ALPHEN-Ejjekt

bildung 60b verbietet (SHOENBERG 1962 [48]). Die Analogie geht noch weiter. So wie die VAN-DER-WAALssche Kurve in Wirklichkeit einen Phaseniibergang erster Art aus dem gasformigen in den fliissigen Zustand beschreibt, stellt die Kurve in Abbildung 60b aufeinanderfolgende Phaseniibergange mit sprung­artiger Anderung der Induktion dar (PrPPARD 1963 [49]). Zwar ist die Situation im Magnetfeld wegen des Entmagnetisierungseffektes komplizierter, doch bleibt die Analogie vollstandig erhalten, wenn man einen langgestreckten Zylinder im Langsfeld annimmt.

Abb.62

H

Magnetfeldstarke H als Funktion der magnetischen Induktion B mit einem instabilen Bereich wie in Abb. 60b. Das Magnetfeld Ho und der Sprung der Induktion B2-B beim Phaseniibergang bestimmen sich aus der Gleichheit der gestrichelten Flachen

Somit erweist sich das Auftreten von Kurventeilen in der Abhangigkeit H(B) mit oH/oB < Ooder

X = oM(B)/oB > 1/4n (10.39)

als Bedingung fUr eine sprungartige Anderung der Induktion. Der Sprung der Induktion erfolgt im konstanten auJ3eren Feld und wird durch die Gleichheit der freien Energien im gegebenen Feld, das heiJ3t f B dB, bestimmt. Diese Gleichheit kann man als

2 2

J B dB = Ho(B2 - B 1 ) - f H dB = 0 (10.40) 1 1

darstellen, was zur Gleichheit der gestrichelten Flachen in Abbildung 62 fiihrt. Wahrend also die Kurve B(H) aus glatten Stiicken und Spriingen besteht, besitzt die Abhangigkeit M(H) den in Abbildung 63a dargestellten Verlauf.

Abb.63

M !1

a) b) H

Magnetisierung M als Funktion der Magnetfeldstarke H (a) ohne und (b) mit Entmagnetisierungseffekten

10.6. Diamagneti8cM Domiinen 185

Zur Betrachtung nichtzylindrischer Geometrien nimmt man ein beliebiges Ellipsoid mit einem Entmagnetisierungsfaktor n an (fUr einen Zylinder im Langsfeld ist n = 0, fUr einen Zylinder im transversalen Feld ist n = i, fiir eine Kugel n = {, und fiir eine unendliche Scheibe im senkrechten Feld ist n = I}. Das effektive innere Feld ist bekanntlich H, = H - 4nnM, gleichzeitig aber auch nach (1O.38) B - 4nM. Hieraus findet man

H = B - 4n(l - n} M . (1O.41)

Das ist eine neue Kurve H(B}. Da im vorliegenden Fall H, die Rolle von H iibernimmt, ist die Abhiingigkeit H,(B} wie gehabt durch Abbildung 60 ge­geben. Foiglich ergibt sich fiir die "besonderen" Kurventeile Ho = H - 4nnM oder

M = (H - Ho}/4nn , (1O.42)

das hei13t eine lineare Abhangigkeit anstelle von Spriingen. Diese Abhiingigkeit tritt in einem Intervall Bl < B < B2 auf oder gema13 (l0.41) und (10.42)

nB1 + (1 - n) Ho < H < nB2 + (1 - n) Ho . (1O.43)

Der vollstandige Verlauf der Abhangigkeit M(H} ist in Abbildung 63b dar­gestellt.

Es ergibt sich nun die Frage, worin in diesem Fall das Wesen des "beson­deren" Gebietes besteht. Denn die Probe kann sich entweder nur im Zustand mit der Induktion Bl oder im Zustand mit der Induktion B2 befinden, wahrend im Fall n =f= 0 die Induktion aIle Zwischenwerte annehmen kann. Die oben dar­gelegte formale Theorie beschreibt vollstandig lediglich die gemittelten Gro13en; die Induktion B, die in (l0.41) eingeht, ist der Mittelwert iiber die gesamte Probe. Da nun tatsachlich nur die Werte Bl und B2 moglich sind, so miissen in der Probe aufeinanderfolgende Domanen mit Werten der Induktion Bl und B2 existieren (CONDON 1966 [50]). Das Verhaltnis der Volumina dieser Phasen ist derart, da13 die mittlere Induktion dem Wert B entspricht. Besonders einfach gestalten sich die Verhaltnisse im Fall einer ebenen Platte senkrecht zum au13eren Feld (n = 1). Dann mu13 wegen der Stetigkeit der Normalkomponente der Induktion B = H sein. Daher existieren die Domanen fUr Bl < H < B2, und folglich sind einzelne Domanen paramagnetisch magnetisiert und andere diamagnetisch.

Die "in Abbildung 63a und 63b dargestellten Abhiingigkeiten der Magnetisie­rung yom Feld sind experimentelle Ergebnisse [50]. Au13erdem wurde mit HiIfe von Kernresonanzmessungen gezeigt, da13 an Silberproben bei tiefen Tempera­turen Domanen mit verschiedener Induktion existieren, wobei sich bei Variation des au13eren Feldes nur die Konzentration der Phasen anderle, nicht aber der Wert der Induktion.

Aile bisherigen tJberlegungen ermoglichen es, die Existenz von Domanen, die Werte der Induktion in den Domanen und die relative Konzentration der Phasen festzustellen. Die genaue magnetische Struktur selbst jedoch bleibt dabei unbe­stimmt. Es ist nun am naheliegendsten anzunehmen, da13 infolge der raum-

186 10. Magneti8cM S'U8zeptibilitat und DE-HAAS.VAN-ALPHEN-E!!ekt

lichen Homogenitat und der Symmetrie des Problems in einer Platte senkrecht zum aulleren Feld eine periodische Struktur aufeinanderfolgender Domanen entsteht, die die Form ebener Schichten para'.llel zum aulleren Feld besitzen. Zur Bestimmung der Periode dieser Struktur mull man einen neuen Begriff einfiihren - die Oberflachenenergie an der Grenze zwischen den Schichten.

Verstandlicherweise befindet sich die Vbergangsschicht zwischen den Phasen in einem ausgezeichneten Zustand, denn die Induktion andert sich in ihr von Bl auf B2, das heillt raumlich inhomogen. Foiglich mull diese Schicht mit irgend­einer zusatzlichen Energie verbunden sein. Man mull an dieser Stelle bemerken, dall aIle oben beschriebenen Verhaltnisse nur fiir den Fall positiver Oberflachen­energie giiltig sind. Andernfalls ware es energetisch vorteilhafter, wenn die Zahl der Zwischenphasengrenzen unbeschrankt wachsen wiirde, was zu einer voll­standigen Vermischung der Phasen fUhren wiirde. Das trafe nicht nur fiir den Fall n =F 0 zu, sondern sogar fUr einen Zylinder im Langsfeld. In diesem FaIle hatte der gesamte Vbergang einen vollstandig anderen Charakter. Prinzipiell ist das moglich (ASBEL 1967 [52]), aber in der Regel liegt der Fall positiver Oberflachenenergie vor (PRrwOROZKI 1967 [53]), der im weiteren qualitativ be­handelt wird.

1m thermodynamischen Gleichgewicht mull sich der Stoff entweder im Zu­stand mit der Induktion Bl oder B2 befinden, und jeder beliebige Zwischenwert der Induktion mull einen zusatzlichen Energiebetrag liefern. Dieser Energie­betrag mull fiir B = Bl und B = B2 verschwinden, und er ist proportional zu

(Bl ~ B2 r -(B - Bl ~ B2 r wenn sich Bl und B'J, wenig voneinander unterscheiden. In der gesamten Vber­gangsschicht ist dieser Ausdruck von der Grollenordnung (Bl - B2)'I.. Da in die

freie Energie das Integral ~ f R dB eingeht, so mull auf die V olumeneinheit

der Vbergangsschicht eine Energie von der Grollenordnung

~ (~!) (Bl - B2)'I. 1,2

entfallen (die Indizes bezeichnen die Ableitung der Kurve von Abbildung 62 im Punkt Bl oder B2). Durch Multiplikation mit der Dicke der Vbergangsschicht d erhalt man fiir die Energie pro Grenzflacheneinheit, das heillt fUr die Ober­flache.nenergie

1 (OR) B 'I. (X '" 4:n: d oB 1,2 (Bl - 2)'

Wenn Bl - B2 von der Grollenordnung der Periode der DE-HAAS-VAN-ALPHEN­Oszillationen ist, so verbleibt als einziger Parameter mit der Dimension einer Lange der LARMoR-Radius rL' so dall d '" rL'

Nimmt man eine Platte an mit der Dicke D sowie einer Lange und Breite, die gleich der Einheit sind und hat die Struktur die Periode b, so erhalt man fiir

10.6. Diamagnetische Domanen 187

die Anzahl der Schichten lib; die Gesamtfliiche aller Grenzen betriigt 2DJb. Damit liefert die Oberfliichenenergie zur Gesamtenergie den Beitrag 2cxDlb.

Abb.64

1 t I

\' \\ \\\

Ausbildung von magnetischen Domanen mit den magnetischen Induktionen Bl und B2 in einem Metall. Das auBere Magnetfeld ist homogen und senkrecht zur Metalloberflache gerichtet

In Abbildung 64 ist dargestellt, welches Aussehen die Schichten an der Pro­benoberfliiche besitzen. Die Stetigkeit des magnetischen Flusses bedeutet die Stetigkeit der magnetischen Kraftlinien. In hinreichender Entfernung von der Probe sind die Linien mit homogener Dichte verteilt, im Innern unterscheidet sich die Dichte in verschiedenen Domiinen. Andererseits fiihrt eine starke Kriim­mung der Kraftlinien zu einem weiteren Energiebeitrag. Hieraus folgt, daB sich die Grenzschichten an der Oberfliiche verbiegen miissen, wie in Abbildung 64 dargestellt. Die linearen Abmessungen einer solchen Kriimmung sind von der GroBenordnung der Schichtdicke, das heiBt von der GroBenordnung der Struk­turperiode b, wiihrend die Energie dieser Abschnitte offenbar niiherungsweise

1 gleich 4 (Bl - B2)2 b2 ist. Da die Anzahl der Schichten gleich lib ist, betriigt

n 1 der Gesamtbeitrag der Kriimmungen zur Energie etwa 4 (B1 - B2)2 b. Damit ergibt sich die Gesamtenergie zu n

(B1 - B2)2 [(OH) D ] 0 1 4n d oB 1,2 b + °2b ,

wobei Ov O2 ,,, 1. Nimmt man das Minimum dieses Ausdruckes beziiglich b, findet man fiir die Periode der Struktur

1/(OH) Dd b = V oB 1,2 O2 '

das heiBt, die Abmessungen der Domiinen wachsen mit zunehmender Platten­

dicke wie YD.

188 10. Magnetische Suszeptibilitiit und DE-HAAS-VAN-ALPHEN-Effekt

Die Bildung von Domanen infolge des DE-HAAs-vAN-.AJ,PHEN-Effektes ist in vielem analog zu anderen Fallen. der Entstehung magnetischer Domanen bei nichtzylindrischer Geometrie; das trifft zum Beispiel fUr Ferromagnetika und Supraleiter erster Art (Zwischenzustand) zu. In allen diesen Fallen liegt ein Gleichgewicht zweier verschiedener Phasen vor, und es existiert eine zusatzliche Oberflachenenergie an der Phasengrenze. Wie schon im betrachteten Fall

erweist sich die GroBe der Domanen proportional yD.

10.7. Magnetischer Durchbruch

Bisher wurde der Abstand zwischen den LANDAu-Niveaus fJH lediglich mit T und SF verglichen, nicht aber mit der GroBe der verbotenen Zone im elektroni­schen Energiespektrum, die durch Sg bezeichnet wird. Offensichtlich ist die ein­fache quasiklassische Quantisierung nicht mehr anwendbar, wenn fJH von der GroBenordnung Sg wird (tatsachlich ist das schon bei wesentlich geringeren Wer­ten der Fall, wie unten gezeigt wird). Gewohnlich betragt der Abstand zwischen den magnetischen Niveaus etwa 10-8 eV pro IOe, wahrend die Energien zur Charakterisierung der Bandstruktur von der GroBenordnung 2-10 eV sind. Bekanntlich existieren jedoch FaIle, bei denen die Energie der Bandaufspal­tungen wesentlich kleiner als 1 e V ist. Am bekanntesten ist die Aufspaltung, die durch Spin -Bahn-Kopplung der Elektronen hervorgerufen wird.

Das Wesen dieser Spin-Bahn-Kopplung besteht in folgendem: Es ist durchaus moglich, daB die Niveaus eines Elektrons, das sich im elektrostatischen Poten­tial der lonen und der tibrigen Elektronen bewegt, entartet sind. Gewohnlich ist das in Punkten des reziproken Raumes mit erhohter Symmetrie der Fall.

Abb.65

p

Zwei entartete Energiebiinder (--) und Aufhebung der Entartung (- - -) durch Spin-Bahn-Kopplung

Diese Entartung kann nun infolge eines gewissen relativistischen Effektes auf­gehoben werden, den man als Spin-Bahn-Kopplung bezeichnet. Geht man nam­lich zu einem Koordinatensystem tiber, das sich zusammen mit dem Elektron

10.7. Magnetischer Durchbruch 189

bewegt, entsteht ein zusatzliches, relativ schwaches Magnetfeld der GroBen­ordnung (vjc) V'V, wobei v die Geschwindigkeit des Elektrons, c die Licht­geschwindigkeit und V das periodische elektrostatische Potential des Gitters bedeuten. Dieses Magnetfeld wechselwirkt mit dem magnetischen Moment des Elektrons und kann das elektronische Energiespektrum verandern. Die relative GroBe der Energiekorrektur ist von der Ordnung (vjc)2/(Z), wobei I(Z) eine wachsende Funktion der Ordnungszahl ist. Da v", 108 cmjs ist, betragt diese Energie etwa 10-3-10-2 eV.

Obwohl dieser Effekt also sehr schwach ist, kann er sich doch als wesentlich bei der Aufhebung der Entartung von Niveaus erweisen. Das trifft zum Beispiel fur den in Abbildung 65 dargestellten Fall zu, bei dem sich zwei Bander in einem Punkte beruhren, der sowohl dem energetischen Maximum des einen Bandes als auch dem Minimum des anderen Bandes entspricht. In diesem Fall fiihrt die Aufhebung der Entartung durch die Spin-Bahn-Kopplung zum Ent­stehen einer kleinen Lucke im energetischen Spektrum.

Abb.66

a) b) ~ I I

'-----'-----_-L P,x

Flachen konstanter Energie im Impulsraum fiir (a) freie Elektronen und (b) fast freie Elektronen in einem Gitter, das in einer Dimension periodisch ist

Wenn das Magnetfeld, das auf ein solches Metall einwirkt, hinreichend schwach ist, bewegen sich die Elektronen auf entsprechenden, quasiklassischen Bahnen. Mit anwachsendem Feld jedoch kann der Fall eintreten, daB die schmalen Ener­gielucken unwesentlich werden. Dann erfolgt die Bewegung der Elektronen auf Bahnen, die durch vollstandige Vernachlassigung der schmalen Energielucken charakterisiert sind. Diese Erscheinung heiBt "magnetischer Durchbruch" (COHEN, FALICOV 1961 [54]).

Bei den Zwischenwerten des Magnetfeldes verbreitern sich die Energie­niveaus zu energetischen Zonen, was zu gewissen eigentumlichen Effekten fuhrt (z. B. zur Anderung des Charakters der Streuung der Elektronen). Das bezieht sich jedoch nur auf das direkte ttbergangsgebiet.

Zur Illustration diene der Fall, daB ein fast freies Elektron in ein Gitter gebracht wird, das in einer Richtung periodisch ist (Abb. 66a). Entsprechend Kapitell braucht man lediglich eine BRILLOUIN-ZOne zu betrachten; diejenigen Teile der Isoenergieflache, die auBerhalb der BRILLoUIN-Zone liegen, hat man bereits als zum nachsten Energieband gehorig zu interpretieren. Aus Abbil-

190 10. Magnetische S'U8zeptibilitiit urul DE-IlAAs-vAN-ALPHEN-Effekt

dung 66 b ist ersichtlich, daB bei hinreichend groBen Energiewerten ein "ge­wellter" Zylinder in einer Zone und eine geschlossene Fliiche in der anderen Zone entstehen. Wenn das Magnetfeld in z-Richtung orientiert ist, so sind bei

Abb.67 Magnetischer Durchbruch zwischen zwei Bahnen (--) fast freier Elek­tronen. In hohen Magnetfeldern durchlaufen die Elektronen kreisformige Bahnen (- - -) wie freie Elektronen

schwachen Feldern nur die DE-HAAs-vAN-ALPHEN-Oszillationen der geschlos­senen Fliichen sichtbar, wahrend der Widerstand (!zz proportional H2 anwiichst, da hier der Fall eines gewellten Zylinders im senkrechten Feld vorliegt (s. Abschn. 5.4.). Wenn jedoch das Magnetfeld hinreichend stark wird, so stellt der magnetische Durchbruch die urspriingliche FERMI-Kugel fUr freie Elektronen wieder her, und der aquatoriale Querschnitt liefert die DE-HAAS-VAN-ALPHEN­Oszillationsperiode, wahrend (!zz gegen einen Sattigungswert strebt.

Urn die GroBenordnung der Magnetfelder abzuschatzen, die zum magnetischen Durchbruch notwendig sind, betrachtet man die Abbildung 67. Diese Abbildung kann man nicht nur als Darstellung der Isoenergieflache interpretieren, sondern auch als Darstellung ihres Querschnitts mit der Ebene p, = 0, das heiBt der Elektronentrajektorie. Die Abhangigkeit der Energie vom Impuls ffir fast freie Elektronen wurde in Abschnitt 1.3. behandelt. Mit Formel (1.42) ergibt sich bei entsprechender Umbezeichnung der Impulse fUr die in Abbildung 67 darge­stellte Trajektorie die Gleichung

p; + p; + (liKj2)2 1/(pzliK)2 2m ± V ~ + iUKI 2 =e, (10.44)

wobei Uk die Energieliicke bedeutet. Der kiirzeste Abstand zwischen zwei Trajektorien entspricht pz = 0 und ist

gleich

~py = V 2m [e - 2~ e:r + UK] - V 2m [e - 2~ e:r -UK] y2;;, UK 1/- UK

~ ye _ (lj2m) (liKj2)2 rv ym y-'; .

10.7. Magnetischer Durchbruch 191

Hierbei wird U K ~ e - 2~ (h:r '" f-t angenommen. Wie schon in Ab­

schnitt 5.1. bemerkt (Formel (5.10»), sind die Trajektorien im Orts- und Impuls­raum einander ahnlich. Durch Anderung des MaBstabes findet man daher aus der GroBe des "verbotenen Intervalls" im Impulsraum fJp'V fUr den Wert des verbotenen Intervalls im Ortsraum

(10.45)

Dieser Bereich stellt die Potentialbarriere dar, die von einem klassischem Elektron nicht iiberwunden werden kann. In der Quantenmechanik existiert jedoch bekanntlich eine Wahrscheinlichkeit, mit Hilfe des sogenannten Tunnel­effektes diese Barriere zu durchdringen. Diese Wahrscheinlichkeit des Tunnel­effektes ist proportional

W '" exp [- ! 1m (Px) fJX] •

Der Imaginarteil von Px ergibt sich aus Gleichung (10.44) im verbotenen Inter­vall der Abbildung 67. GroBenordnungsmaBig kann man ihn bestimmen, indem man von der Bedingung ausgeht, daB das imaginare Px unter der Wurzel in (10.44) den Term I U kl 2 kompensiert. Daraus folgt

UKm UK V;; 1m Px '" hK '" Y f-t (10.46)

Setzt man (10.45) und (10.46) in die Formel fUr die Tunnelwahrscheinlichkeit ein, findet man (BLOUNT 1962 [55]):

W '" exp ( - ~ ~~~ :k) = exp ( - ~ ZL), (10.47)

wobei ~ '" 1. Hieraus folgt, daB zum Auftreten des magnetischen Durchbruches nicht die Bedingung fJH "-' UK, sondern fJH '" Uk/ f-t notwendig ist, das heiBt eine wei taus kleinere GroBe. So sind zum Beispiel fUr Uk'" 10-2 e V und f-t '" 1 e V bereits Felder von 104 Oe ausreichend.

In Wirklichkeit wird das betrachtete Modell in der Natur nicht unmittelbar realisiert, und die Bedingungen fUr die Beobachtbarkeit des magnetischen Durchbruches liegen nicht oft vor. Ein Beispiel ist das Magnesium, bei dem in starken Feldern Querschnittsfliichen beobachtet wurden, die groBer als die Quer­schnitte der BRILLOUIN -Zone sind [54]. Dieser U mstand liiBt sich folgender­maBen interpretieren. Magnesium besitzt ein hexagonal dicht gepacktes Gitter. Betrachtet man einen Zentralschnitt der FERMI-Fliiche senkrecht zur Haupt­achse, so besitzt der Querschnitt der BRILLOuIN-Zone in diesem Fall die Form eines regelmiiBigen Sechseckes (Abb. 68).

192 10. Magnetische Suszeptibilitat und DE-HAAs-vAN-ALPHEN-Effekt

Zeichnet man die Elektronenbahnen nach dem Modell freier Elektronen, so hat man Kreise mit dem Mittelpunkt im Zentrum jedes Sechseckes zu ziehen. Diese Kreise uberschneiden sich. Wie ublich wird diese "Oberschneidung in Wirklichkeit aufgehoben, und man erhalt eine geschlossene Linie in der Mitte und "Dreieckskonturen" an den Randern des Sechseckes. Wesentlich ist hierbei, daB die Aufhebung der Entartung nur durch die Spin-Bahn-Wechselwirkung erfolgt. In schwa chen Feldern werden die Oszillationsperioden durch die in Ab­bildung 68 schraffierten Flachen bestimmt. Wenn jedoch das Feld hinreichend stark ist, so entsteht die Bahn eines freien Elektrons, und es ergibt sich ein Querschnitt, der groBer als die Flache des Sechseckes ist.

Abb.68 Zentraler Querschnitt der FERMI-Fliiche (--- ) von Magnesium mit "dreieckigen" Elektronenbahnen: und einer zentralen Lochbahn. Die Pfeile markieren die Umlaufsrichtung der Elektronen im Magnetfeld, und das Sechseck ist der Querschnitt der BRILLOuIN-Zone. Die DE-HAAS-VAN-ALPHEN­Perioden sind in schwachen Magnetfeldern durch die schraffierten Flachen und bei magnetischem Durchbruch in starken Magnetfeldern durch die groBe Kreisfliiche bestimmt

Das Magnetfeld muB streng in Richtung der Hauptachse orientiert sein, da die groBe Bahn durch die Schnittpunkte der freien FERMI-Kugeln gehen und gleichzeitig in einer Ebene liegen muB, die senkrecht zum Feld ist. Wenn das Magnetfeld anders gerichtet ist, so sind die kleinen Bahnen durch groBe Ab­stande getrennt, was ihre Verschmelzung zu einer groBen Bahn nur sehr schwer moglich macht. Aile diese Eigenschaften werden experimentell beobachtet. Der Effekt des magnetischen Durchbruches verschwindet, wenn die Abweichung des Magnetfeldes von der Achse 4° ubersteigt.

11. Quantenerscheinungen in der Hochfrequenz-OberfHichenimpedanz

11.1. "Gewohnliche" Quantenoszillationen

Oszillationen desselben Typs, wie sie beim DE-HAAS-VAN-ALPHEN-Effekt auf­treten, werden auch in den kinetischen Erscheinungen beobachtet, z. B. in der elektrischen Leitfahigkeit (SCHUBNIKOW-DE-HAAs-Effekt) und in der Warmeleitung. Eine der genauesten Methoden zur Messung von Sextr ist die Beobachtung von Oszillationen in der Hochfrequenz-Oberflachenimpedanz, deren Theorie im folgenden dargelegt werden soIl (As BEL 1958 [56]).

Streng betrachtet, erfordert die quantenmechanische Behandlung der kine­tischen Erscheinungen ein vollkommen anderes Herangehen. Die Wechselwir­kung der Elektronen mit Storstellen oder Phononen wird nur in nullter Naherung in tt durch das StoBintegral beschrieben. Daher ist diese Naherung fiir die Be­rechnung der Quantenoszillationen unzureichend, was in manchen Fallen auBer­ordentlich wichtig ist. 1m SCHUBNIKOW-DE-HAAs-Effekt (Oszillationen der sta­tischen Leitfahigkeit) zum Beispiel liefern gerade die Quanteneffekte in den StoBen den Hauptbeitrag, und die Vernachlassigung dieser Tatsache fiihrt zu Fehlern.

Allgemein kann man sagen, daB in der Regel jeder beliebige Effekt, der we­sentlich von't abhangt, nicht durch einfache quasiklassische Methoden berechnet werden kann, wie sie unten dargelegt werden. Solche Erscheinungen erfordern Methoden der Quantenfeldtheorie, was weit iiber den Rahmen dieses Buches hinausgeht. 1m FaIle der Hochfrequenz-Oberflachenimpedanz unter den Bedin­gungen des anomalen Skineffektes spielt der Ausdruck a{)jl die Rolle der effek­tiven Leitfahigkeit, das heiBt einer GroBe, die nicht von der freien Weglange abhangt. Dieser Umstand erlaubt es, den EinfluB der Quantisierung der Niveaus auf die StoBe zu vernachlassigen.

Die Moglichkeit einer quasiklassischen Betrachtung von Quantenkorrekturen ist auch durch die Bedingung eingeschrankt, daB das Wellenfeld keine real en Dbergange zwischen den magnetischen Quantenniveaus hervorrufen darf. Dazu ist offenbar notig, daB die Frequenz der Welle nicht zu hoch sein darf, das heiBt, es muB w ~ Q sein. Eine solche Bedingung ist jedoch nicht hinreichend. Zu Beginn des Abschnittes 12.7. werden die Erhaltungssatze bei der Quanten­absorption durch ein Elektron behandelt. Obwohl es sich dort um Schallwellen handelt, ist die Formel (12.46) jedoch in gleicher Weise auch fiir den Fall der Absorption eines elektromagnetischen Quantes anwendbar. Aus dieser Formel folgt fUr n = n', daB reale Dbergange vermieden werden, falls kz ~ mwjpo.

13 Abrikossow

194 11. Quantenersekeinungen in der H oekJrequenz-OberJliiekenimpedanz

Da k = I/fJ ist, darf der Neigungswinkel des Magnetfeldes zur Oberflaehe den Wert

1jJ~mwfJlpo

nieht iibersehreiten. Fiir co '" 1010 S-I, fJ '" 10-4 em und v = polm '" 108 em/s findet man 1jJ ~ 10-2 '" 1 o. In diesem Fall kann man das elektrisehe Feld als quasiklassiseh betraehten.

Die Bedingung der Parallelitat von Magnetfeld und Metalloberflaehe fallt mit (7.57) zusammen, die £iir das Auftreten der Zyklotronresonanz erfiillt sein muB (da dort co '" Q).

1m weiteren wird lediglieh der Fall eines parallelen Feldes behandelt; am Ende dieses Absehnittes werden diejenigen Anderungen hervorgehoben, die sieh im geneigten Feld ergeben.

Wenn das elektrisehe Feld der Welle quasiklassisehen Charakter hat, so fiihrt es lediglieh zu einer Versehiebung der Energieniveaus, wie sie friiher abgeleitet wurden. Aber es ergibt sieh ein Korrekturterm zur Verteilungsfunktion (-olo/,iJe(n, Pz») 1jJ(E, n, P1J' P,), wobei E das elektrisehe Feld bedeutet. 1m klassisehen Grenzfall ist die Anderung der Verteilungsfunktion - (0 loloe) 1jJ (s. Kap. 7). Hierbei ist 1jJ eine sieh langsam andernde Funktion der Energie. Ent­spreehend dem Korrespondenzprinzip kann man sagen, daB im klassisehen Grenzfall1jJ(E, n, P1J' P,) in die Funktion 1jJ iibergeht, die in Kapitel 7 betraehtet wurde. Wegen der langsamen Anderung der Funktion 1jJ jedoeh sind die Quanten­korrekturen in dieser Funktion im Verhaltnis zu den Korrekturen der Funktion ol/oe auBerordentlieh gering. Infolgedessen kann man sofort den klassisehen Wert von 1jJ benutzen.

Statt (7.42) erhalt man folgenden Ausdruek fiir den Strom:

. e3H f 010 1 = ;E;E dpz -=-,-----.,--'" (2nli)2 Can oe(n, P"~ 0')

X [ •• (~) _1 e'" -''''"-''''. ,(~) E,! r(t,)] dt, ] ,

wobei der Strieh die Mittelung iiber eine Periode bedeutet und t,

T(tll) = T + J v (ts) dts . t1 •

(11.1)

Dureh Anwendung der POIssoNsehen Formel (10.21) erhalt man fiir den oszil-

lierenden Teil des Stromes i

(11.2)

11.1. "Gewohnliche" Quanteno8zillationen 195

(mit TI ist die Periode bezeichnet, um sie von derTemperatur zu unterscheiden). T,

Da das gesamte Integral ~l J dtl eine nur langsam veranderliche Funktion

o von e und pz ist, kann man es folgendermaBen umformen. Wie aus Abschnitt 10.5. bekannt ist, sind die Werte e in der Umgebung von fl und die Werte pz in der Umgebung von p';' am wesentlichsten; sie entsprechen den Extremalquer-

T,

schnitten. Daher kann man das Integral ~l J dtl' genommen bei diesen Wert en

o e und Pz, als konstant annehmen und es mit Q bezeichnen.

Wie frtiher hat man

j= 2ReEha, k,a

00 00

• _ 2mkn e3H J~ " ha - - (2nlt)2 c e dn J 010

---~"-dPzQ. Oe(n, pz, a)

o -00

Geht man mit Hilfe der Relation

on c oS cm* dn =-de = --- -de = --de

Oe 2neltH Oe eltH

von der Integrationsvariablen n zu e tiber, erhalt man

00 pzroax

2ne2 J oloa J 2 "k ( ) J'k = - -- de'- m*(p e) e , .. npz,e dp Q a (2nlt)3 Oe ., z ,

o Pzmin

(11.3)

(11.4)

wobei loa die Funktion 10 mit Pa = P + f3Haz bedeutet. Durch Integration tiber pz erhalt man

00

2ne2 J ika = - -(2-n-lt )-3 -Y k-

o

de ~ E e - 4 e2"iknm(e) m!(e) -2 Qm. 01 +i ~ 102nl-1/2 Oe m Opz m

(11.5)

Ersetzt man nm(e) durch den Ausdruck

13*

196 11. Quantener8cheinungen in der HochJrequenz-OberJlachenimpedanz

und integriert tiber e, ergibt sich

J [(onm) ] 0/0 exp 2nik as ,. (e - p,) oe de

00 __ ~ J exp [2nik(onm/oe),. xl dx - T (elelT + 1) (e- leIT + 1)

-00

00

1 J exp (4niTk(onm/oe),. Y) A = - 2 dy ch2 y = -1p( k) ,

-00

wobei 1p(z) = z/sh z und A = 2nST(onm/oe),.. Weiterhin ist analog dem Abschnitt 10.5.

~ e2,.ikn".("a) = e2nikn".(,.) 2 cos [ e;:)" 2nkfJH].

Damit folgt fUr i . 8ne2 1p(Ak) [ n] 1 = (2nli)3 f ~ yIC cos 2nknm(P,) + "4

[ (on )] 102n 1-1/2 X cos 2nkfJH 0:,. OP; m!(p,) Qm •

Benutzt man schlieJ3lich die Relationen nm = Smcj2neliH und (1/2n) (OSm/oe) = m*, so folgt

. _ _ _ (2 )112 '" __ m *Q _ e2 (eIiH)1/2 102S ,-1/2 1 - 2"3 n £.J ':> 2 m m

nib C m UPm

1p(kA) [(CSm ) n] ( m*) X f yIC cos k eliH +"4 cos nk-;;; . (ll.6)

Vergleicht man diese Formel mit (10.33) und differenziert dort nach H, erhiilt man eine Summe tiber k vom selben Typ wie in (ll.6). Damit nimmt die Relation (ll.6) die Form

- (0 In Sm)2 oMm i = 4n2e2 ~ --- H2 --Qm m oe oH (11.7)

an, wobeiMm der Term in (10.33) ist, der einem bestimmten m entspricht. Zur Vermeidung umstiindlicher Rechnungen wird der Wert von Qm nicht ange­

geben. Vergleicht man (ll.2) mit der Formel (7.42) fUr den Strom im hochfre-

11.1. "Gewohnliche" Quantenoszillationen 197

quenten Feld bei Anwesenheit eines Magnetfeldes H und geht man mit Hilfe der Beziehung

rt, dS eHf 'Y -:;- = ---;; dpz dt1

zu neuen Integrationsvariablen iiber (s. Formel (5.11)), so findet man

2e3H f io(H) = (2nli)3 c QTl dpz

mit io(H) als "klassischem" Strom (7.42). Benutzt man das "Ineffektivitats­Konzept" und fiihrt man eine effektive Leitfahigkeit ein, so ist das Verhaltnis

von variablem zu konstantem Teil der effektiven Leitfahigkeit gleich i/io(H),

wobei j durch den Ausdruck (11.7) gegeben wird. Da nach (7.7) und (7.3) die Impedanz proportional (J;r1/2 ist, ergibt sich

Z 1 (jeff j Zo(H) = - 2 (Jeffo(H) rv jo(H) •

(11.8)

Durch Einsetzen der entsprechenden Ausdriicke erhalt man

Zo<P oMm Ji3m!H2 ZOo<p(H) = ~ Amo<p oH Sr:!.2 (11.9)

wobei fUr die Koeffizienten Amo<p rv 1 gilt. Durch Vergleich mit der Relation (10.33) fiir das Moment erhalt man

(11.10)

Wie schon im vorigen Kapitel erwahnt wurde, vergroBert jede Differentia­tion nach H wegen der groBen Oszillationsfrequenz die relative Amplitude der Oszillationskorrektur. Deshalb sind Experimente, in denen oX/oH oder oR/oH gemessen wird, beziiglich der Quantenoszillationen besonders vorteilhaft. Impedanzmessungen besitzen einen weiteren Vorteil gegeniiber dem DE-HAAS­vAN-ALPHEN-Effekt. 1m letzteren Fall tragen aIle Extremalquerschnitte zum magnetischen Moment bei und daher ist es nicht leicht, die verschiedenen Oszil­lationstypen voneinander zu trennen. Bei Impedanzmessungen jedoch bestimmt man im wesentlichen eine effektive Leitfahigkeit (Jeff, die proportional vo<vp ist. Andert man daher die Polarisation der einfallenden Welle, so kann man einige der Oszillationen unterdriicken: Insbesondere lassen sich die Oszillationen des Zentralquerschnitts leicht eliminieren, weil die beiden wesentlichen Plfnkte, in denen die Kurve v" = ° den Zentralschnitt schneidet (s. Abb. 33), entgegen­gesetzte Richtungen der Geschwindigkeit besitzen. Nimmt man Ev = 0, fallen die entsprechenden Oszillationen vollkommen heraus.

Zum SchluB dieses Abschnitts sei auf einige qualitative Anderungen hinge­wiesen, die sich im geneigten Feld ergeben. Wie schon erwahnt, darf man in diesem FaIle nicht die oben dargelegte quasiklassische Methode anwenden.

198 11. Quantenerscheinungen in der Hochfrequenz.Oberfliichenimpedanz

Strenge Rechnungen (s. [4] im Verzeichnis der -obersichtsartikel) zeigen, daB in diesem Fall die OszillationsgroBe im Vergleich zum parallelen Feld im Ver­hiiltnis kzvjmax (ljT, w) anwiichst. Folglich ergibt sich

Z l/pH kzv Zo(H) '" V ---,; max (ljT, w)

In hinreichend starken Feldern und bei hohen Frequenzen kann dieses Verhiiltnis groBer als Eins werden, das heiBt, es liegen dann Riesenoszillationen vor. Dem Wesen nach iihnelt diese Erscheinung den Riesenoszillationen bei der Schall­absorption (s. Abschn. 12.7.). Mit w '" 1010 S-l, '" k 1jb", 104 cm und H '" 104 0e

folgt aus der angegebenen Abschiitzung ZjZo(H) '" 0,1-1, woraus folgt, daB Riesenoszillationen der Impedanz durchaus auftreten konnen.

11.2. Zyklotronresonanz bei "Girlanden"-Bahnen

Bei der Behandlung der Zyklotronresonanz wurde diffuse Reflexion der Elek­tronen an den Grenzfliichen des Metalls vorausgesetzt. Das ist gerechtfertigt, da die Wellenliinge des Elektrons von der GroBenordnung der interatomaren Abstiinde und der mittleren Abmessungen der Oberfliicheninhomogenitiit ist.

Allerdings bedarf diese Behauptung einer gewissen Priizisierung. Beim Ver­gleich der Wellenliinge des Elektrons und der Abmessungen der Inhomogenitiit ist diejenige Wellenliinge wesentlich, die nur mit der Bewegung des Elektrons in Richtung der Normalen zur Oberfliiche verkntipft ist. Die entsprechende Impuls­komponente kann sehr klein sein, wenn sich das Elektron unter einem kleinen Winkel zur Oberfliiche bewegt.1) Dabei entstehen Bedingungen fUr eine spie­gelnde Reflexion. Gewohnlich ist die Zahl solcher Elektronen vernachliissigbar und ihr EinfluB auf die Eigenschaften des Metalls gering. Unter bestimmten Bedingungen konnen solche Elektronen jedoch eine bemerkenswerte Rolle spielen.

Wenn sich ein Metall zum Beispiel in einem schwachen Magnetfeld parallel seiner Oberfliiche befindet, so sind Elektronentrajektorien moglich, wie sie in ~bbildung 69 dargestellt sind. Wenn der Winkel, unter dem das Elektron zur Oberfliiche gelangt, klein ist, so erleidet das Elektron eine spiegelnde Reflexion, und der niichste Teil der Trajektorie reproduziert den vorigen. Solche Bahnen heiBen "Girlanden"-Bahnen.

Die Bewegung eines Elektrons liings Girlanden-Bahnen ist beztiglich der Normalen zur Oberfliiche periodisch und daher quantisiert. Es entstehen diskrete Niveaus, zwischen denen durch Absorption von Energie eines hochfrequenten Feldes -obergiinge moglich sind. Daher tritt im Gebiet sehr schwacher Magnet-

1) Man kann zeigen, daB in einem anisotropenMetall die effektive Wellenlange lif{pz - Pzo) entspricht, wobei Pzo der Wert von pz im Punkte mit Vz = 0 ist.

11.2. Zyklotronresonanz bei "Girlanden"-Bahnen 199

felder ein hochst eigenartiger Resonanzmechanismus der Energieabsorption eines Hochfrequenzfeldes auf (CHAIKIN 1960 [57]; NEE, PRANGE 1967 [58]).

Obwohl sich dieser Effekt dem physikalischen Wesen nach kaum von der Zyklotronresonanz unterscheidet, gibt es doch einen bemerkenswerten Unter­schied. Bei der Zyklotronresonanz handelt es sich infolge der Ungleichung nQ ~ BF um tJbergange zwischen energetisch sehr hohen Quantenniveaus; daher ist dieser Effekt dem Wesen nach klassisch. Die Resonanz bei Girlanden-Bahnen entsteht durch tJbergange zwischen energetisch sehr tiefen Niveaus, so daB eine klassische Betrachtung dieser Niveaus unmoglich ist.

Abb.69

z.H ~ cr~y i 0 I I Ix

Girlandenbahn eines Elektrons an einer Metalloberflache in einem schwachen, parallel zur Oberflache gerichteten Magnetfeld H. Bei kleinem Glanzwinkel rp wird das Elektron an der Oberflache spiegelnd reflektiert

1m Impulsraum entspricht der Bewegung langs einer Trajektorie der Abbil­dung 69 eine Bewegung auf einer geschlossenen Bahn, die das schraffierte Seg­ment in Abbildung 70 begrenzt. Nach Formel (10.17) ist die schraffierte Flache gleich (2nenH/c) [n + yen)], wobei y von n abhangen kann und sich in den Grenzen 0 < y < 1 befindet. Die quasiklassische Quantisierungsregel gibt keine weiteren Informationen tiber die Funktion y. Das war im FaIle der Quantisie-

Abb.70

P.r

Geschlossene Bahn im Impulsraum, die der Girlandenbahn in Abb. 69 ent­spricht und die Bchraffierte Flache einschlieBt

rung gewohnlicher Bahnen unwesentlich, weil es sich um energetisch hohe Niveaus handelte. flier jedoch ist nl'V 1, so daB die Kenntnis von yen) notwendig ist. 1m betrachtetenFallgelingt es, die Funktion yen) fiir ein beliebiges Spektrum zu bestimmen, da nur ein sehr kleiner Teil der gesamten geschlossenen Bahn

200 11. Quantener8cheinungen in der Hochjrequenz-Oberjliichenimpedanz

wesentlich ist, den man als Teil eines Kreises auffassen kann. Es erweist sich, daB fiir beliebiges n y(n) ~ -1/4 ist. Der relative Fehler im Ausdruck n + y(n) betragt sogar fiir n = 1 weniger als 2% und nimmt mit wachsendem n wie 1/nz abo 1m weiteren wird der Ausdruck n + y(n) = n - 1/4 durch ~ bezeichnet.

Da der Winkel rp klein ist, kann man den entsprechenden Teil der Trajektorie durch einen Kreis approximieren. Dann ist die Hohe des Segmentes x in Abbil­dung 69 gleich

x = R(1 - cos rp) ~ Rrpz/2 ,

wobei R = cp/eH (p ist der Kriimmungsradius der Bahn im Impulsraum). Die Flache des Segmentes in Abbildung 69 betragt

2rp 2 4 2n nRz - R2 sin rp cos rp ~"3 R2rp3 = "3 Y2x3 R •

Nach Formel (5.10) ist die Flache im Impulsraum gleich der Flache im Orts­raum, multipliziert mit (eH/c)2. Nach der Quantisierungsregel ergibt sich damit

S,. = - - Y2x,.R = ---~ , (eH)2 4 -s- 2neltH c 3 c

woraus

x,. = (3nlt/2 y'2)2/S (c/eHp)l /S ni's (11.11)

folgt. Jetzt ist es nicht mehr schwer, die Energieniveaus zu finden. Da auf das e

Elektron die LORENTz-Kraft - [vH] wirkt und die Geschwindigkeit des Elek-c

trons v fast parallel der Grenzflache ist, so kann man naherungsweise annehmen, daB die Kraft in Richtung der N ormalen wirkt und dem Betrage nach gleich (e/c) v,/I ist. In diesem Fall kann man ein Potential V(x) = (e/c) vr;Hx (x> 0) einfiihren. Eine spiegelnde Reflexion an der Grenzflache kann man sichern, wenn man die Grenzflache als unendlich hohe Potentialbarriere darstellt. Dann erhalt man die in Abbildung 71 dargestellte unendliche Potentialgrube. Offenbar ent­spricht jedem moglichen Aufenthaltspunkt eine Energie

e,. = eHvyx,./c. (11.12)

Die Resonanzfrequenzen, die den Absorptionslinien entsprechen, ergeben sich zu

( 3

)2/S (H2)1/3 e,. - em ne 2/3 2/S

(Onm = '" = ~ ----; vy(n1 - m1 ). fb 2r2c Pfb

(11.13)

Tatsachlich ist jedoch die Frequenz vorgegeben, und dasMagnetfeld andert sich. Die Resonanzwerte des Feldes haben die Form

(11.14)

11.2. Zyklotronre8onanz bei "Girlanden"·Baknen 201

Der Faktor (P/V~)1/2 (p ist der Krummungsradius der Bahn im Impulsraum) entspricht einer Linie auf der FERMI-Flache mit v'" = O. Er hangt von Pa abo Offenbar mussen in die Werte Hnm die Extremalwerte von p/v~ eingehen. Der Effekt wird jedoch bedeutend starker, wenn sich der Parameter p/v~ uber einem ganzen Teil der FERMI-FHiche wenig andert, was offensichtlich fUr eine FERMI-

Abb.71

V(rl

In I

Effektives Potential V im Magnetfeld als Funktion des Abstandes x von der Metalloberfliiche mit Energieniveaus e .. der magnetischen Oberfliichenzu­stiinde von Elektronen in Girlandenbahnen

Flache mit zylindrischen Abschnitten der Fall ist. Gerade solche Teile liefem dann auch die Maxima der Absorption, wie sie experiment ell an Wismut, Zinn und Indium gefunden worden sind.

Die Resonanzlinien, beschrieben durch Formel (11.14), konnen nach Serien klassifiziert werden. J ede Serie wird durch ein bestimmtes ~ charakterisiert, und man erhalt aIle Linien dieser Serie aus (11.14), indem man ~ = (m + Ih, (m + 2h, ... setzt. Man kann sich leicht davon uberzeugen, daB jede folgende Serie bei einem groBeren Feldwert beginnt als die vorhergehende, und aIle Linien dieser Serie werden in Richtung kleiner Feldwerte gezahlt. Aus der Rela­tion (11.14) kann man formal beliebig groBe Werte von Resonanzfeldern erhal­ten. Tatsachlich jedoch werden nur solche Bahnen effektiv sein, die sich inner­halb der Skinschicht befinden. Diesen Bahnen entsprechen aber relativ geringe Werte m1 und ~, wie im folgenden gezeigt wird.

Nimmt man an, daB n1 groB sei und ~ - ~ = L1n ~~, so erhalt man aus (11.14)

"" 2 Y2 (~)3/2 fil/2C 3/2 (p )1/2 n 1/2

H,.., 3 2 w 3 A 3/2· 7& e VII Lin

Setzt man H in (11.11) ein, so folgt

Xn ~ 37&_ 1/ 2 ( fiV u)I/2 (n L1n)I/2 < fJ • 2 Jl2 V 3 pw

Da der kleinste Wert von L1n gleich 1 ist, hat man folglich

n < ~(2 Y2)2fJ2PW = nli • 2 37& fivlI m

202 11. Quantenerscheinungen in der HochJrequenz-OberJlachenimpedanz

Fur w '" 1010 s-I, () '" 10-4 em, pin", 108 em und Vv '" 108 em/s findet man, daB n einige Zehner nicht ubersehreiten kann. Bei groBen Werten von n nimmt die Intensitat der Resonanzpiks auBerordentlieh schnell ab.1)

Der Wert L1n = 1 entsprieht dem Beginn einer Serie. Fur groBe L1n ergibt sieh die Besehrankung

1 < L1n < nlimln

mit nlim als absoluter Grenzevon n. Setzt man in der Formel fUr H L1n = 1 und n = nlim' findet man

H < 17 10 Oe.

Da () '" W- 1/3 , so tragt eine Erhohung der Frequenz nur wenig zu einer Ver­groBerung zulassiger n bei, obwohl naturlieh die Resonanzwerte von H dabei anwaehsen.

Da die Elektronen, die sieh auf Girlanden-Bahnen bewegen, stets in der Skin­sehieht sind, tragen sie sehr effektiv zur Absorption elektromagnetiseher Wellen bei, und die Resonanzen, die dureh zylindrisehe Teile der FERMI-Flache verur­saeht werden, liefern betrachtliche Piks in der totalen Oberflaehenimpedanz.

1) AuBerdem sind bei groBen Zahlen n und m die Resonanzen nicht mehr getrennt, da die Differenz benachbarter Werte Wnm kleiner als liT wird.

12. Scballabsorption in Metallen

12.1. Absorptionskoeffizient bei lehlendem Magnetfeld; tiele Frequenzen

Die Schallabsorption in Metallen hangt von der GroJ3e on; ab, aber auch vom Ver­haltnis der Wellenlange zur Weglange A/l oder (im FaIle A/l ~ 1) vom Verhaltnis AjlJ mit lJ als Skintiefe bei der Schallfrequenz. Fiir on: ~ 1 kann man von Emission und Absorption einzelner Quanten sprechen. 1m FaIle w7: ~ 1 spielt die Schall­welle die Rolle eines auJ3eren Feldes, das auf die Elektronen wirkt. 1m folgenden wird zunachst dieser Fall betrachtet (AcHIEsER, KAGANOW, LJUBARSKI 1957 [59]).

Bisher wurden stets die Eigenschaften der Elektronen in einem ruhenden Kristall betrachtet. Da beim Durchgang der Schallwelle das Kristallgitter in Schwingungen gerat, muJ3 man beachten, daJ3 das Energiespektrum der Elek­tronen in einem Bezugssystem gegeben ist, das mit demKristallgitter verbunden ist und das den folgenden -oberlegungen zugrunde liegt.

Die Energie der Elektronen im Feld der Schallwelle hat die Form

e(p, r, t) = e(p) + Aik(p) uik(r, t) , (12.1) wobei

(12.2)

der Deformationstensor, u der Verschiebungsvektor im Punkte r und Aik der sogenannte Deformationspotentialtensor sind. 1m Prinzip miiJ3te auch der Tragheitsterm mv ou/ot (das Ergebnis der Entwicklung der Energie m(v + ou/ot)2/2 nach u) eine Beschleunigung der Elektronen ergeben. Die GroJ3en­ordnung dieses Terms jedoch ist mvwu rv mvsku (s ist die Schallgeschwindigkeit und k der Wellenvektor), wahrend der zweite Term in (12.1) von der GroJ3en­ordnung uJLk rv mv2uk (Aik rv JL) ist und folglich um vis rv 103 mal groJ3er als der Tragheitsterm ist.

Die kinetische Gleichung hat die Form

01 01 . 01 -+ v -+ p-= I(f). ot or op (12.3)

Im. weiteren ist es zweckmaJ3ig, eine andere Naherung fiir I(f) zu verwenden:

I(f) = (f - 1)/7: ,

204 12. Schallabsorption in M etallen

wobei I den Mittelwert tiber aIle Richtungen des Impulses bei fester Energie bedeutet:

- fl dS/v 1= fdS/v .

Da auf der linken Seite von Gleichung (12.3) die vollstandige Ableitung dl/dt steht, erhalt man durch Integration von (12.3) tiber die Impulse dn/dt = 0, das heiBt die Erhaltung der Elektronendichte. Das folgt aus der angenommenen Form des StoBintegrals. Physikalisch ergibt sich diese Bedingung aus der Tat­sache, daB eine Nichterhaltung der Elektronendichte zur Entstehung von Volu­menladungen ftihren wurde. Wie jedoch schon mehrfach bemerkt wurde, wird im Metall eine beliebige Ladung bereits innerhalb atomarer Abstande abge­schirmt. Da hier wesentlich groBere Entfernungen interessieren, wird die Volu­menladung vernachlassigt. Mit anderen Worten, die Elektronendichte darf sich nicht von der Gleichgewichtsverteilung ohne Schall unterscheiden:

J d3p f d3p I (2nn)3 = lo(eo) (2nn)3 '

dabei bedeutet lo(eo) die FERMI-Verteilungsfunktion bei fehlendem Schall. Die in die kinetische Gleichung eingehende Ableitung p ist gleich

. Oe p = - or + eE.

Der erste Term hangt mit dem Feld der Schallwelle zusammen, der zweite mit den elektrischen Feldern, die beim Durchgang des Schalls entstehen. Da, wie oben erwahnt, Volumenladungen nicht auftreten, kann das elektrische Feld nur Wirbelcharakter haben, das heiBt div E = 0, und es bestimmt sich aus den MAXwELL-Gleichungen

10H rotE = -~­

c at' 4n

rotH= -j. c

Kombiniert man diese Gleichungen und benutzt div E = 0, erhalt man

4n oj '\j2E = ~ at. (12.4)

Die kinetische Gleichung (12.3) wird wie ublich gelOst mit folgendem Losungs­ansatz:

010 1= 10 - a;:tJJ·

Ais Funktion 10 jedoch wahlt man die FERMI-Funktion der realen Energie e und mit einem anderen chemischen Potential f1,:

fo(e) = (e(e-Jl-l/T + 1)-1 .

Das chemische Potential bestimmt man derart, daB die Bedingung konstanter

12.1 AbsorptionskoeJJizient bei Jehlendem MagnetJeld; tieJe Frequenzen 205

Elektronendichte fiir fo(e) erfiillt ist. Durch Entwicklung nach Uik und fL - fLo erhalt man

J ok ~p . (AikUik - fL + fLo) a; (2:n;/i)3 = 0 ,

woraus

fL = fLo + ~kUik folgt. Da in der Verteilungsfunktion die Differenz e - fL auf tritt, kann man die Korrektur zum chemischen Potential in die Energie einbeziehen und

E - fL = eo(p) + AikUik - fLo

schreiben, wobei Aik = Aik - Aik' Infolge der gewahlten Funktion nullter Naherung fiihrt die Bedingung der

Vernachlassigung von Volumenladungen zur Forderung

(12.5)

Setzt man I = lo(e) - (o/%e) 1jJ in die kinetische Gleichung (12.3) ein, erhiilt man

(12.6)

Die allgemeine Losung des Problems geschieht nun in folgender Weise: Die kinetische Gleichung gibt 1jJ als Funktion von E. Hieraus findet man j als Funk­tion von E, und schlieBlich erhaIt man durch Einsetzen in Gleichung (12.4) eine Beziehung zur Bestimmung des elektrischen Feldes.

Tatsachlich kann man leicht zeigen, daB das elektrische Wirbelfeld nur fiir kl';?> 1, ktJ<{ 1 wesentlich zur Schallabsorption beitragt, wobei ljrv (c2po/4:n;wne2 )1/3

die Skintiefe im anomalen Grenzfall bei der Frequenz wist. In diesem Fallliefert das Feld einen Beitrag zur Schallabsorption von derselben GroBenordnung wie ohne Beriicksichtigung des Terms mit E in Gleichung (12.6). Der gesamte Aus­druck hangt vom Tensor Aik ab, der fiir anisotrope Metalle auBerst kompli­ziert ist. Infolgedessen hat lediglich die Bestimmung der Frequenzabhangigkeit des Absorptionskoeffizienten einen realen Sinn, auBerdem die Abschiitzung seiner GroBenordnung (wie fiir den elektrischen Widerstand in KapiteI4). Zur Losung dieses Problems jedoch kommt man ohne Beriicksichtigung des Terms mit E in (12.6) aus, denn er andert - unter welchen Bedingungen auch immer - nicht die GroBenordnung des Effektes.

Nimmt man Uik = uikOeilcT-iwt an und sucht ein 1jJ proportional zu demselben Exponenten, findet man durch Einsetzen in Gleichung (12.6) (mit E = 0)

- iwAikUik 1jJ = 1/-c + i(vk - w) •

(12.7)

Der Schallabsorptionskoeffizient kann unmittelbar durch 1jJ ausgedriickt werden. Mit Q als EnergiefluB, der auf 1 cm2 Oberflache auffallt, und I als

206 12. Schallab8orption in Metallen

Energiemenge, die in 1 cm3 pro Sekunde absorbiert wird, nimmt das in Abbil­dung 72 dargestellte Volumen pro Sekunde die Energie Q dx oder den Teil (Ql1) dx der einfallenden Welle auf. Rezeichnet man Ql1 durch 2F, kann man fiir den FluB

d1 = -2F1 dx

schreiben, woraus

1= 10 e-2r",

folgt. Damit erweist sich r als Absorptionskoeffizient mit

2F= Ql1. (12.8)

Fiir harmonische Schwingungen ist die mittlere kinetische Energie gleich der mittleren potentiellen, woraus fiir die mittlere Gesamtenergie

E=K+ U=2K

folgt. Die kinetische Energie pro Volumeneinheit ist ev2/2 (e = MNIV ist die Dichte). Rei der Wellenausbreitung gilt v = Vo cos (kx - wt), woraus sich

- - 1 E = ev2 = 2ev~

ergibt. Da jedoch Vo = uow ist (uo Verschiebungsamplitude), erhii.lt man fiir die mittlere Gesamtenergie pro Volumeneinheit e~w2/2. Multipliziert man mit der Schallgeschwindigkeit 8, findet man fUr den FluB

I = e~w2812 . (12.9)

Da Q die Energie ist, die in der Volumeneinheit pro Sekunde dissipierl wird, erhiilt man

J. d3p Q = 2 el (2nli)3 . (12.10)

Diesen Ausdruck muB man zeitlich mitteln. Setzt man hier 1= fo(e) - (ololoe) "P ein, so ist die Kombination fo(e) e die zeitlicheAbleitung einer gewissen Funktion von e, und bei der zeitlichen Mittelung ergibt sich daher Null. Damit wird

f .O'o d3p Q = - 2 e ai"P (2nli)3' (12.11)

Di!'l kinetische Gleichung (12.6) kann man nun in der Form

Olo(d"P _ e) = _ ~ 0/0

oe dt 7: oe

schreiben. Driickt man hieraus e ololoe durch "P aus, setzt in (12.11) ein und be­achtet, daB die zeitliche Ableitung bei der Mittelung verschwindet, findet man

Q- -~f 2 % d3p - 7: "P oe (2nli)3'

(12.12)

12.1 AbsO'fptionskoejjizient bei fehlendem MagnetfeId; tiefe Frequenzen 207

Da ein in 1Jl quadratischer Ausdruck verbleibt, kann man nicht die komplexe Form fiir 1Jl, sondern nur den Realteil benutzen. Nimmt man zum Beispiel 1Jl = A ei(kol-rot+'P) an - wobei A reell ist - findet man

Re 1Jl = A cos (kx - wt + rp)

oder 11Jl12/2. Daher erhalt man

f 11Jl12 010 d3p Q = - ----:c 08 (2nli)3'

und

(12.13)

1m FaIle groBer Wellenlangen kl < 1 erhalt man, da l '" V7:, vk < 1/.,;, w.,;< 1, aus (12.7)

1Jl = -iw.,;AikU~g) • (12.14)

Daher ergibt sich groBenordnungsmaBig

Q ~ W2.,;p,2k2u3pg/1i3p, '" wZ-rp,k2u5n

(n ist die Elektronendichte). Dividiert man durch den Betrag des Flusses (12.9) folgt

(12.15)

In diesem FaIle ist also der Absorptionskoeffizient proportional zu w2 und der freien Weglange l (.,; '" ltv).

d:c

Abb.72 Geometrie zur Berechnung des Schallabsorptionskoeffizienten

1m Grenzfall kurzer Wellenlangen kl ~ 1 kann man gemaB (12.7)

11Jl1 2 _ 2 . (0) 2 1/.,; .,; - w IA.ku.k I (kv _ W)2 + (1/.,;)2

schreiben. Der letzte Faktor ist mit einer Genauigkeit bis zu Termen der GroBen­ordnung l/kl gleich nfJ(kv - w). Die Absorption wird also durch solche Elektro­nen verursacht, fiir die kv ~ w gilt. Da jedoch w = 8k, folgt v cos e = 8. Das bedeutet, diejenigen Elektronen absorbieren den Schall, die sich in Phase mit der Schallwelle bewegen. Das ist aber nichts anders als der Mechanismus der LANDAu-Absorption, der schon in Abschnitt 9.3. besprochen wurde. AlIerdings ging es dort um die Wechselwirkung der Elektronen mit einer elektromagne­tischen Welle. Da 8/V < 1, bewegen sich die effektiven Elektronen fast senk-

208 12. Schallab8orption in Metallen

recht zu k (Abb. 73). Die Integration der ~-Funktion tiber cos e gibt Ilvk, und folglich erhiilt man

und

Abb.73

Q "" w2p,k2u5nlvk

(}

:K I I I

(12.16)

Zur Absorption von kurzwelligem Ultraschall (kl ~ 1) tragen nur die effek­tiven Elektronen bei, deren Geschwindigkeit v fast senkrecht zum Ausbrei­tungsvektor k bzw. fast parallel zu den Phasenebenen (- - -) gerichtet ist

Foiglich hiingt der Absorptionskoeffizient nicht mehr von l ab; formal ist l in (12.15) durch Ilk ersetzt worden.

12.2. Absorptionskoeffizient bei fehlendem Magnetfeld; hohe Frequenzen

Bei der Betrachtung des anderen Grenzfalles w't ~ I [59,60] muE man bereits Emission und Absorption der einzelnen Quanten berticksichtigen. Bei der Emis­sion eines Phonons gelten die Erhaltungssiitze

p' = p + tik, e(p') = e(p) + tiw •

Foiglich ergibt sich

e(p + tik) = e(p) + tiw .

Da praktisch immer k ~ Po ist, kann man die Energie nach Potenzen von k entwickeln:

015 e(p + tik) R:i e(p) + op tik = e(p) + tivk ,

und man erhiilt

vk =w. (12.17)

Das ist dieselbe Bedingung wie auch im FaIle kl ~ I, w't ~ 1.

12.2. Absorptionskoeffizient bei fehlendem Magnetfeld; hohe Frequenzen 209

Der HAMILToN-Operator eines Elektrons in einem auBeren periodischen Feld hat die Form

:fe' = i [U e-icot + U+ eicot ] •

1m FaIle der Wechselwirkung mit einer SchaIlweIle gilt

U = Uo eikf' , Uo = Aik(P) UikO •

Die ttbergangswahrscheinlichkeit unter dem EinfluB einer zeitlich periodischen Storung ist gleich

(12.18)

mit tiwp,p = e(p') - e(p). Der erste Term in (12.18) entspricht der Absorption, der zweite der Emission eines Quants. Diese Wahrscheinlichkeit muB man mit fo(p) (I - fo(p')) multiplizieren, der Wahrscheinlichkeit, daB der Zustand p be­setzt und der Zustand p' unbesetzt ist. Multipliziert man noch mit der Energie­anderung des Elektrons tiwp,p und summiert tiber aIle Zustande p und p', erhalt man die pro Sekunde absorbierte Energie. Bezieht man sie auf die Volumen­einheit, ergibt sich

1 n Q = V p~, tiwp,p 2ti2 [I Up'pl2 tJ(wp'p - w)

+ 1 U;:-'pI2 tJ(wp'p + w)] Io(e(p)) [1 -Io(e(p'))] .

1m zweiten Term ersetzt man U-;;'p durch U;p" Bei der Summation tiber p und p' in diesem Term vertauscht man die Indizes p und p' untereinander und erhalt

nw Q = 2V }; 1 Up'pl2 tJ(tiwp,p - tiw) [to{e(p)) - fo(e(p'))] •

p,p' (12.19)

Die Differenz in der letzten Klammer kann man nach 10' - 10 entwickeln, was

nw2 0/0 Q = - 2V }; 1 Up'pI2l)(Wp'p - w) ~

p,p' Ue (12.20)

liefert. U p'p besitzt nur Matrixelemente fUr ttbergange mit p' = p + tik, die gleich AikUikO sind. Folglich findet man

nw2 0/0 Q = - 2V f IAikUikOl 2 tJ(kv - w) 010 •

Geht man von der Summe tiber p zum Integral (f = [V/(2nti)3] f d3p) tiber

und dividiert durch den Betrag des Energiestromes, erhalt man

r", wpn/evs2 '" w/v • (12.21)

Diese Formel aber falIt mit dem Ergebnis (12.16) fUr den Fall w-r ~ 1 und kl ~ 1 zusammen. Hieraus folgt, daB der wirkliche Parameter, der den Charakter der Absorption bestimmt, nicht w-r ist, sondern kl. Das ist eine Folge davon, daB w

14 Abrikossow

210 12. Schallabsorption in Metallen

und k in der Kombination kv - W in die kinetische Gleichung eingehen. Da kv ~ W = sk, wird die Absorption durch die Gro.Be kVi'" kl bestimmt und nicht durch Wi.

Die Schallabsorption bei kl ~ 1 wird durch die Absorption einzelner Quanten bedingt und durch diejenigen Elektronen hervorgerufen, die sich in Phase mit der Schall welle bewegen. 1m FaIle kl ~ 1 bewegen sich die Elektronen zwischen Zusammenst6Ben faktisch im homogenen Feld der Schallwelle, und die Ursache der Schallabsorption ist die Zahigkeit der Elektronenflussigkeit.

12.3. Geometrische Resonanz

Bei der Behandlung der Schallabsorption im Magnetfeld wird zunachst der Fall betrachtet, daB man die Quantisierung der Elektronenniveaus im Magnetfeld vernachlassigen kann, das heiBt, daB die Elektronen sich klassisch auf Trajek­torien bewegen. Das ist offenbar der Fall, wenn nicht zu starke Felder vorliegen, das hei.Bt IiQ ~ T. Ein wichtiges Kriterium ist auch

krL~ 1.

Gleichzeitig wird jedoch vorausgesetzt, daB

Vor allem ist der Fall interessant, wenn die Vektoren H und k senkrecht zuein­ander sind. Dann andert sich die Phase der Schallwelle in Richtung des Feldes nicht, und die Verschiebung des Elektrons in dieser Richtung ist fUr die Absorp­tion des Schalls unwesentlich. 1m folgenden wird die Projektion der Elektronen­bewegung auf die (x, y)-Ebene betrachtet (Abb. 74); Die z-Achse ist wie immer parallel H. Die Bahn wird als geschlossen vorausgesetzt; die gestrichelten Linien bezeichnen die Ebenen gleicher Phase. Die Aufenthaltszeit des Elektrons in der

Abb.74

1

Zur Entstehung geometrischer Resonanzen der Ultraschallabsorption durch eine geschlossene Elektronenbahn (--): An den effektiven Punkten 1 und 2 fliegt das Elektron senkrecht zum Ausbreitungsvektor k bzw. parallel zu den Phasenebenen (- - -) der Schallwelle und wechselwirkt dort am stark­sten mit ihr

12.4. Magnetoakustische Re80nanzerscheinungen 211

Nahe dieser Ebenen ist unterschiedlich. Am langsten halt sich das Elektron in der Nahe derjenigen Ebene auf, in der seine Geschwindigkeit in dieser Ebene liegt; das sind die Punkte 1 und 2 in Abbildung 74. Die Absorption wird im wesentlichen durch diese Punkte bestimmt.

Der Unterschied zwischen den Punkten 1 und 2 und den iibrigen Punkten der Bahn besteht darin, daB sich das Elektron in den Punkten 1 und 2 eine langere Zeit in einem mehr oder weniger konstanten Feld befindet, wahrend sich in den anderen Bahnpunkten das Feld der Schallwelle, das auf das Elektron einwirkt, schnell andert. Diese fiberIegungen sind natiirIich nur dann richtig, wenn die Anzahl der Wellenlangen, die auf den Bahndurchmesser entfallen, hinreichend gro13 ist, das hei13t, wenn krL ~ l.

Hat die Funktion 'IjJ fUr irgendeine bestimmte Phasendifferenz des Schall­feldes zwischen den Ebenen, die durch die Punkte 1 und 2 gehen, einen Extrem­wert, so bleibt diese Phasendifferen~ erhalten, wenn sich die Zahl der Wellen­langen langs des Bahndurchmessers um eine ganze Zahl andert, das heiBt, wenn sich

( t(l) )

q;=k fvdt t(.)

um 2nn andert. Da k in Richtung der x-Achse orientiert ist, findet man

dpli e -- - -Bv dt- c J;,

Wenn q; ~ 1 ist, wird 'IjJ daher eine oszillierende Funktion von liB mit der Periode

L1 (~ ) = ck [p~~n~ p~2)] • (12.22)

Natiirlich hangt die Differenz p~l) - p~2) von pz ab, und die wirklichen Oszilla­tionen entsprechen dem Extremwert von p~l) - p~2). Dieser Effekt ist dem nichtresonanten Gro13eneffekt in metallischen Schichten (Abschn. 8.3.) analog; er hei13t geometrische Resonanz (BOMMEL 1955 [61]; PIPPARD 1957 [62]).

12.4. Magnetoakustische Resonanzerscheinungen

Wenn die Bahn im Impulsraum geschlossen ist und k nicht senkrecht zu H ist, beschreibt das Elektron im Ortsraum eine spiralformige Bewegung in Rich­tung des Magnetfeldes. Man muB nun beachten, daB fiir die Absorption nur Elektronen mit kv ~ 0 wesentlich sind. Zu irgendeinem Zeitpunkt moge das Elektron eine Geschwindigkeit senkrecht zu k haben (Abb. 75). Natiirlich liegt dieselbe Situation nach VerIauf der Periode T vor. In dieser Zeit bewegt sich das Elektron in Richtung von H um den Abstand vzT und in Richtung von k

212 12. Schallabsorption in Metallen

um die Entfernung vzT cos (9 ((9 ist der Winkel zwischen k und H). Offenbar wird der Effekt dann maximal, wenn sich die Phase der Schallwelle dabei um 2:n:n andert oder, mit anderen Worten, wenn

kvzT cos (9 = 2:n:n .

Offen bar spielen die Extremwerte von vzT eine wesentliche Rolle. Die Zu­standsdichte nimmt fUr diese Werte stark zu, und man kann einen Resonanz­effekt in der Absorption erwarten. Setzt man T = 2:n:m*c/eH ein, findet man fUr das Magnetfeld die Bedingung

kc Hn = - (m*vz)extr cos (9.

en

Unter Beriicksichtigung von

m* = (1/2:n:) oS/Oe , V z = Oe/Opz erhalt man

kc cos (9 (OS) Hn = - (12.23)

2:n:en opz extr'

Dieser Effekt ist der Driftfokussierung des Hochfrequenzfeldes verwandt (Abschn. 8.6.), und er gestattet die Bestimmung derselben GroBe (oS/oPz)extr'

Abb.75 Magnetoakustische Resonanz durch eine spiralformige Elektronenbahn. Inner­halb einer Bahnperiode liegt eine ganze Anzahl von Schall wellen, so daB diese Bahn maximal zur Schallabsorption beitragt

Offensichtlich kann as/opz nur fUr eine nichtkonvexe FERMI-Flache (s. Abb. 46) oder fUr Grenzpunkte extremal werden.

AuBer den Punkten mit (m*vz)extr spielen, wenn k nicht zu H senkrecht ist, die sogenannten Grenzbahnpunkte eine besondere Rolle. Die Bedingung kv = 0, die fUr die Absorption eines Phonons notwendig ist, wird nicht von allen Elek­tronen erfUllt, sondern nur von einem Teil (Abb. 76). Verfolgt man die Linie pz = const, so wird im Innern der Flache die Bedingung in zwei Punkten erfiillt. Andert sich pz in der einen oder der anderen Richtung, so nahern sich diese Punkte und fallen zusammen; danach wird die Bedingung kv = ° fUr keinen Punkt der Linie mehr erfUllt. Daher kann man bei

kc cos (9 (OS) H In = 2:n:en Opz gr

(12.24)

12.4. Magnetoakustische Resonanzerscheinungen 213

eine Besonderheit des Absorptionskoeffizienten erwarten; der Index bedeutet die Ableitung an der Stelle des Impulsgrenzwertes p. = pzgr.

Abb.76 Grenzbahnen auf der FERMI-Flache mit den Impulskomponenten pzlgr und Pz2gr im zur Schallrichtung geneigten Magnetfeld H, die zur magnetoakusti­schen Resonanz beitragen. Die Grenzbahnen tangieren die effektive Zone kv = 0, auf der die Elektronengeschwindigkeit v senkrecht zum Ausbrei­tungsvektor k der Schallwelle gerichtet ist

1m Fall einer offenen Trajektorie beschreibt das Elektron eine Driftbewegung quer zum Feld. Als charakteristische Zeit an Stelle der LARMoR-Periode tritt in diesem Fall die Zeit, in der das Elektron eine Periode im Impulsraum durch­liiuft. Wenn die Bahn in p",-Richtung offen ist, erhalt man durch Integration der Gleichung

dpz eH de = -;;-Vy

tiber t die Resonanzbedingung

fiK = eH f v dt = ~ nA . c 11 C cos e

Dabei bedeuten K die kleinste Periode des reziprokem Gitters, A die Schall­wellenlange und e den Winkel zwischen k und der y-Richtung. Mit anderen Worten, die Resonanzwerte von H sind in diesem Fall gleich

cfiKk cos e Hn = ----:---

2nen (12.25)

Die Gesamtheit aller dieser Erscheinungen erhielt die Bezeichnung "magneto­akustische Resonanzen" (KANER, PESTSCHANSKI, PRIWOROZKI 1961 [63]).

214 12. Schallabsorption in Metallen

12.5. Quantitative Theorie der geometrischen Resonanz

1m folgenden wird der Fall einer geschlossenen FERMI-Fliiche betrachtet. Das Magnetfeld bewirkt das Auftreten eines zusiitzlichen Terms 'ihpjOtl in Gleichung (12.5). Wenn E = 0 ist und 'IJ! in der Form ei(k .. -wt) von den Koordinaten und der Zeit abhiingt, erhiilt man

d'lJ! 'IJ! i(kv - co) 'IJ! + d- + - = g,

tl T (12.26)

wobei g - AikUik' Multipliziert man diese Gleichung mit 'IJ!* und addiert die mit 'IJ! multiplizierte komplex konjugierte Gleichung, so findet man

1 d I 'lJ!1 2 I 'lJ!1 2 1 - --+ - = - (g'lJ!* + g*'IJ!) = Re (g*'IJ!) • 2dt1 T 2

In den Absorptionskoeffizienten geht das Integral J d3p 1'IJ!12jT 010j08 ein. Durch Substitution der Variablen (s. (5.11)) sieht man, daB der Term d 1'IJ!12jdtl bei der Integration tiber tl verschwindet. Hieraus folgt

JI'IJ!12 J ----:t dt1 = Re (g*'IJ!) dt1 • (12.27)

Unten wird co ~ 1jT angenommen, daher kann co vernachliissigt werden. Lost man Gleichung (12.26) in analoger Weise wie in Abschnitt 5.2. und in Kapitel 7, erhiilt man

'1'( t,) ~ -1' g(t,) exp {/ [ikV(t,)+ : 1 dt,} dt, . (12.28)

t, Nun zerlegt man das Integral J ... dt2 in Einzelintegrale mit dem Integrations-

-00

bereich T und fiihrt in jedem Integral eine Variablensubstitution durch, so daB aIle Summanden gleiche Integrationsgrenzen haben, z. B.

t,-Tn t,+T J l(t2) dt2 = J l[t2 - T(n + 1)] dt2 .

t,-T(n+l) t,

Da g(t2) eine periodische Funktion von t2 ist, iindert sie ihren Wert bei einer solchen Substitution nicht, und folglich nimmt der Integrand die Form

{t.-p(n+l) }

g(t2) exp / [ikv(t3) + 1jT] dta

an. Da jedoch der Integrand im Exponenten eine periodische Funktion von t3 ist, erhiilt man

g(t2) exp {/(ikV + liT) dta} exp {- T(n + 1) (ikv + 1jT)}

12.5. Quantitative Theorie der geometrischen Resonanz 215

und folglich I,+T { I, }

"P(t1 ) = l g(t2) exp / (ikv + I/T) dta dt2

00

x 1: exp {- T(n + 1) (ikv + I/T)} . n=O

Durch Summation tiber n ergibt sich

I,+T { I, } f g(t2) exp f (ikv + l/T) dta dt2 (t ) I, I,

"P 1 = eT(ikv+lM_ 1 (12.29)

Der Integrand im Zahler enthalt einen groBen Exponenten, und auf das Integral wird die Methode der stationaren Phase angewendet. Die stationaren Punkte des Exponenten bestimmen sich durch die Bedingung

I,

iJ~2J ikv(ta) dta = 0 oder kv(t2) = O.

I,

Wenn die Punkte t = t", eine Losung der Gleichung kv = 0 sind, erhalt man durch Entwicklung nach t = t2 - t", und Erweiterung der Integrationsgrenzen von -00 bis +00

(12.30)

00

(12.31)

-00

(der Index (X entspricht dem Zeitpunkt t",). Gewohnlich berlicksichtigt man bei der Methode der stationaren Phase nur

den erst en Term, der proportional t2 ist. Hier muB man jedoch vorsichtig sein, da in denPunktenpzgr kv~ = 0 ist. Daher belaBt man in diesem Fall auch den Term mit ta. Wenn kv~ =1= 0 ist, erhalt man

(sign a bedeutet die Vorzeichenfunktion, a < 0). Wenn kv~ = 0 ist, ergibt sich

\ 6 11/3 r(I/3)

J", = (kv~) I Vs·

(12.32)

das heiBt 1 flir a > 0 und -1 flir

(12.33)

216 12. Schallabsorption in Metallen

Der Absorptionskoeffizient ist nach (12.8), (12.13), (12.27) und (5.11) T

2r= (2e~SIRefdPzfdtlg*(tl) 1; gJ" c :n: t,;;;;t,,<t,+T

o

Dieselbe Methode der stationaren Phase dient nun auch zur Berechnung des Integrals tiber tl , und man findet als allgemeinen Ausdruck

eH f 2r = c(2:n:/t)S IRe dpz

gJ"g1J 1 exp t{,"(ikV + 1/r:) dts}

eT (ik,,+lfT) - 1 x (12.34)

1m weiteren wird nun konkret der Fall der geometrischen Resonanz be­trachtet [64]. Dabei ist k15 = 0 (da v II H und kH = 0). Auf der Elektronen­bahn existieren zwei Punkte mit kv = 0, die durch t(l) und t(2) bezeichnet werden (s. Abb. 74). In diesen Punkten werden kv' (t(1)) und kv' (t(2») allgemein nicht Null, wobei kv' in diesen Punkten verschiedene Vorzeichen haben. Wenn also fUr t(l) kV(l) > 0 ist, so muB kV(2) < 0 sein. Ftir k15 = 0 bleibt im Nenner von (12.34) der Ausdruck eT /T - 1, der wegen r: }> T gleich T/r: ist. Die Summe tiber t" und t{J schlieBt die Terme t" = t{J = t(l), t" = t fJ = t(2) und zwei Terme t" = t(l), t fJ = t(2); to. = t(2), tfJ = t(l) ein. Hieraus findet man unter Berticksichtigung von r:}>T

21' ~ 0(:; I J ; dp. {I:!;;, I + I!;:, I + y ~ IgIg21, sin ( ft(2~V(tS) dts)} . (12.35)

(kV(l») (kV(2») t(l)

Wahlt man die x-Achse in Richtung von k und wendet man Gleichung

dpII e -= - -vH dt c Z

an, ergibt sich

J'",,(~) d~ ~ :; [p,(t",) - p,(t,,,)] • (12.36)

t(l)

das heiBt, man kommt zum selben Ergebnis wie in Abschnitt 12.3.

12.5. Quantitative Theorie der geometrischen Resonanz 217

Die erst en beiden Terme in der geschweiften Klammer von (12.35) liefem den monotonen, nichtoszillierenden Teil des Absorptionskoeffizienten; groBenord­nungsmiiBig ist

eHrpoA20J2u'A eHrpofl20J2k2u2 OJfln r mon '" e"2Ikv '" "3 2 2 k '" Dr --2 '" roDr. (12.37)

Ib en eu OJ s v evs

Die GroBe Fo '" OJfln/evs2 bedeutet den Absorptionskoeffizienten ohne Magnet­feld.

Der Term mit dem Sinus in (12.35) gibt den oszillierenden Teil des Absorp­tionskoeffizienten. Da der Sinus eine schnell oszillierende Funktion von pz ist, wird bei der Integration tiber pz die Sattelpunktsmethode angewendet. Schreibt man Pyl - Py2 = Llpy und wiihlt man die Extremwerte dieses Ausdruckes, erhiilt man

1 (0 2 Llpy) Llpu = Llpym + -2 -'::1-2- (pz - Pzm)2 • up. m

Nun liiBt sich die Integration leicht durchftihren, und man findet

l/eH 102 LlPlIl-1/2 . (ek n) V 2k op; m sm eH LlPym ±"4 '

wobei das Vorzeichen + ftir (0 2 LlplI/oP;)m > 0 und das Vorzeichen - fur den umgekehrten Fall gilt. Bei der Integration tiber P. sind alle anderen GroBen in (12.35) als konstant anzusehen.

Vergleicht man die Ergebnisse fUr F OBZ und F mon, erhiilt man

F OBZ 1 . ( ek n) ~'" ,/- 2; sm Ii LlPym ± "4 .

mon rkrL m e (12.38)

Die geometrische Resonanz eignet sich daher eben so wie auch der GroBen­effekt zur Bestimmung der FERMI-Fliiche.

Abb.77 Geometrie fiir die geometrische Resonanz im ImpuIsraum, die der Abb.74 im Ortsraum entspricht. Die Bahn pz = const auf der FERMI-Flache schneidet in den Punkten 1 und 2 die effektive Zone kv = 0, auf der die Elektronen­geschwindigkeit v senkrecht zum Ausbreitungsvektor k der SchaIIweIIe gerichtet ist. Die Resonanzperiode ist durch den extremalen Durchmesser der FERMI-Flache in Pll-Richtung, das heiBt den Abstand der Punkte 1 und 2 senk­recht zur Richtung des Magnetfeldes H und der SchaIIweIIe bestimmt

218 12. Schallabsorption in Metallen

Offenbar findet man dabei die Differenz der Werte Pu in den Schnittpunkten der Linie P. = P.m mit der Kurve kv = 0 auf der FERMI-Flache (Abb. 77), wahrend die Linie pz = Pzm einem Extremwert von LlplI entspricht; das kann zum Beispiel ein Zentralschnitt sein.

12.6. Quantitative Theorie der magnetoakustischen Resonanzen

Die magnetoakustischen Resonanzen bei kH = 0 [63] werden durch den Faktor

1 C(Pz) = exp {T(ikv + Itr:)} - 1

in Formel (12.34) hervorgerufen, der schmale und schade Maxima als Funktion von pz besitzt. Bei fixierten Werten von OJ und H treten diese Maxima bei solchen Werten von pz auf, flir die

Tkv = - --- = 2:n:n _ k.c IOS(Psn)I eH opz

gilt. Allgemein entsprechen diese Werte nicht den Extrema von oS/op •• Man kann jedoch OJ oder H derart auswahlen, daB diese Bedingung flir (oS/oP')extr edtillt wird. Dann verstarkt sich das Maximum in C(p.) bedeutend, und sein Beitrag zur Absorption nimmt stark zu.

In der Umgebung eines solchen Extremums, dem zum Beispiel pz = PB ent­spricht, kann man den Ausdruck im Exponenten von C(p.) nach (Tkv)extr - 2:n:n entwickeln :

1 C(pz) ~ [ . ].

exp r + iLl + ; q(Pz - PB)2 - 1

Dabei bedeuten r = T/-r:, LI = (Tkv)extr - 2:n:n und q = [o2(Tkv)/op~]P •• Wegen der Schmalheit der Maxima C(P.) kann man aIle tibrigen Funktionen als kon­stant annehmen und durch ihren Wert an der Stelle pz = PB ersetzen. Setzt man C(P.) in (12.34) ein, so erhalt man mit der Bezeichnung

t",

fP .. = J (kv) dt3 o

das Ergebnis

eH . 12 2r = c(2:n:n)3 I It g .. J .. exp ("'fP .. ) p,

X Re . J dp.

exp [r + iLl + ; q(Pz - PB)2] - 1

12.6. Quantitative Theorie der magnetoaku8ti8ehen Re80nanzen 219

Den Exponenten im N enner kann man fUr kleine Ll in eine Reihe entwickeln; fiir das Integral erhiiJt man dann

J ... = ~ [(y2 + Ll2)1/2 - Ll sign q]I/2 Re dp. ,/- 2 + A 2 rlql Y LJ

(12.39)

Dieser Faktor bestimmt auch die Linienform der Resonanz. Das Maximum

befindet sich bei Ll = y sign qN3 und ist beziiglich Ll = 0 etwas verschoben; die Linie ist unsymmetrisch. Die Linienbreite beziiglich der Varia bIen Ll ist von der Gro13enordnung y und beziiglich des Magnetfeldes LlH '" Hn(k.l)-I, das heiBt, die absolute Linienbreite wachst mit abnehmender Nummer (Hn = HIln). 1m Maximum ist der Faktor in eckigen Klammern von der Gro13enordnung y-I/2, und folglich erhalt man Re J ... dp. '" po(ny)-1/2. Der gesamte Absorp­tionskoeffizient wird dann von der Gro13enordnung

r n ", r o(ny)-1/2 ';Pro, (12.40)

wobei To der Absorptionskoeffizient ohne Magnetfeld ist. Da y = TI-r:, T '" I/H und Hn'" lin, so ist yn '" n2 , das hei13t, die Hohe der Maxima nimmt mit wachsendem n wie lin abo Der allgemeine Verlauf des Absorptionskoeffizienten ist in Abbildung 78 dargestellt.

Um die Rolle der Punkte P.gr zu betrachten, nimmt man eine zentralsymme­trische, konvexe FERMI-Flache an. Wie schon erwahnt, existieren fUr Ip.1 < P.gr zwei Punkte t" mit kv(t,,) = 0, wahrend es fiir Ip.1 > P.gr solche Punkte nicht gibt. Da bei Pzgr zwei Punkte mit gleichem Wert kv zusammenfallen, so mu13 in diesem Punkte selbst kv'(t) = 0 gelten, das hei13t, Formel (12.33) ist anzu­wenden.

Betrachtet man die Umgebung von P.gr> kann man in der allgemeinen Formel (12.34) im Zahler t" = tp setzen und den Faktor O(P.) in der Form

1 O(p.) ~ 'Ll' ] exp [y + '/, + '/,ql(P, - Pzgr) - 1

schreiben, wobei Ll = T(kv)gr - 2nn und ql = (o(Tkv)lop.)p. r' Der Absorp-tionskoeffizient besitzt dann die Form g

Pzgr

2T- J 2 Re d eH J 1 - c(2nli)3 Ilu" "IPzgr P. exp [y + iLl + iql(PZ - pzgr)] - l'

(12.41) Die Berechnung des Integrals liefert

ReJ ... dpz = ~ [~+ sign q arctg Ll]. Iqll 2 n y

(12.42)

Fiir Ll sign qi > 0 und I Lli ';P y ergibt sich in der eckigen Klammer Eins, fiir Ll sign qi < 0 und I Lli ';P y Null. Damit erleidet der Absorptionskoeffizient Spriinge bei H = Hn = HIln, wobei HI = (k.c/2ne) loSlopzl p . zgr

220 12. Schallabsorption in Metallen

Abb.78

r

Magnetoakustische Resonanzen (s. Abb. 75) durch Bahnen auf der FERMI­Flache mit extremaler Querschnittsanderung iJ81iJpz (Abb. 46). Der Ultra­schallabsorptionskoeffizient r zeigt in Abhangigkeit von der Magnetfeld­starke H bei H1/n Maxima, deren Hiihe und Breite wie lin mit wachsender Ordnung n abnehmen

Aus (12.41), (12.42) und (12.33) findet man fUr die GroBe der Spriinge

LJr rv r on- 2/3 , (12.43)

das heiBt, die Amplitude der Spriinge nimmt mit wachsendem H zu. Damit er­gibt sich ffir den gesamten Kurvenverlauf die in Abbildung 79 dargestellte Ab­hangigkeit, wenn ql > O. Fiir ql < 0 erfolgen die Spriinge in umgekehrter Richtung: r nimmt durch die Spriinge mit wachsendem H zu.

Differenziert man (12.42), erhalt man folgende Formel:

orlo In H rv ron I/3Y/(y2 + LJ2) ,(12.44)

das heiBt eine Abhangigkeit mit Maxima in den Punkten H = Hn. Die Hohe jedes Maximums ist

dFJdH rv r on I/3 /yH , (12.45)

das heiBt, sie wachst mit Hn wie nI/3 (da y = TI-r (X) n). Wie bereits in Abschnitt 8.5. erwahnt wurde, entspricht ein Extremum von

Tkv insbesondere einem elliptischen Grenzpunkt (Punkte P und Q in Abb. 33). Fiir die Beobachtbarkeit der Resonanzen miissen dabei jedoch gewisse Unglei-

Abb.79

! 2 J 4

Magnetoakustische Resonanzen durch Grenzbahnen (Abb.76). Der Ultra­schallabsorptionskoeffizient r zeigt in Abhangigkeit von der reziproken Magnetfeldstarke IIH periodische Spriinge, deren Amplituden wie n -2/3 mit wachsender Ordnung n abnehmen

12.6. Quantitative Theorie der magnetoakustischen Resonanzen 221

chungen erfUllt sein. Nach Abbildung 76 kann ein elliptischer Grenzpunkt nur an der magnetoakustischen Resonanz teilnehmen, wenn die Kurve kv = 0 in seiner Nahe verlauft; dazu muB k fast senkrecht zu H sein.

Nun moge k in der (x, z)-Ebene liegen, und der Winkel zwischen k und der x-Achse sei ffJ. Dieser Winkel darf nicht zu klein sein, muB doch die Verschiebung des Elektrons in Richtung von k pro Periode groB gegen die WellenHinge sein. Hieraus folgt vffJT ~ A oder ffJ ~ l/krL' Andererseits verlauft bei beliebigem endlichen ffJ die Kurve kv = 0 nicht mehr durch den Grenzpunkt. Er nimmt an der Resonanz daher nur infolge einer geringen Verwaschung teil, die durch die Endlichkeit der Weglange entsteht, das heiBt durch das Auftreten der GroBe 1/t: im Exponenten. Die GroBenordnung dieser Verwaschung wird durch die Relation

kz(v - Vol ::::; 1/t:

bestimmt. Da jedoch Vo - v ::::; Vo (1 - cos ffJ) ::::; voffJ2 und kz ::::; kffJ ist, findet man hieraus ffJ ~ 1/(kl)1/3. Urn daher magnetoakustischeResonanzen von Grenz­punkten beobachten zu konnen, muB die Bedingung

1/(kl)1/3 ~ ffJ ~ l/krL

erfUllt sein. An dieser Stelle sei noch einmal auf die Ahnlichkeit des Problems mit dem Effekt der Driftfokussierung eines hochfrequenten Feldes hingewiesen (s. Bedingung (8.16)).

1m Fall der Grenzpunktresonanz liegt die besondere Situation vor, daB einer­seits Tkv ein Randextremum hat und andererseits kv' (t",) = 0 wie an einem Grenzbahnpunkt ist. Deshalb erfordert dieser Fall eine spezielle Betrachtung (KOSUB 1974, private Mitteilung.)

Zunachst sei daran erinnert, daB nach der obigen Betrachtung nicht nur der Grenzpunkt selbst, sondern eine relativ groBe Umgebung desselben zur Resonanz bei tragt.1 )

In diesem gesamten Gebiet fallen die Punkte t", und t fJ nicht zusammen, wes­halb fiir J", Formel (12.32) genommen werden kann. Auf einer Kurve mit gege-

benem pz ist v.l rv VP5 - p;/m rv ¥Po(Po - pz)/m (Po entspricht dem Grenz­

punkt), das heiBt IJ",1 2 rv Tm/[k ¥Po(Po - pz)]. Foiglich hangt IJ",1 2 stark von pz ab, so daB Formel (12.41) durch eine analoge mit IJ",1 2 unter dem Integral­zeichen zu ersetzen ist. Eine einfache Rechnung ergibt

f Tm n [YLl 2 + y2 + LI sign q1]1/2 .. ·IJ 12 dp rv -

. '" z k YPo Iq11 Y2 Ll2 + y2 (12.42')

Diese Formel erinnert an (12.42) in dem Sinne, daB man fiir,Llq1 > 0, ILII ~y eine endliche GroBe, aber fUr Llq1 < 0, ILlI ~ y Null erhalt, das heiBt, es treten Spriinge in der Absorption auf. In der Umgebung der Spriinge, das heiBt fUr

1) Falls kz ~ krp, so erMlt man aus der Bedingung kz{v - vol ~ kzvo{l - cos rpo) ~ kzvotp~ ~ liT die Relation rpo ~ (Tkzvo)-1/2 ~ (klrp)-1/2 sowie rpo'> qJ wegen qJ < (kl) -1/3.

222 12. 8challabsorption in Metallen

ILiI ~ y ergibt jedoch Formel (12.42') eine Gro13e der Ordnung Tm/[k(PoQly)1/2]. wiihrendimFalle einer gewohnlichenGrenzbahnnach (12.33), (12.42) IJ",1 2 / ••• dpz rv T 4/ 3 /[ (kv )2/ 3 Q1] gilt.

Setzt man die Gro13enordnungen ein, so findet man, da13 der Grenzpunkt eine

n -1/3 ¥kl mal gro13ere Amplitude als ein gewohnlicher Grenzbahnpunkt ergibt. Ein Vergleich mit Formel (12.43) zeigt, daB vor den Sprungen der Absorptions­koeffizient Maxima der Gro13enordnung

To ,1-r .. rv - ykl n

erreicht. Fur nicht zu gro13e n sind die Maxima wesentlich gro13er als der Ab­sorptionskoeffizient ohne Feld.

Abschlie13end soIl noch gezeigt werden, da13 die Benutzung der Formel (12.32) gerechtfertigt war. Tatsiichlich ist dafUr [kv'(t",)]1 /2 ~ [kv"(t",)]1/3, das hei13t

(kv 1../T)1/2 ~ (kv 1../T2)1/3 erforderlich. Setzt man hier v 1.. rv ¥Po(Po - pz)/m und Po - pz rv Y/Q1 ein, so erhiilt man die Bedingung kl ~ 1, die als erfullt voraus­gesetzt wurde.

12.7. Riesenoszillationen cles Absorptionskoeffizienten infolge Quantisierung der Niveaus im Magnetfeld

Die Quantisierung der Niveaus im Magnetfeld macht sich offenbar nur bei Temperaturen T ~ 'liQ bemerkbar.

Das Modell freier Elektronen liefert fUr die Niveaus die Relation

e = 'liQ(n + f) + p~/2m • Bei der Absorption eines Phonons folgt aus den Erhaltungssiitzen

p~ = P. + 'lik. ,

'Ii{)(n' + f) + p?/2m = 'liQ(n + f) + p;/2m + 'liw •

Fur hinreichend kleine Werte von k. erhiilt man hieraus

'liQ(n'- n) + p.'lik./m = 'liw • (12.46)

Fiir n =l= n' nimmt der Term 'liQ(n' - n) im VerhiiItnis zu den iibrigen sehr gro13e Werte an, und die Bedingung (12.46) kann daher nur fUr n = n' erfUllt werden. Daraus folgt

p.'lik./m = 'liw ,

p. = mw/k. = msk/k. = ms/cos e . (12.47)

Der durch diese Beziehung gegebene Wert P. hiingt von e abo Durch Anderung von cos e kann man den Wert von P., bei dem die Absorption eintritt, vergro-13ern oder verringern.

12.7. Riesenoszillationen des Absorptionskoejjizienten 223

Stellt man die Energie als Funktion von pz dar, erhalt man ein System von Parabeln (Abb. 80). Fur T ~ fi£} ~ p tragen nur solehe Elektronen zur Ab­sorption bei, die in einem Intervall der Breite Tin der Umgebung von p liegen. Die Impulse dieser Elektronen liegen dann entspreehend in den Intervallen 1, 2 und 3 in Abbildung 80. Sei P ein Wert Pz, der der Bedingung (12.47) genugt.

Abb.80

J 2 J pz

Zur Entstehung von Riesenoszillationen der Ultraschallabsorption: Die Ener­giebander e der LANDAu-Niveaus in Abhangigkeit von der Impulskomponente pz in Magnetfeldrichtung verlaufen nur innerhalb gewisser pz-Intervalle 1, 2, 3, ... durch die thermische Zone der Breite T um die FERMI-Energie fL. Liegt die Impulskomponente pz der absorbierenden Elektronen (Punkt P) auBerhalb dieser Intervalle, so ist die Ultraschallabsorption gering. Die Ab­sorption wird "riesig", wenn P innerhalb eines der Intervalle 1,2,3, ... fallt

In Abbildung 80 befindet sieh dieser Wert Pin einem "verbotenen Gebiet" fUr die Sehallabsorption, das heiBt, die Absorption ist vernaehlassigbar klein. Ver­groBert man nun das Feld, so versehieben sieh aIle Parabeln naeh oben, was eine Bewegung der Intervalle 1, 2, 3 langs der pz-Aehse zur Folge hat. Eine Absorp­tion wird moglieh, wenn der Punkt P in eines dieser Intervalle £alIt. Der Unter­schied zwischen "erlaubter" und "verbotener" Absorption ist auBerordentlieh groB; daher nennt man derartige Oszillationen von r mit dem Magnetfeld Riesen-Quantenoszillationen (GUREWITSCH, SKOBOW, FIRSOW 1961 [65]).

Zur quantitativen Behandlung dieses Effektes betraehtet man die Energie, die pro Zeiteinheit in 1 em3 dissipiert. Fur sie gilt eine zu (12.19) analoge Formel:

(12.48)

Die Indizes a bezeiehnen Pv, pz und n. Fur fiw ~ T kann man die Verteilungs­funktion naeh den Energiedifferenzen

ea' - ea = fiwa'a = fiw

entwiekeln. Dann wird

1 n 2/0 Q = - V 2fi a~' 28 (fiW)2 I Ua'al 2 b(fiwa'a - fiw) • (12.49)

224 12. Schallabsorption in Metallen

Nun war

wobei allgemein ~k von den Impulsen abhiingt, hier jedoch der Einfachheit wegen als konstant angenommen wird. Dann erhiilt man

U a'a = AikUikOann,ap~, PII+1lkllap;, pz+llkz •

Die anderenGr613en hiingen nur von e und nicht von p" abo Hierbei ist apy,p"Hlk" das KRoNEcKER-Symbol, und daher gilt as = a und 2: as = 1. Die verbleibende

Py Summe tiber p" fUhrt zu einer Multiplikation mit der Zahl der Zustiinde ver-schiedener P,r Werte. Das liefert

L2 LIp" LsLleH ~ = 2nli = 2nlic •

Die Summation tiber p~ ftihrt zur Substitution p; -+ pz + likz in a(wa'a - liw).

D~nach geht man von der Summe zum Integral tiber: 2: -+ 2~~ f dpz. Damit Wlrd P.

__ nw2 (~kUikO)2 eH f 010 a (kzpz _ ) Q - 2 (2nli)S c ~ dpz oe m W. (12.50)

Setzt man nun D ~ w und D ~ kp,/m voraus, kann die Bedingung Wa'a = W nur fUr n = n' erftillt werden. Nimmt man weiterhin T ~ liD ~ P, an und setzt die Relation

ok 1 1 a; = - 4T ch2 [(e - p,)/2T]

in (12.50) ein, erhiilt man den Absorptionskoeffizienten in der Form

Q 1 nws eH (AikUikO)2 2r - --- ----- -'--:-=--'-- ew2u~8 - ew2u~8 (2nli)2 c 4T

f (k,P' ) [P~ ( 1 ) ] X ~ dpz a m - W ch-2 2m + liD n +"2 - I-' •

Fiir H -+ 0 mu13 dieser Ausdruck in den Absorptionskoeffizienten ohne Magnet­feld tibergehen. Daher kann man

k. liD f a(k.p./m - w) r = To m 4T ~ dpz 2 (liD(n + 1/2) + p~/2m _ p,) (12.51)

ch 2T

schreiben. Tatsiichlich geht ftir D -+ 0 die Summe in ein Integral tiber und r -+ roo Das Integral tiber P. liefert einen Wert fUr pz gemii13 Formel (12.47).

12.7. Rie8eno8zillationen de8 Ab8orptiOnBkoeffizienten 225

Unter der Voraussetzung p~/2m ~ 'liD kann man die Formel fiir r weiter ver­einfachen:

_ 'liD -2 ['liD(n + 1/2) - f.L] r - ro 4T ~ ch 2T . n

(12.52)

Wenn B sehr groJ3e Werte annimmt (so daJ3 'liD ~ T) und eines der Argu­mente 'liD(n + {) in der Nahe von f.L liegt, ergibt sich

'liD r ~ro4T~ro.

Falls aIle Werte 'liD (n + {) hinreichend weit von f.L entfernt sind, wird

'liD r = r _e-o<1iD/T ~ r o 4T ""'" 0

(12.53)

(12.54)

mit IX '" 1. Damit besitzt r als Funktion von B sehr starke Oszillationen, die in aquidistanten Abstanden beziiglich des reziproken Feldes auftreten:

t1 (l/B) = e'li/mcf.L •

Die scharfen Maxima sind durch breite Minima voneinander getrennt, wo die Absorption vernachlassigbar klein ist. Den genauen Wert des Absorptions­koeffizienten im Minimum kann man jedoch bestimmen, indem man lediglich die Streuung der Elektronen beriicksichtigt. Eine Abschatzung dieses Effektes laJ3t sich mit Hilfe der folgenden Methode durchfUhren. Die Streuung fiihrt zu einer Unbestimmtheit in der Energie von der GroJ3enordnung 'Ii/7:. Deshalb ersetzt man die ~-Funktion in (12.51), die den Energieerhaltungssatz ausdriickt, durch eine etwas verschmierte Funktion der Breite 1/7:. Da gewohnlich ill <{ 1/7: ist, kann man ill vernachlassigen. Statt der ~-Funktion wahlt man

1 1/7: ;; (1/7:)2 + (kzpz/m)2·

Fiihrt man nun eine neue Variable pz/Y2mT = y ein, nimmt der Ausdruck fUr r folgende Form an:

'liD! 1 B (y2 - An) r = ro 4T dy;; 1 + B2y2 ~ ch-2 2 . (12.55)

Dabei bedeuten

(2T)I/2 f.L - 'liD(n + 1/2)

B = -;;;; kz7: , An = T .

1m Integral (12.55) andern sich beide Faktoren sehr schnell. Der Faktor ~ ch-2

. n hat viele Maxima mit einer Breite der GroJ3enordnung Eins, die durch 1ntervalle

der: GroBe Y'liD/T getrennt sind. Der Term B/(1 + B2y2) besit.zt ein Maximum der Breite 1/ B bei y = o. 15 .A.brikossow

226 12. Schallab8orption in Metallen

1m folgenden wird der Fall betrachtet, daB die Breite der Kurve Bj(l + B2y2) viel kleiner ist als der Abstand zwischen zwei Maxima des anderen Faktors (Abb. 81). Dazu ist offenbar notig, daB

B(1i!)jT)1/2 ~ 1 oder kl(1t!Jjp,)1/2 ~ 1. (12.56)

Fur gewohnliche Metalle erweist sich die Bedingung (12.56) als sehr scharf, da

fur H,,-, 104 Oe V1t!J/p, "-' 10-2 folgt, so daB sehr kurze Wellenlangen erforder­lich sind. Nimmt man ein sehr reines Metall mit l "-' 0,1 cm, so muB k "-' 103

oder w = ks "-' 108 S-1 sein. Das ist eine auBerordentliche hohe Schallfrequenz, die jedoch heute bereits erreichbar ist. In Halbmetallen ist es jedoch wegen m * "-' O,Olm und Po "-' O,Ol1tja moglich, die Grenzfrequenz um zwei GroBenord­nungen zu verringern.

Abb.81

inA maX' (1/ maX' (2) max {f}

n n~

Ein Minimum der RiesenoszilIationen der Ultraschallabsorption wird er­reicht, wenn das stoJ3verbreiterte Maximum max(2) des Energieerhaltungs­satzes als Funktion der Impulskomponente in Magnetfeldrichtung in der Mitte zwischen den thermisch verbreiterten Maxima max~l) und max~l~l zweier

benachbarter LANDAu-Niveaus mit der FERMI-Energie liegt

Wenn H derart ist, daB sich eines der Maxima des Faktors 2,; 1jch2 an der Stelle y = ° befindet, liegt ein Maximum von r vor. n

Wenn die Breite 1jB klein im Verhaltnis zu Eins ist, so kann man den Faktor Bjn(l + B2y2) durch die ()-Funktion ersetzen; dabei ergibt sich die Formel (12.53). Wenn jedoch B :s;;; 1, wird die Form der Absorptionslinie eine voll­kommen andere.

Fur B ~ 1 erhalt man

1t!J nt) r max "-' B T ro "-' ,/- klro' (12.57)

f Tp,

Ein Minimum liegt offensichtlich dann vor, wenn die zu y = ° nachsten Piks der zweiten Funktion in (12.55) maximal von der Stelle y = ° entfernt sind. Offensichtlich ist dann An. "-' 1t!JjT. Da die Breite der Funktionen ch-2

von der Gro.6enordnung Eins ist, kann man sie unter diesen Bedingungen durch die ()-Funktion ersetzen. Man findet also

(12.58)

12.7. Riesenoszillationen des Absorptionskoejjizienten 227

Damit ergeben sich fiir die beiden FaIle B ~ 1 und B ~ 1

r liD (liD)1/2 max", _ _ kl wenn rTlp, kl ~ 1, r min T p, ,

r liD (liD)1/2 max", _ _ (kl)2 , r min p, T

(12.59)

wenn

Bisher wurde der Fall freier Elektronen betrachtet; dadurch war es moglich, die GroJ3enordnung des Effektes abzuschatzen. 1m folgenden wird untersucht, welche Bedeutung die Maxima in einem anisotropen Metall haben. Man erhalt

e(p. + lik., n) - e(p., n) = liro oder

v.lik. = liro •

Folglich gilt

v. '" 8 ~ v.

Das bedeutet, nur diejenigen Querschnitte der FERMI-Flache sind wesentlich, fiir die die mittlere Geschwindigkeit in Richtung des Feldes praktisch ver­schwindet. Diese Eigenschaft besitzt im allgemeinen Fall nur ein Zentralschnitt der FERMI-Flache. Folglich wird das Intervall zwischen den Maxima der Ab­sorption durch die Relation

iJ liB = 2nelilcS(P,)zentr bestimmt.

Da die Maxima sehr scharf sind, liefert diese Methode eine Moglichkeit, die Quantenniveaus selbst zu bestimmen. Das ist besonders fiir die tiefer liegenden Niveaus wichtig, wo die quasiklassische Naherung nicht mehr anwendbar ist und die Energieniveaus nicht mehr aquidistant sind. Das ist natiirlich nur fUr kleine FERMI-Flachen mit kleinen Massen oder fUr Halbmetalle moglich.

Riesenoszillationen sind bisher an etlichen Stoffen beobachtet worden (s. z. B. Abb. 82 fur Gallium) [66].

Abb.82

15·

Experimentelle Riesenoszillationen des longitudinalen Ultraschallabsorp­tionskoeffizienten r in Abhangigkeit von der Magnetfeldstarke H in Gallium (nach [66])

13. Fermi -Fliissigkeits-Effekte

13.1. Wechselwirkung der Quasiteilchen

Nach der LANDAUSchen Theorie existiert zwischen den Energiespektren eines FERMI-Gases und einer FERMI-Fliissigkeit ein wesentlicher Unterschied. Auf diesen wurde im Kapitel 2 bewuBt nicht eingegangen, in dem die Aquivalenz zwischen einem FERMI-Gas und einer aus FERMI-Teilchen bestehenden Fliissig­keit untersucht wurde. Wahrend bei einem FERMI-Gas die Form des Energie­spektrums (2.6) nur durch die Energie des freien Teilchens bestimmt wird, spielt im FaIle einer FERMI-Fliissigkeit die Wechselwirkung mit den anderen Quasiteilchen, die im allgemeinen nicht klein ist, eine wesentliche Rolle.

In Kapitel2 wurde schon dargelegt, daB die Wechselwirkung zu keiner gro13en Dampfung fiihrt, wenn die Energie des betrachteten Quasiteilchens in der Nahe der FERMI-Energie liegt. Die Ursache dafiir ist aber nicht die geringe Starke der Wechselwirkung, sondern eine Besonderheit des FERMI-Spektrums (Existenz einer besetzten FERMI-Kugel). Wenn die Wechselwirkung ziemlich stark ist, macht sich das insbesondere in der effektiven Masse der Quasiteilchen bemerkbar, die dann merklich von der Masse der freien Teilchen abweichen kann (zum Beispiel ist im fliissigen Re3 bei tiefen Temperaturen m * = 3mHe3; in Metallen ist der Unterschied geringer; vgl. folgendes Kapitel).

Nach einer Idee von LANDAU [3] kann die Wechselwirkung der Quasiteilchen als selbstkonsistentes Feld der ein Quasiteilchen umgebenden anderen Quasi­teilchen angesehen werden, das auf das betrachtete Teilchen wirkt. Damit hangt natiirlich die Energie des Quasiteilchens vom Zustand der anderen ab, oder anders gesagt, sie ist ein Funktional ihrer Verteilungsfunktion.

Selbstverstandlich ergibt sich dann die Frage, wie diese Energie zu bestimmen ist, was die Gleichgewichts-Verteilungsfunktion ist, wie man die Nichtgleich­gewichts-Funktion finden kann usw. Genau genommen hatte man aIle aus dem Gasmodell erhaltenen Schliisse und Resultate zu iiberpriifen, wo ja die Abhan­gigkeit des Energiespektrums von der Verteilungsfunktion nicht beriicksichtigt wurde.

Wie in diesem Kapitel gezeigt werden solI, ist jedoch in Wirklichkeit, bis auf seltene Ausnahmen, diese neue Tatsache nicht wesentlich. In einer Reihe von Fallen beeinfluBt sie iiberhaupt nicht das Ergebnis, wahrend in anderen Fallen die Gro13enordnung des Resultats erhalten bleibt. Es gibt aber Erscheinungen, die ausschlieBlich auf der Abhangigkeit des Energiespektrums von der Vertei­lungsfunktion basieren. Diese Erscheinungen werden als FERMI-Fliissigkeits-

13.1. Wechselwirkung der Quasiteilchen 229

effekte bezeichnet. Der Einfachheit halber wird im folgenden nur das isotrope Metallmodell betrachtet.

In diesem Kapitel wird eine andere Bezeichnung fUr die Verteilungsfunktion, namlich n(p, r) benutzt, da in der FERMI-Fliissigkeits-Theorie I der LANDAU­

schen Funktion vorbehalten ist (s. u.). Als erstes wird die Energie der Quasiteilchen untersucht. Die Gesamtenergie

des Systems sei E[n), wobei [n) eine funktionale Abhangigkeit von der Vertei­lungsfunktion bedeutet. Die Energie der Quasiteilchen muB dann natiirlich auf folgendem Wege bestimmt werden:

Fiir kleine Anderungen der Verteilungsfunktion bn ist die Anderung der Ge­samtenergie pro V olumeneinheit

f d3p bE = ~ B(p, a) bn(p, a) (2nn)3' (13.1)

wobei L: die Summation tiber die Spinkomponenten bedeutet. Die GroBe B(p, a) a

muB man als Energie der Quasiteilchen ansehen, denn erscheint ein Quasiteilchen mit demImpulsPl und derSpinkomponenteav soist bri(p, a)= (2nn)3b(p-Pl) baa, und damit bE = B(Pv a1).

Genau genommen hatten mit dem Impuls und dem Spin auch gleichermaBen die Koordinaten beriicksichtigt werden miissen. Da die Wellenlange der Elek­tronen von der GroBenordnung der Atomabstande ist, haben aber die hier be­trachteten Inhomogenitaten der Verteilungsfunktion mit charakteristischen Abstanden, die bedeutend groBer als die Atomabstande sind, auf die Energie der Quasiteilchen keinen EinfluB.

Formel (13.1) kann auch in einer anderen Form angegeben werden. Spielt in dem betrachteten Problem der Spin des Elektrons eine dominierende Rolle, so muB anstelle der Verteilungsfunktion der sogenannte statistische Operator oder die Dichtematrix n(p, (;) benutzt werden. Der Mittelwert jeder GroBe, der

ein von den Operatoren P und 0 abhangender Operator A entspricht, kann durch den Ausdruck - f AA A d3p

A = Sp" An(p, 0) (2nn)3 (13.2)

gebildet werden. Insbesondere kann Gleichung (13.1) auch in solch einer Form dargestellt werden:

f d3p bE = Sp" B(p, 0) bn(p, 0) (2nn)3 . (13.3)

(Hierbei wurden, wie auch im folgenden, die Operatoren nicht mehr durch Dacher gekennzeichnet.)

Die Definition der Quasiteilchenenergie (13.3) liefert, wie jetzt gezeigt werden solI, im Gleichgewichtsfall wieder die FERMI-Verteilung. Ausgangspunkt ist die Gleichung fUr die Entropie r d3p

S=-Sp". {nlnn+(I-n)ln(l-n)}(2nn)3. (13.4)

230 13. FERMI-Flilssigkeits-Effekte

Diese Formel ist auch fUr die FERMI-Fliissigkeit anwendbar, da sie nur rein kombinatorischen Ursprung hat und fUr die Quasiteilchen das PAULI-Prinzip genauso gilt wie fUr die Teilchen eines FERMI-Gases. Gesucht ist das Maximum der Entropie bei festgehaltener Gesamtteilchenzahl und -energie. Dazu bestimmt man das Maximum des Ausdrucks

S' = S + ()(.E + {3N •

()(. und {3 sind unbestimmte LAGRANGESche Multiplikatoren. Variiert man diesen Ausdruck nach n, so erhalt man aus der Bedingung (}S' = 0 die Gleichgewichts­verteilungsfunktion

1 n(e) = nF(e) = e«-I'l/T + 1 ' (13.5)

wobei p und T von den Multiplikatoren ()(. und {3 abhangen. Aus den Gleichungen (13.5) und (13.3) kann man entnehmen, daB die spezi­

fische Warme in Abschnitt 2.4. richtig berechnet wurde. Tatsachlich stimmt der Ausdruck (2.18) formal mit (13.3) iiberein. Es ist jedoch der Unterschied zu beachten, daB in Formel (2.18) die Abhangigkeit der Energie e von der Anderung der Verteilungsfunktion mit der Temperatur nicht beriicksichtigt wurde. Der Korrekturterm liegt aber nur in der GroBenordnung (T/p)3.

13.2. Landausche Funktion I

Obwohl die Abhangigkeit des Energiespektrums von der Verteilungsfunktion sich nicht auf die spezifische Warme auswirkt, ist sie dennoch vorhanden. Wenn E ein Funktional von n ist, so gilt das natiirlich auch fUr e. Bei kleinen Ande­rungen der Verteilungsfunktion erhalt e eine Korrektur der Form

J d3 ' (}e(p,a) = Sp,,' f(p, a; p', a') (}n(p', a') (2:n)3' (13.6)

Die Funktion fist die zweite Variationsableitung der Gesamtenergie und deshalb symmetrisch beziiglich einer Permutation der Argumente, das heiBt

f(p, a; p', 0') = f(p', a'; p, a) •

Die Existenz des Zusammenhangs (13.6) wirkt sich vor aHem in der kineti­schen Gleichung aus. In Abschnitt 3.2. wurde bei der Ableitung dieser Gleichung folgender Ausdruck erhalten:

dn on on dr on dp dt = at + or dt + op de'

Die GroBe dp/dt ist durch die einwirkende Kraft bestimmt. Es wurde angenom­men, daB diese nur durch ein auBeres Feld erzeugt wird. 1m FaHe einer FERMI­Fliissigkeit beginnt jedoch die Energie der Quasiteilchen infolge des Zusammen­hangs (13.6) iiber die Verteilungsfunktion n von den Koordinaten abzuhangen. Damit tritt eine potentieHe Energie auf, die die Wirkung des selbstkonsistenten

13.2. LANDAu8che Funktion f 231

Feldes der iibrigen Quasiteilchen auf das gerade betrachtete widerspiegelt. Folglich kann

dp oe J' ,on d3p' de = eE - Of" = eE - SPa' I(p, 0; p ,0 ) Of" (2nli)3

gesetzt werden. Somit tritt auf der linken Seite der kinetischen Gleichung noch ein Zusatz­

term auf. Setzt man n = no (eo) + 'nJ, wobei eo die Gleichgewichtsenergie bei T = 0 ist, und beschrankt sich auf Terme, die linear in 'nJ sind, so erhalt man fUr den Zusatzterm

ono J " 0'nJ d3p' - a;-v SPa' I(p, 0; p ,0 ) Of" (2nli)3·

Sucht man 'nJ in der Form 'nJ = - 1pon% e, so hat, nachdem die gesamte Glei­chung durch on%e geteilt wurde, der Zusatzterm in der Gleichung fUr 1p das Aussehen

v J 0 dB' - (2nli)3 SPa' I(p, 0; p', 0') Of"1p(f", p', 0') -:;;-'

wobei die Impulse p und p' auf der FERMI-Flache liegen. Damit kann die kinetische Gleichung in der Form

o 0 (J dB' ) o~ + v Of" 1p + SPa' I(p, 0; p', 0') 1p(p', 0') v(2nli)3 - evE = J(1p)

(13.7)

dargestellt werden. Wird noch zusatzlich ein nicht zu starkes Magnetfeld ange­legt, so tritt auf der linken Seite der kinetischen Gleichung noch ein Term

~[oe H]on C op op

auf. In nullter Naherung liefert er keinen Beitrag, da no nur von e abhangt. In erster Naherung ist aber der Term mit 1p nicht nur in on/op, sondern auch in oe/op zu beriicksichtigen. Eine unkomplizierte Rechnung liefert fiir die Glei­chung (13.7) den Zusatzterm der Form

: [vH] o~ (1p + SPa' J I(p, 0; p', 0') 1p(p', 0') V(:~)3). e 0

Der Operator - [vB];- ist nichts anderes als %tl> wobei tl die in Abschnitt C up

5.1. eingefiihrte Variable darstellt. Ais nachstes solI das StoJlintegral untersucht werden. Es ist offensichtlich,

daJl es nur in dem Fall Null wird, wenn dort no(e) mit der realen Energie e und nicht no (eo) eingesetzt wird. Setzt man in

ono J d3p' n = no(eo) + 'nJ = no(e) - Te SPa' 1'nJ (2nli)3 + 'nJ

232 13. FERMI-Flu8sigkeits-Effekte

den Ansatz ~ = - "P on% 8 ein, so ergibt sich

n = no(s) - 00:0 ["P + SPa' J I"P :~~3] . Da das StoBintegral fur no(8) Null wird, hangt es offensichtlich von der Funktion

J dB'/v T = "P + SPa' I"P (2nli)3 (13.8)

genau so ab, wie es fur f = 0 von"P abhangen wurde. AbschlieBend soIl noch untersucht werden, wie die Stromdichte j von "P

abhangt:

. JOS d3p J = e SPa op n (2nli)3

J~ d3p J a J d3p d3p' = e SPa vn1 (2nli)3 + e SPa, 0' no op f~ (2nli)3 (2nli)3

(v = 080/0p). Integriert man partiell nach p, ergibt sich

• J d3p J ono J d3p d3p' J = e SPa v~ (2nli)3 - e SPa, 0' as v f~ (2nli)3 (2nli)3 .

Mit dem Ansatz ~ = - "P on%s erhalt man schlieBlich

j = e SPa J ["P + SPa' J I"P :~~3] V (:!~~3' (13.9)

Aus dem Gesagten ist zu erkennen, daB die Ausdrucke sowohl fUr die Strom­dichte als auch fur das StoBintegral bei Berucksichtigung der LANDAuschen Funktion f so von der Kombination T (13.8) abhangen, wie sie fur f = O-von "P abhangen wurden. Diese Aussage ist auch fur den Warmestrom richtig. Wenn "P nicht von der Zeit abhangt oder w viel kleiner als eine fur das Problem charak­teristische Frequenz ist, kann das Glied o"P/ot auf der linken Seite der kinetischen Gleichung (13.7) vernachlassigt werden. Damit hangt auch sie nur von der Kombination T (13.8) ab, und es zeigt sich, daB in allen bisher betrachteten Er­scheinungen, fUr die in der kinetischen Gleichung w = 0 gesetzt werden konnte, die LANDAusche Funktion f keinen EinfluB auf das Ergebnis hat.

Die Funktion f spielt nur in denjenigen kinetischen Erscheinungen eine Rolle, fur die der Ausdruck o"P/ot in der kinetischen Gleichung wesentlich ist. Jedoch ist selbst das nicht immer der Fal~ Betrachten wir zum Beispiel den anomalen Skineffekt oder die Zyklotronresonanz (s. Kapitel 7). Bekanntlich besitzt hier die Funktion "P fast den Charakter einer Cl-Funktion "P ~ Cl(v",), wobei v'" die Ge­schwindigkeitskomponente normal zur Oberflache ist. Naturlich besitzt die Funktion "P auch einen glatten Teil, der jedoch fUr die betrachteten Probleme nicht wesentlich ist. Wie man leicht sieht, erhalt man bei Einsetzen einer (l-Funktion in das Integral (13.8) eine stetige Funktion. Foiglich stimmen die (l-artigen Anteile der Funktionen "P und T uberein. Damit kann der Unterschied

13.3. EinflufJ auf die paramagnetische Suszeptibilitiit 233

von 'P und f{! vernachlassigt werden, so daB die Berechnungen ohne Berucksichti­gung der LANDAuschen Funktion f vollig gerechtfertigt sind.

SchlieBlich war in einigen weiter vorn behandelten Problemstellungen der Term 01jJ/ot in der kinetischen Gleichung auch dann von Bedeutung, in denen 1jJ nicht den Charakter einer b-Funktion hatte, so zum Beispiel bei der Ausbreitung von Magnetoplasmawellen in einem Metall mit einer geraden Elektronenzahl. In diesem Fall kann das Glied mit %r vernachlassigt werden, nicht aber 01p/Ot. Der Unterschied zum wechselwirkungsfreien Fall (f = 0) besteht darin, daB sowohl in dem Ausdruck fUr die Stromdichte als auch im StoBintegral1jJ durch

f{! = L1jJ zu erset~en ist, wobei i ein reeller linearer Integraloperator von der

GroBenordnung L r-..J 1 ist. Hieraus ist zu erkennen, daB die Behauptung, daB fUr an: ~ 1 die kinetischen

Koeffizienten von - iro genauso abhangen, wie von 1/T: fUr roT: ~ 1, groBenord­nungsmaBig Bowie im Sinne des Charakters der Komplexitat der Koeffizienten richtig bleibt. Da aber T: an und fUr sich nur von seiner GroBenordnung her eine Bedeutung besitzt, fUhrt die Funktion f in diesem Fall auch zu keiner qualita­tiven Veranderung der Resultate. Bei konkreten Berechnungen mit einem be­stimmten Energiespektrum muB jedoch die Funktion f berucksichtigt werden.

Somit treten die FERMI-Flussigkeits-Effekte praktisch in allen Rechnungen nirgends in Erscheinung, sofern die V orstellung vom quasiklassischen Elektron anwendbar ist, das sich auf einer Bahn bewegt. Damit die Rechnungen und ihre anschauliche Interpretation nicht zu kompliziert werden, wurde deshalb in den vorangegangenen Kapiteln diese Funktion nicht eingefUhrt.

13.3. EinfluB der Wechselwirkung der Quasiteilchen auf die paramagnetische Suszeptibilitat

In Abschnitt 10.1. wurde bereits die einfachste Quantenerscheinung - namlich der Spinparamagnetismus - behandelt. In die Formel fUr die magnetische Suszeptibilitat X (10.2) ging dabei nur eine KenngroBe des vorliegenden Metalls, die Zustandsdichte v(f-i) ein, das heiBt, genau die GroBe, die nach Gleichung (2.27) die spezifische Warme der Elektronen bestimmt. Wie schon in Abschnitt 3.l. angedeutet wurde, andert sich der Ausdruck fUr die spezifische Warme bei Be­rucksichtigung der Wechselwirkung der Teilchen nicht. J edoch wird sogleich gezeigt, daB die Funktion f zwar die GroBenordnung von X nicht verandert, wohl aber eine Anderung des konkreten Wertes hervorruft.1 )

1) Fur Metalle ist der genaue Wert von X nicht von groBem Interesse, da man nur die Gesamtsuszeptibilitat messen kann und die Berechnung des diamagnetischen Anteils sehr schwierig ist. Es existiert jedoch eine nimtrale FERMI-Flussigkeit, namlich £lussiges Re3, die nur Spinparamagnetismus besitzt. Mit Rilfe eines Vergleichs von X mit der spezifischen Warme ist es damit fur Re3 moglich, Kenntnisse uber die Funktion f zu erhalten.

234 13. FJmMJ.-FIU88igkeit8-Effekte

Die Veranderung des Energiespektrums infolge der Wirkung des magnetischen Feldes auf den Spin kann im allgemeinen Fall in der Form

(13.10)

dargestellt werden. Die Energieanderung setzt sich aus zwei Teilen zusammen. Einmal wirkt das Magnetfeld auf das magnetische Moment des Elektrons. Das liefert einen Beitrag - poH (fJ - B01ffisches Magneton). Zum anderen wirkt eine Veranderung der Verteilungsfunktion auf das Energiespektrum zuriick. Die entsprechende Energieanderung ist dann

f d3 '

Spa' I(p, 0; p', 0') an(p', 0') (2:;)3

f on d3p' = SPa' I(p, 0; p' 0') oe? ~e(p', 0') (2nli)3

f on d3p' = - SPa' f(p, O;p', 0') 0/ Pl(P') (o'H) (2nli)3'

Fiir ~e wurde dabei der Ausdruck (13.10) benutzt. 1m weiteren solI jetzt die Abhangigkeit der Funktion I von den Spins unter­

sucht werden. In einer isotropen Fliissigkeit existieren fUr die Spins keine V or­zugsrichtungen, womit es nur eine Moglichkeit gibt:

f = 'f}(p, p') + (00') C(p, p') . (13.11)

Die 0 sind die PAULI-Matrizen. Aber auch im realen Metall ist es moglich, nahe­rungsweise diesen Ansatz (13.11) zu benutzen, da der Term, der das Produkt (00') enthalt, vom Austausch herriihrt, das heiBt durch die CouLoMB-Wechsel­wirkung bestimmt wird. Andererseits basieren aber aIle anisotropen Terme ent­weder auf der relativistischen Spin-Bahn-Kopplung, iiber die im Abschnitt 10.7. Naheres gesagt wurde, oder auf der direkten Wechselwirkung der magnetischen Momente untereinander. Sie sind etwa um den Faktor (vic)! '" 10-3 bis 10-4

kleiner als die COULoMB-Wechselwirkung. Der anisotrope Beitrag zu f liegt damit in der gleichen GroBenordnung, wodurch der Ausdruck (13.11) auch fUr reale Metalle eine gute Naherung ist.

Setzt man den Ansatz (13.11) in die vorstehende Formel ein, erhalt man die von der Funktion f herriihrende Energieanderung

f ono , ,d3p' - 2(oH) oe' C(p, p ) Pl(P ) (2nli)3'

Damit sind beide Anteile zur Energieanderung oH proportional, und es ergibt sich die Gleichung

PI = P - (2:1i)3 f C(p, p') Pl(P') dB'lv , (13.12)

wobei der Impuls p' auf der FERMI-Flache liegt.

13.3. EinJlufJ auf die paramagneti8ehe S'U/Juptibilitiit 235

Das magnetische Moment ist dann gleich

J d3p M = (J Sp" a n(p, 0) (2n1i:)3

J d3p J ono d3p = {J Sp" a (In(p, 0) (2nli)3 = {J Sp" a i56 (Je(p, 0) (2nli)3

J ono d3p 2{JH J dB = - (J Sp" o(oH) i56 (Jl(P) (2nli)3 = (2nli)3 (Jl(P) ---;; ,

(13.13) wobei im letzten Integral p auf der FERMI-Fliiche liegt.

1m isotropen Modell kann die Funktion C(p, p') nur vom Winkel zwischen p und p' abhiingen, und (Jl(P) hiingt nicht von der Richtung des Vektors p abo Dadurch vereinfacht sich das Ergebnis wesentlich. Lost man Gleichung (13.12), so erhiilt man

{J {Jl = 1 + Zo' (13.14)

wobei

J dSjf (dS Co = C ---;; J ---;;

ist. Nun ist offensichtlich C rv p,li3/pg, und da

2 JdS P5 pg 'V = (2nli)3 ---;; rv li3V rv li3p,

ist, wird Zo rv 1. 1m folgenden ist es besser, anstelle von j die dimensionslose Funktion

F = j'V(p,)

von der GroBenordnung Eins und ihre Darstellung in der Form (13.11)

F = X(p, p') + (00') Z(p, p')

zu benutzen. Setzt man {Jl in Gleichung (13.13) ein, so erhiilt man [3]

(J2'V(p,) X = 1 + Zo·

(13.15)

(13.16)

Dieser Ausdruck unterscheidet sich von (10.2), und es ist deshalb unmoglich, aus der ..Anderung der spezifischen Wiirme unmittelbar die paramagnetische Suszeptibilitiit vorherzusagen.

Folgende Moglichkeit ist nicht ausgeschlossen: Die GroBe Zo hat die GroBen­ordnung Eins und kann von beliebigem Vorzeichen sein. Natiirlich sind die hier angefUhrten tJberlegungen nur richtig fUr Zo > -1, da fUr Zo = -1 X gegen unendlich geht, d.!ts heiBt das Metall ferromagnetisch wird. In diesem Fall sind spezielle Betrachtungen erforderlich.

236 13. FERMI-FlUssigkeits.-Effekte

Die physikalische Ursache dieser Erscheinung ist folgende. Nach dem PAULI­Prinzip haben die Elektronen gewohnlich die Tendenz zur Antiparallelstellung der Spins. Wenn die Elektronen nicht miteinander wechselwirken oder ihre Wechselwirkung nicht von den Spins abhangt, gibt es im Gleichgewicht eine gleiche Anzahl von Elektronen mit entgegengesetztem Spin. Zur Schaffung eines von Null verschiedenen Gesamtspins ist eine Umverteilung der Elektronen auf die Zustande notig, was mit einer Energiezufuhr verbunden ist. Hangt aber die Wechselwirkung von den Spins ab und haben die Spins das Bestreben, sich parallel anzuordnen (Z ist dann negativ), so kann fUr gentigend groBe Z die Absenkung der Energie infolge der Wechselwirkung die VergroBerung der kine­tischen Energie bei der Umverteilung auf die Zustande tibertreffen. In diesem Fall entsteht ein neuer Grundzustand mit einem nichtkompensierten Gesamt­spin und einem magnetischen Moment. Das ist der Ferromagnetismus. Seine Behandlung wtirde jedoch, wie bereits gesagt, spezielle Betrachtungen erfordern und tiber den Rahmen dieses Buches hinausgehEn (ein isotropes Modell von einem ferromagnet is chen Metall ist im Anhang behandelt).

Moglich ist aber auch, daB Zo sich nur wenig von -1 unterscheidet (Zo + 1 ~ 1). Das trifft fUr einige Metalle (z. B. Palladium) zu, die eine sehr groBe Sus­zeptibilitat X besitzen. Man bezeichnet sie daher auch als "fast ferromagnetische" Metalle. Auf ihr spezielles Verhalten kann jedoch nicht naher eingegangen werden.

13.4. Landau-Quantisierung und Quantenoszillationen

Dieser Abschnitt behandelt die Quantenerscheinungen im Magnetfeld. Sie wer­den durch die Quantisierung der Energieniveaus verursacht, die sowohl mit der Bahnbewegung der Elektronen als auch mit der Orientierung ihrer Spins ver­bunden ist.

In Abschnitt 10.4. sind die quasiklassischen Energieniveaus (mit groBen Quantenzahlen) ohne Berticksichtigung der Funktion f (Formel (10.17)) be­rechnet worden. In dies em Abschnitt ist ferner erwahnt worden, daB die Energie­quantisierung einer Quantisierung des Induktionsflusses im Ortsraum entspricht. Das heiBt, daB der von einer Spiralbahn umfaBte MagnetfluB sich nur um eine ganze Zahl von FluBquanten andern kann:

L1n(/> = n(/>o ,

wobei (/>0 durch Formel (10.19) gegeben ist. Es solI nun gezeigt werden, daB diese Regel Allgemeingtiltigkeit besitzt und nicht durch die Wechselwirkung derQuasi­teilchen beeinfluBt wird.

Aus allgemeinen Prinzipien der Quantenmechanik erhalt man fUr die quasi­klassische Wellenfunktion eines Teilchens den Ausdruck

13.4. LANDAu-Quanti8ierung und Quanteno8zillationen 237

wobei P den verallgemeinerten Impuls bezeichnet und entlang einer klassischen Bahnkurve zu integrieren ist. Hat man es mit Quasiteilchen zu tun, so handelt es sich hierbei um ein Wellenpaket (vgl. Abschn. 3.1.), was jedoch an der Sache

e nichts andert. Bei Anliegen eines Magnetfeldes ist P = P - - A, wobei A

o das Vektorpotential ist. 1m weiteren wird die Bahn im Impulsraum als geschlos­sen vorausgesetzt. Damit ist die Projektion der Bahn im Ortsraum auf die {x,y)-Ebene ebenfalls geschlossen. Die Anderung der quasiklassischen Wellen­funktion unter Einwirkung des Magnetfeldes driickt sich durch den Faktor

(13.17)

aus. Die Wellenfunktion muB unbedingt eindeutig sein. Nimmt man an, daB A

in der (x, y)-Ebene senkrecht zum Magnetfeld liegt, so wird im Integral (13.17) entlang der geschlossenen Projektion der Elektronenbahn auf die (x, y)-Ebene integriert. Durchlauft man nun die Bahn, so ergibt jeder Umlauf einen konstan­ten Phasenfaktor

fUr die Funktion 1JI, da man periodisch zu denselben Punkten zuriickkehrt. Die Eindeutigkeit der Wellenfunktion verlangt nun, daB dieser Phasenfaktor Eins wird, das heiBt

~ ,+, A dl = 2nn no ~ , wobei n eine beliebige ganze Zahl ist. Formt man das Ringintegral um, erhalt man

g'> A dl = f rot A dS = f H dS = ifJ ,

wobei ifJ der lnduktionsfluB durch die' Projektionskurve ist. Da diese Betrachtung sich tatsachlich nur auf geniigend groBe Quantenzahlen

bezieht, gilt genau genommen nur

2nnnc LlifJ,. = --= ntPo , e

wobei LltP,. = tPm+,. - tPm (m?> 1) ist. Offensichtlich folgt hieraus die friiher abgeleitete Quantisierungsregel (10.17) im Impulsraum.

Wesentlich ist jedoch nicht nur die Quantisierung der Bahnbewegung, sondern auch die Spinaufspaltung. Diese wird aber schon vollstandig durch die Formeln (13.10) und (13.14) beschrieben.

Betrachtet man nun die Oszillationseffekte, so sieht man, daB in den Formeln fiir die oszillierenden Anteile (vgl. z. B. Formel (10.33») die Oszillationsperioden durch die Quantisierungsregel fUr die Bahnbewegung bestimmt werden, das

238 13. FEBMI-FIU88igkeits.Effekte

heiBt durch die FERMI-Fliissigkeits-Effekte nicht verandert werden. Fiir den Amplitudenwert der k-ten Harmonischen tritt aber ein Faktor der Form cos (nkm * 1m) auf. Die Masse des freien Elektrons resultiert hier aus dem BOHR­schen Magneton P = elil2mc. Nun ist aber nach Formel (13.14) P durch PI zu ersetzen, woraus geschluBfolgert werden kann, daB die FERMI-Fliissigkeits­Effekte zu der Substitution m -+ m(1 + Zo) fiihren.

13.0. Nullter Schall

Wahrend bisher bewiesen wurde, daB die friiher betrachteten Erscheinungen bei Beriicksichtigung der Funktion I nicht wesentlich modifiziert werden, sollen jetzt auch spezifische Erscheinungen behandelt werden, die mit dieser Funktion ver­kniipft sind.

In Kapitel7 wurde gezeigt, daB sich bei Abwesenheit eines Magnetfeldes im Metall keine elektromagnetischen Wellen ausbreiten konnen. Das gilt auch unter den Bedingungen des anomalen Skineffekts (Wellenlange klein gegen freie Weglange). Es entsteht damit die Frage, inwieweit das auch noch bei Beriicksich­tigung der Funktion I richtig bleibt.

Die einzige Moglichkeit, die bier in Frage kommt, sind Schwingungen der Elektronenverteilungsfunktion imFall co ?> 1/7: (LANDAU 1957 [67]). Unter dieser Bedingung ist der StoBterm in der kinetischen Gleichung zu vernachlassigen. Die Anderung der Verteilungsfunktion kann immer in der Form

an = ~(p) + ~(p) (13.18)

dargestellt werden. Da nur kleine Schwingungen untersucht werden sollen, wird die kinetische Gleichung linear in an, so daB sie beziiglich ~ und n2 in zwei Glei­chungen aufspaltet.

Als erstes solI die Gleichung fiir ~ untersucht werden. Derartige Schwin­gungen bezeichnet man als "nullten Schall". Nimmt man ~ in der Form ~ = - "P onoloe und "P ~ ei(IH"-mt) an, erhalt man aus Formel (13.7)

. . J ~~ '/,( -co + kv) "P + ikv SPa I"P (2nli)3 - evE = o. (13.19)

Das elektrische Feld wird aus den MAxwELL-Gleichungen bestimmt. Nimmt man an, daB an = ~(p) ist, so bleibt beim Einsetzen der Funktion I in der Form (13.11) in Gleichung (13.19) nur 'Yj(p, p') stehen. Bei Beschrankung auf das isotrope Modell ist 'Yj nur eine Funktion des Winkels zwischen p und p'. Mit der vereinfachenden Annahme 'Yj = const = 'Yjo erhalt man aus Gleichung (13.19)

i(- co + kv) "P + ikvXo"Po - evE = 0, wobei

J"P dSlv "Po = J~/v '

gesetzt wurde.

(13.20)

13.5. Nullter Schall 239

Das elektrische Feld kann aus der Gleichung

. f d3p dlV E = 4ne SPa bn (2nli)3 = 4nev([.l) "1'0

berechnet werden. Natiirlich treten auch Wirbelfelder auf, die mit dem Strom zusammenhangen. Sie sindaber bedeutendkleiner. Mit demAnsatzE '-'" ei(k .. -w!~

erhalt man 4nikev([.l) "1'0

E= - k2 •

Setzt man das Ergebnis in Gleichung (13.20) ein, ist es moglich, "I' durch "1'0 auszudriicken:

"1'= kv [Xo + 4ne2v([.l)/k2] "1'0

w - kv

SchlieBlich ergibt die Integration iiber die Winkel eine homogene Gleichung fiir "1'0' Die Losungsbedingung fUr diese Gleichung ist

Wie schon gezeigt wurde, ist Xo '" 1. Der zweite Term im Zahler hat die GroBenordnung e2p~/k21i3v '" (e2/liv) (p~/1i2k2) ":> 1, da e2/liv '" 1 ist und die Wellen­langen der betrachteten Schwingungen bedeutend groBer als die Atomabstande sind, das heiBt k ~ Po/Ii. Ferner wird (was spater bewiesen wird) kv ~ w ange­no=en.

Man vernachlassigt nun im Zahler Xo gegeniiber dem zweiten Term, ent­wickelt nach kv und bekommt

Hieraus folgt

w = V4: e2v([.l) v2 = const . (13.21 )

Das Produkt liw hat die GroBenordnung ye2 /liv (p~/m) '" [.l, so daB die Annahme kv ~ w berechtigt war. Wenn namlich kv '" w sein sollte, miiBte der Wellenvek­tor k von der GroBenordnung Po/Ii sein. Er wurde jedoch bedeutend kleiner vor­ausgesetzt. Die behandelten Schwingungen miissen folglich sehr hohe Frequen­zen der GroBenordnung [.l/Ii '" 1015 S-1 besitzen und fallen damit nicht in den Radiofrequenzbereich. Nun sind aber aIle SchluBfolgerungen iiber die FERMI­Fliissigkeit nur dann richtig, wenn der behandelte Energiebereich in unmittel­barer Niihe der FERMI-Flache liegt (vgl. Abschn. 2.2.). Damit wird aber die Theo­rie nicht anwendbar, wenn liw in die GroBenordnung von [.l kommt. Das einzige,

240 13. FFrRMI-FlUsBigkeitB-Effekte

was mit Sicherheit aus dem Dargelegten geschlulUolgert werden kann, ist, daB durch das Entstehen von elektrischen Feldern niederfrequente Schwingungen del Elektronendichte im Metall nicht auftreten.l)

Eine weitere Moglichkeit bestande noch darin, daB Schwingungen der Vertei­lungsfunktion existieren konnten, die nicht mit einer Anderung der Elektronen­dichte verkniipft sind, das heiBt, fiir die "Po = 0 ist. 1m isotropen Modell kann die Funktion X(p, p') nur vom Winkel zwischen p und p' abhangen, solange p und p' auf der FERMI-Kugelliegen. Man kann sie dann in der Form

x = 2: X"P,,(cos e) (13.22)

darstellen. Die P" sind die LEGENDRESchen Polynome. Summiert man bis n = N, so gestattet die kinetische Gleichung im Prinzip zu et""P proportionale Losungen mit m < N. cp ist die "geographische Lange" des Impulses p im Polarkoordi­natensystem, dessen Achse parallel zu k liegt. Die zu eimrp proportionale Funktion "p mittelt sich natiirlich zu Null, so daJ3 in einer solchen Welle keine Raumladungs­schwingungen und starkere elektrische Felder auftreten.

Zu beriicksichtigen ist aber, daB diese Losungen nur dann existieren, wenn die Koeffizienten X" hinreichend groJ3 sind (X" > X"min)' Besitzt die Funktion X nur zwei raumliche Harmonische X = Xo + Xl cos e, so sind zu eirp proportio­nalen Losungen nur dann moglich, wenn Xl > 6 ist. Fiir die nachsthoheren Har­monischen miiJ3ten die Werte der nachfolgenden X" noch groJ3er sein.

1st aber X(e) eine hinreichend glatte Funktion, mussen die Koeffizienten X" in (13.22) mit wachsendem n kleiner werden. Das ist leicht daran zu erkennen, daJ3 fUr eine Kugel nur Xo =F 0 ist und in dem Fall, daJ3 alle X" gleich groJ3 sind, die Zerlegung der tS-Funktion vorliegt. Zur Darstellung der Funktion X wird man daher bestenfalls ein bis zwei der ersten Harmonischen erwarten konnen.

Das Ergebnis wird aber noch unter Umstanden durch die elektrischen Wirbel­felder beeinfluJ3t. Aus der MAxwELL-Gleichung (12.4) ist zu erkennen, daB sie im Gebiet groJ3erer Wellenlange (eine Abschatzung liefert .It> Ao rv 10-5 cm) eine Rolle spielen konnen. Ahnlich wie im vorangegangenen Problem, wo bei Auf­treten von Raumladungen das elektrische Feld die Entstehung von Schwingun-

1) Diese Uberlegung hat natiirlich nicht zur Folge, daB sich im Metall keine Wellen mit einer Frequenz w ~ ft ausbreiten k6nnen. Solche Wellen werden tatsiichlich beobachtet. Da in vielen Metallen die Niiherung fiir freie Elektronen benutzt werden kann (vgl. Kapitel 14), so ist fiir sie die oben durchgefiihrte Rechnung anwendbar_ Solche Wellen mit einer Frequenz, die wenig von der Wellenliinge abhiingt, und die (mit einer Genauig­keit bis zu Gliedern der Ordnung (Vk/W)2) durch die Formel (13.21) beschrieben werden, bezeichnet man als Plasmonen. FUr freie Elektronen ist v(ft) = pom/n2 Ji3 und folglich

die Plasmonenfrequenz Wo = Y4nn.e2/m, wobei n. die Valenzelek~ronendichte ist. Anmerkung des Herausgebers: Die Plasmonen haben kaum Ahnlichkeit mit Schall­wellen. Zur Begriindung der Bezeichnung "nullter Schall" sei darauf hingewiesen, daB dieser Begriff aus der Theorie der neutralen FFrRMI-Fliissigkeit stammt. Dort hat die entsprechende Dichtewelle eine lineare Dispersion w ~ k, iihnlich wie eine gew6hnliche Schall welle, und ist in fliissigem Hes experimentell nachgewiesen worden.

13.6. Spinwellen 241

gen verhindert, unterdriickt es hier die erste Harmonische (d. h. "P ~ e'9'), die die Schwingungen des elektrischen Stroms ergibt. Zu erwarten, wenn auch nur mit einer wesentlich geringeren Wahrscheinlichkeit, waren also nur die nachsthoheren Harmonischen.

Mit groBerer Wahrscheinlichkeit sind diese Schwingungen im Gebiet kiirzerer Wellenliingen zu finden, wo sich die elektrischen Felder nicht auswirken. Aus der kinetischen Gleichung (13.19) folgt, daB das Dispersionsgesetz der Schwin­gungen co(k), so fern sie existieren, linear sein muB: co = uk, wobei u rv V ist. Damit erhiilt man fUr die Frequenz co> COo rv vk rv 1018 S-l, also das Infrarot­gebiet. Es muB aber noch einmal darauf verwiesen werden, daB die Forderung Xl > 6 auBerst scharf ist, da die Wechselwirkung der Quasiteilchen in Metallen in Wirklichkeit nicht groB ist (vgl. Abschn. 14.3.). Das kann die Ursache dafUr sein, daB derartige Wellen bisher noch nicht beobachtet wurden.

13.6. Spinwellen

Bessere Aussichten, beobachtbare Resultate zu erhalten, bestehen, wenn nur die yom Elektronenspin abhangenden GroBen der Elektronenfliissigkeit schwin­gen, das heiBt {)n = n 2(1. Diese Schwingungen werden als Spinwellen bezeichnet. Die Ergebnisse hangen davon ab, ob ein Magnetfeld anliegt oder nicht.

Ais erstes solI der magnetfeldfreie Fall untersucht werden. Es ist offensichtlich, daB bei Spinwellen keine merklichen elektrischen Felder auftreten konnen, wodurch aus der Gleichung (13.19) der Term, in dem die elektrische FeldstarkeE auf tritt, herausfallt. Von der Funktion f liefert nur der Term, der von C abhangt, einen Beitrag (vgl. Formel (13.11»). Setzt man der Einfachheit halber C = const = Co voraus, kommt man zu

i(- co + kv) "P + ikvZo"Po = 0 ,

wobei Zo = Cov(",,). Diese Gleichung lost man nach 1Jf auf:

"P = (kv) Zo'Po/(co - kv) .

Bestimmt man hieraus "Po, so erhalt man eine Gleichung zur Bestimmung von co(k): 1

1 = Z ~ J~oSed(COSe)~, 02 8 - cos e (13.23)

-1

wobei 8 = co/kv. Diese Gleichung besitzt nur dann reelle Wurzeln, wenn der Nenner des unter dem Integral stehenden Bruches an keiner Stelle Null wird (im entgegengesetzten Fall ist der Integrationsweg am Pol durch HinzufUgen eines kleinen Imaginarteils zur Frequenz co --+ co + i/7: bestimmt). Foiglich ist s > 1. Nach der Integration ergibt sich

(8 8+ 1 )

1 = Zo "2 In 8 _ 1 - 1 . (13.24)

16 Abrikos8ow

242 13. FERMI-Flii8sigkeits-Effekte

Diese Gleichung besitzt nur fUr Zo > 0 eine Losung. Aus Abschnitt 13.3. folgt damit, daB diese Wellen in "fast ferromagnetischen" Metallen nicht auftreten konnen.

Somit konnen sich fUr Zo > 0 im Metall bei Abwesenheit eines Magnetfeldes Spindichtewellen mit einem linearen Dispersionsgesetz w = uk ausbreiten. u liegt in der GroBenordnung von v (Geschwindigkeit an der FERMI-Grenze), ist aber unbedingt groBer. Hat die Funktion Z eine kompliziertere Gestalt (vgl. (13.22)), so sind nattirlich im Prinzip Spinwellen mit anderen Schwingungsformen der Verteilungsfunktion moglich. Ftir ihre Beobachtung trifft aber auch zu, was tiber die Schwierigkeiten beimNachweis der komplizierteren Formen des nullten SchaUs gesagt wurde.

Beziiglich der Anregung von Spin wellen ware zu bemerken, daB sie durch die Wirkung des magnetischen Feldes der einfallenden Welle auf den Elektronen­spin angeregt werden. Die entsprechende Kraft ist gleich ((3a'VH) '" (3H/b. Aus den MAxwELL-Gleichungen folgt aber H '" eE/bw. Vergleicht man die vom Magnetfeld ausgetibte Kraft mit der des elektrischen Feldes der Welle, erhalt man ein Verhaltnis der GroBenordnung e(3/b2we '" n /mb2w. Flir w '" 1010 S-l

und b '" 10-4 cm ergibt sich etwa flir dieses Verhaltnis die GroBenordnung 10-2 • Man muB jedoch berticksichtigen, daB sich jede Welle auf einer Lange von der GroBenordnung ihrer Wellenlange A ausbildet. In dem betrachteten Fall ist fUr w '" 1010 S-l die Wellen lange A", u/w '" 108/1010 ", 10-2 cm. Bei V orliegen des anomalen Skineffekts nimmt die elektrische Feldstarke wie E '" Eo(b/x)2 ab (das folgt aus Formel (7.33)), so daB flir A '" 10-2 cm die elek­trische Feldstarke E '" 10-4 Eo ist. Aus dem Gesagten wird ersichtlich, daB unter diesen Bedingungen die Wellen kaum beobachtbar sind.

1m Infrarotgebiet gilt flir die Dielektrizitatskonstante 6 ~ -4nne2 /mw2 •

Das Hochfrequenzfeld wird im Metall wie exp [- (w/e 161 1/2 x] gedampft. Die Eindringtiefe liegt damit in der GroBenordnung (n/po) (e/v) '" 10-6 cm und hangt nicht von w abo Flir eine Frequenz w '" 1014 8-1 ist A '" b. Das Verhaltnis von magnetischer zu elektrischer Kraftwirkung bleibt jedoch nach wie vor 10-2 •

Obwohl das Infrarotgebiet aussichtsreicher fUr den Nachweis des Effekts er­scheint, ist jedoch der EinfluB der Spinwellen auf die Oberflachenimpedanz klein. Moglicherweise gelang es deshalb noch nicht, diesen Effekt zu finden.

Der einzige beobachtete Schwingungstyp, der mit der Funktion f ursachlich zusammenhiingt, sind die Spinwellen im auBeren Magnetfeld (SILIN 1958 [68]).

Bei Anliegen eines Magnetfeldes hangt die Energie der Quasiteilchen vom Spin abo Das spiegelt sich natiirlich in der Gleichgewichtsverteilungsfunktion wider. Man benutzt nun die Gleichung fUr die Dichtematrix, die entsprechend der Quantenmechanik die Form

on i A A

at=~[Je,n] (13.25)

hat, wobei ie der HAMILToN-Operator ist. 1m vorliegenden Fall behandelt man die Operatoren fUr die Impulse und Koordinaten des Quasiteilchens als klas-

13.6. Spinwellen 243

sische Variable. Wurden n und:Je nicht vom Spin abhangen, so ware die rechte Seite von (13.25) nur der bekannte POISsoNsche Klammerausdruck

on 08 on 08 0'1' op - op 0'1"

der mit den entsprechenden Gliedern der gewohnlichen kinetischen Gleichung ubereinstimmt.

Durch die Abhangigkeit vom Spin andert sich das Bild. Man muB nun expli­zit bestimmen, was die rechte Seite von Gleichung (13.25) infolge der Nichtver­tauschbarkeit der Spinoperatoren liefert, und erhalt zunachst

on i A A on. on at - It [8 , n] + V 0'1' + P op = 0 . (13.26)

Fur die Ableitung des Impulses nach der Zeit gilt infolge des anliegenden Magnet­feldes

P =~[~H]- 08 . C op 0'1'

(13.27)

1m Gleichgewichtszustand fUr nicht zu starke Magnetfelder ist nach Ab­schnitt 13.8.

e(p, a) = 8(p) - P1aH,

A ono no(p, a) = no(p) - ;;;P1aH •

(13.28)

Man setzt in Gleichung (13.26) ii = no - (ono/08) 1pO ein und beschrankt sich auf die in 'I' linearen Glieder. Es ist jedoch zu beriicksichtigen, daB die Energie 8

ebenfalls einen Korrekturterm der Gro.6e

S JI( , ,)ono ( ') , d3p' - Pa' p, a; p ,a ;;; 'I' p a (2nli)3

J dil' = - a Z(p, p') 'I'(p') 4n

erhalt. Die sich ergebende Gleichung multipliziert man mit a und bildet Sp". Das Resultat ist eine Gleichung fUr '1':

-iw'l' - 2:1 [ H ( 'I'(p) + J Z(p, p') 'I'(p') ~~)]

+ (v o~) ( 'I'(p) + J Z(p, p') 'I'(p') d!') + : ([VH] o~)( 'I'(p) + J Z(p, p') 'I'(p') d!') = O. (13.29)

17 Abrlkossow

244 13. FFiRMI-Flu88igkeit8-Effekte

In diese Gleichung geht tiberall, mit Ausnahme des ersten Terms, nur die Kombi­nation

f dO' ~(p) = 'I'(p) + Z(p, p') 'I'(p') 4n (13.30)

ein (p und p' liegen auf der FERMI-Flache). ___ 1m isotropen Modell kann Z nach LEGENDRESchen Polynomen (8 = (p, p'»)

entwickelt werden:

(13.31) n

Die Funktion 'I' ist im allgemeinen Fall in der Form

'I'(p) = ~ 'I'n, 'I'n = ~ 'I'nm Y !'(8v cp) n m

darstellbar, wobei 'I'nm winkelunabhangige Koeffizienten, 8 1 und cp die Polar­winkel des Vektors p und Y!' = F!'(cos 8 1) eim'P die Kugelfunktionen sind. GemaB einer bekannten Regel gilt

(13.32)

(n - Einheitsvektor parallel zu p). Das Integral zweier Kugelfunktionen tiber den Raumwinkel ist gleich

f ,dO amm,ann, (n - Iml)! Y=(~) y;.m (HI) 4:n: = ·2n + 1 (n + Iml)!' (13.33)

Unter Verwendung dieser Gleichungen kommt man zu

~n(P) = 'I'n(P) (1 + Zn/(2n + 1») . (13.34)

Diese Beziehung kann man umkehren:

f dD' 'I'(p) = L(p,p')~(p') 4:n: ' (13.35)

wobei 2n + 1

Ln = 1 + Zn/(2n+ 1) (13.36)

ist. Mit Hilfe dieses Ausdrucks kann Gleichung (13.29) vereinfacht werden:

f dO' 2{31 - iw L(p, p') ~(p') 4:n: - Ii: [H~]

+(Vo~)~+ :([VH]o:)~=O' (13.37)

1m weiteren sollen nur transversale Schwingungen betrachtet werden, das heiBt ~ 1. H. Das Koordinatensystem wird so gelegt, daB die z-Achse parallel

13.6. Spinwellen 245

zu H liegt. Aus den Gleichungen fiir (!z und (!II gewinnt man fiir (!+ = (!z + i(!11 und (! _ = (!z - i(!11

J d.Q' 2f11H (0 ) ieH 0 W L(p,p') (!±(p') 4n ± -li-(!± + i v or (!± + m*c ocl± = 0,

(13.38)

wo bei 8 und cp die Polarwinkel des Vektors p im Polarkoordinatensystem mit der Achse parallel zu z sind und m* = Po/v die effektive Masse ist.

Zunachst soIl eine nicht von den Koordinaten r abhangende Losung betrach­tet werden. Macht man den Ansatz (!± ~ Y:'(8v cp), so erhalt man aus Glei­chung (13.38)

wn,m = (:t: .00 + moO) (1 + 2:~ 1)' (13.39)

wobei 2f1*H

[}=-­Ii

gesetzt wurde. Fiir n = m = 0 ergibt sich

(f1* =~) (13.40) 2m*c

(13.41)

Das ist aber gerade die Prazessionsfrequenz des Spins eines freien Elektrons. Legt man also an ein Metall ein Magnetfeld an, treten demzufolge mehrere Resonanzfrequenzen auf, die mit der Prazessionsbewegung des Elektronenspins zusammenhangen. Diese Erscheinung heiBt paramagnetische Resonanz. Ge­wohnlich handelt es sich um Woo, da die Frequenzen mit m =1= 0 Zyklotronfre­quenzen sind und die Wellen mit n =1= 0 schwer angeregt werden konnen. Eine detaillierte Theorie der paramagnetischen Resonanz im massiven Metall beriick­sichtigt dann noch den Skineffekt [69,70]. Es solI hier nicht naher auf sie ein­gegangen, sondern nur auf zwei Aspekte hingewiesen werden.

1. Wie schon gezeigt wurde, hangt die Resonanzfrequenz woo nicht von FERMI­Fliissigkeits-Effekten abo Da unter den Bedingungen des anomalen Skineffekts die Elektronenbewegung auch nicht von diesen Effekten beeinfluBt wird, kann die paramagnetische Resonanz mit Hilfe des Gasmodells behandelt werden.

2. Unter Resonanzbedingungen wird die Energie aus der elektromagnetischen Welle effektiver auf die Elektronen iibertragen. Insbesondere driickt sich das darin aus, daB die Verteilungsfunktion starker vom Gleichgewichtszustand abweicht. Die Veranderung der Verteilungsfunktion wird entlang der freien Weglange des Elektrons aufrechterhalten. Fiir die paramagnetische Resonanz ist nicht der Impuls, sondern der Spin des Elektrons die bestimmende GroBe, weshalb nicht die normale freie Weglange entscheidend ist, sondern die Weg­liinge, auf der durch StoBe der Spin des Elektrons gedreht wird. Diese Weg­lange l. ist bedeutend groBer als die normale freie Weglange.

246 13. FERMI-FlUssigkeits-EfJekfe

Unter den Bedingungen des anomalen Skineffekts sind nur die Elektronen wesentlich, die die gesamte freie Wegliinge in der Skinschicht durchlaufen. Bis auf einige Sonderfiille (vgl. Kapitel8) weicht die Verteilungsfunktion am stiirk­sten innerhalb der Skintiefeb von der Gleichgewichtsverteilung ab. Hinzu kommt noch ein kleiner Zusatzterm, der innerhalb der freien Wegliinge lim Metallinnern abklingt. 1m Fall der paramagnetischen Resonanz bewegt sich das Elektron auf der Strecke l durch die Skinschicht, verliiBt sie danach und beginnt, in das Metall hineinzudiffundieren. N ach den allgemeinen Regeln iiber die Diffusion

gilt t rv x2/D, wobei xder Abstand, t die Zeit und D der Diffusionskoeffizient ist.

Der Gesamtweg ist vt = l.; aber da D '"" lv ist, folgt x rv Yll. » l. Damit ist zu

erwarten, daB in Schichten mit einer Dicke, die kleiner als Ylls ist, die Abwei­chungen der Verteilungsfunktion sich bis zur anderen Seite erstrecken und dort eine Strahlung verursachen. Mit anderen Wort en haben solche Schichten bei der paramagnetischen Resonanz eine erhohte Transparenz, was zur Beobachtung der Resonanz in der Praxis ausgenutzt wird.

Ais niichstes sollen jetzt Spinwellen untersucht werden. Wie leicht zu erkennen ist, ist in Wirklichkeit jede Frequenz (13.39) der Anfang einer Funktion wnm(k), das heiBt eines Zweiges des Spinwellen-Spektrums. Da bisher experimentell nur der Zweig e- fiir n = m = 0 gefunden wurde, wird dieser hier nur betrachtet. Der Einfachheit halber wird nur der Spezialfall Z = Zo + Zl cos 8 behandelt und e- rv eik .. gesucht. Aus Gleichung (13.38) erhiilt man dann

J dD' 0 w L(p, p') e-(p') 41£ - Doe- - kve_ + iD orp e- = O. (13.42)

Fiir den langwelligen Grenzfall, das heiBt

kv ~ Do,

solI die Gleichung (13.42) durch sukzessive Approximationen

e _ = e(O) + e(1) + e(2) + ... , w = Do(l + Zo) + W(1) + W(2) + ...

gelost werden. In erster Niiherung erhiilt man aus Gleichung (13.42)

W(1) (0) J' 1) ,dD' 1 + Zo e + Do(l + Zo) L(p, p ) e (p) 41£

oe(1) - D oe(1) - kve(O) + iD - = 0 .

orp (13.43)

Da die Winkel 8 1 und rp beziiglich eines Polarkoordinatensystems definierf. sind, dessen Achse parallel zu H liegt, ist

kv = kv(cos tX cos 8 1 + sin tX sin 8 1 cos rp) ,

............... wobeitX = kH. Hieraus folgt, daB e(1) zu YL y 11 und Yi proportionale Kompo-

13.6. Spinwellen 247

nenten besitzen muB, die mit e~), ef!i, ebI) bezeichnet werden. Aus Gleichung (13.43) erhiilt man fUr sie die Bestimmungsgleichungen

W(I) 1 + Zo ___ n(O) + Q n(l) - Q n(I) - kv cos tX cos (9 n(O) = 0 1 + Zo <: 0 1 + ZI/3 <:0 0<:0 1<:'

Qo(l + Zo) ) kv . ___ ---,-_n(I) _ (Q + Q) n(I - - sin tX sin (9 n(O) e"P = 0 1 + ZI/3 <:1 0 <:1 2 1<: ,

Qo(l + Zo) kv... . --==-------=-:='_n(I) - (Q - Q) n(I) - - SIn tX SIn (9 n(O) e -up = 0 . 1 + ZI/3 <:-1 0 <:-1 2 1<:

(13.44)

Integriert man die erste dieser Gleichungen liber die Winkel, erhiilt man W(I) = 0, daebI) (Xl y~ = cos (91 ist. DerZusatztermzu Qo(l + Zo) ist damit von der Ordnung k 2• Lost man das Gleichungssystem auf, so bekommt man

(1) ~ _ kv COS tX COS (91(1 + ZI/3) e(O) e «(91' rp) - Qo(Zo - ZI/3)

kv + 2 sin tX sin (91(1 + ZI/3) e(O)

X [_ Q(l + ZI/3)e: Qo(Zo - ZI/3)

+ Q(l + ZI/3) ~i~o(Zo - ZI/3)]·

In zweiter Niiherung erhalt man aus Gleichung (13.43)

W(2) J dQ' 1 + Zo e(O) + Qo(l + Zo) L(p, p') e(2)(p') 4n

o - Qoe(2) - kve(I) + iQ - e(2) = 0 . orp

(13.45)

Enthiilt e(2) Summanden, die nicht vom Winkel abhiingen, so klirzen sie sich im zweiten und dritten Term heraus. Hingegen bleiben die Terme, die zu Kugel­funktionen hoherer Ordnung proportional sind, bei der Integration mit L erhal­ten. Integriert man die letzte Gleichung liber die Winkel, erhiilt man deshalb

w(2)e(O) J dQ --- = kve(I) - • 1 + Zo 4:rz:

Setzt man den Wert von e(I) aus (13.45) ein, erhiilt man (PLATZMAN, WOLFF 1967 [71]):

2fJH { k2v2 ( ZI) ( ZI)

W = -1f,- 1 + 3 1 + 3 Zo - 3

X [Q5(;00~ ~I/3)2 + Q5(Zo _ ZI/3):i:' tXQ2 (1 + Zl/3)2 ]}. (13.46)

248 13. FERMI-FlUssigkeits-Effekte

Wie schon gesagt, sind diese Spinwellen experimentell nachgewiesen worden [72]. Untersucht wurde dabei der Durchgang von elektromagnetischen Zyklo­tronwellen durch diinne Natrium- und Kaliumschichten. Fiir w = 2fJH/li, das heiBt, wenn die Frequenz der einfallenden Welle mit der Prazessionsfrequenz der Spins iibereinstimmt, entsteht die paramagnetische Resonanz. Sie tritt als Maximum in der Transmission der Schicht in Erscheinung.

Die M6glichkeit der Ausbreitung einer Spinwelle auBert sich im Auftreten von Zusatzmaxima in der Transmission in Abhangigkeit von der Frequenz bzw. vom Magnetfeld. 1m Metall bildet sich dann eine stehende Spinwelle aus, das heiBt kD = nn; (D ist die Schichtdicke). Fiir kleine n sind die Wellenvektoren sehr klein, so daB die zugeh6rigen Frequenzen (oder Felder, sofern die Frequenz vorgegeben ist) sich nur wenig von der Frequenz der paramagnet is chen Reso­nanz unterscheiden. Damit liegen die zusatzlichen Extrema der Transmission in der Nahe des Maximums, das durch die paramagnetische Resonanz verursacht wird.

Wahrend jedoch (im kubischen Metall) die Lage der paramagnetischen Reso­nanz nicht von der Richtung des Magnetfeldes abhangt, andert sich die Lage des Zusatzmaximums in Abhangigkeit vom Winkel zwischen dem Magnetfeld und dem Wellenvektor k. (Bei den Versuchen liegt k senkrecht zur Oberflache der Schicht.) Aus Formel (13.46) folgt, daB fUr Q 11 + Zl/31 > Qo IZo - Zl/31 das Zusatzmaximum bei Drehung des Feldes sich von der einen Seite des Haupt­maximums auf die andere Seite verlagern muB, was auch experiment ell bestatigt werden konnte [72].

14. Methoden zur Berechnung der Elektronenspektren von Metallen

14.1. Methode der orthogonalisierten ebenen Wellen

In den vorangegangenen Kapiteln wurden die unterschiedlichsten experimentel­len Methoden angeftihrt, mit denen es moglich ist, detaillierte KenngroBen des Elektronenspektrums zu erhalten. Praktisch ist es moglich, die gesamte FERMI­Flache und die Geschwindigkeit auf jedem Punkt dieser Flache zu bestimmen. Interessant ware es nun, die KenngroBen des Energiespektrums ausgehend von der Wechselwirkung der Elektronen mit den Atomriimpfen zu berechnen.

Das ist auch von einem anderen Gesichtspunkt her interessante Die Messungen liefern immer nur Teile der Flache oder, genauer gesagt, Teile der Schnittkurven bestimmter ebener Schnitte durch die Flache oder nur den Flacheninhalt dieser Schnitte. Die Bestimmung der gesamten FERMI-Flache durch Zusammenftigen aller dieser experimentellen Daten gelingt nur in den einfachsten Fallen und stellt gewohnlich eine sehr schwierige Aufgabe dar. Hatte man aber eine Theorie, die wenigstens die allgemeine Form der FERMI-Flache liefert, so wiirde sich die Interpretation der experiment ellen Ergebnisse stark vereinfachen.

Wie schon in Kapitel 1 erwahnt, kann man zwei Grenzfalle betrachten: stark gebundene Elektronen und fast freie Elektronen. Genau genommen sind. die in beiden Methoden auftretenden Entwicklungsparameter tatsachlich nicht klein, so daB diese Methoden zu schlecht konvergenten oder sogar divergenten Reihen ftihren. Deshalb wurden bereits seit den 30er Jahren Versuche unternommen, eine hinreichend zuverlassige und schnell konvergente Prozedur zur Berechnung der elektronischen Spektren sowie moglichst auch der Bindungsenergien der Metalle und der kinetischen Koeffizienten zu finden. Gegenwartig gibt es ein groBes und faktisch ziemlich selbstandiges Gebiet der Metalltheorie, das sich mit diesen Fragen beschaftigt. Dieses Gebiet hangt eng mit Rechnungen auf Com put ern zusammen, und die mathematischen Gesichtspunkte iiberwiegen zweifellos die physikalischen. Infolgedessen wiirde eine Darstellung dieses Ge­bietes, das manchmal als "Pseudismus" bezeichnet wird, den Rahmen des vor­liegenden Kurses sprengen. Dem an diesem Fragenkreis interessierten Leser sei der Ubersichtsartikel von ZIMAN [7] empfohlen. Der V ollstandigkeit halber solI hier jedoch sehr kurz eine Reihe von Ideen dargelegt werden, die den numeri­schen Methoden zugrunde liegen. Am giinstigsten ist es, zuerst auf die soge­nannte Methode der orthogonalisierten ebenen Wellen (OPWl), HERRING 1940

1) Anmerkung des Herausgebers: OPW ist die Abkiirzung fiir orthogonalized plane waves.

250 14. Bereehn'Ung der Elektronenspektren von M etallen

[73]) einzugehen, obwohl sie nicht die allererste war. Diese Methode stellt eine gewisse Kombination der Naherungen starker und schwacher Bindung dar.

Ausgangspunkt ist die SCHRODINGER-Gleichung fur Elektronen in einem periodischen Kristallpotential

Je1p = e1p ,

wobei 1t2'i:j2

Je = - 2m + V(r)

ist. Die Losung dieser Aufgabe ist aquivalent zur Bestimmung des Minimums des Integrals

J 1p*Je1p dV - e J 1p*1p dV . (14.1)

Dazu wird eine Probefunktion 1pPr als Linearkombination bekannter Funk­tionen

(14.2)

angesetzt. Die Koeffizienten at werden so gewahlt, daB der Ausdruck (14.1) minimal wird. Setzt man (14.2) in (14.1) ein, und differenziert nach allen a" erhalt man ein lineares homogenes Gleichungssystem fiir die at. Die Losungs­bedingung besteht darin, daB die Determinante dieses Systems Null wird. Die Elemente dieser Determinante sind die Matrixelemente des Operators Je - e

bezuglich der Funktionen Xt. Man erhalt somit

Det [f XtJeXk dV - e J XtXk dV] = O. (14.3)

Gleichzeitig ist dies auch die Gleichung zur Bestimmung der gesuchten Ener­gien e.

Bei der OPW-Methode werden die Funktionen Xt folgendermaBen gebildet: Man setzt voraus, daB fiir die Elektronen der inneren Schalen die Approximation fiir starke Bindung richtig ist. Die Wellenfunktion eines Elektrons im freien Atom sei

(14.4)

wobei die Y;:'(@, cp) die Kugelfunktionen sind. Fiir die Wellenfunktionen im Metall benutzt man dann

1 . / 1pnlm; p(r) = yN ~ e~Po.1i Unlm(r - a.) . (14.5)

Die a. sind die Gitterpunkte und N ihre Gesamtzahl. Fur die Valenzelektronen benutzt man die Funktionen

1 i /11 XP = ,ITT e fW - L: Bnlm ;p1pnlm;p'

f V nlm (14.6)

Das ist eine ebene Welle, von der eine Linearkombination der Wellenfunktionen der Rumpfelektronen abgezogen wurde.

14.2. P8eudopotentialmethode 251

Die Koeffizienten B"lm;p werden so bestimmt, daB die Funktion (14.6) ortho­gonal zu allen 1p"lm;p' (mit beliebigen p') ist. Man kann zeigen, daB das durch Abziehen einer Linearkombination mit demselben p wie auch in der ebenen Welle gewahrleistet wird. Formel (14.6) wurde ja auch schon so angegeben. Die Orthogonalitatsbedingung bestimmt die Koeffizienten Bnlm;p eindeutig.

Wird nun die Energie fiir einen bestimmten Quasiimpulswert p gesucht, geht man von den Funktionen X' in der Form X' = Xp+/lKj aus, wobei K, die Vektoren des reziproken Gitters sind. Jede der Funktionen Xp+/lKj hat die Form (14.6). Je mehr solcher Funktionen in die Rechnung mit einbezogen werden, urn so hoher ist auch die Genauigkeit des Ergebnisses.

Zur Berechnung der Determinante (14.3) wird aber auBer den Funktionen X, noch das periodische Kristallpotential V(1') benotigt, das in die SCHRODINGER­Gleichung mit eingeht. DafUr existieren unterschiedliche Ansatze. Beispiels­weise kann fUr ein solches Potential der Ausdruck

(14.7)

verwendet werden, wobei das "Atom"-Potential als Summe des Kempotentials, des COULOMB-Potentials der Elektronen und des sogenannten Austauschpoten­tials gebildet wird, das die Antisymmetrie der Gesamtwellenfunktion der Elek­tronen berucksichtigt:

V (1') = - - + e2 "" 1 i d V' Ze2 z f u~(1") U (1")

at 11'1 f=1 11' - 1"1

[3 Z ]1/8

- 3e2 - ~ u;(1') u,(1') , 8:n: i=1

(14.8)

wobei die ul die Wellenfunktionen der Elektronen im isolierten Atom sind. Die OPW-Methode ergibt fUr einfache Stoffe, in denen die d- und f-Zustande

hinreichend weit vom Valenzband entfemt sind, eine gute Vbereinstimmung mit dem Experiment. Fiir "Obergangsmetalle mit unvollstandigen d- oder f-Schalen sowie fUr Edelmetalle, wo die d-Zustande der Elektronen in der Nahe des Valenzbandes liegen und das Spektrum wesentlich beeinflussen, arbeitet die OPW-Methode jedoch wesentlich schlechter.

AuBerdem ist diese Methode infolge der Kompliziertheit der Rechnungen ungeeignet fUr eine schnelle Interpretation experimenteller Daten.

14.2. Pseudopotentialmethode

Ein wesentlicher Fortschritt sowohl beziiglich der Genauigkeit der fundamen­talen Rechnungen als auch im Sinne der Ausarbeitung einer halbphanomeno­logischen, aber "schnell arbeitenden" Prozedur war die Schaffung der Pseudo­potentialmethode (PmLLIPs, KLEINMAN 1959 [74]; BASSANI, CELLI 1959 [75]). Sie basiert auf folgender Idee: Die Wellenfunktion wird nicht in der Form (14.2), (14.6) angesetzt, sondern als Kombination ebener Wellen f{Ji, von denen

252 14. Berechnung der Elektronenspektren 'lion M etallen

wie in (14.6) zur Orthogonalisierung bezuglich der atomaren Funktionen eine entsprechende Linearkombination abgezogen wird:

1p, = CPt - ~ B~1p.. • (14.9) .. Der EiIifachheit halber wurde hier nur ein Index n anstelle von nlm benutzt. Die Funktionen 1p .. sind die Wellenfunktionen der Rumpfzustande. Sie wurden analog zu (14.5) gewahlt. Die Orthogonalisierungsbedingung liefert

B~ = J 1p!(") cp,(,.) dV •

Durch Einsetzen der Funktionen (14.9) in die SCHRODINGEB-Gleichung erhalt man

Jecp, - ~ B~(e .. - e) 1p .. = ecp1. • .. Hierbei wurde berucksichtigt, daJ3 Je1p .. = e .. 1p .. ist. Man kann jetzt folgenden

Integraloperator V 1. einfiihren:

ViCP' = - ~ B~(e .. - e) 1p .. .. (14.10) ..

Wegen e > e .. ist diese GroJ3e fur genugend kleine ,. positiv, so daJ3 in kleinen

Abstanden das Potential Vi einer AbstoJ3ung entspricht. Die SCHRODINGEB­Gleichung hat damit die Form

" (Je + V1.) CPt = ecp1. • (14.11) " Das Potential V1. ist dabei nicht eindeutig bestimmt, da gemaJ3 Formel (14.9)

zur Funktion CP1. eine beliebige Linearkombination der Funktionen 1p .. hinzu­addiert werden kann, was durch den entsprechenden Zusatz zum zweiten Glied in (14.9) kompensiert wird. Die Funktion 1p, andert sich zwar dadurch nicht, wohl aber das Potential Vt. Anstelle der Formel (14.10) kann man im allgemei­nen Fall

" V,cp; = ~ 1p .. (,.) f F .. (,.') CPi("') d V' (14.10') .. schreiben, wobei F .. (,.) vollkommen beliebige Funktionen sind. Man kann zeigen, daJ3 die Eneigieniveaus nicht von der Wahl der F .. (,.) abhangen. Deshalb ist ein Kriterium zur eindeutigen Wahl des Pseudopotentials erforderlich. Am naturlichsten erscheint die Forderung, daJ3 die Funktion CPt maximal glatt sein solI, das heiJ3t J (Vcpi)2 d V = min [85]. Offensichtlich fiihrt diese Forderung fiir

einfache Metalle dazu, daJ3 das Potential v: fast vollstandig das in Je eingehende Potential V im Gebiet der Ionenrumpfe kompensiert. 1m stark negativen Po­tential der Ionen oszillieren die Elektronenfunktionen in der Umgebung der Rumpfe schnell, was zum Auftreten einer groJ3en kinetischen Energie fuhrt, die gemaJ3 der Quantenmechanik gleich - li2 J IV1p12 d V 12m ist. Die Einfiihrung des Pseudopotentials bedeutet physikalisch, daJ3 ein groJ3er Teil dieser kinetischen

14.2. Pseudopotentialmethode 253

Energie in die potentielle Energie einbezogen wird, wodurch die starke Kom­pensation entsteht.

Eine hochst einfache Variante der Auswahl des Pseudopotentials, die das Kriterium der Glattheit der Wellenfunktion gut erfiillt, ist das sogenannte AusTINsche Pseudopotential, bei dem F,,(r) = - "P,,(r) V(r) in (14.10') gesetzt wird. Dieses ergibt in der Gleichung fiir CPt das totale Potential

VtotCPi = J w(r, r') cpi(r') d V' ,

w.4(r, r') = V(r') {a(r - r') - 1: "P!(r') "P,,(r)} . (14.10")

" Ware das System der Funktionen "P" vollstandig, so ware wA = O. Tatsachlich entsprechen die "Pn aber nur den stark lokalisierten Zustanden. Deshalb laJ3t prak­tisch die Auswahl des Pseudopotentials in der Form (14.10") das Potential auJ3er­halb der Ionenriimpfe unverandert und beseitigt das groJ3e negative Potential innerhalb der Riimpfe, wodurch die Glattheit der Wellenfunktion bedingt ist.

Man gelangt somit zu dem SchluJ3 (der auch streng bewiesen werden kann), daJ3 die Losung des Gesamtproblems auf die Losung einer SCHRODINGER-Glei­chung

(14.12)

zuriickgefiihrt werden kann, wobei Vein gewisses glattes Potential ist, das sogar in der Nahe der Ionenriimpfe nicht sehr groJ3 wird. Obwohl die so bestimmten Wellenfunktionen in der Nahe der Riimpfe nicht richtig sind, ergeben sich die Energieniveaus mit hinreichender Genauigkeit.

Nach Formel (14.10) ist das effektive Potential ein nichtlokaler Integral­operator des Typs

V"P = f K(r - r') "P(r') dV' •

Es zeigte sich jedoch, daJ3 man sehr genaue Resultate fUr 8(p) erhalt, wenn man an seiner Stelle einen lokalen Operator, das heiJ3t irgendeine periodische Funk­tion V(r) bzw. speziell den Ansatz

V(r) = 1: U(r - a.) (14.13)

benutzt. Die Summation geht dabei iiber die Atomlagen, und die Funktion U(r) wird als isotrop angesehen (BRUST 1964 [76]). Die Funktion U(r) wird durch Vergleich mit experiment ellen bzw. mit aus OPW-Rechnungen erhal­tenen Ergebnissen bestimmt. Bei der Anwendung dieses Verfahrens ergab sich, daJ3 die Funktionen U(r) fiir die verschiedenen Metalle recht einheitlich sind, und die Unterschiede in den Energiespektren in erster Linie durch die Unter­schiede in der Valenzelektronenzahl und in den Kristallgittern verursacht werden.

Praktisch laJ3t sich die Funktion U(r) bereits durch ein paar Zahlenwerte bestimmen. Das hangt damit zusammen, daJ3 man die glatten Funktionen cpp(r) nach ebenen Wellen entwickeln kann (vgl. BLocHsches Theorem (1.15»):

cpp(r) = 1: Cp+1lK ei (p+1lK) 'I'/I! •

K

254 14. Bef'echn'Ung def' Elektf'onenspektf'en von Metallen

Mit Gleichung (14.12) erhalt man eine Gleichung fUr die cp :

[" - e(p)] cp + f Vp,PHlKCpHiK = O. (14.14)

Nach Formel (14.13) sind die Matrixelemente V pp' gleich

Vp,PHlK = U(K) (! ~ eiK ... ) = U(K) S(K) . (14.15)

U(K) ist das Matrixelement der Funktion U(f') und S(K) der sogenannte Struk­turfaktor, der nur von der Gittergeometrie abhangt. Praktisch beschrankt man sich jedoch auf einige kleinste Werte von K, so daB gemaB Formel (14.15) anstelle der gesamten Funktion U(f') nur einige Zahlen U(K) geeignet zu wahlen sind.

Fiir ein vorliegendes Material ist das vollig ausreichend. Geht man aber von der Annahme aus, daB die Funktion U(f') fiir alle Metalle etwa gleich ist, ware es wiinschenswert, die gesamte Funktion U(f') oder genauer ihre FOURIER­Transformierte U(k) zu kennen, aus der fiir jedes konkrete Gitter die Werte von U(K) zu ermitteln waren. Die Punkte, die urspriinglich fiir Germanium gefunden wurden [76], lassen sich gut durch die Funktion [77]

U(k) = AI(kll - All) [exp Aa(k2 - A,) + 1]-1 (14.16)

interpolieren. Driickt man k und Ai in atomaren Einheiten aus (m = Ii. = e = 1, das heiBt Langen und 11k in Einheiten ao = 0,529 A und die Energie in Ein­heiten me'lli.ll = 27,2 eV), so ergibt sich

Al = 0,0655, All = 2,78, Aa = 2,38, A, = 3,70.

Die GroBe AI, die den PotentialmaBstab festlegt, ist faktisch immer klein, da die FERMI-Energie in atomaren Einheiten gewohnlich von der GroBenord­nung Eins ist. Hinzu kommt noch, daB Metallgitter gewohnlich immer hoch symmetrisch sind, so daB viele K-Vektoren die gleiche absolute Lange besitzen. Damit bilden die ersten kleinen Werte von IKI schon eine geniigend breite Basis zur Bestimmung des Energiespektrums.

Mit Hilfe dieses Verfahrens konnten die Energiespektren einer Reihe von Metallen, darunter auch von den Halbmetallen Antimon und Arsen, berechnet werden. Da in den letzteren die effektive Elektronendichte (rv 10-2 pro Arsen­atom bzw. rv lO-a pro Antimonatom) sehr klein ist, wird die Berechnung der FERMI-Flache sehr genau und stimmt gut mit den experiment ellen Werten iiberein.

Ein Beispiel, wo dieses Verfahren leider nicht anwendbar ist, ist Wismut, in dem die Zahl der Leitungselektronen groBenordnungsmaBig 10-5 pro Atom betragt. Die Berechnung der FERMI-Flache mit Hilfe der Pseudopotential­methode liefert hier Werte, die sich von den experiment ellen um den Faktor 2-3 unterscheiden. Man kann also schluBfolgern, daB die Genauigkeit dieser Methode nur einige Prozent erreichen kann.

14.2. P8eudopotentialmethode 255

Nichtsdestoweniger kann die Benutzung des vereinfachten Pseudopotentials (14.13) nicht als vollkommen befriedigend angesehen werden. Vor allem gibt es nicht den nichtlokalen Charakter des wahren Pseudopotentials wieder. Ferner miissen die FOURIER-Komponenten U(K) entweder mit der OPW-Methode be­rechnet werden, was mit umfangreichen Rechnungen verbunden ist, oder aus dem Vergleich mit dem Experiment bestimmt werden, was den Wert dieser Prozedur als mikroskopische Theorie stark verringert.

Deshalb sind verschiedene Methoden zur Konstruktion eines "Modell-Pseudo­potentials" ohne diese Mangel vorgeschlagen worden. Zunachst sei folgendes bemerkt: Nimmt man ein Pseudopotential der Form (14.10) oder (14.10") und verwendet als Funktionen 1jJn die Eigenfunktionen eines zentralsymme­trischen Potentials yom Typ (14.8), so zerfallt die Gleichung fiir Pi in ein System von Gleichungen fiir die einzelnen spharischen Harmonischen. Dabei entspricht, grob gesprochen, den verschiedenen Harmonischen ein verschiedenes effektives Potential. Darin auBert sich die Nichtlokalitat des Pseudopotentials.

Auf dieser Basis haben HEINE und ABARENKOV [87] eine Methode zur Kon­struktion eines Modell-Pseudopotentials vorgeschlagen, die spater von SHAW [88] verbessert worden ist. Die resultierende Formel fiir das Gesamtpotential hat die Form

1. V tot = Va(r) - ~ 8(R, - r) [A,(E) + Va(r)] P, . (14.10"')

1=0

Hierbei ist die Funktion 8(x) = g: : ~ ~}, P, der Projektionsoperator auf

den Zustand mit vorgegebenem Bahndrehimpuls l, Va(r) das atomare Potential, das, wie sogleich gezeigt wird, in der Form

Ze2

Va(r) = -­r

geschrieben werden kann, wobei Z die Ionenladung ist und A,(E) Konstanten sind, die nur von lund E abhangen (die letzte Abhangigkeit wird als schwach angenommen).

Der Sinn des Ausdrucks (14.10"') besteht in folgendem: Fiir die Zustande mit kleinem Drehimpuls ist das Pseudopotential im Bereich des Ionenrumpfes konstant gleich A,(E) und auBerhalb dieses Bereichs gleich Va(r). Der Radius dieses Gebietes R, bestimmt sich aus der Bedingung, daB sich das Potential stetig andern soli, zu

A,(E) = - Va(R,) •

Was die Zustande mit hinreichend groBem Drehimpuls betrifft, so ist fiir sie das Auftreten eines groBen Zentrifugalpotentials

l(l + 1) r2

in der SCHRODINGER-Gleichung wesentlich, das eine Annaherung eines Elektrons

256 14. Berechnung der Elektronenspektren von Metallen

mit groBem l an den Ionenrumpf verhindert. Infolgedessen sptirt ein Elektron, sofern l groBer als ein gewisser Wert, etwa lo ist, praktisch immer nur.das Ionen­potential in groBen Abstanden, das heiBt Va(r). Deshalb kann man diesen Anteil des Potentials in der Form Va(r) belassen, was auch in der Formel (14.10"') zum Ausdruck kommt (die Summe tiber llauft bis lo).

Somit ist im HEINE-ABARENKOV-SHAwschen Pseudopotential nur das wahre Potential in einiger Entfernung vom Zentrum wesentlich (ftir kleine l wird es im Zentrum durch - A/(E) ersetzt), so daB die einfache COULoMB-Form ftir V A(r) gerechtfertigt ist.

Die Konstanten A,(E) und die entsprechenden R, konnen folgendermaBen bestimmt werden. Nimmt man an, daB das Potential des nackten Ions durch die Formel (14.10"') beschrieben wird, und betrachtet die Elektronenzustande in diesem Potential, so erhalt man fUr r < R, die Wellenfunktion im konstanten Potential - Al und fUr r > R, die COULoMB-Funktion. Aus den Stetigkeits­bedingungen und der oben angegebenen Bedingung A(Ed = - Va(RI ) erhalt man die Energieniveaus als Funktionen der RI und wahlt dann die R, so, daB das beobachtete Elektronenspektrum im Feld des Ions am besten reproduziert wird.

Es gibt noch verschiedene andere Methoden zur Bestimmung eines "Modell­Pseudopotentials", aber die dargelegte Methode ist offensichtlich am meisten begrtindet, physikalisch verstandlich und praktisch bequem.

Nichtsdestoweniger existieren FaIle, in denen die Methode des Modell-Pseudo­potentials versagt. Dies sind die Metalle, in denen die d- und I-Bander entweder innerhalb des Valenzbandes oder in der Nahe der Valenzbandkante liegen. Die Schwierigkeit dieser FaIle besteht im folgenden: Die Benutzung der aus dem Elektronenspektrum im Ionenfeld bestimmten Werte von Al und RI fUr das Metall setzt die Moglichkeit der Extrapolation von A,(E) zu anderen Energie­wert en hin voraus, das heiBt, Az(E) wird faktisch als energieunabhangig in gewissen Energieintervallen angenommen.

In dem Fall, daB die d- oder I-Bander nahe am Valenzband liegen, sieht es folgendermaBen aus: Auf ein d- oder I-Elektron im Atom wirkt ein Potential, das aus der COULoMB-Anziehung des Ions und der zentrifugalen AbstoBung l(l + l)jr2 besteht. Daraus ergibt sich eine Potentialsenke, die die Form einer Kugelschicht urn den Kern hat und in der solch ein Elektron lokalisiert wird. 1m Metall ist infolge der trberlappung der Valenzhtillen das Potential in groBer Entfernung vom Ion nicht Null, sondern negativ. Dennoch kann in dies em Fall die Senke nicht vollig verschwinden, sondern bleibt teilweise erhalten und wird durch eine Potentialbarriere vom AuBengebiet getrennt. In dieser Situation wird ein diskreter Zustand mit groBem Drehmoment nicht vollig zerstort, son­dern geht in einen sogenannten "virtuellen" oder "Resonanz"-Zustand tiber.

Obwohl diese Situation ebenfalls durch ein Modellpotential vom oben be­trachteten Typ beschrieben werden kann, beginnen nun aber die entsprechenden Az(E) in der Nahe einer solchen Resonanz stark von der Energie abzuhangen, so daB die ganze Methode wertlos werden kann. Deshalb wendet man zur Be-

14.3. Modell jreier Elektronen 257

rechnung der Energiespektren der "Vbergangsmetalle und seltenen Erden sowie auch der Edelmetalle, deren d-Band in der Nahe des Leitungsbandes liegt, erheblich kompliziertere Methoden an wie die APW ("Augmented plane waves")­Methode oder die von KORltINGA, KOHN und ROSTOKER vorgeschlagene Methode der GREENschen Funktionen. Eine Darlegung dieser Methoden wtirde weit tiber den Rahmen dieses Buches hinausgehen. Der Leser sei auf den hervorragenden "Vbersichtsartikel von ZIMAN [7] verwiesen.

Gleichzeitig muB man im Auge behalten, daB die Theorie der Energiespektren zwei vollig verschiedene Aufgaben hat. Die eine Aufgabe ist die moglichst genaue Berechnung der Spektren aus den elementaren Wechselwirkungen der Elektronen und Ionen. Davon war oben die Rede. Die andere Aufgabe ist die praktische Konstruktion der Spektren zur Erleichterung der Analyse und Systematisierung des experimentellen Materials. Diese Aufgabe ist flir einfache Metalle leicht zu losen mit Hilfe des im nachsten Abschnitt beschriebenen Mo­dells freier Elektronen. In Metallen, in denen d- oder I-Bander wesentlich sind, kann man diese mit Hilfe der Formeln der Naherung starker Bindung zu be­schreiben versuchen und die Koeffizienten aus dem Vergleich mit experimen­tellen Daten ermitteln. Diese Prozedur erweist sich in vielen Fallen als sehr erfolgreich.

Jedoch muB daran erinnert werden, daB das keinen Beweis flir die Richtigkeit einer derartigen Naherung darstellt. Tatsachlich tiberlappen sich die Orbitale ziemlich stark, und auBerdem erfolgt eine "Hybridisierung" mit 8- und p-Ban­dern. Der Erfolg der Formeln flir starke Bindung hangt damit zusammen, daB sie die Symmetrie des Kristallgitters sowie die daraus folgende Entartung der Energieterme e(p) in den Punkten p des reziproken Gitters mit erhohter Sym­metrie korrekt berticksichtigen.

14.3. Modell freier Elektronen

Die im vorigen Abschnitt dargestellten tJberlegungen sowie auch konkrete Be­rechnungen der Pseudopotentiale flir einfache Metalle oder ihre Bestimmung durch Vergleich mit experimentellen Daten zeigen, daB in diesen Metallen das Pseudopotential wesentlich kleiner als die FERMI-Energie ist. Infolgedessen kann man das Pseudopotential in erster Naherung gleich Null setzen und die Elektronen als frei ansehen. N ach dem Modell fast freier Elektronen (Abschn. 1.3.) treten Abweichungen nur in der Nahe der Grenzen der BRILLOuIN-Zone auf und flihren zu einer "Abrundung" entsprechender kleiner Teilstticke der FERMI­Flache. Die Genauigkeit dieses Verfahrens ist nicht groJ3, dafiir ist es aber auJ3er­ordentlich einfach zu handhaben und eignet sich damit besonders zur Bestim­mung der FERMI-Flache aus unvollstandigen experiment ellen Ergebnissen.

Ausgangspunkt flir diese Methode zur Konstruktion der FERMI-Flache (HARRISON 1960 [78]) ist das reziproke Gitter, in das um den Punkt K = 0 eine FERMI-Kugel mit dem Radius Po = /i(3n2ne)1/3 eingezeichnet wird, wobei ne die

258 14. Berechnung der Elektronenspektren von Metallen

Dichte der Valenzelektronen ist. Dieselben Kugeln werden auch um die anderen Punkte K des reziproken Gitters gezeichnet, wobei sie sich im allgemeinen durch­dringen. Als FERMI-FHiche im untersten Band wird die Berandung desjenigen Teils der BRILLoUIN-Zone definiert, der innerhalb der geringsten Anzahl von

Abb.83 Konstruktion der FERMI-"Flache" fur freie Elektronen im zweidimensionalen kubischen Gitter. Das schraffierte 1. Band sowie die schraffierten Gebiete der Bander 2, 3 und 4 sind mit Elektronen besetzt. Die FERMI-"Flache" im 2. Band enthalt Locher und im 3. Bowie 4. Band Elektronen

Kugeln liegt. Entsprechend gehi:iren zum zweiten Band diejenigen Teile der BRILLOUIN-ZOne, die einmal mehr besetzt sind, das heiJ3t einer Kugel mehr als im ersten Fall angehi:iren, und so weiter. Das ist ftir ein zweidimensionales Modell in Abbildung 83 dargestellt.

Dieses geometrische Verfahren entspricht, wie leicht einzusehen ist, dem Ent­stehen der Bander im FaIle freier Elektronen, das heiJ3t Aufspaltung der Energie­funktion in Abhangigkeit vom Impuls an den Ebenen des reziproken Gitters und Reduktion auf die BRILLoUIN-Zone durch periodische Fortsetzung. Die Dbereinstimmung der aus dem geometrischen Verfahren ermittelten FERMI­Flache mit den experiment ellen Wert en ist ftir die polyvalent en Metalle nicht schlecht. Als Beispiel fUr einen dreidimensionalen Fall sind in Abbildung 84 die FERMI-Flachen ftir kubischflachenzentrierte Metalle mit unterschiedlicher Valenzelektronenzahl dargestellt [78].

Wie schon gezeigt wurde, verschlechtert sich die Genauigkeit dieses Ver­fahrens in der Nahe von Grenzflachen der BRILLOUIN-ZOne, was insbesondere zu falschen Aussagen tiber kleinere Teilstticke der FERMI-Flache oder sogar tiber ihre Topologie ftihren kann. Dieser Mangel laJ3t sich jedoch beheben. Benutzt man die Approximation schwacher Bindung (Abschn. 1.3.), so erhalt man fUr die Energie in der Nahe einer Zonengrenze den Ausdruck

_ c(p) + c(p - nK) l/[c(p) - c(p - nK))2 2

c - 2 + V 2 + VK • (14.17)

Die Gri:iJ3e V K in dieser Formel laJ3t sich entweder aus Experimenten oder

14.3. Modell freier Elektronen 259

genaueren theoretischen Verfahren (OPW- oder Pseudopotentialmethode) be­stimmen. Auf diese Weise gelingt es, die Schwierigkeiten in der Nahe der Zonen­grenzen zu bewaltigen.

Hat man es mit Gebieten zu tun, die in der Nahe einer Schnittkante zweier Begrenzungsfliichen der BRILLOuIN-Zone liegen, ist in der Approximation schwacher Bindung eine Linearkombination nicht nur von zwei, sondern von drei ebenen Wellen zu benutzen:

Die Funktionen s(p) sind in diesem Fall die Eigenwerte einer Matrix dritter Ordnung und enthalten drei unbekannte Konstanten VOl> V02 und V12• In der Niihe der Ecken der BRILLOUIN-ZOne sind vier ebene Wellen anzusetzen, und die Losungsfunktionen enthalten sechs unbekannte Konstanten.

Das Modell freier Elektronen bietet die Moglichkeit, experimentelle Ergeb~ nisse auf einfache Weise zu interpretieren. Wurden ZUlli Beispiel die FERMI­Impulse in Abhiingigkeit VOlli Winkel entlang irgendwelcher Schnittkurven der

Abb.84

J.8and 2. Band J. Bond 4. Band

FERMI-Flachen der kubisch flachenzentrierten Metalle mit 1, 2, 3 und 4 Valenzelektronen pro Atom im Modell freier Elektronen (nach [78])

260 14. Bereehn'Ung der Elektronen8pektren 'VOn M etallen

FERMI-Flache durch Messungen bestimmt, so kann aus der Konstruktion mit Hilfe des Modells freier Elektronen leicht unterschieden werden, zu welchem Teilstiick der FERMI-Flache diese Kurven gehoren. Ferner ist es moglich, sofem man aus dem Modell die allgemeine Form eines Teils der Flache kennt und ent­sprechende MeBwerte zu bestimmten Stellen dieser Flache vorliegen, ein geeig­netes Interpolationsverfahren auszuwahlen.

Sieht man jedoch die Konstruktion mit Hilfe des Modells freier Elektronen als quantitative Methode an, so betragen, wie schon gesagt, die Fehler bei der Be­stimmung der FERMI-Flache groBenordnungsmamg 10% (in der Nahe der Zonen­grenzen jedoch nur nach Beriicksichtigung der vorstehend angegebenen Korrek­turen). Bei den effektiven Massen ist die "Obereinstimmung noch bedeutend schlechter. Beim Vergleich von Daten aus Zyklotronresonanzmessungen mit dem Modell freier Elektronen muB beriicksichtigt werden, daB die Zyklotron­periode entlang einer bestimmten Bahn nur einen Teil der Periode darstellt. die ein freies Elektron auf einer Schnittkurve der gesamten FERMI-Kugel hatte. Nur diese Periode ist aber mit der freien Masse durch die Beziehung

T = 2nmc/eH

verkniipft. Aus dem Modell freier Elektronen ist hieraus die Umlaufsperiode fiir die Bahnen um die tatsachlichen Teilstiicke der FERMI-Flache leicht zu be­stimmen.

Die so vorherbestimmten Werte unterscheiden sich jedoch von den experi­mentellen um 30-40%. Interessant ist, daB dieser Unterschied fiir ein vorge­gebenes Metall kaum von der Richtung abhangt. Man kann daher nach Ein­fiihren einer Korrektur fiir die freie Masse aIle Zyklotronmassen der verschie­denen Teilstiicke der FERMI-Flache mit einer guten Genauigkeit erhalten. Der Unterschied zwischen der Masse und der freien Elektronenmasse hangt offen­sichtlich mit der Elektron-Phonon-Wechselwirkung zusammen (siehe den SchluB des Abschnitts 14.4., Formel (14.21»).

14.4. Approximation eines stark komprimierten Stoffs

Wie in dem vorangegangenen Kapitel gezeigt wurde, beschreibt die Approxi­mation fiir freie Elektronen die FERMI-Flache der Metalle ziemlich gut. Obwohl dieses Resultat vollig durch die "Oberlegungen iiber das Ps~udopotential gerecht­fertigt wird, kann es dennoch unter einem anderen Blickwinkel betrachtet wer­den. Man kann von der Frage ausgehen, ob dieses Ergebnis nicht zeigt, daB die kinetische Energie der Valenzelektronen groBer als ihre potentielle ist. Aus dem spater Gesagten wird ersichtlich, daB diese Idee fiir viele polyvalent en Metalle bestatigt werden kann. Eine ahnliche Situation liegt aber auch in einem stark komprimierten Stoff vor. Denn in der Tat ist hier die mittlere potentielle Energie von der GrOBenordnung e2/;;:, wobei r der mittlere Atomabstand ist. Zum anderen ist die kinetische Energie grOBenordnungsmaBig p~/2m oder '/iz/mrl

14.4. Approximation einea atark komprimierten Stoffea 261

wegen der Unbestimmtheitsrelation Po""" lifi. Das Verhaltnis von potentieller zu kinetischer Energie wird damit

e'l"/i r li2/mi2 ,...., rB '

(14.18)

wobei rB = li2/me2 der sogenannte BOHRsche Radius ist. 1m FaIle hoher Dichte, das heiJ3t r -< rB' wird damit die potentielle Energie der Elektronen bedeutend kleiner als ihre kinetische.

Man kann annehmen, daB auch unter gewohnlichen Bedingungen die Valenz­elektronen eines Met~lls sich im "stark komprimierten" Zustand befinden, wodurch ihre potentielle Eilergie viel kleiner als ihre kinetische wird. Am ehesten ist das bei mehrwertigen Metallen zu erwarten, da die Gitterperioden sich bei den einzelnen Metallen gewohnlich nur wenig unterscheiden, so daB die Elek­tronendichte im mehrwertigen Metall hoher sein muB.l)

Der Vorteil eines solchen Herangehens, falls es gerechtfertigt ist, besteht darin, daB die Naherung fUr freie Elektronen nicht ilur die FERMI-Flache gut be­schreibt, sondern auBerdem alle Wechselwirkungen der Elektronen mit den Gitterionen und den anderenElektronen klein im Verhaltnis zu ihrer kinetischen Energie sind. Sie konnen dann mit Hilfe der Storungstheorie behandelt werden.

Die Betrachtung des Modells eines stark komprimierten Stoffes [79] zeigt, daB als Entwicklungsparameter e2/nliv auf tritt, wobei v = po/m ist (groBenord­nungsmaBig ist das naturlich dasselbe wie Ausdruck (14.18), da Po""" li/i ist. Hier wird aber ein genauer Wert benotigt). Fur reale Metalle kann der Impuls aus der Valenzelektronendichte bestimmt werden. Fur den Parameter e2/nnv ergeben sich dann folgende Werte:

Metall Sn Pb AI Cu Ag Au Na K

0,37 0,38 0,35 0,45 0,51 0,50 0,67 0,83

Wie sich zeigt, ist in der Tat der Parameter e2/nnv nicht groB, wobei er fUr mehr­wertige Metalle kleiner als fur einwertige ist.

1) Diese Vberlegung ist nicht vollig wortlich aufzufassen, da ohne iiuBere Kompression das Kristallgitter durch die inneren Kriifte ausbalancierl wird, das heiBt sich im Zustand einer minimalen Energie befindet. Da die Gesamtenergie die Summe von kinetischer Energie der Elektronen und der potentiellen Energie der CouwMB-Wechselwirkung ist, sind beide offensichtlich von derselben GroBenordnung. Hier ist nur die Rede davon, daB der Parameter e2jn'fw bei diesem Gleichgewicht nicht zu groB wird. Die Rechnung nach dem Modell eines stark komprimierten Stoffes [79] liefert folgende Energie pro Atom:

E - 3p~ _ e2po (1 44Z2 + ° 74Z4/3) - 10m h(3n2Z)I/3' , ,

wobei Z die Zahl der Elektronen pro Atom ist. Minimisiert man diesen Ausdruck und bestimmt den Parameter e2jnhv, so findet man folgende Werte: 0,2 fiir Z = 2; 0,16 fiir Z = 3. Dieses bestiitigt die Richtigkeit des vorliegenden Herangehens.

18 AbrlkosBow

262 14. Berechnung der Elektronenspektren von Metallen

Die Anderung der FERMI-Flache, die sich dadurch ergibt, daB der Entwick­lungsparameter einen endlichen Wert besitzt, laBt sich berechnen. Die Energie­korrektur infolge der Wechselwirkung der Elektronen mit den Ionen ist gleich

1 [p2 (p _ hK)2]-1 l'Je(p) = (4ne2n)2 J; 4 - - , (14.19)

KHK 2m 2m

wobei n die Elektronendichte ist. Die Korrekturglieder erster Ordnung in e2 flir die Elektronen und Ionen ktirzen sich wegen der elektrischen N eutralitats­bedingung heraus. Beztiglich der Korrektur zweiter Ordnung ftir die Elektronen­wechselwirkung untereinander ist zu sagen, daB sie isotrop ist und sich deshalb nicht auf die FERMI-Flache auswirkt. Letztere wird durch die Gleichung

(14.20)

beschrieben, wobei l'Je der tiber alle Winkel genommene Mittelwert von (14.19) ftir ipi = Po und n = pjipi ist.

Aus (14.19) und (14.20) folgt, daB das Korrekturglied zur FERMI-Flache von zweiter Ordnung beztiglich e2 jnhv ist. Damit erklart sich auch die in den Ver­suchen beobachtete Genauigkeit der Approximation freier Elektronen ftir mehr­wertige Metalle.

Abb.85 Schematische Darstellung der offenen FERlIl.I-Flachen der Edelmetalle (Abb. 9). Die Kugeln sind durch schraffierte Halse verbunden, die die Sechseck­flachen der BRILLOuIN-Zone schneiden

Bei den Edelmetallen ist der Entwicklungsparameter nicht so klein. Es ist deshalb auch nicht verwunderlich, daB hier eine offene Flache auf tritt, obwohl nach dem Modell freier Elektronen die FERMI-Flache die Grenzen der BRIL­LOUIN-Zone nicht schneiden sollte (Abb. 85, vgl. mit Abb. 9). Diese Diskrepanz kann man jedoch versuchen zu beseitigen, indem man in der Nahe der Zonen­grenze die Formel (14.17) mit V K ~ 4ne2njK2 anwendet. In diesem Fall schnei­det die FERMI-Flache tatsachlich die Zonengrenze. Durch Vergleich der Radien der "RaIse" mit den experimentellen Werten zeigt sich, daB trotz der groben Naherung die Dbereinstimmung nicht schlecht ist. 1m tibrigen sollte man dieser Dbereinstimmung nicht zu groBe Bedeutung beimessen, da, wie bereits im Ab-

14.4. Approximation eines stark komprimierten Stoffes 263

schnitt 14.2. erwahnt, in den Edelmetallen durch eine Beimischung von d-Zu­standen die Verhaltnisse wesentlich komplizierter sind.

Metall

r/pu (theor.) r/pu (exp.)

Cu

0,1 0,19

Ag

0,2 0,14

Au

0,2 0,18

Fiir die Alkalimetalle ist die Situation vom Standpunkt des betrachteten Verfahrens etwas verwunderlich, da ihr Spektrum dem eines freien Elektronen­gases sehr nahe kommt, ihr Parameter e2 jnnv aber ziemlich gro13 ist. Auf jeden Fall liegt hier jedoch auch kein Widerspruch vor, da fiir gro13e Werte dieses Parameters das Modell einfach nicht anwendbar ist und damit fiir irgendwelche Vorhersagen nicht benutzt werden kann. l )

Abschlie13end solI noch auf die Massen eingegangen werden. Fiir einen stark komprimierten Stoff wurde gezeigt [69], da13 infolge der Wechselwirkung der Elektronen mit den Phononen ihre effektive Masse die Form

m* e2

-;:;: = 1 + nnv £Xl (14.21)

haben mu13, wobei £Xl rv 1 naherungsweise isotrop ist. Die Masse andert sich folglich in erster Naherung mit dem Parameter e2 jnnv, wobei das Korrekturglied nur gering von der Richtung im Metall abhangt. Das gleiche Resultat zeigen auch die Experimente.

Die angefiihrten Ergebnisse bestatigen, da13 die Approximation der "stark komprimierten" Elektronen die Moglichkeit bietet, wenigstens qualitativ unter­schiedliche Fakten von einem einheitlichen Standpunkt aus zu erklaren. Ihr hauptsachlicher Wert besteht aber darin, da13 sie ein einfaches Modell ergibt, das moglicherweise nicht nur eine Vorstellung von den Elektronenspektren, sondem auch von den kinetischen Eigenschaften einfacher Vielelektronen­Metalle liefem kann.

1) Eine gute "Obereinstimmung mit den Werten fiir die Alkalimetalle kann auch mit Hille des betrachteten Modells erreicht werden, wenn man eine abgeschirmte COuLOlI1B-Wech­selwirkung einfiihrt, das heiBt 1jr durch e-"'/r oder in FOURIER-Komponenten 1jk2

on 4e2pum durch 1j(k2 + ,,2) ersetzt, wobei ,,2 = 4ne2 op. = ~ ist (vgl. Abschn. 4.1.).

IS·

Modell eines ferromagnetischen Metalls Anhang

Die realen ferromagnetischen Metalle besitzen komplizierte (aus mehreren Bandern be­stehende), stark anisotrope Energiespektren der Elektronen. Es lassen sich jedoch einige Eigenschaften solcher Metalle anhand einer isotropen FERMI-Fliissigkeit (vgl. Kapitel 8) demonstrieren, wenn dercn Funktionf einen geniigend groBen Austauschterm besitzt (ABRlliossow, DSJALOSCHINSKI 1958 [80]).

Ein ferromagnetischer Stoff ist dadurch charakterisiert, daB im Gleichgewichtszustand der Gesamtspin und das magnetische Moment nicht verschwinden oder anders gesagt, eine spontane Magnetisierung vorhanden ist. Durch den Einheitsvektor tn solI im folgenden die Richtung des spontanen magnetischen Moments angegeben werden. Die Energien derQuasi­teilchen hangen von der Orientierung des Spins beziiglich tn ab und k6nnen daher in der Form

c(p, a) = co(p) - b(p) atn (A.I)

geschrieben werden. Nach dieser Formel ist die Energie eines Elektrons, dessen Spin in Richtung von tn liegt,

Co - b, und folglich ist die Gleichgewichtsverteilungsfunktion gleich no(co - b) = n+. Ein Elektron mit entgegengesetzter Spinrichtung hat dann die Energie co + b, und damit folgt fiir die Gleichgewichtsverteilungsfunktion no(co + b) = n-. Die Eigenwerte n+ und n_ bei den entsprechenden Spinorientierungen besitzt aber gerade der Operator

no(p, a) = t (n+ + n-) + t (n+ - n-) atn (A.2)

den man folglich als Dichtematrix fiir den Gleichgewichtszustand ansehen muB. Fiir eine isotrope FERMI-Fliissigkeit hat die Funktionf die Form 1)

f = 'Y)(p, p') + (aa') C(P, p') . (A.3)

Zwischen b(p) in Formel (A.I) und der Funktion C in Formel (A.3) besteht ein bestimmter Zusammenhang. Zu seiner Bestimmung betrachtet man, wie sich die Energie eines Elek­trons bei einer Drehung des Vektors tn urn den Winkel (5) andert. Dabei gilt otn = [o@tn], und nach (A.I) erhalt man

Dc = - b[tna] o@. (A.4)

Andererseits andert sich aber auch bei einer Anderung von tn die Gleichgewichtsvertei­lungsfunktion no,

ono(p, a) = t (n+ - n-) [ma] o@ ,

und mit ihr auch die Energie

J d3p' J n+ - n- d3p' Dc = Spa' f ono (2nli)3 = f 2 [tna'] (2nli)3 o@. (A.5)

1) 1m Prinzip k6nnen Terme auftreten, die zu tn(a + a') bzw. (tna) (tna') proportional sind. Man kann jedoch zeigen, daB sie in den folgenden Berechnungen keine Rolle spielen. Sie wurden deshalb fortgelassen.

266 Anhang. Modell eines ferromagnetisehen Metalls

Setzt man (A.4) und (A.5) fiir beliebige ~@ gleich, erhiilt man

J n+ - n- d3p' -b[mo] = Spa' f 2 [mo'] (2n1i)8 •

Durch Einsetzen von (A.3) ergibt sich

J d3p' b(p) = - C(P, p') (n+ - n-) (2n1i)3 • (A.6)

Aus dem letzten Ausdruck (A.6) lii.Jlt sich die Bedingung fiir das Auftreten von Ferro­magnetismus ableiten. Fiir den FaIl, daB b unendlich klein ist, kann n+ - n- nach b ent­wickelt werden:

ano(eo) n+ - n- R:I - 2 --- b .

aeo

Setzt man das in Formel (A.6) ein, erhiilt man

J dB b(P) = - 2 C(p, p') b(P') (2n1i)3 v' • (A.7)

Integriert wird hierbei iiber die gesamte FERMI-Fliiche. In einer isotropen Fliissigkeit ist b nur eine Funktion vom Betrag des Impulses Ipl. Setzt man Ipl = Po, so hiingt die Funktion C

....-".

in Formel (A.7) nur vom Winkel fa = (p, p') abo Aus Formel (A.7) findet man dann

Zo = '11(,,) J W9) ': = - 1 .

Das ist der gleiche Wert, der aus der Bedingung erhalten wurde, daB die paramagnetische Suszeptibilitiit gegen unendlich geht (vgl. (13.16)). Fiir das Auftreten von Ferromagnetis­mus ist somit notwendig, daB

Zo< -1 (A.S) wird.

Bei Vorliegen des ferromagnetischen Zustands tritt ein neuer Typ von SpinweIlen auf. Zur Bestimmung ihres Spektrums kann man die kinetische Gleichung in der Form (13.25) anwenden, die ip. diesem FaIl das Aussehen

an ae an ae an i at + ap aT - aT ap + -,; [e, n] = 0 (A.9)

bekommt. Hierbei wurde [e, n] = en - n; gesetzt. Der LOsungsansatz fiir die Verteilungs­funktion kann in der Form n = no + ~n gemaclit werden, wobei no die Gleichgewichts­funktion (A.2) ist und ~n von den Koordinaten und der Zeit wie exp {i(kT - wt} abhiingt.

~n soIl in der Form zweier Summanden dargesteIlt werden, von denen der eine vom Spin abhiingen soIl, der andere jedoch nicht:

~n = 'II(p) + v(p) O. (A.I0)

Man setzt nun die Verteilungsfunktion no + ~n bei Beriicksichtigung der Energieiinderung, die bei einer Anderung der Verteilungsfunktion auf tritt, in Gleichung (A.9) ein. Beschriinkt man sich auf Glieder, die in ~n linear sind, so erhiilt man ein Gleichungssystem fiir 'II und V.

Das Gleichungssystem zerfiiIlt in zwei Teile. Der erste beschreibt Schwingungen der Elektronendichte und die damit verbundenen Schwingungen der Projektion des Spin auf die Richtung des Magnetfeldes 'liz = vm. Da aber Schwingungen der Elektronimdichte von Ladungsdichteschwankungen begleitet sind, sind die dabei auftretenden elektrischen Felder mit in Betracht zu ziehen. Das £iihrt sofort zu Frequenzen w der GroBenordnung "i1i analog zu Abschnitt 13.5. Diese Schwingungen sind infolgedessen auch nicht zu beobachten. Interes­sant ist nur daB zweite Gleichungssystem, das die Schwingungen der Transversalkomponen­ten des Gesamtspins beschreibt.

Ankang. Modell eines ferromagnetiscken Metalls 267

Angemerkt werden solI hierbei, daB in nicht ferromagnetischen Metallen, wo in die Ener­gie und in no keine von 'In abhiingenden Glieder eingehen, Schwingungen der GroBe v nicht mit Dichteschwankungen verkniipft sind. 1m Prinzip sind deshalb hier Spinwellen mit longi­tudinaler Polarisation und einem linearen Zusammenhang zwischen w und k moglich (vgl. Abschn. 13.6.).

An Stelle der Komponenten v'" und vII werdenim folgenden die GroBen v± = v'" ± iVII ein­gefiihrt. Aus dem Gleichungssystem fiir v'" und vII erhiilt man dann fiir v+

- WV+ + kvv+ + {k(v - u) !5(Eo - b - Il)

f d3p' + k(v + u) !5(Eo + b - Il)} C(p, p') v + (P') (2nli)3

2b 2 f d3p' - Itv+ - It (n+ - n_) C(P,p') v+(p') (2nli)3 • (A.Il)

Hier wurde v = iJEo/iJp, u = iJb/iJp gesetzt. Die Gleichung fiir v_ unterscheidet sich nur im Vorzeichen der letzten beiden Glieder.

Sie kann formal durch die Substitution w ->- -w, k ->- -k aus Gleichung (A.Il) bestimmt werden.

Die Gleichung (A.Il) kann durch sukzessive Approximationen gelost werden. Fiir k = 0 ergibt sich

2b 2 f d3p' w(O)v(O) + It v(O) + It (n+ - n_) C(p, p') v(O)(P') (2nli)3 = 0 . (A.12)

Diese Gleichung wird nun iiber d3p integriert. 1m Integral des letzten Terms wird eine Variablentransformation der Form p +t p' vorgenommen. Die Bedingung (A.6) fiihrt danach zu dem Ergebnis, daB die Integrale der letzten beiden Terme sich gegenseitig kiirzen. Als Ergebnis erhiilt man w(O) = 0, und v(O) ergibt sich mit Hilfe von (A.6) zu

v(O) = A(n+ - n-) ,

wobei A eine Konstante ist. Die Verteilungsfunktion iindert sich damit in dieser Niiherung proportional zu (n+ - n-) G", bzw. (n+ - n-) Gil' Vergleicht man das mit (A.2), so ist zu erkennen, daB in diesem Fall die Schwingungen zu einer Drehung des gesamten magnetischen Moments fiihren.

In der niichst hoheren Niiherung in k erhiilt man

2b 2 f d3p' Aw(l) (n+ - n-) + -v(l) + - (n+ - n-) C(p p') v(l)(p')_-Ii Ii ' (2nli)3

= A(kv) (n+ - n-) - Ab {k(v - u) !5(Eo - b - Il)

+ k(v + u) !5(EO + b - Ill} (A.13)

(auch hier wurde wieder die Beziehung (A.6) benutzt). Diese Gleichung kann iiber d3p integriert werden, wobei die Bedingung (A.6) und der

Umstand ausgenutzt wird, daB Eo und b gerade Funktionen beziiglichp und folglich u und v ungerade sein miissen. Das Ergebnis ist w(l) = 0, das heiBt, wist bestenfalls von zweiter Ordnung beziiglich k.

Wie aus Gleichung (A.13) zu erkennen ist, besteht die Anderung der Verteilungsfunktion aus drei Teilen. Der eine ist nur in dem Intervall von Null verschieden, wo die Differenz n+ - n- nicht Null wird. Die beiden anderen Glieder sind nur auf den entsprechenden FERMI-Fliichen nicht Null und zu !5(EO - b - Il) bzw. !5(EO + b - Il) proportional. Man be­zeichnet nun mit Vl die GroBe v(l)/A (diese GroBe hiingt dann nicht mehr von A ab) und stellt Vl in der Form

Ii vl = B(p) (n+ - n-) - "2 {k(v - u) !5(Eo - b - Il)

+ k(v + u) !5(EO + b - Il)} (A.14)

268 Anhang. Modell eines ferromagnetischen Metalls

dar. Setzt man das in Gleichung (A.I3) ein, ergibt sich eine Gleichung fur die Funktion B(P):

2b 2 I d3p ' h B(p) + h ~(p, p') B(p') (n+ - n-) (2:n1i)3

I dS' I = (kv) + ~(p, p') k(V' - u ' ) (2~")3 I(v' u')1 ,.n - .,(p')-b(p') =1'

I dB' I + ~(p, p') k(V' + u /) --, . (2:n1i)31(v' + u )1.,(p')+b(p')=1'

(A.I5)

1m allgemeinen Fall fUr eine beliebige Funktion ~ kann diese Gleichung bezuglich B(p) nicht gelost werden.

Zur Bestimmung der Abhangigkeit zwischen w und k wird die Gleichung fur p(2) aufge­schrieben und uber d3p integriert. Das liefert

w(2) = {I kVPl (:;~)3 + II [k(v - u) 15(80 - b - fl)

d3p d3PI } + k(v + u) 15(80 + b - fl)] ~(p, p') P1(p') (2:n1i)3

[I d3p ]-1 X (n+ - n-) (2:n1i)3 •

Nach Einsetzen des Ausdrucks (A.I3) und einer Umformung mit Hilfe der Gleichung (A.I5) fUr B ergibt sich

w(2) = {I kv (n+ - n-) B(p) ~ (2:n1t)3

I dS ' - bB(p) k(v - u) (2:n1t)31(V _ u)1 \.,-b=P

-I bB(p) k(v + u) (2:n1t)3 ~~ + u)II.,+b=J X [I (n+ - n-) (2~~3 rl. (A.I6)

Da nach Gleichung (A.I5) die Funktion B bezuglich k von erster Ordnung und bezuglich p ungerade ist, wird klar, daB w eine quadratische Funktion von kist.

Die Gleichungen (A.I5) und (A.I6) bestimmen w(k) vollstandig. 1m einfachsten FaIle mit ~ = const wird die Gleichung (A.I5) 16sbar. Unter Berucksichtigung, daB Beine ungerade Funktion des Quasiimpulses ist, n+ und n- dagegen gerade sind, werden aIle Integrale in Gleichung (A.I5) zu Null. Ais Resultat erhalt man B = Itkv/2b. Setzt man das in Gleichung (A.16) ein und beriicksichtigt, daB nach der Beziehung (A.6) fUr ~ = const die Funktion b(P) konstant ist und auBerdem u = ob/op = 0 gilt, erhalt man

{I d3p I dS I w = It(kV)2 (n+ - n-) (2:n1t)3 - Itb (kV)2 (2:n1i)3 v .,=p+b

I dS I } [ I d3p ]-1 - Itb (kV)2 (2:n1t)3 v ',=I'-b 2b (n+ - n-) (2:n1t)3 • (A.I7)

Eine Abschatzung fUr W 2 kann man mit Hilfe eines Modells durchfUhren, in dem 80 =p2/2m gesetzt wird. Dabei zeigt sich, daB w ~ Itk2v2b/fl2 ist. Es ist somit moglich, daB sich in einem ferromagnetischen Metall transversale Spinwellen mit einer Frequenz w proportional zu k2 ausbreiten konnen. Diesen Wellen entsprechen Quasiteilchen mit einer Energie Itw = Ak2• Sie werden auch manchmal als "Magnonen" bezeichnet.

Literaturverzeichnis 1 )

[1] R. E. PEIERLS, Quantum theory of solids, Clarendon Press, Oxford 1955. [2] JI. ;0:. JIaHAay (L. D. LANDAU),;lliST<I> 11,581 (1941); JI. ;0:. JIaHAay, E. M.

JIlIllmuu"I (L. D. LANDAU, E. M. LIFsomz), CTaTMCTMqeCKaH <pM3MKa, "HaYKa", 1964; deutsche Ubersetzung: Statistische Physik, Akademie-Verlag, Berlin 1966.

[3] JI. ;0:. JIaHAay (L. D. LANDAU), lliST<I> 30, 1058 (1956). [4] A. A. A6pMKOCOB, JI. II. rOpbKOB, II. E. ;O:3HJIOIIIMHCKMM, (A. A. ABRIKOSSOW,

L. P. GORKOW, I. E. DSJALOSOmNsKI, MeToAbI KBaHToBoM TeopMM nOJIH B CTa­TMCTMqeCKOM <pM3MKe, <I>M3MaTrM3, 1962.

[5] J. M. LUTTINGER, J. C. WARD, Phys. Rev. 118, 1417 (1960), 119, 1153 (1960). [6] P. H. ryplf\M (R. N. GURsm), lliST<I> 47,1415 (1964). [7] II. H. IIoMepaHqYK (I. J. POMERANTSOHUK), lliST<I> 35, 992 (1958). [8] B. B. 3epHoB, 10. B. IIIapBMH (W. B. SERNOW, J. W. SOHARWIN), lliST<I> 36,

1038 (1959). [9] J. KONDO, Prog. Theor. Phys. 32,37 (1964).

[10] H. E. AJIeKCeeBcKMM, 10. II. raM):(YKoB (N. E. ALEKSEJEWSKI, J. P. GAIDUKOW), lliST<I> 31, 947 (1956); 32, 1589 (1957).

[11] A. A. A6pMKOCOB (A. A. ABRIKOSSOW), Physics, 2, 21 (1965). [12] H. SUHL, Phys. Rev. 138, A515 (1965); Physics 2, 39 (1965). [13] II. M. JIM<PIIIMQ, M. H. A36eJIb, M. II. HaraHoB (I. M. LIFSOHIZ, M. J. ASBEL,

M. I. KAGANOW), lliST<I> 31, 63 (1956). [14] II. M. JIM<PIIIMQ, B. r. IIecqaHcKMM (I. M. LIFsomz, W. G. PESTSOHANSKI),

lliST<I> 35, 1251 (1958). [15] II. JI. HanMQa (P. L. KAPIZA,) Proc. Roy. Soc. A123,292 (1929). [16] H. E. AJIeKCeeBcKMM, 10. II. raMAYKoB (N. E. ALEKSEJEWSKI, J. P. GAIDUKOW),

lliST<I> 35,554 (1958). [17] E. JUSTI, Phys. ZS. 41, 563 (1940). [18] J. KONDO, Progr. Theor. Phys. 34,372 (1965). [19] M. H. A36eJIb, M. II. HaraHoB, II. M. JIM<PIIIMQ (M. J. ASBEL, M. I. KAGANOW,

I. M. LIFsomz), lliST<I> 32, 1188 (1957). [20] 10. A. BblqKOB, JI. S. rYPeBMq, r. M. He):(JIMH, (J. A. BYTSOHKOW, L. E. GURE-

WITSOH, G. M. NEDLIN), lliST<I> 37, 534 (1959). [21] H. LONDON, Proc. Roy. Soc. A176, 522 (1940). [22] G. E. H. REuTER, E. H. SONDHEIMER, Proc. Roy. Soc. A195, 336 (1948). [23] JI. A. <I>aJIbKOBCKMM (L. A. FALKowsKI), IIMcbMa lliST<I> 11,222 (1970). [24] M. H. A36eJIb, S. A. HaHep (M. J. ASBEL, E. A. KANER), lliST<I> 32, 896 (1956). [25] V. HEINE, Phys. Rev. 107, 431 (1957). [26] L. E. HARTMANN, J. M. LUTTINGER, Phys. Rev. 151,430 (1966). [27] S. A. HaHep (E. A. KANER), ;O:AH 119, 471 (1958). [28] M. C. XaMKMH (M. S. CHAIKIN), lliST<I> 41, 1773 (1961). [29] M. H. A36eJIb (M. J. ASBEL), lliST<I> 39, 400 (1960).

1) Dieses Verzeichnis enthiilt Arbeiten, in denen zuerst die im vorliegenden Buch erwiihnten Erscheinungen entdeckt (theoretisch vorhergesagt oder experimentell beobachtet) wur­den, sowie Artikel, aus denen theoretische oder experimentelle Kurven entnommen sind.

270 Literaturverzeichnis

[30] B. <1>. raHTMaxep (W. F. GANTMACHER), lli3T<1> 43, 345 (1962). [31] 3. A. HaHep (E. A. KANER), lli3T<1> 44, 1036 (1963). [32] E. SONDHEIMER, Phys. Rev. 80,401 (1950). [33] B. 31. rypeBHq (W. L. GUREWITSCH), lli3T<1> 35, 669 (1958). [34] B. <1>. raHTMaxep, 3. A. HaHep (W. F. GANTMACHER, E. A. KANER), lli3T<1> 45,

1430 (1963). [35] B. <1>. raHTMaxep, 10. B. IllapBHH (W. F. GANTMACHER, J. W. SCHARWIN), lli3T<1>

48, 1077 (1965). [36] O. B. HOHcTaHTHHoB, B. 11. IIepeJIb (0. W. KONSTANTINOW, W. 1. PEREL),

lli3T<1> 38, 161 (1960). [37] 3. A. HaHep, B. r. CKo6oB (E. A. KANER, W. G. SKOBOW), lli3T<1> 45,610 (1963). [38] M. C. XaHKHH, B. C. 3]];eJIbMaH (M. S. CHAIKIN, W. S. EDELMAN), lli3T<1> 49,

1695 (1965). [39] 31. ,r:J;. 31aH]];ay (L. D. LANDAU), Zs. f. Physik 64, 629 (1930). [40] L. ONSAGER, Phil. Mag. 43, 1006 (1952). [41] F. LONDON, Superfluids, 1950, Vol. 1, p. 152. [42] D. SHOENBERG, Proc. Roy. Soc. A170, 341 (1939). [43] W. J. DE HAAS, P. M. VAN ALPHEN, Proc. Amsterdam Acad. 33, 1106 (1930). [44] 11. M. 31mlllIIHn;, A. M. HOCeBHq (1. M. LIFSCHIZ, A. M. KOSEWITSCH), lli3T<1> 29,

730 (1955). [45] R •. B. BpaH]];T, B. A. BeHTn;eJIb (N. B. BRANDT, W. A. WENTZEL), lli3T<1> 35,

1081 (1958). [46] R. B. DINGLE, Proc. Roy. Soc. A211, 517 (1952). [47] R. PEIERLS, Zs. f. Physik 81, 186 (1933). [48] D. SHOENBERG, Phil. Trans. Roy. Soc. A255, 85 (1962). [49] A. B. PIPPARD, Proc. Roy. Soc. A272, 192 (1963). [50] J. H. CONDON, Phys. Rev. 145, 526 (1966). [51] J. H. CONDON, R. E. WALSTEDT, Phys. Rev. Lett. 21, 612 (1968). [52] M. H. Aa6eJIb (M. J. ASBEL), lli3T<1> 53, 1751 (1967). [53] 11. A. IIpHBopon;KHH (1. A. PRIWOROZKI), lli3T<1> 52, 1755 (1967). [54] M. H. COHEN, L. M. FALICOV, Phys. Rev. Lett. 7, 231 (1961). [55] E. 1. BLOUNT, Phys. Rev. 126, 1636 (1962). [56] M. H. Aa6eJIb (M. J. ASBEL), lli3T<1> 34, 969, 1158 (1958). [57] M. C. XaHKHH (M. S. CHAIKIN), lli3T<1> 39, 212 (1960). [58] T. W. NEE, R. E. PRANGE, Phys. Lett. 25A, 583 (1967) (s. auch M. C. XaHKHH

(M. S. CHAIKIN), Y<1>R 96, 409 (1968». [59] A. 11. AXHeaep, M. 11. HaraHoB, r. H. 31I06apcKHH (A. 1. AcmEsER, M. 1.

KAGANOW, G. J. LJUBARSKI), lli3T<1> 32, 837 (1957). [60] B. r. CKo6oB (W. G. SKOBOW), ,r:J;HccepTan;HH, I1H-T tPHa. np06JIeM, M., 1962. [61] H. BOMMEL, Phys. Rev. 100, 758 (1955). [62] A. B. PIPPARD, Phil. Mag. 2, 1147 (1957). [63] 3. A. HaHep, B. r. IIecqaHcKHH, 11. A. IIpHBopon;KHH (E. A. KANER, W. G.

PESTSCHANSKI, 1. A. PRIWOROZKI), lli3T<1> 40, 214 (1961). [64] B. 31. rypeBHq (W. L. GUREWITSCH), lli3T<1> 37, 71 (1959). [65] B. 31. rypeBHq, B. r. CKo6oB, 10. A. <1>HPCOB (W. L. GUREWITSCH, W. G. SKO-

BOW, J. A. FIRsow), lli3T<1> 40, 786 (1961). [66] Y. SHAPIRA, B. LAX, Phys. Rev. 138, A1191 (1965). [67] 31. ,r:J;. 31aH]];ay (L. D. LANDAU), lli3T<1> 32, 59 (1957). [68] B. II. CHJIHH (W. P. SILIN), lli3T<1> 35, 1243 (1958). [69] F. J. DYSON, Phys. Rev. 98, 349 (1955). [70] M. H. Aa6eJIb, B. 11. repacHMeHKo, 11. M.31HtPIIIHn; (M. J. As BEL, W. 1. GERAS­

SIMENKO, 1. M. LIFscmz), lli3T<1> 31, 357 (1956); 32, 1212 (1957). [71] P. M. PLATZMAN, P. A. WOLFF, Phys. Rev. Lett. 18,280 (1967). [72] S. SCHULTZ, G. DUNIFER, Phys. Rev. Lett. 18,283 (1967).

Literaturverzeichnis

[73] C. HERRING, Phys. Rev. 57, 1169 (1940). [74] J. C. PHILLIPS, L. KLEINMAN, Phys. Rev. 116,287, 880 (1959). [75] F. BASSANI, V. CELLI, Nuovo Cimento 11, 805 (1959). [76] D. BRUST, Phys. Rev. 134, A1337 (1964). [77] L. M. FALIcov, S. GOLIN, Phys. Rev. 137, A871 (1965). [78] W. A. HARRISON, Phys. Rev. 116, 555 (1959); 118, 1182 (1960).

271

[79] A. A. A6pHHOCOB (A. A. ABRIKOSSOW), iR8T<l> 39, 1797 (1960); 41, 569 (1961). [80] A. A. A6pHHOCOB, M. E. ,U3HJIOWHHCHHit (A. A. ABRIKOSSOW, I. E. DSJALOSCffiN-

SKI), iR8T<l> 35, 771 (1958). [81] 10. A. ,Upeit3HH, A. M. 'uhlxHe (J. A. DREISIN, A. M. DYCHNE), iR8T<l> 63, 242

(1972). [82] J. B. SAMPSELL, J. C. GARLAND, Phys. Rev. B 13, 583 (1976). [83] K. WILSON, Nobel Symposium -24. Collective Properties of Physical Systems,

Academic Press, S. 14 (1973). [84] A. II. BOJIO)];HH, M. C. XafiHHH, B. C. 8)];eJIbMaH (A. P. WOLODIN, M. S. CHAIKIN,

W. S. EDELMAN), iR8T<l> 65, 2105 (1973). [85] M. H. COHEN, V. HEINE, Phys. Rev. 122, 1821 (1961). [86] B. J. AUSTIN, V. HEINE, L. J. SHAM, Phys. Rev. 127, 276 (1962). [87] V. HEINE, J. ABARENKOV, Phil. Mag. 9,451 (1964). [88] R. W. SHAW, Phys. Rev. 174, 769 (1968). [89] P. NOZIFJRES, J. Low. Temp. Phys. 17, 31 (1974). [90] M. C. XafiHHH, JI. A. <l>aJIbHOBCHHfi, B. C. 8)];eJIbMaH, P. T. MHHa (M. S.

CHAIKIN, L. A. FALKOWSKI, W. S. EDELMAN, R. T. MINA, iR8T<l>, 45,1704 (1963).

Zusammenfassende Artikel und Bucher uber moderne Metalltheorie

[1] M. M. JIHtPWHU, M. H. A36eJIb, M. M. RaraHoB (I. M. LnrSCHIZ, M. JA. ASBEL, M. I. KAGANOW), 8JIeHTpOHHaH TeopHH MeTaJIJIOB, "HaYHa", 1971; deutsche Vbersetzung: Elektronentheorie der Metalle, Akademie-Verlag, Berlin 1975.

[2] CH. KITTEL, Quantum Theory of Solids, J. Wiley & Sons, New York 1963. [3] W. MERCOUROFF, La Surface de Fermi des Metaux, Paris, Masson et Cie, 1967. [4] E. A. KANER, V. G. SKOBOV, Electromagnetic Waves in Metals in a Magnetic Field,

Adv. in Phys. 17, 605 (1968). [5] W. A. HARRISON, Pseudopotentials in the Theory of Metals, W. A. BENJAMIN, New

York 1966. [6] J. M. ZIMAN, Electrons and Phonons, Clarendon Press, Oxford 1960. [7] J. M. ZIMAN, The Calculation of Bloch Functions, Solid State Physics, Eds. H. EHREN­

REICH, F. SEITZ, D. TURNBULL, Academic Press, Bd. 26 (1971). [8] The Physics of Metals, 1. Electrons, Ed. J. M. ZIMAN, University Press, Cambridge

1969. [9] W. A. HARRISON, Solid State Theory, McGraw-Hill, New York 1970.

Erganzung durch den Herausgeber:

[10] W. BRAUER, Einfiihrung in die Elektronentheorie der Metalle, 2. Auflage, Akade­mische Verlagsgesellschaft Geest & Portig, Leipzig 1972.

[11] O. MADELUNG, Festkiirpertheorie I, Elementare Anregungen, Springer-Verlag, Berlin 1972.

[12] J. M. ZIMAN, Principles of the Theory of Solids, University Press, 2nd edition, Cam­bridge 1972; deutsche Vbersetzung: Prinzipien der Festkiirpertheorie, Akademie­Verlag, Berlin 1974.

Sach verzeichnis

Abbruch der Zyklotronresonanzbahnen 139 Abschirmung 54 adiabatischer HALL-Effekt 107 anisotrope FERMI-Fliissigkeit 32 anomaler Skineffekt 116, 118, 232 - - bei spiegelnder Reflexion 127 Antiteilchen 28, 29 ASBEL-KANER-Zyklotronresonanz 128 Atom-Potential 251 ausgedehnte geschlossene Bahnen 93 Austauschpotential 251 AUSTINsches Pseudopotential 253

Berechnung del' Elektronenspektren 249 - von Integralen mit der FERMI-Funktion

38 - - - iiber den Impulsraum 37 Bewegungsgleichung im elektrischen Feld 42 - - Magnetfeld 79, 81 BLOcH-Funktion 13, 18 BLocHsches Theorem 14 BOHRsche Quantisierungsregel 172 BOHRscher Radius 261 BOLTzMANN-Gleichung 44 - mit Magnetfeld 78, 82 BORNsche Niiherung 44 - -, zweite 73 BosE-Statistik 27 BosE-Verteilung 60 BRAGGsche Reflexion 24 BRAvAIs-Gitter 13 BRILLOUIN-Zone 16,23

fiir fliichenzentrierte Gitter 17 - fiir raumzentrierte kubische Gitter 17

lJiimpfung von Quasiteilchen 29,31,41 DEB YE-Frequenz 60 DEBEYE-Radius 55 DE-BROGLIE-Wellenliinge 32 Deformationspotentialtensor 203 DE-HAAS-VAN-ALPHEN-Effekt 174, 183 - von Wismut 179 DE-HAAs-vAN-ALpHEN-Periode 179

diamagnetische Domanen 182 - Suspezptibilitiit 170 Diamagnetismus 169 differentielle Thermokraft (EMK) 102, 105 diffuse Streuung 120, 122, 130 DINGLE-Faktor 179 DOPPLER-verscho bene Zyklotronresonanz

164 - - in Wismut 165 Driftfokussierung 151 - in Zinn 153

effektive Masse 29, 34, 80, 263 - -, negative 35 - Zone 133 elektrische Leitfiihigkeit 47,52 - - bei Isotopen-Streuung 71 - - bei Streuung an Elektl'onen 56

- bei Stl'euung an Gitterschwingungen 61,63 - bei Streuung an Stiirstellen 56 - in einem Gas freiel' Elektronen 52

elektl'ischer Widerstand 68 elektromagnetische Wellen im Magnetfeld

156 Elektron im periodischen Feld 11 " Elektron-Elektl'on-Streuung 56, 63 Elektl'on-Phonon-Wechselwirkung 59,66 Elektronen, freie 11 -, schwach gebundene 20 -, stark gebundene 17 Elektronenfliissigkeit 25 Elektronenhiillen, tJberlappung del' 19 Elementarzelle 14, 15 elliptische Grenzpunkte 133, 135 Energieband 15, 20, 22 Enel'giefliiche 23 ETTINGHA US EN -Effekt 108 Extremalmasse 135

Feldschichten bei nichtresonantem GroBen­effekt 145, 147

- bei Zyklotronresonanz 142, 144 FERMI-Flache 33,78,257,262

274 Sachverzeichnis

FERMI-Flache von BIei 34 - von Gold 34 FERMI-Flachen der Edelmetalle 262 - der kubisch £lachenzentrierten Metalle

259 FERl~n-Flachen, geschlossene 78 -, offene 78, 90 FERMI-Fliissigkeit 25, 228 -, anisotrope 32 -, isotrope 27 FERMI-Fliissigkeits-Effekte 228 FERMI-Funktion 27' -, Berechnung von Integralen 38 FERMI-Gas 228 -, ideales 27 FERMI-Impuls 28 FERMI-Kugel 28 FERMI-Niveau 28, 32 FERMI-Verteilung 28,229 ferromagnetisches Metall 235, 265 FluBquant 173 FluBquantisierung 237 fl'eie Elektronen 11 - Weglange 51 - -, Messung durch Driftfokussierung 153

galvanomagnetische Eigenschaften 78 - - im hohen Magnetfeld 86, 90 - - im schwachen Magnetfeld 83 GANTMACHER-Effekt 145 geometrische Resonanz 210, 214 geschlossene Bahnen 86,87,90,91 - -, ausgedehnte 93 - FERMI-Flachen 78 gewellter Zylinder 79, 90, 93 gewohnliche Quantenoszillationen 193 "Girlanden"-Bahnen 198 Gitterschwingungen 25 Grenzbahnen 213 Grenzpunkte, elliptische 133, 135 Grenzbahnpunkte 212 GroBeneffekt 139 - bei offenen Trajektorien 154

Halbmetalle 35 HALL-Effekt 85 -, adiabatischer 107 - im hohen Magnetfeld 89, 93, 94 HALL-Koeffizient 85 HALL-Konstante 85 HARRIsoNsche Konstruktion 257 HEINE-ABARENKovsches Modell-Pseudopo-

tential 255 Helikonen 156

ideales FERMI-Gas 27 Impedanz 115 InduktionsfluBquant 173 Ineffektivitatskonzept 117 Integrale iiber den Impulsraum 37 Isolator 33 isotrope FERMI-Fliissigkeit 27 Isotopen-Streuung 68

JOuLEsche Warme 104

kinetische Gleichung 43, 231 - - mit Magnetfeld 78, 82 KOHLERsche Regel 85, 86 KONDo-Effekt 71 KONDo-TemperlHur 76 Kontaktpotential 103

LANDAu-Absorption von Schallwellen 207 LANDAu-Dampfung 162 - in Wismut 164 LANDAu-Niveau 168 LANDAu-Quantisierung 167, 236 LANDAusche Funktion 230 LANDAusche Theorie der FERMI-Fliissigkeit

25,228 LANDAuscher Diamagnetismus 169 LARMoR-Frequenz 77 LARMoR-Radius 85 LEDUC-RIGHI-Effekt 108, 111 Leitfahigkeitselektronen 11 Leitungsband 33, 35 Locher 29, 35, 81 LORENTz-Konstante 50 LUTTINGER, Theorem von 36

magnetische Oberflachenzustande 201 magnetischer Durchbruch 188 - - in Magnesium 191 magnetoakustische Resonanzerscheinungen

211,218 Magnetoplasmawellen 159, 233 - in.Wismut 164,165 Magnetowiderstand 77

eines Polykristalls 96 - im hohen Magnetfeld 93, 94 - im schwachen Magnetfeld 85 -, linearer 89,99 -, quadratischer 94,95 - von Gold 95 Magnonen 268 mittlere StoBzeit 47 Modell freier Elektronen 257 Modell-Pseudopotential 255

Sachverzeichnis

negative effektive Masse 35 - Zykiotronmasse 81 NERNsT-Effekt 108 nichtresonanter GroBeneffekt 145 - - im geneigten Feid 147 normaler Skineffekt 114 Nullpunktsschwingung 26 nullter Schall 238

Oberflachenenergie 186 Oberflachenimpedanz 115 Oberflachenwiderstand 115 offene Bahnen 90,91,93 - FERMI-FIachen 78, 90 - -, Topologie 90 ONSAGER-Quantisierung 172 ONSAGERSChes Symmetrieprinzip 101, 106 - - mit Magnetfeid 89,107,110 OPW-Methode 249 orthogonalisierte ebene Wellen 249

paramagnetische Resonanz 245 - Suszeptibilitat 167,233 Paramagnetismus 166 P AULI-Prinzip 28 PELTIER-Effekt 104 periodische Randbedingungen 14 periodisches KristaIlpotentiai 12, 251 Phaseniibergang 184 Phononen 26, 57 Plasmonen 240 PorssoNsche Formel 174 Prazessionsfrequenz 85, 245 Pseudopotential 251 - von Germanium 254

Quantenoszillationen 236 - der Hochfrequenz-Oberflachenimpe-

danz 193 - der Magnetisierung 179, 181 - der statischen Leitfahigkeit 193 Quantisierung der Gitterschwingungen 57 - im Magnetfeld 167 Quasiimpuis 14, 22 quasikiassische Quantisierung im Magnet-

feid 171 Quasiteilchen 25 -, Dampfung von 29, 31, 41 - in isotroper FERMI-Fliissigkeit 27 -, Streuung von 30

Radiofrequenz-GroBenefiekt 145 - von Zinn 146

275

Randbedingung bei diffuser Streuung 120 - - spiegeinder Reflexion 120 -, periodische 14 Resonanzzustand 256 reziprokes Gitter 13 Riesenoszillationen der Oberflachenimpe-

danz 198 - - Schallabsorption 222 - - - in Gallium 227 Rohrengitter 79,90,91

Schallabsorption 203 - bei fehiendem Magnetfeid 203, 208 Schallgeschwindigkeit 59 SCHUBNIKOW-DE-HAAs-Effekt 193 schwach gebundene Elektronen 20 SEEBEcK-Effekt 103 Size-Effekt 139 Skintiefe 114 SONDHEIMER-Effekt 148 spezifische Warme 36, 230 spiegeinde Reflexion 120, 121, 125 Spin-Bahn-Kopplung 188 Spinparamagnetismus 166,233 Spinwellen 241 - im auBeren Magnetfeid 242 - in ferromagnetischen Metallen 267 Spinwellenspektrum 246 stark komprimierter Stoff 260 starke Bindung 17 Stern 35 StoBintegrai 43, 46, 231 - bei anomalem Skineffekt 127 StoBzeit, mittiere 47 Streuung an Elektronen 56, 63 - - Gitterschwingungen 57, 66 - - harten Kugein 55 - - Isotopen 68 - - magnetischen Storstellen (KONDO-Ef-

fekt) 71 - - Quasiteilchen 30 - - Storstellen 44, 54 Stromdichte 47, 232 Strukturfaktor 254 Symmetrieebene 17

Teilchen 28,29 Theorem von LUTTINGER 36 thermoelektrische Effekte im hohen Ma-

gnetfeid 108 - Erscheinungen 101 Thermokraft 102

bei magnetischen Storstellen 106 - im hohen Magnetfeid 111

276 Sachverzeichnis

thermomagnetische Erscheinungen im schwachen Magnetfeld 107

THOMSoN-Effekt 104 Topologie offener FERMI-Flachen 90

Vberlappung der Elektronenhiillen 19 Ultraschallabsorption 203 Umklapp-ProzeB 63

Valenzband 35 Valenzhiille 11 virtueller Zustand 256

WANNIER-Funktion 18 Warmeleitfahigkeit 48, 52, 68

bei Streuung an Gitterschwingungen 61, 63 bei verschiedenen Streumechanismen s. elektrische Leitfahigkeit im hohen Magnetfeld 108, III in einem Gas freier Elektronen 52

Warmestrom 50, 232

Wellenpaket 41 Widerstandsminimum 71,75 WIEDEMANN-FRANzsches Gesetz 50 - - im hohen Magnetfeld 110

Zeitumkehr-Invarianz 15 Zentralschnitt 135, 138 Zustandsdichte 15, 39 - im Magnetfeld 169, 173 zweite BORNsche Naherung 73 Zyklotronmasse 80,260 Zyklotronperiode 80, 260 Zyklotronresonanz 128, 232

an elliptischen Grenzpunkten 135 an Extremalbahnen 134 an nichtextremalen Bahnen 141 bei diffuser Streuung 132 bei "Girlanden"-Bahnen 108

-, DOPPLER-verschobene 164 -, Feldschichten bei 142, 144 - von Zinn 136, 140 Zyklotronresonanzbahnen, Abbruch der 139