ec maxwell ii 14 10_2006
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Ley de Gauss M
Ley de Gauss E
Ley de Faraday
Ley de Ampere-Maxwell
0=⋅∇ Brr
0=∫∫ ⋅ ABrr
d
libreρ=⋅∇ Drr
encerradalibreQd =∫∫ ⋅ ADrr
Número de ecuaciones< Número de Incógnitas
∫∫∫ ⋅−=⋅SS
ddtdd ABlE
rrrr
)(C
∫∫∫∫∫ ⋅+⋅=⋅SS
condS
ddtddd ADAJlH
rrrrrr
)(C
dtdBEr
rr−=×∇
dtd
condDJHr
rrr+=×∇
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1Br
2Br
x(r
⋅1B
x(r
⋅2B
ε1
μ
ε2
μ
x
j)),ρ
xx (r(r⋅=⋅ 2BB1
ε1
μ1
ε2
μ
x
1Dr
2Dr
j)),ρ
lsuperficiaxx ρ)(r(r=⋅−⋅ 12 DD
ε1
μ1
ε2
μ
x
2Er
1Er
x(r
×2E
x(r
×1E
j)),ρ
xx (r(r×=× 2EE1
ε1
μ1
ε2
μ
x
j)),ρ
lsuperficiajxx)(r(r
=×−× 12 HH
1Hr
2Hr
CondicionesCondiciones de de contornocontorno o o fronterafrontera
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RELACIONES CONSTITUTIVAS O MATERIALES
MEDIOS LINEALES E ISÓTROPOS
EDrr
ε= ( 2212
0 NmC1085.8 −=≡ εεvacío )
EJrr
σ= (dieléctricos o aisladores: 0≈σ ; conductores: 0≠σ )
HBrr
μ= ( 27
0 AN104 −=≡ πμμvacío ; paramagnéticos: 1
0>μ
μ ;
diamagnéticos: 10
<μμ ; no-magnéticos: 1
0≈μ
μ )
≡ε permitividad dieléctrica o constante dieléctrica ≡μ permeabilidad magnética ≡σ conductividad
MEDIOS LINEALES Y ANISÓTROPOS ELÉCTRICOS Y MAGNÉTICOS
En ese caso, la constante dieléctrica y la permeabilidad magnética son tensores (Cada uno resulta diagonal en algún sistema de coordenadas, llamado sistema principal)
HBrr
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
μμμμμμμμμ
=
333231
232221
131211
EDrr
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
εεεεεεεεε
=
333231
232221
131211
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MEDIOS NO LINEALES ISÓTROPOS
La relación entre los campos no es lineal. Dentro de estos medios, están los medios quirales o con actividad óptica, siendo las relaciones constitutivas
( )EβEε'Drrrr
×∇+= ( )HβHμBrrrr
×∇+=
MEDIOS “ZURDOS” (LEFT HANDED MEDIA)
La luz parece propagarse en dirección opuesta a la de la propagación de la energía. Pueden ser isótropos o anisótropos. La constante dieléctrica y/o la permeabilidad magnética son NEGATIVAS
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LA ECUACIÓN DE ONDAS Y LA VELOCIDAD DE LA LUZ
Medios materiales lineales, isótropos, homogéneos Libres de cargas y corrientes
00 =⋅∇⇒=⋅∇ HBrrrr
00 =⋅∇⇒=⋅∇ EDrrrr
tt ∂∂
−=×∇⇒∂∂
−=×∇HEBEr
rrr
rrμ
tt ∂∂
=×∇⇒∂∂
=×∇EHDHr
rrr
rrε
2
2)()()(ttt ∂
∂−=
∂×∇∂
−=∂∂
×∇−=×∇×∇EHHErrrr
rrrrμεμμ
EEEE 22)()( ∇−=∇−⋅∇∇=×∇×∇rrrrrrrrr
zEyExE zyx(r(r(vrr
)()()( 2222 ∇+∇+∇≡∇ Edonde
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00 =⋅∇⇒=⋅∇ HBrrrr
00 =⋅∇⇒=⋅∇ EDrrrr
tt ∂∂
−=×∇⇒∂∂
−=×∇HEBEr
rrr
rrμ
tt ∂∂
=×∇⇒∂∂
=×∇EHDHr
rrr
rrε
022 =
∂∂
−∇tEE
2 rrμε 02
2 =∂∂
−∇tHH
2 rrμε
Las componentes del campo eléctrico y el campo magnético cumplencon una ecuación de ondas, cuya velocidad de fase es με
1=u
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Existencia de relación entre Campos Eléctricos, Campos Magnéticos y Luz
ANTECEDENTES
1) Efecto Faraday2) Velocidad de la luz y unidades “eléctricas”3) Propiedades de ondas electromagnéticas
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Ep
Ep
Ep
Ep
EsE
“Si un vidrio se pone en un fuerte campo magnético, cambia el plano de polarización de la luz cuando luz LP pasa en una dirección en la cual el campo tiene una componente”.
EFECTO FARADAY (1821)
B
B
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Velocidad de la luz c(m/s) “Cociente de unidades eléctricas”
001
εμ(m/s)
Fizeau...............................314.000.000 Weber........................310.740.000 Aberración, paralaje.........308.000.000 Maxwell.....................288.000.000 Foucault............................298.360.000 Thomson....................282.000.000
“ Se manifiesta que la velocidad de la luz y el cociente de unidades son cantidades del mismo orden de magnitud. Ninguna de ellas ha sidodeterminada con tal grado de precisión que nos permita asegurar que una es más grande o chica que la otra. ....La concordancia de los resultados parece inducir que la luz es una perturbación electromagnética que se propaga de acuerdo con las leyes electromagnéticas”.
Demostró la posibilidad teórica de la existencia de ondas electromagnéticas que viajarían a una velocidad casi igual a la de la luz.
MAXWELL (1864-…)
022 =
∂∂
−∇tEE
2 rrμε
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Usó una bobina y un capacitor (jarrade Leyden) y una zona de chispazos(cuyos polos estaban formados por 2 esferas de 2 cm de radio) para producir una descarga entre esos polos, oscilando a una frecuencia determinada por la inductancia y la capacidad.
Detectó la radiación en la bobinade prueba: una espira de alambrede cobre con esferas de bronce separadas centésimas de milímetro
HERTZ (1886-....)
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La polarización de la luz es afectada por los campos magnéticos
Existe la posibilidad teórica de la existencia de ondas electromagnéticas con velocidades semejantes a la de la luz
Heinrich Rudolf Hertz (1857-1894)Alemania
Descubrió ondas que eran sin dudas electromagnéticas y cuyas propiedades eran similares a la de la luz(interferencia, reflexión y refracción).
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NATURALEZA DE LA LUZNATURALEZA DE LA LUZ
OJO FAROL (fuego visual)
EMPÉDOCLES y PLATÓN (~400 a.C.): emanación etéreaEUCLIDES (~300 a.C.): rayo visualARISTÓTELES (~300 a.C.): fuego puede cambiar el estado del aire de transparente en potencia a transparente en acto. (hasta siglo XVII)DEMÓCRITO, LUCRECIO (~400 a.C.): granizada de partículas; las imágenes se
desprenden de los objetosCierre de la Academia Platónica (~500 d.C.)
ALHAZEN (~1000 d.C.): cámara oscura, la luz entra a los ojos, rayos útiles para estudio de la luzLEONARDO DA VINCI (~1500 d.C.): el ojo es una cámara oscuraKEPLER (~1600 d.C.) geometría cámara oscura, explicación ojo-visiónGALILEO (~1600 d.C.) “La luz no es Dios”, luz “fría”???? ¿ y Aristóteles?DESCARTES (~1600 d.C.) : Las reglas de la naturaleza son las reglas de la mecánica, la luz es el movimiento del plenum
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HUYGENS (~1600): la luz es una vibración
NEWTON (~1700): Los rayos de luz son cuerpos emitidos por sustancias brillantes
EULER (~1750): “Los rayos de luz solar son respecto del éter lo que el sonido es respecto del aire”YOUNG (~1800) Principio de InterferenciaFRESNEL (~1800) Polarización (transversal), Difracción (a partir de Interferencia)FARADAY (~1800): unidad de la Naturaleza; vinculación entre luz, sonido y efectos eléctricos????. Idea de onda en Inducción; vibraciones del éter son movimientos de las líneas de fuerzaMAXWELL (~1870): la luz puede ser una onda electromagnética
1) Dos personas se miran: las partículas deben seguir la misma trayectoria en dirección contraria2) El sol irradiara gran cantidad de partículas: se consumiría3) ¿Cómo pasan tantos corpúsculos por el agujero de la cámara oscura sin afectar la imagen?
Críticas a Teoría Corpuscular
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SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE ONDAS
Cada componente de Er
y de Hr
cumple:
0122
2 =∂∂
−∇tV
uV
2
¿Es solución una onda plana: )()( 21 utVutVV +⋅+−⋅= rNrN r(r( con kNjNiN zyx
((((++=N
y kzjyix(((r
++=r ? rr
N()()(1 ϕVutVV ≡−⋅≡ rN r(
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ϕ
ϕϕϕϕϕϕ
ϕϕϕdd
EEENNNkji
EEEzyx
kji
EEEzyx
kji
zyx
zyx
zyxzyx
ENEr
(
(((((((((
rr×=
∂∂
∂
∂
∂∂
=
∂∂
∂
∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
=∂∂
∂∂
∂∂
=×∇
ϕϕ
ϕ
ϕϕ
ϕϕϕ
ddu
tt
ddu
ttHHH
EEE
HHEE rrr
rrr
rrrr
−=∂∂
∂∂
=∂∂
−=∂∂
∂∂
=∂∂
⇒== )(;)(
Reemplazando en las Ecuaciones de Maxwell
ϕddHNHr
(rr×=×∇
ϕϕ
ϕϕ
ϕϕ
ϕ dd
zH
yH
xH
zH
yH
xH zyxzyx HNH
r(rr
⋅=∂∂
∂∂
+∂∂
∂
∂+
∂∂
∂∂
=∂
∂+
∂
∂+
∂∂
=⋅∇
)()(1 ϕVutVV ≡−⋅≡ rN r(
ϕddHNHr
(rr⋅=⋅∇
ϕddENEr
(rr⋅=⋅∇
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ϕμ
ϕ ddu
dd HEN
rr(
=× ϕ
εϕ d
dudd EHN
rr(
−=×
0=⋅ϕd
dHNr
( 0=⋅
ϕddENr
(
Integrando respecto a ϕ para constante=N(
⇒⎭⎬⎫
=⋅=⋅−=×=×
00 HNENEHNHEN
r(r(
rr(rr(uu εμ Ondas transversales
Como με
1=u y HHHEENrrrrr(
εμ
μεμμ ====×
1u HErr
με =
Como la luz tiene el carácter de onda armónica: ( )⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −⋅= utsin rNAE r(rr
λπ2
( )
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
=−⋅ utj
erN
AEr(rr
λπ2
Im ( )utje
−⋅=
rNAE
r(rrλπ2
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z
x
y
ε
ε’
α
β
*α
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x
*αα
β
z
ε1
ε2
N
Campo eléctrico perpendicular al plano de incidenciaCampo magnético paralelo al plano de incidenciaDirección de propagación debe ser perpendicular a E y a H
( *N(
'N(
11
1με
=u
22
1με
=u
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( )utje
−⋅=
rNAE
r(rr λ
π2
Onda incidente( )turNj
yyy eEeEE1
1
2
0
−⋅λπ
==r(
(r
cu
=νλ=λν
0ondaladeamplitud
posiciónvectorrondaladeavance
dedirecciónlaenversorN
medioelenvelocidadufrecuencia
medioelenondadelongitud
=
=
=
==ν=λ
Ar
r
(
Onda reflejada( )turNj
*yy
*y
**
eEeEE1
1
2
0
−⋅λπ
==r(
(r
Onda transmitida( )turNj
'yy
'y
''
eEeEE2
2
2
0
−⋅λ
π
==r(
(r
Condición de contornoSe conserva la componente tangencial del campo eléctrico en x=0
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y'yy
*yyy eEeEeE ((( =+
( ) ( ) ( )
tx
turNj'
y
tx
turNj*
y
turNj
y
'*
eEeEeE
∀=
−⋅λ
π
∀=
−⋅λπ
−⋅λπ
=+0
2
00
2
0
2
02
21
11
1
r(r(r(
( ) ( ) ( )
tx
'z
'x
*z
*xzx tuzNxNj
'y
tx
tuzNxNj*
y
tuzNxNj
y eEeEeE
∀=
−+λ
π
∀=
−+λπ
−+λπ
=+
0
22
11
11
2
00
2
0
2
0
x
*α
β
z
ε1
ε2
N( *N
(
'N(
α
sobre la interfaz en todo momento
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( ) ( ) ( )tuzNj'
y
tuzNj*
y
tuzNj
y
'z
*zz
eEeEeE2
21
11
1
2
0
2
0
2
0
−λ
π−
λπ
−λπ
=+
( ) ( ) ( )tuzNtuzNtuzN 'z
*zz 2
21
11
1
222−
λπ
=−λπ
=−λπ
tuzN\tuzNtuzN 'z
*zz 2
221
111
11
222222λ
π−
λπ
=λπ
−λπ
=λπ
−λπ
Como debe valer en todo momento y ω=πν=λνλπ
=λπ 222 u
⎪⎩
⎪⎨⎧
λ=
λ=
λ
ω=ω=ω'z
*zz NNN
211
21111
211 λβ
=λ
α=
λα sinsinsin *
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211 λβ
=λ
α=
λα sinsinsin *
111
1με
==νλ u2
221με
==νλ u
00εμμε
== refraccióndeíndicen
*α=α
β=α sinnsinn 21βμε=αμε sinsin 21
Segunda Ley de Reflexión
Segunda Ley de Refraccióno Ley de Snell