ecuaciones diferenciales ordinarias
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ejercicios resueltos de EDOTRANSCRIPT
Facultad de Ciencias de Ingeniería
Análisis Matemático IV – “A”
1
I. Indicar el orden de cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales:
a) ( ) [ ( ) ]
Solución:
2do Orden; 2do Grado.
b)
*(
)
+
Solución:
{*
+
⁄
}
{
[(
)
⁄
]}
{
(
)
⁄
*
(
)+}
{
(
)
⁄
(
)}
{(
)
⁄
(
)}
{
(
)
⁄
(
)}
{
(
)
⁄
(
)
}
(
)
⁄
(
)
(
)
4to Orden; 1er Grado.
c)
∫ (
⁄ )
√
Solución:
1er Orden; Grado no definido.
d) (
)
Solución:
(
)
,
*
+-
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*
(
)
( )
+
*
+
(
)
( )
*
(
)
( )+
*
+
4to Orden; 1er Grado.
II. Compruébese si la función dada es solución de la ecuaciones diferenciales correspondiente:
a)
[ ( ) ( )]
Solución:
Derivando con respecto a "x": la ecuación
( )
( )
( )
[ ( ) ( )]
* (
)+
(
)
Reemplazando:
( )
( )
Igualando:
( )
( )
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Si es solución de la ecuación diferencial
b) ( ) ( )
Solución:
Derivando con respecto a "x": la ecuación
( )
( )
( )
[ ( ) ]
( )
Reemplazandoenlaecuación: ( )
[
( ) ] [ ( ) ]
[ ( ) ]
[ ( ) ]
Si es solución de la ecuación diferencial
c) ( )
Solución:
Despejando
√
Derivando:
Reemplazando: ( )
(
)
(
)
(
) (
)
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( ) ( )
No es solución de la ecuación diferencial
d)
Solución:
Derivamos la ecuación:
Pero:
Reemplazando en:
Reemplazando en la EDO:
(
)
Si es solución de la ecuación diferencial
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e) ∫ ( )
( )
Solución:
Primer Teorema Del Cálculo:
∫ ( ) ( )
( )
[ ( )]
[ ( )] [ ( )]
[ ( )]
Derivando
*∫ ( )
+ ∫ ( )
{ ( )
( )
( )} ∫ ( )
( ) ∫ ( )
( )
∫ ( )
Despejan la integral en:
∫ ( )
∫ ( )
Reemplazando en la primera derivada:
( )
[ ( )]
Ahora reemplazamos en la solución de la EDO: ( )
, [ ( )]
- ( )
[ ( )] ( )
( ) ( )
Si es solución de la ecuación diferencial
f) ( ) ( )
Solución:
Hallamos:
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( ( ) ( ))
( ( ))
( ( ))
( )
( ( ) ( ))
( ( ))
( ( ))
( )
III. Hállese una ecuación diferencial para cada una de las siguientes de las curvas en el plano
XY:
a) Circunferencias con radio fijo r y tangente al eje X:
Solución:
Nuestras condiciones:
( ) ( )
Acomodando:
( )
( ) ……………. (a)
Derivando implícitamente (a) y despejando k:
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( ) …………….(b)
( )
Reemplazando:
( )
( ( ))
( )
( )
b) Todas las circunferencias.
Solución:
Se tiene la ecuación de todas las circunferencias( ) ( ) derivando
respecto a “x”
( ) ( )
Se tiene:
( )
( )
Se tiene:
(
)
( ) (
)( )(
)
( ) (
) Ecuacion diferencias de todas las circunferencias
c) Las cónicas centrales con focales
con a y b fijos.
Solución:
d) Las estrofoides ( )
Solución:
Ordenando:
( ) ( )
( ) ( ) ………………………….(a)
Derivada implícita
( )
( )
( )
( )
( ) ( ) ……………………………(b)
Despejando a de (a):
( )
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Reemplazando en (b)
( ) ( )
( )
(
) ( )
( )( ) ( )( )
( )
( )
( ) ( )
Despejando a de (b):
( )
( )
e) Las trisectrices de Maclaurin ( ( ) ( )) .
Solución:
( ( ) ( ))
Despejando a y derivando:
( ) ( ) ( )
( ( ) ( ( )
( ) ))
( )
( )( ( )
( )
( ))
( )( ( ) ( ))
Por lo tanto:
( )
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IV. Determinar para que valores de “m”, cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales
tiene soluciones de la forma:
a)
Solución:
Derivando y respecto a x
Reemplazando en la EDO
( )
( )
Restricción:
( )
La ecuación diferencial tiene solución para valores de:
b)
Solución:
Derivando y respecto a x
Reemplazando en la EDO:
( )
Restricción:
( ) ( )( ) ( ) ( )
La ecuación diferencial tiene solución para valores de:
c)
Solución:
Derivando y respecto a x
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Reemplazando en la EDO:
( ) ( )( )
Restricción:
( )( ) ( )
La ecuación diferencial tiene solución para valores de:
d)
Solución:
Reemplazamos en la Ec. Diferencial:
Factorizando
( )
( )( )
( )
( )
La ecuación diferencial tiene solución para valores de:
e)
Solución:
Reemplazamos en la Ec. Diferencial:
( )
( )( )( )
( )
( )
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La ecuación diferencial tiene solución para valores de:
V. Determinar para que valores de “m” , cada una de las siguientes ecuaciones de la forma:
a) Solución:
( )
Reemplazando:
[ ( ) ] [ ] ( ) [ ] [ ] ( )( )
b)
Solución:
( )
Reemplazando:
[ ( ) ] [ ] ( ) [ ] [ ] ( )( )
VI. Resolver:
a) Demuéstrese que si ( ) e ( ) son dos soluciones diferentes de la
ecuación , entonces ( ) ( ) también es una solución
siendo A y B constantes.
Solución:
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b) Verifique que e son soluciones de la ecuación diferencial de (a) y, por
consiguiente, que también es una solución.
Solución:
c) Utilizando el resuelto de (b), determínese una solución de la ecuación diferencial que
satisfaga las condiciones ( ) , ( )
Solución:
d) Aplicar este ejercicio en (IV) y (V) para hallar una solución que tenga tantas constantes
como es el orden de la ecuación diferencial.
Solución:
e) Determínese una solución de las ecuaciones diferenciales dada en (IV - e) anterior, que
satisfaga las condiciones ( ) ( ) ( ) .
Solución:
VII. Obténgase la ecuación en derivadas parciales de primer orden que tenga como primitiva a:
a) Solución:
Entonces su solución en derivadas parciales es la derivada respecto a X más la derivada
respecto a Y.
b)
Solución:
Entonces su solución en derivadas parciales es la derivada respecto a X más la derivada
respecto a Y.
( ) ( )
( )
c)
Solución:
Entonces su solución en derivadas parciales es la derivada respecto a X más la derivada
respecto a Y.
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√
Reemplazando:
√
d) ( )
Solución:
Entonces su solución en derivadas parciales es la derivada respecto a X más la derivada
respecto a Y.
( )
( )
e) ( )
Solución:
Entonces su solución en derivadas parciales es la derivada respecto a X más la derivada
respecto a Y.
VIII. Aplicando el método de las isóclinas, trazar las curvas integrales de las ecuaciones
diferenciales ordinarias siguientes:
a)
Solución:
1)
( )
Familia de rectas
Se: (recta que pasa por el origen sobre la cual están los máx. y mín.)
2) Determinar isóclinas particulares:
Si:
Si:
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Si:
Si:
Si:
3) Los valores extremos:
4) Analizar los puntos de inflexión y concavidad:
(Ecuación sobre la cual están los puntos de inflexión).
5) Analizando si una isóclina en una curva integral:
6) Analizar el teorema de existencia y unicidad:
( ) ( )
7) Grafico:
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b)
Solución:
1)
( )
Familia de rectas
Se: (recta que pasa por el origen sobre la cual están los máx. y
mín.)
2) Determinar isóclinas particulares:
Si:
Si:
Si:
Si:
Si:
3) Los valores extremos:
4) Analizar los puntos de inflexión y concavidad:
( ) (Ecuación sobre la cual están los puntos de inflexión).
5) Analizando si una isóclina en una curva integral:
6) Analizar el teorema de existencia y unicidad:
( ) ( )
7) Grafico:
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c) ( )
Solución:
1)
( )
√
Puntos
Se: (punto)
2) Determinar isóclinas particulares:
√ [ ⟩
Si:
Si:
Si: √
Si: √
Si:
3) Los valores extremos:
( )
4) Analizar los puntos de inflexión y concavidad:
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( ) ( )( ) ( )
(Punto).
5) Analizando si una isóclina en una curva integral:
6) Analizar el teorema de existencia y unicidad:
( ) ( ) ( )
7) Grafico:
d)
Solución:
1)
( )
√
Las graficas son:
Si c es positivo es una familia de hipérbolas que se abren hacia “x”
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Si c es negativo es una familia de hipérbolas que se abren hacia “y”
Si: (recta que pasa por el origen sobre la cual están los máx. y
mín.)
2) Determinar isóclinas particulares:
√
Si: √
Si: √
Si:
Si: √
Si: √
3) Los valores extremos:
4) Analizar los puntos de inflexión y concavidad:
( )
5) Analizando si una isóclina en una curva integral:
6) Analizar el teorema de existencia y unicidad:
( ) ( )
7) Grafica:
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e)
Solución:
1)
( )
Familia de parábolas que se abre hacia “y”
Si: (una parábola vértice de (-1; -1) por el origen sobre la cual
están los máx. y mín.)
2) Determinar isóclinas particulares:
Si:
Si:
Si:
Si:
Si:
3) Los valores extremos:
( ) ( )
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4) Analizar los puntos de inflexión y concavidad:
( )
Ecuación sobre la cual están los puntos de inflexión.
5) Analizando si una isóclina en una curva integral:
6) Analizar el teorema de existencia y unicidad:
( ) ( )
7) Grafica:
f)
Solución:
1)
( )
( )
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Familia de rectas que p0asa por el origen
Si: (recta que pasa por el origen sobre la cual están los máx. y mín.)
2) Determinar isóclinas particulares:
( )
Si:
Si:
Si:
Si:
Si:
3) Los valores extremos:
4) Analizar los puntos de inflexión y concavidad:
( )( ) ( )( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
[( ) ( )]
( )
[ ]
( )
(
)
( ) (
)( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
Ecuación sobre la cual están los puntos de inflexión.
5) Analizando si una isóclina en una curva integral:
6) Analizar el teorema de existencia y unicidad:
( )
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( )
7) Grafica:
g)
( )
Solución:
1)
( )
Familia de rectas
Si:
(recta sobre la cual están los máx. y mín.)
2) Determinar isóclinas particulares:
Si:
Si:
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Si:
Si:
Si:
3) Los valores extremos:
( )
4) Analizar los puntos de inflexión y concavidad:
( )
( )
( )
Ecuación sobre la cual están los puntos de inflexión.
5) Analizando si una isóclina en una curva integral:
6) Analizar el teorema de existencia y unicidad:
( )
( )
( )
7) Grafica:
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h)
Solución:
1)
( ) ( )
Familia de rectas
Si: (punto)
2) Determinar isóclinas particulares:
( )
Si: ( )
Si: ( )
Si:
Si: ( )
Si: ( )
3) Los valores extremos:
4) Analizar los puntos de inflexión y concavidad:
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( )( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
(
) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
Ecuación no tiene puntos de inflexión.
5) Analizando si una isóclina en una curva integral:
6) Analizar el teorema de existencia y unicidad:
( )
( )
7) Grafica:
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IX. Resuelva cada una de las siguientes ecuaciones:
a) ( ) ( )
Solución:
( )
( )
( )
∫
( ) ∫
∫ ( )
( ) ∫ ∫
Solución General:
( )
Con:
( )
( )
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Solución Particular:
( )
( )
b) ( ) ( )
Solución:
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
No es de variable separable
c) ( ( ) ( ) )
Solución:
( ) ( ) [ ( )] ( )
( )
[ ( )]
∫ ∫ ( )
[ ( )] ∫
∫ ∫ ( )
* ( )
+
∫ ∫ [ ( ) ⁄ ]
[ ( ) ⁄ ]
Solución General:
[ ( )
]
d) ( ) ( ) ( )
Solución:
( )
( )
∫ ( ) ∫
( ) ∫
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[ ( ) ] { | ( )| ∑
[ ( )]
} ∫
Solución General:
[ ( ) ] { | ( )| ∑
[ ( )]
}
Con:
[ ( ) ] { | ( )| ∑
[ ( )]
}
{∑
}
∑
Solución Particular:
[ ( ) ] { | ( )| ∑
[ ( )]
} ∑
e) ( )
Solución:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
∫( )
∫
( )
∫
∫( )
∫
( )
∫
( ) ( )
Solución General:
( )
f)
Solución:
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∫ ∫
∫
∫ ∫
∫
Solución General:
g) ( )
Solución:
∫
∫ ∫
( )
( )
Solución General:
( )
Con:
( ) ( ) ( ) ( )
Solución Particular:
h)
(
) (
)
Solución:
(
) (
)
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(
) (
)
(
) (
)
( ⁄ ) (
⁄ )
( ⁄ ) ( ⁄ )
( ⁄ ) ( ⁄ )
∫
( ⁄ ) ∫ ( ⁄ ) ∫
| ( ⁄ ) ( ⁄ )| (
⁄ )
Solución General:
| ( ⁄ ) ( ⁄ )| (
⁄ )
i) ( ) ( )
Solución:
( ) ( ) ( ) [ ( ) ( )] ( ) ( )( )
( )
( )
( )
∫
( ) ∫
( )
( ) ∫
( ) ( )
Solución General:
[( )( ) ]
j) ( )( ) ( )
Solución:
( ) ( ) ( ) ( ) [( ) ( )]
[( ) ( )]
( )
∫ ∫[( ) ( )]
( ) ∫
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∫ ∫(
) ∫
( ) ( )
Solución General:
( ) ( )
k) ( ) ( )
Solución:
[( ) ( )] [ ]
( )( ) [ ( ) ( ) ( )]
( )( ) ( )( ) ( )
( )
( )
( )
∫
∫
∫
∫ ( )
∫
∫
( )
( ) ( )
Solución General:
[( )( )] ( )
l) ( ) (
)
Solución:
( ( ) ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( )
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∫
∫
∫
( )
∫
( )
∫ ( )
( )
( )
Solución General:
(
)
Con: ⁄
[ ( )
(
) ]
Solución Particular:
√(
)
√
m)
Solución:
( ) ( )
( ( ) ) ( ( ) )( ) ( ) ( )( ) ( ) [ ] ( )
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( ) ( ) ( )
( ( )) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
∫
∫
( )
∫
( ) ∫( )
Solución General: