Durchscbnltte und Vereinigungen monotoner Folgen spezieller konvexer K~rper

Von PETER M. GRVB~.R

1. Einleitung

Is t S 1 ~ $2 D . . . eine monoton abnehmende Folge yon (kompakten) Simplexen des d-dimensionalen euklidischen Raumes R a, dann ist nach BOROVIKOV [1] aueh N Sk ein Simplex. Dieses Resul ta t best~tigt eine Vermutung yon KOLMOGOROV. Der Beweis yon BOROVIKOV iSt direkt. Dagegen verwenden EGGLESTON, GRUNBAUM und KLE~. [2] ffir ihren Beweis Kennzeichnungen der Simplexe yon CHOQUET (s. [8]) bzw. ROGERS und SHEPHARD [10]. Der Begriff der Choquet-Simplexe (s. [8]) ges ta t te t dabei die Einbeziehung des unendlichdimensionalen Falles. Fiir die Sondeff~lle, da~ die Dimension yon (~ S k, dim (~ Sk, gleich d oder d - 1 ist, geben EGGLESTON, GRUNBAUM und KLEE auch Alternativbeweise an. Nach GRUBER [5] ist der Durchschnit t einer monoton abnehmenden Folge yon Parallelepipeden ebenfalls ein Parallelepiped. Zum Beweis dieser Aussage wird eine Kennzeichnung der Parallelepipede herangezogen, die yon HARAZI~VILI [7] s tammt.

Diese Ergebnisse legen folgende Frage nahe: Welche, mSglichst engen Klassen von abgeschlossenen, konvexen Teilmengen des R a enthal ten mit jeder monoton abnehmenden Folge auch deren Durchschni t t ? Dual dazu ist die Frage, welche derartigen Klassen mit jeder monoton wachsenden Folge auch den AbschluB der Vereinigung enthalten.

In den Abschni t ten 2, 3 werden beide Fragen fiir Simplexe und Parallelepipede bzw. fiir gewisse Verallgemeinerungen davon behandelt . (Der Abschlufl der Vereinigung einer monoton wachsenden Folge yon Simplexen oder ParaUelepipeden mug kein Simplex oder Parallelepiped sein !)

Is t A c R n, dann bezeichnen int A, cl A, cony A und lin A das Innere, den Absehlufl und die konvexe bzw. lineare Hi:file yon A. relint A sei das Innere von A relativ zur affinen Hiille yon A. Is t p e R a, dann sei cone (p ;A) ~ {(1 - s)p + sx I s e [ 0 , + o o [ , x e c o n v A } und es sei A +I~ ~ { x + 1 ~ ] x ~ A } . Fiir s ~ R sei sA ~ { s x l x ~ A } . A heiBt die direkte Summe yon B1 . . . . . B , c R a, symboliseh A = B 1 (~ . �9 �9 (~ Bn, f a l l sA = B1 + " " + B = ~ { x l + . . . + x , ] x ~ E B t } g i l t u n d d i e d i r e k t e Summe der Unterr~ume lin B x , . . . , lin B , im R a existiert, o sei der Ursprung des R d.

190 P e t e r M. G r u b e r

2. Monotone Folgen yon Simplexen

Wir nennen eine Menge T c •d ein veral~emeinertes Simplex, wenn sie sich in der Form

T = S G C G L

darstellen 1/iBt. Dabei bezeiehnet S ein Simplex, C einen simplizialen Kegel, d.h. eine direkte Summe yon abgesehlossenen Halbstrahlen und L einen Unterraum des R a. Die verallgemeinerten Simplexe sind eng verwandt mit den gew6hnlichen. Z.B. en tn immt man dem Satz 2 in [4], dab eine abgeschlossene, konvexe Menge T c R ~ genau dann �9 verallge- meinertes Simplex ist, wenn folgendes gilt:

x � 9 a , r e l i n t T r ~ r e l i n t ( T + x) ~ ~ :~ T (~ ( T + x) = s T + y fur passendes s �9 R + und y ~ R ~.

Dutch dieselbe Eigenschaft werden nach ROGERS und SHEPHARD [10] die Simplexe unter den kompakten, konvexen Teilmengen des R d ausgezeich- net.

Eindeutigkeitsaussagen fiber die Darstellung yon Teilmengen des R a als direkte Summen bei GRUBER [4] oder GALE und KLEE [3] zeigen, dab e s

(d + 1)(d + 2)(d + 3)/6

Affinklassen yon verallgemeinerten Simplexen im R a gibt.

Satz 1. Ist ( T~ [ ~ �9 I} eine Familie van verallgemeinerten Simplexen der Dimensionen < d im R ~, die beztbflich der Inklusion nach oben (bzw. unten) gerichtet ist, dann ist el (.J (T~ [ , e / } (bzw. N (T, ], e I} leer oder) auch �9 verallgemeinertes Siml~lex im R ~.

Insbesondere gelten diese Aussagen ffir monotone Folgen verallge- meinerter Simplex�9

Wir zelegen den Beweis in mehrere Schritte. < , > sei das inner�9 P roduk t im R ~. Ist A c R ~, dann heiBt

A* ~- (Yegr <x,y> ~< 1 ffir a l lex c A }

die zu A polare Menge. Im folgenden seien, A, B, B 1 , . . . , B, , L Teil- mengen des R d. Dann gilt bekanntlieh (s. [11], S.76):

(i)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

A* = (cl A)* = (elconv A)* = (eleonv ({o} ~) A))*,

o ~ A, A abgesehlossen, konvex ~ A = A**,

o e int A * A* kompakt , o e A*,

A kompakt ~ o �9 int A*,

A c B ~ A * ~ B*,

(N {A, I ' �9 I})* = eleonv U (.4* l ' e I},

(7)

(8)

Monotone Folgen spezieller konvexer KSrper

L U n t e r r a u m ~ L* = L l ( ~ O r t h o k o m p l e m e n t y o n L),

n�9 r e R

{ x l ( x , n > < r } * = s n l s � 9 r f i i r r

L[O, +ooLIJ < o

191

I s t ~ : R a -+ R a e ine n ichts ingul~re L i n e a r t r a n s f o r m a t i o n u n d r* die zu ad jungier te , d a n n gi l t

(9) (~A)* = ~ * - IA * .

Se tz t m a n A *A ~ A* r l in A, so ist of fenbar

(10) A* -- A *A (~ (lin A) •

Wi r zeigen n u n fo lgende Aussage:

(11) A = B l ( ~ . . . O B , , o ~ A , l i n B t _ L l i n B ~ f ' f i r i ~ j

A *A -- c o n y (B*Sx U . . . U B'B-) .

0 .B .d .A. sei n = 2.

A * A = ( y ~ l i n A = l i n B ~ O B 2 ] ( y , x ) ~< l f i i r a l l e x ~ A = B ~ O B 2 }

= {Yl + Yu [ Y, e l in B,, (Yl , x l ) + (Y2, x2) <~ 1 ffir alle x, e B,}

= L.J ( { y l e l in 81 ] (Yl, z l ) < s f'fir alle x 1 e 8 1 }

+ {Yu e l i n B u ] (Y2, x2) ~< 1 - s f'tir a l l �9 x 2 e Bu} ).

Wegen 0 �9 A ist 0 �9 B1, B2. Daher ist fiir s r [0, 1] jeweils einer der beiden S u m m a n d e n in unsere r Vereinigung leer. D.h.

A *a = ~J (sB *s, + (1 - s )B*S2) = c o n v ( B * S ~ U B * S ~ ) s e [O , l ]

u n d (9) is t bewiesen. Man zeigt leicht

(12) A k o m p a k t , konvex , o e A B abgeschlossener, k o n v e x e r Kegel m i t o als Spi tze ~ c leonv (A L) B) = A + B.

Ebenfal ls ohne Sehwier igke i ten beweist m a n die Aussage:

(13) S' , S ~ c R ~ Simplexe, o �9 S' , o E c k p u n k t y o n S ' ,

lin S ' n l in S" = (o} ~ cony (S' u S") is t �9 Simplex.

Hiffssatz 1. I s t T ein verallgemeinertes S imp lex i m R a mi t o �9 T, dann auch T*.

Beweis. Wir zeigen zuers t :

(14) S c R a S implex , o e S = ~ S *s vera l lgemeiner tes Simplex,

S *s = S ' (~ C' mi t e inem Simplex S ' und e inem simplizialen

Kege l C', o �9 S ' , C'.

192 Peter M. Gruber

I s t S so ein Simplex , d a n n k a n n m a n o .B.d .A, d i m S = d a n n e h m e n . Es sei e t w a

,s = (:~ I r ,~o) < 1} n . . . n {,~ I (:~, n, , ) .<< 1} n {:~ 1 (,x, n~+~) < O} n . . . n {x I (x, n~) < 0}.

Mit p a s s e n d e n ZaMen ~o, �9 �9 sd �9 R gi l t

(15) Son o + . . . + s~n~ = o, 80 . . . . . s~ > O, s o + . . . + s k = 1.

Aus (6) u n d (8) folgt

s * -- c l c o ~ ({tno I t ~ [o, 1]} u . . . u {tn,, I t ~ [o, 1]} u {tn,,§ I t ~ [o, +oo[} u . . . u {t,~ I t ~ [o, +oo[})

= c lconv (cony {o, no . . . . , nk} u cone (o; {nk+l . . . . , nd}))

= c lconv (S 1 w C1)

m i t $1 ~ c o n y {o, n o , . . . , nk} und C~ ~ cone (o; {nk+x . . . . . n~}). W e g e n (12) is t S* = S 1 + C 1. Es sei S 2 ~ cony { n o , . . . , nk} c S1. Wi r zeigen

(16) S* = S 2 + C 1.

Of fenbar is t $2 + C~ c S*. Es sei n u n x e S* -- S~ + C~, d.h. es g i b t Zah len t o . . . . . td e R m i t

x = ton o - k . . . - t - rand, t o . . . . . ta >1 O, t o + . . . - t - t~ ~ 1.

Aus (15) fo lg t

x = (t o + SSo)n o + . . . + (t d + s s a ) n d f i i r a l l e s e R +.

W e g e n So . . . . , sd > 0 k a n n m a n du reh p a s s e n d e W a h l yon s erre ichen, d a b m i t u~ ~ t~ + ss~ gil t

x = u o n o + . . . -t- u~n~, U o , . . . , u ~ >1 O, u o + . . . + u k = 1,

also x e S 2 + C1. D a m i t i s t (16) bewiesen. E s sei

S ' ~ S 2 - ( son o + . . . + sknk ) , C ' ~ C 1 - ( s k + l n ~ + 1 + . . . + s~nd) .

Aus (15) u n d den Defini t ionen von $2, C1 fo lg t

(17) S ' Simplex, o e S ' , d im S ' -- k.

C ' s impliz ia ler Kegel , o e C ' , d i m C ' = d - k .

Aus (16) e rg i b t sich S * = S ' + C ' . W e g e n (4) is t d i m S* = d, also

d ~ d i m ( S ' + C ' ) ~< d im (lin S " + l in C')

~< d im l i n S ' + d i m l i n C ' ~< k + d - k = d

wegen (17). D.h . d im (lin S ' + lin C ' ) = d = d i m lin S ' + d im lin C' . l in S ' (~ l i n C" exis t ie r t also. D a m i t i s t a b e r S* = S ' + C ' = S ' �9 C ' .

Monotone Folgen spezieller konvexer K6rper 193

Daxaus und aus (17) folgt (14). Mit ~hnlichen, im Detail abet einfaeheren Schliissen beweis t man folgende Aussage:

(18) C c R �9 simplizialer Kegel, o ~ C ~ C *c verallgemeinertes

Simplex, C *c = S~(~ C ~ mit einem Simplex S ~ und e i n e m

simplizialen Kegel C ", o Eckpunkt yon S*, o E C ".

Nach (7) und (10) gilt

(19) L �9 R a Unter raum ~ L *L = (o}.

Aus (9), (10), (I1), (13), (14), (18) und (19) ergibt sieh der I-Iilfssatz 1. !

Beweis yon 8atz 1. Es geniigt offenbax, monotone Folgen verallgemein- erter Simplexe zu betrachten. Wir halten so eine Folge T1, T 2 , . . . lest.

1.) T 1 c T : ~ . . - . O.B.d.A. sei d i m T 1 = d i m T 2 . . . . . d und o e int T 1. Wegen (3), (5) und Hilfssatz 1 ist T*, T * , . . . eine monoton abnehmende Folge yon Simplexen im R e, die alle o enthalten. Nach Borovikov ist daher N T* ein Simplex, das o enth~lt. Daher folgt aus Hilfssatz 1, da[~ (N T*)* ein verallgemeinertes Simplex ist. Wegen (1), (2) und (6) ist aber cl U T~ = cleonv (,J (T*)* = (A T*)*.

2.) T 1 ~ T2 ~ " " . Is t A Tk = ~ , dann sind wit fertig. Es sei nun ('~ T~ # ~ . O.B.d.A. sei o ~ ('~ T~. Nach (5) und Hilfssatz 1 ist T*, T* . . . . eine monoton waehsende Folge verallgemeinerter Simplexe mit o e T~. Wegen dem schon erledigten Fall 1 ist cl U T* aueh ein verallgemeinertes Simplex, das o enthKlt. Daraus folgt nach (1), (6) und Hilfssatz 1, dab N Tk = (eleonv (_J T*)* = (cl (.J T~)* auch ein verallgemeinertes Simplex ist. m

Die Riiekfiihrung auf den Fall von BOROVlKOV kann man aueh mit passenden projekt iven Transformationen durchfiihren.

3. M o n o t o n e Fo lgen y o n Paral le lepipeden

Unter einem veraUgemeinerten Parallelepiped verstehen wir eine Menge Q c ~a, die sich in der Form

(1) Q = P • C e L

darstellen l~l~t. P bezeichnet hier ein Parallelepiped, C einen simplizialen Kegel und L einen Unter raum des R e. In (1) kann man o.B.d.A. P , C c L • voraussetzen. Die verallgemeinerten Parallelepipede sind ebenso eng verwandt mit den Parallelepipeden, wie das bei den Simplexen der Fall war. Naeh H~N~ER [6] ist eine kompakte, konvexe Teilmenge P c R~ genau dann ein Parallelepiped, wenn die Familie {sP + p I s e R +, p �9 R e} der posi t iven homothetischen Bilder yon P die Helly-Zahl 2 hat. D.h. eine endliche Teilfamilie hat genau dann niehtleeren Durchschnitt , wenn je zwei ihrer Mitglieder nichtleeren Durehsehnit t haben. Diese Eigen- schaft reieht nicht aus, um die verallgemeinerten Parallelepipede unter

194 Peter M. Grubor

den abgeschlossenen, konvexen Teilmengen des R ~ auszuzeichnen. Wir werden aber sehen, dab eine abgeschlossene, konvexe Menge Q c R a genau dann ein verallgemeinertes Parallelepiped ist, wenn die Familie (sQ + p I s e R, p e R ~} die Helly-Zahl 2 hat. Mit einer Kennzeichnung der Parallelepipede yon H~Lt~AzIw [7] lassen sich ebenfalls Zusammen- h~nge herstellen. Genauso wie im vorhergehenden Abschni t t zeigt man, dab es

(d + 1)(d + 2)(d + 3)/6

versehiedene Affinklassen yon verallgemeinerten Parallelepipeden des R a gibt. Als Erweiterung eines Satzes in [5] zeigen wir den folgenden

Satz 2. Es sei {Q~le e I} eine Familie yon verallgemeinerten Parallel- epipeden im R d der Dimensionen <<. d, die bez~glich der Inklusion nach oben (bzw. unten) gerichtet ist. Dann ist cl (.J (Q~ ] ~ e I} (bzw. ('~ (Qe I ~ e I} leer oder ) auch ein verallgemeinertes ParaUelepiped im R ~.

Die nachstehende kleine Modifikation des zitierten Satzes yon HANNER wird sparer ben5tigt:

(1) Es sei P c R ~ kompakt und konvex. P ist genau dann ein Parallelepiped, wenn folgendes gilt: Jede endliche Familie yon positiven homothetischen Bildern yon P ha t dann nichtleeren Durehschnitt , falls je zwei davon relativ innere Punk te gemein- sam haben (symbolisch: P e ~).

I s t P ein Parallelepiped, so ist offenbar P e ~. Es gelte nun umgekehrt P e ~. Wir betrachten eine endliche Familie yon posi t iven homothetischen Bildern yon P , yon denen je zwei nichtleeren Durchschni t t haben. Dutch passende Dilatation, wegen P e $ und einer einfachen Kompakthei ts- iiberlegung sieht man, dab diese Familie nichtleeren Durchschnit t hat. D.h. (sP + p I s e R +, p ~ R ~} hat die Helly-Zahl 2. Nach H~N~.R ist daher P ein Parallelepiped. Damit ist (1) bewiesen.

Hilfssatz 2. Es sei Q c R d abgeschlossen und ]convex. Q ist genau dann ein verallgemeinertes Parallelepiped, wenn folgendes gilt: Jede endliche Familie yon positiven oder negativen homothetischen Bildern yon Q hat genau dann nichtleeren Durchschnitt, falls je zwei davon relativ inhere Punkte gemeinsam haben (symbolisch: Q e ~ + ).

Beweis. Is t Q ein verallgemeinertes Parallelepiped, dann gilt jedenfalls Q e ~ ~.

Es gelte nun umgekehrt Q E ~ ~. O.B.d.A. sei dim Q = d.

1.) Q enth/flt keine Geraden. Dann besitzt Q extreme Punkte. Nach einer passenden Translation kann man annehmen,

(2) o ist ein extremer Punk t yon Q.

Monotone Folgen spezieller konvexer KSrper 195

Wir hal~en nun ein p ~ R ~ lest, soda6 o ~ int ( - Q + p) ist. Es folgt

(3) o ~ i n t ( - s Q + sp) Ft i r a l l e s~R +.

Wi t zeigen

(4) Q n ( - s Q + sp) ist f'dr alle s e R + ein Paral]elepiped mit o als Eckpunkt .

Es sei s e R + lest. Wegen (2) und (3) ist int (Q n ( - s Q + sp)) ~ ~ . Da Q keine Geraden enth~lt, ist ferner Q n ( - sQ + sp) kompakt (und kon- vex). Aus Q e ~ + folgt somit Q f~ ( - sQ + sp) ~ | und eine Anwendung yon (1) zeigt, dab Q (~ ( - s Q + sp) ein Parallelepiped ist. Wegen (2), (3) ist o ein extremer Punkt , also ein Eckpunkt yon Q n ( - s Q + sp). Dami t ist (4) bewiesen. Wegen (3) und (4) gibt es d feste, yon o auslaufende Halbstrahlen, in denen f'dr s e R + die vom Eckpunkt o ausgehenden Kan t en des Parallelepipeds Q n ( - sQ + sp) liegen. Die Durchschnit te dieser Halbstrahlen mit Q seien die k Strecken S~ . . . . , S k und die d - k Halbstrahlen H~+ z . . . . , H a. Dann gilt offenbar:

(5) Is t St(s ) ~ S t n ( - s Q + sp), Hi(s) ~ Hj n ( - s Q + sp) fiir s e R+, so gilt

O n ( - sQ + 8p) = Sz(s) G ' " 0 Sk(s) | Hk§ | (~ H,~(s).

Wegen o e int ( - Q + p) (s. (3)) ist

aa = U ( - s O + sp). 8 ~ R +

Daraus folgt mi t (5)

Q = I,.J Q n ( - s Q + sp) ,$E R +

= U s~(s) | | | H~+~(s) @ . . . | H,(~) S E R +

= S z G ' " G S ~ G H ~ + z O " ' O H a = P O C ,

wobei P das Parallelepiped S 1 (~- �9 �9 (~ S k ist und C der simpliziale Kegel Hk + z (~" " " O Ha. Q ist also ein verallgemeinertes Parallelepiped.

2.) Q enth~lt Ger~len. Dann ist bekanntlich Q = Q' G L, wobei L ein Unter raum des R ~ und Q eine abgeschlossene, konvexe Teilmenge yon L • ist, die keine Gera~en enth~lt. Aus Q e ~ ~ folgt Q' e ~* . Nach dem schon erledigten Fall 1 ist daher Q' = P (~ C, wobei P ein Parallelepiped und C ein simplizialer Kegel ist, mit P, C c L • Es folgt Q = Q" ~ L = P ~ C O L. D.h. Q ist ein verallgemeinertes Parallelepiped. !

Beweis yon Satz 2. Ebenso wie im Beweis yon Satz 1 geniigt es, mono- tone Folgen verallgemeinerter Parallelepipede zu betrachten. Es sei Q~, Q~ , . . . so eine Folge.

196 Peter M. Gruber

1.) Q1 c Q2 c . . . . Q ~ cl U Q~ ist abgesehlossen und konvex. Wir werden den Hilfssatz 2 anwenden und zeigen

Dazu sei slQ + 191 . . . . , snQ + p,~ eine endliche Familie yon positiven oder negativen homothetischen Bildern yon Q, von denen je zwei relativ innere Punk te gemeinsam haben. Wegen Q1 C Q2 c �9 �9 �9 und Q = cl (.J Qk gibt es ein k e •, sodafl je zwei der Mengen s~Qk + Pl , �9 �9 s,~Qk + Pn relativ innere Punk te gemeinsam haben. Da Q ein verallgemeinertes Parallel- epiped ist, gilt n (s~Qk + p ~ ) r r Wegen Qk C Q folgt daraus ('] (s~Q + p~) ~ ~ . Damit gilt (7). Aus (7) und Hilfssatz 2 folgt, dab Q ein verallgemeinertes Parallelepiped ist.

2.) Q1 ~ Q2 ~ " " . Es sei Q ~- ('~ Qk- Is t Q = g , dann sind wir fertig. Im Fall Q r 0 schreiben wir

(8) Q1 = Q~ O L1, Q~. -- Q~ (~ L 2 . . . . ,wobeiQ~ ~ L~,Q~. ~ L ~ , . . . direkte Summen yon Parallelepipeden und simplizialen Kegeln sind.

Aus Q1 ~ Q2 ~ "'" folgt L1 ~ L2 ~ . - - . Von einem gewissen Index an sind daher alle L k gleieh. O.B.d.A. sei L 1 = L2 . . . . . L . Es ist dann

(9) Q'~ ~ Q'a ~ . . ., Q = ('] Q~ O L = Q' O L mit Q' ~ ('] Q~,.

Nun gilt

(I0) t e ~ +, q e L, Q' n ( - t Q ' + q) ~ ~ ~ Q' n ( - t Q ' + q) ist ein Parallelepiped.

Das sieht man so: Sind t, q gew~hlt, dab Q' c~ ( - tQ' + q) ~ ~ ist, dann folgt aus (9)

(l 1) Q' n (-tQ' + ~) = n Q;, n ( - tQ; , + q).

Wegen (8) ist Q;c n ( - t Q + q) fiir jedes k ein Parallelepiped und aus (11) folgt nach [5], dab auch Q" n ( - tQ' + q) ein Parallelepiped ist. Damit gilt (10). Eine andere MSglichkeit, (10) zu beweisen, ist folgende: Mit Hilfe der Tatsaehe, da~ Q' n ( - t Q ' + q} der Durchschni t t der monoton fallenden Folge Q~ c~ ( - tQ~ + q) D . . . von Parallelepipeden ist, zeigt man, da~ die Familie der positiven homothet isehen Bilder von Q'c~ ( - tQ' + q) die Helly-Zahl 2 hat. Nach HANNER [6] ist dann Q" n ( - tQ' + q) ebenfalls ein Parallelepiped und (10) ist neuerlich bewiesen. Aus (10) folgt mit einem analogen SchluB wie beim Beweis yon Hilfssatz 2, dal~ Q' ein verallgemeinertes Parallelepiped ist. Daraus und aus (9) folgt dasselbe fiir Q. R

Aus Satz 2 folgert man mit Hilfe der Polarit/~t, dab der Durchschni t t einer monoton fallenden Folge von Kreuzpolytopen des R a (d.s. im Falle d -- 3 0 k t a e d e r ) wieder ein Kreuzpolytop ist. Der Beweis ist trivial, nachdem man sich iiberlegt hat, dab o.B.d.A, alle Kreuzpolytope der Folge den gleiehen Mittelpunkt haben diirfen.

Monotone Folgen spezieller konvexer KSrpe r 197

L R e r a t u r

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Eingegangen am 30.11.75

Anschrif t des Autors : Pe te r M. Gruber, Ins t i tu t f'dr Analysis, Technische Univers i t~t Wien, Gul3hausstr. 27, A-1040 Wien.