edition krİŞlerde ve nce c darli elemanlarda kayma ger...

© 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

MECHANICS OF MATERIALS

FifthEdition

Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek

6- 1

x

KİRİŞLERDE VE İNCE CİDARLI ELEMANLARDA KAYMA GERİLMELERİ

( )

( ) MyM0dAF

0dAzMVdAF

0dAzyM0dAF

xzxzz

xyxyy

xyxzxxx

=−===

==−==

=−===

∫∫∫∫∫∫

στ

στ

ττσ

Göz önüne alınan bir kesitteki Normal ve Kayma gerilmelerinin dağılımı statik denge denklemlerini sağlamalıdır:

Q noktasında gerilmeler

V ’ye karşılık gelen kayma gerilmesi τxy =?



FifthEdition


6- 2

IVQq =

ItVQ

ort =τ

y y

x

x

P

AA’ C’

C B

T.E

a

a

z

dA

y c

T.E

V

σxH

M

;zz

zx I

yxPI

yM−=−=σ dA

IyxPdA

zx −=σ

0;0 =+= ∫∑ dAHF xxσ

∫=

=Cy

yyz

dAyI

xPH1

;z

y

yy IxQPHQyAdAy

C

=⇒==∫= 1

∫ =− 0dAI

yxPHz

Burada Q, kesit alanının y1 ile c arasında kalan kısmının Tarafsız Eksene göre statik momentini ifade etmektedir. H ise kısmının alt yüzeyindeki yatay kesme kuvvetini göstermektedir. O halde; birim uzunluktaki kesme kuvveti veya kayma akısı (q):

ACAC ′′

ACAC ′′

Kesme kuvvetinden (V ) kaynaklanan kayma gerilmesi

a-a kesitindeki kayma akısı ve kayma gerilmesi

IVQq =;

zIQP

xHq == )( VP =



FifthEdition


6- 3

Kirişte ara yüzey kayma gerilmesinin (τxy ) belirlenmesi:

Örnek: Dikdörtgen kesit

AV

cy

AV

IbVQ

xy

23

123

max

2

2

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−==

τ

τ

Yatay düzlemde ∆A alanına etkiyen kesme kuvveti ∆H ise ;

xtx

IVQ

Axq

AH

ort

∆∆

=

∆∆

=

∆∆

=τ

tIQV

ort =τ

Kirişin dikey kesitinde alt ve üst kenarlar boyunca τxy =0’dır. Tarafsız eksen üzerinde kayma gerilmesi maksimum değerine ulaşır.

xz

y



FifthEdition


6- 4

Üç tahta parçası şekildeki gibi çivilenerek bir I profil oluşturulmuştur. Çiviler arası mesafe (kiriş ekseni boyunca) s=25 mm ve kesitteki düşey kesme kuvveti V = 500 Nolduğuna göre;a) Her bir çivinin taşıdığı kesme kuvvetini bulunuz.b) Eğer çivi yerine yapıştırıcı kullanılsaydı kesitteki gerilme dağılımı nasıl olurdu?

Örnek V



FifthEdition


6- 5

Örnek Şekildeki kiriş kesiti üç parçanın birbirlerine yapıştırılmasıyla elde edilmiştir. Verilen kuvvetler kesitin simetri düzleminde etkimektedir. C’den geçen yatay eksene göre atalet momenti I= 8.63 x 106 mm4

olduğuna göre; n-n kesitinde a ve b bağlantı noktalarındaki ortalama kayma gerilmelerini bulunuz.

RA=1.5 kN

A



FifthEdition


6- 6

400 mm

ÖrnekŞekildeki gibi yüklenen T kesitli kirişiçin kesitteki kayma gerilmesinin dağılımını gösteriniz. P kuvvet hattıdüşey simetri ekseni ile çakışıktır.



FifthEdition


6- 7

İnce cidarlı parçalarda kayma gerilmeleri

xI

VQH ∆=∆

ItVQ

xtH

xzzx =∆∆

≈=ττ

NOT:0≈xyτ

0≈xzτFlanş kısımlarında

Perde kısmında

Daha önce perde (web) kısmındaki gerilmeler içinde aynı ifade elde edilmişti. It

VQxy =τflanş

perde



FifthEdition


6- 8

Kayma akımının (q) bir

kesitteki değişimi sadece

statik momentin (Q)

değişimine bağlıdır.

IVQtq ==τ

Bir I profildeki kayma gerilmeleri ve kayma akımı:

Kayma akımının (q)

kesitteki değişimi sıvıların

akışına benzemektedir.



FifthEdition


6- 9

ÖrnekŞekildeki bağlantıda çiviler arası mesafe (kiriş ekseni boyunca) s=30 mm ve düşey kesme kuvveti V = 1200 N olduğuna göre; her bir çivinin taşıdığı kesme kuvvetini bulunuz.

V



FifthEdition


6- 10

ÖrnekŞekildeki bağlantıda çiviler arası mesafe (kiriş ekseni boyunca) s=45 mm ve düşey kesme kuvveti V = 5kN olduğuna göre; her bir çivinin taşıdığı kesme kuvvetini bulunuz.



FifthEdition


6- 11

Örnek V Şekildeki bağlantıda A-çivileri arası mesafe sA=75 mm, B-çivileri arası mesafe sB=40 mm, tüm kesitin x-eksenine göre atalet momenti Ix=1504 x 106 mm4 ve düşey kesme kuvveti V = 6 kN olduğuna göre; A ve B çivilerinde meydana gelen kesme kuvvetlerini bulunuz.



FifthEdition


6- 12

ÖrnekŞekildeki kesit 4 ahşap parçanın birbirlerine yapıştırılmasıyla elde edilmiştir. V = 5 kN’luk düşey bir kesme kuvveti için yapıştırma noktalarındaki (A ve B) ortalama kayma gerilmelerini bulunuz.



FifthEdition


6- 13

ÖrnekŞekildeki kesit çeşitli geometrideki ahşap parçaların birbirlerine yapıştırılmasıyla elde edilmiştir. V = 5 kN’luk düşey bir kesme kuvveti için yapıştırma noktalarındaki (A ve B) ortalama kayma gerilmelerini bulunuz.



FifthEdition


6- 14

Simetrik olmayan yükleme ve Kayma Merkezi

• Düşey simetri düzlemindeki bir yüklemede deformasyonlar simetri düzleminde meydana gelir. Burulma meydana gelmez.

ItVQ

IMy

ortx =−= τσ

Kesme kuvvet hattı kesitin simetri ekseni ile çakışmıyorsa; kesitte eğilmenin yanında burulma da meydana gelir. Yani kesitte kesme kuvveti ve burulmadan dolayı kayma gerilmeleri, eğilmeden dolayınormal gerilmeler meydana gelir.

• Kuvvet hattı simetri ekseni ile çakışmıyor. Eğilme ile birlikte burulma da meydana gelir.

ItVQ

IMy

ortx ≠−= τσ

• Simetrik olmayan yüklemede Burulmanın meydana gelmemesi için yük Kayma Merkezinden uygulanmalıdır.



FifthEdition


6- 15

FdsqdsqFdsqVIt

VQ E

D

B

A

D

Bort ′−=−==== ∫∫∫τ

• Eğer kuvvet Kayma Merkezi olarak adlandırılan O noktasından uygulanırsa; Düzey düzlemde burulmasız eğilme gerçekleşir. Simetrik yüklemede olduğu gibi; kesme kuvvetinden dolayı kayma gerilmeleri eğilme momentinden dolayı normal gerilmeler meydana gelir. Aksi takdirde burulmadan kaynaklanan gerilmelerin de hesaplanması gerekir.

V

G

VehF =

∫∫ ===B

A

D

B

dAFdAVIt

VQveya τττ

sdst ds.tdA =



FifthEdition


6- 16

Şekildeki U kesitin kayma merkezini belirleyiniz. b = 100 mm, h = 150 mm, t =4 mm.Örnek:



FifthEdition


6- 17

Örnek: Şekildeki yükleme için kesitte meydana gelen kayma gerilmesinin dağılımını çiziniz.



FifthEdition


6- 18

Örnek:P=10 kN luk kuvvet kesitin geometrik merkezinden etki etmektedir. Buna göre en büyük kayma gerilmesi değerini (gerilme yığılmalarını ihmal ederek) bulunuz.



FifthEdition


6- 19

Örnek Şekilde verilen ince cidarlı (et kalınlığı t) kiriş kesiti için kayma merkezinin (O noktası) konumunu bulunuz.

AB kısmındaki kayma akımı için T.E’den y uzaklıkta bir kesim yapılırsa:

T.Ey y a2

At

2ya2y +

=( )ya2tA −=

( )22 ya42tyAQ −=⋅= ( )22 ya4

I2V

ItVQ

−==τ

( ) V565dytya4

I2VdAF

a2

a

22a2

a1 =−== ∫∫τ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +== x

2a3

IVa

ItVQτ

Benzer şekilde BD kısmındaki kayma akımı için bir kesim yapılırsa:

T.E

t

x

a

adx

a)tx(a23)ta(Q +=

V2815dxtx

2a3

IVadAF

a2

0

a2

02 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +== ∫∫τ

3ta3

28I =

V

F1

F1

F2

F2

F3T.E

H

( ) ( )FHVH MM ∑∑ =

Kesme kuvvetinin momenti ile kesit üzerindeki bileşke kuvvetlerin momentleri eşit olmalıdır:

)a2(F2)a2(FVe 12 −= a75e =



FifthEdition


6- 20

Örnek Şekilde verilen ince cidarlı (et kalınlığı t) kiriş kesiti için kayma merkezinin (O noktası) konumunu bulunuz.

βsinbb

12hbI

12bhI

3

'x

3

'x =′′

==

2223

'x Ah121

12h.b.L

12hb

sinh

12hbI ===′

=β

V

F1

F1

F2

F2

23

x Ah31

3hbI =′

=

t1014460)t40(60)t40(12

t40I 3223

AB ×=≅+=

t100Amm1006080L DB22

DB ==+=

t1012060)t100(31

3hAI 32

2

DBDB ×===

t10528I2I2I 3DBAB ×=+=

mm60y =tsA =3mmst60yAQ =⋅=

IsV60

ItVQ

==τ

V091.0dstI

sV60dAF40

0

40

01 === ∫∫τ

AB kısmındaki kayma akımı için B den itibaren “s” mesafeden kesim yapılırsa:

( ) ( )FDVD MM ∑∑ =

120)V091.0(Ve

Kesme kuvvetinin momenti ile kesit üzerindeki bileşke kuvvetlerin momentleri eşit olmalıdır:

= mm91.10e =

Hatırlatma:

Paralel kenar için:



FifthEdition


6- 21

Uygulama için örnek problemlerŞekilde verilen ince cidarlı (et kalınlığı diğer boyutlarının yanında çok küçük) kiriş kesitleri için kayma merkezinin (O noktası) konumunu bulunuz.



FifthEdition


6- 22

Herhangi bir simetri ekseni olmayan kesitlerde Kesme Kuvvetinden (V) kaynaklanan kayma gerilmeleriP

L - Kesit

Eğer kesme kuvveti asal atalet eksenlerinden birine dik ise (burada y ve z asal atalet eksenleri ve kuvvet z eksenine dik); P den dolayı Mz eğilme momenti meydana gelir ve bundan kaynaklanan normal gerilmeler daha önce gösterildiği şekilde hesaplanır. Fakat z eksenine dik olan kuvvet hattı kayma merkezinden geçmezse burulma da meydana gelir. Böyle bir yüklemede Kesmeye karşılık oluşan kayma akımı ve bileşke kuvvet aşağıda gösterilmiştir. Şekilden görüldüğü gibi kuvvet bileşenleri ve bileşke kuvvet “O” noktasından geçmektedir. Dolayısı ile burulmanın meydana gelmemesi için kuvvet O noktasından (kayma merkezi) uygulanmalıdır.

0dsqVdsqB

o

A

o

== ∫∫• Statik dengeden;

Ancak OB kısmındaki bileşke kuvvetin “0” olması yatay kısımda kayma gerilmesi olmadığı anlamına gelmez. OB arasında gerilmenin “0” olduğu bir nokta vardır.



FifthEdition


6- 23

Z - KesitŞekilde gösterilen y ve z eksenlerinin asal eksenleri olduğu daha önce gösterilmişti. Z kesitin boyutlarına bağlı olarak asal eksenler BD kısmı ile belli bir açı (θm) yapmaktadır. Z kesite sahip bir kirişte simetri ekseni yoktur. Buna karşılık simetri merkezi olarak adlandırılan ve geometrik merkez ile çakışık bir “O” noktası söz konusudur. Bu nokta kesit üzerindeki karşılıklı H ve H’ noktalarınıeşit uzaklıklara böler. Bu karşılıklı noktalardaki kayma akımları birbirine eşittir. OH ve OH’ eşit uzaklıklar olduğuna göre momentin “0” olması için kayma merkezi “O” noktası olmalıdır.

θmF

F

V

edition krİŞlerde ve nce c darli elemanlarda kayma ger...

Documents