edícia europica varietas č. 12 - kega.fss.ukf.sk · publikáciu vydala fakulta stredoeurópskych...

Publikáciu vydala Fakulta stredoeurópskych štúdií Univerzity Konštantína Filozofa v Nitre.

Edícia Europica varietas č. 12

Publikácia vznikla s podporou grantu Ministerstva školstva Slovenskej republiky KEGA 015 UKF-4/2012 Zvyšovanie kľúčových matematických kompetencií II – alternatívne a doplňujúce učebné programy z matematiky pre základné školy v zmysle cieľov nového štátneho vzdelávacieho progra-mu a zvyšovanie matematickej gramotnosti podľa dopadov PISA.

Autori: PaedDr. Patrícia Benická, Mgr. Kristína Ca� ková, Mgr. Monika Galbavá, Mgr. Filip Halama, doc. RNDr. Mária Kmeťová, PhD., Mgr. Lukáš Lednický, Mgr. Mária Kóšová, PaedDr. Gabriela Pavlovičová, PhD., RNDr. Ľubomír Rybanský, Mgr. Edita Szabová, PaedDr. Ján Šunderlík, PhD., PaedDr., Mgr. Edita Szabová, PhDr. Valéria Švecová, PhD., Mgr. Eva Uhrinová, doc. RNDr. Peter Vrábel, CSc., doc. RNDr. Marta Vrábelová, CSc. z Katedry matematiky Fakulty prírodných vied Univerzity Konštantína Filozofa v Nitre a PaedDr. Zuzana Nagyová Lehocká, PhD. a Mgr. Tibor Szabó, PhD. z Ústavu pre vzdelávanie pedagógov Fakulty stredoeurópskych štúdií Univerzity Konštantína Filozofa v Nitre.

Editori: Ing. Rastislav Žitný, PhD., prof. RNDr. Béla László, CSc.Prvé vydanieNitra 2013

ISBN 978-80-558-0248-0

Úvod

Vážení priatelia matematiky, učitelia, študenti a žiaci. Dostáva sa Vám do rúk v poradí už tretia publikácia metodickej príručky matematiky, tentokrát pre 7. ročník základných škôl. Publikácia je rozdelená tak, ako je to v štátnom vzdelávacom programe na sekcie: Čísla, premenné, počtové úkony s číslami; Vzťahy, funkcie, tabuľky, diagramy; Geometria a meranie; Kombinatorika, pravde-podobnosť, štatistika; Logika, dôvodnenie, dôkazy.

Publikácia vznikla s podporou grantu Ministerstva školstva Slo-venskej republiky KEGA 015 UKF-4/2012 Zvyšovanie kľúčových matematických kompetencií II – alternatívne a doplňujúce učebné programy z matematiky pre základné školy v zmysle cieľov nové-ho štátneho vzdelávacieho programu na zvyšovanie matematickej gramotnosti podľa dopadov PISA.

Cieľom publikácie je zatraktívniť prístup k štúdiu a výučbe ma-tematiky ponukou problémov bežného života a riešením s tým súvisiacich úloh. Prístupy k riešeniu takýchto problémov sú kom-patibilné s prístupmi v štúdiách PISA.

Prístup k riešeniu týchto problémov sa opiera o fakt, že žiaci sa už mohli ocitnúť v podobných životných situáciách. Tento prístup má za cieľ zlepšiť ich matematickú gramotnosť. Veríme, že uve-dené problémy v tejto publikácii prispejú k tvorivej atmosfére na hodinách matematiky.

Editori

9

Zvyšovanie kľúčových matematických kompetencií žiakov 7. ročníka základných škôl

Čísla, premenné, počtové úkony s číslami

Autorky problémov 7.1.1 – 7.1.5 PaedDr. Gabriela Pavlovičová, PhD., PhDr., PaedDr. Valéria Švecová, PhD., autorka problémov 7.1.6 – 7.1.7 Mgr. Edita Szabová, autorka problémov 7.1.8 – 7.1.9 Mgr. Monika Galbavá, autor problémov 7.1.10 – 7.1.11 PaedDr. Ján Šunderlík, PhD., autor problémov 7.1.12 – 7.1.15 Mgr. Tibor Szabó, PhD.

10


Úlohy:a) Koľko gramov základnej čer-

venej farby musí maliar pridať, aby namiešal neónovo- zelenú farbu?

b) Koľko kg neónovo-zelenej farby spotrebuje, ak stena má tvar ob-dĺžnika s rozmermi 5 m a 2,8 m a 1 kg farby pokryje plochu 8 m2 ?

c) Koľko € zaplatí za presné množstvo farby, ak 6 kg-ové balenie stojí 4,57 € ?

Úlohy:a) Koľko krokov urobila dcéra

pri prejdení 756 m, ak mama urobila 840 krokov?

b) Aká je dĺžka kroku dcéry?c) Akou rýchlosťou v kilome-

troch za hodinu spolu kráčali?

7.1.1 Miešanie farieb

Peter si vybral na vymaľovanie čelnej steny svojej izby neónovo-zelenú farbu. Na jej namiešanie potrebujeme zmiešať základ-nú červenú farbu R225 a základnú zelenú G225 a to v pomere R225 : G225 = 139 : 225. Zo starých zásob mal 56,25 g základnej zelenej farby.

Riešenie úlohya) V danom pomere zodpovedá 56,25 g červenej farby 225 dielom,

teda 1 diel je 56,25 g : 225 = 0,25 g a tak 139 dielov červenej farby je 139 . 0,25 = 34,75 g.

b) Plocha steny je 5 . 2,8 = 14 m2. Ak 1 kg farby pokryje 8 m2, tak na pokrytie 14 m2 potrebujeme 14 : 8 = 1,75 kg farby.

c) Ak za 6 kg farby zaplatíme 4,57 €, tak za 1,75 kg farby zaplatíme (1,75 . 4,57) : 6 = 1,3329 €, čo je po zaokrúhlení asi 1,33 €.

7.1.2 Kroky

Mama s dcérou sa vybrali na nákupy. Kráčali vedľa seba a prešli 756 m za 7,2 minúty. Kým mama urobila 3 kroky, dcéra musela urobiť 4 kroky.

Riešenie úlohya) Môžeme vychádzať z toho , že kroky mamy a dcéry sú v pomere

3 : 4. Potom 840 krokov tvorí 4 diely , teda 1 diel je 840 : 3 = 280 krokov a 4 diely sú 280 . 4 = 1 120 krokov.

b) Ak dcéra prejde 1 120 krokmi dĺžku 756 m, potom dĺžka 1 kro-ku je 756 : 1120 = 0,675 m.

c) Vieme, že prešli 756 m za 7,2 minúty, čo je 0,756 km za 7,2 mi-núty a to je za 1 hodinu (0,756 km . 60min) : 7,2 min = 6,3 km (použijeme priamu úmernosť alebo trojčlenku). Ich rýchlosť teda bola 6,3 km/h.

11


7.1.3 Návšteva cukrárne

Miškin otec má možnosť od svojho zamestnávateľa naku-povať stravné kupóny, ktorými môžeme platiť vo vybraných reštauráciách, cukrárňach ale-bo potravinách. Stravný ku-pón má hodnotu 2,85 €. Jeden stravný kupón dostala aj Miš-

ka a išla do cukrárne. Pri pokladni v cukrárni bola upozornená, že jej zo stravného kupónu môžu vrátiť najviac 0,5 €. Objednala si teda dva punčové rezy po 0,37 €, jednu ananásovú tortičku za 0,73 € a jeden pomarančový džús za 1,3 €.

Riešenie úlohya) Cena nákupu bude 2.0,37 + 0,73 + 1,3 = 2,77 €. Stravný kupón

v hodnote 2,85 € bude Miške stačiť a už nebude musieť nič pri-kupovať. V cukrárni jej ešte

2,85 - 2,77 = 0,08 € vrátia. b) Miška do rodinného rozpočtu zasiahla sumou 0,8 - 0,08 = 0,72 €c) Cena za džús, dve ananásové tortičky a jeden punčový rez je

1,3 + 2 . 0,73 + 0,37= 3,13 €, teda Miška musela doplatiť ešte 3,13 – 2,85 = 0,28 €.

7.1.4 Farebné drôty

Adam a Šimon majú 3 farebné drôty. Adamov modrý drôt meria 5,67 m, Šimonov červený meria 4,098 m Šimonov zelený drôt je o 1,089 m kratší ako Adamov červený drôt, ale o 0,76 m dlhší ako Adamov modrý. Adamov zelený drôt je o 1,7 m dlhší ako Šimo-nov červený, ale o 0,804 m kratší ako Šimonov modrý drôt. Kto z nich má viac metrov drôtu a o koľko?

Riešenie úlohyAdamov modrý drôt meria 5,67 m. Z tohto údaju vieme vypočítať dĺžku Šimonovho zeleného drôtu, t.j. 5,67 + 0,76 = 6,43 m. Vieme, že Šimonov zelený drôt je o 1,089 m kratší ako Adamov červený drôt, teda Adamov červený drôt meria 6,43 + 1,089 = 7,519 m. Dĺž-ku Adamovho zeleného drôtu vypočítame na základe poznatku, že Adamov zelený drôt je o 1,7m dlhší ako Šimonov červený, teda 4,098 + 1,7 = 5,798 m meria Adamov zelený drôt. Odtiaľ už určíme aj dĺžku Šimonovho modrého drôtu 5,798 + 0,804 = 6,602 m.

Úlohy:a) Bude Miške stačiť zaplatiť účet

stravným kupónom? Objednala si aspoň za 2 € alebo si bude mu-sieť ešte niečo prikúpiť? Skúste to najprv odhadnúť spamäti a potom vypočítajte presnú sumu nákupu.

b) Akou H nančnou čiastkou za-siahla Miška svojou návštevou v cukrárni skutočne do rodin-ného rozpočtu, ak otec platí za jeden stravný kupón 0,8 €?

c) Koľko eur by musela Miška ešte doplatiť, ak by si vybrala džús, dve ananásové tortičky a jeden punčový rez?

12


Zimné bundy boli zlacnené na 65 % pôvodnej ceny, ktorá bola 43,5 €. Aká bola ich nová cena? Neskôr aranžérka v obchode pri-pravila na žiadosť vedúceho veľ-ký plagát oznamujúci túto zľavu zimných búnd.

Ale vedúci sa hneval: „Zľava nie je o 65 %, ale na 65 %.“ Je v tom vôbec nejaký rozdiel?Aranžérka porozmýšľala a napí-sala nový plagát.

Ale opäť tam je „o“. Je to správ-ne? Pri koľko percentnej zľave by bola zľavnená cena zimnej bun-dy rovnaká, ak nezáleží na tom, čo aranžérka napíše na plagát „o“ alebo „na“?

Adam Šimon

Modrý drôt 5,67 m Modrý drôt 6,602 m

Červený drôt 7,519 m Červený drôt 4,098 m

Zelený drôt 5,798 m Zelený drôt 6,43 m

Spolu 18,987 m Spolu 17,13 m

Adamove drôty sú dlhé 18,987 m a Šimonove 17,13 m, rozdiel je teda 18,987 - 17,13= 1,857m.Adam má o 1,857 m viac drôtu ako Šimon.

7.1.5 Výpredaj

http://www.luxurymag.sk

Riešenie úlohyNová cena búnd bola 43,5 . 0,65 = 28,275 €. Zľava o 65 % znamená sumu 43,5 - (43,5 . 0,65) = 15,225 a táto cena je rovnaká ako zľava na 35 %, takže druhý plagát bol správny.Zľava „o“ alebo „na“ 50 % je stále rovnaká.

13


Na stránke www.zlavomat.sk sa každodenne ponúkajú akciové ceny za rôzne služby, či už ide o výlety, reštaurácie, nákupy ob-lečenia, alebo šport. Patrik, ktorý dostal za úlohu zverej-niť akciový zájazd na stránku zľavo-matu, sa spoliehal na svoju pamäť, preto si niektoré údaje, ktoré treba zahrnúť do obrázka na stránke, ne-zapísal. Zapísal si však to, že Zľavo-mat poskytol zatiaľ internetovým zákazníkom – objednávateľom tohto zájazdu, zľavu 9 052,11 €.

Úloha 1 Aká bola pôvodná cena zájazdu?

Pobyt pre 2 osoby na 2 noci v 2-lôžkovej izbe s raňajkami

77,91 €

1× večera pre 2 osoby: Moravský tanier pre 2 osoby ?

1 hod billiard 1,99 €

2 hod kuželky 7,95 €

Cena pred zľavou ?

Zľava 40,59 %

Cena po zľave 64 €

Cena zájazdu po zľave bola ............Zľava z pôvodnej ceny je ................Pôvodná cena zájazdu bola ..........

Úloha 2 Akú cenu je treba doplniť do po-ložky 1× večera pre 2 osoby for-mou: Moravský tanier pre 2 oso-by v tabuľke pod obrázkom?

Pobyt pre 2 osoby na 2 noci v 2-lôžkovej izbe s raňajkami

77,91 €

1× večera pre 2 osoby : Mo-ravský tanier pre 2 osoby ?

1 hod billiard 1,99 €

2 hod kuželky 7,95 €

Cena pred zľavou 107,73 €

Zľava 40,69 %

Cena po zľave 64 €

7.1.6 Akciový zájazd do Ledníc

Zdroj: http://www.zlavomat.sk/zlava/2412-64-eur-za-3-dnovy-pobyt-pre-dvoch-v-penzione-myslivna--lednice#kde

Riešenie úlohy 1 Aká bola pôvodná cena zájazdu?

Cena zájazdu po zľave bola ................................... 64 € Zľava z pôvodnej ceny je .................................. 40,59 %

Keďže z tabuľky poznáme cenu zájazdu po zľave a zároveň zľavu v %, môžeme z týchto údajov vypočítať pôvodnú cenu zájazdu. Keďže zľava predstavuje 40,59 % pôvodnej ceny, potom cena po zľave predstavuje 59,41 % pôvodnej ceny.

Pôvodnú cenu môžeme vypočítať trojčlenkou.64 eur ............................. 59,41 %x eur ............................. 100 %

x 100

=

64 59,41 59,41 x = 64 . 100

x = 64 . 100 / 59,41 = 107,7259 € = 107,73. Pôvodná cena zájazdu bola 107,91 €.

Riešenie úlohy 2107,73 - 77,91 - 1,99 - 7,95 = 19,88 €

1× večera pre 2 osoby: Moravský tanier pre 2 osoby stála pôvodne 19,88 €.

14


Úloha 3 Koľko objednávok už prijala ces-tovná kancelária na tento zájazd?Vieme, že Zľavomat zatiaľ poskytol internetovým zákazníkom – ob-jednávateľom tohto zájazdu, zľavu 9 052,11 €.

Zdroj: www.asko.sk a http://m3.aimg.sk/bazar/im-g5_4501970_0876067842999a912a6007d099c47538.jpg

Riešenie úlohy 3Zľava z jednej objednávky zájazdu je ... 107,73 - 64 = 43,73 €.

Cestovná kancelária poskytla všetkým objednávateľom zájazdu celkovú zľavu ........ 9 052,11 €.

Z toho 9 052,11 : 43,73 = 207Zájazd si už objednalo 207 zákazníkov.

Metodické poznámky Žiak pri hľadaní informácií zo zadania sústreďuje pozornosť strie-davo na text, obrázok a tabuľku pod obrázkom. Vhodnými metóda-mi počíta a dopĺňa chýbajúce údaje. Úloha je zameraná hlavne na počítanie s percentami.

7.1.7 Nákup nábytku a zariadenia

Z obchodného domu ASKO sme získali dva kupóny na zvýhod-nený nákup. Jeden kupón poskytuje zľavu 20 eur z ceny nákupu, druhý kupón poskytuje zľavu 25% z ceny nákupu. Na jeden nákup však môžeme použiť len jeden kupón. Chceme si uplatniť tieto zľavové kupóny. Z ponuky ASKO sme si vybrali tieto nábytky:

15


Úloha 1 Peťko tvrdí, že kupón na zľavu 20 eur sa oplatí použiť, ak naku-pujeme tovar lacnejší ako 80 eur. Pri tovare drahšom ako 80 eur je zase vhodnejšie použiť kupón na zľavu 25 %. Viete vysvetliť mame, prečo je to tak?

Úloha 2 Čo kúpiť so zľavou 20 eur?Chceme si kúpiť ....... veci, ktoré sú lacnejšie ako 80 eur.Sú to: .......................... za ................. eur a .......................... za ................ eur .Keby chceme tieto ........ veci kú-piť spolu na jeden nákup, stáli by

viac – menej ako 80 eur, preto sa určite

oplatí – neoplatí kúpiť ich spolu na jeden nákup so zľavou 20 eur.

Úloha 3 Ktorá z týchto dvoch možnos-tí je najvýhodnejšia? Zapíšte do tabuľky a porovnajte výsledné ceny nákupov. a) Jeden nákup bude sedacie vre-

ce a uplatníme si zľavu 20 eur. Druhý nákup budú tvoriť sto-lička, posteľ a komoda a na ne si uplatníme zľavu -25%.

b) Jeden nákup bude stolička, na ktorú uplatníme zľavu 20 eur, a druhý nákup bude sedacie vrece, posteľ a komoda, na ktoré použijeme zľavu -25%.

Riešenie úlohy 1Obe zľavy sú rovnocenné práve vtedy, keď cena za nákup je 80 eur (toto číslo získame napr. riešením rovnice x - 20 = 0,75x), lebo pri použití zľavového kupónu 20 eur bude nová cena 80 - 20 = 60 eur, taktiež pri použití zľavového kupónu -25% bude nová cena 0,75 . 80 = 60 eur.Kupón na zľavu -25% použijeme vtedy, keď cena nákupu po zľave -25% je menšia ako cena nákupu po zľave -20 eur. Riešime teda ne-rovnicu 0,75x < x - 20, kde výsledkom je x > 80. Teda keď je cena nákupu vyššia ako 80 eur, oplatí sa použiť kupón na zľavu -25%.Ak má nákup hodnotu menšiu ako 80 eur, je vhodné použiť kupón -20 eur. Výsledok sme získali riešením nerovnice 0,75x > x - 20.

Riešenie úlohy 2 Čo kúpiť so zľavou 20 eur?Chceme si kúpiť .... 2 ... veci, ktoré sú lacnejšie ako 80 eur.Sú to:

sedacie vrece ... za ... 29 eur a stolička ............. za ... 69 eur.

Keby chceme tieto ... 2 ... veci kúpiť spolu na jeden nákup, stáli by viac ako 80 eur, preto sa určite neoplatí kúpiť ich spolu na jeden nákup so zľavou 20 eur.

Riešenie úlohy 3

Možnosť a) Možnosť b)

TOVAR CENA TOVAR CENA

1. nákup sedacie vrece 29 € stolička 69 €

spolu - 29 € -

zľava -20 € -20 €

Cena po zľave 9 € 49 €

2. nákup stolička 69 € sedacie vrece 29 €

posteľ 359 € posteľ 359 €

komoda 119 € komoda 119 €

spolu 547 € 507 €

zľava -25 % = -136,75 € -25 % = -126,75 €

Cena po zľave 410,25 € 380,35 €

Cena spolu za 1. a 2. nákup po zľave

419,25 € 429,25 €

Použili sme možnosť možnosť a), pretože je výhodnejšia. Zľavu 20 € teda použijeme na sedacie vrece a zľavu 25 % na stoličku posteľ a komodu. Použitím zľavových kupónov takto ušetríme až 156,75 €.

16


Zdroj: http://peniaze.pravda.sk/obcan-a-stat/clanok /22968-motoristi-si-priplatia-za-tankovanie-i-dialnice/

Úloha 1Najmenej koľko litrov benzínu má ešte Milan v nádrži a najviac koľko?Najmenej: .................................... lNajviac: ........................................ l

Metodické poznámky

Žiak má za úlohu zvažovať medzi danými možnosťami a argumen-tovať pomocou matematizácie reálnej skutočnosti a pomocou vý-počtov hľadá najvýhodnejšiu možnosť. Kombinuje počítanie s čís-lami v eurách a percentách. Slovné pokyny zapisuje prehľadne do tabuľky, z ktorej nakoniec robí záverečné úsudky.

7.1.8 Tankovanie

Pán Milan z Michaloviec sa chystá autom s rodinou na výlet do Makova. Má už ale skoro prázdnu benzínovú nádrž – má v nej asi 0,25 l (10%) benzínu, preto potrebuje natankovať. Milanovo auto má spotrebu benzínu 6 l na 100 km.Milan počíta, že natankuje hneď na celú cestu, aby nemusel ani na ceste domov tankovať (a ešte pripočíta pre istotu rezervu 3 l benzí-nu navyše). Aby vedel, koľko km vlastne prejde, riadi sa tabuľkou s vyznačenými vzdialenosťami niektorých miest.V meste sa nachádza jediná čerpacia stanica, Stop, na ktorej Milan pravidelne tankuje, a liter benzínu tam stojí 1,55 €. V susednom meste však otvorili ďalšiu, novú čerpaciu stanicu, kde stojí benzín iba 1,50 €/l, je však od stanice Stop vzdialená 8 km.

Tabuľka vzdialeností niektorých slovenských miest

Riešenie úlohy 1

Milan nevie presné číslo, koľko má v nádrži, pozná interval ( ):- najmenej má 0,25 – (10% z 0,25) = 0,25 – 0,025 = 0,225 l- najviac má 0,25 + (10% z 0,25) = 0,25 + 0,05 = 0,275 l V nádrži má teda 0,45 až 0,55 l benzínu (tento poznatok využije-me v úlohe 4).

17


Úloha 2Koľko litrov benzínu potrebu-je Milan natankovať na cestu aj s rezervou?Koľko eur zaplatí za natankovaný benzín na čerpacej stanici Stop?Benzínu potrebuje: .................... lZaplatí: ....................................... €

Úloha 3Milan vidí, že na novej čerpacej sta-nici je benzín za výhodnejšiu cenu, preto by chcel ísť natankovať radšej tam. Vypočítajte, či mu vôbec bude stačiť benzín, čo má v nádrži, aby na novú stanicu bol schopný dojazdiť.

Počet prejdených kilometrov k sta-nici: ...........................................................Spotreba benzínu v litroch na prej-denú vzdialenosť: ..................................Stačí Milanovi benzín, čo má v nádrži, aby prišiel na novú čerpaciu stanicu: ÁNO — NIE

Úloha 4Vypočítajte, či sa Milanovi teoretic-ky vôbec oplatí jazdievať pravidelne za lacnejším benzínom, keď musí prejsť navyše 8 km a späť do sused-ného mesta , a keď zvyčajne tankuje naraz 46 litrov.(Spotrebu benzínu za kilometre na-vyše, ktoré prejde, musíte tiež pripo-čítať - dotankovať navyše)

Cena za 46 l v čerpacej stanici Stop: ....................................................................Cena za 46 l v novej čerpacej stanici: ....................................................................Cena za benzínu prejdené kilo-metre navyše v novej čerpacej stanici: ...........................................Celková cena v novej čerpacej stanici: ....................................................Rozdiel cien : .........................................Odpoveď: ................................................

Riešenie úlohy 2Z tabuľky vzdialeností niektorých slovenských miest vidíme, že vzdialenosť Makova a Michaloviec je 350 km. Aj s cestou späť je to 700 prejdených kilometrov. Koľko benzínu na 700 km potrebuje? Môžeme počítať trojčlenkou, alebo spamäti – keďže na 100 km je spotreba 6 l, tak na 700 km je to 7,6 = 42 l.Aj s trojlitrovou rezervou natankuje Milan 45 l benzínu, za čo za-platí 45 . 1,55 = 69,75€

Riešenie úlohy 3Uvažujeme teoreticky. Aby Milanovi na cestu k novej čerpacej stanici stačil benzín, nemôže mať v nádrži menej benzínu, ako je spotreba na 8 km jazdy. Na 8 km jazdy potrebuje:

6 l ............................. 100 kmx l ............................. 8 km

x = 48 : 100 = 0,48 litrov.A koľko má v nádrži? To sme vypočítali v prvej úlohe. 0,48 neleží v intervale [0,225, 0,275], je to viac, teda Milan má príliš málo benzínu v nádrži, aby mohol ísť tankovať na novú čerpaciu stani-cu, musí tankovať na stanici Stop. Celková odpoveď je NIE.

Riešenie úlohy 4Za 46 l benzínu v stanici Stop zaplatí Milan:

46 . 1,55 = 71,3 €. Na novej stanici by zaplatil za rovnaké množstvo benzínu

46 . 1,5 = 69 €.Lenže keď chce Milan tankovať na novej čerpacej stanici, prejde „zbytočne“ 2.8 = 16 km. Spotreba benzínu na 16 km je z trojčlen-ky (prípadne dvojnásobok výsledku 0,48 z úlohy 3):

6 l ............................. 100 kmx l ............................. 16 km

x = (6. 16) : 100 = 0,96 l Celková cena zaplateného benzínu v novej čerpacej stanici je

0,96 + 69 = 69,96 €.Rozdiel cien je 71,3 - 69,96 = 1,34 €.Milanovi sa oplatí jazdievať tankovať na novú čerpaciu stanicu.

18


Zdroj: http://opozickach.wordpress.com/

Úloha 1Peter rozmýšľa takto: „Banka Flap za mňa vlastne zaplatí dve splátky, budem platiť len desať splátok, vyberiem si preto banku Flap!“ Rozmýšľa Peter správne?

Úloha 2Pomôžte vybrať Petrovi skutoč-ne najvýhodnejší úver – v ktorej banke si má Peter požičať? Keby si Peter požičal 1 000 €:banke Flip by vrátil ................... €.banke Flop by vrátil .................. €.banke Flap by vrátil .................. €.Najvýhodnejšie je preto Petrovi požičať si v banke .........................

Úloha 3Ak si už vybral najvýhodnejší úver, o koľko percent viac musí vrátiť banke ako si požičal?

Úloha 4Tri mesiace pred splatením úveru sa Peter rozhodol, že by zostáva-júce tri splátky rád zaplatil naraz. Banka si ale účtuje za predčasné splatenie úveru 1,5% zo zostávajú-cej sumy (z nevyplatených splátok, nenavýšených o úrok) navyše.O koľko eur takto Peter preplatí úver? Všetky čiastočné výsledky zaokrúhlite na jedno desatinné miesto smerom nahor.

7.1.9 Spotrebný úver

Peter si chce kúpiť nový televízor. Rozhodol sa, že si naň požičia od banky 1000 eur a vezme si teda spotrebný úver. V meste, kde býva, sídlia tri banky: Banka FLIP, banka FLOP a banka FLAP.

Ponúkli mu takéto úvery:– banka Flip ponúka úver, ktorý Peter musí splatiť dvanástimi

splátkami, každá vo výške 89 €, a navyše, na začiatku musí Peter hneď vyplatiť 9 % z požičanej sumy.

– banka Flop ponúka úver tiež s dvanástimi mesačnými splátka-mi, s ročnou úrokovou mierou 11,6 %, teda každá splátka je vo výške 93 €. Banka si navyše účtuje jednorázovú sumu 39 € za vybavenie úveru.

– V banke Flap Peter prvé dva mesiace splátky platiť vôbec nemu-sí. Zaplatí len desať mesačných splátok, každú splátku vo výške 100 € zvýšenú o 16 %.

Riešenie úlohy 1Peter nerozmýšľa správne. Ak by v každej banke boli rovnaké mesačné splátky a neplatili by sa navyše žiadne poplatky, vtedy by rozmýšľal dobre.

Riešenie úlohy 2– banke Flip by Peter musel vrátiť 12 . 89 + 0,09 . 1 000 = 1 158 €– banke Flop by musel vrátiť 12 . 93 + 39 = 1 155 €– banke Flap by mesačný úrok obnášal 0,16 . 100 = 16 €, teda spolu

by musel banke zaplatiť 100 . 10 + 10 . 16 = 1 160 €. Preto si vyberie banku Flop, a tam si požičia peniaze, lebo zaplatí najnižšie úroky.

Riešenie úlohy 3Peter si požičal 1 000 €, vrátiť musí 1 155 €, musí vrátiť o 155 € viac ako si požičal. Počítame teda 155 z 1 000, čo je 15,5 %.

Riešenie úlohy 4Petrovi ostáva vyplatiť tri splátky. Poplatok za predčasné splatenie úve-ru sa však počíta zo splátky bez úroku. Tá je 1 000 : 12 = 83,33 = 83,4 €.Tri splátky budú vo výške 250,2 €. K tejto sume musí pripočítať 1,5 %, čo je 0,015 . 250,2 = 3,753 € = 3,8 €. Teda za posledné tri mesiace zaplatí aj s poplatkom 250,2 + 3,8 = 254 €. Koľko preplatí celkovo na úvere? Požičal si 1 000 € a vrátiť musí 39 + 9 . 93 + 254 = 1 130 €, takže preplatil 1 130 - 1 000 = 130 €.Vidíme, že sa mu oplatilo úver splatiť predčasne (porovnaj výsled-ky v úlohe 3 a v úlohe 2).

19


Keby banke Peter nemusel vracať úroky, jedna splátka by bola vo výške .......................... €.Poplatok za predčasné splatenie úveru bude vo výške ................ €.Celkovo vráti Peter banke ....... €.

Zdroj: http://www.europa-web.de/

Úloha 1Koľko NOK Pavol minul?

Úloha 2Je pre Pavla aktuálny kurz vý-hodnejší alebo nie?

Úloha 3O koľko percent sa zmenil kurz?


Úloha predpokladá znalosti termínov úrok, úver, úroková miera. Žiaci v prípade poslednej banky môžu vidieť, že ak banka zaplatí niekoľko splátok „za nás“, ešte to nemusí znamenať, že úver je výhodný. V úlohe 3 sme postup výpočtu splátok oproti realite trocha zjedno-dušili. Pri počítaní, koľko by Petra vyšla jedna splátka, keby nemusel vrátiť banke úroky, je dobré žiakov naviesť k tomu, že je potrebné len vydeliť požičanú sumu dvanástimi (nebrať do úvahy poplatok za poskytnutie úveru).

7.1.10 Výmenný kurz

Pavol cestoval na dovolenku do Nórska. Na bežné výdavky si zmenil 350 Eur na Nórske koruny (NOK). Výmenný kurz bol 1 euro = 7,546 NOK. Po návrate si chcel svoje peniaze zameniť naspäť za kurz 1 euro = 7, 876 NOK. Prepočítal si, že by mu v zmenárni dali 192 Eur.

Riešenie úlohy 1Na začiatku si Pavol zamenil 350 Eur za čo dostal 350 x 7,546 NOK = 2 641,1 NOK. Z tejto sumy minul Pavol x NOK a zvyšok si chcel zameniť na Eurá. Ak by menil za nový kurz, tak by dostal 192 Eur čo je v prepočte podľa nového kurzu 192 x 7,875 = 1 512 NOK. To znamená, že Pavol minul 2 641,1 - 1 512 = 1 034,1 NOK.

Riešenie úlohy 2Vzhľadom na to, že Pavol chce predať svoje zvyšné NOK, tak je preňho kurz menej výhodný ako bol kurz, keď kupoval NOK. Podľa prvého kurzu by dostal za Pôvodný kurz: 1 000 NOK .... 1 000 : 7,546 = 132,52 EurAktuálny kurz: 1 000 NOK .... 1 000 : 7,876 = 126,97 Eur

Riešenie úlohy 3V terminológii výmenných kurzov by sme mohli povedať, že euro posilnilo. Za jedno euro dostaneme viacej NOK. O koľko percent vypočítame nasledovne: Začiatočný kurz považujeme za 100%. Nový kurz je o 0,33 väčší (7,876 – 7,546 = 0,33), preto potrebuje-me vypočítať koľko percent je 0,33 z 7,546

7,546 .................. 100 %0,33 ................... x %

0,33

x = . 100

7,546x = 4,37 %Kurz eura oproti NOK sa zmenil o približne 4,37% v prospech eura. (Euro posilnilo o 4,37%.)

20


Úloha 1Porovnajte priebeh inštalácie na Samuelovom a Dávidovom počí-tači. Odhadnite, aká časť progra-mu sa už nainštalovala u oboch? Vysvetlite svoj odhad.

Úloha 2Samuel s Dávidom si kontrolovali priebeh inštalácie. Po minúte Dá-vid povedal: „Vyfarbená“ časť na našich grafoch je približne rovna-ká. Má pravdu? Vysvetlite.

Úloha 1Koľko stálo Petra skopírovanie jednej strany doma?

Úloha 2Koľko by stálo kopírovanie v ko-pírovacej službe?

Úloha 3Koľko percent usporil s tým, keď doma kopíroval čitateľský den-ník (keď berieme ohľad len na použitý materiál)?

7.1.11 Inštalácia programu

Samuel a Dávid pracujú na hodine matematiky v počítačovej učeb-ni. Majú si nainštalovať rovnaký program. Obaja začali program inštalovať v rovnakom čase. Po jednej minúte mali na obrazov-kách nasledovný graf znázorňujúci priebeh inštalácie.

Samuel Dávid

Riešenie úlohy 1Na Samuelovom počítači prebieha inštalácia rýchlejšie, nakoľko sa za rovnaký čas inštalovala väčšia časť programu ako u Dávida. Odhad je založený na tom aká časť celku je vyfarbená.

ÚRiešenie úlohy 2Nie nemá pravdu, pretože i napriek tomu, že u oboch vyzerá, že je približne vyfarbená rovnaká dĺžka u Dávida je samotný obdĺžnik dlhší a tým je aj vyfarbená menšia časť z celku ako u Samuela.

7.1.12 Kopírovanie

Peter si požičal od kamaráta čitateľský denník, aby si ho skopíro-val. Na dverách kopírovacej služby prečítal nasledovné:

Farebná A4 - 60 centovČierna A4 - 10 centov

Uvedené ceny sa mu zdali drahé, a nakoľko potreboval len čierne kó-pie, rozhodol sa, kopírovať doma. V obchode, kde si zvykol kupovať za 3 eurá jeden balík kancelárskeho papiera v balení po 500 kusoch zistil, že majú 20 % zľavu. Čiernu farbu do kopírky kúpil za 5 eur. Na kopírovanie použil 250 kusov papiera a z kúpenej farby minul 76 %.

Riešenie úlohy 1 Papier Peter kúpil s 20 % zľavou t. j. miesto 3 € za 2,40 €. Použil 250 listov, za ktoré zaplatil 1,20 €. Čiernu farbu kúpil za 5 € a pou-žil z nej 76 %, za ktoré zaplatil 3,80 €. Súčet uvedených cien je 5 €. Odpoveď: Peter za použitý papier a farbu zaplatil 5 €.

Riešenie úlohy 2Jedna strana v kopírovacej službe stojí 0,10 €, t. j. kopírovanie 250 strán dokumentu by stálo 25 eur.

21


Štefan a jeho otec sa rozhodli, že cez letné prázdniny vymaľujú Šte-fanovu izbu, ktorá má nasledovný tvar:

Podľa ich plánu steny budú ze-lené a strop modrý. Jedno 0,5 kg balenie farby postačuje na natre-tie 2 m2 plochy.

Úloha 1Koľko balení zelenej farby musia kúpiť, aby vedeli vymaľovať izbu, ak vedia, že okno a dvere sa ne-budú natierať.Rozmery okna: 1,5 m x 1 mRozmery dvier: 0,8 m x 2,5 m

Riešenie úlohy 325 € .............................100 %5 € ............................. x %

x = 20 %100 % - 20 % = 80 %

Odpoveď: Peter usporil 80 % 4 nancií.

Metodické poznámkyV prvej časti úlohy žiaci potrebujú vedieť percentuálne výpočty, na-koľko na kúpený papier bola zľava, použitie priamej úmernosti na vý-počet koľko stojí v skutočnosti použité množstvo papiera. Podobným spôsobom postupujú aj v prípade kúpenej farby. Súčet dvoch čiastoč-ných výsledkov (papier a farba) je odpoveďou na prvú otázku. Na riešenie druhej úlohy je potrebná priama úmernosť, s ktorou sa vypo-číta koľko by stálo skopírovanie všetkých strán denníka. Porovnaním výsledkov prvých dvoch úloh prispejeme k riešeniu tretej úlohy. Úlohu je možné riešiť s priamou úmernosťou, percentuálnym výpočtom a pomocou logickej úvahy.

7.1.13 Letné maľovanie izieb

Riešenie úlohy 1Na výpočet plochy, ktorú by chceli Štefan a jeho otec natrieť so ze-lenou farbou, je potrebné vypočítať povrch štyroch stien izby. Na základe nákresu je evidentné, že

S1=2 . a . m + 2 . b . m = 2 . 4 . 3 + 2 . 3 . 3 = 42 m2.

Okrem toho je potrebné vypočítať povrch okna a dvier a tento od-počítať od plochy S

1.

Plocha okna: So = 1,5 . 1 = 1,5 m2

Plocha dvier: Sd= 0,8 . 2,5 = 2 m2

S= S1 – (S

o + S

d)= 42 - (1,5 + 2) = 42 - 3,5 = 38,5 m2

S je plocha, ktorú natrú zelenou farbou. Na výpočet množstva farby sa použije priama úmera.

0,5 kg ............................. 2 m2

x kg ............................. 38,5 m2

x : 0,5 = 38,5 : 2x = 9,625 kg.

Na zistenie toho, koľko balení zelenej farby budú potrebovať sa po-užije opäť priama úmera:

1 balenie ............................. 0,5 kgy balení ............................. 9,625 kg

y : 1 = 9,625 : 0,5y = 19,25

Odpoveď: Štefan musí kúpiť aspoň 20 balení zelenej farby na vyma-ľovanie izby.

22


Úloha 2Štefan vypočítal, že na natretie stropu v jednej vrstve je potreb-ných 6 balení modrej farby. Otec nepoznal presné ceny farieb, a preto dal synovi na nákup 50 eur. V obchode 1 balenie farby stálo 3 €. Koľko percent z celko-vej sumy minul Štefan, keď kú-pil také množstvo farby, že ňou môžu natrieť strop dvakrát?

Jarka by chcela pri príležitosti na-rodenín prekvapiť svoju mamu. Rozhodla sa, že upečie zákusok s višňami. K príprave zákusku potrebuje 6 vajec, 6 lyžíc múky, 6 lyžíc cukru, 1 vanilkový cukor, 1 prášok do pečiva a jednu fľašu višňového kompótu. Vybrala sa do obchodu nakupovať.

Úloha 1Doplňte chýbajúce údaje do ta-buľky! Pri ktorom tovare je naj-väčší a najmenší cenový rozdiel medzi obchodmi?

Riešenie úlohy 2Jedno balenie farby stojí 3 €, teda 6 balení stojí 6 . 3 = 18 €. Vzhľa-dom na to, že chcú natrieť strop dvakrát, budú potrebovať 12 ba-lení, t. j. 12 . 3 = 36 €.Na výpočet koľko percent je 36 € z 50 € použijeme priamu úmeru:

50 € ............................. 100 %36 € ............................. x %

36 : 50 = x : 100x = 72 %

Odpoveď: Štefan minul 72 % zo sumy, ktoré dostal od otca.

Metodické poznámkyÚloha môže byť príkladom na výpočet plochy a obvodu štvorca ale-bo obdĺžnika, objemu a povrchu telies, na priamu úmernosť a vý-počet percent. Pri riešení je potrebné, aby žiaci pochopili súvislosti a v podstate ani nemusia poznať vzorce na výpočet povrchu kvádra S = 2 . a . b + 2 . b . c + 2 . a . c. K riešeniu sa môžu dopracovať logickou úvahou, ktorú môžu neskôr využiť aj v inej oblasti života.Pri riešení využívajú aj priamu úmernosť, pochopenie ktorej tiež pri-spieva k riešeniu problémov každodenného života. Druhá časť úlohy kladie dôraz na výpočet percent. Pri takýchto úlohách učitelia musia klásť dôraz na to, že pre aplikovanie poznatkov v praxi nie vždy je podstatné memorovanie vzorcov, ale skôr ich pochopenie a použitie.

7.1.14 Narodeniny

Ceny jednotlivých tovarov sú uvedené v nasledovnej tabuľke:

tovar Jednota Tesco Rozdiel [€]

vajce [1 ks] 10 centov 9 centov

múka [1 kg] 50 centov 52 centov

cukor [1 kg] 80 centov 78 centov

vanilkový cukor [1 ks] 8 centov 8 centov

prášok do pečiva [1 ks] 5 centov 6 centov

višňový kompót [1 ks] 1 € 70 centov 1 € 65 centov

Riešenie úlohy 1tovar Jednota Tesco rozdiel[€]

vajce [1 ks] 10 centov 9 centov 0,01 €

múka [1 kg] 50 centov 52 centov 0,02 €

cukor [1 kg] 80 centov 78 centov 0,02 €

vanilkový cukor [1 ks] 8 centov 8 centov 0 €

prášok do pečiva [1 ks] 5 centov 6 centov 0,01 €

višňový kompót [1 ks] 1 € 70 centov 1 € 65 centov 0,05 €

Odpoveď: Najmenší cenový rozdiel v obchodoch je medzi vanil-kovým cukrom a najväčší medzi višňovým kompótom.

23


Úloha 2Jarka má 5 €, budú jej stačiť pe-niaze, ak tovar potrebný na prí-pravu zákusku zakúpi v Jednote?

Úloha 3Koľko percent peňazí jej zostane, ak nakúpi v oboch obchodoch tak, aby celkovo platila čo naj-menej.

Zdroj: http://www.pramen.info/c/1832/jahody.htm

Úloha 1Koľko eur zarobili vnuci, keď dedko predal ovocie za nasle-dovné ceny:Čerešne .......................... 2 € / 1 kgVišne ....................... 2,10 € / 1 kgJahody .......................... 3 € / 1 kg

Úloha 2 Stará mama pred tým ako dedko išiel na tržnicu mu vybrala z ko-šíka 1 kg jahôd do torty. Na trhu dedko predal zvyšné jahody

Riešenie úlohy 26 . 0,1 + 1 . 0,5 +1 . 0,8 + 1 . 0,08 + 1 . 0,05 + 1 . 1,70 = 3,73 € 3,6 € < 5 €

Odpoveď: Jarke na nákup v Jednote peniaze stačili.

Riešenie úlohy 36 . 0,09 + 1 . 0,5 +1 . 0,78 + 1 . 0,08 + 1 . 0,05 + 1 . 1,65 = 3,6 €

5 € ............................. 100 %5 € - 3,6 € = 1,4 € ............................. x %

5 : 1,4 = 100 : xx = 20 . 1,4 = 28 %

Odpoveď: Jarke zostalo 28 % peňazí.

Metodické poznámkyPríklad je vhodný na precvičovanie operácií s desatinnými číslami, na prácu s tabuľkami a na prevod € na centy a naopak. V tretej úlo-he žiaci potrebujú vedieť percentuálny výpočet a priamu úmernosť.

7.1.15 Tržnica

Dedko sa rozhodol, že časť úrody zo svojej záhradky predá na trhu. Poprosil preto svojich dvoch vnukov, aby mu pomohli obrať čerešne, višne a jahody. Za pomoc im sľúbil pätinu t. j. 20 % svoj-ho zárobku. Peter a Katka súhlasili a spolu s dedkom obrali 4 kg jahôd, 15 kg čerešní a 10 kg višní.

Riešenie úlohy 1Predal Cena za 1 kgČerešne ............................. 15 kg 2 €Višne ............................. 10 kg 2,10 €Jahody ............................. 4 kg 3 €Celkový príjem:

15 . 2 + 10 . 2,10 + 4 . 3 = 30 + 21 + 12 = 63 €20 % ............................. x100 % ............................. 63

20 : x = 100 : 63x = 20 . 63 : 100 = 12,6 €

Odpoveď: Vnuci zarobili 12,6 €.

Riešenie úlohy 2Predal Cena za 1 kgČerešne ............................. 15 : 3 = 5 kg 2 €Višne ............................. 10 : 2 = 5 kg 2,10 €Jahody ............................. 4 – 1 = 3 kg 3 €Pred znížením cien z predaných ovocí dedko zarobil:

5 . 2 + 5 . 2,10 + 3 . 3 = 10 + 10,5 + 9 = 29,5 €

24


za 3 € / 1 kg, z čerešní predal len jednu tretinu za 2 € / 1 kg a za 2,10 € / 1 kg predal polovicu viš-ní. Dedko však chcel predať vše-tok svoj tovar, a preto znížil cenu čerešní na 1,80 € / 1 kg a višní na 1,90 € / 1 kg. Nakoniec predal všetko ovocie. Koľko eur zarobil dedko z preda-ja ovocia, a koľko vyplatil svojim vnukom?

Po znížení cien:Predal Cena za 1 kgČerešne............................. 15 – 5 = 10 kg 1,80 €Višne ............................. 10 – 5 = 5 kg 1,90 €Jahody ............................. 3 – 3 = 0 kg 3 €Po znížení cien z predaných ovocí dedko zarobil:

10 . 1,80 + 5 . 1,90 + 0 . 3 = 18 + 9,5 + 0 = 27,5 €Celkový príjem z predaných ovocí bol: 29,5 + 27,5 = 57 €

20 % ............................. x100 % ............................. 57

20 : x = 100 : 57x = 20 . 57 : 100 = 11,4 €

Ak vnuci zarobili: 11,4 € , potom dedko zarobil: 57 – 11,4 = 45,60 €Odpoveď: Dedko z predaja ovocia zarobil 45,60 € a vnukom vy-platil 11,40 €.

Metodické poznámkyPríklad je vhodný na precvičovanie operácií s desatinnými číslami, percentuálnych výpočtov a priamej úmernosti.

25


Vzťahy, funkcie, tabuľky, diagramy

Autor problémov 7.2.1 doc. RNDr. Peter Vrábel, CSc., autorka problémov 7.2.2 – 7.2.6 PaedDr. Patrícia Benická, autor problé-mov 7.2.6 a 7.2.10 Mgr. Filip Halama, autor problémov 7.2.7 – 7.2.9 Mgr. Lukáš Lednický.

26


Tabuľka 1

12 m 24 m 36 m

VÚB 2 % 2,8 % 3,05 %

TB 2 % 3 % 3,3 %

PB 2,7 % 3,6 % 3,8 %

Úloha 1Doplňte nasledujúcu tabuľku, ak by sme do každej banky vložili na rok 5 000 eur a platili by úro-kové sadzby z tabuľky 1.

úrok čistý úrok

VÚB 100 80

TB

PB

Výpočet:

Úloha 2Doplňte tabuľku 2, ak by sme do každej banky vložili na dva roky 5 000 eur a platili by úrokové sadzby z tabuľky 1.Výpočet:

Úloha 3VÚB mala k 1. 9. 2011 na 6 me-sačnom termínovanom vklade ročnú úrokovú sadzbu 2,5 % a na ročnom termínovanom vklade úrokovú sadzbu 2 %. Eugen Spo-rivý využil túto výhodnú ponu-ku a vložil na 6 mesiacov do tejto banky 10 000 eur s tým, že po polroku predĺži vklad na ďalších 6 mesiacov. Pri obnovení vkla-du však banka úročí vklady ak-tuálnou úrokovou sadzbou. Ak banka medzitým zníži úrokovú sadzbu na 6 mesačnom termí-novanom vklade na 1 % (1,5 %), bolo by pre E. Sporivého výhod-nejšie na začiatku vložiť peniaze na ročný termínovaný vklad?Výpočet:

7.2.1 Úroky

Banky garantujú počas celej doby viazanosti na termínovaných vkladoch úrokovú sadzbu. Tak k 1. 9. 2011 Všeobecná úverová banka (VÚB), Tatra banka (TB), Poštová banka (PB) mali plat-né úrokové sadzby na termínované vklady s viazanosťou 1 rok, 2 roky, 3 roky také, aké sú uvedené v nasledujúcej tabuľke 1.

Ak by sme teda vložili napríklad do VÚB 1 000 eur na jeden rok, tak by sme po roku získali úrok

1 000. 2 = 240 Eur.

100Pravda z úroku sa odvádza zrážkou daň 20 %. V našom prípade by odvedená daň bola 4 eurá. Takto by sme teda po roku získali 16 eur. Takýto úrok po zdanení budeme nazývať čistý úrok. Pred-pokladajme, že po uplynutí každého roku od založenia vkladu každá banka pripíše čistý úrok ku vkladu a táto celková suma sa pri viacročnom vklade úročí ďalej.

Riešenie úlohy 2Tabuľka 2

úrokpo 1.roku

čistýúrokpo 1.roku

stavúčtupo 1.roku

úrokza 2.rok

čistý úrok za 2.rok

stavúčtupo 2.roku

TB 150 120 5 120 153,60 122,88 5 242,88

PB

Riešenie úlohy 3 Na 6 mesačnom vklade získa úrok

1 000 1. 2,5 . 125 Eur.

100 2Z toho čistý úrok je 100 eur.Po polroku teda Eugen Sporivý mal na konte 10 100 eur. Tieto peniaze vložil opäť na 6 mesačný termínovaný vklad, ale už s úro-kovou sadzbou 1 %. Teda za druhý polrok mal úrok 50,50 eura čistý úrok 40,40 eur. Celkove mal po roku na účte 10 140,40 eur.Ak by E. Sporivý bol vložil 10 000 eur na ročný vklad, tak by mal na účte po roku 10 160 eur.V druhom prípade, ak banka zníži úrokovú sadzbu na 6 mesač-nom termínovanom vklade na 1,5 %, tak po roku by mal na účte 10 160,60 eur.

27


Zdroj:http://newyorkcity.sk/atrakcie/socha-slobody/

Úloha 1Ak by na Sochu slobody použili mosadzné pláty, o koľko menej ton medi by spotrebovali na vý-robu sochy? Mosadz je zliatina medi a zinku v pomere 3 : 5.

Úloha 2Nasledujúca tabuľka obsahuje informácie o cene farebných ko-vov na svetovom trhu aktualizo-vané k 31.11.2011.

Kov Cena v eurách/ton

Meď 8 061,50

Nikel 19 780,00

Hliník 2 301,50

Zinok 1 988,50

Zliatina hliníka 2 221,00

Zdroj: http://fbg.sk/produkty/kovy-cena-med-hli-nik-nikel-zinok/

Koľko by nás stála v súčasnosti kúpa farebného kovu potrebné-ho na vytvorenie Sochy slobody (bez železnej konštrukcie)?O koľko menej by sme zaplatili za tento materiál, ak by sme so-chu stavali z mosadze?

7.2.2 Socha slobody

Socha slobody v New Yorku je vysoká 46 m, spolu so 47 m pod-stavcom je teda vrchol fakle vo výške 93 m nad zemou. Socha váži 205 ton. Vyrobená bola z 91 ton veľkých medených plátov, ktoré vytepali do požadovaného tvaru a pripevnili na železnú konštruk-ciu. Autorom železnej konštrukcie bol Gustav Eifell, známy archi-tekt a dizajnér.

Riešenie úlohy 1Na výrobu sochy sa použilo 91 ton medi.Mosadz je zliatina medi a zinku v pomere 3:5Spolu ... 91 ton ... 8 dielov1 diel ... 91 : 8 = 11,3753 diely ... 3 . 11,375 = 34,125 91 – 34,125 = 56,875 = 56,88Na výrobu sochy by spotrebovali o 56,88 ton menej medi.

Riešenie úlohy 2Medené pláty ... 91 ton1 tona medi stojí ...... 8 061,50 eur91 ton medi .... 91 . 8 061,50 = 733 596,5 eurMosadz je zliatina medi a zinku v pomere 3:5Meď ... 3 diely ... 3.11,375 = 34,125 ton ... 34,125 ton . 8 061,50 eur = 275 098,6875 eurZinok ... 5 dielov ... 5 . 11,375 = 56,875 ton ... 56,875 ton . 1 988,50 eur = 113 095,9375 eurSpolu .... 388 194,625 eurMenej o ..... 733 596,5 eur - 388 194,625 eur = 345 401,875 eurV súčasnosti by nás stála kúpa farebného materiálu potrebného na vytvorenie Sochy slobody 733 596,5 eur . O 345 401,875 eur menej by sme zaplatili za tento materiál, ak by sme kúpili farebné kovy, z ktorých si vytvoríme mosadz.

28


Úloha 1V predajni mladej rodine ozná-mili, že ide o výhodný nákup, keďže zľava na sedačke je až vo výške 25 %. Aká bola pôvodná cena sedačky pred zlacnením?

Úloha 2Na pokladničnom bloku sa okrem iného nachádza aj infor-mácia o výške 20 % DPH a takis-to aj informácia o základe dane, teda sume tovaru bez DPH. Koľko by stála táto sedačka bez DPH? Ako veľkú daň zaplatí mladá rodinka štátu za sedačku?

Úloha 3Pri kúpe nového tovaru, väčšina ľudí rozmýšľa nad tým, či cena tova-ru zodpovedá kvalite tohto tovaru. Tieto dve veličiny (kvalita a cena) je možné dať do vzťahu (graf nižšie). Cena na osi x, kvalita na osi y.

Zdroj: http://www.ipaslovakia.sk/clanok_view.aspx?id_u=507

Z grafu jednoznačne vyplýva (do-plň správne slovo zo zátvorky):• úsečka z bodu A do bodu B re-prezentuje zákaznícke očakáva-nie – so zvyšujúcou sa cenou .... (rastie/klesá) kvalita tovaru.• krivka b reprezentuje „fajnšme-kera“, ktorého cieľom je dostať za danú cenu čo ... (najvyššiu/najniž-šiu) kvalitu.• krivka c reprezentuje „extrémis-tov“, ktorých hlavným kritériom pri rozhodovaní o kúpe produktu (služby) ... je (kvalita tovaru/cena).

7.2.3 Nová sedačka

Pri zariaďovaní nového bytu si chce mladá rodinka kúpiť novú sedačku. V jednej predajni sa im zapáčila zelená rohová sedačka zlacnená na 634,99 Eur.

Zdroj: http://www.novasedacka.sk

Riešenie úlohy 1 75 % ............................. 634,99 eur 1% ............................. 634,99 eur : 75 = 8,47 eur 100 % ................................... 8,47 . 100 = 847 eur.

Riešenie úlohy 2 120 % ............................... 634,99 eur 1% .............................. 634,99 eur : 120 = 5,29 eur 100 % .......................... 100 . 5,29 = 529 eur. Základ dane je 529 eur.2 0% DPH .... 20 % z 529 eur = 0,20 . 529 eur = 105,8 eur.

Táto sedačka by stála 529 eur bez DPH.Mladá rodinka zaplatí štátu za sedačku daň vo výške 105,8 eur.

Riešenie úlohy 3• úsečka z bodu A do bodu B reprezentuje zákaznícke očakávanie

– so zvyšujúcou sa cenou rastie kvalita tovaru.• krivka b reprezentuje „feinschmeckera“, ktorého cieľom je dostať

za danú cenu čo najvyššiu kvalitu.• krivka c reprezentuje „extrémistov“, pre ktorých je hlavným kri-

tériom pri rozhodovaní o kúpe produktu (služby) cena

29


Zdroj:http://www.cas.sk/clanok/209625/od-utorka-pla-time-za-vlaky-viac-do-50-km-skoro-o-polovicu.html

Úloha 1Pri ceste vlakom z Košíc do Bra-tislavy sme za celý lístok zaplatili 17,18 eur.Približne koľko zaplatíme za lístok po zdražení?

Úloha 2Cesta vlakom z Bratislavy do Tr-navy trvá 30 minút a predstavuje vzdialenosť 46 km. Za celý lístok sme v starej cene zaplatili 2,18 eura.O koľko eur zaplatíme viac po zdražení?

Úloha 3V grafe k úlohe 3 sa nachádza porovnanie cien cestovných líst-kov starého a nového cenníku. Doplň správne slovo zo zátvorky. a) Cena lístku za 300 km trasu je

................ (vyššia/nižšia) v sta-rej cene.

b) Cena lístka v novom cenníku ................ (rastie/už nerastie) skokovo (po pásmach).

c) Cena lístku sa v novom cenní-ku ................ (zvyšuje/znižuje) každým kilometrom.

d) Ak porovnáme priemerné ceny cestovných lístkov za jeden ki-lometer, s rastúcim počtom ki-lometrov je priemerná cena na jeden kilometer podľa nového cenníku nižšia. Kvôli tomu sa ................ (oplatí/neoplatí) deliť cestu na viacero lístkov.

7.2.4 Cestovanie vlakom

Cestujúci si v železničnej doprave priplatia od utorka (1.11.2011) za lístky viac. Od novembra sa totiž zvyšujú ceny cestovného vo vlakoch v priemere o 10 %. Pri cestovaní na kratšie vzdialenosti pôjdu ceny hore výraznejšie. Na tratiach do 50 km zdražie cestov-né priemerne o 41,7 %.

Graf k úlohe 3

Riešenie úlohy 1

1% z 17,18 eur = 17,18 :100 = 0,1718 eur10% z 17,18 eur = 0,1718 . 10 = 1,718 = 1,72 eurCena lístku: 17,18 + 1,72 = 18,90 eurZa lístok po zdražení zaplatíme približne 18,90 eur.

Riešenie úlohy 2

Na tratiach do 50 km zdražie cestovanie priemerne o 41,7 %. 41,7 % z 2,18 eur = 0,417 . 2,18 = 0,91 eurPo zdražení zaplatíme viac o 0,91 eur.

Riešenie úlohy 3 a) Cena lístku za 300 km trasu nižšia v starej cene.b) Cena lístka už nerastie skokovo (po pásmach).c) Cena lístku sa zvyšuje každým kilometrom.d) Navyše, s rastúcim počtom kilometrov je priemerná cena na

jeden kilometer menšia. Kvôli tomu sa neoplatí deliť cestu na viacero lístkov.

30


Zdroj: http://varecha.pravda.sk/recepty/makovo--visnova-strudla-fotorecept/5581-recept.html

Úloha 1Na jednu štrúdľu, ktorá sa zmes-tí na jeden plech, babička dáva 250 g hladkej múky. Koľko gra-mov bieleho jogurtu pridáva ba-bička do štrúdľového cesta na prí-pravu jednej štrúdle?

Úloha 2Koľko múky a bieleho jogurtu budeme potrebovať na prípravu 600 g štrúdľového cesta, ak ostat-né prísady (vajce, soľ, olej) v tom-to ceste majú hmotnosť 40 g?

Úloha 3Ktorá z nasledujúcich schém vy-jadruje vzťah hladkej múky a bie-leho jogurtu v babičkinom ceste na štrúdľu?

A

B

C

7.2.5 Babičkina štrúdľa

Terezkina babička vie robiť vynikajúcu domácu višňovo-makovú štrúdľu. Cesto na štrúdľu vyrába sama. Jeho hlavnými prísadami sú hladká múka a biely jogurt, ktoré sú v pomere 5 : 3. Zvyšnými prísadami sú už len vajce, soľ a olej.

Riešenie úlohy 1Hladká múka a biely jogurt sú v pomere 5 : 3250 g hladkej múky predstavuje 5 dielov1 diel predstavuje 250 : 5 = 50 g3 diely predstavujú 3 . 50 g = 150 gDo štrúdľového cesta babička pridáva 150 g bieleho jogurtu.

Riešenie úlohy 2

Múka a jogurt v ceste budú mať spolu hmotnosť 600 g – 40 g = 560 gHladká múka a biely jogurt sú v pomere 5 : 3Spolu .................. 560 g cesta .................. 8 dielov 1 diel .................. 560 : 8 = 70Múka .................. 5 dielov .................. 5 . 70 = 350 gJogurt .................. 3 diely .................. 3 . 70 = 210 gDo cesta potrebujeme 350 g múky a 210 g jogurtu. Riešenie úlohy 3Schéma B

31


Úloha 1O koľko percent bol prekonaný rekord z roku 2010?Odpoveď: Rekord z roku 2010 bol prekonaný o ............ %.

Úloha 2Na koľko percent sa im podarilo splniť cieľ postaviť 2012 snehu-liakov?Odpoveď: Cieľ postaviť 2012 snehuliakov sa podarilo splniť na .......... %.

Úloha 3Na základe výsledkov úlohy 2 rozhodnite, ktorý z kruhových

diagramov najlepšie reprezentu-je danú situáciu (modrá plocha – postavení snehuliaci, červená plocha – snehuliaci, ktorí chýbali k dosiahnutiu počtu 2012).Situáciu z úlohy 2 najlepšie re-prezentuje diagram .... .

7.2.6 Snehuliaci

V Oščadnici na Veľkej Rači už po druhý krát vo veľkom stavali snehuliakov. V roku 2010 sa im podarilo za jednu hodinu vytvoriť 1 119 snehuliakov. V roku 2012 si dali za cieľ stavať až dve hodiny a postaviť 2012 snehových „panákov“. Zámer sa však nepodarilo naplniť. Po sčítaní snehuliakov mohol komisár len skonštatovať, že v Oščadnici postavili 1 390 snehuliakov, ktoré spĺňali podmien-ky: mali výšku 120 centimetrov, nos z mrkvy a gombíky z uhlia.

Kruhové diagramy k úlohe 3

A B C

Riešenie úlohy 1

Základ pre výpočet percent je v tomto prípade 1 119 snehuliakov. Časť prislúchajúca k počtu percent je 1 390 snehuliakov. Výpoč-tom dostaneme, že 1 390 snehuliakov tvorí 124,22 % z pôvodné-ho rekordu. Keďže pôvodný rekord je 100 %, tak bol starý rekord prekonaný o 24,22 %.

Riešenie úlohy 2

Základ je 2012 snehuliakov, časť prislúchajúca k počtu percent je 1 390 snehuliakov. Výpočtom dostaneme, že cieľ sa im podarilo splniť na 69,09 %.

Riešenie úlohy 3

Najlepšie danú situáciu vystihuje diagram A.

32


Úloha 1O koľko eur zaplatíme menej vďaka zľave pri kúpe 30 kg jabĺk?

Úloha 2Ktorý z grafov vyjadruje závis-losť zaplatenej sumy od množ-stva kúpených jabĺk?

Úloha 3Aké najväčšie množstvo jabĺk môžeme kúpiť za 8 €?

7.2.7 Množstvové zľavy

V sklade s ovocím chceli, aby sa im tovar míňal rýchlejšie, preto vymysleli, že budú ponúkať množstvové zľavy. Jablká ponúkali za 0,60 € za kg. Pri kúpe viac ako 10 kg jabĺk sa táto cena zníži o 5 %. Pri kúpe viac ako 20 kg jabĺk sa pôvodná cena zníži o 10 %.

Grafy k úlohe 2

Graf 1 Graf 2

Graf 3

Riešenie úlohy 1

Pôvodná cena: 0,6 €/kg . 30 kg =18 €.Pri kúpe 30 kg dostaneme zľavu 10%. 0,9 . 0,6 €/kg . 30 kg =16,2 €.Vďaka zľave zaplatíme o 1,8 € menej.

Riešenie úlohy 2

Správna odpoveď – graf 2.

Riešenie úlohy 3

Pri kúpe jabĺk do 10 kg môžeme zaplatiť najviac 10 kg . 0,6 €/kg = 6 €. Hľadané množstvo musí byť preto väčšie ako 10 kg. Pri kúpe jabĺk od 10 do 20 kg zaplatíme viac ako 10 kg . 0,95 . 0,6 €/kg = 5,7 €, ale najviac 20 kg . 0,95 . 0,6 €/kg = 11,4 €.V tomto rozmedzí sa nachádza 8 €, preto budeme počítať s cenou 0,95 . 0,6 €/kg = 0,57 €/kg. Potom 8 €/0,57 €/kg je približne 14 kg. Pri kúpe viac ako 20 kg jabĺk zaplatíme viac ako 20 kg . 0,9 . 0,6 €/kg = 10,8 €, preto za 8 € môžeme kúpiť najviac 14 kg jabĺk.

Metodické poznámky V prvej úlohe je potrebné správne určiť príslušnú zľavu, ktorá sa vzťa-huje na dané množstvo. Druhá úloha je zameraná na správne rozpo-znanie závislosti medzi množstvom kupovaných jabĺk a sumou, ktorú za ne zaplatíme. Ak žiaci nevedia určiť túto závislosť, úloha sa dá riešiť aj vylúčením zvyšných možností. Prvý graf vyjadruje cenu za 1 kg a tretí graf vyjadruje závislosť zaplatenej sumy bez zľavy. V tretej úlohe musíme skúmať ceny na troch intervaloch (0, 10⟩, (10, 20⟩ a (20,∞), pretože nie-ktoré sumy môžu byť dosiahnuté pre rôzne množstvá kupovaných jabĺk.

33


Zdroj: http://www.vali.de

Úloha 1Dnes sa predávajú modely lode Santa Maria v rôznych mierkach. Doplňte chýbajúce rozmery mo-delov a skutočnej lode do tabuľ-ky (skutočné rozmery zaokrúhli-te na celé centimetre)!

Úloha 2Istý výrobca udáva nasledujúce údaje o modeli lode Santa Maria:Mierka 1 : 72, dĺžka 465 mm, šír-ka 250 mm, výška 445 mm. Vy-chádza tento model z rovnakých rozmerov skutočnej lode, ako sú uvedené v tabuľke z úlohy 1?

Úloha 3Zberateľ modelov si chce kú-piť model lode a vystaviť si ho vo vitríne. Jej rozmery si však presne nepamätá, vie však, že jej dĺžka je najmenej 50 a najviac 65 cm a výška je minimálne 35, ale maximálne 45 cm. Ktoré z mo-delov z tabuľky v úlohe 1 sa do vitríny určite nezmestia a ktoré určite zmestia?

7.2.8 Model lode

Santa Maria bola jedna z lodí, na ktorých sa plavil Krištof Ko-lumbus do Ameriky. Na Štedrý deň roku 1492 uviazla na plytči-ne a nikdy viac neopustila „Nový svet“. Bola rozobratá a materiál z nej bol použitý na stavbu osady na ostrove Isla Espanola (dnešné Haiti). Dnes ju môžeme obdivovať len z modelov.

http://www.santamaria.org/eh_about_ship.php

Tabuľka k úlohe 1

Skutočné rozmery

Mierka 1 : 125

Mierka 1 : 90

Mierka 1 : 75

Mierka 1 : 60

Mierka 1 : 50

Dĺžka (cm) 33,19

Výška (cm) 54,26

Šírka (cm) 14,63

Riešenie úlohy 1

Skutočné rozmery

Mierka 1 : 125

Mierka 1 : 90

Mierka 1 : 75

Mierka 1 : 60

Mierka 1 : 50

Dĺžka (cm) 2987 23,9 33,19 39,83 49,78 59,74

Výška (cm) 2713 21,7 30,14 36,17 45,22 54,26

Šírka (cm) 1829 14,63 20,32 24,39 30,48 36,58

Riešenie úlohy 2

Po prepočítaní rozmerov modelu na skutočné rozmery získame údaje: dĺžka 3348, výška 3204 a šírka 1800. Tieto rozmery sa vý-razne líšia od tých v tabuľke, preto je odpoveď nie.

Riešenie úlohy 3

Všetky modely, ktoré majú dĺžku menšiu ako 50 cm a výšku men-šiu ako 35 cm sa do vitríny zmestia. Týmto podmienkam vyho-vujú modely v mierke 1 : 125 a 1 : 90. Modely, ktoré majú dĺžku väčšiu ako 60 cm a výšku viac ako 45 cm, sa do vitríny nezmestia. Tieto podmienky spĺňa model v mierke 1 : 50.


Prvé dve úlohy sú zamerané na prepočet rozmerov pomocou mierky. V tretej úlohe je potrebné porovnávať údaje v tabuľke so zadanými hodnotami a správne vyhodnotiť podmienky.

34


http://www.letour.fr/2012/TDF/COURSE/us/1100/etape_par_etape.html

Úloha 1Ktoré zo stúpaní bude pre cyklis-tov najnáročnejšie, na Col de la Madeleine, na Col de la Croix de Fer alebo záverečné stúpanie do cieľa v La Toussuire?

Úloha 2Z ktorej strany je náročnejší vý-stup na Col de la Madeleine?

Úloha 3Výstup na niektoré kopce nebý-va rovnomerný. Striedajú sa na nich úseky s miernym stúpaním a prudké úseky. O koľko met-rov je vyššie vrchol kopca ako miesto, z ktorého štartujeme, ak prvý úsek má dĺžku 5 km a sklon 7 %, druhý úsek má dĺžku 3,5 km a sklon 12 % a posledný úsek má dĺžku 7,5 km a sklon 9 %.

Úloha 4Z údajov v nasledujúcej tabuľke zostavte pro6 l trate ako na ob-rázku 1.

7.2.9 Tour de France

Cyklistov na pretekoch Tour de France (čítaj túr dfráns) každoročne čakajú náročné etapy. Musia zvládnuť dlhé rovinaté etapy, ale aj ťažké stúpania v Alpách a Pyrenejách. V roku 2012 čaká pretekárov náročná 11. etapa z Albertville do strediska La Toussuire (čítaj la tusüir). Počas etapy vystúpia na tri vrchy, Col de la Madeleine (čítak kol d la madlen), Col de la Croix de Fer (čítaj kol d lakrua d fé) a Col du Mollard (čítaj kol dü molár). Pro6 l trate je na obrázku.

Tabuľka k úlohe 4

Vzdialenosť od štartu (km)

0 3 5,5 10 12 16 21 27 30 34 40 47

Nadmorská výška (m)

110 208 423 744 691 805 1060 718 820 652 511 219

Riešenie úlohy 1

Col de la Madeleine – dĺžka 40 km, prevýšenie 2 000 - 345 = 1 655 m, 1 655/40 000 = 4,14 %.Col de la Croix de Fer – dĺžka 24 km, prevýšenie 1 614 m, 1 614/24 000 = 6,73 %.La Toussuire – dĺžka 18,5 km, prevýšenie 1 101 m, 1 101/18 500 = 5,95 %. Najťažšie je stúpanie na Col de la Croix de Fer.

Riešenie úlohy 2

Z ľavej strany 4,14 % (vypočítané v predchádzajúcej úlohe). Z pravej strany 1 547/21 500 = 7,2 %

Riešenie úlohy 3

1. Úsek – 5 000 m . 0,07 = 350 m2. Úsek – 3 500 m . 0,12 = 420 m3. Úsek – 7 500 m . 0,09 = 675 mVrchol sa nachádza o 1 445 m vyššie.

Riešenie úlohy 4


Prvé tri úlohy sú zamerané na počítanie s percentami. V prvých dvoch úlohách je nutné nájsť potrebné údaje v obrázku. V poslednej úlohe treba z údajov v tabuľke zostaviť diagram znázorňujúci pro( l trate, ide o závislosť nadmorskej výšky od vzdialenosti od štartu. Na jeho zostavenie je možné použiť program Excel.

35


Vraví sa, že neštastie nechodí po horách, ale po ľuďoch. No, stane sa, že šťastena sa vám v horách otočí chrbtom. Keď sa tak stane, vyškolení profesionáli z Horskej záchrannej služby (HZS) sú vždy pripravení a ochotní pomôcť každému, kto sa ocitne v núdzi.

Úloha 1Na základe tabuľky záchranár-skych akcií vytvorte stĺpcový dia-gram celkového počtu zranených za každé oblastné stredisko.

Úloha 2Doplňte prislúchajúci počet per-cent za každé stredisko a každý typ športu do riadka a stĺpca tabuľky. Zároveň doplňte príslušný počet percent v texte k úlohe 2.

Text k úlohe 2Horskí záchranári mali najviac zásahov vo Vysokých Tatrách, cel-kovo 177, čo bolo .......... % zo všet-kých zásahov. Najviac výjazdov bolo pri turisti-ke .......... %. Najmenej zásahov zo všetkých ab-solvovali záchranári v ....., čo bolo ..........%. Pre porovnanie vo Vysokých Tat-rách bolo o .......... % viac výjaz-dov ako vo Veľkej Fatre. Napriek tomu, počet výjazdov v týchto dvoch lokalitách dosiahol až .......... % z celkového počtu zá-sahov horských záchranárov.Výjazdy k zraneným lyžiarom a snowboardistom tvorili ..........% zásahov, čo bolo o 0,52 % viac ako v letnom období pri ........, paragli-dingu a ....... .

7.2.10 Horská záchranná služba

V nasledujúcej tabuľke sú uvedené zásahy Horskej zá-chrannej služby v horských oblastiach podľa oblastných stredísk. Na základe tejto ta-buľky nakreslite stĺpcový dia-

gram celkového počtu zásahov pre jednotlivé oblasti.

Tabuľka záchranárskych akcií

Činnosť oblastné stredisko

všeo

becn

ý po

hyb

turi

stik

a

horo

leze

ctvo

lyžo

vani

e

snow

boar

ding

free

ride

skia

lpin

izm

us

jask

ynia

rstv

o

bicy

klov

anie

para

glid

ing

výko

n po

vola

nia

iné

Cel

kom

%

Vysoké Tatry 10 90 42 9 3 0 3 0 11 0 1 8 177

Nízke Tatry 7 25 4 23 20 3 1 0 7 0 4 34 128

Západné Tatry 6 25 3 2 4 0 1 0 1 0 1 7 50

Malá Fatra 7 36 1 6 8 1 1 0 0 0 0 0 60

Veľká Fatra 15 18 2 12 10 0 4 0 10 5 7 5 88

Slovenskýraj 2 30 3 1 0 0 0 0 1 0 1 2 40

Celkom 47 224 55 53 45 4 10 0 30 5 14 56 543

%

Riešenie úlohy 1

36


Úloha 3Štatistiky sa zostavovali nielen na základe oblastí a typov aktivity, ale aj podľa štátnej príslušnosti ošetre-ných osôb. Doplňte chýbajúce per-centá, alebo počty osôb v tabuľke štátnej príslušnosti zranených.

Štátna príslušnosť ošetrených

Slovenská rep. 844 51,94 %

Poľsko 296

Maďarsko 3,75 %

Česká republika 11,38 %

Nezistené 71

Nemecko 18

Holandsko 0,25 %

Rumunsko 0,43 %

Veľká Británia 10

Írsko 4

Litva 2,34 %

Rusko 2,03 %

Ukrajina 38

Francúzsko 0,12 %

Taliansko 2

Belgicko 0,55 %

Bielorusko 3

Celkom 1 625 100 %

Riešenie úlohy 2

Činnosť oblastné stre-disko

všeo

becn

ý po

hyb

turi

stik

a

horo

leze

ctvo

lyžo

van

ie

snow

boar

ding

free

ride

skia

lpin

izm

us

jask

ynia

rstv

o

bicy

klov

anie

para

glid

ing

výko

n p

ovol

ania

iné

Cel

kom

%

Vysoké Tatry 10 90 42 9 3 0 3 0 11 0 1 8 177 32,60

Nízke Tatry 7 25 4 23 20 3 1 0 7 0 4 34 128 23,57

Západné Tatry 6 25 3 2 4 0 1 0 1 0 1 7 50 9,21

Malá Fatra 7 36 1 6 8 1 1 0 0 0 0 0 60 11,05

VeľkáFatra 15 18 2 12 10 0 4 0 10 5 7 5 88 16,21

Sloven-ský raj 2 30 3 1 0 0 0 0 1 0 1 2 40 7,37

Celkom 47 224 55 53 45 4 10 0 30 5 14 56 543 100

% 8,66 41,25 10,13 9,76 8,29 0,74 1,84 0 5,52 0,92 2,58 10,31 100

Horskí záchranári mali najviac zásahov vo Vysokých Tatrách, cel-kovo 177, čo bolo 32,60 % zo všetkých zásahov. Najviac výjazdov bolo pri turistike 41,25 %. Naopak najmenej zásahov zo všetkých absolvovali záchranári v Slovenskom raji, čo bolo 7,37 %. Pre porovnanie vo Vysokých Tatrách bolo o 16,39 % viac výjaz-dov ako vo Veľkej Fatre. Napriek tomu, počet výjazdov v týchto dvoch lokalitách dosiahol až 48,81 % z celkového počtu zásahov horských záchranárov. Výjazdy k zraneným lyžiarom a snowbo-ardistom tvorili 17,05 % zásahov, čo bolo o 0,52 % viac ako v let-nom období pri horolezectve, paraglidingu a bicyklovaní.

Riešenie úlohy 3Štátna príslušnosť ošetrených

Slovenská rep. 296 51,94 %

Poľsko 61 18,22 %

Maďarsko 185 3,75 %

Česká republika 71 11,38 %

Nezistené 18 4,37 %

Nemecko 4 1,11 %

Holandsko 7 0,25 %

Rumunsko 10 0,43 %

Veľká Británia 4 0,62 %

Írsko 38 0,25 %

Litva 33 2,34 %

Rusko 38 2,03 %

Ukrajina 2 2,34%

Francúzsko 2 0,12 %

Taliansko 9 0,12 %

Belgicko 3 0,55 %

Bielorusko 0 0,18 %

Celkom 1 625 100,00 %

37


Geometria a meranie

Autorka problémov 7.3.1 – 7.3.5 PaedDr. Gabriela Pavlovičová, PhD., autorka problémov 7.3.6 – 7.3.9 doc. RNDr. Mária Kme-ťová, PhD., autorka problému 7.3.10 Mgr. Edita Szabová, autorka problémov 7.3.11 – 7.3.13 Mgr. Kristína Ca& ková.

38

Geometria a meranie

7.3.1 Tunely

Martin si z malých zhodných kociek zlepil stavbu. Potom do nej urobil päť priamych tunelov, ako je na obrázku. Takúto vytunelo-vanú stavbu potom ponoril do zelenej farby.

Riešenie úlohy 1

Celá pôvodná stavba bola postavená z 84 kociek (7 . 4 . 3 kocky).

Riešenie úlohy 2

Objem celej stavby tvorilo 84 kociek, pričom objem jednej kocky je 53 cm3 = 125 cm3, a tak celá stavba mala objem 84 . 125 cm3 = 10 500 cm3.Alebo

Teleso má tvar kvádra s rozmermi a = 7 . 5 cm = 35 cm, b = 4 . 5 cm = 20 cm, c = 3 . 5 cm = 15 cm. Objem kvádra vypočítame podľa vzorca V = a . b . c = 35 . 20 . 15 = 10 500 cm3.Povrch kvádra vypočítame podľa vzorca: P = 2 . (ab + ac + bc) = 2 . (35 . 20 + 35 . 15 + 20 . 15) = 3 050 cm2.

Riešenie úlohy 3

- označme si tunely písmenami A, B, C, D, E- vidíme, že tunel C sa kríži s tunelmi A, B,E- na tunel A Martin vybral 4 kocky - na tunel B 4 kocky - na tunel E 3 kocky - na tunel D 3 kocky- na tunel C 7 kociek, ale 3 sme už zarátali v tuneloch A, B, E; takže

len 4 kockySpolu teda vybral 4 + 4 + 3 + 3 + 4 = 18 kociek

Riešenie úlohy 4

Vybrali sme 18 kociek, ktorých objem je 18 . 125 cm3 = 2 250 cm3. Objem pôvodnej stavby bol 10 500 cm3, teda vybrané kocky tvorili (2 250 : 10 500) . 100 = 21,4285 %, čo je približne 21 % objemu pôvodnej stavby.

Vypočítajte1. Koľko kociek potreboval na

pôvodnú stavbu? 2. Aký bol objem a povrch pô-

vodnej stavby, ak dĺžka hrany jednej kocky je 5 cm?

3. Koľko kociek vybral v tune-loch?

4. Koľko percent z objemu pô-vodnej stavby približne tvo-rili vybrané kocky z tunelov (výsledok zaokrúhlite na celé percentá)?

5. Koľko cm2 bolo po ponorení do farby vyfarbených na zele-no?

39


Riešenie úlohy 5

Obsah jedného štvorca je 5 . 5 = 25 cm2. Na stenách telesa spočí-tame 112 štvorcov, ktorých celkový obsah je 112 . 25 = 2 800 cm2. Obsah stien v tuneloch A a B tvorí 16 štvorcov, v tuneloch E a D je 12 štvorcov a v tunely C je 28 štvorcov, teda v súčte je to 84 štvor-cov s celkovým obsahom 84 . 25 cm2 = 2 100 cm2. Po ponorení do farby bolo teda vyfarbených na zeleno 2 800 + 2 100 = 4 900 cm2.

7.3.2 Drôt v kocke

Na povrchu kocky je znázornený drôt v tvare súvislej lomenej čia-ry, ktorá predchádza buď vrcholmi kocky alebo stredmi jej hrán.

Riešenie

7.3.3 Had v akváriu

V sklenenom akváriu je stočený had. Je znázornený ako súvislá lomená čiara v kocke.

Riešenie

ÚlohaZakreslite túto čiaru do danej siete kocky.

ÚlohaZnázornite nárys (pohľad spre-du), pôdorys (pohľad zhora) a bokorys (pohľad zľava) súvislej lomenej čiary, ktorá prechádza vrcholmi, stredmi hrán a stredmi stien danej kocky.

Nárys, pôdorys. bokorys

40

Geometria a meranie

7.3.4 Úlohy na sieťach kocky

a) b) c)

Riešenie úlohy 1

a) b) c)

Katka si nakreslila na kocky kvetiny a potom tie kocky rozložila. Jej brat však niektoré časti kvetov vygumoval.

a) b) c)

Riešenie úlohy 2

a) b) c)

Úloha 1V danej sieti kocky označte rov-nakým číslom tie strany štvor-cov, ktoré po zložení kocky tvo-ria tú istú hranu.

Úloha 2Pomôžte Katke doplniť zmiznuté časti kvetov tak, aby sa po zlože-ní kocky objavili celé kvetiny v jej vrcholoch.

41


Vypočítajtea) Z koľkých kociek je postavené

teleso?b) Je možné všetky kocky tohto

telesa zložiť v jednej vrstve do škatule tvaru kvádra bez toho, aby zostal voľný priestor? Ak áno, určte rozmery dna tej-to škatule. Aké bude riešenie pri ukladaní do dvoch, troch vrstiev?

7.3.5 Ukladáme kocky

Na obrázku je teleso vytvorené z dvoch križujúcich sa stupňo-vitých blokov, ktoré boli zložené z rovnakých kociek stavebnice. Hrana kocky má dĺžku 1 cm.

Riešenie úlohya) Teleso je symetrické, stačí spočítať počet kociek v jednej zo šty-

roch častí (4 x 10 kociek) a pripočítať kocky v strednom stĺpci (5 kociek). Spolu v stavbe je to 40 + 5 = 45 kociek.

Riešenie úlohyb) Hľadáme rozmery škatule tak, aby jej dno malo tvar obdĺžnika.

Budeme teda rozkladať číslo 45 na súčin dvoch čísel, ktoré určia dĺžky strán hľadaného obdĺžnika.

• Pre jednu vrstvu dostaneme tri riešenia: 45 = 1 . 45 45 = 3 . 15 45 = 5 . 9• Pre dve vrstvy musíme číslo 45 rozdeliť na dve časti, čo sa bezo

zvyšku nedá, a teda úloha v tomto prípade nemá riešenie.• Pre tri vrstvy vypočítame 45 : 3 = 15, teda 15 kociek v jednej

vrstve a tie môžeme uložiť dvoma spôsobmi: 15 = 1 . 15 alebo 15 = 3 . 5.

42

Geometria a meranie

7.3.6 Šesťuholníková torta

Julka upiekla kamarátkam šesťuholníkovú tortu. Prostriedok tor-ty sa jej pripálil, preto vykrojila do torty šesťuholníkovú dieru tak, ako vidíme na obrázku 1. Potom dostala nápad, ako dieru vyplniť časťami odrezanými z vonkajšieho okraja torty.

Riešenie úlohy 1 Z nasledujúceho obrázka je zrejmé, ako sa dá vyplniť vnútorná šesť-uholníková diera šiestimi odrezanými trojuholníkmi z okraja torty.

Riešenie úlohy 2Pravidelný šesťuholník so 16 centimetrovými stranami sa dá rozre-zať nasledovným spôsobom na pravidelné šesťuholníky so stranami dĺžky 8 cm:

Teda spolu je to 24 zákuskov. Prostredný šesťuholník tvorí z nich 6, teda zostane 18 zákuskov.Julka teda vyhodila štvrtinu torty, čo je 25 percent.

Obrázok 1

Úloha 1Ako sa Julke podarilo vyplniť šesť-uholníkovú dieru s čo najmenším počtom rezov? (Jedna strana veľ-kého šesťuholníka meria 16 cm, jedna strana malého šesťuholníka vo vnútri meria 8 cm.)

Úloha 2Koľko zákuskov tvaru pravidel-ného trojuholníka so stranami 8 cm by vyšlo z celej torty, ak by ju Julka nepripálila? Koľko takých zákuskov bude z „dieravej“ tor-ty? Koľko percent z celej torty tvorí odpad?

43


Riešenie úlohy 3

6 zákuskov má tvar rovnostranného trojuholníka ako v pôvodnej torte, 12 zákuskov má tvar rovnoramenného trojuholníka ako vo vnútornom šesťuholníku.Obsahy rovnoramenných a rovnostranných trojuholníkov môže-me porovnať dvoma spôsobmi:

1) Výškou na najdlhšiu stranu rozdelíme rovnoramenný trojuhol-ník na 2 zhodné pravouhlé trojuholníky, z ktorých zložíme rov-nostranný trojuholník.

2) Porovnáme výpočet obsahov trojuholníkov ASC a SBC, pričom S je stred úsečky AB:

Obsah trojuholníka ASC aj SBC sa vypočíta z dĺžok základní IASI = ISBI a výšky z vrcholu C, teda sa rovnajú.

Úloha 3Ako by mala Julka rozkrájať novú tortu, aby získala 18 rov-nako veľkých (nerozkrojených) zákuskov?

44

Geometria a meranie

7.3.7 Výlet na ostrov

Na výlete sa žiaci chceli dostať na ostrov štvorcového tvaru, okolo ktorého bola vodná priekopa dvojmetrovej šírky a dvojmetrovej hĺbky s kolmými stenami. Mali k dispozícii len 2 dvojmetrové dosky a žiadne iné pomôcky.

Riešenie úlohy

Je zrejme, že doska dĺžky 2 m sa nedá preložiť cez priekopu kolmo na brehy. Hľadáme teda riešenie, kde by sme mohli využiť kolmé brehy pri jednom vrchole štvorca. Riešenie je znázornené na na-sledujúcom obrázku.

Pri takomto riešení zostane niekoľko centimetrov aj na prekrytie dosiek, t.j. je to realizovateľné riešenie problému. Riešenie sa hľa-dá experimentovaním, kontrola výpočtom sa dá uskutočniť po-tom po preberaní Pytagorovej vety.

ÚlohaNájdite spôsob, ako by sa mohli dostať na ostrov?

45


7.3.8 Naplnenie nádoby s vodou

a) b)

c)

Riešenie

Nádoby naplníme odhadom vyššie ako do polovice, potom ich na-kloníme tak, aby hladina vody tvorila rovinu prechádzajúcu stre-dom súmernosti telies a v prípade a) jedným bodom okraja otvoru, v prípadoch b) a c) jednou úsečkou okraja otvoru. Napríklad:

ÚlohaAko by ste naplnili vodou skle-nené nádoby, ktoré sú znázor-nené na nasledujúcom obrázku, presne na 50 %?

46

Geometria a meranie

7.3.9 Prestavba bytu

Janka a Jožko chceli tajne pomáhať rodičom pri prestavbe bytu. Keďže zabudli so sebou zobrať meter, na odmeranie potrebných rozmerov veľkej obývacej izby mali k dispozícii len jednu drevenú tyč a násadu na metlu. Podľa takéhoto merania vznikol tento pôdorys na obrázku 1 (m = metla, t = tyč). Dĺžku steny napravo od prvého okna odmerali tak, že od dvoch dĺžok drevenej tyče odčítali dĺžku násady na metlu.

Obrázok 1

Doma zistili, že násada na metlu má dĺžku 120 cm a drevená tyč 70 cm. Výška vnútornej steny izby je 260 cm, rozmery okien sú 200 cm × 110 cm a dverí 80 cm × 200 cm.

Riešenie úlohy 1Najprv vypočítame dĺžku steny na pravej strane prvého okna. Dve dĺžky tyče merajú 140 cm, ak teda odčítame dĺžku metly, dosta-neme 140 – 120 = 20 cm. Celková dĺžka obývačky je teda podľa rozmerov steny s oknami: t

1 + okno

1 + 20 cm + t

6 + okno

2 + t

5, kde

šírka okien je 200 cm a tyč meria 70 cm.3t + 200 + 200 + 20 = 210 + 420 = 630 cm.Vzdialenosť AP dostaneme odčítaním: 630 cm – 70 cm – 80 cm = 480 cm.

Riešenie úlohy 2Vypočítame povrch stien a z výsledku odčítame povrch okien a dverí.Už vieme, že dlhšia stena meria 630 cm. Kratšia stena má dĺžku troch násad ne metlu a jednej tyče, teda 360 cm + 70 cm = 430 cm. Celková plocha stien je 2 . (630 + 430) cm × 260 cm = 551 200 cm2, čo je 55,12 m2.

Úloha 1Aká je vzdialenosť od kúta A k rohu dverí P (aká je dĺžka úseč-ky AP)?

Úloha 2Koľko roliek tapiet majú kúpiť, ak tapety sú 50 cm široké a jed-na rolka má dĺžku 10 m (strop nebude otapetovaný). Počítajte s odpadom 10 %.

Úloiha 3Koľko štvorcových metrov meria podlaha? Koľko balíkov parkiet majú kúpiť, ak v jednom balíku je 10 kusov, čo je 2,55 m2 a treba počítať s odpadom 15 % ?

47


(Môžeme počítať aj inými spôsobmi, napr.: Plocha dlhšej steny je 6,3 m . 2,6 m = 16,38 m2, oproti ležiaca stena má rovnakú plochu. Plocha kratšej steny je 4,3 m . 2,6 m = 11,18 m2 a oproti ležiaca stena tiež má takúto plochu. Spolu teda celková plocha stien izby je 32,76 + 22,36 = 55,12 m2.)

Odčítame plochu okien a dverí: Plocha jedného okna je 2 × 1,10 = 2,2 m2. Dvere: 0,80 × 2 = 1,6 m2.55,12 – 4,4 – 1,6 = 49,12 m2. Ak pripočítame 10 % na odpad, do-staneme 54,032 m2.Jedna rolka tapiet má 0,5 . 10 = 5 m2, teda Janka a Jožko potrebujú kúpiť 11 roliek.

Riešenie úlohy 3

Plochu podlahy môžeme vypočítať rozdelením izby na užšiu a šir-šiu časť a sčítaním týchto dvoch plôch.My si teraz zvolíme druhý spôsob. Vypočítame plochu obdĺžnika daného vrcholmi A, B, C a z výsledku odčítame plochu obdĺžnika daného vrcholmi D, E, F.6,3 . 4,3 – 2,9 . 1,2 = 27,09 – 3,48 = 23,61 m2

Pripočítame 15 % na odpad zaokrúhlený na 2 desatinné miesta: 23,61 + 3,54 = 27,15.27,15 : 2,55 = 10,647, teda Janka a Jožko majú kúpiť 11 balíkov parkiet.

7.3.10 Maľujeme izbu

Akú veľkú plochu izby budeme maľovať?Chceme si vymaľovať našu izbu, ale nemáme predstavu o tom, koľko a akej farby budeme potrebovať, preto si chceme vypočí-tať potrebné množstvo. Naša izba vyzerá takto: Izba dlhá 3 metre a široká 4 metre má strop vo výške 26 dm. Do izby vstupujeme dve-rami vysokými 2 metre a širokými 90 centimetrov. So stenou, cez ktorú vchádzame do izby, susedí stena, na ktorej je okno s rozmermi 17 x 12 dm. Je tu aj výhrevné teleso – gamatky – ktoré zaberajú plo-chu 37 dm2. V izbe máme vypínač svetla a 18 elektrických zásuviek v tvare štvorca s dĺžkou strany 100 mm.

Namiešajme si farebný odtieňChceme mať izbu v jemnom oranžovom odtieni. Kúpime si tó-novaciu tehlovo-oranžovú farbu, ktorá sa predáva v dvojlitrovom balení. Tónovacia farba znamená, že k oranžovo-tehlovej farbe primiešame bielu farbu v takom pomere, aby sme získali želaný odtieň. Keďže podľa nákresu na etikete si výslednú farbu nevieme veľmi živo predstaviť a z minulého roka nám ostalo ešte pár litrov bielej farby, rozdelíme si balenie na 5 rovnakých častí, vlejeme do skúšobných nádobiek a namiešame si každý odtieň. Koľko bielej farby namiešame do každej pripravenej nádobky?

Úloha 1Vypočítajte aká je plocha celej izby?Vypočítajte aká bude veľkosť plochy, ktorú nebudeme maľo-vať?Vypočítajte aká bude veľkosť plochy, ktorú budeme maľovať?

48

Geometria a meranie

Odtieň Pomer oran-žovej a bielej farby

Objem oran-žovej farby v nádobke

Objem bielej farby v ná-dobke

Celkový ob-jem v skúšob-nej nádobke

Najtmavší

Najsvetlejší

Koľko bielej a oranžovej farby budeme potrebovať na vymaľo-vanie izby?Izby sa maľujú v troch vrstvách. Dve vrstvy namaľujeme čistou bie-lou farbou. Tretia vrstva bude oranžová farba, ktorú získame tak, že tehlovo-oranžovú farbu namiešame s bielou. Nakoniec sme sa rozhodli pre najsvetlejší odtieň z etikety na oranžovo-tehlovej farbe.

Náter Pomer oran-žovej a bielej farby v nátere

Objem oran-žovej farby v nátere

Objem bielej farby v nátere

Celkový objem farby v nátere

1. náter

2. náter

3. náter

Spolu

Riešenie úlohy 1Akú veľkú plochu izby budeme maľovať?Plocha celej izby

2 . (3 . 2,6 . 4 . 2,6 + 3 . 4) = 60,4 m2

Veľkosť plochy, ktorú nebudeme maľovať:- dvere 2 x 0,9 = 1,8 m2

- okno 1,7 x 1,2 = 2,04 m2

- gamatky 37 dm2 = 0,37 m2

- vypínač a zásuvky 19 . 0,1 . 0,1 = 0,19 m2

- podlaha 12 m2

spolu: 16,4 m2

Plocha, ktorú budeme maľovať: 60,4 - 16,4 = 44 m2.

Riešenie úlohy 2Namiešajme si farebný odtieňOdtieň Pomer

oranžovej a bielej farby

Objemoranžovej farby v nádobke

Objem bielej farbyv nádobke

Celkovýobjem v skúšobnejnádobke

Najtmavší 1 : 0 0,4 0 0,4

1 : 1 0,4 0,4 0,8

1 : 2 0,4 0,8 1,2

1 : 5 0,4 2 2,4

Najsvetlejší 1 : 10 0,4 4 4,4

Úloha 2Vyznačte správnu odpoveď otázky:Čím chceme tmavší odtieň, tým viac – menej bielej farby musí-me priliať k oranžovej farbe.Čím viac namiešanej farby je v skúšobnej nádobke, tým je od-tieň tmavší – svetlejší.

Úloha 3Koľko litrov bielej a koľko litrov oranžovo-tehlovej farby máme kúpiť?Použijeme tento pomer oranžo-vej a bielej farby: .............................Plocha izby, ktorú máme vyma-ľovať, je ..........................................Na etikete je napísané, že na vy-maľovanie 100 m2 plochy steny potrebujeme približne 10 litrov farby.Na vymaľovanie plochy našej izby potrebujeme na jeden náter .................................... litrov farby.

Na vymaľovanie našej izby po-trebujeme spolu ..................... litrov tehlovo-oranžovej farby a ............ litrov bielej farby.

49


Vyznačíme správnu odpoveď otázky:Čím chceme tmavší odtieň, tým viac – menej bielej farby musíme priliať k oranžovej farbe.Čím viac namiešanej farby je v skúšobnej nádobke, tým je odtieň tmavší – svetlejší.

Riešenie úlohy 3Koľko litrov bielej a koľko litrov oranžovo-tehlovej farby máme kúpiť?Použijeme tento pomer oranžovo-tehlovej a bielej farby: 1 : 10Plocha izby, ktorú máme vymaľovať, je ...................... 44 m2

Na etikete je napísané, že na vymaľovanie 100 m2 plochy steny potrebujeme približne 10 litrov farby. 100 m2 ...... 10 l 44 m2 ........ x l

x 44=

10 100 x = 4,4

Na vymaľovanie plochy našej izby potrebujeme na jeden náter ..................4,4................ litrov farby.

Náter Pomer oran-žovej a bielej farby v nátere

Objem oran-žovej farby v nátere

Objem bielej farby v nátere

Celkový ob-jem farby v nátere

1. náter 0 : 1 0 4,4 4,4

2. náter 0 : 1 0 4,4 4,4

3. náter 1 : 10 0,4 4 4,4

Spolu - 0,4 12,8 13,2

Na vymaľovanie našej izby potrebujeme spolu .......... 0,4 ........... litrov tehlovo-oranžovej farby a .... 12,8 ........ litrov bielej farby.

Metodické poznámkyNa základe verbálneho popisu je nutné, aby si žiak vizualizoval daný objekt – izbu, jej vzhľad. Žiak uplatní pri výpočte vzorec na povrch kvádra (izby). Z vlastnej skúsenosti a na základe zadania určuje, ktoré časti izby sa maľujú/nemaľujú. Zároveň získava reál-nu predstavu o maľovaní izieb a spotrebe farieb. Pracuje s pojmom pomer a úmernosť. Rozdeľuje daný objem v pomere 1 : 10. K odpo-vediam na otázky v úlohách sa dopracuje za pomoci tabuliek.

50

Geometria a meranie

7.3.11 Šachovnica

Peťko sa rozhodol, že prekvapí svojho dedka. Chce jeho starú 8 x 8šachovnicu premaľovať. Celú šachovnicu musí najprv pretrieť priesvitným lakom, aby dostala peknú prirodzenú farbu. Potom musí bývalé tmavé políčka po jednom premaľovať čiernou farbou. Políčka majú rozmery 2,3 × 2,3 cm. Pomôž mu spraviť dedkovi radosť!

Riešenie

Žiaci musia vypočítať zo zadania rozmery šachovnice nasledovne: – políčko má dĺžku 2,3 cm; v riadku (aj v stĺpci) je 8 políčok; – šachovnica má 1,5 centimetrový okraj. Z tohto vyplýva, že šachovnica je 8 . 2,3 + 1,5 + 1,5 = 21,4 cm ši-roká aj dlhá. Takže jej rozmery sú: a = 21,4 cm, b = 21,4 cm, c = 1,5 cm. Celkový povrch šachovnice je možné vypočítať podľa vzorca po-vrchu kvádra. Povrch celej šachovnice potom bude: 2 . (21,4 . 21,4) + 4 . 1,5 . 21,4 = 1044,32 cm2. Tento povrch musí Peťko natrieť priesvitným lakom. Na šachovnici je 32 tmavých políčok. Obsah jedného políčka, čo má tvar štvorče-ka, bude 2,3 . 2,3 = 5,29 cm2. Obsah všetkých políčok bude 32 . 5,29 = 149,28 cm2. Tento povrch musí Peťo natrieť čiernou farbou.

7.3.12 Pyramída z kociek

Zlatka je šikovná žiačka. Chystá sa na súťaž z výtvarnej výchovy. Chcela by postaviť pyramídu z kociek, ale musí šetriť lepidlom. Chce použiť 6 krabíc, ktoré majú tvar kocky a majú dĺžku hrán 12,4 cm. Rozmýšľa nad nasledovnými možnosťami:Pyramídu na obrázku A postavila tak, aby medzi jej spodnými kockami bola medzera veľká 1/2 z dĺžky hrany kocky. Snažila sa o to, aby sa spodná hrana každej kocky v druhom a treťom rade dotýkala štvrtinou hrany kocky v nižšom rade. Kocky na obrázku B sa dotýkyjú.

Obrázok A Obrázok B

http://www.reklamnepredmety.sk/sachy-chess-master

ÚlohaVypočítaj, na akú veľkú plochu bude potrebovať priesvitný lak a na akú čiernu farbu! Pri počítaní nezabudni, že šachovnicová doska je 1,5 cm hrubá a má aj 1,5 centi-metrový okraj z každej strany.

Úloha 1Aký veľký bude povrch potretý lepidlom podľa obrázka A a aký podľa obrázka B?

Úloha 2Aby pyramída vyzerala lepšie, chcela by na svoje dielo nalepiť ružový baliaci papier. Koľko cm2

baliaceho papiera potrebuje, keď ho chce nalepiť, až keď lepidlo medzi krabicami uschlo?

Úloha 3Potrebuje viac baliaceho papiera na pyramídu z obrázka A?

51


Riešenie úlohy 1

Žiaci by mali vedieť, že lepidlo natrieme len na jeden povrch a nie na oba, ktoré chceme zlepiť spolu.

Podľa obrázka A:Vypočítame povrch, kam potrebuje Zlatka natrieť lepidlo. Keďže sa zmení len šírka a dĺžka nie, môžeme spočítať šírky a potom ich vynásobiť dĺžkou, aby sme dostali povrch. Dostaneme (3,1 + 3,1 + 3,1 + 3,1 + 3,1 + 3,1) . 12,4 = 230,64 cm2 veľký povrch, ktorý potrebujeme natrieť lepidlom.

Podľa obrázka B:Na obrázku B vidíme, že presne tri celé steny kociek zakrývajú kocky o rad nižšie. Tieto tri steny majú 3 . 12,4 . 12,4 = 461,28 cm2 veľký povrch. Okrem toho sú zlepené aj tri strany zvislo. Takže celkovo bude 2 . 461,28 = 922,56 cm2 povrch natretý lepidlom.

Riešenie úlohy 2

Celkovo bude zlepených 2 . 230,64 = 461,28 cm2 (Takáto časť nebude polepená baliacim papierom.). Povrch jednej kocky je 6 . 12,4.12,4 = 922,56 cm2.Máme šesť kociek: 6 . 922,56 = 5 535,36 cm2. Z celkového povrchu bude 5 535,36 - 461,28 = 5 074,08 cm2 (zaokrúhlene) nalepeného baliaceho papiera.

Číslo 922,56 cm2 z úlohy 1 musíme násobiť dvoma, aby sme dosta-li povrch, ktorý je spolu zlepený a na ktorý nebude nalepený ba-liaci papier, t.j. 2 . 922,56 = 1 845,12 cm2 (po zaokrúhlení) povrch musíme odpočítať z celkového povrchu kociek.

Na povrch 5 535,36 – 1 845,12 = 3 690,24 cm2 bude nalepený ba-liaci papier.

Riešenie úlohy 3

Keďž e 5 074,08 cm2 > 3 690,24 cm2, viac baliaceho papiera potre-buje Zlatka na pyramídu z obrázka A.

Riešenie úlohy 4

Z celkového výpočtu vyplýva, že bude potrebovať o:5 074,08 – 3 690,24 = 1 383,84 cm2

baliaceho papiera menej na pyramídu na obrázku B.

Úloha 4O koľko viac alebo menej balia-ceho papiera potrebuje v prípade pyramídy z obrázka B?Pri počítaní, kde je potrebné za-okrúhľovať, zaokrúhľujte na dve desatinné miesta!

52

Geometria a meranie

7.3.13 Sedačky pre bábiky

Marienka oslavuje 8. narodeniny. Jurko by jej chcel pripraviť darček zo zápalkových škatúľ. Rozhodol sa, že spraví dve sedač-ky a stôl pre jej bábiky. Kúpil si štyri kartóny zápaliek. V kaž-dom kartóne je 10 škatuliek s rozmermi: a = 4,8 cm, b = 3,5 cm, c = 1,5 cm. Na postavenie stola potrebuje 15 škatuliek. Všetky os-tatné škatuľky chce použiť na prípravu sedačky. Obe sedačky sú rovnaké a chce, aby boli čo najdlhšie.

Riešenie úlohy 1

Jurko má 40 – 15 = 25 škatúľ, z ktorých môže spraviť sedačky. Po-trebuje dve sedačky, číslo 25 musíme deliť dvoma. 25 je nepárne číslo, takže jedna škatuľka mu zostane.

Riešenie úlohy 2

Na jednu sedačku použije (25 - 1) : 2 = 12 zápalkových škatúľ.

Riešenie úlohy 3

Aj operadlo, aj sedacia časť sú vytvorené z rovnakého počtu škatúľ, takže na sedaciu časť potrebuje 6 škatúľ. Celá sedačka je 6 . 4,8 = 28,8 cm dlhá. Jedna bábika obsadí na sedačke 7,35 cm2. Dôležité je však vedieť, akú dlhú časť sedačky obsadí. Jedna bábika potrebuje 7,35 : 3,5 = 2,1 cm dlhé miesto na sedačke. Na sedačku sa zmestí 28,8 : 2,1 = 13 (uvažujeme len s celou časťou, keďže po-lovica z bábiky nemôže byť). Na dve sedačky sa zmestí 26 bábik.

Riešenie úlohy 4

Jeden tučniak obsadí 11,2 cm2. Jeden tučniak potrebuje 11,2 : 3,5 = 3,2 cm miesta, takže 5 tučniakov potrebuje 5 . 3,2 = 16 cm. Keďže tučniaky sedia vedľa seba, tak musíme odpočítať miesto na jednej sedačke. Na sedačke ešte zostáva 28,8 – 16 = 12,8 cm miesta vedľa tučniakov. Vedľa nich sa zmestí 12,8 : 2,1 = 6 bábik. Na jed-nu sedačku sa zmestí o 13 – 6 = 7 bábik menej.

Zdroj: http://www.dekoshop.sk/

Úloha 1Zistite, či použije všetky škatuľky?

Úloha 2Koľko zápalkových škatuliek pou-žije na postavenie jednej sedačky, ak na operadlo a sedaciu časť po-trebuje rovnaký počet škatuliek?

Úloha 3Koľko bábik sa zmestí na sedač-ku, ak jedna bábika potrebuje 6,25 cm2 miesta?

Úloha 4O koľko menej bábik sa zmestí na sedačku, keď počítame aj s ro-dinkou Tučniakov, pri ktorých je-den tučniak potrebuje 12,25 cm2 miesta a rodina je 5-členná?

53


Kombinatorika, pravdepodobnosť, štatistika

Autorka problémov 7.4.1, 7.4.2, 7.4.10 a 7.4.11 PaedDr. Eva Uhri-nová, autorka problémov 7.4.3 a 7.4.9 doc. RNDr. Marta Vrábelo-vá, CSc., autorky problému 7.4.4 Mgr. Mária Kóšová, PaedDr. Eva Uhrinová, autor problémov 7.4.5 – 7.4.8 RNDr. Ľubomír Ryban-ský, autorka problémov 7.4.12 a 7.5.13 Mgr. Mária Kóšová.

54


7.4.1 Môj psík

Ak chceme bez problémov cestovať so svojím psíkom, mali by sme mu vybaviť pas EÚ pre domáce zviera, ktorý vystaví ktorýkoľvek veterinár. Nachádzajú sa v ňom údaje o platných očkovaniach proti besnote. Do konca roku 2011 vyžadujú Írsko, Malta, Švédsko a Spojené kráľovstvo aj dôkaz o tom, že očkovanie je účinné. Okrem toho sa pri vstupe do Írska, na Maltu a do Spojeného kráľovstva vyžaduje očkovanie proti kliešťom a pásomniciam. Táto požiadavka platí rovnako do konca roku 2011. Fínsko a Švédsko žiadajú iba očkovanie proti pásomniciam.

Riešenie úlohy 1

Švédsko – Írsko Fínsko – Írsko

Švédsko – Malta Fínsko – Malta

Švédsko – Spojené Kráľovstvo Fínsko – Spojené Kráľovstvo

Švédsko – FínskoAdelka má 6 možností výberu.

Riešenie úlohy 2 Írsko, Malta, Spojené kráľovstvo vyžadujú potvrdenie o očkovaní proti kliešťom, ktoré Adelke chýba, teda Adelka môže navštíviť len Švédsko a Fínsko. Priaznivá možnosť je len jedna. Počet nepriaznivých možností je 10. Adelka má teda šancu: 1 : 9, že bude mať všetky potrebné potvrdenia.

Metodické pokynyV oboch úlohách ide o kombinácie. Na poradí prvkov nezáleží (Írsko – Švédsko a Švédsko - Írsko je pre nás tá istá možnosť). Na tento fakt je dobré žiakov upozorňiť, aby neskôr vedeli rozlíšiť rozdiel medzi variáciami a kom-bináciami. Žiaci počítajú tento príklad vypísaním všetkých možností.

7.4.2 Buďme ekologický

Ekologická značka EÚ v tvare kvetu vám pomôže nájsť ekologické výrobky. Hľadajte ju na každodenných spotrebných tovaroch, od mydiel a šampónov až po obuv. Pomocou ekologickej značky môže-te nájsť hotel, penzión, mládežnícku ubytovňu alebo kemp, ktoré sa správajú šetrne k životnému prostrediu. Značka vám taktiež naznačí, či ubytovňa alebo kemp obmedzujú svoju spotrebu energie a vody, produkujú menej odpadu a využívajú obnoviteľné zdroje energie.Produkt Výrobca Pôvod

Asuil KROLLs.p.A. Taliansko

Ecological liquid soap GOLD DROP SP, Z O.O. Poľsko

Epicare clean Ecolab Europe GmbH Nemecko

Foam SOAP HAGLEITNER HYGIENE INT Rakúsko

Hair conditioner ALLEGRINI AMENITIES Taliansko

Krestopol Evonik Stockhausen Nemecko

Macrocream Ecolabel NETTUNO srl Taliansko

Úloha 1Adelka chce so svojím psíkom na-vštíviť dve zo spomínaných krajín. Koľko možností výberu Adelka má, ak chce navštíviť Švédsko ale-bo Fínsko?Odpoveď:

Úloha 2 Adelka v deň cesty zistila, že jej chýba pre svojho psíka potvrdenie o očkovaní proti kliešťom. Akú má Adelka šancu, že bude mať všetky potrebné potvrdenia do tých kra-jín, kde by cestovala, ak si z daných krajín vyberie dve náhodne?Odpoveď:

Tabuľka obsahuje informácie o niekoľkých produktoch ekologic-kých šampónov, ktoré sú dostupné aj v Slovenskej republike.

55


Riešenie úlohy 1

Riešenie úlohy 2

Z piatich prvkov môžeme vytvoriť 5 rôznych štvoríc. Keď vytvorí-me všetky možnosti usporiadania prvkov v jednej štvorici, dosta-neme 24 možností. Všetkých možností je 5 . 24 = 120.Použitím pravidla súčinu chceme vytvárať usporiadané štvorice. Na prvý kruhový výsek môžeme vybrať farbu 5 rôznymi spôsob-mi. Na druhý kruhový výsek môžeme vybrať farbu už len 4 spô-sobmi, pretože už jedna farba z piatich bude použitá na prvom kruhovom výseku. Na tretí kruhový výsek môžeme vybrať farbu už len tromi spôsobmi, pretože už dve farby z piatich budú použi-té v prvom a druhom kruhovom výseku. Na posedný štvrtý kru-hový výsek môžeme vybrať farbu už len dvoma spôsobmi, pretože už tri farby z piatich budú použité v prvom, druhom a treťom kru-hovom výseku. Teda počet všetkých možností je: 5 . 4 . 3 . 2 = 120.

Metodické pokynyPrvá úloha je zameraná na tvorbu kruhového diagramu. Spočítame počty produktov v jednotlivých štátoch. Taliansko – 3 produkty, Poľsko – 1 produkt, Nemecko – 2 produkty, Rakúsko – 1 produkt. Nakreslíme ľubovoľne veľkú kružnicu. Celá kružnica má 360O, do nej potrebuje-me znázorniť 7 rôznych produktov podľa krajín pôvodu. Jeden produkt bude predstavovať veľkosť kruhového výseku: 360O : 7 = 51,43O. Vypo-čítame veľkosti uhlov prislúchajúcich jednotlivým kruhovým výsekom. Taliansko bude znázornené kruhovým výsekom, ktorému prislú-cha veľkosť uhla 51,43 . 3 = 154,29O, Poľsko a Rakúsko: 51,43O, Rakúsko: 51,43 . 2 = 102,86O. Do nakreslenej kružnice nanesieme jednotlivé veľkosti kruhových výsekov uhlomerom, pričom začí-name nanášať od severne orientovanej úsečky od stredu kružnice (teda úsečky, ktorú znázorňujú ručičky na hodinkách, v čase 12:00).V prípade možnosti použitia programu Excel, odporúčame nakres-liť tento graf aj týmto spôsobom (Vložiť → graf → koláčový).V druhej úlohe vypísať všetkých 120 možností je zdĺhavé a neefektív-ne. Je preto vhodné, aby sme žiakom ukázali použitie pravidla súčinu.

Úloha 1Zostroj kruhový diagram zná-zorňujúci množstvo uvedených produktov podľa krajín pôvodu.

Úloha 2V kruhovom diagrame ste zná-zornili 4 rôzne výseky vyjadru-júce množstvo produktov podľa krajín ich pôvodu. Koľkými rôz-nymi možnosťami môžeme od seba odlíšiť tieto štyri výseky, ak budeme mať k dispozícii päť rôz-nych farieb.

56


7.4.3 Návšteva múzea

Matúš je na výlete so svojou triedou v Modrom Kameni, idú navštíviť múzeum hračiek. Matúš sa zdržal písaním SMS správ a jeho spolu-žiaci aj s pani učiteľkou dávno odišli, už ich nikde nevidí. Vie, ktorým smerom sa má vydať, ale na križovatkách si cestu vyberie náhodne. Smerové tabule si vôbec nevšíma. Cesty sú zobrazené na obrázku.

Riešenie

Na prvej križovatke si Matúš vyberie správnu cestu s pravdepodob-nosťou ½, na druhej križovatke si vyberie správnu cestu tiež s prav-depodobnosťou ½. Pretože sa Matúš dostane k múzeu vtedy, ak si na každej križovatke vyberie správnu cestu, pravdepodobnosti sa náso-bia. Teda, pravdepodobnosť, že sa Matúš dostane k múzeu je ¼.

Metodické pokynyPri riešení tejto úlohy sa už využíva nezávislosť náhodných javov. Hovo-ríme, že náhodné javy A a B sú nezávislé práve vtedy, ak pravdepodob-nosť ich súčasného nastania je rovná súčinu ich pravdepodobností, teda P(A ∩ B) = P(A) P(B). Ak označíme ako jav A: Na prvej križovatke pôjde Matúš vľavo, a ako jav B: Na druhej križovatke pôjde Matúš vľavo, tak sú tieto javy nezávislé, lebo na druhej križovatke sa Matúš rozhoduje tiež náhodne, teda nezávisle od toho, ako sa rozhodol na prvej križovatke.Túto situáciu možno jednoducho modelovať dvojnásobným hodom min-cou. Žiak hodí mincou, ak padne znak, Matúš ide vľavo, ak číslo, Matúš ide vpravo. Žiak hodí druhýkrát mincou a opäť, ak padne znak, Matúš ide vľavo, ak číslo, Matúš ide vpravo. Matúš sa dostane do múzea, ak padne (znak, znak). Keď každý žiak hodí dvakrát mincou, zapíše si výsledok a toto zopakuje 10 krát, potom po sumarizácii výsledkov všetkých žiakov máme dostatočne simulácií k tomu, aby sme pravdepodobnosť toho, že sa Matúš dostane k múzeu odhadli relatívnou početnosťou výsledku (znak, znak). Ak nechcete ešte používať pravidlo o súčine pravdepodobností, pravdepo-dobnosť len odhadnite touto relatívnou početnosťou. Ak nechcete používať slovo pravdepodobnosť, tak ho zameňte za slovo šanca a v úlohe 3 šancu len odhadnite pomocou simulácie dvojnásobným hodom mincou počtom výsledkov (znak, znak) k počtu všetkých ostatných výsledkov. Táto, na prvý pohľad ľahká úloha, môže viesť k nesprávnemu výpočtu. Napríklad: 1. Žiak spočíta všetky cesty, ktorými sa Matúš môže vydať, sú to tri cesty a

jedna z nich je správna. Teda pravdepodobnosť je 1/3 resp. šanca 1 : 2. 2. Pri simulácii si môžeme povedať, že keď prvýkrát padne číslo,

tak druhýkrát mincou už hádzať nebudeme, možné výsledky sú (znak, znak), (znak, číslo), (číslo).

Takéto problémy sú známe aj z histórie pravdepodobnosti a štatistiky. Nesprávnosť výpočtu spočíva v tom, že všetky cesty nemajú rovnakú šancu, že si ich Matúš vyberie, resp. výsledky v 2 nie sú rovnako prav-depodobné. Nemôžeme použiť klasickú pravdepodobnosť ako podiel počtu priaznivých výsledkov k počtu všetkých možných!

Úloha 1Aká je pravdepodobnosť, že Ma-túš odbočí správne na prvej kri-žovatke? Odpoveď: Pravdepodobnosť, že Matúš odbočí správne na prvej križovatke je ..............

Úloha 2Aká je pravdepodobnosť, že Ma-túš odbočí správne na druhej križovatke? Odpoveď: Pravdepodobnosť, že Matúš odbočí správne na druhej križovatke je ..............

Úloha 3Aká je pravdepodobnosť, že sa Matúš dostane k múzeu? Výpočet:Odpoveď: Pravdepodobnosť, že sa Matúš dostane k múzeu je ......

57


7.4.4 Cestovanie vlakom

Janko cestuje cez prázdniny k svojej krstnej mame. Táto býva v Poprade. Rozhodol sa cestovať vlakom, avšak zabudol si kúpiť miestenku. Vo vlaku, ktorým cestoval bolo v každom kupé osem miest. Janko si pri nastupovaní vybral kupé, v ktorom zatiaľ nikto nesedí, ale tri miesta sú rezervované. Zdroj: http://www.slovakrail.sk/sk/verzia-pre--tlac/vyhradenie-miesta-vo-vlaku

Riešenie úlohy 1

Je päť miest v kupé, ktoré nie sú rezervované. Tieto predstavu-jú počet „priaznivých“ možností výberu sedadla. Tri sedadlá sú rezervované. Tieto predstavujú počet „nepriaznivých“ možností výberu sedadla. Počet všetkých možností výberu sedadla je 8.Odpoveď: Šanca, že Janko neobsadí žiadne rezervované miesto je 5 : 3. Pravdepodobnosť, že Janko v tomto kupé neobsadí žiadne rezervované miesto je = 0,625 = 62,5 %.

Riešenie úlohy 2

Sú tri miesta v kupé, ktoré sú rezervované. Tieto predstavujú po-čet „priaznivých“ možností výberu sedadla. Počet všetkých mož-ností výberu sedadla je 8.Odpoveď: Pravdepodobnosť, že Janko v tomto kupé niekomu ob-sadí rezervované miesto je = 0,375 = 37,5 %.

Riešenie úlohy 3

Pravdepodobnosť, že Janko nikomu neobsadí miesto je . Pravde-podobnosť, že Janko niekomu obsadí miesto je . Rovnaké by boli, ak by v oboch zlomkoch bol rovnaký čitateľ, teda rovnaký počet rezervovaných a nerezervovaných miest.Odpoveď: Pravdepodobnosť, že Janko nikomu neobsadí miesto je väčšia ako pravdepodobnosť, že Janko niekomu miesto obsadí. Museli by byť rezervované štyri miesta.

Riešenie úlohy 4

+ = 8 . = 1

Metodické pokynyÚloha 1 je zameraná na uvedomenie si rozdielu medzi pojmami šanca a pravdepodobnosť. Úloha 2 a úloha 3 na precvičenie výpočtu pravde-podobnosti. Pri riešení úlohy 4 učiteľ upriamuje pozornosť žiakov na fakt, že musí nastať práve jedna (nikdy nie obe súčasne) zo situácií:• Janko niekomu obsadí miesto• Janko nikomu neobsadí miestoTeda pravdepodobnosť, že nastane aspoň jedna z udalostí P(A ∪ Β) – Janko niekomu obsadí miesto alebo Janko nikomu neobsadí miesto) je rovná 1 = 100 %. Ak P(A ∩ Β) = 0, potom P(A ∪ Β) = P(Α) + P(Β) . Ak položíme, B = A‘, potom platí 1 = P(Α‘) + P(Α) Jav Α‘ nazývame opačným javom k javu A.

Zdroj: http://pictures.4ever.eu/transportation/trains/steam-train-160082

Úloha 1Aká je šanca, že v tomto kupé ne-obsadí miesto, ktoré má niekto rezervované? Aká je pravdepo-dobnosť, že neobsadí miesto, kto-ré má niekto iný rezervované?Odpoveď: Šanca, že Janko neob-sadí žiadne rezervované miesto je ............ . Pravdepodobnosť, že Janko v tomto kupé neobsadí žiadne rezervované miesto je .... .

Úloha 2Aká je pravdepodobnosť, že nao-pak v tomto kupé obsadí miesto, ktoré má niekto rezervované?Odpoveď: Pravdepodobnosť, že Janko v tomto kupé niekomu ob-sadí rezervované miesto je ........ .

Úloha 3Porovnajte pravdepodobnosť z úlohy 1 a úlohy 2. Ktorá je väč-šia? Koľko miest by muselo byť rezervovaných aby boli pravde-podobnosti rovnaké?Odpoveď: Pravdepodobnosť, že Janko nikomu neobsadí miesto je ...... (väčšia/menšia) ako prav-depodobnosť, že Janko niekomu miesto obsadí. Museli by byť re-zervované ...... miesta.

Úloha 4Sčítajte pravdepodobnosť z úlohy 1 a úlohy 2. Čo vyjadruje tento súčet?Odpoveď: Súčet pravdepodob-ností je .............. . Súčet vyjadruje pravdepodobnosť, že ................. .

58


Úloha 1Aká je pravdepodobnosť, že bude vysvietená „palička“ číslo (2) na ukazovateli jednotiek se-kúnd, ak sa na displej pozrieme v náhodne zvolenej chvíli?

Úloha 2V náhodne zvolenej chvíli sa po-zrieme na displej, ktorá palička bude s najväčšou pravdepodob-nosťou vysvietená?

Úloha 3 Ktorá z udalostí je pravdepo-dobnejšia: A – na ukazovateli jednotiek minút je číslo 1, B – na ukazovateli jednotiek sekúnd je číslo 1?

7.4.5 Digitálky

Na prvom obrázku sú digitálne hodinky. Na displeji týchto hodín je červenou farbou vyznačený ukazovateľ jednotiek sekúnd. Na dru-hom obrázku je detailný pohľad na farebné číslo (v tomto prípade čís-lo 9). Červenou farbou zvýraznené „paličky“ sú tie, ktoré na displeji vidíme, čierna palička sa na displeji nezobrazuje. Na treťom obrázku sú jednotlivé „paličky“ ukazovateľa jednotiek sekúnd očíslované.

Obrázok 1 Obrázok 2 Obrázok 3

Riešenie úlohy 1 Každé číslo (0 – 9) sa na ukazovateli jednotiek sekúnd vyskytuje rovna-ko dlho (jednu sekundu). Preto stačí uvažovať interval desiatich sekúnd. Najskôr zistíme, v prípade ktorých čísel je vysvietená palička (2). Palička (2) je vysvietená, ak je na ukazovateli jednotiek sekúnd jedno z čísel 0, 1, 2, 3, 4, 7, 8, 9, teda celkovo 8 sekúnd. Pravdepodobnosť, že palička (2) bude vysvietená pri pohľade na displej v náhodnom okamihu, je 8/10. Riešenie úlohy2V tabuľke sú uvedené časy vysvietenia jednotlivých paličiek v se-kundách počas intervalu dĺžky 10 sekúnd.

(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)

Čas vysvietenia v sekundách 8 8 9 7 4 6 7

Z tabuľky čítame, že palička, ktorá bude s najväčšou pravdepodobnos-ťou vysvietená, je palička (3) (s pravdepodobnosťou 9/10) a palička, ktorá bude vysvietená s najmenšou pravdepodobnosťou, je palička (5).

Riešenie úlohy 3Čísla na ukazovateli jednotiek minút sa menia pravidelne každých 10 minút, čiže každých 600 sekúnd. Z toho 60 sekúnd je na ukazovateli jednotiek minút vysvietené číslo 1. Preto pravdepodobnosť nastania udalosti A, že bude na ukazovateli jednotiek sekúnd vysvietené číslo 1, je 1/10. Čísla na ukazovateli jednotiek sekúnd sa menia pravidelne každých desať sekúnd. Takýchto zmien je počas 600 sekúnd presne 60, teda počas 600 sekúnd je číslo 1 na ukazovateli jednotiek sekúnd vysvietené presne 60 sekúnd a pravdepodobnosť nastania udalosti B je preto 1/10. Udalosti A a B sú rovnako pravdepodobné.

59


Riešenie úlohy 4 Vzhľadom na podmienku, že je vysvietená palička (2), je zrejmé, že ide o úlohu na podmienenú pravdepodobnosť. Túto však vie-me ľahko vyriešiť aj bez použitia vzťahu pre výpočet podmienenej pravdepodobnosti. Vieme, že je vysvietená palička (2), tá je vysvietená vždy vtedy, keď je na displeji jednotiek sekúnd jedno z čísel 0, 1, 2, 3, 4, 7, 8, 9, teda 8 sekúnd (to sú všetky možnosti). Z tohto počtu je však iba jedna priaznivá (keď je tam číslo 1). Pravdepodobnosť, že na displeji je číslo 1, ak je vysvietená palička (2), je 1/8.

Riešenie úlohy 5

a) Pravdepodobnosť nastania udalosti A (súčasne sú vysvietené paličky (3) a (5)) sa rovná 3/10, pretože obe paličky sú vysviete-né vtedy, keď je na displeji jedno z čísel 0, 6, 8.

b) Palička (3) je vysvietená v tých prípadoch, keď je na ukazovateli jednotiek sekúnd jedno z čísel 0, 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (spolu 9 prípa-dov, teda 9 sekúnd). Z týchto však palička (5) je vysvietená iba v prípadoch 0, 6, 8 (spolu 3 prípady, teda 3 sekundy). Preto pravde-podobnosť, že bude vysvietená (5), ak už je vysvietená (3), je 1/3.

c) Palička (5) je vysvietená v tých prípadoch, keď je na ukazovateli jednotiek sekúnd jedno z čísel 0, 2, 6, 8 (spolu 4 prípady, teda 4 sekundy). Z týchto však palička (3) je vysvietená iba v prípa-doch 0, 6, 8 (spolu 3 prípady, teda 3 sekundy). Preto pravdepo-dobnosť, že bude vysvietená (3), ak už je vysvietená (5), je 3/4.

Porovnaním pravdepodobností zisťujeme, že najpravdepodobnej-šia je udalosť C a najmenej pravdepodobná je udalosť A.

Metodické pokynyPri riešení úloh je potrebné si uvedomiť, že jednotlivým číslam na uka-zovateli sekúnd je priradená miera, ktorá predstavuje čas, po ktorý je možné číslicu na ukazovateli jednotiek sekúnd vidieť. Nakoľko každé-mu číslu prislúcha rovnaká miera, stačí uvažovať počet rôznych číslic (0 – 9). Úlohy 4 a 5 sú zamerané na podmienenú pravdepodobnosť. Tieto je možné veľmi ľahko vyriešiť bez použitia a znalosti vzťahu pre výpočet podmienenej pravdepodobnosti. Myslíme si, že ak sa žiaci budú postupne zoznamovať s týmto pojmom (podmienená pravde-podobnosť) „nenásilnou“ formou (bez vzorcov), je väčšia šanca, že vo vyšších ročníkoch, pri samotnom zavedení tohto pojmu, bude riešenie úloh na podmienenú pravdepodobnosť menej problematické.

Poznámka

Nech A, B sú udalosti, pričom P(B) > 0. Potom číslo

P(A/B) = P(A ∩ B)

P(B)

nazývame podmienená pravdepodobnosť udalosti A za podmienky, že nastala udalosť B.

Úloha 4V jednej chvíli zastavíme na ho-dinkách čas. Vidíme, že „palička“ (2) je vysvietená. Aká je pravde-podobnosť toho, že na ukazova-teli jednotiek sekúnd je číslo 1?

Úloha 5Ktorá z udalostí A, B a C je prav-depodobnejšia? A – budú vysvietené paličky (3)

a (5).B – ak je vysvietená palička (3),

tak bude vysvietená aj palička (5)

C – ak je vysvietená palička (5), tak bude vysvietená aj palička (3)

Vypočítajte pravdepodobnosti nastania týchto udalostí.

60


Riešenie úlohy 4 pomocou vzťahu pre výpočet podmienenej prav-

depodobnosti

Nech A je udalosť, že na ukazovateli jednotiek sekúnd je číslo 1 a B je udalosť, že je vysvietená palička (2). Potom počítame pravdepodobnosť P(A/B) nastania udalosti A za podmienky nastania udalosti B. Pravdepo-dobnosť P(A ∩ B) súčasného nastania udalostí A aj B sa rovná 1/10 (iba jednu sekundu je na displeji číslo 1 a súčasne je vysvietená palička (2)).

P(A/B) =P(A ∩ B)

P(B)

=

1108

10

=1

8

7.4.6 Kocky 1

Máme dve hracie kocky, steny prvej sú očíslované 1-2-3-4-5-6 (čísla vyjadrujú počet bodiek na stenách kocky) a steny druhej sú očíslované 1-2-3-5-6-7. Dvaja hráči si chcú zahrať kocky. V hre vyhrá ten, komu na kocke padne väčšie číslo (väčší počet bodiek).

Riešenie

Ak chceme v hre vyhrať, tak by sme si mali vybrať tú z kociek, ktorá vyhráva „častejšie“ (s väčšou pravdepodobnosťou). Vieme, že existuje 36 rôznych výsledkov hodu dvoma kockami. Namiesto zdĺhavého a často i neprehľadného vypisovania všetkých možnos-tí, si výsledky hodu dvoch kociek môžeme znázorniť pomocou tabuľky. Záhlavie tabuľky tvoria počty bodiek na stenách kociek. Znamienkom + sú označené tie prípady, keď padol väčší počet bodiek na kocke 1-2-3-5-6-7, znamienkom – tie prípady, keď pa-dol väčší počet bodiek na kocke 1-2-3-4-5-6 a prázdne bunky sú prípady, keď na oboch kockách padol rovnaký počet bodiek.

Vidíme, že v 13 prípadoch z 36 (počet - v tabuľke) padne na kocke 1-2-3-4-5-6 väčšie číslo, v 5 prípadoch sa na oboch kockách obja-via rovnaké hodnoty (prázdne bunky) a v 18 prípadoch (počet + v tabuľke) padne väčšie číslo na kocke 1-2-3-5-6-7. Z toho vyplý-va, že pravdepodobnosť padnutia väčšieho počtu bodiek na kocke 1-2-3-4-6-7 je 18/36 = 0,50 (50%), pravdepodobnosť padnutia väč-šieho počtu bodiek na kocke 1-2-3-4-5-6 je 13/36 = 0,361 (36,1%)

Úloha 1Prvý hráč má možnosť zvoliť si, s ktorou z kociek chce hrať. Ktorú z kociek by si mal vybrať, ak chce vyhrať?

Úloha 2Aká je pravdepodobnosť výhry hráča, ktorý má kocku očíslova-nú 1-2-3-5-6-7?

61


a pravdepodobnosť remízy je 5/36 = 0,139 (13,9%). Hráč, ktorý si vy-berie kocku 1-2-3-4-5-6-7 bude vyhrávať v priemere 1,38 (0,50/0,361) krát častejšie ako hráč, ktorý bude hrať s kockou 1-2-3-4-5-6.

7.4.7 Kocky 2

Tentoraz máme na výber z troch kociek (kocka I, kocka II, kocka III), ktorých počet bodiek na ich stenách je uvedený v tabuľke.

kocka I 1 4 4 4 4 4

kocka II 2 2 2 5 5 5

kocka III 3 3 3 3 3 5

Riešenie úlohy 1

Porovnanie kociek vykonáme spôsobom obdobným tomu v pred-chádzajúcej časti. Znamienkom + budeme označovať tie prípady, keď je väčší počet bodiek na kocke, ktorej počty bodiek na stenách sú znázornené vertikálne. Znamienkom – budeme označovať tie prípady, keď je väčší počet bodiek na kocke, ktorej počty bodiek na stenách sú znázornené horizontálne.

kocka I – kocka II kocka III – kocka II

Na prvom obrázku sú porovnané kocka I a kocka II. Z tabuľky ľahko vyčítame, že z 36 možných prípadov, je 15 (počet znamie-nok – v tabuľke) takých, že na kocke I je väčšie číslo. Preto prav-depodobnosť, že na kocke I padne väčšie číslo ako na kocke II je 15/36 = 0,416 (41,6%). Kocka II je „lepšia“ ako kocka I.

Na druhom obrázku sú porovnané kocka III a kocka II. Z 36 možných prípadov je 15 (počet znamienok +) takých, že na kocke II padne väčšie číslo. Pravdepodobnosť, že na kocke II padne väčšie číslo ako na kocke III, je 15/36 = 0,416 (41,6%). Kocka III je „lepšia“ ako kocka II.

Riešenie úlohy 2Zdá sa, že ak kocka II je „lepšia“ ako kocka I a kocka III je „lepšia“ ako kocka II, tak by z toho malo vyplývať, že kocka III je „lepšia“ ako koc-ka I. Jediný spôsobom ako to overiť, je porovnať kocku III a kocku I.

Úloha 1Porovnajte, ktorá z dvojice ko-ciek je „lepšia“: kocka I – kocka II, kocka II – kocka III.

Úloha 2Na základe výsledkov prechá-dzajúcej úlohy sa pokúste stano-viť, ktorá z dvojice kociek: kocka I – kocka III je lepšia a overte správnosť svojho tvrdenia.

Úloha 3Dvaja hráči si chcú zahrať kocky (kto hodí väčšie číslo, ten vyhrá). Každý si zvolí jednu z kociek (kocka I, kocka II, kocka III). Je výhodnejšie, zvoliť si kocku ako prvý?

62


kocka I – kocka III

Z tabuľky čítame, že z 36 možných prípadov je v 11 prípadoch (počet znamienok +) na kocke III väčšie číslo ako na kocke I. Pravdepodobnosť, že na kocke III padne väčšie číslo ako na kocke I, je 11/36 = 0,305 (30,5%). Kocka I je „lepšia“ ako kocka III!

Riešenie úlohy 3

Hráč, ktorý si zvolí kocku ako prvý, bude vždy v nevýhode, preto-že ak si zvolí kocku I, tak druhý hráč si zvolí kocku II (je lepšia), ak si prvý hráč zvolí kocku II, tak druhý hráč si zvolí kocku III (je lepšia) a nakoniec, ak si prvý hráč zvolí kocku III, tak druhý hráč si zvolí kocku I (je lepšia).

7.4.8 Kocky 3

Dvaja hráči si chcú zahrať kocky. K dispozícii majú dva páry ko-ciek. Prvý pár tvoria dve rovnako očíslované (počet bodiek na ich stenách) kocky 1-2-3-4-5-6. Druhý pár tvoria dve rôzne očíslova-né kocky: 1-2-2-3-3-4 a 1-3-4-5-6-8.Každý z hráčov si vyberie jeden z párov. Hru vyhrá ten hráč, ktorý dosiahne so svojimi kockami väčší súčet.

Riešenie úlohy

Pri hode dvoch kociek môže byť dosiahnutý súčet ľubovoľné celé číslo od 2 do 12. Aby sme dokázali zistiť, ktorá dvojica kociek je „lepšia“, potrebujeme určiť, koľkými spôsobmi je možné jednotli-vé súčty dosiahnuť.Na prvom obrázku sú všetky možné výsledky hodu dvoch kociek s očíslovaním 1-2-3-4-5-6 , 1-2-3-4-5-6. Čísla v tabuľke predstavujú dosiahnutý súčet (súčet bodiek). Na druhom obrázku sú všetky možné výsledky hodu dvoch kociek s očíslovaním 1-2-2-3-3-4, 1-3-4-5-6-8.

ÚlohaKtorá dvojica kociek poskytuje hráčovi väčšiu šancu vyhrať?

63


To, ktorá z dvojice kociek je „lepšia“, posúdime na základe toho, koľkými spôsobmi je možné dosiahnuť jednotlivé súčty. V tabuľke sú zhrnuté výsledky z oboch obrázkov. Kocky označené ako „klasic-ké“, sú kocky s očíslovaním 1-2-3-4-5-6, 1-2-3-4-5-6 a kocky ozna-čené ako „nové“, sú kocky s očíslovaním 1-2-2-3-3-4, 1-3-4-5-6-8.

súčet 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

počet spôsobov - "klasické" 1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1

počet spôsobov - "nové" 1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1

Z tabuľky čítame, že všetky možné súčty (od 2 do 12) sa dajú obo-ma pármi kociek dosiahnuť rovnakým počtom spôsobov. Z toho vyplýva, že oba páry kociek sú rovnako dobré.

Metodické pokynyHlavným cieľom série úloh kocky 1 je ukázať žiakom, ako efektívne pristupovať k riešeniu úlohy. V tomto prípade je to zostavenie tabuľ-ky možných výsledkov, z ktorej pri vhodnom značení (+, -, prázdne bunky), je veľmi jednoduché vyčítať potrebné informácie.V sérii úloh kocky 2 je zostavenie si tabuľky vhodné aj z toho dôvodu, že odpadá často náročné zdôvodňovanie toho, prečo napríklad pri porov-naní kocky I a kocky II možnosť 2 – 4 (dve bodky na kocke I a 4 bodky na kocke II), ktorá nastáva 15 krát, sa započíta 15 krát a nie ako iba jedna možnosť. Séria úloh kocky 2 zároveň poukazuje na netranzitív-nosť (kocka II je lepšia ako kocka I, kocka III je lepšia ako kocka II, ale kocka I je lepšia ako kocka III), čo je do značnej miery prekvapujúce a takéto zistenie môže žiakov motivovať k ďalšiemu skúmaniu.Úloha kocky 3 je ďalším príkladom nielen prekvapujúceho zistenia, ale i ukážkou toho, aké užitočné môže byť vhodné vypísanie si všet-kých prípadov, ktoré môžu nastať.

Poznámka

Dvojica kociek očíslovaných 1-2-2-3-3-4, 1-3-4-5-6-8 sa nazýva Sichermanove kocky. V roku 1978 George Sicherman našiel také očíslovanie dvoch šesťstenných kociek, že jednotlivé súčty bodiek (od 2 do 12) nastávajú s rovnakou pravdepodobnosťou, ako v prípa-de dvoch klasicky očíslovaných šesťstenných kociek (1-2-3-4-5-6). Žiadne iné očíslovanie dvoch šesťstenných kociek nespĺňa podmien-ku, že jednotlivé súčty (od 2 do 12) nastávajú s rovnakou pravdepo-dobnosťou, ako s „klasicky“ očíslovanými kockami.

64


7.4.9 Akcia na predaj skríň

Predajne Ikea predávajú 3-dverovú skri-ňu PAX za 230 €. Pripravujú akciu na predaj týchto skríň. Zákazník, ktorý ku-puje skriňu zatočí ruletkou (na obrázku), ktorá má 12 priehradiek. Jedna priehrad-ka je označená červenou farbou, dve priehradky sú označené modrou farbou a ostatné priehradky sú označené bielou farbou. Ak guľka po zatočení ruletky

skončí v priehradke označenej červenou farbou, tak zákazník má skri-ňu zadarmo. Ak guľka skončí v priehradke označenej modrou farbou, zákazník zaplatí polovicu ceny skrine. Guľka v priehradke označenej bielou farbou znamená, že zákazník zľavu nemá.

Riešenie úlohy 1

Najprv vypočítame asi koľko zákazníkov napr. z 480 (alebo n) zákaz-níkov bude mať skriňu zadarmo, asi koľko z nich zaplatí polovicu ceny skrine a asi koľko z nich zaplatí celú cenu. Uvažujeme takto: Pretože 480 (n) je dosť veľké číslo, relatívna početnosť zákazníkov, ktorí budú mať skriňu zadarmo je približne rovná pravdepodobnosti, že jeden zákazník bude mať skriňu zadarmo, čo je 1/12 (s pravdepodobnosťou 1/12 guľka skončí v priehradke označenej červenou farbou). Teda, ak k je počet zákazníkov, ktorí budú mať skriňu zadarmo, tak

k

480=

1

12

k

n=

1

12

Z toho dostaneme k = (1/12)* 480 = 40 (k = n/12). Relatívna početnosť zákazníkov, ktorí zaplatia polovicu ceny je približne rovná pravdepodobnosti, že guľka skončí v priehradke označenej modrou farbou a tá je rovná 2/12. Počet zákazníkov, ktorí zaplatia polovicu ceny je 2/12*480 = 80 (2/12*n).Zvyšní zákazníci, ktorých je (9/12)*480 = 360 ((9/12)*n), zaplatia celú cenu.Ďalej vypočítame, koľko zákazníci zaplatia spolu za 480 (n) skríň. 40 (n/12) zákazníkov zaplatí ....... 40 . 0 = 0 euro,80 ((2/12)* n) zákazníkov zaplatí ...... 80 . 230/2 = 9 200 ((2/12)* n*230/2) euro,360 ((9/12)* n) zákazníkov zaplatí ... 360 . 230 = 82 800 ((9/12)* n*230) euro.Spolu za 480 skríň zaplatia 0 + 9 200 + 82 800 = 92 000 € čo (čo je celková tržba za 480 skríň) (0 + (2/12)* n*230/2 + 9/12)* n*230 = 10/12*230*n).Nakoniec vypočítame priemernú tržbu pripadajúcu na jednu skriňu:92 000 : 480 = 191,667 (2 300/12*n/n = 191,667) €.Odpoveď: Na jednu skriňu pripadla priemerná tržba asi 191,667 €.

Zdroj: http://www.ikea.com/sk

Úloha 1Predpokladajme, že s využitím akcie sa predá veľmi veľa skríň. Akú priemernú tržbu pripadajú-cu na jednu skriňu získajú pre-dajne Ikea?Výpočet:Odpoveď: Priemerná tržba pripa-dajúca na jednu skriňu je ......... €.

Úloha 2V rámci tejto akcie by Ikea chce-la predávať aj inú skriňu typu PAX. Akú predajnú cenu tejto skrine má Ikea stanoviť, aby bola priemerná tržba pripadajúca na jednu túto skriňu 300 €?Výpočet:Odpoveď: Cena tejto skrine by mala byť ...................... €.

65


Riešenie úlohy 2

Pri riešení úlohy 2 postupujeme rovnako ako v riešení úlohy 1, len namiesto ceny 230 napíšeme x. Ak si n zákazníkov kúpi túto skriňu, zaplatia spolu 0 + (2/12)* n*x/2 + 9/12)* n*x = 10/12*x*n.Pre priemernú tržbu má platiť (10/12*x*n ) / n = 300 euro. Z toho x = 300*12/10 = 360 euro.Odpoveď: Cena za jednu skriňu by mala byť 360 euro.

Metodické pokynyÚlohy problému Akcia na predaj skríň priamo nadväzujú na úlohy problému Jeden z piatich to má zadarmo. Treba ich riešiť až po prerie-šení úloh problému 7.4.9. Teraz sa v úlohe 1 vlastne počíta stredná hod-nota tržby – náhodnej premennej, ktorá má rozdelenie dané tabuľkou

xi 0 115 230

pi 1/12 2/12 9/12

EX = 0*1/12 + 115*2/12 + 230*9/12 = 191,667.V úlohe 2: EX = 0*1/12 + x/2*2/12 + x*9/12 = 300, z toho x = 360.

7.4.10 Kolotoč

Na hru Kolotoč potrebujeme tri kartičky s číslami 1, 2, 3 pre kaž-dého hráča. Hru hrajú dvaja hráči (hráč A a hráč B), ktorí naraz ukážu jednu z kartičiek podľa vlastného výberu. Hráč A získa bod, ak hráč B ukáže číslo, ktoré v diagrame nasle-duje za číslom hráča A. Hráč B získa bod, ak ukáže číslo, ktoré v diagrame nenasleduje za číslom hráča A. Ak hráči ukážu kartičky s rovnakými číslami, nezíska bod nikto, je remíza.

Riešenie úlohy 1

Hráči Body

Hráč A / / / / / /

Hráč B / / / /

Úloha 1 Zahrajte sa so svojim spolužia-kom hru 10 krát a zapisujte vý-sledky bodov. Výsledky bodov za-kreslite do stĺpcového diagramu.

Hráči Body

Hráč A

Hráč B

Stĺpcový diagram:

66


Úloha 2 Zistite výsledky bodov všetkých hráčov v triede a zistené výsled-ky znázornite do stĺpcového dia-gramu.

Hráči Súčet bodov

Hráč A

Hráč B

Stĺpcový diagram:

Úloha 3Vytvorte stromový diagram na ur-čenie možných výsledkov pri hre Kolotoč.Stĺpcový diagram:

Úloha 4Koľko možných výsledkov má jedna hra? ......................Aká je pravdepodobnosť, že vy-hrá prvý hráč v každom kole? .......Ktorým hráčom by si chcel byť? Svoju odpoveď zdôvodni: ...........

Riešenie úlohy 2Hráči 1 : 75 bodov, Hráči 2 : 75 bodov

Riešenie úlohy 3

R – remíza A – výhra prvého hráča B – výhra druhého hráča

Riešenie úlohy 4Jedna hra má 9 možných výsledkov. Pravdepodobnosť, že vyhrá prvý hráč je 3/9 = 1/3. Je jedno, ktorým hráčom budeme, pretože hra prináša tri priaznivé výsledky pre hráča A aj pre hráča B. Prav-depodobnosť výhry hráča A aj hráča B je rovnaká.

Metodické pokynyTáto hra sa zameriava na prácu so zistenými údajmi (zapisovanie a zná-zorňovanie zistených údajov). Pri vytváraní možných dvojíc v úlohe 3, pri tvorbe stromového diagramu, poukážeme na to, že záleží na poradí prvkov (kartičiek). Ide tu o variácie dvoch prvkov z troch prvkov s opako-vaním (V‘(k, n) = 32 = 9). Je vhodné jednotlivé možnosti pri kreslení stro-mového diagramu farebne odlišovať. Pri úvahách o tom, ktorým hráčom chceme byť, berte do úvahy pravdepodobnosť výhry pre jednotlivých hrá-čov. Zároveň tieto výsledky porovnajte zo zisteniami v úlohe 1 a úlohe 2.Zároveň sa môžeme žiakov spýtať, či je táto hra podľa nich spravodlivá.V úlohe 1, kde sa žiaci zahrali hru len 10 krát, sa nedá povedať, či je hra spravodlivá. Ide o realizovanie veľmi málo pokusov. V ideálnom prípade totiž očakávame, že ak je hra spravodlivá, mal by byť počet výhier pre hráča A a aj hráča B približne rovnaký. Toto nám však nevyjde pri realizácii málo pokusov.V úlohe 2, kde zhrnieme výsledky za celú triedu, si môžeme všim-núť, že výška stĺpcov pre oboch hráčov je približne rovnako veľká, teda hráč A a hráč B vyhrávajú približne rovnako často. Evident-nejšie by sme o spravodlivosti mohli rozhodnúť, keď si hru zahráme veľmi veľa krát, napríklad 1 000 krát.

67


Úloha 1Hráči hádžu jednou kockou. V hodoch sa striedajú. Jedna hra pozostáva z jedného hodu koc-kou. Ak na kocke padnú čísla 1, 2, 5, 6 získava jeden bod Jednák, ak 3, 4 získava dva body Dvoják. Tu sú výsledky 100 hodov kocky:5526213356; 2433514156; 2415624353; 6342346151; 3516425163; 4513661546; 2352342454; 4125163264; 5641623162; 63115243642.Porovnajte priemerný počet zís-kaných bodov pripadajúcich na jednu hru pre každého hráča.

Výpočet:

Padnuté číslo

Početnosť (početpadnutých čísel)

1

2

3

4

5

6

Počet získaných bodov Jednáka: ....Počet získaných bodov Dvojáka: ....Priemerný počet získaných bo-dov pripadajúcich na jednu hru pre Jednáka: ..................................Priemerný počet získaných bo-dov pripadajúcich na jednu hru pre Dvojáka: ..................................Porovnanie: ...................................Ktorým hráčom by si chcel byť? Svoju odpoveď zdôvodni: ...........

Úloha 2Hráči hádžu dvoma kockami na-raz. Padnuté počty bodiek sčitujú. V hodoch sa striedajú. Jedna hra pozostáva z jedného hodu dvoma kockami. Ak vzniknú súčty 2, 3, 4, 5, 9, 10, 11, 12, získava jeden bod Jednák.

7.4.11 Spravodlivá hra

Dvaja hráči, Jednák a Dvoják, hrajú hry s kockami. Jednák získava za každú výhru v hode jeden bod a Dvoják dva body. Na začiatku každej hry sa dohodnú na pra-vidlách hry a po odohratí niekoľkých par-tií body sčítajú a vyhrá ten, čo získa naj-viac bodov. Zdroj: http://zaujimavosti.info/archives/161

Riešenie úlohy 1Padnuté číslo

Početnosť (početpadnutých čísel)

1 16

2 16

3 17

4 17

5 17

6 17

Počet získaných bodov Jednáka: (16 + 16 + 17 + 17) . 1 = 66 bodovPočet získaných bodov Dvojáka: (17 + 17) . 2 = 68 bodovPriemerný počet získaných bodov pripadajúcich na jednu hru pre Jednáka: 66/100 = 0,66 = 0,7Priemerný počet získaných bodov pripadajúcich na jednu hru pre Dvojáka: 68/100 = 0,68 = 0,7Porovnanie: Priemerný počet získaných bodov pripadajúcich na jednu hru pre Jednáka i Dvojáka je približne rovnaký , teda 0,7.Je jedno ktorého hráča si zvolíme. Priemerný počet získaných bodov pripadajúci na jednu hru pre oboch hráčov je približne rovnaký – 0,7

Riešenie úlohy 2Padnuté súčty Početnosť

2 1

3 5

4 6

5 8

6 16

7 19

8 16

9 12

10 7

11 4

12 6

Počet získaných bodov Jednáka: (1 + 5 + 6 + 8 + 12 + 7 + 4 + 6) . 1 = 49 bodov.Počet získaných bodov Dvojáka: (16 + 19 + 16) . 2 = 102 bodov.

68


Ak padnú súčty 6, 7, 8, získava dva body Dvoják. Tu sú výsledky hodov dvoch kociek:6-5, 6-1, 6-1, 1-2, 1-5, 3-1, 5-1, 4-1, 2-3, 5-4, 4-6, 6-2, 1-5, 6-6, 2-6, 6-6, 2-3, 3-6, 5-6, 5-2, 4-1, 4-5, 1-2, 2-1, 6-6, 3-3, 5-2, 4-4, 1-5, 1-6, 4-6, 3-6, 4-3, 2-4, 4-4, 1-1, 6-3, 3-4, 6-3, 3-4, 1-5, 5-4, 4-1, 6-4, 3-5, 6-5, 2-2, 4-1, 4-2, 3-3, 1-2, 6-6, 2-5, 2-5, 6-4, 5-2, 5-1, 3-6, 2-5, 4-5, 4-4, 2-5, 5-5, 6-4, 6-6, 3-4, 3-1, 6-1, 2-5, 6-6, 6-2, 2-1, 4-4, 5-3, 3-2, 3-3, 5-4, 6-2, 4-6, 5-4, 6-3, 4-2, 2-6, 5-1, 6-5, 1-3, 2-5, 3-1, 6-2, 2-6, 1-3, 5-2, 3-2, 2-5, 3-3, 3-3, 4-4, 3-3, 5-3, 3-5Porovnajte priemerný počet zís-kaných bodov pripadajúcich na jednu hru pre každého hráča.Výpočet:

Padnuté súčty Početnosť

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

Počet získaných bodov Jednáka: ....Počet získaných bodov Dvojáka: ....Priemerný počet získaných bo-dov pripadajúcich na jednu hru pre Jednáka: .................................Priemerný počet získaných bo-dov pripadajúcich na jednu hru pre Dvojáka: ..................................Porovnanie: ...................................Ktorým hráčom by si chcel byť? Svoju odpoveď zdôvodni: ............

Priemerný počet získaných bodov pripadajúcich na jednu hru pre Jednáka: 49/100 = 0,49.Priemerný počet získaných bodov pripadajúcich na jednu hru pre Dvojáka: 102/100 = 1,02.Porovnanie: Priemerný počet získaných bodov pripadajúcich na jednu hru je u Dvojáka o 0,53 bodu väčší.Pre túto hru je dobré byť Dvojákom, pretože v priemere získa za jednu hru 1,02 bodov a Jednák len 0,49.

Metodické pokynyV tejto hre nám ide o propedeutiku strednej hodnoty. Žiakom sme ponúkli výsledky hodov kociek, ale môžu si hru zahrať a spracovať vlastné výsledky hodov. Žiaci hádzaním kociek a ná-sledne výpočtom priemeru bodov pripadajúceho na jednu hru, od-hadujú strednú hodnotu náhodnej premennej X, ktorá predstavuje počet získaných bodov. Ak chceme so žiakmi získať presný odhad strednej hodnoty, musia sa hru zahrať veľa krát.Bez hádzania by sme mohli postupovať nasledovne:Náhodná premenná X predstavuje počet získaných bodov pri jednej hre.Jednák môže získať 0 bodov (s pravdepodobnosťou 2/6) alebo 1 bod (s pravdepodobnosťou 4/6) pri jednom hode.Náhodná premenná X môže nadobúdať hodnoty 0 a 1. E(X) = 0.2/6 + 1.4/6 = 4/6 = 2/3 Dvoják môže získať 0 bodov (s pravdepodobnosťou 4/6) alebo 2 body (s pravdepodobnosťou 2/6) pri jednom hode. E(X) = 0.4/6 + 2.2/6 = 2/3Jednák aj Dvoják získajú v priemere rovnako veľa bodov v jednej hre, teda je jedno, ktorým hráčom by sme boli. Táto hra je spravodlivá.V úlohe 2 postupujeme podobne. Nápomocný pri výpočte vám môže byť nasledujúci obrázok.

5 + 2

4 + 2 4 + 3 4 + 4

3 + 2 3 + 3 3 + 4 3 + 5 3 + 6

2 + 2 2 + 3 2 + 4 2 + 5 2 + 6 5 + 5 5 + 6

2 + 1 3 + 1 4 + 1 5 + 1 6 + 1 6 + 2 6 + 3 6 + 4 6 + 5

1 + 2 1 + 3 1 + 4 1 + 5 1 + 6 2 + 6 3 + 6 4 + 6 4 + 6 5 + 6 6 + 6

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Jednák môže získať 0 bodov (ak padnú súčty 6, 7, 8, čo môže získať s pravdepodobnosťou P = (5 + 6 + 5)/36 = 16/36 = 4/9 = 0,44 ), alebo 1 bod (ak padnú súčty 2, 3, 4, 5, 9, 10, 11, 12, čo môže získať s pravde-podobnosťou P = (36 - 16)/36 = 20/36 = 5/9 = 0,56) pri jednom hode. Strednou hodnotou bodov Jednáka je E(X) = 0 . 4/9 + 1 . 5/9 = 5/9.Dvoják môže získať 0 bodov (ak padnú súčty 2, 3, 4, 5, 9, 10, 11, 12, s pravdepodobnosťou P = 20/36 = 5/9) alebo 2 body (ak padnú súčty 6, 7, 8, s pravdepodobnosťou P= 16/36 = 4/9) pri jednom hode.Strednou hodnotou bodov Dvojáka je E(X) = 0 . 5/9 + 2 . 4/9 = 8/9. Táto hra nie je spravodlivá, pretože stredná hodnota bodov Dvojáka je väčšia.

69


7.4.12 Internet

Aj napriek niekoľkým upozorneniam otca, trávi Peter stále skoro celý čas len pri počítači a na internete. Jeho otec sa preto rozhodol pre rázny krok, použiť heslá. Otec jedným 3-miestnym číselným heslom zahesloval počítač a ďalším 4-miestnym číselným heslom prístup na internet. Peťo pri rozhovore rodičov počul, že otec nepoužil rovnaké číslice a pri zadávaní prvého hesla použil iba číslice 0, 1, 2, 3. Rozho-dol sa, že sa aj tak dostane na internet a teda obe heslá odhalí.

Riešenie úlohy 1

Peťo vie, že kód je 3-miestny a otec pri jeho vytváraní použil iba číslice 0, 1, 2, 3, každú najviac raz. Postupujme nasledovne:• Ako prvú číslicu použije Peťo nulu, k nej potom môže postupne

pridávať ostatné číslice

V hesle je prvá nula, k nej možno dať na druhé miesto tri rôzne číslice a ku každej z nich možno dať dve číslice.

Ak si teda vezmeme, že nula je pevne na prvom mieste, koľko je možností?

K číslici 1 môžem dať dve ďalšie číslice, k číslici 2 tiež dve a rov-nako k číslici 3. Teda dve číslice s jednotkou, dve číslice s dvoj-kou a dve číslice s trojkou. To znamená, že počet možností, ak je nula pevne na prvom mieste je rovný: 3 . 2 = 6.

• Ako prvú číslicu použije Peťo jednotku, k nej potom môže po-stupne pridávať ostatné číslic

V hesle je prvá jednotka, k nej možno dať na druhé miesto tri rôzne číslice a ku každej z nich možno dať dve číslice.

Ak si teda vezmeme, že jednotka je pevne na prvom mieste, koľko je možností?

K číslici 0 môžem dať dve ďalšie číslice, k číslici 2 tiež dve a rov-nako k číslici 3. Teda dve číslice s nulou, dve číslice s dvojkou a dve číslice s trojkou. To znamená, že počet možností, ak je jednotka pevne na prvom mieste je rovný: 3 . 2 = 6.

• Ako prvú použije Peťo dvojku. Nastane úplne rovnaká situácia ako s nulou a jednotkou. Teda počet možností, ak je dvojka pevne na prvom mieste je rovný: 3 . 2 = 6.

• Ako prvú použije trojku. Počet možností, ak je trojka pevne na prvom mieste je rovný: 3 . 2 = 6

Úloha 1 Koľko je všetkých možných rôz-nych hesiel, ktorými mohol otec-ko zaheslovať počítač?Výpočet:Odpoveď: Počet všetkých mož-ných rôznych hesiel pre zaheslo-vanie počítača je .................... .

Úloha 2Koľko je všetkých možných rôz-nych hesiel, ktorými mohol otec-ko zaheslovať prístup na internet? (Riešte bez vypisovania možností.)Výpočet:Odpoveď: Počet všetkých mož-ných rôznych hesiel pre zaheslo-vanie prístupu na internet je ..... .

Úloha 3 Koľko možností musí Peťo vyskú-šať, aby sa určite dostal až na in-ternet? (Najskôr musí zistiť prvé heslo a po ňom druhé heslo.) Výpočet:Odpoveď: Peťo musí vyskúšať ..... rôznych možností.

70


Úloha 4 Ak by jeho otec vytvoril heslá tak, že musí obe zadať naraz a iba ak budú obe správne, získa prístup na internet. Zmení sa počet mož-ností, ktoré musí Peťo vyskúšať? Ak áno, koľko by ich bolo?Výpočet:Odpoveď: Peťo by musel vyskú-šať .................. rôznych možností.

Úloha 5Najviac koľko miestne heslo by otecko mohol použiť na zaheslo-vanie prístupu na internet tak, aby Peťo stihol vyskúšať všetky mož-nosti pokiaľ budú jeho rodičia ešte v práci (domov prídu o 2,5 h), ak mu vyskúšanie jedného hesla trvá približne 5 sekúnd? Výpočet:Odpoveď: Heslo by mohlo byť najviac ..................... miestne.

Úloha 6Koľko miestne heslo by muselo byť použité na zabezpečenie ne-jakej veľmi vzácnej veci tak, aby ho dvadsaťročný zlodej nestihol do konca svojho života odhaliť? (čas potrebný na zadanie jed-ného hesla je 5 sekúnd, zlodej skúša postupne všetky možnos-ti pričom nepracuje, do úvahy vezmite aj nevyhnutné životné potreby človeka).

Celkovo: 0 prvá – 6 možností 1 prvá – 6 možností 2 prvá – 6 možností 3 prvá – 6 možnostíTeda dokopy je to 6 + 6 + 6 + 6 = 4 . 6 = 24 možností.Odpoveď: Počet všetkých možných rôznych hesiel pre zaheslova-nie počítača je 24.

Riešenie úlohy 2Otecko zahesloval prístup na internet 4-miestnym heslom, v ktorom už mohol použiť všetky číslice 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, každú najviac raz.Podľa vzoru riešenia v predchádzajúcej úlohe, uvažujme takto:Na prvé miesto by sme mohli dať 0, 1, 2, 3, ...., teda všetkých 10 číslic. To znamená, že budeme mať 10 . niečo = ...Majme na prvom mieste už nejakú číslicu, na druhé miesto (po-dobne ako sme predtým dávali číslice k 0, 1, ...) k nej môžeme dať deväť číslic (lebo jedna je už na prvom mieste). Na tretie miesto môžeme potom dať osem číslic (lebo jedna je pr-vom, jedna na druhom mieste).No a nakoniec na štvrté miesto môžeme dať sedem rôznych číslic.Celkovo pre počet všetkých možností platí: 10 . 9 . 8 . 7 = 5 040Odpoveď: Počet všetkých možných rôznych hesiel pre zaheslova-nie prístupu na internet je 5 040.

Riešenie úlohy 3Aby Peťo rozlúštil prvé heslo musí vyskúšať 24 hesiel. Pre rozlúštenie druhého musí vyskúšať 5 040 hesiel. Peťo musí najskôr zadať prvé heslo a až keď ho rozlúšti, začať skúšať druhé. To znamená, že skúsi 24 hesiel a po nich 5 040 hesiel. Teda na internet sa určite dostane keď vyskúša všetkých (podľa pravidla súčtu) 24 + 5 040 = 5 064 hesiel.Odpoveď: Peťo musí vyskúšať 5 064 rôznych možností.

Riešenie úlohy 4Pre rozlúštenie prvého hesla musí Peter vyskúšať 24 hesiel. Pre rozlúšte-nie druhého musí vyskúšať 5 040 hesiel. V predchádzajúcej úlohe najskôr rozlúštil prvé a potom druhé. Teraz však musí obe zadávať naraz. Ak zadá prvé heslo, musí k nemu vyskúšať všetkých 5 040 možností pre druhé heslo. Zadá ďalšie možné prvé heslo a k nemu musí znova vyskúšať všet-ky možnosti pre druhé heslo. Teda celkovo 5 040 možností, ak zadá prvú možnosť prvého hesla, 5 040 možností, ak zadá druhú možnosť prvého hesla, 5 040 možností, ak zadá tretiu možnosť atď. Toto musí opakovať presne 24 krát (toľko je možností pre prvé heslo). Počet všetkých mož-ností je (podľa pravidla súčinu) rovný 24 . 5 040 = 120 960.Odpoveď: Peťo by musel vyskúšať 120 960 rôznych možností.

71


Riešenie úlohy 5

Peťovi rodičia prídu o 2,5 h = 7 500 sekúnd domov z práce. To znamená, že stihne vyskúšať 7 500 : 5 = 1 500 hesiel.Teda všetkých možností, ktoré je treba vyskúšať pre rozlúštenie hesla, musí byť najviac 1 500. Heslo môže byť zložené z číslic 0, 1, 2, ..., 9. Počet možností vypočítame rovnakou úvahou ako v predchádzajúcej úlohe. Na prvé miesto možno dať jednu z 10-tich číslic. Na druhé miesto už len jednu z ostávajúcich 9-tich čís-lic atď. Potom platí 10 . 9 .… ≤ 1 500Ideme postupne 10 . 9 = 90 90 . 8 = 720 720 . 7 = 5 040 > 1 500Odtiaľ vidíme, že v súčine už nemôže byť číslo sedem. Najmenšie použité číslo môže byť číslo osem. To znamená, že heslo môže byť najviac 3-miestne.Odpoveď: Heslo by mohlo byť najviac trojmiestne.

Riešenie úlohy 6

Priemerný vek muža možno vziať 79 rokov.Priemerný čas potrebný na zadanie hesla 5 sekúnd.Okrem tohto musia žiaci brať do úvahy aj čas potrebný na spánok, jedlo, hygienu, ...Riešenie tejto úlohy je individuálne a je vhodná ako projekt.

Metodické pokynyÚloha je zameraná na prechod od vypisovania možností pri zisťovaní počtu variácií bez opakovania (úloha1 a úloha2) k používaniu súči-nu. Postupne teda odvodiť vzorec pre výpočet variácií bez opakovania. Prostredníctvom riešenia prvej úlohy žiaci zistia princíp výpočtu bez vypisovania všetkých možností a tento by mali potom použiť v úlohe 2. Úloha 3 a 4 sústreďuje pozornosť žiakov na rozdiel v použití pra-vidla súčtu a súčinu pri zisťovaní celkového počtu možností oboch hesiel. S týmito pravidlami sa žiaci stretli už v šiestom ročníku. Úloha 5 predstavuje opačný proces postupu riešenia. Nezameriava sa na zistenie počtu všetkých možností, ale na zistenie vhodného počtu číslic, koľko je možné vyberať.Úloha 6 je vhodná ako domáca úloha. Najlepšie ako projekt. V úlohe zámerne nie sú zadané potrebné informácie ako priemerný vek človeka, čas potrebný na jedenie, spanie a iné. Na tieto musia žiaci prísť vlastnou úvahou nad problémom a potrebné informácie si zistiť. Napr. dĺžku ži-vota a odporúčanú dĺžku spánku si zistia prostredníctvom internetu. Čas potrebný na jedenie si môžu zistiť prostredníctvom vlastného „vý-skumu“ – zhromaždia si časy (2 týždne si budú zapisovať koľko času potrebujú) a potom urobia priemer z nich. Pri riešení tejto úlohy nie je najdôležitejší „správny“ výsledok. Dôležité je, aby sa žiaci získali skúse-nosť so zbieraním údajov a tvorbou vlastných štatistík.

72


Úloha 1 Štyria šikovní hudobníci, Adam, Majo, Ondrej a Stano sa rozhod-li, že si založia kapelu. Pri uvažo-vaní nad jej názvom ich napadla myšlienka, že by mohlo byť dobré, aby bolo zložený zo začiatočných písmen ich mien. Ich poslucháči si teda budú môcť ľahšie zapamätať počet jej členov a dokonca aj mená hudobníkov. Koľko rôznych náz-vov mohla dostať kapela?Výpočet:Odpoveď: Kapela mohla dostať ............................ rôznych názvov.

Úloha 2 Podobne si zakladali tanečnú skupinu aj Zuzka, Majka, Janka a Monika. Nápad zloženia názvu zo začiatočných písmen ich mien sa im veľmi pozdával. Nakoniec, veď sú to baby a názov môže slúžiť ako pomôcka zistenia ich mien pre zvedavých fanúšikov. Koľko rôznych názvov mohla dostať tanečná skupina? Výpočet:Odpoveď: Tanečná skupina mohla dostať .... rôznych názvov.

7.4.13 Názov

Jedným z prvých krokov pri štarte podnikania, uvedenia nejakého pro-duktu na trh, zakladania hudobnej skupiny, či mnoho iných vecí je výber vhodného názvu. Dobrý názov môže byť základom vášho úspechu. Vďa-ka nemu si vás zákazníci ľahko zapamätajú, odlíšia od konkurencie. Nao-pak nevhodný názov môže narobiť veľa problémov pri štarte čohokoľvek.

Riešenie úlohy 1Na prvé miesto v názve si môžeme vybrať jedno zo štyroch pís-men, k nemu na druhé miesto už len jedno z troch písmen atď. To znamená, že počet všetkých možností rôznych názvov kapely je rovný 4 . 3 . 2 . 1 = 24Odpoveď: Kapela mohla dostať 24 rôznych názvov.

Riešenie úlohy 2Dievčatá si označíme Zuzka – Z, Majka – M, Janka – J a Monika – M.Ak by sme uvažovali rovnako ako pri riešení prvej úlohy, dospeli by sme k rovnakému výsledku – 24 možností. Avšak v tomto prípade máme dve písmená M, ktoré nevieme rozoznať. Ak ich vymeníme, nič sa v názve tanečnej skupiny nezmení. Teda, ak máme názov MZJM a názov MZJM nevieme ich rozoznať keď sme vymenili len písmená M. (Ak žiaci neporozumejú, odporúčame nakresliť strom možností, ak je M ako Majka na prvom mieste a ak je M ako Monika na prvom mieste, pričom poukázať na to, že vzniknú úplne rovnaké možnosti.) Čo to znamená? No vo všetkých možnostiach sú niektoré viackrát. Teda, ak sme vymenili len písmeno M a M, nič sa nezmenilo. Písmená teraz rozlíšime ako M1 a M2 . Koľkokrát sa mohli zbytočne meniť (koľkými spôsobmi sme ich mohli v možnostiach zarátať)? M

1M

2

M2M

1

Teda celkovo dvakrát. Preto počet všetkých možných rôznych ná-zvov je rovný

4 . 3 . 2 . 1

2= 12

Odpoveď: Tanečná skupina mohla dostať 12 rôznych názvov.

Riešenie úlohy 3Počet rôznych názvov sa konkrétne zmenšil - dvakrát. Pretože písmená M je možné dvakrát zbytočne premiestniť. Teda celkový počet možností musíme predeliť dvojkou. Ak by boli iniciálky I, S, S, S, museli by sme celkový počet mož-ností 4 . 3 . 2 . 1 = 24 zmenšiť toľkokrát, koľkokrát sme mohli zby-točne premiestňovať písmená S. Podobne ako pri písmenách M, budeme teraz písmená S rozlišovať – S1, S2, S3. Počet možností usporiadania týchto písmen je rovný 3 . 2 . 1 = 6Teda celkovo máme 24/6 = 4 možnosti.Ak by boli iniciálky A, A, K, K, K museli by sme celkový počet mož-ností 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120 zmenšiť toľkokrát, koľkokrát sme zbytočne

73


Úloha 3Zmenil sa počet možných náz-vov v úlohe 2 oproti výslednému počtu v riešení úlohy 1? Ak áno, ako a prečo práve tak? Ako by sa zmenil, ak by iniciálky zaklada-júcich členov boli napr. I, S, S, S alebo A, A, K, K, K? Výpočet:Odpoveď: Počet možných náz-vov sa v úlohe 2 ..............(zmenil/nezmenil) – ..................... (ako?). Ak by boli iniciálky I, S, S, S po-čet rôznych názvov by bol ....... . Ak by boli A, A, K, K, K počet rôznych názvov by bol ............... .

Úloha 4 K hudobníkom sa nakoniec pri-dal ešte aj Edo. Prišiel s nápa-dom, že názov kapely by bolo vhodné vymyslieť tak, aby v ňom neboli dve spoluhlásky vedľa seba. Takto vytvorený názov sa totiž oveľa lepšie vyslovuje. Koľ-ko rôznych názvov mohla dostať kapela v tomto prípade?Výpočet:Odpoveď: Kapela teraz mohla dostať ................ rôznych názvov.

premiestňovali písmená A a tiež písmená K. Podľa predchádzajú-cich úvah teda celkovo máme 5 . 4 . 3 . 2 . 1/2 . 6 = 10 možností.Odpoveď: Počet možných názvov sa v úlohe 2 zmenil (zmenil/nezmenil) – dvojnásobne sa zmenšil (ako?). Ak by boli iniciálky I, S, S, S počet rôznych názvov by bol 4. Ak by boli A, A, K, K, K počet rôznych názvov by bol 10.

Riešenie úlohy 4Ak by sme počítali priamo počet možností, v ktorých spoluhlásky nejdú za sebou, museli by sme uvažovať nad pozíciou jednej a druhej spoluhlás-ky zvlášť. Jednoduchším postupom je výpočet počtu možností, v ktorých idú spoluhlásky za sebou – máme len jednu pozíciu pre obe. A tieto ná-sledne odpočítame od celkového počtu možností bez obmedzenia.Máme 5 hudobníkov. Teda bez obmedzení by mohli vytvoriť 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120 rôznych názvov kapely (žiadne písmená nie sú rovnaké).Avšak v týchto možnostiach sú zarátané aj možnosti, v ktorých sa nachádzajú dve spoluhlásky vedľa seba. Koľko ich je? Spoluhlásky M a S sú stále vedľa seba teda ich môžeme ich brať ako jedno písmeno. Potom máme pre vytváranie názvu len štyri písmená. Teda 4 . 3 . 2 . 1 = 24Avšak tento počet musíme ešte vynásobiť číslom 2, pretože spo-luhlásky môžu byť vedľa seba ako MS ale aj SM. Počet možností, v ktorých sú dve spoluhlásky vedľa seba je rovný 24 . 2 = 48Tieto nakoniec odpočítame od celkového počtu možností (bez obmedzení), čím dostaneme počet možností vytvorenia názvu kapely tak, aby neboli vedľa seba dve spoluhlásky. 120 - 48 = 72Odpoveď: Kapela teraz mohla dostať 72 rôznych názvov.

Metodické pokynyV úlohe sa zameriavame na porozumenie vzťahu medzi permutá-ciami bez opakovania (úloha 1) a s opakovaním (úloha 2). Úlohu navrhujeme riešiť až po odučení úlohy s názvom „Internet“. Žiaci by totiž mali túto úlohu riešiť bez vypisovania všetkých možností. Vypísanie všetkých možností by ich mohlo odviesť od delenia (ktoré je potrebné objaviť) a evokovať v nich odčítanie (aj odčítanie by bolo správne riešenie ale to nie je naším cieľom – chceme postupne prísť k vzorcu pre permutácie s opakovaním).V úlohe 3 učiteľ postupne vedie žiakov k pochopeniu princípu výpočtu počtu permutácií s opakovaním. Bolo by vhodné, ak by si učiteľ prí-padne sám ďalej vymyslel aj ďalšie možné štvorice resp. pätice písmen.Úloha 4 je prirodzenou nadstavbou úlohy 1, v ktorej žiaci pracujú s nejakým obmedzením. Žiaci musia uvažovať nad podmienkou ne-opakovania sa spoluhlások. Pri jej riešení by mali prísť na postup odčítania možností, v ktorých spoluhlásky idú za sebou, od všetkých možností vytvorenia názvu.

74


75


Logika, dôvodnenie, dôkazy

Autorka problémov 7.5.1 – 7.5.6 PaedDr. Zuzana Nagyová Lehoc-ká, PhD., autorka problému 7.5.7 autor problému Mgr. Kristína Ca$ ková, 7.5.8 Mgr. Lukáš Lednický.

76


Zdroj: http://driving-dutchman.com/carbrands/vol-vo/page/7/

7.5.1 Gorálky

Zuzka má veľmi rada ručné práce. Najviac času venuje navlieka-niu gorálok. Má malú skrinku so štyrmi zásuvkami, kde si ukla-dá svoje gorálky. V jednej má veľké biele gorálky, v druhej veľké farebné gorálky, v tretej malé farebné gorálky a v štvrtej zásuvke malé biele gorálky. Zásuvka, v ktorej sú veľké biele gorálky, je umiestná vyššie ako zásuvka s malými bielymi gorálkami. Priamo pod zásuvkou s ma-lými farebnými gorálkami je zásuvka s veľkými farebnými. Malé farebné gorálky nie sú v naspodenjšej zásuvke.

Napíšte, v akom poradí v skrinke sa nachádzajú jednotlivé zásuv-ky obsahujúce rôzne gorálky!

7.5.2 Bežecká liga

Na bežeckej lige sa zúčastnili štyri šikovné dievčatá. Po absolvova-ní súťaže sa ich opýtali, čo si myslia o tom, aké výsledky dosiahli.Eva: Nie som ani prvá, ani posledná.Katka: Nie som prvá.Janka: Som víťazka súťaže.Paťa: Ľutujem, ale som posledná.Niekto, kto videl aj celý priebeh súťaže dodal: Zo štyroch odpove-dí tri sú pravdivé, jedno je klamstvo.Koho tvrdenie je nepravdivé? Kto vyhral súťaž?

Riešenie

Jana povedala pravdu, ona vyhrala súťaž, nakoľko by jej tvrdenie nebolo pravdivé, tak ostatné trvdenia by boli pravdivé, potom ale nikto by nebol prvý. Na základe tohto, aj Katka hovorila pravdu. Eva nemôže klamať, lebo to by znamenalo, že by bola posledná (prvá byť nemohla), a potom ani Paťa by nehovorila pravdu. Takže nakoniec klamala len Paťa.

7.5.3 Jazdené auto na predaj

Je to fakt neuveriteľné, ale je to skutočná pravda. Na stránke istého írskeho časopisu sa v roku 2003 objavil nasledujúci inzerát: „Volvo modrej farby, ročník 1985, najazdených 65 km, používaný len v 1 prevodovom stupni a v spiatočke, pôvodné brzdy, prvé tankova-nie, vo veľmi dobrom stave, je z dôvodu nezamestnanosti na predaj!“

a) Koľkokrát mohlo prejsť auto cestu medzi majákom a člnom?b) Bolo auto používané každý deň? Ak nie, čo si myslíte, ako často?c) A vôbec, načo je potrebné auto na takomto malom ostrove?

77


7.5.4 Trojité rande

Traja chalani Gabo, Jano a Peter pozvali dievčatá, Reginu, Evu a Katku na pizzu. Išli do reštaurácie Grand, Ho$ er a Olympia. V jednej reštaurácii rezervovali miesto na 18.00, v druhej na 19.00 a v tretej na 20.00. Gabo pozval na pizzu Katku. Eva išla do reštau-rácie Olympia. Jano si dal rezervovať stôl na 20.00, ale nešiel s Re-ginou. Peter si dal rezervovať stôl, na neskorší termín, ako ten, ktorý išiel na pizzu do Ho$ era.

Riešenie

Regina Eva Katka

Gabo --- --- x

Jano / 20.00 --- X /Olympia ---

Peter x --- ---

Jano a Evka o 20.00 ide do reštaurácie Olympia.Gabo a Katka o 18.00 ide do reštaurácie Ho$ er.Peter a Regina o 19.00 ide do reštaurácie Grand.

7.5.5 Športové disciplíny

Katka, Eva Julka sú športovcami v rôznych športových disciplí-nach: tenis, volejbal a plávanie. a) Eva ide na prechádzku s priateľkou, ktorá robí atletiku.b) Dievča, ktoré hrá volejbal a Julka dnes večer idú do kina.c) Eva je o rok staršia od dievčaťa, ktoré hrá tenis.Akým športom sa venuje Katka, Eva a Julka?

Katka Eva Julka

Tenis x x O

Volejbal O x x

Plávanie x O x

7.5.6 Poradie

Deti sa postavili do jedného radu. Zisti, v akom poradí sa postavili do radu Laco, Peter, Zuzka, Petra a Zolo, ak vieme, že- Zuzka nestojí v strede radu- Zuzka stojí v rovnakej vzdialenosti od Petry a od Zola- Petra stojí na ľavej strane Laca

Riešenie

Zolo, Zuzka, Petra, Laco a Peter.

Zdroj: http://ganhandovidas.5 les.wordpress.com/2012 /02/amigos.jpg

OtázkyNa ktorý termín dostala pozva-nie Regina? Ktorý pár išiel do reštaurácie Ho$ er?

Zdroj: http://st.fri.uniza.sk/~olsiak/pu.html

78


7.5.7 Cesta domov

Máša, Saša a Dáša bývajú v dedinke, ktorej mapa je nakreslená na obrázku.Deti dostali za úlohu, aby po škole išli nakupovať. Kvôli skráteniu si cesty sa rozhodli, že každé z nich pôjde iba tými ulicami, kde môže kúpiť to, čo potrebuje. Nakoniec každé išlo inou cestou. Po príchode domov ukázali, čo nakúpili.V Sašovej taške bola červená lopta, jabĺčká, chrumkavé rožky a list od starej mamy.Dáša sa mamke pochválila, že pri očkovaní vôbec neplakala a bola sa s kamarátkami hrať na ihrisku. Jej taška ukrývala noviny, balí-ček z Poľska a ražný chlieb. Mášina mamka sa dozvedela, že Máša u zubára dostala novú zub-nú ke0 u, ale kvôli vytrhnutému zubu si nemohla dať zmrzlinu, bračekovi však kúpila sladkú oplátku. Cestou ešte kúpila skrutko-vač, hlávkový šalát a makový koláč.

Na základe týchto informácií zisti:a) kto odchádzal ktorou cestou, b) kto kde býva, c) v ktorom obchode boli všetky tri?

Riešenie

Podľa poskytnutých informácií môžeme nakresliť cestu detí na-sledovne.

79


a) Po nakreslení ciest zistíme, že Dáša išla „modrou“ cestou, Máša išla „červenou“ cestou a Saša „zelenou“. Z toho vyplýva, že Dáša odchádza hornou cestou, Sáša strednou cestou a Máša dolnou cestou.

b) Dáša býva v modrom domčeku, Máša v ružovom domčeku a Saša v zelenom domčeku.

c) Buď z informácií, alebo z mapy zistíme, že všetci sa zastavili u pekára.

7.5.8 Futbalový turnaj

Na futbalovom turnaji sa zúčastnili 4 družstvá, Slovan, Nitra, Tr-nava a Žilina. Turnaj sa hral systémom každý s každým jeden zá-pas. Za výhru v zápase sa udeľovali 3 body, za remízu 1 a za prehru 0 bodov. Poradie na turnaji je uvedené v tabuľke.

Poradie Tím Zápasy Skóre Body

1 Žilina 3 4 : 1 7

2 Trnava 3 2 : 1 5

3 Nitra 3 1 : 3 3

4 Slovan 3 0 : 2 1

Riešenie

Na základe získaných bodov vieme určiť, že Žilina vyhrala dva zá-pasy a jeden remizovala, Trnava jeden zápas vyhrala a dva remizo-vala, Slovan jeden zápas remizoval a dva prehral. Nitra by mohla remizovať všetky tri zápasy alebo jeden vyhrať a dva prehrať. Prvú možnosť vylúčime, lebo sa nezhoduje s výsledkami ostatných zá-pasov. Trnava svoje remízy uhrala so Žilinou a Slovanom. Pretože Slovan nestrelil gól, musel remizovať 0 : 0, a to s Trnavou a prehrať zvyšné zápasy 0 : 1. Trnava ma rozdiel v skóre 1, preto musela vy-hrať nad Nitrou 1 : 0 alebo 2 : 1. Druhá možnosť nevyhovuje, lebo Nitra strelila len jediný gól, a to Slovanu. Trnava potom musela remizovať so Žilinou 1 : 1 a Žilina musela vyhrať nad Nitrou 2 : 0. Slovan – Nitra 0 : 1 Trnava – Žilina 1 : 1 Slovan – Trnava 0 : 0 Nitra – Žilina 0 : 2 Nitra – Trnava 0 : 1 Žilina – Slovan 1 : 0

Metodické poznámkyNa riešenie úlohy je použitá logická úvaha. Po zistení výsledkov tímu Slovan môžeme zostaviť tabuľku, ktorá nebude brať do úvahy jeho výsledky a riešiť problém už len pre zostávajúce 3 tímy.

ÚlohaZ údajov v tabuľke zistite výsled-ky jednotlivých zápasov.

Odpoveď Slovan – Nitra _:_ Trnava – Žilina _:_ Slovan – Trnava _:_ Nitra – Žilina _:_ Nitra – Trnava _:_ Žilina – Slovan _:_

Obsah

Úvod ...................................................................................7

Čísla, premenné, počtové úkony s číslami .........................97.1.1 Miešanie farieb ................................................................ 107.1.2 Kroky ................................................................................ 107.1.3 Návšteva cukrárne ........................................................... 117.1.4 Farebné drôty ................................................................... 117.1.5 Výpredaj ........................................................................... 127.1.6 Akciový zájazd do Ledníc .............................................. 137.1.7 Nákup nábytku a zariadenia .......................................... 147.1.8 Tankovanie ....................................................................... 167.1.9 Spotrebný úver ................................................................. 187.1.10 Výmenný kurz ............................................................... 197.1.11 Inštalácia programu ...................................................... 207.1.12 Kopírovanie .................................................................... 207.1.13 Letné maľovanie izieb ................................................... 217.1.14 Narodeniny .................................................................... 227.1.15 Tržnica ............................................................................ 23

Vzťahy, funkcie, tabuľky, diagramy .................................257.2.1 Úroky ................................................................................ 267.2.2 Socha slobody .................................................................. 277.2.3 Nová sedačka ................................................................... 287.2.4 Cestovanie vlakom ......................................................... 297.2.5 Babičkina štrúdľa............................................................. 307.2.6 Snehuliaci ......................................................................... 317.2.7 Množstvové zľavy ............................................................ 327.2.8 Model lode ....................................................................... 337.2.9 Tour de France ................................................................. 347.2.10 Horská záchranná služba ............................................. 35

Geometria a meranie ........................................................377.3.1 Tunely ............................................................................... 387.3.2 Drôt v kocke ..................................................................... 397.3.3 Had v akváriu ................................................................... 397.3.4 Úlohy na sieťach kocky ................................................... 407.3.5 Ukladáme kocky .............................................................. 417.3.6 Šesťuholníková torta ....................................................... 427.3.7 Výlet na ostrov ................................................................. 447.3.8 Naplnenie nádoby s vodou ............................................ 457.3.9 Prestavba bytu.................................................................. 467.3.10 Maľujeme izbu ............................................................... 477.3.11 Šachovnica ..................................................................... 507.3.12 Pyramída z kociek ......................................................... 507.3.13 Sedačky pre bábiky ....................................................... 52

81

Kombinatorika, pravdepodobnosť, štatistika ..................53

7.4.1 Môj psík ............................................................................ 547.4.2 Buďme ekologický ........................................................... 547.4.3 Návšteva múzea ............................................................... 567.4.4 Cestovanie vlakom .......................................................... 577.4.5 Digitálky ........................................................................... 587.4.6 Kocky 1 ............................................................................. 607.4.7 Kocky 2 ............................................................................. 617.4.8 Kocky 3 ............................................................................. 627.4.9 Akcia na predaj skríň ...................................................... 647.4.10 Kolotoč ........................................................................... 657.4.11 Spravodlivá hra .............................................................. 677.4.12 Internet ........................................................................... 697.4.13 Názov .............................................................................. 72

Logika, dôvodnenie, dôkazy ............................................757.5.1 Gorálky ............................................................................. 767.5.2 Bežecká liga ...................................................................... 767.5.3 Jazdené auto na predaj .................................................... 767.5.4 Trojité rande ..................................................................... 777.5.5 Športové disciplíny .......................................................... 777.5.6 Poradie .............................................................................. 777.5.7 Cesta domov .................................................................... 78 7.5.8 Futbalový turnaj .............................................................. 79

Obsah ................................................................................81

Matematika. Zvyšovanie kľúčových matematických kompetencií žiakov 7. ročníka základných škôl. Zbierka problémových situácií bežného života

Edícia Europica varietas č. 12

Vydavateľ: Fakulta stredoeurópskych štúdií Univerzity Konštantína Filozofa v NitreEditori: Ing. Rastislav Žitný, PhD., prof. RNDr. Béla László, CSc.Jazyková redaktorka: Ing. Ildikó Pšenáková, PhD.Technický redaktor: Ing. Rastislav Žitný, PhD.Návrh obálky: Ing. Rastislav Žitný, PhD.Potlač na CD: Ing. Ildikó Pšenáková, PhD.

Náklad: 60 ksRozsah: 84 stránFormát: A4Vydanie: PrvéRok vydania: 2013Vydané: CD-ROM

ISBN 978-80-558-0248-0EAN 9788055802480

edícia europica varietas č. 12 - kega.fss.ukf.sk · publikáciu vydala fakulta stredoeurópskych...

Documents