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數學解難與探究（MTH5093C） 2013-2014

課程內容

留意重點

A. 解難步驟。 B. 用多種策略解題。 C. 解開放題。 D. 調適題目 ( 改深或改淺 )。 E. 解難所需的數學概念及延伸的數學探究。 F. 解難評估模式與方法。 G. 小學生解難時可能遇到的困難，並針對該項困難建議提問，以輔助學生

思考及克服困難。

課節 課題 頁面

一. 解難的本質 / 小學解難教學 P.3

二. 波利亞解難四部曲 P.15

三. 解題策略：列舉、列表、繪圖 P.31

解題策略：試誤、簡化問題 P.46

解題策略：尋找規律、溫氏圖 P.53

解題策略：逆向思考、邏輯推理 P.59

四. 從解難到數學探究 P.67

分組解難活動 P.75

五. 解難教學技巧 P.79

六. 解難的評估 P.93

七. 開放題與擬題 P.105

八. 應用題教學 P.131

参巧資料 P.145

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3

一、解難的本質 / 小學解難教學 數學解難與探究

數學從解決問題中產生，並在解決各種問題的過程中不斷發展起來。然而，數學的真正

組成部分是「問題」和「解」，而解題也是數學學習過程的一個重要部分。

在今天的社會，繁複的計算工序絕大部分由計算機和電腦進行。因此，課程發展議

會數學教育委員會建議新課程的指引應避免無謂的計算操練，應多讓學生取得所需的經

驗和獲得基礎的知識與技能，從而學會如何學習，並建立具邏輯性、創造性和批判性的

思考方法，藉以提升學生的解難能力(課程發展議會，2002)。

另一方面， 美國數學教師協會 (National Council for Teachers of Mathematics, 1989) 認為：

“Problem solving should be the central focus of mathematics curriculum. As such, it is a primary goal of all mathematics instruction and an integral part of all mathematical activity. Problem solving is not a distinct topic but a process that should be permeate the entire program and provide the context in which concepts and skills can be learned.”

(Curriculum and Evaluation Standards for School Mathematics. Reston, VA. p.23)

該會建議以問題引入數學概念和技巧，學生理解後，再讓他們應用相關知識解決問題。

從另一角度來說，發展學生的計算技巧固然重要，讓他們應用所學得的方法解決他們原

先不懂的問題，則令他們感受和理解學習新知識的重要性。

下面有三道題目， 試討論哪一道比較好呢？

(a) ( 33－1－2 ) ÷ 3 = ？

(b) 有三個連續數的和是 33， 問這三個數最小的一個是甚麽呢？

(c) 有三兄弟， 大哥比二哥年長一歲， 三弟比二哥年輕一歲， 他們三兄弟年歲之和為 33 歲， 問三弟的年歲是多少？

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應該怎樣比較所謂「好」呢？ 好與不好須視乎題目能否切合老師教學目的。

例如題 (a) 有助鞏固學生對四則運算的認識並熟習其基本操作， 但不能提升學生解應

用題的能力。 題目(b) 相對地對解題者的數學知識有所要求， 深入研究此題目能加深

學生對初等代數應用的認識。 相對地， 題目(c) 是提升學生解應用題能力的好問題，

但注意不宜讓低年級學生過早接觸這些有挑戰意味的應用題，避免令他們產生混亂，不

適當的應用題亦會影響學生已建立的信心。

小學生在發展數學能力期間， 隨著每個課題的不同學習階段， 會遇到以下常見的題型。

基礎認知

甚麼是〝數學題〞？ 常見的題型有

1. 式題 式題是常見的題型，主要作用是讓學生反覆操練相關的計算技巧。

例子：16 ÷ 4 ＝？ 18＋4 × 5 ＝ ？ 1/5 ＋ 1/4 ＝ ？

18－3 × 5 = ？ ( 1 + 2 + 3 ) × 3 = ？ 1.2 + 2.3 × 4.5 = ？

2. 文字題 (直述) 文字題利用簡單文字來表達純數學問題，它的作用是初步連結數學知識與數

學語言。

例子： 5 加 12 等於多少？ 24 減多少等於 12？

24 的 5 倍是多少？ 16 和 24 的公因數是甚麼？

長方形的 4條邊邊長之和是多少？

3. 應用題 應用題利用文字來表達一個具有處境的數學問題。這類問題根據難度區分為

下列三類：

I. 簡單應用題： 直接用概念 / 一步運算得到答案。 例一： 兄弟各有 5 元， 二人具有多少元？

例二： 一箱橙有 32 個， 四份之一箱有多少個？

例三： 正方形面積 9 平方厘米， 邊長是多少厘米？

II. 一般應用題： 需要兩步或以上運算才能解決的常見應用題。 例一： 12 個橙， 吃掉 3/4， 還剩多少？

例二： 橙和梨共有 504 個， 橙的三份之一與梨的四份之一數量相同，

求橙數量？

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III. (數學) 難題

難題 (Problem) 是指那些渉及陌生處境，或需要綜合運用數學知識和技巧才能找到答案的問題。

Charles & Lester (1984) 指出一個問題必須符合下列三項條件方可稱為難題

1：

面對這個問題的人沒有既定方法解題

面對這個問題的人有解題的需要或興趣

面對這個問題的人努力求解

簡單來說，要確定問題是否難題，我們須要一併考慮解題者的能力2

與態度。學生面對沒有即時解決方法的問題，運用已有的知識和思考方

法來求取答案的過程稱為解難活動。此過程開始於解題者面對難題的時

候，而終結於獲得答案及回顧的一刻。期間解題者須分析題目的內容、

思考和綜合運用自己的知識，應用於新的處境。

小學生除了學習數學課程所建議的數學概念和計算方法外，還須建立靈

活運用概念和計算方法的能力。這種能力是達致成功解決難題的重要元

素。

注 1：為了方便討論，本單元將 難題 理解為一個符合以下準則的問題：

(a) 該問題是數學問題 (即須要運用數學知識、技巧解決)。 (b) 問題能從多方面入手解決 (即可多角度、多層面巧思妙解)。 (c) 問題是可延伸， 作進一步探索的。 (d) 對學習者是有趣的。

注 2： 一個問題 (Question) 是否算是一個難題 (Problem) 會因解題者的知識 而異。 例如： Paracetamol 是否醫治感冒發燒的有效藥物？ 對一個專 業醫生來說，這個問題不是一個難題。 相反，對一個小學老師來說，這

個問題可能是一個大難題。

又例如： 如何引起學生對閱讀小說產生興趣？ 對一個文科老師來說，

相信不是一個難題。 但對一個醫生來說，可以是一個艱難的任務。

因此，同樣一個問題，對不同人來說，它可能是一個難題，亦可能只是

一個簡單的問題。 另外，我們不可以就一個人能否解決一個難題而武斷

判別這個人能力的高低。

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一些 數學難題 的例子

例一： 【雞兔同籠】

中國古代數學名著 《孫子算經》：

「若干隻雞和兔關在一個籠中，

從上面數共 35 個頭，

從下面數共 94 隻腳，

問雞兔各有多少隻？」

例二： 【當選的底線】

在總票數一萬票的三人選區 (有三個人當選的選區)，

有六個候選人。 為了絕對當選， 最少需要多少票？

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數學難題 與 練習 的分別

對不懂數學的人來說，「120 的正因數有多少個？」是一個難題。 對一個懂得基本

除法運算的學生來說，可能只當是一個練習而已。

當然，對於能力比較差的學生來說，上述問題已經算是一個難題了。

又例如，對於小學六年級的學生來說，題目「12 個橙， 吃掉 3/4， 還剩多少？」

是一般應用題。 但對於小學三年級的學生來說，它卻是難題。 小學三年級的學生

沒有直接計算的方法，但可以繪圖幫助思考，把 12 個橙分為 4等份，删却 3份，

從而找到餘下多少個。

如果解難者能夠輕鬆地運用已知的特定方法解決一個數學問題， 這個數學問題只

是一個數學練習，而不是數學難題。

面對一個真正難題，解難者往往不能有效地通過一般方法解決，他可能要通過多方

面的思考和嘗試才可以得出答案。

當然，如果一個解難者知道了一個難題的解難過程與技巧，這個難題對他來說不再

是一個難題。

解難教學的功用

小學生計算式題時快捷而準確，這或許會為他們帶來成功的滿足感。 但這些計算活動

並不能有效地協助學生將數學知識和程序應用於生活上。 日常生活中，我們總不會遇

到簡單直接的「( 33－1－2 ) ÷ 3 = ？」。

解題的時候，我們需要了解特定的處境資料，確定目標以及已知與未知的條件，繼而利

用自己的知識和經驗，擬定解決問題的方法，再進行解題和檢視結果。故此，數學科運

用解難教學的教育功用包括：

靈活運用基礎知識和基本技能

開拓解題思路，作多角度、多層面的思維

增強分析問題和解決問題的能力

訓練冷靜思考的能力

然而，讓學生運用數學知識解決難題不但是數學教育重要的目標，同時，學生在成功解

題後所獲得的喜悅與滿足感也能提升其學習動機。

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練習

你認為下列哪題目是 數學難題 ？ 討論下列題目具備哪些上列的準則。

1. 將 156 粒糖果平均分給 12 人， 每人分得多少糖果？

2. =−×−×+ 8.134%)150439( ？

3. 本金 2000 元，借出三年，到期收得單利息共 600 元，問年利率是多少？

4. 某數滿足下列特性。 它是 55 的若干倍， 亦是 35 的若干倍， 求某數的最小可能值。

5. 試比較 12345678 × 12345678 和 12345677 × 12345679， 哪一個乘積較大？

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6. 如果自然數 a ，b 和 c 滿足 1111 =++ cba , 問 cba ++ 最少是多少？

7. 找五個分數 54321 ,,,, rrrrr ，使之滿足 103102

10099

54321

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11. 紅絲帶長 8 米，黃絲帶比紅絲帶長 2 米，兩條絲帶共長多少米？

12. 如果 3×17 ＝51， 求 3×18 的積。

13. 停車塲裡有電單車和私家車共 21 輛，共有車輪 60 個，求私家車的數量。

思考題

1. 題目：猪和牛共有 504 隻， 猪的三份之一與牛的四份之一數量相等，求牛的數量。 小學生嘗試解上述問題時，會遇到甚麼困難？ 我們可以怎樣協助他們思考？

2. 題目： 兄有 5 元，弟有 4 元，二人共有多少元？ 這是小學一年級的簡單應用題，試把它改為難題，以提升學生的解難能力。

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一些 圖型題 的例子

圖型題： 問題以圖畫配合簡短文字表達。

對於現代教育工作者來說，解難並不局限於複雜的應用題。 只要能夠激發學生思

考的問題，也可以視為難題， 就像下列一些圖型題：

例一： 有多少個三角形？

例二： 面積有多少？

例三： 一隻螞蟻從左下角爬到右上角， 途中只往

上或右爬， 有多少路徑可以選擇？

例四： 每一個英文字母代表一個數字，

WRONG 如果 W＝3，H＝6， 甚麼是 ＋WRONG RIGHT 和 WRONG ？

R I G H T

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例五：

最多可以切出多少個半徑為一厘米的圓？

例六： 『網絡問題』 畫出 A, B, C, D 上學 的路線 (互不相交)。

例七： 應如何畫一個面積和左面三角形

相等的直角三角形。

例八：

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習題

1. 甲比乙多糖 7 粒，現甲送乙糖 5 粒，問乙比甲多糖多少粒？ 答案：3粒

2. 某動物園內，正方形猴子屋的邊長是 3米，正方形猩猩屋的邊長是 6 米。現兩屋均須舖蓋草皮，問猩猩屋較猴子屋需多花多少草皮？

3. 活動室有正方形桌子 12 張，桌子每邊只可以坐1 人。現在要把桌子拼成大矩形，問怎樣拼法才

可以讓最多人圍在一起坐？

4. 20 位教師參加了香港數學教育會議後，到某餐廳用膳。該餐廰提供 4人桌及 6 人桌。 問餐廰老闆可如何安排教師們的坐位？

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5. 一班有學生 30 個，老師於星期一早上九時正，把一個秘密告知兩位同學，每位知道這個秘密的同學，都要把秘密保守二十四小時，然後再把秘密告知班內兩位不知

道這個秘密的同學 (每人只把秘密講述一次)。問在甚麼時候，全班同學都知道這

個秘密？

答案： 星期四

6. 硬幣 27 枚，其中 1枚是假的，假幣較輕，其他 26 枚硬幣重量相同。問最少要用天平稱量幾次，才確保必能找到假幣？

答案： 3 次

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二、波利亞解難四部曲 數學解難與探究

解難是一個過程，從解題者開始接觸問題，經過處理已知資料，最後找到答案或結論並

作出回顧為止。學生須充分掌握這個過程，才能有效解決學習時遇到的常規及非常規問

題。

美國數學教師協會 ( NCTM, 2000 ) 指出

“Problem solving means engaging in a task for which the solution method is not known in advance. In order to find a solution, students must draw on their knowledge, and through this process, they will often develop new mathematical understandings. Solving problems is not only a goal of learning mathematics but also a major means of doing so. Students should have frequent opportunities to formulate, grapple with, and solve complex problems that require a significant amount of effort and should then be encouraged to reflect on their thinking.” (page 52) (National Council of Teachers of Mathematics (2000). Principles and Standards

for School Mathematics. Reston, VA.)

2.1 解難過程模型

解難教學在數學教育扮演重要角色，故此，歷年來有不少學者曾為此作出深入研

究，並為解難過程提出各種模型。1957 年，出生於匈牙利的著名美國數學教育家

佐治波利亞 (George Polya, 1887-1985) 在他影響深遠的經典著作 《怎樣解題》

( How to solve it ) 中指出，解難過程可分為四個階段。

波利亞解難模式 ( Polya, 1945 ) (1) 理解問題 ( Understanding the problem ) (2) 設計解題策略 ( Devising a plan ) (3) 按步解題 ( Carrying out the plan ) (4) 回顧解答 ( Looking back )

波利亞發表了他的解難模式之後，有很多學者將其修訂或作出新的建議，下面是其

中一些具影響力的解難模式。

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舒恩飛解難模式 ( Schoenfeld, 1987 ) (1) 理解 ( Read ) (2) 分析 ( Analyse ) (3) 探索 ( Explore ) (4) 計劃 ( Plan ) (5) 實施 ( Implement ) (6) 驗證 ( Verify )

葛魯福和利士達解難模式 ( Garofalo & Lester, 1985 ) (1) 定位 ( Orientation ) (2) 組織 ( Organization ) (3) 執行 ( Execution ) (4) 驗證 ( Verification )

馬順、畢頓和史丹斯解難模式 ( Mason, Burton & Stacey, 1985 ) (1) 進入 ( Entry ) (2) 攻擊 ( Attack ) (3) 回顧 ( Review )

美亞解難模式 ( Mayer, 1985 ) (1) 解釋 ( Translation ) (2) 綜合 ( Integration ) (3) 計劃與調節 ( Planning and monitoring ) (4) 執行 ( Solution / execution )

溫仕解難模式 ( Resnick, 1988 ) (1) 計劃 ( Planning ) (2) 組織 ( Organizing ) (3) 執行 ( Carrying out ) (4) 調節 ( Monitoring )

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古力和活力解難模式 ( Krulik and Rudnick, 1988 ) (1) 理解 ( Read ) (2) 探索 ( Explore ) (3) 選取策略 ( Select a strategy ) (4) 解決 ( Solve ) (5) 回顧及延伸 ( Look back and extend )

思考題

1. 試分析以上所提及的七個解難模式有何異同之處。

2. 其餘六個解難模式中，哪一個比較接近波利亞的建議？ 為甚麽？

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2.2 波利亞解難模式的四個階段

雖然這些解難模式的重點各有差異，但它們的最終目標都是提升學生的數學思維，

讓他們在解決難題時能夠有系統地進行。以波利亞的模式為例，教師可以用以下提

問協助學生進行解難的四個階段：

(1) 理解問題 ( Understanding the problem ) 老師可以用下列提問協助學生進行解難的第一階段：

你明白問題的每字每句嗎？

你能否用自己的文字重述問題？

已知量和未知量是什麼，它們的關係如何？

目的是什麼？

資料足夠嗎？

有些什麼資料是不相關的？

這個問題「難」在哪裡？

在這個階段，教師可鼓勵學生反覆讀題，從而找出有用資料和問題重心。

(2) 設計解題策略 ( Devising a plan )

這個問題是否跟曾解決過的問題類似？

你能否用另一形式重述這個問題？

你是否利用了所有的已知數據？ 你是否利用了所有條件？

可否試些簡單情況？

可否用另一種型式表達有用資料？

在這個階段，教師可鼓勵學生思考能否直接運用定理、公式等解題。如果不

能，則鼓勵他們將資料用圖或表顯示，或試解決較簡單的問題。在得到新的

靈感後，便選取較適合的策略再進行探究。常用的策略有很多，包括：

估猜與測試 ( Guess and Test )

繪圖 ( Draw a picture )

尋找規律 ( Look for a pattern )

解一道簡化的問題 ( Solve a simpler problem )

應用數字的性質 ( Use properties of numbers )

逆向思考 ( Work backward )

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窮盡可能性 ( Exhaust possibilities )

尋找公式 ( Look for a formula )

應用工具 ( Use tools )

推理 ( Reasoning )

模擬 ( Do a simulation )

應用變量思考 ( Use a variable )

(3) 按步解題 ( Carrying out the plan ) 教師可以用下列提問協助學生進行解難的第三階段：

你是否想出了一個解題方法嗎？

能否依這個方法計算下去？

你清楚知道每一步驟是正確的嗎？

在這階段，鼓勵學生應用並執行所選用的計劃，直至獲得解答或更明確的新

解題方略。 宜提醒學生給自己合理、充份的時間去思考，若不成功可從

別處尋找線索又或將問題放下一回再思考。並不要害怕重新開始，很多時候，

新的開始，新的策略會導致成功。

(4) 回顧解答 ( Looking back )

這個答案正確嗎？

這個方法正確嗎？

為什麼這個方法得出正確答案？

哪(幾)個是關鍵的步驟？

你能把這結果或方法用於其它問題嗎？

有沒有其他方法？

你能用不同的方法導出這結果嗎？

以下題目可否引伸出其他數學問題？

如果有其他方法，何者較佳、快或較易於概括？

如果問題的條件改變了，情況又會怎樣？

在這階段，教師應鼓勵學生驗算，並須指出驗算不是將答案代入公式，而是

檢視答案能否滿足題目內容及要求。另一方面，教師也可鼓勵學生思考其他

解題方法及將問題延伸，以增強其探究能力。

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如果學生解題時正確理解問題，下圖便能反映回顧時發現答案合理或不合理

的流程。否則，解題者須重新審視問題。

波利亞 ( Polya ) 的四個解難步驟流程圖：

第一步

第二步

第三步

第四步

練習

1. 在我去聖艾芙的路上，遇見了一個人。它有七個妻子，每個妻子有七個袋子，每個袋子裡有七隻貓，每隻貓有七隻小貓。小貓，貓，袋子和妻子，有多少要去聖艾芙？

2. 下圖的大方格中有 4×4 共 16 個小方格。 規定在每個小方格中，最多只能畫上一個圓圈， 試設計一份畫上 7 個圓圈的方案，使得劃掉其中任何兩行與任何兩列之後，

在剩下的 4個小方格中至少保留一個圓圈。試完成一份畫上 7個圓圈的方案。

理解題目

設計策略

實施計劃

解答問題

答案是否合理？

提供答案

檢討步驟

(不合理)

(合理)

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3. 已知三個數 ( x, y 及 z ) 之和是 1， 碰巧這三個數的倒數之和都是 1。 關於這三個數， 試提出兩個 教學提問 引導學生思考理解問題。

2.3 解難過程 ( 波利亞模式 ) 示範

我們嘗試用以下例子分析解難四個步驟可能出現的情況。

題目： 有大、小正方形手帕兩幅置於面積 900平方厘米的花紙上。 兩幅手帕的

邊長相差 4厘米，面積相差 56平方厘米。大手帕的面積是多少？

(1) 理解問題 在理解問題的階段，學生須清楚指出：

A. 有用的資料 手帕是正方形

一大、一小共有兩幅

邊長相差 4厘米

面積相差 56平方厘米

B. 題目的要求 大手帕的面積是多少？

C. 沒用的資料 花紙 900平方厘米

22

(2) 設計解題策略 面對這樣的題目，學生可視乎個人的數學知識和解題經驗來設計解題策略。

以下是解決此題的其中五個方法：

方法一：代數式

56)4( 22 =−− xx

具備中學或以上的數學知識的人，大多會用代數式來解決此題。如

果學生未能理解當中的代數符號運算。面對這樣的難題，他們可以

怎樣解決？

方法二：繪圖

教學提問：

題目中提供了哪些資料？

這裡有多少個正方形？當中哪些是有關係呢？

怎樣利用已知的資料去找出兩個正方形的大小？

正方形面積與邊長有什麼關係？

試試畫圖看看。

該怎樣畫圖才能清楚表示出題目提供的資料？

如何可以以一幅圖顯示這兩個正方形的關係呢？

透過繪圖，你們找到新的資料嗎？

把兩個正方形重疊擺放有什麼好處？

透過畫圖，你找到什麼新資料？

怎樣利用這些資料去找出大、小正方形的面積？

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方法三：列表與試誤

教學提問：

題目中哪些資料可以讓你作初步嘗試？

這次嘗試能滿足題目的所有條件嗎？

如果未能夠滿足所有條件，可以怎樣做呢？

當大正方形邊長 9厘米，便符合面積之差的條件，它的面積是

81平方厘米。

方法四：推理、列表和試誤

教學提問：

大正方形的面積最小是多少？

其邊長最小是多少？

經過推理，大正方形的邊長大於 56 ；以大正方邊長為 8厘米開始試誤，直到面積之差符合題目的要求為止，這樣比較省時。

當大正方形邊長 9厘米，便符合面積之差的條件，它的面積是

81平方厘米。

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方法五：列表與觀察規律

教學提問：

每條邊增加 1厘米後，面積之差有何改變？

改變有沒有規律？

每邊要增加多少才能滿足題目的要求？

所以小正方形的邊長是多少？

學生按上述方法進行計算，會發現當大、小兩條手帕的邊長各增加

1厘米，面積之差便增加 8平方厘米。

(3) 按步解題

學生按上述任何一個方法進行計算，如果沒有出現錯誤，會獲得大手帕的邊

長為 9厘米。 舉例在方法五中，會發現當大、小兩條手帕的邊長各增加 1厘

米，面積之差便增加 8平方厘米，從這規律看出，若要面積之差為 56平方厘

米，大手帕的邊長須為 9厘米，即面積是 81平方厘米。

(4) 回顧解答

無論學生用哪一個方法解題，在回顧時，學生必須驗算兩條手帕的邊長是否

相差 4厘米、面積是否相差 56平方厘米等，最後才寫下答案：大手帕的面積

為 81平方厘米。

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A

D

D1

A1

B

C

B1

C1

練習

1. 一隻螞蟻在書桌上行走時遇到一個長闊高分別為 2cm， 4cm，及 3cm 的紙盒。 它由紙盒在桌面上的四個角落中選定一個作為出發點， 並走到距離此點最遠的紙盒

上蓋的頂點。 如果螞蟻想將路程縮至最短，問它所走的路線應為何？ 試量度該路

程的長度。

(1) 理解問題

題目中沒有說明紙盒是如何放在桌上。有多少種可能的擺放方法？

不同的擺放方法對解題的答案有沒有影響？

試用圖表示一種擺放方法。

(2) 設計解題策略

在平面上，要從一點走到另一點，要如何走才使走的路程最短？

假設螞蟻找到最短的路徑，它走的路徑會經過紙盒的多少塊面？

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假設以下是它的最短路徑。

點 X 是如何定位？

經哪兩面行走路程會最短？

(3) 按步解題

現在用以上的方法來解題。

最短的路程是多少？

(4) 回顧解答

這方法合理嗎？

關鍵步驟是什麼？

有沒有其它方法？

如果長方體的邊長改變了，應如何處理？

或

2

3

4

•

•

起點

終點

23

4

•

•

起點

終點

X X

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註： 對一個有更深厚數學知識的人，他解題的情況可能有以下變化：

(3) 按步解題 現在用以上的方法來解題。

(a) 經面 11 AABB → 面 11BBCC ，從 A到 1C 點，則

(b) 經面 ABCD → 面 CCBB 11 ，從 A到 1C 點，則

(c) 經面 11 AABB → 面 1111 DCBA ，從 A到 1C 點，則

最短的路程是多少？

(4) 回顧解答

如果長方體的邊長改變了，應如何處理？

A

A1 B1 C1

B C 6

3

(a)

A

D C C1

B B1 7

2

(b)

A

D1 C1

B 4

5 A1

B1

(c)

28

2. 試根據波利亞解難模式，解決下列問題。在每一個階段可能會出現甚麽情況？ 可以用哪些教學提問作引導？

題目： 停車塲裡有電單車和私家車共 21 輛，共有車輪 60 個，求私家車的數量。

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討論題

試描述以波利亞提出的四個解難步驟所經歷的思考過程，並解答下列各題。

1. 【分遺產】 如果生下來的孩子是男孩，就把財產的三分之二給孩子，剩下的留給媽媽。 如果生下來的孩子是女孩，就把財產的三分之一給孩子，剩下的留給媽媽。

富翁離開了人世，他的妻子生下來卻是一男一女雙胞胎， 怎樣分配遺產才合理？

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2. 【回文數】 回文數就是從左到右或從右到左唸都一樣的數。例如： 12321，33033。請問五位數字中，共有多少個回文數？

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三、解難策略 數學解難與探究

下圖是波利亞 ( Polya ) 的四個解難步驟流程圖及一些常見的解難策略。 從這個流程

圖中所見， 如果學生回顧解答時發現答案不合理，便須重新設計策略。

面對數學難題，如果學生能夠勇於嘗試，樂於思考，恰當運用各種解難策略，難題一般

都能迎刃而解的。

(合理)

列表

繪圖

試誤

推理

列舉法

簡化問題

尋找規律

逆向思考

理解題目

設計策略

實施計劃

解答問題

答案是否合理？

提供答案

檢討步驟

(不合理)

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誠然，從理解題目到構思一個解題策略也許是漫長而曲折的過程。事實上，解答一個題

目的主要成就在於構思一個解題策略的思路。這個思路可能是逐漸形成的。 很多時候，

在經過一段時間不斷的試驗之後，會剎那間閃現出一個好主意，解決難題往往就從這個

突破點出發。

以下我們會討論一般小學生常用的解題策略，每一部分都有一些例子作輔助說明。

3.1 列舉法 (窮盡可能性)

列舉法適用於數出符合某種幾何特性或數學關係的事物。 為方便進行，老師可以

指導學生為圖的端點或個別部分加上標記 ( label )， 並有系統地考慮各種可能

性。當所有可能的組合都被列出，此方法又可稱為窮盡法。

例一： 下圖共有多少個矩形？

答案： 先將個別區域加上標記。

佔一個區域的矩形：

佔兩個區域的矩形：

佔三個區域的矩形：

佔四個區域的矩形：

佔五個或以上區域的矩形：

列舉完畢， 故此，圖中共有 個矩形。

33

例二： 【書包顏色】 小黄、小白和小藍在走廊相遇，小白說：「真有趣，我們 3 個

書包的顏色和姓氏都不相配，要是交換一下便全一致了。」 她們的書包分別

是什麼顏色呢？

答案： 先有規律地列出各種可能性，

然後，再依題目選出合適的可能性。 由於 3個書包的顏色和姓氏都不相配，

所以

例三： 【參觀展覽館】 展覽館內，「○」表示展品，「—」表示通道。 不會重覆

觀看展品的小珍從入口到出口，可有多少種不同的走法？

34

答案： 先看清楚題目的要求，不會重覆觀看展品，即每次參觀路線的編號不會重覆。

然後有規律地列出所有參觀路線：

路線： 1→2→3→4； 1→5→6； 1→5→6→8→9；

1→5→7→8→9； 1→5→7→8→6

路線： 7→5→1→2→3→4； 7→5→6； 7→5→6→8→9； 7→8→9；

7→8→6； 7→8→6→5→1→2→3→4

路線： 10→11→12

總結所有可能路線：

1. 入口 → 1 → 2 → 3 → 4 → 出口 2. 入口 → 1 → 5 → 6 → 出口 3. 入口 → 1 → 5 → 6 → 8 → 9 → 出口 4. 入口 → 1 → 5 → 7 → 8 → 9 → 出口 5. 入口 → 1 → 5 → 7 → 8 → 6 → 出口 6. 入口 → 7 → 5 → 1 → 2 → 3 → 4 → 出口 7. 入口 → 7 → 5 → 6 → 出口

35

8. 入口 → 7 → 5 → 6 → 8 → 9 → 出口 9. 入口 → 7 → 8 → 9 → 出口 10. 入口 → 7 → 8 → 6 → 出口 11. 入口 → 7 → 8 → 6 → 5 → 1 → 2 → 3 → 4 → 出口 12. 入口 → 10 → 11 → 12 → 出口

例四： 【擲骰子】 哥哥和弟弟玩擲骰子遊戲，猜三顆骰子擲出數目之和。 哥哥說：

開 10 點的機會較大， 弟弟卻說不是：應該是開 9 點的機會較大。 問誰的

說法正確？

答案： 可以列出所有可能性：

例五： 【圓桌吃飯】 張先生夫婦及兩個兒子共四人圍着圓桌吃飯 ( 如下圖所示 )。

現在要安排這四人就座，問共有多少種不同的方法？

答案： 嘗試列出所有可能坐法：

36

練習

1. 列出 24 和 32 的公因數。

2. 列出 6 和 8 的首三個公倍數。

3. 【四色問題】 有一圖畫 (見下圖)， 只用紅、白、黄、藍四色，一共有多少種塗抹方法使邊界清晰？

37

4. 【幾何計數】 如圖所示，數一數圖中有多少條不同的線段？

圖中有多少個三角形？

圖中一共有多少個長方形？

圖中所有長方形的面積和是多少？

38

圖中有多少個三角形？

圖中有多少個梯形？

圖中共有多少個三角形？

圖中共有多少個等腰直角三角形？

39

3.2 列表

列表法是把問題的相關資料有系統地以表的形式顯示出來。 此法除了可以單獨用

來解決問題之外，也可以與其他解難策略如試誤、尋找規律、窮盡法等綜合運用。

老師可以提醒學生在列表前， 要先考慮列和欄所代表的東西，然後才有系統地完

成該表。

例一： 【硬幣組合】 用 2 元、5 元和 10 元硬幣湊合 20 元，共有多少個組合？

答案： 先有規律地列出各種可能性，

所以共有 個組合。

例二： 【風紀當值】 教員室每日需要一位風紀當值，老師正為小芳、小珍、小文、

小玉和小強安排當值日子。小芳星期一、三、五都要到合唱團練歌；小珍只

可在星期三、四當值；小文希望在星期一或二當值；小玉則選星期四或五；

而小強卻說星期三和五都沒有問題。最後老師編排他們在哪日當值呢？

答案： 用表列方式寫出相關的項目：

40

然後，再依題目，加上適當的符號：

1. 小芳星期一、三、五都要到合唱團練歌。

2. 小珍只可在星期三、四當值。

3. 小文希望在星期一或二當值。

4. 小玉則選星期四或五。

5. 小強卻說星期三和五都沒有問題。

接著，逐日考慮各人的當值時間：

星期一只可以由小文負責，所以星期二便要由小芳負責。

若星期三由小珍負責，星期四便由小玉負責，而星期五則是小強。

此外， 若星期四由小珍負責，星期五便由小玉負責，而星期三則是小強。

故此，星期一和星期二只有一種安排，但星期三至五卻可以有兩種安排。

41

例三： 【頒獎嘉賓】 頒獎禮其分三節舉行，由副校長、校長和校監頒獎。 第三節

頒獎時，副校長要安排閉幕禮的事宜；校長於第二節頒獎時要接待嘉賓，不

能頒獎；校監於第二節頒獎前才到達會場。 老師該怎樣安排頒獎嘉賓名單？

答案： 用表列方式寫出相關的項目：

再依題目指示，加上適當符號。由於第三節頒獎時，副校長要安排閉幕禮的

事宜，而校長於第二節頒獎時要接待嘉賓，校監則於第二節頒獎前才到達會

場。故此在下列時間不能頒獎。

然後再依條件，作合適的安排。若副校長在第一節頒獎，校長便要在第三節

頒獎，而校監則在第二節。

若副校長在第二節頒獎，校長便要在第一節頒獎，而校監則在第三節。

42

練習

1. 寶欣和三個同學到商塲拍貼紙相， 由於地方細小，每次拍照只可容納兩人。 如果各人都與其他同學合照一次，共需拍照多少次？

2. 有劉、馬、張三戶人家，每家各有一個孩子，他們的名字是小芳(女)，小儀(女)，

小龍(子)。 三家的媽媽是趙媽、李媽、方媽。

(1) 老劉和李媽各自的孩子都參加了少年女子游泳隊；

(2) 老馬的女兒不是小儀；

(3) 老張和方媽不是一家人。

請問哪三個人是一家？

3. 【公平分梨子】 A, B, C 三人分梨子時，若按下面的方法辦則從概率的角度講是公平的。 將梨子總數用 3 除， 除得盡時每人分相同數量， 餘 1 個時僅多給 A 一

個， 餘 2 個時 B 和 C 每人多分一個。 用與此類似的方法， 試考慮將梨子分給

兩個人， 四個人的情況。

43

3.3 繪圖

繪圖的方法有很多種，包括樹狀圖和概念圖，老師應指導學生視乎問題內容而選用

不同方法。 如果問題涉及幾個組別且各有若干的物件，並要求找出各物件跨組配

搭的方法，使用樹狀圖便能夠清晰列出所有組合。

例一： 【套餐選擇】 某餐廳聲稱能夠提供 12 款套餐讓顧客選擇，其餐單如下：

湯： 羅宋湯或忌廉湯

主菜： 猪扒、雞扒或牛扒

飲品： 咖啡或奶茶

究竟這餐廳說的是否屬實？ 有沒有誤導消費者？

答案： 要回答上述問題，可以用樹狀圖有系統地將資料表述：

上圖的直線分叉成樹枝一樣，因而此類圖形又稱為樹狀圖 ( tree diagram )。

上層代表湯類的兩個可能選擇：羅宋湯或忌廉湯。 每一種湯都連結中層（主

菜）的三種可能扒類：猪扒、雞扒或牛扒。 選定某一種主菜後，又可連結下

層飲品的兩款可能選擇：咖啡或奶茶。

從上層開始，沿著樹枝往下走，便能列出所有 12 款套餐：

44

例二： 【鋸木需時】 現在要把一根長 10 米的木料鋸成 2 米一段的短木料。 鋸一

段需用 4 分鐘， 把所有木料全部鋸完共需要多少分鐘？

答案： 將木料鋸成 5 段，情況如下：

所以，鋸成 5 段，只需鋸 次， 即 分鐘便可。

例三： 【全班人數】 小珍在課室的坐位是由左邊數起第 3 排，右邊數起第 6 排；

從前面往後數，小珍是第 2 人，從後面往前數是第 4 人。 已知每行的人數

相同， 小珍同班共有多少人？

答案： 已知每行的人數相同

所以， 小珍同班共有 人。

例四： 【小蝸牛爬井】 小蝸牛在乾涸的井底往上爬， 牠白天爬上 5 米，晚上溜下

2 米。 如果井口到井底深 16 米，小蝸牛要多少天才能爬到井口？

答案： 到了第五日白天 ( 如圖所示 )，小蝸牛爬到井口了！

45

練習

1. 5 隻貓在 5 分鐘可以捉 5 隻老鼠， 按此比例， 為了要在 100 分鐘內捉 100 隻老鼠， 需要多少隻貓？

2. 小欣借了 100 元給小雄，小美則向小欣借了 50 元，小雄又向小美借了 50 元。 最後， 誰還款給誰，才會互不相欠？

3. 請解釋為甚麽每個人一生中總有某個時刻，您的體重 ( 磅為單位 ) 數字上相等於您的身高 ( 吋為單位 )。

4. 每小時都有一班火車從甲地駛往乙地， 同時也有一班火車從乙地駛往甲地。 全程都是 7 個小時。 有一名乘客從早上八點乘坐從甲地開出的火車， 他在途中能遇

到幾班從乙地開往甲地的火車？

46

3.4 試誤

還記得學生學習除法時怎樣求「商」嗎？他們開始時也是用試誤方法找出商數來

的，所以我們稱這種求商的過程為「試商」。 面對一道不熟悉的題目，如果未能

即時想出解題方法，用試誤法作開始往往會帶來新的啟示，甚至可以找到答案。

沒有經驗的學生試誤時往往用 「滿足部份條件的可能答案」 或隨機選取一些數字

作開始； 有經驗及數字感較好的學生會先作合理估算，並以估值作開始。 因為初

次試誤的數值往往未能滿足問題的所有條件， 所以老師宜協助學生分析情況以便

調節試值。 討論時，老師可以鼓勵學生說出他們的想法， 這有助學生強化試誤背

後的兩項重要因素：數字感和推理能力。

例一： 試在下列空格內填上加號、減號、乘號或除號，並在適當的位置加上括號，

使以下等式成立。

答案：

上述的例題看似很難入手， 但只要學生有良好的解難習慣，以不同的運算符號組

合試誤，總會找到一個合理的答案。 通過試誤，學生既可以慢慢掌握解決這類問

題的竅門。

例二： 試用 5 個 8 寫成一道答案是 9 的算式。 ( 算式中只可包括加法和減法。)

答案：

在試誤的過程中，如果學生能夠聯想一些相關的問題，將有助解決問題。 這些相

關的問題包括：

47

例三： 【巧填數字】 把 1 到 8 這八個數字填在空格內，使以下出現的各條算式都

能夠成立。

答案：

先嘗試填入數字：

然後，嘗試其他填法，

嘗試秘訣：

是否每個數字均可填在 □ + □ 的算式中？

是否每個數字均可填在 □－□ 的算式中？

是否每個數字均可填在 □ × □ 的算式中？

是否每個數字均可填在 □ ÷ □ 的算式中？

那麼，先嘗試那條算式較好？ 為什麼？

48

練習

1. 【填數字】 把 1，3，5，7，9 分別填入下面的圓圈內，使直行和橫行上的三個數字之和相等。

2. 1 至 9 九個數字分三組， 兩個一組，三個一組，四個一組。 頭兩組數字相乘等如第三組數字。 例如： 12 × 483 = 5796。 還有其他可能嗎？

3. 到某餅店買兩款西餅： 果撻和芝士蛋糕。 最後買了若干數目的果撻和芝士蛋糕。 果撻和芝士蛋糕的價錢分別是每件 $14 和 $14.5。 總計的價錢剛好是 $300。 問

分別各買了多少件？

49

3.5 簡化問題

事實上，難題往往不容易一試即能解決的。 解題者必須細閱問題，從多角度、多

層次思考解題方法。 運用 「簡化問題」 策略往往能夠令解題者對問題的解決方

法產生初步理解。

題目如： 「10 隊足球隊進行單循環比賽共需多少場次？」，老師可以指導學生

先考慮只有 2 隊的情況，繼而 3 隊、 4 隊 ……， 對簡單化的問題有了認識，

再向更多複雜條件的問題進行探究，往往能夠順利過渡， 把原來高難度的問題解

答。

某些難題可以分拆成若干部分來考慮， 例如： 「1， 4， 5， 6， 8 五個數字可

以組成哪一個最大的四位單數？」 這問題由三項要求組成﹕「四位數」、「最大」

和 「單數」。 現在把問題分拆成兩部分， 先組成最大的四位數 8654， 再考慮

單數的條件，便得答案為 8651。

例一： 報章報導， 「72 架飛機共可乘載 ＊317＊ 人。」 由於印刷出現問題，

萬位和個位數字不見了， 你知道平均每架飛機可載多少人？

答案： 這個問題可以有很多解決方法。 如果解題者對整除性有認識， 知道可以被

72 整除的數，必定可以被 8 和 9 整除， 因此這問題可以分拆成兩個部分。

首先， 該數可以被 8 整除即表示它最後三個位 17＊ 能夠被 8 整除，因而

得出個位是 6。

接著運用可以被 9 整除的特性， 以 A 表示萬位數字， 各位值數字之和

( A + 3 + 1 + 7 + 6 ) 是 9 的倍數，因而得出 A 是 1。

計算了遺失的數字，知道總人數是 13176 ， 因此，平均每架飛機可載：

7213176

= 183 (人)。

50

例二： 【花瓶圖形】 求下面花瓶圖形的面積。

答案： 這個花瓶圖形可以分割成兩個較小的簡單圖形﹕長方形和梯形。

梯形的上底和高並沒有直接給出， 但可以從已知資料求得。

梯形的上底 = 4 cm

梯形的高 = 7 － 5 = 2 (cm)

長方形面積 = 5 × 4 = 20 (cm2)

梯形面積 =

∴ 花瓶圖形面積 =

遇上比較複雜的圖形，可以嘗試將它分割成若干個簡單的部分，往往能夠通

過不斷的嘗試找出解題方法。

51

例三： 求 750 的個位數。

答案： 理論上這個問題雖然可以用直接計算來求解， 但可以想像將 7 自乘 50 次

得出來的積將會很大， 一般計算機根本不能顯示其個位數。 再者，慢慢乘

下去不僅費時，計算愈繁複，出錯機會亦愈大。

如果用 「簡化問題」 策略，解題者可以先用簡單的次方開始，細心觀察和

思考，或能找到解題的方法： 71 = 7

72 = 49

73 = 343

74 = 2401

75 = 16807

76 = 117649

這裡共試了首六個的次方， 觀察到積的個位數字分別是 7、9、3、1、7、9，

小心看看這些個位數字會否存在規律 ( 如接著的兩個個位數字會否是 3 和

1 呢？ )， 即檢查當次方是 7 和 8，積的個位數字會否分別是 3 和 1。要

檢查這個猜想是否正確，可以繼續計算下去：

77 = 823543

78 = 5764801

將這些簡化問題所得出的結果記錄下來

從上表清楚可見，個位數字是依規律出現的： 7、9、3、1 …… 。

另外， 當次方每增加 4 的時候，對應的個位數字便會再次重複循環出現。

由於 750 的次方是 50，50 即 4 × 12＋2。 因此， 7

50 的個位數字應該與 7

2

相同， 即 750 的個位數字是 9。

這個例子雖然以 「簡化問題」 策略來開始，但思考過程也有運用 「列表」

和 「尋找規律」。 一個成功的解題者往往能夠綜合運用已有知識和靈活選

擇解題策略， 不會永遠只依靠一道算式 ( formula ) 或單一種策略。

52

練習

1. 問下圖共有多少個長方形？

2. 讀了一本小說， 第一天讀了全書三分之一多 5 頁， 第二天讀了全書五分之二少 12 頁， 第三天讀了剩下的 27 頁。 這本小說共有多少頁？

3. 【客房安排】 賓館接待一個旅行團， 客房部只知道： 如果 3 個房間各住 4 人， 其餘房間各住 3 人， 就會剩 9 人無房可住； 如果 1 個房間住 3 人， 其餘房間

各住 5 人， 就剛好住滿。 問旅行團共有多少人？ 預訂了多少個房間？

53

3.6 尋找規律

我們日常生活中存在著很多不同的規律， 它們是按某種規則有系統地重複出現。

例如每一天的上、下午； 每星期的七天等。 很多數學題要求解題者在某一項數列

找出下一個數字、字母或圖形，例如：

在數列 3，6，9，12，△，…… 中， △代表甚麼數字？

在英文字串 M，A，T，H，M，A，T，H，M，…… 中，第 60 個字母是甚麼？

觀察下列圖形，試畫出下一個圖形。

這些問題往往需要解題者先分析各項數據之間有何關係、 個別數據與其位置能否

用數式表示等。 如果解題者能夠發現當中的規律， 這些問題便很容易解決。

例一： 學校職員用彩旗佈置禮堂，依紅、黃、藍、綠的顏色次序編排。問第 63 面

旗的顏色是甚麼？

答案： 可以由第一面旗的顏色開始，依次序列寫出至第 63面旗。

紅，黃，藍，綠，紅，黃，藍，綠 ，紅，黃，藍，綠 ， ……

在列寫的過程中不難發現當中的規律，即每 4 次會構成一個循環，將此規律

用表列出來。

由於 63 ÷ 4 = 15 … 3， 第 63 面旗的顏色是 。

54

例二： 當 111 化成小數， 第 2010 個小數點後的位置是甚麼數？

答案： 將 111 化成小數， 是 0.090909 …。

這個循環由 「0」 和 「9」 組成，「0」 在小數點後的單數位而 「9」 在

小數點後的偶數位， 因此，第 2010 個小數點後的位置是 。

例三： 在數列 4、7、6、6、8、5、10、4、△、3， △ 是什麼數值？

答案： 這個數列可分拆成兩部分。首部分由奇數位組成，即 4、6、8、10、△，它們

是相連的偶數。第二部份由偶數位組成，即 7、6、5、4、3，是退一的連續

數。如果解題者能夠分出這兩組數字，便會從規律中找出 △ 的值是 。

例四： 在下列圖形，第一幅是由 1 個基本單位組成， 第二幅是由 4 個基本單位組

成。 如此類推， 第 10 幅由多少個基本單位組成呢？

答案： 能力較高的解題者可能很快已經知道答案是 100 了。如果還未有頭緒的話，

可以先用列表的方式，寫出相關資料。 基本單位的分佈表 ：

如果解題者未能從首 3 幅圖的資料找到規律，可以自行畫出第 4 幅圖，繪

畫的過程或能令解題者理解到自己畫了 4 排，而每排有 4 個基本單位。 經

過細心觀察，解題者不難發現有多少排和每排有多少個是與圖的次序有關係

的，而這個規律是可以用數式表示。 T = n × n， n 代表圖的次序而 T 代

表基本單位的總數。 當解題者用文字或數式來表示探究出來的規律， 也應

用已知的資料來驗算猜想是否正確，以減少無謂的錯誤。

55

練習

4. 【火柴棒數目】 砌一個正方形要用 4 枝火柴棒，砌兩個要用 7 枝，砌 3 個要用10 枝。 依這方法砌 23 個正方形，要用多少枝火柴棒？

5. 【正多邊形的對角線】 正 48 邊形有多少條對角線？

6. 求 19931993 的個位數。

7. 以下數字排列有甚麼特別？ 還有沒有類似排列？

1 9 2 3 8 4 5 7 6

56

3.7 溫氏圖

溫氏圖適合處理小組之間互有關聯的情況。 一般會用圓形來表示個別小組(即集

合)，兩圓相疊表示有一些個體同屬該兩個小組。 圓形畫好後，須將已知資料填入

回中間位置開始， 慢慢往外直至所有相關資料用完。 如有需要，可用代數符號表

示未知部份。 繪圖完成後，須檢查每個區域的數字與所知條件是否吻合。而每個

圓內數的數字之和剛好是該小組組員人數，這項條件往往可幫助解題。

基數 ( Cardinality )

包含有限個元素的集合稱為有限集合 ( finite set )。 以 n(A) 表示一個有限集

合 A 的元素數目， 亦稱為 A 的基數 ( cardinality )。在實際問題中， 有時要

計算具有某種性質的元素的數目。

本節目的就是討論怎樣解決有限集合元素的計數問題， 在這裡我們介紹兩種方法。

(1) 包含排斥原理

(2) 系數待定法

以上是解決集合計數問題最基本的兩種方法， 用包含排斥原理需要深刻理解集合

表達式所表示的意義。 而用系數待定法則要求能很準確劃出溫氏圖， 弄清溫氏圖

每一個區域及其數字所代表的含意。

包含排斥原理 ( Principle of Inclusion and Exclusion )

包含排斥原理也稱為容斥原理， 它在組合計算中有着重要的用途。

定理 ( 包含排斥原理 )： 對任何兩個有限集合 A 及 B， 有以下結果：

n( A∪B ) = n( A ) + n( B ) − n( A ∩ B )。

用溫氏圖表示包含排斥原理。

例子： 某班有學生 48 人，其中有 23 人參加游泳隊，有 16 人參加田徑隊，有 8 人

既參加游泳隊又參加田徑隊，問有多少人既不參加游泳隊也不參加田徑隊？

答案： 設 A = { 參加游泳隊的學生 }， B = { 參加田徑隊的學生 }。

n( A ) = ，n( B ) = ， n( A ∩ B ) = 。 因此，

n( A∪B ) = n( A ) + n( B ) − n( A ∩ B ) = = 。

既不參加游泳隊也不參加田徑隊的學生人數是 = 人。

57

系數待定法

用系數待定結合溫氏圖的方法也可以很方便地解決有限集合的計數問題。

一般方法如下：

(1) 首先根據已知的條件把對應的溫氏圖劃出來。 一般地說， 每一條性質決定一個集合。 有多少條性質， 就有多少個集合。 如果沒有特殊的說明， 就

把任何兩個集合都劃成相交的。

(2) 然後將已知集合的元素填入表示該集合的區域內。 通常從幾個集合的交集填起， 根據計算的結果將數字逐步填入所有的空白區域。 如果交集的數字是

未知的， 可以設為未知數。

(3) 根據題目中的條件， 列出一次方程或方程組， 就可以求得所需要的結果。

例子： 對 24 名會說外語的教職人員進行問卷調查, 其統計結果如下：

會說英、法、德、日語的人分別為 13, 9, 10 和 5 人， 其中同時會說英語

和日語的有 2 人，會說英、法和德語中任兩種語言的都是 4 人。 已知會說

日語的人既不懂法語也不懂德語， 分別求只會說一種語言 ( 英、法、德、

日 ) 的人數， 和會說三種語言的人數。

答案： 設 A = { 會說英語的人 }， B = { 會說法語的人 }， C = { 會說德語的人 }，

D = { 會說日語的人 }。 設 x 為同時會說三種語言的人數； y1， y2 和 y3

分別表示只會說英、法或德一種語言的人數。 先根據題意劃出溫氏圖：

58

練習

1. 某班有學生 25 人， 其中 14 人會打籃球， 12 人會打排球， 6 人會打籃球和排球， 5 人會打籃球和網球， 還有 2人會打這三種球。 已知 6個會打網球的人都會打籃

球或排球。 求不會打球的人數。

答案： 設 A = { 會打排球的人 }， B = { 會打網球的人 }， C = { 會打籃球的人 }。

設 x 為會打排球和網球，但不會打籃球的人數； y1，y2 表示只會打排球和

只會打籃球的人數； y3 表示不會打球的人數。 先根據題意劃出溫氏圖：

2. 一個問卷調查結果顯示九成老師喜歡以下最少一項活動：看戲，運動，睇書。 45% 喜歡看戲； 48% 喜歡運動； 35% 喜歡睇書； 12% 喜歡看戲和睇書；

20% 只喜歡看戲； 15% 只喜歡睇書。 問有多少百分比的老師喜歡全部三項？

59

3.8 逆向思考

如果題目涉及一些步驟或過程， 並提供最後的結果， 老師可以指導學生運用逆向

思考來尋找先前的資料及解決問題。

例一： 【叔叔歲數】小明到親戚家拜年，小明說：「你們用自己的年齡乘以 3， 再

加上 6， 然後再用 3 除，把答案告訴我，我就能算出你們今年幾歲。」

叔叔照小明說的算好了， 告訴小明得數是 45 。小明立刻說：「今年叔叔 43

歲。」小明用什麼方法能立刻知道叔叔的歲數？

答案： 叔叔說的 45 是怎樣來的？

先把叔叔的歲數乘以 3， 再加上 6， 然後再用 3 除便會得出 45。

怎樣才能利用這些資料找出叔叔的歲數？

例二： 【糖果數目】 兄妹二人共有糖 16 粒。妹妹吃了 2 粒，接著哥哥送了 5 粒

糖給妹妹，二人的糖果數目便相同。問原本兄妹各有糖多少粒？

答案： 我們將一步一步先瞭解題目。

兄妹二人共有糖 16 粒， 妹妹吃了 2 粒，剩下 14 粒。

然後，逐步解決問題。 剩下 14 粒：

最後二人的糖果數目相同，即每人 7 粒。

哥哥先前送了 5 粒糖給妹妹，而妹妹最初吃了 2 粒糖。

所以哥哥原本有糖 粒，妹妹原本有糖 粒。

60

練習

1. 三層書櫃放了 900 本書， 如果把第二層的三分之一搬到第一層， 第三層的四分之一搬到第二層， 那麽現在三層書的本數相等， 問每層原本有多少本書？

2. 著名詩人李白的酒壼中原有一些酒， 他每遇到一家酒店就添酒， 使壼中酒增加一倍； 每次遇到花， 即飲酒賦詩喝去 1 升； 如此經過 3 次， 喝光了壼中的酒。

問壼中原有多少酒？

61

3.9 邏輯推理

面對一個問題， 如果能夠作出合乎邏輯的推理，問題或會容易解決。 例如，「小

強的爸爸有三個兒子， 大兒子叫大牛， 二兒子叫二牛， 三兒子叫什麼名字呢？」，

如果解題者不假思索，或會以為三兒子的名字是三牛。 但細心理解問題後， 知道

小強、大牛和二牛的爸爸是同一個人， 而這個爸爸有三個兒子， 經過簡單的推理，

便知道小強是小兒子了。

解決較複雜的問題時，邏輯推理往往會與其他策略一起綜合運用， 這些策略包括

列表、試誤、繪圖等。

例一： 從以下兩幅圖可以表示哪一個小朋友最重呢？

答案： 從第一幅圖得知， 小明比小美重， 可以用數學符號表示：

小明 ＞ 小美

從第二幅圖得知， 小美比大牛重， 即

小美 ＞ 大牛

簡單推理得知大牛最輕，而小明是最重的。

例二： 小明有三個杯， A 杯盛了約半杯水，小明把 A 杯的水倒入 B 杯，剛好將 B

杯盛滿。 小明再把 B 杯的水倒入 C 杯， 水卻滿溢。 哪一個杯的容最大？

答案： 倒入同一個體積的水，B 杯剛好盛滿而 C 杯滿溢， 因此 B 杯的容量比 C杯

大；倒入同一個體積的水，B 杯剛好盛滿而 A 杯仍未盛滿， 簡單推理得知 A

杯的容量最大。

62

例三： 小玲請大家猜她的年齡，以下是她給予的提示：

「我還未到 18 歲，所以沒有投票權。」

「我的小妹是中二學生，已經 13 歲了。」

「我的年齡是一個質數。」

小玲今年多少歲呢？

答案： 第一個提示顯示小玲是 17 歲或以下，第二個提示顯示小玲已超過 13 歲了，

因此她的年齡應該是 17, 16, 15 或 14 歲， 而這四個數中， 只有 17 是

質數， 所以符合全部三個提示， 只有 17 歲才是合理答案了。

例四： 老師分別量度了美兒、小麗、志明和大強的高度，並說

「美兒比大強高。」

「大強不是最矮的。」

「志明比美兒高。」

誰是最矮呢？

答案： 將提示資料分析後，再用圖顯示第一個提示：

從第二個提示， 推理出還有人比大強矮：

第三個提示表示：

將所有資料重組後，發現志明是最高的，跟著美兒和大強。小麗還沒有在圖

中顯示， 簡單推理便知道她是剩餘的一個，也是四個人之中最矮的一個。

63

練習

1. 數獨 ( Sodoku ) 問題：

2. 「我家有一個爺爺，一個嫲嫲，兩個爸爸，兩個媽媽，兩個兒子，一個孫子。」 問你家有多少人？

3. 一個家庭有爸爸、媽媽、女兒、兒子。 他們年齡之和是 73 歲， 爸比媽大 3 歲，女比子大 2 歲， 4 年前他們年齡之和是 58 歲。 問他們今年各自多少歲？

4. 每一個英文字母代表一個數字，如果 W＝3，H＝6， 甚麼是 RIGHT 和 WRONG？

WRONG ＋WRONG

R I G H T

64

3.10 應用工具

小學生學習某些數學課題時，會使用工具。 例如學習除法前，學生可以把若干顆

數粒平均分給二人，探究每人分得多少顆。 這種使用數粒作均分的活動，有助學

生建立整除的概念。 同理， 學生也可以應用工具解決數學問題。

例一： 小欣， 潔儀二人同時同地起步。 小欣以每小時 2 公里往東行，潔儀則以每

小時 1.5 公里往南行， 兩小時後她們相距多少公里？

答案： 兩小時後，小欣離開原地東面 4 公里，潔儀則離開原地南面 3 公里。 東面

和南面成直角， 可以用直尺畫出相關資料，並以厘米暫代公里。

用直尺量度兩端距離， 得 厘米， 即兩小時後她們相距 公里。

要解決此類問題， 學生須要運用已有知識和量度工具。 注意「應用工具」可以是

真的量度工具，也可表示為數學應用工具如計算方程式 ( formula )。 例子： 計

算多少個五位回文數時，我們須要借助數學應用工具如「計數的基本原則」。

例二： 如何利用圓規 ( compass ) 畫出 橢圓形 ( oval )？ 螺旋形 ( spiral )？

65

練習

1. 有正方形手工紙一張，其面積是 100 平方厘米。如何用該手工紙摺出一個面積是50 平方厘米的正方形？

2. 把三角形 ABC 分為四個面積相等的三角形。

A

B C

66

3. 四雙同樣質地同樣大小的袜子， 兩雙白色，兩雙黑色。 兩個盲人都想取一雙白色及一雙黑色， 但却沒有別人幫助辨識顏色。 該如何辦？

4. 小明家兄弟姊妹很多。 一個男孩說： 我的兄弟和我的姊妹一樣多。 一個女孩說： 我的兄弟比我的姊妹多一倍。 問兄弟, 姊妹各有幾個人呢？

67

四、從解難到數學探究 數學解難與探究

課程發展議會 (2001) 發表的《學會學習》報告書中，強調了要培養學生解決問題的能

力。 早於一九八九年，美國數學教師協會 ( NCTM, 1989 ) 建議在數學課程裡引入多

樣化的解難活動，以加強學生的探究及應用能力。

G. Polya ( 1990 ) 提出了一般數學解難的策略和步驟，分別為理解問題、設計解題策

略、按步解題及回顧解答。 解題者透過首三項可以為個別難題找出初步答案， 而深入

的回顧除了可以檢算答案， 亦可以引發新的問題及增強數學探究能力 ( 文耀光、梁志

強 2002 )。 解難怎樣可以增強學生的數學探究能力呢？ 本文嘗試用三個例子闡釋箇

中的因由。

4.1 應用例子 (一)

首個例子以兩個與數字有關的謎題作開始。 一般小六學生只要不放棄，都可以用

試誤這種解難策略得到每題一組或以上答案。 除此之外， 列表、應用代數式等都

是解決這兩題的可行方法。

題目 1.1：下面的九個小方格組成一個簡單幻方。 試把 1 至 9 的數字填進方格內， 使

得每條線上三個數之和都相等。

題目 1.2：下面 10 個小圓排成一個環狀圖形，並用直線連接中心的大圓。若把 1 至 11

的數字放進下面的小圓， 使每條線上三數相加的和為 14， 該如何安排？

68

解法一： 試誤

對於 題目1.1， 由於數字 5 是在 1 至 9 的中間， 很多學生會嘗試把 5 放在中

心方格，再用試誤的方法， 把其他的數放在外格。 數感較好的同學， 會由 5 的兩邊

有系統地向外探索， 把 ( 4，6 )、( 3，7 )、( 2，8 ) 和 ( 1，9 ) 有序地填在 5 的

兩邊， 使每條線上三個數之和都相等，或作簡單驗算即可得如下四條數式：

4 + 5 + 6 = 15 2 + 5 + 8 = 15

3 + 5 + 7 = 15 1 + 5 + 9 = 15

上述技巧可以應用於 題目1.2 嗎？ 若果將 1 至 11 的中間數 6 放在中心， 再將

( 5，7)、(4，8)、(3，9)、(2，10) 和 (1，11) 有序地填在 6 的兩邊， 每條線上三

個數之和都相等。然而， 這個和是 18 卻不是 14， 因此並不能滿足題目的條件。

解 題目 1.1 的時候， 如果只滿足於初步答案， 便錯失了數學探究的機會， 亦遺漏了

其他可行的答案。事實上，通過深入的回顧， 會引出相關問題如：

解答這個問題有更快的方法嗎？

是否只有 5 適合放在中心位置， 數字 4可以嗎？

如果不是 1 至 9 ， 而是 1、4、9、16、25、36、49、64 和 81，題目 1.1 有答

案嗎？

通過不斷思考和探究新問題， 數學能力才可以更進一步提高， 更理解原有的問題和找

出更多的答案， 並能應用於其他相關的問題中。

事實上， 小學生解上述題目時， 除了試誤，還可以用列表和應用代數，以找尋其他答

案及解決類似問題。

解法二：列表

相對 題目 1.1， 題目 1.2 中要填的數字增加了， 隨意試誤不是最好的方法。 要

為 題目 1.2 找到一組答案， 較好的方法是先探究各數和各圓的特性。 例如除了中間

大圓的數外， 其他的數只用了一次。 由於有 5 條直線穿過大圓， 大圓的數比其他的

數多用了 4 次。 如果 1 至 11 各用一次， 總和是 66。 用表列出相關資料：

69

從上表得知， 中間大圓的數是 1， 餘下小圓的數相應是 (2，11)、(3，10)、(4，9)、

(5，8) 和 (6，7)。 事實上，只要探究到各數及各圓的特性， 即使取消了條件 「每

條線上三個數之和是 14」， 列表的方法也可以為 題目 1.2 找出其他適合放在中間大

圓的數，如 6 和 11。

解法三：應用代數式

題目1.1 和 題目1.2 也可以用代數的方法探究。如 題目1.1， 設中間空格的數是

t，每條線上三個數之和是 ( 45 + 3t ) ÷ 4 。 因為三個整數之和必定是整數，所以 ( 45

+ 3t )必須是 4 的倍數， 即 t 只可以是 1、5 和 9。 知道每條線上三個數之和及固

定中間空格的數後，便容易填寫其他的數。 若 t = 9， 每條線上三個數之和是 ( 45 +

3× 9 )÷4，即 18。 因此，各線上的數是 ( 1，9，8 ) 、( 2，9，7 ) 、( 3，9，6 )

和 ( 4，9，5 )。

同理， 設 題目1.2 中間大圓的數是 k， 得 ( 66 + 4k ) ÷ 5 = 14， 解方程後

得 k = 1。 因此，各線上的數是 ( 2，9，11 ) 、( 3，1，10 ) 、( 4，1，9 ) 、( 5，

1，8 ) 和 ( 6，1，7 )。

當學生的數學探究能力增加後， 遇到新的難題時， 多會沉著面對， 思索解難的

方法。 讀者們可以試試解決 題目 1.3 及 題目 1.4， 完成後不妨再作深入的回顧，看

看能否引發更多的問題。 記著， 我們不一定要一陣子解決所有問題， 只要養成探究

數學問題的習慣， 有空的時候反覆思量， 數學能力自會不斷增強。

70

題目 1.3：下面十字圖形由 9 個方格組成， 直列及橫列各有 5 個方格。試把 1 至 9

填在方格內， 使直列及橫列上各數之和都是 23。

題目 1.4：下面三角形由 9 個圓組成。試把 1 至 9 填在圓內， 使三角形每條邊上四

個數之和都是 17。

4.2 應用例子 (二)

第二個例子是與連續數之和有關的。 探究連續數之和可以從解決以下難題作開始。

題目 2.1：有籃球隊共 4 隊， 如果每一隊都要與其他隊伍對賽 1 次， 共有比賽多少

塲?

解答：

對上述非常規應用題， 有多種解難策略都可以幫助找尋答案， 如列表、繪圖、窮盡可

能性等。 把四隊籃球隊分別以 A、B、C及 D 標記， 以列表為例，在可行的配對加上

，其他則加上 。 結果， 比賽場次共有 6 場。

71

解決了只有 4 隊的情況， 回顧時或會問：

如果增加至 10 隊， 會有比賽多少塲？

如果是 n 隊又怎麼樣？

是否有通解 ( 一般解 ) 呢？

從 題目 2.1解答的表看到， 號有 ( 1 + 2 + 3 ) 個， 而 號有 ( 1 + 2 + 3 + 4 ) 個， 兩組剛好構成一個 4 × 4 的正方形。 即

( 1 + 2 + 3 ) + ( 1 + 2 + 3 + 4 ) = 42。

繼續探究， 可得

( 1 + 2 + 3 + 4 ) + ( 1 + 2 + 3 + 4 + 5 ) = 52， ( 1 + 2 + 3 + 4 + 5 ) + ( 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 ) = 62，

以此類推，

( 1 + 2 + 3 + … + n) + [ ( 1 + 2 + 3 + … + n + (n+1) ] = (n+1)2，

可得

( 1 + 2 + 3 + … + n) + ( 1 + 2 + 3 + … + n ) = (n+1)2 － (n+1)，

2 × ( 1 + 2 + 3 + … + n ) = (n+1) [ (n+1) － 1]，

( 1 + 2 + 3 + … + n ) = (n+1) × n ÷ 2。

一般小學生對代數方程的處理或會有困難， 故此我們可以考慮用繪圖來協助思考。

在長 4 格、 闊 3 格的矩形內， 號和 號各有 ( 1 + 2 + 3 ) 個， 把 4 寫成 3 + 1， 即 ( 1 + 2 + 3 ) 等於 ( 3 + 1 ) × 3 ÷ 2。

再延伸到 5 隊的情況，可以在新構成的矩形看到 ( 1 + 2 + 3 + 4 ) 等於( 4 + 1 ) × 4 ÷ 2。 以此推理， 小學生也能夠發現連續數之和是：

1 + 2 + 3 + … + n = (n+1) × n ÷ 2。

72

透過解決上述難題及思考引發的新問題， 學生便會理解到連續數之和於生活上的

應用，並增加他們對探究連續數之的通解的學習動機。

4.3 應用例子 (三)

最後一個例子是所謂一筆劃問題。 在嘗試錯誤過程中運用到邏輯思考很可能是某

類問題的最佳解法。 傳授這項策略最好能從一些著名的問題開始，像是

題目 3.1：【七橋問題】 據說古城堡的居民喜歡在城內的 7 座橋上散步。 這 7 座橋

連接河的兩岸和河中的兩個小島。 問題是： 請試著走完這 7 座橋而每座橋

只經過一次。

這個問題很適合給學生作為啟發思考的指定作業。 當你下次上課時告訴他們答案是

〝不可能〞，無疑地能引起他們的好奇心，希望知道為甚麼這樣的走法事實並不存在。

嘗試錯誤的策略如試著窮盡各種可能性找出可能的答案不一定能夠成功的。

七橋問題之後， 老師可以建議學生們閱讀瑞士數學家歐拉傳和他在網絡研究上的

成就。 頂點、連接頂點的邊、由邊分割成的平面區域，構成了一個平面網絡。 歐拉發

展了一些法則用來決定一個平面網絡是否能一筆劃完成。

題目 3.2：【一筆劃問題】 例如下圖中， 左邊的兩個網絡可一筆劃完成。右邊的兩個

則無法一筆劃完成。

73

解答：

題目 3.2中，一個頂點稱為奇頂點，如果它有奇數條邊。不然則稱為偶頂點。 歐拉證明

了這樣的一個定理： 一個網絡滿足以下任何一個條件，則該網絡可一筆劃完成。

1. 所有的頂點皆為偶頂點。

2. 只有兩個奇頂點。

如果網絡滿足第二種情況， 那麼必須從某個奇頂出發， 才能一筆劃完成該網絡。 鼓

勵你的學生用自己的圖形來驗證這個定理。 之後， 畫一個相當於七橋問題的網絡， 並

驗證它是否滿足定理中的條件。

除了一筆劃網絡之外， 歐拉還證明了一個頂點數 (V)、區域數 (R) 和邊數 (A) 的

關系式 ( 稱為歐拉公式 ) ：

V + R = A + 2。

74

最後你還可以用以下的網絡進行一項課堂中的數學實驗。

 

步驟 1 ： 計算上面網絡的頂點數、區域數、邊數。 並分別填入表中。

網絡 頂點數 (V) 區域數 (R) 邊數 (A)

a

b

c

d

e

步驟 2 ：每個網絡的邊數 (A) 是否恆小於頂點數 (V) 或區域數 (R) ？

A 恆小於 V + R 嗎？ 你能找出頂點數、邊數、區域數間的關係嗎？

用 A、V、R 來表達你的關係式。

步驟 3 ：以下圖中的 4 個平面網絡， 驗證你在步驟 2 中所獲得的關係式。

75

分組解難活動 數學解難與探究

問題 一

早晨 8 點多鐘， 有兩輛學校巴士先後離開大學車站向教院開去， 兩輛校巴的速

度都是每小時 60 千米。 8 點 32 分的時候，第一輛校巴離開大學站的距離是第

二輛校巴離開大學站的距離的 3 倍； 到了 8 點 39 分的時候，第一輛校巴離開

大學站的距離是第二輛校巴離開大學站的距離的 2 倍。 那麼， 第一輛校巴是

8 點幾多分鐘離開大學站的？

問題 二

一支總人數是 5 的倍數且不少於 1000 的遊行隊伍， 若按每橫排 4 人編隊， 最

後差 3 人； 若按每橫排 3 人編隊， 最後差 2 人；若按每橫排 2 人編隊， 最

後差 1 人。 求這支遊行隊伍的人數最少是多少。

問題 三

一班學生從 A 地到相距 100km 的 B 地， 其中一半人乘汽車， 另一半人步行， 同

時到發。 汽車在途中停下讓車上人下車步行， 然後汽車立即返回接開始步行的人

前往 B 地。 設學生步行的速度為每小時 4km, 汽車每小時 20km。 若不計算學

生上下車時間， 要使全體學生在下午 6 點同時到達 B 地， 他們應該在甚麽時候

出發？

問題 四

一個讀書小組有六位同學， 分別姓 陳、孫、梁、李、周、吳， 這個讀書小組有

六本書， 書名分別是 A, B, C, D, E, F。 每人至少讀過其中的一本書。 已知陳、

孫、梁、李、周分別讀過其中的 2, 2, 4, 3, 5 本書， 而書 A, B, C, D, E 分

別被小組中的 1, 4, 2, 2, 2 位同學讀過。 那麼，吳同學讀過幾本書？ 書 F 又

被小組中幾多位同學讀過？

76

問題 五

某人坐的士從甲地到乙地， 的士司機告訴他， 若時速 50 km/h， 於下午 1 時到

達， 若時速 75 km/h， 則於中午 11 時到達。 但此人希望中午 12 時到達， 請

問， 的士司機應保持時速多少？

問題 六

司機甲有滿滿一桶汽油， 共 10 公升， 欲與司機乙平分。 乙拿來 2 隻空桶， 容

量分別是 7 公升 和 3 公升， 但這 3 隻桶都無顯示容量刻度， 你有辦法完成這

平分的任務嗎？ 要完成這任務一共倒了多少次？

問題 七

某中學舉辦初中生常識問答比賽， 全卷共 25 題多項選擇題。 比賽規則是： 每

答對一題得 5 分， 每空白一題不答就不給分 (即得 0 分)； 每答錯一題， 不僅

不給分， 反而要扣 2 分。 同學甲在這次比賽中共得 94 分。 已知他只有兩題空

着沒答， 那麽他答對了多少題？

問題 八

在一列上海駛往北京的列車上， 一位老年旅客的左、右坐着一位中年和一位青年。

三人的目的地分別是濟南、天津和北京， 職業是工人、農民和教師。 若

(1) 老年人不是去北京， 中年人不是去濟南；

(2) 去北京的不是教師；

(3) 工人的目的地是濟南；

(4) 中年人不是農民。

問三人的目的地各是哪座城市？ 各從事何種職業？

77

問題 九

某工廠有工人 176 人，其中男工人數的三分之一比女工人數的四分之一多 12 人，

這個工廠男工、女工各多少人？

問題 十

某校參加數學競賽有 120 名男生、 80 名女生， 參加英語競賽有 120 名女生、 80

名男生，已知該校總共有 260 名學生參加了競賽， 其中有 75 名男生兩科競賽都

參加了， 那麽參加數學競賽而沒有參加英語競賽的女生人數是多少？

問題 十一

甲、乙兩站間的路程為 360 km， 一列慢車從甲站開出， 每小時行駛 48 km； 一

列快車從乙站開出，每小時行駛 72 km。 快車先開 25 分鐘， 兩車相向而行， 慢

車行駛了多少小時時兩車相遇？

問題 十二

一人今年歲數的立方是個 4 位數， 歲數的 4 次方是個 6 位數。 如果把兩者合

起來看， 它們正好是 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 共 10 個數字統統用上去

了，不重不漏。 那人今年到底幾歲？

78

問題 十三

甲、乙、丙、丁四人在一起議論語文、數學、歷史、地理四個科目考試成績的第一

名是誰。

甲說： 丁是地理第一名； 乙說： 丙是數學第一名；

丙說： 甲不是語文第一名； 丁說： 乙是歷史第一名。

成績公布後， 四個人都分別是某科目的第一名， 而且取得語文第一名和地理第一

名的兩人猜對了， 其他兩人猜錯了， 試問這四位同學各是哪一個科目的第一名？

問題 十四

A、B、C 三個杯子裡各裝有水若干毫升。 現將 A 中的水倒一些入 B 中， 使 B 中

的水加倍； 然後把 B 中的水倒一些入 C 中， 使 C 中的水加倍； 又把 C 中的

水倒一些入 A 中， 使 A 中的水加倍。 如果把上述過程進行兩遍， A、B、C 中

各有水 640 亳升。 問三個杯子裡原來各有多少水？

問題 十五

甲桶裝 49 升水，乙桶裝 46 升水。 如果把乙桶的水倒入甲桶， 甲桶裝滿後，乙

桶裡剩下的水相當於乙桶容量的 1/2；如果把甲桶的水倒入乙桶， 乙桶裝滿後，

甲桶裡剩下的水相當於甲桶容量的 1/3。 求每桶的容量。

小 學 數 學 解 難 策 略 http://edisdat.ied.edu.hk/cdarch/b14765627/

79

五、解難教學技巧 數學解難與探究

坊間教科書內容主要是協助學生基本的數學概念和計算技巧，對解難能力的培養則較少

討論。 老師想提升學生解難能力往往要自行找尋合適的問題和材料，並且對解難要有

一定的認識，才能夠有效地帶領學生進行解難活動，協助他們建立高層次思維。

5.1 教師學養

一紙相關的教育文憑或能表示某人能充任數學老師，但要讓學生感受學習解難的樂趣，

最好的方法還是「身教」，以身作則。因此，數學老師宜：

對數學科保持興趣。

理解數學概念相互之間的關係。

充份掌握解難過程和技巧。

能夠獨立思考和學習。

樂於面對有深度的數學問題。

善於修訂難題以切合學生的能力。

鼓勵學生把一些挑戰題拿出來讓大家思考。

除了教授知識和技巧外，還積極協助學生發展思維。

5.2 營造有利條件

長遠而言，老師須營造一些有利解難教學的條件，才能提升學生的興趣及建立良好的解

難態度，使他們慢慢成長，成為愉快的解題者。 營造有利條件的方法很多，下面是其

中一些建議：

(a) 營造成功感

在引入解難教學的初期，老師可以把一些難題調適至大部分學生都能夠解決的程

度， 讓學生有成功感，令他們更有動力繼續解決其它問題。 老師的讚賞和鼓勵當

然也是成功感的來源之一。

(b) 給予適當的支援

許多學生遇到不熟悉的問題，都會靜待老師講述答案，這是由於他們還沒有建立認

真審題和解難技巧。 這時，老師需要作出評估，找出學生遇到甚麼疑難，並給予

適當的提問或支援，刺激他們思考，使他們能應付暫時的困境，從而繼續解決餘下

的部分。

80

(c) 讓學生選擇題目

遇到學生能力差異較大的情況時， 老師宜預備多些不同難度的題目。 老師可以指

定學生必須完成一部分的題目，以便稍後作全班討論。 餘下的題目則讓學生自行

選擇，作為堂課或家課。 這些安排將有助學生培養自我管理學習進度的能力，並

學會找尋一些適合自己及能夠提升思維的挑戰題。

(d) 加入有趣的題材

學生良好的學習動機有助提升老師的教學效能。 故此，如果題目具有一些令學生

感到有趣的題材，他們會更有耐性和更投入去解決問題。 下列各項題材一般都可

以引起學生的興趣：

生活趣事

班中的同學

學校的老師

學校的活動

社區特色

熱門時事

受歡迎的人物

除了上述各項外，你還能想出哪些令學生感興趣的題材嗎？

(e) 讓學生設計難題

當學生經歷了頗多的解難活動，開始理解其過程及有關策略後，便可以讓學生為其

他學生設計難題， 讓他們從被動的解題者變成主動的設題者。 這類活動可以讓學

生回顧習得的解難知識，重溫自己曾面對的難點，並把這些難點溶入自設的題目

中，藉以考驗其他同學。 因此，老師在適當時候加入自擬難題活動，可以深化學

生對解難的認識。

(f) 以小組模式解難

解決數學問題很多時候都需要靜靜地思考、分析和探究。 積極的同學或會覺得過

程充滿挑戰，永不放棄，但亦有很多同學會在解難的過程中感到挫折和無助。 因

此，老師須因應學生不同的背景和性格，把他們分成若干小組來討論題目的內容和

解決方法。 學生可從中學習互相支持，互補不足，並集合眾人的智慧解決問題。 通

過小組模式解難，不但有助學生建立團隊精神，也可以建立向他人學習的良好態度。

81

(g) 鼓勵學生多用基本策略

學生面對一道難題時，在理解問題之後，如果不能直接用已有知識解決問題，老師

不妨指導他們用圖或表顯示資料及其相互關係，或簡化內容，或作假設和試誤。 這

些基本策略均可讓學生找到更多的線索和新方向，繼續發展及解決問題。

(h) 鼓勵學生用多種方法解題

學生在成功解決問題後， 往往很容易滿足於已成功運用的方法， 就算有剩餘時間，

也只會無聊地等待其他同學完成，阻礙了他們建立多方面思考的能力。 故此，老

師宜提供多些擁有多於一種解決方法的題目，如雞兔問題、球賽問題等，藉以鼓勵

學生運用多於一種的方法解題。

(i) 適當使用教具

學生學習解難策略時，使用合適的教具可以提升效能和興趣。 例如在試誤或尋找

規律時，過程會涉及很多運算步驟。 這時，使用計算機可以減省運算時間和避免

錯誤，讓學生理解試誤和尋找規律是解題的有效策略。

(j) 鼓勵學生推算

小學四年級的學生還未學習解方程的技巧，一般都不懂得找出下列方程中 x 的值。

3 x + 2x = 7

對他們來說， 這是一道非常規題。 沒有解難經驗的學生多會嚷著說 「怎麼計

算？」， 而有策略的學生則會以試誤方法，將 x 代入不同的值，直至找到一個能

夠滿足上述方程的解。

如果學生能先作出推算，即以心算進行試誤，然後結合推理將試誤的數值合理修

訂，那便能使答案接近問題的條件和要求。 由此，推算過程往往能讓學生反覆運

用試誤和推理的策略，並能加強他們對數字特性的認識。

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思考題

1. 除了 (a) 到 (j) 所敘述那些方法之外， 您還能想到甚麼建議可以提升學生的興趣，激發他們主動學習？

2. 甚麼學生較適合以解難方法學習數學？

3. 如何處理學生的個別差異？ 假設部分學生的能力一般，只能解決簡單的應用題，面對老師派發的數學難題時，常常遇到障礙及感到沮喪。 您有甚麼方法可以幫助

這些學生呢？

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小組討論

試針對以下每一個數學內容提出至少一項教學活動 ( 並利用適當教具 ) 簡述如何有

利於學生學習數學解難的建議。

1. 【數字觀念之啟發】

2. 【分數與百分比】

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3. 【平面幾何圖】

4. 【多面體的構造】

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5. 【括弧的用法】

6. 【代數式的證明】

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5.3 老師要具備甚麼條件才可以有效地以解難方法教數學

I. 擬定難題能力源自豐富的數學知識

要準備一個學生能應付的題目，老師心目中要有一個或多個學生可以理解的題解。

老師對題目的掌握直接影響解難活動中的提問和引導，所以老師必須作出充分的準

備和詳細的思考。 如果有豐富的數學知識， 老師就能夠深入掌握和靈活地運用題

目，還可以從一個數學概念變化出多個精彩的數學難題。

例一： 寶欣要用 1000 元來買一些每包價值為 55 元的朱古力和一些每包價值

35 元的果汁糖。 如果她要剛好把 1000 元用完， 問她會買多少包朱古

力和果汁糖？

一般學生都會用一些簡單的方法來解這問題。 他們會發現寶欣最多可以買 18 包

朱古力或 28 包果汁糖， 所以他們可能會用試誤、列表或窮盡所有可能性等方法

來解題。 然而，究竟這問題跟甚麼數學有關呢？

老師都應該知道，這問題等價於 「試找出正整數 m 和 n， 使得 11 m + 7 n = 200」。

這題的一般解可以用輾轉相除法 ( Euclidean Algorithm ) 求得。而以下兩題亦

可以用同一方法來解決。

例二： 現有三角尺 ( 三隻角的角度分別為 30o 、 60

o 和 90