敎育學 碩士 學位 請求論文

고등학교 수학1 교과서 수열 단원 분석 러의

ARCS이론에 따른

효율 인 지도방안에 한 연구

An analysis of the chapters on sequences in the current

highschool mathematics-I textbooks and methods of

instruction based on ARCS theory of Keller

2008年 2月

仁荷大學校 敎育大學院

數學敎育 攻

高 炫 珍

敎育學 碩士 學位 請求論文

고등학교 수학1 교과서 수열 단원 분석 러의

ARCS이론에 따른

효율 인 지도방안에 한 연구

An analysis of the chapters on sequences in the current

highschool mathematics-I textbooks and methods of

instruction based on ARCS theory of Keller

2008年 2月

指 敎授 명 성

이 論文을 碩士學位 請求論文으로 提出함

본 論文을 高現珍의 碩士學位 論文으로 認准함

2008年 2月

主審

副審

副審

목 차

국문 록

ABSTRACT

Ⅰ 서론

1 연구의 필요성과 목 1

2 연구의 제한 2

Ⅱ 개정 교육과정에서 명시된 수학Ⅰ교육의 목표

1 수학Ⅰ교육의 목표4

2 고등학교 수학 Ⅰ 수열 단원의 학습목표7

Ⅲ 수열의 역사 배경 응용

1 수열의 역사9

2 수열 단원이 실생활에 응용된 사례10

Ⅳ 고등학교 수학교육과정에서의 수열

1 수학Ⅰ 교과서 분석17

2 수학Ⅰ 교과서에서의 수열21

Ⅴ 러의 ARCS 이론과 수열 지도

1 러의 ARCS 이론30

2 ARCS 이론을 용한 수열 수업 계획서 31

3 ARCS 이론을 용한 수업 지도안35

4 조사지 분석 38

Ⅵ 결론 43

참고문헌 45

표 목 차

1 [표1 수학Ⅰ교과서 내용체계] 6

2 [표2 5종 교과서 수학 Ⅰ 수열 단원의 학습목표] 7

3 [표3 단리법] 12

4 [표4 복리법] 13

5 [표5 수학 Ⅰ 5종교과서의 차례] 17

6 [표6 5종 교과서에 제시된 수열 련 자료] 19

7 [표7 순서도의 기호]29

8 [표8 ARCS 략]30

9 [표9 러의 ARCS이론]32

10 [표10 수업지도안] 35

그림 목차

1 [그림1 피보나치수열] 10

2 [그림2 하노이의 탑]11

3 [그림3 피라미드 황 비]14

4 [그림4 피아노건반황 비율] 15

5 [그림5 인체 황 비율]16

6 [그림6 조사문제지 (1)번 막 그래 ]39

7 [그림7 조사문제지 (2)번 막 그래 ]40

8 [그림8 조사문제지 (3)번 막 그래 ]40

9 [그림9 조사문제지 (4)번 막 그래 ]41

10 [그림10 조사문제지 (5)번 막 그래 ]42

국문 록

수학은 오래된 학문으로 사회생활을 하는데 직 으로 소용이 되지 않는

수학 지식도 타학문을 공부하는 데에는 필요하다 그러나 부분의 사람

들은 간단한 연산을 제외하고는 수학의 필요성을 느끼지 못하고 있다 게

다가 학생들은 수학을 입시 과목 의 하나로만 여겨 내용에 한 이해보

다는 문제를 공식에 용시키는 정도로써 수학에 한 심을 보이고 있는

형편이다 이런 상 때문에 학생들이 수학을 어려운 과목으로만 여기고

기피하는 모습을 많이 보이고 있다

본 논문에서는 행 고등학교 수학과 교육과정에서 수열 단원을 교과서별

로 분석해 보았고 수열 단원의 각 소단원의 내용을 정리해 보았다 그리고

고등학교 2학년 인문계열 학생들이 수학 Ⅰ 교육과정을 학습할 때 가장 어

려워하는 수열 단원을 보다 효율 으로 지도하기 한 방안을 연구해보았

다

이를 하여 본 연구자가 교생실습을 했던 경기도 부천시 소재의 원종고

등학교 2학년 인문계학생 100여명을 상으로 수학의 학습에서 가장 어려

운 부분과 그 이유를 알아보는 조사 문제지 검사를 실시하 으며 이를 토

로 수열의 효율 인 지도방안에 해 좀 더 구체 으로 연구해 볼 수 있

었다

러(Keller)의 ARCS 이론의 주의(Attention) 련성(Relevance) 자신감

(Confidence) 만족감(Satisfaction) 을 토 로 하여 수열 단원의 수업계획

서와 수업지도안을 작성해보았고 지도안 로 수업을 실시해보았다

지도안 로 수업을 실시 해 보았을 때 본 연구자가 매 수업 끝난 후 실시

한 Test에서 그 차시 수업 때보다 좋은 수를 낸 것으로 보아 학생들

이 수열 단원의 학습 효과가 조 은 향상된 것으로 보여진다

ABSTRACT

Mathematical knowledge has been used to study other fields even though it

does not have a direct relation with them However most of the people think

mathematics is not essential to life except for simple calculations Moreover

because students think of mathematics just as a required subject for an

admission in a university they are not interested in math itself but interested

in solving mathematical problems by merely applying given formulas Due to

these tendencies many students consider that mathematics is beyond their

abilities and seem to try to avoid it if possible

The present thesis analyzes and compares textbooks concerning sequences in

the present curriculum of highschool mathematics Above all the author tries

to find effective ways to teach sequences which are difficult for highschool

students especially for those who plan to major in humanities to learn

To achieve these objectives the author asked a hundred students in the

second-grade class at Wonjong highschool in Buchon-si Kyonggi-do to fill

out questionnaires concerning most difficult parts in learning mathematics and

ways to improve learning We have been able to specifically construct effective

teaching plans for sequences based on these questionnaires We have written

out a guidance plan and a teaching plan for the chapter on sequences based

on Kellers ARCS Theory- Attention Relevance Confidence Satisfaction

It is well known that the effectiveness of study is higher if students are

taught with the teaching plan

Ⅰ 서 론

1 연구의 필요성과 목

오늘날의 수학교육에 있어서의 최 당면 문제는 수학의 기 인 교육

기반을 어떻게 회복하느냐 하는 것이다 이를 해서는 lsquo수학을 어떤 이유

로 가르쳐야 하는가rsquo 는 lsquo학생들이 왜 수학을 알아야 하는가rsquo에 한 보

다 근원 인 논의가 이루어져야 한다 lsquo수학을 왜 가르치고 배우는가rsquo 라는

질문에 부분은 수학을 배우면 논리 으로 사고하게 되고 과학 인 생활

을 하는 데 도움이 된다고 말하지만 우리는 이러한 질문에 하여 보다

체계 으로 생각해 보아야 한다 수학을 가르치는 교사는 학생을 지도할

만큼의 충분한 수학 지식을 가지는 것도 요하지만 수학이 갖는 가치

에 하여 단순히 학문 입장만이 아닌 lsquo교육 rsquo 입장에서의 가치 을 갖

추고 있어야 한다는 것이다 ([15])

하지만 지 의 학교수학교육의 황은 학 입시를 한 기계식의 문제풀

이와 암기 주의 수업이 이루어지고 있는 실정이다 때문에 학생들은 수학

에 한 기 개념을 알지 못한 채 수박 겉핥기식의 학습을 하게 되고 수

학에 흥미를 잃고 수학을 포기하는 학생이 늘어가고 있다

고등학교 수학Ⅰ 교육과정의 요한 단계인 수열에 해 학생들은 특히

이해하기 어려워한다 한 수열에 한 선수 학습이 제 로 이루어지지

않았을 경우 수열을 배우고 나서 바로 다음 단원에 학습하는 수열의 극한

단원을 이해하는데 어려움을 겪게 되기 때문에 수열의 제 로 된 학습은

학생들에게 상당히 요한 문제라고 할 수 있다

학생들이 수열 단원을 어려워하는 데에는 많은 이유가 있겠지만 무엇보다

도 행 교과서의 수열 단원의 구성에 부족한 부분이 많기 때문인 것 같

다 요한 단원임에도 불구하고 개념 설명이나 시 문항이 많이 부족하

고 군 수열이나 멱 수에 한 설명은 실려 있지 않은 교과서도 많았다

한 지 의 딱딱한 강의식 수업에서 벗어나 학생들의 자신감과 만족감을

증진시킬 수 있는 수업을 해 교사나 학생 모두 노력해야한다

이 논문에서는 개정 교육과정에 의하여 다루어지는 고등학교 수학 Ⅰ 교

육과정 내용 수열을 택하여 각 교과서에서 수열 단원의 구성과 수열에

한 역사 배경과 실생활에 활용된 를 알아보고 학생들로 하여 수

열의 원리와 개념의 이해에 도움이 될 수 있는 지도방안을 러의 ARCS

이론을 바탕으로 하여 작성해보고자 한다

2 연구의 제한

재 고등학교에서 채택하고 있는 12여종의 수학 Ⅰ 교과서 부를 분

석하지 않고 임의로 선택된 5종 교과서를 분석하 기 때문에 5종이 12종을

모두 표한다고 볼 수 없다

본 논문은 러의 ARCS 이론을 바탕으로 한 수열 지도가 수열 단원의

학습에 효율 일 것이라고 여겼으나 1개 고등학교에서만 수업시연을 해보

았기 때문에 실제 인 검증작업을 거치지 못하 다 따라서 연구 결과에

한 한계가 있을 수 있다

러의 ARCS 이론을 바탕으로 한 수열 학습지도안으로 수업을 진행할

때 조별학습을 하게 되는데 이때 능숙한 교사가 아니라면 학생들의 주의

가 산만해지고 수업 분 기가 흐트러지는 것을 정리하고 완만한 수업을 진

행하기가 힘이 들것이라 생각된다

본 연구자가 부천시 소재의 원종고등학교 학생 100명을 상으로 한 조

사문제지 검사가 수열 단원의 학습에 국한된 것이 아니라 고등학교 수학

학습의 일반 인 내용을 담았기 때문에 수열 단원의 효율 인 지도방안을

한 연구에 직 인 도움을 주지 못했다

본 연구자가 제안한 교수 방법의 효과를 검증하지 못했다

Ⅱ 개정 교육과정에서 명시된

수학Ⅰ 교육의 목표

1 수학Ⅰ교육의 목표

교육인 자원부에 고시된 개정 교육과정([2])에서의 고등학교 수학Ⅰ과정

교육목표는 다음과 같다

1)성 격

lsquo수학 Ⅰrsquo의 학습을 통하여 수학 개념 원리 법칙을 이해하고 수학 사

고 능력을 키워 합리 이고 창의 으로 문제를 해결하는 능력과 태도를 기

를 수 있다

lsquo수학 Ⅰrsquo의 교수학습에서는 고등학교 1학년까지의 수학에서 습득한 수학

개념 원리 법칙을 토 로 하여 새로운 개념에 근해야 하므로 기본

인 수학 지식을 확인하고 활용하면서 발 인 학습이 이루어지도록 한

다 이 과정에서 여러 가지 상을 수학 으로 해석하고 조직하는 활동 구

체 인 사실에서 진 으로 추상화로 나아가는 과정 직 이나 구체 인

조작 활동에 바탕을 둔 통찰 등의 수학 경험을 통하여 형식이나 계를

발견하는 것이 요하다 한 수학 문제를 해결하는 과정에서 문제를 명

확히 이해하고 합리 인 해결 계획을 세워 실행하며 반성을 통하여 풀이 과

정을 검하고 다양하게 활용하는 능력을 기르도록 한다 수학 지식과 기

능을 활용하여 여러 가지 문제를 해결해 으로써 수학의 필요성과 유용성

을 인식하고 수학 학습의 즐거움을 경험해 으로써 수학에 한 정 인

태도를 갖게 한다

역 내 용

행렬과 그래

행렬과 그 연산

연립일차방정식과 행렬

그래 와 행렬

지수함수와 로그함수

지수

지수함수와 그 그래

지수방정식과 지수부등식

로그

2) 목 표

수학 개념 원리 법칙을 이해하고 수학 으로 사고하고 의사소통하는

능력을 신장하여 여러 가지 문제를 합리 이고 창의 으로 해결하며 수학

의 실용성을 인식하여 수학에 한 정 태도를 갖는다

(1) 수학Ⅰ의 학습을 통해 얻는 여러 가지 장

(가) 행렬과 그래 지수함수와 로그함수 수열 수열의 극한에 련된 개

념 원리 법칙과 이들 사이의 계를 이해하고 이를 활용하는 능력을 기른

다 여러 가지 상을 찰 분석 조직하여 수학 으로 나타내는 능력을 기

른다

(나) 수학을 통하여 여러 가지 문제를 합리 으로 해결하는 능력과 수학

으로 사고하고 의사소통하는 능력을 기른다

(다) 수학의 가치를 이해하여 수학에 한 심과 흥미를 지속 으로 가지

며 수학에 한 정 태도를 기른다

3) 내 용

⑴ 내용체계

로그함수와 그 그래

로그방정식과 로그부등식

수열

등차수열과 등비수열

여러 가지 수열

수학 귀납법

알고리즘과 순서도

수열의 극한무한수열의 극한

무한 수

[표1 수학Ⅰ교과서 내용체계]

4) 평 가

(1) 평가

(가) 수학 학습의 평가는 학생의 인지 역과 정의 역에 한 유용한

정보를 제공하여 학생 개개인의 수학 학습과 인 인 성장을 돕고 교사의

교수 활동과 수업 방법을 개선하는 데 활용한다

(나) 수학 학습의 평가에서는 학생의 인지 발달 수 을 고려하고 교육과정에

제시된 내용의 수 과 범 를 수한다

(다) 수학 학습의 평가는 수업의 개 과정에 따라 진단 평가 형성 평가 총

평가 등의 한 평가 방식을 택하여 실시하되 지속 인 평가를 통하여

다양한 정보를 수집하고 수업에 활용한다

(라) 수학 학습의 평가에서는 획일 인 방법을 지양하고 지필 평가 찰 면

담 자기 평가 등의 다양한 평가 방법을 통해 수학 교수ㆍ학습을 향상시킬

수 있게 한다

(마) 인지 역에 한 평가에서는 학생의 수학 사고력 신장을 하여 결

과뿐만 아니라 과정도 시하여 평가하되 수학의 교수학습에서 반 으

교과서 학습목표

한교과서

(주)

등차수열 등비수열의 뜻을 알고 일반항 첫째항부터 제 n항까지

의 합을 구할 수 있다

sum의 뜻과 성질을 이해하고 이를 활용하여 여러 가지 수열에

한 문제를 해결할 수 있다

수학 귀납법의 원리를 이해하고 이를 활용하여 자연수 n에

하여 참인 명제를 증명할 수 있다

알고리즘과 순서도의 뜻을 알고 간단한 문제 해결을 한 알고

리즘을 작성하여 순서도를 만들 수 있다

(주) 천재교육

등차수열과 등비수열의 뜻을 알고 일반항과 첫째항부터 제 n항

까지의 합을 구할 수 있다

기호 sum의 뜻과 성질을 이해하고 이를 활용할 수 있다

여러 가지 수열의 일반항과 첫째항부터 제 n항까지의 합을 구

할 수 있다

여러 가지 수열에 한 문제를 해결할 수 있다

수학 귀납법의 원리를 이해하고 이를 이용하여 자연수 n에

하여 참인 명제를 증명할 수 있다

로 요구되는 사항을 강조한다

(바) 정의 역에 한 평가에서는 학생의 수학에 한 정 태도를 신장

시키기 하여 학생의 수학에 한 바람직한 가치 이나 수학 학습에 한

심 흥미 자신감 등의 정도를 악한다

(사) 수학 학습의 평가에서는 평가하는 학습 내용에 따라 학생에게 계산기

컴퓨터와 같은 공학 도구와 다양한 교구를 이용할 수 있는 기회를 제공할

수 있다

2 고등학교 수학 1 수열단원의 학습목표

수학 Ⅰ교과서에서의 수열단원의 학습목표를 5종 교과서를 비교하여 살펴

보고자한다 임의로 선택된 5종 교과서([5][8][12][13][14])의 학습목표는

다음과 같다

알고리즘과 순서도의 뜻을 알고 그 필요성을 이해할 수 있다

간단한 문제 해결을 한 알고리즘을 작성하여 순서도를 만들

수 있다

앙교육진흥

연구소

수열을 이해하고 이를 활용하여 여러 가지 문제를 해결할 수 있

다

수학 귀납법의 원리를 이해하고 이것을 이용하여 자연수 n에

하여 참인 명제를 증명할 수 있다

알고리즘과 순서도의 뜻을 알고 간단한 문제 해결에 사용할 수

있다

(주) 고려출

등차수열의 뜻을 알고일반항 첫째항부터 제 항까지의 합을 구

할 수 있다

등비수열의 뜻을 알고일반항 첫째항부터 제 항까지의 합을 구

할 수 있다

sum의 뜻과 성질을 이해하고 이를 활용할 수 있다

여러 가지 수열의 일반항 첫째항부터 제 항까지의 합을 구할

수 있다

여러 가지 수열에 한 문제를 해결할 수 있다

수학 귀납법의 원리를 성명하고 수학 귀납법을 이용하여 자연

수 에 하여 참인 명제를 증명할 수 있다

알고리즘과 순서도의 뜻을 알고 그 필요성을 알 수 있고 간단

한 문제 해결을 한 알고리즘을 작성하여 순서도를 만들 수 있다

(주) 두산

등차수열과 등비수열의 뜻을 알고 일반항과 그 합을 구할 수 있

다

기호sum의 뜻과 성질을 이해하고 이를 이용하여 여러 가지 수열

에 한 문제를 해결할 수 있다

수학 귀납법의 원리를 이해하고 이를 이용하여 자연수 에

하여 참인 명제를 증명할 수 있다

알고리즘과 순서도의 뜻을 알고 간단한 문제 해결을 한 알고

리즘을 작성하여 순서도를 만들 수 있다

[표2 5종 교과서 수학 Ⅰ 수열 단원의 학습목표]

Ⅲ 수열의 역사 배경 응용

1 수열의 역사

수학의 역사에서 가장 흥미로운 수열 하나가 피보나치수열이다 피보나

치수열은 수학이론 뿐만 아니라 자연계 건축 술 등에 다양하게 표 된

다

그 에 오나르도가 발표한《산반서》에 소개된 피보나치수열에 한 문

제는 다음과 같다 ([6]) ldquo어떤 사람이 토끼 한 을 우리에 넣었다 이 토

끼 한 은 한 달에 새로운 토끼 한 을 낳고 낳은 토끼들도 한 달이 지

나면 다시 한 의 토끼를 낳는다 그 다면 1년이 지나면 몇 의 토끼가

있을까rdquo

첫 달엔 처음에 있던 토끼 한 만 있다 두 번째 달이 되면 토끼 한 을

낳아 두 의 토끼가 된다 세 번째 달이 되면 처음에 있던 토끼 한 이

한 의 토끼를 낳아 세 의 토끼가 된다 네 번째 달이 되면 첫

달과 두 번째 달의 토끼 두 이 각 한 의 토끼를 낳아 총 다섯 의

토끼가 있게 된다 이런 식으로 토끼를 낳아가면 그 수는 다음과 같은 규

칙을 갖는다 　　　　　　　　　　 이런 규칙을 갖는 피보나치수열의

일반항을 이라고 하면 　 　 　 　 가 된다

그런데 이 수열을 자연에서도 쉽게 찾아볼 수 있다 식물의 기에서 뻗어

나온 잎을 생각해 보면 기의 에 있는 잎 하나에서 수직으로 에 있

는 잎까지 도달할 때까지 기를 따라 올라가면서 잎의 개수를 세면 그

수들은 일반 으로 피보나치수열을 이룬다

[그림1 피보나치수열]

2 수열 단원이 실생활에 응용된 사례

1) 하노이의 탑

인도 갠지스 강 유역 라만교의 사원에 있었던 하노이의 탑은 라만

탑이라고도 부르는데 이 탑에 얽힌 문제의 내용은 다음과 같다 다음은

([10])의 내용을 참고하 다

[베나 스에는 세계의 심이 있고 그 곳에는 아주 큰 사원이 있으며 이

사원에는 높이 정도 되는 다이아몬드 바늘 3개가 있다 그 에서 한

바늘에는 천지 창조 때에 신이 구멍이 뚫린 64장의 순 으로 된 원 을 크

기가 큰 것부터 아래에 놓이도록 하여 차례로 쌓아 놓았다 그리고 신은

승려들에게 밤낮으로 쉬지 않고 원 을 한 장씩 옮겨 빈 다이아몬드 바늘

어느 한 곳으로 모두 옮겨 놓도록 명령하 다

ldquo원 은 한 번에 한 개씩만 옮겨야 하고 로 작은 원 에 큰 원

을 올려놓을 수 없다 단 64개의 원 의 크기는 모두 다르다 이 말을 충

실히 실행하고 한 순간도 게을리 하지 마라 만일 게을리 하는 일이 있으

면 그 때는 이 사원도 탑도 모두 무 지고 세계는 종말을 고하게 된다 게

을리 하는 일이 없으면 그 들이 원 을 부 옮길 때까지 세상은 태평할

것이다rdquo]

승려들은 과제를 수행하기 해 밤낮으로 매우 열심히 작업을 했다 그 작

업을 끝내기 해서 승려들은 몇 번을 움직여야 하고 얼마나 많은 시간을

사용해야만 했을까

[그림2 하노이의 탑]

원 이 1개가 있으면 최소 이동 횟수는 1번 원 이 2개가 있을 때 최소

이동 횟수는 3번이고 원 이 3개가 있으면 최소 이동 횟수는 7번이다

원 이 4개가 있으면 최소 이동 횟수는 15번이다 이런 식으로 계속 해나

가다 보면 　　　　　　　 라는 수열을 얻는다 이것은 각 항의 차이가

계차수열을 이루는데 이것은 다음과 같다 　　　　　　일반항을 으로 두

고 구해보면 　 　times 　 　 이다 처음 값을 으로 두고 일반항을

구해보면 　

이 된다

만약 그 설 로 따라가서 수도승들이 쉬지 않고 디스크를 1 에 한번

씩 옮겼다면 최소의 이동횟수는 이 되고 18446744073709551616

가 걸리고 략 5854억4200만년이 필요하다는 것을 알 수 있다

원 이자 원리합계(=원 +이자)

1년 원 원 원

2년 원 원 원

3년 원 원 원

년 원 100원 원

2) 등차수열의 응용

(1) 단리법

단리법은 처음 원 의 이자에 해당하는 비율만큼 계속 되는 계산법이

다 1000원을 했다면 1년이 지날 때마다 10 의 이자가 붙는다고 하

자 1년이 지났을 때 10 의 이자가 붙으면 100원 불어나므로 1000 +

1000 times 01 = 1100(원) 이다 그리고 1년2년 년이 지날 때 마다

값을 측정해보면 다음과 같다

[표3 단리법]

최종 으로 원 을 라 하고 연이율을 이라고 한다면

결국 년이 되었을 때 단리법으로 표 하면 그 때의 총 합 는

이 된다

3) 등비수열의 응용

(1) 복리법

복리법은 원 에 이자가 된 원리합계를 기 으로 이자를 계산하는 방

법이다 원을 했다면 1년이 지날 때마다 의 이자가 붙는다고

원 이자원리합계

(=원 +이자)

1년 원 원 원

2년 원 원 원

3년 원 원 원

년 원 times원 원

하자 1년이 지났을 때 의 이자가 붙으면 원 불어나므로

times (원) 이다 그리고 1년2년 년이 지날 때 마

다 값을 측정해보면 다음과 같다

[표4 복리법]

최종 으로 원 을 라 하고 연이율을 이라고 한다면

따라서 년이 지나면 이 된다 그때의 총 합 는 이

다

4) 황 비율

에서 언 했던 피보나치수열 　　　　　　　　　　에서 번째 항

을 번째 항으로 나 어 보자

　 　

　 　

　 　

　 　

　 　

　 　 이런 식으로 계속 해나가다 보면

이 수가 061803 에 근사하게 된다 고 그리스인들은 이 수에 lsquo황 비

율rsquo라는 이름을 붙 다 이것은 인간이 보기에 가장 아름다운 비율이라 하

여 여러 분야에서 사용되고 있다

(1) 황 비의 이용

약 100년 페히 라는 독일의 심리학자는 수백 명의 사람들에게 여러

종류의 직사각형을 보여 다음 마음에 드는 것을 선택하게 하는 실험을

했다 그런데 그 결과 부분의 사람이 황 직사각형을 선택했다고 발표했

다 ([6])

실험에 의하면 황 비는 사람들이 가장 편안하고 아름답게 느끼는 비율로

알려져 있으며 이런 이유 때문에 옛 부터 건축과 미술 음악 등에서 자주

이용되어 왔다

(가) 건축

기원 2000년경의 이집트 《린드 피루스》에 보면 기원 4700년에 기

자의 피라미드를 건설할 때 이 수를 lsquo신성한 비율rsquo로 사용했다고 한다

의 측량 기술로 측정해보니 피라미드 의 심에서 의 모서리까지

그리고 경사면까지 거의 정확하게 0618이었다 ([6])

피라미드는 인류역사를 통해서 사람들을 가장 매료시켜온 건축물 의 하

나이다 그 규모의 장 함에서도 사람을 압도하는 것이 있지만 그 형태 자

체가 고도한 수학을 배경으로 한 것으로서 우리가 알고 있는 5천년 의 지

식수 으로서는 불가사의한 것 의 하나이다

[그림3 피라미드 황 비]

(나) 음악에서의 활용

음악에서 한 옥타 는 [도 미 솔 라 시 도] 의 8음계로 이루어져 있

다 피아노의 건반은 한 옥타 를 13개의 음으로 나 어 표 하고 있으며

이 하얀 건반이 8개 검은 건반이 5개 있고 하얀 건반은 3개와 5개 검

은 건반은 2개와 3개로 구분되어 있다 여기에서 나타나는 2 3 5 8 13

은 에서 보인 피보나치수열이다

[그림4 피아노건반황 비율]

(2) 인체에서의 황 비율

황 분할은 우리의 인체 속에서도 찾아볼 수 있다 인간의 신체가 이 비율

에 의해서 분할되어 있으며 이것이 아름다운 몸의 보편 기 이 되고 있

다 아래 그림은 Le Corbusier가 찾아낸 이상 인간의 각 신체부 의 비율

이다 이것은 오나르도 다빈치의 인체비율에 한 그림에서도 찾아 볼

수 있다 이 뿐만 아니라 인체의 각 부 들도 그 자체 황 분할을 이루

고 있다

[그림5 인체 황 비율]

앞에서 제시한 황 비율을 사용한 시들 이외에도 우리 주변에 아주 많

이 있다

교과서 차례

한교과서(주)

Ⅳ 수열

1 등차수열과 등비수열

2 여러 가지 수열

3 수학 귀납법

4 알고리즘과 순서도

(주) 천재교육

Ⅲ 수열

1 등차수열과 등비수열

2 여러 가지 수열

3 수학 귀납법

4 알고리즘과 순서도

Ⅳ 고등학교 수학교육과정에서의 수열

1 수학Ⅰ 교과서 분석

고등학교 2학년이 학습하는 lsquo수학 Ⅰrsquo은 국민 공통 기본 교육 기간의 10단계

수학을 이수한 학생들이 보다 문 인 진로를 고려하고 보다 높은 수 의

수학을 학습하기 해 설정된 심화 선택 과목이며 lsquo수학 Ⅱrsquo를 학습하기 한

단계이다 lsquo수학 Ⅰrsquo의 내용은 수 역에서 지수와 로그 행렬 수열이

실려있고 해석 역에서 수열의 극한 지수로그 함수가 수록되어 있으며

확률과 통계 역에서 순열과 조합 확률 통계 등으로 구성되어 있다 특히

수 역에 해당하는 수열은 여러 가지 수열에 한 성질을 이해하고 그것

을 일반화 하는 과정에 을 두어 지도하도록 하고 있으며 계차수열은 등

차수열이나 등비수열이 되는 경우만 다룬다 ([2])

1) 수학 Ⅰ 5종 교과서의 차례 단원 배열

앙교육진흥연구소

Ⅲ 수열

1 등차수열과 등비수열

2 여러 가지 수열

3 수학 귀납법

4 알고리즘과 순서도

(주) 고려출

Ⅲ 수열

1 등차수열과 등비수열

2 여러 가지 수열

3 수학 귀납법과 순서도

(주) 두산

Ⅲ 수열

1 등차수열과 등비수열

2 여러 가지 수열

3 수학 귀납법

4 알고리즘과 순서도

[표5 수학 Ⅰ 5종교과서의 차례]

의 표에서 본 것과 같이 임의로 선택된 5종의 고등학교 수학 Ⅰ 교과서의

차례는 거의 비슷한 양상을 보 다 부분의 교과서에선 1단원 지수와 로

그 2단원 행렬 3단원 수열 순의 순서를 보 고 한교과서외의 몇몇

교과서에선 1단원 지수와 로그 2단원 지수로그함수 3단원 행렬 4단원 수

열 순의 순서를 보 다 수열단원의 세부 단원 차례는 1 등차수열과

등비수열 2 여러 가지 수열 3 수학 귀납법 4 알고리즘과 순서도 는

34 단원을 한 단원으로 해서 3 수학 귀납법과 순서도의 순서로 다루는

은 비슷했다

2) 교과서에 제시된 수열 련 자료

한교과서

(주)

피타고라스(Pythagoras 572～492 BC) 피타고라스의 정리

로 잘 알려져 있고 소수나 완 수의 규칙성에 해서도 많은 연

구를 하 다

바스카라(Bhaskara A 1114～1185) 인도의 수학자로

임을 증명하 고 피타고라스의 정리를 기하학

으로 증명하 다

피보나치(Fibonacci 1180～1250) 이탈리아의 수학자로 자연

속에서 많이 볼 수 있는 피보나치 수열을 발견하 다

스칼(Pascal B 1623～1662 ) 랑스의 수학자로 수학

귀납법을 발견하 고 사 기하학을 창시하 다

푸리에(Fourier J B J 1768～1830) 랑스의 수학자로 음양

학 학 기역학 열역학 등의 연구에 매우 요한 푸리에

수를 연구하 다

가우스(Gauss K F 1777～1855) 수학 통계학 등의 다방

면에 많은 업 을 이루었고 역사상 가장 한 수학자 의 한

사람으로 불리워지고 있다

비주얼 베이직(Visual BASIC)

을 이용한 Programming

하노이의 탑

(주)

천재교육

가우스(Gauss K F 1777～1855) 독일의 수학자인 가우스는

수학의 각 방면에 많은 업 을 남겨 수학의 아버지라 일컬

어지고 있다 그는 계산의 천재로 알려져 있는데 이에 한 유명

한 일화가 있다 등학교 때 부터 까지의 합을 구하는 문

제에서 다른 학생들이 직 하나하나 계산하는 동안 가우스는

　 　 　　　　 이 모두 임을 이용하여

times 이라는 답을 이끌어 내었다 이러한 방식은 수열

의 합을 계산할 때 사용하는 방식 의 하나이다

하노이의 탑을 이용한 수열의 귀납 정의

임의로 선택된 5종 교과서들의 수열단원에서 학생들의 수열 단원의 이해를

돕기 해 수록된 수학자들에 한 설명과 기타 자료들은 다음과 같다

도미노 이론 - 수학 귀납법의 다른 표

피보나치수열 - 토끼 수 증가 문제

앙교육

진흥연구소

삼각수 사각수 문제

피보나치(Fibonacci 1180～1250)

가우스(Gauss K F 1777～1855)

음악과 수학 - 작곡가 바흐(Bach)의 요 업 으로 평균율을

들 수 있다 평균율이란 1옥타 즉 lsquo도rsquo와 lsquo도rsquo의 사이를 개의

반음으로 나 고 처음 lsquo도rsquo의 진동수를 이라 하면 그에 일정한

수를 더해 제곱하여 옥타 의 lsquo도rsquo의 진동수를 얻는 것을

말한다 수식으로는 로 나타낼 수 있고 이 등식을

만족하는 의 값이 평균율이다

(주)

고려출

티티우스-보데 수열 -

수열 　　　　　　　　의 각 항에 각각 를 더한 후

으로 나 수들을 나열한 것 　　　　　　　 를

티티우스-보데 수열이라 한다 이수열의 각 항은 태양에서 행성

까지의 실제 거리와 비슷한 것으로 1766년 티티우스(Titius)라는

독일의 천문학자가 발견하 다

제갈량의 군 에 한 을 통한 등비수열의 합

피보나치 수열

휴먼 로 - 휴먼 로 의 제작은 복잡한 여러 가지 알고리즘

과 순서도에 바탕을 두고 있다 알고리즘의 요성은 자계산기

이 부터 실제 으로 존재했다 그 로 최 공약수 계산에 한

유클리드의 알고리즘이 있다 한 가우스와 같은 부분의 수학

자들은 역사 으로 많은 양을 처리하는 효율 인 알고리즘에

심을 가졌다 이러한 알고리즘을 보다 효율 으로 이용하여 재

의 컴퓨터 시 를 구축했다

(주) 두산

피보나치(Fibonacci 1180～1250)는 이탈리아의 피사에서 태

어난 수학자이다 부친이 상업에 종사하 기 때문에 피보나치는

이집트 시칠리아 그리스 시리아 등 다양한 지역을 여행할 수

있었고 이 때 다양한 수학을 하게 되었다 1202년 피사로 돌아

온 피보나치는 「산반서(Liber abaci)」를 술하 다 1228년에

는 「산반서 2 」을 술하 는데 이 책에서 정수와 분수의 계

산 제곱근과 세제곱근 일차와 이차방정식의 풀이 등을 다루었다

고 한다 특히 이 책에 나오는 「피보나치의 수열」은 매우 흥미

로운 수열로 요한 성질을 많이 가지고 있다

1에서 100까지 자연수를 모두 합하면 얼마일까

가우스(Gauss KF 1777～1855) 가우스는 수론 해석학 확

률론 천문학 물리학 등 다양한 분야에 뛰어난 수학자이었다 특

히 그의 수론 연구는 19세기 수학 체계의 확립에 크게 공헌하

다

피타고라스(Pythagoras 572～492 BC) 피타고라스는 음의

높이에 따른 진동수의 비가 일정함을 발견하 다

페아노(Peano G 1858～1932) 자연수의 성질을 추상화 하여

페아노의 공리계를 만들었다 이 공리계의 제 5공리가 수학 귀

납법의 원리이다

피보나치의 수열

알콰리즈미(Alkhwarizmi 780～850) 알고리즘이란 말은 세

아라비아의 수학자 알콰리즈미의 이름에서 유래된 것으로서 그가

십진법으로 나타낸 수의 계산에 용한 계산 방법에서 나온것이

다

[표6 5종 교과서에 제시된 수열 련 자료]

2 수학 Ⅰ 교과서에서의 수열

등차수열의 일반항

첫째항이 공차가 인 등차수열의 일반항 은

본 연구자가 임의로 선택한 5종 교과서 ([5][8][12][13][14]) 에서의

수열의 내 을 정리해보았다

1) 등차 수열과 등비 수열

(1) 수열의 뜻

어떤 규칙에 따라 순서 로 수를 늘어놓은 것을 수열이라 하고 그 수열을

이루는 각각의 수를 그 수열의 항이라고 한다 수열의 각 항을

앞에서부터 순서 로 제 1항 제 2항 제 3항 제 항

이라고 한다 특히 제 1항은 첫째항이라고도 한다

(2) 등차수열의 뜻

첫째항에 차례로 일정한 수를 더하여 만들어진 수열을 등차수열 이라하고

더한 일정한 수를 공차라고 한다

첫째항이 공차가 인 등차수열 에서

이므로 일반항 은 다음과 같이 나타낼 수 있다

(3) 등차수열의 합

등차수열의 합

첫째항이 공차가 끝항이 인 등차수열의 첫째항부터 제 항까지의

합 은

첫째항이 공차가 등차수열 에서 첫째항 부터 제 항 까지의 합

을 토론하기의 방법을 이용하여 구해보자

　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　①

더하는 순서를 거꾸로 하면

　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　②

①②의 양변을 각각 더하면

　　

따라서 =

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　③

이때 제 항인 를 ③에 입하여 식을 다르게 나타낼수도

있다

이상을 정리하면 다음과 같다

(4) 수열의 합과 일반항

수열 에서 첫째항부터 제 항까지의 합을 이라 하면

ge 일때 　　

there4

수열의 합과 일반항의 계

수열 의 첫째항부터 제 항까지의 합을 이라 하면

(단 ge )

등비수열의 합

일때 이다

이상을 정리하면 다음과 같다

(5) 등비수열의 뜻

첫째항부터 시작하여 각 항의 바로 앞의 항에 일정한 수를 곱하여

만들어진 수열을 등비수열이라 하고 곱하는 일정한 수를 공비라고 한다

첫째항이 공비가 인 등비수열에서 첫째항부터 제 항까지의 합 은

다음과 같이 구한다

　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　①

①의 양변에 공비 을 곱하면

　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　②

①에서 ②를 같은 변끼리 빼면

따라서 ne 일때

인 경우 ①에서

　　

there4

이상을 정리하면 다음과 같다

첫째항이 공비가 인 등비수열의 첫째항부터 제 항까지의 합 은

① ne 일때

② 일때

자연수의 거듭제곱의 합

①

　　

②

　　

③

　　

2) 여러 가지 수열

(1) 합의 기호 sum

수열 에서 첫째항부터 제 항까지의 합

　　

을 일반항과 합의 기호 sum를 써서

　　

와 같이 나타낸다

이때

는 수열 의 일반항 의 에 　　　　　　을 차례로

입하여 얻은 항의 합으로 신 다른 문자를 사용하여

등과 같이 나타낼 수 있다

(2) 기호 sum 의 성질

합의 기호 sum 의 성질에 하여 알아보자

합의 기호 sum의 성질

①

(복부호동순)

②

(단 는 상수)

③

(단 는 상수)

　　

　　 　　

　　

마찬가지로

와

에 해서도 확인해 보면 sum 의 성질을

다음과 같이 정리할 수 있다

(3) 계차수열

일반 으로 수열 에서 이웃하는 두 항의 차

　　 을 일반항으로 하는 새로운 수열

　　　　　　　을 얻을 수 있는데 이 수열 을 원래의 수열 의

계차수열이라고 한다

수열 에 하여 그 계차수열을 이라 하면

　　

계차수열과 일반항

수열 의 계차수열을 이라 할때

(단 ge )

3) 수학 귀납법

(1) 수열의 귀납 정의

첫째항과 이웃하는 두 항 사이의 계식으로 수열을 정의하는 것을 수열의

귀납 정의 라고 한다

첫째항이 공차가 인 등차수열 은 다음이 성립한다

　ge 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　①

역으로 두 계식 ①이 주어지면 이 결정되고 차례로

가 결정된다 따라서 모든 자연수 에 하여 이 정해지므로 수열 이

정의 된다

①과 같이 의 값 과 의 계식을 화식이라고 한다

(2) 수학 귀납법

수학 귀납법은 이탈리아의 페아노에 의하여 설정된 자연수에 한 공리

수학 귀납법

자연수 에 한 명제 이 모든 자연수 에 하여 성립함을 증명하

려면 다음 ⅰ ⅱ 를 증명하면 된다

ⅰ 일때 명제 이 성립한다

ⅱ 일때 명제 이 성립한다고 가정하면 일때에도

명제 이 성립한다

다음과 같은 5번째 공리에 근거를 두고 있다

자연수의 집합 의 부분집합 가

ⅰ 　isin

ⅱ 　isin 이면 isin

(여기서 는 의 후자)

인 두 조건을 만족하면 이다

4) 알고리즘과 순서도

(1) 알고리즘과 순서도

어떤 문제를 해결하기 해서는 그 처리 순서를 정해야 하는데 이와 같이

문제 해결에 필요한 처리 과정의 순서를 단계 으로 정리한 것을 알고리즘

이라 하고 알고리즘을 알기 쉽게 기호를 써서 그림으로 나타낸 것을 순서도

라고 한다 일반 으로 어떤 문제를 해결하기 한 알고리즘은 여러 가지가

있을 수 있지만 정해진 유한번의 단계를 거치면 반드시 끝나야 하고 처리

과정의 순서가 명확해야 한다 한 순서도는 각 부분을 순서 계통 으로

나타냄으로써 작업 과정을 구나 쉽게 한 에 악할 수 있도록

작성되어야 한다 순서도는 다음과 같은 기호를 사용하여 작성한다

[표7 순서도의 기호]

(2) 알고리즘과 순서도의 작성

수열과 련된 순서도를 작성할 때에는 다음과 같은 방법을 고려한다

(가) 항수를 항을 수열의 합을 로 나타낸다

(나) 제시된 항의 번호까지 루 를 용한다

(다) 제시된 항의 번호에 하여 단 기호를 이용한다

(라) 구하려는 는 를 인쇄하고 끝낸다

주의환기

집 을

한 략

지각

주의환기의

략

시청각 효과의 사용

비일상 인 내용이나 사건 제시

주의 분산의 자극 지양

탐구

주의환기의

략

능동 반응 유도

문제해결 활동의 구상 장려

신비감의 제공

다양성의

략

간결하고 다양한 교수형태 사용

일방 교수와 상호작용 교수의 혼합

교수자료의 변화 추구

목표-내용-방법이 기능 으로 통합

련성

증진을

한

략

친 성의

략

친 한 인물 혹은 사건 활용

구체 이고 친숙한 그림 활용

친 한 문 배경 지식 활용

목 지향성

의 략

실용성에 을 둔 목표 제시

목 지향 인 학습형태 활용

Ⅴ 러의 ARCS 이론과 수열 지도

1 러의 ARCS 이론

1) ARCS 이론의 특징

(1) 이론 배경

다음은 ([4])의 내용을 참고하 다

ldquo말을 물가로 데리고 갈 수는 있지만 물을 먹일 수는 없다rdquo는 속담처럼

하고자 하는 마음이 없으면 학습 효과를 기 할 수 없는 것은 당연한 사실

이다 이러한 생각의 근거에는 동기 유발의 개념이 자리 잡고 있다 동기

유발이란 어떤 활동을 진 지시 유지하려는 내 상태 는 과정을

포함한다 이 개념은 교육 심리학의 심 개념 의 하나이지만 직 찰

할 수 없는 것이기 때문에 인간의 행동을 보고 거기에서 유출해 내는 개념

이며 이에 한 정의는 바라보는 과 강조하는 내용에 따라 각기 다르

다

(2) ARCS 이론

목 의 선택 가능성 부여

필요나

동기와의

부합성 강조의

략

다양한 수 의 목 제시

학업성취 여부의 기록체제 활용

비경쟁 학습상황의 선택가능

동 상호 학습상황 제시

자신감

수립을

한 략

학습의

필요조건

제시의 략

수업의 목표와 구조의 제시

평가기 피드백의 제시

선수학습 능력의 단

시험의 조건 확인

성공의 기회

제시의 략

쉬운 것에서 어려운 것으로 과제 제시

정수 의 난이도 유지

다양한 수 의 시작 제공

무작 의 다양한 사건 제시

다양한 수 의 난이도 제공

개인

조 감

증 의 략

학습의 끝을 조 할 수 있는 기회 제시

학습속도의 조 가능

원하는 부분에로의 재빠른 회귀 가능

선택가능하고 다양한 과제의 난이도제공

노력이나 능력에 성공 귀착

만족감

증 를

한 략

자연 결과

강조의 략

연습문제를 통한 용기회 제공

후속학습상황을 통한 용기회 제공

모의상황을 통한 용기회 제공

정 결과

강조의 략

한 강화 계획의 활용

의미 있는 강화의 강조

정답을 한 보상 강조

외 보상의 사려 깊은 사용

선택 보상체제 활용

공정성

강조의 략

수업목표와 내용의 일 성 유지

연습과 시험 내용이 일치

[표8 ARCS 략] ([1])

2 ARCS 이론을 용한 수열 수업 계획서

다음은 ([1])의 ARCS 이론의 수업계획서를 참고하여 수열 단원의 수업

계획서를 작성해보았다

수업내용개 동기 략개 기타의견1 수업 기

체 으로 교사는 다양한 방법으로 학습자들

에게 수업 내용을 제시하고 학습자들에게

한 언어를 사용한다

수열의 활용에

한 학습목표

제시하기

교사는 학습자들의 련성을 높이기 해 학습

목표의 의미를 설명해 다

도표는 큰 씨를 사

용하고 핵심이 되는

단어에는 다른 색깔을

사용한다

수열의 활용의

이 과 평가

거를 제시하기

교사는 학습자들의 련성과 자신감 만족감

을 높이기 하여 이 수업이 끝난 후 그들이

무엇을 할 수 있는지에 해 알려 다

교사는 학습자들의 자신감과 만족감을 높이기

하여 성공 인 학습성취를 단할 수 있는 객

인 거들을 알려 다

교사는 학습자들의 만족감을 높이기 하여

그들이 주어진 과제를 성공 으로 해결했을 때

그에 따르는 내재 강화나 외재 보상이 있음

을 알려 다

수열의 정의와

해법에 한 지

식을 간략하게

확인하기

교사는 선수학습과의 련성을 유발하기 하

여 간략한 보조도구(인쇄매체)를 사용하여 수열

의 정의와 해법을 제시한다

교사는 소집단 토론을 실시하여 학습자들의

선수지식을 스스로 검해 보도록 한다

교사는 수열의 정의와 해법을 잘 모르는 학습

자들에게 자신감을 유발시키기 하여 개별 인

학습목표를 세우도록 한다

소집단 구성에 있어

서 주의집 이 매우

낮은 5명을 하나의 소

집단으로 구성하고

친근한 소재를 활용하

여 그들의 주의집 과

련성을 유발한다

실생활과 련

된 수열의 활용

문제들을 몇 가

지 소개하기

교사는 학습자들의 주의집 을 유지하기 해

실생활에서 연립방정식을 활용하여 해결할 수

있는 몇 가지 문제들을 제시한다

주의집 이 매우 낮은 5명의 학습자들이 수업

에 극 인 심을 보이지 않으면 교사는 그

들에게 친근한 목소리로 이름을 부르면서 수업

에 집 하라고 얘기 하고 개인 인 심을 갖

고 있음을 나타낸다

로써 활용되는 문

제들을 선택할 때 학

습자들이 알고 있거

나 그들에게 친근감

을 주는 소재가 포함

되도록 선택한다 이

때 지나치게 자심감

이 높아서 수업에 소

극 으로 참여하는 3

명의 학습자들에게는

다소 복잡한 수열의

활용 문제를 미리 제

공하여 생각할 기회를

다

수열의 활용에

한 학습자들의

이해정도를 악

하고 피드백을

제공하기

교사는 학습자들에게 자신감을 높이기 하여

소집단을 구성하여 학습자들이 수열의 활용에

해 어느 정도 이해하고 있는지를 서로 토론하

도록 한다

교사는 소집단별로 둘러보면서 자신감과 만족

감을 유발시키기 하여 학습자들간에 서로 도

움을 주도록 분 기를 형성한다

소집단별로 간략하게 토론이 끝나면 학습자

들 스스로 정리하도록 한다

토론결과 학습자들이 수열의 활용에 해 잘

못 이해하고 있다면 교사는 즉각 으로 교정

피드백을 제공한다

학습자들의 소집단

토론시간을 무 길게

소요하지 않도록 한

다 자칫하면 토론분

기가 산만해지기 쉽

고 토론이 활발하지

못한 경우에는 학습자

들의 학습의욕이 떨어

진다

2 수업 반 체 으로 교사는 다양한 방법으로 학습자

들에게 수업 내용을

제시하고 학습자들에게 개별 인 언어를 사용

한다

실생활과 련

된 수열의 활용

의 문제들을 구

체 으로 제시하

기

교사는 학습자들의 주의집 련성 자신감

만족감을 유지하기 하여 게임을 실시한다 학

습자들이 돌아가면서 임의로 다른 학습자를 지

명하면 지명받은 학습자가 실생활과 련된 수

열의 문제를 하나 제시한다 한 문제를 제

시한 학습자에게 학습태도 수를 주어 만족감

을 향상시킨다

교사는 학습자들이 제시한 여러 가지 문제들

을 칠 에 은 후 몇몇 소집단을 구성하여

그 문제들을 해결하기 해 인스토 을 하

도록 한다 이때 교사는 문제를 해결한 학습자

가 아직 해결하지 못한 학습자들을 도와주어 자

신감과 만족감을 갖도록 한다

인스토 이 진행되는 동안 교사는 교실

을 둘러보면서 학습자들이 질문이나 의문사항

에 해 극 으로 질문할 수 있는 기회를 제

공하고 그에 해 개별 인 언어를 사용하여

부드러운 목소리로 피드백을 제공한다

인스토 도 학습자들의 개인 인 능

력차가 커서 문제를 해결하는데 어려움을 겪는

학습자들에게는 그들에게 합한 개별 인 학습

이때 교사는 밝고

생동감이 넘치는 목소

리로 학습자들의 활동

을 진시킨다

교사는 학습자들이

한 자신감을 유지

하고 있는지에 해

지속 인 심을 갖고

지켜본다

이때 교사는 학습자

들의 자신감과 만족감

을 높이기 하여 그

들에게 일 성 있는

피드백을 제공한다

교사는 학습자들이

목표를 다시 선정하도록 하여 자신감을 향상시

킨다

인스토 이 끝나면 교사는 소집단 별로

한 사람씩 자발 으로 나와 문제를 풀고 풀이

과정을 체 학습자들에게 설명하도록 한다 이

때 어려운 문제를 해결한 소집단이나 학습자에

게 교사는 그들의 우수한 능력을 인정하고 내

재 인 자존심에 정 인 향을 주는 칭찬을

제공하여 자신감과 만족감을 높인다

소집단의 인스토

을 하는 동안 체

으로 문제풀이를 할

때 주의집 을 유지

하고 자신감과 만족

감의 향상을 악하기

해 끊임없이 그들과

시선을 교류하고 얼

굴표정을 찰한다

3 수업마무리 체 으로 교사는 다양한 방법으로 학습자

들에게 수업 내용을 제시하고 학습자들에게 개

별 인 언어를 사용한다

실생활과 련

된 수열의 활용

에 해 체

으로 정리 요

약하기

교사는 교탁을 탁탁 치거나 박수를 쳐서 다

소 떨어진 학습자들의 주의집 을 향상 시킨다

교사는 실생활 속에서 수열을 활용하여 해결

할 수 있는 간단하고 재미있는 문제들을 2～3개

제시하여 학습자들이 그 문제를 성공 으로 해

결함으로써 자신감과 만족감을 갖도록 한다

교사는 학습자들이 미처 생각하지 못했던 실

생활 속에서 수열과 연 된 다양한 들을 제공

하여 주의집 과 련성을 유지향상시킨다

교사는 자신감과 만족감을 향상시키기 해

학습자들에게 수업진행 에 그들이 설정한 개

인 인 학습목표에 해 얼마나 많이 달성했는

가를 스스로 검해 보라고 한다

교사는 수업 반에 수열의 문제를 잘 해결하

지 못했던 학습자들에게 그 문제를 다시 해결해

보도록 기회를 제공하여 자신감과 만족감을 높

여 다

평가에 있어서 교사는 학습자들이 그들의 성

에 해 공정하게 평가되었다고 느끼도록 일

성 있게 평가하여 그들의 자신감고 만족감을

높여 다

교사는 수열과 실생

활과의 련성에 해

학습자들이 잘 지각하

고 있는가를 알아보기

해 다소 진지한 목

소리로 질문한다

다음 학습내용

에 해 간략히

소개하기

교사는 학습자들의 흥미를 유지하기 하여

다음 학습내용에 해 호기심에 찬 목소리로 간

략하게 소개하고 수업을 끝낸다

[표9 러의 ARCS이론]

단원

단

원Ⅲ 수열

배정시간

(분)50

단

원1 등차수열과 등비수열

차시 3소단

원3) 등차수열과 등비수열의 활용

학습

목표등차수열과 등비수열을 실생활의 문제에 용할 수 있다

학습

단계학습내용

교수-학습활동 지도상의유의사

항교사활동 학생활동

도

입

15

분

인사

출석

주변을 정리 정돈

하여 수업분 기를

조성한다

인사 출석체크

를 한다

주의를 환기시킨

후 학생들과 인사

한다

출결석 여부를

확인한다

바른 자세로 주

변을 정리한 뒤

교사와 인사한다

수업 비를 한

다

교사와 학생

모두 함께 수업

분 기를 조성한

다

선수

학습

확인

지난 시간에 학습

한 등차수열과 등비

수열의 정의에 해

다시 한번 확인해본

다

지난 시간에 학습

한 등차수열과 등비

수열의 일반항을 구

하는 방법에 해 확

인학습으로 [문제1]

과 [문제2]를 풀어본

다

학생들의 자신감

을 높이기 하여

등차수열과 등비수

열의 정의를 교과

서에서 찾아본 후

큰소리로 답하게

한다

학생들이 답한

후 다시 한번 등차

수열과 등비수열에

해 간단히 설명

등차수열과 등

비수열의 정의를

교과서에 찾아본

후 큰소리로 읽는

다

교사가 등차수

열과 등비수열의

정의에 해 다시

한번 간단히 설명

할 때 부족한 부

분은 필기하며 복

습한다

교사가 정의에

해 질문할 때

학생들이 모두

책을 찾아볼수

있게 주의를

다

만일 답하

지 못하는 학생

이 있을 경우 그

여기서 인스토 (brainstorming)이라고 하는 것은 갑자기 떠오르는 멋

진 생각을 종이에 는다든가 말로 표 해 본 후 로 기록하거나 기록된

문장을 정리정돈하면서 생각을 논리화하는 방법이다 주로 어떤 계획을 세

우고자 할 때 창조 이고 기발한 아이디어가 필요할 때 학생들의 의견과

생각을 끌어내어 발 시키고자 할 때 사용하면 유리하다 ([3])

3 ARCS 이론을 용한 수업지도안

[문제1]

다음 등차수열

의 일반항과 제20항

을 구하여라

　　　　　　　

[문제2]

다음 등비수열

의 일반항과 제8항을

구하여라

　 　　　　　

한다

교사는 [문제1]

과[문제2]를 제시

한 뒤 학생들에게

직 풀어보게 한

다

등차수열과 등

비수열의 일반항

과 그 공식의 유

도과정을 기억한

다

제시된 문제를

연습장에 풀어본

다

학생에 해 개

별 인 언어를

사용하여 부드러

운 목소리로 피

드백을 제공한

다

개

30

분

학습

목표

제시

수열의 활용에

한 학습목표를 제시

한다

학습목표 학습

에 필요한 자료를

Power point 시청

각 효과를 사용하여

학생들의 주의환기

집 을 한 략

을 사용한다

학습목표를 학생

들에게 읽게 하고

학생들의 련성을

높이기 해 학습

목표의 의미를 설

명해 다

교사의 지시에

따라 큰소리로 학

습목표를 읽고 이

수업이 끝난 후

무엇을 할 수 있

는지에 해 생각

해 본다

학습목표는 큰

씨를 사용하

고 핵심이 되는

단어에는 다른

색깔을 사용한

다

탐구

학습

실생활과 련된

수열의 활용문제들을

몇 가지 소개한다

수열의 활용에

한 학습자들의 이해

정도를 악하고 피

드백을 제공한다

등차수열과 등비

수열을 이용하여

실생활의 문제를

해결할 수 있음을

학생들이 쉽게 이

해할 수 있도록 설

명한다

교사가 실생활

과 련된 수열의

활용문제들을 몇

가지 소개할 때

다른 시가 있는

지 함께 생각해

본다

문제

제시

[문제3]

한일 월드컵 축구 개

회 연도는 2002년이

다 2002년 이후 월

드컵 축구가 개최되

는 연도를 차례로 써

보고 이 규칙 로 월

드컵 축구가 개최되

면 2100년은 월드컵

축구가 개최되는 연

도인가

교과서에서 수열

단원의 수열의 활

용부분에 수록된

문제들을 풀어볼

수 있도록 시간을

다

등차수열과 등

비수열의 일반항

유도 공식을 생각

해보고 제시된 문

제를 해결해 간다

로써 활용되

는 문제를 선택

할 때 학습자들

이 알고 있거나

그들에게 친근감

을 주는 련성

증진을 한

략을 사용한다

[문제4]

컴퓨터의 주기억 장

치인 램은용

으로

용으로 가 개발

되었다 이후 램의

용 량 은

로 증가되어 왔다

의 램으로부터

번 증가된 주 메모

리는 식으로 어떻게

나타낼 수 있는가

학생들이 문제를

어렵게 느끼지 않

도록 어떤 방향으

로 해결해야 하는

지 힌트를 주어 학

생들의 자신감을

증진시킨다

소집

단

활동

5～6명으로 이 진

소집단을 구성하여

학습자들이 수열의

활용에 해 어느 정

도 이해하고 있는지

를 서로 토론하도록

한다

소집단별로 실생활

과 련된 수열의 활

용의 문제들을 구체

으로 제시한다

인 스토 이

끝나면 소집단별로

한사람씩 문제를 풀

고 풀이과정을 체

학생들에게 설명하는

시간을 갖는다

교사는 학생들의

만족감을 높이기

하여 그들이 주

어진 과제를 성공

으로 해결했을

때 그에 따르는

내재 강화나 외

재 보상이 있음

을 알려 다

어려운 문제를

해결한 소집단이나

학생에게 교사는

그들의 우수한 능

력을 인정하고 내

재 인 자존심에

정 인 향을

주는 칭찬을 제공

하여 자신감과 만

족감을 높인다

자신이 속한 소

집단 내에서 제시

된 과제에 해

열심히 토의를 하

며 문제를 해결한

학생이 아직 해결

하지 못한 학생들

을 도와주어 자신

감과 만족감을 갖

도록 한다

소집단별로 간

략하게 토론이 끝

나면 학생들 스스

로 정리해보고 자

발 으로 체 학

생들에게 설명해

보는 기회를 갖는

다

교사는 학습자

들이 한 자

신감을 유지하고

있는지에 해

지속 인 심을

갖고 지켜본다

학생들의 소집

단 토론시간을

무 길게 소요

하지 않도록 한

다

형성

평가

[문제4]

민수는 남 문의 기

와 지붕 한쪽 면이

사다리꼴 모양임을

찰하고 이 면에 있

는 기와의 개수를 알

아보고자 한다 기와

형 성 평 가 를

Power point로 제

시하고 학생들이

스스로 풀어볼 수

있도록 지도한다

학생들이 문제를

다 풀고 나면 교사

제시된 문제를

오늘 학습한 내용

을 복습하면서 풀

어보도록 한다

교사는 다소

진지한 목소리로

질문한다

의 개수를 행으로 세

었더니 용마루 쪽에

가장 가까운 행에는

40개 처마 쪽에 가

장 가까운 행에는 72

개 다 용마루부터

처마까지 행의 개수

가 17이라고 할 때

민수가 찰한 지붕

한쪽 면의 기와의 개

수는 모두 몇 개인

가

는 학생들에게

답할수 있도록 하

고 학생들이 학습

목표에 해 얼마

나 많이 달성했는

가를 스스로 검

해 보라고 한다

형성평가의 답

을 교사의 질문에

끝난 뒤 큰소리로

답하여 자신감

과 만족감을 갖도

록 한다

학생들에게 개

별 인 언어를

사용한다

정

리

5

분

학습

정리

차시

고

학습 자료를 이용

하여 수열의 실생활

의 활용 단원의 수업

내용을 확인한다

과제를 제시한다

다음 차시인 「여

러 가지 수열」 단원

에 한 고를 한

다

수업 내용을 정

리하고 과제를 제

시한다

학생들의 흥미를

유지하기 하여

다음 학습내용에

해 호기심에 찬

목소리로 간략하게

소개하고 수업을

끝낸다

오늘 학습한 내

용을 정리한다

과제를 고 과

제 해결에 한

내용을 머릿속에

형성해 본다

다음 차시에 배

울 내용을 학습

자료 화면으로 확

인해본다

수업내용에

해 학생과 교사

모두가 만족하고

있는지 확인하고

공정한 평가를

한다

[표10 수업지도안]

4 조사 문제지 분석

고등학교 수학 Ⅰ 의 수열단원의 효율 인 지도방안의 연구를 하여 원

종고등학교 2학년 학생 100명을 상으로 조사 문제지 조사를 하 다 학

생들의 수학에 한 심과 수학에서 가장 어려워하는 부분을 알아볼 수

있었고 어떤 방식의 수업을 선호하는지도 알아볼 수 있었다

⑴ 수학에 얼마나 심이 있나요

① 매우 많다 ② 많다 ③ 보통이다 ④ 다 ⑤ 매우 다

수학과목에 매우 많은 심을 보이는 학생은 2로 매우 낮은 편이며

심이 있는 학생은 43로 학생의 반정도 다 수학과목에 심이 거

나 없는 학생은 54정도로 수학은 어려운 과목이라는 인식 때문에 심

이 은 것 같다

수학을 공부하는 가장 큰 이유에는75의 학생들이 학입시를 해서라

는 문항을 선택했다 기타 이유에는 교과서에 있어서 어쩔수 없이 한다

는 학생과 진리탐구를 해서라는 학생도 있었다

[그림6 조사문제지

(1)번 막 그래 ]

⑵ 수학을 공부하는 가장 큰 이유가 뭐라고 생각하나요

① 학입시를 해서

② 평소 수학에 흥미가 있어서

③ 실제 생활에 쓰기 해서

④ 주변에서 해야한다고 하니까

⑤ 기타 이유 (이유를 간단히 어주세요)

앞에 (1)번문항에서 수학에 심이 은 학생이 반 정도인것에 반해

수학공부가 필요하다고 느낀학생이 75정도로 수학공부가 필요하단건

느끼지만 어려운 과목이라는 인식이 부분인것 같다 수학과목도 재

는 과목이란 인식을 학생들이 가질수 있도록 노력해야겠다

[그림7 조사문제지

(2)번 막 그래 ]

⑶ 수학공부의 필요성에 해 어떻게 생각하나요

① 매우 필요하다 ② 조 필요하다 ③ 보통이다

④ 필요 없다 ⑤ 필요 없다

[그림8 조사문제지

(3)번 막 그래 ]

⑷ 수학을 공부하면서 가장 어려운 부분은 무엇이나요

① 복잡한 계산 과정 ② 외워야할 많은 공식들

③ 응용문제엔 어떤 공식을 용해야할지 ④ 다 어렵다

학생들이 수학과목이 어렵다고 느끼는 이유는 응용문제에 어떤 공식을

용해야 하는지를 몰라서 라는 답이 58로 가장 많았다 그 외에도

계산과정이 복잡하거나 외워야할 공식들이 많아서라는 답도 있었다

이해 주의 수업을 하고 단순한 공식의 암기 주의 수업을 탈피해야겠

다

수학수업을 하는데 효과 인 방법에는 선생님 주의 강의식 수업과 학

생 개인별 수업이 78로 가장 많았다 개념이나 공식유도과정을 설명할

땐 서를 하며 강의식 수업을 하고 문제풀이땐 학생들 개인별로 첨삭

지도를 하는게 효율 인것 같다

⑤ 기타이유 (이유를 간단히 어주세요)

[그림9 조사문제지

(4)번 막 그래 ]

⑸ 수학 수업을 하는 데 어떤 방법이 가장 효과 이라고 생각하나요

① 선생님 주의 강의식 수업

② 학생 개인별 수업

③ 모둠별 활동 수업

④ 기타 교재나 과제를 통한 수업

⑤ 기타(이유를 간단히 어주세요)

[그림10 조사문제지

(5)번 막 그래 ]

Ⅵ 결론

본 논문에서 지 까지 고등학교 2학년 학생들이 수학 Ⅰ 교육과정을 학습하

는데 가장 어려워하는 수열에 해 살펴보았다 먼 개정 교육과정에 명시

된 수학교육의 목표와 임의로 선택된 5종 교과서에서 수열 단원의 학습목표

를 살펴보았고 수열의 역사 배경과 실생활에 응용된 들을 정리해보았

다 한 5종 교과서에서 제시되어 있는 수열의 학습내용을 소단원 별로 정

리해보았다 임의로 선택된 5종 교과서안의 수열의 학습내용을 분석해보면

서 몇 몇 교과서에서 여러 가지 수열 단원에서 군 수열과 멱 수에 한 언

이 없거나 미약함을 알 수 있었다 본 연구자가 보기에 군 수열과 멱 수

부분은 실생활에 활용될 는 극히 작아 보이지만 학생들이 꼭 학습하고 넘

어가야 수열에 한 완벽한 학습이 될 수 있을 것이라 여겼는데 교과서에서

제시된 내용들로는 학생들이 충분히 이해할 수 없을 것 같았다

그리고 교과서에 제시된 문항의 수 이 입시와 동 떨어진다는 문제 이 있

었다 교과서에 제시된 문제가 부족하고 수 이 낮다 보니 실제로 학교에서

수업 때 보충 린트 물로 수업을 진행하고 간기말고사 때에도 교과서

외에서 많은 문제를 출제하는 모습을 볼 수 있었다 때문에 학생들이 교과서

보다는 문제집 주의 공부를 할 수 밖에 없는 듯 보 다 교과서가 학생들

과 교사의 요구에 부합할 수 있도록 새로운 내용들과 문제를 싣도록 해야

할 것이다

학생들이 수열 단원의 학습을 할 때 좀 더 효과 인 학습이 될 수 있도록

리의 동기설계이론 (ARCS 이론) 을 바탕으로 하여 수업 계획서와 1차시

의 수업 지도안을 작성해 보았다 한 작성한 수업 지도안으로 부천시 소재

의 한 고등학교에서 실제 수업을 진행해 보았을 때 학생들이 좀 더 수열에

해 친숙하게 느끼고 쉽게 이해하는 모습을 볼 수 있었다 본 연구자가

직 교사가 아니라 여러 반을 상으로 수열 단원의 모든 차시 수업에 용

하여 수업을 해볼 수 없었단 이 아쉬움으로 남는다

이와 같이 학생들의 주의 련성자신감만족감 증진을 한 수업을 함

으로써 학생들의 수학 학습 성취도의 향상을 기 할 수 있을 것이다 한

개발된 자료를 실제 수업에 용하는 경우의 효율성에 한 후속 연구가 체

계 이고 지속 으로 이루어져야 할 것이다

참 고 문 헌

[1] 구평회 META 구평회 교육학 2007

[2] 교육인 자원부 고시 제2007 - 79호[별책8] 2007

[3] 박인학 교사를 한 교수학습방법론 문사 1995

[4] 변 계 교수학습 이론의 이해 학지사 1999

[5] 우정호 외 5인 고등학교 수학 Ⅰ 한교과서(주) 2002

[6] 이 연 자연의 수학 열쇠 피보나치수열 로네시스 2006

[7] 이진화 지수로그함수의 지도에 한 연구 서강 학교 교육 학원 석사 학

논문 2006

[8] 임재훈 외 10인 고등학교 수학 Ⅰ (주)두산 2002

[9] 장 숙 고등학교 수학 Ⅰ 교과서의 통계단원 분석 실생활에의 용 경희

학교 교육 학원 석사 학 논문 2006

[10] 조해식 행렬 수열 수업에서의 수학사 도입에 한 연구 울산 학교 석사

학 논문 1998

[11] 차 자 수열 학습의 흥미 유발을 한 자료 연구 경성 학교 교육 학원 석

사 학 논문 2004

[12] 최 외 5인 고등학교 수학 Ⅰ 앙교육진흥연구소 2006

[13] 최상기 외 5인 고등학교 수학 Ⅰ (주)고려출 2002

[14] 최용 신 성 고등학교 수학 Ⅰ 천재교육(주) 2002

[15] 황혜정 외 5인 수학교육학 신론 문음사 2002

• Ⅰ 서론
• • 1 연구의 필요성과 목적
  • 2 연구의 제한점
  • • Ⅱ 개정 교육과정에서 명시된 수학Ⅰ교육의 목표
    • • 1 수학Ⅰ교육의 목표
      • 2 고등학교 수학 Ⅰ 수열 단원의 학습목표
      • • Ⅲ 수열의 역사적 배경 및 응용
        • • 1 수열의 역사
          • 2 수열 단원이 실생활에 응용된 사례
          • • Ⅳ 고등학교 수학교육과정에서의 수열
            • • 1 수학Ⅰ 교과서 분석
              • 2 수학Ⅰ 교과서에서의 수열
              • • Ⅴ 켈러의 ARCS 이론과 수열 지도
                • • 1 켈러의 ARCS 이론
                  • 2 ARCS 이론을 적용한 수열 수업 계획서
                  • 3 ARCS 이론을 적용한 수업 지도안
                  • 4 조사지 분석
                  • • Ⅵ 결론
                    • 참고문헌

敎育學 碩士 學位 請求論文

고등학교 수학1 교과서 수열 단원 분석 러의

ARCS이론에 따른

효율 인 지도방안에 한 연구

An analysis of the chapters on sequences in the current

highschool mathematics-I textbooks and methods of

instruction based on ARCS theory of Keller

2008年 2月

指 敎授 명 성

이 論文을 碩士學位 請求論文으로 提出함

본 論文을 高現珍의 碩士學位 論文으로 認准함

2008年 2月

主審

副審

副審

목 차

국문 록

ABSTRACT

Ⅰ 서론

1 연구의 필요성과 목 1

2 연구의 제한 2

Ⅱ 개정 교육과정에서 명시된 수학Ⅰ교육의 목표

1 수학Ⅰ교육의 목표4

2 고등학교 수학 Ⅰ 수열 단원의 학습목표7

Ⅲ 수열의 역사 배경 응용

1 수열의 역사9

2 수열 단원이 실생활에 응용된 사례10

Ⅳ 고등학교 수학교육과정에서의 수열

1 수학Ⅰ 교과서 분석17

2 수학Ⅰ 교과서에서의 수열21

Ⅴ 러의 ARCS 이론과 수열 지도

1 러의 ARCS 이론30

2 ARCS 이론을 용한 수열 수업 계획서 31

3 ARCS 이론을 용한 수업 지도안35

4 조사지 분석 38

Ⅵ 결론 43

참고문헌 45

표 목 차

1 [표1 수학Ⅰ교과서 내용체계] 6

2 [표2 5종 교과서 수학 Ⅰ 수열 단원의 학습목표] 7

3 [표3 단리법] 12

4 [표4 복리법] 13

5 [표5 수학 Ⅰ 5종교과서의 차례] 17

6 [표6 5종 교과서에 제시된 수열 련 자료] 19

7 [표7 순서도의 기호]29

8 [표8 ARCS 략]30

9 [표9 러의 ARCS이론]32

10 [표10 수업지도안] 35

그림 목차

1 [그림1 피보나치수열] 10

2 [그림2 하노이의 탑]11

3 [그림3 피라미드 황 비]14

4 [그림4 피아노건반황 비율] 15

5 [그림5 인체 황 비율]16

6 [그림6 조사문제지 (1)번 막 그래 ]39

7 [그림7 조사문제지 (2)번 막 그래 ]40

8 [그림8 조사문제지 (3)번 막 그래 ]40

9 [그림9 조사문제지 (4)번 막 그래 ]41

10 [그림10 조사문제지 (5)번 막 그래 ]42

국문 록

수학은 오래된 학문으로 사회생활을 하는데 직 으로 소용이 되지 않는

수학 지식도 타학문을 공부하는 데에는 필요하다 그러나 부분의 사람

들은 간단한 연산을 제외하고는 수학의 필요성을 느끼지 못하고 있다 게

다가 학생들은 수학을 입시 과목 의 하나로만 여겨 내용에 한 이해보

다는 문제를 공식에 용시키는 정도로써 수학에 한 심을 보이고 있는

형편이다 이런 상 때문에 학생들이 수학을 어려운 과목으로만 여기고

기피하는 모습을 많이 보이고 있다

본 논문에서는 행 고등학교 수학과 교육과정에서 수열 단원을 교과서별

로 분석해 보았고 수열 단원의 각 소단원의 내용을 정리해 보았다 그리고

고등학교 2학년 인문계열 학생들이 수학 Ⅰ 교육과정을 학습할 때 가장 어

려워하는 수열 단원을 보다 효율 으로 지도하기 한 방안을 연구해보았

다

이를 하여 본 연구자가 교생실습을 했던 경기도 부천시 소재의 원종고

등학교 2학년 인문계학생 100여명을 상으로 수학의 학습에서 가장 어려

운 부분과 그 이유를 알아보는 조사 문제지 검사를 실시하 으며 이를 토

로 수열의 효율 인 지도방안에 해 좀 더 구체 으로 연구해 볼 수 있

었다

러(Keller)의 ARCS 이론의 주의(Attention) 련성(Relevance) 자신감

(Confidence) 만족감(Satisfaction) 을 토 로 하여 수열 단원의 수업계획

서와 수업지도안을 작성해보았고 지도안 로 수업을 실시해보았다

지도안 로 수업을 실시 해 보았을 때 본 연구자가 매 수업 끝난 후 실시

한 Test에서 그 차시 수업 때보다 좋은 수를 낸 것으로 보아 학생들

이 수열 단원의 학습 효과가 조 은 향상된 것으로 보여진다

ABSTRACT

Mathematical knowledge has been used to study other fields even though it

does not have a direct relation with them However most of the people think

mathematics is not essential to life except for simple calculations Moreover

because students think of mathematics just as a required subject for an

admission in a university they are not interested in math itself but interested

in solving mathematical problems by merely applying given formulas Due to

these tendencies many students consider that mathematics is beyond their

abilities and seem to try to avoid it if possible

The present thesis analyzes and compares textbooks concerning sequences in

the present curriculum of highschool mathematics Above all the author tries

to find effective ways to teach sequences which are difficult for highschool

students especially for those who plan to major in humanities to learn

To achieve these objectives the author asked a hundred students in the

second-grade class at Wonjong highschool in Buchon-si Kyonggi-do to fill

out questionnaires concerning most difficult parts in learning mathematics and

ways to improve learning We have been able to specifically construct effective

teaching plans for sequences based on these questionnaires We have written

out a guidance plan and a teaching plan for the chapter on sequences based

on Kellers ARCS Theory- Attention Relevance Confidence Satisfaction

It is well known that the effectiveness of study is higher if students are

taught with the teaching plan

Ⅰ 서 론

1 연구의 필요성과 목

오늘날의 수학교육에 있어서의 최 당면 문제는 수학의 기 인 교육

기반을 어떻게 회복하느냐 하는 것이다 이를 해서는 lsquo수학을 어떤 이유

로 가르쳐야 하는가rsquo 는 lsquo학생들이 왜 수학을 알아야 하는가rsquo에 한 보

다 근원 인 논의가 이루어져야 한다 lsquo수학을 왜 가르치고 배우는가rsquo 라는

질문에 부분은 수학을 배우면 논리 으로 사고하게 되고 과학 인 생활

을 하는 데 도움이 된다고 말하지만 우리는 이러한 질문에 하여 보다

체계 으로 생각해 보아야 한다 수학을 가르치는 교사는 학생을 지도할

만큼의 충분한 수학 지식을 가지는 것도 요하지만 수학이 갖는 가치

에 하여 단순히 학문 입장만이 아닌 lsquo교육 rsquo 입장에서의 가치 을 갖

추고 있어야 한다는 것이다 ([15])

하지만 지 의 학교수학교육의 황은 학 입시를 한 기계식의 문제풀

이와 암기 주의 수업이 이루어지고 있는 실정이다 때문에 학생들은 수학

에 한 기 개념을 알지 못한 채 수박 겉핥기식의 학습을 하게 되고 수

학에 흥미를 잃고 수학을 포기하는 학생이 늘어가고 있다

고등학교 수학Ⅰ 교육과정의 요한 단계인 수열에 해 학생들은 특히

이해하기 어려워한다 한 수열에 한 선수 학습이 제 로 이루어지지

않았을 경우 수열을 배우고 나서 바로 다음 단원에 학습하는 수열의 극한

단원을 이해하는데 어려움을 겪게 되기 때문에 수열의 제 로 된 학습은

학생들에게 상당히 요한 문제라고 할 수 있다

학생들이 수열 단원을 어려워하는 데에는 많은 이유가 있겠지만 무엇보다

도 행 교과서의 수열 단원의 구성에 부족한 부분이 많기 때문인 것 같

다 요한 단원임에도 불구하고 개념 설명이나 시 문항이 많이 부족하

고 군 수열이나 멱 수에 한 설명은 실려 있지 않은 교과서도 많았다

한 지 의 딱딱한 강의식 수업에서 벗어나 학생들의 자신감과 만족감을

증진시킬 수 있는 수업을 해 교사나 학생 모두 노력해야한다

이 논문에서는 개정 교육과정에 의하여 다루어지는 고등학교 수학 Ⅰ 교

육과정 내용 수열을 택하여 각 교과서에서 수열 단원의 구성과 수열에

한 역사 배경과 실생활에 활용된 를 알아보고 학생들로 하여 수

열의 원리와 개념의 이해에 도움이 될 수 있는 지도방안을 러의 ARCS

이론을 바탕으로 하여 작성해보고자 한다

2 연구의 제한

재 고등학교에서 채택하고 있는 12여종의 수학 Ⅰ 교과서 부를 분

석하지 않고 임의로 선택된 5종 교과서를 분석하 기 때문에 5종이 12종을

모두 표한다고 볼 수 없다

본 논문은 러의 ARCS 이론을 바탕으로 한 수열 지도가 수열 단원의

학습에 효율 일 것이라고 여겼으나 1개 고등학교에서만 수업시연을 해보

았기 때문에 실제 인 검증작업을 거치지 못하 다 따라서 연구 결과에

한 한계가 있을 수 있다

러의 ARCS 이론을 바탕으로 한 수열 학습지도안으로 수업을 진행할

때 조별학습을 하게 되는데 이때 능숙한 교사가 아니라면 학생들의 주의

가 산만해지고 수업 분 기가 흐트러지는 것을 정리하고 완만한 수업을 진

행하기가 힘이 들것이라 생각된다

본 연구자가 부천시 소재의 원종고등학교 학생 100명을 상으로 한 조

사문제지 검사가 수열 단원의 학습에 국한된 것이 아니라 고등학교 수학

학습의 일반 인 내용을 담았기 때문에 수열 단원의 효율 인 지도방안을

한 연구에 직 인 도움을 주지 못했다

본 연구자가 제안한 교수 방법의 효과를 검증하지 못했다

Ⅱ 개정 교육과정에서 명시된

수학Ⅰ 교육의 목표

1 수학Ⅰ교육의 목표

교육인 자원부에 고시된 개정 교육과정([2])에서의 고등학교 수학Ⅰ과정

교육목표는 다음과 같다

1)성 격

lsquo수학 Ⅰrsquo의 학습을 통하여 수학 개념 원리 법칙을 이해하고 수학 사

고 능력을 키워 합리 이고 창의 으로 문제를 해결하는 능력과 태도를 기

를 수 있다

lsquo수학 Ⅰrsquo의 교수학습에서는 고등학교 1학년까지의 수학에서 습득한 수학

개념 원리 법칙을 토 로 하여 새로운 개념에 근해야 하므로 기본

인 수학 지식을 확인하고 활용하면서 발 인 학습이 이루어지도록 한

다 이 과정에서 여러 가지 상을 수학 으로 해석하고 조직하는 활동 구

체 인 사실에서 진 으로 추상화로 나아가는 과정 직 이나 구체 인

조작 활동에 바탕을 둔 통찰 등의 수학 경험을 통하여 형식이나 계를

발견하는 것이 요하다 한 수학 문제를 해결하는 과정에서 문제를 명

확히 이해하고 합리 인 해결 계획을 세워 실행하며 반성을 통하여 풀이 과

정을 검하고 다양하게 활용하는 능력을 기르도록 한다 수학 지식과 기

능을 활용하여 여러 가지 문제를 해결해 으로써 수학의 필요성과 유용성

을 인식하고 수학 학습의 즐거움을 경험해 으로써 수학에 한 정 인

태도를 갖게 한다

역 내 용

행렬과 그래

행렬과 그 연산

연립일차방정식과 행렬

그래 와 행렬

지수함수와 로그함수

지수

지수함수와 그 그래

지수방정식과 지수부등식

로그

2) 목 표

수학 개념 원리 법칙을 이해하고 수학 으로 사고하고 의사소통하는

능력을 신장하여 여러 가지 문제를 합리 이고 창의 으로 해결하며 수학

의 실용성을 인식하여 수학에 한 정 태도를 갖는다

(1) 수학Ⅰ의 학습을 통해 얻는 여러 가지 장

(가) 행렬과 그래 지수함수와 로그함수 수열 수열의 극한에 련된 개

념 원리 법칙과 이들 사이의 계를 이해하고 이를 활용하는 능력을 기른

다 여러 가지 상을 찰 분석 조직하여 수학 으로 나타내는 능력을 기

른다

(나) 수학을 통하여 여러 가지 문제를 합리 으로 해결하는 능력과 수학

으로 사고하고 의사소통하는 능력을 기른다

(다) 수학의 가치를 이해하여 수학에 한 심과 흥미를 지속 으로 가지

며 수학에 한 정 태도를 기른다

3) 내 용

⑴ 내용체계

로그함수와 그 그래

로그방정식과 로그부등식

수열

등차수열과 등비수열

여러 가지 수열

수학 귀납법

알고리즘과 순서도

수열의 극한무한수열의 극한

무한 수

[표1 수학Ⅰ교과서 내용체계]

4) 평 가

(1) 평가

(가) 수학 학습의 평가는 학생의 인지 역과 정의 역에 한 유용한

정보를 제공하여 학생 개개인의 수학 학습과 인 인 성장을 돕고 교사의

교수 활동과 수업 방법을 개선하는 데 활용한다

(나) 수학 학습의 평가에서는 학생의 인지 발달 수 을 고려하고 교육과정에

제시된 내용의 수 과 범 를 수한다

(다) 수학 학습의 평가는 수업의 개 과정에 따라 진단 평가 형성 평가 총

평가 등의 한 평가 방식을 택하여 실시하되 지속 인 평가를 통하여

다양한 정보를 수집하고 수업에 활용한다

(라) 수학 학습의 평가에서는 획일 인 방법을 지양하고 지필 평가 찰 면

담 자기 평가 등의 다양한 평가 방법을 통해 수학 교수ㆍ학습을 향상시킬

수 있게 한다

(마) 인지 역에 한 평가에서는 학생의 수학 사고력 신장을 하여 결

과뿐만 아니라 과정도 시하여 평가하되 수학의 교수학습에서 반 으

교과서 학습목표

한교과서

(주)

등차수열 등비수열의 뜻을 알고 일반항 첫째항부터 제 n항까지

의 합을 구할 수 있다

sum의 뜻과 성질을 이해하고 이를 활용하여 여러 가지 수열에

한 문제를 해결할 수 있다

수학 귀납법의 원리를 이해하고 이를 활용하여 자연수 n에

하여 참인 명제를 증명할 수 있다

알고리즘과 순서도의 뜻을 알고 간단한 문제 해결을 한 알고

리즘을 작성하여 순서도를 만들 수 있다

(주) 천재교육

등차수열과 등비수열의 뜻을 알고 일반항과 첫째항부터 제 n항

까지의 합을 구할 수 있다

기호 sum의 뜻과 성질을 이해하고 이를 활용할 수 있다

여러 가지 수열의 일반항과 첫째항부터 제 n항까지의 합을 구

할 수 있다

여러 가지 수열에 한 문제를 해결할 수 있다

수학 귀납법의 원리를 이해하고 이를 이용하여 자연수 n에

하여 참인 명제를 증명할 수 있다

로 요구되는 사항을 강조한다

(바) 정의 역에 한 평가에서는 학생의 수학에 한 정 태도를 신장

시키기 하여 학생의 수학에 한 바람직한 가치 이나 수학 학습에 한

심 흥미 자신감 등의 정도를 악한다

(사) 수학 학습의 평가에서는 평가하는 학습 내용에 따라 학생에게 계산기

컴퓨터와 같은 공학 도구와 다양한 교구를 이용할 수 있는 기회를 제공할

수 있다

2 고등학교 수학 1 수열단원의 학습목표

수학 Ⅰ교과서에서의 수열단원의 학습목표를 5종 교과서를 비교하여 살펴

보고자한다 임의로 선택된 5종 교과서([5][8][12][13][14])의 학습목표는

다음과 같다

알고리즘과 순서도의 뜻을 알고 그 필요성을 이해할 수 있다

간단한 문제 해결을 한 알고리즘을 작성하여 순서도를 만들

수 있다

앙교육진흥

연구소

수열을 이해하고 이를 활용하여 여러 가지 문제를 해결할 수 있

다

수학 귀납법의 원리를 이해하고 이것을 이용하여 자연수 n에

하여 참인 명제를 증명할 수 있다

알고리즘과 순서도의 뜻을 알고 간단한 문제 해결에 사용할 수

있다

(주) 고려출

등차수열의 뜻을 알고일반항 첫째항부터 제 항까지의 합을 구

할 수 있다

등비수열의 뜻을 알고일반항 첫째항부터 제 항까지의 합을 구

할 수 있다

sum의 뜻과 성질을 이해하고 이를 활용할 수 있다

여러 가지 수열의 일반항 첫째항부터 제 항까지의 합을 구할

수 있다

여러 가지 수열에 한 문제를 해결할 수 있다

수학 귀납법의 원리를 성명하고 수학 귀납법을 이용하여 자연

수 에 하여 참인 명제를 증명할 수 있다

알고리즘과 순서도의 뜻을 알고 그 필요성을 알 수 있고 간단

한 문제 해결을 한 알고리즘을 작성하여 순서도를 만들 수 있다

(주) 두산

등차수열과 등비수열의 뜻을 알고 일반항과 그 합을 구할 수 있

다

기호sum의 뜻과 성질을 이해하고 이를 이용하여 여러 가지 수열

에 한 문제를 해결할 수 있다

수학 귀납법의 원리를 이해하고 이를 이용하여 자연수 에

하여 참인 명제를 증명할 수 있다

알고리즘과 순서도의 뜻을 알고 간단한 문제 해결을 한 알고

리즘을 작성하여 순서도를 만들 수 있다

[표2 5종 교과서 수학 Ⅰ 수열 단원의 학습목표]

Ⅲ 수열의 역사 배경 응용

1 수열의 역사

수학의 역사에서 가장 흥미로운 수열 하나가 피보나치수열이다 피보나

치수열은 수학이론 뿐만 아니라 자연계 건축 술 등에 다양하게 표 된

다

그 에 오나르도가 발표한《산반서》에 소개된 피보나치수열에 한 문

제는 다음과 같다 ([6]) ldquo어떤 사람이 토끼 한 을 우리에 넣었다 이 토

끼 한 은 한 달에 새로운 토끼 한 을 낳고 낳은 토끼들도 한 달이 지

나면 다시 한 의 토끼를 낳는다 그 다면 1년이 지나면 몇 의 토끼가

있을까rdquo

첫 달엔 처음에 있던 토끼 한 만 있다 두 번째 달이 되면 토끼 한 을

낳아 두 의 토끼가 된다 세 번째 달이 되면 처음에 있던 토끼 한 이

한 의 토끼를 낳아 세 의 토끼가 된다 네 번째 달이 되면 첫

달과 두 번째 달의 토끼 두 이 각 한 의 토끼를 낳아 총 다섯 의

토끼가 있게 된다 이런 식으로 토끼를 낳아가면 그 수는 다음과 같은 규

칙을 갖는다 　　　　　　　　　　 이런 규칙을 갖는 피보나치수열의

일반항을 이라고 하면 　 　 　 　 가 된다

그런데 이 수열을 자연에서도 쉽게 찾아볼 수 있다 식물의 기에서 뻗어

나온 잎을 생각해 보면 기의 에 있는 잎 하나에서 수직으로 에 있

는 잎까지 도달할 때까지 기를 따라 올라가면서 잎의 개수를 세면 그

수들은 일반 으로 피보나치수열을 이룬다

[그림1 피보나치수열]

2 수열 단원이 실생활에 응용된 사례

1) 하노이의 탑

인도 갠지스 강 유역 라만교의 사원에 있었던 하노이의 탑은 라만

탑이라고도 부르는데 이 탑에 얽힌 문제의 내용은 다음과 같다 다음은

([10])의 내용을 참고하 다

[베나 스에는 세계의 심이 있고 그 곳에는 아주 큰 사원이 있으며 이

사원에는 높이 정도 되는 다이아몬드 바늘 3개가 있다 그 에서 한

바늘에는 천지 창조 때에 신이 구멍이 뚫린 64장의 순 으로 된 원 을 크

기가 큰 것부터 아래에 놓이도록 하여 차례로 쌓아 놓았다 그리고 신은

승려들에게 밤낮으로 쉬지 않고 원 을 한 장씩 옮겨 빈 다이아몬드 바늘

어느 한 곳으로 모두 옮겨 놓도록 명령하 다

ldquo원 은 한 번에 한 개씩만 옮겨야 하고 로 작은 원 에 큰 원

을 올려놓을 수 없다 단 64개의 원 의 크기는 모두 다르다 이 말을 충

실히 실행하고 한 순간도 게을리 하지 마라 만일 게을리 하는 일이 있으

면 그 때는 이 사원도 탑도 모두 무 지고 세계는 종말을 고하게 된다 게

을리 하는 일이 없으면 그 들이 원 을 부 옮길 때까지 세상은 태평할

것이다rdquo]

승려들은 과제를 수행하기 해 밤낮으로 매우 열심히 작업을 했다 그 작

업을 끝내기 해서 승려들은 몇 번을 움직여야 하고 얼마나 많은 시간을

사용해야만 했을까

[그림2 하노이의 탑]

원 이 1개가 있으면 최소 이동 횟수는 1번 원 이 2개가 있을 때 최소

이동 횟수는 3번이고 원 이 3개가 있으면 최소 이동 횟수는 7번이다

원 이 4개가 있으면 최소 이동 횟수는 15번이다 이런 식으로 계속 해나

가다 보면 　　　　　　　 라는 수열을 얻는다 이것은 각 항의 차이가

계차수열을 이루는데 이것은 다음과 같다 　　　　　　일반항을 으로 두

고 구해보면 　 　times 　 　 이다 처음 값을 으로 두고 일반항을

구해보면 　

이 된다

만약 그 설 로 따라가서 수도승들이 쉬지 않고 디스크를 1 에 한번

씩 옮겼다면 최소의 이동횟수는 이 되고 18446744073709551616

가 걸리고 략 5854억4200만년이 필요하다는 것을 알 수 있다

원 이자 원리합계(=원 +이자)

1년 원 원 원

2년 원 원 원

3년 원 원 원

년 원 100원 원

2) 등차수열의 응용

(1) 단리법

단리법은 처음 원 의 이자에 해당하는 비율만큼 계속 되는 계산법이

다 1000원을 했다면 1년이 지날 때마다 10 의 이자가 붙는다고 하

자 1년이 지났을 때 10 의 이자가 붙으면 100원 불어나므로 1000 +

1000 times 01 = 1100(원) 이다 그리고 1년2년 년이 지날 때 마다

값을 측정해보면 다음과 같다

[표3 단리법]

최종 으로 원 을 라 하고 연이율을 이라고 한다면

결국 년이 되었을 때 단리법으로 표 하면 그 때의 총 합 는

이 된다

3) 등비수열의 응용

(1) 복리법

복리법은 원 에 이자가 된 원리합계를 기 으로 이자를 계산하는 방

법이다 원을 했다면 1년이 지날 때마다 의 이자가 붙는다고

원 이자원리합계

(=원 +이자)

1년 원 원 원

2년 원 원 원

3년 원 원 원

년 원 times원 원

하자 1년이 지났을 때 의 이자가 붙으면 원 불어나므로

times (원) 이다 그리고 1년2년 년이 지날 때 마

다 값을 측정해보면 다음과 같다

[표4 복리법]

최종 으로 원 을 라 하고 연이율을 이라고 한다면

따라서 년이 지나면 이 된다 그때의 총 합 는 이

다

4) 황 비율

에서 언 했던 피보나치수열 　　　　　　　　　　에서 번째 항

을 번째 항으로 나 어 보자

　 　

　 　

　 　

　 　

　 　

　 　 이런 식으로 계속 해나가다 보면

이 수가 061803 에 근사하게 된다 고 그리스인들은 이 수에 lsquo황 비

율rsquo라는 이름을 붙 다 이것은 인간이 보기에 가장 아름다운 비율이라 하

여 여러 분야에서 사용되고 있다

(1) 황 비의 이용

약 100년 페히 라는 독일의 심리학자는 수백 명의 사람들에게 여러

종류의 직사각형을 보여 다음 마음에 드는 것을 선택하게 하는 실험을

했다 그런데 그 결과 부분의 사람이 황 직사각형을 선택했다고 발표했

다 ([6])

실험에 의하면 황 비는 사람들이 가장 편안하고 아름답게 느끼는 비율로

알려져 있으며 이런 이유 때문에 옛 부터 건축과 미술 음악 등에서 자주

이용되어 왔다

(가) 건축

기원 2000년경의 이집트 《린드 피루스》에 보면 기원 4700년에 기

자의 피라미드를 건설할 때 이 수를 lsquo신성한 비율rsquo로 사용했다고 한다

의 측량 기술로 측정해보니 피라미드 의 심에서 의 모서리까지

그리고 경사면까지 거의 정확하게 0618이었다 ([6])

피라미드는 인류역사를 통해서 사람들을 가장 매료시켜온 건축물 의 하

나이다 그 규모의 장 함에서도 사람을 압도하는 것이 있지만 그 형태 자

체가 고도한 수학을 배경으로 한 것으로서 우리가 알고 있는 5천년 의 지

식수 으로서는 불가사의한 것 의 하나이다

[그림3 피라미드 황 비]

(나) 음악에서의 활용

음악에서 한 옥타 는 [도 미 솔 라 시 도] 의 8음계로 이루어져 있

다 피아노의 건반은 한 옥타 를 13개의 음으로 나 어 표 하고 있으며

이 하얀 건반이 8개 검은 건반이 5개 있고 하얀 건반은 3개와 5개 검

은 건반은 2개와 3개로 구분되어 있다 여기에서 나타나는 2 3 5 8 13

은 에서 보인 피보나치수열이다

[그림4 피아노건반황 비율]

(2) 인체에서의 황 비율

황 분할은 우리의 인체 속에서도 찾아볼 수 있다 인간의 신체가 이 비율

에 의해서 분할되어 있으며 이것이 아름다운 몸의 보편 기 이 되고 있

다 아래 그림은 Le Corbusier가 찾아낸 이상 인간의 각 신체부 의 비율

이다 이것은 오나르도 다빈치의 인체비율에 한 그림에서도 찾아 볼

수 있다 이 뿐만 아니라 인체의 각 부 들도 그 자체 황 분할을 이루

고 있다

[그림5 인체 황 비율]

앞에서 제시한 황 비율을 사용한 시들 이외에도 우리 주변에 아주 많

이 있다

교과서 차례

한교과서(주)

Ⅳ 수열

1 등차수열과 등비수열

2 여러 가지 수열

3 수학 귀납법

4 알고리즘과 순서도

(주) 천재교육

Ⅲ 수열

1 등차수열과 등비수열

2 여러 가지 수열

3 수학 귀납법

4 알고리즘과 순서도

Ⅳ 고등학교 수학교육과정에서의 수열

1 수학Ⅰ 교과서 분석

고등학교 2학년이 학습하는 lsquo수학 Ⅰrsquo은 국민 공통 기본 교육 기간의 10단계

수학을 이수한 학생들이 보다 문 인 진로를 고려하고 보다 높은 수 의

수학을 학습하기 해 설정된 심화 선택 과목이며 lsquo수학 Ⅱrsquo를 학습하기 한

단계이다 lsquo수학 Ⅰrsquo의 내용은 수 역에서 지수와 로그 행렬 수열이

실려있고 해석 역에서 수열의 극한 지수로그 함수가 수록되어 있으며

확률과 통계 역에서 순열과 조합 확률 통계 등으로 구성되어 있다 특히

수 역에 해당하는 수열은 여러 가지 수열에 한 성질을 이해하고 그것

을 일반화 하는 과정에 을 두어 지도하도록 하고 있으며 계차수열은 등

차수열이나 등비수열이 되는 경우만 다룬다 ([2])

1) 수학 Ⅰ 5종 교과서의 차례 단원 배열

앙교육진흥연구소

Ⅲ 수열

1 등차수열과 등비수열

2 여러 가지 수열

3 수학 귀납법

4 알고리즘과 순서도

(주) 고려출

Ⅲ 수열

1 등차수열과 등비수열

2 여러 가지 수열

3 수학 귀납법과 순서도

(주) 두산

Ⅲ 수열

1 등차수열과 등비수열

2 여러 가지 수열

3 수학 귀납법

4 알고리즘과 순서도

[표5 수학 Ⅰ 5종교과서의 차례]

의 표에서 본 것과 같이 임의로 선택된 5종의 고등학교 수학 Ⅰ 교과서의

차례는 거의 비슷한 양상을 보 다 부분의 교과서에선 1단원 지수와 로

그 2단원 행렬 3단원 수열 순의 순서를 보 고 한교과서외의 몇몇

교과서에선 1단원 지수와 로그 2단원 지수로그함수 3단원 행렬 4단원 수

열 순의 순서를 보 다 수열단원의 세부 단원 차례는 1 등차수열과

등비수열 2 여러 가지 수열 3 수학 귀납법 4 알고리즘과 순서도 는

34 단원을 한 단원으로 해서 3 수학 귀납법과 순서도의 순서로 다루는

은 비슷했다

2) 교과서에 제시된 수열 련 자료

한교과서

(주)

피타고라스(Pythagoras 572～492 BC) 피타고라스의 정리

로 잘 알려져 있고 소수나 완 수의 규칙성에 해서도 많은 연

구를 하 다

바스카라(Bhaskara A 1114～1185) 인도의 수학자로

임을 증명하 고 피타고라스의 정리를 기하학

으로 증명하 다

피보나치(Fibonacci 1180～1250) 이탈리아의 수학자로 자연

속에서 많이 볼 수 있는 피보나치 수열을 발견하 다

스칼(Pascal B 1623～1662 ) 랑스의 수학자로 수학

귀납법을 발견하 고 사 기하학을 창시하 다

푸리에(Fourier J B J 1768～1830) 랑스의 수학자로 음양

학 학 기역학 열역학 등의 연구에 매우 요한 푸리에

수를 연구하 다

가우스(Gauss K F 1777～1855) 수학 통계학 등의 다방

면에 많은 업 을 이루었고 역사상 가장 한 수학자 의 한

사람으로 불리워지고 있다

비주얼 베이직(Visual BASIC)

을 이용한 Programming

하노이의 탑

(주)

천재교육

가우스(Gauss K F 1777～1855) 독일의 수학자인 가우스는

수학의 각 방면에 많은 업 을 남겨 수학의 아버지라 일컬

어지고 있다 그는 계산의 천재로 알려져 있는데 이에 한 유명

한 일화가 있다 등학교 때 부터 까지의 합을 구하는 문

제에서 다른 학생들이 직 하나하나 계산하는 동안 가우스는

　 　 　　　　 이 모두 임을 이용하여

times 이라는 답을 이끌어 내었다 이러한 방식은 수열

의 합을 계산할 때 사용하는 방식 의 하나이다

하노이의 탑을 이용한 수열의 귀납 정의

임의로 선택된 5종 교과서들의 수열단원에서 학생들의 수열 단원의 이해를

돕기 해 수록된 수학자들에 한 설명과 기타 자료들은 다음과 같다

도미노 이론 - 수학 귀납법의 다른 표

피보나치수열 - 토끼 수 증가 문제

앙교육

진흥연구소

삼각수 사각수 문제

피보나치(Fibonacci 1180～1250)

가우스(Gauss K F 1777～1855)

음악과 수학 - 작곡가 바흐(Bach)의 요 업 으로 평균율을

들 수 있다 평균율이란 1옥타 즉 lsquo도rsquo와 lsquo도rsquo의 사이를 개의

반음으로 나 고 처음 lsquo도rsquo의 진동수를 이라 하면 그에 일정한

수를 더해 제곱하여 옥타 의 lsquo도rsquo의 진동수를 얻는 것을

말한다 수식으로는 로 나타낼 수 있고 이 등식을

만족하는 의 값이 평균율이다

(주)

고려출

티티우스-보데 수열 -

수열 　　　　　　　　의 각 항에 각각 를 더한 후

으로 나 수들을 나열한 것 　　　　　　　 를

티티우스-보데 수열이라 한다 이수열의 각 항은 태양에서 행성

까지의 실제 거리와 비슷한 것으로 1766년 티티우스(Titius)라는

독일의 천문학자가 발견하 다

제갈량의 군 에 한 을 통한 등비수열의 합

피보나치 수열

휴먼 로 - 휴먼 로 의 제작은 복잡한 여러 가지 알고리즘

과 순서도에 바탕을 두고 있다 알고리즘의 요성은 자계산기

이 부터 실제 으로 존재했다 그 로 최 공약수 계산에 한

유클리드의 알고리즘이 있다 한 가우스와 같은 부분의 수학

자들은 역사 으로 많은 양을 처리하는 효율 인 알고리즘에

심을 가졌다 이러한 알고리즘을 보다 효율 으로 이용하여 재

의 컴퓨터 시 를 구축했다

(주) 두산

피보나치(Fibonacci 1180～1250)는 이탈리아의 피사에서 태

어난 수학자이다 부친이 상업에 종사하 기 때문에 피보나치는

이집트 시칠리아 그리스 시리아 등 다양한 지역을 여행할 수

있었고 이 때 다양한 수학을 하게 되었다 1202년 피사로 돌아

온 피보나치는 「산반서(Liber abaci)」를 술하 다 1228년에

는 「산반서 2 」을 술하 는데 이 책에서 정수와 분수의 계

산 제곱근과 세제곱근 일차와 이차방정식의 풀이 등을 다루었다

고 한다 특히 이 책에 나오는 「피보나치의 수열」은 매우 흥미

로운 수열로 요한 성질을 많이 가지고 있다

1에서 100까지 자연수를 모두 합하면 얼마일까

가우스(Gauss KF 1777～1855) 가우스는 수론 해석학 확

률론 천문학 물리학 등 다양한 분야에 뛰어난 수학자이었다 특

히 그의 수론 연구는 19세기 수학 체계의 확립에 크게 공헌하

다

피타고라스(Pythagoras 572～492 BC) 피타고라스는 음의

높이에 따른 진동수의 비가 일정함을 발견하 다

페아노(Peano G 1858～1932) 자연수의 성질을 추상화 하여

페아노의 공리계를 만들었다 이 공리계의 제 5공리가 수학 귀

납법의 원리이다

피보나치의 수열

알콰리즈미(Alkhwarizmi 780～850) 알고리즘이란 말은 세

아라비아의 수학자 알콰리즈미의 이름에서 유래된 것으로서 그가

십진법으로 나타낸 수의 계산에 용한 계산 방법에서 나온것이

다

[표6 5종 교과서에 제시된 수열 련 자료]

2 수학 Ⅰ 교과서에서의 수열

등차수열의 일반항

첫째항이 공차가 인 등차수열의 일반항 은

본 연구자가 임의로 선택한 5종 교과서 ([5][8][12][13][14]) 에서의

수열의 내 을 정리해보았다

1) 등차 수열과 등비 수열

(1) 수열의 뜻

어떤 규칙에 따라 순서 로 수를 늘어놓은 것을 수열이라 하고 그 수열을

이루는 각각의 수를 그 수열의 항이라고 한다 수열의 각 항을

앞에서부터 순서 로 제 1항 제 2항 제 3항 제 항

이라고 한다 특히 제 1항은 첫째항이라고도 한다

(2) 등차수열의 뜻

첫째항에 차례로 일정한 수를 더하여 만들어진 수열을 등차수열 이라하고

더한 일정한 수를 공차라고 한다

첫째항이 공차가 인 등차수열 에서

이므로 일반항 은 다음과 같이 나타낼 수 있다

(3) 등차수열의 합

등차수열의 합

첫째항이 공차가 끝항이 인 등차수열의 첫째항부터 제 항까지의

합 은

첫째항이 공차가 등차수열 에서 첫째항 부터 제 항 까지의 합

을 토론하기의 방법을 이용하여 구해보자

　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　①

더하는 순서를 거꾸로 하면

　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　②

①②의 양변을 각각 더하면

　　

따라서 =

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　③

이때 제 항인 를 ③에 입하여 식을 다르게 나타낼수도

있다

이상을 정리하면 다음과 같다

(4) 수열의 합과 일반항

수열 에서 첫째항부터 제 항까지의 합을 이라 하면

ge 일때 　　

there4

수열의 합과 일반항의 계

수열 의 첫째항부터 제 항까지의 합을 이라 하면

(단 ge )

등비수열의 합

일때 이다

이상을 정리하면 다음과 같다

(5) 등비수열의 뜻

첫째항부터 시작하여 각 항의 바로 앞의 항에 일정한 수를 곱하여

만들어진 수열을 등비수열이라 하고 곱하는 일정한 수를 공비라고 한다

첫째항이 공비가 인 등비수열에서 첫째항부터 제 항까지의 합 은

다음과 같이 구한다

　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　①

①의 양변에 공비 을 곱하면

　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　②

①에서 ②를 같은 변끼리 빼면

따라서 ne 일때

인 경우 ①에서

　　

there4

이상을 정리하면 다음과 같다

첫째항이 공비가 인 등비수열의 첫째항부터 제 항까지의 합 은

① ne 일때

② 일때

자연수의 거듭제곱의 합

①

　　

②

　　

③

　　

2) 여러 가지 수열

(1) 합의 기호 sum

수열 에서 첫째항부터 제 항까지의 합

　　

을 일반항과 합의 기호 sum를 써서

　　

와 같이 나타낸다

이때

는 수열 의 일반항 의 에 　　　　　　을 차례로

입하여 얻은 항의 합으로 신 다른 문자를 사용하여

등과 같이 나타낼 수 있다

(2) 기호 sum 의 성질

합의 기호 sum 의 성질에 하여 알아보자

합의 기호 sum의 성질

①

(복부호동순)

②

(단 는 상수)

③

(단 는 상수)

　　

　　 　　

　　

마찬가지로

와

에 해서도 확인해 보면 sum 의 성질을

다음과 같이 정리할 수 있다

(3) 계차수열

일반 으로 수열 에서 이웃하는 두 항의 차

　　 을 일반항으로 하는 새로운 수열

　　　　　　　을 얻을 수 있는데 이 수열 을 원래의 수열 의

계차수열이라고 한다

수열 에 하여 그 계차수열을 이라 하면

　　

계차수열과 일반항

수열 의 계차수열을 이라 할때

(단 ge )

3) 수학 귀납법

(1) 수열의 귀납 정의

첫째항과 이웃하는 두 항 사이의 계식으로 수열을 정의하는 것을 수열의

귀납 정의 라고 한다

첫째항이 공차가 인 등차수열 은 다음이 성립한다

　ge 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　①

역으로 두 계식 ①이 주어지면 이 결정되고 차례로

가 결정된다 따라서 모든 자연수 에 하여 이 정해지므로 수열 이

정의 된다

①과 같이 의 값 과 의 계식을 화식이라고 한다

(2) 수학 귀납법

수학 귀납법은 이탈리아의 페아노에 의하여 설정된 자연수에 한 공리

수학 귀납법

자연수 에 한 명제 이 모든 자연수 에 하여 성립함을 증명하

려면 다음 ⅰ ⅱ 를 증명하면 된다

ⅰ 일때 명제 이 성립한다

ⅱ 일때 명제 이 성립한다고 가정하면 일때에도

명제 이 성립한다

다음과 같은 5번째 공리에 근거를 두고 있다

자연수의 집합 의 부분집합 가

ⅰ 　isin

ⅱ 　isin 이면 isin

(여기서 는 의 후자)

인 두 조건을 만족하면 이다

4) 알고리즘과 순서도

(1) 알고리즘과 순서도

어떤 문제를 해결하기 해서는 그 처리 순서를 정해야 하는데 이와 같이

문제 해결에 필요한 처리 과정의 순서를 단계 으로 정리한 것을 알고리즘

이라 하고 알고리즘을 알기 쉽게 기호를 써서 그림으로 나타낸 것을 순서도

라고 한다 일반 으로 어떤 문제를 해결하기 한 알고리즘은 여러 가지가

있을 수 있지만 정해진 유한번의 단계를 거치면 반드시 끝나야 하고 처리

과정의 순서가 명확해야 한다 한 순서도는 각 부분을 순서 계통 으로

나타냄으로써 작업 과정을 구나 쉽게 한 에 악할 수 있도록

작성되어야 한다 순서도는 다음과 같은 기호를 사용하여 작성한다

[표7 순서도의 기호]

(2) 알고리즘과 순서도의 작성

수열과 련된 순서도를 작성할 때에는 다음과 같은 방법을 고려한다

(가) 항수를 항을 수열의 합을 로 나타낸다

(나) 제시된 항의 번호까지 루 를 용한다

(다) 제시된 항의 번호에 하여 단 기호를 이용한다

(라) 구하려는 는 를 인쇄하고 끝낸다

주의환기

집 을

한 략

지각

주의환기의

략

시청각 효과의 사용

비일상 인 내용이나 사건 제시

주의 분산의 자극 지양

탐구

주의환기의

략

능동 반응 유도

문제해결 활동의 구상 장려

신비감의 제공

다양성의

략

간결하고 다양한 교수형태 사용

일방 교수와 상호작용 교수의 혼합

교수자료의 변화 추구

목표-내용-방법이 기능 으로 통합

련성

증진을

한

략

친 성의

략

친 한 인물 혹은 사건 활용

구체 이고 친숙한 그림 활용

친 한 문 배경 지식 활용

목 지향성

의 략

실용성에 을 둔 목표 제시

목 지향 인 학습형태 활용

Ⅴ 러의 ARCS 이론과 수열 지도

1 러의 ARCS 이론

1) ARCS 이론의 특징

(1) 이론 배경

다음은 ([4])의 내용을 참고하 다

ldquo말을 물가로 데리고 갈 수는 있지만 물을 먹일 수는 없다rdquo는 속담처럼

하고자 하는 마음이 없으면 학습 효과를 기 할 수 없는 것은 당연한 사실

이다 이러한 생각의 근거에는 동기 유발의 개념이 자리 잡고 있다 동기

유발이란 어떤 활동을 진 지시 유지하려는 내 상태 는 과정을

포함한다 이 개념은 교육 심리학의 심 개념 의 하나이지만 직 찰

할 수 없는 것이기 때문에 인간의 행동을 보고 거기에서 유출해 내는 개념

이며 이에 한 정의는 바라보는 과 강조하는 내용에 따라 각기 다르

다

(2) ARCS 이론

목 의 선택 가능성 부여

필요나

동기와의

부합성 강조의

략

다양한 수 의 목 제시

학업성취 여부의 기록체제 활용

비경쟁 학습상황의 선택가능

동 상호 학습상황 제시

자신감

수립을

한 략

학습의

필요조건

제시의 략

수업의 목표와 구조의 제시

평가기 피드백의 제시

선수학습 능력의 단

시험의 조건 확인

성공의 기회

제시의 략

쉬운 것에서 어려운 것으로 과제 제시

정수 의 난이도 유지

다양한 수 의 시작 제공

무작 의 다양한 사건 제시

다양한 수 의 난이도 제공

개인

조 감

증 의 략

학습의 끝을 조 할 수 있는 기회 제시

학습속도의 조 가능

원하는 부분에로의 재빠른 회귀 가능

선택가능하고 다양한 과제의 난이도제공

노력이나 능력에 성공 귀착

만족감

증 를

한 략

자연 결과

강조의 략

연습문제를 통한 용기회 제공

후속학습상황을 통한 용기회 제공

모의상황을 통한 용기회 제공

정 결과

강조의 략

한 강화 계획의 활용

의미 있는 강화의 강조

정답을 한 보상 강조

외 보상의 사려 깊은 사용

선택 보상체제 활용

공정성

강조의 략

수업목표와 내용의 일 성 유지

연습과 시험 내용이 일치

[표8 ARCS 략] ([1])

2 ARCS 이론을 용한 수열 수업 계획서

다음은 ([1])의 ARCS 이론의 수업계획서를 참고하여 수열 단원의 수업

계획서를 작성해보았다

수업내용개 동기 략개 기타의견1 수업 기

체 으로 교사는 다양한 방법으로 학습자들

에게 수업 내용을 제시하고 학습자들에게

한 언어를 사용한다

수열의 활용에

한 학습목표

제시하기

교사는 학습자들의 련성을 높이기 해 학습

목표의 의미를 설명해 다

도표는 큰 씨를 사

용하고 핵심이 되는

단어에는 다른 색깔을

사용한다

수열의 활용의

이 과 평가

거를 제시하기

교사는 학습자들의 련성과 자신감 만족감

을 높이기 하여 이 수업이 끝난 후 그들이

무엇을 할 수 있는지에 해 알려 다

교사는 학습자들의 자신감과 만족감을 높이기

하여 성공 인 학습성취를 단할 수 있는 객

인 거들을 알려 다

교사는 학습자들의 만족감을 높이기 하여

그들이 주어진 과제를 성공 으로 해결했을 때

그에 따르는 내재 강화나 외재 보상이 있음

을 알려 다

수열의 정의와

해법에 한 지

식을 간략하게

확인하기

교사는 선수학습과의 련성을 유발하기 하

여 간략한 보조도구(인쇄매체)를 사용하여 수열

의 정의와 해법을 제시한다

교사는 소집단 토론을 실시하여 학습자들의

선수지식을 스스로 검해 보도록 한다

교사는 수열의 정의와 해법을 잘 모르는 학습

자들에게 자신감을 유발시키기 하여 개별 인

학습목표를 세우도록 한다

소집단 구성에 있어

서 주의집 이 매우

낮은 5명을 하나의 소

집단으로 구성하고

친근한 소재를 활용하

여 그들의 주의집 과

련성을 유발한다

실생활과 련

된 수열의 활용

문제들을 몇 가

지 소개하기

교사는 학습자들의 주의집 을 유지하기 해

실생활에서 연립방정식을 활용하여 해결할 수

있는 몇 가지 문제들을 제시한다

주의집 이 매우 낮은 5명의 학습자들이 수업

에 극 인 심을 보이지 않으면 교사는 그

들에게 친근한 목소리로 이름을 부르면서 수업

에 집 하라고 얘기 하고 개인 인 심을 갖

고 있음을 나타낸다

로써 활용되는 문

제들을 선택할 때 학

습자들이 알고 있거

나 그들에게 친근감

을 주는 소재가 포함

되도록 선택한다 이

때 지나치게 자심감

이 높아서 수업에 소

극 으로 참여하는 3

명의 학습자들에게는

다소 복잡한 수열의

활용 문제를 미리 제

공하여 생각할 기회를

다

수열의 활용에

한 학습자들의

이해정도를 악

하고 피드백을

제공하기

교사는 학습자들에게 자신감을 높이기 하여

소집단을 구성하여 학습자들이 수열의 활용에

해 어느 정도 이해하고 있는지를 서로 토론하

도록 한다

교사는 소집단별로 둘러보면서 자신감과 만족

감을 유발시키기 하여 학습자들간에 서로 도

움을 주도록 분 기를 형성한다

소집단별로 간략하게 토론이 끝나면 학습자

들 스스로 정리하도록 한다

토론결과 학습자들이 수열의 활용에 해 잘

못 이해하고 있다면 교사는 즉각 으로 교정

피드백을 제공한다

학습자들의 소집단

토론시간을 무 길게

소요하지 않도록 한

다 자칫하면 토론분

기가 산만해지기 쉽

고 토론이 활발하지

못한 경우에는 학습자

들의 학습의욕이 떨어

진다

2 수업 반 체 으로 교사는 다양한 방법으로 학습자

들에게 수업 내용을

제시하고 학습자들에게 개별 인 언어를 사용

한다

실생활과 련

된 수열의 활용

의 문제들을 구

체 으로 제시하

기

교사는 학습자들의 주의집 련성 자신감

만족감을 유지하기 하여 게임을 실시한다 학

습자들이 돌아가면서 임의로 다른 학습자를 지

명하면 지명받은 학습자가 실생활과 련된 수

열의 문제를 하나 제시한다 한 문제를 제

시한 학습자에게 학습태도 수를 주어 만족감

을 향상시킨다

교사는 학습자들이 제시한 여러 가지 문제들

을 칠 에 은 후 몇몇 소집단을 구성하여

그 문제들을 해결하기 해 인스토 을 하

도록 한다 이때 교사는 문제를 해결한 학습자

가 아직 해결하지 못한 학습자들을 도와주어 자

신감과 만족감을 갖도록 한다

인스토 이 진행되는 동안 교사는 교실

을 둘러보면서 학습자들이 질문이나 의문사항

에 해 극 으로 질문할 수 있는 기회를 제

공하고 그에 해 개별 인 언어를 사용하여

부드러운 목소리로 피드백을 제공한다

인스토 도 학습자들의 개인 인 능

력차가 커서 문제를 해결하는데 어려움을 겪는

학습자들에게는 그들에게 합한 개별 인 학습

이때 교사는 밝고

생동감이 넘치는 목소

리로 학습자들의 활동

을 진시킨다

교사는 학습자들이

한 자신감을 유지

하고 있는지에 해

지속 인 심을 갖고

지켜본다

이때 교사는 학습자

들의 자신감과 만족감

을 높이기 하여 그

들에게 일 성 있는

피드백을 제공한다

교사는 학습자들이

목표를 다시 선정하도록 하여 자신감을 향상시

킨다

인스토 이 끝나면 교사는 소집단 별로

한 사람씩 자발 으로 나와 문제를 풀고 풀이

과정을 체 학습자들에게 설명하도록 한다 이

때 어려운 문제를 해결한 소집단이나 학습자에

게 교사는 그들의 우수한 능력을 인정하고 내

재 인 자존심에 정 인 향을 주는 칭찬을

제공하여 자신감과 만족감을 높인다

소집단의 인스토

을 하는 동안 체

으로 문제풀이를 할

때 주의집 을 유지

하고 자신감과 만족

감의 향상을 악하기

해 끊임없이 그들과

시선을 교류하고 얼

굴표정을 찰한다

3 수업마무리 체 으로 교사는 다양한 방법으로 학습자

들에게 수업 내용을 제시하고 학습자들에게 개

별 인 언어를 사용한다

실생활과 련

된 수열의 활용

에 해 체

으로 정리 요

약하기

교사는 교탁을 탁탁 치거나 박수를 쳐서 다

소 떨어진 학습자들의 주의집 을 향상 시킨다

교사는 실생활 속에서 수열을 활용하여 해결

할 수 있는 간단하고 재미있는 문제들을 2～3개

제시하여 학습자들이 그 문제를 성공 으로 해

결함으로써 자신감과 만족감을 갖도록 한다

교사는 학습자들이 미처 생각하지 못했던 실

생활 속에서 수열과 연 된 다양한 들을 제공

하여 주의집 과 련성을 유지향상시킨다

교사는 자신감과 만족감을 향상시키기 해

학습자들에게 수업진행 에 그들이 설정한 개

인 인 학습목표에 해 얼마나 많이 달성했는

가를 스스로 검해 보라고 한다

교사는 수업 반에 수열의 문제를 잘 해결하

지 못했던 학습자들에게 그 문제를 다시 해결해

보도록 기회를 제공하여 자신감과 만족감을 높

여 다

평가에 있어서 교사는 학습자들이 그들의 성

에 해 공정하게 평가되었다고 느끼도록 일

성 있게 평가하여 그들의 자신감고 만족감을

높여 다

교사는 수열과 실생

활과의 련성에 해

학습자들이 잘 지각하

고 있는가를 알아보기

해 다소 진지한 목

소리로 질문한다

다음 학습내용

에 해 간략히

소개하기

교사는 학습자들의 흥미를 유지하기 하여

다음 학습내용에 해 호기심에 찬 목소리로 간

략하게 소개하고 수업을 끝낸다

[표9 러의 ARCS이론]

단원

단

원Ⅲ 수열

배정시간

(분)50

단

원1 등차수열과 등비수열

차시 3소단

원3) 등차수열과 등비수열의 활용

학습

목표등차수열과 등비수열을 실생활의 문제에 용할 수 있다

학습

단계학습내용

교수-학습활동 지도상의유의사

항교사활동 학생활동

도

입

15

분

인사

출석

주변을 정리 정돈

하여 수업분 기를

조성한다

인사 출석체크

를 한다

주의를 환기시킨

후 학생들과 인사

한다

출결석 여부를

확인한다

바른 자세로 주

변을 정리한 뒤

교사와 인사한다

수업 비를 한

다

교사와 학생

모두 함께 수업

분 기를 조성한

다

선수

학습

확인

지난 시간에 학습

한 등차수열과 등비

수열의 정의에 해

다시 한번 확인해본

다

지난 시간에 학습

한 등차수열과 등비

수열의 일반항을 구

하는 방법에 해 확

인학습으로 [문제1]

과 [문제2]를 풀어본

다

학생들의 자신감

을 높이기 하여

등차수열과 등비수

열의 정의를 교과

서에서 찾아본 후

큰소리로 답하게

한다

학생들이 답한

후 다시 한번 등차

수열과 등비수열에

해 간단히 설명

등차수열과 등

비수열의 정의를

교과서에 찾아본

후 큰소리로 읽는

다

교사가 등차수

열과 등비수열의

정의에 해 다시

한번 간단히 설명

할 때 부족한 부

분은 필기하며 복

습한다

교사가 정의에

해 질문할 때

학생들이 모두

책을 찾아볼수

있게 주의를

다

만일 답하

지 못하는 학생

이 있을 경우 그

여기서 인스토 (brainstorming)이라고 하는 것은 갑자기 떠오르는 멋

진 생각을 종이에 는다든가 말로 표 해 본 후 로 기록하거나 기록된

문장을 정리정돈하면서 생각을 논리화하는 방법이다 주로 어떤 계획을 세

우고자 할 때 창조 이고 기발한 아이디어가 필요할 때 학생들의 의견과

생각을 끌어내어 발 시키고자 할 때 사용하면 유리하다 ([3])

3 ARCS 이론을 용한 수업지도안

[문제1]

다음 등차수열

의 일반항과 제20항

을 구하여라

　　　　　　　

[문제2]

다음 등비수열

의 일반항과 제8항을

구하여라

　 　　　　　

한다

교사는 [문제1]

과[문제2]를 제시

한 뒤 학생들에게

직 풀어보게 한

다

등차수열과 등

비수열의 일반항

과 그 공식의 유

도과정을 기억한

다

제시된 문제를

연습장에 풀어본

다

학생에 해 개

별 인 언어를

사용하여 부드러

운 목소리로 피

드백을 제공한

다

개

30

분

학습

목표

제시

수열의 활용에

한 학습목표를 제시

한다

학습목표 학습

에 필요한 자료를

Power point 시청

각 효과를 사용하여

학생들의 주의환기

집 을 한 략

을 사용한다

학습목표를 학생

들에게 읽게 하고

학생들의 련성을

높이기 해 학습

목표의 의미를 설

명해 다

교사의 지시에

따라 큰소리로 학

습목표를 읽고 이

수업이 끝난 후

무엇을 할 수 있

는지에 해 생각

해 본다

학습목표는 큰

씨를 사용하

고 핵심이 되는

단어에는 다른

색깔을 사용한

다

탐구

학습

실생활과 련된

수열의 활용문제들을

몇 가지 소개한다

수열의 활용에

한 학습자들의 이해

정도를 악하고 피

드백을 제공한다

등차수열과 등비

수열을 이용하여

실생활의 문제를

해결할 수 있음을

학생들이 쉽게 이

해할 수 있도록 설

명한다

교사가 실생활

과 련된 수열의

활용문제들을 몇

가지 소개할 때

다른 시가 있는

지 함께 생각해

본다

문제

제시

[문제3]

한일 월드컵 축구 개

회 연도는 2002년이

다 2002년 이후 월

드컵 축구가 개최되

는 연도를 차례로 써

보고 이 규칙 로 월

드컵 축구가 개최되

면 2100년은 월드컵

축구가 개최되는 연

도인가

교과서에서 수열

단원의 수열의 활

용부분에 수록된

문제들을 풀어볼

수 있도록 시간을

다

등차수열과 등

비수열의 일반항

유도 공식을 생각

해보고 제시된 문

제를 해결해 간다

로써 활용되

는 문제를 선택

할 때 학습자들

이 알고 있거나

그들에게 친근감

을 주는 련성

증진을 한

략을 사용한다

[문제4]

컴퓨터의 주기억 장

치인 램은용

으로

용으로 가 개발

되었다 이후 램의

용 량 은

로 증가되어 왔다

의 램으로부터

번 증가된 주 메모

리는 식으로 어떻게

나타낼 수 있는가

학생들이 문제를

어렵게 느끼지 않

도록 어떤 방향으

로 해결해야 하는

지 힌트를 주어 학

생들의 자신감을

증진시킨다

소집

단

활동

5～6명으로 이 진

소집단을 구성하여

학습자들이 수열의

활용에 해 어느 정

도 이해하고 있는지

를 서로 토론하도록

한다

소집단별로 실생활

과 련된 수열의 활

용의 문제들을 구체

으로 제시한다

인 스토 이

끝나면 소집단별로

한사람씩 문제를 풀

고 풀이과정을 체

학생들에게 설명하는

시간을 갖는다

교사는 학생들의

만족감을 높이기

하여 그들이 주

어진 과제를 성공

으로 해결했을

때 그에 따르는

내재 강화나 외

재 보상이 있음

을 알려 다

어려운 문제를

해결한 소집단이나

학생에게 교사는

그들의 우수한 능

력을 인정하고 내

재 인 자존심에

정 인 향을

주는 칭찬을 제공

하여 자신감과 만

족감을 높인다

자신이 속한 소

집단 내에서 제시

된 과제에 해

열심히 토의를 하

며 문제를 해결한

학생이 아직 해결

하지 못한 학생들

을 도와주어 자신

감과 만족감을 갖

도록 한다

소집단별로 간

략하게 토론이 끝

나면 학생들 스스

로 정리해보고 자

발 으로 체 학

생들에게 설명해

보는 기회를 갖는

다

교사는 학습자

들이 한 자

신감을 유지하고

있는지에 해

지속 인 심을

갖고 지켜본다

학생들의 소집

단 토론시간을

무 길게 소요

하지 않도록 한

다

형성

평가

[문제4]

민수는 남 문의 기

와 지붕 한쪽 면이

사다리꼴 모양임을

찰하고 이 면에 있

는 기와의 개수를 알

아보고자 한다 기와

형 성 평 가 를

Power point로 제

시하고 학생들이

스스로 풀어볼 수

있도록 지도한다

학생들이 문제를

다 풀고 나면 교사

제시된 문제를

오늘 학습한 내용

을 복습하면서 풀

어보도록 한다

교사는 다소

진지한 목소리로

질문한다

의 개수를 행으로 세

었더니 용마루 쪽에

가장 가까운 행에는

40개 처마 쪽에 가

장 가까운 행에는 72

개 다 용마루부터

처마까지 행의 개수

가 17이라고 할 때

민수가 찰한 지붕

한쪽 면의 기와의 개

수는 모두 몇 개인

가

는 학생들에게

답할수 있도록 하

고 학생들이 학습

목표에 해 얼마

나 많이 달성했는

가를 스스로 검

해 보라고 한다

형성평가의 답

을 교사의 질문에

끝난 뒤 큰소리로

답하여 자신감

과 만족감을 갖도

록 한다

학생들에게 개

별 인 언어를

사용한다

정

리

5

분

학습

정리

차시

고

학습 자료를 이용

하여 수열의 실생활

의 활용 단원의 수업

내용을 확인한다

과제를 제시한다

다음 차시인 「여

러 가지 수열」 단원

에 한 고를 한

다

수업 내용을 정

리하고 과제를 제

시한다

학생들의 흥미를

유지하기 하여

다음 학습내용에

해 호기심에 찬

목소리로 간략하게

소개하고 수업을

끝낸다

오늘 학습한 내

용을 정리한다

과제를 고 과

제 해결에 한

내용을 머릿속에

형성해 본다

다음 차시에 배

울 내용을 학습

자료 화면으로 확

인해본다

수업내용에

해 학생과 교사

모두가 만족하고

있는지 확인하고

공정한 평가를

한다

[표10 수업지도안]

4 조사 문제지 분석

고등학교 수학 Ⅰ 의 수열단원의 효율 인 지도방안의 연구를 하여 원

종고등학교 2학년 학생 100명을 상으로 조사 문제지 조사를 하 다 학

생들의 수학에 한 심과 수학에서 가장 어려워하는 부분을 알아볼 수

있었고 어떤 방식의 수업을 선호하는지도 알아볼 수 있었다

⑴ 수학에 얼마나 심이 있나요

① 매우 많다 ② 많다 ③ 보통이다 ④ 다 ⑤ 매우 다

수학과목에 매우 많은 심을 보이는 학생은 2로 매우 낮은 편이며

심이 있는 학생은 43로 학생의 반정도 다 수학과목에 심이 거

나 없는 학생은 54정도로 수학은 어려운 과목이라는 인식 때문에 심

이 은 것 같다

수학을 공부하는 가장 큰 이유에는75의 학생들이 학입시를 해서라

는 문항을 선택했다 기타 이유에는 교과서에 있어서 어쩔수 없이 한다

는 학생과 진리탐구를 해서라는 학생도 있었다

[그림6 조사문제지

(1)번 막 그래 ]

⑵ 수학을 공부하는 가장 큰 이유가 뭐라고 생각하나요

① 학입시를 해서

② 평소 수학에 흥미가 있어서

③ 실제 생활에 쓰기 해서

④ 주변에서 해야한다고 하니까

⑤ 기타 이유 (이유를 간단히 어주세요)

앞에 (1)번문항에서 수학에 심이 은 학생이 반 정도인것에 반해

수학공부가 필요하다고 느낀학생이 75정도로 수학공부가 필요하단건

느끼지만 어려운 과목이라는 인식이 부분인것 같다 수학과목도 재

는 과목이란 인식을 학생들이 가질수 있도록 노력해야겠다

[그림7 조사문제지

(2)번 막 그래 ]

⑶ 수학공부의 필요성에 해 어떻게 생각하나요

① 매우 필요하다 ② 조 필요하다 ③ 보통이다

④ 필요 없다 ⑤ 필요 없다

[그림8 조사문제지

(3)번 막 그래 ]

⑷ 수학을 공부하면서 가장 어려운 부분은 무엇이나요

① 복잡한 계산 과정 ② 외워야할 많은 공식들

③ 응용문제엔 어떤 공식을 용해야할지 ④ 다 어렵다

학생들이 수학과목이 어렵다고 느끼는 이유는 응용문제에 어떤 공식을

용해야 하는지를 몰라서 라는 답이 58로 가장 많았다 그 외에도

계산과정이 복잡하거나 외워야할 공식들이 많아서라는 답도 있었다

이해 주의 수업을 하고 단순한 공식의 암기 주의 수업을 탈피해야겠

다

수학수업을 하는데 효과 인 방법에는 선생님 주의 강의식 수업과 학

생 개인별 수업이 78로 가장 많았다 개념이나 공식유도과정을 설명할

땐 서를 하며 강의식 수업을 하고 문제풀이땐 학생들 개인별로 첨삭

지도를 하는게 효율 인것 같다

⑤ 기타이유 (이유를 간단히 어주세요)

[그림9 조사문제지

(4)번 막 그래 ]

⑸ 수학 수업을 하는 데 어떤 방법이 가장 효과 이라고 생각하나요

① 선생님 주의 강의식 수업

② 학생 개인별 수업

③ 모둠별 활동 수업

④ 기타 교재나 과제를 통한 수업

⑤ 기타(이유를 간단히 어주세요)

[그림10 조사문제지

(5)번 막 그래 ]

Ⅵ 결론

본 논문에서 지 까지 고등학교 2학년 학생들이 수학 Ⅰ 교육과정을 학습하

는데 가장 어려워하는 수열에 해 살펴보았다 먼 개정 교육과정에 명시

된 수학교육의 목표와 임의로 선택된 5종 교과서에서 수열 단원의 학습목표

를 살펴보았고 수열의 역사 배경과 실생활에 응용된 들을 정리해보았

다 한 5종 교과서에서 제시되어 있는 수열의 학습내용을 소단원 별로 정

리해보았다 임의로 선택된 5종 교과서안의 수열의 학습내용을 분석해보면

서 몇 몇 교과서에서 여러 가지 수열 단원에서 군 수열과 멱 수에 한 언

이 없거나 미약함을 알 수 있었다 본 연구자가 보기에 군 수열과 멱 수

부분은 실생활에 활용될 는 극히 작아 보이지만 학생들이 꼭 학습하고 넘

어가야 수열에 한 완벽한 학습이 될 수 있을 것이라 여겼는데 교과서에서

제시된 내용들로는 학생들이 충분히 이해할 수 없을 것 같았다

그리고 교과서에 제시된 문항의 수 이 입시와 동 떨어진다는 문제 이 있

었다 교과서에 제시된 문제가 부족하고 수 이 낮다 보니 실제로 학교에서

수업 때 보충 린트 물로 수업을 진행하고 간기말고사 때에도 교과서

외에서 많은 문제를 출제하는 모습을 볼 수 있었다 때문에 학생들이 교과서

보다는 문제집 주의 공부를 할 수 밖에 없는 듯 보 다 교과서가 학생들

과 교사의 요구에 부합할 수 있도록 새로운 내용들과 문제를 싣도록 해야

할 것이다

학생들이 수열 단원의 학습을 할 때 좀 더 효과 인 학습이 될 수 있도록

리의 동기설계이론 (ARCS 이론) 을 바탕으로 하여 수업 계획서와 1차시

의 수업 지도안을 작성해 보았다 한 작성한 수업 지도안으로 부천시 소재

의 한 고등학교에서 실제 수업을 진행해 보았을 때 학생들이 좀 더 수열에

해 친숙하게 느끼고 쉽게 이해하는 모습을 볼 수 있었다 본 연구자가

직 교사가 아니라 여러 반을 상으로 수열 단원의 모든 차시 수업에 용

하여 수업을 해볼 수 없었단 이 아쉬움으로 남는다

이와 같이 학생들의 주의 련성자신감만족감 증진을 한 수업을 함

으로써 학생들의 수학 학습 성취도의 향상을 기 할 수 있을 것이다 한

개발된 자료를 실제 수업에 용하는 경우의 효율성에 한 후속 연구가 체

계 이고 지속 으로 이루어져야 할 것이다

참 고 문 헌

[1] 구평회 META 구평회 교육학 2007

[2] 교육인 자원부 고시 제2007 - 79호[별책8] 2007

[3] 박인학 교사를 한 교수학습방법론 문사 1995

[4] 변 계 교수학습 이론의 이해 학지사 1999

[5] 우정호 외 5인 고등학교 수학 Ⅰ 한교과서(주) 2002

[6] 이 연 자연의 수학 열쇠 피보나치수열 로네시스 2006

[7] 이진화 지수로그함수의 지도에 한 연구 서강 학교 교육 학원 석사 학

논문 2006

[8] 임재훈 외 10인 고등학교 수학 Ⅰ (주)두산 2002

[9] 장 숙 고등학교 수학 Ⅰ 교과서의 통계단원 분석 실생활에의 용 경희

학교 교육 학원 석사 학 논문 2006

[10] 조해식 행렬 수열 수업에서의 수학사 도입에 한 연구 울산 학교 석사

학 논문 1998

[11] 차 자 수열 학습의 흥미 유발을 한 자료 연구 경성 학교 교육 학원 석

사 학 논문 2004

[12] 최 외 5인 고등학교 수학 Ⅰ 앙교육진흥연구소 2006

[13] 최상기 외 5인 고등학교 수학 Ⅰ (주)고려출 2002

[14] 최용 신 성 고등학교 수학 Ⅰ 천재교육(주) 2002

[15] 황혜정 외 5인 수학교육학 신론 문음사 2002

• Ⅰ 서론
• • 1 연구의 필요성과 목적
  • 2 연구의 제한점
  • • Ⅱ 개정 교육과정에서 명시된 수학Ⅰ교육의 목표
    • • 1 수학Ⅰ교육의 목표
      • 2 고등학교 수학 Ⅰ 수열 단원의 학습목표
      • • Ⅲ 수열의 역사적 배경 및 응용
        • • 1 수열의 역사
          • 2 수열 단원이 실생활에 응용된 사례
          • • Ⅳ 고등학교 수학교육과정에서의 수열
            • • 1 수학Ⅰ 교과서 분석
              • 2 수학Ⅰ 교과서에서의 수열
              • • Ⅴ 켈러의 ARCS 이론과 수열 지도
                • • 1 켈러의 ARCS 이론
                  • 2 ARCS 이론을 적용한 수열 수업 계획서
                  • 3 ARCS 이론을 적용한 수업 지도안
                  • 4 조사지 분석
                  • • Ⅵ 결론
                    • 참고문헌

본 論文을 高現珍의 碩士學位 論文으로 認准함

2008年 2月

主審

副審

副審

목 차

국문 록

ABSTRACT

Ⅰ 서론

1 연구의 필요성과 목 1

2 연구의 제한 2

Ⅱ 개정 교육과정에서 명시된 수학Ⅰ교육의 목표

1 수학Ⅰ교육의 목표4

2 고등학교 수학 Ⅰ 수열 단원의 학습목표7

Ⅲ 수열의 역사 배경 응용

1 수열의 역사9

2 수열 단원이 실생활에 응용된 사례10

Ⅳ 고등학교 수학교육과정에서의 수열

1 수학Ⅰ 교과서 분석17

2 수학Ⅰ 교과서에서의 수열21

Ⅴ 러의 ARCS 이론과 수열 지도

1 러의 ARCS 이론30

2 ARCS 이론을 용한 수열 수업 계획서 31

3 ARCS 이론을 용한 수업 지도안35

4 조사지 분석 38

Ⅵ 결론 43

참고문헌 45

표 목 차

1 [표1 수학Ⅰ교과서 내용체계] 6

2 [표2 5종 교과서 수학 Ⅰ 수열 단원의 학습목표] 7

3 [표3 단리법] 12

4 [표4 복리법] 13

5 [표5 수학 Ⅰ 5종교과서의 차례] 17

6 [표6 5종 교과서에 제시된 수열 련 자료] 19

7 [표7 순서도의 기호]29

8 [표8 ARCS 략]30

9 [표9 러의 ARCS이론]32

10 [표10 수업지도안] 35

그림 목차

1 [그림1 피보나치수열] 10

2 [그림2 하노이의 탑]11

3 [그림3 피라미드 황 비]14

4 [그림4 피아노건반황 비율] 15

5 [그림5 인체 황 비율]16

6 [그림6 조사문제지 (1)번 막 그래 ]39

7 [그림7 조사문제지 (2)번 막 그래 ]40

8 [그림8 조사문제지 (3)번 막 그래 ]40

9 [그림9 조사문제지 (4)번 막 그래 ]41

10 [그림10 조사문제지 (5)번 막 그래 ]42

국문 록

수학은 오래된 학문으로 사회생활을 하는데 직 으로 소용이 되지 않는

수학 지식도 타학문을 공부하는 데에는 필요하다 그러나 부분의 사람

들은 간단한 연산을 제외하고는 수학의 필요성을 느끼지 못하고 있다 게

다가 학생들은 수학을 입시 과목 의 하나로만 여겨 내용에 한 이해보

다는 문제를 공식에 용시키는 정도로써 수학에 한 심을 보이고 있는

형편이다 이런 상 때문에 학생들이 수학을 어려운 과목으로만 여기고

기피하는 모습을 많이 보이고 있다

본 논문에서는 행 고등학교 수학과 교육과정에서 수열 단원을 교과서별

로 분석해 보았고 수열 단원의 각 소단원의 내용을 정리해 보았다 그리고

고등학교 2학년 인문계열 학생들이 수학 Ⅰ 교육과정을 학습할 때 가장 어

려워하는 수열 단원을 보다 효율 으로 지도하기 한 방안을 연구해보았

다

이를 하여 본 연구자가 교생실습을 했던 경기도 부천시 소재의 원종고

등학교 2학년 인문계학생 100여명을 상으로 수학의 학습에서 가장 어려

운 부분과 그 이유를 알아보는 조사 문제지 검사를 실시하 으며 이를 토

로 수열의 효율 인 지도방안에 해 좀 더 구체 으로 연구해 볼 수 있

었다

러(Keller)의 ARCS 이론의 주의(Attention) 련성(Relevance) 자신감

(Confidence) 만족감(Satisfaction) 을 토 로 하여 수열 단원의 수업계획

서와 수업지도안을 작성해보았고 지도안 로 수업을 실시해보았다

지도안 로 수업을 실시 해 보았을 때 본 연구자가 매 수업 끝난 후 실시

한 Test에서 그 차시 수업 때보다 좋은 수를 낸 것으로 보아 학생들

이 수열 단원의 학습 효과가 조 은 향상된 것으로 보여진다

ABSTRACT

Mathematical knowledge has been used to study other fields even though it

does not have a direct relation with them However most of the people think

mathematics is not essential to life except for simple calculations Moreover

because students think of mathematics just as a required subject for an

admission in a university they are not interested in math itself but interested

in solving mathematical problems by merely applying given formulas Due to

these tendencies many students consider that mathematics is beyond their

abilities and seem to try to avoid it if possible

The present thesis analyzes and compares textbooks concerning sequences in

the present curriculum of highschool mathematics Above all the author tries

to find effective ways to teach sequences which are difficult for highschool

students especially for those who plan to major in humanities to learn

To achieve these objectives the author asked a hundred students in the

second-grade class at Wonjong highschool in Buchon-si Kyonggi-do to fill

out questionnaires concerning most difficult parts in learning mathematics and

ways to improve learning We have been able to specifically construct effective

teaching plans for sequences based on these questionnaires We have written

out a guidance plan and a teaching plan for the chapter on sequences based

on Kellers ARCS Theory- Attention Relevance Confidence Satisfaction

It is well known that the effectiveness of study is higher if students are

taught with the teaching plan

Ⅰ 서 론

1 연구의 필요성과 목

오늘날의 수학교육에 있어서의 최 당면 문제는 수학의 기 인 교육

기반을 어떻게 회복하느냐 하는 것이다 이를 해서는 lsquo수학을 어떤 이유

로 가르쳐야 하는가rsquo 는 lsquo학생들이 왜 수학을 알아야 하는가rsquo에 한 보

다 근원 인 논의가 이루어져야 한다 lsquo수학을 왜 가르치고 배우는가rsquo 라는

질문에 부분은 수학을 배우면 논리 으로 사고하게 되고 과학 인 생활

을 하는 데 도움이 된다고 말하지만 우리는 이러한 질문에 하여 보다

체계 으로 생각해 보아야 한다 수학을 가르치는 교사는 학생을 지도할

만큼의 충분한 수학 지식을 가지는 것도 요하지만 수학이 갖는 가치

에 하여 단순히 학문 입장만이 아닌 lsquo교육 rsquo 입장에서의 가치 을 갖

추고 있어야 한다는 것이다 ([15])

하지만 지 의 학교수학교육의 황은 학 입시를 한 기계식의 문제풀

이와 암기 주의 수업이 이루어지고 있는 실정이다 때문에 학생들은 수학

에 한 기 개념을 알지 못한 채 수박 겉핥기식의 학습을 하게 되고 수

학에 흥미를 잃고 수학을 포기하는 학생이 늘어가고 있다

고등학교 수학Ⅰ 교육과정의 요한 단계인 수열에 해 학생들은 특히

이해하기 어려워한다 한 수열에 한 선수 학습이 제 로 이루어지지

않았을 경우 수열을 배우고 나서 바로 다음 단원에 학습하는 수열의 극한

단원을 이해하는데 어려움을 겪게 되기 때문에 수열의 제 로 된 학습은

학생들에게 상당히 요한 문제라고 할 수 있다

학생들이 수열 단원을 어려워하는 데에는 많은 이유가 있겠지만 무엇보다

도 행 교과서의 수열 단원의 구성에 부족한 부분이 많기 때문인 것 같

다 요한 단원임에도 불구하고 개념 설명이나 시 문항이 많이 부족하

고 군 수열이나 멱 수에 한 설명은 실려 있지 않은 교과서도 많았다

한 지 의 딱딱한 강의식 수업에서 벗어나 학생들의 자신감과 만족감을

증진시킬 수 있는 수업을 해 교사나 학생 모두 노력해야한다

이 논문에서는 개정 교육과정에 의하여 다루어지는 고등학교 수학 Ⅰ 교

육과정 내용 수열을 택하여 각 교과서에서 수열 단원의 구성과 수열에

한 역사 배경과 실생활에 활용된 를 알아보고 학생들로 하여 수

열의 원리와 개념의 이해에 도움이 될 수 있는 지도방안을 러의 ARCS

이론을 바탕으로 하여 작성해보고자 한다

2 연구의 제한

재 고등학교에서 채택하고 있는 12여종의 수학 Ⅰ 교과서 부를 분

석하지 않고 임의로 선택된 5종 교과서를 분석하 기 때문에 5종이 12종을

모두 표한다고 볼 수 없다

본 논문은 러의 ARCS 이론을 바탕으로 한 수열 지도가 수열 단원의

학습에 효율 일 것이라고 여겼으나 1개 고등학교에서만 수업시연을 해보

았기 때문에 실제 인 검증작업을 거치지 못하 다 따라서 연구 결과에

한 한계가 있을 수 있다

러의 ARCS 이론을 바탕으로 한 수열 학습지도안으로 수업을 진행할

때 조별학습을 하게 되는데 이때 능숙한 교사가 아니라면 학생들의 주의

가 산만해지고 수업 분 기가 흐트러지는 것을 정리하고 완만한 수업을 진

행하기가 힘이 들것이라 생각된다

본 연구자가 부천시 소재의 원종고등학교 학생 100명을 상으로 한 조

사문제지 검사가 수열 단원의 학습에 국한된 것이 아니라 고등학교 수학

학습의 일반 인 내용을 담았기 때문에 수열 단원의 효율 인 지도방안을

한 연구에 직 인 도움을 주지 못했다

본 연구자가 제안한 교수 방법의 효과를 검증하지 못했다

Ⅱ 개정 교육과정에서 명시된

수학Ⅰ 교육의 목표

1 수학Ⅰ교육의 목표

교육인 자원부에 고시된 개정 교육과정([2])에서의 고등학교 수학Ⅰ과정

교육목표는 다음과 같다

1)성 격

lsquo수학 Ⅰrsquo의 학습을 통하여 수학 개념 원리 법칙을 이해하고 수학 사

고 능력을 키워 합리 이고 창의 으로 문제를 해결하는 능력과 태도를 기

를 수 있다

lsquo수학 Ⅰrsquo의 교수학습에서는 고등학교 1학년까지의 수학에서 습득한 수학

개념 원리 법칙을 토 로 하여 새로운 개념에 근해야 하므로 기본

인 수학 지식을 확인하고 활용하면서 발 인 학습이 이루어지도록 한

다 이 과정에서 여러 가지 상을 수학 으로 해석하고 조직하는 활동 구

체 인 사실에서 진 으로 추상화로 나아가는 과정 직 이나 구체 인

조작 활동에 바탕을 둔 통찰 등의 수학 경험을 통하여 형식이나 계를

발견하는 것이 요하다 한 수학 문제를 해결하는 과정에서 문제를 명

확히 이해하고 합리 인 해결 계획을 세워 실행하며 반성을 통하여 풀이 과

정을 검하고 다양하게 활용하는 능력을 기르도록 한다 수학 지식과 기

능을 활용하여 여러 가지 문제를 해결해 으로써 수학의 필요성과 유용성

을 인식하고 수학 학습의 즐거움을 경험해 으로써 수학에 한 정 인

태도를 갖게 한다

역 내 용

행렬과 그래

행렬과 그 연산

연립일차방정식과 행렬

그래 와 행렬

지수함수와 로그함수

지수

지수함수와 그 그래

지수방정식과 지수부등식

로그

2) 목 표

수학 개념 원리 법칙을 이해하고 수학 으로 사고하고 의사소통하는

능력을 신장하여 여러 가지 문제를 합리 이고 창의 으로 해결하며 수학

의 실용성을 인식하여 수학에 한 정 태도를 갖는다

(1) 수학Ⅰ의 학습을 통해 얻는 여러 가지 장

(가) 행렬과 그래 지수함수와 로그함수 수열 수열의 극한에 련된 개

념 원리 법칙과 이들 사이의 계를 이해하고 이를 활용하는 능력을 기른

다 여러 가지 상을 찰 분석 조직하여 수학 으로 나타내는 능력을 기

른다

(나) 수학을 통하여 여러 가지 문제를 합리 으로 해결하는 능력과 수학

으로 사고하고 의사소통하는 능력을 기른다

(다) 수학의 가치를 이해하여 수학에 한 심과 흥미를 지속 으로 가지

며 수학에 한 정 태도를 기른다

3) 내 용

⑴ 내용체계

로그함수와 그 그래

로그방정식과 로그부등식

수열

등차수열과 등비수열

여러 가지 수열

수학 귀납법

알고리즘과 순서도

수열의 극한무한수열의 극한

무한 수

[표1 수학Ⅰ교과서 내용체계]

4) 평 가

(1) 평가

(가) 수학 학습의 평가는 학생의 인지 역과 정의 역에 한 유용한

정보를 제공하여 학생 개개인의 수학 학습과 인 인 성장을 돕고 교사의

교수 활동과 수업 방법을 개선하는 데 활용한다

(나) 수학 학습의 평가에서는 학생의 인지 발달 수 을 고려하고 교육과정에

제시된 내용의 수 과 범 를 수한다

(다) 수학 학습의 평가는 수업의 개 과정에 따라 진단 평가 형성 평가 총

평가 등의 한 평가 방식을 택하여 실시하되 지속 인 평가를 통하여

다양한 정보를 수집하고 수업에 활용한다

(라) 수학 학습의 평가에서는 획일 인 방법을 지양하고 지필 평가 찰 면

담 자기 평가 등의 다양한 평가 방법을 통해 수학 교수ㆍ학습을 향상시킬

수 있게 한다

(마) 인지 역에 한 평가에서는 학생의 수학 사고력 신장을 하여 결

과뿐만 아니라 과정도 시하여 평가하되 수학의 교수학습에서 반 으

교과서 학습목표

한교과서

(주)

등차수열 등비수열의 뜻을 알고 일반항 첫째항부터 제 n항까지

의 합을 구할 수 있다

sum의 뜻과 성질을 이해하고 이를 활용하여 여러 가지 수열에

한 문제를 해결할 수 있다

수학 귀납법의 원리를 이해하고 이를 활용하여 자연수 n에

하여 참인 명제를 증명할 수 있다

알고리즘과 순서도의 뜻을 알고 간단한 문제 해결을 한 알고

리즘을 작성하여 순서도를 만들 수 있다

(주) 천재교육

등차수열과 등비수열의 뜻을 알고 일반항과 첫째항부터 제 n항

까지의 합을 구할 수 있다

기호 sum의 뜻과 성질을 이해하고 이를 활용할 수 있다

여러 가지 수열의 일반항과 첫째항부터 제 n항까지의 합을 구

할 수 있다

여러 가지 수열에 한 문제를 해결할 수 있다

수학 귀납법의 원리를 이해하고 이를 이용하여 자연수 n에

하여 참인 명제를 증명할 수 있다

로 요구되는 사항을 강조한다

(바) 정의 역에 한 평가에서는 학생의 수학에 한 정 태도를 신장

시키기 하여 학생의 수학에 한 바람직한 가치 이나 수학 학습에 한

심 흥미 자신감 등의 정도를 악한다

(사) 수학 학습의 평가에서는 평가하는 학습 내용에 따라 학생에게 계산기

컴퓨터와 같은 공학 도구와 다양한 교구를 이용할 수 있는 기회를 제공할

수 있다

2 고등학교 수학 1 수열단원의 학습목표

수학 Ⅰ교과서에서의 수열단원의 학습목표를 5종 교과서를 비교하여 살펴

보고자한다 임의로 선택된 5종 교과서([5][8][12][13][14])의 학습목표는

다음과 같다

알고리즘과 순서도의 뜻을 알고 그 필요성을 이해할 수 있다

간단한 문제 해결을 한 알고리즘을 작성하여 순서도를 만들

수 있다

앙교육진흥

연구소

수열을 이해하고 이를 활용하여 여러 가지 문제를 해결할 수 있

다

수학 귀납법의 원리를 이해하고 이것을 이용하여 자연수 n에

하여 참인 명제를 증명할 수 있다

알고리즘과 순서도의 뜻을 알고 간단한 문제 해결에 사용할 수

있다

(주) 고려출

등차수열의 뜻을 알고일반항 첫째항부터 제 항까지의 합을 구

할 수 있다

등비수열의 뜻을 알고일반항 첫째항부터 제 항까지의 합을 구

할 수 있다

sum의 뜻과 성질을 이해하고 이를 활용할 수 있다

여러 가지 수열의 일반항 첫째항부터 제 항까지의 합을 구할

수 있다

여러 가지 수열에 한 문제를 해결할 수 있다

수학 귀납법의 원리를 성명하고 수학 귀납법을 이용하여 자연

수 에 하여 참인 명제를 증명할 수 있다

알고리즘과 순서도의 뜻을 알고 그 필요성을 알 수 있고 간단

한 문제 해결을 한 알고리즘을 작성하여 순서도를 만들 수 있다

(주) 두산

등차수열과 등비수열의 뜻을 알고 일반항과 그 합을 구할 수 있

다

기호sum의 뜻과 성질을 이해하고 이를 이용하여 여러 가지 수열

에 한 문제를 해결할 수 있다

수학 귀납법의 원리를 이해하고 이를 이용하여 자연수 에

하여 참인 명제를 증명할 수 있다

알고리즘과 순서도의 뜻을 알고 간단한 문제 해결을 한 알고

리즘을 작성하여 순서도를 만들 수 있다

[표2 5종 교과서 수학 Ⅰ 수열 단원의 학습목표]

Ⅲ 수열의 역사 배경 응용

1 수열의 역사

수학의 역사에서 가장 흥미로운 수열 하나가 피보나치수열이다 피보나

치수열은 수학이론 뿐만 아니라 자연계 건축 술 등에 다양하게 표 된

다

그 에 오나르도가 발표한《산반서》에 소개된 피보나치수열에 한 문

제는 다음과 같다 ([6]) ldquo어떤 사람이 토끼 한 을 우리에 넣었다 이 토

끼 한 은 한 달에 새로운 토끼 한 을 낳고 낳은 토끼들도 한 달이 지

나면 다시 한 의 토끼를 낳는다 그 다면 1년이 지나면 몇 의 토끼가

있을까rdquo

첫 달엔 처음에 있던 토끼 한 만 있다 두 번째 달이 되면 토끼 한 을

낳아 두 의 토끼가 된다 세 번째 달이 되면 처음에 있던 토끼 한 이

한 의 토끼를 낳아 세 의 토끼가 된다 네 번째 달이 되면 첫

달과 두 번째 달의 토끼 두 이 각 한 의 토끼를 낳아 총 다섯 의

토끼가 있게 된다 이런 식으로 토끼를 낳아가면 그 수는 다음과 같은 규

칙을 갖는다 　　　　　　　　　　 이런 규칙을 갖는 피보나치수열의

일반항을 이라고 하면 　 　 　 　 가 된다

그런데 이 수열을 자연에서도 쉽게 찾아볼 수 있다 식물의 기에서 뻗어

나온 잎을 생각해 보면 기의 에 있는 잎 하나에서 수직으로 에 있

는 잎까지 도달할 때까지 기를 따라 올라가면서 잎의 개수를 세면 그

수들은 일반 으로 피보나치수열을 이룬다

[그림1 피보나치수열]

2 수열 단원이 실생활에 응용된 사례

1) 하노이의 탑

인도 갠지스 강 유역 라만교의 사원에 있었던 하노이의 탑은 라만

탑이라고도 부르는데 이 탑에 얽힌 문제의 내용은 다음과 같다 다음은

([10])의 내용을 참고하 다

[베나 스에는 세계의 심이 있고 그 곳에는 아주 큰 사원이 있으며 이

사원에는 높이 정도 되는 다이아몬드 바늘 3개가 있다 그 에서 한

바늘에는 천지 창조 때에 신이 구멍이 뚫린 64장의 순 으로 된 원 을 크

기가 큰 것부터 아래에 놓이도록 하여 차례로 쌓아 놓았다 그리고 신은

승려들에게 밤낮으로 쉬지 않고 원 을 한 장씩 옮겨 빈 다이아몬드 바늘

어느 한 곳으로 모두 옮겨 놓도록 명령하 다

ldquo원 은 한 번에 한 개씩만 옮겨야 하고 로 작은 원 에 큰 원

을 올려놓을 수 없다 단 64개의 원 의 크기는 모두 다르다 이 말을 충

실히 실행하고 한 순간도 게을리 하지 마라 만일 게을리 하는 일이 있으

면 그 때는 이 사원도 탑도 모두 무 지고 세계는 종말을 고하게 된다 게

을리 하는 일이 없으면 그 들이 원 을 부 옮길 때까지 세상은 태평할

것이다rdquo]

승려들은 과제를 수행하기 해 밤낮으로 매우 열심히 작업을 했다 그 작

업을 끝내기 해서 승려들은 몇 번을 움직여야 하고 얼마나 많은 시간을

사용해야만 했을까

[그림2 하노이의 탑]

원 이 1개가 있으면 최소 이동 횟수는 1번 원 이 2개가 있을 때 최소

이동 횟수는 3번이고 원 이 3개가 있으면 최소 이동 횟수는 7번이다

원 이 4개가 있으면 최소 이동 횟수는 15번이다 이런 식으로 계속 해나

가다 보면 　　　　　　　 라는 수열을 얻는다 이것은 각 항의 차이가

계차수열을 이루는데 이것은 다음과 같다 　　　　　　일반항을 으로 두

고 구해보면 　 　times 　 　 이다 처음 값을 으로 두고 일반항을

구해보면 　

이 된다

만약 그 설 로 따라가서 수도승들이 쉬지 않고 디스크를 1 에 한번

씩 옮겼다면 최소의 이동횟수는 이 되고 18446744073709551616

가 걸리고 략 5854억4200만년이 필요하다는 것을 알 수 있다

원 이자 원리합계(=원 +이자)

1년 원 원 원

2년 원 원 원

3년 원 원 원

년 원 100원 원

2) 등차수열의 응용

(1) 단리법

단리법은 처음 원 의 이자에 해당하는 비율만큼 계속 되는 계산법이

다 1000원을 했다면 1년이 지날 때마다 10 의 이자가 붙는다고 하

자 1년이 지났을 때 10 의 이자가 붙으면 100원 불어나므로 1000 +

1000 times 01 = 1100(원) 이다 그리고 1년2년 년이 지날 때 마다

값을 측정해보면 다음과 같다

[표3 단리법]

최종 으로 원 을 라 하고 연이율을 이라고 한다면

결국 년이 되었을 때 단리법으로 표 하면 그 때의 총 합 는

이 된다

3) 등비수열의 응용

(1) 복리법

복리법은 원 에 이자가 된 원리합계를 기 으로 이자를 계산하는 방

법이다 원을 했다면 1년이 지날 때마다 의 이자가 붙는다고

원 이자원리합계

(=원 +이자)

1년 원 원 원

2년 원 원 원

3년 원 원 원

년 원 times원 원

하자 1년이 지났을 때 의 이자가 붙으면 원 불어나므로

times (원) 이다 그리고 1년2년 년이 지날 때 마

다 값을 측정해보면 다음과 같다

[표4 복리법]

최종 으로 원 을 라 하고 연이율을 이라고 한다면

따라서 년이 지나면 이 된다 그때의 총 합 는 이

다

4) 황 비율

에서 언 했던 피보나치수열 　　　　　　　　　　에서 번째 항

을 번째 항으로 나 어 보자

　 　

　 　

　 　

　 　

　 　

　 　 이런 식으로 계속 해나가다 보면

이 수가 061803 에 근사하게 된다 고 그리스인들은 이 수에 lsquo황 비

율rsquo라는 이름을 붙 다 이것은 인간이 보기에 가장 아름다운 비율이라 하

여 여러 분야에서 사용되고 있다

(1) 황 비의 이용

약 100년 페히 라는 독일의 심리학자는 수백 명의 사람들에게 여러

종류의 직사각형을 보여 다음 마음에 드는 것을 선택하게 하는 실험을

했다 그런데 그 결과 부분의 사람이 황 직사각형을 선택했다고 발표했

다 ([6])

실험에 의하면 황 비는 사람들이 가장 편안하고 아름답게 느끼는 비율로

알려져 있으며 이런 이유 때문에 옛 부터 건축과 미술 음악 등에서 자주

이용되어 왔다

(가) 건축

기원 2000년경의 이집트 《린드 피루스》에 보면 기원 4700년에 기

자의 피라미드를 건설할 때 이 수를 lsquo신성한 비율rsquo로 사용했다고 한다

의 측량 기술로 측정해보니 피라미드 의 심에서 의 모서리까지

그리고 경사면까지 거의 정확하게 0618이었다 ([6])

피라미드는 인류역사를 통해서 사람들을 가장 매료시켜온 건축물 의 하

나이다 그 규모의 장 함에서도 사람을 압도하는 것이 있지만 그 형태 자

체가 고도한 수학을 배경으로 한 것으로서 우리가 알고 있는 5천년 의 지

식수 으로서는 불가사의한 것 의 하나이다

[그림3 피라미드 황 비]

(나) 음악에서의 활용

음악에서 한 옥타 는 [도 미 솔 라 시 도] 의 8음계로 이루어져 있

다 피아노의 건반은 한 옥타 를 13개의 음으로 나 어 표 하고 있으며

이 하얀 건반이 8개 검은 건반이 5개 있고 하얀 건반은 3개와 5개 검

은 건반은 2개와 3개로 구분되어 있다 여기에서 나타나는 2 3 5 8 13

은 에서 보인 피보나치수열이다

[그림4 피아노건반황 비율]

(2) 인체에서의 황 비율

황 분할은 우리의 인체 속에서도 찾아볼 수 있다 인간의 신체가 이 비율

에 의해서 분할되어 있으며 이것이 아름다운 몸의 보편 기 이 되고 있

다 아래 그림은 Le Corbusier가 찾아낸 이상 인간의 각 신체부 의 비율

이다 이것은 오나르도 다빈치의 인체비율에 한 그림에서도 찾아 볼

수 있다 이 뿐만 아니라 인체의 각 부 들도 그 자체 황 분할을 이루

고 있다

[그림5 인체 황 비율]

앞에서 제시한 황 비율을 사용한 시들 이외에도 우리 주변에 아주 많

이 있다

교과서 차례

한교과서(주)

Ⅳ 수열

1 등차수열과 등비수열

2 여러 가지 수열

3 수학 귀납법

4 알고리즘과 순서도

(주) 천재교육

Ⅲ 수열

1 등차수열과 등비수열

2 여러 가지 수열

3 수학 귀납법

4 알고리즘과 순서도

Ⅳ 고등학교 수학교육과정에서의 수열

1 수학Ⅰ 교과서 분석

고등학교 2학년이 학습하는 lsquo수학 Ⅰrsquo은 국민 공통 기본 교육 기간의 10단계

수학을 이수한 학생들이 보다 문 인 진로를 고려하고 보다 높은 수 의

수학을 학습하기 해 설정된 심화 선택 과목이며 lsquo수학 Ⅱrsquo를 학습하기 한

단계이다 lsquo수학 Ⅰrsquo의 내용은 수 역에서 지수와 로그 행렬 수열이

실려있고 해석 역에서 수열의 극한 지수로그 함수가 수록되어 있으며

확률과 통계 역에서 순열과 조합 확률 통계 등으로 구성되어 있다 특히

수 역에 해당하는 수열은 여러 가지 수열에 한 성질을 이해하고 그것

을 일반화 하는 과정에 을 두어 지도하도록 하고 있으며 계차수열은 등

차수열이나 등비수열이 되는 경우만 다룬다 ([2])

1) 수학 Ⅰ 5종 교과서의 차례 단원 배열

앙교육진흥연구소

Ⅲ 수열

1 등차수열과 등비수열

2 여러 가지 수열

3 수학 귀납법

4 알고리즘과 순서도

(주) 고려출

Ⅲ 수열

1 등차수열과 등비수열

2 여러 가지 수열

3 수학 귀납법과 순서도

(주) 두산

Ⅲ 수열

1 등차수열과 등비수열

2 여러 가지 수열

3 수학 귀납법

4 알고리즘과 순서도

[표5 수학 Ⅰ 5종교과서의 차례]

의 표에서 본 것과 같이 임의로 선택된 5종의 고등학교 수학 Ⅰ 교과서의

차례는 거의 비슷한 양상을 보 다 부분의 교과서에선 1단원 지수와 로

그 2단원 행렬 3단원 수열 순의 순서를 보 고 한교과서외의 몇몇

교과서에선 1단원 지수와 로그 2단원 지수로그함수 3단원 행렬 4단원 수

열 순의 순서를 보 다 수열단원의 세부 단원 차례는 1 등차수열과

등비수열 2 여러 가지 수열 3 수학 귀납법 4 알고리즘과 순서도 는

34 단원을 한 단원으로 해서 3 수학 귀납법과 순서도의 순서로 다루는

은 비슷했다

2) 교과서에 제시된 수열 련 자료

한교과서

(주)

피타고라스(Pythagoras 572～492 BC) 피타고라스의 정리

로 잘 알려져 있고 소수나 완 수의 규칙성에 해서도 많은 연

구를 하 다

바스카라(Bhaskara A 1114～1185) 인도의 수학자로

임을 증명하 고 피타고라스의 정리를 기하학

으로 증명하 다

피보나치(Fibonacci 1180～1250) 이탈리아의 수학자로 자연

속에서 많이 볼 수 있는 피보나치 수열을 발견하 다

스칼(Pascal B 1623～1662 ) 랑스의 수학자로 수학

귀납법을 발견하 고 사 기하학을 창시하 다

푸리에(Fourier J B J 1768～1830) 랑스의 수학자로 음양

학 학 기역학 열역학 등의 연구에 매우 요한 푸리에

수를 연구하 다

가우스(Gauss K F 1777～1855) 수학 통계학 등의 다방

면에 많은 업 을 이루었고 역사상 가장 한 수학자 의 한

사람으로 불리워지고 있다

비주얼 베이직(Visual BASIC)

을 이용한 Programming

하노이의 탑

(주)

천재교육

가우스(Gauss K F 1777～1855) 독일의 수학자인 가우스는

수학의 각 방면에 많은 업 을 남겨 수학의 아버지라 일컬

어지고 있다 그는 계산의 천재로 알려져 있는데 이에 한 유명

한 일화가 있다 등학교 때 부터 까지의 합을 구하는 문

제에서 다른 학생들이 직 하나하나 계산하는 동안 가우스는

　 　 　　　　 이 모두 임을 이용하여

times 이라는 답을 이끌어 내었다 이러한 방식은 수열

의 합을 계산할 때 사용하는 방식 의 하나이다

하노이의 탑을 이용한 수열의 귀납 정의

임의로 선택된 5종 교과서들의 수열단원에서 학생들의 수열 단원의 이해를

돕기 해 수록된 수학자들에 한 설명과 기타 자료들은 다음과 같다

도미노 이론 - 수학 귀납법의 다른 표

피보나치수열 - 토끼 수 증가 문제

앙교육

진흥연구소

삼각수 사각수 문제

피보나치(Fibonacci 1180～1250)

가우스(Gauss K F 1777～1855)

음악과 수학 - 작곡가 바흐(Bach)의 요 업 으로 평균율을

들 수 있다 평균율이란 1옥타 즉 lsquo도rsquo와 lsquo도rsquo의 사이를 개의

반음으로 나 고 처음 lsquo도rsquo의 진동수를 이라 하면 그에 일정한

수를 더해 제곱하여 옥타 의 lsquo도rsquo의 진동수를 얻는 것을

말한다 수식으로는 로 나타낼 수 있고 이 등식을

만족하는 의 값이 평균율이다

(주)

고려출

티티우스-보데 수열 -

수열 　　　　　　　　의 각 항에 각각 를 더한 후

으로 나 수들을 나열한 것 　　　　　　　 를

티티우스-보데 수열이라 한다 이수열의 각 항은 태양에서 행성

까지의 실제 거리와 비슷한 것으로 1766년 티티우스(Titius)라는

독일의 천문학자가 발견하 다

제갈량의 군 에 한 을 통한 등비수열의 합

피보나치 수열

휴먼 로 - 휴먼 로 의 제작은 복잡한 여러 가지 알고리즘

과 순서도에 바탕을 두고 있다 알고리즘의 요성은 자계산기

이 부터 실제 으로 존재했다 그 로 최 공약수 계산에 한

유클리드의 알고리즘이 있다 한 가우스와 같은 부분의 수학

자들은 역사 으로 많은 양을 처리하는 효율 인 알고리즘에

심을 가졌다 이러한 알고리즘을 보다 효율 으로 이용하여 재

의 컴퓨터 시 를 구축했다

(주) 두산

피보나치(Fibonacci 1180～1250)는 이탈리아의 피사에서 태

어난 수학자이다 부친이 상업에 종사하 기 때문에 피보나치는

이집트 시칠리아 그리스 시리아 등 다양한 지역을 여행할 수

있었고 이 때 다양한 수학을 하게 되었다 1202년 피사로 돌아

온 피보나치는 「산반서(Liber abaci)」를 술하 다 1228년에

는 「산반서 2 」을 술하 는데 이 책에서 정수와 분수의 계

산 제곱근과 세제곱근 일차와 이차방정식의 풀이 등을 다루었다

고 한다 특히 이 책에 나오는 「피보나치의 수열」은 매우 흥미

로운 수열로 요한 성질을 많이 가지고 있다

1에서 100까지 자연수를 모두 합하면 얼마일까

가우스(Gauss KF 1777～1855) 가우스는 수론 해석학 확

률론 천문학 물리학 등 다양한 분야에 뛰어난 수학자이었다 특

히 그의 수론 연구는 19세기 수학 체계의 확립에 크게 공헌하

다

피타고라스(Pythagoras 572～492 BC) 피타고라스는 음의

높이에 따른 진동수의 비가 일정함을 발견하 다

페아노(Peano G 1858～1932) 자연수의 성질을 추상화 하여

페아노의 공리계를 만들었다 이 공리계의 제 5공리가 수학 귀

납법의 원리이다

피보나치의 수열

알콰리즈미(Alkhwarizmi 780～850) 알고리즘이란 말은 세

아라비아의 수학자 알콰리즈미의 이름에서 유래된 것으로서 그가

십진법으로 나타낸 수의 계산에 용한 계산 방법에서 나온것이

다

[표6 5종 교과서에 제시된 수열 련 자료]

2 수학 Ⅰ 교과서에서의 수열

등차수열의 일반항

첫째항이 공차가 인 등차수열의 일반항 은

본 연구자가 임의로 선택한 5종 교과서 ([5][8][12][13][14]) 에서의

수열의 내 을 정리해보았다

1) 등차 수열과 등비 수열

(1) 수열의 뜻

어떤 규칙에 따라 순서 로 수를 늘어놓은 것을 수열이라 하고 그 수열을

이루는 각각의 수를 그 수열의 항이라고 한다 수열의 각 항을

앞에서부터 순서 로 제 1항 제 2항 제 3항 제 항

이라고 한다 특히 제 1항은 첫째항이라고도 한다

(2) 등차수열의 뜻

첫째항에 차례로 일정한 수를 더하여 만들어진 수열을 등차수열 이라하고

더한 일정한 수를 공차라고 한다

첫째항이 공차가 인 등차수열 에서

이므로 일반항 은 다음과 같이 나타낼 수 있다

(3) 등차수열의 합

등차수열의 합

첫째항이 공차가 끝항이 인 등차수열의 첫째항부터 제 항까지의

합 은

첫째항이 공차가 등차수열 에서 첫째항 부터 제 항 까지의 합

을 토론하기의 방법을 이용하여 구해보자

　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　①

더하는 순서를 거꾸로 하면

　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　②

①②의 양변을 각각 더하면

　　

따라서 =

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　③

이때 제 항인 를 ③에 입하여 식을 다르게 나타낼수도

있다

이상을 정리하면 다음과 같다

(4) 수열의 합과 일반항

수열 에서 첫째항부터 제 항까지의 합을 이라 하면

ge 일때 　　

there4

수열의 합과 일반항의 계

수열 의 첫째항부터 제 항까지의 합을 이라 하면

(단 ge )

등비수열의 합

일때 이다

이상을 정리하면 다음과 같다

(5) 등비수열의 뜻

첫째항부터 시작하여 각 항의 바로 앞의 항에 일정한 수를 곱하여

만들어진 수열을 등비수열이라 하고 곱하는 일정한 수를 공비라고 한다

첫째항이 공비가 인 등비수열에서 첫째항부터 제 항까지의 합 은

다음과 같이 구한다

　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　①

①의 양변에 공비 을 곱하면

　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　②

①에서 ②를 같은 변끼리 빼면

따라서 ne 일때

인 경우 ①에서

　　

there4

이상을 정리하면 다음과 같다

첫째항이 공비가 인 등비수열의 첫째항부터 제 항까지의 합 은

① ne 일때

② 일때

자연수의 거듭제곱의 합

①

　　

②

　　

③

　　

2) 여러 가지 수열

(1) 합의 기호 sum

수열 에서 첫째항부터 제 항까지의 합

　　

을 일반항과 합의 기호 sum를 써서

　　

와 같이 나타낸다

이때

는 수열 의 일반항 의 에 　　　　　　을 차례로

입하여 얻은 항의 합으로 신 다른 문자를 사용하여

등과 같이 나타낼 수 있다

(2) 기호 sum 의 성질

합의 기호 sum 의 성질에 하여 알아보자

합의 기호 sum의 성질

①

(복부호동순)

②

(단 는 상수)

③

(단 는 상수)

　　

　　 　　

　　

마찬가지로

와

에 해서도 확인해 보면 sum 의 성질을

다음과 같이 정리할 수 있다

(3) 계차수열

일반 으로 수열 에서 이웃하는 두 항의 차

　　 을 일반항으로 하는 새로운 수열

　　　　　　　을 얻을 수 있는데 이 수열 을 원래의 수열 의

계차수열이라고 한다

수열 에 하여 그 계차수열을 이라 하면

　　

계차수열과 일반항

수열 의 계차수열을 이라 할때

(단 ge )

3) 수학 귀납법

(1) 수열의 귀납 정의

첫째항과 이웃하는 두 항 사이의 계식으로 수열을 정의하는 것을 수열의

귀납 정의 라고 한다

첫째항이 공차가 인 등차수열 은 다음이 성립한다

　ge 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　①

역으로 두 계식 ①이 주어지면 이 결정되고 차례로

가 결정된다 따라서 모든 자연수 에 하여 이 정해지므로 수열 이

정의 된다

①과 같이 의 값 과 의 계식을 화식이라고 한다

(2) 수학 귀납법

수학 귀납법은 이탈리아의 페아노에 의하여 설정된 자연수에 한 공리

수학 귀납법

자연수 에 한 명제 이 모든 자연수 에 하여 성립함을 증명하

려면 다음 ⅰ ⅱ 를 증명하면 된다

ⅰ 일때 명제 이 성립한다

ⅱ 일때 명제 이 성립한다고 가정하면 일때에도

명제 이 성립한다

다음과 같은 5번째 공리에 근거를 두고 있다

자연수의 집합 의 부분집합 가

ⅰ 　isin

ⅱ 　isin 이면 isin

(여기서 는 의 후자)

인 두 조건을 만족하면 이다

4) 알고리즘과 순서도

(1) 알고리즘과 순서도

어떤 문제를 해결하기 해서는 그 처리 순서를 정해야 하는데 이와 같이

문제 해결에 필요한 처리 과정의 순서를 단계 으로 정리한 것을 알고리즘

이라 하고 알고리즘을 알기 쉽게 기호를 써서 그림으로 나타낸 것을 순서도

라고 한다 일반 으로 어떤 문제를 해결하기 한 알고리즘은 여러 가지가

있을 수 있지만 정해진 유한번의 단계를 거치면 반드시 끝나야 하고 처리

과정의 순서가 명확해야 한다 한 순서도는 각 부분을 순서 계통 으로

나타냄으로써 작업 과정을 구나 쉽게 한 에 악할 수 있도록

작성되어야 한다 순서도는 다음과 같은 기호를 사용하여 작성한다

[표7 순서도의 기호]

(2) 알고리즘과 순서도의 작성

수열과 련된 순서도를 작성할 때에는 다음과 같은 방법을 고려한다

(가) 항수를 항을 수열의 합을 로 나타낸다

(나) 제시된 항의 번호까지 루 를 용한다

(다) 제시된 항의 번호에 하여 단 기호를 이용한다

(라) 구하려는 는 를 인쇄하고 끝낸다

주의환기

집 을

한 략

지각

주의환기의

략

시청각 효과의 사용

비일상 인 내용이나 사건 제시

주의 분산의 자극 지양

탐구

주의환기의

략

능동 반응 유도

문제해결 활동의 구상 장려

신비감의 제공

다양성의

략

간결하고 다양한 교수형태 사용

일방 교수와 상호작용 교수의 혼합

교수자료의 변화 추구

목표-내용-방법이 기능 으로 통합

련성

증진을

한

략

친 성의

략

친 한 인물 혹은 사건 활용

구체 이고 친숙한 그림 활용

친 한 문 배경 지식 활용

목 지향성

의 략

실용성에 을 둔 목표 제시

목 지향 인 학습형태 활용

Ⅴ 러의 ARCS 이론과 수열 지도

1 러의 ARCS 이론

1) ARCS 이론의 특징

(1) 이론 배경

다음은 ([4])의 내용을 참고하 다

ldquo말을 물가로 데리고 갈 수는 있지만 물을 먹일 수는 없다rdquo는 속담처럼

하고자 하는 마음이 없으면 학습 효과를 기 할 수 없는 것은 당연한 사실

이다 이러한 생각의 근거에는 동기 유발의 개념이 자리 잡고 있다 동기

유발이란 어떤 활동을 진 지시 유지하려는 내 상태 는 과정을

포함한다 이 개념은 교육 심리학의 심 개념 의 하나이지만 직 찰

할 수 없는 것이기 때문에 인간의 행동을 보고 거기에서 유출해 내는 개념

이며 이에 한 정의는 바라보는 과 강조하는 내용에 따라 각기 다르

다

(2) ARCS 이론

목 의 선택 가능성 부여

필요나

동기와의

부합성 강조의

략

다양한 수 의 목 제시

학업성취 여부의 기록체제 활용

비경쟁 학습상황의 선택가능

동 상호 학습상황 제시

자신감

수립을

한 략

학습의

필요조건

제시의 략

수업의 목표와 구조의 제시

평가기 피드백의 제시

선수학습 능력의 단

시험의 조건 확인

성공의 기회

제시의 략

쉬운 것에서 어려운 것으로 과제 제시

정수 의 난이도 유지

다양한 수 의 시작 제공

무작 의 다양한 사건 제시

다양한 수 의 난이도 제공

개인

조 감

증 의 략

학습의 끝을 조 할 수 있는 기회 제시

학습속도의 조 가능

원하는 부분에로의 재빠른 회귀 가능

선택가능하고 다양한 과제의 난이도제공

노력이나 능력에 성공 귀착

만족감

증 를

한 략

자연 결과

강조의 략

연습문제를 통한 용기회 제공

후속학습상황을 통한 용기회 제공

모의상황을 통한 용기회 제공

정 결과

강조의 략

한 강화 계획의 활용

의미 있는 강화의 강조

정답을 한 보상 강조

외 보상의 사려 깊은 사용

선택 보상체제 활용

공정성

강조의 략

수업목표와 내용의 일 성 유지

연습과 시험 내용이 일치

[표8 ARCS 략] ([1])

2 ARCS 이론을 용한 수열 수업 계획서

다음은 ([1])의 ARCS 이론의 수업계획서를 참고하여 수열 단원의 수업

계획서를 작성해보았다

수업내용개 동기 략개 기타의견1 수업 기

체 으로 교사는 다양한 방법으로 학습자들

에게 수업 내용을 제시하고 학습자들에게

한 언어를 사용한다

수열의 활용에

한 학습목표

제시하기

교사는 학습자들의 련성을 높이기 해 학습

목표의 의미를 설명해 다

도표는 큰 씨를 사

용하고 핵심이 되는

단어에는 다른 색깔을

사용한다

수열의 활용의

이 과 평가

거를 제시하기

교사는 학습자들의 련성과 자신감 만족감

을 높이기 하여 이 수업이 끝난 후 그들이

무엇을 할 수 있는지에 해 알려 다

교사는 학습자들의 자신감과 만족감을 높이기

하여 성공 인 학습성취를 단할 수 있는 객

인 거들을 알려 다

교사는 학습자들의 만족감을 높이기 하여

그들이 주어진 과제를 성공 으로 해결했을 때

그에 따르는 내재 강화나 외재 보상이 있음

을 알려 다

수열의 정의와

해법에 한 지

식을 간략하게

확인하기

교사는 선수학습과의 련성을 유발하기 하

여 간략한 보조도구(인쇄매체)를 사용하여 수열

의 정의와 해법을 제시한다

교사는 소집단 토론을 실시하여 학습자들의

선수지식을 스스로 검해 보도록 한다

교사는 수열의 정의와 해법을 잘 모르는 학습

자들에게 자신감을 유발시키기 하여 개별 인

학습목표를 세우도록 한다

소집단 구성에 있어

서 주의집 이 매우

낮은 5명을 하나의 소

집단으로 구성하고

친근한 소재를 활용하

여 그들의 주의집 과

련성을 유발한다

실생활과 련

된 수열의 활용

문제들을 몇 가

지 소개하기

교사는 학습자들의 주의집 을 유지하기 해

실생활에서 연립방정식을 활용하여 해결할 수

있는 몇 가지 문제들을 제시한다

주의집 이 매우 낮은 5명의 학습자들이 수업

에 극 인 심을 보이지 않으면 교사는 그

들에게 친근한 목소리로 이름을 부르면서 수업

에 집 하라고 얘기 하고 개인 인 심을 갖

고 있음을 나타낸다

로써 활용되는 문

제들을 선택할 때 학

습자들이 알고 있거

나 그들에게 친근감

을 주는 소재가 포함

되도록 선택한다 이

때 지나치게 자심감

이 높아서 수업에 소

극 으로 참여하는 3

명의 학습자들에게는

다소 복잡한 수열의

활용 문제를 미리 제

공하여 생각할 기회를

다

수열의 활용에

한 학습자들의

이해정도를 악

하고 피드백을

제공하기

교사는 학습자들에게 자신감을 높이기 하여

소집단을 구성하여 학습자들이 수열의 활용에

해 어느 정도 이해하고 있는지를 서로 토론하

도록 한다

교사는 소집단별로 둘러보면서 자신감과 만족

감을 유발시키기 하여 학습자들간에 서로 도

움을 주도록 분 기를 형성한다

소집단별로 간략하게 토론이 끝나면 학습자

들 스스로 정리하도록 한다

토론결과 학습자들이 수열의 활용에 해 잘

못 이해하고 있다면 교사는 즉각 으로 교정

피드백을 제공한다

학습자들의 소집단

토론시간을 무 길게

소요하지 않도록 한

다 자칫하면 토론분

기가 산만해지기 쉽

고 토론이 활발하지

못한 경우에는 학습자

들의 학습의욕이 떨어

진다

2 수업 반 체 으로 교사는 다양한 방법으로 학습자

들에게 수업 내용을

제시하고 학습자들에게 개별 인 언어를 사용

한다

실생활과 련

된 수열의 활용

의 문제들을 구

체 으로 제시하

기

교사는 학습자들의 주의집 련성 자신감

만족감을 유지하기 하여 게임을 실시한다 학

습자들이 돌아가면서 임의로 다른 학습자를 지

명하면 지명받은 학습자가 실생활과 련된 수

열의 문제를 하나 제시한다 한 문제를 제

시한 학습자에게 학습태도 수를 주어 만족감

을 향상시킨다

교사는 학습자들이 제시한 여러 가지 문제들

을 칠 에 은 후 몇몇 소집단을 구성하여

그 문제들을 해결하기 해 인스토 을 하

도록 한다 이때 교사는 문제를 해결한 학습자

가 아직 해결하지 못한 학습자들을 도와주어 자

신감과 만족감을 갖도록 한다

인스토 이 진행되는 동안 교사는 교실

을 둘러보면서 학습자들이 질문이나 의문사항

에 해 극 으로 질문할 수 있는 기회를 제

공하고 그에 해 개별 인 언어를 사용하여

부드러운 목소리로 피드백을 제공한다

인스토 도 학습자들의 개인 인 능

력차가 커서 문제를 해결하는데 어려움을 겪는

학습자들에게는 그들에게 합한 개별 인 학습

이때 교사는 밝고

생동감이 넘치는 목소

리로 학습자들의 활동

을 진시킨다

교사는 학습자들이

한 자신감을 유지

하고 있는지에 해

지속 인 심을 갖고

지켜본다

이때 교사는 학습자

들의 자신감과 만족감

을 높이기 하여 그

들에게 일 성 있는

피드백을 제공한다

교사는 학습자들이

목표를 다시 선정하도록 하여 자신감을 향상시

킨다

인스토 이 끝나면 교사는 소집단 별로

한 사람씩 자발 으로 나와 문제를 풀고 풀이

과정을 체 학습자들에게 설명하도록 한다 이

때 어려운 문제를 해결한 소집단이나 학습자에

게 교사는 그들의 우수한 능력을 인정하고 내

재 인 자존심에 정 인 향을 주는 칭찬을

제공하여 자신감과 만족감을 높인다

소집단의 인스토

을 하는 동안 체

으로 문제풀이를 할

때 주의집 을 유지

하고 자신감과 만족

감의 향상을 악하기

해 끊임없이 그들과

시선을 교류하고 얼

굴표정을 찰한다

3 수업마무리 체 으로 교사는 다양한 방법으로 학습자

들에게 수업 내용을 제시하고 학습자들에게 개

별 인 언어를 사용한다

실생활과 련

된 수열의 활용

에 해 체

으로 정리 요

약하기

교사는 교탁을 탁탁 치거나 박수를 쳐서 다

소 떨어진 학습자들의 주의집 을 향상 시킨다

교사는 실생활 속에서 수열을 활용하여 해결

할 수 있는 간단하고 재미있는 문제들을 2～3개

제시하여 학습자들이 그 문제를 성공 으로 해

결함으로써 자신감과 만족감을 갖도록 한다

교사는 학습자들이 미처 생각하지 못했던 실

생활 속에서 수열과 연 된 다양한 들을 제공

하여 주의집 과 련성을 유지향상시킨다

교사는 자신감과 만족감을 향상시키기 해

학습자들에게 수업진행 에 그들이 설정한 개

인 인 학습목표에 해 얼마나 많이 달성했는

가를 스스로 검해 보라고 한다

교사는 수업 반에 수열의 문제를 잘 해결하

지 못했던 학습자들에게 그 문제를 다시 해결해

보도록 기회를 제공하여 자신감과 만족감을 높

여 다

평가에 있어서 교사는 학습자들이 그들의 성

에 해 공정하게 평가되었다고 느끼도록 일

성 있게 평가하여 그들의 자신감고 만족감을

높여 다

교사는 수열과 실생

활과의 련성에 해

학습자들이 잘 지각하

고 있는가를 알아보기

해 다소 진지한 목

소리로 질문한다

다음 학습내용

에 해 간략히

소개하기

교사는 학습자들의 흥미를 유지하기 하여

다음 학습내용에 해 호기심에 찬 목소리로 간

략하게 소개하고 수업을 끝낸다

[표9 러의 ARCS이론]

단원

단

원Ⅲ 수열

배정시간

(분)50

단

원1 등차수열과 등비수열

차시 3소단

원3) 등차수열과 등비수열의 활용

학습

목표등차수열과 등비수열을 실생활의 문제에 용할 수 있다

학습

단계학습내용

교수-학습활동 지도상의유의사

항교사활동 학생활동

도

입

15

분

인사

출석

주변을 정리 정돈

하여 수업분 기를

조성한다

인사 출석체크

를 한다

주의를 환기시킨

후 학생들과 인사

한다

출결석 여부를

확인한다

바른 자세로 주

변을 정리한 뒤

교사와 인사한다

수업 비를 한

다

교사와 학생

모두 함께 수업

분 기를 조성한

다

선수

학습

확인

지난 시간에 학습

한 등차수열과 등비

수열의 정의에 해

다시 한번 확인해본

다

지난 시간에 학습

한 등차수열과 등비

수열의 일반항을 구

하는 방법에 해 확

인학습으로 [문제1]

과 [문제2]를 풀어본

다

학생들의 자신감

을 높이기 하여

등차수열과 등비수

열의 정의를 교과

서에서 찾아본 후

큰소리로 답하게

한다

학생들이 답한

후 다시 한번 등차

수열과 등비수열에

해 간단히 설명

등차수열과 등

비수열의 정의를

교과서에 찾아본

후 큰소리로 읽는

다

교사가 등차수

열과 등비수열의

정의에 해 다시

한번 간단히 설명

할 때 부족한 부

분은 필기하며 복

습한다

교사가 정의에

해 질문할 때

학생들이 모두

책을 찾아볼수

있게 주의를

다

만일 답하

지 못하는 학생

이 있을 경우 그

여기서 인스토 (brainstorming)이라고 하는 것은 갑자기 떠오르는 멋

진 생각을 종이에 는다든가 말로 표 해 본 후 로 기록하거나 기록된

문장을 정리정돈하면서 생각을 논리화하는 방법이다 주로 어떤 계획을 세

우고자 할 때 창조 이고 기발한 아이디어가 필요할 때 학생들의 의견과

생각을 끌어내어 발 시키고자 할 때 사용하면 유리하다 ([3])

3 ARCS 이론을 용한 수업지도안

[문제1]

다음 등차수열

의 일반항과 제20항

을 구하여라

　　　　　　　

[문제2]

다음 등비수열

의 일반항과 제8항을

구하여라

　 　　　　　

한다

교사는 [문제1]

과[문제2]를 제시

한 뒤 학생들에게

직 풀어보게 한

다

등차수열과 등

비수열의 일반항

과 그 공식의 유

도과정을 기억한

다

제시된 문제를

연습장에 풀어본

다

학생에 해 개

별 인 언어를

사용하여 부드러

운 목소리로 피

드백을 제공한

다

개

30

분

학습

목표

제시

수열의 활용에

한 학습목표를 제시

한다

학습목표 학습

에 필요한 자료를

Power point 시청

각 효과를 사용하여

학생들의 주의환기

집 을 한 략

을 사용한다

학습목표를 학생

들에게 읽게 하고

학생들의 련성을

높이기 해 학습

목표의 의미를 설

명해 다

교사의 지시에

따라 큰소리로 학

습목표를 읽고 이

수업이 끝난 후

무엇을 할 수 있

는지에 해 생각

해 본다

학습목표는 큰

씨를 사용하

고 핵심이 되는

단어에는 다른

색깔을 사용한

다

탐구

학습

실생활과 련된

수열의 활용문제들을

몇 가지 소개한다

수열의 활용에

한 학습자들의 이해

정도를 악하고 피

드백을 제공한다

등차수열과 등비

수열을 이용하여

실생활의 문제를

해결할 수 있음을

학생들이 쉽게 이

해할 수 있도록 설

명한다

교사가 실생활

과 련된 수열의

활용문제들을 몇

가지 소개할 때

다른 시가 있는

지 함께 생각해

본다

문제

제시

[문제3]

한일 월드컵 축구 개

회 연도는 2002년이

다 2002년 이후 월

드컵 축구가 개최되

는 연도를 차례로 써

보고 이 규칙 로 월

드컵 축구가 개최되

면 2100년은 월드컵

축구가 개최되는 연

도인가

교과서에서 수열

단원의 수열의 활

용부분에 수록된

문제들을 풀어볼

수 있도록 시간을

다

등차수열과 등

비수열의 일반항

유도 공식을 생각

해보고 제시된 문

제를 해결해 간다

로써 활용되

는 문제를 선택

할 때 학습자들

이 알고 있거나

그들에게 친근감

을 주는 련성

증진을 한

략을 사용한다

[문제4]

컴퓨터의 주기억 장

치인 램은용

으로

용으로 가 개발

되었다 이후 램의

용 량 은

로 증가되어 왔다

의 램으로부터

번 증가된 주 메모

리는 식으로 어떻게

나타낼 수 있는가

학생들이 문제를

어렵게 느끼지 않

도록 어떤 방향으

로 해결해야 하는

지 힌트를 주어 학

생들의 자신감을

증진시킨다

소집

단

활동

5～6명으로 이 진

소집단을 구성하여

학습자들이 수열의

활용에 해 어느 정

도 이해하고 있는지

를 서로 토론하도록

한다

소집단별로 실생활

과 련된 수열의 활

용의 문제들을 구체

으로 제시한다

인 스토 이

끝나면 소집단별로

한사람씩 문제를 풀

고 풀이과정을 체

학생들에게 설명하는

시간을 갖는다

교사는 학생들의

만족감을 높이기

하여 그들이 주

어진 과제를 성공

으로 해결했을

때 그에 따르는

내재 강화나 외

재 보상이 있음

을 알려 다

어려운 문제를

해결한 소집단이나

학생에게 교사는

그들의 우수한 능

력을 인정하고 내

재 인 자존심에

정 인 향을

주는 칭찬을 제공

하여 자신감과 만

족감을 높인다

자신이 속한 소

집단 내에서 제시

된 과제에 해

열심히 토의를 하

며 문제를 해결한

학생이 아직 해결

하지 못한 학생들

을 도와주어 자신

감과 만족감을 갖

도록 한다

소집단별로 간

략하게 토론이 끝

나면 학생들 스스

로 정리해보고 자

발 으로 체 학

생들에게 설명해

보는 기회를 갖는

다

교사는 학습자

들이 한 자

신감을 유지하고

있는지에 해

지속 인 심을

갖고 지켜본다

학생들의 소집

단 토론시간을

무 길게 소요

하지 않도록 한

다

형성

평가

[문제4]

민수는 남 문의 기

와 지붕 한쪽 면이

사다리꼴 모양임을

찰하고 이 면에 있

는 기와의 개수를 알

아보고자 한다 기와

형 성 평 가 를

Power point로 제

시하고 학생들이

스스로 풀어볼 수

있도록 지도한다

학생들이 문제를

다 풀고 나면 교사

제시된 문제를

오늘 학습한 내용

을 복습하면서 풀

어보도록 한다

교사는 다소

진지한 목소리로

질문한다

의 개수를 행으로 세

었더니 용마루 쪽에

가장 가까운 행에는

40개 처마 쪽에 가

장 가까운 행에는 72

개 다 용마루부터

처마까지 행의 개수

가 17이라고 할 때

민수가 찰한 지붕

한쪽 면의 기와의 개

수는 모두 몇 개인

가

는 학생들에게

답할수 있도록 하

고 학생들이 학습

목표에 해 얼마

나 많이 달성했는

가를 스스로 검

해 보라고 한다

형성평가의 답

을 교사의 질문에

끝난 뒤 큰소리로

답하여 자신감

과 만족감을 갖도

록 한다

학생들에게 개

별 인 언어를

사용한다

정

리

5

분

학습

정리

차시

고

학습 자료를 이용

하여 수열의 실생활

의 활용 단원의 수업

내용을 확인한다

과제를 제시한다

다음 차시인 「여

러 가지 수열」 단원

에 한 고를 한

다

수업 내용을 정

리하고 과제를 제

시한다

학생들의 흥미를

유지하기 하여

다음 학습내용에

해 호기심에 찬

목소리로 간략하게

소개하고 수업을

끝낸다

오늘 학습한 내

용을 정리한다

과제를 고 과

제 해결에 한

내용을 머릿속에

형성해 본다

다음 차시에 배

울 내용을 학습

자료 화면으로 확

인해본다

수업내용에

해 학생과 교사

모두가 만족하고

있는지 확인하고

공정한 평가를

한다

[표10 수업지도안]

4 조사 문제지 분석

고등학교 수학 Ⅰ 의 수열단원의 효율 인 지도방안의 연구를 하여 원

종고등학교 2학년 학생 100명을 상으로 조사 문제지 조사를 하 다 학

생들의 수학에 한 심과 수학에서 가장 어려워하는 부분을 알아볼 수

있었고 어떤 방식의 수업을 선호하는지도 알아볼 수 있었다

⑴ 수학에 얼마나 심이 있나요

① 매우 많다 ② 많다 ③ 보통이다 ④ 다 ⑤ 매우 다

수학과목에 매우 많은 심을 보이는 학생은 2로 매우 낮은 편이며

심이 있는 학생은 43로 학생의 반정도 다 수학과목에 심이 거

나 없는 학생은 54정도로 수학은 어려운 과목이라는 인식 때문에 심

이 은 것 같다

수학을 공부하는 가장 큰 이유에는75의 학생들이 학입시를 해서라

는 문항을 선택했다 기타 이유에는 교과서에 있어서 어쩔수 없이 한다

는 학생과 진리탐구를 해서라는 학생도 있었다

[그림6 조사문제지

(1)번 막 그래 ]

⑵ 수학을 공부하는 가장 큰 이유가 뭐라고 생각하나요

① 학입시를 해서

② 평소 수학에 흥미가 있어서

③ 실제 생활에 쓰기 해서

④ 주변에서 해야한다고 하니까

⑤ 기타 이유 (이유를 간단히 어주세요)

앞에 (1)번문항에서 수학에 심이 은 학생이 반 정도인것에 반해

수학공부가 필요하다고 느낀학생이 75정도로 수학공부가 필요하단건

느끼지만 어려운 과목이라는 인식이 부분인것 같다 수학과목도 재

는 과목이란 인식을 학생들이 가질수 있도록 노력해야겠다

[그림7 조사문제지

(2)번 막 그래 ]

⑶ 수학공부의 필요성에 해 어떻게 생각하나요

① 매우 필요하다 ② 조 필요하다 ③ 보통이다

④ 필요 없다 ⑤ 필요 없다

[그림8 조사문제지

(3)번 막 그래 ]

⑷ 수학을 공부하면서 가장 어려운 부분은 무엇이나요

① 복잡한 계산 과정 ② 외워야할 많은 공식들

③ 응용문제엔 어떤 공식을 용해야할지 ④ 다 어렵다

학생들이 수학과목이 어렵다고 느끼는 이유는 응용문제에 어떤 공식을

용해야 하는지를 몰라서 라는 답이 58로 가장 많았다 그 외에도

계산과정이 복잡하거나 외워야할 공식들이 많아서라는 답도 있었다

이해 주의 수업을 하고 단순한 공식의 암기 주의 수업을 탈피해야겠

다

수학수업을 하는데 효과 인 방법에는 선생님 주의 강의식 수업과 학

생 개인별 수업이 78로 가장 많았다 개념이나 공식유도과정을 설명할

땐 서를 하며 강의식 수업을 하고 문제풀이땐 학생들 개인별로 첨삭

지도를 하는게 효율 인것 같다

⑤ 기타이유 (이유를 간단히 어주세요)

[그림9 조사문제지

(4)번 막 그래 ]

⑸ 수학 수업을 하는 데 어떤 방법이 가장 효과 이라고 생각하나요

① 선생님 주의 강의식 수업

② 학생 개인별 수업

③ 모둠별 활동 수업

④ 기타 교재나 과제를 통한 수업

⑤ 기타(이유를 간단히 어주세요)

[그림10 조사문제지

(5)번 막 그래 ]

Ⅵ 결론

본 논문에서 지 까지 고등학교 2학년 학생들이 수학 Ⅰ 교육과정을 학습하

는데 가장 어려워하는 수열에 해 살펴보았다 먼 개정 교육과정에 명시

된 수학교육의 목표와 임의로 선택된 5종 교과서에서 수열 단원의 학습목표

를 살펴보았고 수열의 역사 배경과 실생활에 응용된 들을 정리해보았

다 한 5종 교과서에서 제시되어 있는 수열의 학습내용을 소단원 별로 정

리해보았다 임의로 선택된 5종 교과서안의 수열의 학습내용을 분석해보면

서 몇 몇 교과서에서 여러 가지 수열 단원에서 군 수열과 멱 수에 한 언

이 없거나 미약함을 알 수 있었다 본 연구자가 보기에 군 수열과 멱 수

부분은 실생활에 활용될 는 극히 작아 보이지만 학생들이 꼭 학습하고 넘

어가야 수열에 한 완벽한 학습이 될 수 있을 것이라 여겼는데 교과서에서

제시된 내용들로는 학생들이 충분히 이해할 수 없을 것 같았다

그리고 교과서에 제시된 문항의 수 이 입시와 동 떨어진다는 문제 이 있

었다 교과서에 제시된 문제가 부족하고 수 이 낮다 보니 실제로 학교에서

수업 때 보충 린트 물로 수업을 진행하고 간기말고사 때에도 교과서

외에서 많은 문제를 출제하는 모습을 볼 수 있었다 때문에 학생들이 교과서

보다는 문제집 주의 공부를 할 수 밖에 없는 듯 보 다 교과서가 학생들

과 교사의 요구에 부합할 수 있도록 새로운 내용들과 문제를 싣도록 해야

할 것이다

학생들이 수열 단원의 학습을 할 때 좀 더 효과 인 학습이 될 수 있도록

리의 동기설계이론 (ARCS 이론) 을 바탕으로 하여 수업 계획서와 1차시

의 수업 지도안을 작성해 보았다 한 작성한 수업 지도안으로 부천시 소재

의 한 고등학교에서 실제 수업을 진행해 보았을 때 학생들이 좀 더 수열에

해 친숙하게 느끼고 쉽게 이해하는 모습을 볼 수 있었다 본 연구자가

직 교사가 아니라 여러 반을 상으로 수열 단원의 모든 차시 수업에 용

하여 수업을 해볼 수 없었단 이 아쉬움으로 남는다

이와 같이 학생들의 주의 련성자신감만족감 증진을 한 수업을 함

으로써 학생들의 수학 학습 성취도의 향상을 기 할 수 있을 것이다 한

개발된 자료를 실제 수업에 용하는 경우의 효율성에 한 후속 연구가 체

계 이고 지속 으로 이루어져야 할 것이다

참 고 문 헌

[1] 구평회 META 구평회 교육학 2007

[2] 교육인 자원부 고시 제2007 - 79호[별책8] 2007

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[4] 변 계 교수학습 이론의 이해 학지사 1999

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[6] 이 연 자연의 수학 열쇠 피보나치수열 로네시스 2006

[7] 이진화 지수로그함수의 지도에 한 연구 서강 학교 교육 학원 석사 학

논문 2006

[8] 임재훈 외 10인 고등학교 수학 Ⅰ (주)두산 2002

[9] 장 숙 고등학교 수학 Ⅰ 교과서의 통계단원 분석 실생활에의 용 경희

학교 교육 학원 석사 학 논문 2006

[10] 조해식 행렬 수열 수업에서의 수학사 도입에 한 연구 울산 학교 석사

학 논문 1998

[11] 차 자 수열 학습의 흥미 유발을 한 자료 연구 경성 학교 교육 학원 석

사 학 논문 2004

[12] 최 외 5인 고등학교 수학 Ⅰ 앙교육진흥연구소 2006

[13] 최상기 외 5인 고등학교 수학 Ⅰ (주)고려출 2002

[14] 최용 신 성 고등학교 수학 Ⅰ 천재교육(주) 2002

[15] 황혜정 외 5인 수학교육학 신론 문음사 2002

• Ⅰ 서론
• • 1 연구의 필요성과 목적
  • 2 연구의 제한점
  • • Ⅱ 개정 교육과정에서 명시된 수학Ⅰ교육의 목표
    • • 1 수학Ⅰ교육의 목표
      • 2 고등학교 수학 Ⅰ 수열 단원의 학습목표
      • • Ⅲ 수열의 역사적 배경 및 응용
        • • 1 수열의 역사
          • 2 수열 단원이 실생활에 응용된 사례
          • • Ⅳ 고등학교 수학교육과정에서의 수열
            • • 1 수학Ⅰ 교과서 분석
              • 2 수학Ⅰ 교과서에서의 수열
              • • Ⅴ 켈러의 ARCS 이론과 수열 지도
                • • 1 켈러의 ARCS 이론
                  • 2 ARCS 이론을 적용한 수열 수업 계획서
                  • 3 ARCS 이론을 적용한 수업 지도안
                  • 4 조사지 분석
                  • • Ⅵ 결론
                    • 참고문헌

목 차

국문 록

ABSTRACT

Ⅰ 서론

1 연구의 필요성과 목 1

2 연구의 제한 2

Ⅱ 개정 교육과정에서 명시된 수학Ⅰ교육의 목표

1 수학Ⅰ교육의 목표4

2 고등학교 수학 Ⅰ 수열 단원의 학습목표7

Ⅲ 수열의 역사 배경 응용

1 수열의 역사9

2 수열 단원이 실생활에 응용된 사례10

Ⅳ 고등학교 수학교육과정에서의 수열

1 수학Ⅰ 교과서 분석17

2 수학Ⅰ 교과서에서의 수열21

Ⅴ 러의 ARCS 이론과 수열 지도

1 러의 ARCS 이론30

2 ARCS 이론을 용한 수열 수업 계획서 31

3 ARCS 이론을 용한 수업 지도안35

4 조사지 분석 38

Ⅵ 결론 43

참고문헌 45

표 목 차

1 [표1 수학Ⅰ교과서 내용체계] 6

2 [표2 5종 교과서 수학 Ⅰ 수열 단원의 학습목표] 7

3 [표3 단리법] 12

4 [표4 복리법] 13

5 [표5 수학 Ⅰ 5종교과서의 차례] 17

6 [표6 5종 교과서에 제시된 수열 련 자료] 19

7 [표7 순서도의 기호]29

8 [표8 ARCS 략]30

9 [표9 러의 ARCS이론]32

10 [표10 수업지도안] 35

그림 목차

1 [그림1 피보나치수열] 10

2 [그림2 하노이의 탑]11

3 [그림3 피라미드 황 비]14

4 [그림4 피아노건반황 비율] 15

5 [그림5 인체 황 비율]16

6 [그림6 조사문제지 (1)번 막 그래 ]39

7 [그림7 조사문제지 (2)번 막 그래 ]40

8 [그림8 조사문제지 (3)번 막 그래 ]40

9 [그림9 조사문제지 (4)번 막 그래 ]41

10 [그림10 조사문제지 (5)번 막 그래 ]42

국문 록

수학은 오래된 학문으로 사회생활을 하는데 직 으로 소용이 되지 않는

수학 지식도 타학문을 공부하는 데에는 필요하다 그러나 부분의 사람

들은 간단한 연산을 제외하고는 수학의 필요성을 느끼지 못하고 있다 게

다가 학생들은 수학을 입시 과목 의 하나로만 여겨 내용에 한 이해보

다는 문제를 공식에 용시키는 정도로써 수학에 한 심을 보이고 있는

형편이다 이런 상 때문에 학생들이 수학을 어려운 과목으로만 여기고

기피하는 모습을 많이 보이고 있다

본 논문에서는 행 고등학교 수학과 교육과정에서 수열 단원을 교과서별

로 분석해 보았고 수열 단원의 각 소단원의 내용을 정리해 보았다 그리고

고등학교 2학년 인문계열 학생들이 수학 Ⅰ 교육과정을 학습할 때 가장 어

려워하는 수열 단원을 보다 효율 으로 지도하기 한 방안을 연구해보았

다

이를 하여 본 연구자가 교생실습을 했던 경기도 부천시 소재의 원종고

등학교 2학년 인문계학생 100여명을 상으로 수학의 학습에서 가장 어려

운 부분과 그 이유를 알아보는 조사 문제지 검사를 실시하 으며 이를 토

로 수열의 효율 인 지도방안에 해 좀 더 구체 으로 연구해 볼 수 있

었다

러(Keller)의 ARCS 이론의 주의(Attention) 련성(Relevance) 자신감

(Confidence) 만족감(Satisfaction) 을 토 로 하여 수열 단원의 수업계획

서와 수업지도안을 작성해보았고 지도안 로 수업을 실시해보았다

지도안 로 수업을 실시 해 보았을 때 본 연구자가 매 수업 끝난 후 실시

한 Test에서 그 차시 수업 때보다 좋은 수를 낸 것으로 보아 학생들

이 수열 단원의 학습 효과가 조 은 향상된 것으로 보여진다

ABSTRACT

Mathematical knowledge has been used to study other fields even though it

does not have a direct relation with them However most of the people think

mathematics is not essential to life except for simple calculations Moreover

because students think of mathematics just as a required subject for an

admission in a university they are not interested in math itself but interested

in solving mathematical problems by merely applying given formulas Due to

these tendencies many students consider that mathematics is beyond their

abilities and seem to try to avoid it if possible

The present thesis analyzes and compares textbooks concerning sequences in

the present curriculum of highschool mathematics Above all the author tries

to find effective ways to teach sequences which are difficult for highschool

students especially for those who plan to major in humanities to learn

To achieve these objectives the author asked a hundred students in the

second-grade class at Wonjong highschool in Buchon-si Kyonggi-do to fill

out questionnaires concerning most difficult parts in learning mathematics and

ways to improve learning We have been able to specifically construct effective

teaching plans for sequences based on these questionnaires We have written

out a guidance plan and a teaching plan for the chapter on sequences based

on Kellers ARCS Theory- Attention Relevance Confidence Satisfaction

It is well known that the effectiveness of study is higher if students are

taught with the teaching plan

Ⅰ 서 론

1 연구의 필요성과 목

오늘날의 수학교육에 있어서의 최 당면 문제는 수학의 기 인 교육

기반을 어떻게 회복하느냐 하는 것이다 이를 해서는 lsquo수학을 어떤 이유

로 가르쳐야 하는가rsquo 는 lsquo학생들이 왜 수학을 알아야 하는가rsquo에 한 보

다 근원 인 논의가 이루어져야 한다 lsquo수학을 왜 가르치고 배우는가rsquo 라는

질문에 부분은 수학을 배우면 논리 으로 사고하게 되고 과학 인 생활

을 하는 데 도움이 된다고 말하지만 우리는 이러한 질문에 하여 보다

체계 으로 생각해 보아야 한다 수학을 가르치는 교사는 학생을 지도할

만큼의 충분한 수학 지식을 가지는 것도 요하지만 수학이 갖는 가치

에 하여 단순히 학문 입장만이 아닌 lsquo교육 rsquo 입장에서의 가치 을 갖

추고 있어야 한다는 것이다 ([15])

하지만 지 의 학교수학교육의 황은 학 입시를 한 기계식의 문제풀

이와 암기 주의 수업이 이루어지고 있는 실정이다 때문에 학생들은 수학

에 한 기 개념을 알지 못한 채 수박 겉핥기식의 학습을 하게 되고 수

학에 흥미를 잃고 수학을 포기하는 학생이 늘어가고 있다

고등학교 수학Ⅰ 교육과정의 요한 단계인 수열에 해 학생들은 특히

이해하기 어려워한다 한 수열에 한 선수 학습이 제 로 이루어지지

않았을 경우 수열을 배우고 나서 바로 다음 단원에 학습하는 수열의 극한

단원을 이해하는데 어려움을 겪게 되기 때문에 수열의 제 로 된 학습은

학생들에게 상당히 요한 문제라고 할 수 있다

학생들이 수열 단원을 어려워하는 데에는 많은 이유가 있겠지만 무엇보다

도 행 교과서의 수열 단원의 구성에 부족한 부분이 많기 때문인 것 같

다 요한 단원임에도 불구하고 개념 설명이나 시 문항이 많이 부족하

고 군 수열이나 멱 수에 한 설명은 실려 있지 않은 교과서도 많았다

한 지 의 딱딱한 강의식 수업에서 벗어나 학생들의 자신감과 만족감을

증진시킬 수 있는 수업을 해 교사나 학생 모두 노력해야한다

이 논문에서는 개정 교육과정에 의하여 다루어지는 고등학교 수학 Ⅰ 교

육과정 내용 수열을 택하여 각 교과서에서 수열 단원의 구성과 수열에

한 역사 배경과 실생활에 활용된 를 알아보고 학생들로 하여 수

열의 원리와 개념의 이해에 도움이 될 수 있는 지도방안을 러의 ARCS

이론을 바탕으로 하여 작성해보고자 한다

2 연구의 제한

재 고등학교에서 채택하고 있는 12여종의 수학 Ⅰ 교과서 부를 분

석하지 않고 임의로 선택된 5종 교과서를 분석하 기 때문에 5종이 12종을

모두 표한다고 볼 수 없다

본 논문은 러의 ARCS 이론을 바탕으로 한 수열 지도가 수열 단원의

학습에 효율 일 것이라고 여겼으나 1개 고등학교에서만 수업시연을 해보

았기 때문에 실제 인 검증작업을 거치지 못하 다 따라서 연구 결과에

한 한계가 있을 수 있다

러의 ARCS 이론을 바탕으로 한 수열 학습지도안으로 수업을 진행할

때 조별학습을 하게 되는데 이때 능숙한 교사가 아니라면 학생들의 주의

가 산만해지고 수업 분 기가 흐트러지는 것을 정리하고 완만한 수업을 진

행하기가 힘이 들것이라 생각된다

본 연구자가 부천시 소재의 원종고등학교 학생 100명을 상으로 한 조

사문제지 검사가 수열 단원의 학습에 국한된 것이 아니라 고등학교 수학

학습의 일반 인 내용을 담았기 때문에 수열 단원의 효율 인 지도방안을

한 연구에 직 인 도움을 주지 못했다

본 연구자가 제안한 교수 방법의 효과를 검증하지 못했다

Ⅱ 개정 교육과정에서 명시된

수학Ⅰ 교육의 목표

1 수학Ⅰ교육의 목표

교육인 자원부에 고시된 개정 교육과정([2])에서의 고등학교 수학Ⅰ과정

교육목표는 다음과 같다

1)성 격

lsquo수학 Ⅰrsquo의 학습을 통하여 수학 개념 원리 법칙을 이해하고 수학 사

고 능력을 키워 합리 이고 창의 으로 문제를 해결하는 능력과 태도를 기

를 수 있다

lsquo수학 Ⅰrsquo의 교수학습에서는 고등학교 1학년까지의 수학에서 습득한 수학

개념 원리 법칙을 토 로 하여 새로운 개념에 근해야 하므로 기본

인 수학 지식을 확인하고 활용하면서 발 인 학습이 이루어지도록 한

다 이 과정에서 여러 가지 상을 수학 으로 해석하고 조직하는 활동 구

체 인 사실에서 진 으로 추상화로 나아가는 과정 직 이나 구체 인

조작 활동에 바탕을 둔 통찰 등의 수학 경험을 통하여 형식이나 계를

발견하는 것이 요하다 한 수학 문제를 해결하는 과정에서 문제를 명

확히 이해하고 합리 인 해결 계획을 세워 실행하며 반성을 통하여 풀이 과

정을 검하고 다양하게 활용하는 능력을 기르도록 한다 수학 지식과 기

능을 활용하여 여러 가지 문제를 해결해 으로써 수학의 필요성과 유용성

을 인식하고 수학 학습의 즐거움을 경험해 으로써 수학에 한 정 인

태도를 갖게 한다

역 내 용

행렬과 그래

행렬과 그 연산

연립일차방정식과 행렬

그래 와 행렬

지수함수와 로그함수

지수

지수함수와 그 그래

지수방정식과 지수부등식

로그

2) 목 표

수학 개념 원리 법칙을 이해하고 수학 으로 사고하고 의사소통하는

능력을 신장하여 여러 가지 문제를 합리 이고 창의 으로 해결하며 수학

의 실용성을 인식하여 수학에 한 정 태도를 갖는다

(1) 수학Ⅰ의 학습을 통해 얻는 여러 가지 장

(가) 행렬과 그래 지수함수와 로그함수 수열 수열의 극한에 련된 개

념 원리 법칙과 이들 사이의 계를 이해하고 이를 활용하는 능력을 기른

다 여러 가지 상을 찰 분석 조직하여 수학 으로 나타내는 능력을 기

른다

(나) 수학을 통하여 여러 가지 문제를 합리 으로 해결하는 능력과 수학

으로 사고하고 의사소통하는 능력을 기른다

(다) 수학의 가치를 이해하여 수학에 한 심과 흥미를 지속 으로 가지

며 수학에 한 정 태도를 기른다

3) 내 용

⑴ 내용체계

로그함수와 그 그래

로그방정식과 로그부등식

수열

등차수열과 등비수열

여러 가지 수열

수학 귀납법

알고리즘과 순서도

수열의 극한무한수열의 극한

무한 수

[표1 수학Ⅰ교과서 내용체계]

4) 평 가

(1) 평가

(가) 수학 학습의 평가는 학생의 인지 역과 정의 역에 한 유용한

정보를 제공하여 학생 개개인의 수학 학습과 인 인 성장을 돕고 교사의

교수 활동과 수업 방법을 개선하는 데 활용한다

(나) 수학 학습의 평가에서는 학생의 인지 발달 수 을 고려하고 교육과정에

제시된 내용의 수 과 범 를 수한다

(다) 수학 학습의 평가는 수업의 개 과정에 따라 진단 평가 형성 평가 총

평가 등의 한 평가 방식을 택하여 실시하되 지속 인 평가를 통하여

다양한 정보를 수집하고 수업에 활용한다

(라) 수학 학습의 평가에서는 획일 인 방법을 지양하고 지필 평가 찰 면

담 자기 평가 등의 다양한 평가 방법을 통해 수학 교수ㆍ학습을 향상시킬

수 있게 한다

(마) 인지 역에 한 평가에서는 학생의 수학 사고력 신장을 하여 결

과뿐만 아니라 과정도 시하여 평가하되 수학의 교수학습에서 반 으

교과서 학습목표

한교과서

(주)

등차수열 등비수열의 뜻을 알고 일반항 첫째항부터 제 n항까지

의 합을 구할 수 있다

sum의 뜻과 성질을 이해하고 이를 활용하여 여러 가지 수열에

한 문제를 해결할 수 있다

수학 귀납법의 원리를 이해하고 이를 활용하여 자연수 n에

하여 참인 명제를 증명할 수 있다

알고리즘과 순서도의 뜻을 알고 간단한 문제 해결을 한 알고

리즘을 작성하여 순서도를 만들 수 있다

(주) 천재교육

등차수열과 등비수열의 뜻을 알고 일반항과 첫째항부터 제 n항

까지의 합을 구할 수 있다

기호 sum의 뜻과 성질을 이해하고 이를 활용할 수 있다

여러 가지 수열의 일반항과 첫째항부터 제 n항까지의 합을 구

할 수 있다

여러 가지 수열에 한 문제를 해결할 수 있다

수학 귀납법의 원리를 이해하고 이를 이용하여 자연수 n에

하여 참인 명제를 증명할 수 있다

로 요구되는 사항을 강조한다

(바) 정의 역에 한 평가에서는 학생의 수학에 한 정 태도를 신장

시키기 하여 학생의 수학에 한 바람직한 가치 이나 수학 학습에 한

심 흥미 자신감 등의 정도를 악한다

(사) 수학 학습의 평가에서는 평가하는 학습 내용에 따라 학생에게 계산기

컴퓨터와 같은 공학 도구와 다양한 교구를 이용할 수 있는 기회를 제공할

수 있다

2 고등학교 수학 1 수열단원의 학습목표

수학 Ⅰ교과서에서의 수열단원의 학습목표를 5종 교과서를 비교하여 살펴

보고자한다 임의로 선택된 5종 교과서([5][8][12][13][14])의 학습목표는

다음과 같다

알고리즘과 순서도의 뜻을 알고 그 필요성을 이해할 수 있다

간단한 문제 해결을 한 알고리즘을 작성하여 순서도를 만들

수 있다

앙교육진흥

연구소

수열을 이해하고 이를 활용하여 여러 가지 문제를 해결할 수 있

다

수학 귀납법의 원리를 이해하고 이것을 이용하여 자연수 n에

하여 참인 명제를 증명할 수 있다

알고리즘과 순서도의 뜻을 알고 간단한 문제 해결에 사용할 수

있다

(주) 고려출

등차수열의 뜻을 알고일반항 첫째항부터 제 항까지의 합을 구

할 수 있다

등비수열의 뜻을 알고일반항 첫째항부터 제 항까지의 합을 구

할 수 있다

sum의 뜻과 성질을 이해하고 이를 활용할 수 있다

여러 가지 수열의 일반항 첫째항부터 제 항까지의 합을 구할

수 있다

여러 가지 수열에 한 문제를 해결할 수 있다

수학 귀납법의 원리를 성명하고 수학 귀납법을 이용하여 자연

수 에 하여 참인 명제를 증명할 수 있다

알고리즘과 순서도의 뜻을 알고 그 필요성을 알 수 있고 간단

한 문제 해결을 한 알고리즘을 작성하여 순서도를 만들 수 있다

(주) 두산

등차수열과 등비수열의 뜻을 알고 일반항과 그 합을 구할 수 있

다

기호sum의 뜻과 성질을 이해하고 이를 이용하여 여러 가지 수열

에 한 문제를 해결할 수 있다

수학 귀납법의 원리를 이해하고 이를 이용하여 자연수 에

하여 참인 명제를 증명할 수 있다

알고리즘과 순서도의 뜻을 알고 간단한 문제 해결을 한 알고

리즘을 작성하여 순서도를 만들 수 있다

[표2 5종 교과서 수학 Ⅰ 수열 단원의 학습목표]

Ⅲ 수열의 역사 배경 응용

1 수열의 역사

수학의 역사에서 가장 흥미로운 수열 하나가 피보나치수열이다 피보나

치수열은 수학이론 뿐만 아니라 자연계 건축 술 등에 다양하게 표 된

다

그 에 오나르도가 발표한《산반서》에 소개된 피보나치수열에 한 문

제는 다음과 같다 ([6]) ldquo어떤 사람이 토끼 한 을 우리에 넣었다 이 토

끼 한 은 한 달에 새로운 토끼 한 을 낳고 낳은 토끼들도 한 달이 지

나면 다시 한 의 토끼를 낳는다 그 다면 1년이 지나면 몇 의 토끼가

있을까rdquo

첫 달엔 처음에 있던 토끼 한 만 있다 두 번째 달이 되면 토끼 한 을

낳아 두 의 토끼가 된다 세 번째 달이 되면 처음에 있던 토끼 한 이

한 의 토끼를 낳아 세 의 토끼가 된다 네 번째 달이 되면 첫

달과 두 번째 달의 토끼 두 이 각 한 의 토끼를 낳아 총 다섯 의

토끼가 있게 된다 이런 식으로 토끼를 낳아가면 그 수는 다음과 같은 규

칙을 갖는다 　　　　　　　　　　 이런 규칙을 갖는 피보나치수열의

일반항을 이라고 하면 　 　 　 　 가 된다

그런데 이 수열을 자연에서도 쉽게 찾아볼 수 있다 식물의 기에서 뻗어

나온 잎을 생각해 보면 기의 에 있는 잎 하나에서 수직으로 에 있

는 잎까지 도달할 때까지 기를 따라 올라가면서 잎의 개수를 세면 그

수들은 일반 으로 피보나치수열을 이룬다

[그림1 피보나치수열]

2 수열 단원이 실생활에 응용된 사례

1) 하노이의 탑

인도 갠지스 강 유역 라만교의 사원에 있었던 하노이의 탑은 라만

탑이라고도 부르는데 이 탑에 얽힌 문제의 내용은 다음과 같다 다음은

([10])의 내용을 참고하 다

[베나 스에는 세계의 심이 있고 그 곳에는 아주 큰 사원이 있으며 이

사원에는 높이 정도 되는 다이아몬드 바늘 3개가 있다 그 에서 한

바늘에는 천지 창조 때에 신이 구멍이 뚫린 64장의 순 으로 된 원 을 크

기가 큰 것부터 아래에 놓이도록 하여 차례로 쌓아 놓았다 그리고 신은

승려들에게 밤낮으로 쉬지 않고 원 을 한 장씩 옮겨 빈 다이아몬드 바늘

어느 한 곳으로 모두 옮겨 놓도록 명령하 다

ldquo원 은 한 번에 한 개씩만 옮겨야 하고 로 작은 원 에 큰 원

을 올려놓을 수 없다 단 64개의 원 의 크기는 모두 다르다 이 말을 충

실히 실행하고 한 순간도 게을리 하지 마라 만일 게을리 하는 일이 있으

면 그 때는 이 사원도 탑도 모두 무 지고 세계는 종말을 고하게 된다 게

을리 하는 일이 없으면 그 들이 원 을 부 옮길 때까지 세상은 태평할

것이다rdquo]

승려들은 과제를 수행하기 해 밤낮으로 매우 열심히 작업을 했다 그 작

업을 끝내기 해서 승려들은 몇 번을 움직여야 하고 얼마나 많은 시간을

사용해야만 했을까

[그림2 하노이의 탑]

원 이 1개가 있으면 최소 이동 횟수는 1번 원 이 2개가 있을 때 최소

이동 횟수는 3번이고 원 이 3개가 있으면 최소 이동 횟수는 7번이다

원 이 4개가 있으면 최소 이동 횟수는 15번이다 이런 식으로 계속 해나

가다 보면 　　　　　　　 라는 수열을 얻는다 이것은 각 항의 차이가

계차수열을 이루는데 이것은 다음과 같다 　　　　　　일반항을 으로 두

고 구해보면 　 　times 　 　 이다 처음 값을 으로 두고 일반항을

구해보면 　

이 된다

만약 그 설 로 따라가서 수도승들이 쉬지 않고 디스크를 1 에 한번

씩 옮겼다면 최소의 이동횟수는 이 되고 18446744073709551616

가 걸리고 략 5854억4200만년이 필요하다는 것을 알 수 있다

원 이자 원리합계(=원 +이자)

1년 원 원 원

2년 원 원 원

3년 원 원 원

년 원 100원 원

2) 등차수열의 응용

(1) 단리법

단리법은 처음 원 의 이자에 해당하는 비율만큼 계속 되는 계산법이

다 1000원을 했다면 1년이 지날 때마다 10 의 이자가 붙는다고 하

자 1년이 지났을 때 10 의 이자가 붙으면 100원 불어나므로 1000 +

1000 times 01 = 1100(원) 이다 그리고 1년2년 년이 지날 때 마다

값을 측정해보면 다음과 같다

[표3 단리법]

최종 으로 원 을 라 하고 연이율을 이라고 한다면

결국 년이 되었을 때 단리법으로 표 하면 그 때의 총 합 는

이 된다

3) 등비수열의 응용

(1) 복리법

복리법은 원 에 이자가 된 원리합계를 기 으로 이자를 계산하는 방

법이다 원을 했다면 1년이 지날 때마다 의 이자가 붙는다고

원 이자원리합계

(=원 +이자)

1년 원 원 원

2년 원 원 원

3년 원 원 원

년 원 times원 원

하자 1년이 지났을 때 의 이자가 붙으면 원 불어나므로

times (원) 이다 그리고 1년2년 년이 지날 때 마

다 값을 측정해보면 다음과 같다

[표4 복리법]

최종 으로 원 을 라 하고 연이율을 이라고 한다면

따라서 년이 지나면 이 된다 그때의 총 합 는 이

다

4) 황 비율

에서 언 했던 피보나치수열 　　　　　　　　　　에서 번째 항

을 번째 항으로 나 어 보자

　 　

　 　

　 　

　 　

　 　

　 　 이런 식으로 계속 해나가다 보면

이 수가 061803 에 근사하게 된다 고 그리스인들은 이 수에 lsquo황 비

율rsquo라는 이름을 붙 다 이것은 인간이 보기에 가장 아름다운 비율이라 하

여 여러 분야에서 사용되고 있다

(1) 황 비의 이용

약 100년 페히 라는 독일의 심리학자는 수백 명의 사람들에게 여러

종류의 직사각형을 보여 다음 마음에 드는 것을 선택하게 하는 실험을

했다 그런데 그 결과 부분의 사람이 황 직사각형을 선택했다고 발표했

다 ([6])

실험에 의하면 황 비는 사람들이 가장 편안하고 아름답게 느끼는 비율로

알려져 있으며 이런 이유 때문에 옛 부터 건축과 미술 음악 등에서 자주

이용되어 왔다

(가) 건축

기원 2000년경의 이집트 《린드 피루스》에 보면 기원 4700년에 기

자의 피라미드를 건설할 때 이 수를 lsquo신성한 비율rsquo로 사용했다고 한다

의 측량 기술로 측정해보니 피라미드 의 심에서 의 모서리까지

그리고 경사면까지 거의 정확하게 0618이었다 ([6])

피라미드는 인류역사를 통해서 사람들을 가장 매료시켜온 건축물 의 하

나이다 그 규모의 장 함에서도 사람을 압도하는 것이 있지만 그 형태 자

체가 고도한 수학을 배경으로 한 것으로서 우리가 알고 있는 5천년 의 지

식수 으로서는 불가사의한 것 의 하나이다

[그림3 피라미드 황 비]

(나) 음악에서의 활용

음악에서 한 옥타 는 [도 미 솔 라 시 도] 의 8음계로 이루어져 있

다 피아노의 건반은 한 옥타 를 13개의 음으로 나 어 표 하고 있으며

이 하얀 건반이 8개 검은 건반이 5개 있고 하얀 건반은 3개와 5개 검

은 건반은 2개와 3개로 구분되어 있다 여기에서 나타나는 2 3 5 8 13

은 에서 보인 피보나치수열이다

[그림4 피아노건반황 비율]

(2) 인체에서의 황 비율

황 분할은 우리의 인체 속에서도 찾아볼 수 있다 인간의 신체가 이 비율

에 의해서 분할되어 있으며 이것이 아름다운 몸의 보편 기 이 되고 있

다 아래 그림은 Le Corbusier가 찾아낸 이상 인간의 각 신체부 의 비율

이다 이것은 오나르도 다빈치의 인체비율에 한 그림에서도 찾아 볼

수 있다 이 뿐만 아니라 인체의 각 부 들도 그 자체 황 분할을 이루

고 있다

[그림5 인체 황 비율]

앞에서 제시한 황 비율을 사용한 시들 이외에도 우리 주변에 아주 많

이 있다

교과서 차례

한교과서(주)

Ⅳ 수열

1 등차수열과 등비수열

2 여러 가지 수열

3 수학 귀납법

4 알고리즘과 순서도

(주) 천재교육

Ⅲ 수열

1 등차수열과 등비수열

2 여러 가지 수열

3 수학 귀납법

4 알고리즘과 순서도

Ⅳ 고등학교 수학교육과정에서의 수열

1 수학Ⅰ 교과서 분석

고등학교 2학년이 학습하는 lsquo수학 Ⅰrsquo은 국민 공통 기본 교육 기간의 10단계

수학을 이수한 학생들이 보다 문 인 진로를 고려하고 보다 높은 수 의

수학을 학습하기 해 설정된 심화 선택 과목이며 lsquo수학 Ⅱrsquo를 학습하기 한

단계이다 lsquo수학 Ⅰrsquo의 내용은 수 역에서 지수와 로그 행렬 수열이

실려있고 해석 역에서 수열의 극한 지수로그 함수가 수록되어 있으며

확률과 통계 역에서 순열과 조합 확률 통계 등으로 구성되어 있다 특히

수 역에 해당하는 수열은 여러 가지 수열에 한 성질을 이해하고 그것

을 일반화 하는 과정에 을 두어 지도하도록 하고 있으며 계차수열은 등

차수열이나 등비수열이 되는 경우만 다룬다 ([2])

1) 수학 Ⅰ 5종 교과서의 차례 단원 배열

앙교육진흥연구소

Ⅲ 수열

1 등차수열과 등비수열

2 여러 가지 수열

3 수학 귀납법

4 알고리즘과 순서도

(주) 고려출

Ⅲ 수열

1 등차수열과 등비수열

2 여러 가지 수열

3 수학 귀납법과 순서도

(주) 두산

Ⅲ 수열

1 등차수열과 등비수열

2 여러 가지 수열

3 수학 귀납법

4 알고리즘과 순서도

[표5 수학 Ⅰ 5종교과서의 차례]

의 표에서 본 것과 같이 임의로 선택된 5종의 고등학교 수학 Ⅰ 교과서의

차례는 거의 비슷한 양상을 보 다 부분의 교과서에선 1단원 지수와 로

그 2단원 행렬 3단원 수열 순의 순서를 보 고 한교과서외의 몇몇

교과서에선 1단원 지수와 로그 2단원 지수로그함수 3단원 행렬 4단원 수

열 순의 순서를 보 다 수열단원의 세부 단원 차례는 1 등차수열과

등비수열 2 여러 가지 수열 3 수학 귀납법 4 알고리즘과 순서도 는

34 단원을 한 단원으로 해서 3 수학 귀납법과 순서도의 순서로 다루는

은 비슷했다

2) 교과서에 제시된 수열 련 자료

한교과서

(주)

피타고라스(Pythagoras 572～492 BC) 피타고라스의 정리

로 잘 알려져 있고 소수나 완 수의 규칙성에 해서도 많은 연

구를 하 다

바스카라(Bhaskara A 1114～1185) 인도의 수학자로

임을 증명하 고 피타고라스의 정리를 기하학

으로 증명하 다

피보나치(Fibonacci 1180～1250) 이탈리아의 수학자로 자연

속에서 많이 볼 수 있는 피보나치 수열을 발견하 다

스칼(Pascal B 1623～1662 ) 랑스의 수학자로 수학

귀납법을 발견하 고 사 기하학을 창시하 다

푸리에(Fourier J B J 1768～1830) 랑스의 수학자로 음양

학 학 기역학 열역학 등의 연구에 매우 요한 푸리에

수를 연구하 다

가우스(Gauss K F 1777～1855) 수학 통계학 등의 다방

면에 많은 업 을 이루었고 역사상 가장 한 수학자 의 한

사람으로 불리워지고 있다

비주얼 베이직(Visual BASIC)

을 이용한 Programming

하노이의 탑

(주)

천재교육

가우스(Gauss K F 1777～1855) 독일의 수학자인 가우스는

수학의 각 방면에 많은 업 을 남겨 수학의 아버지라 일컬

어지고 있다 그는 계산의 천재로 알려져 있는데 이에 한 유명

한 일화가 있다 등학교 때 부터 까지의 합을 구하는 문

제에서 다른 학생들이 직 하나하나 계산하는 동안 가우스는

　 　 　　　　 이 모두 임을 이용하여

times 이라는 답을 이끌어 내었다 이러한 방식은 수열

의 합을 계산할 때 사용하는 방식 의 하나이다

하노이의 탑을 이용한 수열의 귀납 정의

임의로 선택된 5종 교과서들의 수열단원에서 학생들의 수열 단원의 이해를

돕기 해 수록된 수학자들에 한 설명과 기타 자료들은 다음과 같다

도미노 이론 - 수학 귀납법의 다른 표

피보나치수열 - 토끼 수 증가 문제

앙교육

진흥연구소

삼각수 사각수 문제

피보나치(Fibonacci 1180～1250)

가우스(Gauss K F 1777～1855)

음악과 수학 - 작곡가 바흐(Bach)의 요 업 으로 평균율을

들 수 있다 평균율이란 1옥타 즉 lsquo도rsquo와 lsquo도rsquo의 사이를 개의

반음으로 나 고 처음 lsquo도rsquo의 진동수를 이라 하면 그에 일정한

수를 더해 제곱하여 옥타 의 lsquo도rsquo의 진동수를 얻는 것을

말한다 수식으로는 로 나타낼 수 있고 이 등식을

만족하는 의 값이 평균율이다

(주)

고려출

티티우스-보데 수열 -

수열 　　　　　　　　의 각 항에 각각 를 더한 후

으로 나 수들을 나열한 것 　　　　　　　 를

티티우스-보데 수열이라 한다 이수열의 각 항은 태양에서 행성

까지의 실제 거리와 비슷한 것으로 1766년 티티우스(Titius)라는

독일의 천문학자가 발견하 다

제갈량의 군 에 한 을 통한 등비수열의 합

피보나치 수열

휴먼 로 - 휴먼 로 의 제작은 복잡한 여러 가지 알고리즘

과 순서도에 바탕을 두고 있다 알고리즘의 요성은 자계산기

이 부터 실제 으로 존재했다 그 로 최 공약수 계산에 한

유클리드의 알고리즘이 있다 한 가우스와 같은 부분의 수학

자들은 역사 으로 많은 양을 처리하는 효율 인 알고리즘에

심을 가졌다 이러한 알고리즘을 보다 효율 으로 이용하여 재

의 컴퓨터 시 를 구축했다

(주) 두산

피보나치(Fibonacci 1180～1250)는 이탈리아의 피사에서 태

어난 수학자이다 부친이 상업에 종사하 기 때문에 피보나치는

이집트 시칠리아 그리스 시리아 등 다양한 지역을 여행할 수

있었고 이 때 다양한 수학을 하게 되었다 1202년 피사로 돌아

온 피보나치는 「산반서(Liber abaci)」를 술하 다 1228년에

는 「산반서 2 」을 술하 는데 이 책에서 정수와 분수의 계

산 제곱근과 세제곱근 일차와 이차방정식의 풀이 등을 다루었다

고 한다 특히 이 책에 나오는 「피보나치의 수열」은 매우 흥미

로운 수열로 요한 성질을 많이 가지고 있다

1에서 100까지 자연수를 모두 합하면 얼마일까

가우스(Gauss KF 1777～1855) 가우스는 수론 해석학 확

률론 천문학 물리학 등 다양한 분야에 뛰어난 수학자이었다 특

히 그의 수론 연구는 19세기 수학 체계의 확립에 크게 공헌하

다

피타고라스(Pythagoras 572～492 BC) 피타고라스는 음의

높이에 따른 진동수의 비가 일정함을 발견하 다

페아노(Peano G 1858～1932) 자연수의 성질을 추상화 하여

페아노의 공리계를 만들었다 이 공리계의 제 5공리가 수학 귀

납법의 원리이다

피보나치의 수열

알콰리즈미(Alkhwarizmi 780～850) 알고리즘이란 말은 세

아라비아의 수학자 알콰리즈미의 이름에서 유래된 것으로서 그가

십진법으로 나타낸 수의 계산에 용한 계산 방법에서 나온것이

다

[표6 5종 교과서에 제시된 수열 련 자료]

2 수학 Ⅰ 교과서에서의 수열

등차수열의 일반항

첫째항이 공차가 인 등차수열의 일반항 은

본 연구자가 임의로 선택한 5종 교과서 ([5][8][12][13][14]) 에서의

수열의 내 을 정리해보았다

1) 등차 수열과 등비 수열

(1) 수열의 뜻

어떤 규칙에 따라 순서 로 수를 늘어놓은 것을 수열이라 하고 그 수열을

이루는 각각의 수를 그 수열의 항이라고 한다 수열의 각 항을

앞에서부터 순서 로 제 1항 제 2항 제 3항 제 항

이라고 한다 특히 제 1항은 첫째항이라고도 한다

(2) 등차수열의 뜻

첫째항에 차례로 일정한 수를 더하여 만들어진 수열을 등차수열 이라하고

더한 일정한 수를 공차라고 한다

첫째항이 공차가 인 등차수열 에서

이므로 일반항 은 다음과 같이 나타낼 수 있다

(3) 등차수열의 합

등차수열의 합

첫째항이 공차가 끝항이 인 등차수열의 첫째항부터 제 항까지의

합 은

첫째항이 공차가 등차수열 에서 첫째항 부터 제 항 까지의 합

을 토론하기의 방법을 이용하여 구해보자

　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　①

더하는 순서를 거꾸로 하면

　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　②

①②의 양변을 각각 더하면

　　

따라서 =

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　③

이때 제 항인 를 ③에 입하여 식을 다르게 나타낼수도

있다

이상을 정리하면 다음과 같다

(4) 수열의 합과 일반항

수열 에서 첫째항부터 제 항까지의 합을 이라 하면

ge 일때 　　

there4

수열의 합과 일반항의 계

수열 의 첫째항부터 제 항까지의 합을 이라 하면

(단 ge )

등비수열의 합

일때 이다

이상을 정리하면 다음과 같다

(5) 등비수열의 뜻

첫째항부터 시작하여 각 항의 바로 앞의 항에 일정한 수를 곱하여

만들어진 수열을 등비수열이라 하고 곱하는 일정한 수를 공비라고 한다

첫째항이 공비가 인 등비수열에서 첫째항부터 제 항까지의 합 은

다음과 같이 구한다

　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　①

①의 양변에 공비 을 곱하면

　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　②

①에서 ②를 같은 변끼리 빼면

따라서 ne 일때

인 경우 ①에서

　　

there4

이상을 정리하면 다음과 같다

첫째항이 공비가 인 등비수열의 첫째항부터 제 항까지의 합 은

① ne 일때

② 일때

자연수의 거듭제곱의 합

①

　　

②

　　

③

　　

2) 여러 가지 수열

(1) 합의 기호 sum

수열 에서 첫째항부터 제 항까지의 합

　　

을 일반항과 합의 기호 sum를 써서

　　

와 같이 나타낸다

이때

는 수열 의 일반항 의 에 　　　　　　을 차례로

입하여 얻은 항의 합으로 신 다른 문자를 사용하여

등과 같이 나타낼 수 있다

(2) 기호 sum 의 성질

합의 기호 sum 의 성질에 하여 알아보자

합의 기호 sum의 성질

①

(복부호동순)

②

(단 는 상수)

③

(단 는 상수)

　　

　　 　　

　　

마찬가지로

와

에 해서도 확인해 보면 sum 의 성질을

다음과 같이 정리할 수 있다

(3) 계차수열

일반 으로 수열 에서 이웃하는 두 항의 차

　　 을 일반항으로 하는 새로운 수열

　　　　　　　을 얻을 수 있는데 이 수열 을 원래의 수열 의

계차수열이라고 한다

수열 에 하여 그 계차수열을 이라 하면

　　

계차수열과 일반항

수열 의 계차수열을 이라 할때

(단 ge )

3) 수학 귀납법

(1) 수열의 귀납 정의

첫째항과 이웃하는 두 항 사이의 계식으로 수열을 정의하는 것을 수열의

귀납 정의 라고 한다

첫째항이 공차가 인 등차수열 은 다음이 성립한다

　ge 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　①

역으로 두 계식 ①이 주어지면 이 결정되고 차례로

가 결정된다 따라서 모든 자연수 에 하여 이 정해지므로 수열 이

정의 된다

①과 같이 의 값 과 의 계식을 화식이라고 한다

(2) 수학 귀납법

수학 귀납법은 이탈리아의 페아노에 의하여 설정된 자연수에 한 공리

수학 귀납법

자연수 에 한 명제 이 모든 자연수 에 하여 성립함을 증명하

려면 다음 ⅰ ⅱ 를 증명하면 된다

ⅰ 일때 명제 이 성립한다

ⅱ 일때 명제 이 성립한다고 가정하면 일때에도

명제 이 성립한다

다음과 같은 5번째 공리에 근거를 두고 있다

자연수의 집합 의 부분집합 가

ⅰ 　isin

ⅱ 　isin 이면 isin

(여기서 는 의 후자)

인 두 조건을 만족하면 이다

4) 알고리즘과 순서도

(1) 알고리즘과 순서도

어떤 문제를 해결하기 해서는 그 처리 순서를 정해야 하는데 이와 같이

문제 해결에 필요한 처리 과정의 순서를 단계 으로 정리한 것을 알고리즘

이라 하고 알고리즘을 알기 쉽게 기호를 써서 그림으로 나타낸 것을 순서도

라고 한다 일반 으로 어떤 문제를 해결하기 한 알고리즘은 여러 가지가

있을 수 있지만 정해진 유한번의 단계를 거치면 반드시 끝나야 하고 처리

과정의 순서가 명확해야 한다 한 순서도는 각 부분을 순서 계통 으로

나타냄으로써 작업 과정을 구나 쉽게 한 에 악할 수 있도록

작성되어야 한다 순서도는 다음과 같은 기호를 사용하여 작성한다

[표7 순서도의 기호]

(2) 알고리즘과 순서도의 작성

수열과 련된 순서도를 작성할 때에는 다음과 같은 방법을 고려한다

(가) 항수를 항을 수열의 합을 로 나타낸다

(나) 제시된 항의 번호까지 루 를 용한다

(다) 제시된 항의 번호에 하여 단 기호를 이용한다

(라) 구하려는 는 를 인쇄하고 끝낸다

주의환기

집 을

한 략

지각

주의환기의

략

시청각 효과의 사용

비일상 인 내용이나 사건 제시

주의 분산의 자극 지양

탐구

주의환기의

략

능동 반응 유도

문제해결 활동의 구상 장려

신비감의 제공

다양성의

략

간결하고 다양한 교수형태 사용

일방 교수와 상호작용 교수의 혼합

교수자료의 변화 추구

목표-내용-방법이 기능 으로 통합

련성

증진을

한

략

친 성의

략

친 한 인물 혹은 사건 활용

구체 이고 친숙한 그림 활용

친 한 문 배경 지식 활용

목 지향성

의 략

실용성에 을 둔 목표 제시

목 지향 인 학습형태 활용

Ⅴ 러의 ARCS 이론과 수열 지도

1 러의 ARCS 이론

1) ARCS 이론의 특징

(1) 이론 배경

다음은 ([4])의 내용을 참고하 다

ldquo말을 물가로 데리고 갈 수는 있지만 물을 먹일 수는 없다rdquo는 속담처럼

하고자 하는 마음이 없으면 학습 효과를 기 할 수 없는 것은 당연한 사실

이다 이러한 생각의 근거에는 동기 유발의 개념이 자리 잡고 있다 동기

유발이란 어떤 활동을 진 지시 유지하려는 내 상태 는 과정을

포함한다 이 개념은 교육 심리학의 심 개념 의 하나이지만 직 찰

할 수 없는 것이기 때문에 인간의 행동을 보고 거기에서 유출해 내는 개념

이며 이에 한 정의는 바라보는 과 강조하는 내용에 따라 각기 다르

다

(2) ARCS 이론

목 의 선택 가능성 부여

필요나

동기와의

부합성 강조의

략

다양한 수 의 목 제시

학업성취 여부의 기록체제 활용

비경쟁 학습상황의 선택가능

동 상호 학습상황 제시

자신감

수립을

한 략

학습의

필요조건

제시의 략

수업의 목표와 구조의 제시

평가기 피드백의 제시

선수학습 능력의 단

시험의 조건 확인

성공의 기회

제시의 략

쉬운 것에서 어려운 것으로 과제 제시

정수 의 난이도 유지

다양한 수 의 시작 제공

무작 의 다양한 사건 제시

다양한 수 의 난이도 제공

개인

조 감

증 의 략

학습의 끝을 조 할 수 있는 기회 제시

학습속도의 조 가능

원하는 부분에로의 재빠른 회귀 가능

선택가능하고 다양한 과제의 난이도제공

노력이나 능력에 성공 귀착

만족감

증 를

한 략

자연 결과

강조의 략

연습문제를 통한 용기회 제공

후속학습상황을 통한 용기회 제공

모의상황을 통한 용기회 제공

정 결과

강조의 략

한 강화 계획의 활용

의미 있는 강화의 강조

정답을 한 보상 강조

외 보상의 사려 깊은 사용

선택 보상체제 활용

공정성

강조의 략

수업목표와 내용의 일 성 유지

연습과 시험 내용이 일치

[표8 ARCS 략] ([1])

2 ARCS 이론을 용한 수열 수업 계획서

다음은 ([1])의 ARCS 이론의 수업계획서를 참고하여 수열 단원의 수업

계획서를 작성해보았다

수업내용개 동기 략개 기타의견1 수업 기

체 으로 교사는 다양한 방법으로 학습자들

에게 수업 내용을 제시하고 학습자들에게

한 언어를 사용한다

수열의 활용에

한 학습목표

제시하기

교사는 학습자들의 련성을 높이기 해 학습

목표의 의미를 설명해 다

도표는 큰 씨를 사

용하고 핵심이 되는

단어에는 다른 색깔을

사용한다

수열의 활용의

이 과 평가

거를 제시하기

교사는 학습자들의 련성과 자신감 만족감

을 높이기 하여 이 수업이 끝난 후 그들이

무엇을 할 수 있는지에 해 알려 다

교사는 학습자들의 자신감과 만족감을 높이기

하여 성공 인 학습성취를 단할 수 있는 객

인 거들을 알려 다

교사는 학습자들의 만족감을 높이기 하여

그들이 주어진 과제를 성공 으로 해결했을 때

그에 따르는 내재 강화나 외재 보상이 있음

을 알려 다

수열의 정의와

해법에 한 지

식을 간략하게

확인하기

교사는 선수학습과의 련성을 유발하기 하

여 간략한 보조도구(인쇄매체)를 사용하여 수열

의 정의와 해법을 제시한다

교사는 소집단 토론을 실시하여 학습자들의

선수지식을 스스로 검해 보도록 한다

교사는 수열의 정의와 해법을 잘 모르는 학습

자들에게 자신감을 유발시키기 하여 개별 인

학습목표를 세우도록 한다

소집단 구성에 있어

서 주의집 이 매우

낮은 5명을 하나의 소

집단으로 구성하고

친근한 소재를 활용하

여 그들의 주의집 과

련성을 유발한다

실생활과 련

된 수열의 활용

문제들을 몇 가

지 소개하기

교사는 학습자들의 주의집 을 유지하기 해

실생활에서 연립방정식을 활용하여 해결할 수

있는 몇 가지 문제들을 제시한다

주의집 이 매우 낮은 5명의 학습자들이 수업

에 극 인 심을 보이지 않으면 교사는 그

들에게 친근한 목소리로 이름을 부르면서 수업

에 집 하라고 얘기 하고 개인 인 심을 갖

고 있음을 나타낸다

로써 활용되는 문

제들을 선택할 때 학

습자들이 알고 있거

나 그들에게 친근감

을 주는 소재가 포함

되도록 선택한다 이

때 지나치게 자심감

이 높아서 수업에 소

극 으로 참여하는 3

명의 학습자들에게는

다소 복잡한 수열의

활용 문제를 미리 제

공하여 생각할 기회를

다

수열의 활용에

한 학습자들의

이해정도를 악

하고 피드백을

제공하기

교사는 학습자들에게 자신감을 높이기 하여

소집단을 구성하여 학습자들이 수열의 활용에

해 어느 정도 이해하고 있는지를 서로 토론하

도록 한다

교사는 소집단별로 둘러보면서 자신감과 만족

감을 유발시키기 하여 학습자들간에 서로 도

움을 주도록 분 기를 형성한다

소집단별로 간략하게 토론이 끝나면 학습자

들 스스로 정리하도록 한다

토론결과 학습자들이 수열의 활용에 해 잘

못 이해하고 있다면 교사는 즉각 으로 교정

피드백을 제공한다

학습자들의 소집단

토론시간을 무 길게

소요하지 않도록 한

다 자칫하면 토론분

기가 산만해지기 쉽

고 토론이 활발하지

못한 경우에는 학습자

들의 학습의욕이 떨어

진다

2 수업 반 체 으로 교사는 다양한 방법으로 학습자

들에게 수업 내용을

제시하고 학습자들에게 개별 인 언어를 사용

한다

실생활과 련

된 수열의 활용

의 문제들을 구

체 으로 제시하

기

교사는 학습자들의 주의집 련성 자신감

만족감을 유지하기 하여 게임을 실시한다 학

습자들이 돌아가면서 임의로 다른 학습자를 지

명하면 지명받은 학습자가 실생활과 련된 수

열의 문제를 하나 제시한다 한 문제를 제

시한 학습자에게 학습태도 수를 주어 만족감

을 향상시킨다

교사는 학습자들이 제시한 여러 가지 문제들

을 칠 에 은 후 몇몇 소집단을 구성하여

그 문제들을 해결하기 해 인스토 을 하

도록 한다 이때 교사는 문제를 해결한 학습자

가 아직 해결하지 못한 학습자들을 도와주어 자

신감과 만족감을 갖도록 한다

인스토 이 진행되는 동안 교사는 교실

을 둘러보면서 학습자들이 질문이나 의문사항

에 해 극 으로 질문할 수 있는 기회를 제

공하고 그에 해 개별 인 언어를 사용하여

부드러운 목소리로 피드백을 제공한다

인스토 도 학습자들의 개인 인 능

력차가 커서 문제를 해결하는데 어려움을 겪는

학습자들에게는 그들에게 합한 개별 인 학습

이때 교사는 밝고

생동감이 넘치는 목소

리로 학습자들의 활동

을 진시킨다

교사는 학습자들이

한 자신감을 유지

하고 있는지에 해

지속 인 심을 갖고

지켜본다

이때 교사는 학습자

들의 자신감과 만족감

을 높이기 하여 그

들에게 일 성 있는

피드백을 제공한다

교사는 학습자들이

목표를 다시 선정하도록 하여 자신감을 향상시

킨다

인스토 이 끝나면 교사는 소집단 별로

한 사람씩 자발 으로 나와 문제를 풀고 풀이

과정을 체 학습자들에게 설명하도록 한다 이

때 어려운 문제를 해결한 소집단이나 학습자에

게 교사는 그들의 우수한 능력을 인정하고 내

재 인 자존심에 정 인 향을 주는 칭찬을

제공하여 자신감과 만족감을 높인다

소집단의 인스토

을 하는 동안 체

으로 문제풀이를 할

때 주의집 을 유지

하고 자신감과 만족

감의 향상을 악하기

해 끊임없이 그들과

시선을 교류하고 얼

굴표정을 찰한다

3 수업마무리 체 으로 교사는 다양한 방법으로 학습자

들에게 수업 내용을 제시하고 학습자들에게 개

별 인 언어를 사용한다

실생활과 련

된 수열의 활용

에 해 체

으로 정리 요

약하기

교사는 교탁을 탁탁 치거나 박수를 쳐서 다

소 떨어진 학습자들의 주의집 을 향상 시킨다

교사는 실생활 속에서 수열을 활용하여 해결

할 수 있는 간단하고 재미있는 문제들을 2～3개

제시하여 학습자들이 그 문제를 성공 으로 해

결함으로써 자신감과 만족감을 갖도록 한다

교사는 학습자들이 미처 생각하지 못했던 실

생활 속에서 수열과 연 된 다양한 들을 제공

하여 주의집 과 련성을 유지향상시킨다

교사는 자신감과 만족감을 향상시키기 해

학습자들에게 수업진행 에 그들이 설정한 개

인 인 학습목표에 해 얼마나 많이 달성했는

가를 스스로 검해 보라고 한다

교사는 수업 반에 수열의 문제를 잘 해결하

지 못했던 학습자들에게 그 문제를 다시 해결해

보도록 기회를 제공하여 자신감과 만족감을 높

여 다

평가에 있어서 교사는 학습자들이 그들의 성

에 해 공정하게 평가되었다고 느끼도록 일

성 있게 평가하여 그들의 자신감고 만족감을

높여 다

교사는 수열과 실생

활과의 련성에 해

학습자들이 잘 지각하

고 있는가를 알아보기

해 다소 진지한 목

소리로 질문한다

다음 학습내용

에 해 간략히

소개하기

교사는 학습자들의 흥미를 유지하기 하여

다음 학습내용에 해 호기심에 찬 목소리로 간

략하게 소개하고 수업을 끝낸다

[표9 러의 ARCS이론]

단원

단

원Ⅲ 수열

배정시간

(분)50

단

원1 등차수열과 등비수열

차시 3소단

원3) 등차수열과 등비수열의 활용

학습

목표등차수열과 등비수열을 실생활의 문제에 용할 수 있다

학습

단계학습내용

교수-학습활동 지도상의유의사

항교사활동 학생활동

도

입

15

분

인사

출석

주변을 정리 정돈

하여 수업분 기를

조성한다

인사 출석체크

를 한다

주의를 환기시킨

후 학생들과 인사

한다

출결석 여부를

확인한다

바른 자세로 주

변을 정리한 뒤

교사와 인사한다

수업 비를 한

다

교사와 학생

모두 함께 수업

분 기를 조성한

다

선수

학습

확인

지난 시간에 학습

한 등차수열과 등비

수열의 정의에 해

다시 한번 확인해본

다

지난 시간에 학습

한 등차수열과 등비

수열의 일반항을 구

하는 방법에 해 확

인학습으로 [문제1]

과 [문제2]를 풀어본

다

학생들의 자신감

을 높이기 하여

등차수열과 등비수

열의 정의를 교과

서에서 찾아본 후

큰소리로 답하게

한다

학생들이 답한

후 다시 한번 등차

수열과 등비수열에

해 간단히 설명

등차수열과 등

비수열의 정의를

교과서에 찾아본

후 큰소리로 읽는

다

교사가 등차수

열과 등비수열의

정의에 해 다시

한번 간단히 설명

할 때 부족한 부

분은 필기하며 복

습한다

교사가 정의에

해 질문할 때

학생들이 모두

책을 찾아볼수

있게 주의를

다

만일 답하

지 못하는 학생

이 있을 경우 그

여기서 인스토 (brainstorming)이라고 하는 것은 갑자기 떠오르는 멋

진 생각을 종이에 는다든가 말로 표 해 본 후 로 기록하거나 기록된

문장을 정리정돈하면서 생각을 논리화하는 방법이다 주로 어떤 계획을 세

우고자 할 때 창조 이고 기발한 아이디어가 필요할 때 학생들의 의견과

생각을 끌어내어 발 시키고자 할 때 사용하면 유리하다 ([3])

3 ARCS 이론을 용한 수업지도안

[문제1]

다음 등차수열

의 일반항과 제20항

을 구하여라

　　　　　　　

[문제2]

다음 등비수열

의 일반항과 제8항을

구하여라

　 　　　　　

한다

교사는 [문제1]

과[문제2]를 제시

한 뒤 학생들에게

직 풀어보게 한

다

등차수열과 등

비수열의 일반항

과 그 공식의 유

도과정을 기억한

다

제시된 문제를

연습장에 풀어본

다

학생에 해 개

별 인 언어를

사용하여 부드러

운 목소리로 피

드백을 제공한

다

개

30

분

학습

목표

제시

수열의 활용에

한 학습목표를 제시

한다

학습목표 학습

에 필요한 자료를

Power point 시청

각 효과를 사용하여

학생들의 주의환기

집 을 한 략

을 사용한다

학습목표를 학생

들에게 읽게 하고

학생들의 련성을

높이기 해 학습

목표의 의미를 설

명해 다

교사의 지시에

따라 큰소리로 학

습목표를 읽고 이

수업이 끝난 후

무엇을 할 수 있

는지에 해 생각

해 본다

학습목표는 큰

씨를 사용하

고 핵심이 되는

단어에는 다른

색깔을 사용한

다

탐구

학습

실생활과 련된

수열의 활용문제들을

몇 가지 소개한다

수열의 활용에

한 학습자들의 이해

정도를 악하고 피

드백을 제공한다

등차수열과 등비

수열을 이용하여

실생활의 문제를

해결할 수 있음을

학생들이 쉽게 이

해할 수 있도록 설

명한다

교사가 실생활

과 련된 수열의

활용문제들을 몇

가지 소개할 때

다른 시가 있는

지 함께 생각해

본다

문제

제시

[문제3]

한일 월드컵 축구 개

회 연도는 2002년이

다 2002년 이후 월

드컵 축구가 개최되

는 연도를 차례로 써

보고 이 규칙 로 월

드컵 축구가 개최되

면 2100년은 월드컵

축구가 개최되는 연

도인가

교과서에서 수열

단원의 수열의 활

용부분에 수록된

문제들을 풀어볼

수 있도록 시간을

다

등차수열과 등

비수열의 일반항

유도 공식을 생각

해보고 제시된 문

제를 해결해 간다

로써 활용되

는 문제를 선택

할 때 학습자들

이 알고 있거나

그들에게 친근감

을 주는 련성

증진을 한

략을 사용한다

[문제4]

컴퓨터의 주기억 장

치인 램은용

으로

용으로 가 개발

되었다 이후 램의

용 량 은

로 증가되어 왔다

의 램으로부터

번 증가된 주 메모

리는 식으로 어떻게

나타낼 수 있는가

학생들이 문제를

어렵게 느끼지 않

도록 어떤 방향으

로 해결해야 하는

지 힌트를 주어 학

생들의 자신감을

증진시킨다

소집

단

활동

5～6명으로 이 진

소집단을 구성하여

학습자들이 수열의

활용에 해 어느 정

도 이해하고 있는지

를 서로 토론하도록

한다

소집단별로 실생활

과 련된 수열의 활

용의 문제들을 구체

으로 제시한다

인 스토 이

끝나면 소집단별로

한사람씩 문제를 풀

고 풀이과정을 체

학생들에게 설명하는

시간을 갖는다

교사는 학생들의

만족감을 높이기

하여 그들이 주

어진 과제를 성공

으로 해결했을

때 그에 따르는

내재 강화나 외

재 보상이 있음

을 알려 다

어려운 문제를

해결한 소집단이나

학생에게 교사는

그들의 우수한 능

력을 인정하고 내

재 인 자존심에

정 인 향을

주는 칭찬을 제공

하여 자신감과 만

족감을 높인다

자신이 속한 소

집단 내에서 제시

된 과제에 해

열심히 토의를 하

며 문제를 해결한

학생이 아직 해결

하지 못한 학생들

을 도와주어 자신

감과 만족감을 갖

도록 한다

소집단별로 간

략하게 토론이 끝

나면 학생들 스스

로 정리해보고 자

발 으로 체 학

생들에게 설명해

보는 기회를 갖는

다

교사는 학습자

들이 한 자

신감을 유지하고

있는지에 해

지속 인 심을

갖고 지켜본다

학생들의 소집

단 토론시간을

무 길게 소요

하지 않도록 한

다

형성

평가

[문제4]

민수는 남 문의 기

와 지붕 한쪽 면이

사다리꼴 모양임을

찰하고 이 면에 있

는 기와의 개수를 알

아보고자 한다 기와

형 성 평 가 를

Power point로 제

시하고 학생들이

스스로 풀어볼 수

있도록 지도한다

학생들이 문제를

다 풀고 나면 교사

제시된 문제를

오늘 학습한 내용

을 복습하면서 풀

어보도록 한다

교사는 다소

진지한 목소리로

질문한다

의 개수를 행으로 세

었더니 용마루 쪽에

가장 가까운 행에는

40개 처마 쪽에 가

장 가까운 행에는 72

개 다 용마루부터

처마까지 행의 개수

가 17이라고 할 때

민수가 찰한 지붕

한쪽 면의 기와의 개

수는 모두 몇 개인

가

는 학생들에게

답할수 있도록 하

고 학생들이 학습

목표에 해 얼마

나 많이 달성했는

가를 스스로 검

해 보라고 한다

형성평가의 답

을 교사의 질문에

끝난 뒤 큰소리로

답하여 자신감

과 만족감을 갖도

록 한다

학생들에게 개

별 인 언어를

사용한다

정

리

5

분

학습

정리

차시

고

학습 자료를 이용

하여 수열의 실생활

의 활용 단원의 수업

내용을 확인한다

과제를 제시한다

다음 차시인 「여

러 가지 수열」 단원

에 한 고를 한

다

수업 내용을 정

리하고 과제를 제

시한다

학생들의 흥미를

유지하기 하여

다음 학습내용에

해 호기심에 찬

목소리로 간략하게

소개하고 수업을

끝낸다

오늘 학습한 내

용을 정리한다

과제를 고 과

제 해결에 한

내용을 머릿속에

형성해 본다

다음 차시에 배

울 내용을 학습

자료 화면으로 확

인해본다

수업내용에

해 학생과 교사

모두가 만족하고

있는지 확인하고

공정한 평가를

한다

[표10 수업지도안]

4 조사 문제지 분석

고등학교 수학 Ⅰ 의 수열단원의 효율 인 지도방안의 연구를 하여 원

종고등학교 2학년 학생 100명을 상으로 조사 문제지 조사를 하 다 학

생들의 수학에 한 심과 수학에서 가장 어려워하는 부분을 알아볼 수

있었고 어떤 방식의 수업을 선호하는지도 알아볼 수 있었다

⑴ 수학에 얼마나 심이 있나요

① 매우 많다 ② 많다 ③ 보통이다 ④ 다 ⑤ 매우 다

수학과목에 매우 많은 심을 보이는 학생은 2로 매우 낮은 편이며

심이 있는 학생은 43로 학생의 반정도 다 수학과목에 심이 거

나 없는 학생은 54정도로 수학은 어려운 과목이라는 인식 때문에 심

이 은 것 같다

수학을 공부하는 가장 큰 이유에는75의 학생들이 학입시를 해서라

는 문항을 선택했다 기타 이유에는 교과서에 있어서 어쩔수 없이 한다

는 학생과 진리탐구를 해서라는 학생도 있었다

[그림6 조사문제지

(1)번 막 그래 ]

⑵ 수학을 공부하는 가장 큰 이유가 뭐라고 생각하나요

① 학입시를 해서

② 평소 수학에 흥미가 있어서

③ 실제 생활에 쓰기 해서

④ 주변에서 해야한다고 하니까

⑤ 기타 이유 (이유를 간단히 어주세요)

앞에 (1)번문항에서 수학에 심이 은 학생이 반 정도인것에 반해

수학공부가 필요하다고 느낀학생이 75정도로 수학공부가 필요하단건

느끼지만 어려운 과목이라는 인식이 부분인것 같다 수학과목도 재

는 과목이란 인식을 학생들이 가질수 있도록 노력해야겠다

[그림7 조사문제지

(2)번 막 그래 ]

⑶ 수학공부의 필요성에 해 어떻게 생각하나요

① 매우 필요하다 ② 조 필요하다 ③ 보통이다

④ 필요 없다 ⑤ 필요 없다

[그림8 조사문제지

(3)번 막 그래 ]

⑷ 수학을 공부하면서 가장 어려운 부분은 무엇이나요

① 복잡한 계산 과정 ② 외워야할 많은 공식들

③ 응용문제엔 어떤 공식을 용해야할지 ④ 다 어렵다

학생들이 수학과목이 어렵다고 느끼는 이유는 응용문제에 어떤 공식을

용해야 하는지를 몰라서 라는 답이 58로 가장 많았다 그 외에도

계산과정이 복잡하거나 외워야할 공식들이 많아서라는 답도 있었다

이해 주의 수업을 하고 단순한 공식의 암기 주의 수업을 탈피해야겠

다

수학수업을 하는데 효과 인 방법에는 선생님 주의 강의식 수업과 학

생 개인별 수업이 78로 가장 많았다 개념이나 공식유도과정을 설명할

땐 서를 하며 강의식 수업을 하고 문제풀이땐 학생들 개인별로 첨삭

지도를 하는게 효율 인것 같다

⑤ 기타이유 (이유를 간단히 어주세요)

[그림9 조사문제지

(4)번 막 그래 ]

⑸ 수학 수업을 하는 데 어떤 방법이 가장 효과 이라고 생각하나요

① 선생님 주의 강의식 수업

② 학생 개인별 수업

③ 모둠별 활동 수업

④ 기타 교재나 과제를 통한 수업

⑤ 기타(이유를 간단히 어주세요)

[그림10 조사문제지

(5)번 막 그래 ]

Ⅵ 결론

본 논문에서 지 까지 고등학교 2학년 학생들이 수학 Ⅰ 교육과정을 학습하

는데 가장 어려워하는 수열에 해 살펴보았다 먼 개정 교육과정에 명시

된 수학교육의 목표와 임의로 선택된 5종 교과서에서 수열 단원의 학습목표

를 살펴보았고 수열의 역사 배경과 실생활에 응용된 들을 정리해보았

다 한 5종 교과서에서 제시되어 있는 수열의 학습내용을 소단원 별로 정

리해보았다 임의로 선택된 5종 교과서안의 수열의 학습내용을 분석해보면

서 몇 몇 교과서에서 여러 가지 수열 단원에서 군 수열과 멱 수에 한 언

이 없거나 미약함을 알 수 있었다 본 연구자가 보기에 군 수열과 멱 수

부분은 실생활에 활용될 는 극히 작아 보이지만 학생들이 꼭 학습하고 넘

어가야 수열에 한 완벽한 학습이 될 수 있을 것이라 여겼는데 교과서에서

제시된 내용들로는 학생들이 충분히 이해할 수 없을 것 같았다

그리고 교과서에 제시된 문항의 수 이 입시와 동 떨어진다는 문제 이 있

었다 교과서에 제시된 문제가 부족하고 수 이 낮다 보니 실제로 학교에서

수업 때 보충 린트 물로 수업을 진행하고 간기말고사 때에도 교과서

외에서 많은 문제를 출제하는 모습을 볼 수 있었다 때문에 학생들이 교과서

보다는 문제집 주의 공부를 할 수 밖에 없는 듯 보 다 교과서가 학생들

과 교사의 요구에 부합할 수 있도록 새로운 내용들과 문제를 싣도록 해야

할 것이다

학생들이 수열 단원의 학습을 할 때 좀 더 효과 인 학습이 될 수 있도록

리의 동기설계이론 (ARCS 이론) 을 바탕으로 하여 수업 계획서와 1차시

의 수업 지도안을 작성해 보았다 한 작성한 수업 지도안으로 부천시 소재

의 한 고등학교에서 실제 수업을 진행해 보았을 때 학생들이 좀 더 수열에

해 친숙하게 느끼고 쉽게 이해하는 모습을 볼 수 있었다 본 연구자가

직 교사가 아니라 여러 반을 상으로 수열 단원의 모든 차시 수업에 용

하여 수업을 해볼 수 없었단 이 아쉬움으로 남는다

이와 같이 학생들의 주의 련성자신감만족감 증진을 한 수업을 함

으로써 학생들의 수학 학습 성취도의 향상을 기 할 수 있을 것이다 한

개발된 자료를 실제 수업에 용하는 경우의 효율성에 한 후속 연구가 체

계 이고 지속 으로 이루어져야 할 것이다

참 고 문 헌

[1] 구평회 META 구평회 교육학 2007

[2] 교육인 자원부 고시 제2007 - 79호[별책8] 2007

[3] 박인학 교사를 한 교수학습방법론 문사 1995

[4] 변 계 교수학습 이론의 이해 학지사 1999

[5] 우정호 외 5인 고등학교 수학 Ⅰ 한교과서(주) 2002

[6] 이 연 자연의 수학 열쇠 피보나치수열 로네시스 2006

[7] 이진화 지수로그함수의 지도에 한 연구 서강 학교 교육 학원 석사 학

논문 2006

[8] 임재훈 외 10인 고등학교 수학 Ⅰ (주)두산 2002

[9] 장 숙 고등학교 수학 Ⅰ 교과서의 통계단원 분석 실생활에의 용 경희

학교 교육 학원 석사 학 논문 2006

[10] 조해식 행렬 수열 수업에서의 수학사 도입에 한 연구 울산 학교 석사

학 논문 1998

[11] 차 자 수열 학습의 흥미 유발을 한 자료 연구 경성 학교 교육 학원 석

사 학 논문 2004

[12] 최 외 5인 고등학교 수학 Ⅰ 앙교육진흥연구소 2006

[13] 최상기 외 5인 고등학교 수학 Ⅰ (주)고려출 2002

[14] 최용 신 성 고등학교 수학 Ⅰ 천재교육(주) 2002

[15] 황혜정 외 5인 수학교육학 신론 문음사 2002

• Ⅰ 서론
• • 1 연구의 필요성과 목적
  • 2 연구의 제한점
  • • Ⅱ 개정 교육과정에서 명시된 수학Ⅰ교육의 목표
    • • 1 수학Ⅰ교육의 목표
      • 2 고등학교 수학 Ⅰ 수열 단원의 학습목표
      • • Ⅲ 수열의 역사적 배경 및 응용
        • • 1 수열의 역사
          • 2 수열 단원이 실생활에 응용된 사례
          • • Ⅳ 고등학교 수학교육과정에서의 수열
            • • 1 수학Ⅰ 교과서 분석
              • 2 수학Ⅰ 교과서에서의 수열
              • • Ⅴ 켈러의 ARCS 이론과 수열 지도
                • • 1 켈러의 ARCS 이론
                  • 2 ARCS 이론을 적용한 수열 수업 계획서
                  • 3 ARCS 이론을 적용한 수업 지도안
                  • 4 조사지 분석
                  • • Ⅵ 결론
                    • 참고문헌

표 목 차

1 [표1 수학Ⅰ교과서 내용체계] 6

2 [표2 5종 교과서 수학 Ⅰ 수열 단원의 학습목표] 7

3 [표3 단리법] 12

4 [표4 복리법] 13

5 [표5 수학 Ⅰ 5종교과서의 차례] 17

6 [표6 5종 교과서에 제시된 수열 련 자료] 19

7 [표7 순서도의 기호]29

8 [표8 ARCS 략]30

9 [표9 러의 ARCS이론]32

10 [표10 수업지도안] 35

그림 목차

1 [그림1 피보나치수열] 10

2 [그림2 하노이의 탑]11

3 [그림3 피라미드 황 비]14

4 [그림4 피아노건반황 비율] 15

5 [그림5 인체 황 비율]16

6 [그림6 조사문제지 (1)번 막 그래 ]39

7 [그림7 조사문제지 (2)번 막 그래 ]40

8 [그림8 조사문제지 (3)번 막 그래 ]40

9 [그림9 조사문제지 (4)번 막 그래 ]41

10 [그림10 조사문제지 (5)번 막 그래 ]42

국문 록

수학은 오래된 학문으로 사회생활을 하는데 직 으로 소용이 되지 않는

수학 지식도 타학문을 공부하는 데에는 필요하다 그러나 부분의 사람

들은 간단한 연산을 제외하고는 수학의 필요성을 느끼지 못하고 있다 게

다가 학생들은 수학을 입시 과목 의 하나로만 여겨 내용에 한 이해보

다는 문제를 공식에 용시키는 정도로써 수학에 한 심을 보이고 있는

형편이다 이런 상 때문에 학생들이 수학을 어려운 과목으로만 여기고

기피하는 모습을 많이 보이고 있다

본 논문에서는 행 고등학교 수학과 교육과정에서 수열 단원을 교과서별

로 분석해 보았고 수열 단원의 각 소단원의 내용을 정리해 보았다 그리고

고등학교 2학년 인문계열 학생들이 수학 Ⅰ 교육과정을 학습할 때 가장 어

려워하는 수열 단원을 보다 효율 으로 지도하기 한 방안을 연구해보았

다

이를 하여 본 연구자가 교생실습을 했던 경기도 부천시 소재의 원종고

등학교 2학년 인문계학생 100여명을 상으로 수학의 학습에서 가장 어려

운 부분과 그 이유를 알아보는 조사 문제지 검사를 실시하 으며 이를 토

로 수열의 효율 인 지도방안에 해 좀 더 구체 으로 연구해 볼 수 있

었다

러(Keller)의 ARCS 이론의 주의(Attention) 련성(Relevance) 자신감

(Confidence) 만족감(Satisfaction) 을 토 로 하여 수열 단원의 수업계획

서와 수업지도안을 작성해보았고 지도안 로 수업을 실시해보았다

지도안 로 수업을 실시 해 보았을 때 본 연구자가 매 수업 끝난 후 실시

한 Test에서 그 차시 수업 때보다 좋은 수를 낸 것으로 보아 학생들

이 수열 단원의 학습 효과가 조 은 향상된 것으로 보여진다

ABSTRACT

Mathematical knowledge has been used to study other fields even though it

does not have a direct relation with them However most of the people think

mathematics is not essential to life except for simple calculations Moreover

because students think of mathematics just as a required subject for an

admission in a university they are not interested in math itself but interested

in solving mathematical problems by merely applying given formulas Due to

these tendencies many students consider that mathematics is beyond their

abilities and seem to try to avoid it if possible

The present thesis analyzes and compares textbooks concerning sequences in

the present curriculum of highschool mathematics Above all the author tries

to find effective ways to teach sequences which are difficult for highschool

students especially for those who plan to major in humanities to learn

To achieve these objectives the author asked a hundred students in the

second-grade class at Wonjong highschool in Buchon-si Kyonggi-do to fill

out questionnaires concerning most difficult parts in learning mathematics and

ways to improve learning We have been able to specifically construct effective

teaching plans for sequences based on these questionnaires We have written

out a guidance plan and a teaching plan for the chapter on sequences based

on Kellers ARCS Theory- Attention Relevance Confidence Satisfaction

It is well known that the effectiveness of study is higher if students are

taught with the teaching plan

Ⅰ 서 론

1 연구의 필요성과 목

오늘날의 수학교육에 있어서의 최 당면 문제는 수학의 기 인 교육

기반을 어떻게 회복하느냐 하는 것이다 이를 해서는 lsquo수학을 어떤 이유

로 가르쳐야 하는가rsquo 는 lsquo학생들이 왜 수학을 알아야 하는가rsquo에 한 보

다 근원 인 논의가 이루어져야 한다 lsquo수학을 왜 가르치고 배우는가rsquo 라는

질문에 부분은 수학을 배우면 논리 으로 사고하게 되고 과학 인 생활

을 하는 데 도움이 된다고 말하지만 우리는 이러한 질문에 하여 보다

체계 으로 생각해 보아야 한다 수학을 가르치는 교사는 학생을 지도할

만큼의 충분한 수학 지식을 가지는 것도 요하지만 수학이 갖는 가치

에 하여 단순히 학문 입장만이 아닌 lsquo교육 rsquo 입장에서의 가치 을 갖

추고 있어야 한다는 것이다 ([15])

하지만 지 의 학교수학교육의 황은 학 입시를 한 기계식의 문제풀

이와 암기 주의 수업이 이루어지고 있는 실정이다 때문에 학생들은 수학

에 한 기 개념을 알지 못한 채 수박 겉핥기식의 학습을 하게 되고 수

학에 흥미를 잃고 수학을 포기하는 학생이 늘어가고 있다

고등학교 수학Ⅰ 교육과정의 요한 단계인 수열에 해 학생들은 특히

이해하기 어려워한다 한 수열에 한 선수 학습이 제 로 이루어지지

않았을 경우 수열을 배우고 나서 바로 다음 단원에 학습하는 수열의 극한

단원을 이해하는데 어려움을 겪게 되기 때문에 수열의 제 로 된 학습은

학생들에게 상당히 요한 문제라고 할 수 있다

학생들이 수열 단원을 어려워하는 데에는 많은 이유가 있겠지만 무엇보다

도 행 교과서의 수열 단원의 구성에 부족한 부분이 많기 때문인 것 같

다 요한 단원임에도 불구하고 개념 설명이나 시 문항이 많이 부족하

고 군 수열이나 멱 수에 한 설명은 실려 있지 않은 교과서도 많았다

한 지 의 딱딱한 강의식 수업에서 벗어나 학생들의 자신감과 만족감을

증진시킬 수 있는 수업을 해 교사나 학생 모두 노력해야한다

이 논문에서는 개정 교육과정에 의하여 다루어지는 고등학교 수학 Ⅰ 교

육과정 내용 수열을 택하여 각 교과서에서 수열 단원의 구성과 수열에

한 역사 배경과 실생활에 활용된 를 알아보고 학생들로 하여 수

열의 원리와 개념의 이해에 도움이 될 수 있는 지도방안을 러의 ARCS

이론을 바탕으로 하여 작성해보고자 한다

2 연구의 제한

재 고등학교에서 채택하고 있는 12여종의 수학 Ⅰ 교과서 부를 분

석하지 않고 임의로 선택된 5종 교과서를 분석하 기 때문에 5종이 12종을

모두 표한다고 볼 수 없다

본 논문은 러의 ARCS 이론을 바탕으로 한 수열 지도가 수열 단원의

학습에 효율 일 것이라고 여겼으나 1개 고등학교에서만 수업시연을 해보

았기 때문에 실제 인 검증작업을 거치지 못하 다 따라서 연구 결과에

한 한계가 있을 수 있다

러의 ARCS 이론을 바탕으로 한 수열 학습지도안으로 수업을 진행할

때 조별학습을 하게 되는데 이때 능숙한 교사가 아니라면 학생들의 주의

가 산만해지고 수업 분 기가 흐트러지는 것을 정리하고 완만한 수업을 진

행하기가 힘이 들것이라 생각된다

본 연구자가 부천시 소재의 원종고등학교 학생 100명을 상으로 한 조

사문제지 검사가 수열 단원의 학습에 국한된 것이 아니라 고등학교 수학

학습의 일반 인 내용을 담았기 때문에 수열 단원의 효율 인 지도방안을

한 연구에 직 인 도움을 주지 못했다

본 연구자가 제안한 교수 방법의 효과를 검증하지 못했다

Ⅱ 개정 교육과정에서 명시된

수학Ⅰ 교육의 목표

1 수학Ⅰ교육의 목표

교육인 자원부에 고시된 개정 교육과정([2])에서의 고등학교 수학Ⅰ과정

교육목표는 다음과 같다

1)성 격

lsquo수학 Ⅰrsquo의 학습을 통하여 수학 개념 원리 법칙을 이해하고 수학 사

고 능력을 키워 합리 이고 창의 으로 문제를 해결하는 능력과 태도를 기

를 수 있다

lsquo수학 Ⅰrsquo의 교수학습에서는 고등학교 1학년까지의 수학에서 습득한 수학

개념 원리 법칙을 토 로 하여 새로운 개념에 근해야 하므로 기본

인 수학 지식을 확인하고 활용하면서 발 인 학습이 이루어지도록 한

다 이 과정에서 여러 가지 상을 수학 으로 해석하고 조직하는 활동 구

체 인 사실에서 진 으로 추상화로 나아가는 과정 직 이나 구체 인

조작 활동에 바탕을 둔 통찰 등의 수학 경험을 통하여 형식이나 계를

발견하는 것이 요하다 한 수학 문제를 해결하는 과정에서 문제를 명

확히 이해하고 합리 인 해결 계획을 세워 실행하며 반성을 통하여 풀이 과

정을 검하고 다양하게 활용하는 능력을 기르도록 한다 수학 지식과 기

능을 활용하여 여러 가지 문제를 해결해 으로써 수학의 필요성과 유용성

을 인식하고 수학 학습의 즐거움을 경험해 으로써 수학에 한 정 인

태도를 갖게 한다

역 내 용

행렬과 그래

행렬과 그 연산

연립일차방정식과 행렬

그래 와 행렬

지수함수와 로그함수

지수

지수함수와 그 그래

지수방정식과 지수부등식

로그

2) 목 표

수학 개념 원리 법칙을 이해하고 수학 으로 사고하고 의사소통하는

능력을 신장하여 여러 가지 문제를 합리 이고 창의 으로 해결하며 수학

의 실용성을 인식하여 수학에 한 정 태도를 갖는다

(1) 수학Ⅰ의 학습을 통해 얻는 여러 가지 장

(가) 행렬과 그래 지수함수와 로그함수 수열 수열의 극한에 련된 개

념 원리 법칙과 이들 사이의 계를 이해하고 이를 활용하는 능력을 기른

다 여러 가지 상을 찰 분석 조직하여 수학 으로 나타내는 능력을 기

른다

(나) 수학을 통하여 여러 가지 문제를 합리 으로 해결하는 능력과 수학

으로 사고하고 의사소통하는 능력을 기른다

(다) 수학의 가치를 이해하여 수학에 한 심과 흥미를 지속 으로 가지

며 수학에 한 정 태도를 기른다

3) 내 용

⑴ 내용체계

로그함수와 그 그래

로그방정식과 로그부등식

수열

등차수열과 등비수열

여러 가지 수열

수학 귀납법

알고리즘과 순서도

수열의 극한무한수열의 극한

무한 수

[표1 수학Ⅰ교과서 내용체계]

4) 평 가

(1) 평가

(가) 수학 학습의 평가는 학생의 인지 역과 정의 역에 한 유용한

정보를 제공하여 학생 개개인의 수학 학습과 인 인 성장을 돕고 교사의

교수 활동과 수업 방법을 개선하는 데 활용한다

(나) 수학 학습의 평가에서는 학생의 인지 발달 수 을 고려하고 교육과정에

제시된 내용의 수 과 범 를 수한다

(다) 수학 학습의 평가는 수업의 개 과정에 따라 진단 평가 형성 평가 총

평가 등의 한 평가 방식을 택하여 실시하되 지속 인 평가를 통하여

다양한 정보를 수집하고 수업에 활용한다

(라) 수학 학습의 평가에서는 획일 인 방법을 지양하고 지필 평가 찰 면

담 자기 평가 등의 다양한 평가 방법을 통해 수학 교수ㆍ학습을 향상시킬

수 있게 한다

(마) 인지 역에 한 평가에서는 학생의 수학 사고력 신장을 하여 결

과뿐만 아니라 과정도 시하여 평가하되 수학의 교수학습에서 반 으

교과서 학습목표

한교과서

(주)

등차수열 등비수열의 뜻을 알고 일반항 첫째항부터 제 n항까지

의 합을 구할 수 있다

sum의 뜻과 성질을 이해하고 이를 활용하여 여러 가지 수열에

한 문제를 해결할 수 있다

수학 귀납법의 원리를 이해하고 이를 활용하여 자연수 n에

하여 참인 명제를 증명할 수 있다

알고리즘과 순서도의 뜻을 알고 간단한 문제 해결을 한 알고

리즘을 작성하여 순서도를 만들 수 있다

(주) 천재교육

등차수열과 등비수열의 뜻을 알고 일반항과 첫째항부터 제 n항

까지의 합을 구할 수 있다

기호 sum의 뜻과 성질을 이해하고 이를 활용할 수 있다

여러 가지 수열의 일반항과 첫째항부터 제 n항까지의 합을 구

할 수 있다

여러 가지 수열에 한 문제를 해결할 수 있다

수학 귀납법의 원리를 이해하고 이를 이용하여 자연수 n에

하여 참인 명제를 증명할 수 있다

로 요구되는 사항을 강조한다

(바) 정의 역에 한 평가에서는 학생의 수학에 한 정 태도를 신장

시키기 하여 학생의 수학에 한 바람직한 가치 이나 수학 학습에 한

심 흥미 자신감 등의 정도를 악한다

(사) 수학 학습의 평가에서는 평가하는 학습 내용에 따라 학생에게 계산기

컴퓨터와 같은 공학 도구와 다양한 교구를 이용할 수 있는 기회를 제공할

수 있다

2 고등학교 수학 1 수열단원의 학습목표

수학 Ⅰ교과서에서의 수열단원의 학습목표를 5종 교과서를 비교하여 살펴

보고자한다 임의로 선택된 5종 교과서([5][8][12][13][14])의 학습목표는

다음과 같다

알고리즘과 순서도의 뜻을 알고 그 필요성을 이해할 수 있다

간단한 문제 해결을 한 알고리즘을 작성하여 순서도를 만들

수 있다

앙교육진흥

연구소

수열을 이해하고 이를 활용하여 여러 가지 문제를 해결할 수 있

다

수학 귀납법의 원리를 이해하고 이것을 이용하여 자연수 n에

하여 참인 명제를 증명할 수 있다

알고리즘과 순서도의 뜻을 알고 간단한 문제 해결에 사용할 수

있다

(주) 고려출

등차수열의 뜻을 알고일반항 첫째항부터 제 항까지의 합을 구

할 수 있다

등비수열의 뜻을 알고일반항 첫째항부터 제 항까지의 합을 구

할 수 있다

sum의 뜻과 성질을 이해하고 이를 활용할 수 있다

여러 가지 수열의 일반항 첫째항부터 제 항까지의 합을 구할

수 있다

여러 가지 수열에 한 문제를 해결할 수 있다

수학 귀납법의 원리를 성명하고 수학 귀납법을 이용하여 자연

수 에 하여 참인 명제를 증명할 수 있다

알고리즘과 순서도의 뜻을 알고 그 필요성을 알 수 있고 간단

한 문제 해결을 한 알고리즘을 작성하여 순서도를 만들 수 있다

(주) 두산

등차수열과 등비수열의 뜻을 알고 일반항과 그 합을 구할 수 있

다

기호sum의 뜻과 성질을 이해하고 이를 이용하여 여러 가지 수열

에 한 문제를 해결할 수 있다

수학 귀납법의 원리를 이해하고 이를 이용하여 자연수 에

하여 참인 명제를 증명할 수 있다

알고리즘과 순서도의 뜻을 알고 간단한 문제 해결을 한 알고

리즘을 작성하여 순서도를 만들 수 있다

[표2 5종 교과서 수학 Ⅰ 수열 단원의 학습목표]

Ⅲ 수열의 역사 배경 응용

1 수열의 역사

수학의 역사에서 가장 흥미로운 수열 하나가 피보나치수열이다 피보나

치수열은 수학이론 뿐만 아니라 자연계 건축 술 등에 다양하게 표 된

다

그 에 오나르도가 발표한《산반서》에 소개된 피보나치수열에 한 문

제는 다음과 같다 ([6]) ldquo어떤 사람이 토끼 한 을 우리에 넣었다 이 토

끼 한 은 한 달에 새로운 토끼 한 을 낳고 낳은 토끼들도 한 달이 지

나면 다시 한 의 토끼를 낳는다 그 다면 1년이 지나면 몇 의 토끼가

있을까rdquo

첫 달엔 처음에 있던 토끼 한 만 있다 두 번째 달이 되면 토끼 한 을

낳아 두 의 토끼가 된다 세 번째 달이 되면 처음에 있던 토끼 한 이

한 의 토끼를 낳아 세 의 토끼가 된다 네 번째 달이 되면 첫

달과 두 번째 달의 토끼 두 이 각 한 의 토끼를 낳아 총 다섯 의

토끼가 있게 된다 이런 식으로 토끼를 낳아가면 그 수는 다음과 같은 규

칙을 갖는다 　　　　　　　　　　 이런 규칙을 갖는 피보나치수열의

일반항을 이라고 하면 　 　 　 　 가 된다

그런데 이 수열을 자연에서도 쉽게 찾아볼 수 있다 식물의 기에서 뻗어

나온 잎을 생각해 보면 기의 에 있는 잎 하나에서 수직으로 에 있

는 잎까지 도달할 때까지 기를 따라 올라가면서 잎의 개수를 세면 그

수들은 일반 으로 피보나치수열을 이룬다

[그림1 피보나치수열]

2 수열 단원이 실생활에 응용된 사례

1) 하노이의 탑

인도 갠지스 강 유역 라만교의 사원에 있었던 하노이의 탑은 라만

탑이라고도 부르는데 이 탑에 얽힌 문제의 내용은 다음과 같다 다음은

([10])의 내용을 참고하 다

[베나 스에는 세계의 심이 있고 그 곳에는 아주 큰 사원이 있으며 이

사원에는 높이 정도 되는 다이아몬드 바늘 3개가 있다 그 에서 한

바늘에는 천지 창조 때에 신이 구멍이 뚫린 64장의 순 으로 된 원 을 크

기가 큰 것부터 아래에 놓이도록 하여 차례로 쌓아 놓았다 그리고 신은

승려들에게 밤낮으로 쉬지 않고 원 을 한 장씩 옮겨 빈 다이아몬드 바늘

어느 한 곳으로 모두 옮겨 놓도록 명령하 다

ldquo원 은 한 번에 한 개씩만 옮겨야 하고 로 작은 원 에 큰 원

을 올려놓을 수 없다 단 64개의 원 의 크기는 모두 다르다 이 말을 충

실히 실행하고 한 순간도 게을리 하지 마라 만일 게을리 하는 일이 있으

면 그 때는 이 사원도 탑도 모두 무 지고 세계는 종말을 고하게 된다 게

을리 하는 일이 없으면 그 들이 원 을 부 옮길 때까지 세상은 태평할

것이다rdquo]

승려들은 과제를 수행하기 해 밤낮으로 매우 열심히 작업을 했다 그 작

업을 끝내기 해서 승려들은 몇 번을 움직여야 하고 얼마나 많은 시간을

사용해야만 했을까

[그림2 하노이의 탑]

원 이 1개가 있으면 최소 이동 횟수는 1번 원 이 2개가 있을 때 최소

이동 횟수는 3번이고 원 이 3개가 있으면 최소 이동 횟수는 7번이다

원 이 4개가 있으면 최소 이동 횟수는 15번이다 이런 식으로 계속 해나

가다 보면 　　　　　　　 라는 수열을 얻는다 이것은 각 항의 차이가

계차수열을 이루는데 이것은 다음과 같다 　　　　　　일반항을 으로 두

고 구해보면 　 　times 　 　 이다 처음 값을 으로 두고 일반항을

구해보면 　

이 된다

만약 그 설 로 따라가서 수도승들이 쉬지 않고 디스크를 1 에 한번

씩 옮겼다면 최소의 이동횟수는 이 되고 18446744073709551616

가 걸리고 략 5854억4200만년이 필요하다는 것을 알 수 있다

원 이자 원리합계(=원 +이자)

1년 원 원 원

2년 원 원 원

3년 원 원 원

년 원 100원 원

2) 등차수열의 응용

(1) 단리법

단리법은 처음 원 의 이자에 해당하는 비율만큼 계속 되는 계산법이

다 1000원을 했다면 1년이 지날 때마다 10 의 이자가 붙는다고 하

자 1년이 지났을 때 10 의 이자가 붙으면 100원 불어나므로 1000 +

1000 times 01 = 1100(원) 이다 그리고 1년2년 년이 지날 때 마다

값을 측정해보면 다음과 같다

[표3 단리법]

최종 으로 원 을 라 하고 연이율을 이라고 한다면

결국 년이 되었을 때 단리법으로 표 하면 그 때의 총 합 는

이 된다

3) 등비수열의 응용

(1) 복리법

복리법은 원 에 이자가 된 원리합계를 기 으로 이자를 계산하는 방

법이다 원을 했다면 1년이 지날 때마다 의 이자가 붙는다고

원 이자원리합계

(=원 +이자)

1년 원 원 원

2년 원 원 원

3년 원 원 원

년 원 times원 원

하자 1년이 지났을 때 의 이자가 붙으면 원 불어나므로

times (원) 이다 그리고 1년2년 년이 지날 때 마

다 값을 측정해보면 다음과 같다

[표4 복리법]

최종 으로 원 을 라 하고 연이율을 이라고 한다면

따라서 년이 지나면 이 된다 그때의 총 합 는 이

다

4) 황 비율

에서 언 했던 피보나치수열 　　　　　　　　　　에서 번째 항

을 번째 항으로 나 어 보자

　 　

　 　

　 　

　 　

　 　

　 　 이런 식으로 계속 해나가다 보면

이 수가 061803 에 근사하게 된다 고 그리스인들은 이 수에 lsquo황 비

율rsquo라는 이름을 붙 다 이것은 인간이 보기에 가장 아름다운 비율이라 하

여 여러 분야에서 사용되고 있다

(1) 황 비의 이용

약 100년 페히 라는 독일의 심리학자는 수백 명의 사람들에게 여러

종류의 직사각형을 보여 다음 마음에 드는 것을 선택하게 하는 실험을

했다 그런데 그 결과 부분의 사람이 황 직사각형을 선택했다고 발표했

다 ([6])

실험에 의하면 황 비는 사람들이 가장 편안하고 아름답게 느끼는 비율로

알려져 있으며 이런 이유 때문에 옛 부터 건축과 미술 음악 등에서 자주

이용되어 왔다

(가) 건축

기원 2000년경의 이집트 《린드 피루스》에 보면 기원 4700년에 기

자의 피라미드를 건설할 때 이 수를 lsquo신성한 비율rsquo로 사용했다고 한다

의 측량 기술로 측정해보니 피라미드 의 심에서 의 모서리까지

그리고 경사면까지 거의 정확하게 0618이었다 ([6])

피라미드는 인류역사를 통해서 사람들을 가장 매료시켜온 건축물 의 하

나이다 그 규모의 장 함에서도 사람을 압도하는 것이 있지만 그 형태 자

체가 고도한 수학을 배경으로 한 것으로서 우리가 알고 있는 5천년 의 지

식수 으로서는 불가사의한 것 의 하나이다

[그림3 피라미드 황 비]

(나) 음악에서의 활용

음악에서 한 옥타 는 [도 미 솔 라 시 도] 의 8음계로 이루어져 있

다 피아노의 건반은 한 옥타 를 13개의 음으로 나 어 표 하고 있으며

이 하얀 건반이 8개 검은 건반이 5개 있고 하얀 건반은 3개와 5개 검

은 건반은 2개와 3개로 구분되어 있다 여기에서 나타나는 2 3 5 8 13

은 에서 보인 피보나치수열이다

[그림4 피아노건반황 비율]

(2) 인체에서의 황 비율

황 분할은 우리의 인체 속에서도 찾아볼 수 있다 인간의 신체가 이 비율

에 의해서 분할되어 있으며 이것이 아름다운 몸의 보편 기 이 되고 있

다 아래 그림은 Le Corbusier가 찾아낸 이상 인간의 각 신체부 의 비율

이다 이것은 오나르도 다빈치의 인체비율에 한 그림에서도 찾아 볼

수 있다 이 뿐만 아니라 인체의 각 부 들도 그 자체 황 분할을 이루

고 있다

[그림5 인체 황 비율]

앞에서 제시한 황 비율을 사용한 시들 이외에도 우리 주변에 아주 많

이 있다

교과서 차례

한교과서(주)

Ⅳ 수열

1 등차수열과 등비수열

2 여러 가지 수열

3 수학 귀납법

4 알고리즘과 순서도

(주) 천재교육

Ⅲ 수열

1 등차수열과 등비수열

2 여러 가지 수열

3 수학 귀납법

4 알고리즘과 순서도

Ⅳ 고등학교 수학교육과정에서의 수열

1 수학Ⅰ 교과서 분석

고등학교 2학년이 학습하는 lsquo수학 Ⅰrsquo은 국민 공통 기본 교육 기간의 10단계

수학을 이수한 학생들이 보다 문 인 진로를 고려하고 보다 높은 수 의

수학을 학습하기 해 설정된 심화 선택 과목이며 lsquo수학 Ⅱrsquo를 학습하기 한

단계이다 lsquo수학 Ⅰrsquo의 내용은 수 역에서 지수와 로그 행렬 수열이

실려있고 해석 역에서 수열의 극한 지수로그 함수가 수록되어 있으며

확률과 통계 역에서 순열과 조합 확률 통계 등으로 구성되어 있다 특히

수 역에 해당하는 수열은 여러 가지 수열에 한 성질을 이해하고 그것

을 일반화 하는 과정에 을 두어 지도하도록 하고 있으며 계차수열은 등

차수열이나 등비수열이 되는 경우만 다룬다 ([2])

1) 수학 Ⅰ 5종 교과서의 차례 단원 배열

앙교육진흥연구소

Ⅲ 수열

1 등차수열과 등비수열

2 여러 가지 수열

3 수학 귀납법

4 알고리즘과 순서도

(주) 고려출

Ⅲ 수열

1 등차수열과 등비수열

2 여러 가지 수열

3 수학 귀납법과 순서도

(주) 두산

Ⅲ 수열

1 등차수열과 등비수열

2 여러 가지 수열

3 수학 귀납법

4 알고리즘과 순서도

[표5 수학 Ⅰ 5종교과서의 차례]

의 표에서 본 것과 같이 임의로 선택된 5종의 고등학교 수학 Ⅰ 교과서의

차례는 거의 비슷한 양상을 보 다 부분의 교과서에선 1단원 지수와 로

그 2단원 행렬 3단원 수열 순의 순서를 보 고 한교과서외의 몇몇

교과서에선 1단원 지수와 로그 2단원 지수로그함수 3단원 행렬 4단원 수

열 순의 순서를 보 다 수열단원의 세부 단원 차례는 1 등차수열과

등비수열 2 여러 가지 수열 3 수학 귀납법 4 알고리즘과 순서도 는

34 단원을 한 단원으로 해서 3 수학 귀납법과 순서도의 순서로 다루는

은 비슷했다

2) 교과서에 제시된 수열 련 자료

한교과서

(주)

피타고라스(Pythagoras 572～492 BC) 피타고라스의 정리

로 잘 알려져 있고 소수나 완 수의 규칙성에 해서도 많은 연

구를 하 다

바스카라(Bhaskara A 1114～1185) 인도의 수학자로

임을 증명하 고 피타고라스의 정리를 기하학

으로 증명하 다

피보나치(Fibonacci 1180～1250) 이탈리아의 수학자로 자연

속에서 많이 볼 수 있는 피보나치 수열을 발견하 다

스칼(Pascal B 1623～1662 ) 랑스의 수학자로 수학

귀납법을 발견하 고 사 기하학을 창시하 다

푸리에(Fourier J B J 1768～1830) 랑스의 수학자로 음양

학 학 기역학 열역학 등의 연구에 매우 요한 푸리에

수를 연구하 다

가우스(Gauss K F 1777～1855) 수학 통계학 등의 다방

면에 많은 업 을 이루었고 역사상 가장 한 수학자 의 한

사람으로 불리워지고 있다

비주얼 베이직(Visual BASIC)

을 이용한 Programming

하노이의 탑

(주)

천재교육

가우스(Gauss K F 1777～1855) 독일의 수학자인 가우스는

수학의 각 방면에 많은 업 을 남겨 수학의 아버지라 일컬

어지고 있다 그는 계산의 천재로 알려져 있는데 이에 한 유명

한 일화가 있다 등학교 때 부터 까지의 합을 구하는 문

제에서 다른 학생들이 직 하나하나 계산하는 동안 가우스는

　 　 　　　　 이 모두 임을 이용하여

times 이라는 답을 이끌어 내었다 이러한 방식은 수열

의 합을 계산할 때 사용하는 방식 의 하나이다

하노이의 탑을 이용한 수열의 귀납 정의

임의로 선택된 5종 교과서들의 수열단원에서 학생들의 수열 단원의 이해를

돕기 해 수록된 수학자들에 한 설명과 기타 자료들은 다음과 같다

도미노 이론 - 수학 귀납법의 다른 표

피보나치수열 - 토끼 수 증가 문제

앙교육

진흥연구소

삼각수 사각수 문제

피보나치(Fibonacci 1180～1250)

가우스(Gauss K F 1777～1855)

음악과 수학 - 작곡가 바흐(Bach)의 요 업 으로 평균율을

들 수 있다 평균율이란 1옥타 즉 lsquo도rsquo와 lsquo도rsquo의 사이를 개의

반음으로 나 고 처음 lsquo도rsquo의 진동수를 이라 하면 그에 일정한

수를 더해 제곱하여 옥타 의 lsquo도rsquo의 진동수를 얻는 것을

말한다 수식으로는 로 나타낼 수 있고 이 등식을

만족하는 의 값이 평균율이다

(주)

고려출

티티우스-보데 수열 -

수열 　　　　　　　　의 각 항에 각각 를 더한 후

으로 나 수들을 나열한 것 　　　　　　　 를

티티우스-보데 수열이라 한다 이수열의 각 항은 태양에서 행성

까지의 실제 거리와 비슷한 것으로 1766년 티티우스(Titius)라는

독일의 천문학자가 발견하 다

제갈량의 군 에 한 을 통한 등비수열의 합

피보나치 수열

휴먼 로 - 휴먼 로 의 제작은 복잡한 여러 가지 알고리즘

과 순서도에 바탕을 두고 있다 알고리즘의 요성은 자계산기

이 부터 실제 으로 존재했다 그 로 최 공약수 계산에 한

유클리드의 알고리즘이 있다 한 가우스와 같은 부분의 수학

자들은 역사 으로 많은 양을 처리하는 효율 인 알고리즘에

심을 가졌다 이러한 알고리즘을 보다 효율 으로 이용하여 재

의 컴퓨터 시 를 구축했다

(주) 두산

피보나치(Fibonacci 1180～1250)는 이탈리아의 피사에서 태

어난 수학자이다 부친이 상업에 종사하 기 때문에 피보나치는

이집트 시칠리아 그리스 시리아 등 다양한 지역을 여행할 수

있었고 이 때 다양한 수학을 하게 되었다 1202년 피사로 돌아

온 피보나치는 「산반서(Liber abaci)」를 술하 다 1228년에

는 「산반서 2 」을 술하 는데 이 책에서 정수와 분수의 계

산 제곱근과 세제곱근 일차와 이차방정식의 풀이 등을 다루었다

고 한다 특히 이 책에 나오는 「피보나치의 수열」은 매우 흥미

로운 수열로 요한 성질을 많이 가지고 있다

1에서 100까지 자연수를 모두 합하면 얼마일까

가우스(Gauss KF 1777～1855) 가우스는 수론 해석학 확

률론 천문학 물리학 등 다양한 분야에 뛰어난 수학자이었다 특

히 그의 수론 연구는 19세기 수학 체계의 확립에 크게 공헌하

다

피타고라스(Pythagoras 572～492 BC) 피타고라스는 음의

높이에 따른 진동수의 비가 일정함을 발견하 다

페아노(Peano G 1858～1932) 자연수의 성질을 추상화 하여

페아노의 공리계를 만들었다 이 공리계의 제 5공리가 수학 귀

납법의 원리이다

피보나치의 수열

알콰리즈미(Alkhwarizmi 780～850) 알고리즘이란 말은 세

아라비아의 수학자 알콰리즈미의 이름에서 유래된 것으로서 그가

십진법으로 나타낸 수의 계산에 용한 계산 방법에서 나온것이

다

[표6 5종 교과서에 제시된 수열 련 자료]

2 수학 Ⅰ 교과서에서의 수열

등차수열의 일반항

첫째항이 공차가 인 등차수열의 일반항 은

본 연구자가 임의로 선택한 5종 교과서 ([5][8][12][13][14]) 에서의

수열의 내 을 정리해보았다

1) 등차 수열과 등비 수열

(1) 수열의 뜻

어떤 규칙에 따라 순서 로 수를 늘어놓은 것을 수열이라 하고 그 수열을

이루는 각각의 수를 그 수열의 항이라고 한다 수열의 각 항을

앞에서부터 순서 로 제 1항 제 2항 제 3항 제 항

이라고 한다 특히 제 1항은 첫째항이라고도 한다

(2) 등차수열의 뜻

첫째항에 차례로 일정한 수를 더하여 만들어진 수열을 등차수열 이라하고

더한 일정한 수를 공차라고 한다

첫째항이 공차가 인 등차수열 에서

이므로 일반항 은 다음과 같이 나타낼 수 있다

(3) 등차수열의 합

등차수열의 합

첫째항이 공차가 끝항이 인 등차수열의 첫째항부터 제 항까지의

합 은

첫째항이 공차가 등차수열 에서 첫째항 부터 제 항 까지의 합

을 토론하기의 방법을 이용하여 구해보자

　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　①

더하는 순서를 거꾸로 하면

　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　②

①②의 양변을 각각 더하면

　　

따라서 =

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　③

이때 제 항인 를 ③에 입하여 식을 다르게 나타낼수도

있다

이상을 정리하면 다음과 같다

(4) 수열의 합과 일반항

수열 에서 첫째항부터 제 항까지의 합을 이라 하면

ge 일때 　　

there4

수열의 합과 일반항의 계

수열 의 첫째항부터 제 항까지의 합을 이라 하면

(단 ge )

등비수열의 합

일때 이다

이상을 정리하면 다음과 같다

(5) 등비수열의 뜻

첫째항부터 시작하여 각 항의 바로 앞의 항에 일정한 수를 곱하여

만들어진 수열을 등비수열이라 하고 곱하는 일정한 수를 공비라고 한다

첫째항이 공비가 인 등비수열에서 첫째항부터 제 항까지의 합 은

다음과 같이 구한다

　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　①

①의 양변에 공비 을 곱하면

　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　②

①에서 ②를 같은 변끼리 빼면

따라서 ne 일때

인 경우 ①에서

　　

there4

이상을 정리하면 다음과 같다

첫째항이 공비가 인 등비수열의 첫째항부터 제 항까지의 합 은

① ne 일때

② 일때

자연수의 거듭제곱의 합

①

　　

②

　　

③

　　

2) 여러 가지 수열

(1) 합의 기호 sum

수열 에서 첫째항부터 제 항까지의 합

　　

을 일반항과 합의 기호 sum를 써서

　　

와 같이 나타낸다

이때

는 수열 의 일반항 의 에 　　　　　　을 차례로

입하여 얻은 항의 합으로 신 다른 문자를 사용하여

등과 같이 나타낼 수 있다

(2) 기호 sum 의 성질

합의 기호 sum 의 성질에 하여 알아보자

합의 기호 sum의 성질

①

(복부호동순)

②

(단 는 상수)

③

(단 는 상수)

　　

　　 　　

　　

마찬가지로

와

에 해서도 확인해 보면 sum 의 성질을

다음과 같이 정리할 수 있다

(3) 계차수열

일반 으로 수열 에서 이웃하는 두 항의 차

　　 을 일반항으로 하는 새로운 수열

　　　　　　　을 얻을 수 있는데 이 수열 을 원래의 수열 의

계차수열이라고 한다

수열 에 하여 그 계차수열을 이라 하면

　　

계차수열과 일반항

수열 의 계차수열을 이라 할때

(단 ge )

3) 수학 귀납법

(1) 수열의 귀납 정의

첫째항과 이웃하는 두 항 사이의 계식으로 수열을 정의하는 것을 수열의

귀납 정의 라고 한다

첫째항이 공차가 인 등차수열 은 다음이 성립한다

　ge 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　①

역으로 두 계식 ①이 주어지면 이 결정되고 차례로

가 결정된다 따라서 모든 자연수 에 하여 이 정해지므로 수열 이

정의 된다

①과 같이 의 값 과 의 계식을 화식이라고 한다

(2) 수학 귀납법

수학 귀납법은 이탈리아의 페아노에 의하여 설정된 자연수에 한 공리

수학 귀납법

자연수 에 한 명제 이 모든 자연수 에 하여 성립함을 증명하

려면 다음 ⅰ ⅱ 를 증명하면 된다

ⅰ 일때 명제 이 성립한다

ⅱ 일때 명제 이 성립한다고 가정하면 일때에도

명제 이 성립한다

다음과 같은 5번째 공리에 근거를 두고 있다

자연수의 집합 의 부분집합 가

ⅰ 　isin

ⅱ 　isin 이면 isin

(여기서 는 의 후자)

인 두 조건을 만족하면 이다

4) 알고리즘과 순서도

(1) 알고리즘과 순서도

어떤 문제를 해결하기 해서는 그 처리 순서를 정해야 하는데 이와 같이

문제 해결에 필요한 처리 과정의 순서를 단계 으로 정리한 것을 알고리즘

이라 하고 알고리즘을 알기 쉽게 기호를 써서 그림으로 나타낸 것을 순서도

라고 한다 일반 으로 어떤 문제를 해결하기 한 알고리즘은 여러 가지가

있을 수 있지만 정해진 유한번의 단계를 거치면 반드시 끝나야 하고 처리

과정의 순서가 명확해야 한다 한 순서도는 각 부분을 순서 계통 으로

나타냄으로써 작업 과정을 구나 쉽게 한 에 악할 수 있도록

작성되어야 한다 순서도는 다음과 같은 기호를 사용하여 작성한다

[표7 순서도의 기호]

(2) 알고리즘과 순서도의 작성

수열과 련된 순서도를 작성할 때에는 다음과 같은 방법을 고려한다

(가) 항수를 항을 수열의 합을 로 나타낸다

(나) 제시된 항의 번호까지 루 를 용한다

(다) 제시된 항의 번호에 하여 단 기호를 이용한다

(라) 구하려는 는 를 인쇄하고 끝낸다

주의환기

집 을

한 략

지각

주의환기의

략

시청각 효과의 사용

비일상 인 내용이나 사건 제시

주의 분산의 자극 지양

탐구

주의환기의

략

능동 반응 유도

문제해결 활동의 구상 장려

신비감의 제공

다양성의

략

간결하고 다양한 교수형태 사용

일방 교수와 상호작용 교수의 혼합

교수자료의 변화 추구

목표-내용-방법이 기능 으로 통합

련성

증진을

한

략

친 성의

략

친 한 인물 혹은 사건 활용

구체 이고 친숙한 그림 활용

친 한 문 배경 지식 활용

목 지향성

의 략

실용성에 을 둔 목표 제시

목 지향 인 학습형태 활용

Ⅴ 러의 ARCS 이론과 수열 지도

1 러의 ARCS 이론

1) ARCS 이론의 특징

(1) 이론 배경

다음은 ([4])의 내용을 참고하 다

ldquo말을 물가로 데리고 갈 수는 있지만 물을 먹일 수는 없다rdquo는 속담처럼

하고자 하는 마음이 없으면 학습 효과를 기 할 수 없는 것은 당연한 사실

이다 이러한 생각의 근거에는 동기 유발의 개념이 자리 잡고 있다 동기

유발이란 어떤 활동을 진 지시 유지하려는 내 상태 는 과정을

포함한다 이 개념은 교육 심리학의 심 개념 의 하나이지만 직 찰

할 수 없는 것이기 때문에 인간의 행동을 보고 거기에서 유출해 내는 개념

이며 이에 한 정의는 바라보는 과 강조하는 내용에 따라 각기 다르

다

(2) ARCS 이론

목 의 선택 가능성 부여

필요나

동기와의

부합성 강조의

략

다양한 수 의 목 제시

학업성취 여부의 기록체제 활용

비경쟁 학습상황의 선택가능

동 상호 학습상황 제시

자신감

수립을

한 략

학습의

필요조건

제시의 략

수업의 목표와 구조의 제시

평가기 피드백의 제시

선수학습 능력의 단

시험의 조건 확인

성공의 기회

제시의 략

쉬운 것에서 어려운 것으로 과제 제시

정수 의 난이도 유지

다양한 수 의 시작 제공

무작 의 다양한 사건 제시

다양한 수 의 난이도 제공

개인

조 감

증 의 략

학습의 끝을 조 할 수 있는 기회 제시

학습속도의 조 가능

원하는 부분에로의 재빠른 회귀 가능

선택가능하고 다양한 과제의 난이도제공

노력이나 능력에 성공 귀착

만족감

증 를

한 략

자연 결과

강조의 략

연습문제를 통한 용기회 제공

후속학습상황을 통한 용기회 제공

모의상황을 통한 용기회 제공

정 결과

강조의 략

한 강화 계획의 활용

의미 있는 강화의 강조

정답을 한 보상 강조

외 보상의 사려 깊은 사용

선택 보상체제 활용

공정성

강조의 략

수업목표와 내용의 일 성 유지

연습과 시험 내용이 일치

[표8 ARCS 략] ([1])

2 ARCS 이론을 용한 수열 수업 계획서

다음은 ([1])의 ARCS 이론의 수업계획서를 참고하여 수열 단원의 수업

계획서를 작성해보았다

수업내용개 동기 략개 기타의견1 수업 기

체 으로 교사는 다양한 방법으로 학습자들

에게 수업 내용을 제시하고 학습자들에게

한 언어를 사용한다

수열의 활용에

한 학습목표

제시하기

교사는 학습자들의 련성을 높이기 해 학습

목표의 의미를 설명해 다

도표는 큰 씨를 사

용하고 핵심이 되는

단어에는 다른 색깔을

사용한다

수열의 활용의

이 과 평가

거를 제시하기

교사는 학습자들의 련성과 자신감 만족감

을 높이기 하여 이 수업이 끝난 후 그들이

무엇을 할 수 있는지에 해 알려 다

교사는 학습자들의 자신감과 만족감을 높이기

하여 성공 인 학습성취를 단할 수 있는 객

인 거들을 알려 다

교사는 학습자들의 만족감을 높이기 하여

그들이 주어진 과제를 성공 으로 해결했을 때

그에 따르는 내재 강화나 외재 보상이 있음

을 알려 다

수열의 정의와

해법에 한 지

식을 간략하게

확인하기

교사는 선수학습과의 련성을 유발하기 하

여 간략한 보조도구(인쇄매체)를 사용하여 수열

의 정의와 해법을 제시한다

교사는 소집단 토론을 실시하여 학습자들의

선수지식을 스스로 검해 보도록 한다

교사는 수열의 정의와 해법을 잘 모르는 학습

자들에게 자신감을 유발시키기 하여 개별 인

학습목표를 세우도록 한다

소집단 구성에 있어

서 주의집 이 매우

낮은 5명을 하나의 소

집단으로 구성하고

친근한 소재를 활용하

여 그들의 주의집 과

련성을 유발한다

실생활과 련

된 수열의 활용

문제들을 몇 가

지 소개하기

교사는 학습자들의 주의집 을 유지하기 해

실생활에서 연립방정식을 활용하여 해결할 수

있는 몇 가지 문제들을 제시한다

주의집 이 매우 낮은 5명의 학습자들이 수업

에 극 인 심을 보이지 않으면 교사는 그

들에게 친근한 목소리로 이름을 부르면서 수업

에 집 하라고 얘기 하고 개인 인 심을 갖

고 있음을 나타낸다

로써 활용되는 문

제들을 선택할 때 학

습자들이 알고 있거

나 그들에게 친근감

을 주는 소재가 포함

되도록 선택한다 이

때 지나치게 자심감

이 높아서 수업에 소

극 으로 참여하는 3

명의 학습자들에게는

다소 복잡한 수열의

활용 문제를 미리 제

공하여 생각할 기회를

다

수열의 활용에

한 학습자들의

이해정도를 악

하고 피드백을

제공하기

교사는 학습자들에게 자신감을 높이기 하여

소집단을 구성하여 학습자들이 수열의 활용에

해 어느 정도 이해하고 있는지를 서로 토론하

도록 한다

교사는 소집단별로 둘러보면서 자신감과 만족

감을 유발시키기 하여 학습자들간에 서로 도

움을 주도록 분 기를 형성한다

소집단별로 간략하게 토론이 끝나면 학습자

들 스스로 정리하도록 한다

토론결과 학습자들이 수열의 활용에 해 잘

못 이해하고 있다면 교사는 즉각 으로 교정

피드백을 제공한다

학습자들의 소집단

토론시간을 무 길게

소요하지 않도록 한

다 자칫하면 토론분

기가 산만해지기 쉽

고 토론이 활발하지

못한 경우에는 학습자

들의 학습의욕이 떨어

진다

2 수업 반 체 으로 교사는 다양한 방법으로 학습자

들에게 수업 내용을

제시하고 학습자들에게 개별 인 언어를 사용

한다

실생활과 련

된 수열의 활용

의 문제들을 구

체 으로 제시하

기

교사는 학습자들의 주의집 련성 자신감

만족감을 유지하기 하여 게임을 실시한다 학

습자들이 돌아가면서 임의로 다른 학습자를 지

명하면 지명받은 학습자가 실생활과 련된 수

열의 문제를 하나 제시한다 한 문제를 제

시한 학습자에게 학습태도 수를 주어 만족감

을 향상시킨다

교사는 학습자들이 제시한 여러 가지 문제들

을 칠 에 은 후 몇몇 소집단을 구성하여

그 문제들을 해결하기 해 인스토 을 하

도록 한다 이때 교사는 문제를 해결한 학습자

가 아직 해결하지 못한 학습자들을 도와주어 자

신감과 만족감을 갖도록 한다

인스토 이 진행되는 동안 교사는 교실

을 둘러보면서 학습자들이 질문이나 의문사항

에 해 극 으로 질문할 수 있는 기회를 제

공하고 그에 해 개별 인 언어를 사용하여

부드러운 목소리로 피드백을 제공한다

인스토 도 학습자들의 개인 인 능

력차가 커서 문제를 해결하는데 어려움을 겪는

학습자들에게는 그들에게 합한 개별 인 학습

이때 교사는 밝고

생동감이 넘치는 목소

리로 학습자들의 활동

을 진시킨다

교사는 학습자들이

한 자신감을 유지

하고 있는지에 해

지속 인 심을 갖고

지켜본다

이때 교사는 학습자

들의 자신감과 만족감

을 높이기 하여 그

들에게 일 성 있는

피드백을 제공한다

교사는 학습자들이

목표를 다시 선정하도록 하여 자신감을 향상시

킨다

인스토 이 끝나면 교사는 소집단 별로

한 사람씩 자발 으로 나와 문제를 풀고 풀이

과정을 체 학습자들에게 설명하도록 한다 이

때 어려운 문제를 해결한 소집단이나 학습자에

게 교사는 그들의 우수한 능력을 인정하고 내

재 인 자존심에 정 인 향을 주는 칭찬을

제공하여 자신감과 만족감을 높인다

소집단의 인스토

을 하는 동안 체

으로 문제풀이를 할

때 주의집 을 유지

하고 자신감과 만족

감의 향상을 악하기

해 끊임없이 그들과

시선을 교류하고 얼

굴표정을 찰한다

3 수업마무리 체 으로 교사는 다양한 방법으로 학습자

들에게 수업 내용을 제시하고 학습자들에게 개

별 인 언어를 사용한다

실생활과 련

된 수열의 활용

에 해 체

으로 정리 요

약하기

교사는 교탁을 탁탁 치거나 박수를 쳐서 다

소 떨어진 학습자들의 주의집 을 향상 시킨다

교사는 실생활 속에서 수열을 활용하여 해결

할 수 있는 간단하고 재미있는 문제들을 2～3개

제시하여 학습자들이 그 문제를 성공 으로 해

결함으로써 자신감과 만족감을 갖도록 한다

교사는 학습자들이 미처 생각하지 못했던 실

생활 속에서 수열과 연 된 다양한 들을 제공

하여 주의집 과 련성을 유지향상시킨다

교사는 자신감과 만족감을 향상시키기 해

학습자들에게 수업진행 에 그들이 설정한 개

인 인 학습목표에 해 얼마나 많이 달성했는

가를 스스로 검해 보라고 한다

교사는 수업 반에 수열의 문제를 잘 해결하

지 못했던 학습자들에게 그 문제를 다시 해결해

보도록 기회를 제공하여 자신감과 만족감을 높

여 다

평가에 있어서 교사는 학습자들이 그들의 성

에 해 공정하게 평가되었다고 느끼도록 일

성 있게 평가하여 그들의 자신감고 만족감을

높여 다

교사는 수열과 실생

활과의 련성에 해

학습자들이 잘 지각하

고 있는가를 알아보기

해 다소 진지한 목

소리로 질문한다

다음 학습내용

에 해 간략히

소개하기

교사는 학습자들의 흥미를 유지하기 하여

다음 학습내용에 해 호기심에 찬 목소리로 간

략하게 소개하고 수업을 끝낸다

[표9 러의 ARCS이론]

단원

단

원Ⅲ 수열

배정시간

(분)50

단

원1 등차수열과 등비수열

차시 3소단

원3) 등차수열과 등비수열의 활용

학습

목표등차수열과 등비수열을 실생활의 문제에 용할 수 있다

학습

단계학습내용

교수-학습활동 지도상의유의사

항교사활동 학생활동

도

입

15

분

인사

출석

주변을 정리 정돈

하여 수업분 기를

조성한다

인사 출석체크

를 한다

주의를 환기시킨

후 학생들과 인사

한다

출결석 여부를

확인한다

바른 자세로 주

변을 정리한 뒤

교사와 인사한다

수업 비를 한

다

교사와 학생

모두 함께 수업

분 기를 조성한

다

선수

학습

확인

지난 시간에 학습

한 등차수열과 등비

수열의 정의에 해

다시 한번 확인해본

다

지난 시간에 학습

한 등차수열과 등비

수열의 일반항을 구

하는 방법에 해 확

인학습으로 [문제1]

과 [문제2]를 풀어본

다

학생들의 자신감

을 높이기 하여

등차수열과 등비수

열의 정의를 교과

서에서 찾아본 후

큰소리로 답하게

한다

학생들이 답한

후 다시 한번 등차

수열과 등비수열에

해 간단히 설명

등차수열과 등

비수열의 정의를

교과서에 찾아본

후 큰소리로 읽는

다

교사가 등차수

열과 등비수열의

정의에 해 다시

한번 간단히 설명

할 때 부족한 부

분은 필기하며 복

습한다

교사가 정의에

해 질문할 때

학생들이 모두

책을 찾아볼수

있게 주의를

다

만일 답하

지 못하는 학생

이 있을 경우 그

여기서 인스토 (brainstorming)이라고 하는 것은 갑자기 떠오르는 멋

진 생각을 종이에 는다든가 말로 표 해 본 후 로 기록하거나 기록된

문장을 정리정돈하면서 생각을 논리화하는 방법이다 주로 어떤 계획을 세

우고자 할 때 창조 이고 기발한 아이디어가 필요할 때 학생들의 의견과

생각을 끌어내어 발 시키고자 할 때 사용하면 유리하다 ([3])

3 ARCS 이론을 용한 수업지도안

[문제1]

다음 등차수열

의 일반항과 제20항

을 구하여라

　　　　　　　

[문제2]

다음 등비수열

의 일반항과 제8항을

구하여라

　 　　　　　

한다

교사는 [문제1]

과[문제2]를 제시

한 뒤 학생들에게

직 풀어보게 한

다

등차수열과 등

비수열의 일반항

과 그 공식의 유

도과정을 기억한

다

제시된 문제를

연습장에 풀어본

다

학생에 해 개

별 인 언어를

사용하여 부드러

운 목소리로 피

드백을 제공한

다

개

30

분

학습

목표

제시

수열의 활용에

한 학습목표를 제시

한다

학습목표 학습

에 필요한 자료를

Power point 시청

각 효과를 사용하여

학생들의 주의환기

집 을 한 략

을 사용한다

학습목표를 학생

들에게 읽게 하고

학생들의 련성을

높이기 해 학습

목표의 의미를 설

명해 다

교사의 지시에

따라 큰소리로 학

습목표를 읽고 이

수업이 끝난 후

무엇을 할 수 있

는지에 해 생각

해 본다

학습목표는 큰

씨를 사용하

고 핵심이 되는

단어에는 다른

색깔을 사용한

다

탐구

학습

실생활과 련된

수열의 활용문제들을

몇 가지 소개한다

수열의 활용에

한 학습자들의 이해

정도를 악하고 피

드백을 제공한다

등차수열과 등비

수열을 이용하여

실생활의 문제를

해결할 수 있음을

학생들이 쉽게 이

해할 수 있도록 설

명한다

교사가 실생활

과 련된 수열의

활용문제들을 몇

가지 소개할 때

다른 시가 있는

지 함께 생각해

본다

문제

제시

[문제3]

한일 월드컵 축구 개

회 연도는 2002년이

다 2002년 이후 월

드컵 축구가 개최되

는 연도를 차례로 써

보고 이 규칙 로 월

드컵 축구가 개최되

면 2100년은 월드컵

축구가 개최되는 연

도인가

교과서에서 수열

단원의 수열의 활

용부분에 수록된

문제들을 풀어볼

수 있도록 시간을

다

등차수열과 등

비수열의 일반항

유도 공식을 생각

해보고 제시된 문

제를 해결해 간다

로써 활용되

는 문제를 선택

할 때 학습자들

이 알고 있거나

그들에게 친근감

을 주는 련성

증진을 한

략을 사용한다

[문제4]

컴퓨터의 주기억 장

치인 램은용

으로

용으로 가 개발

되었다 이후 램의

용 량 은

로 증가되어 왔다

의 램으로부터

번 증가된 주 메모

리는 식으로 어떻게

나타낼 수 있는가

학생들이 문제를

어렵게 느끼지 않

도록 어떤 방향으

로 해결해야 하는

지 힌트를 주어 학

생들의 자신감을

증진시킨다

소집

단

활동

5～6명으로 이 진

소집단을 구성하여

학습자들이 수열의

활용에 해 어느 정

도 이해하고 있는지

를 서로 토론하도록

한다

소집단별로 실생활

과 련된 수열의 활

용의 문제들을 구체

으로 제시한다

인 스토 이

끝나면 소집단별로

한사람씩 문제를 풀

고 풀이과정을 체

학생들에게 설명하는

시간을 갖는다

교사는 학생들의

만족감을 높이기

하여 그들이 주

어진 과제를 성공

으로 해결했을

때 그에 따르는

내재 강화나 외

재 보상이 있음

을 알려 다

어려운 문제를

해결한 소집단이나

학생에게 교사는

그들의 우수한 능

력을 인정하고 내

재 인 자존심에

정 인 향을

주는 칭찬을 제공

하여 자신감과 만

족감을 높인다

자신이 속한 소

집단 내에서 제시

된 과제에 해

열심히 토의를 하

며 문제를 해결한

학생이 아직 해결

하지 못한 학생들

을 도와주어 자신

감과 만족감을 갖

도록 한다

소집단별로 간

략하게 토론이 끝

나면 학생들 스스

로 정리해보고 자

발 으로 체 학

생들에게 설명해

보는 기회를 갖는

다

교사는 학습자

들이 한 자

신감을 유지하고

있는지에 해

지속 인 심을

갖고 지켜본다

학생들의 소집

단 토론시간을

무 길게 소요

하지 않도록 한

다

형성

평가

[문제4]

민수는 남 문의 기

와 지붕 한쪽 면이

사다리꼴 모양임을

찰하고 이 면에 있

는 기와의 개수를 알

아보고자 한다 기와

형 성 평 가 를

Power point로 제

시하고 학생들이

스스로 풀어볼 수

있도록 지도한다

학생들이 문제를

다 풀고 나면 교사

제시된 문제를

오늘 학습한 내용

을 복습하면서 풀

어보도록 한다

교사는 다소

진지한 목소리로

질문한다

의 개수를 행으로 세

었더니 용마루 쪽에

가장 가까운 행에는

40개 처마 쪽에 가

장 가까운 행에는 72

개 다 용마루부터

처마까지 행의 개수

가 17이라고 할 때

민수가 찰한 지붕

한쪽 면의 기와의 개

수는 모두 몇 개인

가

는 학생들에게

답할수 있도록 하

고 학생들이 학습

목표에 해 얼마

나 많이 달성했는

가를 스스로 검

해 보라고 한다

형성평가의 답

을 교사의 질문에

끝난 뒤 큰소리로

답하여 자신감

과 만족감을 갖도

록 한다

학생들에게 개

별 인 언어를

사용한다

정

리

5

분

학습

정리

차시

고

학습 자료를 이용

하여 수열의 실생활

의 활용 단원의 수업

내용을 확인한다

과제를 제시한다

다음 차시인 「여

러 가지 수열」 단원

에 한 고를 한

다

수업 내용을 정

리하고 과제를 제

시한다

학생들의 흥미를

유지하기 하여

다음 학습내용에

해 호기심에 찬

목소리로 간략하게

소개하고 수업을

끝낸다

오늘 학습한 내

용을 정리한다

과제를 고 과

제 해결에 한

내용을 머릿속에

형성해 본다

다음 차시에 배

울 내용을 학습

자료 화면으로 확

인해본다

수업내용에

해 학생과 교사

모두가 만족하고

있는지 확인하고

공정한 평가를

한다

[표10 수업지도안]

4 조사 문제지 분석

고등학교 수학 Ⅰ 의 수열단원의 효율 인 지도방안의 연구를 하여 원

종고등학교 2학년 학생 100명을 상으로 조사 문제지 조사를 하 다 학

생들의 수학에 한 심과 수학에서 가장 어려워하는 부분을 알아볼 수

있었고 어떤 방식의 수업을 선호하는지도 알아볼 수 있었다

⑴ 수학에 얼마나 심이 있나요

① 매우 많다 ② 많다 ③ 보통이다 ④ 다 ⑤ 매우 다

수학과목에 매우 많은 심을 보이는 학생은 2로 매우 낮은 편이며

심이 있는 학생은 43로 학생의 반정도 다 수학과목에 심이 거

나 없는 학생은 54정도로 수학은 어려운 과목이라는 인식 때문에 심

이 은 것 같다

수학을 공부하는 가장 큰 이유에는75의 학생들이 학입시를 해서라

는 문항을 선택했다 기타 이유에는 교과서에 있어서 어쩔수 없이 한다

는 학생과 진리탐구를 해서라는 학생도 있었다

[그림6 조사문제지

(1)번 막 그래 ]

⑵ 수학을 공부하는 가장 큰 이유가 뭐라고 생각하나요

① 학입시를 해서

② 평소 수학에 흥미가 있어서

③ 실제 생활에 쓰기 해서

④ 주변에서 해야한다고 하니까

⑤ 기타 이유 (이유를 간단히 어주세요)

앞에 (1)번문항에서 수학에 심이 은 학생이 반 정도인것에 반해

수학공부가 필요하다고 느낀학생이 75정도로 수학공부가 필요하단건

느끼지만 어려운 과목이라는 인식이 부분인것 같다 수학과목도 재

는 과목이란 인식을 학생들이 가질수 있도록 노력해야겠다

[그림7 조사문제지

(2)번 막 그래 ]

⑶ 수학공부의 필요성에 해 어떻게 생각하나요

① 매우 필요하다 ② 조 필요하다 ③ 보통이다

④ 필요 없다 ⑤ 필요 없다

[그림8 조사문제지

(3)번 막 그래 ]

⑷ 수학을 공부하면서 가장 어려운 부분은 무엇이나요

① 복잡한 계산 과정 ② 외워야할 많은 공식들

③ 응용문제엔 어떤 공식을 용해야할지 ④ 다 어렵다

학생들이 수학과목이 어렵다고 느끼는 이유는 응용문제에 어떤 공식을

용해야 하는지를 몰라서 라는 답이 58로 가장 많았다 그 외에도

계산과정이 복잡하거나 외워야할 공식들이 많아서라는 답도 있었다

이해 주의 수업을 하고 단순한 공식의 암기 주의 수업을 탈피해야겠

다

수학수업을 하는데 효과 인 방법에는 선생님 주의 강의식 수업과 학

생 개인별 수업이 78로 가장 많았다 개념이나 공식유도과정을 설명할

땐 서를 하며 강의식 수업을 하고 문제풀이땐 학생들 개인별로 첨삭

지도를 하는게 효율 인것 같다

⑤ 기타이유 (이유를 간단히 어주세요)

[그림9 조사문제지

(4)번 막 그래 ]

⑸ 수학 수업을 하는 데 어떤 방법이 가장 효과 이라고 생각하나요

① 선생님 주의 강의식 수업

② 학생 개인별 수업

③ 모둠별 활동 수업

④ 기타 교재나 과제를 통한 수업

⑤ 기타(이유를 간단히 어주세요)

[그림10 조사문제지

(5)번 막 그래 ]

Ⅵ 결론

본 논문에서 지 까지 고등학교 2학년 학생들이 수학 Ⅰ 교육과정을 학습하

는데 가장 어려워하는 수열에 해 살펴보았다 먼 개정 교육과정에 명시

된 수학교육의 목표와 임의로 선택된 5종 교과서에서 수열 단원의 학습목표

를 살펴보았고 수열의 역사 배경과 실생활에 응용된 들을 정리해보았

다 한 5종 교과서에서 제시되어 있는 수열의 학습내용을 소단원 별로 정

리해보았다 임의로 선택된 5종 교과서안의 수열의 학습내용을 분석해보면

서 몇 몇 교과서에서 여러 가지 수열 단원에서 군 수열과 멱 수에 한 언

이 없거나 미약함을 알 수 있었다 본 연구자가 보기에 군 수열과 멱 수

부분은 실생활에 활용될 는 극히 작아 보이지만 학생들이 꼭 학습하고 넘

어가야 수열에 한 완벽한 학습이 될 수 있을 것이라 여겼는데 교과서에서

제시된 내용들로는 학생들이 충분히 이해할 수 없을 것 같았다

그리고 교과서에 제시된 문항의 수 이 입시와 동 떨어진다는 문제 이 있

었다 교과서에 제시된 문제가 부족하고 수 이 낮다 보니 실제로 학교에서

수업 때 보충 린트 물로 수업을 진행하고 간기말고사 때에도 교과서

외에서 많은 문제를 출제하는 모습을 볼 수 있었다 때문에 학생들이 교과서

보다는 문제집 주의 공부를 할 수 밖에 없는 듯 보 다 교과서가 학생들

과 교사의 요구에 부합할 수 있도록 새로운 내용들과 문제를 싣도록 해야

할 것이다

학생들이 수열 단원의 학습을 할 때 좀 더 효과 인 학습이 될 수 있도록

리의 동기설계이론 (ARCS 이론) 을 바탕으로 하여 수업 계획서와 1차시

의 수업 지도안을 작성해 보았다 한 작성한 수업 지도안으로 부천시 소재

의 한 고등학교에서 실제 수업을 진행해 보았을 때 학생들이 좀 더 수열에

해 친숙하게 느끼고 쉽게 이해하는 모습을 볼 수 있었다 본 연구자가

직 교사가 아니라 여러 반을 상으로 수열 단원의 모든 차시 수업에 용

하여 수업을 해볼 수 없었단 이 아쉬움으로 남는다

이와 같이 학생들의 주의 련성자신감만족감 증진을 한 수업을 함

으로써 학생들의 수학 학습 성취도의 향상을 기 할 수 있을 것이다 한

개발된 자료를 실제 수업에 용하는 경우의 효율성에 한 후속 연구가 체

계 이고 지속 으로 이루어져야 할 것이다

참 고 문 헌

[1] 구평회 META 구평회 교육학 2007

[2] 교육인 자원부 고시 제2007 - 79호[별책8] 2007

[3] 박인학 교사를 한 교수학습방법론 문사 1995

[4] 변 계 교수학습 이론의 이해 학지사 1999

[5] 우정호 외 5인 고등학교 수학 Ⅰ 한교과서(주) 2002

[6] 이 연 자연의 수학 열쇠 피보나치수열 로네시스 2006

[7] 이진화 지수로그함수의 지도에 한 연구 서강 학교 교육 학원 석사 학

논문 2006

[8] 임재훈 외 10인 고등학교 수학 Ⅰ (주)두산 2002

[9] 장 숙 고등학교 수학 Ⅰ 교과서의 통계단원 분석 실생활에의 용 경희

학교 교육 학원 석사 학 논문 2006

[10] 조해식 행렬 수열 수업에서의 수학사 도입에 한 연구 울산 학교 석사

학 논문 1998

[11] 차 자 수열 학습의 흥미 유발을 한 자료 연구 경성 학교 교육 학원 석

사 학 논문 2004

[12] 최 외 5인 고등학교 수학 Ⅰ 앙교육진흥연구소 2006

[13] 최상기 외 5인 고등학교 수학 Ⅰ (주)고려출 2002

[14] 최용 신 성 고등학교 수학 Ⅰ 천재교육(주) 2002

[15] 황혜정 외 5인 수학교육학 신론 문음사 2002

• Ⅰ 서론
• • 1 연구의 필요성과 목적
  • 2 연구의 제한점
  • • Ⅱ 개정 교육과정에서 명시된 수학Ⅰ교육의 목표
    • • 1 수학Ⅰ교육의 목표
      • 2 고등학교 수학 Ⅰ 수열 단원의 학습목표
      • • Ⅲ 수열의 역사적 배경 및 응용
        • • 1 수열의 역사
          • 2 수열 단원이 실생활에 응용된 사례
          • • Ⅳ 고등학교 수학교육과정에서의 수열
            • • 1 수학Ⅰ 교과서 분석
              • 2 수학Ⅰ 교과서에서의 수열
              • • Ⅴ 켈러의 ARCS 이론과 수열 지도
                • • 1 켈러의 ARCS 이론
                  • 2 ARCS 이론을 적용한 수열 수업 계획서
                  • 3 ARCS 이론을 적용한 수업 지도안
                  • 4 조사지 분석
                  • • Ⅵ 결론
                    • 참고문헌

그림 목차

1 [그림1 피보나치수열] 10

2 [그림2 하노이의 탑]11

3 [그림3 피라미드 황 비]14

4 [그림4 피아노건반황 비율] 15

5 [그림5 인체 황 비율]16

6 [그림6 조사문제지 (1)번 막 그래 ]39

7 [그림7 조사문제지 (2)번 막 그래 ]40

8 [그림8 조사문제지 (3)번 막 그래 ]40

9 [그림9 조사문제지 (4)번 막 그래 ]41

10 [그림10 조사문제지 (5)번 막 그래 ]42

국문 록

수학은 오래된 학문으로 사회생활을 하는데 직 으로 소용이 되지 않는

수학 지식도 타학문을 공부하는 데에는 필요하다 그러나 부분의 사람

들은 간단한 연산을 제외하고는 수학의 필요성을 느끼지 못하고 있다 게

다가 학생들은 수학을 입시 과목 의 하나로만 여겨 내용에 한 이해보

다는 문제를 공식에 용시키는 정도로써 수학에 한 심을 보이고 있는

형편이다 이런 상 때문에 학생들이 수학을 어려운 과목으로만 여기고

기피하는 모습을 많이 보이고 있다

본 논문에서는 행 고등학교 수학과 교육과정에서 수열 단원을 교과서별

로 분석해 보았고 수열 단원의 각 소단원의 내용을 정리해 보았다 그리고

고등학교 2학년 인문계열 학생들이 수학 Ⅰ 교육과정을 학습할 때 가장 어

려워하는 수열 단원을 보다 효율 으로 지도하기 한 방안을 연구해보았

다

이를 하여 본 연구자가 교생실습을 했던 경기도 부천시 소재의 원종고

등학교 2학년 인문계학생 100여명을 상으로 수학의 학습에서 가장 어려

운 부분과 그 이유를 알아보는 조사 문제지 검사를 실시하 으며 이를 토

로 수열의 효율 인 지도방안에 해 좀 더 구체 으로 연구해 볼 수 있

었다

러(Keller)의 ARCS 이론의 주의(Attention) 련성(Relevance) 자신감

(Confidence) 만족감(Satisfaction) 을 토 로 하여 수열 단원의 수업계획

서와 수업지도안을 작성해보았고 지도안 로 수업을 실시해보았다

지도안 로 수업을 실시 해 보았을 때 본 연구자가 매 수업 끝난 후 실시

한 Test에서 그 차시 수업 때보다 좋은 수를 낸 것으로 보아 학생들

이 수열 단원의 학습 효과가 조 은 향상된 것으로 보여진다

ABSTRACT

Mathematical knowledge has been used to study other fields even though it

does not have a direct relation with them However most of the people think

mathematics is not essential to life except for simple calculations Moreover

because students think of mathematics just as a required subject for an

admission in a university they are not interested in math itself but interested

in solving mathematical problems by merely applying given formulas Due to

these tendencies many students consider that mathematics is beyond their

abilities and seem to try to avoid it if possible

The present thesis analyzes and compares textbooks concerning sequences in

the present curriculum of highschool mathematics Above all the author tries

to find effective ways to teach sequences which are difficult for highschool

students especially for those who plan to major in humanities to learn

To achieve these objectives the author asked a hundred students in the

second-grade class at Wonjong highschool in Buchon-si Kyonggi-do to fill

out questionnaires concerning most difficult parts in learning mathematics and

ways to improve learning We have been able to specifically construct effective

teaching plans for sequences based on these questionnaires We have written

out a guidance plan and a teaching plan for the chapter on sequences based

on Kellers ARCS Theory- Attention Relevance Confidence Satisfaction

It is well known that the effectiveness of study is higher if students are

taught with the teaching plan

Ⅰ 서 론

1 연구의 필요성과 목

오늘날의 수학교육에 있어서의 최 당면 문제는 수학의 기 인 교육

기반을 어떻게 회복하느냐 하는 것이다 이를 해서는 lsquo수학을 어떤 이유

로 가르쳐야 하는가rsquo 는 lsquo학생들이 왜 수학을 알아야 하는가rsquo에 한 보

다 근원 인 논의가 이루어져야 한다 lsquo수학을 왜 가르치고 배우는가rsquo 라는

질문에 부분은 수학을 배우면 논리 으로 사고하게 되고 과학 인 생활

을 하는 데 도움이 된다고 말하지만 우리는 이러한 질문에 하여 보다

체계 으로 생각해 보아야 한다 수학을 가르치는 교사는 학생을 지도할

만큼의 충분한 수학 지식을 가지는 것도 요하지만 수학이 갖는 가치

에 하여 단순히 학문 입장만이 아닌 lsquo교육 rsquo 입장에서의 가치 을 갖

추고 있어야 한다는 것이다 ([15])

하지만 지 의 학교수학교육의 황은 학 입시를 한 기계식의 문제풀

이와 암기 주의 수업이 이루어지고 있는 실정이다 때문에 학생들은 수학

에 한 기 개념을 알지 못한 채 수박 겉핥기식의 학습을 하게 되고 수

학에 흥미를 잃고 수학을 포기하는 학생이 늘어가고 있다

고등학교 수학Ⅰ 교육과정의 요한 단계인 수열에 해 학생들은 특히

이해하기 어려워한다 한 수열에 한 선수 학습이 제 로 이루어지지

않았을 경우 수열을 배우고 나서 바로 다음 단원에 학습하는 수열의 극한

단원을 이해하는데 어려움을 겪게 되기 때문에 수열의 제 로 된 학습은

학생들에게 상당히 요한 문제라고 할 수 있다

학생들이 수열 단원을 어려워하는 데에는 많은 이유가 있겠지만 무엇보다

도 행 교과서의 수열 단원의 구성에 부족한 부분이 많기 때문인 것 같

다 요한 단원임에도 불구하고 개념 설명이나 시 문항이 많이 부족하

고 군 수열이나 멱 수에 한 설명은 실려 있지 않은 교과서도 많았다

한 지 의 딱딱한 강의식 수업에서 벗어나 학생들의 자신감과 만족감을

증진시킬 수 있는 수업을 해 교사나 학생 모두 노력해야한다

이 논문에서는 개정 교육과정에 의하여 다루어지는 고등학교 수학 Ⅰ 교

육과정 내용 수열을 택하여 각 교과서에서 수열 단원의 구성과 수열에

한 역사 배경과 실생활에 활용된 를 알아보고 학생들로 하여 수

열의 원리와 개념의 이해에 도움이 될 수 있는 지도방안을 러의 ARCS

이론을 바탕으로 하여 작성해보고자 한다

2 연구의 제한

재 고등학교에서 채택하고 있는 12여종의 수학 Ⅰ 교과서 부를 분

석하지 않고 임의로 선택된 5종 교과서를 분석하 기 때문에 5종이 12종을

모두 표한다고 볼 수 없다

본 논문은 러의 ARCS 이론을 바탕으로 한 수열 지도가 수열 단원의

학습에 효율 일 것이라고 여겼으나 1개 고등학교에서만 수업시연을 해보

았기 때문에 실제 인 검증작업을 거치지 못하 다 따라서 연구 결과에

한 한계가 있을 수 있다

러의 ARCS 이론을 바탕으로 한 수열 학습지도안으로 수업을 진행할

때 조별학습을 하게 되는데 이때 능숙한 교사가 아니라면 학생들의 주의

가 산만해지고 수업 분 기가 흐트러지는 것을 정리하고 완만한 수업을 진

행하기가 힘이 들것이라 생각된다

본 연구자가 부천시 소재의 원종고등학교 학생 100명을 상으로 한 조

사문제지 검사가 수열 단원의 학습에 국한된 것이 아니라 고등학교 수학

학습의 일반 인 내용을 담았기 때문에 수열 단원의 효율 인 지도방안을

한 연구에 직 인 도움을 주지 못했다

본 연구자가 제안한 교수 방법의 효과를 검증하지 못했다

Ⅱ 개정 교육과정에서 명시된

수학Ⅰ 교육의 목표

1 수학Ⅰ교육의 목표

교육인 자원부에 고시된 개정 교육과정([2])에서의 고등학교 수학Ⅰ과정

교육목표는 다음과 같다

1)성 격

lsquo수학 Ⅰrsquo의 학습을 통하여 수학 개념 원리 법칙을 이해하고 수학 사

고 능력을 키워 합리 이고 창의 으로 문제를 해결하는 능력과 태도를 기

를 수 있다

lsquo수학 Ⅰrsquo의 교수학습에서는 고등학교 1학년까지의 수학에서 습득한 수학

개념 원리 법칙을 토 로 하여 새로운 개념에 근해야 하므로 기본

인 수학 지식을 확인하고 활용하면서 발 인 학습이 이루어지도록 한

다 이 과정에서 여러 가지 상을 수학 으로 해석하고 조직하는 활동 구

체 인 사실에서 진 으로 추상화로 나아가는 과정 직 이나 구체 인

조작 활동에 바탕을 둔 통찰 등의 수학 경험을 통하여 형식이나 계를

발견하는 것이 요하다 한 수학 문제를 해결하는 과정에서 문제를 명

확히 이해하고 합리 인 해결 계획을 세워 실행하며 반성을 통하여 풀이 과

정을 검하고 다양하게 활용하는 능력을 기르도록 한다 수학 지식과 기

능을 활용하여 여러 가지 문제를 해결해 으로써 수학의 필요성과 유용성

을 인식하고 수학 학습의 즐거움을 경험해 으로써 수학에 한 정 인

태도를 갖게 한다

역 내 용

행렬과 그래

행렬과 그 연산

연립일차방정식과 행렬

그래 와 행렬

지수함수와 로그함수

지수

지수함수와 그 그래

지수방정식과 지수부등식

로그

2) 목 표

수학 개념 원리 법칙을 이해하고 수학 으로 사고하고 의사소통하는

능력을 신장하여 여러 가지 문제를 합리 이고 창의 으로 해결하며 수학

의 실용성을 인식하여 수학에 한 정 태도를 갖는다

(1) 수학Ⅰ의 학습을 통해 얻는 여러 가지 장

(가) 행렬과 그래 지수함수와 로그함수 수열 수열의 극한에 련된 개

념 원리 법칙과 이들 사이의 계를 이해하고 이를 활용하는 능력을 기른

다 여러 가지 상을 찰 분석 조직하여 수학 으로 나타내는 능력을 기

른다

(나) 수학을 통하여 여러 가지 문제를 합리 으로 해결하는 능력과 수학

으로 사고하고 의사소통하는 능력을 기른다

(다) 수학의 가치를 이해하여 수학에 한 심과 흥미를 지속 으로 가지

며 수학에 한 정 태도를 기른다

3) 내 용

⑴ 내용체계

로그함수와 그 그래

로그방정식과 로그부등식

수열

등차수열과 등비수열

여러 가지 수열

수학 귀납법

알고리즘과 순서도

수열의 극한무한수열의 극한

무한 수

[표1 수학Ⅰ교과서 내용체계]

4) 평 가

(1) 평가

(가) 수학 학습의 평가는 학생의 인지 역과 정의 역에 한 유용한

정보를 제공하여 학생 개개인의 수학 학습과 인 인 성장을 돕고 교사의

교수 활동과 수업 방법을 개선하는 데 활용한다

(나) 수학 학습의 평가에서는 학생의 인지 발달 수 을 고려하고 교육과정에

제시된 내용의 수 과 범 를 수한다

(다) 수학 학습의 평가는 수업의 개 과정에 따라 진단 평가 형성 평가 총

평가 등의 한 평가 방식을 택하여 실시하되 지속 인 평가를 통하여

다양한 정보를 수집하고 수업에 활용한다

(라) 수학 학습의 평가에서는 획일 인 방법을 지양하고 지필 평가 찰 면

담 자기 평가 등의 다양한 평가 방법을 통해 수학 교수ㆍ학습을 향상시킬

수 있게 한다

(마) 인지 역에 한 평가에서는 학생의 수학 사고력 신장을 하여 결

과뿐만 아니라 과정도 시하여 평가하되 수학의 교수학습에서 반 으

교과서 학습목표

한교과서

(주)

등차수열 등비수열의 뜻을 알고 일반항 첫째항부터 제 n항까지

의 합을 구할 수 있다

sum의 뜻과 성질을 이해하고 이를 활용하여 여러 가지 수열에

한 문제를 해결할 수 있다

수학 귀납법의 원리를 이해하고 이를 활용하여 자연수 n에

하여 참인 명제를 증명할 수 있다

알고리즘과 순서도의 뜻을 알고 간단한 문제 해결을 한 알고

리즘을 작성하여 순서도를 만들 수 있다

(주) 천재교육

등차수열과 등비수열의 뜻을 알고 일반항과 첫째항부터 제 n항

까지의 합을 구할 수 있다

기호 sum의 뜻과 성질을 이해하고 이를 활용할 수 있다

여러 가지 수열의 일반항과 첫째항부터 제 n항까지의 합을 구

할 수 있다

여러 가지 수열에 한 문제를 해결할 수 있다

수학 귀납법의 원리를 이해하고 이를 이용하여 자연수 n에

하여 참인 명제를 증명할 수 있다

로 요구되는 사항을 강조한다

(바) 정의 역에 한 평가에서는 학생의 수학에 한 정 태도를 신장

시키기 하여 학생의 수학에 한 바람직한 가치 이나 수학 학습에 한

심 흥미 자신감 등의 정도를 악한다

(사) 수학 학습의 평가에서는 평가하는 학습 내용에 따라 학생에게 계산기

컴퓨터와 같은 공학 도구와 다양한 교구를 이용할 수 있는 기회를 제공할

수 있다

2 고등학교 수학 1 수열단원의 학습목표

수학 Ⅰ교과서에서의 수열단원의 학습목표를 5종 교과서를 비교하여 살펴

보고자한다 임의로 선택된 5종 교과서([5][8][12][13][14])의 학습목표는

다음과 같다

알고리즘과 순서도의 뜻을 알고 그 필요성을 이해할 수 있다

간단한 문제 해결을 한 알고리즘을 작성하여 순서도를 만들

수 있다

앙교육진흥

연구소

수열을 이해하고 이를 활용하여 여러 가지 문제를 해결할 수 있

다

수학 귀납법의 원리를 이해하고 이것을 이용하여 자연수 n에

하여 참인 명제를 증명할 수 있다

알고리즘과 순서도의 뜻을 알고 간단한 문제 해결에 사용할 수

있다

(주) 고려출

등차수열의 뜻을 알고일반항 첫째항부터 제 항까지의 합을 구

할 수 있다

등비수열의 뜻을 알고일반항 첫째항부터 제 항까지의 합을 구

할 수 있다

sum의 뜻과 성질을 이해하고 이를 활용할 수 있다

여러 가지 수열의 일반항 첫째항부터 제 항까지의 합을 구할

수 있다

여러 가지 수열에 한 문제를 해결할 수 있다

수학 귀납법의 원리를 성명하고 수학 귀납법을 이용하여 자연

수 에 하여 참인 명제를 증명할 수 있다

알고리즘과 순서도의 뜻을 알고 그 필요성을 알 수 있고 간단

한 문제 해결을 한 알고리즘을 작성하여 순서도를 만들 수 있다

(주) 두산

등차수열과 등비수열의 뜻을 알고 일반항과 그 합을 구할 수 있

다

기호sum의 뜻과 성질을 이해하고 이를 이용하여 여러 가지 수열

에 한 문제를 해결할 수 있다

수학 귀납법의 원리를 이해하고 이를 이용하여 자연수 에

하여 참인 명제를 증명할 수 있다

알고리즘과 순서도의 뜻을 알고 간단한 문제 해결을 한 알고

리즘을 작성하여 순서도를 만들 수 있다

[표2 5종 교과서 수학 Ⅰ 수열 단원의 학습목표]

Ⅲ 수열의 역사 배경 응용

1 수열의 역사

수학의 역사에서 가장 흥미로운 수열 하나가 피보나치수열이다 피보나

치수열은 수학이론 뿐만 아니라 자연계 건축 술 등에 다양하게 표 된

다

그 에 오나르도가 발표한《산반서》에 소개된 피보나치수열에 한 문

제는 다음과 같다 ([6]) ldquo어떤 사람이 토끼 한 을 우리에 넣었다 이 토

끼 한 은 한 달에 새로운 토끼 한 을 낳고 낳은 토끼들도 한 달이 지

나면 다시 한 의 토끼를 낳는다 그 다면 1년이 지나면 몇 의 토끼가

있을까rdquo

첫 달엔 처음에 있던 토끼 한 만 있다 두 번째 달이 되면 토끼 한 을

낳아 두 의 토끼가 된다 세 번째 달이 되면 처음에 있던 토끼 한 이

한 의 토끼를 낳아 세 의 토끼가 된다 네 번째 달이 되면 첫

달과 두 번째 달의 토끼 두 이 각 한 의 토끼를 낳아 총 다섯 의

토끼가 있게 된다 이런 식으로 토끼를 낳아가면 그 수는 다음과 같은 규

칙을 갖는다 　　　　　　　　　　 이런 규칙을 갖는 피보나치수열의

일반항을 이라고 하면 　 　 　 　 가 된다

그런데 이 수열을 자연에서도 쉽게 찾아볼 수 있다 식물의 기에서 뻗어

나온 잎을 생각해 보면 기의 에 있는 잎 하나에서 수직으로 에 있

는 잎까지 도달할 때까지 기를 따라 올라가면서 잎의 개수를 세면 그

수들은 일반 으로 피보나치수열을 이룬다

[그림1 피보나치수열]

2 수열 단원이 실생활에 응용된 사례

1) 하노이의 탑

인도 갠지스 강 유역 라만교의 사원에 있었던 하노이의 탑은 라만

탑이라고도 부르는데 이 탑에 얽힌 문제의 내용은 다음과 같다 다음은

([10])의 내용을 참고하 다

[베나 스에는 세계의 심이 있고 그 곳에는 아주 큰 사원이 있으며 이

사원에는 높이 정도 되는 다이아몬드 바늘 3개가 있다 그 에서 한

바늘에는 천지 창조 때에 신이 구멍이 뚫린 64장의 순 으로 된 원 을 크

기가 큰 것부터 아래에 놓이도록 하여 차례로 쌓아 놓았다 그리고 신은

승려들에게 밤낮으로 쉬지 않고 원 을 한 장씩 옮겨 빈 다이아몬드 바늘

어느 한 곳으로 모두 옮겨 놓도록 명령하 다

ldquo원 은 한 번에 한 개씩만 옮겨야 하고 로 작은 원 에 큰 원

을 올려놓을 수 없다 단 64개의 원 의 크기는 모두 다르다 이 말을 충

실히 실행하고 한 순간도 게을리 하지 마라 만일 게을리 하는 일이 있으

면 그 때는 이 사원도 탑도 모두 무 지고 세계는 종말을 고하게 된다 게

을리 하는 일이 없으면 그 들이 원 을 부 옮길 때까지 세상은 태평할

것이다rdquo]

승려들은 과제를 수행하기 해 밤낮으로 매우 열심히 작업을 했다 그 작

업을 끝내기 해서 승려들은 몇 번을 움직여야 하고 얼마나 많은 시간을

사용해야만 했을까

[그림2 하노이의 탑]

원 이 1개가 있으면 최소 이동 횟수는 1번 원 이 2개가 있을 때 최소

이동 횟수는 3번이고 원 이 3개가 있으면 최소 이동 횟수는 7번이다

원 이 4개가 있으면 최소 이동 횟수는 15번이다 이런 식으로 계속 해나

가다 보면 　　　　　　　 라는 수열을 얻는다 이것은 각 항의 차이가

계차수열을 이루는데 이것은 다음과 같다 　　　　　　일반항을 으로 두

고 구해보면 　 　times 　 　 이다 처음 값을 으로 두고 일반항을

구해보면 　

이 된다

만약 그 설 로 따라가서 수도승들이 쉬지 않고 디스크를 1 에 한번

씩 옮겼다면 최소의 이동횟수는 이 되고 18446744073709551616

가 걸리고 략 5854억4200만년이 필요하다는 것을 알 수 있다

원 이자 원리합계(=원 +이자)

1년 원 원 원

2년 원 원 원

3년 원 원 원

년 원 100원 원

2) 등차수열의 응용

(1) 단리법

단리법은 처음 원 의 이자에 해당하는 비율만큼 계속 되는 계산법이

다 1000원을 했다면 1년이 지날 때마다 10 의 이자가 붙는다고 하

자 1년이 지났을 때 10 의 이자가 붙으면 100원 불어나므로 1000 +

1000 times 01 = 1100(원) 이다 그리고 1년2년 년이 지날 때 마다

값을 측정해보면 다음과 같다

[표3 단리법]

최종 으로 원 을 라 하고 연이율을 이라고 한다면

결국 년이 되었을 때 단리법으로 표 하면 그 때의 총 합 는

이 된다

3) 등비수열의 응용

(1) 복리법

복리법은 원 에 이자가 된 원리합계를 기 으로 이자를 계산하는 방

법이다 원을 했다면 1년이 지날 때마다 의 이자가 붙는다고

원 이자원리합계

(=원 +이자)

1년 원 원 원

2년 원 원 원

3년 원 원 원

년 원 times원 원

하자 1년이 지났을 때 의 이자가 붙으면 원 불어나므로

times (원) 이다 그리고 1년2년 년이 지날 때 마

다 값을 측정해보면 다음과 같다

[표4 복리법]

최종 으로 원 을 라 하고 연이율을 이라고 한다면

따라서 년이 지나면 이 된다 그때의 총 합 는 이

다

4) 황 비율

에서 언 했던 피보나치수열 　　　　　　　　　　에서 번째 항

을 번째 항으로 나 어 보자

　 　

　 　

　 　

　 　

　 　

　 　 이런 식으로 계속 해나가다 보면

이 수가 061803 에 근사하게 된다 고 그리스인들은 이 수에 lsquo황 비

율rsquo라는 이름을 붙 다 이것은 인간이 보기에 가장 아름다운 비율이라 하

여 여러 분야에서 사용되고 있다

(1) 황 비의 이용

약 100년 페히 라는 독일의 심리학자는 수백 명의 사람들에게 여러

종류의 직사각형을 보여 다음 마음에 드는 것을 선택하게 하는 실험을

했다 그런데 그 결과 부분의 사람이 황 직사각형을 선택했다고 발표했

다 ([6])

실험에 의하면 황 비는 사람들이 가장 편안하고 아름답게 느끼는 비율로

알려져 있으며 이런 이유 때문에 옛 부터 건축과 미술 음악 등에서 자주

이용되어 왔다

(가) 건축

기원 2000년경의 이집트 《린드 피루스》에 보면 기원 4700년에 기

자의 피라미드를 건설할 때 이 수를 lsquo신성한 비율rsquo로 사용했다고 한다

의 측량 기술로 측정해보니 피라미드 의 심에서 의 모서리까지

그리고 경사면까지 거의 정확하게 0618이었다 ([6])

피라미드는 인류역사를 통해서 사람들을 가장 매료시켜온 건축물 의 하

나이다 그 규모의 장 함에서도 사람을 압도하는 것이 있지만 그 형태 자

체가 고도한 수학을 배경으로 한 것으로서 우리가 알고 있는 5천년 의 지

식수 으로서는 불가사의한 것 의 하나이다

[그림3 피라미드 황 비]

(나) 음악에서의 활용

음악에서 한 옥타 는 [도 미 솔 라 시 도] 의 8음계로 이루어져 있

다 피아노의 건반은 한 옥타 를 13개의 음으로 나 어 표 하고 있으며

이 하얀 건반이 8개 검은 건반이 5개 있고 하얀 건반은 3개와 5개 검

은 건반은 2개와 3개로 구분되어 있다 여기에서 나타나는 2 3 5 8 13

은 에서 보인 피보나치수열이다

[그림4 피아노건반황 비율]

(2) 인체에서의 황 비율

황 분할은 우리의 인체 속에서도 찾아볼 수 있다 인간의 신체가 이 비율

에 의해서 분할되어 있으며 이것이 아름다운 몸의 보편 기 이 되고 있

다 아래 그림은 Le Corbusier가 찾아낸 이상 인간의 각 신체부 의 비율

이다 이것은 오나르도 다빈치의 인체비율에 한 그림에서도 찾아 볼

수 있다 이 뿐만 아니라 인체의 각 부 들도 그 자체 황 분할을 이루

고 있다

[그림5 인체 황 비율]

앞에서 제시한 황 비율을 사용한 시들 이외에도 우리 주변에 아주 많

이 있다

교과서 차례

한교과서(주)

Ⅳ 수열

1 등차수열과 등비수열

2 여러 가지 수열

3 수학 귀납법

4 알고리즘과 순서도

(주) 천재교육

Ⅲ 수열

1 등차수열과 등비수열

2 여러 가지 수열

3 수학 귀납법

4 알고리즘과 순서도

Ⅳ 고등학교 수학교육과정에서의 수열

1 수학Ⅰ 교과서 분석

고등학교 2학년이 학습하는 lsquo수학 Ⅰrsquo은 국민 공통 기본 교육 기간의 10단계

수학을 이수한 학생들이 보다 문 인 진로를 고려하고 보다 높은 수 의

수학을 학습하기 해 설정된 심화 선택 과목이며 lsquo수학 Ⅱrsquo를 학습하기 한

단계이다 lsquo수학 Ⅰrsquo의 내용은 수 역에서 지수와 로그 행렬 수열이

실려있고 해석 역에서 수열의 극한 지수로그 함수가 수록되어 있으며

확률과 통계 역에서 순열과 조합 확률 통계 등으로 구성되어 있다 특히

수 역에 해당하는 수열은 여러 가지 수열에 한 성질을 이해하고 그것

을 일반화 하는 과정에 을 두어 지도하도록 하고 있으며 계차수열은 등

차수열이나 등비수열이 되는 경우만 다룬다 ([2])

1) 수학 Ⅰ 5종 교과서의 차례 단원 배열

앙교육진흥연구소

Ⅲ 수열

1 등차수열과 등비수열

2 여러 가지 수열

3 수학 귀납법

4 알고리즘과 순서도

(주) 고려출

Ⅲ 수열

1 등차수열과 등비수열

2 여러 가지 수열

3 수학 귀납법과 순서도

(주) 두산

Ⅲ 수열

1 등차수열과 등비수열

2 여러 가지 수열

3 수학 귀납법

4 알고리즘과 순서도

[표5 수학 Ⅰ 5종교과서의 차례]

의 표에서 본 것과 같이 임의로 선택된 5종의 고등학교 수학 Ⅰ 교과서의

차례는 거의 비슷한 양상을 보 다 부분의 교과서에선 1단원 지수와 로

그 2단원 행렬 3단원 수열 순의 순서를 보 고 한교과서외의 몇몇

교과서에선 1단원 지수와 로그 2단원 지수로그함수 3단원 행렬 4단원 수

열 순의 순서를 보 다 수열단원의 세부 단원 차례는 1 등차수열과

등비수열 2 여러 가지 수열 3 수학 귀납법 4 알고리즘과 순서도 는

34 단원을 한 단원으로 해서 3 수학 귀납법과 순서도의 순서로 다루는

은 비슷했다

2) 교과서에 제시된 수열 련 자료

한교과서

(주)

피타고라스(Pythagoras 572～492 BC) 피타고라스의 정리

로 잘 알려져 있고 소수나 완 수의 규칙성에 해서도 많은 연

구를 하 다

바스카라(Bhaskara A 1114～1185) 인도의 수학자로

임을 증명하 고 피타고라스의 정리를 기하학

으로 증명하 다

피보나치(Fibonacci 1180～1250) 이탈리아의 수학자로 자연

속에서 많이 볼 수 있는 피보나치 수열을 발견하 다

스칼(Pascal B 1623～1662 ) 랑스의 수학자로 수학

귀납법을 발견하 고 사 기하학을 창시하 다

푸리에(Fourier J B J 1768～1830) 랑스의 수학자로 음양

학 학 기역학 열역학 등의 연구에 매우 요한 푸리에

수를 연구하 다

가우스(Gauss K F 1777～1855) 수학 통계학 등의 다방

면에 많은 업 을 이루었고 역사상 가장 한 수학자 의 한

사람으로 불리워지고 있다

비주얼 베이직(Visual BASIC)

을 이용한 Programming

하노이의 탑

(주)

천재교육

가우스(Gauss K F 1777～1855) 독일의 수학자인 가우스는

수학의 각 방면에 많은 업 을 남겨 수학의 아버지라 일컬

어지고 있다 그는 계산의 천재로 알려져 있는데 이에 한 유명

한 일화가 있다 등학교 때 부터 까지의 합을 구하는 문

제에서 다른 학생들이 직 하나하나 계산하는 동안 가우스는

　 　 　　　　 이 모두 임을 이용하여

times 이라는 답을 이끌어 내었다 이러한 방식은 수열

의 합을 계산할 때 사용하는 방식 의 하나이다

하노이의 탑을 이용한 수열의 귀납 정의

임의로 선택된 5종 교과서들의 수열단원에서 학생들의 수열 단원의 이해를

돕기 해 수록된 수학자들에 한 설명과 기타 자료들은 다음과 같다

도미노 이론 - 수학 귀납법의 다른 표

피보나치수열 - 토끼 수 증가 문제

앙교육

진흥연구소

삼각수 사각수 문제

피보나치(Fibonacci 1180～1250)

가우스(Gauss K F 1777～1855)

음악과 수학 - 작곡가 바흐(Bach)의 요 업 으로 평균율을

들 수 있다 평균율이란 1옥타 즉 lsquo도rsquo와 lsquo도rsquo의 사이를 개의

반음으로 나 고 처음 lsquo도rsquo의 진동수를 이라 하면 그에 일정한

수를 더해 제곱하여 옥타 의 lsquo도rsquo의 진동수를 얻는 것을

말한다 수식으로는 로 나타낼 수 있고 이 등식을

만족하는 의 값이 평균율이다

(주)

고려출

티티우스-보데 수열 -

수열 　　　　　　　　의 각 항에 각각 를 더한 후

으로 나 수들을 나열한 것 　　　　　　　 를

티티우스-보데 수열이라 한다 이수열의 각 항은 태양에서 행성

까지의 실제 거리와 비슷한 것으로 1766년 티티우스(Titius)라는

독일의 천문학자가 발견하 다

제갈량의 군 에 한 을 통한 등비수열의 합

피보나치 수열

휴먼 로 - 휴먼 로 의 제작은 복잡한 여러 가지 알고리즘

과 순서도에 바탕을 두고 있다 알고리즘의 요성은 자계산기

이 부터 실제 으로 존재했다 그 로 최 공약수 계산에 한

유클리드의 알고리즘이 있다 한 가우스와 같은 부분의 수학

자들은 역사 으로 많은 양을 처리하는 효율 인 알고리즘에

심을 가졌다 이러한 알고리즘을 보다 효율 으로 이용하여 재

의 컴퓨터 시 를 구축했다

(주) 두산

피보나치(Fibonacci 1180～1250)는 이탈리아의 피사에서 태

어난 수학자이다 부친이 상업에 종사하 기 때문에 피보나치는

이집트 시칠리아 그리스 시리아 등 다양한 지역을 여행할 수

있었고 이 때 다양한 수학을 하게 되었다 1202년 피사로 돌아

온 피보나치는 「산반서(Liber abaci)」를 술하 다 1228년에

는 「산반서 2 」을 술하 는데 이 책에서 정수와 분수의 계

산 제곱근과 세제곱근 일차와 이차방정식의 풀이 등을 다루었다

고 한다 특히 이 책에 나오는 「피보나치의 수열」은 매우 흥미

로운 수열로 요한 성질을 많이 가지고 있다

1에서 100까지 자연수를 모두 합하면 얼마일까

가우스(Gauss KF 1777～1855) 가우스는 수론 해석학 확

률론 천문학 물리학 등 다양한 분야에 뛰어난 수학자이었다 특

히 그의 수론 연구는 19세기 수학 체계의 확립에 크게 공헌하

다

피타고라스(Pythagoras 572～492 BC) 피타고라스는 음의

높이에 따른 진동수의 비가 일정함을 발견하 다

페아노(Peano G 1858～1932) 자연수의 성질을 추상화 하여

페아노의 공리계를 만들었다 이 공리계의 제 5공리가 수학 귀

납법의 원리이다

피보나치의 수열

알콰리즈미(Alkhwarizmi 780～850) 알고리즘이란 말은 세

아라비아의 수학자 알콰리즈미의 이름에서 유래된 것으로서 그가

십진법으로 나타낸 수의 계산에 용한 계산 방법에서 나온것이

다

[표6 5종 교과서에 제시된 수열 련 자료]

2 수학 Ⅰ 교과서에서의 수열

등차수열의 일반항

첫째항이 공차가 인 등차수열의 일반항 은

본 연구자가 임의로 선택한 5종 교과서 ([5][8][12][13][14]) 에서의

수열의 내 을 정리해보았다

1) 등차 수열과 등비 수열

(1) 수열의 뜻

어떤 규칙에 따라 순서 로 수를 늘어놓은 것을 수열이라 하고 그 수열을

이루는 각각의 수를 그 수열의 항이라고 한다 수열의 각 항을

앞에서부터 순서 로 제 1항 제 2항 제 3항 제 항

이라고 한다 특히 제 1항은 첫째항이라고도 한다

(2) 등차수열의 뜻

첫째항에 차례로 일정한 수를 더하여 만들어진 수열을 등차수열 이라하고

더한 일정한 수를 공차라고 한다

첫째항이 공차가 인 등차수열 에서

이므로 일반항 은 다음과 같이 나타낼 수 있다

(3) 등차수열의 합

등차수열의 합

첫째항이 공차가 끝항이 인 등차수열의 첫째항부터 제 항까지의

합 은

첫째항이 공차가 등차수열 에서 첫째항 부터 제 항 까지의 합

을 토론하기의 방법을 이용하여 구해보자

　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　①

더하는 순서를 거꾸로 하면

　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　②

①②의 양변을 각각 더하면

　　

따라서 =

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　③

이때 제 항인 를 ③에 입하여 식을 다르게 나타낼수도

있다

이상을 정리하면 다음과 같다

(4) 수열의 합과 일반항

수열 에서 첫째항부터 제 항까지의 합을 이라 하면

ge 일때 　　

there4

수열의 합과 일반항의 계

수열 의 첫째항부터 제 항까지의 합을 이라 하면

(단 ge )

등비수열의 합

일때 이다

이상을 정리하면 다음과 같다

(5) 등비수열의 뜻

첫째항부터 시작하여 각 항의 바로 앞의 항에 일정한 수를 곱하여

만들어진 수열을 등비수열이라 하고 곱하는 일정한 수를 공비라고 한다

첫째항이 공비가 인 등비수열에서 첫째항부터 제 항까지의 합 은

다음과 같이 구한다

　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　①

①의 양변에 공비 을 곱하면

　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　②

①에서 ②를 같은 변끼리 빼면

따라서 ne 일때

인 경우 ①에서

　　

there4

이상을 정리하면 다음과 같다

첫째항이 공비가 인 등비수열의 첫째항부터 제 항까지의 합 은

① ne 일때

② 일때

자연수의 거듭제곱의 합

①

　　

②

　　

③

　　

2) 여러 가지 수열

(1) 합의 기호 sum

수열 에서 첫째항부터 제 항까지의 합

　　

을 일반항과 합의 기호 sum를 써서

　　

와 같이 나타낸다

이때

는 수열 의 일반항 의 에 　　　　　　을 차례로

입하여 얻은 항의 합으로 신 다른 문자를 사용하여

등과 같이 나타낼 수 있다

(2) 기호 sum 의 성질

합의 기호 sum 의 성질에 하여 알아보자

합의 기호 sum의 성질

①

(복부호동순)

②

(단 는 상수)

③

(단 는 상수)

　　

　　 　　

　　

마찬가지로

와

에 해서도 확인해 보면 sum 의 성질을

다음과 같이 정리할 수 있다

(3) 계차수열

일반 으로 수열 에서 이웃하는 두 항의 차

　　 을 일반항으로 하는 새로운 수열

　　　　　　　을 얻을 수 있는데 이 수열 을 원래의 수열 의

계차수열이라고 한다

수열 에 하여 그 계차수열을 이라 하면

　　

계차수열과 일반항

수열 의 계차수열을 이라 할때

(단 ge )

3) 수학 귀납법

(1) 수열의 귀납 정의

첫째항과 이웃하는 두 항 사이의 계식으로 수열을 정의하는 것을 수열의

귀납 정의 라고 한다

첫째항이 공차가 인 등차수열 은 다음이 성립한다

　ge 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　①

역으로 두 계식 ①이 주어지면 이 결정되고 차례로

가 결정된다 따라서 모든 자연수 에 하여 이 정해지므로 수열 이

정의 된다

①과 같이 의 값 과 의 계식을 화식이라고 한다

(2) 수학 귀납법

수학 귀납법은 이탈리아의 페아노에 의하여 설정된 자연수에 한 공리

수학 귀납법

자연수 에 한 명제 이 모든 자연수 에 하여 성립함을 증명하

려면 다음 ⅰ ⅱ 를 증명하면 된다

ⅰ 일때 명제 이 성립한다

ⅱ 일때 명제 이 성립한다고 가정하면 일때에도

명제 이 성립한다

다음과 같은 5번째 공리에 근거를 두고 있다

자연수의 집합 의 부분집합 가

ⅰ 　isin

ⅱ 　isin 이면 isin

(여기서 는 의 후자)

인 두 조건을 만족하면 이다

4) 알고리즘과 순서도

(1) 알고리즘과 순서도

어떤 문제를 해결하기 해서는 그 처리 순서를 정해야 하는데 이와 같이

문제 해결에 필요한 처리 과정의 순서를 단계 으로 정리한 것을 알고리즘

이라 하고 알고리즘을 알기 쉽게 기호를 써서 그림으로 나타낸 것을 순서도

라고 한다 일반 으로 어떤 문제를 해결하기 한 알고리즘은 여러 가지가

있을 수 있지만 정해진 유한번의 단계를 거치면 반드시 끝나야 하고 처리

과정의 순서가 명확해야 한다 한 순서도는 각 부분을 순서 계통 으로

나타냄으로써 작업 과정을 구나 쉽게 한 에 악할 수 있도록

작성되어야 한다 순서도는 다음과 같은 기호를 사용하여 작성한다

[표7 순서도의 기호]

(2) 알고리즘과 순서도의 작성

수열과 련된 순서도를 작성할 때에는 다음과 같은 방법을 고려한다

(가) 항수를 항을 수열의 합을 로 나타낸다

(나) 제시된 항의 번호까지 루 를 용한다

(다) 제시된 항의 번호에 하여 단 기호를 이용한다

(라) 구하려는 는 를 인쇄하고 끝낸다

주의환기

집 을

한 략

지각

주의환기의

략

시청각 효과의 사용

비일상 인 내용이나 사건 제시

주의 분산의 자극 지양

탐구

주의환기의

략

능동 반응 유도

문제해결 활동의 구상 장려

신비감의 제공

다양성의

략

간결하고 다양한 교수형태 사용

일방 교수와 상호작용 교수의 혼합

교수자료의 변화 추구

목표-내용-방법이 기능 으로 통합

련성

증진을

한

략

친 성의

략

친 한 인물 혹은 사건 활용

구체 이고 친숙한 그림 활용

친 한 문 배경 지식 활용

목 지향성

의 략

실용성에 을 둔 목표 제시

목 지향 인 학습형태 활용

Ⅴ 러의 ARCS 이론과 수열 지도

1 러의 ARCS 이론

1) ARCS 이론의 특징

(1) 이론 배경

다음은 ([4])의 내용을 참고하 다

ldquo말을 물가로 데리고 갈 수는 있지만 물을 먹일 수는 없다rdquo는 속담처럼

하고자 하는 마음이 없으면 학습 효과를 기 할 수 없는 것은 당연한 사실

이다 이러한 생각의 근거에는 동기 유발의 개념이 자리 잡고 있다 동기

유발이란 어떤 활동을 진 지시 유지하려는 내 상태 는 과정을

포함한다 이 개념은 교육 심리학의 심 개념 의 하나이지만 직 찰

할 수 없는 것이기 때문에 인간의 행동을 보고 거기에서 유출해 내는 개념

이며 이에 한 정의는 바라보는 과 강조하는 내용에 따라 각기 다르

다

(2) ARCS 이론

목 의 선택 가능성 부여

필요나

동기와의

부합성 강조의

략

다양한 수 의 목 제시

학업성취 여부의 기록체제 활용

비경쟁 학습상황의 선택가능

동 상호 학습상황 제시

자신감

수립을

한 략

학습의

필요조건

제시의 략

수업의 목표와 구조의 제시

평가기 피드백의 제시

선수학습 능력의 단

시험의 조건 확인

성공의 기회

제시의 략

쉬운 것에서 어려운 것으로 과제 제시

정수 의 난이도 유지

다양한 수 의 시작 제공

무작 의 다양한 사건 제시

다양한 수 의 난이도 제공

개인

조 감

증 의 략

학습의 끝을 조 할 수 있는 기회 제시

학습속도의 조 가능

원하는 부분에로의 재빠른 회귀 가능

선택가능하고 다양한 과제의 난이도제공

노력이나 능력에 성공 귀착

만족감

증 를

한 략

자연 결과

강조의 략

연습문제를 통한 용기회 제공

후속학습상황을 통한 용기회 제공

모의상황을 통한 용기회 제공

정 결과

강조의 략

한 강화 계획의 활용

의미 있는 강화의 강조

정답을 한 보상 강조

외 보상의 사려 깊은 사용

선택 보상체제 활용

공정성

강조의 략

수업목표와 내용의 일 성 유지

연습과 시험 내용이 일치

[표8 ARCS 략] ([1])

2 ARCS 이론을 용한 수열 수업 계획서

다음은 ([1])의 ARCS 이론의 수업계획서를 참고하여 수열 단원의 수업

계획서를 작성해보았다

수업내용개 동기 략개 기타의견1 수업 기

체 으로 교사는 다양한 방법으로 학습자들

에게 수업 내용을 제시하고 학습자들에게

한 언어를 사용한다

수열의 활용에

한 학습목표

제시하기

교사는 학습자들의 련성을 높이기 해 학습

목표의 의미를 설명해 다

도표는 큰 씨를 사

용하고 핵심이 되는

단어에는 다른 색깔을

사용한다

수열의 활용의

이 과 평가

거를 제시하기

교사는 학습자들의 련성과 자신감 만족감

을 높이기 하여 이 수업이 끝난 후 그들이

무엇을 할 수 있는지에 해 알려 다

교사는 학습자들의 자신감과 만족감을 높이기

하여 성공 인 학습성취를 단할 수 있는 객

인 거들을 알려 다

교사는 학습자들의 만족감을 높이기 하여

그들이 주어진 과제를 성공 으로 해결했을 때

그에 따르는 내재 강화나 외재 보상이 있음

을 알려 다

수열의 정의와

해법에 한 지

식을 간략하게

확인하기

교사는 선수학습과의 련성을 유발하기 하

여 간략한 보조도구(인쇄매체)를 사용하여 수열

의 정의와 해법을 제시한다

교사는 소집단 토론을 실시하여 학습자들의

선수지식을 스스로 검해 보도록 한다

교사는 수열의 정의와 해법을 잘 모르는 학습

자들에게 자신감을 유발시키기 하여 개별 인

학습목표를 세우도록 한다

소집단 구성에 있어

서 주의집 이 매우

낮은 5명을 하나의 소

집단으로 구성하고

친근한 소재를 활용하

여 그들의 주의집 과

련성을 유발한다

실생활과 련

된 수열의 활용

문제들을 몇 가

지 소개하기

교사는 학습자들의 주의집 을 유지하기 해

실생활에서 연립방정식을 활용하여 해결할 수

있는 몇 가지 문제들을 제시한다

주의집 이 매우 낮은 5명의 학습자들이 수업

에 극 인 심을 보이지 않으면 교사는 그

들에게 친근한 목소리로 이름을 부르면서 수업

에 집 하라고 얘기 하고 개인 인 심을 갖

고 있음을 나타낸다

로써 활용되는 문

제들을 선택할 때 학

습자들이 알고 있거

나 그들에게 친근감

을 주는 소재가 포함

되도록 선택한다 이

때 지나치게 자심감

이 높아서 수업에 소

극 으로 참여하는 3

명의 학습자들에게는

다소 복잡한 수열의

활용 문제를 미리 제

공하여 생각할 기회를

다

수열의 활용에

한 학습자들의

이해정도를 악

하고 피드백을

제공하기

교사는 학습자들에게 자신감을 높이기 하여

소집단을 구성하여 학습자들이 수열의 활용에

해 어느 정도 이해하고 있는지를 서로 토론하

도록 한다

교사는 소집단별로 둘러보면서 자신감과 만족

감을 유발시키기 하여 학습자들간에 서로 도

움을 주도록 분 기를 형성한다

소집단별로 간략하게 토론이 끝나면 학습자

들 스스로 정리하도록 한다

토론결과 학습자들이 수열의 활용에 해 잘

못 이해하고 있다면 교사는 즉각 으로 교정

피드백을 제공한다

학습자들의 소집단

토론시간을 무 길게

소요하지 않도록 한

다 자칫하면 토론분

기가 산만해지기 쉽

고 토론이 활발하지

못한 경우에는 학습자

들의 학습의욕이 떨어

진다

2 수업 반 체 으로 교사는 다양한 방법으로 학습자

들에게 수업 내용을

제시하고 학습자들에게 개별 인 언어를 사용

한다

실생활과 련

된 수열의 활용

의 문제들을 구

체 으로 제시하

기

교사는 학습자들의 주의집 련성 자신감

만족감을 유지하기 하여 게임을 실시한다 학

습자들이 돌아가면서 임의로 다른 학습자를 지

명하면 지명받은 학습자가 실생활과 련된 수

열의 문제를 하나 제시한다 한 문제를 제

시한 학습자에게 학습태도 수를 주어 만족감

을 향상시킨다

교사는 학습자들이 제시한 여러 가지 문제들

을 칠 에 은 후 몇몇 소집단을 구성하여

그 문제들을 해결하기 해 인스토 을 하

도록 한다 이때 교사는 문제를 해결한 학습자

가 아직 해결하지 못한 학습자들을 도와주어 자

신감과 만족감을 갖도록 한다

인스토 이 진행되는 동안 교사는 교실

을 둘러보면서 학습자들이 질문이나 의문사항

에 해 극 으로 질문할 수 있는 기회를 제

공하고 그에 해 개별 인 언어를 사용하여

부드러운 목소리로 피드백을 제공한다

인스토 도 학습자들의 개인 인 능

력차가 커서 문제를 해결하는데 어려움을 겪는

학습자들에게는 그들에게 합한 개별 인 학습

이때 교사는 밝고

생동감이 넘치는 목소

리로 학습자들의 활동

을 진시킨다

교사는 학습자들이

한 자신감을 유지

하고 있는지에 해

지속 인 심을 갖고

지켜본다

이때 교사는 학습자

들의 자신감과 만족감

을 높이기 하여 그

들에게 일 성 있는

피드백을 제공한다

교사는 학습자들이

목표를 다시 선정하도록 하여 자신감을 향상시

킨다

인스토 이 끝나면 교사는 소집단 별로

한 사람씩 자발 으로 나와 문제를 풀고 풀이

과정을 체 학습자들에게 설명하도록 한다 이

때 어려운 문제를 해결한 소집단이나 학습자에

게 교사는 그들의 우수한 능력을 인정하고 내

재 인 자존심에 정 인 향을 주는 칭찬을

제공하여 자신감과 만족감을 높인다

소집단의 인스토

을 하는 동안 체

으로 문제풀이를 할

때 주의집 을 유지

하고 자신감과 만족

감의 향상을 악하기

해 끊임없이 그들과

시선을 교류하고 얼

굴표정을 찰한다

3 수업마무리 체 으로 교사는 다양한 방법으로 학습자

들에게 수업 내용을 제시하고 학습자들에게 개

별 인 언어를 사용한다

실생활과 련

된 수열의 활용

에 해 체

으로 정리 요

약하기

교사는 교탁을 탁탁 치거나 박수를 쳐서 다

소 떨어진 학습자들의 주의집 을 향상 시킨다

교사는 실생활 속에서 수열을 활용하여 해결

할 수 있는 간단하고 재미있는 문제들을 2～3개

제시하여 학습자들이 그 문제를 성공 으로 해

결함으로써 자신감과 만족감을 갖도록 한다

교사는 학습자들이 미처 생각하지 못했던 실

생활 속에서 수열과 연 된 다양한 들을 제공

하여 주의집 과 련성을 유지향상시킨다

교사는 자신감과 만족감을 향상시키기 해

학습자들에게 수업진행 에 그들이 설정한 개

인 인 학습목표에 해 얼마나 많이 달성했는

가를 스스로 검해 보라고 한다

교사는 수업 반에 수열의 문제를 잘 해결하

지 못했던 학습자들에게 그 문제를 다시 해결해

보도록 기회를 제공하여 자신감과 만족감을 높

여 다

평가에 있어서 교사는 학습자들이 그들의 성

에 해 공정하게 평가되었다고 느끼도록 일

성 있게 평가하여 그들의 자신감고 만족감을

높여 다

교사는 수열과 실생

활과의 련성에 해

학습자들이 잘 지각하

고 있는가를 알아보기

해 다소 진지한 목

소리로 질문한다

다음 학습내용

에 해 간략히

소개하기

교사는 학습자들의 흥미를 유지하기 하여

다음 학습내용에 해 호기심에 찬 목소리로 간

략하게 소개하고 수업을 끝낸다

[표9 러의 ARCS이론]

단원

단

원Ⅲ 수열

배정시간

(분)50

단

원1 등차수열과 등비수열

차시 3소단

원3) 등차수열과 등비수열의 활용

학습

목표등차수열과 등비수열을 실생활의 문제에 용할 수 있다

학습

단계학습내용

교수-학습활동 지도상의유의사

항교사활동 학생활동

도

입

15

분

인사

출석

주변을 정리 정돈

하여 수업분 기를

조성한다

인사 출석체크

를 한다

주의를 환기시킨

후 학생들과 인사

한다

출결석 여부를

확인한다

바른 자세로 주

변을 정리한 뒤

교사와 인사한다

수업 비를 한

다

교사와 학생

모두 함께 수업

분 기를 조성한

다

선수

학습

확인

지난 시간에 학습

한 등차수열과 등비

수열의 정의에 해

다시 한번 확인해본

다

지난 시간에 학습

한 등차수열과 등비

수열의 일반항을 구

하는 방법에 해 확

인학습으로 [문제1]

과 [문제2]를 풀어본

다

학생들의 자신감

을 높이기 하여

등차수열과 등비수

열의 정의를 교과

서에서 찾아본 후

큰소리로 답하게

한다

학생들이 답한

후 다시 한번 등차

수열과 등비수열에

해 간단히 설명

등차수열과 등

비수열의 정의를

교과서에 찾아본

후 큰소리로 읽는

다

교사가 등차수

열과 등비수열의

정의에 해 다시

한번 간단히 설명

할 때 부족한 부

분은 필기하며 복

습한다

교사가 정의에

해 질문할 때

학생들이 모두

책을 찾아볼수

있게 주의를

다

만일 답하

지 못하는 학생

이 있을 경우 그

여기서 인스토 (brainstorming)이라고 하는 것은 갑자기 떠오르는 멋

진 생각을 종이에 는다든가 말로 표 해 본 후 로 기록하거나 기록된

문장을 정리정돈하면서 생각을 논리화하는 방법이다 주로 어떤 계획을 세

우고자 할 때 창조 이고 기발한 아이디어가 필요할 때 학생들의 의견과

생각을 끌어내어 발 시키고자 할 때 사용하면 유리하다 ([3])

3 ARCS 이론을 용한 수업지도안

[문제1]

다음 등차수열

의 일반항과 제20항

을 구하여라

　　　　　　　

[문제2]

다음 등비수열

의 일반항과 제8항을

구하여라

　 　　　　　

한다

교사는 [문제1]

과[문제2]를 제시

한 뒤 학생들에게

직 풀어보게 한

다

등차수열과 등

비수열의 일반항

과 그 공식의 유

도과정을 기억한

다

제시된 문제를

연습장에 풀어본

다

학생에 해 개

별 인 언어를

사용하여 부드러

운 목소리로 피

드백을 제공한

다

개

30

분

학습

목표

제시

수열의 활용에

한 학습목표를 제시

한다

학습목표 학습

에 필요한 자료를

Power point 시청

각 효과를 사용하여

학생들의 주의환기

집 을 한 략

을 사용한다

학습목표를 학생

들에게 읽게 하고

학생들의 련성을

높이기 해 학습

목표의 의미를 설

명해 다

교사의 지시에

따라 큰소리로 학

습목표를 읽고 이

수업이 끝난 후

무엇을 할 수 있

는지에 해 생각

해 본다

학습목표는 큰

씨를 사용하

고 핵심이 되는

단어에는 다른

색깔을 사용한

다

탐구

학습

실생활과 련된

수열의 활용문제들을

몇 가지 소개한다

수열의 활용에

한 학습자들의 이해

정도를 악하고 피

드백을 제공한다

등차수열과 등비

수열을 이용하여

실생활의 문제를

해결할 수 있음을

학생들이 쉽게 이

해할 수 있도록 설

명한다

교사가 실생활

과 련된 수열의

활용문제들을 몇

가지 소개할 때

다른 시가 있는

지 함께 생각해

본다

문제

제시

[문제3]

한일 월드컵 축구 개

회 연도는 2002년이

다 2002년 이후 월

드컵 축구가 개최되

는 연도를 차례로 써

보고 이 규칙 로 월

드컵 축구가 개최되

면 2100년은 월드컵

축구가 개최되는 연

도인가

교과서에서 수열

단원의 수열의 활

용부분에 수록된

문제들을 풀어볼

수 있도록 시간을

다

등차수열과 등

비수열의 일반항

유도 공식을 생각

해보고 제시된 문

제를 해결해 간다

로써 활용되

는 문제를 선택

할 때 학습자들

이 알고 있거나

그들에게 친근감

을 주는 련성

증진을 한

략을 사용한다

[문제4]

컴퓨터의 주기억 장

치인 램은용

으로

용으로 가 개발

되었다 이후 램의

용 량 은

로 증가되어 왔다

의 램으로부터

번 증가된 주 메모

리는 식으로 어떻게

나타낼 수 있는가

학생들이 문제를

어렵게 느끼지 않

도록 어떤 방향으

로 해결해야 하는

지 힌트를 주어 학

생들의 자신감을

증진시킨다

소집

단

활동

5～6명으로 이 진

소집단을 구성하여

학습자들이 수열의

활용에 해 어느 정

도 이해하고 있는지

를 서로 토론하도록

한다

소집단별로 실생활

과 련된 수열의 활

용의 문제들을 구체

으로 제시한다

인 스토 이

끝나면 소집단별로

한사람씩 문제를 풀

고 풀이과정을 체

학생들에게 설명하는

시간을 갖는다

교사는 학생들의

만족감을 높이기

하여 그들이 주

어진 과제를 성공

으로 해결했을

때 그에 따르는

내재 강화나 외

재 보상이 있음

을 알려 다

어려운 문제를

해결한 소집단이나

학생에게 교사는

그들의 우수한 능

력을 인정하고 내

재 인 자존심에

정 인 향을

주는 칭찬을 제공

하여 자신감과 만

족감을 높인다

자신이 속한 소

집단 내에서 제시

된 과제에 해

열심히 토의를 하

며 문제를 해결한

학생이 아직 해결

하지 못한 학생들

을 도와주어 자신

감과 만족감을 갖

도록 한다

소집단별로 간

략하게 토론이 끝

나면 학생들 스스

로 정리해보고 자

발 으로 체 학

생들에게 설명해

보는 기회를 갖는

다

교사는 학습자

들이 한 자

신감을 유지하고

있는지에 해

지속 인 심을

갖고 지켜본다

학생들의 소집

단 토론시간을

무 길게 소요

하지 않도록 한

다

형성

평가

[문제4]

민수는 남 문의 기

와 지붕 한쪽 면이

사다리꼴 모양임을

찰하고 이 면에 있

는 기와의 개수를 알

아보고자 한다 기와

형 성 평 가 를

Power point로 제

시하고 학생들이

스스로 풀어볼 수

있도록 지도한다

학생들이 문제를

다 풀고 나면 교사

제시된 문제를

오늘 학습한 내용

을 복습하면서 풀

어보도록 한다

교사는 다소

진지한 목소리로

질문한다

의 개수를 행으로 세

었더니 용마루 쪽에

가장 가까운 행에는

40개 처마 쪽에 가

장 가까운 행에는 72

개 다 용마루부터

처마까지 행의 개수

가 17이라고 할 때

민수가 찰한 지붕

한쪽 면의 기와의 개

수는 모두 몇 개인

가

는 학생들에게

답할수 있도록 하

고 학생들이 학습

목표에 해 얼마

나 많이 달성했는

가를 스스로 검

해 보라고 한다

형성평가의 답

을 교사의 질문에

끝난 뒤 큰소리로

답하여 자신감

과 만족감을 갖도

록 한다

학생들에게 개

별 인 언어를

사용한다

정

리

5

분

학습

정리

차시

고

학습 자료를 이용

하여 수열의 실생활

의 활용 단원의 수업

내용을 확인한다

과제를 제시한다

다음 차시인 「여

러 가지 수열」 단원

에 한 고를 한

다

수업 내용을 정

리하고 과제를 제

시한다

학생들의 흥미를

유지하기 하여

다음 학습내용에

해 호기심에 찬

목소리로 간략하게

소개하고 수업을

끝낸다

오늘 학습한 내

용을 정리한다

과제를 고 과

제 해결에 한

내용을 머릿속에

형성해 본다

다음 차시에 배

울 내용을 학습

자료 화면으로 확

인해본다

수업내용에

해 학생과 교사

모두가 만족하고

있는지 확인하고

공정한 평가를

한다

[표10 수업지도안]

4 조사 문제지 분석

고등학교 수학 Ⅰ 의 수열단원의 효율 인 지도방안의 연구를 하여 원

종고등학교 2학년 학생 100명을 상으로 조사 문제지 조사를 하 다 학

생들의 수학에 한 심과 수학에서 가장 어려워하는 부분을 알아볼 수

있었고 어떤 방식의 수업을 선호하는지도 알아볼 수 있었다

⑴ 수학에 얼마나 심이 있나요

① 매우 많다 ② 많다 ③ 보통이다 ④ 다 ⑤ 매우 다

수학과목에 매우 많은 심을 보이는 학생은 2로 매우 낮은 편이며

심이 있는 학생은 43로 학생의 반정도 다 수학과목에 심이 거

나 없는 학생은 54정도로 수학은 어려운 과목이라는 인식 때문에 심

이 은 것 같다

수학을 공부하는 가장 큰 이유에는75의 학생들이 학입시를 해서라

는 문항을 선택했다 기타 이유에는 교과서에 있어서 어쩔수 없이 한다

는 학생과 진리탐구를 해서라는 학생도 있었다

[그림6 조사문제지

(1)번 막 그래 ]

⑵ 수학을 공부하는 가장 큰 이유가 뭐라고 생각하나요

① 학입시를 해서

② 평소 수학에 흥미가 있어서

③ 실제 생활에 쓰기 해서

④ 주변에서 해야한다고 하니까

⑤ 기타 이유 (이유를 간단히 어주세요)

앞에 (1)번문항에서 수학에 심이 은 학생이 반 정도인것에 반해

수학공부가 필요하다고 느낀학생이 75정도로 수학공부가 필요하단건

느끼지만 어려운 과목이라는 인식이 부분인것 같다 수학과목도 재

는 과목이란 인식을 학생들이 가질수 있도록 노력해야겠다

[그림7 조사문제지

(2)번 막 그래 ]

⑶ 수학공부의 필요성에 해 어떻게 생각하나요

① 매우 필요하다 ② 조 필요하다 ③ 보통이다

④ 필요 없다 ⑤ 필요 없다

[그림8 조사문제지

(3)번 막 그래 ]

⑷ 수학을 공부하면서 가장 어려운 부분은 무엇이나요

① 복잡한 계산 과정 ② 외워야할 많은 공식들

③ 응용문제엔 어떤 공식을 용해야할지 ④ 다 어렵다

학생들이 수학과목이 어렵다고 느끼는 이유는 응용문제에 어떤 공식을

용해야 하는지를 몰라서 라는 답이 58로 가장 많았다 그 외에도

계산과정이 복잡하거나 외워야할 공식들이 많아서라는 답도 있었다

이해 주의 수업을 하고 단순한 공식의 암기 주의 수업을 탈피해야겠

다

수학수업을 하는데 효과 인 방법에는 선생님 주의 강의식 수업과 학

생 개인별 수업이 78로 가장 많았다 개념이나 공식유도과정을 설명할

땐 서를 하며 강의식 수업을 하고 문제풀이땐 학생들 개인별로 첨삭

지도를 하는게 효율 인것 같다

⑤ 기타이유 (이유를 간단히 어주세요)

[그림9 조사문제지

(4)번 막 그래 ]

⑸ 수학 수업을 하는 데 어떤 방법이 가장 효과 이라고 생각하나요

① 선생님 주의 강의식 수업

② 학생 개인별 수업

③ 모둠별 활동 수업

④ 기타 교재나 과제를 통한 수업

⑤ 기타(이유를 간단히 어주세요)

[그림10 조사문제지

(5)번 막 그래 ]

Ⅵ 결론

본 논문에서 지 까지 고등학교 2학년 학생들이 수학 Ⅰ 교육과정을 학습하

는데 가장 어려워하는 수열에 해 살펴보았다 먼 개정 교육과정에 명시

된 수학교육의 목표와 임의로 선택된 5종 교과서에서 수열 단원의 학습목표

를 살펴보았고 수열의 역사 배경과 실생활에 응용된 들을 정리해보았

다 한 5종 교과서에서 제시되어 있는 수열의 학습내용을 소단원 별로 정

리해보았다 임의로 선택된 5종 교과서안의 수열의 학습내용을 분석해보면

서 몇 몇 교과서에서 여러 가지 수열 단원에서 군 수열과 멱 수에 한 언

이 없거나 미약함을 알 수 있었다 본 연구자가 보기에 군 수열과 멱 수

부분은 실생활에 활용될 는 극히 작아 보이지만 학생들이 꼭 학습하고 넘

어가야 수열에 한 완벽한 학습이 될 수 있을 것이라 여겼는데 교과서에서

제시된 내용들로는 학생들이 충분히 이해할 수 없을 것 같았다

그리고 교과서에 제시된 문항의 수 이 입시와 동 떨어진다는 문제 이 있

었다 교과서에 제시된 문제가 부족하고 수 이 낮다 보니 실제로 학교에서

수업 때 보충 린트 물로 수업을 진행하고 간기말고사 때에도 교과서

외에서 많은 문제를 출제하는 모습을 볼 수 있었다 때문에 학생들이 교과서

보다는 문제집 주의 공부를 할 수 밖에 없는 듯 보 다 교과서가 학생들

과 교사의 요구에 부합할 수 있도록 새로운 내용들과 문제를 싣도록 해야

할 것이다

학생들이 수열 단원의 학습을 할 때 좀 더 효과 인 학습이 될 수 있도록

리의 동기설계이론 (ARCS 이론) 을 바탕으로 하여 수업 계획서와 1차시

의 수업 지도안을 작성해 보았다 한 작성한 수업 지도안으로 부천시 소재

의 한 고등학교에서 실제 수업을 진행해 보았을 때 학생들이 좀 더 수열에

해 친숙하게 느끼고 쉽게 이해하는 모습을 볼 수 있었다 본 연구자가

직 교사가 아니라 여러 반을 상으로 수열 단원의 모든 차시 수업에 용

하여 수업을 해볼 수 없었단 이 아쉬움으로 남는다

이와 같이 학생들의 주의 련성자신감만족감 증진을 한 수업을 함

으로써 학생들의 수학 학습 성취도의 향상을 기 할 수 있을 것이다 한

개발된 자료를 실제 수업에 용하는 경우의 효율성에 한 후속 연구가 체

계 이고 지속 으로 이루어져야 할 것이다

참 고 문 헌

[1] 구평회 META 구평회 교육학 2007

[2] 교육인 자원부 고시 제2007 - 79호[별책8] 2007

[3] 박인학 교사를 한 교수학습방법론 문사 1995

[4] 변 계 교수학습 이론의 이해 학지사 1999

[5] 우정호 외 5인 고등학교 수학 Ⅰ 한교과서(주) 2002

[6] 이 연 자연의 수학 열쇠 피보나치수열 로네시스 2006

[7] 이진화 지수로그함수의 지도에 한 연구 서강 학교 교육 학원 석사 학

논문 2006

[8] 임재훈 외 10인 고등학교 수학 Ⅰ (주)두산 2002

[9] 장 숙 고등학교 수학 Ⅰ 교과서의 통계단원 분석 실생활에의 용 경희

학교 교육 학원 석사 학 논문 2006

[10] 조해식 행렬 수열 수업에서의 수학사 도입에 한 연구 울산 학교 석사

학 논문 1998

[11] 차 자 수열 학습의 흥미 유발을 한 자료 연구 경성 학교 교육 학원 석

사 학 논문 2004

[12] 최 외 5인 고등학교 수학 Ⅰ 앙교육진흥연구소 2006

[13] 최상기 외 5인 고등학교 수학 Ⅰ (주)고려출 2002

[14] 최용 신 성 고등학교 수학 Ⅰ 천재교육(주) 2002

[15] 황혜정 외 5인 수학교육학 신론 문음사 2002

• Ⅰ 서론
• • 1 연구의 필요성과 목적
  • 2 연구의 제한점
  • • Ⅱ 개정 교육과정에서 명시된 수학Ⅰ교육의 목표
    • • 1 수학Ⅰ교육의 목표
      • 2 고등학교 수학 Ⅰ 수열 단원의 학습목표
      • • Ⅲ 수열의 역사적 배경 및 응용
        • • 1 수열의 역사
          • 2 수열 단원이 실생활에 응용된 사례
          • • Ⅳ 고등학교 수학교육과정에서의 수열
            • • 1 수학Ⅰ 교과서 분석
              • 2 수학Ⅰ 교과서에서의 수열
              • • Ⅴ 켈러의 ARCS 이론과 수열 지도
                • • 1 켈러의 ARCS 이론
                  • 2 ARCS 이론을 적용한 수열 수업 계획서
                  • 3 ARCS 이론을 적용한 수업 지도안
                  • 4 조사지 분석
                  • • Ⅵ 결론
                    • 참고문헌

국문 록

수학은 오래된 학문으로 사회생활을 하는데 직 으로 소용이 되지 않는

수학 지식도 타학문을 공부하는 데에는 필요하다 그러나 부분의 사람

들은 간단한 연산을 제외하고는 수학의 필요성을 느끼지 못하고 있다 게

다가 학생들은 수학을 입시 과목 의 하나로만 여겨 내용에 한 이해보

다는 문제를 공식에 용시키는 정도로써 수학에 한 심을 보이고 있는

형편이다 이런 상 때문에 학생들이 수학을 어려운 과목으로만 여기고

기피하는 모습을 많이 보이고 있다

본 논문에서는 행 고등학교 수학과 교육과정에서 수열 단원을 교과서별

로 분석해 보았고 수열 단원의 각 소단원의 내용을 정리해 보았다 그리고

고등학교 2학년 인문계열 학생들이 수학 Ⅰ 교육과정을 학습할 때 가장 어

려워하는 수열 단원을 보다 효율 으로 지도하기 한 방안을 연구해보았

다

이를 하여 본 연구자가 교생실습을 했던 경기도 부천시 소재의 원종고

등학교 2학년 인문계학생 100여명을 상으로 수학의 학습에서 가장 어려

운 부분과 그 이유를 알아보는 조사 문제지 검사를 실시하 으며 이를 토

로 수열의 효율 인 지도방안에 해 좀 더 구체 으로 연구해 볼 수 있

었다

러(Keller)의 ARCS 이론의 주의(Attention) 련성(Relevance) 자신감

(Confidence) 만족감(Satisfaction) 을 토 로 하여 수열 단원의 수업계획

서와 수업지도안을 작성해보았고 지도안 로 수업을 실시해보았다

지도안 로 수업을 실시 해 보았을 때 본 연구자가 매 수업 끝난 후 실시

한 Test에서 그 차시 수업 때보다 좋은 수를 낸 것으로 보아 학생들

이 수열 단원의 학습 효과가 조 은 향상된 것으로 보여진다

ABSTRACT

Mathematical knowledge has been used to study other fields even though it

does not have a direct relation with them However most of the people think

mathematics is not essential to life except for simple calculations Moreover

because students think of mathematics just as a required subject for an

admission in a university they are not interested in math itself but interested

in solving mathematical problems by merely applying given formulas Due to

these tendencies many students consider that mathematics is beyond their

abilities and seem to try to avoid it if possible

The present thesis analyzes and compares textbooks concerning sequences in

the present curriculum of highschool mathematics Above all the author tries

to find effective ways to teach sequences which are difficult for highschool

students especially for those who plan to major in humanities to learn

To achieve these objectives the author asked a hundred students in the

second-grade class at Wonjong highschool in Buchon-si Kyonggi-do to fill

out questionnaires concerning most difficult parts in learning mathematics and

ways to improve learning We have been able to specifically construct effective

teaching plans for sequences based on these questionnaires We have written

out a guidance plan and a teaching plan for the chapter on sequences based

on Kellers ARCS Theory- Attention Relevance Confidence Satisfaction

It is well known that the effectiveness of study is higher if students are

taught with the teaching plan

Ⅰ 서 론

1 연구의 필요성과 목

오늘날의 수학교육에 있어서의 최 당면 문제는 수학의 기 인 교육

기반을 어떻게 회복하느냐 하는 것이다 이를 해서는 lsquo수학을 어떤 이유

로 가르쳐야 하는가rsquo 는 lsquo학생들이 왜 수학을 알아야 하는가rsquo에 한 보

다 근원 인 논의가 이루어져야 한다 lsquo수학을 왜 가르치고 배우는가rsquo 라는

질문에 부분은 수학을 배우면 논리 으로 사고하게 되고 과학 인 생활

을 하는 데 도움이 된다고 말하지만 우리는 이러한 질문에 하여 보다

체계 으로 생각해 보아야 한다 수학을 가르치는 교사는 학생을 지도할

만큼의 충분한 수학 지식을 가지는 것도 요하지만 수학이 갖는 가치

에 하여 단순히 학문 입장만이 아닌 lsquo교육 rsquo 입장에서의 가치 을 갖

추고 있어야 한다는 것이다 ([15])

하지만 지 의 학교수학교육의 황은 학 입시를 한 기계식의 문제풀

이와 암기 주의 수업이 이루어지고 있는 실정이다 때문에 학생들은 수학

에 한 기 개념을 알지 못한 채 수박 겉핥기식의 학습을 하게 되고 수

학에 흥미를 잃고 수학을 포기하는 학생이 늘어가고 있다

고등학교 수학Ⅰ 교육과정의 요한 단계인 수열에 해 학생들은 특히

이해하기 어려워한다 한 수열에 한 선수 학습이 제 로 이루어지지

않았을 경우 수열을 배우고 나서 바로 다음 단원에 학습하는 수열의 극한

단원을 이해하는데 어려움을 겪게 되기 때문에 수열의 제 로 된 학습은

학생들에게 상당히 요한 문제라고 할 수 있다

학생들이 수열 단원을 어려워하는 데에는 많은 이유가 있겠지만 무엇보다

도 행 교과서의 수열 단원의 구성에 부족한 부분이 많기 때문인 것 같

다 요한 단원임에도 불구하고 개념 설명이나 시 문항이 많이 부족하

고 군 수열이나 멱 수에 한 설명은 실려 있지 않은 교과서도 많았다

한 지 의 딱딱한 강의식 수업에서 벗어나 학생들의 자신감과 만족감을

증진시킬 수 있는 수업을 해 교사나 학생 모두 노력해야한다

이 논문에서는 개정 교육과정에 의하여 다루어지는 고등학교 수학 Ⅰ 교

육과정 내용 수열을 택하여 각 교과서에서 수열 단원의 구성과 수열에

한 역사 배경과 실생활에 활용된 를 알아보고 학생들로 하여 수

열의 원리와 개념의 이해에 도움이 될 수 있는 지도방안을 러의 ARCS

이론을 바탕으로 하여 작성해보고자 한다

2 연구의 제한

재 고등학교에서 채택하고 있는 12여종의 수학 Ⅰ 교과서 부를 분

석하지 않고 임의로 선택된 5종 교과서를 분석하 기 때문에 5종이 12종을

모두 표한다고 볼 수 없다

본 논문은 러의 ARCS 이론을 바탕으로 한 수열 지도가 수열 단원의

학습에 효율 일 것이라고 여겼으나 1개 고등학교에서만 수업시연을 해보

았기 때문에 실제 인 검증작업을 거치지 못하 다 따라서 연구 결과에

한 한계가 있을 수 있다

러의 ARCS 이론을 바탕으로 한 수열 학습지도안으로 수업을 진행할

때 조별학습을 하게 되는데 이때 능숙한 교사가 아니라면 학생들의 주의

가 산만해지고 수업 분 기가 흐트러지는 것을 정리하고 완만한 수업을 진

행하기가 힘이 들것이라 생각된다

본 연구자가 부천시 소재의 원종고등학교 학생 100명을 상으로 한 조

사문제지 검사가 수열 단원의 학습에 국한된 것이 아니라 고등학교 수학

학습의 일반 인 내용을 담았기 때문에 수열 단원의 효율 인 지도방안을

한 연구에 직 인 도움을 주지 못했다

본 연구자가 제안한 교수 방법의 효과를 검증하지 못했다

Ⅱ 개정 교육과정에서 명시된

수학Ⅰ 교육의 목표

1 수학Ⅰ교육의 목표

교육인 자원부에 고시된 개정 교육과정([2])에서의 고등학교 수학Ⅰ과정

교육목표는 다음과 같다

1)성 격

lsquo수학 Ⅰrsquo의 학습을 통하여 수학 개념 원리 법칙을 이해하고 수학 사

고 능력을 키워 합리 이고 창의 으로 문제를 해결하는 능력과 태도를 기

를 수 있다

lsquo수학 Ⅰrsquo의 교수학습에서는 고등학교 1학년까지의 수학에서 습득한 수학

개념 원리 법칙을 토 로 하여 새로운 개념에 근해야 하므로 기본

인 수학 지식을 확인하고 활용하면서 발 인 학습이 이루어지도록 한

다 이 과정에서 여러 가지 상을 수학 으로 해석하고 조직하는 활동 구

체 인 사실에서 진 으로 추상화로 나아가는 과정 직 이나 구체 인

조작 활동에 바탕을 둔 통찰 등의 수학 경험을 통하여 형식이나 계를

발견하는 것이 요하다 한 수학 문제를 해결하는 과정에서 문제를 명

확히 이해하고 합리 인 해결 계획을 세워 실행하며 반성을 통하여 풀이 과

정을 검하고 다양하게 활용하는 능력을 기르도록 한다 수학 지식과 기

능을 활용하여 여러 가지 문제를 해결해 으로써 수학의 필요성과 유용성

을 인식하고 수학 학습의 즐거움을 경험해 으로써 수학에 한 정 인

태도를 갖게 한다

역 내 용

행렬과 그래

행렬과 그 연산

연립일차방정식과 행렬

그래 와 행렬

지수함수와 로그함수

지수

지수함수와 그 그래

지수방정식과 지수부등식

로그

2) 목 표

수학 개념 원리 법칙을 이해하고 수학 으로 사고하고 의사소통하는

능력을 신장하여 여러 가지 문제를 합리 이고 창의 으로 해결하며 수학

의 실용성을 인식하여 수학에 한 정 태도를 갖는다

(1) 수학Ⅰ의 학습을 통해 얻는 여러 가지 장

(가) 행렬과 그래 지수함수와 로그함수 수열 수열의 극한에 련된 개

념 원리 법칙과 이들 사이의 계를 이해하고 이를 활용하는 능력을 기른

다 여러 가지 상을 찰 분석 조직하여 수학 으로 나타내는 능력을 기

른다

(나) 수학을 통하여 여러 가지 문제를 합리 으로 해결하는 능력과 수학

으로 사고하고 의사소통하는 능력을 기른다

(다) 수학의 가치를 이해하여 수학에 한 심과 흥미를 지속 으로 가지

며 수학에 한 정 태도를 기른다

3) 내 용

⑴ 내용체계

로그함수와 그 그래

로그방정식과 로그부등식

수열

등차수열과 등비수열

여러 가지 수열

수학 귀납법

알고리즘과 순서도

수열의 극한무한수열의 극한

무한 수

[표1 수학Ⅰ교과서 내용체계]

4) 평 가

(1) 평가

(가) 수학 학습의 평가는 학생의 인지 역과 정의 역에 한 유용한

정보를 제공하여 학생 개개인의 수학 학습과 인 인 성장을 돕고 교사의

교수 활동과 수업 방법을 개선하는 데 활용한다

(나) 수학 학습의 평가에서는 학생의 인지 발달 수 을 고려하고 교육과정에

제시된 내용의 수 과 범 를 수한다

(다) 수학 학습의 평가는 수업의 개 과정에 따라 진단 평가 형성 평가 총

평가 등의 한 평가 방식을 택하여 실시하되 지속 인 평가를 통하여

다양한 정보를 수집하고 수업에 활용한다

(라) 수학 학습의 평가에서는 획일 인 방법을 지양하고 지필 평가 찰 면

담 자기 평가 등의 다양한 평가 방법을 통해 수학 교수ㆍ학습을 향상시킬

수 있게 한다

(마) 인지 역에 한 평가에서는 학생의 수학 사고력 신장을 하여 결

과뿐만 아니라 과정도 시하여 평가하되 수학의 교수학습에서 반 으

교과서 학습목표

한교과서

(주)

등차수열 등비수열의 뜻을 알고 일반항 첫째항부터 제 n항까지

의 합을 구할 수 있다

sum의 뜻과 성질을 이해하고 이를 활용하여 여러 가지 수열에

한 문제를 해결할 수 있다

수학 귀납법의 원리를 이해하고 이를 활용하여 자연수 n에

하여 참인 명제를 증명할 수 있다

알고리즘과 순서도의 뜻을 알고 간단한 문제 해결을 한 알고

리즘을 작성하여 순서도를 만들 수 있다

(주) 천재교육

등차수열과 등비수열의 뜻을 알고 일반항과 첫째항부터 제 n항

까지의 합을 구할 수 있다

기호 sum의 뜻과 성질을 이해하고 이를 활용할 수 있다

여러 가지 수열의 일반항과 첫째항부터 제 n항까지의 합을 구

할 수 있다

여러 가지 수열에 한 문제를 해결할 수 있다

수학 귀납법의 원리를 이해하고 이를 이용하여 자연수 n에

하여 참인 명제를 증명할 수 있다

로 요구되는 사항을 강조한다

(바) 정의 역에 한 평가에서는 학생의 수학에 한 정 태도를 신장

시키기 하여 학생의 수학에 한 바람직한 가치 이나 수학 학습에 한

심 흥미 자신감 등의 정도를 악한다

(사) 수학 학습의 평가에서는 평가하는 학습 내용에 따라 학생에게 계산기

컴퓨터와 같은 공학 도구와 다양한 교구를 이용할 수 있는 기회를 제공할

수 있다

2 고등학교 수학 1 수열단원의 학습목표

수학 Ⅰ교과서에서의 수열단원의 학습목표를 5종 교과서를 비교하여 살펴

보고자한다 임의로 선택된 5종 교과서([5][8][12][13][14])의 학습목표는

다음과 같다

알고리즘과 순서도의 뜻을 알고 그 필요성을 이해할 수 있다

간단한 문제 해결을 한 알고리즘을 작성하여 순서도를 만들

수 있다

앙교육진흥

연구소

수열을 이해하고 이를 활용하여 여러 가지 문제를 해결할 수 있

다

수학 귀납법의 원리를 이해하고 이것을 이용하여 자연수 n에

하여 참인 명제를 증명할 수 있다

알고리즘과 순서도의 뜻을 알고 간단한 문제 해결에 사용할 수

있다

(주) 고려출

등차수열의 뜻을 알고일반항 첫째항부터 제 항까지의 합을 구

할 수 있다

등비수열의 뜻을 알고일반항 첫째항부터 제 항까지의 합을 구

할 수 있다

sum의 뜻과 성질을 이해하고 이를 활용할 수 있다

여러 가지 수열의 일반항 첫째항부터 제 항까지의 합을 구할

수 있다

여러 가지 수열에 한 문제를 해결할 수 있다

수학 귀납법의 원리를 성명하고 수학 귀납법을 이용하여 자연

수 에 하여 참인 명제를 증명할 수 있다

알고리즘과 순서도의 뜻을 알고 그 필요성을 알 수 있고 간단

한 문제 해결을 한 알고리즘을 작성하여 순서도를 만들 수 있다

(주) 두산

등차수열과 등비수열의 뜻을 알고 일반항과 그 합을 구할 수 있

다

기호sum의 뜻과 성질을 이해하고 이를 이용하여 여러 가지 수열

에 한 문제를 해결할 수 있다

수학 귀납법의 원리를 이해하고 이를 이용하여 자연수 에

하여 참인 명제를 증명할 수 있다

알고리즘과 순서도의 뜻을 알고 간단한 문제 해결을 한 알고

리즘을 작성하여 순서도를 만들 수 있다

[표2 5종 교과서 수학 Ⅰ 수열 단원의 학습목표]

Ⅲ 수열의 역사 배경 응용

1 수열의 역사

수학의 역사에서 가장 흥미로운 수열 하나가 피보나치수열이다 피보나

치수열은 수학이론 뿐만 아니라 자연계 건축 술 등에 다양하게 표 된

다

그 에 오나르도가 발표한《산반서》에 소개된 피보나치수열에 한 문

제는 다음과 같다 ([6]) ldquo어떤 사람이 토끼 한 을 우리에 넣었다 이 토

끼 한 은 한 달에 새로운 토끼 한 을 낳고 낳은 토끼들도 한 달이 지

나면 다시 한 의 토끼를 낳는다 그 다면 1년이 지나면 몇 의 토끼가

있을까rdquo

첫 달엔 처음에 있던 토끼 한 만 있다 두 번째 달이 되면 토끼 한 을

낳아 두 의 토끼가 된다 세 번째 달이 되면 처음에 있던 토끼 한 이

한 의 토끼를 낳아 세 의 토끼가 된다 네 번째 달이 되면 첫

달과 두 번째 달의 토끼 두 이 각 한 의 토끼를 낳아 총 다섯 의

토끼가 있게 된다 이런 식으로 토끼를 낳아가면 그 수는 다음과 같은 규

칙을 갖는다 　　　　　　　　　　 이런 규칙을 갖는 피보나치수열의

일반항을 이라고 하면 　 　 　 　 가 된다

그런데 이 수열을 자연에서도 쉽게 찾아볼 수 있다 식물의 기에서 뻗어

나온 잎을 생각해 보면 기의 에 있는 잎 하나에서 수직으로 에 있

는 잎까지 도달할 때까지 기를 따라 올라가면서 잎의 개수를 세면 그

수들은 일반 으로 피보나치수열을 이룬다

[그림1 피보나치수열]

2 수열 단원이 실생활에 응용된 사례

1) 하노이의 탑

인도 갠지스 강 유역 라만교의 사원에 있었던 하노이의 탑은 라만

탑이라고도 부르는데 이 탑에 얽힌 문제의 내용은 다음과 같다 다음은

([10])의 내용을 참고하 다

[베나 스에는 세계의 심이 있고 그 곳에는 아주 큰 사원이 있으며 이

사원에는 높이 정도 되는 다이아몬드 바늘 3개가 있다 그 에서 한

바늘에는 천지 창조 때에 신이 구멍이 뚫린 64장의 순 으로 된 원 을 크

기가 큰 것부터 아래에 놓이도록 하여 차례로 쌓아 놓았다 그리고 신은

승려들에게 밤낮으로 쉬지 않고 원 을 한 장씩 옮겨 빈 다이아몬드 바늘

어느 한 곳으로 모두 옮겨 놓도록 명령하 다

ldquo원 은 한 번에 한 개씩만 옮겨야 하고 로 작은 원 에 큰 원

을 올려놓을 수 없다 단 64개의 원 의 크기는 모두 다르다 이 말을 충

실히 실행하고 한 순간도 게을리 하지 마라 만일 게을리 하는 일이 있으

면 그 때는 이 사원도 탑도 모두 무 지고 세계는 종말을 고하게 된다 게

을리 하는 일이 없으면 그 들이 원 을 부 옮길 때까지 세상은 태평할

것이다rdquo]

승려들은 과제를 수행하기 해 밤낮으로 매우 열심히 작업을 했다 그 작

업을 끝내기 해서 승려들은 몇 번을 움직여야 하고 얼마나 많은 시간을

사용해야만 했을까

[그림2 하노이의 탑]

원 이 1개가 있으면 최소 이동 횟수는 1번 원 이 2개가 있을 때 최소

이동 횟수는 3번이고 원 이 3개가 있으면 최소 이동 횟수는 7번이다

원 이 4개가 있으면 최소 이동 횟수는 15번이다 이런 식으로 계속 해나

가다 보면 　　　　　　　 라는 수열을 얻는다 이것은 각 항의 차이가

계차수열을 이루는데 이것은 다음과 같다 　　　　　　일반항을 으로 두

고 구해보면 　 　times 　 　 이다 처음 값을 으로 두고 일반항을

구해보면 　

이 된다

만약 그 설 로 따라가서 수도승들이 쉬지 않고 디스크를 1 에 한번

씩 옮겼다면 최소의 이동횟수는 이 되고 18446744073709551616

가 걸리고 략 5854억4200만년이 필요하다는 것을 알 수 있다

원 이자 원리합계(=원 +이자)

1년 원 원 원

2년 원 원 원

3년 원 원 원

년 원 100원 원

2) 등차수열의 응용

(1) 단리법

단리법은 처음 원 의 이자에 해당하는 비율만큼 계속 되는 계산법이

다 1000원을 했다면 1년이 지날 때마다 10 의 이자가 붙는다고 하

자 1년이 지났을 때 10 의 이자가 붙으면 100원 불어나므로 1000 +

1000 times 01 = 1100(원) 이다 그리고 1년2년 년이 지날 때 마다

값을 측정해보면 다음과 같다

[표3 단리법]

최종 으로 원 을 라 하고 연이율을 이라고 한다면

결국 년이 되었을 때 단리법으로 표 하면 그 때의 총 합 는

이 된다

3) 등비수열의 응용

(1) 복리법

복리법은 원 에 이자가 된 원리합계를 기 으로 이자를 계산하는 방

법이다 원을 했다면 1년이 지날 때마다 의 이자가 붙는다고

원 이자원리합계

(=원 +이자)

1년 원 원 원

2년 원 원 원

3년 원 원 원

년 원 times원 원

하자 1년이 지났을 때 의 이자가 붙으면 원 불어나므로

times (원) 이다 그리고 1년2년 년이 지날 때 마

다 값을 측정해보면 다음과 같다

[표4 복리법]

최종 으로 원 을 라 하고 연이율을 이라고 한다면

따라서 년이 지나면 이 된다 그때의 총 합 는 이

다

4) 황 비율

에서 언 했던 피보나치수열 　　　　　　　　　　에서 번째 항

을 번째 항으로 나 어 보자

　 　

　 　

　 　

　 　

　 　

　 　 이런 식으로 계속 해나가다 보면

이 수가 061803 에 근사하게 된다 고 그리스인들은 이 수에 lsquo황 비

율rsquo라는 이름을 붙 다 이것은 인간이 보기에 가장 아름다운 비율이라 하

여 여러 분야에서 사용되고 있다

(1) 황 비의 이용

약 100년 페히 라는 독일의 심리학자는 수백 명의 사람들에게 여러

종류의 직사각형을 보여 다음 마음에 드는 것을 선택하게 하는 실험을

했다 그런데 그 결과 부분의 사람이 황 직사각형을 선택했다고 발표했

다 ([6])

실험에 의하면 황 비는 사람들이 가장 편안하고 아름답게 느끼는 비율로

알려져 있으며 이런 이유 때문에 옛 부터 건축과 미술 음악 등에서 자주

이용되어 왔다

(가) 건축

기원 2000년경의 이집트 《린드 피루스》에 보면 기원 4700년에 기

자의 피라미드를 건설할 때 이 수를 lsquo신성한 비율rsquo로 사용했다고 한다

의 측량 기술로 측정해보니 피라미드 의 심에서 의 모서리까지

그리고 경사면까지 거의 정확하게 0618이었다 ([6])

피라미드는 인류역사를 통해서 사람들을 가장 매료시켜온 건축물 의 하

나이다 그 규모의 장 함에서도 사람을 압도하는 것이 있지만 그 형태 자

체가 고도한 수학을 배경으로 한 것으로서 우리가 알고 있는 5천년 의 지

식수 으로서는 불가사의한 것 의 하나이다

[그림3 피라미드 황 비]

(나) 음악에서의 활용

음악에서 한 옥타 는 [도 미 솔 라 시 도] 의 8음계로 이루어져 있

다 피아노의 건반은 한 옥타 를 13개의 음으로 나 어 표 하고 있으며

이 하얀 건반이 8개 검은 건반이 5개 있고 하얀 건반은 3개와 5개 검

은 건반은 2개와 3개로 구분되어 있다 여기에서 나타나는 2 3 5 8 13

은 에서 보인 피보나치수열이다

[그림4 피아노건반황 비율]

(2) 인체에서의 황 비율

황 분할은 우리의 인체 속에서도 찾아볼 수 있다 인간의 신체가 이 비율

에 의해서 분할되어 있으며 이것이 아름다운 몸의 보편 기 이 되고 있

다 아래 그림은 Le Corbusier가 찾아낸 이상 인간의 각 신체부 의 비율

이다 이것은 오나르도 다빈치의 인체비율에 한 그림에서도 찾아 볼

수 있다 이 뿐만 아니라 인체의 각 부 들도 그 자체 황 분할을 이루

고 있다

[그림5 인체 황 비율]

앞에서 제시한 황 비율을 사용한 시들 이외에도 우리 주변에 아주 많

이 있다

교과서 차례

한교과서(주)

Ⅳ 수열

1 등차수열과 등비수열

2 여러 가지 수열

3 수학 귀납법

4 알고리즘과 순서도

(주) 천재교육

Ⅲ 수열

1 등차수열과 등비수열

2 여러 가지 수열

3 수학 귀납법

4 알고리즘과 순서도

Ⅳ 고등학교 수학교육과정에서의 수열

1 수학Ⅰ 교과서 분석

고등학교 2학년이 학습하는 lsquo수학 Ⅰrsquo은 국민 공통 기본 교육 기간의 10단계

수학을 이수한 학생들이 보다 문 인 진로를 고려하고 보다 높은 수 의

수학을 학습하기 해 설정된 심화 선택 과목이며 lsquo수학 Ⅱrsquo를 학습하기 한

단계이다 lsquo수학 Ⅰrsquo의 내용은 수 역에서 지수와 로그 행렬 수열이

실려있고 해석 역에서 수열의 극한 지수로그 함수가 수록되어 있으며

확률과 통계 역에서 순열과 조합 확률 통계 등으로 구성되어 있다 특히

수 역에 해당하는 수열은 여러 가지 수열에 한 성질을 이해하고 그것

을 일반화 하는 과정에 을 두어 지도하도록 하고 있으며 계차수열은 등

차수열이나 등비수열이 되는 경우만 다룬다 ([2])

1) 수학 Ⅰ 5종 교과서의 차례 단원 배열

앙교육진흥연구소

Ⅲ 수열

1 등차수열과 등비수열

2 여러 가지 수열

3 수학 귀납법

4 알고리즘과 순서도

(주) 고려출

Ⅲ 수열

1 등차수열과 등비수열

2 여러 가지 수열

3 수학 귀납법과 순서도

(주) 두산

Ⅲ 수열

1 등차수열과 등비수열

2 여러 가지 수열

3 수학 귀납법

4 알고리즘과 순서도

[표5 수학 Ⅰ 5종교과서의 차례]

의 표에서 본 것과 같이 임의로 선택된 5종의 고등학교 수학 Ⅰ 교과서의

차례는 거의 비슷한 양상을 보 다 부분의 교과서에선 1단원 지수와 로

그 2단원 행렬 3단원 수열 순의 순서를 보 고 한교과서외의 몇몇

교과서에선 1단원 지수와 로그 2단원 지수로그함수 3단원 행렬 4단원 수

열 순의 순서를 보 다 수열단원의 세부 단원 차례는 1 등차수열과

등비수열 2 여러 가지 수열 3 수학 귀납법 4 알고리즘과 순서도 는

34 단원을 한 단원으로 해서 3 수학 귀납법과 순서도의 순서로 다루는

은 비슷했다

2) 교과서에 제시된 수열 련 자료

한교과서

(주)

피타고라스(Pythagoras 572～492 BC) 피타고라스의 정리

로 잘 알려져 있고 소수나 완 수의 규칙성에 해서도 많은 연

구를 하 다

바스카라(Bhaskara A 1114～1185) 인도의 수학자로

임을 증명하 고 피타고라스의 정리를 기하학

으로 증명하 다

피보나치(Fibonacci 1180～1250) 이탈리아의 수학자로 자연

속에서 많이 볼 수 있는 피보나치 수열을 발견하 다

스칼(Pascal B 1623～1662 ) 랑스의 수학자로 수학

귀납법을 발견하 고 사 기하학을 창시하 다

푸리에(Fourier J B J 1768～1830) 랑스의 수학자로 음양

학 학 기역학 열역학 등의 연구에 매우 요한 푸리에

수를 연구하 다

가우스(Gauss K F 1777～1855) 수학 통계학 등의 다방

면에 많은 업 을 이루었고 역사상 가장 한 수학자 의 한

사람으로 불리워지고 있다

비주얼 베이직(Visual BASIC)

을 이용한 Programming

하노이의 탑

(주)

천재교육

가우스(Gauss K F 1777～1855) 독일의 수학자인 가우스는

수학의 각 방면에 많은 업 을 남겨 수학의 아버지라 일컬

어지고 있다 그는 계산의 천재로 알려져 있는데 이에 한 유명

한 일화가 있다 등학교 때 부터 까지의 합을 구하는 문

제에서 다른 학생들이 직 하나하나 계산하는 동안 가우스는

　 　 　　　　 이 모두 임을 이용하여

times 이라는 답을 이끌어 내었다 이러한 방식은 수열

의 합을 계산할 때 사용하는 방식 의 하나이다

하노이의 탑을 이용한 수열의 귀납 정의

임의로 선택된 5종 교과서들의 수열단원에서 학생들의 수열 단원의 이해를

돕기 해 수록된 수학자들에 한 설명과 기타 자료들은 다음과 같다

도미노 이론 - 수학 귀납법의 다른 표

피보나치수열 - 토끼 수 증가 문제

앙교육

진흥연구소

삼각수 사각수 문제

피보나치(Fibonacci 1180～1250)

가우스(Gauss K F 1777～1855)

음악과 수학 - 작곡가 바흐(Bach)의 요 업 으로 평균율을

들 수 있다 평균율이란 1옥타 즉 lsquo도rsquo와 lsquo도rsquo의 사이를 개의

반음으로 나 고 처음 lsquo도rsquo의 진동수를 이라 하면 그에 일정한

수를 더해 제곱하여 옥타 의 lsquo도rsquo의 진동수를 얻는 것을

말한다 수식으로는 로 나타낼 수 있고 이 등식을

만족하는 의 값이 평균율이다

(주)

고려출

티티우스-보데 수열 -

수열 　　　　　　　　의 각 항에 각각 를 더한 후

으로 나 수들을 나열한 것 　　　　　　　 를

티티우스-보데 수열이라 한다 이수열의 각 항은 태양에서 행성

까지의 실제 거리와 비슷한 것으로 1766년 티티우스(Titius)라는

독일의 천문학자가 발견하 다

제갈량의 군 에 한 을 통한 등비수열의 합

피보나치 수열

휴먼 로 - 휴먼 로 의 제작은 복잡한 여러 가지 알고리즘

과 순서도에 바탕을 두고 있다 알고리즘의 요성은 자계산기

이 부터 실제 으로 존재했다 그 로 최 공약수 계산에 한

유클리드의 알고리즘이 있다 한 가우스와 같은 부분의 수학

자들은 역사 으로 많은 양을 처리하는 효율 인 알고리즘에

심을 가졌다 이러한 알고리즘을 보다 효율 으로 이용하여 재

의 컴퓨터 시 를 구축했다

(주) 두산

피보나치(Fibonacci 1180～1250)는 이탈리아의 피사에서 태

어난 수학자이다 부친이 상업에 종사하 기 때문에 피보나치는

이집트 시칠리아 그리스 시리아 등 다양한 지역을 여행할 수

있었고 이 때 다양한 수학을 하게 되었다 1202년 피사로 돌아

온 피보나치는 「산반서(Liber abaci)」를 술하 다 1228년에

는 「산반서 2 」을 술하 는데 이 책에서 정수와 분수의 계

산 제곱근과 세제곱근 일차와 이차방정식의 풀이 등을 다루었다

고 한다 특히 이 책에 나오는 「피보나치의 수열」은 매우 흥미

로운 수열로 요한 성질을 많이 가지고 있다

1에서 100까지 자연수를 모두 합하면 얼마일까

가우스(Gauss KF 1777～1855) 가우스는 수론 해석학 확

률론 천문학 물리학 등 다양한 분야에 뛰어난 수학자이었다 특

히 그의 수론 연구는 19세기 수학 체계의 확립에 크게 공헌하

다

피타고라스(Pythagoras 572～492 BC) 피타고라스는 음의

높이에 따른 진동수의 비가 일정함을 발견하 다

페아노(Peano G 1858～1932) 자연수의 성질을 추상화 하여

페아노의 공리계를 만들었다 이 공리계의 제 5공리가 수학 귀

납법의 원리이다

피보나치의 수열

알콰리즈미(Alkhwarizmi 780～850) 알고리즘이란 말은 세

아라비아의 수학자 알콰리즈미의 이름에서 유래된 것으로서 그가

십진법으로 나타낸 수의 계산에 용한 계산 방법에서 나온것이

다

[표6 5종 교과서에 제시된 수열 련 자료]

2 수학 Ⅰ 교과서에서의 수열

등차수열의 일반항

첫째항이 공차가 인 등차수열의 일반항 은

본 연구자가 임의로 선택한 5종 교과서 ([5][8][12][13][14]) 에서의

수열의 내 을 정리해보았다

1) 등차 수열과 등비 수열

(1) 수열의 뜻

어떤 규칙에 따라 순서 로 수를 늘어놓은 것을 수열이라 하고 그 수열을

이루는 각각의 수를 그 수열의 항이라고 한다 수열의 각 항을

앞에서부터 순서 로 제 1항 제 2항 제 3항 제 항

이라고 한다 특히 제 1항은 첫째항이라고도 한다

(2) 등차수열의 뜻

첫째항에 차례로 일정한 수를 더하여 만들어진 수열을 등차수열 이라하고

더한 일정한 수를 공차라고 한다

첫째항이 공차가 인 등차수열 에서

이므로 일반항 은 다음과 같이 나타낼 수 있다

(3) 등차수열의 합

등차수열의 합

첫째항이 공차가 끝항이 인 등차수열의 첫째항부터 제 항까지의

합 은

첫째항이 공차가 등차수열 에서 첫째항 부터 제 항 까지의 합

을 토론하기의 방법을 이용하여 구해보자

　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　①

더하는 순서를 거꾸로 하면

　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　②

①②의 양변을 각각 더하면

　　

따라서 =

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　③

이때 제 항인 를 ③에 입하여 식을 다르게 나타낼수도

있다

이상을 정리하면 다음과 같다

(4) 수열의 합과 일반항

수열 에서 첫째항부터 제 항까지의 합을 이라 하면

ge 일때 　　

there4

수열의 합과 일반항의 계

수열 의 첫째항부터 제 항까지의 합을 이라 하면

(단 ge )

등비수열의 합

일때 이다

이상을 정리하면 다음과 같다

(5) 등비수열의 뜻

첫째항부터 시작하여 각 항의 바로 앞의 항에 일정한 수를 곱하여

만들어진 수열을 등비수열이라 하고 곱하는 일정한 수를 공비라고 한다

첫째항이 공비가 인 등비수열에서 첫째항부터 제 항까지의 합 은

다음과 같이 구한다

　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　①

①의 양변에 공비 을 곱하면

　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　②

①에서 ②를 같은 변끼리 빼면

따라서 ne 일때

인 경우 ①에서

　　

there4

이상을 정리하면 다음과 같다

첫째항이 공비가 인 등비수열의 첫째항부터 제 항까지의 합 은

① ne 일때

② 일때

자연수의 거듭제곱의 합

①

　　

②

　　

③

　　

2) 여러 가지 수열

(1) 합의 기호 sum

수열 에서 첫째항부터 제 항까지의 합

　　

을 일반항과 합의 기호 sum를 써서

　　

와 같이 나타낸다

이때

는 수열 의 일반항 의 에 　　　　　　을 차례로

입하여 얻은 항의 합으로 신 다른 문자를 사용하여

등과 같이 나타낼 수 있다

(2) 기호 sum 의 성질

합의 기호 sum 의 성질에 하여 알아보자

합의 기호 sum의 성질

①

(복부호동순)

②

(단 는 상수)

③

(단 는 상수)

　　

　　 　　

　　

마찬가지로

와

에 해서도 확인해 보면 sum 의 성질을

다음과 같이 정리할 수 있다

(3) 계차수열

일반 으로 수열 에서 이웃하는 두 항의 차

　　 을 일반항으로 하는 새로운 수열

　　　　　　　을 얻을 수 있는데 이 수열 을 원래의 수열 의

계차수열이라고 한다

수열 에 하여 그 계차수열을 이라 하면

　　

계차수열과 일반항

수열 의 계차수열을 이라 할때

(단 ge )

3) 수학 귀납법

(1) 수열의 귀납 정의

첫째항과 이웃하는 두 항 사이의 계식으로 수열을 정의하는 것을 수열의

귀납 정의 라고 한다

첫째항이 공차가 인 등차수열 은 다음이 성립한다

　ge 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　①

역으로 두 계식 ①이 주어지면 이 결정되고 차례로

가 결정된다 따라서 모든 자연수 에 하여 이 정해지므로 수열 이

정의 된다

①과 같이 의 값 과 의 계식을 화식이라고 한다

(2) 수학 귀납법

수학 귀납법은 이탈리아의 페아노에 의하여 설정된 자연수에 한 공리

수학 귀납법

자연수 에 한 명제 이 모든 자연수 에 하여 성립함을 증명하

려면 다음 ⅰ ⅱ 를 증명하면 된다

ⅰ 일때 명제 이 성립한다

ⅱ 일때 명제 이 성립한다고 가정하면 일때에도

명제 이 성립한다

다음과 같은 5번째 공리에 근거를 두고 있다

자연수의 집합 의 부분집합 가

ⅰ 　isin

ⅱ 　isin 이면 isin

(여기서 는 의 후자)

인 두 조건을 만족하면 이다

4) 알고리즘과 순서도

(1) 알고리즘과 순서도

어떤 문제를 해결하기 해서는 그 처리 순서를 정해야 하는데 이와 같이

문제 해결에 필요한 처리 과정의 순서를 단계 으로 정리한 것을 알고리즘

이라 하고 알고리즘을 알기 쉽게 기호를 써서 그림으로 나타낸 것을 순서도

라고 한다 일반 으로 어떤 문제를 해결하기 한 알고리즘은 여러 가지가

있을 수 있지만 정해진 유한번의 단계를 거치면 반드시 끝나야 하고 처리

과정의 순서가 명확해야 한다 한 순서도는 각 부분을 순서 계통 으로

나타냄으로써 작업 과정을 구나 쉽게 한 에 악할 수 있도록

작성되어야 한다 순서도는 다음과 같은 기호를 사용하여 작성한다

[표7 순서도의 기호]

(2) 알고리즘과 순서도의 작성

수열과 련된 순서도를 작성할 때에는 다음과 같은 방법을 고려한다

(가) 항수를 항을 수열의 합을 로 나타낸다

(나) 제시된 항의 번호까지 루 를 용한다

(다) 제시된 항의 번호에 하여 단 기호를 이용한다

(라) 구하려는 는 를 인쇄하고 끝낸다

주의환기

집 을

한 략

지각

주의환기의

략

시청각 효과의 사용

비일상 인 내용이나 사건 제시

주의 분산의 자극 지양

탐구

주의환기의

략

능동 반응 유도

문제해결 활동의 구상 장려

신비감의 제공

다양성의

략

간결하고 다양한 교수형태 사용

일방 교수와 상호작용 교수의 혼합

교수자료의 변화 추구

목표-내용-방법이 기능 으로 통합

련성

증진을

한

략

친 성의

략

친 한 인물 혹은 사건 활용

구체 이고 친숙한 그림 활용

친 한 문 배경 지식 활용

목 지향성

의 략

실용성에 을 둔 목표 제시

목 지향 인 학습형태 활용

Ⅴ 러의 ARCS 이론과 수열 지도

1 러의 ARCS 이론

1) ARCS 이론의 특징

(1) 이론 배경

다음은 ([4])의 내용을 참고하 다

ldquo말을 물가로 데리고 갈 수는 있지만 물을 먹일 수는 없다rdquo는 속담처럼

하고자 하는 마음이 없으면 학습 효과를 기 할 수 없는 것은 당연한 사실

이다 이러한 생각의 근거에는 동기 유발의 개념이 자리 잡고 있다 동기

유발이란 어떤 활동을 진 지시 유지하려는 내 상태 는 과정을

포함한다 이 개념은 교육 심리학의 심 개념 의 하나이지만 직 찰

할 수 없는 것이기 때문에 인간의 행동을 보고 거기에서 유출해 내는 개념

이며 이에 한 정의는 바라보는 과 강조하는 내용에 따라 각기 다르

다

(2) ARCS 이론

목 의 선택 가능성 부여

필요나

동기와의

부합성 강조의

략

다양한 수 의 목 제시

학업성취 여부의 기록체제 활용

비경쟁 학습상황의 선택가능

동 상호 학습상황 제시

자신감

수립을

한 략

학습의

필요조건

제시의 략

수업의 목표와 구조의 제시

평가기 피드백의 제시

선수학습 능력의 단

시험의 조건 확인

성공의 기회

제시의 략

쉬운 것에서 어려운 것으로 과제 제시

정수 의 난이도 유지

다양한 수 의 시작 제공

무작 의 다양한 사건 제시

다양한 수 의 난이도 제공

개인

조 감

증 의 략

학습의 끝을 조 할 수 있는 기회 제시

학습속도의 조 가능

원하는 부분에로의 재빠른 회귀 가능

선택가능하고 다양한 과제의 난이도제공

노력이나 능력에 성공 귀착

만족감

증 를

한 략

자연 결과

강조의 략

연습문제를 통한 용기회 제공

후속학습상황을 통한 용기회 제공

모의상황을 통한 용기회 제공

정 결과

강조의 략

한 강화 계획의 활용

의미 있는 강화의 강조

정답을 한 보상 강조

외 보상의 사려 깊은 사용

선택 보상체제 활용

공정성

강조의 략

수업목표와 내용의 일 성 유지

연습과 시험 내용이 일치

[표8 ARCS 략] ([1])

2 ARCS 이론을 용한 수열 수업 계획서

다음은 ([1])의 ARCS 이론의 수업계획서를 참고하여 수열 단원의 수업

계획서를 작성해보았다

수업내용개 동기 략개 기타의견1 수업 기

체 으로 교사는 다양한 방법으로 학습자들

에게 수업 내용을 제시하고 학습자들에게

한 언어를 사용한다

수열의 활용에

한 학습목표

제시하기

교사는 학습자들의 련성을 높이기 해 학습

목표의 의미를 설명해 다

도표는 큰 씨를 사

용하고 핵심이 되는

단어에는 다른 색깔을

사용한다

수열의 활용의

이 과 평가

거를 제시하기

교사는 학습자들의 련성과 자신감 만족감

을 높이기 하여 이 수업이 끝난 후 그들이

무엇을 할 수 있는지에 해 알려 다

교사는 학습자들의 자신감과 만족감을 높이기

하여 성공 인 학습성취를 단할 수 있는 객

인 거들을 알려 다

교사는 학습자들의 만족감을 높이기 하여

그들이 주어진 과제를 성공 으로 해결했을 때

그에 따르는 내재 강화나 외재 보상이 있음

을 알려 다

수열의 정의와

해법에 한 지

식을 간략하게

확인하기

교사는 선수학습과의 련성을 유발하기 하

여 간략한 보조도구(인쇄매체)를 사용하여 수열

의 정의와 해법을 제시한다

교사는 소집단 토론을 실시하여 학습자들의

선수지식을 스스로 검해 보도록 한다

교사는 수열의 정의와 해법을 잘 모르는 학습

자들에게 자신감을 유발시키기 하여 개별 인

학습목표를 세우도록 한다

소집단 구성에 있어

서 주의집 이 매우

낮은 5명을 하나의 소

집단으로 구성하고

친근한 소재를 활용하

여 그들의 주의집 과

련성을 유발한다

실생활과 련

된 수열의 활용

문제들을 몇 가

지 소개하기

교사는 학습자들의 주의집 을 유지하기 해

실생활에서 연립방정식을 활용하여 해결할 수

있는 몇 가지 문제들을 제시한다

주의집 이 매우 낮은 5명의 학습자들이 수업

에 극 인 심을 보이지 않으면 교사는 그

들에게 친근한 목소리로 이름을 부르면서 수업

에 집 하라고 얘기 하고 개인 인 심을 갖

고 있음을 나타낸다

로써 활용되는 문

제들을 선택할 때 학

습자들이 알고 있거

나 그들에게 친근감

을 주는 소재가 포함

되도록 선택한다 이

때 지나치게 자심감

이 높아서 수업에 소

극 으로 참여하는 3

명의 학습자들에게는

다소 복잡한 수열의

활용 문제를 미리 제

공하여 생각할 기회를

다

수열의 활용에

한 학습자들의

이해정도를 악

하고 피드백을

제공하기

교사는 학습자들에게 자신감을 높이기 하여

소집단을 구성하여 학습자들이 수열의 활용에

해 어느 정도 이해하고 있는지를 서로 토론하

도록 한다

교사는 소집단별로 둘러보면서 자신감과 만족

감을 유발시키기 하여 학습자들간에 서로 도

움을 주도록 분 기를 형성한다

소집단별로 간략하게 토론이 끝나면 학습자

들 스스로 정리하도록 한다

토론결과 학습자들이 수열의 활용에 해 잘

못 이해하고 있다면 교사는 즉각 으로 교정

피드백을 제공한다

학습자들의 소집단

토론시간을 무 길게

소요하지 않도록 한

다 자칫하면 토론분

기가 산만해지기 쉽

고 토론이 활발하지

못한 경우에는 학습자

들의 학습의욕이 떨어

진다

2 수업 반 체 으로 교사는 다양한 방법으로 학습자

들에게 수업 내용을

제시하고 학습자들에게 개별 인 언어를 사용

한다

실생활과 련

된 수열의 활용

의 문제들을 구

체 으로 제시하

기

교사는 학습자들의 주의집 련성 자신감

만족감을 유지하기 하여 게임을 실시한다 학

습자들이 돌아가면서 임의로 다른 학습자를 지

명하면 지명받은 학습자가 실생활과 련된 수

열의 문제를 하나 제시한다 한 문제를 제

시한 학습자에게 학습태도 수를 주어 만족감

을 향상시킨다

교사는 학습자들이 제시한 여러 가지 문제들

을 칠 에 은 후 몇몇 소집단을 구성하여

그 문제들을 해결하기 해 인스토 을 하

도록 한다 이때 교사는 문제를 해결한 학습자

가 아직 해결하지 못한 학습자들을 도와주어 자

신감과 만족감을 갖도록 한다

인스토 이 진행되는 동안 교사는 교실

을 둘러보면서 학습자들이 질문이나 의문사항

에 해 극 으로 질문할 수 있는 기회를 제

공하고 그에 해 개별 인 언어를 사용하여

부드러운 목소리로 피드백을 제공한다

인스토 도 학습자들의 개인 인 능

력차가 커서 문제를 해결하는데 어려움을 겪는

학습자들에게는 그들에게 합한 개별 인 학습

이때 교사는 밝고

생동감이 넘치는 목소

리로 학습자들의 활동

을 진시킨다

교사는 학습자들이

한 자신감을 유지

하고 있는지에 해

지속 인 심을 갖고

지켜본다

이때 교사는 학습자

들의 자신감과 만족감

을 높이기 하여 그

들에게 일 성 있는

피드백을 제공한다

교사는 학습자들이

목표를 다시 선정하도록 하여 자신감을 향상시

킨다

인스토 이 끝나면 교사는 소집단 별로

한 사람씩 자발 으로 나와 문제를 풀고 풀이

과정을 체 학습자들에게 설명하도록 한다 이

때 어려운 문제를 해결한 소집단이나 학습자에

게 교사는 그들의 우수한 능력을 인정하고 내

재 인 자존심에 정 인 향을 주는 칭찬을

제공하여 자신감과 만족감을 높인다

소집단의 인스토

을 하는 동안 체

으로 문제풀이를 할

때 주의집 을 유지

하고 자신감과 만족

감의 향상을 악하기

해 끊임없이 그들과

시선을 교류하고 얼

굴표정을 찰한다

3 수업마무리 체 으로 교사는 다양한 방법으로 학습자

들에게 수업 내용을 제시하고 학습자들에게 개

별 인 언어를 사용한다

실생활과 련

된 수열의 활용

에 해 체

으로 정리 요

약하기

교사는 교탁을 탁탁 치거나 박수를 쳐서 다

소 떨어진 학습자들의 주의집 을 향상 시킨다

교사는 실생활 속에서 수열을 활용하여 해결

할 수 있는 간단하고 재미있는 문제들을 2～3개

제시하여 학습자들이 그 문제를 성공 으로 해

결함으로써 자신감과 만족감을 갖도록 한다

교사는 학습자들이 미처 생각하지 못했던 실

생활 속에서 수열과 연 된 다양한 들을 제공

하여 주의집 과 련성을 유지향상시킨다

교사는 자신감과 만족감을 향상시키기 해

학습자들에게 수업진행 에 그들이 설정한 개

인 인 학습목표에 해 얼마나 많이 달성했는

가를 스스로 검해 보라고 한다

교사는 수업 반에 수열의 문제를 잘 해결하

지 못했던 학습자들에게 그 문제를 다시 해결해

보도록 기회를 제공하여 자신감과 만족감을 높

여 다

평가에 있어서 교사는 학습자들이 그들의 성

에 해 공정하게 평가되었다고 느끼도록 일

성 있게 평가하여 그들의 자신감고 만족감을

높여 다

교사는 수열과 실생

활과의 련성에 해

학습자들이 잘 지각하

고 있는가를 알아보기

해 다소 진지한 목

소리로 질문한다

다음 학습내용

에 해 간략히

소개하기

교사는 학습자들의 흥미를 유지하기 하여

다음 학습내용에 해 호기심에 찬 목소리로 간

략하게 소개하고 수업을 끝낸다

[표9 러의 ARCS이론]

단원

단

원Ⅲ 수열

배정시간

(분)50

단

원1 등차수열과 등비수열

차시 3소단

원3) 등차수열과 등비수열의 활용

학습

목표등차수열과 등비수열을 실생활의 문제에 용할 수 있다

학습

단계학습내용

교수-학습활동 지도상의유의사

항교사활동 학생활동

도

입

15

분

인사

출석

주변을 정리 정돈

하여 수업분 기를

조성한다

인사 출석체크

를 한다

주의를 환기시킨

후 학생들과 인사

한다

출결석 여부를

확인한다

바른 자세로 주

변을 정리한 뒤

교사와 인사한다

수업 비를 한

다

교사와 학생

모두 함께 수업

분 기를 조성한

다

선수

학습

확인

지난 시간에 학습

한 등차수열과 등비

수열의 정의에 해

다시 한번 확인해본

다

지난 시간에 학습

한 등차수열과 등비

수열의 일반항을 구

하는 방법에 해 확

인학습으로 [문제1]

과 [문제2]를 풀어본

다

학생들의 자신감

을 높이기 하여

등차수열과 등비수

열의 정의를 교과

서에서 찾아본 후

큰소리로 답하게

한다

학생들이 답한

후 다시 한번 등차

수열과 등비수열에

해 간단히 설명

등차수열과 등

비수열의 정의를

교과서에 찾아본

후 큰소리로 읽는

다

교사가 등차수

열과 등비수열의

정의에 해 다시

한번 간단히 설명

할 때 부족한 부

분은 필기하며 복

습한다

교사가 정의에

해 질문할 때

학생들이 모두

책을 찾아볼수

있게 주의를

다

만일 답하

지 못하는 학생

이 있을 경우 그

여기서 인스토 (brainstorming)이라고 하는 것은 갑자기 떠오르는 멋

진 생각을 종이에 는다든가 말로 표 해 본 후 로 기록하거나 기록된

문장을 정리정돈하면서 생각을 논리화하는 방법이다 주로 어떤 계획을 세

우고자 할 때 창조 이고 기발한 아이디어가 필요할 때 학생들의 의견과

생각을 끌어내어 발 시키고자 할 때 사용하면 유리하다 ([3])

3 ARCS 이론을 용한 수업지도안

[문제1]

다음 등차수열

의 일반항과 제20항

을 구하여라

　　　　　　　

[문제2]

다음 등비수열

의 일반항과 제8항을

구하여라

　 　　　　　

한다

교사는 [문제1]

과[문제2]를 제시

한 뒤 학생들에게

직 풀어보게 한

다

등차수열과 등

비수열의 일반항

과 그 공식의 유

도과정을 기억한

다

제시된 문제를

연습장에 풀어본

다

학생에 해 개

별 인 언어를

사용하여 부드러

운 목소리로 피

드백을 제공한

다

개

30

분

학습

목표

제시

수열의 활용에

한 학습목표를 제시

한다

학습목표 학습

에 필요한 자료를

Power point 시청

각 효과를 사용하여

학생들의 주의환기

집 을 한 략

을 사용한다

학습목표를 학생

들에게 읽게 하고

학생들의 련성을

높이기 해 학습

목표의 의미를 설

명해 다

교사의 지시에

따라 큰소리로 학

습목표를 읽고 이

수업이 끝난 후

무엇을 할 수 있

는지에 해 생각

해 본다

학습목표는 큰

씨를 사용하

고 핵심이 되는

단어에는 다른

색깔을 사용한

다

탐구

학습

실생활과 련된

수열의 활용문제들을

몇 가지 소개한다

수열의 활용에

한 학습자들의 이해

정도를 악하고 피

드백을 제공한다

등차수열과 등비

수열을 이용하여

실생활의 문제를

해결할 수 있음을

학생들이 쉽게 이

해할 수 있도록 설

명한다

교사가 실생활

과 련된 수열의

활용문제들을 몇

가지 소개할 때

다른 시가 있는

지 함께 생각해

본다

문제

제시

[문제3]

한일 월드컵 축구 개

회 연도는 2002년이

다 2002년 이후 월

드컵 축구가 개최되

는 연도를 차례로 써

보고 이 규칙 로 월

드컵 축구가 개최되

면 2100년은 월드컵

축구가 개최되는 연

도인가

교과서에서 수열

단원의 수열의 활

용부분에 수록된

문제들을 풀어볼

수 있도록 시간을

다

등차수열과 등

비수열의 일반항

유도 공식을 생각

해보고 제시된 문

제를 해결해 간다

로써 활용되

는 문제를 선택

할 때 학습자들

이 알고 있거나

그들에게 친근감

을 주는 련성

증진을 한

략을 사용한다

[문제4]

컴퓨터의 주기억 장

치인 램은용

으로

용으로 가 개발

되었다 이후 램의

용 량 은

로 증가되어 왔다

의 램으로부터

번 증가된 주 메모

리는 식으로 어떻게

나타낼 수 있는가

학생들이 문제를

어렵게 느끼지 않

도록 어떤 방향으

로 해결해야 하는

지 힌트를 주어 학

생들의 자신감을

증진시킨다

소집

단

활동

5～6명으로 이 진

소집단을 구성하여

학습자들이 수열의

활용에 해 어느 정

도 이해하고 있는지

를 서로 토론하도록

한다

소집단별로 실생활

과 련된 수열의 활

용의 문제들을 구체

으로 제시한다

인 스토 이

끝나면 소집단별로

한사람씩 문제를 풀

고 풀이과정을 체

학생들에게 설명하는

시간을 갖는다

교사는 학생들의

만족감을 높이기

하여 그들이 주

어진 과제를 성공

으로 해결했을

때 그에 따르는

내재 강화나 외

재 보상이 있음

을 알려 다

어려운 문제를

해결한 소집단이나

학생에게 교사는

그들의 우수한 능

력을 인정하고 내

재 인 자존심에

정 인 향을

주는 칭찬을 제공

하여 자신감과 만

족감을 높인다

자신이 속한 소

집단 내에서 제시

된 과제에 해

열심히 토의를 하

며 문제를 해결한

학생이 아직 해결

하지 못한 학생들

을 도와주어 자신

감과 만족감을 갖

도록 한다

소집단별로 간

략하게 토론이 끝

나면 학생들 스스

로 정리해보고 자

발 으로 체 학

생들에게 설명해

보는 기회를 갖는

다

교사는 학습자

들이 한 자

신감을 유지하고

있는지에 해

지속 인 심을

갖고 지켜본다

학생들의 소집

단 토론시간을

무 길게 소요

하지 않도록 한

다

형성

평가

[문제4]

민수는 남 문의 기

와 지붕 한쪽 면이

사다리꼴 모양임을

찰하고 이 면에 있

는 기와의 개수를 알

아보고자 한다 기와

형 성 평 가 를

Power point로 제

시하고 학생들이

스스로 풀어볼 수

있도록 지도한다

학생들이 문제를

다 풀고 나면 교사

제시된 문제를

오늘 학습한 내용

을 복습하면서 풀

어보도록 한다

교사는 다소

진지한 목소리로

질문한다

의 개수를 행으로 세

었더니 용마루 쪽에

가장 가까운 행에는

40개 처마 쪽에 가

장 가까운 행에는 72

개 다 용마루부터

처마까지 행의 개수

가 17이라고 할 때

민수가 찰한 지붕

한쪽 면의 기와의 개

수는 모두 몇 개인

가

는 학생들에게

답할수 있도록 하

고 학생들이 학습

목표에 해 얼마

나 많이 달성했는

가를 스스로 검

해 보라고 한다

형성평가의 답

을 교사의 질문에

끝난 뒤 큰소리로

답하여 자신감

과 만족감을 갖도

록 한다

학생들에게 개

별 인 언어를

사용한다

정

리

5

분

학습

정리

차시

고

학습 자료를 이용

하여 수열의 실생활

의 활용 단원의 수업

내용을 확인한다

과제를 제시한다

다음 차시인 「여

러 가지 수열」 단원

에 한 고를 한

다

수업 내용을 정

리하고 과제를 제

시한다

학생들의 흥미를

유지하기 하여

다음 학습내용에

해 호기심에 찬

목소리로 간략하게

소개하고 수업을

끝낸다

오늘 학습한 내

용을 정리한다

과제를 고 과

제 해결에 한

내용을 머릿속에

형성해 본다

다음 차시에 배

울 내용을 학습

자료 화면으로 확

인해본다

수업내용에

해 학생과 교사

모두가 만족하고

있는지 확인하고

공정한 평가를

한다

[표10 수업지도안]

4 조사 문제지 분석

고등학교 수학 Ⅰ 의 수열단원의 효율 인 지도방안의 연구를 하여 원

종고등학교 2학년 학생 100명을 상으로 조사 문제지 조사를 하 다 학

생들의 수학에 한 심과 수학에서 가장 어려워하는 부분을 알아볼 수

있었고 어떤 방식의 수업을 선호하는지도 알아볼 수 있었다

⑴ 수학에 얼마나 심이 있나요

① 매우 많다 ② 많다 ③ 보통이다 ④ 다 ⑤ 매우 다

수학과목에 매우 많은 심을 보이는 학생은 2로 매우 낮은 편이며

심이 있는 학생은 43로 학생의 반정도 다 수학과목에 심이 거

나 없는 학생은 54정도로 수학은 어려운 과목이라는 인식 때문에 심

이 은 것 같다

수학을 공부하는 가장 큰 이유에는75의 학생들이 학입시를 해서라

는 문항을 선택했다 기타 이유에는 교과서에 있어서 어쩔수 없이 한다

는 학생과 진리탐구를 해서라는 학생도 있었다

[그림6 조사문제지

(1)번 막 그래 ]

⑵ 수학을 공부하는 가장 큰 이유가 뭐라고 생각하나요

① 학입시를 해서

② 평소 수학에 흥미가 있어서

③ 실제 생활에 쓰기 해서

④ 주변에서 해야한다고 하니까

⑤ 기타 이유 (이유를 간단히 어주세요)

앞에 (1)번문항에서 수학에 심이 은 학생이 반 정도인것에 반해

수학공부가 필요하다고 느낀학생이 75정도로 수학공부가 필요하단건

느끼지만 어려운 과목이라는 인식이 부분인것 같다 수학과목도 재

는 과목이란 인식을 학생들이 가질수 있도록 노력해야겠다

[그림7 조사문제지

(2)번 막 그래 ]

⑶ 수학공부의 필요성에 해 어떻게 생각하나요

① 매우 필요하다 ② 조 필요하다 ③ 보통이다

④ 필요 없다 ⑤ 필요 없다

[그림8 조사문제지

(3)번 막 그래 ]

⑷ 수학을 공부하면서 가장 어려운 부분은 무엇이나요

① 복잡한 계산 과정 ② 외워야할 많은 공식들

③ 응용문제엔 어떤 공식을 용해야할지 ④ 다 어렵다

학생들이 수학과목이 어렵다고 느끼는 이유는 응용문제에 어떤 공식을

용해야 하는지를 몰라서 라는 답이 58로 가장 많았다 그 외에도

계산과정이 복잡하거나 외워야할 공식들이 많아서라는 답도 있었다

이해 주의 수업을 하고 단순한 공식의 암기 주의 수업을 탈피해야겠

다

수학수업을 하는데 효과 인 방법에는 선생님 주의 강의식 수업과 학

생 개인별 수업이 78로 가장 많았다 개념이나 공식유도과정을 설명할

땐 서를 하며 강의식 수업을 하고 문제풀이땐 학생들 개인별로 첨삭

지도를 하는게 효율 인것 같다

⑤ 기타이유 (이유를 간단히 어주세요)

[그림9 조사문제지

(4)번 막 그래 ]

⑸ 수학 수업을 하는 데 어떤 방법이 가장 효과 이라고 생각하나요

① 선생님 주의 강의식 수업

② 학생 개인별 수업

③ 모둠별 활동 수업

④ 기타 교재나 과제를 통한 수업

⑤ 기타(이유를 간단히 어주세요)

[그림10 조사문제지

(5)번 막 그래 ]

Ⅵ 결론

본 논문에서 지 까지 고등학교 2학년 학생들이 수학 Ⅰ 교육과정을 학습하

는데 가장 어려워하는 수열에 해 살펴보았다 먼 개정 교육과정에 명시

된 수학교육의 목표와 임의로 선택된 5종 교과서에서 수열 단원의 학습목표

를 살펴보았고 수열의 역사 배경과 실생활에 응용된 들을 정리해보았

다 한 5종 교과서에서 제시되어 있는 수열의 학습내용을 소단원 별로 정

리해보았다 임의로 선택된 5종 교과서안의 수열의 학습내용을 분석해보면

서 몇 몇 교과서에서 여러 가지 수열 단원에서 군 수열과 멱 수에 한 언

이 없거나 미약함을 알 수 있었다 본 연구자가 보기에 군 수열과 멱 수

부분은 실생활에 활용될 는 극히 작아 보이지만 학생들이 꼭 학습하고 넘

어가야 수열에 한 완벽한 학습이 될 수 있을 것이라 여겼는데 교과서에서

제시된 내용들로는 학생들이 충분히 이해할 수 없을 것 같았다

그리고 교과서에 제시된 문항의 수 이 입시와 동 떨어진다는 문제 이 있

었다 교과서에 제시된 문제가 부족하고 수 이 낮다 보니 실제로 학교에서

수업 때 보충 린트 물로 수업을 진행하고 간기말고사 때에도 교과서

외에서 많은 문제를 출제하는 모습을 볼 수 있었다 때문에 학생들이 교과서

보다는 문제집 주의 공부를 할 수 밖에 없는 듯 보 다 교과서가 학생들

과 교사의 요구에 부합할 수 있도록 새로운 내용들과 문제를 싣도록 해야

할 것이다

학생들이 수열 단원의 학습을 할 때 좀 더 효과 인 학습이 될 수 있도록

리의 동기설계이론 (ARCS 이론) 을 바탕으로 하여 수업 계획서와 1차시

의 수업 지도안을 작성해 보았다 한 작성한 수업 지도안으로 부천시 소재

의 한 고등학교에서 실제 수업을 진행해 보았을 때 학생들이 좀 더 수열에

해 친숙하게 느끼고 쉽게 이해하는 모습을 볼 수 있었다 본 연구자가

직 교사가 아니라 여러 반을 상으로 수열 단원의 모든 차시 수업에 용

하여 수업을 해볼 수 없었단 이 아쉬움으로 남는다

이와 같이 학생들의 주의 련성자신감만족감 증진을 한 수업을 함

으로써 학생들의 수학 학습 성취도의 향상을 기 할 수 있을 것이다 한

개발된 자료를 실제 수업에 용하는 경우의 효율성에 한 후속 연구가 체

계 이고 지속 으로 이루어져야 할 것이다

참 고 문 헌

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[13] 최상기 외 5인 고등학교 수학 Ⅰ (주)고려출 2002

[14] 최용 신 성 고등학교 수학 Ⅰ 천재교육(주) 2002

[15] 황혜정 외 5인 수학교육학 신론 문음사 2002

• Ⅰ 서론
• • 1 연구의 필요성과 목적
  • 2 연구의 제한점
  • • Ⅱ 개정 교육과정에서 명시된 수학Ⅰ교육의 목표
    • • 1 수학Ⅰ교육의 목표
      • 2 고등학교 수학 Ⅰ 수열 단원의 학습목표
      • • Ⅲ 수열의 역사적 배경 및 응용
        • • 1 수열의 역사
          • 2 수열 단원이 실생활에 응용된 사례
          • • Ⅳ 고등학교 수학교육과정에서의 수열
            • • 1 수학Ⅰ 교과서 분석
              • 2 수학Ⅰ 교과서에서의 수열
              • • Ⅴ 켈러의 ARCS 이론과 수열 지도
                • • 1 켈러의 ARCS 이론
                  • 2 ARCS 이론을 적용한 수열 수업 계획서
                  • 3 ARCS 이론을 적용한 수업 지도안
                  • 4 조사지 분석
                  • • Ⅵ 결론
                    • 참고문헌

ABSTRACT

Mathematical knowledge has been used to study other fields even though it

does not have a direct relation with them However most of the people think

mathematics is not essential to life except for simple calculations Moreover

because students think of mathematics just as a required subject for an

admission in a university they are not interested in math itself but interested

in solving mathematical problems by merely applying given formulas Due to

these tendencies many students consider that mathematics is beyond their

abilities and seem to try to avoid it if possible

The present thesis analyzes and compares textbooks concerning sequences in

the present curriculum of highschool mathematics Above all the author tries

to find effective ways to teach sequences which are difficult for highschool

students especially for those who plan to major in humanities to learn

To achieve these objectives the author asked a hundred students in the

second-grade class at Wonjong highschool in Buchon-si Kyonggi-do to fill

out questionnaires concerning most difficult parts in learning mathematics and

ways to improve learning We have been able to specifically construct effective

teaching plans for sequences based on these questionnaires We have written

out a guidance plan and a teaching plan for the chapter on sequences based

on Kellers ARCS Theory- Attention Relevance Confidence Satisfaction

It is well known that the effectiveness of study is higher if students are

taught with the teaching plan

Ⅰ 서 론

1 연구의 필요성과 목

오늘날의 수학교육에 있어서의 최 당면 문제는 수학의 기 인 교육

기반을 어떻게 회복하느냐 하는 것이다 이를 해서는 lsquo수학을 어떤 이유

로 가르쳐야 하는가rsquo 는 lsquo학생들이 왜 수학을 알아야 하는가rsquo에 한 보

다 근원 인 논의가 이루어져야 한다 lsquo수학을 왜 가르치고 배우는가rsquo 라는

질문에 부분은 수학을 배우면 논리 으로 사고하게 되고 과학 인 생활

을 하는 데 도움이 된다고 말하지만 우리는 이러한 질문에 하여 보다

체계 으로 생각해 보아야 한다 수학을 가르치는 교사는 학생을 지도할

만큼의 충분한 수학 지식을 가지는 것도 요하지만 수학이 갖는 가치

에 하여 단순히 학문 입장만이 아닌 lsquo교육 rsquo 입장에서의 가치 을 갖

추고 있어야 한다는 것이다 ([15])

하지만 지 의 학교수학교육의 황은 학 입시를 한 기계식의 문제풀

이와 암기 주의 수업이 이루어지고 있는 실정이다 때문에 학생들은 수학

에 한 기 개념을 알지 못한 채 수박 겉핥기식의 학습을 하게 되고 수

학에 흥미를 잃고 수학을 포기하는 학생이 늘어가고 있다

고등학교 수학Ⅰ 교육과정의 요한 단계인 수열에 해 학생들은 특히

이해하기 어려워한다 한 수열에 한 선수 학습이 제 로 이루어지지

않았을 경우 수열을 배우고 나서 바로 다음 단원에 학습하는 수열의 극한

단원을 이해하는데 어려움을 겪게 되기 때문에 수열의 제 로 된 학습은

학생들에게 상당히 요한 문제라고 할 수 있다

학생들이 수열 단원을 어려워하는 데에는 많은 이유가 있겠지만 무엇보다

도 행 교과서의 수열 단원의 구성에 부족한 부분이 많기 때문인 것 같

다 요한 단원임에도 불구하고 개념 설명이나 시 문항이 많이 부족하

고 군 수열이나 멱 수에 한 설명은 실려 있지 않은 교과서도 많았다

한 지 의 딱딱한 강의식 수업에서 벗어나 학생들의 자신감과 만족감을

증진시킬 수 있는 수업을 해 교사나 학생 모두 노력해야한다

이 논문에서는 개정 교육과정에 의하여 다루어지는 고등학교 수학 Ⅰ 교

육과정 내용 수열을 택하여 각 교과서에서 수열 단원의 구성과 수열에

한 역사 배경과 실생활에 활용된 를 알아보고 학생들로 하여 수

열의 원리와 개념의 이해에 도움이 될 수 있는 지도방안을 러의 ARCS

이론을 바탕으로 하여 작성해보고자 한다

2 연구의 제한

재 고등학교에서 채택하고 있는 12여종의 수학 Ⅰ 교과서 부를 분

석하지 않고 임의로 선택된 5종 교과서를 분석하 기 때문에 5종이 12종을

모두 표한다고 볼 수 없다

본 논문은 러의 ARCS 이론을 바탕으로 한 수열 지도가 수열 단원의

학습에 효율 일 것이라고 여겼으나 1개 고등학교에서만 수업시연을 해보

았기 때문에 실제 인 검증작업을 거치지 못하 다 따라서 연구 결과에

한 한계가 있을 수 있다

러의 ARCS 이론을 바탕으로 한 수열 학습지도안으로 수업을 진행할

때 조별학습을 하게 되는데 이때 능숙한 교사가 아니라면 학생들의 주의

가 산만해지고 수업 분 기가 흐트러지는 것을 정리하고 완만한 수업을 진

행하기가 힘이 들것이라 생각된다

본 연구자가 부천시 소재의 원종고등학교 학생 100명을 상으로 한 조

사문제지 검사가 수열 단원의 학습에 국한된 것이 아니라 고등학교 수학

학습의 일반 인 내용을 담았기 때문에 수열 단원의 효율 인 지도방안을

한 연구에 직 인 도움을 주지 못했다

본 연구자가 제안한 교수 방법의 효과를 검증하지 못했다

Ⅱ 개정 교육과정에서 명시된

수학Ⅰ 교육의 목표

1 수학Ⅰ교육의 목표

교육인 자원부에 고시된 개정 교육과정([2])에서의 고등학교 수학Ⅰ과정

교육목표는 다음과 같다

1)성 격

lsquo수학 Ⅰrsquo의 학습을 통하여 수학 개념 원리 법칙을 이해하고 수학 사

고 능력을 키워 합리 이고 창의 으로 문제를 해결하는 능력과 태도를 기

를 수 있다

lsquo수학 Ⅰrsquo의 교수학습에서는 고등학교 1학년까지의 수학에서 습득한 수학

개념 원리 법칙을 토 로 하여 새로운 개념에 근해야 하므로 기본

인 수학 지식을 확인하고 활용하면서 발 인 학습이 이루어지도록 한

다 이 과정에서 여러 가지 상을 수학 으로 해석하고 조직하는 활동 구

체 인 사실에서 진 으로 추상화로 나아가는 과정 직 이나 구체 인

조작 활동에 바탕을 둔 통찰 등의 수학 경험을 통하여 형식이나 계를

발견하는 것이 요하다 한 수학 문제를 해결하는 과정에서 문제를 명

확히 이해하고 합리 인 해결 계획을 세워 실행하며 반성을 통하여 풀이 과

정을 검하고 다양하게 활용하는 능력을 기르도록 한다 수학 지식과 기

능을 활용하여 여러 가지 문제를 해결해 으로써 수학의 필요성과 유용성

을 인식하고 수학 학습의 즐거움을 경험해 으로써 수학에 한 정 인

태도를 갖게 한다

역 내 용

행렬과 그래

행렬과 그 연산

연립일차방정식과 행렬

그래 와 행렬

지수함수와 로그함수

지수

지수함수와 그 그래

지수방정식과 지수부등식

로그

2) 목 표

수학 개념 원리 법칙을 이해하고 수학 으로 사고하고 의사소통하는

능력을 신장하여 여러 가지 문제를 합리 이고 창의 으로 해결하며 수학

의 실용성을 인식하여 수학에 한 정 태도를 갖는다

(1) 수학Ⅰ의 학습을 통해 얻는 여러 가지 장

(가) 행렬과 그래 지수함수와 로그함수 수열 수열의 극한에 련된 개

념 원리 법칙과 이들 사이의 계를 이해하고 이를 활용하는 능력을 기른

다 여러 가지 상을 찰 분석 조직하여 수학 으로 나타내는 능력을 기

른다

(나) 수학을 통하여 여러 가지 문제를 합리 으로 해결하는 능력과 수학

으로 사고하고 의사소통하는 능력을 기른다

(다) 수학의 가치를 이해하여 수학에 한 심과 흥미를 지속 으로 가지

며 수학에 한 정 태도를 기른다

3) 내 용

⑴ 내용체계

로그함수와 그 그래

로그방정식과 로그부등식

수열

등차수열과 등비수열

여러 가지 수열

수학 귀납법

알고리즘과 순서도

수열의 극한무한수열의 극한

무한 수

[표1 수학Ⅰ교과서 내용체계]

4) 평 가

(1) 평가

(가) 수학 학습의 평가는 학생의 인지 역과 정의 역에 한 유용한

정보를 제공하여 학생 개개인의 수학 학습과 인 인 성장을 돕고 교사의

교수 활동과 수업 방법을 개선하는 데 활용한다

(나) 수학 학습의 평가에서는 학생의 인지 발달 수 을 고려하고 교육과정에

제시된 내용의 수 과 범 를 수한다

(다) 수학 학습의 평가는 수업의 개 과정에 따라 진단 평가 형성 평가 총

평가 등의 한 평가 방식을 택하여 실시하되 지속 인 평가를 통하여

다양한 정보를 수집하고 수업에 활용한다

(라) 수학 학습의 평가에서는 획일 인 방법을 지양하고 지필 평가 찰 면

담 자기 평가 등의 다양한 평가 방법을 통해 수학 교수ㆍ학습을 향상시킬

수 있게 한다

(마) 인지 역에 한 평가에서는 학생의 수학 사고력 신장을 하여 결

과뿐만 아니라 과정도 시하여 평가하되 수학의 교수학습에서 반 으

교과서 학습목표

한교과서

(주)

등차수열 등비수열의 뜻을 알고 일반항 첫째항부터 제 n항까지

의 합을 구할 수 있다

sum의 뜻과 성질을 이해하고 이를 활용하여 여러 가지 수열에

한 문제를 해결할 수 있다

수학 귀납법의 원리를 이해하고 이를 활용하여 자연수 n에

하여 참인 명제를 증명할 수 있다

알고리즘과 순서도의 뜻을 알고 간단한 문제 해결을 한 알고

리즘을 작성하여 순서도를 만들 수 있다

(주) 천재교육

등차수열과 등비수열의 뜻을 알고 일반항과 첫째항부터 제 n항

까지의 합을 구할 수 있다

기호 sum의 뜻과 성질을 이해하고 이를 활용할 수 있다

여러 가지 수열의 일반항과 첫째항부터 제 n항까지의 합을 구

할 수 있다

여러 가지 수열에 한 문제를 해결할 수 있다

수학 귀납법의 원리를 이해하고 이를 이용하여 자연수 n에

하여 참인 명제를 증명할 수 있다

로 요구되는 사항을 강조한다

(바) 정의 역에 한 평가에서는 학생의 수학에 한 정 태도를 신장

시키기 하여 학생의 수학에 한 바람직한 가치 이나 수학 학습에 한

심 흥미 자신감 등의 정도를 악한다

(사) 수학 학습의 평가에서는 평가하는 학습 내용에 따라 학생에게 계산기

컴퓨터와 같은 공학 도구와 다양한 교구를 이용할 수 있는 기회를 제공할

수 있다

2 고등학교 수학 1 수열단원의 학습목표

수학 Ⅰ교과서에서의 수열단원의 학습목표를 5종 교과서를 비교하여 살펴

보고자한다 임의로 선택된 5종 교과서([5][8][12][13][14])의 학습목표는

다음과 같다

알고리즘과 순서도의 뜻을 알고 그 필요성을 이해할 수 있다

간단한 문제 해결을 한 알고리즘을 작성하여 순서도를 만들

수 있다

앙교육진흥

연구소

수열을 이해하고 이를 활용하여 여러 가지 문제를 해결할 수 있

다

수학 귀납법의 원리를 이해하고 이것을 이용하여 자연수 n에

하여 참인 명제를 증명할 수 있다

알고리즘과 순서도의 뜻을 알고 간단한 문제 해결에 사용할 수

있다

(주) 고려출

등차수열의 뜻을 알고일반항 첫째항부터 제 항까지의 합을 구

할 수 있다

등비수열의 뜻을 알고일반항 첫째항부터 제 항까지의 합을 구

할 수 있다

sum의 뜻과 성질을 이해하고 이를 활용할 수 있다

여러 가지 수열의 일반항 첫째항부터 제 항까지의 합을 구할

수 있다

여러 가지 수열에 한 문제를 해결할 수 있다

수학 귀납법의 원리를 성명하고 수학 귀납법을 이용하여 자연

수 에 하여 참인 명제를 증명할 수 있다

알고리즘과 순서도의 뜻을 알고 그 필요성을 알 수 있고 간단

한 문제 해결을 한 알고리즘을 작성하여 순서도를 만들 수 있다

(주) 두산

등차수열과 등비수열의 뜻을 알고 일반항과 그 합을 구할 수 있

다

기호sum의 뜻과 성질을 이해하고 이를 이용하여 여러 가지 수열

에 한 문제를 해결할 수 있다

수학 귀납법의 원리를 이해하고 이를 이용하여 자연수 에

하여 참인 명제를 증명할 수 있다

알고리즘과 순서도의 뜻을 알고 간단한 문제 해결을 한 알고

리즘을 작성하여 순서도를 만들 수 있다

[표2 5종 교과서 수학 Ⅰ 수열 단원의 학습목표]

Ⅲ 수열의 역사 배경 응용

1 수열의 역사

수학의 역사에서 가장 흥미로운 수열 하나가 피보나치수열이다 피보나

치수열은 수학이론 뿐만 아니라 자연계 건축 술 등에 다양하게 표 된

다

그 에 오나르도가 발표한《산반서》에 소개된 피보나치수열에 한 문

제는 다음과 같다 ([6]) ldquo어떤 사람이 토끼 한 을 우리에 넣었다 이 토

끼 한 은 한 달에 새로운 토끼 한 을 낳고 낳은 토끼들도 한 달이 지

나면 다시 한 의 토끼를 낳는다 그 다면 1년이 지나면 몇 의 토끼가

있을까rdquo

첫 달엔 처음에 있던 토끼 한 만 있다 두 번째 달이 되면 토끼 한 을

낳아 두 의 토끼가 된다 세 번째 달이 되면 처음에 있던 토끼 한 이

한 의 토끼를 낳아 세 의 토끼가 된다 네 번째 달이 되면 첫

달과 두 번째 달의 토끼 두 이 각 한 의 토끼를 낳아 총 다섯 의

토끼가 있게 된다 이런 식으로 토끼를 낳아가면 그 수는 다음과 같은 규

칙을 갖는다 　　　　　　　　　　 이런 규칙을 갖는 피보나치수열의

일반항을 이라고 하면 　 　 　 　 가 된다

그런데 이 수열을 자연에서도 쉽게 찾아볼 수 있다 식물의 기에서 뻗어

나온 잎을 생각해 보면 기의 에 있는 잎 하나에서 수직으로 에 있

는 잎까지 도달할 때까지 기를 따라 올라가면서 잎의 개수를 세면 그

수들은 일반 으로 피보나치수열을 이룬다

[그림1 피보나치수열]

2 수열 단원이 실생활에 응용된 사례

1) 하노이의 탑

인도 갠지스 강 유역 라만교의 사원에 있었던 하노이의 탑은 라만

탑이라고도 부르는데 이 탑에 얽힌 문제의 내용은 다음과 같다 다음은

([10])의 내용을 참고하 다

[베나 스에는 세계의 심이 있고 그 곳에는 아주 큰 사원이 있으며 이

사원에는 높이 정도 되는 다이아몬드 바늘 3개가 있다 그 에서 한

바늘에는 천지 창조 때에 신이 구멍이 뚫린 64장의 순 으로 된 원 을 크

기가 큰 것부터 아래에 놓이도록 하여 차례로 쌓아 놓았다 그리고 신은

승려들에게 밤낮으로 쉬지 않고 원 을 한 장씩 옮겨 빈 다이아몬드 바늘

어느 한 곳으로 모두 옮겨 놓도록 명령하 다

ldquo원 은 한 번에 한 개씩만 옮겨야 하고 로 작은 원 에 큰 원

을 올려놓을 수 없다 단 64개의 원 의 크기는 모두 다르다 이 말을 충

실히 실행하고 한 순간도 게을리 하지 마라 만일 게을리 하는 일이 있으

면 그 때는 이 사원도 탑도 모두 무 지고 세계는 종말을 고하게 된다 게

을리 하는 일이 없으면 그 들이 원 을 부 옮길 때까지 세상은 태평할

것이다rdquo]

승려들은 과제를 수행하기 해 밤낮으로 매우 열심히 작업을 했다 그 작

업을 끝내기 해서 승려들은 몇 번을 움직여야 하고 얼마나 많은 시간을

사용해야만 했을까

[그림2 하노이의 탑]

원 이 1개가 있으면 최소 이동 횟수는 1번 원 이 2개가 있을 때 최소

이동 횟수는 3번이고 원 이 3개가 있으면 최소 이동 횟수는 7번이다

원 이 4개가 있으면 최소 이동 횟수는 15번이다 이런 식으로 계속 해나

가다 보면 　　　　　　　 라는 수열을 얻는다 이것은 각 항의 차이가

계차수열을 이루는데 이것은 다음과 같다 　　　　　　일반항을 으로 두

고 구해보면 　 　times 　 　 이다 처음 값을 으로 두고 일반항을

구해보면 　

이 된다

만약 그 설 로 따라가서 수도승들이 쉬지 않고 디스크를 1 에 한번

씩 옮겼다면 최소의 이동횟수는 이 되고 18446744073709551616

가 걸리고 략 5854억4200만년이 필요하다는 것을 알 수 있다

원 이자 원리합계(=원 +이자)

1년 원 원 원

2년 원 원 원

3년 원 원 원

년 원 100원 원

2) 등차수열의 응용

(1) 단리법

단리법은 처음 원 의 이자에 해당하는 비율만큼 계속 되는 계산법이

다 1000원을 했다면 1년이 지날 때마다 10 의 이자가 붙는다고 하

자 1년이 지났을 때 10 의 이자가 붙으면 100원 불어나므로 1000 +

1000 times 01 = 1100(원) 이다 그리고 1년2년 년이 지날 때 마다

값을 측정해보면 다음과 같다

[표3 단리법]

최종 으로 원 을 라 하고 연이율을 이라고 한다면

결국 년이 되었을 때 단리법으로 표 하면 그 때의 총 합 는

이 된다

3) 등비수열의 응용

(1) 복리법

복리법은 원 에 이자가 된 원리합계를 기 으로 이자를 계산하는 방

법이다 원을 했다면 1년이 지날 때마다 의 이자가 붙는다고

원 이자원리합계

(=원 +이자)

1년 원 원 원

2년 원 원 원

3년 원 원 원

년 원 times원 원

하자 1년이 지났을 때 의 이자가 붙으면 원 불어나므로

times (원) 이다 그리고 1년2년 년이 지날 때 마

다 값을 측정해보면 다음과 같다

[표4 복리법]

최종 으로 원 을 라 하고 연이율을 이라고 한다면

따라서 년이 지나면 이 된다 그때의 총 합 는 이

다

4) 황 비율

에서 언 했던 피보나치수열 　　　　　　　　　　에서 번째 항

을 번째 항으로 나 어 보자

　 　

　 　

　 　

　 　

　 　

　 　 이런 식으로 계속 해나가다 보면

이 수가 061803 에 근사하게 된다 고 그리스인들은 이 수에 lsquo황 비

율rsquo라는 이름을 붙 다 이것은 인간이 보기에 가장 아름다운 비율이라 하

여 여러 분야에서 사용되고 있다

(1) 황 비의 이용

약 100년 페히 라는 독일의 심리학자는 수백 명의 사람들에게 여러

종류의 직사각형을 보여 다음 마음에 드는 것을 선택하게 하는 실험을

했다 그런데 그 결과 부분의 사람이 황 직사각형을 선택했다고 발표했

다 ([6])

실험에 의하면 황 비는 사람들이 가장 편안하고 아름답게 느끼는 비율로

알려져 있으며 이런 이유 때문에 옛 부터 건축과 미술 음악 등에서 자주

이용되어 왔다

(가) 건축

기원 2000년경의 이집트 《린드 피루스》에 보면 기원 4700년에 기

자의 피라미드를 건설할 때 이 수를 lsquo신성한 비율rsquo로 사용했다고 한다

의 측량 기술로 측정해보니 피라미드 의 심에서 의 모서리까지

그리고 경사면까지 거의 정확하게 0618이었다 ([6])

피라미드는 인류역사를 통해서 사람들을 가장 매료시켜온 건축물 의 하

나이다 그 규모의 장 함에서도 사람을 압도하는 것이 있지만 그 형태 자

체가 고도한 수학을 배경으로 한 것으로서 우리가 알고 있는 5천년 의 지

식수 으로서는 불가사의한 것 의 하나이다

[그림3 피라미드 황 비]

(나) 음악에서의 활용

음악에서 한 옥타 는 [도 미 솔 라 시 도] 의 8음계로 이루어져 있

다 피아노의 건반은 한 옥타 를 13개의 음으로 나 어 표 하고 있으며

이 하얀 건반이 8개 검은 건반이 5개 있고 하얀 건반은 3개와 5개 검

은 건반은 2개와 3개로 구분되어 있다 여기에서 나타나는 2 3 5 8 13

은 에서 보인 피보나치수열이다

[그림4 피아노건반황 비율]

(2) 인체에서의 황 비율

황 분할은 우리의 인체 속에서도 찾아볼 수 있다 인간의 신체가 이 비율

에 의해서 분할되어 있으며 이것이 아름다운 몸의 보편 기 이 되고 있

다 아래 그림은 Le Corbusier가 찾아낸 이상 인간의 각 신체부 의 비율

이다 이것은 오나르도 다빈치의 인체비율에 한 그림에서도 찾아 볼

수 있다 이 뿐만 아니라 인체의 각 부 들도 그 자체 황 분할을 이루

고 있다

[그림5 인체 황 비율]

앞에서 제시한 황 비율을 사용한 시들 이외에도 우리 주변에 아주 많

이 있다

교과서 차례

한교과서(주)

Ⅳ 수열

1 등차수열과 등비수열

2 여러 가지 수열

3 수학 귀납법

4 알고리즘과 순서도

(주) 천재교육

Ⅲ 수열

1 등차수열과 등비수열

2 여러 가지 수열

3 수학 귀납법

4 알고리즘과 순서도

Ⅳ 고등학교 수학교육과정에서의 수열

1 수학Ⅰ 교과서 분석

고등학교 2학년이 학습하는 lsquo수학 Ⅰrsquo은 국민 공통 기본 교육 기간의 10단계

수학을 이수한 학생들이 보다 문 인 진로를 고려하고 보다 높은 수 의

수학을 학습하기 해 설정된 심화 선택 과목이며 lsquo수학 Ⅱrsquo를 학습하기 한

단계이다 lsquo수학 Ⅰrsquo의 내용은 수 역에서 지수와 로그 행렬 수열이

실려있고 해석 역에서 수열의 극한 지수로그 함수가 수록되어 있으며

확률과 통계 역에서 순열과 조합 확률 통계 등으로 구성되어 있다 특히

수 역에 해당하는 수열은 여러 가지 수열에 한 성질을 이해하고 그것

을 일반화 하는 과정에 을 두어 지도하도록 하고 있으며 계차수열은 등

차수열이나 등비수열이 되는 경우만 다룬다 ([2])

1) 수학 Ⅰ 5종 교과서의 차례 단원 배열

앙교육진흥연구소

Ⅲ 수열

1 등차수열과 등비수열

2 여러 가지 수열

3 수학 귀납법

4 알고리즘과 순서도

(주) 고려출

Ⅲ 수열

1 등차수열과 등비수열

2 여러 가지 수열

3 수학 귀납법과 순서도

(주) 두산

Ⅲ 수열

1 등차수열과 등비수열

2 여러 가지 수열

3 수학 귀납법

4 알고리즘과 순서도

[표5 수학 Ⅰ 5종교과서의 차례]

의 표에서 본 것과 같이 임의로 선택된 5종의 고등학교 수학 Ⅰ 교과서의

차례는 거의 비슷한 양상을 보 다 부분의 교과서에선 1단원 지수와 로

그 2단원 행렬 3단원 수열 순의 순서를 보 고 한교과서외의 몇몇

교과서에선 1단원 지수와 로그 2단원 지수로그함수 3단원 행렬 4단원 수

열 순의 순서를 보 다 수열단원의 세부 단원 차례는 1 등차수열과

등비수열 2 여러 가지 수열 3 수학 귀납법 4 알고리즘과 순서도 는

34 단원을 한 단원으로 해서 3 수학 귀납법과 순서도의 순서로 다루는

은 비슷했다

2) 교과서에 제시된 수열 련 자료

한교과서

(주)

피타고라스(Pythagoras 572～492 BC) 피타고라스의 정리

로 잘 알려져 있고 소수나 완 수의 규칙성에 해서도 많은 연

구를 하 다

바스카라(Bhaskara A 1114～1185) 인도의 수학자로

임을 증명하 고 피타고라스의 정리를 기하학

으로 증명하 다

피보나치(Fibonacci 1180～1250) 이탈리아의 수학자로 자연

속에서 많이 볼 수 있는 피보나치 수열을 발견하 다

스칼(Pascal B 1623～1662 ) 랑스의 수학자로 수학

귀납법을 발견하 고 사 기하학을 창시하 다

푸리에(Fourier J B J 1768～1830) 랑스의 수학자로 음양

학 학 기역학 열역학 등의 연구에 매우 요한 푸리에

수를 연구하 다

가우스(Gauss K F 1777～1855) 수학 통계학 등의 다방

면에 많은 업 을 이루었고 역사상 가장 한 수학자 의 한

사람으로 불리워지고 있다

비주얼 베이직(Visual BASIC)

을 이용한 Programming

하노이의 탑

(주)

천재교육

가우스(Gauss K F 1777～1855) 독일의 수학자인 가우스는

수학의 각 방면에 많은 업 을 남겨 수학의 아버지라 일컬

어지고 있다 그는 계산의 천재로 알려져 있는데 이에 한 유명

한 일화가 있다 등학교 때 부터 까지의 합을 구하는 문

제에서 다른 학생들이 직 하나하나 계산하는 동안 가우스는

　 　 　　　　 이 모두 임을 이용하여

times 이라는 답을 이끌어 내었다 이러한 방식은 수열

의 합을 계산할 때 사용하는 방식 의 하나이다

하노이의 탑을 이용한 수열의 귀납 정의

임의로 선택된 5종 교과서들의 수열단원에서 학생들의 수열 단원의 이해를

돕기 해 수록된 수학자들에 한 설명과 기타 자료들은 다음과 같다

도미노 이론 - 수학 귀납법의 다른 표

피보나치수열 - 토끼 수 증가 문제

앙교육

진흥연구소

삼각수 사각수 문제

피보나치(Fibonacci 1180～1250)

가우스(Gauss K F 1777～1855)

음악과 수학 - 작곡가 바흐(Bach)의 요 업 으로 평균율을

들 수 있다 평균율이란 1옥타 즉 lsquo도rsquo와 lsquo도rsquo의 사이를 개의

반음으로 나 고 처음 lsquo도rsquo의 진동수를 이라 하면 그에 일정한

수를 더해 제곱하여 옥타 의 lsquo도rsquo의 진동수를 얻는 것을

말한다 수식으로는 로 나타낼 수 있고 이 등식을

만족하는 의 값이 평균율이다

(주)

고려출

티티우스-보데 수열 -

수열 　　　　　　　　의 각 항에 각각 를 더한 후

으로 나 수들을 나열한 것 　　　　　　　 를

티티우스-보데 수열이라 한다 이수열의 각 항은 태양에서 행성

까지의 실제 거리와 비슷한 것으로 1766년 티티우스(Titius)라는

독일의 천문학자가 발견하 다

제갈량의 군 에 한 을 통한 등비수열의 합

피보나치 수열

휴먼 로 - 휴먼 로 의 제작은 복잡한 여러 가지 알고리즘

과 순서도에 바탕을 두고 있다 알고리즘의 요성은 자계산기

이 부터 실제 으로 존재했다 그 로 최 공약수 계산에 한

유클리드의 알고리즘이 있다 한 가우스와 같은 부분의 수학

자들은 역사 으로 많은 양을 처리하는 효율 인 알고리즘에

심을 가졌다 이러한 알고리즘을 보다 효율 으로 이용하여 재

의 컴퓨터 시 를 구축했다

(주) 두산

피보나치(Fibonacci 1180～1250)는 이탈리아의 피사에서 태

어난 수학자이다 부친이 상업에 종사하 기 때문에 피보나치는

이집트 시칠리아 그리스 시리아 등 다양한 지역을 여행할 수

있었고 이 때 다양한 수학을 하게 되었다 1202년 피사로 돌아

온 피보나치는 「산반서(Liber abaci)」를 술하 다 1228년에

는 「산반서 2 」을 술하 는데 이 책에서 정수와 분수의 계

산 제곱근과 세제곱근 일차와 이차방정식의 풀이 등을 다루었다

고 한다 특히 이 책에 나오는 「피보나치의 수열」은 매우 흥미

로운 수열로 요한 성질을 많이 가지고 있다

1에서 100까지 자연수를 모두 합하면 얼마일까

가우스(Gauss KF 1777～1855) 가우스는 수론 해석학 확

률론 천문학 물리학 등 다양한 분야에 뛰어난 수학자이었다 특

히 그의 수론 연구는 19세기 수학 체계의 확립에 크게 공헌하

다

피타고라스(Pythagoras 572～492 BC) 피타고라스는 음의

높이에 따른 진동수의 비가 일정함을 발견하 다

페아노(Peano G 1858～1932) 자연수의 성질을 추상화 하여

페아노의 공리계를 만들었다 이 공리계의 제 5공리가 수학 귀

납법의 원리이다

피보나치의 수열

알콰리즈미(Alkhwarizmi 780～850) 알고리즘이란 말은 세

아라비아의 수학자 알콰리즈미의 이름에서 유래된 것으로서 그가

십진법으로 나타낸 수의 계산에 용한 계산 방법에서 나온것이

다

[표6 5종 교과서에 제시된 수열 련 자료]

2 수학 Ⅰ 교과서에서의 수열

등차수열의 일반항

첫째항이 공차가 인 등차수열의 일반항 은

본 연구자가 임의로 선택한 5종 교과서 ([5][8][12][13][14]) 에서의

수열의 내 을 정리해보았다

1) 등차 수열과 등비 수열

(1) 수열의 뜻

어떤 규칙에 따라 순서 로 수를 늘어놓은 것을 수열이라 하고 그 수열을

이루는 각각의 수를 그 수열의 항이라고 한다 수열의 각 항을

앞에서부터 순서 로 제 1항 제 2항 제 3항 제 항

이라고 한다 특히 제 1항은 첫째항이라고도 한다

(2) 등차수열의 뜻

첫째항에 차례로 일정한 수를 더하여 만들어진 수열을 등차수열 이라하고

더한 일정한 수를 공차라고 한다

첫째항이 공차가 인 등차수열 에서

이므로 일반항 은 다음과 같이 나타낼 수 있다

(3) 등차수열의 합

등차수열의 합

첫째항이 공차가 끝항이 인 등차수열의 첫째항부터 제 항까지의

합 은

첫째항이 공차가 등차수열 에서 첫째항 부터 제 항 까지의 합

을 토론하기의 방법을 이용하여 구해보자

　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　①

더하는 순서를 거꾸로 하면

　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　②

①②의 양변을 각각 더하면

　　

따라서 =

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　③

이때 제 항인 를 ③에 입하여 식을 다르게 나타낼수도

있다

이상을 정리하면 다음과 같다

(4) 수열의 합과 일반항

수열 에서 첫째항부터 제 항까지의 합을 이라 하면

ge 일때 　　

there4

수열의 합과 일반항의 계

수열 의 첫째항부터 제 항까지의 합을 이라 하면

(단 ge )

등비수열의 합

일때 이다

이상을 정리하면 다음과 같다

(5) 등비수열의 뜻

첫째항부터 시작하여 각 항의 바로 앞의 항에 일정한 수를 곱하여

만들어진 수열을 등비수열이라 하고 곱하는 일정한 수를 공비라고 한다

첫째항이 공비가 인 등비수열에서 첫째항부터 제 항까지의 합 은

다음과 같이 구한다

　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　①

①의 양변에 공비 을 곱하면

　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　②

①에서 ②를 같은 변끼리 빼면

따라서 ne 일때

인 경우 ①에서

　　

there4

이상을 정리하면 다음과 같다

첫째항이 공비가 인 등비수열의 첫째항부터 제 항까지의 합 은

① ne 일때

② 일때

자연수의 거듭제곱의 합

①

　　

②

　　

③

　　

2) 여러 가지 수열

(1) 합의 기호 sum

수열 에서 첫째항부터 제 항까지의 합

　　

을 일반항과 합의 기호 sum를 써서

　　

와 같이 나타낸다

이때

는 수열 의 일반항 의 에 　　　　　　을 차례로

입하여 얻은 항의 합으로 신 다른 문자를 사용하여

등과 같이 나타낼 수 있다

(2) 기호 sum 의 성질

합의 기호 sum 의 성질에 하여 알아보자

합의 기호 sum의 성질

①

(복부호동순)

②

(단 는 상수)

③

(단 는 상수)

　　

　　 　　

　　

마찬가지로

와

에 해서도 확인해 보면 sum 의 성질을

다음과 같이 정리할 수 있다

(3) 계차수열

일반 으로 수열 에서 이웃하는 두 항의 차

　　 을 일반항으로 하는 새로운 수열

　　　　　　　을 얻을 수 있는데 이 수열 을 원래의 수열 의

계차수열이라고 한다

수열 에 하여 그 계차수열을 이라 하면

　　

계차수열과 일반항

수열 의 계차수열을 이라 할때

(단 ge )

3) 수학 귀납법

(1) 수열의 귀납 정의

첫째항과 이웃하는 두 항 사이의 계식으로 수열을 정의하는 것을 수열의

귀납 정의 라고 한다

첫째항이 공차가 인 등차수열 은 다음이 성립한다

　ge 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　①

역으로 두 계식 ①이 주어지면 이 결정되고 차례로

가 결정된다 따라서 모든 자연수 에 하여 이 정해지므로 수열 이

정의 된다

①과 같이 의 값 과 의 계식을 화식이라고 한다

(2) 수학 귀납법

수학 귀납법은 이탈리아의 페아노에 의하여 설정된 자연수에 한 공리

수학 귀납법

자연수 에 한 명제 이 모든 자연수 에 하여 성립함을 증명하

려면 다음 ⅰ ⅱ 를 증명하면 된다

ⅰ 일때 명제 이 성립한다

ⅱ 일때 명제 이 성립한다고 가정하면 일때에도

명제 이 성립한다

다음과 같은 5번째 공리에 근거를 두고 있다

자연수의 집합 의 부분집합 가

ⅰ 　isin

ⅱ 　isin 이면 isin

(여기서 는 의 후자)

인 두 조건을 만족하면 이다

4) 알고리즘과 순서도

(1) 알고리즘과 순서도

어떤 문제를 해결하기 해서는 그 처리 순서를 정해야 하는데 이와 같이

문제 해결에 필요한 처리 과정의 순서를 단계 으로 정리한 것을 알고리즘

이라 하고 알고리즘을 알기 쉽게 기호를 써서 그림으로 나타낸 것을 순서도

라고 한다 일반 으로 어떤 문제를 해결하기 한 알고리즘은 여러 가지가

있을 수 있지만 정해진 유한번의 단계를 거치면 반드시 끝나야 하고 처리

과정의 순서가 명확해야 한다 한 순서도는 각 부분을 순서 계통 으로

나타냄으로써 작업 과정을 구나 쉽게 한 에 악할 수 있도록

작성되어야 한다 순서도는 다음과 같은 기호를 사용하여 작성한다

[표7 순서도의 기호]

(2) 알고리즘과 순서도의 작성

수열과 련된 순서도를 작성할 때에는 다음과 같은 방법을 고려한다

(가) 항수를 항을 수열의 합을 로 나타낸다

(나) 제시된 항의 번호까지 루 를 용한다

(다) 제시된 항의 번호에 하여 단 기호를 이용한다

(라) 구하려는 는 를 인쇄하고 끝낸다

주의환기

집 을

한 략

지각

주의환기의

략

시청각 효과의 사용

비일상 인 내용이나 사건 제시

주의 분산의 자극 지양

탐구

주의환기의

략

능동 반응 유도

문제해결 활동의 구상 장려

신비감의 제공

다양성의

략

간결하고 다양한 교수형태 사용

일방 교수와 상호작용 교수의 혼합

교수자료의 변화 추구

목표-내용-방법이 기능 으로 통합

련성

증진을

한

략

친 성의

략

친 한 인물 혹은 사건 활용

구체 이고 친숙한 그림 활용

친 한 문 배경 지식 활용

목 지향성

의 략

실용성에 을 둔 목표 제시

목 지향 인 학습형태 활용

Ⅴ 러의 ARCS 이론과 수열 지도

1 러의 ARCS 이론

1) ARCS 이론의 특징

(1) 이론 배경

다음은 ([4])의 내용을 참고하 다

ldquo말을 물가로 데리고 갈 수는 있지만 물을 먹일 수는 없다rdquo는 속담처럼

하고자 하는 마음이 없으면 학습 효과를 기 할 수 없는 것은 당연한 사실

이다 이러한 생각의 근거에는 동기 유발의 개념이 자리 잡고 있다 동기

유발이란 어떤 활동을 진 지시 유지하려는 내 상태 는 과정을

포함한다 이 개념은 교육 심리학의 심 개념 의 하나이지만 직 찰

할 수 없는 것이기 때문에 인간의 행동을 보고 거기에서 유출해 내는 개념

이며 이에 한 정의는 바라보는 과 강조하는 내용에 따라 각기 다르

다

(2) ARCS 이론

목 의 선택 가능성 부여

필요나

동기와의

부합성 강조의

략

다양한 수 의 목 제시

학업성취 여부의 기록체제 활용

비경쟁 학습상황의 선택가능

동 상호 학습상황 제시

자신감

수립을

한 략

학습의

필요조건

제시의 략

수업의 목표와 구조의 제시

평가기 피드백의 제시

선수학습 능력의 단

시험의 조건 확인

성공의 기회

제시의 략

쉬운 것에서 어려운 것으로 과제 제시

정수 의 난이도 유지

다양한 수 의 시작 제공

무작 의 다양한 사건 제시

다양한 수 의 난이도 제공

개인

조 감

증 의 략

학습의 끝을 조 할 수 있는 기회 제시

학습속도의 조 가능

원하는 부분에로의 재빠른 회귀 가능

선택가능하고 다양한 과제의 난이도제공

노력이나 능력에 성공 귀착

만족감

증 를

한 략

자연 결과

강조의 략

연습문제를 통한 용기회 제공

후속학습상황을 통한 용기회 제공

모의상황을 통한 용기회 제공

정 결과

강조의 략

한 강화 계획의 활용

의미 있는 강화의 강조

정답을 한 보상 강조

외 보상의 사려 깊은 사용

선택 보상체제 활용

공정성

강조의 략

수업목표와 내용의 일 성 유지

연습과 시험 내용이 일치

[표8 ARCS 략] ([1])

2 ARCS 이론을 용한 수열 수업 계획서

다음은 ([1])의 ARCS 이론의 수업계획서를 참고하여 수열 단원의 수업

계획서를 작성해보았다

수업내용개 동기 략개 기타의견1 수업 기

체 으로 교사는 다양한 방법으로 학습자들

에게 수업 내용을 제시하고 학습자들에게

한 언어를 사용한다

수열의 활용에

한 학습목표

제시하기

교사는 학습자들의 련성을 높이기 해 학습

목표의 의미를 설명해 다

도표는 큰 씨를 사

용하고 핵심이 되는

단어에는 다른 색깔을

사용한다

수열의 활용의

이 과 평가

거를 제시하기

교사는 학습자들의 련성과 자신감 만족감

을 높이기 하여 이 수업이 끝난 후 그들이

무엇을 할 수 있는지에 해 알려 다

교사는 학습자들의 자신감과 만족감을 높이기

하여 성공 인 학습성취를 단할 수 있는 객

인 거들을 알려 다

교사는 학습자들의 만족감을 높이기 하여

그들이 주어진 과제를 성공 으로 해결했을 때

그에 따르는 내재 강화나 외재 보상이 있음

을 알려 다

수열의 정의와

해법에 한 지

식을 간략하게

확인하기

교사는 선수학습과의 련성을 유발하기 하

여 간략한 보조도구(인쇄매체)를 사용하여 수열

의 정의와 해법을 제시한다

교사는 소집단 토론을 실시하여 학습자들의

선수지식을 스스로 검해 보도록 한다

교사는 수열의 정의와 해법을 잘 모르는 학습

자들에게 자신감을 유발시키기 하여 개별 인

학습목표를 세우도록 한다

소집단 구성에 있어

서 주의집 이 매우

낮은 5명을 하나의 소

집단으로 구성하고

친근한 소재를 활용하

여 그들의 주의집 과

련성을 유발한다

실생활과 련

된 수열의 활용

문제들을 몇 가

지 소개하기

교사는 학습자들의 주의집 을 유지하기 해

실생활에서 연립방정식을 활용하여 해결할 수

있는 몇 가지 문제들을 제시한다

주의집 이 매우 낮은 5명의 학습자들이 수업

에 극 인 심을 보이지 않으면 교사는 그

들에게 친근한 목소리로 이름을 부르면서 수업

에 집 하라고 얘기 하고 개인 인 심을 갖

고 있음을 나타낸다

로써 활용되는 문

제들을 선택할 때 학

습자들이 알고 있거

나 그들에게 친근감

을 주는 소재가 포함

되도록 선택한다 이

때 지나치게 자심감

이 높아서 수업에 소

극 으로 참여하는 3

명의 학습자들에게는

다소 복잡한 수열의

활용 문제를 미리 제

공하여 생각할 기회를

다

수열의 활용에

한 학습자들의

이해정도를 악

하고 피드백을

제공하기

교사는 학습자들에게 자신감을 높이기 하여

소집단을 구성하여 학습자들이 수열의 활용에

해 어느 정도 이해하고 있는지를 서로 토론하

도록 한다

교사는 소집단별로 둘러보면서 자신감과 만족

감을 유발시키기 하여 학습자들간에 서로 도

움을 주도록 분 기를 형성한다

소집단별로 간략하게 토론이 끝나면 학습자

들 스스로 정리하도록 한다

토론결과 학습자들이 수열의 활용에 해 잘

못 이해하고 있다면 교사는 즉각 으로 교정

피드백을 제공한다

학습자들의 소집단

토론시간을 무 길게

소요하지 않도록 한

다 자칫하면 토론분

기가 산만해지기 쉽

고 토론이 활발하지

못한 경우에는 학습자

들의 학습의욕이 떨어

진다

2 수업 반 체 으로 교사는 다양한 방법으로 학습자

들에게 수업 내용을

제시하고 학습자들에게 개별 인 언어를 사용

한다

실생활과 련

된 수열의 활용

의 문제들을 구

체 으로 제시하

기

교사는 학습자들의 주의집 련성 자신감

만족감을 유지하기 하여 게임을 실시한다 학

습자들이 돌아가면서 임의로 다른 학습자를 지

명하면 지명받은 학습자가 실생활과 련된 수

열의 문제를 하나 제시한다 한 문제를 제

시한 학습자에게 학습태도 수를 주어 만족감

을 향상시킨다

교사는 학습자들이 제시한 여러 가지 문제들

을 칠 에 은 후 몇몇 소집단을 구성하여

그 문제들을 해결하기 해 인스토 을 하

도록 한다 이때 교사는 문제를 해결한 학습자

가 아직 해결하지 못한 학습자들을 도와주어 자

신감과 만족감을 갖도록 한다

인스토 이 진행되는 동안 교사는 교실

을 둘러보면서 학습자들이 질문이나 의문사항

에 해 극 으로 질문할 수 있는 기회를 제

공하고 그에 해 개별 인 언어를 사용하여

부드러운 목소리로 피드백을 제공한다

인스토 도 학습자들의 개인 인 능

력차가 커서 문제를 해결하는데 어려움을 겪는

학습자들에게는 그들에게 합한 개별 인 학습

이때 교사는 밝고

생동감이 넘치는 목소

리로 학습자들의 활동

을 진시킨다

교사는 학습자들이

한 자신감을 유지

하고 있는지에 해

지속 인 심을 갖고

지켜본다

이때 교사는 학습자

들의 자신감과 만족감

을 높이기 하여 그

들에게 일 성 있는

피드백을 제공한다

교사는 학습자들이

목표를 다시 선정하도록 하여 자신감을 향상시

킨다

인스토 이 끝나면 교사는 소집단 별로

한 사람씩 자발 으로 나와 문제를 풀고 풀이

과정을 체 학습자들에게 설명하도록 한다 이

때 어려운 문제를 해결한 소집단이나 학습자에

게 교사는 그들의 우수한 능력을 인정하고 내

재 인 자존심에 정 인 향을 주는 칭찬을

제공하여 자신감과 만족감을 높인다

소집단의 인스토

을 하는 동안 체

으로 문제풀이를 할

때 주의집 을 유지

하고 자신감과 만족

감의 향상을 악하기

해 끊임없이 그들과

시선을 교류하고 얼

굴표정을 찰한다

3 수업마무리 체 으로 교사는 다양한 방법으로 학습자

들에게 수업 내용을 제시하고 학습자들에게 개

별 인 언어를 사용한다

실생활과 련

된 수열의 활용

에 해 체

으로 정리 요

약하기

교사는 교탁을 탁탁 치거나 박수를 쳐서 다

소 떨어진 학습자들의 주의집 을 향상 시킨다

교사는 실생활 속에서 수열을 활용하여 해결

할 수 있는 간단하고 재미있는 문제들을 2～3개

제시하여 학습자들이 그 문제를 성공 으로 해

결함으로써 자신감과 만족감을 갖도록 한다

교사는 학습자들이 미처 생각하지 못했던 실

생활 속에서 수열과 연 된 다양한 들을 제공

하여 주의집 과 련성을 유지향상시킨다

교사는 자신감과 만족감을 향상시키기 해

학습자들에게 수업진행 에 그들이 설정한 개

인 인 학습목표에 해 얼마나 많이 달성했는

가를 스스로 검해 보라고 한다

교사는 수업 반에 수열의 문제를 잘 해결하

지 못했던 학습자들에게 그 문제를 다시 해결해

보도록 기회를 제공하여 자신감과 만족감을 높

여 다

평가에 있어서 교사는 학습자들이 그들의 성

에 해 공정하게 평가되었다고 느끼도록 일

성 있게 평가하여 그들의 자신감고 만족감을

높여 다

교사는 수열과 실생

활과의 련성에 해

학습자들이 잘 지각하

고 있는가를 알아보기

해 다소 진지한 목

소리로 질문한다

다음 학습내용

에 해 간략히

소개하기

교사는 학습자들의 흥미를 유지하기 하여

다음 학습내용에 해 호기심에 찬 목소리로 간

략하게 소개하고 수업을 끝낸다

[표9 러의 ARCS이론]

단원

단

원Ⅲ 수열

배정시간

(분)50

단

원1 등차수열과 등비수열

차시 3소단

원3) 등차수열과 등비수열의 활용

학습

목표등차수열과 등비수열을 실생활의 문제에 용할 수 있다

학습

단계학습내용

교수-학습활동 지도상의유의사

항교사활동 학생활동

도

입

15

분

인사

출석

주변을 정리 정돈

하여 수업분 기를

조성한다

인사 출석체크

를 한다

주의를 환기시킨

후 학생들과 인사

한다

출결석 여부를

확인한다

바른 자세로 주

변을 정리한 뒤

교사와 인사한다

수업 비를 한

다

교사와 학생

모두 함께 수업

분 기를 조성한

다

선수

학습

확인

지난 시간에 학습

한 등차수열과 등비

수열의 정의에 해

다시 한번 확인해본

다

지난 시간에 학습

한 등차수열과 등비

수열의 일반항을 구

하는 방법에 해 확

인학습으로 [문제1]

과 [문제2]를 풀어본

다

학생들의 자신감

을 높이기 하여

등차수열과 등비수

열의 정의를 교과

서에서 찾아본 후

큰소리로 답하게

한다

학생들이 답한

후 다시 한번 등차

수열과 등비수열에

해 간단히 설명

등차수열과 등

비수열의 정의를

교과서에 찾아본

후 큰소리로 읽는

다

교사가 등차수

열과 등비수열의

정의에 해 다시

한번 간단히 설명

할 때 부족한 부

분은 필기하며 복

습한다

교사가 정의에

해 질문할 때

학생들이 모두

책을 찾아볼수

있게 주의를

다

만일 답하

지 못하는 학생

이 있을 경우 그

여기서 인스토 (brainstorming)이라고 하는 것은 갑자기 떠오르는 멋

진 생각을 종이에 는다든가 말로 표 해 본 후 로 기록하거나 기록된

문장을 정리정돈하면서 생각을 논리화하는 방법이다 주로 어떤 계획을 세

우고자 할 때 창조 이고 기발한 아이디어가 필요할 때 학생들의 의견과

생각을 끌어내어 발 시키고자 할 때 사용하면 유리하다 ([3])

3 ARCS 이론을 용한 수업지도안

[문제1]

다음 등차수열

의 일반항과 제20항

을 구하여라

　　　　　　　

[문제2]

다음 등비수열

의 일반항과 제8항을

구하여라

　 　　　　　

한다

교사는 [문제1]

과[문제2]를 제시

한 뒤 학생들에게

직 풀어보게 한

다

등차수열과 등

비수열의 일반항

과 그 공식의 유

도과정을 기억한

다

제시된 문제를

연습장에 풀어본

다

학생에 해 개

별 인 언어를

사용하여 부드러

운 목소리로 피

드백을 제공한

다

개

30

분

학습

목표

제시

수열의 활용에

한 학습목표를 제시

한다

학습목표 학습

에 필요한 자료를

Power point 시청

각 효과를 사용하여

학생들의 주의환기

집 을 한 략

을 사용한다

학습목표를 학생

들에게 읽게 하고

학생들의 련성을

높이기 해 학습

목표의 의미를 설

명해 다

교사의 지시에

따라 큰소리로 학

습목표를 읽고 이

수업이 끝난 후

무엇을 할 수 있

는지에 해 생각

해 본다

학습목표는 큰

씨를 사용하

고 핵심이 되는

단어에는 다른

색깔을 사용한

다

탐구

학습

실생활과 련된

수열의 활용문제들을

몇 가지 소개한다

수열의 활용에

한 학습자들의 이해

정도를 악하고 피

드백을 제공한다

등차수열과 등비

수열을 이용하여

실생활의 문제를

해결할 수 있음을

학생들이 쉽게 이

해할 수 있도록 설

명한다

교사가 실생활

과 련된 수열의

활용문제들을 몇

가지 소개할 때

다른 시가 있는

지 함께 생각해

본다

문제

제시

[문제3]

한일 월드컵 축구 개

회 연도는 2002년이

다 2002년 이후 월

드컵 축구가 개최되

는 연도를 차례로 써

보고 이 규칙 로 월

드컵 축구가 개최되

면 2100년은 월드컵

축구가 개최되는 연

도인가

교과서에서 수열

단원의 수열의 활

용부분에 수록된

문제들을 풀어볼

수 있도록 시간을

다

등차수열과 등

비수열의 일반항

유도 공식을 생각

해보고 제시된 문

제를 해결해 간다

로써 활용되

는 문제를 선택

할 때 학습자들

이 알고 있거나

그들에게 친근감

을 주는 련성

증진을 한

략을 사용한다

[문제4]

컴퓨터의 주기억 장

치인 램은용

으로

용으로 가 개발

되었다 이후 램의

용 량 은

로 증가되어 왔다

의 램으로부터

번 증가된 주 메모

리는 식으로 어떻게

나타낼 수 있는가

학생들이 문제를

어렵게 느끼지 않

도록 어떤 방향으

로 해결해야 하는

지 힌트를 주어 학

생들의 자신감을

증진시킨다

소집

단

활동

5～6명으로 이 진

소집단을 구성하여

학습자들이 수열의

활용에 해 어느 정

도 이해하고 있는지

를 서로 토론하도록

한다

소집단별로 실생활

과 련된 수열의 활

용의 문제들을 구체

으로 제시한다

인 스토 이

끝나면 소집단별로

한사람씩 문제를 풀

고 풀이과정을 체

학생들에게 설명하는

시간을 갖는다

교사는 학생들의

만족감을 높이기

하여 그들이 주

어진 과제를 성공

으로 해결했을

때 그에 따르는

내재 강화나 외

재 보상이 있음

을 알려 다

어려운 문제를

해결한 소집단이나

학생에게 교사는

그들의 우수한 능

력을 인정하고 내

재 인 자존심에

정 인 향을

주는 칭찬을 제공

하여 자신감과 만

족감을 높인다

자신이 속한 소

집단 내에서 제시

된 과제에 해

열심히 토의를 하

며 문제를 해결한

학생이 아직 해결

하지 못한 학생들

을 도와주어 자신

감과 만족감을 갖

도록 한다

소집단별로 간

략하게 토론이 끝

나면 학생들 스스

로 정리해보고 자

발 으로 체 학

생들에게 설명해

보는 기회를 갖는

다

교사는 학습자

들이 한 자

신감을 유지하고

있는지에 해

지속 인 심을

갖고 지켜본다

학생들의 소집

단 토론시간을

무 길게 소요

하지 않도록 한

다

형성

평가

[문제4]

민수는 남 문의 기

와 지붕 한쪽 면이

사다리꼴 모양임을

찰하고 이 면에 있

는 기와의 개수를 알

아보고자 한다 기와

형 성 평 가 를

Power point로 제

시하고 학생들이

스스로 풀어볼 수

있도록 지도한다

학생들이 문제를

다 풀고 나면 교사

제시된 문제를

오늘 학습한 내용

을 복습하면서 풀

어보도록 한다

교사는 다소

진지한 목소리로

질문한다

의 개수를 행으로 세

었더니 용마루 쪽에

가장 가까운 행에는

40개 처마 쪽에 가

장 가까운 행에는 72

개 다 용마루부터

처마까지 행의 개수

가 17이라고 할 때

민수가 찰한 지붕

한쪽 면의 기와의 개

수는 모두 몇 개인

가

는 학생들에게

답할수 있도록 하

고 학생들이 학습

목표에 해 얼마

나 많이 달성했는

가를 스스로 검

해 보라고 한다

형성평가의 답

을 교사의 질문에

끝난 뒤 큰소리로

답하여 자신감

과 만족감을 갖도

록 한다

학생들에게 개

별 인 언어를

사용한다

정

리

5

분

학습

정리

차시

고

학습 자료를 이용

하여 수열의 실생활

의 활용 단원의 수업

내용을 확인한다

과제를 제시한다

다음 차시인 「여

러 가지 수열」 단원

에 한 고를 한

다

수업 내용을 정

리하고 과제를 제

시한다

학생들의 흥미를

유지하기 하여

다음 학습내용에

해 호기심에 찬

목소리로 간략하게

소개하고 수업을

끝낸다

오늘 학습한 내

용을 정리한다

과제를 고 과

제 해결에 한

내용을 머릿속에

형성해 본다

다음 차시에 배

울 내용을 학습

자료 화면으로 확

인해본다

수업내용에

해 학생과 교사

모두가 만족하고

있는지 확인하고

공정한 평가를

한다

[표10 수업지도안]

4 조사 문제지 분석

고등학교 수학 Ⅰ 의 수열단원의 효율 인 지도방안의 연구를 하여 원

종고등학교 2학년 학생 100명을 상으로 조사 문제지 조사를 하 다 학

생들의 수학에 한 심과 수학에서 가장 어려워하는 부분을 알아볼 수

있었고 어떤 방식의 수업을 선호하는지도 알아볼 수 있었다

⑴ 수학에 얼마나 심이 있나요

① 매우 많다 ② 많다 ③ 보통이다 ④ 다 ⑤ 매우 다

수학과목에 매우 많은 심을 보이는 학생은 2로 매우 낮은 편이며

심이 있는 학생은 43로 학생의 반정도 다 수학과목에 심이 거

나 없는 학생은 54정도로 수학은 어려운 과목이라는 인식 때문에 심

이 은 것 같다

수학을 공부하는 가장 큰 이유에는75의 학생들이 학입시를 해서라

는 문항을 선택했다 기타 이유에는 교과서에 있어서 어쩔수 없이 한다

는 학생과 진리탐구를 해서라는 학생도 있었다

[그림6 조사문제지

(1)번 막 그래 ]

⑵ 수학을 공부하는 가장 큰 이유가 뭐라고 생각하나요

① 학입시를 해서

② 평소 수학에 흥미가 있어서

③ 실제 생활에 쓰기 해서

④ 주변에서 해야한다고 하니까

⑤ 기타 이유 (이유를 간단히 어주세요)

앞에 (1)번문항에서 수학에 심이 은 학생이 반 정도인것에 반해

수학공부가 필요하다고 느낀학생이 75정도로 수학공부가 필요하단건

느끼지만 어려운 과목이라는 인식이 부분인것 같다 수학과목도 재

는 과목이란 인식을 학생들이 가질수 있도록 노력해야겠다

[그림7 조사문제지

(2)번 막 그래 ]

⑶ 수학공부의 필요성에 해 어떻게 생각하나요

① 매우 필요하다 ② 조 필요하다 ③ 보통이다

④ 필요 없다 ⑤ 필요 없다

[그림8 조사문제지

(3)번 막 그래 ]

⑷ 수학을 공부하면서 가장 어려운 부분은 무엇이나요

① 복잡한 계산 과정 ② 외워야할 많은 공식들

③ 응용문제엔 어떤 공식을 용해야할지 ④ 다 어렵다

학생들이 수학과목이 어렵다고 느끼는 이유는 응용문제에 어떤 공식을

용해야 하는지를 몰라서 라는 답이 58로 가장 많았다 그 외에도

계산과정이 복잡하거나 외워야할 공식들이 많아서라는 답도 있었다

이해 주의 수업을 하고 단순한 공식의 암기 주의 수업을 탈피해야겠

다

수학수업을 하는데 효과 인 방법에는 선생님 주의 강의식 수업과 학

생 개인별 수업이 78로 가장 많았다 개념이나 공식유도과정을 설명할

땐 서를 하며 강의식 수업을 하고 문제풀이땐 학생들 개인별로 첨삭

지도를 하는게 효율 인것 같다

⑤ 기타이유 (이유를 간단히 어주세요)

[그림9 조사문제지

(4)번 막 그래 ]

⑸ 수학 수업을 하는 데 어떤 방법이 가장 효과 이라고 생각하나요

① 선생님 주의 강의식 수업

② 학생 개인별 수업

③ 모둠별 활동 수업

④ 기타 교재나 과제를 통한 수업

⑤ 기타(이유를 간단히 어주세요)

[그림10 조사문제지

(5)번 막 그래 ]

Ⅵ 결론

본 논문에서 지 까지 고등학교 2학년 학생들이 수학 Ⅰ 교육과정을 학습하

는데 가장 어려워하는 수열에 해 살펴보았다 먼 개정 교육과정에 명시

된 수학교육의 목표와 임의로 선택된 5종 교과서에서 수열 단원의 학습목표

를 살펴보았고 수열의 역사 배경과 실생활에 응용된 들을 정리해보았

다 한 5종 교과서에서 제시되어 있는 수열의 학습내용을 소단원 별로 정

리해보았다 임의로 선택된 5종 교과서안의 수열의 학습내용을 분석해보면

서 몇 몇 교과서에서 여러 가지 수열 단원에서 군 수열과 멱 수에 한 언

이 없거나 미약함을 알 수 있었다 본 연구자가 보기에 군 수열과 멱 수

부분은 실생활에 활용될 는 극히 작아 보이지만 학생들이 꼭 학습하고 넘

어가야 수열에 한 완벽한 학습이 될 수 있을 것이라 여겼는데 교과서에서

제시된 내용들로는 학생들이 충분히 이해할 수 없을 것 같았다

그리고 교과서에 제시된 문항의 수 이 입시와 동 떨어진다는 문제 이 있

었다 교과서에 제시된 문제가 부족하고 수 이 낮다 보니 실제로 학교에서

수업 때 보충 린트 물로 수업을 진행하고 간기말고사 때에도 교과서

외에서 많은 문제를 출제하는 모습을 볼 수 있었다 때문에 학생들이 교과서

보다는 문제집 주의 공부를 할 수 밖에 없는 듯 보 다 교과서가 학생들

과 교사의 요구에 부합할 수 있도록 새로운 내용들과 문제를 싣도록 해야

할 것이다

학생들이 수열 단원의 학습을 할 때 좀 더 효과 인 학습이 될 수 있도록

리의 동기설계이론 (ARCS 이론) 을 바탕으로 하여 수업 계획서와 1차시

의 수업 지도안을 작성해 보았다 한 작성한 수업 지도안으로 부천시 소재

의 한 고등학교에서 실제 수업을 진행해 보았을 때 학생들이 좀 더 수열에

해 친숙하게 느끼고 쉽게 이해하는 모습을 볼 수 있었다 본 연구자가

직 교사가 아니라 여러 반을 상으로 수열 단원의 모든 차시 수업에 용

하여 수업을 해볼 수 없었단 이 아쉬움으로 남는다

이와 같이 학생들의 주의 련성자신감만족감 증진을 한 수업을 함

으로써 학생들의 수학 학습 성취도의 향상을 기 할 수 있을 것이다 한

개발된 자료를 실제 수업에 용하는 경우의 효율성에 한 후속 연구가 체

계 이고 지속 으로 이루어져야 할 것이다

참 고 문 헌

[1] 구평회 META 구평회 교육학 2007

[2] 교육인 자원부 고시 제2007 - 79호[별책8] 2007

[3] 박인학 교사를 한 교수학습방법론 문사 1995

[4] 변 계 교수학습 이론의 이해 학지사 1999

[5] 우정호 외 5인 고등학교 수학 Ⅰ 한교과서(주) 2002

[6] 이 연 자연의 수학 열쇠 피보나치수열 로네시스 2006

[7] 이진화 지수로그함수의 지도에 한 연구 서강 학교 교육 학원 석사 학

논문 2006

[8] 임재훈 외 10인 고등학교 수학 Ⅰ (주)두산 2002

[9] 장 숙 고등학교 수학 Ⅰ 교과서의 통계단원 분석 실생활에의 용 경희

학교 교육 학원 석사 학 논문 2006

[10] 조해식 행렬 수열 수업에서의 수학사 도입에 한 연구 울산 학교 석사

학 논문 1998

[11] 차 자 수열 학습의 흥미 유발을 한 자료 연구 경성 학교 교육 학원 석

사 학 논문 2004

[12] 최 외 5인 고등학교 수학 Ⅰ 앙교육진흥연구소 2006

[13] 최상기 외 5인 고등학교 수학 Ⅰ (주)고려출 2002

[14] 최용 신 성 고등학교 수학 Ⅰ 천재교육(주) 2002

[15] 황혜정 외 5인 수학교육학 신론 문음사 2002

• Ⅰ 서론
• • 1 연구의 필요성과 목적
  • 2 연구의 제한점
  • • Ⅱ 개정 교육과정에서 명시된 수학Ⅰ교육의 목표
    • • 1 수학Ⅰ교육의 목표
      • 2 고등학교 수학 Ⅰ 수열 단원의 학습목표
      • • Ⅲ 수열의 역사적 배경 및 응용
        • • 1 수열의 역사
          • 2 수열 단원이 실생활에 응용된 사례
          • • Ⅳ 고등학교 수학교육과정에서의 수열
            • • 1 수학Ⅰ 교과서 분석
              • 2 수학Ⅰ 교과서에서의 수열
              • • Ⅴ 켈러의 ARCS 이론과 수열 지도
                • • 1 켈러의 ARCS 이론
                  • 2 ARCS 이론을 적용한 수열 수업 계획서
                  • 3 ARCS 이론을 적용한 수업 지도안
                  • 4 조사지 분석
                  • • Ⅵ 결론
                    • 참고문헌

Ⅰ 서 론

1 연구의 필요성과 목

오늘날의 수학교육에 있어서의 최 당면 문제는 수학의 기 인 교육

기반을 어떻게 회복하느냐 하는 것이다 이를 해서는 lsquo수학을 어떤 이유

로 가르쳐야 하는가rsquo 는 lsquo학생들이 왜 수학을 알아야 하는가rsquo에 한 보

다 근원 인 논의가 이루어져야 한다 lsquo수학을 왜 가르치고 배우는가rsquo 라는

질문에 부분은 수학을 배우면 논리 으로 사고하게 되고 과학 인 생활

을 하는 데 도움이 된다고 말하지만 우리는 이러한 질문에 하여 보다

체계 으로 생각해 보아야 한다 수학을 가르치는 교사는 학생을 지도할

만큼의 충분한 수학 지식을 가지는 것도 요하지만 수학이 갖는 가치

에 하여 단순히 학문 입장만이 아닌 lsquo교육 rsquo 입장에서의 가치 을 갖

추고 있어야 한다는 것이다 ([15])

하지만 지 의 학교수학교육의 황은 학 입시를 한 기계식의 문제풀

이와 암기 주의 수업이 이루어지고 있는 실정이다 때문에 학생들은 수학

에 한 기 개념을 알지 못한 채 수박 겉핥기식의 학습을 하게 되고 수

학에 흥미를 잃고 수학을 포기하는 학생이 늘어가고 있다

고등학교 수학Ⅰ 교육과정의 요한 단계인 수열에 해 학생들은 특히

이해하기 어려워한다 한 수열에 한 선수 학습이 제 로 이루어지지

않았을 경우 수열을 배우고 나서 바로 다음 단원에 학습하는 수열의 극한

단원을 이해하는데 어려움을 겪게 되기 때문에 수열의 제 로 된 학습은

학생들에게 상당히 요한 문제라고 할 수 있다

학생들이 수열 단원을 어려워하는 데에는 많은 이유가 있겠지만 무엇보다

도 행 교과서의 수열 단원의 구성에 부족한 부분이 많기 때문인 것 같

다 요한 단원임에도 불구하고 개념 설명이나 시 문항이 많이 부족하

고 군 수열이나 멱 수에 한 설명은 실려 있지 않은 교과서도 많았다

한 지 의 딱딱한 강의식 수업에서 벗어나 학생들의 자신감과 만족감을

증진시킬 수 있는 수업을 해 교사나 학생 모두 노력해야한다

이 논문에서는 개정 교육과정에 의하여 다루어지는 고등학교 수학 Ⅰ 교

육과정 내용 수열을 택하여 각 교과서에서 수열 단원의 구성과 수열에

한 역사 배경과 실생활에 활용된 를 알아보고 학생들로 하여 수

열의 원리와 개념의 이해에 도움이 될 수 있는 지도방안을 러의 ARCS

이론을 바탕으로 하여 작성해보고자 한다

2 연구의 제한

재 고등학교에서 채택하고 있는 12여종의 수학 Ⅰ 교과서 부를 분

석하지 않고 임의로 선택된 5종 교과서를 분석하 기 때문에 5종이 12종을

모두 표한다고 볼 수 없다

본 논문은 러의 ARCS 이론을 바탕으로 한 수열 지도가 수열 단원의

학습에 효율 일 것이라고 여겼으나 1개 고등학교에서만 수업시연을 해보

았기 때문에 실제 인 검증작업을 거치지 못하 다 따라서 연구 결과에

한 한계가 있을 수 있다

러의 ARCS 이론을 바탕으로 한 수열 학습지도안으로 수업을 진행할

때 조별학습을 하게 되는데 이때 능숙한 교사가 아니라면 학생들의 주의

가 산만해지고 수업 분 기가 흐트러지는 것을 정리하고 완만한 수업을 진

행하기가 힘이 들것이라 생각된다

본 연구자가 부천시 소재의 원종고등학교 학생 100명을 상으로 한 조

사문제지 검사가 수열 단원의 학습에 국한된 것이 아니라 고등학교 수학

학습의 일반 인 내용을 담았기 때문에 수열 단원의 효율 인 지도방안을

한 연구에 직 인 도움을 주지 못했다

본 연구자가 제안한 교수 방법의 효과를 검증하지 못했다

Ⅱ 개정 교육과정에서 명시된

수학Ⅰ 교육의 목표

1 수학Ⅰ교육의 목표

교육인 자원부에 고시된 개정 교육과정([2])에서의 고등학교 수학Ⅰ과정

교육목표는 다음과 같다

1)성 격

lsquo수학 Ⅰrsquo의 학습을 통하여 수학 개념 원리 법칙을 이해하고 수학 사

고 능력을 키워 합리 이고 창의 으로 문제를 해결하는 능력과 태도를 기

를 수 있다

lsquo수학 Ⅰrsquo의 교수학습에서는 고등학교 1학년까지의 수학에서 습득한 수학

개념 원리 법칙을 토 로 하여 새로운 개념에 근해야 하므로 기본

인 수학 지식을 확인하고 활용하면서 발 인 학습이 이루어지도록 한

다 이 과정에서 여러 가지 상을 수학 으로 해석하고 조직하는 활동 구

체 인 사실에서 진 으로 추상화로 나아가는 과정 직 이나 구체 인

조작 활동에 바탕을 둔 통찰 등의 수학 경험을 통하여 형식이나 계를

발견하는 것이 요하다 한 수학 문제를 해결하는 과정에서 문제를 명

확히 이해하고 합리 인 해결 계획을 세워 실행하며 반성을 통하여 풀이 과

정을 검하고 다양하게 활용하는 능력을 기르도록 한다 수학 지식과 기

능을 활용하여 여러 가지 문제를 해결해 으로써 수학의 필요성과 유용성

을 인식하고 수학 학습의 즐거움을 경험해 으로써 수학에 한 정 인

태도를 갖게 한다

역 내 용

행렬과 그래

행렬과 그 연산

연립일차방정식과 행렬

그래 와 행렬

지수함수와 로그함수

지수

지수함수와 그 그래

지수방정식과 지수부등식

로그

2) 목 표

수학 개념 원리 법칙을 이해하고 수학 으로 사고하고 의사소통하는

능력을 신장하여 여러 가지 문제를 합리 이고 창의 으로 해결하며 수학

의 실용성을 인식하여 수학에 한 정 태도를 갖는다

(1) 수학Ⅰ의 학습을 통해 얻는 여러 가지 장

(가) 행렬과 그래 지수함수와 로그함수 수열 수열의 극한에 련된 개

념 원리 법칙과 이들 사이의 계를 이해하고 이를 활용하는 능력을 기른

다 여러 가지 상을 찰 분석 조직하여 수학 으로 나타내는 능력을 기

른다

(나) 수학을 통하여 여러 가지 문제를 합리 으로 해결하는 능력과 수학

으로 사고하고 의사소통하는 능력을 기른다

(다) 수학의 가치를 이해하여 수학에 한 심과 흥미를 지속 으로 가지

며 수학에 한 정 태도를 기른다

3) 내 용

⑴ 내용체계

로그함수와 그 그래

로그방정식과 로그부등식

수열

등차수열과 등비수열

여러 가지 수열

수학 귀납법

알고리즘과 순서도

수열의 극한무한수열의 극한

무한 수

[표1 수학Ⅰ교과서 내용체계]

4) 평 가

(1) 평가

(가) 수학 학습의 평가는 학생의 인지 역과 정의 역에 한 유용한

정보를 제공하여 학생 개개인의 수학 학습과 인 인 성장을 돕고 교사의

교수 활동과 수업 방법을 개선하는 데 활용한다

(나) 수학 학습의 평가에서는 학생의 인지 발달 수 을 고려하고 교육과정에

제시된 내용의 수 과 범 를 수한다

(다) 수학 학습의 평가는 수업의 개 과정에 따라 진단 평가 형성 평가 총

평가 등의 한 평가 방식을 택하여 실시하되 지속 인 평가를 통하여

다양한 정보를 수집하고 수업에 활용한다

(라) 수학 학습의 평가에서는 획일 인 방법을 지양하고 지필 평가 찰 면

담 자기 평가 등의 다양한 평가 방법을 통해 수학 교수ㆍ학습을 향상시킬

수 있게 한다

(마) 인지 역에 한 평가에서는 학생의 수학 사고력 신장을 하여 결

과뿐만 아니라 과정도 시하여 평가하되 수학의 교수학습에서 반 으

교과서 학습목표

한교과서

(주)

등차수열 등비수열의 뜻을 알고 일반항 첫째항부터 제 n항까지

의 합을 구할 수 있다

sum의 뜻과 성질을 이해하고 이를 활용하여 여러 가지 수열에

한 문제를 해결할 수 있다

수학 귀납법의 원리를 이해하고 이를 활용하여 자연수 n에

하여 참인 명제를 증명할 수 있다

알고리즘과 순서도의 뜻을 알고 간단한 문제 해결을 한 알고

리즘을 작성하여 순서도를 만들 수 있다

(주) 천재교육

등차수열과 등비수열의 뜻을 알고 일반항과 첫째항부터 제 n항

까지의 합을 구할 수 있다

기호 sum의 뜻과 성질을 이해하고 이를 활용할 수 있다

여러 가지 수열의 일반항과 첫째항부터 제 n항까지의 합을 구

할 수 있다

여러 가지 수열에 한 문제를 해결할 수 있다

수학 귀납법의 원리를 이해하고 이를 이용하여 자연수 n에

하여 참인 명제를 증명할 수 있다

로 요구되는 사항을 강조한다

(바) 정의 역에 한 평가에서는 학생의 수학에 한 정 태도를 신장

시키기 하여 학생의 수학에 한 바람직한 가치 이나 수학 학습에 한

심 흥미 자신감 등의 정도를 악한다

(사) 수학 학습의 평가에서는 평가하는 학습 내용에 따라 학생에게 계산기

컴퓨터와 같은 공학 도구와 다양한 교구를 이용할 수 있는 기회를 제공할

수 있다

2 고등학교 수학 1 수열단원의 학습목표

수학 Ⅰ교과서에서의 수열단원의 학습목표를 5종 교과서를 비교하여 살펴

보고자한다 임의로 선택된 5종 교과서([5][8][12][13][14])의 학습목표는

다음과 같다

알고리즘과 순서도의 뜻을 알고 그 필요성을 이해할 수 있다

간단한 문제 해결을 한 알고리즘을 작성하여 순서도를 만들

수 있다

앙교육진흥

연구소

수열을 이해하고 이를 활용하여 여러 가지 문제를 해결할 수 있

다

수학 귀납법의 원리를 이해하고 이것을 이용하여 자연수 n에

하여 참인 명제를 증명할 수 있다

알고리즘과 순서도의 뜻을 알고 간단한 문제 해결에 사용할 수

있다

(주) 고려출

등차수열의 뜻을 알고일반항 첫째항부터 제 항까지의 합을 구

할 수 있다

등비수열의 뜻을 알고일반항 첫째항부터 제 항까지의 합을 구

할 수 있다

sum의 뜻과 성질을 이해하고 이를 활용할 수 있다

여러 가지 수열의 일반항 첫째항부터 제 항까지의 합을 구할

수 있다

여러 가지 수열에 한 문제를 해결할 수 있다

수학 귀납법의 원리를 성명하고 수학 귀납법을 이용하여 자연

수 에 하여 참인 명제를 증명할 수 있다

알고리즘과 순서도의 뜻을 알고 그 필요성을 알 수 있고 간단

한 문제 해결을 한 알고리즘을 작성하여 순서도를 만들 수 있다

(주) 두산

등차수열과 등비수열의 뜻을 알고 일반항과 그 합을 구할 수 있

다

기호sum의 뜻과 성질을 이해하고 이를 이용하여 여러 가지 수열

에 한 문제를 해결할 수 있다

수학 귀납법의 원리를 이해하고 이를 이용하여 자연수 에

하여 참인 명제를 증명할 수 있다

알고리즘과 순서도의 뜻을 알고 간단한 문제 해결을 한 알고

리즘을 작성하여 순서도를 만들 수 있다

[표2 5종 교과서 수학 Ⅰ 수열 단원의 학습목표]

Ⅲ 수열의 역사 배경 응용

1 수열의 역사

수학의 역사에서 가장 흥미로운 수열 하나가 피보나치수열이다 피보나

치수열은 수학이론 뿐만 아니라 자연계 건축 술 등에 다양하게 표 된

다

그 에 오나르도가 발표한《산반서》에 소개된 피보나치수열에 한 문

제는 다음과 같다 ([6]) ldquo어떤 사람이 토끼 한 을 우리에 넣었다 이 토

끼 한 은 한 달에 새로운 토끼 한 을 낳고 낳은 토끼들도 한 달이 지

나면 다시 한 의 토끼를 낳는다 그 다면 1년이 지나면 몇 의 토끼가

있을까rdquo

첫 달엔 처음에 있던 토끼 한 만 있다 두 번째 달이 되면 토끼 한 을

낳아 두 의 토끼가 된다 세 번째 달이 되면 처음에 있던 토끼 한 이

한 의 토끼를 낳아 세 의 토끼가 된다 네 번째 달이 되면 첫

달과 두 번째 달의 토끼 두 이 각 한 의 토끼를 낳아 총 다섯 의

토끼가 있게 된다 이런 식으로 토끼를 낳아가면 그 수는 다음과 같은 규

칙을 갖는다 　　　　　　　　　　 이런 규칙을 갖는 피보나치수열의

일반항을 이라고 하면 　 　 　 　 가 된다

그런데 이 수열을 자연에서도 쉽게 찾아볼 수 있다 식물의 기에서 뻗어

나온 잎을 생각해 보면 기의 에 있는 잎 하나에서 수직으로 에 있

는 잎까지 도달할 때까지 기를 따라 올라가면서 잎의 개수를 세면 그

수들은 일반 으로 피보나치수열을 이룬다

[그림1 피보나치수열]

2 수열 단원이 실생활에 응용된 사례

1) 하노이의 탑

인도 갠지스 강 유역 라만교의 사원에 있었던 하노이의 탑은 라만

탑이라고도 부르는데 이 탑에 얽힌 문제의 내용은 다음과 같다 다음은

([10])의 내용을 참고하 다

[베나 스에는 세계의 심이 있고 그 곳에는 아주 큰 사원이 있으며 이

사원에는 높이 정도 되는 다이아몬드 바늘 3개가 있다 그 에서 한

바늘에는 천지 창조 때에 신이 구멍이 뚫린 64장의 순 으로 된 원 을 크

기가 큰 것부터 아래에 놓이도록 하여 차례로 쌓아 놓았다 그리고 신은

승려들에게 밤낮으로 쉬지 않고 원 을 한 장씩 옮겨 빈 다이아몬드 바늘

어느 한 곳으로 모두 옮겨 놓도록 명령하 다

ldquo원 은 한 번에 한 개씩만 옮겨야 하고 로 작은 원 에 큰 원

을 올려놓을 수 없다 단 64개의 원 의 크기는 모두 다르다 이 말을 충

실히 실행하고 한 순간도 게을리 하지 마라 만일 게을리 하는 일이 있으

면 그 때는 이 사원도 탑도 모두 무 지고 세계는 종말을 고하게 된다 게

을리 하는 일이 없으면 그 들이 원 을 부 옮길 때까지 세상은 태평할

것이다rdquo]

승려들은 과제를 수행하기 해 밤낮으로 매우 열심히 작업을 했다 그 작

업을 끝내기 해서 승려들은 몇 번을 움직여야 하고 얼마나 많은 시간을

사용해야만 했을까

[그림2 하노이의 탑]

원 이 1개가 있으면 최소 이동 횟수는 1번 원 이 2개가 있을 때 최소

이동 횟수는 3번이고 원 이 3개가 있으면 최소 이동 횟수는 7번이다

원 이 4개가 있으면 최소 이동 횟수는 15번이다 이런 식으로 계속 해나

가다 보면 　　　　　　　 라는 수열을 얻는다 이것은 각 항의 차이가

계차수열을 이루는데 이것은 다음과 같다 　　　　　　일반항을 으로 두

고 구해보면 　 　times 　 　 이다 처음 값을 으로 두고 일반항을

구해보면 　

이 된다

만약 그 설 로 따라가서 수도승들이 쉬지 않고 디스크를 1 에 한번

씩 옮겼다면 최소의 이동횟수는 이 되고 18446744073709551616

가 걸리고 략 5854억4200만년이 필요하다는 것을 알 수 있다

원 이자 원리합계(=원 +이자)

1년 원 원 원

2년 원 원 원

3년 원 원 원

년 원 100원 원

2) 등차수열의 응용

(1) 단리법

단리법은 처음 원 의 이자에 해당하는 비율만큼 계속 되는 계산법이

다 1000원을 했다면 1년이 지날 때마다 10 의 이자가 붙는다고 하

자 1년이 지났을 때 10 의 이자가 붙으면 100원 불어나므로 1000 +

1000 times 01 = 1100(원) 이다 그리고 1년2년 년이 지날 때 마다

값을 측정해보면 다음과 같다

[표3 단리법]

최종 으로 원 을 라 하고 연이율을 이라고 한다면

결국 년이 되었을 때 단리법으로 표 하면 그 때의 총 합 는

이 된다

3) 등비수열의 응용

(1) 복리법

복리법은 원 에 이자가 된 원리합계를 기 으로 이자를 계산하는 방

법이다 원을 했다면 1년이 지날 때마다 의 이자가 붙는다고

원 이자원리합계

(=원 +이자)

1년 원 원 원

2년 원 원 원

3년 원 원 원

년 원 times원 원

하자 1년이 지났을 때 의 이자가 붙으면 원 불어나므로

times (원) 이다 그리고 1년2년 년이 지날 때 마

다 값을 측정해보면 다음과 같다

[표4 복리법]

최종 으로 원 을 라 하고 연이율을 이라고 한다면

따라서 년이 지나면 이 된다 그때의 총 합 는 이

다

4) 황 비율

에서 언 했던 피보나치수열 　　　　　　　　　　에서 번째 항

을 번째 항으로 나 어 보자

　 　

　 　

　 　

　 　

　 　

　 　 이런 식으로 계속 해나가다 보면

이 수가 061803 에 근사하게 된다 고 그리스인들은 이 수에 lsquo황 비

율rsquo라는 이름을 붙 다 이것은 인간이 보기에 가장 아름다운 비율이라 하

여 여러 분야에서 사용되고 있다

(1) 황 비의 이용

약 100년 페히 라는 독일의 심리학자는 수백 명의 사람들에게 여러

종류의 직사각형을 보여 다음 마음에 드는 것을 선택하게 하는 실험을

했다 그런데 그 결과 부분의 사람이 황 직사각형을 선택했다고 발표했

다 ([6])

실험에 의하면 황 비는 사람들이 가장 편안하고 아름답게 느끼는 비율로

알려져 있으며 이런 이유 때문에 옛 부터 건축과 미술 음악 등에서 자주

이용되어 왔다

(가) 건축

기원 2000년경의 이집트 《린드 피루스》에 보면 기원 4700년에 기

자의 피라미드를 건설할 때 이 수를 lsquo신성한 비율rsquo로 사용했다고 한다

의 측량 기술로 측정해보니 피라미드 의 심에서 의 모서리까지

그리고 경사면까지 거의 정확하게 0618이었다 ([6])

피라미드는 인류역사를 통해서 사람들을 가장 매료시켜온 건축물 의 하

나이다 그 규모의 장 함에서도 사람을 압도하는 것이 있지만 그 형태 자

체가 고도한 수학을 배경으로 한 것으로서 우리가 알고 있는 5천년 의 지

식수 으로서는 불가사의한 것 의 하나이다

[그림3 피라미드 황 비]

(나) 음악에서의 활용

음악에서 한 옥타 는 [도 미 솔 라 시 도] 의 8음계로 이루어져 있

다 피아노의 건반은 한 옥타 를 13개의 음으로 나 어 표 하고 있으며

이 하얀 건반이 8개 검은 건반이 5개 있고 하얀 건반은 3개와 5개 검

은 건반은 2개와 3개로 구분되어 있다 여기에서 나타나는 2 3 5 8 13

은 에서 보인 피보나치수열이다

[그림4 피아노건반황 비율]

(2) 인체에서의 황 비율

황 분할은 우리의 인체 속에서도 찾아볼 수 있다 인간의 신체가 이 비율

에 의해서 분할되어 있으며 이것이 아름다운 몸의 보편 기 이 되고 있

다 아래 그림은 Le Corbusier가 찾아낸 이상 인간의 각 신체부 의 비율

이다 이것은 오나르도 다빈치의 인체비율에 한 그림에서도 찾아 볼

수 있다 이 뿐만 아니라 인체의 각 부 들도 그 자체 황 분할을 이루

고 있다

[그림5 인체 황 비율]

앞에서 제시한 황 비율을 사용한 시들 이외에도 우리 주변에 아주 많

이 있다

교과서 차례

한교과서(주)

Ⅳ 수열

1 등차수열과 등비수열

2 여러 가지 수열

3 수학 귀납법

4 알고리즘과 순서도

(주) 천재교육

Ⅲ 수열

1 등차수열과 등비수열

2 여러 가지 수열

3 수학 귀납법

4 알고리즘과 순서도

Ⅳ 고등학교 수학교육과정에서의 수열

1 수학Ⅰ 교과서 분석

고등학교 2학년이 학습하는 lsquo수학 Ⅰrsquo은 국민 공통 기본 교육 기간의 10단계

수학을 이수한 학생들이 보다 문 인 진로를 고려하고 보다 높은 수 의

수학을 학습하기 해 설정된 심화 선택 과목이며 lsquo수학 Ⅱrsquo를 학습하기 한

단계이다 lsquo수학 Ⅰrsquo의 내용은 수 역에서 지수와 로그 행렬 수열이

실려있고 해석 역에서 수열의 극한 지수로그 함수가 수록되어 있으며

확률과 통계 역에서 순열과 조합 확률 통계 등으로 구성되어 있다 특히

수 역에 해당하는 수열은 여러 가지 수열에 한 성질을 이해하고 그것

을 일반화 하는 과정에 을 두어 지도하도록 하고 있으며 계차수열은 등

차수열이나 등비수열이 되는 경우만 다룬다 ([2])

1) 수학 Ⅰ 5종 교과서의 차례 단원 배열

앙교육진흥연구소

Ⅲ 수열

1 등차수열과 등비수열

2 여러 가지 수열

3 수학 귀납법

4 알고리즘과 순서도

(주) 고려출

Ⅲ 수열

1 등차수열과 등비수열

2 여러 가지 수열

3 수학 귀납법과 순서도

(주) 두산

Ⅲ 수열

1 등차수열과 등비수열

2 여러 가지 수열

3 수학 귀납법

4 알고리즘과 순서도

[표5 수학 Ⅰ 5종교과서의 차례]

의 표에서 본 것과 같이 임의로 선택된 5종의 고등학교 수학 Ⅰ 교과서의

차례는 거의 비슷한 양상을 보 다 부분의 교과서에선 1단원 지수와 로

그 2단원 행렬 3단원 수열 순의 순서를 보 고 한교과서외의 몇몇

교과서에선 1단원 지수와 로그 2단원 지수로그함수 3단원 행렬 4단원 수

열 순의 순서를 보 다 수열단원의 세부 단원 차례는 1 등차수열과

등비수열 2 여러 가지 수열 3 수학 귀납법 4 알고리즘과 순서도 는

34 단원을 한 단원으로 해서 3 수학 귀납법과 순서도의 순서로 다루는

은 비슷했다

2) 교과서에 제시된 수열 련 자료

한교과서

(주)

피타고라스(Pythagoras 572～492 BC) 피타고라스의 정리

로 잘 알려져 있고 소수나 완 수의 규칙성에 해서도 많은 연

구를 하 다

바스카라(Bhaskara A 1114～1185) 인도의 수학자로

임을 증명하 고 피타고라스의 정리를 기하학

으로 증명하 다

피보나치(Fibonacci 1180～1250) 이탈리아의 수학자로 자연

속에서 많이 볼 수 있는 피보나치 수열을 발견하 다

스칼(Pascal B 1623～1662 ) 랑스의 수학자로 수학

귀납법을 발견하 고 사 기하학을 창시하 다

푸리에(Fourier J B J 1768～1830) 랑스의 수학자로 음양

학 학 기역학 열역학 등의 연구에 매우 요한 푸리에

수를 연구하 다

가우스(Gauss K F 1777～1855) 수학 통계학 등의 다방

면에 많은 업 을 이루었고 역사상 가장 한 수학자 의 한

사람으로 불리워지고 있다

비주얼 베이직(Visual BASIC)

을 이용한 Programming

하노이의 탑

(주)

천재교육

가우스(Gauss K F 1777～1855) 독일의 수학자인 가우스는

수학의 각 방면에 많은 업 을 남겨 수학의 아버지라 일컬

어지고 있다 그는 계산의 천재로 알려져 있는데 이에 한 유명

한 일화가 있다 등학교 때 부터 까지의 합을 구하는 문

제에서 다른 학생들이 직 하나하나 계산하는 동안 가우스는

　 　 　　　　 이 모두 임을 이용하여

times 이라는 답을 이끌어 내었다 이러한 방식은 수열

의 합을 계산할 때 사용하는 방식 의 하나이다

하노이의 탑을 이용한 수열의 귀납 정의

임의로 선택된 5종 교과서들의 수열단원에서 학생들의 수열 단원의 이해를

돕기 해 수록된 수학자들에 한 설명과 기타 자료들은 다음과 같다

도미노 이론 - 수학 귀납법의 다른 표

피보나치수열 - 토끼 수 증가 문제

앙교육

진흥연구소

삼각수 사각수 문제

피보나치(Fibonacci 1180～1250)

가우스(Gauss K F 1777～1855)

음악과 수학 - 작곡가 바흐(Bach)의 요 업 으로 평균율을

들 수 있다 평균율이란 1옥타 즉 lsquo도rsquo와 lsquo도rsquo의 사이를 개의

반음으로 나 고 처음 lsquo도rsquo의 진동수를 이라 하면 그에 일정한

수를 더해 제곱하여 옥타 의 lsquo도rsquo의 진동수를 얻는 것을

말한다 수식으로는 로 나타낼 수 있고 이 등식을

만족하는 의 값이 평균율이다

(주)

고려출

티티우스-보데 수열 -

수열 　　　　　　　　의 각 항에 각각 를 더한 후

으로 나 수들을 나열한 것 　　　　　　　 를

티티우스-보데 수열이라 한다 이수열의 각 항은 태양에서 행성

까지의 실제 거리와 비슷한 것으로 1766년 티티우스(Titius)라는

독일의 천문학자가 발견하 다

제갈량의 군 에 한 을 통한 등비수열의 합

피보나치 수열

휴먼 로 - 휴먼 로 의 제작은 복잡한 여러 가지 알고리즘

과 순서도에 바탕을 두고 있다 알고리즘의 요성은 자계산기

이 부터 실제 으로 존재했다 그 로 최 공약수 계산에 한

유클리드의 알고리즘이 있다 한 가우스와 같은 부분의 수학

자들은 역사 으로 많은 양을 처리하는 효율 인 알고리즘에

심을 가졌다 이러한 알고리즘을 보다 효율 으로 이용하여 재

의 컴퓨터 시 를 구축했다

(주) 두산

피보나치(Fibonacci 1180～1250)는 이탈리아의 피사에서 태

어난 수학자이다 부친이 상업에 종사하 기 때문에 피보나치는

이집트 시칠리아 그리스 시리아 등 다양한 지역을 여행할 수

있었고 이 때 다양한 수학을 하게 되었다 1202년 피사로 돌아

온 피보나치는 「산반서(Liber abaci)」를 술하 다 1228년에

는 「산반서 2 」을 술하 는데 이 책에서 정수와 분수의 계

산 제곱근과 세제곱근 일차와 이차방정식의 풀이 등을 다루었다

고 한다 특히 이 책에 나오는 「피보나치의 수열」은 매우 흥미

로운 수열로 요한 성질을 많이 가지고 있다

1에서 100까지 자연수를 모두 합하면 얼마일까

가우스(Gauss KF 1777～1855) 가우스는 수론 해석학 확

률론 천문학 물리학 등 다양한 분야에 뛰어난 수학자이었다 특

히 그의 수론 연구는 19세기 수학 체계의 확립에 크게 공헌하

다

피타고라스(Pythagoras 572～492 BC) 피타고라스는 음의

높이에 따른 진동수의 비가 일정함을 발견하 다

페아노(Peano G 1858～1932) 자연수의 성질을 추상화 하여

페아노의 공리계를 만들었다 이 공리계의 제 5공리가 수학 귀

납법의 원리이다

피보나치의 수열

알콰리즈미(Alkhwarizmi 780～850) 알고리즘이란 말은 세

아라비아의 수학자 알콰리즈미의 이름에서 유래된 것으로서 그가

십진법으로 나타낸 수의 계산에 용한 계산 방법에서 나온것이

다

[표6 5종 교과서에 제시된 수열 련 자료]

2 수학 Ⅰ 교과서에서의 수열

등차수열의 일반항

첫째항이 공차가 인 등차수열의 일반항 은

본 연구자가 임의로 선택한 5종 교과서 ([5][8][12][13][14]) 에서의

수열의 내 을 정리해보았다

1) 등차 수열과 등비 수열

(1) 수열의 뜻

어떤 규칙에 따라 순서 로 수를 늘어놓은 것을 수열이라 하고 그 수열을

이루는 각각의 수를 그 수열의 항이라고 한다 수열의 각 항을

앞에서부터 순서 로 제 1항 제 2항 제 3항 제 항

이라고 한다 특히 제 1항은 첫째항이라고도 한다

(2) 등차수열의 뜻

첫째항에 차례로 일정한 수를 더하여 만들어진 수열을 등차수열 이라하고

더한 일정한 수를 공차라고 한다

첫째항이 공차가 인 등차수열 에서

이므로 일반항 은 다음과 같이 나타낼 수 있다

(3) 등차수열의 합

등차수열의 합

첫째항이 공차가 끝항이 인 등차수열의 첫째항부터 제 항까지의

합 은

첫째항이 공차가 등차수열 에서 첫째항 부터 제 항 까지의 합

을 토론하기의 방법을 이용하여 구해보자

　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　①

더하는 순서를 거꾸로 하면

　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　②

①②의 양변을 각각 더하면

　　

따라서 =

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　③

이때 제 항인 를 ③에 입하여 식을 다르게 나타낼수도

있다

이상을 정리하면 다음과 같다

(4) 수열의 합과 일반항

수열 에서 첫째항부터 제 항까지의 합을 이라 하면

ge 일때 　　

there4

수열의 합과 일반항의 계

수열 의 첫째항부터 제 항까지의 합을 이라 하면

(단 ge )

등비수열의 합

일때 이다

이상을 정리하면 다음과 같다

(5) 등비수열의 뜻

첫째항부터 시작하여 각 항의 바로 앞의 항에 일정한 수를 곱하여

만들어진 수열을 등비수열이라 하고 곱하는 일정한 수를 공비라고 한다

첫째항이 공비가 인 등비수열에서 첫째항부터 제 항까지의 합 은

다음과 같이 구한다

　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　①

①의 양변에 공비 을 곱하면

　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　②

①에서 ②를 같은 변끼리 빼면

따라서 ne 일때

인 경우 ①에서

　　

there4

이상을 정리하면 다음과 같다

첫째항이 공비가 인 등비수열의 첫째항부터 제 항까지의 합 은

① ne 일때

② 일때

자연수의 거듭제곱의 합

①

　　

②

　　

③

　　

2) 여러 가지 수열

(1) 합의 기호 sum

수열 에서 첫째항부터 제 항까지의 합

　　

을 일반항과 합의 기호 sum를 써서

　　

와 같이 나타낸다

이때

는 수열 의 일반항 의 에 　　　　　　을 차례로

입하여 얻은 항의 합으로 신 다른 문자를 사용하여

등과 같이 나타낼 수 있다

(2) 기호 sum 의 성질

합의 기호 sum 의 성질에 하여 알아보자

합의 기호 sum의 성질

①

(복부호동순)

②

(단 는 상수)

③

(단 는 상수)

　　

　　 　　

　　

마찬가지로

와

에 해서도 확인해 보면 sum 의 성질을

다음과 같이 정리할 수 있다

(3) 계차수열

일반 으로 수열 에서 이웃하는 두 항의 차

　　 을 일반항으로 하는 새로운 수열

　　　　　　　을 얻을 수 있는데 이 수열 을 원래의 수열 의

계차수열이라고 한다

수열 에 하여 그 계차수열을 이라 하면

　　

계차수열과 일반항

수열 의 계차수열을 이라 할때

(단 ge )

3) 수학 귀납법

(1) 수열의 귀납 정의

첫째항과 이웃하는 두 항 사이의 계식으로 수열을 정의하는 것을 수열의

귀납 정의 라고 한다

첫째항이 공차가 인 등차수열 은 다음이 성립한다

　ge 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　①

역으로 두 계식 ①이 주어지면 이 결정되고 차례로

가 결정된다 따라서 모든 자연수 에 하여 이 정해지므로 수열 이

정의 된다

①과 같이 의 값 과 의 계식을 화식이라고 한다

(2) 수학 귀납법

수학 귀납법은 이탈리아의 페아노에 의하여 설정된 자연수에 한 공리

수학 귀납법

자연수 에 한 명제 이 모든 자연수 에 하여 성립함을 증명하

려면 다음 ⅰ ⅱ 를 증명하면 된다

ⅰ 일때 명제 이 성립한다

ⅱ 일때 명제 이 성립한다고 가정하면 일때에도

명제 이 성립한다

다음과 같은 5번째 공리에 근거를 두고 있다

자연수의 집합 의 부분집합 가

ⅰ 　isin

ⅱ 　isin 이면 isin

(여기서 는 의 후자)

인 두 조건을 만족하면 이다

4) 알고리즘과 순서도

(1) 알고리즘과 순서도

어떤 문제를 해결하기 해서는 그 처리 순서를 정해야 하는데 이와 같이

문제 해결에 필요한 처리 과정의 순서를 단계 으로 정리한 것을 알고리즘

이라 하고 알고리즘을 알기 쉽게 기호를 써서 그림으로 나타낸 것을 순서도

라고 한다 일반 으로 어떤 문제를 해결하기 한 알고리즘은 여러 가지가

있을 수 있지만 정해진 유한번의 단계를 거치면 반드시 끝나야 하고 처리

과정의 순서가 명확해야 한다 한 순서도는 각 부분을 순서 계통 으로

나타냄으로써 작업 과정을 구나 쉽게 한 에 악할 수 있도록

작성되어야 한다 순서도는 다음과 같은 기호를 사용하여 작성한다

[표7 순서도의 기호]

(2) 알고리즘과 순서도의 작성

수열과 련된 순서도를 작성할 때에는 다음과 같은 방법을 고려한다

(가) 항수를 항을 수열의 합을 로 나타낸다

(나) 제시된 항의 번호까지 루 를 용한다

(다) 제시된 항의 번호에 하여 단 기호를 이용한다

(라) 구하려는 는 를 인쇄하고 끝낸다

주의환기

집 을

한 략

지각

주의환기의

략

시청각 효과의 사용

비일상 인 내용이나 사건 제시

주의 분산의 자극 지양

탐구

주의환기의

략

능동 반응 유도

문제해결 활동의 구상 장려

신비감의 제공

다양성의

략

간결하고 다양한 교수형태 사용

일방 교수와 상호작용 교수의 혼합

교수자료의 변화 추구

목표-내용-방법이 기능 으로 통합

련성

증진을

한

략

친 성의

략

친 한 인물 혹은 사건 활용

구체 이고 친숙한 그림 활용

친 한 문 배경 지식 활용

목 지향성

의 략

실용성에 을 둔 목표 제시

목 지향 인 학습형태 활용

Ⅴ 러의 ARCS 이론과 수열 지도

1 러의 ARCS 이론

1) ARCS 이론의 특징

(1) 이론 배경

다음은 ([4])의 내용을 참고하 다

ldquo말을 물가로 데리고 갈 수는 있지만 물을 먹일 수는 없다rdquo는 속담처럼

하고자 하는 마음이 없으면 학습 효과를 기 할 수 없는 것은 당연한 사실

이다 이러한 생각의 근거에는 동기 유발의 개념이 자리 잡고 있다 동기

유발이란 어떤 활동을 진 지시 유지하려는 내 상태 는 과정을

포함한다 이 개념은 교육 심리학의 심 개념 의 하나이지만 직 찰

할 수 없는 것이기 때문에 인간의 행동을 보고 거기에서 유출해 내는 개념

이며 이에 한 정의는 바라보는 과 강조하는 내용에 따라 각기 다르

다

(2) ARCS 이론

목 의 선택 가능성 부여

필요나

동기와의

부합성 강조의

략

다양한 수 의 목 제시

학업성취 여부의 기록체제 활용

비경쟁 학습상황의 선택가능

동 상호 학습상황 제시

자신감

수립을

한 략

학습의

필요조건

제시의 략

수업의 목표와 구조의 제시

평가기 피드백의 제시

선수학습 능력의 단

시험의 조건 확인

성공의 기회

제시의 략

쉬운 것에서 어려운 것으로 과제 제시

정수 의 난이도 유지

다양한 수 의 시작 제공

무작 의 다양한 사건 제시

다양한 수 의 난이도 제공

개인

조 감

증 의 략

학습의 끝을 조 할 수 있는 기회 제시

학습속도의 조 가능

원하는 부분에로의 재빠른 회귀 가능

선택가능하고 다양한 과제의 난이도제공

노력이나 능력에 성공 귀착

만족감

증 를

한 략

자연 결과

강조의 략

연습문제를 통한 용기회 제공

후속학습상황을 통한 용기회 제공

모의상황을 통한 용기회 제공

정 결과

강조의 략

한 강화 계획의 활용

의미 있는 강화의 강조

정답을 한 보상 강조

외 보상의 사려 깊은 사용

선택 보상체제 활용

공정성

강조의 략

수업목표와 내용의 일 성 유지

연습과 시험 내용이 일치

[표8 ARCS 략] ([1])

2 ARCS 이론을 용한 수열 수업 계획서

다음은 ([1])의 ARCS 이론의 수업계획서를 참고하여 수열 단원의 수업

계획서를 작성해보았다

수업내용개 동기 략개 기타의견1 수업 기

체 으로 교사는 다양한 방법으로 학습자들

에게 수업 내용을 제시하고 학습자들에게

한 언어를 사용한다

수열의 활용에

한 학습목표

제시하기

교사는 학습자들의 련성을 높이기 해 학습

목표의 의미를 설명해 다

도표는 큰 씨를 사

용하고 핵심이 되는

단어에는 다른 색깔을

사용한다

수열의 활용의

이 과 평가

거를 제시하기

교사는 학습자들의 련성과 자신감 만족감

을 높이기 하여 이 수업이 끝난 후 그들이

무엇을 할 수 있는지에 해 알려 다

교사는 학습자들의 자신감과 만족감을 높이기

하여 성공 인 학습성취를 단할 수 있는 객

인 거들을 알려 다

교사는 학습자들의 만족감을 높이기 하여

그들이 주어진 과제를 성공 으로 해결했을 때

그에 따르는 내재 강화나 외재 보상이 있음

을 알려 다

수열의 정의와

해법에 한 지

식을 간략하게

확인하기

교사는 선수학습과의 련성을 유발하기 하

여 간략한 보조도구(인쇄매체)를 사용하여 수열

의 정의와 해법을 제시한다

교사는 소집단 토론을 실시하여 학습자들의

선수지식을 스스로 검해 보도록 한다

교사는 수열의 정의와 해법을 잘 모르는 학습

자들에게 자신감을 유발시키기 하여 개별 인

학습목표를 세우도록 한다

소집단 구성에 있어

서 주의집 이 매우

낮은 5명을 하나의 소

집단으로 구성하고

친근한 소재를 활용하

여 그들의 주의집 과

련성을 유발한다

실생활과 련

된 수열의 활용

문제들을 몇 가

지 소개하기

교사는 학습자들의 주의집 을 유지하기 해

실생활에서 연립방정식을 활용하여 해결할 수

있는 몇 가지 문제들을 제시한다

주의집 이 매우 낮은 5명의 학습자들이 수업

에 극 인 심을 보이지 않으면 교사는 그

들에게 친근한 목소리로 이름을 부르면서 수업

에 집 하라고 얘기 하고 개인 인 심을 갖

고 있음을 나타낸다

로써 활용되는 문

제들을 선택할 때 학

습자들이 알고 있거

나 그들에게 친근감

을 주는 소재가 포함

되도록 선택한다 이

때 지나치게 자심감

이 높아서 수업에 소

극 으로 참여하는 3

명의 학습자들에게는

다소 복잡한 수열의

활용 문제를 미리 제

공하여 생각할 기회를

다

수열의 활용에

한 학습자들의

이해정도를 악

하고 피드백을

제공하기

교사는 학습자들에게 자신감을 높이기 하여

소집단을 구성하여 학습자들이 수열의 활용에

해 어느 정도 이해하고 있는지를 서로 토론하

도록 한다

교사는 소집단별로 둘러보면서 자신감과 만족

감을 유발시키기 하여 학습자들간에 서로 도

움을 주도록 분 기를 형성한다

소집단별로 간략하게 토론이 끝나면 학습자

들 스스로 정리하도록 한다

토론결과 학습자들이 수열의 활용에 해 잘

못 이해하고 있다면 교사는 즉각 으로 교정

피드백을 제공한다

학습자들의 소집단

토론시간을 무 길게

소요하지 않도록 한

다 자칫하면 토론분

기가 산만해지기 쉽

고 토론이 활발하지

못한 경우에는 학습자

들의 학습의욕이 떨어

진다

2 수업 반 체 으로 교사는 다양한 방법으로 학습자

들에게 수업 내용을

제시하고 학습자들에게 개별 인 언어를 사용

한다

실생활과 련

된 수열의 활용

의 문제들을 구

체 으로 제시하

기

교사는 학습자들의 주의집 련성 자신감

만족감을 유지하기 하여 게임을 실시한다 학

습자들이 돌아가면서 임의로 다른 학습자를 지

명하면 지명받은 학습자가 실생활과 련된 수

열의 문제를 하나 제시한다 한 문제를 제

시한 학습자에게 학습태도 수를 주어 만족감

을 향상시킨다

교사는 학습자들이 제시한 여러 가지 문제들

을 칠 에 은 후 몇몇 소집단을 구성하여

그 문제들을 해결하기 해 인스토 을 하

도록 한다 이때 교사는 문제를 해결한 학습자

가 아직 해결하지 못한 학습자들을 도와주어 자

신감과 만족감을 갖도록 한다

인스토 이 진행되는 동안 교사는 교실

을 둘러보면서 학습자들이 질문이나 의문사항

에 해 극 으로 질문할 수 있는 기회를 제

공하고 그에 해 개별 인 언어를 사용하여

부드러운 목소리로 피드백을 제공한다

인스토 도 학습자들의 개인 인 능

력차가 커서 문제를 해결하는데 어려움을 겪는

학습자들에게는 그들에게 합한 개별 인 학습

이때 교사는 밝고

생동감이 넘치는 목소

리로 학습자들의 활동

을 진시킨다

교사는 학습자들이

한 자신감을 유지

하고 있는지에 해

지속 인 심을 갖고

지켜본다

이때 교사는 학습자

들의 자신감과 만족감

을 높이기 하여 그

들에게 일 성 있는

피드백을 제공한다

교사는 학습자들이

목표를 다시 선정하도록 하여 자신감을 향상시

킨다

인스토 이 끝나면 교사는 소집단 별로

한 사람씩 자발 으로 나와 문제를 풀고 풀이

과정을 체 학습자들에게 설명하도록 한다 이

때 어려운 문제를 해결한 소집단이나 학습자에

게 교사는 그들의 우수한 능력을 인정하고 내

재 인 자존심에 정 인 향을 주는 칭찬을

제공하여 자신감과 만족감을 높인다

소집단의 인스토

을 하는 동안 체

으로 문제풀이를 할

때 주의집 을 유지

하고 자신감과 만족

감의 향상을 악하기

해 끊임없이 그들과

시선을 교류하고 얼

굴표정을 찰한다

3 수업마무리 체 으로 교사는 다양한 방법으로 학습자

들에게 수업 내용을 제시하고 학습자들에게 개

별 인 언어를 사용한다

실생활과 련

된 수열의 활용

에 해 체

으로 정리 요

약하기

교사는 교탁을 탁탁 치거나 박수를 쳐서 다

소 떨어진 학습자들의 주의집 을 향상 시킨다

교사는 실생활 속에서 수열을 활용하여 해결

할 수 있는 간단하고 재미있는 문제들을 2～3개

제시하여 학습자들이 그 문제를 성공 으로 해

결함으로써 자신감과 만족감을 갖도록 한다

교사는 학습자들이 미처 생각하지 못했던 실

생활 속에서 수열과 연 된 다양한 들을 제공

하여 주의집 과 련성을 유지향상시킨다

교사는 자신감과 만족감을 향상시키기 해

학습자들에게 수업진행 에 그들이 설정한 개

인 인 학습목표에 해 얼마나 많이 달성했는

가를 스스로 검해 보라고 한다

교사는 수업 반에 수열의 문제를 잘 해결하

지 못했던 학습자들에게 그 문제를 다시 해결해

보도록 기회를 제공하여 자신감과 만족감을 높

여 다

평가에 있어서 교사는 학습자들이 그들의 성

에 해 공정하게 평가되었다고 느끼도록 일

성 있게 평가하여 그들의 자신감고 만족감을

높여 다

교사는 수열과 실생

활과의 련성에 해

학습자들이 잘 지각하

고 있는가를 알아보기

해 다소 진지한 목

소리로 질문한다

다음 학습내용

에 해 간략히

소개하기

교사는 학습자들의 흥미를 유지하기 하여

다음 학습내용에 해 호기심에 찬 목소리로 간

략하게 소개하고 수업을 끝낸다

[표9 러의 ARCS이론]

단원

단

원Ⅲ 수열

배정시간

(분)50

단

원1 등차수열과 등비수열

차시 3소단

원3) 등차수열과 등비수열의 활용

학습

목표등차수열과 등비수열을 실생활의 문제에 용할 수 있다

학습

단계학습내용

교수-학습활동 지도상의유의사

항교사활동 학생활동

도

입

15

분

인사

출석

주변을 정리 정돈

하여 수업분 기를

조성한다

인사 출석체크

를 한다

주의를 환기시킨

후 학생들과 인사

한다

출결석 여부를

확인한다

바른 자세로 주

변을 정리한 뒤

교사와 인사한다

수업 비를 한

다

교사와 학생

모두 함께 수업

분 기를 조성한

다

선수

학습

확인

지난 시간에 학습

한 등차수열과 등비

수열의 정의에 해

다시 한번 확인해본

다

지난 시간에 학습

한 등차수열과 등비

수열의 일반항을 구

하는 방법에 해 확

인학습으로 [문제1]

과 [문제2]를 풀어본

다

학생들의 자신감

을 높이기 하여

등차수열과 등비수

열의 정의를 교과

서에서 찾아본 후

큰소리로 답하게

한다

학생들이 답한

후 다시 한번 등차

수열과 등비수열에

해 간단히 설명

등차수열과 등

비수열의 정의를

교과서에 찾아본

후 큰소리로 읽는

다

교사가 등차수

열과 등비수열의

정의에 해 다시

한번 간단히 설명

할 때 부족한 부

분은 필기하며 복

습한다

교사가 정의에

해 질문할 때

학생들이 모두

책을 찾아볼수

있게 주의를

다

만일 답하

지 못하는 학생

이 있을 경우 그

여기서 인스토 (brainstorming)이라고 하는 것은 갑자기 떠오르는 멋

진 생각을 종이에 는다든가 말로 표 해 본 후 로 기록하거나 기록된

문장을 정리정돈하면서 생각을 논리화하는 방법이다 주로 어떤 계획을 세

우고자 할 때 창조 이고 기발한 아이디어가 필요할 때 학생들의 의견과

생각을 끌어내어 발 시키고자 할 때 사용하면 유리하다 ([3])

3 ARCS 이론을 용한 수업지도안

[문제1]

다음 등차수열

의 일반항과 제20항

을 구하여라

　　　　　　　

[문제2]

다음 등비수열

의 일반항과 제8항을

구하여라

　 　　　　　

한다

교사는 [문제1]

과[문제2]를 제시

한 뒤 학생들에게

직 풀어보게 한

다

등차수열과 등

비수열의 일반항

과 그 공식의 유

도과정을 기억한

다

제시된 문제를

연습장에 풀어본

다

학생에 해 개

별 인 언어를

사용하여 부드러

운 목소리로 피

드백을 제공한

다

개

30

분

학습

목표

제시

수열의 활용에

한 학습목표를 제시

한다

학습목표 학습

에 필요한 자료를

Power point 시청

각 효과를 사용하여

학생들의 주의환기

집 을 한 략

을 사용한다

학습목표를 학생

들에게 읽게 하고

학생들의 련성을

높이기 해 학습

목표의 의미를 설

명해 다

교사의 지시에

따라 큰소리로 학

습목표를 읽고 이

수업이 끝난 후

무엇을 할 수 있

는지에 해 생각

해 본다

학습목표는 큰

씨를 사용하

고 핵심이 되는

단어에는 다른

색깔을 사용한

다

탐구

학습

실생활과 련된

수열의 활용문제들을

몇 가지 소개한다

수열의 활용에

한 학습자들의 이해

정도를 악하고 피

드백을 제공한다

등차수열과 등비

수열을 이용하여

실생활의 문제를

해결할 수 있음을

학생들이 쉽게 이

해할 수 있도록 설

명한다

교사가 실생활

과 련된 수열의

활용문제들을 몇

가지 소개할 때

다른 시가 있는

지 함께 생각해

본다

문제

제시

[문제3]

한일 월드컵 축구 개

회 연도는 2002년이

다 2002년 이후 월

드컵 축구가 개최되

는 연도를 차례로 써

보고 이 규칙 로 월

드컵 축구가 개최되

면 2100년은 월드컵

축구가 개최되는 연

도인가

교과서에서 수열

단원의 수열의 활

용부분에 수록된

문제들을 풀어볼

수 있도록 시간을

다

등차수열과 등

비수열의 일반항

유도 공식을 생각

해보고 제시된 문

제를 해결해 간다

로써 활용되

는 문제를 선택

할 때 학습자들

이 알고 있거나

그들에게 친근감

을 주는 련성

증진을 한

략을 사용한다

[문제4]

컴퓨터의 주기억 장

치인 램은용

으로

용으로 가 개발

되었다 이후 램의

용 량 은

로 증가되어 왔다

의 램으로부터

번 증가된 주 메모

리는 식으로 어떻게

나타낼 수 있는가

학생들이 문제를

어렵게 느끼지 않

도록 어떤 방향으

로 해결해야 하는

지 힌트를 주어 학

생들의 자신감을

증진시킨다

소집

단

활동

5～6명으로 이 진

소집단을 구성하여

학습자들이 수열의

활용에 해 어느 정

도 이해하고 있는지

를 서로 토론하도록

한다

소집단별로 실생활

과 련된 수열의 활

용의 문제들을 구체

으로 제시한다

인 스토 이

끝나면 소집단별로

한사람씩 문제를 풀

고 풀이과정을 체

학생들에게 설명하는

시간을 갖는다

교사는 학생들의

만족감을 높이기

하여 그들이 주

어진 과제를 성공

으로 해결했을

때 그에 따르는

내재 강화나 외

재 보상이 있음

을 알려 다

어려운 문제를

해결한 소집단이나

학생에게 교사는

그들의 우수한 능

력을 인정하고 내

재 인 자존심에

정 인 향을

주는 칭찬을 제공

하여 자신감과 만

족감을 높인다

자신이 속한 소

집단 내에서 제시

된 과제에 해

열심히 토의를 하

며 문제를 해결한

학생이 아직 해결

하지 못한 학생들

을 도와주어 자신

감과 만족감을 갖

도록 한다

소집단별로 간

략하게 토론이 끝

나면 학생들 스스

로 정리해보고 자

발 으로 체 학

생들에게 설명해

보는 기회를 갖는

다

교사는 학습자

들이 한 자

신감을 유지하고

있는지에 해

지속 인 심을

갖고 지켜본다

학생들의 소집

단 토론시간을

무 길게 소요

하지 않도록 한

다

형성

평가

[문제4]

민수는 남 문의 기

와 지붕 한쪽 면이

사다리꼴 모양임을

찰하고 이 면에 있

는 기와의 개수를 알

아보고자 한다 기와

형 성 평 가 를

Power point로 제

시하고 학생들이

스스로 풀어볼 수

있도록 지도한다

학생들이 문제를

다 풀고 나면 교사

제시된 문제를

오늘 학습한 내용

을 복습하면서 풀

어보도록 한다

교사는 다소

진지한 목소리로

질문한다

의 개수를 행으로 세

었더니 용마루 쪽에

가장 가까운 행에는

40개 처마 쪽에 가

장 가까운 행에는 72

개 다 용마루부터

처마까지 행의 개수

가 17이라고 할 때

민수가 찰한 지붕

한쪽 면의 기와의 개

수는 모두 몇 개인

가

는 학생들에게

답할수 있도록 하

고 학생들이 학습

목표에 해 얼마

나 많이 달성했는

가를 스스로 검

해 보라고 한다

형성평가의 답

을 교사의 질문에

끝난 뒤 큰소리로

답하여 자신감

과 만족감을 갖도

록 한다

학생들에게 개

별 인 언어를

사용한다

정

리

5

분

학습

정리

차시

고

학습 자료를 이용

하여 수열의 실생활

의 활용 단원의 수업

내용을 확인한다

과제를 제시한다

다음 차시인 「여

러 가지 수열」 단원

에 한 고를 한

다

수업 내용을 정

리하고 과제를 제

시한다

학생들의 흥미를

유지하기 하여

다음 학습내용에

해 호기심에 찬

목소리로 간략하게

소개하고 수업을

끝낸다

오늘 학습한 내

용을 정리한다

과제를 고 과

제 해결에 한

내용을 머릿속에

형성해 본다

다음 차시에 배

울 내용을 학습

자료 화면으로 확

인해본다

수업내용에

해 학생과 교사

모두가 만족하고

있는지 확인하고

공정한 평가를

한다

[표10 수업지도안]

4 조사 문제지 분석

고등학교 수학 Ⅰ 의 수열단원의 효율 인 지도방안의 연구를 하여 원

종고등학교 2학년 학생 100명을 상으로 조사 문제지 조사를 하 다 학

생들의 수학에 한 심과 수학에서 가장 어려워하는 부분을 알아볼 수

있었고 어떤 방식의 수업을 선호하는지도 알아볼 수 있었다

⑴ 수학에 얼마나 심이 있나요

① 매우 많다 ② 많다 ③ 보통이다 ④ 다 ⑤ 매우 다

수학과목에 매우 많은 심을 보이는 학생은 2로 매우 낮은 편이며

심이 있는 학생은 43로 학생의 반정도 다 수학과목에 심이 거

나 없는 학생은 54정도로 수학은 어려운 과목이라는 인식 때문에 심

이 은 것 같다

수학을 공부하는 가장 큰 이유에는75의 학생들이 학입시를 해서라

는 문항을 선택했다 기타 이유에는 교과서에 있어서 어쩔수 없이 한다

는 학생과 진리탐구를 해서라는 학생도 있었다

[그림6 조사문제지

(1)번 막 그래 ]

⑵ 수학을 공부하는 가장 큰 이유가 뭐라고 생각하나요

① 학입시를 해서

② 평소 수학에 흥미가 있어서

③ 실제 생활에 쓰기 해서

④ 주변에서 해야한다고 하니까

⑤ 기타 이유 (이유를 간단히 어주세요)

앞에 (1)번문항에서 수학에 심이 은 학생이 반 정도인것에 반해

수학공부가 필요하다고 느낀학생이 75정도로 수학공부가 필요하단건

느끼지만 어려운 과목이라는 인식이 부분인것 같다 수학과목도 재

는 과목이란 인식을 학생들이 가질수 있도록 노력해야겠다

[그림7 조사문제지

(2)번 막 그래 ]

⑶ 수학공부의 필요성에 해 어떻게 생각하나요

① 매우 필요하다 ② 조 필요하다 ③ 보통이다

④ 필요 없다 ⑤ 필요 없다

[그림8 조사문제지

(3)번 막 그래 ]

⑷ 수학을 공부하면서 가장 어려운 부분은 무엇이나요

① 복잡한 계산 과정 ② 외워야할 많은 공식들

③ 응용문제엔 어떤 공식을 용해야할지 ④ 다 어렵다

학생들이 수학과목이 어렵다고 느끼는 이유는 응용문제에 어떤 공식을

용해야 하는지를 몰라서 라는 답이 58로 가장 많았다 그 외에도

계산과정이 복잡하거나 외워야할 공식들이 많아서라는 답도 있었다

이해 주의 수업을 하고 단순한 공식의 암기 주의 수업을 탈피해야겠

다

수학수업을 하는데 효과 인 방법에는 선생님 주의 강의식 수업과 학

생 개인별 수업이 78로 가장 많았다 개념이나 공식유도과정을 설명할

땐 서를 하며 강의식 수업을 하고 문제풀이땐 학생들 개인별로 첨삭

지도를 하는게 효율 인것 같다

⑤ 기타이유 (이유를 간단히 어주세요)

[그림9 조사문제지

(4)번 막 그래 ]

⑸ 수학 수업을 하는 데 어떤 방법이 가장 효과 이라고 생각하나요

① 선생님 주의 강의식 수업

② 학생 개인별 수업

③ 모둠별 활동 수업

④ 기타 교재나 과제를 통한 수업

⑤ 기타(이유를 간단히 어주세요)

[그림10 조사문제지

(5)번 막 그래 ]

Ⅵ 결론

본 논문에서 지 까지 고등학교 2학년 학생들이 수학 Ⅰ 교육과정을 학습하

는데 가장 어려워하는 수열에 해 살펴보았다 먼 개정 교육과정에 명시

된 수학교육의 목표와 임의로 선택된 5종 교과서에서 수열 단원의 학습목표

를 살펴보았고 수열의 역사 배경과 실생활에 응용된 들을 정리해보았

다 한 5종 교과서에서 제시되어 있는 수열의 학습내용을 소단원 별로 정

리해보았다 임의로 선택된 5종 교과서안의 수열의 학습내용을 분석해보면

서 몇 몇 교과서에서 여러 가지 수열 단원에서 군 수열과 멱 수에 한 언

이 없거나 미약함을 알 수 있었다 본 연구자가 보기에 군 수열과 멱 수

부분은 실생활에 활용될 는 극히 작아 보이지만 학생들이 꼭 학습하고 넘

어가야 수열에 한 완벽한 학습이 될 수 있을 것이라 여겼는데 교과서에서

제시된 내용들로는 학생들이 충분히 이해할 수 없을 것 같았다

그리고 교과서에 제시된 문항의 수 이 입시와 동 떨어진다는 문제 이 있

었다 교과서에 제시된 문제가 부족하고 수 이 낮다 보니 실제로 학교에서

수업 때 보충 린트 물로 수업을 진행하고 간기말고사 때에도 교과서

외에서 많은 문제를 출제하는 모습을 볼 수 있었다 때문에 학생들이 교과서

보다는 문제집 주의 공부를 할 수 밖에 없는 듯 보 다 교과서가 학생들

과 교사의 요구에 부합할 수 있도록 새로운 내용들과 문제를 싣도록 해야

할 것이다

학생들이 수열 단원의 학습을 할 때 좀 더 효과 인 학습이 될 수 있도록

리의 동기설계이론 (ARCS 이론) 을 바탕으로 하여 수업 계획서와 1차시

의 수업 지도안을 작성해 보았다 한 작성한 수업 지도안으로 부천시 소재

의 한 고등학교에서 실제 수업을 진행해 보았을 때 학생들이 좀 더 수열에

해 친숙하게 느끼고 쉽게 이해하는 모습을 볼 수 있었다 본 연구자가

직 교사가 아니라 여러 반을 상으로 수열 단원의 모든 차시 수업에 용

하여 수업을 해볼 수 없었단 이 아쉬움으로 남는다

이와 같이 학생들의 주의 련성자신감만족감 증진을 한 수업을 함

으로써 학생들의 수학 학습 성취도의 향상을 기 할 수 있을 것이다 한

개발된 자료를 실제 수업에 용하는 경우의 효율성에 한 후속 연구가 체

계 이고 지속 으로 이루어져야 할 것이다

참 고 문 헌

[1] 구평회 META 구평회 교육학 2007

[2] 교육인 자원부 고시 제2007 - 79호[별책8] 2007

[3] 박인학 교사를 한 교수학습방법론 문사 1995

[4] 변 계 교수학습 이론의 이해 학지사 1999

[5] 우정호 외 5인 고등학교 수학 Ⅰ 한교과서(주) 2002

[6] 이 연 자연의 수학 열쇠 피보나치수열 로네시스 2006

[7] 이진화 지수로그함수의 지도에 한 연구 서강 학교 교육 학원 석사 학

논문 2006

[8] 임재훈 외 10인 고등학교 수학 Ⅰ (주)두산 2002

[9] 장 숙 고등학교 수학 Ⅰ 교과서의 통계단원 분석 실생활에의 용 경희

학교 교육 학원 석사 학 논문 2006

[10] 조해식 행렬 수열 수업에서의 수학사 도입에 한 연구 울산 학교 석사

학 논문 1998

[11] 차 자 수열 학습의 흥미 유발을 한 자료 연구 경성 학교 교육 학원 석

사 학 논문 2004

[12] 최 외 5인 고등학교 수학 Ⅰ 앙교육진흥연구소 2006

[13] 최상기 외 5인 고등학교 수학 Ⅰ (주)고려출 2002

[14] 최용 신 성 고등학교 수학 Ⅰ 천재교육(주) 2002

[15] 황혜정 외 5인 수학교육학 신론 문음사 2002

• Ⅰ 서론
• • 1 연구의 필요성과 목적
  • 2 연구의 제한점
  • • Ⅱ 개정 교육과정에서 명시된 수학Ⅰ교육의 목표
    • • 1 수학Ⅰ교육의 목표
      • 2 고등학교 수학 Ⅰ 수열 단원의 학습목표
      • • Ⅲ 수열의 역사적 배경 및 응용
        • • 1 수열의 역사
          • 2 수열 단원이 실생활에 응용된 사례
          • • Ⅳ 고등학교 수학교육과정에서의 수열
            • • 1 수학Ⅰ 교과서 분석
              • 2 수학Ⅰ 교과서에서의 수열
              • • Ⅴ 켈러의 ARCS 이론과 수열 지도
                • • 1 켈러의 ARCS 이론
                  • 2 ARCS 이론을 적용한 수열 수업 계획서
                  • 3 ARCS 이론을 적용한 수업 지도안
                  • 4 조사지 분석
                  • • Ⅵ 결론
                    • 참고문헌

다 요한 단원임에도 불구하고 개념 설명이나 시 문항이 많이 부족하

고 군 수열이나 멱 수에 한 설명은 실려 있지 않은 교과서도 많았다

한 지 의 딱딱한 강의식 수업에서 벗어나 학생들의 자신감과 만족감을

증진시킬 수 있는 수업을 해 교사나 학생 모두 노력해야한다

이 논문에서는 개정 교육과정에 의하여 다루어지는 고등학교 수학 Ⅰ 교

육과정 내용 수열을 택하여 각 교과서에서 수열 단원의 구성과 수열에

한 역사 배경과 실생활에 활용된 를 알아보고 학생들로 하여 수

열의 원리와 개념의 이해에 도움이 될 수 있는 지도방안을 러의 ARCS

이론을 바탕으로 하여 작성해보고자 한다

2 연구의 제한

재 고등학교에서 채택하고 있는 12여종의 수학 Ⅰ 교과서 부를 분

석하지 않고 임의로 선택된 5종 교과서를 분석하 기 때문에 5종이 12종을

모두 표한다고 볼 수 없다

본 논문은 러의 ARCS 이론을 바탕으로 한 수열 지도가 수열 단원의

학습에 효율 일 것이라고 여겼으나 1개 고등학교에서만 수업시연을 해보

았기 때문에 실제 인 검증작업을 거치지 못하 다 따라서 연구 결과에

한 한계가 있을 수 있다

러의 ARCS 이론을 바탕으로 한 수열 학습지도안으로 수업을 진행할

때 조별학습을 하게 되는데 이때 능숙한 교사가 아니라면 학생들의 주의

가 산만해지고 수업 분 기가 흐트러지는 것을 정리하고 완만한 수업을 진

행하기가 힘이 들것이라 생각된다

본 연구자가 부천시 소재의 원종고등학교 학생 100명을 상으로 한 조

사문제지 검사가 수열 단원의 학습에 국한된 것이 아니라 고등학교 수학

학습의 일반 인 내용을 담았기 때문에 수열 단원의 효율 인 지도방안을

한 연구에 직 인 도움을 주지 못했다

본 연구자가 제안한 교수 방법의 효과를 검증하지 못했다

Ⅱ 개정 교육과정에서 명시된

수학Ⅰ 교육의 목표

1 수학Ⅰ교육의 목표

교육인 자원부에 고시된 개정 교육과정([2])에서의 고등학교 수학Ⅰ과정

교육목표는 다음과 같다

1)성 격

lsquo수학 Ⅰrsquo의 학습을 통하여 수학 개념 원리 법칙을 이해하고 수학 사

고 능력을 키워 합리 이고 창의 으로 문제를 해결하는 능력과 태도를 기

를 수 있다

lsquo수학 Ⅰrsquo의 교수학습에서는 고등학교 1학년까지의 수학에서 습득한 수학

개념 원리 법칙을 토 로 하여 새로운 개념에 근해야 하므로 기본

인 수학 지식을 확인하고 활용하면서 발 인 학습이 이루어지도록 한

다 이 과정에서 여러 가지 상을 수학 으로 해석하고 조직하는 활동 구

체 인 사실에서 진 으로 추상화로 나아가는 과정 직 이나 구체 인

조작 활동에 바탕을 둔 통찰 등의 수학 경험을 통하여 형식이나 계를

발견하는 것이 요하다 한 수학 문제를 해결하는 과정에서 문제를 명

확히 이해하고 합리 인 해결 계획을 세워 실행하며 반성을 통하여 풀이 과

정을 검하고 다양하게 활용하는 능력을 기르도록 한다 수학 지식과 기

능을 활용하여 여러 가지 문제를 해결해 으로써 수학의 필요성과 유용성

을 인식하고 수학 학습의 즐거움을 경험해 으로써 수학에 한 정 인

태도를 갖게 한다

역 내 용

행렬과 그래

행렬과 그 연산

연립일차방정식과 행렬

그래 와 행렬

지수함수와 로그함수

지수

지수함수와 그 그래

지수방정식과 지수부등식

로그

2) 목 표

수학 개념 원리 법칙을 이해하고 수학 으로 사고하고 의사소통하는

능력을 신장하여 여러 가지 문제를 합리 이고 창의 으로 해결하며 수학

의 실용성을 인식하여 수학에 한 정 태도를 갖는다

(1) 수학Ⅰ의 학습을 통해 얻는 여러 가지 장

(가) 행렬과 그래 지수함수와 로그함수 수열 수열의 극한에 련된 개

념 원리 법칙과 이들 사이의 계를 이해하고 이를 활용하는 능력을 기른

다 여러 가지 상을 찰 분석 조직하여 수학 으로 나타내는 능력을 기

른다

(나) 수학을 통하여 여러 가지 문제를 합리 으로 해결하는 능력과 수학

으로 사고하고 의사소통하는 능력을 기른다

(다) 수학의 가치를 이해하여 수학에 한 심과 흥미를 지속 으로 가지

며 수학에 한 정 태도를 기른다

3) 내 용

⑴ 내용체계

로그함수와 그 그래

로그방정식과 로그부등식

수열

등차수열과 등비수열

여러 가지 수열

수학 귀납법

알고리즘과 순서도

수열의 극한무한수열의 극한

무한 수

[표1 수학Ⅰ교과서 내용체계]

4) 평 가

(1) 평가

(가) 수학 학습의 평가는 학생의 인지 역과 정의 역에 한 유용한

정보를 제공하여 학생 개개인의 수학 학습과 인 인 성장을 돕고 교사의

교수 활동과 수업 방법을 개선하는 데 활용한다

(나) 수학 학습의 평가에서는 학생의 인지 발달 수 을 고려하고 교육과정에

제시된 내용의 수 과 범 를 수한다

(다) 수학 학습의 평가는 수업의 개 과정에 따라 진단 평가 형성 평가 총

평가 등의 한 평가 방식을 택하여 실시하되 지속 인 평가를 통하여

다양한 정보를 수집하고 수업에 활용한다

(라) 수학 학습의 평가에서는 획일 인 방법을 지양하고 지필 평가 찰 면

담 자기 평가 등의 다양한 평가 방법을 통해 수학 교수ㆍ학습을 향상시킬

수 있게 한다

(마) 인지 역에 한 평가에서는 학생의 수학 사고력 신장을 하여 결

과뿐만 아니라 과정도 시하여 평가하되 수학의 교수학습에서 반 으

교과서 학습목표

한교과서

(주)

등차수열 등비수열의 뜻을 알고 일반항 첫째항부터 제 n항까지

의 합을 구할 수 있다

sum의 뜻과 성질을 이해하고 이를 활용하여 여러 가지 수열에

한 문제를 해결할 수 있다

수학 귀납법의 원리를 이해하고 이를 활용하여 자연수 n에

하여 참인 명제를 증명할 수 있다

알고리즘과 순서도의 뜻을 알고 간단한 문제 해결을 한 알고

리즘을 작성하여 순서도를 만들 수 있다

(주) 천재교육

등차수열과 등비수열의 뜻을 알고 일반항과 첫째항부터 제 n항

까지의 합을 구할 수 있다

기호 sum의 뜻과 성질을 이해하고 이를 활용할 수 있다

여러 가지 수열의 일반항과 첫째항부터 제 n항까지의 합을 구

할 수 있다

여러 가지 수열에 한 문제를 해결할 수 있다

수학 귀납법의 원리를 이해하고 이를 이용하여 자연수 n에

하여 참인 명제를 증명할 수 있다

로 요구되는 사항을 강조한다

(바) 정의 역에 한 평가에서는 학생의 수학에 한 정 태도를 신장

시키기 하여 학생의 수학에 한 바람직한 가치 이나 수학 학습에 한

심 흥미 자신감 등의 정도를 악한다

(사) 수학 학습의 평가에서는 평가하는 학습 내용에 따라 학생에게 계산기

컴퓨터와 같은 공학 도구와 다양한 교구를 이용할 수 있는 기회를 제공할

수 있다

2 고등학교 수학 1 수열단원의 학습목표

수학 Ⅰ교과서에서의 수열단원의 학습목표를 5종 교과서를 비교하여 살펴

보고자한다 임의로 선택된 5종 교과서([5][8][12][13][14])의 학습목표는

다음과 같다

알고리즘과 순서도의 뜻을 알고 그 필요성을 이해할 수 있다

간단한 문제 해결을 한 알고리즘을 작성하여 순서도를 만들

수 있다

앙교육진흥

연구소

수열을 이해하고 이를 활용하여 여러 가지 문제를 해결할 수 있

다

수학 귀납법의 원리를 이해하고 이것을 이용하여 자연수 n에

하여 참인 명제를 증명할 수 있다

알고리즘과 순서도의 뜻을 알고 간단한 문제 해결에 사용할 수

있다

(주) 고려출

등차수열의 뜻을 알고일반항 첫째항부터 제 항까지의 합을 구

할 수 있다

등비수열의 뜻을 알고일반항 첫째항부터 제 항까지의 합을 구

할 수 있다

sum의 뜻과 성질을 이해하고 이를 활용할 수 있다

여러 가지 수열의 일반항 첫째항부터 제 항까지의 합을 구할

수 있다

여러 가지 수열에 한 문제를 해결할 수 있다

수학 귀납법의 원리를 성명하고 수학 귀납법을 이용하여 자연

수 에 하여 참인 명제를 증명할 수 있다

알고리즘과 순서도의 뜻을 알고 그 필요성을 알 수 있고 간단

한 문제 해결을 한 알고리즘을 작성하여 순서도를 만들 수 있다

(주) 두산

등차수열과 등비수열의 뜻을 알고 일반항과 그 합을 구할 수 있

다

기호sum의 뜻과 성질을 이해하고 이를 이용하여 여러 가지 수열

에 한 문제를 해결할 수 있다

수학 귀납법의 원리를 이해하고 이를 이용하여 자연수 에

하여 참인 명제를 증명할 수 있다

알고리즘과 순서도의 뜻을 알고 간단한 문제 해결을 한 알고

리즘을 작성하여 순서도를 만들 수 있다

[표2 5종 교과서 수학 Ⅰ 수열 단원의 학습목표]

Ⅲ 수열의 역사 배경 응용

1 수열의 역사

수학의 역사에서 가장 흥미로운 수열 하나가 피보나치수열이다 피보나

치수열은 수학이론 뿐만 아니라 자연계 건축 술 등에 다양하게 표 된

다

그 에 오나르도가 발표한《산반서》에 소개된 피보나치수열에 한 문

제는 다음과 같다 ([6]) ldquo어떤 사람이 토끼 한 을 우리에 넣었다 이 토

끼 한 은 한 달에 새로운 토끼 한 을 낳고 낳은 토끼들도 한 달이 지

나면 다시 한 의 토끼를 낳는다 그 다면 1년이 지나면 몇 의 토끼가

있을까rdquo

첫 달엔 처음에 있던 토끼 한 만 있다 두 번째 달이 되면 토끼 한 을

낳아 두 의 토끼가 된다 세 번째 달이 되면 처음에 있던 토끼 한 이

한 의 토끼를 낳아 세 의 토끼가 된다 네 번째 달이 되면 첫

달과 두 번째 달의 토끼 두 이 각 한 의 토끼를 낳아 총 다섯 의

토끼가 있게 된다 이런 식으로 토끼를 낳아가면 그 수는 다음과 같은 규

칙을 갖는다 　　　　　　　　　　 이런 규칙을 갖는 피보나치수열의

일반항을 이라고 하면 　 　 　 　 가 된다

그런데 이 수열을 자연에서도 쉽게 찾아볼 수 있다 식물의 기에서 뻗어

나온 잎을 생각해 보면 기의 에 있는 잎 하나에서 수직으로 에 있

는 잎까지 도달할 때까지 기를 따라 올라가면서 잎의 개수를 세면 그

수들은 일반 으로 피보나치수열을 이룬다

[그림1 피보나치수열]

2 수열 단원이 실생활에 응용된 사례

1) 하노이의 탑

인도 갠지스 강 유역 라만교의 사원에 있었던 하노이의 탑은 라만

탑이라고도 부르는데 이 탑에 얽힌 문제의 내용은 다음과 같다 다음은

([10])의 내용을 참고하 다

[베나 스에는 세계의 심이 있고 그 곳에는 아주 큰 사원이 있으며 이

사원에는 높이 정도 되는 다이아몬드 바늘 3개가 있다 그 에서 한

바늘에는 천지 창조 때에 신이 구멍이 뚫린 64장의 순 으로 된 원 을 크

기가 큰 것부터 아래에 놓이도록 하여 차례로 쌓아 놓았다 그리고 신은

승려들에게 밤낮으로 쉬지 않고 원 을 한 장씩 옮겨 빈 다이아몬드 바늘

어느 한 곳으로 모두 옮겨 놓도록 명령하 다

ldquo원 은 한 번에 한 개씩만 옮겨야 하고 로 작은 원 에 큰 원

을 올려놓을 수 없다 단 64개의 원 의 크기는 모두 다르다 이 말을 충

실히 실행하고 한 순간도 게을리 하지 마라 만일 게을리 하는 일이 있으

면 그 때는 이 사원도 탑도 모두 무 지고 세계는 종말을 고하게 된다 게

을리 하는 일이 없으면 그 들이 원 을 부 옮길 때까지 세상은 태평할

것이다rdquo]

승려들은 과제를 수행하기 해 밤낮으로 매우 열심히 작업을 했다 그 작

업을 끝내기 해서 승려들은 몇 번을 움직여야 하고 얼마나 많은 시간을

사용해야만 했을까

[그림2 하노이의 탑]

원 이 1개가 있으면 최소 이동 횟수는 1번 원 이 2개가 있을 때 최소

이동 횟수는 3번이고 원 이 3개가 있으면 최소 이동 횟수는 7번이다

원 이 4개가 있으면 최소 이동 횟수는 15번이다 이런 식으로 계속 해나

가다 보면 　　　　　　　 라는 수열을 얻는다 이것은 각 항의 차이가

계차수열을 이루는데 이것은 다음과 같다 　　　　　　일반항을 으로 두

고 구해보면 　 　times 　 　 이다 처음 값을 으로 두고 일반항을

구해보면 　

이 된다

만약 그 설 로 따라가서 수도승들이 쉬지 않고 디스크를 1 에 한번

씩 옮겼다면 최소의 이동횟수는 이 되고 18446744073709551616

가 걸리고 략 5854억4200만년이 필요하다는 것을 알 수 있다

원 이자 원리합계(=원 +이자)

1년 원 원 원

2년 원 원 원

3년 원 원 원

년 원 100원 원

2) 등차수열의 응용

(1) 단리법

단리법은 처음 원 의 이자에 해당하는 비율만큼 계속 되는 계산법이

다 1000원을 했다면 1년이 지날 때마다 10 의 이자가 붙는다고 하

자 1년이 지났을 때 10 의 이자가 붙으면 100원 불어나므로 1000 +

1000 times 01 = 1100(원) 이다 그리고 1년2년 년이 지날 때 마다

값을 측정해보면 다음과 같다

[표3 단리법]

최종 으로 원 을 라 하고 연이율을 이라고 한다면

결국 년이 되었을 때 단리법으로 표 하면 그 때의 총 합 는

이 된다

3) 등비수열의 응용

(1) 복리법

복리법은 원 에 이자가 된 원리합계를 기 으로 이자를 계산하는 방

법이다 원을 했다면 1년이 지날 때마다 의 이자가 붙는다고

원 이자원리합계

(=원 +이자)

1년 원 원 원

2년 원 원 원

3년 원 원 원

년 원 times원 원

하자 1년이 지났을 때 의 이자가 붙으면 원 불어나므로

times (원) 이다 그리고 1년2년 년이 지날 때 마

다 값을 측정해보면 다음과 같다

[표4 복리법]

최종 으로 원 을 라 하고 연이율을 이라고 한다면

따라서 년이 지나면 이 된다 그때의 총 합 는 이

다

4) 황 비율

에서 언 했던 피보나치수열 　　　　　　　　　　에서 번째 항

을 번째 항으로 나 어 보자

　 　

　 　

　 　

　 　

　 　

　 　 이런 식으로 계속 해나가다 보면

이 수가 061803 에 근사하게 된다 고 그리스인들은 이 수에 lsquo황 비

율rsquo라는 이름을 붙 다 이것은 인간이 보기에 가장 아름다운 비율이라 하

여 여러 분야에서 사용되고 있다

(1) 황 비의 이용

약 100년 페히 라는 독일의 심리학자는 수백 명의 사람들에게 여러

종류의 직사각형을 보여 다음 마음에 드는 것을 선택하게 하는 실험을

했다 그런데 그 결과 부분의 사람이 황 직사각형을 선택했다고 발표했

다 ([6])

실험에 의하면 황 비는 사람들이 가장 편안하고 아름답게 느끼는 비율로

알려져 있으며 이런 이유 때문에 옛 부터 건축과 미술 음악 등에서 자주

이용되어 왔다

(가) 건축

기원 2000년경의 이집트 《린드 피루스》에 보면 기원 4700년에 기

자의 피라미드를 건설할 때 이 수를 lsquo신성한 비율rsquo로 사용했다고 한다

의 측량 기술로 측정해보니 피라미드 의 심에서 의 모서리까지

그리고 경사면까지 거의 정확하게 0618이었다 ([6])

피라미드는 인류역사를 통해서 사람들을 가장 매료시켜온 건축물 의 하

나이다 그 규모의 장 함에서도 사람을 압도하는 것이 있지만 그 형태 자

체가 고도한 수학을 배경으로 한 것으로서 우리가 알고 있는 5천년 의 지

식수 으로서는 불가사의한 것 의 하나이다

[그림3 피라미드 황 비]

(나) 음악에서의 활용

음악에서 한 옥타 는 [도 미 솔 라 시 도] 의 8음계로 이루어져 있

다 피아노의 건반은 한 옥타 를 13개의 음으로 나 어 표 하고 있으며

이 하얀 건반이 8개 검은 건반이 5개 있고 하얀 건반은 3개와 5개 검

은 건반은 2개와 3개로 구분되어 있다 여기에서 나타나는 2 3 5 8 13

은 에서 보인 피보나치수열이다

[그림4 피아노건반황 비율]

(2) 인체에서의 황 비율

황 분할은 우리의 인체 속에서도 찾아볼 수 있다 인간의 신체가 이 비율

에 의해서 분할되어 있으며 이것이 아름다운 몸의 보편 기 이 되고 있

다 아래 그림은 Le Corbusier가 찾아낸 이상 인간의 각 신체부 의 비율

이다 이것은 오나르도 다빈치의 인체비율에 한 그림에서도 찾아 볼

수 있다 이 뿐만 아니라 인체의 각 부 들도 그 자체 황 분할을 이루

고 있다

[그림5 인체 황 비율]

앞에서 제시한 황 비율을 사용한 시들 이외에도 우리 주변에 아주 많

이 있다

교과서 차례

한교과서(주)

Ⅳ 수열

1 등차수열과 등비수열

2 여러 가지 수열

3 수학 귀납법

4 알고리즘과 순서도

(주) 천재교육

Ⅲ 수열

1 등차수열과 등비수열

2 여러 가지 수열

3 수학 귀납법

4 알고리즘과 순서도

Ⅳ 고등학교 수학교육과정에서의 수열

1 수학Ⅰ 교과서 분석

고등학교 2학년이 학습하는 lsquo수학 Ⅰrsquo은 국민 공통 기본 교육 기간의 10단계

수학을 이수한 학생들이 보다 문 인 진로를 고려하고 보다 높은 수 의

수학을 학습하기 해 설정된 심화 선택 과목이며 lsquo수학 Ⅱrsquo를 학습하기 한

단계이다 lsquo수학 Ⅰrsquo의 내용은 수 역에서 지수와 로그 행렬 수열이

실려있고 해석 역에서 수열의 극한 지수로그 함수가 수록되어 있으며

확률과 통계 역에서 순열과 조합 확률 통계 등으로 구성되어 있다 특히

수 역에 해당하는 수열은 여러 가지 수열에 한 성질을 이해하고 그것

을 일반화 하는 과정에 을 두어 지도하도록 하고 있으며 계차수열은 등

차수열이나 등비수열이 되는 경우만 다룬다 ([2])

1) 수학 Ⅰ 5종 교과서의 차례 단원 배열

앙교육진흥연구소

Ⅲ 수열

1 등차수열과 등비수열

2 여러 가지 수열

3 수학 귀납법

4 알고리즘과 순서도

(주) 고려출

Ⅲ 수열

1 등차수열과 등비수열

2 여러 가지 수열

3 수학 귀납법과 순서도

(주) 두산

Ⅲ 수열

1 등차수열과 등비수열

2 여러 가지 수열

3 수학 귀납법

4 알고리즘과 순서도

[표5 수학 Ⅰ 5종교과서의 차례]

의 표에서 본 것과 같이 임의로 선택된 5종의 고등학교 수학 Ⅰ 교과서의

차례는 거의 비슷한 양상을 보 다 부분의 교과서에선 1단원 지수와 로

그 2단원 행렬 3단원 수열 순의 순서를 보 고 한교과서외의 몇몇

교과서에선 1단원 지수와 로그 2단원 지수로그함수 3단원 행렬 4단원 수

열 순의 순서를 보 다 수열단원의 세부 단원 차례는 1 등차수열과

등비수열 2 여러 가지 수열 3 수학 귀납법 4 알고리즘과 순서도 는

34 단원을 한 단원으로 해서 3 수학 귀납법과 순서도의 순서로 다루는

은 비슷했다

2) 교과서에 제시된 수열 련 자료

한교과서

(주)

피타고라스(Pythagoras 572～492 BC) 피타고라스의 정리

로 잘 알려져 있고 소수나 완 수의 규칙성에 해서도 많은 연

구를 하 다

바스카라(Bhaskara A 1114～1185) 인도의 수학자로

임을 증명하 고 피타고라스의 정리를 기하학

으로 증명하 다

피보나치(Fibonacci 1180～1250) 이탈리아의 수학자로 자연

속에서 많이 볼 수 있는 피보나치 수열을 발견하 다

스칼(Pascal B 1623～1662 ) 랑스의 수학자로 수학

귀납법을 발견하 고 사 기하학을 창시하 다

푸리에(Fourier J B J 1768～1830) 랑스의 수학자로 음양

학 학 기역학 열역학 등의 연구에 매우 요한 푸리에

수를 연구하 다

가우스(Gauss K F 1777～1855) 수학 통계학 등의 다방

면에 많은 업 을 이루었고 역사상 가장 한 수학자 의 한

사람으로 불리워지고 있다

비주얼 베이직(Visual BASIC)

을 이용한 Programming

하노이의 탑

(주)

천재교육

가우스(Gauss K F 1777～1855) 독일의 수학자인 가우스는

수학의 각 방면에 많은 업 을 남겨 수학의 아버지라 일컬

어지고 있다 그는 계산의 천재로 알려져 있는데 이에 한 유명

한 일화가 있다 등학교 때 부터 까지의 합을 구하는 문

제에서 다른 학생들이 직 하나하나 계산하는 동안 가우스는

　 　 　　　　 이 모두 임을 이용하여

times 이라는 답을 이끌어 내었다 이러한 방식은 수열

의 합을 계산할 때 사용하는 방식 의 하나이다

하노이의 탑을 이용한 수열의 귀납 정의

임의로 선택된 5종 교과서들의 수열단원에서 학생들의 수열 단원의 이해를

돕기 해 수록된 수학자들에 한 설명과 기타 자료들은 다음과 같다

도미노 이론 - 수학 귀납법의 다른 표

피보나치수열 - 토끼 수 증가 문제

앙교육

진흥연구소

삼각수 사각수 문제

피보나치(Fibonacci 1180～1250)

가우스(Gauss K F 1777～1855)

음악과 수학 - 작곡가 바흐(Bach)의 요 업 으로 평균율을

들 수 있다 평균율이란 1옥타 즉 lsquo도rsquo와 lsquo도rsquo의 사이를 개의

반음으로 나 고 처음 lsquo도rsquo의 진동수를 이라 하면 그에 일정한

수를 더해 제곱하여 옥타 의 lsquo도rsquo의 진동수를 얻는 것을

말한다 수식으로는 로 나타낼 수 있고 이 등식을

만족하는 의 값이 평균율이다

(주)

고려출

티티우스-보데 수열 -

수열 　　　　　　　　의 각 항에 각각 를 더한 후

으로 나 수들을 나열한 것 　　　　　　　 를

티티우스-보데 수열이라 한다 이수열의 각 항은 태양에서 행성

까지의 실제 거리와 비슷한 것으로 1766년 티티우스(Titius)라는

독일의 천문학자가 발견하 다

제갈량의 군 에 한 을 통한 등비수열의 합

피보나치 수열

휴먼 로 - 휴먼 로 의 제작은 복잡한 여러 가지 알고리즘

과 순서도에 바탕을 두고 있다 알고리즘의 요성은 자계산기

이 부터 실제 으로 존재했다 그 로 최 공약수 계산에 한

유클리드의 알고리즘이 있다 한 가우스와 같은 부분의 수학

자들은 역사 으로 많은 양을 처리하는 효율 인 알고리즘에

심을 가졌다 이러한 알고리즘을 보다 효율 으로 이용하여 재

의 컴퓨터 시 를 구축했다

(주) 두산

피보나치(Fibonacci 1180～1250)는 이탈리아의 피사에서 태

어난 수학자이다 부친이 상업에 종사하 기 때문에 피보나치는

이집트 시칠리아 그리스 시리아 등 다양한 지역을 여행할 수

있었고 이 때 다양한 수학을 하게 되었다 1202년 피사로 돌아

온 피보나치는 「산반서(Liber abaci)」를 술하 다 1228년에

는 「산반서 2 」을 술하 는데 이 책에서 정수와 분수의 계

산 제곱근과 세제곱근 일차와 이차방정식의 풀이 등을 다루었다

고 한다 특히 이 책에 나오는 「피보나치의 수열」은 매우 흥미

로운 수열로 요한 성질을 많이 가지고 있다

1에서 100까지 자연수를 모두 합하면 얼마일까

가우스(Gauss KF 1777～1855) 가우스는 수론 해석학 확

률론 천문학 물리학 등 다양한 분야에 뛰어난 수학자이었다 특

히 그의 수론 연구는 19세기 수학 체계의 확립에 크게 공헌하

다

피타고라스(Pythagoras 572～492 BC) 피타고라스는 음의

높이에 따른 진동수의 비가 일정함을 발견하 다

페아노(Peano G 1858～1932) 자연수의 성질을 추상화 하여

페아노의 공리계를 만들었다 이 공리계의 제 5공리가 수학 귀

납법의 원리이다

피보나치의 수열

알콰리즈미(Alkhwarizmi 780～850) 알고리즘이란 말은 세

아라비아의 수학자 알콰리즈미의 이름에서 유래된 것으로서 그가

십진법으로 나타낸 수의 계산에 용한 계산 방법에서 나온것이

다

[표6 5종 교과서에 제시된 수열 련 자료]

2 수학 Ⅰ 교과서에서의 수열

등차수열의 일반항

첫째항이 공차가 인 등차수열의 일반항 은

본 연구자가 임의로 선택한 5종 교과서 ([5][8][12][13][14]) 에서의

수열의 내 을 정리해보았다

1) 등차 수열과 등비 수열

(1) 수열의 뜻

어떤 규칙에 따라 순서 로 수를 늘어놓은 것을 수열이라 하고 그 수열을

이루는 각각의 수를 그 수열의 항이라고 한다 수열의 각 항을

앞에서부터 순서 로 제 1항 제 2항 제 3항 제 항

이라고 한다 특히 제 1항은 첫째항이라고도 한다

(2) 등차수열의 뜻

첫째항에 차례로 일정한 수를 더하여 만들어진 수열을 등차수열 이라하고

더한 일정한 수를 공차라고 한다

첫째항이 공차가 인 등차수열 에서

이므로 일반항 은 다음과 같이 나타낼 수 있다

(3) 등차수열의 합

등차수열의 합

첫째항이 공차가 끝항이 인 등차수열의 첫째항부터 제 항까지의

합 은

첫째항이 공차가 등차수열 에서 첫째항 부터 제 항 까지의 합

을 토론하기의 방법을 이용하여 구해보자

　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　①

더하는 순서를 거꾸로 하면

　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　②

①②의 양변을 각각 더하면

　　

따라서 =

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　③

이때 제 항인 를 ③에 입하여 식을 다르게 나타낼수도

있다

이상을 정리하면 다음과 같다

(4) 수열의 합과 일반항

수열 에서 첫째항부터 제 항까지의 합을 이라 하면

ge 일때 　　

there4

수열의 합과 일반항의 계

수열 의 첫째항부터 제 항까지의 합을 이라 하면

(단 ge )

등비수열의 합

일때 이다

이상을 정리하면 다음과 같다

(5) 등비수열의 뜻

첫째항부터 시작하여 각 항의 바로 앞의 항에 일정한 수를 곱하여

만들어진 수열을 등비수열이라 하고 곱하는 일정한 수를 공비라고 한다

첫째항이 공비가 인 등비수열에서 첫째항부터 제 항까지의 합 은

다음과 같이 구한다

　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　①

①의 양변에 공비 을 곱하면

　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　②

①에서 ②를 같은 변끼리 빼면

따라서 ne 일때

인 경우 ①에서

　　

there4

이상을 정리하면 다음과 같다

첫째항이 공비가 인 등비수열의 첫째항부터 제 항까지의 합 은

① ne 일때

② 일때

자연수의 거듭제곱의 합

①

　　

②

　　

③

　　

2) 여러 가지 수열

(1) 합의 기호 sum

수열 에서 첫째항부터 제 항까지의 합

　　

을 일반항과 합의 기호 sum를 써서

　　

와 같이 나타낸다

이때

는 수열 의 일반항 의 에 　　　　　　을 차례로

입하여 얻은 항의 합으로 신 다른 문자를 사용하여

등과 같이 나타낼 수 있다

(2) 기호 sum 의 성질

합의 기호 sum 의 성질에 하여 알아보자

합의 기호 sum의 성질

①

(복부호동순)

②

(단 는 상수)

③

(단 는 상수)

　　

　　 　　

　　

마찬가지로

와

에 해서도 확인해 보면 sum 의 성질을

다음과 같이 정리할 수 있다

(3) 계차수열

일반 으로 수열 에서 이웃하는 두 항의 차

　　 을 일반항으로 하는 새로운 수열

　　　　　　　을 얻을 수 있는데 이 수열 을 원래의 수열 의

계차수열이라고 한다

수열 에 하여 그 계차수열을 이라 하면

　　

계차수열과 일반항

수열 의 계차수열을 이라 할때

(단 ge )

3) 수학 귀납법

(1) 수열의 귀납 정의

첫째항과 이웃하는 두 항 사이의 계식으로 수열을 정의하는 것을 수열의

귀납 정의 라고 한다

첫째항이 공차가 인 등차수열 은 다음이 성립한다

　ge 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　①

역으로 두 계식 ①이 주어지면 이 결정되고 차례로

가 결정된다 따라서 모든 자연수 에 하여 이 정해지므로 수열 이

정의 된다

①과 같이 의 값 과 의 계식을 화식이라고 한다

(2) 수학 귀납법

수학 귀납법은 이탈리아의 페아노에 의하여 설정된 자연수에 한 공리

수학 귀납법

자연수 에 한 명제 이 모든 자연수 에 하여 성립함을 증명하

려면 다음 ⅰ ⅱ 를 증명하면 된다

ⅰ 일때 명제 이 성립한다

ⅱ 일때 명제 이 성립한다고 가정하면 일때에도

명제 이 성립한다

다음과 같은 5번째 공리에 근거를 두고 있다

자연수의 집합 의 부분집합 가

ⅰ 　isin

ⅱ 　isin 이면 isin

(여기서 는 의 후자)

인 두 조건을 만족하면 이다

4) 알고리즘과 순서도

(1) 알고리즘과 순서도

어떤 문제를 해결하기 해서는 그 처리 순서를 정해야 하는데 이와 같이

문제 해결에 필요한 처리 과정의 순서를 단계 으로 정리한 것을 알고리즘

이라 하고 알고리즘을 알기 쉽게 기호를 써서 그림으로 나타낸 것을 순서도

라고 한다 일반 으로 어떤 문제를 해결하기 한 알고리즘은 여러 가지가

있을 수 있지만 정해진 유한번의 단계를 거치면 반드시 끝나야 하고 처리

과정의 순서가 명확해야 한다 한 순서도는 각 부분을 순서 계통 으로

나타냄으로써 작업 과정을 구나 쉽게 한 에 악할 수 있도록

작성되어야 한다 순서도는 다음과 같은 기호를 사용하여 작성한다

[표7 순서도의 기호]

(2) 알고리즘과 순서도의 작성

수열과 련된 순서도를 작성할 때에는 다음과 같은 방법을 고려한다

(가) 항수를 항을 수열의 합을 로 나타낸다

(나) 제시된 항의 번호까지 루 를 용한다

(다) 제시된 항의 번호에 하여 단 기호를 이용한다

(라) 구하려는 는 를 인쇄하고 끝낸다

주의환기

집 을

한 략

지각

주의환기의

략

시청각 효과의 사용

비일상 인 내용이나 사건 제시

주의 분산의 자극 지양

탐구

주의환기의

략

능동 반응 유도

문제해결 활동의 구상 장려

신비감의 제공

다양성의

략

간결하고 다양한 교수형태 사용

일방 교수와 상호작용 교수의 혼합

교수자료의 변화 추구

목표-내용-방법이 기능 으로 통합

련성

증진을

한

략

친 성의

략

친 한 인물 혹은 사건 활용

구체 이고 친숙한 그림 활용

친 한 문 배경 지식 활용

목 지향성

의 략

실용성에 을 둔 목표 제시

목 지향 인 학습형태 활용

Ⅴ 러의 ARCS 이론과 수열 지도

1 러의 ARCS 이론

1) ARCS 이론의 특징

(1) 이론 배경

다음은 ([4])의 내용을 참고하 다

ldquo말을 물가로 데리고 갈 수는 있지만 물을 먹일 수는 없다rdquo는 속담처럼

하고자 하는 마음이 없으면 학습 효과를 기 할 수 없는 것은 당연한 사실

이다 이러한 생각의 근거에는 동기 유발의 개념이 자리 잡고 있다 동기

유발이란 어떤 활동을 진 지시 유지하려는 내 상태 는 과정을

포함한다 이 개념은 교육 심리학의 심 개념 의 하나이지만 직 찰

할 수 없는 것이기 때문에 인간의 행동을 보고 거기에서 유출해 내는 개념

이며 이에 한 정의는 바라보는 과 강조하는 내용에 따라 각기 다르

다

(2) ARCS 이론

목 의 선택 가능성 부여

필요나

동기와의

부합성 강조의

략

다양한 수 의 목 제시

학업성취 여부의 기록체제 활용

비경쟁 학습상황의 선택가능

동 상호 학습상황 제시

자신감

수립을

한 략

학습의

필요조건

제시의 략

수업의 목표와 구조의 제시

평가기 피드백의 제시

선수학습 능력의 단

시험의 조건 확인

성공의 기회

제시의 략

쉬운 것에서 어려운 것으로 과제 제시

정수 의 난이도 유지

다양한 수 의 시작 제공

무작 의 다양한 사건 제시

다양한 수 의 난이도 제공

개인

조 감

증 의 략

학습의 끝을 조 할 수 있는 기회 제시

학습속도의 조 가능

원하는 부분에로의 재빠른 회귀 가능

선택가능하고 다양한 과제의 난이도제공

노력이나 능력에 성공 귀착

만족감

증 를

한 략

자연 결과

강조의 략

연습문제를 통한 용기회 제공

후속학습상황을 통한 용기회 제공

모의상황을 통한 용기회 제공

정 결과

강조의 략

한 강화 계획의 활용

의미 있는 강화의 강조

정답을 한 보상 강조

외 보상의 사려 깊은 사용

선택 보상체제 활용

공정성

강조의 략

수업목표와 내용의 일 성 유지

연습과 시험 내용이 일치

[표8 ARCS 략] ([1])

2 ARCS 이론을 용한 수열 수업 계획서

다음은 ([1])의 ARCS 이론의 수업계획서를 참고하여 수열 단원의 수업

계획서를 작성해보았다

수업내용개 동기 략개 기타의견1 수업 기

체 으로 교사는 다양한 방법으로 학습자들

에게 수업 내용을 제시하고 학습자들에게

한 언어를 사용한다

수열의 활용에

한 학습목표

제시하기

교사는 학습자들의 련성을 높이기 해 학습

목표의 의미를 설명해 다

도표는 큰 씨를 사

용하고 핵심이 되는

단어에는 다른 색깔을

사용한다

수열의 활용의

이 과 평가

거를 제시하기

교사는 학습자들의 련성과 자신감 만족감

을 높이기 하여 이 수업이 끝난 후 그들이

무엇을 할 수 있는지에 해 알려 다

교사는 학습자들의 자신감과 만족감을 높이기

하여 성공 인 학습성취를 단할 수 있는 객

인 거들을 알려 다

교사는 학습자들의 만족감을 높이기 하여

그들이 주어진 과제를 성공 으로 해결했을 때

그에 따르는 내재 강화나 외재 보상이 있음

을 알려 다

수열의 정의와

해법에 한 지

식을 간략하게

확인하기

교사는 선수학습과의 련성을 유발하기 하

여 간략한 보조도구(인쇄매체)를 사용하여 수열

의 정의와 해법을 제시한다

교사는 소집단 토론을 실시하여 학습자들의

선수지식을 스스로 검해 보도록 한다

교사는 수열의 정의와 해법을 잘 모르는 학습

자들에게 자신감을 유발시키기 하여 개별 인

학습목표를 세우도록 한다

소집단 구성에 있어

서 주의집 이 매우

낮은 5명을 하나의 소

집단으로 구성하고

친근한 소재를 활용하

여 그들의 주의집 과

련성을 유발한다

실생활과 련

된 수열의 활용

문제들을 몇 가

지 소개하기

교사는 학습자들의 주의집 을 유지하기 해

실생활에서 연립방정식을 활용하여 해결할 수

있는 몇 가지 문제들을 제시한다

주의집 이 매우 낮은 5명의 학습자들이 수업

에 극 인 심을 보이지 않으면 교사는 그

들에게 친근한 목소리로 이름을 부르면서 수업

에 집 하라고 얘기 하고 개인 인 심을 갖

고 있음을 나타낸다

로써 활용되는 문

제들을 선택할 때 학

습자들이 알고 있거

나 그들에게 친근감

을 주는 소재가 포함

되도록 선택한다 이

때 지나치게 자심감

이 높아서 수업에 소

극 으로 참여하는 3

명의 학습자들에게는

다소 복잡한 수열의

활용 문제를 미리 제

공하여 생각할 기회를

다

수열의 활용에

한 학습자들의

이해정도를 악

하고 피드백을

제공하기

교사는 학습자들에게 자신감을 높이기 하여

소집단을 구성하여 학습자들이 수열의 활용에

해 어느 정도 이해하고 있는지를 서로 토론하

도록 한다

교사는 소집단별로 둘러보면서 자신감과 만족

감을 유발시키기 하여 학습자들간에 서로 도

움을 주도록 분 기를 형성한다

소집단별로 간략하게 토론이 끝나면 학습자

들 스스로 정리하도록 한다

토론결과 학습자들이 수열의 활용에 해 잘

못 이해하고 있다면 교사는 즉각 으로 교정

피드백을 제공한다

학습자들의 소집단

토론시간을 무 길게

소요하지 않도록 한

다 자칫하면 토론분

기가 산만해지기 쉽

고 토론이 활발하지

못한 경우에는 학습자

들의 학습의욕이 떨어

진다

2 수업 반 체 으로 교사는 다양한 방법으로 학습자

들에게 수업 내용을

제시하고 학습자들에게 개별 인 언어를 사용

한다

실생활과 련

된 수열의 활용

의 문제들을 구

체 으로 제시하

기

교사는 학습자들의 주의집 련성 자신감

만족감을 유지하기 하여 게임을 실시한다 학

습자들이 돌아가면서 임의로 다른 학습자를 지

명하면 지명받은 학습자가 실생활과 련된 수

열의 문제를 하나 제시한다 한 문제를 제

시한 학습자에게 학습태도 수를 주어 만족감

을 향상시킨다

교사는 학습자들이 제시한 여러 가지 문제들

을 칠 에 은 후 몇몇 소집단을 구성하여

그 문제들을 해결하기 해 인스토 을 하

도록 한다 이때 교사는 문제를 해결한 학습자

가 아직 해결하지 못한 학습자들을 도와주어 자

신감과 만족감을 갖도록 한다

인스토 이 진행되는 동안 교사는 교실

을 둘러보면서 학습자들이 질문이나 의문사항

에 해 극 으로 질문할 수 있는 기회를 제

공하고 그에 해 개별 인 언어를 사용하여

부드러운 목소리로 피드백을 제공한다

인스토 도 학습자들의 개인 인 능

력차가 커서 문제를 해결하는데 어려움을 겪는

학습자들에게는 그들에게 합한 개별 인 학습

이때 교사는 밝고

생동감이 넘치는 목소

리로 학습자들의 활동

을 진시킨다

교사는 학습자들이

한 자신감을 유지

하고 있는지에 해

지속 인 심을 갖고

지켜본다

이때 교사는 학습자

들의 자신감과 만족감

을 높이기 하여 그

들에게 일 성 있는

피드백을 제공한다

교사는 학습자들이

목표를 다시 선정하도록 하여 자신감을 향상시

킨다

인스토 이 끝나면 교사는 소집단 별로

한 사람씩 자발 으로 나와 문제를 풀고 풀이

과정을 체 학습자들에게 설명하도록 한다 이

때 어려운 문제를 해결한 소집단이나 학습자에

게 교사는 그들의 우수한 능력을 인정하고 내

재 인 자존심에 정 인 향을 주는 칭찬을

제공하여 자신감과 만족감을 높인다

소집단의 인스토

을 하는 동안 체

으로 문제풀이를 할

때 주의집 을 유지

하고 자신감과 만족

감의 향상을 악하기

해 끊임없이 그들과

시선을 교류하고 얼

굴표정을 찰한다

3 수업마무리 체 으로 교사는 다양한 방법으로 학습자

들에게 수업 내용을 제시하고 학습자들에게 개

별 인 언어를 사용한다

실생활과 련

된 수열의 활용

에 해 체

으로 정리 요

약하기

교사는 교탁을 탁탁 치거나 박수를 쳐서 다

소 떨어진 학습자들의 주의집 을 향상 시킨다

교사는 실생활 속에서 수열을 활용하여 해결

할 수 있는 간단하고 재미있는 문제들을 2～3개

제시하여 학습자들이 그 문제를 성공 으로 해

결함으로써 자신감과 만족감을 갖도록 한다

교사는 학습자들이 미처 생각하지 못했던 실

생활 속에서 수열과 연 된 다양한 들을 제공

하여 주의집 과 련성을 유지향상시킨다

교사는 자신감과 만족감을 향상시키기 해

학습자들에게 수업진행 에 그들이 설정한 개

인 인 학습목표에 해 얼마나 많이 달성했는

가를 스스로 검해 보라고 한다

교사는 수업 반에 수열의 문제를 잘 해결하

지 못했던 학습자들에게 그 문제를 다시 해결해

보도록 기회를 제공하여 자신감과 만족감을 높

여 다

평가에 있어서 교사는 학습자들이 그들의 성

에 해 공정하게 평가되었다고 느끼도록 일

성 있게 평가하여 그들의 자신감고 만족감을

높여 다

교사는 수열과 실생

활과의 련성에 해

학습자들이 잘 지각하

고 있는가를 알아보기

해 다소 진지한 목

소리로 질문한다

다음 학습내용

에 해 간략히

소개하기

교사는 학습자들의 흥미를 유지하기 하여

다음 학습내용에 해 호기심에 찬 목소리로 간

략하게 소개하고 수업을 끝낸다

[표9 러의 ARCS이론]

단원

단

원Ⅲ 수열

배정시간

(분)50

단

원1 등차수열과 등비수열

차시 3소단

원3) 등차수열과 등비수열의 활용

학습

목표등차수열과 등비수열을 실생활의 문제에 용할 수 있다

학습

단계학습내용

교수-학습활동 지도상의유의사

항교사활동 학생활동

도

입

15

분

인사

출석

주변을 정리 정돈

하여 수업분 기를

조성한다

인사 출석체크

를 한다

주의를 환기시킨

후 학생들과 인사

한다

출결석 여부를

확인한다

바른 자세로 주

변을 정리한 뒤

교사와 인사한다

수업 비를 한

다

교사와 학생

모두 함께 수업

분 기를 조성한

다

선수

학습

확인

지난 시간에 학습

한 등차수열과 등비

수열의 정의에 해

다시 한번 확인해본

다

지난 시간에 학습

한 등차수열과 등비

수열의 일반항을 구

하는 방법에 해 확

인학습으로 [문제1]

과 [문제2]를 풀어본

다

학생들의 자신감

을 높이기 하여

등차수열과 등비수

열의 정의를 교과

서에서 찾아본 후

큰소리로 답하게

한다

학생들이 답한

후 다시 한번 등차

수열과 등비수열에

해 간단히 설명

등차수열과 등

비수열의 정의를

교과서에 찾아본

후 큰소리로 읽는

다

교사가 등차수

열과 등비수열의

정의에 해 다시

한번 간단히 설명

할 때 부족한 부

분은 필기하며 복

습한다

교사가 정의에

해 질문할 때

학생들이 모두

책을 찾아볼수

있게 주의를

다

만일 답하

지 못하는 학생

이 있을 경우 그

여기서 인스토 (brainstorming)이라고 하는 것은 갑자기 떠오르는 멋

진 생각을 종이에 는다든가 말로 표 해 본 후 로 기록하거나 기록된

문장을 정리정돈하면서 생각을 논리화하는 방법이다 주로 어떤 계획을 세

우고자 할 때 창조 이고 기발한 아이디어가 필요할 때 학생들의 의견과

생각을 끌어내어 발 시키고자 할 때 사용하면 유리하다 ([3])

3 ARCS 이론을 용한 수업지도안

[문제1]

다음 등차수열

의 일반항과 제20항

을 구하여라

　　　　　　　

[문제2]

다음 등비수열

의 일반항과 제8항을

구하여라

　 　　　　　

한다

교사는 [문제1]

과[문제2]를 제시

한 뒤 학생들에게

직 풀어보게 한

다

등차수열과 등

비수열의 일반항

과 그 공식의 유

도과정을 기억한

다

제시된 문제를

연습장에 풀어본

다

학생에 해 개

별 인 언어를

사용하여 부드러

운 목소리로 피

드백을 제공한

다

개

30

분

학습

목표

제시

수열의 활용에

한 학습목표를 제시

한다

학습목표 학습

에 필요한 자료를

Power point 시청

각 효과를 사용하여

학생들의 주의환기

집 을 한 략

을 사용한다

학습목표를 학생

들에게 읽게 하고

학생들의 련성을

높이기 해 학습

목표의 의미를 설

명해 다

교사의 지시에

따라 큰소리로 학

습목표를 읽고 이

수업이 끝난 후

무엇을 할 수 있

는지에 해 생각

해 본다

학습목표는 큰

씨를 사용하

고 핵심이 되는

단어에는 다른

색깔을 사용한

다

탐구

학습

실생활과 련된

수열의 활용문제들을

몇 가지 소개한다

수열의 활용에

한 학습자들의 이해

정도를 악하고 피

드백을 제공한다

등차수열과 등비

수열을 이용하여

실생활의 문제를

해결할 수 있음을

학생들이 쉽게 이

해할 수 있도록 설

명한다

교사가 실생활

과 련된 수열의

활용문제들을 몇

가지 소개할 때

다른 시가 있는

지 함께 생각해

본다

문제

제시

[문제3]

한일 월드컵 축구 개

회 연도는 2002년이

다 2002년 이후 월

드컵 축구가 개최되

는 연도를 차례로 써

보고 이 규칙 로 월

드컵 축구가 개최되

면 2100년은 월드컵

축구가 개최되는 연

도인가

교과서에서 수열

단원의 수열의 활

용부분에 수록된

문제들을 풀어볼

수 있도록 시간을

다

등차수열과 등

비수열의 일반항

유도 공식을 생각

해보고 제시된 문

제를 해결해 간다

로써 활용되

는 문제를 선택

할 때 학습자들

이 알고 있거나

그들에게 친근감

을 주는 련성

증진을 한

략을 사용한다

[문제4]

컴퓨터의 주기억 장

치인 램은용

으로

용으로 가 개발

되었다 이후 램의

용 량 은

로 증가되어 왔다

의 램으로부터

번 증가된 주 메모

리는 식으로 어떻게

나타낼 수 있는가

학생들이 문제를

어렵게 느끼지 않

도록 어떤 방향으

로 해결해야 하는

지 힌트를 주어 학

생들의 자신감을

증진시킨다

소집

단

활동

5～6명으로 이 진

소집단을 구성하여

학습자들이 수열의

활용에 해 어느 정

도 이해하고 있는지

를 서로 토론하도록

한다

소집단별로 실생활

과 련된 수열의 활

용의 문제들을 구체

으로 제시한다

인 스토 이

끝나면 소집단별로

한사람씩 문제를 풀

고 풀이과정을 체

학생들에게 설명하는

시간을 갖는다

교사는 학생들의

만족감을 높이기

하여 그들이 주

어진 과제를 성공

으로 해결했을

때 그에 따르는

내재 강화나 외

재 보상이 있음

을 알려 다

어려운 문제를

해결한 소집단이나

학생에게 교사는

그들의 우수한 능

력을 인정하고 내

재 인 자존심에

정 인 향을

주는 칭찬을 제공

하여 자신감과 만

족감을 높인다

자신이 속한 소

집단 내에서 제시

된 과제에 해

열심히 토의를 하

며 문제를 해결한

학생이 아직 해결

하지 못한 학생들

을 도와주어 자신

감과 만족감을 갖

도록 한다

소집단별로 간

략하게 토론이 끝

나면 학생들 스스

로 정리해보고 자

발 으로 체 학

생들에게 설명해

보는 기회를 갖는

다

교사는 학습자

들이 한 자

신감을 유지하고

있는지에 해

지속 인 심을

갖고 지켜본다

학생들의 소집

단 토론시간을

무 길게 소요

하지 않도록 한

다

형성

평가

[문제4]

민수는 남 문의 기

와 지붕 한쪽 면이

사다리꼴 모양임을

찰하고 이 면에 있

는 기와의 개수를 알

아보고자 한다 기와

형 성 평 가 를

Power point로 제

시하고 학생들이

스스로 풀어볼 수

있도록 지도한다

학생들이 문제를

다 풀고 나면 교사

제시된 문제를

오늘 학습한 내용

을 복습하면서 풀

어보도록 한다

교사는 다소

진지한 목소리로

질문한다

의 개수를 행으로 세

었더니 용마루 쪽에

가장 가까운 행에는

40개 처마 쪽에 가

장 가까운 행에는 72

개 다 용마루부터

처마까지 행의 개수

가 17이라고 할 때

민수가 찰한 지붕

한쪽 면의 기와의 개

수는 모두 몇 개인

가

는 학생들에게

답할수 있도록 하

고 학생들이 학습

목표에 해 얼마

나 많이 달성했는

가를 스스로 검

해 보라고 한다

형성평가의 답

을 교사의 질문에

끝난 뒤 큰소리로

답하여 자신감

과 만족감을 갖도

록 한다

학생들에게 개

별 인 언어를

사용한다

정

리

5

분

학습

정리

차시

고

학습 자료를 이용

하여 수열의 실생활

의 활용 단원의 수업

내용을 확인한다

과제를 제시한다

다음 차시인 「여

러 가지 수열」 단원

에 한 고를 한

다

수업 내용을 정

리하고 과제를 제

시한다

학생들의 흥미를

유지하기 하여

다음 학습내용에

해 호기심에 찬

목소리로 간략하게

소개하고 수업을

끝낸다

오늘 학습한 내

용을 정리한다

과제를 고 과

제 해결에 한

내용을 머릿속에

형성해 본다

다음 차시에 배

울 내용을 학습

자료 화면으로 확

인해본다

수업내용에

해 학생과 교사

모두가 만족하고

있는지 확인하고

공정한 평가를

한다

[표10 수업지도안]

4 조사 문제지 분석

고등학교 수학 Ⅰ 의 수열단원의 효율 인 지도방안의 연구를 하여 원

종고등학교 2학년 학생 100명을 상으로 조사 문제지 조사를 하 다 학

생들의 수학에 한 심과 수학에서 가장 어려워하는 부분을 알아볼 수

있었고 어떤 방식의 수업을 선호하는지도 알아볼 수 있었다

⑴ 수학에 얼마나 심이 있나요

① 매우 많다 ② 많다 ③ 보통이다 ④ 다 ⑤ 매우 다

수학과목에 매우 많은 심을 보이는 학생은 2로 매우 낮은 편이며

심이 있는 학생은 43로 학생의 반정도 다 수학과목에 심이 거

나 없는 학생은 54정도로 수학은 어려운 과목이라는 인식 때문에 심

이 은 것 같다

수학을 공부하는 가장 큰 이유에는75의 학생들이 학입시를 해서라

는 문항을 선택했다 기타 이유에는 교과서에 있어서 어쩔수 없이 한다

는 학생과 진리탐구를 해서라는 학생도 있었다

[그림6 조사문제지

(1)번 막 그래 ]

⑵ 수학을 공부하는 가장 큰 이유가 뭐라고 생각하나요

① 학입시를 해서

② 평소 수학에 흥미가 있어서

③ 실제 생활에 쓰기 해서

④ 주변에서 해야한다고 하니까

⑤ 기타 이유 (이유를 간단히 어주세요)

앞에 (1)번문항에서 수학에 심이 은 학생이 반 정도인것에 반해

수학공부가 필요하다고 느낀학생이 75정도로 수학공부가 필요하단건

느끼지만 어려운 과목이라는 인식이 부분인것 같다 수학과목도 재

는 과목이란 인식을 학생들이 가질수 있도록 노력해야겠다

[그림7 조사문제지

(2)번 막 그래 ]

⑶ 수학공부의 필요성에 해 어떻게 생각하나요

① 매우 필요하다 ② 조 필요하다 ③ 보통이다

④ 필요 없다 ⑤ 필요 없다

[그림8 조사문제지

(3)번 막 그래 ]

⑷ 수학을 공부하면서 가장 어려운 부분은 무엇이나요

① 복잡한 계산 과정 ② 외워야할 많은 공식들

③ 응용문제엔 어떤 공식을 용해야할지 ④ 다 어렵다

학생들이 수학과목이 어렵다고 느끼는 이유는 응용문제에 어떤 공식을

용해야 하는지를 몰라서 라는 답이 58로 가장 많았다 그 외에도

계산과정이 복잡하거나 외워야할 공식들이 많아서라는 답도 있었다

이해 주의 수업을 하고 단순한 공식의 암기 주의 수업을 탈피해야겠

다

수학수업을 하는데 효과 인 방법에는 선생님 주의 강의식 수업과 학

생 개인별 수업이 78로 가장 많았다 개념이나 공식유도과정을 설명할

땐 서를 하며 강의식 수업을 하고 문제풀이땐 학생들 개인별로 첨삭

지도를 하는게 효율 인것 같다

⑤ 기타이유 (이유를 간단히 어주세요)

[그림9 조사문제지

(4)번 막 그래 ]

⑸ 수학 수업을 하는 데 어떤 방법이 가장 효과 이라고 생각하나요

① 선생님 주의 강의식 수업

② 학생 개인별 수업

③ 모둠별 활동 수업

④ 기타 교재나 과제를 통한 수업

⑤ 기타(이유를 간단히 어주세요)

[그림10 조사문제지

(5)번 막 그래 ]

Ⅵ 결론

본 논문에서 지 까지 고등학교 2학년 학생들이 수학 Ⅰ 교육과정을 학습하

는데 가장 어려워하는 수열에 해 살펴보았다 먼 개정 교육과정에 명시

된 수학교육의 목표와 임의로 선택된 5종 교과서에서 수열 단원의 학습목표

를 살펴보았고 수열의 역사 배경과 실생활에 응용된 들을 정리해보았

다 한 5종 교과서에서 제시되어 있는 수열의 학습내용을 소단원 별로 정

리해보았다 임의로 선택된 5종 교과서안의 수열의 학습내용을 분석해보면

서 몇 몇 교과서에서 여러 가지 수열 단원에서 군 수열과 멱 수에 한 언

이 없거나 미약함을 알 수 있었다 본 연구자가 보기에 군 수열과 멱 수

부분은 실생활에 활용될 는 극히 작아 보이지만 학생들이 꼭 학습하고 넘

어가야 수열에 한 완벽한 학습이 될 수 있을 것이라 여겼는데 교과서에서

제시된 내용들로는 학생들이 충분히 이해할 수 없을 것 같았다

그리고 교과서에 제시된 문항의 수 이 입시와 동 떨어진다는 문제 이 있

었다 교과서에 제시된 문제가 부족하고 수 이 낮다 보니 실제로 학교에서

수업 때 보충 린트 물로 수업을 진행하고 간기말고사 때에도 교과서

외에서 많은 문제를 출제하는 모습을 볼 수 있었다 때문에 학생들이 교과서

보다는 문제집 주의 공부를 할 수 밖에 없는 듯 보 다 교과서가 학생들

과 교사의 요구에 부합할 수 있도록 새로운 내용들과 문제를 싣도록 해야

할 것이다

학생들이 수열 단원의 학습을 할 때 좀 더 효과 인 학습이 될 수 있도록

리의 동기설계이론 (ARCS 이론) 을 바탕으로 하여 수업 계획서와 1차시

의 수업 지도안을 작성해 보았다 한 작성한 수업 지도안으로 부천시 소재

의 한 고등학교에서 실제 수업을 진행해 보았을 때 학생들이 좀 더 수열에

해 친숙하게 느끼고 쉽게 이해하는 모습을 볼 수 있었다 본 연구자가

직 교사가 아니라 여러 반을 상으로 수열 단원의 모든 차시 수업에 용

하여 수업을 해볼 수 없었단 이 아쉬움으로 남는다

이와 같이 학생들의 주의 련성자신감만족감 증진을 한 수업을 함

으로써 학생들의 수학 학습 성취도의 향상을 기 할 수 있을 것이다 한

개발된 자료를 실제 수업에 용하는 경우의 효율성에 한 후속 연구가 체

계 이고 지속 으로 이루어져야 할 것이다

참 고 문 헌

[1] 구평회 META 구평회 교육학 2007

[2] 교육인 자원부 고시 제2007 - 79호[별책8] 2007

[3] 박인학 교사를 한 교수학습방법론 문사 1995

[4] 변 계 교수학습 이론의 이해 학지사 1999

[5] 우정호 외 5인 고등학교 수학 Ⅰ 한교과서(주) 2002

[6] 이 연 자연의 수학 열쇠 피보나치수열 로네시스 2006

[7] 이진화 지수로그함수의 지도에 한 연구 서강 학교 교육 학원 석사 학

논문 2006

[8] 임재훈 외 10인 고등학교 수학 Ⅰ (주)두산 2002

[9] 장 숙 고등학교 수학 Ⅰ 교과서의 통계단원 분석 실생활에의 용 경희

학교 교육 학원 석사 학 논문 2006

[10] 조해식 행렬 수열 수업에서의 수학사 도입에 한 연구 울산 학교 석사

학 논문 1998

[11] 차 자 수열 학습의 흥미 유발을 한 자료 연구 경성 학교 교육 학원 석

사 학 논문 2004

[12] 최 외 5인 고등학교 수학 Ⅰ 앙교육진흥연구소 2006

[13] 최상기 외 5인 고등학교 수학 Ⅰ (주)고려출 2002

[14] 최용 신 성 고등학교 수학 Ⅰ 천재교육(주) 2002

[15] 황혜정 외 5인 수학교육학 신론 문음사 2002

• Ⅰ 서론
• • 1 연구의 필요성과 목적
  • 2 연구의 제한점
  • • Ⅱ 개정 교육과정에서 명시된 수학Ⅰ교육의 목표
    • • 1 수학Ⅰ교육의 목표
      • 2 고등학교 수학 Ⅰ 수열 단원의 학습목표
      • • Ⅲ 수열의 역사적 배경 및 응용
        • • 1 수열의 역사
          • 2 수열 단원이 실생활에 응용된 사례
          • • Ⅳ 고등학교 수학교육과정에서의 수열
            • • 1 수학Ⅰ 교과서 분석
              • 2 수학Ⅰ 교과서에서의 수열
              • • Ⅴ 켈러의 ARCS 이론과 수열 지도
                • • 1 켈러의 ARCS 이론
                  • 2 ARCS 이론을 적용한 수열 수업 계획서
                  • 3 ARCS 이론을 적용한 수업 지도안
                  • 4 조사지 분석
                  • • Ⅵ 결론
                    • 참고문헌

한 연구에 직 인 도움을 주지 못했다

본 연구자가 제안한 교수 방법의 효과를 검증하지 못했다

Ⅱ 개정 교육과정에서 명시된

수학Ⅰ 교육의 목표

1 수학Ⅰ교육의 목표

교육인 자원부에 고시된 개정 교육과정([2])에서의 고등학교 수학Ⅰ과정

교육목표는 다음과 같다

1)성 격

lsquo수학 Ⅰrsquo의 학습을 통하여 수학 개념 원리 법칙을 이해하고 수학 사

고 능력을 키워 합리 이고 창의 으로 문제를 해결하는 능력과 태도를 기

를 수 있다

lsquo수학 Ⅰrsquo의 교수학습에서는 고등학교 1학년까지의 수학에서 습득한 수학

개념 원리 법칙을 토 로 하여 새로운 개념에 근해야 하므로 기본

인 수학 지식을 확인하고 활용하면서 발 인 학습이 이루어지도록 한

다 이 과정에서 여러 가지 상을 수학 으로 해석하고 조직하는 활동 구

체 인 사실에서 진 으로 추상화로 나아가는 과정 직 이나 구체 인

조작 활동에 바탕을 둔 통찰 등의 수학 경험을 통하여 형식이나 계를

발견하는 것이 요하다 한 수학 문제를 해결하는 과정에서 문제를 명

확히 이해하고 합리 인 해결 계획을 세워 실행하며 반성을 통하여 풀이 과

정을 검하고 다양하게 활용하는 능력을 기르도록 한다 수학 지식과 기

능을 활용하여 여러 가지 문제를 해결해 으로써 수학의 필요성과 유용성

을 인식하고 수학 학습의 즐거움을 경험해 으로써 수학에 한 정 인

태도를 갖게 한다

역 내 용

행렬과 그래

행렬과 그 연산

연립일차방정식과 행렬

그래 와 행렬

지수함수와 로그함수

지수

지수함수와 그 그래

지수방정식과 지수부등식

로그

2) 목 표

수학 개념 원리 법칙을 이해하고 수학 으로 사고하고 의사소통하는

능력을 신장하여 여러 가지 문제를 합리 이고 창의 으로 해결하며 수학

의 실용성을 인식하여 수학에 한 정 태도를 갖는다

(1) 수학Ⅰ의 학습을 통해 얻는 여러 가지 장

(가) 행렬과 그래 지수함수와 로그함수 수열 수열의 극한에 련된 개

념 원리 법칙과 이들 사이의 계를 이해하고 이를 활용하는 능력을 기른

다 여러 가지 상을 찰 분석 조직하여 수학 으로 나타내는 능력을 기

른다

(나) 수학을 통하여 여러 가지 문제를 합리 으로 해결하는 능력과 수학

으로 사고하고 의사소통하는 능력을 기른다

(다) 수학의 가치를 이해하여 수학에 한 심과 흥미를 지속 으로 가지

며 수학에 한 정 태도를 기른다

3) 내 용

⑴ 내용체계

로그함수와 그 그래

로그방정식과 로그부등식

수열

등차수열과 등비수열

여러 가지 수열

수학 귀납법

알고리즘과 순서도

수열의 극한무한수열의 극한

무한 수

[표1 수학Ⅰ교과서 내용체계]

4) 평 가

(1) 평가

(가) 수학 학습의 평가는 학생의 인지 역과 정의 역에 한 유용한

정보를 제공하여 학생 개개인의 수학 학습과 인 인 성장을 돕고 교사의

교수 활동과 수업 방법을 개선하는 데 활용한다

(나) 수학 학습의 평가에서는 학생의 인지 발달 수 을 고려하고 교육과정에

제시된 내용의 수 과 범 를 수한다

(다) 수학 학습의 평가는 수업의 개 과정에 따라 진단 평가 형성 평가 총

평가 등의 한 평가 방식을 택하여 실시하되 지속 인 평가를 통하여

다양한 정보를 수집하고 수업에 활용한다

(라) 수학 학습의 평가에서는 획일 인 방법을 지양하고 지필 평가 찰 면

담 자기 평가 등의 다양한 평가 방법을 통해 수학 교수ㆍ학습을 향상시킬

수 있게 한다

(마) 인지 역에 한 평가에서는 학생의 수학 사고력 신장을 하여 결

과뿐만 아니라 과정도 시하여 평가하되 수학의 교수학습에서 반 으

교과서 학습목표

한교과서

(주)

등차수열 등비수열의 뜻을 알고 일반항 첫째항부터 제 n항까지

의 합을 구할 수 있다

sum의 뜻과 성질을 이해하고 이를 활용하여 여러 가지 수열에

한 문제를 해결할 수 있다

수학 귀납법의 원리를 이해하고 이를 활용하여 자연수 n에

하여 참인 명제를 증명할 수 있다

알고리즘과 순서도의 뜻을 알고 간단한 문제 해결을 한 알고

리즘을 작성하여 순서도를 만들 수 있다

(주) 천재교육

등차수열과 등비수열의 뜻을 알고 일반항과 첫째항부터 제 n항

까지의 합을 구할 수 있다

기호 sum의 뜻과 성질을 이해하고 이를 활용할 수 있다

여러 가지 수열의 일반항과 첫째항부터 제 n항까지의 합을 구

할 수 있다

여러 가지 수열에 한 문제를 해결할 수 있다

수학 귀납법의 원리를 이해하고 이를 이용하여 자연수 n에

하여 참인 명제를 증명할 수 있다

로 요구되는 사항을 강조한다

(바) 정의 역에 한 평가에서는 학생의 수학에 한 정 태도를 신장

시키기 하여 학생의 수학에 한 바람직한 가치 이나 수학 학습에 한

심 흥미 자신감 등의 정도를 악한다

(사) 수학 학습의 평가에서는 평가하는 학습 내용에 따라 학생에게 계산기

컴퓨터와 같은 공학 도구와 다양한 교구를 이용할 수 있는 기회를 제공할

수 있다

2 고등학교 수학 1 수열단원의 학습목표

수학 Ⅰ교과서에서의 수열단원의 학습목표를 5종 교과서를 비교하여 살펴

보고자한다 임의로 선택된 5종 교과서([5][8][12][13][14])의 학습목표는

다음과 같다

알고리즘과 순서도의 뜻을 알고 그 필요성을 이해할 수 있다

간단한 문제 해결을 한 알고리즘을 작성하여 순서도를 만들

수 있다

앙교육진흥

연구소

수열을 이해하고 이를 활용하여 여러 가지 문제를 해결할 수 있

다

수학 귀납법의 원리를 이해하고 이것을 이용하여 자연수 n에

하여 참인 명제를 증명할 수 있다

알고리즘과 순서도의 뜻을 알고 간단한 문제 해결에 사용할 수

있다

(주) 고려출

등차수열의 뜻을 알고일반항 첫째항부터 제 항까지의 합을 구

할 수 있다

등비수열의 뜻을 알고일반항 첫째항부터 제 항까지의 합을 구

할 수 있다

sum의 뜻과 성질을 이해하고 이를 활용할 수 있다

여러 가지 수열의 일반항 첫째항부터 제 항까지의 합을 구할

수 있다

여러 가지 수열에 한 문제를 해결할 수 있다

수학 귀납법의 원리를 성명하고 수학 귀납법을 이용하여 자연

수 에 하여 참인 명제를 증명할 수 있다

알고리즘과 순서도의 뜻을 알고 그 필요성을 알 수 있고 간단

한 문제 해결을 한 알고리즘을 작성하여 순서도를 만들 수 있다

(주) 두산

등차수열과 등비수열의 뜻을 알고 일반항과 그 합을 구할 수 있

다

기호sum의 뜻과 성질을 이해하고 이를 이용하여 여러 가지 수열

에 한 문제를 해결할 수 있다

수학 귀납법의 원리를 이해하고 이를 이용하여 자연수 에

하여 참인 명제를 증명할 수 있다

알고리즘과 순서도의 뜻을 알고 간단한 문제 해결을 한 알고

리즘을 작성하여 순서도를 만들 수 있다

[표2 5종 교과서 수학 Ⅰ 수열 단원의 학습목표]

Ⅲ 수열의 역사 배경 응용

1 수열의 역사

수학의 역사에서 가장 흥미로운 수열 하나가 피보나치수열이다 피보나

치수열은 수학이론 뿐만 아니라 자연계 건축 술 등에 다양하게 표 된

다

그 에 오나르도가 발표한《산반서》에 소개된 피보나치수열에 한 문

제는 다음과 같다 ([6]) ldquo어떤 사람이 토끼 한 을 우리에 넣었다 이 토

끼 한 은 한 달에 새로운 토끼 한 을 낳고 낳은 토끼들도 한 달이 지

나면 다시 한 의 토끼를 낳는다 그 다면 1년이 지나면 몇 의 토끼가

있을까rdquo

첫 달엔 처음에 있던 토끼 한 만 있다 두 번째 달이 되면 토끼 한 을

낳아 두 의 토끼가 된다 세 번째 달이 되면 처음에 있던 토끼 한 이

한 의 토끼를 낳아 세 의 토끼가 된다 네 번째 달이 되면 첫

달과 두 번째 달의 토끼 두 이 각 한 의 토끼를 낳아 총 다섯 의

토끼가 있게 된다 이런 식으로 토끼를 낳아가면 그 수는 다음과 같은 규

칙을 갖는다 　　　　　　　　　　 이런 규칙을 갖는 피보나치수열의

일반항을 이라고 하면 　 　 　 　 가 된다

그런데 이 수열을 자연에서도 쉽게 찾아볼 수 있다 식물의 기에서 뻗어

나온 잎을 생각해 보면 기의 에 있는 잎 하나에서 수직으로 에 있

는 잎까지 도달할 때까지 기를 따라 올라가면서 잎의 개수를 세면 그

수들은 일반 으로 피보나치수열을 이룬다

[그림1 피보나치수열]

2 수열 단원이 실생활에 응용된 사례

1) 하노이의 탑

인도 갠지스 강 유역 라만교의 사원에 있었던 하노이의 탑은 라만

탑이라고도 부르는데 이 탑에 얽힌 문제의 내용은 다음과 같다 다음은

([10])의 내용을 참고하 다

[베나 스에는 세계의 심이 있고 그 곳에는 아주 큰 사원이 있으며 이

사원에는 높이 정도 되는 다이아몬드 바늘 3개가 있다 그 에서 한

바늘에는 천지 창조 때에 신이 구멍이 뚫린 64장의 순 으로 된 원 을 크

기가 큰 것부터 아래에 놓이도록 하여 차례로 쌓아 놓았다 그리고 신은

승려들에게 밤낮으로 쉬지 않고 원 을 한 장씩 옮겨 빈 다이아몬드 바늘

어느 한 곳으로 모두 옮겨 놓도록 명령하 다

ldquo원 은 한 번에 한 개씩만 옮겨야 하고 로 작은 원 에 큰 원

을 올려놓을 수 없다 단 64개의 원 의 크기는 모두 다르다 이 말을 충

실히 실행하고 한 순간도 게을리 하지 마라 만일 게을리 하는 일이 있으

면 그 때는 이 사원도 탑도 모두 무 지고 세계는 종말을 고하게 된다 게

을리 하는 일이 없으면 그 들이 원 을 부 옮길 때까지 세상은 태평할

것이다rdquo]

승려들은 과제를 수행하기 해 밤낮으로 매우 열심히 작업을 했다 그 작

업을 끝내기 해서 승려들은 몇 번을 움직여야 하고 얼마나 많은 시간을

사용해야만 했을까

[그림2 하노이의 탑]

원 이 1개가 있으면 최소 이동 횟수는 1번 원 이 2개가 있을 때 최소

이동 횟수는 3번이고 원 이 3개가 있으면 최소 이동 횟수는 7번이다

원 이 4개가 있으면 최소 이동 횟수는 15번이다 이런 식으로 계속 해나

가다 보면 　　　　　　　 라는 수열을 얻는다 이것은 각 항의 차이가

계차수열을 이루는데 이것은 다음과 같다 　　　　　　일반항을 으로 두

고 구해보면 　 　times 　 　 이다 처음 값을 으로 두고 일반항을

구해보면 　

이 된다

만약 그 설 로 따라가서 수도승들이 쉬지 않고 디스크를 1 에 한번

씩 옮겼다면 최소의 이동횟수는 이 되고 18446744073709551616

가 걸리고 략 5854억4200만년이 필요하다는 것을 알 수 있다

원 이자 원리합계(=원 +이자)

1년 원 원 원

2년 원 원 원

3년 원 원 원

년 원 100원 원

2) 등차수열의 응용

(1) 단리법

단리법은 처음 원 의 이자에 해당하는 비율만큼 계속 되는 계산법이

다 1000원을 했다면 1년이 지날 때마다 10 의 이자가 붙는다고 하

자 1년이 지났을 때 10 의 이자가 붙으면 100원 불어나므로 1000 +

1000 times 01 = 1100(원) 이다 그리고 1년2년 년이 지날 때 마다

값을 측정해보면 다음과 같다

[표3 단리법]

최종 으로 원 을 라 하고 연이율을 이라고 한다면

결국 년이 되었을 때 단리법으로 표 하면 그 때의 총 합 는

이 된다

3) 등비수열의 응용

(1) 복리법

복리법은 원 에 이자가 된 원리합계를 기 으로 이자를 계산하는 방

법이다 원을 했다면 1년이 지날 때마다 의 이자가 붙는다고

원 이자원리합계

(=원 +이자)

1년 원 원 원

2년 원 원 원

3년 원 원 원

년 원 times원 원

하자 1년이 지났을 때 의 이자가 붙으면 원 불어나므로

times (원) 이다 그리고 1년2년 년이 지날 때 마

다 값을 측정해보면 다음과 같다

[표4 복리법]

최종 으로 원 을 라 하고 연이율을 이라고 한다면

따라서 년이 지나면 이 된다 그때의 총 합 는 이

다

4) 황 비율

에서 언 했던 피보나치수열 　　　　　　　　　　에서 번째 항

을 번째 항으로 나 어 보자

　 　

　 　

　 　

　 　

　 　

　 　 이런 식으로 계속 해나가다 보면

이 수가 061803 에 근사하게 된다 고 그리스인들은 이 수에 lsquo황 비

율rsquo라는 이름을 붙 다 이것은 인간이 보기에 가장 아름다운 비율이라 하

여 여러 분야에서 사용되고 있다

(1) 황 비의 이용

약 100년 페히 라는 독일의 심리학자는 수백 명의 사람들에게 여러

종류의 직사각형을 보여 다음 마음에 드는 것을 선택하게 하는 실험을

했다 그런데 그 결과 부분의 사람이 황 직사각형을 선택했다고 발표했

다 ([6])

실험에 의하면 황 비는 사람들이 가장 편안하고 아름답게 느끼는 비율로

알려져 있으며 이런 이유 때문에 옛 부터 건축과 미술 음악 등에서 자주

이용되어 왔다

(가) 건축

기원 2000년경의 이집트 《린드 피루스》에 보면 기원 4700년에 기

자의 피라미드를 건설할 때 이 수를 lsquo신성한 비율rsquo로 사용했다고 한다

의 측량 기술로 측정해보니 피라미드 의 심에서 의 모서리까지

그리고 경사면까지 거의 정확하게 0618이었다 ([6])

피라미드는 인류역사를 통해서 사람들을 가장 매료시켜온 건축물 의 하

나이다 그 규모의 장 함에서도 사람을 압도하는 것이 있지만 그 형태 자

체가 고도한 수학을 배경으로 한 것으로서 우리가 알고 있는 5천년 의 지

식수 으로서는 불가사의한 것 의 하나이다

[그림3 피라미드 황 비]

(나) 음악에서의 활용

음악에서 한 옥타 는 [도 미 솔 라 시 도] 의 8음계로 이루어져 있

다 피아노의 건반은 한 옥타 를 13개의 음으로 나 어 표 하고 있으며

이 하얀 건반이 8개 검은 건반이 5개 있고 하얀 건반은 3개와 5개 검

은 건반은 2개와 3개로 구분되어 있다 여기에서 나타나는 2 3 5 8 13

은 에서 보인 피보나치수열이다

[그림4 피아노건반황 비율]

(2) 인체에서의 황 비율

황 분할은 우리의 인체 속에서도 찾아볼 수 있다 인간의 신체가 이 비율

에 의해서 분할되어 있으며 이것이 아름다운 몸의 보편 기 이 되고 있

다 아래 그림은 Le Corbusier가 찾아낸 이상 인간의 각 신체부 의 비율

이다 이것은 오나르도 다빈치의 인체비율에 한 그림에서도 찾아 볼

수 있다 이 뿐만 아니라 인체의 각 부 들도 그 자체 황 분할을 이루

고 있다

[그림5 인체 황 비율]

앞에서 제시한 황 비율을 사용한 시들 이외에도 우리 주변에 아주 많

이 있다

교과서 차례

한교과서(주)

Ⅳ 수열

1 등차수열과 등비수열

2 여러 가지 수열

3 수학 귀납법

4 알고리즘과 순서도

(주) 천재교육

Ⅲ 수열

1 등차수열과 등비수열

2 여러 가지 수열

3 수학 귀납법

4 알고리즘과 순서도

Ⅳ 고등학교 수학교육과정에서의 수열

1 수학Ⅰ 교과서 분석

고등학교 2학년이 학습하는 lsquo수학 Ⅰrsquo은 국민 공통 기본 교육 기간의 10단계

수학을 이수한 학생들이 보다 문 인 진로를 고려하고 보다 높은 수 의

수학을 학습하기 해 설정된 심화 선택 과목이며 lsquo수학 Ⅱrsquo를 학습하기 한

단계이다 lsquo수학 Ⅰrsquo의 내용은 수 역에서 지수와 로그 행렬 수열이

실려있고 해석 역에서 수열의 극한 지수로그 함수가 수록되어 있으며

확률과 통계 역에서 순열과 조합 확률 통계 등으로 구성되어 있다 특히

수 역에 해당하는 수열은 여러 가지 수열에 한 성질을 이해하고 그것

을 일반화 하는 과정에 을 두어 지도하도록 하고 있으며 계차수열은 등

차수열이나 등비수열이 되는 경우만 다룬다 ([2])

1) 수학 Ⅰ 5종 교과서의 차례 단원 배열

앙교육진흥연구소

Ⅲ 수열

1 등차수열과 등비수열

2 여러 가지 수열

3 수학 귀납법

4 알고리즘과 순서도

(주) 고려출

Ⅲ 수열

1 등차수열과 등비수열

2 여러 가지 수열

3 수학 귀납법과 순서도

(주) 두산

Ⅲ 수열

1 등차수열과 등비수열

2 여러 가지 수열

3 수학 귀납법

4 알고리즘과 순서도

[표5 수학 Ⅰ 5종교과서의 차례]

의 표에서 본 것과 같이 임의로 선택된 5종의 고등학교 수학 Ⅰ 교과서의

차례는 거의 비슷한 양상을 보 다 부분의 교과서에선 1단원 지수와 로

그 2단원 행렬 3단원 수열 순의 순서를 보 고 한교과서외의 몇몇

교과서에선 1단원 지수와 로그 2단원 지수로그함수 3단원 행렬 4단원 수

열 순의 순서를 보 다 수열단원의 세부 단원 차례는 1 등차수열과

등비수열 2 여러 가지 수열 3 수학 귀납법 4 알고리즘과 순서도 는

34 단원을 한 단원으로 해서 3 수학 귀납법과 순서도의 순서로 다루는

은 비슷했다

2) 교과서에 제시된 수열 련 자료

한교과서

(주)

피타고라스(Pythagoras 572～492 BC) 피타고라스의 정리

로 잘 알려져 있고 소수나 완 수의 규칙성에 해서도 많은 연

구를 하 다

바스카라(Bhaskara A 1114～1185) 인도의 수학자로

임을 증명하 고 피타고라스의 정리를 기하학

으로 증명하 다

피보나치(Fibonacci 1180～1250) 이탈리아의 수학자로 자연

속에서 많이 볼 수 있는 피보나치 수열을 발견하 다

스칼(Pascal B 1623～1662 ) 랑스의 수학자로 수학

귀납법을 발견하 고 사 기하학을 창시하 다

푸리에(Fourier J B J 1768～1830) 랑스의 수학자로 음양

학 학 기역학 열역학 등의 연구에 매우 요한 푸리에

수를 연구하 다

가우스(Gauss K F 1777～1855) 수학 통계학 등의 다방

면에 많은 업 을 이루었고 역사상 가장 한 수학자 의 한

사람으로 불리워지고 있다

비주얼 베이직(Visual BASIC)

을 이용한 Programming

하노이의 탑

(주)

천재교육

가우스(Gauss K F 1777～1855) 독일의 수학자인 가우스는

수학의 각 방면에 많은 업 을 남겨 수학의 아버지라 일컬

어지고 있다 그는 계산의 천재로 알려져 있는데 이에 한 유명

한 일화가 있다 등학교 때 부터 까지의 합을 구하는 문

제에서 다른 학생들이 직 하나하나 계산하는 동안 가우스는

　 　 　　　　 이 모두 임을 이용하여

times 이라는 답을 이끌어 내었다 이러한 방식은 수열

의 합을 계산할 때 사용하는 방식 의 하나이다

하노이의 탑을 이용한 수열의 귀납 정의

임의로 선택된 5종 교과서들의 수열단원에서 학생들의 수열 단원의 이해를

돕기 해 수록된 수학자들에 한 설명과 기타 자료들은 다음과 같다

도미노 이론 - 수학 귀납법의 다른 표

피보나치수열 - 토끼 수 증가 문제

앙교육

진흥연구소

삼각수 사각수 문제

피보나치(Fibonacci 1180～1250)

가우스(Gauss K F 1777～1855)

음악과 수학 - 작곡가 바흐(Bach)의 요 업 으로 평균율을

들 수 있다 평균율이란 1옥타 즉 lsquo도rsquo와 lsquo도rsquo의 사이를 개의

반음으로 나 고 처음 lsquo도rsquo의 진동수를 이라 하면 그에 일정한

수를 더해 제곱하여 옥타 의 lsquo도rsquo의 진동수를 얻는 것을

말한다 수식으로는 로 나타낼 수 있고 이 등식을

만족하는 의 값이 평균율이다

(주)

고려출

티티우스-보데 수열 -

수열 　　　　　　　　의 각 항에 각각 를 더한 후

으로 나 수들을 나열한 것 　　　　　　　 를

티티우스-보데 수열이라 한다 이수열의 각 항은 태양에서 행성

까지의 실제 거리와 비슷한 것으로 1766년 티티우스(Titius)라는

독일의 천문학자가 발견하 다

제갈량의 군 에 한 을 통한 등비수열의 합

피보나치 수열

휴먼 로 - 휴먼 로 의 제작은 복잡한 여러 가지 알고리즘

과 순서도에 바탕을 두고 있다 알고리즘의 요성은 자계산기

이 부터 실제 으로 존재했다 그 로 최 공약수 계산에 한

유클리드의 알고리즘이 있다 한 가우스와 같은 부분의 수학

자들은 역사 으로 많은 양을 처리하는 효율 인 알고리즘에

심을 가졌다 이러한 알고리즘을 보다 효율 으로 이용하여 재

의 컴퓨터 시 를 구축했다

(주) 두산

피보나치(Fibonacci 1180～1250)는 이탈리아의 피사에서 태

어난 수학자이다 부친이 상업에 종사하 기 때문에 피보나치는

이집트 시칠리아 그리스 시리아 등 다양한 지역을 여행할 수

있었고 이 때 다양한 수학을 하게 되었다 1202년 피사로 돌아

온 피보나치는 「산반서(Liber abaci)」를 술하 다 1228년에

는 「산반서 2 」을 술하 는데 이 책에서 정수와 분수의 계

산 제곱근과 세제곱근 일차와 이차방정식의 풀이 등을 다루었다

고 한다 특히 이 책에 나오는 「피보나치의 수열」은 매우 흥미

로운 수열로 요한 성질을 많이 가지고 있다

1에서 100까지 자연수를 모두 합하면 얼마일까

가우스(Gauss KF 1777～1855) 가우스는 수론 해석학 확

률론 천문학 물리학 등 다양한 분야에 뛰어난 수학자이었다 특

히 그의 수론 연구는 19세기 수학 체계의 확립에 크게 공헌하

다

피타고라스(Pythagoras 572～492 BC) 피타고라스는 음의

높이에 따른 진동수의 비가 일정함을 발견하 다

페아노(Peano G 1858～1932) 자연수의 성질을 추상화 하여

페아노의 공리계를 만들었다 이 공리계의 제 5공리가 수학 귀

납법의 원리이다

피보나치의 수열

알콰리즈미(Alkhwarizmi 780～850) 알고리즘이란 말은 세

아라비아의 수학자 알콰리즈미의 이름에서 유래된 것으로서 그가

십진법으로 나타낸 수의 계산에 용한 계산 방법에서 나온것이

다

[표6 5종 교과서에 제시된 수열 련 자료]

2 수학 Ⅰ 교과서에서의 수열

등차수열의 일반항

첫째항이 공차가 인 등차수열의 일반항 은

본 연구자가 임의로 선택한 5종 교과서 ([5][8][12][13][14]) 에서의

수열의 내 을 정리해보았다

1) 등차 수열과 등비 수열

(1) 수열의 뜻

어떤 규칙에 따라 순서 로 수를 늘어놓은 것을 수열이라 하고 그 수열을

이루는 각각의 수를 그 수열의 항이라고 한다 수열의 각 항을

앞에서부터 순서 로 제 1항 제 2항 제 3항 제 항

이라고 한다 특히 제 1항은 첫째항이라고도 한다

(2) 등차수열의 뜻

첫째항에 차례로 일정한 수를 더하여 만들어진 수열을 등차수열 이라하고

더한 일정한 수를 공차라고 한다

첫째항이 공차가 인 등차수열 에서

이므로 일반항 은 다음과 같이 나타낼 수 있다

(3) 등차수열의 합

등차수열의 합

첫째항이 공차가 끝항이 인 등차수열의 첫째항부터 제 항까지의

합 은

첫째항이 공차가 등차수열 에서 첫째항 부터 제 항 까지의 합

을 토론하기의 방법을 이용하여 구해보자

　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　①

더하는 순서를 거꾸로 하면

　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　②

①②의 양변을 각각 더하면

　　

따라서 =

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　③

이때 제 항인 를 ③에 입하여 식을 다르게 나타낼수도

있다

이상을 정리하면 다음과 같다

(4) 수열의 합과 일반항

수열 에서 첫째항부터 제 항까지의 합을 이라 하면

ge 일때 　　

there4

수열의 합과 일반항의 계

수열 의 첫째항부터 제 항까지의 합을 이라 하면

(단 ge )

등비수열의 합

일때 이다

이상을 정리하면 다음과 같다

(5) 등비수열의 뜻

첫째항부터 시작하여 각 항의 바로 앞의 항에 일정한 수를 곱하여

만들어진 수열을 등비수열이라 하고 곱하는 일정한 수를 공비라고 한다

첫째항이 공비가 인 등비수열에서 첫째항부터 제 항까지의 합 은

다음과 같이 구한다

　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　①

①의 양변에 공비 을 곱하면

　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　②

①에서 ②를 같은 변끼리 빼면

따라서 ne 일때

인 경우 ①에서

　　

there4

이상을 정리하면 다음과 같다

첫째항이 공비가 인 등비수열의 첫째항부터 제 항까지의 합 은

① ne 일때

② 일때

자연수의 거듭제곱의 합

①

　　

②

　　

③

　　

2) 여러 가지 수열

(1) 합의 기호 sum

수열 에서 첫째항부터 제 항까지의 합

　　

을 일반항과 합의 기호 sum를 써서

　　

와 같이 나타낸다

이때

는 수열 의 일반항 의 에 　　　　　　을 차례로

입하여 얻은 항의 합으로 신 다른 문자를 사용하여

등과 같이 나타낼 수 있다

(2) 기호 sum 의 성질

합의 기호 sum 의 성질에 하여 알아보자

합의 기호 sum의 성질

①

(복부호동순)

②

(단 는 상수)

③

(단 는 상수)

　　

　　 　　

　　

마찬가지로

와

에 해서도 확인해 보면 sum 의 성질을

다음과 같이 정리할 수 있다

(3) 계차수열

일반 으로 수열 에서 이웃하는 두 항의 차

　　 을 일반항으로 하는 새로운 수열

　　　　　　　을 얻을 수 있는데 이 수열 을 원래의 수열 의

계차수열이라고 한다

수열 에 하여 그 계차수열을 이라 하면

　　

계차수열과 일반항

수열 의 계차수열을 이라 할때

(단 ge )

3) 수학 귀납법

(1) 수열의 귀납 정의

첫째항과 이웃하는 두 항 사이의 계식으로 수열을 정의하는 것을 수열의

귀납 정의 라고 한다

첫째항이 공차가 인 등차수열 은 다음이 성립한다

　ge 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　①

역으로 두 계식 ①이 주어지면 이 결정되고 차례로

가 결정된다 따라서 모든 자연수 에 하여 이 정해지므로 수열 이

정의 된다

①과 같이 의 값 과 의 계식을 화식이라고 한다

(2) 수학 귀납법

수학 귀납법은 이탈리아의 페아노에 의하여 설정된 자연수에 한 공리

수학 귀납법

자연수 에 한 명제 이 모든 자연수 에 하여 성립함을 증명하

려면 다음 ⅰ ⅱ 를 증명하면 된다

ⅰ 일때 명제 이 성립한다

ⅱ 일때 명제 이 성립한다고 가정하면 일때에도

명제 이 성립한다

다음과 같은 5번째 공리에 근거를 두고 있다

자연수의 집합 의 부분집합 가

ⅰ 　isin

ⅱ 　isin 이면 isin

(여기서 는 의 후자)

인 두 조건을 만족하면 이다

4) 알고리즘과 순서도

(1) 알고리즘과 순서도

어떤 문제를 해결하기 해서는 그 처리 순서를 정해야 하는데 이와 같이

문제 해결에 필요한 처리 과정의 순서를 단계 으로 정리한 것을 알고리즘

이라 하고 알고리즘을 알기 쉽게 기호를 써서 그림으로 나타낸 것을 순서도

라고 한다 일반 으로 어떤 문제를 해결하기 한 알고리즘은 여러 가지가

있을 수 있지만 정해진 유한번의 단계를 거치면 반드시 끝나야 하고 처리

과정의 순서가 명확해야 한다 한 순서도는 각 부분을 순서 계통 으로

나타냄으로써 작업 과정을 구나 쉽게 한 에 악할 수 있도록

작성되어야 한다 순서도는 다음과 같은 기호를 사용하여 작성한다

[표7 순서도의 기호]

(2) 알고리즘과 순서도의 작성

수열과 련된 순서도를 작성할 때에는 다음과 같은 방법을 고려한다

(가) 항수를 항을 수열의 합을 로 나타낸다

(나) 제시된 항의 번호까지 루 를 용한다

(다) 제시된 항의 번호에 하여 단 기호를 이용한다

(라) 구하려는 는 를 인쇄하고 끝낸다

주의환기

집 을

한 략

지각

주의환기의

략

시청각 효과의 사용

비일상 인 내용이나 사건 제시

주의 분산의 자극 지양

탐구

주의환기의

략

능동 반응 유도

문제해결 활동의 구상 장려

신비감의 제공

다양성의

략

간결하고 다양한 교수형태 사용

일방 교수와 상호작용 교수의 혼합

교수자료의 변화 추구

목표-내용-방법이 기능 으로 통합

련성

증진을

한

략

친 성의

략

친 한 인물 혹은 사건 활용

구체 이고 친숙한 그림 활용

친 한 문 배경 지식 활용

목 지향성

의 략

실용성에 을 둔 목표 제시

목 지향 인 학습형태 활용

Ⅴ 러의 ARCS 이론과 수열 지도

1 러의 ARCS 이론

1) ARCS 이론의 특징

(1) 이론 배경

다음은 ([4])의 내용을 참고하 다

ldquo말을 물가로 데리고 갈 수는 있지만 물을 먹일 수는 없다rdquo는 속담처럼

하고자 하는 마음이 없으면 학습 효과를 기 할 수 없는 것은 당연한 사실

이다 이러한 생각의 근거에는 동기 유발의 개념이 자리 잡고 있다 동기

유발이란 어떤 활동을 진 지시 유지하려는 내 상태 는 과정을

포함한다 이 개념은 교육 심리학의 심 개념 의 하나이지만 직 찰

할 수 없는 것이기 때문에 인간의 행동을 보고 거기에서 유출해 내는 개념

이며 이에 한 정의는 바라보는 과 강조하는 내용에 따라 각기 다르

다

(2) ARCS 이론

목 의 선택 가능성 부여

필요나

동기와의

부합성 강조의

략

다양한 수 의 목 제시

학업성취 여부의 기록체제 활용

비경쟁 학습상황의 선택가능

동 상호 학습상황 제시

자신감

수립을

한 략

학습의

필요조건

제시의 략

수업의 목표와 구조의 제시

평가기 피드백의 제시

선수학습 능력의 단

시험의 조건 확인

성공의 기회

제시의 략

쉬운 것에서 어려운 것으로 과제 제시

정수 의 난이도 유지

다양한 수 의 시작 제공

무작 의 다양한 사건 제시

다양한 수 의 난이도 제공

개인

조 감

증 의 략

학습의 끝을 조 할 수 있는 기회 제시

학습속도의 조 가능

원하는 부분에로의 재빠른 회귀 가능

선택가능하고 다양한 과제의 난이도제공

노력이나 능력에 성공 귀착

만족감

증 를

한 략

자연 결과

강조의 략

연습문제를 통한 용기회 제공

후속학습상황을 통한 용기회 제공

모의상황을 통한 용기회 제공

정 결과

강조의 략

한 강화 계획의 활용

의미 있는 강화의 강조

정답을 한 보상 강조

외 보상의 사려 깊은 사용

선택 보상체제 활용

공정성

강조의 략

수업목표와 내용의 일 성 유지

연습과 시험 내용이 일치

[표8 ARCS 략] ([1])

2 ARCS 이론을 용한 수열 수업 계획서

다음은 ([1])의 ARCS 이론의 수업계획서를 참고하여 수열 단원의 수업

계획서를 작성해보았다

수업내용개 동기 략개 기타의견1 수업 기

체 으로 교사는 다양한 방법으로 학습자들

에게 수업 내용을 제시하고 학습자들에게

한 언어를 사용한다

수열의 활용에

한 학습목표

제시하기

교사는 학습자들의 련성을 높이기 해 학습

목표의 의미를 설명해 다

도표는 큰 씨를 사

용하고 핵심이 되는

단어에는 다른 색깔을

사용한다

수열의 활용의

이 과 평가

거를 제시하기

교사는 학습자들의 련성과 자신감 만족감

을 높이기 하여 이 수업이 끝난 후 그들이

무엇을 할 수 있는지에 해 알려 다

교사는 학습자들의 자신감과 만족감을 높이기

하여 성공 인 학습성취를 단할 수 있는 객

인 거들을 알려 다

교사는 학습자들의 만족감을 높이기 하여

그들이 주어진 과제를 성공 으로 해결했을 때

그에 따르는 내재 강화나 외재 보상이 있음

을 알려 다

수열의 정의와

해법에 한 지

식을 간략하게

확인하기

교사는 선수학습과의 련성을 유발하기 하

여 간략한 보조도구(인쇄매체)를 사용하여 수열

의 정의와 해법을 제시한다

교사는 소집단 토론을 실시하여 학습자들의

선수지식을 스스로 검해 보도록 한다

교사는 수열의 정의와 해법을 잘 모르는 학습

자들에게 자신감을 유발시키기 하여 개별 인

학습목표를 세우도록 한다

소집단 구성에 있어

서 주의집 이 매우

낮은 5명을 하나의 소

집단으로 구성하고

친근한 소재를 활용하

여 그들의 주의집 과

련성을 유발한다

실생활과 련

된 수열의 활용

문제들을 몇 가

지 소개하기

교사는 학습자들의 주의집 을 유지하기 해

실생활에서 연립방정식을 활용하여 해결할 수

있는 몇 가지 문제들을 제시한다

주의집 이 매우 낮은 5명의 학습자들이 수업

에 극 인 심을 보이지 않으면 교사는 그

들에게 친근한 목소리로 이름을 부르면서 수업

에 집 하라고 얘기 하고 개인 인 심을 갖

고 있음을 나타낸다

로써 활용되는 문

제들을 선택할 때 학

습자들이 알고 있거

나 그들에게 친근감

을 주는 소재가 포함

되도록 선택한다 이

때 지나치게 자심감

이 높아서 수업에 소

극 으로 참여하는 3

명의 학습자들에게는

다소 복잡한 수열의

활용 문제를 미리 제

공하여 생각할 기회를

다

수열의 활용에

한 학습자들의

이해정도를 악

하고 피드백을

제공하기

교사는 학습자들에게 자신감을 높이기 하여

소집단을 구성하여 학습자들이 수열의 활용에

해 어느 정도 이해하고 있는지를 서로 토론하

도록 한다

교사는 소집단별로 둘러보면서 자신감과 만족

감을 유발시키기 하여 학습자들간에 서로 도

움을 주도록 분 기를 형성한다

소집단별로 간략하게 토론이 끝나면 학습자

들 스스로 정리하도록 한다

토론결과 학습자들이 수열의 활용에 해 잘

못 이해하고 있다면 교사는 즉각 으로 교정

피드백을 제공한다

학습자들의 소집단

토론시간을 무 길게

소요하지 않도록 한

다 자칫하면 토론분

기가 산만해지기 쉽

고 토론이 활발하지

못한 경우에는 학습자

들의 학습의욕이 떨어

진다

2 수업 반 체 으로 교사는 다양한 방법으로 학습자

들에게 수업 내용을

제시하고 학습자들에게 개별 인 언어를 사용

한다

실생활과 련

된 수열의 활용

의 문제들을 구

체 으로 제시하

기

교사는 학습자들의 주의집 련성 자신감

만족감을 유지하기 하여 게임을 실시한다 학

습자들이 돌아가면서 임의로 다른 학습자를 지

명하면 지명받은 학습자가 실생활과 련된 수

열의 문제를 하나 제시한다 한 문제를 제

시한 학습자에게 학습태도 수를 주어 만족감

을 향상시킨다

교사는 학습자들이 제시한 여러 가지 문제들

을 칠 에 은 후 몇몇 소집단을 구성하여

그 문제들을 해결하기 해 인스토 을 하

도록 한다 이때 교사는 문제를 해결한 학습자

가 아직 해결하지 못한 학습자들을 도와주어 자

신감과 만족감을 갖도록 한다

인스토 이 진행되는 동안 교사는 교실

을 둘러보면서 학습자들이 질문이나 의문사항

에 해 극 으로 질문할 수 있는 기회를 제

공하고 그에 해 개별 인 언어를 사용하여

부드러운 목소리로 피드백을 제공한다

인스토 도 학습자들의 개인 인 능

력차가 커서 문제를 해결하는데 어려움을 겪는

학습자들에게는 그들에게 합한 개별 인 학습

이때 교사는 밝고

생동감이 넘치는 목소

리로 학습자들의 활동

을 진시킨다

교사는 학습자들이

한 자신감을 유지

하고 있는지에 해

지속 인 심을 갖고

지켜본다

이때 교사는 학습자

들의 자신감과 만족감

을 높이기 하여 그

들에게 일 성 있는

피드백을 제공한다

교사는 학습자들이

목표를 다시 선정하도록 하여 자신감을 향상시

킨다

인스토 이 끝나면 교사는 소집단 별로

한 사람씩 자발 으로 나와 문제를 풀고 풀이

과정을 체 학습자들에게 설명하도록 한다 이

때 어려운 문제를 해결한 소집단이나 학습자에

게 교사는 그들의 우수한 능력을 인정하고 내

재 인 자존심에 정 인 향을 주는 칭찬을

제공하여 자신감과 만족감을 높인다

소집단의 인스토

을 하는 동안 체

으로 문제풀이를 할

때 주의집 을 유지

하고 자신감과 만족

감의 향상을 악하기

해 끊임없이 그들과

시선을 교류하고 얼

굴표정을 찰한다

3 수업마무리 체 으로 교사는 다양한 방법으로 학습자

들에게 수업 내용을 제시하고 학습자들에게 개

별 인 언어를 사용한다

실생활과 련

된 수열의 활용

에 해 체

으로 정리 요

약하기

교사는 교탁을 탁탁 치거나 박수를 쳐서 다

소 떨어진 학습자들의 주의집 을 향상 시킨다

교사는 실생활 속에서 수열을 활용하여 해결

할 수 있는 간단하고 재미있는 문제들을 2～3개

제시하여 학습자들이 그 문제를 성공 으로 해

결함으로써 자신감과 만족감을 갖도록 한다

교사는 학습자들이 미처 생각하지 못했던 실

생활 속에서 수열과 연 된 다양한 들을 제공

하여 주의집 과 련성을 유지향상시킨다

교사는 자신감과 만족감을 향상시키기 해

학습자들에게 수업진행 에 그들이 설정한 개

인 인 학습목표에 해 얼마나 많이 달성했는

가를 스스로 검해 보라고 한다

교사는 수업 반에 수열의 문제를 잘 해결하

지 못했던 학습자들에게 그 문제를 다시 해결해

보도록 기회를 제공하여 자신감과 만족감을 높

여 다

평가에 있어서 교사는 학습자들이 그들의 성

에 해 공정하게 평가되었다고 느끼도록 일

성 있게 평가하여 그들의 자신감고 만족감을

높여 다

교사는 수열과 실생

활과의 련성에 해

학습자들이 잘 지각하

고 있는가를 알아보기

해 다소 진지한 목

소리로 질문한다

다음 학습내용

에 해 간략히

소개하기

교사는 학습자들의 흥미를 유지하기 하여

다음 학습내용에 해 호기심에 찬 목소리로 간

략하게 소개하고 수업을 끝낸다

[표9 러의 ARCS이론]

단원

단

원Ⅲ 수열

배정시간

(분)50

단

원1 등차수열과 등비수열

차시 3소단

원3) 등차수열과 등비수열의 활용

학습

목표등차수열과 등비수열을 실생활의 문제에 용할 수 있다

학습

단계학습내용

교수-학습활동 지도상의유의사

항교사활동 학생활동

도

입

15

분

인사

출석

주변을 정리 정돈

하여 수업분 기를

조성한다

인사 출석체크

를 한다

주의를 환기시킨

후 학생들과 인사

한다

출결석 여부를

확인한다

바른 자세로 주

변을 정리한 뒤

교사와 인사한다

수업 비를 한

다

교사와 학생

모두 함께 수업

분 기를 조성한

다

선수

학습

확인

지난 시간에 학습

한 등차수열과 등비

수열의 정의에 해

다시 한번 확인해본

다

지난 시간에 학습

한 등차수열과 등비

수열의 일반항을 구

하는 방법에 해 확

인학습으로 [문제1]

과 [문제2]를 풀어본

다

학생들의 자신감

을 높이기 하여

등차수열과 등비수

열의 정의를 교과

서에서 찾아본 후

큰소리로 답하게

한다

학생들이 답한

후 다시 한번 등차

수열과 등비수열에

해 간단히 설명

등차수열과 등

비수열의 정의를

교과서에 찾아본

후 큰소리로 읽는

다

교사가 등차수

열과 등비수열의

정의에 해 다시

한번 간단히 설명

할 때 부족한 부

분은 필기하며 복

습한다

교사가 정의에

해 질문할 때

학생들이 모두

책을 찾아볼수

있게 주의를

다

만일 답하

지 못하는 학생

이 있을 경우 그

여기서 인스토 (brainstorming)이라고 하는 것은 갑자기 떠오르는 멋

진 생각을 종이에 는다든가 말로 표 해 본 후 로 기록하거나 기록된

문장을 정리정돈하면서 생각을 논리화하는 방법이다 주로 어떤 계획을 세

우고자 할 때 창조 이고 기발한 아이디어가 필요할 때 학생들의 의견과

생각을 끌어내어 발 시키고자 할 때 사용하면 유리하다 ([3])

3 ARCS 이론을 용한 수업지도안

[문제1]

다음 등차수열

의 일반항과 제20항

을 구하여라

　　　　　　　

[문제2]

다음 등비수열

의 일반항과 제8항을

구하여라

　 　　　　　

한다

교사는 [문제1]

과[문제2]를 제시

한 뒤 학생들에게

직 풀어보게 한

다

등차수열과 등

비수열의 일반항

과 그 공식의 유

도과정을 기억한

다

제시된 문제를

연습장에 풀어본

다

학생에 해 개

별 인 언어를

사용하여 부드러

운 목소리로 피

드백을 제공한

다

개

30

분

학습

목표

제시

수열의 활용에

한 학습목표를 제시

한다

학습목표 학습

에 필요한 자료를

Power point 시청

각 효과를 사용하여

학생들의 주의환기

집 을 한 략

을 사용한다

학습목표를 학생

들에게 읽게 하고

학생들의 련성을

높이기 해 학습

목표의 의미를 설

명해 다

교사의 지시에

따라 큰소리로 학

습목표를 읽고 이

수업이 끝난 후

무엇을 할 수 있

는지에 해 생각

해 본다

학습목표는 큰

씨를 사용하

고 핵심이 되는

단어에는 다른

색깔을 사용한

다

탐구

학습

실생활과 련된

수열의 활용문제들을

몇 가지 소개한다

수열의 활용에

한 학습자들의 이해

정도를 악하고 피

드백을 제공한다

등차수열과 등비

수열을 이용하여

실생활의 문제를

해결할 수 있음을

학생들이 쉽게 이

해할 수 있도록 설

명한다

교사가 실생활

과 련된 수열의

활용문제들을 몇

가지 소개할 때

다른 시가 있는

지 함께 생각해

본다

문제

제시

[문제3]

한일 월드컵 축구 개

회 연도는 2002년이

다 2002년 이후 월

드컵 축구가 개최되

는 연도를 차례로 써

보고 이 규칙 로 월

드컵 축구가 개최되

면 2100년은 월드컵

축구가 개최되는 연

도인가

교과서에서 수열

단원의 수열의 활

용부분에 수록된

문제들을 풀어볼

수 있도록 시간을

다

등차수열과 등

비수열의 일반항

유도 공식을 생각

해보고 제시된 문

제를 해결해 간다

로써 활용되

는 문제를 선택

할 때 학습자들

이 알고 있거나

그들에게 친근감

을 주는 련성

증진을 한

략을 사용한다

[문제4]

컴퓨터의 주기억 장

치인 램은용

으로

용으로 가 개발

되었다 이후 램의

용 량 은

로 증가되어 왔다

의 램으로부터

번 증가된 주 메모

리는 식으로 어떻게

나타낼 수 있는가

학생들이 문제를

어렵게 느끼지 않

도록 어떤 방향으

로 해결해야 하는

지 힌트를 주어 학

생들의 자신감을

증진시킨다

소집

단

활동

5～6명으로 이 진

소집단을 구성하여

학습자들이 수열의

활용에 해 어느 정

도 이해하고 있는지

를 서로 토론하도록

한다

소집단별로 실생활

과 련된 수열의 활

용의 문제들을 구체

으로 제시한다

인 스토 이

끝나면 소집단별로

한사람씩 문제를 풀

고 풀이과정을 체

학생들에게 설명하는

시간을 갖는다

교사는 학생들의

만족감을 높이기

하여 그들이 주

어진 과제를 성공

으로 해결했을

때 그에 따르는

내재 강화나 외

재 보상이 있음

을 알려 다

어려운 문제를

해결한 소집단이나

학생에게 교사는

그들의 우수한 능

력을 인정하고 내

재 인 자존심에

정 인 향을

주는 칭찬을 제공

하여 자신감과 만

족감을 높인다

자신이 속한 소

집단 내에서 제시

된 과제에 해

열심히 토의를 하

며 문제를 해결한

학생이 아직 해결

하지 못한 학생들

을 도와주어 자신

감과 만족감을 갖

도록 한다

소집단별로 간

략하게 토론이 끝

나면 학생들 스스

로 정리해보고 자

발 으로 체 학

생들에게 설명해

보는 기회를 갖는

다

교사는 학습자

들이 한 자

신감을 유지하고

있는지에 해

지속 인 심을

갖고 지켜본다

학생들의 소집

단 토론시간을

무 길게 소요

하지 않도록 한

다

형성

평가

[문제4]

민수는 남 문의 기

와 지붕 한쪽 면이

사다리꼴 모양임을

찰하고 이 면에 있

는 기와의 개수를 알

아보고자 한다 기와

형 성 평 가 를

Power point로 제

시하고 학생들이

스스로 풀어볼 수

있도록 지도한다

학생들이 문제를

다 풀고 나면 교사

제시된 문제를

오늘 학습한 내용

을 복습하면서 풀

어보도록 한다

교사는 다소

진지한 목소리로

질문한다

의 개수를 행으로 세

었더니 용마루 쪽에

가장 가까운 행에는

40개 처마 쪽에 가

장 가까운 행에는 72

개 다 용마루부터

처마까지 행의 개수

가 17이라고 할 때

민수가 찰한 지붕

한쪽 면의 기와의 개

수는 모두 몇 개인

가

는 학생들에게

답할수 있도록 하

고 학생들이 학습

목표에 해 얼마

나 많이 달성했는

가를 스스로 검

해 보라고 한다

형성평가의 답

을 교사의 질문에

끝난 뒤 큰소리로

답하여 자신감

과 만족감을 갖도

록 한다

학생들에게 개

별 인 언어를

사용한다

정

리

5

분

학습

정리

차시

고

학습 자료를 이용

하여 수열의 실생활

의 활용 단원의 수업

내용을 확인한다

과제를 제시한다

다음 차시인 「여

러 가지 수열」 단원

에 한 고를 한

다

수업 내용을 정

리하고 과제를 제

시한다

학생들의 흥미를

유지하기 하여

다음 학습내용에

해 호기심에 찬

목소리로 간략하게

소개하고 수업을

끝낸다

오늘 학습한 내

용을 정리한다

과제를 고 과

제 해결에 한

내용을 머릿속에

형성해 본다

다음 차시에 배

울 내용을 학습

자료 화면으로 확

인해본다

수업내용에

해 학생과 교사

모두가 만족하고

있는지 확인하고

공정한 평가를

한다

[표10 수업지도안]

4 조사 문제지 분석

고등학교 수학 Ⅰ 의 수열단원의 효율 인 지도방안의 연구를 하여 원

종고등학교 2학년 학생 100명을 상으로 조사 문제지 조사를 하 다 학

생들의 수학에 한 심과 수학에서 가장 어려워하는 부분을 알아볼 수

있었고 어떤 방식의 수업을 선호하는지도 알아볼 수 있었다

⑴ 수학에 얼마나 심이 있나요

① 매우 많다 ② 많다 ③ 보통이다 ④ 다 ⑤ 매우 다

수학과목에 매우 많은 심을 보이는 학생은 2로 매우 낮은 편이며

심이 있는 학생은 43로 학생의 반정도 다 수학과목에 심이 거

나 없는 학생은 54정도로 수학은 어려운 과목이라는 인식 때문에 심

이 은 것 같다

수학을 공부하는 가장 큰 이유에는75의 학생들이 학입시를 해서라

는 문항을 선택했다 기타 이유에는 교과서에 있어서 어쩔수 없이 한다

는 학생과 진리탐구를 해서라는 학생도 있었다

[그림6 조사문제지

(1)번 막 그래 ]

⑵ 수학을 공부하는 가장 큰 이유가 뭐라고 생각하나요

① 학입시를 해서

② 평소 수학에 흥미가 있어서

③ 실제 생활에 쓰기 해서

④ 주변에서 해야한다고 하니까

⑤ 기타 이유 (이유를 간단히 어주세요)

앞에 (1)번문항에서 수학에 심이 은 학생이 반 정도인것에 반해

수학공부가 필요하다고 느낀학생이 75정도로 수학공부가 필요하단건

느끼지만 어려운 과목이라는 인식이 부분인것 같다 수학과목도 재

는 과목이란 인식을 학생들이 가질수 있도록 노력해야겠다

[그림7 조사문제지

(2)번 막 그래 ]

⑶ 수학공부의 필요성에 해 어떻게 생각하나요

① 매우 필요하다 ② 조 필요하다 ③ 보통이다

④ 필요 없다 ⑤ 필요 없다

[그림8 조사문제지

(3)번 막 그래 ]

⑷ 수학을 공부하면서 가장 어려운 부분은 무엇이나요

① 복잡한 계산 과정 ② 외워야할 많은 공식들

③ 응용문제엔 어떤 공식을 용해야할지 ④ 다 어렵다

학생들이 수학과목이 어렵다고 느끼는 이유는 응용문제에 어떤 공식을

용해야 하는지를 몰라서 라는 답이 58로 가장 많았다 그 외에도

계산과정이 복잡하거나 외워야할 공식들이 많아서라는 답도 있었다

이해 주의 수업을 하고 단순한 공식의 암기 주의 수업을 탈피해야겠

다

수학수업을 하는데 효과 인 방법에는 선생님 주의 강의식 수업과 학

생 개인별 수업이 78로 가장 많았다 개념이나 공식유도과정을 설명할

땐 서를 하며 강의식 수업을 하고 문제풀이땐 학생들 개인별로 첨삭

지도를 하는게 효율 인것 같다

⑤ 기타이유 (이유를 간단히 어주세요)

[그림9 조사문제지

(4)번 막 그래 ]

⑸ 수학 수업을 하는 데 어떤 방법이 가장 효과 이라고 생각하나요

① 선생님 주의 강의식 수업

② 학생 개인별 수업

③ 모둠별 활동 수업

④ 기타 교재나 과제를 통한 수업

⑤ 기타(이유를 간단히 어주세요)

[그림10 조사문제지

(5)번 막 그래 ]

Ⅵ 결론

본 논문에서 지 까지 고등학교 2학년 학생들이 수학 Ⅰ 교육과정을 학습하

는데 가장 어려워하는 수열에 해 살펴보았다 먼 개정 교육과정에 명시

된 수학교육의 목표와 임의로 선택된 5종 교과서에서 수열 단원의 학습목표

를 살펴보았고 수열의 역사 배경과 실생활에 응용된 들을 정리해보았

다 한 5종 교과서에서 제시되어 있는 수열의 학습내용을 소단원 별로 정

리해보았다 임의로 선택된 5종 교과서안의 수열의 학습내용을 분석해보면

서 몇 몇 교과서에서 여러 가지 수열 단원에서 군 수열과 멱 수에 한 언

이 없거나 미약함을 알 수 있었다 본 연구자가 보기에 군 수열과 멱 수

부분은 실생활에 활용될 는 극히 작아 보이지만 학생들이 꼭 학습하고 넘

어가야 수열에 한 완벽한 학습이 될 수 있을 것이라 여겼는데 교과서에서

제시된 내용들로는 학생들이 충분히 이해할 수 없을 것 같았다

그리고 교과서에 제시된 문항의 수 이 입시와 동 떨어진다는 문제 이 있

었다 교과서에 제시된 문제가 부족하고 수 이 낮다 보니 실제로 학교에서

수업 때 보충 린트 물로 수업을 진행하고 간기말고사 때에도 교과서

외에서 많은 문제를 출제하는 모습을 볼 수 있었다 때문에 학생들이 교과서

보다는 문제집 주의 공부를 할 수 밖에 없는 듯 보 다 교과서가 학생들

과 교사의 요구에 부합할 수 있도록 새로운 내용들과 문제를 싣도록 해야

할 것이다

학생들이 수열 단원의 학습을 할 때 좀 더 효과 인 학습이 될 수 있도록

리의 동기설계이론 (ARCS 이론) 을 바탕으로 하여 수업 계획서와 1차시

의 수업 지도안을 작성해 보았다 한 작성한 수업 지도안으로 부천시 소재

의 한 고등학교에서 실제 수업을 진행해 보았을 때 학생들이 좀 더 수열에

해 친숙하게 느끼고 쉽게 이해하는 모습을 볼 수 있었다 본 연구자가

직 교사가 아니라 여러 반을 상으로 수열 단원의 모든 차시 수업에 용

하여 수업을 해볼 수 없었단 이 아쉬움으로 남는다

이와 같이 학생들의 주의 련성자신감만족감 증진을 한 수업을 함

으로써 학생들의 수학 학습 성취도의 향상을 기 할 수 있을 것이다 한

개발된 자료를 실제 수업에 용하는 경우의 효율성에 한 후속 연구가 체

계 이고 지속 으로 이루어져야 할 것이다

참 고 문 헌

[1] 구평회 META 구평회 교육학 2007

[2] 교육인 자원부 고시 제2007 - 79호[별책8] 2007

[3] 박인학 교사를 한 교수학습방법론 문사 1995

[4] 변 계 교수학습 이론의 이해 학지사 1999

[5] 우정호 외 5인 고등학교 수학 Ⅰ 한교과서(주) 2002

[6] 이 연 자연의 수학 열쇠 피보나치수열 로네시스 2006

[7] 이진화 지수로그함수의 지도에 한 연구 서강 학교 교육 학원 석사 학

논문 2006

[8] 임재훈 외 10인 고등학교 수학 Ⅰ (주)두산 2002

[9] 장 숙 고등학교 수학 Ⅰ 교과서의 통계단원 분석 실생활에의 용 경희

학교 교육 학원 석사 학 논문 2006

[10] 조해식 행렬 수열 수업에서의 수학사 도입에 한 연구 울산 학교 석사

학 논문 1998

[11] 차 자 수열 학습의 흥미 유발을 한 자료 연구 경성 학교 교육 학원 석

사 학 논문 2004

[12] 최 외 5인 고등학교 수학 Ⅰ 앙교육진흥연구소 2006

[13] 최상기 외 5인 고등학교 수학 Ⅰ (주)고려출 2002

[14] 최용 신 성 고등학교 수학 Ⅰ 천재교육(주) 2002

[15] 황혜정 외 5인 수학교육학 신론 문음사 2002

• Ⅰ 서론
• • 1 연구의 필요성과 목적
  • 2 연구의 제한점
  • • Ⅱ 개정 교육과정에서 명시된 수학Ⅰ교육의 목표
    • • 1 수학Ⅰ교육의 목표
      • 2 고등학교 수학 Ⅰ 수열 단원의 학습목표
      • • Ⅲ 수열의 역사적 배경 및 응용
        • • 1 수열의 역사
          • 2 수열 단원이 실생활에 응용된 사례
          • • Ⅳ 고등학교 수학교육과정에서의 수열
            • • 1 수학Ⅰ 교과서 분석
              • 2 수학Ⅰ 교과서에서의 수열
              • • Ⅴ 켈러의 ARCS 이론과 수열 지도
                • • 1 켈러의 ARCS 이론
                  • 2 ARCS 이론을 적용한 수열 수업 계획서
                  • 3 ARCS 이론을 적용한 수업 지도안
                  • 4 조사지 분석
                  • • Ⅵ 결론
                    • 참고문헌

Ⅱ 개정 교육과정에서 명시된

수학Ⅰ 교육의 목표

1 수학Ⅰ교육의 목표

교육인 자원부에 고시된 개정 교육과정([2])에서의 고등학교 수학Ⅰ과정

교육목표는 다음과 같다

1)성 격

lsquo수학 Ⅰrsquo의 학습을 통하여 수학 개념 원리 법칙을 이해하고 수학 사

고 능력을 키워 합리 이고 창의 으로 문제를 해결하는 능력과 태도를 기

를 수 있다

lsquo수학 Ⅰrsquo의 교수학습에서는 고등학교 1학년까지의 수학에서 습득한 수학

개념 원리 법칙을 토 로 하여 새로운 개념에 근해야 하므로 기본

인 수학 지식을 확인하고 활용하면서 발 인 학습이 이루어지도록 한

다 이 과정에서 여러 가지 상을 수학 으로 해석하고 조직하는 활동 구

체 인 사실에서 진 으로 추상화로 나아가는 과정 직 이나 구체 인

조작 활동에 바탕을 둔 통찰 등의 수학 경험을 통하여 형식이나 계를

발견하는 것이 요하다 한 수학 문제를 해결하는 과정에서 문제를 명

확히 이해하고 합리 인 해결 계획을 세워 실행하며 반성을 통하여 풀이 과

정을 검하고 다양하게 활용하는 능력을 기르도록 한다 수학 지식과 기

능을 활용하여 여러 가지 문제를 해결해 으로써 수학의 필요성과 유용성

을 인식하고 수학 학습의 즐거움을 경험해 으로써 수학에 한 정 인

태도를 갖게 한다

역 내 용

행렬과 그래

행렬과 그 연산

연립일차방정식과 행렬

그래 와 행렬

지수함수와 로그함수

지수

지수함수와 그 그래

지수방정식과 지수부등식

로그

2) 목 표

수학 개념 원리 법칙을 이해하고 수학 으로 사고하고 의사소통하는

능력을 신장하여 여러 가지 문제를 합리 이고 창의 으로 해결하며 수학

의 실용성을 인식하여 수학에 한 정 태도를 갖는다

(1) 수학Ⅰ의 학습을 통해 얻는 여러 가지 장

(가) 행렬과 그래 지수함수와 로그함수 수열 수열의 극한에 련된 개

념 원리 법칙과 이들 사이의 계를 이해하고 이를 활용하는 능력을 기른

다 여러 가지 상을 찰 분석 조직하여 수학 으로 나타내는 능력을 기

른다

(나) 수학을 통하여 여러 가지 문제를 합리 으로 해결하는 능력과 수학

으로 사고하고 의사소통하는 능력을 기른다

(다) 수학의 가치를 이해하여 수학에 한 심과 흥미를 지속 으로 가지

며 수학에 한 정 태도를 기른다

3) 내 용

⑴ 내용체계

로그함수와 그 그래

로그방정식과 로그부등식

수열

등차수열과 등비수열

여러 가지 수열

수학 귀납법

알고리즘과 순서도

수열의 극한무한수열의 극한

무한 수

[표1 수학Ⅰ교과서 내용체계]

4) 평 가

(1) 평가

(가) 수학 학습의 평가는 학생의 인지 역과 정의 역에 한 유용한

정보를 제공하여 학생 개개인의 수학 학습과 인 인 성장을 돕고 교사의

교수 활동과 수업 방법을 개선하는 데 활용한다

(나) 수학 학습의 평가에서는 학생의 인지 발달 수 을 고려하고 교육과정에

제시된 내용의 수 과 범 를 수한다

(다) 수학 학습의 평가는 수업의 개 과정에 따라 진단 평가 형성 평가 총

평가 등의 한 평가 방식을 택하여 실시하되 지속 인 평가를 통하여

다양한 정보를 수집하고 수업에 활용한다

(라) 수학 학습의 평가에서는 획일 인 방법을 지양하고 지필 평가 찰 면

담 자기 평가 등의 다양한 평가 방법을 통해 수학 교수ㆍ학습을 향상시킬

수 있게 한다

(마) 인지 역에 한 평가에서는 학생의 수학 사고력 신장을 하여 결

과뿐만 아니라 과정도 시하여 평가하되 수학의 교수학습에서 반 으

교과서 학습목표

한교과서

(주)

등차수열 등비수열의 뜻을 알고 일반항 첫째항부터 제 n항까지

의 합을 구할 수 있다

sum의 뜻과 성질을 이해하고 이를 활용하여 여러 가지 수열에

한 문제를 해결할 수 있다

수학 귀납법의 원리를 이해하고 이를 활용하여 자연수 n에

하여 참인 명제를 증명할 수 있다

알고리즘과 순서도의 뜻을 알고 간단한 문제 해결을 한 알고

리즘을 작성하여 순서도를 만들 수 있다

(주) 천재교육

등차수열과 등비수열의 뜻을 알고 일반항과 첫째항부터 제 n항

까지의 합을 구할 수 있다

기호 sum의 뜻과 성질을 이해하고 이를 활용할 수 있다

여러 가지 수열의 일반항과 첫째항부터 제 n항까지의 합을 구

할 수 있다

여러 가지 수열에 한 문제를 해결할 수 있다

수학 귀납법의 원리를 이해하고 이를 이용하여 자연수 n에

하여 참인 명제를 증명할 수 있다

로 요구되는 사항을 강조한다

(바) 정의 역에 한 평가에서는 학생의 수학에 한 정 태도를 신장

시키기 하여 학생의 수학에 한 바람직한 가치 이나 수학 학습에 한

심 흥미 자신감 등의 정도를 악한다

(사) 수학 학습의 평가에서는 평가하는 학습 내용에 따라 학생에게 계산기

컴퓨터와 같은 공학 도구와 다양한 교구를 이용할 수 있는 기회를 제공할

수 있다

2 고등학교 수학 1 수열단원의 학습목표

수학 Ⅰ교과서에서의 수열단원의 학습목표를 5종 교과서를 비교하여 살펴

보고자한다 임의로 선택된 5종 교과서([5][8][12][13][14])의 학습목표는

다음과 같다

알고리즘과 순서도의 뜻을 알고 그 필요성을 이해할 수 있다

간단한 문제 해결을 한 알고리즘을 작성하여 순서도를 만들

수 있다

앙교육진흥

연구소

수열을 이해하고 이를 활용하여 여러 가지 문제를 해결할 수 있

다

수학 귀납법의 원리를 이해하고 이것을 이용하여 자연수 n에

하여 참인 명제를 증명할 수 있다

알고리즘과 순서도의 뜻을 알고 간단한 문제 해결에 사용할 수

있다

(주) 고려출

등차수열의 뜻을 알고일반항 첫째항부터 제 항까지의 합을 구

할 수 있다

등비수열의 뜻을 알고일반항 첫째항부터 제 항까지의 합을 구

할 수 있다

sum의 뜻과 성질을 이해하고 이를 활용할 수 있다

여러 가지 수열의 일반항 첫째항부터 제 항까지의 합을 구할

수 있다

여러 가지 수열에 한 문제를 해결할 수 있다

수학 귀납법의 원리를 성명하고 수학 귀납법을 이용하여 자연

수 에 하여 참인 명제를 증명할 수 있다

알고리즘과 순서도의 뜻을 알고 그 필요성을 알 수 있고 간단

한 문제 해결을 한 알고리즘을 작성하여 순서도를 만들 수 있다

(주) 두산

등차수열과 등비수열의 뜻을 알고 일반항과 그 합을 구할 수 있

다

기호sum의 뜻과 성질을 이해하고 이를 이용하여 여러 가지 수열

에 한 문제를 해결할 수 있다

수학 귀납법의 원리를 이해하고 이를 이용하여 자연수 에

하여 참인 명제를 증명할 수 있다

알고리즘과 순서도의 뜻을 알고 간단한 문제 해결을 한 알고

리즘을 작성하여 순서도를 만들 수 있다

[표2 5종 교과서 수학 Ⅰ 수열 단원의 학습목표]

Ⅲ 수열의 역사 배경 응용

1 수열의 역사

수학의 역사에서 가장 흥미로운 수열 하나가 피보나치수열이다 피보나

치수열은 수학이론 뿐만 아니라 자연계 건축 술 등에 다양하게 표 된

다

그 에 오나르도가 발표한《산반서》에 소개된 피보나치수열에 한 문

제는 다음과 같다 ([6]) ldquo어떤 사람이 토끼 한 을 우리에 넣었다 이 토

끼 한 은 한 달에 새로운 토끼 한 을 낳고 낳은 토끼들도 한 달이 지

나면 다시 한 의 토끼를 낳는다 그 다면 1년이 지나면 몇 의 토끼가

있을까rdquo

첫 달엔 처음에 있던 토끼 한 만 있다 두 번째 달이 되면 토끼 한 을

낳아 두 의 토끼가 된다 세 번째 달이 되면 처음에 있던 토끼 한 이

한 의 토끼를 낳아 세 의 토끼가 된다 네 번째 달이 되면 첫

달과 두 번째 달의 토끼 두 이 각 한 의 토끼를 낳아 총 다섯 의

토끼가 있게 된다 이런 식으로 토끼를 낳아가면 그 수는 다음과 같은 규

칙을 갖는다 　　　　　　　　　　 이런 규칙을 갖는 피보나치수열의

일반항을 이라고 하면 　 　 　 　 가 된다

그런데 이 수열을 자연에서도 쉽게 찾아볼 수 있다 식물의 기에서 뻗어

나온 잎을 생각해 보면 기의 에 있는 잎 하나에서 수직으로 에 있

는 잎까지 도달할 때까지 기를 따라 올라가면서 잎의 개수를 세면 그

수들은 일반 으로 피보나치수열을 이룬다

[그림1 피보나치수열]

2 수열 단원이 실생활에 응용된 사례

1) 하노이의 탑

인도 갠지스 강 유역 라만교의 사원에 있었던 하노이의 탑은 라만

탑이라고도 부르는데 이 탑에 얽힌 문제의 내용은 다음과 같다 다음은

([10])의 내용을 참고하 다

[베나 스에는 세계의 심이 있고 그 곳에는 아주 큰 사원이 있으며 이

사원에는 높이 정도 되는 다이아몬드 바늘 3개가 있다 그 에서 한

바늘에는 천지 창조 때에 신이 구멍이 뚫린 64장의 순 으로 된 원 을 크

기가 큰 것부터 아래에 놓이도록 하여 차례로 쌓아 놓았다 그리고 신은

승려들에게 밤낮으로 쉬지 않고 원 을 한 장씩 옮겨 빈 다이아몬드 바늘

어느 한 곳으로 모두 옮겨 놓도록 명령하 다

ldquo원 은 한 번에 한 개씩만 옮겨야 하고 로 작은 원 에 큰 원

을 올려놓을 수 없다 단 64개의 원 의 크기는 모두 다르다 이 말을 충

실히 실행하고 한 순간도 게을리 하지 마라 만일 게을리 하는 일이 있으

면 그 때는 이 사원도 탑도 모두 무 지고 세계는 종말을 고하게 된다 게

을리 하는 일이 없으면 그 들이 원 을 부 옮길 때까지 세상은 태평할

것이다rdquo]

승려들은 과제를 수행하기 해 밤낮으로 매우 열심히 작업을 했다 그 작

업을 끝내기 해서 승려들은 몇 번을 움직여야 하고 얼마나 많은 시간을

사용해야만 했을까

[그림2 하노이의 탑]

원 이 1개가 있으면 최소 이동 횟수는 1번 원 이 2개가 있을 때 최소

이동 횟수는 3번이고 원 이 3개가 있으면 최소 이동 횟수는 7번이다

원 이 4개가 있으면 최소 이동 횟수는 15번이다 이런 식으로 계속 해나

가다 보면 　　　　　　　 라는 수열을 얻는다 이것은 각 항의 차이가

계차수열을 이루는데 이것은 다음과 같다 　　　　　　일반항을 으로 두

고 구해보면 　 　times 　 　 이다 처음 값을 으로 두고 일반항을

구해보면 　

이 된다

만약 그 설 로 따라가서 수도승들이 쉬지 않고 디스크를 1 에 한번

씩 옮겼다면 최소의 이동횟수는 이 되고 18446744073709551616

가 걸리고 략 5854억4200만년이 필요하다는 것을 알 수 있다

원 이자 원리합계(=원 +이자)

1년 원 원 원

2년 원 원 원

3년 원 원 원

년 원 100원 원

2) 등차수열의 응용

(1) 단리법

단리법은 처음 원 의 이자에 해당하는 비율만큼 계속 되는 계산법이

다 1000원을 했다면 1년이 지날 때마다 10 의 이자가 붙는다고 하

자 1년이 지났을 때 10 의 이자가 붙으면 100원 불어나므로 1000 +

1000 times 01 = 1100(원) 이다 그리고 1년2년 년이 지날 때 마다

값을 측정해보면 다음과 같다

[표3 단리법]

최종 으로 원 을 라 하고 연이율을 이라고 한다면

결국 년이 되었을 때 단리법으로 표 하면 그 때의 총 합 는

이 된다

3) 등비수열의 응용

(1) 복리법

복리법은 원 에 이자가 된 원리합계를 기 으로 이자를 계산하는 방

법이다 원을 했다면 1년이 지날 때마다 의 이자가 붙는다고

원 이자원리합계

(=원 +이자)

1년 원 원 원

2년 원 원 원

3년 원 원 원

년 원 times원 원

하자 1년이 지났을 때 의 이자가 붙으면 원 불어나므로

times (원) 이다 그리고 1년2년 년이 지날 때 마

다 값을 측정해보면 다음과 같다

[표4 복리법]

최종 으로 원 을 라 하고 연이율을 이라고 한다면

따라서 년이 지나면 이 된다 그때의 총 합 는 이

다

4) 황 비율

에서 언 했던 피보나치수열 　　　　　　　　　　에서 번째 항

을 번째 항으로 나 어 보자

　 　

　 　

　 　

　 　

　 　

　 　 이런 식으로 계속 해나가다 보면

이 수가 061803 에 근사하게 된다 고 그리스인들은 이 수에 lsquo황 비

율rsquo라는 이름을 붙 다 이것은 인간이 보기에 가장 아름다운 비율이라 하

여 여러 분야에서 사용되고 있다

(1) 황 비의 이용

약 100년 페히 라는 독일의 심리학자는 수백 명의 사람들에게 여러

종류의 직사각형을 보여 다음 마음에 드는 것을 선택하게 하는 실험을

했다 그런데 그 결과 부분의 사람이 황 직사각형을 선택했다고 발표했

다 ([6])

실험에 의하면 황 비는 사람들이 가장 편안하고 아름답게 느끼는 비율로

알려져 있으며 이런 이유 때문에 옛 부터 건축과 미술 음악 등에서 자주

이용되어 왔다

(가) 건축

기원 2000년경의 이집트 《린드 피루스》에 보면 기원 4700년에 기

자의 피라미드를 건설할 때 이 수를 lsquo신성한 비율rsquo로 사용했다고 한다

의 측량 기술로 측정해보니 피라미드 의 심에서 의 모서리까지

그리고 경사면까지 거의 정확하게 0618이었다 ([6])

피라미드는 인류역사를 통해서 사람들을 가장 매료시켜온 건축물 의 하

나이다 그 규모의 장 함에서도 사람을 압도하는 것이 있지만 그 형태 자

체가 고도한 수학을 배경으로 한 것으로서 우리가 알고 있는 5천년 의 지

식수 으로서는 불가사의한 것 의 하나이다

[그림3 피라미드 황 비]

(나) 음악에서의 활용

음악에서 한 옥타 는 [도 미 솔 라 시 도] 의 8음계로 이루어져 있

다 피아노의 건반은 한 옥타 를 13개의 음으로 나 어 표 하고 있으며

이 하얀 건반이 8개 검은 건반이 5개 있고 하얀 건반은 3개와 5개 검

은 건반은 2개와 3개로 구분되어 있다 여기에서 나타나는 2 3 5 8 13

은 에서 보인 피보나치수열이다

[그림4 피아노건반황 비율]

(2) 인체에서의 황 비율

황 분할은 우리의 인체 속에서도 찾아볼 수 있다 인간의 신체가 이 비율

에 의해서 분할되어 있으며 이것이 아름다운 몸의 보편 기 이 되고 있

다 아래 그림은 Le Corbusier가 찾아낸 이상 인간의 각 신체부 의 비율

이다 이것은 오나르도 다빈치의 인체비율에 한 그림에서도 찾아 볼

수 있다 이 뿐만 아니라 인체의 각 부 들도 그 자체 황 분할을 이루

고 있다

[그림5 인체 황 비율]

앞에서 제시한 황 비율을 사용한 시들 이외에도 우리 주변에 아주 많

이 있다

교과서 차례

한교과서(주)

Ⅳ 수열

1 등차수열과 등비수열

2 여러 가지 수열

3 수학 귀납법

4 알고리즘과 순서도

(주) 천재교육

Ⅲ 수열

1 등차수열과 등비수열

2 여러 가지 수열

3 수학 귀납법

4 알고리즘과 순서도

Ⅳ 고등학교 수학교육과정에서의 수열

1 수학Ⅰ 교과서 분석

고등학교 2학년이 학습하는 lsquo수학 Ⅰrsquo은 국민 공통 기본 교육 기간의 10단계

수학을 이수한 학생들이 보다 문 인 진로를 고려하고 보다 높은 수 의

수학을 학습하기 해 설정된 심화 선택 과목이며 lsquo수학 Ⅱrsquo를 학습하기 한

단계이다 lsquo수학 Ⅰrsquo의 내용은 수 역에서 지수와 로그 행렬 수열이

실려있고 해석 역에서 수열의 극한 지수로그 함수가 수록되어 있으며

확률과 통계 역에서 순열과 조합 확률 통계 등으로 구성되어 있다 특히

수 역에 해당하는 수열은 여러 가지 수열에 한 성질을 이해하고 그것

을 일반화 하는 과정에 을 두어 지도하도록 하고 있으며 계차수열은 등

차수열이나 등비수열이 되는 경우만 다룬다 ([2])

1) 수학 Ⅰ 5종 교과서의 차례 단원 배열

앙교육진흥연구소

Ⅲ 수열

1 등차수열과 등비수열

2 여러 가지 수열

3 수학 귀납법

4 알고리즘과 순서도

(주) 고려출

Ⅲ 수열

1 등차수열과 등비수열

2 여러 가지 수열

3 수학 귀납법과 순서도

(주) 두산

Ⅲ 수열

1 등차수열과 등비수열

2 여러 가지 수열

3 수학 귀납법

4 알고리즘과 순서도

[표5 수학 Ⅰ 5종교과서의 차례]

의 표에서 본 것과 같이 임의로 선택된 5종의 고등학교 수학 Ⅰ 교과서의

차례는 거의 비슷한 양상을 보 다 부분의 교과서에선 1단원 지수와 로

그 2단원 행렬 3단원 수열 순의 순서를 보 고 한교과서외의 몇몇

교과서에선 1단원 지수와 로그 2단원 지수로그함수 3단원 행렬 4단원 수

열 순의 순서를 보 다 수열단원의 세부 단원 차례는 1 등차수열과

등비수열 2 여러 가지 수열 3 수학 귀납법 4 알고리즘과 순서도 는

34 단원을 한 단원으로 해서 3 수학 귀납법과 순서도의 순서로 다루는

은 비슷했다

2) 교과서에 제시된 수열 련 자료

한교과서

(주)

피타고라스(Pythagoras 572～492 BC) 피타고라스의 정리

로 잘 알려져 있고 소수나 완 수의 규칙성에 해서도 많은 연

구를 하 다

바스카라(Bhaskara A 1114～1185) 인도의 수학자로

임을 증명하 고 피타고라스의 정리를 기하학

으로 증명하 다

피보나치(Fibonacci 1180～1250) 이탈리아의 수학자로 자연

속에서 많이 볼 수 있는 피보나치 수열을 발견하 다

스칼(Pascal B 1623～1662 ) 랑스의 수학자로 수학

귀납법을 발견하 고 사 기하학을 창시하 다

푸리에(Fourier J B J 1768～1830) 랑스의 수학자로 음양

학 학 기역학 열역학 등의 연구에 매우 요한 푸리에

수를 연구하 다

가우스(Gauss K F 1777～1855) 수학 통계학 등의 다방

면에 많은 업 을 이루었고 역사상 가장 한 수학자 의 한

사람으로 불리워지고 있다

비주얼 베이직(Visual BASIC)

을 이용한 Programming

하노이의 탑

(주)

천재교육

가우스(Gauss K F 1777～1855) 독일의 수학자인 가우스는

수학의 각 방면에 많은 업 을 남겨 수학의 아버지라 일컬

어지고 있다 그는 계산의 천재로 알려져 있는데 이에 한 유명

한 일화가 있다 등학교 때 부터 까지의 합을 구하는 문

제에서 다른 학생들이 직 하나하나 계산하는 동안 가우스는

　 　 　　　　 이 모두 임을 이용하여

times 이라는 답을 이끌어 내었다 이러한 방식은 수열

의 합을 계산할 때 사용하는 방식 의 하나이다

하노이의 탑을 이용한 수열의 귀납 정의

임의로 선택된 5종 교과서들의 수열단원에서 학생들의 수열 단원의 이해를

돕기 해 수록된 수학자들에 한 설명과 기타 자료들은 다음과 같다

도미노 이론 - 수학 귀납법의 다른 표

피보나치수열 - 토끼 수 증가 문제

앙교육

진흥연구소

삼각수 사각수 문제

피보나치(Fibonacci 1180～1250)

가우스(Gauss K F 1777～1855)

음악과 수학 - 작곡가 바흐(Bach)의 요 업 으로 평균율을

들 수 있다 평균율이란 1옥타 즉 lsquo도rsquo와 lsquo도rsquo의 사이를 개의

반음으로 나 고 처음 lsquo도rsquo의 진동수를 이라 하면 그에 일정한

수를 더해 제곱하여 옥타 의 lsquo도rsquo의 진동수를 얻는 것을

말한다 수식으로는 로 나타낼 수 있고 이 등식을

만족하는 의 값이 평균율이다

(주)

고려출

티티우스-보데 수열 -

수열 　　　　　　　　의 각 항에 각각 를 더한 후

으로 나 수들을 나열한 것 　　　　　　　 를

티티우스-보데 수열이라 한다 이수열의 각 항은 태양에서 행성

까지의 실제 거리와 비슷한 것으로 1766년 티티우스(Titius)라는

독일의 천문학자가 발견하 다

제갈량의 군 에 한 을 통한 등비수열의 합

피보나치 수열

휴먼 로 - 휴먼 로 의 제작은 복잡한 여러 가지 알고리즘

과 순서도에 바탕을 두고 있다 알고리즘의 요성은 자계산기

이 부터 실제 으로 존재했다 그 로 최 공약수 계산에 한

유클리드의 알고리즘이 있다 한 가우스와 같은 부분의 수학

자들은 역사 으로 많은 양을 처리하는 효율 인 알고리즘에

심을 가졌다 이러한 알고리즘을 보다 효율 으로 이용하여 재

의 컴퓨터 시 를 구축했다

(주) 두산

피보나치(Fibonacci 1180～1250)는 이탈리아의 피사에서 태

어난 수학자이다 부친이 상업에 종사하 기 때문에 피보나치는

이집트 시칠리아 그리스 시리아 등 다양한 지역을 여행할 수

있었고 이 때 다양한 수학을 하게 되었다 1202년 피사로 돌아

온 피보나치는 「산반서(Liber abaci)」를 술하 다 1228년에

는 「산반서 2 」을 술하 는데 이 책에서 정수와 분수의 계

산 제곱근과 세제곱근 일차와 이차방정식의 풀이 등을 다루었다

고 한다 특히 이 책에 나오는 「피보나치의 수열」은 매우 흥미

로운 수열로 요한 성질을 많이 가지고 있다

1에서 100까지 자연수를 모두 합하면 얼마일까

가우스(Gauss KF 1777～1855) 가우스는 수론 해석학 확

률론 천문학 물리학 등 다양한 분야에 뛰어난 수학자이었다 특

히 그의 수론 연구는 19세기 수학 체계의 확립에 크게 공헌하

다

피타고라스(Pythagoras 572～492 BC) 피타고라스는 음의

높이에 따른 진동수의 비가 일정함을 발견하 다

페아노(Peano G 1858～1932) 자연수의 성질을 추상화 하여

페아노의 공리계를 만들었다 이 공리계의 제 5공리가 수학 귀

납법의 원리이다

피보나치의 수열

알콰리즈미(Alkhwarizmi 780～850) 알고리즘이란 말은 세

아라비아의 수학자 알콰리즈미의 이름에서 유래된 것으로서 그가

십진법으로 나타낸 수의 계산에 용한 계산 방법에서 나온것이

다

[표6 5종 교과서에 제시된 수열 련 자료]

2 수학 Ⅰ 교과서에서의 수열

등차수열의 일반항

첫째항이 공차가 인 등차수열의 일반항 은

본 연구자가 임의로 선택한 5종 교과서 ([5][8][12][13][14]) 에서의

수열의 내 을 정리해보았다

1) 등차 수열과 등비 수열

(1) 수열의 뜻

어떤 규칙에 따라 순서 로 수를 늘어놓은 것을 수열이라 하고 그 수열을

이루는 각각의 수를 그 수열의 항이라고 한다 수열의 각 항을

앞에서부터 순서 로 제 1항 제 2항 제 3항 제 항

이라고 한다 특히 제 1항은 첫째항이라고도 한다

(2) 등차수열의 뜻

첫째항에 차례로 일정한 수를 더하여 만들어진 수열을 등차수열 이라하고

더한 일정한 수를 공차라고 한다

첫째항이 공차가 인 등차수열 에서

이므로 일반항 은 다음과 같이 나타낼 수 있다

(3) 등차수열의 합

등차수열의 합

첫째항이 공차가 끝항이 인 등차수열의 첫째항부터 제 항까지의

합 은

첫째항이 공차가 등차수열 에서 첫째항 부터 제 항 까지의 합

을 토론하기의 방법을 이용하여 구해보자

　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　①

더하는 순서를 거꾸로 하면

　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　②

①②의 양변을 각각 더하면

　　

따라서 =

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　③

이때 제 항인 를 ③에 입하여 식을 다르게 나타낼수도

있다

이상을 정리하면 다음과 같다

(4) 수열의 합과 일반항

수열 에서 첫째항부터 제 항까지의 합을 이라 하면

ge 일때 　　

there4

수열의 합과 일반항의 계

수열 의 첫째항부터 제 항까지의 합을 이라 하면

(단 ge )

등비수열의 합

일때 이다

이상을 정리하면 다음과 같다

(5) 등비수열의 뜻

첫째항부터 시작하여 각 항의 바로 앞의 항에 일정한 수를 곱하여

만들어진 수열을 등비수열이라 하고 곱하는 일정한 수를 공비라고 한다

첫째항이 공비가 인 등비수열에서 첫째항부터 제 항까지의 합 은

다음과 같이 구한다

　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　①

①의 양변에 공비 을 곱하면

　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　②

①에서 ②를 같은 변끼리 빼면

따라서 ne 일때

인 경우 ①에서

　　

there4

이상을 정리하면 다음과 같다

첫째항이 공비가 인 등비수열의 첫째항부터 제 항까지의 합 은

① ne 일때

② 일때

자연수의 거듭제곱의 합

①

　　

②

　　

③

　　

2) 여러 가지 수열

(1) 합의 기호 sum

수열 에서 첫째항부터 제 항까지의 합

　　

을 일반항과 합의 기호 sum를 써서

　　

와 같이 나타낸다

이때

는 수열 의 일반항 의 에 　　　　　　을 차례로

입하여 얻은 항의 합으로 신 다른 문자를 사용하여

등과 같이 나타낼 수 있다

(2) 기호 sum 의 성질

합의 기호 sum 의 성질에 하여 알아보자

합의 기호 sum의 성질

①

(복부호동순)

②

(단 는 상수)

③

(단 는 상수)

　　

　　 　　

　　

마찬가지로

와

에 해서도 확인해 보면 sum 의 성질을

다음과 같이 정리할 수 있다

(3) 계차수열

일반 으로 수열 에서 이웃하는 두 항의 차

　　 을 일반항으로 하는 새로운 수열

　　　　　　　을 얻을 수 있는데 이 수열 을 원래의 수열 의

계차수열이라고 한다

수열 에 하여 그 계차수열을 이라 하면

　　

계차수열과 일반항

수열 의 계차수열을 이라 할때

(단 ge )

3) 수학 귀납법

(1) 수열의 귀납 정의

첫째항과 이웃하는 두 항 사이의 계식으로 수열을 정의하는 것을 수열의

귀납 정의 라고 한다

첫째항이 공차가 인 등차수열 은 다음이 성립한다

　ge 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　①

역으로 두 계식 ①이 주어지면 이 결정되고 차례로

가 결정된다 따라서 모든 자연수 에 하여 이 정해지므로 수열 이

정의 된다

①과 같이 의 값 과 의 계식을 화식이라고 한다

(2) 수학 귀납법

수학 귀납법은 이탈리아의 페아노에 의하여 설정된 자연수에 한 공리

수학 귀납법

자연수 에 한 명제 이 모든 자연수 에 하여 성립함을 증명하

려면 다음 ⅰ ⅱ 를 증명하면 된다

ⅰ 일때 명제 이 성립한다

ⅱ 일때 명제 이 성립한다고 가정하면 일때에도

명제 이 성립한다

다음과 같은 5번째 공리에 근거를 두고 있다

자연수의 집합 의 부분집합 가

ⅰ 　isin

ⅱ 　isin 이면 isin

(여기서 는 의 후자)

인 두 조건을 만족하면 이다

4) 알고리즘과 순서도

(1) 알고리즘과 순서도

어떤 문제를 해결하기 해서는 그 처리 순서를 정해야 하는데 이와 같이

문제 해결에 필요한 처리 과정의 순서를 단계 으로 정리한 것을 알고리즘

이라 하고 알고리즘을 알기 쉽게 기호를 써서 그림으로 나타낸 것을 순서도

라고 한다 일반 으로 어떤 문제를 해결하기 한 알고리즘은 여러 가지가

있을 수 있지만 정해진 유한번의 단계를 거치면 반드시 끝나야 하고 처리

과정의 순서가 명확해야 한다 한 순서도는 각 부분을 순서 계통 으로

나타냄으로써 작업 과정을 구나 쉽게 한 에 악할 수 있도록

작성되어야 한다 순서도는 다음과 같은 기호를 사용하여 작성한다

[표7 순서도의 기호]

(2) 알고리즘과 순서도의 작성

수열과 련된 순서도를 작성할 때에는 다음과 같은 방법을 고려한다

(가) 항수를 항을 수열의 합을 로 나타낸다

(나) 제시된 항의 번호까지 루 를 용한다

(다) 제시된 항의 번호에 하여 단 기호를 이용한다

(라) 구하려는 는 를 인쇄하고 끝낸다

주의환기

집 을

한 략

지각

주의환기의

략

시청각 효과의 사용

비일상 인 내용이나 사건 제시

주의 분산의 자극 지양

탐구

주의환기의

략

능동 반응 유도

문제해결 활동의 구상 장려

신비감의 제공

다양성의

략

간결하고 다양한 교수형태 사용

일방 교수와 상호작용 교수의 혼합

교수자료의 변화 추구

목표-내용-방법이 기능 으로 통합

련성

증진을

한

략

친 성의

략

친 한 인물 혹은 사건 활용

구체 이고 친숙한 그림 활용

친 한 문 배경 지식 활용

목 지향성

의 략

실용성에 을 둔 목표 제시

목 지향 인 학습형태 활용

Ⅴ 러의 ARCS 이론과 수열 지도

1 러의 ARCS 이론

1) ARCS 이론의 특징

(1) 이론 배경

다음은 ([4])의 내용을 참고하 다

ldquo말을 물가로 데리고 갈 수는 있지만 물을 먹일 수는 없다rdquo는 속담처럼

하고자 하는 마음이 없으면 학습 효과를 기 할 수 없는 것은 당연한 사실

이다 이러한 생각의 근거에는 동기 유발의 개념이 자리 잡고 있다 동기

유발이란 어떤 활동을 진 지시 유지하려는 내 상태 는 과정을

포함한다 이 개념은 교육 심리학의 심 개념 의 하나이지만 직 찰

할 수 없는 것이기 때문에 인간의 행동을 보고 거기에서 유출해 내는 개념

이며 이에 한 정의는 바라보는 과 강조하는 내용에 따라 각기 다르

다

(2) ARCS 이론

목 의 선택 가능성 부여

필요나

동기와의

부합성 강조의

략

다양한 수 의 목 제시

학업성취 여부의 기록체제 활용

비경쟁 학습상황의 선택가능

동 상호 학습상황 제시

자신감

수립을

한 략

학습의

필요조건

제시의 략

수업의 목표와 구조의 제시

평가기 피드백의 제시

선수학습 능력의 단

시험의 조건 확인

성공의 기회

제시의 략

쉬운 것에서 어려운 것으로 과제 제시

정수 의 난이도 유지

다양한 수 의 시작 제공

무작 의 다양한 사건 제시

다양한 수 의 난이도 제공

개인

조 감

증 의 략

학습의 끝을 조 할 수 있는 기회 제시

학습속도의 조 가능

원하는 부분에로의 재빠른 회귀 가능

선택가능하고 다양한 과제의 난이도제공

노력이나 능력에 성공 귀착

만족감

증 를

한 략

자연 결과

강조의 략

연습문제를 통한 용기회 제공

후속학습상황을 통한 용기회 제공

모의상황을 통한 용기회 제공

정 결과

강조의 략

한 강화 계획의 활용

의미 있는 강화의 강조

정답을 한 보상 강조

외 보상의 사려 깊은 사용

선택 보상체제 활용

공정성

강조의 략

수업목표와 내용의 일 성 유지

연습과 시험 내용이 일치

[표8 ARCS 략] ([1])

2 ARCS 이론을 용한 수열 수업 계획서

다음은 ([1])의 ARCS 이론의 수업계획서를 참고하여 수열 단원의 수업

계획서를 작성해보았다

수업내용개 동기 략개 기타의견1 수업 기

체 으로 교사는 다양한 방법으로 학습자들

에게 수업 내용을 제시하고 학습자들에게

한 언어를 사용한다

수열의 활용에

한 학습목표

제시하기

교사는 학습자들의 련성을 높이기 해 학습

목표의 의미를 설명해 다

도표는 큰 씨를 사

용하고 핵심이 되는

단어에는 다른 색깔을

사용한다

수열의 활용의

이 과 평가

거를 제시하기

교사는 학습자들의 련성과 자신감 만족감

을 높이기 하여 이 수업이 끝난 후 그들이

무엇을 할 수 있는지에 해 알려 다

교사는 학습자들의 자신감과 만족감을 높이기

하여 성공 인 학습성취를 단할 수 있는 객

인 거들을 알려 다

교사는 학습자들의 만족감을 높이기 하여

그들이 주어진 과제를 성공 으로 해결했을 때

그에 따르는 내재 강화나 외재 보상이 있음

을 알려 다

수열의 정의와

해법에 한 지

식을 간략하게

확인하기

교사는 선수학습과의 련성을 유발하기 하

여 간략한 보조도구(인쇄매체)를 사용하여 수열

의 정의와 해법을 제시한다

교사는 소집단 토론을 실시하여 학습자들의

선수지식을 스스로 검해 보도록 한다

교사는 수열의 정의와 해법을 잘 모르는 학습

자들에게 자신감을 유발시키기 하여 개별 인

학습목표를 세우도록 한다

소집단 구성에 있어

서 주의집 이 매우

낮은 5명을 하나의 소

집단으로 구성하고

친근한 소재를 활용하

여 그들의 주의집 과

련성을 유발한다

실생활과 련

된 수열의 활용

문제들을 몇 가

지 소개하기

교사는 학습자들의 주의집 을 유지하기 해

실생활에서 연립방정식을 활용하여 해결할 수

있는 몇 가지 문제들을 제시한다

주의집 이 매우 낮은 5명의 학습자들이 수업

에 극 인 심을 보이지 않으면 교사는 그

들에게 친근한 목소리로 이름을 부르면서 수업

에 집 하라고 얘기 하고 개인 인 심을 갖

고 있음을 나타낸다

로써 활용되는 문

제들을 선택할 때 학

습자들이 알고 있거

나 그들에게 친근감

을 주는 소재가 포함

되도록 선택한다 이

때 지나치게 자심감

이 높아서 수업에 소

극 으로 참여하는 3

명의 학습자들에게는

다소 복잡한 수열의

활용 문제를 미리 제

공하여 생각할 기회를

다

수열의 활용에

한 학습자들의

이해정도를 악

하고 피드백을

제공하기

교사는 학습자들에게 자신감을 높이기 하여

소집단을 구성하여 학습자들이 수열의 활용에

해 어느 정도 이해하고 있는지를 서로 토론하

도록 한다

교사는 소집단별로 둘러보면서 자신감과 만족

감을 유발시키기 하여 학습자들간에 서로 도

움을 주도록 분 기를 형성한다

소집단별로 간략하게 토론이 끝나면 학습자

들 스스로 정리하도록 한다

토론결과 학습자들이 수열의 활용에 해 잘

못 이해하고 있다면 교사는 즉각 으로 교정

피드백을 제공한다

학습자들의 소집단

토론시간을 무 길게

소요하지 않도록 한

다 자칫하면 토론분

기가 산만해지기 쉽

고 토론이 활발하지

못한 경우에는 학습자

들의 학습의욕이 떨어

진다

2 수업 반 체 으로 교사는 다양한 방법으로 학습자

들에게 수업 내용을

제시하고 학습자들에게 개별 인 언어를 사용

한다

실생활과 련

된 수열의 활용

의 문제들을 구

체 으로 제시하

기

교사는 학습자들의 주의집 련성 자신감

만족감을 유지하기 하여 게임을 실시한다 학

습자들이 돌아가면서 임의로 다른 학습자를 지

명하면 지명받은 학습자가 실생활과 련된 수

열의 문제를 하나 제시한다 한 문제를 제

시한 학습자에게 학습태도 수를 주어 만족감

을 향상시킨다

교사는 학습자들이 제시한 여러 가지 문제들

을 칠 에 은 후 몇몇 소집단을 구성하여

그 문제들을 해결하기 해 인스토 을 하

도록 한다 이때 교사는 문제를 해결한 학습자

가 아직 해결하지 못한 학습자들을 도와주어 자

신감과 만족감을 갖도록 한다

인스토 이 진행되는 동안 교사는 교실

을 둘러보면서 학습자들이 질문이나 의문사항

에 해 극 으로 질문할 수 있는 기회를 제

공하고 그에 해 개별 인 언어를 사용하여

부드러운 목소리로 피드백을 제공한다

인스토 도 학습자들의 개인 인 능

력차가 커서 문제를 해결하는데 어려움을 겪는

학습자들에게는 그들에게 합한 개별 인 학습

이때 교사는 밝고

생동감이 넘치는 목소

리로 학습자들의 활동

을 진시킨다

교사는 학습자들이

한 자신감을 유지

하고 있는지에 해

지속 인 심을 갖고

지켜본다

이때 교사는 학습자

들의 자신감과 만족감

을 높이기 하여 그

들에게 일 성 있는

피드백을 제공한다

교사는 학습자들이

목표를 다시 선정하도록 하여 자신감을 향상시

킨다

인스토 이 끝나면 교사는 소집단 별로

한 사람씩 자발 으로 나와 문제를 풀고 풀이

과정을 체 학습자들에게 설명하도록 한다 이

때 어려운 문제를 해결한 소집단이나 학습자에

게 교사는 그들의 우수한 능력을 인정하고 내

재 인 자존심에 정 인 향을 주는 칭찬을

제공하여 자신감과 만족감을 높인다

소집단의 인스토

을 하는 동안 체

으로 문제풀이를 할

때 주의집 을 유지

하고 자신감과 만족

감의 향상을 악하기

해 끊임없이 그들과

시선을 교류하고 얼

굴표정을 찰한다

3 수업마무리 체 으로 교사는 다양한 방법으로 학습자

들에게 수업 내용을 제시하고 학습자들에게 개

별 인 언어를 사용한다

실생활과 련

된 수열의 활용

에 해 체

으로 정리 요

약하기

교사는 교탁을 탁탁 치거나 박수를 쳐서 다

소 떨어진 학습자들의 주의집 을 향상 시킨다

교사는 실생활 속에서 수열을 활용하여 해결

할 수 있는 간단하고 재미있는 문제들을 2～3개

제시하여 학습자들이 그 문제를 성공 으로 해

결함으로써 자신감과 만족감을 갖도록 한다

교사는 학습자들이 미처 생각하지 못했던 실

생활 속에서 수열과 연 된 다양한 들을 제공

하여 주의집 과 련성을 유지향상시킨다

교사는 자신감과 만족감을 향상시키기 해

학습자들에게 수업진행 에 그들이 설정한 개

인 인 학습목표에 해 얼마나 많이 달성했는

가를 스스로 검해 보라고 한다

교사는 수업 반에 수열의 문제를 잘 해결하

지 못했던 학습자들에게 그 문제를 다시 해결해

보도록 기회를 제공하여 자신감과 만족감을 높

여 다

평가에 있어서 교사는 학습자들이 그들의 성

에 해 공정하게 평가되었다고 느끼도록 일

성 있게 평가하여 그들의 자신감고 만족감을

높여 다

교사는 수열과 실생

활과의 련성에 해

학습자들이 잘 지각하

고 있는가를 알아보기

해 다소 진지한 목

소리로 질문한다

다음 학습내용

에 해 간략히

소개하기

교사는 학습자들의 흥미를 유지하기 하여

다음 학습내용에 해 호기심에 찬 목소리로 간

략하게 소개하고 수업을 끝낸다

[표9 러의 ARCS이론]

단원

단

원Ⅲ 수열

배정시간

(분)50

단

원1 등차수열과 등비수열

차시 3소단

원3) 등차수열과 등비수열의 활용

학습

목표등차수열과 등비수열을 실생활의 문제에 용할 수 있다

학습

단계학습내용

교수-학습활동 지도상의유의사

항교사활동 학생활동

도

입

15

분

인사

출석

주변을 정리 정돈

하여 수업분 기를

조성한다

인사 출석체크

를 한다

주의를 환기시킨

후 학생들과 인사

한다

출결석 여부를

확인한다

바른 자세로 주

변을 정리한 뒤

교사와 인사한다

수업 비를 한

다

교사와 학생

모두 함께 수업

분 기를 조성한

다

선수

학습

확인

지난 시간에 학습

한 등차수열과 등비

수열의 정의에 해

다시 한번 확인해본

다

지난 시간에 학습

한 등차수열과 등비

수열의 일반항을 구

하는 방법에 해 확

인학습으로 [문제1]

과 [문제2]를 풀어본

다

학생들의 자신감

을 높이기 하여

등차수열과 등비수

열의 정의를 교과

서에서 찾아본 후

큰소리로 답하게

한다

학생들이 답한

후 다시 한번 등차

수열과 등비수열에

해 간단히 설명

등차수열과 등

비수열의 정의를

교과서에 찾아본

후 큰소리로 읽는

다

교사가 등차수

열과 등비수열의

정의에 해 다시

한번 간단히 설명

할 때 부족한 부

분은 필기하며 복

습한다

교사가 정의에

해 질문할 때

학생들이 모두

책을 찾아볼수

있게 주의를

다

만일 답하

지 못하는 학생

이 있을 경우 그

여기서 인스토 (brainstorming)이라고 하는 것은 갑자기 떠오르는 멋

진 생각을 종이에 는다든가 말로 표 해 본 후 로 기록하거나 기록된

문장을 정리정돈하면서 생각을 논리화하는 방법이다 주로 어떤 계획을 세

우고자 할 때 창조 이고 기발한 아이디어가 필요할 때 학생들의 의견과

생각을 끌어내어 발 시키고자 할 때 사용하면 유리하다 ([3])

3 ARCS 이론을 용한 수업지도안

[문제1]

다음 등차수열

의 일반항과 제20항

을 구하여라

　　　　　　　

[문제2]

다음 등비수열

의 일반항과 제8항을

구하여라

　 　　　　　

한다

교사는 [문제1]

과[문제2]를 제시

한 뒤 학생들에게

직 풀어보게 한

다

등차수열과 등

비수열의 일반항

과 그 공식의 유

도과정을 기억한

다

제시된 문제를

연습장에 풀어본

다

학생에 해 개

별 인 언어를

사용하여 부드러

운 목소리로 피

드백을 제공한

다

개

30

분

학습

목표

제시

수열의 활용에

한 학습목표를 제시

한다

학습목표 학습

에 필요한 자료를

Power point 시청

각 효과를 사용하여

학생들의 주의환기

집 을 한 략

을 사용한다

학습목표를 학생

들에게 읽게 하고

학생들의 련성을

높이기 해 학습

목표의 의미를 설

명해 다

교사의 지시에

따라 큰소리로 학

습목표를 읽고 이

수업이 끝난 후

무엇을 할 수 있

는지에 해 생각

해 본다

학습목표는 큰

씨를 사용하

고 핵심이 되는

단어에는 다른

색깔을 사용한

다

탐구

학습

실생활과 련된

수열의 활용문제들을

몇 가지 소개한다

수열의 활용에

한 학습자들의 이해

정도를 악하고 피

드백을 제공한다

등차수열과 등비

수열을 이용하여

실생활의 문제를

해결할 수 있음을

학생들이 쉽게 이

해할 수 있도록 설

명한다

교사가 실생활

과 련된 수열의

활용문제들을 몇

가지 소개할 때

다른 시가 있는

지 함께 생각해

본다

문제

제시

[문제3]

한일 월드컵 축구 개

회 연도는 2002년이

다 2002년 이후 월

드컵 축구가 개최되

는 연도를 차례로 써

보고 이 규칙 로 월

드컵 축구가 개최되

면 2100년은 월드컵

축구가 개최되는 연

도인가

교과서에서 수열

단원의 수열의 활

용부분에 수록된

문제들을 풀어볼

수 있도록 시간을

다

등차수열과 등

비수열의 일반항

유도 공식을 생각

해보고 제시된 문

제를 해결해 간다

로써 활용되

는 문제를 선택

할 때 학습자들

이 알고 있거나

그들에게 친근감

을 주는 련성

증진을 한

략을 사용한다

[문제4]

컴퓨터의 주기억 장

치인 램은용

으로

용으로 가 개발

되었다 이후 램의

용 량 은

로 증가되어 왔다

의 램으로부터

번 증가된 주 메모

리는 식으로 어떻게

나타낼 수 있는가

학생들이 문제를

어렵게 느끼지 않

도록 어떤 방향으

로 해결해야 하는

지 힌트를 주어 학

생들의 자신감을

증진시킨다

소집

단

활동

5～6명으로 이 진

소집단을 구성하여

학습자들이 수열의

활용에 해 어느 정

도 이해하고 있는지

를 서로 토론하도록

한다

소집단별로 실생활

과 련된 수열의 활

용의 문제들을 구체

으로 제시한다

인 스토 이

끝나면 소집단별로

한사람씩 문제를 풀

고 풀이과정을 체

학생들에게 설명하는

시간을 갖는다

교사는 학생들의

만족감을 높이기

하여 그들이 주

어진 과제를 성공

으로 해결했을

때 그에 따르는

내재 강화나 외

재 보상이 있음

을 알려 다

어려운 문제를

해결한 소집단이나

학생에게 교사는

그들의 우수한 능

력을 인정하고 내

재 인 자존심에

정 인 향을

주는 칭찬을 제공

하여 자신감과 만

족감을 높인다

자신이 속한 소

집단 내에서 제시

된 과제에 해

열심히 토의를 하

며 문제를 해결한

학생이 아직 해결

하지 못한 학생들

을 도와주어 자신

감과 만족감을 갖

도록 한다

소집단별로 간

략하게 토론이 끝

나면 학생들 스스

로 정리해보고 자

발 으로 체 학

생들에게 설명해

보는 기회를 갖는

다

교사는 학습자

들이 한 자

신감을 유지하고

있는지에 해

지속 인 심을

갖고 지켜본다

학생들의 소집

단 토론시간을

무 길게 소요

하지 않도록 한

다

형성

평가

[문제4]

민수는 남 문의 기

와 지붕 한쪽 면이

사다리꼴 모양임을

찰하고 이 면에 있

는 기와의 개수를 알

아보고자 한다 기와

형 성 평 가 를

Power point로 제

시하고 학생들이

스스로 풀어볼 수

있도록 지도한다

학생들이 문제를

다 풀고 나면 교사

제시된 문제를

오늘 학습한 내용

을 복습하면서 풀

어보도록 한다

교사는 다소

진지한 목소리로

질문한다

의 개수를 행으로 세

었더니 용마루 쪽에

가장 가까운 행에는

40개 처마 쪽에 가

장 가까운 행에는 72

개 다 용마루부터

처마까지 행의 개수

가 17이라고 할 때

민수가 찰한 지붕

한쪽 면의 기와의 개

수는 모두 몇 개인

가

는 학생들에게

답할수 있도록 하

고 학생들이 학습

목표에 해 얼마

나 많이 달성했는

가를 스스로 검

해 보라고 한다

형성평가의 답

을 교사의 질문에

끝난 뒤 큰소리로

답하여 자신감

과 만족감을 갖도

록 한다

학생들에게 개

별 인 언어를

사용한다

정

리

5

분

학습

정리

차시

고

학습 자료를 이용

하여 수열의 실생활

의 활용 단원의 수업

내용을 확인한다

과제를 제시한다

다음 차시인 「여

러 가지 수열」 단원

에 한 고를 한

다

수업 내용을 정

리하고 과제를 제

시한다

학생들의 흥미를

유지하기 하여

다음 학습내용에

해 호기심에 찬

목소리로 간략하게

소개하고 수업을

끝낸다

오늘 학습한 내

용을 정리한다

과제를 고 과

제 해결에 한

내용을 머릿속에

형성해 본다

다음 차시에 배

울 내용을 학습

자료 화면으로 확

인해본다

수업내용에

해 학생과 교사

모두가 만족하고

있는지 확인하고

공정한 평가를

한다

[표10 수업지도안]

4 조사 문제지 분석

고등학교 수학 Ⅰ 의 수열단원의 효율 인 지도방안의 연구를 하여 원

종고등학교 2학년 학생 100명을 상으로 조사 문제지 조사를 하 다 학

생들의 수학에 한 심과 수학에서 가장 어려워하는 부분을 알아볼 수

있었고 어떤 방식의 수업을 선호하는지도 알아볼 수 있었다

⑴ 수학에 얼마나 심이 있나요

① 매우 많다 ② 많다 ③ 보통이다 ④ 다 ⑤ 매우 다

수학과목에 매우 많은 심을 보이는 학생은 2로 매우 낮은 편이며

심이 있는 학생은 43로 학생의 반정도 다 수학과목에 심이 거

나 없는 학생은 54정도로 수학은 어려운 과목이라는 인식 때문에 심

이 은 것 같다

수학을 공부하는 가장 큰 이유에는75의 학생들이 학입시를 해서라

는 문항을 선택했다 기타 이유에는 교과서에 있어서 어쩔수 없이 한다

는 학생과 진리탐구를 해서라는 학생도 있었다

[그림6 조사문제지

(1)번 막 그래 ]

⑵ 수학을 공부하는 가장 큰 이유가 뭐라고 생각하나요

① 학입시를 해서

② 평소 수학에 흥미가 있어서

③ 실제 생활에 쓰기 해서

④ 주변에서 해야한다고 하니까

⑤ 기타 이유 (이유를 간단히 어주세요)

앞에 (1)번문항에서 수학에 심이 은 학생이 반 정도인것에 반해

수학공부가 필요하다고 느낀학생이 75정도로 수학공부가 필요하단건

느끼지만 어려운 과목이라는 인식이 부분인것 같다 수학과목도 재

는 과목이란 인식을 학생들이 가질수 있도록 노력해야겠다

[그림7 조사문제지

(2)번 막 그래 ]

⑶ 수학공부의 필요성에 해 어떻게 생각하나요

① 매우 필요하다 ② 조 필요하다 ③ 보통이다

④ 필요 없다 ⑤ 필요 없다

[그림8 조사문제지

(3)번 막 그래 ]

⑷ 수학을 공부하면서 가장 어려운 부분은 무엇이나요

① 복잡한 계산 과정 ② 외워야할 많은 공식들

③ 응용문제엔 어떤 공식을 용해야할지 ④ 다 어렵다

학생들이 수학과목이 어렵다고 느끼는 이유는 응용문제에 어떤 공식을

용해야 하는지를 몰라서 라는 답이 58로 가장 많았다 그 외에도

계산과정이 복잡하거나 외워야할 공식들이 많아서라는 답도 있었다

이해 주의 수업을 하고 단순한 공식의 암기 주의 수업을 탈피해야겠

다

수학수업을 하는데 효과 인 방법에는 선생님 주의 강의식 수업과 학

생 개인별 수업이 78로 가장 많았다 개념이나 공식유도과정을 설명할

땐 서를 하며 강의식 수업을 하고 문제풀이땐 학생들 개인별로 첨삭

지도를 하는게 효율 인것 같다

⑤ 기타이유 (이유를 간단히 어주세요)

[그림9 조사문제지

(4)번 막 그래 ]

⑸ 수학 수업을 하는 데 어떤 방법이 가장 효과 이라고 생각하나요

① 선생님 주의 강의식 수업

② 학생 개인별 수업

③ 모둠별 활동 수업

④ 기타 교재나 과제를 통한 수업

⑤ 기타(이유를 간단히 어주세요)

[그림10 조사문제지

(5)번 막 그래 ]

Ⅵ 결론

본 논문에서 지 까지 고등학교 2학년 학생들이 수학 Ⅰ 교육과정을 학습하

는데 가장 어려워하는 수열에 해 살펴보았다 먼 개정 교육과정에 명시

된 수학교육의 목표와 임의로 선택된 5종 교과서에서 수열 단원의 학습목표

를 살펴보았고 수열의 역사 배경과 실생활에 응용된 들을 정리해보았

다 한 5종 교과서에서 제시되어 있는 수열의 학습내용을 소단원 별로 정

리해보았다 임의로 선택된 5종 교과서안의 수열의 학습내용을 분석해보면

서 몇 몇 교과서에서 여러 가지 수열 단원에서 군 수열과 멱 수에 한 언

이 없거나 미약함을 알 수 있었다 본 연구자가 보기에 군 수열과 멱 수

부분은 실생활에 활용될 는 극히 작아 보이지만 학생들이 꼭 학습하고 넘

어가야 수열에 한 완벽한 학습이 될 수 있을 것이라 여겼는데 교과서에서

제시된 내용들로는 학생들이 충분히 이해할 수 없을 것 같았다

그리고 교과서에 제시된 문항의 수 이 입시와 동 떨어진다는 문제 이 있

었다 교과서에 제시된 문제가 부족하고 수 이 낮다 보니 실제로 학교에서

수업 때 보충 린트 물로 수업을 진행하고 간기말고사 때에도 교과서

외에서 많은 문제를 출제하는 모습을 볼 수 있었다 때문에 학생들이 교과서

보다는 문제집 주의 공부를 할 수 밖에 없는 듯 보 다 교과서가 학생들

과 교사의 요구에 부합할 수 있도록 새로운 내용들과 문제를 싣도록 해야

할 것이다

학생들이 수열 단원의 학습을 할 때 좀 더 효과 인 학습이 될 수 있도록

리의 동기설계이론 (ARCS 이론) 을 바탕으로 하여 수업 계획서와 1차시

의 수업 지도안을 작성해 보았다 한 작성한 수업 지도안으로 부천시 소재

의 한 고등학교에서 실제 수업을 진행해 보았을 때 학생들이 좀 더 수열에

해 친숙하게 느끼고 쉽게 이해하는 모습을 볼 수 있었다 본 연구자가

직 교사가 아니라 여러 반을 상으로 수열 단원의 모든 차시 수업에 용

하여 수업을 해볼 수 없었단 이 아쉬움으로 남는다

이와 같이 학생들의 주의 련성자신감만족감 증진을 한 수업을 함

으로써 학생들의 수학 학습 성취도의 향상을 기 할 수 있을 것이다 한

개발된 자료를 실제 수업에 용하는 경우의 효율성에 한 후속 연구가 체

계 이고 지속 으로 이루어져야 할 것이다

참 고 문 헌

[1] 구평회 META 구평회 교육학 2007

[2] 교육인 자원부 고시 제2007 - 79호[별책8] 2007

[3] 박인학 교사를 한 교수학습방법론 문사 1995

[4] 변 계 교수학습 이론의 이해 학지사 1999

[5] 우정호 외 5인 고등학교 수학 Ⅰ 한교과서(주) 2002

[6] 이 연 자연의 수학 열쇠 피보나치수열 로네시스 2006

[7] 이진화 지수로그함수의 지도에 한 연구 서강 학교 교육 학원 석사 학

논문 2006

[8] 임재훈 외 10인 고등학교 수학 Ⅰ (주)두산 2002

[9] 장 숙 고등학교 수학 Ⅰ 교과서의 통계단원 분석 실생활에의 용 경희

학교 교육 학원 석사 학 논문 2006

[10] 조해식 행렬 수열 수업에서의 수학사 도입에 한 연구 울산 학교 석사

학 논문 1998

[11] 차 자 수열 학습의 흥미 유발을 한 자료 연구 경성 학교 교육 학원 석

사 학 논문 2004

[12] 최 외 5인 고등학교 수학 Ⅰ 앙교육진흥연구소 2006

[13] 최상기 외 5인 고등학교 수학 Ⅰ (주)고려출 2002

[14] 최용 신 성 고등학교 수학 Ⅰ 천재교육(주) 2002

[15] 황혜정 외 5인 수학교육학 신론 문음사 2002

• Ⅰ 서론
• • 1 연구의 필요성과 목적
  • 2 연구의 제한점
  • • Ⅱ 개정 교육과정에서 명시된 수학Ⅰ교육의 목표
    • • 1 수학Ⅰ교육의 목표
      • 2 고등학교 수학 Ⅰ 수열 단원의 학습목표
      • • Ⅲ 수열의 역사적 배경 및 응용
        • • 1 수열의 역사
          • 2 수열 단원이 실생활에 응용된 사례
          • • Ⅳ 고등학교 수학교육과정에서의 수열
            • • 1 수학Ⅰ 교과서 분석
              • 2 수학Ⅰ 교과서에서의 수열
              • • Ⅴ 켈러의 ARCS 이론과 수열 지도
                • • 1 켈러의 ARCS 이론
                  • 2 ARCS 이론을 적용한 수열 수업 계획서
                  • 3 ARCS 이론을 적용한 수업 지도안
                  • 4 조사지 분석
                  • • Ⅵ 결론
                    • 참고문헌

역 내 용

행렬과 그래

행렬과 그 연산

연립일차방정식과 행렬

그래 와 행렬

지수함수와 로그함수

지수

지수함수와 그 그래

지수방정식과 지수부등식

로그

2) 목 표

수학 개념 원리 법칙을 이해하고 수학 으로 사고하고 의사소통하는

능력을 신장하여 여러 가지 문제를 합리 이고 창의 으로 해결하며 수학

의 실용성을 인식하여 수학에 한 정 태도를 갖는다

(1) 수학Ⅰ의 학습을 통해 얻는 여러 가지 장

(가) 행렬과 그래 지수함수와 로그함수 수열 수열의 극한에 련된 개

념 원리 법칙과 이들 사이의 계를 이해하고 이를 활용하는 능력을 기른

다 여러 가지 상을 찰 분석 조직하여 수학 으로 나타내는 능력을 기

른다

(나) 수학을 통하여 여러 가지 문제를 합리 으로 해결하는 능력과 수학

으로 사고하고 의사소통하는 능력을 기른다

(다) 수학의 가치를 이해하여 수학에 한 심과 흥미를 지속 으로 가지

며 수학에 한 정 태도를 기른다

3) 내 용

⑴ 내용체계

로그함수와 그 그래

로그방정식과 로그부등식

수열

등차수열과 등비수열

여러 가지 수열

수학 귀납법

알고리즘과 순서도

수열의 극한무한수열의 극한

무한 수

[표1 수학Ⅰ교과서 내용체계]

4) 평 가

(1) 평가

(가) 수학 학습의 평가는 학생의 인지 역과 정의 역에 한 유용한

정보를 제공하여 학생 개개인의 수학 학습과 인 인 성장을 돕고 교사의

교수 활동과 수업 방법을 개선하는 데 활용한다

(나) 수학 학습의 평가에서는 학생의 인지 발달 수 을 고려하고 교육과정에

제시된 내용의 수 과 범 를 수한다

(다) 수학 학습의 평가는 수업의 개 과정에 따라 진단 평가 형성 평가 총

평가 등의 한 평가 방식을 택하여 실시하되 지속 인 평가를 통하여

다양한 정보를 수집하고 수업에 활용한다

(라) 수학 학습의 평가에서는 획일 인 방법을 지양하고 지필 평가 찰 면

담 자기 평가 등의 다양한 평가 방법을 통해 수학 교수ㆍ학습을 향상시킬

수 있게 한다

(마) 인지 역에 한 평가에서는 학생의 수학 사고력 신장을 하여 결

과뿐만 아니라 과정도 시하여 평가하되 수학의 교수학습에서 반 으

교과서 학습목표

한교과서

(주)

등차수열 등비수열의 뜻을 알고 일반항 첫째항부터 제 n항까지

의 합을 구할 수 있다

sum의 뜻과 성질을 이해하고 이를 활용하여 여러 가지 수열에

한 문제를 해결할 수 있다

수학 귀납법의 원리를 이해하고 이를 활용하여 자연수 n에

하여 참인 명제를 증명할 수 있다

알고리즘과 순서도의 뜻을 알고 간단한 문제 해결을 한 알고

리즘을 작성하여 순서도를 만들 수 있다

(주) 천재교육

등차수열과 등비수열의 뜻을 알고 일반항과 첫째항부터 제 n항

까지의 합을 구할 수 있다

기호 sum의 뜻과 성질을 이해하고 이를 활용할 수 있다

여러 가지 수열의 일반항과 첫째항부터 제 n항까지의 합을 구

할 수 있다

여러 가지 수열에 한 문제를 해결할 수 있다

수학 귀납법의 원리를 이해하고 이를 이용하여 자연수 n에

하여 참인 명제를 증명할 수 있다

로 요구되는 사항을 강조한다

(바) 정의 역에 한 평가에서는 학생의 수학에 한 정 태도를 신장

시키기 하여 학생의 수학에 한 바람직한 가치 이나 수학 학습에 한

심 흥미 자신감 등의 정도를 악한다

(사) 수학 학습의 평가에서는 평가하는 학습 내용에 따라 학생에게 계산기

컴퓨터와 같은 공학 도구와 다양한 교구를 이용할 수 있는 기회를 제공할

수 있다

2 고등학교 수학 1 수열단원의 학습목표

수학 Ⅰ교과서에서의 수열단원의 학습목표를 5종 교과서를 비교하여 살펴

보고자한다 임의로 선택된 5종 교과서([5][8][12][13][14])의 학습목표는

다음과 같다

알고리즘과 순서도의 뜻을 알고 그 필요성을 이해할 수 있다

간단한 문제 해결을 한 알고리즘을 작성하여 순서도를 만들

수 있다

앙교육진흥

연구소

수열을 이해하고 이를 활용하여 여러 가지 문제를 해결할 수 있

다

수학 귀납법의 원리를 이해하고 이것을 이용하여 자연수 n에

하여 참인 명제를 증명할 수 있다

알고리즘과 순서도의 뜻을 알고 간단한 문제 해결에 사용할 수

있다

(주) 고려출

등차수열의 뜻을 알고일반항 첫째항부터 제 항까지의 합을 구

할 수 있다

등비수열의 뜻을 알고일반항 첫째항부터 제 항까지의 합을 구

할 수 있다

sum의 뜻과 성질을 이해하고 이를 활용할 수 있다

여러 가지 수열의 일반항 첫째항부터 제 항까지의 합을 구할

수 있다

여러 가지 수열에 한 문제를 해결할 수 있다

수학 귀납법의 원리를 성명하고 수학 귀납법을 이용하여 자연

수 에 하여 참인 명제를 증명할 수 있다

알고리즘과 순서도의 뜻을 알고 그 필요성을 알 수 있고 간단

한 문제 해결을 한 알고리즘을 작성하여 순서도를 만들 수 있다

(주) 두산

등차수열과 등비수열의 뜻을 알고 일반항과 그 합을 구할 수 있

다

기호sum의 뜻과 성질을 이해하고 이를 이용하여 여러 가지 수열

에 한 문제를 해결할 수 있다

수학 귀납법의 원리를 이해하고 이를 이용하여 자연수 에

하여 참인 명제를 증명할 수 있다

알고리즘과 순서도의 뜻을 알고 간단한 문제 해결을 한 알고

리즘을 작성하여 순서도를 만들 수 있다

[표2 5종 교과서 수학 Ⅰ 수열 단원의 학습목표]

Ⅲ 수열의 역사 배경 응용

1 수열의 역사

수학의 역사에서 가장 흥미로운 수열 하나가 피보나치수열이다 피보나

치수열은 수학이론 뿐만 아니라 자연계 건축 술 등에 다양하게 표 된

다

그 에 오나르도가 발표한《산반서》에 소개된 피보나치수열에 한 문

제는 다음과 같다 ([6]) ldquo어떤 사람이 토끼 한 을 우리에 넣었다 이 토

끼 한 은 한 달에 새로운 토끼 한 을 낳고 낳은 토끼들도 한 달이 지

나면 다시 한 의 토끼를 낳는다 그 다면 1년이 지나면 몇 의 토끼가

있을까rdquo

첫 달엔 처음에 있던 토끼 한 만 있다 두 번째 달이 되면 토끼 한 을

낳아 두 의 토끼가 된다 세 번째 달이 되면 처음에 있던 토끼 한 이

한 의 토끼를 낳아 세 의 토끼가 된다 네 번째 달이 되면 첫

달과 두 번째 달의 토끼 두 이 각 한 의 토끼를 낳아 총 다섯 의

토끼가 있게 된다 이런 식으로 토끼를 낳아가면 그 수는 다음과 같은 규

칙을 갖는다 　　　　　　　　　　 이런 규칙을 갖는 피보나치수열의

일반항을 이라고 하면 　 　 　 　 가 된다

그런데 이 수열을 자연에서도 쉽게 찾아볼 수 있다 식물의 기에서 뻗어

나온 잎을 생각해 보면 기의 에 있는 잎 하나에서 수직으로 에 있

는 잎까지 도달할 때까지 기를 따라 올라가면서 잎의 개수를 세면 그

수들은 일반 으로 피보나치수열을 이룬다

[그림1 피보나치수열]

2 수열 단원이 실생활에 응용된 사례

1) 하노이의 탑

인도 갠지스 강 유역 라만교의 사원에 있었던 하노이의 탑은 라만

탑이라고도 부르는데 이 탑에 얽힌 문제의 내용은 다음과 같다 다음은

([10])의 내용을 참고하 다

[베나 스에는 세계의 심이 있고 그 곳에는 아주 큰 사원이 있으며 이

사원에는 높이 정도 되는 다이아몬드 바늘 3개가 있다 그 에서 한

바늘에는 천지 창조 때에 신이 구멍이 뚫린 64장의 순 으로 된 원 을 크

기가 큰 것부터 아래에 놓이도록 하여 차례로 쌓아 놓았다 그리고 신은

승려들에게 밤낮으로 쉬지 않고 원 을 한 장씩 옮겨 빈 다이아몬드 바늘

어느 한 곳으로 모두 옮겨 놓도록 명령하 다

ldquo원 은 한 번에 한 개씩만 옮겨야 하고 로 작은 원 에 큰 원

을 올려놓을 수 없다 단 64개의 원 의 크기는 모두 다르다 이 말을 충

실히 실행하고 한 순간도 게을리 하지 마라 만일 게을리 하는 일이 있으

면 그 때는 이 사원도 탑도 모두 무 지고 세계는 종말을 고하게 된다 게

을리 하는 일이 없으면 그 들이 원 을 부 옮길 때까지 세상은 태평할

것이다rdquo]

승려들은 과제를 수행하기 해 밤낮으로 매우 열심히 작업을 했다 그 작

업을 끝내기 해서 승려들은 몇 번을 움직여야 하고 얼마나 많은 시간을

사용해야만 했을까

[그림2 하노이의 탑]

원 이 1개가 있으면 최소 이동 횟수는 1번 원 이 2개가 있을 때 최소

이동 횟수는 3번이고 원 이 3개가 있으면 최소 이동 횟수는 7번이다

원 이 4개가 있으면 최소 이동 횟수는 15번이다 이런 식으로 계속 해나

가다 보면 　　　　　　　 라는 수열을 얻는다 이것은 각 항의 차이가

계차수열을 이루는데 이것은 다음과 같다 　　　　　　일반항을 으로 두

고 구해보면 　 　times 　 　 이다 처음 값을 으로 두고 일반항을

구해보면 　

이 된다

만약 그 설 로 따라가서 수도승들이 쉬지 않고 디스크를 1 에 한번

씩 옮겼다면 최소의 이동횟수는 이 되고 18446744073709551616

가 걸리고 략 5854억4200만년이 필요하다는 것을 알 수 있다

원 이자 원리합계(=원 +이자)

1년 원 원 원

2년 원 원 원

3년 원 원 원

년 원 100원 원

2) 등차수열의 응용

(1) 단리법

단리법은 처음 원 의 이자에 해당하는 비율만큼 계속 되는 계산법이

다 1000원을 했다면 1년이 지날 때마다 10 의 이자가 붙는다고 하

자 1년이 지났을 때 10 의 이자가 붙으면 100원 불어나므로 1000 +

1000 times 01 = 1100(원) 이다 그리고 1년2년 년이 지날 때 마다

값을 측정해보면 다음과 같다

[표3 단리법]

최종 으로 원 을 라 하고 연이율을 이라고 한다면

결국 년이 되었을 때 단리법으로 표 하면 그 때의 총 합 는

이 된다

3) 등비수열의 응용

(1) 복리법

복리법은 원 에 이자가 된 원리합계를 기 으로 이자를 계산하는 방

법이다 원을 했다면 1년이 지날 때마다 의 이자가 붙는다고

원 이자원리합계

(=원 +이자)

1년 원 원 원

2년 원 원 원

3년 원 원 원

년 원 times원 원

하자 1년이 지났을 때 의 이자가 붙으면 원 불어나므로

times (원) 이다 그리고 1년2년 년이 지날 때 마

다 값을 측정해보면 다음과 같다

[표4 복리법]

최종 으로 원 을 라 하고 연이율을 이라고 한다면

따라서 년이 지나면 이 된다 그때의 총 합 는 이

다

4) 황 비율

에서 언 했던 피보나치수열 　　　　　　　　　　에서 번째 항

을 번째 항으로 나 어 보자

　 　

　 　

　 　

　 　

　 　

　 　 이런 식으로 계속 해나가다 보면

이 수가 061803 에 근사하게 된다 고 그리스인들은 이 수에 lsquo황 비

율rsquo라는 이름을 붙 다 이것은 인간이 보기에 가장 아름다운 비율이라 하

여 여러 분야에서 사용되고 있다

(1) 황 비의 이용

약 100년 페히 라는 독일의 심리학자는 수백 명의 사람들에게 여러

종류의 직사각형을 보여 다음 마음에 드는 것을 선택하게 하는 실험을

했다 그런데 그 결과 부분의 사람이 황 직사각형을 선택했다고 발표했

다 ([6])

실험에 의하면 황 비는 사람들이 가장 편안하고 아름답게 느끼는 비율로

알려져 있으며 이런 이유 때문에 옛 부터 건축과 미술 음악 등에서 자주

이용되어 왔다

(가) 건축

기원 2000년경의 이집트 《린드 피루스》에 보면 기원 4700년에 기

자의 피라미드를 건설할 때 이 수를 lsquo신성한 비율rsquo로 사용했다고 한다

의 측량 기술로 측정해보니 피라미드 의 심에서 의 모서리까지

그리고 경사면까지 거의 정확하게 0618이었다 ([6])

피라미드는 인류역사를 통해서 사람들을 가장 매료시켜온 건축물 의 하

나이다 그 규모의 장 함에서도 사람을 압도하는 것이 있지만 그 형태 자

체가 고도한 수학을 배경으로 한 것으로서 우리가 알고 있는 5천년 의 지

식수 으로서는 불가사의한 것 의 하나이다

[그림3 피라미드 황 비]

(나) 음악에서의 활용

음악에서 한 옥타 는 [도 미 솔 라 시 도] 의 8음계로 이루어져 있

다 피아노의 건반은 한 옥타 를 13개의 음으로 나 어 표 하고 있으며

이 하얀 건반이 8개 검은 건반이 5개 있고 하얀 건반은 3개와 5개 검

은 건반은 2개와 3개로 구분되어 있다 여기에서 나타나는 2 3 5 8 13

은 에서 보인 피보나치수열이다

[그림4 피아노건반황 비율]

(2) 인체에서의 황 비율

황 분할은 우리의 인체 속에서도 찾아볼 수 있다 인간의 신체가 이 비율

에 의해서 분할되어 있으며 이것이 아름다운 몸의 보편 기 이 되고 있

다 아래 그림은 Le Corbusier가 찾아낸 이상 인간의 각 신체부 의 비율

이다 이것은 오나르도 다빈치의 인체비율에 한 그림에서도 찾아 볼

수 있다 이 뿐만 아니라 인체의 각 부 들도 그 자체 황 분할을 이루

고 있다

[그림5 인체 황 비율]

앞에서 제시한 황 비율을 사용한 시들 이외에도 우리 주변에 아주 많

이 있다

교과서 차례

한교과서(주)

Ⅳ 수열

1 등차수열과 등비수열

2 여러 가지 수열

3 수학 귀납법

4 알고리즘과 순서도

(주) 천재교육

Ⅲ 수열

1 등차수열과 등비수열

2 여러 가지 수열

3 수학 귀납법

4 알고리즘과 순서도

Ⅳ 고등학교 수학교육과정에서의 수열

1 수학Ⅰ 교과서 분석

고등학교 2학년이 학습하는 lsquo수학 Ⅰrsquo은 국민 공통 기본 교육 기간의 10단계

수학을 이수한 학생들이 보다 문 인 진로를 고려하고 보다 높은 수 의

수학을 학습하기 해 설정된 심화 선택 과목이며 lsquo수학 Ⅱrsquo를 학습하기 한

단계이다 lsquo수학 Ⅰrsquo의 내용은 수 역에서 지수와 로그 행렬 수열이

실려있고 해석 역에서 수열의 극한 지수로그 함수가 수록되어 있으며

확률과 통계 역에서 순열과 조합 확률 통계 등으로 구성되어 있다 특히

수 역에 해당하는 수열은 여러 가지 수열에 한 성질을 이해하고 그것

을 일반화 하는 과정에 을 두어 지도하도록 하고 있으며 계차수열은 등

차수열이나 등비수열이 되는 경우만 다룬다 ([2])

1) 수학 Ⅰ 5종 교과서의 차례 단원 배열

앙교육진흥연구소

Ⅲ 수열

1 등차수열과 등비수열

2 여러 가지 수열

3 수학 귀납법

4 알고리즘과 순서도

(주) 고려출

Ⅲ 수열

1 등차수열과 등비수열

2 여러 가지 수열

3 수학 귀납법과 순서도

(주) 두산

Ⅲ 수열

1 등차수열과 등비수열

2 여러 가지 수열

3 수학 귀납법

4 알고리즘과 순서도

[표5 수학 Ⅰ 5종교과서의 차례]

의 표에서 본 것과 같이 임의로 선택된 5종의 고등학교 수학 Ⅰ 교과서의

차례는 거의 비슷한 양상을 보 다 부분의 교과서에선 1단원 지수와 로

그 2단원 행렬 3단원 수열 순의 순서를 보 고 한교과서외의 몇몇

교과서에선 1단원 지수와 로그 2단원 지수로그함수 3단원 행렬 4단원 수

열 순의 순서를 보 다 수열단원의 세부 단원 차례는 1 등차수열과

등비수열 2 여러 가지 수열 3 수학 귀납법 4 알고리즘과 순서도 는

34 단원을 한 단원으로 해서 3 수학 귀납법과 순서도의 순서로 다루는

은 비슷했다

2) 교과서에 제시된 수열 련 자료

한교과서

(주)

피타고라스(Pythagoras 572～492 BC) 피타고라스의 정리

로 잘 알려져 있고 소수나 완 수의 규칙성에 해서도 많은 연

구를 하 다

바스카라(Bhaskara A 1114～1185) 인도의 수학자로

임을 증명하 고 피타고라스의 정리를 기하학

으로 증명하 다

피보나치(Fibonacci 1180～1250) 이탈리아의 수학자로 자연

속에서 많이 볼 수 있는 피보나치 수열을 발견하 다

스칼(Pascal B 1623～1662 ) 랑스의 수학자로 수학

귀납법을 발견하 고 사 기하학을 창시하 다

푸리에(Fourier J B J 1768～1830) 랑스의 수학자로 음양

학 학 기역학 열역학 등의 연구에 매우 요한 푸리에

수를 연구하 다

가우스(Gauss K F 1777～1855) 수학 통계학 등의 다방

면에 많은 업 을 이루었고 역사상 가장 한 수학자 의 한

사람으로 불리워지고 있다

비주얼 베이직(Visual BASIC)

을 이용한 Programming

하노이의 탑

(주)

천재교육

가우스(Gauss K F 1777～1855) 독일의 수학자인 가우스는

수학의 각 방면에 많은 업 을 남겨 수학의 아버지라 일컬

어지고 있다 그는 계산의 천재로 알려져 있는데 이에 한 유명

한 일화가 있다 등학교 때 부터 까지의 합을 구하는 문

제에서 다른 학생들이 직 하나하나 계산하는 동안 가우스는

　 　 　　　　 이 모두 임을 이용하여

times 이라는 답을 이끌어 내었다 이러한 방식은 수열

의 합을 계산할 때 사용하는 방식 의 하나이다

하노이의 탑을 이용한 수열의 귀납 정의

임의로 선택된 5종 교과서들의 수열단원에서 학생들의 수열 단원의 이해를

돕기 해 수록된 수학자들에 한 설명과 기타 자료들은 다음과 같다

도미노 이론 - 수학 귀납법의 다른 표

피보나치수열 - 토끼 수 증가 문제

앙교육

진흥연구소

삼각수 사각수 문제

피보나치(Fibonacci 1180～1250)

가우스(Gauss K F 1777～1855)

음악과 수학 - 작곡가 바흐(Bach)의 요 업 으로 평균율을

들 수 있다 평균율이란 1옥타 즉 lsquo도rsquo와 lsquo도rsquo의 사이를 개의

반음으로 나 고 처음 lsquo도rsquo의 진동수를 이라 하면 그에 일정한

수를 더해 제곱하여 옥타 의 lsquo도rsquo의 진동수를 얻는 것을

말한다 수식으로는 로 나타낼 수 있고 이 등식을

만족하는 의 값이 평균율이다

(주)

고려출

티티우스-보데 수열 -

수열 　　　　　　　　의 각 항에 각각 를 더한 후

으로 나 수들을 나열한 것 　　　　　　　 를

티티우스-보데 수열이라 한다 이수열의 각 항은 태양에서 행성

까지의 실제 거리와 비슷한 것으로 1766년 티티우스(Titius)라는

독일의 천문학자가 발견하 다

제갈량의 군 에 한 을 통한 등비수열의 합

피보나치 수열

휴먼 로 - 휴먼 로 의 제작은 복잡한 여러 가지 알고리즘

과 순서도에 바탕을 두고 있다 알고리즘의 요성은 자계산기

이 부터 실제 으로 존재했다 그 로 최 공약수 계산에 한

유클리드의 알고리즘이 있다 한 가우스와 같은 부분의 수학

자들은 역사 으로 많은 양을 처리하는 효율 인 알고리즘에

심을 가졌다 이러한 알고리즘을 보다 효율 으로 이용하여 재

의 컴퓨터 시 를 구축했다

(주) 두산

피보나치(Fibonacci 1180～1250)는 이탈리아의 피사에서 태

어난 수학자이다 부친이 상업에 종사하 기 때문에 피보나치는

이집트 시칠리아 그리스 시리아 등 다양한 지역을 여행할 수

있었고 이 때 다양한 수학을 하게 되었다 1202년 피사로 돌아

온 피보나치는 「산반서(Liber abaci)」를 술하 다 1228년에

는 「산반서 2 」을 술하 는데 이 책에서 정수와 분수의 계

산 제곱근과 세제곱근 일차와 이차방정식의 풀이 등을 다루었다

고 한다 특히 이 책에 나오는 「피보나치의 수열」은 매우 흥미

로운 수열로 요한 성질을 많이 가지고 있다

1에서 100까지 자연수를 모두 합하면 얼마일까

가우스(Gauss KF 1777～1855) 가우스는 수론 해석학 확

률론 천문학 물리학 등 다양한 분야에 뛰어난 수학자이었다 특

히 그의 수론 연구는 19세기 수학 체계의 확립에 크게 공헌하

다

피타고라스(Pythagoras 572～492 BC) 피타고라스는 음의

높이에 따른 진동수의 비가 일정함을 발견하 다

페아노(Peano G 1858～1932) 자연수의 성질을 추상화 하여

페아노의 공리계를 만들었다 이 공리계의 제 5공리가 수학 귀

납법의 원리이다

피보나치의 수열

알콰리즈미(Alkhwarizmi 780～850) 알고리즘이란 말은 세

아라비아의 수학자 알콰리즈미의 이름에서 유래된 것으로서 그가

십진법으로 나타낸 수의 계산에 용한 계산 방법에서 나온것이

다

[표6 5종 교과서에 제시된 수열 련 자료]

2 수학 Ⅰ 교과서에서의 수열

등차수열의 일반항

첫째항이 공차가 인 등차수열의 일반항 은

본 연구자가 임의로 선택한 5종 교과서 ([5][8][12][13][14]) 에서의

수열의 내 을 정리해보았다

1) 등차 수열과 등비 수열

(1) 수열의 뜻

어떤 규칙에 따라 순서 로 수를 늘어놓은 것을 수열이라 하고 그 수열을

이루는 각각의 수를 그 수열의 항이라고 한다 수열의 각 항을

앞에서부터 순서 로 제 1항 제 2항 제 3항 제 항

이라고 한다 특히 제 1항은 첫째항이라고도 한다

(2) 등차수열의 뜻

첫째항에 차례로 일정한 수를 더하여 만들어진 수열을 등차수열 이라하고

더한 일정한 수를 공차라고 한다

첫째항이 공차가 인 등차수열 에서

이므로 일반항 은 다음과 같이 나타낼 수 있다

(3) 등차수열의 합

등차수열의 합

첫째항이 공차가 끝항이 인 등차수열의 첫째항부터 제 항까지의

합 은

첫째항이 공차가 등차수열 에서 첫째항 부터 제 항 까지의 합

을 토론하기의 방법을 이용하여 구해보자

　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　①

더하는 순서를 거꾸로 하면

　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　②

①②의 양변을 각각 더하면

　　

따라서 =

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　③

이때 제 항인 를 ③에 입하여 식을 다르게 나타낼수도

있다

이상을 정리하면 다음과 같다

(4) 수열의 합과 일반항

수열 에서 첫째항부터 제 항까지의 합을 이라 하면

ge 일때 　　

there4

수열의 합과 일반항의 계

수열 의 첫째항부터 제 항까지의 합을 이라 하면

(단 ge )

등비수열의 합

일때 이다

이상을 정리하면 다음과 같다

(5) 등비수열의 뜻

첫째항부터 시작하여 각 항의 바로 앞의 항에 일정한 수를 곱하여

만들어진 수열을 등비수열이라 하고 곱하는 일정한 수를 공비라고 한다

첫째항이 공비가 인 등비수열에서 첫째항부터 제 항까지의 합 은

다음과 같이 구한다

　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　①

①의 양변에 공비 을 곱하면

　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　②

①에서 ②를 같은 변끼리 빼면

따라서 ne 일때

인 경우 ①에서

　　

there4

이상을 정리하면 다음과 같다

첫째항이 공비가 인 등비수열의 첫째항부터 제 항까지의 합 은

① ne 일때

② 일때

자연수의 거듭제곱의 합

①

　　

②

　　

③

　　

2) 여러 가지 수열

(1) 합의 기호 sum

수열 에서 첫째항부터 제 항까지의 합

　　

을 일반항과 합의 기호 sum를 써서

　　

와 같이 나타낸다

이때

는 수열 의 일반항 의 에 　　　　　　을 차례로

입하여 얻은 항의 합으로 신 다른 문자를 사용하여

등과 같이 나타낼 수 있다

(2) 기호 sum 의 성질

합의 기호 sum 의 성질에 하여 알아보자

합의 기호 sum의 성질

①

(복부호동순)

②

(단 는 상수)

③

(단 는 상수)

　　

　　 　　

　　

마찬가지로

와

에 해서도 확인해 보면 sum 의 성질을

다음과 같이 정리할 수 있다

(3) 계차수열

일반 으로 수열 에서 이웃하는 두 항의 차

　　 을 일반항으로 하는 새로운 수열

　　　　　　　을 얻을 수 있는데 이 수열 을 원래의 수열 의

계차수열이라고 한다

수열 에 하여 그 계차수열을 이라 하면

　　

계차수열과 일반항

수열 의 계차수열을 이라 할때

(단 ge )

3) 수학 귀납법

(1) 수열의 귀납 정의

첫째항과 이웃하는 두 항 사이의 계식으로 수열을 정의하는 것을 수열의

귀납 정의 라고 한다

첫째항이 공차가 인 등차수열 은 다음이 성립한다

　ge 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　①

역으로 두 계식 ①이 주어지면 이 결정되고 차례로

가 결정된다 따라서 모든 자연수 에 하여 이 정해지므로 수열 이

정의 된다

①과 같이 의 값 과 의 계식을 화식이라고 한다

(2) 수학 귀납법

수학 귀납법은 이탈리아의 페아노에 의하여 설정된 자연수에 한 공리

수학 귀납법

자연수 에 한 명제 이 모든 자연수 에 하여 성립함을 증명하

려면 다음 ⅰ ⅱ 를 증명하면 된다

ⅰ 일때 명제 이 성립한다

ⅱ 일때 명제 이 성립한다고 가정하면 일때에도

명제 이 성립한다

다음과 같은 5번째 공리에 근거를 두고 있다

자연수의 집합 의 부분집합 가

ⅰ 　isin

ⅱ 　isin 이면 isin

(여기서 는 의 후자)

인 두 조건을 만족하면 이다

4) 알고리즘과 순서도

(1) 알고리즘과 순서도

어떤 문제를 해결하기 해서는 그 처리 순서를 정해야 하는데 이와 같이

문제 해결에 필요한 처리 과정의 순서를 단계 으로 정리한 것을 알고리즘

이라 하고 알고리즘을 알기 쉽게 기호를 써서 그림으로 나타낸 것을 순서도

라고 한다 일반 으로 어떤 문제를 해결하기 한 알고리즘은 여러 가지가

있을 수 있지만 정해진 유한번의 단계를 거치면 반드시 끝나야 하고 처리

과정의 순서가 명확해야 한다 한 순서도는 각 부분을 순서 계통 으로

나타냄으로써 작업 과정을 구나 쉽게 한 에 악할 수 있도록

작성되어야 한다 순서도는 다음과 같은 기호를 사용하여 작성한다

[표7 순서도의 기호]

(2) 알고리즘과 순서도의 작성

수열과 련된 순서도를 작성할 때에는 다음과 같은 방법을 고려한다

(가) 항수를 항을 수열의 합을 로 나타낸다

(나) 제시된 항의 번호까지 루 를 용한다

(다) 제시된 항의 번호에 하여 단 기호를 이용한다

(라) 구하려는 는 를 인쇄하고 끝낸다

주의환기

집 을

한 략

지각

주의환기의

략

시청각 효과의 사용

비일상 인 내용이나 사건 제시

주의 분산의 자극 지양

탐구

주의환기의

략

능동 반응 유도

문제해결 활동의 구상 장려

신비감의 제공

다양성의

략

간결하고 다양한 교수형태 사용

일방 교수와 상호작용 교수의 혼합

교수자료의 변화 추구

목표-내용-방법이 기능 으로 통합

련성

증진을

한

략

친 성의

략

친 한 인물 혹은 사건 활용

구체 이고 친숙한 그림 활용

친 한 문 배경 지식 활용

목 지향성

의 략

실용성에 을 둔 목표 제시

목 지향 인 학습형태 활용

Ⅴ 러의 ARCS 이론과 수열 지도

1 러의 ARCS 이론

1) ARCS 이론의 특징

(1) 이론 배경

다음은 ([4])의 내용을 참고하 다

ldquo말을 물가로 데리고 갈 수는 있지만 물을 먹일 수는 없다rdquo는 속담처럼

하고자 하는 마음이 없으면 학습 효과를 기 할 수 없는 것은 당연한 사실

이다 이러한 생각의 근거에는 동기 유발의 개념이 자리 잡고 있다 동기

유발이란 어떤 활동을 진 지시 유지하려는 내 상태 는 과정을

포함한다 이 개념은 교육 심리학의 심 개념 의 하나이지만 직 찰

할 수 없는 것이기 때문에 인간의 행동을 보고 거기에서 유출해 내는 개념

이며 이에 한 정의는 바라보는 과 강조하는 내용에 따라 각기 다르

다

(2) ARCS 이론

목 의 선택 가능성 부여

필요나

동기와의

부합성 강조의

략

다양한 수 의 목 제시

학업성취 여부의 기록체제 활용

비경쟁 학습상황의 선택가능

동 상호 학습상황 제시

자신감

수립을

한 략

학습의

필요조건

제시의 략

수업의 목표와 구조의 제시

평가기 피드백의 제시

선수학습 능력의 단

시험의 조건 확인

성공의 기회

제시의 략

쉬운 것에서 어려운 것으로 과제 제시

정수 의 난이도 유지

다양한 수 의 시작 제공

무작 의 다양한 사건 제시

다양한 수 의 난이도 제공

개인

조 감

증 의 략

학습의 끝을 조 할 수 있는 기회 제시

학습속도의 조 가능

원하는 부분에로의 재빠른 회귀 가능

선택가능하고 다양한 과제의 난이도제공

노력이나 능력에 성공 귀착

만족감

증 를

한 략

자연 결과

강조의 략

연습문제를 통한 용기회 제공

후속학습상황을 통한 용기회 제공

모의상황을 통한 용기회 제공

정 결과

강조의 략

한 강화 계획의 활용

의미 있는 강화의 강조

정답을 한 보상 강조

외 보상의 사려 깊은 사용

선택 보상체제 활용

공정성

강조의 략

수업목표와 내용의 일 성 유지

연습과 시험 내용이 일치

[표8 ARCS 략] ([1])

2 ARCS 이론을 용한 수열 수업 계획서

다음은 ([1])의 ARCS 이론의 수업계획서를 참고하여 수열 단원의 수업

계획서를 작성해보았다

수업내용개 동기 략개 기타의견1 수업 기

체 으로 교사는 다양한 방법으로 학습자들

에게 수업 내용을 제시하고 학습자들에게

한 언어를 사용한다

수열의 활용에

한 학습목표

제시하기

교사는 학습자들의 련성을 높이기 해 학습

목표의 의미를 설명해 다

도표는 큰 씨를 사

용하고 핵심이 되는

단어에는 다른 색깔을

사용한다

수열의 활용의

이 과 평가

거를 제시하기

교사는 학습자들의 련성과 자신감 만족감

을 높이기 하여 이 수업이 끝난 후 그들이

무엇을 할 수 있는지에 해 알려 다

교사는 학습자들의 자신감과 만족감을 높이기

하여 성공 인 학습성취를 단할 수 있는 객

인 거들을 알려 다

교사는 학습자들의 만족감을 높이기 하여

그들이 주어진 과제를 성공 으로 해결했을 때

그에 따르는 내재 강화나 외재 보상이 있음

을 알려 다

수열의 정의와

해법에 한 지

식을 간략하게

확인하기

교사는 선수학습과의 련성을 유발하기 하

여 간략한 보조도구(인쇄매체)를 사용하여 수열

의 정의와 해법을 제시한다

교사는 소집단 토론을 실시하여 학습자들의

선수지식을 스스로 검해 보도록 한다

교사는 수열의 정의와 해법을 잘 모르는 학습

자들에게 자신감을 유발시키기 하여 개별 인

학습목표를 세우도록 한다

소집단 구성에 있어

서 주의집 이 매우

낮은 5명을 하나의 소

집단으로 구성하고

친근한 소재를 활용하

여 그들의 주의집 과

련성을 유발한다

실생활과 련

된 수열의 활용

문제들을 몇 가

지 소개하기

교사는 학습자들의 주의집 을 유지하기 해

실생활에서 연립방정식을 활용하여 해결할 수

있는 몇 가지 문제들을 제시한다

주의집 이 매우 낮은 5명의 학습자들이 수업

에 극 인 심을 보이지 않으면 교사는 그

들에게 친근한 목소리로 이름을 부르면서 수업

에 집 하라고 얘기 하고 개인 인 심을 갖

고 있음을 나타낸다

로써 활용되는 문

제들을 선택할 때 학

습자들이 알고 있거

나 그들에게 친근감

을 주는 소재가 포함

되도록 선택한다 이

때 지나치게 자심감

이 높아서 수업에 소

극 으로 참여하는 3

명의 학습자들에게는

다소 복잡한 수열의

활용 문제를 미리 제

공하여 생각할 기회를

다

수열의 활용에

한 학습자들의

이해정도를 악

하고 피드백을

제공하기

교사는 학습자들에게 자신감을 높이기 하여

소집단을 구성하여 학습자들이 수열의 활용에

해 어느 정도 이해하고 있는지를 서로 토론하

도록 한다

교사는 소집단별로 둘러보면서 자신감과 만족

감을 유발시키기 하여 학습자들간에 서로 도

움을 주도록 분 기를 형성한다

소집단별로 간략하게 토론이 끝나면 학습자

들 스스로 정리하도록 한다

토론결과 학습자들이 수열의 활용에 해 잘

못 이해하고 있다면 교사는 즉각 으로 교정

피드백을 제공한다

학습자들의 소집단

토론시간을 무 길게

소요하지 않도록 한

다 자칫하면 토론분

기가 산만해지기 쉽

고 토론이 활발하지

못한 경우에는 학습자

들의 학습의욕이 떨어

진다

2 수업 반 체 으로 교사는 다양한 방법으로 학습자

들에게 수업 내용을

제시하고 학습자들에게 개별 인 언어를 사용

한다

실생활과 련

된 수열의 활용

의 문제들을 구

체 으로 제시하

기

교사는 학습자들의 주의집 련성 자신감

만족감을 유지하기 하여 게임을 실시한다 학

습자들이 돌아가면서 임의로 다른 학습자를 지

명하면 지명받은 학습자가 실생활과 련된 수

열의 문제를 하나 제시한다 한 문제를 제

시한 학습자에게 학습태도 수를 주어 만족감

을 향상시킨다

교사는 학습자들이 제시한 여러 가지 문제들

을 칠 에 은 후 몇몇 소집단을 구성하여

그 문제들을 해결하기 해 인스토 을 하

도록 한다 이때 교사는 문제를 해결한 학습자

가 아직 해결하지 못한 학습자들을 도와주어 자

신감과 만족감을 갖도록 한다

인스토 이 진행되는 동안 교사는 교실

을 둘러보면서 학습자들이 질문이나 의문사항

에 해 극 으로 질문할 수 있는 기회를 제

공하고 그에 해 개별 인 언어를 사용하여

부드러운 목소리로 피드백을 제공한다

인스토 도 학습자들의 개인 인 능

력차가 커서 문제를 해결하는데 어려움을 겪는

학습자들에게는 그들에게 합한 개별 인 학습

이때 교사는 밝고

생동감이 넘치는 목소

리로 학습자들의 활동

을 진시킨다

교사는 학습자들이

한 자신감을 유지

하고 있는지에 해

지속 인 심을 갖고

지켜본다

이때 교사는 학습자

들의 자신감과 만족감

을 높이기 하여 그

들에게 일 성 있는

피드백을 제공한다

교사는 학습자들이

목표를 다시 선정하도록 하여 자신감을 향상시

킨다

인스토 이 끝나면 교사는 소집단 별로

한 사람씩 자발 으로 나와 문제를 풀고 풀이

과정을 체 학습자들에게 설명하도록 한다 이

때 어려운 문제를 해결한 소집단이나 학습자에

게 교사는 그들의 우수한 능력을 인정하고 내

재 인 자존심에 정 인 향을 주는 칭찬을

제공하여 자신감과 만족감을 높인다

소집단의 인스토

을 하는 동안 체

으로 문제풀이를 할

때 주의집 을 유지

하고 자신감과 만족

감의 향상을 악하기

해 끊임없이 그들과

시선을 교류하고 얼

굴표정을 찰한다

3 수업마무리 체 으로 교사는 다양한 방법으로 학습자

들에게 수업 내용을 제시하고 학습자들에게 개

별 인 언어를 사용한다

실생활과 련

된 수열의 활용

에 해 체

으로 정리 요

약하기

교사는 교탁을 탁탁 치거나 박수를 쳐서 다

소 떨어진 학습자들의 주의집 을 향상 시킨다

교사는 실생활 속에서 수열을 활용하여 해결

할 수 있는 간단하고 재미있는 문제들을 2～3개

제시하여 학습자들이 그 문제를 성공 으로 해

결함으로써 자신감과 만족감을 갖도록 한다

교사는 학습자들이 미처 생각하지 못했던 실

생활 속에서 수열과 연 된 다양한 들을 제공

하여 주의집 과 련성을 유지향상시킨다

교사는 자신감과 만족감을 향상시키기 해

학습자들에게 수업진행 에 그들이 설정한 개

인 인 학습목표에 해 얼마나 많이 달성했는

가를 스스로 검해 보라고 한다

교사는 수업 반에 수열의 문제를 잘 해결하

지 못했던 학습자들에게 그 문제를 다시 해결해

보도록 기회를 제공하여 자신감과 만족감을 높

여 다

평가에 있어서 교사는 학습자들이 그들의 성

에 해 공정하게 평가되었다고 느끼도록 일

성 있게 평가하여 그들의 자신감고 만족감을

높여 다

교사는 수열과 실생

활과의 련성에 해

학습자들이 잘 지각하

고 있는가를 알아보기

해 다소 진지한 목

소리로 질문한다

다음 학습내용

에 해 간략히

소개하기

교사는 학습자들의 흥미를 유지하기 하여

다음 학습내용에 해 호기심에 찬 목소리로 간

략하게 소개하고 수업을 끝낸다

[표9 러의 ARCS이론]

단원

단

원Ⅲ 수열

배정시간

(분)50

단

원1 등차수열과 등비수열

차시 3소단

원3) 등차수열과 등비수열의 활용

학습

목표등차수열과 등비수열을 실생활의 문제에 용할 수 있다

학습

단계학습내용

교수-학습활동 지도상의유의사

항교사활동 학생활동

도

입

15

분

인사

출석

주변을 정리 정돈

하여 수업분 기를

조성한다

인사 출석체크

를 한다

주의를 환기시킨

후 학생들과 인사

한다

출결석 여부를

확인한다

바른 자세로 주

변을 정리한 뒤

교사와 인사한다

수업 비를 한

다

교사와 학생

모두 함께 수업

분 기를 조성한

다

선수

학습

확인

지난 시간에 학습

한 등차수열과 등비

수열의 정의에 해

다시 한번 확인해본

다

지난 시간에 학습

한 등차수열과 등비

수열의 일반항을 구

하는 방법에 해 확

인학습으로 [문제1]

과 [문제2]를 풀어본

다

학생들의 자신감

을 높이기 하여

등차수열과 등비수

열의 정의를 교과

서에서 찾아본 후

큰소리로 답하게

한다

학생들이 답한

후 다시 한번 등차

수열과 등비수열에

해 간단히 설명

등차수열과 등

비수열의 정의를

교과서에 찾아본

후 큰소리로 읽는

다

교사가 등차수

열과 등비수열의

정의에 해 다시

한번 간단히 설명

할 때 부족한 부

분은 필기하며 복

습한다

교사가 정의에

해 질문할 때

학생들이 모두

책을 찾아볼수

있게 주의를

다

만일 답하

지 못하는 학생

이 있을 경우 그

여기서 인스토 (brainstorming)이라고 하는 것은 갑자기 떠오르는 멋

진 생각을 종이에 는다든가 말로 표 해 본 후 로 기록하거나 기록된

문장을 정리정돈하면서 생각을 논리화하는 방법이다 주로 어떤 계획을 세

우고자 할 때 창조 이고 기발한 아이디어가 필요할 때 학생들의 의견과

생각을 끌어내어 발 시키고자 할 때 사용하면 유리하다 ([3])

3 ARCS 이론을 용한 수업지도안

[문제1]

다음 등차수열

의 일반항과 제20항

을 구하여라

　　　　　　　

[문제2]

다음 등비수열

의 일반항과 제8항을

구하여라

　 　　　　　

한다

교사는 [문제1]

과[문제2]를 제시

한 뒤 학생들에게

직 풀어보게 한

다

등차수열과 등

비수열의 일반항

과 그 공식의 유

도과정을 기억한

다

제시된 문제를

연습장에 풀어본

다

학생에 해 개

별 인 언어를

사용하여 부드러

운 목소리로 피

드백을 제공한

다

개

30

분

학습

목표

제시

수열의 활용에

한 학습목표를 제시

한다

학습목표 학습

에 필요한 자료를

Power point 시청

각 효과를 사용하여

학생들의 주의환기

집 을 한 략

을 사용한다

학습목표를 학생

들에게 읽게 하고

학생들의 련성을

높이기 해 학습

목표의 의미를 설

명해 다

교사의 지시에

따라 큰소리로 학

습목표를 읽고 이

수업이 끝난 후

무엇을 할 수 있

는지에 해 생각

해 본다

학습목표는 큰

씨를 사용하

고 핵심이 되는

단어에는 다른

색깔을 사용한

다

탐구

학습

실생활과 련된

수열의 활용문제들을

몇 가지 소개한다

수열의 활용에

한 학습자들의 이해

정도를 악하고 피

드백을 제공한다

등차수열과 등비

수열을 이용하여

실생활의 문제를

해결할 수 있음을

학생들이 쉽게 이

해할 수 있도록 설

명한다

교사가 실생활

과 련된 수열의

활용문제들을 몇

가지 소개할 때

다른 시가 있는

지 함께 생각해

본다

문제

제시

[문제3]

한일 월드컵 축구 개

회 연도는 2002년이

다 2002년 이후 월

드컵 축구가 개최되

는 연도를 차례로 써

보고 이 규칙 로 월

드컵 축구가 개최되

면 2100년은 월드컵

축구가 개최되는 연

도인가

교과서에서 수열

단원의 수열의 활

용부분에 수록된

문제들을 풀어볼

수 있도록 시간을

다

등차수열과 등

비수열의 일반항

유도 공식을 생각

해보고 제시된 문

제를 해결해 간다

로써 활용되

는 문제를 선택

할 때 학습자들

이 알고 있거나

그들에게 친근감

을 주는 련성

증진을 한

략을 사용한다

[문제4]

컴퓨터의 주기억 장

치인 램은용

으로

용으로 가 개발

되었다 이후 램의

용 량 은

로 증가되어 왔다

의 램으로부터

번 증가된 주 메모

리는 식으로 어떻게

나타낼 수 있는가

학생들이 문제를

어렵게 느끼지 않

도록 어떤 방향으

로 해결해야 하는

지 힌트를 주어 학

생들의 자신감을

증진시킨다

소집

단

활동

5～6명으로 이 진

소집단을 구성하여

학습자들이 수열의

활용에 해 어느 정

도 이해하고 있는지

를 서로 토론하도록

한다

소집단별로 실생활

과 련된 수열의 활

용의 문제들을 구체

으로 제시한다

인 스토 이

끝나면 소집단별로

한사람씩 문제를 풀

고 풀이과정을 체

학생들에게 설명하는

시간을 갖는다

교사는 학생들의

만족감을 높이기

하여 그들이 주

어진 과제를 성공

으로 해결했을

때 그에 따르는

내재 강화나 외

재 보상이 있음

을 알려 다

어려운 문제를

해결한 소집단이나

학생에게 교사는

그들의 우수한 능

력을 인정하고 내

재 인 자존심에

정 인 향을

주는 칭찬을 제공

하여 자신감과 만

족감을 높인다

자신이 속한 소

집단 내에서 제시

된 과제에 해

열심히 토의를 하

며 문제를 해결한

학생이 아직 해결

하지 못한 학생들

을 도와주어 자신

감과 만족감을 갖

도록 한다

소집단별로 간

략하게 토론이 끝

나면 학생들 스스

로 정리해보고 자

발 으로 체 학

생들에게 설명해

보는 기회를 갖는

다

교사는 학습자

들이 한 자

신감을 유지하고

있는지에 해

지속 인 심을

갖고 지켜본다

학생들의 소집

단 토론시간을

무 길게 소요

하지 않도록 한

다

형성

평가

[문제4]

민수는 남 문의 기

와 지붕 한쪽 면이

사다리꼴 모양임을

찰하고 이 면에 있

는 기와의 개수를 알

아보고자 한다 기와

형 성 평 가 를

Power point로 제

시하고 학생들이

스스로 풀어볼 수

있도록 지도한다

학생들이 문제를

다 풀고 나면 교사

제시된 문제를

오늘 학습한 내용

을 복습하면서 풀

어보도록 한다

교사는 다소

진지한 목소리로

질문한다

의 개수를 행으로 세

었더니 용마루 쪽에

가장 가까운 행에는

40개 처마 쪽에 가

장 가까운 행에는 72

개 다 용마루부터

처마까지 행의 개수

가 17이라고 할 때

민수가 찰한 지붕

한쪽 면의 기와의 개

수는 모두 몇 개인

가

는 학생들에게

답할수 있도록 하

고 학생들이 학습

목표에 해 얼마

나 많이 달성했는

가를 스스로 검

해 보라고 한다

형성평가의 답

을 교사의 질문에

끝난 뒤 큰소리로

답하여 자신감

과 만족감을 갖도

록 한다

학생들에게 개

별 인 언어를

사용한다

정

리

5

분

학습

정리

차시

고

학습 자료를 이용

하여 수열의 실생활

의 활용 단원의 수업

내용을 확인한다

과제를 제시한다

다음 차시인 「여

러 가지 수열」 단원

에 한 고를 한

다

수업 내용을 정

리하고 과제를 제

시한다

학생들의 흥미를

유지하기 하여

다음 학습내용에

해 호기심에 찬

목소리로 간략하게

소개하고 수업을

끝낸다

오늘 학습한 내

용을 정리한다

과제를 고 과

제 해결에 한

내용을 머릿속에

형성해 본다

다음 차시에 배

울 내용을 학습

자료 화면으로 확

인해본다

수업내용에

해 학생과 교사

모두가 만족하고

있는지 확인하고

공정한 평가를

한다

[표10 수업지도안]

4 조사 문제지 분석

고등학교 수학 Ⅰ 의 수열단원의 효율 인 지도방안의 연구를 하여 원

종고등학교 2학년 학생 100명을 상으로 조사 문제지 조사를 하 다 학

생들의 수학에 한 심과 수학에서 가장 어려워하는 부분을 알아볼 수

있었고 어떤 방식의 수업을 선호하는지도 알아볼 수 있었다

⑴ 수학에 얼마나 심이 있나요

① 매우 많다 ② 많다 ③ 보통이다 ④ 다 ⑤ 매우 다

수학과목에 매우 많은 심을 보이는 학생은 2로 매우 낮은 편이며

심이 있는 학생은 43로 학생의 반정도 다 수학과목에 심이 거

나 없는 학생은 54정도로 수학은 어려운 과목이라는 인식 때문에 심

이 은 것 같다

수학을 공부하는 가장 큰 이유에는75의 학생들이 학입시를 해서라

는 문항을 선택했다 기타 이유에는 교과서에 있어서 어쩔수 없이 한다

는 학생과 진리탐구를 해서라는 학생도 있었다

[그림6 조사문제지

(1)번 막 그래 ]

⑵ 수학을 공부하는 가장 큰 이유가 뭐라고 생각하나요

① 학입시를 해서

② 평소 수학에 흥미가 있어서

③ 실제 생활에 쓰기 해서

④ 주변에서 해야한다고 하니까

⑤ 기타 이유 (이유를 간단히 어주세요)

앞에 (1)번문항에서 수학에 심이 은 학생이 반 정도인것에 반해

수학공부가 필요하다고 느낀학생이 75정도로 수학공부가 필요하단건

느끼지만 어려운 과목이라는 인식이 부분인것 같다 수학과목도 재

는 과목이란 인식을 학생들이 가질수 있도록 노력해야겠다

[그림7 조사문제지

(2)번 막 그래 ]

⑶ 수학공부의 필요성에 해 어떻게 생각하나요

① 매우 필요하다 ② 조 필요하다 ③ 보통이다

④ 필요 없다 ⑤ 필요 없다

[그림8 조사문제지

(3)번 막 그래 ]

⑷ 수학을 공부하면서 가장 어려운 부분은 무엇이나요

① 복잡한 계산 과정 ② 외워야할 많은 공식들

③ 응용문제엔 어떤 공식을 용해야할지 ④ 다 어렵다

학생들이 수학과목이 어렵다고 느끼는 이유는 응용문제에 어떤 공식을

용해야 하는지를 몰라서 라는 답이 58로 가장 많았다 그 외에도

계산과정이 복잡하거나 외워야할 공식들이 많아서라는 답도 있었다

이해 주의 수업을 하고 단순한 공식의 암기 주의 수업을 탈피해야겠

다

수학수업을 하는데 효과 인 방법에는 선생님 주의 강의식 수업과 학

생 개인별 수업이 78로 가장 많았다 개념이나 공식유도과정을 설명할

땐 서를 하며 강의식 수업을 하고 문제풀이땐 학생들 개인별로 첨삭

지도를 하는게 효율 인것 같다

⑤ 기타이유 (이유를 간단히 어주세요)

[그림9 조사문제지

(4)번 막 그래 ]

⑸ 수학 수업을 하는 데 어떤 방법이 가장 효과 이라고 생각하나요

① 선생님 주의 강의식 수업

② 학생 개인별 수업

③ 모둠별 활동 수업

④ 기타 교재나 과제를 통한 수업

⑤ 기타(이유를 간단히 어주세요)

[그림10 조사문제지

(5)번 막 그래 ]

Ⅵ 결론

본 논문에서 지 까지 고등학교 2학년 학생들이 수학 Ⅰ 교육과정을 학습하

는데 가장 어려워하는 수열에 해 살펴보았다 먼 개정 교육과정에 명시

된 수학교육의 목표와 임의로 선택된 5종 교과서에서 수열 단원의 학습목표

를 살펴보았고 수열의 역사 배경과 실생활에 응용된 들을 정리해보았

다 한 5종 교과서에서 제시되어 있는 수열의 학습내용을 소단원 별로 정

리해보았다 임의로 선택된 5종 교과서안의 수열의 학습내용을 분석해보면

서 몇 몇 교과서에서 여러 가지 수열 단원에서 군 수열과 멱 수에 한 언

이 없거나 미약함을 알 수 있었다 본 연구자가 보기에 군 수열과 멱 수

부분은 실생활에 활용될 는 극히 작아 보이지만 학생들이 꼭 학습하고 넘

어가야 수열에 한 완벽한 학습이 될 수 있을 것이라 여겼는데 교과서에서

제시된 내용들로는 학생들이 충분히 이해할 수 없을 것 같았다

그리고 교과서에 제시된 문항의 수 이 입시와 동 떨어진다는 문제 이 있

었다 교과서에 제시된 문제가 부족하고 수 이 낮다 보니 실제로 학교에서

수업 때 보충 린트 물로 수업을 진행하고 간기말고사 때에도 교과서

외에서 많은 문제를 출제하는 모습을 볼 수 있었다 때문에 학생들이 교과서

보다는 문제집 주의 공부를 할 수 밖에 없는 듯 보 다 교과서가 학생들

과 교사의 요구에 부합할 수 있도록 새로운 내용들과 문제를 싣도록 해야

할 것이다

학생들이 수열 단원의 학습을 할 때 좀 더 효과 인 학습이 될 수 있도록

리의 동기설계이론 (ARCS 이론) 을 바탕으로 하여 수업 계획서와 1차시

의 수업 지도안을 작성해 보았다 한 작성한 수업 지도안으로 부천시 소재

의 한 고등학교에서 실제 수업을 진행해 보았을 때 학생들이 좀 더 수열에

해 친숙하게 느끼고 쉽게 이해하는 모습을 볼 수 있었다 본 연구자가

직 교사가 아니라 여러 반을 상으로 수열 단원의 모든 차시 수업에 용

하여 수업을 해볼 수 없었단 이 아쉬움으로 남는다

이와 같이 학생들의 주의 련성자신감만족감 증진을 한 수업을 함

으로써 학생들의 수학 학습 성취도의 향상을 기 할 수 있을 것이다 한

개발된 자료를 실제 수업에 용하는 경우의 효율성에 한 후속 연구가 체

계 이고 지속 으로 이루어져야 할 것이다

참 고 문 헌

[1] 구평회 META 구평회 교육학 2007

[2] 교육인 자원부 고시 제2007 - 79호[별책8] 2007

[3] 박인학 교사를 한 교수학습방법론 문사 1995

[4] 변 계 교수학습 이론의 이해 학지사 1999

[5] 우정호 외 5인 고등학교 수학 Ⅰ 한교과서(주) 2002

[6] 이 연 자연의 수학 열쇠 피보나치수열 로네시스 2006

[7] 이진화 지수로그함수의 지도에 한 연구 서강 학교 교육 학원 석사 학

논문 2006

[8] 임재훈 외 10인 고등학교 수학 Ⅰ (주)두산 2002

[9] 장 숙 고등학교 수학 Ⅰ 교과서의 통계단원 분석 실생활에의 용 경희

학교 교육 학원 석사 학 논문 2006

[10] 조해식 행렬 수열 수업에서의 수학사 도입에 한 연구 울산 학교 석사

학 논문 1998

[11] 차 자 수열 학습의 흥미 유발을 한 자료 연구 경성 학교 교육 학원 석

사 학 논문 2004

[12] 최 외 5인 고등학교 수학 Ⅰ 앙교육진흥연구소 2006

[13] 최상기 외 5인 고등학교 수학 Ⅰ (주)고려출 2002

[14] 최용 신 성 고등학교 수학 Ⅰ 천재교육(주) 2002

[15] 황혜정 외 5인 수학교육학 신론 문음사 2002

• Ⅰ 서론
• • 1 연구의 필요성과 목적
  • 2 연구의 제한점
  • • Ⅱ 개정 교육과정에서 명시된 수학Ⅰ교육의 목표
    • • 1 수학Ⅰ교육의 목표
      • 2 고등학교 수학 Ⅰ 수열 단원의 학습목표
      • • Ⅲ 수열의 역사적 배경 및 응용
        • • 1 수열의 역사
          • 2 수열 단원이 실생활에 응용된 사례
          • • Ⅳ 고등학교 수학교육과정에서의 수열
            • • 1 수학Ⅰ 교과서 분석
              • 2 수학Ⅰ 교과서에서의 수열
              • • Ⅴ 켈러의 ARCS 이론과 수열 지도
                • • 1 켈러의 ARCS 이론
                  • 2 ARCS 이론을 적용한 수열 수업 계획서
                  • 3 ARCS 이론을 적용한 수업 지도안
                  • 4 조사지 분석
                  • • Ⅵ 결론
                    • 참고문헌

로그함수와 그 그래

로그방정식과 로그부등식

수열

등차수열과 등비수열

여러 가지 수열

수학 귀납법

알고리즘과 순서도

수열의 극한무한수열의 극한

무한 수

[표1 수학Ⅰ교과서 내용체계]

4) 평 가

(1) 평가

(가) 수학 학습의 평가는 학생의 인지 역과 정의 역에 한 유용한

정보를 제공하여 학생 개개인의 수학 학습과 인 인 성장을 돕고 교사의

교수 활동과 수업 방법을 개선하는 데 활용한다

(나) 수학 학습의 평가에서는 학생의 인지 발달 수 을 고려하고 교육과정에

제시된 내용의 수 과 범 를 수한다

(다) 수학 학습의 평가는 수업의 개 과정에 따라 진단 평가 형성 평가 총

평가 등의 한 평가 방식을 택하여 실시하되 지속 인 평가를 통하여

다양한 정보를 수집하고 수업에 활용한다

(라) 수학 학습의 평가에서는 획일 인 방법을 지양하고 지필 평가 찰 면

담 자기 평가 등의 다양한 평가 방법을 통해 수학 교수ㆍ학습을 향상시킬

수 있게 한다

(마) 인지 역에 한 평가에서는 학생의 수학 사고력 신장을 하여 결

과뿐만 아니라 과정도 시하여 평가하되 수학의 교수학습에서 반 으

교과서 학습목표

한교과서

(주)

등차수열 등비수열의 뜻을 알고 일반항 첫째항부터 제 n항까지

의 합을 구할 수 있다

sum의 뜻과 성질을 이해하고 이를 활용하여 여러 가지 수열에

한 문제를 해결할 수 있다

수학 귀납법의 원리를 이해하고 이를 활용하여 자연수 n에

하여 참인 명제를 증명할 수 있다

알고리즘과 순서도의 뜻을 알고 간단한 문제 해결을 한 알고

리즘을 작성하여 순서도를 만들 수 있다

(주) 천재교육

등차수열과 등비수열의 뜻을 알고 일반항과 첫째항부터 제 n항

까지의 합을 구할 수 있다

기호 sum의 뜻과 성질을 이해하고 이를 활용할 수 있다

여러 가지 수열의 일반항과 첫째항부터 제 n항까지의 합을 구

할 수 있다

여러 가지 수열에 한 문제를 해결할 수 있다

수학 귀납법의 원리를 이해하고 이를 이용하여 자연수 n에

하여 참인 명제를 증명할 수 있다

로 요구되는 사항을 강조한다

(바) 정의 역에 한 평가에서는 학생의 수학에 한 정 태도를 신장

시키기 하여 학생의 수학에 한 바람직한 가치 이나 수학 학습에 한

심 흥미 자신감 등의 정도를 악한다

(사) 수학 학습의 평가에서는 평가하는 학습 내용에 따라 학생에게 계산기

컴퓨터와 같은 공학 도구와 다양한 교구를 이용할 수 있는 기회를 제공할

수 있다

2 고등학교 수학 1 수열단원의 학습목표

수학 Ⅰ교과서에서의 수열단원의 학습목표를 5종 교과서를 비교하여 살펴

보고자한다 임의로 선택된 5종 교과서([5][8][12][13][14])의 학습목표는

다음과 같다

알고리즘과 순서도의 뜻을 알고 그 필요성을 이해할 수 있다

간단한 문제 해결을 한 알고리즘을 작성하여 순서도를 만들

수 있다

앙교육진흥

연구소

수열을 이해하고 이를 활용하여 여러 가지 문제를 해결할 수 있

다

수학 귀납법의 원리를 이해하고 이것을 이용하여 자연수 n에

하여 참인 명제를 증명할 수 있다

알고리즘과 순서도의 뜻을 알고 간단한 문제 해결에 사용할 수

있다

(주) 고려출

등차수열의 뜻을 알고일반항 첫째항부터 제 항까지의 합을 구

할 수 있다

등비수열의 뜻을 알고일반항 첫째항부터 제 항까지의 합을 구

할 수 있다

sum의 뜻과 성질을 이해하고 이를 활용할 수 있다

여러 가지 수열의 일반항 첫째항부터 제 항까지의 합을 구할

수 있다

여러 가지 수열에 한 문제를 해결할 수 있다

수학 귀납법의 원리를 성명하고 수학 귀납법을 이용하여 자연

수 에 하여 참인 명제를 증명할 수 있다

알고리즘과 순서도의 뜻을 알고 그 필요성을 알 수 있고 간단

한 문제 해결을 한 알고리즘을 작성하여 순서도를 만들 수 있다

(주) 두산

등차수열과 등비수열의 뜻을 알고 일반항과 그 합을 구할 수 있

다

기호sum의 뜻과 성질을 이해하고 이를 이용하여 여러 가지 수열

에 한 문제를 해결할 수 있다

수학 귀납법의 원리를 이해하고 이를 이용하여 자연수 에

하여 참인 명제를 증명할 수 있다

알고리즘과 순서도의 뜻을 알고 간단한 문제 해결을 한 알고

리즘을 작성하여 순서도를 만들 수 있다

[표2 5종 교과서 수학 Ⅰ 수열 단원의 학습목표]

Ⅲ 수열의 역사 배경 응용

1 수열의 역사

수학의 역사에서 가장 흥미로운 수열 하나가 피보나치수열이다 피보나

치수열은 수학이론 뿐만 아니라 자연계 건축 술 등에 다양하게 표 된

다

그 에 오나르도가 발표한《산반서》에 소개된 피보나치수열에 한 문

제는 다음과 같다 ([6]) ldquo어떤 사람이 토끼 한 을 우리에 넣었다 이 토

끼 한 은 한 달에 새로운 토끼 한 을 낳고 낳은 토끼들도 한 달이 지

나면 다시 한 의 토끼를 낳는다 그 다면 1년이 지나면 몇 의 토끼가

있을까rdquo

첫 달엔 처음에 있던 토끼 한 만 있다 두 번째 달이 되면 토끼 한 을

낳아 두 의 토끼가 된다 세 번째 달이 되면 처음에 있던 토끼 한 이

한 의 토끼를 낳아 세 의 토끼가 된다 네 번째 달이 되면 첫

달과 두 번째 달의 토끼 두 이 각 한 의 토끼를 낳아 총 다섯 의

토끼가 있게 된다 이런 식으로 토끼를 낳아가면 그 수는 다음과 같은 규

칙을 갖는다 　　　　　　　　　　 이런 규칙을 갖는 피보나치수열의

일반항을 이라고 하면 　 　 　 　 가 된다

그런데 이 수열을 자연에서도 쉽게 찾아볼 수 있다 식물의 기에서 뻗어

나온 잎을 생각해 보면 기의 에 있는 잎 하나에서 수직으로 에 있

는 잎까지 도달할 때까지 기를 따라 올라가면서 잎의 개수를 세면 그

수들은 일반 으로 피보나치수열을 이룬다

[그림1 피보나치수열]

2 수열 단원이 실생활에 응용된 사례

1) 하노이의 탑

인도 갠지스 강 유역 라만교의 사원에 있었던 하노이의 탑은 라만

탑이라고도 부르는데 이 탑에 얽힌 문제의 내용은 다음과 같다 다음은

([10])의 내용을 참고하 다

[베나 스에는 세계의 심이 있고 그 곳에는 아주 큰 사원이 있으며 이

사원에는 높이 정도 되는 다이아몬드 바늘 3개가 있다 그 에서 한

바늘에는 천지 창조 때에 신이 구멍이 뚫린 64장의 순 으로 된 원 을 크

기가 큰 것부터 아래에 놓이도록 하여 차례로 쌓아 놓았다 그리고 신은

승려들에게 밤낮으로 쉬지 않고 원 을 한 장씩 옮겨 빈 다이아몬드 바늘

어느 한 곳으로 모두 옮겨 놓도록 명령하 다

ldquo원 은 한 번에 한 개씩만 옮겨야 하고 로 작은 원 에 큰 원

을 올려놓을 수 없다 단 64개의 원 의 크기는 모두 다르다 이 말을 충

실히 실행하고 한 순간도 게을리 하지 마라 만일 게을리 하는 일이 있으

면 그 때는 이 사원도 탑도 모두 무 지고 세계는 종말을 고하게 된다 게

을리 하는 일이 없으면 그 들이 원 을 부 옮길 때까지 세상은 태평할

것이다rdquo]

승려들은 과제를 수행하기 해 밤낮으로 매우 열심히 작업을 했다 그 작

업을 끝내기 해서 승려들은 몇 번을 움직여야 하고 얼마나 많은 시간을

사용해야만 했을까

[그림2 하노이의 탑]

원 이 1개가 있으면 최소 이동 횟수는 1번 원 이 2개가 있을 때 최소

이동 횟수는 3번이고 원 이 3개가 있으면 최소 이동 횟수는 7번이다

원 이 4개가 있으면 최소 이동 횟수는 15번이다 이런 식으로 계속 해나

가다 보면 　　　　　　　 라는 수열을 얻는다 이것은 각 항의 차이가

계차수열을 이루는데 이것은 다음과 같다 　　　　　　일반항을 으로 두

고 구해보면 　 　times 　 　 이다 처음 값을 으로 두고 일반항을

구해보면 　

이 된다

만약 그 설 로 따라가서 수도승들이 쉬지 않고 디스크를 1 에 한번

씩 옮겼다면 최소의 이동횟수는 이 되고 18446744073709551616

가 걸리고 략 5854억4200만년이 필요하다는 것을 알 수 있다

원 이자 원리합계(=원 +이자)

1년 원 원 원

2년 원 원 원

3년 원 원 원

년 원 100원 원

2) 등차수열의 응용

(1) 단리법

단리법은 처음 원 의 이자에 해당하는 비율만큼 계속 되는 계산법이

다 1000원을 했다면 1년이 지날 때마다 10 의 이자가 붙는다고 하

자 1년이 지났을 때 10 의 이자가 붙으면 100원 불어나므로 1000 +

1000 times 01 = 1100(원) 이다 그리고 1년2년 년이 지날 때 마다

값을 측정해보면 다음과 같다

[표3 단리법]

최종 으로 원 을 라 하고 연이율을 이라고 한다면

결국 년이 되었을 때 단리법으로 표 하면 그 때의 총 합 는

이 된다

3) 등비수열의 응용

(1) 복리법

복리법은 원 에 이자가 된 원리합계를 기 으로 이자를 계산하는 방

법이다 원을 했다면 1년이 지날 때마다 의 이자가 붙는다고

원 이자원리합계

(=원 +이자)

1년 원 원 원

2년 원 원 원

3년 원 원 원

년 원 times원 원

하자 1년이 지났을 때 의 이자가 붙으면 원 불어나므로

times (원) 이다 그리고 1년2년 년이 지날 때 마

다 값을 측정해보면 다음과 같다

[표4 복리법]

최종 으로 원 을 라 하고 연이율을 이라고 한다면

따라서 년이 지나면 이 된다 그때의 총 합 는 이

다

4) 황 비율

에서 언 했던 피보나치수열 　　　　　　　　　　에서 번째 항

을 번째 항으로 나 어 보자

　 　

　 　

　 　

　 　

　 　

　 　 이런 식으로 계속 해나가다 보면

이 수가 061803 에 근사하게 된다 고 그리스인들은 이 수에 lsquo황 비

율rsquo라는 이름을 붙 다 이것은 인간이 보기에 가장 아름다운 비율이라 하

여 여러 분야에서 사용되고 있다

(1) 황 비의 이용

약 100년 페히 라는 독일의 심리학자는 수백 명의 사람들에게 여러

종류의 직사각형을 보여 다음 마음에 드는 것을 선택하게 하는 실험을

했다 그런데 그 결과 부분의 사람이 황 직사각형을 선택했다고 발표했

다 ([6])

실험에 의하면 황 비는 사람들이 가장 편안하고 아름답게 느끼는 비율로

알려져 있으며 이런 이유 때문에 옛 부터 건축과 미술 음악 등에서 자주

이용되어 왔다

(가) 건축

기원 2000년경의 이집트 《린드 피루스》에 보면 기원 4700년에 기

자의 피라미드를 건설할 때 이 수를 lsquo신성한 비율rsquo로 사용했다고 한다

의 측량 기술로 측정해보니 피라미드 의 심에서 의 모서리까지

그리고 경사면까지 거의 정확하게 0618이었다 ([6])

피라미드는 인류역사를 통해서 사람들을 가장 매료시켜온 건축물 의 하

나이다 그 규모의 장 함에서도 사람을 압도하는 것이 있지만 그 형태 자

체가 고도한 수학을 배경으로 한 것으로서 우리가 알고 있는 5천년 의 지

식수 으로서는 불가사의한 것 의 하나이다

[그림3 피라미드 황 비]

(나) 음악에서의 활용

음악에서 한 옥타 는 [도 미 솔 라 시 도] 의 8음계로 이루어져 있

다 피아노의 건반은 한 옥타 를 13개의 음으로 나 어 표 하고 있으며

이 하얀 건반이 8개 검은 건반이 5개 있고 하얀 건반은 3개와 5개 검

은 건반은 2개와 3개로 구분되어 있다 여기에서 나타나는 2 3 5 8 13

은 에서 보인 피보나치수열이다

[그림4 피아노건반황 비율]

(2) 인체에서의 황 비율

황 분할은 우리의 인체 속에서도 찾아볼 수 있다 인간의 신체가 이 비율

에 의해서 분할되어 있으며 이것이 아름다운 몸의 보편 기 이 되고 있

다 아래 그림은 Le Corbusier가 찾아낸 이상 인간의 각 신체부 의 비율

이다 이것은 오나르도 다빈치의 인체비율에 한 그림에서도 찾아 볼

수 있다 이 뿐만 아니라 인체의 각 부 들도 그 자체 황 분할을 이루

고 있다

[그림5 인체 황 비율]

앞에서 제시한 황 비율을 사용한 시들 이외에도 우리 주변에 아주 많

이 있다

교과서 차례

한교과서(주)

Ⅳ 수열

1 등차수열과 등비수열

2 여러 가지 수열

3 수학 귀납법

4 알고리즘과 순서도

(주) 천재교육

Ⅲ 수열

1 등차수열과 등비수열

2 여러 가지 수열

3 수학 귀납법

4 알고리즘과 순서도

Ⅳ 고등학교 수학교육과정에서의 수열

1 수학Ⅰ 교과서 분석

고등학교 2학년이 학습하는 lsquo수학 Ⅰrsquo은 국민 공통 기본 교육 기간의 10단계

수학을 이수한 학생들이 보다 문 인 진로를 고려하고 보다 높은 수 의

수학을 학습하기 해 설정된 심화 선택 과목이며 lsquo수학 Ⅱrsquo를 학습하기 한

단계이다 lsquo수학 Ⅰrsquo의 내용은 수 역에서 지수와 로그 행렬 수열이

실려있고 해석 역에서 수열의 극한 지수로그 함수가 수록되어 있으며

확률과 통계 역에서 순열과 조합 확률 통계 등으로 구성되어 있다 특히

수 역에 해당하는 수열은 여러 가지 수열에 한 성질을 이해하고 그것

을 일반화 하는 과정에 을 두어 지도하도록 하고 있으며 계차수열은 등

차수열이나 등비수열이 되는 경우만 다룬다 ([2])

1) 수학 Ⅰ 5종 교과서의 차례 단원 배열

앙교육진흥연구소

Ⅲ 수열

1 등차수열과 등비수열

2 여러 가지 수열

3 수학 귀납법

4 알고리즘과 순서도

(주) 고려출

Ⅲ 수열

1 등차수열과 등비수열

2 여러 가지 수열

3 수학 귀납법과 순서도

(주) 두산

Ⅲ 수열

1 등차수열과 등비수열

2 여러 가지 수열

3 수학 귀납법

4 알고리즘과 순서도

[표5 수학 Ⅰ 5종교과서의 차례]

의 표에서 본 것과 같이 임의로 선택된 5종의 고등학교 수학 Ⅰ 교과서의

차례는 거의 비슷한 양상을 보 다 부분의 교과서에선 1단원 지수와 로

그 2단원 행렬 3단원 수열 순의 순서를 보 고 한교과서외의 몇몇

교과서에선 1단원 지수와 로그 2단원 지수로그함수 3단원 행렬 4단원 수

열 순의 순서를 보 다 수열단원의 세부 단원 차례는 1 등차수열과

등비수열 2 여러 가지 수열 3 수학 귀납법 4 알고리즘과 순서도 는

34 단원을 한 단원으로 해서 3 수학 귀납법과 순서도의 순서로 다루는

은 비슷했다

2) 교과서에 제시된 수열 련 자료

한교과서

(주)

피타고라스(Pythagoras 572～492 BC) 피타고라스의 정리

로 잘 알려져 있고 소수나 완 수의 규칙성에 해서도 많은 연

구를 하 다

바스카라(Bhaskara A 1114～1185) 인도의 수학자로

임을 증명하 고 피타고라스의 정리를 기하학

으로 증명하 다

피보나치(Fibonacci 1180～1250) 이탈리아의 수학자로 자연

속에서 많이 볼 수 있는 피보나치 수열을 발견하 다

스칼(Pascal B 1623～1662 ) 랑스의 수학자로 수학

귀납법을 발견하 고 사 기하학을 창시하 다

푸리에(Fourier J B J 1768～1830) 랑스의 수학자로 음양

학 학 기역학 열역학 등의 연구에 매우 요한 푸리에

수를 연구하 다

가우스(Gauss K F 1777～1855) 수학 통계학 등의 다방

면에 많은 업 을 이루었고 역사상 가장 한 수학자 의 한

사람으로 불리워지고 있다

비주얼 베이직(Visual BASIC)

을 이용한 Programming

하노이의 탑

(주)

천재교육

가우스(Gauss K F 1777～1855) 독일의 수학자인 가우스는

수학의 각 방면에 많은 업 을 남겨 수학의 아버지라 일컬

어지고 있다 그는 계산의 천재로 알려져 있는데 이에 한 유명

한 일화가 있다 등학교 때 부터 까지의 합을 구하는 문

제에서 다른 학생들이 직 하나하나 계산하는 동안 가우스는

　 　 　　　　 이 모두 임을 이용하여

times 이라는 답을 이끌어 내었다 이러한 방식은 수열

의 합을 계산할 때 사용하는 방식 의 하나이다

하노이의 탑을 이용한 수열의 귀납 정의

임의로 선택된 5종 교과서들의 수열단원에서 학생들의 수열 단원의 이해를

돕기 해 수록된 수학자들에 한 설명과 기타 자료들은 다음과 같다

도미노 이론 - 수학 귀납법의 다른 표

피보나치수열 - 토끼 수 증가 문제

앙교육

진흥연구소

삼각수 사각수 문제

피보나치(Fibonacci 1180～1250)

가우스(Gauss K F 1777～1855)

음악과 수학 - 작곡가 바흐(Bach)의 요 업 으로 평균율을

들 수 있다 평균율이란 1옥타 즉 lsquo도rsquo와 lsquo도rsquo의 사이를 개의

반음으로 나 고 처음 lsquo도rsquo의 진동수를 이라 하면 그에 일정한

수를 더해 제곱하여 옥타 의 lsquo도rsquo의 진동수를 얻는 것을

말한다 수식으로는 로 나타낼 수 있고 이 등식을

만족하는 의 값이 평균율이다

(주)

고려출

티티우스-보데 수열 -

수열 　　　　　　　　의 각 항에 각각 를 더한 후

으로 나 수들을 나열한 것 　　　　　　　 를

티티우스-보데 수열이라 한다 이수열의 각 항은 태양에서 행성

까지의 실제 거리와 비슷한 것으로 1766년 티티우스(Titius)라는

독일의 천문학자가 발견하 다

제갈량의 군 에 한 을 통한 등비수열의 합

피보나치 수열

휴먼 로 - 휴먼 로 의 제작은 복잡한 여러 가지 알고리즘

과 순서도에 바탕을 두고 있다 알고리즘의 요성은 자계산기

이 부터 실제 으로 존재했다 그 로 최 공약수 계산에 한

유클리드의 알고리즘이 있다 한 가우스와 같은 부분의 수학

자들은 역사 으로 많은 양을 처리하는 효율 인 알고리즘에

심을 가졌다 이러한 알고리즘을 보다 효율 으로 이용하여 재

의 컴퓨터 시 를 구축했다

(주) 두산

피보나치(Fibonacci 1180～1250)는 이탈리아의 피사에서 태

어난 수학자이다 부친이 상업에 종사하 기 때문에 피보나치는

이집트 시칠리아 그리스 시리아 등 다양한 지역을 여행할 수

있었고 이 때 다양한 수학을 하게 되었다 1202년 피사로 돌아

온 피보나치는 「산반서(Liber abaci)」를 술하 다 1228년에

는 「산반서 2 」을 술하 는데 이 책에서 정수와 분수의 계

산 제곱근과 세제곱근 일차와 이차방정식의 풀이 등을 다루었다

고 한다 특히 이 책에 나오는 「피보나치의 수열」은 매우 흥미

로운 수열로 요한 성질을 많이 가지고 있다

1에서 100까지 자연수를 모두 합하면 얼마일까

가우스(Gauss KF 1777～1855) 가우스는 수론 해석학 확

률론 천문학 물리학 등 다양한 분야에 뛰어난 수학자이었다 특

히 그의 수론 연구는 19세기 수학 체계의 확립에 크게 공헌하

다

피타고라스(Pythagoras 572～492 BC) 피타고라스는 음의

높이에 따른 진동수의 비가 일정함을 발견하 다

페아노(Peano G 1858～1932) 자연수의 성질을 추상화 하여

페아노의 공리계를 만들었다 이 공리계의 제 5공리가 수학 귀

납법의 원리이다

피보나치의 수열

알콰리즈미(Alkhwarizmi 780～850) 알고리즘이란 말은 세

아라비아의 수학자 알콰리즈미의 이름에서 유래된 것으로서 그가

십진법으로 나타낸 수의 계산에 용한 계산 방법에서 나온것이

다

[표6 5종 교과서에 제시된 수열 련 자료]

2 수학 Ⅰ 교과서에서의 수열

등차수열의 일반항

첫째항이 공차가 인 등차수열의 일반항 은

본 연구자가 임의로 선택한 5종 교과서 ([5][8][12][13][14]) 에서의

수열의 내 을 정리해보았다

1) 등차 수열과 등비 수열

(1) 수열의 뜻

어떤 규칙에 따라 순서 로 수를 늘어놓은 것을 수열이라 하고 그 수열을

이루는 각각의 수를 그 수열의 항이라고 한다 수열의 각 항을

앞에서부터 순서 로 제 1항 제 2항 제 3항 제 항

이라고 한다 특히 제 1항은 첫째항이라고도 한다

(2) 등차수열의 뜻

첫째항에 차례로 일정한 수를 더하여 만들어진 수열을 등차수열 이라하고

더한 일정한 수를 공차라고 한다

첫째항이 공차가 인 등차수열 에서

이므로 일반항 은 다음과 같이 나타낼 수 있다

(3) 등차수열의 합

등차수열의 합

첫째항이 공차가 끝항이 인 등차수열의 첫째항부터 제 항까지의

합 은

첫째항이 공차가 등차수열 에서 첫째항 부터 제 항 까지의 합

을 토론하기의 방법을 이용하여 구해보자

　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　①

더하는 순서를 거꾸로 하면

　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　②

①②의 양변을 각각 더하면

　　

따라서 =

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　③

이때 제 항인 를 ③에 입하여 식을 다르게 나타낼수도

있다

이상을 정리하면 다음과 같다

(4) 수열의 합과 일반항

수열 에서 첫째항부터 제 항까지의 합을 이라 하면

ge 일때 　　

there4

수열의 합과 일반항의 계

수열 의 첫째항부터 제 항까지의 합을 이라 하면

(단 ge )

등비수열의 합

일때 이다

이상을 정리하면 다음과 같다

(5) 등비수열의 뜻

첫째항부터 시작하여 각 항의 바로 앞의 항에 일정한 수를 곱하여

만들어진 수열을 등비수열이라 하고 곱하는 일정한 수를 공비라고 한다

첫째항이 공비가 인 등비수열에서 첫째항부터 제 항까지의 합 은

다음과 같이 구한다

　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　①

①의 양변에 공비 을 곱하면

　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　②

①에서 ②를 같은 변끼리 빼면

따라서 ne 일때

인 경우 ①에서

　　

there4

이상을 정리하면 다음과 같다

첫째항이 공비가 인 등비수열의 첫째항부터 제 항까지의 합 은

① ne 일때

② 일때

자연수의 거듭제곱의 합

①

　　

②

　　

③

　　

2) 여러 가지 수열

(1) 합의 기호 sum

수열 에서 첫째항부터 제 항까지의 합

　　

을 일반항과 합의 기호 sum를 써서

　　

와 같이 나타낸다

이때

는 수열 의 일반항 의 에 　　　　　　을 차례로

입하여 얻은 항의 합으로 신 다른 문자를 사용하여

등과 같이 나타낼 수 있다

(2) 기호 sum 의 성질

합의 기호 sum 의 성질에 하여 알아보자

합의 기호 sum의 성질

①

(복부호동순)

②

(단 는 상수)

③

(단 는 상수)

　　

　　 　　

　　

마찬가지로

와

에 해서도 확인해 보면 sum 의 성질을

다음과 같이 정리할 수 있다

(3) 계차수열

일반 으로 수열 에서 이웃하는 두 항의 차

　　 을 일반항으로 하는 새로운 수열

　　　　　　　을 얻을 수 있는데 이 수열 을 원래의 수열 의

계차수열이라고 한다

수열 에 하여 그 계차수열을 이라 하면

　　

계차수열과 일반항

수열 의 계차수열을 이라 할때

(단 ge )

3) 수학 귀납법

(1) 수열의 귀납 정의

첫째항과 이웃하는 두 항 사이의 계식으로 수열을 정의하는 것을 수열의

귀납 정의 라고 한다

첫째항이 공차가 인 등차수열 은 다음이 성립한다

　ge 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　①

역으로 두 계식 ①이 주어지면 이 결정되고 차례로

가 결정된다 따라서 모든 자연수 에 하여 이 정해지므로 수열 이

정의 된다

①과 같이 의 값 과 의 계식을 화식이라고 한다

(2) 수학 귀납법

수학 귀납법은 이탈리아의 페아노에 의하여 설정된 자연수에 한 공리

수학 귀납법

자연수 에 한 명제 이 모든 자연수 에 하여 성립함을 증명하

려면 다음 ⅰ ⅱ 를 증명하면 된다

ⅰ 일때 명제 이 성립한다

ⅱ 일때 명제 이 성립한다고 가정하면 일때에도

명제 이 성립한다

다음과 같은 5번째 공리에 근거를 두고 있다

자연수의 집합 의 부분집합 가

ⅰ 　isin

ⅱ 　isin 이면 isin

(여기서 는 의 후자)

인 두 조건을 만족하면 이다

4) 알고리즘과 순서도

(1) 알고리즘과 순서도

어떤 문제를 해결하기 해서는 그 처리 순서를 정해야 하는데 이와 같이

문제 해결에 필요한 처리 과정의 순서를 단계 으로 정리한 것을 알고리즘

이라 하고 알고리즘을 알기 쉽게 기호를 써서 그림으로 나타낸 것을 순서도

라고 한다 일반 으로 어떤 문제를 해결하기 한 알고리즘은 여러 가지가

있을 수 있지만 정해진 유한번의 단계를 거치면 반드시 끝나야 하고 처리

과정의 순서가 명확해야 한다 한 순서도는 각 부분을 순서 계통 으로

나타냄으로써 작업 과정을 구나 쉽게 한 에 악할 수 있도록

작성되어야 한다 순서도는 다음과 같은 기호를 사용하여 작성한다

[표7 순서도의 기호]

(2) 알고리즘과 순서도의 작성

수열과 련된 순서도를 작성할 때에는 다음과 같은 방법을 고려한다

(가) 항수를 항을 수열의 합을 로 나타낸다

(나) 제시된 항의 번호까지 루 를 용한다

(다) 제시된 항의 번호에 하여 단 기호를 이용한다

(라) 구하려는 는 를 인쇄하고 끝낸다

주의환기

집 을

한 략

지각

주의환기의

략

시청각 효과의 사용

비일상 인 내용이나 사건 제시

주의 분산의 자극 지양

탐구

주의환기의

략

능동 반응 유도

문제해결 활동의 구상 장려

신비감의 제공

다양성의

략

간결하고 다양한 교수형태 사용

일방 교수와 상호작용 교수의 혼합

교수자료의 변화 추구

목표-내용-방법이 기능 으로 통합

련성

증진을

한

략

친 성의

략

친 한 인물 혹은 사건 활용

구체 이고 친숙한 그림 활용

친 한 문 배경 지식 활용

목 지향성

의 략

실용성에 을 둔 목표 제시

목 지향 인 학습형태 활용

Ⅴ 러의 ARCS 이론과 수열 지도

1 러의 ARCS 이론

1) ARCS 이론의 특징

(1) 이론 배경

다음은 ([4])의 내용을 참고하 다

ldquo말을 물가로 데리고 갈 수는 있지만 물을 먹일 수는 없다rdquo는 속담처럼

하고자 하는 마음이 없으면 학습 효과를 기 할 수 없는 것은 당연한 사실

이다 이러한 생각의 근거에는 동기 유발의 개념이 자리 잡고 있다 동기

유발이란 어떤 활동을 진 지시 유지하려는 내 상태 는 과정을

포함한다 이 개념은 교육 심리학의 심 개념 의 하나이지만 직 찰

할 수 없는 것이기 때문에 인간의 행동을 보고 거기에서 유출해 내는 개념

이며 이에 한 정의는 바라보는 과 강조하는 내용에 따라 각기 다르

다

(2) ARCS 이론

목 의 선택 가능성 부여

필요나

동기와의

부합성 강조의

략

다양한 수 의 목 제시

학업성취 여부의 기록체제 활용

비경쟁 학습상황의 선택가능

동 상호 학습상황 제시

자신감

수립을

한 략

학습의

필요조건

제시의 략

수업의 목표와 구조의 제시

평가기 피드백의 제시

선수학습 능력의 단

시험의 조건 확인

성공의 기회

제시의 략

쉬운 것에서 어려운 것으로 과제 제시

정수 의 난이도 유지

다양한 수 의 시작 제공

무작 의 다양한 사건 제시

다양한 수 의 난이도 제공

개인

조 감

증 의 략

학습의 끝을 조 할 수 있는 기회 제시

학습속도의 조 가능

원하는 부분에로의 재빠른 회귀 가능

선택가능하고 다양한 과제의 난이도제공

노력이나 능력에 성공 귀착

만족감

증 를

한 략

자연 결과

강조의 략

연습문제를 통한 용기회 제공

후속학습상황을 통한 용기회 제공

모의상황을 통한 용기회 제공

정 결과

강조의 략

한 강화 계획의 활용

의미 있는 강화의 강조

정답을 한 보상 강조

외 보상의 사려 깊은 사용

선택 보상체제 활용

공정성

강조의 략

수업목표와 내용의 일 성 유지

연습과 시험 내용이 일치

[표8 ARCS 략] ([1])

2 ARCS 이론을 용한 수열 수업 계획서

다음은 ([1])의 ARCS 이론의 수업계획서를 참고하여 수열 단원의 수업

계획서를 작성해보았다

수업내용개 동기 략개 기타의견1 수업 기

체 으로 교사는 다양한 방법으로 학습자들

에게 수업 내용을 제시하고 학습자들에게

한 언어를 사용한다

수열의 활용에

한 학습목표

제시하기

교사는 학습자들의 련성을 높이기 해 학습

목표의 의미를 설명해 다

도표는 큰 씨를 사

용하고 핵심이 되는

단어에는 다른 색깔을

사용한다

수열의 활용의

이 과 평가

거를 제시하기

교사는 학습자들의 련성과 자신감 만족감

을 높이기 하여 이 수업이 끝난 후 그들이

무엇을 할 수 있는지에 해 알려 다

교사는 학습자들의 자신감과 만족감을 높이기

하여 성공 인 학습성취를 단할 수 있는 객

인 거들을 알려 다

교사는 학습자들의 만족감을 높이기 하여

그들이 주어진 과제를 성공 으로 해결했을 때

그에 따르는 내재 강화나 외재 보상이 있음

을 알려 다

수열의 정의와

해법에 한 지

식을 간략하게

확인하기

교사는 선수학습과의 련성을 유발하기 하

여 간략한 보조도구(인쇄매체)를 사용하여 수열

의 정의와 해법을 제시한다

교사는 소집단 토론을 실시하여 학습자들의

선수지식을 스스로 검해 보도록 한다

교사는 수열의 정의와 해법을 잘 모르는 학습

자들에게 자신감을 유발시키기 하여 개별 인

학습목표를 세우도록 한다

소집단 구성에 있어

서 주의집 이 매우

낮은 5명을 하나의 소

집단으로 구성하고

친근한 소재를 활용하

여 그들의 주의집 과

련성을 유발한다

실생활과 련

된 수열의 활용

문제들을 몇 가

지 소개하기

교사는 학습자들의 주의집 을 유지하기 해

실생활에서 연립방정식을 활용하여 해결할 수

있는 몇 가지 문제들을 제시한다

주의집 이 매우 낮은 5명의 학습자들이 수업

에 극 인 심을 보이지 않으면 교사는 그

들에게 친근한 목소리로 이름을 부르면서 수업

에 집 하라고 얘기 하고 개인 인 심을 갖

고 있음을 나타낸다

로써 활용되는 문

제들을 선택할 때 학

습자들이 알고 있거

나 그들에게 친근감

을 주는 소재가 포함

되도록 선택한다 이

때 지나치게 자심감

이 높아서 수업에 소

극 으로 참여하는 3

명의 학습자들에게는

다소 복잡한 수열의

활용 문제를 미리 제

공하여 생각할 기회를

다

수열의 활용에

한 학습자들의

이해정도를 악

하고 피드백을

제공하기

교사는 학습자들에게 자신감을 높이기 하여

소집단을 구성하여 학습자들이 수열의 활용에

해 어느 정도 이해하고 있는지를 서로 토론하

도록 한다

교사는 소집단별로 둘러보면서 자신감과 만족

감을 유발시키기 하여 학습자들간에 서로 도

움을 주도록 분 기를 형성한다

소집단별로 간략하게 토론이 끝나면 학습자

들 스스로 정리하도록 한다

토론결과 학습자들이 수열의 활용에 해 잘

못 이해하고 있다면 교사는 즉각 으로 교정

피드백을 제공한다

학습자들의 소집단

토론시간을 무 길게

소요하지 않도록 한

다 자칫하면 토론분

기가 산만해지기 쉽

고 토론이 활발하지

못한 경우에는 학습자

들의 학습의욕이 떨어

진다

2 수업 반 체 으로 교사는 다양한 방법으로 학습자

들에게 수업 내용을

제시하고 학습자들에게 개별 인 언어를 사용

한다

실생활과 련

된 수열의 활용

의 문제들을 구

체 으로 제시하

기

교사는 학습자들의 주의집 련성 자신감

만족감을 유지하기 하여 게임을 실시한다 학

습자들이 돌아가면서 임의로 다른 학습자를 지

명하면 지명받은 학습자가 실생활과 련된 수

열의 문제를 하나 제시한다 한 문제를 제

시한 학습자에게 학습태도 수를 주어 만족감

을 향상시킨다

교사는 학습자들이 제시한 여러 가지 문제들

을 칠 에 은 후 몇몇 소집단을 구성하여

그 문제들을 해결하기 해 인스토 을 하

도록 한다 이때 교사는 문제를 해결한 학습자

가 아직 해결하지 못한 학습자들을 도와주어 자

신감과 만족감을 갖도록 한다

인스토 이 진행되는 동안 교사는 교실

을 둘러보면서 학습자들이 질문이나 의문사항

에 해 극 으로 질문할 수 있는 기회를 제

공하고 그에 해 개별 인 언어를 사용하여

부드러운 목소리로 피드백을 제공한다

인스토 도 학습자들의 개인 인 능

력차가 커서 문제를 해결하는데 어려움을 겪는

학습자들에게는 그들에게 합한 개별 인 학습

이때 교사는 밝고

생동감이 넘치는 목소

리로 학습자들의 활동

을 진시킨다

교사는 학습자들이

한 자신감을 유지

하고 있는지에 해

지속 인 심을 갖고

지켜본다

이때 교사는 학습자

들의 자신감과 만족감

을 높이기 하여 그

들에게 일 성 있는

피드백을 제공한다

교사는 학습자들이

목표를 다시 선정하도록 하여 자신감을 향상시

킨다

인스토 이 끝나면 교사는 소집단 별로

한 사람씩 자발 으로 나와 문제를 풀고 풀이

과정을 체 학습자들에게 설명하도록 한다 이

때 어려운 문제를 해결한 소집단이나 학습자에

게 교사는 그들의 우수한 능력을 인정하고 내

재 인 자존심에 정 인 향을 주는 칭찬을

제공하여 자신감과 만족감을 높인다

소집단의 인스토

을 하는 동안 체

으로 문제풀이를 할

때 주의집 을 유지

하고 자신감과 만족

감의 향상을 악하기

해 끊임없이 그들과

시선을 교류하고 얼

굴표정을 찰한다

3 수업마무리 체 으로 교사는 다양한 방법으로 학습자

들에게 수업 내용을 제시하고 학습자들에게 개

별 인 언어를 사용한다

실생활과 련

된 수열의 활용

에 해 체

으로 정리 요

약하기

교사는 교탁을 탁탁 치거나 박수를 쳐서 다

소 떨어진 학습자들의 주의집 을 향상 시킨다

교사는 실생활 속에서 수열을 활용하여 해결

할 수 있는 간단하고 재미있는 문제들을 2～3개

제시하여 학습자들이 그 문제를 성공 으로 해

결함으로써 자신감과 만족감을 갖도록 한다

교사는 학습자들이 미처 생각하지 못했던 실

생활 속에서 수열과 연 된 다양한 들을 제공

하여 주의집 과 련성을 유지향상시킨다

교사는 자신감과 만족감을 향상시키기 해

학습자들에게 수업진행 에 그들이 설정한 개

인 인 학습목표에 해 얼마나 많이 달성했는

가를 스스로 검해 보라고 한다

교사는 수업 반에 수열의 문제를 잘 해결하

지 못했던 학습자들에게 그 문제를 다시 해결해

보도록 기회를 제공하여 자신감과 만족감을 높

여 다

평가에 있어서 교사는 학습자들이 그들의 성

에 해 공정하게 평가되었다고 느끼도록 일

성 있게 평가하여 그들의 자신감고 만족감을

높여 다

교사는 수열과 실생

활과의 련성에 해

학습자들이 잘 지각하

고 있는가를 알아보기

해 다소 진지한 목

소리로 질문한다

다음 학습내용

에 해 간략히

소개하기

교사는 학습자들의 흥미를 유지하기 하여

다음 학습내용에 해 호기심에 찬 목소리로 간

략하게 소개하고 수업을 끝낸다

[표9 러의 ARCS이론]

단원

단

원Ⅲ 수열

배정시간

(분)50

단

원1 등차수열과 등비수열

차시 3소단

원3) 등차수열과 등비수열의 활용

학습

목표등차수열과 등비수열을 실생활의 문제에 용할 수 있다

학습

단계학습내용

교수-학습활동 지도상의유의사

항교사활동 학생활동

도

입

15

분

인사

출석

주변을 정리 정돈

하여 수업분 기를

조성한다

인사 출석체크

를 한다

주의를 환기시킨

후 학생들과 인사

한다

출결석 여부를

확인한다

바른 자세로 주

변을 정리한 뒤

교사와 인사한다

수업 비를 한

다

교사와 학생

모두 함께 수업

분 기를 조성한

다

선수

학습

확인

지난 시간에 학습

한 등차수열과 등비

수열의 정의에 해

다시 한번 확인해본

다

지난 시간에 학습

한 등차수열과 등비

수열의 일반항을 구

하는 방법에 해 확

인학습으로 [문제1]

과 [문제2]를 풀어본

다

학생들의 자신감

을 높이기 하여

등차수열과 등비수

열의 정의를 교과

서에서 찾아본 후

큰소리로 답하게

한다

학생들이 답한

후 다시 한번 등차

수열과 등비수열에

해 간단히 설명

등차수열과 등

비수열의 정의를

교과서에 찾아본

후 큰소리로 읽는

다

교사가 등차수

열과 등비수열의

정의에 해 다시

한번 간단히 설명

할 때 부족한 부

분은 필기하며 복

습한다

교사가 정의에

해 질문할 때

학생들이 모두

책을 찾아볼수

있게 주의를

다

만일 답하

지 못하는 학생

이 있을 경우 그

여기서 인스토 (brainstorming)이라고 하는 것은 갑자기 떠오르는 멋

진 생각을 종이에 는다든가 말로 표 해 본 후 로 기록하거나 기록된

문장을 정리정돈하면서 생각을 논리화하는 방법이다 주로 어떤 계획을 세

우고자 할 때 창조 이고 기발한 아이디어가 필요할 때 학생들의 의견과

생각을 끌어내어 발 시키고자 할 때 사용하면 유리하다 ([3])

3 ARCS 이론을 용한 수업지도안

[문제1]

다음 등차수열

의 일반항과 제20항

을 구하여라

　　　　　　　

[문제2]

다음 등비수열

의 일반항과 제8항을

구하여라

　 　　　　　

한다

교사는 [문제1]

과[문제2]를 제시

한 뒤 학생들에게

직 풀어보게 한

다

등차수열과 등

비수열의 일반항

과 그 공식의 유

도과정을 기억한

다

제시된 문제를

연습장에 풀어본

다

학생에 해 개

별 인 언어를

사용하여 부드러

운 목소리로 피

드백을 제공한

다

개

30

분

학습

목표

제시

수열의 활용에

한 학습목표를 제시

한다

학습목표 학습

에 필요한 자료를

Power point 시청

각 효과를 사용하여

학생들의 주의환기

집 을 한 략

을 사용한다

학습목표를 학생

들에게 읽게 하고

학생들의 련성을

높이기 해 학습

목표의 의미를 설

명해 다

교사의 지시에

따라 큰소리로 학

습목표를 읽고 이

수업이 끝난 후

무엇을 할 수 있

는지에 해 생각

해 본다

학습목표는 큰

씨를 사용하

고 핵심이 되는

단어에는 다른

색깔을 사용한

다

탐구

학습

실생활과 련된

수열의 활용문제들을

몇 가지 소개한다

수열의 활용에

한 학습자들의 이해

정도를 악하고 피

드백을 제공한다

등차수열과 등비

수열을 이용하여

실생활의 문제를

해결할 수 있음을

학생들이 쉽게 이

해할 수 있도록 설

명한다

교사가 실생활

과 련된 수열의

활용문제들을 몇

가지 소개할 때

다른 시가 있는

지 함께 생각해

본다

문제

제시

[문제3]

한일 월드컵 축구 개

회 연도는 2002년이

다 2002년 이후 월

드컵 축구가 개최되

는 연도를 차례로 써

보고 이 규칙 로 월

드컵 축구가 개최되

면 2100년은 월드컵

축구가 개최되는 연

도인가

교과서에서 수열

단원의 수열의 활

용부분에 수록된

문제들을 풀어볼

수 있도록 시간을

다

등차수열과 등

비수열의 일반항

유도 공식을 생각

해보고 제시된 문

제를 해결해 간다

로써 활용되

는 문제를 선택

할 때 학습자들

이 알고 있거나

그들에게 친근감

을 주는 련성

증진을 한

략을 사용한다

[문제4]

컴퓨터의 주기억 장

치인 램은용

으로

용으로 가 개발

되었다 이후 램의

용 량 은

로 증가되어 왔다

의 램으로부터

번 증가된 주 메모

리는 식으로 어떻게

나타낼 수 있는가

학생들이 문제를

어렵게 느끼지 않

도록 어떤 방향으

로 해결해야 하는

지 힌트를 주어 학

생들의 자신감을

증진시킨다

소집

단

활동

5～6명으로 이 진

소집단을 구성하여

학습자들이 수열의

활용에 해 어느 정

도 이해하고 있는지

를 서로 토론하도록

한다

소집단별로 실생활

과 련된 수열의 활

용의 문제들을 구체

으로 제시한다

인 스토 이

끝나면 소집단별로

한사람씩 문제를 풀

고 풀이과정을 체

학생들에게 설명하는

시간을 갖는다

교사는 학생들의

만족감을 높이기

하여 그들이 주

어진 과제를 성공

으로 해결했을

때 그에 따르는

내재 강화나 외

재 보상이 있음

을 알려 다

어려운 문제를

해결한 소집단이나

학생에게 교사는

그들의 우수한 능

력을 인정하고 내

재 인 자존심에

정 인 향을

주는 칭찬을 제공

하여 자신감과 만

족감을 높인다

자신이 속한 소

집단 내에서 제시

된 과제에 해

열심히 토의를 하

며 문제를 해결한

학생이 아직 해결

하지 못한 학생들

을 도와주어 자신

감과 만족감을 갖

도록 한다

소집단별로 간

략하게 토론이 끝

나면 학생들 스스

로 정리해보고 자

발 으로 체 학

생들에게 설명해

보는 기회를 갖는

다

교사는 학습자

들이 한 자

신감을 유지하고

있는지에 해

지속 인 심을

갖고 지켜본다

학생들의 소집

단 토론시간을

무 길게 소요

하지 않도록 한

다

형성

평가

[문제4]

민수는 남 문의 기

와 지붕 한쪽 면이

사다리꼴 모양임을

찰하고 이 면에 있

는 기와의 개수를 알

아보고자 한다 기와

형 성 평 가 를

Power point로 제

시하고 학생들이

스스로 풀어볼 수

있도록 지도한다

학생들이 문제를

다 풀고 나면 교사

제시된 문제를

오늘 학습한 내용

을 복습하면서 풀

어보도록 한다

교사는 다소

진지한 목소리로

질문한다

의 개수를 행으로 세

었더니 용마루 쪽에

가장 가까운 행에는

40개 처마 쪽에 가

장 가까운 행에는 72

개 다 용마루부터

처마까지 행의 개수

가 17이라고 할 때

민수가 찰한 지붕

한쪽 면의 기와의 개

수는 모두 몇 개인

가

는 학생들에게

답할수 있도록 하

고 학생들이 학습

목표에 해 얼마

나 많이 달성했는

가를 스스로 검

해 보라고 한다

형성평가의 답

을 교사의 질문에

끝난 뒤 큰소리로

답하여 자신감

과 만족감을 갖도

록 한다

학생들에게 개

별 인 언어를

사용한다

정

리

5

분

학습

정리

차시

고

학습 자료를 이용

하여 수열의 실생활

의 활용 단원의 수업

내용을 확인한다

과제를 제시한다

다음 차시인 「여

러 가지 수열」 단원

에 한 고를 한

다

수업 내용을 정

리하고 과제를 제

시한다

학생들의 흥미를

유지하기 하여

다음 학습내용에

해 호기심에 찬

목소리로 간략하게

소개하고 수업을

끝낸다

오늘 학습한 내

용을 정리한다

과제를 고 과

제 해결에 한

내용을 머릿속에

형성해 본다

다음 차시에 배

울 내용을 학습

자료 화면으로 확

인해본다

수업내용에

해 학생과 교사

모두가 만족하고

있는지 확인하고

공정한 평가를

한다

[표10 수업지도안]

4 조사 문제지 분석

고등학교 수학 Ⅰ 의 수열단원의 효율 인 지도방안의 연구를 하여 원

종고등학교 2학년 학생 100명을 상으로 조사 문제지 조사를 하 다 학

생들의 수학에 한 심과 수학에서 가장 어려워하는 부분을 알아볼 수

있었고 어떤 방식의 수업을 선호하는지도 알아볼 수 있었다

⑴ 수학에 얼마나 심이 있나요

① 매우 많다 ② 많다 ③ 보통이다 ④ 다 ⑤ 매우 다

수학과목에 매우 많은 심을 보이는 학생은 2로 매우 낮은 편이며

심이 있는 학생은 43로 학생의 반정도 다 수학과목에 심이 거

나 없는 학생은 54정도로 수학은 어려운 과목이라는 인식 때문에 심

이 은 것 같다

수학을 공부하는 가장 큰 이유에는75의 학생들이 학입시를 해서라

는 문항을 선택했다 기타 이유에는 교과서에 있어서 어쩔수 없이 한다

는 학생과 진리탐구를 해서라는 학생도 있었다

[그림6 조사문제지

(1)번 막 그래 ]

⑵ 수학을 공부하는 가장 큰 이유가 뭐라고 생각하나요

① 학입시를 해서

② 평소 수학에 흥미가 있어서

③ 실제 생활에 쓰기 해서

④ 주변에서 해야한다고 하니까

⑤ 기타 이유 (이유를 간단히 어주세요)

앞에 (1)번문항에서 수학에 심이 은 학생이 반 정도인것에 반해

수학공부가 필요하다고 느낀학생이 75정도로 수학공부가 필요하단건

느끼지만 어려운 과목이라는 인식이 부분인것 같다 수학과목도 재

는 과목이란 인식을 학생들이 가질수 있도록 노력해야겠다

[그림7 조사문제지

(2)번 막 그래 ]

⑶ 수학공부의 필요성에 해 어떻게 생각하나요

① 매우 필요하다 ② 조 필요하다 ③ 보통이다

④ 필요 없다 ⑤ 필요 없다

[그림8 조사문제지

(3)번 막 그래 ]

⑷ 수학을 공부하면서 가장 어려운 부분은 무엇이나요

① 복잡한 계산 과정 ② 외워야할 많은 공식들

③ 응용문제엔 어떤 공식을 용해야할지 ④ 다 어렵다

학생들이 수학과목이 어렵다고 느끼는 이유는 응용문제에 어떤 공식을

용해야 하는지를 몰라서 라는 답이 58로 가장 많았다 그 외에도

계산과정이 복잡하거나 외워야할 공식들이 많아서라는 답도 있었다

이해 주의 수업을 하고 단순한 공식의 암기 주의 수업을 탈피해야겠

다

수학수업을 하는데 효과 인 방법에는 선생님 주의 강의식 수업과 학

생 개인별 수업이 78로 가장 많았다 개념이나 공식유도과정을 설명할

땐 서를 하며 강의식 수업을 하고 문제풀이땐 학생들 개인별로 첨삭

지도를 하는게 효율 인것 같다

⑤ 기타이유 (이유를 간단히 어주세요)

[그림9 조사문제지

(4)번 막 그래 ]

⑸ 수학 수업을 하는 데 어떤 방법이 가장 효과 이라고 생각하나요

① 선생님 주의 강의식 수업

② 학생 개인별 수업

③ 모둠별 활동 수업

④ 기타 교재나 과제를 통한 수업

⑤ 기타(이유를 간단히 어주세요)

[그림10 조사문제지

(5)번 막 그래 ]

Ⅵ 결론

본 논문에서 지 까지 고등학교 2학년 학생들이 수학 Ⅰ 교육과정을 학습하

는데 가장 어려워하는 수열에 해 살펴보았다 먼 개정 교육과정에 명시

된 수학교육의 목표와 임의로 선택된 5종 교과서에서 수열 단원의 학습목표

를 살펴보았고 수열의 역사 배경과 실생활에 응용된 들을 정리해보았

다 한 5종 교과서에서 제시되어 있는 수열의 학습내용을 소단원 별로 정

리해보았다 임의로 선택된 5종 교과서안의 수열의 학습내용을 분석해보면

서 몇 몇 교과서에서 여러 가지 수열 단원에서 군 수열과 멱 수에 한 언

이 없거나 미약함을 알 수 있었다 본 연구자가 보기에 군 수열과 멱 수

부분은 실생활에 활용될 는 극히 작아 보이지만 학생들이 꼭 학습하고 넘

어가야 수열에 한 완벽한 학습이 될 수 있을 것이라 여겼는데 교과서에서

제시된 내용들로는 학생들이 충분히 이해할 수 없을 것 같았다

그리고 교과서에 제시된 문항의 수 이 입시와 동 떨어진다는 문제 이 있

었다 교과서에 제시된 문제가 부족하고 수 이 낮다 보니 실제로 학교에서

수업 때 보충 린트 물로 수업을 진행하고 간기말고사 때에도 교과서

외에서 많은 문제를 출제하는 모습을 볼 수 있었다 때문에 학생들이 교과서

보다는 문제집 주의 공부를 할 수 밖에 없는 듯 보 다 교과서가 학생들

과 교사의 요구에 부합할 수 있도록 새로운 내용들과 문제를 싣도록 해야

할 것이다

학생들이 수열 단원의 학습을 할 때 좀 더 효과 인 학습이 될 수 있도록

리의 동기설계이론 (ARCS 이론) 을 바탕으로 하여 수업 계획서와 1차시

의 수업 지도안을 작성해 보았다 한 작성한 수업 지도안으로 부천시 소재

의 한 고등학교에서 실제 수업을 진행해 보았을 때 학생들이 좀 더 수열에

해 친숙하게 느끼고 쉽게 이해하는 모습을 볼 수 있었다 본 연구자가

직 교사가 아니라 여러 반을 상으로 수열 단원의 모든 차시 수업에 용

하여 수업을 해볼 수 없었단 이 아쉬움으로 남는다

이와 같이 학생들의 주의 련성자신감만족감 증진을 한 수업을 함

으로써 학생들의 수학 학습 성취도의 향상을 기 할 수 있을 것이다 한

개발된 자료를 실제 수업에 용하는 경우의 효율성에 한 후속 연구가 체

계 이고 지속 으로 이루어져야 할 것이다

참 고 문 헌

[1] 구평회 META 구평회 교육학 2007

[2] 교육인 자원부 고시 제2007 - 79호[별책8] 2007

[3] 박인학 교사를 한 교수학습방법론 문사 1995

[4] 변 계 교수학습 이론의 이해 학지사 1999

[5] 우정호 외 5인 고등학교 수학 Ⅰ 한교과서(주) 2002

[6] 이 연 자연의 수학 열쇠 피보나치수열 로네시스 2006

[7] 이진화 지수로그함수의 지도에 한 연구 서강 학교 교육 학원 석사 학

논문 2006

[8] 임재훈 외 10인 고등학교 수학 Ⅰ (주)두산 2002

[9] 장 숙 고등학교 수학 Ⅰ 교과서의 통계단원 분석 실생활에의 용 경희

학교 교육 학원 석사 학 논문 2006

[10] 조해식 행렬 수열 수업에서의 수학사 도입에 한 연구 울산 학교 석사

학 논문 1998

[11] 차 자 수열 학습의 흥미 유발을 한 자료 연구 경성 학교 교육 학원 석

사 학 논문 2004

[12] 최 외 5인 고등학교 수학 Ⅰ 앙교육진흥연구소 2006

[13] 최상기 외 5인 고등학교 수학 Ⅰ (주)고려출 2002

[14] 최용 신 성 고등학교 수학 Ⅰ 천재교육(주) 2002

[15] 황혜정 외 5인 수학교육학 신론 문음사 2002

• Ⅰ 서론
• • 1 연구의 필요성과 목적
  • 2 연구의 제한점
  • • Ⅱ 개정 교육과정에서 명시된 수학Ⅰ교육의 목표
    • • 1 수학Ⅰ교육의 목표
      • 2 고등학교 수학 Ⅰ 수열 단원의 학습목표
      • • Ⅲ 수열의 역사적 배경 및 응용
        • • 1 수열의 역사
          • 2 수열 단원이 실생활에 응용된 사례
          • • Ⅳ 고등학교 수학교육과정에서의 수열
            • • 1 수학Ⅰ 교과서 분석
              • 2 수학Ⅰ 교과서에서의 수열
              • • Ⅴ 켈러의 ARCS 이론과 수열 지도
                • • 1 켈러의 ARCS 이론
                  • 2 ARCS 이론을 적용한 수열 수업 계획서
                  • 3 ARCS 이론을 적용한 수업 지도안
                  • 4 조사지 분석
                  • • Ⅵ 결론
                    • 참고문헌

교과서 학습목표

한교과서

(주)

등차수열 등비수열의 뜻을 알고 일반항 첫째항부터 제 n항까지

의 합을 구할 수 있다

sum의 뜻과 성질을 이해하고 이를 활용하여 여러 가지 수열에

한 문제를 해결할 수 있다

수학 귀납법의 원리를 이해하고 이를 활용하여 자연수 n에

하여 참인 명제를 증명할 수 있다

알고리즘과 순서도의 뜻을 알고 간단한 문제 해결을 한 알고

리즘을 작성하여 순서도를 만들 수 있다

(주) 천재교육

등차수열과 등비수열의 뜻을 알고 일반항과 첫째항부터 제 n항

까지의 합을 구할 수 있다

기호 sum의 뜻과 성질을 이해하고 이를 활용할 수 있다

여러 가지 수열의 일반항과 첫째항부터 제 n항까지의 합을 구

할 수 있다

여러 가지 수열에 한 문제를 해결할 수 있다

수학 귀납법의 원리를 이해하고 이를 이용하여 자연수 n에

하여 참인 명제를 증명할 수 있다

로 요구되는 사항을 강조한다

(바) 정의 역에 한 평가에서는 학생의 수학에 한 정 태도를 신장

시키기 하여 학생의 수학에 한 바람직한 가치 이나 수학 학습에 한

심 흥미 자신감 등의 정도를 악한다

(사) 수학 학습의 평가에서는 평가하는 학습 내용에 따라 학생에게 계산기

컴퓨터와 같은 공학 도구와 다양한 교구를 이용할 수 있는 기회를 제공할

수 있다

2 고등학교 수학 1 수열단원의 학습목표

수학 Ⅰ교과서에서의 수열단원의 학습목표를 5종 교과서를 비교하여 살펴

보고자한다 임의로 선택된 5종 교과서([5][8][12][13][14])의 학습목표는

다음과 같다

알고리즘과 순서도의 뜻을 알고 그 필요성을 이해할 수 있다

간단한 문제 해결을 한 알고리즘을 작성하여 순서도를 만들

수 있다

앙교육진흥

연구소

수열을 이해하고 이를 활용하여 여러 가지 문제를 해결할 수 있

다

수학 귀납법의 원리를 이해하고 이것을 이용하여 자연수 n에

하여 참인 명제를 증명할 수 있다

알고리즘과 순서도의 뜻을 알고 간단한 문제 해결에 사용할 수

있다

(주) 고려출

등차수열의 뜻을 알고일반항 첫째항부터 제 항까지의 합을 구

할 수 있다

등비수열의 뜻을 알고일반항 첫째항부터 제 항까지의 합을 구

할 수 있다

sum의 뜻과 성질을 이해하고 이를 활용할 수 있다

여러 가지 수열의 일반항 첫째항부터 제 항까지의 합을 구할

수 있다

여러 가지 수열에 한 문제를 해결할 수 있다

수학 귀납법의 원리를 성명하고 수학 귀납법을 이용하여 자연

수 에 하여 참인 명제를 증명할 수 있다

알고리즘과 순서도의 뜻을 알고 그 필요성을 알 수 있고 간단

한 문제 해결을 한 알고리즘을 작성하여 순서도를 만들 수 있다

(주) 두산

등차수열과 등비수열의 뜻을 알고 일반항과 그 합을 구할 수 있

다

기호sum의 뜻과 성질을 이해하고 이를 이용하여 여러 가지 수열

에 한 문제를 해결할 수 있다

수학 귀납법의 원리를 이해하고 이를 이용하여 자연수 에

하여 참인 명제를 증명할 수 있다

알고리즘과 순서도의 뜻을 알고 간단한 문제 해결을 한 알고

리즘을 작성하여 순서도를 만들 수 있다

[표2 5종 교과서 수학 Ⅰ 수열 단원의 학습목표]

Ⅲ 수열의 역사 배경 응용

1 수열의 역사

수학의 역사에서 가장 흥미로운 수열 하나가 피보나치수열이다 피보나

치수열은 수학이론 뿐만 아니라 자연계 건축 술 등에 다양하게 표 된

다

그 에 오나르도가 발표한《산반서》에 소개된 피보나치수열에 한 문

제는 다음과 같다 ([6]) ldquo어떤 사람이 토끼 한 을 우리에 넣었다 이 토

끼 한 은 한 달에 새로운 토끼 한 을 낳고 낳은 토끼들도 한 달이 지

나면 다시 한 의 토끼를 낳는다 그 다면 1년이 지나면 몇 의 토끼가

있을까rdquo

첫 달엔 처음에 있던 토끼 한 만 있다 두 번째 달이 되면 토끼 한 을

낳아 두 의 토끼가 된다 세 번째 달이 되면 처음에 있던 토끼 한 이

한 의 토끼를 낳아 세 의 토끼가 된다 네 번째 달이 되면 첫

달과 두 번째 달의 토끼 두 이 각 한 의 토끼를 낳아 총 다섯 의

토끼가 있게 된다 이런 식으로 토끼를 낳아가면 그 수는 다음과 같은 규

칙을 갖는다 　　　　　　　　　　 이런 규칙을 갖는 피보나치수열의

일반항을 이라고 하면 　 　 　 　 가 된다

그런데 이 수열을 자연에서도 쉽게 찾아볼 수 있다 식물의 기에서 뻗어

나온 잎을 생각해 보면 기의 에 있는 잎 하나에서 수직으로 에 있

는 잎까지 도달할 때까지 기를 따라 올라가면서 잎의 개수를 세면 그

수들은 일반 으로 피보나치수열을 이룬다

[그림1 피보나치수열]

2 수열 단원이 실생활에 응용된 사례

1) 하노이의 탑

인도 갠지스 강 유역 라만교의 사원에 있었던 하노이의 탑은 라만

탑이라고도 부르는데 이 탑에 얽힌 문제의 내용은 다음과 같다 다음은

([10])의 내용을 참고하 다

[베나 스에는 세계의 심이 있고 그 곳에는 아주 큰 사원이 있으며 이

사원에는 높이 정도 되는 다이아몬드 바늘 3개가 있다 그 에서 한

바늘에는 천지 창조 때에 신이 구멍이 뚫린 64장의 순 으로 된 원 을 크

기가 큰 것부터 아래에 놓이도록 하여 차례로 쌓아 놓았다 그리고 신은

승려들에게 밤낮으로 쉬지 않고 원 을 한 장씩 옮겨 빈 다이아몬드 바늘

어느 한 곳으로 모두 옮겨 놓도록 명령하 다

ldquo원 은 한 번에 한 개씩만 옮겨야 하고 로 작은 원 에 큰 원

을 올려놓을 수 없다 단 64개의 원 의 크기는 모두 다르다 이 말을 충

실히 실행하고 한 순간도 게을리 하지 마라 만일 게을리 하는 일이 있으

면 그 때는 이 사원도 탑도 모두 무 지고 세계는 종말을 고하게 된다 게

을리 하는 일이 없으면 그 들이 원 을 부 옮길 때까지 세상은 태평할

것이다rdquo]

승려들은 과제를 수행하기 해 밤낮으로 매우 열심히 작업을 했다 그 작

업을 끝내기 해서 승려들은 몇 번을 움직여야 하고 얼마나 많은 시간을

사용해야만 했을까

[그림2 하노이의 탑]

원 이 1개가 있으면 최소 이동 횟수는 1번 원 이 2개가 있을 때 최소

이동 횟수는 3번이고 원 이 3개가 있으면 최소 이동 횟수는 7번이다

원 이 4개가 있으면 최소 이동 횟수는 15번이다 이런 식으로 계속 해나

가다 보면 　　　　　　　 라는 수열을 얻는다 이것은 각 항의 차이가

계차수열을 이루는데 이것은 다음과 같다 　　　　　　일반항을 으로 두

고 구해보면 　 　times 　 　 이다 처음 값을 으로 두고 일반항을

구해보면 　

이 된다

만약 그 설 로 따라가서 수도승들이 쉬지 않고 디스크를 1 에 한번

씩 옮겼다면 최소의 이동횟수는 이 되고 18446744073709551616

가 걸리고 략 5854억4200만년이 필요하다는 것을 알 수 있다

원 이자 원리합계(=원 +이자)

1년 원 원 원

2년 원 원 원

3년 원 원 원

년 원 100원 원

2) 등차수열의 응용

(1) 단리법

단리법은 처음 원 의 이자에 해당하는 비율만큼 계속 되는 계산법이

다 1000원을 했다면 1년이 지날 때마다 10 의 이자가 붙는다고 하

자 1년이 지났을 때 10 의 이자가 붙으면 100원 불어나므로 1000 +

1000 times 01 = 1100(원) 이다 그리고 1년2년 년이 지날 때 마다

값을 측정해보면 다음과 같다

[표3 단리법]

최종 으로 원 을 라 하고 연이율을 이라고 한다면

결국 년이 되었을 때 단리법으로 표 하면 그 때의 총 합 는

이 된다

3) 등비수열의 응용

(1) 복리법

복리법은 원 에 이자가 된 원리합계를 기 으로 이자를 계산하는 방

법이다 원을 했다면 1년이 지날 때마다 의 이자가 붙는다고

원 이자원리합계

(=원 +이자)

1년 원 원 원

2년 원 원 원

3년 원 원 원

년 원 times원 원

하자 1년이 지났을 때 의 이자가 붙으면 원 불어나므로

times (원) 이다 그리고 1년2년 년이 지날 때 마

다 값을 측정해보면 다음과 같다

[표4 복리법]

최종 으로 원 을 라 하고 연이율을 이라고 한다면

따라서 년이 지나면 이 된다 그때의 총 합 는 이

다

4) 황 비율

에서 언 했던 피보나치수열 　　　　　　　　　　에서 번째 항

을 번째 항으로 나 어 보자

　 　

　 　

　 　

　 　

　 　

　 　 이런 식으로 계속 해나가다 보면

이 수가 061803 에 근사하게 된다 고 그리스인들은 이 수에 lsquo황 비

율rsquo라는 이름을 붙 다 이것은 인간이 보기에 가장 아름다운 비율이라 하

여 여러 분야에서 사용되고 있다

(1) 황 비의 이용

약 100년 페히 라는 독일의 심리학자는 수백 명의 사람들에게 여러

종류의 직사각형을 보여 다음 마음에 드는 것을 선택하게 하는 실험을

했다 그런데 그 결과 부분의 사람이 황 직사각형을 선택했다고 발표했

다 ([6])

실험에 의하면 황 비는 사람들이 가장 편안하고 아름답게 느끼는 비율로

알려져 있으며 이런 이유 때문에 옛 부터 건축과 미술 음악 등에서 자주

이용되어 왔다

(가) 건축

기원 2000년경의 이집트 《린드 피루스》에 보면 기원 4700년에 기

자의 피라미드를 건설할 때 이 수를 lsquo신성한 비율rsquo로 사용했다고 한다

의 측량 기술로 측정해보니 피라미드 의 심에서 의 모서리까지

그리고 경사면까지 거의 정확하게 0618이었다 ([6])

피라미드는 인류역사를 통해서 사람들을 가장 매료시켜온 건축물 의 하

나이다 그 규모의 장 함에서도 사람을 압도하는 것이 있지만 그 형태 자

체가 고도한 수학을 배경으로 한 것으로서 우리가 알고 있는 5천년 의 지

식수 으로서는 불가사의한 것 의 하나이다

[그림3 피라미드 황 비]

(나) 음악에서의 활용

음악에서 한 옥타 는 [도 미 솔 라 시 도] 의 8음계로 이루어져 있

다 피아노의 건반은 한 옥타 를 13개의 음으로 나 어 표 하고 있으며

이 하얀 건반이 8개 검은 건반이 5개 있고 하얀 건반은 3개와 5개 검

은 건반은 2개와 3개로 구분되어 있다 여기에서 나타나는 2 3 5 8 13

은 에서 보인 피보나치수열이다

[그림4 피아노건반황 비율]

(2) 인체에서의 황 비율

황 분할은 우리의 인체 속에서도 찾아볼 수 있다 인간의 신체가 이 비율

에 의해서 분할되어 있으며 이것이 아름다운 몸의 보편 기 이 되고 있

다 아래 그림은 Le Corbusier가 찾아낸 이상 인간의 각 신체부 의 비율

이다 이것은 오나르도 다빈치의 인체비율에 한 그림에서도 찾아 볼

수 있다 이 뿐만 아니라 인체의 각 부 들도 그 자체 황 분할을 이루

고 있다

[그림5 인체 황 비율]

앞에서 제시한 황 비율을 사용한 시들 이외에도 우리 주변에 아주 많

이 있다

교과서 차례

한교과서(주)

Ⅳ 수열

1 등차수열과 등비수열

2 여러 가지 수열

3 수학 귀납법

4 알고리즘과 순서도

(주) 천재교육

Ⅲ 수열

1 등차수열과 등비수열

2 여러 가지 수열

3 수학 귀납법

4 알고리즘과 순서도

Ⅳ 고등학교 수학교육과정에서의 수열

1 수학Ⅰ 교과서 분석

고등학교 2학년이 학습하는 lsquo수학 Ⅰrsquo은 국민 공통 기본 교육 기간의 10단계

수학을 이수한 학생들이 보다 문 인 진로를 고려하고 보다 높은 수 의

수학을 학습하기 해 설정된 심화 선택 과목이며 lsquo수학 Ⅱrsquo를 학습하기 한

단계이다 lsquo수학 Ⅰrsquo의 내용은 수 역에서 지수와 로그 행렬 수열이

실려있고 해석 역에서 수열의 극한 지수로그 함수가 수록되어 있으며

확률과 통계 역에서 순열과 조합 확률 통계 등으로 구성되어 있다 특히

수 역에 해당하는 수열은 여러 가지 수열에 한 성질을 이해하고 그것

을 일반화 하는 과정에 을 두어 지도하도록 하고 있으며 계차수열은 등

차수열이나 등비수열이 되는 경우만 다룬다 ([2])

1) 수학 Ⅰ 5종 교과서의 차례 단원 배열

앙교육진흥연구소

Ⅲ 수열

1 등차수열과 등비수열

2 여러 가지 수열

3 수학 귀납법

4 알고리즘과 순서도

(주) 고려출

Ⅲ 수열

1 등차수열과 등비수열

2 여러 가지 수열

3 수학 귀납법과 순서도

(주) 두산

Ⅲ 수열

1 등차수열과 등비수열

2 여러 가지 수열

3 수학 귀납법

4 알고리즘과 순서도

[표5 수학 Ⅰ 5종교과서의 차례]

의 표에서 본 것과 같이 임의로 선택된 5종의 고등학교 수학 Ⅰ 교과서의

차례는 거의 비슷한 양상을 보 다 부분의 교과서에선 1단원 지수와 로

그 2단원 행렬 3단원 수열 순의 순서를 보 고 한교과서외의 몇몇

교과서에선 1단원 지수와 로그 2단원 지수로그함수 3단원 행렬 4단원 수

열 순의 순서를 보 다 수열단원의 세부 단원 차례는 1 등차수열과

등비수열 2 여러 가지 수열 3 수학 귀납법 4 알고리즘과 순서도 는

34 단원을 한 단원으로 해서 3 수학 귀납법과 순서도의 순서로 다루는

은 비슷했다

2) 교과서에 제시된 수열 련 자료

한교과서

(주)

피타고라스(Pythagoras 572～492 BC) 피타고라스의 정리

로 잘 알려져 있고 소수나 완 수의 규칙성에 해서도 많은 연

구를 하 다

바스카라(Bhaskara A 1114～1185) 인도의 수학자로

임을 증명하 고 피타고라스의 정리를 기하학

으로 증명하 다

피보나치(Fibonacci 1180～1250) 이탈리아의 수학자로 자연

속에서 많이 볼 수 있는 피보나치 수열을 발견하 다

스칼(Pascal B 1623～1662 ) 랑스의 수학자로 수학

귀납법을 발견하 고 사 기하학을 창시하 다

푸리에(Fourier J B J 1768～1830) 랑스의 수학자로 음양

학 학 기역학 열역학 등의 연구에 매우 요한 푸리에

수를 연구하 다

가우스(Gauss K F 1777～1855) 수학 통계학 등의 다방

면에 많은 업 을 이루었고 역사상 가장 한 수학자 의 한

사람으로 불리워지고 있다

비주얼 베이직(Visual BASIC)

을 이용한 Programming

하노이의 탑

(주)

천재교육

가우스(Gauss K F 1777～1855) 독일의 수학자인 가우스는

수학의 각 방면에 많은 업 을 남겨 수학의 아버지라 일컬

어지고 있다 그는 계산의 천재로 알려져 있는데 이에 한 유명

한 일화가 있다 등학교 때 부터 까지의 합을 구하는 문

제에서 다른 학생들이 직 하나하나 계산하는 동안 가우스는

　 　 　　　　 이 모두 임을 이용하여

times 이라는 답을 이끌어 내었다 이러한 방식은 수열

의 합을 계산할 때 사용하는 방식 의 하나이다

하노이의 탑을 이용한 수열의 귀납 정의

임의로 선택된 5종 교과서들의 수열단원에서 학생들의 수열 단원의 이해를

돕기 해 수록된 수학자들에 한 설명과 기타 자료들은 다음과 같다

도미노 이론 - 수학 귀납법의 다른 표

피보나치수열 - 토끼 수 증가 문제

앙교육

진흥연구소

삼각수 사각수 문제

피보나치(Fibonacci 1180～1250)

가우스(Gauss K F 1777～1855)

음악과 수학 - 작곡가 바흐(Bach)의 요 업 으로 평균율을

들 수 있다 평균율이란 1옥타 즉 lsquo도rsquo와 lsquo도rsquo의 사이를 개의

반음으로 나 고 처음 lsquo도rsquo의 진동수를 이라 하면 그에 일정한

수를 더해 제곱하여 옥타 의 lsquo도rsquo의 진동수를 얻는 것을

말한다 수식으로는 로 나타낼 수 있고 이 등식을

만족하는 의 값이 평균율이다

(주)

고려출

티티우스-보데 수열 -

수열 　　　　　　　　의 각 항에 각각 를 더한 후

으로 나 수들을 나열한 것 　　　　　　　 를

티티우스-보데 수열이라 한다 이수열의 각 항은 태양에서 행성

까지의 실제 거리와 비슷한 것으로 1766년 티티우스(Titius)라는

독일의 천문학자가 발견하 다

제갈량의 군 에 한 을 통한 등비수열의 합

피보나치 수열

휴먼 로 - 휴먼 로 의 제작은 복잡한 여러 가지 알고리즘

과 순서도에 바탕을 두고 있다 알고리즘의 요성은 자계산기

이 부터 실제 으로 존재했다 그 로 최 공약수 계산에 한

유클리드의 알고리즘이 있다 한 가우스와 같은 부분의 수학

자들은 역사 으로 많은 양을 처리하는 효율 인 알고리즘에

심을 가졌다 이러한 알고리즘을 보다 효율 으로 이용하여 재

의 컴퓨터 시 를 구축했다

(주) 두산

피보나치(Fibonacci 1180～1250)는 이탈리아의 피사에서 태

어난 수학자이다 부친이 상업에 종사하 기 때문에 피보나치는

이집트 시칠리아 그리스 시리아 등 다양한 지역을 여행할 수

있었고 이 때 다양한 수학을 하게 되었다 1202년 피사로 돌아

온 피보나치는 「산반서(Liber abaci)」를 술하 다 1228년에

는 「산반서 2 」을 술하 는데 이 책에서 정수와 분수의 계

산 제곱근과 세제곱근 일차와 이차방정식의 풀이 등을 다루었다

고 한다 특히 이 책에 나오는 「피보나치의 수열」은 매우 흥미

로운 수열로 요한 성질을 많이 가지고 있다

1에서 100까지 자연수를 모두 합하면 얼마일까

가우스(Gauss KF 1777～1855) 가우스는 수론 해석학 확

률론 천문학 물리학 등 다양한 분야에 뛰어난 수학자이었다 특

히 그의 수론 연구는 19세기 수학 체계의 확립에 크게 공헌하

다

피타고라스(Pythagoras 572～492 BC) 피타고라스는 음의

높이에 따른 진동수의 비가 일정함을 발견하 다

페아노(Peano G 1858～1932) 자연수의 성질을 추상화 하여

페아노의 공리계를 만들었다 이 공리계의 제 5공리가 수학 귀

납법의 원리이다

피보나치의 수열

알콰리즈미(Alkhwarizmi 780～850) 알고리즘이란 말은 세

아라비아의 수학자 알콰리즈미의 이름에서 유래된 것으로서 그가

십진법으로 나타낸 수의 계산에 용한 계산 방법에서 나온것이

다

[표6 5종 교과서에 제시된 수열 련 자료]

2 수학 Ⅰ 교과서에서의 수열

등차수열의 일반항

첫째항이 공차가 인 등차수열의 일반항 은

본 연구자가 임의로 선택한 5종 교과서 ([5][8][12][13][14]) 에서의

수열의 내 을 정리해보았다

1) 등차 수열과 등비 수열

(1) 수열의 뜻

어떤 규칙에 따라 순서 로 수를 늘어놓은 것을 수열이라 하고 그 수열을

이루는 각각의 수를 그 수열의 항이라고 한다 수열의 각 항을

앞에서부터 순서 로 제 1항 제 2항 제 3항 제 항

이라고 한다 특히 제 1항은 첫째항이라고도 한다

(2) 등차수열의 뜻

첫째항에 차례로 일정한 수를 더하여 만들어진 수열을 등차수열 이라하고

더한 일정한 수를 공차라고 한다

첫째항이 공차가 인 등차수열 에서

이므로 일반항 은 다음과 같이 나타낼 수 있다

(3) 등차수열의 합

등차수열의 합

첫째항이 공차가 끝항이 인 등차수열의 첫째항부터 제 항까지의

합 은

첫째항이 공차가 등차수열 에서 첫째항 부터 제 항 까지의 합

을 토론하기의 방법을 이용하여 구해보자

　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　①

더하는 순서를 거꾸로 하면

　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　②

①②의 양변을 각각 더하면

　　

따라서 =

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　③

이때 제 항인 를 ③에 입하여 식을 다르게 나타낼수도

있다

이상을 정리하면 다음과 같다

(4) 수열의 합과 일반항

수열 에서 첫째항부터 제 항까지의 합을 이라 하면

ge 일때 　　

there4

수열의 합과 일반항의 계

수열 의 첫째항부터 제 항까지의 합을 이라 하면

(단 ge )

등비수열의 합

일때 이다

이상을 정리하면 다음과 같다

(5) 등비수열의 뜻

첫째항부터 시작하여 각 항의 바로 앞의 항에 일정한 수를 곱하여

만들어진 수열을 등비수열이라 하고 곱하는 일정한 수를 공비라고 한다

첫째항이 공비가 인 등비수열에서 첫째항부터 제 항까지의 합 은

다음과 같이 구한다

　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　①

①의 양변에 공비 을 곱하면

　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　②

①에서 ②를 같은 변끼리 빼면

따라서 ne 일때

인 경우 ①에서

　　

there4

이상을 정리하면 다음과 같다

첫째항이 공비가 인 등비수열의 첫째항부터 제 항까지의 합 은

① ne 일때

② 일때

자연수의 거듭제곱의 합

①

　　

②

　　

③

　　

2) 여러 가지 수열

(1) 합의 기호 sum

수열 에서 첫째항부터 제 항까지의 합

　　

을 일반항과 합의 기호 sum를 써서

　　

와 같이 나타낸다

이때

는 수열 의 일반항 의 에 　　　　　　을 차례로

입하여 얻은 항의 합으로 신 다른 문자를 사용하여

등과 같이 나타낼 수 있다

(2) 기호 sum 의 성질

합의 기호 sum 의 성질에 하여 알아보자

합의 기호 sum의 성질

①

(복부호동순)

②

(단 는 상수)

③

(단 는 상수)

　　

　　 　　

　　

마찬가지로

와

에 해서도 확인해 보면 sum 의 성질을

다음과 같이 정리할 수 있다

(3) 계차수열

일반 으로 수열 에서 이웃하는 두 항의 차

　　 을 일반항으로 하는 새로운 수열

　　　　　　　을 얻을 수 있는데 이 수열 을 원래의 수열 의

계차수열이라고 한다

수열 에 하여 그 계차수열을 이라 하면

　　

계차수열과 일반항

수열 의 계차수열을 이라 할때

(단 ge )

3) 수학 귀납법

(1) 수열의 귀납 정의

첫째항과 이웃하는 두 항 사이의 계식으로 수열을 정의하는 것을 수열의

귀납 정의 라고 한다

첫째항이 공차가 인 등차수열 은 다음이 성립한다

　ge 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　①

역으로 두 계식 ①이 주어지면 이 결정되고 차례로

가 결정된다 따라서 모든 자연수 에 하여 이 정해지므로 수열 이

정의 된다

①과 같이 의 값 과 의 계식을 화식이라고 한다

(2) 수학 귀납법

수학 귀납법은 이탈리아의 페아노에 의하여 설정된 자연수에 한 공리

수학 귀납법

자연수 에 한 명제 이 모든 자연수 에 하여 성립함을 증명하

려면 다음 ⅰ ⅱ 를 증명하면 된다

ⅰ 일때 명제 이 성립한다

ⅱ 일때 명제 이 성립한다고 가정하면 일때에도

명제 이 성립한다

다음과 같은 5번째 공리에 근거를 두고 있다

자연수의 집합 의 부분집합 가

ⅰ 　isin

ⅱ 　isin 이면 isin

(여기서 는 의 후자)

인 두 조건을 만족하면 이다

4) 알고리즘과 순서도

(1) 알고리즘과 순서도

어떤 문제를 해결하기 해서는 그 처리 순서를 정해야 하는데 이와 같이

문제 해결에 필요한 처리 과정의 순서를 단계 으로 정리한 것을 알고리즘

이라 하고 알고리즘을 알기 쉽게 기호를 써서 그림으로 나타낸 것을 순서도

라고 한다 일반 으로 어떤 문제를 해결하기 한 알고리즘은 여러 가지가

있을 수 있지만 정해진 유한번의 단계를 거치면 반드시 끝나야 하고 처리

과정의 순서가 명확해야 한다 한 순서도는 각 부분을 순서 계통 으로

나타냄으로써 작업 과정을 구나 쉽게 한 에 악할 수 있도록

작성되어야 한다 순서도는 다음과 같은 기호를 사용하여 작성한다

[표7 순서도의 기호]

(2) 알고리즘과 순서도의 작성

수열과 련된 순서도를 작성할 때에는 다음과 같은 방법을 고려한다

(가) 항수를 항을 수열의 합을 로 나타낸다

(나) 제시된 항의 번호까지 루 를 용한다

(다) 제시된 항의 번호에 하여 단 기호를 이용한다

(라) 구하려는 는 를 인쇄하고 끝낸다

주의환기

집 을

한 략

지각

주의환기의

략

시청각 효과의 사용

비일상 인 내용이나 사건 제시

주의 분산의 자극 지양

탐구

주의환기의

략

능동 반응 유도

문제해결 활동의 구상 장려

신비감의 제공

다양성의

략

간결하고 다양한 교수형태 사용

일방 교수와 상호작용 교수의 혼합

교수자료의 변화 추구

목표-내용-방법이 기능 으로 통합

련성

증진을

한

략

친 성의

략

친 한 인물 혹은 사건 활용

구체 이고 친숙한 그림 활용

친 한 문 배경 지식 활용

목 지향성

의 략

실용성에 을 둔 목표 제시

목 지향 인 학습형태 활용

Ⅴ 러의 ARCS 이론과 수열 지도

1 러의 ARCS 이론

1) ARCS 이론의 특징

(1) 이론 배경

다음은 ([4])의 내용을 참고하 다

ldquo말을 물가로 데리고 갈 수는 있지만 물을 먹일 수는 없다rdquo는 속담처럼

하고자 하는 마음이 없으면 학습 효과를 기 할 수 없는 것은 당연한 사실

이다 이러한 생각의 근거에는 동기 유발의 개념이 자리 잡고 있다 동기

유발이란 어떤 활동을 진 지시 유지하려는 내 상태 는 과정을

포함한다 이 개념은 교육 심리학의 심 개념 의 하나이지만 직 찰

할 수 없는 것이기 때문에 인간의 행동을 보고 거기에서 유출해 내는 개념

이며 이에 한 정의는 바라보는 과 강조하는 내용에 따라 각기 다르

다

(2) ARCS 이론

목 의 선택 가능성 부여

필요나

동기와의

부합성 강조의

략

다양한 수 의 목 제시

학업성취 여부의 기록체제 활용

비경쟁 학습상황의 선택가능

동 상호 학습상황 제시

자신감

수립을

한 략

학습의

필요조건

제시의 략

수업의 목표와 구조의 제시

평가기 피드백의 제시

선수학습 능력의 단

시험의 조건 확인

성공의 기회

제시의 략

쉬운 것에서 어려운 것으로 과제 제시

정수 의 난이도 유지

다양한 수 의 시작 제공

무작 의 다양한 사건 제시

다양한 수 의 난이도 제공

개인

조 감

증 의 략

학습의 끝을 조 할 수 있는 기회 제시

학습속도의 조 가능

원하는 부분에로의 재빠른 회귀 가능

선택가능하고 다양한 과제의 난이도제공

노력이나 능력에 성공 귀착

만족감

증 를

한 략

자연 결과

강조의 략

연습문제를 통한 용기회 제공

후속학습상황을 통한 용기회 제공

모의상황을 통한 용기회 제공

정 결과

강조의 략

한 강화 계획의 활용

의미 있는 강화의 강조

정답을 한 보상 강조

외 보상의 사려 깊은 사용

선택 보상체제 활용

공정성

강조의 략

수업목표와 내용의 일 성 유지

연습과 시험 내용이 일치

[표8 ARCS 략] ([1])

2 ARCS 이론을 용한 수열 수업 계획서

다음은 ([1])의 ARCS 이론의 수업계획서를 참고하여 수열 단원의 수업

계획서를 작성해보았다

수업내용개 동기 략개 기타의견1 수업 기

체 으로 교사는 다양한 방법으로 학습자들

에게 수업 내용을 제시하고 학습자들에게

한 언어를 사용한다

수열의 활용에

한 학습목표

제시하기

교사는 학습자들의 련성을 높이기 해 학습

목표의 의미를 설명해 다

도표는 큰 씨를 사

용하고 핵심이 되는

단어에는 다른 색깔을

사용한다

수열의 활용의

이 과 평가

거를 제시하기

교사는 학습자들의 련성과 자신감 만족감

을 높이기 하여 이 수업이 끝난 후 그들이

무엇을 할 수 있는지에 해 알려 다

교사는 학습자들의 자신감과 만족감을 높이기

하여 성공 인 학습성취를 단할 수 있는 객

인 거들을 알려 다

교사는 학습자들의 만족감을 높이기 하여

그들이 주어진 과제를 성공 으로 해결했을 때

그에 따르는 내재 강화나 외재 보상이 있음

을 알려 다

수열의 정의와

해법에 한 지

식을 간략하게

확인하기

교사는 선수학습과의 련성을 유발하기 하

여 간략한 보조도구(인쇄매체)를 사용하여 수열

의 정의와 해법을 제시한다

교사는 소집단 토론을 실시하여 학습자들의

선수지식을 스스로 검해 보도록 한다

교사는 수열의 정의와 해법을 잘 모르는 학습

자들에게 자신감을 유발시키기 하여 개별 인

학습목표를 세우도록 한다

소집단 구성에 있어

서 주의집 이 매우

낮은 5명을 하나의 소

집단으로 구성하고

친근한 소재를 활용하

여 그들의 주의집 과

련성을 유발한다

실생활과 련

된 수열의 활용

문제들을 몇 가

지 소개하기

교사는 학습자들의 주의집 을 유지하기 해

실생활에서 연립방정식을 활용하여 해결할 수

있는 몇 가지 문제들을 제시한다

주의집 이 매우 낮은 5명의 학습자들이 수업

에 극 인 심을 보이지 않으면 교사는 그

들에게 친근한 목소리로 이름을 부르면서 수업

에 집 하라고 얘기 하고 개인 인 심을 갖

고 있음을 나타낸다

로써 활용되는 문

제들을 선택할 때 학

습자들이 알고 있거

나 그들에게 친근감

을 주는 소재가 포함

되도록 선택한다 이

때 지나치게 자심감

이 높아서 수업에 소

극 으로 참여하는 3

명의 학습자들에게는

다소 복잡한 수열의

활용 문제를 미리 제

공하여 생각할 기회를

다

수열의 활용에

한 학습자들의

이해정도를 악

하고 피드백을

제공하기

교사는 학습자들에게 자신감을 높이기 하여

소집단을 구성하여 학습자들이 수열의 활용에

해 어느 정도 이해하고 있는지를 서로 토론하

도록 한다

교사는 소집단별로 둘러보면서 자신감과 만족

감을 유발시키기 하여 학습자들간에 서로 도

움을 주도록 분 기를 형성한다

소집단별로 간략하게 토론이 끝나면 학습자

들 스스로 정리하도록 한다

토론결과 학습자들이 수열의 활용에 해 잘

못 이해하고 있다면 교사는 즉각 으로 교정

피드백을 제공한다

학습자들의 소집단

토론시간을 무 길게

소요하지 않도록 한

다 자칫하면 토론분

기가 산만해지기 쉽

고 토론이 활발하지

못한 경우에는 학습자

들의 학습의욕이 떨어

진다

2 수업 반 체 으로 교사는 다양한 방법으로 학습자

들에게 수업 내용을

제시하고 학습자들에게 개별 인 언어를 사용

한다

실생활과 련

된 수열의 활용

의 문제들을 구

체 으로 제시하

기

교사는 학습자들의 주의집 련성 자신감

만족감을 유지하기 하여 게임을 실시한다 학

습자들이 돌아가면서 임의로 다른 학습자를 지

명하면 지명받은 학습자가 실생활과 련된 수

열의 문제를 하나 제시한다 한 문제를 제

시한 학습자에게 학습태도 수를 주어 만족감

을 향상시킨다

교사는 학습자들이 제시한 여러 가지 문제들

을 칠 에 은 후 몇몇 소집단을 구성하여

그 문제들을 해결하기 해 인스토 을 하

도록 한다 이때 교사는 문제를 해결한 학습자

가 아직 해결하지 못한 학습자들을 도와주어 자

신감과 만족감을 갖도록 한다

인스토 이 진행되는 동안 교사는 교실

을 둘러보면서 학습자들이 질문이나 의문사항

에 해 극 으로 질문할 수 있는 기회를 제

공하고 그에 해 개별 인 언어를 사용하여

부드러운 목소리로 피드백을 제공한다

인스토 도 학습자들의 개인 인 능

력차가 커서 문제를 해결하는데 어려움을 겪는

학습자들에게는 그들에게 합한 개별 인 학습

이때 교사는 밝고

생동감이 넘치는 목소

리로 학습자들의 활동

을 진시킨다

교사는 학습자들이

한 자신감을 유지

하고 있는지에 해

지속 인 심을 갖고

지켜본다

이때 교사는 학습자

들의 자신감과 만족감

을 높이기 하여 그

들에게 일 성 있는

피드백을 제공한다

교사는 학습자들이

목표를 다시 선정하도록 하여 자신감을 향상시

킨다

인스토 이 끝나면 교사는 소집단 별로

한 사람씩 자발 으로 나와 문제를 풀고 풀이

과정을 체 학습자들에게 설명하도록 한다 이

때 어려운 문제를 해결한 소집단이나 학습자에

게 교사는 그들의 우수한 능력을 인정하고 내

재 인 자존심에 정 인 향을 주는 칭찬을

제공하여 자신감과 만족감을 높인다

소집단의 인스토

을 하는 동안 체

으로 문제풀이를 할

때 주의집 을 유지

하고 자신감과 만족

감의 향상을 악하기

해 끊임없이 그들과

시선을 교류하고 얼

굴표정을 찰한다

3 수업마무리 체 으로 교사는 다양한 방법으로 학습자

들에게 수업 내용을 제시하고 학습자들에게 개

별 인 언어를 사용한다

실생활과 련

된 수열의 활용

에 해 체

으로 정리 요

약하기

교사는 교탁을 탁탁 치거나 박수를 쳐서 다

소 떨어진 학습자들의 주의집 을 향상 시킨다

교사는 실생활 속에서 수열을 활용하여 해결

할 수 있는 간단하고 재미있는 문제들을 2～3개

제시하여 학습자들이 그 문제를 성공 으로 해

결함으로써 자신감과 만족감을 갖도록 한다

교사는 학습자들이 미처 생각하지 못했던 실

생활 속에서 수열과 연 된 다양한 들을 제공

하여 주의집 과 련성을 유지향상시킨다

교사는 자신감과 만족감을 향상시키기 해

학습자들에게 수업진행 에 그들이 설정한 개

인 인 학습목표에 해 얼마나 많이 달성했는

가를 스스로 검해 보라고 한다

교사는 수업 반에 수열의 문제를 잘 해결하

지 못했던 학습자들에게 그 문제를 다시 해결해

보도록 기회를 제공하여 자신감과 만족감을 높

여 다

평가에 있어서 교사는 학습자들이 그들의 성

에 해 공정하게 평가되었다고 느끼도록 일

성 있게 평가하여 그들의 자신감고 만족감을

높여 다

교사는 수열과 실생

활과의 련성에 해

학습자들이 잘 지각하

고 있는가를 알아보기

해 다소 진지한 목

소리로 질문한다

다음 학습내용

에 해 간략히

소개하기

교사는 학습자들의 흥미를 유지하기 하여

다음 학습내용에 해 호기심에 찬 목소리로 간

략하게 소개하고 수업을 끝낸다

[표9 러의 ARCS이론]

단원

단

원Ⅲ 수열

배정시간

(분)50

단

원1 등차수열과 등비수열

차시 3소단

원3) 등차수열과 등비수열의 활용

학습

목표등차수열과 등비수열을 실생활의 문제에 용할 수 있다

학습

단계학습내용

교수-학습활동 지도상의유의사

항교사활동 학생활동

도

입

15

분

인사

출석

주변을 정리 정돈

하여 수업분 기를

조성한다

인사 출석체크

를 한다

주의를 환기시킨

후 학생들과 인사

한다

출결석 여부를

확인한다

바른 자세로 주

변을 정리한 뒤

교사와 인사한다

수업 비를 한

다

교사와 학생

모두 함께 수업

분 기를 조성한

다

선수

학습

확인

지난 시간에 학습

한 등차수열과 등비

수열의 정의에 해

다시 한번 확인해본

다

지난 시간에 학습

한 등차수열과 등비

수열의 일반항을 구

하는 방법에 해 확

인학습으로 [문제1]

과 [문제2]를 풀어본

다

학생들의 자신감

을 높이기 하여

등차수열과 등비수

열의 정의를 교과

서에서 찾아본 후

큰소리로 답하게

한다

학생들이 답한

후 다시 한번 등차

수열과 등비수열에

해 간단히 설명

등차수열과 등

비수열의 정의를

교과서에 찾아본

후 큰소리로 읽는

다

교사가 등차수

열과 등비수열의

정의에 해 다시

한번 간단히 설명

할 때 부족한 부

분은 필기하며 복

습한다

교사가 정의에

해 질문할 때

학생들이 모두

책을 찾아볼수

있게 주의를

다

만일 답하

지 못하는 학생

이 있을 경우 그

여기서 인스토 (brainstorming)이라고 하는 것은 갑자기 떠오르는 멋

진 생각을 종이에 는다든가 말로 표 해 본 후 로 기록하거나 기록된

문장을 정리정돈하면서 생각을 논리화하는 방법이다 주로 어떤 계획을 세

우고자 할 때 창조 이고 기발한 아이디어가 필요할 때 학생들의 의견과

생각을 끌어내어 발 시키고자 할 때 사용하면 유리하다 ([3])

3 ARCS 이론을 용한 수업지도안

[문제1]

다음 등차수열

의 일반항과 제20항

을 구하여라

　　　　　　　

[문제2]

다음 등비수열

의 일반항과 제8항을

구하여라

　 　　　　　

한다

교사는 [문제1]

과[문제2]를 제시

한 뒤 학생들에게

직 풀어보게 한

다

등차수열과 등

비수열의 일반항

과 그 공식의 유

도과정을 기억한

다

제시된 문제를

연습장에 풀어본

다

학생에 해 개

별 인 언어를

사용하여 부드러

운 목소리로 피

드백을 제공한

다

개

30

분

학습

목표

제시

수열의 활용에

한 학습목표를 제시

한다

학습목표 학습

에 필요한 자료를

Power point 시청

각 효과를 사용하여

학생들의 주의환기

집 을 한 략

을 사용한다

학습목표를 학생

들에게 읽게 하고

학생들의 련성을

높이기 해 학습

목표의 의미를 설

명해 다

교사의 지시에

따라 큰소리로 학

습목표를 읽고 이

수업이 끝난 후

무엇을 할 수 있

는지에 해 생각

해 본다

학습목표는 큰

씨를 사용하

고 핵심이 되는

단어에는 다른

색깔을 사용한

다

탐구

학습

실생활과 련된

수열의 활용문제들을

몇 가지 소개한다

수열의 활용에

한 학습자들의 이해

정도를 악하고 피

드백을 제공한다

등차수열과 등비

수열을 이용하여

실생활의 문제를

해결할 수 있음을

학생들이 쉽게 이

해할 수 있도록 설

명한다

교사가 실생활

과 련된 수열의

활용문제들을 몇

가지 소개할 때

다른 시가 있는

지 함께 생각해

본다

문제

제시

[문제3]

한일 월드컵 축구 개

회 연도는 2002년이

다 2002년 이후 월

드컵 축구가 개최되

는 연도를 차례로 써

보고 이 규칙 로 월

드컵 축구가 개최되

면 2100년은 월드컵

축구가 개최되는 연

도인가

교과서에서 수열

단원의 수열의 활

용부분에 수록된

문제들을 풀어볼

수 있도록 시간을

다

등차수열과 등

비수열의 일반항

유도 공식을 생각

해보고 제시된 문

제를 해결해 간다

로써 활용되

는 문제를 선택

할 때 학습자들

이 알고 있거나

그들에게 친근감

을 주는 련성

증진을 한

략을 사용한다

[문제4]

컴퓨터의 주기억 장

치인 램은용

으로

용으로 가 개발

되었다 이후 램의

용 량 은

로 증가되어 왔다

의 램으로부터

번 증가된 주 메모

리는 식으로 어떻게

나타낼 수 있는가

학생들이 문제를

어렵게 느끼지 않

도록 어떤 방향으

로 해결해야 하는

지 힌트를 주어 학

생들의 자신감을

증진시킨다

소집

단

활동

5～6명으로 이 진

소집단을 구성하여

학습자들이 수열의

활용에 해 어느 정

도 이해하고 있는지

를 서로 토론하도록

한다

소집단별로 실생활

과 련된 수열의 활

용의 문제들을 구체

으로 제시한다

인 스토 이

끝나면 소집단별로

한사람씩 문제를 풀

고 풀이과정을 체

학생들에게 설명하는

시간을 갖는다

교사는 학생들의

만족감을 높이기

하여 그들이 주

어진 과제를 성공

으로 해결했을

때 그에 따르는

내재 강화나 외

재 보상이 있음

을 알려 다

어려운 문제를

해결한 소집단이나

학생에게 교사는

그들의 우수한 능

력을 인정하고 내

재 인 자존심에

정 인 향을

주는 칭찬을 제공

하여 자신감과 만

족감을 높인다

자신이 속한 소

집단 내에서 제시

된 과제에 해

열심히 토의를 하

며 문제를 해결한

학생이 아직 해결

하지 못한 학생들

을 도와주어 자신

감과 만족감을 갖

도록 한다

소집단별로 간

략하게 토론이 끝

나면 학생들 스스

로 정리해보고 자

발 으로 체 학

생들에게 설명해

보는 기회를 갖는

다

교사는 학습자

들이 한 자

신감을 유지하고

있는지에 해

지속 인 심을

갖고 지켜본다

학생들의 소집

단 토론시간을

무 길게 소요

하지 않도록 한

다

형성

평가

[문제4]

민수는 남 문의 기

와 지붕 한쪽 면이

사다리꼴 모양임을

찰하고 이 면에 있

는 기와의 개수를 알

아보고자 한다 기와

형 성 평 가 를

Power point로 제

시하고 학생들이

스스로 풀어볼 수

있도록 지도한다

학생들이 문제를

다 풀고 나면 교사

제시된 문제를

오늘 학습한 내용

을 복습하면서 풀

어보도록 한다

교사는 다소

진지한 목소리로

질문한다

의 개수를 행으로 세

었더니 용마루 쪽에

가장 가까운 행에는

40개 처마 쪽에 가

장 가까운 행에는 72

개 다 용마루부터

처마까지 행의 개수

가 17이라고 할 때

민수가 찰한 지붕

한쪽 면의 기와의 개

수는 모두 몇 개인

가

는 학생들에게

답할수 있도록 하

고 학생들이 학습

목표에 해 얼마

나 많이 달성했는

가를 스스로 검

해 보라고 한다

형성평가의 답

을 교사의 질문에

끝난 뒤 큰소리로

답하여 자신감

과 만족감을 갖도

록 한다

학생들에게 개

별 인 언어를

사용한다

정

리

5

분

학습

정리

차시

고

학습 자료를 이용

하여 수열의 실생활

의 활용 단원의 수업

내용을 확인한다

과제를 제시한다

다음 차시인 「여

러 가지 수열」 단원

에 한 고를 한

다

수업 내용을 정

리하고 과제를 제

시한다

학생들의 흥미를

유지하기 하여

다음 학습내용에

해 호기심에 찬

목소리로 간략하게

소개하고 수업을

끝낸다

오늘 학습한 내

용을 정리한다

과제를 고 과

제 해결에 한

내용을 머릿속에

형성해 본다

다음 차시에 배

울 내용을 학습

자료 화면으로 확

인해본다

수업내용에

해 학생과 교사

모두가 만족하고

있는지 확인하고

공정한 평가를

한다

[표10 수업지도안]

4 조사 문제지 분석

고등학교 수학 Ⅰ 의 수열단원의 효율 인 지도방안의 연구를 하여 원

종고등학교 2학년 학생 100명을 상으로 조사 문제지 조사를 하 다 학

생들의 수학에 한 심과 수학에서 가장 어려워하는 부분을 알아볼 수

있었고 어떤 방식의 수업을 선호하는지도 알아볼 수 있었다

⑴ 수학에 얼마나 심이 있나요

① 매우 많다 ② 많다 ③ 보통이다 ④ 다 ⑤ 매우 다

수학과목에 매우 많은 심을 보이는 학생은 2로 매우 낮은 편이며

심이 있는 학생은 43로 학생의 반정도 다 수학과목에 심이 거

나 없는 학생은 54정도로 수학은 어려운 과목이라는 인식 때문에 심

이 은 것 같다

수학을 공부하는 가장 큰 이유에는75의 학생들이 학입시를 해서라

는 문항을 선택했다 기타 이유에는 교과서에 있어서 어쩔수 없이 한다

는 학생과 진리탐구를 해서라는 학생도 있었다

[그림6 조사문제지

(1)번 막 그래 ]

⑵ 수학을 공부하는 가장 큰 이유가 뭐라고 생각하나요

① 학입시를 해서

② 평소 수학에 흥미가 있어서

③ 실제 생활에 쓰기 해서

④ 주변에서 해야한다고 하니까

⑤ 기타 이유 (이유를 간단히 어주세요)

앞에 (1)번문항에서 수학에 심이 은 학생이 반 정도인것에 반해

수학공부가 필요하다고 느낀학생이 75정도로 수학공부가 필요하단건

느끼지만 어려운 과목이라는 인식이 부분인것 같다 수학과목도 재

는 과목이란 인식을 학생들이 가질수 있도록 노력해야겠다

[그림7 조사문제지

(2)번 막 그래 ]

⑶ 수학공부의 필요성에 해 어떻게 생각하나요

① 매우 필요하다 ② 조 필요하다 ③ 보통이다

④ 필요 없다 ⑤ 필요 없다

[그림8 조사문제지

(3)번 막 그래 ]

⑷ 수학을 공부하면서 가장 어려운 부분은 무엇이나요

① 복잡한 계산 과정 ② 외워야할 많은 공식들

③ 응용문제엔 어떤 공식을 용해야할지 ④ 다 어렵다

학생들이 수학과목이 어렵다고 느끼는 이유는 응용문제에 어떤 공식을

용해야 하는지를 몰라서 라는 답이 58로 가장 많았다 그 외에도

계산과정이 복잡하거나 외워야할 공식들이 많아서라는 답도 있었다

이해 주의 수업을 하고 단순한 공식의 암기 주의 수업을 탈피해야겠

다

수학수업을 하는데 효과 인 방법에는 선생님 주의 강의식 수업과 학

생 개인별 수업이 78로 가장 많았다 개념이나 공식유도과정을 설명할

땐 서를 하며 강의식 수업을 하고 문제풀이땐 학생들 개인별로 첨삭

지도를 하는게 효율 인것 같다

⑤ 기타이유 (이유를 간단히 어주세요)

[그림9 조사문제지

(4)번 막 그래 ]

⑸ 수학 수업을 하는 데 어떤 방법이 가장 효과 이라고 생각하나요

① 선생님 주의 강의식 수업

② 학생 개인별 수업

③ 모둠별 활동 수업

④ 기타 교재나 과제를 통한 수업

⑤ 기타(이유를 간단히 어주세요)

[그림10 조사문제지

(5)번 막 그래 ]

Ⅵ 결론

본 논문에서 지 까지 고등학교 2학년 학생들이 수학 Ⅰ 교육과정을 학습하

는데 가장 어려워하는 수열에 해 살펴보았다 먼 개정 교육과정에 명시

된 수학교육의 목표와 임의로 선택된 5종 교과서에서 수열 단원의 학습목표

를 살펴보았고 수열의 역사 배경과 실생활에 응용된 들을 정리해보았

다 한 5종 교과서에서 제시되어 있는 수열의 학습내용을 소단원 별로 정

리해보았다 임의로 선택된 5종 교과서안의 수열의 학습내용을 분석해보면

서 몇 몇 교과서에서 여러 가지 수열 단원에서 군 수열과 멱 수에 한 언

이 없거나 미약함을 알 수 있었다 본 연구자가 보기에 군 수열과 멱 수

부분은 실생활에 활용될 는 극히 작아 보이지만 학생들이 꼭 학습하고 넘

어가야 수열에 한 완벽한 학습이 될 수 있을 것이라 여겼는데 교과서에서

제시된 내용들로는 학생들이 충분히 이해할 수 없을 것 같았다

그리고 교과서에 제시된 문항의 수 이 입시와 동 떨어진다는 문제 이 있

었다 교과서에 제시된 문제가 부족하고 수 이 낮다 보니 실제로 학교에서

수업 때 보충 린트 물로 수업을 진행하고 간기말고사 때에도 교과서

외에서 많은 문제를 출제하는 모습을 볼 수 있었다 때문에 학생들이 교과서

보다는 문제집 주의 공부를 할 수 밖에 없는 듯 보 다 교과서가 학생들

과 교사의 요구에 부합할 수 있도록 새로운 내용들과 문제를 싣도록 해야

할 것이다

학생들이 수열 단원의 학습을 할 때 좀 더 효과 인 학습이 될 수 있도록

리의 동기설계이론 (ARCS 이론) 을 바탕으로 하여 수업 계획서와 1차시

의 수업 지도안을 작성해 보았다 한 작성한 수업 지도안으로 부천시 소재

의 한 고등학교에서 실제 수업을 진행해 보았을 때 학생들이 좀 더 수열에

해 친숙하게 느끼고 쉽게 이해하는 모습을 볼 수 있었다 본 연구자가

직 교사가 아니라 여러 반을 상으로 수열 단원의 모든 차시 수업에 용

하여 수업을 해볼 수 없었단 이 아쉬움으로 남는다

이와 같이 학생들의 주의 련성자신감만족감 증진을 한 수업을 함

으로써 학생들의 수학 학습 성취도의 향상을 기 할 수 있을 것이다 한

개발된 자료를 실제 수업에 용하는 경우의 효율성에 한 후속 연구가 체

계 이고 지속 으로 이루어져야 할 것이다

참 고 문 헌

[1] 구평회 META 구평회 교육학 2007

[2] 교육인 자원부 고시 제2007 - 79호[별책8] 2007

[3] 박인학 교사를 한 교수학습방법론 문사 1995

[4] 변 계 교수학습 이론의 이해 학지사 1999

[5] 우정호 외 5인 고등학교 수학 Ⅰ 한교과서(주) 2002

[6] 이 연 자연의 수학 열쇠 피보나치수열 로네시스 2006

[7] 이진화 지수로그함수의 지도에 한 연구 서강 학교 교육 학원 석사 학

논문 2006

[8] 임재훈 외 10인 고등학교 수학 Ⅰ (주)두산 2002

[9] 장 숙 고등학교 수학 Ⅰ 교과서의 통계단원 분석 실생활에의 용 경희

학교 교육 학원 석사 학 논문 2006

[10] 조해식 행렬 수열 수업에서의 수학사 도입에 한 연구 울산 학교 석사

학 논문 1998

[11] 차 자 수열 학습의 흥미 유발을 한 자료 연구 경성 학교 교육 학원 석

사 학 논문 2004

[12] 최 외 5인 고등학교 수학 Ⅰ 앙교육진흥연구소 2006

[13] 최상기 외 5인 고등학교 수학 Ⅰ (주)고려출 2002

[14] 최용 신 성 고등학교 수학 Ⅰ 천재교육(주) 2002

[15] 황혜정 외 5인 수학교육학 신론 문음사 2002

• Ⅰ 서론
• • 1 연구의 필요성과 목적
  • 2 연구의 제한점
  • • Ⅱ 개정 교육과정에서 명시된 수학Ⅰ교육의 목표
    • • 1 수학Ⅰ교육의 목표
      • 2 고등학교 수학 Ⅰ 수열 단원의 학습목표
      • • Ⅲ 수열의 역사적 배경 및 응용
        • • 1 수열의 역사
          • 2 수열 단원이 실생활에 응용된 사례
          • • Ⅳ 고등학교 수학교육과정에서의 수열
            • • 1 수학Ⅰ 교과서 분석
              • 2 수학Ⅰ 교과서에서의 수열
              • • Ⅴ 켈러의 ARCS 이론과 수열 지도
                • • 1 켈러의 ARCS 이론
                  • 2 ARCS 이론을 적용한 수열 수업 계획서
                  • 3 ARCS 이론을 적용한 수업 지도안
                  • 4 조사지 분석
                  • • Ⅵ 결론
                    • 참고문헌

알고리즘과 순서도의 뜻을 알고 그 필요성을 이해할 수 있다

간단한 문제 해결을 한 알고리즘을 작성하여 순서도를 만들

수 있다

앙교육진흥

연구소

수열을 이해하고 이를 활용하여 여러 가지 문제를 해결할 수 있

다

수학 귀납법의 원리를 이해하고 이것을 이용하여 자연수 n에

하여 참인 명제를 증명할 수 있다

알고리즘과 순서도의 뜻을 알고 간단한 문제 해결에 사용할 수

있다

(주) 고려출

등차수열의 뜻을 알고일반항 첫째항부터 제 항까지의 합을 구

할 수 있다

등비수열의 뜻을 알고일반항 첫째항부터 제 항까지의 합을 구

할 수 있다

sum의 뜻과 성질을 이해하고 이를 활용할 수 있다

여러 가지 수열의 일반항 첫째항부터 제 항까지의 합을 구할

수 있다

여러 가지 수열에 한 문제를 해결할 수 있다

수학 귀납법의 원리를 성명하고 수학 귀납법을 이용하여 자연

수 에 하여 참인 명제를 증명할 수 있다

알고리즘과 순서도의 뜻을 알고 그 필요성을 알 수 있고 간단

한 문제 해결을 한 알고리즘을 작성하여 순서도를 만들 수 있다

(주) 두산

등차수열과 등비수열의 뜻을 알고 일반항과 그 합을 구할 수 있

다

기호sum의 뜻과 성질을 이해하고 이를 이용하여 여러 가지 수열

에 한 문제를 해결할 수 있다

수학 귀납법의 원리를 이해하고 이를 이용하여 자연수 에

하여 참인 명제를 증명할 수 있다

알고리즘과 순서도의 뜻을 알고 간단한 문제 해결을 한 알고

리즘을 작성하여 순서도를 만들 수 있다

[표2 5종 교과서 수학 Ⅰ 수열 단원의 학습목표]

Ⅲ 수열의 역사 배경 응용

1 수열의 역사

수학의 역사에서 가장 흥미로운 수열 하나가 피보나치수열이다 피보나

치수열은 수학이론 뿐만 아니라 자연계 건축 술 등에 다양하게 표 된

다

그 에 오나르도가 발표한《산반서》에 소개된 피보나치수열에 한 문

제는 다음과 같다 ([6]) ldquo어떤 사람이 토끼 한 을 우리에 넣었다 이 토

끼 한 은 한 달에 새로운 토끼 한 을 낳고 낳은 토끼들도 한 달이 지

나면 다시 한 의 토끼를 낳는다 그 다면 1년이 지나면 몇 의 토끼가

있을까rdquo

첫 달엔 처음에 있던 토끼 한 만 있다 두 번째 달이 되면 토끼 한 을

낳아 두 의 토끼가 된다 세 번째 달이 되면 처음에 있던 토끼 한 이

한 의 토끼를 낳아 세 의 토끼가 된다 네 번째 달이 되면 첫

달과 두 번째 달의 토끼 두 이 각 한 의 토끼를 낳아 총 다섯 의

토끼가 있게 된다 이런 식으로 토끼를 낳아가면 그 수는 다음과 같은 규

칙을 갖는다 　　　　　　　　　　 이런 규칙을 갖는 피보나치수열의

일반항을 이라고 하면 　 　 　 　 가 된다

그런데 이 수열을 자연에서도 쉽게 찾아볼 수 있다 식물의 기에서 뻗어

나온 잎을 생각해 보면 기의 에 있는 잎 하나에서 수직으로 에 있

는 잎까지 도달할 때까지 기를 따라 올라가면서 잎의 개수를 세면 그

수들은 일반 으로 피보나치수열을 이룬다

[그림1 피보나치수열]

2 수열 단원이 실생활에 응용된 사례

1) 하노이의 탑

인도 갠지스 강 유역 라만교의 사원에 있었던 하노이의 탑은 라만

탑이라고도 부르는데 이 탑에 얽힌 문제의 내용은 다음과 같다 다음은

([10])의 내용을 참고하 다

[베나 스에는 세계의 심이 있고 그 곳에는 아주 큰 사원이 있으며 이

사원에는 높이 정도 되는 다이아몬드 바늘 3개가 있다 그 에서 한

바늘에는 천지 창조 때에 신이 구멍이 뚫린 64장의 순 으로 된 원 을 크

기가 큰 것부터 아래에 놓이도록 하여 차례로 쌓아 놓았다 그리고 신은

승려들에게 밤낮으로 쉬지 않고 원 을 한 장씩 옮겨 빈 다이아몬드 바늘

어느 한 곳으로 모두 옮겨 놓도록 명령하 다

ldquo원 은 한 번에 한 개씩만 옮겨야 하고 로 작은 원 에 큰 원

을 올려놓을 수 없다 단 64개의 원 의 크기는 모두 다르다 이 말을 충

실히 실행하고 한 순간도 게을리 하지 마라 만일 게을리 하는 일이 있으

면 그 때는 이 사원도 탑도 모두 무 지고 세계는 종말을 고하게 된다 게

을리 하는 일이 없으면 그 들이 원 을 부 옮길 때까지 세상은 태평할

것이다rdquo]

승려들은 과제를 수행하기 해 밤낮으로 매우 열심히 작업을 했다 그 작

업을 끝내기 해서 승려들은 몇 번을 움직여야 하고 얼마나 많은 시간을

사용해야만 했을까

[그림2 하노이의 탑]

원 이 1개가 있으면 최소 이동 횟수는 1번 원 이 2개가 있을 때 최소

이동 횟수는 3번이고 원 이 3개가 있으면 최소 이동 횟수는 7번이다

원 이 4개가 있으면 최소 이동 횟수는 15번이다 이런 식으로 계속 해나

가다 보면 　　　　　　　 라는 수열을 얻는다 이것은 각 항의 차이가

계차수열을 이루는데 이것은 다음과 같다 　　　　　　일반항을 으로 두

고 구해보면 　 　times 　 　 이다 처음 값을 으로 두고 일반항을

구해보면 　

이 된다

만약 그 설 로 따라가서 수도승들이 쉬지 않고 디스크를 1 에 한번

씩 옮겼다면 최소의 이동횟수는 이 되고 18446744073709551616

가 걸리고 략 5854억4200만년이 필요하다는 것을 알 수 있다

원 이자 원리합계(=원 +이자)

1년 원 원 원

2년 원 원 원

3년 원 원 원

년 원 100원 원

2) 등차수열의 응용

(1) 단리법

단리법은 처음 원 의 이자에 해당하는 비율만큼 계속 되는 계산법이

다 1000원을 했다면 1년이 지날 때마다 10 의 이자가 붙는다고 하

자 1년이 지났을 때 10 의 이자가 붙으면 100원 불어나므로 1000 +

1000 times 01 = 1100(원) 이다 그리고 1년2년 년이 지날 때 마다

값을 측정해보면 다음과 같다

[표3 단리법]

최종 으로 원 을 라 하고 연이율을 이라고 한다면

결국 년이 되었을 때 단리법으로 표 하면 그 때의 총 합 는

이 된다

3) 등비수열의 응용

(1) 복리법

복리법은 원 에 이자가 된 원리합계를 기 으로 이자를 계산하는 방

법이다 원을 했다면 1년이 지날 때마다 의 이자가 붙는다고

원 이자원리합계

(=원 +이자)

1년 원 원 원

2년 원 원 원

3년 원 원 원

년 원 times원 원

하자 1년이 지났을 때 의 이자가 붙으면 원 불어나므로

times (원) 이다 그리고 1년2년 년이 지날 때 마

다 값을 측정해보면 다음과 같다

[표4 복리법]

최종 으로 원 을 라 하고 연이율을 이라고 한다면

따라서 년이 지나면 이 된다 그때의 총 합 는 이

다

4) 황 비율

에서 언 했던 피보나치수열 　　　　　　　　　　에서 번째 항

을 번째 항으로 나 어 보자

　 　

　 　

　 　

　 　

　 　

　 　 이런 식으로 계속 해나가다 보면

이 수가 061803 에 근사하게 된다 고 그리스인들은 이 수에 lsquo황 비

율rsquo라는 이름을 붙 다 이것은 인간이 보기에 가장 아름다운 비율이라 하

여 여러 분야에서 사용되고 있다

(1) 황 비의 이용

약 100년 페히 라는 독일의 심리학자는 수백 명의 사람들에게 여러

종류의 직사각형을 보여 다음 마음에 드는 것을 선택하게 하는 실험을

했다 그런데 그 결과 부분의 사람이 황 직사각형을 선택했다고 발표했

다 ([6])

실험에 의하면 황 비는 사람들이 가장 편안하고 아름답게 느끼는 비율로

알려져 있으며 이런 이유 때문에 옛 부터 건축과 미술 음악 등에서 자주

이용되어 왔다

(가) 건축

기원 2000년경의 이집트 《린드 피루스》에 보면 기원 4700년에 기

자의 피라미드를 건설할 때 이 수를 lsquo신성한 비율rsquo로 사용했다고 한다

의 측량 기술로 측정해보니 피라미드 의 심에서 의 모서리까지

그리고 경사면까지 거의 정확하게 0618이었다 ([6])

피라미드는 인류역사를 통해서 사람들을 가장 매료시켜온 건축물 의 하

나이다 그 규모의 장 함에서도 사람을 압도하는 것이 있지만 그 형태 자

체가 고도한 수학을 배경으로 한 것으로서 우리가 알고 있는 5천년 의 지

식수 으로서는 불가사의한 것 의 하나이다

[그림3 피라미드 황 비]

(나) 음악에서의 활용

음악에서 한 옥타 는 [도 미 솔 라 시 도] 의 8음계로 이루어져 있

다 피아노의 건반은 한 옥타 를 13개의 음으로 나 어 표 하고 있으며

이 하얀 건반이 8개 검은 건반이 5개 있고 하얀 건반은 3개와 5개 검

은 건반은 2개와 3개로 구분되어 있다 여기에서 나타나는 2 3 5 8 13

은 에서 보인 피보나치수열이다

[그림4 피아노건반황 비율]

(2) 인체에서의 황 비율

황 분할은 우리의 인체 속에서도 찾아볼 수 있다 인간의 신체가 이 비율

에 의해서 분할되어 있으며 이것이 아름다운 몸의 보편 기 이 되고 있

다 아래 그림은 Le Corbusier가 찾아낸 이상 인간의 각 신체부 의 비율

이다 이것은 오나르도 다빈치의 인체비율에 한 그림에서도 찾아 볼

수 있다 이 뿐만 아니라 인체의 각 부 들도 그 자체 황 분할을 이루

고 있다

[그림5 인체 황 비율]

앞에서 제시한 황 비율을 사용한 시들 이외에도 우리 주변에 아주 많

이 있다

교과서 차례

한교과서(주)

Ⅳ 수열

1 등차수열과 등비수열

2 여러 가지 수열

3 수학 귀납법

4 알고리즘과 순서도

(주) 천재교육

Ⅲ 수열

1 등차수열과 등비수열

2 여러 가지 수열

3 수학 귀납법

4 알고리즘과 순서도

Ⅳ 고등학교 수학교육과정에서의 수열

1 수학Ⅰ 교과서 분석

고등학교 2학년이 학습하는 lsquo수학 Ⅰrsquo은 국민 공통 기본 교육 기간의 10단계

수학을 이수한 학생들이 보다 문 인 진로를 고려하고 보다 높은 수 의

수학을 학습하기 해 설정된 심화 선택 과목이며 lsquo수학 Ⅱrsquo를 학습하기 한

단계이다 lsquo수학 Ⅰrsquo의 내용은 수 역에서 지수와 로그 행렬 수열이

실려있고 해석 역에서 수열의 극한 지수로그 함수가 수록되어 있으며

확률과 통계 역에서 순열과 조합 확률 통계 등으로 구성되어 있다 특히

수 역에 해당하는 수열은 여러 가지 수열에 한 성질을 이해하고 그것

을 일반화 하는 과정에 을 두어 지도하도록 하고 있으며 계차수열은 등

차수열이나 등비수열이 되는 경우만 다룬다 ([2])

1) 수학 Ⅰ 5종 교과서의 차례 단원 배열

앙교육진흥연구소

Ⅲ 수열

1 등차수열과 등비수열

2 여러 가지 수열

3 수학 귀납법

4 알고리즘과 순서도

(주) 고려출

Ⅲ 수열

1 등차수열과 등비수열

2 여러 가지 수열

3 수학 귀납법과 순서도

(주) 두산

Ⅲ 수열

1 등차수열과 등비수열

2 여러 가지 수열

3 수학 귀납법

4 알고리즘과 순서도

[표5 수학 Ⅰ 5종교과서의 차례]

의 표에서 본 것과 같이 임의로 선택된 5종의 고등학교 수학 Ⅰ 교과서의

차례는 거의 비슷한 양상을 보 다 부분의 교과서에선 1단원 지수와 로

그 2단원 행렬 3단원 수열 순의 순서를 보 고 한교과서외의 몇몇

교과서에선 1단원 지수와 로그 2단원 지수로그함수 3단원 행렬 4단원 수

열 순의 순서를 보 다 수열단원의 세부 단원 차례는 1 등차수열과

등비수열 2 여러 가지 수열 3 수학 귀납법 4 알고리즘과 순서도 는

34 단원을 한 단원으로 해서 3 수학 귀납법과 순서도의 순서로 다루는

은 비슷했다

2) 교과서에 제시된 수열 련 자료

한교과서

(주)

피타고라스(Pythagoras 572～492 BC) 피타고라스의 정리

로 잘 알려져 있고 소수나 완 수의 규칙성에 해서도 많은 연

구를 하 다

바스카라(Bhaskara A 1114～1185) 인도의 수학자로

임을 증명하 고 피타고라스의 정리를 기하학

으로 증명하 다

피보나치(Fibonacci 1180～1250) 이탈리아의 수학자로 자연

속에서 많이 볼 수 있는 피보나치 수열을 발견하 다

스칼(Pascal B 1623～1662 ) 랑스의 수학자로 수학

귀납법을 발견하 고 사 기하학을 창시하 다

푸리에(Fourier J B J 1768～1830) 랑스의 수학자로 음양

학 학 기역학 열역학 등의 연구에 매우 요한 푸리에

수를 연구하 다

가우스(Gauss K F 1777～1855) 수학 통계학 등의 다방

면에 많은 업 을 이루었고 역사상 가장 한 수학자 의 한

사람으로 불리워지고 있다

비주얼 베이직(Visual BASIC)

을 이용한 Programming

하노이의 탑

(주)

천재교육

가우스(Gauss K F 1777～1855) 독일의 수학자인 가우스는

수학의 각 방면에 많은 업 을 남겨 수학의 아버지라 일컬

어지고 있다 그는 계산의 천재로 알려져 있는데 이에 한 유명

한 일화가 있다 등학교 때 부터 까지의 합을 구하는 문

제에서 다른 학생들이 직 하나하나 계산하는 동안 가우스는

　 　 　　　　 이 모두 임을 이용하여

times 이라는 답을 이끌어 내었다 이러한 방식은 수열

의 합을 계산할 때 사용하는 방식 의 하나이다

하노이의 탑을 이용한 수열의 귀납 정의

임의로 선택된 5종 교과서들의 수열단원에서 학생들의 수열 단원의 이해를

돕기 해 수록된 수학자들에 한 설명과 기타 자료들은 다음과 같다

도미노 이론 - 수학 귀납법의 다른 표

피보나치수열 - 토끼 수 증가 문제

앙교육

진흥연구소

삼각수 사각수 문제

피보나치(Fibonacci 1180～1250)

가우스(Gauss K F 1777～1855)

음악과 수학 - 작곡가 바흐(Bach)의 요 업 으로 평균율을

들 수 있다 평균율이란 1옥타 즉 lsquo도rsquo와 lsquo도rsquo의 사이를 개의

반음으로 나 고 처음 lsquo도rsquo의 진동수를 이라 하면 그에 일정한

수를 더해 제곱하여 옥타 의 lsquo도rsquo의 진동수를 얻는 것을

말한다 수식으로는 로 나타낼 수 있고 이 등식을

만족하는 의 값이 평균율이다

(주)

고려출

티티우스-보데 수열 -

수열 　　　　　　　　의 각 항에 각각 를 더한 후

으로 나 수들을 나열한 것 　　　　　　　 를

티티우스-보데 수열이라 한다 이수열의 각 항은 태양에서 행성

까지의 실제 거리와 비슷한 것으로 1766년 티티우스(Titius)라는

독일의 천문학자가 발견하 다

제갈량의 군 에 한 을 통한 등비수열의 합

피보나치 수열

휴먼 로 - 휴먼 로 의 제작은 복잡한 여러 가지 알고리즘

과 순서도에 바탕을 두고 있다 알고리즘의 요성은 자계산기

이 부터 실제 으로 존재했다 그 로 최 공약수 계산에 한

유클리드의 알고리즘이 있다 한 가우스와 같은 부분의 수학

자들은 역사 으로 많은 양을 처리하는 효율 인 알고리즘에

심을 가졌다 이러한 알고리즘을 보다 효율 으로 이용하여 재

의 컴퓨터 시 를 구축했다

(주) 두산

피보나치(Fibonacci 1180～1250)는 이탈리아의 피사에서 태

어난 수학자이다 부친이 상업에 종사하 기 때문에 피보나치는

이집트 시칠리아 그리스 시리아 등 다양한 지역을 여행할 수

있었고 이 때 다양한 수학을 하게 되었다 1202년 피사로 돌아

온 피보나치는 「산반서(Liber abaci)」를 술하 다 1228년에

는 「산반서 2 」을 술하 는데 이 책에서 정수와 분수의 계

산 제곱근과 세제곱근 일차와 이차방정식의 풀이 등을 다루었다

고 한다 특히 이 책에 나오는 「피보나치의 수열」은 매우 흥미

로운 수열로 요한 성질을 많이 가지고 있다

1에서 100까지 자연수를 모두 합하면 얼마일까

가우스(Gauss KF 1777～1855) 가우스는 수론 해석학 확

률론 천문학 물리학 등 다양한 분야에 뛰어난 수학자이었다 특

히 그의 수론 연구는 19세기 수학 체계의 확립에 크게 공헌하

다

피타고라스(Pythagoras 572～492 BC) 피타고라스는 음의

높이에 따른 진동수의 비가 일정함을 발견하 다

페아노(Peano G 1858～1932) 자연수의 성질을 추상화 하여

페아노의 공리계를 만들었다 이 공리계의 제 5공리가 수학 귀

납법의 원리이다

피보나치의 수열

알콰리즈미(Alkhwarizmi 780～850) 알고리즘이란 말은 세

아라비아의 수학자 알콰리즈미의 이름에서 유래된 것으로서 그가

십진법으로 나타낸 수의 계산에 용한 계산 방법에서 나온것이

다

[표6 5종 교과서에 제시된 수열 련 자료]

2 수학 Ⅰ 교과서에서의 수열

등차수열의 일반항

첫째항이 공차가 인 등차수열의 일반항 은

본 연구자가 임의로 선택한 5종 교과서 ([5][8][12][13][14]) 에서의

수열의 내 을 정리해보았다

1) 등차 수열과 등비 수열

(1) 수열의 뜻

어떤 규칙에 따라 순서 로 수를 늘어놓은 것을 수열이라 하고 그 수열을

이루는 각각의 수를 그 수열의 항이라고 한다 수열의 각 항을

앞에서부터 순서 로 제 1항 제 2항 제 3항 제 항

이라고 한다 특히 제 1항은 첫째항이라고도 한다

(2) 등차수열의 뜻

첫째항에 차례로 일정한 수를 더하여 만들어진 수열을 등차수열 이라하고

더한 일정한 수를 공차라고 한다

첫째항이 공차가 인 등차수열 에서

이므로 일반항 은 다음과 같이 나타낼 수 있다

(3) 등차수열의 합

등차수열의 합

첫째항이 공차가 끝항이 인 등차수열의 첫째항부터 제 항까지의

합 은

첫째항이 공차가 등차수열 에서 첫째항 부터 제 항 까지의 합

을 토론하기의 방법을 이용하여 구해보자

　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　①

더하는 순서를 거꾸로 하면

　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　②

①②의 양변을 각각 더하면

　　

따라서 =

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　③

이때 제 항인 를 ③에 입하여 식을 다르게 나타낼수도

있다

이상을 정리하면 다음과 같다

(4) 수열의 합과 일반항

수열 에서 첫째항부터 제 항까지의 합을 이라 하면

ge 일때 　　

there4

수열의 합과 일반항의 계

수열 의 첫째항부터 제 항까지의 합을 이라 하면

(단 ge )

등비수열의 합

일때 이다

이상을 정리하면 다음과 같다

(5) 등비수열의 뜻

첫째항부터 시작하여 각 항의 바로 앞의 항에 일정한 수를 곱하여

만들어진 수열을 등비수열이라 하고 곱하는 일정한 수를 공비라고 한다

첫째항이 공비가 인 등비수열에서 첫째항부터 제 항까지의 합 은

다음과 같이 구한다

　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　①

①의 양변에 공비 을 곱하면

　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　②

①에서 ②를 같은 변끼리 빼면

따라서 ne 일때

인 경우 ①에서

　　

there4

이상을 정리하면 다음과 같다

첫째항이 공비가 인 등비수열의 첫째항부터 제 항까지의 합 은

① ne 일때

② 일때

자연수의 거듭제곱의 합

①

　　

②

　　

③

　　

2) 여러 가지 수열

(1) 합의 기호 sum

수열 에서 첫째항부터 제 항까지의 합

　　

을 일반항과 합의 기호 sum를 써서

　　

와 같이 나타낸다

이때

는 수열 의 일반항 의 에 　　　　　　을 차례로

입하여 얻은 항의 합으로 신 다른 문자를 사용하여

등과 같이 나타낼 수 있다

(2) 기호 sum 의 성질

합의 기호 sum 의 성질에 하여 알아보자

합의 기호 sum의 성질

①

(복부호동순)

②

(단 는 상수)

③

(단 는 상수)

　　

　　 　　

　　

마찬가지로

와

에 해서도 확인해 보면 sum 의 성질을

다음과 같이 정리할 수 있다

(3) 계차수열

일반 으로 수열 에서 이웃하는 두 항의 차

　　 을 일반항으로 하는 새로운 수열

　　　　　　　을 얻을 수 있는데 이 수열 을 원래의 수열 의

계차수열이라고 한다

수열 에 하여 그 계차수열을 이라 하면

　　

계차수열과 일반항

수열 의 계차수열을 이라 할때

(단 ge )

3) 수학 귀납법

(1) 수열의 귀납 정의

첫째항과 이웃하는 두 항 사이의 계식으로 수열을 정의하는 것을 수열의

귀납 정의 라고 한다

첫째항이 공차가 인 등차수열 은 다음이 성립한다

　ge 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　①

역으로 두 계식 ①이 주어지면 이 결정되고 차례로

가 결정된다 따라서 모든 자연수 에 하여 이 정해지므로 수열 이

정의 된다

①과 같이 의 값 과 의 계식을 화식이라고 한다

(2) 수학 귀납법

수학 귀납법은 이탈리아의 페아노에 의하여 설정된 자연수에 한 공리

수학 귀납법

자연수 에 한 명제 이 모든 자연수 에 하여 성립함을 증명하

려면 다음 ⅰ ⅱ 를 증명하면 된다

ⅰ 일때 명제 이 성립한다

ⅱ 일때 명제 이 성립한다고 가정하면 일때에도

명제 이 성립한다

다음과 같은 5번째 공리에 근거를 두고 있다

자연수의 집합 의 부분집합 가

ⅰ 　isin

ⅱ 　isin 이면 isin

(여기서 는 의 후자)

인 두 조건을 만족하면 이다

4) 알고리즘과 순서도

(1) 알고리즘과 순서도

어떤 문제를 해결하기 해서는 그 처리 순서를 정해야 하는데 이와 같이

문제 해결에 필요한 처리 과정의 순서를 단계 으로 정리한 것을 알고리즘

이라 하고 알고리즘을 알기 쉽게 기호를 써서 그림으로 나타낸 것을 순서도

라고 한다 일반 으로 어떤 문제를 해결하기 한 알고리즘은 여러 가지가

있을 수 있지만 정해진 유한번의 단계를 거치면 반드시 끝나야 하고 처리

과정의 순서가 명확해야 한다 한 순서도는 각 부분을 순서 계통 으로

나타냄으로써 작업 과정을 구나 쉽게 한 에 악할 수 있도록

작성되어야 한다 순서도는 다음과 같은 기호를 사용하여 작성한다

[표7 순서도의 기호]

(2) 알고리즘과 순서도의 작성

수열과 련된 순서도를 작성할 때에는 다음과 같은 방법을 고려한다

(가) 항수를 항을 수열의 합을 로 나타낸다

(나) 제시된 항의 번호까지 루 를 용한다

(다) 제시된 항의 번호에 하여 단 기호를 이용한다

(라) 구하려는 는 를 인쇄하고 끝낸다

주의환기

집 을

한 략

지각

주의환기의

략

시청각 효과의 사용

비일상 인 내용이나 사건 제시

주의 분산의 자극 지양

탐구

주의환기의

략

능동 반응 유도

문제해결 활동의 구상 장려

신비감의 제공

다양성의

략

간결하고 다양한 교수형태 사용

일방 교수와 상호작용 교수의 혼합

교수자료의 변화 추구

목표-내용-방법이 기능 으로 통합

련성

증진을

한

략

친 성의

략

친 한 인물 혹은 사건 활용

구체 이고 친숙한 그림 활용

친 한 문 배경 지식 활용

목 지향성

의 략

실용성에 을 둔 목표 제시

목 지향 인 학습형태 활용

Ⅴ 러의 ARCS 이론과 수열 지도

1 러의 ARCS 이론

1) ARCS 이론의 특징

(1) 이론 배경

다음은 ([4])의 내용을 참고하 다

ldquo말을 물가로 데리고 갈 수는 있지만 물을 먹일 수는 없다rdquo는 속담처럼

하고자 하는 마음이 없으면 학습 효과를 기 할 수 없는 것은 당연한 사실

이다 이러한 생각의 근거에는 동기 유발의 개념이 자리 잡고 있다 동기

유발이란 어떤 활동을 진 지시 유지하려는 내 상태 는 과정을

포함한다 이 개념은 교육 심리학의 심 개념 의 하나이지만 직 찰

할 수 없는 것이기 때문에 인간의 행동을 보고 거기에서 유출해 내는 개념

이며 이에 한 정의는 바라보는 과 강조하는 내용에 따라 각기 다르

다

(2) ARCS 이론

목 의 선택 가능성 부여

필요나

동기와의

부합성 강조의

략

다양한 수 의 목 제시

학업성취 여부의 기록체제 활용

비경쟁 학습상황의 선택가능

동 상호 학습상황 제시

자신감

수립을

한 략

학습의

필요조건

제시의 략

수업의 목표와 구조의 제시

평가기 피드백의 제시

선수학습 능력의 단

시험의 조건 확인

성공의 기회

제시의 략

쉬운 것에서 어려운 것으로 과제 제시

정수 의 난이도 유지

다양한 수 의 시작 제공

무작 의 다양한 사건 제시

다양한 수 의 난이도 제공

개인

조 감

증 의 략

학습의 끝을 조 할 수 있는 기회 제시

학습속도의 조 가능

원하는 부분에로의 재빠른 회귀 가능

선택가능하고 다양한 과제의 난이도제공

노력이나 능력에 성공 귀착

만족감

증 를

한 략

자연 결과

강조의 략

연습문제를 통한 용기회 제공

후속학습상황을 통한 용기회 제공

모의상황을 통한 용기회 제공

정 결과

강조의 략

한 강화 계획의 활용

의미 있는 강화의 강조

정답을 한 보상 강조

외 보상의 사려 깊은 사용

선택 보상체제 활용

공정성

강조의 략

수업목표와 내용의 일 성 유지

연습과 시험 내용이 일치

[표8 ARCS 략] ([1])

2 ARCS 이론을 용한 수열 수업 계획서

다음은 ([1])의 ARCS 이론의 수업계획서를 참고하여 수열 단원의 수업

계획서를 작성해보았다

수업내용개 동기 략개 기타의견1 수업 기

체 으로 교사는 다양한 방법으로 학습자들

에게 수업 내용을 제시하고 학습자들에게

한 언어를 사용한다

수열의 활용에

한 학습목표

제시하기

교사는 학습자들의 련성을 높이기 해 학습

목표의 의미를 설명해 다

도표는 큰 씨를 사

용하고 핵심이 되는

단어에는 다른 색깔을

사용한다

수열의 활용의

이 과 평가

거를 제시하기

교사는 학습자들의 련성과 자신감 만족감

을 높이기 하여 이 수업이 끝난 후 그들이

무엇을 할 수 있는지에 해 알려 다

교사는 학습자들의 자신감과 만족감을 높이기

하여 성공 인 학습성취를 단할 수 있는 객

인 거들을 알려 다

교사는 학습자들의 만족감을 높이기 하여

그들이 주어진 과제를 성공 으로 해결했을 때

그에 따르는 내재 강화나 외재 보상이 있음

을 알려 다

수열의 정의와

해법에 한 지

식을 간략하게

확인하기

교사는 선수학습과의 련성을 유발하기 하

여 간략한 보조도구(인쇄매체)를 사용하여 수열

의 정의와 해법을 제시한다

교사는 소집단 토론을 실시하여 학습자들의

선수지식을 스스로 검해 보도록 한다

교사는 수열의 정의와 해법을 잘 모르는 학습

자들에게 자신감을 유발시키기 하여 개별 인

학습목표를 세우도록 한다

소집단 구성에 있어

서 주의집 이 매우

낮은 5명을 하나의 소

집단으로 구성하고

친근한 소재를 활용하

여 그들의 주의집 과

련성을 유발한다

실생활과 련

된 수열의 활용

문제들을 몇 가

지 소개하기

교사는 학습자들의 주의집 을 유지하기 해

실생활에서 연립방정식을 활용하여 해결할 수

있는 몇 가지 문제들을 제시한다

주의집 이 매우 낮은 5명의 학습자들이 수업

에 극 인 심을 보이지 않으면 교사는 그

들에게 친근한 목소리로 이름을 부르면서 수업

에 집 하라고 얘기 하고 개인 인 심을 갖

고 있음을 나타낸다

로써 활용되는 문

제들을 선택할 때 학

습자들이 알고 있거

나 그들에게 친근감

을 주는 소재가 포함

되도록 선택한다 이

때 지나치게 자심감

이 높아서 수업에 소

극 으로 참여하는 3

명의 학습자들에게는

다소 복잡한 수열의

활용 문제를 미리 제

공하여 생각할 기회를

다

수열의 활용에

한 학습자들의

이해정도를 악

하고 피드백을

제공하기

교사는 학습자들에게 자신감을 높이기 하여

소집단을 구성하여 학습자들이 수열의 활용에

해 어느 정도 이해하고 있는지를 서로 토론하

도록 한다

교사는 소집단별로 둘러보면서 자신감과 만족

감을 유발시키기 하여 학습자들간에 서로 도

움을 주도록 분 기를 형성한다

소집단별로 간략하게 토론이 끝나면 학습자

들 스스로 정리하도록 한다

토론결과 학습자들이 수열의 활용에 해 잘

못 이해하고 있다면 교사는 즉각 으로 교정

피드백을 제공한다

학습자들의 소집단

토론시간을 무 길게

소요하지 않도록 한

다 자칫하면 토론분

기가 산만해지기 쉽

고 토론이 활발하지

못한 경우에는 학습자

들의 학습의욕이 떨어

진다

2 수업 반 체 으로 교사는 다양한 방법으로 학습자

들에게 수업 내용을

제시하고 학습자들에게 개별 인 언어를 사용

한다

실생활과 련

된 수열의 활용

의 문제들을 구

체 으로 제시하

기

교사는 학습자들의 주의집 련성 자신감

만족감을 유지하기 하여 게임을 실시한다 학

습자들이 돌아가면서 임의로 다른 학습자를 지

명하면 지명받은 학습자가 실생활과 련된 수

열의 문제를 하나 제시한다 한 문제를 제

시한 학습자에게 학습태도 수를 주어 만족감

을 향상시킨다

교사는 학습자들이 제시한 여러 가지 문제들

을 칠 에 은 후 몇몇 소집단을 구성하여

그 문제들을 해결하기 해 인스토 을 하

도록 한다 이때 교사는 문제를 해결한 학습자

가 아직 해결하지 못한 학습자들을 도와주어 자

신감과 만족감을 갖도록 한다

인스토 이 진행되는 동안 교사는 교실

을 둘러보면서 학습자들이 질문이나 의문사항

에 해 극 으로 질문할 수 있는 기회를 제

공하고 그에 해 개별 인 언어를 사용하여

부드러운 목소리로 피드백을 제공한다

인스토 도 학습자들의 개인 인 능

력차가 커서 문제를 해결하는데 어려움을 겪는

학습자들에게는 그들에게 합한 개별 인 학습

이때 교사는 밝고

생동감이 넘치는 목소

리로 학습자들의 활동

을 진시킨다

교사는 학습자들이

한 자신감을 유지

하고 있는지에 해

지속 인 심을 갖고

지켜본다

이때 교사는 학습자

들의 자신감과 만족감

을 높이기 하여 그

들에게 일 성 있는

피드백을 제공한다

교사는 학습자들이

목표를 다시 선정하도록 하여 자신감을 향상시

킨다

인스토 이 끝나면 교사는 소집단 별로

한 사람씩 자발 으로 나와 문제를 풀고 풀이

과정을 체 학습자들에게 설명하도록 한다 이

때 어려운 문제를 해결한 소집단이나 학습자에

게 교사는 그들의 우수한 능력을 인정하고 내

재 인 자존심에 정 인 향을 주는 칭찬을

제공하여 자신감과 만족감을 높인다

소집단의 인스토

을 하는 동안 체

으로 문제풀이를 할

때 주의집 을 유지

하고 자신감과 만족

감의 향상을 악하기

해 끊임없이 그들과

시선을 교류하고 얼

굴표정을 찰한다

3 수업마무리 체 으로 교사는 다양한 방법으로 학습자

들에게 수업 내용을 제시하고 학습자들에게 개

별 인 언어를 사용한다

실생활과 련

된 수열의 활용

에 해 체

으로 정리 요

약하기

교사는 교탁을 탁탁 치거나 박수를 쳐서 다

소 떨어진 학습자들의 주의집 을 향상 시킨다

교사는 실생활 속에서 수열을 활용하여 해결

할 수 있는 간단하고 재미있는 문제들을 2～3개

제시하여 학습자들이 그 문제를 성공 으로 해

결함으로써 자신감과 만족감을 갖도록 한다

교사는 학습자들이 미처 생각하지 못했던 실

생활 속에서 수열과 연 된 다양한 들을 제공

하여 주의집 과 련성을 유지향상시킨다

교사는 자신감과 만족감을 향상시키기 해

학습자들에게 수업진행 에 그들이 설정한 개

인 인 학습목표에 해 얼마나 많이 달성했는

가를 스스로 검해 보라고 한다

교사는 수업 반에 수열의 문제를 잘 해결하

지 못했던 학습자들에게 그 문제를 다시 해결해

보도록 기회를 제공하여 자신감과 만족감을 높

여 다

평가에 있어서 교사는 학습자들이 그들의 성

에 해 공정하게 평가되었다고 느끼도록 일

성 있게 평가하여 그들의 자신감고 만족감을

높여 다

교사는 수열과 실생

활과의 련성에 해

학습자들이 잘 지각하

고 있는가를 알아보기

해 다소 진지한 목

소리로 질문한다

다음 학습내용

에 해 간략히

소개하기

교사는 학습자들의 흥미를 유지하기 하여

다음 학습내용에 해 호기심에 찬 목소리로 간

략하게 소개하고 수업을 끝낸다

[표9 러의 ARCS이론]

단원

단

원Ⅲ 수열

배정시간

(분)50

단

원1 등차수열과 등비수열

차시 3소단

원3) 등차수열과 등비수열의 활용

학습

목표등차수열과 등비수열을 실생활의 문제에 용할 수 있다

학습

단계학습내용

교수-학습활동 지도상의유의사

항교사활동 학생활동

도

입

15

분

인사

출석

주변을 정리 정돈

하여 수업분 기를

조성한다

인사 출석체크

를 한다

주의를 환기시킨

후 학생들과 인사

한다

출결석 여부를

확인한다

바른 자세로 주

변을 정리한 뒤

교사와 인사한다

수업 비를 한

다

교사와 학생

모두 함께 수업

분 기를 조성한

다

선수

학습

확인

지난 시간에 학습

한 등차수열과 등비

수열의 정의에 해

다시 한번 확인해본

다

지난 시간에 학습

한 등차수열과 등비

수열의 일반항을 구

하는 방법에 해 확

인학습으로 [문제1]

과 [문제2]를 풀어본

다

학생들의 자신감

을 높이기 하여

등차수열과 등비수

열의 정의를 교과

서에서 찾아본 후

큰소리로 답하게

한다

학생들이 답한

후 다시 한번 등차

수열과 등비수열에

해 간단히 설명

등차수열과 등

비수열의 정의를

교과서에 찾아본

후 큰소리로 읽는

다

교사가 등차수

열과 등비수열의

정의에 해 다시

한번 간단히 설명

할 때 부족한 부

분은 필기하며 복

습한다

교사가 정의에

해 질문할 때

학생들이 모두

책을 찾아볼수

있게 주의를

다

만일 답하

지 못하는 학생

이 있을 경우 그

여기서 인스토 (brainstorming)이라고 하는 것은 갑자기 떠오르는 멋

진 생각을 종이에 는다든가 말로 표 해 본 후 로 기록하거나 기록된

문장을 정리정돈하면서 생각을 논리화하는 방법이다 주로 어떤 계획을 세

우고자 할 때 창조 이고 기발한 아이디어가 필요할 때 학생들의 의견과

생각을 끌어내어 발 시키고자 할 때 사용하면 유리하다 ([3])

3 ARCS 이론을 용한 수업지도안

[문제1]

다음 등차수열

의 일반항과 제20항

을 구하여라

　　　　　　　

[문제2]

다음 등비수열

의 일반항과 제8항을

구하여라

　 　　　　　

한다

교사는 [문제1]

과[문제2]를 제시

한 뒤 학생들에게

직 풀어보게 한

다

등차수열과 등

비수열의 일반항

과 그 공식의 유

도과정을 기억한

다

제시된 문제를

연습장에 풀어본

다

학생에 해 개

별 인 언어를

사용하여 부드러

운 목소리로 피

드백을 제공한

다

개

30

분

학습

목표

제시

수열의 활용에

한 학습목표를 제시

한다

학습목표 학습

에 필요한 자료를

Power point 시청

각 효과를 사용하여

학생들의 주의환기

집 을 한 략

을 사용한다

학습목표를 학생

들에게 읽게 하고

학생들의 련성을

높이기 해 학습

목표의 의미를 설

명해 다

교사의 지시에

따라 큰소리로 학

습목표를 읽고 이

수업이 끝난 후

무엇을 할 수 있

는지에 해 생각

해 본다

학습목표는 큰

씨를 사용하

고 핵심이 되는

단어에는 다른

색깔을 사용한

다

탐구

학습

실생활과 련된

수열의 활용문제들을

몇 가지 소개한다

수열의 활용에

한 학습자들의 이해

정도를 악하고 피

드백을 제공한다

등차수열과 등비

수열을 이용하여

실생활의 문제를

해결할 수 있음을

학생들이 쉽게 이

해할 수 있도록 설

명한다

교사가 실생활

과 련된 수열의

활용문제들을 몇

가지 소개할 때

다른 시가 있는

지 함께 생각해

본다

문제

제시

[문제3]

한일 월드컵 축구 개

회 연도는 2002년이

다 2002년 이후 월

드컵 축구가 개최되

는 연도를 차례로 써

보고 이 규칙 로 월

드컵 축구가 개최되

면 2100년은 월드컵

축구가 개최되는 연

도인가

교과서에서 수열

단원의 수열의 활

용부분에 수록된

문제들을 풀어볼

수 있도록 시간을

다

등차수열과 등

비수열의 일반항

유도 공식을 생각

해보고 제시된 문

제를 해결해 간다

로써 활용되

는 문제를 선택

할 때 학습자들

이 알고 있거나

그들에게 친근감

을 주는 련성

증진을 한

략을 사용한다

[문제4]

컴퓨터의 주기억 장

치인 램은용

으로

용으로 가 개발

되었다 이후 램의

용 량 은

로 증가되어 왔다

의 램으로부터

번 증가된 주 메모

리는 식으로 어떻게

나타낼 수 있는가

학생들이 문제를

어렵게 느끼지 않

도록 어떤 방향으

로 해결해야 하는

지 힌트를 주어 학

생들의 자신감을

증진시킨다

소집

단

활동

5～6명으로 이 진

소집단을 구성하여

학습자들이 수열의

활용에 해 어느 정

도 이해하고 있는지

를 서로 토론하도록

한다

소집단별로 실생활

과 련된 수열의 활

용의 문제들을 구체

으로 제시한다

인 스토 이

끝나면 소집단별로

한사람씩 문제를 풀

고 풀이과정을 체

학생들에게 설명하는

시간을 갖는다

교사는 학생들의

만족감을 높이기

하여 그들이 주

어진 과제를 성공

으로 해결했을

때 그에 따르는

내재 강화나 외

재 보상이 있음

을 알려 다

어려운 문제를

해결한 소집단이나

학생에게 교사는

그들의 우수한 능

력을 인정하고 내

재 인 자존심에

정 인 향을

주는 칭찬을 제공

하여 자신감과 만

족감을 높인다

자신이 속한 소

집단 내에서 제시

된 과제에 해

열심히 토의를 하

며 문제를 해결한

학생이 아직 해결

하지 못한 학생들

을 도와주어 자신

감과 만족감을 갖

도록 한다

소집단별로 간

략하게 토론이 끝

나면 학생들 스스

로 정리해보고 자

발 으로 체 학

생들에게 설명해

보는 기회를 갖는

다

교사는 학습자

들이 한 자

신감을 유지하고

있는지에 해

지속 인 심을

갖고 지켜본다

학생들의 소집

단 토론시간을

무 길게 소요

하지 않도록 한

다

형성

평가

[문제4]

민수는 남 문의 기

와 지붕 한쪽 면이

사다리꼴 모양임을

찰하고 이 면에 있

는 기와의 개수를 알

아보고자 한다 기와

형 성 평 가 를

Power point로 제

시하고 학생들이

스스로 풀어볼 수

있도록 지도한다

학생들이 문제를

다 풀고 나면 교사

제시된 문제를

오늘 학습한 내용

을 복습하면서 풀

어보도록 한다

교사는 다소

진지한 목소리로

질문한다

의 개수를 행으로 세

었더니 용마루 쪽에

가장 가까운 행에는

40개 처마 쪽에 가

장 가까운 행에는 72

개 다 용마루부터

처마까지 행의 개수

가 17이라고 할 때

민수가 찰한 지붕

한쪽 면의 기와의 개

수는 모두 몇 개인

가

는 학생들에게

답할수 있도록 하

고 학생들이 학습

목표에 해 얼마

나 많이 달성했는

가를 스스로 검

해 보라고 한다

형성평가의 답

을 교사의 질문에

끝난 뒤 큰소리로

답하여 자신감

과 만족감을 갖도

록 한다

학생들에게 개

별 인 언어를

사용한다

정

리

5

분

학습

정리

차시

고

학습 자료를 이용

하여 수열의 실생활

의 활용 단원의 수업

내용을 확인한다

과제를 제시한다

다음 차시인 「여

러 가지 수열」 단원

에 한 고를 한

다

수업 내용을 정

리하고 과제를 제

시한다

학생들의 흥미를

유지하기 하여

다음 학습내용에

해 호기심에 찬

목소리로 간략하게

소개하고 수업을

끝낸다

오늘 학습한 내

용을 정리한다

과제를 고 과

제 해결에 한

내용을 머릿속에

형성해 본다

다음 차시에 배

울 내용을 학습

자료 화면으로 확

인해본다

수업내용에

해 학생과 교사

모두가 만족하고

있는지 확인하고

공정한 평가를

한다

[표10 수업지도안]

4 조사 문제지 분석

고등학교 수학 Ⅰ 의 수열단원의 효율 인 지도방안의 연구를 하여 원

종고등학교 2학년 학생 100명을 상으로 조사 문제지 조사를 하 다 학

생들의 수학에 한 심과 수학에서 가장 어려워하는 부분을 알아볼 수

있었고 어떤 방식의 수업을 선호하는지도 알아볼 수 있었다

⑴ 수학에 얼마나 심이 있나요

① 매우 많다 ② 많다 ③ 보통이다 ④ 다 ⑤ 매우 다

수학과목에 매우 많은 심을 보이는 학생은 2로 매우 낮은 편이며

심이 있는 학생은 43로 학생의 반정도 다 수학과목에 심이 거

나 없는 학생은 54정도로 수학은 어려운 과목이라는 인식 때문에 심

이 은 것 같다

수학을 공부하는 가장 큰 이유에는75의 학생들이 학입시를 해서라

는 문항을 선택했다 기타 이유에는 교과서에 있어서 어쩔수 없이 한다

는 학생과 진리탐구를 해서라는 학생도 있었다

[그림6 조사문제지

(1)번 막 그래 ]

⑵ 수학을 공부하는 가장 큰 이유가 뭐라고 생각하나요

① 학입시를 해서

② 평소 수학에 흥미가 있어서

③ 실제 생활에 쓰기 해서

④ 주변에서 해야한다고 하니까

⑤ 기타 이유 (이유를 간단히 어주세요)

앞에 (1)번문항에서 수학에 심이 은 학생이 반 정도인것에 반해

수학공부가 필요하다고 느낀학생이 75정도로 수학공부가 필요하단건

느끼지만 어려운 과목이라는 인식이 부분인것 같다 수학과목도 재

는 과목이란 인식을 학생들이 가질수 있도록 노력해야겠다

[그림7 조사문제지

(2)번 막 그래 ]

⑶ 수학공부의 필요성에 해 어떻게 생각하나요

① 매우 필요하다 ② 조 필요하다 ③ 보통이다

④ 필요 없다 ⑤ 필요 없다

[그림8 조사문제지

(3)번 막 그래 ]

⑷ 수학을 공부하면서 가장 어려운 부분은 무엇이나요

① 복잡한 계산 과정 ② 외워야할 많은 공식들

③ 응용문제엔 어떤 공식을 용해야할지 ④ 다 어렵다

학생들이 수학과목이 어렵다고 느끼는 이유는 응용문제에 어떤 공식을

용해야 하는지를 몰라서 라는 답이 58로 가장 많았다 그 외에도

계산과정이 복잡하거나 외워야할 공식들이 많아서라는 답도 있었다

이해 주의 수업을 하고 단순한 공식의 암기 주의 수업을 탈피해야겠

다

수학수업을 하는데 효과 인 방법에는 선생님 주의 강의식 수업과 학

생 개인별 수업이 78로 가장 많았다 개념이나 공식유도과정을 설명할

땐 서를 하며 강의식 수업을 하고 문제풀이땐 학생들 개인별로 첨삭

지도를 하는게 효율 인것 같다

⑤ 기타이유 (이유를 간단히 어주세요)

[그림9 조사문제지

(4)번 막 그래 ]

⑸ 수학 수업을 하는 데 어떤 방법이 가장 효과 이라고 생각하나요

① 선생님 주의 강의식 수업

② 학생 개인별 수업

③ 모둠별 활동 수업

④ 기타 교재나 과제를 통한 수업

⑤ 기타(이유를 간단히 어주세요)

[그림10 조사문제지

(5)번 막 그래 ]

Ⅵ 결론

본 논문에서 지 까지 고등학교 2학년 학생들이 수학 Ⅰ 교육과정을 학습하

는데 가장 어려워하는 수열에 해 살펴보았다 먼 개정 교육과정에 명시

된 수학교육의 목표와 임의로 선택된 5종 교과서에서 수열 단원의 학습목표

를 살펴보았고 수열의 역사 배경과 실생활에 응용된 들을 정리해보았

다 한 5종 교과서에서 제시되어 있는 수열의 학습내용을 소단원 별로 정

리해보았다 임의로 선택된 5종 교과서안의 수열의 학습내용을 분석해보면

서 몇 몇 교과서에서 여러 가지 수열 단원에서 군 수열과 멱 수에 한 언

이 없거나 미약함을 알 수 있었다 본 연구자가 보기에 군 수열과 멱 수

부분은 실생활에 활용될 는 극히 작아 보이지만 학생들이 꼭 학습하고 넘

어가야 수열에 한 완벽한 학습이 될 수 있을 것이라 여겼는데 교과서에서

제시된 내용들로는 학생들이 충분히 이해할 수 없을 것 같았다

그리고 교과서에 제시된 문항의 수 이 입시와 동 떨어진다는 문제 이 있

었다 교과서에 제시된 문제가 부족하고 수 이 낮다 보니 실제로 학교에서

수업 때 보충 린트 물로 수업을 진행하고 간기말고사 때에도 교과서

외에서 많은 문제를 출제하는 모습을 볼 수 있었다 때문에 학생들이 교과서

보다는 문제집 주의 공부를 할 수 밖에 없는 듯 보 다 교과서가 학생들

과 교사의 요구에 부합할 수 있도록 새로운 내용들과 문제를 싣도록 해야

할 것이다

학생들이 수열 단원의 학습을 할 때 좀 더 효과 인 학습이 될 수 있도록

리의 동기설계이론 (ARCS 이론) 을 바탕으로 하여 수업 계획서와 1차시

의 수업 지도안을 작성해 보았다 한 작성한 수업 지도안으로 부천시 소재

의 한 고등학교에서 실제 수업을 진행해 보았을 때 학생들이 좀 더 수열에

해 친숙하게 느끼고 쉽게 이해하는 모습을 볼 수 있었다 본 연구자가

직 교사가 아니라 여러 반을 상으로 수열 단원의 모든 차시 수업에 용

하여 수업을 해볼 수 없었단 이 아쉬움으로 남는다

이와 같이 학생들의 주의 련성자신감만족감 증진을 한 수업을 함

으로써 학생들의 수학 학습 성취도의 향상을 기 할 수 있을 것이다 한

개발된 자료를 실제 수업에 용하는 경우의 효율성에 한 후속 연구가 체

계 이고 지속 으로 이루어져야 할 것이다

참 고 문 헌

[1] 구평회 META 구평회 교육학 2007

[2] 교육인 자원부 고시 제2007 - 79호[별책8] 2007

[3] 박인학 교사를 한 교수학습방법론 문사 1995

[4] 변 계 교수학습 이론의 이해 학지사 1999

[5] 우정호 외 5인 고등학교 수학 Ⅰ 한교과서(주) 2002

[6] 이 연 자연의 수학 열쇠 피보나치수열 로네시스 2006

[7] 이진화 지수로그함수의 지도에 한 연구 서강 학교 교육 학원 석사 학

논문 2006

[8] 임재훈 외 10인 고등학교 수학 Ⅰ (주)두산 2002

[9] 장 숙 고등학교 수학 Ⅰ 교과서의 통계단원 분석 실생활에의 용 경희

학교 교육 학원 석사 학 논문 2006

[10] 조해식 행렬 수열 수업에서의 수학사 도입에 한 연구 울산 학교 석사

학 논문 1998

[11] 차 자 수열 학습의 흥미 유발을 한 자료 연구 경성 학교 교육 학원 석

사 학 논문 2004

[12] 최 외 5인 고등학교 수학 Ⅰ 앙교육진흥연구소 2006

[13] 최상기 외 5인 고등학교 수학 Ⅰ (주)고려출 2002

[14] 최용 신 성 고등학교 수학 Ⅰ 천재교육(주) 2002

[15] 황혜정 외 5인 수학교육학 신론 문음사 2002

• Ⅰ 서론
• • 1 연구의 필요성과 목적
  • 2 연구의 제한점
  • • Ⅱ 개정 교육과정에서 명시된 수학Ⅰ교육의 목표
    • • 1 수학Ⅰ교육의 목표
      • 2 고등학교 수학 Ⅰ 수열 단원의 학습목표
      • • Ⅲ 수열의 역사적 배경 및 응용
        • • 1 수열의 역사
          • 2 수열 단원이 실생활에 응용된 사례
          • • Ⅳ 고등학교 수학교육과정에서의 수열
            • • 1 수학Ⅰ 교과서 분석
              • 2 수학Ⅰ 교과서에서의 수열
              • • Ⅴ 켈러의 ARCS 이론과 수열 지도
                • • 1 켈러의 ARCS 이론
                  • 2 ARCS 이론을 적용한 수열 수업 계획서
                  • 3 ARCS 이론을 적용한 수업 지도안
                  • 4 조사지 분석
                  • • Ⅵ 결론
                    • 참고문헌

Ⅲ 수열의 역사 배경 응용

1 수열의 역사

수학의 역사에서 가장 흥미로운 수열 하나가 피보나치수열이다 피보나

치수열은 수학이론 뿐만 아니라 자연계 건축 술 등에 다양하게 표 된

다

그 에 오나르도가 발표한《산반서》에 소개된 피보나치수열에 한 문

제는 다음과 같다 ([6]) ldquo어떤 사람이 토끼 한 을 우리에 넣었다 이 토

끼 한 은 한 달에 새로운 토끼 한 을 낳고 낳은 토끼들도 한 달이 지

나면 다시 한 의 토끼를 낳는다 그 다면 1년이 지나면 몇 의 토끼가

있을까rdquo

첫 달엔 처음에 있던 토끼 한 만 있다 두 번째 달이 되면 토끼 한 을

낳아 두 의 토끼가 된다 세 번째 달이 되면 처음에 있던 토끼 한 이

한 의 토끼를 낳아 세 의 토끼가 된다 네 번째 달이 되면 첫

달과 두 번째 달의 토끼 두 이 각 한 의 토끼를 낳아 총 다섯 의

토끼가 있게 된다 이런 식으로 토끼를 낳아가면 그 수는 다음과 같은 규

칙을 갖는다 　　　　　　　　　　 이런 규칙을 갖는 피보나치수열의

일반항을 이라고 하면 　 　 　 　 가 된다

그런데 이 수열을 자연에서도 쉽게 찾아볼 수 있다 식물의 기에서 뻗어

나온 잎을 생각해 보면 기의 에 있는 잎 하나에서 수직으로 에 있

는 잎까지 도달할 때까지 기를 따라 올라가면서 잎의 개수를 세면 그

수들은 일반 으로 피보나치수열을 이룬다

[그림1 피보나치수열]

2 수열 단원이 실생활에 응용된 사례

1) 하노이의 탑

인도 갠지스 강 유역 라만교의 사원에 있었던 하노이의 탑은 라만

탑이라고도 부르는데 이 탑에 얽힌 문제의 내용은 다음과 같다 다음은

([10])의 내용을 참고하 다

[베나 스에는 세계의 심이 있고 그 곳에는 아주 큰 사원이 있으며 이

사원에는 높이 정도 되는 다이아몬드 바늘 3개가 있다 그 에서 한

바늘에는 천지 창조 때에 신이 구멍이 뚫린 64장의 순 으로 된 원 을 크

기가 큰 것부터 아래에 놓이도록 하여 차례로 쌓아 놓았다 그리고 신은

승려들에게 밤낮으로 쉬지 않고 원 을 한 장씩 옮겨 빈 다이아몬드 바늘

어느 한 곳으로 모두 옮겨 놓도록 명령하 다

ldquo원 은 한 번에 한 개씩만 옮겨야 하고 로 작은 원 에 큰 원

을 올려놓을 수 없다 단 64개의 원 의 크기는 모두 다르다 이 말을 충

실히 실행하고 한 순간도 게을리 하지 마라 만일 게을리 하는 일이 있으

면 그 때는 이 사원도 탑도 모두 무 지고 세계는 종말을 고하게 된다 게

을리 하는 일이 없으면 그 들이 원 을 부 옮길 때까지 세상은 태평할

것이다rdquo]

승려들은 과제를 수행하기 해 밤낮으로 매우 열심히 작업을 했다 그 작

업을 끝내기 해서 승려들은 몇 번을 움직여야 하고 얼마나 많은 시간을

사용해야만 했을까

[그림2 하노이의 탑]

원 이 1개가 있으면 최소 이동 횟수는 1번 원 이 2개가 있을 때 최소

이동 횟수는 3번이고 원 이 3개가 있으면 최소 이동 횟수는 7번이다

원 이 4개가 있으면 최소 이동 횟수는 15번이다 이런 식으로 계속 해나

가다 보면 　　　　　　　 라는 수열을 얻는다 이것은 각 항의 차이가

계차수열을 이루는데 이것은 다음과 같다 　　　　　　일반항을 으로 두

고 구해보면 　 　times 　 　 이다 처음 값을 으로 두고 일반항을

구해보면 　

이 된다

만약 그 설 로 따라가서 수도승들이 쉬지 않고 디스크를 1 에 한번

씩 옮겼다면 최소의 이동횟수는 이 되고 18446744073709551616

가 걸리고 략 5854억4200만년이 필요하다는 것을 알 수 있다

원 이자 원리합계(=원 +이자)

1년 원 원 원

2년 원 원 원

3년 원 원 원

년 원 100원 원

2) 등차수열의 응용

(1) 단리법

단리법은 처음 원 의 이자에 해당하는 비율만큼 계속 되는 계산법이

다 1000원을 했다면 1년이 지날 때마다 10 의 이자가 붙는다고 하

자 1년이 지났을 때 10 의 이자가 붙으면 100원 불어나므로 1000 +

1000 times 01 = 1100(원) 이다 그리고 1년2년 년이 지날 때 마다

값을 측정해보면 다음과 같다

[표3 단리법]

최종 으로 원 을 라 하고 연이율을 이라고 한다면

결국 년이 되었을 때 단리법으로 표 하면 그 때의 총 합 는

이 된다

3) 등비수열의 응용

(1) 복리법

복리법은 원 에 이자가 된 원리합계를 기 으로 이자를 계산하는 방

법이다 원을 했다면 1년이 지날 때마다 의 이자가 붙는다고

원 이자원리합계

(=원 +이자)

1년 원 원 원

2년 원 원 원

3년 원 원 원

년 원 times원 원

하자 1년이 지났을 때 의 이자가 붙으면 원 불어나므로

times (원) 이다 그리고 1년2년 년이 지날 때 마

다 값을 측정해보면 다음과 같다

[표4 복리법]

최종 으로 원 을 라 하고 연이율을 이라고 한다면

따라서 년이 지나면 이 된다 그때의 총 합 는 이

다

4) 황 비율

에서 언 했던 피보나치수열 　　　　　　　　　　에서 번째 항

을 번째 항으로 나 어 보자

　 　

　 　

　 　

　 　

　 　

　 　 이런 식으로 계속 해나가다 보면

이 수가 061803 에 근사하게 된다 고 그리스인들은 이 수에 lsquo황 비

율rsquo라는 이름을 붙 다 이것은 인간이 보기에 가장 아름다운 비율이라 하

여 여러 분야에서 사용되고 있다

(1) 황 비의 이용

약 100년 페히 라는 독일의 심리학자는 수백 명의 사람들에게 여러

종류의 직사각형을 보여 다음 마음에 드는 것을 선택하게 하는 실험을

했다 그런데 그 결과 부분의 사람이 황 직사각형을 선택했다고 발표했

다 ([6])

실험에 의하면 황 비는 사람들이 가장 편안하고 아름답게 느끼는 비율로

알려져 있으며 이런 이유 때문에 옛 부터 건축과 미술 음악 등에서 자주

이용되어 왔다

(가) 건축

기원 2000년경의 이집트 《린드 피루스》에 보면 기원 4700년에 기

자의 피라미드를 건설할 때 이 수를 lsquo신성한 비율rsquo로 사용했다고 한다

의 측량 기술로 측정해보니 피라미드 의 심에서 의 모서리까지

그리고 경사면까지 거의 정확하게 0618이었다 ([6])

피라미드는 인류역사를 통해서 사람들을 가장 매료시켜온 건축물 의 하

나이다 그 규모의 장 함에서도 사람을 압도하는 것이 있지만 그 형태 자

체가 고도한 수학을 배경으로 한 것으로서 우리가 알고 있는 5천년 의 지

식수 으로서는 불가사의한 것 의 하나이다

[그림3 피라미드 황 비]

(나) 음악에서의 활용

음악에서 한 옥타 는 [도 미 솔 라 시 도] 의 8음계로 이루어져 있

다 피아노의 건반은 한 옥타 를 13개의 음으로 나 어 표 하고 있으며

이 하얀 건반이 8개 검은 건반이 5개 있고 하얀 건반은 3개와 5개 검

은 건반은 2개와 3개로 구분되어 있다 여기에서 나타나는 2 3 5 8 13

은 에서 보인 피보나치수열이다

[그림4 피아노건반황 비율]

(2) 인체에서의 황 비율

황 분할은 우리의 인체 속에서도 찾아볼 수 있다 인간의 신체가 이 비율

에 의해서 분할되어 있으며 이것이 아름다운 몸의 보편 기 이 되고 있

다 아래 그림은 Le Corbusier가 찾아낸 이상 인간의 각 신체부 의 비율

이다 이것은 오나르도 다빈치의 인체비율에 한 그림에서도 찾아 볼

수 있다 이 뿐만 아니라 인체의 각 부 들도 그 자체 황 분할을 이루

고 있다

[그림5 인체 황 비율]

앞에서 제시한 황 비율을 사용한 시들 이외에도 우리 주변에 아주 많

이 있다

교과서 차례

한교과서(주)

Ⅳ 수열

1 등차수열과 등비수열

2 여러 가지 수열

3 수학 귀납법

4 알고리즘과 순서도

(주) 천재교육

Ⅲ 수열

1 등차수열과 등비수열

2 여러 가지 수열

3 수학 귀납법

4 알고리즘과 순서도

Ⅳ 고등학교 수학교육과정에서의 수열

1 수학Ⅰ 교과서 분석

고등학교 2학년이 학습하는 lsquo수학 Ⅰrsquo은 국민 공통 기본 교육 기간의 10단계

수학을 이수한 학생들이 보다 문 인 진로를 고려하고 보다 높은 수 의

수학을 학습하기 해 설정된 심화 선택 과목이며 lsquo수학 Ⅱrsquo를 학습하기 한

단계이다 lsquo수학 Ⅰrsquo의 내용은 수 역에서 지수와 로그 행렬 수열이

실려있고 해석 역에서 수열의 극한 지수로그 함수가 수록되어 있으며

확률과 통계 역에서 순열과 조합 확률 통계 등으로 구성되어 있다 특히

수 역에 해당하는 수열은 여러 가지 수열에 한 성질을 이해하고 그것

을 일반화 하는 과정에 을 두어 지도하도록 하고 있으며 계차수열은 등

차수열이나 등비수열이 되는 경우만 다룬다 ([2])

1) 수학 Ⅰ 5종 교과서의 차례 단원 배열

앙교육진흥연구소

Ⅲ 수열

1 등차수열과 등비수열

2 여러 가지 수열

3 수학 귀납법

4 알고리즘과 순서도

(주) 고려출

Ⅲ 수열

1 등차수열과 등비수열

2 여러 가지 수열

3 수학 귀납법과 순서도

(주) 두산

Ⅲ 수열

1 등차수열과 등비수열

2 여러 가지 수열

3 수학 귀납법

4 알고리즘과 순서도

[표5 수학 Ⅰ 5종교과서의 차례]

의 표에서 본 것과 같이 임의로 선택된 5종의 고등학교 수학 Ⅰ 교과서의

차례는 거의 비슷한 양상을 보 다 부분의 교과서에선 1단원 지수와 로

그 2단원 행렬 3단원 수열 순의 순서를 보 고 한교과서외의 몇몇

교과서에선 1단원 지수와 로그 2단원 지수로그함수 3단원 행렬 4단원 수

열 순의 순서를 보 다 수열단원의 세부 단원 차례는 1 등차수열과

등비수열 2 여러 가지 수열 3 수학 귀납법 4 알고리즘과 순서도 는

34 단원을 한 단원으로 해서 3 수학 귀납법과 순서도의 순서로 다루는

은 비슷했다

2) 교과서에 제시된 수열 련 자료

한교과서

(주)

피타고라스(Pythagoras 572～492 BC) 피타고라스의 정리

로 잘 알려져 있고 소수나 완 수의 규칙성에 해서도 많은 연

구를 하 다

바스카라(Bhaskara A 1114～1185) 인도의 수학자로

임을 증명하 고 피타고라스의 정리를 기하학

으로 증명하 다

피보나치(Fibonacci 1180～1250) 이탈리아의 수학자로 자연

속에서 많이 볼 수 있는 피보나치 수열을 발견하 다

스칼(Pascal B 1623～1662 ) 랑스의 수학자로 수학

귀납법을 발견하 고 사 기하학을 창시하 다

푸리에(Fourier J B J 1768～1830) 랑스의 수학자로 음양

학 학 기역학 열역학 등의 연구에 매우 요한 푸리에

수를 연구하 다

가우스(Gauss K F 1777～1855) 수학 통계학 등의 다방

면에 많은 업 을 이루었고 역사상 가장 한 수학자 의 한

사람으로 불리워지고 있다

비주얼 베이직(Visual BASIC)

을 이용한 Programming

하노이의 탑

(주)

천재교육

가우스(Gauss K F 1777～1855) 독일의 수학자인 가우스는

수학의 각 방면에 많은 업 을 남겨 수학의 아버지라 일컬

어지고 있다 그는 계산의 천재로 알려져 있는데 이에 한 유명

한 일화가 있다 등학교 때 부터 까지의 합을 구하는 문

제에서 다른 학생들이 직 하나하나 계산하는 동안 가우스는

　 　 　　　　 이 모두 임을 이용하여

times 이라는 답을 이끌어 내었다 이러한 방식은 수열

의 합을 계산할 때 사용하는 방식 의 하나이다

하노이의 탑을 이용한 수열의 귀납 정의

임의로 선택된 5종 교과서들의 수열단원에서 학생들의 수열 단원의 이해를

돕기 해 수록된 수학자들에 한 설명과 기타 자료들은 다음과 같다

도미노 이론 - 수학 귀납법의 다른 표

피보나치수열 - 토끼 수 증가 문제

앙교육

진흥연구소

삼각수 사각수 문제

피보나치(Fibonacci 1180～1250)

가우스(Gauss K F 1777～1855)

음악과 수학 - 작곡가 바흐(Bach)의 요 업 으로 평균율을

들 수 있다 평균율이란 1옥타 즉 lsquo도rsquo와 lsquo도rsquo의 사이를 개의

반음으로 나 고 처음 lsquo도rsquo의 진동수를 이라 하면 그에 일정한

수를 더해 제곱하여 옥타 의 lsquo도rsquo의 진동수를 얻는 것을

말한다 수식으로는 로 나타낼 수 있고 이 등식을

만족하는 의 값이 평균율이다

(주)

고려출

티티우스-보데 수열 -

수열 　　　　　　　　의 각 항에 각각 를 더한 후

으로 나 수들을 나열한 것 　　　　　　　 를

티티우스-보데 수열이라 한다 이수열의 각 항은 태양에서 행성

까지의 실제 거리와 비슷한 것으로 1766년 티티우스(Titius)라는

독일의 천문학자가 발견하 다

제갈량의 군 에 한 을 통한 등비수열의 합

피보나치 수열

휴먼 로 - 휴먼 로 의 제작은 복잡한 여러 가지 알고리즘

과 순서도에 바탕을 두고 있다 알고리즘의 요성은 자계산기

이 부터 실제 으로 존재했다 그 로 최 공약수 계산에 한

유클리드의 알고리즘이 있다 한 가우스와 같은 부분의 수학

자들은 역사 으로 많은 양을 처리하는 효율 인 알고리즘에

심을 가졌다 이러한 알고리즘을 보다 효율 으로 이용하여 재

의 컴퓨터 시 를 구축했다

(주) 두산

피보나치(Fibonacci 1180～1250)는 이탈리아의 피사에서 태

어난 수학자이다 부친이 상업에 종사하 기 때문에 피보나치는

이집트 시칠리아 그리스 시리아 등 다양한 지역을 여행할 수

있었고 이 때 다양한 수학을 하게 되었다 1202년 피사로 돌아

온 피보나치는 「산반서(Liber abaci)」를 술하 다 1228년에

는 「산반서 2 」을 술하 는데 이 책에서 정수와 분수의 계

산 제곱근과 세제곱근 일차와 이차방정식의 풀이 등을 다루었다

고 한다 특히 이 책에 나오는 「피보나치의 수열」은 매우 흥미

로운 수열로 요한 성질을 많이 가지고 있다

1에서 100까지 자연수를 모두 합하면 얼마일까

가우스(Gauss KF 1777～1855) 가우스는 수론 해석학 확

률론 천문학 물리학 등 다양한 분야에 뛰어난 수학자이었다 특

히 그의 수론 연구는 19세기 수학 체계의 확립에 크게 공헌하

다

피타고라스(Pythagoras 572～492 BC) 피타고라스는 음의

높이에 따른 진동수의 비가 일정함을 발견하 다

페아노(Peano G 1858～1932) 자연수의 성질을 추상화 하여

페아노의 공리계를 만들었다 이 공리계의 제 5공리가 수학 귀

납법의 원리이다

피보나치의 수열

알콰리즈미(Alkhwarizmi 780～850) 알고리즘이란 말은 세

아라비아의 수학자 알콰리즈미의 이름에서 유래된 것으로서 그가

십진법으로 나타낸 수의 계산에 용한 계산 방법에서 나온것이

다

[표6 5종 교과서에 제시된 수열 련 자료]

2 수학 Ⅰ 교과서에서의 수열

등차수열의 일반항

첫째항이 공차가 인 등차수열의 일반항 은

본 연구자가 임의로 선택한 5종 교과서 ([5][8][12][13][14]) 에서의

수열의 내 을 정리해보았다

1) 등차 수열과 등비 수열

(1) 수열의 뜻

어떤 규칙에 따라 순서 로 수를 늘어놓은 것을 수열이라 하고 그 수열을

이루는 각각의 수를 그 수열의 항이라고 한다 수열의 각 항을

앞에서부터 순서 로 제 1항 제 2항 제 3항 제 항

이라고 한다 특히 제 1항은 첫째항이라고도 한다

(2) 등차수열의 뜻

첫째항에 차례로 일정한 수를 더하여 만들어진 수열을 등차수열 이라하고

더한 일정한 수를 공차라고 한다

첫째항이 공차가 인 등차수열 에서

이므로 일반항 은 다음과 같이 나타낼 수 있다

(3) 등차수열의 합

등차수열의 합

첫째항이 공차가 끝항이 인 등차수열의 첫째항부터 제 항까지의

합 은

첫째항이 공차가 등차수열 에서 첫째항 부터 제 항 까지의 합

을 토론하기의 방법을 이용하여 구해보자

　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　①

더하는 순서를 거꾸로 하면

　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　②

①②의 양변을 각각 더하면

　　

따라서 =

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　③

이때 제 항인 를 ③에 입하여 식을 다르게 나타낼수도

있다

이상을 정리하면 다음과 같다

(4) 수열의 합과 일반항

수열 에서 첫째항부터 제 항까지의 합을 이라 하면

ge 일때 　　

there4

수열의 합과 일반항의 계

수열 의 첫째항부터 제 항까지의 합을 이라 하면

(단 ge )

등비수열의 합

일때 이다

이상을 정리하면 다음과 같다

(5) 등비수열의 뜻

첫째항부터 시작하여 각 항의 바로 앞의 항에 일정한 수를 곱하여

만들어진 수열을 등비수열이라 하고 곱하는 일정한 수를 공비라고 한다

첫째항이 공비가 인 등비수열에서 첫째항부터 제 항까지의 합 은

다음과 같이 구한다

　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　①

①의 양변에 공비 을 곱하면

　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　②

①에서 ②를 같은 변끼리 빼면

따라서 ne 일때

인 경우 ①에서

　　

there4

이상을 정리하면 다음과 같다

첫째항이 공비가 인 등비수열의 첫째항부터 제 항까지의 합 은

① ne 일때

② 일때

자연수의 거듭제곱의 합

①

　　

②

　　

③

　　

2) 여러 가지 수열

(1) 합의 기호 sum

수열 에서 첫째항부터 제 항까지의 합

　　

을 일반항과 합의 기호 sum를 써서

　　

와 같이 나타낸다

이때

는 수열 의 일반항 의 에 　　　　　　을 차례로

입하여 얻은 항의 합으로 신 다른 문자를 사용하여

등과 같이 나타낼 수 있다

(2) 기호 sum 의 성질

합의 기호 sum 의 성질에 하여 알아보자

합의 기호 sum의 성질

①

(복부호동순)

②

(단 는 상수)

③

(단 는 상수)

　　

　　 　　

　　

마찬가지로

와

에 해서도 확인해 보면 sum 의 성질을

다음과 같이 정리할 수 있다

(3) 계차수열

일반 으로 수열 에서 이웃하는 두 항의 차

　　 을 일반항으로 하는 새로운 수열

　　　　　　　을 얻을 수 있는데 이 수열 을 원래의 수열 의

계차수열이라고 한다

수열 에 하여 그 계차수열을 이라 하면

　　

계차수열과 일반항

수열 의 계차수열을 이라 할때

(단 ge )

3) 수학 귀납법

(1) 수열의 귀납 정의

첫째항과 이웃하는 두 항 사이의 계식으로 수열을 정의하는 것을 수열의

귀납 정의 라고 한다

첫째항이 공차가 인 등차수열 은 다음이 성립한다

　ge 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　①

역으로 두 계식 ①이 주어지면 이 결정되고 차례로

가 결정된다 따라서 모든 자연수 에 하여 이 정해지므로 수열 이

정의 된다

①과 같이 의 값 과 의 계식을 화식이라고 한다

(2) 수학 귀납법

수학 귀납법은 이탈리아의 페아노에 의하여 설정된 자연수에 한 공리

수학 귀납법

자연수 에 한 명제 이 모든 자연수 에 하여 성립함을 증명하

려면 다음 ⅰ ⅱ 를 증명하면 된다

ⅰ 일때 명제 이 성립한다

ⅱ 일때 명제 이 성립한다고 가정하면 일때에도

명제 이 성립한다

다음과 같은 5번째 공리에 근거를 두고 있다

자연수의 집합 의 부분집합 가

ⅰ 　isin

ⅱ 　isin 이면 isin

(여기서 는 의 후자)

인 두 조건을 만족하면 이다

4) 알고리즘과 순서도

(1) 알고리즘과 순서도

어떤 문제를 해결하기 해서는 그 처리 순서를 정해야 하는데 이와 같이

문제 해결에 필요한 처리 과정의 순서를 단계 으로 정리한 것을 알고리즘

이라 하고 알고리즘을 알기 쉽게 기호를 써서 그림으로 나타낸 것을 순서도

라고 한다 일반 으로 어떤 문제를 해결하기 한 알고리즘은 여러 가지가

있을 수 있지만 정해진 유한번의 단계를 거치면 반드시 끝나야 하고 처리

과정의 순서가 명확해야 한다 한 순서도는 각 부분을 순서 계통 으로

나타냄으로써 작업 과정을 구나 쉽게 한 에 악할 수 있도록

작성되어야 한다 순서도는 다음과 같은 기호를 사용하여 작성한다

[표7 순서도의 기호]

(2) 알고리즘과 순서도의 작성

수열과 련된 순서도를 작성할 때에는 다음과 같은 방법을 고려한다

(가) 항수를 항을 수열의 합을 로 나타낸다

(나) 제시된 항의 번호까지 루 를 용한다

(다) 제시된 항의 번호에 하여 단 기호를 이용한다

(라) 구하려는 는 를 인쇄하고 끝낸다

주의환기

집 을

한 략

지각

주의환기의

략

시청각 효과의 사용

비일상 인 내용이나 사건 제시

주의 분산의 자극 지양

탐구

주의환기의

략

능동 반응 유도

문제해결 활동의 구상 장려

신비감의 제공

다양성의

략

간결하고 다양한 교수형태 사용

일방 교수와 상호작용 교수의 혼합

교수자료의 변화 추구

목표-내용-방법이 기능 으로 통합

련성

증진을

한

략

친 성의

략

친 한 인물 혹은 사건 활용

구체 이고 친숙한 그림 활용

친 한 문 배경 지식 활용

목 지향성

의 략

실용성에 을 둔 목표 제시

목 지향 인 학습형태 활용

Ⅴ 러의 ARCS 이론과 수열 지도

1 러의 ARCS 이론

1) ARCS 이론의 특징

(1) 이론 배경

다음은 ([4])의 내용을 참고하 다

ldquo말을 물가로 데리고 갈 수는 있지만 물을 먹일 수는 없다rdquo는 속담처럼

하고자 하는 마음이 없으면 학습 효과를 기 할 수 없는 것은 당연한 사실

이다 이러한 생각의 근거에는 동기 유발의 개념이 자리 잡고 있다 동기

유발이란 어떤 활동을 진 지시 유지하려는 내 상태 는 과정을

포함한다 이 개념은 교육 심리학의 심 개념 의 하나이지만 직 찰

할 수 없는 것이기 때문에 인간의 행동을 보고 거기에서 유출해 내는 개념

이며 이에 한 정의는 바라보는 과 강조하는 내용에 따라 각기 다르

다

(2) ARCS 이론

목 의 선택 가능성 부여

필요나

동기와의

부합성 강조의

략

다양한 수 의 목 제시

학업성취 여부의 기록체제 활용

비경쟁 학습상황의 선택가능

동 상호 학습상황 제시

자신감

수립을

한 략

학습의

필요조건

제시의 략

수업의 목표와 구조의 제시

평가기 피드백의 제시

선수학습 능력의 단

시험의 조건 확인

성공의 기회

제시의 략

쉬운 것에서 어려운 것으로 과제 제시

정수 의 난이도 유지

다양한 수 의 시작 제공

무작 의 다양한 사건 제시

다양한 수 의 난이도 제공

개인

조 감

증 의 략

학습의 끝을 조 할 수 있는 기회 제시

학습속도의 조 가능

원하는 부분에로의 재빠른 회귀 가능

선택가능하고 다양한 과제의 난이도제공

노력이나 능력에 성공 귀착

만족감

증 를

한 략

자연 결과

강조의 략

연습문제를 통한 용기회 제공

후속학습상황을 통한 용기회 제공

모의상황을 통한 용기회 제공

정 결과

강조의 략

한 강화 계획의 활용

의미 있는 강화의 강조

정답을 한 보상 강조

외 보상의 사려 깊은 사용

선택 보상체제 활용

공정성

강조의 략

수업목표와 내용의 일 성 유지

연습과 시험 내용이 일치

[표8 ARCS 략] ([1])

2 ARCS 이론을 용한 수열 수업 계획서

다음은 ([1])의 ARCS 이론의 수업계획서를 참고하여 수열 단원의 수업

계획서를 작성해보았다

수업내용개 동기 략개 기타의견1 수업 기

체 으로 교사는 다양한 방법으로 학습자들

에게 수업 내용을 제시하고 학습자들에게

한 언어를 사용한다

수열의 활용에

한 학습목표

제시하기

교사는 학습자들의 련성을 높이기 해 학습

목표의 의미를 설명해 다

도표는 큰 씨를 사

용하고 핵심이 되는

단어에는 다른 색깔을

사용한다

수열의 활용의

이 과 평가

거를 제시하기

교사는 학습자들의 련성과 자신감 만족감

을 높이기 하여 이 수업이 끝난 후 그들이

무엇을 할 수 있는지에 해 알려 다

교사는 학습자들의 자신감과 만족감을 높이기

하여 성공 인 학습성취를 단할 수 있는 객

인 거들을 알려 다

교사는 학습자들의 만족감을 높이기 하여

그들이 주어진 과제를 성공 으로 해결했을 때

그에 따르는 내재 강화나 외재 보상이 있음

을 알려 다

수열의 정의와

해법에 한 지

식을 간략하게

확인하기

교사는 선수학습과의 련성을 유발하기 하

여 간략한 보조도구(인쇄매체)를 사용하여 수열

의 정의와 해법을 제시한다

교사는 소집단 토론을 실시하여 학습자들의

선수지식을 스스로 검해 보도록 한다

교사는 수열의 정의와 해법을 잘 모르는 학습

자들에게 자신감을 유발시키기 하여 개별 인

학습목표를 세우도록 한다

소집단 구성에 있어

서 주의집 이 매우

낮은 5명을 하나의 소

집단으로 구성하고

친근한 소재를 활용하

여 그들의 주의집 과

련성을 유발한다

실생활과 련

된 수열의 활용

문제들을 몇 가

지 소개하기

교사는 학습자들의 주의집 을 유지하기 해

실생활에서 연립방정식을 활용하여 해결할 수

있는 몇 가지 문제들을 제시한다

주의집 이 매우 낮은 5명의 학습자들이 수업

에 극 인 심을 보이지 않으면 교사는 그

들에게 친근한 목소리로 이름을 부르면서 수업

에 집 하라고 얘기 하고 개인 인 심을 갖

고 있음을 나타낸다

로써 활용되는 문

제들을 선택할 때 학

습자들이 알고 있거

나 그들에게 친근감

을 주는 소재가 포함

되도록 선택한다 이

때 지나치게 자심감

이 높아서 수업에 소

극 으로 참여하는 3

명의 학습자들에게는

다소 복잡한 수열의

활용 문제를 미리 제

공하여 생각할 기회를

다

수열의 활용에

한 학습자들의

이해정도를 악

하고 피드백을

제공하기

교사는 학습자들에게 자신감을 높이기 하여

소집단을 구성하여 학습자들이 수열의 활용에

해 어느 정도 이해하고 있는지를 서로 토론하

도록 한다

교사는 소집단별로 둘러보면서 자신감과 만족

감을 유발시키기 하여 학습자들간에 서로 도

움을 주도록 분 기를 형성한다

소집단별로 간략하게 토론이 끝나면 학습자

들 스스로 정리하도록 한다

토론결과 학습자들이 수열의 활용에 해 잘

못 이해하고 있다면 교사는 즉각 으로 교정

피드백을 제공한다

학습자들의 소집단

토론시간을 무 길게

소요하지 않도록 한

다 자칫하면 토론분

기가 산만해지기 쉽

고 토론이 활발하지

못한 경우에는 학습자

들의 학습의욕이 떨어

진다

2 수업 반 체 으로 교사는 다양한 방법으로 학습자

들에게 수업 내용을

제시하고 학습자들에게 개별 인 언어를 사용

한다

실생활과 련

된 수열의 활용

의 문제들을 구

체 으로 제시하

기

교사는 학습자들의 주의집 련성 자신감

만족감을 유지하기 하여 게임을 실시한다 학

습자들이 돌아가면서 임의로 다른 학습자를 지

명하면 지명받은 학습자가 실생활과 련된 수

열의 문제를 하나 제시한다 한 문제를 제

시한 학습자에게 학습태도 수를 주어 만족감

을 향상시킨다

교사는 학습자들이 제시한 여러 가지 문제들

을 칠 에 은 후 몇몇 소집단을 구성하여

그 문제들을 해결하기 해 인스토 을 하

도록 한다 이때 교사는 문제를 해결한 학습자

가 아직 해결하지 못한 학습자들을 도와주어 자

신감과 만족감을 갖도록 한다

인스토 이 진행되는 동안 교사는 교실

을 둘러보면서 학습자들이 질문이나 의문사항

에 해 극 으로 질문할 수 있는 기회를 제

공하고 그에 해 개별 인 언어를 사용하여

부드러운 목소리로 피드백을 제공한다

인스토 도 학습자들의 개인 인 능

력차가 커서 문제를 해결하는데 어려움을 겪는

학습자들에게는 그들에게 합한 개별 인 학습

이때 교사는 밝고

생동감이 넘치는 목소

리로 학습자들의 활동

을 진시킨다

교사는 학습자들이

한 자신감을 유지

하고 있는지에 해

지속 인 심을 갖고

지켜본다

이때 교사는 학습자

들의 자신감과 만족감

을 높이기 하여 그

들에게 일 성 있는

피드백을 제공한다

교사는 학습자들이

목표를 다시 선정하도록 하여 자신감을 향상시

킨다

인스토 이 끝나면 교사는 소집단 별로

한 사람씩 자발 으로 나와 문제를 풀고 풀이

과정을 체 학습자들에게 설명하도록 한다 이

때 어려운 문제를 해결한 소집단이나 학습자에

게 교사는 그들의 우수한 능력을 인정하고 내

재 인 자존심에 정 인 향을 주는 칭찬을

제공하여 자신감과 만족감을 높인다

소집단의 인스토

을 하는 동안 체

으로 문제풀이를 할

때 주의집 을 유지

하고 자신감과 만족

감의 향상을 악하기

해 끊임없이 그들과

시선을 교류하고 얼

굴표정을 찰한다

3 수업마무리 체 으로 교사는 다양한 방법으로 학습자

들에게 수업 내용을 제시하고 학습자들에게 개

별 인 언어를 사용한다

실생활과 련

된 수열의 활용

에 해 체

으로 정리 요

약하기

교사는 교탁을 탁탁 치거나 박수를 쳐서 다

소 떨어진 학습자들의 주의집 을 향상 시킨다

교사는 실생활 속에서 수열을 활용하여 해결

할 수 있는 간단하고 재미있는 문제들을 2～3개

제시하여 학습자들이 그 문제를 성공 으로 해

결함으로써 자신감과 만족감을 갖도록 한다

교사는 학습자들이 미처 생각하지 못했던 실

생활 속에서 수열과 연 된 다양한 들을 제공

하여 주의집 과 련성을 유지향상시킨다

교사는 자신감과 만족감을 향상시키기 해

학습자들에게 수업진행 에 그들이 설정한 개

인 인 학습목표에 해 얼마나 많이 달성했는

가를 스스로 검해 보라고 한다

교사는 수업 반에 수열의 문제를 잘 해결하

지 못했던 학습자들에게 그 문제를 다시 해결해

보도록 기회를 제공하여 자신감과 만족감을 높

여 다

평가에 있어서 교사는 학습자들이 그들의 성

에 해 공정하게 평가되었다고 느끼도록 일

성 있게 평가하여 그들의 자신감고 만족감을

높여 다

교사는 수열과 실생

활과의 련성에 해

학습자들이 잘 지각하

고 있는가를 알아보기

해 다소 진지한 목

소리로 질문한다

다음 학습내용

에 해 간략히

소개하기

교사는 학습자들의 흥미를 유지하기 하여

다음 학습내용에 해 호기심에 찬 목소리로 간

략하게 소개하고 수업을 끝낸다

[표9 러의 ARCS이론]

단원

단

원Ⅲ 수열

배정시간

(분)50

단

원1 등차수열과 등비수열

차시 3소단

원3) 등차수열과 등비수열의 활용

학습

목표등차수열과 등비수열을 실생활의 문제에 용할 수 있다

학습

단계학습내용

교수-학습활동 지도상의유의사

항교사활동 학생활동

도

입

15

분

인사

출석

주변을 정리 정돈

하여 수업분 기를

조성한다

인사 출석체크

를 한다

주의를 환기시킨

후 학생들과 인사

한다

출결석 여부를

확인한다

바른 자세로 주

변을 정리한 뒤

교사와 인사한다

수업 비를 한

다

교사와 학생

모두 함께 수업

분 기를 조성한

다

선수

학습

확인

지난 시간에 학습

한 등차수열과 등비

수열의 정의에 해

다시 한번 확인해본

다

지난 시간에 학습

한 등차수열과 등비

수열의 일반항을 구

하는 방법에 해 확

인학습으로 [문제1]

과 [문제2]를 풀어본

다

학생들의 자신감

을 높이기 하여

등차수열과 등비수

열의 정의를 교과

서에서 찾아본 후

큰소리로 답하게

한다

학생들이 답한

후 다시 한번 등차

수열과 등비수열에

해 간단히 설명

등차수열과 등

비수열의 정의를

교과서에 찾아본

후 큰소리로 읽는

다

교사가 등차수

열과 등비수열의

정의에 해 다시

한번 간단히 설명

할 때 부족한 부

분은 필기하며 복

습한다

교사가 정의에

해 질문할 때

학생들이 모두

책을 찾아볼수

있게 주의를

다

만일 답하

지 못하는 학생

이 있을 경우 그

여기서 인스토 (brainstorming)이라고 하는 것은 갑자기 떠오르는 멋

진 생각을 종이에 는다든가 말로 표 해 본 후 로 기록하거나 기록된

문장을 정리정돈하면서 생각을 논리화하는 방법이다 주로 어떤 계획을 세

우고자 할 때 창조 이고 기발한 아이디어가 필요할 때 학생들의 의견과

생각을 끌어내어 발 시키고자 할 때 사용하면 유리하다 ([3])

3 ARCS 이론을 용한 수업지도안

[문제1]

다음 등차수열

의 일반항과 제20항

을 구하여라

　　　　　　　

[문제2]

다음 등비수열

의 일반항과 제8항을

구하여라

　 　　　　　

한다

교사는 [문제1]

과[문제2]를 제시

한 뒤 학생들에게

직 풀어보게 한

다

등차수열과 등

비수열의 일반항

과 그 공식의 유

도과정을 기억한

다

제시된 문제를

연습장에 풀어본

다

학생에 해 개

별 인 언어를

사용하여 부드러

운 목소리로 피

드백을 제공한

다

개

30

분

학습

목표

제시

수열의 활용에

한 학습목표를 제시

한다

학습목표 학습

에 필요한 자료를

Power point 시청

각 효과를 사용하여

학생들의 주의환기

집 을 한 략

을 사용한다

학습목표를 학생

들에게 읽게 하고

학생들의 련성을

높이기 해 학습

목표의 의미를 설

명해 다

교사의 지시에

따라 큰소리로 학

습목표를 읽고 이

수업이 끝난 후

무엇을 할 수 있

는지에 해 생각

해 본다

학습목표는 큰

씨를 사용하

고 핵심이 되는

단어에는 다른

색깔을 사용한

다

탐구

학습

실생활과 련된

수열의 활용문제들을

몇 가지 소개한다

수열의 활용에

한 학습자들의 이해

정도를 악하고 피

드백을 제공한다

등차수열과 등비

수열을 이용하여

실생활의 문제를

해결할 수 있음을

학생들이 쉽게 이

해할 수 있도록 설

명한다

교사가 실생활

과 련된 수열의

활용문제들을 몇

가지 소개할 때

다른 시가 있는

지 함께 생각해

본다

문제

제시

[문제3]

한일 월드컵 축구 개

회 연도는 2002년이

다 2002년 이후 월

드컵 축구가 개최되

는 연도를 차례로 써

보고 이 규칙 로 월

드컵 축구가 개최되

면 2100년은 월드컵

축구가 개최되는 연

도인가

교과서에서 수열

단원의 수열의 활

용부분에 수록된

문제들을 풀어볼

수 있도록 시간을

다

등차수열과 등

비수열의 일반항

유도 공식을 생각

해보고 제시된 문

제를 해결해 간다

로써 활용되

는 문제를 선택

할 때 학습자들

이 알고 있거나

그들에게 친근감

을 주는 련성

증진을 한

략을 사용한다

[문제4]

컴퓨터의 주기억 장

치인 램은용

으로

용으로 가 개발

되었다 이후 램의

용 량 은

로 증가되어 왔다

의 램으로부터

번 증가된 주 메모

리는 식으로 어떻게

나타낼 수 있는가

학생들이 문제를

어렵게 느끼지 않

도록 어떤 방향으

로 해결해야 하는

지 힌트를 주어 학

생들의 자신감을

증진시킨다

소집

단

활동

5～6명으로 이 진

소집단을 구성하여

학습자들이 수열의

활용에 해 어느 정

도 이해하고 있는지

를 서로 토론하도록

한다

소집단별로 실생활

과 련된 수열의 활

용의 문제들을 구체

으로 제시한다

인 스토 이

끝나면 소집단별로

한사람씩 문제를 풀

고 풀이과정을 체

학생들에게 설명하는

시간을 갖는다

교사는 학생들의

만족감을 높이기

하여 그들이 주

어진 과제를 성공

으로 해결했을

때 그에 따르는

내재 강화나 외

재 보상이 있음

을 알려 다

어려운 문제를

해결한 소집단이나

학생에게 교사는

그들의 우수한 능

력을 인정하고 내

재 인 자존심에

정 인 향을

주는 칭찬을 제공

하여 자신감과 만

족감을 높인다

자신이 속한 소

집단 내에서 제시

된 과제에 해

열심히 토의를 하

며 문제를 해결한

학생이 아직 해결

하지 못한 학생들

을 도와주어 자신

감과 만족감을 갖

도록 한다

소집단별로 간

략하게 토론이 끝

나면 학생들 스스

로 정리해보고 자

발 으로 체 학

생들에게 설명해

보는 기회를 갖는

다

교사는 학습자

들이 한 자

신감을 유지하고

있는지에 해

지속 인 심을

갖고 지켜본다

학생들의 소집

단 토론시간을

무 길게 소요

하지 않도록 한

다

형성

평가

[문제4]

민수는 남 문의 기

와 지붕 한쪽 면이

사다리꼴 모양임을

찰하고 이 면에 있

는 기와의 개수를 알

아보고자 한다 기와

형 성 평 가 를

Power point로 제

시하고 학생들이

스스로 풀어볼 수

있도록 지도한다

학생들이 문제를

다 풀고 나면 교사

제시된 문제를

오늘 학습한 내용

을 복습하면서 풀

어보도록 한다

교사는 다소

진지한 목소리로

질문한다

의 개수를 행으로 세

었더니 용마루 쪽에

가장 가까운 행에는

40개 처마 쪽에 가

장 가까운 행에는 72

개 다 용마루부터

처마까지 행의 개수

가 17이라고 할 때

민수가 찰한 지붕

한쪽 면의 기와의 개

수는 모두 몇 개인

가

는 학생들에게

답할수 있도록 하

고 학생들이 학습

목표에 해 얼마

나 많이 달성했는

가를 스스로 검

해 보라고 한다

형성평가의 답

을 교사의 질문에

끝난 뒤 큰소리로

답하여 자신감

과 만족감을 갖도

록 한다

학생들에게 개

별 인 언어를

사용한다

정

리

5

분

학습

정리

차시

고

학습 자료를 이용

하여 수열의 실생활

의 활용 단원의 수업

내용을 확인한다

과제를 제시한다

다음 차시인 「여

러 가지 수열」 단원

에 한 고를 한

다

수업 내용을 정

리하고 과제를 제

시한다

학생들의 흥미를

유지하기 하여

다음 학습내용에

해 호기심에 찬

목소리로 간략하게

소개하고 수업을

끝낸다

오늘 학습한 내

용을 정리한다

과제를 고 과

제 해결에 한

내용을 머릿속에

형성해 본다

다음 차시에 배

울 내용을 학습

자료 화면으로 확

인해본다

수업내용에

해 학생과 교사

모두가 만족하고

있는지 확인하고

공정한 평가를

한다

[표10 수업지도안]

4 조사 문제지 분석

고등학교 수학 Ⅰ 의 수열단원의 효율 인 지도방안의 연구를 하여 원

종고등학교 2학년 학생 100명을 상으로 조사 문제지 조사를 하 다 학

생들의 수학에 한 심과 수학에서 가장 어려워하는 부분을 알아볼 수

있었고 어떤 방식의 수업을 선호하는지도 알아볼 수 있었다

⑴ 수학에 얼마나 심이 있나요

① 매우 많다 ② 많다 ③ 보통이다 ④ 다 ⑤ 매우 다

수학과목에 매우 많은 심을 보이는 학생은 2로 매우 낮은 편이며

심이 있는 학생은 43로 학생의 반정도 다 수학과목에 심이 거

나 없는 학생은 54정도로 수학은 어려운 과목이라는 인식 때문에 심

이 은 것 같다

수학을 공부하는 가장 큰 이유에는75의 학생들이 학입시를 해서라

는 문항을 선택했다 기타 이유에는 교과서에 있어서 어쩔수 없이 한다

는 학생과 진리탐구를 해서라는 학생도 있었다

[그림6 조사문제지

(1)번 막 그래 ]

⑵ 수학을 공부하는 가장 큰 이유가 뭐라고 생각하나요

① 학입시를 해서

② 평소 수학에 흥미가 있어서

③ 실제 생활에 쓰기 해서

④ 주변에서 해야한다고 하니까

⑤ 기타 이유 (이유를 간단히 어주세요)

앞에 (1)번문항에서 수학에 심이 은 학생이 반 정도인것에 반해

수학공부가 필요하다고 느낀학생이 75정도로 수학공부가 필요하단건

느끼지만 어려운 과목이라는 인식이 부분인것 같다 수학과목도 재

는 과목이란 인식을 학생들이 가질수 있도록 노력해야겠다

[그림7 조사문제지

(2)번 막 그래 ]

⑶ 수학공부의 필요성에 해 어떻게 생각하나요

① 매우 필요하다 ② 조 필요하다 ③ 보통이다

④ 필요 없다 ⑤ 필요 없다

[그림8 조사문제지

(3)번 막 그래 ]

⑷ 수학을 공부하면서 가장 어려운 부분은 무엇이나요

① 복잡한 계산 과정 ② 외워야할 많은 공식들

③ 응용문제엔 어떤 공식을 용해야할지 ④ 다 어렵다

학생들이 수학과목이 어렵다고 느끼는 이유는 응용문제에 어떤 공식을

용해야 하는지를 몰라서 라는 답이 58로 가장 많았다 그 외에도

계산과정이 복잡하거나 외워야할 공식들이 많아서라는 답도 있었다

이해 주의 수업을 하고 단순한 공식의 암기 주의 수업을 탈피해야겠

다

수학수업을 하는데 효과 인 방법에는 선생님 주의 강의식 수업과 학

생 개인별 수업이 78로 가장 많았다 개념이나 공식유도과정을 설명할

땐 서를 하며 강의식 수업을 하고 문제풀이땐 학생들 개인별로 첨삭

지도를 하는게 효율 인것 같다

⑤ 기타이유 (이유를 간단히 어주세요)

[그림9 조사문제지

(4)번 막 그래 ]

⑸ 수학 수업을 하는 데 어떤 방법이 가장 효과 이라고 생각하나요

① 선생님 주의 강의식 수업

② 학생 개인별 수업

③ 모둠별 활동 수업

④ 기타 교재나 과제를 통한 수업

⑤ 기타(이유를 간단히 어주세요)

[그림10 조사문제지

(5)번 막 그래 ]

Ⅵ 결론

본 논문에서 지 까지 고등학교 2학년 학생들이 수학 Ⅰ 교육과정을 학습하

는데 가장 어려워하는 수열에 해 살펴보았다 먼 개정 교육과정에 명시

된 수학교육의 목표와 임의로 선택된 5종 교과서에서 수열 단원의 학습목표

를 살펴보았고 수열의 역사 배경과 실생활에 응용된 들을 정리해보았

다 한 5종 교과서에서 제시되어 있는 수열의 학습내용을 소단원 별로 정

리해보았다 임의로 선택된 5종 교과서안의 수열의 학습내용을 분석해보면

서 몇 몇 교과서에서 여러 가지 수열 단원에서 군 수열과 멱 수에 한 언

이 없거나 미약함을 알 수 있었다 본 연구자가 보기에 군 수열과 멱 수

부분은 실생활에 활용될 는 극히 작아 보이지만 학생들이 꼭 학습하고 넘

어가야 수열에 한 완벽한 학습이 될 수 있을 것이라 여겼는데 교과서에서

제시된 내용들로는 학생들이 충분히 이해할 수 없을 것 같았다

그리고 교과서에 제시된 문항의 수 이 입시와 동 떨어진다는 문제 이 있

었다 교과서에 제시된 문제가 부족하고 수 이 낮다 보니 실제로 학교에서

수업 때 보충 린트 물로 수업을 진행하고 간기말고사 때에도 교과서

외에서 많은 문제를 출제하는 모습을 볼 수 있었다 때문에 학생들이 교과서

보다는 문제집 주의 공부를 할 수 밖에 없는 듯 보 다 교과서가 학생들

과 교사의 요구에 부합할 수 있도록 새로운 내용들과 문제를 싣도록 해야

할 것이다

학생들이 수열 단원의 학습을 할 때 좀 더 효과 인 학습이 될 수 있도록

리의 동기설계이론 (ARCS 이론) 을 바탕으로 하여 수업 계획서와 1차시

의 수업 지도안을 작성해 보았다 한 작성한 수업 지도안으로 부천시 소재

의 한 고등학교에서 실제 수업을 진행해 보았을 때 학생들이 좀 더 수열에

해 친숙하게 느끼고 쉽게 이해하는 모습을 볼 수 있었다 본 연구자가

직 교사가 아니라 여러 반을 상으로 수열 단원의 모든 차시 수업에 용

하여 수업을 해볼 수 없었단 이 아쉬움으로 남는다

이와 같이 학생들의 주의 련성자신감만족감 증진을 한 수업을 함

으로써 학생들의 수학 학습 성취도의 향상을 기 할 수 있을 것이다 한

개발된 자료를 실제 수업에 용하는 경우의 효율성에 한 후속 연구가 체

계 이고 지속 으로 이루어져야 할 것이다

참 고 문 헌

[1] 구평회 META 구평회 교육학 2007

[2] 교육인 자원부 고시 제2007 - 79호[별책8] 2007

[3] 박인학 교사를 한 교수학습방법론 문사 1995

[4] 변 계 교수학습 이론의 이해 학지사 1999

[5] 우정호 외 5인 고등학교 수학 Ⅰ 한교과서(주) 2002

[6] 이 연 자연의 수학 열쇠 피보나치수열 로네시스 2006

[7] 이진화 지수로그함수의 지도에 한 연구 서강 학교 교육 학원 석사 학

논문 2006

[8] 임재훈 외 10인 고등학교 수학 Ⅰ (주)두산 2002

[9] 장 숙 고등학교 수학 Ⅰ 교과서의 통계단원 분석 실생활에의 용 경희

학교 교육 학원 석사 학 논문 2006

[10] 조해식 행렬 수열 수업에서의 수학사 도입에 한 연구 울산 학교 석사

학 논문 1998

[11] 차 자 수열 학습의 흥미 유발을 한 자료 연구 경성 학교 교육 학원 석

사 학 논문 2004

[12] 최 외 5인 고등학교 수학 Ⅰ 앙교육진흥연구소 2006

[13] 최상기 외 5인 고등학교 수학 Ⅰ (주)고려출 2002

[14] 최용 신 성 고등학교 수학 Ⅰ 천재교육(주) 2002

[15] 황혜정 외 5인 수학교육학 신론 문음사 2002

• Ⅰ 서론
• • 1 연구의 필요성과 목적
  • 2 연구의 제한점
  • • Ⅱ 개정 교육과정에서 명시된 수학Ⅰ교육의 목표
    • • 1 수학Ⅰ교육의 목표
      • 2 고등학교 수학 Ⅰ 수열 단원의 학습목표
      • • Ⅲ 수열의 역사적 배경 및 응용
        • • 1 수열의 역사
          • 2 수열 단원이 실생활에 응용된 사례
          • • Ⅳ 고등학교 수학교육과정에서의 수열
            • • 1 수학Ⅰ 교과서 분석
              • 2 수학Ⅰ 교과서에서의 수열
              • • Ⅴ 켈러의 ARCS 이론과 수열 지도
                • • 1 켈러의 ARCS 이론
                  • 2 ARCS 이론을 적용한 수열 수업 계획서
                  • 3 ARCS 이론을 적용한 수업 지도안
                  • 4 조사지 분석
                  • • Ⅵ 결론
                    • 참고문헌

[그림1 피보나치수열]

2 수열 단원이 실생활에 응용된 사례

1) 하노이의 탑

인도 갠지스 강 유역 라만교의 사원에 있었던 하노이의 탑은 라만

탑이라고도 부르는데 이 탑에 얽힌 문제의 내용은 다음과 같다 다음은

([10])의 내용을 참고하 다

[베나 스에는 세계의 심이 있고 그 곳에는 아주 큰 사원이 있으며 이

사원에는 높이 정도 되는 다이아몬드 바늘 3개가 있다 그 에서 한

바늘에는 천지 창조 때에 신이 구멍이 뚫린 64장의 순 으로 된 원 을 크

기가 큰 것부터 아래에 놓이도록 하여 차례로 쌓아 놓았다 그리고 신은

승려들에게 밤낮으로 쉬지 않고 원 을 한 장씩 옮겨 빈 다이아몬드 바늘

어느 한 곳으로 모두 옮겨 놓도록 명령하 다

ldquo원 은 한 번에 한 개씩만 옮겨야 하고 로 작은 원 에 큰 원

을 올려놓을 수 없다 단 64개의 원 의 크기는 모두 다르다 이 말을 충

실히 실행하고 한 순간도 게을리 하지 마라 만일 게을리 하는 일이 있으

면 그 때는 이 사원도 탑도 모두 무 지고 세계는 종말을 고하게 된다 게

을리 하는 일이 없으면 그 들이 원 을 부 옮길 때까지 세상은 태평할

것이다rdquo]

승려들은 과제를 수행하기 해 밤낮으로 매우 열심히 작업을 했다 그 작

업을 끝내기 해서 승려들은 몇 번을 움직여야 하고 얼마나 많은 시간을

사용해야만 했을까

[그림2 하노이의 탑]

원 이 1개가 있으면 최소 이동 횟수는 1번 원 이 2개가 있을 때 최소

이동 횟수는 3번이고 원 이 3개가 있으면 최소 이동 횟수는 7번이다

원 이 4개가 있으면 최소 이동 횟수는 15번이다 이런 식으로 계속 해나

가다 보면 　　　　　　　 라는 수열을 얻는다 이것은 각 항의 차이가

계차수열을 이루는데 이것은 다음과 같다 　　　　　　일반항을 으로 두

고 구해보면 　 　times 　 　 이다 처음 값을 으로 두고 일반항을

구해보면 　

이 된다

만약 그 설 로 따라가서 수도승들이 쉬지 않고 디스크를 1 에 한번

씩 옮겼다면 최소의 이동횟수는 이 되고 18446744073709551616

가 걸리고 략 5854억4200만년이 필요하다는 것을 알 수 있다

원 이자 원리합계(=원 +이자)

1년 원 원 원

2년 원 원 원

3년 원 원 원

년 원 100원 원

2) 등차수열의 응용

(1) 단리법

단리법은 처음 원 의 이자에 해당하는 비율만큼 계속 되는 계산법이

다 1000원을 했다면 1년이 지날 때마다 10 의 이자가 붙는다고 하

자 1년이 지났을 때 10 의 이자가 붙으면 100원 불어나므로 1000 +

1000 times 01 = 1100(원) 이다 그리고 1년2년 년이 지날 때 마다

값을 측정해보면 다음과 같다

[표3 단리법]

최종 으로 원 을 라 하고 연이율을 이라고 한다면

결국 년이 되었을 때 단리법으로 표 하면 그 때의 총 합 는

이 된다

3) 등비수열의 응용

(1) 복리법

복리법은 원 에 이자가 된 원리합계를 기 으로 이자를 계산하는 방

법이다 원을 했다면 1년이 지날 때마다 의 이자가 붙는다고

원 이자원리합계

(=원 +이자)

1년 원 원 원

2년 원 원 원

3년 원 원 원

년 원 times원 원

하자 1년이 지났을 때 의 이자가 붙으면 원 불어나므로

times (원) 이다 그리고 1년2년 년이 지날 때 마

다 값을 측정해보면 다음과 같다

[표4 복리법]

최종 으로 원 을 라 하고 연이율을 이라고 한다면

따라서 년이 지나면 이 된다 그때의 총 합 는 이

다

4) 황 비율

에서 언 했던 피보나치수열 　　　　　　　　　　에서 번째 항

을 번째 항으로 나 어 보자

　 　

　 　

　 　

　 　

　 　

　 　 이런 식으로 계속 해나가다 보면

이 수가 061803 에 근사하게 된다 고 그리스인들은 이 수에 lsquo황 비

율rsquo라는 이름을 붙 다 이것은 인간이 보기에 가장 아름다운 비율이라 하

여 여러 분야에서 사용되고 있다

(1) 황 비의 이용

약 100년 페히 라는 독일의 심리학자는 수백 명의 사람들에게 여러

종류의 직사각형을 보여 다음 마음에 드는 것을 선택하게 하는 실험을

했다 그런데 그 결과 부분의 사람이 황 직사각형을 선택했다고 발표했

다 ([6])

실험에 의하면 황 비는 사람들이 가장 편안하고 아름답게 느끼는 비율로

알려져 있으며 이런 이유 때문에 옛 부터 건축과 미술 음악 등에서 자주

이용되어 왔다

(가) 건축

기원 2000년경의 이집트 《린드 피루스》에 보면 기원 4700년에 기

자의 피라미드를 건설할 때 이 수를 lsquo신성한 비율rsquo로 사용했다고 한다

의 측량 기술로 측정해보니 피라미드 의 심에서 의 모서리까지

그리고 경사면까지 거의 정확하게 0618이었다 ([6])

피라미드는 인류역사를 통해서 사람들을 가장 매료시켜온 건축물 의 하

나이다 그 규모의 장 함에서도 사람을 압도하는 것이 있지만 그 형태 자

체가 고도한 수학을 배경으로 한 것으로서 우리가 알고 있는 5천년 의 지

식수 으로서는 불가사의한 것 의 하나이다

[그림3 피라미드 황 비]

(나) 음악에서의 활용

음악에서 한 옥타 는 [도 미 솔 라 시 도] 의 8음계로 이루어져 있

다 피아노의 건반은 한 옥타 를 13개의 음으로 나 어 표 하고 있으며

이 하얀 건반이 8개 검은 건반이 5개 있고 하얀 건반은 3개와 5개 검

은 건반은 2개와 3개로 구분되어 있다 여기에서 나타나는 2 3 5 8 13

은 에서 보인 피보나치수열이다

[그림4 피아노건반황 비율]

(2) 인체에서의 황 비율

황 분할은 우리의 인체 속에서도 찾아볼 수 있다 인간의 신체가 이 비율

에 의해서 분할되어 있으며 이것이 아름다운 몸의 보편 기 이 되고 있

다 아래 그림은 Le Corbusier가 찾아낸 이상 인간의 각 신체부 의 비율

이다 이것은 오나르도 다빈치의 인체비율에 한 그림에서도 찾아 볼

수 있다 이 뿐만 아니라 인체의 각 부 들도 그 자체 황 분할을 이루

고 있다

[그림5 인체 황 비율]

앞에서 제시한 황 비율을 사용한 시들 이외에도 우리 주변에 아주 많

이 있다

교과서 차례

한교과서(주)

Ⅳ 수열

1 등차수열과 등비수열

2 여러 가지 수열

3 수학 귀납법

4 알고리즘과 순서도

(주) 천재교육

Ⅲ 수열

1 등차수열과 등비수열

2 여러 가지 수열

3 수학 귀납법

4 알고리즘과 순서도

Ⅳ 고등학교 수학교육과정에서의 수열

1 수학Ⅰ 교과서 분석

고등학교 2학년이 학습하는 lsquo수학 Ⅰrsquo은 국민 공통 기본 교육 기간의 10단계

수학을 이수한 학생들이 보다 문 인 진로를 고려하고 보다 높은 수 의

수학을 학습하기 해 설정된 심화 선택 과목이며 lsquo수학 Ⅱrsquo를 학습하기 한

단계이다 lsquo수학 Ⅰrsquo의 내용은 수 역에서 지수와 로그 행렬 수열이

실려있고 해석 역에서 수열의 극한 지수로그 함수가 수록되어 있으며

확률과 통계 역에서 순열과 조합 확률 통계 등으로 구성되어 있다 특히

수 역에 해당하는 수열은 여러 가지 수열에 한 성질을 이해하고 그것

을 일반화 하는 과정에 을 두어 지도하도록 하고 있으며 계차수열은 등

차수열이나 등비수열이 되는 경우만 다룬다 ([2])

1) 수학 Ⅰ 5종 교과서의 차례 단원 배열

앙교육진흥연구소

Ⅲ 수열

1 등차수열과 등비수열

2 여러 가지 수열

3 수학 귀납법

4 알고리즘과 순서도

(주) 고려출

Ⅲ 수열

1 등차수열과 등비수열

2 여러 가지 수열

3 수학 귀납법과 순서도

(주) 두산

Ⅲ 수열

1 등차수열과 등비수열

2 여러 가지 수열

3 수학 귀납법

4 알고리즘과 순서도

[표5 수학 Ⅰ 5종교과서의 차례]

의 표에서 본 것과 같이 임의로 선택된 5종의 고등학교 수학 Ⅰ 교과서의

차례는 거의 비슷한 양상을 보 다 부분의 교과서에선 1단원 지수와 로

그 2단원 행렬 3단원 수열 순의 순서를 보 고 한교과서외의 몇몇

교과서에선 1단원 지수와 로그 2단원 지수로그함수 3단원 행렬 4단원 수

열 순의 순서를 보 다 수열단원의 세부 단원 차례는 1 등차수열과

등비수열 2 여러 가지 수열 3 수학 귀납법 4 알고리즘과 순서도 는

34 단원을 한 단원으로 해서 3 수학 귀납법과 순서도의 순서로 다루는

은 비슷했다

2) 교과서에 제시된 수열 련 자료

한교과서

(주)

피타고라스(Pythagoras 572～492 BC) 피타고라스의 정리

로 잘 알려져 있고 소수나 완 수의 규칙성에 해서도 많은 연

구를 하 다

바스카라(Bhaskara A 1114～1185) 인도의 수학자로

임을 증명하 고 피타고라스의 정리를 기하학

으로 증명하 다

피보나치(Fibonacci 1180～1250) 이탈리아의 수학자로 자연

속에서 많이 볼 수 있는 피보나치 수열을 발견하 다

스칼(Pascal B 1623～1662 ) 랑스의 수학자로 수학

귀납법을 발견하 고 사 기하학을 창시하 다

푸리에(Fourier J B J 1768～1830) 랑스의 수학자로 음양

학 학 기역학 열역학 등의 연구에 매우 요한 푸리에

수를 연구하 다

가우스(Gauss K F 1777～1855) 수학 통계학 등의 다방

면에 많은 업 을 이루었고 역사상 가장 한 수학자 의 한

사람으로 불리워지고 있다

비주얼 베이직(Visual BASIC)

을 이용한 Programming

하노이의 탑

(주)

천재교육

가우스(Gauss K F 1777～1855) 독일의 수학자인 가우스는

수학의 각 방면에 많은 업 을 남겨 수학의 아버지라 일컬

어지고 있다 그는 계산의 천재로 알려져 있는데 이에 한 유명

한 일화가 있다 등학교 때 부터 까지의 합을 구하는 문

제에서 다른 학생들이 직 하나하나 계산하는 동안 가우스는

　 　 　　　　 이 모두 임을 이용하여

times 이라는 답을 이끌어 내었다 이러한 방식은 수열

의 합을 계산할 때 사용하는 방식 의 하나이다

하노이의 탑을 이용한 수열의 귀납 정의

임의로 선택된 5종 교과서들의 수열단원에서 학생들의 수열 단원의 이해를

돕기 해 수록된 수학자들에 한 설명과 기타 자료들은 다음과 같다

도미노 이론 - 수학 귀납법의 다른 표

피보나치수열 - 토끼 수 증가 문제

앙교육

진흥연구소

삼각수 사각수 문제

피보나치(Fibonacci 1180～1250)

가우스(Gauss K F 1777～1855)

음악과 수학 - 작곡가 바흐(Bach)의 요 업 으로 평균율을

들 수 있다 평균율이란 1옥타 즉 lsquo도rsquo와 lsquo도rsquo의 사이를 개의

반음으로 나 고 처음 lsquo도rsquo의 진동수를 이라 하면 그에 일정한

수를 더해 제곱하여 옥타 의 lsquo도rsquo의 진동수를 얻는 것을

말한다 수식으로는 로 나타낼 수 있고 이 등식을

만족하는 의 값이 평균율이다

(주)

고려출

티티우스-보데 수열 -

수열 　　　　　　　　의 각 항에 각각 를 더한 후

으로 나 수들을 나열한 것 　　　　　　　 를

티티우스-보데 수열이라 한다 이수열의 각 항은 태양에서 행성

까지의 실제 거리와 비슷한 것으로 1766년 티티우스(Titius)라는

독일의 천문학자가 발견하 다

제갈량의 군 에 한 을 통한 등비수열의 합

피보나치 수열

휴먼 로 - 휴먼 로 의 제작은 복잡한 여러 가지 알고리즘

과 순서도에 바탕을 두고 있다 알고리즘의 요성은 자계산기

이 부터 실제 으로 존재했다 그 로 최 공약수 계산에 한

유클리드의 알고리즘이 있다 한 가우스와 같은 부분의 수학

자들은 역사 으로 많은 양을 처리하는 효율 인 알고리즘에

심을 가졌다 이러한 알고리즘을 보다 효율 으로 이용하여 재

의 컴퓨터 시 를 구축했다

(주) 두산

피보나치(Fibonacci 1180～1250)는 이탈리아의 피사에서 태

어난 수학자이다 부친이 상업에 종사하 기 때문에 피보나치는

이집트 시칠리아 그리스 시리아 등 다양한 지역을 여행할 수

있었고 이 때 다양한 수학을 하게 되었다 1202년 피사로 돌아

온 피보나치는 「산반서(Liber abaci)」를 술하 다 1228년에

는 「산반서 2 」을 술하 는데 이 책에서 정수와 분수의 계

산 제곱근과 세제곱근 일차와 이차방정식의 풀이 등을 다루었다

고 한다 특히 이 책에 나오는 「피보나치의 수열」은 매우 흥미

로운 수열로 요한 성질을 많이 가지고 있다

1에서 100까지 자연수를 모두 합하면 얼마일까

가우스(Gauss KF 1777～1855) 가우스는 수론 해석학 확

률론 천문학 물리학 등 다양한 분야에 뛰어난 수학자이었다 특

히 그의 수론 연구는 19세기 수학 체계의 확립에 크게 공헌하

다

피타고라스(Pythagoras 572～492 BC) 피타고라스는 음의

높이에 따른 진동수의 비가 일정함을 발견하 다

페아노(Peano G 1858～1932) 자연수의 성질을 추상화 하여

페아노의 공리계를 만들었다 이 공리계의 제 5공리가 수학 귀

납법의 원리이다

피보나치의 수열

알콰리즈미(Alkhwarizmi 780～850) 알고리즘이란 말은 세

아라비아의 수학자 알콰리즈미의 이름에서 유래된 것으로서 그가

십진법으로 나타낸 수의 계산에 용한 계산 방법에서 나온것이

다

[표6 5종 교과서에 제시된 수열 련 자료]

2 수학 Ⅰ 교과서에서의 수열

등차수열의 일반항

첫째항이 공차가 인 등차수열의 일반항 은

본 연구자가 임의로 선택한 5종 교과서 ([5][8][12][13][14]) 에서의

수열의 내 을 정리해보았다

1) 등차 수열과 등비 수열

(1) 수열의 뜻

어떤 규칙에 따라 순서 로 수를 늘어놓은 것을 수열이라 하고 그 수열을

이루는 각각의 수를 그 수열의 항이라고 한다 수열의 각 항을

앞에서부터 순서 로 제 1항 제 2항 제 3항 제 항

이라고 한다 특히 제 1항은 첫째항이라고도 한다

(2) 등차수열의 뜻

첫째항에 차례로 일정한 수를 더하여 만들어진 수열을 등차수열 이라하고

더한 일정한 수를 공차라고 한다

첫째항이 공차가 인 등차수열 에서

이므로 일반항 은 다음과 같이 나타낼 수 있다

(3) 등차수열의 합

등차수열의 합

첫째항이 공차가 끝항이 인 등차수열의 첫째항부터 제 항까지의

합 은

첫째항이 공차가 등차수열 에서 첫째항 부터 제 항 까지의 합

을 토론하기의 방법을 이용하여 구해보자

　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　①

더하는 순서를 거꾸로 하면

　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　②

①②의 양변을 각각 더하면

　　

따라서 =

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　③

이때 제 항인 를 ③에 입하여 식을 다르게 나타낼수도

있다

이상을 정리하면 다음과 같다

(4) 수열의 합과 일반항

수열 에서 첫째항부터 제 항까지의 합을 이라 하면

ge 일때 　　

there4

수열의 합과 일반항의 계

수열 의 첫째항부터 제 항까지의 합을 이라 하면

(단 ge )

등비수열의 합

일때 이다

이상을 정리하면 다음과 같다

(5) 등비수열의 뜻

첫째항부터 시작하여 각 항의 바로 앞의 항에 일정한 수를 곱하여

만들어진 수열을 등비수열이라 하고 곱하는 일정한 수를 공비라고 한다

첫째항이 공비가 인 등비수열에서 첫째항부터 제 항까지의 합 은

다음과 같이 구한다

　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　①

①의 양변에 공비 을 곱하면

　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　②

①에서 ②를 같은 변끼리 빼면

따라서 ne 일때

인 경우 ①에서

　　

there4

이상을 정리하면 다음과 같다

첫째항이 공비가 인 등비수열의 첫째항부터 제 항까지의 합 은

① ne 일때

② 일때

자연수의 거듭제곱의 합

①

　　

②

　　

③

　　

2) 여러 가지 수열

(1) 합의 기호 sum

수열 에서 첫째항부터 제 항까지의 합

　　

을 일반항과 합의 기호 sum를 써서

　　

와 같이 나타낸다

이때

는 수열 의 일반항 의 에 　　　　　　을 차례로

입하여 얻은 항의 합으로 신 다른 문자를 사용하여

등과 같이 나타낼 수 있다

(2) 기호 sum 의 성질

합의 기호 sum 의 성질에 하여 알아보자

합의 기호 sum의 성질

①

(복부호동순)

②

(단 는 상수)

③

(단 는 상수)

　　

　　 　　

　　

마찬가지로

와

에 해서도 확인해 보면 sum 의 성질을

다음과 같이 정리할 수 있다

(3) 계차수열

일반 으로 수열 에서 이웃하는 두 항의 차

　　 을 일반항으로 하는 새로운 수열

　　　　　　　을 얻을 수 있는데 이 수열 을 원래의 수열 의

계차수열이라고 한다

수열 에 하여 그 계차수열을 이라 하면

　　

계차수열과 일반항

수열 의 계차수열을 이라 할때

(단 ge )

3) 수학 귀납법

(1) 수열의 귀납 정의

첫째항과 이웃하는 두 항 사이의 계식으로 수열을 정의하는 것을 수열의

귀납 정의 라고 한다

첫째항이 공차가 인 등차수열 은 다음이 성립한다

　ge 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　①

역으로 두 계식 ①이 주어지면 이 결정되고 차례로

가 결정된다 따라서 모든 자연수 에 하여 이 정해지므로 수열 이

정의 된다

①과 같이 의 값 과 의 계식을 화식이라고 한다

(2) 수학 귀납법

수학 귀납법은 이탈리아의 페아노에 의하여 설정된 자연수에 한 공리

수학 귀납법

자연수 에 한 명제 이 모든 자연수 에 하여 성립함을 증명하

려면 다음 ⅰ ⅱ 를 증명하면 된다

ⅰ 일때 명제 이 성립한다

ⅱ 일때 명제 이 성립한다고 가정하면 일때에도

명제 이 성립한다

다음과 같은 5번째 공리에 근거를 두고 있다

자연수의 집합 의 부분집합 가

ⅰ 　isin

ⅱ 　isin 이면 isin

(여기서 는 의 후자)

인 두 조건을 만족하면 이다

4) 알고리즘과 순서도

(1) 알고리즘과 순서도

어떤 문제를 해결하기 해서는 그 처리 순서를 정해야 하는데 이와 같이

문제 해결에 필요한 처리 과정의 순서를 단계 으로 정리한 것을 알고리즘

이라 하고 알고리즘을 알기 쉽게 기호를 써서 그림으로 나타낸 것을 순서도

라고 한다 일반 으로 어떤 문제를 해결하기 한 알고리즘은 여러 가지가

있을 수 있지만 정해진 유한번의 단계를 거치면 반드시 끝나야 하고 처리

과정의 순서가 명확해야 한다 한 순서도는 각 부분을 순서 계통 으로

나타냄으로써 작업 과정을 구나 쉽게 한 에 악할 수 있도록

작성되어야 한다 순서도는 다음과 같은 기호를 사용하여 작성한다

[표7 순서도의 기호]

(2) 알고리즘과 순서도의 작성

수열과 련된 순서도를 작성할 때에는 다음과 같은 방법을 고려한다

(가) 항수를 항을 수열의 합을 로 나타낸다

(나) 제시된 항의 번호까지 루 를 용한다

(다) 제시된 항의 번호에 하여 단 기호를 이용한다

(라) 구하려는 는 를 인쇄하고 끝낸다

주의환기

집 을

한 략

지각

주의환기의

략

시청각 효과의 사용

비일상 인 내용이나 사건 제시

주의 분산의 자극 지양

탐구

주의환기의

략

능동 반응 유도

문제해결 활동의 구상 장려

신비감의 제공

다양성의

략

간결하고 다양한 교수형태 사용

일방 교수와 상호작용 교수의 혼합

교수자료의 변화 추구

목표-내용-방법이 기능 으로 통합

련성

증진을

한

략

친 성의

략

친 한 인물 혹은 사건 활용

구체 이고 친숙한 그림 활용

친 한 문 배경 지식 활용

목 지향성

의 략

실용성에 을 둔 목표 제시

목 지향 인 학습형태 활용

Ⅴ 러의 ARCS 이론과 수열 지도

1 러의 ARCS 이론

1) ARCS 이론의 특징

(1) 이론 배경

다음은 ([4])의 내용을 참고하 다

ldquo말을 물가로 데리고 갈 수는 있지만 물을 먹일 수는 없다rdquo는 속담처럼

하고자 하는 마음이 없으면 학습 효과를 기 할 수 없는 것은 당연한 사실

이다 이러한 생각의 근거에는 동기 유발의 개념이 자리 잡고 있다 동기

유발이란 어떤 활동을 진 지시 유지하려는 내 상태 는 과정을

포함한다 이 개념은 교육 심리학의 심 개념 의 하나이지만 직 찰

할 수 없는 것이기 때문에 인간의 행동을 보고 거기에서 유출해 내는 개념

이며 이에 한 정의는 바라보는 과 강조하는 내용에 따라 각기 다르

다

(2) ARCS 이론

목 의 선택 가능성 부여

필요나

동기와의

부합성 강조의

략

다양한 수 의 목 제시

학업성취 여부의 기록체제 활용

비경쟁 학습상황의 선택가능

동 상호 학습상황 제시

자신감

수립을

한 략

학습의

필요조건

제시의 략

수업의 목표와 구조의 제시

평가기 피드백의 제시

선수학습 능력의 단

시험의 조건 확인

성공의 기회

제시의 략

쉬운 것에서 어려운 것으로 과제 제시

정수 의 난이도 유지

다양한 수 의 시작 제공

무작 의 다양한 사건 제시

다양한 수 의 난이도 제공

개인

조 감

증 의 략

학습의 끝을 조 할 수 있는 기회 제시

학습속도의 조 가능

원하는 부분에로의 재빠른 회귀 가능

선택가능하고 다양한 과제의 난이도제공

노력이나 능력에 성공 귀착

만족감

증 를

한 략

자연 결과

강조의 략

연습문제를 통한 용기회 제공

후속학습상황을 통한 용기회 제공

모의상황을 통한 용기회 제공

정 결과

강조의 략

한 강화 계획의 활용

의미 있는 강화의 강조

정답을 한 보상 강조

외 보상의 사려 깊은 사용

선택 보상체제 활용

공정성

강조의 략

수업목표와 내용의 일 성 유지

연습과 시험 내용이 일치

[표8 ARCS 략] ([1])

2 ARCS 이론을 용한 수열 수업 계획서

다음은 ([1])의 ARCS 이론의 수업계획서를 참고하여 수열 단원의 수업

계획서를 작성해보았다

수업내용개 동기 략개 기타의견1 수업 기

체 으로 교사는 다양한 방법으로 학습자들

에게 수업 내용을 제시하고 학습자들에게

한 언어를 사용한다

수열의 활용에

한 학습목표

제시하기

교사는 학습자들의 련성을 높이기 해 학습

목표의 의미를 설명해 다

도표는 큰 씨를 사

용하고 핵심이 되는

단어에는 다른 색깔을

사용한다

수열의 활용의

이 과 평가

거를 제시하기

교사는 학습자들의 련성과 자신감 만족감

을 높이기 하여 이 수업이 끝난 후 그들이

무엇을 할 수 있는지에 해 알려 다

교사는 학습자들의 자신감과 만족감을 높이기

하여 성공 인 학습성취를 단할 수 있는 객

인 거들을 알려 다

교사는 학습자들의 만족감을 높이기 하여

그들이 주어진 과제를 성공 으로 해결했을 때

그에 따르는 내재 강화나 외재 보상이 있음

을 알려 다

수열의 정의와

해법에 한 지

식을 간략하게

확인하기

교사는 선수학습과의 련성을 유발하기 하

여 간략한 보조도구(인쇄매체)를 사용하여 수열

의 정의와 해법을 제시한다

교사는 소집단 토론을 실시하여 학습자들의

선수지식을 스스로 검해 보도록 한다

교사는 수열의 정의와 해법을 잘 모르는 학습

자들에게 자신감을 유발시키기 하여 개별 인

학습목표를 세우도록 한다

소집단 구성에 있어

서 주의집 이 매우

낮은 5명을 하나의 소

집단으로 구성하고

친근한 소재를 활용하

여 그들의 주의집 과

련성을 유발한다

실생활과 련

된 수열의 활용

문제들을 몇 가

지 소개하기

교사는 학습자들의 주의집 을 유지하기 해

실생활에서 연립방정식을 활용하여 해결할 수

있는 몇 가지 문제들을 제시한다

주의집 이 매우 낮은 5명의 학습자들이 수업

에 극 인 심을 보이지 않으면 교사는 그

들에게 친근한 목소리로 이름을 부르면서 수업

에 집 하라고 얘기 하고 개인 인 심을 갖

고 있음을 나타낸다

로써 활용되는 문

제들을 선택할 때 학

습자들이 알고 있거

나 그들에게 친근감

을 주는 소재가 포함

되도록 선택한다 이

때 지나치게 자심감

이 높아서 수업에 소

극 으로 참여하는 3

명의 학습자들에게는

다소 복잡한 수열의

활용 문제를 미리 제

공하여 생각할 기회를

다

수열의 활용에

한 학습자들의

이해정도를 악

하고 피드백을

제공하기

교사는 학습자들에게 자신감을 높이기 하여

소집단을 구성하여 학습자들이 수열의 활용에

해 어느 정도 이해하고 있는지를 서로 토론하

도록 한다

교사는 소집단별로 둘러보면서 자신감과 만족

감을 유발시키기 하여 학습자들간에 서로 도

움을 주도록 분 기를 형성한다

소집단별로 간략하게 토론이 끝나면 학습자

들 스스로 정리하도록 한다

토론결과 학습자들이 수열의 활용에 해 잘

못 이해하고 있다면 교사는 즉각 으로 교정

피드백을 제공한다

학습자들의 소집단

토론시간을 무 길게

소요하지 않도록 한

다 자칫하면 토론분

기가 산만해지기 쉽

고 토론이 활발하지

못한 경우에는 학습자

들의 학습의욕이 떨어

진다

2 수업 반 체 으로 교사는 다양한 방법으로 학습자

들에게 수업 내용을

제시하고 학습자들에게 개별 인 언어를 사용

한다

실생활과 련

된 수열의 활용

의 문제들을 구

체 으로 제시하

기

교사는 학습자들의 주의집 련성 자신감

만족감을 유지하기 하여 게임을 실시한다 학

습자들이 돌아가면서 임의로 다른 학습자를 지

명하면 지명받은 학습자가 실생활과 련된 수

열의 문제를 하나 제시한다 한 문제를 제

시한 학습자에게 학습태도 수를 주어 만족감

을 향상시킨다

교사는 학습자들이 제시한 여러 가지 문제들

을 칠 에 은 후 몇몇 소집단을 구성하여

그 문제들을 해결하기 해 인스토 을 하

도록 한다 이때 교사는 문제를 해결한 학습자

가 아직 해결하지 못한 학습자들을 도와주어 자

신감과 만족감을 갖도록 한다

인스토 이 진행되는 동안 교사는 교실

을 둘러보면서 학습자들이 질문이나 의문사항

에 해 극 으로 질문할 수 있는 기회를 제

공하고 그에 해 개별 인 언어를 사용하여

부드러운 목소리로 피드백을 제공한다

인스토 도 학습자들의 개인 인 능

력차가 커서 문제를 해결하는데 어려움을 겪는

학습자들에게는 그들에게 합한 개별 인 학습

이때 교사는 밝고

생동감이 넘치는 목소

리로 학습자들의 활동

을 진시킨다

교사는 학습자들이

한 자신감을 유지

하고 있는지에 해

지속 인 심을 갖고

지켜본다

이때 교사는 학습자

들의 자신감과 만족감

을 높이기 하여 그

들에게 일 성 있는

피드백을 제공한다

교사는 학습자들이

목표를 다시 선정하도록 하여 자신감을 향상시

킨다

인스토 이 끝나면 교사는 소집단 별로

한 사람씩 자발 으로 나와 문제를 풀고 풀이

과정을 체 학습자들에게 설명하도록 한다 이

때 어려운 문제를 해결한 소집단이나 학습자에

게 교사는 그들의 우수한 능력을 인정하고 내

재 인 자존심에 정 인 향을 주는 칭찬을

제공하여 자신감과 만족감을 높인다

소집단의 인스토

을 하는 동안 체

으로 문제풀이를 할

때 주의집 을 유지

하고 자신감과 만족

감의 향상을 악하기

해 끊임없이 그들과

시선을 교류하고 얼

굴표정을 찰한다

3 수업마무리 체 으로 교사는 다양한 방법으로 학습자

들에게 수업 내용을 제시하고 학습자들에게 개

별 인 언어를 사용한다

실생활과 련

된 수열의 활용

에 해 체

으로 정리 요

약하기

교사는 교탁을 탁탁 치거나 박수를 쳐서 다

소 떨어진 학습자들의 주의집 을 향상 시킨다

교사는 실생활 속에서 수열을 활용하여 해결

할 수 있는 간단하고 재미있는 문제들을 2～3개

제시하여 학습자들이 그 문제를 성공 으로 해

결함으로써 자신감과 만족감을 갖도록 한다

교사는 학습자들이 미처 생각하지 못했던 실

생활 속에서 수열과 연 된 다양한 들을 제공

하여 주의집 과 련성을 유지향상시킨다

교사는 자신감과 만족감을 향상시키기 해

학습자들에게 수업진행 에 그들이 설정한 개

인 인 학습목표에 해 얼마나 많이 달성했는

가를 스스로 검해 보라고 한다

교사는 수업 반에 수열의 문제를 잘 해결하

지 못했던 학습자들에게 그 문제를 다시 해결해

보도록 기회를 제공하여 자신감과 만족감을 높

여 다

평가에 있어서 교사는 학습자들이 그들의 성

에 해 공정하게 평가되었다고 느끼도록 일

성 있게 평가하여 그들의 자신감고 만족감을

높여 다

교사는 수열과 실생

활과의 련성에 해

학습자들이 잘 지각하

고 있는가를 알아보기

해 다소 진지한 목

소리로 질문한다

다음 학습내용

에 해 간략히

소개하기

교사는 학습자들의 흥미를 유지하기 하여

다음 학습내용에 해 호기심에 찬 목소리로 간

략하게 소개하고 수업을 끝낸다

[표9 러의 ARCS이론]

단원

단

원Ⅲ 수열

배정시간

(분)50

단

원1 등차수열과 등비수열

차시 3소단

원3) 등차수열과 등비수열의 활용

학습

목표등차수열과 등비수열을 실생활의 문제에 용할 수 있다

학습

단계학습내용

교수-학습활동 지도상의유의사

항교사활동 학생활동

도

입

15

분

인사

출석

주변을 정리 정돈

하여 수업분 기를

조성한다

인사 출석체크

를 한다

주의를 환기시킨

후 학생들과 인사

한다

출결석 여부를

확인한다

바른 자세로 주

변을 정리한 뒤

교사와 인사한다

수업 비를 한

다

교사와 학생

모두 함께 수업

분 기를 조성한

다

선수

학습

확인

지난 시간에 학습

한 등차수열과 등비

수열의 정의에 해

다시 한번 확인해본

다

지난 시간에 학습

한 등차수열과 등비

수열의 일반항을 구

하는 방법에 해 확

인학습으로 [문제1]

과 [문제2]를 풀어본

다

학생들의 자신감

을 높이기 하여

등차수열과 등비수

열의 정의를 교과

서에서 찾아본 후

큰소리로 답하게

한다

학생들이 답한

후 다시 한번 등차

수열과 등비수열에

해 간단히 설명

등차수열과 등

비수열의 정의를

교과서에 찾아본

후 큰소리로 읽는

다

교사가 등차수

열과 등비수열의

정의에 해 다시

한번 간단히 설명

할 때 부족한 부

분은 필기하며 복

습한다

교사가 정의에

해 질문할 때

학생들이 모두

책을 찾아볼수

있게 주의를

다

만일 답하

지 못하는 학생

이 있을 경우 그

여기서 인스토 (brainstorming)이라고 하는 것은 갑자기 떠오르는 멋

진 생각을 종이에 는다든가 말로 표 해 본 후 로 기록하거나 기록된

문장을 정리정돈하면서 생각을 논리화하는 방법이다 주로 어떤 계획을 세

우고자 할 때 창조 이고 기발한 아이디어가 필요할 때 학생들의 의견과

생각을 끌어내어 발 시키고자 할 때 사용하면 유리하다 ([3])

3 ARCS 이론을 용한 수업지도안

[문제1]

다음 등차수열

의 일반항과 제20항

을 구하여라

　　　　　　　

[문제2]

다음 등비수열

의 일반항과 제8항을

구하여라

　 　　　　　

한다

교사는 [문제1]

과[문제2]를 제시

한 뒤 학생들에게

직 풀어보게 한

다

등차수열과 등

비수열의 일반항

과 그 공식의 유

도과정을 기억한

다

제시된 문제를

연습장에 풀어본

다

학생에 해 개

별 인 언어를

사용하여 부드러

운 목소리로 피

드백을 제공한

다

개

30

분

학습

목표

제시

수열의 활용에

한 학습목표를 제시

한다

학습목표 학습

에 필요한 자료를

Power point 시청

각 효과를 사용하여

학생들의 주의환기

집 을 한 략

을 사용한다

학습목표를 학생

들에게 읽게 하고

학생들의 련성을

높이기 해 학습

목표의 의미를 설

명해 다

교사의 지시에

따라 큰소리로 학

습목표를 읽고 이

수업이 끝난 후

무엇을 할 수 있

는지에 해 생각

해 본다

학습목표는 큰

씨를 사용하

고 핵심이 되는

단어에는 다른

색깔을 사용한

다

탐구

학습

실생활과 련된

수열의 활용문제들을

몇 가지 소개한다

수열의 활용에

한 학습자들의 이해

정도를 악하고 피

드백을 제공한다

등차수열과 등비

수열을 이용하여

실생활의 문제를

해결할 수 있음을

학생들이 쉽게 이

해할 수 있도록 설

명한다

교사가 실생활

과 련된 수열의

활용문제들을 몇

가지 소개할 때

다른 시가 있는

지 함께 생각해

본다

문제

제시

[문제3]

한일 월드컵 축구 개

회 연도는 2002년이

다 2002년 이후 월

드컵 축구가 개최되

는 연도를 차례로 써

보고 이 규칙 로 월

드컵 축구가 개최되

면 2100년은 월드컵

축구가 개최되는 연

도인가

교과서에서 수열

단원의 수열의 활

용부분에 수록된

문제들을 풀어볼

수 있도록 시간을

다

등차수열과 등

비수열의 일반항

유도 공식을 생각

해보고 제시된 문

제를 해결해 간다

로써 활용되

는 문제를 선택

할 때 학습자들

이 알고 있거나

그들에게 친근감

을 주는 련성

증진을 한

략을 사용한다

[문제4]

컴퓨터의 주기억 장

치인 램은용

으로

용으로 가 개발

되었다 이후 램의

용 량 은

로 증가되어 왔다

의 램으로부터

번 증가된 주 메모

리는 식으로 어떻게

나타낼 수 있는가

학생들이 문제를

어렵게 느끼지 않

도록 어떤 방향으

로 해결해야 하는

지 힌트를 주어 학

생들의 자신감을

증진시킨다

소집

단

활동

5～6명으로 이 진

소집단을 구성하여

학습자들이 수열의

활용에 해 어느 정

도 이해하고 있는지

를 서로 토론하도록

한다

소집단별로 실생활

과 련된 수열의 활

용의 문제들을 구체

으로 제시한다

인 스토 이

끝나면 소집단별로

한사람씩 문제를 풀

고 풀이과정을 체

학생들에게 설명하는

시간을 갖는다

교사는 학생들의

만족감을 높이기

하여 그들이 주

어진 과제를 성공

으로 해결했을

때 그에 따르는

내재 강화나 외

재 보상이 있음

을 알려 다

어려운 문제를

해결한 소집단이나

학생에게 교사는

그들의 우수한 능

력을 인정하고 내

재 인 자존심에

정 인 향을

주는 칭찬을 제공

하여 자신감과 만

족감을 높인다

자신이 속한 소

집단 내에서 제시

된 과제에 해

열심히 토의를 하

며 문제를 해결한

학생이 아직 해결

하지 못한 학생들

을 도와주어 자신

감과 만족감을 갖

도록 한다

소집단별로 간

략하게 토론이 끝

나면 학생들 스스

로 정리해보고 자

발 으로 체 학

생들에게 설명해

보는 기회를 갖는

다

교사는 학습자

들이 한 자

신감을 유지하고

있는지에 해

지속 인 심을

갖고 지켜본다

학생들의 소집

단 토론시간을

무 길게 소요

하지 않도록 한

다

형성

평가

[문제4]

민수는 남 문의 기

와 지붕 한쪽 면이

사다리꼴 모양임을

찰하고 이 면에 있

는 기와의 개수를 알

아보고자 한다 기와

형 성 평 가 를

Power point로 제

시하고 학생들이

스스로 풀어볼 수

있도록 지도한다

학생들이 문제를

다 풀고 나면 교사

제시된 문제를

오늘 학습한 내용

을 복습하면서 풀

어보도록 한다

교사는 다소

진지한 목소리로

질문한다

의 개수를 행으로 세

었더니 용마루 쪽에

가장 가까운 행에는

40개 처마 쪽에 가

장 가까운 행에는 72

개 다 용마루부터

처마까지 행의 개수

가 17이라고 할 때

민수가 찰한 지붕

한쪽 면의 기와의 개

수는 모두 몇 개인

가

는 학생들에게

답할수 있도록 하

고 학생들이 학습

목표에 해 얼마

나 많이 달성했는

가를 스스로 검

해 보라고 한다

형성평가의 답

을 교사의 질문에

끝난 뒤 큰소리로

답하여 자신감

과 만족감을 갖도

록 한다

학생들에게 개

별 인 언어를

사용한다

정

리

5

분

학습

정리

차시

고

학습 자료를 이용

하여 수열의 실생활

의 활용 단원의 수업

내용을 확인한다

과제를 제시한다

다음 차시인 「여

러 가지 수열」 단원

에 한 고를 한

다

수업 내용을 정

리하고 과제를 제

시한다

학생들의 흥미를

유지하기 하여

다음 학습내용에

해 호기심에 찬

목소리로 간략하게

소개하고 수업을

끝낸다

오늘 학습한 내

용을 정리한다

과제를 고 과

제 해결에 한

내용을 머릿속에

형성해 본다

다음 차시에 배

울 내용을 학습

자료 화면으로 확

인해본다

수업내용에

해 학생과 교사

모두가 만족하고

있는지 확인하고

공정한 평가를

한다

[표10 수업지도안]

4 조사 문제지 분석

고등학교 수학 Ⅰ 의 수열단원의 효율 인 지도방안의 연구를 하여 원

종고등학교 2학년 학생 100명을 상으로 조사 문제지 조사를 하 다 학

생들의 수학에 한 심과 수학에서 가장 어려워하는 부분을 알아볼 수

있었고 어떤 방식의 수업을 선호하는지도 알아볼 수 있었다

⑴ 수학에 얼마나 심이 있나요

① 매우 많다 ② 많다 ③ 보통이다 ④ 다 ⑤ 매우 다

수학과목에 매우 많은 심을 보이는 학생은 2로 매우 낮은 편이며

심이 있는 학생은 43로 학생의 반정도 다 수학과목에 심이 거

나 없는 학생은 54정도로 수학은 어려운 과목이라는 인식 때문에 심

이 은 것 같다

수학을 공부하는 가장 큰 이유에는75의 학생들이 학입시를 해서라

는 문항을 선택했다 기타 이유에는 교과서에 있어서 어쩔수 없이 한다

는 학생과 진리탐구를 해서라는 학생도 있었다

[그림6 조사문제지

(1)번 막 그래 ]

⑵ 수학을 공부하는 가장 큰 이유가 뭐라고 생각하나요

① 학입시를 해서

② 평소 수학에 흥미가 있어서

③ 실제 생활에 쓰기 해서

④ 주변에서 해야한다고 하니까

⑤ 기타 이유 (이유를 간단히 어주세요)

앞에 (1)번문항에서 수학에 심이 은 학생이 반 정도인것에 반해

수학공부가 필요하다고 느낀학생이 75정도로 수학공부가 필요하단건

느끼지만 어려운 과목이라는 인식이 부분인것 같다 수학과목도 재

는 과목이란 인식을 학생들이 가질수 있도록 노력해야겠다

[그림7 조사문제지

(2)번 막 그래 ]

⑶ 수학공부의 필요성에 해 어떻게 생각하나요

① 매우 필요하다 ② 조 필요하다 ③ 보통이다

④ 필요 없다 ⑤ 필요 없다

[그림8 조사문제지

(3)번 막 그래 ]

⑷ 수학을 공부하면서 가장 어려운 부분은 무엇이나요

① 복잡한 계산 과정 ② 외워야할 많은 공식들

③ 응용문제엔 어떤 공식을 용해야할지 ④ 다 어렵다

학생들이 수학과목이 어렵다고 느끼는 이유는 응용문제에 어떤 공식을

용해야 하는지를 몰라서 라는 답이 58로 가장 많았다 그 외에도

계산과정이 복잡하거나 외워야할 공식들이 많아서라는 답도 있었다

이해 주의 수업을 하고 단순한 공식의 암기 주의 수업을 탈피해야겠

다

수학수업을 하는데 효과 인 방법에는 선생님 주의 강의식 수업과 학

생 개인별 수업이 78로 가장 많았다 개념이나 공식유도과정을 설명할

땐 서를 하며 강의식 수업을 하고 문제풀이땐 학생들 개인별로 첨삭

지도를 하는게 효율 인것 같다

⑤ 기타이유 (이유를 간단히 어주세요)

[그림9 조사문제지

(4)번 막 그래 ]

⑸ 수학 수업을 하는 데 어떤 방법이 가장 효과 이라고 생각하나요

① 선생님 주의 강의식 수업

② 학생 개인별 수업

③ 모둠별 활동 수업

④ 기타 교재나 과제를 통한 수업

⑤ 기타(이유를 간단히 어주세요)

[그림10 조사문제지

(5)번 막 그래 ]

Ⅵ 결론

본 논문에서 지 까지 고등학교 2학년 학생들이 수학 Ⅰ 교육과정을 학습하

는데 가장 어려워하는 수열에 해 살펴보았다 먼 개정 교육과정에 명시

된 수학교육의 목표와 임의로 선택된 5종 교과서에서 수열 단원의 학습목표

를 살펴보았고 수열의 역사 배경과 실생활에 응용된 들을 정리해보았

다 한 5종 교과서에서 제시되어 있는 수열의 학습내용을 소단원 별로 정

리해보았다 임의로 선택된 5종 교과서안의 수열의 학습내용을 분석해보면

서 몇 몇 교과서에서 여러 가지 수열 단원에서 군 수열과 멱 수에 한 언

이 없거나 미약함을 알 수 있었다 본 연구자가 보기에 군 수열과 멱 수

부분은 실생활에 활용될 는 극히 작아 보이지만 학생들이 꼭 학습하고 넘

어가야 수열에 한 완벽한 학습이 될 수 있을 것이라 여겼는데 교과서에서

제시된 내용들로는 학생들이 충분히 이해할 수 없을 것 같았다

그리고 교과서에 제시된 문항의 수 이 입시와 동 떨어진다는 문제 이 있

었다 교과서에 제시된 문제가 부족하고 수 이 낮다 보니 실제로 학교에서

수업 때 보충 린트 물로 수업을 진행하고 간기말고사 때에도 교과서

외에서 많은 문제를 출제하는 모습을 볼 수 있었다 때문에 학생들이 교과서

보다는 문제집 주의 공부를 할 수 밖에 없는 듯 보 다 교과서가 학생들

과 교사의 요구에 부합할 수 있도록 새로운 내용들과 문제를 싣도록 해야

할 것이다

학생들이 수열 단원의 학습을 할 때 좀 더 효과 인 학습이 될 수 있도록

리의 동기설계이론 (ARCS 이론) 을 바탕으로 하여 수업 계획서와 1차시

의 수업 지도안을 작성해 보았다 한 작성한 수업 지도안으로 부천시 소재

의 한 고등학교에서 실제 수업을 진행해 보았을 때 학생들이 좀 더 수열에

해 친숙하게 느끼고 쉽게 이해하는 모습을 볼 수 있었다 본 연구자가

직 교사가 아니라 여러 반을 상으로 수열 단원의 모든 차시 수업에 용

하여 수업을 해볼 수 없었단 이 아쉬움으로 남는다

이와 같이 학생들의 주의 련성자신감만족감 증진을 한 수업을 함

으로써 학생들의 수학 학습 성취도의 향상을 기 할 수 있을 것이다 한

개발된 자료를 실제 수업에 용하는 경우의 효율성에 한 후속 연구가 체

계 이고 지속 으로 이루어져야 할 것이다

참 고 문 헌

[1] 구평회 META 구평회 교육학 2007

[2] 교육인 자원부 고시 제2007 - 79호[별책8] 2007

[3] 박인학 교사를 한 교수학습방법론 문사 1995

[4] 변 계 교수학습 이론의 이해 학지사 1999

[5] 우정호 외 5인 고등학교 수학 Ⅰ 한교과서(주) 2002

[6] 이 연 자연의 수학 열쇠 피보나치수열 로네시스 2006

[7] 이진화 지수로그함수의 지도에 한 연구 서강 학교 교육 학원 석사 학

논문 2006

[8] 임재훈 외 10인 고등학교 수학 Ⅰ (주)두산 2002

[9] 장 숙 고등학교 수학 Ⅰ 교과서의 통계단원 분석 실생활에의 용 경희

학교 교육 학원 석사 학 논문 2006

[10] 조해식 행렬 수열 수업에서의 수학사 도입에 한 연구 울산 학교 석사

학 논문 1998

[11] 차 자 수열 학습의 흥미 유발을 한 자료 연구 경성 학교 교육 학원 석

사 학 논문 2004

[12] 최 외 5인 고등학교 수학 Ⅰ 앙교육진흥연구소 2006

[13] 최상기 외 5인 고등학교 수학 Ⅰ (주)고려출 2002

[14] 최용 신 성 고등학교 수학 Ⅰ 천재교육(주) 2002

[15] 황혜정 외 5인 수학교육학 신론 문음사 2002

• Ⅰ 서론
• • 1 연구의 필요성과 목적
  • 2 연구의 제한점
  • • Ⅱ 개정 교육과정에서 명시된 수학Ⅰ교육의 목표
    • • 1 수학Ⅰ교육의 목표
      • 2 고등학교 수학 Ⅰ 수열 단원의 학습목표
      • • Ⅲ 수열의 역사적 배경 및 응용
        • • 1 수열의 역사
          • 2 수열 단원이 실생활에 응용된 사례
          • • Ⅳ 고등학교 수학교육과정에서의 수열
            • • 1 수학Ⅰ 교과서 분석
              • 2 수학Ⅰ 교과서에서의 수열
              • • Ⅴ 켈러의 ARCS 이론과 수열 지도
                • • 1 켈러의 ARCS 이론
                  • 2 ARCS 이론을 적용한 수열 수업 계획서
                  • 3 ARCS 이론을 적용한 수업 지도안
                  • 4 조사지 분석
                  • • Ⅵ 결론
                    • 참고문헌

을리 하는 일이 없으면 그 들이 원 을 부 옮길 때까지 세상은 태평할

것이다rdquo]

승려들은 과제를 수행하기 해 밤낮으로 매우 열심히 작업을 했다 그 작

업을 끝내기 해서 승려들은 몇 번을 움직여야 하고 얼마나 많은 시간을

사용해야만 했을까

[그림2 하노이의 탑]

원 이 1개가 있으면 최소 이동 횟수는 1번 원 이 2개가 있을 때 최소

이동 횟수는 3번이고 원 이 3개가 있으면 최소 이동 횟수는 7번이다

원 이 4개가 있으면 최소 이동 횟수는 15번이다 이런 식으로 계속 해나

가다 보면 　　　　　　　 라는 수열을 얻는다 이것은 각 항의 차이가

계차수열을 이루는데 이것은 다음과 같다 　　　　　　일반항을 으로 두

고 구해보면 　 　times 　 　 이다 처음 값을 으로 두고 일반항을

구해보면 　

이 된다

만약 그 설 로 따라가서 수도승들이 쉬지 않고 디스크를 1 에 한번

씩 옮겼다면 최소의 이동횟수는 이 되고 18446744073709551616

가 걸리고 략 5854억4200만년이 필요하다는 것을 알 수 있다

원 이자 원리합계(=원 +이자)

1년 원 원 원

2년 원 원 원

3년 원 원 원

년 원 100원 원

2) 등차수열의 응용

(1) 단리법

단리법은 처음 원 의 이자에 해당하는 비율만큼 계속 되는 계산법이

다 1000원을 했다면 1년이 지날 때마다 10 의 이자가 붙는다고 하

자 1년이 지났을 때 10 의 이자가 붙으면 100원 불어나므로 1000 +

1000 times 01 = 1100(원) 이다 그리고 1년2년 년이 지날 때 마다

값을 측정해보면 다음과 같다

[표3 단리법]

최종 으로 원 을 라 하고 연이율을 이라고 한다면

결국 년이 되었을 때 단리법으로 표 하면 그 때의 총 합 는

이 된다

3) 등비수열의 응용

(1) 복리법

복리법은 원 에 이자가 된 원리합계를 기 으로 이자를 계산하는 방

법이다 원을 했다면 1년이 지날 때마다 의 이자가 붙는다고

원 이자원리합계

(=원 +이자)

1년 원 원 원

2년 원 원 원

3년 원 원 원

년 원 times원 원

하자 1년이 지났을 때 의 이자가 붙으면 원 불어나므로

times (원) 이다 그리고 1년2년 년이 지날 때 마

다 값을 측정해보면 다음과 같다

[표4 복리법]

최종 으로 원 을 라 하고 연이율을 이라고 한다면

따라서 년이 지나면 이 된다 그때의 총 합 는 이

다

4) 황 비율

에서 언 했던 피보나치수열 　　　　　　　　　　에서 번째 항

을 번째 항으로 나 어 보자

　 　

　 　

　 　

　 　

　 　

　 　 이런 식으로 계속 해나가다 보면

이 수가 061803 에 근사하게 된다 고 그리스인들은 이 수에 lsquo황 비

율rsquo라는 이름을 붙 다 이것은 인간이 보기에 가장 아름다운 비율이라 하

여 여러 분야에서 사용되고 있다

(1) 황 비의 이용

약 100년 페히 라는 독일의 심리학자는 수백 명의 사람들에게 여러

종류의 직사각형을 보여 다음 마음에 드는 것을 선택하게 하는 실험을

했다 그런데 그 결과 부분의 사람이 황 직사각형을 선택했다고 발표했

다 ([6])

실험에 의하면 황 비는 사람들이 가장 편안하고 아름답게 느끼는 비율로

알려져 있으며 이런 이유 때문에 옛 부터 건축과 미술 음악 등에서 자주

이용되어 왔다

(가) 건축

기원 2000년경의 이집트 《린드 피루스》에 보면 기원 4700년에 기

자의 피라미드를 건설할 때 이 수를 lsquo신성한 비율rsquo로 사용했다고 한다

의 측량 기술로 측정해보니 피라미드 의 심에서 의 모서리까지

그리고 경사면까지 거의 정확하게 0618이었다 ([6])

피라미드는 인류역사를 통해서 사람들을 가장 매료시켜온 건축물 의 하

나이다 그 규모의 장 함에서도 사람을 압도하는 것이 있지만 그 형태 자

체가 고도한 수학을 배경으로 한 것으로서 우리가 알고 있는 5천년 의 지

식수 으로서는 불가사의한 것 의 하나이다

[그림3 피라미드 황 비]

(나) 음악에서의 활용

음악에서 한 옥타 는 [도 미 솔 라 시 도] 의 8음계로 이루어져 있

다 피아노의 건반은 한 옥타 를 13개의 음으로 나 어 표 하고 있으며

이 하얀 건반이 8개 검은 건반이 5개 있고 하얀 건반은 3개와 5개 검

은 건반은 2개와 3개로 구분되어 있다 여기에서 나타나는 2 3 5 8 13

은 에서 보인 피보나치수열이다

[그림4 피아노건반황 비율]

(2) 인체에서의 황 비율

황 분할은 우리의 인체 속에서도 찾아볼 수 있다 인간의 신체가 이 비율

에 의해서 분할되어 있으며 이것이 아름다운 몸의 보편 기 이 되고 있

다 아래 그림은 Le Corbusier가 찾아낸 이상 인간의 각 신체부 의 비율

이다 이것은 오나르도 다빈치의 인체비율에 한 그림에서도 찾아 볼

수 있다 이 뿐만 아니라 인체의 각 부 들도 그 자체 황 분할을 이루

고 있다

[그림5 인체 황 비율]

앞에서 제시한 황 비율을 사용한 시들 이외에도 우리 주변에 아주 많

이 있다

교과서 차례

한교과서(주)

Ⅳ 수열

1 등차수열과 등비수열

2 여러 가지 수열

3 수학 귀납법

4 알고리즘과 순서도

(주) 천재교육

Ⅲ 수열

1 등차수열과 등비수열

2 여러 가지 수열

3 수학 귀납법

4 알고리즘과 순서도

Ⅳ 고등학교 수학교육과정에서의 수열

1 수학Ⅰ 교과서 분석

고등학교 2학년이 학습하는 lsquo수학 Ⅰrsquo은 국민 공통 기본 교육 기간의 10단계

수학을 이수한 학생들이 보다 문 인 진로를 고려하고 보다 높은 수 의

수학을 학습하기 해 설정된 심화 선택 과목이며 lsquo수학 Ⅱrsquo를 학습하기 한

단계이다 lsquo수학 Ⅰrsquo의 내용은 수 역에서 지수와 로그 행렬 수열이

실려있고 해석 역에서 수열의 극한 지수로그 함수가 수록되어 있으며

확률과 통계 역에서 순열과 조합 확률 통계 등으로 구성되어 있다 특히

수 역에 해당하는 수열은 여러 가지 수열에 한 성질을 이해하고 그것

을 일반화 하는 과정에 을 두어 지도하도록 하고 있으며 계차수열은 등

차수열이나 등비수열이 되는 경우만 다룬다 ([2])

1) 수학 Ⅰ 5종 교과서의 차례 단원 배열

앙교육진흥연구소

Ⅲ 수열

1 등차수열과 등비수열

2 여러 가지 수열

3 수학 귀납법

4 알고리즘과 순서도

(주) 고려출

Ⅲ 수열

1 등차수열과 등비수열

2 여러 가지 수열

3 수학 귀납법과 순서도

(주) 두산

Ⅲ 수열

1 등차수열과 등비수열

2 여러 가지 수열

3 수학 귀납법

4 알고리즘과 순서도

[표5 수학 Ⅰ 5종교과서의 차례]

의 표에서 본 것과 같이 임의로 선택된 5종의 고등학교 수학 Ⅰ 교과서의

차례는 거의 비슷한 양상을 보 다 부분의 교과서에선 1단원 지수와 로

그 2단원 행렬 3단원 수열 순의 순서를 보 고 한교과서외의 몇몇

교과서에선 1단원 지수와 로그 2단원 지수로그함수 3단원 행렬 4단원 수

열 순의 순서를 보 다 수열단원의 세부 단원 차례는 1 등차수열과

등비수열 2 여러 가지 수열 3 수학 귀납법 4 알고리즘과 순서도 는

34 단원을 한 단원으로 해서 3 수학 귀납법과 순서도의 순서로 다루는

은 비슷했다

2) 교과서에 제시된 수열 련 자료

한교과서

(주)

피타고라스(Pythagoras 572～492 BC) 피타고라스의 정리

로 잘 알려져 있고 소수나 완 수의 규칙성에 해서도 많은 연

구를 하 다

바스카라(Bhaskara A 1114～1185) 인도의 수학자로

임을 증명하 고 피타고라스의 정리를 기하학

으로 증명하 다

피보나치(Fibonacci 1180～1250) 이탈리아의 수학자로 자연

속에서 많이 볼 수 있는 피보나치 수열을 발견하 다

스칼(Pascal B 1623～1662 ) 랑스의 수학자로 수학

귀납법을 발견하 고 사 기하학을 창시하 다

푸리에(Fourier J B J 1768～1830) 랑스의 수학자로 음양

학 학 기역학 열역학 등의 연구에 매우 요한 푸리에

수를 연구하 다

가우스(Gauss K F 1777～1855) 수학 통계학 등의 다방

면에 많은 업 을 이루었고 역사상 가장 한 수학자 의 한

사람으로 불리워지고 있다

비주얼 베이직(Visual BASIC)

을 이용한 Programming

하노이의 탑

(주)

천재교육

가우스(Gauss K F 1777～1855) 독일의 수학자인 가우스는

수학의 각 방면에 많은 업 을 남겨 수학의 아버지라 일컬

어지고 있다 그는 계산의 천재로 알려져 있는데 이에 한 유명

한 일화가 있다 등학교 때 부터 까지의 합을 구하는 문

제에서 다른 학생들이 직 하나하나 계산하는 동안 가우스는

　 　 　　　　 이 모두 임을 이용하여

times 이라는 답을 이끌어 내었다 이러한 방식은 수열

의 합을 계산할 때 사용하는 방식 의 하나이다

하노이의 탑을 이용한 수열의 귀납 정의

임의로 선택된 5종 교과서들의 수열단원에서 학생들의 수열 단원의 이해를

돕기 해 수록된 수학자들에 한 설명과 기타 자료들은 다음과 같다

도미노 이론 - 수학 귀납법의 다른 표

피보나치수열 - 토끼 수 증가 문제

앙교육

진흥연구소

삼각수 사각수 문제

피보나치(Fibonacci 1180～1250)

가우스(Gauss K F 1777～1855)

음악과 수학 - 작곡가 바흐(Bach)의 요 업 으로 평균율을

들 수 있다 평균율이란 1옥타 즉 lsquo도rsquo와 lsquo도rsquo의 사이를 개의

반음으로 나 고 처음 lsquo도rsquo의 진동수를 이라 하면 그에 일정한

수를 더해 제곱하여 옥타 의 lsquo도rsquo의 진동수를 얻는 것을

말한다 수식으로는 로 나타낼 수 있고 이 등식을

만족하는 의 값이 평균율이다

(주)

고려출

티티우스-보데 수열 -

수열 　　　　　　　　의 각 항에 각각 를 더한 후

으로 나 수들을 나열한 것 　　　　　　　 를

티티우스-보데 수열이라 한다 이수열의 각 항은 태양에서 행성

까지의 실제 거리와 비슷한 것으로 1766년 티티우스(Titius)라는

독일의 천문학자가 발견하 다

제갈량의 군 에 한 을 통한 등비수열의 합

피보나치 수열

휴먼 로 - 휴먼 로 의 제작은 복잡한 여러 가지 알고리즘

과 순서도에 바탕을 두고 있다 알고리즘의 요성은 자계산기

이 부터 실제 으로 존재했다 그 로 최 공약수 계산에 한

유클리드의 알고리즘이 있다 한 가우스와 같은 부분의 수학

자들은 역사 으로 많은 양을 처리하는 효율 인 알고리즘에

심을 가졌다 이러한 알고리즘을 보다 효율 으로 이용하여 재

의 컴퓨터 시 를 구축했다

(주) 두산

피보나치(Fibonacci 1180～1250)는 이탈리아의 피사에서 태

어난 수학자이다 부친이 상업에 종사하 기 때문에 피보나치는

이집트 시칠리아 그리스 시리아 등 다양한 지역을 여행할 수

있었고 이 때 다양한 수학을 하게 되었다 1202년 피사로 돌아

온 피보나치는 「산반서(Liber abaci)」를 술하 다 1228년에

는 「산반서 2 」을 술하 는데 이 책에서 정수와 분수의 계

산 제곱근과 세제곱근 일차와 이차방정식의 풀이 등을 다루었다

고 한다 특히 이 책에 나오는 「피보나치의 수열」은 매우 흥미

로운 수열로 요한 성질을 많이 가지고 있다

1에서 100까지 자연수를 모두 합하면 얼마일까

가우스(Gauss KF 1777～1855) 가우스는 수론 해석학 확

률론 천문학 물리학 등 다양한 분야에 뛰어난 수학자이었다 특

히 그의 수론 연구는 19세기 수학 체계의 확립에 크게 공헌하

다

피타고라스(Pythagoras 572～492 BC) 피타고라스는 음의

높이에 따른 진동수의 비가 일정함을 발견하 다

페아노(Peano G 1858～1932) 자연수의 성질을 추상화 하여

페아노의 공리계를 만들었다 이 공리계의 제 5공리가 수학 귀

납법의 원리이다

피보나치의 수열

알콰리즈미(Alkhwarizmi 780～850) 알고리즘이란 말은 세

아라비아의 수학자 알콰리즈미의 이름에서 유래된 것으로서 그가

십진법으로 나타낸 수의 계산에 용한 계산 방법에서 나온것이

다

[표6 5종 교과서에 제시된 수열 련 자료]

2 수학 Ⅰ 교과서에서의 수열

등차수열의 일반항

첫째항이 공차가 인 등차수열의 일반항 은

본 연구자가 임의로 선택한 5종 교과서 ([5][8][12][13][14]) 에서의

수열의 내 을 정리해보았다

1) 등차 수열과 등비 수열

(1) 수열의 뜻

어떤 규칙에 따라 순서 로 수를 늘어놓은 것을 수열이라 하고 그 수열을

이루는 각각의 수를 그 수열의 항이라고 한다 수열의 각 항을

앞에서부터 순서 로 제 1항 제 2항 제 3항 제 항

이라고 한다 특히 제 1항은 첫째항이라고도 한다

(2) 등차수열의 뜻

첫째항에 차례로 일정한 수를 더하여 만들어진 수열을 등차수열 이라하고

더한 일정한 수를 공차라고 한다

첫째항이 공차가 인 등차수열 에서

이므로 일반항 은 다음과 같이 나타낼 수 있다

(3) 등차수열의 합

등차수열의 합

첫째항이 공차가 끝항이 인 등차수열의 첫째항부터 제 항까지의

합 은

첫째항이 공차가 등차수열 에서 첫째항 부터 제 항 까지의 합

을 토론하기의 방법을 이용하여 구해보자

　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　①

더하는 순서를 거꾸로 하면

　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　②

①②의 양변을 각각 더하면

　　

따라서 =

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　③

이때 제 항인 를 ③에 입하여 식을 다르게 나타낼수도

있다

이상을 정리하면 다음과 같다

(4) 수열의 합과 일반항

수열 에서 첫째항부터 제 항까지의 합을 이라 하면

ge 일때 　　

there4

수열의 합과 일반항의 계

수열 의 첫째항부터 제 항까지의 합을 이라 하면

(단 ge )

등비수열의 합

일때 이다

이상을 정리하면 다음과 같다

(5) 등비수열의 뜻

첫째항부터 시작하여 각 항의 바로 앞의 항에 일정한 수를 곱하여

만들어진 수열을 등비수열이라 하고 곱하는 일정한 수를 공비라고 한다

첫째항이 공비가 인 등비수열에서 첫째항부터 제 항까지의 합 은

다음과 같이 구한다

　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　①

①의 양변에 공비 을 곱하면

　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　②

①에서 ②를 같은 변끼리 빼면

따라서 ne 일때

인 경우 ①에서

　　

there4

이상을 정리하면 다음과 같다

첫째항이 공비가 인 등비수열의 첫째항부터 제 항까지의 합 은

① ne 일때

② 일때

자연수의 거듭제곱의 합

①

　　

②

　　

③

　　

2) 여러 가지 수열

(1) 합의 기호 sum

수열 에서 첫째항부터 제 항까지의 합

　　

을 일반항과 합의 기호 sum를 써서

　　

와 같이 나타낸다

이때

는 수열 의 일반항 의 에 　　　　　　을 차례로

입하여 얻은 항의 합으로 신 다른 문자를 사용하여

등과 같이 나타낼 수 있다

(2) 기호 sum 의 성질

합의 기호 sum 의 성질에 하여 알아보자

합의 기호 sum의 성질

①

(복부호동순)

②

(단 는 상수)

③

(단 는 상수)

　　

　　 　　

　　

마찬가지로

와

에 해서도 확인해 보면 sum 의 성질을

다음과 같이 정리할 수 있다

(3) 계차수열

일반 으로 수열 에서 이웃하는 두 항의 차

　　 을 일반항으로 하는 새로운 수열

　　　　　　　을 얻을 수 있는데 이 수열 을 원래의 수열 의

계차수열이라고 한다

수열 에 하여 그 계차수열을 이라 하면

　　

계차수열과 일반항

수열 의 계차수열을 이라 할때

(단 ge )

3) 수학 귀납법

(1) 수열의 귀납 정의

첫째항과 이웃하는 두 항 사이의 계식으로 수열을 정의하는 것을 수열의

귀납 정의 라고 한다

첫째항이 공차가 인 등차수열 은 다음이 성립한다

　ge 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　①

역으로 두 계식 ①이 주어지면 이 결정되고 차례로

가 결정된다 따라서 모든 자연수 에 하여 이 정해지므로 수열 이

정의 된다

①과 같이 의 값 과 의 계식을 화식이라고 한다

(2) 수학 귀납법

수학 귀납법은 이탈리아의 페아노에 의하여 설정된 자연수에 한 공리

수학 귀납법

자연수 에 한 명제 이 모든 자연수 에 하여 성립함을 증명하

려면 다음 ⅰ ⅱ 를 증명하면 된다

ⅰ 일때 명제 이 성립한다

ⅱ 일때 명제 이 성립한다고 가정하면 일때에도

명제 이 성립한다

다음과 같은 5번째 공리에 근거를 두고 있다

자연수의 집합 의 부분집합 가

ⅰ 　isin

ⅱ 　isin 이면 isin

(여기서 는 의 후자)

인 두 조건을 만족하면 이다

4) 알고리즘과 순서도

(1) 알고리즘과 순서도

어떤 문제를 해결하기 해서는 그 처리 순서를 정해야 하는데 이와 같이

문제 해결에 필요한 처리 과정의 순서를 단계 으로 정리한 것을 알고리즘

이라 하고 알고리즘을 알기 쉽게 기호를 써서 그림으로 나타낸 것을 순서도

라고 한다 일반 으로 어떤 문제를 해결하기 한 알고리즘은 여러 가지가

있을 수 있지만 정해진 유한번의 단계를 거치면 반드시 끝나야 하고 처리

과정의 순서가 명확해야 한다 한 순서도는 각 부분을 순서 계통 으로

나타냄으로써 작업 과정을 구나 쉽게 한 에 악할 수 있도록

작성되어야 한다 순서도는 다음과 같은 기호를 사용하여 작성한다

[표7 순서도의 기호]

(2) 알고리즘과 순서도의 작성

수열과 련된 순서도를 작성할 때에는 다음과 같은 방법을 고려한다

(가) 항수를 항을 수열의 합을 로 나타낸다

(나) 제시된 항의 번호까지 루 를 용한다

(다) 제시된 항의 번호에 하여 단 기호를 이용한다

(라) 구하려는 는 를 인쇄하고 끝낸다

주의환기

집 을

한 략

지각

주의환기의

략

시청각 효과의 사용

비일상 인 내용이나 사건 제시

주의 분산의 자극 지양

탐구

주의환기의

략

능동 반응 유도

문제해결 활동의 구상 장려

신비감의 제공

다양성의

략

간결하고 다양한 교수형태 사용

일방 교수와 상호작용 교수의 혼합

교수자료의 변화 추구

목표-내용-방법이 기능 으로 통합

련성

증진을

한

략

친 성의

략

친 한 인물 혹은 사건 활용

구체 이고 친숙한 그림 활용

친 한 문 배경 지식 활용

목 지향성

의 략

실용성에 을 둔 목표 제시

목 지향 인 학습형태 활용

Ⅴ 러의 ARCS 이론과 수열 지도

1 러의 ARCS 이론

1) ARCS 이론의 특징

(1) 이론 배경

다음은 ([4])의 내용을 참고하 다

ldquo말을 물가로 데리고 갈 수는 있지만 물을 먹일 수는 없다rdquo는 속담처럼

하고자 하는 마음이 없으면 학습 효과를 기 할 수 없는 것은 당연한 사실

이다 이러한 생각의 근거에는 동기 유발의 개념이 자리 잡고 있다 동기

유발이란 어떤 활동을 진 지시 유지하려는 내 상태 는 과정을

포함한다 이 개념은 교육 심리학의 심 개념 의 하나이지만 직 찰

할 수 없는 것이기 때문에 인간의 행동을 보고 거기에서 유출해 내는 개념

이며 이에 한 정의는 바라보는 과 강조하는 내용에 따라 각기 다르

다

(2) ARCS 이론

목 의 선택 가능성 부여

필요나

동기와의

부합성 강조의

략

다양한 수 의 목 제시

학업성취 여부의 기록체제 활용

비경쟁 학습상황의 선택가능

동 상호 학습상황 제시

자신감

수립을

한 략

학습의

필요조건

제시의 략

수업의 목표와 구조의 제시

평가기 피드백의 제시

선수학습 능력의 단

시험의 조건 확인

성공의 기회

제시의 략

쉬운 것에서 어려운 것으로 과제 제시

정수 의 난이도 유지

다양한 수 의 시작 제공

무작 의 다양한 사건 제시

다양한 수 의 난이도 제공

개인

조 감

증 의 략

학습의 끝을 조 할 수 있는 기회 제시

학습속도의 조 가능

원하는 부분에로의 재빠른 회귀 가능

선택가능하고 다양한 과제의 난이도제공

노력이나 능력에 성공 귀착

만족감

증 를

한 략

자연 결과

강조의 략

연습문제를 통한 용기회 제공

후속학습상황을 통한 용기회 제공

모의상황을 통한 용기회 제공

정 결과

강조의 략

한 강화 계획의 활용

의미 있는 강화의 강조

정답을 한 보상 강조

외 보상의 사려 깊은 사용

선택 보상체제 활용

공정성

강조의 략

수업목표와 내용의 일 성 유지

연습과 시험 내용이 일치

[표8 ARCS 략] ([1])

2 ARCS 이론을 용한 수열 수업 계획서

다음은 ([1])의 ARCS 이론의 수업계획서를 참고하여 수열 단원의 수업

계획서를 작성해보았다

수업내용개 동기 략개 기타의견1 수업 기

체 으로 교사는 다양한 방법으로 학습자들

에게 수업 내용을 제시하고 학습자들에게

한 언어를 사용한다

수열의 활용에

한 학습목표

제시하기

교사는 학습자들의 련성을 높이기 해 학습

목표의 의미를 설명해 다

도표는 큰 씨를 사

용하고 핵심이 되는

단어에는 다른 색깔을

사용한다

수열의 활용의

이 과 평가

거를 제시하기

교사는 학습자들의 련성과 자신감 만족감

을 높이기 하여 이 수업이 끝난 후 그들이

무엇을 할 수 있는지에 해 알려 다

교사는 학습자들의 자신감과 만족감을 높이기

하여 성공 인 학습성취를 단할 수 있는 객

인 거들을 알려 다

교사는 학습자들의 만족감을 높이기 하여

그들이 주어진 과제를 성공 으로 해결했을 때

그에 따르는 내재 강화나 외재 보상이 있음

을 알려 다

수열의 정의와

해법에 한 지

식을 간략하게

확인하기

교사는 선수학습과의 련성을 유발하기 하

여 간략한 보조도구(인쇄매체)를 사용하여 수열

의 정의와 해법을 제시한다

교사는 소집단 토론을 실시하여 학습자들의

선수지식을 스스로 검해 보도록 한다

교사는 수열의 정의와 해법을 잘 모르는 학습

자들에게 자신감을 유발시키기 하여 개별 인

학습목표를 세우도록 한다

소집단 구성에 있어

서 주의집 이 매우

낮은 5명을 하나의 소

집단으로 구성하고

친근한 소재를 활용하

여 그들의 주의집 과

련성을 유발한다

실생활과 련

된 수열의 활용

문제들을 몇 가

지 소개하기

교사는 학습자들의 주의집 을 유지하기 해

실생활에서 연립방정식을 활용하여 해결할 수

있는 몇 가지 문제들을 제시한다

주의집 이 매우 낮은 5명의 학습자들이 수업

에 극 인 심을 보이지 않으면 교사는 그

들에게 친근한 목소리로 이름을 부르면서 수업

에 집 하라고 얘기 하고 개인 인 심을 갖

고 있음을 나타낸다

로써 활용되는 문

제들을 선택할 때 학

습자들이 알고 있거

나 그들에게 친근감

을 주는 소재가 포함

되도록 선택한다 이

때 지나치게 자심감

이 높아서 수업에 소

극 으로 참여하는 3

명의 학습자들에게는

다소 복잡한 수열의

활용 문제를 미리 제

공하여 생각할 기회를

다

수열의 활용에

한 학습자들의

이해정도를 악

하고 피드백을

제공하기

교사는 학습자들에게 자신감을 높이기 하여

소집단을 구성하여 학습자들이 수열의 활용에

해 어느 정도 이해하고 있는지를 서로 토론하

도록 한다

교사는 소집단별로 둘러보면서 자신감과 만족

감을 유발시키기 하여 학습자들간에 서로 도

움을 주도록 분 기를 형성한다

소집단별로 간략하게 토론이 끝나면 학습자

들 스스로 정리하도록 한다

토론결과 학습자들이 수열의 활용에 해 잘

못 이해하고 있다면 교사는 즉각 으로 교정

피드백을 제공한다

학습자들의 소집단

토론시간을 무 길게

소요하지 않도록 한

다 자칫하면 토론분

기가 산만해지기 쉽

고 토론이 활발하지

못한 경우에는 학습자

들의 학습의욕이 떨어

진다

2 수업 반 체 으로 교사는 다양한 방법으로 학습자

들에게 수업 내용을

제시하고 학습자들에게 개별 인 언어를 사용

한다

실생활과 련

된 수열의 활용

의 문제들을 구

체 으로 제시하

기

교사는 학습자들의 주의집 련성 자신감

만족감을 유지하기 하여 게임을 실시한다 학

습자들이 돌아가면서 임의로 다른 학습자를 지

명하면 지명받은 학습자가 실생활과 련된 수

열의 문제를 하나 제시한다 한 문제를 제

시한 학습자에게 학습태도 수를 주어 만족감

을 향상시킨다

교사는 학습자들이 제시한 여러 가지 문제들

을 칠 에 은 후 몇몇 소집단을 구성하여

그 문제들을 해결하기 해 인스토 을 하

도록 한다 이때 교사는 문제를 해결한 학습자

가 아직 해결하지 못한 학습자들을 도와주어 자

신감과 만족감을 갖도록 한다

인스토 이 진행되는 동안 교사는 교실

을 둘러보면서 학습자들이 질문이나 의문사항

에 해 극 으로 질문할 수 있는 기회를 제

공하고 그에 해 개별 인 언어를 사용하여

부드러운 목소리로 피드백을 제공한다

인스토 도 학습자들의 개인 인 능

력차가 커서 문제를 해결하는데 어려움을 겪는

학습자들에게는 그들에게 합한 개별 인 학습

이때 교사는 밝고

생동감이 넘치는 목소

리로 학습자들의 활동

을 진시킨다

교사는 학습자들이

한 자신감을 유지

하고 있는지에 해

지속 인 심을 갖고

지켜본다

이때 교사는 학습자

들의 자신감과 만족감

을 높이기 하여 그

들에게 일 성 있는

피드백을 제공한다

교사는 학습자들이

목표를 다시 선정하도록 하여 자신감을 향상시

킨다

인스토 이 끝나면 교사는 소집단 별로

한 사람씩 자발 으로 나와 문제를 풀고 풀이

과정을 체 학습자들에게 설명하도록 한다 이

때 어려운 문제를 해결한 소집단이나 학습자에

게 교사는 그들의 우수한 능력을 인정하고 내

재 인 자존심에 정 인 향을 주는 칭찬을

제공하여 자신감과 만족감을 높인다

소집단의 인스토

을 하는 동안 체

으로 문제풀이를 할

때 주의집 을 유지

하고 자신감과 만족

감의 향상을 악하기

해 끊임없이 그들과

시선을 교류하고 얼

굴표정을 찰한다

3 수업마무리 체 으로 교사는 다양한 방법으로 학습자

들에게 수업 내용을 제시하고 학습자들에게 개

별 인 언어를 사용한다

실생활과 련

된 수열의 활용

에 해 체

으로 정리 요

약하기

교사는 교탁을 탁탁 치거나 박수를 쳐서 다

소 떨어진 학습자들의 주의집 을 향상 시킨다

교사는 실생활 속에서 수열을 활용하여 해결

할 수 있는 간단하고 재미있는 문제들을 2～3개

제시하여 학습자들이 그 문제를 성공 으로 해

결함으로써 자신감과 만족감을 갖도록 한다

교사는 학습자들이 미처 생각하지 못했던 실

생활 속에서 수열과 연 된 다양한 들을 제공

하여 주의집 과 련성을 유지향상시킨다

교사는 자신감과 만족감을 향상시키기 해

학습자들에게 수업진행 에 그들이 설정한 개

인 인 학습목표에 해 얼마나 많이 달성했는

가를 스스로 검해 보라고 한다

교사는 수업 반에 수열의 문제를 잘 해결하

지 못했던 학습자들에게 그 문제를 다시 해결해

보도록 기회를 제공하여 자신감과 만족감을 높

여 다

평가에 있어서 교사는 학습자들이 그들의 성

에 해 공정하게 평가되었다고 느끼도록 일

성 있게 평가하여 그들의 자신감고 만족감을

높여 다

교사는 수열과 실생

활과의 련성에 해

학습자들이 잘 지각하

고 있는가를 알아보기

해 다소 진지한 목

소리로 질문한다

다음 학습내용

에 해 간략히

소개하기

교사는 학습자들의 흥미를 유지하기 하여

다음 학습내용에 해 호기심에 찬 목소리로 간

략하게 소개하고 수업을 끝낸다

[표9 러의 ARCS이론]

단원

단

원Ⅲ 수열

배정시간

(분)50

단

원1 등차수열과 등비수열

차시 3소단

원3) 등차수열과 등비수열의 활용

학습

목표등차수열과 등비수열을 실생활의 문제에 용할 수 있다

학습

단계학습내용

교수-학습활동 지도상의유의사

항교사활동 학생활동

도

입

15

분

인사

출석

주변을 정리 정돈

하여 수업분 기를

조성한다

인사 출석체크

를 한다

주의를 환기시킨

후 학생들과 인사

한다

출결석 여부를

확인한다

바른 자세로 주

변을 정리한 뒤

교사와 인사한다

수업 비를 한

다

교사와 학생

모두 함께 수업

분 기를 조성한

다

선수

학습

확인

지난 시간에 학습

한 등차수열과 등비

수열의 정의에 해

다시 한번 확인해본

다

지난 시간에 학습

한 등차수열과 등비

수열의 일반항을 구

하는 방법에 해 확

인학습으로 [문제1]

과 [문제2]를 풀어본

다

학생들의 자신감

을 높이기 하여

등차수열과 등비수

열의 정의를 교과

서에서 찾아본 후

큰소리로 답하게

한다

학생들이 답한

후 다시 한번 등차

수열과 등비수열에

해 간단히 설명

등차수열과 등

비수열의 정의를

교과서에 찾아본

후 큰소리로 읽는

다

교사가 등차수

열과 등비수열의

정의에 해 다시

한번 간단히 설명

할 때 부족한 부

분은 필기하며 복

습한다

교사가 정의에

해 질문할 때

학생들이 모두

책을 찾아볼수

있게 주의를

다

만일 답하

지 못하는 학생

이 있을 경우 그

여기서 인스토 (brainstorming)이라고 하는 것은 갑자기 떠오르는 멋

진 생각을 종이에 는다든가 말로 표 해 본 후 로 기록하거나 기록된

문장을 정리정돈하면서 생각을 논리화하는 방법이다 주로 어떤 계획을 세

우고자 할 때 창조 이고 기발한 아이디어가 필요할 때 학생들의 의견과

생각을 끌어내어 발 시키고자 할 때 사용하면 유리하다 ([3])

3 ARCS 이론을 용한 수업지도안

[문제1]

다음 등차수열

의 일반항과 제20항

을 구하여라

　　　　　　　

[문제2]

다음 등비수열

의 일반항과 제8항을

구하여라

　 　　　　　

한다

교사는 [문제1]

과[문제2]를 제시

한 뒤 학생들에게

직 풀어보게 한

다

등차수열과 등

비수열의 일반항

과 그 공식의 유

도과정을 기억한

다

제시된 문제를

연습장에 풀어본

다

학생에 해 개

별 인 언어를

사용하여 부드러

운 목소리로 피

드백을 제공한

다

개

30

분

학습

목표

제시

수열의 활용에

한 학습목표를 제시

한다

학습목표 학습

에 필요한 자료를

Power point 시청

각 효과를 사용하여

학생들의 주의환기

집 을 한 략

을 사용한다

학습목표를 학생

들에게 읽게 하고

학생들의 련성을

높이기 해 학습

목표의 의미를 설

명해 다

교사의 지시에

따라 큰소리로 학

습목표를 읽고 이

수업이 끝난 후

무엇을 할 수 있

는지에 해 생각

해 본다

학습목표는 큰

씨를 사용하

고 핵심이 되는

단어에는 다른

색깔을 사용한

다

탐구

학습

실생활과 련된

수열의 활용문제들을

몇 가지 소개한다

수열의 활용에

한 학습자들의 이해

정도를 악하고 피

드백을 제공한다

등차수열과 등비

수열을 이용하여

실생활의 문제를

해결할 수 있음을

학생들이 쉽게 이

해할 수 있도록 설

명한다

교사가 실생활

과 련된 수열의

활용문제들을 몇

가지 소개할 때

다른 시가 있는

지 함께 생각해

본다

문제

제시

[문제3]

한일 월드컵 축구 개

회 연도는 2002년이

다 2002년 이후 월

드컵 축구가 개최되

는 연도를 차례로 써

보고 이 규칙 로 월

드컵 축구가 개최되

면 2100년은 월드컵

축구가 개최되는 연

도인가

교과서에서 수열

단원의 수열의 활

용부분에 수록된

문제들을 풀어볼

수 있도록 시간을

다

등차수열과 등

비수열의 일반항

유도 공식을 생각

해보고 제시된 문

제를 해결해 간다

로써 활용되

는 문제를 선택

할 때 학습자들

이 알고 있거나

그들에게 친근감

을 주는 련성

증진을 한

략을 사용한다

[문제4]

컴퓨터의 주기억 장

치인 램은용

으로

용으로 가 개발

되었다 이후 램의

용 량 은

로 증가되어 왔다

의 램으로부터

번 증가된 주 메모

리는 식으로 어떻게

나타낼 수 있는가

학생들이 문제를

어렵게 느끼지 않

도록 어떤 방향으

로 해결해야 하는

지 힌트를 주어 학

생들의 자신감을

증진시킨다

소집

단

활동

5～6명으로 이 진

소집단을 구성하여

학습자들이 수열의

활용에 해 어느 정

도 이해하고 있는지

를 서로 토론하도록

한다

소집단별로 실생활

과 련된 수열의 활

용의 문제들을 구체

으로 제시한다

인 스토 이

끝나면 소집단별로

한사람씩 문제를 풀

고 풀이과정을 체

학생들에게 설명하는

시간을 갖는다

교사는 학생들의

만족감을 높이기

하여 그들이 주

어진 과제를 성공

으로 해결했을

때 그에 따르는

내재 강화나 외

재 보상이 있음

을 알려 다

어려운 문제를

해결한 소집단이나

학생에게 교사는

그들의 우수한 능

력을 인정하고 내

재 인 자존심에

정 인 향을

주는 칭찬을 제공

하여 자신감과 만

족감을 높인다

자신이 속한 소

집단 내에서 제시

된 과제에 해

열심히 토의를 하

며 문제를 해결한

학생이 아직 해결

하지 못한 학생들

을 도와주어 자신

감과 만족감을 갖

도록 한다

소집단별로 간

략하게 토론이 끝

나면 학생들 스스

로 정리해보고 자

발 으로 체 학

생들에게 설명해

보는 기회를 갖는

다

교사는 학습자

들이 한 자

신감을 유지하고

있는지에 해

지속 인 심을

갖고 지켜본다

학생들의 소집

단 토론시간을

무 길게 소요

하지 않도록 한

다

형성

평가

[문제4]

민수는 남 문의 기

와 지붕 한쪽 면이

사다리꼴 모양임을

찰하고 이 면에 있

는 기와의 개수를 알

아보고자 한다 기와

형 성 평 가 를

Power point로 제

시하고 학생들이

스스로 풀어볼 수

있도록 지도한다

학생들이 문제를

다 풀고 나면 교사

제시된 문제를

오늘 학습한 내용

을 복습하면서 풀

어보도록 한다

교사는 다소

진지한 목소리로

질문한다

의 개수를 행으로 세

었더니 용마루 쪽에

가장 가까운 행에는

40개 처마 쪽에 가

장 가까운 행에는 72

개 다 용마루부터

처마까지 행의 개수

가 17이라고 할 때

민수가 찰한 지붕

한쪽 면의 기와의 개

수는 모두 몇 개인

가

는 학생들에게

답할수 있도록 하

고 학생들이 학습

목표에 해 얼마

나 많이 달성했는

가를 스스로 검

해 보라고 한다

형성평가의 답

을 교사의 질문에

끝난 뒤 큰소리로

답하여 자신감

과 만족감을 갖도

록 한다

학생들에게 개

별 인 언어를

사용한다

정

리

5

분

학습

정리

차시

고

학습 자료를 이용

하여 수열의 실생활

의 활용 단원의 수업

내용을 확인한다

과제를 제시한다

다음 차시인 「여

러 가지 수열」 단원

에 한 고를 한

다

수업 내용을 정

리하고 과제를 제

시한다

학생들의 흥미를

유지하기 하여

다음 학습내용에

해 호기심에 찬

목소리로 간략하게

소개하고 수업을

끝낸다

오늘 학습한 내

용을 정리한다

과제를 고 과

제 해결에 한

내용을 머릿속에

형성해 본다

다음 차시에 배

울 내용을 학습

자료 화면으로 확

인해본다

수업내용에

해 학생과 교사

모두가 만족하고

있는지 확인하고

공정한 평가를

한다

[표10 수업지도안]

4 조사 문제지 분석

고등학교 수학 Ⅰ 의 수열단원의 효율 인 지도방안의 연구를 하여 원

종고등학교 2학년 학생 100명을 상으로 조사 문제지 조사를 하 다 학

생들의 수학에 한 심과 수학에서 가장 어려워하는 부분을 알아볼 수

있었고 어떤 방식의 수업을 선호하는지도 알아볼 수 있었다

⑴ 수학에 얼마나 심이 있나요

① 매우 많다 ② 많다 ③ 보통이다 ④ 다 ⑤ 매우 다

수학과목에 매우 많은 심을 보이는 학생은 2로 매우 낮은 편이며

심이 있는 학생은 43로 학생의 반정도 다 수학과목에 심이 거

나 없는 학생은 54정도로 수학은 어려운 과목이라는 인식 때문에 심

이 은 것 같다

수학을 공부하는 가장 큰 이유에는75의 학생들이 학입시를 해서라

는 문항을 선택했다 기타 이유에는 교과서에 있어서 어쩔수 없이 한다

는 학생과 진리탐구를 해서라는 학생도 있었다

[그림6 조사문제지

(1)번 막 그래 ]

⑵ 수학을 공부하는 가장 큰 이유가 뭐라고 생각하나요

① 학입시를 해서

② 평소 수학에 흥미가 있어서

③ 실제 생활에 쓰기 해서

④ 주변에서 해야한다고 하니까

⑤ 기타 이유 (이유를 간단히 어주세요)

앞에 (1)번문항에서 수학에 심이 은 학생이 반 정도인것에 반해

수학공부가 필요하다고 느낀학생이 75정도로 수학공부가 필요하단건

느끼지만 어려운 과목이라는 인식이 부분인것 같다 수학과목도 재

는 과목이란 인식을 학생들이 가질수 있도록 노력해야겠다

[그림7 조사문제지

(2)번 막 그래 ]

⑶ 수학공부의 필요성에 해 어떻게 생각하나요

① 매우 필요하다 ② 조 필요하다 ③ 보통이다

④ 필요 없다 ⑤ 필요 없다

[그림8 조사문제지

(3)번 막 그래 ]

⑷ 수학을 공부하면서 가장 어려운 부분은 무엇이나요

① 복잡한 계산 과정 ② 외워야할 많은 공식들

③ 응용문제엔 어떤 공식을 용해야할지 ④ 다 어렵다

학생들이 수학과목이 어렵다고 느끼는 이유는 응용문제에 어떤 공식을

용해야 하는지를 몰라서 라는 답이 58로 가장 많았다 그 외에도

계산과정이 복잡하거나 외워야할 공식들이 많아서라는 답도 있었다

이해 주의 수업을 하고 단순한 공식의 암기 주의 수업을 탈피해야겠

다

수학수업을 하는데 효과 인 방법에는 선생님 주의 강의식 수업과 학

생 개인별 수업이 78로 가장 많았다 개념이나 공식유도과정을 설명할

땐 서를 하며 강의식 수업을 하고 문제풀이땐 학생들 개인별로 첨삭

지도를 하는게 효율 인것 같다

⑤ 기타이유 (이유를 간단히 어주세요)

[그림9 조사문제지

(4)번 막 그래 ]

⑸ 수학 수업을 하는 데 어떤 방법이 가장 효과 이라고 생각하나요

① 선생님 주의 강의식 수업

② 학생 개인별 수업

③ 모둠별 활동 수업

④ 기타 교재나 과제를 통한 수업

⑤ 기타(이유를 간단히 어주세요)

[그림10 조사문제지

(5)번 막 그래 ]

Ⅵ 결론

본 논문에서 지 까지 고등학교 2학년 학생들이 수학 Ⅰ 교육과정을 학습하

는데 가장 어려워하는 수열에 해 살펴보았다 먼 개정 교육과정에 명시

된 수학교육의 목표와 임의로 선택된 5종 교과서에서 수열 단원의 학습목표

를 살펴보았고 수열의 역사 배경과 실생활에 응용된 들을 정리해보았

다 한 5종 교과서에서 제시되어 있는 수열의 학습내용을 소단원 별로 정

리해보았다 임의로 선택된 5종 교과서안의 수열의 학습내용을 분석해보면

서 몇 몇 교과서에서 여러 가지 수열 단원에서 군 수열과 멱 수에 한 언

이 없거나 미약함을 알 수 있었다 본 연구자가 보기에 군 수열과 멱 수

부분은 실생활에 활용될 는 극히 작아 보이지만 학생들이 꼭 학습하고 넘

어가야 수열에 한 완벽한 학습이 될 수 있을 것이라 여겼는데 교과서에서

제시된 내용들로는 학생들이 충분히 이해할 수 없을 것 같았다

그리고 교과서에 제시된 문항의 수 이 입시와 동 떨어진다는 문제 이 있

었다 교과서에 제시된 문제가 부족하고 수 이 낮다 보니 실제로 학교에서

수업 때 보충 린트 물로 수업을 진행하고 간기말고사 때에도 교과서

외에서 많은 문제를 출제하는 모습을 볼 수 있었다 때문에 학생들이 교과서

보다는 문제집 주의 공부를 할 수 밖에 없는 듯 보 다 교과서가 학생들

과 교사의 요구에 부합할 수 있도록 새로운 내용들과 문제를 싣도록 해야

할 것이다

학생들이 수열 단원의 학습을 할 때 좀 더 효과 인 학습이 될 수 있도록

리의 동기설계이론 (ARCS 이론) 을 바탕으로 하여 수업 계획서와 1차시

의 수업 지도안을 작성해 보았다 한 작성한 수업 지도안으로 부천시 소재

의 한 고등학교에서 실제 수업을 진행해 보았을 때 학생들이 좀 더 수열에

해 친숙하게 느끼고 쉽게 이해하는 모습을 볼 수 있었다 본 연구자가

직 교사가 아니라 여러 반을 상으로 수열 단원의 모든 차시 수업에 용

하여 수업을 해볼 수 없었단 이 아쉬움으로 남는다

이와 같이 학생들의 주의 련성자신감만족감 증진을 한 수업을 함

으로써 학생들의 수학 학습 성취도의 향상을 기 할 수 있을 것이다 한

개발된 자료를 실제 수업에 용하는 경우의 효율성에 한 후속 연구가 체

계 이고 지속 으로 이루어져야 할 것이다

참 고 문 헌

[1] 구평회 META 구평회 교육학 2007

[2] 교육인 자원부 고시 제2007 - 79호[별책8] 2007

[3] 박인학 교사를 한 교수학습방법론 문사 1995

[4] 변 계 교수학습 이론의 이해 학지사 1999

[5] 우정호 외 5인 고등학교 수학 Ⅰ 한교과서(주) 2002

[6] 이 연 자연의 수학 열쇠 피보나치수열 로네시스 2006

[7] 이진화 지수로그함수의 지도에 한 연구 서강 학교 교육 학원 석사 학

논문 2006

[8] 임재훈 외 10인 고등학교 수학 Ⅰ (주)두산 2002

[9] 장 숙 고등학교 수학 Ⅰ 교과서의 통계단원 분석 실생활에의 용 경희

학교 교육 학원 석사 학 논문 2006

[10] 조해식 행렬 수열 수업에서의 수학사 도입에 한 연구 울산 학교 석사

학 논문 1998

[11] 차 자 수열 학습의 흥미 유발을 한 자료 연구 경성 학교 교육 학원 석

사 학 논문 2004

[12] 최 외 5인 고등학교 수학 Ⅰ 앙교육진흥연구소 2006

[13] 최상기 외 5인 고등학교 수학 Ⅰ (주)고려출 2002

[14] 최용 신 성 고등학교 수학 Ⅰ 천재교육(주) 2002

[15] 황혜정 외 5인 수학교육학 신론 문음사 2002

• Ⅰ 서론
• • 1 연구의 필요성과 목적
  • 2 연구의 제한점
  • • Ⅱ 개정 교육과정에서 명시된 수학Ⅰ교육의 목표
    • • 1 수학Ⅰ교육의 목표
      • 2 고등학교 수학 Ⅰ 수열 단원의 학습목표
      • • Ⅲ 수열의 역사적 배경 및 응용
        • • 1 수열의 역사
          • 2 수열 단원이 실생활에 응용된 사례
          • • Ⅳ 고등학교 수학교육과정에서의 수열
            • • 1 수학Ⅰ 교과서 분석
              • 2 수학Ⅰ 교과서에서의 수열
              • • Ⅴ 켈러의 ARCS 이론과 수열 지도
                • • 1 켈러의 ARCS 이론
                  • 2 ARCS 이론을 적용한 수열 수업 계획서
                  • 3 ARCS 이론을 적용한 수업 지도안
                  • 4 조사지 분석
                  • • Ⅵ 결론
                    • 참고문헌

원 이자 원리합계(=원 +이자)

1년 원 원 원

2년 원 원 원

3년 원 원 원

년 원 100원 원

2) 등차수열의 응용

(1) 단리법

단리법은 처음 원 의 이자에 해당하는 비율만큼 계속 되는 계산법이

다 1000원을 했다면 1년이 지날 때마다 10 의 이자가 붙는다고 하

자 1년이 지났을 때 10 의 이자가 붙으면 100원 불어나므로 1000 +

1000 times 01 = 1100(원) 이다 그리고 1년2년 년이 지날 때 마다

값을 측정해보면 다음과 같다

[표3 단리법]

최종 으로 원 을 라 하고 연이율을 이라고 한다면

결국 년이 되었을 때 단리법으로 표 하면 그 때의 총 합 는

이 된다

3) 등비수열의 응용

(1) 복리법

복리법은 원 에 이자가 된 원리합계를 기 으로 이자를 계산하는 방

법이다 원을 했다면 1년이 지날 때마다 의 이자가 붙는다고

원 이자원리합계

(=원 +이자)

1년 원 원 원

2년 원 원 원

3년 원 원 원

년 원 times원 원

하자 1년이 지났을 때 의 이자가 붙으면 원 불어나므로

times (원) 이다 그리고 1년2년 년이 지날 때 마

다 값을 측정해보면 다음과 같다

[표4 복리법]

최종 으로 원 을 라 하고 연이율을 이라고 한다면

따라서 년이 지나면 이 된다 그때의 총 합 는 이

다

4) 황 비율

에서 언 했던 피보나치수열 　　　　　　　　　　에서 번째 항

을 번째 항으로 나 어 보자

　 　

　 　

　 　

　 　

　 　

　 　 이런 식으로 계속 해나가다 보면

이 수가 061803 에 근사하게 된다 고 그리스인들은 이 수에 lsquo황 비

율rsquo라는 이름을 붙 다 이것은 인간이 보기에 가장 아름다운 비율이라 하

여 여러 분야에서 사용되고 있다

(1) 황 비의 이용

약 100년 페히 라는 독일의 심리학자는 수백 명의 사람들에게 여러

종류의 직사각형을 보여 다음 마음에 드는 것을 선택하게 하는 실험을

했다 그런데 그 결과 부분의 사람이 황 직사각형을 선택했다고 발표했

다 ([6])

실험에 의하면 황 비는 사람들이 가장 편안하고 아름답게 느끼는 비율로

알려져 있으며 이런 이유 때문에 옛 부터 건축과 미술 음악 등에서 자주

이용되어 왔다

(가) 건축

기원 2000년경의 이집트 《린드 피루스》에 보면 기원 4700년에 기

자의 피라미드를 건설할 때 이 수를 lsquo신성한 비율rsquo로 사용했다고 한다

의 측량 기술로 측정해보니 피라미드 의 심에서 의 모서리까지

그리고 경사면까지 거의 정확하게 0618이었다 ([6])

피라미드는 인류역사를 통해서 사람들을 가장 매료시켜온 건축물 의 하

나이다 그 규모의 장 함에서도 사람을 압도하는 것이 있지만 그 형태 자

체가 고도한 수학을 배경으로 한 것으로서 우리가 알고 있는 5천년 의 지

식수 으로서는 불가사의한 것 의 하나이다

[그림3 피라미드 황 비]

(나) 음악에서의 활용

음악에서 한 옥타 는 [도 미 솔 라 시 도] 의 8음계로 이루어져 있

다 피아노의 건반은 한 옥타 를 13개의 음으로 나 어 표 하고 있으며

이 하얀 건반이 8개 검은 건반이 5개 있고 하얀 건반은 3개와 5개 검

은 건반은 2개와 3개로 구분되어 있다 여기에서 나타나는 2 3 5 8 13

은 에서 보인 피보나치수열이다

[그림4 피아노건반황 비율]

(2) 인체에서의 황 비율

황 분할은 우리의 인체 속에서도 찾아볼 수 있다 인간의 신체가 이 비율

에 의해서 분할되어 있으며 이것이 아름다운 몸의 보편 기 이 되고 있

다 아래 그림은 Le Corbusier가 찾아낸 이상 인간의 각 신체부 의 비율

이다 이것은 오나르도 다빈치의 인체비율에 한 그림에서도 찾아 볼

수 있다 이 뿐만 아니라 인체의 각 부 들도 그 자체 황 분할을 이루

고 있다

[그림5 인체 황 비율]

앞에서 제시한 황 비율을 사용한 시들 이외에도 우리 주변에 아주 많

이 있다

교과서 차례

한교과서(주)

Ⅳ 수열

1 등차수열과 등비수열

2 여러 가지 수열

3 수학 귀납법

4 알고리즘과 순서도

(주) 천재교육

Ⅲ 수열

1 등차수열과 등비수열

2 여러 가지 수열

3 수학 귀납법

4 알고리즘과 순서도

Ⅳ 고등학교 수학교육과정에서의 수열

1 수학Ⅰ 교과서 분석

고등학교 2학년이 학습하는 lsquo수학 Ⅰrsquo은 국민 공통 기본 교육 기간의 10단계

수학을 이수한 학생들이 보다 문 인 진로를 고려하고 보다 높은 수 의

수학을 학습하기 해 설정된 심화 선택 과목이며 lsquo수학 Ⅱrsquo를 학습하기 한

단계이다 lsquo수학 Ⅰrsquo의 내용은 수 역에서 지수와 로그 행렬 수열이

실려있고 해석 역에서 수열의 극한 지수로그 함수가 수록되어 있으며

확률과 통계 역에서 순열과 조합 확률 통계 등으로 구성되어 있다 특히

수 역에 해당하는 수열은 여러 가지 수열에 한 성질을 이해하고 그것

을 일반화 하는 과정에 을 두어 지도하도록 하고 있으며 계차수열은 등

차수열이나 등비수열이 되는 경우만 다룬다 ([2])

1) 수학 Ⅰ 5종 교과서의 차례 단원 배열

앙교육진흥연구소

Ⅲ 수열

1 등차수열과 등비수열

2 여러 가지 수열

3 수학 귀납법

4 알고리즘과 순서도

(주) 고려출

Ⅲ 수열

1 등차수열과 등비수열

2 여러 가지 수열

3 수학 귀납법과 순서도

(주) 두산

Ⅲ 수열

1 등차수열과 등비수열

2 여러 가지 수열

3 수학 귀납법

4 알고리즘과 순서도

[표5 수학 Ⅰ 5종교과서의 차례]

의 표에서 본 것과 같이 임의로 선택된 5종의 고등학교 수학 Ⅰ 교과서의

차례는 거의 비슷한 양상을 보 다 부분의 교과서에선 1단원 지수와 로

그 2단원 행렬 3단원 수열 순의 순서를 보 고 한교과서외의 몇몇

교과서에선 1단원 지수와 로그 2단원 지수로그함수 3단원 행렬 4단원 수

열 순의 순서를 보 다 수열단원의 세부 단원 차례는 1 등차수열과

등비수열 2 여러 가지 수열 3 수학 귀납법 4 알고리즘과 순서도 는

34 단원을 한 단원으로 해서 3 수학 귀납법과 순서도의 순서로 다루는

은 비슷했다

2) 교과서에 제시된 수열 련 자료

한교과서

(주)

피타고라스(Pythagoras 572～492 BC) 피타고라스의 정리

로 잘 알려져 있고 소수나 완 수의 규칙성에 해서도 많은 연

구를 하 다

바스카라(Bhaskara A 1114～1185) 인도의 수학자로

임을 증명하 고 피타고라스의 정리를 기하학

으로 증명하 다

피보나치(Fibonacci 1180～1250) 이탈리아의 수학자로 자연

속에서 많이 볼 수 있는 피보나치 수열을 발견하 다

스칼(Pascal B 1623～1662 ) 랑스의 수학자로 수학

귀납법을 발견하 고 사 기하학을 창시하 다

푸리에(Fourier J B J 1768～1830) 랑스의 수학자로 음양

학 학 기역학 열역학 등의 연구에 매우 요한 푸리에

수를 연구하 다

가우스(Gauss K F 1777～1855) 수학 통계학 등의 다방

면에 많은 업 을 이루었고 역사상 가장 한 수학자 의 한

사람으로 불리워지고 있다

비주얼 베이직(Visual BASIC)

을 이용한 Programming

하노이의 탑

(주)

천재교육

가우스(Gauss K F 1777～1855) 독일의 수학자인 가우스는

수학의 각 방면에 많은 업 을 남겨 수학의 아버지라 일컬

어지고 있다 그는 계산의 천재로 알려져 있는데 이에 한 유명

한 일화가 있다 등학교 때 부터 까지의 합을 구하는 문

제에서 다른 학생들이 직 하나하나 계산하는 동안 가우스는

　 　 　　　　 이 모두 임을 이용하여

times 이라는 답을 이끌어 내었다 이러한 방식은 수열

의 합을 계산할 때 사용하는 방식 의 하나이다

하노이의 탑을 이용한 수열의 귀납 정의

임의로 선택된 5종 교과서들의 수열단원에서 학생들의 수열 단원의 이해를

돕기 해 수록된 수학자들에 한 설명과 기타 자료들은 다음과 같다

도미노 이론 - 수학 귀납법의 다른 표

피보나치수열 - 토끼 수 증가 문제

앙교육

진흥연구소

삼각수 사각수 문제

피보나치(Fibonacci 1180～1250)

가우스(Gauss K F 1777～1855)

음악과 수학 - 작곡가 바흐(Bach)의 요 업 으로 평균율을

들 수 있다 평균율이란 1옥타 즉 lsquo도rsquo와 lsquo도rsquo의 사이를 개의

반음으로 나 고 처음 lsquo도rsquo의 진동수를 이라 하면 그에 일정한

수를 더해 제곱하여 옥타 의 lsquo도rsquo의 진동수를 얻는 것을

말한다 수식으로는 로 나타낼 수 있고 이 등식을

만족하는 의 값이 평균율이다

(주)

고려출

티티우스-보데 수열 -

수열 　　　　　　　　의 각 항에 각각 를 더한 후

으로 나 수들을 나열한 것 　　　　　　　 를

티티우스-보데 수열이라 한다 이수열의 각 항은 태양에서 행성

까지의 실제 거리와 비슷한 것으로 1766년 티티우스(Titius)라는

독일의 천문학자가 발견하 다

제갈량의 군 에 한 을 통한 등비수열의 합

피보나치 수열

휴먼 로 - 휴먼 로 의 제작은 복잡한 여러 가지 알고리즘

과 순서도에 바탕을 두고 있다 알고리즘의 요성은 자계산기

이 부터 실제 으로 존재했다 그 로 최 공약수 계산에 한

유클리드의 알고리즘이 있다 한 가우스와 같은 부분의 수학

자들은 역사 으로 많은 양을 처리하는 효율 인 알고리즘에

심을 가졌다 이러한 알고리즘을 보다 효율 으로 이용하여 재

의 컴퓨터 시 를 구축했다

(주) 두산

피보나치(Fibonacci 1180～1250)는 이탈리아의 피사에서 태

어난 수학자이다 부친이 상업에 종사하 기 때문에 피보나치는

이집트 시칠리아 그리스 시리아 등 다양한 지역을 여행할 수

있었고 이 때 다양한 수학을 하게 되었다 1202년 피사로 돌아

온 피보나치는 「산반서(Liber abaci)」를 술하 다 1228년에

는 「산반서 2 」을 술하 는데 이 책에서 정수와 분수의 계

산 제곱근과 세제곱근 일차와 이차방정식의 풀이 등을 다루었다

고 한다 특히 이 책에 나오는 「피보나치의 수열」은 매우 흥미

로운 수열로 요한 성질을 많이 가지고 있다

1에서 100까지 자연수를 모두 합하면 얼마일까

가우스(Gauss KF 1777～1855) 가우스는 수론 해석학 확

률론 천문학 물리학 등 다양한 분야에 뛰어난 수학자이었다 특

히 그의 수론 연구는 19세기 수학 체계의 확립에 크게 공헌하

다

피타고라스(Pythagoras 572～492 BC) 피타고라스는 음의

높이에 따른 진동수의 비가 일정함을 발견하 다

페아노(Peano G 1858～1932) 자연수의 성질을 추상화 하여

페아노의 공리계를 만들었다 이 공리계의 제 5공리가 수학 귀

납법의 원리이다

피보나치의 수열

알콰리즈미(Alkhwarizmi 780～850) 알고리즘이란 말은 세

아라비아의 수학자 알콰리즈미의 이름에서 유래된 것으로서 그가

십진법으로 나타낸 수의 계산에 용한 계산 방법에서 나온것이

다

[표6 5종 교과서에 제시된 수열 련 자료]

2 수학 Ⅰ 교과서에서의 수열

등차수열의 일반항

첫째항이 공차가 인 등차수열의 일반항 은

본 연구자가 임의로 선택한 5종 교과서 ([5][8][12][13][14]) 에서의

수열의 내 을 정리해보았다

1) 등차 수열과 등비 수열

(1) 수열의 뜻

어떤 규칙에 따라 순서 로 수를 늘어놓은 것을 수열이라 하고 그 수열을

이루는 각각의 수를 그 수열의 항이라고 한다 수열의 각 항을

앞에서부터 순서 로 제 1항 제 2항 제 3항 제 항

이라고 한다 특히 제 1항은 첫째항이라고도 한다

(2) 등차수열의 뜻

첫째항에 차례로 일정한 수를 더하여 만들어진 수열을 등차수열 이라하고

더한 일정한 수를 공차라고 한다

첫째항이 공차가 인 등차수열 에서

이므로 일반항 은 다음과 같이 나타낼 수 있다

(3) 등차수열의 합

등차수열의 합

첫째항이 공차가 끝항이 인 등차수열의 첫째항부터 제 항까지의

합 은

첫째항이 공차가 등차수열 에서 첫째항 부터 제 항 까지의 합

을 토론하기의 방법을 이용하여 구해보자

　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　①

더하는 순서를 거꾸로 하면

　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　②

①②의 양변을 각각 더하면

　　

따라서 =

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　③

이때 제 항인 를 ③에 입하여 식을 다르게 나타낼수도

있다

이상을 정리하면 다음과 같다

(4) 수열의 합과 일반항

수열 에서 첫째항부터 제 항까지의 합을 이라 하면

ge 일때 　　

there4

수열의 합과 일반항의 계

수열 의 첫째항부터 제 항까지의 합을 이라 하면

(단 ge )

등비수열의 합

일때 이다

이상을 정리하면 다음과 같다

(5) 등비수열의 뜻

첫째항부터 시작하여 각 항의 바로 앞의 항에 일정한 수를 곱하여

만들어진 수열을 등비수열이라 하고 곱하는 일정한 수를 공비라고 한다

첫째항이 공비가 인 등비수열에서 첫째항부터 제 항까지의 합 은

다음과 같이 구한다

　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　①

①의 양변에 공비 을 곱하면

　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　②

①에서 ②를 같은 변끼리 빼면

따라서 ne 일때

인 경우 ①에서

　　

there4

이상을 정리하면 다음과 같다

첫째항이 공비가 인 등비수열의 첫째항부터 제 항까지의 합 은

① ne 일때

② 일때

자연수의 거듭제곱의 합

①

　　

②

　　

③

　　

2) 여러 가지 수열

(1) 합의 기호 sum

수열 에서 첫째항부터 제 항까지의 합

　　

을 일반항과 합의 기호 sum를 써서

　　

와 같이 나타낸다

이때

는 수열 의 일반항 의 에 　　　　　　을 차례로

입하여 얻은 항의 합으로 신 다른 문자를 사용하여

등과 같이 나타낼 수 있다

(2) 기호 sum 의 성질

합의 기호 sum 의 성질에 하여 알아보자

합의 기호 sum의 성질

①

(복부호동순)

②

(단 는 상수)

③

(단 는 상수)

　　

　　 　　

　　

마찬가지로

와

에 해서도 확인해 보면 sum 의 성질을

다음과 같이 정리할 수 있다

(3) 계차수열

일반 으로 수열 에서 이웃하는 두 항의 차

　　 을 일반항으로 하는 새로운 수열

　　　　　　　을 얻을 수 있는데 이 수열 을 원래의 수열 의

계차수열이라고 한다

수열 에 하여 그 계차수열을 이라 하면

　　

계차수열과 일반항

수열 의 계차수열을 이라 할때

(단 ge )

3) 수학 귀납법

(1) 수열의 귀납 정의

첫째항과 이웃하는 두 항 사이의 계식으로 수열을 정의하는 것을 수열의

귀납 정의 라고 한다

첫째항이 공차가 인 등차수열 은 다음이 성립한다

　ge 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　①

역으로 두 계식 ①이 주어지면 이 결정되고 차례로

가 결정된다 따라서 모든 자연수 에 하여 이 정해지므로 수열 이

정의 된다

①과 같이 의 값 과 의 계식을 화식이라고 한다

(2) 수학 귀납법

수학 귀납법은 이탈리아의 페아노에 의하여 설정된 자연수에 한 공리

수학 귀납법

자연수 에 한 명제 이 모든 자연수 에 하여 성립함을 증명하

려면 다음 ⅰ ⅱ 를 증명하면 된다

ⅰ 일때 명제 이 성립한다

ⅱ 일때 명제 이 성립한다고 가정하면 일때에도

명제 이 성립한다

다음과 같은 5번째 공리에 근거를 두고 있다

자연수의 집합 의 부분집합 가

ⅰ 　isin

ⅱ 　isin 이면 isin

(여기서 는 의 후자)

인 두 조건을 만족하면 이다

4) 알고리즘과 순서도

(1) 알고리즘과 순서도

어떤 문제를 해결하기 해서는 그 처리 순서를 정해야 하는데 이와 같이

문제 해결에 필요한 처리 과정의 순서를 단계 으로 정리한 것을 알고리즘

이라 하고 알고리즘을 알기 쉽게 기호를 써서 그림으로 나타낸 것을 순서도

라고 한다 일반 으로 어떤 문제를 해결하기 한 알고리즘은 여러 가지가

있을 수 있지만 정해진 유한번의 단계를 거치면 반드시 끝나야 하고 처리

과정의 순서가 명확해야 한다 한 순서도는 각 부분을 순서 계통 으로

나타냄으로써 작업 과정을 구나 쉽게 한 에 악할 수 있도록

작성되어야 한다 순서도는 다음과 같은 기호를 사용하여 작성한다

[표7 순서도의 기호]

(2) 알고리즘과 순서도의 작성

수열과 련된 순서도를 작성할 때에는 다음과 같은 방법을 고려한다

(가) 항수를 항을 수열의 합을 로 나타낸다

(나) 제시된 항의 번호까지 루 를 용한다

(다) 제시된 항의 번호에 하여 단 기호를 이용한다

(라) 구하려는 는 를 인쇄하고 끝낸다

주의환기

집 을

한 략

지각

주의환기의

략

시청각 효과의 사용

비일상 인 내용이나 사건 제시

주의 분산의 자극 지양

탐구

주의환기의

략

능동 반응 유도

문제해결 활동의 구상 장려

신비감의 제공

다양성의

략

간결하고 다양한 교수형태 사용

일방 교수와 상호작용 교수의 혼합

교수자료의 변화 추구

목표-내용-방법이 기능 으로 통합

련성

증진을

한

략

친 성의

략

친 한 인물 혹은 사건 활용

구체 이고 친숙한 그림 활용

친 한 문 배경 지식 활용

목 지향성

의 략

실용성에 을 둔 목표 제시

목 지향 인 학습형태 활용

Ⅴ 러의 ARCS 이론과 수열 지도

1 러의 ARCS 이론

1) ARCS 이론의 특징

(1) 이론 배경

다음은 ([4])의 내용을 참고하 다

ldquo말을 물가로 데리고 갈 수는 있지만 물을 먹일 수는 없다rdquo는 속담처럼

하고자 하는 마음이 없으면 학습 효과를 기 할 수 없는 것은 당연한 사실

이다 이러한 생각의 근거에는 동기 유발의 개념이 자리 잡고 있다 동기

유발이란 어떤 활동을 진 지시 유지하려는 내 상태 는 과정을

포함한다 이 개념은 교육 심리학의 심 개념 의 하나이지만 직 찰

할 수 없는 것이기 때문에 인간의 행동을 보고 거기에서 유출해 내는 개념

이며 이에 한 정의는 바라보는 과 강조하는 내용에 따라 각기 다르

다

(2) ARCS 이론

목 의 선택 가능성 부여

필요나

동기와의

부합성 강조의

략

다양한 수 의 목 제시

학업성취 여부의 기록체제 활용

비경쟁 학습상황의 선택가능

동 상호 학습상황 제시

자신감

수립을

한 략

학습의

필요조건

제시의 략

수업의 목표와 구조의 제시

평가기 피드백의 제시

선수학습 능력의 단

시험의 조건 확인

성공의 기회

제시의 략

쉬운 것에서 어려운 것으로 과제 제시

정수 의 난이도 유지

다양한 수 의 시작 제공

무작 의 다양한 사건 제시

다양한 수 의 난이도 제공

개인

조 감

증 의 략

학습의 끝을 조 할 수 있는 기회 제시

학습속도의 조 가능

원하는 부분에로의 재빠른 회귀 가능

선택가능하고 다양한 과제의 난이도제공

노력이나 능력에 성공 귀착

만족감

증 를

한 략

자연 결과

강조의 략

연습문제를 통한 용기회 제공

후속학습상황을 통한 용기회 제공

모의상황을 통한 용기회 제공

정 결과

강조의 략

한 강화 계획의 활용

의미 있는 강화의 강조

정답을 한 보상 강조

외 보상의 사려 깊은 사용

선택 보상체제 활용

공정성

강조의 략

수업목표와 내용의 일 성 유지

연습과 시험 내용이 일치

[표8 ARCS 략] ([1])

2 ARCS 이론을 용한 수열 수업 계획서

다음은 ([1])의 ARCS 이론의 수업계획서를 참고하여 수열 단원의 수업

계획서를 작성해보았다

수업내용개 동기 략개 기타의견1 수업 기

체 으로 교사는 다양한 방법으로 학습자들

에게 수업 내용을 제시하고 학습자들에게

한 언어를 사용한다

수열의 활용에

한 학습목표

제시하기

교사는 학습자들의 련성을 높이기 해 학습

목표의 의미를 설명해 다

도표는 큰 씨를 사

용하고 핵심이 되는

단어에는 다른 색깔을

사용한다

수열의 활용의

이 과 평가

거를 제시하기

교사는 학습자들의 련성과 자신감 만족감

을 높이기 하여 이 수업이 끝난 후 그들이

무엇을 할 수 있는지에 해 알려 다

교사는 학습자들의 자신감과 만족감을 높이기

하여 성공 인 학습성취를 단할 수 있는 객

인 거들을 알려 다

교사는 학습자들의 만족감을 높이기 하여

그들이 주어진 과제를 성공 으로 해결했을 때

그에 따르는 내재 강화나 외재 보상이 있음

을 알려 다

수열의 정의와

해법에 한 지

식을 간략하게

확인하기

교사는 선수학습과의 련성을 유발하기 하

여 간략한 보조도구(인쇄매체)를 사용하여 수열

의 정의와 해법을 제시한다

교사는 소집단 토론을 실시하여 학습자들의

선수지식을 스스로 검해 보도록 한다

교사는 수열의 정의와 해법을 잘 모르는 학습

자들에게 자신감을 유발시키기 하여 개별 인

학습목표를 세우도록 한다

소집단 구성에 있어

서 주의집 이 매우

낮은 5명을 하나의 소

집단으로 구성하고

친근한 소재를 활용하

여 그들의 주의집 과

련성을 유발한다

실생활과 련

된 수열의 활용

문제들을 몇 가

지 소개하기

교사는 학습자들의 주의집 을 유지하기 해

실생활에서 연립방정식을 활용하여 해결할 수

있는 몇 가지 문제들을 제시한다

주의집 이 매우 낮은 5명의 학습자들이 수업

에 극 인 심을 보이지 않으면 교사는 그

들에게 친근한 목소리로 이름을 부르면서 수업

에 집 하라고 얘기 하고 개인 인 심을 갖

고 있음을 나타낸다

로써 활용되는 문

제들을 선택할 때 학

습자들이 알고 있거

나 그들에게 친근감

을 주는 소재가 포함

되도록 선택한다 이

때 지나치게 자심감

이 높아서 수업에 소

극 으로 참여하는 3

명의 학습자들에게는

다소 복잡한 수열의

활용 문제를 미리 제

공하여 생각할 기회를

다

수열의 활용에

한 학습자들의

이해정도를 악

하고 피드백을

제공하기

교사는 학습자들에게 자신감을 높이기 하여

소집단을 구성하여 학습자들이 수열의 활용에

해 어느 정도 이해하고 있는지를 서로 토론하

도록 한다

교사는 소집단별로 둘러보면서 자신감과 만족

감을 유발시키기 하여 학습자들간에 서로 도

움을 주도록 분 기를 형성한다

소집단별로 간략하게 토론이 끝나면 학습자

들 스스로 정리하도록 한다

토론결과 학습자들이 수열의 활용에 해 잘

못 이해하고 있다면 교사는 즉각 으로 교정

피드백을 제공한다

학습자들의 소집단

토론시간을 무 길게

소요하지 않도록 한

다 자칫하면 토론분

기가 산만해지기 쉽

고 토론이 활발하지

못한 경우에는 학습자

들의 학습의욕이 떨어

진다

2 수업 반 체 으로 교사는 다양한 방법으로 학습자

들에게 수업 내용을

제시하고 학습자들에게 개별 인 언어를 사용

한다

실생활과 련

된 수열의 활용

의 문제들을 구

체 으로 제시하

기

교사는 학습자들의 주의집 련성 자신감

만족감을 유지하기 하여 게임을 실시한다 학

습자들이 돌아가면서 임의로 다른 학습자를 지

명하면 지명받은 학습자가 실생활과 련된 수

열의 문제를 하나 제시한다 한 문제를 제

시한 학습자에게 학습태도 수를 주어 만족감

을 향상시킨다

교사는 학습자들이 제시한 여러 가지 문제들

을 칠 에 은 후 몇몇 소집단을 구성하여

그 문제들을 해결하기 해 인스토 을 하

도록 한다 이때 교사는 문제를 해결한 학습자

가 아직 해결하지 못한 학습자들을 도와주어 자

신감과 만족감을 갖도록 한다

인스토 이 진행되는 동안 교사는 교실

을 둘러보면서 학습자들이 질문이나 의문사항

에 해 극 으로 질문할 수 있는 기회를 제

공하고 그에 해 개별 인 언어를 사용하여

부드러운 목소리로 피드백을 제공한다

인스토 도 학습자들의 개인 인 능

력차가 커서 문제를 해결하는데 어려움을 겪는

학습자들에게는 그들에게 합한 개별 인 학습

이때 교사는 밝고

생동감이 넘치는 목소

리로 학습자들의 활동

을 진시킨다

교사는 학습자들이

한 자신감을 유지

하고 있는지에 해

지속 인 심을 갖고

지켜본다

이때 교사는 학습자

들의 자신감과 만족감

을 높이기 하여 그

들에게 일 성 있는

피드백을 제공한다

교사는 학습자들이

목표를 다시 선정하도록 하여 자신감을 향상시

킨다

인스토 이 끝나면 교사는 소집단 별로

한 사람씩 자발 으로 나와 문제를 풀고 풀이

과정을 체 학습자들에게 설명하도록 한다 이

때 어려운 문제를 해결한 소집단이나 학습자에

게 교사는 그들의 우수한 능력을 인정하고 내

재 인 자존심에 정 인 향을 주는 칭찬을

제공하여 자신감과 만족감을 높인다

소집단의 인스토

을 하는 동안 체

으로 문제풀이를 할

때 주의집 을 유지

하고 자신감과 만족

감의 향상을 악하기

해 끊임없이 그들과

시선을 교류하고 얼

굴표정을 찰한다

3 수업마무리 체 으로 교사는 다양한 방법으로 학습자

들에게 수업 내용을 제시하고 학습자들에게 개

별 인 언어를 사용한다

실생활과 련

된 수열의 활용

에 해 체

으로 정리 요

약하기

교사는 교탁을 탁탁 치거나 박수를 쳐서 다

소 떨어진 학습자들의 주의집 을 향상 시킨다

교사는 실생활 속에서 수열을 활용하여 해결

할 수 있는 간단하고 재미있는 문제들을 2～3개

제시하여 학습자들이 그 문제를 성공 으로 해

결함으로써 자신감과 만족감을 갖도록 한다

교사는 학습자들이 미처 생각하지 못했던 실

생활 속에서 수열과 연 된 다양한 들을 제공

하여 주의집 과 련성을 유지향상시킨다

교사는 자신감과 만족감을 향상시키기 해

학습자들에게 수업진행 에 그들이 설정한 개

인 인 학습목표에 해 얼마나 많이 달성했는

가를 스스로 검해 보라고 한다

교사는 수업 반에 수열의 문제를 잘 해결하

지 못했던 학습자들에게 그 문제를 다시 해결해

보도록 기회를 제공하여 자신감과 만족감을 높

여 다

평가에 있어서 교사는 학습자들이 그들의 성

에 해 공정하게 평가되었다고 느끼도록 일

성 있게 평가하여 그들의 자신감고 만족감을

높여 다

교사는 수열과 실생

활과의 련성에 해

학습자들이 잘 지각하

고 있는가를 알아보기

해 다소 진지한 목

소리로 질문한다

다음 학습내용

에 해 간략히

소개하기

교사는 학습자들의 흥미를 유지하기 하여

다음 학습내용에 해 호기심에 찬 목소리로 간

략하게 소개하고 수업을 끝낸다

[표9 러의 ARCS이론]

단원

단

원Ⅲ 수열

배정시간

(분)50

단

원1 등차수열과 등비수열

차시 3소단

원3) 등차수열과 등비수열의 활용

학습

목표등차수열과 등비수열을 실생활의 문제에 용할 수 있다

학습

단계학습내용

교수-학습활동 지도상의유의사

항교사활동 학생활동

도

입

15

분

인사

출석

주변을 정리 정돈

하여 수업분 기를

조성한다

인사 출석체크

를 한다

주의를 환기시킨

후 학생들과 인사

한다

출결석 여부를

확인한다

바른 자세로 주

변을 정리한 뒤

교사와 인사한다

수업 비를 한

다

교사와 학생

모두 함께 수업

분 기를 조성한

다

선수

학습

확인

지난 시간에 학습

한 등차수열과 등비

수열의 정의에 해

다시 한번 확인해본

다

지난 시간에 학습

한 등차수열과 등비

수열의 일반항을 구

하는 방법에 해 확

인학습으로 [문제1]

과 [문제2]를 풀어본

다

학생들의 자신감

을 높이기 하여

등차수열과 등비수

열의 정의를 교과

서에서 찾아본 후

큰소리로 답하게

한다

학생들이 답한

후 다시 한번 등차

수열과 등비수열에

해 간단히 설명

등차수열과 등

비수열의 정의를

교과서에 찾아본

후 큰소리로 읽는

다

교사가 등차수

열과 등비수열의

정의에 해 다시

한번 간단히 설명

할 때 부족한 부

분은 필기하며 복

습한다

교사가 정의에

해 질문할 때

학생들이 모두

책을 찾아볼수

있게 주의를

다

만일 답하

지 못하는 학생

이 있을 경우 그

여기서 인스토 (brainstorming)이라고 하는 것은 갑자기 떠오르는 멋

진 생각을 종이에 는다든가 말로 표 해 본 후 로 기록하거나 기록된

문장을 정리정돈하면서 생각을 논리화하는 방법이다 주로 어떤 계획을 세

우고자 할 때 창조 이고 기발한 아이디어가 필요할 때 학생들의 의견과

생각을 끌어내어 발 시키고자 할 때 사용하면 유리하다 ([3])

3 ARCS 이론을 용한 수업지도안

[문제1]

다음 등차수열

의 일반항과 제20항

을 구하여라

　　　　　　　

[문제2]

다음 등비수열

의 일반항과 제8항을

구하여라

　 　　　　　

한다

교사는 [문제1]

과[문제2]를 제시

한 뒤 학생들에게

직 풀어보게 한

다

등차수열과 등

비수열의 일반항

과 그 공식의 유

도과정을 기억한

다

제시된 문제를

연습장에 풀어본

다

학생에 해 개

별 인 언어를

사용하여 부드러

운 목소리로 피

드백을 제공한

다

개

30

분

학습

목표

제시

수열의 활용에

한 학습목표를 제시

한다

학습목표 학습

에 필요한 자료를

Power point 시청

각 효과를 사용하여

학생들의 주의환기

집 을 한 략

을 사용한다

학습목표를 학생

들에게 읽게 하고

학생들의 련성을

높이기 해 학습

목표의 의미를 설

명해 다

교사의 지시에

따라 큰소리로 학

습목표를 읽고 이

수업이 끝난 후

무엇을 할 수 있

는지에 해 생각

해 본다

학습목표는 큰

씨를 사용하

고 핵심이 되는

단어에는 다른

색깔을 사용한

다

탐구

학습

실생활과 련된

수열의 활용문제들을

몇 가지 소개한다

수열의 활용에

한 학습자들의 이해

정도를 악하고 피

드백을 제공한다

등차수열과 등비

수열을 이용하여

실생활의 문제를

해결할 수 있음을

학생들이 쉽게 이

해할 수 있도록 설

명한다

교사가 실생활

과 련된 수열의

활용문제들을 몇

가지 소개할 때

다른 시가 있는

지 함께 생각해

본다

문제

제시

[문제3]

한일 월드컵 축구 개

회 연도는 2002년이

다 2002년 이후 월

드컵 축구가 개최되

는 연도를 차례로 써

보고 이 규칙 로 월

드컵 축구가 개최되

면 2100년은 월드컵

축구가 개최되는 연

도인가

교과서에서 수열

단원의 수열의 활

용부분에 수록된

문제들을 풀어볼

수 있도록 시간을

다

등차수열과 등

비수열의 일반항

유도 공식을 생각

해보고 제시된 문

제를 해결해 간다

로써 활용되

는 문제를 선택

할 때 학습자들

이 알고 있거나

그들에게 친근감

을 주는 련성

증진을 한

략을 사용한다

[문제4]

컴퓨터의 주기억 장

치인 램은용

으로

용으로 가 개발

되었다 이후 램의

용 량 은

로 증가되어 왔다

의 램으로부터

번 증가된 주 메모

리는 식으로 어떻게

나타낼 수 있는가

학생들이 문제를

어렵게 느끼지 않

도록 어떤 방향으

로 해결해야 하는

지 힌트를 주어 학

생들의 자신감을

증진시킨다

소집

단

활동

5～6명으로 이 진

소집단을 구성하여

학습자들이 수열의

활용에 해 어느 정

도 이해하고 있는지

를 서로 토론하도록

한다

소집단별로 실생활

과 련된 수열의 활

용의 문제들을 구체

으로 제시한다

인 스토 이

끝나면 소집단별로

한사람씩 문제를 풀

고 풀이과정을 체

학생들에게 설명하는

시간을 갖는다

교사는 학생들의

만족감을 높이기

하여 그들이 주

어진 과제를 성공

으로 해결했을

때 그에 따르는

내재 강화나 외

재 보상이 있음

을 알려 다

어려운 문제를

해결한 소집단이나

학생에게 교사는

그들의 우수한 능

력을 인정하고 내

재 인 자존심에

정 인 향을

주는 칭찬을 제공

하여 자신감과 만

족감을 높인다

자신이 속한 소

집단 내에서 제시

된 과제에 해

열심히 토의를 하

며 문제를 해결한

학생이 아직 해결

하지 못한 학생들

을 도와주어 자신

감과 만족감을 갖

도록 한다

소집단별로 간

략하게 토론이 끝

나면 학생들 스스

로 정리해보고 자

발 으로 체 학

생들에게 설명해

보는 기회를 갖는

다

교사는 학습자

들이 한 자

신감을 유지하고

있는지에 해

지속 인 심을

갖고 지켜본다

학생들의 소집

단 토론시간을

무 길게 소요

하지 않도록 한

다

형성

평가

[문제4]

민수는 남 문의 기

와 지붕 한쪽 면이

사다리꼴 모양임을

찰하고 이 면에 있

는 기와의 개수를 알

아보고자 한다 기와

형 성 평 가 를

Power point로 제

시하고 학생들이

스스로 풀어볼 수

있도록 지도한다

학생들이 문제를

다 풀고 나면 교사

제시된 문제를

오늘 학습한 내용

을 복습하면서 풀

어보도록 한다

교사는 다소

진지한 목소리로

질문한다

의 개수를 행으로 세

었더니 용마루 쪽에

가장 가까운 행에는

40개 처마 쪽에 가

장 가까운 행에는 72

개 다 용마루부터

처마까지 행의 개수

가 17이라고 할 때

민수가 찰한 지붕

한쪽 면의 기와의 개

수는 모두 몇 개인

가

는 학생들에게

답할수 있도록 하

고 학생들이 학습

목표에 해 얼마

나 많이 달성했는

가를 스스로 검

해 보라고 한다

형성평가의 답

을 교사의 질문에

끝난 뒤 큰소리로

답하여 자신감

과 만족감을 갖도

록 한다

학생들에게 개

별 인 언어를

사용한다

정

리

5

분

학습

정리

차시

고

학습 자료를 이용

하여 수열의 실생활

의 활용 단원의 수업

내용을 확인한다

과제를 제시한다

다음 차시인 「여

러 가지 수열」 단원

에 한 고를 한

다

수업 내용을 정

리하고 과제를 제

시한다

학생들의 흥미를

유지하기 하여

다음 학습내용에

해 호기심에 찬

목소리로 간략하게

소개하고 수업을

끝낸다

오늘 학습한 내

용을 정리한다

과제를 고 과

제 해결에 한

내용을 머릿속에

형성해 본다

다음 차시에 배

울 내용을 학습

자료 화면으로 확

인해본다

수업내용에

해 학생과 교사

모두가 만족하고

있는지 확인하고

공정한 평가를

한다

[표10 수업지도안]

4 조사 문제지 분석

고등학교 수학 Ⅰ 의 수열단원의 효율 인 지도방안의 연구를 하여 원

종고등학교 2학년 학생 100명을 상으로 조사 문제지 조사를 하 다 학

생들의 수학에 한 심과 수학에서 가장 어려워하는 부분을 알아볼 수

있었고 어떤 방식의 수업을 선호하는지도 알아볼 수 있었다

⑴ 수학에 얼마나 심이 있나요

① 매우 많다 ② 많다 ③ 보통이다 ④ 다 ⑤ 매우 다

수학과목에 매우 많은 심을 보이는 학생은 2로 매우 낮은 편이며

심이 있는 학생은 43로 학생의 반정도 다 수학과목에 심이 거

나 없는 학생은 54정도로 수학은 어려운 과목이라는 인식 때문에 심

이 은 것 같다

수학을 공부하는 가장 큰 이유에는75의 학생들이 학입시를 해서라

는 문항을 선택했다 기타 이유에는 교과서에 있어서 어쩔수 없이 한다

는 학생과 진리탐구를 해서라는 학생도 있었다

[그림6 조사문제지

(1)번 막 그래 ]

⑵ 수학을 공부하는 가장 큰 이유가 뭐라고 생각하나요

① 학입시를 해서

② 평소 수학에 흥미가 있어서

③ 실제 생활에 쓰기 해서

④ 주변에서 해야한다고 하니까

⑤ 기타 이유 (이유를 간단히 어주세요)

앞에 (1)번문항에서 수학에 심이 은 학생이 반 정도인것에 반해

수학공부가 필요하다고 느낀학생이 75정도로 수학공부가 필요하단건

느끼지만 어려운 과목이라는 인식이 부분인것 같다 수학과목도 재

는 과목이란 인식을 학생들이 가질수 있도록 노력해야겠다

[그림7 조사문제지

(2)번 막 그래 ]

⑶ 수학공부의 필요성에 해 어떻게 생각하나요

① 매우 필요하다 ② 조 필요하다 ③ 보통이다

④ 필요 없다 ⑤ 필요 없다

[그림8 조사문제지

(3)번 막 그래 ]

⑷ 수학을 공부하면서 가장 어려운 부분은 무엇이나요

① 복잡한 계산 과정 ② 외워야할 많은 공식들

③ 응용문제엔 어떤 공식을 용해야할지 ④ 다 어렵다

학생들이 수학과목이 어렵다고 느끼는 이유는 응용문제에 어떤 공식을

용해야 하는지를 몰라서 라는 답이 58로 가장 많았다 그 외에도

계산과정이 복잡하거나 외워야할 공식들이 많아서라는 답도 있었다

이해 주의 수업을 하고 단순한 공식의 암기 주의 수업을 탈피해야겠

다

수학수업을 하는데 효과 인 방법에는 선생님 주의 강의식 수업과 학

생 개인별 수업이 78로 가장 많았다 개념이나 공식유도과정을 설명할

땐 서를 하며 강의식 수업을 하고 문제풀이땐 학생들 개인별로 첨삭

지도를 하는게 효율 인것 같다

⑤ 기타이유 (이유를 간단히 어주세요)

[그림9 조사문제지

(4)번 막 그래 ]

⑸ 수학 수업을 하는 데 어떤 방법이 가장 효과 이라고 생각하나요

① 선생님 주의 강의식 수업

② 학생 개인별 수업

③ 모둠별 활동 수업

④ 기타 교재나 과제를 통한 수업

⑤ 기타(이유를 간단히 어주세요)

[그림10 조사문제지

(5)번 막 그래 ]

Ⅵ 결론

본 논문에서 지 까지 고등학교 2학년 학생들이 수학 Ⅰ 교육과정을 학습하

는데 가장 어려워하는 수열에 해 살펴보았다 먼 개정 교육과정에 명시

된 수학교육의 목표와 임의로 선택된 5종 교과서에서 수열 단원의 학습목표

를 살펴보았고 수열의 역사 배경과 실생활에 응용된 들을 정리해보았

다 한 5종 교과서에서 제시되어 있는 수열의 학습내용을 소단원 별로 정

리해보았다 임의로 선택된 5종 교과서안의 수열의 학습내용을 분석해보면

서 몇 몇 교과서에서 여러 가지 수열 단원에서 군 수열과 멱 수에 한 언

이 없거나 미약함을 알 수 있었다 본 연구자가 보기에 군 수열과 멱 수

부분은 실생활에 활용될 는 극히 작아 보이지만 학생들이 꼭 학습하고 넘

어가야 수열에 한 완벽한 학습이 될 수 있을 것이라 여겼는데 교과서에서

제시된 내용들로는 학생들이 충분히 이해할 수 없을 것 같았다

그리고 교과서에 제시된 문항의 수 이 입시와 동 떨어진다는 문제 이 있

었다 교과서에 제시된 문제가 부족하고 수 이 낮다 보니 실제로 학교에서

수업 때 보충 린트 물로 수업을 진행하고 간기말고사 때에도 교과서

외에서 많은 문제를 출제하는 모습을 볼 수 있었다 때문에 학생들이 교과서

보다는 문제집 주의 공부를 할 수 밖에 없는 듯 보 다 교과서가 학생들

과 교사의 요구에 부합할 수 있도록 새로운 내용들과 문제를 싣도록 해야

할 것이다

학생들이 수열 단원의 학습을 할 때 좀 더 효과 인 학습이 될 수 있도록

리의 동기설계이론 (ARCS 이론) 을 바탕으로 하여 수업 계획서와 1차시

의 수업 지도안을 작성해 보았다 한 작성한 수업 지도안으로 부천시 소재

의 한 고등학교에서 실제 수업을 진행해 보았을 때 학생들이 좀 더 수열에

해 친숙하게 느끼고 쉽게 이해하는 모습을 볼 수 있었다 본 연구자가

직 교사가 아니라 여러 반을 상으로 수열 단원의 모든 차시 수업에 용

하여 수업을 해볼 수 없었단 이 아쉬움으로 남는다

이와 같이 학생들의 주의 련성자신감만족감 증진을 한 수업을 함

으로써 학생들의 수학 학습 성취도의 향상을 기 할 수 있을 것이다 한

개발된 자료를 실제 수업에 용하는 경우의 효율성에 한 후속 연구가 체

계 이고 지속 으로 이루어져야 할 것이다

참 고 문 헌

[1] 구평회 META 구평회 교육학 2007

[2] 교육인 자원부 고시 제2007 - 79호[별책8] 2007

[3] 박인학 교사를 한 교수학습방법론 문사 1995

[4] 변 계 교수학습 이론의 이해 학지사 1999

[5] 우정호 외 5인 고등학교 수학 Ⅰ 한교과서(주) 2002

[6] 이 연 자연의 수학 열쇠 피보나치수열 로네시스 2006

[7] 이진화 지수로그함수의 지도에 한 연구 서강 학교 교육 학원 석사 학

논문 2006

[8] 임재훈 외 10인 고등학교 수학 Ⅰ (주)두산 2002

[9] 장 숙 고등학교 수학 Ⅰ 교과서의 통계단원 분석 실생활에의 용 경희

학교 교육 학원 석사 학 논문 2006

[10] 조해식 행렬 수열 수업에서의 수학사 도입에 한 연구 울산 학교 석사

학 논문 1998

[11] 차 자 수열 학습의 흥미 유발을 한 자료 연구 경성 학교 교육 학원 석

사 학 논문 2004

[12] 최 외 5인 고등학교 수학 Ⅰ 앙교육진흥연구소 2006

[13] 최상기 외 5인 고등학교 수학 Ⅰ (주)고려출 2002

[14] 최용 신 성 고등학교 수학 Ⅰ 천재교육(주) 2002

[15] 황혜정 외 5인 수학교육학 신론 문음사 2002

• Ⅰ 서론
• • 1 연구의 필요성과 목적
  • 2 연구의 제한점
  • • Ⅱ 개정 교육과정에서 명시된 수학Ⅰ교육의 목표
    • • 1 수학Ⅰ교육의 목표
      • 2 고등학교 수학 Ⅰ 수열 단원의 학습목표
      • • Ⅲ 수열의 역사적 배경 및 응용
        • • 1 수열의 역사
          • 2 수열 단원이 실생활에 응용된 사례
          • • Ⅳ 고등학교 수학교육과정에서의 수열
            • • 1 수학Ⅰ 교과서 분석
              • 2 수학Ⅰ 교과서에서의 수열
              • • Ⅴ 켈러의 ARCS 이론과 수열 지도
                • • 1 켈러의 ARCS 이론
                  • 2 ARCS 이론을 적용한 수열 수업 계획서
                  • 3 ARCS 이론을 적용한 수업 지도안
                  • 4 조사지 분석
                  • • Ⅵ 결론
                    • 참고문헌

원 이자원리합계

(=원 +이자)

1년 원 원 원

2년 원 원 원

3년 원 원 원

년 원 times원 원

하자 1년이 지났을 때 의 이자가 붙으면 원 불어나므로

times (원) 이다 그리고 1년2년 년이 지날 때 마

다 값을 측정해보면 다음과 같다

[표4 복리법]

최종 으로 원 을 라 하고 연이율을 이라고 한다면

따라서 년이 지나면 이 된다 그때의 총 합 는 이

다

4) 황 비율

에서 언 했던 피보나치수열 　　　　　　　　　　에서 번째 항

을 번째 항으로 나 어 보자

　 　

　 　

　 　

　 　

　 　

　 　 이런 식으로 계속 해나가다 보면

이 수가 061803 에 근사하게 된다 고 그리스인들은 이 수에 lsquo황 비

율rsquo라는 이름을 붙 다 이것은 인간이 보기에 가장 아름다운 비율이라 하

여 여러 분야에서 사용되고 있다

(1) 황 비의 이용

약 100년 페히 라는 독일의 심리학자는 수백 명의 사람들에게 여러

종류의 직사각형을 보여 다음 마음에 드는 것을 선택하게 하는 실험을

했다 그런데 그 결과 부분의 사람이 황 직사각형을 선택했다고 발표했

다 ([6])

실험에 의하면 황 비는 사람들이 가장 편안하고 아름답게 느끼는 비율로

알려져 있으며 이런 이유 때문에 옛 부터 건축과 미술 음악 등에서 자주

이용되어 왔다

(가) 건축

기원 2000년경의 이집트 《린드 피루스》에 보면 기원 4700년에 기

자의 피라미드를 건설할 때 이 수를 lsquo신성한 비율rsquo로 사용했다고 한다

의 측량 기술로 측정해보니 피라미드 의 심에서 의 모서리까지

그리고 경사면까지 거의 정확하게 0618이었다 ([6])

피라미드는 인류역사를 통해서 사람들을 가장 매료시켜온 건축물 의 하

나이다 그 규모의 장 함에서도 사람을 압도하는 것이 있지만 그 형태 자

체가 고도한 수학을 배경으로 한 것으로서 우리가 알고 있는 5천년 의 지

식수 으로서는 불가사의한 것 의 하나이다

[그림3 피라미드 황 비]

(나) 음악에서의 활용

음악에서 한 옥타 는 [도 미 솔 라 시 도] 의 8음계로 이루어져 있

다 피아노의 건반은 한 옥타 를 13개의 음으로 나 어 표 하고 있으며

이 하얀 건반이 8개 검은 건반이 5개 있고 하얀 건반은 3개와 5개 검

은 건반은 2개와 3개로 구분되어 있다 여기에서 나타나는 2 3 5 8 13

은 에서 보인 피보나치수열이다

[그림4 피아노건반황 비율]

(2) 인체에서의 황 비율

황 분할은 우리의 인체 속에서도 찾아볼 수 있다 인간의 신체가 이 비율

에 의해서 분할되어 있으며 이것이 아름다운 몸의 보편 기 이 되고 있

다 아래 그림은 Le Corbusier가 찾아낸 이상 인간의 각 신체부 의 비율

이다 이것은 오나르도 다빈치의 인체비율에 한 그림에서도 찾아 볼

수 있다 이 뿐만 아니라 인체의 각 부 들도 그 자체 황 분할을 이루

고 있다

[그림5 인체 황 비율]

앞에서 제시한 황 비율을 사용한 시들 이외에도 우리 주변에 아주 많

이 있다

교과서 차례

한교과서(주)

Ⅳ 수열

1 등차수열과 등비수열

2 여러 가지 수열

3 수학 귀납법

4 알고리즘과 순서도

(주) 천재교육

Ⅲ 수열

1 등차수열과 등비수열

2 여러 가지 수열

3 수학 귀납법

4 알고리즘과 순서도

Ⅳ 고등학교 수학교육과정에서의 수열

1 수학Ⅰ 교과서 분석

고등학교 2학년이 학습하는 lsquo수학 Ⅰrsquo은 국민 공통 기본 교육 기간의 10단계

수학을 이수한 학생들이 보다 문 인 진로를 고려하고 보다 높은 수 의

수학을 학습하기 해 설정된 심화 선택 과목이며 lsquo수학 Ⅱrsquo를 학습하기 한

단계이다 lsquo수학 Ⅰrsquo의 내용은 수 역에서 지수와 로그 행렬 수열이

실려있고 해석 역에서 수열의 극한 지수로그 함수가 수록되어 있으며

확률과 통계 역에서 순열과 조합 확률 통계 등으로 구성되어 있다 특히

수 역에 해당하는 수열은 여러 가지 수열에 한 성질을 이해하고 그것

을 일반화 하는 과정에 을 두어 지도하도록 하고 있으며 계차수열은 등

차수열이나 등비수열이 되는 경우만 다룬다 ([2])

1) 수학 Ⅰ 5종 교과서의 차례 단원 배열

앙교육진흥연구소

Ⅲ 수열

1 등차수열과 등비수열

2 여러 가지 수열

3 수학 귀납법

4 알고리즘과 순서도

(주) 고려출

Ⅲ 수열

1 등차수열과 등비수열

2 여러 가지 수열

3 수학 귀납법과 순서도

(주) 두산

Ⅲ 수열

1 등차수열과 등비수열

2 여러 가지 수열

3 수학 귀납법

4 알고리즘과 순서도

[표5 수학 Ⅰ 5종교과서의 차례]

의 표에서 본 것과 같이 임의로 선택된 5종의 고등학교 수학 Ⅰ 교과서의

차례는 거의 비슷한 양상을 보 다 부분의 교과서에선 1단원 지수와 로

그 2단원 행렬 3단원 수열 순의 순서를 보 고 한교과서외의 몇몇

교과서에선 1단원 지수와 로그 2단원 지수로그함수 3단원 행렬 4단원 수

열 순의 순서를 보 다 수열단원의 세부 단원 차례는 1 등차수열과

등비수열 2 여러 가지 수열 3 수학 귀납법 4 알고리즘과 순서도 는

34 단원을 한 단원으로 해서 3 수학 귀납법과 순서도의 순서로 다루는

은 비슷했다

2) 교과서에 제시된 수열 련 자료

한교과서

(주)

피타고라스(Pythagoras 572～492 BC) 피타고라스의 정리

로 잘 알려져 있고 소수나 완 수의 규칙성에 해서도 많은 연

구를 하 다

바스카라(Bhaskara A 1114～1185) 인도의 수학자로

임을 증명하 고 피타고라스의 정리를 기하학

으로 증명하 다

피보나치(Fibonacci 1180～1250) 이탈리아의 수학자로 자연

속에서 많이 볼 수 있는 피보나치 수열을 발견하 다

스칼(Pascal B 1623～1662 ) 랑스의 수학자로 수학

귀납법을 발견하 고 사 기하학을 창시하 다

푸리에(Fourier J B J 1768～1830) 랑스의 수학자로 음양

학 학 기역학 열역학 등의 연구에 매우 요한 푸리에

수를 연구하 다

가우스(Gauss K F 1777～1855) 수학 통계학 등의 다방

면에 많은 업 을 이루었고 역사상 가장 한 수학자 의 한

사람으로 불리워지고 있다

비주얼 베이직(Visual BASIC)

을 이용한 Programming

하노이의 탑

(주)

천재교육

가우스(Gauss K F 1777～1855) 독일의 수학자인 가우스는

수학의 각 방면에 많은 업 을 남겨 수학의 아버지라 일컬

어지고 있다 그는 계산의 천재로 알려져 있는데 이에 한 유명

한 일화가 있다 등학교 때 부터 까지의 합을 구하는 문

제에서 다른 학생들이 직 하나하나 계산하는 동안 가우스는

　 　 　　　　 이 모두 임을 이용하여

times 이라는 답을 이끌어 내었다 이러한 방식은 수열

의 합을 계산할 때 사용하는 방식 의 하나이다

하노이의 탑을 이용한 수열의 귀납 정의

임의로 선택된 5종 교과서들의 수열단원에서 학생들의 수열 단원의 이해를

돕기 해 수록된 수학자들에 한 설명과 기타 자료들은 다음과 같다

도미노 이론 - 수학 귀납법의 다른 표

피보나치수열 - 토끼 수 증가 문제

앙교육

진흥연구소

삼각수 사각수 문제

피보나치(Fibonacci 1180～1250)

가우스(Gauss K F 1777～1855)

음악과 수학 - 작곡가 바흐(Bach)의 요 업 으로 평균율을

들 수 있다 평균율이란 1옥타 즉 lsquo도rsquo와 lsquo도rsquo의 사이를 개의

반음으로 나 고 처음 lsquo도rsquo의 진동수를 이라 하면 그에 일정한

수를 더해 제곱하여 옥타 의 lsquo도rsquo의 진동수를 얻는 것을

말한다 수식으로는 로 나타낼 수 있고 이 등식을

만족하는 의 값이 평균율이다

(주)

고려출

티티우스-보데 수열 -

수열 　　　　　　　　의 각 항에 각각 를 더한 후

으로 나 수들을 나열한 것 　　　　　　　 를

티티우스-보데 수열이라 한다 이수열의 각 항은 태양에서 행성

까지의 실제 거리와 비슷한 것으로 1766년 티티우스(Titius)라는

독일의 천문학자가 발견하 다

제갈량의 군 에 한 을 통한 등비수열의 합

피보나치 수열

휴먼 로 - 휴먼 로 의 제작은 복잡한 여러 가지 알고리즘

과 순서도에 바탕을 두고 있다 알고리즘의 요성은 자계산기

이 부터 실제 으로 존재했다 그 로 최 공약수 계산에 한

유클리드의 알고리즘이 있다 한 가우스와 같은 부분의 수학

자들은 역사 으로 많은 양을 처리하는 효율 인 알고리즘에

심을 가졌다 이러한 알고리즘을 보다 효율 으로 이용하여 재

의 컴퓨터 시 를 구축했다

(주) 두산

피보나치(Fibonacci 1180～1250)는 이탈리아의 피사에서 태

어난 수학자이다 부친이 상업에 종사하 기 때문에 피보나치는

이집트 시칠리아 그리스 시리아 등 다양한 지역을 여행할 수

있었고 이 때 다양한 수학을 하게 되었다 1202년 피사로 돌아

온 피보나치는 「산반서(Liber abaci)」를 술하 다 1228년에

는 「산반서 2 」을 술하 는데 이 책에서 정수와 분수의 계

산 제곱근과 세제곱근 일차와 이차방정식의 풀이 등을 다루었다

고 한다 특히 이 책에 나오는 「피보나치의 수열」은 매우 흥미

로운 수열로 요한 성질을 많이 가지고 있다

1에서 100까지 자연수를 모두 합하면 얼마일까

가우스(Gauss KF 1777～1855) 가우스는 수론 해석학 확

률론 천문학 물리학 등 다양한 분야에 뛰어난 수학자이었다 특

히 그의 수론 연구는 19세기 수학 체계의 확립에 크게 공헌하

다

피타고라스(Pythagoras 572～492 BC) 피타고라스는 음의

높이에 따른 진동수의 비가 일정함을 발견하 다

페아노(Peano G 1858～1932) 자연수의 성질을 추상화 하여

페아노의 공리계를 만들었다 이 공리계의 제 5공리가 수학 귀

납법의 원리이다

피보나치의 수열

알콰리즈미(Alkhwarizmi 780～850) 알고리즘이란 말은 세

아라비아의 수학자 알콰리즈미의 이름에서 유래된 것으로서 그가

십진법으로 나타낸 수의 계산에 용한 계산 방법에서 나온것이

다

[표6 5종 교과서에 제시된 수열 련 자료]

2 수학 Ⅰ 교과서에서의 수열

등차수열의 일반항

첫째항이 공차가 인 등차수열의 일반항 은

본 연구자가 임의로 선택한 5종 교과서 ([5][8][12][13][14]) 에서의

수열의 내 을 정리해보았다

1) 등차 수열과 등비 수열

(1) 수열의 뜻

어떤 규칙에 따라 순서 로 수를 늘어놓은 것을 수열이라 하고 그 수열을

이루는 각각의 수를 그 수열의 항이라고 한다 수열의 각 항을

앞에서부터 순서 로 제 1항 제 2항 제 3항 제 항

이라고 한다 특히 제 1항은 첫째항이라고도 한다

(2) 등차수열의 뜻

첫째항에 차례로 일정한 수를 더하여 만들어진 수열을 등차수열 이라하고

더한 일정한 수를 공차라고 한다

첫째항이 공차가 인 등차수열 에서

이므로 일반항 은 다음과 같이 나타낼 수 있다

(3) 등차수열의 합

등차수열의 합

첫째항이 공차가 끝항이 인 등차수열의 첫째항부터 제 항까지의

합 은

첫째항이 공차가 등차수열 에서 첫째항 부터 제 항 까지의 합

을 토론하기의 방법을 이용하여 구해보자

　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　①

더하는 순서를 거꾸로 하면

　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　②

①②의 양변을 각각 더하면

　　

따라서 =

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　③

이때 제 항인 를 ③에 입하여 식을 다르게 나타낼수도

있다

이상을 정리하면 다음과 같다

(4) 수열의 합과 일반항

수열 에서 첫째항부터 제 항까지의 합을 이라 하면

ge 일때 　　

there4

수열의 합과 일반항의 계

수열 의 첫째항부터 제 항까지의 합을 이라 하면

(단 ge )

등비수열의 합

일때 이다

이상을 정리하면 다음과 같다

(5) 등비수열의 뜻

첫째항부터 시작하여 각 항의 바로 앞의 항에 일정한 수를 곱하여

만들어진 수열을 등비수열이라 하고 곱하는 일정한 수를 공비라고 한다

첫째항이 공비가 인 등비수열에서 첫째항부터 제 항까지의 합 은

다음과 같이 구한다

　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　①

①의 양변에 공비 을 곱하면

　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　②

①에서 ②를 같은 변끼리 빼면

따라서 ne 일때

인 경우 ①에서

　　

there4

이상을 정리하면 다음과 같다

첫째항이 공비가 인 등비수열의 첫째항부터 제 항까지의 합 은

① ne 일때

② 일때

자연수의 거듭제곱의 합

①

　　

②

　　

③

　　

2) 여러 가지 수열

(1) 합의 기호 sum

수열 에서 첫째항부터 제 항까지의 합

　　

을 일반항과 합의 기호 sum를 써서

　　

와 같이 나타낸다

이때

는 수열 의 일반항 의 에 　　　　　　을 차례로

입하여 얻은 항의 합으로 신 다른 문자를 사용하여

등과 같이 나타낼 수 있다

(2) 기호 sum 의 성질

합의 기호 sum 의 성질에 하여 알아보자

합의 기호 sum의 성질

①

(복부호동순)

②

(단 는 상수)

③

(단 는 상수)

　　

　　 　　

　　

마찬가지로

와

에 해서도 확인해 보면 sum 의 성질을

다음과 같이 정리할 수 있다

(3) 계차수열

일반 으로 수열 에서 이웃하는 두 항의 차

　　 을 일반항으로 하는 새로운 수열

　　　　　　　을 얻을 수 있는데 이 수열 을 원래의 수열 의

계차수열이라고 한다

수열 에 하여 그 계차수열을 이라 하면

　　

계차수열과 일반항

수열 의 계차수열을 이라 할때

(단 ge )

3) 수학 귀납법

(1) 수열의 귀납 정의

첫째항과 이웃하는 두 항 사이의 계식으로 수열을 정의하는 것을 수열의

귀납 정의 라고 한다

첫째항이 공차가 인 등차수열 은 다음이 성립한다

　ge 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　①

역으로 두 계식 ①이 주어지면 이 결정되고 차례로

가 결정된다 따라서 모든 자연수 에 하여 이 정해지므로 수열 이

정의 된다

①과 같이 의 값 과 의 계식을 화식이라고 한다

(2) 수학 귀납법

수학 귀납법은 이탈리아의 페아노에 의하여 설정된 자연수에 한 공리

수학 귀납법

자연수 에 한 명제 이 모든 자연수 에 하여 성립함을 증명하

려면 다음 ⅰ ⅱ 를 증명하면 된다

ⅰ 일때 명제 이 성립한다

ⅱ 일때 명제 이 성립한다고 가정하면 일때에도

명제 이 성립한다

다음과 같은 5번째 공리에 근거를 두고 있다

자연수의 집합 의 부분집합 가

ⅰ 　isin

ⅱ 　isin 이면 isin

(여기서 는 의 후자)

인 두 조건을 만족하면 이다

4) 알고리즘과 순서도

(1) 알고리즘과 순서도

어떤 문제를 해결하기 해서는 그 처리 순서를 정해야 하는데 이와 같이

문제 해결에 필요한 처리 과정의 순서를 단계 으로 정리한 것을 알고리즘

이라 하고 알고리즘을 알기 쉽게 기호를 써서 그림으로 나타낸 것을 순서도

라고 한다 일반 으로 어떤 문제를 해결하기 한 알고리즘은 여러 가지가

있을 수 있지만 정해진 유한번의 단계를 거치면 반드시 끝나야 하고 처리

과정의 순서가 명확해야 한다 한 순서도는 각 부분을 순서 계통 으로

나타냄으로써 작업 과정을 구나 쉽게 한 에 악할 수 있도록

작성되어야 한다 순서도는 다음과 같은 기호를 사용하여 작성한다

[표7 순서도의 기호]

(2) 알고리즘과 순서도의 작성

수열과 련된 순서도를 작성할 때에는 다음과 같은 방법을 고려한다

(가) 항수를 항을 수열의 합을 로 나타낸다

(나) 제시된 항의 번호까지 루 를 용한다

(다) 제시된 항의 번호에 하여 단 기호를 이용한다

(라) 구하려는 는 를 인쇄하고 끝낸다

주의환기

집 을

한 략

지각

주의환기의

략

시청각 효과의 사용

비일상 인 내용이나 사건 제시

주의 분산의 자극 지양

탐구

주의환기의

략

능동 반응 유도

문제해결 활동의 구상 장려

신비감의 제공

다양성의

략

간결하고 다양한 교수형태 사용

일방 교수와 상호작용 교수의 혼합

교수자료의 변화 추구

목표-내용-방법이 기능 으로 통합

련성

증진을

한

략

친 성의

략

친 한 인물 혹은 사건 활용

구체 이고 친숙한 그림 활용

친 한 문 배경 지식 활용

목 지향성

의 략

실용성에 을 둔 목표 제시

목 지향 인 학습형태 활용

Ⅴ 러의 ARCS 이론과 수열 지도

1 러의 ARCS 이론

1) ARCS 이론의 특징

(1) 이론 배경

다음은 ([4])의 내용을 참고하 다

ldquo말을 물가로 데리고 갈 수는 있지만 물을 먹일 수는 없다rdquo는 속담처럼

하고자 하는 마음이 없으면 학습 효과를 기 할 수 없는 것은 당연한 사실

이다 이러한 생각의 근거에는 동기 유발의 개념이 자리 잡고 있다 동기

유발이란 어떤 활동을 진 지시 유지하려는 내 상태 는 과정을

포함한다 이 개념은 교육 심리학의 심 개념 의 하나이지만 직 찰

할 수 없는 것이기 때문에 인간의 행동을 보고 거기에서 유출해 내는 개념

이며 이에 한 정의는 바라보는 과 강조하는 내용에 따라 각기 다르

다

(2) ARCS 이론

목 의 선택 가능성 부여

필요나

동기와의

부합성 강조의

략

다양한 수 의 목 제시

학업성취 여부의 기록체제 활용

비경쟁 학습상황의 선택가능

동 상호 학습상황 제시

자신감

수립을

한 략

학습의

필요조건

제시의 략

수업의 목표와 구조의 제시

평가기 피드백의 제시

선수학습 능력의 단

시험의 조건 확인

성공의 기회

제시의 략

쉬운 것에서 어려운 것으로 과제 제시

정수 의 난이도 유지

다양한 수 의 시작 제공

무작 의 다양한 사건 제시

다양한 수 의 난이도 제공

개인

조 감

증 의 략

학습의 끝을 조 할 수 있는 기회 제시

학습속도의 조 가능

원하는 부분에로의 재빠른 회귀 가능

선택가능하고 다양한 과제의 난이도제공

노력이나 능력에 성공 귀착

만족감

증 를

한 략

자연 결과

강조의 략

연습문제를 통한 용기회 제공

후속학습상황을 통한 용기회 제공

모의상황을 통한 용기회 제공

정 결과

강조의 략

한 강화 계획의 활용

의미 있는 강화의 강조

정답을 한 보상 강조

외 보상의 사려 깊은 사용

선택 보상체제 활용

공정성

강조의 략

수업목표와 내용의 일 성 유지

연습과 시험 내용이 일치

[표8 ARCS 략] ([1])

2 ARCS 이론을 용한 수열 수업 계획서

다음은 ([1])의 ARCS 이론의 수업계획서를 참고하여 수열 단원의 수업

계획서를 작성해보았다

수업내용개 동기 략개 기타의견1 수업 기

체 으로 교사는 다양한 방법으로 학습자들

에게 수업 내용을 제시하고 학습자들에게

한 언어를 사용한다

수열의 활용에

한 학습목표

제시하기

교사는 학습자들의 련성을 높이기 해 학습

목표의 의미를 설명해 다

도표는 큰 씨를 사

용하고 핵심이 되는

단어에는 다른 색깔을

사용한다

수열의 활용의

이 과 평가

거를 제시하기

교사는 학습자들의 련성과 자신감 만족감

을 높이기 하여 이 수업이 끝난 후 그들이

무엇을 할 수 있는지에 해 알려 다

교사는 학습자들의 자신감과 만족감을 높이기

하여 성공 인 학습성취를 단할 수 있는 객

인 거들을 알려 다

교사는 학습자들의 만족감을 높이기 하여

그들이 주어진 과제를 성공 으로 해결했을 때

그에 따르는 내재 강화나 외재 보상이 있음

을 알려 다

수열의 정의와

해법에 한 지

식을 간략하게

확인하기

교사는 선수학습과의 련성을 유발하기 하

여 간략한 보조도구(인쇄매체)를 사용하여 수열

의 정의와 해법을 제시한다

교사는 소집단 토론을 실시하여 학습자들의

선수지식을 스스로 검해 보도록 한다

교사는 수열의 정의와 해법을 잘 모르는 학습

자들에게 자신감을 유발시키기 하여 개별 인

학습목표를 세우도록 한다

소집단 구성에 있어

서 주의집 이 매우

낮은 5명을 하나의 소

집단으로 구성하고

친근한 소재를 활용하

여 그들의 주의집 과

련성을 유발한다

실생활과 련

된 수열의 활용

문제들을 몇 가

지 소개하기

교사는 학습자들의 주의집 을 유지하기 해

실생활에서 연립방정식을 활용하여 해결할 수

있는 몇 가지 문제들을 제시한다

주의집 이 매우 낮은 5명의 학습자들이 수업

에 극 인 심을 보이지 않으면 교사는 그

들에게 친근한 목소리로 이름을 부르면서 수업

에 집 하라고 얘기 하고 개인 인 심을 갖

고 있음을 나타낸다

로써 활용되는 문

제들을 선택할 때 학

습자들이 알고 있거

나 그들에게 친근감

을 주는 소재가 포함

되도록 선택한다 이

때 지나치게 자심감

이 높아서 수업에 소

극 으로 참여하는 3

명의 학습자들에게는

다소 복잡한 수열의

활용 문제를 미리 제

공하여 생각할 기회를

다

수열의 활용에

한 학습자들의

이해정도를 악

하고 피드백을

제공하기

교사는 학습자들에게 자신감을 높이기 하여

소집단을 구성하여 학습자들이 수열의 활용에

해 어느 정도 이해하고 있는지를 서로 토론하

도록 한다

교사는 소집단별로 둘러보면서 자신감과 만족

감을 유발시키기 하여 학습자들간에 서로 도

움을 주도록 분 기를 형성한다

소집단별로 간략하게 토론이 끝나면 학습자

들 스스로 정리하도록 한다

토론결과 학습자들이 수열의 활용에 해 잘

못 이해하고 있다면 교사는 즉각 으로 교정

피드백을 제공한다

학습자들의 소집단

토론시간을 무 길게

소요하지 않도록 한

다 자칫하면 토론분

기가 산만해지기 쉽

고 토론이 활발하지

못한 경우에는 학습자

들의 학습의욕이 떨어

진다

2 수업 반 체 으로 교사는 다양한 방법으로 학습자

들에게 수업 내용을

제시하고 학습자들에게 개별 인 언어를 사용

한다

실생활과 련

된 수열의 활용

의 문제들을 구

체 으로 제시하

기

교사는 학습자들의 주의집 련성 자신감

만족감을 유지하기 하여 게임을 실시한다 학

습자들이 돌아가면서 임의로 다른 학습자를 지

명하면 지명받은 학습자가 실생활과 련된 수

열의 문제를 하나 제시한다 한 문제를 제

시한 학습자에게 학습태도 수를 주어 만족감

을 향상시킨다

교사는 학습자들이 제시한 여러 가지 문제들

을 칠 에 은 후 몇몇 소집단을 구성하여

그 문제들을 해결하기 해 인스토 을 하

도록 한다 이때 교사는 문제를 해결한 학습자

가 아직 해결하지 못한 학습자들을 도와주어 자

신감과 만족감을 갖도록 한다

인스토 이 진행되는 동안 교사는 교실

을 둘러보면서 학습자들이 질문이나 의문사항

에 해 극 으로 질문할 수 있는 기회를 제

공하고 그에 해 개별 인 언어를 사용하여

부드러운 목소리로 피드백을 제공한다

인스토 도 학습자들의 개인 인 능

력차가 커서 문제를 해결하는데 어려움을 겪는

학습자들에게는 그들에게 합한 개별 인 학습

이때 교사는 밝고

생동감이 넘치는 목소

리로 학습자들의 활동

을 진시킨다

교사는 학습자들이

한 자신감을 유지

하고 있는지에 해

지속 인 심을 갖고

지켜본다

이때 교사는 학습자

들의 자신감과 만족감

을 높이기 하여 그

들에게 일 성 있는

피드백을 제공한다

교사는 학습자들이

목표를 다시 선정하도록 하여 자신감을 향상시

킨다

인스토 이 끝나면 교사는 소집단 별로

한 사람씩 자발 으로 나와 문제를 풀고 풀이

과정을 체 학습자들에게 설명하도록 한다 이

때 어려운 문제를 해결한 소집단이나 학습자에

게 교사는 그들의 우수한 능력을 인정하고 내

재 인 자존심에 정 인 향을 주는 칭찬을

제공하여 자신감과 만족감을 높인다

소집단의 인스토

을 하는 동안 체

으로 문제풀이를 할

때 주의집 을 유지

하고 자신감과 만족

감의 향상을 악하기

해 끊임없이 그들과

시선을 교류하고 얼

굴표정을 찰한다

3 수업마무리 체 으로 교사는 다양한 방법으로 학습자

들에게 수업 내용을 제시하고 학습자들에게 개

별 인 언어를 사용한다

실생활과 련

된 수열의 활용

에 해 체

으로 정리 요

약하기

교사는 교탁을 탁탁 치거나 박수를 쳐서 다

소 떨어진 학습자들의 주의집 을 향상 시킨다

교사는 실생활 속에서 수열을 활용하여 해결

할 수 있는 간단하고 재미있는 문제들을 2～3개

제시하여 학습자들이 그 문제를 성공 으로 해

결함으로써 자신감과 만족감을 갖도록 한다

교사는 학습자들이 미처 생각하지 못했던 실

생활 속에서 수열과 연 된 다양한 들을 제공

하여 주의집 과 련성을 유지향상시킨다

교사는 자신감과 만족감을 향상시키기 해

학습자들에게 수업진행 에 그들이 설정한 개

인 인 학습목표에 해 얼마나 많이 달성했는

가를 스스로 검해 보라고 한다

교사는 수업 반에 수열의 문제를 잘 해결하

지 못했던 학습자들에게 그 문제를 다시 해결해

보도록 기회를 제공하여 자신감과 만족감을 높

여 다

평가에 있어서 교사는 학습자들이 그들의 성

에 해 공정하게 평가되었다고 느끼도록 일

성 있게 평가하여 그들의 자신감고 만족감을

높여 다

교사는 수열과 실생

활과의 련성에 해

학습자들이 잘 지각하

고 있는가를 알아보기

해 다소 진지한 목

소리로 질문한다

다음 학습내용

에 해 간략히

소개하기

교사는 학습자들의 흥미를 유지하기 하여

다음 학습내용에 해 호기심에 찬 목소리로 간

략하게 소개하고 수업을 끝낸다

[표9 러의 ARCS이론]

단원

단

원Ⅲ 수열

배정시간

(분)50

단

원1 등차수열과 등비수열

차시 3소단

원3) 등차수열과 등비수열의 활용

학습

목표등차수열과 등비수열을 실생활의 문제에 용할 수 있다

학습

단계학습내용

교수-학습활동 지도상의유의사

항교사활동 학생활동

도

입

15

분

인사

출석

주변을 정리 정돈

하여 수업분 기를

조성한다

인사 출석체크

를 한다

주의를 환기시킨

후 학생들과 인사

한다

출결석 여부를

확인한다

바른 자세로 주

변을 정리한 뒤

교사와 인사한다

수업 비를 한

다

교사와 학생

모두 함께 수업

분 기를 조성한

다

선수

학습

확인

지난 시간에 학습

한 등차수열과 등비

수열의 정의에 해

다시 한번 확인해본

다

지난 시간에 학습

한 등차수열과 등비

수열의 일반항을 구

하는 방법에 해 확

인학습으로 [문제1]

과 [문제2]를 풀어본

다

학생들의 자신감

을 높이기 하여

등차수열과 등비수

열의 정의를 교과

서에서 찾아본 후

큰소리로 답하게

한다

학생들이 답한

후 다시 한번 등차

수열과 등비수열에

해 간단히 설명

등차수열과 등

비수열의 정의를

교과서에 찾아본

후 큰소리로 읽는

다

교사가 등차수

열과 등비수열의

정의에 해 다시

한번 간단히 설명

할 때 부족한 부

분은 필기하며 복

습한다

교사가 정의에

해 질문할 때

학생들이 모두

책을 찾아볼수

있게 주의를

다

만일 답하

지 못하는 학생

이 있을 경우 그

여기서 인스토 (brainstorming)이라고 하는 것은 갑자기 떠오르는 멋

진 생각을 종이에 는다든가 말로 표 해 본 후 로 기록하거나 기록된

문장을 정리정돈하면서 생각을 논리화하는 방법이다 주로 어떤 계획을 세

우고자 할 때 창조 이고 기발한 아이디어가 필요할 때 학생들의 의견과

생각을 끌어내어 발 시키고자 할 때 사용하면 유리하다 ([3])

3 ARCS 이론을 용한 수업지도안

[문제1]

다음 등차수열

의 일반항과 제20항

을 구하여라

　　　　　　　

[문제2]

다음 등비수열

의 일반항과 제8항을

구하여라

　 　　　　　

한다

교사는 [문제1]

과[문제2]를 제시

한 뒤 학생들에게

직 풀어보게 한

다

등차수열과 등

비수열의 일반항

과 그 공식의 유

도과정을 기억한

다

제시된 문제를

연습장에 풀어본

다

학생에 해 개

별 인 언어를

사용하여 부드러

운 목소리로 피

드백을 제공한

다

개

30

분

학습

목표

제시

수열의 활용에

한 학습목표를 제시

한다

학습목표 학습

에 필요한 자료를

Power point 시청

각 효과를 사용하여

학생들의 주의환기

집 을 한 략

을 사용한다

학습목표를 학생

들에게 읽게 하고

학생들의 련성을

높이기 해 학습

목표의 의미를 설

명해 다

교사의 지시에

따라 큰소리로 학

습목표를 읽고 이

수업이 끝난 후

무엇을 할 수 있

는지에 해 생각

해 본다

학습목표는 큰

씨를 사용하

고 핵심이 되는

단어에는 다른

색깔을 사용한

다

탐구

학습

실생활과 련된

수열의 활용문제들을

몇 가지 소개한다

수열의 활용에

한 학습자들의 이해

정도를 악하고 피

드백을 제공한다

등차수열과 등비

수열을 이용하여

실생활의 문제를

해결할 수 있음을

학생들이 쉽게 이

해할 수 있도록 설

명한다

교사가 실생활

과 련된 수열의

활용문제들을 몇

가지 소개할 때

다른 시가 있는

지 함께 생각해

본다

문제

제시

[문제3]

한일 월드컵 축구 개

회 연도는 2002년이

다 2002년 이후 월

드컵 축구가 개최되

는 연도를 차례로 써

보고 이 규칙 로 월

드컵 축구가 개최되

면 2100년은 월드컵

축구가 개최되는 연

도인가

교과서에서 수열

단원의 수열의 활

용부분에 수록된

문제들을 풀어볼

수 있도록 시간을

다

등차수열과 등

비수열의 일반항

유도 공식을 생각

해보고 제시된 문

제를 해결해 간다

로써 활용되

는 문제를 선택

할 때 학습자들

이 알고 있거나

그들에게 친근감

을 주는 련성

증진을 한

략을 사용한다

[문제4]

컴퓨터의 주기억 장

치인 램은용

으로

용으로 가 개발

되었다 이후 램의

용 량 은

로 증가되어 왔다

의 램으로부터

번 증가된 주 메모

리는 식으로 어떻게

나타낼 수 있는가

학생들이 문제를

어렵게 느끼지 않

도록 어떤 방향으

로 해결해야 하는

지 힌트를 주어 학

생들의 자신감을

증진시킨다

소집

단

활동

5～6명으로 이 진

소집단을 구성하여

학습자들이 수열의

활용에 해 어느 정

도 이해하고 있는지

를 서로 토론하도록

한다

소집단별로 실생활

과 련된 수열의 활

용의 문제들을 구체

으로 제시한다

인 스토 이

끝나면 소집단별로

한사람씩 문제를 풀

고 풀이과정을 체

학생들에게 설명하는

시간을 갖는다

교사는 학생들의

만족감을 높이기

하여 그들이 주

어진 과제를 성공

으로 해결했을

때 그에 따르는

내재 강화나 외

재 보상이 있음

을 알려 다

어려운 문제를

해결한 소집단이나

학생에게 교사는

그들의 우수한 능

력을 인정하고 내

재 인 자존심에

정 인 향을

주는 칭찬을 제공

하여 자신감과 만

족감을 높인다

자신이 속한 소

집단 내에서 제시

된 과제에 해

열심히 토의를 하

며 문제를 해결한

학생이 아직 해결

하지 못한 학생들

을 도와주어 자신

감과 만족감을 갖

도록 한다

소집단별로 간

략하게 토론이 끝

나면 학생들 스스

로 정리해보고 자

발 으로 체 학

생들에게 설명해

보는 기회를 갖는

다

교사는 학습자

들이 한 자

신감을 유지하고

있는지에 해

지속 인 심을

갖고 지켜본다

학생들의 소집

단 토론시간을

무 길게 소요

하지 않도록 한

다

형성

평가

[문제4]

민수는 남 문의 기

와 지붕 한쪽 면이

사다리꼴 모양임을

찰하고 이 면에 있

는 기와의 개수를 알

아보고자 한다 기와

형 성 평 가 를

Power point로 제

시하고 학생들이

스스로 풀어볼 수

있도록 지도한다

학생들이 문제를

다 풀고 나면 교사

제시된 문제를

오늘 학습한 내용

을 복습하면서 풀

어보도록 한다

교사는 다소

진지한 목소리로

질문한다

의 개수를 행으로 세

었더니 용마루 쪽에

가장 가까운 행에는

40개 처마 쪽에 가

장 가까운 행에는 72

개 다 용마루부터

처마까지 행의 개수

가 17이라고 할 때

민수가 찰한 지붕

한쪽 면의 기와의 개

수는 모두 몇 개인

가

는 학생들에게

답할수 있도록 하

고 학생들이 학습

목표에 해 얼마

나 많이 달성했는

가를 스스로 검

해 보라고 한다

형성평가의 답

을 교사의 질문에

끝난 뒤 큰소리로

답하여 자신감

과 만족감을 갖도

록 한다

학생들에게 개

별 인 언어를

사용한다

정

리

5

분

학습

정리

차시

고

학습 자료를 이용

하여 수열의 실생활

의 활용 단원의 수업

내용을 확인한다

과제를 제시한다

다음 차시인 「여

러 가지 수열」 단원

에 한 고를 한

다

수업 내용을 정

리하고 과제를 제

시한다

학생들의 흥미를

유지하기 하여

다음 학습내용에

해 호기심에 찬

목소리로 간략하게

소개하고 수업을

끝낸다

오늘 학습한 내

용을 정리한다

과제를 고 과

제 해결에 한

내용을 머릿속에

형성해 본다

다음 차시에 배

울 내용을 학습

자료 화면으로 확

인해본다

수업내용에

해 학생과 교사

모두가 만족하고

있는지 확인하고

공정한 평가를

한다

[표10 수업지도안]

4 조사 문제지 분석

고등학교 수학 Ⅰ 의 수열단원의 효율 인 지도방안의 연구를 하여 원

종고등학교 2학년 학생 100명을 상으로 조사 문제지 조사를 하 다 학

생들의 수학에 한 심과 수학에서 가장 어려워하는 부분을 알아볼 수

있었고 어떤 방식의 수업을 선호하는지도 알아볼 수 있었다

⑴ 수학에 얼마나 심이 있나요

① 매우 많다 ② 많다 ③ 보통이다 ④ 다 ⑤ 매우 다

수학과목에 매우 많은 심을 보이는 학생은 2로 매우 낮은 편이며

심이 있는 학생은 43로 학생의 반정도 다 수학과목에 심이 거

나 없는 학생은 54정도로 수학은 어려운 과목이라는 인식 때문에 심

이 은 것 같다

수학을 공부하는 가장 큰 이유에는75의 학생들이 학입시를 해서라

는 문항을 선택했다 기타 이유에는 교과서에 있어서 어쩔수 없이 한다

는 학생과 진리탐구를 해서라는 학생도 있었다

[그림6 조사문제지

(1)번 막 그래 ]

⑵ 수학을 공부하는 가장 큰 이유가 뭐라고 생각하나요

① 학입시를 해서

② 평소 수학에 흥미가 있어서

③ 실제 생활에 쓰기 해서

④ 주변에서 해야한다고 하니까

⑤ 기타 이유 (이유를 간단히 어주세요)

앞에 (1)번문항에서 수학에 심이 은 학생이 반 정도인것에 반해

수학공부가 필요하다고 느낀학생이 75정도로 수학공부가 필요하단건

느끼지만 어려운 과목이라는 인식이 부분인것 같다 수학과목도 재

는 과목이란 인식을 학생들이 가질수 있도록 노력해야겠다

[그림7 조사문제지

(2)번 막 그래 ]

⑶ 수학공부의 필요성에 해 어떻게 생각하나요

① 매우 필요하다 ② 조 필요하다 ③ 보통이다

④ 필요 없다 ⑤ 필요 없다

[그림8 조사문제지

(3)번 막 그래 ]

⑷ 수학을 공부하면서 가장 어려운 부분은 무엇이나요

① 복잡한 계산 과정 ② 외워야할 많은 공식들

③ 응용문제엔 어떤 공식을 용해야할지 ④ 다 어렵다

학생들이 수학과목이 어렵다고 느끼는 이유는 응용문제에 어떤 공식을

용해야 하는지를 몰라서 라는 답이 58로 가장 많았다 그 외에도

계산과정이 복잡하거나 외워야할 공식들이 많아서라는 답도 있었다

이해 주의 수업을 하고 단순한 공식의 암기 주의 수업을 탈피해야겠

다

수학수업을 하는데 효과 인 방법에는 선생님 주의 강의식 수업과 학

생 개인별 수업이 78로 가장 많았다 개념이나 공식유도과정을 설명할

땐 서를 하며 강의식 수업을 하고 문제풀이땐 학생들 개인별로 첨삭

지도를 하는게 효율 인것 같다

⑤ 기타이유 (이유를 간단히 어주세요)

[그림9 조사문제지

(4)번 막 그래 ]

⑸ 수학 수업을 하는 데 어떤 방법이 가장 효과 이라고 생각하나요

① 선생님 주의 강의식 수업

② 학생 개인별 수업

③ 모둠별 활동 수업

④ 기타 교재나 과제를 통한 수업

⑤ 기타(이유를 간단히 어주세요)

[그림10 조사문제지

(5)번 막 그래 ]

Ⅵ 결론

본 논문에서 지 까지 고등학교 2학년 학생들이 수학 Ⅰ 교육과정을 학습하

는데 가장 어려워하는 수열에 해 살펴보았다 먼 개정 교육과정에 명시

된 수학교육의 목표와 임의로 선택된 5종 교과서에서 수열 단원의 학습목표

를 살펴보았고 수열의 역사 배경과 실생활에 응용된 들을 정리해보았

다 한 5종 교과서에서 제시되어 있는 수열의 학습내용을 소단원 별로 정

리해보았다 임의로 선택된 5종 교과서안의 수열의 학습내용을 분석해보면

서 몇 몇 교과서에서 여러 가지 수열 단원에서 군 수열과 멱 수에 한 언

이 없거나 미약함을 알 수 있었다 본 연구자가 보기에 군 수열과 멱 수

부분은 실생활에 활용될 는 극히 작아 보이지만 학생들이 꼭 학습하고 넘

어가야 수열에 한 완벽한 학습이 될 수 있을 것이라 여겼는데 교과서에서

제시된 내용들로는 학생들이 충분히 이해할 수 없을 것 같았다

그리고 교과서에 제시된 문항의 수 이 입시와 동 떨어진다는 문제 이 있

었다 교과서에 제시된 문제가 부족하고 수 이 낮다 보니 실제로 학교에서

수업 때 보충 린트 물로 수업을 진행하고 간기말고사 때에도 교과서

외에서 많은 문제를 출제하는 모습을 볼 수 있었다 때문에 학생들이 교과서

보다는 문제집 주의 공부를 할 수 밖에 없는 듯 보 다 교과서가 학생들

과 교사의 요구에 부합할 수 있도록 새로운 내용들과 문제를 싣도록 해야

할 것이다

학생들이 수열 단원의 학습을 할 때 좀 더 효과 인 학습이 될 수 있도록

리의 동기설계이론 (ARCS 이론) 을 바탕으로 하여 수업 계획서와 1차시

의 수업 지도안을 작성해 보았다 한 작성한 수업 지도안으로 부천시 소재

의 한 고등학교에서 실제 수업을 진행해 보았을 때 학생들이 좀 더 수열에

해 친숙하게 느끼고 쉽게 이해하는 모습을 볼 수 있었다 본 연구자가

직 교사가 아니라 여러 반을 상으로 수열 단원의 모든 차시 수업에 용

하여 수업을 해볼 수 없었단 이 아쉬움으로 남는다

이와 같이 학생들의 주의 련성자신감만족감 증진을 한 수업을 함

으로써 학생들의 수학 학습 성취도의 향상을 기 할 수 있을 것이다 한

개발된 자료를 실제 수업에 용하는 경우의 효율성에 한 후속 연구가 체

계 이고 지속 으로 이루어져야 할 것이다

참 고 문 헌

[1] 구평회 META 구평회 교육학 2007

[2] 교육인 자원부 고시 제2007 - 79호[별책8] 2007

[3] 박인학 교사를 한 교수학습방법론 문사 1995

[4] 변 계 교수학습 이론의 이해 학지사 1999

[5] 우정호 외 5인 고등학교 수학 Ⅰ 한교과서(주) 2002

[6] 이 연 자연의 수학 열쇠 피보나치수열 로네시스 2006

[7] 이진화 지수로그함수의 지도에 한 연구 서강 학교 교육 학원 석사 학

논문 2006

[8] 임재훈 외 10인 고등학교 수학 Ⅰ (주)두산 2002

[9] 장 숙 고등학교 수학 Ⅰ 교과서의 통계단원 분석 실생활에의 용 경희

학교 교육 학원 석사 학 논문 2006

[10] 조해식 행렬 수열 수업에서의 수학사 도입에 한 연구 울산 학교 석사

학 논문 1998

[11] 차 자 수열 학습의 흥미 유발을 한 자료 연구 경성 학교 교육 학원 석

사 학 논문 2004

[12] 최 외 5인 고등학교 수학 Ⅰ 앙교육진흥연구소 2006

[13] 최상기 외 5인 고등학교 수학 Ⅰ (주)고려출 2002

[14] 최용 신 성 고등학교 수학 Ⅰ 천재교육(주) 2002

[15] 황혜정 외 5인 수학교육학 신론 문음사 2002

• Ⅰ 서론
• • 1 연구의 필요성과 목적
  • 2 연구의 제한점
  • • Ⅱ 개정 교육과정에서 명시된 수학Ⅰ교육의 목표
    • • 1 수학Ⅰ교육의 목표
      • 2 고등학교 수학 Ⅰ 수열 단원의 학습목표
      • • Ⅲ 수열의 역사적 배경 및 응용
        • • 1 수열의 역사
          • 2 수열 단원이 실생활에 응용된 사례
          • • Ⅳ 고등학교 수학교육과정에서의 수열
            • • 1 수학Ⅰ 교과서 분석
              • 2 수학Ⅰ 교과서에서의 수열
              • • Ⅴ 켈러의 ARCS 이론과 수열 지도
                • • 1 켈러의 ARCS 이론
                  • 2 ARCS 이론을 적용한 수열 수업 계획서
                  • 3 ARCS 이론을 적용한 수업 지도안
                  • 4 조사지 분석
                  • • Ⅵ 결론
                    • 참고문헌

(1) 황 비의 이용

약 100년 페히 라는 독일의 심리학자는 수백 명의 사람들에게 여러

종류의 직사각형을 보여 다음 마음에 드는 것을 선택하게 하는 실험을

했다 그런데 그 결과 부분의 사람이 황 직사각형을 선택했다고 발표했

다 ([6])

실험에 의하면 황 비는 사람들이 가장 편안하고 아름답게 느끼는 비율로

알려져 있으며 이런 이유 때문에 옛 부터 건축과 미술 음악 등에서 자주

이용되어 왔다

(가) 건축

기원 2000년경의 이집트 《린드 피루스》에 보면 기원 4700년에 기

자의 피라미드를 건설할 때 이 수를 lsquo신성한 비율rsquo로 사용했다고 한다

의 측량 기술로 측정해보니 피라미드 의 심에서 의 모서리까지

그리고 경사면까지 거의 정확하게 0618이었다 ([6])

피라미드는 인류역사를 통해서 사람들을 가장 매료시켜온 건축물 의 하

나이다 그 규모의 장 함에서도 사람을 압도하는 것이 있지만 그 형태 자

체가 고도한 수학을 배경으로 한 것으로서 우리가 알고 있는 5천년 의 지

식수 으로서는 불가사의한 것 의 하나이다

[그림3 피라미드 황 비]

(나) 음악에서의 활용

음악에서 한 옥타 는 [도 미 솔 라 시 도] 의 8음계로 이루어져 있

다 피아노의 건반은 한 옥타 를 13개의 음으로 나 어 표 하고 있으며

이 하얀 건반이 8개 검은 건반이 5개 있고 하얀 건반은 3개와 5개 검

은 건반은 2개와 3개로 구분되어 있다 여기에서 나타나는 2 3 5 8 13

은 에서 보인 피보나치수열이다

[그림4 피아노건반황 비율]

(2) 인체에서의 황 비율

황 분할은 우리의 인체 속에서도 찾아볼 수 있다 인간의 신체가 이 비율

에 의해서 분할되어 있으며 이것이 아름다운 몸의 보편 기 이 되고 있

다 아래 그림은 Le Corbusier가 찾아낸 이상 인간의 각 신체부 의 비율

이다 이것은 오나르도 다빈치의 인체비율에 한 그림에서도 찾아 볼

수 있다 이 뿐만 아니라 인체의 각 부 들도 그 자체 황 분할을 이루

고 있다

[그림5 인체 황 비율]

앞에서 제시한 황 비율을 사용한 시들 이외에도 우리 주변에 아주 많

이 있다

교과서 차례

한교과서(주)

Ⅳ 수열

1 등차수열과 등비수열

2 여러 가지 수열

3 수학 귀납법

4 알고리즘과 순서도

(주) 천재교육

Ⅲ 수열

1 등차수열과 등비수열

2 여러 가지 수열

3 수학 귀납법

4 알고리즘과 순서도

Ⅳ 고등학교 수학교육과정에서의 수열

1 수학Ⅰ 교과서 분석

고등학교 2학년이 학습하는 lsquo수학 Ⅰrsquo은 국민 공통 기본 교육 기간의 10단계

수학을 이수한 학생들이 보다 문 인 진로를 고려하고 보다 높은 수 의

수학을 학습하기 해 설정된 심화 선택 과목이며 lsquo수학 Ⅱrsquo를 학습하기 한

단계이다 lsquo수학 Ⅰrsquo의 내용은 수 역에서 지수와 로그 행렬 수열이

실려있고 해석 역에서 수열의 극한 지수로그 함수가 수록되어 있으며

확률과 통계 역에서 순열과 조합 확률 통계 등으로 구성되어 있다 특히

수 역에 해당하는 수열은 여러 가지 수열에 한 성질을 이해하고 그것

을 일반화 하는 과정에 을 두어 지도하도록 하고 있으며 계차수열은 등

차수열이나 등비수열이 되는 경우만 다룬다 ([2])

1) 수학 Ⅰ 5종 교과서의 차례 단원 배열

앙교육진흥연구소

Ⅲ 수열

1 등차수열과 등비수열

2 여러 가지 수열

3 수학 귀납법

4 알고리즘과 순서도

(주) 고려출

Ⅲ 수열

1 등차수열과 등비수열

2 여러 가지 수열

3 수학 귀납법과 순서도

(주) 두산

Ⅲ 수열

1 등차수열과 등비수열

2 여러 가지 수열

3 수학 귀납법

4 알고리즘과 순서도

[표5 수학 Ⅰ 5종교과서의 차례]

의 표에서 본 것과 같이 임의로 선택된 5종의 고등학교 수학 Ⅰ 교과서의

차례는 거의 비슷한 양상을 보 다 부분의 교과서에선 1단원 지수와 로

그 2단원 행렬 3단원 수열 순의 순서를 보 고 한교과서외의 몇몇

교과서에선 1단원 지수와 로그 2단원 지수로그함수 3단원 행렬 4단원 수

열 순의 순서를 보 다 수열단원의 세부 단원 차례는 1 등차수열과

등비수열 2 여러 가지 수열 3 수학 귀납법 4 알고리즘과 순서도 는

34 단원을 한 단원으로 해서 3 수학 귀납법과 순서도의 순서로 다루는

은 비슷했다

2) 교과서에 제시된 수열 련 자료

한교과서

(주)

피타고라스(Pythagoras 572～492 BC) 피타고라스의 정리

로 잘 알려져 있고 소수나 완 수의 규칙성에 해서도 많은 연

구를 하 다

바스카라(Bhaskara A 1114～1185) 인도의 수학자로

임을 증명하 고 피타고라스의 정리를 기하학

으로 증명하 다

피보나치(Fibonacci 1180～1250) 이탈리아의 수학자로 자연

속에서 많이 볼 수 있는 피보나치 수열을 발견하 다

스칼(Pascal B 1623～1662 ) 랑스의 수학자로 수학

귀납법을 발견하 고 사 기하학을 창시하 다

푸리에(Fourier J B J 1768～1830) 랑스의 수학자로 음양

학 학 기역학 열역학 등의 연구에 매우 요한 푸리에

수를 연구하 다

가우스(Gauss K F 1777～1855) 수학 통계학 등의 다방

면에 많은 업 을 이루었고 역사상 가장 한 수학자 의 한

사람으로 불리워지고 있다

비주얼 베이직(Visual BASIC)

을 이용한 Programming

하노이의 탑

(주)

천재교육

가우스(Gauss K F 1777～1855) 독일의 수학자인 가우스는

수학의 각 방면에 많은 업 을 남겨 수학의 아버지라 일컬

어지고 있다 그는 계산의 천재로 알려져 있는데 이에 한 유명

한 일화가 있다 등학교 때 부터 까지의 합을 구하는 문

제에서 다른 학생들이 직 하나하나 계산하는 동안 가우스는

　 　 　　　　 이 모두 임을 이용하여

times 이라는 답을 이끌어 내었다 이러한 방식은 수열

의 합을 계산할 때 사용하는 방식 의 하나이다

하노이의 탑을 이용한 수열의 귀납 정의

임의로 선택된 5종 교과서들의 수열단원에서 학생들의 수열 단원의 이해를

돕기 해 수록된 수학자들에 한 설명과 기타 자료들은 다음과 같다

도미노 이론 - 수학 귀납법의 다른 표

피보나치수열 - 토끼 수 증가 문제

앙교육

진흥연구소

삼각수 사각수 문제

피보나치(Fibonacci 1180～1250)

가우스(Gauss K F 1777～1855)

음악과 수학 - 작곡가 바흐(Bach)의 요 업 으로 평균율을

들 수 있다 평균율이란 1옥타 즉 lsquo도rsquo와 lsquo도rsquo의 사이를 개의

반음으로 나 고 처음 lsquo도rsquo의 진동수를 이라 하면 그에 일정한

수를 더해 제곱하여 옥타 의 lsquo도rsquo의 진동수를 얻는 것을

말한다 수식으로는 로 나타낼 수 있고 이 등식을

만족하는 의 값이 평균율이다

(주)

고려출

티티우스-보데 수열 -

수열 　　　　　　　　의 각 항에 각각 를 더한 후

으로 나 수들을 나열한 것 　　　　　　　 를

티티우스-보데 수열이라 한다 이수열의 각 항은 태양에서 행성

까지의 실제 거리와 비슷한 것으로 1766년 티티우스(Titius)라는

독일의 천문학자가 발견하 다

제갈량의 군 에 한 을 통한 등비수열의 합

피보나치 수열

휴먼 로 - 휴먼 로 의 제작은 복잡한 여러 가지 알고리즘

과 순서도에 바탕을 두고 있다 알고리즘의 요성은 자계산기

이 부터 실제 으로 존재했다 그 로 최 공약수 계산에 한

유클리드의 알고리즘이 있다 한 가우스와 같은 부분의 수학

자들은 역사 으로 많은 양을 처리하는 효율 인 알고리즘에

심을 가졌다 이러한 알고리즘을 보다 효율 으로 이용하여 재

의 컴퓨터 시 를 구축했다

(주) 두산

피보나치(Fibonacci 1180～1250)는 이탈리아의 피사에서 태

어난 수학자이다 부친이 상업에 종사하 기 때문에 피보나치는

이집트 시칠리아 그리스 시리아 등 다양한 지역을 여행할 수

있었고 이 때 다양한 수학을 하게 되었다 1202년 피사로 돌아

온 피보나치는 「산반서(Liber abaci)」를 술하 다 1228년에

는 「산반서 2 」을 술하 는데 이 책에서 정수와 분수의 계

산 제곱근과 세제곱근 일차와 이차방정식의 풀이 등을 다루었다

고 한다 특히 이 책에 나오는 「피보나치의 수열」은 매우 흥미

로운 수열로 요한 성질을 많이 가지고 있다

1에서 100까지 자연수를 모두 합하면 얼마일까

가우스(Gauss KF 1777～1855) 가우스는 수론 해석학 확

률론 천문학 물리학 등 다양한 분야에 뛰어난 수학자이었다 특

히 그의 수론 연구는 19세기 수학 체계의 확립에 크게 공헌하

다

피타고라스(Pythagoras 572～492 BC) 피타고라스는 음의

높이에 따른 진동수의 비가 일정함을 발견하 다

페아노(Peano G 1858～1932) 자연수의 성질을 추상화 하여

페아노의 공리계를 만들었다 이 공리계의 제 5공리가 수학 귀

납법의 원리이다

피보나치의 수열

알콰리즈미(Alkhwarizmi 780～850) 알고리즘이란 말은 세

아라비아의 수학자 알콰리즈미의 이름에서 유래된 것으로서 그가

십진법으로 나타낸 수의 계산에 용한 계산 방법에서 나온것이

다

[표6 5종 교과서에 제시된 수열 련 자료]

2 수학 Ⅰ 교과서에서의 수열

등차수열의 일반항

첫째항이 공차가 인 등차수열의 일반항 은

본 연구자가 임의로 선택한 5종 교과서 ([5][8][12][13][14]) 에서의

수열의 내 을 정리해보았다

1) 등차 수열과 등비 수열

(1) 수열의 뜻

어떤 규칙에 따라 순서 로 수를 늘어놓은 것을 수열이라 하고 그 수열을

이루는 각각의 수를 그 수열의 항이라고 한다 수열의 각 항을

앞에서부터 순서 로 제 1항 제 2항 제 3항 제 항

이라고 한다 특히 제 1항은 첫째항이라고도 한다

(2) 등차수열의 뜻

첫째항에 차례로 일정한 수를 더하여 만들어진 수열을 등차수열 이라하고

더한 일정한 수를 공차라고 한다

첫째항이 공차가 인 등차수열 에서

이므로 일반항 은 다음과 같이 나타낼 수 있다

(3) 등차수열의 합

등차수열의 합

첫째항이 공차가 끝항이 인 등차수열의 첫째항부터 제 항까지의

합 은

첫째항이 공차가 등차수열 에서 첫째항 부터 제 항 까지의 합

을 토론하기의 방법을 이용하여 구해보자

　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　①

더하는 순서를 거꾸로 하면

　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　②

①②의 양변을 각각 더하면

　　

따라서 =

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　③

이때 제 항인 를 ③에 입하여 식을 다르게 나타낼수도

있다

이상을 정리하면 다음과 같다

(4) 수열의 합과 일반항

수열 에서 첫째항부터 제 항까지의 합을 이라 하면

ge 일때 　　

there4

수열의 합과 일반항의 계

수열 의 첫째항부터 제 항까지의 합을 이라 하면

(단 ge )

등비수열의 합

일때 이다

이상을 정리하면 다음과 같다

(5) 등비수열의 뜻

첫째항부터 시작하여 각 항의 바로 앞의 항에 일정한 수를 곱하여

만들어진 수열을 등비수열이라 하고 곱하는 일정한 수를 공비라고 한다

첫째항이 공비가 인 등비수열에서 첫째항부터 제 항까지의 합 은

다음과 같이 구한다

　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　①

①의 양변에 공비 을 곱하면

　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　②

①에서 ②를 같은 변끼리 빼면

따라서 ne 일때

인 경우 ①에서

　　

there4

이상을 정리하면 다음과 같다

첫째항이 공비가 인 등비수열의 첫째항부터 제 항까지의 합 은

① ne 일때

② 일때

자연수의 거듭제곱의 합

①

　　

②

　　

③

　　

2) 여러 가지 수열

(1) 합의 기호 sum

수열 에서 첫째항부터 제 항까지의 합

　　

을 일반항과 합의 기호 sum를 써서

　　

와 같이 나타낸다

이때

는 수열 의 일반항 의 에 　　　　　　을 차례로

입하여 얻은 항의 합으로 신 다른 문자를 사용하여

등과 같이 나타낼 수 있다

(2) 기호 sum 의 성질

합의 기호 sum 의 성질에 하여 알아보자

합의 기호 sum의 성질

①

(복부호동순)

②

(단 는 상수)

③

(단 는 상수)

　　

　　 　　

　　

마찬가지로

와

에 해서도 확인해 보면 sum 의 성질을

다음과 같이 정리할 수 있다

(3) 계차수열

일반 으로 수열 에서 이웃하는 두 항의 차

　　 을 일반항으로 하는 새로운 수열

　　　　　　　을 얻을 수 있는데 이 수열 을 원래의 수열 의

계차수열이라고 한다

수열 에 하여 그 계차수열을 이라 하면

　　

계차수열과 일반항

수열 의 계차수열을 이라 할때

(단 ge )

3) 수학 귀납법

(1) 수열의 귀납 정의

첫째항과 이웃하는 두 항 사이의 계식으로 수열을 정의하는 것을 수열의

귀납 정의 라고 한다

첫째항이 공차가 인 등차수열 은 다음이 성립한다

　ge 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　①

역으로 두 계식 ①이 주어지면 이 결정되고 차례로

가 결정된다 따라서 모든 자연수 에 하여 이 정해지므로 수열 이

정의 된다

①과 같이 의 값 과 의 계식을 화식이라고 한다

(2) 수학 귀납법

수학 귀납법은 이탈리아의 페아노에 의하여 설정된 자연수에 한 공리

수학 귀납법

자연수 에 한 명제 이 모든 자연수 에 하여 성립함을 증명하

려면 다음 ⅰ ⅱ 를 증명하면 된다

ⅰ 일때 명제 이 성립한다

ⅱ 일때 명제 이 성립한다고 가정하면 일때에도

명제 이 성립한다

다음과 같은 5번째 공리에 근거를 두고 있다

자연수의 집합 의 부분집합 가

ⅰ 　isin

ⅱ 　isin 이면 isin

(여기서 는 의 후자)

인 두 조건을 만족하면 이다

4) 알고리즘과 순서도

(1) 알고리즘과 순서도

어떤 문제를 해결하기 해서는 그 처리 순서를 정해야 하는데 이와 같이

문제 해결에 필요한 처리 과정의 순서를 단계 으로 정리한 것을 알고리즘

이라 하고 알고리즘을 알기 쉽게 기호를 써서 그림으로 나타낸 것을 순서도

라고 한다 일반 으로 어떤 문제를 해결하기 한 알고리즘은 여러 가지가

있을 수 있지만 정해진 유한번의 단계를 거치면 반드시 끝나야 하고 처리

과정의 순서가 명확해야 한다 한 순서도는 각 부분을 순서 계통 으로

나타냄으로써 작업 과정을 구나 쉽게 한 에 악할 수 있도록

작성되어야 한다 순서도는 다음과 같은 기호를 사용하여 작성한다

[표7 순서도의 기호]

(2) 알고리즘과 순서도의 작성

수열과 련된 순서도를 작성할 때에는 다음과 같은 방법을 고려한다

(가) 항수를 항을 수열의 합을 로 나타낸다

(나) 제시된 항의 번호까지 루 를 용한다

(다) 제시된 항의 번호에 하여 단 기호를 이용한다

(라) 구하려는 는 를 인쇄하고 끝낸다

주의환기

집 을

한 략

지각

주의환기의

략

시청각 효과의 사용

비일상 인 내용이나 사건 제시

주의 분산의 자극 지양

탐구

주의환기의

략

능동 반응 유도

문제해결 활동의 구상 장려

신비감의 제공

다양성의

략

간결하고 다양한 교수형태 사용

일방 교수와 상호작용 교수의 혼합

교수자료의 변화 추구

목표-내용-방법이 기능 으로 통합

련성

증진을

한

략

친 성의

략

친 한 인물 혹은 사건 활용

구체 이고 친숙한 그림 활용

친 한 문 배경 지식 활용

목 지향성

의 략

실용성에 을 둔 목표 제시

목 지향 인 학습형태 활용

Ⅴ 러의 ARCS 이론과 수열 지도

1 러의 ARCS 이론

1) ARCS 이론의 특징

(1) 이론 배경

다음은 ([4])의 내용을 참고하 다

ldquo말을 물가로 데리고 갈 수는 있지만 물을 먹일 수는 없다rdquo는 속담처럼

하고자 하는 마음이 없으면 학습 효과를 기 할 수 없는 것은 당연한 사실

이다 이러한 생각의 근거에는 동기 유발의 개념이 자리 잡고 있다 동기

유발이란 어떤 활동을 진 지시 유지하려는 내 상태 는 과정을

포함한다 이 개념은 교육 심리학의 심 개념 의 하나이지만 직 찰

할 수 없는 것이기 때문에 인간의 행동을 보고 거기에서 유출해 내는 개념

이며 이에 한 정의는 바라보는 과 강조하는 내용에 따라 각기 다르

다

(2) ARCS 이론

목 의 선택 가능성 부여

필요나

동기와의

부합성 강조의

략

다양한 수 의 목 제시

학업성취 여부의 기록체제 활용

비경쟁 학습상황의 선택가능

동 상호 학습상황 제시

자신감

수립을

한 략

학습의

필요조건

제시의 략

수업의 목표와 구조의 제시

평가기 피드백의 제시

선수학습 능력의 단

시험의 조건 확인

성공의 기회

제시의 략

쉬운 것에서 어려운 것으로 과제 제시

정수 의 난이도 유지

다양한 수 의 시작 제공

무작 의 다양한 사건 제시

다양한 수 의 난이도 제공

개인

조 감

증 의 략

학습의 끝을 조 할 수 있는 기회 제시

학습속도의 조 가능

원하는 부분에로의 재빠른 회귀 가능

선택가능하고 다양한 과제의 난이도제공

노력이나 능력에 성공 귀착

만족감

증 를

한 략

자연 결과

강조의 략

연습문제를 통한 용기회 제공

후속학습상황을 통한 용기회 제공

모의상황을 통한 용기회 제공

정 결과

강조의 략

한 강화 계획의 활용

의미 있는 강화의 강조

정답을 한 보상 강조

외 보상의 사려 깊은 사용

선택 보상체제 활용

공정성

강조의 략

수업목표와 내용의 일 성 유지

연습과 시험 내용이 일치

[표8 ARCS 략] ([1])

2 ARCS 이론을 용한 수열 수업 계획서

다음은 ([1])의 ARCS 이론의 수업계획서를 참고하여 수열 단원의 수업

계획서를 작성해보았다

수업내용개 동기 략개 기타의견1 수업 기

체 으로 교사는 다양한 방법으로 학습자들

에게 수업 내용을 제시하고 학습자들에게

한 언어를 사용한다

수열의 활용에

한 학습목표

제시하기

교사는 학습자들의 련성을 높이기 해 학습

목표의 의미를 설명해 다

도표는 큰 씨를 사

용하고 핵심이 되는

단어에는 다른 색깔을

사용한다

수열의 활용의

이 과 평가

거를 제시하기

교사는 학습자들의 련성과 자신감 만족감

을 높이기 하여 이 수업이 끝난 후 그들이

무엇을 할 수 있는지에 해 알려 다

교사는 학습자들의 자신감과 만족감을 높이기

하여 성공 인 학습성취를 단할 수 있는 객

인 거들을 알려 다

교사는 학습자들의 만족감을 높이기 하여

그들이 주어진 과제를 성공 으로 해결했을 때

그에 따르는 내재 강화나 외재 보상이 있음

을 알려 다

수열의 정의와

해법에 한 지

식을 간략하게

확인하기

교사는 선수학습과의 련성을 유발하기 하

여 간략한 보조도구(인쇄매체)를 사용하여 수열

의 정의와 해법을 제시한다

교사는 소집단 토론을 실시하여 학습자들의

선수지식을 스스로 검해 보도록 한다

교사는 수열의 정의와 해법을 잘 모르는 학습

자들에게 자신감을 유발시키기 하여 개별 인

학습목표를 세우도록 한다

소집단 구성에 있어

서 주의집 이 매우

낮은 5명을 하나의 소

집단으로 구성하고

친근한 소재를 활용하

여 그들의 주의집 과

련성을 유발한다

실생활과 련

된 수열의 활용

문제들을 몇 가

지 소개하기

교사는 학습자들의 주의집 을 유지하기 해

실생활에서 연립방정식을 활용하여 해결할 수

있는 몇 가지 문제들을 제시한다

주의집 이 매우 낮은 5명의 학습자들이 수업

에 극 인 심을 보이지 않으면 교사는 그

들에게 친근한 목소리로 이름을 부르면서 수업

에 집 하라고 얘기 하고 개인 인 심을 갖

고 있음을 나타낸다

로써 활용되는 문

제들을 선택할 때 학

습자들이 알고 있거

나 그들에게 친근감

을 주는 소재가 포함

되도록 선택한다 이

때 지나치게 자심감

이 높아서 수업에 소

극 으로 참여하는 3

명의 학습자들에게는

다소 복잡한 수열의

활용 문제를 미리 제

공하여 생각할 기회를

다

수열의 활용에

한 학습자들의

이해정도를 악

하고 피드백을

제공하기

교사는 학습자들에게 자신감을 높이기 하여

소집단을 구성하여 학습자들이 수열의 활용에

해 어느 정도 이해하고 있는지를 서로 토론하

도록 한다

교사는 소집단별로 둘러보면서 자신감과 만족

감을 유발시키기 하여 학습자들간에 서로 도

움을 주도록 분 기를 형성한다

소집단별로 간략하게 토론이 끝나면 학습자

들 스스로 정리하도록 한다

토론결과 학습자들이 수열의 활용에 해 잘

못 이해하고 있다면 교사는 즉각 으로 교정

피드백을 제공한다

학습자들의 소집단

토론시간을 무 길게

소요하지 않도록 한

다 자칫하면 토론분

기가 산만해지기 쉽

고 토론이 활발하지

못한 경우에는 학습자

들의 학습의욕이 떨어

진다

2 수업 반 체 으로 교사는 다양한 방법으로 학습자

들에게 수업 내용을

제시하고 학습자들에게 개별 인 언어를 사용

한다

실생활과 련

된 수열의 활용

의 문제들을 구

체 으로 제시하

기

교사는 학습자들의 주의집 련성 자신감

만족감을 유지하기 하여 게임을 실시한다 학

습자들이 돌아가면서 임의로 다른 학습자를 지

명하면 지명받은 학습자가 실생활과 련된 수

열의 문제를 하나 제시한다 한 문제를 제

시한 학습자에게 학습태도 수를 주어 만족감

을 향상시킨다

교사는 학습자들이 제시한 여러 가지 문제들

을 칠 에 은 후 몇몇 소집단을 구성하여

그 문제들을 해결하기 해 인스토 을 하

도록 한다 이때 교사는 문제를 해결한 학습자

가 아직 해결하지 못한 학습자들을 도와주어 자

신감과 만족감을 갖도록 한다

인스토 이 진행되는 동안 교사는 교실

을 둘러보면서 학습자들이 질문이나 의문사항

에 해 극 으로 질문할 수 있는 기회를 제

공하고 그에 해 개별 인 언어를 사용하여

부드러운 목소리로 피드백을 제공한다

인스토 도 학습자들의 개인 인 능

력차가 커서 문제를 해결하는데 어려움을 겪는

학습자들에게는 그들에게 합한 개별 인 학습

이때 교사는 밝고

생동감이 넘치는 목소

리로 학습자들의 활동

을 진시킨다

교사는 학습자들이

한 자신감을 유지

하고 있는지에 해

지속 인 심을 갖고

지켜본다

이때 교사는 학습자

들의 자신감과 만족감

을 높이기 하여 그

들에게 일 성 있는

피드백을 제공한다

교사는 학습자들이

목표를 다시 선정하도록 하여 자신감을 향상시

킨다

인스토 이 끝나면 교사는 소집단 별로

한 사람씩 자발 으로 나와 문제를 풀고 풀이

과정을 체 학습자들에게 설명하도록 한다 이

때 어려운 문제를 해결한 소집단이나 학습자에

게 교사는 그들의 우수한 능력을 인정하고 내

재 인 자존심에 정 인 향을 주는 칭찬을

제공하여 자신감과 만족감을 높인다

소집단의 인스토

을 하는 동안 체

으로 문제풀이를 할

때 주의집 을 유지

하고 자신감과 만족

감의 향상을 악하기

해 끊임없이 그들과

시선을 교류하고 얼

굴표정을 찰한다

3 수업마무리 체 으로 교사는 다양한 방법으로 학습자

들에게 수업 내용을 제시하고 학습자들에게 개

별 인 언어를 사용한다

실생활과 련

된 수열의 활용

에 해 체

으로 정리 요

약하기

교사는 교탁을 탁탁 치거나 박수를 쳐서 다

소 떨어진 학습자들의 주의집 을 향상 시킨다

교사는 실생활 속에서 수열을 활용하여 해결

할 수 있는 간단하고 재미있는 문제들을 2～3개

제시하여 학습자들이 그 문제를 성공 으로 해

결함으로써 자신감과 만족감을 갖도록 한다

교사는 학습자들이 미처 생각하지 못했던 실

생활 속에서 수열과 연 된 다양한 들을 제공

하여 주의집 과 련성을 유지향상시킨다

교사는 자신감과 만족감을 향상시키기 해

학습자들에게 수업진행 에 그들이 설정한 개

인 인 학습목표에 해 얼마나 많이 달성했는

가를 스스로 검해 보라고 한다

교사는 수업 반에 수열의 문제를 잘 해결하

지 못했던 학습자들에게 그 문제를 다시 해결해

보도록 기회를 제공하여 자신감과 만족감을 높

여 다

평가에 있어서 교사는 학습자들이 그들의 성

에 해 공정하게 평가되었다고 느끼도록 일

성 있게 평가하여 그들의 자신감고 만족감을

높여 다

교사는 수열과 실생

활과의 련성에 해

학습자들이 잘 지각하

고 있는가를 알아보기

해 다소 진지한 목

소리로 질문한다

다음 학습내용

에 해 간략히

소개하기

교사는 학습자들의 흥미를 유지하기 하여

다음 학습내용에 해 호기심에 찬 목소리로 간

략하게 소개하고 수업을 끝낸다

[표9 러의 ARCS이론]

단원

단

원Ⅲ 수열

배정시간

(분)50

단

원1 등차수열과 등비수열

차시 3소단

원3) 등차수열과 등비수열의 활용

학습

목표등차수열과 등비수열을 실생활의 문제에 용할 수 있다

학습

단계학습내용

교수-학습활동 지도상의유의사

항교사활동 학생활동

도

입

15

분

인사

출석

주변을 정리 정돈

하여 수업분 기를

조성한다

인사 출석체크

를 한다

주의를 환기시킨

후 학생들과 인사

한다

출결석 여부를

확인한다

바른 자세로 주

변을 정리한 뒤

교사와 인사한다

수업 비를 한

다

교사와 학생

모두 함께 수업

분 기를 조성한

다

선수

학습

확인

지난 시간에 학습

한 등차수열과 등비

수열의 정의에 해

다시 한번 확인해본

다

지난 시간에 학습

한 등차수열과 등비

수열의 일반항을 구

하는 방법에 해 확

인학습으로 [문제1]

과 [문제2]를 풀어본

다

학생들의 자신감

을 높이기 하여

등차수열과 등비수

열의 정의를 교과

서에서 찾아본 후

큰소리로 답하게

한다

학생들이 답한

후 다시 한번 등차

수열과 등비수열에

해 간단히 설명

등차수열과 등

비수열의 정의를

교과서에 찾아본

후 큰소리로 읽는

다

교사가 등차수

열과 등비수열의

정의에 해 다시

한번 간단히 설명

할 때 부족한 부

분은 필기하며 복

습한다

교사가 정의에

해 질문할 때

학생들이 모두

책을 찾아볼수

있게 주의를

다

만일 답하

지 못하는 학생

이 있을 경우 그

여기서 인스토 (brainstorming)이라고 하는 것은 갑자기 떠오르는 멋

진 생각을 종이에 는다든가 말로 표 해 본 후 로 기록하거나 기록된

문장을 정리정돈하면서 생각을 논리화하는 방법이다 주로 어떤 계획을 세

우고자 할 때 창조 이고 기발한 아이디어가 필요할 때 학생들의 의견과

생각을 끌어내어 발 시키고자 할 때 사용하면 유리하다 ([3])

3 ARCS 이론을 용한 수업지도안

[문제1]

다음 등차수열

의 일반항과 제20항

을 구하여라

　　　　　　　

[문제2]

다음 등비수열

의 일반항과 제8항을

구하여라

　 　　　　　

한다

교사는 [문제1]

과[문제2]를 제시

한 뒤 학생들에게

직 풀어보게 한

다

등차수열과 등

비수열의 일반항

과 그 공식의 유

도과정을 기억한

다

제시된 문제를

연습장에 풀어본

다

학생에 해 개

별 인 언어를

사용하여 부드러

운 목소리로 피

드백을 제공한

다

개

30

분

학습

목표

제시

수열의 활용에

한 학습목표를 제시

한다

학습목표 학습

에 필요한 자료를

Power point 시청

각 효과를 사용하여

학생들의 주의환기

집 을 한 략

을 사용한다

학습목표를 학생

들에게 읽게 하고

학생들의 련성을

높이기 해 학습

목표의 의미를 설

명해 다

교사의 지시에

따라 큰소리로 학

습목표를 읽고 이

수업이 끝난 후

무엇을 할 수 있

는지에 해 생각

해 본다

학습목표는 큰

씨를 사용하

고 핵심이 되는

단어에는 다른

색깔을 사용한

다

탐구

학습

실생활과 련된

수열의 활용문제들을

몇 가지 소개한다

수열의 활용에

한 학습자들의 이해

정도를 악하고 피

드백을 제공한다

등차수열과 등비

수열을 이용하여

실생활의 문제를

해결할 수 있음을

학생들이 쉽게 이

해할 수 있도록 설

명한다

교사가 실생활

과 련된 수열의

활용문제들을 몇

가지 소개할 때

다른 시가 있는

지 함께 생각해

본다

문제

제시

[문제3]

한일 월드컵 축구 개

회 연도는 2002년이

다 2002년 이후 월

드컵 축구가 개최되

는 연도를 차례로 써

보고 이 규칙 로 월

드컵 축구가 개최되

면 2100년은 월드컵

축구가 개최되는 연

도인가

교과서에서 수열

단원의 수열의 활

용부분에 수록된

문제들을 풀어볼

수 있도록 시간을

다

등차수열과 등

비수열의 일반항

유도 공식을 생각

해보고 제시된 문

제를 해결해 간다

로써 활용되

는 문제를 선택

할 때 학습자들

이 알고 있거나

그들에게 친근감

을 주는 련성

증진을 한

략을 사용한다

[문제4]

컴퓨터의 주기억 장

치인 램은용

으로

용으로 가 개발

되었다 이후 램의

용 량 은

로 증가되어 왔다

의 램으로부터

번 증가된 주 메모

리는 식으로 어떻게

나타낼 수 있는가

학생들이 문제를

어렵게 느끼지 않

도록 어떤 방향으

로 해결해야 하는

지 힌트를 주어 학

생들의 자신감을

증진시킨다

소집

단

활동

5～6명으로 이 진

소집단을 구성하여

학습자들이 수열의

활용에 해 어느 정

도 이해하고 있는지

를 서로 토론하도록

한다

소집단별로 실생활

과 련된 수열의 활

용의 문제들을 구체

으로 제시한다

인 스토 이

끝나면 소집단별로

한사람씩 문제를 풀

고 풀이과정을 체

학생들에게 설명하는

시간을 갖는다

교사는 학생들의

만족감을 높이기

하여 그들이 주

어진 과제를 성공

으로 해결했을

때 그에 따르는

내재 강화나 외

재 보상이 있음

을 알려 다

어려운 문제를

해결한 소집단이나

학생에게 교사는

그들의 우수한 능

력을 인정하고 내

재 인 자존심에

정 인 향을

주는 칭찬을 제공

하여 자신감과 만

족감을 높인다

자신이 속한 소

집단 내에서 제시

된 과제에 해

열심히 토의를 하

며 문제를 해결한

학생이 아직 해결

하지 못한 학생들

을 도와주어 자신

감과 만족감을 갖

도록 한다

소집단별로 간

략하게 토론이 끝

나면 학생들 스스

로 정리해보고 자

발 으로 체 학

생들에게 설명해

보는 기회를 갖는

다

교사는 학습자

들이 한 자

신감을 유지하고

있는지에 해

지속 인 심을

갖고 지켜본다

학생들의 소집

단 토론시간을

무 길게 소요

하지 않도록 한

다

형성

평가

[문제4]

민수는 남 문의 기

와 지붕 한쪽 면이

사다리꼴 모양임을

찰하고 이 면에 있

는 기와의 개수를 알

아보고자 한다 기와

형 성 평 가 를

Power point로 제

시하고 학생들이

스스로 풀어볼 수

있도록 지도한다

학생들이 문제를

다 풀고 나면 교사

제시된 문제를

오늘 학습한 내용

을 복습하면서 풀

어보도록 한다

교사는 다소

진지한 목소리로

질문한다

의 개수를 행으로 세

었더니 용마루 쪽에

가장 가까운 행에는

40개 처마 쪽에 가

장 가까운 행에는 72

개 다 용마루부터

처마까지 행의 개수

가 17이라고 할 때

민수가 찰한 지붕

한쪽 면의 기와의 개

수는 모두 몇 개인

가

는 학생들에게

답할수 있도록 하

고 학생들이 학습

목표에 해 얼마

나 많이 달성했는

가를 스스로 검

해 보라고 한다

형성평가의 답

을 교사의 질문에

끝난 뒤 큰소리로

답하여 자신감

과 만족감을 갖도

록 한다

학생들에게 개

별 인 언어를

사용한다

정

리

5

분

학습

정리

차시

고

학습 자료를 이용

하여 수열의 실생활

의 활용 단원의 수업

내용을 확인한다

과제를 제시한다

다음 차시인 「여

러 가지 수열」 단원

에 한 고를 한

다

수업 내용을 정

리하고 과제를 제

시한다

학생들의 흥미를

유지하기 하여

다음 학습내용에

해 호기심에 찬

목소리로 간략하게

소개하고 수업을

끝낸다

오늘 학습한 내

용을 정리한다

과제를 고 과

제 해결에 한

내용을 머릿속에

형성해 본다

다음 차시에 배

울 내용을 학습

자료 화면으로 확

인해본다

수업내용에

해 학생과 교사

모두가 만족하고

있는지 확인하고

공정한 평가를

한다

[표10 수업지도안]

4 조사 문제지 분석

고등학교 수학 Ⅰ 의 수열단원의 효율 인 지도방안의 연구를 하여 원

종고등학교 2학년 학생 100명을 상으로 조사 문제지 조사를 하 다 학

생들의 수학에 한 심과 수학에서 가장 어려워하는 부분을 알아볼 수

있었고 어떤 방식의 수업을 선호하는지도 알아볼 수 있었다

⑴ 수학에 얼마나 심이 있나요

① 매우 많다 ② 많다 ③ 보통이다 ④ 다 ⑤ 매우 다

수학과목에 매우 많은 심을 보이는 학생은 2로 매우 낮은 편이며

심이 있는 학생은 43로 학생의 반정도 다 수학과목에 심이 거

나 없는 학생은 54정도로 수학은 어려운 과목이라는 인식 때문에 심

이 은 것 같다

수학을 공부하는 가장 큰 이유에는75의 학생들이 학입시를 해서라

는 문항을 선택했다 기타 이유에는 교과서에 있어서 어쩔수 없이 한다

는 학생과 진리탐구를 해서라는 학생도 있었다

[그림6 조사문제지

(1)번 막 그래 ]

⑵ 수학을 공부하는 가장 큰 이유가 뭐라고 생각하나요

① 학입시를 해서

② 평소 수학에 흥미가 있어서

③ 실제 생활에 쓰기 해서

④ 주변에서 해야한다고 하니까

⑤ 기타 이유 (이유를 간단히 어주세요)

앞에 (1)번문항에서 수학에 심이 은 학생이 반 정도인것에 반해

수학공부가 필요하다고 느낀학생이 75정도로 수학공부가 필요하단건

느끼지만 어려운 과목이라는 인식이 부분인것 같다 수학과목도 재

는 과목이란 인식을 학생들이 가질수 있도록 노력해야겠다

[그림7 조사문제지

(2)번 막 그래 ]

⑶ 수학공부의 필요성에 해 어떻게 생각하나요

① 매우 필요하다 ② 조 필요하다 ③ 보통이다

④ 필요 없다 ⑤ 필요 없다

[그림8 조사문제지

(3)번 막 그래 ]

⑷ 수학을 공부하면서 가장 어려운 부분은 무엇이나요

① 복잡한 계산 과정 ② 외워야할 많은 공식들

③ 응용문제엔 어떤 공식을 용해야할지 ④ 다 어렵다

학생들이 수학과목이 어렵다고 느끼는 이유는 응용문제에 어떤 공식을

용해야 하는지를 몰라서 라는 답이 58로 가장 많았다 그 외에도

계산과정이 복잡하거나 외워야할 공식들이 많아서라는 답도 있었다

이해 주의 수업을 하고 단순한 공식의 암기 주의 수업을 탈피해야겠

다

수학수업을 하는데 효과 인 방법에는 선생님 주의 강의식 수업과 학

생 개인별 수업이 78로 가장 많았다 개념이나 공식유도과정을 설명할

땐 서를 하며 강의식 수업을 하고 문제풀이땐 학생들 개인별로 첨삭

지도를 하는게 효율 인것 같다

⑤ 기타이유 (이유를 간단히 어주세요)

[그림9 조사문제지

(4)번 막 그래 ]

⑸ 수학 수업을 하는 데 어떤 방법이 가장 효과 이라고 생각하나요

① 선생님 주의 강의식 수업

② 학생 개인별 수업

③ 모둠별 활동 수업

④ 기타 교재나 과제를 통한 수업

⑤ 기타(이유를 간단히 어주세요)

[그림10 조사문제지

(5)번 막 그래 ]

Ⅵ 결론

본 논문에서 지 까지 고등학교 2학년 학생들이 수학 Ⅰ 교육과정을 학습하

는데 가장 어려워하는 수열에 해 살펴보았다 먼 개정 교육과정에 명시

된 수학교육의 목표와 임의로 선택된 5종 교과서에서 수열 단원의 학습목표

를 살펴보았고 수열의 역사 배경과 실생활에 응용된 들을 정리해보았

다 한 5종 교과서에서 제시되어 있는 수열의 학습내용을 소단원 별로 정

리해보았다 임의로 선택된 5종 교과서안의 수열의 학습내용을 분석해보면

서 몇 몇 교과서에서 여러 가지 수열 단원에서 군 수열과 멱 수에 한 언

이 없거나 미약함을 알 수 있었다 본 연구자가 보기에 군 수열과 멱 수

부분은 실생활에 활용될 는 극히 작아 보이지만 학생들이 꼭 학습하고 넘

어가야 수열에 한 완벽한 학습이 될 수 있을 것이라 여겼는데 교과서에서

제시된 내용들로는 학생들이 충분히 이해할 수 없을 것 같았다

그리고 교과서에 제시된 문항의 수 이 입시와 동 떨어진다는 문제 이 있

었다 교과서에 제시된 문제가 부족하고 수 이 낮다 보니 실제로 학교에서

수업 때 보충 린트 물로 수업을 진행하고 간기말고사 때에도 교과서

외에서 많은 문제를 출제하는 모습을 볼 수 있었다 때문에 학생들이 교과서

보다는 문제집 주의 공부를 할 수 밖에 없는 듯 보 다 교과서가 학생들

과 교사의 요구에 부합할 수 있도록 새로운 내용들과 문제를 싣도록 해야

할 것이다

학생들이 수열 단원의 학습을 할 때 좀 더 효과 인 학습이 될 수 있도록

리의 동기설계이론 (ARCS 이론) 을 바탕으로 하여 수업 계획서와 1차시

의 수업 지도안을 작성해 보았다 한 작성한 수업 지도안으로 부천시 소재

의 한 고등학교에서 실제 수업을 진행해 보았을 때 학생들이 좀 더 수열에

해 친숙하게 느끼고 쉽게 이해하는 모습을 볼 수 있었다 본 연구자가

직 교사가 아니라 여러 반을 상으로 수열 단원의 모든 차시 수업에 용

하여 수업을 해볼 수 없었단 이 아쉬움으로 남는다

이와 같이 학생들의 주의 련성자신감만족감 증진을 한 수업을 함

으로써 학생들의 수학 학습 성취도의 향상을 기 할 수 있을 것이다 한

개발된 자료를 실제 수업에 용하는 경우의 효율성에 한 후속 연구가 체

계 이고 지속 으로 이루어져야 할 것이다

참 고 문 헌

[1] 구평회 META 구평회 교육학 2007

[2] 교육인 자원부 고시 제2007 - 79호[별책8] 2007

[3] 박인학 교사를 한 교수학습방법론 문사 1995

[4] 변 계 교수학습 이론의 이해 학지사 1999

[5] 우정호 외 5인 고등학교 수학 Ⅰ 한교과서(주) 2002

[6] 이 연 자연의 수학 열쇠 피보나치수열 로네시스 2006

[7] 이진화 지수로그함수의 지도에 한 연구 서강 학교 교육 학원 석사 학

논문 2006

[8] 임재훈 외 10인 고등학교 수학 Ⅰ (주)두산 2002

[9] 장 숙 고등학교 수학 Ⅰ 교과서의 통계단원 분석 실생활에의 용 경희

학교 교육 학원 석사 학 논문 2006

[10] 조해식 행렬 수열 수업에서의 수학사 도입에 한 연구 울산 학교 석사

학 논문 1998

[11] 차 자 수열 학습의 흥미 유발을 한 자료 연구 경성 학교 교육 학원 석

사 학 논문 2004

[12] 최 외 5인 고등학교 수학 Ⅰ 앙교육진흥연구소 2006

[13] 최상기 외 5인 고등학교 수학 Ⅰ (주)고려출 2002

[14] 최용 신 성 고등학교 수학 Ⅰ 천재교육(주) 2002

[15] 황혜정 외 5인 수학교육학 신론 문음사 2002

• Ⅰ 서론
• • 1 연구의 필요성과 목적
  • 2 연구의 제한점
  • • Ⅱ 개정 교육과정에서 명시된 수학Ⅰ교육의 목표
    • • 1 수학Ⅰ교육의 목표
      • 2 고등학교 수학 Ⅰ 수열 단원의 학습목표
      • • Ⅲ 수열의 역사적 배경 및 응용
        • • 1 수열의 역사
          • 2 수열 단원이 실생활에 응용된 사례
          • • Ⅳ 고등학교 수학교육과정에서의 수열
            • • 1 수학Ⅰ 교과서 분석
              • 2 수학Ⅰ 교과서에서의 수열
              • • Ⅴ 켈러의 ARCS 이론과 수열 지도
                • • 1 켈러의 ARCS 이론
                  • 2 ARCS 이론을 적용한 수열 수업 계획서
                  • 3 ARCS 이론을 적용한 수업 지도안
                  • 4 조사지 분석
                  • • Ⅵ 결론
                    • 참고문헌

(나) 음악에서의 활용

음악에서 한 옥타 는 [도 미 솔 라 시 도] 의 8음계로 이루어져 있

다 피아노의 건반은 한 옥타 를 13개의 음으로 나 어 표 하고 있으며

이 하얀 건반이 8개 검은 건반이 5개 있고 하얀 건반은 3개와 5개 검

은 건반은 2개와 3개로 구분되어 있다 여기에서 나타나는 2 3 5 8 13

은 에서 보인 피보나치수열이다

[그림4 피아노건반황 비율]

(2) 인체에서의 황 비율

황 분할은 우리의 인체 속에서도 찾아볼 수 있다 인간의 신체가 이 비율

에 의해서 분할되어 있으며 이것이 아름다운 몸의 보편 기 이 되고 있

다 아래 그림은 Le Corbusier가 찾아낸 이상 인간의 각 신체부 의 비율

이다 이것은 오나르도 다빈치의 인체비율에 한 그림에서도 찾아 볼

수 있다 이 뿐만 아니라 인체의 각 부 들도 그 자체 황 분할을 이루

고 있다

[그림5 인체 황 비율]

앞에서 제시한 황 비율을 사용한 시들 이외에도 우리 주변에 아주 많

이 있다

교과서 차례

한교과서(주)

Ⅳ 수열

1 등차수열과 등비수열

2 여러 가지 수열

3 수학 귀납법

4 알고리즘과 순서도

(주) 천재교육

Ⅲ 수열

1 등차수열과 등비수열

2 여러 가지 수열

3 수학 귀납법

4 알고리즘과 순서도

Ⅳ 고등학교 수학교육과정에서의 수열

1 수학Ⅰ 교과서 분석

고등학교 2학년이 학습하는 lsquo수학 Ⅰrsquo은 국민 공통 기본 교육 기간의 10단계

수학을 이수한 학생들이 보다 문 인 진로를 고려하고 보다 높은 수 의

수학을 학습하기 해 설정된 심화 선택 과목이며 lsquo수학 Ⅱrsquo를 학습하기 한

단계이다 lsquo수학 Ⅰrsquo의 내용은 수 역에서 지수와 로그 행렬 수열이

실려있고 해석 역에서 수열의 극한 지수로그 함수가 수록되어 있으며

확률과 통계 역에서 순열과 조합 확률 통계 등으로 구성되어 있다 특히

수 역에 해당하는 수열은 여러 가지 수열에 한 성질을 이해하고 그것

을 일반화 하는 과정에 을 두어 지도하도록 하고 있으며 계차수열은 등

차수열이나 등비수열이 되는 경우만 다룬다 ([2])

1) 수학 Ⅰ 5종 교과서의 차례 단원 배열

앙교육진흥연구소

Ⅲ 수열

1 등차수열과 등비수열

2 여러 가지 수열

3 수학 귀납법

4 알고리즘과 순서도

(주) 고려출

Ⅲ 수열

1 등차수열과 등비수열

2 여러 가지 수열

3 수학 귀납법과 순서도

(주) 두산

Ⅲ 수열

1 등차수열과 등비수열

2 여러 가지 수열

3 수학 귀납법

4 알고리즘과 순서도

[표5 수학 Ⅰ 5종교과서의 차례]

의 표에서 본 것과 같이 임의로 선택된 5종의 고등학교 수학 Ⅰ 교과서의

차례는 거의 비슷한 양상을 보 다 부분의 교과서에선 1단원 지수와 로

그 2단원 행렬 3단원 수열 순의 순서를 보 고 한교과서외의 몇몇

교과서에선 1단원 지수와 로그 2단원 지수로그함수 3단원 행렬 4단원 수

열 순의 순서를 보 다 수열단원의 세부 단원 차례는 1 등차수열과

등비수열 2 여러 가지 수열 3 수학 귀납법 4 알고리즘과 순서도 는

34 단원을 한 단원으로 해서 3 수학 귀납법과 순서도의 순서로 다루는

은 비슷했다

2) 교과서에 제시된 수열 련 자료

한교과서

(주)

피타고라스(Pythagoras 572～492 BC) 피타고라스의 정리

로 잘 알려져 있고 소수나 완 수의 규칙성에 해서도 많은 연

구를 하 다

바스카라(Bhaskara A 1114～1185) 인도의 수학자로

임을 증명하 고 피타고라스의 정리를 기하학

으로 증명하 다

피보나치(Fibonacci 1180～1250) 이탈리아의 수학자로 자연

속에서 많이 볼 수 있는 피보나치 수열을 발견하 다

스칼(Pascal B 1623～1662 ) 랑스의 수학자로 수학

귀납법을 발견하 고 사 기하학을 창시하 다

푸리에(Fourier J B J 1768～1830) 랑스의 수학자로 음양

학 학 기역학 열역학 등의 연구에 매우 요한 푸리에

수를 연구하 다

가우스(Gauss K F 1777～1855) 수학 통계학 등의 다방

면에 많은 업 을 이루었고 역사상 가장 한 수학자 의 한

사람으로 불리워지고 있다

비주얼 베이직(Visual BASIC)

을 이용한 Programming

하노이의 탑

(주)

천재교육

가우스(Gauss K F 1777～1855) 독일의 수학자인 가우스는

수학의 각 방면에 많은 업 을 남겨 수학의 아버지라 일컬

어지고 있다 그는 계산의 천재로 알려져 있는데 이에 한 유명

한 일화가 있다 등학교 때 부터 까지의 합을 구하는 문

제에서 다른 학생들이 직 하나하나 계산하는 동안 가우스는

　 　 　　　　 이 모두 임을 이용하여

times 이라는 답을 이끌어 내었다 이러한 방식은 수열

의 합을 계산할 때 사용하는 방식 의 하나이다

하노이의 탑을 이용한 수열의 귀납 정의

임의로 선택된 5종 교과서들의 수열단원에서 학생들의 수열 단원의 이해를

돕기 해 수록된 수학자들에 한 설명과 기타 자료들은 다음과 같다

도미노 이론 - 수학 귀납법의 다른 표

피보나치수열 - 토끼 수 증가 문제

앙교육

진흥연구소

삼각수 사각수 문제

피보나치(Fibonacci 1180～1250)

가우스(Gauss K F 1777～1855)

음악과 수학 - 작곡가 바흐(Bach)의 요 업 으로 평균율을

들 수 있다 평균율이란 1옥타 즉 lsquo도rsquo와 lsquo도rsquo의 사이를 개의

반음으로 나 고 처음 lsquo도rsquo의 진동수를 이라 하면 그에 일정한

수를 더해 제곱하여 옥타 의 lsquo도rsquo의 진동수를 얻는 것을

말한다 수식으로는 로 나타낼 수 있고 이 등식을

만족하는 의 값이 평균율이다

(주)

고려출

티티우스-보데 수열 -

수열 　　　　　　　　의 각 항에 각각 를 더한 후

으로 나 수들을 나열한 것 　　　　　　　 를

티티우스-보데 수열이라 한다 이수열의 각 항은 태양에서 행성

까지의 실제 거리와 비슷한 것으로 1766년 티티우스(Titius)라는

독일의 천문학자가 발견하 다

제갈량의 군 에 한 을 통한 등비수열의 합

피보나치 수열

휴먼 로 - 휴먼 로 의 제작은 복잡한 여러 가지 알고리즘

과 순서도에 바탕을 두고 있다 알고리즘의 요성은 자계산기

이 부터 실제 으로 존재했다 그 로 최 공약수 계산에 한

유클리드의 알고리즘이 있다 한 가우스와 같은 부분의 수학

자들은 역사 으로 많은 양을 처리하는 효율 인 알고리즘에

심을 가졌다 이러한 알고리즘을 보다 효율 으로 이용하여 재

의 컴퓨터 시 를 구축했다

(주) 두산

피보나치(Fibonacci 1180～1250)는 이탈리아의 피사에서 태

어난 수학자이다 부친이 상업에 종사하 기 때문에 피보나치는

이집트 시칠리아 그리스 시리아 등 다양한 지역을 여행할 수

있었고 이 때 다양한 수학을 하게 되었다 1202년 피사로 돌아

온 피보나치는 「산반서(Liber abaci)」를 술하 다 1228년에

는 「산반서 2 」을 술하 는데 이 책에서 정수와 분수의 계

산 제곱근과 세제곱근 일차와 이차방정식의 풀이 등을 다루었다

고 한다 특히 이 책에 나오는 「피보나치의 수열」은 매우 흥미

로운 수열로 요한 성질을 많이 가지고 있다

1에서 100까지 자연수를 모두 합하면 얼마일까

가우스(Gauss KF 1777～1855) 가우스는 수론 해석학 확

률론 천문학 물리학 등 다양한 분야에 뛰어난 수학자이었다 특

히 그의 수론 연구는 19세기 수학 체계의 확립에 크게 공헌하

다

피타고라스(Pythagoras 572～492 BC) 피타고라스는 음의

높이에 따른 진동수의 비가 일정함을 발견하 다

페아노(Peano G 1858～1932) 자연수의 성질을 추상화 하여

페아노의 공리계를 만들었다 이 공리계의 제 5공리가 수학 귀

납법의 원리이다

피보나치의 수열

알콰리즈미(Alkhwarizmi 780～850) 알고리즘이란 말은 세

아라비아의 수학자 알콰리즈미의 이름에서 유래된 것으로서 그가

십진법으로 나타낸 수의 계산에 용한 계산 방법에서 나온것이

다

[표6 5종 교과서에 제시된 수열 련 자료]

2 수학 Ⅰ 교과서에서의 수열

등차수열의 일반항

첫째항이 공차가 인 등차수열의 일반항 은

본 연구자가 임의로 선택한 5종 교과서 ([5][8][12][13][14]) 에서의

수열의 내 을 정리해보았다

1) 등차 수열과 등비 수열

(1) 수열의 뜻

어떤 규칙에 따라 순서 로 수를 늘어놓은 것을 수열이라 하고 그 수열을

이루는 각각의 수를 그 수열의 항이라고 한다 수열의 각 항을

앞에서부터 순서 로 제 1항 제 2항 제 3항 제 항

이라고 한다 특히 제 1항은 첫째항이라고도 한다

(2) 등차수열의 뜻

첫째항에 차례로 일정한 수를 더하여 만들어진 수열을 등차수열 이라하고

더한 일정한 수를 공차라고 한다

첫째항이 공차가 인 등차수열 에서

이므로 일반항 은 다음과 같이 나타낼 수 있다

(3) 등차수열의 합

등차수열의 합

첫째항이 공차가 끝항이 인 등차수열의 첫째항부터 제 항까지의

합 은

첫째항이 공차가 등차수열 에서 첫째항 부터 제 항 까지의 합

을 토론하기의 방법을 이용하여 구해보자

　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　①

더하는 순서를 거꾸로 하면

　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　②

①②의 양변을 각각 더하면

　　

따라서 =

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　③

이때 제 항인 를 ③에 입하여 식을 다르게 나타낼수도

있다

이상을 정리하면 다음과 같다

(4) 수열의 합과 일반항

수열 에서 첫째항부터 제 항까지의 합을 이라 하면

ge 일때 　　

there4

수열의 합과 일반항의 계

수열 의 첫째항부터 제 항까지의 합을 이라 하면

(단 ge )

등비수열의 합

일때 이다

이상을 정리하면 다음과 같다

(5) 등비수열의 뜻

첫째항부터 시작하여 각 항의 바로 앞의 항에 일정한 수를 곱하여

만들어진 수열을 등비수열이라 하고 곱하는 일정한 수를 공비라고 한다

첫째항이 공비가 인 등비수열에서 첫째항부터 제 항까지의 합 은

다음과 같이 구한다

　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　①

①의 양변에 공비 을 곱하면

　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　②

①에서 ②를 같은 변끼리 빼면

따라서 ne 일때

인 경우 ①에서

　　

there4

이상을 정리하면 다음과 같다

첫째항이 공비가 인 등비수열의 첫째항부터 제 항까지의 합 은

① ne 일때

② 일때

자연수의 거듭제곱의 합

①

　　

②

　　

③

　　

2) 여러 가지 수열

(1) 합의 기호 sum

수열 에서 첫째항부터 제 항까지의 합

　　

을 일반항과 합의 기호 sum를 써서

　　

와 같이 나타낸다

이때

는 수열 의 일반항 의 에 　　　　　　을 차례로

입하여 얻은 항의 합으로 신 다른 문자를 사용하여

등과 같이 나타낼 수 있다

(2) 기호 sum 의 성질

합의 기호 sum 의 성질에 하여 알아보자

합의 기호 sum의 성질

①

(복부호동순)

②

(단 는 상수)

③

(단 는 상수)

　　

　　 　　

　　

마찬가지로

와

에 해서도 확인해 보면 sum 의 성질을

다음과 같이 정리할 수 있다

(3) 계차수열

일반 으로 수열 에서 이웃하는 두 항의 차

　　 을 일반항으로 하는 새로운 수열

　　　　　　　을 얻을 수 있는데 이 수열 을 원래의 수열 의

계차수열이라고 한다

수열 에 하여 그 계차수열을 이라 하면

　　

계차수열과 일반항

수열 의 계차수열을 이라 할때

(단 ge )

3) 수학 귀납법

(1) 수열의 귀납 정의

첫째항과 이웃하는 두 항 사이의 계식으로 수열을 정의하는 것을 수열의

귀납 정의 라고 한다

첫째항이 공차가 인 등차수열 은 다음이 성립한다

　ge 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　①

역으로 두 계식 ①이 주어지면 이 결정되고 차례로

가 결정된다 따라서 모든 자연수 에 하여 이 정해지므로 수열 이

정의 된다

①과 같이 의 값 과 의 계식을 화식이라고 한다

(2) 수학 귀납법

수학 귀납법은 이탈리아의 페아노에 의하여 설정된 자연수에 한 공리

수학 귀납법

자연수 에 한 명제 이 모든 자연수 에 하여 성립함을 증명하

려면 다음 ⅰ ⅱ 를 증명하면 된다

ⅰ 일때 명제 이 성립한다

ⅱ 일때 명제 이 성립한다고 가정하면 일때에도

명제 이 성립한다

다음과 같은 5번째 공리에 근거를 두고 있다

자연수의 집합 의 부분집합 가

ⅰ 　isin

ⅱ 　isin 이면 isin

(여기서 는 의 후자)

인 두 조건을 만족하면 이다

4) 알고리즘과 순서도

(1) 알고리즘과 순서도

어떤 문제를 해결하기 해서는 그 처리 순서를 정해야 하는데 이와 같이

문제 해결에 필요한 처리 과정의 순서를 단계 으로 정리한 것을 알고리즘

이라 하고 알고리즘을 알기 쉽게 기호를 써서 그림으로 나타낸 것을 순서도

라고 한다 일반 으로 어떤 문제를 해결하기 한 알고리즘은 여러 가지가

있을 수 있지만 정해진 유한번의 단계를 거치면 반드시 끝나야 하고 처리

과정의 순서가 명확해야 한다 한 순서도는 각 부분을 순서 계통 으로

나타냄으로써 작업 과정을 구나 쉽게 한 에 악할 수 있도록

작성되어야 한다 순서도는 다음과 같은 기호를 사용하여 작성한다

[표7 순서도의 기호]

(2) 알고리즘과 순서도의 작성

수열과 련된 순서도를 작성할 때에는 다음과 같은 방법을 고려한다

(가) 항수를 항을 수열의 합을 로 나타낸다

(나) 제시된 항의 번호까지 루 를 용한다

(다) 제시된 항의 번호에 하여 단 기호를 이용한다

(라) 구하려는 는 를 인쇄하고 끝낸다

주의환기

집 을

한 략

지각

주의환기의

략

시청각 효과의 사용

비일상 인 내용이나 사건 제시

주의 분산의 자극 지양

탐구

주의환기의

략

능동 반응 유도

문제해결 활동의 구상 장려

신비감의 제공

다양성의

략

간결하고 다양한 교수형태 사용

일방 교수와 상호작용 교수의 혼합

교수자료의 변화 추구

목표-내용-방법이 기능 으로 통합

련성

증진을

한

략

친 성의

략

친 한 인물 혹은 사건 활용

구체 이고 친숙한 그림 활용

친 한 문 배경 지식 활용

목 지향성

의 략

실용성에 을 둔 목표 제시

목 지향 인 학습형태 활용

Ⅴ 러의 ARCS 이론과 수열 지도

1 러의 ARCS 이론

1) ARCS 이론의 특징

(1) 이론 배경

다음은 ([4])의 내용을 참고하 다

ldquo말을 물가로 데리고 갈 수는 있지만 물을 먹일 수는 없다rdquo는 속담처럼

하고자 하는 마음이 없으면 학습 효과를 기 할 수 없는 것은 당연한 사실

이다 이러한 생각의 근거에는 동기 유발의 개념이 자리 잡고 있다 동기

유발이란 어떤 활동을 진 지시 유지하려는 내 상태 는 과정을

포함한다 이 개념은 교육 심리학의 심 개념 의 하나이지만 직 찰

할 수 없는 것이기 때문에 인간의 행동을 보고 거기에서 유출해 내는 개념

이며 이에 한 정의는 바라보는 과 강조하는 내용에 따라 각기 다르

다

(2) ARCS 이론

목 의 선택 가능성 부여

필요나

동기와의

부합성 강조의

략

다양한 수 의 목 제시

학업성취 여부의 기록체제 활용

비경쟁 학습상황의 선택가능

동 상호 학습상황 제시

자신감

수립을

한 략

학습의

필요조건

제시의 략

수업의 목표와 구조의 제시

평가기 피드백의 제시

선수학습 능력의 단

시험의 조건 확인

성공의 기회

제시의 략

쉬운 것에서 어려운 것으로 과제 제시

정수 의 난이도 유지

다양한 수 의 시작 제공

무작 의 다양한 사건 제시

다양한 수 의 난이도 제공

개인

조 감

증 의 략

학습의 끝을 조 할 수 있는 기회 제시

학습속도의 조 가능

원하는 부분에로의 재빠른 회귀 가능

선택가능하고 다양한 과제의 난이도제공

노력이나 능력에 성공 귀착

만족감

증 를

한 략

자연 결과

강조의 략

연습문제를 통한 용기회 제공

후속학습상황을 통한 용기회 제공

모의상황을 통한 용기회 제공

정 결과

강조의 략

한 강화 계획의 활용

의미 있는 강화의 강조

정답을 한 보상 강조

외 보상의 사려 깊은 사용

선택 보상체제 활용

공정성

강조의 략

수업목표와 내용의 일 성 유지

연습과 시험 내용이 일치

[표8 ARCS 략] ([1])

2 ARCS 이론을 용한 수열 수업 계획서

다음은 ([1])의 ARCS 이론의 수업계획서를 참고하여 수열 단원의 수업

계획서를 작성해보았다

수업내용개 동기 략개 기타의견1 수업 기

체 으로 교사는 다양한 방법으로 학습자들

에게 수업 내용을 제시하고 학습자들에게

한 언어를 사용한다

수열의 활용에

한 학습목표

제시하기

교사는 학습자들의 련성을 높이기 해 학습

목표의 의미를 설명해 다

도표는 큰 씨를 사

용하고 핵심이 되는

단어에는 다른 색깔을

사용한다

수열의 활용의

이 과 평가

거를 제시하기

교사는 학습자들의 련성과 자신감 만족감

을 높이기 하여 이 수업이 끝난 후 그들이

무엇을 할 수 있는지에 해 알려 다

교사는 학습자들의 자신감과 만족감을 높이기

하여 성공 인 학습성취를 단할 수 있는 객

인 거들을 알려 다

교사는 학습자들의 만족감을 높이기 하여

그들이 주어진 과제를 성공 으로 해결했을 때

그에 따르는 내재 강화나 외재 보상이 있음

을 알려 다

수열의 정의와

해법에 한 지

식을 간략하게

확인하기

교사는 선수학습과의 련성을 유발하기 하

여 간략한 보조도구(인쇄매체)를 사용하여 수열

의 정의와 해법을 제시한다

교사는 소집단 토론을 실시하여 학습자들의

선수지식을 스스로 검해 보도록 한다

교사는 수열의 정의와 해법을 잘 모르는 학습

자들에게 자신감을 유발시키기 하여 개별 인

학습목표를 세우도록 한다

소집단 구성에 있어

서 주의집 이 매우

낮은 5명을 하나의 소

집단으로 구성하고

친근한 소재를 활용하

여 그들의 주의집 과

련성을 유발한다

실생활과 련

된 수열의 활용

문제들을 몇 가

지 소개하기

교사는 학습자들의 주의집 을 유지하기 해

실생활에서 연립방정식을 활용하여 해결할 수

있는 몇 가지 문제들을 제시한다

주의집 이 매우 낮은 5명의 학습자들이 수업

에 극 인 심을 보이지 않으면 교사는 그

들에게 친근한 목소리로 이름을 부르면서 수업

에 집 하라고 얘기 하고 개인 인 심을 갖

고 있음을 나타낸다

로써 활용되는 문

제들을 선택할 때 학

습자들이 알고 있거

나 그들에게 친근감

을 주는 소재가 포함

되도록 선택한다 이

때 지나치게 자심감

이 높아서 수업에 소

극 으로 참여하는 3

명의 학습자들에게는

다소 복잡한 수열의

활용 문제를 미리 제

공하여 생각할 기회를

다

수열의 활용에

한 학습자들의

이해정도를 악

하고 피드백을

제공하기

교사는 학습자들에게 자신감을 높이기 하여

소집단을 구성하여 학습자들이 수열의 활용에

해 어느 정도 이해하고 있는지를 서로 토론하

도록 한다

교사는 소집단별로 둘러보면서 자신감과 만족

감을 유발시키기 하여 학습자들간에 서로 도

움을 주도록 분 기를 형성한다

소집단별로 간략하게 토론이 끝나면 학습자

들 스스로 정리하도록 한다

토론결과 학습자들이 수열의 활용에 해 잘

못 이해하고 있다면 교사는 즉각 으로 교정

피드백을 제공한다

학습자들의 소집단

토론시간을 무 길게

소요하지 않도록 한

다 자칫하면 토론분

기가 산만해지기 쉽

고 토론이 활발하지

못한 경우에는 학습자

들의 학습의욕이 떨어

진다

2 수업 반 체 으로 교사는 다양한 방법으로 학습자

들에게 수업 내용을

제시하고 학습자들에게 개별 인 언어를 사용

한다

실생활과 련

된 수열의 활용

의 문제들을 구

체 으로 제시하

기

교사는 학습자들의 주의집 련성 자신감

만족감을 유지하기 하여 게임을 실시한다 학

습자들이 돌아가면서 임의로 다른 학습자를 지

명하면 지명받은 학습자가 실생활과 련된 수

열의 문제를 하나 제시한다 한 문제를 제

시한 학습자에게 학습태도 수를 주어 만족감

을 향상시킨다

교사는 학습자들이 제시한 여러 가지 문제들

을 칠 에 은 후 몇몇 소집단을 구성하여

그 문제들을 해결하기 해 인스토 을 하

도록 한다 이때 교사는 문제를 해결한 학습자

가 아직 해결하지 못한 학습자들을 도와주어 자

신감과 만족감을 갖도록 한다

인스토 이 진행되는 동안 교사는 교실

을 둘러보면서 학습자들이 질문이나 의문사항

에 해 극 으로 질문할 수 있는 기회를 제

공하고 그에 해 개별 인 언어를 사용하여

부드러운 목소리로 피드백을 제공한다

인스토 도 학습자들의 개인 인 능

력차가 커서 문제를 해결하는데 어려움을 겪는

학습자들에게는 그들에게 합한 개별 인 학습

이때 교사는 밝고

생동감이 넘치는 목소

리로 학습자들의 활동

을 진시킨다

교사는 학습자들이

한 자신감을 유지

하고 있는지에 해

지속 인 심을 갖고

지켜본다

이때 교사는 학습자

들의 자신감과 만족감

을 높이기 하여 그

들에게 일 성 있는

피드백을 제공한다

교사는 학습자들이

목표를 다시 선정하도록 하여 자신감을 향상시

킨다

인스토 이 끝나면 교사는 소집단 별로

한 사람씩 자발 으로 나와 문제를 풀고 풀이

과정을 체 학습자들에게 설명하도록 한다 이

때 어려운 문제를 해결한 소집단이나 학습자에

게 교사는 그들의 우수한 능력을 인정하고 내

재 인 자존심에 정 인 향을 주는 칭찬을

제공하여 자신감과 만족감을 높인다

소집단의 인스토

을 하는 동안 체

으로 문제풀이를 할

때 주의집 을 유지

하고 자신감과 만족

감의 향상을 악하기

해 끊임없이 그들과

시선을 교류하고 얼

굴표정을 찰한다

3 수업마무리 체 으로 교사는 다양한 방법으로 학습자

들에게 수업 내용을 제시하고 학습자들에게 개

별 인 언어를 사용한다

실생활과 련

된 수열의 활용

에 해 체

으로 정리 요

약하기

교사는 교탁을 탁탁 치거나 박수를 쳐서 다

소 떨어진 학습자들의 주의집 을 향상 시킨다

교사는 실생활 속에서 수열을 활용하여 해결

할 수 있는 간단하고 재미있는 문제들을 2～3개

제시하여 학습자들이 그 문제를 성공 으로 해

결함으로써 자신감과 만족감을 갖도록 한다

교사는 학습자들이 미처 생각하지 못했던 실

생활 속에서 수열과 연 된 다양한 들을 제공

하여 주의집 과 련성을 유지향상시킨다

교사는 자신감과 만족감을 향상시키기 해

학습자들에게 수업진행 에 그들이 설정한 개

인 인 학습목표에 해 얼마나 많이 달성했는

가를 스스로 검해 보라고 한다

교사는 수업 반에 수열의 문제를 잘 해결하

지 못했던 학습자들에게 그 문제를 다시 해결해

보도록 기회를 제공하여 자신감과 만족감을 높

여 다

평가에 있어서 교사는 학습자들이 그들의 성

에 해 공정하게 평가되었다고 느끼도록 일

성 있게 평가하여 그들의 자신감고 만족감을

높여 다

교사는 수열과 실생

활과의 련성에 해

학습자들이 잘 지각하

고 있는가를 알아보기

해 다소 진지한 목

소리로 질문한다

다음 학습내용

에 해 간략히

소개하기

교사는 학습자들의 흥미를 유지하기 하여

다음 학습내용에 해 호기심에 찬 목소리로 간

략하게 소개하고 수업을 끝낸다

[표9 러의 ARCS이론]

단원

단

원Ⅲ 수열

배정시간

(분)50

단

원1 등차수열과 등비수열

차시 3소단

원3) 등차수열과 등비수열의 활용

학습

목표등차수열과 등비수열을 실생활의 문제에 용할 수 있다

학습

단계학습내용

교수-학습활동 지도상의유의사

항교사활동 학생활동

도

입

15

분

인사

출석

주변을 정리 정돈

하여 수업분 기를

조성한다

인사 출석체크

를 한다

주의를 환기시킨

후 학생들과 인사

한다

출결석 여부를

확인한다

바른 자세로 주

변을 정리한 뒤

교사와 인사한다

수업 비를 한

다

교사와 학생

모두 함께 수업

분 기를 조성한

다

선수

학습

확인

지난 시간에 학습

한 등차수열과 등비

수열의 정의에 해

다시 한번 확인해본

다

지난 시간에 학습

한 등차수열과 등비

수열의 일반항을 구

하는 방법에 해 확

인학습으로 [문제1]

과 [문제2]를 풀어본

다

학생들의 자신감

을 높이기 하여

등차수열과 등비수

열의 정의를 교과

서에서 찾아본 후

큰소리로 답하게

한다

학생들이 답한

후 다시 한번 등차

수열과 등비수열에

해 간단히 설명

등차수열과 등

비수열의 정의를

교과서에 찾아본

후 큰소리로 읽는

다

교사가 등차수

열과 등비수열의

정의에 해 다시

한번 간단히 설명

할 때 부족한 부

분은 필기하며 복

습한다

교사가 정의에

해 질문할 때

학생들이 모두

책을 찾아볼수

있게 주의를

다

만일 답하

지 못하는 학생

이 있을 경우 그

여기서 인스토 (brainstorming)이라고 하는 것은 갑자기 떠오르는 멋

진 생각을 종이에 는다든가 말로 표 해 본 후 로 기록하거나 기록된

문장을 정리정돈하면서 생각을 논리화하는 방법이다 주로 어떤 계획을 세

우고자 할 때 창조 이고 기발한 아이디어가 필요할 때 학생들의 의견과

생각을 끌어내어 발 시키고자 할 때 사용하면 유리하다 ([3])

3 ARCS 이론을 용한 수업지도안

[문제1]

다음 등차수열

의 일반항과 제20항

을 구하여라

　　　　　　　

[문제2]

다음 등비수열

의 일반항과 제8항을

구하여라

　 　　　　　

한다

교사는 [문제1]

과[문제2]를 제시

한 뒤 학생들에게

직 풀어보게 한

다

등차수열과 등

비수열의 일반항

과 그 공식의 유

도과정을 기억한

다

제시된 문제를

연습장에 풀어본

다

학생에 해 개

별 인 언어를

사용하여 부드러

운 목소리로 피

드백을 제공한

다

개

30

분

학습

목표

제시

수열의 활용에

한 학습목표를 제시

한다

학습목표 학습

에 필요한 자료를

Power point 시청

각 효과를 사용하여

학생들의 주의환기

집 을 한 략

을 사용한다

학습목표를 학생

들에게 읽게 하고

학생들의 련성을

높이기 해 학습

목표의 의미를 설

명해 다

교사의 지시에

따라 큰소리로 학

습목표를 읽고 이

수업이 끝난 후

무엇을 할 수 있

는지에 해 생각

해 본다

학습목표는 큰

씨를 사용하

고 핵심이 되는

단어에는 다른

색깔을 사용한

다

탐구

학습

실생활과 련된

수열의 활용문제들을

몇 가지 소개한다

수열의 활용에

한 학습자들의 이해

정도를 악하고 피

드백을 제공한다

등차수열과 등비

수열을 이용하여

실생활의 문제를

해결할 수 있음을

학생들이 쉽게 이

해할 수 있도록 설

명한다

교사가 실생활

과 련된 수열의

활용문제들을 몇

가지 소개할 때

다른 시가 있는

지 함께 생각해

본다

문제

제시

[문제3]

한일 월드컵 축구 개

회 연도는 2002년이

다 2002년 이후 월

드컵 축구가 개최되

는 연도를 차례로 써

보고 이 규칙 로 월

드컵 축구가 개최되

면 2100년은 월드컵

축구가 개최되는 연

도인가

교과서에서 수열

단원의 수열의 활

용부분에 수록된

문제들을 풀어볼

수 있도록 시간을

다

등차수열과 등

비수열의 일반항

유도 공식을 생각

해보고 제시된 문

제를 해결해 간다

로써 활용되

는 문제를 선택

할 때 학습자들

이 알고 있거나

그들에게 친근감

을 주는 련성

증진을 한

략을 사용한다

[문제4]

컴퓨터의 주기억 장

치인 램은용

으로

용으로 가 개발

되었다 이후 램의

용 량 은

로 증가되어 왔다

의 램으로부터

번 증가된 주 메모

리는 식으로 어떻게

나타낼 수 있는가

학생들이 문제를

어렵게 느끼지 않

도록 어떤 방향으

로 해결해야 하는

지 힌트를 주어 학

생들의 자신감을

증진시킨다

소집

단

활동

5～6명으로 이 진

소집단을 구성하여

학습자들이 수열의

활용에 해 어느 정

도 이해하고 있는지

를 서로 토론하도록

한다

소집단별로 실생활

과 련된 수열의 활

용의 문제들을 구체

으로 제시한다

인 스토 이

끝나면 소집단별로

한사람씩 문제를 풀

고 풀이과정을 체

학생들에게 설명하는

시간을 갖는다

교사는 학생들의

만족감을 높이기

하여 그들이 주

어진 과제를 성공

으로 해결했을

때 그에 따르는

내재 강화나 외

재 보상이 있음

을 알려 다

어려운 문제를

해결한 소집단이나

학생에게 교사는

그들의 우수한 능

력을 인정하고 내

재 인 자존심에

정 인 향을

주는 칭찬을 제공

하여 자신감과 만

족감을 높인다

자신이 속한 소

집단 내에서 제시

된 과제에 해

열심히 토의를 하

며 문제를 해결한

학생이 아직 해결

하지 못한 학생들

을 도와주어 자신

감과 만족감을 갖

도록 한다

소집단별로 간

략하게 토론이 끝

나면 학생들 스스

로 정리해보고 자

발 으로 체 학

생들에게 설명해

보는 기회를 갖는

다

교사는 학습자

들이 한 자

신감을 유지하고

있는지에 해

지속 인 심을

갖고 지켜본다

학생들의 소집

단 토론시간을

무 길게 소요

하지 않도록 한

다

형성

평가

[문제4]

민수는 남 문의 기

와 지붕 한쪽 면이

사다리꼴 모양임을

찰하고 이 면에 있

는 기와의 개수를 알

아보고자 한다 기와

형 성 평 가 를

Power point로 제

시하고 학생들이

스스로 풀어볼 수

있도록 지도한다

학생들이 문제를

다 풀고 나면 교사

제시된 문제를

오늘 학습한 내용

을 복습하면서 풀

어보도록 한다

교사는 다소

진지한 목소리로

질문한다

의 개수를 행으로 세

었더니 용마루 쪽에

가장 가까운 행에는

40개 처마 쪽에 가

장 가까운 행에는 72

개 다 용마루부터

처마까지 행의 개수

가 17이라고 할 때

민수가 찰한 지붕

한쪽 면의 기와의 개

수는 모두 몇 개인

가

는 학생들에게

답할수 있도록 하

고 학생들이 학습

목표에 해 얼마

나 많이 달성했는

가를 스스로 검

해 보라고 한다

형성평가의 답

을 교사의 질문에

끝난 뒤 큰소리로

답하여 자신감

과 만족감을 갖도

록 한다

학생들에게 개

별 인 언어를

사용한다

정

리

5

분

학습

정리

차시

고

학습 자료를 이용

하여 수열의 실생활

의 활용 단원의 수업

내용을 확인한다

과제를 제시한다

다음 차시인 「여

러 가지 수열」 단원

에 한 고를 한

다

수업 내용을 정

리하고 과제를 제

시한다

학생들의 흥미를

유지하기 하여

다음 학습내용에

해 호기심에 찬

목소리로 간략하게

소개하고 수업을

끝낸다

오늘 학습한 내

용을 정리한다

과제를 고 과

제 해결에 한

내용을 머릿속에

형성해 본다

다음 차시에 배

울 내용을 학습

자료 화면으로 확

인해본다

수업내용에

해 학생과 교사

모두가 만족하고

있는지 확인하고

공정한 평가를

한다

[표10 수업지도안]

4 조사 문제지 분석

고등학교 수학 Ⅰ 의 수열단원의 효율 인 지도방안의 연구를 하여 원

종고등학교 2학년 학생 100명을 상으로 조사 문제지 조사를 하 다 학

생들의 수학에 한 심과 수학에서 가장 어려워하는 부분을 알아볼 수

있었고 어떤 방식의 수업을 선호하는지도 알아볼 수 있었다

⑴ 수학에 얼마나 심이 있나요

① 매우 많다 ② 많다 ③ 보통이다 ④ 다 ⑤ 매우 다

수학과목에 매우 많은 심을 보이는 학생은 2로 매우 낮은 편이며

심이 있는 학생은 43로 학생의 반정도 다 수학과목에 심이 거

나 없는 학생은 54정도로 수학은 어려운 과목이라는 인식 때문에 심

이 은 것 같다

수학을 공부하는 가장 큰 이유에는75의 학생들이 학입시를 해서라

는 문항을 선택했다 기타 이유에는 교과서에 있어서 어쩔수 없이 한다

는 학생과 진리탐구를 해서라는 학생도 있었다

[그림6 조사문제지

(1)번 막 그래 ]

⑵ 수학을 공부하는 가장 큰 이유가 뭐라고 생각하나요

① 학입시를 해서

② 평소 수학에 흥미가 있어서

③ 실제 생활에 쓰기 해서

④ 주변에서 해야한다고 하니까

⑤ 기타 이유 (이유를 간단히 어주세요)

앞에 (1)번문항에서 수학에 심이 은 학생이 반 정도인것에 반해

수학공부가 필요하다고 느낀학생이 75정도로 수학공부가 필요하단건

느끼지만 어려운 과목이라는 인식이 부분인것 같다 수학과목도 재

는 과목이란 인식을 학생들이 가질수 있도록 노력해야겠다

[그림7 조사문제지

(2)번 막 그래 ]

⑶ 수학공부의 필요성에 해 어떻게 생각하나요

① 매우 필요하다 ② 조 필요하다 ③ 보통이다

④ 필요 없다 ⑤ 필요 없다

[그림8 조사문제지

(3)번 막 그래 ]

⑷ 수학을 공부하면서 가장 어려운 부분은 무엇이나요

① 복잡한 계산 과정 ② 외워야할 많은 공식들

③ 응용문제엔 어떤 공식을 용해야할지 ④ 다 어렵다

학생들이 수학과목이 어렵다고 느끼는 이유는 응용문제에 어떤 공식을

용해야 하는지를 몰라서 라는 답이 58로 가장 많았다 그 외에도

계산과정이 복잡하거나 외워야할 공식들이 많아서라는 답도 있었다

이해 주의 수업을 하고 단순한 공식의 암기 주의 수업을 탈피해야겠

다

수학수업을 하는데 효과 인 방법에는 선생님 주의 강의식 수업과 학

생 개인별 수업이 78로 가장 많았다 개념이나 공식유도과정을 설명할

땐 서를 하며 강의식 수업을 하고 문제풀이땐 학생들 개인별로 첨삭

지도를 하는게 효율 인것 같다

⑤ 기타이유 (이유를 간단히 어주세요)

[그림9 조사문제지

(4)번 막 그래 ]

⑸ 수학 수업을 하는 데 어떤 방법이 가장 효과 이라고 생각하나요

① 선생님 주의 강의식 수업

② 학생 개인별 수업

③ 모둠별 활동 수업

④ 기타 교재나 과제를 통한 수업

⑤ 기타(이유를 간단히 어주세요)

[그림10 조사문제지

(5)번 막 그래 ]

Ⅵ 결론

본 논문에서 지 까지 고등학교 2학년 학생들이 수학 Ⅰ 교육과정을 학습하

는데 가장 어려워하는 수열에 해 살펴보았다 먼 개정 교육과정에 명시

된 수학교육의 목표와 임의로 선택된 5종 교과서에서 수열 단원의 학습목표

를 살펴보았고 수열의 역사 배경과 실생활에 응용된 들을 정리해보았

다 한 5종 교과서에서 제시되어 있는 수열의 학습내용을 소단원 별로 정

리해보았다 임의로 선택된 5종 교과서안의 수열의 학습내용을 분석해보면

서 몇 몇 교과서에서 여러 가지 수열 단원에서 군 수열과 멱 수에 한 언

이 없거나 미약함을 알 수 있었다 본 연구자가 보기에 군 수열과 멱 수

부분은 실생활에 활용될 는 극히 작아 보이지만 학생들이 꼭 학습하고 넘

어가야 수열에 한 완벽한 학습이 될 수 있을 것이라 여겼는데 교과서에서

제시된 내용들로는 학생들이 충분히 이해할 수 없을 것 같았다

그리고 교과서에 제시된 문항의 수 이 입시와 동 떨어진다는 문제 이 있

었다 교과서에 제시된 문제가 부족하고 수 이 낮다 보니 실제로 학교에서

수업 때 보충 린트 물로 수업을 진행하고 간기말고사 때에도 교과서

외에서 많은 문제를 출제하는 모습을 볼 수 있었다 때문에 학생들이 교과서

보다는 문제집 주의 공부를 할 수 밖에 없는 듯 보 다 교과서가 학생들

과 교사의 요구에 부합할 수 있도록 새로운 내용들과 문제를 싣도록 해야

할 것이다

학생들이 수열 단원의 학습을 할 때 좀 더 효과 인 학습이 될 수 있도록

리의 동기설계이론 (ARCS 이론) 을 바탕으로 하여 수업 계획서와 1차시

의 수업 지도안을 작성해 보았다 한 작성한 수업 지도안으로 부천시 소재

의 한 고등학교에서 실제 수업을 진행해 보았을 때 학생들이 좀 더 수열에

해 친숙하게 느끼고 쉽게 이해하는 모습을 볼 수 있었다 본 연구자가

직 교사가 아니라 여러 반을 상으로 수열 단원의 모든 차시 수업에 용

하여 수업을 해볼 수 없었단 이 아쉬움으로 남는다

이와 같이 학생들의 주의 련성자신감만족감 증진을 한 수업을 함

으로써 학생들의 수학 학습 성취도의 향상을 기 할 수 있을 것이다 한

개발된 자료를 실제 수업에 용하는 경우의 효율성에 한 후속 연구가 체

계 이고 지속 으로 이루어져야 할 것이다

참 고 문 헌

[1] 구평회 META 구평회 교육학 2007

[2] 교육인 자원부 고시 제2007 - 79호[별책8] 2007

[3] 박인학 교사를 한 교수학습방법론 문사 1995

[4] 변 계 교수학습 이론의 이해 학지사 1999

[5] 우정호 외 5인 고등학교 수학 Ⅰ 한교과서(주) 2002

[6] 이 연 자연의 수학 열쇠 피보나치수열 로네시스 2006

[7] 이진화 지수로그함수의 지도에 한 연구 서강 학교 교육 학원 석사 학

논문 2006

[8] 임재훈 외 10인 고등학교 수학 Ⅰ (주)두산 2002

[9] 장 숙 고등학교 수학 Ⅰ 교과서의 통계단원 분석 실생활에의 용 경희

학교 교육 학원 석사 학 논문 2006

[10] 조해식 행렬 수열 수업에서의 수학사 도입에 한 연구 울산 학교 석사

학 논문 1998

[11] 차 자 수열 학습의 흥미 유발을 한 자료 연구 경성 학교 교육 학원 석

사 학 논문 2004

[12] 최 외 5인 고등학교 수학 Ⅰ 앙교육진흥연구소 2006

[13] 최상기 외 5인 고등학교 수학 Ⅰ (주)고려출 2002

[14] 최용 신 성 고등학교 수학 Ⅰ 천재교육(주) 2002

[15] 황혜정 외 5인 수학교육학 신론 문음사 2002

• Ⅰ 서론
• • 1 연구의 필요성과 목적
  • 2 연구의 제한점
  • • Ⅱ 개정 교육과정에서 명시된 수학Ⅰ교육의 목표
    • • 1 수학Ⅰ교육의 목표
      • 2 고등학교 수학 Ⅰ 수열 단원의 학습목표
      • • Ⅲ 수열의 역사적 배경 및 응용
        • • 1 수열의 역사
          • 2 수열 단원이 실생활에 응용된 사례
          • • Ⅳ 고등학교 수학교육과정에서의 수열
            • • 1 수학Ⅰ 교과서 분석
              • 2 수학Ⅰ 교과서에서의 수열
              • • Ⅴ 켈러의 ARCS 이론과 수열 지도
                • • 1 켈러의 ARCS 이론
                  • 2 ARCS 이론을 적용한 수열 수업 계획서
                  • 3 ARCS 이론을 적용한 수업 지도안
                  • 4 조사지 분석
                  • • Ⅵ 결론
                    • 참고문헌

[그림5 인체 황 비율]

앞에서 제시한 황 비율을 사용한 시들 이외에도 우리 주변에 아주 많

이 있다

교과서 차례

한교과서(주)

Ⅳ 수열

1 등차수열과 등비수열

2 여러 가지 수열

3 수학 귀납법

4 알고리즘과 순서도

(주) 천재교육

Ⅲ 수열

1 등차수열과 등비수열

2 여러 가지 수열

3 수학 귀납법

4 알고리즘과 순서도

Ⅳ 고등학교 수학교육과정에서의 수열

1 수학Ⅰ 교과서 분석

고등학교 2학년이 학습하는 lsquo수학 Ⅰrsquo은 국민 공통 기본 교육 기간의 10단계

수학을 이수한 학생들이 보다 문 인 진로를 고려하고 보다 높은 수 의

수학을 학습하기 해 설정된 심화 선택 과목이며 lsquo수학 Ⅱrsquo를 학습하기 한

단계이다 lsquo수학 Ⅰrsquo의 내용은 수 역에서 지수와 로그 행렬 수열이

실려있고 해석 역에서 수열의 극한 지수로그 함수가 수록되어 있으며

확률과 통계 역에서 순열과 조합 확률 통계 등으로 구성되어 있다 특히

수 역에 해당하는 수열은 여러 가지 수열에 한 성질을 이해하고 그것

을 일반화 하는 과정에 을 두어 지도하도록 하고 있으며 계차수열은 등

차수열이나 등비수열이 되는 경우만 다룬다 ([2])

1) 수학 Ⅰ 5종 교과서의 차례 단원 배열

앙교육진흥연구소

Ⅲ 수열

1 등차수열과 등비수열

2 여러 가지 수열

3 수학 귀납법

4 알고리즘과 순서도

(주) 고려출

Ⅲ 수열

1 등차수열과 등비수열

2 여러 가지 수열

3 수학 귀납법과 순서도

(주) 두산

Ⅲ 수열

1 등차수열과 등비수열

2 여러 가지 수열

3 수학 귀납법

4 알고리즘과 순서도

[표5 수학 Ⅰ 5종교과서의 차례]

의 표에서 본 것과 같이 임의로 선택된 5종의 고등학교 수학 Ⅰ 교과서의

차례는 거의 비슷한 양상을 보 다 부분의 교과서에선 1단원 지수와 로

그 2단원 행렬 3단원 수열 순의 순서를 보 고 한교과서외의 몇몇

교과서에선 1단원 지수와 로그 2단원 지수로그함수 3단원 행렬 4단원 수

열 순의 순서를 보 다 수열단원의 세부 단원 차례는 1 등차수열과

등비수열 2 여러 가지 수열 3 수학 귀납법 4 알고리즘과 순서도 는

34 단원을 한 단원으로 해서 3 수학 귀납법과 순서도의 순서로 다루는

은 비슷했다

2) 교과서에 제시된 수열 련 자료

한교과서

(주)

피타고라스(Pythagoras 572～492 BC) 피타고라스의 정리

로 잘 알려져 있고 소수나 완 수의 규칙성에 해서도 많은 연

구를 하 다

바스카라(Bhaskara A 1114～1185) 인도의 수학자로

임을 증명하 고 피타고라스의 정리를 기하학

으로 증명하 다

피보나치(Fibonacci 1180～1250) 이탈리아의 수학자로 자연

속에서 많이 볼 수 있는 피보나치 수열을 발견하 다

스칼(Pascal B 1623～1662 ) 랑스의 수학자로 수학

귀납법을 발견하 고 사 기하학을 창시하 다

푸리에(Fourier J B J 1768～1830) 랑스의 수학자로 음양

학 학 기역학 열역학 등의 연구에 매우 요한 푸리에

수를 연구하 다

가우스(Gauss K F 1777～1855) 수학 통계학 등의 다방

면에 많은 업 을 이루었고 역사상 가장 한 수학자 의 한

사람으로 불리워지고 있다

비주얼 베이직(Visual BASIC)

을 이용한 Programming

하노이의 탑

(주)

천재교육

가우스(Gauss K F 1777～1855) 독일의 수학자인 가우스는

수학의 각 방면에 많은 업 을 남겨 수학의 아버지라 일컬

어지고 있다 그는 계산의 천재로 알려져 있는데 이에 한 유명

한 일화가 있다 등학교 때 부터 까지의 합을 구하는 문

제에서 다른 학생들이 직 하나하나 계산하는 동안 가우스는

　 　 　　　　 이 모두 임을 이용하여

times 이라는 답을 이끌어 내었다 이러한 방식은 수열

의 합을 계산할 때 사용하는 방식 의 하나이다

하노이의 탑을 이용한 수열의 귀납 정의

임의로 선택된 5종 교과서들의 수열단원에서 학생들의 수열 단원의 이해를

돕기 해 수록된 수학자들에 한 설명과 기타 자료들은 다음과 같다

도미노 이론 - 수학 귀납법의 다른 표

피보나치수열 - 토끼 수 증가 문제

앙교육

진흥연구소

삼각수 사각수 문제

피보나치(Fibonacci 1180～1250)

가우스(Gauss K F 1777～1855)

음악과 수학 - 작곡가 바흐(Bach)의 요 업 으로 평균율을

들 수 있다 평균율이란 1옥타 즉 lsquo도rsquo와 lsquo도rsquo의 사이를 개의

반음으로 나 고 처음 lsquo도rsquo의 진동수를 이라 하면 그에 일정한

수를 더해 제곱하여 옥타 의 lsquo도rsquo의 진동수를 얻는 것을

말한다 수식으로는 로 나타낼 수 있고 이 등식을

만족하는 의 값이 평균율이다

(주)

고려출

티티우스-보데 수열 -

수열 　　　　　　　　의 각 항에 각각 를 더한 후

으로 나 수들을 나열한 것 　　　　　　　 를

티티우스-보데 수열이라 한다 이수열의 각 항은 태양에서 행성

까지의 실제 거리와 비슷한 것으로 1766년 티티우스(Titius)라는

독일의 천문학자가 발견하 다

제갈량의 군 에 한 을 통한 등비수열의 합

피보나치 수열

휴먼 로 - 휴먼 로 의 제작은 복잡한 여러 가지 알고리즘

과 순서도에 바탕을 두고 있다 알고리즘의 요성은 자계산기

이 부터 실제 으로 존재했다 그 로 최 공약수 계산에 한

유클리드의 알고리즘이 있다 한 가우스와 같은 부분의 수학

자들은 역사 으로 많은 양을 처리하는 효율 인 알고리즘에

심을 가졌다 이러한 알고리즘을 보다 효율 으로 이용하여 재

의 컴퓨터 시 를 구축했다

(주) 두산

피보나치(Fibonacci 1180～1250)는 이탈리아의 피사에서 태

어난 수학자이다 부친이 상업에 종사하 기 때문에 피보나치는

이집트 시칠리아 그리스 시리아 등 다양한 지역을 여행할 수

있었고 이 때 다양한 수학을 하게 되었다 1202년 피사로 돌아

온 피보나치는 「산반서(Liber abaci)」를 술하 다 1228년에

는 「산반서 2 」을 술하 는데 이 책에서 정수와 분수의 계

산 제곱근과 세제곱근 일차와 이차방정식의 풀이 등을 다루었다

고 한다 특히 이 책에 나오는 「피보나치의 수열」은 매우 흥미

로운 수열로 요한 성질을 많이 가지고 있다

1에서 100까지 자연수를 모두 합하면 얼마일까

가우스(Gauss KF 1777～1855) 가우스는 수론 해석학 확

률론 천문학 물리학 등 다양한 분야에 뛰어난 수학자이었다 특

히 그의 수론 연구는 19세기 수학 체계의 확립에 크게 공헌하

다

피타고라스(Pythagoras 572～492 BC) 피타고라스는 음의

높이에 따른 진동수의 비가 일정함을 발견하 다

페아노(Peano G 1858～1932) 자연수의 성질을 추상화 하여

페아노의 공리계를 만들었다 이 공리계의 제 5공리가 수학 귀

납법의 원리이다

피보나치의 수열

알콰리즈미(Alkhwarizmi 780～850) 알고리즘이란 말은 세

아라비아의 수학자 알콰리즈미의 이름에서 유래된 것으로서 그가

십진법으로 나타낸 수의 계산에 용한 계산 방법에서 나온것이

다

[표6 5종 교과서에 제시된 수열 련 자료]

2 수학 Ⅰ 교과서에서의 수열

등차수열의 일반항

첫째항이 공차가 인 등차수열의 일반항 은

본 연구자가 임의로 선택한 5종 교과서 ([5][8][12][13][14]) 에서의

수열의 내 을 정리해보았다

1) 등차 수열과 등비 수열

(1) 수열의 뜻

어떤 규칙에 따라 순서 로 수를 늘어놓은 것을 수열이라 하고 그 수열을

이루는 각각의 수를 그 수열의 항이라고 한다 수열의 각 항을

앞에서부터 순서 로 제 1항 제 2항 제 3항 제 항

이라고 한다 특히 제 1항은 첫째항이라고도 한다

(2) 등차수열의 뜻

첫째항에 차례로 일정한 수를 더하여 만들어진 수열을 등차수열 이라하고

더한 일정한 수를 공차라고 한다

첫째항이 공차가 인 등차수열 에서

이므로 일반항 은 다음과 같이 나타낼 수 있다

(3) 등차수열의 합

등차수열의 합

첫째항이 공차가 끝항이 인 등차수열의 첫째항부터 제 항까지의

합 은

첫째항이 공차가 등차수열 에서 첫째항 부터 제 항 까지의 합

을 토론하기의 방법을 이용하여 구해보자

　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　①

더하는 순서를 거꾸로 하면

　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　②

①②의 양변을 각각 더하면

　　

따라서 =

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　③

이때 제 항인 를 ③에 입하여 식을 다르게 나타낼수도

있다

이상을 정리하면 다음과 같다

(4) 수열의 합과 일반항

수열 에서 첫째항부터 제 항까지의 합을 이라 하면

ge 일때 　　

there4

수열의 합과 일반항의 계

수열 의 첫째항부터 제 항까지의 합을 이라 하면

(단 ge )

등비수열의 합

일때 이다

이상을 정리하면 다음과 같다

(5) 등비수열의 뜻

첫째항부터 시작하여 각 항의 바로 앞의 항에 일정한 수를 곱하여

만들어진 수열을 등비수열이라 하고 곱하는 일정한 수를 공비라고 한다

첫째항이 공비가 인 등비수열에서 첫째항부터 제 항까지의 합 은

다음과 같이 구한다

　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　①

①의 양변에 공비 을 곱하면

　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　②

①에서 ②를 같은 변끼리 빼면

따라서 ne 일때

인 경우 ①에서

　　

there4

이상을 정리하면 다음과 같다

첫째항이 공비가 인 등비수열의 첫째항부터 제 항까지의 합 은

① ne 일때

② 일때

자연수의 거듭제곱의 합

①

　　

②

　　

③

　　

2) 여러 가지 수열

(1) 합의 기호 sum

수열 에서 첫째항부터 제 항까지의 합

　　

을 일반항과 합의 기호 sum를 써서

　　

와 같이 나타낸다

이때

는 수열 의 일반항 의 에 　　　　　　을 차례로

입하여 얻은 항의 합으로 신 다른 문자를 사용하여

등과 같이 나타낼 수 있다

(2) 기호 sum 의 성질

합의 기호 sum 의 성질에 하여 알아보자

합의 기호 sum의 성질

①

(복부호동순)

②

(단 는 상수)

③

(단 는 상수)

　　

　　 　　

　　

마찬가지로

와

에 해서도 확인해 보면 sum 의 성질을

다음과 같이 정리할 수 있다

(3) 계차수열

일반 으로 수열 에서 이웃하는 두 항의 차

　　 을 일반항으로 하는 새로운 수열

　　　　　　　을 얻을 수 있는데 이 수열 을 원래의 수열 의

계차수열이라고 한다

수열 에 하여 그 계차수열을 이라 하면

　　

계차수열과 일반항

수열 의 계차수열을 이라 할때

(단 ge )

3) 수학 귀납법

(1) 수열의 귀납 정의

첫째항과 이웃하는 두 항 사이의 계식으로 수열을 정의하는 것을 수열의

귀납 정의 라고 한다

첫째항이 공차가 인 등차수열 은 다음이 성립한다

　ge 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　①

역으로 두 계식 ①이 주어지면 이 결정되고 차례로

가 결정된다 따라서 모든 자연수 에 하여 이 정해지므로 수열 이

정의 된다

①과 같이 의 값 과 의 계식을 화식이라고 한다

(2) 수학 귀납법

수학 귀납법은 이탈리아의 페아노에 의하여 설정된 자연수에 한 공리

수학 귀납법

자연수 에 한 명제 이 모든 자연수 에 하여 성립함을 증명하

려면 다음 ⅰ ⅱ 를 증명하면 된다

ⅰ 일때 명제 이 성립한다

ⅱ 일때 명제 이 성립한다고 가정하면 일때에도

명제 이 성립한다

다음과 같은 5번째 공리에 근거를 두고 있다

자연수의 집합 의 부분집합 가

ⅰ 　isin

ⅱ 　isin 이면 isin

(여기서 는 의 후자)

인 두 조건을 만족하면 이다

4) 알고리즘과 순서도

(1) 알고리즘과 순서도

어떤 문제를 해결하기 해서는 그 처리 순서를 정해야 하는데 이와 같이

문제 해결에 필요한 처리 과정의 순서를 단계 으로 정리한 것을 알고리즘

이라 하고 알고리즘을 알기 쉽게 기호를 써서 그림으로 나타낸 것을 순서도

라고 한다 일반 으로 어떤 문제를 해결하기 한 알고리즘은 여러 가지가

있을 수 있지만 정해진 유한번의 단계를 거치면 반드시 끝나야 하고 처리

과정의 순서가 명확해야 한다 한 순서도는 각 부분을 순서 계통 으로

나타냄으로써 작업 과정을 구나 쉽게 한 에 악할 수 있도록

작성되어야 한다 순서도는 다음과 같은 기호를 사용하여 작성한다

[표7 순서도의 기호]

(2) 알고리즘과 순서도의 작성

수열과 련된 순서도를 작성할 때에는 다음과 같은 방법을 고려한다

(가) 항수를 항을 수열의 합을 로 나타낸다

(나) 제시된 항의 번호까지 루 를 용한다

(다) 제시된 항의 번호에 하여 단 기호를 이용한다

(라) 구하려는 는 를 인쇄하고 끝낸다

주의환기

집 을

한 략

지각

주의환기의

략

시청각 효과의 사용

비일상 인 내용이나 사건 제시

주의 분산의 자극 지양

탐구

주의환기의

략

능동 반응 유도

문제해결 활동의 구상 장려

신비감의 제공

다양성의

략

간결하고 다양한 교수형태 사용

일방 교수와 상호작용 교수의 혼합

교수자료의 변화 추구

목표-내용-방법이 기능 으로 통합

련성

증진을

한

략

친 성의

략

친 한 인물 혹은 사건 활용

구체 이고 친숙한 그림 활용

친 한 문 배경 지식 활용

목 지향성

의 략

실용성에 을 둔 목표 제시

목 지향 인 학습형태 활용

Ⅴ 러의 ARCS 이론과 수열 지도

1 러의 ARCS 이론

1) ARCS 이론의 특징

(1) 이론 배경

다음은 ([4])의 내용을 참고하 다

ldquo말을 물가로 데리고 갈 수는 있지만 물을 먹일 수는 없다rdquo는 속담처럼

하고자 하는 마음이 없으면 학습 효과를 기 할 수 없는 것은 당연한 사실

이다 이러한 생각의 근거에는 동기 유발의 개념이 자리 잡고 있다 동기

유발이란 어떤 활동을 진 지시 유지하려는 내 상태 는 과정을

포함한다 이 개념은 교육 심리학의 심 개념 의 하나이지만 직 찰

할 수 없는 것이기 때문에 인간의 행동을 보고 거기에서 유출해 내는 개념

이며 이에 한 정의는 바라보는 과 강조하는 내용에 따라 각기 다르

다

(2) ARCS 이론

목 의 선택 가능성 부여

필요나

동기와의

부합성 강조의

략

다양한 수 의 목 제시

학업성취 여부의 기록체제 활용

비경쟁 학습상황의 선택가능

동 상호 학습상황 제시

자신감

수립을

한 략

학습의

필요조건

제시의 략

수업의 목표와 구조의 제시

평가기 피드백의 제시

선수학습 능력의 단

시험의 조건 확인

성공의 기회

제시의 략

쉬운 것에서 어려운 것으로 과제 제시

정수 의 난이도 유지

다양한 수 의 시작 제공

무작 의 다양한 사건 제시

다양한 수 의 난이도 제공

개인

조 감

증 의 략

학습의 끝을 조 할 수 있는 기회 제시

학습속도의 조 가능

원하는 부분에로의 재빠른 회귀 가능

선택가능하고 다양한 과제의 난이도제공

노력이나 능력에 성공 귀착

만족감

증 를

한 략

자연 결과

강조의 략

연습문제를 통한 용기회 제공

후속학습상황을 통한 용기회 제공

모의상황을 통한 용기회 제공

정 결과

강조의 략

한 강화 계획의 활용

의미 있는 강화의 강조

정답을 한 보상 강조

외 보상의 사려 깊은 사용

선택 보상체제 활용

공정성

강조의 략

수업목표와 내용의 일 성 유지

연습과 시험 내용이 일치

[표8 ARCS 략] ([1])

2 ARCS 이론을 용한 수열 수업 계획서

다음은 ([1])의 ARCS 이론의 수업계획서를 참고하여 수열 단원의 수업

계획서를 작성해보았다

수업내용개 동기 략개 기타의견1 수업 기

체 으로 교사는 다양한 방법으로 학습자들

에게 수업 내용을 제시하고 학습자들에게

한 언어를 사용한다

수열의 활용에

한 학습목표

제시하기

교사는 학습자들의 련성을 높이기 해 학습

목표의 의미를 설명해 다

도표는 큰 씨를 사

용하고 핵심이 되는

단어에는 다른 색깔을

사용한다

수열의 활용의

이 과 평가

거를 제시하기

교사는 학습자들의 련성과 자신감 만족감

을 높이기 하여 이 수업이 끝난 후 그들이

무엇을 할 수 있는지에 해 알려 다

교사는 학습자들의 자신감과 만족감을 높이기

하여 성공 인 학습성취를 단할 수 있는 객

인 거들을 알려 다

교사는 학습자들의 만족감을 높이기 하여

그들이 주어진 과제를 성공 으로 해결했을 때

그에 따르는 내재 강화나 외재 보상이 있음

을 알려 다

수열의 정의와

해법에 한 지

식을 간략하게

확인하기

교사는 선수학습과의 련성을 유발하기 하

여 간략한 보조도구(인쇄매체)를 사용하여 수열

의 정의와 해법을 제시한다

교사는 소집단 토론을 실시하여 학습자들의

선수지식을 스스로 검해 보도록 한다

교사는 수열의 정의와 해법을 잘 모르는 학습

자들에게 자신감을 유발시키기 하여 개별 인

학습목표를 세우도록 한다

소집단 구성에 있어

서 주의집 이 매우

낮은 5명을 하나의 소

집단으로 구성하고

친근한 소재를 활용하

여 그들의 주의집 과

련성을 유발한다

실생활과 련

된 수열의 활용

문제들을 몇 가

지 소개하기

교사는 학습자들의 주의집 을 유지하기 해

실생활에서 연립방정식을 활용하여 해결할 수

있는 몇 가지 문제들을 제시한다

주의집 이 매우 낮은 5명의 학습자들이 수업

에 극 인 심을 보이지 않으면 교사는 그

들에게 친근한 목소리로 이름을 부르면서 수업

에 집 하라고 얘기 하고 개인 인 심을 갖

고 있음을 나타낸다

로써 활용되는 문

제들을 선택할 때 학

습자들이 알고 있거

나 그들에게 친근감

을 주는 소재가 포함

되도록 선택한다 이

때 지나치게 자심감

이 높아서 수업에 소

극 으로 참여하는 3

명의 학습자들에게는

다소 복잡한 수열의

활용 문제를 미리 제

공하여 생각할 기회를

다

수열의 활용에

한 학습자들의

이해정도를 악

하고 피드백을

제공하기

교사는 학습자들에게 자신감을 높이기 하여

소집단을 구성하여 학습자들이 수열의 활용에

해 어느 정도 이해하고 있는지를 서로 토론하

도록 한다

교사는 소집단별로 둘러보면서 자신감과 만족

감을 유발시키기 하여 학습자들간에 서로 도

움을 주도록 분 기를 형성한다

소집단별로 간략하게 토론이 끝나면 학습자

들 스스로 정리하도록 한다

토론결과 학습자들이 수열의 활용에 해 잘

못 이해하고 있다면 교사는 즉각 으로 교정

피드백을 제공한다

학습자들의 소집단

토론시간을 무 길게

소요하지 않도록 한

다 자칫하면 토론분

기가 산만해지기 쉽

고 토론이 활발하지

못한 경우에는 학습자

들의 학습의욕이 떨어

진다

2 수업 반 체 으로 교사는 다양한 방법으로 학습자

들에게 수업 내용을

제시하고 학습자들에게 개별 인 언어를 사용

한다

실생활과 련

된 수열의 활용

의 문제들을 구

체 으로 제시하

기

교사는 학습자들의 주의집 련성 자신감

만족감을 유지하기 하여 게임을 실시한다 학

습자들이 돌아가면서 임의로 다른 학습자를 지

명하면 지명받은 학습자가 실생활과 련된 수

열의 문제를 하나 제시한다 한 문제를 제

시한 학습자에게 학습태도 수를 주어 만족감

을 향상시킨다

교사는 학습자들이 제시한 여러 가지 문제들

을 칠 에 은 후 몇몇 소집단을 구성하여

그 문제들을 해결하기 해 인스토 을 하

도록 한다 이때 교사는 문제를 해결한 학습자

가 아직 해결하지 못한 학습자들을 도와주어 자

신감과 만족감을 갖도록 한다

인스토 이 진행되는 동안 교사는 교실

을 둘러보면서 학습자들이 질문이나 의문사항

에 해 극 으로 질문할 수 있는 기회를 제

공하고 그에 해 개별 인 언어를 사용하여

부드러운 목소리로 피드백을 제공한다

인스토 도 학습자들의 개인 인 능

력차가 커서 문제를 해결하는데 어려움을 겪는

학습자들에게는 그들에게 합한 개별 인 학습

이때 교사는 밝고

생동감이 넘치는 목소

리로 학습자들의 활동

을 진시킨다

교사는 학습자들이

한 자신감을 유지

하고 있는지에 해

지속 인 심을 갖고

지켜본다

이때 교사는 학습자

들의 자신감과 만족감

을 높이기 하여 그

들에게 일 성 있는

피드백을 제공한다

교사는 학습자들이

목표를 다시 선정하도록 하여 자신감을 향상시

킨다

인스토 이 끝나면 교사는 소집단 별로

한 사람씩 자발 으로 나와 문제를 풀고 풀이

과정을 체 학습자들에게 설명하도록 한다 이

때 어려운 문제를 해결한 소집단이나 학습자에

게 교사는 그들의 우수한 능력을 인정하고 내

재 인 자존심에 정 인 향을 주는 칭찬을

제공하여 자신감과 만족감을 높인다

소집단의 인스토

을 하는 동안 체

으로 문제풀이를 할

때 주의집 을 유지

하고 자신감과 만족

감의 향상을 악하기

해 끊임없이 그들과

시선을 교류하고 얼

굴표정을 찰한다

3 수업마무리 체 으로 교사는 다양한 방법으로 학습자

들에게 수업 내용을 제시하고 학습자들에게 개

별 인 언어를 사용한다

실생활과 련

된 수열의 활용

에 해 체

으로 정리 요

약하기

교사는 교탁을 탁탁 치거나 박수를 쳐서 다

소 떨어진 학습자들의 주의집 을 향상 시킨다

교사는 실생활 속에서 수열을 활용하여 해결

할 수 있는 간단하고 재미있는 문제들을 2～3개

제시하여 학습자들이 그 문제를 성공 으로 해

결함으로써 자신감과 만족감을 갖도록 한다

교사는 학습자들이 미처 생각하지 못했던 실

생활 속에서 수열과 연 된 다양한 들을 제공

하여 주의집 과 련성을 유지향상시킨다

교사는 자신감과 만족감을 향상시키기 해

학습자들에게 수업진행 에 그들이 설정한 개

인 인 학습목표에 해 얼마나 많이 달성했는

가를 스스로 검해 보라고 한다

교사는 수업 반에 수열의 문제를 잘 해결하

지 못했던 학습자들에게 그 문제를 다시 해결해

보도록 기회를 제공하여 자신감과 만족감을 높

여 다

평가에 있어서 교사는 학습자들이 그들의 성

에 해 공정하게 평가되었다고 느끼도록 일

성 있게 평가하여 그들의 자신감고 만족감을

높여 다

교사는 수열과 실생

활과의 련성에 해

학습자들이 잘 지각하

고 있는가를 알아보기

해 다소 진지한 목

소리로 질문한다

다음 학습내용

에 해 간략히

소개하기

교사는 학습자들의 흥미를 유지하기 하여

다음 학습내용에 해 호기심에 찬 목소리로 간

략하게 소개하고 수업을 끝낸다

[표9 러의 ARCS이론]

단원

단

원Ⅲ 수열

배정시간

(분)50

단

원1 등차수열과 등비수열

차시 3소단

원3) 등차수열과 등비수열의 활용

학습

목표등차수열과 등비수열을 실생활의 문제에 용할 수 있다

학습

단계학습내용

교수-학습활동 지도상의유의사

항교사활동 학생활동

도

입

15

분

인사

출석

주변을 정리 정돈

하여 수업분 기를

조성한다

인사 출석체크

를 한다

주의를 환기시킨

후 학생들과 인사

한다

출결석 여부를

확인한다

바른 자세로 주

변을 정리한 뒤

교사와 인사한다

수업 비를 한

다

교사와 학생

모두 함께 수업

분 기를 조성한

다

선수

학습

확인

지난 시간에 학습

한 등차수열과 등비

수열의 정의에 해

다시 한번 확인해본

다

지난 시간에 학습

한 등차수열과 등비

수열의 일반항을 구

하는 방법에 해 확

인학습으로 [문제1]

과 [문제2]를 풀어본

다

학생들의 자신감

을 높이기 하여

등차수열과 등비수

열의 정의를 교과

서에서 찾아본 후

큰소리로 답하게

한다

학생들이 답한

후 다시 한번 등차

수열과 등비수열에

해 간단히 설명

등차수열과 등

비수열의 정의를

교과서에 찾아본

후 큰소리로 읽는

다

교사가 등차수

열과 등비수열의

정의에 해 다시

한번 간단히 설명

할 때 부족한 부

분은 필기하며 복

습한다

교사가 정의에

해 질문할 때

학생들이 모두

책을 찾아볼수

있게 주의를

다

만일 답하

지 못하는 학생

이 있을 경우 그

여기서 인스토 (brainstorming)이라고 하는 것은 갑자기 떠오르는 멋

진 생각을 종이에 는다든가 말로 표 해 본 후 로 기록하거나 기록된

문장을 정리정돈하면서 생각을 논리화하는 방법이다 주로 어떤 계획을 세

우고자 할 때 창조 이고 기발한 아이디어가 필요할 때 학생들의 의견과

생각을 끌어내어 발 시키고자 할 때 사용하면 유리하다 ([3])

3 ARCS 이론을 용한 수업지도안

[문제1]

다음 등차수열

의 일반항과 제20항

을 구하여라

　　　　　　　

[문제2]

다음 등비수열

의 일반항과 제8항을

구하여라

　 　　　　　

한다

교사는 [문제1]

과[문제2]를 제시

한 뒤 학생들에게

직 풀어보게 한

다

등차수열과 등

비수열의 일반항

과 그 공식의 유

도과정을 기억한

다

제시된 문제를

연습장에 풀어본

다

학생에 해 개

별 인 언어를

사용하여 부드러

운 목소리로 피

드백을 제공한

다

개

30

분

학습

목표

제시

수열의 활용에

한 학습목표를 제시

한다

학습목표 학습

에 필요한 자료를

Power point 시청

각 효과를 사용하여

학생들의 주의환기

집 을 한 략

을 사용한다

학습목표를 학생

들에게 읽게 하고

학생들의 련성을

높이기 해 학습

목표의 의미를 설

명해 다

교사의 지시에

따라 큰소리로 학

습목표를 읽고 이

수업이 끝난 후

무엇을 할 수 있

는지에 해 생각

해 본다

학습목표는 큰

씨를 사용하

고 핵심이 되는

단어에는 다른

색깔을 사용한

다

탐구

학습

실생활과 련된

수열의 활용문제들을

몇 가지 소개한다

수열의 활용에

한 학습자들의 이해

정도를 악하고 피

드백을 제공한다

등차수열과 등비

수열을 이용하여

실생활의 문제를

해결할 수 있음을

학생들이 쉽게 이

해할 수 있도록 설

명한다

교사가 실생활

과 련된 수열의

활용문제들을 몇

가지 소개할 때

다른 시가 있는

지 함께 생각해

본다

문제

제시

[문제3]

한일 월드컵 축구 개

회 연도는 2002년이

다 2002년 이후 월

드컵 축구가 개최되

는 연도를 차례로 써

보고 이 규칙 로 월

드컵 축구가 개최되

면 2100년은 월드컵

축구가 개최되는 연

도인가

교과서에서 수열

단원의 수열의 활

용부분에 수록된

문제들을 풀어볼

수 있도록 시간을

다

등차수열과 등

비수열의 일반항

유도 공식을 생각

해보고 제시된 문

제를 해결해 간다

로써 활용되

는 문제를 선택

할 때 학습자들

이 알고 있거나

그들에게 친근감

을 주는 련성

증진을 한

략을 사용한다

[문제4]

컴퓨터의 주기억 장

치인 램은용

으로

용으로 가 개발

되었다 이후 램의

용 량 은

로 증가되어 왔다

의 램으로부터

번 증가된 주 메모

리는 식으로 어떻게

나타낼 수 있는가

학생들이 문제를

어렵게 느끼지 않

도록 어떤 방향으

로 해결해야 하는

지 힌트를 주어 학

생들의 자신감을

증진시킨다

소집

단

활동

5～6명으로 이 진

소집단을 구성하여

학습자들이 수열의

활용에 해 어느 정

도 이해하고 있는지

를 서로 토론하도록

한다

소집단별로 실생활

과 련된 수열의 활

용의 문제들을 구체

으로 제시한다

인 스토 이

끝나면 소집단별로

한사람씩 문제를 풀

고 풀이과정을 체

학생들에게 설명하는

시간을 갖는다

교사는 학생들의

만족감을 높이기

하여 그들이 주

어진 과제를 성공

으로 해결했을

때 그에 따르는

내재 강화나 외

재 보상이 있음

을 알려 다

어려운 문제를

해결한 소집단이나

학생에게 교사는

그들의 우수한 능

력을 인정하고 내

재 인 자존심에

정 인 향을

주는 칭찬을 제공

하여 자신감과 만

족감을 높인다

자신이 속한 소

집단 내에서 제시

된 과제에 해

열심히 토의를 하

며 문제를 해결한

학생이 아직 해결

하지 못한 학생들

을 도와주어 자신

감과 만족감을 갖

도록 한다

소집단별로 간

략하게 토론이 끝

나면 학생들 스스

로 정리해보고 자

발 으로 체 학

생들에게 설명해

보는 기회를 갖는

다

교사는 학습자

들이 한 자

신감을 유지하고

있는지에 해

지속 인 심을

갖고 지켜본다

학생들의 소집

단 토론시간을

무 길게 소요

하지 않도록 한

다

형성

평가

[문제4]

민수는 남 문의 기

와 지붕 한쪽 면이

사다리꼴 모양임을

찰하고 이 면에 있

는 기와의 개수를 알

아보고자 한다 기와

형 성 평 가 를

Power point로 제

시하고 학생들이

스스로 풀어볼 수

있도록 지도한다

학생들이 문제를

다 풀고 나면 교사

제시된 문제를

오늘 학습한 내용

을 복습하면서 풀

어보도록 한다

교사는 다소

진지한 목소리로

질문한다

의 개수를 행으로 세

었더니 용마루 쪽에

가장 가까운 행에는

40개 처마 쪽에 가

장 가까운 행에는 72

개 다 용마루부터

처마까지 행의 개수

가 17이라고 할 때

민수가 찰한 지붕

한쪽 면의 기와의 개

수는 모두 몇 개인

가

는 학생들에게

답할수 있도록 하

고 학생들이 학습

목표에 해 얼마

나 많이 달성했는

가를 스스로 검

해 보라고 한다

형성평가의 답

을 교사의 질문에

끝난 뒤 큰소리로

답하여 자신감

과 만족감을 갖도

록 한다

학생들에게 개

별 인 언어를

사용한다

정

리

5

분

학습

정리

차시

고

학습 자료를 이용

하여 수열의 실생활

의 활용 단원의 수업

내용을 확인한다

과제를 제시한다

다음 차시인 「여

러 가지 수열」 단원

에 한 고를 한

다

수업 내용을 정

리하고 과제를 제

시한다

학생들의 흥미를

유지하기 하여

다음 학습내용에

해 호기심에 찬

목소리로 간략하게

소개하고 수업을

끝낸다

오늘 학습한 내

용을 정리한다

과제를 고 과

제 해결에 한

내용을 머릿속에

형성해 본다

다음 차시에 배

울 내용을 학습

자료 화면으로 확

인해본다

수업내용에

해 학생과 교사

모두가 만족하고

있는지 확인하고

공정한 평가를

한다

[표10 수업지도안]

4 조사 문제지 분석

고등학교 수학 Ⅰ 의 수열단원의 효율 인 지도방안의 연구를 하여 원

종고등학교 2학년 학생 100명을 상으로 조사 문제지 조사를 하 다 학

생들의 수학에 한 심과 수학에서 가장 어려워하는 부분을 알아볼 수

있었고 어떤 방식의 수업을 선호하는지도 알아볼 수 있었다

⑴ 수학에 얼마나 심이 있나요

① 매우 많다 ② 많다 ③ 보통이다 ④ 다 ⑤ 매우 다

수학과목에 매우 많은 심을 보이는 학생은 2로 매우 낮은 편이며

심이 있는 학생은 43로 학생의 반정도 다 수학과목에 심이 거

나 없는 학생은 54정도로 수학은 어려운 과목이라는 인식 때문에 심

이 은 것 같다

수학을 공부하는 가장 큰 이유에는75의 학생들이 학입시를 해서라

는 문항을 선택했다 기타 이유에는 교과서에 있어서 어쩔수 없이 한다

는 학생과 진리탐구를 해서라는 학생도 있었다

[그림6 조사문제지

(1)번 막 그래 ]

⑵ 수학을 공부하는 가장 큰 이유가 뭐라고 생각하나요

① 학입시를 해서

② 평소 수학에 흥미가 있어서

③ 실제 생활에 쓰기 해서

④ 주변에서 해야한다고 하니까

⑤ 기타 이유 (이유를 간단히 어주세요)

앞에 (1)번문항에서 수학에 심이 은 학생이 반 정도인것에 반해

수학공부가 필요하다고 느낀학생이 75정도로 수학공부가 필요하단건

느끼지만 어려운 과목이라는 인식이 부분인것 같다 수학과목도 재

는 과목이란 인식을 학생들이 가질수 있도록 노력해야겠다

[그림7 조사문제지

(2)번 막 그래 ]

⑶ 수학공부의 필요성에 해 어떻게 생각하나요

① 매우 필요하다 ② 조 필요하다 ③ 보통이다

④ 필요 없다 ⑤ 필요 없다

[그림8 조사문제지

(3)번 막 그래 ]

⑷ 수학을 공부하면서 가장 어려운 부분은 무엇이나요

① 복잡한 계산 과정 ② 외워야할 많은 공식들

③ 응용문제엔 어떤 공식을 용해야할지 ④ 다 어렵다

학생들이 수학과목이 어렵다고 느끼는 이유는 응용문제에 어떤 공식을

용해야 하는지를 몰라서 라는 답이 58로 가장 많았다 그 외에도

계산과정이 복잡하거나 외워야할 공식들이 많아서라는 답도 있었다

이해 주의 수업을 하고 단순한 공식의 암기 주의 수업을 탈피해야겠

다

수학수업을 하는데 효과 인 방법에는 선생님 주의 강의식 수업과 학

생 개인별 수업이 78로 가장 많았다 개념이나 공식유도과정을 설명할

땐 서를 하며 강의식 수업을 하고 문제풀이땐 학생들 개인별로 첨삭

지도를 하는게 효율 인것 같다

⑤ 기타이유 (이유를 간단히 어주세요)

[그림9 조사문제지

(4)번 막 그래 ]

⑸ 수학 수업을 하는 데 어떤 방법이 가장 효과 이라고 생각하나요

① 선생님 주의 강의식 수업

② 학생 개인별 수업

③ 모둠별 활동 수업

④ 기타 교재나 과제를 통한 수업

⑤ 기타(이유를 간단히 어주세요)

[그림10 조사문제지

(5)번 막 그래 ]

Ⅵ 결론

본 논문에서 지 까지 고등학교 2학년 학생들이 수학 Ⅰ 교육과정을 학습하

는데 가장 어려워하는 수열에 해 살펴보았다 먼 개정 교육과정에 명시

된 수학교육의 목표와 임의로 선택된 5종 교과서에서 수열 단원의 학습목표

를 살펴보았고 수열의 역사 배경과 실생활에 응용된 들을 정리해보았

다 한 5종 교과서에서 제시되어 있는 수열의 학습내용을 소단원 별로 정

리해보았다 임의로 선택된 5종 교과서안의 수열의 학습내용을 분석해보면

서 몇 몇 교과서에서 여러 가지 수열 단원에서 군 수열과 멱 수에 한 언

이 없거나 미약함을 알 수 있었다 본 연구자가 보기에 군 수열과 멱 수

부분은 실생활에 활용될 는 극히 작아 보이지만 학생들이 꼭 학습하고 넘

어가야 수열에 한 완벽한 학습이 될 수 있을 것이라 여겼는데 교과서에서

제시된 내용들로는 학생들이 충분히 이해할 수 없을 것 같았다

그리고 교과서에 제시된 문항의 수 이 입시와 동 떨어진다는 문제 이 있

었다 교과서에 제시된 문제가 부족하고 수 이 낮다 보니 실제로 학교에서

수업 때 보충 린트 물로 수업을 진행하고 간기말고사 때에도 교과서

외에서 많은 문제를 출제하는 모습을 볼 수 있었다 때문에 학생들이 교과서

보다는 문제집 주의 공부를 할 수 밖에 없는 듯 보 다 교과서가 학생들

과 교사의 요구에 부합할 수 있도록 새로운 내용들과 문제를 싣도록 해야

할 것이다

학생들이 수열 단원의 학습을 할 때 좀 더 효과 인 학습이 될 수 있도록

리의 동기설계이론 (ARCS 이론) 을 바탕으로 하여 수업 계획서와 1차시

의 수업 지도안을 작성해 보았다 한 작성한 수업 지도안으로 부천시 소재

의 한 고등학교에서 실제 수업을 진행해 보았을 때 학생들이 좀 더 수열에

해 친숙하게 느끼고 쉽게 이해하는 모습을 볼 수 있었다 본 연구자가

직 교사가 아니라 여러 반을 상으로 수열 단원의 모든 차시 수업에 용

하여 수업을 해볼 수 없었단 이 아쉬움으로 남는다

이와 같이 학생들의 주의 련성자신감만족감 증진을 한 수업을 함

으로써 학생들의 수학 학습 성취도의 향상을 기 할 수 있을 것이다 한

개발된 자료를 실제 수업에 용하는 경우의 효율성에 한 후속 연구가 체

계 이고 지속 으로 이루어져야 할 것이다

참 고 문 헌

[1] 구평회 META 구평회 교육학 2007

[2] 교육인 자원부 고시 제2007 - 79호[별책8] 2007

[3] 박인학 교사를 한 교수학습방법론 문사 1995

[4] 변 계 교수학습 이론의 이해 학지사 1999

[5] 우정호 외 5인 고등학교 수학 Ⅰ 한교과서(주) 2002

[6] 이 연 자연의 수학 열쇠 피보나치수열 로네시스 2006

[7] 이진화 지수로그함수의 지도에 한 연구 서강 학교 교육 학원 석사 학

논문 2006

[8] 임재훈 외 10인 고등학교 수학 Ⅰ (주)두산 2002

[9] 장 숙 고등학교 수학 Ⅰ 교과서의 통계단원 분석 실생활에의 용 경희

학교 교육 학원 석사 학 논문 2006

[10] 조해식 행렬 수열 수업에서의 수학사 도입에 한 연구 울산 학교 석사

학 논문 1998

[11] 차 자 수열 학습의 흥미 유발을 한 자료 연구 경성 학교 교육 학원 석

사 학 논문 2004

[12] 최 외 5인 고등학교 수학 Ⅰ 앙교육진흥연구소 2006

[13] 최상기 외 5인 고등학교 수학 Ⅰ (주)고려출 2002

[14] 최용 신 성 고등학교 수학 Ⅰ 천재교육(주) 2002

[15] 황혜정 외 5인 수학교육학 신론 문음사 2002

• Ⅰ 서론
• • 1 연구의 필요성과 목적
  • 2 연구의 제한점
  • • Ⅱ 개정 교육과정에서 명시된 수학Ⅰ교육의 목표
    • • 1 수학Ⅰ교육의 목표
      • 2 고등학교 수학 Ⅰ 수열 단원의 학습목표
      • • Ⅲ 수열의 역사적 배경 및 응용
        • • 1 수열의 역사
          • 2 수열 단원이 실생활에 응용된 사례
          • • Ⅳ 고등학교 수학교육과정에서의 수열
            • • 1 수학Ⅰ 교과서 분석
              • 2 수학Ⅰ 교과서에서의 수열
              • • Ⅴ 켈러의 ARCS 이론과 수열 지도
                • • 1 켈러의 ARCS 이론
                  • 2 ARCS 이론을 적용한 수열 수업 계획서
                  • 3 ARCS 이론을 적용한 수업 지도안
                  • 4 조사지 분석
                  • • Ⅵ 결론
                    • 참고문헌

교과서 차례

한교과서(주)

Ⅳ 수열

1 등차수열과 등비수열

2 여러 가지 수열

3 수학 귀납법

4 알고리즘과 순서도

(주) 천재교육

Ⅲ 수열

1 등차수열과 등비수열

2 여러 가지 수열

3 수학 귀납법

4 알고리즘과 순서도

Ⅳ 고등학교 수학교육과정에서의 수열

1 수학Ⅰ 교과서 분석

고등학교 2학년이 학습하는 lsquo수학 Ⅰrsquo은 국민 공통 기본 교육 기간의 10단계

수학을 이수한 학생들이 보다 문 인 진로를 고려하고 보다 높은 수 의

수학을 학습하기 해 설정된 심화 선택 과목이며 lsquo수학 Ⅱrsquo를 학습하기 한

단계이다 lsquo수학 Ⅰrsquo의 내용은 수 역에서 지수와 로그 행렬 수열이

실려있고 해석 역에서 수열의 극한 지수로그 함수가 수록되어 있으며

확률과 통계 역에서 순열과 조합 확률 통계 등으로 구성되어 있다 특히

수 역에 해당하는 수열은 여러 가지 수열에 한 성질을 이해하고 그것

을 일반화 하는 과정에 을 두어 지도하도록 하고 있으며 계차수열은 등

차수열이나 등비수열이 되는 경우만 다룬다 ([2])

1) 수학 Ⅰ 5종 교과서의 차례 단원 배열

앙교육진흥연구소

Ⅲ 수열

1 등차수열과 등비수열

2 여러 가지 수열

3 수학 귀납법

4 알고리즘과 순서도

(주) 고려출

Ⅲ 수열

1 등차수열과 등비수열

2 여러 가지 수열

3 수학 귀납법과 순서도

(주) 두산

Ⅲ 수열

1 등차수열과 등비수열

2 여러 가지 수열

3 수학 귀납법

4 알고리즘과 순서도

[표5 수학 Ⅰ 5종교과서의 차례]

의 표에서 본 것과 같이 임의로 선택된 5종의 고등학교 수학 Ⅰ 교과서의

차례는 거의 비슷한 양상을 보 다 부분의 교과서에선 1단원 지수와 로

그 2단원 행렬 3단원 수열 순의 순서를 보 고 한교과서외의 몇몇

교과서에선 1단원 지수와 로그 2단원 지수로그함수 3단원 행렬 4단원 수

열 순의 순서를 보 다 수열단원의 세부 단원 차례는 1 등차수열과

등비수열 2 여러 가지 수열 3 수학 귀납법 4 알고리즘과 순서도 는

34 단원을 한 단원으로 해서 3 수학 귀납법과 순서도의 순서로 다루는

은 비슷했다

2) 교과서에 제시된 수열 련 자료

한교과서

(주)

피타고라스(Pythagoras 572～492 BC) 피타고라스의 정리

로 잘 알려져 있고 소수나 완 수의 규칙성에 해서도 많은 연

구를 하 다

바스카라(Bhaskara A 1114～1185) 인도의 수학자로

임을 증명하 고 피타고라스의 정리를 기하학

으로 증명하 다

피보나치(Fibonacci 1180～1250) 이탈리아의 수학자로 자연

속에서 많이 볼 수 있는 피보나치 수열을 발견하 다

스칼(Pascal B 1623～1662 ) 랑스의 수학자로 수학

귀납법을 발견하 고 사 기하학을 창시하 다

푸리에(Fourier J B J 1768～1830) 랑스의 수학자로 음양

학 학 기역학 열역학 등의 연구에 매우 요한 푸리에

수를 연구하 다

가우스(Gauss K F 1777～1855) 수학 통계학 등의 다방

면에 많은 업 을 이루었고 역사상 가장 한 수학자 의 한

사람으로 불리워지고 있다

비주얼 베이직(Visual BASIC)

을 이용한 Programming

하노이의 탑

(주)

천재교육

가우스(Gauss K F 1777～1855) 독일의 수학자인 가우스는

수학의 각 방면에 많은 업 을 남겨 수학의 아버지라 일컬

어지고 있다 그는 계산의 천재로 알려져 있는데 이에 한 유명

한 일화가 있다 등학교 때 부터 까지의 합을 구하는 문

제에서 다른 학생들이 직 하나하나 계산하는 동안 가우스는

　 　 　　　　 이 모두 임을 이용하여

times 이라는 답을 이끌어 내었다 이러한 방식은 수열

의 합을 계산할 때 사용하는 방식 의 하나이다

하노이의 탑을 이용한 수열의 귀납 정의

임의로 선택된 5종 교과서들의 수열단원에서 학생들의 수열 단원의 이해를

돕기 해 수록된 수학자들에 한 설명과 기타 자료들은 다음과 같다

도미노 이론 - 수학 귀납법의 다른 표

피보나치수열 - 토끼 수 증가 문제

앙교육

진흥연구소

삼각수 사각수 문제

피보나치(Fibonacci 1180～1250)

가우스(Gauss K F 1777～1855)

음악과 수학 - 작곡가 바흐(Bach)의 요 업 으로 평균율을

들 수 있다 평균율이란 1옥타 즉 lsquo도rsquo와 lsquo도rsquo의 사이를 개의

반음으로 나 고 처음 lsquo도rsquo의 진동수를 이라 하면 그에 일정한

수를 더해 제곱하여 옥타 의 lsquo도rsquo의 진동수를 얻는 것을

말한다 수식으로는 로 나타낼 수 있고 이 등식을

만족하는 의 값이 평균율이다

(주)

고려출

티티우스-보데 수열 -

수열 　　　　　　　　의 각 항에 각각 를 더한 후

으로 나 수들을 나열한 것 　　　　　　　 를

티티우스-보데 수열이라 한다 이수열의 각 항은 태양에서 행성

까지의 실제 거리와 비슷한 것으로 1766년 티티우스(Titius)라는

독일의 천문학자가 발견하 다

제갈량의 군 에 한 을 통한 등비수열의 합

피보나치 수열

휴먼 로 - 휴먼 로 의 제작은 복잡한 여러 가지 알고리즘

과 순서도에 바탕을 두고 있다 알고리즘의 요성은 자계산기

이 부터 실제 으로 존재했다 그 로 최 공약수 계산에 한

유클리드의 알고리즘이 있다 한 가우스와 같은 부분의 수학

자들은 역사 으로 많은 양을 처리하는 효율 인 알고리즘에

심을 가졌다 이러한 알고리즘을 보다 효율 으로 이용하여 재

의 컴퓨터 시 를 구축했다

(주) 두산

피보나치(Fibonacci 1180～1250)는 이탈리아의 피사에서 태

어난 수학자이다 부친이 상업에 종사하 기 때문에 피보나치는

이집트 시칠리아 그리스 시리아 등 다양한 지역을 여행할 수

있었고 이 때 다양한 수학을 하게 되었다 1202년 피사로 돌아

온 피보나치는 「산반서(Liber abaci)」를 술하 다 1228년에

는 「산반서 2 」을 술하 는데 이 책에서 정수와 분수의 계

산 제곱근과 세제곱근 일차와 이차방정식의 풀이 등을 다루었다

고 한다 특히 이 책에 나오는 「피보나치의 수열」은 매우 흥미

로운 수열로 요한 성질을 많이 가지고 있다

1에서 100까지 자연수를 모두 합하면 얼마일까

가우스(Gauss KF 1777～1855) 가우스는 수론 해석학 확

률론 천문학 물리학 등 다양한 분야에 뛰어난 수학자이었다 특

히 그의 수론 연구는 19세기 수학 체계의 확립에 크게 공헌하

다

피타고라스(Pythagoras 572～492 BC) 피타고라스는 음의

높이에 따른 진동수의 비가 일정함을 발견하 다

페아노(Peano G 1858～1932) 자연수의 성질을 추상화 하여

페아노의 공리계를 만들었다 이 공리계의 제 5공리가 수학 귀

납법의 원리이다

피보나치의 수열

알콰리즈미(Alkhwarizmi 780～850) 알고리즘이란 말은 세

아라비아의 수학자 알콰리즈미의 이름에서 유래된 것으로서 그가

십진법으로 나타낸 수의 계산에 용한 계산 방법에서 나온것이

다

[표6 5종 교과서에 제시된 수열 련 자료]

2 수학 Ⅰ 교과서에서의 수열

등차수열의 일반항

첫째항이 공차가 인 등차수열의 일반항 은

본 연구자가 임의로 선택한 5종 교과서 ([5][8][12][13][14]) 에서의

수열의 내 을 정리해보았다

1) 등차 수열과 등비 수열

(1) 수열의 뜻

어떤 규칙에 따라 순서 로 수를 늘어놓은 것을 수열이라 하고 그 수열을

이루는 각각의 수를 그 수열의 항이라고 한다 수열의 각 항을

앞에서부터 순서 로 제 1항 제 2항 제 3항 제 항

이라고 한다 특히 제 1항은 첫째항이라고도 한다

(2) 등차수열의 뜻

첫째항에 차례로 일정한 수를 더하여 만들어진 수열을 등차수열 이라하고

더한 일정한 수를 공차라고 한다

첫째항이 공차가 인 등차수열 에서

이므로 일반항 은 다음과 같이 나타낼 수 있다

(3) 등차수열의 합

등차수열의 합

첫째항이 공차가 끝항이 인 등차수열의 첫째항부터 제 항까지의

합 은

첫째항이 공차가 등차수열 에서 첫째항 부터 제 항 까지의 합

을 토론하기의 방법을 이용하여 구해보자

　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　①

더하는 순서를 거꾸로 하면

　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　②

①②의 양변을 각각 더하면

　　

따라서 =

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　③

이때 제 항인 를 ③에 입하여 식을 다르게 나타낼수도

있다

이상을 정리하면 다음과 같다

(4) 수열의 합과 일반항

수열 에서 첫째항부터 제 항까지의 합을 이라 하면

ge 일때 　　

there4

수열의 합과 일반항의 계

수열 의 첫째항부터 제 항까지의 합을 이라 하면

(단 ge )

등비수열의 합

일때 이다

이상을 정리하면 다음과 같다

(5) 등비수열의 뜻

첫째항부터 시작하여 각 항의 바로 앞의 항에 일정한 수를 곱하여

만들어진 수열을 등비수열이라 하고 곱하는 일정한 수를 공비라고 한다

첫째항이 공비가 인 등비수열에서 첫째항부터 제 항까지의 합 은

다음과 같이 구한다

　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　①

①의 양변에 공비 을 곱하면

　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　②

①에서 ②를 같은 변끼리 빼면

따라서 ne 일때

인 경우 ①에서

　　

there4

이상을 정리하면 다음과 같다

첫째항이 공비가 인 등비수열의 첫째항부터 제 항까지의 합 은

① ne 일때

② 일때

자연수의 거듭제곱의 합

①

　　

②

　　

③

　　

2) 여러 가지 수열

(1) 합의 기호 sum

수열 에서 첫째항부터 제 항까지의 합

　　

을 일반항과 합의 기호 sum를 써서

　　

와 같이 나타낸다

이때

는 수열 의 일반항 의 에 　　　　　　을 차례로

입하여 얻은 항의 합으로 신 다른 문자를 사용하여

등과 같이 나타낼 수 있다

(2) 기호 sum 의 성질

합의 기호 sum 의 성질에 하여 알아보자

합의 기호 sum의 성질

①

(복부호동순)

②

(단 는 상수)

③

(단 는 상수)

　　

　　 　　

　　

마찬가지로

와

에 해서도 확인해 보면 sum 의 성질을

다음과 같이 정리할 수 있다

(3) 계차수열

일반 으로 수열 에서 이웃하는 두 항의 차

　　 을 일반항으로 하는 새로운 수열

　　　　　　　을 얻을 수 있는데 이 수열 을 원래의 수열 의

계차수열이라고 한다

수열 에 하여 그 계차수열을 이라 하면

　　

계차수열과 일반항

수열 의 계차수열을 이라 할때

(단 ge )

3) 수학 귀납법

(1) 수열의 귀납 정의

첫째항과 이웃하는 두 항 사이의 계식으로 수열을 정의하는 것을 수열의

귀납 정의 라고 한다

첫째항이 공차가 인 등차수열 은 다음이 성립한다

　ge 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　①

역으로 두 계식 ①이 주어지면 이 결정되고 차례로

가 결정된다 따라서 모든 자연수 에 하여 이 정해지므로 수열 이

정의 된다

①과 같이 의 값 과 의 계식을 화식이라고 한다

(2) 수학 귀납법

수학 귀납법은 이탈리아의 페아노에 의하여 설정된 자연수에 한 공리

수학 귀납법

자연수 에 한 명제 이 모든 자연수 에 하여 성립함을 증명하

려면 다음 ⅰ ⅱ 를 증명하면 된다

ⅰ 일때 명제 이 성립한다

ⅱ 일때 명제 이 성립한다고 가정하면 일때에도

명제 이 성립한다

다음과 같은 5번째 공리에 근거를 두고 있다

자연수의 집합 의 부분집합 가

ⅰ 　isin

ⅱ 　isin 이면 isin

(여기서 는 의 후자)

인 두 조건을 만족하면 이다

4) 알고리즘과 순서도

(1) 알고리즘과 순서도

어떤 문제를 해결하기 해서는 그 처리 순서를 정해야 하는데 이와 같이

문제 해결에 필요한 처리 과정의 순서를 단계 으로 정리한 것을 알고리즘

이라 하고 알고리즘을 알기 쉽게 기호를 써서 그림으로 나타낸 것을 순서도

라고 한다 일반 으로 어떤 문제를 해결하기 한 알고리즘은 여러 가지가

있을 수 있지만 정해진 유한번의 단계를 거치면 반드시 끝나야 하고 처리

과정의 순서가 명확해야 한다 한 순서도는 각 부분을 순서 계통 으로

나타냄으로써 작업 과정을 구나 쉽게 한 에 악할 수 있도록

작성되어야 한다 순서도는 다음과 같은 기호를 사용하여 작성한다

[표7 순서도의 기호]

(2) 알고리즘과 순서도의 작성

수열과 련된 순서도를 작성할 때에는 다음과 같은 방법을 고려한다

(가) 항수를 항을 수열의 합을 로 나타낸다

(나) 제시된 항의 번호까지 루 를 용한다

(다) 제시된 항의 번호에 하여 단 기호를 이용한다

(라) 구하려는 는 를 인쇄하고 끝낸다

주의환기

집 을

한 략

지각

주의환기의

략

시청각 효과의 사용

비일상 인 내용이나 사건 제시

주의 분산의 자극 지양

탐구

주의환기의

략

능동 반응 유도

문제해결 활동의 구상 장려

신비감의 제공

다양성의

략

간결하고 다양한 교수형태 사용

일방 교수와 상호작용 교수의 혼합

교수자료의 변화 추구

목표-내용-방법이 기능 으로 통합

련성

증진을

한

략

친 성의

략

친 한 인물 혹은 사건 활용

구체 이고 친숙한 그림 활용

친 한 문 배경 지식 활용

목 지향성

의 략

실용성에 을 둔 목표 제시

목 지향 인 학습형태 활용

Ⅴ 러의 ARCS 이론과 수열 지도

1 러의 ARCS 이론

1) ARCS 이론의 특징

(1) 이론 배경

다음은 ([4])의 내용을 참고하 다

ldquo말을 물가로 데리고 갈 수는 있지만 물을 먹일 수는 없다rdquo는 속담처럼

하고자 하는 마음이 없으면 학습 효과를 기 할 수 없는 것은 당연한 사실

이다 이러한 생각의 근거에는 동기 유발의 개념이 자리 잡고 있다 동기

유발이란 어떤 활동을 진 지시 유지하려는 내 상태 는 과정을

포함한다 이 개념은 교육 심리학의 심 개념 의 하나이지만 직 찰

할 수 없는 것이기 때문에 인간의 행동을 보고 거기에서 유출해 내는 개념

이며 이에 한 정의는 바라보는 과 강조하는 내용에 따라 각기 다르

다

(2) ARCS 이론

목 의 선택 가능성 부여

필요나

동기와의

부합성 강조의

략

다양한 수 의 목 제시

학업성취 여부의 기록체제 활용

비경쟁 학습상황의 선택가능

동 상호 학습상황 제시

자신감

수립을

한 략

학습의

필요조건

제시의 략

수업의 목표와 구조의 제시

평가기 피드백의 제시

선수학습 능력의 단

시험의 조건 확인

성공의 기회

제시의 략

쉬운 것에서 어려운 것으로 과제 제시

정수 의 난이도 유지

다양한 수 의 시작 제공

무작 의 다양한 사건 제시

다양한 수 의 난이도 제공

개인

조 감

증 의 략

학습의 끝을 조 할 수 있는 기회 제시

학습속도의 조 가능

원하는 부분에로의 재빠른 회귀 가능

선택가능하고 다양한 과제의 난이도제공

노력이나 능력에 성공 귀착

만족감

증 를

한 략

자연 결과

강조의 략

연습문제를 통한 용기회 제공

후속학습상황을 통한 용기회 제공

모의상황을 통한 용기회 제공

정 결과

강조의 략

한 강화 계획의 활용

의미 있는 강화의 강조

정답을 한 보상 강조

외 보상의 사려 깊은 사용

선택 보상체제 활용

공정성

강조의 략

수업목표와 내용의 일 성 유지

연습과 시험 내용이 일치

[표8 ARCS 략] ([1])

2 ARCS 이론을 용한 수열 수업 계획서

다음은 ([1])의 ARCS 이론의 수업계획서를 참고하여 수열 단원의 수업

계획서를 작성해보았다

수업내용개 동기 략개 기타의견1 수업 기

체 으로 교사는 다양한 방법으로 학습자들

에게 수업 내용을 제시하고 학습자들에게

한 언어를 사용한다

수열의 활용에

한 학습목표

제시하기

교사는 학습자들의 련성을 높이기 해 학습

목표의 의미를 설명해 다

도표는 큰 씨를 사

용하고 핵심이 되는

단어에는 다른 색깔을

사용한다

수열의 활용의

이 과 평가

거를 제시하기

교사는 학습자들의 련성과 자신감 만족감

을 높이기 하여 이 수업이 끝난 후 그들이

무엇을 할 수 있는지에 해 알려 다

교사는 학습자들의 자신감과 만족감을 높이기

하여 성공 인 학습성취를 단할 수 있는 객

인 거들을 알려 다

교사는 학습자들의 만족감을 높이기 하여

그들이 주어진 과제를 성공 으로 해결했을 때

그에 따르는 내재 강화나 외재 보상이 있음

을 알려 다

수열의 정의와

해법에 한 지

식을 간략하게

확인하기

교사는 선수학습과의 련성을 유발하기 하

여 간략한 보조도구(인쇄매체)를 사용하여 수열

의 정의와 해법을 제시한다

교사는 소집단 토론을 실시하여 학습자들의

선수지식을 스스로 검해 보도록 한다

교사는 수열의 정의와 해법을 잘 모르는 학습

자들에게 자신감을 유발시키기 하여 개별 인

학습목표를 세우도록 한다

소집단 구성에 있어

서 주의집 이 매우

낮은 5명을 하나의 소

집단으로 구성하고

친근한 소재를 활용하

여 그들의 주의집 과

련성을 유발한다

실생활과 련

된 수열의 활용

문제들을 몇 가

지 소개하기

교사는 학습자들의 주의집 을 유지하기 해

실생활에서 연립방정식을 활용하여 해결할 수

있는 몇 가지 문제들을 제시한다

주의집 이 매우 낮은 5명의 학습자들이 수업

에 극 인 심을 보이지 않으면 교사는 그

들에게 친근한 목소리로 이름을 부르면서 수업

에 집 하라고 얘기 하고 개인 인 심을 갖

고 있음을 나타낸다

로써 활용되는 문

제들을 선택할 때 학

습자들이 알고 있거

나 그들에게 친근감

을 주는 소재가 포함

되도록 선택한다 이

때 지나치게 자심감

이 높아서 수업에 소

극 으로 참여하는 3

명의 학습자들에게는

다소 복잡한 수열의

활용 문제를 미리 제

공하여 생각할 기회를

다

수열의 활용에

한 학습자들의

이해정도를 악

하고 피드백을

제공하기

교사는 학습자들에게 자신감을 높이기 하여

소집단을 구성하여 학습자들이 수열의 활용에

해 어느 정도 이해하고 있는지를 서로 토론하

도록 한다

교사는 소집단별로 둘러보면서 자신감과 만족

감을 유발시키기 하여 학습자들간에 서로 도

움을 주도록 분 기를 형성한다

소집단별로 간략하게 토론이 끝나면 학습자

들 스스로 정리하도록 한다

토론결과 학습자들이 수열의 활용에 해 잘

못 이해하고 있다면 교사는 즉각 으로 교정

피드백을 제공한다

학습자들의 소집단

토론시간을 무 길게

소요하지 않도록 한

다 자칫하면 토론분

기가 산만해지기 쉽

고 토론이 활발하지

못한 경우에는 학습자

들의 학습의욕이 떨어

진다

2 수업 반 체 으로 교사는 다양한 방법으로 학습자

들에게 수업 내용을

제시하고 학습자들에게 개별 인 언어를 사용

한다

실생활과 련

된 수열의 활용

의 문제들을 구

체 으로 제시하

기

교사는 학습자들의 주의집 련성 자신감

만족감을 유지하기 하여 게임을 실시한다 학

습자들이 돌아가면서 임의로 다른 학습자를 지

명하면 지명받은 학습자가 실생활과 련된 수

열의 문제를 하나 제시한다 한 문제를 제

시한 학습자에게 학습태도 수를 주어 만족감

을 향상시킨다

교사는 학습자들이 제시한 여러 가지 문제들

을 칠 에 은 후 몇몇 소집단을 구성하여

그 문제들을 해결하기 해 인스토 을 하

도록 한다 이때 교사는 문제를 해결한 학습자

가 아직 해결하지 못한 학습자들을 도와주어 자

신감과 만족감을 갖도록 한다

인스토 이 진행되는 동안 교사는 교실

을 둘러보면서 학습자들이 질문이나 의문사항

에 해 극 으로 질문할 수 있는 기회를 제

공하고 그에 해 개별 인 언어를 사용하여

부드러운 목소리로 피드백을 제공한다

인스토 도 학습자들의 개인 인 능

력차가 커서 문제를 해결하는데 어려움을 겪는

학습자들에게는 그들에게 합한 개별 인 학습

이때 교사는 밝고

생동감이 넘치는 목소

리로 학습자들의 활동

을 진시킨다

교사는 학습자들이

한 자신감을 유지

하고 있는지에 해

지속 인 심을 갖고

지켜본다

이때 교사는 학습자

들의 자신감과 만족감

을 높이기 하여 그

들에게 일 성 있는

피드백을 제공한다

교사는 학습자들이

목표를 다시 선정하도록 하여 자신감을 향상시

킨다

인스토 이 끝나면 교사는 소집단 별로

한 사람씩 자발 으로 나와 문제를 풀고 풀이

과정을 체 학습자들에게 설명하도록 한다 이

때 어려운 문제를 해결한 소집단이나 학습자에

게 교사는 그들의 우수한 능력을 인정하고 내

재 인 자존심에 정 인 향을 주는 칭찬을

제공하여 자신감과 만족감을 높인다

소집단의 인스토

을 하는 동안 체

으로 문제풀이를 할

때 주의집 을 유지

하고 자신감과 만족

감의 향상을 악하기

해 끊임없이 그들과

시선을 교류하고 얼

굴표정을 찰한다

3 수업마무리 체 으로 교사는 다양한 방법으로 학습자

들에게 수업 내용을 제시하고 학습자들에게 개

별 인 언어를 사용한다

실생활과 련

된 수열의 활용

에 해 체

으로 정리 요

약하기

교사는 교탁을 탁탁 치거나 박수를 쳐서 다

소 떨어진 학습자들의 주의집 을 향상 시킨다

교사는 실생활 속에서 수열을 활용하여 해결

할 수 있는 간단하고 재미있는 문제들을 2～3개

제시하여 학습자들이 그 문제를 성공 으로 해

결함으로써 자신감과 만족감을 갖도록 한다

교사는 학습자들이 미처 생각하지 못했던 실

생활 속에서 수열과 연 된 다양한 들을 제공

하여 주의집 과 련성을 유지향상시킨다

교사는 자신감과 만족감을 향상시키기 해

학습자들에게 수업진행 에 그들이 설정한 개

인 인 학습목표에 해 얼마나 많이 달성했는

가를 스스로 검해 보라고 한다

교사는 수업 반에 수열의 문제를 잘 해결하

지 못했던 학습자들에게 그 문제를 다시 해결해

보도록 기회를 제공하여 자신감과 만족감을 높

여 다

평가에 있어서 교사는 학습자들이 그들의 성

에 해 공정하게 평가되었다고 느끼도록 일

성 있게 평가하여 그들의 자신감고 만족감을

높여 다

교사는 수열과 실생

활과의 련성에 해

학습자들이 잘 지각하

고 있는가를 알아보기

해 다소 진지한 목

소리로 질문한다

다음 학습내용

에 해 간략히

소개하기

교사는 학습자들의 흥미를 유지하기 하여

다음 학습내용에 해 호기심에 찬 목소리로 간

략하게 소개하고 수업을 끝낸다

[표9 러의 ARCS이론]

단원

단

원Ⅲ 수열

배정시간

(분)50

단

원1 등차수열과 등비수열

차시 3소단

원3) 등차수열과 등비수열의 활용

학습

목표등차수열과 등비수열을 실생활의 문제에 용할 수 있다

학습

단계학습내용

교수-학습활동 지도상의유의사

항교사활동 학생활동

도

입

15

분

인사

출석

주변을 정리 정돈

하여 수업분 기를

조성한다

인사 출석체크

를 한다

주의를 환기시킨

후 학생들과 인사

한다

출결석 여부를

확인한다

바른 자세로 주

변을 정리한 뒤

교사와 인사한다

수업 비를 한

다

교사와 학생

모두 함께 수업

분 기를 조성한

다

선수

학습

확인

지난 시간에 학습

한 등차수열과 등비

수열의 정의에 해

다시 한번 확인해본

다

지난 시간에 학습

한 등차수열과 등비

수열의 일반항을 구

하는 방법에 해 확

인학습으로 [문제1]

과 [문제2]를 풀어본

다

학생들의 자신감

을 높이기 하여

등차수열과 등비수

열의 정의를 교과

서에서 찾아본 후

큰소리로 답하게

한다

학생들이 답한

후 다시 한번 등차

수열과 등비수열에

해 간단히 설명

등차수열과 등

비수열의 정의를

교과서에 찾아본

후 큰소리로 읽는

다

교사가 등차수

열과 등비수열의

정의에 해 다시

한번 간단히 설명

할 때 부족한 부

분은 필기하며 복

습한다

교사가 정의에

해 질문할 때

학생들이 모두

책을 찾아볼수

있게 주의를

다

만일 답하

지 못하는 학생

이 있을 경우 그

여기서 인스토 (brainstorming)이라고 하는 것은 갑자기 떠오르는 멋

진 생각을 종이에 는다든가 말로 표 해 본 후 로 기록하거나 기록된

문장을 정리정돈하면서 생각을 논리화하는 방법이다 주로 어떤 계획을 세

우고자 할 때 창조 이고 기발한 아이디어가 필요할 때 학생들의 의견과

생각을 끌어내어 발 시키고자 할 때 사용하면 유리하다 ([3])

3 ARCS 이론을 용한 수업지도안

[문제1]

다음 등차수열

의 일반항과 제20항

을 구하여라

　　　　　　　

[문제2]

다음 등비수열

의 일반항과 제8항을

구하여라

　 　　　　　

한다

교사는 [문제1]

과[문제2]를 제시

한 뒤 학생들에게

직 풀어보게 한

다

등차수열과 등

비수열의 일반항

과 그 공식의 유

도과정을 기억한

다

제시된 문제를

연습장에 풀어본

다

학생에 해 개

별 인 언어를

사용하여 부드러

운 목소리로 피

드백을 제공한

다

개

30

분

학습

목표

제시

수열의 활용에

한 학습목표를 제시

한다

학습목표 학습

에 필요한 자료를

Power point 시청

각 효과를 사용하여

학생들의 주의환기

집 을 한 략

을 사용한다

학습목표를 학생

들에게 읽게 하고

학생들의 련성을

높이기 해 학습

목표의 의미를 설

명해 다

교사의 지시에

따라 큰소리로 학

습목표를 읽고 이

수업이 끝난 후

무엇을 할 수 있

는지에 해 생각

해 본다

학습목표는 큰

씨를 사용하

고 핵심이 되는

단어에는 다른

색깔을 사용한

다

탐구

학습

실생활과 련된

수열의 활용문제들을

몇 가지 소개한다

수열의 활용에

한 학습자들의 이해

정도를 악하고 피

드백을 제공한다

등차수열과 등비

수열을 이용하여

실생활의 문제를

해결할 수 있음을

학생들이 쉽게 이

해할 수 있도록 설

명한다

교사가 실생활

과 련된 수열의

활용문제들을 몇

가지 소개할 때

다른 시가 있는

지 함께 생각해

본다

문제

제시

[문제3]

한일 월드컵 축구 개

회 연도는 2002년이

다 2002년 이후 월

드컵 축구가 개최되

는 연도를 차례로 써

보고 이 규칙 로 월

드컵 축구가 개최되

면 2100년은 월드컵

축구가 개최되는 연

도인가

교과서에서 수열

단원의 수열의 활

용부분에 수록된

문제들을 풀어볼

수 있도록 시간을

다

등차수열과 등

비수열의 일반항

유도 공식을 생각

해보고 제시된 문

제를 해결해 간다

로써 활용되

는 문제를 선택

할 때 학습자들

이 알고 있거나

그들에게 친근감

을 주는 련성

증진을 한

략을 사용한다

[문제4]

컴퓨터의 주기억 장

치인 램은용

으로

용으로 가 개발

되었다 이후 램의

용 량 은

로 증가되어 왔다

의 램으로부터

번 증가된 주 메모

리는 식으로 어떻게

나타낼 수 있는가

학생들이 문제를

어렵게 느끼지 않

도록 어떤 방향으

로 해결해야 하는

지 힌트를 주어 학

생들의 자신감을

증진시킨다

소집

단

활동

5～6명으로 이 진

소집단을 구성하여

학습자들이 수열의

활용에 해 어느 정

도 이해하고 있는지

를 서로 토론하도록

한다

소집단별로 실생활

과 련된 수열의 활

용의 문제들을 구체

으로 제시한다

인 스토 이

끝나면 소집단별로

한사람씩 문제를 풀

고 풀이과정을 체

학생들에게 설명하는

시간을 갖는다

교사는 학생들의

만족감을 높이기

하여 그들이 주

어진 과제를 성공

으로 해결했을

때 그에 따르는

내재 강화나 외

재 보상이 있음

을 알려 다

어려운 문제를

해결한 소집단이나

학생에게 교사는

그들의 우수한 능

력을 인정하고 내

재 인 자존심에

정 인 향을

주는 칭찬을 제공

하여 자신감과 만

족감을 높인다

자신이 속한 소

집단 내에서 제시

된 과제에 해

열심히 토의를 하

며 문제를 해결한

학생이 아직 해결

하지 못한 학생들

을 도와주어 자신

감과 만족감을 갖

도록 한다

소집단별로 간

략하게 토론이 끝

나면 학생들 스스

로 정리해보고 자

발 으로 체 학

생들에게 설명해

보는 기회를 갖는

다

교사는 학습자

들이 한 자

신감을 유지하고

있는지에 해

지속 인 심을

갖고 지켜본다

학생들의 소집

단 토론시간을

무 길게 소요

하지 않도록 한

다

형성

평가

[문제4]

민수는 남 문의 기

와 지붕 한쪽 면이

사다리꼴 모양임을

찰하고 이 면에 있

는 기와의 개수를 알

아보고자 한다 기와

형 성 평 가 를

Power point로 제

시하고 학생들이

스스로 풀어볼 수

있도록 지도한다

학생들이 문제를

다 풀고 나면 교사

제시된 문제를

오늘 학습한 내용

을 복습하면서 풀

어보도록 한다

교사는 다소

진지한 목소리로

질문한다

의 개수를 행으로 세

었더니 용마루 쪽에

가장 가까운 행에는

40개 처마 쪽에 가

장 가까운 행에는 72

개 다 용마루부터

처마까지 행의 개수

가 17이라고 할 때

민수가 찰한 지붕

한쪽 면의 기와의 개

수는 모두 몇 개인

가

는 학생들에게

답할수 있도록 하

고 학생들이 학습

목표에 해 얼마

나 많이 달성했는

가를 스스로 검

해 보라고 한다

형성평가의 답

을 교사의 질문에

끝난 뒤 큰소리로

답하여 자신감

과 만족감을 갖도

록 한다

학생들에게 개

별 인 언어를

사용한다

정

리

5

분

학습

정리

차시

고

학습 자료를 이용

하여 수열의 실생활

의 활용 단원의 수업

내용을 확인한다

과제를 제시한다

다음 차시인 「여

러 가지 수열」 단원

에 한 고를 한

다

수업 내용을 정

리하고 과제를 제

시한다

학생들의 흥미를

유지하기 하여

다음 학습내용에

해 호기심에 찬

목소리로 간략하게

소개하고 수업을

끝낸다

오늘 학습한 내

용을 정리한다

과제를 고 과

제 해결에 한

내용을 머릿속에

형성해 본다

다음 차시에 배

울 내용을 학습

자료 화면으로 확

인해본다

수업내용에

해 학생과 교사

모두가 만족하고

있는지 확인하고

공정한 평가를

한다

[표10 수업지도안]

4 조사 문제지 분석

고등학교 수학 Ⅰ 의 수열단원의 효율 인 지도방안의 연구를 하여 원

종고등학교 2학년 학생 100명을 상으로 조사 문제지 조사를 하 다 학

생들의 수학에 한 심과 수학에서 가장 어려워하는 부분을 알아볼 수

있었고 어떤 방식의 수업을 선호하는지도 알아볼 수 있었다

⑴ 수학에 얼마나 심이 있나요

① 매우 많다 ② 많다 ③ 보통이다 ④ 다 ⑤ 매우 다

수학과목에 매우 많은 심을 보이는 학생은 2로 매우 낮은 편이며

심이 있는 학생은 43로 학생의 반정도 다 수학과목에 심이 거

나 없는 학생은 54정도로 수학은 어려운 과목이라는 인식 때문에 심

이 은 것 같다

수학을 공부하는 가장 큰 이유에는75의 학생들이 학입시를 해서라

는 문항을 선택했다 기타 이유에는 교과서에 있어서 어쩔수 없이 한다

는 학생과 진리탐구를 해서라는 학생도 있었다

[그림6 조사문제지

(1)번 막 그래 ]

⑵ 수학을 공부하는 가장 큰 이유가 뭐라고 생각하나요

① 학입시를 해서

② 평소 수학에 흥미가 있어서

③ 실제 생활에 쓰기 해서

④ 주변에서 해야한다고 하니까

⑤ 기타 이유 (이유를 간단히 어주세요)

앞에 (1)번문항에서 수학에 심이 은 학생이 반 정도인것에 반해

수학공부가 필요하다고 느낀학생이 75정도로 수학공부가 필요하단건

느끼지만 어려운 과목이라는 인식이 부분인것 같다 수학과목도 재

는 과목이란 인식을 학생들이 가질수 있도록 노력해야겠다

[그림7 조사문제지

(2)번 막 그래 ]

⑶ 수학공부의 필요성에 해 어떻게 생각하나요

① 매우 필요하다 ② 조 필요하다 ③ 보통이다

④ 필요 없다 ⑤ 필요 없다

[그림8 조사문제지

(3)번 막 그래 ]

⑷ 수학을 공부하면서 가장 어려운 부분은 무엇이나요

① 복잡한 계산 과정 ② 외워야할 많은 공식들

③ 응용문제엔 어떤 공식을 용해야할지 ④ 다 어렵다

학생들이 수학과목이 어렵다고 느끼는 이유는 응용문제에 어떤 공식을

용해야 하는지를 몰라서 라는 답이 58로 가장 많았다 그 외에도

계산과정이 복잡하거나 외워야할 공식들이 많아서라는 답도 있었다

이해 주의 수업을 하고 단순한 공식의 암기 주의 수업을 탈피해야겠

다

수학수업을 하는데 효과 인 방법에는 선생님 주의 강의식 수업과 학

생 개인별 수업이 78로 가장 많았다 개념이나 공식유도과정을 설명할

땐 서를 하며 강의식 수업을 하고 문제풀이땐 학생들 개인별로 첨삭

지도를 하는게 효율 인것 같다

⑤ 기타이유 (이유를 간단히 어주세요)

[그림9 조사문제지

(4)번 막 그래 ]

⑸ 수학 수업을 하는 데 어떤 방법이 가장 효과 이라고 생각하나요

① 선생님 주의 강의식 수업

② 학생 개인별 수업

③ 모둠별 활동 수업

④ 기타 교재나 과제를 통한 수업

⑤ 기타(이유를 간단히 어주세요)

[그림10 조사문제지

(5)번 막 그래 ]

Ⅵ 결론

본 논문에서 지 까지 고등학교 2학년 학생들이 수학 Ⅰ 교육과정을 학습하

는데 가장 어려워하는 수열에 해 살펴보았다 먼 개정 교육과정에 명시

된 수학교육의 목표와 임의로 선택된 5종 교과서에서 수열 단원의 학습목표

를 살펴보았고 수열의 역사 배경과 실생활에 응용된 들을 정리해보았

다 한 5종 교과서에서 제시되어 있는 수열의 학습내용을 소단원 별로 정

리해보았다 임의로 선택된 5종 교과서안의 수열의 학습내용을 분석해보면

서 몇 몇 교과서에서 여러 가지 수열 단원에서 군 수열과 멱 수에 한 언

이 없거나 미약함을 알 수 있었다 본 연구자가 보기에 군 수열과 멱 수

부분은 실생활에 활용될 는 극히 작아 보이지만 학생들이 꼭 학습하고 넘

어가야 수열에 한 완벽한 학습이 될 수 있을 것이라 여겼는데 교과서에서

제시된 내용들로는 학생들이 충분히 이해할 수 없을 것 같았다

그리고 교과서에 제시된 문항의 수 이 입시와 동 떨어진다는 문제 이 있

었다 교과서에 제시된 문제가 부족하고 수 이 낮다 보니 실제로 학교에서

수업 때 보충 린트 물로 수업을 진행하고 간기말고사 때에도 교과서

외에서 많은 문제를 출제하는 모습을 볼 수 있었다 때문에 학생들이 교과서

보다는 문제집 주의 공부를 할 수 밖에 없는 듯 보 다 교과서가 학생들

과 교사의 요구에 부합할 수 있도록 새로운 내용들과 문제를 싣도록 해야

할 것이다

학생들이 수열 단원의 학습을 할 때 좀 더 효과 인 학습이 될 수 있도록

리의 동기설계이론 (ARCS 이론) 을 바탕으로 하여 수업 계획서와 1차시

의 수업 지도안을 작성해 보았다 한 작성한 수업 지도안으로 부천시 소재

의 한 고등학교에서 실제 수업을 진행해 보았을 때 학생들이 좀 더 수열에

해 친숙하게 느끼고 쉽게 이해하는 모습을 볼 수 있었다 본 연구자가

직 교사가 아니라 여러 반을 상으로 수열 단원의 모든 차시 수업에 용

하여 수업을 해볼 수 없었단 이 아쉬움으로 남는다

이와 같이 학생들의 주의 련성자신감만족감 증진을 한 수업을 함

으로써 학생들의 수학 학습 성취도의 향상을 기 할 수 있을 것이다 한

개발된 자료를 실제 수업에 용하는 경우의 효율성에 한 후속 연구가 체

계 이고 지속 으로 이루어져야 할 것이다

참 고 문 헌

[1] 구평회 META 구평회 교육학 2007

[2] 교육인 자원부 고시 제2007 - 79호[별책8] 2007

[3] 박인학 교사를 한 교수학습방법론 문사 1995

[4] 변 계 교수학습 이론의 이해 학지사 1999

[5] 우정호 외 5인 고등학교 수학 Ⅰ 한교과서(주) 2002

[6] 이 연 자연의 수학 열쇠 피보나치수열 로네시스 2006

[7] 이진화 지수로그함수의 지도에 한 연구 서강 학교 교육 학원 석사 학

논문 2006

[8] 임재훈 외 10인 고등학교 수학 Ⅰ (주)두산 2002

[9] 장 숙 고등학교 수학 Ⅰ 교과서의 통계단원 분석 실생활에의 용 경희

학교 교육 학원 석사 학 논문 2006

[10] 조해식 행렬 수열 수업에서의 수학사 도입에 한 연구 울산 학교 석사

학 논문 1998

[11] 차 자 수열 학습의 흥미 유발을 한 자료 연구 경성 학교 교육 학원 석

사 학 논문 2004

[12] 최 외 5인 고등학교 수학 Ⅰ 앙교육진흥연구소 2006

[13] 최상기 외 5인 고등학교 수학 Ⅰ (주)고려출 2002

[14] 최용 신 성 고등학교 수학 Ⅰ 천재교육(주) 2002

[15] 황혜정 외 5인 수학교육학 신론 문음사 2002

• Ⅰ 서론
• • 1 연구의 필요성과 목적
  • 2 연구의 제한점
  • • Ⅱ 개정 교육과정에서 명시된 수학Ⅰ교육의 목표
    • • 1 수학Ⅰ교육의 목표
      • 2 고등학교 수학 Ⅰ 수열 단원의 학습목표
      • • Ⅲ 수열의 역사적 배경 및 응용
        • • 1 수열의 역사
          • 2 수열 단원이 실생활에 응용된 사례
          • • Ⅳ 고등학교 수학교육과정에서의 수열
            • • 1 수학Ⅰ 교과서 분석
              • 2 수학Ⅰ 교과서에서의 수열
              • • Ⅴ 켈러의 ARCS 이론과 수열 지도
                • • 1 켈러의 ARCS 이론
                  • 2 ARCS 이론을 적용한 수열 수업 계획서
                  • 3 ARCS 이론을 적용한 수업 지도안
                  • 4 조사지 분석
                  • • Ⅵ 결론
                    • 참고문헌

앙교육진흥연구소

Ⅲ 수열

1 등차수열과 등비수열

2 여러 가지 수열

3 수학 귀납법

4 알고리즘과 순서도

(주) 고려출

Ⅲ 수열

1 등차수열과 등비수열

2 여러 가지 수열

3 수학 귀납법과 순서도

(주) 두산

Ⅲ 수열

1 등차수열과 등비수열

2 여러 가지 수열

3 수학 귀납법

4 알고리즘과 순서도

[표5 수학 Ⅰ 5종교과서의 차례]

의 표에서 본 것과 같이 임의로 선택된 5종의 고등학교 수학 Ⅰ 교과서의

차례는 거의 비슷한 양상을 보 다 부분의 교과서에선 1단원 지수와 로

그 2단원 행렬 3단원 수열 순의 순서를 보 고 한교과서외의 몇몇

교과서에선 1단원 지수와 로그 2단원 지수로그함수 3단원 행렬 4단원 수

열 순의 순서를 보 다 수열단원의 세부 단원 차례는 1 등차수열과

등비수열 2 여러 가지 수열 3 수학 귀납법 4 알고리즘과 순서도 는

34 단원을 한 단원으로 해서 3 수학 귀납법과 순서도의 순서로 다루는

은 비슷했다

2) 교과서에 제시된 수열 련 자료

한교과서

(주)

피타고라스(Pythagoras 572～492 BC) 피타고라스의 정리

로 잘 알려져 있고 소수나 완 수의 규칙성에 해서도 많은 연

구를 하 다

바스카라(Bhaskara A 1114～1185) 인도의 수학자로

임을 증명하 고 피타고라스의 정리를 기하학

으로 증명하 다

피보나치(Fibonacci 1180～1250) 이탈리아의 수학자로 자연

속에서 많이 볼 수 있는 피보나치 수열을 발견하 다

스칼(Pascal B 1623～1662 ) 랑스의 수학자로 수학

귀납법을 발견하 고 사 기하학을 창시하 다

푸리에(Fourier J B J 1768～1830) 랑스의 수학자로 음양

학 학 기역학 열역학 등의 연구에 매우 요한 푸리에

수를 연구하 다

가우스(Gauss K F 1777～1855) 수학 통계학 등의 다방

면에 많은 업 을 이루었고 역사상 가장 한 수학자 의 한

사람으로 불리워지고 있다

비주얼 베이직(Visual BASIC)

을 이용한 Programming

하노이의 탑

(주)

천재교육

가우스(Gauss K F 1777～1855) 독일의 수학자인 가우스는

수학의 각 방면에 많은 업 을 남겨 수학의 아버지라 일컬

어지고 있다 그는 계산의 천재로 알려져 있는데 이에 한 유명

한 일화가 있다 등학교 때 부터 까지의 합을 구하는 문

제에서 다른 학생들이 직 하나하나 계산하는 동안 가우스는

　 　 　　　　 이 모두 임을 이용하여

times 이라는 답을 이끌어 내었다 이러한 방식은 수열

의 합을 계산할 때 사용하는 방식 의 하나이다

하노이의 탑을 이용한 수열의 귀납 정의

임의로 선택된 5종 교과서들의 수열단원에서 학생들의 수열 단원의 이해를

돕기 해 수록된 수학자들에 한 설명과 기타 자료들은 다음과 같다

도미노 이론 - 수학 귀납법의 다른 표

피보나치수열 - 토끼 수 증가 문제

앙교육

진흥연구소

삼각수 사각수 문제

피보나치(Fibonacci 1180～1250)

가우스(Gauss K F 1777～1855)

음악과 수학 - 작곡가 바흐(Bach)의 요 업 으로 평균율을

들 수 있다 평균율이란 1옥타 즉 lsquo도rsquo와 lsquo도rsquo의 사이를 개의

반음으로 나 고 처음 lsquo도rsquo의 진동수를 이라 하면 그에 일정한

수를 더해 제곱하여 옥타 의 lsquo도rsquo의 진동수를 얻는 것을

말한다 수식으로는 로 나타낼 수 있고 이 등식을

만족하는 의 값이 평균율이다

(주)

고려출

티티우스-보데 수열 -

수열 　　　　　　　　의 각 항에 각각 를 더한 후

으로 나 수들을 나열한 것 　　　　　　　 를

티티우스-보데 수열이라 한다 이수열의 각 항은 태양에서 행성

까지의 실제 거리와 비슷한 것으로 1766년 티티우스(Titius)라는

독일의 천문학자가 발견하 다

제갈량의 군 에 한 을 통한 등비수열의 합

피보나치 수열

휴먼 로 - 휴먼 로 의 제작은 복잡한 여러 가지 알고리즘

과 순서도에 바탕을 두고 있다 알고리즘의 요성은 자계산기

이 부터 실제 으로 존재했다 그 로 최 공약수 계산에 한

유클리드의 알고리즘이 있다 한 가우스와 같은 부분의 수학

자들은 역사 으로 많은 양을 처리하는 효율 인 알고리즘에

심을 가졌다 이러한 알고리즘을 보다 효율 으로 이용하여 재

의 컴퓨터 시 를 구축했다

(주) 두산

피보나치(Fibonacci 1180～1250)는 이탈리아의 피사에서 태

어난 수학자이다 부친이 상업에 종사하 기 때문에 피보나치는

이집트 시칠리아 그리스 시리아 등 다양한 지역을 여행할 수

있었고 이 때 다양한 수학을 하게 되었다 1202년 피사로 돌아

온 피보나치는 「산반서(Liber abaci)」를 술하 다 1228년에

는 「산반서 2 」을 술하 는데 이 책에서 정수와 분수의 계

산 제곱근과 세제곱근 일차와 이차방정식의 풀이 등을 다루었다

고 한다 특히 이 책에 나오는 「피보나치의 수열」은 매우 흥미

로운 수열로 요한 성질을 많이 가지고 있다

1에서 100까지 자연수를 모두 합하면 얼마일까

가우스(Gauss KF 1777～1855) 가우스는 수론 해석학 확

률론 천문학 물리학 등 다양한 분야에 뛰어난 수학자이었다 특

히 그의 수론 연구는 19세기 수학 체계의 확립에 크게 공헌하

다

피타고라스(Pythagoras 572～492 BC) 피타고라스는 음의

높이에 따른 진동수의 비가 일정함을 발견하 다

페아노(Peano G 1858～1932) 자연수의 성질을 추상화 하여

페아노의 공리계를 만들었다 이 공리계의 제 5공리가 수학 귀

납법의 원리이다

피보나치의 수열

알콰리즈미(Alkhwarizmi 780～850) 알고리즘이란 말은 세

아라비아의 수학자 알콰리즈미의 이름에서 유래된 것으로서 그가

십진법으로 나타낸 수의 계산에 용한 계산 방법에서 나온것이

다

[표6 5종 교과서에 제시된 수열 련 자료]

2 수학 Ⅰ 교과서에서의 수열

등차수열의 일반항

첫째항이 공차가 인 등차수열의 일반항 은

본 연구자가 임의로 선택한 5종 교과서 ([5][8][12][13][14]) 에서의

수열의 내 을 정리해보았다

1) 등차 수열과 등비 수열

(1) 수열의 뜻

어떤 규칙에 따라 순서 로 수를 늘어놓은 것을 수열이라 하고 그 수열을

이루는 각각의 수를 그 수열의 항이라고 한다 수열의 각 항을

앞에서부터 순서 로 제 1항 제 2항 제 3항 제 항

이라고 한다 특히 제 1항은 첫째항이라고도 한다

(2) 등차수열의 뜻

첫째항에 차례로 일정한 수를 더하여 만들어진 수열을 등차수열 이라하고

더한 일정한 수를 공차라고 한다

첫째항이 공차가 인 등차수열 에서

이므로 일반항 은 다음과 같이 나타낼 수 있다

(3) 등차수열의 합

등차수열의 합

첫째항이 공차가 끝항이 인 등차수열의 첫째항부터 제 항까지의

합 은

첫째항이 공차가 등차수열 에서 첫째항 부터 제 항 까지의 합

을 토론하기의 방법을 이용하여 구해보자

　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　①

더하는 순서를 거꾸로 하면

　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　②

①②의 양변을 각각 더하면

　　

따라서 =

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　③

이때 제 항인 를 ③에 입하여 식을 다르게 나타낼수도

있다

이상을 정리하면 다음과 같다

(4) 수열의 합과 일반항

수열 에서 첫째항부터 제 항까지의 합을 이라 하면

ge 일때 　　

there4

수열의 합과 일반항의 계

수열 의 첫째항부터 제 항까지의 합을 이라 하면

(단 ge )

등비수열의 합

일때 이다

이상을 정리하면 다음과 같다

(5) 등비수열의 뜻

첫째항부터 시작하여 각 항의 바로 앞의 항에 일정한 수를 곱하여

만들어진 수열을 등비수열이라 하고 곱하는 일정한 수를 공비라고 한다

첫째항이 공비가 인 등비수열에서 첫째항부터 제 항까지의 합 은

다음과 같이 구한다

　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　①

①의 양변에 공비 을 곱하면

　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　②

①에서 ②를 같은 변끼리 빼면

따라서 ne 일때

인 경우 ①에서

　　

there4

이상을 정리하면 다음과 같다

첫째항이 공비가 인 등비수열의 첫째항부터 제 항까지의 합 은

① ne 일때

② 일때

자연수의 거듭제곱의 합

①

　　

②

　　

③

　　

2) 여러 가지 수열

(1) 합의 기호 sum

수열 에서 첫째항부터 제 항까지의 합

　　

을 일반항과 합의 기호 sum를 써서

　　

와 같이 나타낸다

이때

는 수열 의 일반항 의 에 　　　　　　을 차례로

입하여 얻은 항의 합으로 신 다른 문자를 사용하여

등과 같이 나타낼 수 있다

(2) 기호 sum 의 성질

합의 기호 sum 의 성질에 하여 알아보자

합의 기호 sum의 성질

①

(복부호동순)

②

(단 는 상수)

③

(단 는 상수)

　　

　　 　　

　　

마찬가지로

와

에 해서도 확인해 보면 sum 의 성질을

다음과 같이 정리할 수 있다

(3) 계차수열

일반 으로 수열 에서 이웃하는 두 항의 차

　　 을 일반항으로 하는 새로운 수열

　　　　　　　을 얻을 수 있는데 이 수열 을 원래의 수열 의

계차수열이라고 한다

수열 에 하여 그 계차수열을 이라 하면

　　

계차수열과 일반항

수열 의 계차수열을 이라 할때

(단 ge )

3) 수학 귀납법

(1) 수열의 귀납 정의

첫째항과 이웃하는 두 항 사이의 계식으로 수열을 정의하는 것을 수열의

귀납 정의 라고 한다

첫째항이 공차가 인 등차수열 은 다음이 성립한다

　ge 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　①

역으로 두 계식 ①이 주어지면 이 결정되고 차례로

가 결정된다 따라서 모든 자연수 에 하여 이 정해지므로 수열 이

정의 된다

①과 같이 의 값 과 의 계식을 화식이라고 한다

(2) 수학 귀납법

수학 귀납법은 이탈리아의 페아노에 의하여 설정된 자연수에 한 공리

수학 귀납법

자연수 에 한 명제 이 모든 자연수 에 하여 성립함을 증명하

려면 다음 ⅰ ⅱ 를 증명하면 된다

ⅰ 일때 명제 이 성립한다

ⅱ 일때 명제 이 성립한다고 가정하면 일때에도

명제 이 성립한다

다음과 같은 5번째 공리에 근거를 두고 있다

자연수의 집합 의 부분집합 가

ⅰ 　isin

ⅱ 　isin 이면 isin

(여기서 는 의 후자)

인 두 조건을 만족하면 이다

4) 알고리즘과 순서도

(1) 알고리즘과 순서도

어떤 문제를 해결하기 해서는 그 처리 순서를 정해야 하는데 이와 같이

문제 해결에 필요한 처리 과정의 순서를 단계 으로 정리한 것을 알고리즘

이라 하고 알고리즘을 알기 쉽게 기호를 써서 그림으로 나타낸 것을 순서도

라고 한다 일반 으로 어떤 문제를 해결하기 한 알고리즘은 여러 가지가

있을 수 있지만 정해진 유한번의 단계를 거치면 반드시 끝나야 하고 처리

과정의 순서가 명확해야 한다 한 순서도는 각 부분을 순서 계통 으로

나타냄으로써 작업 과정을 구나 쉽게 한 에 악할 수 있도록

작성되어야 한다 순서도는 다음과 같은 기호를 사용하여 작성한다

[표7 순서도의 기호]

(2) 알고리즘과 순서도의 작성

수열과 련된 순서도를 작성할 때에는 다음과 같은 방법을 고려한다

(가) 항수를 항을 수열의 합을 로 나타낸다

(나) 제시된 항의 번호까지 루 를 용한다

(다) 제시된 항의 번호에 하여 단 기호를 이용한다

(라) 구하려는 는 를 인쇄하고 끝낸다

주의환기

집 을

한 략

지각

주의환기의

략

시청각 효과의 사용

비일상 인 내용이나 사건 제시

주의 분산의 자극 지양

탐구

주의환기의

략

능동 반응 유도

문제해결 활동의 구상 장려

신비감의 제공

다양성의

략

간결하고 다양한 교수형태 사용

일방 교수와 상호작용 교수의 혼합

교수자료의 변화 추구

목표-내용-방법이 기능 으로 통합

련성

증진을

한

략

친 성의

략

친 한 인물 혹은 사건 활용

구체 이고 친숙한 그림 활용

친 한 문 배경 지식 활용

목 지향성

의 략

실용성에 을 둔 목표 제시

목 지향 인 학습형태 활용

Ⅴ 러의 ARCS 이론과 수열 지도

1 러의 ARCS 이론

1) ARCS 이론의 특징

(1) 이론 배경

다음은 ([4])의 내용을 참고하 다

ldquo말을 물가로 데리고 갈 수는 있지만 물을 먹일 수는 없다rdquo는 속담처럼

하고자 하는 마음이 없으면 학습 효과를 기 할 수 없는 것은 당연한 사실

이다 이러한 생각의 근거에는 동기 유발의 개념이 자리 잡고 있다 동기

유발이란 어떤 활동을 진 지시 유지하려는 내 상태 는 과정을

포함한다 이 개념은 교육 심리학의 심 개념 의 하나이지만 직 찰

할 수 없는 것이기 때문에 인간의 행동을 보고 거기에서 유출해 내는 개념

이며 이에 한 정의는 바라보는 과 강조하는 내용에 따라 각기 다르

다

(2) ARCS 이론

목 의 선택 가능성 부여

필요나

동기와의

부합성 강조의

략

다양한 수 의 목 제시

학업성취 여부의 기록체제 활용

비경쟁 학습상황의 선택가능

동 상호 학습상황 제시

자신감

수립을

한 략

학습의

필요조건

제시의 략

수업의 목표와 구조의 제시

평가기 피드백의 제시

선수학습 능력의 단

시험의 조건 확인

성공의 기회

제시의 략

쉬운 것에서 어려운 것으로 과제 제시

정수 의 난이도 유지

다양한 수 의 시작 제공

무작 의 다양한 사건 제시

다양한 수 의 난이도 제공

개인

조 감

증 의 략

학습의 끝을 조 할 수 있는 기회 제시

학습속도의 조 가능

원하는 부분에로의 재빠른 회귀 가능

선택가능하고 다양한 과제의 난이도제공

노력이나 능력에 성공 귀착

만족감

증 를

한 략

자연 결과

강조의 략

연습문제를 통한 용기회 제공

후속학습상황을 통한 용기회 제공

모의상황을 통한 용기회 제공

정 결과

강조의 략

한 강화 계획의 활용

의미 있는 강화의 강조

정답을 한 보상 강조

외 보상의 사려 깊은 사용

선택 보상체제 활용

공정성

강조의 략

수업목표와 내용의 일 성 유지

연습과 시험 내용이 일치

[표8 ARCS 략] ([1])

2 ARCS 이론을 용한 수열 수업 계획서

다음은 ([1])의 ARCS 이론의 수업계획서를 참고하여 수열 단원의 수업

계획서를 작성해보았다

수업내용개 동기 략개 기타의견1 수업 기

체 으로 교사는 다양한 방법으로 학습자들

에게 수업 내용을 제시하고 학습자들에게

한 언어를 사용한다

수열의 활용에

한 학습목표

제시하기

교사는 학습자들의 련성을 높이기 해 학습

목표의 의미를 설명해 다

도표는 큰 씨를 사

용하고 핵심이 되는

단어에는 다른 색깔을

사용한다

수열의 활용의

이 과 평가

거를 제시하기

교사는 학습자들의 련성과 자신감 만족감

을 높이기 하여 이 수업이 끝난 후 그들이

무엇을 할 수 있는지에 해 알려 다

교사는 학습자들의 자신감과 만족감을 높이기

하여 성공 인 학습성취를 단할 수 있는 객

인 거들을 알려 다

교사는 학습자들의 만족감을 높이기 하여

그들이 주어진 과제를 성공 으로 해결했을 때

그에 따르는 내재 강화나 외재 보상이 있음

을 알려 다

수열의 정의와

해법에 한 지

식을 간략하게

확인하기

교사는 선수학습과의 련성을 유발하기 하

여 간략한 보조도구(인쇄매체)를 사용하여 수열

의 정의와 해법을 제시한다

교사는 소집단 토론을 실시하여 학습자들의

선수지식을 스스로 검해 보도록 한다

교사는 수열의 정의와 해법을 잘 모르는 학습

자들에게 자신감을 유발시키기 하여 개별 인

학습목표를 세우도록 한다

소집단 구성에 있어

서 주의집 이 매우

낮은 5명을 하나의 소

집단으로 구성하고

친근한 소재를 활용하

여 그들의 주의집 과

련성을 유발한다

실생활과 련

된 수열의 활용

문제들을 몇 가

지 소개하기

교사는 학습자들의 주의집 을 유지하기 해

실생활에서 연립방정식을 활용하여 해결할 수

있는 몇 가지 문제들을 제시한다

주의집 이 매우 낮은 5명의 학습자들이 수업

에 극 인 심을 보이지 않으면 교사는 그

들에게 친근한 목소리로 이름을 부르면서 수업

에 집 하라고 얘기 하고 개인 인 심을 갖

고 있음을 나타낸다

로써 활용되는 문

제들을 선택할 때 학

습자들이 알고 있거

나 그들에게 친근감

을 주는 소재가 포함

되도록 선택한다 이

때 지나치게 자심감

이 높아서 수업에 소

극 으로 참여하는 3

명의 학습자들에게는

다소 복잡한 수열의

활용 문제를 미리 제

공하여 생각할 기회를

다

수열의 활용에

한 학습자들의

이해정도를 악

하고 피드백을

제공하기

교사는 학습자들에게 자신감을 높이기 하여

소집단을 구성하여 학습자들이 수열의 활용에

해 어느 정도 이해하고 있는지를 서로 토론하

도록 한다

교사는 소집단별로 둘러보면서 자신감과 만족

감을 유발시키기 하여 학습자들간에 서로 도

움을 주도록 분 기를 형성한다

소집단별로 간략하게 토론이 끝나면 학습자

들 스스로 정리하도록 한다

토론결과 학습자들이 수열의 활용에 해 잘

못 이해하고 있다면 교사는 즉각 으로 교정

피드백을 제공한다

학습자들의 소집단

토론시간을 무 길게

소요하지 않도록 한

다 자칫하면 토론분

기가 산만해지기 쉽

고 토론이 활발하지

못한 경우에는 학습자

들의 학습의욕이 떨어

진다

2 수업 반 체 으로 교사는 다양한 방법으로 학습자

들에게 수업 내용을

제시하고 학습자들에게 개별 인 언어를 사용

한다

실생활과 련

된 수열의 활용

의 문제들을 구

체 으로 제시하

기

교사는 학습자들의 주의집 련성 자신감

만족감을 유지하기 하여 게임을 실시한다 학

습자들이 돌아가면서 임의로 다른 학습자를 지

명하면 지명받은 학습자가 실생활과 련된 수

열의 문제를 하나 제시한다 한 문제를 제

시한 학습자에게 학습태도 수를 주어 만족감

을 향상시킨다

교사는 학습자들이 제시한 여러 가지 문제들

을 칠 에 은 후 몇몇 소집단을 구성하여

그 문제들을 해결하기 해 인스토 을 하

도록 한다 이때 교사는 문제를 해결한 학습자

가 아직 해결하지 못한 학습자들을 도와주어 자

신감과 만족감을 갖도록 한다

인스토 이 진행되는 동안 교사는 교실

을 둘러보면서 학습자들이 질문이나 의문사항

에 해 극 으로 질문할 수 있는 기회를 제

공하고 그에 해 개별 인 언어를 사용하여

부드러운 목소리로 피드백을 제공한다

인스토 도 학습자들의 개인 인 능

력차가 커서 문제를 해결하는데 어려움을 겪는

학습자들에게는 그들에게 합한 개별 인 학습

이때 교사는 밝고

생동감이 넘치는 목소

리로 학습자들의 활동

을 진시킨다

교사는 학습자들이

한 자신감을 유지

하고 있는지에 해

지속 인 심을 갖고

지켜본다

이때 교사는 학습자

들의 자신감과 만족감

을 높이기 하여 그

들에게 일 성 있는

피드백을 제공한다

교사는 학습자들이

목표를 다시 선정하도록 하여 자신감을 향상시

킨다

인스토 이 끝나면 교사는 소집단 별로

한 사람씩 자발 으로 나와 문제를 풀고 풀이

과정을 체 학습자들에게 설명하도록 한다 이

때 어려운 문제를 해결한 소집단이나 학습자에

게 교사는 그들의 우수한 능력을 인정하고 내

재 인 자존심에 정 인 향을 주는 칭찬을

제공하여 자신감과 만족감을 높인다

소집단의 인스토

을 하는 동안 체

으로 문제풀이를 할

때 주의집 을 유지

하고 자신감과 만족

감의 향상을 악하기

해 끊임없이 그들과

시선을 교류하고 얼

굴표정을 찰한다

3 수업마무리 체 으로 교사는 다양한 방법으로 학습자

들에게 수업 내용을 제시하고 학습자들에게 개

별 인 언어를 사용한다

실생활과 련

된 수열의 활용

에 해 체

으로 정리 요

약하기

교사는 교탁을 탁탁 치거나 박수를 쳐서 다

소 떨어진 학습자들의 주의집 을 향상 시킨다

교사는 실생활 속에서 수열을 활용하여 해결

할 수 있는 간단하고 재미있는 문제들을 2～3개

제시하여 학습자들이 그 문제를 성공 으로 해

결함으로써 자신감과 만족감을 갖도록 한다

교사는 학습자들이 미처 생각하지 못했던 실

생활 속에서 수열과 연 된 다양한 들을 제공

하여 주의집 과 련성을 유지향상시킨다

교사는 자신감과 만족감을 향상시키기 해

학습자들에게 수업진행 에 그들이 설정한 개

인 인 학습목표에 해 얼마나 많이 달성했는

가를 스스로 검해 보라고 한다

교사는 수업 반에 수열의 문제를 잘 해결하

지 못했던 학습자들에게 그 문제를 다시 해결해

보도록 기회를 제공하여 자신감과 만족감을 높

여 다

평가에 있어서 교사는 학습자들이 그들의 성

에 해 공정하게 평가되었다고 느끼도록 일

성 있게 평가하여 그들의 자신감고 만족감을

높여 다

교사는 수열과 실생

활과의 련성에 해

학습자들이 잘 지각하

고 있는가를 알아보기

해 다소 진지한 목

소리로 질문한다

다음 학습내용

에 해 간략히

소개하기

교사는 학습자들의 흥미를 유지하기 하여

다음 학습내용에 해 호기심에 찬 목소리로 간

략하게 소개하고 수업을 끝낸다

[표9 러의 ARCS이론]

단원

단

원Ⅲ 수열

배정시간

(분)50

단

원1 등차수열과 등비수열

차시 3소단

원3) 등차수열과 등비수열의 활용

학습

목표등차수열과 등비수열을 실생활의 문제에 용할 수 있다

학습

단계학습내용

교수-학습활동 지도상의유의사

항교사활동 학생활동

도

입

15

분

인사

출석

주변을 정리 정돈

하여 수업분 기를

조성한다

인사 출석체크

를 한다

주의를 환기시킨

후 학생들과 인사

한다

출결석 여부를

확인한다

바른 자세로 주

변을 정리한 뒤

교사와 인사한다

수업 비를 한

다

교사와 학생

모두 함께 수업

분 기를 조성한

다

선수

학습

확인

지난 시간에 학습

한 등차수열과 등비

수열의 정의에 해

다시 한번 확인해본

다

지난 시간에 학습

한 등차수열과 등비

수열의 일반항을 구

하는 방법에 해 확

인학습으로 [문제1]

과 [문제2]를 풀어본

다

학생들의 자신감

을 높이기 하여

등차수열과 등비수

열의 정의를 교과

서에서 찾아본 후

큰소리로 답하게

한다

학생들이 답한

후 다시 한번 등차

수열과 등비수열에

해 간단히 설명

등차수열과 등

비수열의 정의를

교과서에 찾아본

후 큰소리로 읽는

다

교사가 등차수

열과 등비수열의

정의에 해 다시

한번 간단히 설명

할 때 부족한 부

분은 필기하며 복

습한다

교사가 정의에

해 질문할 때

학생들이 모두

책을 찾아볼수

있게 주의를

다

만일 답하

지 못하는 학생

이 있을 경우 그

여기서 인스토 (brainstorming)이라고 하는 것은 갑자기 떠오르는 멋

진 생각을 종이에 는다든가 말로 표 해 본 후 로 기록하거나 기록된

문장을 정리정돈하면서 생각을 논리화하는 방법이다 주로 어떤 계획을 세

우고자 할 때 창조 이고 기발한 아이디어가 필요할 때 학생들의 의견과

생각을 끌어내어 발 시키고자 할 때 사용하면 유리하다 ([3])

3 ARCS 이론을 용한 수업지도안

[문제1]

다음 등차수열

의 일반항과 제20항

을 구하여라

　　　　　　　

[문제2]

다음 등비수열

의 일반항과 제8항을

구하여라

　 　　　　　

한다

교사는 [문제1]

과[문제2]를 제시

한 뒤 학생들에게

직 풀어보게 한

다

등차수열과 등

비수열의 일반항

과 그 공식의 유

도과정을 기억한

다

제시된 문제를

연습장에 풀어본

다

학생에 해 개

별 인 언어를

사용하여 부드러

운 목소리로 피

드백을 제공한

다

개

30

분

학습

목표

제시

수열의 활용에

한 학습목표를 제시

한다

학습목표 학습

에 필요한 자료를

Power point 시청

각 효과를 사용하여

학생들의 주의환기

집 을 한 략

을 사용한다

학습목표를 학생

들에게 읽게 하고

학생들의 련성을

높이기 해 학습

목표의 의미를 설

명해 다

교사의 지시에

따라 큰소리로 학

습목표를 읽고 이

수업이 끝난 후

무엇을 할 수 있

는지에 해 생각

해 본다

학습목표는 큰

씨를 사용하

고 핵심이 되는

단어에는 다른

색깔을 사용한

다

탐구

학습

실생활과 련된

수열의 활용문제들을

몇 가지 소개한다

수열의 활용에

한 학습자들의 이해

정도를 악하고 피

드백을 제공한다

등차수열과 등비

수열을 이용하여

실생활의 문제를

해결할 수 있음을

학생들이 쉽게 이

해할 수 있도록 설

명한다

교사가 실생활

과 련된 수열의

활용문제들을 몇

가지 소개할 때

다른 시가 있는

지 함께 생각해

본다

문제

제시

[문제3]

한일 월드컵 축구 개

회 연도는 2002년이

다 2002년 이후 월

드컵 축구가 개최되

는 연도를 차례로 써

보고 이 규칙 로 월

드컵 축구가 개최되

면 2100년은 월드컵

축구가 개최되는 연

도인가

교과서에서 수열

단원의 수열의 활

용부분에 수록된

문제들을 풀어볼

수 있도록 시간을

다

등차수열과 등

비수열의 일반항

유도 공식을 생각

해보고 제시된 문

제를 해결해 간다

로써 활용되

는 문제를 선택

할 때 학습자들

이 알고 있거나

그들에게 친근감

을 주는 련성

증진을 한

략을 사용한다

[문제4]

컴퓨터의 주기억 장

치인 램은용

으로

용으로 가 개발

되었다 이후 램의

용 량 은

로 증가되어 왔다

의 램으로부터

번 증가된 주 메모

리는 식으로 어떻게

나타낼 수 있는가

학생들이 문제를

어렵게 느끼지 않

도록 어떤 방향으

로 해결해야 하는

지 힌트를 주어 학

생들의 자신감을

증진시킨다

소집

단

활동

5～6명으로 이 진

소집단을 구성하여

학습자들이 수열의

활용에 해 어느 정

도 이해하고 있는지

를 서로 토론하도록

한다

소집단별로 실생활

과 련된 수열의 활

용의 문제들을 구체

으로 제시한다

인 스토 이

끝나면 소집단별로

한사람씩 문제를 풀

고 풀이과정을 체

학생들에게 설명하는

시간을 갖는다

교사는 학생들의

만족감을 높이기

하여 그들이 주

어진 과제를 성공

으로 해결했을

때 그에 따르는

내재 강화나 외

재 보상이 있음

을 알려 다

어려운 문제를

해결한 소집단이나

학생에게 교사는

그들의 우수한 능

력을 인정하고 내

재 인 자존심에

정 인 향을

주는 칭찬을 제공

하여 자신감과 만

족감을 높인다

자신이 속한 소

집단 내에서 제시

된 과제에 해

열심히 토의를 하

며 문제를 해결한

학생이 아직 해결

하지 못한 학생들

을 도와주어 자신

감과 만족감을 갖

도록 한다

소집단별로 간

략하게 토론이 끝

나면 학생들 스스

로 정리해보고 자

발 으로 체 학

생들에게 설명해

보는 기회를 갖는

다

교사는 학습자

들이 한 자

신감을 유지하고

있는지에 해

지속 인 심을

갖고 지켜본다

학생들의 소집

단 토론시간을

무 길게 소요

하지 않도록 한

다

형성

평가

[문제4]

민수는 남 문의 기

와 지붕 한쪽 면이

사다리꼴 모양임을

찰하고 이 면에 있

는 기와의 개수를 알

아보고자 한다 기와

형 성 평 가 를

Power point로 제

시하고 학생들이

스스로 풀어볼 수

있도록 지도한다

학생들이 문제를

다 풀고 나면 교사

제시된 문제를

오늘 학습한 내용

을 복습하면서 풀

어보도록 한다

교사는 다소

진지한 목소리로

질문한다

의 개수를 행으로 세

었더니 용마루 쪽에

가장 가까운 행에는

40개 처마 쪽에 가

장 가까운 행에는 72

개 다 용마루부터

처마까지 행의 개수

가 17이라고 할 때

민수가 찰한 지붕

한쪽 면의 기와의 개

수는 모두 몇 개인

가

는 학생들에게

답할수 있도록 하

고 학생들이 학습

목표에 해 얼마

나 많이 달성했는

가를 스스로 검

해 보라고 한다

형성평가의 답

을 교사의 질문에

끝난 뒤 큰소리로

답하여 자신감

과 만족감을 갖도

록 한다

학생들에게 개

별 인 언어를

사용한다

정

리

5

분

학습

정리

차시

고

학습 자료를 이용

하여 수열의 실생활

의 활용 단원의 수업

내용을 확인한다

과제를 제시한다

다음 차시인 「여

러 가지 수열」 단원

에 한 고를 한

다

수업 내용을 정

리하고 과제를 제

시한다

학생들의 흥미를

유지하기 하여

다음 학습내용에

해 호기심에 찬

목소리로 간략하게

소개하고 수업을

끝낸다

오늘 학습한 내

용을 정리한다

과제를 고 과

제 해결에 한

내용을 머릿속에

형성해 본다

다음 차시에 배

울 내용을 학습

자료 화면으로 확

인해본다

수업내용에

해 학생과 교사

모두가 만족하고

있는지 확인하고

공정한 평가를

한다

[표10 수업지도안]

4 조사 문제지 분석

고등학교 수학 Ⅰ 의 수열단원의 효율 인 지도방안의 연구를 하여 원

종고등학교 2학년 학생 100명을 상으로 조사 문제지 조사를 하 다 학

생들의 수학에 한 심과 수학에서 가장 어려워하는 부분을 알아볼 수

있었고 어떤 방식의 수업을 선호하는지도 알아볼 수 있었다

⑴ 수학에 얼마나 심이 있나요

① 매우 많다 ② 많다 ③ 보통이다 ④ 다 ⑤ 매우 다

수학과목에 매우 많은 심을 보이는 학생은 2로 매우 낮은 편이며

심이 있는 학생은 43로 학생의 반정도 다 수학과목에 심이 거

나 없는 학생은 54정도로 수학은 어려운 과목이라는 인식 때문에 심

이 은 것 같다

수학을 공부하는 가장 큰 이유에는75의 학생들이 학입시를 해서라

는 문항을 선택했다 기타 이유에는 교과서에 있어서 어쩔수 없이 한다

는 학생과 진리탐구를 해서라는 학생도 있었다

[그림6 조사문제지

(1)번 막 그래 ]

⑵ 수학을 공부하는 가장 큰 이유가 뭐라고 생각하나요

① 학입시를 해서

② 평소 수학에 흥미가 있어서

③ 실제 생활에 쓰기 해서

④ 주변에서 해야한다고 하니까

⑤ 기타 이유 (이유를 간단히 어주세요)

앞에 (1)번문항에서 수학에 심이 은 학생이 반 정도인것에 반해

수학공부가 필요하다고 느낀학생이 75정도로 수학공부가 필요하단건

느끼지만 어려운 과목이라는 인식이 부분인것 같다 수학과목도 재

는 과목이란 인식을 학생들이 가질수 있도록 노력해야겠다

[그림7 조사문제지

(2)번 막 그래 ]

⑶ 수학공부의 필요성에 해 어떻게 생각하나요

① 매우 필요하다 ② 조 필요하다 ③ 보통이다

④ 필요 없다 ⑤ 필요 없다

[그림8 조사문제지

(3)번 막 그래 ]

⑷ 수학을 공부하면서 가장 어려운 부분은 무엇이나요

① 복잡한 계산 과정 ② 외워야할 많은 공식들

③ 응용문제엔 어떤 공식을 용해야할지 ④ 다 어렵다

학생들이 수학과목이 어렵다고 느끼는 이유는 응용문제에 어떤 공식을

용해야 하는지를 몰라서 라는 답이 58로 가장 많았다 그 외에도

계산과정이 복잡하거나 외워야할 공식들이 많아서라는 답도 있었다

이해 주의 수업을 하고 단순한 공식의 암기 주의 수업을 탈피해야겠

다

수학수업을 하는데 효과 인 방법에는 선생님 주의 강의식 수업과 학

생 개인별 수업이 78로 가장 많았다 개념이나 공식유도과정을 설명할

땐 서를 하며 강의식 수업을 하고 문제풀이땐 학생들 개인별로 첨삭

지도를 하는게 효율 인것 같다

⑤ 기타이유 (이유를 간단히 어주세요)

[그림9 조사문제지

(4)번 막 그래 ]

⑸ 수학 수업을 하는 데 어떤 방법이 가장 효과 이라고 생각하나요

① 선생님 주의 강의식 수업

② 학생 개인별 수업

③ 모둠별 활동 수업

④ 기타 교재나 과제를 통한 수업

⑤ 기타(이유를 간단히 어주세요)

[그림10 조사문제지

(5)번 막 그래 ]

Ⅵ 결론

본 논문에서 지 까지 고등학교 2학년 학생들이 수학 Ⅰ 교육과정을 학습하

는데 가장 어려워하는 수열에 해 살펴보았다 먼 개정 교육과정에 명시

된 수학교육의 목표와 임의로 선택된 5종 교과서에서 수열 단원의 학습목표

를 살펴보았고 수열의 역사 배경과 실생활에 응용된 들을 정리해보았

다 한 5종 교과서에서 제시되어 있는 수열의 학습내용을 소단원 별로 정

리해보았다 임의로 선택된 5종 교과서안의 수열의 학습내용을 분석해보면

서 몇 몇 교과서에서 여러 가지 수열 단원에서 군 수열과 멱 수에 한 언

이 없거나 미약함을 알 수 있었다 본 연구자가 보기에 군 수열과 멱 수

부분은 실생활에 활용될 는 극히 작아 보이지만 학생들이 꼭 학습하고 넘

어가야 수열에 한 완벽한 학습이 될 수 있을 것이라 여겼는데 교과서에서

제시된 내용들로는 학생들이 충분히 이해할 수 없을 것 같았다

그리고 교과서에 제시된 문항의 수 이 입시와 동 떨어진다는 문제 이 있

었다 교과서에 제시된 문제가 부족하고 수 이 낮다 보니 실제로 학교에서

수업 때 보충 린트 물로 수업을 진행하고 간기말고사 때에도 교과서

외에서 많은 문제를 출제하는 모습을 볼 수 있었다 때문에 학생들이 교과서

보다는 문제집 주의 공부를 할 수 밖에 없는 듯 보 다 교과서가 학생들

과 교사의 요구에 부합할 수 있도록 새로운 내용들과 문제를 싣도록 해야

할 것이다

학생들이 수열 단원의 학습을 할 때 좀 더 효과 인 학습이 될 수 있도록

리의 동기설계이론 (ARCS 이론) 을 바탕으로 하여 수업 계획서와 1차시

의 수업 지도안을 작성해 보았다 한 작성한 수업 지도안으로 부천시 소재

의 한 고등학교에서 실제 수업을 진행해 보았을 때 학생들이 좀 더 수열에

해 친숙하게 느끼고 쉽게 이해하는 모습을 볼 수 있었다 본 연구자가

직 교사가 아니라 여러 반을 상으로 수열 단원의 모든 차시 수업에 용

하여 수업을 해볼 수 없었단 이 아쉬움으로 남는다

이와 같이 학생들의 주의 련성자신감만족감 증진을 한 수업을 함

으로써 학생들의 수학 학습 성취도의 향상을 기 할 수 있을 것이다 한

개발된 자료를 실제 수업에 용하는 경우의 효율성에 한 후속 연구가 체

계 이고 지속 으로 이루어져야 할 것이다

참 고 문 헌

[1] 구평회 META 구평회 교육학 2007

[2] 교육인 자원부 고시 제2007 - 79호[별책8] 2007

[3] 박인학 교사를 한 교수학습방법론 문사 1995

[4] 변 계 교수학습 이론의 이해 학지사 1999

[5] 우정호 외 5인 고등학교 수학 Ⅰ 한교과서(주) 2002

[6] 이 연 자연의 수학 열쇠 피보나치수열 로네시스 2006

[7] 이진화 지수로그함수의 지도에 한 연구 서강 학교 교육 학원 석사 학

논문 2006

[8] 임재훈 외 10인 고등학교 수학 Ⅰ (주)두산 2002

[9] 장 숙 고등학교 수학 Ⅰ 교과서의 통계단원 분석 실생활에의 용 경희

학교 교육 학원 석사 학 논문 2006

[10] 조해식 행렬 수열 수업에서의 수학사 도입에 한 연구 울산 학교 석사

학 논문 1998

[11] 차 자 수열 학습의 흥미 유발을 한 자료 연구 경성 학교 교육 학원 석

사 학 논문 2004

[12] 최 외 5인 고등학교 수학 Ⅰ 앙교육진흥연구소 2006

[13] 최상기 외 5인 고등학교 수학 Ⅰ (주)고려출 2002

[14] 최용 신 성 고등학교 수학 Ⅰ 천재교육(주) 2002

[15] 황혜정 외 5인 수학교육학 신론 문음사 2002

• Ⅰ 서론
• • 1 연구의 필요성과 목적
  • 2 연구의 제한점
  • • Ⅱ 개정 교육과정에서 명시된 수학Ⅰ교육의 목표
    • • 1 수학Ⅰ교육의 목표
      • 2 고등학교 수학 Ⅰ 수열 단원의 학습목표
      • • Ⅲ 수열의 역사적 배경 및 응용
        • • 1 수열의 역사
          • 2 수열 단원이 실생활에 응용된 사례
          • • Ⅳ 고등학교 수학교육과정에서의 수열
            • • 1 수학Ⅰ 교과서 분석
              • 2 수학Ⅰ 교과서에서의 수열
              • • Ⅴ 켈러의 ARCS 이론과 수열 지도
                • • 1 켈러의 ARCS 이론
                  • 2 ARCS 이론을 적용한 수열 수업 계획서
                  • 3 ARCS 이론을 적용한 수업 지도안
                  • 4 조사지 분석
                  • • Ⅵ 결론
                    • 참고문헌

한교과서

(주)

피타고라스(Pythagoras 572～492 BC) 피타고라스의 정리

로 잘 알려져 있고 소수나 완 수의 규칙성에 해서도 많은 연

구를 하 다

바스카라(Bhaskara A 1114～1185) 인도의 수학자로

임을 증명하 고 피타고라스의 정리를 기하학

으로 증명하 다

피보나치(Fibonacci 1180～1250) 이탈리아의 수학자로 자연

속에서 많이 볼 수 있는 피보나치 수열을 발견하 다

스칼(Pascal B 1623～1662 ) 랑스의 수학자로 수학

귀납법을 발견하 고 사 기하학을 창시하 다

푸리에(Fourier J B J 1768～1830) 랑스의 수학자로 음양

학 학 기역학 열역학 등의 연구에 매우 요한 푸리에

수를 연구하 다

가우스(Gauss K F 1777～1855) 수학 통계학 등의 다방

면에 많은 업 을 이루었고 역사상 가장 한 수학자 의 한

사람으로 불리워지고 있다

비주얼 베이직(Visual BASIC)

을 이용한 Programming

하노이의 탑

(주)

천재교육

가우스(Gauss K F 1777～1855) 독일의 수학자인 가우스는

수학의 각 방면에 많은 업 을 남겨 수학의 아버지라 일컬

어지고 있다 그는 계산의 천재로 알려져 있는데 이에 한 유명

한 일화가 있다 등학교 때 부터 까지의 합을 구하는 문

제에서 다른 학생들이 직 하나하나 계산하는 동안 가우스는

　 　 　　　　 이 모두 임을 이용하여

times 이라는 답을 이끌어 내었다 이러한 방식은 수열

의 합을 계산할 때 사용하는 방식 의 하나이다

하노이의 탑을 이용한 수열의 귀납 정의

임의로 선택된 5종 교과서들의 수열단원에서 학생들의 수열 단원의 이해를

돕기 해 수록된 수학자들에 한 설명과 기타 자료들은 다음과 같다

도미노 이론 - 수학 귀납법의 다른 표

피보나치수열 - 토끼 수 증가 문제

앙교육

진흥연구소

삼각수 사각수 문제

피보나치(Fibonacci 1180～1250)

가우스(Gauss K F 1777～1855)

음악과 수학 - 작곡가 바흐(Bach)의 요 업 으로 평균율을

들 수 있다 평균율이란 1옥타 즉 lsquo도rsquo와 lsquo도rsquo의 사이를 개의

반음으로 나 고 처음 lsquo도rsquo의 진동수를 이라 하면 그에 일정한

수를 더해 제곱하여 옥타 의 lsquo도rsquo의 진동수를 얻는 것을

말한다 수식으로는 로 나타낼 수 있고 이 등식을

만족하는 의 값이 평균율이다

(주)

고려출

티티우스-보데 수열 -

수열 　　　　　　　　의 각 항에 각각 를 더한 후

으로 나 수들을 나열한 것 　　　　　　　 를

티티우스-보데 수열이라 한다 이수열의 각 항은 태양에서 행성

까지의 실제 거리와 비슷한 것으로 1766년 티티우스(Titius)라는

독일의 천문학자가 발견하 다

제갈량의 군 에 한 을 통한 등비수열의 합

피보나치 수열

휴먼 로 - 휴먼 로 의 제작은 복잡한 여러 가지 알고리즘

과 순서도에 바탕을 두고 있다 알고리즘의 요성은 자계산기

이 부터 실제 으로 존재했다 그 로 최 공약수 계산에 한

유클리드의 알고리즘이 있다 한 가우스와 같은 부분의 수학

자들은 역사 으로 많은 양을 처리하는 효율 인 알고리즘에

심을 가졌다 이러한 알고리즘을 보다 효율 으로 이용하여 재

의 컴퓨터 시 를 구축했다

(주) 두산

피보나치(Fibonacci 1180～1250)는 이탈리아의 피사에서 태

어난 수학자이다 부친이 상업에 종사하 기 때문에 피보나치는

이집트 시칠리아 그리스 시리아 등 다양한 지역을 여행할 수

있었고 이 때 다양한 수학을 하게 되었다 1202년 피사로 돌아

온 피보나치는 「산반서(Liber abaci)」를 술하 다 1228년에

는 「산반서 2 」을 술하 는데 이 책에서 정수와 분수의 계

산 제곱근과 세제곱근 일차와 이차방정식의 풀이 등을 다루었다

고 한다 특히 이 책에 나오는 「피보나치의 수열」은 매우 흥미

로운 수열로 요한 성질을 많이 가지고 있다

1에서 100까지 자연수를 모두 합하면 얼마일까

가우스(Gauss KF 1777～1855) 가우스는 수론 해석학 확

률론 천문학 물리학 등 다양한 분야에 뛰어난 수학자이었다 특

히 그의 수론 연구는 19세기 수학 체계의 확립에 크게 공헌하

다

피타고라스(Pythagoras 572～492 BC) 피타고라스는 음의

높이에 따른 진동수의 비가 일정함을 발견하 다

페아노(Peano G 1858～1932) 자연수의 성질을 추상화 하여

페아노의 공리계를 만들었다 이 공리계의 제 5공리가 수학 귀

납법의 원리이다

피보나치의 수열

알콰리즈미(Alkhwarizmi 780～850) 알고리즘이란 말은 세

아라비아의 수학자 알콰리즈미의 이름에서 유래된 것으로서 그가

십진법으로 나타낸 수의 계산에 용한 계산 방법에서 나온것이

다

[표6 5종 교과서에 제시된 수열 련 자료]

2 수학 Ⅰ 교과서에서의 수열

등차수열의 일반항

첫째항이 공차가 인 등차수열의 일반항 은

본 연구자가 임의로 선택한 5종 교과서 ([5][8][12][13][14]) 에서의

수열의 내 을 정리해보았다

1) 등차 수열과 등비 수열

(1) 수열의 뜻

어떤 규칙에 따라 순서 로 수를 늘어놓은 것을 수열이라 하고 그 수열을

이루는 각각의 수를 그 수열의 항이라고 한다 수열의 각 항을

앞에서부터 순서 로 제 1항 제 2항 제 3항 제 항

이라고 한다 특히 제 1항은 첫째항이라고도 한다

(2) 등차수열의 뜻

첫째항에 차례로 일정한 수를 더하여 만들어진 수열을 등차수열 이라하고

더한 일정한 수를 공차라고 한다

첫째항이 공차가 인 등차수열 에서

이므로 일반항 은 다음과 같이 나타낼 수 있다

(3) 등차수열의 합

등차수열의 합

첫째항이 공차가 끝항이 인 등차수열의 첫째항부터 제 항까지의

합 은

첫째항이 공차가 등차수열 에서 첫째항 부터 제 항 까지의 합

을 토론하기의 방법을 이용하여 구해보자

　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　①

더하는 순서를 거꾸로 하면

　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　②

①②의 양변을 각각 더하면

　　

따라서 =

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　③

이때 제 항인 를 ③에 입하여 식을 다르게 나타낼수도

있다

이상을 정리하면 다음과 같다

(4) 수열의 합과 일반항

수열 에서 첫째항부터 제 항까지의 합을 이라 하면

ge 일때 　　

there4

수열의 합과 일반항의 계

수열 의 첫째항부터 제 항까지의 합을 이라 하면

(단 ge )

등비수열의 합

일때 이다

이상을 정리하면 다음과 같다

(5) 등비수열의 뜻

첫째항부터 시작하여 각 항의 바로 앞의 항에 일정한 수를 곱하여

만들어진 수열을 등비수열이라 하고 곱하는 일정한 수를 공비라고 한다

첫째항이 공비가 인 등비수열에서 첫째항부터 제 항까지의 합 은

다음과 같이 구한다

　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　①

①의 양변에 공비 을 곱하면

　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　②

①에서 ②를 같은 변끼리 빼면

따라서 ne 일때

인 경우 ①에서

　　

there4

이상을 정리하면 다음과 같다

첫째항이 공비가 인 등비수열의 첫째항부터 제 항까지의 합 은

① ne 일때

② 일때

자연수의 거듭제곱의 합

①

　　

②

　　

③

　　

2) 여러 가지 수열

(1) 합의 기호 sum

수열 에서 첫째항부터 제 항까지의 합

　　

을 일반항과 합의 기호 sum를 써서

　　

와 같이 나타낸다

이때

는 수열 의 일반항 의 에 　　　　　　을 차례로

입하여 얻은 항의 합으로 신 다른 문자를 사용하여

등과 같이 나타낼 수 있다

(2) 기호 sum 의 성질

합의 기호 sum 의 성질에 하여 알아보자

합의 기호 sum의 성질

①

(복부호동순)

②

(단 는 상수)

③

(단 는 상수)

　　

　　 　　

　　

마찬가지로

와

에 해서도 확인해 보면 sum 의 성질을

다음과 같이 정리할 수 있다

(3) 계차수열

일반 으로 수열 에서 이웃하는 두 항의 차

　　 을 일반항으로 하는 새로운 수열

　　　　　　　을 얻을 수 있는데 이 수열 을 원래의 수열 의

계차수열이라고 한다

수열 에 하여 그 계차수열을 이라 하면

　　

계차수열과 일반항

수열 의 계차수열을 이라 할때

(단 ge )

3) 수학 귀납법

(1) 수열의 귀납 정의

첫째항과 이웃하는 두 항 사이의 계식으로 수열을 정의하는 것을 수열의

귀납 정의 라고 한다

첫째항이 공차가 인 등차수열 은 다음이 성립한다

　ge 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　①

역으로 두 계식 ①이 주어지면 이 결정되고 차례로

가 결정된다 따라서 모든 자연수 에 하여 이 정해지므로 수열 이

정의 된다

①과 같이 의 값 과 의 계식을 화식이라고 한다

(2) 수학 귀납법

수학 귀납법은 이탈리아의 페아노에 의하여 설정된 자연수에 한 공리

수학 귀납법

자연수 에 한 명제 이 모든 자연수 에 하여 성립함을 증명하

려면 다음 ⅰ ⅱ 를 증명하면 된다

ⅰ 일때 명제 이 성립한다

ⅱ 일때 명제 이 성립한다고 가정하면 일때에도

명제 이 성립한다

다음과 같은 5번째 공리에 근거를 두고 있다

자연수의 집합 의 부분집합 가

ⅰ 　isin

ⅱ 　isin 이면 isin

(여기서 는 의 후자)

인 두 조건을 만족하면 이다

4) 알고리즘과 순서도

(1) 알고리즘과 순서도

어떤 문제를 해결하기 해서는 그 처리 순서를 정해야 하는데 이와 같이

문제 해결에 필요한 처리 과정의 순서를 단계 으로 정리한 것을 알고리즘

이라 하고 알고리즘을 알기 쉽게 기호를 써서 그림으로 나타낸 것을 순서도

라고 한다 일반 으로 어떤 문제를 해결하기 한 알고리즘은 여러 가지가

있을 수 있지만 정해진 유한번의 단계를 거치면 반드시 끝나야 하고 처리

과정의 순서가 명확해야 한다 한 순서도는 각 부분을 순서 계통 으로

나타냄으로써 작업 과정을 구나 쉽게 한 에 악할 수 있도록

작성되어야 한다 순서도는 다음과 같은 기호를 사용하여 작성한다

[표7 순서도의 기호]

(2) 알고리즘과 순서도의 작성

수열과 련된 순서도를 작성할 때에는 다음과 같은 방법을 고려한다

(가) 항수를 항을 수열의 합을 로 나타낸다

(나) 제시된 항의 번호까지 루 를 용한다

(다) 제시된 항의 번호에 하여 단 기호를 이용한다

(라) 구하려는 는 를 인쇄하고 끝낸다

주의환기

집 을

한 략

지각

주의환기의

략

시청각 효과의 사용

비일상 인 내용이나 사건 제시

주의 분산의 자극 지양

탐구

주의환기의

략

능동 반응 유도

문제해결 활동의 구상 장려

신비감의 제공

다양성의

략

간결하고 다양한 교수형태 사용

일방 교수와 상호작용 교수의 혼합

교수자료의 변화 추구

목표-내용-방법이 기능 으로 통합

련성

증진을

한

략

친 성의

략

친 한 인물 혹은 사건 활용

구체 이고 친숙한 그림 활용

친 한 문 배경 지식 활용

목 지향성

의 략

실용성에 을 둔 목표 제시

목 지향 인 학습형태 활용

Ⅴ 러의 ARCS 이론과 수열 지도

1 러의 ARCS 이론

1) ARCS 이론의 특징

(1) 이론 배경

다음은 ([4])의 내용을 참고하 다

ldquo말을 물가로 데리고 갈 수는 있지만 물을 먹일 수는 없다rdquo는 속담처럼

하고자 하는 마음이 없으면 학습 효과를 기 할 수 없는 것은 당연한 사실

이다 이러한 생각의 근거에는 동기 유발의 개념이 자리 잡고 있다 동기

유발이란 어떤 활동을 진 지시 유지하려는 내 상태 는 과정을

포함한다 이 개념은 교육 심리학의 심 개념 의 하나이지만 직 찰

할 수 없는 것이기 때문에 인간의 행동을 보고 거기에서 유출해 내는 개념

이며 이에 한 정의는 바라보는 과 강조하는 내용에 따라 각기 다르

다

(2) ARCS 이론

목 의 선택 가능성 부여

필요나

동기와의

부합성 강조의

략

다양한 수 의 목 제시

학업성취 여부의 기록체제 활용

비경쟁 학습상황의 선택가능

동 상호 학습상황 제시

자신감

수립을

한 략

학습의

필요조건

제시의 략

수업의 목표와 구조의 제시

평가기 피드백의 제시

선수학습 능력의 단

시험의 조건 확인

성공의 기회

제시의 략

쉬운 것에서 어려운 것으로 과제 제시

정수 의 난이도 유지

다양한 수 의 시작 제공

무작 의 다양한 사건 제시

다양한 수 의 난이도 제공

개인

조 감

증 의 략

학습의 끝을 조 할 수 있는 기회 제시

학습속도의 조 가능

원하는 부분에로의 재빠른 회귀 가능

선택가능하고 다양한 과제의 난이도제공

노력이나 능력에 성공 귀착

만족감

증 를

한 략

자연 결과

강조의 략

연습문제를 통한 용기회 제공

후속학습상황을 통한 용기회 제공

모의상황을 통한 용기회 제공

정 결과

강조의 략

한 강화 계획의 활용

의미 있는 강화의 강조

정답을 한 보상 강조

외 보상의 사려 깊은 사용

선택 보상체제 활용

공정성

강조의 략

수업목표와 내용의 일 성 유지

연습과 시험 내용이 일치

[표8 ARCS 략] ([1])

2 ARCS 이론을 용한 수열 수업 계획서

다음은 ([1])의 ARCS 이론의 수업계획서를 참고하여 수열 단원의 수업

계획서를 작성해보았다

수업내용개 동기 략개 기타의견1 수업 기

체 으로 교사는 다양한 방법으로 학습자들

에게 수업 내용을 제시하고 학습자들에게

한 언어를 사용한다

수열의 활용에

한 학습목표

제시하기

교사는 학습자들의 련성을 높이기 해 학습

목표의 의미를 설명해 다

도표는 큰 씨를 사

용하고 핵심이 되는

단어에는 다른 색깔을

사용한다

수열의 활용의

이 과 평가

거를 제시하기

교사는 학습자들의 련성과 자신감 만족감

을 높이기 하여 이 수업이 끝난 후 그들이

무엇을 할 수 있는지에 해 알려 다

교사는 학습자들의 자신감과 만족감을 높이기

하여 성공 인 학습성취를 단할 수 있는 객

인 거들을 알려 다

교사는 학습자들의 만족감을 높이기 하여

그들이 주어진 과제를 성공 으로 해결했을 때

그에 따르는 내재 강화나 외재 보상이 있음

을 알려 다

수열의 정의와

해법에 한 지

식을 간략하게

확인하기

교사는 선수학습과의 련성을 유발하기 하

여 간략한 보조도구(인쇄매체)를 사용하여 수열

의 정의와 해법을 제시한다

교사는 소집단 토론을 실시하여 학습자들의

선수지식을 스스로 검해 보도록 한다

교사는 수열의 정의와 해법을 잘 모르는 학습

자들에게 자신감을 유발시키기 하여 개별 인

학습목표를 세우도록 한다

소집단 구성에 있어

서 주의집 이 매우

낮은 5명을 하나의 소

집단으로 구성하고

친근한 소재를 활용하

여 그들의 주의집 과

련성을 유발한다

실생활과 련

된 수열의 활용

문제들을 몇 가

지 소개하기

교사는 학습자들의 주의집 을 유지하기 해

실생활에서 연립방정식을 활용하여 해결할 수

있는 몇 가지 문제들을 제시한다

주의집 이 매우 낮은 5명의 학습자들이 수업

에 극 인 심을 보이지 않으면 교사는 그

들에게 친근한 목소리로 이름을 부르면서 수업

에 집 하라고 얘기 하고 개인 인 심을 갖

고 있음을 나타낸다

로써 활용되는 문

제들을 선택할 때 학

습자들이 알고 있거

나 그들에게 친근감

을 주는 소재가 포함

되도록 선택한다 이

때 지나치게 자심감

이 높아서 수업에 소

극 으로 참여하는 3

명의 학습자들에게는

다소 복잡한 수열의

활용 문제를 미리 제

공하여 생각할 기회를

다

수열의 활용에

한 학습자들의

이해정도를 악

하고 피드백을

제공하기

교사는 학습자들에게 자신감을 높이기 하여

소집단을 구성하여 학습자들이 수열의 활용에

해 어느 정도 이해하고 있는지를 서로 토론하

도록 한다

교사는 소집단별로 둘러보면서 자신감과 만족

감을 유발시키기 하여 학습자들간에 서로 도

움을 주도록 분 기를 형성한다

소집단별로 간략하게 토론이 끝나면 학습자

들 스스로 정리하도록 한다

토론결과 학습자들이 수열의 활용에 해 잘

못 이해하고 있다면 교사는 즉각 으로 교정

피드백을 제공한다

학습자들의 소집단

토론시간을 무 길게

소요하지 않도록 한

다 자칫하면 토론분

기가 산만해지기 쉽

고 토론이 활발하지

못한 경우에는 학습자

들의 학습의욕이 떨어

진다

2 수업 반 체 으로 교사는 다양한 방법으로 학습자

들에게 수업 내용을

제시하고 학습자들에게 개별 인 언어를 사용

한다

실생활과 련

된 수열의 활용

의 문제들을 구

체 으로 제시하

기

교사는 학습자들의 주의집 련성 자신감

만족감을 유지하기 하여 게임을 실시한다 학

습자들이 돌아가면서 임의로 다른 학습자를 지

명하면 지명받은 학습자가 실생활과 련된 수

열의 문제를 하나 제시한다 한 문제를 제

시한 학습자에게 학습태도 수를 주어 만족감

을 향상시킨다

교사는 학습자들이 제시한 여러 가지 문제들

을 칠 에 은 후 몇몇 소집단을 구성하여

그 문제들을 해결하기 해 인스토 을 하

도록 한다 이때 교사는 문제를 해결한 학습자

가 아직 해결하지 못한 학습자들을 도와주어 자

신감과 만족감을 갖도록 한다

인스토 이 진행되는 동안 교사는 교실

을 둘러보면서 학습자들이 질문이나 의문사항

에 해 극 으로 질문할 수 있는 기회를 제

공하고 그에 해 개별 인 언어를 사용하여

부드러운 목소리로 피드백을 제공한다

인스토 도 학습자들의 개인 인 능

력차가 커서 문제를 해결하는데 어려움을 겪는

학습자들에게는 그들에게 합한 개별 인 학습

이때 교사는 밝고

생동감이 넘치는 목소

리로 학습자들의 활동

을 진시킨다

교사는 학습자들이

한 자신감을 유지

하고 있는지에 해

지속 인 심을 갖고

지켜본다

이때 교사는 학습자

들의 자신감과 만족감

을 높이기 하여 그

들에게 일 성 있는

피드백을 제공한다

교사는 학습자들이

목표를 다시 선정하도록 하여 자신감을 향상시

킨다

인스토 이 끝나면 교사는 소집단 별로

한 사람씩 자발 으로 나와 문제를 풀고 풀이

과정을 체 학습자들에게 설명하도록 한다 이

때 어려운 문제를 해결한 소집단이나 학습자에

게 교사는 그들의 우수한 능력을 인정하고 내

재 인 자존심에 정 인 향을 주는 칭찬을

제공하여 자신감과 만족감을 높인다

소집단의 인스토

을 하는 동안 체

으로 문제풀이를 할

때 주의집 을 유지

하고 자신감과 만족

감의 향상을 악하기

해 끊임없이 그들과

시선을 교류하고 얼

굴표정을 찰한다

3 수업마무리 체 으로 교사는 다양한 방법으로 학습자

들에게 수업 내용을 제시하고 학습자들에게 개

별 인 언어를 사용한다

실생활과 련

된 수열의 활용

에 해 체

으로 정리 요

약하기

교사는 교탁을 탁탁 치거나 박수를 쳐서 다

소 떨어진 학습자들의 주의집 을 향상 시킨다

교사는 실생활 속에서 수열을 활용하여 해결

할 수 있는 간단하고 재미있는 문제들을 2～3개

제시하여 학습자들이 그 문제를 성공 으로 해

결함으로써 자신감과 만족감을 갖도록 한다

교사는 학습자들이 미처 생각하지 못했던 실

생활 속에서 수열과 연 된 다양한 들을 제공

하여 주의집 과 련성을 유지향상시킨다

교사는 자신감과 만족감을 향상시키기 해

학습자들에게 수업진행 에 그들이 설정한 개

인 인 학습목표에 해 얼마나 많이 달성했는

가를 스스로 검해 보라고 한다

교사는 수업 반에 수열의 문제를 잘 해결하

지 못했던 학습자들에게 그 문제를 다시 해결해

보도록 기회를 제공하여 자신감과 만족감을 높

여 다

평가에 있어서 교사는 학습자들이 그들의 성

에 해 공정하게 평가되었다고 느끼도록 일

성 있게 평가하여 그들의 자신감고 만족감을

높여 다

교사는 수열과 실생

활과의 련성에 해

학습자들이 잘 지각하

고 있는가를 알아보기

해 다소 진지한 목

소리로 질문한다

다음 학습내용

에 해 간략히

소개하기

교사는 학습자들의 흥미를 유지하기 하여

다음 학습내용에 해 호기심에 찬 목소리로 간

략하게 소개하고 수업을 끝낸다

[표9 러의 ARCS이론]

단원

단

원Ⅲ 수열

배정시간

(분)50

단

원1 등차수열과 등비수열

차시 3소단

원3) 등차수열과 등비수열의 활용

학습

목표등차수열과 등비수열을 실생활의 문제에 용할 수 있다

학습

단계학습내용

교수-학습활동 지도상의유의사

항교사활동 학생활동

도

입

15

분

인사

출석

주변을 정리 정돈

하여 수업분 기를

조성한다

인사 출석체크

를 한다

주의를 환기시킨

후 학생들과 인사

한다

출결석 여부를

확인한다

바른 자세로 주

변을 정리한 뒤

교사와 인사한다

수업 비를 한

다

교사와 학생

모두 함께 수업

분 기를 조성한

다

선수

학습

확인

지난 시간에 학습

한 등차수열과 등비

수열의 정의에 해

다시 한번 확인해본

다

지난 시간에 학습

한 등차수열과 등비

수열의 일반항을 구

하는 방법에 해 확

인학습으로 [문제1]

과 [문제2]를 풀어본

다

학생들의 자신감

을 높이기 하여

등차수열과 등비수

열의 정의를 교과

서에서 찾아본 후

큰소리로 답하게

한다

학생들이 답한

후 다시 한번 등차

수열과 등비수열에

해 간단히 설명

등차수열과 등

비수열의 정의를

교과서에 찾아본

후 큰소리로 읽는

다

교사가 등차수

열과 등비수열의

정의에 해 다시

한번 간단히 설명

할 때 부족한 부

분은 필기하며 복

습한다

교사가 정의에

해 질문할 때

학생들이 모두

책을 찾아볼수

있게 주의를

다

만일 답하

지 못하는 학생

이 있을 경우 그

여기서 인스토 (brainstorming)이라고 하는 것은 갑자기 떠오르는 멋

진 생각을 종이에 는다든가 말로 표 해 본 후 로 기록하거나 기록된

문장을 정리정돈하면서 생각을 논리화하는 방법이다 주로 어떤 계획을 세

우고자 할 때 창조 이고 기발한 아이디어가 필요할 때 학생들의 의견과

생각을 끌어내어 발 시키고자 할 때 사용하면 유리하다 ([3])

3 ARCS 이론을 용한 수업지도안

[문제1]

다음 등차수열

의 일반항과 제20항

을 구하여라

　　　　　　　

[문제2]

다음 등비수열

의 일반항과 제8항을

구하여라

　 　　　　　

한다

교사는 [문제1]

과[문제2]를 제시

한 뒤 학생들에게

직 풀어보게 한

다

등차수열과 등

비수열의 일반항

과 그 공식의 유

도과정을 기억한

다

제시된 문제를

연습장에 풀어본

다

학생에 해 개

별 인 언어를

사용하여 부드러

운 목소리로 피

드백을 제공한

다

개

30

분

학습

목표

제시

수열의 활용에

한 학습목표를 제시

한다

학습목표 학습

에 필요한 자료를

Power point 시청

각 효과를 사용하여

학생들의 주의환기

집 을 한 략

을 사용한다

학습목표를 학생

들에게 읽게 하고

학생들의 련성을

높이기 해 학습

목표의 의미를 설

명해 다

교사의 지시에

따라 큰소리로 학

습목표를 읽고 이

수업이 끝난 후

무엇을 할 수 있

는지에 해 생각

해 본다

학습목표는 큰

씨를 사용하

고 핵심이 되는

단어에는 다른

색깔을 사용한

다

탐구

학습

실생활과 련된

수열의 활용문제들을

몇 가지 소개한다

수열의 활용에

한 학습자들의 이해

정도를 악하고 피

드백을 제공한다

등차수열과 등비

수열을 이용하여

실생활의 문제를

해결할 수 있음을

학생들이 쉽게 이

해할 수 있도록 설

명한다

교사가 실생활

과 련된 수열의

활용문제들을 몇

가지 소개할 때

다른 시가 있는

지 함께 생각해

본다

문제

제시

[문제3]

한일 월드컵 축구 개

회 연도는 2002년이

다 2002년 이후 월

드컵 축구가 개최되

는 연도를 차례로 써

보고 이 규칙 로 월

드컵 축구가 개최되

면 2100년은 월드컵

축구가 개최되는 연

도인가

교과서에서 수열

단원의 수열의 활

용부분에 수록된

문제들을 풀어볼

수 있도록 시간을

다

등차수열과 등

비수열의 일반항

유도 공식을 생각

해보고 제시된 문

제를 해결해 간다

로써 활용되

는 문제를 선택

할 때 학습자들

이 알고 있거나

그들에게 친근감

을 주는 련성

증진을 한

략을 사용한다

[문제4]

컴퓨터의 주기억 장

치인 램은용

으로

용으로 가 개발

되었다 이후 램의

용 량 은

로 증가되어 왔다

의 램으로부터

번 증가된 주 메모

리는 식으로 어떻게

나타낼 수 있는가

학생들이 문제를

어렵게 느끼지 않

도록 어떤 방향으

로 해결해야 하는

지 힌트를 주어 학

생들의 자신감을

증진시킨다

소집

단

활동

5～6명으로 이 진

소집단을 구성하여

학습자들이 수열의

활용에 해 어느 정

도 이해하고 있는지

를 서로 토론하도록

한다

소집단별로 실생활

과 련된 수열의 활

용의 문제들을 구체

으로 제시한다

인 스토 이

끝나면 소집단별로

한사람씩 문제를 풀

고 풀이과정을 체

학생들에게 설명하는

시간을 갖는다

교사는 학생들의

만족감을 높이기

하여 그들이 주

어진 과제를 성공

으로 해결했을

때 그에 따르는

내재 강화나 외

재 보상이 있음

을 알려 다

어려운 문제를

해결한 소집단이나

학생에게 교사는

그들의 우수한 능

력을 인정하고 내

재 인 자존심에

정 인 향을

주는 칭찬을 제공

하여 자신감과 만

족감을 높인다

자신이 속한 소

집단 내에서 제시

된 과제에 해

열심히 토의를 하

며 문제를 해결한

학생이 아직 해결

하지 못한 학생들

을 도와주어 자신

감과 만족감을 갖

도록 한다

소집단별로 간

략하게 토론이 끝

나면 학생들 스스

로 정리해보고 자

발 으로 체 학

생들에게 설명해

보는 기회를 갖는

다

교사는 학습자

들이 한 자

신감을 유지하고

있는지에 해

지속 인 심을

갖고 지켜본다

학생들의 소집

단 토론시간을

무 길게 소요

하지 않도록 한

다

형성

평가

[문제4]

민수는 남 문의 기

와 지붕 한쪽 면이

사다리꼴 모양임을

찰하고 이 면에 있

는 기와의 개수를 알

아보고자 한다 기와

형 성 평 가 를

Power point로 제

시하고 학생들이

스스로 풀어볼 수

있도록 지도한다

학생들이 문제를

다 풀고 나면 교사

제시된 문제를

오늘 학습한 내용

을 복습하면서 풀

어보도록 한다

교사는 다소

진지한 목소리로

질문한다

의 개수를 행으로 세

었더니 용마루 쪽에

가장 가까운 행에는

40개 처마 쪽에 가

장 가까운 행에는 72

개 다 용마루부터

처마까지 행의 개수

가 17이라고 할 때

민수가 찰한 지붕

한쪽 면의 기와의 개

수는 모두 몇 개인

가

는 학생들에게

답할수 있도록 하

고 학생들이 학습

목표에 해 얼마

나 많이 달성했는

가를 스스로 검

해 보라고 한다

형성평가의 답

을 교사의 질문에

끝난 뒤 큰소리로

답하여 자신감

과 만족감을 갖도

록 한다

학생들에게 개

별 인 언어를

사용한다

정

리

5

분

학습

정리

차시

고

학습 자료를 이용

하여 수열의 실생활

의 활용 단원의 수업

내용을 확인한다

과제를 제시한다

다음 차시인 「여

러 가지 수열」 단원

에 한 고를 한

다

수업 내용을 정

리하고 과제를 제

시한다

학생들의 흥미를

유지하기 하여

다음 학습내용에

해 호기심에 찬

목소리로 간략하게

소개하고 수업을

끝낸다

오늘 학습한 내

용을 정리한다

과제를 고 과

제 해결에 한

내용을 머릿속에

형성해 본다

다음 차시에 배

울 내용을 학습

자료 화면으로 확

인해본다

수업내용에

해 학생과 교사

모두가 만족하고

있는지 확인하고

공정한 평가를

한다

[표10 수업지도안]

4 조사 문제지 분석

고등학교 수학 Ⅰ 의 수열단원의 효율 인 지도방안의 연구를 하여 원

종고등학교 2학년 학생 100명을 상으로 조사 문제지 조사를 하 다 학

생들의 수학에 한 심과 수학에서 가장 어려워하는 부분을 알아볼 수

있었고 어떤 방식의 수업을 선호하는지도 알아볼 수 있었다

⑴ 수학에 얼마나 심이 있나요

① 매우 많다 ② 많다 ③ 보통이다 ④ 다 ⑤ 매우 다

수학과목에 매우 많은 심을 보이는 학생은 2로 매우 낮은 편이며

심이 있는 학생은 43로 학생의 반정도 다 수학과목에 심이 거

나 없는 학생은 54정도로 수학은 어려운 과목이라는 인식 때문에 심

이 은 것 같다

수학을 공부하는 가장 큰 이유에는75의 학생들이 학입시를 해서라

는 문항을 선택했다 기타 이유에는 교과서에 있어서 어쩔수 없이 한다

는 학생과 진리탐구를 해서라는 학생도 있었다

[그림6 조사문제지

(1)번 막 그래 ]

⑵ 수학을 공부하는 가장 큰 이유가 뭐라고 생각하나요

① 학입시를 해서

② 평소 수학에 흥미가 있어서

③ 실제 생활에 쓰기 해서

④ 주변에서 해야한다고 하니까

⑤ 기타 이유 (이유를 간단히 어주세요)

앞에 (1)번문항에서 수학에 심이 은 학생이 반 정도인것에 반해

수학공부가 필요하다고 느낀학생이 75정도로 수학공부가 필요하단건

느끼지만 어려운 과목이라는 인식이 부분인것 같다 수학과목도 재

는 과목이란 인식을 학생들이 가질수 있도록 노력해야겠다

[그림7 조사문제지

(2)번 막 그래 ]

⑶ 수학공부의 필요성에 해 어떻게 생각하나요

① 매우 필요하다 ② 조 필요하다 ③ 보통이다

④ 필요 없다 ⑤ 필요 없다

[그림8 조사문제지

(3)번 막 그래 ]

⑷ 수학을 공부하면서 가장 어려운 부분은 무엇이나요

① 복잡한 계산 과정 ② 외워야할 많은 공식들

③ 응용문제엔 어떤 공식을 용해야할지 ④ 다 어렵다

학생들이 수학과목이 어렵다고 느끼는 이유는 응용문제에 어떤 공식을

용해야 하는지를 몰라서 라는 답이 58로 가장 많았다 그 외에도

계산과정이 복잡하거나 외워야할 공식들이 많아서라는 답도 있었다

이해 주의 수업을 하고 단순한 공식의 암기 주의 수업을 탈피해야겠

다

수학수업을 하는데 효과 인 방법에는 선생님 주의 강의식 수업과 학

생 개인별 수업이 78로 가장 많았다 개념이나 공식유도과정을 설명할

땐 서를 하며 강의식 수업을 하고 문제풀이땐 학생들 개인별로 첨삭

지도를 하는게 효율 인것 같다

⑤ 기타이유 (이유를 간단히 어주세요)

[그림9 조사문제지

(4)번 막 그래 ]

⑸ 수학 수업을 하는 데 어떤 방법이 가장 효과 이라고 생각하나요

① 선생님 주의 강의식 수업

② 학생 개인별 수업

③ 모둠별 활동 수업

④ 기타 교재나 과제를 통한 수업

⑤ 기타(이유를 간단히 어주세요)

[그림10 조사문제지

(5)번 막 그래 ]

Ⅵ 결론

본 논문에서 지 까지 고등학교 2학년 학생들이 수학 Ⅰ 교육과정을 학습하

는데 가장 어려워하는 수열에 해 살펴보았다 먼 개정 교육과정에 명시

된 수학교육의 목표와 임의로 선택된 5종 교과서에서 수열 단원의 학습목표

를 살펴보았고 수열의 역사 배경과 실생활에 응용된 들을 정리해보았

다 한 5종 교과서에서 제시되어 있는 수열의 학습내용을 소단원 별로 정

리해보았다 임의로 선택된 5종 교과서안의 수열의 학습내용을 분석해보면

서 몇 몇 교과서에서 여러 가지 수열 단원에서 군 수열과 멱 수에 한 언

이 없거나 미약함을 알 수 있었다 본 연구자가 보기에 군 수열과 멱 수

부분은 실생활에 활용될 는 극히 작아 보이지만 학생들이 꼭 학습하고 넘

어가야 수열에 한 완벽한 학습이 될 수 있을 것이라 여겼는데 교과서에서

제시된 내용들로는 학생들이 충분히 이해할 수 없을 것 같았다

그리고 교과서에 제시된 문항의 수 이 입시와 동 떨어진다는 문제 이 있

었다 교과서에 제시된 문제가 부족하고 수 이 낮다 보니 실제로 학교에서

수업 때 보충 린트 물로 수업을 진행하고 간기말고사 때에도 교과서

외에서 많은 문제를 출제하는 모습을 볼 수 있었다 때문에 학생들이 교과서

보다는 문제집 주의 공부를 할 수 밖에 없는 듯 보 다 교과서가 학생들

과 교사의 요구에 부합할 수 있도록 새로운 내용들과 문제를 싣도록 해야

할 것이다

학생들이 수열 단원의 학습을 할 때 좀 더 효과 인 학습이 될 수 있도록

리의 동기설계이론 (ARCS 이론) 을 바탕으로 하여 수업 계획서와 1차시

의 수업 지도안을 작성해 보았다 한 작성한 수업 지도안으로 부천시 소재

의 한 고등학교에서 실제 수업을 진행해 보았을 때 학생들이 좀 더 수열에

해 친숙하게 느끼고 쉽게 이해하는 모습을 볼 수 있었다 본 연구자가

직 교사가 아니라 여러 반을 상으로 수열 단원의 모든 차시 수업에 용

하여 수업을 해볼 수 없었단 이 아쉬움으로 남는다

이와 같이 학생들의 주의 련성자신감만족감 증진을 한 수업을 함

으로써 학생들의 수학 학습 성취도의 향상을 기 할 수 있을 것이다 한

개발된 자료를 실제 수업에 용하는 경우의 효율성에 한 후속 연구가 체

계 이고 지속 으로 이루어져야 할 것이다

참 고 문 헌

[1] 구평회 META 구평회 교육학 2007

[2] 교육인 자원부 고시 제2007 - 79호[별책8] 2007

[3] 박인학 교사를 한 교수학습방법론 문사 1995

[4] 변 계 교수학습 이론의 이해 학지사 1999

[5] 우정호 외 5인 고등학교 수학 Ⅰ 한교과서(주) 2002

[6] 이 연 자연의 수학 열쇠 피보나치수열 로네시스 2006

[7] 이진화 지수로그함수의 지도에 한 연구 서강 학교 교육 학원 석사 학

논문 2006

[8] 임재훈 외 10인 고등학교 수학 Ⅰ (주)두산 2002

[9] 장 숙 고등학교 수학 Ⅰ 교과서의 통계단원 분석 실생활에의 용 경희

학교 교육 학원 석사 학 논문 2006

[10] 조해식 행렬 수열 수업에서의 수학사 도입에 한 연구 울산 학교 석사

학 논문 1998

[11] 차 자 수열 학습의 흥미 유발을 한 자료 연구 경성 학교 교육 학원 석

사 학 논문 2004

[12] 최 외 5인 고등학교 수학 Ⅰ 앙교육진흥연구소 2006

[13] 최상기 외 5인 고등학교 수학 Ⅰ (주)고려출 2002

[14] 최용 신 성 고등학교 수학 Ⅰ 천재교육(주) 2002

[15] 황혜정 외 5인 수학교육학 신론 문음사 2002

• Ⅰ 서론
• • 1 연구의 필요성과 목적
  • 2 연구의 제한점
  • • Ⅱ 개정 교육과정에서 명시된 수학Ⅰ교육의 목표
    • • 1 수학Ⅰ교육의 목표
      • 2 고등학교 수학 Ⅰ 수열 단원의 학습목표
      • • Ⅲ 수열의 역사적 배경 및 응용
        • • 1 수열의 역사
          • 2 수열 단원이 실생활에 응용된 사례
          • • Ⅳ 고등학교 수학교육과정에서의 수열
            • • 1 수학Ⅰ 교과서 분석
              • 2 수학Ⅰ 교과서에서의 수열
              • • Ⅴ 켈러의 ARCS 이론과 수열 지도
                • • 1 켈러의 ARCS 이론
                  • 2 ARCS 이론을 적용한 수열 수업 계획서
                  • 3 ARCS 이론을 적용한 수업 지도안
                  • 4 조사지 분석
                  • • Ⅵ 결론
                    • 참고문헌

도미노 이론 - 수학 귀납법의 다른 표

피보나치수열 - 토끼 수 증가 문제

앙교육

진흥연구소

삼각수 사각수 문제

피보나치(Fibonacci 1180～1250)

가우스(Gauss K F 1777～1855)

음악과 수학 - 작곡가 바흐(Bach)의 요 업 으로 평균율을

들 수 있다 평균율이란 1옥타 즉 lsquo도rsquo와 lsquo도rsquo의 사이를 개의

반음으로 나 고 처음 lsquo도rsquo의 진동수를 이라 하면 그에 일정한

수를 더해 제곱하여 옥타 의 lsquo도rsquo의 진동수를 얻는 것을

말한다 수식으로는 로 나타낼 수 있고 이 등식을

만족하는 의 값이 평균율이다

(주)

고려출

티티우스-보데 수열 -

수열 　　　　　　　　의 각 항에 각각 를 더한 후

으로 나 수들을 나열한 것 　　　　　　　 를

티티우스-보데 수열이라 한다 이수열의 각 항은 태양에서 행성

까지의 실제 거리와 비슷한 것으로 1766년 티티우스(Titius)라는

독일의 천문학자가 발견하 다

제갈량의 군 에 한 을 통한 등비수열의 합

피보나치 수열

휴먼 로 - 휴먼 로 의 제작은 복잡한 여러 가지 알고리즘

과 순서도에 바탕을 두고 있다 알고리즘의 요성은 자계산기

이 부터 실제 으로 존재했다 그 로 최 공약수 계산에 한

유클리드의 알고리즘이 있다 한 가우스와 같은 부분의 수학

자들은 역사 으로 많은 양을 처리하는 효율 인 알고리즘에

심을 가졌다 이러한 알고리즘을 보다 효율 으로 이용하여 재

의 컴퓨터 시 를 구축했다

(주) 두산

피보나치(Fibonacci 1180～1250)는 이탈리아의 피사에서 태

어난 수학자이다 부친이 상업에 종사하 기 때문에 피보나치는

이집트 시칠리아 그리스 시리아 등 다양한 지역을 여행할 수

있었고 이 때 다양한 수학을 하게 되었다 1202년 피사로 돌아

온 피보나치는 「산반서(Liber abaci)」를 술하 다 1228년에

는 「산반서 2 」을 술하 는데 이 책에서 정수와 분수의 계

산 제곱근과 세제곱근 일차와 이차방정식의 풀이 등을 다루었다

고 한다 특히 이 책에 나오는 「피보나치의 수열」은 매우 흥미

로운 수열로 요한 성질을 많이 가지고 있다

1에서 100까지 자연수를 모두 합하면 얼마일까

가우스(Gauss KF 1777～1855) 가우스는 수론 해석학 확

률론 천문학 물리학 등 다양한 분야에 뛰어난 수학자이었다 특

히 그의 수론 연구는 19세기 수학 체계의 확립에 크게 공헌하

다

피타고라스(Pythagoras 572～492 BC) 피타고라스는 음의

높이에 따른 진동수의 비가 일정함을 발견하 다

페아노(Peano G 1858～1932) 자연수의 성질을 추상화 하여

페아노의 공리계를 만들었다 이 공리계의 제 5공리가 수학 귀

납법의 원리이다

피보나치의 수열

알콰리즈미(Alkhwarizmi 780～850) 알고리즘이란 말은 세

아라비아의 수학자 알콰리즈미의 이름에서 유래된 것으로서 그가

십진법으로 나타낸 수의 계산에 용한 계산 방법에서 나온것이

다

[표6 5종 교과서에 제시된 수열 련 자료]

2 수학 Ⅰ 교과서에서의 수열

등차수열의 일반항

첫째항이 공차가 인 등차수열의 일반항 은

본 연구자가 임의로 선택한 5종 교과서 ([5][8][12][13][14]) 에서의

수열의 내 을 정리해보았다

1) 등차 수열과 등비 수열

(1) 수열의 뜻

어떤 규칙에 따라 순서 로 수를 늘어놓은 것을 수열이라 하고 그 수열을

이루는 각각의 수를 그 수열의 항이라고 한다 수열의 각 항을

앞에서부터 순서 로 제 1항 제 2항 제 3항 제 항

이라고 한다 특히 제 1항은 첫째항이라고도 한다

(2) 등차수열의 뜻

첫째항에 차례로 일정한 수를 더하여 만들어진 수열을 등차수열 이라하고

더한 일정한 수를 공차라고 한다

첫째항이 공차가 인 등차수열 에서

이므로 일반항 은 다음과 같이 나타낼 수 있다

(3) 등차수열의 합

등차수열의 합

첫째항이 공차가 끝항이 인 등차수열의 첫째항부터 제 항까지의

합 은

첫째항이 공차가 등차수열 에서 첫째항 부터 제 항 까지의 합

을 토론하기의 방법을 이용하여 구해보자

　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　①

더하는 순서를 거꾸로 하면

　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　②

①②의 양변을 각각 더하면

　　

따라서 =

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　③

이때 제 항인 를 ③에 입하여 식을 다르게 나타낼수도

있다

이상을 정리하면 다음과 같다

(4) 수열의 합과 일반항

수열 에서 첫째항부터 제 항까지의 합을 이라 하면

ge 일때 　　

there4

수열의 합과 일반항의 계

수열 의 첫째항부터 제 항까지의 합을 이라 하면

(단 ge )

등비수열의 합

일때 이다

이상을 정리하면 다음과 같다

(5) 등비수열의 뜻

첫째항부터 시작하여 각 항의 바로 앞의 항에 일정한 수를 곱하여

만들어진 수열을 등비수열이라 하고 곱하는 일정한 수를 공비라고 한다

첫째항이 공비가 인 등비수열에서 첫째항부터 제 항까지의 합 은

다음과 같이 구한다

　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　①

①의 양변에 공비 을 곱하면

　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　②

①에서 ②를 같은 변끼리 빼면

따라서 ne 일때

인 경우 ①에서

　　

there4

이상을 정리하면 다음과 같다

첫째항이 공비가 인 등비수열의 첫째항부터 제 항까지의 합 은

① ne 일때

② 일때

자연수의 거듭제곱의 합

①

　　

②

　　

③

　　

2) 여러 가지 수열

(1) 합의 기호 sum

수열 에서 첫째항부터 제 항까지의 합

　　

을 일반항과 합의 기호 sum를 써서

　　

와 같이 나타낸다

이때

는 수열 의 일반항 의 에 　　　　　　을 차례로

입하여 얻은 항의 합으로 신 다른 문자를 사용하여

등과 같이 나타낼 수 있다

(2) 기호 sum 의 성질

합의 기호 sum 의 성질에 하여 알아보자

합의 기호 sum의 성질

①

(복부호동순)

②

(단 는 상수)

③

(단 는 상수)

　　

　　 　　

　　

마찬가지로

와

에 해서도 확인해 보면 sum 의 성질을

다음과 같이 정리할 수 있다

(3) 계차수열

일반 으로 수열 에서 이웃하는 두 항의 차

　　 을 일반항으로 하는 새로운 수열

　　　　　　　을 얻을 수 있는데 이 수열 을 원래의 수열 의

계차수열이라고 한다

수열 에 하여 그 계차수열을 이라 하면

　　

계차수열과 일반항

수열 의 계차수열을 이라 할때

(단 ge )

3) 수학 귀납법

(1) 수열의 귀납 정의

첫째항과 이웃하는 두 항 사이의 계식으로 수열을 정의하는 것을 수열의

귀납 정의 라고 한다

첫째항이 공차가 인 등차수열 은 다음이 성립한다

　ge 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　①

역으로 두 계식 ①이 주어지면 이 결정되고 차례로

가 결정된다 따라서 모든 자연수 에 하여 이 정해지므로 수열 이

정의 된다

①과 같이 의 값 과 의 계식을 화식이라고 한다

(2) 수학 귀납법

수학 귀납법은 이탈리아의 페아노에 의하여 설정된 자연수에 한 공리

수학 귀납법

자연수 에 한 명제 이 모든 자연수 에 하여 성립함을 증명하

려면 다음 ⅰ ⅱ 를 증명하면 된다

ⅰ 일때 명제 이 성립한다

ⅱ 일때 명제 이 성립한다고 가정하면 일때에도

명제 이 성립한다

다음과 같은 5번째 공리에 근거를 두고 있다

자연수의 집합 의 부분집합 가

ⅰ 　isin

ⅱ 　isin 이면 isin

(여기서 는 의 후자)

인 두 조건을 만족하면 이다

4) 알고리즘과 순서도

(1) 알고리즘과 순서도

어떤 문제를 해결하기 해서는 그 처리 순서를 정해야 하는데 이와 같이

문제 해결에 필요한 처리 과정의 순서를 단계 으로 정리한 것을 알고리즘

이라 하고 알고리즘을 알기 쉽게 기호를 써서 그림으로 나타낸 것을 순서도

라고 한다 일반 으로 어떤 문제를 해결하기 한 알고리즘은 여러 가지가

있을 수 있지만 정해진 유한번의 단계를 거치면 반드시 끝나야 하고 처리

과정의 순서가 명확해야 한다 한 순서도는 각 부분을 순서 계통 으로

나타냄으로써 작업 과정을 구나 쉽게 한 에 악할 수 있도록

작성되어야 한다 순서도는 다음과 같은 기호를 사용하여 작성한다

[표7 순서도의 기호]

(2) 알고리즘과 순서도의 작성

수열과 련된 순서도를 작성할 때에는 다음과 같은 방법을 고려한다

(가) 항수를 항을 수열의 합을 로 나타낸다

(나) 제시된 항의 번호까지 루 를 용한다

(다) 제시된 항의 번호에 하여 단 기호를 이용한다

(라) 구하려는 는 를 인쇄하고 끝낸다

주의환기

집 을

한 략

지각

주의환기의

략

시청각 효과의 사용

비일상 인 내용이나 사건 제시

주의 분산의 자극 지양

탐구

주의환기의

략

능동 반응 유도

문제해결 활동의 구상 장려

신비감의 제공

다양성의

략

간결하고 다양한 교수형태 사용

일방 교수와 상호작용 교수의 혼합

교수자료의 변화 추구

목표-내용-방법이 기능 으로 통합

련성

증진을

한

략

친 성의

략

친 한 인물 혹은 사건 활용

구체 이고 친숙한 그림 활용

친 한 문 배경 지식 활용

목 지향성

의 략

실용성에 을 둔 목표 제시

목 지향 인 학습형태 활용

Ⅴ 러의 ARCS 이론과 수열 지도

1 러의 ARCS 이론

1) ARCS 이론의 특징

(1) 이론 배경

다음은 ([4])의 내용을 참고하 다

ldquo말을 물가로 데리고 갈 수는 있지만 물을 먹일 수는 없다rdquo는 속담처럼

하고자 하는 마음이 없으면 학습 효과를 기 할 수 없는 것은 당연한 사실

이다 이러한 생각의 근거에는 동기 유발의 개념이 자리 잡고 있다 동기

유발이란 어떤 활동을 진 지시 유지하려는 내 상태 는 과정을

포함한다 이 개념은 교육 심리학의 심 개념 의 하나이지만 직 찰

할 수 없는 것이기 때문에 인간의 행동을 보고 거기에서 유출해 내는 개념

이며 이에 한 정의는 바라보는 과 강조하는 내용에 따라 각기 다르

다

(2) ARCS 이론

목 의 선택 가능성 부여

필요나

동기와의

부합성 강조의

략

다양한 수 의 목 제시

학업성취 여부의 기록체제 활용

비경쟁 학습상황의 선택가능

동 상호 학습상황 제시

자신감

수립을

한 략

학습의

필요조건

제시의 략

수업의 목표와 구조의 제시

평가기 피드백의 제시

선수학습 능력의 단

시험의 조건 확인

성공의 기회

제시의 략

쉬운 것에서 어려운 것으로 과제 제시

정수 의 난이도 유지

다양한 수 의 시작 제공

무작 의 다양한 사건 제시

다양한 수 의 난이도 제공

개인

조 감

증 의 략

학습의 끝을 조 할 수 있는 기회 제시

학습속도의 조 가능

원하는 부분에로의 재빠른 회귀 가능

선택가능하고 다양한 과제의 난이도제공

노력이나 능력에 성공 귀착

만족감

증 를

한 략

자연 결과

강조의 략

연습문제를 통한 용기회 제공

후속학습상황을 통한 용기회 제공

모의상황을 통한 용기회 제공

정 결과

강조의 략

한 강화 계획의 활용

의미 있는 강화의 강조

정답을 한 보상 강조

외 보상의 사려 깊은 사용

선택 보상체제 활용

공정성

강조의 략

수업목표와 내용의 일 성 유지

연습과 시험 내용이 일치

[표8 ARCS 략] ([1])

2 ARCS 이론을 용한 수열 수업 계획서

다음은 ([1])의 ARCS 이론의 수업계획서를 참고하여 수열 단원의 수업

계획서를 작성해보았다

수업내용개 동기 략개 기타의견1 수업 기

체 으로 교사는 다양한 방법으로 학습자들

에게 수업 내용을 제시하고 학습자들에게

한 언어를 사용한다

수열의 활용에

한 학습목표

제시하기

교사는 학습자들의 련성을 높이기 해 학습

목표의 의미를 설명해 다

도표는 큰 씨를 사

용하고 핵심이 되는

단어에는 다른 색깔을

사용한다

수열의 활용의

이 과 평가

거를 제시하기

교사는 학습자들의 련성과 자신감 만족감

을 높이기 하여 이 수업이 끝난 후 그들이

무엇을 할 수 있는지에 해 알려 다

교사는 학습자들의 자신감과 만족감을 높이기

하여 성공 인 학습성취를 단할 수 있는 객

인 거들을 알려 다

교사는 학습자들의 만족감을 높이기 하여

그들이 주어진 과제를 성공 으로 해결했을 때

그에 따르는 내재 강화나 외재 보상이 있음

을 알려 다

수열의 정의와

해법에 한 지

식을 간략하게

확인하기

교사는 선수학습과의 련성을 유발하기 하

여 간략한 보조도구(인쇄매체)를 사용하여 수열

의 정의와 해법을 제시한다

교사는 소집단 토론을 실시하여 학습자들의

선수지식을 스스로 검해 보도록 한다

교사는 수열의 정의와 해법을 잘 모르는 학습

자들에게 자신감을 유발시키기 하여 개별 인

학습목표를 세우도록 한다

소집단 구성에 있어

서 주의집 이 매우

낮은 5명을 하나의 소

집단으로 구성하고

친근한 소재를 활용하

여 그들의 주의집 과

련성을 유발한다

실생활과 련

된 수열의 활용

문제들을 몇 가

지 소개하기

교사는 학습자들의 주의집 을 유지하기 해

실생활에서 연립방정식을 활용하여 해결할 수

있는 몇 가지 문제들을 제시한다

주의집 이 매우 낮은 5명의 학습자들이 수업

에 극 인 심을 보이지 않으면 교사는 그

들에게 친근한 목소리로 이름을 부르면서 수업

에 집 하라고 얘기 하고 개인 인 심을 갖

고 있음을 나타낸다

로써 활용되는 문

제들을 선택할 때 학

습자들이 알고 있거

나 그들에게 친근감

을 주는 소재가 포함

되도록 선택한다 이

때 지나치게 자심감

이 높아서 수업에 소

극 으로 참여하는 3

명의 학습자들에게는

다소 복잡한 수열의

활용 문제를 미리 제

공하여 생각할 기회를

다

수열의 활용에

한 학습자들의

이해정도를 악

하고 피드백을

제공하기

교사는 학습자들에게 자신감을 높이기 하여

소집단을 구성하여 학습자들이 수열의 활용에

해 어느 정도 이해하고 있는지를 서로 토론하

도록 한다

교사는 소집단별로 둘러보면서 자신감과 만족

감을 유발시키기 하여 학습자들간에 서로 도

움을 주도록 분 기를 형성한다

소집단별로 간략하게 토론이 끝나면 학습자

들 스스로 정리하도록 한다

토론결과 학습자들이 수열의 활용에 해 잘

못 이해하고 있다면 교사는 즉각 으로 교정

피드백을 제공한다

학습자들의 소집단

토론시간을 무 길게

소요하지 않도록 한

다 자칫하면 토론분

기가 산만해지기 쉽

고 토론이 활발하지

못한 경우에는 학습자

들의 학습의욕이 떨어

진다

2 수업 반 체 으로 교사는 다양한 방법으로 학습자

들에게 수업 내용을

제시하고 학습자들에게 개별 인 언어를 사용

한다

실생활과 련

된 수열의 활용

의 문제들을 구

체 으로 제시하

기

교사는 학습자들의 주의집 련성 자신감

만족감을 유지하기 하여 게임을 실시한다 학

습자들이 돌아가면서 임의로 다른 학습자를 지

명하면 지명받은 학습자가 실생활과 련된 수

열의 문제를 하나 제시한다 한 문제를 제

시한 학습자에게 학습태도 수를 주어 만족감

을 향상시킨다

교사는 학습자들이 제시한 여러 가지 문제들

을 칠 에 은 후 몇몇 소집단을 구성하여

그 문제들을 해결하기 해 인스토 을 하

도록 한다 이때 교사는 문제를 해결한 학습자

가 아직 해결하지 못한 학습자들을 도와주어 자

신감과 만족감을 갖도록 한다

인스토 이 진행되는 동안 교사는 교실

을 둘러보면서 학습자들이 질문이나 의문사항

에 해 극 으로 질문할 수 있는 기회를 제

공하고 그에 해 개별 인 언어를 사용하여

부드러운 목소리로 피드백을 제공한다

인스토 도 학습자들의 개인 인 능

력차가 커서 문제를 해결하는데 어려움을 겪는

학습자들에게는 그들에게 합한 개별 인 학습

이때 교사는 밝고

생동감이 넘치는 목소

리로 학습자들의 활동

을 진시킨다

교사는 학습자들이

한 자신감을 유지

하고 있는지에 해

지속 인 심을 갖고

지켜본다

이때 교사는 학습자

들의 자신감과 만족감

을 높이기 하여 그

들에게 일 성 있는

피드백을 제공한다

교사는 학습자들이

목표를 다시 선정하도록 하여 자신감을 향상시

킨다

인스토 이 끝나면 교사는 소집단 별로

한 사람씩 자발 으로 나와 문제를 풀고 풀이

과정을 체 학습자들에게 설명하도록 한다 이

때 어려운 문제를 해결한 소집단이나 학습자에

게 교사는 그들의 우수한 능력을 인정하고 내

재 인 자존심에 정 인 향을 주는 칭찬을

제공하여 자신감과 만족감을 높인다

소집단의 인스토

을 하는 동안 체

으로 문제풀이를 할

때 주의집 을 유지

하고 자신감과 만족

감의 향상을 악하기

해 끊임없이 그들과

시선을 교류하고 얼

굴표정을 찰한다

3 수업마무리 체 으로 교사는 다양한 방법으로 학습자

들에게 수업 내용을 제시하고 학습자들에게 개

별 인 언어를 사용한다

실생활과 련

된 수열의 활용

에 해 체

으로 정리 요

약하기

교사는 교탁을 탁탁 치거나 박수를 쳐서 다

소 떨어진 학습자들의 주의집 을 향상 시킨다

교사는 실생활 속에서 수열을 활용하여 해결

할 수 있는 간단하고 재미있는 문제들을 2～3개

제시하여 학습자들이 그 문제를 성공 으로 해

결함으로써 자신감과 만족감을 갖도록 한다

교사는 학습자들이 미처 생각하지 못했던 실

생활 속에서 수열과 연 된 다양한 들을 제공

하여 주의집 과 련성을 유지향상시킨다

교사는 자신감과 만족감을 향상시키기 해

학습자들에게 수업진행 에 그들이 설정한 개

인 인 학습목표에 해 얼마나 많이 달성했는

가를 스스로 검해 보라고 한다

교사는 수업 반에 수열의 문제를 잘 해결하

지 못했던 학습자들에게 그 문제를 다시 해결해

보도록 기회를 제공하여 자신감과 만족감을 높

여 다

평가에 있어서 교사는 학습자들이 그들의 성

에 해 공정하게 평가되었다고 느끼도록 일

성 있게 평가하여 그들의 자신감고 만족감을

높여 다

교사는 수열과 실생

활과의 련성에 해

학습자들이 잘 지각하

고 있는가를 알아보기

해 다소 진지한 목

소리로 질문한다

다음 학습내용

에 해 간략히

소개하기

교사는 학습자들의 흥미를 유지하기 하여

다음 학습내용에 해 호기심에 찬 목소리로 간

략하게 소개하고 수업을 끝낸다

[표9 러의 ARCS이론]

단원

단

원Ⅲ 수열

배정시간

(분)50

단

원1 등차수열과 등비수열

차시 3소단

원3) 등차수열과 등비수열의 활용

학습

목표등차수열과 등비수열을 실생활의 문제에 용할 수 있다

학습

단계학습내용

교수-학습활동 지도상의유의사

항교사활동 학생활동

도

입

15

분

인사

출석

주변을 정리 정돈

하여 수업분 기를

조성한다

인사 출석체크

를 한다

주의를 환기시킨

후 학생들과 인사

한다

출결석 여부를

확인한다

바른 자세로 주

변을 정리한 뒤

교사와 인사한다

수업 비를 한

다

교사와 학생

모두 함께 수업

분 기를 조성한

다

선수

학습

확인

지난 시간에 학습

한 등차수열과 등비

수열의 정의에 해

다시 한번 확인해본

다

지난 시간에 학습

한 등차수열과 등비

수열의 일반항을 구

하는 방법에 해 확

인학습으로 [문제1]

과 [문제2]를 풀어본

다

학생들의 자신감

을 높이기 하여

등차수열과 등비수

열의 정의를 교과

서에서 찾아본 후

큰소리로 답하게

한다

학생들이 답한

후 다시 한번 등차

수열과 등비수열에

해 간단히 설명

등차수열과 등

비수열의 정의를

교과서에 찾아본

후 큰소리로 읽는

다

교사가 등차수

열과 등비수열의

정의에 해 다시

한번 간단히 설명

할 때 부족한 부

분은 필기하며 복

습한다

교사가 정의에

해 질문할 때

학생들이 모두

책을 찾아볼수

있게 주의를

다

만일 답하

지 못하는 학생

이 있을 경우 그

여기서 인스토 (brainstorming)이라고 하는 것은 갑자기 떠오르는 멋

진 생각을 종이에 는다든가 말로 표 해 본 후 로 기록하거나 기록된

문장을 정리정돈하면서 생각을 논리화하는 방법이다 주로 어떤 계획을 세

우고자 할 때 창조 이고 기발한 아이디어가 필요할 때 학생들의 의견과

생각을 끌어내어 발 시키고자 할 때 사용하면 유리하다 ([3])

3 ARCS 이론을 용한 수업지도안

[문제1]

다음 등차수열

의 일반항과 제20항

을 구하여라

　　　　　　　

[문제2]

다음 등비수열

의 일반항과 제8항을

구하여라

　 　　　　　

한다

교사는 [문제1]

과[문제2]를 제시

한 뒤 학생들에게

직 풀어보게 한

다

등차수열과 등

비수열의 일반항

과 그 공식의 유

도과정을 기억한

다

제시된 문제를

연습장에 풀어본

다

학생에 해 개

별 인 언어를

사용하여 부드러

운 목소리로 피

드백을 제공한

다

개

30

분

학습

목표

제시

수열의 활용에

한 학습목표를 제시

한다

학습목표 학습

에 필요한 자료를

Power point 시청

각 효과를 사용하여

학생들의 주의환기

집 을 한 략

을 사용한다

학습목표를 학생

들에게 읽게 하고

학생들의 련성을

높이기 해 학습

목표의 의미를 설

명해 다

교사의 지시에

따라 큰소리로 학

습목표를 읽고 이

수업이 끝난 후

무엇을 할 수 있

는지에 해 생각

해 본다

학습목표는 큰

씨를 사용하

고 핵심이 되는

단어에는 다른

색깔을 사용한

다

탐구

학습

실생활과 련된

수열의 활용문제들을

몇 가지 소개한다

수열의 활용에

한 학습자들의 이해

정도를 악하고 피

드백을 제공한다

등차수열과 등비

수열을 이용하여

실생활의 문제를

해결할 수 있음을

학생들이 쉽게 이

해할 수 있도록 설

명한다

교사가 실생활

과 련된 수열의

활용문제들을 몇

가지 소개할 때

다른 시가 있는

지 함께 생각해

본다

문제

제시

[문제3]

한일 월드컵 축구 개

회 연도는 2002년이

다 2002년 이후 월

드컵 축구가 개최되

는 연도를 차례로 써

보고 이 규칙 로 월

드컵 축구가 개최되

면 2100년은 월드컵

축구가 개최되는 연

도인가

교과서에서 수열

단원의 수열의 활

용부분에 수록된

문제들을 풀어볼

수 있도록 시간을

다

등차수열과 등

비수열의 일반항

유도 공식을 생각

해보고 제시된 문

제를 해결해 간다

로써 활용되

는 문제를 선택

할 때 학습자들

이 알고 있거나

그들에게 친근감

을 주는 련성

증진을 한

략을 사용한다

[문제4]

컴퓨터의 주기억 장

치인 램은용

으로

용으로 가 개발

되었다 이후 램의

용 량 은

로 증가되어 왔다

의 램으로부터

번 증가된 주 메모

리는 식으로 어떻게

나타낼 수 있는가

학생들이 문제를

어렵게 느끼지 않

도록 어떤 방향으

로 해결해야 하는

지 힌트를 주어 학

생들의 자신감을

증진시킨다

소집

단

활동

5～6명으로 이 진

소집단을 구성하여

학습자들이 수열의

활용에 해 어느 정

도 이해하고 있는지

를 서로 토론하도록

한다

소집단별로 실생활

과 련된 수열의 활

용의 문제들을 구체

으로 제시한다

인 스토 이

끝나면 소집단별로

한사람씩 문제를 풀

고 풀이과정을 체

학생들에게 설명하는

시간을 갖는다

교사는 학생들의

만족감을 높이기

하여 그들이 주

어진 과제를 성공

으로 해결했을

때 그에 따르는

내재 강화나 외

재 보상이 있음

을 알려 다

어려운 문제를

해결한 소집단이나

학생에게 교사는

그들의 우수한 능

력을 인정하고 내

재 인 자존심에

정 인 향을

주는 칭찬을 제공

하여 자신감과 만

족감을 높인다

자신이 속한 소

집단 내에서 제시

된 과제에 해

열심히 토의를 하

며 문제를 해결한

학생이 아직 해결

하지 못한 학생들

을 도와주어 자신

감과 만족감을 갖

도록 한다

소집단별로 간

략하게 토론이 끝

나면 학생들 스스

로 정리해보고 자

발 으로 체 학

생들에게 설명해

보는 기회를 갖는

다

교사는 학습자

들이 한 자

신감을 유지하고

있는지에 해

지속 인 심을

갖고 지켜본다

학생들의 소집

단 토론시간을

무 길게 소요

하지 않도록 한

다

형성

평가

[문제4]

민수는 남 문의 기

와 지붕 한쪽 면이

사다리꼴 모양임을

찰하고 이 면에 있

는 기와의 개수를 알

아보고자 한다 기와

형 성 평 가 를

Power point로 제

시하고 학생들이

스스로 풀어볼 수

있도록 지도한다

학생들이 문제를

다 풀고 나면 교사

제시된 문제를

오늘 학습한 내용

을 복습하면서 풀

어보도록 한다

교사는 다소

진지한 목소리로

질문한다

의 개수를 행으로 세

었더니 용마루 쪽에

가장 가까운 행에는

40개 처마 쪽에 가

장 가까운 행에는 72

개 다 용마루부터

처마까지 행의 개수

가 17이라고 할 때

민수가 찰한 지붕

한쪽 면의 기와의 개

수는 모두 몇 개인

가

는 학생들에게

답할수 있도록 하

고 학생들이 학습

목표에 해 얼마

나 많이 달성했는

가를 스스로 검

해 보라고 한다

형성평가의 답

을 교사의 질문에

끝난 뒤 큰소리로

답하여 자신감

과 만족감을 갖도

록 한다

학생들에게 개

별 인 언어를

사용한다

정

리

5

분

학습

정리

차시

고

학습 자료를 이용

하여 수열의 실생활

의 활용 단원의 수업

내용을 확인한다

과제를 제시한다

다음 차시인 「여

러 가지 수열」 단원

에 한 고를 한

다

수업 내용을 정

리하고 과제를 제

시한다

학생들의 흥미를

유지하기 하여

다음 학습내용에

해 호기심에 찬

목소리로 간략하게

소개하고 수업을

끝낸다

오늘 학습한 내

용을 정리한다

과제를 고 과

제 해결에 한

내용을 머릿속에

형성해 본다

다음 차시에 배

울 내용을 학습

자료 화면으로 확

인해본다

수업내용에

해 학생과 교사

모두가 만족하고

있는지 확인하고

공정한 평가를

한다

[표10 수업지도안]

4 조사 문제지 분석

고등학교 수학 Ⅰ 의 수열단원의 효율 인 지도방안의 연구를 하여 원

종고등학교 2학년 학생 100명을 상으로 조사 문제지 조사를 하 다 학

생들의 수학에 한 심과 수학에서 가장 어려워하는 부분을 알아볼 수

있었고 어떤 방식의 수업을 선호하는지도 알아볼 수 있었다

⑴ 수학에 얼마나 심이 있나요

① 매우 많다 ② 많다 ③ 보통이다 ④ 다 ⑤ 매우 다

수학과목에 매우 많은 심을 보이는 학생은 2로 매우 낮은 편이며

심이 있는 학생은 43로 학생의 반정도 다 수학과목에 심이 거

나 없는 학생은 54정도로 수학은 어려운 과목이라는 인식 때문에 심

이 은 것 같다

수학을 공부하는 가장 큰 이유에는75의 학생들이 학입시를 해서라

는 문항을 선택했다 기타 이유에는 교과서에 있어서 어쩔수 없이 한다

는 학생과 진리탐구를 해서라는 학생도 있었다

[그림6 조사문제지

(1)번 막 그래 ]

⑵ 수학을 공부하는 가장 큰 이유가 뭐라고 생각하나요

① 학입시를 해서

② 평소 수학에 흥미가 있어서

③ 실제 생활에 쓰기 해서

④ 주변에서 해야한다고 하니까

⑤ 기타 이유 (이유를 간단히 어주세요)

앞에 (1)번문항에서 수학에 심이 은 학생이 반 정도인것에 반해

수학공부가 필요하다고 느낀학생이 75정도로 수학공부가 필요하단건

느끼지만 어려운 과목이라는 인식이 부분인것 같다 수학과목도 재

는 과목이란 인식을 학생들이 가질수 있도록 노력해야겠다

[그림7 조사문제지

(2)번 막 그래 ]

⑶ 수학공부의 필요성에 해 어떻게 생각하나요

① 매우 필요하다 ② 조 필요하다 ③ 보통이다

④ 필요 없다 ⑤ 필요 없다

[그림8 조사문제지

(3)번 막 그래 ]

⑷ 수학을 공부하면서 가장 어려운 부분은 무엇이나요

① 복잡한 계산 과정 ② 외워야할 많은 공식들

③ 응용문제엔 어떤 공식을 용해야할지 ④ 다 어렵다

학생들이 수학과목이 어렵다고 느끼는 이유는 응용문제에 어떤 공식을

용해야 하는지를 몰라서 라는 답이 58로 가장 많았다 그 외에도

계산과정이 복잡하거나 외워야할 공식들이 많아서라는 답도 있었다

이해 주의 수업을 하고 단순한 공식의 암기 주의 수업을 탈피해야겠

다

수학수업을 하는데 효과 인 방법에는 선생님 주의 강의식 수업과 학

생 개인별 수업이 78로 가장 많았다 개념이나 공식유도과정을 설명할

땐 서를 하며 강의식 수업을 하고 문제풀이땐 학생들 개인별로 첨삭

지도를 하는게 효율 인것 같다

⑤ 기타이유 (이유를 간단히 어주세요)

[그림9 조사문제지

(4)번 막 그래 ]

⑸ 수학 수업을 하는 데 어떤 방법이 가장 효과 이라고 생각하나요

① 선생님 주의 강의식 수업

② 학생 개인별 수업

③ 모둠별 활동 수업

④ 기타 교재나 과제를 통한 수업

⑤ 기타(이유를 간단히 어주세요)

[그림10 조사문제지

(5)번 막 그래 ]

Ⅵ 결론

본 논문에서 지 까지 고등학교 2학년 학생들이 수학 Ⅰ 교육과정을 학습하

는데 가장 어려워하는 수열에 해 살펴보았다 먼 개정 교육과정에 명시

된 수학교육의 목표와 임의로 선택된 5종 교과서에서 수열 단원의 학습목표

를 살펴보았고 수열의 역사 배경과 실생활에 응용된 들을 정리해보았

다 한 5종 교과서에서 제시되어 있는 수열의 학습내용을 소단원 별로 정

리해보았다 임의로 선택된 5종 교과서안의 수열의 학습내용을 분석해보면

서 몇 몇 교과서에서 여러 가지 수열 단원에서 군 수열과 멱 수에 한 언

이 없거나 미약함을 알 수 있었다 본 연구자가 보기에 군 수열과 멱 수

부분은 실생활에 활용될 는 극히 작아 보이지만 학생들이 꼭 학습하고 넘

어가야 수열에 한 완벽한 학습이 될 수 있을 것이라 여겼는데 교과서에서

제시된 내용들로는 학생들이 충분히 이해할 수 없을 것 같았다

그리고 교과서에 제시된 문항의 수 이 입시와 동 떨어진다는 문제 이 있

었다 교과서에 제시된 문제가 부족하고 수 이 낮다 보니 실제로 학교에서

수업 때 보충 린트 물로 수업을 진행하고 간기말고사 때에도 교과서

외에서 많은 문제를 출제하는 모습을 볼 수 있었다 때문에 학생들이 교과서

보다는 문제집 주의 공부를 할 수 밖에 없는 듯 보 다 교과서가 학생들

과 교사의 요구에 부합할 수 있도록 새로운 내용들과 문제를 싣도록 해야

할 것이다

학생들이 수열 단원의 학습을 할 때 좀 더 효과 인 학습이 될 수 있도록

리의 동기설계이론 (ARCS 이론) 을 바탕으로 하여 수업 계획서와 1차시

의 수업 지도안을 작성해 보았다 한 작성한 수업 지도안으로 부천시 소재

의 한 고등학교에서 실제 수업을 진행해 보았을 때 학생들이 좀 더 수열에

해 친숙하게 느끼고 쉽게 이해하는 모습을 볼 수 있었다 본 연구자가

직 교사가 아니라 여러 반을 상으로 수열 단원의 모든 차시 수업에 용

하여 수업을 해볼 수 없었단 이 아쉬움으로 남는다

이와 같이 학생들의 주의 련성자신감만족감 증진을 한 수업을 함

으로써 학생들의 수학 학습 성취도의 향상을 기 할 수 있을 것이다 한

개발된 자료를 실제 수업에 용하는 경우의 효율성에 한 후속 연구가 체

계 이고 지속 으로 이루어져야 할 것이다

참 고 문 헌

[1] 구평회 META 구평회 교육학 2007

[2] 교육인 자원부 고시 제2007 - 79호[별책8] 2007

[3] 박인학 교사를 한 교수학습방법론 문사 1995

[4] 변 계 교수학습 이론의 이해 학지사 1999

[5] 우정호 외 5인 고등학교 수학 Ⅰ 한교과서(주) 2002

[6] 이 연 자연의 수학 열쇠 피보나치수열 로네시스 2006

[7] 이진화 지수로그함수의 지도에 한 연구 서강 학교 교육 학원 석사 학

논문 2006

[8] 임재훈 외 10인 고등학교 수학 Ⅰ (주)두산 2002

[9] 장 숙 고등학교 수학 Ⅰ 교과서의 통계단원 분석 실생활에의 용 경희

학교 교육 학원 석사 학 논문 2006

[10] 조해식 행렬 수열 수업에서의 수학사 도입에 한 연구 울산 학교 석사

학 논문 1998

[11] 차 자 수열 학습의 흥미 유발을 한 자료 연구 경성 학교 교육 학원 석

사 학 논문 2004

[12] 최 외 5인 고등학교 수학 Ⅰ 앙교육진흥연구소 2006

[13] 최상기 외 5인 고등학교 수학 Ⅰ (주)고려출 2002

[14] 최용 신 성 고등학교 수학 Ⅰ 천재교육(주) 2002

[15] 황혜정 외 5인 수학교육학 신론 문음사 2002

• Ⅰ 서론
• • 1 연구의 필요성과 목적
  • 2 연구의 제한점
  • • Ⅱ 개정 교육과정에서 명시된 수학Ⅰ교육의 목표
    • • 1 수학Ⅰ교육의 목표
      • 2 고등학교 수학 Ⅰ 수열 단원의 학습목표
      • • Ⅲ 수열의 역사적 배경 및 응용
        • • 1 수열의 역사
          • 2 수열 단원이 실생활에 응용된 사례
          • • Ⅳ 고등학교 수학교육과정에서의 수열
            • • 1 수학Ⅰ 교과서 분석
              • 2 수학Ⅰ 교과서에서의 수열
              • • Ⅴ 켈러의 ARCS 이론과 수열 지도
                • • 1 켈러의 ARCS 이론
                  • 2 ARCS 이론을 적용한 수열 수업 계획서
                  • 3 ARCS 이론을 적용한 수업 지도안
                  • 4 조사지 분석
                  • • Ⅵ 결론
                    • 참고문헌

온 피보나치는 「산반서(Liber abaci)」를 술하 다 1228년에

는 「산반서 2 」을 술하 는데 이 책에서 정수와 분수의 계

산 제곱근과 세제곱근 일차와 이차방정식의 풀이 등을 다루었다

고 한다 특히 이 책에 나오는 「피보나치의 수열」은 매우 흥미

로운 수열로 요한 성질을 많이 가지고 있다

1에서 100까지 자연수를 모두 합하면 얼마일까

가우스(Gauss KF 1777～1855) 가우스는 수론 해석학 확

률론 천문학 물리학 등 다양한 분야에 뛰어난 수학자이었다 특

히 그의 수론 연구는 19세기 수학 체계의 확립에 크게 공헌하

다

피타고라스(Pythagoras 572～492 BC) 피타고라스는 음의

높이에 따른 진동수의 비가 일정함을 발견하 다

페아노(Peano G 1858～1932) 자연수의 성질을 추상화 하여

페아노의 공리계를 만들었다 이 공리계의 제 5공리가 수학 귀

납법의 원리이다

피보나치의 수열

알콰리즈미(Alkhwarizmi 780～850) 알고리즘이란 말은 세

아라비아의 수학자 알콰리즈미의 이름에서 유래된 것으로서 그가

십진법으로 나타낸 수의 계산에 용한 계산 방법에서 나온것이

다

[표6 5종 교과서에 제시된 수열 련 자료]

2 수학 Ⅰ 교과서에서의 수열

등차수열의 일반항

첫째항이 공차가 인 등차수열의 일반항 은

본 연구자가 임의로 선택한 5종 교과서 ([5][8][12][13][14]) 에서의

수열의 내 을 정리해보았다

1) 등차 수열과 등비 수열

(1) 수열의 뜻

어떤 규칙에 따라 순서 로 수를 늘어놓은 것을 수열이라 하고 그 수열을

이루는 각각의 수를 그 수열의 항이라고 한다 수열의 각 항을

앞에서부터 순서 로 제 1항 제 2항 제 3항 제 항

이라고 한다 특히 제 1항은 첫째항이라고도 한다

(2) 등차수열의 뜻

첫째항에 차례로 일정한 수를 더하여 만들어진 수열을 등차수열 이라하고

더한 일정한 수를 공차라고 한다

첫째항이 공차가 인 등차수열 에서

이므로 일반항 은 다음과 같이 나타낼 수 있다

(3) 등차수열의 합

등차수열의 합

첫째항이 공차가 끝항이 인 등차수열의 첫째항부터 제 항까지의

합 은

첫째항이 공차가 등차수열 에서 첫째항 부터 제 항 까지의 합

을 토론하기의 방법을 이용하여 구해보자

　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　①

더하는 순서를 거꾸로 하면

　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　②

①②의 양변을 각각 더하면

　　

따라서 =

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　③

이때 제 항인 를 ③에 입하여 식을 다르게 나타낼수도

있다

이상을 정리하면 다음과 같다

(4) 수열의 합과 일반항

수열 에서 첫째항부터 제 항까지의 합을 이라 하면

ge 일때 　　

there4

수열의 합과 일반항의 계

수열 의 첫째항부터 제 항까지의 합을 이라 하면

(단 ge )

등비수열의 합

일때 이다

이상을 정리하면 다음과 같다

(5) 등비수열의 뜻

첫째항부터 시작하여 각 항의 바로 앞의 항에 일정한 수를 곱하여

만들어진 수열을 등비수열이라 하고 곱하는 일정한 수를 공비라고 한다

첫째항이 공비가 인 등비수열에서 첫째항부터 제 항까지의 합 은

다음과 같이 구한다

　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　①

①의 양변에 공비 을 곱하면

　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　②

①에서 ②를 같은 변끼리 빼면

따라서 ne 일때

인 경우 ①에서

　　

there4

이상을 정리하면 다음과 같다

첫째항이 공비가 인 등비수열의 첫째항부터 제 항까지의 합 은

① ne 일때

② 일때

자연수의 거듭제곱의 합

①

　　

②

　　

③

　　

2) 여러 가지 수열

(1) 합의 기호 sum

수열 에서 첫째항부터 제 항까지의 합

　　

을 일반항과 합의 기호 sum를 써서

　　

와 같이 나타낸다

이때

는 수열 의 일반항 의 에 　　　　　　을 차례로

입하여 얻은 항의 합으로 신 다른 문자를 사용하여

등과 같이 나타낼 수 있다

(2) 기호 sum 의 성질

합의 기호 sum 의 성질에 하여 알아보자

합의 기호 sum의 성질

①

(복부호동순)

②

(단 는 상수)

③

(단 는 상수)

　　

　　 　　

　　

마찬가지로

와

에 해서도 확인해 보면 sum 의 성질을

다음과 같이 정리할 수 있다

(3) 계차수열

일반 으로 수열 에서 이웃하는 두 항의 차

　　 을 일반항으로 하는 새로운 수열

　　　　　　　을 얻을 수 있는데 이 수열 을 원래의 수열 의

계차수열이라고 한다

수열 에 하여 그 계차수열을 이라 하면

　　

계차수열과 일반항

수열 의 계차수열을 이라 할때

(단 ge )

3) 수학 귀납법

(1) 수열의 귀납 정의

첫째항과 이웃하는 두 항 사이의 계식으로 수열을 정의하는 것을 수열의

귀납 정의 라고 한다

첫째항이 공차가 인 등차수열 은 다음이 성립한다

　ge 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　①

역으로 두 계식 ①이 주어지면 이 결정되고 차례로

가 결정된다 따라서 모든 자연수 에 하여 이 정해지므로 수열 이

정의 된다

①과 같이 의 값 과 의 계식을 화식이라고 한다

(2) 수학 귀납법

수학 귀납법은 이탈리아의 페아노에 의하여 설정된 자연수에 한 공리

수학 귀납법

자연수 에 한 명제 이 모든 자연수 에 하여 성립함을 증명하

려면 다음 ⅰ ⅱ 를 증명하면 된다

ⅰ 일때 명제 이 성립한다

ⅱ 일때 명제 이 성립한다고 가정하면 일때에도

명제 이 성립한다

다음과 같은 5번째 공리에 근거를 두고 있다

자연수의 집합 의 부분집합 가

ⅰ 　isin

ⅱ 　isin 이면 isin

(여기서 는 의 후자)

인 두 조건을 만족하면 이다

4) 알고리즘과 순서도

(1) 알고리즘과 순서도

어떤 문제를 해결하기 해서는 그 처리 순서를 정해야 하는데 이와 같이

문제 해결에 필요한 처리 과정의 순서를 단계 으로 정리한 것을 알고리즘

이라 하고 알고리즘을 알기 쉽게 기호를 써서 그림으로 나타낸 것을 순서도

라고 한다 일반 으로 어떤 문제를 해결하기 한 알고리즘은 여러 가지가

있을 수 있지만 정해진 유한번의 단계를 거치면 반드시 끝나야 하고 처리

과정의 순서가 명확해야 한다 한 순서도는 각 부분을 순서 계통 으로

나타냄으로써 작업 과정을 구나 쉽게 한 에 악할 수 있도록

작성되어야 한다 순서도는 다음과 같은 기호를 사용하여 작성한다

[표7 순서도의 기호]

(2) 알고리즘과 순서도의 작성

수열과 련된 순서도를 작성할 때에는 다음과 같은 방법을 고려한다

(가) 항수를 항을 수열의 합을 로 나타낸다

(나) 제시된 항의 번호까지 루 를 용한다

(다) 제시된 항의 번호에 하여 단 기호를 이용한다

(라) 구하려는 는 를 인쇄하고 끝낸다

주의환기

집 을

한 략

지각

주의환기의

략

시청각 효과의 사용

비일상 인 내용이나 사건 제시

주의 분산의 자극 지양

탐구

주의환기의

략

능동 반응 유도

문제해결 활동의 구상 장려

신비감의 제공

다양성의

략

간결하고 다양한 교수형태 사용

일방 교수와 상호작용 교수의 혼합

교수자료의 변화 추구

목표-내용-방법이 기능 으로 통합

련성

증진을

한

략

친 성의

략

친 한 인물 혹은 사건 활용

구체 이고 친숙한 그림 활용

친 한 문 배경 지식 활용

목 지향성

의 략

실용성에 을 둔 목표 제시

목 지향 인 학습형태 활용

Ⅴ 러의 ARCS 이론과 수열 지도

1 러의 ARCS 이론

1) ARCS 이론의 특징

(1) 이론 배경

다음은 ([4])의 내용을 참고하 다

ldquo말을 물가로 데리고 갈 수는 있지만 물을 먹일 수는 없다rdquo는 속담처럼

하고자 하는 마음이 없으면 학습 효과를 기 할 수 없는 것은 당연한 사실

이다 이러한 생각의 근거에는 동기 유발의 개념이 자리 잡고 있다 동기

유발이란 어떤 활동을 진 지시 유지하려는 내 상태 는 과정을

포함한다 이 개념은 교육 심리학의 심 개념 의 하나이지만 직 찰

할 수 없는 것이기 때문에 인간의 행동을 보고 거기에서 유출해 내는 개념

이며 이에 한 정의는 바라보는 과 강조하는 내용에 따라 각기 다르

다

(2) ARCS 이론

목 의 선택 가능성 부여

필요나

동기와의

부합성 강조의

략

다양한 수 의 목 제시

학업성취 여부의 기록체제 활용

비경쟁 학습상황의 선택가능

동 상호 학습상황 제시

자신감

수립을

한 략

학습의

필요조건

제시의 략

수업의 목표와 구조의 제시

평가기 피드백의 제시

선수학습 능력의 단

시험의 조건 확인

성공의 기회

제시의 략

쉬운 것에서 어려운 것으로 과제 제시

정수 의 난이도 유지

다양한 수 의 시작 제공

무작 의 다양한 사건 제시

다양한 수 의 난이도 제공

개인

조 감

증 의 략

학습의 끝을 조 할 수 있는 기회 제시

학습속도의 조 가능

원하는 부분에로의 재빠른 회귀 가능

선택가능하고 다양한 과제의 난이도제공

노력이나 능력에 성공 귀착

만족감

증 를

한 략

자연 결과

강조의 략

연습문제를 통한 용기회 제공

후속학습상황을 통한 용기회 제공

모의상황을 통한 용기회 제공

정 결과

강조의 략

한 강화 계획의 활용

의미 있는 강화의 강조

정답을 한 보상 강조

외 보상의 사려 깊은 사용

선택 보상체제 활용

공정성

강조의 략

수업목표와 내용의 일 성 유지

연습과 시험 내용이 일치

[표8 ARCS 략] ([1])

2 ARCS 이론을 용한 수열 수업 계획서

다음은 ([1])의 ARCS 이론의 수업계획서를 참고하여 수열 단원의 수업

계획서를 작성해보았다

수업내용개 동기 략개 기타의견1 수업 기

체 으로 교사는 다양한 방법으로 학습자들

에게 수업 내용을 제시하고 학습자들에게

한 언어를 사용한다

수열의 활용에

한 학습목표

제시하기

교사는 학습자들의 련성을 높이기 해 학습

목표의 의미를 설명해 다

도표는 큰 씨를 사

용하고 핵심이 되는

단어에는 다른 색깔을

사용한다

수열의 활용의

이 과 평가

거를 제시하기

교사는 학습자들의 련성과 자신감 만족감

을 높이기 하여 이 수업이 끝난 후 그들이

무엇을 할 수 있는지에 해 알려 다

교사는 학습자들의 자신감과 만족감을 높이기

하여 성공 인 학습성취를 단할 수 있는 객

인 거들을 알려 다

교사는 학습자들의 만족감을 높이기 하여

그들이 주어진 과제를 성공 으로 해결했을 때

그에 따르는 내재 강화나 외재 보상이 있음

을 알려 다

수열의 정의와

해법에 한 지

식을 간략하게

확인하기

교사는 선수학습과의 련성을 유발하기 하

여 간략한 보조도구(인쇄매체)를 사용하여 수열

의 정의와 해법을 제시한다

교사는 소집단 토론을 실시하여 학습자들의

선수지식을 스스로 검해 보도록 한다

교사는 수열의 정의와 해법을 잘 모르는 학습

자들에게 자신감을 유발시키기 하여 개별 인

학습목표를 세우도록 한다

소집단 구성에 있어

서 주의집 이 매우

낮은 5명을 하나의 소

집단으로 구성하고

친근한 소재를 활용하

여 그들의 주의집 과

련성을 유발한다

실생활과 련

된 수열의 활용

문제들을 몇 가

지 소개하기

교사는 학습자들의 주의집 을 유지하기 해

실생활에서 연립방정식을 활용하여 해결할 수

있는 몇 가지 문제들을 제시한다

주의집 이 매우 낮은 5명의 학습자들이 수업

에 극 인 심을 보이지 않으면 교사는 그

들에게 친근한 목소리로 이름을 부르면서 수업

에 집 하라고 얘기 하고 개인 인 심을 갖

고 있음을 나타낸다

로써 활용되는 문

제들을 선택할 때 학

습자들이 알고 있거

나 그들에게 친근감

을 주는 소재가 포함

되도록 선택한다 이

때 지나치게 자심감

이 높아서 수업에 소

극 으로 참여하는 3

명의 학습자들에게는

다소 복잡한 수열의

활용 문제를 미리 제

공하여 생각할 기회를

다

수열의 활용에

한 학습자들의

이해정도를 악

하고 피드백을

제공하기

교사는 학습자들에게 자신감을 높이기 하여

소집단을 구성하여 학습자들이 수열의 활용에

해 어느 정도 이해하고 있는지를 서로 토론하

도록 한다

교사는 소집단별로 둘러보면서 자신감과 만족

감을 유발시키기 하여 학습자들간에 서로 도

움을 주도록 분 기를 형성한다

소집단별로 간략하게 토론이 끝나면 학습자

들 스스로 정리하도록 한다

토론결과 학습자들이 수열의 활용에 해 잘

못 이해하고 있다면 교사는 즉각 으로 교정

피드백을 제공한다

학습자들의 소집단

토론시간을 무 길게

소요하지 않도록 한

다 자칫하면 토론분

기가 산만해지기 쉽

고 토론이 활발하지

못한 경우에는 학습자

들의 학습의욕이 떨어

진다

2 수업 반 체 으로 교사는 다양한 방법으로 학습자

들에게 수업 내용을

제시하고 학습자들에게 개별 인 언어를 사용

한다

실생활과 련

된 수열의 활용

의 문제들을 구

체 으로 제시하

기

교사는 학습자들의 주의집 련성 자신감

만족감을 유지하기 하여 게임을 실시한다 학

습자들이 돌아가면서 임의로 다른 학습자를 지

명하면 지명받은 학습자가 실생활과 련된 수

열의 문제를 하나 제시한다 한 문제를 제

시한 학습자에게 학습태도 수를 주어 만족감

을 향상시킨다

교사는 학습자들이 제시한 여러 가지 문제들

을 칠 에 은 후 몇몇 소집단을 구성하여

그 문제들을 해결하기 해 인스토 을 하

도록 한다 이때 교사는 문제를 해결한 학습자

가 아직 해결하지 못한 학습자들을 도와주어 자

신감과 만족감을 갖도록 한다

인스토 이 진행되는 동안 교사는 교실

을 둘러보면서 학습자들이 질문이나 의문사항

에 해 극 으로 질문할 수 있는 기회를 제

공하고 그에 해 개별 인 언어를 사용하여

부드러운 목소리로 피드백을 제공한다

인스토 도 학습자들의 개인 인 능

력차가 커서 문제를 해결하는데 어려움을 겪는

학습자들에게는 그들에게 합한 개별 인 학습

이때 교사는 밝고

생동감이 넘치는 목소

리로 학습자들의 활동

을 진시킨다

교사는 학습자들이

한 자신감을 유지

하고 있는지에 해

지속 인 심을 갖고

지켜본다

이때 교사는 학습자

들의 자신감과 만족감

을 높이기 하여 그

들에게 일 성 있는

피드백을 제공한다

교사는 학습자들이

목표를 다시 선정하도록 하여 자신감을 향상시

킨다

인스토 이 끝나면 교사는 소집단 별로

한 사람씩 자발 으로 나와 문제를 풀고 풀이

과정을 체 학습자들에게 설명하도록 한다 이

때 어려운 문제를 해결한 소집단이나 학습자에

게 교사는 그들의 우수한 능력을 인정하고 내

재 인 자존심에 정 인 향을 주는 칭찬을

제공하여 자신감과 만족감을 높인다

소집단의 인스토

을 하는 동안 체

으로 문제풀이를 할

때 주의집 을 유지

하고 자신감과 만족

감의 향상을 악하기

해 끊임없이 그들과

시선을 교류하고 얼

굴표정을 찰한다

3 수업마무리 체 으로 교사는 다양한 방법으로 학습자

들에게 수업 내용을 제시하고 학습자들에게 개

별 인 언어를 사용한다

실생활과 련

된 수열의 활용

에 해 체

으로 정리 요

약하기

교사는 교탁을 탁탁 치거나 박수를 쳐서 다

소 떨어진 학습자들의 주의집 을 향상 시킨다

교사는 실생활 속에서 수열을 활용하여 해결

할 수 있는 간단하고 재미있는 문제들을 2～3개

제시하여 학습자들이 그 문제를 성공 으로 해

결함으로써 자신감과 만족감을 갖도록 한다

교사는 학습자들이 미처 생각하지 못했던 실

생활 속에서 수열과 연 된 다양한 들을 제공

하여 주의집 과 련성을 유지향상시킨다

교사는 자신감과 만족감을 향상시키기 해

학습자들에게 수업진행 에 그들이 설정한 개

인 인 학습목표에 해 얼마나 많이 달성했는

가를 스스로 검해 보라고 한다

교사는 수업 반에 수열의 문제를 잘 해결하

지 못했던 학습자들에게 그 문제를 다시 해결해

보도록 기회를 제공하여 자신감과 만족감을 높

여 다

평가에 있어서 교사는 학습자들이 그들의 성

에 해 공정하게 평가되었다고 느끼도록 일

성 있게 평가하여 그들의 자신감고 만족감을

높여 다

교사는 수열과 실생

활과의 련성에 해

학습자들이 잘 지각하

고 있는가를 알아보기

해 다소 진지한 목

소리로 질문한다

다음 학습내용

에 해 간략히

소개하기

교사는 학습자들의 흥미를 유지하기 하여

다음 학습내용에 해 호기심에 찬 목소리로 간

략하게 소개하고 수업을 끝낸다

[표9 러의 ARCS이론]

단원

단

원Ⅲ 수열

배정시간

(분)50

단

원1 등차수열과 등비수열

차시 3소단

원3) 등차수열과 등비수열의 활용

학습

목표등차수열과 등비수열을 실생활의 문제에 용할 수 있다

학습

단계학습내용

교수-학습활동 지도상의유의사

항교사활동 학생활동

도

입

15

분

인사

출석

주변을 정리 정돈

하여 수업분 기를

조성한다

인사 출석체크

를 한다

주의를 환기시킨

후 학생들과 인사

한다

출결석 여부를

확인한다

바른 자세로 주

변을 정리한 뒤

교사와 인사한다

수업 비를 한

다

교사와 학생

모두 함께 수업

분 기를 조성한

다

선수

학습

확인

지난 시간에 학습

한 등차수열과 등비

수열의 정의에 해

다시 한번 확인해본

다

지난 시간에 학습

한 등차수열과 등비

수열의 일반항을 구

하는 방법에 해 확

인학습으로 [문제1]

과 [문제2]를 풀어본

다

학생들의 자신감

을 높이기 하여

등차수열과 등비수

열의 정의를 교과

서에서 찾아본 후

큰소리로 답하게

한다

학생들이 답한

후 다시 한번 등차

수열과 등비수열에

해 간단히 설명

등차수열과 등

비수열의 정의를

교과서에 찾아본

후 큰소리로 읽는

다

교사가 등차수

열과 등비수열의

정의에 해 다시

한번 간단히 설명

할 때 부족한 부

분은 필기하며 복

습한다

교사가 정의에

해 질문할 때

학생들이 모두

책을 찾아볼수

있게 주의를

다

만일 답하

지 못하는 학생

이 있을 경우 그

여기서 인스토 (brainstorming)이라고 하는 것은 갑자기 떠오르는 멋

진 생각을 종이에 는다든가 말로 표 해 본 후 로 기록하거나 기록된

문장을 정리정돈하면서 생각을 논리화하는 방법이다 주로 어떤 계획을 세

우고자 할 때 창조 이고 기발한 아이디어가 필요할 때 학생들의 의견과

생각을 끌어내어 발 시키고자 할 때 사용하면 유리하다 ([3])

3 ARCS 이론을 용한 수업지도안

[문제1]

다음 등차수열

의 일반항과 제20항

을 구하여라

　　　　　　　

[문제2]

다음 등비수열

의 일반항과 제8항을

구하여라

　 　　　　　

한다

교사는 [문제1]

과[문제2]를 제시

한 뒤 학생들에게

직 풀어보게 한

다

등차수열과 등

비수열의 일반항

과 그 공식의 유

도과정을 기억한

다

제시된 문제를

연습장에 풀어본

다

학생에 해 개

별 인 언어를

사용하여 부드러

운 목소리로 피

드백을 제공한

다

개

30

분

학습

목표

제시

수열의 활용에

한 학습목표를 제시

한다

학습목표 학습

에 필요한 자료를

Power point 시청

각 효과를 사용하여

학생들의 주의환기

집 을 한 략

을 사용한다

학습목표를 학생

들에게 읽게 하고

학생들의 련성을

높이기 해 학습

목표의 의미를 설

명해 다

교사의 지시에

따라 큰소리로 학

습목표를 읽고 이

수업이 끝난 후

무엇을 할 수 있

는지에 해 생각

해 본다

학습목표는 큰

씨를 사용하

고 핵심이 되는

단어에는 다른

색깔을 사용한

다

탐구

학습

실생활과 련된

수열의 활용문제들을

몇 가지 소개한다

수열의 활용에

한 학습자들의 이해

정도를 악하고 피

드백을 제공한다

등차수열과 등비

수열을 이용하여

실생활의 문제를

해결할 수 있음을

학생들이 쉽게 이

해할 수 있도록 설

명한다

교사가 실생활

과 련된 수열의

활용문제들을 몇

가지 소개할 때

다른 시가 있는

지 함께 생각해

본다

문제

제시

[문제3]

한일 월드컵 축구 개

회 연도는 2002년이

다 2002년 이후 월

드컵 축구가 개최되

는 연도를 차례로 써

보고 이 규칙 로 월

드컵 축구가 개최되

면 2100년은 월드컵

축구가 개최되는 연

도인가

교과서에서 수열

단원의 수열의 활

용부분에 수록된

문제들을 풀어볼

수 있도록 시간을

다

등차수열과 등

비수열의 일반항

유도 공식을 생각

해보고 제시된 문

제를 해결해 간다

로써 활용되

는 문제를 선택

할 때 학습자들

이 알고 있거나

그들에게 친근감

을 주는 련성

증진을 한

략을 사용한다

[문제4]

컴퓨터의 주기억 장

치인 램은용

으로

용으로 가 개발

되었다 이후 램의

용 량 은

로 증가되어 왔다

의 램으로부터

번 증가된 주 메모

리는 식으로 어떻게

나타낼 수 있는가

학생들이 문제를

어렵게 느끼지 않

도록 어떤 방향으

로 해결해야 하는

지 힌트를 주어 학

생들의 자신감을

증진시킨다

소집

단

활동

5～6명으로 이 진

소집단을 구성하여

학습자들이 수열의

활용에 해 어느 정

도 이해하고 있는지

를 서로 토론하도록

한다

소집단별로 실생활

과 련된 수열의 활

용의 문제들을 구체

으로 제시한다

인 스토 이

끝나면 소집단별로

한사람씩 문제를 풀

고 풀이과정을 체

학생들에게 설명하는

시간을 갖는다

교사는 학생들의

만족감을 높이기

하여 그들이 주

어진 과제를 성공

으로 해결했을

때 그에 따르는

내재 강화나 외

재 보상이 있음

을 알려 다

어려운 문제를

해결한 소집단이나

학생에게 교사는

그들의 우수한 능

력을 인정하고 내

재 인 자존심에

정 인 향을

주는 칭찬을 제공

하여 자신감과 만

족감을 높인다

자신이 속한 소

집단 내에서 제시

된 과제에 해

열심히 토의를 하

며 문제를 해결한

학생이 아직 해결

하지 못한 학생들

을 도와주어 자신

감과 만족감을 갖

도록 한다

소집단별로 간

략하게 토론이 끝

나면 학생들 스스

로 정리해보고 자

발 으로 체 학

생들에게 설명해

보는 기회를 갖는

다

교사는 학습자

들이 한 자

신감을 유지하고

있는지에 해

지속 인 심을

갖고 지켜본다

학생들의 소집

단 토론시간을

무 길게 소요

하지 않도록 한

다

형성

평가

[문제4]

민수는 남 문의 기

와 지붕 한쪽 면이

사다리꼴 모양임을

찰하고 이 면에 있

는 기와의 개수를 알

아보고자 한다 기와

형 성 평 가 를

Power point로 제

시하고 학생들이

스스로 풀어볼 수

있도록 지도한다

학생들이 문제를

다 풀고 나면 교사

제시된 문제를

오늘 학습한 내용

을 복습하면서 풀

어보도록 한다

교사는 다소

진지한 목소리로

질문한다

의 개수를 행으로 세

었더니 용마루 쪽에

가장 가까운 행에는

40개 처마 쪽에 가

장 가까운 행에는 72

개 다 용마루부터

처마까지 행의 개수

가 17이라고 할 때

민수가 찰한 지붕

한쪽 면의 기와의 개

수는 모두 몇 개인

가

는 학생들에게

답할수 있도록 하

고 학생들이 학습

목표에 해 얼마

나 많이 달성했는

가를 스스로 검

해 보라고 한다

형성평가의 답

을 교사의 질문에

끝난 뒤 큰소리로

답하여 자신감

과 만족감을 갖도

록 한다

학생들에게 개

별 인 언어를

사용한다

정

리

5

분

학습

정리

차시

고

학습 자료를 이용

하여 수열의 실생활

의 활용 단원의 수업

내용을 확인한다

과제를 제시한다

다음 차시인 「여

러 가지 수열」 단원

에 한 고를 한

다

수업 내용을 정

리하고 과제를 제

시한다

학생들의 흥미를

유지하기 하여

다음 학습내용에

해 호기심에 찬

목소리로 간략하게

소개하고 수업을

끝낸다

오늘 학습한 내

용을 정리한다

과제를 고 과

제 해결에 한

내용을 머릿속에

형성해 본다

다음 차시에 배

울 내용을 학습

자료 화면으로 확

인해본다

수업내용에

해 학생과 교사

모두가 만족하고

있는지 확인하고

공정한 평가를

한다

[표10 수업지도안]

4 조사 문제지 분석

고등학교 수학 Ⅰ 의 수열단원의 효율 인 지도방안의 연구를 하여 원

종고등학교 2학년 학생 100명을 상으로 조사 문제지 조사를 하 다 학

생들의 수학에 한 심과 수학에서 가장 어려워하는 부분을 알아볼 수

있었고 어떤 방식의 수업을 선호하는지도 알아볼 수 있었다

⑴ 수학에 얼마나 심이 있나요

① 매우 많다 ② 많다 ③ 보통이다 ④ 다 ⑤ 매우 다

수학과목에 매우 많은 심을 보이는 학생은 2로 매우 낮은 편이며

심이 있는 학생은 43로 학생의 반정도 다 수학과목에 심이 거

나 없는 학생은 54정도로 수학은 어려운 과목이라는 인식 때문에 심

이 은 것 같다

수학을 공부하는 가장 큰 이유에는75의 학생들이 학입시를 해서라

는 문항을 선택했다 기타 이유에는 교과서에 있어서 어쩔수 없이 한다

는 학생과 진리탐구를 해서라는 학생도 있었다

[그림6 조사문제지

(1)번 막 그래 ]

⑵ 수학을 공부하는 가장 큰 이유가 뭐라고 생각하나요

① 학입시를 해서

② 평소 수학에 흥미가 있어서

③ 실제 생활에 쓰기 해서

④ 주변에서 해야한다고 하니까

⑤ 기타 이유 (이유를 간단히 어주세요)

앞에 (1)번문항에서 수학에 심이 은 학생이 반 정도인것에 반해

수학공부가 필요하다고 느낀학생이 75정도로 수학공부가 필요하단건

느끼지만 어려운 과목이라는 인식이 부분인것 같다 수학과목도 재

는 과목이란 인식을 학생들이 가질수 있도록 노력해야겠다

[그림7 조사문제지

(2)번 막 그래 ]

⑶ 수학공부의 필요성에 해 어떻게 생각하나요

① 매우 필요하다 ② 조 필요하다 ③ 보통이다

④ 필요 없다 ⑤ 필요 없다

[그림8 조사문제지

(3)번 막 그래 ]

⑷ 수학을 공부하면서 가장 어려운 부분은 무엇이나요

① 복잡한 계산 과정 ② 외워야할 많은 공식들

③ 응용문제엔 어떤 공식을 용해야할지 ④ 다 어렵다

학생들이 수학과목이 어렵다고 느끼는 이유는 응용문제에 어떤 공식을

용해야 하는지를 몰라서 라는 답이 58로 가장 많았다 그 외에도

계산과정이 복잡하거나 외워야할 공식들이 많아서라는 답도 있었다

이해 주의 수업을 하고 단순한 공식의 암기 주의 수업을 탈피해야겠

다

수학수업을 하는데 효과 인 방법에는 선생님 주의 강의식 수업과 학

생 개인별 수업이 78로 가장 많았다 개념이나 공식유도과정을 설명할

땐 서를 하며 강의식 수업을 하고 문제풀이땐 학생들 개인별로 첨삭

지도를 하는게 효율 인것 같다

⑤ 기타이유 (이유를 간단히 어주세요)

[그림9 조사문제지

(4)번 막 그래 ]

⑸ 수학 수업을 하는 데 어떤 방법이 가장 효과 이라고 생각하나요

① 선생님 주의 강의식 수업

② 학생 개인별 수업

③ 모둠별 활동 수업

④ 기타 교재나 과제를 통한 수업

⑤ 기타(이유를 간단히 어주세요)

[그림10 조사문제지

(5)번 막 그래 ]

Ⅵ 결론

본 논문에서 지 까지 고등학교 2학년 학생들이 수학 Ⅰ 교육과정을 학습하

는데 가장 어려워하는 수열에 해 살펴보았다 먼 개정 교육과정에 명시

된 수학교육의 목표와 임의로 선택된 5종 교과서에서 수열 단원의 학습목표

를 살펴보았고 수열의 역사 배경과 실생활에 응용된 들을 정리해보았

다 한 5종 교과서에서 제시되어 있는 수열의 학습내용을 소단원 별로 정

리해보았다 임의로 선택된 5종 교과서안의 수열의 학습내용을 분석해보면

서 몇 몇 교과서에서 여러 가지 수열 단원에서 군 수열과 멱 수에 한 언

이 없거나 미약함을 알 수 있었다 본 연구자가 보기에 군 수열과 멱 수

부분은 실생활에 활용될 는 극히 작아 보이지만 학생들이 꼭 학습하고 넘

어가야 수열에 한 완벽한 학습이 될 수 있을 것이라 여겼는데 교과서에서

제시된 내용들로는 학생들이 충분히 이해할 수 없을 것 같았다

그리고 교과서에 제시된 문항의 수 이 입시와 동 떨어진다는 문제 이 있

었다 교과서에 제시된 문제가 부족하고 수 이 낮다 보니 실제로 학교에서

수업 때 보충 린트 물로 수업을 진행하고 간기말고사 때에도 교과서

외에서 많은 문제를 출제하는 모습을 볼 수 있었다 때문에 학생들이 교과서

보다는 문제집 주의 공부를 할 수 밖에 없는 듯 보 다 교과서가 학생들

과 교사의 요구에 부합할 수 있도록 새로운 내용들과 문제를 싣도록 해야

할 것이다

학생들이 수열 단원의 학습을 할 때 좀 더 효과 인 학습이 될 수 있도록

리의 동기설계이론 (ARCS 이론) 을 바탕으로 하여 수업 계획서와 1차시

의 수업 지도안을 작성해 보았다 한 작성한 수업 지도안으로 부천시 소재

의 한 고등학교에서 실제 수업을 진행해 보았을 때 학생들이 좀 더 수열에

해 친숙하게 느끼고 쉽게 이해하는 모습을 볼 수 있었다 본 연구자가

직 교사가 아니라 여러 반을 상으로 수열 단원의 모든 차시 수업에 용

하여 수업을 해볼 수 없었단 이 아쉬움으로 남는다

이와 같이 학생들의 주의 련성자신감만족감 증진을 한 수업을 함

으로써 학생들의 수학 학습 성취도의 향상을 기 할 수 있을 것이다 한

개발된 자료를 실제 수업에 용하는 경우의 효율성에 한 후속 연구가 체

계 이고 지속 으로 이루어져야 할 것이다

참 고 문 헌

[1] 구평회 META 구평회 교육학 2007

[2] 교육인 자원부 고시 제2007 - 79호[별책8] 2007

[3] 박인학 교사를 한 교수학습방법론 문사 1995

[4] 변 계 교수학습 이론의 이해 학지사 1999

[5] 우정호 외 5인 고등학교 수학 Ⅰ 한교과서(주) 2002

[6] 이 연 자연의 수학 열쇠 피보나치수열 로네시스 2006

[7] 이진화 지수로그함수의 지도에 한 연구 서강 학교 교육 학원 석사 학

논문 2006

[8] 임재훈 외 10인 고등학교 수학 Ⅰ (주)두산 2002

[9] 장 숙 고등학교 수학 Ⅰ 교과서의 통계단원 분석 실생활에의 용 경희

학교 교육 학원 석사 학 논문 2006

[10] 조해식 행렬 수열 수업에서의 수학사 도입에 한 연구 울산 학교 석사

학 논문 1998

[11] 차 자 수열 학습의 흥미 유발을 한 자료 연구 경성 학교 교육 학원 석

사 학 논문 2004

[12] 최 외 5인 고등학교 수학 Ⅰ 앙교육진흥연구소 2006

[13] 최상기 외 5인 고등학교 수학 Ⅰ (주)고려출 2002

[14] 최용 신 성 고등학교 수학 Ⅰ 천재교육(주) 2002

[15] 황혜정 외 5인 수학교육학 신론 문음사 2002

• Ⅰ 서론
• • 1 연구의 필요성과 목적
  • 2 연구의 제한점
  • • Ⅱ 개정 교육과정에서 명시된 수학Ⅰ교육의 목표
    • • 1 수학Ⅰ교육의 목표
      • 2 고등학교 수학 Ⅰ 수열 단원의 학습목표
      • • Ⅲ 수열의 역사적 배경 및 응용
        • • 1 수열의 역사
          • 2 수열 단원이 실생활에 응용된 사례
          • • Ⅳ 고등학교 수학교육과정에서의 수열
            • • 1 수학Ⅰ 교과서 분석
              • 2 수학Ⅰ 교과서에서의 수열
              • • Ⅴ 켈러의 ARCS 이론과 수열 지도
                • • 1 켈러의 ARCS 이론
                  • 2 ARCS 이론을 적용한 수열 수업 계획서
                  • 3 ARCS 이론을 적용한 수업 지도안
                  • 4 조사지 분석
                  • • Ⅵ 결론
                    • 참고문헌

등차수열의 일반항

첫째항이 공차가 인 등차수열의 일반항 은

본 연구자가 임의로 선택한 5종 교과서 ([5][8][12][13][14]) 에서의

수열의 내 을 정리해보았다

1) 등차 수열과 등비 수열

(1) 수열의 뜻

어떤 규칙에 따라 순서 로 수를 늘어놓은 것을 수열이라 하고 그 수열을

이루는 각각의 수를 그 수열의 항이라고 한다 수열의 각 항을

앞에서부터 순서 로 제 1항 제 2항 제 3항 제 항

이라고 한다 특히 제 1항은 첫째항이라고도 한다

(2) 등차수열의 뜻

첫째항에 차례로 일정한 수를 더하여 만들어진 수열을 등차수열 이라하고

더한 일정한 수를 공차라고 한다

첫째항이 공차가 인 등차수열 에서

이므로 일반항 은 다음과 같이 나타낼 수 있다

(3) 등차수열의 합

등차수열의 합

첫째항이 공차가 끝항이 인 등차수열의 첫째항부터 제 항까지의

합 은

첫째항이 공차가 등차수열 에서 첫째항 부터 제 항 까지의 합

을 토론하기의 방법을 이용하여 구해보자

　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　①

더하는 순서를 거꾸로 하면

　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　②

①②의 양변을 각각 더하면

　　

따라서 =

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　③

이때 제 항인 를 ③에 입하여 식을 다르게 나타낼수도

있다

이상을 정리하면 다음과 같다

(4) 수열의 합과 일반항

수열 에서 첫째항부터 제 항까지의 합을 이라 하면

ge 일때 　　

there4

수열의 합과 일반항의 계

수열 의 첫째항부터 제 항까지의 합을 이라 하면

(단 ge )

등비수열의 합

일때 이다

이상을 정리하면 다음과 같다

(5) 등비수열의 뜻

첫째항부터 시작하여 각 항의 바로 앞의 항에 일정한 수를 곱하여

만들어진 수열을 등비수열이라 하고 곱하는 일정한 수를 공비라고 한다

첫째항이 공비가 인 등비수열에서 첫째항부터 제 항까지의 합 은

다음과 같이 구한다

　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　①

①의 양변에 공비 을 곱하면

　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　②

①에서 ②를 같은 변끼리 빼면

따라서 ne 일때

인 경우 ①에서

　　

there4

이상을 정리하면 다음과 같다

첫째항이 공비가 인 등비수열의 첫째항부터 제 항까지의 합 은

① ne 일때

② 일때

자연수의 거듭제곱의 합

①

　　

②

　　

③

　　

2) 여러 가지 수열

(1) 합의 기호 sum

수열 에서 첫째항부터 제 항까지의 합

　　

을 일반항과 합의 기호 sum를 써서

　　

와 같이 나타낸다

이때

는 수열 의 일반항 의 에 　　　　　　을 차례로

입하여 얻은 항의 합으로 신 다른 문자를 사용하여

등과 같이 나타낼 수 있다

(2) 기호 sum 의 성질

합의 기호 sum 의 성질에 하여 알아보자

합의 기호 sum의 성질

①

(복부호동순)

②

(단 는 상수)

③

(단 는 상수)

　　

　　 　　

　　

마찬가지로

와

에 해서도 확인해 보면 sum 의 성질을

다음과 같이 정리할 수 있다

(3) 계차수열

일반 으로 수열 에서 이웃하는 두 항의 차

　　 을 일반항으로 하는 새로운 수열

　　　　　　　을 얻을 수 있는데 이 수열 을 원래의 수열 의

계차수열이라고 한다

수열 에 하여 그 계차수열을 이라 하면

　　

계차수열과 일반항

수열 의 계차수열을 이라 할때

(단 ge )

3) 수학 귀납법

(1) 수열의 귀납 정의

첫째항과 이웃하는 두 항 사이의 계식으로 수열을 정의하는 것을 수열의

귀납 정의 라고 한다

첫째항이 공차가 인 등차수열 은 다음이 성립한다

　ge 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　①

역으로 두 계식 ①이 주어지면 이 결정되고 차례로

가 결정된다 따라서 모든 자연수 에 하여 이 정해지므로 수열 이

정의 된다

①과 같이 의 값 과 의 계식을 화식이라고 한다

(2) 수학 귀납법

수학 귀납법은 이탈리아의 페아노에 의하여 설정된 자연수에 한 공리

수학 귀납법

자연수 에 한 명제 이 모든 자연수 에 하여 성립함을 증명하

려면 다음 ⅰ ⅱ 를 증명하면 된다

ⅰ 일때 명제 이 성립한다

ⅱ 일때 명제 이 성립한다고 가정하면 일때에도

명제 이 성립한다

다음과 같은 5번째 공리에 근거를 두고 있다

자연수의 집합 의 부분집합 가

ⅰ 　isin

ⅱ 　isin 이면 isin

(여기서 는 의 후자)

인 두 조건을 만족하면 이다

4) 알고리즘과 순서도

(1) 알고리즘과 순서도

어떤 문제를 해결하기 해서는 그 처리 순서를 정해야 하는데 이와 같이

문제 해결에 필요한 처리 과정의 순서를 단계 으로 정리한 것을 알고리즘

이라 하고 알고리즘을 알기 쉽게 기호를 써서 그림으로 나타낸 것을 순서도

라고 한다 일반 으로 어떤 문제를 해결하기 한 알고리즘은 여러 가지가

있을 수 있지만 정해진 유한번의 단계를 거치면 반드시 끝나야 하고 처리

과정의 순서가 명확해야 한다 한 순서도는 각 부분을 순서 계통 으로

나타냄으로써 작업 과정을 구나 쉽게 한 에 악할 수 있도록

작성되어야 한다 순서도는 다음과 같은 기호를 사용하여 작성한다

[표7 순서도의 기호]

(2) 알고리즘과 순서도의 작성

수열과 련된 순서도를 작성할 때에는 다음과 같은 방법을 고려한다

(가) 항수를 항을 수열의 합을 로 나타낸다

(나) 제시된 항의 번호까지 루 를 용한다

(다) 제시된 항의 번호에 하여 단 기호를 이용한다

(라) 구하려는 는 를 인쇄하고 끝낸다

주의환기

집 을

한 략

지각

주의환기의

략

시청각 효과의 사용

비일상 인 내용이나 사건 제시

주의 분산의 자극 지양

탐구

주의환기의

략

능동 반응 유도

문제해결 활동의 구상 장려

신비감의 제공

다양성의

략

간결하고 다양한 교수형태 사용

일방 교수와 상호작용 교수의 혼합

교수자료의 변화 추구

목표-내용-방법이 기능 으로 통합

련성

증진을

한

략

친 성의

략

친 한 인물 혹은 사건 활용

구체 이고 친숙한 그림 활용

친 한 문 배경 지식 활용

목 지향성

의 략

실용성에 을 둔 목표 제시

목 지향 인 학습형태 활용

Ⅴ 러의 ARCS 이론과 수열 지도

1 러의 ARCS 이론

1) ARCS 이론의 특징

(1) 이론 배경

다음은 ([4])의 내용을 참고하 다

ldquo말을 물가로 데리고 갈 수는 있지만 물을 먹일 수는 없다rdquo는 속담처럼

하고자 하는 마음이 없으면 학습 효과를 기 할 수 없는 것은 당연한 사실

이다 이러한 생각의 근거에는 동기 유발의 개념이 자리 잡고 있다 동기

유발이란 어떤 활동을 진 지시 유지하려는 내 상태 는 과정을

포함한다 이 개념은 교육 심리학의 심 개념 의 하나이지만 직 찰

할 수 없는 것이기 때문에 인간의 행동을 보고 거기에서 유출해 내는 개념

이며 이에 한 정의는 바라보는 과 강조하는 내용에 따라 각기 다르

다

(2) ARCS 이론

목 의 선택 가능성 부여

필요나

동기와의

부합성 강조의

략

다양한 수 의 목 제시

학업성취 여부의 기록체제 활용

비경쟁 학습상황의 선택가능

동 상호 학습상황 제시

자신감

수립을

한 략

학습의

필요조건

제시의 략

수업의 목표와 구조의 제시

평가기 피드백의 제시

선수학습 능력의 단

시험의 조건 확인

성공의 기회

제시의 략

쉬운 것에서 어려운 것으로 과제 제시

정수 의 난이도 유지

다양한 수 의 시작 제공

무작 의 다양한 사건 제시

다양한 수 의 난이도 제공

개인

조 감

증 의 략

학습의 끝을 조 할 수 있는 기회 제시

학습속도의 조 가능

원하는 부분에로의 재빠른 회귀 가능

선택가능하고 다양한 과제의 난이도제공

노력이나 능력에 성공 귀착

만족감

증 를

한 략

자연 결과

강조의 략

연습문제를 통한 용기회 제공

후속학습상황을 통한 용기회 제공

모의상황을 통한 용기회 제공

정 결과

강조의 략

한 강화 계획의 활용

의미 있는 강화의 강조

정답을 한 보상 강조

외 보상의 사려 깊은 사용

선택 보상체제 활용

공정성

강조의 략

수업목표와 내용의 일 성 유지

연습과 시험 내용이 일치

[표8 ARCS 략] ([1])

2 ARCS 이론을 용한 수열 수업 계획서

다음은 ([1])의 ARCS 이론의 수업계획서를 참고하여 수열 단원의 수업

계획서를 작성해보았다

수업내용개 동기 략개 기타의견1 수업 기

체 으로 교사는 다양한 방법으로 학습자들

에게 수업 내용을 제시하고 학습자들에게

한 언어를 사용한다

수열의 활용에

한 학습목표

제시하기

교사는 학습자들의 련성을 높이기 해 학습

목표의 의미를 설명해 다

도표는 큰 씨를 사

용하고 핵심이 되는

단어에는 다른 색깔을

사용한다

수열의 활용의

이 과 평가

거를 제시하기

교사는 학습자들의 련성과 자신감 만족감

을 높이기 하여 이 수업이 끝난 후 그들이

무엇을 할 수 있는지에 해 알려 다

교사는 학습자들의 자신감과 만족감을 높이기

하여 성공 인 학습성취를 단할 수 있는 객

인 거들을 알려 다

교사는 학습자들의 만족감을 높이기 하여

그들이 주어진 과제를 성공 으로 해결했을 때

그에 따르는 내재 강화나 외재 보상이 있음

을 알려 다

수열의 정의와

해법에 한 지

식을 간략하게

확인하기

교사는 선수학습과의 련성을 유발하기 하

여 간략한 보조도구(인쇄매체)를 사용하여 수열

의 정의와 해법을 제시한다

교사는 소집단 토론을 실시하여 학습자들의

선수지식을 스스로 검해 보도록 한다

교사는 수열의 정의와 해법을 잘 모르는 학습

자들에게 자신감을 유발시키기 하여 개별 인

학습목표를 세우도록 한다

소집단 구성에 있어

서 주의집 이 매우

낮은 5명을 하나의 소

집단으로 구성하고

친근한 소재를 활용하

여 그들의 주의집 과

련성을 유발한다

실생활과 련

된 수열의 활용

문제들을 몇 가

지 소개하기

교사는 학습자들의 주의집 을 유지하기 해

실생활에서 연립방정식을 활용하여 해결할 수

있는 몇 가지 문제들을 제시한다

주의집 이 매우 낮은 5명의 학습자들이 수업

에 극 인 심을 보이지 않으면 교사는 그

들에게 친근한 목소리로 이름을 부르면서 수업

에 집 하라고 얘기 하고 개인 인 심을 갖

고 있음을 나타낸다

로써 활용되는 문

제들을 선택할 때 학

습자들이 알고 있거

나 그들에게 친근감

을 주는 소재가 포함

되도록 선택한다 이

때 지나치게 자심감

이 높아서 수업에 소

극 으로 참여하는 3

명의 학습자들에게는

다소 복잡한 수열의

활용 문제를 미리 제

공하여 생각할 기회를

다

수열의 활용에

한 학습자들의

이해정도를 악

하고 피드백을

제공하기

교사는 학습자들에게 자신감을 높이기 하여

소집단을 구성하여 학습자들이 수열의 활용에

해 어느 정도 이해하고 있는지를 서로 토론하

도록 한다

교사는 소집단별로 둘러보면서 자신감과 만족

감을 유발시키기 하여 학습자들간에 서로 도

움을 주도록 분 기를 형성한다

소집단별로 간략하게 토론이 끝나면 학습자

들 스스로 정리하도록 한다

토론결과 학습자들이 수열의 활용에 해 잘

못 이해하고 있다면 교사는 즉각 으로 교정

피드백을 제공한다

학습자들의 소집단

토론시간을 무 길게

소요하지 않도록 한

다 자칫하면 토론분

기가 산만해지기 쉽

고 토론이 활발하지

못한 경우에는 학습자

들의 학습의욕이 떨어

진다

2 수업 반 체 으로 교사는 다양한 방법으로 학습자

들에게 수업 내용을

제시하고 학습자들에게 개별 인 언어를 사용

한다

실생활과 련

된 수열의 활용

의 문제들을 구

체 으로 제시하

기

교사는 학습자들의 주의집 련성 자신감

만족감을 유지하기 하여 게임을 실시한다 학

습자들이 돌아가면서 임의로 다른 학습자를 지

명하면 지명받은 학습자가 실생활과 련된 수

열의 문제를 하나 제시한다 한 문제를 제

시한 학습자에게 학습태도 수를 주어 만족감

을 향상시킨다

교사는 학습자들이 제시한 여러 가지 문제들

을 칠 에 은 후 몇몇 소집단을 구성하여

그 문제들을 해결하기 해 인스토 을 하

도록 한다 이때 교사는 문제를 해결한 학습자

가 아직 해결하지 못한 학습자들을 도와주어 자

신감과 만족감을 갖도록 한다

인스토 이 진행되는 동안 교사는 교실

을 둘러보면서 학습자들이 질문이나 의문사항

에 해 극 으로 질문할 수 있는 기회를 제

공하고 그에 해 개별 인 언어를 사용하여

부드러운 목소리로 피드백을 제공한다

인스토 도 학습자들의 개인 인 능

력차가 커서 문제를 해결하는데 어려움을 겪는

학습자들에게는 그들에게 합한 개별 인 학습

이때 교사는 밝고

생동감이 넘치는 목소

리로 학습자들의 활동

을 진시킨다

교사는 학습자들이

한 자신감을 유지

하고 있는지에 해

지속 인 심을 갖고

지켜본다

이때 교사는 학습자

들의 자신감과 만족감

을 높이기 하여 그

들에게 일 성 있는

피드백을 제공한다

교사는 학습자들이

목표를 다시 선정하도록 하여 자신감을 향상시

킨다

인스토 이 끝나면 교사는 소집단 별로

한 사람씩 자발 으로 나와 문제를 풀고 풀이

과정을 체 학습자들에게 설명하도록 한다 이

때 어려운 문제를 해결한 소집단이나 학습자에

게 교사는 그들의 우수한 능력을 인정하고 내

재 인 자존심에 정 인 향을 주는 칭찬을

제공하여 자신감과 만족감을 높인다

소집단의 인스토

을 하는 동안 체

으로 문제풀이를 할

때 주의집 을 유지

하고 자신감과 만족

감의 향상을 악하기

해 끊임없이 그들과

시선을 교류하고 얼

굴표정을 찰한다

3 수업마무리 체 으로 교사는 다양한 방법으로 학습자

들에게 수업 내용을 제시하고 학습자들에게 개

별 인 언어를 사용한다

실생활과 련

된 수열의 활용

에 해 체

으로 정리 요

약하기

교사는 교탁을 탁탁 치거나 박수를 쳐서 다

소 떨어진 학습자들의 주의집 을 향상 시킨다

교사는 실생활 속에서 수열을 활용하여 해결

할 수 있는 간단하고 재미있는 문제들을 2～3개

제시하여 학습자들이 그 문제를 성공 으로 해

결함으로써 자신감과 만족감을 갖도록 한다

교사는 학습자들이 미처 생각하지 못했던 실

생활 속에서 수열과 연 된 다양한 들을 제공

하여 주의집 과 련성을 유지향상시킨다

교사는 자신감과 만족감을 향상시키기 해

학습자들에게 수업진행 에 그들이 설정한 개

인 인 학습목표에 해 얼마나 많이 달성했는

가를 스스로 검해 보라고 한다

교사는 수업 반에 수열의 문제를 잘 해결하

지 못했던 학습자들에게 그 문제를 다시 해결해

보도록 기회를 제공하여 자신감과 만족감을 높

여 다

평가에 있어서 교사는 학습자들이 그들의 성

에 해 공정하게 평가되었다고 느끼도록 일

성 있게 평가하여 그들의 자신감고 만족감을

높여 다

교사는 수열과 실생

활과의 련성에 해

학습자들이 잘 지각하

고 있는가를 알아보기

해 다소 진지한 목

소리로 질문한다

다음 학습내용

에 해 간략히

소개하기

교사는 학습자들의 흥미를 유지하기 하여

다음 학습내용에 해 호기심에 찬 목소리로 간

략하게 소개하고 수업을 끝낸다

[표9 러의 ARCS이론]

단원

단

원Ⅲ 수열

배정시간

(분)50

단

원1 등차수열과 등비수열

차시 3소단

원3) 등차수열과 등비수열의 활용

학습

목표등차수열과 등비수열을 실생활의 문제에 용할 수 있다

학습

단계학습내용

교수-학습활동 지도상의유의사

항교사활동 학생활동

도

입

15

분

인사

출석

주변을 정리 정돈

하여 수업분 기를

조성한다

인사 출석체크

를 한다

주의를 환기시킨

후 학생들과 인사

한다

출결석 여부를

확인한다

바른 자세로 주

변을 정리한 뒤

교사와 인사한다

수업 비를 한

다

교사와 학생

모두 함께 수업

분 기를 조성한

다

선수

학습

확인

지난 시간에 학습

한 등차수열과 등비

수열의 정의에 해

다시 한번 확인해본

다

지난 시간에 학습

한 등차수열과 등비

수열의 일반항을 구

하는 방법에 해 확

인학습으로 [문제1]

과 [문제2]를 풀어본

다

학생들의 자신감

을 높이기 하여

등차수열과 등비수

열의 정의를 교과

서에서 찾아본 후

큰소리로 답하게

한다

학생들이 답한

후 다시 한번 등차

수열과 등비수열에

해 간단히 설명

등차수열과 등

비수열의 정의를

교과서에 찾아본

후 큰소리로 읽는

다

교사가 등차수

열과 등비수열의

정의에 해 다시

한번 간단히 설명

할 때 부족한 부

분은 필기하며 복

습한다

교사가 정의에

해 질문할 때

학생들이 모두

책을 찾아볼수

있게 주의를

다

만일 답하

지 못하는 학생

이 있을 경우 그

여기서 인스토 (brainstorming)이라고 하는 것은 갑자기 떠오르는 멋

진 생각을 종이에 는다든가 말로 표 해 본 후 로 기록하거나 기록된

문장을 정리정돈하면서 생각을 논리화하는 방법이다 주로 어떤 계획을 세

우고자 할 때 창조 이고 기발한 아이디어가 필요할 때 학생들의 의견과

생각을 끌어내어 발 시키고자 할 때 사용하면 유리하다 ([3])

3 ARCS 이론을 용한 수업지도안

[문제1]

다음 등차수열

의 일반항과 제20항

을 구하여라

　　　　　　　

[문제2]

다음 등비수열

의 일반항과 제8항을

구하여라

　 　　　　　

한다

교사는 [문제1]

과[문제2]를 제시

한 뒤 학생들에게

직 풀어보게 한

다

등차수열과 등

비수열의 일반항

과 그 공식의 유

도과정을 기억한

다

제시된 문제를

연습장에 풀어본

다

학생에 해 개

별 인 언어를

사용하여 부드러

운 목소리로 피

드백을 제공한

다

개

30

분

학습

목표

제시

수열의 활용에

한 학습목표를 제시

한다

학습목표 학습

에 필요한 자료를

Power point 시청

각 효과를 사용하여

학생들의 주의환기

집 을 한 략

을 사용한다

학습목표를 학생

들에게 읽게 하고

학생들의 련성을

높이기 해 학습

목표의 의미를 설

명해 다

교사의 지시에

따라 큰소리로 학

습목표를 읽고 이

수업이 끝난 후

무엇을 할 수 있

는지에 해 생각

해 본다

학습목표는 큰

씨를 사용하

고 핵심이 되는

단어에는 다른

색깔을 사용한

다

탐구

학습

실생활과 련된

수열의 활용문제들을

몇 가지 소개한다

수열의 활용에

한 학습자들의 이해

정도를 악하고 피

드백을 제공한다

등차수열과 등비

수열을 이용하여

실생활의 문제를

해결할 수 있음을

학생들이 쉽게 이

해할 수 있도록 설

명한다

교사가 실생활

과 련된 수열의

활용문제들을 몇

가지 소개할 때

다른 시가 있는

지 함께 생각해

본다

문제

제시

[문제3]

한일 월드컵 축구 개

회 연도는 2002년이

다 2002년 이후 월

드컵 축구가 개최되

는 연도를 차례로 써

보고 이 규칙 로 월

드컵 축구가 개최되

면 2100년은 월드컵

축구가 개최되는 연

도인가

교과서에서 수열

단원의 수열의 활

용부분에 수록된

문제들을 풀어볼

수 있도록 시간을

다

등차수열과 등

비수열의 일반항

유도 공식을 생각

해보고 제시된 문

제를 해결해 간다

로써 활용되

는 문제를 선택

할 때 학습자들

이 알고 있거나

그들에게 친근감

을 주는 련성

증진을 한

략을 사용한다

[문제4]

컴퓨터의 주기억 장

치인 램은용

으로

용으로 가 개발

되었다 이후 램의

용 량 은

로 증가되어 왔다

의 램으로부터

번 증가된 주 메모

리는 식으로 어떻게

나타낼 수 있는가

학생들이 문제를

어렵게 느끼지 않

도록 어떤 방향으

로 해결해야 하는

지 힌트를 주어 학

생들의 자신감을

증진시킨다

소집

단

활동

5～6명으로 이 진

소집단을 구성하여

학습자들이 수열의

활용에 해 어느 정

도 이해하고 있는지

를 서로 토론하도록

한다

소집단별로 실생활

과 련된 수열의 활

용의 문제들을 구체

으로 제시한다

인 스토 이

끝나면 소집단별로

한사람씩 문제를 풀

고 풀이과정을 체

학생들에게 설명하는

시간을 갖는다

교사는 학생들의

만족감을 높이기

하여 그들이 주

어진 과제를 성공

으로 해결했을

때 그에 따르는

내재 강화나 외

재 보상이 있음

을 알려 다

어려운 문제를

해결한 소집단이나

학생에게 교사는

그들의 우수한 능

력을 인정하고 내

재 인 자존심에

정 인 향을

주는 칭찬을 제공

하여 자신감과 만

족감을 높인다

자신이 속한 소

집단 내에서 제시

된 과제에 해

열심히 토의를 하

며 문제를 해결한

학생이 아직 해결

하지 못한 학생들

을 도와주어 자신

감과 만족감을 갖

도록 한다

소집단별로 간

략하게 토론이 끝

나면 학생들 스스

로 정리해보고 자

발 으로 체 학

생들에게 설명해

보는 기회를 갖는

다

교사는 학습자

들이 한 자

신감을 유지하고

있는지에 해

지속 인 심을

갖고 지켜본다

학생들의 소집

단 토론시간을

무 길게 소요

하지 않도록 한

다

형성

평가

[문제4]

민수는 남 문의 기

와 지붕 한쪽 면이

사다리꼴 모양임을

찰하고 이 면에 있

는 기와의 개수를 알

아보고자 한다 기와

형 성 평 가 를

Power point로 제

시하고 학생들이

스스로 풀어볼 수

있도록 지도한다

학생들이 문제를

다 풀고 나면 교사

제시된 문제를

오늘 학습한 내용

을 복습하면서 풀

어보도록 한다

교사는 다소

진지한 목소리로

질문한다

의 개수를 행으로 세

었더니 용마루 쪽에

가장 가까운 행에는

40개 처마 쪽에 가

장 가까운 행에는 72

개 다 용마루부터

처마까지 행의 개수

가 17이라고 할 때

민수가 찰한 지붕

한쪽 면의 기와의 개

수는 모두 몇 개인

가

는 학생들에게

답할수 있도록 하

고 학생들이 학습

목표에 해 얼마

나 많이 달성했는

가를 스스로 검

해 보라고 한다

형성평가의 답

을 교사의 질문에

끝난 뒤 큰소리로

답하여 자신감

과 만족감을 갖도

록 한다

학생들에게 개

별 인 언어를

사용한다

정

리

5

분

학습

정리

차시

고

학습 자료를 이용

하여 수열의 실생활

의 활용 단원의 수업

내용을 확인한다

과제를 제시한다

다음 차시인 「여

러 가지 수열」 단원

에 한 고를 한

다

수업 내용을 정

리하고 과제를 제

시한다

학생들의 흥미를

유지하기 하여

다음 학습내용에

해 호기심에 찬

목소리로 간략하게

소개하고 수업을

끝낸다

오늘 학습한 내

용을 정리한다

과제를 고 과

제 해결에 한

내용을 머릿속에

형성해 본다

다음 차시에 배

울 내용을 학습

자료 화면으로 확

인해본다

수업내용에

해 학생과 교사

모두가 만족하고

있는지 확인하고

공정한 평가를

한다

[표10 수업지도안]

4 조사 문제지 분석

고등학교 수학 Ⅰ 의 수열단원의 효율 인 지도방안의 연구를 하여 원

종고등학교 2학년 학생 100명을 상으로 조사 문제지 조사를 하 다 학

생들의 수학에 한 심과 수학에서 가장 어려워하는 부분을 알아볼 수

있었고 어떤 방식의 수업을 선호하는지도 알아볼 수 있었다

⑴ 수학에 얼마나 심이 있나요

① 매우 많다 ② 많다 ③ 보통이다 ④ 다 ⑤ 매우 다

수학과목에 매우 많은 심을 보이는 학생은 2로 매우 낮은 편이며

심이 있는 학생은 43로 학생의 반정도 다 수학과목에 심이 거

나 없는 학생은 54정도로 수학은 어려운 과목이라는 인식 때문에 심

이 은 것 같다

수학을 공부하는 가장 큰 이유에는75의 학생들이 학입시를 해서라

는 문항을 선택했다 기타 이유에는 교과서에 있어서 어쩔수 없이 한다

는 학생과 진리탐구를 해서라는 학생도 있었다

[그림6 조사문제지

(1)번 막 그래 ]

⑵ 수학을 공부하는 가장 큰 이유가 뭐라고 생각하나요

① 학입시를 해서

② 평소 수학에 흥미가 있어서

③ 실제 생활에 쓰기 해서

④ 주변에서 해야한다고 하니까

⑤ 기타 이유 (이유를 간단히 어주세요)

앞에 (1)번문항에서 수학에 심이 은 학생이 반 정도인것에 반해

수학공부가 필요하다고 느낀학생이 75정도로 수학공부가 필요하단건

느끼지만 어려운 과목이라는 인식이 부분인것 같다 수학과목도 재

는 과목이란 인식을 학생들이 가질수 있도록 노력해야겠다

[그림7 조사문제지

(2)번 막 그래 ]

⑶ 수학공부의 필요성에 해 어떻게 생각하나요

① 매우 필요하다 ② 조 필요하다 ③ 보통이다

④ 필요 없다 ⑤ 필요 없다

[그림8 조사문제지

(3)번 막 그래 ]

⑷ 수학을 공부하면서 가장 어려운 부분은 무엇이나요

① 복잡한 계산 과정 ② 외워야할 많은 공식들

③ 응용문제엔 어떤 공식을 용해야할지 ④ 다 어렵다

학생들이 수학과목이 어렵다고 느끼는 이유는 응용문제에 어떤 공식을

용해야 하는지를 몰라서 라는 답이 58로 가장 많았다 그 외에도

계산과정이 복잡하거나 외워야할 공식들이 많아서라는 답도 있었다

이해 주의 수업을 하고 단순한 공식의 암기 주의 수업을 탈피해야겠

다

수학수업을 하는데 효과 인 방법에는 선생님 주의 강의식 수업과 학

생 개인별 수업이 78로 가장 많았다 개념이나 공식유도과정을 설명할

땐 서를 하며 강의식 수업을 하고 문제풀이땐 학생들 개인별로 첨삭

지도를 하는게 효율 인것 같다

⑤ 기타이유 (이유를 간단히 어주세요)

[그림9 조사문제지

(4)번 막 그래 ]

⑸ 수학 수업을 하는 데 어떤 방법이 가장 효과 이라고 생각하나요

① 선생님 주의 강의식 수업

② 학생 개인별 수업

③ 모둠별 활동 수업

④ 기타 교재나 과제를 통한 수업

⑤ 기타(이유를 간단히 어주세요)

[그림10 조사문제지

(5)번 막 그래 ]

Ⅵ 결론

본 논문에서 지 까지 고등학교 2학년 학생들이 수학 Ⅰ 교육과정을 학습하

는데 가장 어려워하는 수열에 해 살펴보았다 먼 개정 교육과정에 명시

된 수학교육의 목표와 임의로 선택된 5종 교과서에서 수열 단원의 학습목표

를 살펴보았고 수열의 역사 배경과 실생활에 응용된 들을 정리해보았

다 한 5종 교과서에서 제시되어 있는 수열의 학습내용을 소단원 별로 정

리해보았다 임의로 선택된 5종 교과서안의 수열의 학습내용을 분석해보면

서 몇 몇 교과서에서 여러 가지 수열 단원에서 군 수열과 멱 수에 한 언

이 없거나 미약함을 알 수 있었다 본 연구자가 보기에 군 수열과 멱 수

부분은 실생활에 활용될 는 극히 작아 보이지만 학생들이 꼭 학습하고 넘

어가야 수열에 한 완벽한 학습이 될 수 있을 것이라 여겼는데 교과서에서

제시된 내용들로는 학생들이 충분히 이해할 수 없을 것 같았다

그리고 교과서에 제시된 문항의 수 이 입시와 동 떨어진다는 문제 이 있

었다 교과서에 제시된 문제가 부족하고 수 이 낮다 보니 실제로 학교에서

수업 때 보충 린트 물로 수업을 진행하고 간기말고사 때에도 교과서

외에서 많은 문제를 출제하는 모습을 볼 수 있었다 때문에 학생들이 교과서

보다는 문제집 주의 공부를 할 수 밖에 없는 듯 보 다 교과서가 학생들

과 교사의 요구에 부합할 수 있도록 새로운 내용들과 문제를 싣도록 해야

할 것이다

학생들이 수열 단원의 학습을 할 때 좀 더 효과 인 학습이 될 수 있도록

리의 동기설계이론 (ARCS 이론) 을 바탕으로 하여 수업 계획서와 1차시

의 수업 지도안을 작성해 보았다 한 작성한 수업 지도안으로 부천시 소재

의 한 고등학교에서 실제 수업을 진행해 보았을 때 학생들이 좀 더 수열에

해 친숙하게 느끼고 쉽게 이해하는 모습을 볼 수 있었다 본 연구자가

직 교사가 아니라 여러 반을 상으로 수열 단원의 모든 차시 수업에 용

하여 수업을 해볼 수 없었단 이 아쉬움으로 남는다

이와 같이 학생들의 주의 련성자신감만족감 증진을 한 수업을 함

으로써 학생들의 수학 학습 성취도의 향상을 기 할 수 있을 것이다 한

개발된 자료를 실제 수업에 용하는 경우의 효율성에 한 후속 연구가 체

계 이고 지속 으로 이루어져야 할 것이다

참 고 문 헌

[1] 구평회 META 구평회 교육학 2007

[2] 교육인 자원부 고시 제2007 - 79호[별책8] 2007

[3] 박인학 교사를 한 교수학습방법론 문사 1995

[4] 변 계 교수학습 이론의 이해 학지사 1999

[5] 우정호 외 5인 고등학교 수학 Ⅰ 한교과서(주) 2002

[6] 이 연 자연의 수학 열쇠 피보나치수열 로네시스 2006

[7] 이진화 지수로그함수의 지도에 한 연구 서강 학교 교육 학원 석사 학

논문 2006

[8] 임재훈 외 10인 고등학교 수학 Ⅰ (주)두산 2002

[9] 장 숙 고등학교 수학 Ⅰ 교과서의 통계단원 분석 실생활에의 용 경희

학교 교육 학원 석사 학 논문 2006

[10] 조해식 행렬 수열 수업에서의 수학사 도입에 한 연구 울산 학교 석사

학 논문 1998

[11] 차 자 수열 학습의 흥미 유발을 한 자료 연구 경성 학교 교육 학원 석

사 학 논문 2004

[12] 최 외 5인 고등학교 수학 Ⅰ 앙교육진흥연구소 2006

[13] 최상기 외 5인 고등학교 수학 Ⅰ (주)고려출 2002

[14] 최용 신 성 고등학교 수학 Ⅰ 천재교육(주) 2002

[15] 황혜정 외 5인 수학교육학 신론 문음사 2002

• Ⅰ 서론
• • 1 연구의 필요성과 목적
  • 2 연구의 제한점
  • • Ⅱ 개정 교육과정에서 명시된 수학Ⅰ교육의 목표
    • • 1 수학Ⅰ교육의 목표
      • 2 고등학교 수학 Ⅰ 수열 단원의 학습목표
      • • Ⅲ 수열의 역사적 배경 및 응용
        • • 1 수열의 역사
          • 2 수열 단원이 실생활에 응용된 사례
          • • Ⅳ 고등학교 수학교육과정에서의 수열
            • • 1 수학Ⅰ 교과서 분석
              • 2 수학Ⅰ 교과서에서의 수열
              • • Ⅴ 켈러의 ARCS 이론과 수열 지도
                • • 1 켈러의 ARCS 이론
                  • 2 ARCS 이론을 적용한 수열 수업 계획서
                  • 3 ARCS 이론을 적용한 수업 지도안
                  • 4 조사지 분석
                  • • Ⅵ 결론
                    • 참고문헌

등차수열의 합

첫째항이 공차가 끝항이 인 등차수열의 첫째항부터 제 항까지의

합 은

첫째항이 공차가 등차수열 에서 첫째항 부터 제 항 까지의 합

을 토론하기의 방법을 이용하여 구해보자

　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　①

더하는 순서를 거꾸로 하면

　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　②

①②의 양변을 각각 더하면

　　

따라서 =

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　③

이때 제 항인 를 ③에 입하여 식을 다르게 나타낼수도

있다

이상을 정리하면 다음과 같다

(4) 수열의 합과 일반항

수열 에서 첫째항부터 제 항까지의 합을 이라 하면

ge 일때 　　

there4

수열의 합과 일반항의 계

수열 의 첫째항부터 제 항까지의 합을 이라 하면

(단 ge )

등비수열의 합

일때 이다

이상을 정리하면 다음과 같다

(5) 등비수열의 뜻

첫째항부터 시작하여 각 항의 바로 앞의 항에 일정한 수를 곱하여

만들어진 수열을 등비수열이라 하고 곱하는 일정한 수를 공비라고 한다

첫째항이 공비가 인 등비수열에서 첫째항부터 제 항까지의 합 은

다음과 같이 구한다

　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　①

①의 양변에 공비 을 곱하면

　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　②

①에서 ②를 같은 변끼리 빼면

따라서 ne 일때

인 경우 ①에서

　　

there4

이상을 정리하면 다음과 같다

첫째항이 공비가 인 등비수열의 첫째항부터 제 항까지의 합 은

① ne 일때

② 일때

자연수의 거듭제곱의 합

①

　　

②

　　

③

　　

2) 여러 가지 수열

(1) 합의 기호 sum

수열 에서 첫째항부터 제 항까지의 합

　　

을 일반항과 합의 기호 sum를 써서

　　

와 같이 나타낸다

이때

는 수열 의 일반항 의 에 　　　　　　을 차례로

입하여 얻은 항의 합으로 신 다른 문자를 사용하여

등과 같이 나타낼 수 있다

(2) 기호 sum 의 성질

합의 기호 sum 의 성질에 하여 알아보자

합의 기호 sum의 성질

①

(복부호동순)

②

(단 는 상수)

③

(단 는 상수)

　　

　　 　　

　　

마찬가지로

와

에 해서도 확인해 보면 sum 의 성질을

다음과 같이 정리할 수 있다

(3) 계차수열

일반 으로 수열 에서 이웃하는 두 항의 차

　　 을 일반항으로 하는 새로운 수열

　　　　　　　을 얻을 수 있는데 이 수열 을 원래의 수열 의

계차수열이라고 한다

수열 에 하여 그 계차수열을 이라 하면

　　

계차수열과 일반항

수열 의 계차수열을 이라 할때

(단 ge )

3) 수학 귀납법

(1) 수열의 귀납 정의

첫째항과 이웃하는 두 항 사이의 계식으로 수열을 정의하는 것을 수열의

귀납 정의 라고 한다

첫째항이 공차가 인 등차수열 은 다음이 성립한다

　ge 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　①

역으로 두 계식 ①이 주어지면 이 결정되고 차례로

가 결정된다 따라서 모든 자연수 에 하여 이 정해지므로 수열 이

정의 된다

①과 같이 의 값 과 의 계식을 화식이라고 한다

(2) 수학 귀납법

수학 귀납법은 이탈리아의 페아노에 의하여 설정된 자연수에 한 공리

수학 귀납법

자연수 에 한 명제 이 모든 자연수 에 하여 성립함을 증명하

려면 다음 ⅰ ⅱ 를 증명하면 된다

ⅰ 일때 명제 이 성립한다

ⅱ 일때 명제 이 성립한다고 가정하면 일때에도

명제 이 성립한다

다음과 같은 5번째 공리에 근거를 두고 있다

자연수의 집합 의 부분집합 가

ⅰ 　isin

ⅱ 　isin 이면 isin

(여기서 는 의 후자)

인 두 조건을 만족하면 이다

4) 알고리즘과 순서도

(1) 알고리즘과 순서도

어떤 문제를 해결하기 해서는 그 처리 순서를 정해야 하는데 이와 같이

문제 해결에 필요한 처리 과정의 순서를 단계 으로 정리한 것을 알고리즘

이라 하고 알고리즘을 알기 쉽게 기호를 써서 그림으로 나타낸 것을 순서도

라고 한다 일반 으로 어떤 문제를 해결하기 한 알고리즘은 여러 가지가

있을 수 있지만 정해진 유한번의 단계를 거치면 반드시 끝나야 하고 처리

과정의 순서가 명확해야 한다 한 순서도는 각 부분을 순서 계통 으로

나타냄으로써 작업 과정을 구나 쉽게 한 에 악할 수 있도록

작성되어야 한다 순서도는 다음과 같은 기호를 사용하여 작성한다

[표7 순서도의 기호]

(2) 알고리즘과 순서도의 작성

수열과 련된 순서도를 작성할 때에는 다음과 같은 방법을 고려한다

(가) 항수를 항을 수열의 합을 로 나타낸다

(나) 제시된 항의 번호까지 루 를 용한다

(다) 제시된 항의 번호에 하여 단 기호를 이용한다

(라) 구하려는 는 를 인쇄하고 끝낸다

주의환기

집 을

한 략

지각

주의환기의

략

시청각 효과의 사용

비일상 인 내용이나 사건 제시

주의 분산의 자극 지양

탐구

주의환기의

략

능동 반응 유도

문제해결 활동의 구상 장려

신비감의 제공

다양성의

략

간결하고 다양한 교수형태 사용

일방 교수와 상호작용 교수의 혼합

교수자료의 변화 추구

목표-내용-방법이 기능 으로 통합

련성

증진을

한

략

친 성의

략

친 한 인물 혹은 사건 활용

구체 이고 친숙한 그림 활용

친 한 문 배경 지식 활용

목 지향성

의 략

실용성에 을 둔 목표 제시

목 지향 인 학습형태 활용

Ⅴ 러의 ARCS 이론과 수열 지도

1 러의 ARCS 이론

1) ARCS 이론의 특징

(1) 이론 배경

다음은 ([4])의 내용을 참고하 다

ldquo말을 물가로 데리고 갈 수는 있지만 물을 먹일 수는 없다rdquo는 속담처럼

하고자 하는 마음이 없으면 학습 효과를 기 할 수 없는 것은 당연한 사실

이다 이러한 생각의 근거에는 동기 유발의 개념이 자리 잡고 있다 동기

유발이란 어떤 활동을 진 지시 유지하려는 내 상태 는 과정을

포함한다 이 개념은 교육 심리학의 심 개념 의 하나이지만 직 찰

할 수 없는 것이기 때문에 인간의 행동을 보고 거기에서 유출해 내는 개념

이며 이에 한 정의는 바라보는 과 강조하는 내용에 따라 각기 다르

다

(2) ARCS 이론

목 의 선택 가능성 부여

필요나

동기와의

부합성 강조의

략

다양한 수 의 목 제시

학업성취 여부의 기록체제 활용

비경쟁 학습상황의 선택가능

동 상호 학습상황 제시

자신감

수립을

한 략

학습의

필요조건

제시의 략

수업의 목표와 구조의 제시

평가기 피드백의 제시

선수학습 능력의 단

시험의 조건 확인

성공의 기회

제시의 략

쉬운 것에서 어려운 것으로 과제 제시

정수 의 난이도 유지

다양한 수 의 시작 제공

무작 의 다양한 사건 제시

다양한 수 의 난이도 제공

개인

조 감

증 의 략

학습의 끝을 조 할 수 있는 기회 제시

학습속도의 조 가능

원하는 부분에로의 재빠른 회귀 가능

선택가능하고 다양한 과제의 난이도제공

노력이나 능력에 성공 귀착

만족감

증 를

한 략

자연 결과

강조의 략

연습문제를 통한 용기회 제공

후속학습상황을 통한 용기회 제공

모의상황을 통한 용기회 제공

정 결과

강조의 략

한 강화 계획의 활용

의미 있는 강화의 강조

정답을 한 보상 강조

외 보상의 사려 깊은 사용

선택 보상체제 활용

공정성

강조의 략

수업목표와 내용의 일 성 유지

연습과 시험 내용이 일치

[표8 ARCS 략] ([1])

2 ARCS 이론을 용한 수열 수업 계획서

다음은 ([1])의 ARCS 이론의 수업계획서를 참고하여 수열 단원의 수업

계획서를 작성해보았다

수업내용개 동기 략개 기타의견1 수업 기

체 으로 교사는 다양한 방법으로 학습자들

에게 수업 내용을 제시하고 학습자들에게

한 언어를 사용한다

수열의 활용에

한 학습목표

제시하기

교사는 학습자들의 련성을 높이기 해 학습

목표의 의미를 설명해 다

도표는 큰 씨를 사

용하고 핵심이 되는

단어에는 다른 색깔을

사용한다

수열의 활용의

이 과 평가

거를 제시하기

교사는 학습자들의 련성과 자신감 만족감

을 높이기 하여 이 수업이 끝난 후 그들이

무엇을 할 수 있는지에 해 알려 다

교사는 학습자들의 자신감과 만족감을 높이기

하여 성공 인 학습성취를 단할 수 있는 객

인 거들을 알려 다

교사는 학습자들의 만족감을 높이기 하여

그들이 주어진 과제를 성공 으로 해결했을 때

그에 따르는 내재 강화나 외재 보상이 있음

을 알려 다

수열의 정의와

해법에 한 지

식을 간략하게

확인하기

교사는 선수학습과의 련성을 유발하기 하

여 간략한 보조도구(인쇄매체)를 사용하여 수열

의 정의와 해법을 제시한다

교사는 소집단 토론을 실시하여 학습자들의

선수지식을 스스로 검해 보도록 한다

교사는 수열의 정의와 해법을 잘 모르는 학습

자들에게 자신감을 유발시키기 하여 개별 인

학습목표를 세우도록 한다

소집단 구성에 있어

서 주의집 이 매우

낮은 5명을 하나의 소

집단으로 구성하고

친근한 소재를 활용하

여 그들의 주의집 과

련성을 유발한다

실생활과 련

된 수열의 활용

문제들을 몇 가

지 소개하기

교사는 학습자들의 주의집 을 유지하기 해

실생활에서 연립방정식을 활용하여 해결할 수

있는 몇 가지 문제들을 제시한다

주의집 이 매우 낮은 5명의 학습자들이 수업

에 극 인 심을 보이지 않으면 교사는 그

들에게 친근한 목소리로 이름을 부르면서 수업

에 집 하라고 얘기 하고 개인 인 심을 갖

고 있음을 나타낸다

로써 활용되는 문

제들을 선택할 때 학

습자들이 알고 있거

나 그들에게 친근감

을 주는 소재가 포함

되도록 선택한다 이

때 지나치게 자심감

이 높아서 수업에 소

극 으로 참여하는 3

명의 학습자들에게는

다소 복잡한 수열의

활용 문제를 미리 제

공하여 생각할 기회를

다

수열의 활용에

한 학습자들의

이해정도를 악

하고 피드백을

제공하기

교사는 학습자들에게 자신감을 높이기 하여

소집단을 구성하여 학습자들이 수열의 활용에

해 어느 정도 이해하고 있는지를 서로 토론하

도록 한다

교사는 소집단별로 둘러보면서 자신감과 만족

감을 유발시키기 하여 학습자들간에 서로 도

움을 주도록 분 기를 형성한다

소집단별로 간략하게 토론이 끝나면 학습자

들 스스로 정리하도록 한다

토론결과 학습자들이 수열의 활용에 해 잘

못 이해하고 있다면 교사는 즉각 으로 교정

피드백을 제공한다

학습자들의 소집단

토론시간을 무 길게

소요하지 않도록 한

다 자칫하면 토론분

기가 산만해지기 쉽

고 토론이 활발하지

못한 경우에는 학습자

들의 학습의욕이 떨어

진다

2 수업 반 체 으로 교사는 다양한 방법으로 학습자

들에게 수업 내용을

제시하고 학습자들에게 개별 인 언어를 사용

한다

실생활과 련

된 수열의 활용

의 문제들을 구

체 으로 제시하

기

교사는 학습자들의 주의집 련성 자신감

만족감을 유지하기 하여 게임을 실시한다 학

습자들이 돌아가면서 임의로 다른 학습자를 지

명하면 지명받은 학습자가 실생활과 련된 수

열의 문제를 하나 제시한다 한 문제를 제

시한 학습자에게 학습태도 수를 주어 만족감

을 향상시킨다

교사는 학습자들이 제시한 여러 가지 문제들

을 칠 에 은 후 몇몇 소집단을 구성하여

그 문제들을 해결하기 해 인스토 을 하

도록 한다 이때 교사는 문제를 해결한 학습자

가 아직 해결하지 못한 학습자들을 도와주어 자

신감과 만족감을 갖도록 한다

인스토 이 진행되는 동안 교사는 교실

을 둘러보면서 학습자들이 질문이나 의문사항

에 해 극 으로 질문할 수 있는 기회를 제

공하고 그에 해 개별 인 언어를 사용하여

부드러운 목소리로 피드백을 제공한다

인스토 도 학습자들의 개인 인 능

력차가 커서 문제를 해결하는데 어려움을 겪는

학습자들에게는 그들에게 합한 개별 인 학습

이때 교사는 밝고

생동감이 넘치는 목소

리로 학습자들의 활동

을 진시킨다

교사는 학습자들이

한 자신감을 유지

하고 있는지에 해

지속 인 심을 갖고

지켜본다

이때 교사는 학습자

들의 자신감과 만족감

을 높이기 하여 그

들에게 일 성 있는

피드백을 제공한다

교사는 학습자들이

목표를 다시 선정하도록 하여 자신감을 향상시

킨다

인스토 이 끝나면 교사는 소집단 별로

한 사람씩 자발 으로 나와 문제를 풀고 풀이

과정을 체 학습자들에게 설명하도록 한다 이

때 어려운 문제를 해결한 소집단이나 학습자에

게 교사는 그들의 우수한 능력을 인정하고 내

재 인 자존심에 정 인 향을 주는 칭찬을

제공하여 자신감과 만족감을 높인다

소집단의 인스토

을 하는 동안 체

으로 문제풀이를 할

때 주의집 을 유지

하고 자신감과 만족

감의 향상을 악하기

해 끊임없이 그들과

시선을 교류하고 얼

굴표정을 찰한다

3 수업마무리 체 으로 교사는 다양한 방법으로 학습자

들에게 수업 내용을 제시하고 학습자들에게 개

별 인 언어를 사용한다

실생활과 련

된 수열의 활용

에 해 체

으로 정리 요

약하기

교사는 교탁을 탁탁 치거나 박수를 쳐서 다

소 떨어진 학습자들의 주의집 을 향상 시킨다

교사는 실생활 속에서 수열을 활용하여 해결

할 수 있는 간단하고 재미있는 문제들을 2～3개

제시하여 학습자들이 그 문제를 성공 으로 해

결함으로써 자신감과 만족감을 갖도록 한다

교사는 학습자들이 미처 생각하지 못했던 실

생활 속에서 수열과 연 된 다양한 들을 제공

하여 주의집 과 련성을 유지향상시킨다

교사는 자신감과 만족감을 향상시키기 해

학습자들에게 수업진행 에 그들이 설정한 개

인 인 학습목표에 해 얼마나 많이 달성했는

가를 스스로 검해 보라고 한다

교사는 수업 반에 수열의 문제를 잘 해결하

지 못했던 학습자들에게 그 문제를 다시 해결해

보도록 기회를 제공하여 자신감과 만족감을 높

여 다

평가에 있어서 교사는 학습자들이 그들의 성

에 해 공정하게 평가되었다고 느끼도록 일

성 있게 평가하여 그들의 자신감고 만족감을

높여 다

교사는 수열과 실생

활과의 련성에 해

학습자들이 잘 지각하

고 있는가를 알아보기

해 다소 진지한 목

소리로 질문한다

다음 학습내용

에 해 간략히

소개하기

교사는 학습자들의 흥미를 유지하기 하여

다음 학습내용에 해 호기심에 찬 목소리로 간

략하게 소개하고 수업을 끝낸다

[표9 러의 ARCS이론]

단원

단

원Ⅲ 수열

배정시간

(분)50

단

원1 등차수열과 등비수열

차시 3소단

원3) 등차수열과 등비수열의 활용

학습

목표등차수열과 등비수열을 실생활의 문제에 용할 수 있다

학습

단계학습내용

교수-학습활동 지도상의유의사

항교사활동 학생활동

도

입

15

분

인사

출석

주변을 정리 정돈

하여 수업분 기를

조성한다

인사 출석체크

를 한다

주의를 환기시킨

후 학생들과 인사

한다

출결석 여부를

확인한다

바른 자세로 주

변을 정리한 뒤

교사와 인사한다

수업 비를 한

다

교사와 학생

모두 함께 수업

분 기를 조성한

다

선수

학습

확인

지난 시간에 학습

한 등차수열과 등비

수열의 정의에 해

다시 한번 확인해본

다

지난 시간에 학습

한 등차수열과 등비

수열의 일반항을 구

하는 방법에 해 확

인학습으로 [문제1]

과 [문제2]를 풀어본

다

학생들의 자신감

을 높이기 하여

등차수열과 등비수

열의 정의를 교과

서에서 찾아본 후

큰소리로 답하게

한다

학생들이 답한

후 다시 한번 등차

수열과 등비수열에

해 간단히 설명

등차수열과 등

비수열의 정의를

교과서에 찾아본

후 큰소리로 읽는

다

교사가 등차수

열과 등비수열의

정의에 해 다시

한번 간단히 설명

할 때 부족한 부

분은 필기하며 복

습한다

교사가 정의에

해 질문할 때

학생들이 모두

책을 찾아볼수

있게 주의를

다

만일 답하

지 못하는 학생

이 있을 경우 그

여기서 인스토 (brainstorming)이라고 하는 것은 갑자기 떠오르는 멋

진 생각을 종이에 는다든가 말로 표 해 본 후 로 기록하거나 기록된

문장을 정리정돈하면서 생각을 논리화하는 방법이다 주로 어떤 계획을 세

우고자 할 때 창조 이고 기발한 아이디어가 필요할 때 학생들의 의견과

생각을 끌어내어 발 시키고자 할 때 사용하면 유리하다 ([3])

3 ARCS 이론을 용한 수업지도안

[문제1]

다음 등차수열

의 일반항과 제20항

을 구하여라

　　　　　　　

[문제2]

다음 등비수열

의 일반항과 제8항을

구하여라

　 　　　　　

한다

교사는 [문제1]

과[문제2]를 제시

한 뒤 학생들에게

직 풀어보게 한

다

등차수열과 등

비수열의 일반항

과 그 공식의 유

도과정을 기억한

다

제시된 문제를

연습장에 풀어본

다

학생에 해 개

별 인 언어를

사용하여 부드러

운 목소리로 피

드백을 제공한

다

개

30

분

학습

목표

제시

수열의 활용에

한 학습목표를 제시

한다

학습목표 학습

에 필요한 자료를

Power point 시청

각 효과를 사용하여

학생들의 주의환기

집 을 한 략

을 사용한다

학습목표를 학생

들에게 읽게 하고

학생들의 련성을

높이기 해 학습

목표의 의미를 설

명해 다

교사의 지시에

따라 큰소리로 학

습목표를 읽고 이

수업이 끝난 후

무엇을 할 수 있

는지에 해 생각

해 본다

학습목표는 큰

씨를 사용하

고 핵심이 되는

단어에는 다른

색깔을 사용한

다

탐구

학습

실생활과 련된

수열의 활용문제들을

몇 가지 소개한다

수열의 활용에

한 학습자들의 이해

정도를 악하고 피

드백을 제공한다

등차수열과 등비

수열을 이용하여

실생활의 문제를

해결할 수 있음을

학생들이 쉽게 이

해할 수 있도록 설

명한다

교사가 실생활

과 련된 수열의

활용문제들을 몇

가지 소개할 때

다른 시가 있는

지 함께 생각해

본다

문제

제시

[문제3]

한일 월드컵 축구 개

회 연도는 2002년이

다 2002년 이후 월

드컵 축구가 개최되

는 연도를 차례로 써

보고 이 규칙 로 월

드컵 축구가 개최되

면 2100년은 월드컵

축구가 개최되는 연

도인가

교과서에서 수열

단원의 수열의 활

용부분에 수록된

문제들을 풀어볼

수 있도록 시간을

다

등차수열과 등

비수열의 일반항

유도 공식을 생각

해보고 제시된 문

제를 해결해 간다

로써 활용되

는 문제를 선택

할 때 학습자들

이 알고 있거나

그들에게 친근감

을 주는 련성

증진을 한

략을 사용한다

[문제4]

컴퓨터의 주기억 장

치인 램은용

으로

용으로 가 개발

되었다 이후 램의

용 량 은

로 증가되어 왔다

의 램으로부터

번 증가된 주 메모

리는 식으로 어떻게

나타낼 수 있는가

학생들이 문제를

어렵게 느끼지 않

도록 어떤 방향으

로 해결해야 하는

지 힌트를 주어 학

생들의 자신감을

증진시킨다

소집

단

활동

5～6명으로 이 진

소집단을 구성하여

학습자들이 수열의

활용에 해 어느 정

도 이해하고 있는지

를 서로 토론하도록

한다

소집단별로 실생활

과 련된 수열의 활

용의 문제들을 구체

으로 제시한다

인 스토 이

끝나면 소집단별로

한사람씩 문제를 풀

고 풀이과정을 체

학생들에게 설명하는

시간을 갖는다

교사는 학생들의

만족감을 높이기

하여 그들이 주

어진 과제를 성공

으로 해결했을

때 그에 따르는

내재 강화나 외

재 보상이 있음

을 알려 다

어려운 문제를

해결한 소집단이나

학생에게 교사는

그들의 우수한 능

력을 인정하고 내

재 인 자존심에

정 인 향을

주는 칭찬을 제공

하여 자신감과 만

족감을 높인다

자신이 속한 소

집단 내에서 제시

된 과제에 해

열심히 토의를 하

며 문제를 해결한

학생이 아직 해결

하지 못한 학생들

을 도와주어 자신

감과 만족감을 갖

도록 한다

소집단별로 간

략하게 토론이 끝

나면 학생들 스스

로 정리해보고 자

발 으로 체 학

생들에게 설명해

보는 기회를 갖는

다

교사는 학습자

들이 한 자

신감을 유지하고

있는지에 해

지속 인 심을

갖고 지켜본다

학생들의 소집

단 토론시간을

무 길게 소요

하지 않도록 한

다

형성

평가

[문제4]

민수는 남 문의 기

와 지붕 한쪽 면이

사다리꼴 모양임을

찰하고 이 면에 있

는 기와의 개수를 알

아보고자 한다 기와

형 성 평 가 를

Power point로 제

시하고 학생들이

스스로 풀어볼 수

있도록 지도한다

학생들이 문제를

다 풀고 나면 교사

제시된 문제를

오늘 학습한 내용

을 복습하면서 풀

어보도록 한다

교사는 다소

진지한 목소리로

질문한다

의 개수를 행으로 세

었더니 용마루 쪽에

가장 가까운 행에는

40개 처마 쪽에 가

장 가까운 행에는 72

개 다 용마루부터

처마까지 행의 개수

가 17이라고 할 때

민수가 찰한 지붕

한쪽 면의 기와의 개

수는 모두 몇 개인

가

는 학생들에게

답할수 있도록 하

고 학생들이 학습

목표에 해 얼마

나 많이 달성했는

가를 스스로 검

해 보라고 한다

형성평가의 답

을 교사의 질문에

끝난 뒤 큰소리로

답하여 자신감

과 만족감을 갖도

록 한다

학생들에게 개

별 인 언어를

사용한다

정

리

5

분

학습

정리

차시

고

학습 자료를 이용

하여 수열의 실생활

의 활용 단원의 수업

내용을 확인한다

과제를 제시한다

다음 차시인 「여

러 가지 수열」 단원

에 한 고를 한

다

수업 내용을 정

리하고 과제를 제

시한다

학생들의 흥미를

유지하기 하여

다음 학습내용에

해 호기심에 찬

목소리로 간략하게

소개하고 수업을

끝낸다

오늘 학습한 내

용을 정리한다

과제를 고 과

제 해결에 한

내용을 머릿속에

형성해 본다

다음 차시에 배

울 내용을 학습

자료 화면으로 확

인해본다

수업내용에

해 학생과 교사

모두가 만족하고

있는지 확인하고

공정한 평가를

한다

[표10 수업지도안]

4 조사 문제지 분석

고등학교 수학 Ⅰ 의 수열단원의 효율 인 지도방안의 연구를 하여 원

종고등학교 2학년 학생 100명을 상으로 조사 문제지 조사를 하 다 학

생들의 수학에 한 심과 수학에서 가장 어려워하는 부분을 알아볼 수

있었고 어떤 방식의 수업을 선호하는지도 알아볼 수 있었다

⑴ 수학에 얼마나 심이 있나요

① 매우 많다 ② 많다 ③ 보통이다 ④ 다 ⑤ 매우 다

수학과목에 매우 많은 심을 보이는 학생은 2로 매우 낮은 편이며

심이 있는 학생은 43로 학생의 반정도 다 수학과목에 심이 거

나 없는 학생은 54정도로 수학은 어려운 과목이라는 인식 때문에 심

이 은 것 같다

수학을 공부하는 가장 큰 이유에는75의 학생들이 학입시를 해서라

는 문항을 선택했다 기타 이유에는 교과서에 있어서 어쩔수 없이 한다

는 학생과 진리탐구를 해서라는 학생도 있었다

[그림6 조사문제지

(1)번 막 그래 ]

⑵ 수학을 공부하는 가장 큰 이유가 뭐라고 생각하나요

① 학입시를 해서

② 평소 수학에 흥미가 있어서

③ 실제 생활에 쓰기 해서

④ 주변에서 해야한다고 하니까

⑤ 기타 이유 (이유를 간단히 어주세요)

앞에 (1)번문항에서 수학에 심이 은 학생이 반 정도인것에 반해

수학공부가 필요하다고 느낀학생이 75정도로 수학공부가 필요하단건

느끼지만 어려운 과목이라는 인식이 부분인것 같다 수학과목도 재

는 과목이란 인식을 학생들이 가질수 있도록 노력해야겠다

[그림7 조사문제지

(2)번 막 그래 ]

⑶ 수학공부의 필요성에 해 어떻게 생각하나요

① 매우 필요하다 ② 조 필요하다 ③ 보통이다

④ 필요 없다 ⑤ 필요 없다

[그림8 조사문제지

(3)번 막 그래 ]

⑷ 수학을 공부하면서 가장 어려운 부분은 무엇이나요

① 복잡한 계산 과정 ② 외워야할 많은 공식들

③ 응용문제엔 어떤 공식을 용해야할지 ④ 다 어렵다

학생들이 수학과목이 어렵다고 느끼는 이유는 응용문제에 어떤 공식을

용해야 하는지를 몰라서 라는 답이 58로 가장 많았다 그 외에도

계산과정이 복잡하거나 외워야할 공식들이 많아서라는 답도 있었다

이해 주의 수업을 하고 단순한 공식의 암기 주의 수업을 탈피해야겠

다

수학수업을 하는데 효과 인 방법에는 선생님 주의 강의식 수업과 학

생 개인별 수업이 78로 가장 많았다 개념이나 공식유도과정을 설명할

땐 서를 하며 강의식 수업을 하고 문제풀이땐 학생들 개인별로 첨삭

지도를 하는게 효율 인것 같다

⑤ 기타이유 (이유를 간단히 어주세요)

[그림9 조사문제지

(4)번 막 그래 ]

⑸ 수학 수업을 하는 데 어떤 방법이 가장 효과 이라고 생각하나요

① 선생님 주의 강의식 수업

② 학생 개인별 수업

③ 모둠별 활동 수업

④ 기타 교재나 과제를 통한 수업

⑤ 기타(이유를 간단히 어주세요)

[그림10 조사문제지

(5)번 막 그래 ]

Ⅵ 결론

본 논문에서 지 까지 고등학교 2학년 학생들이 수학 Ⅰ 교육과정을 학습하

는데 가장 어려워하는 수열에 해 살펴보았다 먼 개정 교육과정에 명시

된 수학교육의 목표와 임의로 선택된 5종 교과서에서 수열 단원의 학습목표

를 살펴보았고 수열의 역사 배경과 실생활에 응용된 들을 정리해보았

다 한 5종 교과서에서 제시되어 있는 수열의 학습내용을 소단원 별로 정

리해보았다 임의로 선택된 5종 교과서안의 수열의 학습내용을 분석해보면

서 몇 몇 교과서에서 여러 가지 수열 단원에서 군 수열과 멱 수에 한 언

이 없거나 미약함을 알 수 있었다 본 연구자가 보기에 군 수열과 멱 수

부분은 실생활에 활용될 는 극히 작아 보이지만 학생들이 꼭 학습하고 넘

어가야 수열에 한 완벽한 학습이 될 수 있을 것이라 여겼는데 교과서에서

제시된 내용들로는 학생들이 충분히 이해할 수 없을 것 같았다

그리고 교과서에 제시된 문항의 수 이 입시와 동 떨어진다는 문제 이 있

었다 교과서에 제시된 문제가 부족하고 수 이 낮다 보니 실제로 학교에서

수업 때 보충 린트 물로 수업을 진행하고 간기말고사 때에도 교과서

외에서 많은 문제를 출제하는 모습을 볼 수 있었다 때문에 학생들이 교과서

보다는 문제집 주의 공부를 할 수 밖에 없는 듯 보 다 교과서가 학생들

과 교사의 요구에 부합할 수 있도록 새로운 내용들과 문제를 싣도록 해야

할 것이다

학생들이 수열 단원의 학습을 할 때 좀 더 효과 인 학습이 될 수 있도록

리의 동기설계이론 (ARCS 이론) 을 바탕으로 하여 수업 계획서와 1차시

의 수업 지도안을 작성해 보았다 한 작성한 수업 지도안으로 부천시 소재

의 한 고등학교에서 실제 수업을 진행해 보았을 때 학생들이 좀 더 수열에

해 친숙하게 느끼고 쉽게 이해하는 모습을 볼 수 있었다 본 연구자가

직 교사가 아니라 여러 반을 상으로 수열 단원의 모든 차시 수업에 용

하여 수업을 해볼 수 없었단 이 아쉬움으로 남는다

이와 같이 학생들의 주의 련성자신감만족감 증진을 한 수업을 함

으로써 학생들의 수학 학습 성취도의 향상을 기 할 수 있을 것이다 한

개발된 자료를 실제 수업에 용하는 경우의 효율성에 한 후속 연구가 체

계 이고 지속 으로 이루어져야 할 것이다

참 고 문 헌

[1] 구평회 META 구평회 교육학 2007

[2] 교육인 자원부 고시 제2007 - 79호[별책8] 2007

[3] 박인학 교사를 한 교수학습방법론 문사 1995

[4] 변 계 교수학습 이론의 이해 학지사 1999

[5] 우정호 외 5인 고등학교 수학 Ⅰ 한교과서(주) 2002

[6] 이 연 자연의 수학 열쇠 피보나치수열 로네시스 2006

[7] 이진화 지수로그함수의 지도에 한 연구 서강 학교 교육 학원 석사 학

논문 2006

[8] 임재훈 외 10인 고등학교 수학 Ⅰ (주)두산 2002

[9] 장 숙 고등학교 수학 Ⅰ 교과서의 통계단원 분석 실생활에의 용 경희

학교 교육 학원 석사 학 논문 2006

[10] 조해식 행렬 수열 수업에서의 수학사 도입에 한 연구 울산 학교 석사

학 논문 1998

[11] 차 자 수열 학습의 흥미 유발을 한 자료 연구 경성 학교 교육 학원 석

사 학 논문 2004

[12] 최 외 5인 고등학교 수학 Ⅰ 앙교육진흥연구소 2006

[13] 최상기 외 5인 고등학교 수학 Ⅰ (주)고려출 2002

[14] 최용 신 성 고등학교 수학 Ⅰ 천재교육(주) 2002

[15] 황혜정 외 5인 수학교육학 신론 문음사 2002

• Ⅰ 서론
• • 1 연구의 필요성과 목적
  • 2 연구의 제한점
  • • Ⅱ 개정 교육과정에서 명시된 수학Ⅰ교육의 목표
    • • 1 수학Ⅰ교육의 목표
      • 2 고등학교 수학 Ⅰ 수열 단원의 학습목표
      • • Ⅲ 수열의 역사적 배경 및 응용
        • • 1 수열의 역사
          • 2 수열 단원이 실생활에 응용된 사례
          • • Ⅳ 고등학교 수학교육과정에서의 수열
            • • 1 수학Ⅰ 교과서 분석
              • 2 수학Ⅰ 교과서에서의 수열
              • • Ⅴ 켈러의 ARCS 이론과 수열 지도
                • • 1 켈러의 ARCS 이론
                  • 2 ARCS 이론을 적용한 수열 수업 계획서
                  • 3 ARCS 이론을 적용한 수업 지도안
                  • 4 조사지 분석
                  • • Ⅵ 결론
                    • 참고문헌

수열의 합과 일반항의 계

수열 의 첫째항부터 제 항까지의 합을 이라 하면

(단 ge )

등비수열의 합

일때 이다

이상을 정리하면 다음과 같다

(5) 등비수열의 뜻

첫째항부터 시작하여 각 항의 바로 앞의 항에 일정한 수를 곱하여

만들어진 수열을 등비수열이라 하고 곱하는 일정한 수를 공비라고 한다

첫째항이 공비가 인 등비수열에서 첫째항부터 제 항까지의 합 은

다음과 같이 구한다

　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　①

①의 양변에 공비 을 곱하면

　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　②

①에서 ②를 같은 변끼리 빼면

따라서 ne 일때

인 경우 ①에서

　　

there4

이상을 정리하면 다음과 같다

첫째항이 공비가 인 등비수열의 첫째항부터 제 항까지의 합 은

① ne 일때

② 일때

자연수의 거듭제곱의 합

①

　　

②

　　

③

　　

2) 여러 가지 수열

(1) 합의 기호 sum

수열 에서 첫째항부터 제 항까지의 합

　　

을 일반항과 합의 기호 sum를 써서

　　

와 같이 나타낸다

이때

는 수열 의 일반항 의 에 　　　　　　을 차례로

입하여 얻은 항의 합으로 신 다른 문자를 사용하여

등과 같이 나타낼 수 있다

(2) 기호 sum 의 성질

합의 기호 sum 의 성질에 하여 알아보자

합의 기호 sum의 성질

①

(복부호동순)

②

(단 는 상수)

③

(단 는 상수)

　　

　　 　　

　　

마찬가지로

와

에 해서도 확인해 보면 sum 의 성질을

다음과 같이 정리할 수 있다

(3) 계차수열

일반 으로 수열 에서 이웃하는 두 항의 차

　　 을 일반항으로 하는 새로운 수열

　　　　　　　을 얻을 수 있는데 이 수열 을 원래의 수열 의

계차수열이라고 한다

수열 에 하여 그 계차수열을 이라 하면

　　

계차수열과 일반항

수열 의 계차수열을 이라 할때

(단 ge )

3) 수학 귀납법

(1) 수열의 귀납 정의

첫째항과 이웃하는 두 항 사이의 계식으로 수열을 정의하는 것을 수열의

귀납 정의 라고 한다

첫째항이 공차가 인 등차수열 은 다음이 성립한다

　ge 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　①

역으로 두 계식 ①이 주어지면 이 결정되고 차례로

가 결정된다 따라서 모든 자연수 에 하여 이 정해지므로 수열 이

정의 된다

①과 같이 의 값 과 의 계식을 화식이라고 한다

(2) 수학 귀납법

수학 귀납법은 이탈리아의 페아노에 의하여 설정된 자연수에 한 공리

수학 귀납법

자연수 에 한 명제 이 모든 자연수 에 하여 성립함을 증명하

려면 다음 ⅰ ⅱ 를 증명하면 된다

ⅰ 일때 명제 이 성립한다

ⅱ 일때 명제 이 성립한다고 가정하면 일때에도

명제 이 성립한다

다음과 같은 5번째 공리에 근거를 두고 있다

자연수의 집합 의 부분집합 가

ⅰ 　isin

ⅱ 　isin 이면 isin

(여기서 는 의 후자)

인 두 조건을 만족하면 이다

4) 알고리즘과 순서도

(1) 알고리즘과 순서도

어떤 문제를 해결하기 해서는 그 처리 순서를 정해야 하는데 이와 같이

문제 해결에 필요한 처리 과정의 순서를 단계 으로 정리한 것을 알고리즘

이라 하고 알고리즘을 알기 쉽게 기호를 써서 그림으로 나타낸 것을 순서도

라고 한다 일반 으로 어떤 문제를 해결하기 한 알고리즘은 여러 가지가

있을 수 있지만 정해진 유한번의 단계를 거치면 반드시 끝나야 하고 처리

과정의 순서가 명확해야 한다 한 순서도는 각 부분을 순서 계통 으로

나타냄으로써 작업 과정을 구나 쉽게 한 에 악할 수 있도록

작성되어야 한다 순서도는 다음과 같은 기호를 사용하여 작성한다

[표7 순서도의 기호]

(2) 알고리즘과 순서도의 작성

수열과 련된 순서도를 작성할 때에는 다음과 같은 방법을 고려한다

(가) 항수를 항을 수열의 합을 로 나타낸다

(나) 제시된 항의 번호까지 루 를 용한다

(다) 제시된 항의 번호에 하여 단 기호를 이용한다

(라) 구하려는 는 를 인쇄하고 끝낸다

주의환기

집 을

한 략

지각

주의환기의

략

시청각 효과의 사용

비일상 인 내용이나 사건 제시

주의 분산의 자극 지양

탐구

주의환기의

략

능동 반응 유도

문제해결 활동의 구상 장려

신비감의 제공

다양성의

략

간결하고 다양한 교수형태 사용

일방 교수와 상호작용 교수의 혼합

교수자료의 변화 추구

목표-내용-방법이 기능 으로 통합

련성

증진을

한

략

친 성의

략

친 한 인물 혹은 사건 활용

구체 이고 친숙한 그림 활용

친 한 문 배경 지식 활용

목 지향성

의 략

실용성에 을 둔 목표 제시

목 지향 인 학습형태 활용

Ⅴ 러의 ARCS 이론과 수열 지도

1 러의 ARCS 이론

1) ARCS 이론의 특징

(1) 이론 배경

다음은 ([4])의 내용을 참고하 다

ldquo말을 물가로 데리고 갈 수는 있지만 물을 먹일 수는 없다rdquo는 속담처럼

하고자 하는 마음이 없으면 학습 효과를 기 할 수 없는 것은 당연한 사실

이다 이러한 생각의 근거에는 동기 유발의 개념이 자리 잡고 있다 동기

유발이란 어떤 활동을 진 지시 유지하려는 내 상태 는 과정을

포함한다 이 개념은 교육 심리학의 심 개념 의 하나이지만 직 찰

할 수 없는 것이기 때문에 인간의 행동을 보고 거기에서 유출해 내는 개념

이며 이에 한 정의는 바라보는 과 강조하는 내용에 따라 각기 다르

다

(2) ARCS 이론

목 의 선택 가능성 부여

필요나

동기와의

부합성 강조의

략

다양한 수 의 목 제시

학업성취 여부의 기록체제 활용

비경쟁 학습상황의 선택가능

동 상호 학습상황 제시

자신감

수립을

한 략

학습의

필요조건

제시의 략

수업의 목표와 구조의 제시

평가기 피드백의 제시

선수학습 능력의 단

시험의 조건 확인

성공의 기회

제시의 략

쉬운 것에서 어려운 것으로 과제 제시

정수 의 난이도 유지

다양한 수 의 시작 제공

무작 의 다양한 사건 제시

다양한 수 의 난이도 제공

개인

조 감

증 의 략

학습의 끝을 조 할 수 있는 기회 제시

학습속도의 조 가능

원하는 부분에로의 재빠른 회귀 가능

선택가능하고 다양한 과제의 난이도제공

노력이나 능력에 성공 귀착

만족감

증 를

한 략

자연 결과

강조의 략

연습문제를 통한 용기회 제공

후속학습상황을 통한 용기회 제공

모의상황을 통한 용기회 제공

정 결과

강조의 략

한 강화 계획의 활용

의미 있는 강화의 강조

정답을 한 보상 강조

외 보상의 사려 깊은 사용

선택 보상체제 활용

공정성

강조의 략

수업목표와 내용의 일 성 유지

연습과 시험 내용이 일치

[표8 ARCS 략] ([1])

2 ARCS 이론을 용한 수열 수업 계획서

다음은 ([1])의 ARCS 이론의 수업계획서를 참고하여 수열 단원의 수업

계획서를 작성해보았다

수업내용개 동기 략개 기타의견1 수업 기

체 으로 교사는 다양한 방법으로 학습자들

에게 수업 내용을 제시하고 학습자들에게

한 언어를 사용한다

수열의 활용에

한 학습목표

제시하기

교사는 학습자들의 련성을 높이기 해 학습

목표의 의미를 설명해 다

도표는 큰 씨를 사

용하고 핵심이 되는

단어에는 다른 색깔을

사용한다

수열의 활용의

이 과 평가

거를 제시하기

교사는 학습자들의 련성과 자신감 만족감

을 높이기 하여 이 수업이 끝난 후 그들이

무엇을 할 수 있는지에 해 알려 다

교사는 학습자들의 자신감과 만족감을 높이기

하여 성공 인 학습성취를 단할 수 있는 객

인 거들을 알려 다

교사는 학습자들의 만족감을 높이기 하여

그들이 주어진 과제를 성공 으로 해결했을 때

그에 따르는 내재 강화나 외재 보상이 있음

을 알려 다

수열의 정의와

해법에 한 지

식을 간략하게

확인하기

교사는 선수학습과의 련성을 유발하기 하

여 간략한 보조도구(인쇄매체)를 사용하여 수열

의 정의와 해법을 제시한다

교사는 소집단 토론을 실시하여 학습자들의

선수지식을 스스로 검해 보도록 한다

교사는 수열의 정의와 해법을 잘 모르는 학습

자들에게 자신감을 유발시키기 하여 개별 인

학습목표를 세우도록 한다

소집단 구성에 있어

서 주의집 이 매우

낮은 5명을 하나의 소

집단으로 구성하고

친근한 소재를 활용하

여 그들의 주의집 과

련성을 유발한다

실생활과 련

된 수열의 활용

문제들을 몇 가

지 소개하기

교사는 학습자들의 주의집 을 유지하기 해

실생활에서 연립방정식을 활용하여 해결할 수

있는 몇 가지 문제들을 제시한다

주의집 이 매우 낮은 5명의 학습자들이 수업

에 극 인 심을 보이지 않으면 교사는 그

들에게 친근한 목소리로 이름을 부르면서 수업

에 집 하라고 얘기 하고 개인 인 심을 갖

고 있음을 나타낸다

로써 활용되는 문

제들을 선택할 때 학

습자들이 알고 있거

나 그들에게 친근감

을 주는 소재가 포함

되도록 선택한다 이

때 지나치게 자심감

이 높아서 수업에 소

극 으로 참여하는 3

명의 학습자들에게는

다소 복잡한 수열의

활용 문제를 미리 제

공하여 생각할 기회를

다

수열의 활용에

한 학습자들의

이해정도를 악

하고 피드백을

제공하기

교사는 학습자들에게 자신감을 높이기 하여

소집단을 구성하여 학습자들이 수열의 활용에

해 어느 정도 이해하고 있는지를 서로 토론하

도록 한다

교사는 소집단별로 둘러보면서 자신감과 만족

감을 유발시키기 하여 학습자들간에 서로 도

움을 주도록 분 기를 형성한다

소집단별로 간략하게 토론이 끝나면 학습자

들 스스로 정리하도록 한다

토론결과 학습자들이 수열의 활용에 해 잘

못 이해하고 있다면 교사는 즉각 으로 교정

피드백을 제공한다

학습자들의 소집단

토론시간을 무 길게

소요하지 않도록 한

다 자칫하면 토론분

기가 산만해지기 쉽

고 토론이 활발하지

못한 경우에는 학습자

들의 학습의욕이 떨어

진다

2 수업 반 체 으로 교사는 다양한 방법으로 학습자

들에게 수업 내용을

제시하고 학습자들에게 개별 인 언어를 사용

한다

실생활과 련

된 수열의 활용

의 문제들을 구

체 으로 제시하

기

교사는 학습자들의 주의집 련성 자신감

만족감을 유지하기 하여 게임을 실시한다 학

습자들이 돌아가면서 임의로 다른 학습자를 지

명하면 지명받은 학습자가 실생활과 련된 수

열의 문제를 하나 제시한다 한 문제를 제

시한 학습자에게 학습태도 수를 주어 만족감

을 향상시킨다

교사는 학습자들이 제시한 여러 가지 문제들

을 칠 에 은 후 몇몇 소집단을 구성하여

그 문제들을 해결하기 해 인스토 을 하

도록 한다 이때 교사는 문제를 해결한 학습자

가 아직 해결하지 못한 학습자들을 도와주어 자

신감과 만족감을 갖도록 한다

인스토 이 진행되는 동안 교사는 교실

을 둘러보면서 학습자들이 질문이나 의문사항

에 해 극 으로 질문할 수 있는 기회를 제

공하고 그에 해 개별 인 언어를 사용하여

부드러운 목소리로 피드백을 제공한다

인스토 도 학습자들의 개인 인 능

력차가 커서 문제를 해결하는데 어려움을 겪는

학습자들에게는 그들에게 합한 개별 인 학습

이때 교사는 밝고

생동감이 넘치는 목소

리로 학습자들의 활동

을 진시킨다

교사는 학습자들이

한 자신감을 유지

하고 있는지에 해

지속 인 심을 갖고

지켜본다

이때 교사는 학습자

들의 자신감과 만족감

을 높이기 하여 그

들에게 일 성 있는

피드백을 제공한다

교사는 학습자들이

목표를 다시 선정하도록 하여 자신감을 향상시

킨다

인스토 이 끝나면 교사는 소집단 별로

한 사람씩 자발 으로 나와 문제를 풀고 풀이

과정을 체 학습자들에게 설명하도록 한다 이

때 어려운 문제를 해결한 소집단이나 학습자에

게 교사는 그들의 우수한 능력을 인정하고 내

재 인 자존심에 정 인 향을 주는 칭찬을

제공하여 자신감과 만족감을 높인다

소집단의 인스토

을 하는 동안 체

으로 문제풀이를 할

때 주의집 을 유지

하고 자신감과 만족

감의 향상을 악하기

해 끊임없이 그들과

시선을 교류하고 얼

굴표정을 찰한다

3 수업마무리 체 으로 교사는 다양한 방법으로 학습자

들에게 수업 내용을 제시하고 학습자들에게 개

별 인 언어를 사용한다

실생활과 련

된 수열의 활용

에 해 체

으로 정리 요

약하기

교사는 교탁을 탁탁 치거나 박수를 쳐서 다

소 떨어진 학습자들의 주의집 을 향상 시킨다

교사는 실생활 속에서 수열을 활용하여 해결

할 수 있는 간단하고 재미있는 문제들을 2～3개

제시하여 학습자들이 그 문제를 성공 으로 해

결함으로써 자신감과 만족감을 갖도록 한다

교사는 학습자들이 미처 생각하지 못했던 실

생활 속에서 수열과 연 된 다양한 들을 제공

하여 주의집 과 련성을 유지향상시킨다

교사는 자신감과 만족감을 향상시키기 해

학습자들에게 수업진행 에 그들이 설정한 개

인 인 학습목표에 해 얼마나 많이 달성했는

가를 스스로 검해 보라고 한다

교사는 수업 반에 수열의 문제를 잘 해결하

지 못했던 학습자들에게 그 문제를 다시 해결해

보도록 기회를 제공하여 자신감과 만족감을 높

여 다

평가에 있어서 교사는 학습자들이 그들의 성

에 해 공정하게 평가되었다고 느끼도록 일

성 있게 평가하여 그들의 자신감고 만족감을

높여 다

교사는 수열과 실생

활과의 련성에 해

학습자들이 잘 지각하

고 있는가를 알아보기

해 다소 진지한 목

소리로 질문한다

다음 학습내용

에 해 간략히

소개하기

교사는 학습자들의 흥미를 유지하기 하여

다음 학습내용에 해 호기심에 찬 목소리로 간

략하게 소개하고 수업을 끝낸다

[표9 러의 ARCS이론]

단원

단

원Ⅲ 수열

배정시간

(분)50

단

원1 등차수열과 등비수열

차시 3소단

원3) 등차수열과 등비수열의 활용

학습

목표등차수열과 등비수열을 실생활의 문제에 용할 수 있다

학습

단계학습내용

교수-학습활동 지도상의유의사

항교사활동 학생활동

도

입

15

분

인사

출석

주변을 정리 정돈

하여 수업분 기를

조성한다

인사 출석체크

를 한다

주의를 환기시킨

후 학생들과 인사

한다

출결석 여부를

확인한다

바른 자세로 주

변을 정리한 뒤

교사와 인사한다

수업 비를 한

다

교사와 학생

모두 함께 수업

분 기를 조성한

다

선수

학습

확인

지난 시간에 학습

한 등차수열과 등비

수열의 정의에 해

다시 한번 확인해본

다

지난 시간에 학습

한 등차수열과 등비

수열의 일반항을 구

하는 방법에 해 확

인학습으로 [문제1]

과 [문제2]를 풀어본

다

학생들의 자신감

을 높이기 하여

등차수열과 등비수

열의 정의를 교과

서에서 찾아본 후

큰소리로 답하게

한다

학생들이 답한

후 다시 한번 등차

수열과 등비수열에

해 간단히 설명

등차수열과 등

비수열의 정의를

교과서에 찾아본

후 큰소리로 읽는

다

교사가 등차수

열과 등비수열의

정의에 해 다시

한번 간단히 설명

할 때 부족한 부

분은 필기하며 복

습한다

교사가 정의에

해 질문할 때

학생들이 모두

책을 찾아볼수

있게 주의를

다

만일 답하

지 못하는 학생

이 있을 경우 그

여기서 인스토 (brainstorming)이라고 하는 것은 갑자기 떠오르는 멋

진 생각을 종이에 는다든가 말로 표 해 본 후 로 기록하거나 기록된

문장을 정리정돈하면서 생각을 논리화하는 방법이다 주로 어떤 계획을 세

우고자 할 때 창조 이고 기발한 아이디어가 필요할 때 학생들의 의견과

생각을 끌어내어 발 시키고자 할 때 사용하면 유리하다 ([3])

3 ARCS 이론을 용한 수업지도안

[문제1]

다음 등차수열

의 일반항과 제20항

을 구하여라

　　　　　　　

[문제2]

다음 등비수열

의 일반항과 제8항을

구하여라

　 　　　　　

한다

교사는 [문제1]

과[문제2]를 제시

한 뒤 학생들에게

직 풀어보게 한

다

등차수열과 등

비수열의 일반항

과 그 공식의 유

도과정을 기억한

다

제시된 문제를

연습장에 풀어본

다

학생에 해 개

별 인 언어를

사용하여 부드러

운 목소리로 피

드백을 제공한

다

개

30

분

학습

목표

제시

수열의 활용에

한 학습목표를 제시

한다

학습목표 학습

에 필요한 자료를

Power point 시청

각 효과를 사용하여

학생들의 주의환기

집 을 한 략

을 사용한다

학습목표를 학생

들에게 읽게 하고

학생들의 련성을

높이기 해 학습

목표의 의미를 설

명해 다

교사의 지시에

따라 큰소리로 학

습목표를 읽고 이

수업이 끝난 후

무엇을 할 수 있

는지에 해 생각

해 본다

학습목표는 큰

씨를 사용하

고 핵심이 되는

단어에는 다른

색깔을 사용한

다

탐구

학습

실생활과 련된

수열의 활용문제들을

몇 가지 소개한다

수열의 활용에

한 학습자들의 이해

정도를 악하고 피

드백을 제공한다

등차수열과 등비

수열을 이용하여

실생활의 문제를

해결할 수 있음을

학생들이 쉽게 이

해할 수 있도록 설

명한다

교사가 실생활

과 련된 수열의

활용문제들을 몇

가지 소개할 때

다른 시가 있는

지 함께 생각해

본다

문제

제시

[문제3]

한일 월드컵 축구 개

회 연도는 2002년이

다 2002년 이후 월

드컵 축구가 개최되

는 연도를 차례로 써

보고 이 규칙 로 월

드컵 축구가 개최되

면 2100년은 월드컵

축구가 개최되는 연

도인가

교과서에서 수열

단원의 수열의 활

용부분에 수록된

문제들을 풀어볼

수 있도록 시간을

다

등차수열과 등

비수열의 일반항

유도 공식을 생각

해보고 제시된 문

제를 해결해 간다

로써 활용되

는 문제를 선택

할 때 학습자들

이 알고 있거나

그들에게 친근감

을 주는 련성

증진을 한

략을 사용한다

[문제4]

컴퓨터의 주기억 장

치인 램은용

으로

용으로 가 개발

되었다 이후 램의

용 량 은

로 증가되어 왔다

의 램으로부터

번 증가된 주 메모

리는 식으로 어떻게

나타낼 수 있는가

학생들이 문제를

어렵게 느끼지 않

도록 어떤 방향으

로 해결해야 하는

지 힌트를 주어 학

생들의 자신감을

증진시킨다

소집

단

활동

5～6명으로 이 진

소집단을 구성하여

학습자들이 수열의

활용에 해 어느 정

도 이해하고 있는지

를 서로 토론하도록

한다

소집단별로 실생활

과 련된 수열의 활

용의 문제들을 구체

으로 제시한다

인 스토 이

끝나면 소집단별로

한사람씩 문제를 풀

고 풀이과정을 체

학생들에게 설명하는

시간을 갖는다

교사는 학생들의

만족감을 높이기

하여 그들이 주

어진 과제를 성공

으로 해결했을

때 그에 따르는

내재 강화나 외

재 보상이 있음

을 알려 다

어려운 문제를

해결한 소집단이나

학생에게 교사는

그들의 우수한 능

력을 인정하고 내

재 인 자존심에

정 인 향을

주는 칭찬을 제공

하여 자신감과 만

족감을 높인다

자신이 속한 소

집단 내에서 제시

된 과제에 해

열심히 토의를 하

며 문제를 해결한

학생이 아직 해결

하지 못한 학생들

을 도와주어 자신

감과 만족감을 갖

도록 한다

소집단별로 간

략하게 토론이 끝

나면 학생들 스스

로 정리해보고 자

발 으로 체 학

생들에게 설명해

보는 기회를 갖는

다

교사는 학습자

들이 한 자

신감을 유지하고

있는지에 해

지속 인 심을

갖고 지켜본다

학생들의 소집

단 토론시간을

무 길게 소요

하지 않도록 한

다

형성

평가

[문제4]

민수는 남 문의 기

와 지붕 한쪽 면이

사다리꼴 모양임을

찰하고 이 면에 있

는 기와의 개수를 알

아보고자 한다 기와

형 성 평 가 를

Power point로 제

시하고 학생들이

스스로 풀어볼 수

있도록 지도한다

학생들이 문제를

다 풀고 나면 교사

제시된 문제를

오늘 학습한 내용

을 복습하면서 풀

어보도록 한다

교사는 다소

진지한 목소리로

질문한다

의 개수를 행으로 세

었더니 용마루 쪽에

가장 가까운 행에는

40개 처마 쪽에 가

장 가까운 행에는 72

개 다 용마루부터

처마까지 행의 개수

가 17이라고 할 때

민수가 찰한 지붕

한쪽 면의 기와의 개

수는 모두 몇 개인

가

는 학생들에게

답할수 있도록 하

고 학생들이 학습

목표에 해 얼마

나 많이 달성했는

가를 스스로 검

해 보라고 한다

형성평가의 답

을 교사의 질문에

끝난 뒤 큰소리로

답하여 자신감

과 만족감을 갖도

록 한다

학생들에게 개

별 인 언어를

사용한다

정

리

5

분

학습

정리

차시

고

학습 자료를 이용

하여 수열의 실생활

의 활용 단원의 수업

내용을 확인한다

과제를 제시한다

다음 차시인 「여

러 가지 수열」 단원

에 한 고를 한

다

수업 내용을 정

리하고 과제를 제

시한다

학생들의 흥미를

유지하기 하여

다음 학습내용에

해 호기심에 찬

목소리로 간략하게

소개하고 수업을

끝낸다

오늘 학습한 내

용을 정리한다

과제를 고 과

제 해결에 한

내용을 머릿속에

형성해 본다

다음 차시에 배

울 내용을 학습

자료 화면으로 확

인해본다

수업내용에

해 학생과 교사

모두가 만족하고

있는지 확인하고

공정한 평가를

한다

[표10 수업지도안]

4 조사 문제지 분석

고등학교 수학 Ⅰ 의 수열단원의 효율 인 지도방안의 연구를 하여 원

종고등학교 2학년 학생 100명을 상으로 조사 문제지 조사를 하 다 학

생들의 수학에 한 심과 수학에서 가장 어려워하는 부분을 알아볼 수

있었고 어떤 방식의 수업을 선호하는지도 알아볼 수 있었다

⑴ 수학에 얼마나 심이 있나요

① 매우 많다 ② 많다 ③ 보통이다 ④ 다 ⑤ 매우 다

수학과목에 매우 많은 심을 보이는 학생은 2로 매우 낮은 편이며

심이 있는 학생은 43로 학생의 반정도 다 수학과목에 심이 거

나 없는 학생은 54정도로 수학은 어려운 과목이라는 인식 때문에 심

이 은 것 같다

수학을 공부하는 가장 큰 이유에는75의 학생들이 학입시를 해서라

는 문항을 선택했다 기타 이유에는 교과서에 있어서 어쩔수 없이 한다

는 학생과 진리탐구를 해서라는 학생도 있었다

[그림6 조사문제지

(1)번 막 그래 ]

⑵ 수학을 공부하는 가장 큰 이유가 뭐라고 생각하나요

① 학입시를 해서

② 평소 수학에 흥미가 있어서

③ 실제 생활에 쓰기 해서

④ 주변에서 해야한다고 하니까

⑤ 기타 이유 (이유를 간단히 어주세요)

앞에 (1)번문항에서 수학에 심이 은 학생이 반 정도인것에 반해

수학공부가 필요하다고 느낀학생이 75정도로 수학공부가 필요하단건

느끼지만 어려운 과목이라는 인식이 부분인것 같다 수학과목도 재

는 과목이란 인식을 학생들이 가질수 있도록 노력해야겠다

[그림7 조사문제지

(2)번 막 그래 ]

⑶ 수학공부의 필요성에 해 어떻게 생각하나요

① 매우 필요하다 ② 조 필요하다 ③ 보통이다

④ 필요 없다 ⑤ 필요 없다

[그림8 조사문제지

(3)번 막 그래 ]

⑷ 수학을 공부하면서 가장 어려운 부분은 무엇이나요

① 복잡한 계산 과정 ② 외워야할 많은 공식들

③ 응용문제엔 어떤 공식을 용해야할지 ④ 다 어렵다

학생들이 수학과목이 어렵다고 느끼는 이유는 응용문제에 어떤 공식을

용해야 하는지를 몰라서 라는 답이 58로 가장 많았다 그 외에도

계산과정이 복잡하거나 외워야할 공식들이 많아서라는 답도 있었다

이해 주의 수업을 하고 단순한 공식의 암기 주의 수업을 탈피해야겠

다

수학수업을 하는데 효과 인 방법에는 선생님 주의 강의식 수업과 학

생 개인별 수업이 78로 가장 많았다 개념이나 공식유도과정을 설명할

땐 서를 하며 강의식 수업을 하고 문제풀이땐 학생들 개인별로 첨삭

지도를 하는게 효율 인것 같다

⑤ 기타이유 (이유를 간단히 어주세요)

[그림9 조사문제지

(4)번 막 그래 ]

⑸ 수학 수업을 하는 데 어떤 방법이 가장 효과 이라고 생각하나요

① 선생님 주의 강의식 수업

② 학생 개인별 수업

③ 모둠별 활동 수업

④ 기타 교재나 과제를 통한 수업

⑤ 기타(이유를 간단히 어주세요)

[그림10 조사문제지

(5)번 막 그래 ]

Ⅵ 결론

본 논문에서 지 까지 고등학교 2학년 학생들이 수학 Ⅰ 교육과정을 학습하

는데 가장 어려워하는 수열에 해 살펴보았다 먼 개정 교육과정에 명시

된 수학교육의 목표와 임의로 선택된 5종 교과서에서 수열 단원의 학습목표

를 살펴보았고 수열의 역사 배경과 실생활에 응용된 들을 정리해보았

다 한 5종 교과서에서 제시되어 있는 수열의 학습내용을 소단원 별로 정

리해보았다 임의로 선택된 5종 교과서안의 수열의 학습내용을 분석해보면

서 몇 몇 교과서에서 여러 가지 수열 단원에서 군 수열과 멱 수에 한 언

이 없거나 미약함을 알 수 있었다 본 연구자가 보기에 군 수열과 멱 수

부분은 실생활에 활용될 는 극히 작아 보이지만 학생들이 꼭 학습하고 넘

어가야 수열에 한 완벽한 학습이 될 수 있을 것이라 여겼는데 교과서에서

제시된 내용들로는 학생들이 충분히 이해할 수 없을 것 같았다

그리고 교과서에 제시된 문항의 수 이 입시와 동 떨어진다는 문제 이 있

었다 교과서에 제시된 문제가 부족하고 수 이 낮다 보니 실제로 학교에서

수업 때 보충 린트 물로 수업을 진행하고 간기말고사 때에도 교과서

외에서 많은 문제를 출제하는 모습을 볼 수 있었다 때문에 학생들이 교과서

보다는 문제집 주의 공부를 할 수 밖에 없는 듯 보 다 교과서가 학생들

과 교사의 요구에 부합할 수 있도록 새로운 내용들과 문제를 싣도록 해야

할 것이다

학생들이 수열 단원의 학습을 할 때 좀 더 효과 인 학습이 될 수 있도록

리의 동기설계이론 (ARCS 이론) 을 바탕으로 하여 수업 계획서와 1차시

의 수업 지도안을 작성해 보았다 한 작성한 수업 지도안으로 부천시 소재

의 한 고등학교에서 실제 수업을 진행해 보았을 때 학생들이 좀 더 수열에

해 친숙하게 느끼고 쉽게 이해하는 모습을 볼 수 있었다 본 연구자가

직 교사가 아니라 여러 반을 상으로 수열 단원의 모든 차시 수업에 용

하여 수업을 해볼 수 없었단 이 아쉬움으로 남는다

이와 같이 학생들의 주의 련성자신감만족감 증진을 한 수업을 함

으로써 학생들의 수학 학습 성취도의 향상을 기 할 수 있을 것이다 한

개발된 자료를 실제 수업에 용하는 경우의 효율성에 한 후속 연구가 체

계 이고 지속 으로 이루어져야 할 것이다

참 고 문 헌

[1] 구평회 META 구평회 교육학 2007

[2] 교육인 자원부 고시 제2007 - 79호[별책8] 2007

[3] 박인학 교사를 한 교수학습방법론 문사 1995

[4] 변 계 교수학습 이론의 이해 학지사 1999

[5] 우정호 외 5인 고등학교 수학 Ⅰ 한교과서(주) 2002

[6] 이 연 자연의 수학 열쇠 피보나치수열 로네시스 2006

[7] 이진화 지수로그함수의 지도에 한 연구 서강 학교 교육 학원 석사 학

논문 2006

[8] 임재훈 외 10인 고등학교 수학 Ⅰ (주)두산 2002

[9] 장 숙 고등학교 수학 Ⅰ 교과서의 통계단원 분석 실생활에의 용 경희

학교 교육 학원 석사 학 논문 2006

[10] 조해식 행렬 수열 수업에서의 수학사 도입에 한 연구 울산 학교 석사

학 논문 1998

[11] 차 자 수열 학습의 흥미 유발을 한 자료 연구 경성 학교 교육 학원 석

사 학 논문 2004

[12] 최 외 5인 고등학교 수학 Ⅰ 앙교육진흥연구소 2006

[13] 최상기 외 5인 고등학교 수학 Ⅰ (주)고려출 2002

[14] 최용 신 성 고등학교 수학 Ⅰ 천재교육(주) 2002

[15] 황혜정 외 5인 수학교육학 신론 문음사 2002

• Ⅰ 서론
• • 1 연구의 필요성과 목적
  • 2 연구의 제한점
  • • Ⅱ 개정 교육과정에서 명시된 수학Ⅰ교육의 목표
    • • 1 수학Ⅰ교육의 목표
      • 2 고등학교 수학 Ⅰ 수열 단원의 학습목표
      • • Ⅲ 수열의 역사적 배경 및 응용
        • • 1 수열의 역사
          • 2 수열 단원이 실생활에 응용된 사례
          • • Ⅳ 고등학교 수학교육과정에서의 수열
            • • 1 수학Ⅰ 교과서 분석
              • 2 수학Ⅰ 교과서에서의 수열
              • • Ⅴ 켈러의 ARCS 이론과 수열 지도
                • • 1 켈러의 ARCS 이론
                  • 2 ARCS 이론을 적용한 수열 수업 계획서
                  • 3 ARCS 이론을 적용한 수업 지도안
                  • 4 조사지 분석
                  • • Ⅵ 결론
                    • 참고문헌

첫째항이 공비가 인 등비수열의 첫째항부터 제 항까지의 합 은

① ne 일때

② 일때

자연수의 거듭제곱의 합

①

　　

②

　　

③

　　

2) 여러 가지 수열

(1) 합의 기호 sum

수열 에서 첫째항부터 제 항까지의 합

　　

을 일반항과 합의 기호 sum를 써서

　　

와 같이 나타낸다

이때

는 수열 의 일반항 의 에 　　　　　　을 차례로

입하여 얻은 항의 합으로 신 다른 문자를 사용하여

등과 같이 나타낼 수 있다

(2) 기호 sum 의 성질

합의 기호 sum 의 성질에 하여 알아보자

합의 기호 sum의 성질

①

(복부호동순)

②

(단 는 상수)

③

(단 는 상수)

　　

　　 　　

　　

마찬가지로

와

에 해서도 확인해 보면 sum 의 성질을

다음과 같이 정리할 수 있다

(3) 계차수열

일반 으로 수열 에서 이웃하는 두 항의 차

　　 을 일반항으로 하는 새로운 수열

　　　　　　　을 얻을 수 있는데 이 수열 을 원래의 수열 의

계차수열이라고 한다

수열 에 하여 그 계차수열을 이라 하면

　　

계차수열과 일반항

수열 의 계차수열을 이라 할때

(단 ge )

3) 수학 귀납법

(1) 수열의 귀납 정의

첫째항과 이웃하는 두 항 사이의 계식으로 수열을 정의하는 것을 수열의

귀납 정의 라고 한다

첫째항이 공차가 인 등차수열 은 다음이 성립한다

　ge 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　①

역으로 두 계식 ①이 주어지면 이 결정되고 차례로

가 결정된다 따라서 모든 자연수 에 하여 이 정해지므로 수열 이

정의 된다

①과 같이 의 값 과 의 계식을 화식이라고 한다

(2) 수학 귀납법

수학 귀납법은 이탈리아의 페아노에 의하여 설정된 자연수에 한 공리

수학 귀납법

자연수 에 한 명제 이 모든 자연수 에 하여 성립함을 증명하

려면 다음 ⅰ ⅱ 를 증명하면 된다

ⅰ 일때 명제 이 성립한다

ⅱ 일때 명제 이 성립한다고 가정하면 일때에도

명제 이 성립한다

다음과 같은 5번째 공리에 근거를 두고 있다

자연수의 집합 의 부분집합 가

ⅰ 　isin

ⅱ 　isin 이면 isin

(여기서 는 의 후자)

인 두 조건을 만족하면 이다

4) 알고리즘과 순서도

(1) 알고리즘과 순서도

어떤 문제를 해결하기 해서는 그 처리 순서를 정해야 하는데 이와 같이

문제 해결에 필요한 처리 과정의 순서를 단계 으로 정리한 것을 알고리즘

이라 하고 알고리즘을 알기 쉽게 기호를 써서 그림으로 나타낸 것을 순서도

라고 한다 일반 으로 어떤 문제를 해결하기 한 알고리즘은 여러 가지가

있을 수 있지만 정해진 유한번의 단계를 거치면 반드시 끝나야 하고 처리

과정의 순서가 명확해야 한다 한 순서도는 각 부분을 순서 계통 으로

나타냄으로써 작업 과정을 구나 쉽게 한 에 악할 수 있도록

작성되어야 한다 순서도는 다음과 같은 기호를 사용하여 작성한다

[표7 순서도의 기호]

(2) 알고리즘과 순서도의 작성

수열과 련된 순서도를 작성할 때에는 다음과 같은 방법을 고려한다

(가) 항수를 항을 수열의 합을 로 나타낸다

(나) 제시된 항의 번호까지 루 를 용한다

(다) 제시된 항의 번호에 하여 단 기호를 이용한다

(라) 구하려는 는 를 인쇄하고 끝낸다

주의환기

집 을

한 략

지각

주의환기의

략

시청각 효과의 사용

비일상 인 내용이나 사건 제시

주의 분산의 자극 지양

탐구

주의환기의

략

능동 반응 유도

문제해결 활동의 구상 장려

신비감의 제공

다양성의

략

간결하고 다양한 교수형태 사용

일방 교수와 상호작용 교수의 혼합

교수자료의 변화 추구

목표-내용-방법이 기능 으로 통합

련성

증진을

한

략

친 성의

략

친 한 인물 혹은 사건 활용

구체 이고 친숙한 그림 활용

친 한 문 배경 지식 활용

목 지향성

의 략

실용성에 을 둔 목표 제시

목 지향 인 학습형태 활용

Ⅴ 러의 ARCS 이론과 수열 지도

1 러의 ARCS 이론

1) ARCS 이론의 특징

(1) 이론 배경

다음은 ([4])의 내용을 참고하 다

ldquo말을 물가로 데리고 갈 수는 있지만 물을 먹일 수는 없다rdquo는 속담처럼

하고자 하는 마음이 없으면 학습 효과를 기 할 수 없는 것은 당연한 사실

이다 이러한 생각의 근거에는 동기 유발의 개념이 자리 잡고 있다 동기

유발이란 어떤 활동을 진 지시 유지하려는 내 상태 는 과정을

포함한다 이 개념은 교육 심리학의 심 개념 의 하나이지만 직 찰

할 수 없는 것이기 때문에 인간의 행동을 보고 거기에서 유출해 내는 개념

이며 이에 한 정의는 바라보는 과 강조하는 내용에 따라 각기 다르

다

(2) ARCS 이론

목 의 선택 가능성 부여

필요나

동기와의

부합성 강조의

략

다양한 수 의 목 제시

학업성취 여부의 기록체제 활용

비경쟁 학습상황의 선택가능

동 상호 학습상황 제시

자신감

수립을

한 략

학습의

필요조건

제시의 략

수업의 목표와 구조의 제시

평가기 피드백의 제시

선수학습 능력의 단

시험의 조건 확인

성공의 기회

제시의 략

쉬운 것에서 어려운 것으로 과제 제시

정수 의 난이도 유지

다양한 수 의 시작 제공

무작 의 다양한 사건 제시

다양한 수 의 난이도 제공

개인

조 감

증 의 략

학습의 끝을 조 할 수 있는 기회 제시

학습속도의 조 가능

원하는 부분에로의 재빠른 회귀 가능

선택가능하고 다양한 과제의 난이도제공

노력이나 능력에 성공 귀착

만족감

증 를

한 략

자연 결과

강조의 략

연습문제를 통한 용기회 제공

후속학습상황을 통한 용기회 제공

모의상황을 통한 용기회 제공

정 결과

강조의 략

한 강화 계획의 활용

의미 있는 강화의 강조

정답을 한 보상 강조

외 보상의 사려 깊은 사용

선택 보상체제 활용

공정성

강조의 략

수업목표와 내용의 일 성 유지

연습과 시험 내용이 일치

[표8 ARCS 략] ([1])

2 ARCS 이론을 용한 수열 수업 계획서

다음은 ([1])의 ARCS 이론의 수업계획서를 참고하여 수열 단원의 수업

계획서를 작성해보았다

수업내용개 동기 략개 기타의견1 수업 기

체 으로 교사는 다양한 방법으로 학습자들

에게 수업 내용을 제시하고 학습자들에게

한 언어를 사용한다

수열의 활용에

한 학습목표

제시하기

교사는 학습자들의 련성을 높이기 해 학습

목표의 의미를 설명해 다

도표는 큰 씨를 사

용하고 핵심이 되는

단어에는 다른 색깔을

사용한다

수열의 활용의

이 과 평가

거를 제시하기

교사는 학습자들의 련성과 자신감 만족감

을 높이기 하여 이 수업이 끝난 후 그들이

무엇을 할 수 있는지에 해 알려 다

교사는 학습자들의 자신감과 만족감을 높이기

하여 성공 인 학습성취를 단할 수 있는 객

인 거들을 알려 다

교사는 학습자들의 만족감을 높이기 하여

그들이 주어진 과제를 성공 으로 해결했을 때

그에 따르는 내재 강화나 외재 보상이 있음

을 알려 다

수열의 정의와

해법에 한 지

식을 간략하게

확인하기

교사는 선수학습과의 련성을 유발하기 하

여 간략한 보조도구(인쇄매체)를 사용하여 수열

의 정의와 해법을 제시한다

교사는 소집단 토론을 실시하여 학습자들의

선수지식을 스스로 검해 보도록 한다

교사는 수열의 정의와 해법을 잘 모르는 학습

자들에게 자신감을 유발시키기 하여 개별 인

학습목표를 세우도록 한다

소집단 구성에 있어

서 주의집 이 매우

낮은 5명을 하나의 소

집단으로 구성하고

친근한 소재를 활용하

여 그들의 주의집 과

련성을 유발한다

실생활과 련

된 수열의 활용

문제들을 몇 가

지 소개하기

교사는 학습자들의 주의집 을 유지하기 해

실생활에서 연립방정식을 활용하여 해결할 수

있는 몇 가지 문제들을 제시한다

주의집 이 매우 낮은 5명의 학습자들이 수업

에 극 인 심을 보이지 않으면 교사는 그

들에게 친근한 목소리로 이름을 부르면서 수업

에 집 하라고 얘기 하고 개인 인 심을 갖

고 있음을 나타낸다

로써 활용되는 문

제들을 선택할 때 학

습자들이 알고 있거

나 그들에게 친근감

을 주는 소재가 포함

되도록 선택한다 이

때 지나치게 자심감

이 높아서 수업에 소

극 으로 참여하는 3

명의 학습자들에게는

다소 복잡한 수열의

활용 문제를 미리 제

공하여 생각할 기회를

다

수열의 활용에

한 학습자들의

이해정도를 악

하고 피드백을

제공하기

교사는 학습자들에게 자신감을 높이기 하여

소집단을 구성하여 학습자들이 수열의 활용에

해 어느 정도 이해하고 있는지를 서로 토론하

도록 한다

교사는 소집단별로 둘러보면서 자신감과 만족

감을 유발시키기 하여 학습자들간에 서로 도

움을 주도록 분 기를 형성한다

소집단별로 간략하게 토론이 끝나면 학습자

들 스스로 정리하도록 한다

토론결과 학습자들이 수열의 활용에 해 잘

못 이해하고 있다면 교사는 즉각 으로 교정

피드백을 제공한다

학습자들의 소집단

토론시간을 무 길게

소요하지 않도록 한

다 자칫하면 토론분

기가 산만해지기 쉽

고 토론이 활발하지

못한 경우에는 학습자

들의 학습의욕이 떨어

진다

2 수업 반 체 으로 교사는 다양한 방법으로 학습자

들에게 수업 내용을

제시하고 학습자들에게 개별 인 언어를 사용

한다

실생활과 련

된 수열의 활용

의 문제들을 구

체 으로 제시하

기

교사는 학습자들의 주의집 련성 자신감

만족감을 유지하기 하여 게임을 실시한다 학

습자들이 돌아가면서 임의로 다른 학습자를 지

명하면 지명받은 학습자가 실생활과 련된 수

열의 문제를 하나 제시한다 한 문제를 제

시한 학습자에게 학습태도 수를 주어 만족감

을 향상시킨다

교사는 학습자들이 제시한 여러 가지 문제들

을 칠 에 은 후 몇몇 소집단을 구성하여

그 문제들을 해결하기 해 인스토 을 하

도록 한다 이때 교사는 문제를 해결한 학습자

가 아직 해결하지 못한 학습자들을 도와주어 자

신감과 만족감을 갖도록 한다

인스토 이 진행되는 동안 교사는 교실

을 둘러보면서 학습자들이 질문이나 의문사항

에 해 극 으로 질문할 수 있는 기회를 제

공하고 그에 해 개별 인 언어를 사용하여

부드러운 목소리로 피드백을 제공한다

인스토 도 학습자들의 개인 인 능

력차가 커서 문제를 해결하는데 어려움을 겪는

학습자들에게는 그들에게 합한 개별 인 학습

이때 교사는 밝고

생동감이 넘치는 목소

리로 학습자들의 활동

을 진시킨다

교사는 학습자들이

한 자신감을 유지

하고 있는지에 해

지속 인 심을 갖고

지켜본다

이때 교사는 학습자

들의 자신감과 만족감

을 높이기 하여 그

들에게 일 성 있는

피드백을 제공한다

교사는 학습자들이

목표를 다시 선정하도록 하여 자신감을 향상시

킨다

인스토 이 끝나면 교사는 소집단 별로

한 사람씩 자발 으로 나와 문제를 풀고 풀이

과정을 체 학습자들에게 설명하도록 한다 이

때 어려운 문제를 해결한 소집단이나 학습자에

게 교사는 그들의 우수한 능력을 인정하고 내

재 인 자존심에 정 인 향을 주는 칭찬을

제공하여 자신감과 만족감을 높인다

소집단의 인스토

을 하는 동안 체

으로 문제풀이를 할

때 주의집 을 유지

하고 자신감과 만족

감의 향상을 악하기

해 끊임없이 그들과

시선을 교류하고 얼

굴표정을 찰한다

3 수업마무리 체 으로 교사는 다양한 방법으로 학습자

들에게 수업 내용을 제시하고 학습자들에게 개

별 인 언어를 사용한다

실생활과 련

된 수열의 활용

에 해 체

으로 정리 요

약하기

교사는 교탁을 탁탁 치거나 박수를 쳐서 다

소 떨어진 학습자들의 주의집 을 향상 시킨다

교사는 실생활 속에서 수열을 활용하여 해결

할 수 있는 간단하고 재미있는 문제들을 2～3개

제시하여 학습자들이 그 문제를 성공 으로 해

결함으로써 자신감과 만족감을 갖도록 한다

교사는 학습자들이 미처 생각하지 못했던 실

생활 속에서 수열과 연 된 다양한 들을 제공

하여 주의집 과 련성을 유지향상시킨다

교사는 자신감과 만족감을 향상시키기 해

학습자들에게 수업진행 에 그들이 설정한 개

인 인 학습목표에 해 얼마나 많이 달성했는

가를 스스로 검해 보라고 한다

교사는 수업 반에 수열의 문제를 잘 해결하

지 못했던 학습자들에게 그 문제를 다시 해결해

보도록 기회를 제공하여 자신감과 만족감을 높

여 다

평가에 있어서 교사는 학습자들이 그들의 성

에 해 공정하게 평가되었다고 느끼도록 일

성 있게 평가하여 그들의 자신감고 만족감을

높여 다

교사는 수열과 실생

활과의 련성에 해

학습자들이 잘 지각하

고 있는가를 알아보기

해 다소 진지한 목

소리로 질문한다

다음 학습내용

에 해 간략히

소개하기

교사는 학습자들의 흥미를 유지하기 하여

다음 학습내용에 해 호기심에 찬 목소리로 간

략하게 소개하고 수업을 끝낸다

[표9 러의 ARCS이론]

단원

단

원Ⅲ 수열

배정시간

(분)50

단

원1 등차수열과 등비수열

차시 3소단

원3) 등차수열과 등비수열의 활용

학습

목표등차수열과 등비수열을 실생활의 문제에 용할 수 있다

학습

단계학습내용

교수-학습활동 지도상의유의사

항교사활동 학생활동

도

입

15

분

인사

출석

주변을 정리 정돈

하여 수업분 기를

조성한다

인사 출석체크

를 한다

주의를 환기시킨

후 학생들과 인사

한다

출결석 여부를

확인한다

바른 자세로 주

변을 정리한 뒤

교사와 인사한다

수업 비를 한

다

교사와 학생

모두 함께 수업

분 기를 조성한

다

선수

학습

확인

지난 시간에 학습

한 등차수열과 등비

수열의 정의에 해

다시 한번 확인해본

다

지난 시간에 학습

한 등차수열과 등비

수열의 일반항을 구

하는 방법에 해 확

인학습으로 [문제1]

과 [문제2]를 풀어본

다

학생들의 자신감

을 높이기 하여

등차수열과 등비수

열의 정의를 교과

서에서 찾아본 후

큰소리로 답하게

한다

학생들이 답한

후 다시 한번 등차

수열과 등비수열에

해 간단히 설명

등차수열과 등

비수열의 정의를

교과서에 찾아본

후 큰소리로 읽는

다

교사가 등차수

열과 등비수열의

정의에 해 다시

한번 간단히 설명

할 때 부족한 부

분은 필기하며 복

습한다

교사가 정의에

해 질문할 때

학생들이 모두

책을 찾아볼수

있게 주의를

다

만일 답하

지 못하는 학생

이 있을 경우 그

여기서 인스토 (brainstorming)이라고 하는 것은 갑자기 떠오르는 멋

진 생각을 종이에 는다든가 말로 표 해 본 후 로 기록하거나 기록된

문장을 정리정돈하면서 생각을 논리화하는 방법이다 주로 어떤 계획을 세

우고자 할 때 창조 이고 기발한 아이디어가 필요할 때 학생들의 의견과

생각을 끌어내어 발 시키고자 할 때 사용하면 유리하다 ([3])

3 ARCS 이론을 용한 수업지도안

[문제1]

다음 등차수열

의 일반항과 제20항

을 구하여라

　　　　　　　

[문제2]

다음 등비수열

의 일반항과 제8항을

구하여라

　 　　　　　

한다

교사는 [문제1]

과[문제2]를 제시

한 뒤 학생들에게

직 풀어보게 한

다

등차수열과 등

비수열의 일반항

과 그 공식의 유

도과정을 기억한

다

제시된 문제를

연습장에 풀어본

다

학생에 해 개

별 인 언어를

사용하여 부드러

운 목소리로 피

드백을 제공한

다

개

30

분

학습

목표

제시

수열의 활용에

한 학습목표를 제시

한다

학습목표 학습

에 필요한 자료를

Power point 시청

각 효과를 사용하여

학생들의 주의환기

집 을 한 략

을 사용한다

학습목표를 학생

들에게 읽게 하고

학생들의 련성을

높이기 해 학습

목표의 의미를 설

명해 다

교사의 지시에

따라 큰소리로 학

습목표를 읽고 이

수업이 끝난 후

무엇을 할 수 있

는지에 해 생각

해 본다

학습목표는 큰

씨를 사용하

고 핵심이 되는

단어에는 다른

색깔을 사용한

다

탐구

학습

실생활과 련된

수열의 활용문제들을

몇 가지 소개한다

수열의 활용에

한 학습자들의 이해

정도를 악하고 피

드백을 제공한다

등차수열과 등비

수열을 이용하여

실생활의 문제를

해결할 수 있음을

학생들이 쉽게 이

해할 수 있도록 설

명한다

교사가 실생활

과 련된 수열의

활용문제들을 몇

가지 소개할 때

다른 시가 있는

지 함께 생각해

본다

문제

제시

[문제3]

한일 월드컵 축구 개

회 연도는 2002년이

다 2002년 이후 월

드컵 축구가 개최되

는 연도를 차례로 써

보고 이 규칙 로 월

드컵 축구가 개최되

면 2100년은 월드컵

축구가 개최되는 연

도인가

교과서에서 수열

단원의 수열의 활

용부분에 수록된

문제들을 풀어볼

수 있도록 시간을

다

등차수열과 등

비수열의 일반항

유도 공식을 생각

해보고 제시된 문

제를 해결해 간다

로써 활용되

는 문제를 선택

할 때 학습자들

이 알고 있거나

그들에게 친근감

을 주는 련성

증진을 한

략을 사용한다

[문제4]

컴퓨터의 주기억 장

치인 램은용

으로

용으로 가 개발

되었다 이후 램의

용 량 은

로 증가되어 왔다

의 램으로부터

번 증가된 주 메모

리는 식으로 어떻게

나타낼 수 있는가

학생들이 문제를

어렵게 느끼지 않

도록 어떤 방향으

로 해결해야 하는

지 힌트를 주어 학

생들의 자신감을

증진시킨다

소집

단

활동

5～6명으로 이 진

소집단을 구성하여

학습자들이 수열의

활용에 해 어느 정

도 이해하고 있는지

를 서로 토론하도록

한다

소집단별로 실생활

과 련된 수열의 활

용의 문제들을 구체

으로 제시한다

인 스토 이

끝나면 소집단별로

한사람씩 문제를 풀

고 풀이과정을 체

학생들에게 설명하는

시간을 갖는다

교사는 학생들의

만족감을 높이기

하여 그들이 주

어진 과제를 성공

으로 해결했을

때 그에 따르는

내재 강화나 외

재 보상이 있음

을 알려 다

어려운 문제를

해결한 소집단이나

학생에게 교사는

그들의 우수한 능

력을 인정하고 내

재 인 자존심에

정 인 향을

주는 칭찬을 제공

하여 자신감과 만

족감을 높인다

자신이 속한 소

집단 내에서 제시

된 과제에 해

열심히 토의를 하

며 문제를 해결한

학생이 아직 해결

하지 못한 학생들

을 도와주어 자신

감과 만족감을 갖

도록 한다

소집단별로 간

략하게 토론이 끝

나면 학생들 스스

로 정리해보고 자

발 으로 체 학

생들에게 설명해

보는 기회를 갖는

다

교사는 학습자

들이 한 자

신감을 유지하고

있는지에 해

지속 인 심을

갖고 지켜본다

학생들의 소집

단 토론시간을

무 길게 소요

하지 않도록 한

다

형성

평가

[문제4]

민수는 남 문의 기

와 지붕 한쪽 면이

사다리꼴 모양임을

찰하고 이 면에 있

는 기와의 개수를 알

아보고자 한다 기와

형 성 평 가 를

Power point로 제

시하고 학생들이

스스로 풀어볼 수

있도록 지도한다

학생들이 문제를

다 풀고 나면 교사

제시된 문제를

오늘 학습한 내용

을 복습하면서 풀

어보도록 한다

교사는 다소

진지한 목소리로

질문한다

의 개수를 행으로 세

었더니 용마루 쪽에

가장 가까운 행에는

40개 처마 쪽에 가

장 가까운 행에는 72

개 다 용마루부터

처마까지 행의 개수

가 17이라고 할 때

민수가 찰한 지붕

한쪽 면의 기와의 개

수는 모두 몇 개인

가

는 학생들에게

답할수 있도록 하

고 학생들이 학습

목표에 해 얼마

나 많이 달성했는

가를 스스로 검

해 보라고 한다

형성평가의 답

을 교사의 질문에

끝난 뒤 큰소리로

답하여 자신감

과 만족감을 갖도

록 한다

학생들에게 개

별 인 언어를

사용한다

정

리

5

분

학습

정리

차시

고

학습 자료를 이용

하여 수열의 실생활

의 활용 단원의 수업

내용을 확인한다

과제를 제시한다

다음 차시인 「여

러 가지 수열」 단원

에 한 고를 한

다

수업 내용을 정

리하고 과제를 제

시한다

학생들의 흥미를

유지하기 하여

다음 학습내용에

해 호기심에 찬

목소리로 간략하게

소개하고 수업을

끝낸다

오늘 학습한 내

용을 정리한다

과제를 고 과

제 해결에 한

내용을 머릿속에

형성해 본다

다음 차시에 배

울 내용을 학습

자료 화면으로 확

인해본다

수업내용에

해 학생과 교사

모두가 만족하고

있는지 확인하고

공정한 평가를

한다

[표10 수업지도안]

4 조사 문제지 분석

고등학교 수학 Ⅰ 의 수열단원의 효율 인 지도방안의 연구를 하여 원

종고등학교 2학년 학생 100명을 상으로 조사 문제지 조사를 하 다 학

생들의 수학에 한 심과 수학에서 가장 어려워하는 부분을 알아볼 수

있었고 어떤 방식의 수업을 선호하는지도 알아볼 수 있었다

⑴ 수학에 얼마나 심이 있나요

① 매우 많다 ② 많다 ③ 보통이다 ④ 다 ⑤ 매우 다

수학과목에 매우 많은 심을 보이는 학생은 2로 매우 낮은 편이며

심이 있는 학생은 43로 학생의 반정도 다 수학과목에 심이 거

나 없는 학생은 54정도로 수학은 어려운 과목이라는 인식 때문에 심

이 은 것 같다

수학을 공부하는 가장 큰 이유에는75의 학생들이 학입시를 해서라

는 문항을 선택했다 기타 이유에는 교과서에 있어서 어쩔수 없이 한다

는 학생과 진리탐구를 해서라는 학생도 있었다

[그림6 조사문제지

(1)번 막 그래 ]

⑵ 수학을 공부하는 가장 큰 이유가 뭐라고 생각하나요

① 학입시를 해서

② 평소 수학에 흥미가 있어서

③ 실제 생활에 쓰기 해서

④ 주변에서 해야한다고 하니까

⑤ 기타 이유 (이유를 간단히 어주세요)

앞에 (1)번문항에서 수학에 심이 은 학생이 반 정도인것에 반해

수학공부가 필요하다고 느낀학생이 75정도로 수학공부가 필요하단건

느끼지만 어려운 과목이라는 인식이 부분인것 같다 수학과목도 재

는 과목이란 인식을 학생들이 가질수 있도록 노력해야겠다

[그림7 조사문제지

(2)번 막 그래 ]

⑶ 수학공부의 필요성에 해 어떻게 생각하나요

① 매우 필요하다 ② 조 필요하다 ③ 보통이다

④ 필요 없다 ⑤ 필요 없다

[그림8 조사문제지

(3)번 막 그래 ]

⑷ 수학을 공부하면서 가장 어려운 부분은 무엇이나요

① 복잡한 계산 과정 ② 외워야할 많은 공식들

③ 응용문제엔 어떤 공식을 용해야할지 ④ 다 어렵다

학생들이 수학과목이 어렵다고 느끼는 이유는 응용문제에 어떤 공식을

용해야 하는지를 몰라서 라는 답이 58로 가장 많았다 그 외에도

계산과정이 복잡하거나 외워야할 공식들이 많아서라는 답도 있었다

이해 주의 수업을 하고 단순한 공식의 암기 주의 수업을 탈피해야겠

다

수학수업을 하는데 효과 인 방법에는 선생님 주의 강의식 수업과 학

생 개인별 수업이 78로 가장 많았다 개념이나 공식유도과정을 설명할

땐 서를 하며 강의식 수업을 하고 문제풀이땐 학생들 개인별로 첨삭

지도를 하는게 효율 인것 같다

⑤ 기타이유 (이유를 간단히 어주세요)

[그림9 조사문제지

(4)번 막 그래 ]

⑸ 수학 수업을 하는 데 어떤 방법이 가장 효과 이라고 생각하나요

① 선생님 주의 강의식 수업

② 학생 개인별 수업

③ 모둠별 활동 수업

④ 기타 교재나 과제를 통한 수업

⑤ 기타(이유를 간단히 어주세요)

[그림10 조사문제지

(5)번 막 그래 ]

Ⅵ 결론

본 논문에서 지 까지 고등학교 2학년 학생들이 수학 Ⅰ 교육과정을 학습하

는데 가장 어려워하는 수열에 해 살펴보았다 먼 개정 교육과정에 명시

된 수학교육의 목표와 임의로 선택된 5종 교과서에서 수열 단원의 학습목표

를 살펴보았고 수열의 역사 배경과 실생활에 응용된 들을 정리해보았

다 한 5종 교과서에서 제시되어 있는 수열의 학습내용을 소단원 별로 정

리해보았다 임의로 선택된 5종 교과서안의 수열의 학습내용을 분석해보면

서 몇 몇 교과서에서 여러 가지 수열 단원에서 군 수열과 멱 수에 한 언

이 없거나 미약함을 알 수 있었다 본 연구자가 보기에 군 수열과 멱 수

부분은 실생활에 활용될 는 극히 작아 보이지만 학생들이 꼭 학습하고 넘

어가야 수열에 한 완벽한 학습이 될 수 있을 것이라 여겼는데 교과서에서

제시된 내용들로는 학생들이 충분히 이해할 수 없을 것 같았다

그리고 교과서에 제시된 문항의 수 이 입시와 동 떨어진다는 문제 이 있

었다 교과서에 제시된 문제가 부족하고 수 이 낮다 보니 실제로 학교에서

수업 때 보충 린트 물로 수업을 진행하고 간기말고사 때에도 교과서

외에서 많은 문제를 출제하는 모습을 볼 수 있었다 때문에 학생들이 교과서

보다는 문제집 주의 공부를 할 수 밖에 없는 듯 보 다 교과서가 학생들

과 교사의 요구에 부합할 수 있도록 새로운 내용들과 문제를 싣도록 해야

할 것이다

학생들이 수열 단원의 학습을 할 때 좀 더 효과 인 학습이 될 수 있도록

리의 동기설계이론 (ARCS 이론) 을 바탕으로 하여 수업 계획서와 1차시

의 수업 지도안을 작성해 보았다 한 작성한 수업 지도안으로 부천시 소재

의 한 고등학교에서 실제 수업을 진행해 보았을 때 학생들이 좀 더 수열에

해 친숙하게 느끼고 쉽게 이해하는 모습을 볼 수 있었다 본 연구자가

직 교사가 아니라 여러 반을 상으로 수열 단원의 모든 차시 수업에 용

하여 수업을 해볼 수 없었단 이 아쉬움으로 남는다

이와 같이 학생들의 주의 련성자신감만족감 증진을 한 수업을 함

으로써 학생들의 수학 학습 성취도의 향상을 기 할 수 있을 것이다 한

개발된 자료를 실제 수업에 용하는 경우의 효율성에 한 후속 연구가 체

계 이고 지속 으로 이루어져야 할 것이다

참 고 문 헌

[1] 구평회 META 구평회 교육학 2007

[2] 교육인 자원부 고시 제2007 - 79호[별책8] 2007

[3] 박인학 교사를 한 교수학습방법론 문사 1995

[4] 변 계 교수학습 이론의 이해 학지사 1999

[5] 우정호 외 5인 고등학교 수학 Ⅰ 한교과서(주) 2002

[6] 이 연 자연의 수학 열쇠 피보나치수열 로네시스 2006

[7] 이진화 지수로그함수의 지도에 한 연구 서강 학교 교육 학원 석사 학

논문 2006

[8] 임재훈 외 10인 고등학교 수학 Ⅰ (주)두산 2002

[9] 장 숙 고등학교 수학 Ⅰ 교과서의 통계단원 분석 실생활에의 용 경희

학교 교육 학원 석사 학 논문 2006

[10] 조해식 행렬 수열 수업에서의 수학사 도입에 한 연구 울산 학교 석사

학 논문 1998

[11] 차 자 수열 학습의 흥미 유발을 한 자료 연구 경성 학교 교육 학원 석

사 학 논문 2004

[12] 최 외 5인 고등학교 수학 Ⅰ 앙교육진흥연구소 2006

[13] 최상기 외 5인 고등학교 수학 Ⅰ (주)고려출 2002

[14] 최용 신 성 고등학교 수학 Ⅰ 천재교육(주) 2002

[15] 황혜정 외 5인 수학교육학 신론 문음사 2002

• Ⅰ 서론
• • 1 연구의 필요성과 목적
  • 2 연구의 제한점
  • • Ⅱ 개정 교육과정에서 명시된 수학Ⅰ교육의 목표
    • • 1 수학Ⅰ교육의 목표
      • 2 고등학교 수학 Ⅰ 수열 단원의 학습목표
      • • Ⅲ 수열의 역사적 배경 및 응용
        • • 1 수열의 역사
          • 2 수열 단원이 실생활에 응용된 사례
          • • Ⅳ 고등학교 수학교육과정에서의 수열
            • • 1 수학Ⅰ 교과서 분석
              • 2 수학Ⅰ 교과서에서의 수열
              • • Ⅴ 켈러의 ARCS 이론과 수열 지도
                • • 1 켈러의 ARCS 이론
                  • 2 ARCS 이론을 적용한 수열 수업 계획서
                  • 3 ARCS 이론을 적용한 수업 지도안
                  • 4 조사지 분석
                  • • Ⅵ 결론
                    • 참고문헌

합의 기호 sum의 성질

①

(복부호동순)

②

(단 는 상수)

③

(단 는 상수)

　　

　　 　　

　　

마찬가지로

와

에 해서도 확인해 보면 sum 의 성질을

다음과 같이 정리할 수 있다

(3) 계차수열

일반 으로 수열 에서 이웃하는 두 항의 차

　　 을 일반항으로 하는 새로운 수열

　　　　　　　을 얻을 수 있는데 이 수열 을 원래의 수열 의

계차수열이라고 한다

수열 에 하여 그 계차수열을 이라 하면

　　

계차수열과 일반항

수열 의 계차수열을 이라 할때

(단 ge )

3) 수학 귀납법

(1) 수열의 귀납 정의

첫째항과 이웃하는 두 항 사이의 계식으로 수열을 정의하는 것을 수열의

귀납 정의 라고 한다

첫째항이 공차가 인 등차수열 은 다음이 성립한다

　ge 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　①

역으로 두 계식 ①이 주어지면 이 결정되고 차례로

가 결정된다 따라서 모든 자연수 에 하여 이 정해지므로 수열 이

정의 된다

①과 같이 의 값 과 의 계식을 화식이라고 한다

(2) 수학 귀납법

수학 귀납법은 이탈리아의 페아노에 의하여 설정된 자연수에 한 공리

수학 귀납법

자연수 에 한 명제 이 모든 자연수 에 하여 성립함을 증명하

려면 다음 ⅰ ⅱ 를 증명하면 된다

ⅰ 일때 명제 이 성립한다

ⅱ 일때 명제 이 성립한다고 가정하면 일때에도

명제 이 성립한다

다음과 같은 5번째 공리에 근거를 두고 있다

자연수의 집합 의 부분집합 가

ⅰ 　isin

ⅱ 　isin 이면 isin

(여기서 는 의 후자)

인 두 조건을 만족하면 이다

4) 알고리즘과 순서도

(1) 알고리즘과 순서도

어떤 문제를 해결하기 해서는 그 처리 순서를 정해야 하는데 이와 같이

문제 해결에 필요한 처리 과정의 순서를 단계 으로 정리한 것을 알고리즘

이라 하고 알고리즘을 알기 쉽게 기호를 써서 그림으로 나타낸 것을 순서도

라고 한다 일반 으로 어떤 문제를 해결하기 한 알고리즘은 여러 가지가

있을 수 있지만 정해진 유한번의 단계를 거치면 반드시 끝나야 하고 처리

과정의 순서가 명확해야 한다 한 순서도는 각 부분을 순서 계통 으로

나타냄으로써 작업 과정을 구나 쉽게 한 에 악할 수 있도록

작성되어야 한다 순서도는 다음과 같은 기호를 사용하여 작성한다

[표7 순서도의 기호]

(2) 알고리즘과 순서도의 작성

수열과 련된 순서도를 작성할 때에는 다음과 같은 방법을 고려한다

(가) 항수를 항을 수열의 합을 로 나타낸다

(나) 제시된 항의 번호까지 루 를 용한다

(다) 제시된 항의 번호에 하여 단 기호를 이용한다

(라) 구하려는 는 를 인쇄하고 끝낸다

주의환기

집 을

한 략

지각

주의환기의

략

시청각 효과의 사용

비일상 인 내용이나 사건 제시

주의 분산의 자극 지양

탐구

주의환기의

략

능동 반응 유도

문제해결 활동의 구상 장려

신비감의 제공

다양성의

략

간결하고 다양한 교수형태 사용

일방 교수와 상호작용 교수의 혼합

교수자료의 변화 추구

목표-내용-방법이 기능 으로 통합

련성

증진을

한

략

친 성의

략

친 한 인물 혹은 사건 활용

구체 이고 친숙한 그림 활용

친 한 문 배경 지식 활용

목 지향성

의 략

실용성에 을 둔 목표 제시

목 지향 인 학습형태 활용

Ⅴ 러의 ARCS 이론과 수열 지도

1 러의 ARCS 이론

1) ARCS 이론의 특징

(1) 이론 배경

다음은 ([4])의 내용을 참고하 다

ldquo말을 물가로 데리고 갈 수는 있지만 물을 먹일 수는 없다rdquo는 속담처럼

하고자 하는 마음이 없으면 학습 효과를 기 할 수 없는 것은 당연한 사실

이다 이러한 생각의 근거에는 동기 유발의 개념이 자리 잡고 있다 동기

유발이란 어떤 활동을 진 지시 유지하려는 내 상태 는 과정을

포함한다 이 개념은 교육 심리학의 심 개념 의 하나이지만 직 찰

할 수 없는 것이기 때문에 인간의 행동을 보고 거기에서 유출해 내는 개념

이며 이에 한 정의는 바라보는 과 강조하는 내용에 따라 각기 다르

다

(2) ARCS 이론

목 의 선택 가능성 부여

필요나

동기와의

부합성 강조의

략

다양한 수 의 목 제시

학업성취 여부의 기록체제 활용

비경쟁 학습상황의 선택가능

동 상호 학습상황 제시

자신감

수립을

한 략

학습의

필요조건

제시의 략

수업의 목표와 구조의 제시

평가기 피드백의 제시

선수학습 능력의 단

시험의 조건 확인

성공의 기회

제시의 략

쉬운 것에서 어려운 것으로 과제 제시

정수 의 난이도 유지

다양한 수 의 시작 제공

무작 의 다양한 사건 제시

다양한 수 의 난이도 제공

개인

조 감

증 의 략

학습의 끝을 조 할 수 있는 기회 제시

학습속도의 조 가능

원하는 부분에로의 재빠른 회귀 가능

선택가능하고 다양한 과제의 난이도제공

노력이나 능력에 성공 귀착

만족감

증 를

한 략

자연 결과

강조의 략

연습문제를 통한 용기회 제공

후속학습상황을 통한 용기회 제공

모의상황을 통한 용기회 제공

정 결과

강조의 략

한 강화 계획의 활용

의미 있는 강화의 강조

정답을 한 보상 강조

외 보상의 사려 깊은 사용

선택 보상체제 활용

공정성

강조의 략

수업목표와 내용의 일 성 유지

연습과 시험 내용이 일치

[표8 ARCS 략] ([1])

2 ARCS 이론을 용한 수열 수업 계획서

다음은 ([1])의 ARCS 이론의 수업계획서를 참고하여 수열 단원의 수업

계획서를 작성해보았다

수업내용개 동기 략개 기타의견1 수업 기

체 으로 교사는 다양한 방법으로 학습자들

에게 수업 내용을 제시하고 학습자들에게

한 언어를 사용한다

수열의 활용에

한 학습목표

제시하기

교사는 학습자들의 련성을 높이기 해 학습

목표의 의미를 설명해 다

도표는 큰 씨를 사

용하고 핵심이 되는

단어에는 다른 색깔을

사용한다

수열의 활용의

이 과 평가

거를 제시하기

교사는 학습자들의 련성과 자신감 만족감

을 높이기 하여 이 수업이 끝난 후 그들이

무엇을 할 수 있는지에 해 알려 다

교사는 학습자들의 자신감과 만족감을 높이기

하여 성공 인 학습성취를 단할 수 있는 객

인 거들을 알려 다

교사는 학습자들의 만족감을 높이기 하여

그들이 주어진 과제를 성공 으로 해결했을 때

그에 따르는 내재 강화나 외재 보상이 있음

을 알려 다

수열의 정의와

해법에 한 지

식을 간략하게

확인하기

교사는 선수학습과의 련성을 유발하기 하

여 간략한 보조도구(인쇄매체)를 사용하여 수열

의 정의와 해법을 제시한다

교사는 소집단 토론을 실시하여 학습자들의

선수지식을 스스로 검해 보도록 한다

교사는 수열의 정의와 해법을 잘 모르는 학습

자들에게 자신감을 유발시키기 하여 개별 인

학습목표를 세우도록 한다

소집단 구성에 있어

서 주의집 이 매우

낮은 5명을 하나의 소

집단으로 구성하고

친근한 소재를 활용하

여 그들의 주의집 과

련성을 유발한다

실생활과 련

된 수열의 활용

문제들을 몇 가

지 소개하기

교사는 학습자들의 주의집 을 유지하기 해

실생활에서 연립방정식을 활용하여 해결할 수

있는 몇 가지 문제들을 제시한다

주의집 이 매우 낮은 5명의 학습자들이 수업

에 극 인 심을 보이지 않으면 교사는 그

들에게 친근한 목소리로 이름을 부르면서 수업

에 집 하라고 얘기 하고 개인 인 심을 갖

고 있음을 나타낸다

로써 활용되는 문

제들을 선택할 때 학

습자들이 알고 있거

나 그들에게 친근감

을 주는 소재가 포함

되도록 선택한다 이

때 지나치게 자심감

이 높아서 수업에 소

극 으로 참여하는 3

명의 학습자들에게는

다소 복잡한 수열의

활용 문제를 미리 제

공하여 생각할 기회를

다

수열의 활용에

한 학습자들의

이해정도를 악

하고 피드백을

제공하기

교사는 학습자들에게 자신감을 높이기 하여

소집단을 구성하여 학습자들이 수열의 활용에

해 어느 정도 이해하고 있는지를 서로 토론하

도록 한다

교사는 소집단별로 둘러보면서 자신감과 만족

감을 유발시키기 하여 학습자들간에 서로 도

움을 주도록 분 기를 형성한다

소집단별로 간략하게 토론이 끝나면 학습자

들 스스로 정리하도록 한다

토론결과 학습자들이 수열의 활용에 해 잘

못 이해하고 있다면 교사는 즉각 으로 교정

피드백을 제공한다

학습자들의 소집단

토론시간을 무 길게

소요하지 않도록 한

다 자칫하면 토론분

기가 산만해지기 쉽

고 토론이 활발하지

못한 경우에는 학습자

들의 학습의욕이 떨어

진다

2 수업 반 체 으로 교사는 다양한 방법으로 학습자

들에게 수업 내용을

제시하고 학습자들에게 개별 인 언어를 사용

한다

실생활과 련

된 수열의 활용

의 문제들을 구

체 으로 제시하

기

교사는 학습자들의 주의집 련성 자신감

만족감을 유지하기 하여 게임을 실시한다 학

습자들이 돌아가면서 임의로 다른 학습자를 지

명하면 지명받은 학습자가 실생활과 련된 수

열의 문제를 하나 제시한다 한 문제를 제

시한 학습자에게 학습태도 수를 주어 만족감

을 향상시킨다

교사는 학습자들이 제시한 여러 가지 문제들

을 칠 에 은 후 몇몇 소집단을 구성하여

그 문제들을 해결하기 해 인스토 을 하

도록 한다 이때 교사는 문제를 해결한 학습자

가 아직 해결하지 못한 학습자들을 도와주어 자

신감과 만족감을 갖도록 한다

인스토 이 진행되는 동안 교사는 교실

을 둘러보면서 학습자들이 질문이나 의문사항

에 해 극 으로 질문할 수 있는 기회를 제

공하고 그에 해 개별 인 언어를 사용하여

부드러운 목소리로 피드백을 제공한다

인스토 도 학습자들의 개인 인 능

력차가 커서 문제를 해결하는데 어려움을 겪는

학습자들에게는 그들에게 합한 개별 인 학습

이때 교사는 밝고

생동감이 넘치는 목소

리로 학습자들의 활동

을 진시킨다

교사는 학습자들이

한 자신감을 유지

하고 있는지에 해

지속 인 심을 갖고

지켜본다

이때 교사는 학습자

들의 자신감과 만족감

을 높이기 하여 그

들에게 일 성 있는

피드백을 제공한다

교사는 학습자들이

목표를 다시 선정하도록 하여 자신감을 향상시

킨다

인스토 이 끝나면 교사는 소집단 별로

한 사람씩 자발 으로 나와 문제를 풀고 풀이

과정을 체 학습자들에게 설명하도록 한다 이

때 어려운 문제를 해결한 소집단이나 학습자에

게 교사는 그들의 우수한 능력을 인정하고 내

재 인 자존심에 정 인 향을 주는 칭찬을

제공하여 자신감과 만족감을 높인다

소집단의 인스토

을 하는 동안 체

으로 문제풀이를 할

때 주의집 을 유지

하고 자신감과 만족

감의 향상을 악하기

해 끊임없이 그들과

시선을 교류하고 얼

굴표정을 찰한다

3 수업마무리 체 으로 교사는 다양한 방법으로 학습자

들에게 수업 내용을 제시하고 학습자들에게 개

별 인 언어를 사용한다

실생활과 련

된 수열의 활용

에 해 체

으로 정리 요

약하기

교사는 교탁을 탁탁 치거나 박수를 쳐서 다

소 떨어진 학습자들의 주의집 을 향상 시킨다

교사는 실생활 속에서 수열을 활용하여 해결

할 수 있는 간단하고 재미있는 문제들을 2～3개

제시하여 학습자들이 그 문제를 성공 으로 해

결함으로써 자신감과 만족감을 갖도록 한다

교사는 학습자들이 미처 생각하지 못했던 실

생활 속에서 수열과 연 된 다양한 들을 제공

하여 주의집 과 련성을 유지향상시킨다

교사는 자신감과 만족감을 향상시키기 해

학습자들에게 수업진행 에 그들이 설정한 개

인 인 학습목표에 해 얼마나 많이 달성했는

가를 스스로 검해 보라고 한다

교사는 수업 반에 수열의 문제를 잘 해결하

지 못했던 학습자들에게 그 문제를 다시 해결해

보도록 기회를 제공하여 자신감과 만족감을 높

여 다

평가에 있어서 교사는 학습자들이 그들의 성

에 해 공정하게 평가되었다고 느끼도록 일

성 있게 평가하여 그들의 자신감고 만족감을

높여 다

교사는 수열과 실생

활과의 련성에 해

학습자들이 잘 지각하

고 있는가를 알아보기

해 다소 진지한 목

소리로 질문한다

다음 학습내용

에 해 간략히

소개하기

교사는 학습자들의 흥미를 유지하기 하여

다음 학습내용에 해 호기심에 찬 목소리로 간

략하게 소개하고 수업을 끝낸다

[표9 러의 ARCS이론]

단원

단

원Ⅲ 수열

배정시간

(분)50

단

원1 등차수열과 등비수열

차시 3소단

원3) 등차수열과 등비수열의 활용

학습

목표등차수열과 등비수열을 실생활의 문제에 용할 수 있다

학습

단계학습내용

교수-학습활동 지도상의유의사

항교사활동 학생활동

도

입

15

분

인사

출석

주변을 정리 정돈

하여 수업분 기를

조성한다

인사 출석체크

를 한다

주의를 환기시킨

후 학생들과 인사

한다

출결석 여부를

확인한다

바른 자세로 주

변을 정리한 뒤

교사와 인사한다

수업 비를 한

다

교사와 학생

모두 함께 수업

분 기를 조성한

다

선수

학습

확인

지난 시간에 학습

한 등차수열과 등비

수열의 정의에 해

다시 한번 확인해본

다

지난 시간에 학습

한 등차수열과 등비

수열의 일반항을 구

하는 방법에 해 확

인학습으로 [문제1]

과 [문제2]를 풀어본

다

학생들의 자신감

을 높이기 하여

등차수열과 등비수

열의 정의를 교과

서에서 찾아본 후

큰소리로 답하게

한다

학생들이 답한

후 다시 한번 등차

수열과 등비수열에

해 간단히 설명

등차수열과 등

비수열의 정의를

교과서에 찾아본

후 큰소리로 읽는

다

교사가 등차수

열과 등비수열의

정의에 해 다시

한번 간단히 설명

할 때 부족한 부

분은 필기하며 복

습한다

교사가 정의에

해 질문할 때

학생들이 모두

책을 찾아볼수

있게 주의를

다

만일 답하

지 못하는 학생

이 있을 경우 그

여기서 인스토 (brainstorming)이라고 하는 것은 갑자기 떠오르는 멋

진 생각을 종이에 는다든가 말로 표 해 본 후 로 기록하거나 기록된

문장을 정리정돈하면서 생각을 논리화하는 방법이다 주로 어떤 계획을 세

우고자 할 때 창조 이고 기발한 아이디어가 필요할 때 학생들의 의견과

생각을 끌어내어 발 시키고자 할 때 사용하면 유리하다 ([3])

3 ARCS 이론을 용한 수업지도안

[문제1]

다음 등차수열

의 일반항과 제20항

을 구하여라

　　　　　　　

[문제2]

다음 등비수열

의 일반항과 제8항을

구하여라

　 　　　　　

한다

교사는 [문제1]

과[문제2]를 제시

한 뒤 학생들에게

직 풀어보게 한

다

등차수열과 등

비수열의 일반항

과 그 공식의 유

도과정을 기억한

다

제시된 문제를

연습장에 풀어본

다

학생에 해 개

별 인 언어를

사용하여 부드러

운 목소리로 피

드백을 제공한

다

개

30

분

학습

목표

제시

수열의 활용에

한 학습목표를 제시

한다

학습목표 학습

에 필요한 자료를

Power point 시청

각 효과를 사용하여

학생들의 주의환기

집 을 한 략

을 사용한다

학습목표를 학생

들에게 읽게 하고

학생들의 련성을

높이기 해 학습

목표의 의미를 설

명해 다

교사의 지시에

따라 큰소리로 학

습목표를 읽고 이

수업이 끝난 후

무엇을 할 수 있

는지에 해 생각

해 본다

학습목표는 큰

씨를 사용하

고 핵심이 되는

단어에는 다른

색깔을 사용한

다

탐구

학습

실생활과 련된

수열의 활용문제들을

몇 가지 소개한다

수열의 활용에

한 학습자들의 이해

정도를 악하고 피

드백을 제공한다

등차수열과 등비

수열을 이용하여

실생활의 문제를

해결할 수 있음을

학생들이 쉽게 이

해할 수 있도록 설

명한다

교사가 실생활

과 련된 수열의

활용문제들을 몇

가지 소개할 때

다른 시가 있는

지 함께 생각해

본다

문제

제시

[문제3]

한일 월드컵 축구 개

회 연도는 2002년이

다 2002년 이후 월

드컵 축구가 개최되

는 연도를 차례로 써

보고 이 규칙 로 월

드컵 축구가 개최되

면 2100년은 월드컵

축구가 개최되는 연

도인가

교과서에서 수열

단원의 수열의 활

용부분에 수록된

문제들을 풀어볼

수 있도록 시간을

다

등차수열과 등

비수열의 일반항

유도 공식을 생각

해보고 제시된 문

제를 해결해 간다

로써 활용되

는 문제를 선택

할 때 학습자들

이 알고 있거나

그들에게 친근감

을 주는 련성

증진을 한

략을 사용한다

[문제4]

컴퓨터의 주기억 장

치인 램은용

으로

용으로 가 개발

되었다 이후 램의

용 량 은

로 증가되어 왔다

의 램으로부터

번 증가된 주 메모

리는 식으로 어떻게

나타낼 수 있는가

학생들이 문제를

어렵게 느끼지 않

도록 어떤 방향으

로 해결해야 하는

지 힌트를 주어 학

생들의 자신감을

증진시킨다

소집

단

활동

5～6명으로 이 진

소집단을 구성하여

학습자들이 수열의

활용에 해 어느 정

도 이해하고 있는지

를 서로 토론하도록

한다

소집단별로 실생활

과 련된 수열의 활

용의 문제들을 구체

으로 제시한다

인 스토 이

끝나면 소집단별로

한사람씩 문제를 풀

고 풀이과정을 체

학생들에게 설명하는

시간을 갖는다

교사는 학생들의

만족감을 높이기

하여 그들이 주

어진 과제를 성공

으로 해결했을

때 그에 따르는

내재 강화나 외

재 보상이 있음

을 알려 다

어려운 문제를

해결한 소집단이나

학생에게 교사는

그들의 우수한 능

력을 인정하고 내

재 인 자존심에

정 인 향을

주는 칭찬을 제공

하여 자신감과 만

족감을 높인다

자신이 속한 소

집단 내에서 제시

된 과제에 해

열심히 토의를 하

며 문제를 해결한

학생이 아직 해결

하지 못한 학생들

을 도와주어 자신

감과 만족감을 갖

도록 한다

소집단별로 간

략하게 토론이 끝

나면 학생들 스스

로 정리해보고 자

발 으로 체 학

생들에게 설명해

보는 기회를 갖는

다

교사는 학습자

들이 한 자

신감을 유지하고

있는지에 해

지속 인 심을

갖고 지켜본다

학생들의 소집

단 토론시간을

무 길게 소요

하지 않도록 한

다

형성

평가

[문제4]

민수는 남 문의 기

와 지붕 한쪽 면이

사다리꼴 모양임을

찰하고 이 면에 있

는 기와의 개수를 알

아보고자 한다 기와

형 성 평 가 를

Power point로 제

시하고 학생들이

스스로 풀어볼 수

있도록 지도한다

학생들이 문제를

다 풀고 나면 교사

제시된 문제를

오늘 학습한 내용

을 복습하면서 풀

어보도록 한다

교사는 다소

진지한 목소리로

질문한다

의 개수를 행으로 세

었더니 용마루 쪽에

가장 가까운 행에는

40개 처마 쪽에 가

장 가까운 행에는 72

개 다 용마루부터

처마까지 행의 개수

가 17이라고 할 때

민수가 찰한 지붕

한쪽 면의 기와의 개

수는 모두 몇 개인

가

는 학생들에게

답할수 있도록 하

고 학생들이 학습

목표에 해 얼마

나 많이 달성했는

가를 스스로 검

해 보라고 한다

형성평가의 답

을 교사의 질문에

끝난 뒤 큰소리로

답하여 자신감

과 만족감을 갖도

록 한다

학생들에게 개

별 인 언어를

사용한다

정

리

5

분

학습

정리

차시

고

학습 자료를 이용

하여 수열의 실생활

의 활용 단원의 수업

내용을 확인한다

과제를 제시한다

다음 차시인 「여

러 가지 수열」 단원

에 한 고를 한

다

수업 내용을 정

리하고 과제를 제

시한다

학생들의 흥미를

유지하기 하여

다음 학습내용에

해 호기심에 찬

목소리로 간략하게

소개하고 수업을

끝낸다

오늘 학습한 내

용을 정리한다

과제를 고 과

제 해결에 한

내용을 머릿속에

형성해 본다

다음 차시에 배

울 내용을 학습

자료 화면으로 확

인해본다

수업내용에

해 학생과 교사

모두가 만족하고

있는지 확인하고

공정한 평가를

한다

[표10 수업지도안]

4 조사 문제지 분석

고등학교 수학 Ⅰ 의 수열단원의 효율 인 지도방안의 연구를 하여 원

종고등학교 2학년 학생 100명을 상으로 조사 문제지 조사를 하 다 학

생들의 수학에 한 심과 수학에서 가장 어려워하는 부분을 알아볼 수

있었고 어떤 방식의 수업을 선호하는지도 알아볼 수 있었다

⑴ 수학에 얼마나 심이 있나요

① 매우 많다 ② 많다 ③ 보통이다 ④ 다 ⑤ 매우 다

수학과목에 매우 많은 심을 보이는 학생은 2로 매우 낮은 편이며

심이 있는 학생은 43로 학생의 반정도 다 수학과목에 심이 거

나 없는 학생은 54정도로 수학은 어려운 과목이라는 인식 때문에 심

이 은 것 같다

수학을 공부하는 가장 큰 이유에는75의 학생들이 학입시를 해서라

는 문항을 선택했다 기타 이유에는 교과서에 있어서 어쩔수 없이 한다

는 학생과 진리탐구를 해서라는 학생도 있었다

[그림6 조사문제지

(1)번 막 그래 ]

⑵ 수학을 공부하는 가장 큰 이유가 뭐라고 생각하나요

① 학입시를 해서

② 평소 수학에 흥미가 있어서

③ 실제 생활에 쓰기 해서

④ 주변에서 해야한다고 하니까

⑤ 기타 이유 (이유를 간단히 어주세요)

앞에 (1)번문항에서 수학에 심이 은 학생이 반 정도인것에 반해

수학공부가 필요하다고 느낀학생이 75정도로 수학공부가 필요하단건

느끼지만 어려운 과목이라는 인식이 부분인것 같다 수학과목도 재

는 과목이란 인식을 학생들이 가질수 있도록 노력해야겠다

[그림7 조사문제지

(2)번 막 그래 ]

⑶ 수학공부의 필요성에 해 어떻게 생각하나요

① 매우 필요하다 ② 조 필요하다 ③ 보통이다

④ 필요 없다 ⑤ 필요 없다

[그림8 조사문제지

(3)번 막 그래 ]

⑷ 수학을 공부하면서 가장 어려운 부분은 무엇이나요

① 복잡한 계산 과정 ② 외워야할 많은 공식들

③ 응용문제엔 어떤 공식을 용해야할지 ④ 다 어렵다

학생들이 수학과목이 어렵다고 느끼는 이유는 응용문제에 어떤 공식을

용해야 하는지를 몰라서 라는 답이 58로 가장 많았다 그 외에도

계산과정이 복잡하거나 외워야할 공식들이 많아서라는 답도 있었다

이해 주의 수업을 하고 단순한 공식의 암기 주의 수업을 탈피해야겠

다

수학수업을 하는데 효과 인 방법에는 선생님 주의 강의식 수업과 학

생 개인별 수업이 78로 가장 많았다 개념이나 공식유도과정을 설명할

땐 서를 하며 강의식 수업을 하고 문제풀이땐 학생들 개인별로 첨삭

지도를 하는게 효율 인것 같다

⑤ 기타이유 (이유를 간단히 어주세요)

[그림9 조사문제지

(4)번 막 그래 ]

⑸ 수학 수업을 하는 데 어떤 방법이 가장 효과 이라고 생각하나요

① 선생님 주의 강의식 수업

② 학생 개인별 수업

③ 모둠별 활동 수업

④ 기타 교재나 과제를 통한 수업

⑤ 기타(이유를 간단히 어주세요)

[그림10 조사문제지

(5)번 막 그래 ]

Ⅵ 결론

본 논문에서 지 까지 고등학교 2학년 학생들이 수학 Ⅰ 교육과정을 학습하

는데 가장 어려워하는 수열에 해 살펴보았다 먼 개정 교육과정에 명시

된 수학교육의 목표와 임의로 선택된 5종 교과서에서 수열 단원의 학습목표

를 살펴보았고 수열의 역사 배경과 실생활에 응용된 들을 정리해보았

다 한 5종 교과서에서 제시되어 있는 수열의 학습내용을 소단원 별로 정

리해보았다 임의로 선택된 5종 교과서안의 수열의 학습내용을 분석해보면

서 몇 몇 교과서에서 여러 가지 수열 단원에서 군 수열과 멱 수에 한 언

이 없거나 미약함을 알 수 있었다 본 연구자가 보기에 군 수열과 멱 수

부분은 실생활에 활용될 는 극히 작아 보이지만 학생들이 꼭 학습하고 넘

어가야 수열에 한 완벽한 학습이 될 수 있을 것이라 여겼는데 교과서에서

제시된 내용들로는 학생들이 충분히 이해할 수 없을 것 같았다

그리고 교과서에 제시된 문항의 수 이 입시와 동 떨어진다는 문제 이 있

었다 교과서에 제시된 문제가 부족하고 수 이 낮다 보니 실제로 학교에서

수업 때 보충 린트 물로 수업을 진행하고 간기말고사 때에도 교과서

외에서 많은 문제를 출제하는 모습을 볼 수 있었다 때문에 학생들이 교과서

보다는 문제집 주의 공부를 할 수 밖에 없는 듯 보 다 교과서가 학생들

과 교사의 요구에 부합할 수 있도록 새로운 내용들과 문제를 싣도록 해야

할 것이다

학생들이 수열 단원의 학습을 할 때 좀 더 효과 인 학습이 될 수 있도록

리의 동기설계이론 (ARCS 이론) 을 바탕으로 하여 수업 계획서와 1차시

의 수업 지도안을 작성해 보았다 한 작성한 수업 지도안으로 부천시 소재

의 한 고등학교에서 실제 수업을 진행해 보았을 때 학생들이 좀 더 수열에

해 친숙하게 느끼고 쉽게 이해하는 모습을 볼 수 있었다 본 연구자가

직 교사가 아니라 여러 반을 상으로 수열 단원의 모든 차시 수업에 용

하여 수업을 해볼 수 없었단 이 아쉬움으로 남는다

이와 같이 학생들의 주의 련성자신감만족감 증진을 한 수업을 함

으로써 학생들의 수학 학습 성취도의 향상을 기 할 수 있을 것이다 한

개발된 자료를 실제 수업에 용하는 경우의 효율성에 한 후속 연구가 체

계 이고 지속 으로 이루어져야 할 것이다

참 고 문 헌

[1] 구평회 META 구평회 교육학 2007

[2] 교육인 자원부 고시 제2007 - 79호[별책8] 2007

[3] 박인학 교사를 한 교수학습방법론 문사 1995

[4] 변 계 교수학습 이론의 이해 학지사 1999

[5] 우정호 외 5인 고등학교 수학 Ⅰ 한교과서(주) 2002

[6] 이 연 자연의 수학 열쇠 피보나치수열 로네시스 2006

[7] 이진화 지수로그함수의 지도에 한 연구 서강 학교 교육 학원 석사 학

논문 2006

[8] 임재훈 외 10인 고등학교 수학 Ⅰ (주)두산 2002

[9] 장 숙 고등학교 수학 Ⅰ 교과서의 통계단원 분석 실생활에의 용 경희

학교 교육 학원 석사 학 논문 2006

[10] 조해식 행렬 수열 수업에서의 수학사 도입에 한 연구 울산 학교 석사

학 논문 1998

[11] 차 자 수열 학습의 흥미 유발을 한 자료 연구 경성 학교 교육 학원 석

사 학 논문 2004

[12] 최 외 5인 고등학교 수학 Ⅰ 앙교육진흥연구소 2006

[13] 최상기 외 5인 고등학교 수학 Ⅰ (주)고려출 2002

[14] 최용 신 성 고등학교 수학 Ⅰ 천재교육(주) 2002

[15] 황혜정 외 5인 수학교육학 신론 문음사 2002

• Ⅰ 서론
• • 1 연구의 필요성과 목적
  • 2 연구의 제한점
  • • Ⅱ 개정 교육과정에서 명시된 수학Ⅰ교육의 목표
    • • 1 수학Ⅰ교육의 목표
      • 2 고등학교 수학 Ⅰ 수열 단원의 학습목표
      • • Ⅲ 수열의 역사적 배경 및 응용
        • • 1 수열의 역사
          • 2 수열 단원이 실생활에 응용된 사례
          • • Ⅳ 고등학교 수학교육과정에서의 수열
            • • 1 수학Ⅰ 교과서 분석
              • 2 수학Ⅰ 교과서에서의 수열
              • • Ⅴ 켈러의 ARCS 이론과 수열 지도
                • • 1 켈러의 ARCS 이론
                  • 2 ARCS 이론을 적용한 수열 수업 계획서
                  • 3 ARCS 이론을 적용한 수업 지도안
                  • 4 조사지 분석
                  • • Ⅵ 결론
                    • 참고문헌

계차수열과 일반항

수열 의 계차수열을 이라 할때

(단 ge )

3) 수학 귀납법

(1) 수열의 귀납 정의

첫째항과 이웃하는 두 항 사이의 계식으로 수열을 정의하는 것을 수열의

귀납 정의 라고 한다

첫째항이 공차가 인 등차수열 은 다음이 성립한다

　ge 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　①

역으로 두 계식 ①이 주어지면 이 결정되고 차례로

가 결정된다 따라서 모든 자연수 에 하여 이 정해지므로 수열 이

정의 된다

①과 같이 의 값 과 의 계식을 화식이라고 한다

(2) 수학 귀납법

수학 귀납법은 이탈리아의 페아노에 의하여 설정된 자연수에 한 공리

수학 귀납법

자연수 에 한 명제 이 모든 자연수 에 하여 성립함을 증명하

려면 다음 ⅰ ⅱ 를 증명하면 된다

ⅰ 일때 명제 이 성립한다

ⅱ 일때 명제 이 성립한다고 가정하면 일때에도

명제 이 성립한다

다음과 같은 5번째 공리에 근거를 두고 있다

자연수의 집합 의 부분집합 가

ⅰ 　isin

ⅱ 　isin 이면 isin

(여기서 는 의 후자)

인 두 조건을 만족하면 이다

4) 알고리즘과 순서도

(1) 알고리즘과 순서도

어떤 문제를 해결하기 해서는 그 처리 순서를 정해야 하는데 이와 같이

문제 해결에 필요한 처리 과정의 순서를 단계 으로 정리한 것을 알고리즘

이라 하고 알고리즘을 알기 쉽게 기호를 써서 그림으로 나타낸 것을 순서도

라고 한다 일반 으로 어떤 문제를 해결하기 한 알고리즘은 여러 가지가

있을 수 있지만 정해진 유한번의 단계를 거치면 반드시 끝나야 하고 처리

과정의 순서가 명확해야 한다 한 순서도는 각 부분을 순서 계통 으로

나타냄으로써 작업 과정을 구나 쉽게 한 에 악할 수 있도록

작성되어야 한다 순서도는 다음과 같은 기호를 사용하여 작성한다

[표7 순서도의 기호]

(2) 알고리즘과 순서도의 작성

수열과 련된 순서도를 작성할 때에는 다음과 같은 방법을 고려한다

(가) 항수를 항을 수열의 합을 로 나타낸다

(나) 제시된 항의 번호까지 루 를 용한다

(다) 제시된 항의 번호에 하여 단 기호를 이용한다

(라) 구하려는 는 를 인쇄하고 끝낸다

주의환기

집 을

한 략

지각

주의환기의

략

시청각 효과의 사용

비일상 인 내용이나 사건 제시

주의 분산의 자극 지양

탐구

주의환기의

략

능동 반응 유도

문제해결 활동의 구상 장려

신비감의 제공

다양성의

략

간결하고 다양한 교수형태 사용

일방 교수와 상호작용 교수의 혼합

교수자료의 변화 추구

목표-내용-방법이 기능 으로 통합

련성

증진을

한

략

친 성의

략

친 한 인물 혹은 사건 활용

구체 이고 친숙한 그림 활용

친 한 문 배경 지식 활용

목 지향성

의 략

실용성에 을 둔 목표 제시

목 지향 인 학습형태 활용

Ⅴ 러의 ARCS 이론과 수열 지도

1 러의 ARCS 이론

1) ARCS 이론의 특징

(1) 이론 배경

다음은 ([4])의 내용을 참고하 다

ldquo말을 물가로 데리고 갈 수는 있지만 물을 먹일 수는 없다rdquo는 속담처럼

하고자 하는 마음이 없으면 학습 효과를 기 할 수 없는 것은 당연한 사실

이다 이러한 생각의 근거에는 동기 유발의 개념이 자리 잡고 있다 동기

유발이란 어떤 활동을 진 지시 유지하려는 내 상태 는 과정을

포함한다 이 개념은 교육 심리학의 심 개념 의 하나이지만 직 찰

할 수 없는 것이기 때문에 인간의 행동을 보고 거기에서 유출해 내는 개념

이며 이에 한 정의는 바라보는 과 강조하는 내용에 따라 각기 다르

다

(2) ARCS 이론

목 의 선택 가능성 부여

필요나

동기와의

부합성 강조의

략

다양한 수 의 목 제시

학업성취 여부의 기록체제 활용

비경쟁 학습상황의 선택가능

동 상호 학습상황 제시

자신감

수립을

한 략

학습의

필요조건

제시의 략

수업의 목표와 구조의 제시

평가기 피드백의 제시

선수학습 능력의 단

시험의 조건 확인

성공의 기회

제시의 략

쉬운 것에서 어려운 것으로 과제 제시

정수 의 난이도 유지

다양한 수 의 시작 제공

무작 의 다양한 사건 제시

다양한 수 의 난이도 제공

개인

조 감

증 의 략

학습의 끝을 조 할 수 있는 기회 제시

학습속도의 조 가능

원하는 부분에로의 재빠른 회귀 가능

선택가능하고 다양한 과제의 난이도제공

노력이나 능력에 성공 귀착

만족감

증 를

한 략

자연 결과

강조의 략

연습문제를 통한 용기회 제공

후속학습상황을 통한 용기회 제공

모의상황을 통한 용기회 제공

정 결과

강조의 략

한 강화 계획의 활용

의미 있는 강화의 강조

정답을 한 보상 강조

외 보상의 사려 깊은 사용

선택 보상체제 활용

공정성

강조의 략

수업목표와 내용의 일 성 유지

연습과 시험 내용이 일치

[표8 ARCS 략] ([1])

2 ARCS 이론을 용한 수열 수업 계획서

다음은 ([1])의 ARCS 이론의 수업계획서를 참고하여 수열 단원의 수업

계획서를 작성해보았다

수업내용개 동기 략개 기타의견1 수업 기

체 으로 교사는 다양한 방법으로 학습자들

에게 수업 내용을 제시하고 학습자들에게

한 언어를 사용한다

수열의 활용에

한 학습목표

제시하기

교사는 학습자들의 련성을 높이기 해 학습

목표의 의미를 설명해 다

도표는 큰 씨를 사

용하고 핵심이 되는

단어에는 다른 색깔을

사용한다

수열의 활용의

이 과 평가

거를 제시하기

교사는 학습자들의 련성과 자신감 만족감

을 높이기 하여 이 수업이 끝난 후 그들이

무엇을 할 수 있는지에 해 알려 다

교사는 학습자들의 자신감과 만족감을 높이기

하여 성공 인 학습성취를 단할 수 있는 객

인 거들을 알려 다

교사는 학습자들의 만족감을 높이기 하여

그들이 주어진 과제를 성공 으로 해결했을 때

그에 따르는 내재 강화나 외재 보상이 있음

을 알려 다

수열의 정의와

해법에 한 지

식을 간략하게

확인하기

교사는 선수학습과의 련성을 유발하기 하

여 간략한 보조도구(인쇄매체)를 사용하여 수열

의 정의와 해법을 제시한다

교사는 소집단 토론을 실시하여 학습자들의

선수지식을 스스로 검해 보도록 한다

교사는 수열의 정의와 해법을 잘 모르는 학습

자들에게 자신감을 유발시키기 하여 개별 인

학습목표를 세우도록 한다

소집단 구성에 있어

서 주의집 이 매우

낮은 5명을 하나의 소

집단으로 구성하고

친근한 소재를 활용하

여 그들의 주의집 과

련성을 유발한다

실생활과 련

된 수열의 활용

문제들을 몇 가

지 소개하기

교사는 학습자들의 주의집 을 유지하기 해

실생활에서 연립방정식을 활용하여 해결할 수

있는 몇 가지 문제들을 제시한다

주의집 이 매우 낮은 5명의 학습자들이 수업

에 극 인 심을 보이지 않으면 교사는 그

들에게 친근한 목소리로 이름을 부르면서 수업

에 집 하라고 얘기 하고 개인 인 심을 갖

고 있음을 나타낸다

로써 활용되는 문

제들을 선택할 때 학

습자들이 알고 있거

나 그들에게 친근감

을 주는 소재가 포함

되도록 선택한다 이

때 지나치게 자심감

이 높아서 수업에 소

극 으로 참여하는 3

명의 학습자들에게는

다소 복잡한 수열의

활용 문제를 미리 제

공하여 생각할 기회를

다

수열의 활용에

한 학습자들의

이해정도를 악

하고 피드백을

제공하기

교사는 학습자들에게 자신감을 높이기 하여

소집단을 구성하여 학습자들이 수열의 활용에

해 어느 정도 이해하고 있는지를 서로 토론하

도록 한다

교사는 소집단별로 둘러보면서 자신감과 만족

감을 유발시키기 하여 학습자들간에 서로 도

움을 주도록 분 기를 형성한다

소집단별로 간략하게 토론이 끝나면 학습자

들 스스로 정리하도록 한다

토론결과 학습자들이 수열의 활용에 해 잘

못 이해하고 있다면 교사는 즉각 으로 교정

피드백을 제공한다

학습자들의 소집단

토론시간을 무 길게

소요하지 않도록 한

다 자칫하면 토론분

기가 산만해지기 쉽

고 토론이 활발하지

못한 경우에는 학습자

들의 학습의욕이 떨어

진다

2 수업 반 체 으로 교사는 다양한 방법으로 학습자

들에게 수업 내용을

제시하고 학습자들에게 개별 인 언어를 사용

한다

실생활과 련

된 수열의 활용

의 문제들을 구

체 으로 제시하

기

교사는 학습자들의 주의집 련성 자신감

만족감을 유지하기 하여 게임을 실시한다 학

습자들이 돌아가면서 임의로 다른 학습자를 지

명하면 지명받은 학습자가 실생활과 련된 수

열의 문제를 하나 제시한다 한 문제를 제

시한 학습자에게 학습태도 수를 주어 만족감

을 향상시킨다

교사는 학습자들이 제시한 여러 가지 문제들

을 칠 에 은 후 몇몇 소집단을 구성하여

그 문제들을 해결하기 해 인스토 을 하

도록 한다 이때 교사는 문제를 해결한 학습자

가 아직 해결하지 못한 학습자들을 도와주어 자

신감과 만족감을 갖도록 한다

인스토 이 진행되는 동안 교사는 교실

을 둘러보면서 학습자들이 질문이나 의문사항

에 해 극 으로 질문할 수 있는 기회를 제

공하고 그에 해 개별 인 언어를 사용하여

부드러운 목소리로 피드백을 제공한다

인스토 도 학습자들의 개인 인 능

력차가 커서 문제를 해결하는데 어려움을 겪는

학습자들에게는 그들에게 합한 개별 인 학습

이때 교사는 밝고

생동감이 넘치는 목소

리로 학습자들의 활동

을 진시킨다

교사는 학습자들이

한 자신감을 유지

하고 있는지에 해

지속 인 심을 갖고

지켜본다

이때 교사는 학습자

들의 자신감과 만족감

을 높이기 하여 그

들에게 일 성 있는

피드백을 제공한다

교사는 학습자들이

목표를 다시 선정하도록 하여 자신감을 향상시

킨다

인스토 이 끝나면 교사는 소집단 별로

한 사람씩 자발 으로 나와 문제를 풀고 풀이

과정을 체 학습자들에게 설명하도록 한다 이

때 어려운 문제를 해결한 소집단이나 학습자에

게 교사는 그들의 우수한 능력을 인정하고 내

재 인 자존심에 정 인 향을 주는 칭찬을

제공하여 자신감과 만족감을 높인다

소집단의 인스토

을 하는 동안 체

으로 문제풀이를 할

때 주의집 을 유지

하고 자신감과 만족

감의 향상을 악하기

해 끊임없이 그들과

시선을 교류하고 얼

굴표정을 찰한다

3 수업마무리 체 으로 교사는 다양한 방법으로 학습자

들에게 수업 내용을 제시하고 학습자들에게 개

별 인 언어를 사용한다

실생활과 련

된 수열의 활용

에 해 체

으로 정리 요

약하기

교사는 교탁을 탁탁 치거나 박수를 쳐서 다

소 떨어진 학습자들의 주의집 을 향상 시킨다

교사는 실생활 속에서 수열을 활용하여 해결

할 수 있는 간단하고 재미있는 문제들을 2～3개

제시하여 학습자들이 그 문제를 성공 으로 해

결함으로써 자신감과 만족감을 갖도록 한다

교사는 학습자들이 미처 생각하지 못했던 실

생활 속에서 수열과 연 된 다양한 들을 제공

하여 주의집 과 련성을 유지향상시킨다

교사는 자신감과 만족감을 향상시키기 해

학습자들에게 수업진행 에 그들이 설정한 개

인 인 학습목표에 해 얼마나 많이 달성했는

가를 스스로 검해 보라고 한다

교사는 수업 반에 수열의 문제를 잘 해결하

지 못했던 학습자들에게 그 문제를 다시 해결해

보도록 기회를 제공하여 자신감과 만족감을 높

여 다

평가에 있어서 교사는 학습자들이 그들의 성

에 해 공정하게 평가되었다고 느끼도록 일

성 있게 평가하여 그들의 자신감고 만족감을

높여 다

교사는 수열과 실생

활과의 련성에 해

학습자들이 잘 지각하

고 있는가를 알아보기

해 다소 진지한 목

소리로 질문한다

다음 학습내용

에 해 간략히

소개하기

교사는 학습자들의 흥미를 유지하기 하여

다음 학습내용에 해 호기심에 찬 목소리로 간

략하게 소개하고 수업을 끝낸다

[표9 러의 ARCS이론]

단원

단

원Ⅲ 수열

배정시간

(분)50

단

원1 등차수열과 등비수열

차시 3소단

원3) 등차수열과 등비수열의 활용

학습

목표등차수열과 등비수열을 실생활의 문제에 용할 수 있다

학습

단계학습내용

교수-학습활동 지도상의유의사

항교사활동 학생활동

도

입

15

분

인사

출석

주변을 정리 정돈

하여 수업분 기를

조성한다

인사 출석체크

를 한다

주의를 환기시킨

후 학생들과 인사

한다

출결석 여부를

확인한다

바른 자세로 주

변을 정리한 뒤

교사와 인사한다

수업 비를 한

다

교사와 학생

모두 함께 수업

분 기를 조성한

다

선수

학습

확인

지난 시간에 학습

한 등차수열과 등비

수열의 정의에 해

다시 한번 확인해본

다

지난 시간에 학습

한 등차수열과 등비

수열의 일반항을 구

하는 방법에 해 확

인학습으로 [문제1]

과 [문제2]를 풀어본

다

학생들의 자신감

을 높이기 하여

등차수열과 등비수

열의 정의를 교과

서에서 찾아본 후

큰소리로 답하게

한다

학생들이 답한

후 다시 한번 등차

수열과 등비수열에

해 간단히 설명

등차수열과 등

비수열의 정의를

교과서에 찾아본

후 큰소리로 읽는

다

교사가 등차수

열과 등비수열의

정의에 해 다시

한번 간단히 설명

할 때 부족한 부

분은 필기하며 복

습한다

교사가 정의에

해 질문할 때

학생들이 모두

책을 찾아볼수

있게 주의를

다

만일 답하

지 못하는 학생

이 있을 경우 그

여기서 인스토 (brainstorming)이라고 하는 것은 갑자기 떠오르는 멋

진 생각을 종이에 는다든가 말로 표 해 본 후 로 기록하거나 기록된

문장을 정리정돈하면서 생각을 논리화하는 방법이다 주로 어떤 계획을 세

우고자 할 때 창조 이고 기발한 아이디어가 필요할 때 학생들의 의견과

생각을 끌어내어 발 시키고자 할 때 사용하면 유리하다 ([3])

3 ARCS 이론을 용한 수업지도안

[문제1]

다음 등차수열

의 일반항과 제20항

을 구하여라

　　　　　　　

[문제2]

다음 등비수열

의 일반항과 제8항을

구하여라

　 　　　　　

한다

교사는 [문제1]

과[문제2]를 제시

한 뒤 학생들에게

직 풀어보게 한

다

등차수열과 등

비수열의 일반항

과 그 공식의 유

도과정을 기억한

다

제시된 문제를

연습장에 풀어본

다

학생에 해 개

별 인 언어를

사용하여 부드러

운 목소리로 피

드백을 제공한

다

개

30

분

학습

목표

제시

수열의 활용에

한 학습목표를 제시

한다

학습목표 학습

에 필요한 자료를

Power point 시청

각 효과를 사용하여

학생들의 주의환기

집 을 한 략

을 사용한다

학습목표를 학생

들에게 읽게 하고

학생들의 련성을

높이기 해 학습

목표의 의미를 설

명해 다

교사의 지시에

따라 큰소리로 학

습목표를 읽고 이

수업이 끝난 후

무엇을 할 수 있

는지에 해 생각

해 본다

학습목표는 큰

씨를 사용하

고 핵심이 되는

단어에는 다른

색깔을 사용한

다

탐구

학습

실생활과 련된

수열의 활용문제들을

몇 가지 소개한다

수열의 활용에

한 학습자들의 이해

정도를 악하고 피

드백을 제공한다

등차수열과 등비

수열을 이용하여

실생활의 문제를

해결할 수 있음을

학생들이 쉽게 이

해할 수 있도록 설

명한다

교사가 실생활

과 련된 수열의

활용문제들을 몇

가지 소개할 때

다른 시가 있는

지 함께 생각해

본다

문제

제시

[문제3]

한일 월드컵 축구 개

회 연도는 2002년이

다 2002년 이후 월

드컵 축구가 개최되

는 연도를 차례로 써

보고 이 규칙 로 월

드컵 축구가 개최되

면 2100년은 월드컵

축구가 개최되는 연

도인가

교과서에서 수열

단원의 수열의 활

용부분에 수록된

문제들을 풀어볼

수 있도록 시간을

다

등차수열과 등

비수열의 일반항

유도 공식을 생각

해보고 제시된 문

제를 해결해 간다

로써 활용되

는 문제를 선택

할 때 학습자들

이 알고 있거나

그들에게 친근감

을 주는 련성

증진을 한

략을 사용한다

[문제4]

컴퓨터의 주기억 장

치인 램은용

으로

용으로 가 개발

되었다 이후 램의

용 량 은

로 증가되어 왔다

의 램으로부터

번 증가된 주 메모

리는 식으로 어떻게

나타낼 수 있는가

학생들이 문제를

어렵게 느끼지 않

도록 어떤 방향으

로 해결해야 하는

지 힌트를 주어 학

생들의 자신감을

증진시킨다

소집

단

활동

5～6명으로 이 진

소집단을 구성하여

학습자들이 수열의

활용에 해 어느 정

도 이해하고 있는지

를 서로 토론하도록

한다

소집단별로 실생활

과 련된 수열의 활

용의 문제들을 구체

으로 제시한다

인 스토 이

끝나면 소집단별로

한사람씩 문제를 풀

고 풀이과정을 체

학생들에게 설명하는

시간을 갖는다

교사는 학생들의

만족감을 높이기

하여 그들이 주

어진 과제를 성공

으로 해결했을

때 그에 따르는

내재 강화나 외

재 보상이 있음

을 알려 다

어려운 문제를

해결한 소집단이나

학생에게 교사는

그들의 우수한 능

력을 인정하고 내

재 인 자존심에

정 인 향을

주는 칭찬을 제공

하여 자신감과 만

족감을 높인다

자신이 속한 소

집단 내에서 제시

된 과제에 해

열심히 토의를 하

며 문제를 해결한

학생이 아직 해결

하지 못한 학생들

을 도와주어 자신

감과 만족감을 갖

도록 한다

소집단별로 간

략하게 토론이 끝

나면 학생들 스스

로 정리해보고 자

발 으로 체 학

생들에게 설명해

보는 기회를 갖는

다

교사는 학습자

들이 한 자

신감을 유지하고

있는지에 해

지속 인 심을

갖고 지켜본다

학생들의 소집

단 토론시간을

무 길게 소요

하지 않도록 한

다

형성

평가

[문제4]

민수는 남 문의 기

와 지붕 한쪽 면이

사다리꼴 모양임을

찰하고 이 면에 있

는 기와의 개수를 알

아보고자 한다 기와

형 성 평 가 를

Power point로 제

시하고 학생들이

스스로 풀어볼 수

있도록 지도한다

학생들이 문제를

다 풀고 나면 교사

제시된 문제를

오늘 학습한 내용

을 복습하면서 풀

어보도록 한다

교사는 다소

진지한 목소리로

질문한다

의 개수를 행으로 세

었더니 용마루 쪽에

가장 가까운 행에는

40개 처마 쪽에 가

장 가까운 행에는 72

개 다 용마루부터

처마까지 행의 개수

가 17이라고 할 때

민수가 찰한 지붕

한쪽 면의 기와의 개

수는 모두 몇 개인

가

는 학생들에게

답할수 있도록 하

고 학생들이 학습

목표에 해 얼마

나 많이 달성했는

가를 스스로 검

해 보라고 한다

형성평가의 답

을 교사의 질문에

끝난 뒤 큰소리로

답하여 자신감

과 만족감을 갖도

록 한다

학생들에게 개

별 인 언어를

사용한다

정

리

5

분

학습

정리

차시

고

학습 자료를 이용

하여 수열의 실생활

의 활용 단원의 수업

내용을 확인한다

과제를 제시한다

다음 차시인 「여

러 가지 수열」 단원

에 한 고를 한

다

수업 내용을 정

리하고 과제를 제

시한다

학생들의 흥미를

유지하기 하여

다음 학습내용에

해 호기심에 찬

목소리로 간략하게

소개하고 수업을

끝낸다

오늘 학습한 내

용을 정리한다

과제를 고 과

제 해결에 한

내용을 머릿속에

형성해 본다

다음 차시에 배

울 내용을 학습

자료 화면으로 확

인해본다

수업내용에

해 학생과 교사

모두가 만족하고

있는지 확인하고

공정한 평가를

한다

[표10 수업지도안]

4 조사 문제지 분석

고등학교 수학 Ⅰ 의 수열단원의 효율 인 지도방안의 연구를 하여 원

종고등학교 2학년 학생 100명을 상으로 조사 문제지 조사를 하 다 학

생들의 수학에 한 심과 수학에서 가장 어려워하는 부분을 알아볼 수

있었고 어떤 방식의 수업을 선호하는지도 알아볼 수 있었다

⑴ 수학에 얼마나 심이 있나요

① 매우 많다 ② 많다 ③ 보통이다 ④ 다 ⑤ 매우 다

수학과목에 매우 많은 심을 보이는 학생은 2로 매우 낮은 편이며

심이 있는 학생은 43로 학생의 반정도 다 수학과목에 심이 거

나 없는 학생은 54정도로 수학은 어려운 과목이라는 인식 때문에 심

이 은 것 같다

수학을 공부하는 가장 큰 이유에는75의 학생들이 학입시를 해서라

는 문항을 선택했다 기타 이유에는 교과서에 있어서 어쩔수 없이 한다

는 학생과 진리탐구를 해서라는 학생도 있었다

[그림6 조사문제지

(1)번 막 그래 ]

⑵ 수학을 공부하는 가장 큰 이유가 뭐라고 생각하나요

① 학입시를 해서

② 평소 수학에 흥미가 있어서

③ 실제 생활에 쓰기 해서

④ 주변에서 해야한다고 하니까

⑤ 기타 이유 (이유를 간단히 어주세요)

앞에 (1)번문항에서 수학에 심이 은 학생이 반 정도인것에 반해

수학공부가 필요하다고 느낀학생이 75정도로 수학공부가 필요하단건

느끼지만 어려운 과목이라는 인식이 부분인것 같다 수학과목도 재

는 과목이란 인식을 학생들이 가질수 있도록 노력해야겠다

[그림7 조사문제지

(2)번 막 그래 ]

⑶ 수학공부의 필요성에 해 어떻게 생각하나요

① 매우 필요하다 ② 조 필요하다 ③ 보통이다

④ 필요 없다 ⑤ 필요 없다

[그림8 조사문제지

(3)번 막 그래 ]

⑷ 수학을 공부하면서 가장 어려운 부분은 무엇이나요

① 복잡한 계산 과정 ② 외워야할 많은 공식들

③ 응용문제엔 어떤 공식을 용해야할지 ④ 다 어렵다

학생들이 수학과목이 어렵다고 느끼는 이유는 응용문제에 어떤 공식을

용해야 하는지를 몰라서 라는 답이 58로 가장 많았다 그 외에도

계산과정이 복잡하거나 외워야할 공식들이 많아서라는 답도 있었다

이해 주의 수업을 하고 단순한 공식의 암기 주의 수업을 탈피해야겠

다

수학수업을 하는데 효과 인 방법에는 선생님 주의 강의식 수업과 학

생 개인별 수업이 78로 가장 많았다 개념이나 공식유도과정을 설명할

땐 서를 하며 강의식 수업을 하고 문제풀이땐 학생들 개인별로 첨삭

지도를 하는게 효율 인것 같다

⑤ 기타이유 (이유를 간단히 어주세요)

[그림9 조사문제지

(4)번 막 그래 ]

⑸ 수학 수업을 하는 데 어떤 방법이 가장 효과 이라고 생각하나요

① 선생님 주의 강의식 수업

② 학생 개인별 수업

③ 모둠별 활동 수업

④ 기타 교재나 과제를 통한 수업

⑤ 기타(이유를 간단히 어주세요)

[그림10 조사문제지

(5)번 막 그래 ]

Ⅵ 결론

본 논문에서 지 까지 고등학교 2학년 학생들이 수학 Ⅰ 교육과정을 학습하

는데 가장 어려워하는 수열에 해 살펴보았다 먼 개정 교육과정에 명시

된 수학교육의 목표와 임의로 선택된 5종 교과서에서 수열 단원의 학습목표

를 살펴보았고 수열의 역사 배경과 실생활에 응용된 들을 정리해보았

다 한 5종 교과서에서 제시되어 있는 수열의 학습내용을 소단원 별로 정

리해보았다 임의로 선택된 5종 교과서안의 수열의 학습내용을 분석해보면

서 몇 몇 교과서에서 여러 가지 수열 단원에서 군 수열과 멱 수에 한 언

이 없거나 미약함을 알 수 있었다 본 연구자가 보기에 군 수열과 멱 수

부분은 실생활에 활용될 는 극히 작아 보이지만 학생들이 꼭 학습하고 넘

어가야 수열에 한 완벽한 학습이 될 수 있을 것이라 여겼는데 교과서에서

제시된 내용들로는 학생들이 충분히 이해할 수 없을 것 같았다

그리고 교과서에 제시된 문항의 수 이 입시와 동 떨어진다는 문제 이 있

었다 교과서에 제시된 문제가 부족하고 수 이 낮다 보니 실제로 학교에서

수업 때 보충 린트 물로 수업을 진행하고 간기말고사 때에도 교과서

외에서 많은 문제를 출제하는 모습을 볼 수 있었다 때문에 학생들이 교과서

보다는 문제집 주의 공부를 할 수 밖에 없는 듯 보 다 교과서가 학생들

과 교사의 요구에 부합할 수 있도록 새로운 내용들과 문제를 싣도록 해야

할 것이다

학생들이 수열 단원의 학습을 할 때 좀 더 효과 인 학습이 될 수 있도록

리의 동기설계이론 (ARCS 이론) 을 바탕으로 하여 수업 계획서와 1차시

의 수업 지도안을 작성해 보았다 한 작성한 수업 지도안으로 부천시 소재

의 한 고등학교에서 실제 수업을 진행해 보았을 때 학생들이 좀 더 수열에

해 친숙하게 느끼고 쉽게 이해하는 모습을 볼 수 있었다 본 연구자가

직 교사가 아니라 여러 반을 상으로 수열 단원의 모든 차시 수업에 용

하여 수업을 해볼 수 없었단 이 아쉬움으로 남는다

이와 같이 학생들의 주의 련성자신감만족감 증진을 한 수업을 함

으로써 학생들의 수학 학습 성취도의 향상을 기 할 수 있을 것이다 한

개발된 자료를 실제 수업에 용하는 경우의 효율성에 한 후속 연구가 체

계 이고 지속 으로 이루어져야 할 것이다

참 고 문 헌

[1] 구평회 META 구평회 교육학 2007

[2] 교육인 자원부 고시 제2007 - 79호[별책8] 2007

[3] 박인학 교사를 한 교수학습방법론 문사 1995

[4] 변 계 교수학습 이론의 이해 학지사 1999

[5] 우정호 외 5인 고등학교 수학 Ⅰ 한교과서(주) 2002

[6] 이 연 자연의 수학 열쇠 피보나치수열 로네시스 2006

[7] 이진화 지수로그함수의 지도에 한 연구 서강 학교 교육 학원 석사 학

논문 2006

[8] 임재훈 외 10인 고등학교 수학 Ⅰ (주)두산 2002

[9] 장 숙 고등학교 수학 Ⅰ 교과서의 통계단원 분석 실생활에의 용 경희

학교 교육 학원 석사 학 논문 2006

[10] 조해식 행렬 수열 수업에서의 수학사 도입에 한 연구 울산 학교 석사

학 논문 1998

[11] 차 자 수열 학습의 흥미 유발을 한 자료 연구 경성 학교 교육 학원 석

사 학 논문 2004

[12] 최 외 5인 고등학교 수학 Ⅰ 앙교육진흥연구소 2006

[13] 최상기 외 5인 고등학교 수학 Ⅰ (주)고려출 2002

[14] 최용 신 성 고등학교 수학 Ⅰ 천재교육(주) 2002

[15] 황혜정 외 5인 수학교육학 신론 문음사 2002

• Ⅰ 서론
• • 1 연구의 필요성과 목적
  • 2 연구의 제한점
  • • Ⅱ 개정 교육과정에서 명시된 수학Ⅰ교육의 목표
    • • 1 수학Ⅰ교육의 목표
      • 2 고등학교 수학 Ⅰ 수열 단원의 학습목표
      • • Ⅲ 수열의 역사적 배경 및 응용
        • • 1 수열의 역사
          • 2 수열 단원이 실생활에 응용된 사례
          • • Ⅳ 고등학교 수학교육과정에서의 수열
            • • 1 수학Ⅰ 교과서 분석
              • 2 수학Ⅰ 교과서에서의 수열
              • • Ⅴ 켈러의 ARCS 이론과 수열 지도
                • • 1 켈러의 ARCS 이론
                  • 2 ARCS 이론을 적용한 수열 수업 계획서
                  • 3 ARCS 이론을 적용한 수업 지도안
                  • 4 조사지 분석
                  • • Ⅵ 결론
                    • 참고문헌

수학 귀납법

자연수 에 한 명제 이 모든 자연수 에 하여 성립함을 증명하

려면 다음 ⅰ ⅱ 를 증명하면 된다

ⅰ 일때 명제 이 성립한다

ⅱ 일때 명제 이 성립한다고 가정하면 일때에도

명제 이 성립한다

다음과 같은 5번째 공리에 근거를 두고 있다

자연수의 집합 의 부분집합 가

ⅰ 　isin

ⅱ 　isin 이면 isin

(여기서 는 의 후자)

인 두 조건을 만족하면 이다

4) 알고리즘과 순서도

(1) 알고리즘과 순서도

어떤 문제를 해결하기 해서는 그 처리 순서를 정해야 하는데 이와 같이

문제 해결에 필요한 처리 과정의 순서를 단계 으로 정리한 것을 알고리즘

이라 하고 알고리즘을 알기 쉽게 기호를 써서 그림으로 나타낸 것을 순서도

라고 한다 일반 으로 어떤 문제를 해결하기 한 알고리즘은 여러 가지가

있을 수 있지만 정해진 유한번의 단계를 거치면 반드시 끝나야 하고 처리

과정의 순서가 명확해야 한다 한 순서도는 각 부분을 순서 계통 으로

나타냄으로써 작업 과정을 구나 쉽게 한 에 악할 수 있도록

작성되어야 한다 순서도는 다음과 같은 기호를 사용하여 작성한다

[표7 순서도의 기호]

(2) 알고리즘과 순서도의 작성

수열과 련된 순서도를 작성할 때에는 다음과 같은 방법을 고려한다

(가) 항수를 항을 수열의 합을 로 나타낸다

(나) 제시된 항의 번호까지 루 를 용한다

(다) 제시된 항의 번호에 하여 단 기호를 이용한다

(라) 구하려는 는 를 인쇄하고 끝낸다

주의환기

집 을

한 략

지각

주의환기의

략

시청각 효과의 사용

비일상 인 내용이나 사건 제시

주의 분산의 자극 지양

탐구

주의환기의

략

능동 반응 유도

문제해결 활동의 구상 장려

신비감의 제공

다양성의

략

간결하고 다양한 교수형태 사용

일방 교수와 상호작용 교수의 혼합

교수자료의 변화 추구

목표-내용-방법이 기능 으로 통합

련성

증진을

한

략

친 성의

략

친 한 인물 혹은 사건 활용

구체 이고 친숙한 그림 활용

친 한 문 배경 지식 활용

목 지향성

의 략

실용성에 을 둔 목표 제시

목 지향 인 학습형태 활용

Ⅴ 러의 ARCS 이론과 수열 지도

1 러의 ARCS 이론

1) ARCS 이론의 특징

(1) 이론 배경

다음은 ([4])의 내용을 참고하 다

ldquo말을 물가로 데리고 갈 수는 있지만 물을 먹일 수는 없다rdquo는 속담처럼

하고자 하는 마음이 없으면 학습 효과를 기 할 수 없는 것은 당연한 사실

이다 이러한 생각의 근거에는 동기 유발의 개념이 자리 잡고 있다 동기

유발이란 어떤 활동을 진 지시 유지하려는 내 상태 는 과정을

포함한다 이 개념은 교육 심리학의 심 개념 의 하나이지만 직 찰

할 수 없는 것이기 때문에 인간의 행동을 보고 거기에서 유출해 내는 개념

이며 이에 한 정의는 바라보는 과 강조하는 내용에 따라 각기 다르

다

(2) ARCS 이론

목 의 선택 가능성 부여

필요나

동기와의

부합성 강조의

략

다양한 수 의 목 제시

학업성취 여부의 기록체제 활용

비경쟁 학습상황의 선택가능

동 상호 학습상황 제시

자신감

수립을

한 략

학습의

필요조건

제시의 략

수업의 목표와 구조의 제시

평가기 피드백의 제시

선수학습 능력의 단

시험의 조건 확인

성공의 기회

제시의 략

쉬운 것에서 어려운 것으로 과제 제시

정수 의 난이도 유지

다양한 수 의 시작 제공

무작 의 다양한 사건 제시

다양한 수 의 난이도 제공

개인

조 감

증 의 략

학습의 끝을 조 할 수 있는 기회 제시

학습속도의 조 가능

원하는 부분에로의 재빠른 회귀 가능

선택가능하고 다양한 과제의 난이도제공

노력이나 능력에 성공 귀착

만족감

증 를

한 략

자연 결과

강조의 략

연습문제를 통한 용기회 제공

후속학습상황을 통한 용기회 제공

모의상황을 통한 용기회 제공

정 결과

강조의 략

한 강화 계획의 활용

의미 있는 강화의 강조

정답을 한 보상 강조

외 보상의 사려 깊은 사용

선택 보상체제 활용

공정성

강조의 략

수업목표와 내용의 일 성 유지

연습과 시험 내용이 일치

[표8 ARCS 략] ([1])

2 ARCS 이론을 용한 수열 수업 계획서

다음은 ([1])의 ARCS 이론의 수업계획서를 참고하여 수열 단원의 수업

계획서를 작성해보았다

수업내용개 동기 략개 기타의견1 수업 기

체 으로 교사는 다양한 방법으로 학습자들

에게 수업 내용을 제시하고 학습자들에게

한 언어를 사용한다

수열의 활용에

한 학습목표

제시하기

교사는 학습자들의 련성을 높이기 해 학습

목표의 의미를 설명해 다

도표는 큰 씨를 사

용하고 핵심이 되는

단어에는 다른 색깔을

사용한다

수열의 활용의

이 과 평가

거를 제시하기

교사는 학습자들의 련성과 자신감 만족감

을 높이기 하여 이 수업이 끝난 후 그들이

무엇을 할 수 있는지에 해 알려 다

교사는 학습자들의 자신감과 만족감을 높이기

하여 성공 인 학습성취를 단할 수 있는 객

인 거들을 알려 다

교사는 학습자들의 만족감을 높이기 하여

그들이 주어진 과제를 성공 으로 해결했을 때

그에 따르는 내재 강화나 외재 보상이 있음

을 알려 다

수열의 정의와

해법에 한 지

식을 간략하게

확인하기

교사는 선수학습과의 련성을 유발하기 하

여 간략한 보조도구(인쇄매체)를 사용하여 수열

의 정의와 해법을 제시한다

교사는 소집단 토론을 실시하여 학습자들의

선수지식을 스스로 검해 보도록 한다

교사는 수열의 정의와 해법을 잘 모르는 학습

자들에게 자신감을 유발시키기 하여 개별 인

학습목표를 세우도록 한다

소집단 구성에 있어

서 주의집 이 매우

낮은 5명을 하나의 소

집단으로 구성하고

친근한 소재를 활용하

여 그들의 주의집 과

련성을 유발한다

실생활과 련

된 수열의 활용

문제들을 몇 가

지 소개하기

교사는 학습자들의 주의집 을 유지하기 해

실생활에서 연립방정식을 활용하여 해결할 수

있는 몇 가지 문제들을 제시한다

주의집 이 매우 낮은 5명의 학습자들이 수업

에 극 인 심을 보이지 않으면 교사는 그

들에게 친근한 목소리로 이름을 부르면서 수업

에 집 하라고 얘기 하고 개인 인 심을 갖

고 있음을 나타낸다

로써 활용되는 문

제들을 선택할 때 학

습자들이 알고 있거

나 그들에게 친근감

을 주는 소재가 포함

되도록 선택한다 이

때 지나치게 자심감

이 높아서 수업에 소

극 으로 참여하는 3

명의 학습자들에게는

다소 복잡한 수열의

활용 문제를 미리 제

공하여 생각할 기회를

다

수열의 활용에

한 학습자들의

이해정도를 악

하고 피드백을

제공하기

교사는 학습자들에게 자신감을 높이기 하여

소집단을 구성하여 학습자들이 수열의 활용에

해 어느 정도 이해하고 있는지를 서로 토론하

도록 한다

교사는 소집단별로 둘러보면서 자신감과 만족

감을 유발시키기 하여 학습자들간에 서로 도

움을 주도록 분 기를 형성한다

소집단별로 간략하게 토론이 끝나면 학습자

들 스스로 정리하도록 한다

토론결과 학습자들이 수열의 활용에 해 잘

못 이해하고 있다면 교사는 즉각 으로 교정

피드백을 제공한다

학습자들의 소집단

토론시간을 무 길게

소요하지 않도록 한

다 자칫하면 토론분

기가 산만해지기 쉽

고 토론이 활발하지

못한 경우에는 학습자

들의 학습의욕이 떨어

진다

2 수업 반 체 으로 교사는 다양한 방법으로 학습자

들에게 수업 내용을

제시하고 학습자들에게 개별 인 언어를 사용

한다

실생활과 련

된 수열의 활용

의 문제들을 구

체 으로 제시하

기

교사는 학습자들의 주의집 련성 자신감

만족감을 유지하기 하여 게임을 실시한다 학

습자들이 돌아가면서 임의로 다른 학습자를 지

명하면 지명받은 학습자가 실생활과 련된 수

열의 문제를 하나 제시한다 한 문제를 제

시한 학습자에게 학습태도 수를 주어 만족감

을 향상시킨다

교사는 학습자들이 제시한 여러 가지 문제들

을 칠 에 은 후 몇몇 소집단을 구성하여

그 문제들을 해결하기 해 인스토 을 하

도록 한다 이때 교사는 문제를 해결한 학습자

가 아직 해결하지 못한 학습자들을 도와주어 자

신감과 만족감을 갖도록 한다

인스토 이 진행되는 동안 교사는 교실

을 둘러보면서 학습자들이 질문이나 의문사항

에 해 극 으로 질문할 수 있는 기회를 제

공하고 그에 해 개별 인 언어를 사용하여

부드러운 목소리로 피드백을 제공한다

인스토 도 학습자들의 개인 인 능

력차가 커서 문제를 해결하는데 어려움을 겪는

학습자들에게는 그들에게 합한 개별 인 학습

이때 교사는 밝고

생동감이 넘치는 목소

리로 학습자들의 활동

을 진시킨다

교사는 학습자들이

한 자신감을 유지

하고 있는지에 해

지속 인 심을 갖고

지켜본다

이때 교사는 학습자

들의 자신감과 만족감

을 높이기 하여 그

들에게 일 성 있는

피드백을 제공한다

교사는 학습자들이

목표를 다시 선정하도록 하여 자신감을 향상시

킨다

인스토 이 끝나면 교사는 소집단 별로

한 사람씩 자발 으로 나와 문제를 풀고 풀이

과정을 체 학습자들에게 설명하도록 한다 이

때 어려운 문제를 해결한 소집단이나 학습자에

게 교사는 그들의 우수한 능력을 인정하고 내

재 인 자존심에 정 인 향을 주는 칭찬을

제공하여 자신감과 만족감을 높인다

소집단의 인스토

을 하는 동안 체

으로 문제풀이를 할

때 주의집 을 유지

하고 자신감과 만족

감의 향상을 악하기

해 끊임없이 그들과

시선을 교류하고 얼

굴표정을 찰한다

3 수업마무리 체 으로 교사는 다양한 방법으로 학습자

들에게 수업 내용을 제시하고 학습자들에게 개

별 인 언어를 사용한다

실생활과 련

된 수열의 활용

에 해 체

으로 정리 요

약하기

교사는 교탁을 탁탁 치거나 박수를 쳐서 다

소 떨어진 학습자들의 주의집 을 향상 시킨다

교사는 실생활 속에서 수열을 활용하여 해결

할 수 있는 간단하고 재미있는 문제들을 2～3개

제시하여 학습자들이 그 문제를 성공 으로 해

결함으로써 자신감과 만족감을 갖도록 한다

교사는 학습자들이 미처 생각하지 못했던 실

생활 속에서 수열과 연 된 다양한 들을 제공

하여 주의집 과 련성을 유지향상시킨다

교사는 자신감과 만족감을 향상시키기 해

학습자들에게 수업진행 에 그들이 설정한 개

인 인 학습목표에 해 얼마나 많이 달성했는

가를 스스로 검해 보라고 한다

교사는 수업 반에 수열의 문제를 잘 해결하

지 못했던 학습자들에게 그 문제를 다시 해결해

보도록 기회를 제공하여 자신감과 만족감을 높

여 다

평가에 있어서 교사는 학습자들이 그들의 성

에 해 공정하게 평가되었다고 느끼도록 일

성 있게 평가하여 그들의 자신감고 만족감을

높여 다

교사는 수열과 실생

활과의 련성에 해

학습자들이 잘 지각하

고 있는가를 알아보기

해 다소 진지한 목

소리로 질문한다

다음 학습내용

에 해 간략히

소개하기

교사는 학습자들의 흥미를 유지하기 하여

다음 학습내용에 해 호기심에 찬 목소리로 간

략하게 소개하고 수업을 끝낸다

[표9 러의 ARCS이론]

단원

단

원Ⅲ 수열

배정시간

(분)50

단

원1 등차수열과 등비수열

차시 3소단

원3) 등차수열과 등비수열의 활용

학습

목표등차수열과 등비수열을 실생활의 문제에 용할 수 있다

학습

단계학습내용

교수-학습활동 지도상의유의사

항교사활동 학생활동

도

입

15

분

인사

출석

주변을 정리 정돈

하여 수업분 기를

조성한다

인사 출석체크

를 한다

주의를 환기시킨

후 학생들과 인사

한다

출결석 여부를

확인한다

바른 자세로 주

변을 정리한 뒤

교사와 인사한다

수업 비를 한

다

교사와 학생

모두 함께 수업

분 기를 조성한

다

선수

학습

확인

지난 시간에 학습

한 등차수열과 등비

수열의 정의에 해

다시 한번 확인해본

다

지난 시간에 학습

한 등차수열과 등비

수열의 일반항을 구

하는 방법에 해 확

인학습으로 [문제1]

과 [문제2]를 풀어본

다

학생들의 자신감

을 높이기 하여

등차수열과 등비수

열의 정의를 교과

서에서 찾아본 후

큰소리로 답하게

한다

학생들이 답한

후 다시 한번 등차

수열과 등비수열에

해 간단히 설명

등차수열과 등

비수열의 정의를

교과서에 찾아본

후 큰소리로 읽는

다

교사가 등차수

열과 등비수열의

정의에 해 다시

한번 간단히 설명

할 때 부족한 부

분은 필기하며 복

습한다

교사가 정의에

해 질문할 때

학생들이 모두

책을 찾아볼수

있게 주의를

다

만일 답하

지 못하는 학생

이 있을 경우 그

여기서 인스토 (brainstorming)이라고 하는 것은 갑자기 떠오르는 멋

진 생각을 종이에 는다든가 말로 표 해 본 후 로 기록하거나 기록된

문장을 정리정돈하면서 생각을 논리화하는 방법이다 주로 어떤 계획을 세

우고자 할 때 창조 이고 기발한 아이디어가 필요할 때 학생들의 의견과

생각을 끌어내어 발 시키고자 할 때 사용하면 유리하다 ([3])

3 ARCS 이론을 용한 수업지도안

[문제1]

다음 등차수열

의 일반항과 제20항

을 구하여라

　　　　　　　

[문제2]

다음 등비수열

의 일반항과 제8항을

구하여라

　 　　　　　

한다

교사는 [문제1]

과[문제2]를 제시

한 뒤 학생들에게

직 풀어보게 한

다

등차수열과 등

비수열의 일반항

과 그 공식의 유

도과정을 기억한

다

제시된 문제를

연습장에 풀어본

다

학생에 해 개

별 인 언어를

사용하여 부드러

운 목소리로 피

드백을 제공한

다

개

30

분

학습

목표

제시

수열의 활용에

한 학습목표를 제시

한다

학습목표 학습

에 필요한 자료를

Power point 시청

각 효과를 사용하여

학생들의 주의환기

집 을 한 략

을 사용한다

학습목표를 학생

들에게 읽게 하고

학생들의 련성을

높이기 해 학습

목표의 의미를 설

명해 다

교사의 지시에

따라 큰소리로 학

습목표를 읽고 이

수업이 끝난 후

무엇을 할 수 있

는지에 해 생각

해 본다

학습목표는 큰

씨를 사용하

고 핵심이 되는

단어에는 다른

색깔을 사용한

다

탐구

학습

실생활과 련된

수열의 활용문제들을

몇 가지 소개한다

수열의 활용에

한 학습자들의 이해

정도를 악하고 피

드백을 제공한다

등차수열과 등비

수열을 이용하여

실생활의 문제를

해결할 수 있음을

학생들이 쉽게 이

해할 수 있도록 설

명한다

교사가 실생활

과 련된 수열의

활용문제들을 몇

가지 소개할 때

다른 시가 있는

지 함께 생각해

본다

문제

제시

[문제3]

한일 월드컵 축구 개

회 연도는 2002년이

다 2002년 이후 월

드컵 축구가 개최되

는 연도를 차례로 써

보고 이 규칙 로 월

드컵 축구가 개최되

면 2100년은 월드컵

축구가 개최되는 연

도인가

교과서에서 수열

단원의 수열의 활

용부분에 수록된

문제들을 풀어볼

수 있도록 시간을

다

등차수열과 등

비수열의 일반항

유도 공식을 생각

해보고 제시된 문

제를 해결해 간다

로써 활용되

는 문제를 선택

할 때 학습자들

이 알고 있거나

그들에게 친근감

을 주는 련성

증진을 한

략을 사용한다

[문제4]

컴퓨터의 주기억 장

치인 램은용

으로

용으로 가 개발

되었다 이후 램의

용 량 은

로 증가되어 왔다

의 램으로부터

번 증가된 주 메모

리는 식으로 어떻게

나타낼 수 있는가

학생들이 문제를

어렵게 느끼지 않

도록 어떤 방향으

로 해결해야 하는

지 힌트를 주어 학

생들의 자신감을

증진시킨다

소집

단

활동

5～6명으로 이 진

소집단을 구성하여

학습자들이 수열의

활용에 해 어느 정

도 이해하고 있는지

를 서로 토론하도록

한다

소집단별로 실생활

과 련된 수열의 활

용의 문제들을 구체

으로 제시한다

인 스토 이

끝나면 소집단별로

한사람씩 문제를 풀

고 풀이과정을 체

학생들에게 설명하는

시간을 갖는다

교사는 학생들의

만족감을 높이기

하여 그들이 주

어진 과제를 성공

으로 해결했을

때 그에 따르는

내재 강화나 외

재 보상이 있음

을 알려 다

어려운 문제를

해결한 소집단이나

학생에게 교사는

그들의 우수한 능

력을 인정하고 내

재 인 자존심에

정 인 향을

주는 칭찬을 제공

하여 자신감과 만

족감을 높인다

자신이 속한 소

집단 내에서 제시

된 과제에 해

열심히 토의를 하

며 문제를 해결한

학생이 아직 해결

하지 못한 학생들

을 도와주어 자신

감과 만족감을 갖

도록 한다

소집단별로 간

략하게 토론이 끝

나면 학생들 스스

로 정리해보고 자

발 으로 체 학

생들에게 설명해

보는 기회를 갖는

다

교사는 학습자

들이 한 자

신감을 유지하고

있는지에 해

지속 인 심을

갖고 지켜본다

학생들의 소집

단 토론시간을

무 길게 소요

하지 않도록 한

다

형성

평가

[문제4]

민수는 남 문의 기

와 지붕 한쪽 면이

사다리꼴 모양임을

찰하고 이 면에 있

는 기와의 개수를 알

아보고자 한다 기와

형 성 평 가 를

Power point로 제

시하고 학생들이

스스로 풀어볼 수

있도록 지도한다

학생들이 문제를

다 풀고 나면 교사

제시된 문제를

오늘 학습한 내용

을 복습하면서 풀

어보도록 한다

교사는 다소

진지한 목소리로

질문한다

의 개수를 행으로 세

었더니 용마루 쪽에

가장 가까운 행에는

40개 처마 쪽에 가

장 가까운 행에는 72

개 다 용마루부터

처마까지 행의 개수

가 17이라고 할 때

민수가 찰한 지붕

한쪽 면의 기와의 개

수는 모두 몇 개인

가

는 학생들에게

답할수 있도록 하

고 학생들이 학습

목표에 해 얼마

나 많이 달성했는

가를 스스로 검

해 보라고 한다

형성평가의 답

을 교사의 질문에

끝난 뒤 큰소리로

답하여 자신감

과 만족감을 갖도

록 한다

학생들에게 개

별 인 언어를

사용한다

정

리

5

분

학습

정리

차시

고

학습 자료를 이용

하여 수열의 실생활

의 활용 단원의 수업

내용을 확인한다

과제를 제시한다

다음 차시인 「여

러 가지 수열」 단원

에 한 고를 한

다

수업 내용을 정

리하고 과제를 제

시한다

학생들의 흥미를

유지하기 하여

다음 학습내용에

해 호기심에 찬

목소리로 간략하게

소개하고 수업을

끝낸다

오늘 학습한 내

용을 정리한다

과제를 고 과

제 해결에 한

내용을 머릿속에

형성해 본다

다음 차시에 배

울 내용을 학습

자료 화면으로 확

인해본다

수업내용에

해 학생과 교사

모두가 만족하고

있는지 확인하고

공정한 평가를

한다

[표10 수업지도안]

4 조사 문제지 분석

고등학교 수학 Ⅰ 의 수열단원의 효율 인 지도방안의 연구를 하여 원

종고등학교 2학년 학생 100명을 상으로 조사 문제지 조사를 하 다 학

생들의 수학에 한 심과 수학에서 가장 어려워하는 부분을 알아볼 수

있었고 어떤 방식의 수업을 선호하는지도 알아볼 수 있었다

⑴ 수학에 얼마나 심이 있나요

① 매우 많다 ② 많다 ③ 보통이다 ④ 다 ⑤ 매우 다

수학과목에 매우 많은 심을 보이는 학생은 2로 매우 낮은 편이며

심이 있는 학생은 43로 학생의 반정도 다 수학과목에 심이 거

나 없는 학생은 54정도로 수학은 어려운 과목이라는 인식 때문에 심

이 은 것 같다

수학을 공부하는 가장 큰 이유에는75의 학생들이 학입시를 해서라

는 문항을 선택했다 기타 이유에는 교과서에 있어서 어쩔수 없이 한다

는 학생과 진리탐구를 해서라는 학생도 있었다

[그림6 조사문제지

(1)번 막 그래 ]

⑵ 수학을 공부하는 가장 큰 이유가 뭐라고 생각하나요

① 학입시를 해서

② 평소 수학에 흥미가 있어서

③ 실제 생활에 쓰기 해서

④ 주변에서 해야한다고 하니까

⑤ 기타 이유 (이유를 간단히 어주세요)

앞에 (1)번문항에서 수학에 심이 은 학생이 반 정도인것에 반해

수학공부가 필요하다고 느낀학생이 75정도로 수학공부가 필요하단건

느끼지만 어려운 과목이라는 인식이 부분인것 같다 수학과목도 재

는 과목이란 인식을 학생들이 가질수 있도록 노력해야겠다

[그림7 조사문제지

(2)번 막 그래 ]

⑶ 수학공부의 필요성에 해 어떻게 생각하나요

① 매우 필요하다 ② 조 필요하다 ③ 보통이다

④ 필요 없다 ⑤ 필요 없다

[그림8 조사문제지

(3)번 막 그래 ]

⑷ 수학을 공부하면서 가장 어려운 부분은 무엇이나요

① 복잡한 계산 과정 ② 외워야할 많은 공식들

③ 응용문제엔 어떤 공식을 용해야할지 ④ 다 어렵다

학생들이 수학과목이 어렵다고 느끼는 이유는 응용문제에 어떤 공식을

용해야 하는지를 몰라서 라는 답이 58로 가장 많았다 그 외에도

계산과정이 복잡하거나 외워야할 공식들이 많아서라는 답도 있었다

이해 주의 수업을 하고 단순한 공식의 암기 주의 수업을 탈피해야겠

다

수학수업을 하는데 효과 인 방법에는 선생님 주의 강의식 수업과 학

생 개인별 수업이 78로 가장 많았다 개념이나 공식유도과정을 설명할

땐 서를 하며 강의식 수업을 하고 문제풀이땐 학생들 개인별로 첨삭

지도를 하는게 효율 인것 같다

⑤ 기타이유 (이유를 간단히 어주세요)

[그림9 조사문제지

(4)번 막 그래 ]

⑸ 수학 수업을 하는 데 어떤 방법이 가장 효과 이라고 생각하나요

① 선생님 주의 강의식 수업

② 학생 개인별 수업

③ 모둠별 활동 수업

④ 기타 교재나 과제를 통한 수업

⑤ 기타(이유를 간단히 어주세요)

[그림10 조사문제지

(5)번 막 그래 ]

Ⅵ 결론

본 논문에서 지 까지 고등학교 2학년 학생들이 수학 Ⅰ 교육과정을 학습하

는데 가장 어려워하는 수열에 해 살펴보았다 먼 개정 교육과정에 명시

된 수학교육의 목표와 임의로 선택된 5종 교과서에서 수열 단원의 학습목표

를 살펴보았고 수열의 역사 배경과 실생활에 응용된 들을 정리해보았

다 한 5종 교과서에서 제시되어 있는 수열의 학습내용을 소단원 별로 정

리해보았다 임의로 선택된 5종 교과서안의 수열의 학습내용을 분석해보면

서 몇 몇 교과서에서 여러 가지 수열 단원에서 군 수열과 멱 수에 한 언

이 없거나 미약함을 알 수 있었다 본 연구자가 보기에 군 수열과 멱 수

부분은 실생활에 활용될 는 극히 작아 보이지만 학생들이 꼭 학습하고 넘

어가야 수열에 한 완벽한 학습이 될 수 있을 것이라 여겼는데 교과서에서

제시된 내용들로는 학생들이 충분히 이해할 수 없을 것 같았다

그리고 교과서에 제시된 문항의 수 이 입시와 동 떨어진다는 문제 이 있

었다 교과서에 제시된 문제가 부족하고 수 이 낮다 보니 실제로 학교에서

수업 때 보충 린트 물로 수업을 진행하고 간기말고사 때에도 교과서

외에서 많은 문제를 출제하는 모습을 볼 수 있었다 때문에 학생들이 교과서

보다는 문제집 주의 공부를 할 수 밖에 없는 듯 보 다 교과서가 학생들

과 교사의 요구에 부합할 수 있도록 새로운 내용들과 문제를 싣도록 해야

할 것이다

학생들이 수열 단원의 학습을 할 때 좀 더 효과 인 학습이 될 수 있도록

리의 동기설계이론 (ARCS 이론) 을 바탕으로 하여 수업 계획서와 1차시

의 수업 지도안을 작성해 보았다 한 작성한 수업 지도안으로 부천시 소재

의 한 고등학교에서 실제 수업을 진행해 보았을 때 학생들이 좀 더 수열에

해 친숙하게 느끼고 쉽게 이해하는 모습을 볼 수 있었다 본 연구자가

직 교사가 아니라 여러 반을 상으로 수열 단원의 모든 차시 수업에 용

하여 수업을 해볼 수 없었단 이 아쉬움으로 남는다

이와 같이 학생들의 주의 련성자신감만족감 증진을 한 수업을 함

으로써 학생들의 수학 학습 성취도의 향상을 기 할 수 있을 것이다 한

개발된 자료를 실제 수업에 용하는 경우의 효율성에 한 후속 연구가 체

계 이고 지속 으로 이루어져야 할 것이다

참 고 문 헌

[1] 구평회 META 구평회 교육학 2007

[2] 교육인 자원부 고시 제2007 - 79호[별책8] 2007

[3] 박인학 교사를 한 교수학습방법론 문사 1995

[4] 변 계 교수학습 이론의 이해 학지사 1999

[5] 우정호 외 5인 고등학교 수학 Ⅰ 한교과서(주) 2002

[6] 이 연 자연의 수학 열쇠 피보나치수열 로네시스 2006

[7] 이진화 지수로그함수의 지도에 한 연구 서강 학교 교육 학원 석사 학

논문 2006

[8] 임재훈 외 10인 고등학교 수학 Ⅰ (주)두산 2002

[9] 장 숙 고등학교 수학 Ⅰ 교과서의 통계단원 분석 실생활에의 용 경희

학교 교육 학원 석사 학 논문 2006

[10] 조해식 행렬 수열 수업에서의 수학사 도입에 한 연구 울산 학교 석사

학 논문 1998

[11] 차 자 수열 학습의 흥미 유발을 한 자료 연구 경성 학교 교육 학원 석

사 학 논문 2004

[12] 최 외 5인 고등학교 수학 Ⅰ 앙교육진흥연구소 2006

[13] 최상기 외 5인 고등학교 수학 Ⅰ (주)고려출 2002

[14] 최용 신 성 고등학교 수학 Ⅰ 천재교육(주) 2002

[15] 황혜정 외 5인 수학교육학 신론 문음사 2002

• Ⅰ 서론
• • 1 연구의 필요성과 목적
  • 2 연구의 제한점
  • • Ⅱ 개정 교육과정에서 명시된 수학Ⅰ교육의 목표
    • • 1 수학Ⅰ교육의 목표
      • 2 고등학교 수학 Ⅰ 수열 단원의 학습목표
      • • Ⅲ 수열의 역사적 배경 및 응용
        • • 1 수열의 역사
          • 2 수열 단원이 실생활에 응용된 사례
          • • Ⅳ 고등학교 수학교육과정에서의 수열
            • • 1 수학Ⅰ 교과서 분석
              • 2 수학Ⅰ 교과서에서의 수열
              • • Ⅴ 켈러의 ARCS 이론과 수열 지도
                • • 1 켈러의 ARCS 이론
                  • 2 ARCS 이론을 적용한 수열 수업 계획서
                  • 3 ARCS 이론을 적용한 수업 지도안
                  • 4 조사지 분석
                  • • Ⅵ 결론
                    • 참고문헌

[표7 순서도의 기호]

(2) 알고리즘과 순서도의 작성

수열과 련된 순서도를 작성할 때에는 다음과 같은 방법을 고려한다

(가) 항수를 항을 수열의 합을 로 나타낸다

(나) 제시된 항의 번호까지 루 를 용한다

(다) 제시된 항의 번호에 하여 단 기호를 이용한다

(라) 구하려는 는 를 인쇄하고 끝낸다

주의환기

집 을

한 략

지각

주의환기의

략

시청각 효과의 사용

비일상 인 내용이나 사건 제시

주의 분산의 자극 지양

탐구

주의환기의

략

능동 반응 유도

문제해결 활동의 구상 장려

신비감의 제공

다양성의

략

간결하고 다양한 교수형태 사용

일방 교수와 상호작용 교수의 혼합

교수자료의 변화 추구

목표-내용-방법이 기능 으로 통합

련성

증진을

한

략

친 성의

략

친 한 인물 혹은 사건 활용

구체 이고 친숙한 그림 활용

친 한 문 배경 지식 활용

목 지향성

의 략

실용성에 을 둔 목표 제시

목 지향 인 학습형태 활용

Ⅴ 러의 ARCS 이론과 수열 지도

1 러의 ARCS 이론

1) ARCS 이론의 특징

(1) 이론 배경

다음은 ([4])의 내용을 참고하 다

ldquo말을 물가로 데리고 갈 수는 있지만 물을 먹일 수는 없다rdquo는 속담처럼

하고자 하는 마음이 없으면 학습 효과를 기 할 수 없는 것은 당연한 사실

이다 이러한 생각의 근거에는 동기 유발의 개념이 자리 잡고 있다 동기

유발이란 어떤 활동을 진 지시 유지하려는 내 상태 는 과정을

포함한다 이 개념은 교육 심리학의 심 개념 의 하나이지만 직 찰

할 수 없는 것이기 때문에 인간의 행동을 보고 거기에서 유출해 내는 개념

이며 이에 한 정의는 바라보는 과 강조하는 내용에 따라 각기 다르

다

(2) ARCS 이론

목 의 선택 가능성 부여

필요나

동기와의

부합성 강조의

략

다양한 수 의 목 제시

학업성취 여부의 기록체제 활용

비경쟁 학습상황의 선택가능

동 상호 학습상황 제시

자신감

수립을

한 략

학습의

필요조건

제시의 략

수업의 목표와 구조의 제시

평가기 피드백의 제시

선수학습 능력의 단

시험의 조건 확인

성공의 기회

제시의 략

쉬운 것에서 어려운 것으로 과제 제시

정수 의 난이도 유지

다양한 수 의 시작 제공

무작 의 다양한 사건 제시

다양한 수 의 난이도 제공

개인

조 감

증 의 략

학습의 끝을 조 할 수 있는 기회 제시

학습속도의 조 가능

원하는 부분에로의 재빠른 회귀 가능

선택가능하고 다양한 과제의 난이도제공

노력이나 능력에 성공 귀착

만족감

증 를

한 략

자연 결과

강조의 략

연습문제를 통한 용기회 제공

후속학습상황을 통한 용기회 제공

모의상황을 통한 용기회 제공

정 결과

강조의 략

한 강화 계획의 활용

의미 있는 강화의 강조

정답을 한 보상 강조

외 보상의 사려 깊은 사용

선택 보상체제 활용

공정성

강조의 략

수업목표와 내용의 일 성 유지

연습과 시험 내용이 일치

[표8 ARCS 략] ([1])

2 ARCS 이론을 용한 수열 수업 계획서

다음은 ([1])의 ARCS 이론의 수업계획서를 참고하여 수열 단원의 수업

계획서를 작성해보았다

수업내용개 동기 략개 기타의견1 수업 기

체 으로 교사는 다양한 방법으로 학습자들

에게 수업 내용을 제시하고 학습자들에게

한 언어를 사용한다

수열의 활용에

한 학습목표

제시하기

교사는 학습자들의 련성을 높이기 해 학습

목표의 의미를 설명해 다

도표는 큰 씨를 사

용하고 핵심이 되는

단어에는 다른 색깔을

사용한다

수열의 활용의

이 과 평가

거를 제시하기

교사는 학습자들의 련성과 자신감 만족감

을 높이기 하여 이 수업이 끝난 후 그들이

무엇을 할 수 있는지에 해 알려 다

교사는 학습자들의 자신감과 만족감을 높이기

하여 성공 인 학습성취를 단할 수 있는 객

인 거들을 알려 다

교사는 학습자들의 만족감을 높이기 하여

그들이 주어진 과제를 성공 으로 해결했을 때

그에 따르는 내재 강화나 외재 보상이 있음

을 알려 다

수열의 정의와

해법에 한 지

식을 간략하게

확인하기

교사는 선수학습과의 련성을 유발하기 하

여 간략한 보조도구(인쇄매체)를 사용하여 수열

의 정의와 해법을 제시한다

교사는 소집단 토론을 실시하여 학습자들의

선수지식을 스스로 검해 보도록 한다

교사는 수열의 정의와 해법을 잘 모르는 학습

자들에게 자신감을 유발시키기 하여 개별 인

학습목표를 세우도록 한다

소집단 구성에 있어

서 주의집 이 매우

낮은 5명을 하나의 소

집단으로 구성하고

친근한 소재를 활용하

여 그들의 주의집 과

련성을 유발한다

실생활과 련

된 수열의 활용

문제들을 몇 가

지 소개하기

교사는 학습자들의 주의집 을 유지하기 해

실생활에서 연립방정식을 활용하여 해결할 수

있는 몇 가지 문제들을 제시한다

주의집 이 매우 낮은 5명의 학습자들이 수업

에 극 인 심을 보이지 않으면 교사는 그

들에게 친근한 목소리로 이름을 부르면서 수업

에 집 하라고 얘기 하고 개인 인 심을 갖

고 있음을 나타낸다

로써 활용되는 문

제들을 선택할 때 학

습자들이 알고 있거

나 그들에게 친근감

을 주는 소재가 포함

되도록 선택한다 이

때 지나치게 자심감

이 높아서 수업에 소

극 으로 참여하는 3

명의 학습자들에게는

다소 복잡한 수열의

활용 문제를 미리 제

공하여 생각할 기회를

다

수열의 활용에

한 학습자들의

이해정도를 악

하고 피드백을

제공하기

교사는 학습자들에게 자신감을 높이기 하여

소집단을 구성하여 학습자들이 수열의 활용에

해 어느 정도 이해하고 있는지를 서로 토론하

도록 한다

교사는 소집단별로 둘러보면서 자신감과 만족

감을 유발시키기 하여 학습자들간에 서로 도

움을 주도록 분 기를 형성한다

소집단별로 간략하게 토론이 끝나면 학습자

들 스스로 정리하도록 한다

토론결과 학습자들이 수열의 활용에 해 잘

못 이해하고 있다면 교사는 즉각 으로 교정

피드백을 제공한다

학습자들의 소집단

토론시간을 무 길게

소요하지 않도록 한

다 자칫하면 토론분

기가 산만해지기 쉽

고 토론이 활발하지

못한 경우에는 학습자

들의 학습의욕이 떨어

진다

2 수업 반 체 으로 교사는 다양한 방법으로 학습자

들에게 수업 내용을

제시하고 학습자들에게 개별 인 언어를 사용

한다

실생활과 련

된 수열의 활용

의 문제들을 구

체 으로 제시하

기

교사는 학습자들의 주의집 련성 자신감

만족감을 유지하기 하여 게임을 실시한다 학

습자들이 돌아가면서 임의로 다른 학습자를 지

명하면 지명받은 학습자가 실생활과 련된 수

열의 문제를 하나 제시한다 한 문제를 제

시한 학습자에게 학습태도 수를 주어 만족감

을 향상시킨다

교사는 학습자들이 제시한 여러 가지 문제들

을 칠 에 은 후 몇몇 소집단을 구성하여

그 문제들을 해결하기 해 인스토 을 하

도록 한다 이때 교사는 문제를 해결한 학습자

가 아직 해결하지 못한 학습자들을 도와주어 자

신감과 만족감을 갖도록 한다

인스토 이 진행되는 동안 교사는 교실

을 둘러보면서 학습자들이 질문이나 의문사항

에 해 극 으로 질문할 수 있는 기회를 제

공하고 그에 해 개별 인 언어를 사용하여

부드러운 목소리로 피드백을 제공한다

인스토 도 학습자들의 개인 인 능

력차가 커서 문제를 해결하는데 어려움을 겪는

학습자들에게는 그들에게 합한 개별 인 학습

이때 교사는 밝고

생동감이 넘치는 목소

리로 학습자들의 활동

을 진시킨다

교사는 학습자들이

한 자신감을 유지

하고 있는지에 해

지속 인 심을 갖고

지켜본다

이때 교사는 학습자

들의 자신감과 만족감

을 높이기 하여 그

들에게 일 성 있는

피드백을 제공한다

교사는 학습자들이

목표를 다시 선정하도록 하여 자신감을 향상시

킨다

인스토 이 끝나면 교사는 소집단 별로

한 사람씩 자발 으로 나와 문제를 풀고 풀이

과정을 체 학습자들에게 설명하도록 한다 이

때 어려운 문제를 해결한 소집단이나 학습자에

게 교사는 그들의 우수한 능력을 인정하고 내

재 인 자존심에 정 인 향을 주는 칭찬을

제공하여 자신감과 만족감을 높인다

소집단의 인스토

을 하는 동안 체

으로 문제풀이를 할

때 주의집 을 유지

하고 자신감과 만족

감의 향상을 악하기

해 끊임없이 그들과

시선을 교류하고 얼

굴표정을 찰한다

3 수업마무리 체 으로 교사는 다양한 방법으로 학습자

들에게 수업 내용을 제시하고 학습자들에게 개

별 인 언어를 사용한다

실생활과 련

된 수열의 활용

에 해 체

으로 정리 요

약하기

교사는 교탁을 탁탁 치거나 박수를 쳐서 다

소 떨어진 학습자들의 주의집 을 향상 시킨다

교사는 실생활 속에서 수열을 활용하여 해결

할 수 있는 간단하고 재미있는 문제들을 2～3개

제시하여 학습자들이 그 문제를 성공 으로 해

결함으로써 자신감과 만족감을 갖도록 한다

교사는 학습자들이 미처 생각하지 못했던 실

생활 속에서 수열과 연 된 다양한 들을 제공

하여 주의집 과 련성을 유지향상시킨다

교사는 자신감과 만족감을 향상시키기 해

학습자들에게 수업진행 에 그들이 설정한 개

인 인 학습목표에 해 얼마나 많이 달성했는

가를 스스로 검해 보라고 한다

교사는 수업 반에 수열의 문제를 잘 해결하

지 못했던 학습자들에게 그 문제를 다시 해결해

보도록 기회를 제공하여 자신감과 만족감을 높

여 다

평가에 있어서 교사는 학습자들이 그들의 성

에 해 공정하게 평가되었다고 느끼도록 일

성 있게 평가하여 그들의 자신감고 만족감을

높여 다

교사는 수열과 실생

활과의 련성에 해

학습자들이 잘 지각하

고 있는가를 알아보기

해 다소 진지한 목

소리로 질문한다

다음 학습내용

에 해 간략히

소개하기

교사는 학습자들의 흥미를 유지하기 하여

다음 학습내용에 해 호기심에 찬 목소리로 간

략하게 소개하고 수업을 끝낸다

[표9 러의 ARCS이론]

단원

단

원Ⅲ 수열

배정시간

(분)50

단

원1 등차수열과 등비수열

차시 3소단

원3) 등차수열과 등비수열의 활용

학습

목표등차수열과 등비수열을 실생활의 문제에 용할 수 있다

학습

단계학습내용

교수-학습활동 지도상의유의사

항교사활동 학생활동

도

입

15

분

인사

출석

주변을 정리 정돈

하여 수업분 기를

조성한다

인사 출석체크

를 한다

주의를 환기시킨

후 학생들과 인사

한다

출결석 여부를

확인한다

바른 자세로 주

변을 정리한 뒤

교사와 인사한다

수업 비를 한

다

교사와 학생

모두 함께 수업

분 기를 조성한

다

선수

학습

확인

지난 시간에 학습

한 등차수열과 등비

수열의 정의에 해

다시 한번 확인해본

다

지난 시간에 학습

한 등차수열과 등비

수열의 일반항을 구

하는 방법에 해 확

인학습으로 [문제1]

과 [문제2]를 풀어본

다

학생들의 자신감

을 높이기 하여

등차수열과 등비수

열의 정의를 교과

서에서 찾아본 후

큰소리로 답하게

한다

학생들이 답한

후 다시 한번 등차

수열과 등비수열에

해 간단히 설명

등차수열과 등

비수열의 정의를

교과서에 찾아본

후 큰소리로 읽는

다

교사가 등차수

열과 등비수열의

정의에 해 다시

한번 간단히 설명

할 때 부족한 부

분은 필기하며 복

습한다

교사가 정의에

해 질문할 때

학생들이 모두

책을 찾아볼수

있게 주의를

다

만일 답하

지 못하는 학생

이 있을 경우 그

여기서 인스토 (brainstorming)이라고 하는 것은 갑자기 떠오르는 멋

진 생각을 종이에 는다든가 말로 표 해 본 후 로 기록하거나 기록된

문장을 정리정돈하면서 생각을 논리화하는 방법이다 주로 어떤 계획을 세

우고자 할 때 창조 이고 기발한 아이디어가 필요할 때 학생들의 의견과

생각을 끌어내어 발 시키고자 할 때 사용하면 유리하다 ([3])

3 ARCS 이론을 용한 수업지도안

[문제1]

다음 등차수열

의 일반항과 제20항

을 구하여라

　　　　　　　

[문제2]

다음 등비수열

의 일반항과 제8항을

구하여라

　 　　　　　

한다

교사는 [문제1]

과[문제2]를 제시

한 뒤 학생들에게

직 풀어보게 한

다

등차수열과 등

비수열의 일반항

과 그 공식의 유

도과정을 기억한

다

제시된 문제를

연습장에 풀어본

다

학생에 해 개

별 인 언어를

사용하여 부드러

운 목소리로 피

드백을 제공한

다

개

30

분

학습

목표

제시

수열의 활용에

한 학습목표를 제시

한다

학습목표 학습

에 필요한 자료를

Power point 시청

각 효과를 사용하여

학생들의 주의환기

집 을 한 략

을 사용한다

학습목표를 학생

들에게 읽게 하고

학생들의 련성을

높이기 해 학습

목표의 의미를 설

명해 다

교사의 지시에

따라 큰소리로 학

습목표를 읽고 이

수업이 끝난 후

무엇을 할 수 있

는지에 해 생각

해 본다

학습목표는 큰

씨를 사용하

고 핵심이 되는

단어에는 다른

색깔을 사용한

다

탐구

학습

실생활과 련된

수열의 활용문제들을

몇 가지 소개한다

수열의 활용에

한 학습자들의 이해

정도를 악하고 피

드백을 제공한다

등차수열과 등비

수열을 이용하여

실생활의 문제를

해결할 수 있음을

학생들이 쉽게 이

해할 수 있도록 설

명한다

교사가 실생활

과 련된 수열의

활용문제들을 몇

가지 소개할 때

다른 시가 있는

지 함께 생각해

본다

문제

제시

[문제3]

한일 월드컵 축구 개

회 연도는 2002년이

다 2002년 이후 월

드컵 축구가 개최되

는 연도를 차례로 써

보고 이 규칙 로 월

드컵 축구가 개최되

면 2100년은 월드컵

축구가 개최되는 연

도인가

교과서에서 수열

단원의 수열의 활

용부분에 수록된

문제들을 풀어볼

수 있도록 시간을

다

등차수열과 등

비수열의 일반항

유도 공식을 생각

해보고 제시된 문

제를 해결해 간다

로써 활용되

는 문제를 선택

할 때 학습자들

이 알고 있거나

그들에게 친근감

을 주는 련성

증진을 한

략을 사용한다

[문제4]

컴퓨터의 주기억 장

치인 램은용

으로

용으로 가 개발

되었다 이후 램의

용 량 은

로 증가되어 왔다

의 램으로부터

번 증가된 주 메모

리는 식으로 어떻게

나타낼 수 있는가

학생들이 문제를

어렵게 느끼지 않

도록 어떤 방향으

로 해결해야 하는

지 힌트를 주어 학

생들의 자신감을

증진시킨다

소집

단

활동

5～6명으로 이 진

소집단을 구성하여

학습자들이 수열의

활용에 해 어느 정

도 이해하고 있는지

를 서로 토론하도록

한다

소집단별로 실생활

과 련된 수열의 활

용의 문제들을 구체

으로 제시한다

인 스토 이

끝나면 소집단별로

한사람씩 문제를 풀

고 풀이과정을 체

학생들에게 설명하는

시간을 갖는다

교사는 학생들의

만족감을 높이기

하여 그들이 주

어진 과제를 성공

으로 해결했을

때 그에 따르는

내재 강화나 외

재 보상이 있음

을 알려 다

어려운 문제를

해결한 소집단이나

학생에게 교사는

그들의 우수한 능

력을 인정하고 내

재 인 자존심에

정 인 향을

주는 칭찬을 제공

하여 자신감과 만

족감을 높인다

자신이 속한 소

집단 내에서 제시

된 과제에 해

열심히 토의를 하

며 문제를 해결한

학생이 아직 해결

하지 못한 학생들

을 도와주어 자신

감과 만족감을 갖

도록 한다

소집단별로 간

략하게 토론이 끝

나면 학생들 스스

로 정리해보고 자

발 으로 체 학

생들에게 설명해

보는 기회를 갖는

다

교사는 학습자

들이 한 자

신감을 유지하고

있는지에 해

지속 인 심을

갖고 지켜본다

학생들의 소집

단 토론시간을

무 길게 소요

하지 않도록 한

다

형성

평가

[문제4]

민수는 남 문의 기

와 지붕 한쪽 면이

사다리꼴 모양임을

찰하고 이 면에 있

는 기와의 개수를 알

아보고자 한다 기와

형 성 평 가 를

Power point로 제

시하고 학생들이

스스로 풀어볼 수

있도록 지도한다

학생들이 문제를

다 풀고 나면 교사

제시된 문제를

오늘 학습한 내용

을 복습하면서 풀

어보도록 한다

교사는 다소

진지한 목소리로

질문한다

의 개수를 행으로 세

었더니 용마루 쪽에

가장 가까운 행에는

40개 처마 쪽에 가

장 가까운 행에는 72

개 다 용마루부터

처마까지 행의 개수

가 17이라고 할 때

민수가 찰한 지붕

한쪽 면의 기와의 개

수는 모두 몇 개인

가

는 학생들에게

답할수 있도록 하

고 학생들이 학습

목표에 해 얼마

나 많이 달성했는

가를 스스로 검

해 보라고 한다

형성평가의 답

을 교사의 질문에

끝난 뒤 큰소리로

답하여 자신감

과 만족감을 갖도

록 한다

학생들에게 개

별 인 언어를

사용한다

정

리

5

분

학습

정리

차시

고

학습 자료를 이용

하여 수열의 실생활

의 활용 단원의 수업

내용을 확인한다

과제를 제시한다

다음 차시인 「여

러 가지 수열」 단원

에 한 고를 한

다

수업 내용을 정

리하고 과제를 제

시한다

학생들의 흥미를

유지하기 하여

다음 학습내용에

해 호기심에 찬

목소리로 간략하게

소개하고 수업을

끝낸다

오늘 학습한 내

용을 정리한다

과제를 고 과

제 해결에 한

내용을 머릿속에

형성해 본다

다음 차시에 배

울 내용을 학습

자료 화면으로 확

인해본다

수업내용에

해 학생과 교사

모두가 만족하고

있는지 확인하고

공정한 평가를

한다

[표10 수업지도안]

4 조사 문제지 분석

고등학교 수학 Ⅰ 의 수열단원의 효율 인 지도방안의 연구를 하여 원

종고등학교 2학년 학생 100명을 상으로 조사 문제지 조사를 하 다 학

생들의 수학에 한 심과 수학에서 가장 어려워하는 부분을 알아볼 수

있었고 어떤 방식의 수업을 선호하는지도 알아볼 수 있었다

⑴ 수학에 얼마나 심이 있나요

① 매우 많다 ② 많다 ③ 보통이다 ④ 다 ⑤ 매우 다

수학과목에 매우 많은 심을 보이는 학생은 2로 매우 낮은 편이며

심이 있는 학생은 43로 학생의 반정도 다 수학과목에 심이 거

나 없는 학생은 54정도로 수학은 어려운 과목이라는 인식 때문에 심

이 은 것 같다

수학을 공부하는 가장 큰 이유에는75의 학생들이 학입시를 해서라

는 문항을 선택했다 기타 이유에는 교과서에 있어서 어쩔수 없이 한다

는 학생과 진리탐구를 해서라는 학생도 있었다

[그림6 조사문제지

(1)번 막 그래 ]

⑵ 수학을 공부하는 가장 큰 이유가 뭐라고 생각하나요

① 학입시를 해서

② 평소 수학에 흥미가 있어서

③ 실제 생활에 쓰기 해서

④ 주변에서 해야한다고 하니까

⑤ 기타 이유 (이유를 간단히 어주세요)

앞에 (1)번문항에서 수학에 심이 은 학생이 반 정도인것에 반해

수학공부가 필요하다고 느낀학생이 75정도로 수학공부가 필요하단건

느끼지만 어려운 과목이라는 인식이 부분인것 같다 수학과목도 재

는 과목이란 인식을 학생들이 가질수 있도록 노력해야겠다

[그림7 조사문제지

(2)번 막 그래 ]

⑶ 수학공부의 필요성에 해 어떻게 생각하나요

① 매우 필요하다 ② 조 필요하다 ③ 보통이다

④ 필요 없다 ⑤ 필요 없다

[그림8 조사문제지

(3)번 막 그래 ]

⑷ 수학을 공부하면서 가장 어려운 부분은 무엇이나요

① 복잡한 계산 과정 ② 외워야할 많은 공식들

③ 응용문제엔 어떤 공식을 용해야할지 ④ 다 어렵다

학생들이 수학과목이 어렵다고 느끼는 이유는 응용문제에 어떤 공식을

용해야 하는지를 몰라서 라는 답이 58로 가장 많았다 그 외에도

계산과정이 복잡하거나 외워야할 공식들이 많아서라는 답도 있었다

이해 주의 수업을 하고 단순한 공식의 암기 주의 수업을 탈피해야겠

다

수학수업을 하는데 효과 인 방법에는 선생님 주의 강의식 수업과 학

생 개인별 수업이 78로 가장 많았다 개념이나 공식유도과정을 설명할

땐 서를 하며 강의식 수업을 하고 문제풀이땐 학생들 개인별로 첨삭

지도를 하는게 효율 인것 같다

⑤ 기타이유 (이유를 간단히 어주세요)

[그림9 조사문제지

(4)번 막 그래 ]

⑸ 수학 수업을 하는 데 어떤 방법이 가장 효과 이라고 생각하나요

① 선생님 주의 강의식 수업

② 학생 개인별 수업

③ 모둠별 활동 수업

④ 기타 교재나 과제를 통한 수업

⑤ 기타(이유를 간단히 어주세요)

[그림10 조사문제지

(5)번 막 그래 ]

Ⅵ 결론

본 논문에서 지 까지 고등학교 2학년 학생들이 수학 Ⅰ 교육과정을 학습하

는데 가장 어려워하는 수열에 해 살펴보았다 먼 개정 교육과정에 명시

된 수학교육의 목표와 임의로 선택된 5종 교과서에서 수열 단원의 학습목표

를 살펴보았고 수열의 역사 배경과 실생활에 응용된 들을 정리해보았

다 한 5종 교과서에서 제시되어 있는 수열의 학습내용을 소단원 별로 정

리해보았다 임의로 선택된 5종 교과서안의 수열의 학습내용을 분석해보면

서 몇 몇 교과서에서 여러 가지 수열 단원에서 군 수열과 멱 수에 한 언

이 없거나 미약함을 알 수 있었다 본 연구자가 보기에 군 수열과 멱 수

부분은 실생활에 활용될 는 극히 작아 보이지만 학생들이 꼭 학습하고 넘

어가야 수열에 한 완벽한 학습이 될 수 있을 것이라 여겼는데 교과서에서

제시된 내용들로는 학생들이 충분히 이해할 수 없을 것 같았다

그리고 교과서에 제시된 문항의 수 이 입시와 동 떨어진다는 문제 이 있

었다 교과서에 제시된 문제가 부족하고 수 이 낮다 보니 실제로 학교에서

수업 때 보충 린트 물로 수업을 진행하고 간기말고사 때에도 교과서

외에서 많은 문제를 출제하는 모습을 볼 수 있었다 때문에 학생들이 교과서

보다는 문제집 주의 공부를 할 수 밖에 없는 듯 보 다 교과서가 학생들

과 교사의 요구에 부합할 수 있도록 새로운 내용들과 문제를 싣도록 해야

할 것이다

학생들이 수열 단원의 학습을 할 때 좀 더 효과 인 학습이 될 수 있도록

리의 동기설계이론 (ARCS 이론) 을 바탕으로 하여 수업 계획서와 1차시

의 수업 지도안을 작성해 보았다 한 작성한 수업 지도안으로 부천시 소재

의 한 고등학교에서 실제 수업을 진행해 보았을 때 학생들이 좀 더 수열에

해 친숙하게 느끼고 쉽게 이해하는 모습을 볼 수 있었다 본 연구자가

직 교사가 아니라 여러 반을 상으로 수열 단원의 모든 차시 수업에 용

하여 수업을 해볼 수 없었단 이 아쉬움으로 남는다

이와 같이 학생들의 주의 련성자신감만족감 증진을 한 수업을 함

으로써 학생들의 수학 학습 성취도의 향상을 기 할 수 있을 것이다 한

개발된 자료를 실제 수업에 용하는 경우의 효율성에 한 후속 연구가 체

계 이고 지속 으로 이루어져야 할 것이다

참 고 문 헌

[1] 구평회 META 구평회 교육학 2007

[2] 교육인 자원부 고시 제2007 - 79호[별책8] 2007

[3] 박인학 교사를 한 교수학습방법론 문사 1995

[4] 변 계 교수학습 이론의 이해 학지사 1999

[5] 우정호 외 5인 고등학교 수학 Ⅰ 한교과서(주) 2002

[6] 이 연 자연의 수학 열쇠 피보나치수열 로네시스 2006

[7] 이진화 지수로그함수의 지도에 한 연구 서강 학교 교육 학원 석사 학

논문 2006

[8] 임재훈 외 10인 고등학교 수학 Ⅰ (주)두산 2002

[9] 장 숙 고등학교 수학 Ⅰ 교과서의 통계단원 분석 실생활에의 용 경희

학교 교육 학원 석사 학 논문 2006

[10] 조해식 행렬 수열 수업에서의 수학사 도입에 한 연구 울산 학교 석사

학 논문 1998

[11] 차 자 수열 학습의 흥미 유발을 한 자료 연구 경성 학교 교육 학원 석

사 학 논문 2004

[12] 최 외 5인 고등학교 수학 Ⅰ 앙교육진흥연구소 2006

[13] 최상기 외 5인 고등학교 수학 Ⅰ (주)고려출 2002

[14] 최용 신 성 고등학교 수학 Ⅰ 천재교육(주) 2002

[15] 황혜정 외 5인 수학교육학 신론 문음사 2002

• Ⅰ 서론
• • 1 연구의 필요성과 목적
  • 2 연구의 제한점
  • • Ⅱ 개정 교육과정에서 명시된 수학Ⅰ교육의 목표
    • • 1 수학Ⅰ교육의 목표
      • 2 고등학교 수학 Ⅰ 수열 단원의 학습목표
      • • Ⅲ 수열의 역사적 배경 및 응용
        • • 1 수열의 역사
          • 2 수열 단원이 실생활에 응용된 사례
          • • Ⅳ 고등학교 수학교육과정에서의 수열
            • • 1 수학Ⅰ 교과서 분석
              • 2 수학Ⅰ 교과서에서의 수열
              • • Ⅴ 켈러의 ARCS 이론과 수열 지도
                • • 1 켈러의 ARCS 이론
                  • 2 ARCS 이론을 적용한 수열 수업 계획서
                  • 3 ARCS 이론을 적용한 수업 지도안
                  • 4 조사지 분석
                  • • Ⅵ 결론
                    • 참고문헌

주의환기

집 을

한 략

지각

주의환기의

략

시청각 효과의 사용

비일상 인 내용이나 사건 제시

주의 분산의 자극 지양

탐구

주의환기의

략

능동 반응 유도

문제해결 활동의 구상 장려

신비감의 제공

다양성의

략

간결하고 다양한 교수형태 사용

일방 교수와 상호작용 교수의 혼합

교수자료의 변화 추구

목표-내용-방법이 기능 으로 통합

련성

증진을

한

략

친 성의

략

친 한 인물 혹은 사건 활용

구체 이고 친숙한 그림 활용

친 한 문 배경 지식 활용

목 지향성

의 략

실용성에 을 둔 목표 제시

목 지향 인 학습형태 활용

Ⅴ 러의 ARCS 이론과 수열 지도

1 러의 ARCS 이론

1) ARCS 이론의 특징

(1) 이론 배경

다음은 ([4])의 내용을 참고하 다

ldquo말을 물가로 데리고 갈 수는 있지만 물을 먹일 수는 없다rdquo는 속담처럼

하고자 하는 마음이 없으면 학습 효과를 기 할 수 없는 것은 당연한 사실

이다 이러한 생각의 근거에는 동기 유발의 개념이 자리 잡고 있다 동기

유발이란 어떤 활동을 진 지시 유지하려는 내 상태 는 과정을

포함한다 이 개념은 교육 심리학의 심 개념 의 하나이지만 직 찰

할 수 없는 것이기 때문에 인간의 행동을 보고 거기에서 유출해 내는 개념

이며 이에 한 정의는 바라보는 과 강조하는 내용에 따라 각기 다르

다

(2) ARCS 이론

목 의 선택 가능성 부여

필요나

동기와의

부합성 강조의

략

다양한 수 의 목 제시

학업성취 여부의 기록체제 활용

비경쟁 학습상황의 선택가능

동 상호 학습상황 제시

자신감

수립을

한 략

학습의

필요조건

제시의 략

수업의 목표와 구조의 제시

평가기 피드백의 제시

선수학습 능력의 단

시험의 조건 확인

성공의 기회

제시의 략

쉬운 것에서 어려운 것으로 과제 제시

정수 의 난이도 유지

다양한 수 의 시작 제공

무작 의 다양한 사건 제시

다양한 수 의 난이도 제공

개인

조 감

증 의 략

학습의 끝을 조 할 수 있는 기회 제시

학습속도의 조 가능

원하는 부분에로의 재빠른 회귀 가능

선택가능하고 다양한 과제의 난이도제공

노력이나 능력에 성공 귀착

만족감

증 를

한 략

자연 결과

강조의 략

연습문제를 통한 용기회 제공

후속학습상황을 통한 용기회 제공

모의상황을 통한 용기회 제공

정 결과

강조의 략

한 강화 계획의 활용

의미 있는 강화의 강조

정답을 한 보상 강조

외 보상의 사려 깊은 사용

선택 보상체제 활용

공정성

강조의 략

수업목표와 내용의 일 성 유지

연습과 시험 내용이 일치

[표8 ARCS 략] ([1])

2 ARCS 이론을 용한 수열 수업 계획서

다음은 ([1])의 ARCS 이론의 수업계획서를 참고하여 수열 단원의 수업

계획서를 작성해보았다

수업내용개 동기 략개 기타의견1 수업 기

체 으로 교사는 다양한 방법으로 학습자들

에게 수업 내용을 제시하고 학습자들에게

한 언어를 사용한다

수열의 활용에

한 학습목표

제시하기

교사는 학습자들의 련성을 높이기 해 학습

목표의 의미를 설명해 다

도표는 큰 씨를 사

용하고 핵심이 되는

단어에는 다른 색깔을

사용한다

수열의 활용의

이 과 평가

거를 제시하기

교사는 학습자들의 련성과 자신감 만족감

을 높이기 하여 이 수업이 끝난 후 그들이

무엇을 할 수 있는지에 해 알려 다

교사는 학습자들의 자신감과 만족감을 높이기

하여 성공 인 학습성취를 단할 수 있는 객

인 거들을 알려 다

교사는 학습자들의 만족감을 높이기 하여

그들이 주어진 과제를 성공 으로 해결했을 때

그에 따르는 내재 강화나 외재 보상이 있음

을 알려 다

수열의 정의와

해법에 한 지

식을 간략하게

확인하기

교사는 선수학습과의 련성을 유발하기 하

여 간략한 보조도구(인쇄매체)를 사용하여 수열

의 정의와 해법을 제시한다

교사는 소집단 토론을 실시하여 학습자들의

선수지식을 스스로 검해 보도록 한다

교사는 수열의 정의와 해법을 잘 모르는 학습

자들에게 자신감을 유발시키기 하여 개별 인

학습목표를 세우도록 한다

소집단 구성에 있어

서 주의집 이 매우

낮은 5명을 하나의 소

집단으로 구성하고

친근한 소재를 활용하

여 그들의 주의집 과

련성을 유발한다

실생활과 련

된 수열의 활용

문제들을 몇 가

지 소개하기

교사는 학습자들의 주의집 을 유지하기 해

실생활에서 연립방정식을 활용하여 해결할 수

있는 몇 가지 문제들을 제시한다

주의집 이 매우 낮은 5명의 학습자들이 수업

에 극 인 심을 보이지 않으면 교사는 그

들에게 친근한 목소리로 이름을 부르면서 수업

에 집 하라고 얘기 하고 개인 인 심을 갖

고 있음을 나타낸다

로써 활용되는 문

제들을 선택할 때 학

습자들이 알고 있거

나 그들에게 친근감

을 주는 소재가 포함

되도록 선택한다 이

때 지나치게 자심감

이 높아서 수업에 소

극 으로 참여하는 3

명의 학습자들에게는

다소 복잡한 수열의

활용 문제를 미리 제

공하여 생각할 기회를

다

수열의 활용에

한 학습자들의

이해정도를 악

하고 피드백을

제공하기

교사는 학습자들에게 자신감을 높이기 하여

소집단을 구성하여 학습자들이 수열의 활용에

해 어느 정도 이해하고 있는지를 서로 토론하

도록 한다

교사는 소집단별로 둘러보면서 자신감과 만족

감을 유발시키기 하여 학습자들간에 서로 도

움을 주도록 분 기를 형성한다

소집단별로 간략하게 토론이 끝나면 학습자

들 스스로 정리하도록 한다

토론결과 학습자들이 수열의 활용에 해 잘

못 이해하고 있다면 교사는 즉각 으로 교정

피드백을 제공한다

학습자들의 소집단

토론시간을 무 길게

소요하지 않도록 한

다 자칫하면 토론분

기가 산만해지기 쉽

고 토론이 활발하지

못한 경우에는 학습자

들의 학습의욕이 떨어

진다

2 수업 반 체 으로 교사는 다양한 방법으로 학습자

들에게 수업 내용을

제시하고 학습자들에게 개별 인 언어를 사용

한다

실생활과 련

된 수열의 활용

의 문제들을 구

체 으로 제시하

기

교사는 학습자들의 주의집 련성 자신감

만족감을 유지하기 하여 게임을 실시한다 학

습자들이 돌아가면서 임의로 다른 학습자를 지

명하면 지명받은 학습자가 실생활과 련된 수

열의 문제를 하나 제시한다 한 문제를 제

시한 학습자에게 학습태도 수를 주어 만족감

을 향상시킨다

교사는 학습자들이 제시한 여러 가지 문제들

을 칠 에 은 후 몇몇 소집단을 구성하여

그 문제들을 해결하기 해 인스토 을 하

도록 한다 이때 교사는 문제를 해결한 학습자

가 아직 해결하지 못한 학습자들을 도와주어 자

신감과 만족감을 갖도록 한다

인스토 이 진행되는 동안 교사는 교실

을 둘러보면서 학습자들이 질문이나 의문사항

에 해 극 으로 질문할 수 있는 기회를 제

공하고 그에 해 개별 인 언어를 사용하여

부드러운 목소리로 피드백을 제공한다

인스토 도 학습자들의 개인 인 능

력차가 커서 문제를 해결하는데 어려움을 겪는

학습자들에게는 그들에게 합한 개별 인 학습

이때 교사는 밝고

생동감이 넘치는 목소

리로 학습자들의 활동

을 진시킨다

교사는 학습자들이

한 자신감을 유지

하고 있는지에 해

지속 인 심을 갖고

지켜본다

이때 교사는 학습자

들의 자신감과 만족감

을 높이기 하여 그

들에게 일 성 있는

피드백을 제공한다

교사는 학습자들이

목표를 다시 선정하도록 하여 자신감을 향상시

킨다

인스토 이 끝나면 교사는 소집단 별로

한 사람씩 자발 으로 나와 문제를 풀고 풀이

과정을 체 학습자들에게 설명하도록 한다 이

때 어려운 문제를 해결한 소집단이나 학습자에

게 교사는 그들의 우수한 능력을 인정하고 내

재 인 자존심에 정 인 향을 주는 칭찬을

제공하여 자신감과 만족감을 높인다

소집단의 인스토

을 하는 동안 체

으로 문제풀이를 할

때 주의집 을 유지

하고 자신감과 만족

감의 향상을 악하기

해 끊임없이 그들과

시선을 교류하고 얼

굴표정을 찰한다

3 수업마무리 체 으로 교사는 다양한 방법으로 학습자

들에게 수업 내용을 제시하고 학습자들에게 개

별 인 언어를 사용한다

실생활과 련

된 수열의 활용

에 해 체

으로 정리 요

약하기

교사는 교탁을 탁탁 치거나 박수를 쳐서 다

소 떨어진 학습자들의 주의집 을 향상 시킨다

교사는 실생활 속에서 수열을 활용하여 해결

할 수 있는 간단하고 재미있는 문제들을 2～3개

제시하여 학습자들이 그 문제를 성공 으로 해

결함으로써 자신감과 만족감을 갖도록 한다

교사는 학습자들이 미처 생각하지 못했던 실

생활 속에서 수열과 연 된 다양한 들을 제공

하여 주의집 과 련성을 유지향상시킨다

교사는 자신감과 만족감을 향상시키기 해

학습자들에게 수업진행 에 그들이 설정한 개

인 인 학습목표에 해 얼마나 많이 달성했는

가를 스스로 검해 보라고 한다

교사는 수업 반에 수열의 문제를 잘 해결하

지 못했던 학습자들에게 그 문제를 다시 해결해

보도록 기회를 제공하여 자신감과 만족감을 높

여 다

평가에 있어서 교사는 학습자들이 그들의 성

에 해 공정하게 평가되었다고 느끼도록 일

성 있게 평가하여 그들의 자신감고 만족감을

높여 다

교사는 수열과 실생

활과의 련성에 해

학습자들이 잘 지각하

고 있는가를 알아보기

해 다소 진지한 목

소리로 질문한다

다음 학습내용

에 해 간략히

소개하기

교사는 학습자들의 흥미를 유지하기 하여

다음 학습내용에 해 호기심에 찬 목소리로 간

략하게 소개하고 수업을 끝낸다

[표9 러의 ARCS이론]

단원

단

원Ⅲ 수열

배정시간

(분)50

단

원1 등차수열과 등비수열

차시 3소단

원3) 등차수열과 등비수열의 활용

학습

목표등차수열과 등비수열을 실생활의 문제에 용할 수 있다

학습

단계학습내용

교수-학습활동 지도상의유의사

항교사활동 학생활동

도

입

15

분

인사

출석

주변을 정리 정돈

하여 수업분 기를

조성한다

인사 출석체크

를 한다

주의를 환기시킨

후 학생들과 인사

한다

출결석 여부를

확인한다

바른 자세로 주

변을 정리한 뒤

교사와 인사한다

수업 비를 한

다

교사와 학생

모두 함께 수업

분 기를 조성한

다

선수

학습

확인

지난 시간에 학습

한 등차수열과 등비

수열의 정의에 해

다시 한번 확인해본

다

지난 시간에 학습

한 등차수열과 등비

수열의 일반항을 구

하는 방법에 해 확

인학습으로 [문제1]

과 [문제2]를 풀어본

다

학생들의 자신감

을 높이기 하여

등차수열과 등비수

열의 정의를 교과

서에서 찾아본 후

큰소리로 답하게

한다

학생들이 답한

후 다시 한번 등차

수열과 등비수열에

해 간단히 설명

등차수열과 등

비수열의 정의를

교과서에 찾아본

후 큰소리로 읽는

다

교사가 등차수

열과 등비수열의

정의에 해 다시

한번 간단히 설명

할 때 부족한 부

분은 필기하며 복

습한다

교사가 정의에

해 질문할 때

학생들이 모두

책을 찾아볼수

있게 주의를

다

만일 답하

지 못하는 학생

이 있을 경우 그

여기서 인스토 (brainstorming)이라고 하는 것은 갑자기 떠오르는 멋

진 생각을 종이에 는다든가 말로 표 해 본 후 로 기록하거나 기록된

문장을 정리정돈하면서 생각을 논리화하는 방법이다 주로 어떤 계획을 세

우고자 할 때 창조 이고 기발한 아이디어가 필요할 때 학생들의 의견과

생각을 끌어내어 발 시키고자 할 때 사용하면 유리하다 ([3])

3 ARCS 이론을 용한 수업지도안

[문제1]

다음 등차수열

의 일반항과 제20항

을 구하여라

　　　　　　　

[문제2]

다음 등비수열

의 일반항과 제8항을

구하여라

　 　　　　　

한다

교사는 [문제1]

과[문제2]를 제시

한 뒤 학생들에게

직 풀어보게 한

다

등차수열과 등

비수열의 일반항

과 그 공식의 유

도과정을 기억한

다

제시된 문제를

연습장에 풀어본

다

학생에 해 개

별 인 언어를

사용하여 부드러

운 목소리로 피

드백을 제공한

다

개

30

분

학습

목표

제시

수열의 활용에

한 학습목표를 제시

한다

학습목표 학습

에 필요한 자료를

Power point 시청

각 효과를 사용하여

학생들의 주의환기

집 을 한 략

을 사용한다

학습목표를 학생

들에게 읽게 하고

학생들의 련성을

높이기 해 학습

목표의 의미를 설

명해 다

교사의 지시에

따라 큰소리로 학

습목표를 읽고 이

수업이 끝난 후

무엇을 할 수 있

는지에 해 생각

해 본다

학습목표는 큰

씨를 사용하

고 핵심이 되는

단어에는 다른

색깔을 사용한

다

탐구

학습

실생활과 련된

수열의 활용문제들을

몇 가지 소개한다

수열의 활용에

한 학습자들의 이해

정도를 악하고 피

드백을 제공한다

등차수열과 등비

수열을 이용하여

실생활의 문제를

해결할 수 있음을

학생들이 쉽게 이

해할 수 있도록 설

명한다

교사가 실생활

과 련된 수열의

활용문제들을 몇

가지 소개할 때

다른 시가 있는

지 함께 생각해

본다

문제

제시

[문제3]

한일 월드컵 축구 개

회 연도는 2002년이

다 2002년 이후 월

드컵 축구가 개최되

는 연도를 차례로 써

보고 이 규칙 로 월

드컵 축구가 개최되

면 2100년은 월드컵

축구가 개최되는 연

도인가

교과서에서 수열

단원의 수열의 활

용부분에 수록된

문제들을 풀어볼

수 있도록 시간을

다

등차수열과 등

비수열의 일반항

유도 공식을 생각

해보고 제시된 문

제를 해결해 간다

로써 활용되

는 문제를 선택

할 때 학습자들

이 알고 있거나

그들에게 친근감

을 주는 련성

증진을 한

략을 사용한다

[문제4]

컴퓨터의 주기억 장

치인 램은용

으로

용으로 가 개발

되었다 이후 램의

용 량 은

로 증가되어 왔다

의 램으로부터

번 증가된 주 메모

리는 식으로 어떻게

나타낼 수 있는가

학생들이 문제를

어렵게 느끼지 않

도록 어떤 방향으

로 해결해야 하는

지 힌트를 주어 학

생들의 자신감을

증진시킨다

소집

단

활동

5～6명으로 이 진

소집단을 구성하여

학습자들이 수열의

활용에 해 어느 정

도 이해하고 있는지

를 서로 토론하도록

한다

소집단별로 실생활

과 련된 수열의 활

용의 문제들을 구체

으로 제시한다

인 스토 이

끝나면 소집단별로

한사람씩 문제를 풀

고 풀이과정을 체

학생들에게 설명하는

시간을 갖는다

교사는 학생들의

만족감을 높이기

하여 그들이 주

어진 과제를 성공

으로 해결했을

때 그에 따르는

내재 강화나 외

재 보상이 있음

을 알려 다

어려운 문제를

해결한 소집단이나

학생에게 교사는

그들의 우수한 능

력을 인정하고 내

재 인 자존심에

정 인 향을

주는 칭찬을 제공

하여 자신감과 만

족감을 높인다

자신이 속한 소

집단 내에서 제시

된 과제에 해

열심히 토의를 하

며 문제를 해결한

학생이 아직 해결

하지 못한 학생들

을 도와주어 자신

감과 만족감을 갖

도록 한다

소집단별로 간

략하게 토론이 끝

나면 학생들 스스

로 정리해보고 자

발 으로 체 학

생들에게 설명해

보는 기회를 갖는

다

교사는 학습자

들이 한 자

신감을 유지하고

있는지에 해

지속 인 심을

갖고 지켜본다

학생들의 소집

단 토론시간을

무 길게 소요

하지 않도록 한

다

형성

평가

[문제4]

민수는 남 문의 기

와 지붕 한쪽 면이

사다리꼴 모양임을

찰하고 이 면에 있

는 기와의 개수를 알

아보고자 한다 기와

형 성 평 가 를

Power point로 제

시하고 학생들이

스스로 풀어볼 수

있도록 지도한다

학생들이 문제를

다 풀고 나면 교사

제시된 문제를

오늘 학습한 내용

을 복습하면서 풀

어보도록 한다

교사는 다소

진지한 목소리로

질문한다

의 개수를 행으로 세

었더니 용마루 쪽에

가장 가까운 행에는

40개 처마 쪽에 가

장 가까운 행에는 72

개 다 용마루부터

처마까지 행의 개수

가 17이라고 할 때

민수가 찰한 지붕

한쪽 면의 기와의 개

수는 모두 몇 개인

가

는 학생들에게

답할수 있도록 하

고 학생들이 학습

목표에 해 얼마

나 많이 달성했는

가를 스스로 검

해 보라고 한다

형성평가의 답

을 교사의 질문에

끝난 뒤 큰소리로

답하여 자신감

과 만족감을 갖도

록 한다

학생들에게 개

별 인 언어를

사용한다

정

리

5

분

학습

정리

차시

고

학습 자료를 이용

하여 수열의 실생활

의 활용 단원의 수업

내용을 확인한다

과제를 제시한다

다음 차시인 「여

러 가지 수열」 단원

에 한 고를 한

다

수업 내용을 정

리하고 과제를 제

시한다

학생들의 흥미를

유지하기 하여

다음 학습내용에

해 호기심에 찬

목소리로 간략하게

소개하고 수업을

끝낸다

오늘 학습한 내

용을 정리한다

과제를 고 과

제 해결에 한

내용을 머릿속에

형성해 본다

다음 차시에 배

울 내용을 학습

자료 화면으로 확

인해본다

수업내용에

해 학생과 교사

모두가 만족하고

있는지 확인하고

공정한 평가를

한다

[표10 수업지도안]

4 조사 문제지 분석

고등학교 수학 Ⅰ 의 수열단원의 효율 인 지도방안의 연구를 하여 원

종고등학교 2학년 학생 100명을 상으로 조사 문제지 조사를 하 다 학

생들의 수학에 한 심과 수학에서 가장 어려워하는 부분을 알아볼 수

있었고 어떤 방식의 수업을 선호하는지도 알아볼 수 있었다

⑴ 수학에 얼마나 심이 있나요

① 매우 많다 ② 많다 ③ 보통이다 ④ 다 ⑤ 매우 다

수학과목에 매우 많은 심을 보이는 학생은 2로 매우 낮은 편이며

심이 있는 학생은 43로 학생의 반정도 다 수학과목에 심이 거

나 없는 학생은 54정도로 수학은 어려운 과목이라는 인식 때문에 심

이 은 것 같다

수학을 공부하는 가장 큰 이유에는75의 학생들이 학입시를 해서라

는 문항을 선택했다 기타 이유에는 교과서에 있어서 어쩔수 없이 한다

는 학생과 진리탐구를 해서라는 학생도 있었다

[그림6 조사문제지

(1)번 막 그래 ]

⑵ 수학을 공부하는 가장 큰 이유가 뭐라고 생각하나요

① 학입시를 해서

② 평소 수학에 흥미가 있어서

③ 실제 생활에 쓰기 해서

④ 주변에서 해야한다고 하니까

⑤ 기타 이유 (이유를 간단히 어주세요)

앞에 (1)번문항에서 수학에 심이 은 학생이 반 정도인것에 반해

수학공부가 필요하다고 느낀학생이 75정도로 수학공부가 필요하단건

느끼지만 어려운 과목이라는 인식이 부분인것 같다 수학과목도 재

는 과목이란 인식을 학생들이 가질수 있도록 노력해야겠다

[그림7 조사문제지

(2)번 막 그래 ]

⑶ 수학공부의 필요성에 해 어떻게 생각하나요

① 매우 필요하다 ② 조 필요하다 ③ 보통이다

④ 필요 없다 ⑤ 필요 없다

[그림8 조사문제지

(3)번 막 그래 ]

⑷ 수학을 공부하면서 가장 어려운 부분은 무엇이나요

① 복잡한 계산 과정 ② 외워야할 많은 공식들

③ 응용문제엔 어떤 공식을 용해야할지 ④ 다 어렵다

학생들이 수학과목이 어렵다고 느끼는 이유는 응용문제에 어떤 공식을

용해야 하는지를 몰라서 라는 답이 58로 가장 많았다 그 외에도

계산과정이 복잡하거나 외워야할 공식들이 많아서라는 답도 있었다

이해 주의 수업을 하고 단순한 공식의 암기 주의 수업을 탈피해야겠

다

수학수업을 하는데 효과 인 방법에는 선생님 주의 강의식 수업과 학

생 개인별 수업이 78로 가장 많았다 개념이나 공식유도과정을 설명할

땐 서를 하며 강의식 수업을 하고 문제풀이땐 학생들 개인별로 첨삭

지도를 하는게 효율 인것 같다

⑤ 기타이유 (이유를 간단히 어주세요)

[그림9 조사문제지

(4)번 막 그래 ]

⑸ 수학 수업을 하는 데 어떤 방법이 가장 효과 이라고 생각하나요

① 선생님 주의 강의식 수업

② 학생 개인별 수업

③ 모둠별 활동 수업

④ 기타 교재나 과제를 통한 수업

⑤ 기타(이유를 간단히 어주세요)

[그림10 조사문제지

(5)번 막 그래 ]

Ⅵ 결론

본 논문에서 지 까지 고등학교 2학년 학생들이 수학 Ⅰ 교육과정을 학습하

는데 가장 어려워하는 수열에 해 살펴보았다 먼 개정 교육과정에 명시

된 수학교육의 목표와 임의로 선택된 5종 교과서에서 수열 단원의 학습목표

를 살펴보았고 수열의 역사 배경과 실생활에 응용된 들을 정리해보았

다 한 5종 교과서에서 제시되어 있는 수열의 학습내용을 소단원 별로 정

리해보았다 임의로 선택된 5종 교과서안의 수열의 학습내용을 분석해보면

서 몇 몇 교과서에서 여러 가지 수열 단원에서 군 수열과 멱 수에 한 언

이 없거나 미약함을 알 수 있었다 본 연구자가 보기에 군 수열과 멱 수

부분은 실생활에 활용될 는 극히 작아 보이지만 학생들이 꼭 학습하고 넘

어가야 수열에 한 완벽한 학습이 될 수 있을 것이라 여겼는데 교과서에서

제시된 내용들로는 학생들이 충분히 이해할 수 없을 것 같았다

그리고 교과서에 제시된 문항의 수 이 입시와 동 떨어진다는 문제 이 있

었다 교과서에 제시된 문제가 부족하고 수 이 낮다 보니 실제로 학교에서

수업 때 보충 린트 물로 수업을 진행하고 간기말고사 때에도 교과서

외에서 많은 문제를 출제하는 모습을 볼 수 있었다 때문에 학생들이 교과서

보다는 문제집 주의 공부를 할 수 밖에 없는 듯 보 다 교과서가 학생들

과 교사의 요구에 부합할 수 있도록 새로운 내용들과 문제를 싣도록 해야

할 것이다

학생들이 수열 단원의 학습을 할 때 좀 더 효과 인 학습이 될 수 있도록

리의 동기설계이론 (ARCS 이론) 을 바탕으로 하여 수업 계획서와 1차시

의 수업 지도안을 작성해 보았다 한 작성한 수업 지도안으로 부천시 소재

의 한 고등학교에서 실제 수업을 진행해 보았을 때 학생들이 좀 더 수열에

해 친숙하게 느끼고 쉽게 이해하는 모습을 볼 수 있었다 본 연구자가

직 교사가 아니라 여러 반을 상으로 수열 단원의 모든 차시 수업에 용

하여 수업을 해볼 수 없었단 이 아쉬움으로 남는다

이와 같이 학생들의 주의 련성자신감만족감 증진을 한 수업을 함

으로써 학생들의 수학 학습 성취도의 향상을 기 할 수 있을 것이다 한

개발된 자료를 실제 수업에 용하는 경우의 효율성에 한 후속 연구가 체

계 이고 지속 으로 이루어져야 할 것이다

참 고 문 헌

[1] 구평회 META 구평회 교육학 2007

[2] 교육인 자원부 고시 제2007 - 79호[별책8] 2007

[3] 박인학 교사를 한 교수학습방법론 문사 1995

[4] 변 계 교수학습 이론의 이해 학지사 1999

[5] 우정호 외 5인 고등학교 수학 Ⅰ 한교과서(주) 2002

[6] 이 연 자연의 수학 열쇠 피보나치수열 로네시스 2006

[7] 이진화 지수로그함수의 지도에 한 연구 서강 학교 교육 학원 석사 학

논문 2006

[8] 임재훈 외 10인 고등학교 수학 Ⅰ (주)두산 2002

[9] 장 숙 고등학교 수학 Ⅰ 교과서의 통계단원 분석 실생활에의 용 경희

학교 교육 학원 석사 학 논문 2006

[10] 조해식 행렬 수열 수업에서의 수학사 도입에 한 연구 울산 학교 석사

학 논문 1998

[11] 차 자 수열 학습의 흥미 유발을 한 자료 연구 경성 학교 교육 학원 석

사 학 논문 2004

[12] 최 외 5인 고등학교 수학 Ⅰ 앙교육진흥연구소 2006

[13] 최상기 외 5인 고등학교 수학 Ⅰ (주)고려출 2002

[14] 최용 신 성 고등학교 수학 Ⅰ 천재교육(주) 2002

[15] 황혜정 외 5인 수학교육학 신론 문음사 2002

• Ⅰ 서론
• • 1 연구의 필요성과 목적
  • 2 연구의 제한점
  • • Ⅱ 개정 교육과정에서 명시된 수학Ⅰ교육의 목표
    • • 1 수학Ⅰ교육의 목표
      • 2 고등학교 수학 Ⅰ 수열 단원의 학습목표
      • • Ⅲ 수열의 역사적 배경 및 응용
        • • 1 수열의 역사
          • 2 수열 단원이 실생활에 응용된 사례
          • • Ⅳ 고등학교 수학교육과정에서의 수열
            • • 1 수학Ⅰ 교과서 분석
              • 2 수학Ⅰ 교과서에서의 수열
              • • Ⅴ 켈러의 ARCS 이론과 수열 지도
                • • 1 켈러의 ARCS 이론
                  • 2 ARCS 이론을 적용한 수열 수업 계획서
                  • 3 ARCS 이론을 적용한 수업 지도안
                  • 4 조사지 분석
                  • • Ⅵ 결론
                    • 참고문헌

목 의 선택 가능성 부여

필요나

동기와의

부합성 강조의

략

다양한 수 의 목 제시

학업성취 여부의 기록체제 활용

비경쟁 학습상황의 선택가능

동 상호 학습상황 제시

자신감

수립을

한 략

학습의

필요조건

제시의 략

수업의 목표와 구조의 제시

평가기 피드백의 제시

선수학습 능력의 단

시험의 조건 확인

성공의 기회

제시의 략

쉬운 것에서 어려운 것으로 과제 제시

정수 의 난이도 유지

다양한 수 의 시작 제공

무작 의 다양한 사건 제시

다양한 수 의 난이도 제공

개인

조 감

증 의 략

학습의 끝을 조 할 수 있는 기회 제시

학습속도의 조 가능

원하는 부분에로의 재빠른 회귀 가능

선택가능하고 다양한 과제의 난이도제공

노력이나 능력에 성공 귀착

만족감

증 를

한 략

자연 결과

강조의 략

연습문제를 통한 용기회 제공

후속학습상황을 통한 용기회 제공

모의상황을 통한 용기회 제공

정 결과

강조의 략

한 강화 계획의 활용

의미 있는 강화의 강조

정답을 한 보상 강조

외 보상의 사려 깊은 사용

선택 보상체제 활용

공정성

강조의 략

수업목표와 내용의 일 성 유지

연습과 시험 내용이 일치

[표8 ARCS 략] ([1])

2 ARCS 이론을 용한 수열 수업 계획서

다음은 ([1])의 ARCS 이론의 수업계획서를 참고하여 수열 단원의 수업

계획서를 작성해보았다

수업내용개 동기 략개 기타의견1 수업 기

체 으로 교사는 다양한 방법으로 학습자들

에게 수업 내용을 제시하고 학습자들에게

한 언어를 사용한다

수열의 활용에

한 학습목표

제시하기

교사는 학습자들의 련성을 높이기 해 학습

목표의 의미를 설명해 다

도표는 큰 씨를 사

용하고 핵심이 되는

단어에는 다른 색깔을

사용한다

수열의 활용의

이 과 평가

거를 제시하기

교사는 학습자들의 련성과 자신감 만족감

을 높이기 하여 이 수업이 끝난 후 그들이

무엇을 할 수 있는지에 해 알려 다

교사는 학습자들의 자신감과 만족감을 높이기

하여 성공 인 학습성취를 단할 수 있는 객

인 거들을 알려 다

교사는 학습자들의 만족감을 높이기 하여

그들이 주어진 과제를 성공 으로 해결했을 때

그에 따르는 내재 강화나 외재 보상이 있음

을 알려 다

수열의 정의와

해법에 한 지

식을 간략하게

확인하기

교사는 선수학습과의 련성을 유발하기 하

여 간략한 보조도구(인쇄매체)를 사용하여 수열

의 정의와 해법을 제시한다

교사는 소집단 토론을 실시하여 학습자들의

선수지식을 스스로 검해 보도록 한다

교사는 수열의 정의와 해법을 잘 모르는 학습

자들에게 자신감을 유발시키기 하여 개별 인

학습목표를 세우도록 한다

소집단 구성에 있어

서 주의집 이 매우

낮은 5명을 하나의 소

집단으로 구성하고

친근한 소재를 활용하

여 그들의 주의집 과

련성을 유발한다

실생활과 련

된 수열의 활용

문제들을 몇 가

지 소개하기

교사는 학습자들의 주의집 을 유지하기 해

실생활에서 연립방정식을 활용하여 해결할 수

있는 몇 가지 문제들을 제시한다

주의집 이 매우 낮은 5명의 학습자들이 수업

에 극 인 심을 보이지 않으면 교사는 그

들에게 친근한 목소리로 이름을 부르면서 수업

에 집 하라고 얘기 하고 개인 인 심을 갖

고 있음을 나타낸다

로써 활용되는 문

제들을 선택할 때 학

습자들이 알고 있거

나 그들에게 친근감

을 주는 소재가 포함

되도록 선택한다 이

때 지나치게 자심감

이 높아서 수업에 소

극 으로 참여하는 3

명의 학습자들에게는

다소 복잡한 수열의

활용 문제를 미리 제

공하여 생각할 기회를

다

수열의 활용에

한 학습자들의

이해정도를 악

하고 피드백을

제공하기

교사는 학습자들에게 자신감을 높이기 하여

소집단을 구성하여 학습자들이 수열의 활용에

해 어느 정도 이해하고 있는지를 서로 토론하

도록 한다

교사는 소집단별로 둘러보면서 자신감과 만족

감을 유발시키기 하여 학습자들간에 서로 도

움을 주도록 분 기를 형성한다

소집단별로 간략하게 토론이 끝나면 학습자

들 스스로 정리하도록 한다

토론결과 학습자들이 수열의 활용에 해 잘

못 이해하고 있다면 교사는 즉각 으로 교정

피드백을 제공한다

학습자들의 소집단

토론시간을 무 길게

소요하지 않도록 한

다 자칫하면 토론분

기가 산만해지기 쉽

고 토론이 활발하지

못한 경우에는 학습자

들의 학습의욕이 떨어

진다

2 수업 반 체 으로 교사는 다양한 방법으로 학습자

들에게 수업 내용을

제시하고 학습자들에게 개별 인 언어를 사용

한다

실생활과 련

된 수열의 활용

의 문제들을 구

체 으로 제시하

기

교사는 학습자들의 주의집 련성 자신감

만족감을 유지하기 하여 게임을 실시한다 학

습자들이 돌아가면서 임의로 다른 학습자를 지

명하면 지명받은 학습자가 실생활과 련된 수

열의 문제를 하나 제시한다 한 문제를 제

시한 학습자에게 학습태도 수를 주어 만족감

을 향상시킨다

교사는 학습자들이 제시한 여러 가지 문제들

을 칠 에 은 후 몇몇 소집단을 구성하여

그 문제들을 해결하기 해 인스토 을 하

도록 한다 이때 교사는 문제를 해결한 학습자

가 아직 해결하지 못한 학습자들을 도와주어 자

신감과 만족감을 갖도록 한다

인스토 이 진행되는 동안 교사는 교실

을 둘러보면서 학습자들이 질문이나 의문사항

에 해 극 으로 질문할 수 있는 기회를 제

공하고 그에 해 개별 인 언어를 사용하여

부드러운 목소리로 피드백을 제공한다

인스토 도 학습자들의 개인 인 능

력차가 커서 문제를 해결하는데 어려움을 겪는

학습자들에게는 그들에게 합한 개별 인 학습

이때 교사는 밝고

생동감이 넘치는 목소

리로 학습자들의 활동

을 진시킨다

교사는 학습자들이

한 자신감을 유지

하고 있는지에 해

지속 인 심을 갖고

지켜본다

이때 교사는 학습자

들의 자신감과 만족감

을 높이기 하여 그

들에게 일 성 있는

피드백을 제공한다

교사는 학습자들이

목표를 다시 선정하도록 하여 자신감을 향상시

킨다

인스토 이 끝나면 교사는 소집단 별로

한 사람씩 자발 으로 나와 문제를 풀고 풀이

과정을 체 학습자들에게 설명하도록 한다 이

때 어려운 문제를 해결한 소집단이나 학습자에

게 교사는 그들의 우수한 능력을 인정하고 내

재 인 자존심에 정 인 향을 주는 칭찬을

제공하여 자신감과 만족감을 높인다

소집단의 인스토

을 하는 동안 체

으로 문제풀이를 할

때 주의집 을 유지

하고 자신감과 만족

감의 향상을 악하기

해 끊임없이 그들과

시선을 교류하고 얼

굴표정을 찰한다

3 수업마무리 체 으로 교사는 다양한 방법으로 학습자

들에게 수업 내용을 제시하고 학습자들에게 개

별 인 언어를 사용한다

실생활과 련

된 수열의 활용

에 해 체

으로 정리 요

약하기

교사는 교탁을 탁탁 치거나 박수를 쳐서 다

소 떨어진 학습자들의 주의집 을 향상 시킨다

교사는 실생활 속에서 수열을 활용하여 해결

할 수 있는 간단하고 재미있는 문제들을 2～3개

제시하여 학습자들이 그 문제를 성공 으로 해

결함으로써 자신감과 만족감을 갖도록 한다

교사는 학습자들이 미처 생각하지 못했던 실

생활 속에서 수열과 연 된 다양한 들을 제공

하여 주의집 과 련성을 유지향상시킨다

교사는 자신감과 만족감을 향상시키기 해

학습자들에게 수업진행 에 그들이 설정한 개

인 인 학습목표에 해 얼마나 많이 달성했는

가를 스스로 검해 보라고 한다

교사는 수업 반에 수열의 문제를 잘 해결하

지 못했던 학습자들에게 그 문제를 다시 해결해

보도록 기회를 제공하여 자신감과 만족감을 높

여 다

평가에 있어서 교사는 학습자들이 그들의 성

에 해 공정하게 평가되었다고 느끼도록 일

성 있게 평가하여 그들의 자신감고 만족감을

높여 다

교사는 수열과 실생

활과의 련성에 해

학습자들이 잘 지각하

고 있는가를 알아보기

해 다소 진지한 목

소리로 질문한다

다음 학습내용

에 해 간략히

소개하기

교사는 학습자들의 흥미를 유지하기 하여

다음 학습내용에 해 호기심에 찬 목소리로 간

략하게 소개하고 수업을 끝낸다

[표9 러의 ARCS이론]

단원

단

원Ⅲ 수열

배정시간

(분)50

단

원1 등차수열과 등비수열

차시 3소단

원3) 등차수열과 등비수열의 활용

학습

목표등차수열과 등비수열을 실생활의 문제에 용할 수 있다

학습

단계학습내용

교수-학습활동 지도상의유의사

항교사활동 학생활동

도

입

15

분

인사

출석

주변을 정리 정돈

하여 수업분 기를

조성한다

인사 출석체크

를 한다

주의를 환기시킨

후 학생들과 인사

한다

출결석 여부를

확인한다

바른 자세로 주

변을 정리한 뒤

교사와 인사한다

수업 비를 한

다

교사와 학생

모두 함께 수업

분 기를 조성한

다

선수

학습

확인

지난 시간에 학습

한 등차수열과 등비

수열의 정의에 해

다시 한번 확인해본

다

지난 시간에 학습

한 등차수열과 등비

수열의 일반항을 구

하는 방법에 해 확

인학습으로 [문제1]

과 [문제2]를 풀어본

다

학생들의 자신감

을 높이기 하여

등차수열과 등비수

열의 정의를 교과

서에서 찾아본 후

큰소리로 답하게

한다

학생들이 답한

후 다시 한번 등차

수열과 등비수열에

해 간단히 설명

등차수열과 등

비수열의 정의를

교과서에 찾아본

후 큰소리로 읽는

다

교사가 등차수

열과 등비수열의

정의에 해 다시

한번 간단히 설명

할 때 부족한 부

분은 필기하며 복

습한다

교사가 정의에

해 질문할 때

학생들이 모두

책을 찾아볼수

있게 주의를

다

만일 답하

지 못하는 학생

이 있을 경우 그

여기서 인스토 (brainstorming)이라고 하는 것은 갑자기 떠오르는 멋

진 생각을 종이에 는다든가 말로 표 해 본 후 로 기록하거나 기록된

문장을 정리정돈하면서 생각을 논리화하는 방법이다 주로 어떤 계획을 세

우고자 할 때 창조 이고 기발한 아이디어가 필요할 때 학생들의 의견과

생각을 끌어내어 발 시키고자 할 때 사용하면 유리하다 ([3])

3 ARCS 이론을 용한 수업지도안

[문제1]

다음 등차수열

의 일반항과 제20항

을 구하여라

　　　　　　　

[문제2]

다음 등비수열

의 일반항과 제8항을

구하여라

　 　　　　　

한다

교사는 [문제1]

과[문제2]를 제시

한 뒤 학생들에게

직 풀어보게 한

다

등차수열과 등

비수열의 일반항

과 그 공식의 유

도과정을 기억한

다

제시된 문제를

연습장에 풀어본

다

학생에 해 개

별 인 언어를

사용하여 부드러

운 목소리로 피

드백을 제공한

다

개

30

분

학습

목표

제시

수열의 활용에

한 학습목표를 제시

한다

학습목표 학습

에 필요한 자료를

Power point 시청

각 효과를 사용하여

학생들의 주의환기

집 을 한 략

을 사용한다

학습목표를 학생

들에게 읽게 하고

학생들의 련성을

높이기 해 학습

목표의 의미를 설

명해 다

교사의 지시에

따라 큰소리로 학

습목표를 읽고 이

수업이 끝난 후

무엇을 할 수 있

는지에 해 생각

해 본다

학습목표는 큰

씨를 사용하

고 핵심이 되는

단어에는 다른

색깔을 사용한

다

탐구

학습

실생활과 련된

수열의 활용문제들을

몇 가지 소개한다

수열의 활용에

한 학습자들의 이해

정도를 악하고 피

드백을 제공한다

등차수열과 등비

수열을 이용하여

실생활의 문제를

해결할 수 있음을

학생들이 쉽게 이

해할 수 있도록 설

명한다

교사가 실생활

과 련된 수열의

활용문제들을 몇

가지 소개할 때

다른 시가 있는

지 함께 생각해

본다

문제

제시

[문제3]

한일 월드컵 축구 개

회 연도는 2002년이

다 2002년 이후 월

드컵 축구가 개최되

는 연도를 차례로 써

보고 이 규칙 로 월

드컵 축구가 개최되

면 2100년은 월드컵

축구가 개최되는 연

도인가

교과서에서 수열

단원의 수열의 활

용부분에 수록된

문제들을 풀어볼

수 있도록 시간을

다

등차수열과 등

비수열의 일반항

유도 공식을 생각

해보고 제시된 문

제를 해결해 간다

로써 활용되

는 문제를 선택

할 때 학습자들

이 알고 있거나

그들에게 친근감

을 주는 련성

증진을 한

략을 사용한다

[문제4]

컴퓨터의 주기억 장

치인 램은용

으로

용으로 가 개발

되었다 이후 램의

용 량 은

로 증가되어 왔다

의 램으로부터

번 증가된 주 메모

리는 식으로 어떻게

나타낼 수 있는가

학생들이 문제를

어렵게 느끼지 않

도록 어떤 방향으

로 해결해야 하는

지 힌트를 주어 학

생들의 자신감을

증진시킨다

소집

단

활동

5～6명으로 이 진

소집단을 구성하여

학습자들이 수열의

활용에 해 어느 정

도 이해하고 있는지

를 서로 토론하도록

한다

소집단별로 실생활

과 련된 수열의 활

용의 문제들을 구체

으로 제시한다

인 스토 이

끝나면 소집단별로

한사람씩 문제를 풀

고 풀이과정을 체

학생들에게 설명하는

시간을 갖는다

교사는 학생들의

만족감을 높이기

하여 그들이 주

어진 과제를 성공

으로 해결했을

때 그에 따르는

내재 강화나 외

재 보상이 있음

을 알려 다

어려운 문제를

해결한 소집단이나

학생에게 교사는

그들의 우수한 능

력을 인정하고 내

재 인 자존심에

정 인 향을

주는 칭찬을 제공

하여 자신감과 만

족감을 높인다

자신이 속한 소

집단 내에서 제시

된 과제에 해

열심히 토의를 하

며 문제를 해결한

학생이 아직 해결

하지 못한 학생들

을 도와주어 자신

감과 만족감을 갖

도록 한다

소집단별로 간

략하게 토론이 끝

나면 학생들 스스

로 정리해보고 자

발 으로 체 학

생들에게 설명해

보는 기회를 갖는

다

교사는 학습자

들이 한 자

신감을 유지하고

있는지에 해

지속 인 심을

갖고 지켜본다

학생들의 소집

단 토론시간을

무 길게 소요

하지 않도록 한

다

형성

평가

[문제4]

민수는 남 문의 기

와 지붕 한쪽 면이

사다리꼴 모양임을

찰하고 이 면에 있

는 기와의 개수를 알

아보고자 한다 기와

형 성 평 가 를

Power point로 제

시하고 학생들이

스스로 풀어볼 수

있도록 지도한다

학생들이 문제를

다 풀고 나면 교사

제시된 문제를

오늘 학습한 내용

을 복습하면서 풀

어보도록 한다

교사는 다소

진지한 목소리로

질문한다

의 개수를 행으로 세

었더니 용마루 쪽에

가장 가까운 행에는

40개 처마 쪽에 가

장 가까운 행에는 72

개 다 용마루부터

처마까지 행의 개수

가 17이라고 할 때

민수가 찰한 지붕

한쪽 면의 기와의 개

수는 모두 몇 개인

가

는 학생들에게

답할수 있도록 하

고 학생들이 학습

목표에 해 얼마

나 많이 달성했는

가를 스스로 검

해 보라고 한다

형성평가의 답

을 교사의 질문에

끝난 뒤 큰소리로

답하여 자신감

과 만족감을 갖도

록 한다

학생들에게 개

별 인 언어를

사용한다

정

리

5

분

학습

정리

차시

고

학습 자료를 이용

하여 수열의 실생활

의 활용 단원의 수업

내용을 확인한다

과제를 제시한다

다음 차시인 「여

러 가지 수열」 단원

에 한 고를 한

다

수업 내용을 정

리하고 과제를 제

시한다

학생들의 흥미를

유지하기 하여

다음 학습내용에

해 호기심에 찬

목소리로 간략하게

소개하고 수업을

끝낸다

오늘 학습한 내

용을 정리한다

과제를 고 과

제 해결에 한

내용을 머릿속에

형성해 본다

다음 차시에 배

울 내용을 학습

자료 화면으로 확

인해본다

수업내용에

해 학생과 교사

모두가 만족하고

있는지 확인하고

공정한 평가를

한다

[표10 수업지도안]

4 조사 문제지 분석

고등학교 수학 Ⅰ 의 수열단원의 효율 인 지도방안의 연구를 하여 원

종고등학교 2학년 학생 100명을 상으로 조사 문제지 조사를 하 다 학

생들의 수학에 한 심과 수학에서 가장 어려워하는 부분을 알아볼 수

있었고 어떤 방식의 수업을 선호하는지도 알아볼 수 있었다

⑴ 수학에 얼마나 심이 있나요

① 매우 많다 ② 많다 ③ 보통이다 ④ 다 ⑤ 매우 다

수학과목에 매우 많은 심을 보이는 학생은 2로 매우 낮은 편이며

심이 있는 학생은 43로 학생의 반정도 다 수학과목에 심이 거

나 없는 학생은 54정도로 수학은 어려운 과목이라는 인식 때문에 심

이 은 것 같다

수학을 공부하는 가장 큰 이유에는75의 학생들이 학입시를 해서라

는 문항을 선택했다 기타 이유에는 교과서에 있어서 어쩔수 없이 한다

는 학생과 진리탐구를 해서라는 학생도 있었다

[그림6 조사문제지

(1)번 막 그래 ]

⑵ 수학을 공부하는 가장 큰 이유가 뭐라고 생각하나요

① 학입시를 해서

② 평소 수학에 흥미가 있어서

③ 실제 생활에 쓰기 해서

④ 주변에서 해야한다고 하니까

⑤ 기타 이유 (이유를 간단히 어주세요)

앞에 (1)번문항에서 수학에 심이 은 학생이 반 정도인것에 반해

수학공부가 필요하다고 느낀학생이 75정도로 수학공부가 필요하단건

느끼지만 어려운 과목이라는 인식이 부분인것 같다 수학과목도 재

는 과목이란 인식을 학생들이 가질수 있도록 노력해야겠다

[그림7 조사문제지

(2)번 막 그래 ]

⑶ 수학공부의 필요성에 해 어떻게 생각하나요

① 매우 필요하다 ② 조 필요하다 ③ 보통이다

④ 필요 없다 ⑤ 필요 없다

[그림8 조사문제지

(3)번 막 그래 ]

⑷ 수학을 공부하면서 가장 어려운 부분은 무엇이나요

① 복잡한 계산 과정 ② 외워야할 많은 공식들

③ 응용문제엔 어떤 공식을 용해야할지 ④ 다 어렵다

학생들이 수학과목이 어렵다고 느끼는 이유는 응용문제에 어떤 공식을

용해야 하는지를 몰라서 라는 답이 58로 가장 많았다 그 외에도

계산과정이 복잡하거나 외워야할 공식들이 많아서라는 답도 있었다

이해 주의 수업을 하고 단순한 공식의 암기 주의 수업을 탈피해야겠

다

수학수업을 하는데 효과 인 방법에는 선생님 주의 강의식 수업과 학

생 개인별 수업이 78로 가장 많았다 개념이나 공식유도과정을 설명할

땐 서를 하며 강의식 수업을 하고 문제풀이땐 학생들 개인별로 첨삭

지도를 하는게 효율 인것 같다

⑤ 기타이유 (이유를 간단히 어주세요)

[그림9 조사문제지

(4)번 막 그래 ]

⑸ 수학 수업을 하는 데 어떤 방법이 가장 효과 이라고 생각하나요

① 선생님 주의 강의식 수업

② 학생 개인별 수업

③ 모둠별 활동 수업

④ 기타 교재나 과제를 통한 수업

⑤ 기타(이유를 간단히 어주세요)

[그림10 조사문제지

(5)번 막 그래 ]

Ⅵ 결론

본 논문에서 지 까지 고등학교 2학년 학생들이 수학 Ⅰ 교육과정을 학습하

는데 가장 어려워하는 수열에 해 살펴보았다 먼 개정 교육과정에 명시

된 수학교육의 목표와 임의로 선택된 5종 교과서에서 수열 단원의 학습목표

를 살펴보았고 수열의 역사 배경과 실생활에 응용된 들을 정리해보았

다 한 5종 교과서에서 제시되어 있는 수열의 학습내용을 소단원 별로 정

리해보았다 임의로 선택된 5종 교과서안의 수열의 학습내용을 분석해보면

서 몇 몇 교과서에서 여러 가지 수열 단원에서 군 수열과 멱 수에 한 언

이 없거나 미약함을 알 수 있었다 본 연구자가 보기에 군 수열과 멱 수

부분은 실생활에 활용될 는 극히 작아 보이지만 학생들이 꼭 학습하고 넘

어가야 수열에 한 완벽한 학습이 될 수 있을 것이라 여겼는데 교과서에서

제시된 내용들로는 학생들이 충분히 이해할 수 없을 것 같았다

그리고 교과서에 제시된 문항의 수 이 입시와 동 떨어진다는 문제 이 있

었다 교과서에 제시된 문제가 부족하고 수 이 낮다 보니 실제로 학교에서

수업 때 보충 린트 물로 수업을 진행하고 간기말고사 때에도 교과서

외에서 많은 문제를 출제하는 모습을 볼 수 있었다 때문에 학생들이 교과서

보다는 문제집 주의 공부를 할 수 밖에 없는 듯 보 다 교과서가 학생들

과 교사의 요구에 부합할 수 있도록 새로운 내용들과 문제를 싣도록 해야

할 것이다

학생들이 수열 단원의 학습을 할 때 좀 더 효과 인 학습이 될 수 있도록

리의 동기설계이론 (ARCS 이론) 을 바탕으로 하여 수업 계획서와 1차시

의 수업 지도안을 작성해 보았다 한 작성한 수업 지도안으로 부천시 소재

의 한 고등학교에서 실제 수업을 진행해 보았을 때 학생들이 좀 더 수열에

해 친숙하게 느끼고 쉽게 이해하는 모습을 볼 수 있었다 본 연구자가

직 교사가 아니라 여러 반을 상으로 수열 단원의 모든 차시 수업에 용

하여 수업을 해볼 수 없었단 이 아쉬움으로 남는다

이와 같이 학생들의 주의 련성자신감만족감 증진을 한 수업을 함

으로써 학생들의 수학 학습 성취도의 향상을 기 할 수 있을 것이다 한

개발된 자료를 실제 수업에 용하는 경우의 효율성에 한 후속 연구가 체

계 이고 지속 으로 이루어져야 할 것이다

참 고 문 헌

[1] 구평회 META 구평회 교육학 2007

[2] 교육인 자원부 고시 제2007 - 79호[별책8] 2007

[3] 박인학 교사를 한 교수학습방법론 문사 1995

[4] 변 계 교수학습 이론의 이해 학지사 1999

[5] 우정호 외 5인 고등학교 수학 Ⅰ 한교과서(주) 2002

[6] 이 연 자연의 수학 열쇠 피보나치수열 로네시스 2006

[7] 이진화 지수로그함수의 지도에 한 연구 서강 학교 교육 학원 석사 학

논문 2006

[8] 임재훈 외 10인 고등학교 수학 Ⅰ (주)두산 2002

[9] 장 숙 고등학교 수학 Ⅰ 교과서의 통계단원 분석 실생활에의 용 경희

학교 교육 학원 석사 학 논문 2006

[10] 조해식 행렬 수열 수업에서의 수학사 도입에 한 연구 울산 학교 석사

학 논문 1998

[11] 차 자 수열 학습의 흥미 유발을 한 자료 연구 경성 학교 교육 학원 석

사 학 논문 2004

[12] 최 외 5인 고등학교 수학 Ⅰ 앙교육진흥연구소 2006

[13] 최상기 외 5인 고등학교 수학 Ⅰ (주)고려출 2002

[14] 최용 신 성 고등학교 수학 Ⅰ 천재교육(주) 2002

[15] 황혜정 외 5인 수학교육학 신론 문음사 2002

• Ⅰ 서론
• • 1 연구의 필요성과 목적
  • 2 연구의 제한점
  • • Ⅱ 개정 교육과정에서 명시된 수학Ⅰ교육의 목표
    • • 1 수학Ⅰ교육의 목표
      • 2 고등학교 수학 Ⅰ 수열 단원의 학습목표
      • • Ⅲ 수열의 역사적 배경 및 응용
        • • 1 수열의 역사
          • 2 수열 단원이 실생활에 응용된 사례
          • • Ⅳ 고등학교 수학교육과정에서의 수열
            • • 1 수학Ⅰ 교과서 분석
              • 2 수학Ⅰ 교과서에서의 수열
              • • Ⅴ 켈러의 ARCS 이론과 수열 지도
                • • 1 켈러의 ARCS 이론
                  • 2 ARCS 이론을 적용한 수열 수업 계획서
                  • 3 ARCS 이론을 적용한 수업 지도안
                  • 4 조사지 분석
                  • • Ⅵ 결론
                    • 참고문헌

수업내용개 동기 략개 기타의견1 수업 기

체 으로 교사는 다양한 방법으로 학습자들

에게 수업 내용을 제시하고 학습자들에게

한 언어를 사용한다

수열의 활용에

한 학습목표

제시하기

교사는 학습자들의 련성을 높이기 해 학습

목표의 의미를 설명해 다

도표는 큰 씨를 사

용하고 핵심이 되는

단어에는 다른 색깔을

사용한다

수열의 활용의

이 과 평가

거를 제시하기

교사는 학습자들의 련성과 자신감 만족감

을 높이기 하여 이 수업이 끝난 후 그들이

무엇을 할 수 있는지에 해 알려 다

교사는 학습자들의 자신감과 만족감을 높이기

하여 성공 인 학습성취를 단할 수 있는 객

인 거들을 알려 다

교사는 학습자들의 만족감을 높이기 하여

그들이 주어진 과제를 성공 으로 해결했을 때

그에 따르는 내재 강화나 외재 보상이 있음

을 알려 다

수열의 정의와

해법에 한 지

식을 간략하게

확인하기

교사는 선수학습과의 련성을 유발하기 하

여 간략한 보조도구(인쇄매체)를 사용하여 수열

의 정의와 해법을 제시한다

교사는 소집단 토론을 실시하여 학습자들의

선수지식을 스스로 검해 보도록 한다

교사는 수열의 정의와 해법을 잘 모르는 학습

자들에게 자신감을 유발시키기 하여 개별 인

학습목표를 세우도록 한다

소집단 구성에 있어

서 주의집 이 매우

낮은 5명을 하나의 소

집단으로 구성하고

친근한 소재를 활용하

여 그들의 주의집 과

련성을 유발한다

실생활과 련

된 수열의 활용

문제들을 몇 가

지 소개하기

교사는 학습자들의 주의집 을 유지하기 해

실생활에서 연립방정식을 활용하여 해결할 수

있는 몇 가지 문제들을 제시한다

주의집 이 매우 낮은 5명의 학습자들이 수업

에 극 인 심을 보이지 않으면 교사는 그

들에게 친근한 목소리로 이름을 부르면서 수업

에 집 하라고 얘기 하고 개인 인 심을 갖

고 있음을 나타낸다

로써 활용되는 문

제들을 선택할 때 학

습자들이 알고 있거

나 그들에게 친근감

을 주는 소재가 포함

되도록 선택한다 이

때 지나치게 자심감

이 높아서 수업에 소

극 으로 참여하는 3

명의 학습자들에게는

다소 복잡한 수열의

활용 문제를 미리 제

공하여 생각할 기회를

다

수열의 활용에

한 학습자들의

이해정도를 악

하고 피드백을

제공하기

교사는 학습자들에게 자신감을 높이기 하여

소집단을 구성하여 학습자들이 수열의 활용에

해 어느 정도 이해하고 있는지를 서로 토론하

도록 한다

교사는 소집단별로 둘러보면서 자신감과 만족

감을 유발시키기 하여 학습자들간에 서로 도

움을 주도록 분 기를 형성한다

소집단별로 간략하게 토론이 끝나면 학습자

들 스스로 정리하도록 한다

토론결과 학습자들이 수열의 활용에 해 잘

못 이해하고 있다면 교사는 즉각 으로 교정

피드백을 제공한다

학습자들의 소집단

토론시간을 무 길게

소요하지 않도록 한

다 자칫하면 토론분

기가 산만해지기 쉽

고 토론이 활발하지

못한 경우에는 학습자

들의 학습의욕이 떨어

진다

2 수업 반 체 으로 교사는 다양한 방법으로 학습자

들에게 수업 내용을

제시하고 학습자들에게 개별 인 언어를 사용

한다

실생활과 련

된 수열의 활용

의 문제들을 구

체 으로 제시하

기

교사는 학습자들의 주의집 련성 자신감

만족감을 유지하기 하여 게임을 실시한다 학

습자들이 돌아가면서 임의로 다른 학습자를 지

명하면 지명받은 학습자가 실생활과 련된 수

열의 문제를 하나 제시한다 한 문제를 제

시한 학습자에게 학습태도 수를 주어 만족감

을 향상시킨다

교사는 학습자들이 제시한 여러 가지 문제들

을 칠 에 은 후 몇몇 소집단을 구성하여

그 문제들을 해결하기 해 인스토 을 하

도록 한다 이때 교사는 문제를 해결한 학습자

가 아직 해결하지 못한 학습자들을 도와주어 자

신감과 만족감을 갖도록 한다

인스토 이 진행되는 동안 교사는 교실

을 둘러보면서 학습자들이 질문이나 의문사항

에 해 극 으로 질문할 수 있는 기회를 제

공하고 그에 해 개별 인 언어를 사용하여

부드러운 목소리로 피드백을 제공한다

인스토 도 학습자들의 개인 인 능

력차가 커서 문제를 해결하는데 어려움을 겪는

학습자들에게는 그들에게 합한 개별 인 학습

이때 교사는 밝고

생동감이 넘치는 목소

리로 학습자들의 활동

을 진시킨다

교사는 학습자들이

한 자신감을 유지

하고 있는지에 해

지속 인 심을 갖고

지켜본다

이때 교사는 학습자

들의 자신감과 만족감

을 높이기 하여 그

들에게 일 성 있는

피드백을 제공한다

교사는 학습자들이

목표를 다시 선정하도록 하여 자신감을 향상시

킨다

인스토 이 끝나면 교사는 소집단 별로

한 사람씩 자발 으로 나와 문제를 풀고 풀이

과정을 체 학습자들에게 설명하도록 한다 이

때 어려운 문제를 해결한 소집단이나 학습자에

게 교사는 그들의 우수한 능력을 인정하고 내

재 인 자존심에 정 인 향을 주는 칭찬을

제공하여 자신감과 만족감을 높인다

소집단의 인스토

을 하는 동안 체

으로 문제풀이를 할

때 주의집 을 유지

하고 자신감과 만족

감의 향상을 악하기

해 끊임없이 그들과

시선을 교류하고 얼

굴표정을 찰한다

3 수업마무리 체 으로 교사는 다양한 방법으로 학습자

들에게 수업 내용을 제시하고 학습자들에게 개

별 인 언어를 사용한다

실생활과 련

된 수열의 활용

에 해 체

으로 정리 요

약하기

교사는 교탁을 탁탁 치거나 박수를 쳐서 다

소 떨어진 학습자들의 주의집 을 향상 시킨다

교사는 실생활 속에서 수열을 활용하여 해결

할 수 있는 간단하고 재미있는 문제들을 2～3개

제시하여 학습자들이 그 문제를 성공 으로 해

결함으로써 자신감과 만족감을 갖도록 한다

교사는 학습자들이 미처 생각하지 못했던 실

생활 속에서 수열과 연 된 다양한 들을 제공

하여 주의집 과 련성을 유지향상시킨다

교사는 자신감과 만족감을 향상시키기 해

학습자들에게 수업진행 에 그들이 설정한 개

인 인 학습목표에 해 얼마나 많이 달성했는

가를 스스로 검해 보라고 한다

교사는 수업 반에 수열의 문제를 잘 해결하

지 못했던 학습자들에게 그 문제를 다시 해결해

보도록 기회를 제공하여 자신감과 만족감을 높

여 다

평가에 있어서 교사는 학습자들이 그들의 성

에 해 공정하게 평가되었다고 느끼도록 일

성 있게 평가하여 그들의 자신감고 만족감을

높여 다

교사는 수열과 실생

활과의 련성에 해

학습자들이 잘 지각하

고 있는가를 알아보기

해 다소 진지한 목

소리로 질문한다

다음 학습내용

에 해 간략히

소개하기

교사는 학습자들의 흥미를 유지하기 하여

다음 학습내용에 해 호기심에 찬 목소리로 간

략하게 소개하고 수업을 끝낸다

[표9 러의 ARCS이론]

단원

단

원Ⅲ 수열

배정시간

(분)50

단

원1 등차수열과 등비수열

차시 3소단

원3) 등차수열과 등비수열의 활용

학습

목표등차수열과 등비수열을 실생활의 문제에 용할 수 있다

학습

단계학습내용

교수-학습활동 지도상의유의사

항교사활동 학생활동

도

입

15

분

인사

출석

주변을 정리 정돈

하여 수업분 기를

조성한다

인사 출석체크

를 한다

주의를 환기시킨

후 학생들과 인사

한다

출결석 여부를

확인한다

바른 자세로 주

변을 정리한 뒤

교사와 인사한다

수업 비를 한

다

교사와 학생

모두 함께 수업

분 기를 조성한

다

선수

학습

확인

지난 시간에 학습

한 등차수열과 등비

수열의 정의에 해

다시 한번 확인해본

다

지난 시간에 학습

한 등차수열과 등비

수열의 일반항을 구

하는 방법에 해 확

인학습으로 [문제1]

과 [문제2]를 풀어본

다

학생들의 자신감

을 높이기 하여

등차수열과 등비수

열의 정의를 교과

서에서 찾아본 후

큰소리로 답하게

한다

학생들이 답한

후 다시 한번 등차

수열과 등비수열에

해 간단히 설명

등차수열과 등

비수열의 정의를

교과서에 찾아본

후 큰소리로 읽는

다

교사가 등차수

열과 등비수열의

정의에 해 다시

한번 간단히 설명

할 때 부족한 부

분은 필기하며 복

습한다

교사가 정의에

해 질문할 때

학생들이 모두

책을 찾아볼수

있게 주의를

다

만일 답하

지 못하는 학생

이 있을 경우 그

여기서 인스토 (brainstorming)이라고 하는 것은 갑자기 떠오르는 멋

진 생각을 종이에 는다든가 말로 표 해 본 후 로 기록하거나 기록된

문장을 정리정돈하면서 생각을 논리화하는 방법이다 주로 어떤 계획을 세

우고자 할 때 창조 이고 기발한 아이디어가 필요할 때 학생들의 의견과

생각을 끌어내어 발 시키고자 할 때 사용하면 유리하다 ([3])

3 ARCS 이론을 용한 수업지도안

[문제1]

다음 등차수열

의 일반항과 제20항

을 구하여라

　　　　　　　

[문제2]

다음 등비수열

의 일반항과 제8항을

구하여라

　 　　　　　

한다

교사는 [문제1]

과[문제2]를 제시

한 뒤 학생들에게

직 풀어보게 한

다

등차수열과 등

비수열의 일반항

과 그 공식의 유

도과정을 기억한

다

제시된 문제를

연습장에 풀어본

다

학생에 해 개

별 인 언어를

사용하여 부드러

운 목소리로 피

드백을 제공한

다

개

30

분

학습

목표

제시

수열의 활용에

한 학습목표를 제시

한다

학습목표 학습

에 필요한 자료를

Power point 시청

각 효과를 사용하여

학생들의 주의환기

집 을 한 략

을 사용한다

학습목표를 학생

들에게 읽게 하고

학생들의 련성을

높이기 해 학습

목표의 의미를 설

명해 다

교사의 지시에

따라 큰소리로 학

습목표를 읽고 이

수업이 끝난 후

무엇을 할 수 있

는지에 해 생각

해 본다

학습목표는 큰

씨를 사용하

고 핵심이 되는

단어에는 다른

색깔을 사용한

다

탐구

학습

실생활과 련된

수열의 활용문제들을

몇 가지 소개한다

수열의 활용에

한 학습자들의 이해

정도를 악하고 피

드백을 제공한다

등차수열과 등비

수열을 이용하여

실생활의 문제를

해결할 수 있음을

학생들이 쉽게 이

해할 수 있도록 설

명한다

교사가 실생활

과 련된 수열의

활용문제들을 몇

가지 소개할 때

다른 시가 있는

지 함께 생각해

본다

문제

제시

[문제3]

한일 월드컵 축구 개

회 연도는 2002년이

다 2002년 이후 월

드컵 축구가 개최되

는 연도를 차례로 써

보고 이 규칙 로 월

드컵 축구가 개최되

면 2100년은 월드컵

축구가 개최되는 연

도인가

교과서에서 수열

단원의 수열의 활

용부분에 수록된

문제들을 풀어볼

수 있도록 시간을

다

등차수열과 등

비수열의 일반항

유도 공식을 생각

해보고 제시된 문

제를 해결해 간다

로써 활용되

는 문제를 선택

할 때 학습자들

이 알고 있거나

그들에게 친근감

을 주는 련성

증진을 한

략을 사용한다

[문제4]

컴퓨터의 주기억 장

치인 램은용

으로

용으로 가 개발

되었다 이후 램의

용 량 은

로 증가되어 왔다

의 램으로부터

번 증가된 주 메모

리는 식으로 어떻게

나타낼 수 있는가

학생들이 문제를

어렵게 느끼지 않

도록 어떤 방향으

로 해결해야 하는

지 힌트를 주어 학

생들의 자신감을

증진시킨다

소집

단

활동

5～6명으로 이 진

소집단을 구성하여

학습자들이 수열의

활용에 해 어느 정

도 이해하고 있는지

를 서로 토론하도록

한다

소집단별로 실생활

과 련된 수열의 활

용의 문제들을 구체

으로 제시한다

인 스토 이

끝나면 소집단별로

한사람씩 문제를 풀

고 풀이과정을 체

학생들에게 설명하는

시간을 갖는다

교사는 학생들의

만족감을 높이기

하여 그들이 주

어진 과제를 성공

으로 해결했을

때 그에 따르는

내재 강화나 외

재 보상이 있음

을 알려 다

어려운 문제를

해결한 소집단이나

학생에게 교사는

그들의 우수한 능

력을 인정하고 내

재 인 자존심에

정 인 향을

주는 칭찬을 제공

하여 자신감과 만

족감을 높인다

자신이 속한 소

집단 내에서 제시

된 과제에 해

열심히 토의를 하

며 문제를 해결한

학생이 아직 해결

하지 못한 학생들

을 도와주어 자신

감과 만족감을 갖

도록 한다

소집단별로 간

략하게 토론이 끝

나면 학생들 스스

로 정리해보고 자

발 으로 체 학

생들에게 설명해

보는 기회를 갖는

다

교사는 학습자

들이 한 자

신감을 유지하고

있는지에 해

지속 인 심을

갖고 지켜본다

학생들의 소집

단 토론시간을

무 길게 소요

하지 않도록 한

다

형성

평가

[문제4]

민수는 남 문의 기

와 지붕 한쪽 면이

사다리꼴 모양임을

찰하고 이 면에 있

는 기와의 개수를 알

아보고자 한다 기와

형 성 평 가 를

Power point로 제

시하고 학생들이

스스로 풀어볼 수

있도록 지도한다

학생들이 문제를

다 풀고 나면 교사

제시된 문제를

오늘 학습한 내용

을 복습하면서 풀

어보도록 한다

교사는 다소

진지한 목소리로

질문한다

의 개수를 행으로 세

었더니 용마루 쪽에

가장 가까운 행에는

40개 처마 쪽에 가

장 가까운 행에는 72

개 다 용마루부터

처마까지 행의 개수

가 17이라고 할 때

민수가 찰한 지붕

한쪽 면의 기와의 개

수는 모두 몇 개인

가

는 학생들에게

답할수 있도록 하

고 학생들이 학습

목표에 해 얼마

나 많이 달성했는

가를 스스로 검

해 보라고 한다

형성평가의 답

을 교사의 질문에

끝난 뒤 큰소리로

답하여 자신감

과 만족감을 갖도

록 한다

학생들에게 개

별 인 언어를

사용한다

정

리

5

분

학습

정리

차시

고

학습 자료를 이용

하여 수열의 실생활

의 활용 단원의 수업

내용을 확인한다

과제를 제시한다

다음 차시인 「여

러 가지 수열」 단원

에 한 고를 한

다

수업 내용을 정

리하고 과제를 제

시한다

학생들의 흥미를

유지하기 하여

다음 학습내용에

해 호기심에 찬

목소리로 간략하게

소개하고 수업을

끝낸다

오늘 학습한 내

용을 정리한다

과제를 고 과

제 해결에 한

내용을 머릿속에

형성해 본다

다음 차시에 배

울 내용을 학습

자료 화면으로 확

인해본다

수업내용에

해 학생과 교사

모두가 만족하고

있는지 확인하고

공정한 평가를

한다

[표10 수업지도안]

4 조사 문제지 분석

고등학교 수학 Ⅰ 의 수열단원의 효율 인 지도방안의 연구를 하여 원

종고등학교 2학년 학생 100명을 상으로 조사 문제지 조사를 하 다 학

생들의 수학에 한 심과 수학에서 가장 어려워하는 부분을 알아볼 수

있었고 어떤 방식의 수업을 선호하는지도 알아볼 수 있었다

⑴ 수학에 얼마나 심이 있나요

① 매우 많다 ② 많다 ③ 보통이다 ④ 다 ⑤ 매우 다

수학과목에 매우 많은 심을 보이는 학생은 2로 매우 낮은 편이며

심이 있는 학생은 43로 학생의 반정도 다 수학과목에 심이 거

나 없는 학생은 54정도로 수학은 어려운 과목이라는 인식 때문에 심

이 은 것 같다

수학을 공부하는 가장 큰 이유에는75의 학생들이 학입시를 해서라

는 문항을 선택했다 기타 이유에는 교과서에 있어서 어쩔수 없이 한다

는 학생과 진리탐구를 해서라는 학생도 있었다

[그림6 조사문제지

(1)번 막 그래 ]

⑵ 수학을 공부하는 가장 큰 이유가 뭐라고 생각하나요

① 학입시를 해서

② 평소 수학에 흥미가 있어서

③ 실제 생활에 쓰기 해서

④ 주변에서 해야한다고 하니까

⑤ 기타 이유 (이유를 간단히 어주세요)

앞에 (1)번문항에서 수학에 심이 은 학생이 반 정도인것에 반해

수학공부가 필요하다고 느낀학생이 75정도로 수학공부가 필요하단건

느끼지만 어려운 과목이라는 인식이 부분인것 같다 수학과목도 재

는 과목이란 인식을 학생들이 가질수 있도록 노력해야겠다

[그림7 조사문제지

(2)번 막 그래 ]

⑶ 수학공부의 필요성에 해 어떻게 생각하나요

① 매우 필요하다 ② 조 필요하다 ③ 보통이다

④ 필요 없다 ⑤ 필요 없다

[그림8 조사문제지

(3)번 막 그래 ]

⑷ 수학을 공부하면서 가장 어려운 부분은 무엇이나요

① 복잡한 계산 과정 ② 외워야할 많은 공식들

③ 응용문제엔 어떤 공식을 용해야할지 ④ 다 어렵다

학생들이 수학과목이 어렵다고 느끼는 이유는 응용문제에 어떤 공식을

용해야 하는지를 몰라서 라는 답이 58로 가장 많았다 그 외에도

계산과정이 복잡하거나 외워야할 공식들이 많아서라는 답도 있었다

이해 주의 수업을 하고 단순한 공식의 암기 주의 수업을 탈피해야겠

다

수학수업을 하는데 효과 인 방법에는 선생님 주의 강의식 수업과 학

생 개인별 수업이 78로 가장 많았다 개념이나 공식유도과정을 설명할

땐 서를 하며 강의식 수업을 하고 문제풀이땐 학생들 개인별로 첨삭

지도를 하는게 효율 인것 같다

⑤ 기타이유 (이유를 간단히 어주세요)

[그림9 조사문제지

(4)번 막 그래 ]

⑸ 수학 수업을 하는 데 어떤 방법이 가장 효과 이라고 생각하나요

① 선생님 주의 강의식 수업

② 학생 개인별 수업

③ 모둠별 활동 수업

④ 기타 교재나 과제를 통한 수업

⑤ 기타(이유를 간단히 어주세요)

[그림10 조사문제지

(5)번 막 그래 ]

Ⅵ 결론

본 논문에서 지 까지 고등학교 2학년 학생들이 수학 Ⅰ 교육과정을 학습하

는데 가장 어려워하는 수열에 해 살펴보았다 먼 개정 교육과정에 명시

된 수학교육의 목표와 임의로 선택된 5종 교과서에서 수열 단원의 학습목표

를 살펴보았고 수열의 역사 배경과 실생활에 응용된 들을 정리해보았

다 한 5종 교과서에서 제시되어 있는 수열의 학습내용을 소단원 별로 정

리해보았다 임의로 선택된 5종 교과서안의 수열의 학습내용을 분석해보면

서 몇 몇 교과서에서 여러 가지 수열 단원에서 군 수열과 멱 수에 한 언

이 없거나 미약함을 알 수 있었다 본 연구자가 보기에 군 수열과 멱 수

부분은 실생활에 활용될 는 극히 작아 보이지만 학생들이 꼭 학습하고 넘

어가야 수열에 한 완벽한 학습이 될 수 있을 것이라 여겼는데 교과서에서

제시된 내용들로는 학생들이 충분히 이해할 수 없을 것 같았다

그리고 교과서에 제시된 문항의 수 이 입시와 동 떨어진다는 문제 이 있

었다 교과서에 제시된 문제가 부족하고 수 이 낮다 보니 실제로 학교에서

수업 때 보충 린트 물로 수업을 진행하고 간기말고사 때에도 교과서

외에서 많은 문제를 출제하는 모습을 볼 수 있었다 때문에 학생들이 교과서

보다는 문제집 주의 공부를 할 수 밖에 없는 듯 보 다 교과서가 학생들

과 교사의 요구에 부합할 수 있도록 새로운 내용들과 문제를 싣도록 해야

할 것이다

학생들이 수열 단원의 학습을 할 때 좀 더 효과 인 학습이 될 수 있도록

리의 동기설계이론 (ARCS 이론) 을 바탕으로 하여 수업 계획서와 1차시

의 수업 지도안을 작성해 보았다 한 작성한 수업 지도안으로 부천시 소재

의 한 고등학교에서 실제 수업을 진행해 보았을 때 학생들이 좀 더 수열에

해 친숙하게 느끼고 쉽게 이해하는 모습을 볼 수 있었다 본 연구자가

직 교사가 아니라 여러 반을 상으로 수열 단원의 모든 차시 수업에 용

하여 수업을 해볼 수 없었단 이 아쉬움으로 남는다

이와 같이 학생들의 주의 련성자신감만족감 증진을 한 수업을 함

으로써 학생들의 수학 학습 성취도의 향상을 기 할 수 있을 것이다 한

개발된 자료를 실제 수업에 용하는 경우의 효율성에 한 후속 연구가 체

계 이고 지속 으로 이루어져야 할 것이다

참 고 문 헌

[1] 구평회 META 구평회 교육학 2007

[2] 교육인 자원부 고시 제2007 - 79호[별책8] 2007

[3] 박인학 교사를 한 교수학습방법론 문사 1995

[4] 변 계 교수학습 이론의 이해 학지사 1999

[5] 우정호 외 5인 고등학교 수학 Ⅰ 한교과서(주) 2002

[6] 이 연 자연의 수학 열쇠 피보나치수열 로네시스 2006

[7] 이진화 지수로그함수의 지도에 한 연구 서강 학교 교육 학원 석사 학

논문 2006

[8] 임재훈 외 10인 고등학교 수학 Ⅰ (주)두산 2002

[9] 장 숙 고등학교 수학 Ⅰ 교과서의 통계단원 분석 실생활에의 용 경희

학교 교육 학원 석사 학 논문 2006

[10] 조해식 행렬 수열 수업에서의 수학사 도입에 한 연구 울산 학교 석사

학 논문 1998

[11] 차 자 수열 학습의 흥미 유발을 한 자료 연구 경성 학교 교육 학원 석

사 학 논문 2004

[12] 최 외 5인 고등학교 수학 Ⅰ 앙교육진흥연구소 2006

[13] 최상기 외 5인 고등학교 수학 Ⅰ (주)고려출 2002

[14] 최용 신 성 고등학교 수학 Ⅰ 천재교육(주) 2002

[15] 황혜정 외 5인 수학교육학 신론 문음사 2002

• Ⅰ 서론
• • 1 연구의 필요성과 목적
  • 2 연구의 제한점
  • • Ⅱ 개정 교육과정에서 명시된 수학Ⅰ교육의 목표
    • • 1 수학Ⅰ교육의 목표
      • 2 고등학교 수학 Ⅰ 수열 단원의 학습목표
      • • Ⅲ 수열의 역사적 배경 및 응용
        • • 1 수열의 역사
          • 2 수열 단원이 실생활에 응용된 사례
          • • Ⅳ 고등학교 수학교육과정에서의 수열
            • • 1 수학Ⅰ 교과서 분석
              • 2 수학Ⅰ 교과서에서의 수열
              • • Ⅴ 켈러의 ARCS 이론과 수열 지도
                • • 1 켈러의 ARCS 이론
                  • 2 ARCS 이론을 적용한 수열 수업 계획서
                  • 3 ARCS 이론을 적용한 수업 지도안
                  • 4 조사지 분석
                  • • Ⅵ 결론
                    • 참고문헌

공하여 생각할 기회를

다

수열의 활용에

한 학습자들의

이해정도를 악

하고 피드백을

제공하기

교사는 학습자들에게 자신감을 높이기 하여

소집단을 구성하여 학습자들이 수열의 활용에

해 어느 정도 이해하고 있는지를 서로 토론하

도록 한다

교사는 소집단별로 둘러보면서 자신감과 만족

감을 유발시키기 하여 학습자들간에 서로 도

움을 주도록 분 기를 형성한다

소집단별로 간략하게 토론이 끝나면 학습자

들 스스로 정리하도록 한다

토론결과 학습자들이 수열의 활용에 해 잘

못 이해하고 있다면 교사는 즉각 으로 교정

피드백을 제공한다

학습자들의 소집단

토론시간을 무 길게

소요하지 않도록 한

다 자칫하면 토론분

기가 산만해지기 쉽

고 토론이 활발하지

못한 경우에는 학습자

들의 학습의욕이 떨어

진다

2 수업 반 체 으로 교사는 다양한 방법으로 학습자

들에게 수업 내용을

제시하고 학습자들에게 개별 인 언어를 사용

한다

실생활과 련

된 수열의 활용

의 문제들을 구

체 으로 제시하

기

교사는 학습자들의 주의집 련성 자신감

만족감을 유지하기 하여 게임을 실시한다 학

습자들이 돌아가면서 임의로 다른 학습자를 지

명하면 지명받은 학습자가 실생활과 련된 수

열의 문제를 하나 제시한다 한 문제를 제

시한 학습자에게 학습태도 수를 주어 만족감

을 향상시킨다

교사는 학습자들이 제시한 여러 가지 문제들

을 칠 에 은 후 몇몇 소집단을 구성하여

그 문제들을 해결하기 해 인스토 을 하

도록 한다 이때 교사는 문제를 해결한 학습자

가 아직 해결하지 못한 학습자들을 도와주어 자

신감과 만족감을 갖도록 한다

인스토 이 진행되는 동안 교사는 교실

을 둘러보면서 학습자들이 질문이나 의문사항

에 해 극 으로 질문할 수 있는 기회를 제

공하고 그에 해 개별 인 언어를 사용하여

부드러운 목소리로 피드백을 제공한다

인스토 도 학습자들의 개인 인 능

력차가 커서 문제를 해결하는데 어려움을 겪는

학습자들에게는 그들에게 합한 개별 인 학습

이때 교사는 밝고

생동감이 넘치는 목소

리로 학습자들의 활동

을 진시킨다

교사는 학습자들이

한 자신감을 유지

하고 있는지에 해

지속 인 심을 갖고

지켜본다

이때 교사는 학습자

들의 자신감과 만족감

을 높이기 하여 그

들에게 일 성 있는

피드백을 제공한다

교사는 학습자들이

목표를 다시 선정하도록 하여 자신감을 향상시

킨다

인스토 이 끝나면 교사는 소집단 별로

한 사람씩 자발 으로 나와 문제를 풀고 풀이

과정을 체 학습자들에게 설명하도록 한다 이

때 어려운 문제를 해결한 소집단이나 학습자에

게 교사는 그들의 우수한 능력을 인정하고 내

재 인 자존심에 정 인 향을 주는 칭찬을

제공하여 자신감과 만족감을 높인다

소집단의 인스토

을 하는 동안 체

으로 문제풀이를 할

때 주의집 을 유지

하고 자신감과 만족

감의 향상을 악하기

해 끊임없이 그들과

시선을 교류하고 얼

굴표정을 찰한다

3 수업마무리 체 으로 교사는 다양한 방법으로 학습자

들에게 수업 내용을 제시하고 학습자들에게 개

별 인 언어를 사용한다

실생활과 련

된 수열의 활용

에 해 체

으로 정리 요

약하기

교사는 교탁을 탁탁 치거나 박수를 쳐서 다

소 떨어진 학습자들의 주의집 을 향상 시킨다

교사는 실생활 속에서 수열을 활용하여 해결

할 수 있는 간단하고 재미있는 문제들을 2～3개

제시하여 학습자들이 그 문제를 성공 으로 해

결함으로써 자신감과 만족감을 갖도록 한다

교사는 학습자들이 미처 생각하지 못했던 실

생활 속에서 수열과 연 된 다양한 들을 제공

하여 주의집 과 련성을 유지향상시킨다

교사는 자신감과 만족감을 향상시키기 해

학습자들에게 수업진행 에 그들이 설정한 개

인 인 학습목표에 해 얼마나 많이 달성했는

가를 스스로 검해 보라고 한다

교사는 수업 반에 수열의 문제를 잘 해결하

지 못했던 학습자들에게 그 문제를 다시 해결해

보도록 기회를 제공하여 자신감과 만족감을 높

여 다

평가에 있어서 교사는 학습자들이 그들의 성

에 해 공정하게 평가되었다고 느끼도록 일

성 있게 평가하여 그들의 자신감고 만족감을

높여 다

교사는 수열과 실생

활과의 련성에 해

학습자들이 잘 지각하

고 있는가를 알아보기

해 다소 진지한 목

소리로 질문한다

다음 학습내용

에 해 간략히

소개하기

교사는 학습자들의 흥미를 유지하기 하여

다음 학습내용에 해 호기심에 찬 목소리로 간

략하게 소개하고 수업을 끝낸다

[표9 러의 ARCS이론]

단원

단

원Ⅲ 수열

배정시간

(분)50

단

원1 등차수열과 등비수열

차시 3소단

원3) 등차수열과 등비수열의 활용

학습

목표등차수열과 등비수열을 실생활의 문제에 용할 수 있다

학습

단계학습내용

교수-학습활동 지도상의유의사

항교사활동 학생활동

도

입

15

분

인사

출석

주변을 정리 정돈

하여 수업분 기를

조성한다

인사 출석체크

를 한다

주의를 환기시킨

후 학생들과 인사

한다

출결석 여부를

확인한다

바른 자세로 주

변을 정리한 뒤

교사와 인사한다

수업 비를 한

다

교사와 학생

모두 함께 수업

분 기를 조성한

다

선수

학습

확인

지난 시간에 학습

한 등차수열과 등비

수열의 정의에 해

다시 한번 확인해본

다

지난 시간에 학습

한 등차수열과 등비

수열의 일반항을 구

하는 방법에 해 확

인학습으로 [문제1]

과 [문제2]를 풀어본

다

학생들의 자신감

을 높이기 하여

등차수열과 등비수

열의 정의를 교과

서에서 찾아본 후

큰소리로 답하게

한다

학생들이 답한

후 다시 한번 등차

수열과 등비수열에

해 간단히 설명

등차수열과 등

비수열의 정의를

교과서에 찾아본

후 큰소리로 읽는

다

교사가 등차수

열과 등비수열의

정의에 해 다시

한번 간단히 설명

할 때 부족한 부

분은 필기하며 복

습한다

교사가 정의에

해 질문할 때

학생들이 모두

책을 찾아볼수

있게 주의를

다

만일 답하

지 못하는 학생

이 있을 경우 그

여기서 인스토 (brainstorming)이라고 하는 것은 갑자기 떠오르는 멋

진 생각을 종이에 는다든가 말로 표 해 본 후 로 기록하거나 기록된

문장을 정리정돈하면서 생각을 논리화하는 방법이다 주로 어떤 계획을 세

우고자 할 때 창조 이고 기발한 아이디어가 필요할 때 학생들의 의견과

생각을 끌어내어 발 시키고자 할 때 사용하면 유리하다 ([3])

3 ARCS 이론을 용한 수업지도안

[문제1]

다음 등차수열

의 일반항과 제20항

을 구하여라

　　　　　　　

[문제2]

다음 등비수열

의 일반항과 제8항을

구하여라

　 　　　　　

한다

교사는 [문제1]

과[문제2]를 제시

한 뒤 학생들에게

직 풀어보게 한

다

등차수열과 등

비수열의 일반항

과 그 공식의 유

도과정을 기억한

다

제시된 문제를

연습장에 풀어본

다

학생에 해 개

별 인 언어를

사용하여 부드러

운 목소리로 피

드백을 제공한

다

개

30

분

학습

목표

제시

수열의 활용에

한 학습목표를 제시

한다

학습목표 학습

에 필요한 자료를

Power point 시청

각 효과를 사용하여

학생들의 주의환기

집 을 한 략

을 사용한다

학습목표를 학생

들에게 읽게 하고

학생들의 련성을

높이기 해 학습

목표의 의미를 설

명해 다

교사의 지시에

따라 큰소리로 학

습목표를 읽고 이

수업이 끝난 후

무엇을 할 수 있

는지에 해 생각

해 본다

학습목표는 큰

씨를 사용하

고 핵심이 되는

단어에는 다른

색깔을 사용한

다

탐구

학습

실생활과 련된

수열의 활용문제들을

몇 가지 소개한다

수열의 활용에

한 학습자들의 이해

정도를 악하고 피

드백을 제공한다

등차수열과 등비

수열을 이용하여

실생활의 문제를

해결할 수 있음을

학생들이 쉽게 이

해할 수 있도록 설

명한다

교사가 실생활

과 련된 수열의

활용문제들을 몇

가지 소개할 때

다른 시가 있는

지 함께 생각해

본다

문제

제시

[문제3]

한일 월드컵 축구 개

회 연도는 2002년이

다 2002년 이후 월

드컵 축구가 개최되

는 연도를 차례로 써

보고 이 규칙 로 월

드컵 축구가 개최되

면 2100년은 월드컵

축구가 개최되는 연

도인가

교과서에서 수열

단원의 수열의 활

용부분에 수록된

문제들을 풀어볼

수 있도록 시간을

다

등차수열과 등

비수열의 일반항

유도 공식을 생각

해보고 제시된 문

제를 해결해 간다

로써 활용되

는 문제를 선택

할 때 학습자들

이 알고 있거나

그들에게 친근감

을 주는 련성

증진을 한

략을 사용한다

[문제4]

컴퓨터의 주기억 장

치인 램은용

으로

용으로 가 개발

되었다 이후 램의

용 량 은

로 증가되어 왔다

의 램으로부터

번 증가된 주 메모

리는 식으로 어떻게

나타낼 수 있는가

학생들이 문제를

어렵게 느끼지 않

도록 어떤 방향으

로 해결해야 하는

지 힌트를 주어 학

생들의 자신감을

증진시킨다

소집

단

활동

5～6명으로 이 진

소집단을 구성하여

학습자들이 수열의

활용에 해 어느 정

도 이해하고 있는지

를 서로 토론하도록

한다

소집단별로 실생활

과 련된 수열의 활

용의 문제들을 구체

으로 제시한다

인 스토 이

끝나면 소집단별로

한사람씩 문제를 풀

고 풀이과정을 체

학생들에게 설명하는

시간을 갖는다

교사는 학생들의

만족감을 높이기

하여 그들이 주

어진 과제를 성공

으로 해결했을

때 그에 따르는

내재 강화나 외

재 보상이 있음

을 알려 다

어려운 문제를

해결한 소집단이나

학생에게 교사는

그들의 우수한 능

력을 인정하고 내

재 인 자존심에

정 인 향을

주는 칭찬을 제공

하여 자신감과 만

족감을 높인다

자신이 속한 소

집단 내에서 제시

된 과제에 해

열심히 토의를 하

며 문제를 해결한

학생이 아직 해결

하지 못한 학생들

을 도와주어 자신

감과 만족감을 갖

도록 한다

소집단별로 간

략하게 토론이 끝

나면 학생들 스스

로 정리해보고 자

발 으로 체 학

생들에게 설명해

보는 기회를 갖는

다

교사는 학습자

들이 한 자

신감을 유지하고

있는지에 해

지속 인 심을

갖고 지켜본다

학생들의 소집

단 토론시간을

무 길게 소요

하지 않도록 한

다

형성

평가

[문제4]

민수는 남 문의 기

와 지붕 한쪽 면이

사다리꼴 모양임을

찰하고 이 면에 있

는 기와의 개수를 알

아보고자 한다 기와

형 성 평 가 를

Power point로 제

시하고 학생들이

스스로 풀어볼 수

있도록 지도한다

학생들이 문제를

다 풀고 나면 교사

제시된 문제를

오늘 학습한 내용

을 복습하면서 풀

어보도록 한다

교사는 다소

진지한 목소리로

질문한다

의 개수를 행으로 세

었더니 용마루 쪽에

가장 가까운 행에는

40개 처마 쪽에 가

장 가까운 행에는 72

개 다 용마루부터

처마까지 행의 개수

가 17이라고 할 때

민수가 찰한 지붕

한쪽 면의 기와의 개

수는 모두 몇 개인

가

는 학생들에게

답할수 있도록 하

고 학생들이 학습

목표에 해 얼마

나 많이 달성했는

가를 스스로 검

해 보라고 한다

형성평가의 답

을 교사의 질문에

끝난 뒤 큰소리로

답하여 자신감

과 만족감을 갖도

록 한다

학생들에게 개

별 인 언어를

사용한다

정

리

5

분

학습

정리

차시

고

학습 자료를 이용

하여 수열의 실생활

의 활용 단원의 수업

내용을 확인한다

과제를 제시한다

다음 차시인 「여

러 가지 수열」 단원

에 한 고를 한

다

수업 내용을 정

리하고 과제를 제

시한다

학생들의 흥미를

유지하기 하여

다음 학습내용에

해 호기심에 찬

목소리로 간략하게

소개하고 수업을

끝낸다

오늘 학습한 내

용을 정리한다

과제를 고 과

제 해결에 한

내용을 머릿속에

형성해 본다

다음 차시에 배

울 내용을 학습

자료 화면으로 확

인해본다

수업내용에

해 학생과 교사

모두가 만족하고

있는지 확인하고

공정한 평가를

한다

[표10 수업지도안]

4 조사 문제지 분석

고등학교 수학 Ⅰ 의 수열단원의 효율 인 지도방안의 연구를 하여 원

종고등학교 2학년 학생 100명을 상으로 조사 문제지 조사를 하 다 학

생들의 수학에 한 심과 수학에서 가장 어려워하는 부분을 알아볼 수

있었고 어떤 방식의 수업을 선호하는지도 알아볼 수 있었다

⑴ 수학에 얼마나 심이 있나요

① 매우 많다 ② 많다 ③ 보통이다 ④ 다 ⑤ 매우 다

수학과목에 매우 많은 심을 보이는 학생은 2로 매우 낮은 편이며

심이 있는 학생은 43로 학생의 반정도 다 수학과목에 심이 거

나 없는 학생은 54정도로 수학은 어려운 과목이라는 인식 때문에 심

이 은 것 같다

수학을 공부하는 가장 큰 이유에는75의 학생들이 학입시를 해서라

는 문항을 선택했다 기타 이유에는 교과서에 있어서 어쩔수 없이 한다

는 학생과 진리탐구를 해서라는 학생도 있었다

[그림6 조사문제지

(1)번 막 그래 ]

⑵ 수학을 공부하는 가장 큰 이유가 뭐라고 생각하나요

① 학입시를 해서

② 평소 수학에 흥미가 있어서

③ 실제 생활에 쓰기 해서

④ 주변에서 해야한다고 하니까

⑤ 기타 이유 (이유를 간단히 어주세요)

앞에 (1)번문항에서 수학에 심이 은 학생이 반 정도인것에 반해

수학공부가 필요하다고 느낀학생이 75정도로 수학공부가 필요하단건

느끼지만 어려운 과목이라는 인식이 부분인것 같다 수학과목도 재

는 과목이란 인식을 학생들이 가질수 있도록 노력해야겠다

[그림7 조사문제지

(2)번 막 그래 ]

⑶ 수학공부의 필요성에 해 어떻게 생각하나요

① 매우 필요하다 ② 조 필요하다 ③ 보통이다

④ 필요 없다 ⑤ 필요 없다

[그림8 조사문제지

(3)번 막 그래 ]

⑷ 수학을 공부하면서 가장 어려운 부분은 무엇이나요

① 복잡한 계산 과정 ② 외워야할 많은 공식들

③ 응용문제엔 어떤 공식을 용해야할지 ④ 다 어렵다

학생들이 수학과목이 어렵다고 느끼는 이유는 응용문제에 어떤 공식을

용해야 하는지를 몰라서 라는 답이 58로 가장 많았다 그 외에도

계산과정이 복잡하거나 외워야할 공식들이 많아서라는 답도 있었다

이해 주의 수업을 하고 단순한 공식의 암기 주의 수업을 탈피해야겠

다

수학수업을 하는데 효과 인 방법에는 선생님 주의 강의식 수업과 학

생 개인별 수업이 78로 가장 많았다 개념이나 공식유도과정을 설명할

땐 서를 하며 강의식 수업을 하고 문제풀이땐 학생들 개인별로 첨삭

지도를 하는게 효율 인것 같다

⑤ 기타이유 (이유를 간단히 어주세요)

[그림9 조사문제지

(4)번 막 그래 ]

⑸ 수학 수업을 하는 데 어떤 방법이 가장 효과 이라고 생각하나요

① 선생님 주의 강의식 수업

② 학생 개인별 수업

③ 모둠별 활동 수업

④ 기타 교재나 과제를 통한 수업

⑤ 기타(이유를 간단히 어주세요)

[그림10 조사문제지

(5)번 막 그래 ]

Ⅵ 결론

본 논문에서 지 까지 고등학교 2학년 학생들이 수학 Ⅰ 교육과정을 학습하

는데 가장 어려워하는 수열에 해 살펴보았다 먼 개정 교육과정에 명시

된 수학교육의 목표와 임의로 선택된 5종 교과서에서 수열 단원의 학습목표

를 살펴보았고 수열의 역사 배경과 실생활에 응용된 들을 정리해보았

다 한 5종 교과서에서 제시되어 있는 수열의 학습내용을 소단원 별로 정

리해보았다 임의로 선택된 5종 교과서안의 수열의 학습내용을 분석해보면

서 몇 몇 교과서에서 여러 가지 수열 단원에서 군 수열과 멱 수에 한 언

이 없거나 미약함을 알 수 있었다 본 연구자가 보기에 군 수열과 멱 수

부분은 실생활에 활용될 는 극히 작아 보이지만 학생들이 꼭 학습하고 넘

어가야 수열에 한 완벽한 학습이 될 수 있을 것이라 여겼는데 교과서에서

제시된 내용들로는 학생들이 충분히 이해할 수 없을 것 같았다

그리고 교과서에 제시된 문항의 수 이 입시와 동 떨어진다는 문제 이 있

었다 교과서에 제시된 문제가 부족하고 수 이 낮다 보니 실제로 학교에서

수업 때 보충 린트 물로 수업을 진행하고 간기말고사 때에도 교과서

외에서 많은 문제를 출제하는 모습을 볼 수 있었다 때문에 학생들이 교과서

보다는 문제집 주의 공부를 할 수 밖에 없는 듯 보 다 교과서가 학생들

과 교사의 요구에 부합할 수 있도록 새로운 내용들과 문제를 싣도록 해야

할 것이다

학생들이 수열 단원의 학습을 할 때 좀 더 효과 인 학습이 될 수 있도록

리의 동기설계이론 (ARCS 이론) 을 바탕으로 하여 수업 계획서와 1차시

의 수업 지도안을 작성해 보았다 한 작성한 수업 지도안으로 부천시 소재

의 한 고등학교에서 실제 수업을 진행해 보았을 때 학생들이 좀 더 수열에

해 친숙하게 느끼고 쉽게 이해하는 모습을 볼 수 있었다 본 연구자가

직 교사가 아니라 여러 반을 상으로 수열 단원의 모든 차시 수업에 용

하여 수업을 해볼 수 없었단 이 아쉬움으로 남는다

이와 같이 학생들의 주의 련성자신감만족감 증진을 한 수업을 함

으로써 학생들의 수학 학습 성취도의 향상을 기 할 수 있을 것이다 한

개발된 자료를 실제 수업에 용하는 경우의 효율성에 한 후속 연구가 체

계 이고 지속 으로 이루어져야 할 것이다

참 고 문 헌

[1] 구평회 META 구평회 교육학 2007

[2] 교육인 자원부 고시 제2007 - 79호[별책8] 2007

[3] 박인학 교사를 한 교수학습방법론 문사 1995

[4] 변 계 교수학습 이론의 이해 학지사 1999

[5] 우정호 외 5인 고등학교 수학 Ⅰ 한교과서(주) 2002

[6] 이 연 자연의 수학 열쇠 피보나치수열 로네시스 2006

[7] 이진화 지수로그함수의 지도에 한 연구 서강 학교 교육 학원 석사 학

논문 2006

[8] 임재훈 외 10인 고등학교 수학 Ⅰ (주)두산 2002

[9] 장 숙 고등학교 수학 Ⅰ 교과서의 통계단원 분석 실생활에의 용 경희

학교 교육 학원 석사 학 논문 2006

[10] 조해식 행렬 수열 수업에서의 수학사 도입에 한 연구 울산 학교 석사

학 논문 1998

[11] 차 자 수열 학습의 흥미 유발을 한 자료 연구 경성 학교 교육 학원 석

사 학 논문 2004

[12] 최 외 5인 고등학교 수학 Ⅰ 앙교육진흥연구소 2006

[13] 최상기 외 5인 고등학교 수학 Ⅰ (주)고려출 2002

[14] 최용 신 성 고등학교 수학 Ⅰ 천재교육(주) 2002

[15] 황혜정 외 5인 수학교육학 신론 문음사 2002

• Ⅰ 서론
• • 1 연구의 필요성과 목적
  • 2 연구의 제한점
  • • Ⅱ 개정 교육과정에서 명시된 수학Ⅰ교육의 목표
    • • 1 수학Ⅰ교육의 목표
      • 2 고등학교 수학 Ⅰ 수열 단원의 학습목표
      • • Ⅲ 수열의 역사적 배경 및 응용
        • • 1 수열의 역사
          • 2 수열 단원이 실생활에 응용된 사례
          • • Ⅳ 고등학교 수학교육과정에서의 수열
            • • 1 수학Ⅰ 교과서 분석
              • 2 수학Ⅰ 교과서에서의 수열
              • • Ⅴ 켈러의 ARCS 이론과 수열 지도
                • • 1 켈러의 ARCS 이론
                  • 2 ARCS 이론을 적용한 수열 수업 계획서
                  • 3 ARCS 이론을 적용한 수업 지도안
                  • 4 조사지 분석
                  • • Ⅵ 결론
                    • 참고문헌

목표를 다시 선정하도록 하여 자신감을 향상시

킨다

인스토 이 끝나면 교사는 소집단 별로

한 사람씩 자발 으로 나와 문제를 풀고 풀이

과정을 체 학습자들에게 설명하도록 한다 이

때 어려운 문제를 해결한 소집단이나 학습자에

게 교사는 그들의 우수한 능력을 인정하고 내

재 인 자존심에 정 인 향을 주는 칭찬을

제공하여 자신감과 만족감을 높인다

소집단의 인스토

을 하는 동안 체

으로 문제풀이를 할

때 주의집 을 유지

하고 자신감과 만족

감의 향상을 악하기

해 끊임없이 그들과

시선을 교류하고 얼

굴표정을 찰한다

3 수업마무리 체 으로 교사는 다양한 방법으로 학습자

들에게 수업 내용을 제시하고 학습자들에게 개

별 인 언어를 사용한다

실생활과 련

된 수열의 활용

에 해 체

으로 정리 요

약하기

교사는 교탁을 탁탁 치거나 박수를 쳐서 다

소 떨어진 학습자들의 주의집 을 향상 시킨다

교사는 실생활 속에서 수열을 활용하여 해결

할 수 있는 간단하고 재미있는 문제들을 2～3개

제시하여 학습자들이 그 문제를 성공 으로 해

결함으로써 자신감과 만족감을 갖도록 한다

교사는 학습자들이 미처 생각하지 못했던 실

생활 속에서 수열과 연 된 다양한 들을 제공

하여 주의집 과 련성을 유지향상시킨다

교사는 자신감과 만족감을 향상시키기 해

학습자들에게 수업진행 에 그들이 설정한 개

인 인 학습목표에 해 얼마나 많이 달성했는

가를 스스로 검해 보라고 한다

교사는 수업 반에 수열의 문제를 잘 해결하

지 못했던 학습자들에게 그 문제를 다시 해결해

보도록 기회를 제공하여 자신감과 만족감을 높

여 다

평가에 있어서 교사는 학습자들이 그들의 성

에 해 공정하게 평가되었다고 느끼도록 일

성 있게 평가하여 그들의 자신감고 만족감을

높여 다

교사는 수열과 실생

활과의 련성에 해

학습자들이 잘 지각하

고 있는가를 알아보기

해 다소 진지한 목

소리로 질문한다

다음 학습내용

에 해 간략히

소개하기

교사는 학습자들의 흥미를 유지하기 하여

다음 학습내용에 해 호기심에 찬 목소리로 간

략하게 소개하고 수업을 끝낸다

[표9 러의 ARCS이론]

단원

단

원Ⅲ 수열

배정시간

(분)50

단

원1 등차수열과 등비수열

차시 3소단

원3) 등차수열과 등비수열의 활용

학습

목표등차수열과 등비수열을 실생활의 문제에 용할 수 있다

학습

단계학습내용

교수-학습활동 지도상의유의사

항교사활동 학생활동

도

입

15

분

인사

출석

주변을 정리 정돈

하여 수업분 기를

조성한다

인사 출석체크

를 한다

주의를 환기시킨

후 학생들과 인사

한다

출결석 여부를

확인한다

바른 자세로 주

변을 정리한 뒤

교사와 인사한다

수업 비를 한

다

교사와 학생

모두 함께 수업

분 기를 조성한

다

선수

학습

확인

지난 시간에 학습

한 등차수열과 등비

수열의 정의에 해

다시 한번 확인해본

다

지난 시간에 학습

한 등차수열과 등비

수열의 일반항을 구

하는 방법에 해 확

인학습으로 [문제1]

과 [문제2]를 풀어본

다

학생들의 자신감

을 높이기 하여

등차수열과 등비수

열의 정의를 교과

서에서 찾아본 후

큰소리로 답하게

한다

학생들이 답한

후 다시 한번 등차

수열과 등비수열에

해 간단히 설명

등차수열과 등

비수열의 정의를

교과서에 찾아본

후 큰소리로 읽는

다

교사가 등차수

열과 등비수열의

정의에 해 다시

한번 간단히 설명

할 때 부족한 부

분은 필기하며 복

습한다

교사가 정의에

해 질문할 때

학생들이 모두

책을 찾아볼수

있게 주의를

다

만일 답하

지 못하는 학생

이 있을 경우 그

여기서 인스토 (brainstorming)이라고 하는 것은 갑자기 떠오르는 멋

진 생각을 종이에 는다든가 말로 표 해 본 후 로 기록하거나 기록된

문장을 정리정돈하면서 생각을 논리화하는 방법이다 주로 어떤 계획을 세

우고자 할 때 창조 이고 기발한 아이디어가 필요할 때 학생들의 의견과

생각을 끌어내어 발 시키고자 할 때 사용하면 유리하다 ([3])

3 ARCS 이론을 용한 수업지도안

[문제1]

다음 등차수열

의 일반항과 제20항

을 구하여라

　　　　　　　

[문제2]

다음 등비수열

의 일반항과 제8항을

구하여라

　 　　　　　

한다

교사는 [문제1]

과[문제2]를 제시

한 뒤 학생들에게

직 풀어보게 한

다

등차수열과 등

비수열의 일반항

과 그 공식의 유

도과정을 기억한

다

제시된 문제를

연습장에 풀어본

다

학생에 해 개

별 인 언어를

사용하여 부드러

운 목소리로 피

드백을 제공한

다

개

30

분

학습

목표

제시

수열의 활용에

한 학습목표를 제시

한다

학습목표 학습

에 필요한 자료를

Power point 시청

각 효과를 사용하여

학생들의 주의환기

집 을 한 략

을 사용한다

학습목표를 학생

들에게 읽게 하고

학생들의 련성을

높이기 해 학습

목표의 의미를 설

명해 다

교사의 지시에

따라 큰소리로 학

습목표를 읽고 이

수업이 끝난 후

무엇을 할 수 있

는지에 해 생각

해 본다

학습목표는 큰

씨를 사용하

고 핵심이 되는

단어에는 다른

색깔을 사용한

다

탐구

학습

실생활과 련된

수열의 활용문제들을

몇 가지 소개한다

수열의 활용에

한 학습자들의 이해

정도를 악하고 피

드백을 제공한다

등차수열과 등비

수열을 이용하여

실생활의 문제를

해결할 수 있음을

학생들이 쉽게 이

해할 수 있도록 설

명한다

교사가 실생활

과 련된 수열의

활용문제들을 몇

가지 소개할 때

다른 시가 있는

지 함께 생각해

본다

문제

제시

[문제3]

한일 월드컵 축구 개

회 연도는 2002년이

다 2002년 이후 월

드컵 축구가 개최되

는 연도를 차례로 써

보고 이 규칙 로 월

드컵 축구가 개최되

면 2100년은 월드컵

축구가 개최되는 연

도인가

교과서에서 수열

단원의 수열의 활

용부분에 수록된

문제들을 풀어볼

수 있도록 시간을

다

등차수열과 등

비수열의 일반항

유도 공식을 생각

해보고 제시된 문

제를 해결해 간다

로써 활용되

는 문제를 선택

할 때 학습자들

이 알고 있거나

그들에게 친근감

을 주는 련성

증진을 한

략을 사용한다

[문제4]

컴퓨터의 주기억 장

치인 램은용

으로

용으로 가 개발

되었다 이후 램의

용 량 은

로 증가되어 왔다

의 램으로부터

번 증가된 주 메모

리는 식으로 어떻게

나타낼 수 있는가

학생들이 문제를

어렵게 느끼지 않

도록 어떤 방향으

로 해결해야 하는

지 힌트를 주어 학

생들의 자신감을

증진시킨다

소집

단

활동

5～6명으로 이 진

소집단을 구성하여

학습자들이 수열의

활용에 해 어느 정

도 이해하고 있는지

를 서로 토론하도록

한다

소집단별로 실생활

과 련된 수열의 활

용의 문제들을 구체

으로 제시한다

인 스토 이

끝나면 소집단별로

한사람씩 문제를 풀

고 풀이과정을 체

학생들에게 설명하는

시간을 갖는다

교사는 학생들의

만족감을 높이기

하여 그들이 주

어진 과제를 성공

으로 해결했을

때 그에 따르는

내재 강화나 외

재 보상이 있음

을 알려 다

어려운 문제를

해결한 소집단이나

학생에게 교사는

그들의 우수한 능

력을 인정하고 내

재 인 자존심에

정 인 향을

주는 칭찬을 제공

하여 자신감과 만

족감을 높인다

자신이 속한 소

집단 내에서 제시

된 과제에 해

열심히 토의를 하

며 문제를 해결한

학생이 아직 해결

하지 못한 학생들

을 도와주어 자신

감과 만족감을 갖

도록 한다

소집단별로 간

략하게 토론이 끝

나면 학생들 스스

로 정리해보고 자

발 으로 체 학

생들에게 설명해

보는 기회를 갖는

다

교사는 학습자

들이 한 자

신감을 유지하고

있는지에 해

지속 인 심을

갖고 지켜본다

학생들의 소집

단 토론시간을

무 길게 소요

하지 않도록 한

다

형성

평가

[문제4]

민수는 남 문의 기

와 지붕 한쪽 면이

사다리꼴 모양임을

찰하고 이 면에 있

는 기와의 개수를 알

아보고자 한다 기와

형 성 평 가 를

Power point로 제

시하고 학생들이

스스로 풀어볼 수

있도록 지도한다

학생들이 문제를

다 풀고 나면 교사

제시된 문제를

오늘 학습한 내용

을 복습하면서 풀

어보도록 한다

교사는 다소

진지한 목소리로

질문한다

의 개수를 행으로 세

었더니 용마루 쪽에

가장 가까운 행에는

40개 처마 쪽에 가

장 가까운 행에는 72

개 다 용마루부터

처마까지 행의 개수

가 17이라고 할 때

민수가 찰한 지붕

한쪽 면의 기와의 개

수는 모두 몇 개인

가

는 학생들에게

답할수 있도록 하

고 학생들이 학습

목표에 해 얼마

나 많이 달성했는

가를 스스로 검

해 보라고 한다

형성평가의 답

을 교사의 질문에

끝난 뒤 큰소리로

답하여 자신감

과 만족감을 갖도

록 한다

학생들에게 개

별 인 언어를

사용한다

정

리

5

분

학습

정리

차시

고

학습 자료를 이용

하여 수열의 실생활

의 활용 단원의 수업

내용을 확인한다

과제를 제시한다

다음 차시인 「여

러 가지 수열」 단원

에 한 고를 한

다

수업 내용을 정

리하고 과제를 제

시한다

학생들의 흥미를

유지하기 하여

다음 학습내용에

해 호기심에 찬

목소리로 간략하게

소개하고 수업을

끝낸다

오늘 학습한 내

용을 정리한다

과제를 고 과

제 해결에 한

내용을 머릿속에

형성해 본다

다음 차시에 배

울 내용을 학습

자료 화면으로 확

인해본다

수업내용에

해 학생과 교사

모두가 만족하고

있는지 확인하고

공정한 평가를

한다

[표10 수업지도안]

4 조사 문제지 분석

고등학교 수학 Ⅰ 의 수열단원의 효율 인 지도방안의 연구를 하여 원

종고등학교 2학년 학생 100명을 상으로 조사 문제지 조사를 하 다 학

생들의 수학에 한 심과 수학에서 가장 어려워하는 부분을 알아볼 수

있었고 어떤 방식의 수업을 선호하는지도 알아볼 수 있었다

⑴ 수학에 얼마나 심이 있나요

① 매우 많다 ② 많다 ③ 보통이다 ④ 다 ⑤ 매우 다

수학과목에 매우 많은 심을 보이는 학생은 2로 매우 낮은 편이며

심이 있는 학생은 43로 학생의 반정도 다 수학과목에 심이 거

나 없는 학생은 54정도로 수학은 어려운 과목이라는 인식 때문에 심

이 은 것 같다

수학을 공부하는 가장 큰 이유에는75의 학생들이 학입시를 해서라

는 문항을 선택했다 기타 이유에는 교과서에 있어서 어쩔수 없이 한다

는 학생과 진리탐구를 해서라는 학생도 있었다

[그림6 조사문제지

(1)번 막 그래 ]

⑵ 수학을 공부하는 가장 큰 이유가 뭐라고 생각하나요

① 학입시를 해서

② 평소 수학에 흥미가 있어서

③ 실제 생활에 쓰기 해서

④ 주변에서 해야한다고 하니까

⑤ 기타 이유 (이유를 간단히 어주세요)

앞에 (1)번문항에서 수학에 심이 은 학생이 반 정도인것에 반해

수학공부가 필요하다고 느낀학생이 75정도로 수학공부가 필요하단건

느끼지만 어려운 과목이라는 인식이 부분인것 같다 수학과목도 재

는 과목이란 인식을 학생들이 가질수 있도록 노력해야겠다

[그림7 조사문제지

(2)번 막 그래 ]

⑶ 수학공부의 필요성에 해 어떻게 생각하나요

① 매우 필요하다 ② 조 필요하다 ③ 보통이다

④ 필요 없다 ⑤ 필요 없다

[그림8 조사문제지

(3)번 막 그래 ]

⑷ 수학을 공부하면서 가장 어려운 부분은 무엇이나요

① 복잡한 계산 과정 ② 외워야할 많은 공식들

③ 응용문제엔 어떤 공식을 용해야할지 ④ 다 어렵다

학생들이 수학과목이 어렵다고 느끼는 이유는 응용문제에 어떤 공식을

용해야 하는지를 몰라서 라는 답이 58로 가장 많았다 그 외에도

계산과정이 복잡하거나 외워야할 공식들이 많아서라는 답도 있었다

이해 주의 수업을 하고 단순한 공식의 암기 주의 수업을 탈피해야겠

다

수학수업을 하는데 효과 인 방법에는 선생님 주의 강의식 수업과 학

생 개인별 수업이 78로 가장 많았다 개념이나 공식유도과정을 설명할

땐 서를 하며 강의식 수업을 하고 문제풀이땐 학생들 개인별로 첨삭

지도를 하는게 효율 인것 같다

⑤ 기타이유 (이유를 간단히 어주세요)

[그림9 조사문제지

(4)번 막 그래 ]

⑸ 수학 수업을 하는 데 어떤 방법이 가장 효과 이라고 생각하나요

① 선생님 주의 강의식 수업

② 학생 개인별 수업

③ 모둠별 활동 수업

④ 기타 교재나 과제를 통한 수업

⑤ 기타(이유를 간단히 어주세요)

[그림10 조사문제지

(5)번 막 그래 ]

Ⅵ 결론

본 논문에서 지 까지 고등학교 2학년 학생들이 수학 Ⅰ 교육과정을 학습하

는데 가장 어려워하는 수열에 해 살펴보았다 먼 개정 교육과정에 명시

된 수학교육의 목표와 임의로 선택된 5종 교과서에서 수열 단원의 학습목표

를 살펴보았고 수열의 역사 배경과 실생활에 응용된 들을 정리해보았

다 한 5종 교과서에서 제시되어 있는 수열의 학습내용을 소단원 별로 정

리해보았다 임의로 선택된 5종 교과서안의 수열의 학습내용을 분석해보면

서 몇 몇 교과서에서 여러 가지 수열 단원에서 군 수열과 멱 수에 한 언

이 없거나 미약함을 알 수 있었다 본 연구자가 보기에 군 수열과 멱 수

부분은 실생활에 활용될 는 극히 작아 보이지만 학생들이 꼭 학습하고 넘

어가야 수열에 한 완벽한 학습이 될 수 있을 것이라 여겼는데 교과서에서

제시된 내용들로는 학생들이 충분히 이해할 수 없을 것 같았다

그리고 교과서에 제시된 문항의 수 이 입시와 동 떨어진다는 문제 이 있

었다 교과서에 제시된 문제가 부족하고 수 이 낮다 보니 실제로 학교에서

수업 때 보충 린트 물로 수업을 진행하고 간기말고사 때에도 교과서

외에서 많은 문제를 출제하는 모습을 볼 수 있었다 때문에 학생들이 교과서

보다는 문제집 주의 공부를 할 수 밖에 없는 듯 보 다 교과서가 학생들

과 교사의 요구에 부합할 수 있도록 새로운 내용들과 문제를 싣도록 해야

할 것이다

학생들이 수열 단원의 학습을 할 때 좀 더 효과 인 학습이 될 수 있도록

리의 동기설계이론 (ARCS 이론) 을 바탕으로 하여 수업 계획서와 1차시

의 수업 지도안을 작성해 보았다 한 작성한 수업 지도안으로 부천시 소재

의 한 고등학교에서 실제 수업을 진행해 보았을 때 학생들이 좀 더 수열에

해 친숙하게 느끼고 쉽게 이해하는 모습을 볼 수 있었다 본 연구자가

직 교사가 아니라 여러 반을 상으로 수열 단원의 모든 차시 수업에 용

하여 수업을 해볼 수 없었단 이 아쉬움으로 남는다

이와 같이 학생들의 주의 련성자신감만족감 증진을 한 수업을 함

으로써 학생들의 수학 학습 성취도의 향상을 기 할 수 있을 것이다 한

개발된 자료를 실제 수업에 용하는 경우의 효율성에 한 후속 연구가 체

계 이고 지속 으로 이루어져야 할 것이다

참 고 문 헌

[1] 구평회 META 구평회 교육학 2007

[2] 교육인 자원부 고시 제2007 - 79호[별책8] 2007

[3] 박인학 교사를 한 교수학습방법론 문사 1995

[4] 변 계 교수학습 이론의 이해 학지사 1999

[5] 우정호 외 5인 고등학교 수학 Ⅰ 한교과서(주) 2002

[6] 이 연 자연의 수학 열쇠 피보나치수열 로네시스 2006

[7] 이진화 지수로그함수의 지도에 한 연구 서강 학교 교육 학원 석사 학

논문 2006

[8] 임재훈 외 10인 고등학교 수학 Ⅰ (주)두산 2002

[9] 장 숙 고등학교 수학 Ⅰ 교과서의 통계단원 분석 실생활에의 용 경희

학교 교육 학원 석사 학 논문 2006

[10] 조해식 행렬 수열 수업에서의 수학사 도입에 한 연구 울산 학교 석사

학 논문 1998

[11] 차 자 수열 학습의 흥미 유발을 한 자료 연구 경성 학교 교육 학원 석

사 학 논문 2004

[12] 최 외 5인 고등학교 수학 Ⅰ 앙교육진흥연구소 2006

[13] 최상기 외 5인 고등학교 수학 Ⅰ (주)고려출 2002

[14] 최용 신 성 고등학교 수학 Ⅰ 천재교육(주) 2002

[15] 황혜정 외 5인 수학교육학 신론 문음사 2002

• Ⅰ 서론
• • 1 연구의 필요성과 목적
  • 2 연구의 제한점
  • • Ⅱ 개정 교육과정에서 명시된 수학Ⅰ교육의 목표
    • • 1 수학Ⅰ교육의 목표
      • 2 고등학교 수학 Ⅰ 수열 단원의 학습목표
      • • Ⅲ 수열의 역사적 배경 및 응용
        • • 1 수열의 역사
          • 2 수열 단원이 실생활에 응용된 사례
          • • Ⅳ 고등학교 수학교육과정에서의 수열
            • • 1 수학Ⅰ 교과서 분석
              • 2 수학Ⅰ 교과서에서의 수열
              • • Ⅴ 켈러의 ARCS 이론과 수열 지도
                • • 1 켈러의 ARCS 이론
                  • 2 ARCS 이론을 적용한 수열 수업 계획서
                  • 3 ARCS 이론을 적용한 수업 지도안
                  • 4 조사지 분석
                  • • Ⅵ 결론
                    • 참고문헌

단원

단

원Ⅲ 수열

배정시간

(분)50

단

원1 등차수열과 등비수열

차시 3소단

원3) 등차수열과 등비수열의 활용

학습

목표등차수열과 등비수열을 실생활의 문제에 용할 수 있다

학습

단계학습내용

교수-학습활동 지도상의유의사

항교사활동 학생활동

도

입

15

분

인사

출석

주변을 정리 정돈

하여 수업분 기를

조성한다

인사 출석체크

를 한다

주의를 환기시킨

후 학생들과 인사

한다

출결석 여부를

확인한다

바른 자세로 주

변을 정리한 뒤

교사와 인사한다

수업 비를 한

다

교사와 학생

모두 함께 수업

분 기를 조성한

다

선수

학습

확인

지난 시간에 학습

한 등차수열과 등비

수열의 정의에 해

다시 한번 확인해본

다

지난 시간에 학습

한 등차수열과 등비

수열의 일반항을 구

하는 방법에 해 확

인학습으로 [문제1]

과 [문제2]를 풀어본

다

학생들의 자신감

을 높이기 하여

등차수열과 등비수

열의 정의를 교과

서에서 찾아본 후

큰소리로 답하게

한다

학생들이 답한

후 다시 한번 등차

수열과 등비수열에

해 간단히 설명

등차수열과 등

비수열의 정의를

교과서에 찾아본

후 큰소리로 읽는

다

교사가 등차수

열과 등비수열의

정의에 해 다시

한번 간단히 설명

할 때 부족한 부

분은 필기하며 복

습한다

교사가 정의에

해 질문할 때

학생들이 모두

책을 찾아볼수

있게 주의를

다

만일 답하

지 못하는 학생

이 있을 경우 그

여기서 인스토 (brainstorming)이라고 하는 것은 갑자기 떠오르는 멋

진 생각을 종이에 는다든가 말로 표 해 본 후 로 기록하거나 기록된

문장을 정리정돈하면서 생각을 논리화하는 방법이다 주로 어떤 계획을 세

우고자 할 때 창조 이고 기발한 아이디어가 필요할 때 학생들의 의견과

생각을 끌어내어 발 시키고자 할 때 사용하면 유리하다 ([3])

3 ARCS 이론을 용한 수업지도안

[문제1]

다음 등차수열

의 일반항과 제20항

을 구하여라

　　　　　　　

[문제2]

다음 등비수열

의 일반항과 제8항을

구하여라

　 　　　　　

한다

교사는 [문제1]

과[문제2]를 제시

한 뒤 학생들에게

직 풀어보게 한

다

등차수열과 등

비수열의 일반항

과 그 공식의 유

도과정을 기억한

다

제시된 문제를

연습장에 풀어본

다

학생에 해 개

별 인 언어를

사용하여 부드러

운 목소리로 피

드백을 제공한

다

개

30

분

학습

목표

제시

수열의 활용에

한 학습목표를 제시

한다

학습목표 학습

에 필요한 자료를

Power point 시청

각 효과를 사용하여

학생들의 주의환기

집 을 한 략

을 사용한다

학습목표를 학생

들에게 읽게 하고

학생들의 련성을

높이기 해 학습

목표의 의미를 설

명해 다

교사의 지시에

따라 큰소리로 학

습목표를 읽고 이

수업이 끝난 후

무엇을 할 수 있

는지에 해 생각

해 본다

학습목표는 큰

씨를 사용하

고 핵심이 되는

단어에는 다른

색깔을 사용한

다

탐구

학습

실생활과 련된

수열의 활용문제들을

몇 가지 소개한다

수열의 활용에

한 학습자들의 이해

정도를 악하고 피

드백을 제공한다

등차수열과 등비

수열을 이용하여

실생활의 문제를

해결할 수 있음을

학생들이 쉽게 이

해할 수 있도록 설

명한다

교사가 실생활

과 련된 수열의

활용문제들을 몇

가지 소개할 때

다른 시가 있는

지 함께 생각해

본다

문제

제시

[문제3]

한일 월드컵 축구 개

회 연도는 2002년이

다 2002년 이후 월

드컵 축구가 개최되

는 연도를 차례로 써

보고 이 규칙 로 월

드컵 축구가 개최되

면 2100년은 월드컵

축구가 개최되는 연

도인가

교과서에서 수열

단원의 수열의 활

용부분에 수록된

문제들을 풀어볼

수 있도록 시간을

다

등차수열과 등

비수열의 일반항

유도 공식을 생각

해보고 제시된 문

제를 해결해 간다

로써 활용되

는 문제를 선택

할 때 학습자들

이 알고 있거나

그들에게 친근감

을 주는 련성

증진을 한

략을 사용한다

[문제4]

컴퓨터의 주기억 장

치인 램은용

으로

용으로 가 개발

되었다 이후 램의

용 량 은

로 증가되어 왔다

의 램으로부터

번 증가된 주 메모

리는 식으로 어떻게

나타낼 수 있는가

학생들이 문제를

어렵게 느끼지 않

도록 어떤 방향으

로 해결해야 하는

지 힌트를 주어 학

생들의 자신감을

증진시킨다

소집

단

활동

5～6명으로 이 진

소집단을 구성하여

학습자들이 수열의

활용에 해 어느 정

도 이해하고 있는지

를 서로 토론하도록

한다

소집단별로 실생활

과 련된 수열의 활

용의 문제들을 구체

으로 제시한다

인 스토 이

끝나면 소집단별로

한사람씩 문제를 풀

고 풀이과정을 체

학생들에게 설명하는

시간을 갖는다

교사는 학생들의

만족감을 높이기

하여 그들이 주

어진 과제를 성공

으로 해결했을

때 그에 따르는

내재 강화나 외

재 보상이 있음

을 알려 다

어려운 문제를

해결한 소집단이나

학생에게 교사는

그들의 우수한 능

력을 인정하고 내

재 인 자존심에

정 인 향을

주는 칭찬을 제공

하여 자신감과 만

족감을 높인다

자신이 속한 소

집단 내에서 제시

된 과제에 해

열심히 토의를 하

며 문제를 해결한

학생이 아직 해결

하지 못한 학생들

을 도와주어 자신

감과 만족감을 갖

도록 한다

소집단별로 간

략하게 토론이 끝

나면 학생들 스스

로 정리해보고 자

발 으로 체 학

생들에게 설명해

보는 기회를 갖는

다

교사는 학습자

들이 한 자

신감을 유지하고

있는지에 해

지속 인 심을

갖고 지켜본다

학생들의 소집

단 토론시간을

무 길게 소요

하지 않도록 한

다

형성

평가

[문제4]

민수는 남 문의 기

와 지붕 한쪽 면이

사다리꼴 모양임을

찰하고 이 면에 있

는 기와의 개수를 알

아보고자 한다 기와

형 성 평 가 를

Power point로 제

시하고 학생들이

스스로 풀어볼 수

있도록 지도한다

학생들이 문제를

다 풀고 나면 교사

제시된 문제를

오늘 학습한 내용

을 복습하면서 풀

어보도록 한다

교사는 다소

진지한 목소리로

질문한다

의 개수를 행으로 세

었더니 용마루 쪽에

가장 가까운 행에는

40개 처마 쪽에 가

장 가까운 행에는 72

개 다 용마루부터

처마까지 행의 개수

가 17이라고 할 때

민수가 찰한 지붕

한쪽 면의 기와의 개

수는 모두 몇 개인

가

는 학생들에게

답할수 있도록 하

고 학생들이 학습

목표에 해 얼마

나 많이 달성했는

가를 스스로 검

해 보라고 한다

형성평가의 답

을 교사의 질문에

끝난 뒤 큰소리로

답하여 자신감

과 만족감을 갖도

록 한다

학생들에게 개

별 인 언어를

사용한다

정

리

5

분

학습

정리

차시

고

학습 자료를 이용

하여 수열의 실생활

의 활용 단원의 수업

내용을 확인한다

과제를 제시한다

다음 차시인 「여

러 가지 수열」 단원

에 한 고를 한

다

수업 내용을 정

리하고 과제를 제

시한다

학생들의 흥미를

유지하기 하여

다음 학습내용에

해 호기심에 찬

목소리로 간략하게

소개하고 수업을

끝낸다

오늘 학습한 내

용을 정리한다

과제를 고 과

제 해결에 한

내용을 머릿속에

형성해 본다

다음 차시에 배

울 내용을 학습

자료 화면으로 확

인해본다

수업내용에

해 학생과 교사

모두가 만족하고

있는지 확인하고

공정한 평가를

한다

[표10 수업지도안]

4 조사 문제지 분석

고등학교 수학 Ⅰ 의 수열단원의 효율 인 지도방안의 연구를 하여 원

종고등학교 2학년 학생 100명을 상으로 조사 문제지 조사를 하 다 학

생들의 수학에 한 심과 수학에서 가장 어려워하는 부분을 알아볼 수

있었고 어떤 방식의 수업을 선호하는지도 알아볼 수 있었다

⑴ 수학에 얼마나 심이 있나요

① 매우 많다 ② 많다 ③ 보통이다 ④ 다 ⑤ 매우 다

수학과목에 매우 많은 심을 보이는 학생은 2로 매우 낮은 편이며

심이 있는 학생은 43로 학생의 반정도 다 수학과목에 심이 거

나 없는 학생은 54정도로 수학은 어려운 과목이라는 인식 때문에 심

이 은 것 같다

수학을 공부하는 가장 큰 이유에는75의 학생들이 학입시를 해서라

는 문항을 선택했다 기타 이유에는 교과서에 있어서 어쩔수 없이 한다

는 학생과 진리탐구를 해서라는 학생도 있었다

[그림6 조사문제지

(1)번 막 그래 ]

⑵ 수학을 공부하는 가장 큰 이유가 뭐라고 생각하나요

① 학입시를 해서

② 평소 수학에 흥미가 있어서

③ 실제 생활에 쓰기 해서

④ 주변에서 해야한다고 하니까

⑤ 기타 이유 (이유를 간단히 어주세요)

앞에 (1)번문항에서 수학에 심이 은 학생이 반 정도인것에 반해

수학공부가 필요하다고 느낀학생이 75정도로 수학공부가 필요하단건

느끼지만 어려운 과목이라는 인식이 부분인것 같다 수학과목도 재

는 과목이란 인식을 학생들이 가질수 있도록 노력해야겠다

[그림7 조사문제지

(2)번 막 그래 ]

⑶ 수학공부의 필요성에 해 어떻게 생각하나요

① 매우 필요하다 ② 조 필요하다 ③ 보통이다

④ 필요 없다 ⑤ 필요 없다

[그림8 조사문제지

(3)번 막 그래 ]

⑷ 수학을 공부하면서 가장 어려운 부분은 무엇이나요

① 복잡한 계산 과정 ② 외워야할 많은 공식들

③ 응용문제엔 어떤 공식을 용해야할지 ④ 다 어렵다

학생들이 수학과목이 어렵다고 느끼는 이유는 응용문제에 어떤 공식을

용해야 하는지를 몰라서 라는 답이 58로 가장 많았다 그 외에도

계산과정이 복잡하거나 외워야할 공식들이 많아서라는 답도 있었다

이해 주의 수업을 하고 단순한 공식의 암기 주의 수업을 탈피해야겠

다

수학수업을 하는데 효과 인 방법에는 선생님 주의 강의식 수업과 학

생 개인별 수업이 78로 가장 많았다 개념이나 공식유도과정을 설명할

땐 서를 하며 강의식 수업을 하고 문제풀이땐 학생들 개인별로 첨삭

지도를 하는게 효율 인것 같다

⑤ 기타이유 (이유를 간단히 어주세요)

[그림9 조사문제지

(4)번 막 그래 ]

⑸ 수학 수업을 하는 데 어떤 방법이 가장 효과 이라고 생각하나요

① 선생님 주의 강의식 수업

② 학생 개인별 수업

③ 모둠별 활동 수업

④ 기타 교재나 과제를 통한 수업

⑤ 기타(이유를 간단히 어주세요)

[그림10 조사문제지

(5)번 막 그래 ]

Ⅵ 결론

본 논문에서 지 까지 고등학교 2학년 학생들이 수학 Ⅰ 교육과정을 학습하

는데 가장 어려워하는 수열에 해 살펴보았다 먼 개정 교육과정에 명시

된 수학교육의 목표와 임의로 선택된 5종 교과서에서 수열 단원의 학습목표

를 살펴보았고 수열의 역사 배경과 실생활에 응용된 들을 정리해보았

다 한 5종 교과서에서 제시되어 있는 수열의 학습내용을 소단원 별로 정

리해보았다 임의로 선택된 5종 교과서안의 수열의 학습내용을 분석해보면

서 몇 몇 교과서에서 여러 가지 수열 단원에서 군 수열과 멱 수에 한 언

이 없거나 미약함을 알 수 있었다 본 연구자가 보기에 군 수열과 멱 수

부분은 실생활에 활용될 는 극히 작아 보이지만 학생들이 꼭 학습하고 넘

어가야 수열에 한 완벽한 학습이 될 수 있을 것이라 여겼는데 교과서에서

제시된 내용들로는 학생들이 충분히 이해할 수 없을 것 같았다

그리고 교과서에 제시된 문항의 수 이 입시와 동 떨어진다는 문제 이 있

었다 교과서에 제시된 문제가 부족하고 수 이 낮다 보니 실제로 학교에서

수업 때 보충 린트 물로 수업을 진행하고 간기말고사 때에도 교과서

외에서 많은 문제를 출제하는 모습을 볼 수 있었다 때문에 학생들이 교과서

보다는 문제집 주의 공부를 할 수 밖에 없는 듯 보 다 교과서가 학생들

과 교사의 요구에 부합할 수 있도록 새로운 내용들과 문제를 싣도록 해야

할 것이다

학생들이 수열 단원의 학습을 할 때 좀 더 효과 인 학습이 될 수 있도록

리의 동기설계이론 (ARCS 이론) 을 바탕으로 하여 수업 계획서와 1차시

의 수업 지도안을 작성해 보았다 한 작성한 수업 지도안으로 부천시 소재

의 한 고등학교에서 실제 수업을 진행해 보았을 때 학생들이 좀 더 수열에

해 친숙하게 느끼고 쉽게 이해하는 모습을 볼 수 있었다 본 연구자가

직 교사가 아니라 여러 반을 상으로 수열 단원의 모든 차시 수업에 용

하여 수업을 해볼 수 없었단 이 아쉬움으로 남는다

이와 같이 학생들의 주의 련성자신감만족감 증진을 한 수업을 함

으로써 학생들의 수학 학습 성취도의 향상을 기 할 수 있을 것이다 한

개발된 자료를 실제 수업에 용하는 경우의 효율성에 한 후속 연구가 체

계 이고 지속 으로 이루어져야 할 것이다

참 고 문 헌

[1] 구평회 META 구평회 교육학 2007

[2] 교육인 자원부 고시 제2007 - 79호[별책8] 2007

[3] 박인학 교사를 한 교수학습방법론 문사 1995

[4] 변 계 교수학습 이론의 이해 학지사 1999

[5] 우정호 외 5인 고등학교 수학 Ⅰ 한교과서(주) 2002

[6] 이 연 자연의 수학 열쇠 피보나치수열 로네시스 2006

[7] 이진화 지수로그함수의 지도에 한 연구 서강 학교 교육 학원 석사 학

논문 2006

[8] 임재훈 외 10인 고등학교 수학 Ⅰ (주)두산 2002

[9] 장 숙 고등학교 수학 Ⅰ 교과서의 통계단원 분석 실생활에의 용 경희

학교 교육 학원 석사 학 논문 2006

[10] 조해식 행렬 수열 수업에서의 수학사 도입에 한 연구 울산 학교 석사

학 논문 1998

[11] 차 자 수열 학습의 흥미 유발을 한 자료 연구 경성 학교 교육 학원 석

사 학 논문 2004

[12] 최 외 5인 고등학교 수학 Ⅰ 앙교육진흥연구소 2006

[13] 최상기 외 5인 고등학교 수학 Ⅰ (주)고려출 2002

[14] 최용 신 성 고등학교 수학 Ⅰ 천재교육(주) 2002

[15] 황혜정 외 5인 수학교육학 신론 문음사 2002

• Ⅰ 서론
• • 1 연구의 필요성과 목적
  • 2 연구의 제한점
  • • Ⅱ 개정 교육과정에서 명시된 수학Ⅰ교육의 목표
    • • 1 수학Ⅰ교육의 목표
      • 2 고등학교 수학 Ⅰ 수열 단원의 학습목표
      • • Ⅲ 수열의 역사적 배경 및 응용
        • • 1 수열의 역사
          • 2 수열 단원이 실생활에 응용된 사례
          • • Ⅳ 고등학교 수학교육과정에서의 수열
            • • 1 수학Ⅰ 교과서 분석
              • 2 수학Ⅰ 교과서에서의 수열
              • • Ⅴ 켈러의 ARCS 이론과 수열 지도
                • • 1 켈러의 ARCS 이론
                  • 2 ARCS 이론을 적용한 수열 수업 계획서
                  • 3 ARCS 이론을 적용한 수업 지도안
                  • 4 조사지 분석
                  • • Ⅵ 결론
                    • 참고문헌

[문제1]

다음 등차수열

의 일반항과 제20항

을 구하여라

　　　　　　　

[문제2]

다음 등비수열

의 일반항과 제8항을

구하여라

　 　　　　　

한다

교사는 [문제1]

과[문제2]를 제시

한 뒤 학생들에게

직 풀어보게 한

다

등차수열과 등

비수열의 일반항

과 그 공식의 유

도과정을 기억한

다

제시된 문제를

연습장에 풀어본

다

학생에 해 개

별 인 언어를

사용하여 부드러

운 목소리로 피

드백을 제공한

다

개

30

분

학습

목표

제시

수열의 활용에

한 학습목표를 제시

한다

학습목표 학습

에 필요한 자료를

Power point 시청

각 효과를 사용하여

학생들의 주의환기

집 을 한 략

을 사용한다

학습목표를 학생

들에게 읽게 하고

학생들의 련성을

높이기 해 학습

목표의 의미를 설

명해 다

교사의 지시에

따라 큰소리로 학

습목표를 읽고 이

수업이 끝난 후

무엇을 할 수 있

는지에 해 생각

해 본다

학습목표는 큰

씨를 사용하

고 핵심이 되는

단어에는 다른

색깔을 사용한

다

탐구

학습

실생활과 련된

수열의 활용문제들을

몇 가지 소개한다

수열의 활용에

한 학습자들의 이해

정도를 악하고 피

드백을 제공한다

등차수열과 등비

수열을 이용하여

실생활의 문제를

해결할 수 있음을

학생들이 쉽게 이

해할 수 있도록 설

명한다

교사가 실생활

과 련된 수열의

활용문제들을 몇

가지 소개할 때

다른 시가 있는

지 함께 생각해

본다

문제

제시

[문제3]

한일 월드컵 축구 개

회 연도는 2002년이

다 2002년 이후 월

드컵 축구가 개최되

는 연도를 차례로 써

보고 이 규칙 로 월

드컵 축구가 개최되

면 2100년은 월드컵

축구가 개최되는 연

도인가

교과서에서 수열

단원의 수열의 활

용부분에 수록된

문제들을 풀어볼

수 있도록 시간을

다

등차수열과 등

비수열의 일반항

유도 공식을 생각

해보고 제시된 문

제를 해결해 간다

로써 활용되

는 문제를 선택

할 때 학습자들

이 알고 있거나

그들에게 친근감

을 주는 련성

증진을 한

략을 사용한다

[문제4]

컴퓨터의 주기억 장

치인 램은용

으로

용으로 가 개발

되었다 이후 램의

용 량 은

로 증가되어 왔다

의 램으로부터

번 증가된 주 메모

리는 식으로 어떻게

나타낼 수 있는가

학생들이 문제를

어렵게 느끼지 않

도록 어떤 방향으

로 해결해야 하는

지 힌트를 주어 학

생들의 자신감을

증진시킨다

소집

단

활동

5～6명으로 이 진

소집단을 구성하여

학습자들이 수열의

활용에 해 어느 정

도 이해하고 있는지

를 서로 토론하도록

한다

소집단별로 실생활

과 련된 수열의 활

용의 문제들을 구체

으로 제시한다

인 스토 이

끝나면 소집단별로

한사람씩 문제를 풀

고 풀이과정을 체

학생들에게 설명하는

시간을 갖는다

교사는 학생들의

만족감을 높이기

하여 그들이 주

어진 과제를 성공

으로 해결했을

때 그에 따르는

내재 강화나 외

재 보상이 있음

을 알려 다

어려운 문제를

해결한 소집단이나

학생에게 교사는

그들의 우수한 능

력을 인정하고 내

재 인 자존심에

정 인 향을

주는 칭찬을 제공

하여 자신감과 만

족감을 높인다

자신이 속한 소

집단 내에서 제시

된 과제에 해

열심히 토의를 하

며 문제를 해결한

학생이 아직 해결

하지 못한 학생들

을 도와주어 자신

감과 만족감을 갖

도록 한다

소집단별로 간

략하게 토론이 끝

나면 학생들 스스

로 정리해보고 자

발 으로 체 학

생들에게 설명해

보는 기회를 갖는

다

교사는 학습자

들이 한 자

신감을 유지하고

있는지에 해

지속 인 심을

갖고 지켜본다

학생들의 소집

단 토론시간을

무 길게 소요

하지 않도록 한

다

형성

평가

[문제4]

민수는 남 문의 기

와 지붕 한쪽 면이

사다리꼴 모양임을

찰하고 이 면에 있

는 기와의 개수를 알

아보고자 한다 기와

형 성 평 가 를

Power point로 제

시하고 학생들이

스스로 풀어볼 수

있도록 지도한다

학생들이 문제를

다 풀고 나면 교사

제시된 문제를

오늘 학습한 내용

을 복습하면서 풀

어보도록 한다

교사는 다소

진지한 목소리로

질문한다

의 개수를 행으로 세

었더니 용마루 쪽에

가장 가까운 행에는

40개 처마 쪽에 가

장 가까운 행에는 72

개 다 용마루부터

처마까지 행의 개수

가 17이라고 할 때

민수가 찰한 지붕

한쪽 면의 기와의 개

수는 모두 몇 개인

가

는 학생들에게

답할수 있도록 하

고 학생들이 학습

목표에 해 얼마

나 많이 달성했는

가를 스스로 검

해 보라고 한다

형성평가의 답

을 교사의 질문에

끝난 뒤 큰소리로

답하여 자신감

과 만족감을 갖도

록 한다

학생들에게 개

별 인 언어를

사용한다

정

리

5

분

학습

정리

차시

고

학습 자료를 이용

하여 수열의 실생활

의 활용 단원의 수업

내용을 확인한다

과제를 제시한다

다음 차시인 「여

러 가지 수열」 단원

에 한 고를 한

다

수업 내용을 정

리하고 과제를 제

시한다

학생들의 흥미를

유지하기 하여

다음 학습내용에

해 호기심에 찬

목소리로 간략하게

소개하고 수업을

끝낸다

오늘 학습한 내

용을 정리한다

과제를 고 과

제 해결에 한

내용을 머릿속에

형성해 본다

다음 차시에 배

울 내용을 학습

자료 화면으로 확

인해본다

수업내용에

해 학생과 교사

모두가 만족하고

있는지 확인하고

공정한 평가를

한다

[표10 수업지도안]

4 조사 문제지 분석

고등학교 수학 Ⅰ 의 수열단원의 효율 인 지도방안의 연구를 하여 원

종고등학교 2학년 학생 100명을 상으로 조사 문제지 조사를 하 다 학

생들의 수학에 한 심과 수학에서 가장 어려워하는 부분을 알아볼 수

있었고 어떤 방식의 수업을 선호하는지도 알아볼 수 있었다

⑴ 수학에 얼마나 심이 있나요

① 매우 많다 ② 많다 ③ 보통이다 ④ 다 ⑤ 매우 다

수학과목에 매우 많은 심을 보이는 학생은 2로 매우 낮은 편이며

심이 있는 학생은 43로 학생의 반정도 다 수학과목에 심이 거

나 없는 학생은 54정도로 수학은 어려운 과목이라는 인식 때문에 심

이 은 것 같다

수학을 공부하는 가장 큰 이유에는75의 학생들이 학입시를 해서라

는 문항을 선택했다 기타 이유에는 교과서에 있어서 어쩔수 없이 한다

는 학생과 진리탐구를 해서라는 학생도 있었다

[그림6 조사문제지

(1)번 막 그래 ]

⑵ 수학을 공부하는 가장 큰 이유가 뭐라고 생각하나요

① 학입시를 해서

② 평소 수학에 흥미가 있어서

③ 실제 생활에 쓰기 해서

④ 주변에서 해야한다고 하니까

⑤ 기타 이유 (이유를 간단히 어주세요)

앞에 (1)번문항에서 수학에 심이 은 학생이 반 정도인것에 반해

수학공부가 필요하다고 느낀학생이 75정도로 수학공부가 필요하단건

느끼지만 어려운 과목이라는 인식이 부분인것 같다 수학과목도 재

는 과목이란 인식을 학생들이 가질수 있도록 노력해야겠다

[그림7 조사문제지

(2)번 막 그래 ]

⑶ 수학공부의 필요성에 해 어떻게 생각하나요

① 매우 필요하다 ② 조 필요하다 ③ 보통이다

④ 필요 없다 ⑤ 필요 없다

[그림8 조사문제지

(3)번 막 그래 ]

⑷ 수학을 공부하면서 가장 어려운 부분은 무엇이나요

① 복잡한 계산 과정 ② 외워야할 많은 공식들

③ 응용문제엔 어떤 공식을 용해야할지 ④ 다 어렵다

학생들이 수학과목이 어렵다고 느끼는 이유는 응용문제에 어떤 공식을

용해야 하는지를 몰라서 라는 답이 58로 가장 많았다 그 외에도

계산과정이 복잡하거나 외워야할 공식들이 많아서라는 답도 있었다

이해 주의 수업을 하고 단순한 공식의 암기 주의 수업을 탈피해야겠

다

수학수업을 하는데 효과 인 방법에는 선생님 주의 강의식 수업과 학

생 개인별 수업이 78로 가장 많았다 개념이나 공식유도과정을 설명할

땐 서를 하며 강의식 수업을 하고 문제풀이땐 학생들 개인별로 첨삭

지도를 하는게 효율 인것 같다

⑤ 기타이유 (이유를 간단히 어주세요)

[그림9 조사문제지

(4)번 막 그래 ]

⑸ 수학 수업을 하는 데 어떤 방법이 가장 효과 이라고 생각하나요

① 선생님 주의 강의식 수업

② 학생 개인별 수업

③ 모둠별 활동 수업

④ 기타 교재나 과제를 통한 수업

⑤ 기타(이유를 간단히 어주세요)

[그림10 조사문제지

(5)번 막 그래 ]

Ⅵ 결론

본 논문에서 지 까지 고등학교 2학년 학생들이 수학 Ⅰ 교육과정을 학습하

는데 가장 어려워하는 수열에 해 살펴보았다 먼 개정 교육과정에 명시

된 수학교육의 목표와 임의로 선택된 5종 교과서에서 수열 단원의 학습목표

를 살펴보았고 수열의 역사 배경과 실생활에 응용된 들을 정리해보았

다 한 5종 교과서에서 제시되어 있는 수열의 학습내용을 소단원 별로 정

리해보았다 임의로 선택된 5종 교과서안의 수열의 학습내용을 분석해보면

서 몇 몇 교과서에서 여러 가지 수열 단원에서 군 수열과 멱 수에 한 언

이 없거나 미약함을 알 수 있었다 본 연구자가 보기에 군 수열과 멱 수

부분은 실생활에 활용될 는 극히 작아 보이지만 학생들이 꼭 학습하고 넘

어가야 수열에 한 완벽한 학습이 될 수 있을 것이라 여겼는데 교과서에서

제시된 내용들로는 학생들이 충분히 이해할 수 없을 것 같았다

그리고 교과서에 제시된 문항의 수 이 입시와 동 떨어진다는 문제 이 있

었다 교과서에 제시된 문제가 부족하고 수 이 낮다 보니 실제로 학교에서

수업 때 보충 린트 물로 수업을 진행하고 간기말고사 때에도 교과서

외에서 많은 문제를 출제하는 모습을 볼 수 있었다 때문에 학생들이 교과서

보다는 문제집 주의 공부를 할 수 밖에 없는 듯 보 다 교과서가 학생들

과 교사의 요구에 부합할 수 있도록 새로운 내용들과 문제를 싣도록 해야

할 것이다

학생들이 수열 단원의 학습을 할 때 좀 더 효과 인 학습이 될 수 있도록

리의 동기설계이론 (ARCS 이론) 을 바탕으로 하여 수업 계획서와 1차시

의 수업 지도안을 작성해 보았다 한 작성한 수업 지도안으로 부천시 소재

의 한 고등학교에서 실제 수업을 진행해 보았을 때 학생들이 좀 더 수열에

해 친숙하게 느끼고 쉽게 이해하는 모습을 볼 수 있었다 본 연구자가

직 교사가 아니라 여러 반을 상으로 수열 단원의 모든 차시 수업에 용

하여 수업을 해볼 수 없었단 이 아쉬움으로 남는다

이와 같이 학생들의 주의 련성자신감만족감 증진을 한 수업을 함

으로써 학생들의 수학 학습 성취도의 향상을 기 할 수 있을 것이다 한

개발된 자료를 실제 수업에 용하는 경우의 효율성에 한 후속 연구가 체

계 이고 지속 으로 이루어져야 할 것이다

참 고 문 헌

[1] 구평회 META 구평회 교육학 2007

[2] 교육인 자원부 고시 제2007 - 79호[별책8] 2007

[3] 박인학 교사를 한 교수학습방법론 문사 1995

[4] 변 계 교수학습 이론의 이해 학지사 1999

[5] 우정호 외 5인 고등학교 수학 Ⅰ 한교과서(주) 2002

[6] 이 연 자연의 수학 열쇠 피보나치수열 로네시스 2006

[7] 이진화 지수로그함수의 지도에 한 연구 서강 학교 교육 학원 석사 학

논문 2006

[8] 임재훈 외 10인 고등학교 수학 Ⅰ (주)두산 2002

[9] 장 숙 고등학교 수학 Ⅰ 교과서의 통계단원 분석 실생활에의 용 경희

학교 교육 학원 석사 학 논문 2006

[10] 조해식 행렬 수열 수업에서의 수학사 도입에 한 연구 울산 학교 석사

학 논문 1998

[11] 차 자 수열 학습의 흥미 유발을 한 자료 연구 경성 학교 교육 학원 석

사 학 논문 2004

[12] 최 외 5인 고등학교 수학 Ⅰ 앙교육진흥연구소 2006

[13] 최상기 외 5인 고등학교 수학 Ⅰ (주)고려출 2002

[14] 최용 신 성 고등학교 수학 Ⅰ 천재교육(주) 2002

[15] 황혜정 외 5인 수학교육학 신론 문음사 2002

• Ⅰ 서론
• • 1 연구의 필요성과 목적
  • 2 연구의 제한점
  • • Ⅱ 개정 교육과정에서 명시된 수학Ⅰ교육의 목표
    • • 1 수학Ⅰ교육의 목표
      • 2 고등학교 수학 Ⅰ 수열 단원의 학습목표
      • • Ⅲ 수열의 역사적 배경 및 응용
        • • 1 수열의 역사
          • 2 수열 단원이 실생활에 응용된 사례
          • • Ⅳ 고등학교 수학교육과정에서의 수열
            • • 1 수학Ⅰ 교과서 분석
              • 2 수학Ⅰ 교과서에서의 수열
              • • Ⅴ 켈러의 ARCS 이론과 수열 지도
                • • 1 켈러의 ARCS 이론
                  • 2 ARCS 이론을 적용한 수열 수업 계획서
                  • 3 ARCS 이론을 적용한 수업 지도안
                  • 4 조사지 분석
                  • • Ⅵ 결론
                    • 참고문헌

[문제4]

컴퓨터의 주기억 장

치인 램은용

으로

용으로 가 개발

되었다 이후 램의

용 량 은

로 증가되어 왔다

의 램으로부터

번 증가된 주 메모

리는 식으로 어떻게

나타낼 수 있는가

학생들이 문제를

어렵게 느끼지 않

도록 어떤 방향으

로 해결해야 하는

지 힌트를 주어 학

생들의 자신감을

증진시킨다

소집

단

활동

5～6명으로 이 진

소집단을 구성하여

학습자들이 수열의

활용에 해 어느 정

도 이해하고 있는지

를 서로 토론하도록

한다

소집단별로 실생활

과 련된 수열의 활

용의 문제들을 구체

으로 제시한다

인 스토 이

끝나면 소집단별로

한사람씩 문제를 풀

고 풀이과정을 체

학생들에게 설명하는

시간을 갖는다

교사는 학생들의

만족감을 높이기

하여 그들이 주

어진 과제를 성공

으로 해결했을

때 그에 따르는

내재 강화나 외

재 보상이 있음

을 알려 다

어려운 문제를

해결한 소집단이나

학생에게 교사는

그들의 우수한 능

력을 인정하고 내

재 인 자존심에

정 인 향을

주는 칭찬을 제공

하여 자신감과 만

족감을 높인다

자신이 속한 소

집단 내에서 제시

된 과제에 해

열심히 토의를 하

며 문제를 해결한

학생이 아직 해결

하지 못한 학생들

을 도와주어 자신

감과 만족감을 갖

도록 한다

소집단별로 간

략하게 토론이 끝

나면 학생들 스스

로 정리해보고 자

발 으로 체 학

생들에게 설명해

보는 기회를 갖는

다

교사는 학습자

들이 한 자

신감을 유지하고

있는지에 해

지속 인 심을

갖고 지켜본다

학생들의 소집

단 토론시간을

무 길게 소요

하지 않도록 한

다

형성

평가

[문제4]

민수는 남 문의 기

와 지붕 한쪽 면이

사다리꼴 모양임을

찰하고 이 면에 있

는 기와의 개수를 알

아보고자 한다 기와

형 성 평 가 를

Power point로 제

시하고 학생들이

스스로 풀어볼 수

있도록 지도한다

학생들이 문제를

다 풀고 나면 교사

제시된 문제를

오늘 학습한 내용

을 복습하면서 풀

어보도록 한다

교사는 다소

진지한 목소리로

질문한다

의 개수를 행으로 세

었더니 용마루 쪽에

가장 가까운 행에는

40개 처마 쪽에 가

장 가까운 행에는 72

개 다 용마루부터

처마까지 행의 개수

가 17이라고 할 때

민수가 찰한 지붕

한쪽 면의 기와의 개

수는 모두 몇 개인

가

는 학생들에게

답할수 있도록 하

고 학생들이 학습

목표에 해 얼마

나 많이 달성했는

가를 스스로 검

해 보라고 한다

형성평가의 답

을 교사의 질문에

끝난 뒤 큰소리로

답하여 자신감

과 만족감을 갖도

록 한다

학생들에게 개

별 인 언어를

사용한다

정

리

5

분

학습

정리

차시

고

학습 자료를 이용

하여 수열의 실생활

의 활용 단원의 수업

내용을 확인한다

과제를 제시한다

다음 차시인 「여

러 가지 수열」 단원

에 한 고를 한

다

수업 내용을 정

리하고 과제를 제

시한다

학생들의 흥미를

유지하기 하여

다음 학습내용에

해 호기심에 찬

목소리로 간략하게

소개하고 수업을

끝낸다

오늘 학습한 내

용을 정리한다

과제를 고 과

제 해결에 한

내용을 머릿속에

형성해 본다

다음 차시에 배

울 내용을 학습

자료 화면으로 확

인해본다

수업내용에

해 학생과 교사

모두가 만족하고

있는지 확인하고

공정한 평가를

한다

[표10 수업지도안]

4 조사 문제지 분석

고등학교 수학 Ⅰ 의 수열단원의 효율 인 지도방안의 연구를 하여 원

종고등학교 2학년 학생 100명을 상으로 조사 문제지 조사를 하 다 학

생들의 수학에 한 심과 수학에서 가장 어려워하는 부분을 알아볼 수

있었고 어떤 방식의 수업을 선호하는지도 알아볼 수 있었다

⑴ 수학에 얼마나 심이 있나요

① 매우 많다 ② 많다 ③ 보통이다 ④ 다 ⑤ 매우 다

수학과목에 매우 많은 심을 보이는 학생은 2로 매우 낮은 편이며

심이 있는 학생은 43로 학생의 반정도 다 수학과목에 심이 거

나 없는 학생은 54정도로 수학은 어려운 과목이라는 인식 때문에 심

이 은 것 같다

수학을 공부하는 가장 큰 이유에는75의 학생들이 학입시를 해서라

는 문항을 선택했다 기타 이유에는 교과서에 있어서 어쩔수 없이 한다

는 학생과 진리탐구를 해서라는 학생도 있었다

[그림6 조사문제지

(1)번 막 그래 ]

⑵ 수학을 공부하는 가장 큰 이유가 뭐라고 생각하나요

① 학입시를 해서

② 평소 수학에 흥미가 있어서

③ 실제 생활에 쓰기 해서

④ 주변에서 해야한다고 하니까

⑤ 기타 이유 (이유를 간단히 어주세요)

앞에 (1)번문항에서 수학에 심이 은 학생이 반 정도인것에 반해

수학공부가 필요하다고 느낀학생이 75정도로 수학공부가 필요하단건

느끼지만 어려운 과목이라는 인식이 부분인것 같다 수학과목도 재

는 과목이란 인식을 학생들이 가질수 있도록 노력해야겠다

[그림7 조사문제지

(2)번 막 그래 ]

⑶ 수학공부의 필요성에 해 어떻게 생각하나요

① 매우 필요하다 ② 조 필요하다 ③ 보통이다

④ 필요 없다 ⑤ 필요 없다

[그림8 조사문제지

(3)번 막 그래 ]

⑷ 수학을 공부하면서 가장 어려운 부분은 무엇이나요

① 복잡한 계산 과정 ② 외워야할 많은 공식들

③ 응용문제엔 어떤 공식을 용해야할지 ④ 다 어렵다

학생들이 수학과목이 어렵다고 느끼는 이유는 응용문제에 어떤 공식을

용해야 하는지를 몰라서 라는 답이 58로 가장 많았다 그 외에도

계산과정이 복잡하거나 외워야할 공식들이 많아서라는 답도 있었다

이해 주의 수업을 하고 단순한 공식의 암기 주의 수업을 탈피해야겠

다

수학수업을 하는데 효과 인 방법에는 선생님 주의 강의식 수업과 학

생 개인별 수업이 78로 가장 많았다 개념이나 공식유도과정을 설명할

땐 서를 하며 강의식 수업을 하고 문제풀이땐 학생들 개인별로 첨삭

지도를 하는게 효율 인것 같다

⑤ 기타이유 (이유를 간단히 어주세요)

[그림9 조사문제지

(4)번 막 그래 ]

⑸ 수학 수업을 하는 데 어떤 방법이 가장 효과 이라고 생각하나요

① 선생님 주의 강의식 수업

② 학생 개인별 수업

③ 모둠별 활동 수업

④ 기타 교재나 과제를 통한 수업

⑤ 기타(이유를 간단히 어주세요)

[그림10 조사문제지

(5)번 막 그래 ]

Ⅵ 결론

본 논문에서 지 까지 고등학교 2학년 학생들이 수학 Ⅰ 교육과정을 학습하

는데 가장 어려워하는 수열에 해 살펴보았다 먼 개정 교육과정에 명시

된 수학교육의 목표와 임의로 선택된 5종 교과서에서 수열 단원의 학습목표

를 살펴보았고 수열의 역사 배경과 실생활에 응용된 들을 정리해보았

다 한 5종 교과서에서 제시되어 있는 수열의 학습내용을 소단원 별로 정

리해보았다 임의로 선택된 5종 교과서안의 수열의 학습내용을 분석해보면

서 몇 몇 교과서에서 여러 가지 수열 단원에서 군 수열과 멱 수에 한 언

이 없거나 미약함을 알 수 있었다 본 연구자가 보기에 군 수열과 멱 수

부분은 실생활에 활용될 는 극히 작아 보이지만 학생들이 꼭 학습하고 넘

어가야 수열에 한 완벽한 학습이 될 수 있을 것이라 여겼는데 교과서에서

제시된 내용들로는 학생들이 충분히 이해할 수 없을 것 같았다

그리고 교과서에 제시된 문항의 수 이 입시와 동 떨어진다는 문제 이 있

었다 교과서에 제시된 문제가 부족하고 수 이 낮다 보니 실제로 학교에서

수업 때 보충 린트 물로 수업을 진행하고 간기말고사 때에도 교과서

외에서 많은 문제를 출제하는 모습을 볼 수 있었다 때문에 학생들이 교과서

보다는 문제집 주의 공부를 할 수 밖에 없는 듯 보 다 교과서가 학생들

과 교사의 요구에 부합할 수 있도록 새로운 내용들과 문제를 싣도록 해야

할 것이다

학생들이 수열 단원의 학습을 할 때 좀 더 효과 인 학습이 될 수 있도록

리의 동기설계이론 (ARCS 이론) 을 바탕으로 하여 수업 계획서와 1차시

의 수업 지도안을 작성해 보았다 한 작성한 수업 지도안으로 부천시 소재

의 한 고등학교에서 실제 수업을 진행해 보았을 때 학생들이 좀 더 수열에

해 친숙하게 느끼고 쉽게 이해하는 모습을 볼 수 있었다 본 연구자가

직 교사가 아니라 여러 반을 상으로 수열 단원의 모든 차시 수업에 용

하여 수업을 해볼 수 없었단 이 아쉬움으로 남는다

이와 같이 학생들의 주의 련성자신감만족감 증진을 한 수업을 함

으로써 학생들의 수학 학습 성취도의 향상을 기 할 수 있을 것이다 한

개발된 자료를 실제 수업에 용하는 경우의 효율성에 한 후속 연구가 체

계 이고 지속 으로 이루어져야 할 것이다

참 고 문 헌

[1] 구평회 META 구평회 교육학 2007

[2] 교육인 자원부 고시 제2007 - 79호[별책8] 2007

[3] 박인학 교사를 한 교수학습방법론 문사 1995

[4] 변 계 교수학습 이론의 이해 학지사 1999

[5] 우정호 외 5인 고등학교 수학 Ⅰ 한교과서(주) 2002

[6] 이 연 자연의 수학 열쇠 피보나치수열 로네시스 2006

[7] 이진화 지수로그함수의 지도에 한 연구 서강 학교 교육 학원 석사 학

논문 2006

[8] 임재훈 외 10인 고등학교 수학 Ⅰ (주)두산 2002

[9] 장 숙 고등학교 수학 Ⅰ 교과서의 통계단원 분석 실생활에의 용 경희

학교 교육 학원 석사 학 논문 2006

[10] 조해식 행렬 수열 수업에서의 수학사 도입에 한 연구 울산 학교 석사

학 논문 1998

[11] 차 자 수열 학습의 흥미 유발을 한 자료 연구 경성 학교 교육 학원 석

사 학 논문 2004

[12] 최 외 5인 고등학교 수학 Ⅰ 앙교육진흥연구소 2006

[13] 최상기 외 5인 고등학교 수학 Ⅰ (주)고려출 2002

[14] 최용 신 성 고등학교 수학 Ⅰ 천재교육(주) 2002

[15] 황혜정 외 5인 수학교육학 신론 문음사 2002

• Ⅰ 서론
• • 1 연구의 필요성과 목적
  • 2 연구의 제한점
  • • Ⅱ 개정 교육과정에서 명시된 수학Ⅰ교육의 목표
    • • 1 수학Ⅰ교육의 목표
      • 2 고등학교 수학 Ⅰ 수열 단원의 학습목표
      • • Ⅲ 수열의 역사적 배경 및 응용
        • • 1 수열의 역사
          • 2 수열 단원이 실생활에 응용된 사례
          • • Ⅳ 고등학교 수학교육과정에서의 수열
            • • 1 수학Ⅰ 교과서 분석
              • 2 수학Ⅰ 교과서에서의 수열
              • • Ⅴ 켈러의 ARCS 이론과 수열 지도
                • • 1 켈러의 ARCS 이론
                  • 2 ARCS 이론을 적용한 수열 수업 계획서
                  • 3 ARCS 이론을 적용한 수업 지도안
                  • 4 조사지 분석
                  • • Ⅵ 결론
                    • 참고문헌

의 개수를 행으로 세

었더니 용마루 쪽에

가장 가까운 행에는

40개 처마 쪽에 가

장 가까운 행에는 72

개 다 용마루부터

처마까지 행의 개수

가 17이라고 할 때

민수가 찰한 지붕

한쪽 면의 기와의 개

수는 모두 몇 개인

가

는 학생들에게

답할수 있도록 하

고 학생들이 학습

목표에 해 얼마

나 많이 달성했는

가를 스스로 검

해 보라고 한다

형성평가의 답

을 교사의 질문에

끝난 뒤 큰소리로

답하여 자신감

과 만족감을 갖도

록 한다

학생들에게 개

별 인 언어를

사용한다

정

리

5

분

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의 활용 단원의 수업

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리하고 과제를 제

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학생들의 흥미를

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끝낸다

오늘 학습한 내

용을 정리한다

과제를 고 과

제 해결에 한

내용을 머릿속에

형성해 본다

다음 차시에 배

울 내용을 학습

자료 화면으로 확

인해본다

수업내용에

해 학생과 교사

모두가 만족하고

있는지 확인하고

공정한 평가를

한다

[표10 수업지도안]

4 조사 문제지 분석

고등학교 수학 Ⅰ 의 수열단원의 효율 인 지도방안의 연구를 하여 원

종고등학교 2학년 학생 100명을 상으로 조사 문제지 조사를 하 다 학

생들의 수학에 한 심과 수학에서 가장 어려워하는 부분을 알아볼 수

있었고 어떤 방식의 수업을 선호하는지도 알아볼 수 있었다

⑴ 수학에 얼마나 심이 있나요

① 매우 많다 ② 많다 ③ 보통이다 ④ 다 ⑤ 매우 다

수학과목에 매우 많은 심을 보이는 학생은 2로 매우 낮은 편이며

심이 있는 학생은 43로 학생의 반정도 다 수학과목에 심이 거

나 없는 학생은 54정도로 수학은 어려운 과목이라는 인식 때문에 심

이 은 것 같다

수학을 공부하는 가장 큰 이유에는75의 학생들이 학입시를 해서라

는 문항을 선택했다 기타 이유에는 교과서에 있어서 어쩔수 없이 한다

는 학생과 진리탐구를 해서라는 학생도 있었다

[그림6 조사문제지

(1)번 막 그래 ]

⑵ 수학을 공부하는 가장 큰 이유가 뭐라고 생각하나요

① 학입시를 해서

② 평소 수학에 흥미가 있어서

③ 실제 생활에 쓰기 해서

④ 주변에서 해야한다고 하니까

⑤ 기타 이유 (이유를 간단히 어주세요)

앞에 (1)번문항에서 수학에 심이 은 학생이 반 정도인것에 반해

수학공부가 필요하다고 느낀학생이 75정도로 수학공부가 필요하단건

느끼지만 어려운 과목이라는 인식이 부분인것 같다 수학과목도 재

는 과목이란 인식을 학생들이 가질수 있도록 노력해야겠다

[그림7 조사문제지

(2)번 막 그래 ]

⑶ 수학공부의 필요성에 해 어떻게 생각하나요

① 매우 필요하다 ② 조 필요하다 ③ 보통이다

④ 필요 없다 ⑤ 필요 없다

[그림8 조사문제지

(3)번 막 그래 ]

⑷ 수학을 공부하면서 가장 어려운 부분은 무엇이나요

① 복잡한 계산 과정 ② 외워야할 많은 공식들

③ 응용문제엔 어떤 공식을 용해야할지 ④ 다 어렵다

학생들이 수학과목이 어렵다고 느끼는 이유는 응용문제에 어떤 공식을

용해야 하는지를 몰라서 라는 답이 58로 가장 많았다 그 외에도

계산과정이 복잡하거나 외워야할 공식들이 많아서라는 답도 있었다

이해 주의 수업을 하고 단순한 공식의 암기 주의 수업을 탈피해야겠

다

수학수업을 하는데 효과 인 방법에는 선생님 주의 강의식 수업과 학

생 개인별 수업이 78로 가장 많았다 개념이나 공식유도과정을 설명할

땐 서를 하며 강의식 수업을 하고 문제풀이땐 학생들 개인별로 첨삭

지도를 하는게 효율 인것 같다

⑤ 기타이유 (이유를 간단히 어주세요)

[그림9 조사문제지

(4)번 막 그래 ]

⑸ 수학 수업을 하는 데 어떤 방법이 가장 효과 이라고 생각하나요

① 선생님 주의 강의식 수업

② 학생 개인별 수업

③ 모둠별 활동 수업

④ 기타 교재나 과제를 통한 수업

⑤ 기타(이유를 간단히 어주세요)

[그림10 조사문제지

(5)번 막 그래 ]

Ⅵ 결론

본 논문에서 지 까지 고등학교 2학년 학생들이 수학 Ⅰ 교육과정을 학습하

는데 가장 어려워하는 수열에 해 살펴보았다 먼 개정 교육과정에 명시

된 수학교육의 목표와 임의로 선택된 5종 교과서에서 수열 단원의 학습목표

를 살펴보았고 수열의 역사 배경과 실생활에 응용된 들을 정리해보았

다 한 5종 교과서에서 제시되어 있는 수열의 학습내용을 소단원 별로 정

리해보았다 임의로 선택된 5종 교과서안의 수열의 학습내용을 분석해보면

서 몇 몇 교과서에서 여러 가지 수열 단원에서 군 수열과 멱 수에 한 언

이 없거나 미약함을 알 수 있었다 본 연구자가 보기에 군 수열과 멱 수

부분은 실생활에 활용될 는 극히 작아 보이지만 학생들이 꼭 학습하고 넘

어가야 수열에 한 완벽한 학습이 될 수 있을 것이라 여겼는데 교과서에서

제시된 내용들로는 학생들이 충분히 이해할 수 없을 것 같았다

그리고 교과서에 제시된 문항의 수 이 입시와 동 떨어진다는 문제 이 있

었다 교과서에 제시된 문제가 부족하고 수 이 낮다 보니 실제로 학교에서

수업 때 보충 린트 물로 수업을 진행하고 간기말고사 때에도 교과서

외에서 많은 문제를 출제하는 모습을 볼 수 있었다 때문에 학생들이 교과서

보다는 문제집 주의 공부를 할 수 밖에 없는 듯 보 다 교과서가 학생들

과 교사의 요구에 부합할 수 있도록 새로운 내용들과 문제를 싣도록 해야

할 것이다

학생들이 수열 단원의 학습을 할 때 좀 더 효과 인 학습이 될 수 있도록

리의 동기설계이론 (ARCS 이론) 을 바탕으로 하여 수업 계획서와 1차시

의 수업 지도안을 작성해 보았다 한 작성한 수업 지도안으로 부천시 소재

의 한 고등학교에서 실제 수업을 진행해 보았을 때 학생들이 좀 더 수열에

해 친숙하게 느끼고 쉽게 이해하는 모습을 볼 수 있었다 본 연구자가

직 교사가 아니라 여러 반을 상으로 수열 단원의 모든 차시 수업에 용

하여 수업을 해볼 수 없었단 이 아쉬움으로 남는다

이와 같이 학생들의 주의 련성자신감만족감 증진을 한 수업을 함

으로써 학생들의 수학 학습 성취도의 향상을 기 할 수 있을 것이다 한

개발된 자료를 실제 수업에 용하는 경우의 효율성에 한 후속 연구가 체

계 이고 지속 으로 이루어져야 할 것이다

참 고 문 헌

[1] 구평회 META 구평회 교육학 2007

[2] 교육인 자원부 고시 제2007 - 79호[별책8] 2007

[3] 박인학 교사를 한 교수학습방법론 문사 1995

[4] 변 계 교수학습 이론의 이해 학지사 1999

[5] 우정호 외 5인 고등학교 수학 Ⅰ 한교과서(주) 2002

[6] 이 연 자연의 수학 열쇠 피보나치수열 로네시스 2006

[7] 이진화 지수로그함수의 지도에 한 연구 서강 학교 교육 학원 석사 학

논문 2006

[8] 임재훈 외 10인 고등학교 수학 Ⅰ (주)두산 2002

[9] 장 숙 고등학교 수학 Ⅰ 교과서의 통계단원 분석 실생활에의 용 경희

학교 교육 학원 석사 학 논문 2006

[10] 조해식 행렬 수열 수업에서의 수학사 도입에 한 연구 울산 학교 석사

학 논문 1998

[11] 차 자 수열 학습의 흥미 유발을 한 자료 연구 경성 학교 교육 학원 석

사 학 논문 2004

[12] 최 외 5인 고등학교 수학 Ⅰ 앙교육진흥연구소 2006

[13] 최상기 외 5인 고등학교 수학 Ⅰ (주)고려출 2002

[14] 최용 신 성 고등학교 수학 Ⅰ 천재교육(주) 2002

[15] 황혜정 외 5인 수학교육학 신론 문음사 2002

• Ⅰ 서론
• • 1 연구의 필요성과 목적
  • 2 연구의 제한점
  • • Ⅱ 개정 교육과정에서 명시된 수학Ⅰ교육의 목표
    • • 1 수학Ⅰ교육의 목표
      • 2 고등학교 수학 Ⅰ 수열 단원의 학습목표
      • • Ⅲ 수열의 역사적 배경 및 응용
        • • 1 수열의 역사
          • 2 수열 단원이 실생활에 응용된 사례
          • • Ⅳ 고등학교 수학교육과정에서의 수열
            • • 1 수학Ⅰ 교과서 분석
              • 2 수학Ⅰ 교과서에서의 수열
              • • Ⅴ 켈러의 ARCS 이론과 수열 지도
                • • 1 켈러의 ARCS 이론
                  • 2 ARCS 이론을 적용한 수열 수업 계획서
                  • 3 ARCS 이론을 적용한 수업 지도안
                  • 4 조사지 분석
                  • • Ⅵ 결론
                    • 참고문헌

수학과목에 매우 많은 심을 보이는 학생은 2로 매우 낮은 편이며

심이 있는 학생은 43로 학생의 반정도 다 수학과목에 심이 거

나 없는 학생은 54정도로 수학은 어려운 과목이라는 인식 때문에 심

이 은 것 같다

수학을 공부하는 가장 큰 이유에는75의 학생들이 학입시를 해서라

는 문항을 선택했다 기타 이유에는 교과서에 있어서 어쩔수 없이 한다

는 학생과 진리탐구를 해서라는 학생도 있었다

[그림6 조사문제지

(1)번 막 그래 ]

⑵ 수학을 공부하는 가장 큰 이유가 뭐라고 생각하나요

① 학입시를 해서

② 평소 수학에 흥미가 있어서

③ 실제 생활에 쓰기 해서

④ 주변에서 해야한다고 하니까

⑤ 기타 이유 (이유를 간단히 어주세요)

앞에 (1)번문항에서 수학에 심이 은 학생이 반 정도인것에 반해

수학공부가 필요하다고 느낀학생이 75정도로 수학공부가 필요하단건

느끼지만 어려운 과목이라는 인식이 부분인것 같다 수학과목도 재

는 과목이란 인식을 학생들이 가질수 있도록 노력해야겠다

[그림7 조사문제지

(2)번 막 그래 ]

⑶ 수학공부의 필요성에 해 어떻게 생각하나요

① 매우 필요하다 ② 조 필요하다 ③ 보통이다

④ 필요 없다 ⑤ 필요 없다

[그림8 조사문제지

(3)번 막 그래 ]

⑷ 수학을 공부하면서 가장 어려운 부분은 무엇이나요

① 복잡한 계산 과정 ② 외워야할 많은 공식들

③ 응용문제엔 어떤 공식을 용해야할지 ④ 다 어렵다

학생들이 수학과목이 어렵다고 느끼는 이유는 응용문제에 어떤 공식을

용해야 하는지를 몰라서 라는 답이 58로 가장 많았다 그 외에도

계산과정이 복잡하거나 외워야할 공식들이 많아서라는 답도 있었다

이해 주의 수업을 하고 단순한 공식의 암기 주의 수업을 탈피해야겠

다

수학수업을 하는데 효과 인 방법에는 선생님 주의 강의식 수업과 학

생 개인별 수업이 78로 가장 많았다 개념이나 공식유도과정을 설명할

땐 서를 하며 강의식 수업을 하고 문제풀이땐 학생들 개인별로 첨삭

지도를 하는게 효율 인것 같다

⑤ 기타이유 (이유를 간단히 어주세요)

[그림9 조사문제지

(4)번 막 그래 ]

⑸ 수학 수업을 하는 데 어떤 방법이 가장 효과 이라고 생각하나요

① 선생님 주의 강의식 수업

② 학생 개인별 수업

③ 모둠별 활동 수업

④ 기타 교재나 과제를 통한 수업

⑤ 기타(이유를 간단히 어주세요)

[그림10 조사문제지

(5)번 막 그래 ]

Ⅵ 결론

본 논문에서 지 까지 고등학교 2학년 학생들이 수학 Ⅰ 교육과정을 학습하

는데 가장 어려워하는 수열에 해 살펴보았다 먼 개정 교육과정에 명시

된 수학교육의 목표와 임의로 선택된 5종 교과서에서 수열 단원의 학습목표

를 살펴보았고 수열의 역사 배경과 실생활에 응용된 들을 정리해보았

다 한 5종 교과서에서 제시되어 있는 수열의 학습내용을 소단원 별로 정

리해보았다 임의로 선택된 5종 교과서안의 수열의 학습내용을 분석해보면

서 몇 몇 교과서에서 여러 가지 수열 단원에서 군 수열과 멱 수에 한 언

이 없거나 미약함을 알 수 있었다 본 연구자가 보기에 군 수열과 멱 수

부분은 실생활에 활용될 는 극히 작아 보이지만 학생들이 꼭 학습하고 넘

어가야 수열에 한 완벽한 학습이 될 수 있을 것이라 여겼는데 교과서에서

제시된 내용들로는 학생들이 충분히 이해할 수 없을 것 같았다

그리고 교과서에 제시된 문항의 수 이 입시와 동 떨어진다는 문제 이 있

었다 교과서에 제시된 문제가 부족하고 수 이 낮다 보니 실제로 학교에서

수업 때 보충 린트 물로 수업을 진행하고 간기말고사 때에도 교과서

외에서 많은 문제를 출제하는 모습을 볼 수 있었다 때문에 학생들이 교과서

보다는 문제집 주의 공부를 할 수 밖에 없는 듯 보 다 교과서가 학생들

과 교사의 요구에 부합할 수 있도록 새로운 내용들과 문제를 싣도록 해야

할 것이다

학생들이 수열 단원의 학습을 할 때 좀 더 효과 인 학습이 될 수 있도록

리의 동기설계이론 (ARCS 이론) 을 바탕으로 하여 수업 계획서와 1차시

의 수업 지도안을 작성해 보았다 한 작성한 수업 지도안으로 부천시 소재

의 한 고등학교에서 실제 수업을 진행해 보았을 때 학생들이 좀 더 수열에

해 친숙하게 느끼고 쉽게 이해하는 모습을 볼 수 있었다 본 연구자가

직 교사가 아니라 여러 반을 상으로 수열 단원의 모든 차시 수업에 용

하여 수업을 해볼 수 없었단 이 아쉬움으로 남는다

이와 같이 학생들의 주의 련성자신감만족감 증진을 한 수업을 함

으로써 학생들의 수학 학습 성취도의 향상을 기 할 수 있을 것이다 한

개발된 자료를 실제 수업에 용하는 경우의 효율성에 한 후속 연구가 체

계 이고 지속 으로 이루어져야 할 것이다

참 고 문 헌

[1] 구평회 META 구평회 교육학 2007

[2] 교육인 자원부 고시 제2007 - 79호[별책8] 2007

[3] 박인학 교사를 한 교수학습방법론 문사 1995

[4] 변 계 교수학습 이론의 이해 학지사 1999

[5] 우정호 외 5인 고등학교 수학 Ⅰ 한교과서(주) 2002

[6] 이 연 자연의 수학 열쇠 피보나치수열 로네시스 2006

[7] 이진화 지수로그함수의 지도에 한 연구 서강 학교 교육 학원 석사 학

논문 2006

[8] 임재훈 외 10인 고등학교 수학 Ⅰ (주)두산 2002

[9] 장 숙 고등학교 수학 Ⅰ 교과서의 통계단원 분석 실생활에의 용 경희

학교 교육 학원 석사 학 논문 2006

[10] 조해식 행렬 수열 수업에서의 수학사 도입에 한 연구 울산 학교 석사

학 논문 1998

[11] 차 자 수열 학습의 흥미 유발을 한 자료 연구 경성 학교 교육 학원 석

사 학 논문 2004

[12] 최 외 5인 고등학교 수학 Ⅰ 앙교육진흥연구소 2006

[13] 최상기 외 5인 고등학교 수학 Ⅰ (주)고려출 2002

[14] 최용 신 성 고등학교 수학 Ⅰ 천재교육(주) 2002

[15] 황혜정 외 5인 수학교육학 신론 문음사 2002

• Ⅰ 서론
• • 1 연구의 필요성과 목적
  • 2 연구의 제한점
  • • Ⅱ 개정 교육과정에서 명시된 수학Ⅰ교육의 목표
    • • 1 수학Ⅰ교육의 목표
      • 2 고등학교 수학 Ⅰ 수열 단원의 학습목표
      • • Ⅲ 수열의 역사적 배경 및 응용
        • • 1 수열의 역사
          • 2 수열 단원이 실생활에 응용된 사례
          • • Ⅳ 고등학교 수학교육과정에서의 수열
            • • 1 수학Ⅰ 교과서 분석
              • 2 수학Ⅰ 교과서에서의 수열
              • • Ⅴ 켈러의 ARCS 이론과 수열 지도
                • • 1 켈러의 ARCS 이론
                  • 2 ARCS 이론을 적용한 수열 수업 계획서
                  • 3 ARCS 이론을 적용한 수업 지도안
                  • 4 조사지 분석
                  • • Ⅵ 결론
                    • 참고문헌

앞에 (1)번문항에서 수학에 심이 은 학생이 반 정도인것에 반해

수학공부가 필요하다고 느낀학생이 75정도로 수학공부가 필요하단건

느끼지만 어려운 과목이라는 인식이 부분인것 같다 수학과목도 재

는 과목이란 인식을 학생들이 가질수 있도록 노력해야겠다

[그림7 조사문제지

(2)번 막 그래 ]

⑶ 수학공부의 필요성에 해 어떻게 생각하나요

① 매우 필요하다 ② 조 필요하다 ③ 보통이다

④ 필요 없다 ⑤ 필요 없다

[그림8 조사문제지

(3)번 막 그래 ]

⑷ 수학을 공부하면서 가장 어려운 부분은 무엇이나요

① 복잡한 계산 과정 ② 외워야할 많은 공식들

③ 응용문제엔 어떤 공식을 용해야할지 ④ 다 어렵다

학생들이 수학과목이 어렵다고 느끼는 이유는 응용문제에 어떤 공식을

용해야 하는지를 몰라서 라는 답이 58로 가장 많았다 그 외에도

계산과정이 복잡하거나 외워야할 공식들이 많아서라는 답도 있었다

이해 주의 수업을 하고 단순한 공식의 암기 주의 수업을 탈피해야겠

다

수학수업을 하는데 효과 인 방법에는 선생님 주의 강의식 수업과 학

생 개인별 수업이 78로 가장 많았다 개념이나 공식유도과정을 설명할

땐 서를 하며 강의식 수업을 하고 문제풀이땐 학생들 개인별로 첨삭

지도를 하는게 효율 인것 같다

⑤ 기타이유 (이유를 간단히 어주세요)

[그림9 조사문제지

(4)번 막 그래 ]

⑸ 수학 수업을 하는 데 어떤 방법이 가장 효과 이라고 생각하나요

① 선생님 주의 강의식 수업

② 학생 개인별 수업

③ 모둠별 활동 수업

④ 기타 교재나 과제를 통한 수업

⑤ 기타(이유를 간단히 어주세요)

[그림10 조사문제지

(5)번 막 그래 ]

Ⅵ 결론

본 논문에서 지 까지 고등학교 2학년 학생들이 수학 Ⅰ 교육과정을 학습하

는데 가장 어려워하는 수열에 해 살펴보았다 먼 개정 교육과정에 명시

된 수학교육의 목표와 임의로 선택된 5종 교과서에서 수열 단원의 학습목표

를 살펴보았고 수열의 역사 배경과 실생활에 응용된 들을 정리해보았

다 한 5종 교과서에서 제시되어 있는 수열의 학습내용을 소단원 별로 정

리해보았다 임의로 선택된 5종 교과서안의 수열의 학습내용을 분석해보면

서 몇 몇 교과서에서 여러 가지 수열 단원에서 군 수열과 멱 수에 한 언

이 없거나 미약함을 알 수 있었다 본 연구자가 보기에 군 수열과 멱 수

부분은 실생활에 활용될 는 극히 작아 보이지만 학생들이 꼭 학습하고 넘

어가야 수열에 한 완벽한 학습이 될 수 있을 것이라 여겼는데 교과서에서

제시된 내용들로는 학생들이 충분히 이해할 수 없을 것 같았다

그리고 교과서에 제시된 문항의 수 이 입시와 동 떨어진다는 문제 이 있

었다 교과서에 제시된 문제가 부족하고 수 이 낮다 보니 실제로 학교에서

수업 때 보충 린트 물로 수업을 진행하고 간기말고사 때에도 교과서

외에서 많은 문제를 출제하는 모습을 볼 수 있었다 때문에 학생들이 교과서

보다는 문제집 주의 공부를 할 수 밖에 없는 듯 보 다 교과서가 학생들

과 교사의 요구에 부합할 수 있도록 새로운 내용들과 문제를 싣도록 해야

할 것이다

학생들이 수열 단원의 학습을 할 때 좀 더 효과 인 학습이 될 수 있도록

리의 동기설계이론 (ARCS 이론) 을 바탕으로 하여 수업 계획서와 1차시

의 수업 지도안을 작성해 보았다 한 작성한 수업 지도안으로 부천시 소재

의 한 고등학교에서 실제 수업을 진행해 보았을 때 학생들이 좀 더 수열에

해 친숙하게 느끼고 쉽게 이해하는 모습을 볼 수 있었다 본 연구자가

직 교사가 아니라 여러 반을 상으로 수열 단원의 모든 차시 수업에 용

하여 수업을 해볼 수 없었단 이 아쉬움으로 남는다

이와 같이 학생들의 주의 련성자신감만족감 증진을 한 수업을 함

으로써 학생들의 수학 학습 성취도의 향상을 기 할 수 있을 것이다 한

개발된 자료를 실제 수업에 용하는 경우의 효율성에 한 후속 연구가 체

계 이고 지속 으로 이루어져야 할 것이다

참 고 문 헌

[1] 구평회 META 구평회 교육학 2007

[2] 교육인 자원부 고시 제2007 - 79호[별책8] 2007

[3] 박인학 교사를 한 교수학습방법론 문사 1995

[4] 변 계 교수학습 이론의 이해 학지사 1999

[5] 우정호 외 5인 고등학교 수학 Ⅰ 한교과서(주) 2002

[6] 이 연 자연의 수학 열쇠 피보나치수열 로네시스 2006

[7] 이진화 지수로그함수의 지도에 한 연구 서강 학교 교육 학원 석사 학

논문 2006

[8] 임재훈 외 10인 고등학교 수학 Ⅰ (주)두산 2002

[9] 장 숙 고등학교 수학 Ⅰ 교과서의 통계단원 분석 실생활에의 용 경희

학교 교육 학원 석사 학 논문 2006

[10] 조해식 행렬 수열 수업에서의 수학사 도입에 한 연구 울산 학교 석사

학 논문 1998

[11] 차 자 수열 학습의 흥미 유발을 한 자료 연구 경성 학교 교육 학원 석

사 학 논문 2004

[12] 최 외 5인 고등학교 수학 Ⅰ 앙교육진흥연구소 2006

[13] 최상기 외 5인 고등학교 수학 Ⅰ (주)고려출 2002

[14] 최용 신 성 고등학교 수학 Ⅰ 천재교육(주) 2002

[15] 황혜정 외 5인 수학교육학 신론 문음사 2002

• Ⅰ 서론
• • 1 연구의 필요성과 목적
  • 2 연구의 제한점
  • • Ⅱ 개정 교육과정에서 명시된 수학Ⅰ교육의 목표
    • • 1 수학Ⅰ교육의 목표
      • 2 고등학교 수학 Ⅰ 수열 단원의 학습목표
      • • Ⅲ 수열의 역사적 배경 및 응용
        • • 1 수열의 역사
          • 2 수열 단원이 실생활에 응용된 사례
          • • Ⅳ 고등학교 수학교육과정에서의 수열
            • • 1 수학Ⅰ 교과서 분석
              • 2 수학Ⅰ 교과서에서의 수열
              • • Ⅴ 켈러의 ARCS 이론과 수열 지도
                • • 1 켈러의 ARCS 이론
                  • 2 ARCS 이론을 적용한 수열 수업 계획서
                  • 3 ARCS 이론을 적용한 수업 지도안
                  • 4 조사지 분석
                  • • Ⅵ 결론
                    • 참고문헌

학생들이 수학과목이 어렵다고 느끼는 이유는 응용문제에 어떤 공식을

용해야 하는지를 몰라서 라는 답이 58로 가장 많았다 그 외에도

계산과정이 복잡하거나 외워야할 공식들이 많아서라는 답도 있었다

이해 주의 수업을 하고 단순한 공식의 암기 주의 수업을 탈피해야겠

다

수학수업을 하는데 효과 인 방법에는 선생님 주의 강의식 수업과 학

생 개인별 수업이 78로 가장 많았다 개념이나 공식유도과정을 설명할

땐 서를 하며 강의식 수업을 하고 문제풀이땐 학생들 개인별로 첨삭

지도를 하는게 효율 인것 같다

⑤ 기타이유 (이유를 간단히 어주세요)

[그림9 조사문제지

(4)번 막 그래 ]

⑸ 수학 수업을 하는 데 어떤 방법이 가장 효과 이라고 생각하나요

① 선생님 주의 강의식 수업

② 학생 개인별 수업

③ 모둠별 활동 수업

④ 기타 교재나 과제를 통한 수업

⑤ 기타(이유를 간단히 어주세요)

[그림10 조사문제지

(5)번 막 그래 ]

Ⅵ 결론

본 논문에서 지 까지 고등학교 2학년 학생들이 수학 Ⅰ 교육과정을 학습하

는데 가장 어려워하는 수열에 해 살펴보았다 먼 개정 교육과정에 명시

된 수학교육의 목표와 임의로 선택된 5종 교과서에서 수열 단원의 학습목표

를 살펴보았고 수열의 역사 배경과 실생활에 응용된 들을 정리해보았

다 한 5종 교과서에서 제시되어 있는 수열의 학습내용을 소단원 별로 정

리해보았다 임의로 선택된 5종 교과서안의 수열의 학습내용을 분석해보면

서 몇 몇 교과서에서 여러 가지 수열 단원에서 군 수열과 멱 수에 한 언

이 없거나 미약함을 알 수 있었다 본 연구자가 보기에 군 수열과 멱 수

부분은 실생활에 활용될 는 극히 작아 보이지만 학생들이 꼭 학습하고 넘

어가야 수열에 한 완벽한 학습이 될 수 있을 것이라 여겼는데 교과서에서

제시된 내용들로는 학생들이 충분히 이해할 수 없을 것 같았다

그리고 교과서에 제시된 문항의 수 이 입시와 동 떨어진다는 문제 이 있

었다 교과서에 제시된 문제가 부족하고 수 이 낮다 보니 실제로 학교에서

수업 때 보충 린트 물로 수업을 진행하고 간기말고사 때에도 교과서

외에서 많은 문제를 출제하는 모습을 볼 수 있었다 때문에 학생들이 교과서

보다는 문제집 주의 공부를 할 수 밖에 없는 듯 보 다 교과서가 학생들

과 교사의 요구에 부합할 수 있도록 새로운 내용들과 문제를 싣도록 해야

할 것이다

학생들이 수열 단원의 학습을 할 때 좀 더 효과 인 학습이 될 수 있도록

리의 동기설계이론 (ARCS 이론) 을 바탕으로 하여 수업 계획서와 1차시

의 수업 지도안을 작성해 보았다 한 작성한 수업 지도안으로 부천시 소재

의 한 고등학교에서 실제 수업을 진행해 보았을 때 학생들이 좀 더 수열에

해 친숙하게 느끼고 쉽게 이해하는 모습을 볼 수 있었다 본 연구자가

직 교사가 아니라 여러 반을 상으로 수열 단원의 모든 차시 수업에 용

하여 수업을 해볼 수 없었단 이 아쉬움으로 남는다

이와 같이 학생들의 주의 련성자신감만족감 증진을 한 수업을 함

으로써 학생들의 수학 학습 성취도의 향상을 기 할 수 있을 것이다 한

개발된 자료를 실제 수업에 용하는 경우의 효율성에 한 후속 연구가 체

계 이고 지속 으로 이루어져야 할 것이다

참 고 문 헌

[1] 구평회 META 구평회 교육학 2007

[2] 교육인 자원부 고시 제2007 - 79호[별책8] 2007

[3] 박인학 교사를 한 교수학습방법론 문사 1995

[4] 변 계 교수학습 이론의 이해 학지사 1999

[5] 우정호 외 5인 고등학교 수학 Ⅰ 한교과서(주) 2002

[6] 이 연 자연의 수학 열쇠 피보나치수열 로네시스 2006

[7] 이진화 지수로그함수의 지도에 한 연구 서강 학교 교육 학원 석사 학

논문 2006

[8] 임재훈 외 10인 고등학교 수학 Ⅰ (주)두산 2002

[9] 장 숙 고등학교 수학 Ⅰ 교과서의 통계단원 분석 실생활에의 용 경희

학교 교육 학원 석사 학 논문 2006

[10] 조해식 행렬 수열 수업에서의 수학사 도입에 한 연구 울산 학교 석사

학 논문 1998

[11] 차 자 수열 학습의 흥미 유발을 한 자료 연구 경성 학교 교육 학원 석

사 학 논문 2004

[12] 최 외 5인 고등학교 수학 Ⅰ 앙교육진흥연구소 2006

[13] 최상기 외 5인 고등학교 수학 Ⅰ (주)고려출 2002

[14] 최용 신 성 고등학교 수학 Ⅰ 천재교육(주) 2002

[15] 황혜정 외 5인 수학교육학 신론 문음사 2002

• Ⅰ 서론
• • 1 연구의 필요성과 목적
  • 2 연구의 제한점
  • • Ⅱ 개정 교육과정에서 명시된 수학Ⅰ교육의 목표
    • • 1 수학Ⅰ교육의 목표
      • 2 고등학교 수학 Ⅰ 수열 단원의 학습목표
      • • Ⅲ 수열의 역사적 배경 및 응용
        • • 1 수열의 역사
          • 2 수열 단원이 실생활에 응용된 사례
          • • Ⅳ 고등학교 수학교육과정에서의 수열
            • • 1 수학Ⅰ 교과서 분석
              • 2 수학Ⅰ 교과서에서의 수열
              • • Ⅴ 켈러의 ARCS 이론과 수열 지도
                • • 1 켈러의 ARCS 이론
                  • 2 ARCS 이론을 적용한 수열 수업 계획서
                  • 3 ARCS 이론을 적용한 수업 지도안
                  • 4 조사지 분석
                  • • Ⅵ 결론
                    • 참고문헌

[그림10 조사문제지

(5)번 막 그래 ]

Ⅵ 결론

본 논문에서 지 까지 고등학교 2학년 학생들이 수학 Ⅰ 교육과정을 학습하

는데 가장 어려워하는 수열에 해 살펴보았다 먼 개정 교육과정에 명시

된 수학교육의 목표와 임의로 선택된 5종 교과서에서 수열 단원의 학습목표

를 살펴보았고 수열의 역사 배경과 실생활에 응용된 들을 정리해보았

다 한 5종 교과서에서 제시되어 있는 수열의 학습내용을 소단원 별로 정

리해보았다 임의로 선택된 5종 교과서안의 수열의 학습내용을 분석해보면

서 몇 몇 교과서에서 여러 가지 수열 단원에서 군 수열과 멱 수에 한 언

이 없거나 미약함을 알 수 있었다 본 연구자가 보기에 군 수열과 멱 수

부분은 실생활에 활용될 는 극히 작아 보이지만 학생들이 꼭 학습하고 넘

어가야 수열에 한 완벽한 학습이 될 수 있을 것이라 여겼는데 교과서에서

제시된 내용들로는 학생들이 충분히 이해할 수 없을 것 같았다

그리고 교과서에 제시된 문항의 수 이 입시와 동 떨어진다는 문제 이 있

었다 교과서에 제시된 문제가 부족하고 수 이 낮다 보니 실제로 학교에서

수업 때 보충 린트 물로 수업을 진행하고 간기말고사 때에도 교과서

외에서 많은 문제를 출제하는 모습을 볼 수 있었다 때문에 학생들이 교과서

보다는 문제집 주의 공부를 할 수 밖에 없는 듯 보 다 교과서가 학생들

과 교사의 요구에 부합할 수 있도록 새로운 내용들과 문제를 싣도록 해야

할 것이다

학생들이 수열 단원의 학습을 할 때 좀 더 효과 인 학습이 될 수 있도록

리의 동기설계이론 (ARCS 이론) 을 바탕으로 하여 수업 계획서와 1차시

의 수업 지도안을 작성해 보았다 한 작성한 수업 지도안으로 부천시 소재

의 한 고등학교에서 실제 수업을 진행해 보았을 때 학생들이 좀 더 수열에

해 친숙하게 느끼고 쉽게 이해하는 모습을 볼 수 있었다 본 연구자가

직 교사가 아니라 여러 반을 상으로 수열 단원의 모든 차시 수업에 용

하여 수업을 해볼 수 없었단 이 아쉬움으로 남는다

이와 같이 학생들의 주의 련성자신감만족감 증진을 한 수업을 함

으로써 학생들의 수학 학습 성취도의 향상을 기 할 수 있을 것이다 한

개발된 자료를 실제 수업에 용하는 경우의 효율성에 한 후속 연구가 체

계 이고 지속 으로 이루어져야 할 것이다

참 고 문 헌

[1] 구평회 META 구평회 교육학 2007

[2] 교육인 자원부 고시 제2007 - 79호[별책8] 2007

[3] 박인학 교사를 한 교수학습방법론 문사 1995

[4] 변 계 교수학습 이론의 이해 학지사 1999

[5] 우정호 외 5인 고등학교 수학 Ⅰ 한교과서(주) 2002

[6] 이 연 자연의 수학 열쇠 피보나치수열 로네시스 2006

[7] 이진화 지수로그함수의 지도에 한 연구 서강 학교 교육 학원 석사 학

논문 2006

[8] 임재훈 외 10인 고등학교 수학 Ⅰ (주)두산 2002

[9] 장 숙 고등학교 수학 Ⅰ 교과서의 통계단원 분석 실생활에의 용 경희

학교 교육 학원 석사 학 논문 2006

[10] 조해식 행렬 수열 수업에서의 수학사 도입에 한 연구 울산 학교 석사

학 논문 1998

[11] 차 자 수열 학습의 흥미 유발을 한 자료 연구 경성 학교 교육 학원 석

사 학 논문 2004

[12] 최 외 5인 고등학교 수학 Ⅰ 앙교육진흥연구소 2006

[13] 최상기 외 5인 고등학교 수학 Ⅰ (주)고려출 2002

[14] 최용 신 성 고등학교 수학 Ⅰ 천재교육(주) 2002

[15] 황혜정 외 5인 수학교육학 신론 문음사 2002

• Ⅰ 서론
• • 1 연구의 필요성과 목적
  • 2 연구의 제한점
  • • Ⅱ 개정 교육과정에서 명시된 수학Ⅰ교육의 목표
    • • 1 수학Ⅰ교육의 목표
      • 2 고등학교 수학 Ⅰ 수열 단원의 학습목표
      • • Ⅲ 수열의 역사적 배경 및 응용
        • • 1 수열의 역사
          • 2 수열 단원이 실생활에 응용된 사례
          • • Ⅳ 고등학교 수학교육과정에서의 수열
            • • 1 수학Ⅰ 교과서 분석
              • 2 수학Ⅰ 교과서에서의 수열
              • • Ⅴ 켈러의 ARCS 이론과 수열 지도
                • • 1 켈러의 ARCS 이론
                  • 2 ARCS 이론을 적용한 수열 수업 계획서
                  • 3 ARCS 이론을 적용한 수업 지도안
                  • 4 조사지 분석
                  • • Ⅵ 결론
                    • 참고문헌

Ⅵ 결론

본 논문에서 지 까지 고등학교 2학년 학생들이 수학 Ⅰ 교육과정을 학습하

는데 가장 어려워하는 수열에 해 살펴보았다 먼 개정 교육과정에 명시

된 수학교육의 목표와 임의로 선택된 5종 교과서에서 수열 단원의 학습목표

를 살펴보았고 수열의 역사 배경과 실생활에 응용된 들을 정리해보았

다 한 5종 교과서에서 제시되어 있는 수열의 학습내용을 소단원 별로 정

리해보았다 임의로 선택된 5종 교과서안의 수열의 학습내용을 분석해보면

서 몇 몇 교과서에서 여러 가지 수열 단원에서 군 수열과 멱 수에 한 언

이 없거나 미약함을 알 수 있었다 본 연구자가 보기에 군 수열과 멱 수

부분은 실생활에 활용될 는 극히 작아 보이지만 학생들이 꼭 학습하고 넘

어가야 수열에 한 완벽한 학습이 될 수 있을 것이라 여겼는데 교과서에서

제시된 내용들로는 학생들이 충분히 이해할 수 없을 것 같았다

그리고 교과서에 제시된 문항의 수 이 입시와 동 떨어진다는 문제 이 있

었다 교과서에 제시된 문제가 부족하고 수 이 낮다 보니 실제로 학교에서

수업 때 보충 린트 물로 수업을 진행하고 간기말고사 때에도 교과서

외에서 많은 문제를 출제하는 모습을 볼 수 있었다 때문에 학생들이 교과서

보다는 문제집 주의 공부를 할 수 밖에 없는 듯 보 다 교과서가 학생들

과 교사의 요구에 부합할 수 있도록 새로운 내용들과 문제를 싣도록 해야

할 것이다

학생들이 수열 단원의 학습을 할 때 좀 더 효과 인 학습이 될 수 있도록

리의 동기설계이론 (ARCS 이론) 을 바탕으로 하여 수업 계획서와 1차시

의 수업 지도안을 작성해 보았다 한 작성한 수업 지도안으로 부천시 소재

의 한 고등학교에서 실제 수업을 진행해 보았을 때 학생들이 좀 더 수열에

해 친숙하게 느끼고 쉽게 이해하는 모습을 볼 수 있었다 본 연구자가

직 교사가 아니라 여러 반을 상으로 수열 단원의 모든 차시 수업에 용

하여 수업을 해볼 수 없었단 이 아쉬움으로 남는다

이와 같이 학생들의 주의 련성자신감만족감 증진을 한 수업을 함

으로써 학생들의 수학 학습 성취도의 향상을 기 할 수 있을 것이다 한

개발된 자료를 실제 수업에 용하는 경우의 효율성에 한 후속 연구가 체

계 이고 지속 으로 이루어져야 할 것이다

참 고 문 헌

[1] 구평회 META 구평회 교육학 2007

[2] 교육인 자원부 고시 제2007 - 79호[별책8] 2007

[3] 박인학 교사를 한 교수학습방법론 문사 1995

[4] 변 계 교수학습 이론의 이해 학지사 1999

[5] 우정호 외 5인 고등학교 수학 Ⅰ 한교과서(주) 2002

[6] 이 연 자연의 수학 열쇠 피보나치수열 로네시스 2006

[7] 이진화 지수로그함수의 지도에 한 연구 서강 학교 교육 학원 석사 학

논문 2006

[8] 임재훈 외 10인 고등학교 수학 Ⅰ (주)두산 2002

[9] 장 숙 고등학교 수학 Ⅰ 교과서의 통계단원 분석 실생활에의 용 경희

학교 교육 학원 석사 학 논문 2006

[10] 조해식 행렬 수열 수업에서의 수학사 도입에 한 연구 울산 학교 석사

학 논문 1998

[11] 차 자 수열 학습의 흥미 유발을 한 자료 연구 경성 학교 교육 학원 석

사 학 논문 2004

[12] 최 외 5인 고등학교 수학 Ⅰ 앙교육진흥연구소 2006

[13] 최상기 외 5인 고등학교 수학 Ⅰ (주)고려출 2002

[14] 최용 신 성 고등학교 수학 Ⅰ 천재교육(주) 2002

[15] 황혜정 외 5인 수학교육학 신론 문음사 2002

• Ⅰ 서론
• • 1 연구의 필요성과 목적
  • 2 연구의 제한점
  • • Ⅱ 개정 교육과정에서 명시된 수학Ⅰ교육의 목표
    • • 1 수학Ⅰ교육의 목표
      • 2 고등학교 수학 Ⅰ 수열 단원의 학습목표
      • • Ⅲ 수열의 역사적 배경 및 응용
        • • 1 수열의 역사
          • 2 수열 단원이 실생활에 응용된 사례
          • • Ⅳ 고등학교 수학교육과정에서의 수열
            • • 1 수학Ⅰ 교과서 분석
              • 2 수학Ⅰ 교과서에서의 수열
              • • Ⅴ 켈러의 ARCS 이론과 수열 지도
                • • 1 켈러의 ARCS 이론
                  • 2 ARCS 이론을 적용한 수열 수업 계획서
                  • 3 ARCS 이론을 적용한 수업 지도안
                  • 4 조사지 분석
                  • • Ⅵ 결론
                    • 참고문헌

직 교사가 아니라 여러 반을 상으로 수열 단원의 모든 차시 수업에 용

하여 수업을 해볼 수 없었단 이 아쉬움으로 남는다

이와 같이 학생들의 주의 련성자신감만족감 증진을 한 수업을 함

으로써 학생들의 수학 학습 성취도의 향상을 기 할 수 있을 것이다 한

개발된 자료를 실제 수업에 용하는 경우의 효율성에 한 후속 연구가 체

계 이고 지속 으로 이루어져야 할 것이다

참 고 문 헌

[1] 구평회 META 구평회 교육학 2007

[2] 교육인 자원부 고시 제2007 - 79호[별책8] 2007

[3] 박인학 교사를 한 교수학습방법론 문사 1995

[4] 변 계 교수학습 이론의 이해 학지사 1999

[5] 우정호 외 5인 고등학교 수학 Ⅰ 한교과서(주) 2002

[6] 이 연 자연의 수학 열쇠 피보나치수열 로네시스 2006

[7] 이진화 지수로그함수의 지도에 한 연구 서강 학교 교육 학원 석사 학

논문 2006

[8] 임재훈 외 10인 고등학교 수학 Ⅰ (주)두산 2002

[9] 장 숙 고등학교 수학 Ⅰ 교과서의 통계단원 분석 실생활에의 용 경희

학교 교육 학원 석사 학 논문 2006

[10] 조해식 행렬 수열 수업에서의 수학사 도입에 한 연구 울산 학교 석사

학 논문 1998

[11] 차 자 수열 학습의 흥미 유발을 한 자료 연구 경성 학교 교육 학원 석

사 학 논문 2004

[12] 최 외 5인 고등학교 수학 Ⅰ 앙교육진흥연구소 2006

[13] 최상기 외 5인 고등학교 수학 Ⅰ (주)고려출 2002

[14] 최용 신 성 고등학교 수학 Ⅰ 천재교육(주) 2002

[15] 황혜정 외 5인 수학교육학 신론 문음사 2002

• Ⅰ 서론
• • 1 연구의 필요성과 목적
  • 2 연구의 제한점
  • • Ⅱ 개정 교육과정에서 명시된 수학Ⅰ교육의 목표
    • • 1 수학Ⅰ교육의 목표
      • 2 고등학교 수학 Ⅰ 수열 단원의 학습목표
      • • Ⅲ 수열의 역사적 배경 및 응용
        • • 1 수열의 역사
          • 2 수열 단원이 실생활에 응용된 사례
          • • Ⅳ 고등학교 수학교육과정에서의 수열
            • • 1 수학Ⅰ 교과서 분석
              • 2 수학Ⅰ 교과서에서의 수열
              • • Ⅴ 켈러의 ARCS 이론과 수열 지도
                • • 1 켈러의 ARCS 이론
                  • 2 ARCS 이론을 적용한 수열 수업 계획서
                  • 3 ARCS 이론을 적용한 수업 지도안
                  • 4 조사지 분석
                  • • Ⅵ 결론
                    • 참고문헌

참 고 문 헌

[1] 구평회 META 구평회 교육학 2007

[2] 교육인 자원부 고시 제2007 - 79호[별책8] 2007

[3] 박인학 교사를 한 교수학습방법론 문사 1995

[4] 변 계 교수학습 이론의 이해 학지사 1999

[5] 우정호 외 5인 고등학교 수학 Ⅰ 한교과서(주) 2002

[6] 이 연 자연의 수학 열쇠 피보나치수열 로네시스 2006

[7] 이진화 지수로그함수의 지도에 한 연구 서강 학교 교육 학원 석사 학

논문 2006

[8] 임재훈 외 10인 고등학교 수학 Ⅰ (주)두산 2002

[9] 장 숙 고등학교 수학 Ⅰ 교과서의 통계단원 분석 실생활에의 용 경희

학교 교육 학원 석사 학 논문 2006

[10] 조해식 행렬 수열 수업에서의 수학사 도입에 한 연구 울산 학교 석사

학 논문 1998

[11] 차 자 수열 학습의 흥미 유발을 한 자료 연구 경성 학교 교육 학원 석

사 학 논문 2004

[12] 최 외 5인 고등학교 수학 Ⅰ 앙교육진흥연구소 2006

[13] 최상기 외 5인 고등학교 수학 Ⅰ (주)고려출 2002

[14] 최용 신 성 고등학교 수학 Ⅰ 천재교육(주) 2002

[15] 황혜정 외 5인 수학교육학 신론 문음사 2002

• Ⅰ 서론
• • 1 연구의 필요성과 목적
  • 2 연구의 제한점
  • • Ⅱ 개정 교육과정에서 명시된 수학Ⅰ교육의 목표
    • • 1 수학Ⅰ교육의 목표
      • 2 고등학교 수학 Ⅰ 수열 단원의 학습목표
      • • Ⅲ 수열의 역사적 배경 및 응용
        • • 1 수열의 역사
          • 2 수열 단원이 실생활에 응용된 사례
          • • Ⅳ 고등학교 수학교육과정에서의 수열
            • • 1 수학Ⅰ 교과서 분석
              • 2 수학Ⅰ 교과서에서의 수열
              • • Ⅴ 켈러의 ARCS 이론과 수열 지도
                • • 1 켈러의 ARCS 이론
                  • 2 ARCS 이론을 적용한 수열 수업 계획서
                  • 3 ARCS 이론을 적용한 수업 지도안
                  • 4 조사지 분석
                  • • Ⅵ 결론
                    • 참고문헌