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II-MapasBidimensionais
Referência:Chaos,K.Alligood,T.D.Sauer,J.A.Yorke;Springer(1997).
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1-NovasCaracterísMcasDinâmicas
• Alémdepontosfixos,hápontosdeselas.• Pontodesela:contraçãoemumadireçãoeexpansãona
outra.
• MapadePoincarébidimensionaldeumaórbitatridimensional.
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(Alligood et al. Chaos...)
Atratores, Repulsores e Pontos de Sela
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2-MapadeHénon
Hénon (Comm. Math. 50, 69, 1976) introduziu o mapa (xn+1, yn+1) = f (xn, yn ) = (a - x2 + b y, x)a, b : parâmetros de controle
Para a = 1,28 e b = -0,3 e (x0, y0 ) = (0, 0),trajetória converge para órbita com período 2
Os pontos iniciais convergem para essa orbita ou para x →∞
Bacias de atração variam com a, bPara a = 1,28 e b = -0,3 ; fronteira das bacias é contínuaPara a = 1,40 e b = -0,3 ; fronteira das bacias é fractal
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Mapa de Hénon b = -0.3
(Alligood et al. Chaos...)
a = 1.28 a= 1.4
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{ }
)p(N)v(f lim )p(Nv que tal0 serepulsorum ép
p)v(f lim )p(Nv que tal0 seatratorum ép
:Definiçõesp )p( f fixo, ponto um p,Rem mapa umf Seja
εp-v:Rv:)p(N é çãA vizinhan
.yxu é R em y) (x, u
vetor um de o)(euclidian ocompriment O : Definição
εk
kε
k
kε
2
2ε
222
!!!!!!
!!!!!!
!!!!!
!!!!
!!
⊄⇒⊂>∃
=⇒⊂>∃
=
<∈
+==
∞→
∞→
ε
ε
4 - Definições de Atratores e Repulsores
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Alligood Chaos
Atrator e Ponto de Sela no Mapa de Hénon
a = 0 b = 0.4
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Bacias de atração para o Mapa de Hénon
Alligood Chaos
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Trator Caótico para o Mapa de Hénon
Alligood Chaos
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5-MapasLineares
A xy⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟ =
a11 a12
a21 a22
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟xy⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟ =
a11 x + a12 ya21 x + a22 y⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
!V≡
xy⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟
Definição: A é linear se A(a!v + b !w) = a A (!v) +b A !w( )
λ é um auto-valor da matriz A se (para !v≠ !0)
A !v=λ !v
!vn+1=A !vn ⇒!vn+1=λ
n+1 !v0
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vetor-auto10
evalor-auto éb10
bb0
10
b 00 a
vetor-auto01
evalor-auto éa01
a00
1b 00 a
b 00 a
A matriz a Para
Exemplo
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⇒⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⇒⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
a
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y. embe x direção naa eixos-semi com elípse uma em
mapeados são unitário raio de disco um em iniciais Pontos
10
bb0
10
b00a
01
a0a
01
b00a
b 00a
A iteraçõesn Para
nn
nnn
nn
n
n
n
n
nn
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
Expansão e Contração no Mapeamento de Um Disco de Pontos Iniciais
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y direção na atração1b
xdireção na repulsão1a
bea eixos-semi com elípse uma se-torná
0), (0,Ppontodo)0,0(N ça vizinhanna
e., i. , raio de disco Um
nn
⇒<
⇒>
εε
ε
ε
!
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Alligood Chaos
)vv(A v)v(A geral, Em
25,0x4x
A;5,0x2x
A
xe
0,5002
A :Exemplo
0
0
0
02
0
0
0
0
0
0
!!
!!=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
yyyy
y
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Alligood Chaos
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⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
=+=
==
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
±±
⇒⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
θθ
θθ
θ
θθ
θ
sencoscos-sen
bar
ar
br
b-r
arA
baarctg,bar
rcosb,senra çãoTransformai
1 vetores-autobia valores-Auto
r de dilata e de gira iterado pontoabb-a
A:Exemplo
22
222
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r de )(contração dilatação e de Rotaçãosenxcosx
r0x
cossensen-cos
r 0x
A0
000
θ
θ
θ
θθ
θθ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
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7–MatrizJacobiana
( ) ( ) ( )
( )( ) repulsor um é p1pf
atrator um é p1pf
pfh p fh p f(p), f p fixo ponto um com dimensão, uma Em
⇒>ʹ
⇒<ʹ
ʹ+≅+
=
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sela. de ponto um ép 1, quemenor outro o e 1 quemaior for valor -auto um Se :Definição
repulsor. um é p 1, que maiores forem )p(f D matriz da valores-auto dos módulos os Se - 2
atrator. um é p 1, que menores forem )p(f D matriz da valores-auto dos módulos os Se - 1
:Teorema
h)p(f Dph)p(f D)p(f)hp( f
)p(fp fixo ponto um com dimensões, duas Em
!
!!!!
!!!!
!!!!!!!!!!!!!!!!!
⋅+=⋅+≅+
=
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)p(f D)p(f D)p(f D dimensões, duas Em
)(p f)(p f)p(f dimensão, uma Em
1002
1002
!!!!!!=
ʹʹ=ʹ
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sela de ponto1272,0;1472,10-0 1
b -1,2
0 10,4 1,2
0 1b x 2-y) b x- a(y) b x- a(
J
0,6)- (-0,6, fixo Ponto
atrator14,00-0 1
b -0
0 10,4 0
0 1b 0
0 1b x 2-y) b x- a(y) b x- a(
J
0) (0, fixo Ponto0,4- be0 a x) y, b x- (a y) (x, f Hénon de Mapa :Exemplo
21
x
2y
2x
x
2y
2x
2
⇒<−=>=⇒=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂∂
+∂+∂=
⇒<±=⇒=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂∂
+∂+∂=
==+=
λλλ
λ
λλ
λ
xx
xx
y
y
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Alligood Chaos
Esqema Dinâmico de um Ponto de Sela
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Alligood Chaos
Órbitas Próximas de Um Ponto de Sela
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atrator140.00.30 i 26.004.04.1008.012.0
4.04.1008.012.0
0 10.4 2(0.7)-
0 10.4 2(-0.1)-
JJJ
0.7) (-0.1, 0,1)- (0.7, : 2 período de Órbita0,4 b 0,43 a x)y, b x- (a y) (x, fHénon de Mapa : Exemplo
2
2
<=⇒±=⇒=−−
−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛==
⇔
==+=
λλλ
λ
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Alligood Chaos
Mudançã de Atratores do Mapa de Hénon
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Alligood Chaos
Diagrama de Bifurcação do Mapa de Hénon
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Alligood Chaos
Mudança de atratores com a, para b=0.4
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VariedadesEstáveiseInstáveis
Variedade estável: conjunto dos pontos iniciais que convergem para um ponto de sela. Variedade instável: variedade estável da transformação inversa
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DefiniçõesdasVariedades
0P)(f - )v(flim
que talv pontos de conjunto o é U(P),P, de instável deA varieda
0P)(f - )v(flim
que talv pontos de conjunto o é S(P), P, de estável deA varieda
n-n-
n
nn
n
→
→
∞→
∞→
!
!
!
!
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⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
+−+=
21
321
2
1152
5 2-
11
5.011
2
1152
5 2-
21
e 11
vetores-auto e 3 e 0.5 valores-auto com
0) (0, em sela de ponto um tem
y)211 x 5,y2
5 (-2x y) (x, flinear mapa O : Exemplo
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instável. e variedada constituem pontos Esses iteração. cada a 3fator um de
acréscimo um sofrem,21
vetor -auto do direção na linha
, x 2 y condição a dosatisfazen pontos dos sCoordenada
estável. e variedada constituem pontos Essesiteração. cada a 0.5fator um de
decréscimo um sofrem,11
vetor -auto do direção na linha
, x y condição a dosatisfazen pontos dos sCoordenada
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
=
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Alligood Chaos
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⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
+
1-2
e01
:vetores-Auto
0,5- 2, : valores-Auto)int( alternado sela de Ponto
y) 0.5- y, 5 x (2 : y) (x, f com Mapa : Exemploposaddleflip
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Alligood Chaos
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Alligood Chaos
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Alligood Chaos
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Alligood Chaos
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Alligood Chaos
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Alligood Chaos
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BaciasdeAtraçãoeAtratorCaóMconoPênduloForçado
Periódicamente
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(Alligood et al. Chaos...)
Pêndulo Forçado
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( )
instáveis fixos pontos 5 ainda Há
fractais. são órbitas trêsdessas bacias das fronteiras As2. período de órbitas duas e fixo ponto 1 há , 1,66 ; 0,2 c Para
. N 2 t instantes nos variáveisdas valoresosanotar e movimento de equação aintegrar vamosPortanto,
... 3, 2, 1, 0, N soluções, sãoN) 2(t e
tsensen c - :movimento de Equação
==
=
=+
+−=•••
ρ
π
πθθ
ρθθθ
t
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Alligood et al. Chaos...)
Bacias de Atração de 1 Ponto Fixo e 2 Órbitas Periódicas
c = 0.2 ρ = 1.66
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(Alligood et al. Chaos...)
Ampliações das Três Bacias
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(Alligood et al. Chaos...)
Órbita Caótica do Pêndulo Forçado
c = 0.05 ρ = 2.5
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Alligood Chaos
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Alligood Chaos
![Page 48: II- Mapas Bidimensionais - USP · 2 - Mapa de Hénon Hénon (Comm. Math. 50, 69, 1976) introduziu o mapa (x n+1,y n+1)=f (x n,y n)=(a-x 2+b y, x) a, b : parâmetros de controle Para](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022050511/5f9b76c78cb97c3e960fd7de/html5/thumbnails/48.jpg)
ÓrbitasPlanetáriasCaóMcas
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MovimentodeTrêsCorposRestrito(NumPlano)
nal.bidimensio é mapa EstePoincaré. de mapa no )x (x, pontos os são
,cte H e 0 y com o, y plano no órbita da esintersecçõ As
),,x (x, : fase de espaço no bitaÓr.
•
•
••
=>=
yy
Dois corpos pesados descrevem círculos ao redor do centro de massa. Uma partícula leve de massa m descreve a trajetória mostrada na figura (sem influenciar o movimento dos dois corpos pesados).
Método de análise introduzido por Poincaré
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Trajetória de Uma Massa Leve no Sistema de Três Corpos
(Alligood et al. Chaos...)
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Mapa de Poincaré Bidimensional
(Alligood et al. Chaos...)
Órbita tridimensional
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CaosnoSistemaSolar
Prêmio do rei Oscar da Suécia em 1889 para trabalho sobre a estabilidade do sistema solar. Poincaré mostrou que as trajetórias de 3 corpos que se atraem (Terra, Sol e Jupiter) são sensíveis às condições iniciais se ocorrerem cruzamentos homoclínicos. Sussman, Wisdom, Numerical evidence that the motion of Pluto is chaotic, Science 241, 433 (1988)
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Sussman,Wisdom,Numericalevidencethatthemo3on
ofPlutoischao3c,Science241,433(1988)
Integração das equações do movimento de Plutão para um intervalo de 845 milhões de anos. Computador construido para essa investigação: Digital Orrey. Em exposição no Smithsonin Institution em Washington, D.C.
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Alligood Chaos
![Page 55: II- Mapas Bidimensionais - USP · 2 - Mapa de Hénon Hénon (Comm. Math. 50, 69, 1976) introduziu o mapa (x n+1,y n+1)=f (x n,y n)=(a-x 2+b y, x) a, b : parâmetros de controle Para](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022050511/5f9b76c78cb97c3e960fd7de/html5/thumbnails/55.jpg)
Alligood Chaos
Inclinação do eixo de rotação de Marte (em relação ao plano do sistema solar)
Transições abruptas