efficient cogen

7/29/2019 Efficient COGEN

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Efficiently generating efficient

generating extensions in Prolog

Jesper Jrgensen and Michael Leuschel

Report CW 221, February 1996

Katholieke Universiteit LeuvenDepartment of Computer Science

Celestijnenlaan 200A B-3001 Heverlee (Belgium)


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Efficiently generating efficient

generating extensions in Prolog

Jesper Jrgensen and Michael Leuschel

Report CW 221, February 1996

Department of Computer Science, K.U.Leuven

Abstract

The so called cogen approach to program specialisation, writ-ing a compiler generator instead of a specialiser, has been used withconsiderable success in partial evaluation of both functional and im-perative languages.

This paper demonstrates that this approach is also applicable topartial evaluation of logic programming languages, also called par-tial deduction. Self-application has not been as much in focus inpartial deduction as in partial evaluation of functional and imper-ative languages, and the attempts to self-apply partial deductionsystems have, of yet, not been altogether that successful. So espe-cially for partial deduction, the cogen approach could prove to havea considerable importance when it comes to practical applications.

It is demonstrated that using the cogen approach one gets veryefficient compiler generators which generate very efficient generatingextensions which in turn yield (for some examples at least) very goodand non-trivial specialisation.


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C o n t e n t s

1 I n t r o d u c t i o n 1

2 O - L i n e P a r t i a l D e d u c t i o n 3

2 . 1 A G e n e r i c P a r t i a l D e d u c t i o n M e t h o d : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 3

2 . 2 O - L i n e P a r t i a l D e d u c t i o n a n d B i n d i n g - T i m e A n a l y s i s : : : : : : : : : : : : : : : : 4

2 . 3 A P a r t i c u l a r O - L i n e P a r t i a l D e d u c t i o n M e t h o d : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 7

3 T h e c o g e n a p p r o a c h f o r l o g i c p r o g r a m m i n g l a n g u a g e s 8

4 E x a m p l e s a n d R e s u l t s 1 2

4 . 1 E x p e r i m e n t s w i t h c o g e n : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 2

4 . 2 E x p e r i m e n t s w i t h o t h e r S y s t e m s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 3

4 . 3 C o m p a r i n g T r a n s f o r m a t i o n T i m e s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 4

5 D i s c u s s i o n a n d F u t u r e W o r k 1 5

5 . 1 D e v e l o p i n g a B T A b a s e d o n g r o u n d n e s s a n a l y s i s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 6

5 . 2 R e l a t e d W o r k i n P a r t i a l E v a l u a t i o n a n d A b s t r a c t I n t e r p r e t a t i o n : : : : : : : : : : 1 7

5 . 3 F u t u r e W o r k : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 7

A E x t e n d i n g t h e c o g e n 2 1

B A P r o l o g c o g e n 2 2

C T h e P a r s e r E x a m p l e 2 3

D T h e S o l v e E x a m p l e 2 4

E T h e R e g u l a r E x p r e s s i o n E x a m p l e 2 6


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E c i e n t l y G e n e r a t i n g E c i e n t

G e n e r a t i n g E x t e n s i o n s i n P r o l o g

J e s p e r J r g e n s e n

a n d M i c h a e l L e u s c h e l

y

K . U . L e u v e n , D e p a r t m e n t o f C o m p u t e r S c i e n c e

C e l e s t i j n e n l a a n 2 0 0 A , B - 3 0 0 1 H e v e r l e e , B e l g i u m

e - m a i l : f j e s p e r , m i c h a e l g @ c s . k u l e u v e n . a c . b e

A b s t r a c t

T h e s o c a l l e d \ c o g e n a p p r o a c h " t o p r o g r a m s p e c i a l i s a t i o n , w r i t i n g a c o m p i l e r g e n e r a t o r

i n s t e a d o f a s p e c i a l i s e r , h a s b e e n u s e d w i t h c o n s i d e r a b l e s u c c e s s i n p a r t i a l e v a l u a t i o n o f b o t h

f u n c t i o n a l a n d i m p e r a t i v e l a n g u a g e s .

T h i s p a p e r d e m o n s t r a t e s t h a t t h i s a p p r o a c h i s a l s o a p p l i c a b l e t o p a r t i a l e v a l u a t i o n o f l o g i c

p r o g r a m m i n g l a n g u a g e s , a l s o c a l l e d p a r t i a l d e d u c t i o n . S e l f - a p p l i c a t i o n h a s n o t b e e n a s m u c h

i n f o c u s i n p a r t i a l d e d u c t i o n a s i n p a r t i a l e v a l u a t i o n o f f u n c t i o n a l a n d i m p e r a t i v e l a n g u a g e s ,

a n d t h e a t t e m p t s t o s e l f - a p p l y p a r t i a l d e d u c t i o n s y s t e m s h a v e , o f y e t , n o t b e e n a l t o g e t h e r

t h a t s u c c e s s f u l . S o , e s p e c i a l l y f o r p a r t i a l d e d u c t i o n , t h e c o g e n a p p r o a c h c o u l d p r o v e t o h a v e

a c o n s i d e r a b l e i m p o r t a n c e w h e n i t c o m e s t o p r a c t i c a l a p p l i c a t i o n s .

I t i s d e m o n s t r a t e d t h a t u s i n g t h e c o g e n a p p r o a c h o n e g e t s v e r y e c i e n t c o m p i l e r g e n e r a t o r s

w h i c h g e n e r a t e v e r y e c i e n t g e n e r a t i n g e x t e n s i o n s w h i c h i n t u r n y i e l d ( f o r s o m e e x a m p l e s a t

l e a s t ) v e r y g o o d a n d n o n - t r i v i a l s p e c i a l i s a t i o n .

1 I n t r o d u c t i o n

P a r t i a l e v a l u a t i o n h a s o v e r t h e p a s t d e c a d e r e c e i v e d c o n s i d e r a b l e a t t e n t i o n b o t h i n f u n c t i o n a l ( e . g .

2 7 ] ) , i m p e r a t i v e ( e . g . 1 ] ) a n d l o g i c p r o g r a m m i n g ( e . g . 1 6 , 2 9 , 4 8 ] ) . I n t h e c o n t e x t o f p u r e l o g i c

p r o g r a m s , p a r t i a l e v a l u a t i o n i s o f t e n r e f e r r e d t o a s p a r t i a l d e d u c t i o n , t h e t e r m p a r t i a l e v a l u a t i o n

b e i n g r e s e r v e d f o r t h e t r e a t m e n t o f i m p u r e l o g i c p r o g r a m s . A c o n v e n t i o n w e w i l l a l s o a d h e r e t o

i n t h i s p a p e r .

G u i d e d b y t h e F u t a m u r a p r o j e c t i o n s ( s e e e . g . 2 7 ] ) a l o t o f e o r t , s p e c i a l l y i n t h e f u n c t i o n a l

p a r t i a l e v a l u a t i o n c o m m u n i t y , h a s b e e n p u t i n t o m a k i n g s y s t e m s s e l f - a p p l i c a b l e . A p a r t i a l e v a l u a -

t i o n o r d e d u c t i o n s y s t e m i s c a l l e d s e l f - a p p l i c a b l e i f i t i s a b l e t o e e c t i v e l y

1

s p e c i a l i s e i t s e l f . I n t h a t

c a s e o n e m a y , a c c o r d i n g t o t h e s e c o n d F u t a m u r a p r o j e c t i o n , o b t a i n c o m p i l e r s f r o m i n t e r p r e t e r s

a n d , a c c o r d i n g t o t h e t h i r d F u t a m u r a p r o j e c t i o n , a c o m p i l e r g e n e r a t o r ( c o g e n f o r s h o r t ) .

H o w e v e r w r i t i n g a n e e c t i v e l y s e l f - a p p l i c a b l e s p e c i a l i s e r i s a n o n - t r i v i a l t a s k | t h e m o r e

f e a t u r e s o n e u s e s i n w r i t i n g t h e s p e c i a l i s e r t h e m o r e c o m p l e x t h e s p e c i a l i s a t i o n p r o c e s s b e c o m e s ,

b e c a u s e t h e s p e c i a l i s e r t h e n h a s t o h a n d l e t h e s e f e a t u r e s a s w e l l . T h i s i s w h y s o f a r n o p a r t i a l

e v a l u a t o r f o r f u l l P r o l o g ( l i k e m i x t u s 5 1 ] , o r p a d d y 4 9 ] ) h a s b e e n m a d e e e c t i v e l y s e l f - a p p l i c a b l e .

O n t h e o t h e r h a n d a p a r t i a l d e d u c e r w h i c h s p e c i a l i s e s o n l y p u r e l y d e c l a r a t i v e l o g i c p r o g r a m s ( l i k e

s a g e i n 2 1 ] o r t h e s y s t e m i n 8 ] ) h a s i t s e l f t o b e w r i t t e n p u r e l y d e c l a r a t i v e l y l e a d i n g t o s l o w

s y s t e m s a n d i m p r a c t i c a l c o m p i l e r s a n d c o m p i l e r g e n e r a t o r s .

S o f a r t h e o n l y p r a c t i c a l c o m p i l e r s a n d c o m p i l e r g e n e r a t o r s h a v e b e e n o b t a i n e d b y s t r i k i n g

a d e l i c a t e b a l a n c e b e t w e e n t h e e x p r e s s i v i t y o f t h e u n d e r l y i n g l a n g u a g e a n d t h e e a s e w i t h w h i c h

S u p p o r t e d b y H C M N e t w o r k \ L o g i c P r o g r a m S y n t h e s i s a n d T r a n s f o r m a t i o n " .

y

S u p p o r t e d b y t h e B e l g i a n G O A \ N o n - S t a n d a r d A p p l i c a t i o n s o f A b s t r a c t I n t e r p r e t a t i o n "

1

T h i s i m p l i e s s o m e e c i e n c y c o n s i d e r a t i o n s , e . g . t h e s y s t e m h a s t o t e r m i n a t e w i t h i n r e a s o n a b l e t i m e c o n s t r a i n s ,

u s i n g a n a p p r o p r i a t e a m o u n t o f m e m o r y .

1


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i t c a n b e s p e c i a l i s e d . T w o a p p r o a c h e s f o r l o g i c p r o g r a m m i n g l a n g u a g e s a l o n g t h i s l i n e a r e 1 4 ]

a n d 4 2 ] . H o w e v e r t h e s p e c i a l i s a t i o n i n 1 4 ] i s i n c o r r e c t w i t h r e s p e c t t o s o m e o f t h e e x t r a - l o g i c a l

b u i l t - i n s , l e a d i n g t o i n c o r r e c t c o m p i l e r s a n d c o m p i l e r g e n e r a t o r s w h e n a t t e m p t i n g s e l f - a p p l i c a t i o n

( a p r o b l e m m e n t i o n e d i n 8 ] , s e e a l s o 4 2 , 3 1 ] ) . T h e p a r t i a l e v a l u a t o r l o g i m i x o f 4 2 ] d o e s n o t

s h a r e t h i s p r o b l e m , b u t g i v e s o n l y m o d e s t s p e e d u p s ( w h e n c o m p a r e d t o r e s u l t s f o r f u n c t i o n a l

p r o g r a m m i n g l a n g u a g e s , s e e t h e r e m a r k s i n 4 2 ] ) w h e n s e l f - a p p l i e d .

T h e a c t u a l c r e a t i o n o f t h e c o g e n a c c o r d i n g t o t h e t h i r d F u t a m u r a p r o j e c t i o n i s n o t o f m u c h

i n t e r e s t t o u s e r s s i n c e c o g e n c a n b e g e n e r a t e d o n c e a n d f o r a l l o n c e a s p e c i a l i s e r i s g i v e n . T h e r e f o r e ,

f r o m a u s e r s p o i n t o f v i e w , w h e t h e r a c o g e n i s p r o d u c e d b y s e l f - a p p l i c a t i o n o r n o t i s o f l i t t l e

i m p o r t a n c e , w h a t i s i m p o r t a n t i s t h a t i t e x i s t s a n d t h a t i t h a s a n i m p r o v e d p e r f o r m a n c e o v e r

d i r e c t s e l f - a p p l i c a t i o n . T h i s i s t h e b a c k g r o u n d b e h i n d t h e a p p r o a c h t o p r o g r a m s p e c i a l i s a t i o n

c a l l e d t h e c o g e n a p p r o a c h : i n s t e a d o f t r y i n g t o w r i t e a p a r t i a l e v a l u a t i o n s y s t e m w h i c h i s n e i t h e r

t o o i n e c i e n t n o r t o o d i c u l t t o s e l f - a p p l y o n e s i m p l y w r i t e s a c o m p i l e r g e n e r a t o r d i r e c t l y . T h i s

i s n o t a s d i c u l t a s o n e m i g h t i m a g i n e a t r s t s i g h t : b a s i c a l l y c o g e n t u r n s o u t t o b e j u s t a s i m p l e

e x t e n s i o n o f a \ b i n d i n g - t i m e a n a l y s i s " f o r l o g i c p r o g r a m s ( s o m e t h i n g r s t d i s c o v e r e d f o r f u n c t i o n a l

l a n g u a g e s i n 2 4 ] ) .

I n t h i s p a p e r w e w i l l d e s c r i b e t h e r s t c o g e n w r i t t e n i n t h i s w a y f o r a l o g i c p r o g r a m m i n g

l a n g u a g e : a s m a l l s u b s e t o f P r o l o g .

T h e m o s t n o t i c e a b l e a d v a n t a g e s o f t h e c o g e n a p p r o a c h i s t h a t t h e c o g e n a n d t h e c o m p i l e r s i t

g e n e r a t e s c a n u s e a l l f e a t u r e s o f t h e i m p l e m e n t a t i o n l a n g u a g e . T h e r e f o r e , n o r e s t r i c t i o n s d u e t o

s e l f - a p p l i c a t i o n h a v e t o b e i m p o s e d ( t h e c o m p i l e r a n d t h e c o m p i l e r g e n e r a t o r d o n ' t h a v e t o b e

s e l f - a p p l i e d ) ! A s w e w i l l s e e , t h i s l e a d s t o e x t r e m e l y e c i e n t c o m p i l e r s a n d c o m p i l e r g e n e r a t o r s .

S o , i n t h i s c a s e , h a v i n g e x t r a - l o g i c a l f e a t u r e s a t o u r d i s p o s a l m a k e s t h e g e n e r a t i o n o f c o m p i l e r s

e a s i e r a n d l e s s b u r d e n s o m e .

S o m e g e n e r a l a d v a n t a g e s o f t h e c o g e n a p p r o a c h a r e : t h e c o g e n m a n i p u l a t e s o n l y s y n t a x t r e e s

a n d t h e r e i s n o n e e d t o i m p l e m e n t a s e l f - i n t e r p r e t e r

2

; v a l u e s i n t h e c o m p i l e r s a r e r e p r e s e n t e d

d i r e c t l y ( t h e r e i s n o e n c o d i n g o v e r h e a d ) ; a n d i t b e c o m e s e a s i e r t o d e m o n s t r a t e c o r r e c t n e s s f o r

n o n - t r i v i a l l a n g u a g e s ( d u e t o t h e s i m p l i c i t y o f t h e t r a n s f o r m a t i o n ) . I n a d d i t i o n , t h e c o m p i l e r s a r e

s t a n d - a l o n e p r o g r a m s t h a t c a n b e d i s t r i b u t e d w i t h o u t t h e c o g e n .

A f u r t h e r a d v a n t a g e o f t h e c o g e n a p p r o a c h f o r l o g i c l a n g u a g e s i s t h a t t h e c o m p i l e r s a n d c o m p i l e r

g e n e r a t o r s c a n u s e t h e n o n - g r o u n d r e p r e s e n t a t i o n ( a n d e v e n a c o m p i l e d v e r s i o n o f i t ) . T h i s i s i n

c o n t r a s t t o s e l f - a p p l i c a b l e p a r t i a l d e d u c e r s w h i c h m u s t u s e t h e g r o u n d r e p r e s e n t a t i o n i n o r d e r t o

b e d e c l a r a t i v e ( s e e 2 3 , 3 7 , 2 1 ] ) . I n f a c t t h e n o n - g r o u n d r e p r e s e n t a t i o n e x e c u t e s s e v e r a l o r d e r s o f

m a g n i t u d e f a s t e r t h a n t h e g r o u n d r e p r e s e n t a t i o n ( e v e n a f t e r s p e c i a l i s i n g , s e e 9 ] ) a n d , a s s h o w n i n

3 7 ] , c a n b e i m p o s s i b l e t o s p e c i a l i s e s a t i s f a c t o r i l y b y p a r t i a l d e d u c t i o n a l o n e .

3

( N o t e t h a t e v e n 4 2 ]

u s e s a \ m i x e d " r e p r e s e n t a t i o n a p p r o a c h w h i c h l i e s i n b e t w e e n t h e g r o u n d a n d n o n - g r o u n d s t y l e , f o r

f u r t h e r d e t a i l s a b o u t t h e \ m i x e d " r e p r e s e n t a t i o n s e e 3 4 ] o r 2 3 ] w h e r e i t i s c a l l e d I n s t a n c e D e m o )

A l t h o u g h t h e F u t a m u r a p r o j e c t i o n s f o c u s o n h o w t o g e n e r a t e a c o m p i l e r f r o m a n i n t e r p r e t e r ,

t h e p r o j e c t i o n s o f c o u r s e a l s o a p p l y w h e n w e r e p l a c e t h e i n t e r p r e t e r b y s o m e o t h e r p r o g r a m . I n

t h i s c a s e t h e p r o g r a m p r o d u c e d b y t h e s e c o n d F u t a m u r a p r o j e c t i o n i s n o t c a l l e d a c o m p i l e r , b u t

a g e n e r a t i n g e x t e n s i o n . T h e p r o g r a m p r o d u c e d b y t h e t h i r d F u t a m u r a p r o j e c t i o n c o u l d r i g h t l y

b e c a l l e d a g e n e r a t i n g e x t e n s i o n g e n e r a t o r o r g e n g e n , b u t w e w i l l s t i c k t o t h e m o r e c o n v e n t i o n a l

c o g e n .

T h e m a i n c o n t r i b u t i o n s o f t h i s w o r k a r e :

t h e r s t d e s c r i p t i o n o f a h a n d w r i t t e n c o m p i l e r g e n e r a t o r ( c o g e n ) f o r a l o g i c p r o g r a m m i n g

l a n g u a g e w h i c h s h o w s t h a t s u c h a p r o g r a m h a s q u i t e a n e l e g a n t a n d n a t u r a l s t r u c t u r e .

a f o r m a l s p e c i c a t i o n o f t h e c o n c e p t o f b i n d i n g - t i m e a n a l y s i s ( B T A ) i n a ( p u r e ) l o g i c p r o -

g r a m m i n g s e t t i n g a n d a d e s c r i p t i o n o f h o w t o o b t a i n a g e n e r i c a l g o r i t h m f o r p a r t i a l d e d u c t i o n

f r o m s u c h a B T A ( b y d e s c r i b i n g h o w t o o b t a i n a n u n f o l d i n g a n d a g e n e r a l i s a t i o n s t r a t e g y

2

I . e . a m e t a - i n t e r p r e t e r f o r t h e u n d e r l y i n g l a n g u a g e . I n d e e d t h e c o g e n j u s t t r a n s f o r m s t h e p r o g r a m t o b e

s p e c i a l i s e d , y i e l d i n g a c o m p i l e r w h i c h i s t h e n e v a l u a t e d b y t h e u n d e r l y i n g s y s t e m ( a n d n o t b y a s e l f - i n t e r p r e t e r ) .

3

I t i s a m a t t e r o f f u t u r e r e s e a r c h t o s e e w h e t h e r a s e l f - a p p l i c a b l e s p e c i a l i s e r c a n b e w r i t t e n u s i n g t h e n e w

i m p l e m e n t a t i o n a n d s p e c i a l i s a t i o n s c h e m e o f t h e g r o u n d r e p r e s e n t a t i o n d e v e l o p e d i n 3 7 ] .

2


6/30

f r o m t h e r e s u l t o f a B T A )

b e n c h m a r k r e s u l t s s h o w i n g t h e e c i e n c y o f t h e c o g e n , t h e g e n e r a t i n g e x t e n s i o n s a n d t h e

s p e c i a l i s e d p r o g r a m s .

T h e p a p e r i s o r g a n i s e d a s f o l l o w s : I n S e c t . 2 w e f o r m a l i s e t h e c o n c e p t o f o - l i n e p a r t i a l d e -

d u c t i o n a n d t h e a s s o c i a t e d b i n d i n g - t i m e a n a l y s i s . I n S e c t . 3 w e p r e s e n t a n d e x p l a i n o u r c o g e n

a p p r o a c h i n a p u r e l o g i c p r o g r a m m i n g s e t t i n g ( d e t a i l s o n h o w t o e x t e n d t h i s a p p r o a c h t o h a n -

d l e s o m e e x t r a - l o g i c a l b u i l t - i n s a n d t h e i f - t h e n - e l s e c a n b e f o u n d i n A p p e n d i x A ) . I n S e c t . 4 w e

p r e s e n t s o m e e x a m p l e s a n d r e s u l t s u n d e r l i n i n g t h e e c i e n c y o f t h e c o g e n . W e c o n c l u d e w i t h s o m e

d i s c u s s i o n s i n S e c t . 5 .

2 O - L i n e P a r t i a l D e d u c t i o n

T h r o u g h o u t t h i s p a p e r , w e s u p p o s e f a m i l i a r i t y w i t h b a s i c n o t i o n s i n l o g i c p r o g r a m m i n g ( 3 8 ] ) .

N o t a t i o n a l c o n v e n t i o n s a r e s t a n d a r d a n d s e l f - e v i d e n t . I n p a r t i c u l a r , i n p r o g r a m s , w e d e n o t e

v a r i a b l e s t h r o u g h s t r i n g s s t a r t i n g w i t h ( o r u s u a l l y j u s t c o n s i s t i n g o f ) a n u p p e r - c a s e s y m b o l , w h i l e

t h e n o t a t i o n s o f c o n s t a n t s , f u n c t i o n s a n d p r e d i c a t e s b e g i n w i t h a l o w e r - c a s e c h a r a c t e r .

W e w i l l a l s o u s e t h e f o l l o w i n g n o t s o c o m m o n n o t a t i o n s . G i v e n a f u n c t i o n f A ! B w e o f t e n

u s e t h e n a t u r a l e x t e n s i o n o f f f

2

A

! 2

B

, d e n e d b y f

( S ) = f f ( s ) s 2 S g . S i m i l a r l y , g i v e n

a f u n c t i o n f A ! 2

B

w e a l s o d e n e t h e f u n c t i o n f

2

A

! 2

B

b y f

( S ) =

s 2 S

f ( s ) . B o t h f

a n d f

a r e h o m o m o r p h i s m s

4

f r o m 2

A

t o 2

B

. G i v e n a f u n c t i o n f A B ! C a n d a n e l e m e n t

a 2 A w e d e n e t h e c u r r i e d v e r s i o n o f f f

a

B ! C b y f

a

( X ) = f ( a X ) . F i n a l l y , w e w i l l d e n o t e

b y A

i f

! A

t h e n

A

e l s e

t h e P r o l o g c o n d i t i o n a l .

2 . 1 A G e n e r i c P a r t i a l D e d u c t i o n M e t h o d

G i v e n a l o g i c p r o g r a m P a n d a g o a l G p a r t i a l d e d u c t i o n p r o d u c e s a n e w p r o g r a m P w h i c h i s P

\ s p e c i a l i s e d " t o t h e g o a l G ; t h e a i m b e i n g t h a t t h e s p e c i a l i s e d p r o g r a m P i s m o r e e c i e n t t h a n

t h e o r i g i n a l p r o g r a m P f o r a l l g o a l s w h i c h a r e i n s t a n c e s o f G

T h e u n d e r l y i n g t e c h n i q u e o f p a r t i a l d e d u c t i o n i s t o c o n s t r u c t \ i n c o m p l e t e " S L D N F - t r e e s a n d

t h e n e x t r a c t t h e s p e c i a l i s e d p r o g r a m P f r o m t h e s e i n c o m p l e t e s e a r c h t r e e s ( b y t a k i n g r e s u l t a n t s ,

s e e b e l o w ) . A n i n c o m p l e t e S L D N F - t r e e i s a S L D N F - t r e e w h i c h , i n a d d i t i o n t o s u c c e s s a n d f a i l u r e

l e a v e s , m a y a l s o c o n t a i n l e a v e s w h e r e n o l i t e r a l h a s b e e n s e l e c t e d f o r a f u r t h e r d e r i v a t i o n s t e p .

L e a v e s o f t h e l a t t e r k i n d w i l l b e c a l l e d d a n g l i n g ( 4 0 ] ) . I n t h e c o n t e x t o f p a r t i a l d e d u c t i o n t h e s e

i n c o m p l e t e S L D N F - t r e e s a r e o b t a i n e d b y a p p l y i n g a n u n f o l d i n g r u l e , d e n e d a s f o l l o w s .

D e n i t i o n 1 . ( U n f o l d i n g r u l e )

A n u n f o l d i n g r u l e U i s a f u n c t i o n w h i c h , g i v e n a p r o g r a m P a n d a g o a l G , r e t u r n s a n i t e ,

( p o s s i b l y ) i n c o m p l e t e a n d n o n - t r i v i a l

5

S L D N F - t r e e f o r P f G g

G i v e n a n i n c o m p l e t e S L D N F - t r e e , p a r t i a l d e d u c t i o n w i l l g e n e r a t e a s e t o f c l a u s e s b y t a k i n g

r e s u l t a n t s . R e s u l t a n t s a r e d e n e d a s f o l l o w s .

D e n i t i o n 2 . ( r e s u l t a n t s ( ) l e a v e s ( ) )

L e t P b e a n o r m a l p r o g r a m a n d A a n a t o m . L e t b e a n i t e , i n c o m p l e t e S L D N F - t r e e f o r

P f A g i n w h i c h A h a s b e e n s e l e c t e d i n t h e r o o t n o d e . L e t G

1

; : : : ; G

n

b e t h e g o a l s i n

t h e ( n o n - r o o t ) l e a v e s o f t h e n o n - f a i l i n g b r a n c h e s o f . L e t

1

; : : : ;

n

b e t h e c o m p u t e d a n s w e r s o f t h e

d e r i v a t i o n s f r o m A t o G

1

; : : : ; G

n

r e s p e c t i v e l y . T h e n t h e s e t o f r e s u l t a n t s , r e s u l t a n t s ( )

i s d e n e d t o b e t h e s e t o f c l a u s e s f A

1

G

1

; : : : ; A

n

G

n

g . W e a l s o d e n e t h e s e t o f l e a v e s ,

l e a v e s ( ) , t o b e t h e a t o m s o c c u r r i n g i n t h e g o a l s G

1

; : : : ; G

n

4

T h e f u n c t i o n h 2

A

t o 2

B

i s a h o m o m o r p h i s m i h ( ; ) = ; a n d h ( S S ) = h ( S ) h ( S )

5

A t r i v i a l S L D N F - t r e e i s o n e w h o s e r o o t i s a d a n g l i n g l e a f . T h i s r e s t r i c t i o n i s n e c e s s a r y t o o b t a i n c o r r e c t p a r t i a l

d e d u c t i o n s . S e e a l s o D e n i t i o n 2 b e l o w .

3


7/30

P a r t i a l d e d u c t i o n , a s d e n e d f o r i n s t a n c e i n 3 9 ] o r 4 ] , u s e s t h e r e s u l t a n t s f o r a g i v e n s e t o f

a t o m s A t o c o n s t r u c t t h e s p e c i a l i s e d p r o g r a m ( a n d f o r e a c h a t o m i n A a d i e r e n t s p e c i a l i s e d

p r e d i c a t e d e n i t i o n w i l l b e g e n e r a t e d ) . U n d e r t h e c o n d i t i o n s s t a t e d i n 3 9 ] , n a m e l y c l o s e d n e s s a n d

i n d e p e n d e n c e , c o r r e c t n e s s o f t h e s p e c i a l i s e d p r o g r a m i s g u a r a n t e e d .

I n a l o t o f p r a c t i c a l a p p r o a c h e s ( e . g . 1 5 , 1 6 , 1 8 , 3 4 , 3 1 , 3 2 ] ) i n d e p e n d e n c e i s e n s u r e d b y u s i n g

a r e n a m i n g t r a n s f o r m a t i o n w h i c h m a p s d e p e n d e n t a t o m s t o n e w p r e d i c a t e s y m b o l s . A d a p t e d

c o r r e c t n e s s r e s u l t s c a n b e f o u n d i n 3 ] ( s e e a l s o 3 5 ] ) . R e n a m i n g i s o f t e n c o m b i n e d w i t h a r g u m e n t

l t e r i n g t o i m p r o v e t h e e c i e n c y o f t h e s p e c i a l i s e d p r o g r a m ( s e e e . g . 1 7 ] ) .

C l o s e d n e s s c a n b e e n s u r e d b y u s i n g t h e f o l l o w i n g o u t l i n e o f a p a r t i a l d e d u c t i o n a l g o r i t h m

( s i m i l a r t o t h e o n e s u s e d i n e . g . 1 5 , 1 6 , 3 2 , 3 3 ] ) .

A l g o r i t h m 3 . ( P a r t i a l d e d u c t i o n )

1 . L e t S

0

b e t h e s e t o f a t o m s t o b e s p e c i a l i s e d a n d l e t i = 0

2 . A p p l y t h e u n f o l d i n g r u l e U t o e a c h e l e m e n t o f S

i

i

= U

P

( S

i

)

3 S

i + 1

= a b s t r a c t ( S

i

l e a v e s

(

i

) )

4 . I f S

i + 1

6= S

i

( m o d u l o v a r i a b l e r e n a m i n g ) i n c r e m e n t i a n d r e s t a r t a t s t e p 2 , o t h e r w i s e

g e n e r a t e t h e s p e c i a l i s e d p r o g r a m b y a p p l y i n g a r e n a m i n g ( a n d l t e r i n g ) t r a n s f o r m a t i o n

t o r e s u l t a n t s

(

i

)

T h e a b s t r a c t i o n o p e r a t i o n i s u s u a l l y u s e d t o e n s u r e t e r m i n a t i o n a n d c a n b e f o r m a l l y d e n e d

a s f o l l o w s ( 1 5 , 1 6 ] ) .

D e n i t i o n 4 . A n o p e r a t i o n a b s t r a c t ( S ) i s a n y o p e r a t i o n s a t i s f y i n g t h e f o l l o w i n g c o n d i t i o n s . L e t

S b e a n i t e s e t o f a t o m s ; t h e n a b s t r a c t ( S ) i s a n i t e s e t o f a t o m s S w i t h t h e s a m e p r e d i c a t e s a s

t h o s e i n S , s u c h t h a t e v e r y a t o m i n S i s a n i n s t a n c e o f a n a t o m i n S

I f t h e a b o v e a l g o r i t h m t e r m i n a t e s t h e n t h e c l o s e d n e s s c o n d i t i o n i s s a t i s e d . F i n a l l y n o t e t h a t i n

t h e a b o v e a l g o r i t h m t h e a t o m s i n l e a v e s

(

i

) a r e a l l a d d e d a n d a b s t r a c t e d s i m u l t a n e o u s l y , i . e . t h e

a l g o r i t h m p r o g r e s s e s i n a b r e a d t h - r s t m a n n e r . I n g e n e r a l t h i s w i l l y i e l d a d i e r e n t r e s u l t f r o m a

d e p t h - r s t p r o g r e s s i o n ( i . e . a d d i n g o n e a t o m a t a t i m e ) . I f h o w e v e r a b s t r a c t i s a h o m o m o r p h i s m

6

t h e n b o t h p r o g r e s s i o n s w i l l y i e l d e x a c t l y t h e s a m e s e t o f a t o m s a n d t h u s t h e s a m e s p e c i a l i s a t i o n .

2 . 2 O - L i n e P a r t i a l D e d u c t i o n a n d B i n d i n g - T i m e A n a l y s i s

I n A l g o r i t h m 3 o n e c a n d i s t i n g u i s h b e t w e e n t w o d i e r e n t l e v e l s o f c o n t r o l . T h e u n f o l d i n g r u l e U

c o n t r o l s t h e c o n s t r u c t i o n o f t h e i n c o m p l e t e S L D N F - t r e e s . T h i s i s c a l l e d t h e l o c a l c o n t r o l ( w e w i l l

u s e t h e t e r m i n o l o g y o f 1 6 , 4 1 ] ) . T h e a b s t r a c t i o n o p e r a t i o n c o n t r o l s t h e c o n s t r u c t i o n o f t h e s e t o f

a t o m s f o r w h i c h l o c a l S L D N F - t r e e s a r e b u i l t . W e w i l l r e f e r t o t h i s a s p e c t a s t h e g l o b a l c o n t r o l

T h e c o n t r o l p r o b l e m s h a v e b e e n t a c k l e d f r o m t w o d i e r e n t a n g l e s : t h e s o - c a l l e d o - l i n e v e r s u s

o n - l i n e a p p r o a c h e s . T h e o n - l i n e a p p r o a c h p e r f o r m s a l l t h e c o n t r o l d e c i s i o n s d u r i n g t h e a c t u a l

s p e c i a l i s a t i o n p h a s e ( i n o u r c a s e t h e o n e d e p i c t e d i n A l g o r i t h m 3 ) . T h e o - l i n e a p p r o a c h o n t h e

o t h e r h a n d p e r f o r m s a n a n a l y s i s p h a s e p r i o r t o t h e a c t u a l s p e c i a l i s a t i o n p h a s e , b a s e d o n s o m e

r o u g h d e s c r i p t i o n s o f w h a t k i n d s o f s p e c i a l i s a t i o n s w i l l h a v e t o b e p e r f o r m e d . T h e a n a l y s i s p h a s e

p r o v i d e s a n n o t a t i o n s w h i c h t h e n g u i d e t h e c o n t r o l a s p e c t o f t h e p r o p e r s p e c i a l i s a t i o n p h a s e , o f t e n

t o t h e p o i n t o f m a k i n g i t c o m p l e t e l y t r i v i a l .

P a r t i a l e v a l u a t i o n o f f u n c t i o n a l p r o g r a m s ( 1 2 , 2 7 ] ) h a s m a i n l y s t r e s s e d o - l i n e a p p r o a c h e s ,

w h i l e s u p e r c o m p i l a t i o n o f f u n c t i o n a l ( 5 4 , 5 2 ] ) a n d p a r t i a l d e d u c t i o n o f l o g i c p r o g r a m s ( 1 8 , 5 1 , 6 ,

1 0 , 4 0 , 4 1 , 3 2 , 3 6 ] ) h a v e c o n c e n t r a t e d o n o n - l i n e c o n t r o l . ( S o m e e x c e p t i o n s a r e 4 2 , 3 4 , 3 1 ] . )

T h e m a i n r e a s o n f o r u s i n g t h e o - l i n e a p p r o a c h i s t o a c h i e v e e e c t i v e s e l f - a p p l i c a t i o n ( 2 8 ] ) .

B u t t h e o - l i n e a p p r o a c h i s i n g e n e r a l a l s o m o r e e c i e n t , s i n c e m a n y d e c i s i o n s c o n c e r n i n g c o n t r o l

a r e m a d e b e f o r e a n d n o t d u r i n g s p e c i a l i s a t i o n . F o r t h e c o g e n a p p r o a c h t o b e e c i e n t i t i s v i t a l

6

I . e . a b s t r a c t ( ; ) = ; a n d a b s t r a c t ( S S ) = a b s t r a c t ( S ) a b s t r a c t ( S )

4


8/30

t o u s e t h e o - l i n e a p p r o a c h , s i n c e t h e n t h e ( l o c a l ) c o n t r o l c a n b e h a r d - w i r e d i n t o t h e g e n e r a t i n g

e x t e n s i o n .

M o s t o - l i n e a p p r o a c h e s p e r f o r m w h a t i s c a l l e d a b i n d i n g - t i m e a n a l y s i s ( B T A ) p r i o r t o t h e

s p e c i a l i s a t i o n p h a s e . T h i s p h a s e c l a s s i e s a r g u m e n t s t o p r e d i c a t e c a l l s a s e i t h e r s t a t i c o r d y n a m i c

T h e v a l u e o f a s t a t i c a r g u m e n t i s d e n i t e l y k n o w n ( b o u n d ) a t s p e c i a l i s a t i o n t i m e w h e r e a s a

d y n a m i c a r g u m e n t i s n o t d e n i t e l y k n o w n ( i t m i g h t o n l y b e k n o w n a t t h e a c t u a l r u n - t i m e o f t h e

p r o g r a m ) . I n t h e c o n t e x t o f p a r t i a l d e d u c t i o n , a s t a t i c a r g u m e n t c a n b e s e e n a s b e i n g a t e r m

w h i c h i s g u a r a n t e e d n o t t o b e m o r e i n s t a n t i a t e d a t r u n - t i m e ( i t c a n n e v e r b e l e s s i n s t a n t i a t e d

a t r u n - t i m e ) . F o r e x a m p l e i f w e s p e c i a l i s e a p r o g r a m f o r a l l i n s t a n c e s o f p ( a X ) t h e n t h e r s t

a r g u m e n t t o p i s s t a t i c w h i l e t h e s e c o n d o n e i s d y n a m i c | a c t u a l r u n - t i m e i n s t a n c e s m i g h t b e

p ( a b ) p ( a Z ) p ( a X ) b u t n o t p ( b c ) . W e w i l l a l s o s a y t h a t a n a t o m i s s t a t i c i f a l l i t s a r g u m e n t s

a r e s t a t i c a n d l i k e w i s e t h a t a g o a l i s s t a t i c i f i t c o n s i s t o n l y o f s t a t i c ( l i t e r a l s ) a t o m s .

W e w i l l n o w f o r m a l i s e t h e c o n c e p t o f a b i n d i n g - t i m e a n a l y s i s . F o r t h a t w e r s t d e n e t h e

c o n c e p t o f d i v i s i o n s w h i c h c l a s s i f y a r g u m e n t s i n t o s t a t i c a n d d y n a m i c o n e s .

D e n i t i o n 5 . ( D i v i s i o n )

A d i v i s i o n o f a r i t y n i s a c o u p l e ( S D ) o f s e t s o f i n t e g e r s s u c h t h a t S D = f 1 ; : : : ; n g a n d

S \ D = ;

W e a l s o d e n e t h e f u n c t i o n d i v i d e w h i c h , g i v e n a d i v i s i o n a n d a t u p l e o f a r g u m e n t s , d i v i d e s

t h e a r g u m e n t s i n t o t h e s t a t i c a n d t h e d y n a m i c o n e s :

d i v i d e

( S D )

( ( t

1

; : : : ; t

n

) ) = ( ( t

i

1

; : : : ; t

i

k

) ( t

j

1

; : : : ; t

j

) ) w h e r e ( i

1

; : : : ; i

k

) ( r e s p . ( j

1

; : : : ; j

k

) ) a r e t h e

e l e m e n t s o f S ( r e s p . D ) i n a s c e n d i n g o r d e r .

A s a n o t a t i o n a l c o n v e n i e n c e w e w i l l u s e (

1

; : : : ;

n

) t o d e n o t e a d i v i s i o n ( S D ) o f a r i t y n , w h e r e

i

= s i f i 2 S a n d

i

= d i f i 2 D . F o r e x a m p l e ( s d ) d e n o t e s t h e d i v i s i o n ( f 1 g f 2 g ) o f a r i t y 2 .

F r o m n o w o n w e w i l l a l s o u s e t h e n o t a t i o n P r e d ( P ) t o d e n o t e t h e p r e d i c a t e s y m b o l s o c c u r r i n g

i n s i d e a p r o g r a m P . W e n o w d e n e a d i v i s i o n f o r a p r o g r a m P w h i c h d i v i d e s t h e a r g u m e n t s o f

e v e r y p r e d i c a t e p 2 P r e d ( P ) i n t o t h e s t a t i c a n d t h e d y n a m i c o n e s :

D e n i t i o n 6 . ( D i v i s i o n f o r a p r o g r a m )

A d i v i s i o n f o r a p r o g r a m P i s a m a p p i n g f r o m P r e d ( P ) t o d i v i s i o n s h a v i n g t h e a r i t y o f t h e

c o r r e s p o n d i n g p r e d i c a t e s . I n a c c o r d a n c e w i t h t h e n o t a t i o n s o u t l i n e d a t t h e b e g i n n i n g o f t h i s

s e c t i o n , w e w i l l o f t e n w r i t e

p

f o r ( p ) . W e a l s o d e n e t h e f u n c t i o n

s

p

b y

s

p

( x ) = y i

d i v i d e

p

( x ) = ( y z ) . S i m i l a r l y w e d e n e t h e f u n c t i o n

d

p

b y

d

p

( x ) = z i d i v i d e

p

( x ) = ( y z )

E x a m p l e 1 . ( f 1 g f 2 g ) i s a d i v i s i o n o f a r i t y 2 a n d ( f 2 3 g f 1 g ) a d i v i s i o n o f a r i t y 3 a n d w e h a v e f o r

i n s t a n c e d i v i d e

( f 2 3 g f 1 g )

( ( a ; b ; X ) ) = ( ( b X ) ( a ) ) . L e t P b e a p r o g r a m c o n t a i n i n g t h e p r e d i c a t e

s y m b o l s p = 2 a n d q = 3 . T h e n = f p = 2 ! ( f 1 g f 2 g ) q = 3 ! ( f 2 3 g f 1 g ) g i s a d i v i s i o n f o r P ( u s i n g

t h e n o t a t i o n a l c o n v e n i e n c e i n t r o d u c e d a b o v e w e c a n a l s o w r i t e = f p = 2 ! ( s d ) q = 3 ! ( d ; s ; s ) g )

W e t h e n h a v e f o r e x a m p l e

s

q

( ( a ; b ; X ) ) = ( b X ) a n d

d

q

( ( a ; b ; X ) ) = ( a )

D i v i s i o n s c a n b e o r d e r e d . A d i v i s i o n i s m o r e g e n e r a l t h a n a n o t h e r o n e i f i t c l a s s i e s m o r e

a r g u m e n t s a s d y n a m i c . T h i s i s c a p t u r e d b y t h e f o l l o w i n g d e n i t i o n .

D e n i t i o n 7 . ( P a r t i a l o r d e r o f d i v i s i o n s )

D i v i s i o n s o f t h e s a m e a r i t y a r e p a r t i a l l y o r d e r e d : ( S D ) v ( S D ) i D D

W e a l s o d e n e t h e n o t a t i o n ?

n

= ( f 1 ; : : : ; n g ; ) a n d >

n

= ( ; f 1 ; : : : ; n g )

7

T h i s o r d e r c a n b e e x t e n d e d t o d i v i s i o n s f o r s o m e p r o g r a m P . W e s a y t h a t i s m o r e g e n e r a l

t h a n , d e n o t e d b y v , i f o r a l l p r e d i c a t e s p 2 P r e d ( P )

p

v

p

A s a l r e a d y m e n t i o n e d , a b i n d i n g - t i m e a n a l y s i s w i l l , g i v e n a p r o g r a m P ( a n d s o m e d e s c r i p t i o n o f

h o w P w i l l b e s p e c i a l i s e d ) , p e r f o r m a p r e - p r o c e s s i n g a n a l y s i s a n d r e t u r n a d i v i s i o n f o r P d e s c r i b i n g

7

I n f a c t w e h a v e a l a t t i c e a n d t h e l u b f o r d i v i s i o n s o f a r i t y n s ( S D ) t ( S D ) = ( D D n ) a n d t h e g l b s

( S D ) u ( D D ) = ( D \ D n ) , w h e r e ( D n ) = ( f 1 ; : : : ; n g D D ) . T h e l u b a n d g l b c a n a l s o b e e x t e n d e d t o

d i v i s i o n s o f p r o g r a m s .

5


9/30

w h e n v a l u e s w i l l b e b o u n d ( i . e . k n o w n ) . I t w i l l a l s o r e t u r n a n a n n o t a t i o n w h i c h w i l l t h e n g u i d e

t h e l o c a l u n f o l d i n g p r o c e s s o f t h e a c t u a l p a r t i a l d e d u c t i o n . F r o m a t h e o r e t i c a l v i e w p o i n t a n

a n n o t a t i o n r e s t r i c t s t h e p o s s i b l e u n f o l d i n g r u l e s t h a t c a n b e u s e d ( e . g . t h e a n n o t a t i o n c o u l d s t a t e

t h a t p r e d i c a t e c a l l s t o p s h o u l d n e v e r b e u n f o l d e d w h e r e a s c a l l s t o q s h o u l d a l w a y s b e u n f o l d e d ) .

W e t h e r e f o r e d e n e a n n o t a t i o n s a s f o l l o w s :

D e n i t i o n 8 . ( A n n o t a t i o n )

A n a n n o t a t i o n A i s a s e t o f u n f o l d i n g r u l e s ( i . e . i t i s a s u b s e t o f t h e s e t o f a l l p o s s i b l e u n f o l d i n g

r u l e s ) .

I n o r d e r t o b e r e a l l y o - l i n e , t h e u n f o l d i n g r u l e s i n t h e a n n o t a t i o n s h o u l d n o t t a k e t h e u n f o l d i n g

h i s t o r y i n t o a c c o u n t a n d s h o u l d n o t d e p e n d \ t o o m u c h " o n t h e a c t u a l v a l u e s o f t h e s t a t i c ( n o r

d y n a m i c ) a r g u m e n t s . W e w i l l c o m e b a c k i n t h e f o l l o w i n g s u b s e c t i o n o n w h a t a n n o t a t i o n s c a n

l o o k l i k e f r o m a p r a c t i c a l v i e w p o i n t . W e a r e n o w i n a p o s i t i o n t o f o r m a l l y d e n e a b i n d i n g - t i m e

a n a l y s i s i n t h e c o n t e x t o f ( p u r e ) l o g i c p r o g r a m s :

D e n i t i o n 9 . ( B T A B T C )

A b i n d i n g - t i m e a n a l y s i s ( B T A ) y i e l d s , g i v e n a p r o g r a m P a n d a n i n i t i a l d i v i s i o n

0

f o r P a

c o u p l e ( A ) c o n s i s t i n g o f a n a n n o t a t i o n A a n d a d i v i s i o n f o r P m o r e g e n e r a l t h a n

0

W e

w i l l c a l l t h e r e s u l t o f a b i n d i n g - t i m e a n a l y s i s a b i n d i n g - t i m e c l a s s i c a t i o n ( B T C )

T h e i n i t i a l d i v i s i o n

0

g i v e s i n f o r m a t i o n a b o u t h o w t h e p r o g r a m w i l l b e s p e c i a l i s e d . I n f a c t

0

s p e c i e s w h a t t h e i n i t i a l a t o m ( s ) t o b e s p e c i a l i s e d ( i . e . t h e o n e s i n S

0

o f A l g o r i t h m 3 ) w i l l l o o k

l i k e ( i f p d o e s n o t o c c u r i n S

0

w e s i m p l y s e t

0

( p ) = ?

n

) . T h e r o l e o f i s t o g i v e i n f o r m a t i o n

a b o u t w h a t t h e a t o m s i n A l g o r i t h m 3 w i l l l o o k l i k e a t t h e g l o b a l l e v e l . I n t h a t l i g h t , n o t a l l

B T C a s s p e c i e d a b o v e a r e c o r r e c t a n d w e n o w d e v e l o p a s a f e t y c r i t e r i o n f o r a B T C w r t a g i v e n

p r o g r a m . B a s i c a l l y a B T C i s s a f e i e v e r y a t o m t h a t c a n p o t e n t i a l l y a p p e a r i n o n e o f t h e s e t s S

i

o f A l g o r i t h m 3 ( g i v e n t h e r e s t r i c t i o n s i m p o s e d b y t h e a n n o t a t i o n o f t h e B T A ) c o r r e s p o n d s t o t h e

p a t t e r n s d e s c r i b e d b y . N o t e t h a t i f a p r e d i c a t e p i s a l w a y s u n f o l d e d b y t h e u n f o l d i n g r u l e u s e d

i n A l g o r i t h m 3 t h e n i t i s i r r e l e v a n t w h a t t h e v a l u e o f

p

i s

F o r s i m p l i c i t y , w e w i l l f r o m n o w o n i m p o s e t h a t a s t a t i c a r g u m e n t m u s t b e g r o u n d

8

I n

p a r t i c u l a r t h i s g u a r a n t e e s o u r e a r l i e r r e q u i r e m e n t t h a t t h e a r g u m e n t w i l l n o t b e m o r e i n s t a n t i a t e d

a t r u n - t i m e .

D e n i t i o n 1 0 . ( s a f e w r t )

L e t P b e a p r o g r a m a n d l e t b e a d i v i s i o n f o r P a n d l e t p (

t ) b e a n a t o m w i t h p 2 P r e d ( P )

T h e n p (

t ) i s s a f e w r t i

s

p

(

t ) i s a t u p l e o f g r o u n d t e r m s . A s e t o f a t o m s S i s s a f e w r t i

e v e r y a t o m i n S i s s a f e w r t . A l s o a g o a l G i s s a f e w r t i a l l t h e a t o m s o c c u r r i n g i n G a r e

s a f e w r t .

F o r e x a m p l e p ( a X ) i s s a f e w r t = f p = 2 ! ( s d ) g w h i l e p ( X a ) i s n o t .

D e n i t i o n 1 1 . ( s a f e B T C , s a f e B T A )

L e t = ( A ) b e a B T C f o r a p r o g r a m P a n d l e t U 2 A b e a n u n f o l d i n g r u l e . T h e n i s a s a f e

B T C f o r P a n d U i f o r e v e r y g o a l G , w h i c h i s s a f e w r t , U r e t u r n s a n i n c o m p l e t e S L D N F - t r e e

w h o s e l e a f g o a l s a r e s a f e w r t . A l s o i s a s a f e B T C f o r P i i t i s a s a f e B T C f o r P a n d f o r

e v e r y u n f o l d i n g r u l e U 2 A A B T A i s s a f e i f f o r a n y p r o g r a m P i t p r o d u c e s a s a f e B T C f o r P

S o , t h e a b o v e d e n i t i o n r e q u i r e s a t o m s t o b e s a f e i n t h e l e a v e s o f i n c o m p l e t e S L D N F - t r e e s ,

i . e . a t t h e p o i n t w h e r e t h e a t o m s g e t a b s t r a c t e d a n d t h e n l i f t e d t o t h e g l o b a l l e v e l .

9

S o , i n o r d e r

f o r t h e a b o v e c o n d i t i o n t o e n s u r e s a f e t y a t a l l s t a g e s o f A l g o r i t h m 3 , t h e p a r t i c u l a r a b s t r a c t i o n

o p e r a t i o n s h o u l d n o t a b s t r a c t a t o m s w h i c h a r e s a f e w r t i n t o a t o m s w h i c h a r e n o l o n g e r s a f e

w r t . T h i s m o t i v a t e s t h e f o l l o w i n g d e n i t i o n :

8

T h i s s i m p l i e s s t a t i n g t h e s a f e t y c r i t e r i o n o f a B T A b e c a u s e o n e d o e s n o t h a v e t o r e a s o n a b o u t \ f r e e n e s s " . I n

a s i m i l a r v e i n t h i s a l s o m a k e s t h e B T A i t s e l f e a s i e r .

9

A l s o , w h e n l e a v i n g t h e p u r e l o g i c p r o g r a m m i n g c o n t e x t a n d a l l o w i n g e x t r a - l o g i c a l b u i l t - i n s ( l i k e = = 2 ) a l o c a l

s a f e t y c o n d i t i o n w i l l a l s o b e r e q u i r e d .

6


10/30

D e n i t i o n 1 2 . A n a b s t r a c t i o n o p e r a t i o n a b s t r a c t i s s a f e w r t a d i v i s i o n f o r s o m e p r o g r a m P

i f o r e v e r y n i t e s e t o f a t o m s S , w h i c h i s s a f e w r t , a b s t r a c t ( S ) i s a l s o s a f e w r t .

E x a m p l e 2 . L e t P b e t h e w e l l k n o w n a p p e n d p r o g r a m

( 1 ) a p p ( ; L ; L )

( 2 ) a p p ( H X Y H Z ) a p p ( X ; Y ; Z )

L e t = f a p p ! ( s ; d ; d ) g a n d l e t A L b e t h e s e t o f a l l u n f o l d i n g r u l e s . T h e n ( A L ) i s a s a f e

B T C f o r P . F o r e x a m p l e t h e g o a l a p p ( a b ; Y ; Z ) i s s a f e w r t a n d a n u n f o l d i n g r u l e c a n

e i t h e r s t o p a t a p p ( b ; Y ; Z ) a p p ( Y Z ) o r a t t h e e m p t y g o a l 2 . A l l o f t h e s e g o a l s a r e

s a f e w r t . I n g e n e r a l , u n f o l d i n g a g o a l a p p ( t

1

t

2

t

3

) w h e r e t

1

i s g r o u n d , l e a d s o n l y t o g o a l s

w h o s e r s t a r g u m e n t s a r e g r o u n d .

2 . 3 A P a r t i c u l a r O - L i n e P a r t i a l D e d u c t i o n M e t h o d

I n t h i s s u b s e c t i o n w e d e n e a s p e c i c o - l i n e p a r t i a l d e d u c t i o n m e t h o d w h i c h w i l l s e r v e a s t h e

b a s i s f o r t h e c o g e n d e v e l o p e d i n t h e r e m a i n d e r o f t h i s p a p e r . F o r s i m p l i c i t y , w e w i l l f r o m n o w o n

r e s t r i c t o u r s e l v e s t o d e n i t e p r o g r a m s . N e g a t i o n w i l l i n p r a c t i c e b e t r e a t e d i n t h e c o g e n e i t h e r a s

a b u i l t - i n o r v i a t h e i f - t h e n - e l s e c o n s t r u c t ( s e e A p p e n d i x A ) .

L e t u s r s t d e n e a p a r t i c u l a r u n f o l d i n g r u l e .

D e n i t i o n 1 3 . ( U

L

)

L e t L P r e d ( P ) . W e w i l l c a l l L t h e s e t o f r e d u c i b l e p r e d i c a t e s . A l s o a n a t o m w i l l b e c a l l e d

r e d u c i b l e i i t s p r e d i c a t e s y m b o l i s i n L . W e t h e n d e n e t h e u n f o l d i n g r u l e U

L

t o b e t h e u n f o l d i n g

r u l e w h i c h s e l e c t s t h e l e f t m o s t r e d u c i b l e a t o m i n e a c h g o a l ( a n d o f c o u r s e , f o r a t o m i c g o a l s A

i n t h e r o o t , i t a l w a y s s e l e c t s A )

W e w i l l u s e s u c h u n f o l d i n g r u l e s i n A l g o r i t h m 3 a n d w e w i l l r e s t r i c t o u r s e l v e s ( t o a v o i d d i s -

t r a c t i n g f r o m t h e e s s e n t i a l p o i n t s ) t o s a f e B T A ' s w h i c h r e t u r n r e s u l t s o f t h e f o r m = ( f U

L

g )

I n t h e a c t u a l i m p l e m e n t a t i o n o f t h e c o g e n ( A p p e n d i x B ) w e u s e a s l i g h t l y m o r e l i b e r a l a p p r o a c h

i n t h e s e n s e t h a t s p e c i c p r o g r a m p o i n t s ( c a l l s t o p r e d i c a t e s ) a r e a n n o t a t e d a s e i t h e r r e d u c i b l e o r

n o n - r e d u c i b l e . A l s o n o t e t h a t n o t h i n g p r e v e n t s a B T A f r o m h a v i n g a p r e - p r o c e s s i n g p h a s e w h i c h

s p l i t s t h e p r e d i c a t e s a c c o r d i n g t o t h e i r d i e r e n t u s e s .

E x a m p l e 3 . L e t P b e t h e f o l l o w i n g p r o g r a m

( 1 ) p ( X ) q ( X Y ) q ( Y Z )

( 2 ) q ( a b )

( 3 ) q ( b a )

L e t = f p ! ( s ) q ! ( s d ) g . T h e n = ( f U

f q g

g ) i s a s a f e B T C f o r P . F o r e x a m p l e t h e

g o a l p ( a ) i s s a f e w r t a n d u n f o l d i n g i t a c c o r d i n g t o U

f q g

w i l l l e a d ( v i a t h e i n t e r m e d i a t e g o a l s

q ( a Y ) q ( Y Z ) a n d q ( b Z ) ) t o t h e e m p t y g o a l 2 w h i c h i s s a f e w r t . N o t e t h a t e v e r y

s e l e c t e d a t o m i s s a f e w r t .

1 0

A l s o n o t e t h a t = ( f U

f g

g ) i s a n o t a s a f e B T C f o r P . F o r

i n s t a n c e , f o r t h e g o a l p ( a ) t h e u n f o l d i n g r u l e U

f g

u s t p e r f o r m s o n e u n f o l d i n g s t e p a n d t h u s

s t o p s a t t h e g o a l q ( a Y ) q ( Y Z ) w h i c h c o n t a i n s t h e u n s a f e a t o m q ( Y Z )

T h e o n l y t h i n g t h a t i s m i s s i n g i n o r d e r t o a r r i v e a t a c o n c r e t e i n s t a n c e o f A l g o r i t h m 3 i s a

( s a f e ) a b s t r a c t i o n o p e r a t i o n , w h i c h w e d e n e i n t h e f o l l o w i n g .

D e n i t i o n 1 4 . ( g e n

a b s t r a c t

)

L e t P b e a p r o g r a m a n d b e a d i v i s i o n f o r P . L e t A = p (

t ) w i t h p 2 P r e d ( P ) . W e t h e n d e n o t e

b y g e n

( A ) a n a t o m o b t a i n e d f r o m A b y r e p l a c i n g a l l d y n a m i c a r g u m e n t s o f A ( a c c o r d i n g t o

p

)

b y d i s t i n c t v a r i a b l e s n o t o c c u r r i n g i n A .

W e a l s o d e n e t h e a b s t r a c t i o n o p e r a t i o n a b s t r a c t

t o b e t h e n a t u r a l e x t e n s i o n o f t h e f u n c t i o n

g e n

a b s t r a c t

= g e n

1 0

A s a l r e a d y m e n t i o n e d , t h i s i s n o t r e q u i r e d i n d e n i t i o n 1 1 b u t ( a m o n g o t h e r s ) s u c h a c o n d i t i o n w i l l h a v e t o b e

i n c o r p o r a t e d f o r t h e s e l e c t i o n o f e x t r a - l o g i c a l b u i l t - i n ' s .

7


11/30

F o r e x a m p l e , i f t h e d i v i s i o n i s f p = 2 ! ( s d ) q = 3 ! ( d ; s ; s ) g t h e n g e n

( p ( a b ) ) = p ( a X )

a n d g e n

( q ( a ; b ; c ) ) = q ( X ; b ; c ) . T h e n a b s t r a c t

( f p ( a b ) q ( a ; b ; c ) g ) = f p ( a X ) q ( X ; b ; c ) g . N o t e

t h a t , t r i v i a l l y , a b s t r a c t

i s s a f e w r t .

N o t e t h a t a b s t r a c t

i s a h o m o m o r p h i s m a n d h e n c e , a s a l r e a d y n o t e d , w e c a n u s e a d e p t h - r s t

p r o g r e s s i o n i n A l g o r i t h m 3 a n d s t i l l g e t t h e s a m e s p e c i a l i s a t i o n . T h i s i s s o m e t h i n g w h i c h w e w i l l

a c t u a l l y d o i n t h e p r a c t i c a l i m p l e m e n t a t i o n .

I n t h e r e m a i n d e r o f t h i s p a p e r w e w i l l u s e t h e f o l l o w i n g o - l i n e p a r t i a l d e d u c t i o n m e t h o d :

A l g o r i t h m 1 5 . ( o - l i n e p a r t i a l d e d u c t i o n )

1 . P e r f o r m a B T A ( p o s s i b l y b y h a n d ) r e t u r n i n g r e s u l t s o f t h e f o r m ( f U

L

g )

2 . P e r f o r m A l g o r i t h m 3 w i t h U

L

a s u n f o l d i n g r u l e a n d a b s t r a c t

a s a b s t r a c t i o n o p e r a t i o n . T h e

i n i t i a l s e t o f a t o m s S

0

s h o u l d o n l y c o n t a i n a t o m s w h i c h a r e s a f e w r t .

P r o p o s i t i o n 1 6 . L e t ( f U

L

g ) b e a s a f e B T C f o r a p r o g r a m P . L e t S

0

b e a s e t o f a t o m s s a f e

w r t . I f A l g o r i t h m 1 5 t e r m i n a t e s t h e n t h e n a l s e t S

i

o n l y c o n t a i n s a t o m s s a f e w r t

W e w i l l e x p l a i n h o w t h i s p a r t i c u l a r p a r t i a l d e d u c t i o n m e t h o d w o r k s b y l o o k i n g a t a n e x a m p l e .

E x a m p l e 4 . W e u s e a s m a l l g e n e r i c p a r s e r f o r a s e t o f l a n g u a g e s w h i c h a r e d e n e d b y g r a m m a r s o f

t h e f o r m S = a S X ( w h e r e X i s a p l a c e h o l d e r f o r a t e r m i n a l s y m b o l ) . T h e e x a m p l e i s a d a p t e d

f r o m 2 9 ] a n d t h e p a r s e r P i s d e p i c t e d i n F i g . 1 .

G i v e n t h e i n i t i a l d i v i s i o n

0

= f n o n t = 3 ! ( s ; d ; d ) t = 3 ! ?

3

g a B T A m i g h t r e t u r n t h e

f o l l o w i n g r e s u l t = ( f U

f t = 3 g

g ) w h e r e = f n o n t = 3 ! ( s ; d ; d ) t = 3 ! ( s ; d ; d ) g . I t c a n b e s e e n

t h a t i s a s a f e B T C f o r P

L e t u s n o w p e r f o r m t h e p r o p e r p a r t i a l d e d u c t i o n f o r S

0

= f n o n t ( c ; R ; T ) g . N o t e t h a t t h e a t o m

n o n t ( c ; R ; T ) i s s a f e w r t

0

( a n d h e n c e a l s o w r t ) . U n f o l d i n g t h e a t o m i n S

0

y i e l d s t h e S L D - t r e e

i n F i g . 2 . W e s e e t h a t t h e a t o m s i n t h e l e a v e s a r e f n o n t ( c ; V ; T ) g a n d w e o b t a i n S

1

= S

0

. T h e

s p e c i a l i s e d p r o g r a m a f t e r r e n a m i n g a n d l t e r i n g l o o k s l i k e :

n o n t

c

( a V R ) n o n t

c

( V R )

n o n t

c

( c R R )

( 1 ) n o n t ( X ; T ; R ) t ( a ; T ; V ) ; n o n t ( X ; V ; R )

( 2 ) n o n t ( X ; T ; R ) t ( X ; T ; R )

( 3 ) t ( X X E S E S )

F i g u r e 1 : A p a r s e r

3 T h e c o g e n a p p r o a c h f o r l o g i c p r o g r a m m i n g l a n g u a g e s

F o r p r e s e n t a t i o n p u r p o s e s w e f r o m n o w o n s u p p o s e t h a t i n A l g o r i t h m 1 5 t h e i n i t i a l s e t S

0

c o n s i s t s

o f j u s t a s i n g l e a t o m A

0

( a c o n v e n t i o n a d h e r e d t o b y a l o t o f p r a c t i c a l p a r t i a l d e d u c t i o n s y s t e m s ) .

A g e n e r a t i n g e x t e n s i o n o f a p r o g r a m P w i t h r e s p e c t t o a g i v e n s a f e B T C ( f U

L

g ) f o r P , i s a

p r o g r a m t h a t p e r f o r m s s p e c i a l i s a t i o n ( u s i n g p a r t 2 o f A l g o r i t h m 1 5 ) o f a n y a t o m A

0

w h i c h i s s a f e

w r t . S o i n t h e c a s e o f t h e p a r s e r f r o m E x . 4 a g e n e r a t i n g e x t e n s i o n i s a p r o g r a m t h a t , w h e n

g i v e n t h e s a f e c a l l n o n t ( c ; R ; T ) , p r o d u c e s t h e r e s i d u a l p r o g r a m s h o w n i n t h e e x a m p l e .

A c o m p i l e r g e n e r a t o r c o g e n , i s a p r o g r a m t h a t g i v e n a p r o g r a m P a n d a s a f e B T C f o r P

p r o d u c e s a g e n e r a t i n g e x t e n s i o n o f P w r t

W e w i l l r s t c o n s i d e r w h a t t h e g e n e r a t i n g e x t e n s i o n s w r t a p r o g r a m P a n d a s a f e B T C

s h o u l d l o o k l i k e . O n c e t h i s i s c l e a r w e w i l l c o n s i d e r w h a t c o g e n s h o u l d l o o k l i k e .

8


12/30

@

@

@R

? ?

( 2 )

t ( a ; T ; V ) ; n o n t ( c ; V ; R ) t ( c ; T ; R )

n o n t ( c ; V ; R ) 2

( 3 )( 3 )

( 1 )

n o n t ( c ; T ; R )

F i g u r e 2 : U n f o l d i n g t h e p a r s e r o f F i g . 1

A s a l r e a d y s t a t e d , a g e n e r a t i n g e x t e n s i o n s h o u l d s p e c i a l i s e s a f e c a l l s t o p r e d i c a t e s . L e t u s

r s t c o n s i d e r t h e u n f o l d i n g a s p e c t o f s p e c i a l i s a t i o n . T h e p a r t i a l d e d u c t i o n a l g o r i t h m r s t u n f o l d s

t h e i n i t i a l t o p - l e v e l a t o m ( t o e n s u r e a n o n - t r i v i a l t r e e ) . I t t h e n p r o c e e d s w i t h t h e u n f o l d i n g u n t i l

n o m o r e r e d u c i b l e a t o m s c a n b e s e l e c t e d a n d c o l l e c t s t h e a t o m s i n t h e l e a v e s o f t h e u n f o l d e d

S L D N F - t r e e . T h i s p r o c e s s i s r e p e a t e d f o r a l l t h e n e w ( g e n e r a l i s e d ) a t o m s w h i c h h a v e n o t y e t

b e e n u n f o l d e d , u n t i l n o m o r e n e w n o n - r e d u c i b l e a t o m s a r e f o u n d . N o t i c e t h a t a l l p r e d i c a t e s m a y

p o t e n t i a l l y h a v e t o b e u n f o l d e d .

T h e c r u c i a l i d e a f o r s i m p l i c i t y a n d e c i e n c y o f t h e g e n e r a t i n g e x t e n s i o n i s t o i n c o r p o r a t e a

s p e c i c p r e d i c a t e p

u

f o r e a c h p r e d i c a t e p = n . T h i s p r e d i c a t e h a s n + 1 a r g u m e n t s a n d i s t a i l o r e d

t o w a r d s u n f o l d i n g c a l l s t o p = n . T h e r s t n a r g u m e n t s c o r r e s p o n d t o t h e a r g u m e n t s o f t h e c a l l t o

p = n w h i c h h a s t o b e u n f o l d e d . T h e l a s t a r g u m e n t c o l l e c t s t h e r e s u l t o f t h e u n f o l d i n g p r o c e s s . M o r e

p r e c i s e l y , p

u

( t

1

; : : : ; t

n

B ) w i l l s u c c e e d f o r e a c h b r a n c h o f t h e i n c o m p l e t e S L D N F - t r e e o b t a i n e d b y

a p p l y i n g t h e u n f o l d i n g U

L

t o p ( t

1

; : : : ; t

n

) w h e r e b y i t w i l l r e t u r n i n B t h e a t o m s i n t h e l e a f o f t h e

b r a n c h

1 1

a n d a l s o i n s t a n t i a t e t

1

; : : : ; t

n

v i a t h e c o m p o s i t i o n o f m g u ' s o f t h e b r a n c h . F o r c o m p l e t e

S L D N F - t r e e s ( i . e . f o r a t o m s w h i c h g e t f u l l y u n f o l d e d ) t h e a b o v e c a n b e o b t a i n e d v e r y e c i e n t l y

b y s i m p l y e x e c u t i n g t h e o r i g i n a l p r e d i c a t e d e n i t i o n o f p f o r t h e g o a l p ( t

1

; : : : ; t

n

) ( n o a t o m s i n

t h e l e a v e s h a v e t o b e r e t u r n e d b e c a u s e t h e r e a r e n o n e ) . T o h a n d l e t h e c a s e o f i n c o m p l e t e S L D N F -

t r e e s w e j u s t h a v e t o a d a p t t h e d e n i t i o n o f p s o t h a t u n f o l d i n g c a n b e s t o p p e d ( f o r n o n - r e d u c i b l e

p r e d i c a t e s a c c o r d i n g t o U

L

) a n d s o t h a t i n t h a t c a s e t h e a t o m s i n t h e l e a v e s a r e c o l l e c t e d .

T h i s c a n b e o b t a i n e d v e r y e a s i l y b y t r a n s f o r m i n g e v e r y c l a u s e d e n i n g t h e p r e d i c a t e p = n i n t o a

c l a u s e f o r p

u

= ( n + 1 ) , a s d o n e i n t h e f o l l o w i n g d e n i t i o n . T h e f o l l o w i n g c o u l d a c t u a l l y b e c a l l e d a

c o m p i l e d n o n - g r o u n d r e p r e s e n t a t i o n , a n d c o n t r i b u t e s m u c h t o t h e n a l e c i e n c y o f t h e g e n e r a t i n g

e x t e n s i o n s .

D e n i t i o n 1 7 . L e t P b e a p r o g r a m a n d C = p ( t ) A

1

; : : : ; A

k

a c l a u s e o f P d e n i n g a p r e d i c a t e

s y m b o l p = n . L e t L P r e d ( P ) b e a s e t o f r e d u c i b l e p r e d i c a t e s y m b o l s . W e t h e n d e n e t h e c l a u s e

C

L

u

f o r t h e p r e d i c a t e p

u

t o b e :

p

u

( t R

1

; : : : ; R

k

) S

1

; : : : ; S

k

w h e r e

1 S

i

= q

u

( s R

i

) a n d R

i

i s a f r e s h u n u s e d v a r i a b l e , i f A

i

= q ( s ) i s r e d u c i b l e

2 S

i

= t r u e a n d R

i

= A

i

i f A

i

i s n o t r e d u c i b l e

W e w i l l d e n o t e b y P

L

u

t h e p r o g r a m o b t a i n e d b y a p p l y i n g t h e a b o v e t r a n s f o r m a t i o n t o e v e r y c l a u s e

i n P a n d r e m o v i n g a l l t r u e a t o m s f r o m t h e b o d i e s .

I n t h e a b o v e d e n i t i o n i n s e r t i n g a l i t e r a l o f t h e f o r m q

u

( s R

i

) c o r r e s p o n d s t o f u r t h e r u n f o l d i n g

w h e r e a s i n s e r t i n g t r u e c o r r e s p o n d s t o s t o p p i n g t h e u n f o l d i n g p r o c e s s . I n t h e c a s e o f E x . 4 w i t h

L = f t = 3 g , a p p l y i n g t h e a b o v e t o t h e p r o g r a m P o f F i g . 1 g i v e s r i s e t o t h e f o l l o w i n g p r o g r a m P

L

u

1 1

F o r r e a s o n s o f c l a r i t y a n d s i m p l i c i t y i n u n a t t e n e d f o r m .

9


13/30

n o n t _ u ( X , T , R , V 1 , n o n t ( X , V , R ) ] ) : - t _ u ( a , T , V , V 1 ) .

n o n t _ u ( X , T , R , V 1 ] ) : - t _ u ( X , T , R , V 1 ) .

t _ u ( X , X | R ] , R , ] ) .

E v a l u a t i n g t h e a b o v e c o d e f o r t h e c a l l n o n t _ u ( c , T , R , L e a v e s ) y i e l d s t w o c o m p u t e d a n s w e r s

w h i c h c o r r e s p o n d t o t h e t w o b r a n c h e s i n F i g . 1 :

> ? - n o n t _ u ( c , T , R , L e a v e s ) .

T = a | _ 5 2 ]

L e a v e s = ] , n o n t ( c , _ 5 2 , R ) ]

Y e s ;

T = c | R ]

L e a v e s = ] ]

Y e s

T h e a b o v e c o d e i s o f c o u r s e s t i l l i n c o m p l e t e a s i t o n l y h a n d l e s t h e u n f o l d i n g p r o c e s s a n d w e

h a v e t o e x t e n d i t t o t r e a t t h e g l o b a l l e v e l a s w e l l . F i r s t l y , c a l l i n g p

u

o n l y r e t u r n s t h e a t o m s o f

o n e l e a f o f t h e S L D N F - t r e e , s o w e n e e d t o a d d s o m e c o d e t h a t c o l l e c t s t h e i n f o r m a t i o n f r o m

a l l t h e l e a v e s . T h i s c a n b e d o n e v e r y e c i e n t l y

1 2

u s i n g P r o l o g ' s f i n d a l l p r e d i c a t e . S o i n t h e

f o l l o w i n g c a l l f i n d a l l ( B , n o n t _ u ( c , R , T , B ) , B s ) t h e B s w i l l b e i n s t a n t i a t e d t o t h e f o l l o w i n g l i s t

q ] , n o n t ( c , _ 4 8 , _ 4 9 ) ] , ] ] ] w h i c h e s s e n t i a l l y c o r r e s p o n d s t o t h e l e a v e s o f t h e S L D N F - t r e e i n

F i g . 2 , s i n c e b y a t t e n i n g o u t w e o b t a i n : n o n t ( c , _ 4 8 , _ 4 9 ) ] . F u r t h e r m o r e , i f w e c a l l

f i n d a l l ( c l a u s e ( n o n t ( c , T , R ) , B d y ) , n o n t _ u ( c , T , R , B d y ) , C s )

w e w i l l e v e n g e t i n C s a r e p r e s e n t a t i o n o f t h e t w o r e s u l t a n t s o f E x . 4 .

O n c e a l l t h e r e s u l t a n t s h a v e b e e n g e n e r a t e d , t h e b o d y a t o m s h a v e t o b e g e n e r a l i s e d ( u s i n g

g e n

) a n d u n f o l d e d i f t h e y h a v e n o t b e e n e n c o u n t e r e d y e t . T h e e a s i e s t w a y t o a c h i e v e t h i s i s t o

a d d a f u n c t i o n p

m

f o r e a c h n o n - r e d u c i b l e p r e d i c a t e s u c h t h a t , p

m

i m p l e m e n t s t h e g l o b a l c o n t r o l

a s p e c t o f t h e s p e c i a l i s a t i o n . T h a t i s , f o r e v e r y a t o m p ( t ) , i f o n e c a l l s p

m

( t R ) t h e n R w i l l b e

i n s t a n t i a t e d t o t h e r e s i d u a l c a l l o f p ( t ) ( i . e . t h e c a l l a f t e r l t e r i n g a n d r e n a m i n g , f o r i n s t a n c e t h e

r e s i d u a l c a l l o f p ( a ; b ; X ) m i g h t b e p

1

( X ) ) . A t t h e s a m e t i m e p

m

a l s o g e n e r a l i s e s t h i s c a l l , c h e c k s

i f i t h a s b e e n e n c o u n t e r e d b e f o r e a n d i f n o t , u n f o l d s t h e a t o m , g e n e r a t e s c o d e a n d p r i n t s t h e

r e s u l t a n t s ( r e s i d u a l c o d e ) o f t h e a t o m . W e h a v e t h e f o l l o w i n g d e n i t i o n o f p

m

D e n i t i o n 1 8 . L e t P b e a p r o g r a m a n d p = n b e a p r e d i c a t e d e n e d i n P . L e t L P r e d ( P )

b e a s e t o f r e d u c i b l e p r e d i c a t e s y m b o l s . F o r p 2 P r e d ( P ) w e d e n e t h e c l a u s e C

p

m

, d e n i n g t h e

p r e d i c a t e p

m

, t o b e :

p

m

( t R )

( n d p a t t e r n ( p ( t ) R ) ! t r u e

( i n s e r t p a t t e r n ( p ( s ) H )

n d a l l ( C ( p

u

( s B ) t r e a t c l a u s e ( H ; B ; C ) ) C s )

p p ( C s )

n d p a t t e r n ( p ( t ) R ) ) )

w h e r e p ( s ) = g e n

( p ( t ) ) . F i n a l l y w e d e n e P

L

m

= f C

p

m

p 2 P r e d ( P ) n L g

1 3

I n t h e a b o v e , t h e p r e d i c a t e n d p a t t e r n c h e c k s w h e t h e r i t s r s t a r g u m e n t i s a c a l l t h a t h a s b e e n

e n c o u n t e r e d b e f o r e a n d i t s s e c o n d a r g u m e n t i s t h e r e s i d u a l c a l l t o t h i s ( w i t h r e n a m i n g a n d l t e r i n g

1 2

H e r e w e l e a v e t h e p u r e l y d e c l a r a t i v e c o n t e x t , w h i c h w e a r e a l l o w e d t o d o , b e c a u s e o u r g e n e r a t i n g e x t e n s i o n s

d o n o t h a v e t o b e s e l f - a p p l i e d . T o s t a y d e c l a r a t i v e o n e w o u l d h a v e t o u s e s o m e t h i n g l i k e m e t a - p r o g r a m m i n g i n

t h e g r o u n d r e p r e s e n t a t i o n ( s e e f o r i n s t a n c e t h e c o m m e n t s i n t h e e x t e n d e d v e r s i o n o f 3 7 ] ) , w h i c h w o u l d s e v e r e l y

u n d e r m i n e o u r e c i e n c y ( a n d s i m p l i c i t y ) c o n c e r n s . T h i s i s w h y t h e c o g e n a p p r o a c h i s ( p r o b a b l y ) m u c h m o r e

d i c u l t t o r e a l i s e i n a l a n g u a g e l i k e G o d e l ( m a y b e i n t e n s i o n a l s e t s c a n b e u s e d t o a c h i e v e t h e a b o v e ) a n d h a v i n g

s o m e n o n - d e c l a r a t i v e f e a t u r e s a t o u r d i s p o s a l i s a d e n i t e a d v a n t a g e .

1 3

T h i s c o r r e s p o n d s t o s a y i n g t h a t o n l y r e d u c i b l e a t o m s c a n o c c u r a t t h e g l o b a l l e v e l , a n d h e n c e o n l y r e d u c i b l e

a t o m s c a n b e p u t i n t o t h e i n i t i a l s e t o f a t o m s S

0

o f A l g o r i t h m 3 . I f t h i s i s n o t w h a t y o u w a n t t h e n j u s t c h a n g e t h e

a b o v e d e n i t i o n t o \ p 2 P r e d ( P ) " o r t o \ p 2 ( P r e d ( P ) n L ) f p

0

g "

1 0


14/30

p e r f o r m e d ) . T h i s i s a c h i e v e d b y k e e p i n g a l i s t o f t h e p r e d i c a t e s t h a t h a v e b e e n e n c o u n t e r e d b e f o r e

a l o n g w i t h t h e i r r e n a m e d a n d l t e r e d c a l l s . S o i f t h e c a l l t o n d p a t t e r n s u c c e e d s , t h e n R h a s b e e n

i n s t a n t i a t e d t o t h e r e s i d u a l c a l l o f p ( t ) , i f n o t t h e n t h e o t h e r b r a n c h o f t h e c o n d i t i o n a l i s t r i e d .

T h e p r e d i c a t e i n s e r t p a t t e r n w i l l a d d a n e w a t o m ( i t s r s t a r g u m e n t ) t o t h e l i s t o f a t o m s

e n c o u n t e r e d b e f o r e a n d r e t u r n ( i n i t s s e c o n d a r g u m e n t H ) t h e g e n e r a l i s e d , r e n a m e d a n d l t e r e d

v e r s i o n o f t h e a t o m . T h e a t o m H w i l l p r o v i d e ( m a y b e f u r t h e r i n s t a n t i a t e d ) t h e h e a d o f t h e

r e s u l t a n t s t o b e c o n s t r u c t e d . T h i s c a l l t o i n s e r t p a t t e r n i s p u t r s t t o e n s u r e t h a t a n a t o m i s n o t

s p e c i a l i s e d o v e r a n d o v e r a g a i n a t t h e g l o b a l l e v e l .

T h e c a l l t o n d a l l ( C ( p

u

( s B ) t r e a t c l a u s e ( H ; B ; C ) ) C s ) u n f o l d s t h e g e n e r a l i s e d a t o m p ( s )

a n d r e t u r n s a l i s t o f r e s i d u a l c l a u s e s f o r p ( s ) ( i n C s ) . T h e c a l l t o p

u

( s B ) i n s i d e n d a l l r e t u r n s a

l e a f g o a l o f t h e S L D N F - t r e e f o r p ( s ) . T h i s g o a l i s g o i n g t o b e t h e b o d y o f a r e s i d u a l c l a u s e w i t h

h e a d H . F o r e a c h o f t h e a t o m s i n t h e b o d y o f t h i s c l a u s e t w o t h i n g s h a v e t o b e d o n e . F i r s t , f o r

e a c h a t o m a s p e c i a l i s e d r e s i d u a l v e r s i o n h a s t o b e g e n e r a t e d i f n e c e s s a r y . S e c o n d , e a c h a t o m h a s

t o b e r e p l a c e d b y a c a l l t o a c o r r e s p o n d i n g r e s i d u a l v e r s i o n . B o t h o f t h e s e t a s k s c a n b e p e r f o r m e d

b y c a l l i n g t h e c o r r e s p o n d i n g \ m " f u n c t i o n o f t h e a t o m s , s o i f a b o d y c o n t a i n s a n a t o m p ( t ) t h e n

p

m

( t R ) i s c a l l e d a n d t h e a t o m i s r e p l a c e d b y t h e v a l u e o f R . T h e t a s k o f t r e a t i n g t h e b o d y i n

t h i s w a y i s d o n e b y t h e p r e d i c a t e t r e a t c l a u s e a n d t h e t h i r d a r g u m e n t o f t h i s i s t h e n e w c l a u s e s .

T h e p r e d i c a t e p p p r e t t y - p r i n t s t h e c l a u s e s o f t h e r e s i d u a l p r o g r a m . T h e l a s t c a l l t o n d p a t t e r n

w i l l i n s t a n t i a t e R t o t h e r e s i d u a l c a l l o f t h e a t o m p ( t )

W e c a n n o w d e n e w h a t a g e n e r a t i n g e x t e n s i o n o f a p r o g r a m i s :

D e n i t i o n 1 9 . L e t P b e a p r o g r a m , L 2 P r e d ( P ) a s e t o f p r e d i c a t e s a n d ( f U

L

g ) a s a f e B T C

f o r P , t h e n t h e g e n e r a t i n g e x t e n s i o n o f P w i t h r e s p e c t t o ( f U

L

g ) i s t h e p r o g r a m P

g

= P

L

u

P

L

m

T h e c o m p l e t e g e n e r a t i n g e x t e n s i o n f o r E x . 4 i s s h o w n i n F i g . 3 .

n o n t _ m ( B , C , D , E ) : -

( f i n d _ p a t t e r n ( n o n t ( B , C , D ) , E ) - > t r u e

; ( i n s e r t _ p a t t e r n ( n o n t ( B , F , G ) , H ) ,

f i n d a l l ( I , ( n o n t _ u ( B , F , G , J ) , t r e a t _ c l a u s e ( H , J , I ) ) , K ) ,

p p ( K ) ,

f i n d _ p a t t e r n ( n o n t ( B , C , D ) , E )

) )

n o n t _ u ( B , C , D , E , m e m o ( n o n t ( B , G , D ) ) ] ) : - t _ u ( a , C , G , E ) .

n o n t _ u ( H , I , J , K ] ) : - t _ u ( H , I , J , K ) .

t _ u ( L , L | M ] , M , ] ) .

F i g u r e 3 : T h e g e n e r a t i n g e x t e n s i o n f o r t h e p a r s e r

T h e g e n e r a t i n g e x t e n s i o n i s c a l l e d a s f o l l o w s : i f o n e w a n t s t o s p e c i a l i s e a n a t o m p ( t ) , w h e r e p i s

o n e o f t h e n o n - r e d u c i b l e p r e d i c a t e s o f t h e s u b j e c t p r o g r a m P t h e n o n e c a l l s t h e p r e d i c a t e p

m

o f

t h e g e n e r a t i n g e x t e n s i o n i n t h e f o l l o w i n g w a y p

m

( t )

T h e j o b o f t h e c o g e n i s n o w q u i t e s i m p l e : g i v e n a p r o g r a m P a n d a s a f e B T C f o r P

g e n e r a t e a g e n e r a t i n g e x t e n s i o n f o r P c o n s i s t i n g o f t h e t w o p a r t s d e s c r i b e d a b o v e . T h e c o d e o f

t h e e s s e n t i a l p a r t s o f o u r c o g e n i s s h o w n i n A p p e n d i x B . T h e p r e d i c a t e p r e d i c a t e g e n e r a t e s

t h e d e n i t i o n o f t h e g l o b a l c o n t r o l m - p r e d i c a t e s f o r e a c h n o n - r e d u c i b l e p r e d i c a t e o f t h e p r o g r a m

w h e r e a s t h e p r e d i c a t e s c l a u s e , b o d y s a n d b o d y t a k e c a r e o f t r a n s l a t i n g c l a u s e s o f t h e o r i g i n a l

p r e d i c a t e i n t o c l a u s e s o f t h e l o c a l c o n t r o l u - p r e d i c a t e s . N o t e h o w t h e s e c o n d a r g u m e n t o f b o d y s

a n d b o d y c o r r e s p o n d s t o c o d e o f t h e g e n e r a t i n g e x t e n s i o n w h e r e a s t h e t h i r d a r g u m e n t c o r r e s p o n d s

t o c o d e p r o d u c e d a t t h e n e x t l e v e l , i . e . a t t h e l e v e l o f t h e s p e c i a l i s e d p r o g r a m . F u r t h e r d e t a i l s o n

e x t e n d i n g t h e c o g e n t o h a n d l e b u i l t - i n s a n d t h e i f - t h e n - e l s e c a n b e f o u n d i n A p p e n d i x A .

1 1


15/30

4 E x a m p l e s a n d R e s u l t s

I n t h i s s e c t i o n w e p r e s e n t s o m e e x p e r i m e n t s w i t h o u r c o g e n s y s t e m a s w e l l a s w i t h s o m e o t h e r

s p e c i a l i s a t i o n s y s t e m s . W e w i l l u s e t h r e e e x a m p l e p r o g r a m s t o t h a t e e c t .

T h e r s t p r o g r a m i s t h e p a r s e r f r o m E x . 4 . W e w i l l u s e t h e s a m e a n n o t a t i o n a s i n t h e p r e v i o u s

s e c t i o n s : n o n t ! ( s ; d ; d )

T h e s e c o n d e x a m p l e p r o g r a m i s t h e \ m i x e d " m e t a - i n t e r p r e t e r ( s o m e t i m e s c a l l e d I n s t a n c e D e m o )

f o r t h e g r o u n d r e p r e s e n t a t i o n o f 3 4 ] i n w h i c h t h e g o a l s a r e \ l i f t e d " t o t h e n o n - g r o u n d r e p r e s e n t a -

t i o n f o r r e s o l u t i o n . T h i s i d e a w a s r s t u s e d b y G a l l a g h e r i n 1 5 , 1 6 ] . A s i m i l a r t e c h n i q u e w a s p u t

t o g o o d u s e i n t h e s e l f - a p p l i c a b l e p a r t i a l e v a l u a t o r l o g i m i x b y M o g e n s e n a n d B o n d o r f 4 2 , 2 7 ] .

H i l l a n d G a l l a g h e r 2 3 ] a l s o p r o v i d e a r e c e n t a c c o u n t o f t h i s s t y l e o f w r i t i n g m e t a - i n t e r p r e t e r s w i t h

i t s u s e s a n d l i m i t a t i o n s . W e w i l l s p e c i a l i s e t h i s p r o g r a m g i v e n t h e a n n o t a t i o n s o l v e ! ( s d ) , i . e .

w e s u p p o s e t h a t t h e o b j e c t p r o g r a m i s g i v e n a n d t h e q u e r y t o t h e o b j e c t p r o g r a m i s d y n a m i c .

F i n a l l y w e a l s o e x p e r i m e n t e d w i t h a r e g u l a r e x p r e s s i o n p a r s e r , w h i c h t e s t s w h e t h e r a g i v e n

s t r i n g c a n b e g e n e r a t e d b y a g i v e n r e g u l a r e x p r e s s i o n . T h e e x a m p l e i s t a k e n f r o m 4 2 ] . I n t h e

e x p e r i m e n t w e u s e d d g e n e r a t e ! ( s d ) f o r t h e i n i t i a l d i v i s i o n , i . e . t h e r e g u l a r e x p r e s s i o n i s f u l l y

k n o w n w h e r e a s t h e s t r i n g i s d y n a m i c .

4 . 1 E x p e r i m e n t s w i t h c o g e n

T h e T a b l e s 1 , 2 a n d 3 s u m m a r i s e o u r b e n c h m a r k s o f t h e c o g e n s y s t e m . T h e t i m i n g s w e r e o b t a i n e d

b y u s i n g t h e c p u t i m e = 1 p r e d i c a t e o f P r o l o g b y B I M o n a S p a r c C l a s s i c u n d e r S o l a r i s ( t i m i n g s , a t

l e a s t f o r T a b l e 1 , w e r e a l m o s t i d e n t i c a l f o r a S u n 4 ) .

P r o g r a m T i m e A n n o t a t i o n

p a r s e r 0 . 0 2 s n o n t ! ( s ; d ; d )

s o l v e 0 . 0 6 s s o l v e ! ( s d )

r e g e x p 0 . 0 2 s d g e n e r a t e ! ( s d )

T a b l e 1 : R u n n i n g c o g e n

P r o g r a m T i m e Q u e r y

p a r s e r 0 . 0 1 s n o n t ( c ; T ; R )

s o l v e 0 . 0 1 s s o l v e ( " f q ( X ) p ( X ) p ( a ) g " Q )

r e g e x p 0 . 0 3 s d g e n e r a t e ( " ( a + b ) : a : a : b " S )

T a b l e 2 : R u n n i n g t h e g e n e r a t i n g e x t e n s i o n

P r o g r a m S p e e d u p F a c t o r R u n t i m e Q u e r y

p a r s e r 2 . 3 5 n o n t ( c

1 8

z } | {

a ; : : : ; a ; c ; b b )

s o l v e 7 . 2 3 s o l v e ( " f q ( X ) p ( X ) p ( a ) g " " q ( a ) " )

r e g e x p 1 0 1 . 1 d g e n e r a t e ( " ( a + b ) : a : a : b " " a b a a a a b b a a b " )

T a b l e 3 : R u n n i n g t h e s p e c i a l i s e d p r o g r a m

T h e r e s u l t s d e p i c t e d i n T a b l e s 1 , 2 a n d 3 a r e v e r y s a t i s f a c t o r y . T h e g e n e r a t i n g e x t e n s i o n s

a r e g e n e r a t e d v e r y e c i e n t l y a n d a l s o r u n v e r y e c i e n t l y . F u r t h e r m o r e t h e s p e c i a l i s e d p r o g r a m s

a r e a l s o v e r y e c i e n t a n d t h e s p e e d u p s a r e v e r y s a t i s f a c t o r y . T h e s p e c i a l i s a t i o n f o r t h e p a r s e r

e x a m p l e c o r r e s p o n d s t o t h e o n e o b t a i n e d i n E x . 4 . B y s p e c i a l i s i n g s o l v e o u r s y s t e m c o g e n w a s

a b l e t o r e m o v e a l m o s t a l l t h e o v e r h e a d o f t h e g r o u n d r e p r e s e n t a t i o n , s o m e t h i n g w h i c h h a s b e e n

a c h i e v e d f o r t h e r s t t i m e i n 1 5 ] . I n f a c t , t h e s p e c i a l i s e d p r o g r a m l o o k s l i k e t h i s :

1 2


16/30

s o l v e _ _ 0 ( ] ) .

s o l v e _ _ 0 ( s t r u c t ( q , B ] ) | C ] ) : -

s o l v e _ _ 0 ( s t r u c t ( p , B ] ) ] ) , s o l v e _ _ 0 ( C ) .

s o l v e _ _ 0 ( s t r u c t ( p , s t r u c t ( a , ] ) ] ) | D ] ) : -

s o l v e _ _ 0 ( ] ) , s o l v e _ _ 0 ( D ) .

T h e s p e c i a l i s e d p r o g r a m o b t a i n e d f o r t h e r e g e x p e x a m p l e a c t u a l l y c o r r e s p o n d s t o a d e t e r m i n -

i s t i c a u t o m a t o n , a f e a t t h a t h a s a l s o b e e n a c h i e v e d b y t h e s y s t e m l o g i m i x i n 4 2 ] . F o r f u r t h e r

d e t a i l s a b o u t t h e e x a m p l e s s e e A p p e n d i c e s C , D a n d E .

4 . 2 E x p e r i m e n t s w i t h o t h e r S y s t e m s

W e a l s o p e r f o r m e d t h e e x p e r i m e n t s u s i n g s o m e o t h e r s p e c i a l i s a t i o n s y s t e m s . A l l s y s t e m s w e r e

a b l e t o s a t i s f a c t o r i l y h a n d l e t h e p a r s e r e x a m p l e a n d c a m e u p w i t h ( a l m o s t ) t h e s a m e s p e c i a l i s e d

p r o g r a m a s c o g e n . M o r e s p e c i c i n f o r m a t i o n i s p r e s e n t e d i n t h e f o l l o w i n g s u b - s e c t i o n s .

m i x t u s

m i x t u s ( 5 1 ] ) i s a p a r t i a l e v a l u a t o r f o r f u l l P r o l o g w h i c h i s n o t ( e e c t i v e l y ) s e l f - a p p l i c a b l e . W e

e x p e r i m e n t e d w i t h v e r s i o n 0 . 3 . 3 o f m i x t u s r u n n i n g u n d e r S I C S t u s P r o l o g 2 . 1 . m i x t u s c a m e u p

w i t h e x a c t l y t h e s a m e s p e c i a l i s a t i o n a s o u r c o g e n f o r t h e p a r s e r a n d s o l v e e x a m p l e s . m i x t u s

w a s a l s o a b l e t o s p e c i a l i s e t h e r e g e x p p r o g r a m , b u t n o t t o t h e e x t e n t o f g e n e r a t i n g a d e t e r m i n i s t i c

a u t o m a t o n .

s p

W e e x p e r i m e n t e d w i t h t h e s p s y s t e m ( s e e 1 5 ] ) , a s p e c i a l i s e r f o r a s u b s e t o f P r o l o g ( c o m p a r a b l e t o

o u r s u b s e t , w i t h t h e e x c e p t i o n t h a t s p d o e s n o t h a n d l e t h e i f - t h e n - e l s e ) . F o r t h e s o l v e e x a m p l e s p

w a s a b l e t o o b t a i n t h e s a m e s p e c i a l i s a t i o n a s c o g e n , b u t o n l y a f t e r r e - s p e c i a l i s i n g t h e s p e c i a l i s e d

p r o g r a m a s e c o n d t i m e ( a l s o s p d o e s n o t p e r f o r m l t e r i n g w h i c h m i g h t a c c o u n t f o r s o m e l o s s i n

e c i e n c y ) . D u e t o t h e h e a v y u s a g e o f t h e i f - t h e n - e l s e t h e r e g e x p e x a m p l e c o u l d n o t b e h a n d l e d

( d i r e c t l y ) b y s p

l o g i m i x

l o g i m i x ( 4 2 ] ) i s a s e l f - a p p l i c a b l e p a r t i a l e v a l u a t o r f o r a s u b s e t o f P r o l o g , c o n t a i n i n g i f - t h e n -

e l s e , s i d e - e e c t s a n d s o m e b u i l t - i n ' s . T h i s s y s t e m i n c o r p o r a t e s i d e a s d e v e l o p e d f o r f u n c t i o n a l

p r o g r a m m i n g a n d f a l l s w i t h i n t h e o - l i n e s e t t i n g a n d r e q u i r e s a b i n d i n g t i m e a n n o t a t i o n . I t i s n o t

( y e t ) f u l l y a u t o m a t i c i n t h e s e n s e t h a t t h e p r o g r a m h a s t o b e h a n d - a n n o t a t e d . F o r t h e p a r s e r a n d

r e g e x p e x a m p l e s , l o g i m i x c a m e u p w i t h a l m o s t t h e s a m e p r o g r a m s t h a n c o g e n ( a l i t t l e b i t l e s s

e c i e n t b e c a u s e b i n d i n g s w e r e n o t b a c k - p r o p a g a t e d o n t h e h e a d o f r e s u l t a n t s ) . W e w e r e n o t a b l e

t o a n n o t a t e s o l v e p r o p e r l y , i n e v e r y c a s e l o g i m i x a b o r t e d d u e t o a n \ i n s t a n t i a t i o n e r r o r " o n t h e

= . . / 2 b u i l t - i n . T h i s c o u l d e i t h e r b e d u e t o a m i s u n d e r s t a n d i n g ( o n o u r p a r t ) o f t h e a n n o t a t i o n s o f

l o g i m i x o r s i m p l y d u e t o a b u g i n l o g i m i x . I t m i g h t a l s o b e t h a t t h e e x a m p l e c a n n o t b e h a n d l e d

b y l o g i m i x b e c a u s e t h e r e s t r i c t i o n s o n t h e a n n o t a t i o n s a r e m o r e s e v e r e t h a n o u r s ( i n c o g e n t h e

u n f o l d a b l e p r e d i c a t e s d o n o t r e q u i r e a d i v i s i o n a n d c o g e n a l l o w s n o n - d e t e r m i n i s t i c u n f o l d i n g |

t h e l a t t e r s e e m s t o b e c r u c i a l f o r t h e s o l v e e x a m p l e ) .

l e u p e l

l e u p e l ( 3 1 , 3 4 ] ) i s a ( n o t y e t e e c t i v e l y s e l f - a p p l i c a b l e ) p a r t i a l e v a l u a t o r f o r a s u b s e t o f P r o l o g ,

v e r y s i m i l a r t o t h e o n e t r e a t e d b y l o g i m i x . T h e s y s t e m i s g u i d e d b y a n a n n o t a t i o n p h a s e w h i c h i s

u n f o r t u n a t e l y a l s o n o t a u t o m a t i c . T h e a n n o t a t i o n s a r e \ s e m i - o n l i n e " , i n t h e s e n s e t h a t c o n d i t i o n s

( t e s t e d i n a n o n - l i n e m a n n e r ) c a n b e g i v e n o n w h e n t o m a k e a c a l l r e d u c i b l e , n o n - r e d u c i b l e o r e v e n

u n f o l d a b l e ( g i v e n n o l o o p i s d e t e c t e d a t o n - l i n e s p e c i a l i s a t i o n t i m e ) . F o r t h e p a r s e r a n d r e g e x p

e x a m p l e s t h e s y s t e m p e r f o r m e d t h e s a m e s p e c i a l i s a t i o n a s c o g e n . F o r t h e s o l v e e x a m p l e l e u p e l

1 3


17/30

e v e n c a m e u p w i t h a b e t t e r s p e c i a l i s a t i o n t h a n c o g e n , i n t h e s e n s e t h a t u n f o l d i n g h a s a l s o b e e n

p e r f o r m e d a t t h e o b j e c t l e v e l :

s o l v e _ _ 1 ( ] ) .

s o l v e _ _ 1 ( s t r u c t ( q , s t r u c t ( a , ] ) ] ) | A ] ) : - s o l v e _ _ 1 ( A ) .

s o l v e _ _ 1 ( s t r u c t ( p , s t r u c t ( a , ] ) ] ) | A ] ) : - s o l v e _ _ 1 ( A ) .

S u c h o p t i m i s a t i o n s d e p e n d o n t h e p a r t i c u l a r o b j e c t p r o g r a m a n d a r e t h e r e f o r e o u t s i d e t h e

r e a c h o f p u r e l y o - l i n e m e t h o d s .

c h t r e e

T h i s i s a f u l l y a u t o m a t i c s y s t e m f o r a d e c l a r a t i v e s u b s e t o f P r o l o g ( s i m i l a r t o t h e l a n g u a g e h a n d l e d

b y S P ) b a s e d o n t h e w o r k i n 3 2 , 3 6 ] . I t i s a n o n - l i n e s y s t e m w h i c h h a s a g l o b a l c o n t r o l r e g i m e u s i n g

c h a r a c t e r i s t i c t r e e s a n d h a s a v e r y p r e c i s e a b s t r a c t i o n o p e r a t i o n w h i c h m i n i m i s e s s p e c i a l i s a t i o n

l o s s e s . W e u s e d a l o c a l u n f o l d i n g r u l e b a s e d o n t h e h o m e o m o r p h i c e m b e d d i n g r e l a t i o n ( s e e e . g .

3 6 ] ) . F o r t h e p a r s e r e x a m p l e c h t r e e p r o d u c e d t h e s a m e s p e c i a l i s a t i o n a s c o g e n . F o r t h e s o l v e

e x a m p l e t h e c h t r e e c a m e u p w i t h a b e t t e r s p e c i a l i s a t i o n t h a n c o g e n , a l m o s t i d e n t i c a l t o t h e o n e

o b t a i n e d b y l e u p e l ( b u t t h i s t i m e f u l l y a u t o m a t i c a l l y ) . D u e t o t h e h e a v y u s a g e o f t h e i f - t h e n - e l s e

t h e r e g e x p e x a m p l e c o u l d , s i m i l a r i l y t o S P , n o t b e h a n d l e d ( d i r e c t l y ) b y c h t r e e

p a d d y

W e a l s o d i d s o m e e x p e r i m e n t s w i t h t h e p a d d y s y s t e m ( s e e 4 9 ] ) w r i t t e n f o r f u l l E c l i p s e ( a v a r i a n t

o f P r o l o g ) . p a d d y b a s i c a l l y p e r f o r m e d t h e s a m e s p e c i a l i s a t i o n o f s o l v e a s c h t r e e o r l e u p e l , b u t

l e f t s o m e u s e l e s s t e s t s a n d c l a u s e s i n s i d e . p a d d y w a s a l s o a b l e t o s p e c i a l i s e t h e r e g e x p p r o g r a m ,

b u t a g a i n n o t t o t h e e x t e n t o f g e n e r a t i n g a d e t e r m i n i s t i c a u t o m a t o n .

s a g e

F i n a l l y w e t r i e d o u t t h e s e l f - a p p l i c a b l e p a r t i a l d e d u c e r s a g e ( s e e 2 1 ] ) f o r t h e l o g i c p r o g r a m m i n g

l a n g u a g e G o d e l . s a g e c a m e u p w i t h ( a l m o s t ) t h e s a m e s p e c i a l i s e d p r o g r a m f o r t h e p a r s e r e x a m -

p l e a s c o g e n s a g e p e r f o r m e d l i t t l e s p e c i a l i s a t i o n o n t h e s o l v e e x a m p l e , r e t u r n i n g a l m o s t t h e

u n s p e c i a l i s e d p r o g r a m b a c k . D u e t o t h e h e a v y u s a g e o f t h e i f - t h e n - e l s e t h e r e g e x p e x a m p l e c o u l d

n o t b e h a n d l e d b y s a g e

4 . 3 C o m p a r i n g T r a n s f o r m a t i o n T i m e s

T h e s y s t e m s w h i c h g a v e u s a c c e s s t o t h e t r a n s f o r m a t i o n t i m e s ( t o b e c o m p a r e d w i t h t h e r e s u l t s

o f T a b l e 2 ) w e r e p a d d y m i x t u s l e u p e l c h t r e e a n d l o g i m i x

T h e t r a n s f o r m a t i o n t i m e s o f m i x t u s , r u n n i n g u n d e r S I C S t u s P r o l o g 2 . 1 a n d o n t h e s a m e

m a c h i n e a s c o g e n , w e r e 0 1 4 s f o r t h e p a r s e r e x a

efficient cogen

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