複素関数論 - 名古屋大学noby/pdf/cana.pdf0 準備 (2019 年7 月26 日更新) 0.1...
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複素関数論 1
吉田伸生 2
③✸
③✶
③✷ ♠✸
♠✶♠✷
12019 年 7 月 26 日.2[e-mail] [email protected], [URL] http://www.math.nagoya-u.ac.jp/ ˜ noby
1
目 次
0 準備 30.1 論理・集合・写像 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1 複素数 61.1 複素数・複素平面 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2 複素数列 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3 関数の極限 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.4 関数の連続性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2 級数 132.1 定義と基本的性質 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2 絶対収束・条件収束 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.3 べき級数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3 初等関数 223.1 指数・対数関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.2 双曲・三角関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.3 偏角・対数の主値 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.4 (⋆)多価関数としての偏角・対数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.5 べき乗の主値 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.6 (⋆)逆三角関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4 複素微分 394.1 定義と簡単な性質 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.2 連鎖律 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.3 逆関数の微分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444.4 べき級数の複素微分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464.5 一般二項展開 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504.6 コーシー・リーマン方程式再論 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5 コーシーの定理 565.1 曲線に関する用語集 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 565.2 複素線積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 585.3 原始関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615.4 閉路積分の応用例 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 665.5 コーシーの定理:多角形積分路,および星形領域の場合 . . . . . . . . . . . . . . 705.6 より一般的なコーシーの定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
6 コーシーの定理からの恩恵 776.1 コーシーの積分公式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
7 有理型関数 807.1 留数定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
8 問の略解 81
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0 準備
(2019 年 7 月 26 日更新)
0.1 論理・集合・写像
論理・集合・写像に関する若干の用語・記号について簡単に説明する.
定義 0.1.1 (論理記号) 命題 P , Qに対し
▶ P =⇒ Q は「P が成立するならQも成立する」を意味し，Q⇐= P も同義である.
▶ P ⇐⇒ Qは「P =⇒ Qかつ P ⇐= Q」を意味する.
▶ ∀は「全ての」を意味する. 例えば, ∀x, ...は「全ての xに対し ... が成立する」を意
味する.
▶ ∃は「存在する」を意味する. 例えば, ∃x, .... は「.... を満たす xが存在する」を意
味する.
▶ ∃1 は「唯一つ存在する」を意味する. 例えば, ∃1x, ....は「.... を満たす xが唯一つ
存在する」を意味する.
なお, しばしば次の記号も用いる：
▶ Pdef.⇐⇒ Q は「P という新たな記号, 或いは概念をQ によって定義する」を意味し，
Pdef.= Q も同義である.
注：数学の命題を記述する際, ∀, ∃, ∃1 等の論理記号は, 言葉よりも簡潔なため，本書
でもよく用いる．音楽を本格的に学ぶためには，音符の読み書きが不可欠であるよう
に，数学を学ぶためには，論理記号の読み書きが不可欠である．
定義 0.1.2 (集合とその演算) 集合とその演算に関しては，高校の教科書とほぼ同じ記
号を用いる，例えば
▶ 集合X,Y に対し集合X ∪ Y , X ∩ Y , X\Y を以下のように定める：
X ∪ Y = {z ; z ∈ X または z ∈ Y }, X ∩ Y = {z ; z ∈ X かつ z ∈ Y },
X\Y = {z ; z ∈ X かつ z ∈ Y }.
また，空集合は ∅と記す．
定義 0.1.3 (写像) X,Y を集合とする.
▶ ある規則 f により, 任意の x ∈ Xに対し Y の元 f(x)がひとつ定まるとき, この規則
f をXから Y への写像 という. f がXから Y への写像であることを次のように記す：
f : X → Y.
また, xに f(x) が対応することを次のように記す（矢印の左端に短い縦線がある）：
x 7→ f(x).
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▶ 写像 f : X −→ Y , A ⊂ Xに対し, 次の f(A) ⊂ Y を，f によるAの像と呼ぶ：
f(A)def= {f(x) ; x ∈ A}. (0.1)
また，B ⊂ Y に対し, 次の f−1(B) ⊂ Y を，f によるBの逆像と呼ぶ：
f−1(B)def= {x ∈ X ; f(x) ∈ B}. (0.2)
▶ f(X) = Y なら f は全射 であると言う (下記 (0.4)参照):
▶ 次が成立するとき，f は単射，または一対一であると言う:
x, x′ ∈ X, f(x) = f(x′) =⇒ x = x′.
▶ f が全射かつ単射なら f は全単射 であると言う (下記 (0.5)参照):
▶ f が単射, y ∈ f(X)なら y = f(x) をみたす x ∈ X が唯一存在する．このとき，
x = f−1(y)と記し, 次の写像を f の逆写像と呼ぶ.：
f−1 : f(X) −→ X (y 7→ f−1(y)).
▶ Zを集合, g : Y −→ Z を写像とする. 次の写像を f と gの合成と呼び, g ◦ f と記す：
g ◦ f : X −→ Z (x 7→ g(f(x))).
注 上記 f(A)の定義 (0.1)より，
y ∈ f(A) ⇐⇒ ∃x ∈ A, y = f(x). (0.3)
従って,
f が全射 ⇐⇒ ∀y ∈ Y, ∃x ∈ X, y = f(x), (0.4)
f が全単射 ⇐⇒ ∀y ∈ Y, ∃1x ∈ X, y = f(x). (0.5)
例 0.1.4 (a) X = {x1, x2, x3}, Y = {y1, y2},
f(x1) = y1, f(x2) = f(x3) = y2
と定めれば, f : X → Y は全射だが単射でない.
(b) X = {x1, x2}, Y = {y1, y2, y3},
f(x1) = y1, f(x2) = y2
と定めれば, f : X → Y は単射だが全射でない.
(c) X = {x1, x2, x3}, Y = {y1, y2, y3},
f(xj) = yj, j = 1, 2, 3
と定めれば, f : X → Y は全単射である. また, f の逆写像は:
f−1(yj) = xj, j = 1, 2, 3.
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定義 0.1.5 （直積）
▶ dを正整数, A1, ..., Adを集合とする. A1, ..., Adから, この順序で要素 aj ∈ Aj (j =
1, .., d) を取り出して並べたもの全体の集合:
A1 × · · · × Addef= {(aj)dj=1 ; aj ∈ Aj, j = 1, ..., d} (0.6)
をA1, ..., Adの直積と呼ぶ. 上記 aj を第 j座標あるいは第 j成分と呼ぶ. 特に Aj = A
(j = 1, ..., d)の場合の直積はAdとも書く:
Ad def= {(aj)dj=1 ; aj ∈ A, j = 1, ..., d}. (0.7)
定義 0.1.6 （同値関係・同値類）集合Aに対し, 2AをAの部分集合全体を要素とする
集合，C ⊂ 2Aとする．C が次の二条件をみたすとき，C を Aの非交差分解 と言う．
(i) C1 = C2 =⇒ C1 ∩ C2 = ∅, かつ (ii) A =∪
C∈C C. C を Aの非交差分解とし，
(a, b) ∈ A×Aに対し，あるC ∈ C が存在し a, b ∈ Cとなることを，記号 a ∼ bで表
すことにする．このとき，任意の a, b, c ∈ Aに対し，(i) a ∼ a, (ii) a ∼ b ⇐⇒ b ∼ a,
(iii) a ∼ b, b ∼ c =⇒ a ∼ c. 一般に，(a, b) ∈ Aに関する命題 a ∼ bが上の三条件をみ
たすとき，この命題は集合Aに同値関係 を定めると言う. 集合Aに同値関係 a ∼ bが
与えられたとき，各 a ∈ Aに対し次のCa ⊂ Aを，aを含む同値類 と言う．
Ca = {x ∈ A ; a ∼ x}.
容易に分かるように，(i) Ca = Cb =⇒ Ca ∩Cb = ∅, かつ (ii) A =∪
a∈A Ca．したがっ
て，Ca (a ∈ A)のうち相異なるもの全体はAの非交差分解を与える．
定義 0.1.7 ▶ 実数全体の集合を Rで表し, Rの部分集合 N, Z, Q を以下のように定める：
N = {0, 1, 2, ...}, (自然数全体)
Z = {a− b ; a, b ∈ N}, (整数全体)
Q = {a/b ; a ∈ Z, b ∈ N, b = 0}. (有理数全体)
注：自然数Nを {1, 2, ..}とする流儀もあるが，この講義では 0も含める．
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1 複素数
(2019 年 7 月 26 日更新)
1.1 複素数・複素平面
定義 1.1.1 （複素数）
▶ idef= (0, 1) ∈ R2とし，R2の元を z = (x, y)を,
z = x+ iy (1.1)
という記号で書くとき，これを複素数と呼び，複素数全体をCと記す．(1.1)のように
表示された z ∈ Cに対し，以下の記号・用語を定める：
Re zdef= x, Im z
def= y (zの実部 ・虚部), (1.2)
zdef= x− iy (zの共役), (1.3)
|z| def=
√x2 + y2, (zの長さ). (1.4)
▶ 集合：{x+ i0 ; x ∈ R}, {0 + iy ; y ∈ R}
をそれぞれ実軸, 虚軸 と呼ぶ. 実軸上の点 x+ i0と実数 xを同一視しR ⊂ Cと見做す.
これに伴い，x+ i0は xと記す．また，0 + iyは iyと書く.
▶ z1 = x1 + iy1, z2 = x2 + iy2 ∈ Cに対し, それらの加減乗除を以下のように定める：
z1 + z2def= (x1 + x2) + i(y1 + y2), z1 − z2
def= (x1 − x2) + i(y1 − y2), (1.5)
z1z2def= (x1x2 − y1y2) + i(x1y2 + y1x2),
z1z2
def=
z1z2|z2|2
, (1.6)
ただし z1z2は z2 = 0の場合に限り定義する．特に y1 = y2 = 0の場合，演算 (1.5)–(1.6)
は，実数 x1, x1に対する通常の加減乗除に他ならない．
③
❘�③
■✁③
注：複素数の長さ (1.4)，および加減法 (1.5)は平面R2において通常定義されるものを
そのまま受け継いでいる．したがって，平面R2に関する幾何学的性質をそのまま複素
数の性質として用いることができる．例えば，z, w ∈ Cに対し，z, w, z+wは三角形を
なすので，
|z + w| ≤ |z|+ |w|, (三角不等式) (1.7)
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特に，z ∈ C,およびRe z, Im zは zを斜辺とする直角三角形をなすので，
|Re z|| Im z|
}≤ |z| ≤ |Re z|+ | Im z|. (1.8)
定義 1.1.1はハミルトン の流儀に従った. 虚数単位を i と書くのはオイラー以来の伝統
である. この講義では添字などに使う iと紛れないように太字 iにした.� �命題 1.1.2 z, w ∈ Cに対し,
Re z =z + z
2, Im z =
z − z
2i, (1.9)
z + w = z + w, zw = z w, (1.10)
|zw| = |z||w|, (1.11)
また，z = 0なら,
1/z = 1/z, |1/z| = 1/|z|. (1.12)� �証明：単純計算なので省略する． \(∧2
∧)/
複素数の四則演算や絶対値の性質は，実数の場合の自然な拡張なので，複素数の場
合にも実数の場合と同様な等式・不等式が成り立つ例は多い．� �命題 1.1.3 z, w ∈ C, n = 1, 2, .. とするとき，
zn − wn = (z − w)n−1∑k=0
zkwn−1−k, (1.13)
(z + w)n =n∑
k=0
(nk
)zkwn−k. (1.14)
また，|z|, |w| ≤ rなら,
|zn − wn| ≤ nrn−1|z − w|. (1.15)� �証明： \(∧2
∧)/
Cの部分集合に対しても，有界性の概念が自然に定義される：� �命題 1.1.4 (有界性) A ⊂ Cに対し以下の命題は同値である：
(a) {Re z ; z ∈ A}, {Im z ; z ∈ A}が共に有界．
(b) {|z| ; z ∈ A}が有界．
(c) {|z − w| ; z, w ∈ A}が有界．
上記 (a)–(c)のいずれか（従って全て）が成立するときAは有界であると言う.� �証明：(a) ⇔ (b): (1.8)による．
(b) ⇒ (c): |x− w|(1.7)
≤ |x|+ |w|による．
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(b) ⇐ (c): M を {|z − w| ; z, w ∈ A}の上界とする．一点 a ∈ Aをひとつ固定すると
任意の z ∈ Aに対し，|z|(1.7)
≤ |z − a|+ |a| ≤M + |a| <∞. \(∧2∧)/
注：集合A ⊂ Cに対し, その直径を次のように定める：
diam(A)def= sup{|z − w| ; z, w ∈ A}. (1.16)
命題 1.1.4よりAが有界性と diam(A) <∞は同値である.
1.2 複素数列
数列とその収束の概念は次のような自然な形で複素数に一般化される：
定義 1.2.1 （複素数列の収束・有界性）
▶ NからCへの写像 n 7→ anを複素数列 と呼ぶ. 実数列の場合同様, 複素数列を次のよ
うに記す：
(an)∞n=0, (an)n≥0, あるいは単に an.
▶ a ∈ C, および複素数列 anに対し,
anは aに収束する def⇐⇒ limn→∞
|an − a| = 0.
またこのとき，実数列の場合と同様に次のように記す：
limn→∞
an = a, an −→ a, または ann→∞−→ a.
▶ 集合 {an ; n ∈ N}が有界なら点列 anは有界と言う.
注：複素数列を複素点列 と呼ぶこともある．複素数列，複素点列を単に「数列」，「点
列」と略して呼ぶこともある．また，anの定義域はN全体でなく,適当な n0 = 1, 2, ..
に対しN ∩ [n0,∞)を定義域とすることもある.
例 1.2.2 z ∈ C に対し |z| < 1 なら zn −→ 0. 実際, |zn| = |z|n −→ 0.
以後, a, b ∈ C, an, bn を複素数列とする.� �命題 1.2.3
an → a ⇐⇒ Re an → Re a かつ Im an → Im a ⇐⇒ an → a. (1.17)
anが有界 ⇐⇒ Re an, Im an が共に有界 (1.18)� �証明: (1.8)より,
|Re z|| Im z|
}≤ |z| ≤ |Re z|+ | Im z|.
上式で z = an − aとして (1.17), また，z = an − aとして (1.18)を得る． \(∧2∧)/
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� �系 1.2.4 (収束列は有界) 収束する複素数列列は有界である.� �証明：命題 1.2.3より,実数列の場合に帰着する． \(∧2
∧)/� �命題 1.2.5 (演算の連続性) an −→ a, bn −→ bとするとき,
an + bn −→ a+ b, anbn −→ ab.
特に bn = 0, b = 0 を仮定すると，
an/bn −→ a/b.� �証明: 実数値の証明をCの絶対値を用いて繰り返せばよい. \(∧2
∧)/
問 1.2.1 z ∈ C, n ∈ Nに対し, (1− z)∏n
j=1(1 + z2j−1
) = 1− z2n, 更に |z| < 1のとき,∏n
j=1(1 + z2j−1
)n→∞−→ 1/(1− z)を示せ.
問 1.2.2 a0, ..., am ∈ C (am = 0)とし，複素多項式 f(z) = a0+a1z+ ...+amzm (z ∈ C)
を考える．このとき，|zn| → ∞なら |f(zn)| → ∞を示せ．
1.3 関数の極限
定義 1.3.1 （関数の極限）A ⊂ D ⊂ C, f : D −→ C, a, ℓ ∈ Cとする．▶ 次の条件が成り立てば，f は点 aでAからの極限 ℓを持つと言う：
A内の点列 anに対し an → aなら f(an)→ ℓ.
また，このことを次のように記す：
limz→az∈A
f(z) = ℓ あるいは f(z)z→az∈A−→ ℓ.
特にA = Dなら f は点 a で極限 ℓを持つと言い, 次のように記す：
limz→a
f(z) = ℓ あるいは f(z)z→a−→ ℓ.
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� �命題 1.3.2 (演算の連続性) A ⊂ D ⊂ C, a, ℓ1, ℓ2 ∈ C,
fi : D −→ C, fi(z)z→az∈A−→ ℓi, (i = 1, 2)
とする.このとき，
f1(z) + f2(z)z→az∈A−→ ℓ1 + ℓ2 (1.19)
f1(z)f2(z)z→az∈A−→ ℓ1ℓ2 (1.20)
特に，ℓ1 = 0かつ全ての z ∈ Aに対し f1(z) = 0なら
1
f1(z)
z→az∈A−→ 1
ℓ1. (1.21)
� �証明: A 内の点列 anであり an → a なるものを任意にとる. このとき, 点列 fi(an),
f(an) を考えることにより, 示すべきことは点列に関する命題（命題 1.2.5）に帰着す
る. \(∧2∧)/� �
命題 1.3.3 (合成関数の極限) 記号は定義 1.3.1の通りとし，更に以下を仮定する：
(a) f(z)z→az∈A−→ ℓ
(b) g : f(D) −→ C, g(y) y→ℓ−→ ℓ′ ∈ C.
このとき,
g ◦ f(z)z→az∈A−→ ℓ′.� �
証明: A内の点列 anであり an → aなるものを任意にとる. このとき, 仮定 (a) より
f(an) −→ ℓ. 従って仮定 (b) より g ◦ f(an) −→ ℓ′. \(∧2∧)/
a ∈ C, r > 0に対し，
D(a, r)def= {z ∈ C ; |z − a| < r}, (1.22)
D(a, r)def= {z ∈ C ; |z − a| ≤ r}. (1.23)
D(a, r)を開円板, D(a, r)を閉円板, また，aを中心, rを半径と呼ぶ．
収束点列は有界だった (命題 1.2.3). 関数の極限の場合, これに対応するのが次の事
実である：� �命題 1.3.4 記号は定義 1.3.1の通り, f(z)
z→az∈A−→ ℓ ∈ Rk とする．このとき，ある δ > 0
が存在し，f はA ∩D(a, δ)の上で有界となる.� �証明：背理法による．結論を否定すると，任意の n = 1, 2, ..に対し, f はA∩D(a, 1/n)
上で非有界である．従って次のような点列 anが存在する：
an ∈ A, |a− an| < 1/n, |f(an)| ≥ n.
10
この an ∈ Aについて，an → aかつ f(an) −→ ℓ. これは仮定に反する． \(∧2∧)/
1.3節への補足：� �命題 1.3.5 （定義 1.3.1の言い換え）記号は定義 1.3.1の通りとするとき, 次の条件は同値である.
(a) f(z)z→az∈A−→ ℓ.
(b) 任意の ε > 0に対し, 次のような δ > 0が存在する：
z ∈ A ∩D(a, δ) =⇒ f(z) ∈ D(ℓ, ε).� �注: 上記 (b) は “ δ-ε 論法” と呼ばれる極限の定義である.
証明: (a) =⇒ (b): 対偶を示す. (b) を否定すると,
∃ε > 0, ∀δ > 0, Aδdef.= {z ∈ A ∩D(a, δ) ; f(z) ∈ D(ℓ, ε)} = ∅.
そこで an ∈ A1/n とすると an ∈ D(a, 1/n) より an → a. 一方, f(an) ∈ D(ℓ, ε) より
f(an) → ℓ. よって (a) が否定された.
(a) ⇐= (b): an ∈ A, an → a とする. ε > 0 を任意とし, これに対し (b) の δ > 0 を選
ぶ. an → a より, 有限個の n を除き an ∈ D(a, δ). すると (b) から, 有限個の n を除
き f(an) ∈ D(ℓ, ε). これは f(an) −→ ℓ を示す. \(∧2∧)/
1.4 関数の連続性
定義 1.4.1 (関数の連続性) D ⊂ C, f : D −→ Cとする.
▶ a ∈ Dに対し,
f(z)z→a−→ f(a). (1.24)
なら, f は点 aで連続であると言う.
▶ f が全ての a ∈ Dで連続なら f はD で連続という. 特に Dのとり方が了解ずみの場
合は, 単に連続とも言う.
▶ Dを定義域とする複素数値関数でD上連続なもの全体の集合を C(D), あるいはよ
り正確にC(D → Rk)と記す.
注：(1.24)は次のように言い換えることができる (定義 1.3.1 参照).
D内の点列 anに対し, an → aなら f(an)→ f(a).� �命題 1.4.2 a ∈ D ⊂ Cとする.
(a) fi : D → C (i = 1, 2)がともに aで連続なら, f1 + f2, f1f2も aで連続である．
(b) (合成関数の連続性) f : D −→ C,g : f(D) −→ Cとする. このとき, fが aで連続, かつ gが f(a)で連続なら g ◦ f は aで連続である．� �
11
証明: (a)は 命題 1.3.2, (b) は 命題 1.3.3 に帰着する. \(∧2∧)/
例 1.4.3 (有理式)
▶ n ∈ N, c ∈ C とする. 次の形に表せる関数 f : C −→ Cを単項式と呼ぶ：
f(z) = czn.
更に, 単項式の有限和で表される関数を多項式と呼ぶ.
▶ 多項式 f, gに対しD = {z ∈ C ; g(z) = 0}を定義域とする関数:
h(z) = f(z)/g(z)
を有理式と呼ぶ. このとき, h ∈ C(D → C).
証明: 命題 1.4.2(a)を繰り返し用いることにより,多項式,有理式の連続性を得る. \(∧2∧)/
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2 級数
(2019 年 7 月 26 日更新)
2.1 定義と基本的性質
定義 2.1.1 an ∈ C (n ∈ N)とする.
▶ 次の形の数列 snを, anを一般項とする級数, あるいは anの部分和と呼ぶ：
sn =n∑
j=0
aj. (2.1)
snを∑
anとも記す．
▶ (2.1)に対し次の極限が存在すれば sを級数の和と呼ぶ：
s = limn→∞
sn. (2.2)
また，sを次のように記す：∞∑n=0
an,∞∑0
an. (2.3)
snが収束するとき，級数∑
anは収束すると言う．一方 anが実数値かつ snが発散する
とき，級数∑
anは発散すると言う.
注 1：「級数」は本来数列 (2.1)の呼び名であり，その極限 (2.3)と区別すべきだが，級
数自体が記号 (2.3)で表されることも多い．
注 2：数列 anに対し, anを一般項とする級数も数列である. 一方, 任意の数列 anは
an = a0 +∑n
j=1(aj − aj−1) と書くことで, 級数として表示される. この意味では, 「数
列 」と「級数」は同じものに対する別の見方とも言える.� �命題 2.1.2 (収束級数の必要条件) 級数 (2.1)の収束を仮定する. このとき,
pn ∈ N, qn ∈ N ∪ {∞}, pn ≤ qn, n = 0, 1, 2, ..., pn −→∞
なら,qn∑
j=pn
ajn→∞−→ 0. (2.4)
特に, pn = qn = n, 及び pn = n, qn ≡ ∞ の場合の (2.4)より，
an −→ 0,∞∑j=n
ajn→∞−→ 0. (2.5)
� �証明：n =∞の場合も含め sn =
∑nj=0 ajと書くと，spn−1 −→ s∞, sqn −→ s∞より,
qn∑j=pn
aj = sqn − spn−1 −→ s∞ − s∞ = 0.
\(∧2∧)/
13
例 2.1.3 (指数級数) z ∈ Cに対し,
∞∑n=0
znは
|z| < 1なら収束し=1
1− z,
|z| ≥ 1なら収束しない.(2.6)
証明：
1− zn(1.13)= (1− z)
n−1∑j=0
zj.
|z| < 1のとき，上式と zn → 0 （例 1.2.2）より結論を得る. |z| ≥ 1のとき，|zn| =|z|n ≥ 1. よって命題 2.1.2の条件が満たされず，収束しない． \(∧2
∧)/
命題 2.1.5以降に進む準備として，実数列に関する基本的定理を引用する．� �定理 2.1.4 (単調列定理)
単調な実数列 anに対しmdef= lim
n→∞anが存在する．更に,
(a) anが↗なら,
任意の n ∈ Nに対し an ≤ m, (2.7)
m <∞ ⇐⇒ anが上に有界. (2.8)
(b) anが↘なら,
任意の n ∈ Nに対しm ≤ an, (2.9)
m > −∞ ⇐⇒ anが下に有界 (2.10)� �級数のうち，一般項が非負のもの（非負項級数）は基本的である．この場合は，単調
列定理 (定理 2.1.4) より∞を許す極限は常に存在する．� �命題 2.1.5 (非負項級数の収束と有界性は同値) 級数 (2.1)において an ≥ 0なら極限 (2.2)が存在し，s ∈ [0,∞]. 更に以下の命題は同値である：
(a) snが有界.
(b) s <∞, つまり∑
anが収束する.� �証明：数列 snは↗なので単調列定理 (定理 2.1.4)より極限 sを持つ．(a)–(b)の同値性
も定理 2.1.4による． \(∧2∧)/
14
� �命題 2.1.6 (級数が持ついくつかの性質) 複素数列 an, bnに対し次の級数の収束を仮定する：
A =∞∑n=0
an, B =∞∑n=0
bn.
このとき，
c1, c2 ∈ Cに対し∞∑n=0
(c1an + c2bn)が収束し= c1A+ c2B (線形性), (2.11)
∞∑n=0
anが収束し= A, (2.12)
|A| ≤∞∑n=0
|an|, (三角不等式), (2.13)
an, bn ∈ R, an ≤ bn (∀n ∈ N), an ≡ bn ⇒ A < B, (強単調性). (2.14)� �注： 命題 2.1.5より (2.13)右辺の級数の和は存在し，[0,∞]に値をとる．
証明：(2.11)–(2.13):有限和に対し，
N∑n=0
(c1an + c2bn) = c1
N∑n=0
an + c2
N∑n=0
bn,N∑
n=0
an =N∑
n=0
an,
∣∣∣∣∣N∑
n=0
an
∣∣∣∣∣ ≤N∑
n=0
|an|.
N ↗ ∞ の極限をとると, 極限が順序を保つことと演算の連続性（命題 1.2.5）から結
論を得る.
(2.14): 仮定より am < bmをみたすm ∈ Nが存在し，
B − A =∞∑n=0
(bn − an) ≥ bm − am > 0.
\(∧2∧)/� �
系 2.1.7 複素数列 anに対し,
∞∑0
anが収束 ⇐⇒∞∑0
Re an,∞∑0
Im anが共に収束 (2.15)
=⇒∞∑0
an =∞∑0
Re an + i∞∑0
Im an. (2.16)
� �証明：(2.15):
(1) an = Re an + i Im an, an = Re an − i Im an.
また命題 1.1.2より,
(2) Re an =an + an
2, Im an =
an − an2i
.
15
従って，∞∑0
anが収束(2.12)⇐⇒
∞∑0
an,∞∑0
anが収束(1)–(2), (2.11)⇐⇒
∞∑0
Re an,∞∑0
Im anが収束.
(2.16)：(1)と (2.11)による． \(∧2∧)/� �
命題 2.1.8 (非負項級数の収束判定) m ∈ N, an, bn ≥ 0とする. 以下の各場合,∑∞0 anは収束する.
(a) (指数級数との比較) r ∈ [0, 1), an+1 ≤ ran (n ≥ m).
(b) (階差級数との比較) an ≤ bn − bn+1 (n ≥ m).� �証明：非負項級数の収束と有界性は同値（命題 2.1.5）なので，sn
def=∑n
j=0 ajの有界性
を言えばよい．
(a)：仮定より j ≥ mに対し, aj ≤ raj−1 ≤ ... ≤ rj−mam. よって n ≥ mなら,
sn = sm−1 +n∑
j=m
aj ≤ sm−1 + am
n∑j=m
rj−m(2.6)
≤ sm−1 +am1− r
.
上式から snは有界である.
(b): 仮定より j ≥ mなら, aj ≤ bj − bj+1. よって n ≥ mなら,
sn = sm−1 +n∑
j=m
aj ≤ sm−1 +n∑
j=m
(bj − bj+1)︸ ︷︷ ︸=bm−bn+1
≤ sm−1 + bm.
上式から snは有界である. \(∧2∧)/
例 2.1.9∞∑n=1
1
np
{=∞, p = 1,
<∞, p = 2, 3, ...
証明：p = 1のとき：sndef=∑n
j=11jは非負項級数だから，収束するか，さもなくば+∞
に発散する（命題 2.1.5）．一方，
s2n − sn =2n∑
j=n+1
1
j≥
2n∑j=n+1
1
2n= n · 1
2n= 1
2.
故に snは収束級数の必要条件（命題 2.1.2）を満たさず，収束しない．従って発散する.
p ≥ 2のとき：n+ 1 ≤ 2nより,
1
n− 1
n+ 1=
1
n(n+ 1)≥ 1
2n2≥ 1
2np.
従って階差級数との比較 (命題 2.1.8)より結論を得る． \(∧2∧)/
問 2.1.1 数列 an, bn ∈ Cが anbn → 0をみたし，級数：s =∑∞
n=1 an(bn − bn−1), t =∑∞n=1(an−an+1)bnの一方が収束するとする．このとき，s, tは共に収束し，a1b0+s = t
をみたすことを示せ．
16
2.2 絶対収束・条件収束
定義 2.2.1 (絶対収束・条件収束) 級数∑∞
0 an を考える．
▶∞∑0
|an| <∞ なら∞∑0
anは絶対収束するという. 次に述べる命題 2.2.2より, 絶対収
束する級数は収束する.
▶∞∑0
anが収束し, かつ∞∑0
|an| =∞ なら∞∑0
an は条件収束 すると言う．
� �命題 2.2.2 (絶対収束⇒収束) m ∈ N, an ∈ C, bn ≥ 0とする．
(a) |an| ≤ bn (n ≥ m),∞∑0
bn <∞ =⇒∞∑0
an,∞∑0
|an| はともに収束する．
(b)∞∑0
|an| <∞ =⇒∞∑0
anが収束.
� �証明：(a) (i) anが実数値の場合: a±n
def= (|an| ± an)/2 ≥ 0に対し，
n∑j=m
a±j ≤n∑
j=m
|aj| ≤n∑
j=m
|bj| ≤∞∑
j=m
|bj| <∞.
従って,n∑
j=0
a±j =m−1∑j=0
a±j +n∑
j=m
a±j
は有界である．非負項級数の収束と有界性は同値 (命題 2.1.5)だから，
(1)∞∑0
a±n は収束する．
また，
(2) an = a+n − a−n , |an| = a+n + a−n .
(1)–(2)と命題 2.1.6より∑∞
0 an,∑∞
0 |an|は収束する．(ii) anが複素数値の場合: Re an, Im an, |an|は実数値,
|Re an|| Im an|
}≤ |an| ≤ bn.
以上と (i)より∞∑0
Re an,∞∑0
Im an
∞∑0
|an|
が収束する．これと系 2.1.7より∑∞
0 an,∑∞
0 |an|はともに収束する．(b): (a) の特別な場合 (bn = |an|)である. \(∧2
∧)/
17
2.3 べき級数
an ∈ C (n ∈ N), z ∈ Cに対し次の形の級数をべき級数と言う：
f(z) =∞∑n=0
anzn. (2.17)
指数関数をはじめとする初等関数は，べき級数で書き表せる. 従って，べき級数の性質
を理解することは，初等関数を理解する上でも有用である．� �命題 2.3.1 （べき級数の収束判定) r ∈ (0,∞]とする．次が成立すれば，べき級数(2.17) は |z| < rの範囲で絶対収束する：
|an+1||an|
n→∞−→ 1
r. (2.18)
� �証明： bn = |anzn|に対し
∑∞0 bn <∞ならよい (命題 2.2.2). |z|
r< 1より |z|
r< ρ < 1を
満たす ρをとれる．このとき,
bn+1
bn=|an+1||z||an|
n→∞−→ |z|r
< ρ.
ゆえに有限個の nを除き, bn+1/bn < ρ. よって指数級数との比較（命題 2.1.8)より結論
を得る. \(∧2∧)/
例 2.3.2 以下の an, rに対し (2.18)が成立する：
(a) p ∈ Z, an = np, r = 1.
(b) an = 1n!, r =∞.
証明：(a):
∣∣∣∣an+1
an
∣∣∣∣ = (n+ 1
n
)pn→∞−→ 1 =
1
1.
(b):
∣∣∣∣an+1
an
∣∣∣∣ = 1
n+ 1
n→∞−→ 0 =1
∞. \(∧2
∧)/
� �命題 2.3.3 (べき級数の連続性 I) 0 < r <∞, an ∈ Cに対し次を仮定する：
∞∑n=0
|an|rn <∞.
このとき，(2.17)のべき級数 f(z)は |z| ≤ rの範囲で絶対収束し，かつこの範囲のzについて連続である．� �証明 3：|z| ≤ rとする．|anzn| ≤ |an|rnより，べき級数 (2.17)は絶対収束する．また，
f の連続性を示すために次に注意する：fN(z) =∑N
n=0 anzn, δN =
∑∞n=N+1 |an|rnとす
るとき，
|f(z)− fN(z)| =
∣∣∣∣∣∞∑
n=N+1
anzn
∣∣∣∣∣ (2.13)≤ δNN→∞−→ 0. (2.19)
3一様収束に関する一般論を用いてもよいが，ここでは初等的に示す．
18
(δNN→∞−→ 0は仮定と命題 2.1.2による）. 次に，gN(z) = f(z) − fN(z), また zm → z,
|z|, |zm| ≤ rとする．このとき，f(z) = fN(z) + gN(z), |gN(z)| ≤ δN (|z| ≤ r)より，
(1)
{|f(z)− f(zm)| ≤ |fN(z)− fN(zm)|+ |gN(z)− gN(zm)|
≤ |fN(z)− fN(zm)|+ 2δN .
今，ε > 0を任意とする．δN → 0より，δN < ε/4なるN をとれる．このN に対し fN
は多項式, したがって連続である．ゆえに，
(2) ∃m0 ∈ N, ∀m ≥ m0, |fN(z)− fN(zm)| < ε/2.
以上から，m ≥ m0なら，
|f(z)− f(zm)|(1),(2)
≤ ε/2 + 2 · ε/4 = ε.
したがって，|f(z)− f(zm)|m→∞−→ 0. \(∧2
∧)/� �系 2.3.4 0 < r0 ≤ ∞に対し，べき級数 (2.17)が |z| < r0の範囲で絶対収束するなら，f(z)は |z| < r0の範囲で連続である．� �証明：任意の r < r0に対し，f(z)が |z| ≤ rの範囲で連続なら十分である．ところが，
f(z)は |z| ≤ rの範囲で絶対収束するので，命題 2.3.3より結論を得る． \(∧2∧)/
べき級数 (2.17)が必ずしも絶対収束しない場合でも，f(x)が収束し, 連続となる場
合がある．例えば次の命題は幾つかの初等関数のべき級数展開に適用できる（例 4.4.4,
例 4.4.6）．� �命題 2.3.5 (⋆)(べき級数の連続性 II) anは非負↘数列で，an −→ 0とする．このとき，(2.17)のべき級数 f(z)は |z| ≤ 1, z = 1の範囲で収束し，かつこの範囲の z
について連続である．� �証明：ε > 0を任意とし，f(z)が |z| ≤ 1かつ |z− 1| ≥ εの範囲で収束し，この範囲の z
について連続であることを言えばよい．そこで以下，zはこの範囲とする．このとき，
(1) gn(z)def= 1 + z + ...+ zn = 1−zn+1
1−zに対し |gn(z)| ≤ 2
ε.
よって，N ≥ 0に対し，
(2)∞∑
n=N+1
(an − an+1)|gn(z)|(1)
≤ 2
ε
∞∑n=N+1
(an − an+1) ≤2aN+1
ε.
さらに，zn = gn(z)− gn−1(z)に注意すると，M > N に対し，
(3)
M∑n=N+1
anzn =
M∑n=N+1
angn(z)−M∑
n=N+1
angn−1(z)
= aMgM(z) +M−1∑
n=N+1
(an − an+1)gn(z)− aN+1gN(z).
19
(2)と命題 2.2.2より，(3)の最右辺第二項はM →∞で収束する．そこで，(3)でM →∞とすると，
(4)∞∑
n=N+1
anzn =
∞∑n=N+1
(an − an+1)gn(z)− aN+1gN(z).
特に，f(z)の収束を得る．また，∣∣∣∣∣f(z)−N∑
n=0
anzn
∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣∞∑
n=N+1
anzn
∣∣∣∣∣(4)
≤∞∑
n=N+1
(an − an+1)|gn(z)|+ aN+1|gN(z)|
(1), (2)
≤ 4aN+1
ε
N→∞−→ 0. (2.20)
命題 2.3.3の証明で (2.19)を用い，f(z)の連続性を示したが，ここでも全く同様に，
(2.20)から f(z)の連続性を得る． \(∧2∧)/� �
命題 2.3.6 (係数の一意性) べき級数 (2.17)が |z| < r (0 < r ≤ ∞) の範囲で絶対収束するとする．このとき，
(a) |z| < rの範囲で f(z) = 0なら，an ≡ 0 (n ∈ N).
(b) より一般に，次の条件をみたす点列 zm ∈ Cが存在するなら，an ≡ 0 (n ∈ N)：
0 < |zm| < r, f(zm) = 0 (m ∈ N), zmm→∞−→ 0. (2.21)� �
証明: (b)を示せば十分．f(z) は |z| < rの範囲で連続（系 2.3.4）だから,
a0 = f(0) = limm→∞
f(zm) = 0.
従って，
f(z) = zf1(z), ただし f1(z) =∞∑n=0
an+1zn = a1 + a2z + ....
f1(z)が |z| < rの範囲で絶対収束することは容易に分かる．ゆえに f1(z) は |z| < rの
範囲で連続である（系 2.3.4）．また，zm = 0より,
f1(zm) =f(zm)
zm= 0, ∀m ∈ N.
従って,
a1 = f1(0) = limm→∞
f1(zm) = 0.
以下，同様にこの手順を繰り返し an = 0 (n = 2, 3, ...)を得る． \(∧2∧)/
20
� �命題 2.3.7 (べき級数の偶部・奇部・共役) べき級数 (2.17)について，
(a) f(±z) が共に収束するとき,
f(z) + f(−z)2
=∞∑n=0
a2nz2n,
f(z)− f(−z)2
=∞∑n=0
a2n+1z2n+1. (2.22)
(b) anが実数列かつ, f(z)が収束するとき, f(z)も収束し, f(z) = f(z).� �証明: (a):
f(z) + f(−z) (2.11)=
∞∑0
an(1 + (−1)n)zn = 2∞∑0
a2nz2n.
となり, (2.22)の一方を得る. 他方も同様である.
(b):命題 2.1.6, (2.12) による. \(∧2∧)/
問 2.3.1 べき級数 (2.17)に対し以下を示せ．(i) z ∈ C, 0 ≤ r < |z|, かつ f(z)が収束す
るなら，∑∞
n=0 |an|rn < ∞．(ii) (⋆) z ∈ C, r0def= sup{r ≥ 0 ;
∑∞n=0 |an|rn < ∞} に対
し，|z| < r0なら f(z)は絶対収束し，|z| > r0なら f(z)は収束しない．この r0を f(z)
の収束半径 と呼ぶ．
問 2.3.2 べき級数 (2.17)が |z| < r (0 < r ≤ ∞)の範囲で絶対収束するとき，以下を
示せ：(i) f が偶関数 ⇔ a2n+1 = 0 (n ∈ N). (ii) f が奇関数 ⇔ a2n = 0 (n ∈ N).
問 2.3.3 (⋆) (2.17)のべき級数 f(z)に対し f(1)の収束を仮定する. 以下を示せ：(i)
f(z)は |z| < 1の範囲で絶対収束し，この範囲で連続である．(ii) fN(z) =∑N
n=0 anzn
(N ≥ 1)とすると，
|f(z)− fN(z)| ≤ 2 supn≥N|f(1)− fn(1)|, z ∈ [0, 1]. (2.23)
[ヒント：命題 2.3.5の証明では zn = gn(z)−gn−1(z)に着目した．ここではan = (fn(1)−f(1))− (fn−1(1)− f(1))に着目する．] (iii) f ∈ C([0, 1]) (アーベルの定理) .
21
3 初等関数
(2019 年 7 月 26 日更新)
3.1 指数・対数関数� �命題 3.1.1 (指数関数) 次の級数は，全ての z ∈ Cに対し絶対収束する：
exp zdef=
∞∑n=0
zn
n!. (3.1)
また，次の関数は連続である：
z 7→ exp z (C −→ C). (3.2)
関数 (3.2) を指数関数と呼ぶ.� �証明：例 2.3.2より級数 (3.1)は全ての z ∈ Cに対し絶対収束する．従って系 2.3.4より
関数 (3.2)は連続である． \(∧2∧)/
注：z ∈ Rなら，(3.1)は実変数の指数関数に対するテイラー展開に他ならない．した
がって，実変数の指数関数は，(3.1)により定まる複素変数の指数関数の特別な場合で
ある．
指数関数をより詳しく調べるために，絶対収束級数に関する一般論を準備する．こ
の一般論は指数法則 (命題 3.1.3)の証明に応用される：� �命題 3.1.2 (級数の積) an, bn ∈ C, cn
def=∑n
j=0 ajbn−jに対し以下の級数を考える:
A =∞∑0
an, B =∞∑0
bn, C =∞∑0
cn
このとき，A,Bがともに絶対収束すればCも絶対収束し，C = ABが成立する．� �命題 3.1.2の証明は本節末の補足で述べる．
次に指数関数の主な性質を述べる.中でも指数法則が基本的役割を果たす．� �命題 3.1.3 (指数関数の性質 I) z, w ∈ Cに対し,
exp(z + w) = exp z expw (指数法則), (3.3)
exp z = exp z, (3.4)
exp z = 0 (3.5)
| exp z| = exp(Re z). (3.6)� �証明：(3.3): an = zn
n!, bn = wn
n!とすると，
22
(1) cndef=
n∑j=0
ajbn−j =1
n!
n∑j=0
n!
j!(n− j)!zjwn−j (1.14)
=1
n!(z + w)n.
従って,
exp(z + w)(1)=
∞∑0
cn命題 3.1.2
=∞∑0
an
∞∑0
bn(3.1)= exp z expw.
(3.4):命題 2.3.7(b)を (3.1)に適用.
(3.5):z ∈ Cに対し,
1(3.1)= exp 0
(3.3)= exp(−z) exp z, よって exp z = 0.
(3.6):
| exp z|2 = exp z exp z(3.4)= exp z exp z
(3.3)= exp (z + z) = exp(2Re z)
(3.3)= (exp(Re z))2 .
また，Re z ∈ Rより exp(Re z) > 0. これと上式より (3.6)を得る． \(∧2∧)/
補足：(⋆)命題 3.1.2の証明: jn = ⌊n2⌋, kn = n− jnと定めると jn →∞, kn →∞.
δndef=
n∑ℓ=0
cℓ −jn∑j=0
aj
kn∑k=0
bk =∑j,k≥0j+k≤n
ajbk −jn∑j=0
aj
kn∑k=0
bk︸ ︷︷ ︸(1)
とし，δn → 0 を言う．j + k ≤ n をみたす j, k ≥ 0 を次のように三分割する：
(1)
(3)
(2)
jn
kn
j
k (1) j ≤ jn, k ≤ kn,
(2) jn < j,
(3) j ≤ jn, kn < k.
このとき，
δn =n∑
j=jn+1
aj
n−j∑k=0
bk︸ ︷︷ ︸(2)
+
jn∑j=0
aj
n−j∑k=kn+1
bk︸ ︷︷ ︸(3)
.
上式で，
|(2)| ≤n∑
j=jn+1
|aj|n−j∑k=0
|bk| ≤n∑
j=jn+1
|aj|∞∑k=0
|bk|命題 2.1.2−→ 0,
|(3)| ≤jn∑j=0
|aj|n−j∑
k=kn+1
|bk| ≤∞∑j=0
|aj|n∑
k=kn+1
|bk|命題 2.1.2−→ 0.
以上より δn → 0．したがって，
23
(4) Cが収束し，C = AB.
今，an, bnのかわりに |an|, |bn|に対し (4)を適用すると,
∞∑n=0
(n∑
j=0
|aj||bn−j|
)=
(∞∑n=0
|an|
)(∞∑n=0
|bn|
)<∞.
|cn| ≤∑n
j=0 |aj||bn−j|と上式からCの絶対収束を得る． \(∧2∧)/
3.2 双曲・三角関数� �命題 3.2.1 (双曲関数) z ∈ C に対し,
ch zdef=
exp(z) + exp(−z)2
(双曲余弦) ,
sh zdef=
exp(z)− exp(−z)2
(双曲正弦) .(3.7)
このとき，ch : C → Cは偶関数, sh : C → Cは奇関数で共に連続である．また，z, w ∈ Cに対し,
ch z =∞∑0
z2n
(2n)!, sh z =
∞∑0
z2n+1
(2n+ 1)!(べき級数表示) (3.8)
ch (z + w) = ch z ch w + sh z sh w,
sh (z + w) = ch z sh w + ch w sh z.(加法定理) (3.9)
� �証明：(3.7)より，ch , sh は，それぞれ偶関数，奇関数である．それらの連続性は exp :
C→ Cの連続性 (命題 3.1.1)による．
(3.8): 命題 2.3.7と (3.1)による.
(3.9): 指数関数の指数法則を用い，容易に示せる． \(∧2∧)/
注 (3.9)第一式でw = −zとすると，
ch 2z − sh 2z = 1, z ∈ C. (3.10)
ch , sh はそれぞれ cosine hyperbolic, sine hyperbolic の略で，cosh, sinhと書くことも
ある．
24
� �命題 3.2.2 (三角関数) z ∈ C に対し,
cos zdef= ch (iz) =
exp(iz) + exp(−iz)2
(余弦),
sin zdef= sh (iz)/i =
exp(iz)− exp(−iz)2i
(正弦).(3.11)
cos : C → Cは偶関数, sin : C → Cは奇関数で共に連続である．また z, w ∈ Cに対し，
cos z =∞∑0
(iz)2n
(2n)!=
∞∑0
(−1)nz2n
(2n)!,
sin z =1
i
∞∑0
(iz)2n+1
(2n+ 1)!=
∞∑0
(−1)nz2n+1
(2n+ 1)!.
(べき級数表示) (3.12)
cos(z + w) = cos z cosw − sin z sinw,
sin(z + w) = cos z sinw + cosw sin z.(加法定理) (3.13)
� �証明： 定義から, 双曲関数に対する結果に帰着する. \(∧2
∧)/
注：z ∈ Rなら，(3.12)は実変数の三角関数に対するテイラー展開に他ならない．した
がって，実変数の三角関数は，(3.1)により定まる複素変数の三角関数の特別な場合で
ある．なお，(3.12)のうち，cosの (sinの)べき級数は，expのべき級数の偶数項 (奇数
項)のみを取り出して，符号を+,−,+,−...と変えたものである．(3.11)から,
exp iz = cos z + i sin z (オイラーの等式). (3.14)
また，(3.13)第一式でw = −zとすると，
cos2 z + sin2 z = 1, z ∈ C. (3.15)
� �命題 3.2.3 z, w ∈ Cに対し,
exp z = expw ⇐⇒ z − w ∈ 2πiZ.� �証明：exp z = expw
(3.3)⇐⇒ exp(z − w) = 1. そこで, z − wを改めて zと書くことによ
りw = 0の場合に帰着する. 以下，x = Re z, y = Im zとする．
=⇒: exp z = 1なら expx(3.6)= | exp z| = 1,よってx = 0. また cos y
(3.14)= Re(exp(iy))
x=0=
Re(exp z) = 1. よって y ∈ 2πZ. 以上より z = x+ iy = iy ∈ 2πiZ.⇐=：z = 2πin (n ∈ Z)なら，
exp z = exp(2πin)(3.14)= cos(2πn) + i sin(2πn) = 1.
\(∧2∧)/
次の系は，例えば正接・双曲正接の定義（定義 3.2.8）にも必要である：
25
� �系 3.2.4 (双曲・三角関数の零点) z ∈ C に対し,
ch z = 0 ⇐⇒ z ∈ πi
2+ πiZ,
cos z = 0 ⇐⇒ z ∈ π
2+ πZ,
sh z = 0 ⇐⇒ z ∈ πiZ,sin z = 0 ⇐⇒ z ∈ πZ.� �
証明：ch zについては次のようにして分かる：
ch z = 0 ⇐⇒ exp z + exp(−z) = 0 ⇐⇒ exp(2z) = −1⇐⇒ exp(2z) = exp(iπ)
命題 3.2.3⇐⇒ 2z ∈ πi+ 2πiZ.
cos z については，cos z = ch (iz)より，ch z に帰着する．sh z, sin z も同様である．
\(∧2∧)/
我々は正弦・余弦関数を, 指数関数を用いて解析的に定義した（命題 3.2.2）. 一方,
正弦・余弦関数の幾何学的意味は, 単位円周上の点の座標を, 座標軸との角度 (=弧長)
を変数とした関数として表すことである. 次の命題により，解析的定義と幾何学的意味
づけが融合される：� �命題 3.2.5 (円周の径数づけ) T = {z ∈ C ; |z| = 1}, c ∈ Rとするとき，次の写像は全単射である：
θ 7→ exp(iθ) : [c− π, c+ π) −→ T. (3.16)� �証明：
(1) (3.16)は単射である．
c−π ≤ θ ≤ θ′ < c+π, exp(iθ) = exp(iθ′)と仮定すると，命題 3.2.3より，θ′−θ ∈ 2πZ.ところが 0 ≤ θ′ − θ < 2πより θ′ − θ = 0, すなわち θ = θ′.
(2) θ 7→ cos θ : [0, π] 7→ [−1, 1]は全射である．
cos 0 = 1, cos π = −1. よって cosの連続性 (命題 3.2.2)と中間値定理より結論を得る．
(3) c = 0に対し (3.16)は全射である．
exp(iπ) = −1 = exp(−iπ). 従って c = 0に対し (3.16)の定義域 [−π, π)を [−π, π]に拡げても値域は変わらないので，拡げて考える．z ∈ Tを任意，u = Re z, v = Im zとす
る．u ∈ [−1, 1]と (2)より u = cos θなる θ ∈ [0, π]が存在し，
|v| =√1− u2 =
√1− cos2 θ = | sin θ|.
したがって±v sin θ ≥ 0なら，v = ± sin θ (複号同順), ゆえに,
z = u+ iv = cos θ ± i sin θ = exp(±iθ).
±θ ∈ [−π, π]より，所期の全射性を得る．
26
(4) (3.16)は全射である．
{exp(iθ) ; θ ∈ [−π, π)} (3)= T. また，明らかに {exp(ic)z ; z ∈ T} = T. よって
{exp(iθ) ; x ∈ [c− π, c+ π)} = {exp(ic) exp(iθ) ; x ∈ [−π, π)}
= {exp(ic)z ; z ∈ T} = T.
\(∧2∧)/� �
系 3.2.6 (平面極座標) c ∈ Rとするとき，次の写像は全単射である：
(r, θ) 7→ r exp(iθ) : (0,∞)× [c− π, c+ π) −→ C\{0}.� �証明: この写像を f と書く．z ∈ C\{0}を任意, r = |z|とするとき，z
r∈ T. ゆえに命題
3.2.5より，zr= exp(iθ), すなわち z = r exp(iθ)をみたす θ ∈ [c− π, c+ π)が存在する．
従って f は全射である．一方，(r, θ) ∈ (0,∞) × [c − π, c + π), r exp(iθ) = zなら，両
辺の絶対値をとり，r = |z|. また，両辺を rで割ると exp(iθ) = z/|z|となり，これをみたす θ ∈ [c− π, c+ π)は唯一である (命題 3.2.5). 従って f は単射である． \(∧2
∧)/� �系 3.2.7 (1のべき根) m ∈ N\{0}に対し，
{w ∈ C ; wm = 1} = {exp(2πki/m) ; k = 0, 1, ...,m− 1}� �証明: ⊃は明らかなので⊂を示す．w ∈ C, wm = 1とする．系 3.2.6よりw = r exp(iθ)
をみたす (r, θ) ∈ (0,∞)× [0, 2π)が唯一存在する．
1) rm exp(imθ) = wm = 1
1) 両辺の絶対値をとると，rm = 1. ゆえに r = 1. これと 1)より exp(imθ) = 1. した
がって命題 3.2.3よりmθ ∈ 2πZ. 更に θ ∈ [0, 2π)より θ = 2k/m, (k = 0, 1, ...,m− 1).
以上より，w = exp(2πki/m) (k = 0, 1, ...,m− 1). \(∧2∧)/
定義 3.2.8 (正接・双曲正接)
▶ z ∈ C\(π2+ πZ
)に対し,
tan zdef=
sin z
cos z(正接) (3.17)
(上の zに対し系 3.2.4より cos z = 0).
▶ z ∈ C\(πi2+ πiZ
)に対し,
th zdef=
sh z
ch z(双曲正接) (3.18)
(上の zに対し系 3.2.4より ch z = 0).
注 z ∈ Rなら，(3.17)は実変数の正接の定義と一致する．したがって，実変数の正接
は，(3.17)により定まる複素変数の正接の特別な場合である．同様に，実変数の双曲正
接は，(3.17)により定まる複素変数の双曲正接の特別な場合である．
27
問 3.2.1 ρ, z ∈ Cは (1 − ρ exp(iz))(1 − ρ exp(−iz)) = 1 − 2ρ cos z + ρ2 = 0 をみたす
とする．以下を示せ：
n∑k=0
ρk cos kz =1− ρ cos z + ρn+1(ρ cosnz − cos(n+ 1)z)
1− 2ρ cos z + ρ2, (3.19)
n∑k=0
ρk sin kz =ρ sin z + ρn+1(ρ sinnx− sin(n+ 1)z)
1− 2ρ cos z + ρ2. (3.20)
特に |ρ| exp(| Im z|) < 1なら，
∞∑k=0
ρk cos kz =1− ρ cos z
1− 2ρ cos z + ρ2,
∞∑k=0
ρk sin kz =ρ sin z
1− 2ρ cos z + ρ2. (3.21)
問 3.2.2 m ∈ N\{0}, w = exp(2πi/m)とする. 以下を示せ：
(i) n ∈ Nに対し，m−1∑j=0
wnj =
{m, n ∈ mN,0, n ∈ mN.
(ii) べき級数 f(z) =∞∑n=0
anznについて，
ある z ∈ Cに対し, f(wjz) (j = 0, 1, ..,m− 1)が全て収束するとき，∞∑n=0
amnzmnも収束
し，1
m
m−1∑j=0
f(wjz)に等しい.
問 3.2.3 (正接の加法定理) z, w ∈ C\(π2+ πZ)に対し以下を示せ．(i) tan z tanw =
1 ⇐⇒ z + w ∈ π2+ πZ. (ii) z + w ∈ π
2+ πZ なら tan(z + w) =
tan z + tanw
1− tan z tanw.
3.3 偏角・対数の主値
定義 3.3.1 (偏角の主値)
▶ 全単射：(r, θ) 7→ r exp(iθ) ((0,∞)× (−π, π] −→ C\{0}) (3.22)
の逆写像を次のように記す．
z 7→ (|z|,Arg z) (C\{0} −→ (0,∞)× (−π, π])
z ∈ C\{0}に対し，上のArg z ∈ (−π, π]を偏角の主値と呼ぶ．
③
❆�✁③
28
注 1)z ∈ C\{0}に対し，Arg zは zが正の実軸となす角を (−π, π]の範囲で表す実数である． また，Arg zの定義より，
z = |z| exp(iArg z). (3.23)
2) (3.22)で，変数 θの範囲を I0 = (−π, π]から In = ((2n − 1)π, (2n + 1)π] (n ∈ Z)に置き換えた写像も全単射であり，逆写像は次のように与えられる．
z 7→ (|z|,Arg z + 2nπ) (C\{0} −→ (0,∞)× In)� �命題 3.3.2 (偏角の加法定理) z ∈ C\{0}に対し，
Arg1
z=
{−Arg z, z ∈ C\(−∞, 0)なら,
π, z ∈ (−∞, 0)なら.(3.24)
また，区間 (−2π,−π], (−π, π], (π, 2π]を順にJ−1, J0, J1と書くとき，z, w ∈ C\{0},n = 0,±1に対し，
Arg z +Arg w ∈ Jn =⇒ Arg zw = Arg z +Arg w − 2nπ. (3.25)� �証明：(3.24): z ∈ (−∞, 0)なら 1/z ∈ (−∞, 0)よりArg (1/z) = π. z ∈ C\(−∞, 0)と
する．このとき，z(3.23)= |z| exp(iArg z). 両辺の逆数をとると，
1/z = |1/z| exp(−iArg z).
また仮定より−Arg z ∈ (−π, π). よって写像 (3.22)の単射性よりArg (1/z) = −Arg z.(3.25): 等式 z = |z| exp(iArg z), w = |w| exp(iArg w) を掛け合わせ，
zw = |zw| exp(i(Arg z +Arg w)) = |zw| exp(i(Arg z +Arg w − 2πn))
また仮定よりArg z+Arg w−2πn ∈ (−π, π]. よって写像 (3.22)の単射性よりArg zw =
Arg z +Arg w − 2πn. \(∧2∧)/
定義 3.3.3 (対数の主値)
▶ z ∈ (0,∞)に対し log zは通常の対数を表すものとする．
▶ z ∈ C\{0}に対しLog z
def= log |z|+ iArg z (3.26)
を対数の主値と呼ぶ．� �命題 3.3.4 z 7→ Log zはC\(−∞, 0]上連続である．� �証明：Log の定義式より, z 7→ Arg zの連続性を言えばよい．z = x + iy (x, y ∈ R)と書くとき，
Arg z =
Arcsin y
|z| , (x > 0, y ∈ R),Arccos x
|z| , (x ∈ R, y > 0),
−Arccos x|z| , (x ∈ R, y < 0).
(3.27)
29
Arcsin : [−1, 1] → [−π2, π2], Arccos : [−1, 1] → [0, π]は共に連続である．ゆえに (3.27)
第一・二・三式より，Arg はそれぞれ，次の範囲で連続である：
G+def= {z ∈ C ; x > 0}, H+
def= {z ∈ C ; y > 0}, H−
def= {z ∈ C ; y < 0}.
したがって，Arg はC\(−∞, 0] = G+ ∪H+ ∪H−で連続である． \(∧2∧)/� �
補題 3.3.5 z ∈ C\{0}なら，expLog z = z. (3.28)
また，z ∈ C, n ∈ Z, Im z ∈ ((2n− 1)π, (2n+ 1)π]とすると，
Arg exp z = Im z − 2nπ, (3.29)
Log exp z = z − 2nπi. (3.30)� �証明：(3.28):
exp(Log z)(3.26)= exp(log |z|) exp(iArg z) (3.23)
= |z| · z
|z|= z.
(3.29):
1) expRe z(3.6)= | exp z|, exp(i Im z) = exp(i(Im z − 2nπ)).
よって
exp z = exp(Re z) exp(i Im z)1)= | exp z| exp(i(Im z − 2nπ)).
Im z − 2nπ ∈ (−π, π]と写像 (3.22)の単射性より (3.29)を得る．
(3.30):
Log exp z(3.26)= log | exp z|+ iArg exp z
1),(3.29)= Re z + i(Im z − 2nπ) = z − 2nπi.
\(∧2∧)/� �
命題 3.3.6 n ∈ Z,
Sn = {z ∈ C ; Im z ∈ ((2n− 1)π, (2n+ 1)π]}
とするとき，各 n ∈ Zに対し，
z 7→ exp z (Sn → C\{0}) (3.31)
は全単射であり，その逆写像は z 7→ Log z + 2πniである．� �証明：z ∈ C\{0}に対し，Log z + 2πni ∈ Snかつ
1) exp(Log z + 2πni) = exp(Log z)(3.28)= z.
よって，写像 (3.31)は全射である．一方，z ∈ Snに対し，exp z ∈ C\{0}かつ
2) Log exp z + 2πni(3.30)= (z − 2πni) + 2πni = z.
30
よって，写像 (3.31)は単射である．また，1),2)より写像 (3.31)の逆写像は z 7→ Log z+
2πniである． \(∧2∧)/� �
系 3.3.7 z ∈ C\{0} に対し,
{s ∈ C ; exp s = z} = {Log z + 2πni ; n ∈ Z}. (3.32)
特に z ∈ C\[0,∞)なら，(3.38)より上式右辺は log zに等しい．� �証明：命題 3.3.6の Snに対しC =
∪n∈Z Snより，
{s ∈ C ; exp s = z} =∪n∈Z
{s ∈ Sn ; exp s = z}
命題 3.3.6=
∪n∈Z
{Log z + 2πni}.
\(∧2∧)/� �
命題 3.3.8 (対数の加法定理) z ∈ C\{0}に対し，
Log1
z=
{−Log z, z ∈ C\(−∞, 0)なら,
2πi− Log z, z ∈ (−∞, 0)なら.(3.33)
また，区間 (−2π,−π], (−π, π], (π, 2π]を順にJ−1, J0, J1と書くとき，z, w ∈ C\{0},n = 0,±1に対し，
Arg z +Arg w ∈ Jn =⇒ Log zw = Log z + Log w − 2nπi. (3.34)� �証明：Log zの定義式中のArg zに命題 3.3.2を適用すればよい． \(∧2
∧)/
問 3.3.1 θ ∈ (0, 2π)に対し次を示せ．Log (1− exp(iθ)) = log 2 + log sin θ2+ i θ−π
2.
問 3.3.2 z ∈ C\{0}, α ∈ R, Arg z − π < α ≤ Arg z + πとするとき，次を示せ．
Log z + Log (eiα/z) = iα.
3.4 (⋆)多価関数としての偏角・対数
定義 3.4.1 (偏角) z ∈ C\{0}に対し次の集合 arg z ⊂ Rを zの偏角と呼ぶ．
arg z = {Arg z + 2nπ, ; n ∈ Z}. (3.35)
注 1)偏角 arg zは集合として定めたが，剰余類R/2πZ (Rにおいて x− y ∈ 2πZをみたす元 x, yを同一視したもの) の一点と考えてもよい．
2) z, w ∈ C\{0}とする．このとき，命題 3.3.2より次のような集合間の等式を得る．
arg1
z= − arg z
def= {−θ ; θ ∈ arg z}, (3.36)
arg zw = arg z + argwdef= {θ + φ ; θ ∈ arg z, φ ∈ argw}. (3.37)
31
実際，(3.24)より，Arg 1z− (−Arg z)は 0または 2πである．よって (3.36)を得る．同様
に，(3.25)より (3.37)を得る．(3.37)より，z 7→ arg zは乗法群C\{0}から加群R/2πZへの準同型である．
定義 3.4.2 (対数) z ∈ C\{0}に対し次の集合 log z ⊂ Cを zの対数と呼ぶ．
log z = {Log z + 2nπi, ; n ∈ Z}. (3.38)
注 1) z ∈ C\{0}に対し log zは集合として定めたが，剰余類C/2πiZ (Cにおいて z−w ∈2πiZをみたす元 z, wを同一視したもの) の一点と考えてもよい．
2) z, w ∈ C\{0}とする．このとき，次のような集合間の等式を得る．
log z = log |z|+ i arg zdef= {log |z|+ iθ ; θ ∈ arg z}, (3.39)
log1
z= − log z
def= {−s ; s ∈ log z}, (3.40)
log zw = log z + logwdef= {s+ t ; s ∈ log z, t ∈ logw}. (3.41)
実際，(3.35),(3.38) より，(3.39)を得る．また，(3.33)より，Log 1z− (−Log z)は 0ま
たは 2πiである．よって (3.40)を得る．同様に，(3.34)より (3.41)を得る．(3.41)より，
z 7→ log zは乗法群C\{0}から加群C/2πiZ への準同型である．� �命題 3.4.3 z ∈ Cに対し，
arg exp z = {Im z + 2nπ ; n ∈ Z}, (3.42)
log exp z =
{Re z ∈ {z + 2nπi ; n ∈ Z}, Im z ∈ 2πZなら,
{z + 2nπi ; n ∈ Z}, Im z ∈ 2πZなら.(3.43)
� �証明：(3.42): (3.35),(3.29)による．
(3.43): Im z ∈ 2πZなら exp z = exp(Re z) ∈ (0,∞)．よって log exp z = log exp(Re z) =
Re z. Im z ∈ 2πZなら exp z ∈ C\[0,∞). よって (3.38),(3.30)より (3.43)を得る．\(∧2∧)/
3.5 べき乗の主値
定義 3.5.1 (べき乗) z ∈ C\{0}, α ∈ Cとする．
zαdef= exp(αLog z) (3.44)
を，べき乗の主値と呼ぶ．特に z1/2は√zとも記す．
注 1) (3.44)で特に z = e = exp(1)とすると，eα = expαとなり，指数関数 expαがべ
き乗 eαに等しいことがわかる．
2) α ∈ Zとする．このとき，(3.44)の zαは通常のべき関数と一致する．実際 α ∈ Nなら
exp(αLog z) = exp(Log z + ...+ Log z︸ ︷︷ ︸α
) = (exp(Log z))α(3.28)= z · · · z︸ ︷︷ ︸
α
.
32
αが負の整数の場合も同様に
exp(αLog z) = z−1 · · · z−1︸ ︷︷ ︸|α|
.
3) z ∈ C\{0}, α ∈ Cに対し記号 zαで次の集合を表すことも多い．
{exp(α(Log z + 2πni)) ; n ∈ Z}. (3.45)
そこで，誤解を避けるため，今後記号 zαを用いる際は，それが (3.44)で定めた主値で
あることを，その都度確認することにする．(3.44)で定めた主値は集合 (3.45)の元のう
ち n = 0のものである．� �命題 3.5.2 α ∈ C, z ∈ C\{0}に対し zα = exp(αLog z)とする. このとき，
|zα| = |z|Reα exp(− Imα Arg z). (3.46)
また，z 7→ zαはC\(−∞, 0]で連続である．特にReα > 0なら，0α = 0と定めることで，z 7→ zαは z = 0で連続，したがってC\(−∞, 0)で連続である．� �証明：まず (3.46)を示す．Reα = α1, Imα = α2とすると，
Re(αLog z) = α1 log |z| − α2Arg z.
したがって，
|zα| = exp(Re(αLog z)) = exp(α1 log |z| − α2Arg z) = |z|α1 exp(−α2Arg z).
次に z 7→ zαの連続性を考える．f : z 7→ exp zはC上連続 (命題 3.1.1), g : z 7→ αLog z
はC\(−∞, 0]上連続 (命題 3.3.4)である．ゆえに f ◦ g : z 7→ zαはC\(−∞, 0]上連続で
ある．特に α1 = Reα > 0なら，(3.46)とArg z ∈ (−π, π]より，
|zα| ≤ |z|α1 exp(|α2|π)|z|→0−→ 0.
ゆえに 0α = 0と定めれば，z 7→ zαは z = 0で連続である． \(∧2∧)/� �
命題 3.5.3 α, z, w ∈ C\{0}とする．べき乗の主値を (3.44)により定めるとき，
z ∈ {wα exp (2πnαi) ; n ∈ Z} ⇐⇒ w ∈{z1/α exp
(2πni
α
); n ∈ Z
}.
� �証明：⇒: z = exp (α(Log w + 2πni)) (n ∈ Z)とする．このとき，
expLog z(3.28)= z = exp (α(Log w + 2πni)) .
よって命題 3.2.3より，
1) ∃m, Log z = α(Log w + 2πni) + 2πmi.
33
ゆえに，
w(3.28)= expLog w
1)= exp( 1
α(Log z − 2πmi)− 2πni) = exp( 1
α(Log z − 2πmi)).
⇐も同様である． \(∧2∧)/� �
系 3.5.4 m ∈ N\{0}, w, z ∈ C\{0}とする．べき乗の主値を (3.44)により定めるとき，
wm = z ⇐⇒ w ∈{z1/m exp
(2πni
m
); n = 0, 1, ...,m− 1
}.
� �証明：m ∈ N\{0}に対し,
{exp (m(Log w + 2πni)) ; n ∈ Z} = {wm},{exp
(1m(Log z + 2πni)
); n ∈ Z
}=
{exp
(1m(Log z + 2πni)
); n = 0, 1, ...,m− 1
}.
ゆえに命題 3.5.3(a = m)より，結論を得る． \(∧2∧)/
z, w ∈ (0,∞), α, β ∈ Rに対し，
zα+β = zαzβ, log zα = α log z, (zα)β = zαβ, (zw)α = zαwα.
これらは z, w ∈ C\{0}, α, β ∈ Cに対し次のように一般化される� �命題 3.5.5 z, w ∈ C\{0}, α, β ∈ Cとする．べき乗の主値を (3.44)により定めるとき，
zα+β = zαzβ. (3.47)
n ∈ Z, Im(αLog z) ∈ ((2n− 1)π, (2n+ 1)π]なら，
Log zα = αLog z − 2πni, (3.48)
(zα)β = zαβ exp(−2πnβi). (3.49)
区間 (−2π,−π], (−π, π], (π, 2π]を順に J−1, J0, J1とすると，n = 0,±1に対し
Arg z +Arg w ∈ Jn =⇒ (zw)α = zαwα exp(−2πnαi). (3.50)� �証明：(3.47)
zα+β (3.44)= exp((α + β)Log z) = exp(αLog z) exp(βLog z)
(3.44)= zαzβ.
(3.48):
Log zα(3.44)= Log exp(αLog z)
(3.30)= αLog z − 2πni.
(3.49):
(zα)β(3.44)= exp(βLog zα)
(3.48)= exp(αβLog z − 2πnβi) = zαβ exp(2πnβi).
34
(3.50):
(zw)α(3.44)= exp(αLog (zw))
(3.34)= exp(αLog z + αLog w − 2πnαi)
(3.44)= zαwα exp(−2πnαi).
\(∧2∧)/
問 3.5.1 以下を示せ．(i)√−1 = i. (ii) z, w ∈ C\{0}に対し
√zw =
{ √z√w, Arg z +Arg w ∈ (−π, π]なら,
−√z√w, Arg z +Arg w ∈ (−π, π]なら.
√−z =
{i√z, Arg z ≤ 0なら,
−i√z, Arg z > 0なら.
問 3.5.2 anが有界複素数列, s ∈ C, Re s > 1 のとき, 級数∑∞
n=1anns の絶対収束を示せ.
この級数をディリクレ級数, 特に an ≡ 1の場合をリーマンのゼータ関数と言う.
3.6 (⋆)逆三角関数
以下，z ∈ C\{0}に対し√zは z1/2の主値，すなわち exp(1
2Log z)を表すものとする．
また，√0 = 0とする．このとき z 7→
√zはC\(−∞, 0)上連続である (命題 3.5.2)．
逆余弦・逆正弦関数の導入に先立ち補題を準備する．� �補題 3.6.1
f(z) =z + z−1
2, (z ∈ C\{0}), h±(z) = z ± i
√1− z2, (z ∈ C),
f をジュウコフスキー変換 と呼ぶ．さらに，
H± = {z ∈ C ; ± Im z > 0},J = (−∞,−1) ∪ (1,∞), J = (−∞,−1] ∪ [1,∞)
とする．このとき，
a) f : H± ∪ {−1, 1} → C\J は全単射であり，h± : C\J → H± ∪ {−1, 1}はその逆写像である．また，h±はC\J 上連続である．
b) f(H±) = C\J .� �証明: a):f : H+ ∪ {−1, 1} → C\J は全単射，h+ : C\J → H± ∪ {−1, 1}はその逆写像，および h+がC\J 上連続であることを示す（h+, H+を h−, H−で置き換えても証明は
同様である)．数段階に分けて示す．
1) z ∈ Cに対し, h+(z) = 0, h+(z)−1 = h−(z), f ◦ h±(z) = z.
h+(z)h−(z) = z2 − (i√1− z2)2 = z2 + (1− z2) = 1.
よって h+(z) = 0，h+(z)−1 = h−(z). よって
f ◦ h±(z) = (h+(z) + h−(z))/2 = z.
35
2) h+はC\J 上連続．
簡単な計算で,z ∈ Cに対し次が分かる：「z ∈ J ⇐⇒ 1 − z2 ∈ (−∞, 0)」．ゆえに
「z ∈ C\J ⇐⇒ 1−z2 ∈ C\(−∞, 0)」．したがって，z 7→ 1−z2はC\JからC\(−∞, 0)
への連続写像である．一方，z 7→√zはC\(−∞, 0)上連続なので，z 7→
√1− z2はC\J
上連続である．以上から h+はC\J 上連続である．
3) z ∈ R\{0} ⇐⇒ f(z) ∈ J .
(⇒): (|z|+ |z|−1)/2 ≥√|z| · |z|−1 = 1. さらに z = ±|z|より，f(z) = ±(|z|+ |z|−1)/2 ∈
J .
(⇐): f(z) = w ⇔ z2 − 2wz + 1 = 0. 特に w ∈ J なら 2次方程式を解いて z =
w ±√w2 − 1 ∈ R\{0}.
4) z ∈ C\J なら Imh+(z) = 0.
z ∈ C\J なら f ◦ h+(z)1)= z ∈ J . これと 3)より h+(z) ∈ R\{0}. さらに 1)より
h+(z) = 0. したがって h+(z) ∈ R.
5) h+(±1) = ±1, h+(C\J) ⊂ H+．したがって，h+(C\J) ⊂ H+ ∪ {−1,+1}．
h+(±1) = ±1は明らか．そこで h+(C\J) ⊂ H+を言う．Imh+(z)はC\J上で，2)より
連続,かつ 4)より零点を持たない．したがって，Imh+(z)はC\J 上定符号である．ところが，h+(0) = iより Imh+(0) = 1 > 0. ゆえにC\J 上 Imh+(z) > 0.
6) f : H+ ∪ {−1, 1} → C\J は全単射.
h+(±1) = ±1より，f : H+ → C\J が全単射ならよい．
(全射性)：z ∈ C\J を任意とする．このとき h+(z)5)∈ H+. さらに f ◦ h+(z)
1)= z.
(単射性)：z ∈ H+, f(z) = w ∈ C\J とし，z = h+(w)を言う．f(z) = wから z2 −
2wz + 1 = 0を得るが，この 2次方程式の解は z = h±(w)．w ∈ C\Jより h+(w)5)∈ H+,
h−(w)1)= h+(w)
−1 ∈ H− (一般に z ∈ H+ ⇐⇒ z−1 ∈ H−). ゆえに z ∈ H+をみたす解
は z = h+(w)のみである．
b):上記 6)の証明中に既に示した． \(∧2∧)/� �
命題 3.6.2 (逆正弦) D = {z ∈ C ; |Re z| < π2}, J = (−∞,−1) ∪ (1,∞), J =
(−∞,−1] ∪ [1,∞)とする．
a) z 7→ sin zはD ∪ {−π2, π2}からC\J への全単射である．また，逆写像は次のよ
うに表せ, これを逆正弦関数と呼ぶ．
Arcsin zdef=
1
iLog (
√1− z2 + iz). (3.51)
また，Arcsin はC\J 上連続である．
b) {sin z ; z ∈ D} = C\J .� �証明: a):補題 3.6.1の記号を用いると，sin z = f(exp(iz)/i). 命題 3.3.6より exp は
36
集合 {| Im z| < π2} ∪ {−πi
2, πi
2} から {Re z > 0} ∪ {−i, i}への全単射であることが
分かる．また，f : H− ∪ {−1, 1} → C\J は全単射である (補題 3.6.1). 以上より，
sin : D ∪ {−π2, π2} → C\J は次の四写像の合成であり，各段階が全単射である．
D ∪ {−π
2,π
2} ×i−→ {| Im z| < π
2} ∪ {−πi
2,πi
2} exp−→ {Re z > 0} ∪ {−i, i}
×(1/i)−→ H− ∪ {−i, i}f−→ C\J. (3.52)
また，上記 exp の逆写像は Log (命題 3.3.6), f の逆写像は h−である (補題 3.6.1). そ
こで，(3.52)の合成を逆に辿ると，次のようになり，各段階が連続である．
D ∪ {−π
2,π
2} ×(1/i)←− {| Im z| < π
2} ∪ {−πi
2,πi
2} Log←− {Re z > 0} ∪ {−i, i}
×i←− H− ∪ {−i, i}h−←− C\J. (3.53)
以上より，sin z = f(eiz/i)の逆写像は 1iLog (ih−(z))と表され，連続である．
b): a) の結果と対応関係 sin(±π/2) = ±1による． \(∧2∧)/
逆正接関数の導入に先立ち補題を準備する．� �補題 3.6.3 f(z) = i1+z
1−z(z ∈ C\{1}), J = (−∞,−1] ∪ [1,∞)とする．このとき，
a) f : C\{1} → C\{−i}は全単射であり，g(z)def= −1+iz
1−izはその逆写像である．gを
ケイリー変換 と呼ぶ．
b) f(C\[0,∞)) = C\iJ .� �証明: a): 容易に分かる．
b): 容易に分かるように，f([0, 1)) = i[1,∞), f((1,∞)) = i(−∞,−1). よって
f(C\[0,∞)) = f(C\{1})\ (f([0, 1)) ∪ f((1,∞))
= (C\{−i})\ (i[1,∞) ∪ i(−∞,−1)) = C\iJ.
\(∧2∧)/� �
命題 3.6.4 (逆正接) J = (−∞,−1] ∪ [1,∞)とする．z 7→ tan zは集合 |Re z| < π2
からC\iJへの全単射である．また，逆写像は次のように表せ, これを逆正接関数と呼ぶ．
Arctan zdef=
1
2iLog
1 + iz
1− iz. (3.54)
また，Arctan はC\iJ 上連続である．� �証明: 補題 3.6.3の記号を用いると，tan z = f(− exp(2iz)). 命題 3.3.6より expは集合
| Im z| < π からC\[0,∞)への全単射であることが分かる．また，f : C\[0,∞)→ C\iJは全単射である (補題 3.6.3). 以上より，tan : {|Re z| < π
2} → C\iJ は次の四写像の合
37
成であり，各段階が全単射である．
{|Re z| < π
2} ×2i−→ {| Im z| < π} exp−→ C\(−∞, 0]
×(−1)−→ C\[0,∞)f−→ C\iJ. (3.55)
よって，z 7→ tan zは集合 |Re z| < π/2からC\iJ への全単射である．また，(3.55)に
おいて expの逆写像は Log (命題 3.3.6), f の逆写像は gである (補題 3.6.3). そこで，
(3.55)を逆に辿ると次のようになり，各段階が連続である．
{|Re z| < π
2} ×(1/2i)←− {| Im z| < π} Log←− C\(−∞, 0]
×(−1)←− C\[0,∞)g←− C\iJ. (3.56)
以上より，tan z = f(−e2iz)の逆写像は 12iLog (−g(z))を表され，連続である． \(∧2
∧)/
問 3.6.1 f(z) = z+z−1
2, (z ∈ C\{0}), g±(z) = z±
√z2 − 1, (z ∈ C), また，D+ = {z ∈
C ; |z| > 1}, D− = {z ∈ C ; 0 < |z| < 1}, I = (−1, 1)とする．このとき，次を示せ．f : D± ∪ {−1, 1} → C\Iは全単射であり，g± : C\I → D± ∪ {−1, 1}はその逆写像である．また，g±はC\I上連続である．
問 3.6.2 J = (−∞,−1)∪(1,∞)とする．以下を示せ．(i) z 7→ cos zは集合{z ∈ C ; 0 <
Re z < π} ∪ {0, π} からC\J への全単射であり，逆写像は次のように表せる.
z 7→ Arccos zdef=
π
2− Arcsin z
問 3.3.2=
1
iLog (z + i
√1− z2).
Arccos を逆余弦関数と呼ぶ．[ヒント：cos = sin(π2− z)] (ii) z 7→ sh z は集合 {z ∈
C ; | Im z| < π/2} ∪ {−πi/2, πi/2} からC\iJ への全単射であり，逆写像は次のように表せる.
z 7→ iArcsin (z/i) = Log (z +√1 + z2).
[ヒント：sh z = i sin(z/i)]
問 3.6.3 J = (−∞,−1] ∪ [1,∞)とする．次を示せ．z 7→ th zは集合 | Im z| < π/2か
らC\J への全単射であり，逆写像は次のように表せる.
z 7→ iArctan (z/i) =1
2Log
1 + z
1− z.
[ヒント：th z = i tan(z/i)]
問 3.6.4 J = (−∞,−1) ∪ (1,∞), J = (−∞,−1] ∪ [1,∞)とする．以下の等式を示せ.
(i) cos(Arcsin z) =√1− z2, z ∈ C\J . (ii) cos2(Arctan z) = 1
1+z2, z ∈ C\iJ .
38
4 複素微分
(2019 年 7 月 26 日更新)
4.1 定義と簡単な性質
定義 4.1.1 (内点・開集合) SをR2またはC, D ⊂ Sとする.
▶ z ∈ Dに対し, 次のような r > 0が存在するとき，zをDの内点と呼ぶ:
w ∈ S, |w − z| < r =⇒ w ∈ D. (4.1)
Dの内点全体の集合を◦Dと記す.
▶ D =◦D, 即ちDの全ての点がDの内点なら, Dは開であると言う.
注：定義から, 常に◦D⊂ Dである．
定義 4.1.2 (複素微分) D ⊂ Cは開，f : D −→ C, z ∈ Dとする．
▶ 次のような γ ∈ Cが存在するとき, f は zで複素微分可能であるという：
w ∈ D\{z}, w → z =⇒ f(w)− f(z)
w − z−→ γ. (4.2)
このとき γを，f の zにおける複素微分係数といい，f ′(c)と記す．
▶ f がDの各点で複素微分可能なら，f はD上正則 であると言う．� �命題 4.1.3 f : D → Cは定義 4.1.2のとおり, f が zで複素微分可能とする. このとき，f は zで連続である.� �証明: w ∈ D\{z}, w → z で
f(w)− f(z) =f(w)− f(z)
w − z(w − z)
(4.2)−→ f ′(z) · 0 = 0.
\(∧2∧)/� �
命題 4.1.4 Dは定義 4.1.2のとおり, f, g : D → Cが zで複素微分可能とする.
(a) f + gは zで複素微分可能かつ
(f + g)′(z) = f ′(z) + g′(z). (4.3)
(b) fgは zで複素微分可能かつ,
(fg)′(z) = f ′(z)g(z) + f(z)g′(z). (4.4)
(c) g(z) = 0なら f/g は zで複素微分可能かつ,(f
g
)′
(z) =f ′(z)g(z)− f(z)g′(z)
g(z)2. (4.5)
� �証明: 実変数関数の場合と同様である． \(∧2
∧)/
39
例 4.1.5 n ∈ N\{0}とする．このとき，
a) znはC上正則かつ (zn)′ = nzn−1, z ∈ C.
b) z−nはC\{0}上正則かつ (z−n)′ = −nz−n−1, z ∈ C\{0}
証明：a): 複素微分の定義より，全ての z ∈ Cで zは複素微分可能かつ z′ = 1. これ
と，命題 4.1.4b)を用いた帰納法より結論を得る．
b): 全ての z ∈ Cで zは複素微分可能かつ z′ = 1. これと，命題 4.1.4c)より，z−1は
全ての z ∈ C\{0}で複素微分可能かつ (z−1)′ = −z−2.さらに命題 4.1.4b)を用いた帰納
法より結論を得る． \(∧2∧)/
例 4.1.6 （初等関数の微分）z ∈ Cに対し,
a) 定数 c ∈ Cに対し exp(cz)はC上正則かつ，(exp(cz))′ = c exp(cz).
b) ch z, sh z, cos z, sin zは C上正則かつ，(ch z)′ = sh z, (sh z)′ = ch z, (cos z)′ =
− sin z, (sin z)′ = cos z.
c) th zはC\(iπ2+ πiZ
)上正則かつ，(th z)′ = 1/ch 2z.
d) tan zはC\(π2+ πZ
)上正則かつ，tan′ z = 1/ cos2 z.
証明: a): まず次に注意する．z ∈ Cに対し，
| exp z − 1− z| ≤∞∑n=2
|z|n
n!= |z|2
∞∑n=0
|z|n
(n+ 2)!≤ |z|2
∞∑n=0
|z|n
n!= |z|2 exp |z|.
ゆえに，z ∈ C\{0}, z → 0なら
1)
∣∣∣∣exp z − 1
z− 1
∣∣∣∣ ≤ |z| exp |z| −→ 0.
c = 0の場合に a)を示せば十分である．このとき，w ∈ C\{z}, w → z なら hdef=
c(w − z) = 0, h→ 0. よって
exp(cw)− exp(cz)
w − z= c exp(cz)
exph− 1
h
1)−→ c exp(cz).
b):ch , sh , cos, sin を exp で書き表す定義式（命題 3.2.1, 命題 3.2.2）と a)による.
c): th ′z =
(sh z
ch z
)′商の微分=
ch z︷︸︸︷sh ′z ·ch z − sh z ·
sh z︷︸︸︷ch ′z
ch 2z
(3.10)=
1
ch 2z.
d): tan′ z =
(sin z
cos z
)′商の微分=
cos z︷ ︸︸ ︷sin′ z · cos z − sin z ·
− sin z︷ ︸︸ ︷cos′ z
cos2 z
(3.15)=
1
cos2 z. \(∧2
∧)/
40
4.2 連鎖律� �命題 4.2.1 (連鎖律 I) D ⊂ Cを開集合，I ⊂ Rを開区間，t ∈ I, g : I → Dとする．さらに gが cで微分可能かつ f が g(t)で複素微分可能なら, f ◦ gは tで微分可能かつ,
(f ◦ g)′(t) = f ′ (g(t)) g′(t).� �証明: 実変数関数の場合と同様である． \(∧2
∧)/
定義 4.2.2 (連結性) SをR2またはC, D ⊂ Sとする.
▶ 開集合D ⊂ Sが次の条件をみたすとき，Dは連結であると言う.
D1, D2 ⊂ Sが開，D1 = ∅, D2 = ∅, D = D1 ∪D2 =⇒ D1 ∩D2 = ∅.
連結な開集合を領域と呼ぶ．
具体的な集合の連結性を判定するには，次の補題を用いるとよい．記号は定義 4.1.1の
とおり，また a, b ∈ Sに対し
[a, b] = {(1− t)a+ tb ; t ∈ [0, 1]} (4.6)
とする．n ∈ N\{0}および z0, ..., zn ∈ Sを用い，次のように表せる集合C ⊂ Sを，z0, znを結ぶ折れ線 と呼ぶ．
C =n∪
j=1
[zj−1, zj].
� �補題 4.2.3 次の命題は同値である．
a) Dは連結である．
b) 任意の z, w ∈ Dに対し z, wを結ぶ折れ線Cであり，C ⊂ Dをみたすものが存在する．
c) 任意の z, w ∈ Dに対し z, wをD内で結ぶ連続曲線が存在する．� �証明: a) ⇒ b): z0 ∈ Dを任意とし，
D1 = {z ∈ D ; z0, zはD内の折れ線で結べる．}, D2 = D\D1
とする．以下でD1, D2は共に開であることを示すが，まずこれを認めてD2 = ∅を言う．明らかにD = D1 ∪D2, D1 ∩D2 = ∅. また，z0 ∈ D1より，D1 = ∅．よって，Dの
連結性からD2 = ∅が必要である．
1) D1は開である．
41
任意の c ∈ D1に対し, Dは開だから D(c, r)def= {z ∈ C ; |z − c| < r} ⊂ D をみた
す r > 0が存在する．a, cはD内の折れ線で結べ，一方，任意の z ∈ D(c, r)はD(c, r)
内 (したがってD内)の線分で cと結べる．よって a, zはD内の折れ線で結べるので
z ∈ D1. D(c, r) ⊂ D1を得る．以上より D1は開である．任意の z ∈ D(c, r)に対し
f(z) = f(c) = f(a). ゆえにD(c, r) ⊂ D1, よってD1は開である．
2) D2は開である．
任意の c ∈ D2に対し, Dは開だからD(c, r) ⊂ D をみたす r > 0が存在する．任意の
z ∈ D(c, r)はD(c, r)内 (したがってD内)の線分で cと結べる．もし z ∈ D1なら a, z
はD内の折れ線で結べる．すると a, cがD内の折れ線で結べることになり，不合理で
ある．ゆえに z ∈ D2，したがってD(c, r) ⊂ D2を得る．以上よりD2は開である．
b) ⇒ c): 折れ線は連続曲線の特別な場合である．
c) ⇒ a): D1, D2 ⊂ Sが開，D1 = ∅, D2 = ∅, D = D1 ∪D2と仮定しD1 ∩D2 = ∅を言う．z ∈ D1, w ∈ D2をとる．仮定より連続な g : [0, 1]→ Dで g(0) = z, g(1) = wなる
ものが存在する．そこで，
s = sup{t ∈ [0, 1] ; g(t) ∈ D1}
とする．D1は開だから s > 0. また, sの定義から，
3) 0 < ∀t < s, D1 ∩ g((t, s]) = ∅.
ここで次を示す．
4) 0 < ∃t0 < s, g((t0, s]) ⊂ D2.
ひとまず 4)を認め，3)で特に t = t0とすると，次のようにして結論を得る．
∅3)
= D1 ∩ g((t0, s])4)⊂ D1 ∩D2.
4)を示そう．g(s) ∈ D2が言えれば，D2が開かつ gが連続より 4)を得る．g(s) ∈ D2を
示す際，g(1) ∈ D2より s < 1を仮定してよい．また，g(s) ∈ D2を示すには g(s) ∈ D1
を言えばよい．ところが g(s) ∈ D1 なら D1 が開かつ g が連続より，s < ∃t1 ≤ 1,
g([s, t1)) ⊂ D1. これは sの定義に反する． \(∧2∧)/� �
命題 4.2.4 D ⊂ Cが領域, f : D → Cが正則，かつ全ての z ∈ Dで f ′(z) = 0ならf はD上定数である．� �証明: 任意の z, w ∈ Dに対し f(z) = f(w)を言えばよい．ところが，補題 4.2.3より，
z, wをD内で結ぶ折れ線が存在する．したがって，a, b ∈ Dを任意，[a, b] ⊂ Dと仮定
し f(a) = f(b)を言えば十分である．g(t) = (1− t)a+ tb (t ∈ [0, 1])とするとき，f ◦ gは [0, 1]上連続.また，f ◦ gは命題 4.2.1 より (0, 1)上で可微分かつ全ての t ∈ (0, 1)に
対し
(f ◦ g)′(t) = f ′(g(t))g′(t) = 0.
42
以上より f ◦gは [0, 1]上定数である．特に f(a) = (f ◦g)(0) = (f ◦g)(1) = f(b). \(∧2∧)/� �
命題 4.2.5 D ⊂ Cは開，f : D −→ C, c = a+ ib ∈ D (a, b ∈ R)
U = {(x, y) ∈ R2 ; x+ iy ∈ D}
とする．また，(x, y) ∈ U に対し f(x+ iy)の実部，虚部をそれぞれ u(x, y), v(x, y)
とする (したがって u, v : U → R). このとき,f が cで複素微分可能なら, u, vは共に (a, b)において x,yについて偏微分可能かつ
f ′(c) = ux(a, b) + ivx(a, b)
= vy(a, b)− iuy(a, b).(4.7)
特に，ux(a, b) = vy(a, b), uy(a, b) = −vx(a, b). (4.8)
等式の組 (4.8)をコーシー・リーマン方程式 と呼ぶ．� �証明: g(x) = x+ ib, x ∈ (a− r, a+ r) (r > 0は十分小)に対し命題 4.2.1を適用すると，
d
dxf(x+ ib)
∣∣∣∣x=a
= f ′(a+ ib) = f ′(c).
また微分の線形性より，上式左辺=ux(a, b) + ivx(a, b)．よって (4.7)第一式を得る．一
方，g(y) = a+ iy, y ∈ (b− r, b+ r)(r > 0は十分小) に対し命題 4.2.1を適用すると，
d
dyf(a+ iy)
∣∣∣∣y=b
= if ′(a+ ib) = if ′(c).
また微分の線形性より，上式左辺=uy(a, b)+ ivy(a, b)．よって (4.7)第二式を得る．(4.7)
で実部，虚部を比較し (4.8)を得る． \(∧2∧)/
命題 4.2.5の系として，f が cで複素微分可能とするとき，Re f , Im f , f は多くの場
合 cで複素微分不可能であることが分かる．例えば f(z) = zは全ての zで複素微分可
能だが，次の系 4.2.6より，Re z, Im z, z は全ての zで複素微分不可能である．� �系 4.2.6 記号は命題 4.2.5のとおり，f は cで複素微分可能, g = λRe f + iµ Im f
(λ, µ ∈ R, λ = µ)とする．このとき，
gが cで複素微分可能⇔ f ′(c) = 0. (4.9)
特に，Dが領域で，f, gが共にD上正則なら, (4.9)と命題 4.2.4より f はD上定数である．� �証明: ⇒: gが cで複素微分可能なら gに対するコーシー・リーマン方程式より
λux(a, b) = µvy(a, b), λuy(a, b) = −µvx(a, b).
これを (4.8)と連立すると, ux(a, b) = uy(a, b) = vx(a, b) = vy(a, b) = 0. したがって
(4.7)より f ′(c) = 0.
43
⇐: Re f , Im fはf, fの複素線形結合なので，fがcで複素微分可能ならよい．h ∈ C\{0},h→ 0のとき，|h/h| = 1. ゆえに
f(c+ h)− f(c)
h=
h
h
(f(c+ h)− f(c)
h
)−→ 0.
\(∧2∧)/� �
命題 4.2.7 (連鎖律 II) D1, D2 ⊂ Cは開，g : D1 −→ D2, f : D2 −→ C, c ∈ D1 更に gが cで複素微分可能かつ f が g(c)で複素微分可能なら, f ◦ gは cで複素微分可能かつ,
(f ◦ g)′(c) = f ′ (g(c)) g′(c).
特に，gがD1上正則かつ f がD2上正則なら f ◦ gはD1上正則である．� �証明: 実変数関数の場合と同様である． \(∧2
∧)/
問 4.2.1 記号は定義 4.1.1のとおりとする．A,B ⊂ S に対し以下を示せ：(i) A ⊂ B
なら◦A⊂
◦B. したがって，特にA ⊂ BかつAが開ならA ⊂
◦B. (ii) (A ∩ B)◦ =
◦A ∩
◦B.
(iii) (A∪B)◦ ⊃◦A ∪
◦B. また, (A∪B)◦ =
◦A ∪
◦Bとなる例を挙げよ. (iv) A,Bが開なら,
A ∪B, A ∩B も開.
問 4.2.2 命題 4.2.4の別証明 (補題 4.2.3を用いない)を,次の方針に沿って与えよ．i)
まずDが凸である（D内の任意の二点を端点とする線分がDに含まれる）場合に示す．
ii) Dが一般の領域である場合に f はD上定数でないと仮定する．このとき，a, b ∈ D
であり f(a) = f(b)なるものが存在する．そこで，
D1 = {z ∈ D ; f(z) = f(a)}, D2 = {z ∈ D ; f(z) = f(a)}
とする．D1, D2は共に開であることを示し，Dの連結性との矛盾を導く．
問 4.2.3 D ⊂ Cを領域, f : D → Cを正則とする．以下を示せ．(i) |f(z)|がD上定数
なら，f は定数である．(ii) Arg f(z)がD上定数なら，f は定数である．
4.3 逆関数の微分
次の定理 4.3.1は今後，対数関数・逆三角関数などの具体例に応用される．� �定理 4.3.1 (逆関数の複素微分) D1, D2 ⊂ Cは開，f : D1 → D2は全単射かつ正則，逆関数 g : D2 → D1は連続とする．さらに次を仮定する．
全ての z ∈ D1で，f ′(z) = 0 (4.10)
このとき，f の逆関数 g : D2 → D1は正則かつ，全ての z ∈ D2に対し
g′(z) =1
f ′(g(z)). (4.11)
� �44
証明: w = z, w −→ z とすると, g(w) = g(z), g(w) −→ g(z). 従って,
g(w)− g(z)
w − z=
g(w)− g(z)
f(g(w))− f(g(z))−→ 1
f ′(g(z)).
\(∧2∧)/
注：定理 4.3.1の仮定のうち，gの連続性はその他の仮定から自動的に従う．ここでは，
簡単のため仮定に含めた．
例 4.3.2 (対数の主値・べき関数の主値の微分)
a) Log zはC\(−∞, 0]上で, 正則かつ
(Log z)′ =1
z. (4.12)
b) α ∈ C, z ∈ C\{0}に対し zα = exp(αLog z)とするとき，zαはC\(−∞, 0]上で, 正
則かつ
(zα)′ = αzα−1. (4.13)
証明：a): D = {z ∈ C ; | Im z| < π}とすると，exp : D → C\(−∞, 0], Log :
C\(−∞, 0]→ Dは互いに逆関数であり，共に連続である (命題 3.3.6)．また，expはD
上で正則かつexp′ = exp = 0 (例 4.1.6). よって，定理 4.3.1より，Log : C\(−∞, 0]→ D
は正則である．更に，
1) (exp)′(Log z) = exp(Log z) = z.
(4.11)と 1)より，
(Log z)′(4.11)=
1
(exp)′(Log z)
1)=
1
z.
b):zα = eαLog z = f ◦ g(z), 但し f(x) = eαz, g(z) = Log z. よって,
(zα)′連鎖律= f ′ (g(z)) g′(z)
例 4.1.6, a)= ceαLog z 1
z= αzα−1.
\(∧2∧)/
例 4.3.3 (逆三角関数の微分) J = (−∞,−1] ∪ [1,∞)とする．
a) Arcsin zはC\J 上で正則かつ，
(Arcsin z)′ =1√
1− z2. (4.14)
b) Arctan zはC\iJ で正則かつ，
(Arctan z)′ =1
1 + z2. (4.15)
45
証明：D = {z ∈ C ; |Re z| < π/2}とする.
a): sin : D → C\J , Arcsin : C\J → Dは互いに逆関数であり共に連続である (命題
3.6.2)．また，sinはD上で正則かつ sin′ = cos = 0 (系 3.2.4,例 4.1.6). よって，定理
4.3.1より，Arcsin : C\J → Dは正則である．(Arcsin z)′は (4.11)と問 3.6.4を用いて
求めることもできるが (問 4.3.2)，ここでは (3.51)から直接計算する．
1) (Arcsin z)′(3.51)=
1
i(Log (
√1− z2 + iz))′
(4.12)=
1
i
1√1− z2 + iz
(√1− z2 + iz)′.
さらに
(√1− z2 + iz)′
(4.13)=
−z√1− z2
+ i =−z + i
√1− z2√
1− z2= i
√1− z2 + iz√
1− z2.
上式と 1)より (4.14)を得る．
b): tan : D → C\iJ , Arctan : C\iJ → Dは互いに逆関数であり共に連続である (命
題 3.6.4)．また，tanはD上で正則かつ tan′ = 1/ cos2 = 0 (系 3.2.4,例 4.1.6). よって，
定理 4.3.1より，Arctan : C\iJ → Dは正則である．(Arctan z)′は (4.11)と問 3.6.4を
用いて求めることもできるが (問 4.3.2)，ここでは (3.54)から直接計算する．
(Arctan z)′(3.54)=
1
2i
(Log
1 + iz
1− iz
)′(4.12)=
1
2i
1− iz
1 + iz
(1 + iz
1− iz
)′
(4.5)=
1
2i
1− iz
1 + iz
2i
(1− iz)2=
1
1 + iz
1
1− iz=
1
1 + z2.
\(∧2∧)/
問 4.3.1 (x, y) ∈ R2\((−∞, 0]×{0})に対し， ∂∂xArg (x+ iy), ∂
∂yArg (x+ iy)を求めよ．
問 4.3.2 (4.11)と問 3.6.4を用い (Arcsin z)′, (Arctan z)′を求めよ．
問 4.3.3 D1 = {z ∈ C ; | Im z| < π2}, D2 = {z ∈ C ; |Re z| < π
2}, H = {z ∈
C ; Re z > 0}とする. 以下を示せ．(i)f(z) = z+z−1
2, (z ∈ C\{0}) に対し f(H) ⊂ H.
(ii) {ch z ; z ∈ D1} ⊂ H, {cos z ; z ∈ D2} ⊂ H．(iii) Log ch zは領域D1 上で, 正則か
つ (Log ch z)′ = th z. また，Log cos zは領域D2 上で, 正則かつ (Log cos z)′ = − tan z.
4.4 べき級数の複素微分
次の命題は，多くの初等関数に応用される．� �命題 4.4.1 (べき級数の微分) r ∈ (0,∞], an ∈ C (n ∈ N)とし，次のべき級数を考える：
f(z) =∞∑n=0
anzn, z ∈ D
def= {z ∈ C ; |z| < r}. (4.16)
全ての z ∈ Dに対し, べき級数 (4.16)が絶対収束するとする. このとき, f はD上正則かつ z ∈ Dに対し,
f ′(z) =∞∑n=1
nanzn−1 (右辺は絶対収束). (4.17)
� �46
以下命題 4.4.1を示す．そのために補題を準備する：� �補題 4.4.2 r ∈ (0,∞), z, w ∈ C, |z| ≤ r, |w| ≤ r ,n ∈ N\{0} とするとき，
|wn − zn − nzn−1(w − z)| ≤ 12n(n− 1)rn−2|w − z|2.� �
証明：n = 1なら示すべき式は自明（両辺は共に 0）なのでn ≥ 2としてよい．また，証
明中の式を見やすくするため，n (n ≥ 2)を n+ 1 (n ≥ 1)に置き換えた不等式を示す．
wn+1 − zn+1 (1.13)= (w − z)
n∑j=0
zjwn−j
従って,
1) wn+1 − zn+1 − (n+ 1)zn(w − z) = (w − z)
(n∑
j=0
zjwn−j − (n+ 1)zn
)
ここで次の等式を示す．
2)n∑
j=0
zjwn−j − (n+ 1)zn = (w − z)qn(z, w), ただし qn(z, w)def=
n−1∑j=0
(j + 1)zjwn−1−j.
実際，
wqn(z, w) =n−1∑j=0
(j + 1)zjwn−j,
zqn(z, w) =n−1∑j=0
(j + 1)zj+1wn−1−j =n∑
j=0
jzjwn−j.
上式の差をとれば
(w − z)qn(z, w) =n−1∑j=0
zjwn−j − nzn =n∑
j=0
zjwn−j − (n+ 1)zn
2)を得る．以上より
wn+1 − zn+1 − (n+ 1)zn(w − z)1),2)= (w − z)2qn(z, w).
上式右辺の絶対値を評価すれば，容易に結論を得る． \(∧2∧)/� �
補題 4.4.3 べき級数 (4.16)が, 全ての z ∈ Dに対し絶対収束するとする. また,
pn ∈ C (n ∈ N)が任意の δ ∈ (0, 1)に対し pnδn n→∞−→ 0をみたすとする．このとき，
次のべき級数も全ての z ∈ Dに対し絶対収束する.
∞∑n=0
pnanzn.
� �47
証明：z ∈ Dに対し |z| < ρ < rとなる ρをとる. このとき仮定より∑∞
0 |an|ρn < ∞.
一方，
|pn| (|z|/ρ)nn→∞−→ 0.
よって,
∃n1 ∈ N, ∀n ≥ n1, |pn|(|z|/ρ)n ≤ 1.
従って n ≥ n1に対し |pnan||z|n ≤ |an|ρn．これと指数級数との比較 (命題 2.1.8) より
結論を得る. \(∧2∧)/
命題 4.4.1の証明：z ∈ Dとし, |z| < ρ < rとなる ρをとる. w → zのとき, |w| < ρと
してよい. このとき, 補題 4.4.2より,
(1) |wn − zn − nzn−1(w − z)| ≤ 12n(n− 1)|w − z|2ρn−2.
従って, w = z, w → zなら,∣∣∣∣∣f(w)− f(z)
w − z−
∞∑n=1
nanzn−1
∣∣∣∣∣ (4.16)=
∣∣∣∣∣∞∑n=1
an
(wn − zn
w − z− nzn−1
)∣∣∣∣∣≤
∞∑n=1
|an|∣∣∣∣wn − zn
w − z− nzn−1
∣∣∣∣(1)
≤ |w − z|∞∑n=1
n(n− 1)|an|ρn−2
︸ ︷︷ ︸補題 4.4.3 より有限
−→ 0.
以上より, (4.17)を得る. また補題 4.4.3より (4.17)右辺はD上絶対収束する．\(∧2∧)/
例 4.4.4 (対数の主値のべき級数) z ∈ C\{1}, |z| ≤ 1なら,
−Log (1− z) =∞∑n=1
zn
n. (4.18)
特に z = −1とすれば,
log 2 =∞∑n=1
(−1)n−1
n.
証明：(4.18)右辺を f(z)とおく. f(z)は |z| ≤ 1, z = 1の範囲で収束し，連続である
（命題 2.3.5）. また，−Log (1− z)もこの範囲で連続である（命題 3.3.4）. ゆえに両者
が |z| < 1の範囲で一致すれば十分である．|z| < 1の範囲で f(z)は絶対収束するので,
べき級数の微分（命題 4.4.1）より, f(z)は |z| < 1の範囲で正則かつ,
f ′(z)(4.17)=
∞∑n=1
zn−1 (2.6)=
1
1− z= (−Log (1− z))′.
従って, 命題 4.2.4より f(z) = −Log (1 − z) + c (cは定数). 更に z = 0とし，c = 0.
\(∧2∧)/
48
例 4.4.5 (⋆)
π − θ
2=
∞∑n=1
sinnθ
n, θ ∈ (0, 2π), (4.19)
(2π − θ)θ
4=
∞∑n=1
1− cosnθ
n2, θ ∈ [0, 2π]. (4.20)
(4.19)で θ = π/2として，
π
4=
∞∑n=0
(−1)n
2n+ 1(ライプニッツの級数). (4.21)
(4.20)で θ = πとして，
π2
8=
∞∑n=0
1
(2n+ 1)2,
π2
6=
∞∑n=1
1
n2,
π2
12=
∞∑n=1
(−1)n−1
n2. (4.22)
証明：(4.19):
π − θ
2問 3.3.1= − ImLog (1− exp(iθ))
(4.18)=
∞∑n=1
sinnθ
n.
(4.20): θ = 0, 2πなら等式両辺は共に= 0. ゆえに θ ∈ (0, 2π) の場合に示せば十分であ
る．そこで ε > 0を ε < θ < 2π− εなるようにとる．このとき，命題 2.3.5の証明より，
(4.19)右辺は θ ∈ [ε, 2π − ε] について一様収束する．よって 1)の両辺を積分して，∫ θ
ε
π − t
2dt =
∞∑n=1
cosnε− cosnθ
n2.
上式で ε→ 0とし (4.20)を得る．
(4.21): (4.19)で θ = π/2とし，m ∈ Nに対し sinmπ = 0, sin 4m±12
π = ±1 (複号同順)
に注意する．
(4.22): (4.22)の三式右辺を順に S1, S2, S3とする．(4.20)で θ = πとして
2)π2
4=
∞∑n=1
1− (−1)n
n2= 2S1.
一方，S2 = S1 +∑∞
n=11
(2n)2= S1 +
S2
4より，
S2 =4
3S1
2)=
π2
6, S3 = S1 −
1
4S2 =
π2
12.
\(∧2∧)/
例 4.4.6 (逆正接のべき級数) z ∈ C\{±i}, |z| ≤ 1なら,
Arctan z =∞∑n=0
(−1)nz2n+1
2n+ 1. (4.23)
特に z = 1として (4.21)を得る．
49
証明：g(z)def=∑∞
n=0zn
2n+1は z ∈ C\{1}, |z| ≤ 1 の範囲で収束し，連続である（命題
2.3.5）. そこで (4.23)右辺を f(z)とおくと，f(z) = zg(−z2)は z ∈ C\{±i}, |z| ≤ 1
の範囲で収束し，連続である. また，Arctan zもこの範囲で連続である（命題 3.6.4）.
ゆえに両者が |z| < 1の範囲で一致すれば十分である．f(z)は |z| < 1の範囲で絶対収
束するので, べき級数の微分（命題 4.4.1）より, f(z)は |z| < 1の範囲で正則かつ,
1) f ′(z)(4.17)=
∞∑n=0
(−1)nz2n.
ゆえに,
(Arctan z)′(4.15)=
1
1 + z2=
∞∑n=0
(−1)nz2n 1)= f ′(z).
従って, 命題 4.2.4よりArctan z = f(z)+ c (cは定数). 更に z = 0とし，c = 0. \(∧2∧)/
問 4.4.1 (⋆) (4.18)から以下を導け．
(i) θ ∈ [0, 2π]に対し，θ log 2 + 2
∫ θ/2
0
log sin tdt = −∞∑n=1
sinnθ
n2. [ヒント：例 4.4.5]
(ii)
∫ π2
0
log sin tdt = −π
2log 2.
問 4.4.2 (⋆) (4.20), (4.22)から以下を導け．
(i) θ ∈ [0, 2π]に対し，θ(π − θ)(2π − θ)
12=
∞∑n=1
sinnθ
n3. (ii)
π3
32=
∞∑n=0
(−1)n
(2n+ 1)3.
問 4.4.3 (⋆) x ∈ [−1, 1]に対し次を示せ:∑∞
n=0(−1)nx2n+1
(2n+1)2=∫ x
0Arctan y
ydy. 特に x = 1
のとき, この級数（積分）の値をカタラン定数と言う. カタラン定数は近似値 0.9159...
を持つが正確な値は知られていない．一方，各項分母の 2乗を 3乗におきかえた級数
は,一見するとより複雑であるにもかかわらず正確な値が知られている（問 4.4.2）.
4.5 一般二項展開� �補題 4.5.1 p ∈ R, m ∈ N, m ≥ 2とし，rn > 0 (n ∈ N)が次をみたすとする．
rnrn−1
≤ 1 +p
n, ∀n ≥ m. (4.24)
このとき，m, pのみに依存する定数Cが存在し，∀n ∈ Nに対し，
rn ≤ Cnp.� �証明：x ∈ [0, 1)に対し，次の初等的不等式に注意する．
1) 1 + px ≤ (1− x)−p
n ≥ mに対し，
2)rnrn−1
≤ 1 +p
n
1)
≤(1− 1
n
)−p
=
(n
n− 1
)p
.
50
ゆえに，
rn = rm−1
n∏j=m
rjrj−1
2)
≤ rm−1
n∏j=m
(j
j − 1
)p
= rm−1
(n
m− 1
)p
.
\(∧2∧)/
α ∈ C,n ∈ N に対し一般二項係数(αn
)を次で定める：(α
n
)=
{α(α− 1) · · · (α− n+ 1)/n!, n ≥ 1,
1, n = 0.(4.25)
� �補題 4.5.2 an =
(αn
)(α ∈ C\N, n ∈ N), p = | Imα| − Reα− 1,
m = min{n ∈ N ∩ [2,∞) ; n ≥ Reα + 1}
とする.
a) n ≥ mなら，
∣∣∣∣ anan−1
∣∣∣∣ ≤ 1 +p
n
b) αのみに依存する定数Cが存在し，∀n ∈ Nに対し，|an| ≤ Cnp.
c) α ∈ [−1,∞), n ≥ mなら, an = (−1)n|an|, |an| ≤ |an−1|.� �証明：a):
1)anan−1
=α + 1− n
n=
α + 1
n− 1.
n ≥ mとする．このとき，
2)
∣∣∣∣Re(α + 1
n− 1
)∣∣∣∣ = ∣∣∣∣Reα + 1
n− 1
∣∣∣∣ = 1− Reα + 1
n
ゆえに， ∣∣∣∣ anan−1
∣∣∣∣ 1)
≤∣∣∣∣Re(α + 1
n− 1
)∣∣∣∣+ ∣∣∣∣Im(α + 1
n− 1
)∣∣∣∣2)= 1− Reα + 1
n+| Imα|
n= 1 +
p
n.
b): a) および 補題 4.5.1による．
c): n ≥ mなら，1) より anan−1∈ [−1, 0]. \(∧2
∧)/
α ∈ C, z ∈ C\{0}に対し zα = exp(αLog z)とする. このとき，z 7→ zαはC\(−∞, 0]
で連続である．特にReα > 0なら，0α = 0と定めることで z 7→ zαはC\(−∞, 0)で連
続である．� �命題 4.5.3 (一般二項展開) |z| < 1なら，
(1 + z)α =∞∑n=0
(αn
)zn (右辺は絶対収束). (4.26)
� �証明：z ∈ D
def= {z ∈ C ; |z| < 1}に対し，示すべき等式の左辺，右辺をそれぞれ
51
g(z)，f(z)とおく．補題 4.4.3, 補題 4.5.1 b)より f(z)は |z| < 1で絶対収束する．以下,
f(z) = g(z)を言う．べき関数の微分（例 4.3.2）より,
1) g′(z) = α(1 + z)α−1, 従って (1 + z)g′(z) = αg(z).
また,
2) (1 + z)f ′(z) = αf(z).
実際,
(1 + z)f ′(z)命題 4.4.1
= (1 + z)∞∑n=0
(αn
)nzn−1
=∞∑n=0
(αn
)nzn−1 +
∞∑n=0
(αn
)nzn
=∞∑n=0
{(α
n+ 1
)(n+ 1) +
(αn
)n
}zn
問 4.5.1=
∞∑n=0
α(αn
)zn = αf(z).
よって，
f ′(z)g(z)− g′(z)f(z)1),2)=
αf(z)g(z)− αg(z)f(z)
1 + z= 0.
∀z ∈ C に対し ez = 0 なので g(z) = exp(αLog (1 + z)) = 0. 以上より f/gはD上正則
かつ, (f
g
)′
=f ′g − g′f
g2= 0.
従って, 命題 4.2.4より D上 f/g = c (定数) . さらに，c = (f/g)(0) = 1/1 = 1. \(∧2∧)/
ニュートンは, 遅くとも 1665年には一般二項展開が α ∈ Qの場合に成立することを発見し, 最初の何項かを具体的に書き下した．� �命題 4.5.4 a) Reα > | Imα|なら，等式 (4.26)の右辺は |z| ≤ 1の範囲で絶対収束
し，この範囲で等式が成立する．
b) α ∈ [−1,∞)なら，等式 (4.26)の右辺は |z| ≤ 1, z = −1の範囲で収束し，この範囲で等式が成立する．� �
証明：等式 (4.26)の左辺，右辺をそれぞれ g(z)，f(z)とおく．
a): Reα > | Imα| ≥ 0より，g は C\(−∞,−1)で連続である．一方，p = | Imα| −Reα − 1 < −1に対し |an| ≤ Cnp (n ≥ m) より級数 f(z)は |z| ≤ 1の範囲で絶対収束
する．よって命題 2.3.3より，f(z)は |z| ≤ 1の範囲で連続である．さらに，命題 4.5.3
より，|z| < 1なら g(z) = f(z). 以上を併せて結論を得る．
52
b): gはC\(−∞,−1]で連続である．一方，級数 f(z)で，n ≥ mの部分を取り出すと，
補題 4.5.1c)より，∞∑
n=m
anzn =
∞∑n=m
|an|(−z)n.
命題 2.3.5より，上記級数は {z ∈ C ; |z| ≤ 1, z = −1}の範囲で収束し，この範囲で連続である．さらに，命題 4.5.3より，|z| < 1なら g(z) = f(z). 以上を併せて結論を得
る． \(∧2∧)/
例 4.5.5 n ∈ N に対し, 二重階乗を次のように定める：
(2n−1)!! =
{1, (n = 0)
1 · 3 · · · (2n− 1), (n ≥ 1),(2n)!! =
{1, (n = 0)
2 · 4 · · · (2n), (n ≥ 1).
(4.27)
次は容易に分かる：
bndef= (−1)n
(−1/2n
)=
(2n− 1)!!
(2n)!!=
1
22n
(2n
n
), n ∈ N.
上記数列 bnは, 硬貨を 2n回投げて丁度 n回表が出る確率を表し，Arcsin のべき級数
展開にも登場する（例 4.5.6）. |z| ≤ 1, z = −1なら，命題 4.5.4より，
1√1 + z
=∞∑n=0
(−1)nbnzn. (4.28)
例 4.5.6 (Arcsin のべき級数) bnを例 4.5.5のとおり, z ∈ C, |z| ≤ 1とするとき，
Arcsin z =∞∑n=0
bnz2n+1
2n+ 1(右辺は絶対収束). (4.29)
証明：(4.29)の右辺と書く．補題 4.5.2より |bn| ≤ Cn−1/2 (n ≥ 0, C は定数). よって
f(z)は |z| ≤ 1の範囲で絶対収束する．よって命題 2.3.3より，f(z)は |z| ≤ 1の範囲で
連続である．一方，Arcsin もこの範囲で連続である (命題 3.6.2)．以上より |z| < 1に
対し f(z) = Arcsin zを言えばよい．|z| < 1なら,
f ′(z)命題 4.4.1
=∞∑n=0
bnz2n (4.28)
=1√
1− z2(4.14)= (Arcsin z)′
以上と命題 4.2.4より |z| < 1ならArcsin z−f(z) = c (定数). 更に c = Arcsin 0−f(0) =0. \(∧2
∧)/
問 4.5.1 一般二項係数 (4.25)について以下を示せ：(i)(α−1n−1
)+(α−1n
)=(αn
). (ii)(
αn+1
)(n+ 1) +
(αn
)n = α
(αn
). (iii)
(−αn
)= (−1)n
(α+n−1
n
).
問 4.5.2 (負の二項展開) z ∈ C, |z| < 1, m ∈ Nとし，次を示せ：
1
(1 + z)m=
∞∑n=0
(−1)n(m+ n− 1
n
)zn (右辺は絶対収束).
係数に現れる mHndef=(m+n−1
n
)は n個の物をm種類に分ける（あるいは，m種類の物
から重複を許しn個選ぶ）方法の総数で，負の二項係数, または重複組合せとよばれる．
53
4.6 コーシー・リーマン方程式再論
定義 4.6.1 (全微分) U ⊂ R2は開，u : U → R, (a, b) ∈ U とする.
▶ 次のような (α, β) ∈ R2 が存在するとき, uは (a, b)で全微分可能であるという：
(s, t) ∈ R2\{(0, 0)}, (s, t)→ (0, 0)のとき，
1√s2 + t2
|u(a+ s, b+ t)− u(a, b)− (αs+ βt)| −→ 0. (4.30)
このとき (α, β)を，uの (a, b)における微分係数という.� �命題 4.6.2 記号は定義 4.6.1の通り, uは (a, b)において全微分可能かつ微分係数(α, β)を持つとする．このとき，
a) uは (a, b)で連続である．
b) (a, b)において uは各座標で偏微分可能かつ ux(a, b) = α, uy(a, b) = β� �証明: a) (s, t) ∈ R2\{(0, 0)}, (s, t)→ (0, 0)とする. 仮定より,
δ(s, t)def= u(a+ s, b+ t)− u(a, b)− (αs+ βt)に対し
δ(s, t)√s2 + t2
−→ 0.
特に，
δ(s, t) =√s2 + t2
δ(s, t)√s2 + t2
−→ 0.
従って,
u(a+ s, b+ t)− u(a, b) = (αs+ βt) + δ(s, t) −→ 0.
b) (4.30)において特に t = 0とすれば，∣∣∣∣u(a+ s, b)− u(a, b)
s− α
∣∣∣∣ = 1
|s||u(a+ s, b)− u(a, b)− αs| −→ 0.
よって偏微分係数 ux(a, b)が存在し αに等しい．(4.30)において特に s = 0とすれば，
上と同様に偏微分係数 uy(a, b)が存在し βに等しいことが分かる． \(∧2∧)/� �
定理 4.6.3 (複素微分可能性とコーシー・リーマン方程式の同値性) D ⊂ Cは開，f : D −→ C, c = a+ ib ∈ D (a, b ∈ R)
U = {(x, y) ∈ R2 ; x+ iy ∈ D}
とする．また，(x, y) ∈ U に対し f(x+ iy)の実部，虚部をそれぞれ u(x, y), v(x, y)
とする (したがって u, v : U → R). このとき以下は同値である．
a) f は cで複素微分可能である．
b) u, vは共に (a, b)において全微分可能かつコーシー・リーマン方程式 (4.8)をみたす．� �
証明: (s, t) ∈ R2\{(0, 0)}, (s, t) → (0, 0)とする. このとき hdef= s + it → 0. また，
α, β ∈ R に対し，
54
1) (α + iβ)h = (α + iβ)(s+ it) = (αs− βt) + i(βs+ αt).
a) ⇒ b): コーシー・リーマン方程式 (4.8)は命題 4.2.5より既知なので，u, vの全微分
可能性を言えばよい．1) で特に α + iβ = f ′(c)とすると，
f ′(c)h = (αs− βt) + i(αt+ βs).
これを用い，
2)
{|u(a+ s, b+ t)− u(a, b)− (αs− βt)| = |Re (f(c+ h)− f(c)− f ′(c)h)|
≤ |f(c+ h)− f(c)− f ′(c)h|
ゆえに，
1√s2 + t2
|u(a+ s, b+ t)− u(a, b)− (αs− βt)|
2)
≤ 1
|h||f(c+ h)− f(c)− f ′(c)h| =
∣∣∣∣f(c+ h)− f(c)
h− f ′(c)
∣∣∣∣ −→ 0.
よって，uは (a, b)において全微分可能である．また，上と同様に，
1√s2 + t2
|v(a+ s, b+ t)− v(a, b)− (βs+ αt)| ≤∣∣∣∣f(c+ h)− f(c)
h− f ′(c)
∣∣∣∣ −→ 0.
よって，vは (a, b)において全微分可能である．
a) ⇐ b): (α, β) ∈ R2に対し，g(h) = f(c+ h)− f(c)− (α + iβ)hとすると，
3)
∣∣∣∣f(c+ h)− f(c)
h− (α + iβ)
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣g(h)h
∣∣∣∣ ≤ |Re g(h)|+ | Im g(h)||h|
.
また，
4) |Re g(h)|/|h| 1)= |u(a+ s, b+ t)− u(a, b)− (αs− βt)|/|h|
5) | Im g(h)|/|h| 1)= |v(a+ s, b+ t)− v(a, b)− (βs+ αt)|/|h|
今特に
αdef= ux(a, b)
(4.8)= vy(a, b), β
def= −uy(a, b)
(4.8)= vx(a, b)
とする．このとき，u, vの (a, b)における全微分可能性と命題 4.6.2より，4),5) の右辺
−→ 0. したがって，3) の左辺−→ 0. \(∧2∧)/
55
5 コーシーの定理
(2019 年 7 月 26 日更新)
5.1 曲線に関する用語集
I = [a, b] (−∞ < a < b <∞)，SをR2またはCとする.
▶ 連続関数 g : I → Sを曲線,あるいはC0曲線と呼び，g(a)をその始点, g(b)をその終
点, また，集合 g(I) ⊂ Sをその跡と呼ぶ．特に g(a) = g(b)をみたす曲線 gを閉曲線と
いう．曲線 gに対し次で定める h : I → Sを逆向き曲線という：
h(t) = g(a+ (b− t)), t ∈ I.
曲線を大文字の C などの記号で書くことも多く，その場合 C の逆向き曲線は −C と書く．
▶ 曲線 gが連続な導関数 g′ : I → Sを持ち，かつ次をみたすなら gはC1曲線であると
言う．
全ての t ∈ Iに対し g′(t) = 0. (5.1)
ここで, g′(a)は右微分，g′(b)は左微分とする．
ここで簡単な例を二つ挙げる．実は今後現れるほとんどの具体例は，この二つのい
ずれか，あるいはそれらの継ぎ足し（(5.3)参照）で尽くされる．
例 5.1.1 a) (線分) z0, z1 ∈ Sに対し g : [0, 1]→ Sを g(t) = (1− t)z0 + tz1と定めると，
gはC1曲線であり，その始点は z0, その終点は z1，その跡は線分 [z0, z1]である．
b) (円弧) a ∈ C, r > 0, 0 ≤ θ0 < θ1 ≤ θ0 + 2π, zj = a + r exp(iθj), (j = 1, 2)とし，
g : [θ0, θ1]→ Cを g(t) = a+ r exp(it)と定めると，gはC1曲線であり，その始点
は z0, その終点は z1，その跡は円周
C(a, r)def= {z ∈ C ; |z − a| = r} (5.2)
上で反時計回りに z0から z1に至る円弧である．特に θ1 = θ0 +2πなら gはC1閉
曲線である．
▶ g : I → Sを曲線とする．ある分点
a = t0 < t1 < ... < tn−1 < tn = b
をとるとき，各 j = 1, ..., nに対し g : [tj−1, tj] → S が C1級なら gは区分的に C1級
であると言う．ここで，g : [tj−1, tj]→ Sに対し，g′(tj−1)は右微分，g′(tj)は左微分と
する．
56
▶ j = 1, 2に対し，gj : [aj, bj]→ S (−∞ < aj < bj <∞)を曲線, g1(b1) = g2(a2)とす
る．このとき，g : [a1, b1 + (b2 − a2)]→ Sを次のように定め，これを g1, g2の継ぎ足し
と呼ぶ：
g(t) =
{g1(t), t ∈ [a1, b1],
g2(a2 + (t− b1)), t ∈ [b1, b1 + (b2 − a2)].
より一般に j = 1, ..., nに対し，gj : [aj, bj] → S (−∞ < aj < bj < ∞) を曲線,
gj(bj) = gj+1(aj+1) (j = 1, ..., n−1)とする．このとき，t0 < t1 < ... < tn, g : [t0, tn]→ S
を次のように定め，gを g1, ..., gnの継ぎ足し と呼ぶ：
t0 = a1, tj = tj−1 + bj − aj (j = 1, ..., n),
g(t) = gj(aj + (t− tj−1)), t ∈ [tj−1, tj], (j = 1, ..., n). (5.3)
曲線C1, ..., Cnをこの順番で継ぎ足して得られる曲線Cを次のように表す．
C = C1 + . . .+ Cn. (5.4)
このとき，例えばC1 + C2とC2 + C1は同義でないことに注意されたい．
例 5.1.2 a) (折れ線) z0, ..., zn ∈ Sは相異なる点，gj(t) = (1− t)zj−1 + tzj (t ∈ [0, 1],
j = 1, ..., n) とするとき，g1, ..., gnの継ぎ足しは，z0, znを結ぶ折れ線である．
b) （半円の周）a ∈ C, r > 0, g1(t) = a+ t (t ∈ [−r, r]) g2(t) = a+ r exp(it) (t ∈ [0, π])
とするとき，g1, g2の継ぎ足しは，半円 {z ∈ D(a, r) ; Im z ≥ Im a} の周を反時計回りに回る，区分的にC1の閉曲線である．
補足（「径数づけられた曲線」の同値類としての「曲線」）
今後必要とされる曲線に対する理解は，ここまで述べただけで十分である．この補
足では「曲線」のさらに厳密な定義を紹介する．まず，ここまで「曲線」と呼んできた
ものは，より厳密には径数づけられた曲線 と呼ぶべきものであり，この補足ではそう
呼ぶことにする．その上で，径数づけられた曲線全体に適切な同値関係を定め，その
同値類を「曲線」とする考え方が以下の内容である．
▶ J = [α, β] ⊂ R (α < β)とする．φ : J → I が連続，狭義単調増加，φ(α) = a,
φ(β) = bなら，φを J から I への C0 変数変換と言う．J から I への C0 変数変換 φ
が C1級，かつ全ての t ∈ J で φ′(t) > 0なら，φを J から I への C1変数変換と言う．
r = 0, 1に対し, φが J から IへのCr変数変換なら，逆関数 φ−1は Iから J へのCr変
数変換である．また，径数づけられたCr曲線 g : I → S, h : J → S, およびCr変数変
換 φ : J → Iに対し
h = g ◦ φ ⇐⇒ h ◦ φ−1 = g.
g, hが上の関係にあるとき，両者はCr変数変換で移りあうと言う．
▶ 径数づけられたCr曲線 g, hに対し，これらがCr変数変換で移りあうという関係は，
径数づけられた区分的Cr曲線全体の中での同値関係 (定義 0.1.6) である．そこで，こ
57
の同値関係による各同値類を（「径数づけられた」という形容詞を外して）Cr曲線と
呼び，大文字C等の記号で表す．
▶ 径数づけられたC1曲線 g1, ..., gnに対し gを (5.3)で定めたとおりとする．一方，j =
1, ..., nに対し，hj : [αj, βj] → S (−∞ < αj < βj < ∞)を径数づけられた C1曲線，h
を h1, ..., hnの継ぎ足しとする．各 j = 1, ..., nに対し，gj, hjがC1変数変換で移りあう
とき，g, hは区分的にC1変数変換で移りあうと言う．
▶ 径数づけられた区分的C1曲線 g, hに対し，これらが区分的にC1変数変換で移りあ
うという関係は，径数づけられた区分的C1曲線全体の中での同値関係 (定義 0.1.6) で
ある．そこで，この同値関係による各同値類を（「径数づけられた」という形容詞を外
して）区分的C1曲線と呼び，大文字C等の記号で表す．
5.2 複素線積分
[a, b] ⊂ R, h : [a, b] → C, a = t0 < t1 < ... < tn−1 < tn = b, hは各小区間 [tj−1, tj](j =
1, ..., n)上で連続とする. このとき，h : [a, b]→ Cの積分を次のように定める．∫ b
a
h(t)dt =n∑
j=1
∫ tj
tj−1
h(t)dt. (5.5)
定義 5.2.1 (複素線積分) D ⊂ C, CをD内の区分的C1曲線, [a, b] ⊂ R，g : [a, b]→ CをCの径数づけ，f : D → Cを連続とする．
▶ f のCに沿った複素線積分∫Cf (∫Cf(z)dzとも記す) を次のように定める．∫
C
f =
∫C
f(z)dzdef=
∫ b
a
f(g(t))g′(t)dt. (5.6)
ここで，関数 f(g(t))g′(t)は区分的に連続なので，(5.6)右辺の積分は (5.5)により定まる．
▶ f のCに沿った弧長積分∫Cf(z)|dz|を次のように定める．∫
C
f(z)|dz| def=∫ b
a
f(g(t))|g′(t)|dt. (5.7)
特に，次の定積分をCの弧長 と呼ぶ．
ℓ(C)def=
∫C
|dz| =∫ b
a
|g′(t)|dt. (5.8)
注: 定義 5.2.1において複素線積分 (5.6), 弧長積分 (5.7) の値は，区分的 C1変換で移
りあう範囲において径数づけの仕方によらない．そのことを確かめる．C が C1曲線
C1, ..., Cnの継ぎ足しとすれば，各Cj (j = 1, ..., n)上での積分が径数づけの仕方によら
ないことを言えばよい．したがって始めからCがC1曲線の場合を考えればよい．Cの
係数づけ g : [a, b]→ C, h : [α, β]→ CおよびC1変数変換φ : [α, β]→ [a, b]が h = g ◦φをみたすとする．まず，複素線積分 (5.6)について，∫ β
α
f(h(s))h′(s)ds =
∫ β
α
f(g(φ(s)))g′(φ(s))φ′(s)ds
=
∫ b
a
f(g(t))g′(t)dt (積分変数の変換 t = φ(s)).
58
弧長積分 (5.7)についても同様である．
複素線積分 (5.6)は複素数値実一変数関数の積分の特別な場合に過ぎないので，積分
が持つ通常の性質の反映として，以下の補題を得る．� �補題 5.2.2 D ⊂ C, CをD内の区分的C1曲線，−Cをその逆向き曲線，f, g : D →Cを連続とする．このとき以下が成立する．∫
C
(αf + βg) = α
∫C
f + β
∫C
g, (α, β ∈ C), (5.9)∫−C
f = −∫C
f, (5.10)∣∣∣∣∫C
f
∣∣∣∣ ≤ ∫C
|f(z)||dz|. (5.11)
また，C1, C2がD内の区分的C1曲線，Cがそれらの継ぎ足しであるとき，∫C
f =
∫C1
f +
∫C2
f. (5.12)
� �� �補題 5.2.3 D ⊂ C, CをD内の区分的C1曲線，f, fn : D → Cは連続 (n ∈ N)，かつ fnは f に一様収束するとする，すなわち，
supz∈D|fn(z)− f(z)| n→∞−→ 0.
このとき, ∫C
fnn→∞−→
∫C
f.
� �次の等式は容易に示すことができるが，今後具体例に度々登場する．n ∈ Zに対し，∫ 2π
0
exp(nit)dt =
{2π, (n = 0),
0, (n = 0).(5.13)
∫ π
0
exp(nit)dt =
π, (n = 0),
0, (nが偶数かつ n = 0),
2i/n, (nが奇数).
(5.14)
次の例は後にコーシーの積分公式 (定理 6.1.1)の証明でも再利用される．
例 5.2.4 a, b ∈ C, r > 0, b ∈ D(a, r)とするとき，n ∈ Zに対し∫C(a,r)
(z − a)n
z − bdz =
{2πi(b− a)n, (n ≥ 0),
0, (n < 0).
ここで，円周C(a, r)の向きは反時計まわりとする．特にn ≤ 0なら，積分の値は a, b, r
に無関係である．また，a = bとすると，∫C(a,r)
(z − a)n−1dz =
{2πi, (n = 0),
0, (n = 0).
59
証明: c = (b− a)/r, z ∈ C(a, r)とする．このとき |c(z−ar
)−1 | = |c| < 1. よって，
(z − a)n
z − b=
(z − a)n
z − a− (b− a)= rn−1
(z−ar
)nz−ar− c
= rn−1
(z−ar
)n−1
1− c(z−ar
)−1 = rn−1
∞∑m=0
cm(z − a
r
)n−m−1
.
上式最後に現れた指数級数は z ∈ C(a, r)について一様収束する．したがって補題 5.2.3
より，
1)
∫C(a,r)
(z − a)n
z − bdz = rn−1
∞∑m=0
cm∫C(a,r)
(z − a
r
)n−m−1
dz.
C(a, r)を g(t) = a+ r exp(it) (t ∈ [0, 2π])と径数づけると，g′(t) = ir exp(it)より，
2)
∫C(a,r)
(z − a
r
)n−m−1
dz(5.6)= ir
∫ 2π
0
exp((n−m)it)dt(5.13)=
{2πri, (m = n),
0, (m = n).
2)より，n < 0なら 1)右辺の項は全て 0, n ≥ 0ならm = nの項のみが残り，
1)右辺 = rn−1cn × 2πri = 2πi(b− a)n.
以上より結論を得る． \(∧2∧)/
例 5.2.5 r > 0, 半円周C+(r) = {z ∈ C ; |z| = r, Im z ≥ 0} の向きは反時計まわり,
I(r) =
∫C+(r)
exp(iz)
2izdz
とするとき，
I(r) =π
2−∫ r
0
sinx
xdx, |I(r)| ≤ π
2r. (5.15)
特に r →∞として， ∫ ∞
0
sinx
xdx =
π
2. (5.16)
証明:exp(iz)
2iz=
1
2
∞∑n=0
in−1
n!zn−1 (右辺は z ∈ C+(r)について一様収束).
したがって補題 5.2.3より
1) I(r) =1
2
∞∑n=0
in−1
n!
∫C+(r)
zn−1dz.
C+(r)を g(t) = r exp(it) (t ∈ [0, π])と径数づけると，g′(t) = ir exp(it)より，
2)
∫C+(r)
zn−1dz(5.6)= irn
∫ π
0
exp(nit)dt(5.14)=
πi, (n = 0),
0, (nが偶数かつ n = 0),
−2rn/n, (nが奇数).
60
よって
1)右辺 =π
2−
∞∑m=0
(−1)mr2m+1
(2m+ 1)!
1
2m+ 1=
π
2−
∞∑m=0
∫ r
0
(−1)mx2m
(2m+ 1)!dx
=π
2−∫ r
0
(∞∑
m=0
(−1)mx2m
(2m+ 1)!
)dx
(3.12)=
π
2−∫ r
0
sinx
xdx.
なお上式で，級数∑∞
m=0(−1)mx2m
(2m+1)!は x ∈ [0, r]について一様収束することから
∑∞m=0と∫ r
0の順序交換が正当化できる．一方，
3) t ∈ [0, π/2]に対し sin t ≥ 2tπ.
よって
|I(r)|(5.11)
≤∫C+(r)
∣∣∣∣exp(iz)2iz
∣∣∣∣ |dz| (5.7)=1
2
∫ π
0
exp(−r sin t)dt
=
∫ π/2
0
exp(−r sin t)dt3)
≤∫ ∞
0
exp
(−2rt
π
)dt =
π
2r.
\(∧2∧)/
問 5.2.1 べき級数 f(z) =∑∞
n=0 anznは |z| ≤ rの範囲で絶対収束するとする．このと
き，任意の z ∈ D(0, r)に対し次を示せ．f(z) =1
2πi
∫C(0,r)
f(w)
w − zdw.
問 5.2.2 0 < p < 2, I(p) =
∫ ∞
0
sinx
xpdxとする 4. 以下を示せ．
(i)
∫ ∞
0
1− cosx
xp+1dx =
1
pI(p). (ii)
∫ ∞
0
cos ax− cos bx
xp+1dx =
bp − ap
pI(p) (0 ≤ a < b <
∞). (iii)
∫ ∞
0
sin2 x
xp+1dx =
2p−1
pI(p).
問 5.2.3 an, bn ∈ C, ∞∑n=0
|an| <∞,∞∑n=0
|bn| <∞ とする. べき級数 f(z) =∞∑n=0
anzn,
g(z) =∞∑n=0
bnznに対し次を示せ (積分路の単位円周の向きは反時計回りとする)．
∫|z|=1
f(z)g(z)
zdz = 2πi
∞∑n=0
anbn.
5.3 原始関数
関数 f, F : I → C (I = [a, b] ⊂ R)に対し，F が I 上微分可能かつ全ての t ∈ I に対し
F ′(t) = f(t)ならF を fの原始関数と言う．F が fの原始関数でありかつ fが I上連続
なら，次の「微積分の基本公式」が成立する．
F (b)− F (a) =
∫ b
a
f(t)dt. (5.17)
4(5.16)より I(1) = π2 , 問 5.4.1(後述)より I(1/2) =
√π2 , 一般に I(p) = π
2Γ(p) sin pπ2
[吉田, p.395].
61
5.3節では，原始関数の概念および微積分の基本公式 (5.17)を複素変数関数に拡張する．
以下，D ⊂ Cを領域とする．
定義 5.3.1 (原始関数) D上の複素数値関数 F, f について次の条件がみたされるとき,
F を f の原始関数と言う：
F はD上正則かつ全ての z ∈ Dに対し F ′(z) = f(z). (5.18)
� �命題 5.3.2 D上の複素数値関数 f, F,Gについて F を f の原始関数とするとき,
Gが f の原始関数 ⇐⇒ G− F = c (定数)� �証明： =⇒: (G− F )′ = f − f = 0. 従って命題 4.2.4よりG− F = c（定数).
⇐= 明らか. \(∧2∧)/
次の命題より，多くの初等関数が原始関数を持つことがわかる．� �命題 5.3.3 r ∈ (0,∞], D = {z ∈ C ; |z| < r}, an ∈ C (n ∈ N)とし，次のべき級数 f(z)が全ての z ∈ Dに対し絶対収束するとする．
f(z) =∞∑n=0
anzn.
このとき，次のべき級数 F (z)が全ての z ∈ Dに対し絶対収束し，F は f の原始関数である．
F (z) =∞∑n=0
ann+ 1
zn+1.
� �証明：z ∈ Dに対し
∞∑n=0
∣∣∣∣ ann+ 1
zn+1
∣∣∣∣ ≤ |z| ∞∑n=0
|an||z|n <∞.
よって F (z)は全ての z ∈ Dに対し絶対収束する．したがって命題 4.4.1より z ∈ Dに
対し
F ′(z) =∞∑n=0
(n+ 1)an
n+ 1zn = f(z).
\(∧2∧)/
例 5.3.4 f : D → C,及びその原始関数Fの具体例を列挙する (J = (−∞,−1]∪[1,∞))：
62
D, f = F ′, f の原始関数 F
C zn (n ∈ N) zn+1/(n+ 1)
C\{0} zn (n ∈ Z, n ≤ −2) zn+1/(n+ 1)
C exp(cz) (c ∈ C\{0}) exp(cz)/c
C ch z sh z
C sh z ch z
C cos z sin z
C sin z − cos z
C\(−∞, 0] 1/z Log z
C\(−∞, 0] Log z zLog z − z,
C\(−∞, 0] zα (α ∈ C\{−1}) zα+1/(α + 1)
| Im z| < π2
th z Log ch z
|Re z| < π2
tan z −Log cos z
C\iJ 1z2+1
Arctan z
C\J , 1√1−z2
Arcsin z
証明：各例について F はD上正則かつ F ′ = f が確認できる. \(∧2∧)/
以下で，z, w ∈ C (z = w)に対し，線分 [z, w]の向きは，zを始点，wを終点となる
（zからwに至る）ようにとる．� �補題 5.3.5 f : D → Cが連続，z ∈ Dとする．このとき，w ∈ D\{z}, w → zなら，
1
w − z
∫[z,w]
f −→ f(z).
� �証明： 1
w−z
∫[z,w]
dζ = 1に注意して，
1)
(1
w − z
∫[z,w]
f
)− f(z) =
1
w − z
∫[z,w]
(f(ζ)− f(z))dζ.
f は zで連続なので, ∀ε > 0に対し次のような δ > 0が存在する：
2) ζ ∈ D, |z − ζ| < δ =⇒ |f(ζ)− f(z)| < ε.
今，|z − w| < δ とする. このとき, ζ ∈ [z, w]についても |z − ζ| < δなので,
3) |1)右辺 |(5.11)
≤ 1
|w − z|
∫[z,w]
|f(ζ)− f(z)||dζ|2)
≤ ε.
1),3)より, w → zで,1
w − z
∫[z,w]
f −→ f(z).
\(∧2∧)/
次の命題は，微積分の基本公式 (5.17)を複素変数関数に拡張したものである．
63
� �命題 5.3.6 D上の複素数値関数F, fについて fは連続とする．以下は同値である．
a) F は f の原始関数である．
b) D内の区分的C1曲線Cが始点 z,終点wを持つとき，∫C
f = F (w)− F (z). (5.19)
c) 任意の z ∈ Dに対し次をみたす r > 0が存在する．D(z, r) ⊂ Dかつ任意のw ∈ D(z, r)に対し， ∫
[z,w]
f = F (w)− F (z). (5.20)
� �証明：a) ⇒ b) g : [a, b] → Cを C の径数づけとする．gは区分的に C1なので，分点
a = t0 < t1 < ... < tn−1 < tn = bを適切にとれば gは各小区間 [tj−1, tj](j = 1, ..., n)上
C1である．このとき，
1)
∫ tj
tj−1
f (g(t)) g′(t)dt =
∫ tj
tj−1
F ′ (g(t)) g′(t)dt
命題 4.2.1=
∫ tj
tj−1
(F ◦ g)′(t)dt (5.17)= (F ◦ g)(tj)− (F ◦ g)(tj−1).
ゆえに， ∫C
f(5.6)=
∫ b
a
f (g(t)) g′(t)dt =n∑
j=1
∫ tj
tj−1
f (g(t)) g′(t)dt
1)=
n∑j=1
((F ◦ g)(tj)− (F ◦ g)(tj−1))
= (F ◦ g)(b)− (F ◦ g)(a) = F (w)− F (z).
b) ⇒ c):自明．
c) ⇒ a): w ∈ D(z, r)\{z}, w → zとすると，
F (w)− F (z)
w − z
(5.20)=
1
w − z
∫[z,w]
f補題 5.3.5−→ f(z).
よって F は f の原始関数である． \(∧2∧)/� �
命題 5.3.7 f : D → Cが連続なら以下は同値である．
a) f はD上で原始関数を持つ．
b) D内の任意の区分的C1閉曲線Cに対し，∫C
f = 0.
c) D内の区分的C1曲線C1, C2が始点，終点を共有するなら∫C1
f =
∫C2
f .
� �証明：a)⇒ b) fが原始関数F を持てば (5.19)が成立する．特にCが閉曲線なら z = w
64
より∫C
f = 0.
b) ⇒ c) D内の区分的C1曲線C1, C2が始点，終点を共有するとき，C1に−C2を継ぎ
足した曲線C ⊂ Dは区分的C1閉曲線である．
✇
③
❈✷
❈✶
�❈✷
[C1,C2 は始点 z, 終点 wを共有する．−C2 は C2 を逆に辿る (矢印つきの点線で，曲線の向きを模式的に表した).]
したがって，
0b)=
∫C
f(5.12)=
∫C1
f +
∫−C2
f(5.10)=
∫C1
f −∫C2
f.
c) ⇒ a) F : D → Cを適切に定め，それが命題 5.3.6の条件 c)をみたすことを言う．
F の定義：a ∈ Dを任意に固定する．また，z ∈ Dに対しD内で aから zに至る区分
的 C1曲線全体の集合を C (a, z)とする．このとき補題 4.2.3より，任意の z ∈ Dに対
し C (a, z) = ∅. (C (a, z)は，D内で aから zに至る折れ線を含む). そこで z ∈ Dに対
しC ∈ C (a, z)を任意にとり次のように定める．
F (z) =
∫C
f
仮定より任意のC1, C2 ∈ C (a, z)に対し∫C1
f =∫C2
f．よってF (z)の値はC ∈ C (a, z)
の選び方に依らず定まる．
F が命題 5.3.6の条件 c)をみたすこと: z ∈ Dを任意とする．このとき，D(z, r) ⊂ D
となる r > 0が存在する．さらに任意のw ∈ D(z, r)に対し [z, w] ⊂ D(z, r) ⊂ D. ゆえ
に，C ∈ C (a, z)に対し，Cに [z, w]を継ぎ足した区分的C1曲線C + [z, w]を考えると
C + [z, w] ∈ C (a, w). したがって，F (w) =∫C+[z,w]
f . 以上より，
F (w)− F (z) =
∫C+[z,w]
f −∫C
f(5.12)=
∫[z,w]
f.
以上より命題 5.3.6の条件 c)がみたされる． \(∧2∧)/
例 5.3.8 n ∈ Z, D = C\{0}とすると fn(z)def= znはD上正則である．さらに，n = −1
ならFn(z)def= zn+1/(n+1)がDにおいて fnの原始関数である．一方，f−1はD上で原
始関数を持たない．実際，単位円周C(0, 1)に対し例 5.2.4より∫C(0,1)
f−1 =
∫C(0,1)
dz
z= 2πi.
65
よって，命題 5.3.7の条件 b)が満たされない．一方，θ ∈ (−π, π]を任意に固定し
Dθ = C\{exp(iθ)t ; t ≥ 0}
とすれば，Log (− exp(iθ)z) はDθ上正則かつDθにおいて 1/zの原始関数である．
5.4 閉路積分の応用例
命題 5.3.7の応用例として次の補題 5.4.1, さらにその具体例として例 5.4.2を述べる．� �補題 5.4.1 D ⊂ Cを領域とし，次の a),b)を仮定する．
a) f : D → Cは原始関数を持つ.
b) c > 0, {z ∈ C ; 0 ≤ Im z ≤ c} ⊂ D,
lim|x|→∞
∫ c
0
f(x+ iy)dy = 0. (5.21)
このとき，次の広義積分の一方が存在すれば他方も存在し，両者は等しい．∫ ∞
−∞f(x)dx,
∫ ∞
−∞f(x+ ic)dx.
� �証明：a, b > 0とし，−a, b, b+ ic,−a+ icを頂点とする長方形の積分路に命題 5.3.7を
適用し，
❛�❛
❛ ✰ ✐❝�❛ ✰ ✐❝
1)
∫[−a,b]
f +
∫[b,b+ic]
f +
∫[b+ic,−a+ic]
f +
∫[−a+ic,−a]
f = 0.
a, b→∞とすると，∫ b
−a
f(x)dx−∫ b
−a
f(x+ ic)dx =
∫[−a,b]
f +
∫[b+ic,−a+ic]
f
1)= −
∫[−a+ic,−a]
f −∫[b,b+ic]
f
= i
∫ c
0
f(−a+ iy)dy − i
∫ c
0
f(b+ iy)dy(5.21)−→ 0.
\(∧2∧)/
注 1)補題 5.4.1で，仮定 a)を「f : D → Cは正則」に置き換えても，結論はそのまま成り立つ．その場合は証明中で，命題 5.3.7のかわりに定理 5.5.1を用いればよい．
2)補題 5.4.1で，仮定 b)を次のように置き換えても，結論はそのまま成り立つ．
66
b’) c < 0, {z ∈ C ; c ≤ Im z ≤ 0} ⊂ D,
lim|x|→∞
∫ 0
c
f(x+ iy)dy = 0. (5.22)
証明も同様である．
以下の応用例では，次のよく知られた定積分を用いる．∫ ∞
−∞exp(−x2)dx =
√π. (5.23)
例えば [杉浦, p.298], [吉田, p.261]を参照されたい．
例 5.4.2 c ∈ Rに対し，
I(c)def=
∫ ∞
−∞exp(−x2 − 2icx)dx =
√π exp(−c2).
I(0)(5.23)=√π は既知とし，c = 0の場合を示す．また積分変数の変換 x 7→ −xより
I(−c) = I(c)がわかるので c > 0の場合に示せればよい．関数
f(z)def= exp(−z2) =
∞∑n=0
(−1)nz2n
n!, z ∈ C
は命題 5.3.3より原始関数を持つ. これに注意し補題 5.4.1を応用する．∫ ∞
−∞f(x)dx
(5.23)=
√π,∫ ∞
−∞f(x+ ic)dx = exp(c2)
∫ ∞
−∞exp(−x2 − 2icx)dx.
よって次を言えればよい．
1)
∫ ∞
−∞f(x)dx =
∫ ∞
−∞f(x+ ic)dx.
今，x ∈ R, y ∈ [0, c]なら，
|f(x+ iy)| = | exp(−(x2 − y2)− 2ixy)| = exp(−(x2 − y2)) ≤ exp(−x2 + c2).
よって |x| → ∞で，∣∣∣∣∫ c
0
f(x+ iy)dy
∣∣∣∣ ≤ ∫ c
0
|f(x+ iy)|dy ≤ c exp(−x2 + c2) −→ 0.
これと補題 5.4.1より，1) を得る． \(∧2∧)/
67
� �補題 5.4.3 D ⊂ Cを領域とし，次の a),b)を仮定する．
a) f : D → Cは原始関数を持つ.
b) a, b > 0, {z ∈ C ; 0 ≤ Im z ≤ baRe z} ⊂ D,
limx→∞
∫ bx/a
0
f(x+ iy)dy = 0. (5.24)
このとき，次の広義積分の一方が存在すれば他方も存在し，両者は等しい．
I =
∫ ∞
0
f(x)dx, J = (a+ ib)
∫ ∞
0
f((a+ ib)x)dx.
� �証明：c = b/aとすると，変数変換 x 7→ x/aより，次の広義積分Kが存在すれば広義
積分 J も存在し，両者は等しい．
K = (1 + ic)
∫ ∞
0
f(x+ icx)dx.
そこで，J をKに置き換えた命題を示せばよい．0, r, r + icrを頂点とする三角形の積
分路に命題 5.3.7を適用し，
1)
∫[0,r]
f +
∫[r,r+icr]
f +
∫[r+icr,0]
f = 0.
r ✰ ✐❝r
r✵
まず a)を仮定し，r →∞とすると，∫ r
0
f(x)dx− (1 + ic)
∫ r
0
f(x+ icx)dx
=
∫[0,r]
f +
∫[r+icr,0]
f1)= −
∫[r,r+icr]
f = −i∫ cr
0
f(r + iy)dy(5.24)−→ 0.
b)を仮定しても同様である． \(∧2∧)/
注: 1) 補題 5.4.3で，仮定 a)を「f : D → Cは正則」に置き換えても，結論はそのまま成り立つ．その場合は証明中で，命題 5.3.7のかわりに定理 5.5.1を用いればよい．
2)補題 5.4.3で，仮定 b)を次のように置き換えても，結論はそのまま成り立つ．
b’) b < 0 < a, {z ∈ C ; baRe z ≤ Im z ≤ 0} ⊂ D,
limx→∞
∫ 0
bx/a
f(x+ iy)dy = 0. (5.25)
68
証明も同様である．
例 5.4.4 0 ≤ p ≤ 1, q =√1− p2とするとき，∫ ∞
0
exp((−p± iq)x2)dx =1
2
√π
2
(√1 + p± i
√1− p
)(複号同順).
特に p = 0のとき，上記積分はフレネル積分 と呼ばれる．
証明: p = 1の場合は (5.23)からわかるので p < 1としてよい．また，複号+の場合と
−の場合は互いに共役なので前者のみ示せばよい．関数
1) f(z)def= exp((−p+ iq)z2) =
∞∑n=0
(−p+ iq)nz2n
n!, z ∈ C
は，命題 5.3.3より原始関数を持つ. これに注意し補題 5.4.3を応用する．adef=√
1+p2,
bdef=√
1−p2，とすると (a+ ib)2 = p+ iq = 1
p−iq. よって
f((a+ ib)z)1)= exp((−p+ iq)(a+ ib)2z2) = exp(−z2).
ゆえに，
2)
∫ ∞
0
f((a+ ib)x)dx =
∫ ∞
0
exp(−x2)dx(5.23)=
√π
2.
また，b/a =√
1−p1+p≤ 1より，0 ≤ y ≤ bx/aなら，0 ≤ y ≤ x. ゆえに，
Re[(−p+ iq)(x+ iy)2] = −p(x2 − y2)− 2qxy ≤ −2qxy,
|f(x+ iy)| 1)= exp(Re[(−p+ iq)(x+ iy)2]) ≤ exp(−2qxy).
よって x→∞で，
3)
∣∣∣∣∣∫ bx/a
0
f(x+ iy)dy
∣∣∣∣∣ ≤∫ bx/a
0
|f(x+ iy)|dy ≤∫ ∞
0
exp(−2qxy)dy =1
2qx−→ 0.
2),3), および補題 5.4.3より，∫ ∞
0
exp((−p+ iq)x2)dx1)=
∫ ∞
0
f(x)dx
補題 5.4.3= (a+ ib)
∫ ∞
0
f((a+ ib)x)dx2)=
√π
2(a+ ib).
\(∧2∧)/
問 5.4.1 0 < p < 1に対し次を示せ 5．I(p)def=
∫ ∞
0
sinx
xpdx =
1
1− p
∫ ∞
0
sin(x1
1−p )dx.
5この問と例 5.4.4より，I(1/2) =√π/2を得る．また，関連した広義積分については問 5.2.2を参照
されたい．
69
5.5 コーシーの定理:多角形積分路,および星形領域の場合
相異なる n個の点 z1, ..., zn ∈ C (n ≥ 3) が，ある a ∈ Cおよび 0 ≤ θ1 < ... < θn < 2π
を用い，
zj = a+ |zj − a| exp(iθj), j = 1, ..., n (5.26)
と表されるとする．このとき，次の折れ線Cを n角形と呼ぶ．
C = [z1, z2] ∪ [z2, z3] ∪ .... ∪ [zn−1, zn] ∪ [zn, z1].
③✶
③✷
③✸
③✹
③✺
③✻
③✼
Cの向きは反時計回り (z1 → z2 → ...→ zn → z1)と規約する．� �定理 5.5.1 (多角形積分路に対するコーシーの定理) 開集合 D ⊂ Cは n角形 C
(n ≥ 3)の周および内部を含むとする．このとき，f : D → Cが正則なら∫C
f = 0. (5.27)
� �定理 5.5.1を示すために，補題を二つ準備する．まず最初の補題を述べるために次の
定義を置く．
定義 5.5.2 (閉集合) SをR2またはC, A ⊂ S とする.
▶ 次のような x ∈ S全体の集合をAと記し, Aの閉包と呼ぶ:
点列 anで，全ての n ∈ Nに対し an ∈ A, かつ an → xとなるものが存在する．
▶ A = AならAは閉であると言う.
注: 一般にA ⊂ A.実際，任意の a ∈ Aに対し an ≡ aとすれば，an ∈ Aかつ an → a.
70
� �補題 5.5.3 SをR2またはC, A ⊂ Sに対し
diam(A) = sup{|x− y| ; x, y ∈ A}
と記す．空でない閉集合の列Kn ⊂ S (n ∈ N)は
K0 ⊃ K1 ⊃ ... かつ δndef= diam(Kn) −→ 0
をみたすとする．このとき，ある a ∈ Sが存在し，任意の n ∈ Nに対し，
a ∈ Kn ⊂ D(a, δn).� �証明：S = Cの場合を示すが，S = R2でも同様である．Knから任意に anを選び，次
を示す．
1) anがある a ∈ Cに収束する．
bn, cn ∈ Rを次のように定める 6.
❑♥
❝♥❜♥
bn = inf{Re z ; z ∈ Kn}, cn = sup{Re z ; z ∈ Kn}.
このとき，Kn ⊃ Kn+1により，bnは↗, cnは↘, さらに，
cn − bn ≤ diam(Kn) −→ 0.
以上と，区間縮小法 ([杉浦, p.20], [吉田, p.45])より bn, cnはともにある b ∈ R に収束する．これと bn ≤ Re an ≤ cnより，Re an → b. 同様の議論より，Im anも収束し，結
果として anが収束する．
次に 1)から結論を導く．n ∈ Nを任意に固定するとき，m ≥ nなら am ∈ Km ⊂ Kn．
ここでm → ∞とするとKnは閉なので a ∈ Kn. また，a ∈ Knより，任意の x ∈ Kn
に対し |x− a| ≤ diam(Kn) = δn. よってKn ⊂ D(a, r). \(∧2∧)/� �
補題 5.5.4 a ∈ D ⊂ C, Dは開，f : D → Cは正則とする．このとき，任意の ε > 0
に対し r0 > 0が存在し，任意の r ∈ (0, r0)およびD(a, r)内の任意の区分的 C1閉曲線C に対し ∣∣∣∣∫
C
f
∣∣∣∣ ≤ εrℓ(C).
� �6Kn は有界かつ閉，z 7→ Re zは連続なので inf, supは実際にはそれぞれmin, maxである．
71
証明：f の aにおける複素微分可能性より，任意の ε > 0に対し r0 > 0が十分小さけれ
ば，D(a, r0) ⊂ D, かつ z ∈ D(a, r0)に対し
1) |f(z)− f(a)− f ′(a)(z − a)| ≤ ε|z − a|.
ここで，1次関数 g(z)def= f(a) + f ′(a)(z − a)は原始関数 f(a)z + f ′(a)(z − a)2/2を持
つ．ゆえに命題 5.3.7より，任意の区分的C1閉曲線Cに対し
2)
∫C
g = 0.
特に r ∈ (0, r0)かつC ⊂ D(a, r)なら，C上の任意の点 zに対し
3) |f(z)− g(z)|1)
≤ ε|z − a| ≤ εr.
よって ∣∣∣∣∫C
f
∣∣∣∣ 2)=
∣∣∣∣∫C
(f − g)
∣∣∣∣ (5.11)≤ ∫C
|f(z)− g(z)||dz|
3)
≤ εr
∫C
|dz| = εrℓ(C).
\(∧2∧)/
定理 5.5.1の証明：まず n = 3の場合に帰着させる．Cの頂点 z1, ..., znが (5.26)のよう
に表せるとする．多角形Cを n個の三角形Cj = △azjzj+1 (j = 1, ..., n)に分解し，各
Cjの向きを反時計まわりとする．
③✶
③✷
③✸
③✹
③✺
③✻
③✼
❛
[矢印つきの円で，C1, C2 の向きを模式的に表した.[a, z2]上で両者は逆向き．]
このとき，CjとCj+1 の向きが共有する辺 [a, zj]上で打ち消しあうことから，∫C
f =n∑
j=1
∫Cj
f.
ゆえに，各 j = 1, ..., nに対し∫Cj
f = 0ならよい．そこで，以下では n = 3の場合を示
す．
ℓ(C) = Lなら diam(C) ≤ L．Cの辺 [z3, z1], [z1, z2], [z2, z3]の中点を順にm1,m2,m3と
する. Cに線分 [m1,m2], [m2,m3], [m3,m1]を加えることで，三角形Cは以下の四つの
合同三角形 Γj (j = 0, .., 3)に分解される．
Γ1 = △z1m2m1, Γ2 = △z2m3m2, Γ3 = △z3m1m3, Γ4 = △m1m2m3,
72
③✸
③✶
③✷ ♠✸
♠✶♠✷
[Γj 内の矢印のついた円が Γj の向きを模式的に表す.]
各 Γjに反時計回りの向きをつけると，辺 [mj,mj+1] (j = 1, 2, 3, m4def= m1)上でこの辺
を共有する三角形 Γj, Γ4の向きが相殺され,∫C
f =4∑
j=1
∫Γj
f.
そこで，|∫Γjf |が最大になる三角形 ΓjをC1と名付けると，ℓ(C1) = L/2, diam(C1) ≤
L/2, ∣∣∣∣∫C
f
∣∣∣∣ ≤ 4∑j=1
∣∣∣∣∣∫Γj
f
∣∣∣∣∣ ≤ 4
∣∣∣∣∫C1
f
∣∣∣∣ .三角形C1は三辺の中点を結ぶ三本の線分により四つの合同三角形に分解される．これ
らから上と同様にC2を選ぶと，ℓ(C2) = L/4, diam(C2) ≤ L/4,∣∣∣∣∫C1
f
∣∣∣∣ ≤ 4
∣∣∣∣∫C2
f
∣∣∣∣ .以下，同様の手続きにより三角形の列 Cn (n = 1, 2, ...) が選ばれ，ℓ(Cn) = L/2n,
diam(Cn) ≤ L/2n,
1)
∣∣∣∣∫C
f
∣∣∣∣ ≤ 4n∣∣∣∣∫
Cn
f
∣∣∣∣ .Cnにその内部を加えた閉集合をKnとすると，K1 ⊃ K2 ⊃ ...かつ
diam(Kn) = diam(Cn) ≤ L/2n −→ 0.
ゆえに補題 5.5.3より，ある a ∈ Cが存在し，
2) 任意の n ∈ Nに対し, a ∈ Kn ⊂ D(a, L/2n).
今，任意の ε > 0に対し r0を補題 5.5.4のようにとる. L/2n < r0をみたす nに対し, 2)
に注意して，Cnに補題 5.5.4を適用すると，
3)
∣∣∣∣∫Cn
f
∣∣∣∣ ≤ ε · (L/2n) · ℓ(Cn) = εL2/4n.
1),3)より ∣∣∣∣∫C
f
∣∣∣∣ ≤ εL2.
ε > 0は任意なので結論を得る． \(∧2∧)/
73
定義 5.5.5 a ∈ A ⊂ Cとする．任意の z ∈ Aに対し [a, z] ⊂ AであるときAは aに関
し星形 であるという．
❛
� �定理 5.5.6 (星形領域に対するコーシーの定理) 領域D ⊂ Cは，ある a ∈ Dに関し星形, かつ f : D → Cは正則とする．このとき，
a) f はD上で原始関数を持つ．
b) D内の任意の区分的C1閉曲線Cに対し，∫C
f = 0.
� �証明：a): Dは aに関し星形なので，任意の z ∈ Dに対し，[a, z] ⊂ D. そこで
1) F (z)def=
∫[a,z]
f
とし，F が f の原始関数であることを言う．そのために次に注意する．
2) 任意の z ∈ Dに対し r > 0が存在し，任意の w ∈ D(z, r)に対し，△azwの周と内
部がDに含まれる.
③❛
✇
❉
実際，Dは開なのでD(z, r) ⊂ Dをみたす r > 0が存在する．このとき，D(z, r)は開
円板なので任意の w ∈ D(z, r)に対し，[z, w] ⊂ D(z, r) ⊂ D. 特に任意の b ∈ [z, w]に
対し，b ∈ D. さらに，Dは aに関し星形なので, [a, b] ⊂ D. これは，△azwの周と内
部がDに含まれることを意味する．よって 2)が示された．
2)で，△azwの周をCとすると，定理 5.5.1(n = 3の場合)より，
74
3)
∫C
f = 0.
ゆえに
03)=
∫C
f(5.12)=
∫[a,z]
f +
∫[z,w]
f +
∫[w,a]
f
1), (5.10)= F (z)−
∫[w,z]
f − F (w).
したがって，
F (w)− F (z) =
∫[w,z]
f.
以上より命題 5.3.6の条件 c)がみたされる．ゆえに F は f の原始関数である．
b): a) と命題 5.3.7による． \(∧2∧)/
問 5.5.1 記号は定義 5.5.2のとおりとする．A,B ⊂ S に対し以下を示せ：(i) Aは閉.
(ii) A ⊂ B なら A ⊂ B. したがって，特に A ⊂ B かつ B が閉なら A ⊂ B. (iii)
A ∪B = A ∪ B. (iv) A ∩B ⊂ A ∩ B. また, A ∩B = A ∩ B となる例を挙げよ. (v)
A,B が閉なら, A ∪B, A ∩B も閉.
問 5.5.2 定義 4.1.1,定義 5.5.2について以下を示せ：(i) S\◦D= S\D. (ii) D ⊂ S が開
⇔ S\Dは閉.
5.6 より一般的なコーシーの定理
定義 5.6.1 S を R2 または C, C ⊂ S は連続単純閉曲線,D ⊂ S は有界領域とする．
C = ∂Dかつ S\Dが連結であるとき，DはCの内部であるという．
注：ジョルダンの曲線定理 7より，任意の連続単純閉曲線C ⊂ Sは定義 5.6.1の意味で
有界領域を内部に持つことが知られている．しかし，今後登場する全ての応用例でこ
の事実は容易に確かめられるので，ジョルダンの曲線定理を用いる必要はない．
v ∈ R2または v ∈ Cに対し，
v⊥def=
{ (v2−v1
), v =
(v1v2
)∈ R2なら,
v2 − iv1, v = v1 + iv2 ∈ Cなら (v1, v2 ∈ R).(5.28)
v⊥は vを，時計回りに 90◦回転して得られる．
定義 5.6.2 SをR2またはC, C ⊂ Sは区分的C1単純閉曲線で有界領域Dはその内部
とする．また，C上の微分可能点 zに対し，Cの zにおける単位接ベクトルを v(z)と
記し，v(z)⊥を (5.28)で定める．
▶ 次の条件がみたされるときCは反時計回り の向きを持つという．C上の任意の微分
可能点 zに対し，δ > 0が存在し，
z + tv(z)⊥ ∈
{D, t ∈ (−δ, 0)なら,
S\D, t ∈ (0, δ)なら.(5.29)
また，Cが時計回り の向きを持つとは，反時計回りと逆の向きをもつこととする．7例えば [Moise, p.31]. ブラウアーの不動点定理を用いたより短い証明は [前原]を参照されたい．
75
(5.29)は，「Cに沿って進むとき, Dが進行方向左手にある」ことを意味する．� �定理 5.6.3 (コーシーの定理) C ⊂ Cは区分的C1単純閉曲線で有界領域Dはその内部とする．さらに，D ⊂ U ⊂ C, U は開とする．このとき，f : U → Cが正則なら ∫
C
f = 0, (5.30)
ここで，Cの向きは反時計回りとする．� �定義 5.6.4 Sは R2または C, D ⊂ Sは有界領域，n ∈ N, C0, ..., Cn ⊂ Sは区分的 C1
単純閉曲線，有界領域Dj は Cj の内部とする (j = 0, ..., n)．とする．次の条件がみた
されるとき，DはC0, ..., Cnの内部であるという．
D0 ⊃ D1 ∪ ... ∪Dn, D = D0\(D1 ∪ ... ∪Dn).
またこのとき，C0の向きは反時計回り，C1, ..., Cnの向きは時計回りと規約する．� �定理 5.6.5 (コーシーの定理 II) C0, ..., Cn, D ⊂ C, (n ∈ N)を定義 5.6.4のとおり．さらに，D ⊂ U ⊂ C, U は開とする．このとき，f : U → Cが正則なら
n∑j=0
∫Cj
f = 0, (5.31)
ここで，C0, ..., Cnの向きは定義 5.6.4での規約どおりとする．� �
76
6 コーシーの定理からの恩恵
6.1 コーシーの積分公式� �定理 6.1.1 (コーシーの積分公式) D ⊂ Cは領域，f : D → Cは正則, a ∈ D, r > 0,
D(a, r) ⊂ Dとする．このとき，任意の z ∈ D(a, r)に対し，
f(z) =1
2πi
∫C(a,r)
f(w)
w − zdw, (6.1)
ここで，円周C(a, r)の向きは反時計まわりとする．� �� �補題 6.1.2 D ⊂ Cは開，a ∈ D, r > 0, D(a, r) ⊂ Dとする．このとき，D(a,R) ⊂DをみたすR > rが存在する．� �証明：背理法による．任意のR > rに対しD(a,R)∩Dc = ∅と仮定する．このとき，任意のn ∈ N\{0}に対しzn ∈ D(a, r+ 1
n)∩Dcが選べる．znは有界閉集合D(a, r+1)∩Dc内の点
列である. ゆえにボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理より，あるz ∈ D(a, r+ 1n)∩Dc,
ある自然数列 k(1) < k(2) < ...が存在し，zk(n) → z (n→∞). znの選び方より，
|zk(n) − a| ≤ r +1
k(n).
よってn→∞とすると，|z−a| ≤ r,すなわち，z ∈ D(a, r). したがってz ∈ D(a, r)∩Dc.
これは仮定D(a, r) ⊂ Dに反する． \(∧2∧)/� �
補題 6.1.3 定理 5.5.6において，f に関する仮定を，「f : D → Cは連続かつ一点p ∈ Dを除き正則である」に変更しても，結論はそのまま成り立つ．� �証明：定理 5.5.6の証明より，次を言えば十分である．
1) 定理 5.5.1の n = 3の場合が「f : D → Cは連続かつ一点 p ∈ Dを除き正則である」
という仮定のもとでも成立する．
そこで以下では 1)を示す．△z1z2z3の周および内部をKと記す．
i) p ∈ K場合．このときK ⊂ D\{p}．したがって，DのかわりにD\{p}をとることで，定理 5.5.1がそのまま適用できる．
ii) p ∈ {z1, z2, z3}の場合．例えば p = z1とする．また，ε ∈ (0, 1)に対し z′j = (1 −ε)z1 + εzj (j = 2, 3)，△z1z
′2z
′3の周をC1, z2, z3, z
′3, z
′2を頂点とする四角形の周をC2, 向
きは共に反時計回りとする．
③✸
♣ ❂ ③✶
③✷
③✵
✸③✵
✷
77
このとき，C1, C2は線分 [z′2, z′3] を共有するが，この線分上で両者の向きは逆なので，∫
C1f +
∫C2
f とすると，線分 [z′2, z′3]上の積分が相殺する．その結果，
2)
∫C
f =
∫C1
f +
∫C2
f
一方，定理 5.5.1の n = 4の場合より
3)
∫C2
f = 0
ここで，ℓ(C1) = εℓ(C)に注意する．また，f の連続性より，Mdef= maxK |f | < ∞. 以
上より， ∣∣∣∣∫C
f
∣∣∣∣ 2),3)=
∣∣∣∣∫C1
f
∣∣∣∣ (5.11)≤ ∫C1
|f(z)||dz| ≤Mℓ(C1) = εMℓ(C).
ε ∈ (0, 1)は任意なので，∫Cf = 0.
iii) p ∈ C\{z1, z2, z3}の場合．例えば，p ∈ [z1, z2]\{z1, z2}とする．
③✸
③✶
③✷
♣
このとき，△z1z3p, △z2pz3の周をそれぞれC1, C2，向きは共に反時計回りとする．C1,
C2は線分 [p, z3] を共有するが，この線分上で両者の向きは逆なので，∫C1
f +∫C2
f と
すると，線分 [p, z3]上の積分が相殺する．その結果，∫C
f =
∫C1
f +
∫C2
f.
ところが，ii) の結果より∫Cj
f = 0 (j = 1, 2). 以上より∫Cf = 0.
iv) p ∈ K\C の場合．このとき，△pz1z3, △pz2z1, △pz3z2の周をそれぞれ C1, C2, C3
向きは全て反時計回りとする．
③✸
③✶
③✷
♣
Ci,Cj (1 ≤ i < j ≤ 3)は一辺を共有するが，この辺上で両者の向きは逆なので，∫C1
f +∫C2
f +∫C3
f とすると，これらの辺上の積分が相殺する．その結果，∫C
f =
∫C1
f +
∫C2
f +
∫C3
f.
78
ところが，ii) の結果より∫Cj
f = 0 (j = 1, 2, 3). 以上より∫Cf = 0. \(∧2
∧)/
定理 6.1.1の証明：補題 6.1.2よりD(a, r) ⊂ D(a,R) ⊂ D をみたすR > rが存在し，
f : D(a,R) → Cは正則である．そこでDをD(a,R)にとりかえて考えることにより．
はじめからDは星形と仮定してよい．z ∈ D(a, r)を固定し，次の関数 gz(w) (w ∈ D)
を考える．
gz(w) =
f(w)− f(z)
w − z, w ∈ D\{z}なら,
f ′(z), w = zなら.
gz : D → Cは連続かつ一点 zを除き正則である．ゆえに，補題 6.1.2より
1)
∫C(a,r)
gz = 0.
したがって， ∫C(a,r)
f(w)
w − zdw
1)= f(z)
∫C(a,r)
dw
w − z
例 5.2.4= 2πif(z).
\(∧2∧)/
79
7 有理型関数
7.1 留数定理
80
8 問の略解
(2019 年 7 月 26 日更新)
問 2.3.1 (i) anzn n→∞−→ 0 (命題 2.1.2). よって，∃M ∈ [0,∞), ∀n ∈ N, |anzn| ≤ M < ∞ (系
1.2.4). したがって，∑∞
n=0 |an|rn ≤M∑∞
n=0(r/|z|)n(2.6)< ∞. (ii) |z| < r0とする．このとき r0
の定義から, ∃r > |z|,∑∞
n=0 |an|rn <∞. よって∑∞
n=0 |an||z|n <∞. 次に |z| > r0とする．もし f(z)が収束するなら，(i)より r ∈ (r0, |z|)に対し
∑∞n=0 |an|rn < ∞. これは r0の定義に反
するから，f(z)は収束しない．
問 2.3.2 (i) ⇐ は明らかなので，⇒ のみ示す．f は偶関数だから f(z) = f(z)+f(−z)2
(2.22)=∑∞
n=0 a2nz2n. これと，係数の一意性 (命題 2.3.6)より結論を得る．(ii):(i)と同様．
問 2.3.3 (i): 問 2.3.1, 系 2.3.4による．(ii):
M∑n=N+1
anzn =
M∑n=N+1
(fn(1)− f(1))zn −M∑
n=N+1
(fn−1(1)− f(1))zn
= (fM (1)− f(1))zM +
M−1∑n=N+1
(fn(1)− f(1))(zn − zn+1)− (fN (1)− f(1))zN+1.
この式を用い，命題 2.3.5の証明と同様に議論する．(iii): 命題 2.3.3の証明で (2.19)を用い，f(z)の連続性を示したが，ここでも全く同様に，(i)で示した不等式から f(z)の連続性を得る．
問 3.2.1等式 sn(ρ, z) =∑n
k=0 ρk exp(ikz) = 1−ρn+1 exp(i(n+1)z)
1−ρ exp(iz) について，(sn(ρ, z)+sn(ρ,−z))/2,(sn(ρ, z) − sn(ρ,−z))/(2i) を計算し，(3.19), (3.20) を得る．特に |ρ| exp(| Im z|) < 1 なら，ρn cosnz
n→∞−→ 0, ρn sinnzn→∞−→ 0. ゆえに (3.19), (3.20)から (3.21)を得る．
問 3.2.2 (i) n ∈ mNならwn = 1より∑m−1
j=0 wnj = m. n ∈ mNならwn = 1,∑m−1
j=0 wnj (1.13)=
wnm−1wn−1 = 0. (ii) N ∈ Nに対し，
m−1∑j=0
mN∑n=0
anwjnzn =
mN∑n=0
anxnm−1∑j=0
wjn (i)= m
N∑n=0
amnzmn. N →
∞として結論を得る．問 3.2.3 (i)tan z tanw = 1 ⇐⇒ sin z sinw = cos z cosw
(3.13)⇐⇒ cos(z+w) = 0系 3.2.4⇐⇒ z+w ∈
π2 + πZ. (ii) tan(z + w) =
sin(z + w)
cos(z + w)
(3.13)=
cos z sinw + sin z cosw
cos z cosw − sin z sinw=
tan z + tanw
1− tan z tanw.
問 3.3.1 |1 − exp(iθ)|2 = 2 − 2 cos θ = 4 sin2 θ2 . よって log |1 − exp(iθ)| = 1
2 log(4 sin2 θ2) =
log 2+log sin θ2 . 一方，
sin θ1−cos θ =
2 cosθ2 sin
θ2
2 sin2θ2
= 1/ tan θ2 = tan(π−θ
2 ). よってArg (1−exp(iθ)) =
−Arctan(
sin θ1−cos θ
)= θ−π
2 .
問 3.3.2: z = r exp(iθ) (r > 0, θ ∈ (−π, π])とすると，θ = Arg zより，α− θ ∈ (−π, π], またeiα/z = ei(α−θ). よって
α−Arg z = α− θ = Arg (ei(α−θ)) = Arg (ei(α−θ)/r) = Arg (eiα/z).
これと Log z = log |z|+ iArg zより，所期等式を得る．
問 3.5.1 (i)√−1 (3.44)
= exp(12Log (−1))(3.26)= exp(12πi) = i. (ii) n = 0,±1 に対し Jn を命題
3.3.8のとおり，Arg z +Arg w ∈ Jnとすると，√zw
(3.44)= exp(12Log (zw))
(3.34)= exp(12Log z +
12Log w − nπi)
(3.44)=√z√w(−1)n. ゆえに第一式を得る．(i)と第一式より第二式を得る．
問 3.5.2：M ∈ [0,∞)を |an|の上界とする．(3.46)より∑∞
n=1
∣∣anns
∣∣ ≤M∑∞
n=11
nRe s <∞.問 3.6.4 (i),(ii)共に定義式 (3.11),(3.51),(3.54) を用いた単純計算．
問 4.2.1 (i): x ∈◦Aなら ∃r > 0, D(x, r) ⊂ A. よって，D(x, r) ⊂ B. (ii): (i)と同様に考えれば
よい．(iii): A ∪B ⊃ Aと (i)より (A ∪B)◦ ⊃◦A. 同様に (A ∪B)◦ ⊃
◦B. A = {z ∈ S ; |z| ≤ 1},
B = {z ∈ S ; |z| ≥ 1} に対し (A ∪B)◦ = S,◦A ∪
◦B= {z ∈ S ; |z| = 1}. (iv): A ∩Bについて
81
は (ii), A ∪Bについては (iii)からわかる．問 4.2.2: i): a, b ∈ Dを任意，g(t) = (1− t)a+ tb (t ∈ [0, 1])とする．このとき，f ◦ gを考えることにより命題 4.2.4の証明と同様に f(a) = f(b)を得る.ii): a ∈ D1, b ∈ D2 より，D1 = ∅, D2 = ∅. また，明らかに D = D1 ∪ D2, D1 ∩ D2 = ∅.さらに，D1, D2 は共に開である．例えばD1 について見る．任意の c ∈ D1 に対し, Dは開だ
からD(c, r)def= {z ∈ C ; |z − c| < r} ⊂ Dをみたす r > 0が存在する．さらに i)より，f は
D(c, r)上で定数である．したがって，任意の z ∈ D(c, r)に対し f(z) = f(c) = f(a). ゆえにD(c, r) ⊂ D1, よってD1は開である．同様の議論よりD2も開である．以上はDの連結性に反する．問 4.2.3 (i) |f | ≡ cだが，c = 0なら f ≡ 0なので c > 0とする．また，u = Re f , v = Im f に対し u2 + v2 = c2. ゆえに uux + vvx ≡ 0, uuy + vvy ≡ 0. これと (4.8)より，uux − vuy ≡ 0,uuy + vux ≡ 0. これと u2 + v2 = c2 > 0より ux ≡ 0, uy ≡ 0. したがって (4.7)より f ′ ≡ 0. 以上と命題 4.2.4より f は定数である．(ii) 定数 θ = Arg f に対し g(z) = exp(−iθ)f(z)はD上正則かつ実数値である. 系 4.2.6より実数値正則関数 gの複素微分は恒等的に零である．ゆえに命題 4.2.4より gは定数であり，したがって f は定数である．問 4.3.1 u(x, y) = 1
2 log(x2 + y2), v(x, y) = Arg (x+ iy)は Log (x+ iy)の実部，虚部なので，
コーシー・リーマン方程式より，vx(x, y) = −uy(x, y) = −yx2+y2
, vy(x, y) = −ux(x, y) = xx2+y2
.
問 4.3.2
1) (sin)′(Arcsin z) = cos(Arcsin z)問 3.6.4=√1− z2.
(4.11)と 1)より，(Arcsin z)′(4.11)= 1
(sin)′(Arcsin z)
1)= 1√
1−z2. また，
(2) (tan)′(Arctan z) =1
cos2(Arctan z)
問 3.6.4= 1 + z2.
(4.11)と 2)より，(Arctan z)′(4.11)= 1
(tan)′(Arctan z)
(2)= 1
1+z2.
問 4.3.3 (i) (x, y) ∈ R2\{0}に対し f(x + iy) = x2
(1 + 1
|z|2
)+ iy
2
(1− 1
|z|2
)からわかる．(ii)
{exp z ; z ∈ D1} ⊂ Hと (i)をあわせ，{ch z ; z ∈ D1} ⊂ Hを得る．cosについても同様．(iii)ch , cos, Log の微分 (例 4.1.6,例 4.3.2) と連鎖率 (命題 4.2.7)を組み合わせる．問 4.4.1 (i) 示すべき等式は θ ∈ [0, 2π] について連続なので θ ∈ (0, 2π)に対し示せばよい．このとき，
log 2 + log sinθ
2
問 3.3.1= ReLog (1− exp(iθ))
(4.18)= −
∞∑n=1
cosnθ
n.
ε > 0とし，上式を積分し，
(θ − ε) log 2 + 2
∫ θ/2
εlog sin tdt = −
∞∑n=1
sinnθ − sinnε
n2
ついで ε→ 0とし結論を得る．(ii) (i)で θ = π.
問 4.4.2 (i) (4.20), (4.22)より，π2
6 −(2π−θ)θ
4 =∑∞
n=1cosnθn2 . 両辺を積分して結論を得る．(ii)
(i)で θ = π/2.問 4.5.1 定義 (4.25)に従って単純計算すればよい．問 4.5.2: 命題 4.5.3 を α = −m として適用し,
(−mn
)= (−1)n
(m+n−1
n
)に注意する.
問 5.2.1 f(w) =∑∞
n=0 anwnは w ∈ C(0, r)について一様収束するので，∫
C(0,r)
f(w)
w − zdw =
∞∑n=0
an
∫C(0,r)
wn
w − zdw
例 5.2.4= 2πi
∞∑n=0
anzn = 2πif(z).
問 5.2.2 (i) sinx = (1− cosx)′に注意して部分積分する．(ii) cos ax− cos bx = (1− cos bx)−(1− cos ax)より (i)に帰着．(iii) sin2 x = 1−cos 2x
2 より (i)に帰着．問 5.2.3 C(0, 1)を単位円周，fn(z) =
∑nj=0 ajz
j , gn(z) =∑n
k=0 bkzk, hn(z) = fn(z)gn(z)/z,
82
h(z) = f(z)g(z)/z とする．fn → f , gn → gはC(0, 1)上一様収束するので，hn → hもC(0, 1)上一様収束する．また，∫
Chn = i
n∑j,k=0
ajbk
∫ 2π
0exp(2π(j − k)it)dt
(5.13)= = 2πi
n∑j=0
ajbj .
n→∞として結論を得る．問 5.5.1 (i): xn ∈ A, xn → x と仮定し，x ∈ A を言えばよい．仮定から，各 xn に対し
xn,kk→∞→ xn となる {xn,k}k≥1 ⊂ Aが存在する．そこで，k(n)を |xn − xn,k(n)| < 1
n となるよ
うにとると，|x − xn,k(n)| ≤ |x − xn| + 1n → 0. よって xn,k(n)
n→∞→ x. 以上から x ∈ A．(ii):
x ∈ Aなら xn → xとなる xn ∈ Aが存在する．このとき，xn ∈ Bでもあるから x ∈ B. (iii):“⊃”は (ii)からわかる．“⊂”の証明は次のとおり：x ∈ A ∪B なら xn → xとなる xn ∈ A ∪Bが存在する．このとき，(1) xn ∈ Aとなる nが無限個存在する，または, (2) xn ∈ Bとなる nが無限個存在する. (1)なら xk(n)
n→∞→ xなる xk(n) ∈ Aがとれる．したがって x ∈ A. 同様に(2)なら x ∈ B. (iv):“⊂”は (ii)からわかる．=の例はA = [0, 1), B = [1, 2]. (v):A ∪Bについては (iii)を用いて，A ∩Bについては (iv)を用いて示せる．
問 5.5.2 (i) (⊂): x ∈ S\◦Dなら ∀n ≥ 1, ∃xn ∈ S\D, |x− xn| < 1/n. このとき，xn → xより
x ∈ S\D. (⊃): x ∈ S\Dなら, ∃xn ∈ S\D, xn → x. よって x ∈ S\◦D. (ii): (i)から容易にわ
かる.
83
参考文献
[前原] Maehara, Ryuji: The Jordan curve theorem via the Brouwer fixed point theorem.Amer. Math. Monthly 91 (1984), no. 10, 641643.
[Moise] Moise, E.E.: Geometric Topology in Dimensions 2 and 3, Springer Graduate Textsin Mathematics (1977)
[野村] 野村隆昭 「複素関数論講義」共立出版
[杉浦] 杉浦光夫 「解析入門 I,II」 東京大学出版会
[吉田] 吉田伸生 「微分積分」 共立出版
84
索 引
アーベル (Niels Henrik Abel, 1802–1829),20
アーベルの定理 (Abel’s theorem), 20
一対一 (one to one), 4一般二項係数 (generalized binomial coeffi-
cient), 48一般二項展開 (generalized binomial expan-
sion), 49
オイラー (Leonhard Euler, 1707–83), 6, 23オイラーの等式, 23折れ線 (polygonal line), 39
開 (open), 37開円板 (open disc), 10加法定理 (addition formulas), 22, 23
逆写像 (inverse map), 4逆正弦 (arc sine), 34逆正接 (arc tangent), 35逆像 (inverse image), 4逆余弦 (arc cosine), 35級数 （series, 12強単調性 (strong monotonicity), 14共役 (conjugate) , 6極限 (limit) , 9極座標 (polar coordinates), 25虚軸 (imaginary axis), 6虚部 (imaginary part) , 6
区分的 (piecewise), 54
径数づけられた (parameterized), 54ケイリー変換 (Cayley transfomation), 34原始関数 (primitive function), 59
合成 （composition）, 4コーシーの積分公式 (Cauchy’s integral for-
mula), 72コーシーの定理 (Cauchy’s theorem), 66, 69,
70コーシー・リーマン方程式 (Cauchy-Riemann
equation), 41弧長 (arc length), 56
三角関数 (trigonometric functions), 23三角不等式 (triangular inequality), 6
指数関数 (exponential function), 21指数法則 (exponential law), 21実軸 (real axis), 6
実部 (real part), 6写像 (map), 3ジュウコフスキー変換 (Joukowski transfo-
mation), 32収束 (convergence), 8, 12収束半径 (radius of convergence), 20条件収束 (conditional convergence), 16ジョルダンの曲線定理 (Jordan curve theo-
rem), 70
正弦 (sine), 23正接 (tangent), 25正則 (holomorphic), 37絶対収束 (absolute convergence), 16全射 (surjective), 4全単射 （bijective), 4全微分 (total differentiation), 52
像 (image), 4双曲正弦 (hyperbolic sine), 22双曲正接 (hyperbolic tangent), 25双曲余弦 (hyperbolic cosine), 22
対数 (logarithm), 29多項式 (polynomial), 11単項式 (monomial), 11単射 (injective), 4単調列定理 (monotone convergence theo-
rem), 13
重複組合せ (combination with repetition),51
直積 (direct product), 5直径 (diameter), 7
継ぎ足し (concatenation), 54, 55
同値関係 (equivalence relation), 5同値類 (equivalence class), 5時計回り (clockwise), 70
内点 (interior point), 37
二重階乗 (double factorial), 51
ハミルトン (William Hamilton, 1805–65),6
反時計回り (counter-clockwise), 70
非交差分解 (disjoint decomposition), 5微 (分)係数 (differential coefficient), 52
複素数 (complex number), 6
85
複素数列 (complex sequence), 8複素線積分 (complex line integral), 56複素点列 (complex sequence), 8複素微分 (complex differentiation), 37複素微分係数 (differential coefficient), 37負の二項係数 (negative binomial coefficient),
51負の二項展開 (negative binomial expansion),
51部分和 (partial sum), 12フレネル (Augustin Jean Fresnel, 1788–1827),
65フレネル積分 (Fresnel integral), 65
閉 (closed), 66閉円板 (closed disc), 10閉曲線 (closed curve), 54閉包 (closure) , 66べき級数 (power series), 17偏角 (argument), 29
星形 (star-shaped), 69
有界 (bounded), 7, 8有理式 (rational function), 11
余弦 (cosine), 23
ライプニッツ (Gottfried Leibniz, 1646–1716),47
ライプニッツの級数 (Leibniz series), 47
領域 (domain), 39
連結 (connected), 39連続 (continuous), 11
86