ecuaciones en diferencias · matemÁticas para el anÁlisis econÓmico 423 en este capítulo...
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Capítulo VI
ECUACIONES EN DIFERENCIAS
VI.1 Introducción
En el capítulo anterior estudiamos las ecuaciones diferenciales ordinarias
(EDOs) que involucraban a una variable tx y a sus derivadas tx,,tx,tx n('''
que proporcionaban tasas de cambio continuas. En el presente capítulo,
estudiaremos las denominadas ecuaciones en diferencias que involucran a una
variable “x” evaluada en “t”, ,x t y a sus diferencias .x,,x,x tn
t2
t Aquí, la
variable tx varía discretamente, o de forma más correcta, aún cuando dicha
variable cambie continuamente en el tiempo, las observaciones de esos cambios
son realizadas y registradas únicamente en intervalos de tiempo discretos. Por
ejemplo, muchas de las variables que suelen estudiar los economistas, tal es el
caso de la renta, el consumo, el ahorro, etc., son registradas en periodos de
tiempo fijos (a diario, semanalmente, quincenalmente, trimestralmente,
anualmente, etc.). A toda ecuación que relaciona dichas variables en diferentes
periodos de tiempo discretos se le denomina ecuación en diferencias. Estas
ecuaciones son denominadas ecuaciones en diferencias ya que involucran
diferencias en funciones. Por ejemplo, si tfxt la primera diferencia1 de “x”
evaluada en “t” es:
tf1tfxxx t1tt (I)
La primera diferencia de “x” evaluada en “ 1t ” es:
1tf2tfxxx 1t2t1t (II)
La segunda diferencia de “x” evaluada en “t” se puede calcular como la
diferencia entre dos primeras diferencias sucesivas, esto es:
t1t2t
t1t1t2tt1tt1ttt2
xx2x
xxxxxxxxxx
(III)
1 Se debe resaltar que la primera diferencia de “x” evaluada en “t” también podría definirse de la siguiente
manera: .1tftfxxx 1ttt
CIRO BAZÁN ECUACIONES EN DIFERENCIAS
422
La segunda diferencia de “x” evaluada en “ 1t ” se puede calcular como la
diferencia entre dos primeras diferencias sucesivas, esto es:
1t2t3t1t2t1t2t1t1t2 xx2xxxxxxx (IV)
La tercera diferencia de “x” evaluada en “t” se puede calcular como la diferencia
entre dos segundas diferencias sucesivas, esto es:
t1t2t3tt2
1t2
t1tt2
t3 xx3x3xxxxxxx (V)
La tercera diferencia de “x” evaluada en “ 1t ” se puede calcular como la
diferencia entre dos segundas diferencias sucesivas, esto es:
1t2t3t4t
1t2
2t2
1t2t1t2
1t3
xx3x3x
xxxxxx
(VI)
En general, la diferencia de orden “n” de “x” evaluada en “t” se define como:
int
n
0i
itt
1nt
n x!in!i
!n1xxx
(VII)
Para cualquier entero “n”, con .1n
De manera análoga, la diferencia de orden “n” de “x” evaluada en “ 1t ” se
define como:
i1nt
n
0i
i1t1t
1n1t
n x!in!i
!n1xxx
(VIII)
Para cualquier entero “n”, con .1n
Note que el superíndice “n” significa que la operación de calcular la diferencia
se ha repetido “n” veces, es decir que el operador diferencia “ ” ha sido
aplicado “n” veces.
VI.2 Ecuaciones en diferencias ordinarias
Las ecuaciones en diferencias ordinarias2 son ecuaciones que involucran una
variable tx medida discretamente en diferentes periodos de tiempo. De forma
equivalente, podemos decir que una ecuación en diferencias ordinaria es una
ecuación funcional que involucra una o más diferencias tn
t2
t x,,x,x de una
función desconocida del tiempo. Debido a que “t” varía de forma discontinua,
para periodos de tiempo igualmente espaciados, la función desconocida tx será
definida únicamente para los valores discretos de “t”, en consecuencia, el gráfico
de la función desconocida será una sucesión discontinua de puntos separados.
2 De ahora en adelante nos referiremos de manera abreviada a las ecuaciones en diferencias ordinarias
simplemente como ecuaciones en diferencias.
MATEMÁTICAS PARA EL ANÁLISIS ECONÓMICO
423
En este capítulo únicamente estudiaremos las denominadas ecuaciones en
diferencias ordinarias, es decir, nos concentraremos en el estudio de aquellas
ecuaciones en diferencias en las que la función desconocida únicamente depende
de una sola variable independiente discreta (por lo general “t”). Las ecuaciones
en diferencias parciales, aquellas en las que las diferencias parciales de la
función desconocida dependen de más de una variable dependiente discreta, no
son objeto de estudio del presente capítulo.
Sea tx una variable discreta3 (la función desconocida), se denomina ecuación en
diferencias ordinaria no autónoma a una relación cuya forma general es:
Forma Implícita: 0t,x,x,x,,x,,x,xF ttt2
t3
t1n
tn (IX)
Forma Explícita: t,x,x,x,,x,,xfx ttt2
t3
t1n
tn (X)
Reemplazando las diversas diferencias en las expresiones anteriores se obtienen
las siguientes relaciones:
Forma Implícita: 0t,x,x,x,x,,x,xG t1t2t3t1ntnt (XI)
Forma Explícita: t,x,x,x,x,,xgx t1t2t3t1ntnt (XII)
En caso la variable “t” no aparezca de manera explícita en el argumento de las
cuatro expresiones anteriores, entonces se dice que la ecuación en diferencias
ordinaria es autónoma. El orden de una ecuación en diferencias coincide con la
diferencia de mayor orden que aparece en dicha ecuación. Para las cuatro
ecuaciones anteriores, el número natural “n” representa el orden de las
ecuaciones en diferencias. Si la ecuación en diferencias es expresada tal como la
ecuación XI o como la ecuación XII, entonces el orden de la ecuación en
diferencias estará dado por la mayor diferencia entre los subíndices de tiempo:
.ntnt En caso las formas funcionales que aparecen en las cuatro
ecuaciones anteriores sean lineales, entonces las ecuaciones en diferencias
ordinarias de orden “n” serán lineales.
Ejemplos:
a) La ecuación 0x3x t1t es lineal, de primer orden, está expresada en
forma implícita y es autónoma.
b) La ecuación 0x3x5x t1t2t es lineal, de segundo orden, está
expresada en forma implícita y es autónoma.
c) La ecuación 2t1t2t x4x2x es no lineal, de segundo orden, está
expresada en forma explícita y es autónoma.
d) La ecuación 3t
41t2t3t txx5x2x es no lineal, de tercer orden, está
expresada en forma explícita y es no autónoma.
3 Una variable discreta es una sucesión infinita de números reales ,x,,x,xx t10tt
que
denotaremos como .x t
CIRO BAZÁN ECUACIONES EN DIFERENCIAS
424
e) La ecuación 2xxx5x2
tttt2 es no lineal, de segundo orden, está
expresada en forma explícita, y es autónoma. Esta ecuación se puede escribir
de forma equivalente tal como: .2x4xx5xx2x2
t1ttt1t2t
La solución de una ecuación en diferencias (tal como IX, X, XI o XII) viene
dada por todos los valores de tx que no involucran diferencias y que satisfacen
dicha ecuación. Es decir, la solución de una ecuación en diferencias es una
sucesión de números que verifican dicha ecuación.
Puede probarse que si ctx es solución de una ecuación en diferencias, también lo
es ctkx para cualquier constante arbitraria “k”; y también si c
tx y ptx son
soluciones de dicha ecuación, también lo será su combinación lineal pt2
ct1 xkxk
para cualquier constantes .kyk 21 Asimismo, podría comprobarse que la
solución existe y es única.
Por último, es importante resaltar que la solución de una ecuación en diferencias
de orden “n” requiere de “n” condiciones iniciales para determinar las “n”
constantes arbitrarias que aparecerán en la solución.
VI.3. Ecuaciones en diferencias de primer orden
Sea t,xf t una función definida para ,2,1,0t y para todos los números
reales .x t Una ecuación en diferencias de primer orden no autónoma en tx
viene dada por:
t,xhxt,xfxxt,xfxxt,xfx t1ttt1ttt1ttt (XIII)
Para un valor dado de 0x es posible determinar la solución de (XIII) a través del
método de iteración o de inserción. Este método consiste en reiterativamente
aplicar la ecuación (XIII) para diversos valores de “t” partiendo del hecho que
conocemos el valor de .x0 En concreto, dados (XIII) y 0x podemos determinar
el valor de tx para cualquier valor de “t” tal como sigue:
3,2,1,0,xhhhh3,xhx
2,1,0,xhhh2,xhx
1,0,xhh1,xhx
0,xhx
034
023
012
01
(XIV)
Aún cuando en algunas ocasiones se puede encontrar una fórmula relativamente
sencilla para ,x t esto no suele ser usual. Una solución general de (XIII) es una
función cuya forma general viene dada por:
C;tgxt (XV)
MATEMÁTICAS PARA EL ANÁLISIS ECONÓMICO
425
La ecuación (XV) satisface (XIII) para cada valor de la constante arbitraria “C”.
Además, para cada valor de 0x usualmente existe un valor de “C” que satisface:
C;0gx0 (XVI)
En caso la ecuación dada por (XIII) no dependa explícitamente de “t”, se dice
que ésta es una ecuación en diferencias autónoma, y su forma general vendría
dada por:
t1ttt1ttt1ttt xhxxfxxxfxxxfx (XVII)
Para un valor dado de 0x es posible determinar la solución de (XVII) a través
del método de iteración o de inserción tal como sigue:
0t
0t
03
023
02
012
01
xhxhhhx
xhxhhhxhx
xhxhhxhx
xhx
(XVIII)
Donde 0t xh representa la t-ésima iteración de 0x bajo “h”, siendo 0xh la
primera iteración de 0x bajo “h”. En consecuencia, la ecuación (XVII) podría
expresarse en función de la 1t -ésima iteración de 0x bajo “h” tal como sigue:
01t
0t
t1t xhxhhxhx (XIX)
Al conjunto de todas las posibles iteraciones (positivas):
0txh 0t (XX)
Donde 00t xxh se le denomina la órbita (positiva) de 0x y la denotaremos
por .xO 0
Dada una ecuación en diferencias como la descrita en (XVII), se dice que *x es
un punto fijo o punto de equilibrio si se verifica que:
txxh *1t (XXI)
Una útil consecuencia de (XXI) es que *x será un punto de equilibrio de (XVII)
si y sólo si se verifica que:
txxh ** (XXII)
CIRO BAZÁN ECUACIONES EN DIFERENCIAS
426
Como ocurrió con el estudio de los puntos de equilibrio en ecuaciones
diferenciales (tiempo continuo), una importante cuestión a tener en
consideración en ecuaciones en diferencias (tiempo discreto) es la
estabilidad/inestabilidad de un punto de equilibrio.
Definición 1: Sea *x un punto de equilibrio de (XVII). Entonces,
1. *x es (localmente) estable si dado un número real “ 0 ” existe otro
número real “ 0 ” tal que si:
.1txxxxhxx *t
*0
t*0 (XXIII)
Donde 0x es el valor inicial. Si *x no es estable, entonces es un punto
de equilibrio inestable. Un punto de equilibrio inestable es denominado
repulsor o fuente.
2. El punto de equilibrio *x es un punto de equilibrio inestable si existe
un “ 0 ” y un número natural “T” tal que si:
*T
*0
T*0 xxxxhxx (XXIV)
3. El punto de equilibrio *x es un punto de equilibrio atractor si es
(localmente) estable y existe un 0 tal que:
*
tt
*0 xxlímxx
(XXV)
Si , entonces *x es denominado globalmente atractor. El punto
*x es un punto de equilibrio asintóticamente estable o sumidero si es
estable y es atractor. Si , entonces se dice que *x es un punto de
equilibrio globalmente asintóticamente estable.
Es importante resaltar que la medida *t xx significa que tx permanece
“cercano” a .x* Es decir que si tx se “acerca” a *x conforme transcurre el
tiempo, entonces *x es un atractor; si, por otra parte, tx se aleja de *x
conforme transcurre el tiempo, entonces *x es un repulsor. Asimismo, es
importante resaltar que estabilidad significa que una vez que hallamos escogido
cuan cerca queremos permanecer a *x en el futuro, nosotros podamos encontrar
cuan cerca debemos empezar en el inicio.
En la figura 1 se pueden apreciar los diferentes tipos de puntos de equilibrio de
una ecuación en diferencias dada por (XVII).
MATEMÁTICAS PARA EL ANÁLISIS ECONÓMICO
427
0 2 4 6 8 10
t 0 2 4 6 8 10
t
0 2 4 6 8 10
t 0 2 4 6 8 10
t
0 2 4 6 8 10
t
(e) Globalmente asintóticamente estable
(c) Repulsor (d) Asintóticamente estable
(b) Inestable (a) Estable
x* + δ
x* - δ
x* + ε
x* - ε
x* x0
x* + δ
x* - δ
x* + ε
x* - ε
x* x0
x* + γ
x* - γ
x* + δ
x* - δ
x*
x*
x*
x0
xt xt
xt
xt
xt
b0x
a0x
b0x
a0x
Figura 1
La figura 1 (a) nos muestra que *x es (localmente) estable. Es decir, en esta
figura podemos apreciar que encontrándose 0x dentro de una distancia “ ”
respecto de ,x* entonces tx se encuentra dentro de una distancia “ ” respecto
de *x para todo .0t En la figura 1 (b) tenemos que *x es inestable. En este
caso, existe un “ 0 ” tal que sin importar cuán cerca esté 0x de ,x* existirá un
“T” tal que Tx diste al menos “ ” respecto de .x* Por su parte, en la figura 1
(c) se aprecia que *x es repulsor. En este caso, se aprecia que tx se aleja de *x
conforme transcurre el tiempo (obviamente *x es inestable). En la figura 1 (d) se
aprecia que *x es asintóticamente estable. Se observa que *x es (localmente)
CIRO BAZÁN ECUACIONES EN DIFERENCIAS
428
estable ya que 0x (“a” y “b”) se encuentra dentro de una distancia “ ” respecto
de ,x* y además, se aprecia que conforme .xxt *t Finalmente, en la
figura 1 (e) se aprecia que *x es globalmente asintóticamente estable. Aquí se
verifica que *x es (localmente) estable y que conforme *t xxt para
todo 0x (“a” y “b”).
Teorema 1: Sea *x un punto de equilibrio de (XVII) donde “h” es
continuamente diferenciable en *x entonces:
1. Si
1dx
xdh
t
*
entonces *x es un punto de equilibrio asintóticamente
estable (atractor o sumidero).
2. Si
1dx
xdh
t
*
*x es inestable y es un punto de equilibrio repulsor.
3. Si
1dx
xdh
t
*
y:
a) Si
,0dx
xhd
2t
*2
entonces *x es inestable.
b) Si
,0dx
xhd0
dx
xhd
3t
*3
2t
*2
entonces *x es inestable.
c) Si
,0dx
xhd0
dx
xhd
3t
*3
2t
*2
entonces *x es asintóticamente
estable.
4. Si
1dx
xdh
t
*
y:
a) Si
,0dx
xhd3
dx
xhd2
2
2t
*2
3t
*3
entonces *x es asintóticamente
estable.
b) Si
,0dx
xhd3
dx
xhd2
2
2t
*2
3t
*3
entonces *x es inestable.
1.- Ecuaciones en diferencias lineales de primer orden
Una típica ecuación en diferencias de primer orden lineal no homogénea
está dada por:
0tb,0t,x,tcxtbx 0t1t (XXVI)
MATEMÁTICAS PARA EL ANÁLISIS ECONÓMICO
429
La solución de (XXVI) la podemos obtener mediante el método de iteración
tal como sigue:
2c1c2b0c1b2bx0b1b2b
2c1c0c1bx0b1b2b2cx2bx
1c0c1bx0b1b
1c0cx0b1b1cx1bx
0cx0bx
0
023
0
012
01
Inductivamente, puede comprobarse que la solución de (XXVI) es:
1t
0j
1t
1ji
0
1t
0i
t jcibxibx (XXVII)
En donde el producto de todos los términos no existentes, como por ejemplo
los términos que van desde “ 1t ” hasta “t”, es igual a uno.
Un caso especial de la ecuación (XXVI) surge cuando tb es independiente
del tiempo, en cuyo caso (XXVI) se transforma en:
0b,0t,x,tcbxx 0t1t (XXVIII)
De acuerdo a (XXVII), la solución de (XXVIII) viene dada por:
1t
0j
1jt0
tt jcbxbx (XXIX)
En el caso que ,0tc se tendrá la versión homogénea de las ecuaciones
(XXVI) y (XXVIII). La solución de las versiones homogéneas de (XXVI) y
(XXVIII) se obtendrá eliminando el segundo sumando en las ecuaciones
(XXVII) y (XXIX) respectivamente.
Otro caso especial de la ecuación (XXVI) es que tanto tb y tc sean
constantes. Esto es:
0t,x,xhcbxx 0tt1t (XXX)
Empleando la ecuación dada por (XXVII), la solución de (XXX) vendrá
dada por:
1bsi;ctx11cxc1x1
1bsi;xxxbcbxb
x
0
veces"t"
0
1t
0j
1jt0
t
**0
t1t
0j
1jt0
t
t
(XXXI)
CIRO BAZÁN ECUACIONES EN DIFERENCIAS
430
Teorema 2: La ecuación en diferencias lineal de primer orden dada por
(XXX) (con 0x dado y “b” y “c” constantes) tiene solución dada por
(XXXI). Donde .b1
cx*
El comportamiento de la solución de (XXXI)
está dado en la tabla 1 (y está graficado en las figuras 2a y 2b) para todos
los posibles valores de “b” y “c”, y .x0 En particular, si
,1b11b entonces la solución de (XXXI) converge hacia *x
(asintóticamente estable), y si 1b1b,1b la solución de (XXXI)
es divergente (inestable) a menos que .xx *0
Hipótesis Conclusiones
Caso b c 0x Para
,2,1t
La solución es:
(a) 1b *0 xx
*t xx Constante (= *x ). Estable.
(b) 1b *0 xx
*t xx
Monótona creciente,
diverge a . Inestable.
( c) 1b *0 xx
*t xx
Monótona decreciente,
diverge a . Inestable.
(d) 1b0 *0 xx
*t xx
Monótona decreciente,
converge a *x .
Asintóticamente estable.
( e) 1b0 *0 xx
*t xx
Monótona creciente,
converge a *x .
Asintóticamente estable.
(f) 0b1 *0 xx
Oscilatoria amortiguada,
converge a *x .
Asintóticamente estable.
(g) 1b *0 xx
Marginalmente estable.
Presenta oscilaciones no
amortiguadas (de amplitud
constante) alrededor de *x .
No presenta estabilidad
asintótica.
(h) 1b *0 xx
Divergente, oscila
infinitamente alrededor
de *x .
(i) 1b 0c 0t xx Constante (= 0x ).
(j) 1b 0c 0t xx Monótona creciente,
diverge a .
(k) 1b 0c 0t xx Monótona decreciente,
diverge a .
Tabla 1: Comportamiento de la solución de cbxx t1t
MATEMÁTICAS PARA EL ANÁLISIS ECONÓMICO
431
0 2 4 6 8 10 0 2 4 6 8 10
0 2 4 6 8 10 0 2 4 6 8 10
(c) (d)
(b) (a)
x* = x0 x*
x0
x* x* x0
xt xt
xt xt
0 2 4 6 8 10
x*
xt
(e)
x0
x0
t t
t
t
t
0 2 4 6 8 10
x*
xt
(f)
x0
t
Figura 2a: Comportamiento de la solución de cbxx t1t
CIRO BAZÁN ECUACIONES EN DIFERENCIAS
432
0 2 4 6 8 10
(i)
x0
t
0 2 4 6 8 10
(k)
x0
xt
t
0 2 4 6 8 10
x*
xt
(g)
x0
t
0 2 4 6 8 10
(j)
x0
xt
t
xt
0 2 4 6 8 10
x*
xt
(h)
x0
t
Figura 2b: Comportamiento de la solución de cbxx t1t
Ejemplos:
1.- Resolver la siguiente ecuación en diferencias y graficar su solución.
0t,1x,!2t3x2tx 0t
t1t
Comparando la ecuación anterior con (XVII), resulta que:
!2j3jc!2t3tc
2iib2ttb
jt (1)
MATEMÁTICAS PARA EL ANÁLISIS ECONÓMICO
433
Reemplazando (1) y 1x0 en (XXVII) la solución será:
1t
0j
j1t
1ji
1t
0i
t !2j32i2ix
!1t32i!432i
!332i!232i1tt432x
1t
1
1t
ti
21t
3i
11t
2i
01t
1i
t
!1t3432131tt65
32131tt654
2131tt65431tt654321x
1t2
1
0t
!1t3
31tt65432131tt654321
31tt6543211tt654321x
1t
21
0t
!1t33!1t3!1t3!1t!1tx 1t210t
1t
0i
i1t210t 3!1t!1t3333!1t!1tx
,3,2,1t,2
13!1t
2
13!1t!1tx
tt
t
Reemplazando en la expresión anterior ,3,2,1t se tiene:
t 0 1 2 3 4 5 6
tx 1 4 30 336 4920 87840 1839600
El gráfico de la solución de la ecuación en diferencias se muestra a
continuación.
CIRO BAZÁN ECUACIONES EN DIFERENCIAS
434
0
500000
1000000
1500000
2000000
0 1 2 3 4 5 6
t
Xt
Figura 3
2.- Resolver la siguiente ecuación en diferencias y graficar su solución.
1x,3x3x 0t
t1t
Comparando la ecuación anterior con (XXVIII), resulta que:
jt 3jc3tc
3b (2)
Reemplazando (2) y 1x0 en (XXIX) la solución será:
1t
0j
1tt1t
0j
j1jttt 33333x
3t33t3x 1t1ttt
Reemplazando en la expresión anterior ,3,2,1t se tiene:
t 0 1 2 3 4 5 6
tx 1 4 15 54 189 648 2187
El gráfico de la solución de la ecuación en diferencias se muestra a
continuación.
MATEMÁTICAS PARA EL ANÁLISIS ECONÓMICO
435
0
500
1000
1500
2000
2500
0 1 2 3 4 5 6
t
Xt
Figura 4
3.- Amortización (Zhang, 2006): es el proceso por el cuál un préstamo es
liquidado a través de una secuencia de pagos, cada uno de los cuales es
parte del pago de intereses y parte del pago para reducir la deuda
principal. Sea tD la deuda principal después del t-ésimo pago .pt
Supóngase que los intereses se cobran de manera compuesta a una tasa
“r” por periodo de pago. La deuda principal 1tD después de 1t
pagos es igual a la deuda principal tD después de “t” pagos más los
intereses trD incurridos durante el 1t -ésimo periodo menos el
t-ésimo pago ,pt esto es:
ttttt1t pDr1prDDD
Sea 0D la deuda inicial. Se pide determinar la solución de la ecuación
en diferencias anterior, es decir, determinar la deuda principal después
del t-ésimo pago. Además, si suponemos que el pago es constante e
igual a “M” y que el préstamo es saldado en “t” pagos, determine la
solución de la ecuación en diferencias anterior y el monto “M”
correspondiente al pago mensual.
Comparando la ecuación anterior con (XXVIII), resulta que:
jpjctptc
r1b (3)
Reemplazando (3) y 0D en (XXIX) la solución será:
1t
0j
1jt0
tt jpr1Dr1D
1t
0j
1jt0
tt jpr1Dr1D (4)
CIRO BAZÁN ECUACIONES EN DIFERENCIAS
436
Ahora si suponemos que ,Mjp entonces la solución (4) se
transforma en:
1t
0j
1jt0
tt Mr1Dr1D
1r1r
MDr1D
t0
tt (5)
Cuando el préstamo es completamente saldado en “t” pagos, resulta que
,0Dt por tanto, el pago mensual “M” vendrá dado por:
0t
tt
0t
t rD1r1
r1M01r1
r
MDr1D
(6)
4.- Dinámica de precios con expectativas adaptativas4 (Zhang, 2006): Hay
dos activos financieros disponibles para invertir; un depósito bancario
libre de riesgo que devenga (produce) una tasa de interés constante “r” a
perpetuidad, y una acción ordinaria, esto es, un crédito de capital en
alguna empresa, que paga una corriente conocida de dividendos por
acción, .dtss
Sea sp el precio real de mercado de una acción ordinaria
al comienzo del periodo “s”, antes que el dividendo 0ds sea pagado.
Supóngase también que los precios futuros de las acciones son
desconocidos pero que todos los inversores tienen la creencia común en
st que el precio será e1sp al comienzo del siguiente periodo.
Además, para que los dos activos financieros coexistan, sus
rentabilidades deben ser iguales, de lo contrario el menos rentable no
tendría compradores, es por eso que se considerará la siguiente
condición de arbitraje:
e1ttt pdpr1 (7)
La ecuación (7) significa que si una suma de tp unidades monetarias
fuese invertida en la bolsa de valores en el periodo “t”, ésta debería
producir en el periodo “ 1t ” una cantidad cuyo valor esperado e
1tt pd sería igual al principal más los intereses sobre una igual suma
invertida en depósitos bancarios.
4 En economía se dice que los individuos tienen expectativas adaptativas cuando basan sus expectativas de
lo que sucederá en el futuro teniendo en cuenta lo que ha ocurrido en el pasado. Es decir, en este tipo de
expectativas se supone que los individuos adoptan el valor pasado de las variables y lo corrigen de alguna
manera para obtener su valor presente. Por ejemplo, si en el pasado la inflación ha sido alta, los agentes
económicos podrían esperar que ésta sea alta en el futuro. Dado que en este tipo de expectativas se asume
que los individuos no actualizan sus conocimientos empleando toda la información de la que disponen, para
corregir este supuesto bastante restrictivo, surge la teoría de las expectativas racionales, en la cual se
supone que los individuos emplean toda la información que está a su alcance y actualizan sus
conocimientos utilizando el valor esperado condicionado a la información existente. Un caso particular
surge cuando los individuos tienen previsión perfecta, en este caso debido a que los individuos cuentan con
toda la información necesaria, el valor esperado de las variables coincide con su valor real.
MATEMÁTICAS PARA EL ANÁLISIS ECONÓMICO
437
La hipótesis de expectativas adaptativas fue introducida por Nervole en
1958 en su estudio del modelo de la “telaraña”. De acuerdo a esta
formulación, las expectativas son revisadas o “adaptadas” en cada
periodo sobre la base de la diferencia entre el valor observado y el valor
previamente esperado, es decir:
ett
e1t
ett
et
e1t pa1appppapp (8)
Donde el parámetro, ,1,0a describe la velocidad de aprendizaje. La
ecuación (8) nos dice que, si el valor observado del periodo anterior
“ tp ” ha sido mayor (igual ó menor) que el valor esperado para el mismo
periodo “ etp ”, es decir si ,0pp e
tt
entonces el nuevo valor esperado
“ e1tp ” es revisado hacia arriba, dejado constante, o revisado hacia
abajo.
Utilizando la condición de arbitraje para eliminar los precios esperados
de la ecuación de expectativas adaptativas, ecuación (8), demuestre que
se obtiene la siguiente ecuación en diferencias, luego de adelantar la
ecuación en un periodo:
tt1t bpp (9)
Donde:
ar1
da1db
1a00r10;ar1
a1r1
t1tt
(10)
Luego determine la solución de (9). Además, si suponemos que la
acción ordinaria de la empresa paga un dividendo constante “d”,
encuentre la solución de (9). Finalmente, determine el punto de
equilibrio y analice la estabilidad.
De (7) se tiene que:
tte
1t dpr1p (11)
Retardando en un periodo la ecuación (11) obtenemos:
1t1tet dpr1p (12)
Reemplazando (11) y (12) en (8) resulta:
1t1tttt dpr1a1apdpr1
t1t1tt dda1pr1a1par1
CIRO BAZÁN ECUACIONES EN DIFERENCIAS
438
ar1
da1dp
ar1
r1a1p
1tt1tt
(13)
Adelantando en un periodo la ecuación (13) obtenemos.
ar1
da1dp
ar1
r1a1p
t1tt1t
(14)
Finalmente, teniendo en cuenta (10), podemos escribir la ecuación (14)
tal como sigue:
tt1t bpp l.q.q.d
Por (XXVIII) y (XXIX), la solución de (9) vendrá dada por:
1t
0j
j1jt
0t
t bpp (15)
Por otra parte, si .ctedddctedd 1ttt Reemplazando esta
última condición en (10) se tiene que:
ctear1
adbbcte
ar1
adbb
1a00r10;ar1
a1r1
jt
(16)
Sustituyendo “ bbt ” en (9) resulta:
tt1t phbpp (17)
Teniendo en cuenta (XXX) y (XXXI), y el hecho que ,1 resulta que
la solución de (17) viene dada por:
1
b
1
bpp 0
tt (18)
Teniendo en cuenta la ecuación (XXII) y la ecuación (17), el punto de
equilibrio de (17) lo determinaremos a través de:
txph **
01
bpphbpp ****
MATEMÁTICAS PARA EL ANÁLISIS ECONÓMICO
439
Por tanto, la ecuación (18) puede escribirse tal como sigue:
**0
tt pppp (19)
Derivando (17) respecto de tp se tiene:
10si
dp
pdh
dp
pdh
dp
pdh
t
*
t
*
t
t (20)
Por tanto, de acuerdo al teorema 1, dado que
1dp
pdh0
t
*
entonces
*p es un punto de equilibrio asintóticamente estable (atractor o sumidero).
Además, de acuerdo a tabla 1, si 10 y ,pp *0 entonces tp es
monótona decreciente y converge a *p . Asimismo, si 10 y ,pp *0
entonces tp es monótona creciente y converge a *p .
0 2 4 6 8 10
(a)
p*
xt
0 2 4 6 8 10
p*
xt
(b)
p0
p0
t t
Figura 5: Dinámica de precios con expectativas
adaptativas
5.- El modelo lineal de la telaraña (Mavron, 2007): Este modelo es
utilizado en economía para analizar fluctuaciones periódicas en el
precio, en la oferta, y en la demanda que oscilan alrededor de un
equilibrio. Este modelo relaciona a bienes cuya producción no es
instantánea ni continua, sino que requieren un periodo de tiempo fijo
(en este modelo se toma a dicho periodo como la unidad de medida
temporal). Se asume que las cantidades involucradas cambian
únicamente en intervalos de tiempo discretos y que existe un rezago de
tiempo en la respuesta de los productores ante cambios en los precios.
Por ejemplo, este año la oferta de un particular producto agrícola
depende del precio obtenido en la cosecha del año anterior. Por
supuesto que la demanda del producto dependerá del precio de este
año. Otro ejemplo es el de los paquetes de vacaciones. La oferta de
vacaciones de la empresa de vacaciones para esta estación dependerá
de los precios obtenidos en la última estación.
CIRO BAZÁN ECUACIONES EN DIFERENCIAS
440
En general, se asume que la función de oferta en el periodo “t” para un
único bien viene dada por:
0b,0a;bappOQ 1t1tOt (21)
Donde OtQ es la oferta en el periodo “t” que depende de ,p 1t el precio
en el periodo “ 1t ” (precio del periodo previo). La ecuación de la
demanda, que depende del precio vigente en cada periodo “t”, viene
dada por:
0d,0c;dcppDQ ttDt (22)
Aquí a, b, c, y d son parámetros reales. Inicialmente ,0t y luego “t”
se incrementa en una unidad en cada periodo. Se supondrá que en el
periodo inicial partimos de un precio 0p diferente al precio de
equilibrio intertemporal, ,p* debido a un disturbio exógeno (por
ejemplo una sequía). Al precio 0p le corresponde una cantidad inicial
.q0 Asimismo, supondremos que la producción total de cada periodo
será vendida en el mercado (no existen inventarios). Asumiendo que el
mercado se vacía (el mercado está en equilibrio en el sentido que en
cada periodo ningún productor se queda con alguna cantidad de su
producción sin vender y ningún consumidor se queda sin satisfacer su
demanda) en cada periodo „t”, se tiene que:
Dt
Ot QQ (23)
Reemplazando (21) y (22) en (23) resulta que:
c
dbp
c
apdcpbap 1ttt1t (24)
Adelantando (24) en un periodo, se tiene que:
tt1t phc
dbp
c
ap
(25)
En este punto es importante resaltar que el precio de mercado “ tp ” es
de equilibrio en cada periodo, esto es, el mercado se vacía en cada
periodo. Sin embargo, este precio fluctuará con el tiempo.
Teniendo en cuenta (XXXI) y que ,0ca1ca la solución de (25)
está dada por:
**0
t
t pppc
ap
(26)
Donde se tiene que el precio de equilibrio intertemporal “ *p ” viene
dado por:
ac
dbp* (27)
MATEMÁTICAS PARA EL ANÁLISIS ECONÓMICO
441
De acuerdo al teorema 1, las condiciones de estabilidad requieren
,1
c
a
dp
pdh
t
*
que siempre se satisface si la oferta “O” es menos
inclinada que la demanda “D”. Por otro lado, si
,1
c
a
dp
pdh
t
*
entonces el precio será divergente del precio de
equilibrio intertemporal (la oferta “O” es más inclinada que la
demanda “D”). En particular, si ,0c
a10
c
a1
el precio de
equilibrio del mercado “ tp ”, dado por (26), tenderá, con el tiempo,
hacia el precio de equilibrio intertemporal de forma oscilatoria.
Además, si ,1c
a1
c
a
el precio de equilibrio del mercado “ tp ”,
se alejará, con el tiempo, del precio de equilibrio intertemporal de
forma oscilatoria. Finalmente, si ,1c
a1
c
a
el precio de
equilibrio del mercado “ tp ”, oscilará indefinidamente y con amplitud
uniforme alrededor del precio de equilibrio intertemporal.
Este modelo es representado en la figura 6. Las funciones de oferta y
de demanda son indicadas por “O” y “D” respectivamente. En las
figuras 6 (a), 6 (b) y 6 (c) se observa que partiendo de un precio inicial
,pp *0 este precio 0p da una cantidad ofertada en el siguiente periodo
de ,Q1 leída de la curva de oferta e indicada por el punto “a”. Pero, ya
que la demanda iguala a la oferta en cada periodo, esto también da una
cantidad demandada de ,Q1 mientras esta cantidad demandada implica
un precio 1p en el periodo 1. Esto a su vez significa que la cantidad
ofertada en el periodo 2 es .Q2 Y así la secuencia continua.
Tal como se aprecia en las figuras 6 (a), 6 (b) y 6 (c), se obtienen
trayectorias con la forma de una “telaraña”, que dan nombre al modelo.
En la figura 6 (a) se aprecia una telaraña explosiva (la oferta es más
empinada que la demanda), en la figura 6 (b) se observa una telaraña
convergente (la demanda más empinada que la oferta), mientras que en
la figura 6 (c) se aprecia una telaraña de oscilación uniforme (la
demanda y la oferta tienen igual inclinación). Asimismo, en la figura 7
(a) se observa la evolución en el tiempo del precio de mercado “ tp ”
para el caso en que la oferta es más empinada que la demanda, en la
figura 7 (b) se aprecia el caso en que la demanda más empinada que la
oferta, mientras que en la figura 7 (c) se observa el caso en que la
oferta y la demanda tienen la misma inclinación.
CIRO BAZÁN ECUACIONES EN DIFERENCIAS
442
1t
t
p
p
D
O tQ
3p 1p 2p 4p 0p *p
1Q 3Q
4Q 2Q
(a)
a b
c d
e
ca
D
O
1p 3p 2p 0p 4p *p
3Q 1Q
2Q 4Q
(b)
1t
t
p
p
tQ
a b
c d
e
ca
D
O
1p 0p *p
1Q
0Q
(c)
1t
t
p
p
tQ
a b
c d
ca
0Q
0Q
Figura 6: Modelo lineal de la telaraña
MATEMÁTICAS PARA EL ANÁLISIS ECONÓMICO
443
0 2 4 6 8 10
pt
t
p* p1
p2
p3
p0
p4
(a)
ca
0 2 4 6 8 10
p*
pt
p0
t
p1
p2
p3
p4
(b)
ca
0 2 4 6 8 10
pt
(c)
p0
t
p*
ca
p1
Figura 7: Modelo lineal de la telaraña
Finalmente, de la ecuación (26) se desprende el hecho que si ,pp *0
en consecuencia ,pp *t es decir, el precio permanece fijo en *p si no
ocurre ningún disturbio exógeno y esto es lo que se entiende por
equilibrio estático.
CIRO BAZÁN ECUACIONES EN DIFERENCIAS
444
6.- Modelo de crecimiento de la renta nacional en una economía en
expansión (Goldberg, 1958):
0r;rIYYY
,2,1,0t1m0y0c;mYcC
;ICY
tt1tt
tt
ttt
(28)
La primera ecuación de (28) nos dice que la renta nacional “ tY ” está
constituida por dos componentes: el consumo “ tC ” y la inversión
“ tI ”.
La segunda ecuación de (28) nos dice que los gastos de consumo
dependen linealmente de la renta nacional. Donde “c” es el consumo
autónomo y “m” representa la propensión marginal a consumir. La
inecuación 1m0 simplemente expresa el hecho que cualquier
incremento en la renta es en parte, pero no completamente, convertido
en un incremento en el consumo.
La tercera ecuación de (28) nos expresa que el incremento en
capacidad (o renta nacional total) “ tY ” causado por una unidad de
inversión “ tI ” es igual al factor de crecimiento “r”.
El objetivo del análisis dinámico de esta economía es obtener las
ecuaciones en diferencias que satisfacen las funciones “Y” e “I”, y sus
respectivas soluciones. Para ello, vamos a despejar “ tI ” de la primera
ecuación de (28):
ttt CYI (29)
Reemplazando (29) en la tercera ecuación de (28) resulta:
ttt1tt CYrYYY (30)
Reemplazando la segunda ecuación de (28) en (30) se tiene que:
rcYm1r1YmYcYrYY t1tttt1t (31)
La ecuación (31) es la ecuación en diferencias de primer orden que
satisface la renta nacional. Para encontrar la correspondiente ecuación
en diferencias para los gastos en inversión vamos a adelantar en un
periodo la ecuación (29):
1t1t1t CYI (32)
Restando (29) de (32) resulta:
t1tt1ttt1t1tt1t CCYYCYCYII (33)
MATEMÁTICAS PARA EL ANÁLISIS ECONÓMICO
445
Reemplazando la tercera ecuación de (28) en (33) se tiene:
t1ttt1t CCrIII (34)
Por otro lado, adelantando en un periodo la ecuación de (28) se
obtiene:
1t1t mYcC (35)
Restando a (35) la segunda ecuación de (28) obtenemos que:
tt1tt1tt YmYYmCCC (36)
Reemplazando (36) en (34) se desprende que:
t1ttt1t YYmrIII (37)
Sustituyendo la tercera ecuación de (28) en (37) se tiene:
t1tttt1t Im1r1ImrIrIII (38)
Note que de (38) se desprende que la tasa de crecimiento de la
inversión de esta economía, entre dos periodos consecutivos, viene
dada por:
m1rI
II
I
t1tII
I
tI
t
t1t
t
t1t
t
1t
(39)
Note que del sistema (28) ,0m1r por tanto “I” es una función
creciente de “t”. La inversión crece a una tasa constante ,m1r esta
proporción positiva de la inversión tI es añadida a tI para producir
,I 1t la inversión en un periodo posterior. Teniendo en cuenta (XXXI)
y que 1m1r1 , la solución de (38), para un valor 0I dado, viene
dada por:
,2,1,0t;Im1r1I 0t
t (40)
Dado que ,1m1r1 entonces conforme ,t entonces
.It (Modelos más realistas, con valores máximos y mínimos
para la inversión y la renta, han sido considerados posteriormente).
Finalmente, Teniendo en cuenta (XXXI) y que 1m1r1 , la
solución de (31), para un valor 0Y dado, viene dada por:
,2,1,0t;YYYm1r1Y **0
tt (41)
Donde .m1cY* En consecuencia, si ,YY *0 conforme
,t entonces .Yt
CIRO BAZÁN ECUACIONES EN DIFERENCIAS
446
Harrod consideró el caso particular en el que .0c En este caso, como
puede apreciarse del hecho que las ecuaciones (31) y (38) asumen
precisamente la misma forma, la renta y la inversión deberían crecer a
la misma tasa garantizada de crecimiento5, dada por la constante
,m1r para mantener el pleno empleo.
VI.4. Ecuaciones en diferencias lineales de orden superior
La forma normal de una ecuación en diferencias lineal no homogénea de orden “n”
está dada por:
tcxtbxtbxtbx tn2nt21nt1nt (XXXII)
Donde tbi y tc son funciones de variable real definidas para 0t y 0tbn para
todo .0t Aquí la sucesión tc es denominada fuerza externa, control, o entrada del
sistema. Si tc es idénticamente nula, entonces la ecuación (XXXII) se dice que es
una ecuación homogénea:
0xtbxtbxtbx tn2nt21nt1nt (XXXIII)
Podemos evaluar ,xn haciendo 0t en (XXXII), con:
0n2n21n1n x0bx0bx0b0cx (XXXIV)
Similarmente, se puede evaluar ,x,x 2n1n etc., para .nt Una sucesión 0tx o
simplemente tx se dice que es una solución de (XXXII) si ésta satisface dicha
ecuación. Si junto a (XXXII) se especifican ,ax,,ax,ax 1n1n1100 donde
los ia son números reales, se tiene el problema de valores iniciales, cuya única
solución es .x t
Definición 2: Un conjunto de “n” funciones tf,,tf,tf n21 se dice que son
linealmente independientes si podemos encontrar un conjunto de “n” constantes
n21 a,,a,a no todas nulas tales que satisfacen la siguiente expresión como una
identidad:
0t,0tfatfatfatfan
1i
iinn2211
(XXXV)
5 Suponiendo que en esta economía (cerrada y sin sector público) en un periodo de pleno empleo, con renta
a un nivel tal que no todo se consume, sino que una cierta proporción queda para invertir. Cuando se
invierte, esta proporción causará un incremento en la capacidad (renta nacional total) del sistema y si se
mantiene el pleno empleo, los gastos de inversión también tendrán que crecer. Y este incremento en la
inversión nuevamente incrementará la capacidad que a su vez incrementará la inversión, etc. La tasa de
crecimiento de la inversión requerida para mantener pleno empleo es la denominada tasa garantizada de
Harrod.
MATEMÁTICAS PARA EL ANÁLISIS ECONÓMICO
447
Definición 3: Un conjunto de “n” soluciones linealmente independientes de
(XXXIII) es denominado un conjunto fundamental de soluciones.
Teorema 3: Un conjunto de “n” funciones tf,,tf,tf n21 son linealmente
independientes si y sólo si en ,0t el siguiente determinante, denominado
Casoratiano, es distinto de cero. Esto es:
1ntf1ntf1ntf
1tf1tf1tf
tftftf
tW
n21
n21
n21
(XXXVI)
0
1nf1nf1nf
1f1f1f
0f0f0f
0W
n21
n21
n21
(XXXVII)
Teorema 4: Principio de Superposición: Sean tf,,tf,tf n21 “n” soluciones
linealmente independientes de (XXXIII); esto es, un conjunto fundamental de
soluciones de (XXXIII). Entonces, la solución general de (XXXIII), denominada
solución complementaria, está dada por:
n
1i
iinn2211c tfctfctfctfctX (XXXVIII)
Donde ic son constantes arbitrarias.
Teorema 5: Si txc es la solución complementaria de (XXXIII), y txp es
cualquier solución particular de (XXXII), entonces la solución general de la ecuación
(XXXII) está dada por:
txtxx pct (XXXIX)
1. Ecuaciones en diferencias lineales de orden superior con
coeficientes constantes
La forma normal de una ecuación en diferencias lineal no homogénea de
orden “n” con coeficientes constantes está dada por:
tcxbxbxbx tn2nt21nt1nt (XL)
Donde n21 b,,b,b son constantes y tc son funciones de variable real
definidas para 0t y .0bn
CIRO BAZÁN ECUACIONES EN DIFERENCIAS
448
Si tc es idénticamente nula, entonces la ecuación (XL) se dice que es una
ecuación homogénea:
0xbxbxbx tn2nt21nt1nt (XLI)
Suponiendo que ,rx tt con ,0r es una solución de (XLI), entonces
resulta que:
ntnt
2t2t
1t1t rx,,rx,rx
(XLII)
Reemplazando (XLII) en (XLI) resulta:
0rbrbrbr tn
2nt2
1nt1
nt
0rrbrbrr n2n
21n
1nt
Se sigue que tt rx es una solución de (XLI) si “r” es solución de la
siguiente ecuación, denominada ecuación característica o polinomio
característico:
0brbrbrrp n2n
21n
1n (XLIII)
La solución del polinomio (XLIII) implica la obtención de “n” raíces. Si “n1”
raíces son reales y distintas, “n2” son raíces reales e iguales entre sí y “n3”
raíces son pares de complejas conjugadas, tal que se verifica que
,nn2nn 321 la solución complementaria vendrá dada por:
321 n
1i
iiiiti
n
1i
t1ii
n
1i
tiic tsenGtcosCzrtBrAtx (XLIV)
Donde la primera sumatoria está vinculada a las raíces reales y distintas, la
segunda sumatoria se refiere a las raíces reales e iguales, y la tercera
sumatoria se asocia con las raíces complejo conjugadas de (XLIII). Las “n”
constantes arbitrarias (“n1” constantes Ai, “n2” constantes Bi, “n3” constantes
Ci y “n3” constantes Gi) se podrán determinar a partir de “n” condiciones
iniciales. Donde 2i2
ii qpz y .pqtg ii1
i Siendo “pi” y “qi”
la parte real y la parte imaginaria del i-ésimo par de raíces complejo
conjugadas.
Para poder encontrar la solución general de (XL), aplicando el teorema 5,
primero debemos determinar las soluciones particulares de (XL). Para ello,
vamos a presentar el método de los coeficientes indeterminados.
El método de los coeficientes indeterminados resulta útil en la búsqueda de
soluciones particulares de (XL) cuando la función tc está constituida por
términos que tienen ciertas formas especiales.
MATEMÁTICAS PARA EL ANÁLISIS ECONÓMICO
449
De acuerdo a cada término presente en tc consideramos una solución
tentativa que contiene un número de constantes desconocidas, las cuales
serán determinadas por sustitución en la ecuación en diferencias. Las
soluciones tentativas a ser utilizadas en cada caso se muestran en la siguiente
tabla, donde las letras que aparecen en dichas soluciones representan
constantes desconocidas a ser determinadas.
Etapa 1
Inicialmente plantear .tstxp
Términos en tc Solución tentativa inicial: ts
0c 0d
ta tA
tsen ó tcos tcosBtAsen
nn
2210 tatataa n
n2
210 tAtAtAA
nn
2210
t tatataa nn
2210
t tAtAtAA
tsent ó tcost tcosBtAsent
nat n
n2
210 tAtAtAA
nt ta nn
2210
t tAtAtAA
Etapa 2 Comprobar si tstxp o algún término de ts es solución de
la ecuación (XLI).
Etapa 3
Si tstxp no es solución de la ecuación (XLI), entonces la
solución planteada en la etapa 1, ,tstxp es la solución
particular de (XL).
Etapa 4
Si tstxp o algún término de ts es solución de la ecuación
(XLI), entonces multiplique ts por la menor potencia entera
positiva de “t” requerida para obtener una función que no sea
solución de (XLI). Es decir, si tstxp no funciona, entonces
intentamos con ;ttstxp si esto último no funciona, probamos
con tsttx 2p y así sucesivamente.
Tabla 2: Método de los coeficientes indeterminados
El único requerimiento que debe cumplirse para garantizar el éxito es que
ningún término de la solución tentativa debe aparecer en la solución
complementaria. Si algún término de la solución tentativa aparece en la
solución complementaria entonces toda la solución tentativa correspondiente
a este término debe ser multiplicada por una potencia entera positiva de “t”
que sea lo suficientemente grande de modo que ningún miembro de la
solución tentativa aparezca en la solución complementaria. El proceso será
ilustrado en los siguientes ejemplos.
Finalmente, la solución general de la ecuación (XL) está dada por (XXXIX).
CIRO BAZÁN ECUACIONES EN DIFERENCIAS
450
Ejemplos:
1. Resolver la siguiente ecuación en diferencias y graficar su solución.
0t,2x,1x,5xx2x 10t1t2t
La ecuación homogénea de la ecuación en diferencias anterior viene
dada por:
0xx2x t1t2t (1)
El polinomio característico de (1) resulta:
2n1rrr01r1r2rrp 22122 (2)
Se puede verificar que las funciones ttfy1tf 21 son un
conjunto fundamental de soluciones de (1). Además, reemplazando (2)
en (XLIV), resulta que la solución complementaria viene dada por:
tBB1tB1BrtBtx 21t
2t
1
2
1i
t1iic
(3)
Asimismo, se puede comprobar el cumplimiento del teorema 3, ya que:
0111
01
1f1f
0f0f0W
21
21
Ahora vamos a determinar la solución particular. Dado que tc es una
constante, y dado que el primer término de (3) es una constante,
entonces como solución tentativa probaremos una constante
multiplicada por “ 2t ” [con esto evitamos también que la solución
tentativa adopte la forma del segundo sumando de la solución
complementaria dada por (3)], esto es:
22t2
1t2
tp 2tkx,1tkxktxtx (4)
Reemplazando (4) en la ecuación en diferencias original resulta:
2p
222t5,2tx5,2k5kt1tk22tk (5)
Por tanto, la solución general será:
221pct t5,2tBBtxtxx (6)
MATEMÁTICAS PARA EL ANÁLISIS ECONÓMICO
451
Reemplazando las condiciones iniciales en (6) tenemos que:
5,1B25,2B1x
1Bx
221
10 (7)
Sustituyendo (7) en (6) tenemos que:
2t t5,2t5,11x (8)
Figura 8
2. Resolver la siguiente ecuación en diferencias y graficar su solución.
0t,24x,5x,45x4x4x 21t
t1t2t
La ecuación homogénea de la ecuación en diferencias anterior viene
dada por:
0x4x4x t1t2t (9)
El polinomio característico de (9) resulta:
2n2rrr02r4r4rrp 22122 (10)
Se puede verificar que las funciones t2
t1 2ttfy2tf son un
conjunto fundamental de soluciones de (9). Además, reemplazando (10)
en (XLIV), resulta que la solución complementaria viene dada por:
t2
t1
2
1i
t1iic 2tB2BrtBtx
(11)
CIRO BAZÁN ECUACIONES EN DIFERENCIAS
452
Asimismo, se puede comprobar el cumplimiento del teorema 3, ya que:
0222
01
1f1f
0f0f0W
21
21
Ahora vamos a determinar la solución particular. Dado que t45tc
no forma parte de la ecuación (11), entonces como solución tentativa
probaremos .4k t En consecuencia, resulta que:
2t2t
1t1t
ttp 4kx,4kx4kxtx
(12)
Reemplazando (12) en la ecuación en diferencias original resulta:
tp
tt1t2t 425,1tx25,1k454k44k44k (13)
Por tanto, la solución general será:
tt2
t1pct 425,12tB2Btxtxx (14)
Reemplazando las condiciones iniciales en (14) tenemos que:
1B
1B
2420B8B4x
55B2B2x
2
1
212
211 (15)
Sustituyendo (15) en (14) tenemos que:
1tttttt 451t2425,12t2x (16)
Figura 9
MATEMÁTICAS PARA EL ANÁLISIS ECONÓMICO
453
3. Resolver la siguiente ecuación en diferencias y graficar su solución.
0t,2x,1x,t2
cosxx 10t2t
La ecuación homogénea de la ecuación en diferencias anterior viene
dada por:
0xx t2t (17)
El polinomio característico de (17) resulta:
20
1tg
110z
1n
ir01rrp
11
221
3
12 (18)
Se puede verificar que las funciones
t
2sentfyt
2costf 21 son un conjunto fundamental de
soluciones de (17). Además, reemplazando (18) en (XLIV), resulta que
la solución complementaria viene dada por:
t
2senGt
2cosCtx 11c (19)
Asimismo, se puede comprobar el cumplimiento del teorema 3, ya que:
0110
01
1f1f
0f0f0W
21
21
Ahora vamos a determinar la solución particular. Dado que
t
2costc no forma parte de la ecuación (19), entonces como
solución tentativa probaremos .t2
coskt
En consecuencia, resulta
que:
2t
2cos2tkxt
2cosktxtx 2ttp (20)
CIRO BAZÁN ECUACIONES EN DIFERENCIAS
454
Reemplazando (20) en la ecuación en diferencias original resulta:
2
1kt
2cost
2coskt2t
2cos2tk
t
2cost
2
1tx p (21)
Por tanto, la solución general será:
t
2cost
2
1t
2senGt
2cosCtxtxx 11pct (22)
Reemplazando las condiciones iniciales en (22) tenemos que:
2Gx
1Cx
11
10 (23)
Sustituyendo (23) en (22) tenemos que:
t
2sen2t
2cos
2
t1x t (24)
Figura 10
MATEMÁTICAS PARA EL ANÁLISIS ECONÓMICO
455
4. Resolver la siguiente ecuación en diferencias y graficar su solución.
0t,5x,20x,10x,tsenexxxx 210t3
t1t2t3t
La ecuación homogénea de la ecuación en diferencias anterior viene
dada por:
0xxxx t1t2t3t (25)
El polinomio característico de (25) resulta:
20
1tg
110z
1n
1n
ir
1r01rrrrp
11
221
3
1
2
123 (26)
Se puede verificar que las funciones
t
2sentfyt
2costf,1tf 321 son un conjunto
fundamental de soluciones de (25). Además, Reemplazando (26) en
(XLIV), resulta que la solución complementaria viene dada por:
t
2senGt
2cosCAtx 111c (27)
Asimismo, se puede comprobar el cumplimiento del teorema 3, ya que:
02
011
101
011
2f2f2f
1f1f1f
0f0f0f
0W
321
321
321
Ahora vamos a determinar la solución particular. Dado que
t2senetc t3 no forma parte de la ecuación (27), entonces como
solución tentativa probaremos .tcosBtAsene t3 En
consecuencia, resulta que:
t93t3
3t
t62t3
2t
t31t3
1t
t3tp
xe3tcosB3tAsenex
xe2tcosB2tAsenex
xe1tcosB1tAsenex
tcosBtAsenextx
(28)
CIRO BAZÁN ECUACIONES EN DIFERENCIAS
456
Reemplazando (28) en la ecuación en diferencias original resulta:
tsenex1eee t3t
369
tsene95,0xtx t3tp (29)
Por tanto, la solución general será:
txtxx pct
tsene95,0t2
senGt2
cosCAx t3111t
(30)
Reemplazando las condiciones iniciales en (30) tenemos que:
5,2C
5,12G
5,7A
5CAx
20GAx
10CAx
1
1
1
112
111
110
(31)
Sustituyendo (31) en (30) tenemos que:
tsene95,0t2
sen5,12t2
cos5,25,7x t3t
(33)
Figura 11
Capítulo VII
OPTIMIZACIÓN DINÁMICA
VII.1 Introducción
El problema fundamental de la economía consiste en la asignación eficiente de
recursos escasos entre distintos fines competitivos. La manera más sencilla de
resolver este problema es a través de la programción matemática considerando
que las variables económicas son invariantes en el horizonte temporal o que nos
encontramos en un determinado instante del tiempo. Bajo estas simplificaciones,
estaríamos frente a un problema de optimización estática que busca optimizar
una función (función objetivo) a través de la elección de ciertas variables
(variables de elección o de decisión) que pueden tomar valores dentro de un
conjunto de oportunidades (conjunto factible). La solución buscada en tales
problemas usualmente consta de una única magnitud óptima para cada variable
de elección, lo cuál no exige un programa de acción secuencial óptima.
Cuando permitimos que las variables de elección varíen con el tiempo, sujetas a
una determinada dinámica entre un instante inicial y un instante final, nos
encontramos frente a un problema de Optimización Dinámica u Optimización
Intertemporal. La optimización dinámica estudia la optimización de sistemas
dinámicos, esto es, la optimización de sistemas que evolucionan con el tiempo.
Dado un sistema que evoluciona en el tiempo, se busca conducir o controlar el
sistema de manera óptima a lo largo de un horizonte de tiempo determinado, de
acuerdo a un objetivo previamente establecido.
En contraste a los problemas de optimización estática, los problemas de
optimización dinámica plantean la interrogante de cuál es la magnitud óptima de
una variable de elección en cada periodo del tiempo dentro de un periodo de
planificación (caso de tiempo discreto) o en cada instante del tiempo en un
intervalo de tiempo dado, digamos 10 t,t (caso de tiempo continuo). Es incluso
posible considerar un horizonte de planificación infinito, de manera que el
intervalo relevante pordría ser .,t0 Es decir, desde el instante actual hasta la
“eternidad”. La solución de un problema de optimización dinámica por tanto,
adoptará la forma de una senda (trayectoria) de tiempo óptima para cada variable
de elección, detallando el mejor valor de dicha variable desde el inicio del
periodo de planificación hasta el final del mismo.
CIRO BAZÁN OPTIMIZACIÓN DINÁMICA
458
Por ejemplo, la economía de un país es un sistema que evoluciona a lo largo del
tiempo, por lo que rerpresenta un sistema dinámico. En determinado instante, el
estado de dicha economía es recogido en un cuadro macroeconómico, donde
figuran los valores de las siguientes variables (variables de estado1): consumo
privado y consumo público, variación de existencias, demanda interna,
importaciones y exportaciones, PBI, tasa de inflación, tasa de desempleo, etc. La
autoridad económica decide realizar una serie de medidas de política fiscal y de
política monetaria (variables de control2), que van a afectar el comportamiento
de los agentes económicos y que conducirán a nuevos valores de las variables de
estado, cuando éstas sean presentadas en el futuro. Los valores del cuadro
macroeconómico al final del año dependerán de los valores del mismo a
comienzos de año, de las medidas de política económica adoptadas durante el
transcurso del año, y de la respuesta de los agentes económicos a dichas
medidas. Las medidas de política económica dependerán de los objetivos que
tenga el gobierno en el instante que se adoptan.
Para poder resolver el ejemplo anterior con las técnicas de la optimización
dinámica, será necesario que el sistema dinámico en cuestión se pueda expresar
matemáticamente a través de un sistema de ecuaciones diferenciales (tiempo
continuo) o mediante ecuaciones en diferencias (horizonte temporal discreto),
que contengan las variables de estado y las de control. Además, las condiciones
iniciales del sistema, las restricciones de las variables, y la funcional3 objetivo
del problema tienen que poderse representar matemáticamente.
Existen tres métodos diferentes para resolver problemas de optimización
dinámica los cuales son equivalentes en muchos sentidos. El primer método es el
del Cálculo de Variaciones (1696) que resuelve el problema con las Ecuaciones
de Euler (1744). El segundo método es el del Control Óptimo o Teoría Moderna
de Control que resuelve el problema por medio del Principio del Máximo de
Pontryagin (1958). El tercer método se denomina Programación Dinámica que
se basa en el Principio de Optimalidad de Bellman (1957). Las tres
aproximaciones pueden formularse en tiempo discreto o en tiempo continuo.
El cálculo de variaciones se ha aplicado fundamentalmente, tras su
descubrimiento, en mecánica (campo de la física). El desarrollo sistemático del
control óptimo se inició en los EEUU alrededor de 1930 en el campo de las
ingenierías mecánica y eléctrica. Durante las décadas del cincuenta y del sesenta
del siglo pasado, en el campo de la economía, aparecen algunas aportaciones
aisladas sobre el control óptimo. En los años sesenta se utiliza de forma
sistemática las técnicas del conrol óptimo en la teoría de crecimiento, y desde
entonces se difunden trabajos sobre el tema, los cuales han sido el instrumento
básico para describir el comportamiento de individuos y empresas cuando la
actividad económica se desarrolla a lo largo del tiempo.
1 Una variable de estado es aquella que define la dinámica de un sistema. Es aquella que describe el estado
de un sistema 2 Una variable de control es un instrumento que permite al agente que se enfrenta a un problema de
optimización dinámica influir sobre una variable de estado. En general, una variable de control está sujeta a
la elección discrecional del agente planificador, y se caracteriza porque la elección de dicha variable afecta
a la variable de estado. Es decir, una variable de control es aquella que puede ser controlada por el
planificador u operador del sistema en todo instante del tiempo. 3 Ver apéndice al final del capítulo.
MATEMÁTICAS PARA EL ANÁLISIS ECONÓMICO
459
En la actualidad, los métodos de la teoría de control se utilizan en el análisis
macroeconómico, tanto bajo la perspectiva de la macroeconomía clásica como
de la nueva macroeconomía clásica. El término “Economía Dinámica”
frecuentemente puede encontrarse en la literatura económica actual, en la cual la
teoría de control juega un papel preponderante.
VII.2 El cálculo de variaciones
El cálculo de variaciones es una técnica empleada para resolver problemas de
optimización dinámica, la cual es predecesora de la teoría del control óptimo. El
cálculo de variaciones es la aproximación clásica al problema de la optimización
dinámica, data del siglo XVII, y desde entonces este tema se ha constituido
como una parte importante de las matemáticas aplicadas. Los primeros en
resolver problemas de optimización dinámica utilizando está técnica fueron
Isaac Newton (1687) y los hermanos Bernoulli (1696)4.
En la economía, esta técnica se empleó por primera vez a finales de los años
veinte y a comienzos de los treintas en los trabajos de Roos5, Evans6, Ramsey7 y
Hotelling8. Su finalidad fue resolver problemas relativos a encontrar la
trayectoria temporal óptima de una variable, con el propósito de optimizar
alguna funcional relacionada con los beneficios o la utilidad.
1. Formulación del problema fundamental del cálculo de
variaciones: punto terminal fijo
En esta sección vamos a formular el problema básico del cálculo de
variaciones. Este problema se caracteriza porque la funcional a optimizar
(funcional objetivo) depende de una sola variable de estado, ,tx de una sola
variable de control, ,tx' de las condiciones iniciales y finales que están
completamente especificadas (condiciones de borde), no hay restricciones
(que podrían ser ecuaciones diferenciales o simplemente funciones del
tiempo y de las variables de estado), y el horizonte temporal es continuo.
bordedescondicionextx
xtx:a.s
dtt,tx,txfxJoptI
11
00
objetivofuncional
t
t
intermediafunción
'
x
1
0
4 Para más detalle, ver Kline, M. (1962): “Mathematics: A Cultural Approach”, Mass.: Addison-Wesley. 5 Roos, C. (1925): “A Mathematical Theory of Competition”, American Journal of Mathematics, 46, pp.
163-175. 6 Evans, G. (1924): “The Dynamics of Monopoly”, American Mathematical Monthly, febrero, pp. 77-83.
7 Ramsey, F. (1928): “A Mathematical Theory of Savings”, Economic Journal, Oxford: Blackwell
Publishers, diciembre, pp. 543-559. 8 Hotelling, H. (1931): “The Economics of Exhaustible Resourses”, Journal of Political Economy,
Chicago: The University of Chicago Press, abril, pp. 137-175.
CIRO BAZÁN OPTIMIZACIÓN DINÁMICA
460
Donde t,tx,txf ' es una función de clase C2,
,dt
tdxtx' y los parámetros
1010 xyx,t,t son dados previamente. Siendo el conjunto de todas las
funciones “x” con derivadas primeras y segundas continuas en un intervalo
cerrado 10 t,t con ,tttyt 1010 y que viene dado por:
.t,tenCesxt,t:x 102
10
Donde el conjunto factible (denominado conjunto de sendas admisibles)
viene dado por:
II1,0ixtxx ii
Es decir, la tarea del cálculo de variaciones consiste en encontrar entre todas
las trayectorias “x”, mostradas en la figura 1, que parten de x0 en el instante
t0 y llegan a x1 en el instante t1, aquella trayectoria *x , de clase C2 en 10 t,t
tal que ,1,0ixtx ii* que hace máxima (o mínima) la integral xJ
(funcional).
*x
0t 1t
00 xtx
11 xtx
t
tx
Figura 1
Para que el problema (I) se pueda resolver es necesario que la funcional sea
integrable, es decir que la integral sea convergente. Además, las funciones
que aparecen en dicho problema deberán ser continuas y continuamente
diferenciables. Esto es necesario ya que la metodología sobre la cual se basa
el cálculo de variaciones es muy semejante a la utilizada en el clásico cálculo
diferencial. La diferencia fundamental radica en que en lugar de utilizar la
diferencial “dx” que cambia el valor de ,xfy se empleará la “variación”
de una trayectoria (curva) completa “x” que afectará al valor de la funcional .xJ
Este problema se diferencia de un problema de optimización estática en dos
aspectos. En primer lugar, tiene carácter dinámico (aparece la variable
temporal) y la solución del problema es una trayectoria *x que depende del
tiempo. En segundo lugar, lo que se optimiza es una funcional, no una
función.
MATEMÁTICAS PARA EL ANÁLISIS ECONÓMICO
461
Sin pérdida de generalidad, inicialmente supondremos que todos los
problemas de cálculo de variaciones consisten en maximizar la funcional
objetivo xJ . Más adelante, cuando se expliquen las condiciones de segundo
orden, se distinguirán entre problemas de maximización y de minimización.
Por tanto, el problema que resolveremos será:
11
00
t
t
'
x
xtx
xtx:a.s
dtt,tx,txfxJmax
1
0
)III(
2. Optimalidad local: punto terminal fijo
Condición necesaria de primer orden: Ecuación de Euler (1744)
A la condición que permite seleccionar, de un extenso conjunto factible de
curvas (sendas o trayectorias) “ x ”, aquella que maximice o minimice la
funcional objetivo xJ (trayectoria óptima: *x ) se le denomina ecuación de
Euler. Por tanto, si 2* Cx resuelve el problema (III), es decir:
IVtxdtt,tx,txfxJdtt,tx,txfxJ
1
0
1
0
t
t
*'**
t
t
'
Para cualquier senda admisible ,Cx 2 dicha función debe satisfacer la
siguiente ecuación (Ecuación de Euler):
Vt,tttx
t,tx,txf
dt
d
tx
t,tx,txf10'
''
Si por simplicidad obviamos los paréntesis en “f”, en “x” y en “ 'x ”
tendremos:
VIt,tt
dt
fdf
x
f
dt
d
x
f10
xx'
'
Teniendo en cuenta que:
'xf
x 'x
t
t
t
CIRO BAZÁN OPTIMIZACIÓN DINÁMICA
462
La diferencial total de 'xf es:
dtt
fdx
x
fdx
x
fdf
'''
'x'
'
xxx
Por tanto:
VIIfxfxf
t
f
dt
dx
x
f
dt
dx
x
f
t
f
tx''
xx'
xxx
'
'xxx
''''
''''
Reemplazando (VII) en (VI) tenemos:
VIIIt,ttfxfxff 10tx''
xx'
xxx ''''
La ecuación (VIII) es una ecuación diferencial de segundo orden. A las
soluciones de esta ecuación se les denomina extremales9 y su forma genérica
es la siguiente:
IXC,C,txx 21
Donde C1 y C2 son constantes arbitrarias. Para obtener soluciones que
verifiquen la condición necesaria de máximo local del problema (III), hay
que resolver la ecuación de Euler (ecuación VIII) e imponer las condiciones
inicial y final dadas.
Condición necesaria de segundo orden: condición de
Legendre
Una condición necesaria de segundo orden de optimalidad local es la de
Legendre. Esta condición establece que si en el extremal tx* de (III) se
cumple que:
.tttpara,
IIIdelocalmínimo:tx0
IIIdelocalmáximo:tx0t,tx,txf 10
*
**'*
xx ''
3. Optimalidad global: punto terminal fijo
Condición suficiente de segundo orden:
Sea el problema de cálculo de variaciones (I). Donde t,tx,txf ' es una
función (función intermedia) dos veces diferenciable respecto a “x” y “ 'x ”,
entonces se verifica que:
9 Un extremal no tiene porque ser un óptimo, sólo es un candidato a óptimo.
MATEMÁTICAS PARA EL ANÁLISIS ECONÓMICO
463
a) Si f es cóncava respecto a “x” y “ 'x ”, entonces la ecuación de Euler es
una condición suficiente de máximo global.
b) Si f es convexa respecto a “x” y “ 'x ”, entonces la ecuación de Euler es
una condición suficiente de mínimo global.
Si t,tx,txf ' es una función de clase dos y es estrictamente cóncava
(convexa) en “x” y “ 'x ”, entonces la ecuación de Euler es una condición
suficiente de máximo (mínimo) global estricto (único).
Ejemplos:
Modelo de competencia dinámica
Un productor en un mercado competitivo desea encontrar el camino óptimo
de producción ,tx donde ,Tt0 de manera tal que partiendo de un nivel
de producción x0 en ,0t alcance un nivel objetivo xT en el instante T, de
modo que se maximicen los beneficios.
Debido al carácter dinámico del problema, dichos beneficios dependerán del
tiempo, y los consideraremos como la diferencia entre los ingresos y los
costos:
t,x,xCpxt,x,x ''
El problema al que se enfrenta el productor será el de maximización
temporal de beneficios que se reduce al siguiente problema de cálculo de
variaciones10:
T
0
T
0
'T
0
'
tx
xTx
x0x:a.s
dtt,x,xCpxdtt,x,xxJmax
Siendo
.t,xCxCtpxt,x,xCtpxt,x,x '21
''
Se han considerado dos tipos de costos, por un lado se han incluido los
costos de producción:
0cyb,acbxaxxC 21
10 En este problema consideraremos que el productor valora los beneficios futuros en el mismo grado que
los beneficios presentes. Por tanto, en este problema el factor de descuento intertemporal es igual a uno
(tasa de descuento interporal es nula).
CIRO BAZÁN OPTIMIZACIÓN DINÁMICA
464
Por otra parte, se seleccionan otros costos t,xC '2 asociados a los
incrementos de la producción ,x' tales como construcción de capacidad extra
en previsión a los crecimientos de la producción, alquiler de mano de obra
extra y su formación, reclutamiento de directivos o inflación. Supondremos
que el agregado de este tipo de costo se puede representar como:
0CyB,ACtBxxAt,xC '2''2
La función de beneficios será:
.CtBxxAcbxaxpxt,x,x '2'2'
Por tanto el problema a resolver será:
T
0
T
0
'2'2
tx
xTx
x0x:a.s
dtCtBxxAcbxaxpxxJmax
La ecuación de Euler será:
1x
f
dt
d
x
f
'
Ahora calculamos las derivadas necesarias para conformar la ecuación de
Euler:
2bax2px
f
3BAx2x
f'
'
4Ax2BAx2dt
d
x
f
dt
d'''
'
Reemplazando (2) y (4) en (1) se tiene:
0bpax2Ax2Ax2bax2p ''''
5A2
pbx
A
ax ''
MATEMÁTICAS PARA EL ANÁLISIS ECONÓMICO
465
Tenemos una ecuación diferencial ordinaria no homogénea de orden dos con
coeficientes constantes, cuyo polinomio característico es:
A
ar
A
ar
0A
arrP
2
12
La solución complementaria es:
6eAeAtxtAa
2tAa
1c
Mediante el método de los coeficientes indeterminados podemos verificar
que la solución particular será una constante, digamos:
,0txtxktx p''
p'
p por lo que reemplazando estos valores en
(5) tenemos que:
a2
pbk
A2
pbk
A
a0
Por tanto, la solución particular será:
7a2
bp
a4
bp
a4
bptx p
Por tanto, la trayectoria óptima es:
8a2
bpeAeAtx
tAa2
tAa1
*
Donde A1 y A2 se determinan utilizando condiciones de borde, esto es:
021* x
a2
bpAA0x
9a2
bpxAA 021
TTAa
2TAa
1* x
a2
bpeAeATx
10a2
bpxeAeA T
TAa2
TAa1
CIRO BAZÁN OPTIMIZACIÓN DINÁMICA
466
Resolviendo (9) y (10) tenemos:
TAa2
TAaT0
1
e1
ea2
bpx
a2
bpx
A
TAa2
TAa0T
TAa
2
e1
ea2
bpx
a2
bpxe
A
Finalmente, tenemos que:
a2
bpe
e1
ea2
bpx
a2
bpxe
e
e1
ea2
bpx
a2
bpx
tx
tAa
TAa2
TAa0T
TAa
tAa
TAa2
TAaT0
*
Ahora comprobaremos las condiciones de segundo orden deoptimalidad
local (Legendre) y de optimalidad global. Para ello vamos a calcular la
matriz hessiana de la función intermedia:
CtBxxAcbxaxpxt,x,xt,x,xf '2'2''
Cuya matriz hessiana evaluada en cualquier t,x,x ' es:
A20
0a2H
'''
'
xxxx
xxxx
Esta matriz es definida negativa ya que tiene dos autovalores negativos
A2ya2 21 . Por tanto, t,x,x ' es estrictamente cóncava (por tanto
también estrictamente cóncava) respecto a “x” y “ 'x ”, entonces la ecuación
de Euler es una condición necesaria y suficiente de máximo global estricto.
Es decir, tx* maximiza la funcional objetivo globalmente.
MATEMÁTICAS PARA EL ANÁLISIS ECONÓMICO
467
Además, se verifica la condición necesaria de segundo orden de óptimo local
dado que:
.T,0t0A2t,tx,tx '**xx ''
Por tanto, tx* es también un óptimo local.
Extracción óptima de recursos naturales: versión
simplificada del modelo de Hotelling
Una empresa es propietaria de una cantidad “Q” de un recurso agotable
(petróleo, cobre, oro, gas, etc). La función de beneficios de la empresa es
logarítmica de manera tal que por extraer “ q ” unidades del recurso agotable
obtiene beneficios:
11qlnq
El objetivo de la empresa es determinar el patrón de extracción de los
recursos de manera que se maximice el valor presente de los beneficios. Se
asume que la tasa de descuento11 es constante e igual a “ρ” y que el recurso
se agota en su totalidad en el periodo “T”.
Para resolver este problema, primero vamos a definir la variable a optimizar.
Para ello debemos distinguir entre variables de stock y variables de flujo. La
dotación de recursos “Q” constituye el stock total, y la cantidad “ q ” extraída
del recurso agotable en cada instante constituye un flujo. Una forma simple
de relacionar estas variables sería definiendo a las ventas acumuladas del
recurso natural como “ x ”. Las ventas acumuladas “x” constituyen una
variable de stock con un valor inicial igual a cero (en el periodo inicial no se
ha realizado ninguna venta previamente: 00x ) y un valor terminal igual a
“Q” (todo el stock del recurso ha sido vendido previamente en el último
periodo). Por tanto, podemos relacionar la variable de flujo “q” con la
variable de stock “x” integrando la siguiente ecuación, la cual nos dice que la
cantidad extraída del recurso “ q ” en cada instante equivale a la variación en
el tiempo de las ventas acumuladas:
12tqdt
tdxtx'
Por lo que, integrando (12) tenemos:
Tt0dttqdttxtx
t
0
t
0
'
11 Ver apéndice al final del capítulo.
CIRO BAZÁN OPTIMIZACIÓN DINÁMICA
468
Donde:
0dttqdttx)0(x
0
0
0
0
'
Qdttqdttx)T(x
T
0
T
0
'
De esta forma, reemplazando (11) en (12) obtenemos la función de
beneficios de la empresa para cualquier instante del tiempo:
13xlnqlnq '
Por tanto, el valor presente de los beneficios vendrá dado por:
14dttxlnedttqe
T
0
'tT
0
t
En consecuencia, el problema que debe resolver la empresa será:
QTx
00x:a.s
dttxlnexJmax
T
0
't
tx
La ecuación de Euler será:
15xdt
d
x '
Ahora calculamos las derivadas necesarias para conformar la ecuación de
Euler:
160x
17x
e
x '
t
'
Reemplazando (16) y (17) en (15) tenemos:
MATEMÁTICAS PARA EL ANÁLISIS ECONÓMICO
469
ctekx
e
dt
x
ed
0'
t'
t
18ek
1x t'
Tenemos una ecuación diferencial ordinaria no homogénea de orden uno con
coeficientes constantes. Integrando a ambos lados de la ecuación (18)
tenemos:
dteAdte
k
1dte
k
1dtx t
1tt'
Por tanto, la solución general es:
19eAAAeA
tx t322
t1
Utilizando las condiciones de borde tenemos:
200AA0x 32
21QeAATx T32
Resolviendo (20) y (21) tenemos:
22
1e
QAy
1e
QA
T3
T2
Sustituyendo (22) en (19) obtenemos la senda óptima de las ventas
acumuladas:
23
e1
Qe
1e
Qtx
T
t
T
*
Si derivamos (23) respecto de “t” obtendremos la trayectoria óptima de la
extracción del recurso:
24e
e1
Qtxtq t
T
*'*
CIRO BAZÁN OPTIMIZACIÓN DINÁMICA
470
Para 1T y ,0 Te1
Q
tomará un valor positivo (ya que
1e0 T ) y, por tanto, la trayectoria del patrón de extracción de recursos
disminuirá exponencialmente a lo largo del tiempo a la tasa “ρ” tal como se
aprecia en la figura 2.
t T
tq*
Te1
Q
T
T
e1
Qe
Figura 2
Ahora comprobaremos las condiciones de segundo orden deoptimalidad
local (Legendre) y de optimalidad global. Para ello vamos a calcular la
matriz Hessiana de la función intermedia:
txlnet,x,xf 't'
Cuya matriz hessiana evaluada en cualquier t,tx,tx ' es:
2'
t'
x
e0
00
t,tx,txHf
Esta matriz es semidefinida negativa ya que todos sus menores principales
son menores o iguales a cero:
Tiene dos menores principales de orden uno:
Eliminando la primera fila y la primera columna tenemos:
0
x
e
x
e
2'
t
2'
t
MATEMÁTICAS PARA EL ANÁLISIS ECONÓMICO
471
Eliminando la segunda fila y la segunda columna tenemos:
00
Tiene un menor principal de orden dos:
0
x
e0
00
2'
t
Por tanto, t,x,xf ' es cóncava respecto a “x” y “ 'x ”, entonces la ecuación
de Euler es una condición necesaria y suficiente de máximo global. Es decir, *x maximiza globalmente la funcional objetivo.
Además, se verifica la condición necesaria de segundo orden de óptimo local
dado que:
.T,0t0Q
e1e
x
et,tx,txf
2
2Tt
2'*
t'**
xx ''
Por tanto, tx* es también un óptimo local.
4. Condición de transversalidad
Hasta este punto, el problema (III) se ha resuelto utilizando la ecuación de
Euler, y las condiciones de borde (condiciones que debían satisfacer las
trayectorias admisibles). No obstante, si no se conoce el valor inicial y/o el
valor terminal de la trayectoria óptima se perderá una condición de borde.
Por tanto, es indispensable contar con una condición adicional denominada
condición de transversalidad para poder resolver dicho problema. En
consecuencia, el nuevo problema que tendremos que resolver será:
libres:xót11
dado:x00
t
t
'
x
11
0
1
0
xtx
xtx:a.s
dtt,tx,txfxJmax
)X(
Por conveniencia, se ha supuesto que sólo la condición terminal es variable.
Sin embargo, una vez que aprendamos a trabajar con este caso, la técnica
será fácilmente aplicable al caso de punto inicial variable.
CIRO BAZÁN OPTIMIZACIÓN DINÁMICA
472
4.1 Condición de transversalidad
La función 2* Cx resuelve el problema (X) si satisface la ecuación de
Euler y la condición de transversalidad:
0ttx
t,tx,txf
dt
tdxt,tx,txftx
tx
t,tx,txf1
tt
'
''
1
tt
'
'
11
O de forma compacta:
XI0tfxftxf 1ttx
'1
ttx1
'
1
'
Donde 1tx y 1t son pequeñas variaciones de la condición final
“ 1tx ” y del instante final “ 1t ”.
4.2 Casos especiales de la condición de transversalidad
La ecuación (XI), a diferencia de la ecuación de Euler, es relevante sólo
en el instante final “ 1t ”. Su papel es tomar el lugar de la condición
terminal perdida en el presente problema. Dependiendo de la
especificación exacta de la línea o curva terminal, sin embargo, la
ecuación general (XI) puede ser escrita en varias formas especializadas.
A continuación, se presentan cuatro casos posibles de la condición de
transversalidad: línea terminal vertical u horizonte temporal fijo, línea
terminal horizontal o valor final fijo, curva terminal, y línea terminal
vertical truncada o estado terminal acotado inferiormente.
Línea terminal vertical (horizonte temporal fijo): libretx 1
En este caso se cumple que ,0t1 por lo que reemplazando en (XI)
tenemos:
XII0txf 1ttx1
'
Pero, dado que 1tx puede tomar cualquier valor, la única forma de
que (XII) se verifique es que se cumpla la siguiente condición:
XIII0f1
'ttx
Este caso se puede apreciar en la figura 3. Como en este caso sólo el
horizonte temporal 10 t,tT se encuentra fijo, mientras que existe un
amplio conjunto de valores terminales factibles. Al resolver el problema
debemos encontrar simultáneamente la trayectoria óptima y el valor
terminal .tx 1 En este sentido, la ecuación (XIII) permite seleccionar el
valor final óptimo del conjunto de valores factibles.
MATEMÁTICAS PARA EL ANÁLISIS ECONÓMICO
473
tx
t 1t
00 xtx
0t
Figura 3
Línea terminal horizontal (valor final fijo): libret1
Cuando el valor final de la trayectoria óptima 1tx se encuentra fijo,
0tx 1 por lo que (XI) se reduce a:
XIV0tfxf 1ttx
'
1
'
Pero, de modo que se verifique (XIV) independientemente del valor que
adopte 1t se tiene que satisfacer la siguiente condición:
XV0fxf1
'
ttx'
En la figura 4 se aprecia el problema a resolver. En este caso, debemos
determinar la trayectoria temporal óptima y el valor final “ *1t ” óptimo,
ya que para un valor final 1tx dado existen varios “ 1t ” factibles. La
condición (XV) permite determinar el “ *1t ” óptimo.
tx
t
11 xtx
00 xtx
0t
Figura 4
CIRO BAZÁN OPTIMIZACIÓN DINÁMICA
474
Curva terminal: libret1
En esta situación, supondremos que el instante final “ 1t ” es libre, y que
“ 1t ” y el estado final “ 1tx ” y están ligados mediante una función “ ”
de clase uno, donde:
XVIttx:ttpara 111
Con una curva cuya ecuación es (XVI), no se puede asignar valores
nulos a 1tx y 1t , por lo que no podemos eliminar ningún término de
(XI). No obstante, para un pequeño cambio arbitrario 1t , se producirá
un pequeño cambio en la curva terminal igual a:
XVIItttx 1tt
'1
1
Reemplazando (XVII) en (XI) y factorizando 1t se podrá eliminar
1tx de (XI), y obtendremos la siguiente ecuación:
XVIII0tfxf 1ttx
''
1
'
Por tanto, para cualquier valor arbitrario de 1t la condición de
transversalidad para este caso será:
XIX0fxf1
'
ttx''
En la figura 5 se aprecia el problema que debemos resolver en este
caso. Aquí, debemos determinar “ *x ” y “ *1t ”. Una vez encontrados
“ *x ” y “ *1t ” podremos determinar el estado final .tx *
1
tx
t 0t
00 xtx
Figura 5
MATEMÁTICAS PARA EL ANÁLISIS ECONÓMICO
475
Línea terminal vertical truncada (estado terminal
acotado inferiormente): mín1 xtx
Cuando la línea terminal vertical es truncada, restringida por la
condición terminal mín1 xtx donde mínx es el nivel mínimo
permitido de “x”, la solución óptima puede tener dos posibles tipos de
resultado: mín1* xtx o .xtx mín1
* Donde 1* tx es el valor
terminal de una trayectoria admisible tx* que satisface la ecuación de
Euler y la siguiente condición de transversalidad:
0fxtxxtx0f
CHC
ttxmín1*
mín1*
ttx1
'
1
'
XX
Para aplicar (XX), primero suponemos que 0f1
'ttx
y verificamos si el
valor resultante de 1* tx satisface la restricción terminal mín1
* xtx . Si
es así, el problema está resuelto. En caso contrario, se fija mín1* xtx
para satisfacer la condición de holgura complementaria (CHC), y tratamos
el problema como si fuera uno con punto final dado .tx,t 1*
1
tx
t 1t
00 xtx
0t
mín1 xtx
Figura 6
5. Condiciones necesarias de optimalidad local para punto
terminal variable
Línea terminal vertical (horizonte temporal fijo): libretx 1
tx* será un máximo local de (X) si se cumplen las siguientes condiciones:
1. La ecuación de Euler, la condición inicial 00 xtx y la condición de
transversalidad .0f1
'ttx
2. La condición de Legendre: .0t,tx,txf*'*
xx ''
CIRO BAZÁN OPTIMIZACIÓN DINÁMICA
476
Línea terminal horizontal (valor final fijo): libret1
tx* será un máximo local de (X), con el instante final óptimo dado por ,t*1
se cumplen las siguientes condiciones:
1. La ecuación de Euler, la condición inicial 00 xtx , la condición final
1*1 xtx y la condición de transversalidad .0fxf
*1
'
ttx'
2. La condición de Legendre: .0t,tx,txf*'*
xx ''
Curva terminal: libret1
tx* será un máximo local de (X), con el instante final óptimo dado por ,t*1
se cumplen las siguientes condiciones:
1. La ecuación de Euler, la condición inicial 00 xtx , la condición final
*1
*1 ttx y la condición de transversalidad
.0fxf*1
'
ttx''
2. La condición de Legendre: .0t,tx,txf*'*
xx ''
Línea terminal vertical truncada (estado terminal acotado
inferiormente): mín1 xtx
tx* será un máximo local de (X) si se cumplen las siguientes condiciones:
1. La ecuación de Euler, la condición inicial 00 xtx , la condición final
mín1* xtx y la condición de transversalidad
.0fxtxxtx0f
CHC
ttxmín1*
mín1*
ttx1
'
1
'
2. La condición de Legendre: .0t,tx,txf*'*
xx ''
6. Condiciones suficientes de optimalidad global de segundo
orden para punto terminal variable
Si t,tx,txf ' es de clase dos y es cóncava (convexa) en las variables 'x,x
para cada ,t,tt 10 si tx* satisface la ecuación de Euler, las condiciones
de frontera y (en caso la condición terminal sea 1tx “libre” o mín1 xtx )
las condiciones de transversalidad (XIII) o (XX), entonces tx* es un
máximo (mínimo) global de xJ .
MATEMÁTICAS PARA EL ANÁLISIS ECONÓMICO
477
Ejemplos:
1.- Una empresa tiene un pedido de “N” unidades que debe surtir en un
tiempo por determinar. Si tx denota el número de unidades producidas
en t,0 (que puede interpretarse como el inventario acumulado en “t”), el
costo en “t” está dado por .txtx2tx,txC2'' Resolver el
problema de minimización de costos de la empresa si se sabe que
,00x yNTx “T” libre. Compruebe si el extremal hallado minimiza
localmente la funcional objetivo. Calcule los costos mínimos totales.
2.- Modelo de Ramsey12 (1928): La cuestión central tratada por Ramsey es la
de la asignación intertemporal del recurso: ¿Qué cantidad del producto
nacional neto en cualquier instante del tiempo la autoridad planificadora
debería destinar al consumo presente para producir utilidad presente, y
cuánto debería destinar al ahorro (y a la inversión) para incrementar la
producción y el consumo futuros, y por tanto producir utilidad futura?
Considere una economía que evoluciona a lo largo del tiempo donde
tKK denota el stock de capital, tCC el consumo e tYY el
producto nacional neto en el instante “t”. Supóngase que:
tKFY con
0dK
tKFd,0
dK
tKdF
2
2
De manera que el producto nacional neto es una función cóncava
estrictamente creciente respecto al stock de capital. Además,
supondremos que la producción se divide en consumo e inversión, esto
es:
dt
tdKtCtItCtKFY
De donde:
dt
tdKtKFtC
Asimismo, permítase a 0K0K 0 ser el stock de capital existente en
la actualidad, y supóngase que estamos considerando un periodo de
planeamiento .T,0
12 Frank Ramsey no ha pasado a la historia como alguien especialmente recordado fuera del entorno
económico, en parte se ha debido a su temprana muerte a la edad de 27 años. A pesar de ello dejó
plasmadas varias ideas brillantes en sus trabajos, que serían desarrolladas posteriormente por varios
renombrados economistas: Solow y Swan (1956), Cass y Koopmans (1965).
CIRO BAZÁN OPTIMIZACIÓN DINÁMICA
478
Ahora, para cada elección de la función de inversión
dt
tdKtI en ,T,0
el capital es completamente determinado por la función
ddt
dKKtK
t
0
0 y a su vez determina .tC Además, se asume
que la sociedad tiene una función de utilidad “ tCU ”, donde tCU es la
utilidad (flujo) que el país disfruta cuando el consumo total es ,tC y
permítasenos requerir que:
0
tdC
tCUd,0
tdC
tCdU
2
2
De modo que tCU es estrictamente creciente y estrictamente cóncava
(este supuesto implica que la gente en un determinado nivel de consumo
deriva menos incremento en su satisfacción ante un incremento dado en
el consumo que el que deriva la gente a un nivel de consumo más bajo).
Finalmente, se asume que la tasa de descuento es “r” y que el criterio de
inversión es el siguiente: escoger
dt
tdKtI para T,0t de manera que
la utilidad total descontada para el país en el periodo T,0 sea la mayor
posible.
Se pide resolver el problema de asignación intertemporal eficiente del
recurso teniendo en cuenta que ,0btbKtKF
,101
tCtCU
1
y que la condición terminal es:
a) ,0KTK T
b) .libreTK
3.- Halle la senda, cuyo punto inicial es 1,0A y cuyo estado terminal está
determinado por ,t34t que minimice la distancia entre “A” y .tx
4.- Maximización de la utilidad a lo largo del tiempo: Un individuo tiene
una única fuente de ingresos que son los intereses obtenidos por sus
ahorros tSS a una tasa de interés “i” .1i0 Estos intereses son
distribuidos entre consumo tC y nuevo ahorro 0tStI '
(es decir, se
permite el desahorro). Inicialmente el individuo tiene unos ahorros de S0,
y elige su tasa de consumo para maximizar su flujo de utilidad
descontada sobre un horizonte finito:
dtetCUmax rt
T
0tC
MATEMÁTICAS PARA EL ANÁLISIS ECONÓMICO
479
La elección de la senda temporal para tC en la maximización es
restringida por la siguiente relación:
tStSitCtCtSitS ''
Y por las condiciones de borde:
libre)b
0S)aTS
S0S
T
0
Resuelva el problema si se sabe que:
0e
tCU
tc
5.- Una empresa ha recibido un pedido de “A” unidades de su producto, que
deben entregarse al cabo de un tiempo T, fijado. La empresa quiere saber
cuál debe ser la tasa de producción ,t0,tP para atender ese
pedido en la fecha estipulada, al costo mínimo. Se sabe que el costo
unitario de producción es proporcional a la tasa de producción (sea
“ 0K1 ” la constante de proporcionalidad), y que el costo unitario de
mantener el producto en inventario por unidad de tiempo es constante e
igual a “ 0K 2 ”. Sea tx el inventario acumulado en el instante “t”
igual a la producción acumulada pasada. Por lo que, bajo el supuesto
anterior, se verifica que .txtP ' Entonces, se tiene que ,00x y se
debe alcanzar .ATx Se pide:
a) Encontrar la tasa de producción y el inventario acumulado óptimos
(ignórese la restricción .0tP ¿Qué condición tiene que
cumplirse para que la solución óptima cumpla 0tP ?
b) Suponer ahora que “A” es una constante dada, pero “T” es libre.
Encontrar la solución óptima (ignorando la restricción .0tP
c) Verifique si se cumple la condición de optimalidad local de Legendre.
d) Verifique si la solución es globalmente óptima.
6.- Considere el problema macroeconómico de conducir el estado tx de la
economía sobre el curso del periodo de planificación T,0 hacia el nivel
deseado ,x independiente de “t”, por medio del control tu , donde
.tutx ' Ya que utilizar el control es costoso, el objetivo es minimizar la
integral dttucxtx
T
0
22
con ,xTx donde “c” es una
constante positiva.
CIRO BAZÁN OPTIMIZACIÓN DINÁMICA
480
Es más conveniente definir ty como la diferencia entre la variable de
estado original y el nivel objetivo ,x ,xtxty de manera que el valor
objetivo de ty sea nulo: .0xTxTy Entonces
.txtytu '' Esto conduce al siguiente problema de cálculo de
variaciones:
0Ty
y0y:a.s
dttyctymin
0
T
0
2'2
ty
Donde 0y es la desviación inicial del nivel objetivo. Se pide:
a) Encontrar la trayectoria óptima global.
b) Suponiendo ahora que Ty es libre, encuentre la trayectoria global
óptima de la variable de estado, y discuta qué le sucede al estado
terminal Ty cuando el horizonte T y también cuando .c
7.- De un stock de capital igual a tK en el instante “t” se puede producir
un bien a una tasa .tKF La función de producción “F” se asume que
es de clase dos, creciente y cóncava. Esta producción puede consumirse,
produciendo inmediata satisfacción, o puede invertirse para aumentar el
stock de capital y por tanto la capacidad productiva futura. La producción
tKF es por tanto la suma del consumo tC y la inversión tK ' (el
cambio en el stock de capital).
Es decir:
tKtKFtCtKtCtKF ''
El problema consiste en elegir la parte de la producción a ser invertida en
cada instante “t” para maximizar la utilidad derivada del consumo a lo
largo del periodo T,0 . Es decir:
0TK
k0K
tCtKFtK:a.s
dttCUmax
0
'
T
0tC
0TK
k0K:a.s
dttKtKFUmax
0
T
0
'
tK
Se supone que la función de utilidad es una función de clase dos,
estrictamente creciente y estrictamente cóncava.
Resuelva el problema suponiendo que la función de utilidad es la función
de utilidad exponencial o función con coeficiente de aversión absoluta al
riesgo constante (CAAR):
MATEMÁTICAS PARA EL ANÁLISIS ECONÓMICO
481
tcetcU para 0α
Donde el coeficiente de aversión absoluta al riesgo es:
tC
tC
e
e
tC'U
tC''UtC
Además asuma que la producción es:
tbKtKF para 0b
8.- Modelo de Crecimiento Económico de Kendrick y Taylor (Craven and
Islam, 2005): Este modelo es un modelo similar al modelo de Ramsey
(Ramsey 1928) que tiene la siguiente forma:
tctktket'k
kTk
00k:a.s
dttcaemax
t
T
T
0
t
tc
Donde tc denota consumo y tK denota capital (incluyendo capital
artificial, natural, ambiental y humano).
Solución:
1.- La formulación matemática de este problema es la siguiente:
libre:TyNTx
00x:a.s
dttxtx2maxdttxtx2min
T
0
tx,txC
2'
tx
T
0
tx,txC
2'
tx
''
La ecuación de Euler es:
25
x
C
dt
d
x
C
'
261xx2x2dt
d2 '''''
Integrando dos veces (26) se obtiene:
CIRO BAZÁN OPTIMIZACIÓN DINÁMICA
482
27BAt2
ttx
2
La condición de transversalidad es:
280
x
CxC
Tt
'
'
0TxTx2Tx2TxTxTx22'''2'
Tx2Tx2' 29
Por las condiciones iniciales tenemos que:
30At2
ttx0BB0A
2
00x
22
Derivando (30) respecto del tiempo tenemos:
31Attx'
Evaluando (30) y (31) en “T” tenemos:
32AT2
TTx
2
33ATTx'
Reemplazando (32) y (33) en (29) tenemos:
0AAT2TAAT2TAT2
T2AT 222
22
Reemplazando “A” en (30):
342ttx 2*
Por las condiciones finales:
35N2TN2
TTx *
2
MATEMÁTICAS PARA EL ANÁLISIS ECONÓMICO
483
Dado que: ,02tx,txC '**xx '' en consecuencia, por la condición
de Legendre, tx* maximiza localmente a dttx,txC
T
0
'
y minimiza
localmente a .dttx,txC
T
0
'
N2T* 0
t
tx
2ttx 2*
N
Figura 7
Derivando (34):
36ttx '*
Reemplazando (34) y (36) en tx,txC ' obtenemos el valor máximo de la
funcional objetivo:
23N2
0
222
'** N23
2dtt2t
2
t2tx,txC
2.- La formulación matemática de este problema es la siguiente:
0
'
T
0
rt
tC
k0K
tCtKFtK:a.s
dtetCUmax
0
rtT
0
'
tK
k0K:a.s
dtetKtKFUmax
3710;e1
tKtbK
etCUt,tK,tKf rt
tCU
1tC
'
rt'
CIRO BAZÁN OPTIMIZACIÓN DINÁMICA
484
Las derivadas parciales de “f” de primer y segundo orden son:
38eKbKbebUf rt
U
'rt'K
'
39eKbKeUf rt'
Frt'
K '
40eKbKbeUbff rt1'rt''F
KKKK
'
''
41eKbKbeUbf rt1'2rt''2
KK
42eKbKeUf rt
U
1'rt''KK
''
''
43eKbKKbKKbKreCUrUf rt
C
'''1''rt''''tK
'
'
La ecuación de Euler será:
44fftKK '
Reemplazando (38) y (43) tenemos:
*UUbrCeCUrUebU ''''rt''''rt'
Teniendo en cuenta que el coeficiente de aversión relativa al riesgo de
Arrow-Pratt es
tCU
tCUtCt
'
''
r
, tenemos:
**
t
rtKF
tC
tC
r
b
'
'
Dado que se ha asumido que 0tCU '' y 0tCU ' , entonces
.0tr Por lo que que:
rtKF0
tC
tC ''
MATEMÁTICAS PARA EL ANÁLISIS ECONÓMICO
485
Por tanto, el consumo crece si y sólo si la productividad marginal del
capital “ tKF ' ” excede a la tasa de descuento intertemporal “r”. Por
otro lado, si rtKF ' , existe tanta impaciencia a consumir que el
consumo empieza alto, y luego decrece en el tiempo.
Reescribiendo (**) tenemos:
***tKFt
tC
tCr
b
'
TRC
r
'
La ecuación (***) se puede interpretar como una condición de equilibrio
intertemporal, en la que la tasa de retorno del consumo “TRC” debe ser
igual en todo instante a la tasa de retorno del ahorro (la productividad
marginal del capital o tasa de retorno real del capital).
Reemplazando 'U de (38), ''U de (42), y 'C de (43), en (*) tenemos:
1'
1'
'''' KbK
rbbr
KbK
KbKKbK
450KKK0Krb
bKbrb
K ''''''
El polinomio característico es:
.rb
yb0P 212
La solución es:
46eAeAtK
trb
2bt
1*
Por tanto, la inversión óptima será:
47erb
AbeAdt
tdKtI
trb
2bt
1
**
El producto nacional neto óptimo será:
48beAbeAtbKtY
trb
2bt
1**
CIRO BAZÁN OPTIMIZACIÓN DINÁMICA
486
El consumo óptimo será:
49erb
bAtItYtC
trb
2***
Considerando la condición inicial se tiene que:
50kAA0K 021*
a) Para la condicón final ,0KTK T tenemos:
51KeAeATK T
Trb
2bT
1*
De (50) y (51) se obtiene que:
bTT
rb
bT0T
2
bTT
rb
T
Trb
01
ee
eKKAy
ee
KeKA
Reemplazando “A1” y “A2” en (46), (47), (48) y (49) tenemos:
52e
ee
eKKe
ee
KeKtK
trb
bTT
rb
bT0Tbt
bTT
rb
T
Trb
0*
53erb
ee
eKKbe
ee
KeKtI
trb
bTT
rb
bT0Tbt
bTT
rb
T
Trb
0*
54be
ee
eKKbe
ee
KeKtY
trb
bTT
rb
bT0Tbt
bTT
rb
T
Trb
0*
55erb
b
ee
eKKtC
trb
bTT
rb
bT0T*
MATEMÁTICAS PARA EL ANÁLISIS ECONÓMICO
487
Ahora constataremos que la senda del stock de capital maximiza
globalmente la funcional objetivo.
La matriz hessiana de la función intermedia “f” en cualquier T,0t es:
1b
bbetKtbKt,t'K,tKHf
2rt
tCU
1tC
'
''
561b
bbetKtbKt,t'K,tKHf
2rt
1tC
'
Dado que por condición del problema se debe verificar que:
0tKtbK0tKtbK
1tC
'0tCU
tC
'0tCU
'''
Ambas condiciones se verificarán si y sólo si:
57T,0t0tKtbKtC '
Al ser 0tC
t,t'K,tKHf será semidefinido negativo ya que
tiene un autovalor nulo y el otro negativo e igual a .b1 2 Por tanto,
“F” es cóncava. En consecuencia, (52) maximiza globalmente la
funcional objetivo. Por ende, las trayectorias (53), (54) y (55) también
serán óptimas.
b) Para la condición final :libreTK
Junto con la ecuación de Euler y la condición inicial, deberemos utilizar
la siguiente condición de transversalidad:
580fTtK *'
590eTCeTKTbKf rT*rT*'*
TtK *'
Pero para:
101
tCtCU
1
CIRO BAZÁN OPTIMIZACIÓN DINÁMICA
488
Tenemos que:
0tC0
tC
1
tdC
tCdU
0tC0
tCtdC
tCUd
12
2
Por tanto, para que se verifiquen las hipótesis:
0
tdC
tCdU
0
tdC
tCUd
2
2
Se deberá verificar que:
T,0t0tC
Por tanto:
0TC*
Lo cual implica que:
600eTCf rT*
TtK *'
En consecuencia, para esta condición final, el problema no tendría
solución ya que (60) contradice a (59).
3.- Se consideran todas las curvas tx de clase C2 que parten de ,1,0A
que por tanto satisfacen la condición inicial, y que llegan a la recta
,t34t por lo que cumplen la condición final ,t34ttx 111 tal
como se aprecia en la figura 8. A cada una de dichas funciones se les
asigna como valor objetivo, la longitud total del arco de la curva tx , que
parte de 1,0A y llega a la recta .t34t
Ahora vamos a deducir una expresión que nos permita calcular la
longitud de arco de una curva tx que parta de 1,0A y llegue a la
recta .t34t Para ello nos vamos a apoyar en el hecho que para dos
puntos muy próximos de una curva, la longitud de arco entre dichos
puntos se puede expresar, gracias al teorema de Pitágoras, de la siguiente
forma (ver la porción de la curva tx encerrada en un círculo en la figura
8):
dt
dt
dx1dLdt
dt
dx1dLdxdtdL
2
22
2
22222
MATEMÁTICAS PARA EL ANÁLISIS ECONÓMICO
489
61dtx1dtdt
dx1dL
2'
2
dL
dt
dx
tx
t
1,0A
tx*
t34t
Figura 8
Por tanto, la longitud total del arco de la curva tx , que parte de
1,0A y llega a la recta t34t vendrá determinada por la
integral de “dL” desde 0t hasta el instante terminal 1tt :
62dtx1xL
1t
0
2'
En consecuencia, el problema a resolver consiste en determinar una
trayectoria que posea la longitud total de arco mínima, pero sujeta a la
condición terminal ,t34tx 11 esto es:
11
t
0
2'
tx
t34tx
10x:a.s
dtx1xLmin
1
11
t
0
txF
2'
tx
t34tx
10x:a.s
dtx1xLmax
1
'
La ecuación de Euler es:
tx
txF
dt
d
tx
txF
'
''
CIRO BAZÁN OPTIMIZACIÓN DINÁMICA
490
Sustituyendo las derivadas correspondientes tenemos:
B
A1
AxA
x1
x
x1
x
dt
d0
2
2'
2'
'
F
2'
'
'x
Integrando 'x tenemos:
63tt0,CBttx 1
Por la condición inicial tenemos:
641Bttx1C0x
65Btx'
Por la condición final tenemos:
663B
3tt341Bttx *1111
La condición de transversalidad es:
0FxF*1
'
ttx''
Calculando y reemplazando las expresiones correspondientes tenemos:
0
B1
BB3B1
2
2
Resolviendo la ecuación anterior se obtiene que .3
1B Reemplazando
“B” en (65) se tienen que: .3
1tx '* Por tanto, dado que
,03111txF232'*
xx '' entonces gracias a la condición de
Legendre, tx* será una trayectoria que reemplazada en la funcional
objetivo txL hará que ésta sea máximizada localmente, y por tanto,
al reemplazar tx* en la funcional objetivo txL hará que ésta sea
mínimizada localmente.
En consecuencia, el instante final, la trayectoria óptima, y el valor de la
trayectoria óptima en el instante final vienen dados por:
6710
9t*1 68109t01
3
ttx* 69
10
13tx *1
*
MATEMÁTICAS PARA EL ANÁLISIS ECONÓMICO
491
La distancia mínima es:
.1010
3t
9
10dt
9
10dt
3
11xL
109
0
109
0
109
0
2
*
Note que dicha distancia mínima también se puede calcular utilizando la
fórmula de distancia entre los puntos :1013,109y1,0
.1010
3101311090d
22*
4.- La formulación matemática de este problema es la siguiente:
0
'
T
0
rt
tC
S0S
tCtiStS:a.s
dtetCUmax
0
T
0
rt'
tS
S0S:a.s
dtetStiSUmax
,0ee
tCU
tStiStC '
70e1
t,tS,tSf rttStiS'
tC
'
Las derivadas parciales de “F” de primer y segundo orden son:
71;ief rttC
S 72;ef rttC
S '
73;ieff rttC
SSSS '' 74;eif rttC2
SS
75;ef rttCSS ''
76ertCf rttC'tS '
La ecuación de Euler será:
77ff
tSS '
Reemplazando (71) y (76) en (77) tenemos:
rttC'rttC ertCie
78rtCi '
CIRO BAZÁN OPTIMIZACIÓN DINÁMICA
492
Pero:
79tStiStC ''''
Reemplazando (79) en (78) se obtiene:
80br
tiStSrtStbSb ''''''
El polinomio característico es:
i
00iP
2
12
La solución complementaria es:
81eAAtS it21
*c
Por tanto:
820tS1tS '11
83ietSetS it'2
it2
El determinante Wronsquiano es:
0ieie0
e1tW it
it
it
En consecuencia, tS1 y tS2 son linealmente independientes.
Entonces:
it
it
it
1 eri
ieir
e0
tW
ir
ir0
01
tW2
84t
i
ridt
i
ridt
tW
tWtStS
11p1
85
i
ridte
i
iredt
tW
tWtStS
2
itit22p2
MATEMÁTICAS PARA EL ANÁLISIS ECONÓMICO
493
Sumando (84) y (85) obtenemos la solución particular:
86i
rit
i
ritS
2p
Sumando (81) y (86) obtenemos la solución general:
87i
rit
i
rieAAtS
2
it21
*
Derivando (87) respecto de “t” tenemos:
88i
riieAtStI it
2'**
De (70) sabemos que:
89tri
iAtStiStC 1'***
Considerando la condición inicial se tiene que:
90Si
riAA0S 0221
*
a) Para la condicón final TSTS tenemos:
91Si
riT
i
rieAATS T2
iT21
*
De (90) y (91) tenemos:
92
1e
i
rieiT1SeS
AiT
2
iTT
iT0
1
931e
Ti
irSS
AiT
0T
2
CIRO BAZÁN OPTIMIZACIÓN DINÁMICA
494
Reemplazando (92) y (93) en (87), (88) y (89) tenemos:
94i
rit
i
rie
1e
Ti
irSS
1e
i
rieiT1SeS
tS
2
it
iT
0T
iT
2
iTT
iT0
*
95i
riie
1e
Ti
irSS
tStI it
iT
0T
'**
96t
rii
1e
i
rieiT1SeS
tCiT
2
iTT
iT0
*
Ahora constataremos que la trayectoria del ahorro (y por tanto la del
consumo) maximiza globalmente la funcional objetivo.
La matriz Hessiana de la función intermedia, para cualquier T,0t es:
971i
iiet,t'S,tSHf
2rttC
La matriz hessiana
t,t'S,tSHf será semidefinida negativa ya que
tiene un autovalor nulo y el otro negativo e igual a .i1 2 Por tanto, la
función intermedia “f” es cóncava.
En consecuencia, la ecuación (94) maximiza globalmente la funcional
objetivo. Por ende, las trayectorias dadas por (95) y por (96) también
serán óptimas.
b) Para la condición final :libreTS
Junto con la ecuación de Euler y la condición inicial, deberemos utilizar
la siguiente condición de transversalidad:
980fTtS *'
MATEMÁTICAS PARA EL ANÁLISIS ECONÓMICO
495
Reemplazando (72) en (98) y evaluando en “T” tenemos la siguiente
expresión:
990ef rTTC
TtS
*
*'
Por tanto, en este caso particular, el problema en cuestión no tendrá
solución ya que la ecuación (99) contradice a la ecuación (98).
5.- De acuerdo al enunciado del problema tenemos que la tasa de cambio
instantánea de los costos totales de la empresa en cualquier instante “t”
será:
dt
tdC
dt
tdC
dt
tdC InventprodTot (100)
Aplicando la regla de la cadena a la tasa de cambio instantánea de los
costos de producción, se tiene:
dt
tdC
dt
tdq
dq
tdC
dt
tdC Inventprod
prod
prodTot (101)
Definamos a “ tq prod ” como la cantidad producida en cada instante de
tiempo “t”. Por el enunciado del problema se tiene que en cada “t” dicha
cantidad deberá ser igual al inventario acumulado. Esto es:
txtqprod (102)
Derivando (102) respecto al tiempo, y teniendo en cuenta que por el
enunciado del problema y por (102) resulta que
,dt
tdqtP
prod
entonces tenemos que:
txdt
tdqtp 'prod
(103)
Por otro lado, de acuerdo al enunciado del problema:
tpKdq
tdC1
prod
prod (104)
txKdt
tdC2
Invent (105)
CIRO BAZÁN OPTIMIZACIÓN DINÁMICA
496
Reemplazando (103), (104) y (105) en (101) se tiene que:
txKtpKtxKtptpK
dt
tdC2
2121
Tot
txKtxK
dt
tdC2
2'1
Tot (106)
Por tanto, el costo total de la empresa en el periodo T,0 será:
T
0
2
2'1 dttxKtxK (107)
En consecuencia, el problema que deberá resolver la empresa será:
0tp
ATx
00x:a.s
dttxKtxKmin
T
0
2
2'1
tx
(108a)
Por lo que el problema equivalente será:
0tp
ATx
00x:a.s
dttxKtxKmax
T
0
2
2'1
tx
(108b)
a) La ecuación de Euler a resolver será:
dt
txdt
tdCd
tx
dt
tdC 'TotTot
K2
KtxtxK2K
dt
txK2dK
2''''12
'1
2
(109)
Integrando (109) tenemos:
32' Kt
K2
Ktx (110)
MATEMÁTICAS PARA EL ANÁLISIS ECONÓMICO
497
Integrando (110) tenemos:
432
1
2* KtKtK4
Ktx (111)
Aplicando las condiciones iniciales a (111) se tiene:
0K0x 4* (112)
Reemplazando (112) en (111) tenemos:
tKtK4
Ktx 3
2
1
2* (113)
Aplicando las condiciones finales a (113) se tiene:
TK4
K
T
AKATKT
K4
KTx
1
233
2
1
2* (114)
Reemplazando (114) en (113) resulta:
Tt0tTK4
K
T
At
K4
Ktx
1
22
1
2*
(115)
Para que 0tP debe verificarse:
0txtP '** (116)
Derivando (115) respecto al tiempo tenemos:
Tt0TK4
K
T
At
K2
Ktptx
1
2
1
2*'* (117)
Reemplazando (117) en (116) se obtiene:
0TK4
K
T
At
K2
K
1
2
1
2 (118)
Dado que K1 y K2 son constantes positivas y ,Tt0 entonces,
para que (118) se verifique en cualquier T,0t bastará con que:
TK4
K
T
A0T
K4
K
T
A
1
2
1
2 (119)
CIRO BAZÁN OPTIMIZACIÓN DINÁMICA
498
b) Para este nuevo caso, en el que “T” es libre, siguen siendo válidas la
ecuación de Euler, las condiciones iniciales y las condiciones finales
(pero “T” es desconocido) y las ecuaciones (115), (117) y (119). Pero
ahora hay que añadir la condición de transversalidad correspondiente
a “T” desconocido:
0x
xKxK
xxKxK
Tt
'
2
2'1
'2
2'1
(120)
0TxK2TxTxKTxK *'1
*'*2
2*'1
0TxK2TxKTxK2*'
1*
2
2*'1
0TxKTxK *2
2*'1 (121)
Reemplazando (115) y (117), evaluadas en “T”, en (121) tenemos:
0TTK4
K
T
AT
K4
KKT
K4
K
T
AT
K2
KK
1
22
1
22
2
1
2
1
21
0AKT
AT
K4
KK 2
2
1
21
(122)
Factorizando se tiene:
0TK4
K
T
AK
2
1
21
Entonces, como 0K1 tenemos:
0K
AK2T0T
K4
K
T
A
2
1*
1
2
En consecuencia, reemplazando “T*” en (115) y (117) tenemos:
*2
1
2* Tt00tK4
Ktx
*
1
2*'* Tt00tK2
Ktptx
MATEMÁTICAS PARA EL ANÁLISIS ECONÓMICO
499
c) La condición necesaria de Legendre:
0K2
tx
txKtxK
12'
*2
2'*1
2
Nos dice que tx* , tanto para el apartado a) como para el apartado
b), es un máximo local del problema (108b) y un mínimo local del
problema (108a).
d) Para verificar la globalidad de las soluciones debemos verificar si la
función intermedia es cóncava en 'x,x para cada T,0t en el
problema (108b). Para ello bastará con verificar que el Hessiano de la
función intermedia es semidefinido negativo en 'x,x para cada
T,0t . El Hessiano de la función intermedia para cada T,0t
viene dado por:
12
2'1
K20
00txKtxKH
Los autovalores del Hessiano son:
0K2y0 121
Por tanto, el Hessiano de la función intermedia es semidefinido
negativo, y tx* , únicamente para el apartado a) es un máximo
global del problema (108b) y un mínimo global del problema (108a).
6.- El problema original y el problema equivalente vienen dados por:
0Ty
y0y:a.s
dttyctymin
0
T
0
2'2
ty
(123a) ≡
0Ty
y0y:a.s
dttyctymax
0
T
0
2'2
ty
(123b)
a) La ecuación de Euler a resolver será:
dt
tytyctyd
ty
tycty'2'22'2
0tyc
1tytcy2ty2
dt
tcy2dty2 ''''
'
(124)
CIRO BAZÁN OPTIMIZACIÓN DINÁMICA
500
El polinomio característico de (124) es:
c
1r
c
1r
0c
1r
2
1
2 (125)
La solución complementaria (y también total) de (124) será:
tc1tc1*c
* BeAetyty
(126)
Ya que el Wronsquiano construido con:
tc1'1
tc11 ec1tyety
tc1'2
tc12 ec1tyety
Y que viene dado por:
0tW0c12
ec1ec1
eetW
tc1tc1
tc1tc1
Aplicando las condiciones iniciales a (126) se tiene:
0* yBA0y (127)
Aplicando las condiciones finales a (126) se tiene:
Tc12Tc1Tc1* AeB0BeAeTy
(128)
Reemplazando (128) en (127) tenemos:
Tc12
0
Tc12
0
e1
yBy
e1
yA
(129)
Reemplazando (129) en (126) tenemos:
tc1
Tc12
0tc1
Tc12
0* e
e1
ye
e1
yty
(130)
MATEMÁTICAS PARA EL ANÁLISIS ECONÓMICO
501
Para verificar la globalidad de ty* debemos verificar si la función
intermedia es cóncava en 'y,y para cada T,0t en el problema
(123b). Para ello bastará con verificar que el Hessiano de la función
intermedia es semidefinido negativo en 'y,y para cada T,0t . El
Hessiano de la función intermedia para cada T,0t viene dado por:
c20
02tyctyH
2'2
Los autovalores del Hessiano son:
0c2y2 21
Por tanto, el Hessiano de la función intermedia es definido negativo,
por lo que la función intermedia de (123b) será estrictamente cóncava.
Entonces, ty* es un máximo global del problema (123b) y un
mínimo global del problema (123a).
Finalmente, la trayectoria óptima global será:
xe
e1
ye
e1
ytx
tc1
Tc12
0tc1
Tc12
0*
b) Para este nuevo caso, en el que “ Ty ” es libre, siguen siendo válidas
la ecuación de Euler, la condición inicial y las ecuaciones (126) y
(127). Pero ahora hay que añadir la condición de transversalidad
correspondiente a “ Ty ” desconocido:
0
ty
tycty
Tt
'
2'2
0Ty0Tcy2 *''* (131)
Derivando (126) respecto al tiempo tenemos:
tc1tc1*' ec1Bec1Aty
(132)
Evaluando (132) en “T”, y teniendo en cuenta (131) se tiene:
0ec1Bec1ATyTc1Tc1*'
(133)
CIRO BAZÁN OPTIMIZACIÓN DINÁMICA
502
De (127) y (133) se obtiene:
Tc12
0
Tc12
0
e1
yBy
e1
yA
(134)
Reemplazando (134) en (133) tenemos:
tc1
Tc12
0tc1
Tc12
0* e
e1
ye
e1
yty
(135)
De manera análoga al apartado a) podemos verificar que ty* es un
máximo global del problema (108b) y un mínimo global del problema
(108a) con “ Ty ” libre.
Evaluando (135) en “T” obtenemos:
Tc1
Tc12
0Tc1
Tc12
0* e
e1
ye
e1
yTy
Tc1Tc1
0*
ee
y2Ty
Por otro lado, cuando T Ty* tiende a:
0
ee
y2límTylím
Tc1Tc1
0
T
*
T
Asimismo, cuando 0c Ty* tiende a:
1e
ey2lím
ee
y2límTylím
Tc12
Tc10
0cTc1Tc1
0
0c
*
0c
Ya que si reemplazamos 0c en Ty* se obtiene la forma
indeterminada ,
podemos aplicar L’Hôpital:
0
e
ylím
ec12
ec1y2límTylím
Tc1
0
0cTc12
Tc10
0c
*
0c
MATEMÁTICAS PARA EL ANÁLISIS ECONÓMICO
503
Finalmente, podemos observar que si 0c entonces 0ty*
incluso cuando “T” es fijo. Esto se aprecia aplicando límites a (135)
cuando 0c :
tc1
Tc12
0tc1
Tc12
0
0c
*
0ce
e1
ye
e1
ylímtylím
0
e1
eelímytylím
Tc12
tT2c1tc1
0c0
*
0c
Lo anterior no es sorprendente, ya que según “c” se hace pequeño, es
decir, los costos se hacen insignificantes, entonces ty* se ajusta a
cero casi inmediatamente.
7.- El problema a resolver es:
0TK
k0K
tCtKFtK:a.s
dttCUmax
0
'
T
0tC
0TK
k0K:a.s
dttKtKFUmax
0
T
0
'
tK
(136)
La ecuación de Euler es:
dt
KUd
K
U '
dt
K
tCUd
K
tCU
'
'
'
'
'
'
'''''''
'''
C
F
U
UCUFU
dt
UdFU
(137)
Para la función de utilidad exponencial o función con coeficiente de
aversión absoluta al riesgo constante (CAAR):
tcetcU para 0α
CIRO BAZÁN OPTIMIZACIÓN DINÁMICA
504
Se tiene que el coeficiente de Arrow-Pratt de aversión absoluta al riesgo
es:
tC
tC
e
e
tC'U
tC''UtC (138)
Reemplazando (138) en (137) tenemos:
''
'
' FC
C
F (139)
Por otro lado, la producción es:
tbKtKF (140)
Entonces:
btKF' (141)
Reemplazando (141) en (139) se obtiene:
b
tC '
Por tanto, integrando obtenemos:
tb
tC* (142)
Reemplazando (140) y (1142) en (136) se tiene que:
tKtbKtb
tC '*
tb
tbKtK '
La ecuación diferencial homogénea es:
0tbKtK '
El polinomio característico de la ecuación diferencial homogénea es:
b0bP
MATEMÁTICAS PARA EL ANÁLISIS ECONÓMICO
505
Entonces, la solución complementaria será:
btc etK (143)
Por lo que tenemos:
bt1 etK
El Wronsquiano vendrá dado por:
0eetW btbt
Para hallar la solución particular necesitamos calcular tW1 :
tb
tb
tW1
Por tanto, la solución particular será:
t
b
1dt
e
tb
edttW
tWtKtK
bt
bt11p (144)
La trayectoria del capital será:
btpc
* et
b
1tKtKtK
(145)
En este caso utilizaremos la condición de transversalidad de “línea
terminal vertical truncada”, esto es:
0U0TK0TK0U
CHC
TtK**
TtK ''
(146)
En este caso tenemos que:
0eTCUU TC'
TtK '
Por tanto, por la (CHC) que aparece en (146) se tiene que:
0KTK mín* (147)
CIRO BAZÁN OPTIMIZACIÓN DINÁMICA
506
Evaluando (145) en “T”, y teniendo en cuenta (147) tenemos:
0eT
b
1TK bT*
(148)
Aplicando la condición inicial a (145) obtenemos:
b
1KK
b
10K 00
*
(149)
Reemplazando (149) en (148) tenemos:
1e
1bT1Kbe
bT
0bT
(150)
Reemplazando (150) en (149) resulta:
bT
0
e1
TK
(151)
Reemplazando (150) y (151) en (145) resulta:
bt
bT
0
bT
bT0* e
e1
TKt
1e
TeKtK
(152)
Derivando respecto (152) del tiempo tenemos:
bt
bT
0'* e
e1
TKb1tK
(153)
Reemplazando (150) en (142) resulta:
1e
1bT1Kbet
btC
bT
0bT
*
(154)
Ahora constataremos que la trayectoria del capital, ecuación (152), y la
trayectoria de la inversión, ecuación (153), maximizan globalmente la
funcional objetivo.
La matriz Hessiana de la función intermedia, para cualquier T,0t es:
1b
bbet,t'K,tKHU
2tC
MATEMÁTICAS PARA EL ANÁLISIS ECONÓMICO
507
La matriz hessiana
t,t'K,tKHU será semidefinida negativa ya que
tiene un autovalor nulo y el otro negativo e igual a .b1 2 Por tanto,
la función intermedia “U” es cóncava.
En consecuencia, las ecuaciones (152) y (153) maximizan globalmente la
funcional objetivo. Por ende, la trayectoria dada por (154) también será
óptima.
7. Horizonte temporal infinito
Un supuesto común en economía es considerar horizonte temporal infinito.
Este supuesto es razonable cuando los agentes enfrentan decisiones de muy
largo plazo y cuando los agentes se preocupan por el bienestar de sus
descendientes. La forma general del problema de cálculo de variaciones a
resolver en este caso sería:
librefinalx
x0x:a.s
dtt,tx,txfxJmax
XXI
0
0
'
tx
Dado que ahora la funcional está dada por una integral impropia, para que
esta funcional esté definida, la integral debe ser convergente. A continuación
se presentan dos condiciones suficientes para que la funcional objetivo sea
convergente.
7.1 Condiciones para la convergencia de la funcional objetivo
Condición 1: Dada la integral impropia dtt,tx,txfxJ
0
'
, si la
función intermedia “f” posee un valor finito hasta el periodo “T”, y
luego toma un valor nulo y éste se mantiene constante a lo largo del
tiempo, entonces la integral converge.
Condición 2: Si la función intermedia es descontada mediante el
factor de descuento ,0re rt y durante todo el horizonte temporal
posee un valor mayor o igual a cero y menor o igual a “S”
,S0 entonces la integral converge. Más formalmente, ya que
el valor de t,tx,txf ' no puede nunca exceder el valor de su cota
superior “S”, podemos escribir:
r
SdtelímSdteSdtet,tx,txfxJ
b
0
rt
b
rt
0
rt
0
'
CIRO BAZÁN OPTIMIZACIÓN DINÁMICA
508
7.2 Condiciones de transversalidad
Cuando el horizonte temporal es infinito, la ecuación de Euler y la
condición suficiente de segundo orden siguen siendo válidas para la
resolución del problema de cálculo de variaciones. No obstante la
condición de transversalidad se modifica ligeramente. En lugar de
utilizar la condición (XI), ahora se emplea la siguiente condición:
XXII0tfxftxf 1tx
'1
tx ''
Donde cada uno de los dos términos deberá desaparecer
individualmente.
Considerando el segundo término de (XXII), como el horizonte
temporal es infinito, ,0t1 entonces deberá cumplirse la siguiente
condición:
XXIII0fxflím 'x'
t
Considerando el primer término de (XXII), existen dos posibilidades a
tener en cuenta:
a) Si un estado terminal asintótico (meta asintótica), se especifica en el
problema:
XXIVdaespecificaconstanteuna:xtxlím
t
Entonces el primer término de (XXII) será nulo, ya que ,0tx 1
por lo que la condición a utilizar será la ecuación (XXIV).
b) Si el valor terminal de la senda no está especificado (es libre), al
igual que en (XXI), deberá cumplirse la siguiente condición:
XXV0flím 'xt
Si el estado terminal está sujeto a la restricción del tipo mín1* xtx ,
entonces deberemos utilizar la condición (XX). No obstante, en la
práctica, siempre podremos utilizar (XXV) primero. Si la restricción
mín1* xtx es satisfecha por la solución, entonces el problema
termina. De lo contrario, tendremos que utilizar mínx como un estado
terminal dado.
MATEMÁTICAS PARA EL ANÁLISIS ECONÓMICO
509
7.3 Condición Suficiente
Si la función intermedia t,tx,txf ' es cóncava (convexa) en las
variables 'x,x en un problema con horizonte temporal infinito,
entonces la ecuación de Euler más la siguiente condición suplementaria:
0xxflím *xt
'*
Son suficientes para un máximo (mínimo) absoluto de xJ .
En esta condición, “ 'xf ” está evaluada en la trayectoria óptima, y
*xx representa la desviación de cualquier trayectoria admisible
“ tx ” de la trayectoria óptima “ tx* ”.
Ejemplo:
Modelo de Inversión13: Este modelo fue desarrollado por Eisner y
Strotz (1963). El modelo se centra en la inversión neta como un proceso
que amplía el tamaño de la planta de una empresa. Por tanto, no se
considera la depreciación del stock de capital. Se supondrá que una
empresa tiene como único insumo el capital K, que 2BKAKK
0ByA es su función de beneficios brutos, y que '2'' bKKaKC
0bya es su función de costos de inversión (expansión de la
planta). Además, ,0brA donde “r” es el factor de descuento.
El objetivo de la empresa es escoger la trayectoria tK* que maximiza
el valor presente de sus beneficios netos a lo largo del tiempo, esto es:
libre:finalK
0K0K:a.s
dtebKKaBKAKKJmax
0
0
t,K,Kf
rt'2'2
tK
'
Donde:
rt'2'2' ebKKaBKAKt,K,Kf
13 Basado en Eisner, R. y Strotz, R., “Determinants of Business Investment”, Impacts of Monetary Policy,
Prentice-Hall, Englrwood Cliffs, New Jersey 1963, pp. 60-233.
CIRO BAZÁN OPTIMIZACIÓN DINÁMICA
510
Con derivadas:
rtK eBK2Af rt'
KebaK2f ' rt
KK Be2f
0ffKKKK '' rt
KKae2f ''
rt'''tK
eaK2rbaK2f '
La ecuación de Euler es:
rt'''rttKK eaK2rbaK2eBK2Aff '
155a2
ArbK
a
BrKK '''
Tenemos una ecuación diferencial ordinaria no homogénea de orden
dos con coeficientes constantes, cuyo polinomio característico es:
2
aB4rr
2
aB4rr
0ar
BrP
2
2
2
12
La solución complementaria es:
156eAeAtK
t2
aB4rr
2
t2
aB4rr
1c
22
Dos soluciones de tKc son:
t
2
aB4rr
2'1
t2
aB4rr
1
22
e2
aB4rrtKetK
t
2
aB4rr
2'2
t2
aB4rr
2
22
e2
aB4rrtKetK
MATEMÁTICAS PARA EL ANÁLISIS ECONÓMICO
511
El Wronsquiano será:
t2
aB4rr
2t
2
aB4rr
2
t2
aB4rrt
2
aB4rr
22
22
e2
aB4rre
2
aB4rr
ee
tW
0eaB4rtW rt2
Dado que ,0tW las soluciones tKytK 21 son linealmente
independientes.
En consecuencia:
t
2
aB4rr
t2
aB4rr
2
t2
aB4rr
1
2
2
2
ea2
rbA
e2
aB4rr
a2
Arb
e0
tW
t
2
aB4rr
t2
aB4rr
2
t2
aB4rr
2
2
2
2
ea2
Arb
a2
Arbe
2
aB4rr
0e
tW
Por tanto:
dte
aB4ra2
eArbdt
tW
tWtK
t2
aB4rr
2
t2
aB4rr
11
2
2
aB4rraB4ra
rbAdt
tW
tWtK
22
11
CIRO BAZÁN OPTIMIZACIÓN DINÁMICA
512
dte
aB4ra2
eArbdt
tW
tWtK
t2
aB4rr
2
t2
aB4rr
22
2
2
aB4rraB4ra
Arbdt
tW
tWtK
22
22
La solución particular será:
aB4rraB4ra
Arb
aB4rraB4ra
rbAtK
2222p
Simplificando:
1570B2
rbAKp
Por tanto, la trayectoria óptima es:
158B2
rbAeAeAtK
t2
aB4rr
2
t2
aB4rr
1*
22
t2
aB4rr
2
2
t2
aB4rr
2
1'*
22
e2
aB4rrAe
2
aB4rrAtK
Obsérvese que 01 y 02 son reales y de signos opuestos y que el
supuesto 0brA implica que la solución particular .0Kp La
condición inicial es:
159KKAA0K 0p21
Las condiciones de transversalidad son:
0fKflím 'K'
t
0eKaBKAKlímCT rt2'2
t1
MATEMÁTICAS PARA EL ANÁLISIS ECONÓMICO
513
Reemplazando tK* y tK '* en el límite anterior obtenemos lo
siguiente:
0eKaKBAKlímCT rt2'*2**
t1
0eBKAKeBAAeBK2AA
BAAA2eBAAeBK2AAlímCT
rt2pp
tr222
22
trp2
2121tr22
121
trp1
t1
22
11
La única forma de que este límite sea convergente a cero es que .0A1
Por tanto, de (159) se tiene que:
160KKA p02
Entonces, reemplazando 0A1 y p02 KKA en (158) tenemos que:
161B2
rbAe
B2
rbAKtK
t2
aB4rr
0*
2
La segunda condición de transversalidad:
1620flímCT 'Kt2
No es necesaria en este problema. No obstante, si la utilizamos también
obtendremos que 1A debe ser nulo para evitar que (162) sea explosiva.
Ahora comprobaremos si la trayectoria del capital maximiza
globalmente la funcional objetivo. Para ello vamos a construir la matriz
Hessiana de la función intermedia, para cualquier ,0t :
rt
rt
ae20
0Be2t,t'K,tKHf
La matriz Hessiana es definida estrictamente negativa ya que posee sus
dos autovalores negativos 0ae2,0Be2 rt2
rt1 . Por
tanto, la función intermedia “f” es estrictamente cóncava en .'K,K
En este caso, la condición suplementaria a utilizar es:
0KKlímflím0KKflím *
tKt
*Kt
'*'*
(163)
CIRO BAZÁN OPTIMIZACIÓN DINÁMICA
514
Derivando (161) respecto del tiempo se tiene:
164eB2
rbAK
2
aB4rrtK
t2
aB4rr
0
2'*
2
Dado que ,ebaK2f rt'*K '*
entonces:
rt
t2
aB4rr
02
tKtbeeK
B2
rbAaB4rralímflím
2
'*
0flím '*Kt
En cuanto a *KK , la forma cuadrática en “K” de la función de
beneficios, representada en la figura 9, sugiere que según “t” tienda a
infinito, la diferencia entre el valor “K” de cualquier trayectoria vecina
admisible y el valor “K*” es limitada. Por tanto, el hecho que “ '*Kf ”
tienda a cero conforme “t” tiende a infinito, nos asegura que la
condición suplementaria (163) se satisfaga como igualdad. En
consecuencia, la concavidad estricta de la función intermedia hará que
la ecuación de Euler sea suficiente para un máximo global estricto en la
funcional objetivo.
2BKAK
K B2A 0
Figura 9
VII.3 Teoría de control óptimo
Las primeras investigaciones realizadas sobre control óptimo fueron efectuadas
por Valentine (1937), McShane (1939) y Hestenes (1949). Pero el verdadero
desarrollo de esta técnica fue realizado por los rusos Pontryagin, Boltyanskii,
Gamkrelidze y Mishchenko (1958). La teoría de control óptimo se ha aplicado
extensivamente a la solución de problemas económicos desde los tempranos
documentos de trabajo que aparecieron en Shell (1967) y los trabajos de Arrow
(1968) y Shell (1969). El campo es demasiado extenso para ser examinado
detalladamente aquí. Sin embargo, podemos citar algunos interesantes libros que
abordan este tópico: Seierstad y Sydsæter (1987), Kamien y Schwartz (1991),
Léonard y Long (1992), Takayama (1993) y (1997), Gandolfo (1997), Chiang,
A. (2000), De la Fuente, A. (2000).
MATEMÁTICAS PARA EL ANÁLISIS ECONÓMICO
515
1. Formulación del problema fundamental de control óptimo
En la sección V.2 hemos estudiado el método clásico para resolver
problemas de optimización dinámica, el cálculo de variaciones. No obstante,
esta técnica no resulta conveniente para resolver problemas de optimización
dinámica en los que aparecen restricciones sobre las derivadas de las
funciones que intervienen en dichos problemas. Además, mediante este
método sólo se admiten soluciones interiores.
La técnica moderna que permite tratar características no clásicas como
soluciones de esquina, restricciones en forma de desigualdad sobre las
trayectorias, y otras generalizaciones, es la teoría de control óptimo. Esta
técnica se centra en una o más variables de control14 que sirven como
instrumentos de optimización, y que están asociadas a una o más variables de
estado a través de la denominada ecuación de movimiento. Específicamente,
esta técnica tiene como principal objetivo determinar la trayectoria temporal
óptima para la/s variable/s de control, a partir de la/s cual/es podremos
determinar la/s trayectoria/s óptima/s de la/s variable/s de estado asociada/s.
Supongamos que tenemos un sistema que está representado en el tiempo por
ciertas variables, denominadas variables de estado, dadas por
,tx,,tx,tx n21 cuya dinámica está descrita por un sistema de
ecuaciones diferenciales (tiempo continuo) o por un sistema de ecuaciones
en diferencias (tiempo discreto), y que pueden ser controladas por unas
variables denominadas variables de control, variables de decisión o
instrumentos, denotadas por tu,,tu,tu m21 . El problema general de
control óptimo que se plantea es obtener una trayectoria (senda) para las
variables de estado tx,,tx,tx n21 eligiendo adecuadamente las
trayectorias temporales de las variables de control tu,,tu,tu m21 de
modo que se maximice un objetivo sujeto a determinadas restricciones.
En esta sección, vamos a plantear el problema más sencillo de control óptimo. El
problema fundamental del control óptimo se caracteriza porque la funcional a
optimizar (funcional objetivo) depende de una sola variable de estado, ,tx de
una sola variable de control, tu15, y de las condiciones de borde: condiciones
iniciales (completamente especificadas) y condiciones finales (donde el estado
terminal puede ser: libre (linea terminal vertical), una linea terminal vertical
truncada, o fijo). Asimismo, tx no está sujeta a restricciones, tu no está
sujeta a restricciones conjuntistas, es decir, ,,Utu y el
horizonte temporal es continuo y fijo: .t,tt 10 En términos formales, el
problema más simple de control óptimo es:
14 En economía, una variable de control (por ejemplo: el consumo, la tasa de impuestos (política fiscal), la
tasa de interés, la proporción de inversiones asignada a diferentes sectores, la tasa de extracción del stock
de un recurso agotable por unidad de tiempo, la inversión gubernamental) es un instrumento político que
permite influir sobre una variable de estado. En general, una variable de control está sujeta a la elección
discrecional del agente optimizador, y su elección afecta a la variable de estado. 15 La variable de control tu puede escogerse de un conjunto de funciones U, denominado conjunto de
controles admisibles. Cuando ,Utu tu es denominada control admisible. Al conjunto ,U de
imágenes de los controles admisibles, se le conoce como región de control.
CIRO BAZÁN OPTIMIZACIÓN DINÁMICA
516
cybendado:x
dados:tyt,x
****bordedesCondicione:
xtxc
xtxb
libre:txa
:finalessCondicione
xtx:inicialessCondicione
***tu,tx,tgtx:estadodeEcuación
**Utu:a.s
*dttu,tx,tfuJmax
1
100
11
11
1
00
'
objetivoFuncional
t
t
ermediaintFunción
tu
1
0
En (XXVI)16, la funcional objetivo, tiene como argumento a “u” y no a “x” y
la función intermedia tiene a “u” como argumento en lugar de “ 'x ” como
ocurría en el cálculo de variaciones. Además, debido a la presencia de “u”, es
indispensable contar con una conexión entre dicha variable y “x” para saber
cómo “u” afectará a la trayectoria adoptada por “x”. Esta información es
proporcionada por la ecuación diferencial, denominada ecuación de
movimiento, de transición o de estado, que relaciona a “x” con “u”. Esta
ecuación nos muestra cómo, en cada momento del tiempo, para un valor
dado de “x”, la variable de control “u”, elegida por un “planificador”, guiará
a “x” a lo largo del tiempo. Una vez determinada la senda óptima de la
variable de control, ,tu* la ecuación de estado permitirá obtener la
trayectoria óptima de la variable de estado .tx*
Para que (XXVI) pueda resolverse, deberá verificarse que las funciones
tu,tx,tf y tu,tx,tg sean continuas en todos sus argumentos, y posean
derivadas parciales de primer orden continuas con respecto a “t” y a “ tx ”, pero
no necesariamente respecto a .tu Además, tu no tendrá que ser continua
para llegar a ser admisible; sólo necesitará ser continua a trozos17. Asimismo,
tx debe ser continua en el periodo de planificación temporal, aunque puede
presentar un número finito de puntos agudos o esquinas18. Es decir, para que una
senda de estado sea admisible sólo necesita ser diferenciable a trozos19.
16 Sin pérdida de generalidad, supondremos que todos los problemas de control óptimo consisten en
maximizar la funcional objetivo. Esto se adopta debido a que todo problema de minimización siempre se
podrá reformular como un problema de maximización añadiendo el signo menos a la funcional objetivo. 17 Esto significa que es continua en todos los puntos, excepto, quizá, en un número finito de ellos. Es decir,
tu podrá contener un número finito de saltos en los que tu no tienda a valores infinitos (cualquier
discontinuidad que involucre saltos finitos). 18 Una esquina es un punto de una función en el que su derivada es discontinua. En una esquina la función
no es diferenciable. 19
Esto significa que es diferenciable en todos los puntos, excepto, quizá, en un número finito de ellos. Es
decir, tx podrá contener puntos en los que no sea diferenciable respecto al tiempo (esto es, puede existir
un número finito de puntos donde las derivadas laterales derecha e izquierda de tx respecto al tiempo
difieran la una de la otra).
(XXVI)
MATEMÁTICAS PARA EL ANÁLISIS ECONÓMICO
517
Al igual que las trayectorias de control admisibles20, las trayectorias de
estado admisibles deben tener un valor finito para cada instante en el periodo
de planificación temporal. Además, se asumirá que si tu está definida en
,t,t 10 entonces tu es continua en los extremos del intervalo.
En el problema (XXVI), tenemos que la condición inicial está
completamente especificada (instante inicial y el valor inicial de la variable
de estado) y se conoce el instante final pero el valor final de la variable de
estado dependerá si estamos en el caso de estado terminal libre [caso (a)],
linea vertical terminal truncada [caso (b)], o estado terminal fijo [caso (c)].
Por otro lado, el conjunto de controles admisibles, U, por lo general es un
conjunto compacto (cerrado y acotado) y convexo. Esto deja abierta la
posibilidad de que existan soluciones de esquina en el problema de
optimización, a diferencia de los problemas de cálculo de variaciones. No
obstante, en el problema (XXVI), tenemos que ,,Utu es
decir, la variable de control debe pertenecer al conjunto abierto ,, por
lo que en este caso no hay restricciones sobre la variable de control. Por
tanto, en el problema (XXVI) podríamos omitir .Utu
2. Condiciones necesarias de optimalidad: El principio del
máximo de Pontryagin (1958)
En esta sección vamos a estudiar el método que nos permitirá resolver el
problema fundamental de control óptimo, el denominado principio del
máximo de Pontryagin. Dado que el principio del máximo involucra
conceptos como función Hamiltoniana y variable de coestado, primero
vamos a explicar dichos conceptos.
Una variable de coestado, variable adjunta o variable auxiliar es una
variable, semejante a los multiplicadores de Lagrange que aparecen en
problemas de optimización estática restringida, que mide o valora el precio
sombra de una variable de estado asociada. Esta variable puede adoptar
diversos valores a lo largo del horizonte de planificación temporal, y la
denotaremos como .t El medio a través del cual la variable de coestado
aparece en el problema de control óptimo es la función Hamiltoniana o
Hamiltoniano. El Hamiltoniano es la versión dinámica de la función
Lagrangiana en problemas de optimización estática con restricciones, y viene
denotado por:
tu,tx,tgttu,tx,tft,tu,tx,tH 0 XXVII
Donde:
0 es una constante no negativa a determinar, tu,tx,tf es la función
intermedia, tu,tx,tg es la ecuación de movimiento de la variable de
estado y t es la variable de coestado. Todos estos elementos constitutivos
del Hamiltoniano aparecen en el problema XXVI.
20 Aquellas que pertenecen al conjunto de controles admisibles: .Utu
CIRO BAZÁN OPTIMIZACIÓN DINÁMICA
518
El principio del máximo de Pontryagin, que a continuación enunciaremos,
transfiere el problema de encontrar una tu que maximice uJ sujeto a las
restricciones dadas, problema XXVI, al problema de maximizar la función
Hamiltoniana con respecto a .Utu En términos formales:
Utu:a.s
t,ttt,tu,tx,tHMaxXXVIII
10tu
Además, este principio nos permite determinar la función .t
El Principio del Máximo para problemas con intervalo de tiempo fijo
Sea tu* la trayectoria de control óptima, continua a trozos, que resuelve el
problema XXVI, y sea tx* la trayectoria de estado óptima asociada
continua y diferenciable a trozos, definidas en 10 t,t . Entonces, existe una
constante 0 y una función t continua y con derivadas de primer orden
continuas a trozos21 tal que para todo 10 t,tt se tiene que
0,0t,0 y tu* maximiza ,t,tu,tx,tH * es decir:
Utut,tu,tx,tHt,tu,tx,tH *** XXIX
Excepto en los puntos de discontinuidad22 de ,tu* se verifica que:
tx
t,tu,tx,tH
dt
tdt
**'
XXX
tu,tx,tg
t
t,tu,tx,tH
dt
tdxtx **
**'
XXXI
Asimismo, se cumple que:
0o1 00 XXXII
21
Como t es continua para todo “t” en el intervalo finito cerrado 10 t,t , entonces t debe ser
acotada en dicho intervalo. 22 Las posibles discontinuidades de t' y tx ' ocurren en los puntos de discontinuidad de .tu Es
decir, los posibles puntos de esquina de t y tx ocurren en los puntos de discontinuidad de .tu
Aunque los valores de tu en los puntos de discontinuidades no son de alguna significancia en la
aplicación del principio del máximo, supondremos que en un punto de discontinuidad ,t,t 10 se
cumple que .tulímut
Por otro lado, en “ ”, la inecuación XXIX seguiría siendo válida, pero se
transformaría en .Utu,u,x,H,tulím,x,H **
t
*
MATEMÁTICAS PARA EL ANÁLISIS ECONÓMICO
519
Finalmente, a cada condición final en (XXVI) le corresponde una condición de
transversalidad:
condiciónsintc
0txtxxtx0tb
0ta
1
CHC
111*
11*
1
1
XXXIII
Al sistema de ecuaciones conformado por (XXX) y (XXXI) se le suele
denominar “Sistema Hamiltoniano” o “Sistema Canónico”. Siendo la (XXX)
la ecuación de movimiento de “ t ” y (XXXI) la ecuación de movimiento de
“ tx ”. Es importante resaltar que el principio del máximo de Pontryagin da
condiciones necesarias de primer orden para que tu* sea la trayectoria
óptima. Estas condiciones necesarias no garantizan la existencia de un control
óptimo tu* ; éstas solamente son las condiciones implícitamente contenidas
en la optimalidad, asumiendo la existencia de un control óptimo tu* .
Asimismo, se hace notar que t,tu,tx,tHt,tu,tx,tH * Utu
es equivalente a
t,tu,tx,tHMaxtu
, y que este requerimiento tiene en cuenta a
la condición de primer orden 0tut,tu,tx,tH (que necesitará ser
apoyada por una apropiada condición de segundo orden). No obstante, como
veremos a continuación, no siempre la condición de primer orden nos será útil para
determinar el control óptimo tu* en U, incluso si el Hamiltoniano es diferenciable.
En la figura 10 se muestran algunas posibles curvas del Hamiltoniano como
funciones de tu en un específico punto del tiempo y para específicos valores de
tx y .t Por ejemplo, si el Hamiltoniano es una función lineal creciente respecto
a tu en 10 u,uU , entonces el máximo del Hamiltoniano (punto A) se dará en
1u , mientras que si el Hamiltoniano es una función lineal decreciente respecto a tu
en 10 u,uU , entonces el máximo del Hamiltoniano (punto B) se dará en 0u .
Tanto 1u como 0u son soluciones de esquina. Se aprecia que en estos dos casos la
condición 0tut,tu,tx,tH no es aplicable porque en ninguna parte
aquella derivada es igual a cero. Si el Hamiltoniano es una línea recta horizontal en
10 u,uU , entonces no hay un único control óptimo. En este caso, todos los
puntos de la recta CD maximizan el Hamiltoniano, y todos los puntos de
10 u,uU son controles óptimos. Por otro lado, para la curva que pasa por el
punto “E” y que es diferenciable con resppecto a tu , el máximo del Hamiltoniano
ocurre en ,utu punto interior de U, en este caso, la ecuación
0tut,tu,tx,tH sirve para identificar el control óptimo en aquel
punto del tiempo. Pero si la curva relevante es la que pasa por el punto “G”, entonces
el control óptimo tu* en U que maximiza t,tu,tx,tH es ,utu 1 una
solución de esquina de U. Por tanto, la condición 0tut,tu,tx,tH no
es aplicable, aún cuando el Hamiltoniano es diferenciable.
CIRO BAZÁN OPTIMIZACIÓN DINÁMICA
520
t,tu,tx,tH
tu u0 u1
A
B
C D
E
G
u 0 Figura 10
Del análisis anterior podemos concluir que, mientras la condición
0tut,tu,tx,tH puede servir a nuestro propósito cuando el
Hamiltoniano es diferenciable respecto a tu y puede producir una solución
interior23, el hecho que U pueda ser un conjunto cerrado, con posibles
soluciones de esquina, necesita la más amplia condición:
.t,tu,tx,tHMax
tu Esto es así ya que bajo el principio del máximo no
se requiere que necesariamente el Hamiltoniano sea diferenciable con
respecto a tu .
También es importante resaltar que la condición 0,0t,0 indica que
ty0 no pueden ser ambos a la vez iguales a cero. Dado que en la
mayoría de problemas de corte económico se encuentra que ,00 0
suele normalizarse a la unidad, ,10 lo cual transforma el Hamiltoniano
que aparece en XXVII en:
tu,tx,tgttu,tx,tft,tu,tx,tH XXXIV
Sin embargo, es recomendable en todo problema verificar que 00 ya
que la eventualidad de 00 puede presentarse en ciertas situaciones, no
muy usuales, donde la solución del problema es verdaderamente
independiente de la función intermedia tu,tx,tf , es decir, donde la
función tu,tx,tf no importa en la solución del proceso. Esto es, por
supuesto, porque el coeficiente 0 debe ser igual a cero, de manera que
elimine la función tu,tx,tf del Hamiltoniano.
23 Si el Hamiltoniano es no lineal y diferenciable, y tu no está restringida, esto es,
,,Utu entonces la condición 0tut,tu,tx,tH producirá una solución
interior.
MATEMÁTICAS PARA EL ANÁLISIS ECONÓMICO
521
Lo dicho antreriormente justifica la aparición de la condición XXXII en el
principio del máximo de Pontryagin.
A continuación presentaremos algunos ejemplos en los que se intentará
indicar cómo “básicamente” trabaja el principio del máximo de Pontriagyn y
cómo éste permite seleccionar uno o unos pocos candidatos a óptimo. Es
importante señalar que no es del todo evidente cómo aplicar el principio del
máximo de Pontryagin. En realidad, la forma en que éste es usado difiere
significativamente de un tipo de problema a otro, de modo que ningún
procedimiento estándar para encontrar la solución puede ser concebido.
Ejemplos:
1.- Resolver el siguiente problema:
2
2tu1
libre:2x
00x
tutxtx:a.s
1dttxuJMax
'
2
0tu
El Hamiltoniano viene dado por:
tutxttxt,tu,tx,tH 0
tutttxt,tu,tx,tH 0 3
Supongamos ahora que tu,tx ** resuelve el problema. De acuerdo al
principio del máximo debe existir una constante 0 y una función
continua t tal que:
2,0t0,0t,0 4
Además, para cada 2,0t , tu* es aquel valor de 2,1tu que
maximiza:
tutttxt,tu,tx,tH 0** 5
La variable de coestado t satisface, de acuerdo a XXX , excepto en
los puntos de discontinuidad de tu* , la ecuación:
tttx
t,tu,tx,tH
dt
td00
**
6
CIRO BAZÁN OPTIMIZACIÓN DINÁMICA
522
Ya que 2x es libre, por XXXIII se debe verificar que:
02 7
De 4 se obtiene, en particular para ,2t que 0 y 2 no pueden ser
ambos a la vez iguales a cero. Ya que ,02 entonces ,00 y en
consecuencia por XXXII , .10
Reemplazando 10 en la ecuación diferencial lineal con coeficientes
constantes que aparece en (6) se tiene:
1ttt1t '' 8
La ecuación característica de esta ecuación es:
1r01rrp
La solución complementaria será:
tC Aet
Donde:
t1 et
Por tanto el Wronsquiano será:
0tW0eetW tt
Es decir, t1 et son soluciones de tc que son linealmente
independientes.
Mientras que:
11tW1
Por tanto:
tt
t
1edtedt
e
1dt
tW
tW
La solución particular será:
1eedt
tW
tWtt tt1
1p
MATEMÁTICAS PARA EL ANÁLISIS ECONÓMICO
523
Por tanto, la solución general de 1tt' es:
1Aet t 9
Reemplazando (7) en (9) tenemos:
22 eA01Ae2
Por tanto, la variable de coestado será:
1et t2 10
Derivando (10) respecto al tiempo, tenemos:
t0et t2' 11
Teniendo en cuenta (11) y (7), se aprecia que para todo 2,0t la
variable de coestado 01et t2 .
Se observa que en el Hamiltoniano dado por la ecuación (5) únicamente
el término tut depende de .tu Por tanto, tu* es el valor de
2,1tu que maximiza tut . Cuando 2,0t se cumple que
01et t2 , de modo que en este caso el máximo de tut se
alcanza para .2tu Para 2t se verifica que 02 y por tanto
(5) no determina 2u* . El valor de tu* en este único punto no es de
importancia. Sin embargo, nosotros previamente hemos decidido escoger
tu como una función continua en los extremos de su dominio (ver
primer párrafo de la página 479). Por tanto, debemos hacer ,2tu* de
modo que nuestra propuesta para un control óptimo sea:
2,0t2tu* 12
La trayectoria asociada tx* debe satisfacer XXXI :
2txtutxtu,tx,tg
dt
tdx ******
2tx
dt
tdx **
13
De manera análoga a (8), la solución de (13) será:
2Betx t* 14
CIRO BAZÁN OPTIMIZACIÓN DINÁMICA
524
Reemplazando la condición inicial 00x* en (14) se tiene que .2B
Por tanto:
1e22e2tx tt* 15
Nosotros ahora hemos probado que si el problema tiene solución, el
control óptimo es dado por (12) y la trayectoria óptima asociada está dada
por (15). El correspondiente valor de la funcional objetivo es:
78,83e2dt1e2dttxuJ 22
0
t2
0
**
Hemos ilustrado como el principio del máximo de Pontryagin trabaja en
un caso simple. Sin embargo, nuestro esfuerzo no era realmente necesario
para resolver el problema. De (2) vemos que 2tu* produce el más
alto valor de tx para cualquier ,2,0t y por tanto 2tu* debe
maximizar dttxuJ
2
0
** .
2.- Consumo vs inversión: Un país recibe un flujo constante de 1 unidad
monetaria como ayuda económica. Sea tx el nivel de infraestructura en
el instante “t”, y sea tu la parte de la ayuda económica que es asignada
a la inversión en infraestructura en el instante “t”. Sea tu1U la
utilidad que perciben los habitantes del país por aquella parte de la ayuda
económica que destinan al conumo, .tu1 Donde tu1U es una
función de clase dos con 0tu1U ' y 0tu1U '' en .,0
El periodo de planificación es T,0 y se asume que TxTx , es decir,
se asume que el país intenta alcanzar al menos el nivel Tx al final del
periodo de planificación. El problema de planificación es encontrar la
asignación de inversión que maximiza la utilidad total.
El problema a resolver es:
17
1,0tu
xTx
x0x
tutx:a.s
16dttu1UuJMax
T
0
'
T
0tu
Se asumirá que:
Txxx0 0T0 '17
MATEMÁTICAS PARA EL ANÁLISIS ECONÓMICO
525
En este caso se aprecia que, en cada instante “t” del periodo de
planificación, la variación del nivel de infraestructura respecto del tiempo
debe ser igual a la parte de la ayuda económica que es asignada a la
inversión en infraestructura. Es decir, .tutx ' Es precisamente
gracias a esta ecuación diferencial (ecuación de movimiento) que
podemos darnos cuenta que la variablede estado será tx y que la
variable de control será .tu Esto es así, ya que tu puede afectar el
comportamiento dinámico de tx a través de la ecuación de movimiento
de .tx
El Hamiltoniano de este problema de optimización intertemporal será:
tuttu1Ut,tu,tx,tH 0 18
Asumiendo que tu,tx ** resuelve el problema. De acuerdo al
principio del máximo, debe existir una constante 0 y una función
continua t tal que:
T,0t0,0t,0 19
Donde, por (XXXII), .0o1 00 Además, para cada T,0t ,
tu* es aquel valor de 1,0tu que maximiza:
tuttu1Ut,tu,tx,tH 0* 20
La variable de coestado t satisface, de acuerdo a XXX , excepto en
los puntos de discontinuidad de tu* , la ecuación:
0
tx
t,tu,tx,tH
dt
td **
ct (siendo “c” una constante) 21
Por XXXIII , la condición de transversalidad en Tt será:
CHC
T*
T* 0TxTxxTx0T 22
Evaluando (21) en “T”, y teniendo en cuenta (22) se tiene que:
0cT '22
Pero por la continuidad de t tenemos que:
0ct 23
CIRO BAZÁN OPTIMIZACIÓN DINÁMICA
526
Las derivadas de primer y segundo orden del Hamiltoniano respecto a
tu serán:
ttu1Utu
t,tu,tx,tH '0
*
24
tu1Utu
t,tu,tx,tH ''02
*2
25
Por (XXXII) sabemos que ,00 y por datos del problema se sabe que
0tu1U '' . Por tanto se tiene que:
0tu1Utu
t,tu,tx,tH ''02
*2
26
Por (26) sabemos que el Hamiltoniano será cóncavo en tu . A
continuación, en la figura 11, se muestran todos los casos posibles a tener
en cuenta en nuestro análisis.
tu
1
t,tu,tx,tH t,tu,tx,tH
tu
1
b) c)
a)
t,tu,tx,tH
B G
A
0
0
tu
atu*
0tu* 1tu*
C
D
E
F
Figura 11
MATEMÁTICAS PARA EL ANÁLISIS ECONÓMICO
527
En la figura 11a) se observa que el máximo se alcanza en el punto “A”
donde 1,0tu* y donde
0
tu
t,tu,tx,tH **
de modo que:
cttu1U *'0 27
En la figura 11b) se aprecia que, para la curva BD y para la recta BD, el
máximo se alcanza en el punto “B” (solución de esquina). Donde
,0tu* y se verifica que24:
0c1U0tu
t,tu,tx,tH '0
0tu
**
*
28
Asimismo, en la figura 11b) se aprecia que todos los puntos de la recta
BC maximizan el Hamiltoniano. Donde se verifica que:
0tu
t,tu,tx,tH **
29
En particular, evaluando (29) en ,0tu* tenemos que25:
0c1U0tu
t,tu,tx,tH '0
0tu
**
*
30
Por tanto, de (28) y (30) tenemos que:
0c1U0tu
t,tu,tx,tH '0
0tu
**
*
31
En la figura 11c) se aprecia que, para la curva FG y para la recta FG, el
máximo se alcanza en el punto “G” (solución de esquina). Donde
,1tu* y se verifica que26:
0c0U0tu
t,tu,tx,tH'
0
1tu
**
*
32
24 En realidad, en la curva BD y en la recta BD la derivada lateral del Hamiltoniano respecto a tu , a la
derecha de ,0tu* es negativa.
25 En realidad, en la recta BC la derivada lateral del Hamiltoniano respecto a tu , a la derecha de
,0tu* es nula. Asimismo, en la recta BC la derivada lateral del Hamiltoniano respecto a tu , a la
izquierda de ,1tu * es nula.
26 En realidad, en la curva FG y en la recta FG la derivada lateral del Hamiltoniano respecto a tu , a la
izquierda de ,1tu* es positiva.
CIRO BAZÁN OPTIMIZACIÓN DINÁMICA
528
Asimismo, en la figura 11c) se aprecia que todos los puntos de la recta
EG maximizan el Hamiltoniano. Donde se verifica que:
0tu
t,tu,tx,tH **
33
En particular, evaluando (33) en ,1tu* tenemos que27:
0c0U0tu
t,tu,tx,tH '0
1tu
**
*
34
Por tanto, de (32) y (34) tenemos que:
0c0U0tu
t,tu,tx,tH '0
1tu
**
*
35
De (27), (31) y (35) se puede extraer lo siguiente:
0Uc1
tu1Uc1,0
1Uc0
tu
'0
*'0
'0
* 36
Si suponemos que ,00 de (19) y de (23), vemos que:
0cttu
t,tu,tx,tH *
37
Entonces, por (36), el Hamiltoniano sería maximizado por 1tu* para
todo .T,0t En consecuencia, por la ecuación de movimiento de tx
que aparece en (17), se tendría que:
1*' kttxdttdx1tx 38
Reemplazando la condición inicial en (38) tendríamos:
0*
01* xttxxk0x 39
27 En realidad, en la recta EG la derivada lateral del Hamiltoniano respecto a tu , a la izquierda de
,1tu * es nula. Asimismo, en la recta BC la derivada lateral del Hamiltoniano respecto a tu , a la
derecha de ,0tu * es nula.
MATEMÁTICAS PARA EL ANÁLISIS ECONÓMICO
529
Por lo que, teniendo en cuenta '17 y reemplazando la condición
terminal en (39), se tendría:
T0* xxTTx 40
Pero, por (22) y (23), la condición (40) implicaría:
T* xTxpara0cT 41
No obstante, (41) contradice (19). Por tanto, se tiene que:
10 42
Reemplazando (23) y (42) en (20) se tiene:
tuctu1Ut,tu,tx,tH * 43
Reemplazando (42) en (26) se tiene:
0tu1Utu
t,tu,tx,tH ''
2
*2
44
Además, reemplazando (42) en (36) se tiene:
0Uc1
tu1Uc1,0
1Uc0
tu
'
*'
'
* 45
La condición (44) nos indica que el Hamiltoniano es estrictamente
cóncavo respecto a ,tu y tiene un único máximo en “ u ” que es
independiente de “t”. Es decir, utu* para alguna elección de
.1,0u En consecuencia, las líneas rectas que aparecen en las figuras
11b) y 11c) serán descartadas, y sólo nos quedará por analizar las curvas
que aparecen en las figuras 11a), 11b) y 11c).
Para el caso que se presenta en la figura 11b), curva BD, se aprecia que
0utu* , pero esto es imposible ya que por la ecuación de
movimiento de tx que aparece en (17), se tendría que:
0*
02*
2*' xtxxk0xktx0tx 46
De modo que reemplazando Tt en (46), y teniendo en cuenta (17), se
tendría:
T0* xxTx 47
Lo cual contradice a '17 .
CIRO BAZÁN OPTIMIZACIÓN DINÁMICA
530
De lo anterior, resulta que .0utu* Entonces, la posibilidad que
0ct es imposible por (45). Por tanto, de la (CHC) en (22) se tiene
que:
T** xTxy0cT 48
En consecuencia, al haber descartado la optimalidad de no asignar
ninguna ayuda económica al consumo ,0utu* ahora nos
corresponde analizar la posibilidad que .1utu*
Para el caso que se presenta en la figura 11c), curva FG, se aprecia que
1utu* , pero esto es imposible ya que por la ecuación de
movimiento de tx que aparece en (17), y cuya solución está dada por
(39), se tendría que:
0*
0* xTTxxttx 49
Igualando (48) y (49) resulta que:
T0* xxTTx
La cual es inconsistente con '17 .
Por consiguiente, el único caso que se puede dar es el de la figura 11a)
donde .1,0u Resolviendo la ecuación de movimiento tx que
aparece en (17), se tiene que:
03*
3*' xk0xktutxdtutdxutx
0*
0* xTuTxxtutx 50
Igualando (48) y (50) tenemos que:
T
xxutuxxTuTx
0T*T0
*
51
Reemplazando (51) en (50) se obtiene:
00T* xt
T
xxtx
52
Evaluando (23) en Tt , tenemos:
0cT* 53
MATEMÁTICAS PARA EL ANÁLISIS ECONÓMICO
531
Pero por (48) y por la continuidad de t tenemos que:
0ct* 54
Reemplazando (45) en (54) se obtiene:
0tu1Uct *'* 55
Reemplazando (51) en (55) tenemos:
0T
xx1Uct
0T'*
56
La solución óptima28 al problema viene dada por ,tu,tx ** con la
variable de coestado asociada t* .
El valor óptimo de la funcional objetivo dependerá de los parámetros
,Tyx,x T0 como se puede apreciar a continuación:
TT
xx1Udt
T
xx1Udttu1UuJ
0TT
0
0TT
0
**
Derivando parcialmente la funcional objetivo óptima respecto a x0 y a xT,
respectivamente, se obtiene:
0
T
xx1U
x
uJ *0T'
0
*
T
T
xx1U
x
uJ *0T'
T
*
Se puede apreciar que las derivadas anteriores nos permiten dar
interpretaciones de precio a la variable de coestado. Por ejemplo, T*
mide, aproximadamente, el incremento en la utilidad total óptima al
incrementar el requerimiento terminal sobre el nivel de infraestructura en
una unidad. Asimismo, 0* mide, aproximadamente, el incremento en
la utilidad total óptima al incrementar el requerimiento inicial sobre el
nivel de infraestructura en una unidad. Posteriormente estudiaremos
resultados generales que dan interpretaciones de precio a las variables de
coestado.
28 Más adelante se demostrará, utilizando el teorema de suficiencia de Mangasarian, que la solución
obtenida es un óptimo global del problema.
CIRO BAZÁN OPTIMIZACIÓN DINÁMICA
532
3.- Resolver el siguiente problema:
58
1,0tu
0Tx
00x
tutx:a.s
57dttuuJMax
2'
T
0tu
En este caso, el Hamiltoniano viene dado por:
tuttut,tu,tx,tH 20 59
Asumiendo que tu,tx ** resuelve el problema. De acuerdo al
principio del máximo, debe existir una constante 0 y una función
continua t tal que:
T,0t0,0t,0 60
Donde, por (XXXII), .0o1 00 Además, para cada T,0t ,
tu* es aquel valor de 1,0tu que maximiza:
tuttut,tu,tx,tH 20
* 61
La variable de coestado t satisface, de acuerdo a XXX , excepto en
los puntos de discontinuidad de tu* , la ecuación:
0
tx
t,tu,tx,tH
dt
td **
1kt (siendo “k1” una constante) 62
Por XXXIII , no hay ninguna condición de transversalidad en Tt para
t .
Suponiendo que ,10 y teniendo en cuenta (62), el Hamiltoniano
sería:
tuktut,tu,tx,tH 21
* 63
De la condición de primer orden se tiene que:
1
**1
*
k2
1tu0tuk21
tu
t,tu,tx,tH
64
MATEMÁTICAS PARA EL ANÁLISIS ECONÓMICO
533
Reemplazando (64) en la ecuación de movimiento que aparece en (58) se
tiene que:
221
*
2
1
2
1
' ktk4
1txdt
k2
1tdx
k2
1tx
65
Reemplazando las condiciones iniciales en (65) se tiene que:
tk4
1tx0k0x
21
*2
* 66
Reemplazando las condiciones terminales en (66) se tiene que:
0Tk4
1Tx
21
*
Pero esta ecuación no puede anularse en el estado terminal. En
consecuencia ,00 lo que por (60) implica que:
0kt 1* 67
En este caso el Hamiltoniano sería:
tukt,tu,tx,tH 21 68
La condición de primer orden será:
0tu0tuk2tu
t,tu,tx,tH **1
*
69
Reemplazando (69) en la ecuación de movimiento que aparece en (58) se
tiene que:
0tx0tx *' 70
Reemplazando las condiciones iniciales y las condiciones finales en (70)
se tiene que:
0Tx0x ** 71
Es decir, se verifican las condiciones de borde.
CIRO BAZÁN OPTIMIZACIÓN DINÁMICA
534
Para asegurarnos que (69) maximiza antes que minimiza el Hamiltoniano
vamos a analizar el signo de la derivada de segundo orden del
Hamiltoniano respecto a .tu Para que (69) maximice al Hamiltoniano
será necesario que éste sea estrictamente cóncavo respecto a ,tu lo cual
a su vez requiere que:
0kt0k0k2tu
t,tu,tx,tH1
*112
*2
72
Por tanto, la solución óptima29 al problema viene dada por ,tu,tx **
con la variable de coestado asociada t* .
El valor óptimo de la funcional objetivo será:
0dt0uJ
T
0
*
3. Condiciones suficientes de optimalidad global para
problemas con tiempo fijo: Teoremas de Mangasarian
(1966) y Arrow (1968)
El principio del Máximo de Pontryagin proporciona un conjunto de
condiciones necesarias para un control óptimo, que por lo general no son
suficientes. No obstante, cuando se satisfacen ciertas condiciones de
concavidad/convexidad, entonces las condiciones estipuladas por el principio
del máximo de Pontryagin son suficientes para la maximización/minimización
global. En esta sección sólo vamos a presentar dos teoremas de suficiencia
que fueron desarrollados por O. Mangasarian y por K. Arrow. Las
condiciones de Arrow son más generales, pero es más difícil comprobar su
cumplimiento.
Teorema de Mangasarian
Sea tx,tu ** un par admisible30 del problema (XXVI). Supóngase que
es un conjunto convexo y que
tu
tu,tx,tg
existe y es continua. Si
existe una función t continua y con derivadas de primer orden continuas a
trozos tal que que las siguientes condiciones se satisfacen con ,10
tx
t,tu,tx,tH
dt
tdt
**'
XXXV
29 Como se verá a continuación, una condición suficiente que garantiza la optimalidad global de tu* es el
teorema de suficiencia de Mangasarian. 30 Al par que satisface las condiciones (**), (***) y (****) del problema (XXVI) se le suele denominar par
admisible. Un par admisible que maximiza la funcional objetivo (*) del problema (XXVI), y que por tanto
resuelve dicho problema, es llamado par óptimo.
MATEMÁTICAS PARA EL ANÁLISIS ECONÓMICO
535
tUtu0tututu
t,tu,tx,tH*
**
XXXVI
condiciónsintc
0txtxxtx0tb
0ta
1
CHC
111*
11*
1
1
XXXVII
t,tu,tx,tH es cóncavo (estrictamente cóncavo) en ttu,tx (XXXVIII)
Entonces, tu,tx ** es un máximo global (máximo global estricto) del
problema (XXVI). Es decir, tu,tx ** es un par óptimo.
Una formulación equivalente del teorema de Mangasarian sería: Supóngase
que tu,tx ** es un par admisible que satisface todas las condiciones del
principio del máximo de Pontryagin [(XXIX) (XXXIII)] con 10 y
siendo U un conjunto convexo. Si el Hamiltoniano t,tu,tx,tH es
cóncavo (estrictamente cóncavo) en ,tu,tx entonces tu,tx ** es un
máximo global (estricto) del problema (XXVI), y por tanto, un par óptimo.
Note que si tu,tx,tf y tu,tx,tg son cóncavas con respecto a
tu,tx , entonces el Hamiltoniano es cóncavo en tu,tx siempre que
.0t Asimismo, si tu,tx,tf es cóncava y tu,tx,tg es lineal en
tu,tx , entonces el Hamiltoniano también es cóncavo en tu,tx y
t no necesita restricción de signo.
Teorema de Arrow
Dado que en un número de interesantes problemas de control en economía el
Hamiltoniano no es cóncavo en tu,tx , es indispensable ver qué
condiciones, menos restrictivas que la concavidad en tu,tx , serán
suficientes para garantizar la optimalidad global en dichos problemas. Una
condición de suficiencia, más débil que la concavidad del Hamiltoniano
t,tu,tx,tH en tu,tx , viene dada en el teorema de Arrow.
Sea tu,tx ** un par admisible del problema (XXVI). Si existe una
función t continua y con derivadas de primer orden continuas a trozos tal
que las siguientes condiciones se satisfacen con ,10
tx
t,tu,tx,tH
dt
tdt
**'
XXXIX
tUtut,tu,tx,tHt,tu,tx,tH *** XL
CIRO BAZÁN OPTIMIZACIÓN DINÁMICA
536
condiciónsint;xtxsi00t;0t 111*
11 XLI
Si t,tx,tu* es el valor de la variable de control que maximiza
t,tu,tx,tH para valores dados de .t,tx,t El valor del
Hamiltoniano cuando es evaluado en t,tx,tu* , denominado
Hamiltoniano maximizado, viene dado por:
t,tx,tu,tx,tgtt,tx,tu,tx,tf
t,tu,tx,tHmaxt,tx,tH
**
Utu
Si t,tx,tH y es cóncavo en 10 t,tttx , para un t dado XLII
Entonces, tu,tx ** es un máximo global del problema (XXVI).
Además, si t,tx,tH es estrictamente cóncavo en 10 t,tttx , para un
t dado, entonces tx* es único (pero tu* no es necesariamente único).
Una formulación equivalente del teorema de Arrow sería: Supóngase que
tu,tx ** es un par admisible que satisface todas las condiciones del
principio del máximo de Pontryagin [(XXIX) (XXXIII)] con 10 . Si
el Hamiltoniano maximizado, definido en , es cóncavo en en
10 t,tttx , para un t dado, entonces tu,tx ** es un máximo
global del problema (XXV).
Es importante resaltar que el teorema de Arrow puede considerarse como una
generalización del teorema de Mangasarian (o el último como un caso
especial del primero), ya que la concavidad de t,tu,tx,tH con respecto
a tu,tx implica la concavidad de t,tx,tH con respecto a tx31.
Ejemplos:
1.- En la sección 2, ejemplo 1, resolvimos el siguiente problema:
2tu1
libre:2x
00x
tutxtx:a.s
dttxuJMax
'
2
0tu
73
31 Si tu,tx,tf y tu,tx,tg son cóncavas en tu,tx y ,0t como indica el teorema de
Mangasarian, entonces t,tu,tx,tH también es cóncavo en tu,tx , y de esto se desprende que
t,tx,tH es cóncavo en tx , según lo estipulado por Arrow. Pero t,tx,tH puede ser cóncava
en tx incluso si tu,tx,tf y tu,tx,tg no son cóncavas en tu,tx , lo cual hace que la
condición de Arrow sea un requerimiento más débil.
MATEMÁTICAS PARA EL ANÁLISIS ECONÓMICO
537
Ahora, vamos a aplicar a este problema los teoremas de suficiencia de
Mangasarian y de Arrow.
En este caso, ya que tu0txtu,tx,tf es una función lineal en
tu,tx , también será cóncava en tu,tx . Además, ya que la
función tutxtu,tx,tg es lineal en tu,tx , también es
cóncava en tu,tx . Para ambos casos, resulta irrelevante la restricción
.0t Entonces, el Hamiltoniano también es cóncavo en tu,tx .
Por tanto, el teorema de Mangasarian se satisface, y
2,1e2tu,tx t** es el par óptimo (la solución óptima global)
del problema.
Una vez que se verifica el teorema de Mangasarian, ya no es necesario
verificar el teorema de Arrow. Pero, si deseamos aplicar el teorema de
Arrow, podemos proceder a verificar si el Hamiltoniano maximizado
t,tx,tH es cóncavo en tx . En el presente ejemplo, el
Hamiltoniano es:
tutxttxt,tu,tx,tH 74
Cuando el control óptimo 2tu* es sustituido en (74) para eliminar
tu , el Hamiltoniano maximizado será:
t2txt12txttxt,tx,tH 75
Se aprecia que t,tx,tH es lineal en tx para t dado, por lo que
se satisface el teorema de Arrow.
2.- En la sección 2, ejemplo 2 (consumo vs inversión), resolvimos el siguiente
problema:
77
1,0tu
xTx
x0x
tutx:a.s
76dttu1UuJMax
T
0
'
T
0tu
Con:
Txxx0 0T0 78
Ahora, vamos a aplicar a este problema los teoremas de suficiencia de
Mangasarian y de Arrow.
CIRO BAZÁN OPTIMIZACIÓN DINÁMICA
538
En este caso se aprecia que ni tu1Utu,tx,tf ni
tutu,tx,tg dependen de ,tx por lo que la condición de
concavidad se refiere sólo a tu . Derivando tu,tx,tf se obtiene:
0tu1U
tu
tu,tx,tfytu1U
tu
tu,tx,tf''
2
2'
79
Por tanto, tu,tx,tf es una función cóncava en tu . En cuanto a
tutu,tx,tg , ya que es lineal en tu , es automáticamente
cóncava en tu . Además, el hecho que tu,tx,tg sea lineal hace que
la condición 0t sea irrelevante. En consecuencia, se satisface el
teorema de Mangasarian, y el control óptimo que maximiza globalmente
a la funcional objetivo uJ es T
xxutu
0T* .
Para aplicar el teorema de Arrow, procederemos a verificar si el
Hamiltoniano maximizado t,tx,tH es cóncavo en tx . En el
presente ejemplo, el Hamiltoniano es:
tuttu1Ut,tu,tx,tH 80
Cuando el control óptimo T
xxutu
0T*
es sustituido en (80) para
eliminar tu , el Hamiltoniano maximizado será:
tuu1Ut,tx,tH 81
Se aprecia que t,tx,tH contiene únicamente a t , y no depende de
tx . Por tanto, t,tx,tH es lineal y de ahí cóncavo en tx para un
t dado, y se satisface el teorema de Arrow.
3.- En la sección 2, ejemplo 3, resolvimos el siguiente problema:
83
1,0tu
0Tx
00x
tutx:a.s
82dttuuJMax
2'
T
0tu
Ahora, vamos a aplicar a este problema los teoremas de suficiencia de
Mangasarian y de Arrow.
MATEMÁTICAS PARA EL ANÁLISIS ECONÓMICO
539
En este caso se aprecia que ni tutu,tx,tf ni tutu,tx,tg 2
dependen de ,tx por lo que la condición de concavidad se refiere sólo a
tu . Se observa que tu,tx,tf es lineal en tu , y por tanto cóncava
en tu . Derivando tu,tx,tg se obtiene:
02
tu
tu,tx,tfytu2
tu
tu,tx,tg
2
2
84
Por lo que la función tu,tx,tg es estrictamente convexa en tu . No
obstante, ya que de (62) se tiene que 1kt , para que el Hamiltoniano
sea cóncavo en tu es necesario que ,0kt 1 de modo que
tu,tx,tgt sea una función cóncava en tu . Gracias a (72)
tenemos que ,0kt 1* por lo que esto garantiza que 0kt 1 y
que el Hamiltoniano sea cóncavo en tu . En consecuencia, se satisface
el teorema de Mangasarian, y el control óptimo que maximiza
globalmente a la funcional objetivo uJ es .0tu*
Para aplicar el teorema de Arrow, procederemos a verificar si el
Hamiltoniano maximizado t,tx,tH es cóncavo en tx . En el
presente ejemplo, el Hamiltoniano es:
tuttut,tu,tx,tH 2 85
Cuando el control óptimo 0tu* es sustituido en (85) para eliminar
tu , el Hamiltoniano maximizado será:
0t,tx,tH 86
Se aprecia que t,tx,tH es nulo, y no depende de tx . Por tanto,
t,tx,tH es lineal y de ahí cóncavo en tx para un t dado, y se
satisface el teorema de Arrow.
4. Problemas con tiempo final variable
En los problemas de control óptimo que hemos estudiado hasta aquí el
intervalo de tiempo había sido fijado. En algunos problemas de control, que
surgen en economía, el instante final “ 1t ” no está fijado, sino que es una
variable que es determinada por el problema de optimización, junto con tu ,
.t,tt 10 Es decir, la única diferencia respecto del problema con
restricciones terminales estándar, problema (XXVI), es que “ 1t ” ahora puede
escogerse óptimamente. El problema de tiempo final variable se puede
formular como sigue:
CIRO BAZÁN OPTIMIZACIÓN DINÁMICA
540
cybendado:x
libre:t
dados:t,x
xtxc
xtxb
libre:txa
:finalessCondicione
xtx:inicialessCondicione
tu,tx,tgtx:estadodeEcuación
Utu:a.s
dttu,tx,tfuJmax
1
1
00
11
11
1
00
'
t
tt,tu
1
0
1
El problema consiste en maximizar la integral en (α), sobre todos los
controles admisibles que, sobre el intervalo de tiempo 10 t,t , llevan al
sistema desde 00 xtx hasta el punto que satisface las condiciones finales
(). Note que en este caso, las variables de elección son “ 1t ” y tu , y que
.t,tt 10 En contraste a la situación estudiada en la sección 2, el tiempo
“ 1t ” no es fijado a priori ya que a los diferentes controles admisibles se les
permiten estar definidos en diferentes intervalos de tiempo.
5. El principio del máximo de Pontryagin para problemas con
tiempo final variable
Sea tu* la trayectoria de control, continua a trozos definidas en 10 t,t
que resuelve el problema (XXVI) con “ 1t ” libre ,tt 01 y sea tx* la
trayectoria de estado óptima asociada. Entonces todas las condiciones del
principio del máximo de Pontryagin [(XXIX) (XXXIII)] se satisfacen en
*10 t,t y, además,
0t,tu,tx,tH *1
*1
**1
**1 XLIII
Una forma natural de resolver un problema con tiempo final libre es, para
cualquier 01 tt , resolver primero el problema correspondiente con “ 1t ”
fijo. Denotar la solución a este problema como tu,tx11 tt , con la
variable de coestado asociada .t1t
Entonces, la solución al problema con
tiempo final libre se obtiene considerando a “ 1t ” como un parámetro
desconocido. La condición XLIII nos dice que podremos determinar “ 1t ” a
través de la condición:
0t,tu,tx,tHtF 1t1t1t11 111
XLIV
MATEMÁTICAS PARA EL ANÁLISIS ECONÓMICO
541
Nota 1: Es importante resaltar que 0tF *1 es una condición necesaria para
que “ *1t ” sea el tiempo final óptimo. Asimismo, se hace notar que el único
requerimiento del principio del máximo de Pontryagin, en problemas de
tiempo final variable, sobre el intervalo de definición de las variables
admisibles 10 t,t es que 01 tt . Supóngase que 21 T,T son números fijos,
,TTt 210 y supóngase que requerimos que .T,Tt 211 Entonces, el
principio del máximo de Pontryagin para problemas de tiempo final variable
aún será válido siempre que .T,Tt 21*1 Si ,Tt 1
*1 entonces la igualdad en
XLIV será reemplazada por:
0tF *1 XLV
Si ,Tt 2*1 entonces la igualdad en XLIV será reemplazada por:
0tF *1 XLVI
Si tu* es únicamente medible, *1
*1
*1
**1 t,tu,tx,tH en XLIII debe ser
reemplazado por
,t,tu,tx,tHsup *1
*1
*1
**1
Utu
que es finito32.
Si 01 tT y ,tt 0*1 el principio del máximo de Pontryagin para problemas
de tiempo final variable y la condición en esta nota no tienen ningún sentido.
Las siguientes condiciones son necesarias: Existe un número
,0 ,0o1 00 y un vector *1t con 0,0t, *
10 tal que *1t
satisface XXXIII y
0t,tu,tx,tHsup *1
*1
*1
**1
Utu
.
6. Condiciones suficientes para problemas con tiempo final libre
Para problemas de tiempo final variable es difícil encontrar condiciones
suficientes de algún valor práctico, debido a una inherente carencia de
propiedades de convexidad en tales problemas. No obstante, las siguientes
condiciones, formuladas por Seierstad (1984), parecen algo promisorias.
Considerar el problema (XXVI) con ,T,Tt 211 para .TTt 210
Supóngase que para cada 21 T,TT existe un par admisible tu,tx TT
definido en T,t0 , con la variable de coestado asociada tT que satisface
todas las condiciones en el teorema de suficiencia de Arrow de la sección 3.
Asimismo, supongamos que .TtUUtu 'T Se supone también
que TxT es continua en “T” y 21T T,TT:T es acotado. Finalmente,
se asume que la función:
10T,Tu,Tx,THTF 0TTT XLVII
32 En el apéndice podrá encontrar la definición del supremo de una función.
CIRO BAZÁN OPTIMIZACIÓN DINÁMICA
542
Tiene la propiedad que existe un 21* T,TT tal que:
*2
*
*1
*
TTsiTTpara0TF
TTsiTTpara0TF XLVIII
Entonces, el par tu,tx ** TT definido en *
0 T,t resuelve el problema
(XXVI) con .T,Tt 211 El par es único si XLVIII es válida también
cuando todas las desigualdades en XLVIII son estrictas y t,tx,tH *T
es estrictamente cóncava en tx para todo .T,tt *0 Cuando 01 tT es
únicamente necesario contrastar las condiciones del teorema para .TT 1
Es importante señalar que si se requiere que 1011 Tt,,Tt y si la terna
tu,tx,T *T
*T
*** satisface las condiciones suficientes para problemas con
tiempo final libre de Seierstad para todos los intervalos 21 T,T que contienen
T*, entonces la terna es óptima.
Ejemplos:
1.- Extracción óptima de recursos naturales: Supóngase que en el instante
0t existe una cantidad fija 0x de algún recurso (digamos petróleo
en cierto yacimiento de petróleo) que es extraíble. Sea la tasa de
extracción:
0tu 87
Si “T” es el instante en el que la extracción finaliza, entonces:
0dttuxxdttu
T
0
T
0
88
Si definimos tx como el stock del recurso que resta por extraer en el
instante “t”, ,T,0t se tiene que:
t
0
duxtx 89
Derivando (89) respecto al tiempo se tiene33:
tutx ' 90
33 Para derivar esta expresión se ha utilizado una de las reglas de Leibniz, que se presentan en el apéndice.
MATEMÁTICAS PARA EL ANÁLISIS ECONÓMICO
543
Reemplazando Tt en (89) y teniendo en cuenta (88), se tiene:
0duxTx
T
0
91
Además, si reemplazamos 0t en (89) se tiene que:
0xdux0x
0
0
92
Se asume que el precio del mercado mundial del recurso en el instante “t”
es ,tp de modo que los ingresos de las ventas por unidad de tiempo en
el instante “t” son .tutptI Asimismo, se asume que los costos por
unidad de tiempo son estrictamente convexos en “ tu ”, con ,0u
C
2
2
y
vienen dados por .tu,tCC
Por tanto, la tasa instantánea de beneficios en el instante “t” será:
tu,tCtutptu,t 93
El beneficio total descontado sobre el intervalo ,T,0 cuando la tasa de
descuento es “r”, es por tanto:
dtetu,tCtutp
T
0
rt
94
El problema a resolver será: encontrar el instante “T” y la tasa de
extracción tu que maximicen (94) sujeta a las restricciones (87), (90),
(91) y (92). Es decir, en términos formales tenemos:
0tu
0Tx
0x0x
tutx:a.s
dtetu,tCtutpmax
'
T
0
rt
T,tu
95
En este caso, la variables de estado y de control son tx y tu
respectivamente. Por tanto, el Hamiltoniano será:
tutetu,tCtutpt,tu,tx,tH rt0 96
CIRO BAZÁN OPTIMIZACIÓN DINÁMICA
544
Supongamos que tu,tx ** , ambos definidos sobre el intervalo
,T,0 * resuelven nuestro problema. Entonces existe una variable de
coestado t tal que para todo ,T,0t *
0,0t,0 97
tu* maximiza 0tut,tu,tx,tH 98
Salvo en los puntos de discontinuidad de tu* , se cumple que:
0
tx
t,tu,tx,tHt'
99
Además, ,0o1 00 y
CHC
****** 0T0Tx0Tx0T 100
Finalmente, de XLIII tenemos:
***rT******0 TuTeTu,TCTuTp
*
10134
De (99) vemos que t para alguna constante , y por 100 ,
CHC
**** 0Tx0Tx0 102
Si suponemos que ,00 de 97 resulta que 0t por lo que de
102 tenemos:
0 y 0Tx ** 103
Entonces, reemplazando 0t y 00 en 96 tenemos que:
tut,tu,tx,tH 104
De (98), se deduce que ,0tu* y por la ecuación de movimiento de
,tx que aparece en (95), se tiene que:
ktx0tx *' 105
34 Si ,0T* las condiciones deben ser modificadas de acuerdo a la nota 1 de la sección 5.
MATEMÁTICAS PARA EL ANÁLISIS ECONÓMICO
545
Reemplazando 0t en (105), y teniendo en cuenta la condición inicial
dada en (95) se tiene que:
0xk0x* 106
Pero si reemplazamos *Tt en (105), y teniendo en cuenta (106) y la
condición final dada en (95) se tiene que:
0xkTx ** 107
Pero (107) contradice (103). Por tanto, ,10 y el Hamiltoniano resulta:
tutetu,tCtutpt,tu,tx,tH rt 108
Gracias a (99) y a (102) sabemos que ,0t donde es una
constante. Reemplazando en (108) tenemos:
tuetu,tCtutpt,tu,tx,tH rt 109
Ya que tu,tC es estrictamente convexa en tu y los otros términos
de (109) son lineales en tu , t,tu,tx,tH es cóncavo en tu . De
acuerdo a (98), vemos que tu* debe maximizar t,tu,tx,tH
sujeto a que .0tu Por tanto, de acuerdo a las condiciones de Kuhn-
Tucker, si ,0tu* se tendría que:
0e
tu
tu,tCtp
tu
t,tu,tx,tH rt*
0tu
*
*
Mientras que si ,0tu* entonces:
0e
tu
tu,tCtp
tu
t,tu,tx,tH rt*
0tu
*
*
En consecuencia, 98 implica que:
0tusi00e
tu
tu,tCtp *rt
*
110
Ya que
rt
*
etu
tu,tCtp
es cóncava en tu , entonces 110 es
también una condición suficiente que satisface 98 .
CIRO BAZÁN OPTIMIZACIÓN DINÁMICA
546
Para cualquier instante “t” en el que 0tu* , 110 implica que:
0e
tu
tu,tCtp rt
*
111
El lado izquierdo de la ecuación 111 es el beneficio marginal
.tutu,t Por tanto, 111 nos dice que en el óptimo el beneficio
marginal debe crecer exponencialmente con una tasa igual al factor de
descuento “r”.
7. Horizonte infinito
8. El principio del máximo y el cálculo de variaciones
9. Hamiltoniano en tiempo corriente
VII.3 Programación Dinámica
Apéndice
Factor de descuento
En optimización dinámica es común encontrarse en situaciones en las que en un
periodo de tiempo dado, hay que analizar cantidades monetarias (ingresos, costos) que
se producen en instantes distintos. Asimismo, existen otras situaciones en las que se
producen utilidades en distintos instantes. La temporalidad de estas cantidades nos
obliga a realizar una homogeneización de las mismas ya que no es lo mismo recibir
“A” unidades monetarias en la actualidad que recibirlas en el futuro, como tampoco
es lo mismo tener la utilidad “U” ahora que poseerla en el futuro. Es por esto que se
introduce el concepto de tasa de descuento.
Por ejemplo, supongamos que tenemos “A” nuevos soles, que depositamos en un
banco a un tipo de interés nominal anual “i”1, en tanto por uno2. Dicha cuenta la
dejamos abierta por “t” años, sin ingresos ni reintegros, acumulándose los intereses
(compuestos) que se vayan generando a lo largo del tiempo. El problema consiste en
determinar la cantidad “B” de dinero que existe en la cuenta después de “t” años.
Dicha cantidad dependerá de “A”, de “i”, de “t”, y de las veces que se capitalicen los
intereses durante cada año.
A continuación se presentan los casos que se dan de acuerdo al número de veces que
los intereses se capitalizan al año.
Se capitaliza “m” veces al año:
mt
mt
mt
mi1
1Bmi1BAA
im
11B
Se capitaliza de manera continua:
ititmt
m
mt
mBeAAemi1límAAmi1límB
Las expresiones anteriores nos indican que “A” nuevos soles de hoy se transforman
en “B” nuevos soles dentro de “t” años. Asimismo, “B” nuevos soles dentro de “t”
años equivalen a:
it
mt
Be
mi1
1B
nuevos soles de ahora, según la capitalización sea “m” veces al año o
de manera continua.
1 mi representa la tasa de interés efectiva capitalizable “m” veces al año.
2 Como sabemos, el tanto por ciento representa una cierta cantidad con respecto a 100. Si en lugar de tomar
como referencia 100, se toma la unidad 1, se llama tanto por uno. Si se divide un tanto por ciento entre 100
dará el tanto por uno correspondiente. Por ejemplo, 0,35 es el tanto por uno correspondiente al 35%.
548
El factor de descuento también puede utilizarse en otros campos distintos al
financiero. Por ejemplo, para el caso discreto, si se tienen las utilidades:
.t,tCU,,t,tCU,t,tCUt,tCU 1N1N1100jj
Correspondientes a los periodos 1N,,1,0j . Se considera el factor de descuento
,1i1
10
donde 1i0 es la tasa de descuento. El valor actual del flujo
de utilidad descontada en el horizonte temporal dado es:
.t,tCUi1t,tCUi1
1t,tCU jj
1N
0j
jjj
1N
0j
j
jj
1N
0j
j
En este caso, tanto la tasa de descuento como el factor de descuento son ahora
subjetivos y reflejan la valoración del presente sobre el futuro que hace el planificador
o el individuo. Si ,i0 sólo se valora el presente, el futuro no vale nada. Si
,0i1 el futuro se valora exactamente igual que el presente. En la medida
que vaya creciendo desde 0 hasta 1 (o que “i” vaya decreciendo desde hasta 0),
el futuro va teniendo más peso.
Para el caso continuo, supongamos que se tiene el siguiente nivel de utilidad en cada
instante “t” perteneciente al horizonte temporal .T,0 Si “i” es la tasa de descuento, y
t,tCU es el nivel de utilidad en el instante “t”. En este caso, el valor actual del flujo
de utilidad descontada en el horizonte temporal dado es:
.dtt,tCUdtt,tCUe
T
0
tT
0
it
De la misma manera que ocurre en tiempo discreto, si 0i el futuro se valora
exactamente igual que el presente. Si i sólo se valora el presente. Cuanto mayor
es “i” menor valor se concede al futuro. Donde el factor de descuento en tiempo
continuo viene dado por:
1m
i1líme0
mt
m
i
Funcionales
Una funcional es una aplicación, cuyo dominio es un conjunto de funciones, y cuyo
rango es un subconjunto de . Vamos a considerar funcionales “J” cuyo dominio es
el conjunto , esto es:
xJx
:J
549
Donde es el conjunto de todas las funciones “x” con derivadas primeras y
segundas continuas en un intervalo cerrado 10 t,t con ,tttyt 1010 y que
viene dado por: .t,tenCesxt,t:x 102
10 Es decir, una funcional
es una regla de correspondencia (un tipo especial de mapeo) que asigna a cada
función x un único valor real .xJ
En la figura I se muestra el mapeo entre tres trayectorias, pertenecientes al conjunto
de trayectorias admisibles , y el valor asociado a cada una de ellas,
.III,II,IjJxJ jj En esta figura se aprecia que a cada trayectoria admisible
(que parte de x0 en el instante t0, punto A, y llega a x1 en el instante t1, punto B) que
pertenece a IIIIIIii x,x,x1,0ixtxx le corresponde un único
valor .xJ j
tx
tx
tx
t
t
t
Conjunto de valores asociados
a las trayectorias (línea real)
Conjunto de trayectorias
admisibles (funciones)
II JxJ
IIII JxJ
IIIIII JxJ
Ix
IIx
IIIx
0t 1t
0t 1t
0t 1t
A
A
A
B
B
B
0x
1x
0x
1x
0x
1x
Figura I
550
En este punto es importante resaltar que muchos autores, omiten la variable “t” en la
variable de estado que aparece como argumento de la funcional txJ y únicamente
escriben xJ o ,xJ de esta manera subrayan el hecho que es el cambio en la
posición de la trayectoria completa tx , la variación en la trayectoria tx , en
contraste al cambio en “t”, que resulta en un cambio en el valor txJ de la
trayectoria. El símbolo txJ difiere del símbolo que corresponde a una función
compuesta xfg ya que “g” es una función de “f”, y “f” es a su vez una función de
“x”, por lo que al final “g” es una función de “x”. Sin embargo, en el símbolo txJ
no se debe tomar a “J” como una función de “t”, sino que por el contrario “J” debe ser
entendido como una función de .tx Una vez hecha esta aclaración, para evitar
confusión, el símbolo que utilizaremos en este capítulo será .xJ
Ejemplos:
A cada función ,x le hacemos corresponder .dttxxJ
1
0
t
t
Como x ,
tx es una función continua y por tanto integrable, en consecuencia, xJ es
un número real. Por ende, xJ es una funcional.
Para ,x sea:
.2
ttxxJ
10'
En este caso xJ también es una funcional ya que, al ser “x” derivable, la derivada
de “x” en el punto medio del intervalo 10 t,t en el que está definida, existe y es un
número real.
Para ,x sea .txxJ ' En este caso xJ no es una funcional ya que la
derivada de una función derivable por lo general es otra función, y no un número real.
Diversas formas de funcionales objetivo
La forma integral de la funcional objetivo
En optimización dinámica, una trayectoria óptima es, por definición, aquella
que maximiza o minimiza el valor de la trayectoria xJ3. Dado que cualquier
trayectoria tx por fuerza debe viajar a lo largo de un intervalo de tiempo
10 t,t , su valor total naturalmente sería la suma de los valores de los arcos
que la constituyan. Esta suma, en tiempo continuo, será una integral definida,
.dtarcodelvalor
1
0
t
t
Pero, para poder identificar un “arco” en una trayectoria
continua se necesita conocer el tiempo de partida, el estado de partida, y la
dirección en la cual el arco avanza. En tiempo continuo, ya que cada arco es de
longitud infinitesimal, la información anterior es representada por “t”, tx y
,tx ' respectivamente.
3 Los valores numéricos asociados a cada trayectoria de estado, ,xJ como suele asumirse en el análisis
económico, podrían ser interpretados como niveles de “utilidad” que pueden medirse.
551
En general, para una trayectoria “x” dada, el arco asociado con un punto
específico del tiempo “t” es caracterizado por un único valor tx y por una
única pendiente .tx ' Si existe alguna función, “f” que asigne valores de arcos
a los arcos, entonces el valor de dicho arco puede ser escrito como
.tx,tx,tf ' Por tanto, la suma de los valores de arcos puede generalmente
escribirse como la integral definida:
1
0
t
t
' dttx,tx,tfxJ 1.6
La expresión anterior revela que es la variación en la trayectoria “x” (digamos
III xvsx ) lo que altera la magnitud de .xJ Cada diferente trayectoria “x”
está constituida por un diferente conjunto de arcos en el intervalo de tiempo
,t,t 10 que, a través de la función “f” que asigna valores a los arcos, toma un
diferente conjunto de valores de arco. La integral definida suma aquellos
valores de arco sobre cada trayectoria “x” en un valor de trayectoria.
Si en el problema hay dos variables de estado, “x” y “z”, los valores de arco de
“x” y “z” deberán tomarse en cuenta. La funcional objetivo deberá entonces
ser:
1
0
t
t
'' dttz,tx,tz,tx,tfz,xJ 2.6
Un problema con una funcional objetivo en la forma de 1.6 o de 2.6
constituye el problema estándar.
Otras formas de la funcional objetivo
En ocasiones, el criterio de optimización en un problema puede no depender de
ninguna posición intermedia que la trayectoria atraviese, pero puede depender
exclusivamente de la posición del punto terminal alcanzado. En este caso, no
aparece ninguna integral definida, ya que no es necesario sumar valores de
arcos sobre un intervalo de tiempo. Más bien, la funcional objetivo adopta la
siguiente forma:
Tx,TGxJ 3.6
Donde la función “G” se basa únicamente sobre lo que ocurre en el instante
final “T”. A un problema con este tipo de funcional objetivo se le denomina
problema de Mayer. Ya que sólo la posición terminal ocurre en xJ , también
es conocido como problema de control terminal.
552
Con dos variables de estado, “x” y “z”, 3.6 se convertiría en:
Tz,Tx,TGxJ 4.6
Podría también suceder que la integral definida en 1.6 y el criterio del punto
terminal en 3.6 ingresen simultáneamente en la funcional objetivo. Entonces
tendríamos la siguiente funcional:
Tx,TGdttx,tx,tfxJ
1
0
t
t
' 5.6
Si (6.5) es la forma de la funcional objetivo, entonces tendremos el problema
denominado problema de Bolza.
Aunque el problema de Bolza puede parecer ser la formulación más general, la
verdad es que los tres tipos de problema, Estándar, Mayer y Bolza, son
convertibles en los otros dos restantes.
Conjuntos acotados y no acotados en
Cota Superior (inferior) de X: Dado X , Ø,X se dice que “b” es una cota
superior de X si .Xxxb De manera análoga se puede definir una cota inferior.
Si X posee una cota superior (inferior) se dice que X está acotado superiormente
(inferiormente) o acotado por arriba (por abajo). Un conjunto que no esté acotado
superiormente (inferiormente) se llama conjunto no acotado superiormente
(inferiormente). Un conjunto acotado superior e inferiormente se llama simplemente
conjunto acotado. Un conjunto que no está acotado se llama no acotado.
Entre todos los números que acotan superiormente (inferiormente) a X , el menor
(mayor) de ellos, recibe un nombre especial: Supremo (ínfimo).
Supremo (ínfimo) de X: Dado X , se define el supremo de X y se denota por
XSUP , como la mínima cota superior del conjunto, es decir, ,XxxXSUP y si
.bXSUPXx,xb De manera análoga se define el ínfimo de X, que se
denota por .XINF
Axioma del Supremo: Todo conjunto de números reales que está acotado por arriba
posee un supremo. De manera análoga, si el conjunto de números reales está acotado
inferiormente, entonces posee un ínfimo.
Principio de Arquímedes: El conjunto de números naturales, N, no está acotado
superiormente, de modo que .anNn,a
Elemento máximo (mínimo) de X: Sea X . El elemento máximo de X o mayor
de X, denotado por ,Xmáx es un elemento “b” de X tal que .XxXmáxbx
De manera análoga se define el elemento mínimo de X o menor de X, que se denota
por .Xmín
553
En general, si existe ,XmínXmáx éste coincide con XINFXSUP . Por ejemplo,
para ,10,9,8,7,6,5X se tiene que ,10XSUPXmáx .5XINFXmín Sin
embargo, el conjunto X puede tener un supremo (ínfimo) y no poseer un elemento
máximo (mínimo). Por ejemplo, para ,3,23x2xX se tiene que
,3XSUP ,2XINF pero ni ,Xmáx ni Xmín existen.
Acotación de funciones
Función acotada superiormente
Sea .XfYX:f n Se dice que “f” está acotada superiormente en su
dominio”X”, si el conjunto de sus valores (su rango “Y”) está acotado superiormente
en . Dicho de otro modo, la función “f” está acotada superiormente si
XxMxfM
. A “M” y a todos los números mayores que este se le
denominan cotas superiores.
Función acotada inferiormente
Sea .XfYX:f n Se dice que “f” está acotada inferiormente en su
dominio “X”, si el conjunto de sus valores (su rango “Y”) está acotado inferiormente
en . Dicho de otro modo, la función “f” está acotada inferiormente si
Xxmxfm
. A “m” y a todos los números menores que este se le
denominan cotas inferiores.
Función acotada
Sea .XfYX:f n Se dice que “f” está acotada en su dominio “X”, si
su imagen “Y” es un conjunto acotado en . Es decir, si existen “M” y “m”
pertenecientes a tales que .XxMxfm
Función acotada en valor absoluto
Se dice que “f” está acotada en valor absoluto en “X” si existe un “K” perteneciente a
tal que .XxKxf
Si “f” está acotada en “X”, entonces “f” estará acotada en valor absoluto en “X”.
Supremo de una función
Si “f” está acotada superiormente en “X”, llamamos supremo a la menor de las cotas
superiores. El supremo de “f” se llama supremo de la función “f” en X, y se denota
por: .XxxfsupxfsupMXx
554
Ínfimo de una función
Si “f” está acotada inferiormente en “X”, llamamos ínfimo a la mayor de las cotas
inferiores. El ínfimo de “f” se llama ínfimo de la función “f” en X, y se denota por: .Xxxfinfxfinfm
Xx
Máximo de una función
Si el supremo de “f” pertenece a dicha función se denomina máximo (absoluto o
global) de la función. Se dice que “f” alcanza un máximo absoluto en un punto 0x
de
X si xfsupxfXx
0
en X. Es decir, si verifica que: .Xxxfxf 0
Se denota por: .XxxfmáxxfmáxMXx
Se dice que 0x
es un punto máximo absoluto de “f” en “X” y el valor de dicho
máximo es 0xf
. El máximo absoluto es estricto si se cumple que
.Xxxfxf 0
Si una función tiene máximo absoluto, ésta lo puede alcanzar
en varios puntos de su dominio.
Mínimo de una función
Si el ínfimo de “f” pertenece a dicha función, entonces se llama mínimo (absoluto o
global) de la función. Se dice que “f” alcanza un mínimo absoluto en un punto 1x
de
X si xfinfxfXx
1
en X. Es decir, si se verifica: .Xxxfxf 1
Se denota: .XxxfmínxfmínmXx
Se dice que 1x
es un punto mínimo absoluto de “f” en “X” y el valor de dicho
mínimo es .xf 1
El mínimo absoluto es estricto si .Xxxfxf 1
Si una
función tiene mínimo absoluto, ésta lo puede alcanzar en varios puntos de su dominio.
Propiedades del supremo/ínfimo de una función
xfinfxfsupXxXx
xfsupxfinfXxXx
xgsupxfsupxgxfsupXxXxXx
xginfxfinfxgxfinfXxXxXx
xfsupxfsupXxXx
xfinfxfinf
XxXx
y,xfsupsupy,xfsupYyXxYXy,x
y,xfinfinfy,xfinf
YyXxYXy,x
555
Propiedades de las funciones acotadas
1. La suma de dos funciones acotadas es otra función acotada.
2. El producto de dos funciones acotadas es otra función acotada.
3. Si una función “f” está acotada, su opuesta “-f” también lo estará.
557
BIBLIOGRAFÍA BÁSICA:
[1] ADDA J.; COOPER R., DYNAMICS ECONOMICS: QUANTITATIVE METHODS AND
APPLICATIONS. PRIMERA EDICIÓN. THE MIT PRESS. CAMBRIDGE,
MASSACHUSETTS. LONDON, ENGLAND. 2003.
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