I - Introdução
• Bifurcação: mudança do atrator com variação do parâmetro de controle.
• Bifurcações ocorrem em sequência com a variação do parâmetro de ocntrole.
• Mesmas bifurcações são observadas em diferentes sistemas dinâmicos.
• Identificar bifurcações é importante no estudo de sistemas dinâmicos.
II – Bifurcações Sela – Nó
Duplicação de Períodos
)v (a, fou )v( fI. a I, parâmetros de espaço um em definido a
parâmetro um de dependente fase) de (espaço R em mapa :)v( fDefinição
.bifurcação de parâmetroao entecorrespond órbita :bifurcação de Órbita
solução. da deestabilida da perda a ocorre que em valor :bifurcação de Parâmetro
a
na
!!
!
∈
duplicadoperíodo com órbita surge :período de Duplicação
fixos pontos de surgimento :nó-sela sBifurcaçõe
:básicas sBifurcaçõe
f Ddxfd f
onalunidimensi Mapa
a
aa
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
≡ʹ
Mapa de Hénonha = (a - x2 + b x, x) b <1, b fixo
Pontos fixos !pe !q:a - x2 + b x = xx = x
⎧⎨⎩
!p = ( - (1-b) + (1-b)2 + 4 a2
, - (1-b) + (1-b)2 + 4 a2
)
!q = ( - (1-b) − (1-b)2 + 4 a2
, - (1-b) − (1-b)2 + 4 a2
)
Nota : Para a < - (1 - b)2
4 ⇒ não há ponto fixo
a∗ = - (1 - b)2
4 ⇒ bifurcação de ponto de sela, !p = !q
Mapa de Hénonxn + 1 = a - xn
2 + b xn
yn + 1 = xn
D h = -2 xn b1 0⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ ⇒
-2 xn -λ b1 −λ
= 0
λ = - xn ± xn2 +b
Para a∗ = −(1− b)2
4⇒ x∗ = - (1 - b)
2 ⇒ λ =
1-b ⎧⎨⎩
________________________________________
a > - (1 - b)2
4 ⇒ !p é atrator, !q é repulsor. Sela−nó.
______________________________________
a∗ = 3 (1 - b)2
4⇒ bifurcação com duplicação de período no ramo !p
Isso ocorre em (x∗, y∗) = (1 - b2
,1 - b2
), com λ=−1
Para b=− 0.3 ⇒ a∗≅ 1.3
Chaos Alligood et al.
4 a 0 para raizes duas 1 a
dupla raiz0 x 1 a fixos Pontos
x)- 1 ( x a y logístico Mapa
⎩⎨⎧
<<⇒≠
=⇒=
=
Bifurcação Transcrítica
III – Continuação de Pontos Fixos
1. f que desde ocorre Isso
período). de duplicaou existir de (deixa bifurcaçao uma até
onalunidimensi mapa um de fixo ponto do contínua Variação
a ≠ʹ
aaem)v,a(deocontinuaçãaé)v,a (
)v(Npara)dad,-a ( de g contínua função uma de gráfico o é)v(Nx)dad,-a (
de ça vizinhanna f de fixos pontos de conjunto Um
contínuatrajetóriaemiarvar,aapara,f de v se lcontinuáveév
v)v(ffixoponto,RemfDefinição
cc
a
an
a
=∗∗
⇒
∗+∗∗
∗+∗∗
≅∗∗
∗=∗
ε
ε
∗
!!
!
!
!!
!!
ocontinuaçã sem fixo ponto 1 (-1) (-1) (1/2) f (1/2) f (1/2) f
1/2) (3/4, x)(a, em bifurcação com f Mapa
ocontinuaçã com fixo ponto 1- (1/2) f1/2) (3/4, x)(a, em período de dobra bifurcação com f Mapa
1/4- xpara ocontinuaçã sem 1/2)- (-1/4, x)(a, em nó - sela Bifucação
x- a f Mapa anterior, slide o d exemplo No
4/34/34/32
2
4/3
2
⇒==ʹʹ=ʹ
=
⇒=ʹ
=
<⇒
=
=
ocontinuaçãtem)x,a(1vpontono)v(Dfjacobianamatrizdaautovalor:
v)v(f
1n,R em suavef )b
ocontinuaçãtem)x,a(1)x(fx)x(f R, em definido suave mapa f a)
Teorema
a
a
na
a
aa
⇒≠λ
λ
=
>
⇒≠ʹ
=
!!
!!
IV – Bifurcações em Mapas Unidiminesionais
2a
a
2aa
a
a
f de fixo ponto do idadeDescontinu
f de fixo ponto do deContinuidaperíodo de Duplicação
1 f 1- f Se
período). de duplicaou existir de (deixa bifurcaçao na f de fixo ponto do adescontínu Variação
bifurcação 1 f
=ʹ⇒=ʹ
⇒=ʹ
0DAseaaparafixospontosexistemNão0DAseaaparafixospontos
)x ,a( de emanam fixos pontos de curvas Duas
0x
)x,a(fDe0a
)x,a(fA
1)x(f,x)x(fparâmetroum,ensionaldimuni,suavemapa:f
nó) - sela o(bifurcaçãTeorema
2
2aa
a
>>
<>∃
⇒
≠∂
∂=≠
∂
∂=
=ʹ=
fonteseatratores:fselas,atratores:g
1)x(gparaocorreBifurcação
0.2)x(g
0 - 0.2 0
0 - x a 2 - a
0.2 00 x a 2 - a
Df
x)-(1 x a g ; y) 0.2 (x),g ( f Mapa
a
a
a
a
a
aaa
=ʹ
⎩⎨⎧ ʹ
=λ⇒=λ
λ
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
==
1b para voconservati é mapa Esse
b-01bx2
)v(Dfdet
)x,by x- (a f:Exemplo
Rv 1, )v(Dfdet se voconservati mapa um é f
Rv 1, )v(Dfdet se odissipativ mapa um é fjacobianamatriz:)v(Df,R em suave mapa f
:Definições
2
2
2
2
=
==
+=
∈∀=
∈∀<
!
!!
!!
!
i235.0fixo ontop 0.5)- ,5.0(
voconservatimapa1bDhDet)x,by x- (-1 h
Hénon de Mapa:Exemplo
bi a valor -auto bi a valor -auto vosconservati mapas dos opriedadePr
b
2b
21
±=λ⇒−
=−=
+=
−=λ∃⇒+=λ∃
Chaos Alligood et al.
Mapa de Hénon Conservativo
Pontos elíptico e hiperbólico surgem em a = -1 (dois auto-valores λ = 1) Em a = 3 ocorre dobramento de período. Ponto elíptico se transforma em ponto de sela (um auto-valor λ > 1)
Não há ponto fixo para a < -1
Imag λ
Real λ
Exempo
Mapa de Hénon conservativo (b = -1)ha =(a - x2 − y, x)
a < -1 ⇒ não há pontos ffixosa = -1 ⇒ ponto fixo em (-1, -1), λ1 + λ2 = 1
a > -1 ⇒ dois pontos fixos: um ponto de sela e um ponto elípticoλ1, 2 = a ± ib
a = 3 ⇒ bifurcação com dobra de período(duplicação de ilha)
Mapa Padrão
y, x ∈ [π, −π ]
Sa ≡ xn + 1
yn+1
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
xn + ynyn + a sen (xn + yn )⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
Mapa periódico com período T =2π em x e y
a=0 ⇒ xn + 1
yn+1
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
xn + ynyn ⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
Número de rotação ι ≡ Δ x ≡ xn+1 − xn = yn (Fig. 11.18a)
a=0.97 ⇒ superfícies KAM destruidas (Fig. 11.18 f )
Chaos Alligood et al.
Mapa Padrão Variação com o parâmetro de controle
a) - g) várias órbitas
f) uma órbita
VII – Bifurcações em Equações Diferenciais
Para equações diferenciais !"v=f (!v) em Rn
analisaremos o mapa de Poincaré em Rn−1
Definição :os auto− valores da matriz jacobiana, (n−1)x (n−1), D!v T (!v0 )são denominados de multiplicadores (de Floquet) da órbita periódica γ.
λi : auto− valores do mapa tλi <1 ⇒ atrator
λi <1 e λi >1 ⇒ ponto de sela
Órbita periódica em R3 ⇒ órbita periódica em R2
Chaos Alligood et al.
Exemplo de Mapa de Poincaré
Atrator: ciclo limite com r = 1
...}r,r,{r:Poincaré de Mapa
,210