dsp Лекция 2 digital signal processing. dsp Дискретные сигналы и...

DSPDSP

Лекция 2

Digital Signal ProcessingDigital Signal Processing

DSPDSP

Дискретные сигналы и системыДискретные сигналы и системы

• Классификация сигналов и системКлассификация сигналов и систем• Дискретные сигналы (последовательности) Дискретные сигналы (последовательности) • Дискретные линейные системы с постоянными параметрамиДискретные линейные системы с постоянными параметрами• Устойчивость и физическая реализуемость ДЛСУстойчивость и физическая реализуемость ДЛС• Линейные разностные уравнения с постоянными коэффициентамиЛинейные разностные уравнения с постоянными коэффициентами• Представление дискретных сигналов и систем в частотной областиПредставление дискретных сигналов и систем в частотной области

DSPDSP


k

nhnxknhkxny ).(*)()()()(

(n )h (n )

ЛППЛППсистемасистема

ЛППЛППсистемасистема

(1.7)

DSPDSP


Примеры свертки:

DSPDSP


Устойчивость и физическая реализуемость

• Устойчивой назовем систему, в которой каждый ограниченный входной сигнал создает ограниченный выходной сигнал. Линейная система с постоянными параметрами устойчива тогда и только тогда, когда

• Достаточность. Если x(n) – ограничена, то есть |x(n)|<M и (1.9) справедливо, тогда

Следовательно, y(n) ограниченная.• Необходимость. Если S=, то для ограниченного входного

сигнала

.)(

k

khS (1.9)

.)()()()()()(

kkk

khMknxkhknxkhny

;0)(,1

;0)(,1)(

nhпри

nhприnx

DSPDSP


• Необходимость (продолжение) выходной сигнал при n=0 равен

то есть y(0) – не ограничено.

• Физически реализуемая система – это система, у которой изменения на выходе не опережают изменения на входе. Поэтому отклик y(n0) зависит только от x(n) для nn0 Это требует, чтобы при n<0. Такую систему называют еще каузальной (causal - причинный). Для нее

k k m

Smhkhkhkxy .)()()()()0(

,0)( nh

n

k

knhkxny ),()()(

DSPDSP

Дискретные сигналы и системыДискретные сигналы и системы Пример.

Пусть ЛПП – система имеет импульсную характеристику

Поскольку при n<0, система физически реализуема.Вычислим

Если бесконечная геометрическая прогрессия имеет сумму

но, если , ряд расходится. Следовательно, система устойчива только при

).()( nuanh n

,0)( nh

0

.|||)(|k

k

k

akhS

,1|| a

1|| a

,||1

1

aS

.1|| ah (n )h (n )

|a|<1 – система устойчивая |a|>1 – система неустойчивая

DSPDSP

Дискретные сигналы и системыДискретные сигналы и системыЛинейные разностные уравнения с постоянными коэффициентами.

Важную роль играет подкласс ЛПП – систем, для которых вход x(n) и выход y(n) удовлетворяют линейному разностному уравнению N-го порядка с постоянными коэффициентами вида

Общепринято предполагать, что такое разностное

уравнение (1.10) характеризует физически реализуемую систему, и мы будем придерживаться этого положения, хотя в общем случае это не так. Например, разностному уравнению 1-го порядка

при удовлетворяют как так и

(1.10)

N

k

M

k

knxkbknyka0 0

)()()()(

)()1()( nxnayny (1.11)

)()( nnx ),()( nuany n).1()( nuany n

DSPDSP


Первое решение соответствует физически реализуемой системе, второе нет.Без добавочной информации разностное уравнение (1.10) неоднозначно определяет соотношение между входом и выходом.Например, если уравнению (1.11) удовлетворяет y1(n) при х(n) =х1(n), то ему также удовлетворяет решение вида у(n) = у1(n) +k an, где k - произвольная постоянная. В общем случае к любому решению (1.10) можно прибавить составляющую, удовлетворяющую однородному разностному уравнению (с нулевой правой частью), и эта сумма также будет удовлетворять (1.10). Решение однородного уравнения

имеет вид если zk – совокупность простых

корней характеристического уравнения

,0)()(0

N

k

knyka

,)(1

N

k

nkk zAny

.0)(0

N

k

kNzka

DSPDSP


Константы Ak определяются начальными условиями. Для кратных корней решение записывается иначе. Для физически реализуемой системы разностное уравнение можно переписать в виде

Таким образом, n-е значение выхода можно вычислить, зная n-е значение входа и соответственно N и М прошлых значений выхода и входа.

Как и в случае свертки, разностное уравнение не только дает теоретическое описание системы, но может быть основой для реализации системы.

N

k

M

k

knxakbknyakany1 0

).())0(/)(()())0(/)(()(

DSPDSP


Пример.

Положим х(n)=(n) при нулевых начальных условиях y(-1)=0. Тогда решение y(n)=h(n) будет импульсной характеристикой:

Таким образом

).()1()( nxnayny

).()( nuanh n

.)1()(

.

.

;)0()1(

;11)1()0(

;0;0)(

nanahnh

aahh

ahh

nnh

DSPDSP


Пример получения разностного уравнения и его решения из области денежных платежей.

Банк предоставил ссуду в размере 50000 долларов, которая должна быть возвращена через 30 лет равными ежемесячными взносами размером p долларов. Выплачиваемый процент установлен на уровне 15% в год от невозвращенной суммы. Каковы должны быть ежемесячные платежи и общая возвращенная банку сумма денег?Пусть Р(n) - неоплаченная часть ссуды, оставшаяся после выплаты n-го ежемесячного взноса. Тогда будет иметь место следующее соотношение (разностное уравнение):P(n) = (1+r)P(n -1) – p, для n = 1, 2, 3, …, 360,где r = 0,15/12 = 0,0125 – ежемесячная норма процента.Первоначально Р(0) = 50000 и мы хотим найти значение p , при котором Р(360) = 0.

DSPDSP


Пример (продолжение).

Запишем последовательные решения:

Из последнего соотношения, полагая Р(360) = 0, имеем

долларов.

Полная сумма возврата за ссуду составит величину 360*р = 227599,22 долларов.

.1)1(

)0()1()1()0()1()(

];)1()1(1[)0()1()3(

)];1(1[)0()1()1()1()2(

;)0()1()1(

1

0

23

2

pr

rPrrpPrnP

rrpPrP

rpPrpPrP

pPrP

nn

n

k

kn

22,6325000010125,1

0125,1*0125,0)0(

1)1(

)1(360

360

360

360

P

r

rrp

DSPDSP


Типы импульсных характеристик ЛПП систем.

ЛПП может иметь импульсную характеристику как конечной,так и бесконечной длительности.Будем называть системы с конечной импульсной характеристикой - КИХ-системами, а системы с бесконечной импульсной характеристикой - БИХ-системами.Если в (1.10) положить N=0, так что

тогда оно совпадает со сверткой и соответствует КИХ-системе с импульсной характеристикой

Для БИХ-системы должно быть N>0.

,)()()0(

1)(

0

M

k

knxkba

ny

случаях.остальных в - 0

;,...,1,0 )),0(/)(()(

Mnanbnh

DSPDSP

Дискретные сигналы и системыДискретные сигналы и системыПредставление дискретных сигналов и систем в частотной области.

Особо важную роль для дискретных сигналов и систем играют синусоидальные и комплексные экспоненциальные последовательности, поскольку в установившемся состоянии отклик на синусоидальный входной сигнал ЛПП-системы является синусоидой той же частоты с амплитудой и фазой, определяемыми системой.

Пусть входная последовательность х(n) =ejn для -< n<.Тогда выходной сигнал ЛПП-системы

Если ввести (1.13)

то (1.14)

.)()()( )(

k

kjnj

k

knj ekheekhny

,)()(

k

kjj ekheH

.)()( njj eeHny

DSPDSP


ЛПП-система

Рис. 1.12. Получение частотной характеристики системы

)( jeHnje nje

Частотная характеристика системы.

H(ej) называется частотной характеристикой системы, у которой импульсная характеристика равна h(n).

еjn – собственная функция ЛПП-системы.В общем случае H(ej) - комплексная функция

H(ej) = HRe(ej)+j HIm(ej)= | H(ej) |ejarg[H(.)].

| H(ej) |={[HRe(ej)]2+[HIm(ej)]2}1/2 – амплитудно-частотная характеристика (АЧХ)

системы

arg H(ej)=arctg { HIm(ej)/ HRe(ej)} - фазо-частотная характеристика (ФЧХ)

системы

DSPDSP

Дискретные сигналы и системыДискретные сигналы и системыЧастотная характеристика системы (продолжение).

Частотная характеристика также выражает отклик на синусоидальный сигнал

Отклик на равен

Если h(n) - действительная функция, то отклик на сигнал

является комплексно-сопряженным с откликом y1(n):

Поэтому результирующий отклик

.)2/()2/()cos()( 000

njjnjj eeAeeAnAnx njj eeA 0)2/( .)2/)(()( 00

1njjj eeAeHny

njj eeA

0)2

(

.)2

)(()( 002

njjj eeA

eHny

),cos()(})(Re{

][)()2/(

])()()[2/()(

0

][][

000

000

0000

neHAeAeeH

eeeHA

eeeHeeeHAny

jnjjj

njnjj

njjjnjjj

DSPDSP

Дискретные сигналы и системыДискретные сигналы и системыЧастотная характеристика системы (продолжение).

- значение фазо-частотной характеристики системы на частоте 0.

)](arg[ 0 jeH

Пример расчета частотной характеристики.

Рассмотрим систему с импульсной характеристикой

случаях.остальных в 0

;10 ,1)(

Nnnh

Рис. 1.13 Импульсная характеристика системы.

DSPDSP


Пример расчета частотной характеристики (продолжение).

Частотная характеристика равна

.)2/sin(

)2/sin(

)(

)(

1

1)( 2/)1(

2/2/2/

2/2/2/1

0

Nj

jjj

NjNjNj

j

NjN

n

njj eN

eee

eee

e

eeeH

Рис. 1.14 АЧХ и ФЧХ системы.

DSPDSP


Свойства частотной характеристики

1. Частотная характеристика H(ej) является функцией непрерывной частоты , и это периодическая функция частоты с периодом 2. Это свойство следует непосредственно из определения, так как ej(k = ejk. Поэтому для полного описания H(ej) достаточно задать ее на интервале - (02)

2. Для действительных h(n) АЧХ системы - H(ej) - четная функция , а ФЧХ – argH(ej) – нечетная функция на интервале -. В этом случае интервал задания H(ej) сокращают до 0.

DSPDSP


Преобразование Фурье.

Поскольку H(ej) - периодическая функция частоты, она может быть представлена в виде ряда Фурье. Фактически (1.13) и представляет H(ej) в виде ряда Фурье, в котором коэффициентами Фурье являются значения импульсной характеристики h(n). Отсюда следует, что h(n) могут быть определены через H(ej) как коэффициенты Фурье периодической функции т. е.

где

(1.17),)()2/1()(

deeHnh njj

.)()(

n

njj enheH (1.18)

DSPDSP

Дискретные сигналы и системыДискретные сигналы и системыПреобразование Фурье (продолжение).

где

Эти равенства можно также трактовать как представление последовательности h(n) в виде суперпозиции (интеграла) экспоненциальных сигналов, комплексные амплитуды которых определяются выражением (1.18). Таким образом, (1.17) и (1.18) являются парой преобразований Фурье для последовательности h(n), где (1.18) играет роль прямого, а (1.17) обратного преобразования Фурье.

(1.17),)()2/1()(

deeHnh njj

.)()(

n

njj enheH (1.18)

DSPDSP


Представление последовательности преобразованием (1.18) будет справедливо для любой последовательности. Поэтому для произвольной последовательности х(n) определим прямое преобразование Фурье дискретного времени (ДВПФ) соотношением

а обратное преобразование Фурье - соотношением

X(ej) = | X(ej) |ejarg[X(ej)] – спектральная характеристика последовательности x(n). | X(ej) | - амплитудно-частотный спектр, arg[X(ej)] – фазо-частотный спектр.

Если то спектральная характеристика X(ej) последовательности

х(n) существует.

,)()2/1()(

deeXnx njj (1.20)

,)(

n

nx

,)()(

n

njj enxeX (1.19)

DSPDSP


Возможность представления последовательности как суперпозиции комплексных экспонент является очень важным качеством при анализе линейных систем с постоянными параметрами.

Так как отклик на каждую комплексную экспоненту получается умножением на H(ej), то

Поэтому преобразование Фурье выходного сигнала равно

Этот результат может быть получен путем применения преобразования Фурье к свертке

.)()2/1()()()2/1(

.][)()2/1(])()2/1[()]([)(

deeYdeeXeH

deTeXdeeXTnxTny

njjnjjj

njjnjj

(1.21)).()()( jjj eXeHeY

k

knhkxny ).()()(

DSPDSP

Дискретные сигналы и системыДискретные сигналы и системыПример.

Идеальный фильтр нижних частот с дискретным временем имеет частотную характеристику

Так как H(ej) является периодической функцией, то это соотношение определяет частотную характеристику для всех . Такая система удаляет из входного сигнала все компоненты в диапазоне частот

. ,0

; ,1)(

ср

срjeH

. ср

Рис. 1.15 Частотная характеристика идеального дискретного фильтра нижних частот.

DSPDSP

Дискретные сигналы и системыДискретные сигналы и системыПример (продолжение).

Импульсная характеристика h(n) определяется по (1.17):

)/(sin)2/1()( nndenh срnjср

ср

Рис. 1.16 Импульсная характеристика идеального фильтра нижних частот с частотой среза ср.=/2.

Это физически нереализуемый и неустойчивый фильтр.

DSPDSP


Таблица 1.1. Некоторые важные свойства ДВПФ.

Последовательность ДВПФ

x(n)

x(n-m)

x(n)ejn

k

knhkx )()(

x(n)y(n)

X(ej)

X(ej)e-jm

X(ej(-))

X(ej) H(ej)

deYeX jj )()(2

1 )(

dsp Лекция 2 digital signal processing. dsp Дискретные сигналы и...

Documents