ecuación del movimiento libre de un grado de libertad...

1 1.3. Oscilador armónico amortiguado

» Ecuación del movimiento libre de un grado de libertad

amortiguado:

• ED lineal de 2º orden homogénea cuya solución es de la forma:

• Si introducimos esta solución en la ED:


• Para obtener una solución distinta de la trivial el primer miembro

debe ser cero:

» Las raíces pueden ser:

• reales y distintas

• reales e iguales

• complejas conjugadas

» La solución general será de la forma:


» Si el radicando es cero se obtiene el amortiguamiento crítico ccr:

» El amortiguamiento de un sistema se puede representar como un

porcentaje con respecto del crítico. Se define el ratio de

amortiguamiento , como el cociente entre el amortiguamiento del

sistema y el crítico:

» Las raíces pueden expresarse en función del ratio de

amortiguamiento y la frecuencia n:


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6x 10

-4

t

x(t

)

» Solución general

» Sistemas sobreamortiguados

• El amortiguamiento del sistema es mayor que el amortiguamiento

crítico.

• Las dos raices son reales y

diferentes. Como las dos

raices son negativas, x(t)

disminuye con el tiempo.

• El movimiento resultante no

es oscilatorio.


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

t

x(t)

» Sistemas con amortiguamiento crítico

• El amortiguamiento del sistema es igual al crítico.

• Las raíces son:

• Desplazamiento del sistema:

• x disminuye con el tiempo; el

movimiento resultante no es

oscilatorio:


» Sistemas subamortiguados

• El amortiguamiento del sistema es menor que el crítico.

• Las dos raíces son complejas conjugadas. El desplazamiento del

sistema tiende, como en los casos anteriores, a anularse con el tiempo

pero en este caso se produce una verdadera oscilación. Los valores de

las raíces son:

siendo d la “frecuencia” angular de la vibración amortiguada (libre):


• El desplazamiento del sistema será:

• La ecuación que representa el movimiento del sistema tiene la

forma:

• El primer término representa el efecto disipativo y el segundo la

función armónica.

• “El periodo” Td y “frecuencia” circular de oscilación del sistema

amortiguado será :

• Tiempo de relajación para la amplitud (envolvente): tiempo que la

amplitud tarda en llegar a valer 1/e de su valor inicial:


• Valores de las constantes de integración a partir del desplazamiento

x0 y velocidad v0 en t=0 :

» Ejercicio


T d=2p/ d

A e -nt

A e -ntsen(d t+j 0)

x

t

• El desplazamiento tiende a cero pero oscila con frecuencia fd=d/2p

entre los límites fijados por las curvas de decrecimiento exponencial.


» Decremento logaritmico • Determina como varía la amplitud del movimiento oscilatorio

amortiguado.

• Se define como el logaritmo neperiano del cociente de las

oscilaciones máximas en dos ciclos consecutivos separados Td.

• Para pequeños amortiguamientos se puede aproximar:

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

t

x(t

)

Td

x1x2

Permite determinar el

amortiguamiento de un

sistema si se conoce la

evolución temporal de la

posición


Atractor

Sistema estable

» Sistemas amortiguados en el espacio de estados

12 1.4. Vibraciones forzadas

– Vibraciones forzadas

» Originadas por fuerzas externas exteriores al sistema.

» La ecuación del movimiento es una ecuación de 2º orden no

homogenea.

» Las fuerzas excitadoras, en función de su variación con el

tiempo, pueden ser:

• Excitaciones armónicas.

• Excitaciones periódicas.

• Impulsos, choques

• Excitaciones aleatorias.


» Sistemas de un grado de libertad amortiguados

sometidos a excitaciones armónicas.

• Excitaciones armónicas del tipo:

• Ecuación diferencial:

• Solución:


» Solución homogénea (vibración libre amortiguada):

» Solución particular:

Respuesta transitoria

Respuesta permanente

• La respuesta transitoria se produce en el arranque y parada del sistema. En

la mayoría de las aplicaciones tiene poco interés.

• Cuando el sistema funciona de forma continua, normalmente el interés se

centra en la respuesta permanente o estacionaria, que quedará determinada

conociendo su amplitud X0 y desfase , ya que la frecuencia coincide con la de

excitación.

t

x(t)

+

1.4. Vibraciones forzadas

=

t

xh (t)

• Solución homogénea para

un sistema amortiguado:

t

xp(t)

• Solución particular:

15


r (ratio de frecuencias): relación de frecuencias de la fuerza

excitadora y la frecuencia natural del sistema libre:

r=/n.

st deformación estática del resorte bajo una carga constante F0:

st=F0/k.

» Determinación de la solución particular (respuesta permanente):

• Sustituyendo la solución particular en la ED se obtienen los valores de

X0 y .

• Amplitud X0:


• Desfase : retraso de la respuesta respecto de la fuerza aplicada.

• Factor dinámico de amplificación H: número de veces que la

amplitud de oscilación dinámica sobrepasa a la estática.


0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0

|H|

/n

=0=0.1

=0.2

=0.3

=0.4

=0.5

=1

=1.5=3

=5

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0

|H|

/n

=0=0.1

=0.2

=0.3

=0.4

=0.5

=1

=1.5=3

=5

» Representación del factor de amplificación en función de r y :

→

Animació

n


-180

-135

-90

-45

0

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3=0=0.1

=0.2

=0.3

=0.4 =0.5

=1

=1.5

=3

=5

F0(º)

/n

-180

-135

-90

-45

0

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3=0=0.1

=0.2

=0.3

=0.4 =0.5

=1

=1.5

=3

=5

F0(º)

/n

» Representación del desfase en función de r y :

→


» Análisis de los gráficos:

• Para frecuencias de excitación menores que la mitad de

la frecuencia propia del sistema, la amplitud es del

mismo orden que la deflexión estática. →

• Para frecuencias de excitación muy próximas a la

propia del sistema la amplitud se incrementa

bruscamente: RESONANCIA. →

• Para frecuencias de excitación cercanas a la propia,

pero no muy próximas: PULSACIÓN. →

• Para frecuencias de excitación doble de la propia la

amplitud de vibración es muy pequeña. →

• “El ancho” de la curva de aumenta con el

amortiguamiento. →

• Hay un cambio de fase para una frecuencia de

excitación igual a la frecuencia propia →


» Resonancia en amplitud

» Frecuencia de resonancia:

» Frecuencia de resonancia

» Resonancia en energía (velocidad y energía cinética

máximas)

22 1.5. Vibraciones en sistemas de varios grados de libertad

Un sistema de n grados de libertad, tendrá n frecuencias propias y n modos de vibración.

» Ejemplo: Sistema de dos grados de libertad:


• Ecuaciones del movimiento:

• Forman un sistema de ecuaciones diferenciales de segundo orden

acopladas:

• En forma matricial:

1.5. Vibraciones en sistemas de varios grados de libertad

» Características:

• La matriz de rigidez [K] es simétrica kij=kji.

• La matriz de amortiguamiento [C] es simétrica cij=cji.

• La matriz de masas [M] es diagonal, eligiendo el sistema

de referencia adecuado.

• Las matrices suelen ser matrices huecas (“sparse”)

24

De forma general, la ecuación del movimiento se puede escribir en forma matricial:

sistema de n ecuaciones diferenciales de segundo orden.

• Resulta:


» Ejemplo: Sistema de dos grados de libertad, libre, no amortiguado

• Igual que para 1 GL, la solución será armónica pero las masas

vibran con distinta amplitud. Utilizando la solución compleja:

• Sustituyendo las soluciones en la ecuación del movimiento:


• En forma matricial:

• Para obtener una solución distinta de la trivial el determinante

debe ser cero:

» Sistemas no amortiguados (en general):

Soluciones imaginarias:

Problema de valores propios (autovalores) de orden n en 2


» Consecuencias

• La resolución de la ecuación obtenida para 2 da dos

soluciones 12 y 2

2 que son las frecuencias propias del

sistema (o n frecuencias en el caso de orden n).

• La frecuencia menor 1 se denomina fundamental.

• Las frecuencias propias dependen de las características

del sistema: masas y rigideces.

• Las frecuencias propias son independientes de las

condiciones iniciales de desplazamiento y velocidad. Las

condiciones iniciales determinan el grado de excitación

de cada frecuencia.

1.5. Vibraciones en sistemas de varios grados de libertad

• Si se introducen en las ecuaciones los valores de 1 y 2, se obtiene la

relación que existe entre las amplitudes del movimiento para los modos

1 y 2, respectivamente:

28

1

2

• Hay dos modos naturales, uno por cada frecuencia. Si se desplaza el

sistema de su posición de equilibrio según un modo natural y se deja

evolucionar libremente, oscila armónicamente a la frecuencia

correspondiente a ese modo.

• Las dos soluciones obtenidas para los modos propios son armónicas.

• La solución general es una combinación lineal de los modos propios. El

movimiento general es suma de dos movimientos armónicos de distinta

frecuencia y el resultado es un movimiento no armónico.

29 1.6 Aplicación a sistemas mecánicos simples

– Rigidez equivalente

Acumula la misma energía potencial que el sistema

» Fuerza: F=-kx Energía potencial: U=kx2/2

» Vigas:

• Deflexión st sometido a la fuerza F

keq = F/ st

» Resortes en paralelo: Fs=k1 st+ k2 st

Fs=keq st

keq= ki


» Resortes en serie:

Fs=k1 1=k2 2

Fs=keq st

1/keq=1/ ki

st = 1+ 2


– Viga

– Cable

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