이공학도를

위한

수학문제

해결사 Maxima

소개

0

개요

무료

공개

소프트웨어 Maxima

는

작지만

매우

강력한

수학

프로그램이다.

이공학도들을

위

하여

전공

관련된

수학적인

문제를

거의

해결해

줄

수

있다.

수치계산은

물론이고

대수적

인

계산도

거의

완벽하게

수행

한다.

이런

종류의

소프트웨어로 Maple, Mathematica,

Mathcad

등이

있는데

가격이

적어도

수백만원에서

수천만원에

이른다. Maxima

를

개발하

고

수십년간에

걸쳐서

끊임

없이

새로운

버전

및

소스까지도

무료로

공개하고

있는

개발자

에게

늘

감사하는

마음을

가진다.

Maxima

가

기본적으로

할

수

있는

것

들.

- Equations ...

대수방정식

및

각종

선형

및

비선형

연립방정식

등의

해를

구해

준다.

- Algebra ...

일반

대수학은

물론

선형

대수학에서의

각종

연산

수행한다.

- Calculus ...

미적분

및

편미분

중적분에

대한

대수해

및

수치해

등을

구해

준다.

- ODE ...

상미분

방정식의

일반해

및

초기조건을

고려한

해

등을

구해

준다.

- Plot ...

다양한

옵션에

따라 2D

및 3D

그래프를

나타낸다.

- Simplify ...

각종

수식계산

및

표현식

등을

간단히

표현해

준다 .

이

외에도 Maxima

는

각종

수학

문제,

단위변환,

라플라스변환,

푸리에

급수,

통계학

등의

문제를

해결할

수

있는

무궁무진한

내장

함수들을

구비하고

있다.

또한

반복문(do~loop)

및

조건

분기문(if~then~elseif~)

등이

있어서

웬만한

프로그램이

가능하여

간이

언어로도

사용할

수

있다.

다운로드

및

설치

Maxima

프로그램을

실행시키려면 Maxima

를

설치해야

한다.

Maxima

는

아래주소로

접속해서

무료로

다운로드

할

수

있다.

공식사이트

주소 http://maxima.sourceforge.net

아래

주소로

직접

액세스하여도

된다.

http://sourceforge.net/projects/maxima/files/Maxima-Windows/

현재

최신

버전은 maxima-5.31.2.exe

이다.

maxima-5.31.2.exe

를

한번만

실행

시키기만

하면

프로그램설치 O.K.

고급사용자들은 User Manual

을

다운받아서

참고하기

바란다.

방대한

분량의 User Manual

도

무료로

다운로드

할

수

있다.

스마트폰용

애플리케이션도 Play

스토어에서 maxima on Android

로

검색하면

쉽게

다운

받아서

설치할

수

있다.

명령어

비고

더하기 + +

빼기 - -

곱하기 × *

매트릭스연산에서는 . (

마침표)

를

사용

나누기 ÷ /

지수 ^ **

도

같이

사용할

수

있음

지수표기 1.2×103 1.2E3

1.2e3E

또는 e

는

일반변수로

사용할

수

없음

명령어

비고

절대값 abs(x)

역수

1/x

또는 x^(-1)

제곱근 sqrt(x)

x^(1/n)

x^(m/n)

지수합수 %e^x

또는 exp(x)

자연로그 ln log(x)

상용로그 log log(x)/log(10)

삼각함수sin(x),cos(x), tan(x),

csc(x), sec(x), cot(x)

x

는 rad.

단위임에

주의

역삼각함수 asin(x), acos(x), atan(x), etc

쌍곡선함수 sinh(x),cosh(x),tanh(x) etc

명령어

또는

기호

비고

원주율 %pi

네이피어

상수 %e

허수

단위 %i

Ⅰ

기본

사항

1.

기본

연산자

2.

기본

수학

함수

3.

기본

상수

4. Maxima

맛보기

일반

계산기처럼

사용하여

보자.

Maxima

화면에서

이라고

타이핑

한

다음 shift+Enter

키를

눌러보라.

그냥 Enter

키만

누르면

명령을

실행하지

않고

단순히

줄만

바꾸고,

또

다른

명령어

입력

을

기다리는

상태가

된다.

어떤

명령어를

실행시키기

위해서는

반드시 shift+Enter

키를

누르는

것

에

주의

할

것.

맨

끝에

있는 ;(

세미콜론)

은

명령어의

끝이라는

의미로

반드시

붙여

주어야

한다.

아래와

같은

화면을

볼

수

있다.

그림 3

맥시마

맛보기

(%i1)

과 (%o1)

은

실제로

입력하는

것이

아니고 maxima

에서

입력1(%i1)

과

출력1(%o1)

을

나타내기

위해서

자동으로

붙여준다.

번호는

자동으로

증가되면서

붙여진다.

입출력

번호를

초기화

하려면

맥시마

화면

맨위에

있는

메인

메뉴에서 Maxima

밑에

있는

서브메뉴

Restart Maxima

를

클릭하면

된다.(

그러나

굳이

이럴

필요는

없다)

다음에는

실행해

보라.

연이어서

다음을

실행

해

보라.

, numer

를

붙여

주면

수치(numeric value)

로

나타낸

준다.

fpprintprec:6$

유효

숫자의

자릿

수를 6

자리로

지정한다. (format print precision

의

준말)

맨

끝의 $

표시는

역시

명령의

끝이라는

의미로

붙여주는

것인데 ;(semi colon)

와

다른

점은

그

행의

실행결과를

내부적으로는

처리하되

화면에는

나타내지는

않는다는

점이다.

1)

간단한

대수

계산

sin

를

계산하는

문제를

풀어보자.

를

입력하고 sfift+Enter

키를

누르면(

앞으로는 +

로

표시)

이

출력

될

것이다.

2)

수학함수

사용예

sin

의

계산

+

sin

의

계산

+

윗

식에서는 45

도(degree)

를

라디안(radian)

으로

바꾸기

위해 %pi/180

를

곱해준다.

의

계산

+

앞의

문제는

다음과

같이

코딩해도

같은

결과를

얻을

수

있다.

+

float

함수는

결과를

소숫점

형태로

바꾸어

준다.

%

기호는

항상

직전에

실행한

결과를

의미한다.

3)

다중계산예

2+3, sin

, , tan

계산

결과를

한줄에

나타내라.

+

다중계산을

하기위해서는

반드시 [ ]

로

묶고

컴마(,)

로

분리해주어야

한다.

4)

전개(<expand>)

및

인수분해(<factor>)

앞으로

이

글을

읽어

나갈

때 expr1)

은

수식표현을, eqn2)

은

방정식을, var3)

은

변수를

의미

하는

것으로

약속한다. expr

은

등호(=)

가

없는

수식이고, eqn

은

등호(=)

가

포함되어

있는

수식이라고

할

수

있다.

1) expression(

수식)

의

줄인

말

2) equation(

방정식)

의

줄인

말

3) variable(

변수)

의

줄인

말

명령어

사용

예

출력

설명

limit(sin(x)/x,x,0); 1lim→

sin

극한의

수식표현

sum(n^2,n,1,5); 55

수열의

합

1+4+9+16+25

=55

product(n^2,n,1,5); 14400

수열의

곱

1x4x9x16x25=

1440

전개

※

문법(syntax): expand(expr)

예제1

를

전개하시오.

+

또는

좀

더

완벽한

수학식으로

표현하고

싶으면

다음과

같이

타이핑한다.

+

아포스토로피기호(‘)

와

등호(=)

사이에

있는

부분은

연산을

수행하지

않고

그냥

화면에

출

력만

해준다.

인수

분해

문법(syntax) : factor(expr)

예제2

을

인수분해

하시오.

+

expand, factor

이외에도

수많은

명령어들이

준비되어

있는데

앞에

기술한

공식사이트에서

Maple User's Manual

을

다운받아서

참고하기

바란다.

표1

몇

가지

유용한

명령어

사용예

gcd(6,10); 2

최대공약수

lcm(6,10); 30

최소공배수

factor(20);

소인수분해

trigreduce(sin(x)^3);

고차

삼각함수의

차수를

낮추어

주기

때문에

적

분할

때

유용하

다

trigexpand(sin(alpha+beta));

삼각함수의

전개

ratsimp((x^3-1)/(x-1));

대수식을

간단히

정리해

준다

subst([x=1,y=2,Z=3],x^2+y^2+Z^3); 32

식의

값

구하기

x=1,y=2,z=3

일

때

의

값

5.

간단한

프로그램

예

세

개의

점수를

입력

받아서

평균을

구한

다음

평균이 90

점

이상이면

수(Soo), 80

점

이상

이면

우(Woo), 70

점

이상이면

미(Mee), 60

점

이상이면

양(Yang), 60

점

미만이면

가(Gha)

로

평가하고

총점,

평균

및

평어를

출력해

주는

프로그램을

만들어

본다.

입력변수

점수: s1. s2, s3

계산변수

총점: Sum,

평균: Avg

평어: grade

/* Progrma title and/or any comment here */

print("Input data -----------")$

'[Jumsu1,Jumsu2,Jumsu3]=[s1,s2,s3]:[79,65,87];

Sum:s1+s2+s3$

Avg:Sum/3$

Avg:floor(%+0.5)$

if Avg>=90 then grade:Soo

elseif Avg>=80 then grade:Woo

elseif Avg>=70 then grade:Mee

elseif Avg>=60 then grade:Yang

else grade:Gha$

print("Output data ----------")$

print("Total=",Sum," Average=",Avg," Grade is ",grade)$

+

위

프로그램에서 floor

함수는

계산

결과를

반올림해서

정수로

처리하기

위해서

사용

하였

다.

점수를

바꾸어서

실행시켜

보라.

Ⅱ Equation(

방정식)

1. solve

명령어

문법(syntax) solve(eqn, var);

solve([eqn1, …, eqnN], [var1, …, varN]);

연립방정식처럼

식이

여러

개

있을

때는

반드시 [ ]

를

쓰고,

각

방정식

및

미지변수를

컴마

(,)

로

분리해

주어야

한다.

예제1 2

차

방정식

의

해를

구하라.

+

당연한

결과지만

이차방정식의

근의

공식임을

알

수

있다.

예제2

이차방정식

을

푸시오.

+

예제3 x,y

에

관한 2

원2

차

연립방정식의

해를

구하라.

+

예제3 4

차방정식

을

풀어보시오.

+

위의 4

차방정식은

허근 2

개와

실근 2

개를

가짐을

알

수

있다. %i

는

이다.

2. algsys

명령어

문법 algsys([eqn1, …, eqnN], [var1, …, varN]);

algsys(algebraic system)

는

연립방정식에서만

쓸

수

있다.

예제4

앞의

예제3

을 algsys

명령어로

풀이

하시오.

+

3. find_root

명령어

때로는

방정식의

해가

대수적으로는

구할

수

없거나,

매우

어려운

경우도

많다.

이럴

때 find_root

명령어는

수치해를

구하는데

매우

강력한

수단이

된다.

문법 find_root(eqn,var,a,b);

a

와 b

는

구하고자하는

해(solution)

가

포함되어

있는

구간을

나타낸다.

즉, a≤

해≤b

이다.

예제5

삼각방정식 tan

를

만족하는

를

구해

보자.

tan

와

그래프를

그려

보면

이

방정식의

해는

무수히

많음을

알

수

있다. x=0

는

하나나의

해가

되지만

의미없는

해이다.

그

중에서 π/2≤x≤ 3π/2

구간에서

해를

구해

본다.

+

Ⅲ

선형대수(Linear Algebra)

1.

행렬(matrix)

의

입력

문법: matrix (row1, …, rowN)

row1

은

제1

행이고, rowN

은

제N

행이다.

예제1

를

입력하시오.

+

위와

같이

입력하여

실행하면 A

에

그

행렬을

기억시켜

둔다.

행렬의

규모가

커지면

다음과

같이

행단위로

한

줄씩

입력하는

것이

보기에

편하다.

2.

행렬(matrix)

연산

예제2

을

입력하고, ① , ②, ③, ④ ⑤

을

구하시오

+

행렬의

곱을

계산할

때 *(asterisk)

가아니고 .(period)

를

사용해야

한다.

① ② ③

④ ⑤

예제3

앞

예제에서

입력한

행렬 A

의 ①

행렬식의

값 ②

역행렬 ③

고유치 ④

고유벡터 ⑤

계수

를

구하시오.

+

고유치에서

뒤에

있는 [1,1]

은

고유치

해의

중복도(multiplicities)

를

나타낸다.

고유벡터에서

맨

뒤에

있는

은

각각의

고유치에

해당되는

고유벡터이다.

Ⅳ

미적분(Calculus)

1.

미분

문법 diff(expr,x,n)

expr

은

미분하고자하는

식이고, x

는

미분

변수, n

은

미분

회수이다.

예제1

를 x

에

대해

미분하시오.

+

단순히

미분

결과뿐만

아니라

좀

더

수학적인

식으로

나타내고

싶으면

아래와

같이

코딩한

다.

세

가지

다

동일한

결과를

얻을

수

있다.

+ +

+

예제2

에서 x=2

에서의

미분

계수를

구하시오.

+

위에서 %

는

직전에

실행한

결과( )

를

나타낸다.

또는

한

줄로

코딩하면

+

예제3 sin

를 x

에

대하여

세

번

미분하시오.(y'''

또는

)

+

또는

+

예제4

일

때

다음을

구하시오.(

편미분

문제)

1)

2)

1)

+

2)

+

2.

적분

문법 :

부정적분 integrate(expr, x)

정적분 integrate(expr, x, a, b)

예제1

를 x

에

관하여

적분하시오.

+

또는

+

예제2

를 x=0

에서 2

까지

정적분(

수치적분)

하시오.

+

또는

+

예제3 ∞

∞

+

또는

+

예제4

+

3.

미분방정식

문법 :

상미분방정식(Ordinary Differential Equation)

의

일반해

ode2 (eqn, dvar, ivar)

eqn

은

미분방정식, dvar

은

종속변수(y), ivar

은

독립변수(x)

초기조건(initial condition)

문제

ic1 (solution, xval, yval)

ic2 (solution, xval, yval, dval)

xval

은 x

값, yval

은 y

값, dval

은 1

계

미분계수

경계조건(boundary condition)

문제

bc2 (solution, xval1, yval1, xval2, yval2)

미분

기호

입력방법

′,

:

″ ,

:

예제5 y

는 t

의

함수일

때

상수계수 2

계선형상미분방정식 ″ ′ sin

의

일반해

및

초기조건 , ′

를

만족하는

해를

구하시오.

일반해(general solution)

+

윗식에서 %k1, %k2

는

임의

상수이다. %e

는

초기조건 , ′

를

만족하는

해

+

예제6 1

계

미분방정식 ′ sin

의

일반해

및

초기조건

일

때

를

만족하는

해를

구하시오.

+

4.

멱급수(power series)

전개

문법: taylor (expr, x, a, n)

(x-a)

의

멱급수로

최고차항 (x-a)n

까지

나타낸다.

예제7 sin

를

의

멱급수로 7

차항까지

나타내시오.

+

예제8

를

의

멱급수로 5

차항까지

나타내시오.

+

Ⅴ

그래프

형태의 2D

그래프

및

형태의 3D

그래프를

그릴

수

있다.

뿐만

아니

라

옵션을

사용하면

극좌표계,

원주좌표계,

구면좌표계

등

모든

그래프를

그릴

수

있으며

눈금,

크기,

범례,

색깔,

선의

굵기

및

모양,

심볼

등

거의

모든

것들을

컨트롤

할

수

있다.

문법:

wxplot2d(expr, x_range, …, options, …), options, ...

plot2d(expr, x_range, …, options, …), options, ...

wxplot3d (expr, x_range, y_range, …, options, …), options, ...

plot3d (expr, x_range, y_range, …, options, …), options, ...

wxplot

은

현재작업창에

그래프를

출력하해

주고, plot

은

별도의

새

창에

그래프를

출력한

다.

굵은

글씨로

표시한

항목은

생략할

수

없는

것

들이다. 2d, 3d

는

각각

이차원 3

차원

그

래프를

나타낸다.

예제1 sin

그래프

+

예제2 tan

과

의

그래프

+

두

개

이상의

그래프를

동시에

그릴

때는

반드시

함수식을 [ ]

로

묶고,

컴마(,)

로

분리해

주

어야

한다.

예제3

의

그래프

+

Ⅵ Maxima

소개를

마치면서

이공계

학생들에게

수학은

필수적인

도구이다.

이

글에서

소개한

내용은 Maxima

가

가지고

있는

기능

중에서

극히

일부분만을

소개한

것에

불과하다.

필자는

아침에

연구실에

출근하

면

컴퓨터를

부팅한

다음

맨

먼저

화면에

띄워

놓는

것이 Maxima

이다.

매일

매일

연구나

강의하면서

일어나는

전공분야의

크고

작은

문제들을

손쉽게

해결하는데

큰

도움을

받고

있

다.