La ecuación Verhulst

Esta típica aplicación de la ecuación logística es un modelo común del crecimiento poblacional según el cual:

la tasa de reproducción es proporcional a la población existente. la tasa de reproducción es proporcional a la cantidad de recursos disponibles.

El segundo término modela, por tanto, la competición por los recursos disponibles, que tiende a limitar el crecimiento poblacional.

Si P representa el tamaño de la población y t representa el tiempo, este modelo queda formalizado por la ecuación diferencial:

dPdt

= r P ((1 − PK )

, donde la constante r define la tasa de crecimiento y K es la capacidad de persistencia. La solución general a esta ecuación es una función logística. Con una población inicial P0:

P ( t )=K P0 e

rt

K +P0 ( e rt − 1 )

, donde

Limt → ∞

P ( t )= K

Ley del enfriamiento de Newton

Cuando la diferencia de temperaturas entre un cuerpo y su medio ambiente no es demasiado grande, el calor transferido en la unidad de tiempo hacia el cuerpo o desde el cuerpo por conducción, convección y radiación es aproximadamente proporcional a la diferencia de temperatura entre el cuerpo y el medio externo.

dQdt

= a S (T − T 0 )

Donde a es el coeficiente de intercambio de calor y S es el área del cuerpo.

Si la temperatura T del cuerpo es mayor que la temperatura del medio ambiente Ta, el cuerpo pierde una cantidad de calor dQ en el intervalo de tiempo comprendido entre t y t+dt, disminuyendo su temperatura T en dT.

dQ=-m·c·dT

donde m= r V es la masa del cuerpo (r es la densidad y V es el volumen), y c el calor específico.

La ecuación que nos da la variación de la temperatura T del cuerpo en función del tiempo es

dTdt

= −K (T − T 0 )

Integrando esta ecuación con la condición inicial de que en el instante t = 0, la temperatura del cuerpo es T0.

∫r0r dTT − T 0

= −K ∫0

tdt

, obtenemos la relación lineal siguiente.

ln ( T − T a ) =−K t + ln ( T 0 − T a )

Despejando T obtenemos

T = T a + ( To − T a ) e−kt

Ejemplo:

En la celebración de un matrimonio sirven un consomé que se enfría siguiendo la ley de Newton, con lo que su temperatura (ºF) está

dada por la función:

T ( t )= 70+ 140e−0.04 t

, calcular la temperatura inicial del consomé?

T ( t = o )= 70+ 140e0 = 70 + 140= 210

Wronskiano e independencia lineal

En matemática, el wronskiano es una función llamada así por el matemático polaco Józef Hoene-Wroński, especialmente importante en el estudio de las ecuaciones diferenciales ordinarias.

Dado un conjunto de n funciones, f1, ..., fn, el wronskiano W(f1, ..., fn) está dado por:

W ( f 1 , . . . . , f n )=|

f 1 f 2 … f n

f'1 f

'2 … f

'n

⋮ ⋮ ⋱ ⋮f1(n−1) f

2(n−1) … f

n(n−1)

|

El wronskiano es el determinante de la matriz construida al colocar las funciones en el primer renglón (o fila), la primera derivada de cada función en el segundo renglón, y así hasta la derivada n-1, formando así una matriz cuadrada, algunas veces llamada matriz fundamental.

En una ecuación diferencial lineal de segundo orden, el wronskiano puede ser calculado por computadora más fácilmente por la identidad de Abel.

El wronskiano y dependencia lineal

El wronskiano puede usarse para determinar si un conjunto de funciones es linealmente independiente en un intervalo dado:

• Si el wronskiano es distinto de cero en algún punto de un intervalo, entonces las funciones asociadas son linealmente independientes en el intervalo.

Esto es útil en muchas situaciones. Por ejemplo, si queremos verificar si dos soluciones de una ecuación diferencial de segundo orden son independientes, quizás podamos usar el wronskiano. Note que si el wronskiano es cero uniformemente sobre el intervalo, las funciones pueden ser o no ser linealmente independientes.

• Si un conjunto de funciones es linealmente dependiente en un intervalo, esto implica obligatoriamente que el wronskiano correspondiente es uniformemente cero en el intervalo, pero lo segundo no implica lo primero.

Una malinterpretación común (desafortunadamente promulgada en muchos textos) es que si W = 0 en cualquier lugar, implica una dependencia lineal - lo que es incorrecto.

Estas dos declaraciones son lógicamente equivalentes (por transposición); alternativas de la misma verdad.

Ejemplos

Considere las funciones x2, x, y 1, definidas para un número real x. Obtenga el wronskiano:

W =|x2 x 12 x 1 02 0 0

|=−2

Vemos que W no es cero uniforme, así que estas funciones deben ser linealmente independientes.

Considere las funciones 2x2 + 3, x2, y 1. Estas funciones son claramente dependientes, ya que 2x2 + 3 = 2(x2) + 3(1). Así, el wronskiano debe ser cero, siguiendo un pequeño cálculo:

W =|2 x2 + 3 x2 14 x 2x 04 2 0

|= 8 x − 8 x = 0

Como se mencionaba anteriormente, si el wronskiano es cero, esto no significa en general que las funciones involucradas son linealmente dependientes. Considerando las funciones x3 y | x3 | ; esto es, el valor absoluto de x3. La segunda función puede ser escrita así:

| x3|= {− x3 , si x < 0x3 , si x ≥ 0

Uno puede revisar que estas dos funciones son linealmente independientes sobre el conjunto de número reales, sin embargo, su wronskiano parece ser cero:

W = { | x3 −x3

3x2 −3x2|=−3 x5 + 3x5 = 0 , si x<o

| x3 x3

3 x2 3 x2| = 3 x5 − 3 x5 = 0 , si x ≥ 0

Ecuaciones diferenciales de segundo orden con coeficientes constantes

Una ecuación diferencial de segundo orden es de la forma: