BAB 2
FUNGSI DAN GRAFIK
1. PENGERTIAN FUNGSI
Fungsi merupakan relasi khusus, sering juga disebut “relasi fungsional”. Karena
itu tidak semua relasi merupakan fungsi.
A B
Relasi antara himpunan A dan himpunan B
adalah relasi fungsional , disebut “fungsi dari A
ke B”.
C D
Relasi antara himpunan C dan himpunan D
adalah relasi yang bukan fungsional. Dengan
kata lain hubungan C dan D bukan fungsi.
(Gambar : diagram panah)
Suatu relasi antara A dan B dapat dinyatakan sebagai fungsi apabila setiap unsur
(anggota) dari himpunan A dipasangkan tepat satu unsur (anggota) himpunan B.
Himpunan A disebut “daerah asal” atau “domain” dan himpunan B disebut
“daerah kawan” atau “kodomain” dan himpunan semua peta di B disebut “daerah
hasil” atau range.
Pada relasi fungsional sering terjadi bahwa daerah kawan sama dengan daerah
hasil.
A B A = daerah asal
B = daerah kawan (kodomain) sama dengan
daerah hasil
1
a b c d
p
q
r
p
q
r
abcd
y
Sebaiknya dapat pula terjadi, bahwa daerah kawan tidak sama dengan daerah hasil.
C D C = daerah asal
D = daerah kawan (kodomain) yang tidak sama
dengan daerah hasil (range).
Bagian yang diarsir adalah daerah hasil.
2. GRAFIK FUNGSI
Fungsi dapat juga disajikan dalam bentuk grafik. Grafiknya disebut “grafik
fungsi”.
Contoh : A = [ 1, 2, 3, 4 ] B = [ 5, 6, 7, 8 ]
Jika antara A dan B terdapat suatu relasi fungsional, maka relasi itu
digambarkan sebagai berikut :
A B Relasi ini menunjukkan bahwa setiap anggota
himpunan B 4 lebih banyak dari setiap anggota
himpunan A. Jika setiap anggota A diwakili
oleh x dan setiap anggota B diwakili oleh y,
maka relasi itu ditentukan oleh y = x + 4.
Dengan menggunakan sistem koordinat Cartesius, x diwakili oleh sumbu yang
mendatar, disebut sumbu x dan y diwakili oleh sumbu tegak, yang disebut
sumbu y.
87654321
Garis yang menghubungkan himpunan
titik-titik : 1 dan 5
2 dan 6
3 dan 7
4 dan 8
Disebut garis y = x + 4
Grafiknya disebut grafik fungsi y = x + 4
2
1 234 r
p
q
5678
12344
y y
0 1 2 3 4Melalui grafik dapat pula diketahui apakah suatu relasi merupakan fungsi atau
tidak, seperti contoh berikut ini :
M
0
Contoh : grafik fungsi
0m
Contoh : bukan grafik fungsi
Jika banyaknya titik potong garis m dengan grafik lebih dari satu, maka grafik itu
bukanlah fungsi.
3. PASANGAN BERURUT
Selain menggunakan diagram panah dan grafik, fungsi dapat juga disajikan dalam
bentuk pasangan berurut.
Contoh : { (1,5), (2,6), (3,7), (4,8) } adalah himpunan pasangan berurut yang
merupakan fungsi.
Pasangan seperti (1,5), (2,6) dan seterusnya disebut “pasangan berurut” atau
“pasangan terurut” atau “pasangan urutan”.
Dalam pasngan (1,5), bilangan 1 adalah komponen pertama dan bilangan 5
disebut komponen kedua.
Contoh : { (0,0), (1,1), (2,4), (3,9) } adalah fungsi.
3
x
x
x
{ (0,0), (0,1), (2,3), (2,5) } bukan fungsi, karena ada dua pasangan
yang mempunyai komponen pertama yang sama, yaitu (0,0) dan (0,1).
Kesimpulan :
Bila dalam himpunan pasangan berurut itu tidak terdapat pasangan yang
mempunyai komponen pertama yang sama, maka himpunan itu disebut fungsi.
Sebaliknya bila terdapat pasangan yang mempunyai komponen pertama yang
sama, maka himpunan itu bukan fungsi.
4. FUNGSI SEBAGAI PEMETAAN
Jika A dan B adalah himpunan-himpunan. Pemetaan himpunan A ke himpunan B
merupakan relasi yang memasangkan setiap anggota A tepat satu anggota B.
A B Relasi A ke B adalah pemetaan, yang disebut juga
fungsi A ke B.
Jika nama fungsi itu “ɡ”, maka disebut ɡ fungsi A
ke B. Yaitu pemetaan dari A ke B ditentukan oleh
ɡ. Ditulis ɡ : A → B
Pemetaan A ke B disebut pemetaan into atau fungsi into.
Jika A dan B himpunan-himpunan, maka pemetaan A ke B adalah relasi yang
memasngkan setiap anggota A kepada anggota B, dimana anggota B merupakan
peta (bayangan) dari sedikitnya satu anggota A.
B
A Pemetaan A ke B atau fungsi onto. Disini tampak
bahwa Q Є A dipasangkan lebih dari satu anggota B.
C D
Relasi C dan d adalah pemetaan C kepada D atau
fungsi onto.
4
pqrs
12344
123Q
P
Q
123
Korespondensi satu-satu :
Pemetaan satu-satu atau korespondensi satu-satu dari himpunan A kepada
himpunan B adalah pemasangan setiap anggota A satu-satu kepada setiap anggota
B.
Contoh 1 :
A B
Gambar disamping merupakan relasi pemetaan
satu-satu.
Contoh 2 : A = {1, 2, 3, 4} dan B = {5, 6, 7, 8}.
Himpunan pasangan berurut = {(1,5), (2,6), (3,7), (4,8)} adalah fungsi
satu-satu atau pemetaan satu-satu atau korespondensi satu-satu.
Fungsi sebagai pemetaan banyak dipergunakan dalam perhitungan-perhitungan
kalkulus, misalnya pada limit, turunan, dan integral.
5. VARIABEL BEBAS DAN TAK BEBAS
Biasanya suatu relasi dinyatakan dengan kalimat terbuka dalam bentuk
persamaan. Setiap persamaan didalamnya terdapat variabel atau peubah.
Pada fungsi variabel dibedakan dalam variabel bebas ( untuk daerah asal ) dan
variabel tidak bebas ( untuk daerah hasil ).
Contoh : y = x + 2
x adalah variabel bebas dan y adalah variabel tidak bebas. Artinya
nilai x yang dapat ditentukan sembarang, tetapi nilai y terikat
(tergantung) pada nilai x.
Bila x = 1, maka y = 1+2 = 3. Dan
Bila x = 2, maka y = 2+2 = 4. Dan seterusnya.
6. NOTASI UNTUK FUNGSI
Ada bermacam-macam cara untuk menuliskan fungsi, diantaranya adalah :
a. Fungsi f memetakan A ke B, ditulis f = A→ B
5
pqr
abc
Fungsi ɡ memetakan x ke y, ditulis ɡ = x → y
Huruf-huruf f dan ɡ adalah nama yang diberikan pada fungsi. Selain huruf f
dan ɡ, huruf h dan r biasanya digunakan juga untuk menamai fungsi.
Contoh : fungsi f = x → x2 dengan x Є A
Berarti setiap x Є A bayangannya (petanya) adalah x2. Jika x = 2,
maka bayangan x oleh fungsi f adalah 22 atau 4 dan seterusnya.
b. Fungsi f memetakan x ke y, dapat ditulis f = x → f(x). f(x) disini sama dengan
y, dan f(x) disebut nilai dari f di x, atau bayangan x oleh f.
Persamaan y = x – 3, untuk x Є B dapat ditulis menjadi f(x) = x – 3. Ini berarti
untuk setiap x Є B petanya (bayangannya) adalah f(x) = x – 3.
Jika x = 1, maka f (x) = x – 3 menjadi f (1) = 1 – 3 = - 2
x = 2, maka f (2) = 2 – 3 = - 1, dan seterusnya.
c. Penulisan fungsi dengan notasi himpunan.
Contoh : {(x,y) ǀ y = x – 3, x, y Є B }.
Ini menyatakan bahwa relasi antara x dan y anggota himpunan bilangan bulat
ditentukan oleh : y = x – 3.
SOAL-SOAL LATIHAN :
1. Diagram panah berikut ini merupakan relasi himpunan-himpinan. Tunjukkan
mana dari relasi itu yang merupakan fungsi.
2. Apakah diagram panah dibawah ini menunjukkan relasi dari A ke B itu
merupakan fungsi ?
6
.
y
x
y
00
A B Tunjukan himpunan manakah yang merupakan daerah :
Definisi
Kawan
Hasil
3. Diketahui A = {a, b, c, d} B = {p, q, r}
Jika antara A dan B terdapat suatu relasi fungsional, perlihatkan relasi itu dengan
diagram panah dan grafik fungsi.
4. Apakah grafik-grafik berikut ini merupakan fungsi ?
5. Dari relasi berikut ini, yang manakah merupakan fungsi ?
a. { (1,1), (1,2), (1,3), (2,4), (2,5) }
b. { (-4,1), (-3,2), (-2,1), (-1,1), (0,1) }
c. { (0,0), (1,0), (2,1), (3,1) }
6. Tunjukkan : daerah asal dan daerah hasil dari relasi berikut :
{ (0,0), (1,0), (2,1), (3,1) }
{ (1,1), (2,1), (3,2), (4,3) }
7. Buatlah grafik dari pasangan berurut berikut ini :
{ (-5, 25), (-4, 16), (-3, 9), (-2, 4), (-1, 1), (0, 0), (1, 1), (2, 4) }
8. Tentukanlah daerah hasil, daerah asal dan daerah kawan dari relasi berikut :
a. f(x) = 2x – 1, untuk x Є A
b. { (x, y) ǀ y = x – 3, x, y Є Q }
c. { (x, y) ǀ y = 2, x, y Є R }
7
x
y
0
y
FUNGSI LINEAR
1. SISTEM KOORDINAT CARTESIUS
Adalah dasar ukuran suatu grafik fungsi. Nama Cartesius berasal dari nama
seorang ahli filsafat bangsa Prancis RENE DESCARTES ( 1956 – 1650 ) yang
telah menemukan sistem koordinat itu.
Sistem ini menggunakan dua garis bilangan yang
berpotongan tegak lurus di titik nol.
Titik nol disebut juga titik asal atau titik pangkal,
titik pusat atau pusat koordinat. Garis bilangan
yang mendatar diberi nama x, dan disebut sebagai
sumbu x. dan garis bilangan yang vertikal dinamai
y dan disebut sumbu y.
Titik-titik di kanan 0 dari sumbu x mewakili bilangan-bilangan positif, dan di
kirinya mewakili bilangan-bilangan negatif.
Titik-titk di atas 0 dari sumbu y mewakili bilangan-bilangan positif, dan
dibawahnya mewakili bilangan-bilangan negatif.
2
1
A (1,2)
0 1 2
Dalam sistem koordinat ini, letak suatu titik
ditentukan oleh pasangan berurut, dimana
komponen pertama diwakili oleh sumbu x dan
komponen kedua dari pasangan berurut itu diwakili
oleh sumbu y.
8
x
x
Letak titik A ditentukan oleh pasangan berurut (1,2). Ini berarti titik A berada
pada 1 satuan di sumbu x dan 2 satuan di sumbu y.
Satuan-satuan di sumbu x di sebut absis dan satuan-satuan di sumbu y di sebut
ordinat. Absis dan ordinat, keduanya disebut: koordinat.
2. FUNGSI LINEAR
Adalah fungsi yang variabel bebasnya paling tinggi berpangkat satu. Misalnya,
bila diketahui fungsi f = x → 2x – 5 dengan x Є A, maka ini berarti fungsi f pada
himpunan R ditentukan oleh f (x) = 2x – 5, disebut fungsi linear, karena x sebagai
variabel bebas berpangkat paling tinggi satu.
Bila x Є A maka bayangannya adalah f (x) yang menjadi anggota B.
A B
f
Misalkan anggota B itu kita sebut y, maka
diperoleh y = f (x).
Nilai y atau f (x) dari fungsi linear di tentukan oleh
rumus :
f (x) = ax + b
Dengan notasi himpunan ditulis :
f = { (x,y) ǀ y = ax + b, a, b, Є R dan a ≠ 0 }
Contoh : gambarlah suatu grafik fungsi linear f yang ditentukan oleh :
f (x) = 2x -3 yang daerah asalnya { x ǀ 1 ≤ x ≤ 4, x Є R }.
Jawab :x 1 2 3 4
f (x) -1 1 3 5
Keterangan : Nilai-nilai dalam tabel diatas ditentukan oleh daerah asalnya yaitu
1 ≤ x ≤ 3 dan ditentukan oleh f (x) = 2x – 3.
Untuk : x = 1, maka f (1) = 2 (1) -3 = -1
x = 2, maka f (2) = 2 (2) -3 = 1
9
x f(x)
x = 3, maka f (3) = 2 (3) -3 = 3
x = 4, maka f (4) = 2 (4) -3 = 5
Untuk membuat grafiknya cukup dengan mengambil dua titik saja. Dari dua titik
tersebut ditarik garis lurus. Misalnya titik A (1, -1) dan B (4, 5).
Titik yang memotong sumbu y, diperoleh dengan mengambil
x = 0, maka f (0) = 2 (0) -3 = -3 → (0, -3)
Titik yang memotong sumbu x, diperoleh dengan mengambil
y = 0, maka 0 = 2x – 3
2x = 3
x =
32 = 1
12 . → (1
12 , 0).
y
5
4
3
2
1
B(4,5)
-3 -2 -1 0 1 2 3 4
-1 A(1, -1)
-2
-3
Titik potong dengan sumbu y
10
x
Titik potong dengan sumbu x
(4,4)
Koefisien arah (gradien) garis lurus biasanya dilambangkan dengan huruf “a” dan
di definisikan sebagai :
a =
y2 - y1
x2 - x1
Arah fungsi membentuk sudut α dengan sumbu x, maka koefisien arah garis
y = 2x – 3 sama dengan tg sudut α , yaitu :
a = tg α =
yx
Arah suatu grafik fungsi tergantung pada tanda yang menyertai a dalam
persamaan
Kalau a positif, arah fungsi dari kiri ke kanan NAIK.
Kalau a negatif, arah fungsi dari kiri ke kanan TURUN.
Titik potong kurva dengan sumbu y, jika x = 0.
Maka y = a . (0) + b = b
Jadi b merupakan titik potong kurva dengan sumbu y.
Contoh : Carilah persamaan/fungsi linear dari kurva dibawah ini :
1.
(0,4)
2.
11
y = ax +b
yy
0 (4,0)
(0,2)
0 4
Penyelesaian :
1) a =
y2 - y1
x2 - x1 =
4 - 00 - 4 =
4-4 = - 1
y = ax +b → y = -x + b
titik potong kurva dengan sumbu y terjadi jika x = 0, maka :
a = - (0) + b → b = 4. Jadi, persamaannya :
2) a =
y2 - y1
x2 - x1 =
4 - 24 - 0 =
24 =
12 → y =
12 x + b
titik potong kurva dengan sumbu y terjadi jika x = 0, maka :
2 =
12 (0) + b → b = 2
Jadi persamaan linearnya adalah :
SOAL LATIHAN
1) Gambarkan kurva linear dari persamaan berikut ini :
a. y = -2x + 6 c. y = -
12 x + 3
b. y = 3x – 4 d. y =
32 x – 5
jika daerah asal x adalah : -2 ≤ x ≤ 4
2) Carilah persamaan/fungsi linear dari grafik dibawah ini :
12
x x
y = -x + 4
y =
12 x + 2
y
y
y
y
a)
0
-4
-3
c)
0 3
-3
b)
5
-3 0
d)
(2,4)
0 6
FUNGSI KUADRAT
Adalah fungsi yang variabel bebasnya paling tinggi berpangkat dua. Bentuk yang
paling sederhana dari fungsi kuadrat adalah fungsi yang ditentukan oleh f (x) = x2.
Bentuk umum dari fungsi kuadrat adalah :
f (x) = ax2 + bx + c
Suatu parabola mempunyai nilai minimum atau maksimum ditentukan oleh tanda
yang menyertai koefisien x2 dalam persamaan di atas. Koefisien itu dinyatakan
dengan huruf a.
Jika ada a positif,
Jika ada a negatif,
a > 0, maka parabola terbuka ke atas, yang berarti mempunyai
nilai minimum.
a < 0, maka parabola terbuka kebawah, yang berarti mempunyai
nilai maksimum.
Banyaknya titik potong suatu parabola dengan sumbu x ditentukan oleh deskriminan
dari persamaan kuadratnya.
13
x
x
x
x
Deskriminan disingkat dengan “D”
D = b2 – 4 a . c
Jika D < 0, parabolanya tidak mempunyai titik potong dengan sumbu x.
Jika D > 0, parabolanya mempunyai dua titik potong dengan sumbu x.
Jika D = 0, parabolanya mempunyai satu titik potong dengan sumbu x.
Titik potong kurva dengan sumbu x terjadi jika y = 0.
Berarti : ax2 + bx + c = 0
Penyelesaian persamaan tersebut dilakukan dengan menggunakan rumus :
- b ±√b2 - 4 . a . c2 . a
KOORDINAT TITIK PUNCAK
Untuk menyelesaikan suatu persamaan kuadrat digunakan suatu
Rumus : x =
- b ±√b2 - 4 . a . c2 . a
Dari rumus itu diperoleh dua nilai x, yaitu :
x =
- b +√b2 - 4 . a . c2 . a x =
− b −√b2 - 4 . a . c2 . a
Kedua nilai x ini sama-sama bila b2 – 4 . a . c = 0 , yaitu :
− b +√02 . a =
− b −√02 . a =
- b2 . a
Jadi diperoleh nilai x =
- b2 . a yang merupakan absis titik puncak.
y = ax2 + bx + c atau y = a (−b2.a )
2
+ b (−b2.a )
2
+ c
y =
a . b2
4 . a2 - b2
2 . a + c
14
y = b2−2 b2+ 4 . a .c4 . a =
−b2+ 4 . a .c4 . a
y =
−(b2− 4 . a .c )4 . a =
− D4 . a
Dengan demikian didapat koordinat titik puncak :
( -b 2 . a
, - D4 . a
)
Contoh : Diketahui sebuah persamaan kuadrat y = x – 2x – 8, carilah titik
potong kurva tersebut dengan sumbu x dan y. Dan carilah titik
puncaknya, serta gambarkan kurva tersebut.
Penyelesaian :
Dari persamaan y = x2 – 2x -8, diketahui bahwa a = 1, b = 2, c = -8. Tanda di depan
koefisien a adalah positif, maka kurva membuka ke arah atas .
D = b2 – 4 . a .c = (-2)2 – 4 . 1 (-8) = 4 + 32 = 36 > 0, maka kurva mempunyai 2 titik
potong dengan sumbu x.
X =
− b ±√D2 . a =
−(−2)±√D2 . 1 =
2 ± 62
X1 =
2 ± 62 =
82 = 4 X2 =
2 - 62 =
42 = - 2
Jadi titik potong kurva dengan sumbu x berada di titik : (-2, 0) dan (4, 0).
Titik potong kurva dengan sumbu y terjadi jika x = 0, maka y = (0)2 – 2 . (0) – 8 = -8.
Jadi titik potong kurva dengan sumbu y berada di titik (0, -8).
15
y
Koordinat titik puncak kurva terletak pada titik.
X =
− b 2 . a =
−(−2)2 . 1 =
2 2 = 1 dan
X =
− D4 . a =
− 364 . 1 =
− 364 . 1 = 9
Jadi koordinat titik puncak berada di (1, -9)
Gambar kurva y = x2 – 2x – 8
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-1
16
x
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
LATIHAN SOAL :
1) Buatlah sketsa parabola y = 2x2 - 2x -12
Tentukan : a. Titik potong kurva dengan sumbu x dan sumbu y.
b. Titik puncak maksimum/minimum.
2) Gambarkan sketsa parabola y = -3x2 – 6x + 24.
Lengkapi dengan titik potong kurva dengan sumbu x dan sumbu y serta titik
puncaknya.
17
FUNGSI GONIOMETI
Y sin θ= yr
cosθ= xr
Tgθ= yx
18
θr
x
y
X
Cosec θ =
ry sec θ =
rx ctg θ =
xy
limθ → 0
sin θθ
=1 limθ → 0
cos θ - 1θ
=0
limθ → 0
sin θ=0 limθ → 0
cos θ=1
Sin (-θ ) = - sin (θ )
Cos (-θ ) = cos θ
1. Sin (A+B) = sin A . cos B + cos A . sin B
2. Sin (A–B) = sin A . cos B – cos A . sin B
3. Cos (A+B) = cos A . cos B – sin A . sin B
4. Cos (A–B) = cos A . cos B + sin A . sin B
Dari rumus-rumus di atas didapatkan rumus-rumus baru :
1. sin2a + cos2a = 1
2. cos 2A = cos2A – sin2A , atau
= 2 cos2A – 1 , atau
= 1 – 2 sin2A
3. tg (A+B) =
tg A + tg B1− tg A . tg B
4. tg2a = sec2A – 1
5. sin A – sin B = 2 cos
A + B2 . sin
A − B2
6. cos ( π2 −A )
= sin A
7. cos (A+ π
2 )= – sin A
8. sin ( π2 −A )
= cos A
19
9. tg ( π2 −A )
= ctg A
Grafik
1) y = sin x . Periode sinus adalah 2π
sin (x + 2nπ ) = sin x , π = 0, ±1, ±2 .....
y
1
−π2 0 π 2π
- 2π −3π
2 -π π
2 3π
2
-1
x adalah besar sudut
y nilai sinus dari x
2) y = cos x . Periode cosinus adalah 2π
cos (x + 2nπ ) = cos x, n = 0, ±1, ±2 .....
y
1
-π π 2π
- 2π −3π
2 −π
2 0 π
2 3π
2
-1
3) y = tg x . Periode tangen adalah 2π
cos (x + π . n ) = tg x, n = 0, ±1, ±2 .....
y
-π −π
2 0 π
2 π 3π
2
20
x
x
x
Sudut-sudut Istimewa
Fungsi Besar Sudut (θ)
0° 30° 45° 60° 90°
Sin θ 0 12
12 √2 1
2 √3 1
Cos θ 1 12 √3 1
2 √2 12
0
Tg θ 0 13 √3 1 √3 ~
Kwadran I, II, III dan IV
Besar sudut untuk masing-masing kwadran adalah sebagai berikut :
1. Kwadran I : 0≤θ≤90°
Sin θ=Sin α , Cos θ=Cos α , Tg θ=Tg α
2. Kwadran II : 90≤θ≤180°
Sin θ=Sin (180 °−θ)
Cos θ= −cos (180 °−θ)
3. Kwadran III : 180°≤θ≤270°
Sin θ= −sin(θ−180 °)
Cos θ= −cos (θ−180° )
4. Kwadran IV : 270≤θ≤360°
Sin θ= −sin(360°−θ)
Cos θ= cos (360 °−θ)
21
22