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Ein nichf d-separabler linearer Unterraum eines d-separablen fonnelierten Raumes

Von

GIL Hv.NRIQU]~s

Die Teflmengen eines separablen metrischen Raumes sind s~imtlich separabel (s. z. B. [2], S. 27, (1))�9 Ffir allgemeine topologische R~ume hat man kein entspre- chendes Ergebnis, wie K~LLE~: [1], S. 103, Pr. Iq, gezeigt hat. Hier wird die Frage naeh einer m6glichen Verallgemeinerung der erwghnten Aussage auf lokalkonvexe Rgume, auf die reich Herr W. Rov.~,cK~ aufmerksam machte, sehon fiir die tonne- lierten R~ume mit einem Gegenbeispiel negativ beantwortet.

Ist d eine Kardinalzahl, so heil]e ein topologischer Raum d-separabel, falls er eine dichte Teilmenge der Mgchtigkeit d enthglt. Wir beweisen die Sgtze :

Satz 1..Flit jede unendliche Kardinalzahl d gibt es einen 22a-dimensionalen d-separab- len tonnelierten Raum.

Satz 2. Fiir jede iiberabzShlbare Kardinalzahl d gibt es eine~ d-dimensionalen tonne- lierten l~aum, dessen dichte Teilmengen siimtlich die Mgchtig]~eit des ganzen Raumes ha.ben.

Satz 3. Fiir jede unendliche Kardinalzahl d gibt es einen d-selaarablen tonnelierten Raum, der einen nicht d-separablen linearen Unterraum entMilt.

Lemma..Ei~r jede Menge I yon der M5chtig~it 2 ~ gibt es eine d.m~chtige Familie yon endlichen Partitionen yon I , die je endlich viele Punkte yon I trennt.

B e we i s . Man kann I ~ 2 J annehmen, mit einer d-m~ichtigen Menge J . Das Lemma ist ftir endliches I trivial. Ist I unendlich, so setzen wir ~- -- ( ~ H : H e #(J)}, wobei # (J) die d-m~chtige Klasse der endlichen Teilmengen yon J und ~H fiir alle H c J die Parti t ion yon I in J~quivalenzldassen modulo Gleichheit in H i s t . Wird jetzt eine endliche Teilmenge F yon I gegeben, so gibt es eine endliche Teilmenge H yon J derart, dab die Einschr~nkung auf F der kanonischen Abbildung yon 2 J auf 2 H eineindeutig ist. ~ / t r e n n t also die Punkte yon _F.

Satz 1'. Der Raum w2~ ---- K 2a (s. [2], S. 60) ist d-separabel.

B e w e i s . Sei Q eine abz~hlbare dichte Teilmenge des Skalarenk6rpers K, I eine 2~-mgchtige Indexmenge und ~- eine d-mgchtige Familie yon endlichen Partitionen yon I, wie im Lemma. Fiir jedes ~ = {P1, P2 . . . . . Pn} e ,~" und q = (ql)ie[1,n] e Qn

Vol. XV, 1964 . Ein nicht d-separabler linearer Unterraum 449

erkl~ren wir die Funktion f~,~ e K s dureh ]~,q(2)----qi ffir ~ e P~ e ~ . Die Menge A = { / ~ , q : ~ e ~- , q e QKard(~)} ist eine d-m/~chtige Teilmenge des zu eo2a iso- morphen Raumes K z.

A ist in K I dicht: - - Sei U eine offene Teilmenge yon K 1. Es gibt eine endliche Teflmenge F yon I derart, dab die kanonische Projektion yon U in K ~-F eine Ab- bfldung auf ist. Sei ~ e ~ eine Parti t ion yon I , welche die Punkte von F trennt, und sei q ein Punkt des nicht leeren Durchsehnittes ProjF U (~ QF. Die Menge U r~ A ist nieht leer, denn sic enth/~lt ]~,q.

Satz 2'. Der Raum q~a = ~ K~, wobei die K~ d Exemplare yon K sind (s. [2], S. 60 u.

217), ist /iir die yon wa induzierte Topologie, erst recht /i~r seine natis Topologie, nicht d'.separabel, /alls d" < d ist.

B e w e i s . Sei A eine d'-m~ehtige Teilmenge yon ~a. Da die Elemente yon ~ca nur endlich viele yon Null verschiedene Komponenten haben, ist A in einem d'-dimen- sionalen abgeschlossenen linearen Unterraum von ~a enthalten. A ist also nicht dieht.

Aus dem Satz 2' folgt, dab der Raum ~2a ffir die yon eo2a induzierte Topologie nicht d-separabel ist, was den Satz 3 beweist. Um die S~tze 1 und 2 zu beweisen, braucht man nur zu bemerken, dab die Anzahl der Elemente eines reellen oder kom- plexen Vektorraumes fiberabz~hlbarer Dimension gleich der Dimension des Raumes ist. Die Aussage yon Satz 2 ist ffir d = ~0 falseh. Die in den S/itzen 1 und 2 angegebe- nen Aussagen entsprechen den ~ul3ersten Verh~ltnissen, die die allgemeine Topologie zuls

Als positives Ergebnis fiber die Separabilit~t der Teflmengen eines separablen Raumes beweisen wir folgende unmittelbare Verallgemeinerung der fiir metrische R~ume erw~hnten Aussage :

Satz 4. 1st der uni/orme Raum E d-separabel und besitzt seine uni]orme Struktur eine Nachbarscha/tsbasis der Mdchtigkeit d, so gibt es eine d-m~ichtige Basis der o~enen Teil- mengen yon E. S~imtliche Teilmengen von E sind also d-separabel.

B e w e is . I s t { U~:t e I ) eine d-m~chtige Nachbarschaftsbasis der uniformen Struk- tur yon E und A eine d-ms dichte Teilmenge yon E, so ist die doppelte Famflie {Ut(x):t e I ; x e A ) eine d-m/~ehtige Basis der offenen Teilmengen yon E. Daraus folgt, dab aueh jede Teilmenge yon E eine d-ms Basis der offenen Teilmengen ffir die induzierte uniforme Struktur besitzt, also d-separabel ist.

Literaturverzeichnis

[1] J. KF~LEY, General Topology. Princeton 1955. [2] G. K6THE, Topologisehe Lineare R~ume. Berlin 1960.

Anschrfft des Autors: Gil Henriques R. Sa da Bandeira 706--2 ~ esq. Porto, Portugal

Ardaiv der Mathematik XV

Eingegangen am 6. 8. 1963

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