aplicaciones de ecuaciones diferenciales ordinarias

8/17/2019 Aplicaciones de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

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APLICACIONES DE EDO

Series de Potencia


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La Transformada en Laplace

La transformada de Laplace en economía

Es cada vez más frecuente, que en economía se utilicen técnicas y métodosmatemáticos que originalmente surgieron como respuesta a problemas físicos.


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Una metodología que es usada comúnmente para problemas de ingeniería esla de las transformadas integrales. En este breve artículo estudiamos a una deellas, la transformada de Laplace. Lo que ace útil a esta transformada es lainterpretaci!n natural que tiene como el valor presente de un "u#o de efectivo.

1 Preliminares

$ea una funcion. Una transformada integral es una relaci!n dela forma

en donde la funci!n Es transformada en otra funci!n F por medio de una

integral. La funci!n F se conoce como la transformada de y la funci!n deK es el %ernel de la transformaci!n. &laramente, la transformada podría noe'istir. Las transformadas integrales se utilizan para convertir algún problema

que involucra a la funci!n en otro problema, en ocasiones más sencillo, que

involucra a F. (dicionalmente, son una erramienta sumamente útil para laresoluci!n de algunas ecuaciones diferenciales.

La transformada de Laplace es una transformada integral en donde el

%ernel está dado por de manera que

)e este modo, la transformada de Laplace de una funci!n tiene una

interpretaci!n econ!mica evidente* es el valor presente de un "u#o

durante el periodo y con una tasa de descuento igual a s. Estaobservaci!n fue eca en +- por $. /user 0véase 1/user +-23, que detect!en esta transformada una erramienta para calcular el valor presente de "u#osde efectivo. 4tras aplicaciones dentro de 5nanzas y actuaría pueden verse en

los siguientes artículos* 1)e$cepper, 6eunen y 7oovaerts +8 y +92,1:elsser 8;;;2, 1)enuit 8;;+2 y 1/artosze


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La función delta de Dirac

Es evidente que, asta el momento, la transformada de Laplace no es más queotra técnica para la resoluci!n de ecuaciones diferenciales. $in embargo, supopularidad 0sobre todo en problemas de ingeniería3 radica en que nos permiteresolver ecuaciones en las cuales el término independiente puede sersumamente =mal portado>. En el caso de la ecuaci!n 0?3, el término H0t3 podríano ser una funci!n continua 0lo cual representa me#or a la realidad3, con lo cualla funci!n '0t3 sería diferenciable por pedazos. El tipo de funciones @0t3 quevamos a analizar son funciones que son nulas, e'cepto en algunos intervalos oinstantes de tiempo predeterminados.

La funci!n más simple de este tipo es la funci!n escal!n o funci!n de@eaviside. Asta se de5ne para cualquier a B ; como sigue*

Es fácil ver que su transformada de Laplace está dada por

Una variante de esta funci!n es la siguiente*

(simismo, tomando el límite cuando Ct D ; se de5ne

( esta última funci!n se la conoce como la funci!n delta de )irac. Llamamosfunci!n de impulso a cualquier funci!n que se obtenga como una combinaci!nlineal de deltas de )irac. Las funciones descritas arriba se ilustran en la 5gura+.


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igura +* (quí se ilustran las funciones

Fntuitivamente, Ga0t3 es una funci!n nula e'cepto en t H a, punto para el cualtoma un valor =in5nito>. :odemos imaginar que esta funci!n representa unsoc% o impulso en t H a, algo así como un martillazo, una descarga eléctricao, porque no, una ganancia o pérdida inesperada de capital representada por

un instante de inversi!n =in5nita>. ( pesar de que parece absurdo, desde elpunto de vista matemático, de5nir a la funci!n de )irac, la aplicaci!n de latransformada de Laplace la convierte en una funci!n mane#able como vemos acontinuaci!n.

EJEPLO La transformada de Laplace de Ga0t3 está dada por*


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Demostración

)ados a B ; y Ct I ;, calculemos primero como sigue*

(simismo, tenemos que y, por lo tanto,

con lo cual se concluye la demostraci!n.


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CONCL!SIONES

En este informe realizamos una breve e'posici!n de la transformada deLaplace y su interpretaci!n econ!mica. En general, podemos decir que loseconomistas ignoran la e'istencia de esta transformada y los usuariosprincipales de la misma desconocen los conceptos econ!micos. Esta situaci!na mantenido a la transformada ale#ada del economista profesional, siendoutilizada únicamente como una erramienta para la resoluci!n de algunasecuaciones diferenciales en 5nanzas. La de5nici!n misma de la transformadade Laplace, como el valor presente de un "u#o, la convierte en un candidatonatural para la interpretaci!n y resoluci!n de algunos problemas en economía.El mundo econ!mico suele no estar bien representado por funciones continuas,con lo cual las funciones de impulso son de gran ayuda para la modelaci!n deciertos fen!menos. La transformada de Laplace nos permite manipular los"u#os discontinuos, convirtiéndolos en acervos continuos. Este traba#o es unamuestra más de que la modelaci!n econ!mica da un nuevo sentido a técnicas

matemáticas ya conocidas. :odemos decir que la economía no es una simpleusuaria de las matemáticas sino que las enriquece, proporcionandointerpretaciones dentro de un ámbito distinto al de las ciencias básicas.

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