dr. Öğr. Üyesi adnan sondaù - kocaeli...

Programlama Uygulamalarıyla Sayısal Yöntemler

PROGRAMLAMA UYGULAMALARIYLA SAYISAL YÖNTEMLER

Dr. Öğr. Üyesi Adnan SONDAŞ

[email protected]

0262-303 22 58

1


3. Hafta

DENKLEM ÇÖZÜMLERİ (Devam)

2


İÇİNDEKİLER

3

1. Denklem Çözümleri

A. Doğrusal Olmayan Denklem Çözümleri

Açık Yöntemler

Basit İterasyon

Newton-Raphson Yöntemi

Newton’un 2. Yöntemi

Kiriş (Secant) Yöntemi

Teğet-Kiriş Birleştirilmiş Yöntem

Programlama Uygulamalarıyla Sayısal Yöntemler 4

Denklem Çözümünde Açık Yöntemler Bu yöntem, x’in yalnızca başlangıç değeri kullanılan ya da kökü

kapsayan bir aralık kullanılması gerekmez.

Açık yöntemler hızlı sonuç vermesine karşın, başlangıç değeri uygun

seçilmediğinde ıraksayabilir.

Kökü iki başlangıç değeri arasında kıskaca alma ( f(xa).f(xü) <0 )

sorgulaması yok

Tüm açık yöntemler, kökün bulunması için matematiksel bir formül

kullanır.

Serhat Yılmaz’ın Sunusundan Alınmıştır.

xa

f(x)

xü

f(xü)

0

f(xa) xi+1

f(x)

xi x

f(xi)

0

Eğim=f’(xi)

Kapalı Yöntem Açık Yöntem


f(x) fonksiyonu f(x)=0 denkliği x=g(x) formuna getirilir.

Örnek: f(x)= x2 - x + 3 = 0 x = x2 + 3

f(x)= cosx = 0 x = cosx + x

Bu eşitliğin anlamı y=x doğrusu ile y=g(x) fonksiyonunun kesişim

noktasını bulmaktır.

Bir x0 başlangıç değeri seçilir,

x0 , I g’(x0) I < 1 şartını sağlar ise köke yakınsama olur.

xn+1 = g(xn) formu ile iterasyon gerçekleştirilir.

x1=g(x0)

x2=g(x1)

…

xn=g(xn-1)

Durdurma şartı

I xn+1 - xnI < s sağlanıncaya kadar

Ya da belirli iterasyonda durdurulabilir

Basit İterasyon Yöntemi Açık Yöntemler


Örnek : f(x) = x2 – 3x + 1 denkleminin kökünü mutlak hata δa = 0.1 sınırlamasına göre

Basit İterasyon yöntemini kullanarak x0 = 2 değerinden başlayarak çözünüz.


x0 = 2 ‘den başlayarak köke doğru yaklaşalım

)(1 ii xgx

2361,2512.3)( 01 xgx

3892,212361.2*3)( 12 xgx

Durdurma Kriteri (Hata Sınırlaması)

I xi+1 – xi I < s yada iterasyon

2361.022361,201 xx

1531.02361,23892,212 xx

13)(13)( 2 xxgxxxf

4835,213892.2*3)( 23 xgx 0943.03892,24835,223 xx

2828,0)(4835.2 kökkök xfx


Örnek: f(x)= 3e-0.5x – x fonksiyonunun kökünü mutlak hata δa = 0.07

sınırlamasına göre x0 = 8 değerinden başlayarak hesaplayınız.

Her adım (iterasyon) için yeni x, g(x) ve hatayı hesaplayınız.

f(x)=0 denkliği x=g(x) formuna getirilir.

x = 3e-0.5x

g(x) = 3e-0.5x fonksiyonu x0 = 8 başlangıç değeri ve a = 0.07 hata sınırlamasına göre

iterasyona tabi tutuluyor.

13. iterasyondan sonra a = 0.07

hata ile kök değeri x=1.4 elde edilir.

( Yakınsak iterasyon )

Açık Yöntemler

Basit İterasyon Yöntemi


Örnek : f(x) = 3e0.5x – x fonksiyonunun kökünü mutlak hata δa = 0.07 sınırlamasına

göre x0 = 8 değerinden başlayarak hesaplayan MATLAB programını Basit iterasyon

yöntemine göre yazınız.

Basit İterasyon Yöntemi


En çok kullanılan yöntemlerden biridir.

Köke, teğetler ile yaklaşılır.

Başlangıç değerinin fonksiyonu kestiği noktadan, çizilen teğetin yatay ekseni

kestiği yeni nokta başlangıç değeri ile değiştirilerek köke yaklaşmaya

çalışmaktır.

Bir noktadaki türev, o noktadan geçen teğetin eğimine eşittir.

Newton-Raphson Yöntemi Açık Yöntemler

xi+1

f(x)

xi x

f(xi)

0

Eğim=f’(xi)

Xi+2

1

0)('

ii

i

ixx

xfxf

i

iii

xf

xfxx

'1


Başlangıç değeri (x0) belirlenirken, fonksiyonun ikinci türevinin aynı işaretli

olduğu sınır değeri alınabilir.


bxbfbf

axafaf

0

0

0''.

0''.


Yakınsaklık Koşulu


Başlangıç noktasındaki türev ile köke yaklaşma

xi yalnız bırakılırsa, ifade basit iterasyondaki

gibi xn+1 = g(xn) formuna dönüştürülür

Yakınsaklık koşulu,


Örnek : f(x) = x2 - 10 denklemini Newton-Raphson yöntemini kullanarak x0 = 3

değerinden başlayarak, tol=0.05 için çözünüz.

Serhat Yılmaz’ın Sunusundan Alınmıştır.


f(x) = x2 – 10 f’(x) = 2x

x0 = 3 ‘ten başlayarak köke doğru yaklaşalım

i

iii

xf

xfxx

'1

166,36

19

6

)1(3

' 0

001

xf

xfxx

162,3332,6

)023556,0(166,3

' 1

112

xf

xfxx



166.03166,301 xx

04.0166,3162,312 xx


Örnek : f(x) = x3 + 4x2 3 denklemini Newton-Raphson yöntemini kullanarak x0 = 0.7

değerinden başlayarak, tol=5e-5 için çözünüz?


f(x) = x3 + 4x2 – 3 f’(x) = 3x2 + 8x

x0 = 0.7 ‘den başlayarak köke doğru yaklaşalım

i

iii

xf

xfxx

'1

7986,007,7

)6970,0(7.0

7.0'

7.07.01

f

fx

7913,03019,8

0602,07986,0

' 1

112

xf

xfxx



0986.07.07986,001 xx

0073.07986,07913,012 xx

7913,02092,8

0003,07913,0

' 2

223

xf

xfxx 00004.07913,07913,023 xx


Örnek : f(x) = x3 + 4x2 3 fonksiyonunun kökünü mutlak hata δa =5e-5 sınırlamasına

göre x0 = 0.7 değerinden başlayarak hesaplayan MATLAB programını Newton-Raphson

yöntemine göre yazınız.



ÖDEV

17

f(x) = x3 – x + 127 denklemini x0 = 5 değerinden başlayarak s = 0.00001 mutlak ve

yaklaşık hata sınırlamasına göre

Newton-Raphson

Basit iterasyon metotlarını kullanarak çözünüz?


KAYNAKLAR

18

Diğer Kaynaklar

Bülent ORUÇ, Adnan SONDAŞ, “Sayısal Çözümleme”, Umuttepe

Yayınları

Fahri VATANSEVER, “Sayısal Hesaplama ve Programlama”, Seçkin

Yayınları, 2018.

Steven C. Chapra, Raymond P. Canale (Çev. H. Heperkan ve U.

Kesgin), “Yazılım ve Programlama Uygulamalarıyla Mühendisler İçin

Sayısal Yöntemler”, Literatür Yayıncılık.

Serhat YILMAZ, “Bilgisayar ile Sayısal Çözümleme”, Kocaeli Üniv.

Yayınları, No:168, Kocaeli, 2005.

İlyas ÇANKAYA, Devrim AKGÜN, Sezgin KAÇAR “Mühendislik

Uygulamaları İçin MATLAB”,Seçkin Yayıncılık

İrfan Karagöz, “Sayısal Analiz ve Mühendislik Uygulamaları”, VİPAŞ

Yayınevi, 2001.

Cüneyt Bayılmış, Sayısal Analiz Ders Notları, Sakarya Üniversitesi

dr. Öğr. Üyesi adnan sondaù - kocaeli...

Documents