集積電子回路設計Part 2:演算増幅器

千葉大学工学部電気電子工学科

橋本研也

平成27年9月10日版

演算増幅器（Operational Amplifier）

+

-eout

RaRb

einK

G eoutein+ -

K=Ra/(Ra+Rb)

•利得G無限大

•入力Z無限大

•出力Z零

理想オペアンプとは？非反転増幅回路

1)|GK(| 11

KGK

Gee

in

out

K

Gein+ -

1)|GJK(| 11

KGJK

GJeeH

in

out

eout J=1/(1+j/c)J

オペアンプの周波数特性

(G

JK) [

deg.

]

20lo

g|H

| [dB

]

-

0

logc cm

実線: K=0、破線: K0 cm=c(1+GK)

GJKGJH

1

GJH

ピークでの利得を低減した分、広帯域化-6dB/oct.

K

Gein+ - eout

en：増幅器Gによる波形歪＋雑音+

en

ninout eGK

eGKGe

11

1 負帰還による低減

(G

JK) [

deg.

]

20lo

g|H

| [dB

]

-

0

logc１ c2

-

-6dB/oct.

-12dB/oct.

GJKGJ

eeH

in

out

1

J=1/(1+j/c1) (1+j/c2)の時

c2で位相がほぼ-＝ 正帰還

c2で|H|が大きいと不安定（発振）

極が３個有れば？

Ra

+

-

+

-eout

Rb

RcRa

Rb

eout

ein

ein

演算増幅器の解析法(Imaginary Short)負帰還で利得が無限 入力端子間の電位差零

Raeout/(Ra+Rb) 0

ein/Raein/Ra

a

b

in

out

RR

eeH 1

a

b

in

out

RR

eeH

非反転増幅回路 反転増幅回路

-Rbein/Ra

オフセット(無入力時の直流出力)とドリフト(温度によるオフセットの変化)

Ra

+

-

Rb

V-

eout

ein

反転増幅回路

I-

I+

Rc

V+V+=(Ra//Rb)I+V-=RcI-

I+=I-であれば(Ra//Rb)=Rcとすることによりオフセット消去可能(V+=V-)

+-

RbRb

RaRd

Rc

eoutein

高利得増幅器

]/)/(/[/ babinoutaindabin RRReeReRRRe

ein/Ra

-einRb/Ra

出力からの流入電流入力からの流入電流

d

b

a

b

in

out

RR

RR

ee 2 Rb>>Ra,Rdで大きな利得実現

+-

-+

-+

Rd

eout

e0+

eo-

ei+

ei-

RbRa

Rd

Rc

Rc

計測アンプ

(ei+-ei-)/Ra

eo-Rd/(Rc+Rd)

cdooout

aiiboi

aiiboi

RReeeReeReeReeRee

/)(/)(/)(

a

b

c

d

ii

out

a

b

ii

oo

ii

oo

RR

RR

eee

RR

eeeeeeee

21

21

1

-+

-+

eout

Ra

Ra

ei+ei-

計測アンプ

ooout eee

+5V +5V

-+

ein

eout

RaRb Rb

絶縁増幅器

入出力間を電気的に絶縁可能

inout ee

+-

Ra1 Rb

Ra2

Rc

eout

e1

e2

22

11

eRRe

RRe

a

b

a

bout

アナログ加算器

+-

R1 Rb

R2

eout

e1

e2

Rn-1

Rn

en-1

en

n

N

n n

bout e

RRe

1

nnR 2

NビットD/A変換器

とすれば

D0D1D2D3D4D5D6D7

-

+

Q0Q1Q2Q3Q4Q5Q6Q7

R0R1R2R3R4R5R6R7

Rb

8bit D/A変換器の構成

デジタルデータ

アナログ出力

ラッチ：次のデータが入力されるまで、前のデータを保持

R RC

C

+

-eout

RaRb

ein

12 )/()/(1

QjGH

rr

GQ

31

CRr1

a

b

RRG 1

能動フィルタの例

インダクタを利用せずにQ>0.5を実現

集積化フィルタ

+-

+

-eout

Rc

ein eout

Rc

R

CC

R

Rd

ecnt

ein

積分回路微分回路

リセット回路

dtdeCRe in

out dteCR

e inout1

q=Cein

i=dq/dt

ein/R

+-

ein

RB

-24V

+24V

VL

RB

Ra

Rb

演算増幅器との組み合わせ

K

G1 eoutein

+ -

K=Ra/(Ra+Rb)

G2

オペアンプ：電圧増幅

プッシュプル回路：電力増幅

注：オペアンプの電源電圧以上の振幅は取れない。

+-

Vcc

Vz

Rc

Ra Rb

VL

RL

安定化電圧源

+-

Vcc

Ra RbIL

R0

安定化電流源

RL

Rc

VL=Vz(Rb/Ra+1)

Vz

IL=(Vcc-Vz)(Rb/Ra+1)-1

RLに依存せず

OPアンプに非線形素子を接続すると

+-ein

Rb

+- +

-

C

Ra

Rp

eineout

eout

+- +

-

Cein

eout

Rp

RG

アナログSW

Sampling & Hold回路

理想整流回路 ピーク保持回路

Rp:ダイオードoff時の利得限定用

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.5 1 1.5 2

信号

振幅

時間

標本化と保持(Sampling & Hold)後の波形

標本化周期（この時間の間に量子化（数値化）） アナログ/デジタル変換

+-

-

+ eout

Rbein Rb/2

Ra

Ra

Rb

絶対値回路

t

-ein

2ed

ed

eout

比較器（コンパレータ）

-

+eout

ein

Vs:飽和出力(≒電源電圧)

eout

ein

+Vs

-Vs

Vc

Vc

eout3ein

eout2

eout1

並列型AD変換器(2bit)

R

+-

+-

+-

R

R

Reref

逐次比較型AD変換器

+

-

e7

ein

DAC 10000000

e6e5e4e3e2e1e0

上位ビットを1に試行

比較器出力によってビットデータを固定

次のビットを1に試行（以下順次下位ビットへ）

変換開始

変換終了制御回路

積分型AD変換器

+

-ein カウンタ

変換開始

変換終了

clk

変換出力

0

ein +Vs

t 電圧→時間

長時間計測すれば高精度

標本化定理(Nyquistの定理)信号に含まれる も高い周波数成分fmaxの２

倍よりも高い周波数で信号を標本化すると、

取り込まれたデータ列から元の信号が忠実

に再現できる。

オーバーサンプリング

信号帯域wのM倍の周波数で標本化すれば、量子化雑音はM倍の周波数範囲に拡散⇒PNはM-1に減少

信号帯域内の量子化雑音実効値が-0.5に減少

量子化雑音のパワースペクトラムw

NP6

2

ダイナミックレンジ：入力正弦波の実効値と雑音実効値の比で定義した場合、6.02N+10logM+1.76 [dB]

オーバーサンプリングによる量子化雑音低減

F()

0 c c c c

F()

0 c c

通常の標本化

c c

量子化雑音

元の信号

量子化雑音

元の信号

オーバーサンプリング

量子化雑音の拡散

ei(t) BPF

0

F()

-2c -c +2c+c-w +w

帯域通過型AD変換器

アンダーサンプリング

AD変換器

標本化周波数の整数倍の特定帯域の信号のみを抽出

eo(t)

シグマ・デルタA/D変換器

1bitDAC

+-ei(t) eo(t)

標本化周波数増大による量子化誤差の低減

1bit A/D

パルス幅変調(PWM)

PWM波から元信号の再生は？

LPFei(t) eo(t)

大周波数までの低域通過フィルタを挿入！

世に言う1 bitオーディオ

1bitDAC

正帰還すると→ヒステリシスコンパレータ

-

+eout

RaRb

ein

))/(())/((

baaoutins

baaoutinsout RRReeV

RRReeVe

Vs:飽和出力(≒電源電圧)

eout

ein

ヒステリシスコンパレータの入出力特性

+Vs

-Vs

+Vc

-Vc

Vc=Vs/(1+Rb/Ra)

t

雑音を含む信号

ヒステリシスが無いと

ヒステリシスが有るとクリーンな応答

パルス数の誤り

2Vc

立ち上がり立下りのゆれ＝ジッタの発生

31

高速ADCへのジッタの影響

高周波になるほどジッタの影響大

高周波クロック源ほど程ジッタ大

http://www.analog.com/jp/digital‐to‐analog‐converters/da‐converters/products/tutorials/CU_tutorials_MT‐007/resources/fca.html

32

信号雑音比(SNR)への周波数とジッタの影響

http://www.analog.com/jp/digital‐to‐analog‐converters/da‐converters/products/tutorials/CU_tutorials_MT‐007/resources/fca.html

正帰還になれば、自分自身を増幅し続けて発振

G()Ei() Eo()

K()K()Eo()

-+

正帰還であれば、雑音に含まれる周波数成分を増幅、振幅増大（入力不要）

増幅器が飽和して、実効的な利得Geff()減少

Geff()K()=-1の状態で発振持続

4. 発振持続状態では他の周波数の利得減少

安定条件

安定度の指数：

|G()K()|>1となる周波数範囲でarg[G()K()]180o

H()=G()/[1+G()K()]より

位相余裕

arg[G()K()]-180o @|G()K()|=1となる周波数

ゲイン余裕

-20log |G()K()| @arg[G()K()]=180oとなる周波数

+-R

RC

Ceout

RaRb

ウィーンブリッジ発振器

+-

R

RC

CRx

Rb

eo

ei

閉ループ回路

開ループ回路

K

G eout

G K eoei

小信号等価回路

発振振幅制限抵抗

伝達関数(H=eo/ei)

位相（周波数）条件 (GK: 実数)

振幅条件 (|GK|>1)r

)/(3)/(1)/(

2rr

r

jjGGKH

3G

発振条件

ここでr=1/CR、G:非反転増幅器の利得(=1+Rb/Rx)

•Gが大きいと ⇒ 発振波形の歪み

•Gが小さいと ⇒ 発振の立ち上り緩やか

C2

eout

C1

時計用発振回路

音叉型水晶振動子

eout

ein

インバータの入出力特性

反転増幅器と等価！

215 =32,768Hz を215分周すれば1Hz!

Z

RD

ei

発振回路の解析+5V

eout

RSC1 C2 RG

eo

RD

RS

Z

C1 C2 RG

閉ループ回路

開ループ回路

K

G eout

G K eoei

小信号等価回路

以下の解析ではRS,RG,RDを無視

伝達関数(H=eo/ei)

位相（周波数）条件 (H: 実数)

振幅条件 (H>1)

21

11)(CC

Z

21

212 11

1

CjCjZCC

gH m

1)()(

)( 21

ZZ

CCgm

発振条件

gm:FETの相互コンダクタンス

発振器の安定性• 長期安定度 (経年変化)• 中期安定度 (温度依存性)• 短期安定度 (熱雑音,1/f 雑音)

P()1/f noise (flicker)

Thermal noise(random walk)

•高信頼性技術

•優れた温度特性、高Qの共振器

•低雑音増幅器

圧電基板

+

-

C0

Mk-1

V F

i v

C0

L

R

C1

V ⇔ F、 I ⇔ ｖに対応させると

M ⇔ L、⇔ R、k ⇔ 1/C

(a) 電気＋機械回路

圧電基板に電界を加えると

(b) 等価電気回路

VFvdtkvdtdvM

Frequency

Adm

ittan

ce

r a

B

G

共振特性

•共振周波数 r=1/ C1L•反共振周波数 a=1/ L(C1

-1+C0-1)-1

±10 ppmは高速通信には不充分

仕様の一例: -20oCから+80 oCで±1ppm

ppm20

10

-20

-10

20 40 60 Temp.-20-40-60 0

df/f

0

何故水晶振動子？

温度安定性(-40oCから+80oC の範囲で10 ppm)

C2

eout

C1

温度補償水晶発振器 (TCXO)

マイクロコントローラ

温度センサ

まだ現在の高速通信には不充分

-20oC to +70 oCの範囲で±1ppm

C2

eout

C1

オーブン安定化水晶発振器 (OCXO)

Oven Controller

Temp. Sensor

-20oCから +70oCの範囲で±10ppb欠点： パワー消費、初期安定化、寸法

オーブン2重化による更なる安定化

Global Positioning System (GPS)

2222 )()()( nnnn zzyyxxd xn, yn, zn : n番目の衛星の位置 (衛星から送信)dn: n番目の衛星からの距離 (遅れ時間から算出)

現在位置 (x, y, z)は次式の解

Nn ,,2,1

10 ppbの誤差 d では3 mの誤差！

Vcc

vcR

C

I

V

vc

t0

0

Vt

Vb

It Ib

負性抵抗による発振回路

)/exp(1 TtVV cc 青曲線を表す式(T=CR)

負性抵抗

Vt>Vcc-R ItVb<Vcc-R Ib

発振条件

増幅器による負性抵抗の実現

eoutein

R

G

iin

ininoutin eGReeRi )1()( 11

+-Z

R

eout

RaRb

0)1()( 11 GRz

0)( z

位相条件

振幅条件

発振条件

負性コンダクタンス

GZ

)1(/ iii GZieZ

負性抵抗（その２）

ei

ii

Zi

出力条件

振幅条件

0fi ZZ

0fi ZZ

01)(f

ffi

ZZ

ZGZZZZ

発振の時は (電流出力)

負性抵抗 （その３）

eo

Zf

Gei

ii i1

fio1

fi )1()( eGZeeZi

1f

i

ii )1( GZ

ieZ

Zi

周波数条件

振幅条件

01f

1 ZZ

01f

1 ZZ

01)(f

1f

11i

1

ZZZGZZZZ発振中は

(電圧出力)

Zo

周波数条件

振幅条件

01o Z

01o Z

eo

GZ

Zf-RR

io

ZZZG

RZZZZR

eiZ

ff

f1

o

o1o 1)(

01o Z発振中は

(電圧出力)

負性抵抗 （その４）

発振器の基本的な分類（バイアス回路省略）

クラップ型ハートレー型コルピッツ型

LC共振で電圧 大の場所から電圧を取り出し、電流大のところにTrからの電流を注入

コルピッツ発振回路の変形

コルピッツ型

コルピッツ発振回路のAC解析

出力インピーダンス特性

G<0

B=0

トランジェント解析

スペクトラム立ち上がり波形

トランジェント解析

Cv

+5V

RB2

ecnt C1

C2

YRB1

RE

eout

Cc

L

変形コルピッツ(クラップ)発振回路

バラクタダイオード(発振周波数可変)

RF遮断インダクタ

水晶振動子（誘導性の周波数で発振）

C2

DC遮断コンデンサ

電圧制御発振器（VCO）回路

M1 M2

I1

VDD

C1 C2

L I2

集積化可能なスパイラルインダクタ

gmv2 gmv1

v1

等価回路

C1 C2

L v2

見込んだアドミタンス

i1 i2

12222

21111

vgvCjivgvCji

m

m

mgCjvvii

21

21

2121 , mm ggCC の時

負性抵抗

LC/1 で共振

インダクタの抵抗成分が負性抵抗より十分小さいこと

Cross Coupled Oscillator

比較器＋周波数制御→緩和発振器

-

+eout

RaRb

青曲線を表す式(T=CR)

ヒステリシスインバータの入出力特性

Vc=Vs/(1+Rb/Ra)

R

C 0-Vc

t

eout

+Vs

-Vs

+Vceinein

)/exp()( TtVVVV scs

ba

cscs

RRTVVVVT

/21log2 )/()(log2

+-

+-

R

C

Ra

eo1

Rb

eo2

緩和発振器（その２）

0+Vc

-Vc

+Vs

+Vs

t

eo1

eo2

積分回路ヒステリシスコンパレータ 青曲線を表す式(T=CR)

TtVVV sc /

basc RTRVTV /4/4

)()(

2

21

cos

coso VeV

VeVe

basc RRVV /

C2

R0

R0

L1 L1 R0

R0C1 C1

L2

ESES

3エレメントT型LPF 3エレメント型LPF

N段受動(LC)フィルタ

-3

-2

-1

0

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4N=9N=7N=5N=3

Relative frequency

-100-80-60-40-20

0

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4N=9N=7N=5N=3

Relative frequency

H(d

B)

H(d

B)

うまく設計すると優れた特性

能動フィルタ

badcba

da

dcab

dcadcd

badcba

db

dcba

dcbdcd

ZZZZZZZZ

ZZZZZZZZZZK

ZZZZZZZZ

ZZZZZZZZZZH

))((})({})({)(

))((})({})({)(

111

1111

111

1111

K

G eoutein+ +

G=1GK

GHee

in

out

1

H

dabadcba

db

in

out

ZZZZZZZZZZ

GKGH

ee

))((1

帰還による誘導成分の実現

Za+-Zc

Zb

eoutein Zd

bd

dba

ac

ZZQ

sZZZ

ZZ

/2

//1

0

1)/()/(

1

012

0 sQse

e

in

outとすれば、

LRC回路と同様の特性(Q>0.5実現可能)

eoutein H1 H2 H3

多段縦続による所望の周波数特性の実現

+-

C2

C1

eoutein

iin(t)i2(t)

スイッチトキャパシタフィルタ

スイッチの高速切り替え

•スイッチ入力側の時C1上の電荷＝einC1

•スイッチ出力側の時C2に流れ込む電荷＝einC1

dteC

fCe inout 2

1 f:切り替え周波数

コンデンサが抵抗と同様な役割R=1/C1f

状態変数s-1の実現