Arithmetisches Agumentieren am Arithmetisches Agumentieren am geometrischen Bildgeometrischen Bild

Ed (2.Schuljahr) bearbeitetEd (2.Schuljahr) bearbeitet

DivisionenDivisionen

Bernd Wollring, Universität KasselBernd Wollring, Universität Kassel

Beispiel nachBeispiel nachHarel, G., & Behr, M. (1991). Harel, G., & Behr, M. (1991). Ed’s Strategy for Solving Division Problems.Ed’s Strategy for Solving Division Problems.

Arithmetic Teacher, 39, 38-40Arithmetic Teacher, 39, 38-40

Bernd Wollring: Mündliche Strategie von Ed (Klasse 2) zur Division nach Harel & Behr (1991)Bernd Wollring: Mündliche Strategie von Ed (Klasse 2) zur Division nach Harel & Behr (1991)

Ed ist ein Zweitklässler,

zu dem sein Lehrer berichtete, er sei in Mathematik leicht über dem Durchschnitt und in anderen Bereichen durchschnittlich.

Zum Zeitpunkt des Interviews umfasste Eds Kenntnisstand aufgrund formaler Instruktion das Addieren und das Subtrahieren ohne Umgruppieren.

Darüber hinaus war Ed informell befasst mit der grundlegenden Schreibweise der Multiplikation als wiederholter Addition und der Bedeutung der Division als Zerlegen in gleiche Teile.

Aber er war nie zu irgendeiner Divisionsstrategie unterrichtet worden.

Bernd Wollring: Mündliche Strategie von Ed (Klasse 2) zur Division nach Harel & Behr (1991)Bernd Wollring: Mündliche Strategie von Ed (Klasse 2) zur Division nach Harel & Behr (1991)

The answer is 6.The answer is 6.88

2 plus 4 is 6.2 plus 4 is 6.77

14 divided by 2 is 7.14 divided by 2 is 7.66

12 plus 2 is 14.12 plus 2 is 14.55

3 plus 3 plus 3 plus 3 is 12.3 plus 3 plus 3 plus 3 is 12.44

40 divided by 10 is 4.40 divided by 10 is 4.33

42 divided by 7 ...42 divided by 7 ...EdEd22

How much is 42 divided by 7?How much is 42 divided by 7?IntInt11

Ed löst mündlich 42 : 7 = 6Ed löst mündlich 42 : 7 = 6

Bernd Wollring: Mündliche Strategie von Ed (Klasse 2) zur Division nach Harel & Behr (1991)Bernd Wollring: Mündliche Strategie von Ed (Klasse 2) zur Division nach Harel & Behr (1991)

11 IntInt How much is 42 divided by 7?How much is 42 divided by 7?

22 EdEd 42 divided by 7 ...42 divided by 7 ...

33 40 divided by 10 is 4.40 divided by 10 is 4.

44 3 plus 3 plus 3 plus 3 is 12.3 plus 3 plus 3 plus 3 is 12.

55 12 plus 2 is 14.12 plus 2 is 14.

66 14 divided by 2 is 7.14 divided by 2 is 7.

77 2 plus 4 is 6.2 plus 4 is 6.

88 The answer is 6.The answer is 6.

Ed löst mündlich 42 : 7 = 6Ed löst mündlich 42 : 7 = 6

Bernd Wollring: Mündliche Strategie von Ed (Klasse 2) zur Division nach Harel & Behr (1991)Bernd Wollring: Mündliche Strategie von Ed (Klasse 2) zur Division nach Harel & Behr (1991)

Ed löst mündlich 56 : 8 = 7Ed löst mündlich 56 : 8 = 7

11 IntInt How much is 56 divided by 8?How much is 56 divided by 8?

22 EdEd 56 divided by 8 ....56 divided by 8 ....

33 50 divided by 10 is 5.50 divided by 10 is 5.

44 2 plus 2 plus 2 plus 2 plus 2 is 10.2 plus 2 plus 2 plus 2 plus 2 is 10.

55 10 plus 6 is 16.10 plus 6 is 16.

66 16 divided by 8 is 2.16 divided by 8 is 2.

77 2 plus 5 is 7.2 plus 5 is 7.

88 The answer is 7.The answer is 7.

Bernd Wollring: Mündliche Strategie von Ed (Klasse 2) zur Division nach Harel & Behr (1991)Bernd Wollring: Mündliche Strategie von Ed (Klasse 2) zur Division nach Harel & Behr (1991)

11 IntInt How much is 56 divided by 8?How much is 56 divided by 8? 56 : 8 = ?56 : 8 = ?

22 EdEd 56 divided by 8 ....56 divided by 8 ....

33 50 divided by 10 is 5.50 divided by 10 is 5. 50 : 10 = 550 : 10 = 5

44 2 plus 2 plus 2 plus 2 plus 2 is 10.2 plus 2 plus 2 plus 2 plus 2 is 10. 2 +2 +2 +2 +2 = 102 +2 +2 +2 +2 = 10

55 10 plus 6 is 16.10 plus 6 is 16. 10 + 6 = 1610 + 6 = 16

66 16 divided by 8 is 2.16 divided by 8 is 2. 16 : 8 = 216 : 8 = 2

77 2 plus 5 is 7.2 plus 5 is 7. 2 + 5 = 72 + 5 = 7

88 The answer is 7.The answer is 7. 56 : 8 = 756 : 8 = 7

Bernd Wollring: Mündliche Strategie von Ed (Klasse 2) zur Division nach Harel & Behr (1991)Bernd Wollring: Mündliche Strategie von Ed (Klasse 2) zur Division nach Harel & Behr (1991)

11 IntInt How much is 56 divided by 8?How much is 56 divided by 8? 56 : 8 = ?56 : 8 = ?

22 EdEd 56 divided by 8 ....56 divided by 8 ....

33 50 divided by 10 is 5.50 divided by 10 is 5. 50 : 10 = 550 : 10 = 5

44 2 plus 2 plus 2 plus 2 plus 2 is 10.2 plus 2 plus 2 plus 2 plus 2 is 10. 2 +2 +2 +2 +2 = 102 +2 +2 +2 +2 = 10

55 10 plus 6 is 16.10 plus 6 is 16. 10 + 6 = 1610 + 6 = 16

66 16 divided by 8 is 2.16 divided by 8 is 2. 16 : 8 = 216 : 8 = 2

77 2 plus 5 is 7.2 plus 5 is 7. 2 + 5 = 72 + 5 = 7

88 The answer is 7.The answer is 7. 56 : 8 = 756 : 8 = 7

56

Bernd Wollring: Mündliche Strategie von Ed (Klasse 2) zur Division nach Harel & Behr (1991)Bernd Wollring: Mündliche Strategie von Ed (Klasse 2) zur Division nach Harel & Behr (1991)

11 IntInt How much is 56 divided by 8?How much is 56 divided by 8? 56 : 8 = ?56 : 8 = ?

22 EdEd 56 divided by 8 ....56 divided by 8 ....

33 50 divided by 10 is 5.50 divided by 10 is 5. 50 : 10 = 550 : 10 = 5

44 2 plus 2 plus 2 plus 2 plus 2 is 10.2 plus 2 plus 2 plus 2 plus 2 is 10. 2 +2 +2 +2 +2 = 102 +2 +2 +2 +2 = 10

55 10 plus 6 is 16.10 plus 6 is 16. 10 + 6 = 1610 + 6 = 16

66 16 divided by 8 is 2.16 divided by 8 is 2. 16 : 8 = 216 : 8 = 2

77 2 plus 5 is 7.2 plus 5 is 7. 2 + 5 = 72 + 5 = 7

88 The answer is 7.The answer is 7. 56 : 8 = 756 : 8 = 7

56

50 6

Bernd Wollring: Mündliche Strategie von Ed (Klasse 2) zur Division nach Harel & Behr (1991)Bernd Wollring: Mündliche Strategie von Ed (Klasse 2) zur Division nach Harel & Behr (1991)

11 IntInt How much is 56 divided by 8?How much is 56 divided by 8? 56 : 8 = ?56 : 8 = ?

22 EdEd 56 divided by 8 ....56 divided by 8 ....

33 50 divided by 10 is 5.50 divided by 10 is 5. 50 : 10 = 550 : 10 = 5

44 2 plus 2 plus 2 plus 2 plus 2 is 10.2 plus 2 plus 2 plus 2 plus 2 is 10. 2 +2 +2 +2 +2 = 102 +2 +2 +2 +2 = 10

55 10 plus 6 is 16.10 plus 6 is 16. 10 + 6 = 1610 + 6 = 16

66 16 divided by 8 is 2.16 divided by 8 is 2. 16 : 8 = 216 : 8 = 2

77 2 plus 5 is 7.2 plus 5 is 7. 2 + 5 = 72 + 5 = 7

88 The answer is 7.The answer is 7. 56 : 8 = 756 : 8 = 7

56

50 6

10

10

10

10

10

Bernd Wollring: Mündliche Strategie von Ed (Klasse 2) zur Division nach Harel & Behr (1991)Bernd Wollring: Mündliche Strategie von Ed (Klasse 2) zur Division nach Harel & Behr (1991)

11 IntInt How much is 56 divided by 8?How much is 56 divided by 8? 56 : 8 = ?56 : 8 = ?

22 EdEd 56 divided by 8 ....56 divided by 8 ....

33 50 divided by 10 is 5.50 divided by 10 is 5. 50 : 10 = 550 : 10 = 5

44 2 plus 2 plus 2 plus 2 plus 2 is 10.2 plus 2 plus 2 plus 2 plus 2 is 10. 2 +2 +2 +2 +2 = 102 +2 +2 +2 +2 = 10

55 10 plus 6 is 16.10 plus 6 is 16. 10 + 6 = 1610 + 6 = 16

66 16 divided by 8 is 2.16 divided by 8 is 2. 16 : 8 = 216 : 8 = 2

77 2 plus 5 is 7.2 plus 5 is 7. 2 + 5 = 72 + 5 = 7

88 The answer is 7.The answer is 7. 56 : 8 = 756 : 8 = 7

56

50 6

10 8

10 8

10 8

10 8

10 8

Bernd Wollring: Mündliche Strategie von Ed (Klasse 2) zur Division nach Harel & Behr (1991)Bernd Wollring: Mündliche Strategie von Ed (Klasse 2) zur Division nach Harel & Behr (1991)

11 IntInt How much is 56 divided by 8?How much is 56 divided by 8? 56 : 8 = ?56 : 8 = ?

22 EdEd 56 divided by 8 ....56 divided by 8 ....

33 50 divided by 10 is 5.50 divided by 10 is 5. 50 : 10 = 550 : 10 = 5

44 2 plus 2 plus 2 plus 2 plus 2 is 10.2 plus 2 plus 2 plus 2 plus 2 is 10. 2 +2 +2 +2 +2 = 102 +2 +2 +2 +2 = 10

55 10 plus 6 is 16.10 plus 6 is 16. 10 + 6 = 1610 + 6 = 16

66 16 divided by 8 is 2.16 divided by 8 is 2. 16 : 8 = 216 : 8 = 2

77 2 plus 5 is 7.2 plus 5 is 7. 2 + 5 = 72 + 5 = 7

88 The answer is 7.The answer is 7. 56 : 8 = 756 : 8 = 7

56

50 6

10 8 2

10 8 2

10 8 2

10 8 2

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Bernd Wollring: Mündliche Strategie von Ed (Klasse 2) zur Division nach Harel & Behr (1991)Bernd Wollring: Mündliche Strategie von Ed (Klasse 2) zur Division nach Harel & Behr (1991)

11 IntInt How much is 56 divided by 8?How much is 56 divided by 8? 56 : 8 = ?56 : 8 = ?

22 EdEd 56 divided by 8 ....56 divided by 8 ....

33 50 divided by 10 is 5.50 divided by 10 is 5. 50 : 10 = 550 : 10 = 5

44 2 plus 2 plus 2 plus 2 plus 2 is 10.2 plus 2 plus 2 plus 2 plus 2 is 10. 2 +2 +2 +2 +2 = 102 +2 +2 +2 +2 = 10

55 10 plus 6 is 16.10 plus 6 is 16. 10 + 6 = 1610 + 6 = 16

66 16 divided by 8 is 2.16 divided by 8 is 2. 16 : 8 = 216 : 8 = 2

77 2 plus 5 is 7.2 plus 5 is 7. 2 + 5 = 72 + 5 = 7

88 The answer is 7.The answer is 7. 56 : 8 = 756 : 8 = 7

56

50 6 16

10 8 2

10 8 2

10 8 2

10 8 2

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Bernd Wollring: Mündliche Strategie von Ed (Klasse 2) zur Division nach Harel & Behr (1991)Bernd Wollring: Mündliche Strategie von Ed (Klasse 2) zur Division nach Harel & Behr (1991)

11 IntInt How much is 56 divided by 8?How much is 56 divided by 8? 56 : 8 = ?56 : 8 = ?

22 EdEd 56 divided by 8 ....56 divided by 8 ....

33 50 divided by 10 is 5.50 divided by 10 is 5. 50 : 10 = 550 : 10 = 5

44 2 plus 2 plus 2 plus 2 plus 2 is 10.2 plus 2 plus 2 plus 2 plus 2 is 10. 2 +2 +2 +2 +2 = 102 +2 +2 +2 +2 = 10

55 10 plus 6 is 16.10 plus 6 is 16. 10 + 6 = 1610 + 6 = 16

66 16 divided by 8 is 2.16 divided by 8 is 2. 16 : 8 = 216 : 8 = 2

77 2 plus 5 is 7.2 plus 5 is 7. 2 + 5 = 72 + 5 = 7

88 The answer is 7.The answer is 7. 56 : 8 = 756 : 8 = 7

56

50 6 16

10 8 2 8

10 8 2 8

10 8 2

10 8 2

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56 : 856 : 8

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56 : 856 : 8

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56 : 856 : 8

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11 IntInt How much is 42 divided by 7?How much is 42 divided by 7?

22 EdEd 42 divided by 7 ...42 divided by 7 ...

33 40 divided by 10 is 4.40 divided by 10 is 4.

44 3 plus 3 plus 3 plus 3 is 12.3 plus 3 plus 3 plus 3 is 12.

55 12 plus 2 is 14.12 plus 2 is 14.

66 14 divided by 2 is 7.14 divided by 2 is 7.

77 2 plus 4 is 6.2 plus 4 is 6.

88 The answer is 6.The answer is 6. Noch fremd oder Noch fremd oder bereits vertraut?bereits vertraut?

Ed‘s Bearbeitung zu 42 : 7 = 6Ed‘s Bearbeitung zu 42 : 7 = 6

Bernd Wollring: Mündliche Strategie von Ed (Klasse 2) zur Division nach Harel & Behr (1991)Bernd Wollring: Mündliche Strategie von Ed (Klasse 2) zur Division nach Harel & Behr (1991)

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Ed‘s Strategie Ed‘s Strategie

ist ein ist ein

allgemeingültiger allgemeingültiger Divisionsalgorithmus.Divisionsalgorithmus.

Das ist anzuerkennen.Das ist anzuerkennen.

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wollring@mathematik.uni-kassel.dewollring@mathematik.uni-kassel.de

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