固体電子工学

第13回 磁場の中の電子

13-1

名古屋大学工学部電気電子・情報工学科 中里 和郎、新津 葵一

磁場の中の電子

自由な電子

dv

m q E v Bdt

運動方程式

電場が無いとき

c

qB

m

角振動数 c = qB/m

の円運動を行う

電場があるとき

磁場に垂直な電場

円運動の一周期で平均化

0dv

m q E v Bdt

2

E Bv

B

E

B

円運動しながらドリフト

Ev

B

13-2

c

dvv

dt

散乱がある場合

dv mvm q E v B

dt

定常状態、電流密度 j qnv

2 21x

c

j E

2 21

cy

c

j E

1, , 0

, 1, 0

0, 0, 1

c x x

c y y

z z

j E

j E

j E

磁場の方向を z 軸にとると

更に電場の方向を x 軸にとると

2qn

m

13-3

ホール効果

E

B

x

y z

I 電流が x 方向にのみ流れるとき

x xj E

xy

j BE

qn

x

y Ex

Ey

ホール係数

1y

H

x

ER

j B qn

試料の境界に電荷ができ、ホール電場を形成

実験的に伝導電子密度、電子かホールか、を知る事が出来る

qEy

qv B

B

HR

実験値から移動度も求まる

v

ホール電場

13-4

磁気抵抗

x xj E

最もシンプルな近似 ： は磁場に依らない

実際には磁場に依存

（１） 電子が自由電子的でない

（２） ２つ以上のバンドに属する電子群、または１つのバンドでも

フェルミ面の異なる部分に対応する電子群、またはホール群、

が関与している

（３） 緩和時間が電子のエネルギー等に依存し、一定の仮定がな

りたたない

2

0 2B B

一般的に弱磁場で次の磁場依存性をもつ

13-5

磁場の中の電子（量子力学）

H E

磁場がある場合

2

2

p qAH

m

A ：ベクトル・ポテンシャル

B A

0, , 0A Bx

2 2 22 2

2 2

qB q Bi x x E

m m y m

y zik y ik zX x e

22 2 22 2

22 2 2

yc zkm kd

x X E Xm dx qB m

調和振動子の方程式 2 21

2 2

zc

kE n

m

ランダウ準位

シュレディンガー方程式

磁場の方向を z 軸にとると

13-6

ランダウ準位

B

サイクロトロン運動の軌道で囲まれる面積が量子化される

2 1

2n

qB

面積

k 空間でもサイクロトロン運動の軌道で囲まれる面積が量子化される

2 1

2

qBA n

22

1 1

2 2 2

ycc

kmx n

qB

2

0

1

2x x n

qB

サイクロトロン運動の面積 = 2 22

0 0

2 1

2r x x y y n

qB

13-7

状態密度

//E E E

電子のエネルギーを磁場に垂直な運動による成分と磁場に平行な成分に別けて考える

1

2cE n

2 2

//2

zkE

m

電子の状態密度

磁場が無いとき

3

2

2x y zD E dE dk dk dk

2

2 2

2x yE k k

m

2

2x y

mdk dk dE

磁場があるとき、１つのランダウ準位あたり

3 2

2 2

2c z

mD E dE dk

2 20

2 1

2 1

2

n

c

mqBD E

E n

E

D(E)

0

13-8

結晶の中の電子による

サイクロトロン運動

dvm qv B

dt

1dkq B

dt k

B

電子は k 空間で、磁場に垂直で

等エネルギー面に接するように運動 サイクロトロン運動の周期

2 dAT

qB d A : k 空間で軌道が囲む領域の面積

.k const

A

13-9

サイクロトロン質量

サイクロトロン角振動数

2

2c

c

qB dAm

d

2

2 2c

qB

T dA d

サイクロトロン共鳴

電磁波

電磁波の吸収

Bc で電磁波の吸収が大きくなる

サイクロトロン質量が求まる

フェルミ面に関する情報が得られる

13-10

2 2 2

2

1 cos sin

* t t lm m m m

Eq.(38)

kx

ky

kz

B

13-11

110

[001]

[111] A

B

A

B

C C

13-12

量子化

2 1

2

qBA n

k 空間で軌道が囲む領域の面積 A が量子化される

.yx k constqB

.xy k constqB

実空間 k 空間

90°まわし、

を乗じる

qB

実空間でもサイクロトロン運動の軌道で囲まれる面積が量子化される

軌道の量子化 13-13

A : k 空間で軌道が囲む領域の面積 2 1

2

qBA n

B = 0 B ≠ 0

上から見た図

k 空間のフェルミ面上の電子が多くの物性を決める

kx

ky

kz

kF

磁場を大きくしていくと

軌道面積が大きくなりフェルミ面からはずれる

なんらかの異常が観測される

13-14

帯磁率 ： de Haas – van Alphen 効果

電気伝導 ： Schbnikov – de Haas 効果

フェルミ面の形状を実験的に調べることができる

1

2 2

An

qB

物理量が 1/B に対して振動

振動の周期からフェルミ面の断面積 A が求まる

実験によるフェルミ面の観測 13-15

13-16