7计 算 机 教 育Computer Education

第 3 期2016 年 3 月 10 日

清华精品课

文章编号：1672-5913(2016)03-0007-05 中图分类号：G642

深度备课引导创新思维，项目实践激发学术志趣——组合数学启发式教学探索

马昱春

（清华大学 计算机科学与技术系 , 北京 100084）

摘 要：组合数学作为计算机专业的基础理论课，不仅需要从知识层面培养学生运用计算方法和分析

工具的能力，更要培养其计算思维和创造性思维，从而提高他们的科学素养和专业素质。文章结合清华

大学计算机系组合数学的教学实践，阐述以启发式教学引领思维、以创新实践激发兴趣的教学体系理

念，提出通过创新性的教学设计将科学精神的培养融入到抽象的知识教育环节中。

关键词：组合数学；创新；开放式；启发式

1 背 景

伟大的数学家高斯曾经

说过“数学是科学的女王。”

数学对科学技术发展的重要

作用不言而喻。而组合数学

是计算机出现以后迅速发展

起来的一门数学分支。组合数学的发展改变了传

统数学中分析和代数占统治地位的局面，从而奠

定了本世纪的计算机革命的基础。作为计算机相

关专业的研究生基础理论课，组合数学的重要性

不言而喻。随着信息技术的发展 , 知识的传播和

获取已经完全脱离了以往对书籍和课堂的依赖。

如果仍然保持以客观知识的教授为目的，忽略了

当前学生的学习需求，则不能很好地适应信息化

社会创新人才的培养。如何在知识教授的前提

下，更充分地调动学生的学习热情，使他们不仅

基金项目：国家自然科学基金重点项目“面向课程的大规模在线教育资源组织与持续优化的理论与方法”（2016-2019）；教育部在线教育中心在线教育研究基金（全通教育）（2014ZD304）。作者简介：马昱春，女，副教授，北京高校第八届青年教师教学基本功比赛理工组一等奖，同时获得最佳教案奖以及最佳演示奖，研究方向为在线教育、优化理论，myc@mail.tsinghua.edu.cn。

获取知识，更提高能力。笔者自 2008 年开始教

授组合数学课程，每年约有 270 名学生选修该课

程，学生主要来自信息类院系。笔者经过近年来

的教学实践，认识到从抽象的知识教育来加强对

科学精神的培养是组合数学课程的核心理念，逐

渐探索出以启发式教学引领思维、以创新实践激

发兴趣的教学体系。

2 构建多维启发式教学体系

启发式教学不是单一的教学形式，而是一

个全方位多维的教学体系，通过深度备课追求课

堂教学的“专业性、示范性、艺术性和创新性”。

研究生教育培养的是具有专业知识的技术人员和

科研工作者，因此要培养行业内的创新性人才，

关键的不是知识概念掌握的多少，重要的是对科

学知识本质的了解和延伸，从而达到对科学精神

马昱春

20168计 算 机 教 育Computer Education

的培养。组合数学概念抽象，内容博大精深，经

过历史的沉淀，已经对知识体系有了高度的概

括。如果课堂教学仍停留在字面的讲授和理解

上，而不能挖掘字里行间所蕴含的深刻本质，会

使学生的学习兴趣和学习效果大打折扣。深刻揭

示知识的本质及其与相关知识的联系是最重要的

教学理念，真正做好它需要从教学形式和教学内

容上进行深入的挖掘和研究。

2.1 以知识的“再发现”引导学生主动思考

组合数学的很多内容具有很强的技巧性，如

果以灌输的形式进行教学会使学生在学习的过程

中感觉被动。因此在近几年的教学中，笔者重新

组织了章节中的教学内容和教学顺序，从现实生

活中的具体例子出发，引导同学们去发现已有知

识的瓶颈是什么？从悬念出发引导学生思考如何

求解，是否有通用有效的解法？让学生不再是被

动、机械地接受理论，而是通过对问题思考再一

次 “发现知识”。

以《组合数学》第二章母函数的概念介绍为

例，母函数概念的提出经历了近 100 年的发展，

凝练成如下的 3 行数学定义。

设 a0, a1, ⋯, an, ⋯是一个数列，做形式幂级数：

f(x) = a0 + a1x + a2x2 + ⋯ + anx

n+ ⋯ , （1）

我们称 f(x) 是数列 a0,a1,⋯,an,⋯的母函数（又

称生成函数）。

这样的定义简洁、清晰，学生看后虽然能学

会，但是会感到疑惑 :“究竟为什么要把函数和

数列扯上关系呢？” 虽然母函数的定义从概念上

高度概括，但是作为初学者仅从字面上无法抓住

其科学本质。要使学生做到对概念的“真理解”，

关键在于教师自身要对知识本质“真理解”。笔

者查阅了大量的组合数学相关教材和资料，逐渐

理顺了母函数定义的发展脉络，在实际课堂教学

中，设计了一个色子投掷问题——“两个色子投

掷总数为 6 点的可能方式可以枚举出来有 5 种。

那么如果投掷 50 个色子呢？投掷 100 个呢？”

从已有知识的困境中出发，一步步引导学生发现

我们所熟知的函数形式可以具备计数的能力，这

就是知识的“再发现”。学生从浅显的问题出发，

通过思路的延伸，自主解决当前的困境。这样的

模式在每章的教学中都有所体现，通用模式的具

体描述如下：

（1）问题的引入尽可能简单直观；

（2）问题的深入要留下悬念；

（3）问题的解决在情理之中、意料之外。

通过形象的例子引导学生知其然、知其所以

然，尽可能通过简单生动的例子阐述各项研究的

根源以及如何总结归纳出相应理论的过程。从已

学知识的瓶颈入手，构造一种如鲠在喉不吐不快

的情景，再引入新的知识，逐渐在每个关键点上

依次展开，讲授的过程正是逐渐解决瓶颈的深入

发展过程，使得学生的思维从被填鸭的被动式接

受转变为主动式思考。而这种瓶颈驱动式的教学

充分调动了学生听课的专注性和主动性，师生之

间在课堂上的互动也因此变得自然而有效。

2.2 以知识的“左邻右舍”培养学生发散思

维模式

组合数学本身是一个迷人的数学学科，历史

悠久，其中很多问题对于计算机从业人员来说都

耳熟能详，是现实生活中朴素而有趣的问题。有

趣的问题并不是让学生听个热闹就够了，每个问

题的提出和解决有其偶然性和必然性，问题的背

后除了一段数学的发展史外，更重要的是知识发

展的客观规律。数学发展史妙趣横生的介绍，相

关知识的触类旁通，知识点的串联，一题多解，

多题一解，甚至是恍然大悟的精妙不仅仅给学生

带来心理上的冲击，更重要的是帮助学生建立对

知识更宏观的认识，从历史发展看科学进步，从

具体方法体会深层次的规律。

1）通过知识发展的来龙去脉串联相关知识点。

第 3 期 9清华精品课

课程的教学中穿插着每个知识点背景历史

的介绍，尤其将相关数学家的介绍贯穿始终。据

学生的统计，在课堂上提及的数学家共有 59 位，

从伯努利、拉普拉斯到波利亚，从孙子算经到现

代的计算机界大家高纳德，将组合数学的知识点

通过这些名人的事例讲解出来，将他们贯穿到知

识点发展的脉络中去，提炼出数学家与知识发展

之间千丝万缕的联系。比如在第二章母函数概念

的介绍中，通过对数学史的研究，将母函数定义

的发展历程形象化为一个流程图，将伯努利、欧

拉和拉普拉斯的工作串联起来。而在整数拆分数

的介绍中，授课教师通过不同的时间发展把相关

的数学家串联起来。如图 1（a）、（b）所示，这

样形象生动的讲授使学生对知识的把握更为形象

化，产生更为深刻的感性认识。

2）从具体方法体会深层次的规律。

学习兴趣的培养一方面需要形式上的生动活

泼、清晰形象，而更深层次上是要满足学生对思

维收获的追求。

在日常的课堂教学中我们采用猜想、合情

推理、初证、反驳、重证的思路，或归纳，或演

绎。不同的讲授方法中蕴含着更深层的方法学和

思维模式。学生的学习过程不仅仅以知识的理解

和应用为任务，而是从知识的学习中去体会知识

的创造发展过程中的共性，这也是科研创新能力

的基础。在进行母函数知识链接的过程中，如图

1（a）所示，笔者发现其形式和以往指

数运算的对数转换非常相似，因此通过

这样知识的类比，将母函数定义归纳为

一种数学映射（如图 2 所示）。将这种

映射和日常生活中照镜子相类比，使同

学们认识到映射这种数学工具的本质和

普适性。而类似知识的扩展使组合数学

的教学不再是对一本教材的见解，需要

在对知识深度理解的基础上进行发散性

思维和广泛涉猎，不仅需要针对知识点

进行数学方法论的提炼，更需要发挥发

散性思维对不同领域知识进行联系和对

比。这样才能既丰富课堂内容，又开拓

学生视野。

3）以知识的“生命力”激发学生的

研究热情。

图 2 不同领域知识的对比和联系

图 1 知识发展总结示例

（b）整数拆分数计算的发展：按时间发展串联数学家

数学家一度��整数拆分数的�算很�有大的突破了

欧拉，1740年

OEIS

p(29)=4565

p(300)=9253082936723602

p(200)=3972999029388拉�努金，1918年

（a）母函数概念的发展 : 按知识点串联数学家

（x+x2+x3+x4+x5+x6)（x+x2+x3+x4+x5+x6)

＝x2+2x3+3x4+4x5+5x6+⋯

原像

？

伯努利1705年前

1764年前

映像

系数��

母函数映射

多�式乘法

欧拉

拉普拉斯1812年

+

c0, c1,…, cn

＝ n（x+x2+x3+x4+x5+x6)（x+x2+x3+x4+x5+x6)

＝x2+2x3+3x4+4x5+5x6+⋯

原像

？

伯努利1705年前

1764年前

映像

系数��

母函数映射

多�式乘法

欧拉

拉普拉斯1812年

+

c0, c1,…, cn

＝ n

�算p=23 4131

31

求解原像p的数值

（原像） （映像）

原像

? 困�

系数��

多�式乘法

映像母函数映射

将指数�算�化�做加法乘法

求得映像lgp的数�

�数映射 31

81lg p= lg(23)+ lg(41)

困�

反�数

+ ＝ n

c0, c1,…, cn ＝x2+2x3+3x4+4x5+5x6+…

（x+x2+x3+x4+x5+x6)（x+x2+x3+x4+x5+x6)

?

201610计 算 机 教 育Computer Education

组合数学的知识博大精深，经历了几百年的

发展，知识体系结构已经逐渐完善，但是作为一

门随计算机学科而发展的数学体系，仍然处于时

代发展的前沿。如果局限于课本上的教学，学生

会觉得效率不高，收获不大。笔者及时跟踪前沿

知识点，给学生带来更广阔更新鲜的视野。而同

时在教学形式上设计开放式的教学，以知识和实

践结果的不确定性激发学生的创新热情。以整数

拆分数为例，课堂上不仅介绍了母函数解法，并

且通过程序演示，让学生直观地看到母函数解法

的瓶颈。对比权威数据库中的整数拆分数数值，

激发同学们去研究如何克服设计瓶颈。同时联系

目前数学界悬而未决的十大问题，使同学们对该

问题在学术界的地位产生感性认识。例如，第四

章有关染色同类体的计数统计需要涉及初步的群

的概念，教材通常罗列一系列有关群的概念，然

后给出一个定理，接着就开始计数的介绍。群的

概念看似简单却非常抽象。近年来，在教学中我

们引入有关群的最新理论，如对“月光魔群”等

问题进行简单的介绍。虽然这样的内容和后续的

计数问题没有直接关系，但是作为群的前沿知识

可以极大地帮助学生建立对群概念的认同和感性

认识。而前沿发展的开放性和不确定性更加激发

了学生对未知世界的探求渴望，促使他们从不同

的角度进行思考，以发散性思维去解决问题。

3 打造开放式的创新实践平台，鼓励发

散思维和创新实践

组合数学本质上是一门数学学科且趋于稳

定成熟，学生往往把这门课作为一门理论课来学

习，认为做作业、通过考试就是学习该课程的全

部。自 2010 年，笔者将创新平台项目正式纳入

课程成绩中，当年引入了两个课程项目作业，第

一个项目为与全排列生成算法相关的命题项目，

第二个作为开放项目完全由学生自主选题。虽然

没有强制学生参与，但是几个学期下来，学生的

参与度逐年增高。经过事后调查反馈，参与项目

研究的同学普遍反映创新项目很锻炼人，通过调

研和实践更深入地了解问题，也许一开始是为了

分数而参与，但渐渐地开始体会到思考带来的快

乐，从而大大激发了学生的主动参与性，体会到

了创新的成就感。

3.1 采用多样机制鼓励发散思维和创新实践

本课程的项目设计以开放式的题目为主导，

参考学术论文评价体系，一方面作为最终成绩的

一部分鼓励同学参与，另一方面采取不同的机制

对不同的项目进行评测和鼓励。尤其针对全排列

生成算法的设计，引入了“全排竞赛”，对学生

提交的代码进行评测排序，让他们感受竞争的同

时，更深地体会到创新实践是需要全盘考虑的。

笔者在每学期的最后一节课上都会从各个角度对

创新项目进行的总结，从几百个提交的项目中选

择 6~10 篇最佳论文，举行小型的颁奖活动，并

针对学生提交的项目进行详细点评。通过这样的

形式，同学们感到自己的付出得到了关注和认

可，感到项目的实践和反馈有始有终，对于论文

写作和科技创新有了新的认识。

3.2 引入开放式项目实践

笔者将项目实践环节引入到日常教学中，形

成了作业、考试和项目三项并举的教学评价体

系，并通过自选开放式项目激发学生的发散性思

维。一些数据表明实践项目激发了学生的学习

热情，将学生的期末考试成绩进行对比能分析

出学生的学习目的和学习目标的不同。在 2011

年秋季学期，学生选做项目的参与度达到 64%

（150/233）。从最终参与自选项目的联合对比分

析（见表 1）可以看到参与自主创新项目是锻炼

优秀人才的一种有效手段，笔者在对比后仍然发

现参与自选项目的同学如果不能得到很好的项目

成绩，那么最终的卷面也会低于平均分，这说明

第 3 期 11清华精品课

日后的项目机制还需要进一步的细化和磨合。

表 1 2011 年秋季期末考试卷面分数与自选项目的联合对比

比较项 不参与 项目合格 项目良好 项目优秀

人数 83 34 103 13

卷面平均分 74.9 65.0 72.8 85.1

通过进一步分析近两年的数据可以看到，参

加自选项目的学生比例在逐年增加，而通过分析

卷面成绩和项目成绩，可以看到两者之间的正向

相关性。2011 年卷面成绩和项目成绩的相关系数

为 0.182，2012 年卷面成绩和项目成绩的相关系

数为 0.199。

3.3 依托在线百科的知识传播体系

本课程中很多教学内容超出了课程教材，甚

至有些内容在网络上也并不多见。为了进一步推

广相关知识，并且鼓励学生深入挖掘相关知识内

容，笔者鼓励学生在 wikipedia.com 以及百度百

科等平台上进行更新和提交（如图 3 所示），通

过创新加分等形式鼓励学生进行开放式的探索。

2013 年秋季学期同学们在权威数据库 OEIS、中

英文 wikepedia、百度百科等在线平台上贡献或

更新词条近 30 余条。这为学生严谨的思考钻研

和广泛深入调研提供了锻炼的机会。

4 课程建设成果和展望

笔者近年来对课程进行了深入的课程体系改

革和教学形式的调整，逐渐形成了具有计算机专

业特色的研究型引导式的教学模式，收到了很好

的教学效果，深受学生喜爱。笔者以该课程内容

的讲授代表清华大学参加北京高校第八届青年教

师教学基本功比赛，获得理工组一等奖，同时获

得最佳教案奖以及最佳演示奖。

随着对教学的深入，授课教师更加深刻地认

识到教授一门课不只是讲授一本书，除了要古今

贯通、文史兼备，更需要在心理和技巧上平衡。

教学中不仅要教具体的知识，更重要的是培养学

生的思维方式和学习方法。正如康德的名言：“重

要是给予思维，而不是给予思想。”在以思维引领、

激发学术志趣的教学理念引导下，我们要进一步

加快教材建设，总结整理课程的特色内容，整理

出版新的教材；逐渐摸索大课堂教育和在线资源

的有效配合，尝试通过优秀学生的带动，形成公

平分享、共同成长的开放式空间；努力在广度和

深度上进一步的发展，形成特色，在计算机专业

的基础理论课教学上形成优势。

（编辑：彭远红）

图 3 网络学堂讨论区中对部分词条更新的总结

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