eerste‒ graadsfuncties · 2019-08-26 · eerste-graadsfuncties 3 opfriscursus wiskunde in...
TRANSCRIPT
1Eerste-graadsfuncties
Opfriscursus Wiskunde in avondonderwijs
Opfriscursus Wiskunde
Eerste ‒ graadsfuncties
Opfriscursus Wiskunde in avondonderwijs
2Eerste-graadsfuncties
Opfriscursus Wiskunde in avondonderwijs
Een taxibedrijf rekent de volgende kosten aan haar klanten:
■ een vaste vertrekprijs van 5 €
■ een kilometerprijs van 2 €
Dan
een rit van 7 km kost 5 + 2 (7) = 19 €
een rit van 12 km kost 5 + 2 (12) = 29 €
een rit van 23 km kost 5 + 2 (23) = 51 €
Eerste – graadsfuncties: een voorbeeld
.
.
.
Algemeen: een rit van x km kost 5 + 2x = y €
Opfriscursus Wiskunde in avondonderwijs
Eerste – graadsfuncties: een voorbeeld
Besluit: de kostprijs y ( in euro) van een taxirit van x km
wordt gegeven door y = 5 + 2x
wiskundige terminologie:
■ x en y zijn veranderlijken
■ de vergelijking y = 5 + 2x definieert een relatie tussen
de veranderlijken x en y
Merk op: dit is een bijzondere soort van relatie
nl. je kiest x , en dan ligt y vast
dit soort relatie noemt men een functie
3Eerste-graadsfuncties
Opfriscursus Wiskunde in avondonderwijs
Begripsomschrijving: (voorlopige versie )
een functie van één veranderlijke is een regel die moet
toegepast worden om een getal x om te zetten in een getal y
outputinput
functieyx
( … ) 2 + 5= 5 + 2x
Terminologie: x is de onafhankelijke veranderlijke
y is de afhankelijke veranderlijke
Opfriscursus Wiskunde in avondonderwijs
4Eerste-graadsfuncties
Opfriscursus Wiskunde in avondonderwijs
Andere voorbeelden van eerste – graadsfuncties
Andere taxibedrijven hanteren andere vertrek- en km–prijzen
bv. y = 4.50 + 2.10x resp. y = 5.20 + 1.90x enzovoort
Algemeen: kostprijs y = (vaste startprijs) + (prijs per km) x
formeel: y = q + mx met q , m IR constanten
terminologie: m en q noemt men parameters
Merk op: y is een veelterm van de eerste graad in x
y is een eerste – graadsfunctie van x
Andere voorbeelden van eerste – graadsfuncties
Voorbeeld 2
Het maandloon van een verkoper bestaat uit een basisbedrag
van 1500 € aangevuld met 5% van de totale waarde van de
omzet die hij vorige maand gerealiseerd heeft .
Als de verkoper vorige maand voor een totaal van x = 10 000 €
verkocht heeft , dan bedraagt zijn loon deze maand
y = 1500 + [ 5 % van 10 000 ]
= 1500 + 0.05 (10000 ) = 2000 €
Algemeen: als de verkoper ’s omzet vorige maand x € bedroeg ,
dan krijgt hij deze maand y = 1500 + 0.05 x € loon .
Merk op: y = q + mx met q = 1500 en m = 0.05
een eerste – graadsfunctie
5Eerste-graadsfuncties
Andere voorbeelden van eerste – graadsfuncties
Voorbeeld 3
Een bedrijfswagen wordt aangekocht voor 20000 €
maar verliest elk jaar 1000 € van zijn waarde .
De waarde y van de bedrijfswagen
1 jaar na aankoop is y = 20000 – 1000 €
2 jaar na aankoop is y = 20000 – 1000 (2) €
3 jaar na aankoop is y = 20000 – 1000 (3) €
Algemeen: x jaar na aankoop is y = 20000 – 1000 x €
Merk op: y = q + mx met q = 20000 en m = –1000
een eerste – graadsfunctie
.
.
....
Andere voorbeelden van functies
De vraag v naar een product hangt af van de prijs x van het
product: hoe hoger de prijs , hoe minder er van verkocht wordt
en hoe lager de prijs , hoe meer er van verkocht wordt
bv. v = 1200 – 30x een eerste – graadsfunctie
MAAR de opbrengst die de producent ontvangt bij prijs x is
TO = (eenheidsprijs)(verkochte hoeveelheid)
= x v
= x [ 1200 – 30x ]
= 1200 x – 30 x2
Merk op: dit is NIET van de vorm y = q + mx met q ,m const.
y is GEEN eerste – graadsfunctie van x
6Eerste-graadsfuncties
Functies en hun voorstellingswijzen
Voorbeelden
■ een taxirit van x km kost y = 5 + 2x euro
■ een omzet van x euro , geeft y = 1500 + 0.05 x euro loon
■ x jaren na aankoop is een bedrijfswagen van 20000 €
nog y = 20000 – 1000 x euro waard
■ bij een prijs van x € is de vraag v = 1200 – 30x eenheden
■ bij een prijs van x € is de opbrengst TO = 1200 x – 30 x2 €
Begripsomschrijving: (voorlopige versie )
een functie van één veranderlijke is een regel die moet
toegepast worden om een getal x om te zetten in een getal y
Voorstellingswijze 1: met een vergelijking
Voorbeelden
■ een taxirit van x km kost f (x) = 5 + 2x euro
■ een omzet van x euro geeft f (x) = 1500 + 0.05 x euro loon
■ x jaren na aankoop is een bedrijfswagen van 20000 €
nog f (x) = 20000 – 1000x euro waard
■ bij een prijs van x € is de vraag f (x) = 1200 – 30x eenheden
■ bij een prijs van x € is de opbrengst f (x) = 1200 x – 30 x2 €
Begripsomschrijving: (voorlopige versie )
een functie f van één veranderlijke is een regel die moet
toegepast worden om een getal x om te zetten in een getal f (x)
formeel: f : IR IR : x f (x)
Voorstellingswijze 2: met een functievoorschrift
7Eerste-graadsfuncties
Opfriscursus Wiskunde in avondonderwijs
Voorstellingswijze 3:
Voorbeelden
■ een taxirit van x km kost f (x) = 5 + 2x euro
graf f
0 20 25
55
45
x
y
5
10 155
15
25
35
y = 5 + 2 x
met een grafiek
Dan
f (0) = 5 + 2 (0) = 5
f (5) = 5 + 2 (5) = 15
f (10) = 5 + 2 (10) = 25
f (15) = 5 + 2 (15) = 35
f (20) = 5 + 2 (20) = 45
f (25) = 5 + 2 (25) = 55
Begripsomschrijving : (voorlopige versie )
een functie f van één veranderlijke is een regel die moet toegepast
worden om een getal x om te zetten in een getal y = f (x)
Opfriscursus Wiskunde in avondonderwijs
Dan
f (0) = 20 – 1(0) = 20
f (2) = 20 – 1(2) = 18
f (4) = 20 – 1(4) = 16
f (6) = 20 – 1(6) = 14
f (8) = 20 – 1(8) = 12
f (10) = 20 – 1(10) = 10
0 4 5
12
10
x
y k €
2
2 31
4
6
8
9 107 86
20
14
16
18
y = 20 – 1x
■ x jaren na aankoop is een bedrijfswagen van 20000 €
nog f (x) = 20 000 – 1000 x k EUR waard
.
.
....
8Eerste-graadsfuncties
Meetkundige interpretatie van de parameters
■ de grafiek van een eerste – graadsfunctie f (x) = mx + q
is de rechte met vergelijking y = mx + q
■ q = f (0) is de intercept
en geeft de plaats waar de grafiek de vertikale as snijdt
■ m is de richtingscoëfficiënt [ of kortweg rico ]
en geeft de helling van de rechte weer
[ Engels : slope ]
en , de grootte van m bepaalt hoe steil de rechte is
Meer nog ,m > 0 een stijgende rechte
m = 0 een horizontale rechte
m < 0 een dalende rechte
Opfriscursus Wiskunde in avondonderwijs
Meetkundige interpretatie van de richtingscoëfficiënt
of nog: als x toeneemt met 1 eenheid ,
dan neemt y toe met m = 2 eenheden
Anders gezegd ,
als er 1 km méér gereden wordt ,
dan neemt de prijs toe met m = 2 €
Bijgevolg ,
als er x km gereden worden , dan kost de rit y = 2 x + 5 €
Merk op: m = 2 = marginale kost
Voorbeeld
Taxibedrijf : vertrekprijs 5 € vaste kost
prijs per km 2 € marginale kost
9Eerste-graadsfuncties
Opfriscursus Wiskunde in avondonderwijs
Meetkundige interpretatie van de richtingscoëfficiënt
m richtingscoëfficiëntvan de grafiek
=
Voorbeeld ( taxibedrijf )
vertrekprijs 5 € vaste kost
prijs per km 2 € marginale kost
Y
X
>
>y = 5 + 2 x
d.w.z.
als x toeneemt met 1 eenheid ,
dan neemt y toe met m = 2 eenheden
+ 1
+ 2 = m
Opfriscursus Wiskunde in avondonderwijs
Meetkundige interpretatie van de richtingscoëfficiënt
m richtingscoëfficiëntvan de grafiek
=
Voorbeeld ( taxibedrijf )
vertrekprijs 5 € vaste kost
prijs per km 2 € marginale kost
Y
X
>
>
y = 5 + 2 x
+ 1
+ 2 = m
d.w.z.
als x toeneemt met 1 eenheid ,
dan neemt y toe met m = 2 eenheden
+ 1
+ 2 = m
Merk op: dit hangt niet af van
de plaats op de grafiek
10Eerste-graadsfuncties
Opfriscursus Wiskunde in avondonderwijs
Samengevat : prijs per km 2 € = marginale kost
= rico m van de grafiek
Concreet ,
■ als er 1 km méér gereden wordt ,
dan neemt de prijs toe met m = 2 €
Formeel: y = m x myx
Maar ook ,
■ 3 km meer rijden 3 m = 3 (2) = 6 € meer betalen
■ 5 km meer rijden 5 m = 5 (2) = 10 € meer betalen
■ x km meer rijden y = m x € meer betalen
of nog
.
.
....
Opfriscursus Wiskunde in avondonderwijs
Meetkundige interpretatie van de richtingscoëfficiënt
m rico van de grafiek
=
Voorbeeld ( taxibedrijf )
prijs per km 2 € marginale kostY
X
>
>
y = 5 + 2 x
x = 1
y = 2 yx
mFormeel:
21
2yx
mWelnu,
11Eerste-graadsfuncties
Opfriscursus Wiskunde in avondonderwijs
Meetkundige interpretatie van de richtingscoëfficiënt
m rico van de grafiek
=
Voorbeeld ( taxibedrijf )
prijs per km 2 € marginale kostY
X
>
>y = 5 + 2 x
yx
mFormeel:
21
2yx
mWelnu,
42
2yx
malsook
y = 4
x = 2
Opfriscursus Wiskunde in avondonderwijs
Meetkundige interpretatie van de richtingscoëfficiënt
m rico van de grafiek
=
Voorbeeld ( taxibedrijf )
prijs per km 2 € marginale kostY
X
>
>
y = 5 + 2 x
yx
mFormeel:
21
2yx
mWelnu,
42
2yx
malsook
63
2yx
mof nog
x = 3
y = 6
12Eerste-graadsfuncties
Opfriscursus Wiskunde in avondonderwijs
Y
X
Oefening
Schat de richtingscoëfficiënt van de volgende rechten
(a)
x = 3
y = 2
rico m = =yx
23
Opfriscursus Wiskunde in avondonderwijs
Y
X
Oefening
Schat de richtingscoëfficiënt van de volgende rechten
(b)
x = 2
y = – 1
rico m = =yx
– 12
13Eerste-graadsfuncties
Opfriscursus Wiskunde in avondonderwijs
Oefening 1
(a) Stel de rechte met vergelijking y = – 2x – 1 voor op
een figuur . Maak hiervoor gebruik van de meetkundige
betekenis van intercept en richtingscoëfficiënt.
(b) Welke y -waarde hoort er bij x = 2 ?
[ Controleer je antwoord op de figuur . ]
(c) Welke x -waarde hoort er bij y = 2 ?
[ Controleer je antwoord op de figuur . ]
Oefening 2
Bepaal de vergelijking van de vorm y = m x + q voor elk van de
rechten A , B , C , D , E en F uit de onderstaande figuur door
gebruik te maken van de meetkundige betekenis van m en q .
Y
X
D
FE B
>
>
(6,6)
C
A
(3,9)
14Eerste-graadsfuncties
Oefening 5Een souvenierwinkel in de Stoofstraat verkoopt beeldjes van
Manneken Pis . Wanneer men 8 euro voor een beeldje vraagt ,
dan worden er dagelijks 24 stuks van verkocht . Als men echter
10 euro per beeldje vraagt , dan worden er slechts 16 stuks per
dag van verkocht . Wat is het functievoorschrift van de eerste –
graadsfunctie die de dagelijkse vraag naar dergelijke beeldjes
modelleert ?
Oplossing
Stel x = de prijs ( in euro) voor een Manneken Pis beeldje
f (x) = de dagelijkse vraag naar beeldjes
Dan f is de gezochte vraagfunctie
Gegeven : f is een eerste – graadsfunctie
f (x) = m x + q met m , q IR constanten
en de grafiek van f is de rechte y = m x + q
Opfriscursus Wiskunde in avondonderwijs
Verder is er gegeven dat
■ als de prijs 8 euro is , dan is de vraag 24 stuks
■ als de prijs 10 euro is , dan is de vraag 16 stuks
vraag y
prijs x
y = m x + q
Gevraagd: zoek de vergelijking van de rechte die
door de punten (8 , 24) en (10 ,16) gaat
24
16
108
15Eerste-graadsfuncties
De vergelijking van een rechte
x0
y0
y
x
y = m x + q
■ alle punten op de rechte voldoen aan y = m x + q
■ (x0 ,y0 ) ligt op de rechte y0 = m x0 + q
■ maar dan y – y0 = m x – m x0
of equivalent, y – y0 = m ( x – x0 )
‒
punt ‒ ricoformule
Opfriscursus Wiskunde in avondonderwijs
De vergelijking van een rechte
■ alle punten op de rechte voldoen aan y – y0 = m ( x – x0 )
■ (x1 ,y1 ) ligt op de rechte y1 – y0 = m ( x1 – x0 )
■ als x1 ≠ x0 dan = my1 – y0
x1 – x0
punt ‒ puntformule
x1
y1
x0
y0
y
x
y = m x + q
16Eerste-graadsfuncties
Opfriscursus Wiskunde in avondonderwijs
Eigenschap
Zij (x0 , y0 ) een punt in IR2
(1) Elke niet – verticale rechte door het punt (x0 , y0 )
heeft vergelijking
y – y0 = m ( x – x0 ) met m IR de rico
(3) De verticale rechte door het punt (x0 , y0 ) heeft
vergelijking x = x0
en ( x1 , y1 ) punten in IR2 met x0 = x1/
(2) De rechte door de punten (x0 , y0 ) en ( x1 , y1 ) heeft
vergelijking
y – y0 = m ( x – x0 ) met rico m =y1 – y0
x1 – x0
Opfriscursus Wiskunde in avondonderwijs
17Eerste-graadsfuncties
Oplossing 5 (vervolg )
Stel x = de prijs ( in euro) voor een Manneken Pis beeldje
f (x) = de dagelijkse vraag naar beeldjes
Gegeven : f is een eerste – graadsfunctie zodat
Gevraagd: zoek het functievoorschrift y = f (x) van de functie
waarvan de grafiek de rechte is die door de punten
(8 , 24) en (10 ,16) gaat
vraag y
prijs x
y = m x + q
24
16
108
x = 2
y = – 8
Welnu,
■ een rechte door het punt ( 8 , 24) heeft vergelijking
y – 24 = m ( x – 8 ) met m IR de rico
■ de rechte gaat ook door het punt (10 ,16)
rico m = = = – 4
■ de vergelijking van de rechte is y – 24 = – 4 ( x – 8 )
of uitgewerkt : y = – 4x + 32 + 24
y = – 4x + 56
16 – 2410 – 8
– 82
■ deze rechte met vergelijking y = – 4x + 56 is de grafiek van
de functie f die de dagelijkse vraag y = f (x) naar beeldjes
van Mannenken Pis beschrijft in functie van de prijs x
het functievoorschrift van f is f (x) = – 4x + 56
18Eerste-graadsfuncties
Opfriscursus Wiskunde in avondonderwijs
Oefening 3
(a) Bepaal de vergelijking van de rechte door het punt (1 , 2)
en met rico 3 . Wat is de intercept van deze functie ?
(b) Bepaal de vergelijking van de rechte met intercept 4
die evenwijdig loopt met de rechte met vergelijking
4x – 3y – 4 = 0 .
(c) Bepaal de vergelijking van de rechte die door het punt
(2 , ‒3) gaat en evenwijdig loopt met de rechte door
de punten (4 ,1) en (–2 ,2) .
(d) Bepaal de vergelijking van de rechte die door het punt
(‒2 ,3) en loodrecht staat op de rechte met vergelijking
2x – 3y + 6 = 0 .
Opfriscursus Wiskunde in avondonderwijs
Oefening 3(a)
Bepaal de vergelijking van de rechte door het punt (1 , 2)
en met rico 3 . Wat is de intercept van deze functie ?
Oplossing
■ een rechte door het punt (1 , 2) heeft vergelijking
y – 2 = m ( x – 1 ) met m IR de rico
■ gegeven : rico m = 3 vergelijking y – 2 = 3 ( x – 1 )
of uitgewerkt : y = 3x – 3 + 2
y = 3x – 1
■ de intercept van deze rechte is q = – 1
19Eerste-graadsfuncties
Opfriscursus Wiskunde in avondonderwijs
Oefening 3(b)
Bepaal de vergelijking van de rechte met intercept 4 die
evenwijdig loopt met de rechte met vergelijking 4x – 3y – 4 = 0 .
□
Oplossing
■ een rechte met intercept 4 heeft vergelijking
y = mx + 4 met m IR de rico
■ gegeven: evenwijdig met de rechte met vgl. 4x – 3y – 4 = 0
rico m = rico van de rechte met vgl. 4x – 3y – 4 = 0
y = – x – –
■ de vergelijking van de gezochte rechte is y = – x + 4
43
43
=
rico
43
Oefening 3 (c)
Bepaal de vergelijking van de rechte die door het punt (6 ,‒3) gaat
en evenwijdig loopt met de rechte door de punten (4 ,1) en (–2 ,2) .
Oplossing
■ een rechte door het punt (6 , –3 ) heeft vergelijking
y – ( –3 ) = m ( x – 6 ) met m IR de rico
■ gegeven: evenwijdig met de rechte door (4 ,1) en (–2 ,2)
rico m = rico van de rechte door (4 ,1) en (–2 ,2)
= =
■ de vergelijking van de gezochte rechte is y + 3 = – – ( x – 6 )
of uitgewerkt : y = – – x + 1 – 3
y = – – x – 2
2 – 1–2 – 4
16
– –
16
16
16
20Eerste-graadsfuncties
Opfriscursus Wiskunde in avondonderwijs
Herinner u: een rechte die loodrecht staat op de rechte
met vergelijking y = mx + q heeft
richtingscoefficient – –1m
Oefening 3(d)
Bepaal de vergelijking van de rechte die door het punt (‒2 ,3)
en loodrecht staat op de rechte met vergelijking 2x – 3y + 6 = 0 .
Oefening 7
Ga door berekening na of de grafieken van de functies
f (x) = x – 3 en g(x) = 2x – 2 en h(x) = – 3x + 1
door één punt gaan .
Opfriscursus Wiskunde in avondonderwijs
Oefening 11
Een eerste autocaruitbater rekent voor een halve - dag – reis
200 EUR vast recht aan en daarbij 1.15 EUR per km . Een
tweede autocaruitbater rekent 300 EUR vast recht aan en
daarbij 0.95 EUR per km . Hoeveel km moet een halve - dag -
reis bedragen opdat de tweede autocaruitbater goedkoper
zou zijn dan de eerste ?
21Eerste-graadsfuncties
Opfriscursus Wiskunde in avondonderwijs
Oefening 12
De opbrengst TO in EUR bij de verkoop van q exemplaren
van een tijdschrift wordt gegeven door TO = 2.5q . De vaste
productiekosten bedragen 1485 EUR . De variabele productie -
kosten (in EUR) zijn evenredig met q met evenredigheidsfactor
0.25 . Zoek het break even point (d.w.z. de waarde van q
waarbij er noch winst noch verlies gemaakt wordt ) .
Opfriscursus Wiskunde in avondonderwijs
Oefening 13
Bij een electriciteitsmaatschappij hebben de klanten de keuze
tussen twee mogelijkheden: het normaal en het tweevoudig
tarief . Bij het normaal tarief betaalt men een vaste jaarlijkse
vergoeding van 66.98 EUR en bovendien 0.13 EUR per
verbruikte kWh. Het tweevoudig tarief biedt een voordeligere
prijs voor het gebruik tijdens de 9 ‘nachturen’ . Bij dit tarief
wordt een vaste jaarlijkse vergoeding van 99.93 EUR
aangerekend en betaalt men 0.13 EUR per verbruikte kWh
overdag en 0.06 EUR per verbruikte kWh 's nachts. Bepaal
vanaf hoeveel nachtverbruik het tweevoudig tarief goedkoper
wordt .
22Eerste-graadsfuncties
Opfriscursus Wiskunde in avondonderwijs
Oefening 14
Lovania heeft een heel eenvoudig belastingsstelsel: op het
gedeelte van het inkomen tot 750000 EUR betaalt men
20 % belastingen en op het gedeelte boven 750000 EUR
betaalt men 60% belastingen .
(a) Bepaal het functievoorschrift van de functie die het verband
geeft tussen de belasting en het inkomen in Lovania en
maak een grafiek van deze functie.
[ Hint : stel de bedragen voor in veelvouden van 1000000 EUR]
Men overweegt in Lovania een belastinghervorming . Het
voorstel bepaalt dat men 10 % belastingen zou moeten betalen
op het gedeelte van het inkomen tot 300 000 EUR en 40% op
het gedeelte boven 300000 EUR .
Opfriscursus Wiskunde in avondonderwijs
(b) Geef het voorschrift van de functie die in het voorstel het
verband geeft tussen de belasting en het inkomen .
Maak een grafiek van deze nieuwe functie op de figuur uit
opgave (a).
(c) Bepaal, door gebruik te maken van de grafieken en door
berekeningen te maken , voor welke inkomens het voorstel
minder voordelig zou zijn.
23Eerste-graadsfuncties
Opfriscursus Wiskunde in avondonderwijs
Impliciet gedefinieerde functies
Voorbeeld
Iemand wil 100 000 euro beleggen in aandelen en obligaties .
Een aandeel kost 100 euro per stuk
en een obligatie kost 250 euro per stuk .
Hoeveel aandelen en obligaties kan die persoon kopen?
Antwoord
Stel zij koopt qA aandelen en qO obligaties
Dan 100 qA + 250 qO = 100000
Er zijn dus oneindig veel combinaties mogelijk . . .
bv. qA = 1000 en qO = 0
of qA = 0 en qO = 400
of qA = 500 en qO = 200
of . . .
. . . maar niet alle combinaties zijn mogelijk !!!!!
want er moet altijd voldaan zijn aan de vergelijking
100 qA + 250 qO = 100 000
Deze vergelijking definieert een relatie tussen de veranderlijken
qA en qO
24Eerste-graadsfuncties
2 mogelijke scenario’s
ofwel kiest zij het aantal aandelen qA
dan 100 qA + 250 qO = 100 000
250 qO = 100 000 – 100 qA
qO = 400 – 0.4 qA
qO =100 000 – 100 qA
250
expliciete vergelijking
qO
qA0 1000
400 qO = 400 – 0.4 qA
Opfriscursus Wiskunde in avondonderwijs
Terminologie
■ de vergelijking 100 qA + 250 qO = 100 000 definieert
qO impliciet als functie van qA , namelijk
qO : IR IR : qA 400 – 0.4 qA
■ qA is de onafhankelijke veranderlijke
■ qO is de afhankelijke veranderlijke
25Eerste-graadsfuncties
Opfriscursus Wiskunde in avondonderwijs
ofwel kiest zij het aantal obligaties qO
dan 100 qA + 250 qO = 100 000
100 qA = 100 000 – 250 qO
qA = 1000 – 2.5 qO
qA =100 000 – 250 qO
100
expliciete vergelijking
qO
qA0 400
qA = 1000 – 2.5 qO
1000
Opfriscursus Wiskunde in avondonderwijs
Terminologie
■ de vergelijking 100 qA + 250 qO = 100 000 definieert
qA impliciet als functie van qO , namelijk
qA : IR IR : qO 1000 – 2.5 qO
■ qO is de onafhankelijke veranderlijke
■ qA is de afhankelijke veranderlijke